EJERCI RCICIO CIO Y SOLUCIÓN PL PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
Enunciado: Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae ajo la in!luencia de la gravedad y de la resistencia del aire" #upo #upong ngam amos os que que la resi resist sten enci cia a del aire aire es proporcion proporcional al a la velocidad velocidad del paracaidis paracaidista ta en cada instante, con constante de proporcionalidad $0 %"s&m con el paraca'das cerrado, y 0 %"s&m con el paraca'das aierto" #i el paraca'das se are a los die segundos del lanamiento, *allar el instante apro+imado en el que el paracaidista lleg llega a al piso piso"" -u. -u.ll es su velo veloci cida dad d en ese inst instan ante te/ / (-on (-onsi side dere re la grav graved edad ad como como
g=10
m seg
)
2
#olución : or la segunda nda %eton
ey
de
ma= F neta
m
dv = mg + kv dt
Es
decir,
dv k − v = g dt m 3l resolver esta ecuación lineal, tenemos 4act 4actor or
∫ mk dt mk t e =e
inte integr gran ante te,,
5ultip 5ultipli lican cando do esta esta ecuaci ecuación ón di!ere di!erenci ncial al por el !actor integrante, tenemos
e
(
k t m
dv k + v dt m
6ue equivale a 7ntegrando
)=
(
m
ge
t d e k v dt
respecto
k t m
)
=
a
ge
m t k
t,
tenemos
e
k t m
k
t m v = g e m + C k
−k t
mg v= +C e m k
3plicando las condiciones iniciales, *aciendo
v ( 0 ) =v 0 , v0 =
mg mg + C C = v 0− k k
Entonces la ecuación de la velocidad en cualquier t
(
− k t
)
mg mg m v ( t )= e + v0 − k k
v ( t )=
8eniendo en cuenta que
x ( 0 )= x 0
*aciendo
dx dt ,
y
, se llega a que
(
−k
)
dx mg mg m t e = + v 0− dt k k 7ntegrando respecto a t −k
−k
2
mg m m t m g m t x = − e + 2 e + C k k k Entonces,
x 0=
−m k
v0 e
−k t m
−k t
2
+
m g 2
k
m C = x 0+ v 0 e k
em
+ C
−k t m
2
−
m g 2
k
−k t
em
9e donde, −k t
mg m x ( t )= t − v 0 e m k k
2
+
(
m g 2
k
−k t
em
)
+ x 0 + −k
m v e k 0
mg m mg m t m x ( t )= t − v 0− e + x0 + k k k k eagrupando,
(
) (
(
−k
)
t mg m mg m x ( t )= t + v0− + x 0 1 −e k k k
-onsiderando
la
gravedad
como
m
g=10
seg
y la tapa inicial en la que el
2
paraca'das
est.
cerrado,
x 0=0 , v 0 =0 y k =30 Ns / m v ( t )=
100
x ( t )=
100
3
3
−
100
t +
3
,
−3 t
e 10 y 3
−
1000
10
e
9
t
t =10
uego a los die segundos,
v ( 10 ) ≈ 31.6737
donde
m s
; la distancia recorrida por el paracaidista durante los primeros die segundos ser. apro+imadamente x ( t )=227,7541 m ara la segunda etapa, e s decir, cuando el paraca'das est. aierto, se toma como instante
t =0 aquel en el que el paraca'das se are y
k =90
N . s m , con lo que se tiene
x ( 0 )=227,7541 m y v ( 0 )=31.6737
Entonces,
x ( t )=
100 9
v ( t )=
9
9
−9 t
+ 20,5626 e 10 y −
t −22,8473 e
Entonces, como
100
100
m s
9
10
t +
250,6014
x ( t )= 2000 tenemos, 9
−
t −22,8473 e
10
t +
250,6014=2000
−9 t
Es decir, que En
la
t =2,0563 e 10
anterior
ecuación
+ 157,4459 el
t
−9 t
2,0563 e 10
se desprecia para valores de
tiempo relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor tiende a cero, entonces,
t =157,4459 seg " 9e aqu' se deduce que el paracaidista tarda apro+imadamente, 10 seg + 157,4459 seg =167,4459 seg en llegar al suelo desde que se arrojó del avión" a velocidad de
100 Km apro+imadamente
9
seg
= 11,11
Km seg
