SEGUNDA UNIDAD
PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
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INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONTENIDOS SEGUNDA UNIDAD TEMÁTICA Primera ley de la erm!di"#mi$a • •
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Enunciado de la primera ley de la Termodinámica La Primer Ley fundamental, para los sistemas cerrados reversibles Calor especifico Calor especifico a presión constante Calor Específico a volumen constante Cambio de estado politrópico reversible de gases ideales Algunos politropos importantes importantes El estudio de la 1ra Ley fundamental para un sistema mecánico cerrado y reversible general Aplicación de la 1ra Ley !undamental a un sistema sistema t"cnico abierto estacionario reversible Entalpia El diagrama de #an$ey La primera ley fundamental aplicada a los procesos cíclicos reversibles Procesos cíclicos positivos y el rendimiento t"rmico Procesos cíclicos negativos reversibles y la producción de frio
INTRODUCCIÓN El principio básico de la primera ley fundamental de la termodinámica fue enunciado por primera ve% por &eyer Poco Poco despu" despu"s, s, 'oule 'oule establ establec eció ió la base base para para esta esta ley física física demos demostra trando ndo e(perimentalmente el e)uivalente mecánico de calor La primera definición e(acta se debe a Clausius*
La e"er%&a "i 'e $rea "i 'e de'r(ye
Las conclusiones más importantes de este enunciado son las siguientes* 1+ La primera ley fundamental indica el ne(o cuantitativo entre las diferentes form formas as de ener energí gía a Como Como trab traba ao o y ener energí gía a son son e)uiv e)uival alen ente tes, s, se pued puede e establecer un sistema termodinámico conforme a esta definición* La energía suministrada a un sistema - el cambio de la energía presente en el sistema . la energía evacuada evacuada por el el sistema al ambiente ambiente /+ Es imposible construir un mecanismo con el cual se obtenga trabao de la nada y por ello, no e(iste ning0n móvil perpetuo + La primera ley fundamental no determina la dirección en )ue tiene lugar un proceso o cambio de estado Es aplicable, por consiguiente, a procesos tanto reversibles como irreversibles
OBJETIVOS O)*ei+! Ge"eral E(poner la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado,para un sistema abierto y para un sistema cíclico
O)*ei+!' E',e$i-i$!' 2educir las ecuaciones de energía )ue gobiernan los sistemas cerrados, los sistemas abiertos y los sistemas cíclicos 2efinir lo )ue es un proceso politropico, un politropo, y la ecuación )ue lo gobierna Estudiar los polítropos mas importantes 2efinir el concepto de entalpia, calor especifico 2efinir el concepto de ciclo positivo y ciclo negativo 2efinir el concepto de rendimiento t"rmico
P67&E6A LE8 2E LA TE6&927:A&7CA
LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA 3La Energía no se crea ni se destruye, solo se transforma4
Esuministrada = Eevacuada + ∆ E sistema
La Primer Ley -("dame"al. - ("dame"al. ,ara l!' 'i'ema' $errad!' re+er'i)le' Consideremos un cilindro con un pistón móvil, en )ue se encuentra el sistema cerrado de un portador de energía El cilindro es empuado sin fricción sobre un plano inclinado por una fuer%a e(terior
F x ,
por lo )ue varia tanto la energía
cin"tica como la energía potencial del sistema cerrado del portador de energía 5na e(pan e(pansió sión n revers reversibl ible e del portad portador or de energí energía a suminis suministra trada da traba trabao o de camb cambio io de volu volume men, n, en tant tanto o )ue )ue tiene tiene luga lugarr un sumin suminis istr tro o de calo calorr del del ambiente al sistema
Conforme a la 1; Ley*
∑ ¿= E
ev
+ ∆ E Sistema
E¿
Q1− 2=( U 2−U 1 )+ ∆ E c + ∆ E p+ W 1− 2
E #uminist
Cambio de energía del
77 Energía evacuada
sistema cerrado
Tenemos )ue* W 1− 2=Wv 1−2 + Wm1−2=Wv1− 2−[ ∆ E c + ∆ E p ]
6eempla%ando 77 en 7 Q 1−2=( U 2−U 1 )+ ∆ Ec + ∆ E p+ Wv1−2−[ ∆ Ec + ∆ E p ]
II
Q1− 2=( U 2−U 1 )+ Wv 1−2
(J)
Como el cambio de estado es cuasi estático rige*
dQ= dU + dW v
#e puede apreciar )ue no importa si el sistema esta en movimiento o en reposo
( ) ( ) dU dU dV + dV T dT
du =
dT
V
Para =ases 7deales &ediante un e(perimento 'oule demostró )ue el cambio de energía interna depende solo de la temperatura >en gases ideales?, por lo )ue se definió el gas ideal como un gas en )ue las variaciones de volumen no tienen influencia perceptiva sobre la energía interna
( ) dU dV
=0 → dU =
T
( )
dU dT dV T
El calor específico >C?
(J)
El color específico de una sustancia es la cantidad de energía >en 'oules?, )ue es necesario para elevar 1;C la cantidad de 1 $g de dic@a materia* C =
( ) (
1 dQ m dT
Como
)
J kgºC
d 1 Q= m→C = ! m m dT
#implificamos
C =
d dt
d =cdt ⟹ =c ∆ T
Q=mC ∆T
Como*
( )
du =
( )= ( )
du du dt ⟹ dt v dt
m
v
du dt
v
( )
du =C v ⇒ ca"#r espec $ fic# a v#"umenc#nstante dt v
Como:
d = dU + %dv
(J)
( )
d =
du dT + %dV dt v
dQ= mCudT + %dv
dQ= mCudT
pero como
v =cte
El calor especifico
C v
es el factor proporcional )ue indica cuanta energía
interior específica varia por ;C Calor específico a presión constante dQ = mCudT + %dv
(I) Como %V =m&T ⟹ d ( %V )=d ( m&T ) %dV + vd% =m&dT si e" pr#ces# es a %=cte
⇒
dp =0 ⇒ %dv =m&dT
(II)
6eempla%ando 77 en 7* dQ= mCudT + m&dt
dQ= m ( Cv + & ) dt
C v + & =Cp ⟹ Cp
calor específico a presión constante
&=Cp − Cv
Cambio de estado politrópico reversible de gases ideales* Polítropo* cambio de estado reversible )ue transcurre cuasi estáticamente y satisface C-Cte 2erivación del Polítropo Por la 1 Ley para el cambio de estado reversible de un sistema cerrado de un gas ideal dice* d =CvdT + %dV ( J / kg )
(I)
2e la definición de color específico* C =
d ⇒ d= cdT ( J / kg ) dt
(II)
6eempla%ando 77 en 7 CdT =CvdT + %dV
CdT −CvdT = %dV ⇒ %dV =( C −Cv ) dT
(α)
#i tenemos %v = &T ⟹ d ( %v )= d ( &T )
%dv + vd%= &dT ⟹ dT =
%dv + vd% &
(β)
Sustituimos ' en ( . %dV = ( C −Cv ) !
( %dv + vd% ) &
( %dV + Vd% ) Cp −Cv
Como &=Cp −Cv ⟹ %dv =( C !Cv )
%dV =
C −Cu C −Cu %dv + vd% Cp −Cu Cp−Cu
%dV −
C −Cu C −Cv %dv = vd% Cp −Cu Cp −Cu
(
1−
)
C −Cv C −Cv %dv = Cd% Cp−Cv Cp−Cv
(
Cp−Cv −C + Cv C −Cv %dv = vd% Cp− Cv Cp−Cv
)
(
Cp−C Cp −C %dV = vd% Cp−Cv Cp − Cv
(
Cp−C dv dp = Cp−Cv v %
)
(
)
)
(
)
− C −Cp dv = d% c −Cu v %
n=
llamamos*
C −Cp dv dp = ⇒−n C −Cu v p
7ntegramos*
−n∫
dv = v
∫ dp p
−n! ln v + c ! = )m% + c )n% + n)nv =C ! ⟹ % v
n
=C
Expresión del politropo
% v
n ⇒ Exp#nente %#"itr#pic#
n
=C
Para conocer la relación )ue e(iste entre las variables de estado en los puntos inicial y final podremos aplicar la siguiente relación*
T 2 T 1
n− 1 n
n−1
( ) ()
=
%2 %1
=
v1 v2
Estas relaciones se denominan ecuación de Poisson El calor especifico constante para este cambio es igual a* C =
nC v −C p n− 1
( ) J 0 kg C
El calor específico suministrado ) >' $g? en el caso de un politropo reversible C =
d ⇒ d= CdT dt
2
∫
1−2= CdT =C ( T 2− T 1 ) ( 1
J ) kg
Con la fórmula matemática de la 1; ley fundamental para sistemas cerrados*
1−2=
( ) J kg
k −n Wv 1− 2 k −1
El trabao específico de cambio de volumen
W 1
en el caso de un politropo
reversible 2
∫
Wv 1− 2= % dv
Tenemos que
1
Tenemos P en función de v*
n
n
n
n
n
−n
❑ −n
%v =c!→%v = %1 V 1= %2 V 2=C → %= %1 V 1 * = % 2 V 2 *
2
2
∫
∫
1
1
n
−n
Wv1− 2= %dv = %1 V 1 * d*
Wv1− 2=
1 1−n
( % * − % * ) 2
2
1
1
J kg
5sando la Ecuación de Poisson*
Wv1− 2=
1 1−n
[ ] 1−
T 2 T 1
[ ( )]
% 1 * 2 % 2 1− Wv1− 2= n−1 % 1
n− 1 n
[ ()]
% 1 * 1 *2 1− Wv1− 2= n− 1 *1
n −1
J kg
J kg
J kg
Eemplo :1* En un cilindro con un pistón movible se encuentra 1 $g de gas ideal a una presión de B bar y una temperatura de 1D;C el gas se e(pande politropicamente y reversiblemente a una presión de 1 bar y una temperatura de ;C, los datos físicos del gas son* 3
Cp=10
J #
kg C
+ C * = 73
J
J = & 287 # # kg C kg C
Calcular:
a El e(ponente politropico
( ) 3
m kg
b Los vol0menes antes y despu"s c El trabao de cambio de volumen 1− 2 d El calor e El cambio de energía interna f =raficar el proceso
2esarrollo* #e tiene*
( ) % 1
n− 1 n
% 2
( 5)
n− 1 n
=
T 1 T 2
=1,46
⇒
⇒
() 5 1
n− 1 n
+ = 180 273 = 453 =1,46 39 + 273 312
n− 1 log5= log1,46 n
− n−1 ( 0,989 )=( 0,1614 ) ⇒ n 1 = 0,1614 n n 0,6989 n−1 =0,23 ⇒ n −1=0.23 n n
n − 0,23 n=1 ⇒ 0,77 n =1 ⇒ n=
1 0,77
n = 1,3
b?+
% 1 * 1= & T 1 ⟹ *1=
&T 1 %1
&T 2
% 2 * 2= & T 2 ⟹ *2 =
%2
=
=
( 287) ( 453 ) 5 x 10
5
( 287) ( 312 ) 5
10
3
=9,26 m kg 3
m =0,9 kg
c?
Wv 1−2=
1
1 ( 0,9 x 10 −0,26 x 5 x 10 ) % * − % * )= ( i −n 1−1,3 5
2
2
1
1
5
10 ( 0,9 −0,26 x 5 )=133 x 103 J Wv1−2= kg 1−1,3
d?
Tenemos )ue* 2
∫
1− 2= CdT =C ( T 2 −T 1 ) 1
Fallamos C C =
nCv−Cp ( 1,3 ) ( 713 )− 1000 = n −1 1,3−1
C =
926,9−1000 1,3−1
( ) J
=!"#$%&
#
kg C
1−2=−( 243,67 )( 312−453 )
3
1−2= 348 x 10
e?
( ) J kg
1−2= U 1−2+ Wv 1−2 ⟹ U 1− 2=1−2−Wv 1−2
U 1− 2=348 x 10 −133 x 10 =( 348 −133 ) x 10 3
3
U 1− 2=215 x 10
3
J kg
3
5
Eemplo :; / El dispositivo cilindro pistón mostrado contiene D,B $gr inicialmente a 1 bar y /G;C en la posición mostrada el pistón se encuentra apoyado en los topes inferiores y el resorteH )ue se encuentra en su posición natural, no eerce presión sobre el pistón Asumiendo )ue los procesos son cuasi estático y )ue el proceso finali%a cuando la presión del nitrógeno es de B bar, se pide determinar el trabao total en $g y graficar los procesos en el diagrama P+< J
&=297
J
#
kg k +Cp =1041
#
kg k + k =1,4
=200 - / m
>constante del resorte?
. pist#n= 0,5 m ²
>area del pistón?
m=0,5 kg
W pist#n =25 -
>peso pistón?
%0=100 k%a
T 1 =27
;c - /G . /G - DD ;I
%1=100 k%a
#olución
Tenemos )ue*
V 1=0,4455 m
%2 ⇒
%1 V 1= m& T 1 ⟹ v 1=
m& T 1 %1
=
( 0,5 ) ( 247) ( 300 )
3
Presión necesaria para vencer el pistón
%2= %at +
%3= %2 +
W pist#n . pist#n
=100 + 25 =150 k%a 0,5
∆ / 200 x 0.6 =150 + . pist#n 0,5
%3=390 %asca" %4 =500 %a
5
10
V 4 =V 1+ 0,6 x 0,5 =0,4455 + , 3= 0,7451 m
3
W v
Calculo de
Wv1− 4 =W 12+ W 23+ W 34= Wv23
W 12=0
H
W 34
-D
3
∫
Wv23= %dv = (rea ( % − v ) 2
W 23= ( v 4 −v 1 ) %2=
( V −V )( % − % ) 4
1
3
2
2
W 23= ( 0,745 −0,4455 ) ! 150 +
( 0,7451− 0,4455 ) ! ( 390−150 )
W 23= 44,94 + ( 0,2996 ) ( 120) W 23= 80,9 J W v = 80,9 J
Algunos politropos importantes
2
a.
V = Cte +C =Cv
El isocoro
Para el e(ponente politropico n = lim ¿ c→Cv
n
C − Cp =+ 0 C − Cv
2
∫
Wv1− 2=0 =u1−2= CvdT =Cv ( T 2−T 1) 1
u1−2= Cv ( T 2 −T 1 )
J kg
2
∫
1−2= CvdT =Cv ( T 2 −T 1 ) 1
1−2= Cv ( T 2−T 1)
J kg
1−2= U 1− 2
b?
El 7sobaro
%=Cte ⇒ C =Cp
n=
C −Cp =0 ⇒ n =0 C −Cv
2
∫
W 1− 2= %dv = %
2
∫ dv = % ( v −v )
1
1
2
1
1
W v
u1−2= Cv ( T 2 −T 1 )
-
12
J kg
2
∫
1−2= CpdT =Cp ( T 2− T 1) 1
1−2= Cp( T 2−T 1)
%1
>
J kg
J kg
c?
El 7sotermo dT =0 + n =1
En este caso %V =C
Cambio de energía interna
d U =0
d =du + dWv ⇒ d =dWv
Como
2
∫
%dv =¿
1
2
&T dv ! dv = &T v 1 v
∫
2
∫
d = ¿ 1
%v = &T ⇒ %=
&T v
1− 2= &T ln
v2 v1
J kg
d?
El adiabato
En este caso ri'e Como
d =0
d =cdT ⇒ 0= cdT c#m# dT 1 0
⟹
C = 0
n=
C −Cp Cp = = ⇒ n= C −Cv Cv
La Ecuación de Poison para este caso* % v
k
=C .
Cambio de Energía 7nterna* U 1−2= Cv
( T 2−T 1 )
J kg
Trabao de cambio de volumen* W 1− 2=
1
( %2 V 2− %1 V 1)
1−k
C(r+a' P!lir!,i$a'
J kg
El e'(di! de la /ra0 Ley -("dame"al ,ara (" 'i'ema me$#"i$! $errad! y re+er'i)le %e"eral0 #e tiene el siguiente sistema*
Podemos distinguir / sistemas* 1 #istema del Portador de Energía indicado por la frontera del sistema >7? / El sistema cerrado del aparato interno, indicado por la frontera del sistema >/? Para este aparato se puede deducir las siguientes e(presiones de energía* 1 La e(presión de energía para el portador de energía / La e(presión de energía para el aparato entero La e(presión de la transferencia de energía
J
La e1,re'i2" de e"er%&a ,ara (" ,!rad!r de e"er%&a Estudiamos el sistema determinado por la frontera >1? al aKadir una cantidad de calor d, la energía interna varia con d5, como el sistema varia consiestaticamente, el trabao de cambio de volumen es igual a Pdv Por lo tanto La e(presión de energía para el portador*
dQ= dU + d 2 v =dU + %dV
(J) 2
(J)
∫
Q 1−2=( U 2−U 1 )+ %dV 1
E(presión de energía para el sistema entero #e utili%a el sistema >/? d =dU + dW %er# dW = %#dv + d W t d =dU + %#dv + d 2t
(J)
E1,re'i2" de la ra"'-ere"$ia de e"er%&a
Por e(presión de la transferencia de energía se entiende la e(presión de energía )ue indica la relación entre el trabao t"cnico y el cambio de energía del portador de energía Esta relación se obtiene sustituyendo la e(presión de energía del portador de energía en la e(presión de todo el sistema dW t = %dv − %#dv
(J) (J
(
(J)
Si'ema' a)ier!' #e denomina sistemas abiertos a)uellos donde se tiene
intercambio de
energía eemplo de masa con el medio ambiente y el sistema Eemplo de estos son compresores ,turbinas,bombas,etc
A,li$a$i2" de la /ra0 Ley 3("dame"al a (" 'i'ema 4$"i$! a)ier! e'a$i!"ari! re+er'i)le #e tiene el siguiente sistema*
#e tiene )ue la 1ra Ley aplicada a un sistema abierto dice*
Es = Es
Es1
Es2
+ ∆ Es
energía suministrada al sistema por unidad de tiempo
energía MM del sistema ( unidad de tiempo
∆ Es
cambio de energía en el sistema
∆ Es =0
Como el sistema es estacionario Energía suministrado al sistema (
-
Energía evacuada del sistema (
unidad de tiempo
unidad de tiempo
1+
La Energía suministrada por unidad de tiempo
a.
Calor
b+
La masa
Q 1 −2
m1
, )ue entra al sistema Posee energía potencial, energía
(
cin"tica y energía interna*
c+
1 2
2
m´ 1 u1 + c 1+ g 3 1
el trabao de despla%amiento reali%ado por m1
) %1
Para introducir la masa
en el sistema*
W f = %1 V ´ 1 =¿ 1
m´ 1
( % * ) 1
1
() J s
/+
La Energía evacuada por unidad de tiempo
a+
La masa
m2
)ue sale en la sección / posee energía interna, energía
potencial y energía cin"tica con respecto a un determinado nivel de referencia
(
m´ 2
b+
1 2
2
u2 + C 2 + g 3 2
)
() J s
El trabao de despla%amiento reali%ado por la presión
%2
la masa del sistema V 2=¿ m´ 2 ( % 2 v2 )
() J s
´ f 2= %2 ´¿ W
c+
La potencia t"rmica )ue entrega el sistema*
() J s
´ t 1−2 W
Como
(
´ 1=m´ 2=m´ m
)
1 2 u1 + C 1 + g3 1+ % 1 v1 =¿ 2
¿ ´ m + ´m ¿ ´¿ Q
´ Q 1− 2
[
´ W t 1−2
]
¿ ´m ( u2−u 1) + 1 ( C 22 −C 21 ) + g ( 3 2− 3 1 ) +( %2 v 2− %1 v 1 ) + W´ t 1−2 2
para e(traer
( u −u ) + ( % v − % 2
1
2
2
1
v1 )+
1 2 2 C 2−C 1 2
(
)+ g ( 3 − 3 ) +¿ 2
1
¿ ´ + W t 1−2 ¿ ´m ¿ ´¿ Q
( u2−u 1) + ( %2 v 2− %1 v 1 )
Como u,%,v
son la variación de las magnitudes de estado
, estos se pueden reempla%ar por una sola magnitud de estado
llamado Entalpia 4
>'? o entalpía específica* (J*+'.)
∴
( u −u ) + ( p 2
1
2
v 2− p1 v 1 )=5 2− 51 6 d5 =d u + dpv
@ - u . pv
J*+'.
Para un sistema abierto estacionario*
(J*s)
1 2 2 ´ ¿ ( 52− 51 ) + C 2−C 1 2 1 −2
(
)+ g ( 3 2− 3 1 ) +W´ t 1−2
>'Ig?
1
( u2−u ) + 2 (C 22−C 21 ) + g ( 3 2− 3 1 ) +¿
La E$(a$i2" de E"er%&a ,ara ("a ma'a ("iaria de (" ,!rad!r de e"er%&a 5(e $ir$(la ,!r (" 'i'ema a)ier!
Para el portador de energía de acuerdo a la 1ra Ley fundamental para un proceso reversible, seg0n la e(presión* d =du + %dv
6
2
2
∫
∫ dv
du +¿ %dv =( v 2−v ) + 1
1
⟶
J kg
2
∫
1− 2= ¿ 1
Como la entalpia es una magnitud de estado podemos escribir* 2
2
∫ vdp ( kgJ )
∫
du + pdv +¿ 1
1 2
∫¿
d5 =¿
1 2
( 5 − 5 )=∫ ¿ 2
1
1
1− 2
2
( 5 −5 )= − +∫ vdp 2
1
1 2
1
2
∫ vdp
1−2= ( 52− 5 1 )−
1
>'Ig?
>'I g?
d =d5 − vdp
La e1,re'i2" de la ra"'-ere"$ia de e"er%&a ,ara (" 'i'ema a)ier! e'a$i!"ari! re+er'i)le La e(presión de la transferencia de energía, )ue solamente es válida si el proceso es reversible y )ue indica la relación entre el trabao t"cnico y los cambios de energía del portador de energía en el sistema 2 −¿ e p 1 e p¿
¿
vd% −
1 2 2 C 2−C 1) −¿ ( 2 2
∫
Wt 1−2=− ¿ 1
#e tiene )ue* 2
−∫ vd% c#m#% v n=c
% v
⟹
n
= %1 v n1
1
1 /n
%1 v 1
v=
%
1/ n
= % 11 /n v 1 %−1 /n
%2 v 2−¿ % 1 v 1 n 1/ n ¿ % d% = 1−n 2
)
2
−∫ % v 1 % dp=− % v 1∫ ¿ 1 /n 1
1 /n 1
1
1
v d% =
n 1 −n
( %2 v 2−¿ %1 v 1)= nWv 1−2
Ora -!rma de e1,re'i2" la e"al,ia #e tiene )ue* d =d5 − vd% ⟹ d5 = d + vd%
,ero
d =Cpdt − vd%
6eempla%ando* d@-
c p
dT N vdp . vdp
d5 =Cpdt
>'Ig?
El dia%rama de Sa(6ey ! de E"er%&a El diagrama de #an$ey es una manera de e(presar mediante bandas los diferentes corrientes de energía )ue cru%an al sistema #e tiene como eemplo una turbina adiabática*
Eemplo : 5n compresor centrifugo, refrigerado por agua comprime, de modo estacionario y reversible, / ms de aire ambiente, con una presión de 1 bar y a una temperatura de /D;C en el lado de la salida se mide una temperatura de 1; con una presión de B bar El diámetro del tubo de salida es igual a 1/B mm Los diámetros de los tubos de entrada y salida están construidos de modo )ue las
velocidades de entrada y de saluda son iguales Las variables de la energía potencial puedan despreciarse La potencia t"cnica asciende a N JDD O se pide )ue* a #e calcule la evacuación del calor por el agua de refrigeración b La masa específica $gs c Las ecuaciones de estado en la entrada y la salida #olución
#e tiene )ue con la Ecuación general de energía*
´ Q 1−2
{
¿ ´m ( 52−51 ) +
´ ¿ ´m ( 52 −51 ) Q 1−2
{
1 2 2 ( c −c ) 2 2 1
}+W ´ t −
1 2
}+ ´
W t 1−2
´ ¿ ´mCp ( t 2−t 1 ) + ´ Q W t 1− 2 1−2 ´ 1 =m ´ ⟹ %1 V ´ T 1 m
-allamos
´ m
=
% 1 ´V
5
x = 10 2 =2,38 kg / s & T 1 287 x 293 1
¿ 10 - / m ² %1=1 ¯ 5
T 1 =20 7 C =20 + 273 =293 7 T 2 =183 7 C = 183 + 273 =456
/+
¿ 5 x 10 - / m ² %2=5 ¯ 5
3
C 1 =2 m / s
6 - /G 'IgC C p
- 1DDJ 'IgC
´ 1−2¿ ( 2,38 ) ( 1004 ) ( 456− 293) −400000 Q ´ 1−2¿ 389 491.76 −400000 Q ´ 1 −2 Q - +1D BD,/J Oatts ´ 1 −2 Q = 01$20 +3 ´ 2= & m´ T 2 = 287 x 2.38 x 456 ´ & T 2 ⟹ V V´ 2 %2 =m 5 %2 5 x 10 ´2 V - D,Q/
m
3
s
Coeficiente Politropico
( )
T 2 %2 = T 1 %1
( 5)
n− 1 n
n− 1 n
=1,56
()
456 = 5 ⇒ 293 1
⇒
n−1 n
n− 1 log5= log1.56 n
n−1 ( 0,69897 )=0,193 n n−1 0,193 = =0,276 0,69897 n
n − 1=0,276 n ⇒ n −0,2764 =1
0,74 n =1
n=
1 =1,38 0,724
n = 1,38
Problema :; J En el es)uema se muestra un intercambiador de calor adiabático e ideal #i se conoce )ue los procesos son cuasi estáticos, reversibles y )ue la turbina es adiabática Fallar* a b c d e
La masa del @elio )ue circula en $gs El calor transferido del @elio al aire La masa de aire )ue circula en $gs La temperatura a lo sólido de la turbina La potencia entregado por la turbina en $R
4ire
-elio
Cp=1,004
kg 7 kg
Cp=5,1926
kg # k kg
Cv =0.717
kg # k kg
Cv =3,1156
kg # k kg
kg # k kg
Cv =0.717
4ire Cp=1,004
&=Cp −Cv =1,004− 0,717=0,287
&a= 287
J # k kg
kg # k kg
kg # k kg
-elio & 4 =Cp 4 −Cv 4 = 5,1926−3,1156= 2,022
& 4 =2022
8 # k kg
Como: % v ´= 1 1 %1 v 1= ´ m & 4 T 1 ⇒ m & 4 T 1
#
T 1 =325 + 273=598 k
¿ 7 x 10 %1=7 ¯
5
- m²
v´ = C 1 . 1=( 150 ) ( 0,15 )=22,5 m / s 3
5 ( 7 x 10 ) ( 22,5 ) ´= =12,68 kg / s m
( 2022 ) ( 598 )
5)
´
´ 1−2 ¿ ´mCp ( T 2−T 1) Q ´ 1−2=( 12,68 ) (5,1926 ) ( 125 −325 ) Q ´ 1−2=−13168 8 / s Q
Como*
kg # k kg
´ 1−2=−Q ´ 3−4 ⟹ Q´ 3−4 =− ´Q1−2 Q ´ 3−4 =13168 k8 / s Q Como:
´ 3− 4 = m ´ a C pa ( T 4 −T 3 ) Q
´ a= m
´ 3−4 Q C % a ( T 4−T 3 )
=
13168
(1,004 ) ( 300 −27 ) = "6$1" 7'*s
d) t 5 =9
k =
Cp 1,004 = =1,4 Cv 0,717
t 5
( )
t 4
=
−1 &
%5
% 4
⇒
T 5= T 4
T 4=300 + 273 =573
() 1 8
T 5 =573
1,4 −1 1,4
− 1
( ) % 5 % 4
8+
=573 ( 0,125 )
T 5 =573 x 0,5447 =313,52
0,29
8+
e)
[
´ 4−5¿ ´m ( 55−5 4 ) + ∆ Ec 4−5 + ∆ Ep 4−5 Q ´ 4− 5 : = ´ m ( 55− 54 ) + Wt
´ − ] +Wt
4 5
Como:
55− 54 =Cp ( T 5−T 4 )
´ 4− 5 : = ´ m Cp ( t 5−t 4 ) + Wt
´ 4− 5 Wt
=
´ 4− 5 Wt
= ("6$1") (0$11") (2&# 9 #0#.2!)
´ 4− 5 Wt
= 0!$202$!6 7
´ ( t 5−t 4 ) mCp
Procesos cíclicos 2efinición* Todo proceso el )ue el sistema recobra de nuevo su estado inicial de e)uilibrio, se llama proceso cíclico Los procesos cíclicos pueden reali%arse con un sistema cerrado o con algunos sistemas abiertos en serie a+
5n proceso cíclico reversible con un sistema cerrado Para ello consideremos un proceso con n cambios de estados @asta )ue
el sistema recobra su estado inicial de e)uilibrio Aplicamos la ley a los
n
cambios de Estado reversibles del portador de
energía 2
∫
2
∫ V d%
1−2 : Q 1− 2=( U 2− U 1 )+ %dv = ( 4 2− 4 1 )− 1
1
3
3
∫
∫ V d%
2−3 : Q 2− 3=( U 3−U 2 ) + %dv =( 4 3− 4 2 ) − 2
⋮
⋮
2
⋮
1
2
∫
∫
n
1
n − 1: Q n− 1=( U 1−U 2 ) + %dv =( 4 1− 4 n ) − V d%
%dv =¿ 1
%dv + ; +¿
∫¿ n
Q 1 −2
3
∫¿
%dv +¿
2 2
∫
Q2−3+ Q3−4 + ; + : Qn −1 = ¿ 1
∑ Q =∑ Wv 8k
=∮ %dv =−∮ vd%
8 ! k
#i un sistema cerrado e(perimenta un proceso cíclico reversible La suma de la energía t"cnica a privada es igual al trabao de cambio de volumen En el diagrama de P, < este trabao es representado por la superficie encerrada de los n cambios de Estado
Para un proceso cíclico reversible en un sistema cerrado el trabao de cambio de volumen será igual al trabao t"cnico, por lo tanto*
∑ Q =∑ Wv 8k
b?+
=∑ Wt 8! k =∮ %dv =−∮ vd%
(J)
8 ! k
5n Proceso Cíclico reversible formado por sistemas abiertos Para los procesos ciclos formados por sistemas abiertos rigen las
mismas e(presiones de energía )ue para un proceso cíclico con un sistema cerrado, puesto los sistemas abiertos están acoplados en serie, de modo )ue se obtiene un sistema cerrado del portador de energía 5saremos el es)uema de una central convencional deducimos la e(presión de energía del Portador de Energía, escribiendo y sumando las e(presiones de energía de todos los sistemas abiertos
2
∫
Ca"dera 1−2 : 1−2 =( u2−u1 ) + %dv =( 52−51 ) − 0 1
2
(Iso5aro)
3
∫
∫
1
2
Tur
(4dia5;tico)
4
∫
C#ndensad#r 3 −4 : 3− 4 =( u 4−u3 ) + %dv =( 54− 53 )− 0 3
(Iso5aro)
4
∫
=#m
1− 2 + 3− 4
=
∮ %dv =−∮ vd%
(J*+'.)
#i el proceso cíclico está formado por n sistemas reversibles*
∑ Q =∑ Wv 8
=∮ %dv =−∮ vd%
8 !k
>'Ig?
En resumen, rige como las e(presiones de energía para un proceso cíclico reversible formado por sistemas abiertos > 8k = >Wv 8k = > 8k
=
∮ %dv =−∮ vdp ( g8 ! )
7mportancia de los procesos cíclicos La aplicación de procesos cíclicos en la transformación de color en trabao t"cnico es importante por las siguientes ra%ones* 1 Con los procesos cíclicos se tiene la posibilidad de transformar continuamente calor en trabao t"cnico puesto )ue el ciclo puede repetirse continuamente
/ Con los procesos cíclicos se tiene la posibilidad de transformar color en trabao t"cnico, si )ue tenga )ue utili%ar una parte de calor para el cambio de entalpia, la energía cin"tica )ue potencia
Clasificación de los procesos cíclicos a Procesos cíclicos positivos b Procesos cíclicos negativos
a Procesos cíclicos positivos y el rendimiento t"rmica En el caso de un proceso cíclico positivo reversible una cantidad de calor Q 1−2 ,
suministrado
desde un recipiente de energía con una alta
temperatura, se transforma en trabao de cambio de volumen y parcialmente en trabao El resto del calor temperatura
Q 2− 1
se evacua @acia un recipiente de energía con baa
En el diagrama de
% 1 v 1
resuelta en una superficie positiva y los cambios de
estado siguen el sentido de las aguas de un relo #e aplica un proceso cíclico positivo para obtener trabao por transformaciones de calor se tiene )ue rendimiento*
¿ nt =
tra
Podemos escribir* @ Wv 8k Q12+ Q21 Q = =1 + 21 ?t = Q12 Q12 Q 12
?t =1−
|Q21|
Pr!$e'!' $&$li$!' "e%ai+!' re+er'i)le' y la ,r!d($$i2" de -r&! En un proceso cíclico negativo reversible, la superficie p,v resultante es negativa, esto significa )ue se @an suministrado trabao t"cnico - trabao de cambio de volumen, al sistema Este trabao es necesario para satisfacer una cantidad de calor
Q 1−2
a un recipiente de energía con baa temperatura y
transferir a otro de alta temperatura
En el caso, el color total evacuado @acia el recipiente de energía con alta temperatura, se tiene )ue* Q 2−1=W v −Q 1−2( J )
Esto significa )ue los valores absolutos son*
|Q21|=|W v|
|Q1−2|( J )
W v
es una cantidad negativa de trabao
Los procesos cíclicos negativos se aplican muc@o como procesos de frío en la t"cnica criog"nica El rendimiento t"rmica* n
tn = C:%=
tn =¿
ca"#r sustraid# a" espaci# fr $ # va"#r a
Q12
Q 1−2
=
|W t | |Q|−|Q1−2| n¿
Eemplo S Q #e tiene m - 1,B $g de Fe, en un cilindro )ue se despla%a son ro%amiento, siguiendo el siguiente ciclo 1+/
Compresión adiabática
/+
E(pansión isot"rmica
+1
Proceso isobárica
#e conoce
%1=0,1 B%a ,T =25
;C, despu"s de la compresión se tiene J del
volumen inicial, se pide* a El diagrama P+< b Fallar P,<,T para todos los estados
#olución*
Felio >Fe? - 6 - /,DGGD $ $g ;$ I - 1,QQG %1 V 1= m& T 1
V 1=
V 1=
m& T 1 %1
( 1,5 ) ( 2077,03 )( 248) 10
V 1=9,28 m
5
3
T 1 =25 + 273=298
5
87 5
%1=0,1 B%a=10 %a=10 - / m ²
#e tiene )ue* 3 4
V 2= V 1
V 2=
3 ( 9,28 ) m3 4
V 2=6,96 m
3
T ( k )
% ( %a) 5
1
10
/
5
1,12 x 10 5
10
Fallamos la presión* , −1 ,
, − 1
( ) ( ) % 2 % 1
%2= %1
V = 1 V 2
( ) ( ) V 1
=10
V 2
5
2=¿ 10 ( 1,33 )
0,4
5
9,28 6,96
1,4− 1
=1,12 x 105
%¿
-allamos la temperatura: , − 1
( )
T 2 v 1 = T 1 V 2
()
4 T 2 =298 3
0,4
%2 V 2 % 3 V 3 T 2
=
T 3
, − 1
( )
v 1 ⟹ T = T 2 1 V 2
=334,34 /+
%2 V 2= % 3 V 3
⟹
3
v (m
/
,/
J,
Q,Q
J,
G,GB
)
5
%1= %3=10 - / m <
V 3=
( 1,12 x 105 ) ( 6,96 ) 10
V 3=7,795 m
5
3
Problema G #e tiene un ciclo positivo reversible de generación de potencias, utili%ando como portador de energía gas @elio tal como indica el es)uema t"cnico de la figura si el calor )ue ingresa por la caldera es de /DD $R y se tiene los siguientes datos de presión y temperaturas*
C p =5,1926
k8 kg 87
C v =3,1156
k8 kg 87
P>bar? 1 1D 1D 1
1 / J
#e pide* a b c d e f g @ i
El diagram P+< La masa específica del @elio Coeficiente politropico de 1 a / Calor específico 1+/ Calor de 1+/ Trabao t"cnico de 1 a / Coeficiente politropico de a J Calor a J Trabao t"cnico de a J
T>;I? / DD 1DD JGQ,1/
6endimiento del ciclo $
´ 2−3=200 k2 =200 Q
a).
k8 = 200000 J / s s
5).
´ 5 e= m
´ 23=m´ 5 e Cp5 e ( T 3−T 2 ) Q
´ 5 e= m
Cp5 e ( T 3−T 2)
200000
( 5,1926 )( 1300−800)
´ 5 e =0,0770327 m
c).
⟹
´ 23 Q
kg s
4plicación ,oisson 0! T 2 T 1
( )
=
%2
n− 1 n
%1
2,73=( 10 )
0,44 =
( )
800 = 10 ⇒ 293 1
n−1 n
⇒
log 2,73=
n− 1 n
n −1 log 10 n
n− 1 ⇒ 0,44 n =n−1 n
n =0,44 n =1 ⇒ 0,56 n=1
n=
1 =1,77 0,56
n =1,77
d).
n=
C − Cp ⇒ n (C − Cv ) = C − Cp C − Cv
nc −nCu = C − Cp ⇒ nc −c =nCu−Cp
c ( n−1 )= nCu−Cp
c=
5,526−5,1926 0,77
C =0,4311
+J*+'. /+
´ 1−2= ´m c ( t 2−t 1 )=( 0,077032 ) ( 0,4311) ( 800 −293 ) Q
e).
´ 1−2=16,84 Q
k8 s
´ 1−2= ´m 4e ( 52− 51)+ Wt ´ 12 Q
).
−1−2¿ m´ 4e ( 52−5 1) ´ t 1−2= ´Q ¿ W T
,ara
¿ ¿ ) 52− 51=Cp ¿
´ t 1−2=16,84 −( 0,077032 ) ( 5,192 ) ( 800− 293) W ´ t 1−2=16,84 −202,80 W ´ t 1−2=−185,96 kW W g? #e tiene T 3 T 4
=
( ) %3
% 4
n− 1 n
1300 = (10 ) 476,12
n−1 n
2,73=( 10 )
0,4362 =
n−1 n
log 2,73=
n −1 log10 n
n −1 n
n3−4 =1,7737
).
´ 3−4 = B ´ 4e C ( T 4 −T 3 ) Q ´ 3−4 =( 0,077032 ) ( 0,4311 ) ( 476,12−1300 ) Q Q ´3−4 = 27,36 2
i
´ 3−4 = B ´ 4e ( 5 4− 53 ) + ´ Q W t 34 ´ t 34 = ´Q3−4− B ´ 4e ( 5 4−5 3 ) W ´ t 3 −4=27,36 −( 0,077032 ) ( 5,1926 ) ( 476,12−1300 ) W ´ t 34 =27,36 + 329,55 W ´ t 34 =356,9 2 W
?t
?
t =
=
Tra
−185,6 + 356,9 200
?t =0,8565
´
=
´ t W
´
´ t 12 + W
23
Q 23
&=C % −C v =5,1926 −3,1156=2,077
J g !7
& T 1 m ( 207,7 ) ( 293 ) ( 0,077 ) = %1 V 1= & T 1 m V 1= 5 % 1 10
V 1=0,0469 m
V 2=
&T 2 m % 2
=
3
( 207,7 ) ( 800 ) ( 0,077 ) 6
10
V 2=0,01279 m
V 3=
&T 3 m % 3
=
V 3=0,0208 m
3
( 207,7 ) ( 1300 ) ( 0,077 ) 10
6
3
&T 4 m ( 207,7 ) ( 476,12 ) ( 0,077 ) = V 4 = 5 %4 10
3
V 4 =0,0762 m
Pre%("a' de a(!e+al(a$i2" 1+ 5n sistema cerrado reali%a un ciclo )ue consiste en dos procesos 2urante el primer proceso se transfiere JD I' de calor al sistema y se reali%a D I' de trabao sobre el entorno 2urante el segundo proceso se reali%an JB I' de trabao sobre el sistema Encuentre el calor transferido durante el segundo proceso /+ 5n Ig de fluido a una presión de /BD Ipa se comprime de un volumen de D,
m
3
a D,/
m
3
dentro de un conunto cilindro pistón Calcule el trabao
reali%ado por el fluido
