PROBLEMA Nº 1 En la figura encuentre la fuerza total sobre la compuerta AB causada por los fluidos. Encuentre la posicin de esta fuerza medida desde el fondo de la compuerta. !uponga "ue la densidad relati#a del aceite es $.%. La compuerta es de 1&.' pie&.
Patm 1$psi '$pies Aire 1$pies 1$pies 1&pies Agua
-$º
!OL()*ON +atos del problema A = 12 * 4 pie 2 DRa ceite = 0.6
)on#ertimos las unidades de pies a metros 40 pies pie s = 12.19 2m 12 pies pie s = 3.65 8 10 pies pie s = 3.04 8 4 pies pie s = 1.21 9 10 Psi = 68.94 8 KPa
Encontramos las alturas desde la superficie ,asta el centro de gra#edad de la compuerta Hca gu a= 3.0 4 9 + 4.87 8* co s 3 0º Hca gu a= 7.27 3m Hca ceite = 12.1 9 5 + 4.8 78 * co s 3 0º Hca ceite = 16.4 1 9
Por concepto de presin P =
F
A F = P * A FHa FH a gu a= y * Hca g u a* A FHa FH a gu a= d * gH cag ca g u a* A FHa FH a gu a= 1000
kg 3
* 9.8
m FHa FH a gu a= 71348.1 3 A
m s
2
* 7.2 73m * A
FHa FH a gu a= 318328.9 5 6 N FHa FH a gu a= 3 18.3 3 KN
A,ora calculamos fuerza ,idrosttica del aceite FHa ceite = d * g * Hca ceite * A FHa ceite = 0.6 * 1000* 9.81 * 16.41 9 * A FHa ceite = 43 1.18 KN
)alculamos fuerza del aire Fa ire = p * A Fa ire = 69.08 KN * A Fa ire = 30 8.21 KN
/allamos las resultantes R1 = FHa FH a gu a+ Fa ire R1 = 6 25.2 1 R 2 = 4 31.1 8
R0R1R& R = 1 94.8 KN
)alculamos la altura del aire
He = He =
p 0 Dagu a* 9.8 68948
1000* 9.8 He = 7.03 6m
m
)alculamos las distancias desde el centro de presin ,asta el centro del gra#edad Lc = Lc =
Hc co s 30º ( Hc + Hc)
cos 30º Lc = 16.52m Ic =
4 * 123 12
Ic = 4.97 m 4
)alculamos la distancia del centro de presin al centro de gra#edad Icg
e1 =
Lcg * A
=
4.97 16.52 * A
e1 = 0.06 7 e2 = 0.05 9
Aplicamos momentos de las fuerzas en el fondo de la compuerta
∑
MB = 0
− R1 * (1.8295− e1) − R( L) + R2(18295− e2) = 0 − 62 6.54(1.7625) − 19 5.36 L + 43 1.18(1.7705) = 0 − 19 5.36 L = 34 0.87 3
L = 1.74m
PROBLEMA Nº &
+etermine la fuerza resultante 2 su punto de aplicacin debido a la accin del agua sobre la superficie plana rectangular de altura AB0&m 2 de anc,o 1m 3,acia adentro del papel45 donde el punto A esta a profundidad de1 .&m.
O 1.2 A 2m B
!olucin +atos del problema A = 2 * 1m 2 A = 2m 2
Por la frmula de presin P =
F A
⇒ F = P * A
*ntegramos a ambos lados
∫ = ∫ F
Pd A
F = CONSTANTE
∫ = ∫
F = PAdA F
d * g * L * ydA
∫ ∫
F = dgL ydA y2
y 2 y2 F = dgL ydA ⇒ F = dg L 2 y 1 y 1
F =
1 2
(dgL)( y 22
− y12 )
Reemplazando datos
1
[
m ) * 9.81( ) * 1m * 3.2 2 2 m3 s 2 Kg * m F = 43120( ) 2 s F = 43120 N F =
* 1000(
Kg
− 1.2 2 ]m 2
)alculamos el centro de presin
∫
y 2 dA
y p
=
I
⇒ y p =
y g A
y g * A
y2
∫
∫
1 I = L 2 dA ⇒ I = L y 2 dy ⇒ I = L( y 2 3 3 y1
Entonces tenemos 1 I = L( y 2 3 − y13 ) 3 1 y g = ( y 2 + y1 ) 2 A = L( y 2 − y1 )
Reemplazando 1 y ! =
3 1 2
y ! =
( y 2
2( y 22
L( y 2 3
3 ) 1
− y
+ y1 ) * L ( y 2 − y1 )
2 ) 1
+ y 2 y1 + y
3( y 2
+ y1 )
Reemplazando los datos
y ! =
2(3.2 2
y ! = 2.35m
+ 3.2 * 1.2 + 1.2 2 ) 3(3.2 + 1.2)
− y13 )
PROBLEMA Nº- En la figura "ue se muestra6 a4 /allar el modulo 2 la l7nea de accin de la fuerza a cada lado de la compuerta b4 +eterminar 8 para abrir la compuerta si esta es ,omog9nea 2 pesa -$$$:g. El anc,o de la compuerta es de 1.;m.
1.&$m
?0;@' :gm-
$.@$m
Ee 1.;$m
+atos del problema
?0;@' :gm-
&.'$m < compuerta0-$$$=g
Anc,o de compuerta01.;$m La longitud l5 de la compuerta es 2
L = 1.802
+ 2.402 ⇒ L = 3.0m
+eterminando la fuerza producida por el l7"uido de iz"uierda "1
=
1.80
+
2
0.60 + 1.2 ⇒ "1
=
2.20m
>rea de la compuerta A = L * ANCHO ⇒ A = 3.0 * 1.80m 2 A = 5.4m 2
)alculamos la fuerza F 1
= * "1 * A ⇒ F 1 = 864
F 1
= 12597 Kg
Kg m
3
* 2.20 m * 5.4m 2
+eterminacin de la l7nea de accin de la fuerza producida por el l7"uido de la iz"uierda. Esta l7nea se encuentra a ?ept desde el punto o. ept =
Icg 1 A
+ 1
Por relacin de tringulos 1.80 3.00
=
3.60 0
⇒ 0 =
3.60 * 3.00 1.80
= 6m
0
A,ora sabemos "ue6 1
= 0 − L ⇒ 1 = 6 + 3
1
= 4.5m
2
2
)alculamos * I =
B * H 3
12 I = 4.05
⇒ I =
1.80 * 3.00 3 12
)on estos datos calculamos ?ept 4.05
ept =
4.50 * 1.80 * 3.00 ept = 4.67m
+ 4.50
+eterminacin de la fuerza producida por el l7"uido de la derec,a )alculando la altura del centro de gra#edad ,asta la superficie "2
=
1.80
+ 0.60
2 "2 = 1.50m
)alculamos fuerza dos
= * "2 * A ⇒ F 2 = 86 1* 15 0* 1.80 * 3.00 F 2 = 6998 Kg F 2
+eterminando donde actCa la fuerza dos ept =
Icg 1 * A
+ 1
Por relacin de tringulos 1.80
=
0.60
3.00 $ # = 1.00m
⇒ # =
3.00 * 0.60 1.80
m
)on este dato calculamos 2& 2
= # +
L
2 2 = 2.50m
⇒ 2 = 1.00 +
3.00 2
)on este dato calculamos la distancia ,acia el centro de gra#edad ep2 =
4.05
2.50 * 1.80 * 3.00 ep2 = 2.80m
+ 2.50
Para la pregunta b tendremos cuenta el siguiente grafico
1.67m
3000k 1.80m 6998k
Mediante la ecuacin de e"uilibrio de momentos tenemos
25597* 1.67 + 3000* 1.20 − 6998* 1.80 − F 2 * 2.40 = 0 F =
21036+ 3600− 12596 24
F = 5017kg
La fuerza para abrir la compuerta es de %$1D:g PROBLEMA Nº ' La placa AB de -m por 'm de un depsito al aire es basculante en torno a su borde inferior 2 se mantiene en posicin mediante una barra delgada B). !abiendo "ue #a llenarse de glicerina5 cu2a densidad es de 1&@- :gm-. +eterminar la fuerza en la barra 2 las reacciones en la bisagra5 cu2a densidad es de 1&@- :gm-. +eterminar la fuerza en la barra 2 las reacciones en la bisagra A cuando el deposito se llena ,asta una profundidad d0&.Fm.
c
d
B
-m
!olucin +atos del problema AB = 3m a = 4m kg dg%iceri&a = 1263 m3 d = 2.9m T = ?
)alculamos el rea de la compuerta
A = 4 * 2.9m 2 A = 11.60m 2
)alculamos la fuerza eercida por la glicerina sobre la compuerta Fr = * H * A Kg
m 2.9 ) * (9.81)( ) * 11.60m 2 * m 3 2 2 m s Fr = 208188 N Fr = 1263(
+eterminamos la ubicacin de la fuerza en el centro de presiones cp − cg =
y * se&θ * I '$ Pcg * A 1263* 9.81* se&90 * (
cp − cg = 1263* 9.81* ( cp − cg =
2.9 2
1 12
* 4 * 2.9 3 )
)( 4 * 2.9)
100726.8139
208400.3046 cp − cg = 0.48 3m
Entonces despeamos ?cp cp = 0.48 3m + cg
)alculamos ?cg cg = 3 / 2
)alculamos * I =
3 * 43 12
⇒ I = 16
A,ora conociendo la ubicacin ,acemos su grafico T
FR Ay Ax
W
Aplicando las ecuaciones de e"uilibrio se tiene
∑
Ma = 0
T * 3 − FR (0.06 7) = 0 208188* 0.06 7
T =
3 T = 67106 N
Ecuacin de e"uilibrio de fuerzas
∑
F $
=0
FR = A$ + T A$ = Fr$ − T A$ = 208188− 67106 A$ = 141082 N
Ecuacin de e"uilibrio de fuerzas en el ee 2
∑
F y
A y
=0
=(
EGER)*)*O Nº % El agua dulce canalizada es retenida por la placa de &.% engoznada en A. si la compuerta est diseHada para abrirse cuando la altura del gua es ;.;m5 tal
como se muestra I)ul debe ser el peso de J por metro de longitud normal al papel4K
de la placa 3en neJton
+atos del problema Lp%aca = 2.5m Ha gu a= 0.8m ) = ?
)alculamos la magnitud de la fuerza "ue eerce el agua Fr = Pc * A Fr = d * g * g" * A m 0.8 0.8 * 1 ) * 9.81( ) * ( )m * ( ) 2 se&60 m3 s 2 Fr = 3622 N Fr = 1000(
Kg
)alculamos la inercia * I =
1 * 0.92 43
12 I = 0.0675
)alculamos en punto donde actCa la fuerza ,idrosttica
cp − cg =
yse&θ * Ig $
cp − cg =
9800 se&12 0(0.0675)
Pcg * A
9800* 0.4 * 0.924* 1 cp − cg = 0.154m
)alculamos la distancia desde el punto A al centro de presiones d = 2 − 0.31 2m d = 1.68 8
omando momentos con respecto al punto A. se tiene
∑
M A
=0
) (1.25 cos 60) = Fr * 1.68 8 ) = ) =
3622* 1.688 1.25 co s 60 6113.93 6 0.625
) = 9782.30
Problema @6 Encuentre la fuerza resultante sobre la compuerta AB producida por los fluidos de adentro 2 de a fuera. +eterminar la distancia d por debao de γ )
= 13.54%* −
! / pie 3
B de la posicin de 8R5
ρ r = 13.6
B 2 pie
4pie A 20pie
Compuer 3pies
" Agu 4#
+AO!6 γ )
= 13.54%* − ! / pie
3
ρ r = 13.6 ρ r = 13.6
γ H 2O
=
62.4%* − ! / pie 3
A = 8 pies 2
!OL()*ON6 Por el principio de Pascal tenemos entonces6 Las presiones en un mismo punto5 segCn la figura tenemos6
= P B P 0 + γ Hg (0.4) = P B P B = 13.6(62.4%* − ! / pies 3 )(0.4 pies ) P B = 339.46%* − ! / pies 2 P A
+el grafico tambi9n tenemos "ue6
= P C ⇒ P C = 339.46%* − ! / pies 2
P B
= P C + γ ) (20 − 0.5) P D = 339.46 + 62.4(20 − 0.5) P D = 1556.26%* − ! / pies 2 P D
$or %e&'i(i)' e'e'%emos *ue+
P = F / A ⇒ F = P ( A) ,! -uer! *ue se /! ge'er!r /! !(u!r e' e pu'o %e ! (ompuer! *ue es! e're A y B %e mo%o *ue us!remos ! %is!'(i! *ue es! /!e (o' respe(o ! su i'(i'!(i)'+
⇒ F = P D + P H ' A F AB = (1556.26 + 62.4(5) Se&45)8 F AB = 14215%* − ! 2
"!!mos e (e'roi%e %e 'uesr! (ompuer!+
I C+
=
* ( ") 3 12
⇒
2(4)3 12
⇒ I C+ = 10.67 pies 4
C!(u!mos ! o'giu% ! (e'ro %e gr!/e%!%
LC+
=
γ ) Se&α ( I C+ )
P C+ ( A)
Reemp!!'%o %!os e'emos e'o'(es
LC+
=
γ ) Se&α ( I C+ )
LC+
=
62.4 Se&135(10.67)
P C+ ( A) 1776.88(8)
⇒ LC+ = 0.033 pies
$or uimo (!(u!mos ! %is!'(i!+
d = 2 + 0.033 ⇒ d = 2.033 pies
Problema D6 En la figura6 a4 /allar el modulo 2 la l7nea de accin de la fuerza a cada lado de la compuerta. b4 +eterminar 8 para abrir la compuerta si esta es ,omog9nea 2 pesa -$$$:g. El anc,o de la compuerta es de 1.;$m.
1.20m γ
=
864kg / m
3
0.60m e
F
γ = 864kg / m 3
1.80m
2.40m
!OL()*ON6 Primero "ue nada ,allamos la altura ,asta el centro de gra#edad de la figura6
"C+
=
+ 0.60 + 1.20 m ⇒ "C+ = 2.70m
1.80 2
"!!mos e re! %e ! (ompuer! por ri'guos re('guos. A = *(")
3.00m
A = 1.8m(3m)
1.80m
A = 5.40m 2
37 2.40m
+e modo "ue lo usamos para calcular la fuerza
P = F / A ⇒ F = P ( A) F = γ ( ") A F = 864(2.70)(5.40) F = 12597 kg
/acemos una relacin de tringulos para obtener el siguiente #alor
1.80 3
=
3.60 0
⇒ 0 = 6m
)alculamos el centro de presin en la compuerta6
1 = 0 −
L 2
3
⇒ 1 = 6 − ⇒ 1 = 4.50m 2
1.80(3)3 CP =
I C+ 1 ( A)
+ 1 ⇒ CP =
12 + 4.50 ⇒ CP = 4.67m 4.5(1.80)(3.00)
' segu'%o ug!r (!(u!mos ! -uer! !pi(!%! ! ! (ompuer! por e 5ui%o
%e !%o %ere(o p!r! eso 'e(esi!mos su !ur! y ! -uer! *ue es! ge'er! respe(i/!me'e.
" LD
= 1.80 + 0.60 ⇒ "2 = 1.50m 2
$or %e&'i(i)' %e ! presi)' e'emos e'o'(es *ue+
P = F / A ⇒ F = P ( A) F = γ ( " LD ) A F = 864(1.50)(5.40) F = 6998kg e'er!mos u'! proo'g!(i)' e' 'uesro gr&(o p!r! %eermi'!r ! %is!'(i! *ue !(e -!! p!r! eg!r ! ! super&(ie %o'%e ! presi)' es igu! ! (ero
/acemos una relacin de tringulos para obtener el siguiente #alor
1.80 3 LD
=
0.60 #
= # +
CP =
⇒ # = 1m
L 2
⇒ 1 = 1 +
I C+ + LD LD ( A)
3 2
⇒ 1 =
⇒ CP =
2.50 m
1.80(3) 3 12 2.5(1.80)(3.00)
+
2.50 ⇒ CP = 2.80 m
$or uimo e'o'(es !pi(!mos mome'os (o' u'! %is!'(i! soo !s! ! mi!% %e ! !rr! %o'%e se e'(ue'r! e (e'ro %e gr!/e%!% p!r! (!(u!r ! -uer! e' e exremo i'-erior
12597(1.67) + 3000(1.20) − 6998(1.80) − F (2.40) = 0 F =
12597(1.67) + 3000(1.20) − 6998(1.80)
F = 5017kg
2.40
Problema ;6 I)ul ser el #alor del contrapeso < para "ue la compuerta de la figura se mantenga en la forma mostradaK Las ,oas OA 2 OB5 rectangulares de '.$$m de anc,o5 forman en O un ngulo r7gido de F$ 2 pesan -$$$:g 2 -@$$:g5 respecti#amente. A 1.80
1.#0m
0.1#
O
W
B
A:A
+AO!6 AO = OB = 4m AO ⊥ OB AO = 3000 kg OB = 3600kg A&c"' = 4m
!OL()*ON6 Primero obtenemos las presiones en cada punto5 para calcular luego las fuerzas "ue #an actuar en nuestro sistema 2 formar nuestro tor"ue
= 0 ∴ ∴or encontrars e en la superficie P O = γ H O ( ") ⇒ P O = 1000(1.5C's30°) → P O = 1300 kg / m 2 P B = P O + γ H O (") ⇒ P B = 1300 + 1000(1.8Se&30°) → P O = 2200 kg / m 2 P A
2
2
A,ora calculamos la fuerza "ue actCa en cada presin del sistema 8uerza en el punto A
P = F / A ⇒ F = P ( A) F A
= γ (") A
F A
=
1
(1300)(1.50)(4)
2 F A = 3897 kg
8uerza en el punto B #a determinarse en dos partes
= γ (") A F B1 = (1300)(1.80)(4) F B! = 9353kg F B1
F B 2
= γ (") A
F B 2
=
1
(900)(1.50)(4)
2 F B 2 = 3240kg
A,ora calculamos cada uno de los brazos "ue #an generar las fuerzas
*1
=
*2
=
*3
=
1 3 1 2 2
(1.50) = 0.50m (1.80) = 0.90m (1.80) = 1.20m
3 *4 = (1.80 − 0.15) C's30° = 1.43m
= 0.90C's30° = 0.78m *6 = 0.75C's 60° = 0.38m *5
eniendo todos nuestros #alores formamos nuestro tor"ue para ,allar el peso
F 1 (*1 ) − F 2 (*2 ) − F 3 (*3 ) + P 1 (*5 ) + P 2 (*6 ) + ) (*4 ) = 0 3897 (0.5) − 9353(0.9) − 3240(1.2) + 3600(0.78) + 3000(0.38) + ) (1.43) = 0 F =
9353(0.9) + 3240(1.2) − 3897(0.5) − 3600(0.78) − 3000(0.38) 1.43
F = 4481.96kg Problema F6 +eterminar el momento "ue ,a2 "ue aplicar en O para mantener la compuerta cerrada. El anc,o de la compuerta rectangular es de 1.;$m ; 4#
O 1.2
A:A A 0.6 0.30
<=
+AO!6 A&c"'
= 1.80m
!OL()*ON6 Primero determinamos las presiones para los puntos A 2 O de nuestro sistema
= γ S ("S ) − γ H O (" H O ) P A = 5(1000)(0.30) − 1000(0.60 + 0.30) P A = 600kg / m 2 P O = P A − γ H O (" H O ) P O = 600 − 1000(1.20) P O = −600 l"/ m 2 P A
2
2
2
2
/allamos la longitud de la compuerta
Se&45° =
1.20 L
⇒ L =
1.20 Se&45°
⇒ L = 1.70m
Entonces 2a teniendo la longitud5 a,ora ,allamos el centro de gra#edad de la compuerta5 "ue #iene a ser6
C .+. =
L 2
⇒ C .+. =
1.70 2
⇒ C .+. = 0.85m
+e este modo5 a,ora podemos obtener las fuerzas por igualdad en el ee ?
F 1 = F 2 F 2
=
1 2
⇒ F 2 = γ (") A (600)(0.85)(1.80) = 459kg ∴ ∴⇒ F 1 = 459kg
Por Cltimo5 calculamos el momento de nuestro problema
M = F 1 (*1 ) + F 2 (*2 )
2 1 M = 459 (0.85) + 0.85 − 459 (0.85) 3 3 M = 520kg .m
γ = 2400 kg / m 3
Problema 1$6 El #olumen m7nimo de un blo"ue de concreto 3 4 "ue pueda mantener la compuerta circular en la posicin "ue se muestra en la figura. 3El blo"ue est sumergido en agua4.
F2 0.60 0.30 1.37
γ = 2400 kg / m
F1
3
1.8m
B B
0.60m
+AO!6 γ = 2400 kg / m 3
!OL()*ON6 En primer lugar determinamos la fuerza 1 2 en donde se #a ubicar su centro de presin5 segCn el grafico
F 1
= P C+ ( A) ⇒ F 1 = γ (") A
F 1
= 1000(1.20)(
F 1
= 3051kg
π
4
)(1.80) 2
Lo "ue a,ora necesitamos es el momento de inercia5 "ue se #a calcular de la siguiente formula5 cuando se trata de obetos circulares6
I C+ I C+ I C+
= =
π d 4
64 3.1416(1.80) 4
64 = 0.515m
)on los datos obtenidos #amos a ubicar el centro de presin
CP
=
I C+ ( A)
+ ⇒
CP
0.515
=
π
+ 1.20 ⇒
CP
= 1.37 m
1.20( )(1.80) 2 4
)on a2uda de este dato5 a,ora ,allamos el brazo "ue #a generarse
(0.30 + 1.80 + 0.60) − 1.37
*1
=
*1
= 1.33m
A,ora aplicamos tor"ue para ,allar la tensin del cable38&46
F 1 (*1 ) − F 2 (*2 ) = 0 F 2
=
F 1 (*1 ) *2
⇒ F 2 =
3051(1.33) 3.30
→ F 2 = 1230kg
Por ultimo formamos nuestra sumatoria de fuerzas "ue #an actuar en el ee ?5 de donde #a generarse un empue por parte de la presin en ese punto6
0
E − F 2
− ) =
⇒ E =
γ %i. (, sum ergi d')
γ %i. (, sumerg id') + 1230 − ) = 0 1000(, sum ergi d') + 1230 − 2400(, sumerg id')
Fact'ri-a& d' # , sumerg id' ( 2400 − 1000) = 1230 , sumerg id' (1400) = 1230 , sumerg id'
=
0.878m 3
=
0
Problema 116 En el fondo de un depsito lleno de agua ,a2 una compuerta AB sin peso de $.%m $.;m. La compuerta est articulada con bisagras a lo largo del borde superior A 2 se apo2a en un tope liso B. +eterminar6 a4 Las reacciones en A 2 B cuando la tensin del cable es nula. b4 La m7nima tensin del cable B)+ para "ue se abra la compuerta.
0.27 0.4#
0.48
37> 0.64
!OL()*ON6 Parte b. La tensin m7nima ser a"uella "ue ,ar "ue la reaccin en B sea nula. 0.27 "C+
0.4#
"CP
Ax Ay
F P
0.4
?= 37 B
ϕ
En primer lugar se determina el ngulo la l7nea "ue define la compuerta
"ue forma la direccin de la tensin 2
Tg (θ + ϕ ) =
0.48 + 0.45 + 0.27
0.64 Tg ( 37° + ϕ ) = 1.875 37° + ϕ = Tg −1 (1.875) ϕ = 25° omando momentos respecto al punto A se tiene6
∑ M
=0 F H [ 0.4 + ( yCP − yC+ ) ] = T ( 0.8Se&ϕ ) 2704.8(0.4 + 0.046) = T ( 0.8Se&25° ) T = 3568 N A
