[Schaum - George E.mase] Mecanica Del Medio Continuo

SERIE DE COMPENDIOS

TEORIA

SCHAUM

PROBLEMAS

y

DE

MECANICA DEL MEDIO CONTINUO

GEORGE E. MASE, Pb. D. Professor Michigan

of Mechanics State

TRADUCCiÓN

CARLOS

University

Y ADAPTACiÓN

NUÑEZ AL V AREZ

Prof. Agregado de Metalurgia (Metalurgia Mecánica) Universidad Complutense de Madrid

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LIBROS McGRAW-HILL

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MECANICA DEL MEDIOCONTII\!UO

MECANiCA

DEL MEDiO

CONTINUO

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin au tor iz ación escrita del editor. DERECHOS

Copvr iqht I

RESERVADOS

©

1977, respecto a a edición en español por ISf'¡OS iVicGRAIN-HILL DE IV!EXICO. S A. de C. V. Attacornulco 499- 501, Naucalpan de Juárez, Eco de México Miembro de la Cámara Naciona! de la Ind. Editorial. Reg. núm. 465 í

0-07-091668-3 Traducido de la primera edición en ing;és de THEORY AND PROBLEMS OF CONYINUUM MECHAr~ICS Copyright © 1970, by IV1cGRAW-HiLL BOOK, cc.. Ine., U.S.A. 1234567890 Impreso

en rviéxico

LlNSA-78 Printed

Esta obra se terminó en enero de 1978 en Litográfica lnqrarnex , S. A., Centeno 162. Col. Granjas Esmeralda, (\f,éx:::o 13, D. F.

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Prólogo

La Mecánica del Medio Continuo desempeña un papel muy importante en la ingeniería y la tecnología modernas, ya que sus principios básicos tienen un amplio campo de aplicación. El concepto del medio continuo está bien instituido en los planes de estudio actuales, y diversas materias utilizan sus nrincipios básicos. En los programas de Mecánica y sus áreas asociadas, se ha reconocido ampliamente el valor de un conocimiento sólido sobre el tema. Este libro ha sido escrito con la intención de ayudar a los estudiantes de licenciatura y los graduados de primer año, a comprender los principios fundamentales de la teoría del medio continuo. Al incluir un número de problemas resueltos en cada capítulo del libro, se espera que, más adelante, el estudiante sea capaz de resolver los problemas de la teoría del medio continuo y de sus aplicaciones en otros campos. En la distri bución y desarrollo de la materia que se trata, se ha previsto un grado de continuidad suficiente para que el libro pueda servir como texto para un curso de introducción él la Mecánica del Medio Continuo. Por otra parte, el libro resultará especialmente útil como una obra de consulta suplementaria para todo un número de cursos en los que los métodos del medio continuo proporcionan una estructura básica. Así, cursos sobre Resistencia de Materiales, Mecánica de Fluidos, Elasticidad, Plasticidad y Viscoelasticidad se relacionan estrechamente con la esencia de este libro y pueden muy bien incluirse en este material. A lo largo de la mayor parte del libro, las ecuaciones importantes y las relaciones fundamentales se presentan en ambas notaciones, la indicial o "tensorial" y la simbólica clásica o "vectorial". Esto proporciona al estudiante la oportunidad de comparar las expresiones equivalentes y adquirir cierta familiaridad con cada notación. En el texto, solamente se emplean tensores Cartesianos, debido a que se proyectó como un volumen introductorio y puesto que la esencia de buena parte de la teoría se puede adquirir en este contexto. La obra está esencialmente dividida en dos partes. Los primeros cinco capítulos tratan la teoría básica de! medio continuo mientras que los cuatro últimos abarcan ciertas partes de áreas de aplicación específicas. Después de un capítulo inicial sobre las matemáticas propias de la materia en estudio, la parte de teoría contiene capítulos adicionales sobre Análisis de Tensiones, Análisis de Deformaciones, Movimiento y Flujo, y las Leyes Fundamentales del Medio Continuo. En los cuatro capítulos finales se tratan las aplicaciones a la Elasticidad, Fluidos, Plasticidad y Viscoelasticidad. Al final de cada capítulo, una colección de problemas resueltos, junto con varios ejercicios para el estudiante, sirven para aclarar y reforzar las ideas presentadas en el texto. El autor agradece la colaboración de numerosas personas y desea expresar a todas su gratitud por su ayuda. Debo hacer mención especial de mis colegas los Profesores W.A. Bradley, L.E. Malvern, D.H. Y.Yen, J.F. Foss y G. LaPalm, quienes leyeron varios capítulos del texto e hicieron valiosas sugerencias para su perfeccionamiento; agradezco al Profesor D.J. Montgornery su apoyo y ayuda en todo momento; al Dr. Richard Hartung del Lockheed Research Laboratory, Palo Alto, California, quien leyó la versión preliminar dei manuscrito e hizo muchas indicaciones provechosas; al Profesor M.C. Stippes, Universidad de Illinois, por sus inestimables comentarios y observaciones; a Mrs. Thelma Liszewski, por el cuidado y la paciencia que tuvo con los símbolos del manuscrito; a Mr. Daniel Schaurn y Mr. Nicola 5

6

PROLOGO

Monti por su continuo interés y dirección a través de toda la obra. El autor también desea expresar su agradecimiento a su esposa e hijos por su estímulo durante la redacción de la obra. Michigan State University Junio 1970 GEORGE E. MASE

Contenido

1 FUNDAMENTOS 1.1 1.2 1. 3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23

Tensores y mecánica del medio continuo, 11 Tensores generales. Tensores cartesianos. Orden de un tensor, 11 Vectores y escalares, 12 Adición vectorial. Multiplicación de un vector por un escalar, 12 Producto escalar y vectorial, 13 Diadas y diádicas, 14 Sistemas de coordenadas. Vectores base. Triadas de vectores unitarios, 16 Funciones vectoriales lineales. Diádicas como operadores vectoriales lineales, 18 Notación indicial. Convenios de rango y suma, 19 Convenio de suma usado en la notación simbólica, 21 Transformaciones de coordenadas. Tensores generales, 2.1 El tensor métrico. Tensores cartesianos, 23 Leyes de transformación de los tensores cartesianos. La delta de Kronecker. gonalidad, 24 Adición de tenso res cartesianos. Multiplicación por un escalar, 26 Multiplicación de tensores, 26 Producto vectorial. Símbolo depermutación. Vectores duales, 27 Matrices. Representación matricial de los tensores cartesianos, 28 Simetría de diádicas , matrices Y tensores, 30 Valores y direcciones principales de los tenso res simétricos de segundo orden, 31 Potencias de tensores de segundo orden. Ecuación de Hamilton-Cayley, 32 Campos tensoriales, Derivadas de tensores, 33 Integrales curvilíneas. Teorema de Stokes, 34 Teorema de la divergencia de Gauss, 34

2 ANALISIS DE TENSIONES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

11

MATEMATlCOS

El concepto de medio continuo, 57 Homogeneidad. lsotropía. Masa especifica, 57 Fuerzas másicas. Fuerzas superficiales, 58 Principio de tensión de Cauchy. El vector tensión, 58 Estado de tensión en un punto. Tensor de tensión, 59 Relación entre el vector tensión y el tensar de tensión, 61 Equilibrio de fuerzas y momentos. Simetría del tensar de tensión, 62 Leyes de transformación de tensiones, 63 Cuádrica de tensiones de Cauchy, 64 Tensiones principales. Invariantes de tensión. Elipsoide de tensiones, 64 Valores de tensión cortante máximos y mínimos, 66 Círculos de tensiones de Mohr, 67 Tensión plana, 70 Tensores de tensión, esférico y desviador, 71

Condiciones

de orto-

57

CONTENIDO

8

3 ANALISIS 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3. I 6

DE DEFORMACIONES

Partículas y puntos, 91 Configuración del medio continuo. Conceptos de deformación y flujo, 91 Vector de posición. Vector desplazamiento, 91 Descripciones lagrangiana y euleriana, 93 Gradientes de deformación. Gradientes de desplazamiento, 94 Tensores de deformación. Tensores de deformaciones finitas, 95 Teoría de las deformaciones pequeñas. Tensores de deformaciones infinitesirnales, Desplazamientos relativos. Tensor de rotación lineal. Vector rotación, 98 Interpretación de los tensores de deformación lineales, 99 Relación de extensión. Interpretación de las deformaciones finitas, 101 Tensores de extensión. Tensor de rotación, 102 Propiedades de transformación de los tensores de deformación, 102 Deformaciones principales. Invariantes de deformación. Dilatación cúbica, 104 Tensores de deformación esférico y desviador, 105 Deformación plana. Círculos de Mohr de deformaciones, 106 Ecuaciones de compatibilidad para deformaciones lineales, 107

4 MOVIMIENTO

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 .4.6 4.7

126

Movimiento. Flujo. Derivada material, 126 Velocidad. Aceleración. Campo de velocidad instantánea, 127 Trayectorias. Líneas de corriente. Movimiento estacionario, 128 Velocidad de deformación. Verticidad. Incrementos de deformación natural, Interpretación física de los tensores de velocidad de deformación y vorticidad, Derivadas materiales de elementos de volumen, área y línea, 130 Derivadas materiales de integrales de volumen, s uperficie y línea, 132

DE LA MECANICA

143

DEL MEDIO CONTINUO

Ley de Hooke generalizada. Función de la energía de deformación, 158 Isotropía. Anisotropia. Simetría elástica, 160 Medios isótropos. Constantes elásticas, 161 Problemas elastostáticos. Problemas elastodinámicos, 162 'Teorema de superposición. Unicidad de las soluciones. Principio de St. Venant, Elasticidad bidimensional. Tensión plana y deformación plana, 164 Función de tensión de Airy, 166 Problemas elastostáticos bidimensionales en coordenadas polares, 167 Hi perelasticidad. Hipoelasticidad, 167 Termoelasticidadlineal, 168

Presión de un Fluido.Tensor de tensión viscoso. Flujo barotrópico, Ecuaciones constitutivas. Fluidos stokesianos. Fluidos newtonianos,

144 146

158

LINEAL

164

180

7 FLUIDOS 7.1 7.2

128 129

Conservación de la masa. Ecuación de continuidad, 143 Principio de la cantidad de movimiento lineal. Ecuaciones de movimiento. Ecuaciones de equilibrio, Principio del momento de la cantidad de movimiento (cantidad de movimiento angular), 145 Conservación de la energía. Primer principio de la termodinámica. Ecuación de la energía, Ecuaciones de estado. Entrapía. Segundo principio de la termodinámica, 147 Desigualdad de Clausius-Duhern. Función de disipación, 148. Ecuaciones constitutivas. Medios continuos termomecánicos y mecánicos, 149

6 ELASTICIDAD 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

97

Y FLUJO

5 LEYES FUNDAMENTALES 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

91

180 181

CONTENIDO

7.3 7.4 7.5 7.6

9

Ecuaciones básicas de los fluidos newtonianos. Ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem, Flujo estacionario. Hidrostática. Flujo irrotacional, 183 Fuidos perfectos. Ecuación de Bernoulli. Circulación, 184 Flujo potencial. Flujo potencial plano, 186

196

8 PLASTICIDAD 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11

Conceptos básicos y definiciones, 196 Comportamiento plástico idealizado, 197 Condiciones de plasticidad. Criterios de Tresca y von Mises, 199 Espacio de Tensiones. El plano -11. Superficies de fluencia, 200 Comportamiento post-elástico. Endurecimiento isotrópico y cinemática, 201 Ecuaciones plásticas tensión-deformación. Teoría del potencial plástico, 202 Tensión equivalente. Incremento de deformación plástica equivalente, 203 Trabajo plástico. Hipótesis de endurecimiento por deformación, 204 Teoría de la deformación total, 205 Problemas elastoplásticos, 205 Teoría elemental de las líneas de deslizamiento en deformación plástica plana, 206

9 V!SCOELASTICIDAD

9.1 9.2· 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

182

Comportamiento viscoelástico lineal,219 Modelos viscoelásticos sencillos, 219 Modelos generalizados. Ecuación del operador diferencial lineal, 221 Fluencia lenta y relajación, 222 Función de fluencia lenta. Función de relajación. Integrales hereditarias, Módulos complejos y acomodaciones, 226 Teoría tridimensional, 227 Análisis de tensiones viscoelásticas. Principio de correspondencia, 228 INDICE ANAUTICO

219

LINEAL

224

243

Capitulo I

Fundamentos matemáticos

1.1

TENSORES

y MECANiCA

DEL MEDIO

CONTINUO

La mecánica del medio continuo trata con cantidades físicas que son independientes de cualquier sistema particular de coordenadas que pueda ser usado para describirlas. Al mismo tiempo, estas cantidades físicas se especifican a menudo más convenientemente refiriéndolas a un sistema de coordenadas apropiado. Matemáticamente, tales cantidades se representan mediante tensores. Como una entidad matemática, un tensar tiene una existencia independiente de cualquier sistema de coordenadas. Además puede ser especificado en un sistema particular de coordenadas mediante un cierto conjunto de cantidades, conocidas como sus componentes. Al especificar las componentes de un tensor en un sistema de coordenadas, sus componentes quedan determinadas en cualquier otro sistema. Por supuesto, la ley de transformación de las componentes de un tensar se usa aquí como un medio para definirlo. Los enunciados precisos de las definiciones de varias clases de tensores se dan en el momento de su introducción en el tema correspondiente. Las leyes físicas de la mecánica del medio continuo son expresadas por ecuaciones tensoriales. Debido a que las transformaciones tensoriales son lineales y homogéneas, si tales ecuaciones tensoriales son válidas en un sistema de coordenadas, también lo son en cualquier otro sistema. Esta invariancia de las ecuaciones tensoriales bajo una transformación de coordenadas, es una de las razones principales que explican la utilidad de los métodos tensoriales en la mecánica del medio continuo.

1.2

TENSORES GENERALES. ORDEN DE UN TEN SOR

TENSORES

CARTESIANOS.

Cuando se trata de transformaciones de coordenadas generales, entre sistemas de coordenadas curvilíneas arbitrarias, los tensores definidos son conocidos como tensores generales. Cuando nuestra atención se restringe a transformaciones de un sistema de coordenadas homogéneas a otro, los tensores que intervienen son denominados tensores cartesianos. Puesto que gran parte de la teoría de la mecánica del medio continuo se puede desarrollar en términos de tensores cartesianos, la palabra "ten sor" , en este libro significa "tensor cartesiano" a menos que específica mente se establezca lo contrario. Los tensores se pueden clasificar por su orden, según la forma particular de la ley de transformación que obedezcan. Esta misma clasificación también se refleja en el número de componentes que posee un tensar dado en un espacio n-dimensional. Así, en un espacio euclidiano tridirnensional tal como un e:i11

FUNDAMENTOS MATEMATICOS

12

CAP.1

pacio físico ordinario, el número de componentes de un tensar es 3"', donde N es el orden del tensar. Según esto, un tensar de orden cero queda especificado en cualquier sistema de coordenadas de un espacio tridimensional por una componente. Los tensores de orden cero se denominan escalares. Las cantidades físicas que únicamente tienen magnitud se representan por escalares. Los tensores de orden uno tienen {res componentes coordenadas en el espacio físico y se conocen como vectores. Las cantidades que poseen magnitud y dirección se representan por 'lectores. Los tensores de segundo orden corresponden a diádicas. Numerosas cantidades importantes en la mecánica del medio continuo están representadas por tensores de segundo orden. También se definen tensores de orden superior, tales como triádicas o tensores de tercer orden, tetrádicas o tensores de cuarto orden, los que con frecuencia aparecen en las matemáticas de la mecánica del medio continuo.

1.3

VECTORES

y ESCALARES

Ciertas cantidades físicas, tales como fuerza y velocidad, que poseen magnitud y dirección, se pueden representar en un espacio tridimensional mediante segmentos de línea dirigidos, que obedecen a la ley de adición del paralelogramo, Tales segmentos dirigidos son las representaciones geométricas de los tensores de primer orden y se denominan vectores. Gráficamente, un vector es sencillamente una flecha que apunta en la dirección apropiada y que tiene una longitud proporcional a la magnitud del vector. Los veclores iguales tienen la misma dirección y magnitud. Un vector unitario es un vector cuya longitud es la unidad. El vector nulo o cero es un vector que tiene una longitud cero y una dirección no especificada. El vector negativo de un vector es el que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuesto. Las cantidades físicas, tales como masa y energía, que únicamente poseen magnitud, se representan por tcnsorcs de orden cero y se denominan escalares, En la notación simbólica o de Gibbs, los vectores se designan por letras negrillas, tales como a, b, ete. Los esca!ares se denotan por letras bastardillas, tales como a, b. A, etc. Los vectores unitarios se distinguen por un signo de intercalación situado encima de la letra en negrilla. En la Fig. 1-1, se representan los vectores a y b junto con el vector unitario y el par de vectores iguales e y d.

e

// Fig-. 1-1

La magnitud de un vector arbitrario a, se escribe sencillamente tacar, por el símbolo de vector entre barras verticales.l a l.

1.4

como a, o bien, cuando se desee des-

ADICION VECTORIAL. MULTIPLICAC!ON DE UN VECTOR POR UN ESCAl",AR

La suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo, la cual define al vector suma de dos vectores la diagonal de un paralelogramo que tiene los vectores sumandos como lados adyacentes. Esta iey para la suma de vectores es equivalente a la regla del triángulo que define la suma de dos vectores como el vcctor que se extiende desde la cola del primero hasta la punta del segundo, cuando los vectores sumando'> están unidos. En la Fig, 1-2 (a), se representa la construcción gráfica de la suma de a y b según la ley cid paralclogramo. Algebraicamente, la operación se indica por la ecuación vectoriaI COIllO

a+b=b+a=c

(1.1)

CAP. 1

FUNDAMENTOS

MATEMATICOS

13

La susiraccion de vectores está caracterizada por la adición del vector negativo como se indica, por ejemplo, L')) la Fig. 1-2 (b) en la que se ha empleado la regla del triángulo. Así, a - b = -b -+- a = d

I.a-, operaciones de adición y sustracción de vectores son conmutativas la Iig. 1-2(c), para las cuales las ecuaciones adecuadas son

=

(a-+-b)-+-g

a-+-(b-+-g)

(1.2) y asociativas

=

como se observa en (1.3)

h

-b

h (a)

(b)

(e)

Fig-.1-2

En general, la multiplicación de un vector por un escalar produce un nuevo vector que tiene la misma dirección que el vector original pero una magnitud diferente. Como excepciones, se tienen la multiplicación por cero que produce un vector nulo y la multiplicación por la unidad que no altera al vector. De la multiplicación del vector b por el escalar ni, resulta alguno de los tres casos posibles indicados en la Fig. 1-3, Y que dependen del valor numérico de In. b

b

?/lb

o
m > 1

1

1n

< O

Fig.I-3

La multiplicación

de un vector por un escalar es asociativa m(nb)

I

(m

I

= (mn)b

+ n)b = + b)

m(a

=

y distributiva.

=

Así,

n(mb)

(Ln

+ m)b = mb + nb 1n(b + a) = 111,a -+- mh

(1.5)

(n

(1.6)

I I

En el caso importante de la multiplicación de un vector por el recíproco de su magnitud, resulta un '\ vector unitario que tiene la dirección del vector Original~ Esta relación se expresa por la ecuación b

11.5 ·1

PRODUCTO El producto

ESCALAR

simbolizado

=

b/b

(1.7)

Y VECTORIAL

por un punto o producto A

=

a·b

escalar de dos vectores

=

b'a

=

abcosG

a y b es el escalar (1.8)

14

FUNDAMENTOS

MA TEMA TICOS

CAP. 1

en el que (j es el ángulo más pequeño que forman ambos vectores como se indica en la Fig. 1-4(a). El producto escalar de a por un vector unitario e ,nos da la proyección de a en L: dirección de e.

'"

e

a

(a)

(b) Fig.I-4

El producto simbolizado por una aspa o vectorial de a por b es el 'lector v dado por v

=

ax b

= -bx

a = (al) sen B)

e

(1.9)

en el que O, es el ángulo menor que 1800, que forman los vectores a y b, y e, es un vector unitario perpendicular a ellos tal que, mediante una rotación positiva alrededor de e, un ángulo () se pasa de a a b. La magnitud de v es igual al área del paralelogramo que tiene a a y b como lados adyacentes, y que aparece sombreado en la Fig, 1-4(b). El producto vectorial no es conmutativo. El triple producto escalar es un producto escalar de dos vectores, uno de los cuales es un producto vectorial. a' (b

X

e) = (a

X

b)· e = a' b

X

e

= ,\

(1.10)

Tal como se indica en (1.10) las operaciones escalar y vcctorial en este producto se pueden intercambiar. Además, una vez que se lleve a cabo la operación vectorial primero, los paréntesis son innecesarios y pueden suprimirse tal como se indica. Este producto se escribe algunas veces, rabel. La magnitud ,\ del triple producto escalar es igual al volumen del paralelepipedo que tiene a los vectores a, b, e como lados vecinos. El triple producto vectorial es un producto vectorial de dos vectores, uno de los cuales es a su vez un producto vectorial. Con frecuencia resulta útil la siguiente identidad para expresar el producto vectorial de a por b x c. a x íb x c) = (a vcjb (a+ h)« = w (1.11) >

De (1.11), se ve que el vector producto

1.6

w, yace en el plano de b y c.

DIADAS y DIAD!CAS

Al producto indeterminado de los vectores a y b, que se define escribiendo los vectores en yuxtaposición ab, se le denomina una diada. El producto indeterminado en general no es conmutativo, es decir, ab ~ ha. Al primer vector de una diada se le denomina antecedente y al segundo consecuente. Una diádica D equivale a un tensar de segundo orden y siempre puede ser representada por una suma finita de diadas (1.12)

la que nunca es única. En notación simbólica, las diádicas se denotan por letras de tipo negrilla como se hizo anteriormente. Si en cada diada de (1.12) se intercarnbian los antecedentes y consecuentes, la diádica resultante se denomina diádica conjugada de O y se escribe

FUNDAMENTOS MATEMA TICOS

CAP. 1

15

(1.13)

Si cada diada de O en (1.12) se reemplaza por un producto que se conoce como el escalar de la diádica O y se escribe

escalar de los dos vectores resulta un escalar

(1.14)

Si cada diada de D en (1.12) se sustituye por un producto denomina, vector de la diádica O y se escribe

vectoria1 de los dos vectores,

el resultado

se

(1.15)

Se puede poner de manifiesto que De,Os Y Ov son independientes de la forma (1.12). El producto indeterminado de vectores obedece las leyes distributivas

+ e)

ab

+ ac

(1.16)

+ b)e

ac

+ be

(1.17)

a(b (a

(a + b)(e y si A y

,11

+ d) = ae + ad + be + bd

(1.18)

son escalares cualesquiera, (A + l.t)ab

=

(Aa)b

Si v es un vector cualquiera, vamente por

los productos

escalares

=

Xab

+ ,uab

=

Aab

v· O Y

o· v

a(Ab)

(1.20)

son los vectores definidos

v,O

(v'ai)bl

+

D'v

a¡(bl • v)

+ az(b2' v) + ... + a.V(bN·v)

(v'a2)b2

+ .,. +

(1.19)

(v'aN)bN

En (1.21) O se denomina postfactor, y en (1.22) prefactor. Dos diádicas si para cada vector v, se cumple v'O = v·E

o

La diádica unidad, o jactar idéntico 1, es una diádicaque

-

u

(1.21 )

'W

(1.22)

D y E son iguales, si y solamente

= E·v

D'v

respecti-

se puede representar

(1.23)

por (1.24)

donde el, eQ, e3 constituyen cualquier base ortonormal ción 1.7). La diádica I se caracteriza por la propiedad

de un espacio Euclidiano

tridimensional

J'v=v'l=v

(ver Sec(1.25)

para todo vector v. Los productos

El producto

vectoriales

v x D Y O x v son diádicas definidas respectivamente

+ (v X a2)b2 +

vx O

(v X a¡)b¡

~xv

a¡(b¡Xv)+a2(b2xv)+"'+aN(bNXv)

escalar de dos diadas ab

y cd

...

+ (v X aN)bN

por F

(1.26)

G

(1.27)

es la diada definida por ab· cd = (b- c)ad

De (1.28), el producto

escalar de dos diádicas cualesquiera D' E

(1.28)

D y E es la diádica

(a.h, + a2h2 + ... + aNbN). (c.d, + c2d2 + ... + cNdN) (b¡ . c¡)a¡d¡ + (b, . c2)a1dz + ...

+ (bN' c,v)aNdN = G

(1.29)

CAP.1

FUNDAMENTOS MA TEMA TICOS

16

Se dice que las diádicas

O y E son recíprocas la una de la otra, si (1.30)

E'O=O'E=

Con frecuencia

se usa para las diádicas recíprocas

Los dobles productos

la notación

E= 0-1 Y 0=

E-¡

escalares y vectoriales se definen también para las diadas ab y cd como sigue, ab : cd

(a'c)(b'd)

A,

un escalar

(1.31)

ab ~ ed

(axe)(b·d)

h,

un vector

(1.32)

ab ~ ed

(a'c)(bxd)

g,

un vector

(1.33)

ab ~ ed

(a

uw, una diada

(1.34)

X

e)(b

X

d)

De estas definiciones se pueden desarrollar fácilmente los dobles productos escalares diádicas. Algunos autores también usan el doble producto escalar definido por

=

ab .. cd

Se dice que una diádica O es autoconjugada

o simétrica, O

y anfi-autoconjugada

O

antisimétrica,

=

(b : el(a' d)

=

le,

o vectoriales

de (1.35)

un escalar

si (1.36)'

De

si (1.37)

Cada diádica puede ser expresada únicamente Para la diádica arbitraria O la descomposición

como la suma de una diádica simétrica es

y

otra antisimétrica. (1.38)

G+H para la que y

Gc = }(Oc He

La unicidad se establece suponiendo

=HDc -

+ (Oe)e)

=~(Oc

+ O)

una segunda descomposición,

conjugada

y restando

SISTEMAS TRIADAS

G* +

H~.

Entonces

G+H

(1.41)

(1.41) y (1.42) sucesivamente

= G- H

se obtienen las respectivas G* = G Y H*

1.7

O =

(1.40)

de ésta es G* - H*

Sumacdo

(simétrica) (antisimétrica)

(Oe)!') = ~(Oc - O) = -H

G* -:- H* y la ecuación

= G

DE COORDENADAS. VECTORES DE VECTORES UNITARIOS

=

(1.42)

igualdades,

H.

BASE.

Un veetor se puede definir, respecto a un sistema particular de coordenadas, cuando se especifican las componentes del vector en ese sistema. La elección del sistema de coordenadas es arbitraria, pero en ciertas ocasiones puede ser ventajosa una elección particular. El sistema de referencia de ejes coordenadas proporciona las unidades para la medida de las magnitudes vectoriales y precisa las direcciones del espacio en las que están determinadas las orientaciones de los vectores.

FUNDAMENTOS

CAP. 1

MATEMA TICOS

17

En la Fig. 1-5 se muestra un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares representado por los ejes, OXYZ, perpendiculares entre sí. Cualquier vector v puede ser expresado en este sistema por una combinación lineal de tres vectores arbitrarios del sistema, no nulos ni coplanares, que son denominados vectores base. Para los vectores base a, b, e y los coeficientes escalares ,\,!-'-, v elegidos convenientemente, el vcctor v esta dado por =

v

Aa

+ p.b +

Los vectorcs base son por hipótesis dientes, es decir, la ecuación Aa

+ p.b +

=

ve

(1.43)

ve

!inealmente

y

indepen-

O

(1.44)

se satisface solamente si A = It = v = O. Se dice que un conjunto de vectores base en un sistema de coordenadas dado, Fig. 1-5 constituye una base para ese sistema. La elección más frecuente para los vectores base de un sistema Cartesiano rectangular es el conjunto de vectores unitarios i, j, k a lo largo de los ejes coordenadas, como se representa en la Fig. 1-5. Estos vectores base constituyen una triada de vectores unitarios de rotación positiva, para la que

i x j = k, j x k y

A

=

i, k x i

=

j

(1.45)

A

i .i

":' "i'

=

1")

--:- A

)·k

=

A--:--

k'l

=

(1.46)

O

A tal conjunto de vectores base se le llama con frecuencia una base ortonormal. En términos de la triada unitaria i, k, el vector v de la Fig. 1-6, se puede expresar por

1,

= vr1 + v3 + vzk

v

en el que las componentes

cartesianas

=

.•.. v- i

V COSa

Vy

v· j

v cos f3

Vz

v·k

v cos y

Vx

(1.47)

.•..

.•..

son las proyecciones de v en los ejes coordenadas. Según la (1.7), el vector unitario en la dirección de v, está dado por

cv

v/v

=

(cos a) i

+ (cos

(3) j

+ (cos

y)k

(1..~8)

Puesto que v es arbitrario, se infiere que cualquier vector unitario tendrá los cosenos directores de ese vector como sus

componentes

cartesianas.

En la forma de componentes escalar de a y b está dado por a+b

=

el producto

(axi+ayj+azk)o(bxi+byj+bzk)

= axbx

+ ayby + azbz

Para los mismos vectores, el producto X

b

=

Fig.1-6

(1.49) vectorial a

(aybz - azby) se presenta frecuentemente a

Este resultado

Cartesianas

i+

X

b es

(azbx - axbz) j + (axby - aybx) en la forma de determinante

k

(1.50)

18

FUNDAMENTOS

MATEMATICOS

"i

CAP.

" j

" k (1.51)

axb

en el que los elementos se consideran como números ordinarios. El triple producto sé puede representar en la forma de componentes por el determinante

cartesianas, ab

escalar también

(1.52)

rabel

En la forma de componentes

1

la diada ab está dada por

(aS + a3 + azk)(bxi + b3 + bzk) AA

AA

AA

+ axbyi j + axbzi k + aybxji + ayb3j + ayb.'jk + azbxk i + azbyk j + azbzkk

axbxi i

AA

AA

AA

(1.53)

Debido a los nueve términos que se originan, (1.53) es conocida como la forma nonion de la diada ab. Cualquier diádica se puede expresar en la forma nonion. La forma nonion del factor idéntico en función de la triada unitaria i,1,k está dada por (1.54) Además del sistema de coordenadas cartesianas rectangular ya comentado, también se usan ampliamente los sistemas de coordenadas curvilíneas tales como las cilíndricas (R, e, z)y las esféricasír. 8, <1» representadas en la Fig , 1-7. Las triadas unitarias de vectores base (~R, ee, ez) y (er, e
ea,

z

z

y

(a) Cilíndricas

1.8

Fig. 1-7

(b) Esféricas

FUNCIONES VECTORIALES LINEALES. DIADICAS OPERADORES VECTORIALES LINEALES

COMO

Se dice que un vector a es función de un segundo vector b, si a queda determinado b. Esta relación funcional se expresa por la ecuación

siempre que se dé


CAP.l

19

(1.55)

a = f(b) Se dice que la función f es lineal cuando se satisfacen f(b

las condiciones

+ e) =

f(b)

+ f(c)

(1.56)

f(Ab) = Af(b) para todos los vectores b y e, y para cualquier Escribiendo

escalar

b en la forma de componentes

(1.57)

A.

cartesianas, a

=

=

bxf(i)

f(bxi

la ecuación (1.55) se convierte en

+ byj + bzÍ~)

(1.58)

la que, si f es lineal, se puede escribir a

Sea en (1.59) f(i)

= u,

f(j)

= v, a

que es un producto

f(k)

= w,

=

u(i-b)

escalar vector-diádico

A

A

A

+ byf(j) + bzf(k)

(1.59)

entonces, + v(j
(ui+vj+wk)-b

(1.60)

y que puede ser escrito a

=

O-b

(1.61)

donde O = u i + v j + w k. Esto demuestra que cualquier función vectorial lineal f puede ser expresada como un producto vector-diádico. En (1.61) la diádica D sirve corno un operador vectorial lineal que actúa sobre el argumento del vector b para producir el vector imagen a.

1.9

:\OTACIO:\ I:\DICIAL.

CO:\VE!\IOS DE RANGO Y SUMA

Las componentes de un tensor de cualquier orden, y el tensor mismo, pueden ser representados clara y concisamente mediante el uso de la notación indicial. En esta notación, se añaden letras como subíndices o superíndices a la letra genérica, que representa a la cantidad tensorial deseada. Los símbolos tensoriales siguientes son ejemplos típicos que ilustran el uso de índices.

En la forma "mixta", en la que aparecen subíndices y superíndices, un punto indica que j es el segundo Índice. Bajo las reglas de la notación indicial, un índice puede aparecer una vez o dos veces en un término dado. Cuando un índice no aparece repetido en un término, se entiende que este Índice toma los valores 1,2, ... , N donde N es un número entero especificado que determina el rango del índice. Los Índices no repetidos se conocen como Índices libres. El orden tensorial de un término dado es igual al número de Índices libres que aparecen en este término. Además, las ecuaciones tensoriales correctamente escritas tienen las mismas letras así como los mismos índices libres en cada término. Cuando un Índice aparece dos veces en un término se ha de entender que ese Índice tomará todos los valores 'de su rango y que los términos resultantes se suman. En este convenio de suma, a los índices repetidos se les denomina con frecuencia seudoindices, ya que su sustitución por cualquier otra letra que ~o figure como índice libre no cambia el significado del término en el que aparecen. En general, ningún índice aparece más de dos veces en un término correctamente escrito. Si es absolutamente necesario escribir un índice más de dos veces para expresar satisfactoriamente cierta cantidad, el convenio de suma ya no es válido. El número y situación de los índices libres, revela directamente el carácter tensorial exacto de la cantidad expresada por la notación indicial. Los tenso res de primer orden se denotan por un letra cursiva que


20

tiene un índice libre. Así, el vector arbitrario a se representa dice sencillo, es decir, en una u otra de las dos formas,

Los términos siguientes, que tienen solamente tensoriales de primer orden:

CAP.l

por un símbolo que tiene un sub o superin-

un índice libre, se consideran

también

Los tensores de segundo orden se denotan por símbolos que tienen dos subíndices arbitrariaO,aparecerá en una de las tres formas posibles

En la forma "mixta", el punto indica que j es el segundo índice. Las cantidades orden pueden aparecer también en varias formas, como por ejemplo,

como cantidades

libres. Así, la diádica

tensoriales

de segundo

Por una generalización lógica, los tensores de tercer orden se expresarán por símbolos con tres índices libres. Un símbolo como ..\ que no lleva asociado ningún índice, representa un escalar o tensar de orden cero. En el espacio físico ordinario una base está formada por tres vectores no coplanares, y aSÍ, en este espacio, cualquier vector queda completamente especificado por sus tres componentes. Por lo tanto, el rango en el índice de tu, que representa a un vector en un espacio físico, es 1,2,3. Según esto, el símbolo ai , se entiende que representa a las tres componentes al, az, a3. También se interpreta algunas veces que ai representa a la i-ésima componente del vector y por supuesto también representa al vector mismo. 'Para un rango de tres en ambos índices, el símbolo Aij representa a nueve componentes (del tensar de segundo orden (diádica) A). Frecuentemente, el tensar A¡¡ se representa explícitamente agrupando a sus nueve componentes en una disposición cuadrada encerrada entre dos grandes paréntesis, como

(1.62)

De la misma forma, las componentes se presentan explícitamente agrupadas

de un tensor de primer orden (vector) en un espacio tridimensional en una fila o columna, en la forma o

(1.63)

En general, para un rango de Índice N, un tensar de orden n-ésimo tendrá N" componer/teso La utilidad de la notación indicial para representar sistemas de ecuaciones en una forma reducida se pone de manifiesto mediante los ejemplos típicos siguientes. Para un rango de índice tres en ambos índices i y j la ecuación indicial (1.64)

representa

en forma desarrollada

las tres ecuaciones

(1.65)

21

FUNDAMENTOS MATEMA TlCOS

CAP. 1

Para un rango de dos en i y i. la ecuación indicial Aij

representa

en forma desarrollada,

=

las cuatro ecuaciones

e.e.o; + BllCI2DI2 + B12Cl!D21 + B12CI2D22

Al!

BllCZlDll B2lCllDll

+ BllCZ2Dl + BIZCZ1D2I + B12CnD22 + B21C1ZDI2 + B CllD21 + B22C12D22 2

CONVENIO

DE SUMA USADO

(1.67)

22

Para un rango de tres en ambos índices i y j, la (1.66) representa nueve términos en el segundo miembro.

1.10

(1.66)

B¡pCjqDpq

a nueve ecuaciones que tienen cada una

EN LA NOTACION

SIMBOLICA

El convenio de suma se usa muchas veces en relación con la representación de vectores y tensores con vectores base afectados de índices escritos en notación simbólica. Así, si los ejes cartesianos rectangulares y los vectores base unitarios de la Fig. 1-5, se escriben de nuevo como se indica en la Fig. 1-8, el vector arbitrario v se puede escribir

"-

(1.68) en la que VI, 'V2, 'li3 son las componentes cartesianas rectangulares de v. Aplicando el convenio de suma a (l. 68), esta ecuación se puede escribir en la forma abreviada V

=

A

V¡C¡

(1.69)

donde i es un índice de suma. Aquí, la notación es esencialmente simbólica, pero con la característica adicional del convenio de suma. En tal "combinación" del estilo de notación, el carácter de tensor no está dado por la regla de los índices libres, como ocurre con la notación indicial. Fig. ~-8

Los tensores de segundo orden también se pueden representar por la suma de vectores base con índices. Según esto, la diada ab dada en la forma nonion por (1.53) se puede escribir (1.70)

En esta expresión, es esencial que se mantenga la secuencia de los vectores base. De igual manera, ma nonion de la diádica arbitraria O se puede expresar en notación abreviada por

la for(1.71)

1.11

TRANSFORMACIONES

DE COORDENADAS.

TENSORES

GENERALES

Representemos por Xi el sistema arbitrario de coordenadas Xl, x2, x:l en un espacio euclidiano tridimensional, y por Oi cualquier otro sistema de coordenadas el, 02, (j3 en el mismo espacio. Aquí, los superindices numéricos son indicativos y no exponentes. Las potencias de x se pueden expresar usando paréntesis como en (X)20(X)3. Los superíndices son pues, índices como ya se ha advertido. Las ecuaciones

de transformación de coordenadas

22

FUNDAMENTOS

MA TEMA TICOS

CAP.

1

(1.72)

asignan a un punto cualquiera (Xl, X2, x3) en el sistema Xi, un nuevo conjunto de coordenadas ((¡t, ()2, e:!) en el sistema ()i. Se supone que las funciones ei que relacionan los dos conjuntos de variables (coordenadas) son funciones de valor único, continuas y diferenciables. El determinante

J

aal

ao!

a()l

axl

a::t;2

ax3

aa2

ao~

a(J2

axl

ax2

ax3

aa3

a(P

a03

axl

ax2

ax3

(1.73)

o, en forma abreviada,

I aei I

J

se denomina eljacobiano verso único de la forma

de la transformación.

I axi

Si el jacobiano

(1.74)

I

no se anula, la (1. 72) tiene un conjunto

in-

(1.75)

Los sistemas de coordenadas representados por Xi y pueden ser cualquier sistema curvilíneo o cartesiano. De la (1. 72) el vector diferencial

el en (1.72) Y (1.75) son completamente

generales y

dOi está dado por

e«

-,d:r' ax'

.

(1.76)

Esta ecuación es un prototipo de la que define la clase de tensores conocidos como vectores contravarianteso Se dice, en general, que un conjunto de cantidades asociadas a un punto P son las componentes de un tensar contravariante de orden uno si se transforman bajo una transformación de coordenadas dada por la ecuación (1.77)

donde las derivadas parciales se calculan en P. En (1.77), b' son las componentes del tensor en el sistema de coordenadas Xi, mientras que b" son las componentes en el sistema O'. En la teoría general de tensores, los tensores contravariantes se reconocen por el empleo de índices escritos como superíndices. Por esta razón, aquí se señalan las coordenadas como Xi en vez de Xi, pero ha de tenerse en cuenta que esto solamente es así para las diferenciales dx', y no para las coordenadas mismas que tienen carácter de tensor. Por una generalización lógica del concepto de tensor expresado en (1.77), la definición de tensores contravariantes de orden dos requiere que las componentes del tensor obedezcan a la ley de transformación

aG' éJ8 --E"S s i

ax ax T

Los tensores contravariantes

de tercero, cuarto

y

(1.78)

de órdenes más altos se definen de forma similar.

La palabra contravariante se usó para distinguir a esta clase de tensores de otra clase de tensores conocida como tensores covariantes. En la teoría general de los tensores, los tensores covariantes se reconocen por el empleo de subíndices. El protopipo de vector covariante es la derivada parcial de una función escalar de las coordenadas. Así, si cp = (xl, x2, xJ) es una función tal, acp axi axi a()i

•......

(1.79)

CAP.!

FUNDAMENTOS

En general,

se dice de un conjunto de cantidades orden uno si se transforman según la ecuación

MATEMATICOS

23

b, que son las componentes

de un tensor covariante de

(1.80)

En (1.80),

i;

son las componentes

covariantes

en el sistema

(}i,

Y b. las componentes

en el sistema

Xi.

Los

tenso res covariantes de segundo orden obedecen a la ley de transformación (1.81) Los tensores covariantes

de orden más alto y los tensores mixtos, tales como (1.82)

T'~SP

se definen de forma obvia.

1.12

EL TEN SOR METRICO.

TENSORES

CARTESIANOS

Representemos por Xi a un sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares en un espacio euclidiano tridimensional, y por (}i, a cualquier sistema de coordenadas curvilíneas o rectangulares (es decir, coordenadas cilíndricas o esféricas) en el mismo espacio. El vector x que tiene las componentes Cartesianas Xi se denomina vector de posición del punto arbitrario Ptx', x2, x3} referido a los ejes Cartcsianos rectangulares. El cuadrado del elemento diferencial de la distancia entre dos puntos muy próximos P(x) y Q(x-+ dx) será (dS)2 (1.83) De la transformación

de coordenadas (1.84)

que relaciona

los sistemas, la distancia

diferencial

es (1.85)

y por lo tanto (1.83) se convierte en (1.86) donde el tensor de segundo orden gpq = (axi/aOP)(axi/ao~) se denomina el tensor métrico o tensor fundamenta/ del espacio. Si Oi representa un sistema cartesiano rectangular, digamos el sistema X'i, entonces axi axi -ax'p ax'q

(1.87)

=

=

donde Opq es la delta de Kronecker (ver Sección 1.13) definida por Opq O si p # q Y Opq 1 si p = q. Cualquier sistema de coordenadas para el cual el elemento diferencial de distancia al cuadrado toma la forma de (1.83) se denomina un sistema de coordenadas homogéneas. Las transformaciones de coordenadas entre sistemas homogéneos son transformaciones ortogonales, y cuando consideramos talestransformaciones, los tensores así definidos se denominan tensores cartesianos. En particular, éste es el caso . de las leyes de transformación entre sistemas de coordenadas cortesianas rectangulares con un origen . común. Para los tensores cartesianos no hay ninguna distinción entre las componentes covariantes y con, travariantes y por lo tanto es habitual emplear exclusivamente subíndices en las expresiones que representan a los tensores cartesianos. Como se verá en seguida en las leyes de transformación que definen a los

24

FUNDAMENTOS

MATEMA TICOS

CAP.l

tensores cartesianos las derivadas parciales que aparecen en las definiciones de los tensores generales tales como (1.80) y (1.81), se sustituyen por constantes.

1.13

LEYES DE TRANSFORMACION LA DELTA DE KRONECKER.

DE LOS TENSORES CARTESIANOS. CONDICIONES DE ORTOGONALIDAD

Sean los ejes OX1X2X3 y Ox~x2x5 que representan a dos sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares con el origen común en un punto arbitrario O como se representa en la Fig, 1-9. Se puede imaginar, que el sistema con primas se obtiene del anterior ya sea por una rotación de los ejes alrededor del origen, o por una reflexión de los ejes en un plano ccordenado, o por una combinación de ambos. Si el símbolo aij denota los cosenos de los ángulos entre los i-ésimos ejes coordenados con primas y los j-ésimos sin ellas, es decir, aij = cos (x[, Xj), la orientación relativa de los ejes individuales de cada sistema respecto al otro está dada convenientemente por la tabla XI

X2

X3

Q'11

al2

Q-13

X2

a21

a22

a23

X3

Q31

a32

a33

f

XI f

Fig.1-9

o alternativamente por el ten sor de transformación A

De esta definición de nio de suma por

aij,

el vector unitario

( u"

un)

a1~

a'21

0.22

ao';

a:31

a3~

a:33

e~a 10 largo

del eje

x{

está dado según la (l.48) Y el conve(1.88)

De una generalización obvia de esta ecuación se tienen los vectores base unitarios arbitrarios

e; según (1.89)

En la forma de componentes, el vector arbitrario v indicado en la Fig. 1-9 puede ser expresado en el sistema sin primas por la ecuación (1.90)

y en el sistema con primas por V

Sustituyendo

e; en (1.91) por su forma

=

"V

v¡e¡

(1.91)

equivalente (1.89) da como resultado (1.92) : I

I

La comparación

de (1.92) con (1.90) revela que las componeotes del vector en los sistemas con primas y [

CAP.)

FUNDAMENTOS

sin ellas están relacionados

MA TEMA TICOS

25

por las ecuaciones

=

v,

I

(1.93)

aijVi

La expresión (1.93) es la ley de transformación de los tensores Cartesianos de primer orden y, como tal, se ve que es un caso especial de la forma general de las transformaciones de los tensores de primer orden, expresada por (1.80) y (1.77). Si en el desarrollo precedente se intercambian los vectores base con primas por los que no las tienen, se encuentra la inversa de (1.93) que es I

Vi

=

(1.94)

aijv¡

Es importante poner de manifiesto que en (1.93) el índice libre en ai¡ aparece como segundo índice. En (1.94), no obstante, el índice libre aparece como primer índice. Mediante una elección adecuada de los seudoíndices, (1.93) y (1.94) se pueden combinar para obtener la ecuación (1.95) Puesto que el vector v es arbitrario, (1.95) tiene que reducirse a la identidad Vj = Vj. Por lo tanto, el coeficiente aijaik, cuyo valor depende de los subíndices j y k, tiene que ser igual a 1 o O según si los valores numéricos de j y k son iguales o diferentes. La delta de Kronecker, definida por l parai 8ij

=j

(1.96)

{ O para i oF j

se puede usar para representar cantidades tales como aijaik. Así, con la ayuda de la delta de Kronecker condiciones implícitas en el coeficiente de (1.95)" se pueden escribir

las

(1.97) En forma

desarrollada,

(1.97) consta

de nueve ecuaciones

que son conocidas

togonalidad u ortonormalidad de los cosenos directores a.; Finalmente, combinar .nativa

para obtener

Vi

=

aijUkjV~

en la que las condiciones

como condiciones de orse pueden aparecen en la forma alter-

(1.93) y (1.94) también

de ortogonalidad

(1.98) Una transformación lineal tal como (1.93) o (1.94), cuyos coeficientes satisfacen (1.97) o (1.98), se dice que es una transformación ortonormal. Las rotaciones de los ejes coordenadas y las reflexiones de los ejes en un plano coordenada conducen ambas a transformaciones ortogonales. La delta de Kronecker se denomina algunas veces operador de sustitución puesto que, por ejemplo, (1.99) e igualmente, (1.100)

De esta propiedad está claro que la delta de Kroneckcr factor idéntico I simbólico, que se dio en (1.54). Según la ley de transformación con primas, dadas por

(1.94),

la diada

U¡Vj

es la parte correspondiente tiene componentes,

en notación

indicial al

en el sistema de coordenadas (1.101)

Por una generalización ley de transformación

obvia de (1.101), cualquier

tensar Cartesiano

de segundo orden

T¡j

obedece a la (1.102)

v Con la ayuda de las condiciones

de ortogonalidad,

resulta un cálculo sencillo invertir (1.102), dando así la

FUNDAMENTOS

26

regla de transformación

de las componentes

MATEMA TICOS

CAP.)

con primas a las componentes

sin ellas: (1.103)

Las leyes de transformación para tensores cartesianos tensor de orden N-ésimo, según I

Tijk.. 1.14

de primer y segundo orden se generalizan

=

aipajqakm

Tpqm

.•.

..

para un

(1.104)

ADICION DE TENSORES CARTESIANOS. MULTIPLICACION POR UN ESCALAR

Los tensores según la regla

cartesianos

del mismo orden se pueden Aijk

...

±

sumar

Bijk ...

(o restar) componente

=

Tijk

..

a componente (1.105)

La suma da lugar a un tensor del mismo orden que los tensores sumandos. Obsérvese que los índices iguales aparecen en la misma secuencia en cada término. La multiplicación de cada componente de un tensor por un escalar dado origina un nuevo tensor del mismo orden. Para el factor escalar A, son ejemplos típicos en ambas notaciones indicial y simbólica, los siguientes b, = Aai

Bi, = "-Aií

1.15

MULTIPLICACION

= Aa B = AA

b

o

o

(1.106) (1.107)

DE TENSORES

El producto externo de dos tensores de un orden arbitrario es un tensor cuyas componentes se forman multiplicando cada componente de uno de los tensores por todos los componentes del otro. Esta operación origina un tensor cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores factores. Son ejemplos típicos de productos externos

= t;

(a)

aibj

(b)

».r; =

(tijk

( e)

tu.r«; =

(d) tijkVm

=

iPijkm 0ijkm

Como se indica en los ejemplos anteriores, los productos externos se forman escribiendo sencillamente los tensores factores en yuxtaposición. (Nótese que una diada se forma por este procedimiento con dos vectores). La contraccion de un tensor respecto a dos índices libres es la operación que consiste en asignar a ambos índices, una misma letra como subíndices, cambiando de esta manera estos índices por seudoindices. La contracción origina un tensor que tiene un orden dos veces menor que el original. Ejemplos típicos de contracción son los siguientes: (a) Contracciones de Tij y uni,

t;

(b) Contracciones EijUj

Tu

+

de

Eijak

Tn

+ T33

b¡

e,« e,»,

j


CAP. 1

(c)

Contracciones

de

EijFkm

c;

EíjFím

ti; Kkm

EíjFki EiiFkm

27

EijFkk

r;

EijFjm

o:

EijFkj

u;

El producto interno de dos tensores es el resultado de una contracción, que da lugar a un índice por cada tensar, realizando después el producto externo de los dos tensores. A continuación se resumen como referencia varios productos internos importantes en la mecánica del medio continuo en ambas notaciones, la indicial y la simbólica. Producto

Externo

Producto lndicial

Notación l.

aibj

2.

aiEjk

Interno Notación

Simbólica

a'b

aibi

f

hj

a'E E'a

aíEik

h

aiEji

h

3.

e-r.;

EijFjm

a;

E'F

G

4.

EijEkm

EijEjm

e.;

E'E

(E)2

Las contracciones múltiples de tensores de cuarto orden u órdenes superiores gran utilidad. Dos de tales ejemplos son

1.16

1.

EíjFkm

contraído

a

EijFij,

o

E:F

2.

EijEkmEpq

contraído

a

EijEjmEmq,

o

(E)3

son, algunas veces, de

PRODUCTO VECTORIAL. SIMBOLO DE PERMUT ACION. VECTORES DUALES

Con objeto de expresar el producto vectorial a X b en la notación indicial, tiene que introducirse el tensar de tercer orden (ijk' conocido como símbolo de permutación o tensor alternante. Este útil tensar se define por . 1 -1 O

De esta definición,

el producto

si los valores de i, i. k son una permutación par de 1, 2, 3 (es decir, si aparecen en la secuencia 1 231 2). si los valores de i, i. k son una permutación impar de 1, 2, 3 (es decir, si aparecen en la secuencia 3 2 1 3 2). si los valores de i, i. k no son una permutación de 1, 2, 3 (es decir, si dos o más de los índices tienen el mismo valor). vectorial

a

X

b

= e se escribe

en notación

indicial como (1.108)

I

'Usando esta relación, el triple producto I

escalar a

X

b . e = x.se puede escribir ,\. =

€

ijkaíb jek

(1.10f1)

~uesto que este triple producto escalar su puede expresar en la forma de un determinante, según (1.52), ~o es sorprendente que el símbolo de permutación se use frecuentemente para expresar el valor de un ~etcrm inante de 3 X 3 com ponen tes. I

¡

I

'

FUNDAMENTOS

28

MATEMA TICOS

CAP.]

Conviene poner de manifiesto que lUk obedece a la ley de trasformación de los tensores cartesiano. de tercer orden mientras que la transformación sea una transformación propia (det aij = tal come aparece en una rotación de ejes. Si la transformación es impropia (det tu¡ = -1), es decir, una reflexión el: uno de los planos coordenadas, hace que un sistema de coordenadas positivo se transforme en otro negativo y se tiene que introducir un signo menos en la ley de transformación de l¡¡f:' Tales tensores se denominan seudo-tensores. El vector dual de un tensor cartesiano de segundo orden arbitrario Tij se define por

lt

(1.110

1

que se considera (1.15).

1.17

como el equivalente

indicial de

TVI

el "vector

de la diádica T", tal como se definió en

MATRICES. REPRESENTACION MATRICIAL DE LOS TENSORES CARTESIANOS

Un agrupamiento rectangular de elementos contenidos entre dos corchetes grandes y que depende de ciertas leyes de transformación, se denomina una matriz, Una matriz M x N es la que tiene M filas (horizontales) y N columnas (verticales) de elementos. En el símbolo Aij, usado para representar a un elemento típico de la matriz, el primer sub índice indica la fila y el segundo la columna ocupada por el elemento. La matriz misma se representa encerrando el símbolo típico de un elemento entre corchetes, o también por la letra cursiva de la matriz. Por ejemplo, la matriz M x N, eA, o [Aij] es el agrupamiento indicado por

eA

(1.111)

Una matriz para la que M = N, se denomina matriz cuadrada. Una matriz 1 x N,escrita (alk], se llama! una matriz fila. Una matriz M x 1 escriba [CLkl] , se llama una matriz columna. Una matriz que solamente: tiene ceros como elementos se llama matriz nula. Una matriz cuadrada con todos sus elementos nulos ex-! cepto los de la diagonal principal (desde AIl hasta ANN ) se denomina una matriz diagonal. Si los elernen-] tos no nulos de una matriz diagonal son todos la unidad, la matriz se denomina matriz identidad 01 unidad. La matriz N x M, cAJ'formada cambiando las filas por columnas de la matriz M x N,c4 se denomi-¡ na la matriz transpuesta de eA. : Las matrices que tiene el mismo número de filas y columnas se pueden sumar (o restar) elemento a elemento. En la multiplicación de la matriz [Ai¡] por un escalar .\ resulta la matriz [,\Au]. El producto de: dos matrices, cA'13, está definido únicamente si las matrices son conformes, es decir, si la matriz prefactor, eAtiene el mismo número de columnas que la matriz posfactor '13 tiene de filas. El producto de una matriz M x P por otra matriz P x N es una matriz M x N:La multiplicación de matrices se .indica mediante la sencilla colocación de los dos símbolos de las matrices en yuxtaposición, como en cA'13 =

En general, la multiplicación

e

o

de matrices no es conmutativa:

Una matriz cuadrada eA cuyo determinante elemento Aij de la matriz cuadrada eA, denotado

(1.112

cA'13 ,,¡: '13cA.

IAijl es cero se denomina matriz singular. El cojactor dei aquí por A~j, se define por (1.113f

CAP. 1

FUNDAMENTOS

MATEMA TICOS

29

en la que M« es el menor de Aij; es decir, el determinante de la matriz cuadrada que queda después de eliminar la fila y la columna en las que se encuentra Aij• La matriz adjunta de04 se obtiene sustituyendo cada elemento por su cofactor intercambiando después filas por columnas. Si una matriz cuadrada 04 = [Aii] es no-singular posee una matriz inversa eA -1 única, que se define como la matriz adjunta de eA dividida por el determinante de 04. Así, eA-¡ De la definición

(1.114)

de matriz inversa (1.114) se puede ver que (1.115)

donde ¿j es la matriz identidad, que tiene unos en la diagonal principal que se denomina así por la propiedad ,1eA = eA/J = eA

y nulos los demás elementos,

y

(1.116)

Está claro que ,1 es la representación matricial de la delta de Kronecker 8.,IJ y que 1, lo es de la diádica unidad. Una matriz 04 que satisface la condición 04T = eA-1 se llama matriz ortogonal. Según esto, si eA cs ortogonal, (1.117) De acuerdo al hecho de que cualquier diádica se puede expresar en la forma nonion (1.53) y, equivalentemente, puesto que las componentes de un tensar de segundo orden se pueden ordenar en disposición cuadrada (1.62), resulta en extremo útil representar a los tensores de segundo orden (diádicas) por matrices cuadradas de 3 x 3. Un tensor de primer orden (vector) se puede representar ya sea por una matriz fila 1 x 3 o por una matriz columna 3 x 1. Aunque cada tensar cartesiano de orden dos o menor (diádicas, vectores, escalares) se puede representar por una matriz, no toda matriz representa a un tensar. Si ambas matrices, en el producto eA'13 = son matrices 3 x 3 que representan a tensores de segundo orden, la multiplicación es equivalente al producto interno expresado en la notación indicial por

e

(1.118) donde el rango del índice es tres. El desarrollo de (1.118) reproduce la multiplicación de "filas por columnas" de matrices donde los elementos de la i-ésima fila de la matriz prefactor son multiplicados a su vez por los elementos de la k-ésima columna de la matriz pos factor y estos productos sumados dan el elemento de la i-ésima fila y k-ésima columna de la matriz producto. Varios productos de estos aparecen repetidamente en la mecánica del medio continuo los cuales son indicados aquí en varias notaciones como referencia y comparación.

(a) Producto escalar a·b

b·a

A

[a1i][bi¡J

= [A]

[a" a" a,] (b) Producto escalar vector-diádico. a' E

=

b

G:J ~

ac

[a,b,

+ a,b, + a,b,]

(1.119)

=
[aIE!1

+ a2E21 +

a3E31,

a1El2

+ a2E22 + a3E32,

. a1E13

+ a2E23 + aoE33]

(1.120)

CAP.!


30

(c) Producto

escalar diádico- vectorial E"a

=

Ea

e

=

c

[Eij][aj¡)

=

+ aZEl2 + a3El3 1

alEll [

1.18

SIMETRIA

DE DIADICAS,

MATRICES

[CiI] (1.121)

+ azE22 + a3E2;1 + a2E3Z + a3E33

alE21 alE3l

J

y TENSORES

Según (1.36) (o (1.37», se dice que una diádica D es simétrica (anti-simétrica) si es igual a (la negativa de) su conjugada De. Análogamente, el tensar de segundo orden Di; es simétrico si (1.122) y

es an tisimétrico,

si (1.123)

Por lo tanto la descomposición

de D» análoga a (1.38) es Dij =

o, en una forma equivalente

abreviada,

{(Dij

+ Dji) + {(Dij -

Dji)

(1.1.'24 )

empleada con frecuencia, (1.125)

donde el paréntesis que abarca a los índices denota la parte simétrica de Dii. y los índices entre corchetes indican la parte antisimétrica. Puesto que el intercambio de índices en un tensor de segundo orden es equivalente al intercambio de filas por columnas en su representación matricial, una matriz cuadrada eA será simétrica si es igual a su transpuesta O/lT. En consecuencia, una matriz simétrica 3 x 3 tiene solamente seis componentes independientes como se indica en AIl

eA

(1.126)

A12

eAT [

AI3

Una matriz antisimétrica es igual a la negativa de su transpuesta. Por consiguiente, una matriz 3 x 3 antisimétrica 'B, tiene ceros en la diagonal principal y, por lo tanto, solamente tres componentes indepen- . dientes, como se ve en

BI2 -B~2 -B13

[

O

(1.127)

-B23

Las propiedades de simetría se pueden extender a tensores de un orden mayor que dos. En general, se. dice que un tensar arbitrario es simétrico con respecto a un par de índices, si el valor de la componente típica permanece invariable al intercambiar estos dos índices. Un tensor es antisimétrico respecto a un par de índices si el intercambio de éstos conduce a un cambio de signo sin un cambio en el valor absoluto de! la componente. Ejemplos de las propiedades de simetría en tensores de orden superior son (a)

Rijkm

(b)

(ijk

=

=R

(simétrico en k y j)

-(kji

(antisimétrico

ikjm

en k e 1)

CAP. 1

1. 19

FUNDAMENTOS MATEMATICOS (c)

Gijkm

(d)

j3ijk

=G = =

(simétrico en ¡y

jimk

j3ikj

j3kji

=

j3jik

31

i: k Y m)

(simétrico en todos los índices)

VALORES y DIRECCIONES PRINCIPALES DE LOS TENSORES SIMETRICOS DE SEGUNDO ORDEN

En el análisis que sigue, solamente se consideran tensores simétricos con componentes reales. Esto simplifica un poco los tratamientos matemáticos, y puesto que los tensores importantes en la mecánica del medio continuo son normalmente simétricos, esta restricción solamente supone una pequeña pérdida de generalidad. Para cada tensor simétrico Ti; definido en algún punto del espacio, hay un vector dado por el producto interno que está asociado a cada dirección (especificada por un vector normal unitario ni) en ese punto (1.128) Aquí, Tij se puede considerar como un operador vectorial lineal que origina el vector Vi asociado a la dirección ni. Si la dirección es tal que Vi es paralelo a 1/,;, el producto interno se puede expresar como un múltiple escalar de 1/,;. En este caso, (1.129) y ni

la dirección de 1t¡ se denomina dirección principal o eje principal de Tij• Con la ayuda de la identidad == Sijnj, (1.129) se puede poner en la forma (1.130)

que representa un sistema de tres ecuaciones para las cuatro incógnitas, 1/,; y A, asociadas principal. El sistema que se ha de resolver, expuesto en forma desarrollada es (Tu - A)n¡

+T

I2n2

+T

13n3

O

A)n2

+ TZ3n3

O

T21nl

+(T22

T31 nI

+ T32nZ + (T33

-

-

~\)n3

a cada dirección

(1.131)

O

Nótese ~ue para cualquier valor de A, la solución trivial ni = O, satisface a las ecuaciones. No obstante, se trata de obtener soluciones no triviales. También, de la homogeneidad del sistema (1.131), no se incurre en ninguna pérdida de generalidad limitándonos a las soluciones para las que 1/,;ni = 1, imponiéndose esta condición a partir de ahora. Para que (1.130) o, sus equivalentes, (1.131) tengan una solución no trivial, el determinante de los coeficientes tiene que ser nulo,esto es ITij-ASijl

El desarrollo

de este determinante

conduce a un polinomio .>.a -

=

(1.132)

O

cúbico en A,

lT.\.2 + lIr.\. - IIIr

= O

que es conocido como la ecuación característica de T;j, Y para el que los coeficientes

(1.133)

escalares, (1.134) (1.13.5)

IIlr

detTij

(1.136)


32

CAP.!

se llaman el primer, segundo y tercer in varia n tes, respectivamente, de Ti; Las tres raíces de la cúbica (l. 133), denotadas por A(I), 1\(2), A(3), se llaman, los valores principales de Tij• Para un tensar simétrico de componentes reales, los valores principales son reales; y si estos valores son distintos, las tres direcciones principales son mutuamente ortogonales. Cuando se refieren a sus ejes principales, tanto el tensar como su matriz aparecen en la forma diagonal. Así,

o

(T

T

o

(1.137)

'[

o

= A(2), el tensar tiene una forma diagonal que es independiente de la elección de los ejes de AC]) Y ,una vez que se haya establecido el eje principal asociado con A(3). Si todos los valores principales son guales, cualquier dirección es una dirección principal. Cuando se ordenan los valores principales, es cosurnbre escribirlos como Am, A(m, Am[) Y establecer el orden A(I) > Acm > AmI)'

Si

A(l)

A(2)

Para los ejes principales señalados dada por los elementos de la tabla

por Oa;;:t~~'x~, la transformación

Xl

XI

x*1

Ull

=

x*2

a21

=n

x*3

a':J\

=

en la que n¡ilson los cosenos directores

1.20

n(O I (2)

1

ni3)

OXI~r2~r3

está

X:l

a-12

=

n~1)

a'I3

= nCll 3

an

=

n(Z) 2

a23

=

n~2)

a32

=

n~3)

a3:3

=

n~3)

de laj-ésima

a partir de los ejes

dirección principal.

POTENCIAS DE TENSORES DE SEGUNDO ORDEN. ECUACION DE HAMILTON-CAYLEY

Mediante una multiplicación directa de matrices, el cuadrado del tensar Tij está dado por el producinterno Tik Tk¡; el cubo por Tik Tkm Tm¡; etc. Por lo tanto cuando T;¡ está escrito en la forma diagonal U. 13 7), la n-ésima potencia del tensar será

¡

III

(T)n

(/\~\) O

1\~2)

~)

O

A~3)

o

lA~O A~2) ~]

rt=

O

,

La comparación de (1.138) Y (1.137) indica que Tij y todas sus potencias mismos ejes principales.

O

de números

(,.,381

¡

,\73)

enteros,

tienen lo~ ¡

Puesto que cada uno de los valores principales satisface (1.133) y debido a la forma diagonal de le matriz n» dada por (1.138), el tensor mismo satisfará (1.133). Entonces, '[3 -

IrT2

+ IIrT

- IIId

= O

en la que /J es la matriz identidad. Esta ecuación se conoce como ecuación de Hamilton-Cayley: r mlicación de las matrices de cada término de (1.139) por T origina la ecuación,

(1.13[)

La rnul-

(1.140)

•••

¡

CAP. I


Combinando

(I .140) Y (1.139) por sustitución

=

T"

Continuando

de esta manera

obtenemos

33

directa,

+

(I~ - IIT)'P

+ ITIIITc.IJ

(IIIT - IrlIT)'T

las potencias positivas de

'T como

(l.Hl)

combinaciones

lineales de

'T2, 'T

e/J.

1.21

CAMPOS TENSORIALES.

DERIVADAS

DE TENSORES

LJn campo tensorial asocia un tensor T(x, t) a cada par (x, t), donde el vector de posición x varía en una región particular del espacio y ( varía en un intervalo particular de tiempo. Se dice que un campo tensorial es continuo (o diferenciable) si las componentes de T(x, t) son funciones continuas (o diferenciables) de x y t. Si las componentes son funciones de x solamente, se dice que el campo tensorial es estacionario. Respecto a un sistema' de coordenadas un punto arbitrario es

cartesianas

rectangulares,

para el que el vector de posición de (1.H2)

los campos tensoriales

de varios órdenes se representan

en notación simbólica e indicial por

(a) campo escalar:

=

(Xi,

t)

o

q)

(b) campo vectorial:

1.';

=

v¡(x, t)

o

v

(e) campo tensorial

de segundo orden: T¿ = Tij(x,

t)

o

= T

=

(x, t)

(1.H3)

v(x, t)

(1.H4) (1.145)

T(x, t)

La diferenciación

de las componentes de un tensor respecto a las coordenadas Xi, se expresa por el operador diferencial iJ/éJ;?;;, o brevemente en la forma indicial por i}¡, que representa a un operador tensorial de orden uno. En la notación simbólica, el símbolo correspondiente es el operador vectorial bien conocido 'V, pronunciado nabla y escrito explícitamente d

A

(1.H6)

Ci

aXi

Con frecuencia,

la diferenciación

por el convenio de subfn-

parcial respecto a la variable Xi se representa, en los ejemplos siguientes.

dices, con una coma, tal como se representa d.p

(a) a a:;

(lJ) (e)

dVi

sx. s», dXj

.p.

a Vi -(d) aXjaXk

V t..••

(e)

V t,J ..

(1)

2

,t

aTij dXk

=

=

»t; dXkdXm

Vi,jk

Ti). k

=

TiJ•ltm

se ve que el operador él¡ da lugar a un tensor de un orden más alto si i permanece como .ndice libre (véase (a) y (c) ), y un tensor de un orden inferior en uno si i se convierte en un seudoindice , \ case (b) ) en la deri vada. ln estos ejemplos

A menudo

aparecen varios operadores diferenciales a continuación como referencia.

importantes

en la mecánica

del medio continuo

los que se presentan

g rad = "Y

divv'=

"Y. v

rol v = "Y x v '\]21> = "Y.

"Y

a.p -e¡ A

éJx¡

cp. I

(1.H7)

=. v¡,¡

(1.H8)

o

ai.p =

o

aiv¡

o

(I)k

o

u

d

'"

aj

v" = = "'.u

(i}Ie

V",j

(1.H9) (1.150)

34

1.22

FUNDAMENTOS

INTEGRALES

CURVILINEAS.

MATEMA TICOS

TEOREMA

CAP.

~

DE STOKES

Dada una región del espacio, se define la función vectorial de posición, F = F(x), en cada punto de la curva e indicada en la Fig. 1-10. Si dx es el vector tangente diferencial a la curva en el punto arbitrario P, la integral

i

F'dx

f

n x

F· dx

(1.151)

XA

tomada a lo largo de la curva desde A hasta B, se conoce como la integral curvilinea de F a lo largo de C. En la notación indicial, (J .151) se convierte en , (1.152)

Fig. 1-11

Fig.1-10

I,

El teorema de Stokes dice que la integral curvilínea de F tomada alrededor de la curva cerrada C, tal como se representa en la Fig. 1-11, puede ser expresada como la integral extendida a una superficie S de dos caras, que tiene a la curva e como contorno. Explícitamente, .

f

F· dx

Ss n' (\7 x F)

dS

en la que ñ es el vector normal unitario del lado positivo de S y dS el elemento diferencial tal como se ve en la figura. En la notación indicial, (1.153) se escribe

f 1.23

TEOREMA

Fid~;i

Ss n¡€ijkFk.jdS

(1.153):

de superficie, ,: r

(1.154)1

i

DE LA DIVERGENCIA

DE GAUSS I

El teorema de la divergencia de Gauss relaciona una integral de volumen con una integral de super- ' ficic. En su forma tradicional el teorema dice que para el campo vectorial v = v(x),

Iv

divvdV

1:

ñ·

v dS

donde íi es el vector normal unitario y exterior a la superficie S que contiene el volumen definido el campo vectorial. En la notación indicial, (1.155) se escribe

Iv ~

v¡.¡dV

(1.155)

Ven el que está

(1.156

CAP.

l

FUNDAMENTOS

MA TEMA TI COS

35

El teorema de la divergencia de Gauss tal como se expresa por (1.156) puede ser generalizado a un campo tensorial de cualquier orden. Así, para el campo tensorial arbitrario Tijk el teorema se escribe (1.157)

Problemas Resueltos ALGEBRA 1.1

DE VECTORES

y DIADICAS

(Sec. 1.1-1.8)

Determinar en forma cartesiana rectangular, el vector unitario (a) que es paralelo al vector v = 21 + 3 j -- 6k, (b) a lo largo de la línea que une los puntos PO, 0, 3) Y Q(O, 2, 1). 'v]

(a)

v

=

'C'

V(2y:i:¡:(3)2 + (_-6)2 =

:c::

= v/v

i+

== (2/7)

7

j - (6/7)k

(3/7)

.,....-...,.----'''''

Q(O, 2, 1)

(b) El vector que va de P a Q es

u - (O- 1)i

+

(2- O)j

y

+

(1 - 3)

k

-i+2j-2k y(-1)2

U

+ (2)2+ (-2)2

Así,

A

1.2

U

Probar

que el vector

de ecuación

r; "1

Sean 1'(x1, + (¡VI 1- C'I

;xz - Xl)

ax

y¡, ;~¡)

:= x y

i + (112 1

u'v

11¡)

aX2

j+

-

Xl) i

= ai + b j + e k

v

+ cz

y Q(X2'

A

-; [(x2

u

..¡ by

dirigido de P a Q

-(1/3)

U

o

3

cee

i + (2/3) j - (2/3) k (1/.3) i - (2/.3) j + (2/3) k

A

1Iz, "2) dos puntos

(Z2 -

Z¡)

+ (112 -

y¡)

1 - (ax" + by., -t- cz., u -

dirigido de Q a P

es perpendicular

al plano

= A.

+ bY2 + CZ2

-1- (z2-z¡)kl'

Fig. 1-12

cualesquiera

en el plano.

= ~ y el vector que une estos puntos

k.

La proyección

de v en la dirección

Entonces es u

de u es

A

[ni

j

+

a:c¡ -

Puesto que u es un vector cualquiera

bj

+ ck]

by¡

-

y

cZ¡)

en el plano,

Ves ..L al plano. Fig. 1-13

1.3

Si r = xi + y j + zk es el vector que va desde el origen a un punto arbitrario P(x, y, z) y d == a i + b j + ck es un vector constante, probar que (r - d) . r = O, es la ecuación vectorial de la esfera. [)l'sarl"Ollando el producto (r-d)'r

Añadiendo

d2/4

= (a2

escalar indicado =

[(x-Cl)i+(y-b)j+(z-c)kj'[xi+yj'+zkj

=

X2

+ b2 + c2)/4

+ y2 + Z2

a cada miembro

(x -- a/2)2 que es la ecuación

+

-

ClX -

by - cz = O

de esta ecuación,

(y -- b/2)2

+

(z - c/2)2

de la esfera con centro en dl2 y radio dl2.

resulta = (cl/2)2

36

1.4

FUNDAMENTOS

el producto

a

[(b

X

=

a X [lb X e) X rl

Además,

X

Así,

-(b'

r)e

Esta identidad cuerpo.

e)

r]. Desarrollando

X

a X [(b' r)e -

=

X

a

(e' r)a

X

(a· b

e)r

X

b

= =

es útil para especificar

(a· r)b

=

-(b' r)e X a -

(a· r)b

(a· r)b X e -

e _. (a· h

X

+

e

X

e)r

y

(b : r)e x a

+

el desplazamiento

(c : r)a X b

X

(a· b X e)r

(e' r)a

de un cuerpo

X

rígido

b en función

a' b

Los vectores a. b, y e son linealmente dependientes si existen las constantes ;l., }1 y O. Las ecuaciones de las componentes escalares de esta ecuación vectorial son

v,

=

+ ,·ex

O

+ }1by + =. + I,bz + vez

O

+

A(J,x

Aay },az

pbx

tiene una solución no nula para A,

que es equivalente

}1

Y

b¡

ay

by

cy

az

bz

e,

I

ex

X

arbitrarios

e::::: O. Comprobar

del

la in-

no todas nulas, tales que x a

+

I'b

de los coeficientes

se anula

O

¡

a a' b X e = O. Para la base propuesta

u, v, w,

1 -2

o

-1

-1

4

1 -2 los vectores u. v, w son linealmente

de tres puntos

O

si el determinante

l' ,

a·x

3

Entonces

entre corchetes,

4i - j - k i - 2j + k

w

Este conjunto

vectorial

3i + j - 2k

v

1

dependientes,

y por supuesto

v

u

+ w.

Demostrar que una diádica cualquiera de N términos puede ser reducida a una diádica de tres términos en una forma que tiene a los vectores base el, e:l como (a) antecedentes, (b) consecuentes.

ez,

Sea o (a)

=

a.b¡

+ a2bZ + ... + 3NbN

En función de los vcctores base, 3¡

(h) De igual modo haciendo

1.7

el producto

Demostrar que si los vectores a, b y e son lineal mente dependientes, dependencia o dependencia lineal de la base

+ ve

1

b.

X

directamente

=

(e' rjb]

a X (v X r)

u

1.6

+ (e- r)a

a

X

CAP.

b X e = v,

haciendo

a X [(b X e) X rl

1.5

+ (b· r)c

Probar que [a- b x c]r = (a' r)b x e Consideremos

MATEMA TI COS

Probar Sea,

b, =

bj¡ej

=

= a.b¡

(J,¡¡e¡

(i

+ 32bz + ... + 3NbN.

=

1,2, ... , N).

+ aZ¡e2 + u:Jie3 :=

se sigue que

para la diádica arbitraria D

= a.b,

o:::::

a¡bj¡ej

=

aj¡~j

y así D

(bj¡a¡)ej

=

=

gjej

D y el vector v, que D • v :::::v· De. Entonces

aj¡ejb¡

=

ej(aj¡b;l

donde i= 1,2,.3.

=

ejej conj

= 1,2,.3.

CAP.

I

FUNDAMENTOS

1.8. Probar

que

De

=

(De' O)c

(1.71).

o

MATEMATICOS

37

De' O.

= D¡je¡ej

y

De

=

Dj¡e¡e¡.

Por lo tanto,

y

1.9.

Probar que

(O

x v),

=

-v

X De.

O X V = al(b¡

+

(b[ X v)al

(O X v)¿

-(V

X V)

X bl)a¡

+

a2(b~ X v)

(bz X v)a2

+

+ ... + a",(b,y + (b", X v)aN

(V X bZ)a2 -

-

-

X v)

(v X bN)aN

1.10. Si O = a1i+bjj+ckk yreselvectordeposiciónr representa el elipsoide ax2 + by2 + cz2 = 1.

= xi+yj+zk,demostrarquer'D'r=l

(xi + yj + zk)' (aii + bjj + ckk)' (xi + yj + zk) (x i + y j + z k) . (ax i + by j + czk) = ax2 + by2 + cz2 1.11.

Dadas las diádicas D = 311' + 2jj - jk + 5kk Y F parar los dobles productos escalares D: F y D·· F.

=

De la definición ab: cd O •• F 12 + ::l+ 5 20.

=

1.12.

=

Determinar

las diádicas

De la definición

de G

G

ab

>

1.13.

= 17. También,

- 3kj + kk, calcular

de ab

>

•

cd

+

AA

+

12 j j

AA

AA

A.A

3 j j - j k - 15 k j

+

AA

5k k

4ik + 6jj - 3kj + kk) . (3ii + 21"1"- jk + 5kk) 20ik + 121"j - 6jí? - 6kj + 8kk

Probar directamente a partir de la forma nonion de la diádica O que O (O' k)k y también que i· D· i = u.; i· D' j = o.; ete. Escribiendo O

=

O

en la forma nonion y reagrupando

(Dx)

+ Dyxj +

+

Dak)i

(Dxui'

términos,

+ Dy3 + Dzyk)j

+

(DxJ

+ DyJ' +

Y ahora A

j • o·

A í

=

=

Dyx.

DJi~'

etc.

Dzzk)k

y corn-

(b : c)(a • d) se sigue-que

F Y H = F' O si D y F son las diádicas dadas en el Problema

(úi + 2jj - jí? + 5kk). (4ií? + 61"j - 3kj + kk) AA

H

= D'

+5

+ 6 jj

cd = (b· c)ad,

12 i k Análogamente,

d) se ve que D : F = 12

(a· c)(b'

4ik

1

1.11.

38

1.14.

FUNDAMENTOS

Para una diádica antisimétrica Del Problema

=

1.6(a), A

o 2A

2b·

yasi,

[(b' e¡)c¡

A

¡( ~l 1.15.

u

+

~2C2

(elc¡

-

c¡el

Acontinuación

+

(h c¡)e¡]

-

>

X el) X b

+

AA

=

O

=

-

e2e2 -

C3e.1)

C2e2

+

e3c3

C;:e3)

AA

= (3 i i -

-

+

+

=

(e;l X C:3) X b]

2A

=

A

(A - Ac)

[(b' e3)c3 - (b : C3) e31 (Au X b)

A

5 j, demostrar

V

que 2b·

4kk)'

por cálculo directo que

A

AA

A

AA

6i j -

-30i

(-51 + lOk)

AA

O'

(u

X

v)

+ 40k

AA

=

AA

AA

AA

-6ik+f;kj-6ij+3ii

AA

A

A

A

= -30 i + 40k

6 i k + 8 k j) • 5 j

la diádica AA

AA

AA

AA

AA

3 i i - 4 i j + 2 j i + j j + kk

como un operador vectorial lineal, determinar que resulta cuando O actúa sobre

el vector r' y

4i + 2j + 5k.

r

1

lOk - 51,

AA

Considerando

cle¡

(6ii+3ij+4kk)x(2i+k)

(O X u)· v

b,demostrar

[(b' ez)cz - (b : c2)e2]

(u X v) = (611 + 311'+

DXu

y

+ e3c:! + e2c2 -

(e2 X c2) X b

(2i + k) x 51'

CAP.

y puesto que es antisimétrica,

2i + k,

v

X

D'

1.16.

(~lel

SiD=6if+3ij+4kkYu (O X u)· v. Puesto que

el vector arbitrario

A y

+ ~2C2 + ~3C3;

~¡el

MA TEMATICOS

r'

r

D'

+ 81' - si + 4i + 101' + 5k l2i

5k

21' +

Fig. 1-14

1.17.

Determinar (b) = b + b

la diadica O que sirve como operador vectorial lineal para la función vectorial r donde r = + yj + zk y b es un vector constante.

a

f

xi

X

Según (1.59) y (1.60) se escriben los vectores A

A

U

f( i )

V

- f( j )

A

A

A

w A

A

A

zi

Xr

A

A

A

A

AA

o

=

ui + vj + wk = (i - zj + yk)i

y

a

=

D'

b

=

(bx + buz - b,y)l

-yi

=

bJ+buÍ··¡

b,k+(byz-b,y)i+

e e

T

A

e~,

=

directa, A

(cos e eos IJ) i

+

Fig. 1·15, A

A

j - xk

+

A

A

xj +k A

AA

A

+ (-yi

A

+xj

AA

+ k)k

+ (-bl"z -t- by + box)j + (bxY - byx + bz)k

Expresar la triada unitaria eq,' o' en función de giro positivo probando que e,!> x ea = e,. Por una proyección

A

A

+ (zi +- j - xk)j

se puede obtener el mismo resultado

a = b+bxr

.• A

k + k Xr

Entonces

Como comprobación

1.18.

A

f(k)

A

i - z j + yk

Xr

A

j + j

A

A

A

i + i

A

(cos 1> sen IJ) j - (sen cf» k

desarrollando

directamente

la función

vectorial.

(b,x-bA1'+(b,y-byx)k

1,1, k

y comprobar

que la triada c~rvilínea es di

CAP.

1

FUNDAMENTOS

e-e = (-

+

sen 0)1

+

39

j

(cos e)

"(sen e cos o) i

MATEMATICOS

"-

"-

+

(sen e sen o) j

(cos e) k

y además

"-k

"-j

"-i cos.p cos

o

o

cos

o

-sen

cos

-

sen
o

° "-

y

A

cos ej k = e,.

[(cos20 +sen20)

Fig. 1-15 AA

1.19.

Descomponer ti simétrica. Sea

o

la diádica

= E+F

donde

E

AA

D

3ii

= r,

y

A_

A.A

AA

AA

AA

A.A:

(112)(6 i i + 4 i k + 4 k i + 6 j i + 6 i j AA

+ AA

+

3 í i

10 k i AA

AA

(1/2)(0 -

F

AA

-3

1.20.

+

+3j

+

AA

6j i - 6i j

AA

i j - 3 ik

A.A

A. A.

3j i

A,A..

AA

i - j k

+

2k j

+

7j j

+

14 j j

+

7k i

AA

2 j k) AA

+

j k

AA

AA

AA

10 k i - 10 i k

A,¡I'>..

3k i

AA.

+

AA

+k

j

AA.

+2kj

=

fe AA

- 2 j k)

AA

+k

j = -Fe

Respecto a un conjunto de vectores base al, az, a3 (no necesariamente unitarios) se dice que el conjunto al, a2, a3 es una base recíproca si a¡' a' = 8ij. Determinar las relaciones necesarias para ia construcción de los vectores base recíprocos y llevar a cabo el cálculo para la base

a2/' general.

,

~k,jr

=

Para la base

=

=

b¡. b2, b3,

l/A

a? X = ----

=

b¡ • b2

=

X

r.;

= 12

b3

"-

+

(ba X b¡)/12

- i/3

b3

(bl

2 i/3 -

b2)112

X

"-

CARTESIANOS

.•... j /4

la suma sencilIa

BUj

representa

a tres sumas:

Aj¡

=

"-j/2

.•...

(Sec. 1.9-1.16)

de los siguientes símbolos tensoriales

(3) Para

+ A22 + A33' i = 1, B 111 + B¡22 + B133' i = 2, B211 + B222 + B233. i = 3, Ball + B322 + B333'

All

(1) Para (2) Para

=

+ k/12 "+ 5k/6

a¡bjSij.

representa

a a2 Y a3' Por lo tanto será paralelo a 1I(a1 • a2 X a3) 1/[a1a2a3]. Así, en

y

b2

Aii

=

a3

(b2 X b3l!12

INDICIAL-TENSORES

B;jj, R¡j, a¡

=

aa

Para índices de orden tres, dar el significado Aii,

=

[a1a2a3J'

b1

NOTACION

=

.ión , a¡ • al 1, a2 • al 0, a3 • al O. Entonces al es perpendicular al A(a2 X a3)' Puesto que a¡ • a¡ 1, al' Aa2 X a3 1 YA

al

1.21.

4k i

AA

AA

+

10 i k

AA

AA

(1/2)(4 i k -

Del

AA

+

+7ik +

3i j

j en sus partes simétrica yan-

Entonces

-Fe'

AA

.=:

"''''

+ 4 i k + 6 j i + 7 j j + 10 k i + 2 k =

F

AA

cartesianos:


40 R¡j,

representa

a las nueve componentes:

representa

a¡Ti.j

a¡bjSij a3bjSSj'

a tres sumas:

Rll,

(1) Para

j

(2) Para

j

(3) Para

j

R¡2'

= 1, = 2, = 3,

=

+

a¡b¡Sll

a¡b2S¡2

-/- aZb3S23

Calcular las expresiones orden tres.

=

(a)

0ii

(b)

OijOij

(e)

0ijOikOjk

(d) 8ijojk (e)

1.23.

R22,

R23,

+ 022 + 833 = = o¡jll¡j + 02j82j +

=

a¡T¡3

=

0ijAik

primero

respecto a i,

a¡bSS¡3

+

a2b¡S21

+

a2b2SZ2

+

a'3blSS1

+

a3b2S32

+

a3b3S33

=

03j1l3j

=

a¡bjS¡j

la delta de Kronecker

8ij

+ aZbjS2j +

a¡bjS¡j

para índices de

3

+ 02jo2klljk + 03jll3kOjk + 8i282k + lli31l3k = Ilik + 02jA2k + 03jA3k = Ajk

0101k

R33'

+

3

O¡jOlkOjk

0ilolk

R32,

3

011

=

R31,

+ aZT2¡ + aST3¡. + a2T22 + a3T3Z' + aZTZ3 + a3T33'

Tll

a¡T¡z

siguientes en las que interviene

Para el símbolo de permutación (b)

al

R2¡,

representa una suma sencilla de nueve términos. Sumando Sumando ahora cada uno de estos tres términos respecto a) a¡bjSij

1.22.

R¡3'

CAP.!

probar mediante un desarrollo

Eijk,

directo que

(a)

6,

EiikEkij

= O.

Eijkaja"

se suma en i,

(a) Primero

A continuación,

Sumando

se suma en).

en K, los términos

finalmente ~ijk'kij

(b) Sumando

Los términos

+

no nulos son

no nulos son

==

'123'312

=

(1)(1)+ (-1)(-1)

'132'213

+ ~213'3Z1 + '231'123 + '312'231 + + (-1)(-1) + (1)(1)+ (1)(1)+

~321~132

(-1)(-1)

6

a su vez en) y k,

=

~ijkaja"

ak

~ilkal

+

Ei2kQ.ZQ."

+

f¡lSQ.IQ.3

+ +

~i3ka3ak 'iZla'Zal

+

a

'iZ3aZ '3

+

'i31a3al

+

'i32a3a2

De esta expresión, i

cuando cuando

Obsérvese

1.24.

que

Determinar (a)

(b)

ti

=

=

i

cuando

1,

fljkap"

a2a3

-

a3az

O

2,

E2jkaja"

ala3

-

a3al

O

3,

<3jkaPk

alaz

-

a2 ¡

a

O

es la forma indicial del vector a multiplicado

'¡jkajak

<;j"Tjk
ti

C'~d

t2

c2.1 b1

=

fZ13T13

+

'231T31

.b,J - e,1,1. ·b·1

(CZ.I

-

+

cz.zb2

c¡.2)b¡

+

CZ.3b3

+ (C2.3

por sí mismo, o sea a

12 para las expresiones vectoriales dadas a continuación.

la componente

/2

vectorialmente

-

-

CI.2b¡

c3.z)b3

-

c2.zbz

-

C3.Zb3

X

a

=

O.

CAP,

1

FUNDAMENTOS (e)

1.25.

I¡

Bi¡l/

12

B2¡/~

Desarrollar

+

y simplificar

en lo posible la expresión

=

D;jx¡xj

+ Dzz(xZ)2

(a)

DijXiXj

Dl1(X¡)2

(b)

DijXiXj

O puesto que

D;íx¡x;

para

+ D2jXZXj + D3;X3Xj + D¡2x¡xZ + D¡3X¡Xa + DZ¡xZx¡ + D22XZX2 + D23xzxa + Dalxax¡ + D32x3X,z + D33x3x3 + D3a(X3r~ + 2D12X¡x2 + 2D23xZXS + 2D13X¡x3

=

Dll

-Dll'

D12

=

-D2V

ete.

Probar que fijk'kpq = 8ip8j 8;q8jp para (a) i = 1, j = q = 2. (En el Problema 1.59 se indica que esta identidad se mantiene 'j

(a) Introdúzcase Entonces,

i

=

=

1, j

Di,

(a)

D1;x¡xj

DlIx¡x¡

1.26.

4i

+ B23fJ

B2zf;

Desarrollando,

MA TEMATI COS

-

=

2, p

3, q

=

p

= =

= 3 Ypara (b) i q 1, j = para cada elección de índices.)

2 Y nótese que como k es un índice de suma tomará

p

=

2.

todos los valores.

O

(b) Introducir

i

=

1,

j

=

2,

=

P

2,

q

=

1. Entonces

€¡ík'kpQ

=

€123€321

=

-1

Y ll;pll;Q -Iliqll;p

= -1. 1.27.

Probar

que el tensor

= '¡ílea;

Bi;

A partir de la definición

de

el intercambio

'ijle

=

Bu"

1.28.

1.29.

de dos índices origina un cambio de signo,

-(Ek;iaj)

antisimétrico

-;»..

la ecuación

=

Eijkaj

Si Bi, es un tensor cartesiano

Multiplicando

es antisimétrico.

dada por

'pqi

=

=

-(Bki)

-Bki

para el que el vector b,

y usando la identidad

dada en el Problema

1.26.

Determinar directamente las componentes del tensor métrico en coordenadas polares esféricas, como se indica en la Fig. 1-7(b). Escribir

(/.87)

como

Upq

= -'aoiJX'p -'iJx· iJOq

como se indica en la Fig. 1-16 Entonces

X

1.

X2

I/¡

sen

e¡ sen

(r

=

y señalar

°

1•

°

2,

las coordenadas

e = o;¡).

1/2 COS 1/3

°

2

sen

°

3

Fig. 1-16

De aquí, 1/1

cos e2 ros

l/a

-e

1

sen

1/2

scn

e.1

=

1l121l21 -1l111l22

42

FUNDAMENTOS

MATEMATICOS

iJx2

171cos

iJ172 ,h'3

de las cuales

sen

U 11

iJxi

2

172 cos? 17;¡ -;--

aX2 iJ/73

172 sen 17:]

sen

-91

a172

CAP.

171sen

172 cos 173

aX3 17~

sen

2

°

de3

+

172sen 217;;

COS2

172

1

OXi

0172 0172

iJxi iJxi 0173

También,

Upq

=

g¡2

°

para p ~ q.

=

iJXi

aXi

a171

aoz

Así, para coordenadas

1.30.

éJ173 Por ejemplo, (sen

+

172 COS 173)(17¡

(sen s, sen

cos

17~ cos e;¡)

173)(8¡

cos

172 sen e;¡)

(eos

-

172)(81

sen 82)

°

esféricas,

(ds)2

Probar que la longitud de un elemento de línea ds resulta del incremento de la coordenada curvilínea está dada por ds = ,¡g;; dei (sin suma). Aplique resultado al sistema de coordenadas esféricas Problema 1.29.

que de¡

este del

Escríbase (1.86) como (ds)2 = Upq d8p dl7(/" Así, para el elemento de línea (dI71, O. O), se sigue que (dS)2 = gll(dl7¡)2 Y ds = V~ del' Análogamente, para (O, d17z, O), ds == dl7z; y para (0, 0, d173), ds = ~d83' Por lo tanto (Fig. 1-17),

.¡¡¡;;

Fig. 1-17 (1)

1.31.

Para

(de¡,

0, O),

a»,

ds

(2) Para

(O, dl7z, O),

ds

(3) Para

(0,0,

ds

dI73),

=

17¡ d172 171

sen

Si el ángulo entre los elementos a d emos t rar que 1-'¡2 Sea

ds¡

= .,,¡¡¡;¡ de¡

cribase (l.85)

como (ds)2

=

dr

=

rd",

=

172 de3

r

sen '"

dl7

de línea representados

por (del, 0, O) y (O, de2, O) se denota por

(3¡2'

.012

= V,-ra:;:; g¡¡ \ .022 la longitud

d.x¡ ==

iJxi -él dlJ¡,. I7k

dx¡ tlx¡

=

del elemento

Usando ahora el resultado

por(dl7¡, 0, O:·y

Y puesto que (ds)2 == cos /312 ds¡ clsz• Ilil dx¡

iJxl ax¡ -a 8,

de línea representado

-a d81 d172 172

del Problema

=, aX2

+ -;vOl 1.30,

aX2

-a 172

ax;¡ aX3

a», d172 + -ae

COS

1

/3¡2

-017

2

d81

e»,-

dsz

==

yg;; do¿ el

de (O, d172, O).Es-

I

CAP. 1

1.32.

FUNDAMENTOS

43

Mediante una rotación de un ángulo 9 alrededor del eje X:3 se obtiene un conjunto de ejes cartesianos con primas O:r~:r~xf. Determine los coeficientes de transformación aij que relacionan los ejes entre sí y dé las componentes con primas del vector v = V1Cl + V2CZ + V3C;1. De la definición de aij = COS(Xi'X) la Fig. 1-18, la tabla de los cosenos directores es

Xl

,

COS

Xl

,

X2

o

-senO

X2

o

O

COS

O

O

O

Así, el tensar de transformación

Según la ley de transformación

(ver Seco 1.13) y

X3

sen

O

X~

1

es

Fig. 1-18

de vectores (1.94), v;

a¡jvj

V¡

V2

aZjvj

-vi

v'

a3jVj

V3

I

1.33.

MATEMATICOS

3

+ 'L'2 sen s scn e + Vz cos o

cos

e

En el cuadro de la derecha, se da parcialmente la tabla de cosenos directores que relaciona dos conjuntos de ejes cartesianos rectangulares. Determine los valores de la última fila de la tabla de forma que Ox~x~:r; sea un sistema de giro positivo.

X¡

X2

X3

X¡

3/5

-4/5

O

x'2

O

O

1

I

I

X3

El vector unitario -;;; a lo largo del eje x~ está dado por la primera fila de la tabla como Igualmente se ve que -;;; = Para un sistema de giro positivo con primas x

e,1'

x ¡;-:J

1.34.

=-

(-a/5)

e

2 -

(4/5)

el

-e;

y la tercera fila es

W

Sean dados, por la tabla de la derecha, los ánentre las direcciones coordenadas con primas y sin ellas. Determine los coeficientes de transformación aiJ Y probar que se cumplen las condiciones de ortogonalidad.

-1/~ (

y se

li2

1Iv'z

1//2

112

-1/2

)

1//2 -1/2

e¡ .-

I~

--4/51-3/5

Xl

X2

X3

x~

135°

60°

1200

:r'2

90°

45°

45°

x!¡

45°

60°

1200

gulos

Los coefi-ientes dij son los eosenos directores pueden calcular directamente de la tabla. Entonces

-;;; = (3/5) -;;1 - (4/5) -;;2' =[(3/5) (.1/5) ezJ

-e; -e; o "e;

44

FUNDAMENTOS Las condiciones

de ortogonalidad

s jk

o.¡/Lik:=

MATEMATICOS

CAP.!

requieren:

+ o.~¡o.2¡ + 0.310.31 =

1.

Para j = k == 1 que columna.

2.

Para j = 2, le 3 Que o.12a13 + a22o.23 de la segunda y tercera columnas.

3.

Dos columnas cualesquiera en las que se "multiplican elemento a elemento y los productos cero. La suma de los cuadrados de los elementos de cualquier columna es la unidad.

o.¡¡ol1

=

+ a:32a3:3=

1 lo cual es la suma de los cuadrados O que es la suma de los productos

Para las condiciones de ortogonalidad en la forma .ajiaki = Iljk, se multiplican Todas estas condiciones se satisfacen en la solución dada anteriormente.

1.35.

1.36.

Probar que la suma AA.ij + ¡'lBij representa a las componentes y B; son tensores de segundo orden conocidos.

quc demuestra

que la suma se transforma

Probar

(p¡¡¡,+.

que

Pi/e;

+ Pii/,)

como un tensar cartesiano

2'¡XiXk

=

de los elementos

de los elementos se suman",

de la primer¿

correspondiente; el resultado

las filas en lugar de las columnas.

de un tensar de segundo arden si

de segundo

e'

A¡j

orden.

3P¡ikX;XjXk.

Puesto que todos los índices son seudoíndices y el orden de las variables Xi carece de importancia, cada término de la suma es equivalente a los otros. Esto se puede probar rápidamente introduciendo nuevos seudoíndices variables. Así, sustituyendo i, i. k en el segundo y tercer terminas por p, q, r, la suma se convierte en

1.37.

Ahora,

cambiando

Si

es antisimétrico

E¡)

Puesto que son seudoíndices,

1.38.

Probar

de nuevo los seudoíndices

A¡¡

=

y Aj¡

es simétrico,

A¡j

Y

= y

B¡i

Á¡>QBj)Q== A¡jB¡j

que la forma cuadrática

Descomponiendo

D¡j

en estos mismos términos

-Bi¡,

probar que =

A¡iB¡j

=

ZA¡jB¡j

O

o

o

-Aj¡Bj¡

A¡jBíj

=

A.¡jBij

= O.

A¡iB¡j

+ AjíBj¡

O.

Di.x,», es invariable si

en sus partes simétricas

resulta la forma

Di;

es sustituido

yantisimétricas,

Entonces

1.39.

Usar la notación

indicial para probar

(1) a (1)

Sea v = b X c.

X

(b

Entonces

X

las identidades

e) = (a· e)b - (a· b)c, Vi

=

y si

a

~
vectoriales (2) a

e" W,

X

b· a

entonces

(ver Problema

=

ar¡bpcq (af/cf/)bp

aqbr¡cp

-

(a."b,¡lcJ)

1.26)

o

por su parte simétrica

D(ij\.

._~.

CAP. l

FUNDAMENTOS Trasladando

esta expresión

a la notación

45

simbólica,

=

w

MATEMATICOS

a

X (b X

el

=

(a' e)b - (a • b)c

=

(2) Sea a X b = v. Así, Vi = E¡jkGjbk; y si A = v· a, entonces" <¡,iI,,(ajQjbk)· Pero €Uk es antisimétrico en t v j, mientras que (ajujbk) es simétrica en i y j. Entonces el producto
+ €ijZa¡ajb2 +
<íj¡ap'jb¡ «32¡a3a2

1.40. Probar

que el determinante det A¿

Se puede expresar en la forma

~¡jkAliA2jA3k.

De (1.52) y (1.109) el triple producto

[abc] se puede escribir

a' b X e

A

[abe]

1::

EijkQ¡bFk

I el

Si ahora se introducen

las sustituciones

También se puede obtener este resultado determinante es €ijkA¡¡Aj2Ak3'

1.41. Si el vector que

Vi

=A

a¡

l¡,

b, =

desarrollando

está dado en términos

At,

Y

e¡ :-

directamente

Q2

a3

b2

b3

e2

e3

A~¡

el determinante.

Una expresión

de los vectores base a, b, e por

Vi

<¡jkvibjCk

a

c

T

'

V¡

=

",al

Vz

o'a2

1,';\

",a:\

+ ¡3b¡ + + f3bt + + f3b3 +

yc¡ yCz YC3

Por la regla de Cramer

a:

De igual modo

i t'l

b¡

C¡

Vi

b2

e2

I V3

b3

e3

al

b¡

el

Q~

b2

C2

a3

b:)

C3

-

y de (1.52) y (1.109), a=

Eijk

vib

jek

EpqrapbqCr

~

aa¡

equivalente

+ f3bi +

yC¡,

para el

probar

46

FUNDAMENTOS

MATRICES Y METODOS MATRICIALES 1.42. Dados los vectores a = por multiplicación

3i + 4k, b

MATEMATICOS

a'

D

=

v;

2j - 6k

=

de matrices los productos

[VI'

entonces

t'2'

a'

Yla diádica

O

D·

O -4

b = w;

¡W2

entonces

L7(!3

:]

D'

b.

+ 2lk -4jj

- 5kj,

calcular

'J.

•. [9, -20,

[-~:l.

~][ ~ l

-5

O

]

= 3il

O -5

-4

1

Sea

b ya'

D, D'

D

O

[3, O, 4]

v31

[

11V

1

(Sec. 1.17-1.20)

3

Sea

CAP.

-6J

-10

[-76].

1.43. Determinar los valores y las direcciones representación matricial es

principales 3 -1

[Tij]

De la (l. J 32), para los valores principales

que da lugar a la ecuación 1,

\(2)

=

2,

A(3)

A continuación

=

de segundo orden

cuya

T ,

-1

3

O

O

O

1

-1

-1

3- A

o

o

A,

o

(1 - A)[(3 - A)2 -

1-

A3 -

7A2

o

1]

A

=

(x - l)(A

del normal

unitario

+ 14A

-

8

-

2)(A - 4)

=

O cuyos valores principales

son A(¡)

sea

n¡lJ

las componentes

ecuaciones

en la dirección

de (l. /31) nos dan 2n;u - n~ll

=

principal

O Y -ni 1) + 2n~1)

asociada

=- o, de

con

\(1)

= 1. En-

las que n ~l) = n rn -. 2

O;

I

=

4.

tonces las dos primeras

-,

Y de Para

I

A(2) = 2, (1.131) nos

da n;2) - n~2) = 0,

O, Y -n3

(2)

±1/Y2 :

O. Así,

¡

puesto que n¡n¡ = 1 Y Para

\(:3)

=

n;2l

4, (/.13/)

=

¡

O.

[

nos da _n;3) - n~3)

=

0, _n;3) -

n~3l

=

O, Y

3n~3)

=

O. Así,

n~3)

+1/12. Los ejes principales

x'r se pueden

I 1

O

°

3- A

cúbica

del tensor Cartesiano

referir a los ejes x¡ a través de la tabla de los cosenos directores.

=

O, n ~:l> = -n~'

¡ ¡

I

¡ !

! X¡

X2

X:l

• 1

x*

O

O

±1

xi

±1/12

±1/V2

O

x*3

+1/12

±1/Y2

O

CAP. I


47

de la que la matriz (tensor) de transformación es:

=

eA

l

C,:v.

O

±:J

±l/Vz ±1/V2 O +1/V2 ±1/V2

1.44. Probar que los ejes principales togonales de giro positivo.

o

determinados

O

=1/12 +1/V2 ±1/V2

aij

en el problema

±:j

1.43 forman

un conjunto

de ejes or-

La ortogonalidad requiere que sean satisfechas las condiciones iLijaik = Oj¡,. Puesto que se usó la condición n¡n¡ = 1 para determinar los a'ij' la ortogonalidad se satisface automáticamente para j = k. Multiplicando los elementos correspondientes de cualquier fila (o columna) por los de cualquier otra fila (o columna) y sumando estos productos se demuestra que las condiciones son satisfechas para j # k según la solución del problema 1.43. O).

Finalmente Así,

para que el sistema sea de giro positivo,

i;(2)

X

n

==

(3)

n

'"

A

ez

el

1/V2

:31

1/V2

-1/V2

(-~+ -!)~:l

!

1/V2

O

'"

e3

I

Como se indicó por los valores positivos o negativos de aij en el problema 1.43, hay dos conjuntos de ejes principales, xi y xi"'. Como se ve en la figura, ambos conjuntos coinciden con las direcciones principales, siendo x7 un sistema de giro positivo y ~;T* negativo. Fig. 1-19

1.45. Probar

que la matriz del tensar

Tu del problema

cipal) por la ley de transformación

l l/v. o

[Ti)]

-1/-12 o

[v.

-2V2

T:;

o 1!-12

V2

2V2

aipajqTpq,

(o en símbolos matriciales

:1-: :1:

1:

3

1/12

l/Vz

o

o

o

1/V2 1/V2 O

-l/v.

=

cA'TcAT).

J

o

1/V2 O

'T*

l/v. -l/v.

-1

1/-12 O

=

1.43 se puede expresar en la forma diagonal (prin-

J

=

l:

2

o

:J

1.46. Probar que si los valores principales '\(1), '\(2),'\(3) de un tensor de segundo orden simétrico distintos, las direcciones principales son mutuamente ortogonales. La demostración se hace pata

= :\(2)

n~2)

y Tijnj3)

=

:\(3) n{3).

:\(2)

y

:\(3)'

son todos

Para cada valor de éstos la (J .129) se satisface, de tal manera que

Multiplicando la primera de estas ecuaciones por

n¡3)

y la segunda por

Tíjn

j2)

n¡Z),

Puesto que Tij es simétrica, se pueden intercambiar los seudoíndices i y j en el primer miembro de la segunda de estas ecuaciones y esa ecuación restada de la primera da


48

(A(2)

Puesto que A(2) """ sean perpendiculares.

su diferencia

"(3),

= O

A(3»)n;2)n;3)

-

ni2)n;3)

no es nula. Entonces

= O, que es la condición

1.47. Calcular los valores principales de (T)2 del Problema

La ecuación

característica

10 - "

de la que

de esta matriz es

-6

O

-6

10 - A

O

O

A(U

= 1,

(1 - A)[(10 - ,,)2 -

O

AC])

=-e

1,

A(2)

=

4,

-6ni1)

6ni

2)

-6n;2)

Para

(1 - A)(;I. - 4)(;" - 16)

36]

O

1 -" A(3)

917.;ll -

Para

I

[~:~: n

-¡ ;][-: .•

[-;

para que dos direcciones

1.43 y verificar que sus ejes principales

coinciden con los de T.

IT,]'

CAP. 1

= 16. Sustituyendo

estos valores en (1.131) y usando la condición

6niIJ

+

917.~1)

-

6ná2)

o

-1- 6n;2)

n(Ü 1

=

n(1) 2

""

O

'3

n(1)

=

n¡n¡

= 1,

±1

o

-3n;2)

I

-6ni3) - 6ni3) Para

"(3)

=

16,

-6ni3) - 6ná3)

o

I

-15nm 3 que son las mismas direcciones

I

I

principales

que las de T.

T

-1

4

O

-1

O

4

1.48. Considerar que

VT cuando

En primer lugar se determinan los valores blema 1.43, la forma diagonal de T esJ

y las direcciones

!

I principales

siendo la matriz de transformación

l/Va [

l/Va

l/v3

1/V2 -1/V2 -2/~

J

1/-/6 1/{6

de T. Siguiendo

el procedimiento

I

del Pro- i

FUNDAMENTOS

CAP. 1

-.JT

mación

(v3:

Vr*

Por lo tanto,

= Ac

Vr* A,

vo o: .~:)

la ecuación

y usando

matrieial

MATEMATICOS

[aij] para relacionar

49

a ésta con los ejes originales

es

l/V?>

1/v31

l/y2 -l/y2 11'./6 1/-/6

Y2+ 4

l

J:.. V2-2 y'6

CALCULO

V2 -

TENSORIAL

2

y2 -

2

y2+-/6+1 y'2 - -/6 +

CARTESIANO

Y2 -

y2-V6+1 1

-/2 + V6

l l

5414 -0.586

2

-0.586 -0.035

-1- 1

4.863

(Sec. 1.21-1.23)

para la función ti. = Aijx¡xj donde Aij es constante, que a>JaXi Aij = Aji. Simplificar estas derivadas para el caso Aij + Aií.

Continuando

l

586 -0. 4.863 -0.035

.402 -0:586

1.49. Probar,

Xj'

por la transfor-

=

(Aij + Aj¡)xj

Y a2>Jax¡aXj

=

la diferenciación,

1.50. Usar la notación

indicial para probar

las identidades

vectoriales (a) "

=

X

"

\7 • "

X

a =

=

(al De (1.147), "<1> se escribe <1>,i y así, v \l X "<1> tiene las componentes Vi ,k = ,kj' Pero .kj es simétrico en j y k; entonces el producto <¡jk<1>,kj se anula. Se puede hallar el mismo resultado calculando individualmente las componenes de v. Por ejemplo, desarrollando VI <123 <1> 23 + <132<1>,32 (<1>,23 -1>,32) O. '

=

=

1.51. Determinar unitario

n

la derivada

=

La derivada

de la función

x . = (X¡)2

(217)el - (317)ez - (617)e3 o buscada

es

OA fJn

=

A

\lA' n

=

A,¡n¡.

+ 2XIX2

-

(X3)2 en la dirección

del vector normal

íi = (2el - 3e2 - 6e3)17. Así,

dA dn

1.52. Si A;j es un tensor cartesiano de segundo orden, probar que su derivada con respecto a Xk, a saber Aij,k, es un tensor cartesiano de tercer orden.

O

1 FUNDAMENTOS

50 Para los sistemas

de coordenadas

que es la ley de transformación

Cartesianas

Xi

y

MA TEMATICOS

X;,

de un tensor cartesiano

Xi

=

Y éJx/éJx; =

ajiX;

CAP.l aji'

Entonces

de tercer orden.

1.53. Si r2 = XiX; Y f(r) es una función arbitraria de r, probar que (a) V'(f(r) f"(r) + 2f' Ir, donde las primas denotan las derivadas respecto a r. , al ar f.i• ASI, f.i = ar ax.; y puesto que

de vf son sencillamente

(a) Las componentes

= f'(r)xlr, a(r2) -a- =

I

f .i --

' A SI,

(b)

\]2f

= f .. • 11

1.54. Usar

=

U'x.fr) !.

el teorema

probar que

i

Br ara¡ ax. •

. 1

(3

x.x.)

f" _-'---..: r2 + f' -r. - -'-' r3

de la divergencia

x;nj dS

=

a1' = a~

21'-

.

28ijx¡ se SIgue que

f' Xi / r .

x·x·

=

~

y (b) '\r(f(r»)

VOij donde

+ 2f' -r .

= f"

de Gauss

para

n, dS representa

a

un elemento de la superficie S, que es la superficie límite que contiene al volumen V indicado en la Fig, 1-20. Xi es el vector de posición de n, dS, y ni su normal extrerior. De (1.157),

f f

x,1,].zv v ! oij

dV

1

I

v

I

oijV

Fig. 1-20

1.55. Si un vector es b = V' x v, probar que calar de las coordenadas.

i

sbm; dS

= .{

s

A.,b, dV donde

v

A

= A(Xi)

I

es una función e~ : !

Puesto que

b

=

V

X

v, b¡

=

'ijkVk,j

y así,

de (1.157)

f

x ~t.s.ev 1. V

como

x•..•.v .... = O 1)1'\. n.,Jl

¡

CAP.

1

FUNDAMENTOS

MATEMATICOS

51

PROBLEMAS DIVERSOS 1.56. Probar para los vectores arbitrarios a y b, que A lntercambiando

el producto

=

escalar y vectorial

;..

+ (a·

(a X b) • (a X b)

a' b X (a X b)

=

(ab)2

en el primer término.

+

Entonces,

(a· b)(a • b)

+

a' ¡(b' b)a - (b· a)b] (a· a)(b' b) -

b)2

(a· b)(a· b)

(b· alta • b)

+

(a· b)(a • b)

(ab)2 puesto que el segundo

1.57. Si Ü =

(ti

X

y tercer términos

u y -ir

(a) En notación

=

(ti

X

:t

v, probar que

(u

X

v)

(ti

(u

X

X

v).

simbólica, d

di, (u

(b) En notación

se anulan.

X

ü

v)

X v

+

u X

V

(v - ••)u

(v - u)«

(v· ",)u

(u' .,)v

indicial, sea

w.

= +

(OJ X u) X v (u· v)., •• X (u

+

u X (., X v)

(u· ••)v X

v)

Entonces

W¡

y usando el resultado

del Problema

que es la forma indicial de

1.58. Establecer

1.59 (a) de más adelante,

•• X (u X v).

la identidad

Sea el determinante Aij que está dado origina un cambio de signo. Así,

por

det A

Al!

A!2

Al3

A2!

AZ2

A23

As!

AS2

A33

•

Un intercambio

de filas o columnas

52

FUNDAMENTOS

MATEMA TICOS

A21

A22

A23

Al2

A1l

AI3

AIl

AI2

AI3

A22

A21

A23

A31

A32

A33

A32

A3¡

A33

Y para un número arbitrario

CAP.

-detA

de cambios de filas, Ami

Am2

Am3

Anl

An2

An3

ATI

Ar2

Ar3

=

detA

fmnr

o cambios de columnas,

Entonces para una secuencia

AIP

Alq

AIs

A2p

A~q

Azs

A~p

A;Jq

A;IS I

de intercambio

Donde

Aij

s=

o¡j'

det A

=

de filas y columnas

Amp

A",q

A

A"p

A"q

Ans

Arq

Ars

Arp

fpqs det A

arbitrarias,

111S

fmnT'pr¡s det A

1 Y queda establecída

la identidad.

1.59. Usar los resultados del Problema 1.58 para probar (a.) Desarrollando

(a) Identificando

el determinante

de la identidad

OTpOnq

1.60. Si la diádica

=

S¡",Sqr -

3prSqn,

(b)

1.58,

s con m resulta, 0sp(OnqOrs

(b) Identificando

del Problema

€pqs€""

-

-

+

8"so"l)

o¡",Orq

+

0sq(onso,p

Oq¡¡OTP

-

-

O"pOqr

o"1'o,·s)

+

0ss(ll"porq - 0llqO,p)

+

30"po,.q - 3onqoTP

B.

x

q con n en (a),

B es

Escribiendo

antisimétrica

B == -BeJ

probar que

a

=

2a' B.

+

(a· b3)

B

y

(b¡ X el) X a

=

(a· b.)

e¡ -

a • B -

a'

+

(b2 X e2) X a

(a· e¡)bl

Be

::::

2a'

+

B

+

(a· b2)

(ba X (3) X a

ez -

(a' (2)bz

e3

-

(a·

e~)b3

€¡¡qs€sqr

== -2op,·.

1

CAP.!

FUNDAMENTOS

53

MATEMA TICOS

1.61. Usar la ecuacion de Harnilton-Cayley para obtener (B)1 con el tensar probar directamente el resultado elevando al cuadrado (B)2. La ecuación

característica 1 -

de

B

O

3 --

-1

O

Corn-

O -2

está dada por

O

A

~ -~).

B

-1

O

A

-2

-

Al

Según el teorema de Hamilton-Cayley el tensor satisface su propia ecuación característica. Entonces (8)3 - 2(8)2 - 68 Y multiplicando esta ecuación por 8 da (B)4 = 2(8)3 + 6(B)2 - 98 o (8)4 = 10(8)2 + 38 - 181. Entonces

+

91 = (),

O

(3

O -3) 9 O

5

\ -3

O -6

por multiplicación

matricial

(B)1

Comprobándolo

9

1) O

O

+ \ O

(18O 18O O

O

(5O 81O

O) O

18

7

7) O

O 26

directa de (8)2,

('B)~

1.62. Probar que (a) Au, (b) AijAij, (e)
=

f"ijkEkjpa'mia'lpA~!n

==

(úmn - omnoj)A;nn

1.63. Probar TijSij

(OijOjP -.

OipOjj)amia'llpA~ln

-

=

OmnOj)A;1Ut

!mjf,:EkjnA;,w

que el vector dual del tensar arbitrario Tíj depende solamente de Tij por el tensar simétrico Sij es independiente de TtijJ•

De (l. lID) el vcctor dual de Tíj es en j y k, Y

es anusirnétrico

Para el producto

1.64. Probar Escríbase

T(jIcJ

=

TijSij

o

=

(ej'

expresión,

1.65. Usar la notación b) - a' \lb.

y

Dij~iej

E

T(ij)S;j

E

=

Tj"

o

Vi

=

+ Tljk):=

fijk(TCikJ

de Tu« pero que el producto

fijk

Ttjk),

=

T(jj)S¡j.

puesto que

fijkT(jkJ

=

O

(Eijk

en j y k). Aquí,

TlijJS¡¡

=

O

Y

TijSU

E si E es una diádica simétrica.

Epq~peq-

DíjEpq

'ijk

+ Trij]Sij.

De (.'

• e,/) puesto que·

~)(e¡ D"

=

=

Vi

simétrico

que D : E es igual a D"

eql = D¡jEqp

última

(omi>nj

de coordenadas

(C; •

.31)

o:

E

Epq = F:qv-

= DijEpq Ahora,

(e¡ . e ej . e p)(

intercambiando

q).

De (l.35),

o ..

E

= D¡jEpq

el papel de los seudoíndices

(C; •

e e¡ . )(

p

p y q en esta

e e¡ . e q)(

p).

indicial para probar la identidad

vectorial

\l x (a X b)

=

b· \la - b(\l . a) + a( \l .

54

FUNDAMÉNTOS MATEMA TICOS Sea V

X

(a X b) = v; entonces

'!Ip

Entonces v

=

==

'Pqifijdajbk),q

=

(8p/lqk

-

=

+ ajbk,q)

+ ajbk,q)

+ a(V

o

'pqifij"aqajb"

fpqifijk(aj,qbk

8pk8qj)(aj,qbk

b· Va - b(V • a)

1.66. Por medio del teorema

vp =

CAP.!

==

ap,qbq

-

+ apbq,q

aq,qbp

-

aqbp.q

• b) - a· Vb.

de la divergencia

íix

de Gauss probar que

(a

X

x) dS

=

2aV

donde Ves el volumen encerrado en la superficie S que tiene como normal exterior al vector n. El vector de posición de cualquier punto de Ves x, y a es un vector constante arbitrario. En notación indicia! la integral de superficie es

f

fqpinp

fijk

De (1.157) ésta se convierte en la integral de

dS.

ajx"

s

y puesto que a es constante la última expresión se convierte en

f f

(OqjOpk

-

dV

Oqk o»j)ajXk,JJ

v

=

(aq opp - ap Oqp) dl'

V

1.67. Probar

f

f

=

(aqxp,p

-

apxq,p)

=

2uq V

dV

v

(3aq - aq) dV \.

que para la reflexión de ejes indicada en la Fig. 1-21, la transformación

De la figura, la matriz de transformación

Las condiciones de ortogonalidad

=

a¡¡a¡k

es ortogonal.

es

Ojl<'

o

Ujiaki

=

o jk se satisfacen evidentemente. En la forma de matriz, según (1.117),

Fig.I-21

1.68. Demostrar

que (1 x v) . O

v x D.

AA

I X v

(i i A

AA;Ao.A

+j

j

+ kk) x

A

A

i ('!Iyk - '!Izj) AA

(v Xi)

Entonces

(1 X

v) • O

v XI·

O

== v

i

+

X D.

+

A

A

A

j (-vxk AA.

(v X j) j

A

+

A.

+ vyj + vzk)

('!Ixi

A.

+ vzi) +

(v

x

AA

k)k

A

A

A.

k(vxj - vyi)

==

v X I

CAP.

1

FUNDAMENTOS

MA TEMA TICOS

55

Problemas propuestos AAA

1.69.

que u = i

Comprobar

Determinar

Sol.

AA

- k Yv

Sol.

triada de giro positivo.

1.70.

+j

=

w

la matriz de transformación

f

1.72.

Determinar

Determinar

entre los ejes u, v,

-1/..[6 -1/..[6 -2/..[6

Usar la notación indicial para probar es un vector constante.

1.73.

.

w del Problema

1. 74.

h(!)

los valores principales = -15,

= 5,

A(2)

1.69 y las direcciones

(a) V'

x = 3, (b) V

X

que u, v, w formen una

coordenadas.

x = 0, (e) a· Vx = a donde x es el vector de posición y a

( : =~-:)

de la parte simétrica del ten sor

-3

= 10

A(3)

= 2,

h(Z)

= 7,

= 12,

h(3)

-3/5fi

x2*

4/5

x;

3/5..[2

e,

= 0, V

v =

1.76.

Comprobar

1.77.

Hallar la raíz cuadrada

X

el resultado

W y

V

x

=

w = -v,

del Problema

del tensar

1.48 por multiplicación

~

B

+ 1) J(/5 -1)

Sol.

(

~(y'5-1)

~(y'5+ 1)

°

°

-4/5V2

°

-3/5

1/V2

e, demostrar

e) e + e X

1/..[2

(v

4/5V2

que v se puede descomponer

X

e).

probar que V2v = ,:.

~)

O \lj

l(y'5

1

:ra

Xz

x*1

Dado un vector arbitrario v y cualquier vector unitario paralela y en otra perpendicular a es decir, v (v·

Si V'V

-18

Ti¡

para el tensar simétrico

1.75.

r--"

A

w , de tal manera

J

~rl

Sol.

A.

Determinar

1/Y3 1/v3 -1/Y3 1/fi -1/..[2 °

[au]

A(I)

.

j son perpendiculares.

(-1/VG)(i + j + 2k)

1. 71.

Sol.

= i-

directa

y probar

que

Vr Vr

=

T.

en una componente

56

FUNDAMENTOS

1.78.

Usar el resultado

del Problema

1.80.

Sean los ejes

X~X~3

OX~

1.40, det A ==

que están relacionados

/

/

con los

3/5y2

/

/

que se satisfacen

las condiciones

(b) ¿Cuáles son las coordenadas (e) ¿Cuál es la ecuación Sol.

1.81.

Mostrar

(b)

quc el volumen.

!I

1/y2

i

de ortogonalidad

que Jet

det

IÁB)

xl

X2

-

(e),[2

V encerrado

.i,

x~ -

A

det B.

por la tabla

;r2

1//2

CAP.}

:l' :~

4/5y2 -3/5

--t------4/5Vz aip,k

=

8)1'

Y a¡¡rla.,~= 5"s .

con primas del punto que tiene como vector de posición

del plano

(2/5,[2, 11/5, -2/5y2)

OXI'C2.T;¡

O

-3/5y2

~;3

(a) Probar

! I

4/5

~C2

para comprobar

'ij¡,AliA2jA~k'

Xl

Xl

MATEMA TICOS

x

3:"3 = 1 en el sistema con primas? :1:; -

en la superficie

2V2x; ::;;1

S se puede expresar

por V

O'C

~

f

\l (x - x) .

• s vecror de posición y n el normal unitario

a la superficie.

Sugerencia: Escribir

V -:': (1/6)

r

, s

!Xi:t:,).¡l1j

n dS

donde x es e

e/S .y usar (1./57).

Capítulo 2

Análisis de tensiones

2.1

EL CONCEPTO DE MEDIO CONTINUO

La naturaleza molecular de la estructura de la materia está bien establecida. No obstante, en numerosas investigaciones sobre el comportamiento de un material, no tiene ningún interés la consideración individual de las moléculas, y únicamente se considera de importancia el comportamiento del material como un todo. En estos casos el comportamiento macroscópico observado se explica frecuentemente prescindiendo de toda consideración molecular y, en su lugar, se da por hecho que la materia se halla distribuida en forma continua en todo su volumen, llenando por completo el espacio que ocupa. Este concepto de medio continuo de la materia es el postulado fundamental de la Mecánica del Medio Continuo. Dentro de las limitaciones para las que es válida la suposición de medio continuo, este concepto proporciona la base para estudiar de manera semejante el comportamiento de sólidos, líquidos y gases. La adopción del punto de vista de medio continuo, como base para la descripción matemática del comportamiento de un material significa que cantidades de campo, tales como tensión y desplazamiento, se expresan como funciones continuas para intervalos de las coordenadas del espacio y tiempo.

i

2.2

HOMOGENEIDAD. ISOTROPIA. MASA ESPECIFICA

Se dice que un medio material es homogéneo cuando tiene las mismas propiedades en todos sus puntos. Respecto a alguna propiedad, un material es isátropo cuando esa propiedad es la misma en todas las direcciones en un punto. Se dice que un material es anisátropo cuando presenta propiedades direccionales en algún punto del medio. El concepto de densidad en las proximidades de un unto de un medio continuo se desarrolla a partir de la 57

X2

Fíg. 2-1

58

ANALISIS DE TENSIONES

CAP. 2

relación masa-volumen. En la Fig. 2-1 se denota por 6.M. a la masa contenida en el elemento de volumen 6.V La densidad media del material dentro de 6. Ves por lo tanto ..'1111 p(o,,)

-:iV

(2.1)

La densidad en algún punto interior P del elemento de volumen concepto de medio continuo, por el límite, . p

..'l

Vestá dada matemáticamente, según el

di'}!

(2.2)

dV

La masa específica p es una cantidad escalar.

2.3

FUERZAS MASICAS. FUERZAS SUPERFICIALES

Las fuerzas son cantidades vectoriales que se describen mejor mediante conceptos intuitivos tales como empujar o tirar. Las fuerzas que actúan en todos los elementos de volumen de un medio continuo se conocen como fuerzas másicas. De éstas son ejemplos las fuerzas gravitacionales e inerciales. Estas fuerzas se representan por el símbolo b, (fuerza por unidad de masa), o como p, (fuerza por unidad de volumen), las que están relacionadas a través de la densidad por la ecuación pb

=

(2.3)

p

Las fuerzas que actúan en un elemento de superficie, ya sea una porción de la superficie límite del medio continuo o quizás una superficie interna arbitraria, son conocidas como fuerzas superficiales. Estas se designan por ti (fuerza por unidad de área). Las fuerzas de contacto entre sólidos son un tipo de fuerzas superficiales.

2.4

PRINCIPIO DE TENSION DE CAUCHY. EL VECTOR TENSION

En la Fig. 2-2, se representa un medio continuo que ocupa la región R del espacio, y está sometido a fuerzas superficiales ti y fuerzas másicas b., Debido a que las fuerzas son transmitidas de una región del medio continuo a otra, la materia de un volumen arbitrario V contenida en la superficie cerrada S interactúa con la materia exterior a este volumen. Tomando a ni como el normal unitario exterior en el punto P de un pequeño elemento de superficie 6.S de S, sea 6.[i la fuerza resultante ejercida a través de 6.S en la materia interior a V por la materia exterior a V. El elemento de fuerza st. evidente-

Fig.2-2

Fig.2-3


CAP.2

59

mente dependerá de la elección de f:::.S y n¡.Se ha de tener presente que la distribución de fuerza en f:::.S no es necesariamente uniforme. Por supuesto la distribución de la fuerza es, en general, equipolente a una fuerza y un momento en P, corno se indica en la Fig. 2-2 por los vectores f:::.fi e f:::.M¡. La fuerza media por unidad de área enf:::.S está dada por MJf:::.S. El principio de tensión de Cauchy afirma que esta relación MJf:::.s tiende a un límite definido df;/dS cuando f:::.S tiende a cero en el punto P, mientras que al mismo tiempo el momento de f:::.fi respecto al punto P se anula al tornar el límite. El vector.resultante df;/dS (fuerza por unidad de área) se denomina vector tensión t~~) y se representa en la Fig. 2-3. Si el momento en P no fuera nulo, al tornar el límite, habría también que definir en el punto, un veclar par-tensión, tal corno se indica en la Fig. 2-3 por una flecha de dos puntas. En una rama de la teoría de la elasticidad se consideran tales vectores, pero nosotros no los consideraremos en este texto. Matemáticamente,

el vector tensión se define por t (~) t

lim

M~

,",5-0 f:::.S

df; dS

t<~)

o

lim :'5-0

M_ f:::.S

df dS

(2.4)

La notación ti~) (O t(~») se usa para realzar el hecho de que el vector tensión en un punto P dado del medio continuo, depende explícitamente del elemento de superficie particular f:::.S elegido y representado por el normal unitario n¡ (o n). Para un elemento de superficie orientado distintamente, que tiene un normal unitario diferente, el vector tensión asociado a P, también será diferente. El vector tensión que aparece por la acción de la materia que está dentro de Va través de AS en P, y sobre la materia exterior es el vector -t¡~). Entonces por la ley de la acción y reacción de Newton, o

Al vector tensión, se le da con mucha frecuencia

2.5

ESTADO DE TENSION

(2.5)

el nombre de vector tracción.

EN UN PUNTO.

TENSOR DE TENSION

En un punto arbitrario P de un medio continuo, el principio de tensión de Cauchy asocia un vector tensión ti~) a cada vector normal unitario n;, el cual representa la orientación de un elemento de superficie infinitesimal que contiene a P como un punto interior. Véase la Fig. 2-3. La totalidad de todos los pares posibles de tales vectores ti~) y ni en P, define el estado de tensión en este punto. Afortunadamente, no es necesario especificar cada· par de vectores, tensión y normal al plano, para describir completamente el , estado de tensión en un punto dado. Esto se puede conseguir especificando el vector tensión en cada uno de tres planos perpendiculares entre sí que se cortan en P. Entonces, las ecuaciones de transformación de coordenadas sirven para relacionar al vector tensión de cualquier otro plano que pase por el punto, con los tres planos dados. Eligiendo planos perpendiculares a los tres ejes coordenadas con el propósito de especificar tado de tensión en un punto, los vectores tensión y normal adecuados se representan en la Fig. 2-4.

Fig.2-4

el es-


60

CAP. 2

Por comodidad, los tres diagramas separados de la Fig. 2-4, se suelen combinar una representación esquemática sencilla como se indica en la Fig. 2-5. Cada uno de los tres vectores tensión asociados a los planos coordenados (1.69) en, función de sus componentes cartesianas, como t (~l)

t(~l) 1

t<~,)

t(~2)

l

t (~,;l

C

" el

+

t(~l)'" 2

ea

+

t(~l) ,1

es

e + t(~,) e + t(~,) e l

t ;:3) " 1 el

"2

:2

.'3

:3

+ t(~3)e + t(~:l)" 2 2 :3 e8

t(~l) 'j

"

t(~2) 'j

"

en

se pueden escribir según

e, (2.6)

e,

tC~,,) "

ej

j

Xl

Xl

Fig.2-6

Fig.2-5

Las nueve componentes

"

con frecuencia

del vector tensión, (2.7)

son las componentes de un tensor cartesiano de segunfo orden conocido como el tensor de tensión. La diádica de tensión equivalente se designa por L, de tal manera que las representaciones de componentes y matricial explícitas del tensor, toman respectivamente la forma,

L

C'

a 12

aOl

U22

a:¡¡

(132

a13 \ 23

U

a33

)

O

[u;J

[

0"12

"" a21

0"22

a:) 1

{T;~:2

O''] a.}"> -"

(2.8)

u~;~

Respecto a los tres planos coordenados, las componentes del tensor de tensión se pueden presentar gráficamente como se indica en la Fig. 2-6. Las componentes perpendiculares a los planos (a11, a22, a;¡:J se denominan tensiones norma/es. Aquellas componentes que actúan en (tangentes a) los planos (aI2, a13, a21' a23, a31, a:12) se denominan tensiones cortantes o cisiones. Una componente de tensión es positiva cuando actúa en el sentido positivo de los ejes coordenados, y en un plano cuya normal exterior apunta hacia uno de los sentidos positivos de los ejes de coordenadas. La componente a,lJ actúa en un plano cuya normal . es paralela al eje de coordenadas i-ésimo y en la dirección delj-esimo eje de coordenadas. Las componentes representadas en la Fig. 2-6 son todas positivas.


AP.2

2.6

61

RELACION ENTRE EL VECTOR TENSION y EL TENSOR DE TENSION

La relación entre el !ensor de tensión (Tu en un punto P y el vector tensión ti en un plano de orientación arbitraria que contiene a este punto se puede deducir a partir del equilibrio de fuerzas 0 de un balance de momentos en un tetraedro elemental del medio continuo que tiene su vértice en el punto P. La base del tetraedro se toma perpendicular a ni, y las tres caras perpendiculares a los ejes coordenados como se observa en la Fig. 2-7. Denotando por dS al área de la base ABC las áreas de las demás caras son áreas proyectadas, d.S, = dS nI para la cara CPB, dS2 = dS n2 para la cara APC,dS3 = dS n3 para la cara BPA o n

)

X¡

Fig.2-7

d.S, =dS

(n' ei) = dS cos (n, e¡)

=

dS n¡

(2.9)

Tanto los vectores tracción medios -tf~';l en las caras y tr~) en la base, como las fuerzas másicas medias (incluyendo las fuerzas inerciales, si las hubiera) que actúan en el tetraedro, están representados en la figura. El equilibrio estático de estas fuerzas exige que (2.10) Ahora bien, si las dimensiones lineales del tetraedro se reducen todas en una misma proporción constante, siendo las fuerzas másicas un infinitésimo de un orden más alto que las fuerzas superficiales, tenderán a cero más rápidamente. Al mismo tiempo los vectores tensión medios se acercarán más a los valores específicos adecuados para las direcciones especificadas en P. Por lo tanto, después de este proceso de tomar el límite y la sustitución de (2.9) en (2.10) ésta se reduce a (2.n.) Eliminando

el factor común dS y emplenado la identidad ti;;) ;:

a, )1

la (2.11) se convierte en (l.12)

La ecuación (2.12) con frecuencia

se expresa en la forma matricial

[tih

que escrita explícitamente

[n¡kl [O'k¡l

=

es

La forma de la matriz (2.14) es equivalente

(2.13)

(2.14)

a las ecuaciones t(~) 1 =

n¡(TlI

+ n2(T21 + n ('31 3

n 1(j...... ¡3

-____.. ,

+ n3(T33

62

2.7


CAP~

EQUILIBRIO DE FUERZAS Y MOMENTOS. SIMETRIA DEL TENSOR DE TENSION

..

El equilibrio de un volumen arbitrario V de un medio continuo, sometido a un sistema de fuerzas superficiales t;~) y fuerzas másicas b, (incluyendo las fuerzas inerciales, si las hubiera) tal como se indica en la Fig. 2-8 requiere que la fuerza y el momento resultantes que actúan en el vol umen sean cero. La suma de las fuerzas másicas y superficiales da lugar a la relación integral o

Ss Ss

Iv + Sv

t ¡~)dS

t(~)

+

dS

pbi dV

O (2.16)

pbdV

O

Sustituyendo aquí t;~) por (Tjin¡ y convirtiendo la integral de superficie resultante en una integral de volumen por el teorema de la divergencia de Gauss (1.157), la ecuación (2.16) se convierte en

r

)\f Puesto que el volumen que

k. + pb.) dV )1,)

Ves arbitrario,

O

1

Fig.2-8

o

el integrando

de la ecuación (2.17) tiene que anularse, 'V' ¿

que son llamadas, EIi ausencia

O

S,C'V·¿+pb)dV

+ pb

= O

(2.1/.

de formé. (2.U

ecuaciones de equilibrio. de momentos

distribuidos,

el equilibrio

de los momentos

respecto al origen requiere que

"\ O o

r J

x x t<~) dS +

s

(2.19)

Jr x x pb dV

o

v

en las que :t~ies el vector de posición de los elérx.. .uperficiales y de volumen. Haciendo de nuevo la sustitución t~~) = (Tjillj' aplicando el teorema de Ga~ss-y usando el resultado (2.18), las integrales de (2.19se combinan y reducen a

f

o

Para el volumen arbitrario

¿vdV v

=

O

(2.20

V, (2.20) exige que

= La ecuación (2.21) representa

a las ecuaciones

(T12

=

(T21'

o

O (T23

{T.. 1)

= =

(2.21 (T32'

(Tl~

=

{T31'

o en conjunto (2.22

(T..

Jt

que prueban que el tensar de tensión es simétrico. Debido a (2.22) las ecuaciones escriben a menudo como

de equilibrio

(2.18) se (2.23

que en forma desarrollada

son

C\P.2

ANALISIS DE TENSIONES oU21

+

01'1

oa:l1

2.8

cJu2:J

+

dXz.

oa:l2

+

élx¡

élu22

0:1:2

OX3

oa33

+

dX3

63

+ pb2

O

+ pb3

O

(2.24)

LEYES DE TRANSFORMACION DE TENSIONES

Relacionemos Y PX{X~X3 cosenos directores PX¡X2X3

en el punto P los sistemas de coordenadas de la Fig. 2-9, por medio de la tabla de

,

X¡

X2

X3

, X¡

al3

C;11

Q

x~

Q:!l

a22

a23

x:~

a:l¡

a:~~

a3a

12

,

Hg. 2-9

o por las alternativas

equivalentes

de la matriz de transformación A

=

o por la diádica de transformación

[a¡j]'

aije¡ej

(2.25)

Según la ley de transformación de los tensores cartesianos de orden uno (1.93), las ct~ponentes del vector tensión t ~~)referidas al sistema sin primas están relacionadas con las componentes del otro sistema t;(~)por la ecuación -t'(~) i

a··t (~) l} j

(2.26)

o

De igual modo, por la ley de transformación (1.102) de los tenso res cartesianos componentes del tensor de tensión en los dos sistemas .Óc r: - rpl 'lcionadas por

.

ai~

En forma matricial,

la transformación

=

a¡pajqUpq

las multiplicaciones

=

(2.27)

Ac

[ctij][t~h

=

(2.28)

de las matrices (2.28) y (2.29) son respectivamente

lt"~>-I [a"

[' a

ll

a:1

uJ1

,

U

12

a;2 ,

an

(2.29)

[a¡p)[apq][ct(J

1

Y

L'

las

del tensor de tensión como

[a¡J Explícitamente,

A'

orden,

del vector tensión se escribe [t;~~)l

y la transformación

-''0 . L' =

de segundo

t~(~)

a21

a:?2

t;(~)

ct31

a32

a12

a13

'J

a~a a3.3

a¡2

a"r¡:>~1 ctZ:l

a33

(T 12

t~~)

(2.$0)

Lt~n)

"la"

a21

a"l

a21

a22

a23

al""

a21

0"22

a03

a1"

a22

a32

a31

a32

a3:1

_ a31

(T 3:?

a33

a13

a2:1

a.33

la"

(2.31)

64


2.9

CUADRICA DE TENSIONES DE CAUCHY

Supongamos que el tensar de tensión toma en un punto P de un medio continuo, los valores aij referidos a direcciones paralelas a los ejes cartesianos locales P¿l ¿/;:l como se representa en la Fig. 2-10. La ecuación a 1)-1-) tí:.

(una constante)

= ±k2

(2.32)

representa geométricamente las superficies cuádricas similares, que tienen un centro común en P. La elección del signo más o menos garantiza que las superficies sean reales. El vector de posición r de un punto arbitrario que yace en la superficie de la cuádrica tiene las componentes ~¡ = rn, donde n, es el normal unitario en la dirección de r. La componente normal <'.,JI-¡ del vector tensión ti;:) en el punto P tiene una magnitud Fig.2-10

(2.33)

k2 de (2.32) se hace igual a

Si la constante

aNr2,

la cuádrica que resulta ,.,.

O"U'=-iS j

-

-1-

-O" N

-

1'2

se denomina cuádrica de tensiones de Cauchy . De esta definición se sigue que la magnitud de as de la componente de tensión normal en el elemento de superficie dS perpendicualr al vector de posición r de ur. punto situado en la cuádrica de tensiones de Cauchy, es inversamente proporcional a 1'2, es decir, a" = == k,2jr~: Además, se puede probar que el vector tensión ti~) que actúa en dS, en el punto P, es paralelo a la del plano tangente a la cuádrica de Cauchy en el punto fijado por r.

2.10 TENSIONES PRINCIPALES. INVARIANTES ELIPSOIDE DE TENSIONES

DE TENSION.

En el punto P, para el cual las componentes del tensar de tensión son a, la ecuación (2. 12), t(~) = an, asocia a cada dirección ni un vector tensión t;"i. Las direcciones para las que ti y no son colineales, como se ve en la Fig. 2-11, se denominan direcciones de tensión principales. Para una dirección principal, I}

/',

,-

.1'.

)

H

n

)

t'i(~) --

.,.

O'ft.f

o

(2.35)

en la que a, la magnitud del vector tensión, se llama valor de tensión principal. Sustituyendo (2.35) en (2.12) y haciendo uso de las identidades n = on. y u = a, resulta I

1.1

J

1)

}I

(L - la) .

íi

En las tres ecuaciones (2.36), hay cuatro cantidades el valor de tensión principal u.

°

(2.36)

desconocidas,

Fig.2-11

que son, los tres cosenos directores tu y

Para las soluciones de (2.36) que no sean triviales como n, = 0, el determinante ser nulo. Explícitamente, /1

la .. - o .. al, debe 1)

=

I

!aU

-

°ijal

=

O

O

I¡

all

U21

(J:> 1

a

a1J

CT 12 CT

22

-

(J32

(T

a~:1

u:¡:¡- a

de los coeficientes,

I o

(2.37) ----......--


CAP.2

que desarrollado

da un polinomio

cúbico en ~

.Ji

a,

.

a3

donde

son conocidos

respectivamente

65

-

Ira2

+ IIra - IIIr

=

tr

Ir

U¡¡

IIr

~.( <7j¡O"jj -

IIIr

la)

=

(2.38)

O

í:

(2.39)

O'¡jO'¡)

(2.40)

det

í:

(2.41)

como el primer, segundo y tercer invariantes de tensión.

Las tres raíces de (2.38), a(t)' a(2)' a(:l) son los valores de las tres tensiones principales. Asociada a cada tensión principal aikl' hay una dirección de tensión principal para la cual los cosenos directores nik) son soluciones de las ecuaciones (í: - a ( k). 1) • ñ (k)

= O

(k

= 1,2,3)

(2.42)

En (2.42) los subindices o superíndices encerrados en paréntesis, son sencillamente distintivos y como .alcs no participan en ninguna operación de suma. La forma desarrollada de (2.42) para la segunda dirección principal, por ejemplo, es

(2.43)

Debido a que el tensar de tensión es real y simétrico, los valores de las tensiones principales son también reales. Cuando nos referimos a las direcciones de tensión prir . . .es, la matriz de las tensiones [aij] es una matriz diagonal. O

O O

l

O

¡

(2.44)

o

o en la segunda forma se usan sub índices con números romanos para señalar que las tensiones principales están ordenadas, es decir, al > al! > am. Puesto que las direcciones de tensión principales coinciden con los ejes principales de la cuádrica de tensiones de Cauchy, los valores de las tensiones principales contienen a las componentes normales máxima y mínima en el punto. En un espacio de tensiones principales, es decir, un espacio cuyos ejes están en las direcciones de tensión principales y cuyas coordenadas unitarias de medida son las tensiones (t~~), t~~), t~~») como se representa en la Fig. 2-12, el vector tensión arbitrario , tiene las componentes

Fig.2-12

t(~)

(2.45)

ANALIsrs DE TENSIONES

66

según (2.12). Pero como (11,1)2 sión t;~) satisfaga la ecuación

+ (11,2)2 + (1h)2

CAP.

= 1, para el vector unitario

11",

(2.45) exige que el vector ten

1

(2.4t

Esta ecuación es un elipsoide conocido como el elipsoide de tensiones de Lamé.

en el espacio de tensiones.

2.11 VALORES DE TENSION

CORTANTE

MAXIMOS

y MINIMOS

Si el vector tensión t¡~) se descompone en sus componentes ortogonales, normales y tangenciales, al elemento de superficie dS sobre el que actúa, la magnitud de una componente normal se puede determinar de (2_33) y la magnitud de una componente cortante o tangencial esta dada por (2.47

Esta descomposición se presenta en la Fig. 2-13 donde los ejes se han elegido en las direcciones de tensión principales y se supone que las tensiones principales están ordenadas según U¡ > Un > Um. Entonces en (2.12), las componentes de son t(~) 1

t(~) 1

t(~) 2

t (~) 3

y de (2.33), la magnitud

u[nl

(2.48)

ulln2 aIl¡n3

de la componente

normal es (2.49)

Sustituyendo (2.48) Y (2.49) en (2.47), la magnitud al cuadrado de la tensión cortante como una función de los cosenos directores ni está dada por

Fig.2-13

(2.5(,·

Los valores máximas

y mínimos

dores Lagrangianos. El procedimiento

de as se pueden obtener de (2.50) por el método consiste en construir la función

de los multiplica(2.51

en la que el escalar ,\ se denomina, multiplicador lagrangiano. La ecuación (2.51) es evidentemente unfunción de los cosenos directores ni, de tal manera que las condiciones para los valores estacionarios (máximo o mínimo) de F son aF/ani = o. Haciendo estas parciales iguales a cero, resultan las ecuaciones

que, j un to con la condición nm¡ = 1, se pueden resolver para x y los cosenos directores nI, 11,2, 11,3, asociados a los valores extremos de la tensión cortante. Un conjunto de soluciones para (2.52) y las tensiones cortantes asociadas, de (2.50), son

'\

CAP. 2


111

ni 1/1

0, - :::':::l/v'2,

:+=1~\/2,

=1,

¡¡.~

0,

}/:;

0,

1l~

:::':::1,

iI :¡

67

O;

para el que

°

para el que

(J's

as

= =

°°

:+=1/V2,

1/:1

:::':::1/V2;

para el que

1/2

0,

n:)

:+=IIV!2 ;

parae1 que as = (alll - a¡)/2

1/~

:+=1/V2,

11;1

O;

'1/.2

__

o

~rael

que

= (all - alll)/2

as

O's

=

(al -

all)/2

(9 zo ~!. sc:) (2.54b) (2.54c)

La ecuación (2.54b) da el valor de la cisión máxima, que es igual a la sernidiferencia de las tensiones principales más grande y más pequeña. También de (2.54b), la componente de cisión máxima que actúa en el plano que bisecta al ángulo recto formado por las direcciones de las tensiones principales máxima y mínima.

2.12 CIRCULOS

DE TENSIONES

DE MOHR

Una representacion gráfica bidimensional adecuada del estado de tensión tridimensional en un punto, la proporcionan los conocidos circulos de tensión de Mohr. Para ver esto, de nuevo se eligen los ejes coordenados en las direcciones de las tensiones principales en el punto P, como indica la Fig. 2-14. Se supone que las tensiones principales son di ferentes y se ordenan según (2.55)

Fig.2-14

Según esta disposición el vector tensiónt~;'jtiene componentes normal y cortante, cuyas magnitudes satisfacen las ecuaciones (2.56) (2.57)

Combinando estas dos expresiones tan las ecuaciones

con la identidad

nm;

=1

Y despejando

(a.v - an)(a,,, (al -

alll)

+ (a"y + (as)2 a¡)

alll)(an-

+ (TsF

(O'v-a¡)(a,,-c-an)

(O'm- a¡)(vlll

ni, resul(2.58a)

alll)

~ll)(al -

(a"-alll)(a,,,-a¡) (al) -

los cosenos directores

-

Un)

(2.58b)

(2.58c)

Estas ecuaciones son la base de los círculos de tensión de Mohr, representados en el "plano de tensiones" de la Fig. 2-15, en la que el eje a.\ es el eje de las abscisas y el eje s es el de las ordenadas. En (2. 58a), puesto que UI - (TlI > y al -- UlIl > 6 según (2.55) y ya que (1h)2 es no negativo, el numerador del segundo miembro satisface la relación

°

U

CAPr


68

(aN

la cual representa

-

a los puntos de tensión en el plano (a". [a.\. - (ull

En la Fig. 2-15, este círculo se señala por

+ (u,s)2

u,,)(as - a,,¡)

a,J

=== O

(2.5.~

que están en o en el exterior del círculo

+ ulI/)/2P + (a.,y

=

[(aIl·- am)/2j2

(2.60

el.

Fig.2-15

Análogarnente, para (2.58b), como aIl - am > O Y an negativo, el numerador del segundo miembro satisface

- al

< O según (2.55), y puesto que

(n2)2 es no

(2.61: a puntos situados en o en el interior del círculo

que representa

(2.62) que se denomina Cs en la Fig. 2-15. Finalmente, (2.55), y como (n3)2 es no negativo,

para (2. 58c) , ya que am-al

(as - aI)(aN

- an)

+ (CTs)2

=== O

<

O Y (Tm-(Tn

<

O según (2.631

a los puntos en o en el exterior del círculo

que representa

(2.64) denominado

e

3

en la Fig. 2-15.

Puesto que cada "punto

de tensión"

(par de valores

y "s) en el plano (au, as) representa a un vector tensión particular ti':), el estado de tensión en P expresado por (2.58) está representado en la Fig. 2-15 por el área sombreada limitada por los círculos de tensión de Mohr. El diagrama confirma la existencia de una cisión máxima de (al - alIJ)/2 que se determinó analíticamente en la Sección 2.11. Frecuentemente, debido a que el signo de la cisión no es de una importancia crítica, solamente se dibuja la mitad superior de este diagrama simétrico. La relación entre el diagr a ma de tensión de Mohr y la realidad física del estado de tensión se puede visualizar a través de la Fig. 2-16, la que representa al primer actante de una esfera de un medio continuo con centro en el punto P. La normal ni en el punto arbitrario Q de la superficie esférica ABe simula la normal del elemento de superficie dS en el punto P. Debido a las propiedades de simetría del tensar de tensión y al hecho de que en la Fig. 2-16 se adoptan las direcciones de las tensiones principales, el estado de tensión en P queda completamente determinado a través de la totalidad de las posiciones que Q pueda ocupar en la superficie ABe. En la figura, los arcos de circunferencia KD, DE, Y FH son Iugare: UN

, ANALlSIS

CAP. 2

geométricos de las posiciones tante. Específicamente,

69

DE TENSIONES

de Q a lo largo de las cuales un coseno

director de ni tiene un valor cons-

Fig.2-16

n¡

=

=

cos rr/2

1/·2

~V.j

¡J en~

J

tu,

n:¡

cos

f)

en FH

límites BC, CA y AB,

y, en los arcos de circunferencia n¡

cos cp en KD,

=

O en BC,

nz =-= cos

Fig.2-17

"/2

O en CA,

cos -;;/2

o

en AB

ANALISIS

70

DE TENSIONES

CAP. 2

Según la primera de éstas y la ecuación (2.58a), los vectores tensión en Q situados enBCtendráncomponentes cuyos puntos de tensión estarán en el CÍrculo CI de la Fig. 2-15. De igual modo el arco CA de la Fig. 2-16, se corresponde con el CÍrculo C2, y AB con el C2 en la Fig. 2-15. Las componentes del vector tensión a.\. Y as para una posición arbitraria de Q se pueden determinar mediante la construcción representada en la Fig. 2-17. ASÍ, el punto e se sitúa en C3 dibujando la recta radial desde el centro de C3 a un ángulo 2(3. Nótese que los ángulos en el espacio físico de la Fig. 2-16, aparecen dobles en el plano de tensiones de la Fig. 2-17 (el arco AB abarca 90° en la Fig. 2- 16, mientras que los puntos de tensión correspondientes al y al! están separados enCa por 180°). De la misma forma los puntos g, h Y f están situados en la Fig. 2-17 Y los pares adecuados unidos por arcos de circunferencia que tienen sus centros en el eje de las abscisas La intersección de los arcos de circunferencia ge y hf da como abscisa y ordenada las componentes as y as del vector tensión t~~) en el plano cuya dirección normal es n, en Q, Fig. 2-16. a.\

•

2.13 TENSION PLANA En el caso de que una y solamente una de las tensiones principales sea cero, se dice que existe un estado de tensión plano. Tal estado se da en un punto sin carga de una superficie libre que limita a un cuerpo. Si las tensiones principales están ordenadas, los círculos de tensión de Mohr tendrán alguna de las formas siguientes

0'111

tJIlI

0'11I

=

o

O'JI

=

o

0'1

=

o

Fig.2-18

Si las tensiones principales no están ordenadas y se toma la dirección X3 como la dirección principal de tensión nula, el estado de tensión se denomina tensión plana, paralela al plano XIX2. Para una elección arbitraria de la orientación, en este caso, de los ejes ortogonales Xl y X2, la matriz de tensión toma la forma [a;] .

La cuádrica ecuación

(2.65)

1,

de tensiones para esta tensión plana es un cilindro cuya base yace en el plano

X¡;1:2

y tiene la (2.66)

Con frecuencia en los libros elementales de Resistencia de Materiales un estado de tensión plano se representa por un círculo de Mohr sencillo. Como se ha visto en la Fig. 2-18, esta representación es necesariamente incompleta puesto que son necesarios los tres círculos para mostrar la imagen completa del estado de tensión. En particular el valor de la cisión máxima en un punto no estará dado en el único CÍrculo representado, porque es uno de los círculos interiores de la Fig , 2-18. No obstante, un círculo de Mohr sencillo es capaz de poner de manifiesto los puntos de tensión de todos aquellos planos que pasan por P y que contienen al eje de tensión principal cero. Para tales planos, si los ejes de coordenadas se

, CAP. 2

ANALISIS

eligen de acuerdo con la representación para un estado plano tiene la ecuación

7\

DE TENSIONES

del estado de tensión dado en (2.65), el CÍrculo de Mohr sencillo (2.67)

Los aspectos esenciales de la construcción situando

su centro

e en

lIS

=

(all

+a

de este círculo se presentan

)/2

en la Fig. 2-19. El círculo se dibuja

y usando el radio R = ~

22

- a22)/2j2

+ (aI2)2

dado en (2.67).

El punto A de la circunferencia representa el estado de tensión en el elemento de superficie cuya es nI (la cara derecha del paralelepipedo rectangular indicado en la Fig. 2-19). El punto M-de la ferencia representa el estado de tensión en la superficie superior del paralelepípedo con $normal puntos de las tensiones principales se señalan por sus símbolos al y al!' y los puntos E y D son corresponden a las cisiones de valor máximo.

normal circunn2. Los los que

E

al¡

al

D

Fig.2-19

2.14 TENSORES DE TENSION ESFERICO y DESVIADOR Con frecuencia resulta muy útil desdoblar el tensar de tensión aij en dos tensores componentes, de los cuales (el tensor de tensión hidrostático o esférico) tiene la forma

uno

o (2.68)

o donde forma

aM

= -p

= akk/3

es la tensión normal

media, y el segundo (el tensor de tensión desviadort

a¡3

a¡2

LD

a21

•• a31

Esta descomposición

se expresa por las ecuaciones

a

22

0'32

."

a

M a

33

-

a

M

)

-

e

Sl2

S21

S'22

S31

S32

S,") S23

tiene la

(2.69)

S33

(2.70)

Las direcciones principales del tensar de tensión desviador 8ij son las mismas que las del tensar de tensión aij• Los valores de las tensiones desviadoras principales son

ANAUSIS

72

DE TENSIONES

CAP. 2 i

(2.71) La ecuación característica la cúbica

del tensar de tensión desviador, S3

Se puede probar fácilmente que el primer invariante nulo, por ello falta el término cuadrático en (2.72).

comparable

a la del tensor de tensión (2.38), es

+ (s[S/I + SnS¡¡¡ + S/I[!;¡)'"

-

S¡S¡¡Sm

=

O

(2.72)

hD es idénticamente

del tensor de tensión desviador

Problemas resueltos ESTADO DE TENSION TEN SOR DE TENSION 2.1

EN UN PUNTO. (Sec. 2.1-2.6)

VECTOR TENSION.

En el punto P actúan los vectores tensión ti~) y t[~*) en los elementos de superficie respectivos n; e.S y ni fl.S*. Demostrar que la componente de t:~) en la dirección de ni es igual a la componente de t~~*)en la dirección de n;. Se trata de demostrar

que

ti~)nr

t:~*)ni

De (2. 12) ti~*)ni

=:

O'jin7 ni' y de (2.22) v»

=:

O'ij, de donde

Fig.2-20

2.2

El tensor de tensión en un punto p está dado por ¡

(~~ \

-2

-~)

O

4

Determinar el vector tracción (tensión) en un plano que contiene a P y cuyo normal unitario es (2/3)e¡ - (2/3)e2 + (l/3)e3. De (2.1 2)

t(~)

=: ~ •

¿. La multiplicación

se puede llevar a cabo mejor, en la forma matricial

14 - ~ [ 3 3'

=-:!,.Q 3

-4 ' 3

+

de (2.13):

!] 3

n=

CAP. 2

ANALISIS

2.3

2.2 determinar

Para el vector tracción del Problema magnitud de ti~), (c) el ángulo entre

t¡~) y

DE TENSIONES

73

(a) la componente

n.

perpendicular

al plano, (b) la

44/9 (b)

Iti~)l =

(e) Puesto

2.4

y'16

+

100/9

=

5.2

que

cos

e

= (44/9)/5.2 = 0.94

y

Los vectores tensión que actúan en los tres planos coordenadas son t;~ll, t;~2) Y t;~3). Probar suma de los cuadrados de las magnitudes de estos vectores es independiente de la orientación planos coordenadas. Sea S la suma buscada.

que la de los

Entonces

s = en S =

la que de (2.7) se convierte

2.5

+ 0"2;0"2; + 0"3¡0"3;

O"¡;O"li

=

un invariante.

0");0");,

El estado de tensión en un punto está dado por el tensar de tensión

a aa ba) ao ( ba a a

'Ca

Ca

donde a, b, e son constantes

y

es un valor de tensión.

a

Determinar

iii

manera que el vector tensión se anule en un plano octaédrico En forma matricial

't

1)

O"

ao

aa

u

bo

2.6

eO"

estas ecuaciones,

a

)

bO"] [1/Vs~ cu l/Vs = u lIVs

[

Resolviendo

= (l/V3)e¡

= O"··n· tiene que ser cero para el tensar de tensión

t(~)

=b=e=

-1/2.

rolo

LoJ

Por lo tanto,

a b

+e +e

el tensar solución

-u/2 u

-U/2) -u/2

-a/2

a

a, b y e de tal

+ (V/3 )e2 + (l/V13 )e3)

y vector normal dados. -1

a+b entonces

las constantes

-1 -1

es

El tensor de tensión en el punto P es

(~ -53

, -D

1

\ O

Calcular el vector tensión en el plano que pasa por P y es paralelo al plano ABC indicado en la Fig, 2-21. La ecuación unitario

del plano

ABe

al plano es por lo tanto

~

+ 6xz + 2x3 = 12, Y t ~¡ + ~~2 + t ~3 (ver

B

es 3x¡

el normal

=

Problema

De (2.14), el vector tensión se puede determinar

por la multiplicación

1.2).

matricial

A Xl

Fig.2·21


74

Ol

-5'

~J

3

[3/7, 6/7, 2/7] [-:

1 De donde

2.7

=

t(~)

-9A Tel

5A

1

"7

CAP. 2

[-9, 5, 10]

IDA

+ 7ez + 7e3'

El estado de tensión a través de un medio continuo por

está dado respecto a los ejes cartesianos

OX¡XZX3

Determinar el vector tensión que actúa en el punto P(2, 1, V3) de un plano que es tangente en P a la superficie cilíndrica x~ + x~ = 4. Las componentes

El normal

=

\l(x~

+

de tensión en P son

unitario a la superficie en P se calcula del grad q, 4). Entonces \lq, = 2xzez + 2X3~3 yasí,

\l q,

x; -

Por lo tanto el normal

..

unuano

..•••

en P es n =

se puede ver en la Fig. 2-22. Finalmente plano .1..a Íi es

~2

"2 +

Va ..... Esto 2"e3'

el vector tensión

tam

bi ien

en P y en el

o

Fig.2-22

ECUACIONES . 2.8

DE EQUILIBRIO

(Sec. 2.7)

Para el estado de tensión dado en el Problema 2.7, averiguar la forma que han de tener las componentes de las fuerzas másicas si en cualquier punto se han de satisfacer las ecuaciones de equilibrio (2.24). Calculando

(2.24) directamente

de ¡ dado en el Problema 3x2

Estas ecuaciones

se satisfacen

cuando

b¡

=

+ O

+

O

+ +

O

+

O

+

10xz

-13x2/p,

pb1

O

+ + +

bz

=

-2/p,

O 2

2.7, O

pbz

=

pb3

=

O O

b3

=

O.


2.9.

Deducir (2.20)

a partir de (2.19), página 62.

Comenzando

con la ecuación

(2. /9),

f

dS

s

sustituyendo

s

dS

«ijkxjCTpk)np

Llevando a cabo la diferenciación lumen se tiene

de las ecuaciones

(2.20), .(

f

=

' v

O

el resultado

en una integral de volumen

por (1./57):

dV

«UkXjCTpk),p

en esta integral

+ pb"

Upk,p

=

dV

€ijkxjpbk

y convirtiendo

v

indicada

de equilibrio,

f

+

ti~) = Ujinj

en la integral de superficie

f

Pero

75

de volumen

= O; Y puesto

que

y combinándola

Xj,p

=

con la primera

8 u» esta integral

integral

de volumen

de vo-

se reduce a

dV = O.

TRANSFORMACIONES

DE TENSION

(Sec. 2.8)

2.10. El estado de tensión en un punto está dado respecto a los ejes cartesianos

OX1X2X3

Determinar el tensor de tensión ¿' para un sistema de ejes girado Ox~xfx(¡ relacionado original por el tensor de trans formación

por

con el sistema

A (1/~ ~~~-~~~) -1/V2

1/2

-1/2

=

La ley de transformación de tensiones está dada por (2.27) según aú = a¡pajqapq o r' A· r . Ac-El cálculo detallado se lleva mejor a cabo mediante la multiplicación de matrices [u[j] [a¡p][upq][aqj] dada en (2.29). De esta manera

=

[a;]]

[,

1/2

-112

-1//2

1/2

-1/2

1/12

l/V' l/V'] [

-2 2 -2

O

12 O

']['

O

-12

l/V'

1/..;2

1/12

1/2 -1/2

-1!V'] 1/2

-1/2

O

[:

1-/2 -1

1:~]

2.11. Probar que la ley de transformación de tensiones se puede deducir de (2.33)
de orden cero, está dado respecto

a un conjunto

arbitrario

de ejes coordenadas

con

76

ANALISIS

y

PU¡'SIO

CAP. 2

que de (1.94) n; = aijnj,

donde se han introducido

nuevos seudoíndices

y puesto que las direcciones

2.12.

DE TENSIONES

en el último término.

Por lo tanto,

de los ejes sin primas son arbitrarias

Para los ejes sin primas de la Fig. 2-23 el tensar de tensión vale

(~~~)

",

Determinar el tensar de tensión respecto a los ejes denotados con primas, tal como se indica en la figura. En primer lugar es necesario determinar completamente la matriz de transformación A. Como ~;; forma los mismos ángulos con los ejes Xi se conoce la primera fila y el término a33 de la tabla indicada a continuación. O sea,

xi

Xl

';2

X3

1/V3

1IV3

1IV3

Fig.2-23

X2 1/1./2

X3 Usando las condiciones de ortogonalidad que faltan en la tabla. Se deja al estudiante,

[

1/-/3 -2/V6

[
[

-2/~

los términos

11-/3

1/V6

lo 0lJ ~1/V3

1/-/3 1Ivf3] 1" 1/V6 1/V6 -1/-/2

1/V2

T

O

O

T

O

O

T

TII3] [1/V3 Th/6 1/13 T/V2 1/V3 El resultado no es sorprendente para las tensiones principales.

calculando

-1/Vz

O

1/V3 Por lo tanto

=

8 ik:» se determina la matriz de transformación como ejercicio, la prueba de que

aijuik

si se consideran

1/-/3 1/-/3

-2/1(6

-2/V6

O

l

1/% -l/V2J ]!V6 1//2 O

I

11V6 -lh12JI 1/V6 1/V2

·Ios círculos de Mohr para un estado de tensión que tiene valores iguales

CAP.2


77

CUADRICA DE TENSIONES DE CAUCHY (Sec. 2.9) 2.13 Determinar

la cuádrica de tensiones de Cauchy en el punto P para los estados de tensión siguientes:

tensión uniforme (b) tensión uniaxial (e) cisión simple 0"12 (el) tensión plana con (a)

De (2.32), la cuádrica Usando

0"11 0"11

=

= =

0"22

=

0"33

=

0";

0"22

=

0"33

= = =

0"21 0"11

T;

O"

0"11 0"22;

=

0";

0"12

=

0"22 0"12

0"12

= =

está dada en notación

= =

0"13

=

0"33 0"21

0"13

=

simbólica

= =

0"13 T;

0"2:3 0"23

=

0"33

= =

0"23

=

O O

=O

0"31

=

0"23

por la ecuación

r'

=

O.

L •r

=

±k2•

la forma matricial,

±k2

Entonces

la cuádrica

es la esfera ~~ + I~

para una tensión uniforme

+

r;

±k2/".

(b)

La cuádrica

para una tensión uniaxial es un cilindro circular a lo largo del eje de la tensión.

(e)

y la cuádrica

para cisión simple es un cilindro hiperbólico

paralelo

al eje Ss .

±k2

(d)

donde la cuádrica

2.14. Probar

para tensión

que la cuádrica

plana es en general un cilindro cónico paralelo

al eje principal

nulo.

de tensiones de Cauchy para un estado de tensión representado

es un elipsoide (el elipsoide de tensiones) cuando a, b y e son todas del mismo signo. La ecuación

de la cuádrica

está dada por

a O

[\1' \z, 13] [

Por lo tanto la cuádrica

O

es el elipsoide

O 0] [11] b

O

~2

O

e

\3

\2 ~ be

\2

±k2

\2

+~ + -ªae ab

±k2 abc .

por


78

TENSIONES

PRINCIPALES

CAP. :

(Sec. 2.10-2.11)

2.15. El tensar de tensión en un pun to P está dado respecto a los ejes

~)

1 O

a 1)..

2 Calcular los valores de las tensiones tadas por los ejesOx;x~':r;'. De (2.37) los valores de las tensiones

1

principales

O/ y las direcciones

a, se calculan

de tensión principales

represen-

según

1

1

3-a

principales

por los valores

OXIX2X3

+-o

o

2

(a

o, desarrollando,

+ 2)(a

- 4)(.,- - 1)

=

O

2 '-a

1

Las raíces son los valores de las tensiones principales aClJ = -2, ll los cosenos directores de este eje. Entonces de (2.42),

a(2)

nr

(3

+ 2)n~1l + nill + n~1)

O

+ 2n~1)

O

+ 2n~1) + 2n11)

O

n~j) -1- 2nilJ ni!)

De donde n~I) = O; n~!) =

y puesto que n¡n¡ = 1,

-n~l)

= 1,

a(3)

= 4. Sea el eje

= 1/2. Por lo tanto,

(nill)2

n¡1)

=

xr la dirección

O, n~j) =

de

aO),

1/Y2, n~])

y

=

-1/V2. De igual modo,

asociando

a

x~

a(2)

y de (2.42)

n~2)

+ n~2) + n12) - ná2) + 2n~2)

ni2)

+ 2ná2)

2n;2)

de forma que n;2) Finalmente,

= l/V3,

asociando

n~2)

= -l/V3,

x; con

a(3)

n~2)

- n~2)

O O

O

= -1/-/3 .

y de (2.42), -n¡3) n(S)

S)

O

+ 2n(3)

O

-

4n(3)

+

2n~3) -

123

ni

+ ná3) + ni3)

4n~3)

O

2.16. Probar que el tensor de transformación de los coseno s directores del Problema 2.15 transforma tensar de tensión original en el tensar de tensión diagonal referido a los ejes principales. Según (2.29),

[a7j]

=

[a¡p][apq][aqj],

que para este problema

se convierte'

l'1'

ol

:J

el

ANALlSIS DE TENSIONES

CAP. 2

2.17.

Hallar los valores de las tensiones de tensión

T-a

De

(2.37),

l'

=

aO)

y por lo tanto,

O,

a(Z)

así como sus direcciones

principales

O.

l'

T-a

l'

= e,

para el tensar

l'

l'

l'

Entonces,

principales,

79

0"(3)

=

31'. Para

0"(3)

ni = n~3) = ni~) = 1/-/3. 3

=

a(l) =

Para

)

31', (2.42) da

a(Z)

= O, (2.42) da

que junto con ni?ti = 1 son insuficientes para determinar únicamente las direcciones para el primer y segundo ejes. Entonces 3) y perpendiculares cualquier par de ejes perpendiculares a la dirección de entre sí son vali.l» .v-rno ejes principales. Por ejemplo, consideremos los ejes determinados en el Problema 2.12, para los cuales la marnz de transformación es

ni

1/..[3 [ Según la ley de transformación

[a~l

1/..[3

1/16 -1/..;2

-21-1[6 O

(2.29), la matriz de las tensiones

1/-/3 1/-/3 1//3] -2/V6 1/V6 1/~ [ O -1/..;2 1/)2

[~03 -r

l' ~ 1']

~

O

O

[1'

r

principales

1'] [11..[3

l'

l'

-r

l'

l'

l'

[a7jje,údada

por

O]

-2/-16

1/-/3 1/V6 -1/..;2 1/-/3 11V6 1/..;2

[:;is -~;~ -1/~]

[:01'

~O~O]

1/-/3 1/'16 l/Vi

2.18. Probar que los ejes Oxixix¿, (donde xi, X3 Y xjestán en el mismo plano vertical y xi, Xl Y X2 están en el mismo plano horizontal) son también ejes principales del tensar de tensión del Problema 2.17. La matriz de transformación [a¡j) que relaciona los dos conjuntos de ejes, evidentemente tiene los elementos conocidos siguientes

1/-/3 como se ve en la Fig. 2-24. De las condiciones de ortogonalidád aijaik ¡¡jk, los cuatro elementos restantes se determinan de tal manera quc

=

Fig.2-24


80

-1/-.f2

CAP. 2

1/y'2

-1/y6 -1/y6

[

1/"/3 l/Vs

Como antes,

V3 ] 1/V3 l/V3

1/

2.19.

Probar que las tensiones principales arbitrarios referidos a las direcciones

y las componentes

de tensión uij para un conjunto de ejes por medio de los coeficientes de transformación aij

principales

3

están relacionadas

por

= L

Uij

p=1

ap¡apjup'

=

De la ley de transformación de tensiones (2.27), <1ij up¡uqi";q; solamente hay tres términos en el segundo miembro de esta ecuación,

pero puesto que <1;q son tensiones principales, y en cada uno p q. Por lo tanto el segundo

=

3

miembro

se puede escribir en la forma

= ~

<1;j

ap¡upj<1;.

p=1

2.20.

Probar

que

es un invariante

uijuiku

kj

De la ley de transformación

del tensar de tensión.

(2.27), aipajQC1pQajraksl1

. (u¡pair)(UjqUjn)(

5prllqnll

Calcular directamente

los invariantes

a·ksUkm)<1pQ<1 rs<11lln

sm<1pq<1rs<1mn

(5pr<1pq)(

2.21.

rsakmajn(1mn

s qn<1mn} (5 sm<1rs)

h,Ih,

IIh

del tensar de tensión

Calcular las tensiones principales de este estado de tensión y probar sor de tensión da los mismos valores para los invariantes de tensión.

=

De (2.39),

II

De (2.40),

III = =

<1;;

Las tensiones

IIII

=

6

+6+

(l/2)(<7ii<1jj <111<122

= 36 De (2.41),

=

-

=

de

20.

<1¡i"¡j)

<722<733

+ 48 + 48

1<1;;1

principales

+

=

8

+

<133<111 -

- 9

=

:+-

3(-24)

son

<1{

=

3,

<112<712 -

<123<723 -

<131<131

123.

6(48}

<1ij

que la forma diagonal del ten-

= <1JI

=

216.

8,

<1m

= 9. En función de los valores principales,

CAP. 2

ANALISIS

+
II

al

IIrI

a¡alIam

-

= (24)9

81

DE TENSIONES 8

+

9 = 20

= 24

+

72

+

123

27

= 216

2.22. Un plano octaédrico es un plano cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales. Probar que la cisión en este plano, denominada tensión cortante octaédrica, está dada por

Respecto

a los ejes principales, A

_

n Entonces

1 '" el

Va (

la normal al plano octaédrico

+ e2 T

e3)

de (2.12), el vector tensión en el plano octaédrico

y su componente

normal

es

A!,A"

es

es

Por lo tanto, la componente

cortante

es

Fig.2-25

5 2.23. El tensar

de tensión en un punto está dado por

xima en el punto mínima.

y probar

uij

O

O -6

O

-12

. Determinar

la cisión má-

O -12 1 los planos de tensión máxima que actúa en el plano que bisecta a

De (2.38), el lector ha de comprobar que las tensiones principales son (TI = 10,
~;;

x*3

x* 2

x'¡

, X2

I

X3

1//2

O

11/2

O

1

O

O

1/V2

-1//2

Fig.2-26

alI

y

82

ANALISIS El tensar de tensión referido

[u!i]

O

O

1

5

O

CAP. 2

a los ejes con primas está dado por

[ 1/v2 1/~1: -1/~

DE TENSIONES

1/12

O

'][1/v2 O -1/v2]

O -1~

1/~

1

O

O

1/v2

[-25 O -1:5] O

-12.5

Estos resultados pueden ser aclarados posteriormente representando a las tensiones punto y cuyos lados son perpendiculares a los ejes de coordenadas (ver Fig. 2-27).

x*2

5

O

-2.5

en cubos infinitesimales

en el

X'

2

Fig.2-27

CIRCULOS DE MOHR

(Sec.2.12-2.13)

2.24. Dibujar los círculos de Mohr del estado de tensión discutido en el Problema 2.23. Señalar los puntos importantes. Relacionar los ejes OX¡X2XS (asociados a O"u) con los ejes principales Ox~ x~ x~ y situar en el diagrama de Mohr los puntos que dan los estados de tensión que actúan en los planos coordenadas de OX¡X2X3. En la Fig. 2-28 se representa la mitad superior de los circulas de Mohr, con el punto P de cisión máxima y las tensiones principales señaladas por sus símbolos. La tabla de transformación de los cosenos directores es X¡

*

x~

Xs"

Xl

O

1

O

:cz

-3/5

O

4/5

O

3/5

x.3

4/5

con la cual se hace una representación de la orientación relativa de los ejes como se ve en la Fig. 2-29. Los ejes Xl yx~ coinciden.· X2 Y x,¡ están en el plano de x~ xicomo se ve. De los valores indicados de a = 36.8°y fJ = 53.2° se sitúan en el diagrama los puntos A(-6, 12) en el plano J. a x2 y B(l, 12) en el plano J. a x:¡ . El punto C(5, O} representa al estado de tensión en el plano 1. a Xl. "s

Fig.2-28

Fig.2-29

ANALlSlS DE TENSlONES

2.25. El estado de tensión en un punto referido a los ejes

83

está dado por

OX¡X2X3

-5° O 0) (

a I)..

-6

-12

° -12

1 Determinar analíticamente las componentes del vector tensión en el plano cuyo vector normal unitario es ñ = (2/3)c¡ + (1I3)e~ + (2/3)el.Comprobar los resultados mediante el diagrama de Mohr para este problema. De (2.13) Y de la propiedad producto de las matrices

de simetría

del tensar

de tensión,

el vecror tensión en el plano de

n está

dado por el

[-~-: -l~Jl:;:] [=~~/3l ::=:

O -12

A

A

A

1

2/3

A

-10 e[/3 - 10 ez - 10 e3/3; Y de (2.33) «» Las tensiones principales de aij son al 10, «n 0:°12:22:3 por la tabla Así,

-10/3 ~

t(nl

=

AA

::=:

=

::=:

-5,

vrn

=

Xz

X3

O

-3/5

4/5

x~

1

O

O

~}"*

O

4/5

3/5

Xl

X~ i

'"3

Así, en el marco

n

t(n) •

de los ejes principales

nt

=

uij?1.j

O -3/5 1 O

o [

O

4/5

=

4!i5~ [2/3~ O 1/3 3/5

=

2/3

la Fig. 2-16 serán (J = (3 = eos --1 2/5 = 48.2" Y

----~L------L---L----------JL __~~ Un

[1/3~ 2/3

. En efecto,

Fig.2-30

con

los ángulos de

2/3 de Mohr comparable

__L_~--~--~L------------L----~aN

==-5

/

-70/9. De (2.47) as 70.7 9. -15; Y los ejes principales están relacionados

a la Fig. 2-


84

CAP.2

2.26. Representar los círculos de Mohr para los tres casos de tensión plana descritos por las tensiones de los cubos elementales orientados a lo largo de los ejes coordenadas, tal como se presentan en la Fig, 2.31. Determinar la cisión máxima en cada caso.

XI

XI

(b)

(a)

(e)

Fig.2-31

Los círculos

de Mohr se representan

en la Fig. 2-32.

-1-----

=_O=-=-"_-T_

(e)

(b)

(a)

_0,-'

Fig.2-32

TENSORES ESFERICOS y DESVIADOR 2.27.

Descomponer

(Sec. 2.14)

el tensor de tensión "" =

e: :-~)

en sus partes esférica

\ O -2

que el primer invariante 0'.\1

=

O'kkl3

=

(12

+ 9 + 3)/3 =

8. Así,

~

S¡¿

4

+

y probar

del tensar desviador es nulo.

( y

y desviadora

31

O

~

~) +

O

8

(1: : _~) O -2

-5

1 - 5 = O.

2.28. Probar que el tensar cisión pura. La descomposición

es

de tensión

desviador

es equivalente

a la superposición

de cinco estados dé

CAP.2

ANALISIS

('"

,,,)

S12

S21

822

S2.3

8:n

8:12

S:l~

(,;,

DE TENSIONES

n

SI2

O O

O

donde los dos últimos tensores son equivalentes blema 2.26. Nótese también que como Si; O,

=

2.29. Calcular las tensiones desviadoras

(,:,

'" O )

O

O

O

)

O

O O

,~

832

O

,

-SIl

-S~~

T

O

O

\ + ('

O O

~)(~ D

O

('"

+

+

85

O

a estados de cisión pura si se comparan - S33 = S22'

con los casos (a) y (b) del Pro-

-Sl1

principales

(Jij


10 ~6 -6 10

(

O

O) O

O

1

3 -6 El desviador

de

es

aij

-6

8ij

3

( O -6

O

-6

3-s

O

=

Así, SI = 9, s¡¡ -:1, tiene el mismo resultado. = 9, Sil = -1 -7 = -3,

principales

se calculan del determinante

O -6

3-s O

~) y sus tensiones

+ 3)(s-

(-6 - s)(s

9)

O

-6 - s

O

=

-ti. Calculando primero las tensiones principales de aíj y usando entonces Para aij, como el lector puede comprobar, a¡ = 16,
SIl!

=

(2.71) se obSI 16-7

=

2.30. Probar que el segundo invariante del tensar desviador está dado en función de las tensiones principales por Ihv = (SISn + SIISIII + SIllS¡), o también por la forma Ihv = -t(ST + sil + sin). En función de las tensiones d.ula por el determinante SI -

desviadoras

O

S

O

8[1-

O

O

principales

característica


desviador

está

O O

S

Sil! -

(S¡ -

(SlslI

+

S)(811 -

S)(SIlI -

O

S)

S S3

Lm onccs de (2.72), II¡v.=

la ecuación

SlIsIIl

+ smsl)'

+

(SISII

+

SIISm

Puesto que,

SI

+

+

SllIS1)S

sn

+

SIII

-

s¡slIsm

= O,

Problemas diversos 2.31.

Probar mado

que para cualquier tensar simétrico, tal como el tensar de tensión en cualquier otro sistema de coordenadas también es simétrico. u

0-'.

Oe (2.27),

aD

=

u¡pujqapq

=

ajqa¡paqp

= ají'

O-¡i'

el tensar transfor-

86

ANALISIS

DE TENSIONES

CAP.2

2.32. En el punto P las tensiones principales son tales que 2a]] unitario ni del plano en el que ay = (TII Y as = ((T¡ -- CT¡II)/4. De (2.33), UN = niu]+ni(uI+uIII)/2',-n~uIII pueden ser combinadas para dar 1/¡ = ll:r.Ahora,

Sustituyendo directores

n¡ =

n] =

?l;¡

Y

n~-

1 =

n2

V3 12,

1/2,12,

cee

-ni -

= (U¡+'T¡I¡)/2; de (2.47).

-; -2ni

n3 =

112,12.

2.33. Probar que el tensar de tensión una y solamente una forma.

CT¡j

que las tensiones principales

+a

¡'

U

que

Determinar

y resolviéndolas

para

(:

O

0\

5

O

O

6/

el vector normal :=:1, estas ecuaciones

n;+n~+n~

El lector puede aplicar estos resultados

11],

se hallan los cosenos

al tensar de tensión

I

se puede descomponer

Supongamos dos descomposiciones, Uij = OijA +- sij = ;SijA'" de este modo A = A*; Y de A;Sij + sij = AOi) + s7j se sigue que sij =

2.34. Probar

al

y puesto

en estas ccuaciones

---

Uij

=

en una parte esférica y otra desviadora

+-

s'ri.

s7j con SLi = O Y s;~ = O. Entonces

de

Uii = 3A = 3A*,

son reales si L es real y simétrico.

Para los valores reales de las componentes de tensión los invariantes de tensión son reales y entonces los coeficientes de (2.38) son todos reales. Así, según la teoría de las ecuaciones una raíz (tensión principal) será real. Sea U(3J esta raíz y consideremos un conjunto de ejes xi de los cuales x~ está en la dirección de U(3)' Respecto a tales ejes la ecuación

, Ull

característica

-

o

u /

está dada por el determinante

UZ2 -

Puesto

O

(J

o

O

U(3J

que el discriminante de la ecuación cuadrada entre corchetes, 0, las raíces restantes tienen que ser reales.

+ 4u;~ >

-

u

D

2.35. Usar el método de los multiplicadores lagrangianos para probar que los valores extremos y mínimo) de la tensión normal CTN corresponden a los valores principales. De (2.33), UN = u¡jninj con = O. Entonces

n¡ni

== 1. ASÍ, por analogía

con (2.51), construir

la función

H

UN -

Anini

(máximo para la que

aHlani

que es equivalente

a la ecuación

(2.36) que define a las direcciones

de las tensiones

principales.

2.36. Suponer que las componentes de tensión a son derivables de un campo tensoríal simétrico 1> mediante la relación rTij = fipqfjn¡n 1>Qll,pm' Probar que en ausencia de fuerzas másicas se satisfacen las ecuaciones de equilibrio (2.23). 1)

Usando los resultados

del Problema

1.58, las componentes

1)

de tensión están dadas por

\

ANALISIS

CAP. 2 o explícitamente

Sustituyendo

+ 4>22,33 4>11,33 + 33,22

Ull

estos valores en

=

Uij,j

87

DE TENSIONES

U12

O,

ull,1

+

u12,2

+ U13,3

U21,1

+

u22,2

+

922,331

-

4>33,212 -

O

-4>33,211

+ +

4>11,332

+

'933,112

-

911,233

O

-922,131

-

911,232

+

922,113

+

0;611,223

O

933,221

u23,3

2.37. Probar que, como se afirma en la Sección 2.9, la normal a la cuádrica de tensión de Cauchy en el punto cuyo vector de posición es r es paralela al vector tensión t~~)

= uijr¡rj:±: k = O. La normal en cualquier punto = UijOiprj + UjjliOjp = 20'pi1i' ri = rn;, ésta se convierte en 20'¡J¡Tni o

Dada la cuádrica Ahora,

como

9.p

en la forma

es entonces

2

4>

2.38. En un punto P el tensar de tensión referido a los ejes

21'(O'pini)

=

a4>/asi =
V 0;6 o 2t~~).

está dado por

OX¡X2X3

15 -10 a ..

5

( -1~

1)

Si elegimos unos nuevos ejes Ox;x~x;

O

mediante

l

una rotación

respecto al origen, para la cual la

3/5 O -4/5

=

es [aij]

matriz de transformación

O

1

O

4/5

O

3/5

,determinar

los vectores tracción

de cada uno

1

de los planos coordenados girados por la proyección de los vectores tracción de los ejes originales en las nuevas direcciones con primas. Determinar aú' Comprobar el resultado por la fórmula de transformación (2.27). 10~

De (2.6) y la identidad t(~2) = -10 ~ + 5"'e

2'

1

lores en el sistema de

tfi) 2'

(/\')

=

la que por la transformación

De igual modo

y

de forma que

=

tracción 20 ~ que corresponden

ejes girado mediante

t e,

t(~;)

= O'ij(2.7),los vectores t (~3)

9(~e;

3

la forma vecrorial de (2. ¡2),

a 1¡-(15el - 10 e2) A

A

A

!e;>

-

6e~

t(~;)

t<~3)

-

=

Uij

se convierte

16(-'5 e;

- 6"" e¡

-12e;/5

,

(

=

!(20 e3)

de los veciores unitarios

+

en los ejes de coordenadas originales SOIl t(~I) a las filas del ten sor de tensión. Proyectando

5.•.. ' e2

-

8'"ez

-6 -12/5

-6 5 -8

A.

6 e2 -

91e; /5 -

8"" e3

+

=

nlt<~l)

+

n2t(~2)

-

12e;/5

A

16 e3

en

~e;) =

+

+

91/5

A

9 el -

t(~)

84e;/5

-12/5) -8 84/5

6e;

+ n3t(~3),

da

=

15e¡ estos vec-

ANALISIS

88

[";5 -'/5][ 15 O

De (2.27),

DE TENSIONES

, uij

4/5

1

O

O

3/5

-6

[-1:

5

-10

1

';5]

-4~5

O

3/5

O

'][

5

2~

O

O

12

3/5

-10

-1:][ 3;5

-8

12

CAP. 2

-4/5

1

';5]

O

3/5

O

[91/5

-6 5

-6

-12/5

-1215] -8

-8

84/5

IhD está relacionado

2.39. Demostrar que el segundo invariante del tensar de tensión desviador cisión octaédrica por la ecuación UOCT = V -%IhD• Del Problema
=

aM

+ S",

2.22, aOCT

=

}V(a¡

(a"

-+-

- aIlI)2

(am

y debido a que a¡

- a¡)2,

=

aM

+ SI'

etc., aOCT

;\

V(s¡ -

SI

+ S¡I +

SII¡

= o

SI

O

+

slIF

l..,J 2(s; También,

+

- all)~

con la

(sIl -

+ sil + silI)

y así, o

+ SI] +

-

=

(Slll-

S¡)2

+ SlISlll +

2(s¡slI

=

+ Sil + sm)2

(s¡

.') SII¡

+

SlJl)2

o

O

+ S1l8111 +

-2(s¡s¡¡

sms¡)

8mS¡)

Entonces

2.40. El estado de tensión en todo un cuerpo está dado por el tensar de tensión O (Tij

(

C:.t-3 O

C X3 O

O ) -COx¡

-C:rl

donde e es una constante arbitraria. (a) Probar que las ecuacioncs de equilibrio se satisfacen si las fuerzas másicas son nulas. (b) Calcular el vector tensión en el punto P (4, -4, 7) del plano 2x¡ + 2X2 - X3 = -7, Y en la esfera (X¡)2 + (X2)2 + (X3)2 = (9)2. (e) Determinar las tensiones principales, las cisiones máximas ylas tensiones principales desviadoras en el punto P. (d) Representar los círculos de Mohr del estado de tensión en P. (a) Sustituyendo

directamente

en (2.24) las componentes

(b) Del Problema

(1.2) el vector normal unitario vector tensión en el punto P del plano es

[4/9,-4/9,7/9]

ni

=

se satisfacen

+ 2x2

con

-

X3

idéruicamente

=

-

-7 es ~

81, o

O

O -4C

[-28C/9,

O, 16C/9]

las ecuaciones

de equilibrio.

= J el + § e! -!s ~

n

7C

7C [

aij'

al plano 2x¡

La normal a la esfera XiX, = (9)2 en el punto P es Ola matricial de (2.14) el vector tensión en P es

O

de

+ ..... !l el

_4

...•. +7

1J e2

y de (2.12) el

...•.

1J ej. En la for-

ANALlSIS

CAP.2

7

-a

(e) De (2.37),

-

las tensiones

O; entonces

65)

principales

7 -u

u,

y65,

(11

89

DE TENSIONES

O;

°

-4

=

0,

u]]

U¡]]

al

El valor

de la cisión máxima está dado por (2.54b) como Us = (UT]] 0"¡)/2 = ±y'65. Puesto que la tensión normal media en P es U;If = (U¡ + UIl + U¡¡¡ )/3 = 0, las tensiones desviadoras principales son las mismas que las tensiones principales (d) Los círculos

de Mohr se presentan

en la Fig. 2-33.

=

Yii5

Fig.2-33

Problemas propuestos

/14 2.41.

En un punto P el tensar

de tensión es

I

Uij

7

7

\ --7

P y es paralelo

al plano (a) BGE, (b) BGFC del pequeño

-'(\

21

o)

o

35/

.Determinar

paralelepipedo

el vector tensión en un plano que contiene a

de la Fig. 2-34.

Xl

Fig.2-34

Sol.

2.42.

Determinar Sol.

2.43.

Ux

de tensión normal y con ante en el plano BGFC del Problema

las componentes

=

63/5,

=

Us

t

Calcular

(~) -- (12

A

e¡

las tensiones

•

/..

....•... -,

~

+ .3 e~ -' G c:l,h/3 ,

principales

(a)

2.41.

37.7/5

Las tensiones principales en el punto P son al normal en el plano octaédrico que pasa por P. So.I

2.44.

(a) t (~)

12,

U¡ [ :=:

el,

"¡¡¡::=

-13. Determinar

=.- 3

o-;

de

/0

1

1\ \

!

O

1

:

°ij

=-

1

I

I

\ 1 \

0/

y

(b)

(Tij

n :) 2

\1

1

2/

el vector tensión

y su componente

90

ANALISIS y probar

que ambas tienen las mismas direcciones

Sol. (a)

2.45.

(11

Descomponer

desviadoras

2.46.

=

2,

(111

=

(111(

=

el tensor de tensión

Sol.

principales.

Probar que la componente tensor de tensión.

(b)

-1,

(11

=

(1ij

S(

= 31,

normal

Sil

4,

CAP. 2

principales. (111

H =

DE TENSIONES

8,

=

=: 1

GIIT

0\

-10 O 30 sJ1I

I en -27/ 30

I

sus partes esférica y desviadora

y calcular

las tensiones

= -39

del vector tensión en un plano octaédrico

es igual a un tercio del primer invariante

del

1 2.47.

El tensor de tensión

en un punto

está dado por

~)

(1ij

1

que el vector tensión en algún plano que contiene tensión.

(122

no especificada.

Calcular

(122

de forma

o/

al punto sea cero. Dar el vector normal

unitario

para este plano libre de

1, '"n

50/.

2.48.

con

Representar

los CÍrculos de Mohr y determinar

la cisión máxima en cada uno de los estados de tensión siguientes:

(b)

Sol. (a)

(1S

=

Ujj

T, (b) as = 3T/2

2.49.

Usar el resultado obtenido en el Problema 1.58, página S 1, junto con la ley de transformación 63, para probar que 'ijl;f1,qm(1jp(1jq"km es un in variante.

2.50.

En un medio continuo,

el campo de tensiones ( Uij

de tensiones

(2.27), página

está dado por el tensar (1- x;)x¡

xix:

\ (1- ;2)X¡

(x~ - 3X2)/3

°

,:;)

Determinar (a) la distribución de fuerzas másicas si a través de todo el campo se satisfacen las ecuaciones de equilibrio, (b) las tensiones principales en el punto Pea, 0, 2Va), (e) la cisión máxima en P, (d) las tensiones desviadoras principales en P. Sol.

(a) b.,

o·

":t";l'

(b)

(1, -'0,

8a,

(e) ±4.5a,

(d) -lla/3, -5a/3,

16a./3

Capítulo 3

Análisis de deformaciones

3.1

PARTICULAS

y PUNTOS

En la cinemática de medios continuos, es necesario comprender claramente el significado de la palabra "punto", ya que se puede interpretar que nos referimos ya sea a un "punto" en el espacio o a un "punto" de un medio continuo. Para evitar falsos conceptos, el término "punto" se usará exclusivamente para designar una posición en un espacio fijo. La palabra "partícula" denotará un pequeño elemento de volumen o "punto material", de un medio continuo. En resumen, un punto es un lugar en el espacio, una partícula es una parte pequeña de un medio continuo material.

3.2

CONFIGURACION DEL MEDIO CONTINUO. DE DEFORMACION y FLUJO

CONCEPTOS

En un instante de tiempo t, un medio continuo que tiene un volumen V y una superficie límite S ocupará una cierta región R del espacio físico. La identificación de las partículas del medio continuo con los puntos del espacio que ocupan en el instante t respecto a un conjunto adecuado de ejes coordenados, se dice que especifica la configuración del medio continuo en ese instante. El término deformación se refiere a un cambio en la forma del medio continuo, entre una configuración inicial (no deformada) y una configuración subsiguiente (deformada). En los estudios de deformación se pone un significado especial en las configuraciones inicial y final. No se presta ninguna atención a las configuraciones intermedias o a una secuencia particular de configuraciones a través de las cuales tiene lugar la deformación. Por el contrario, la palabra flujo se usa para designar el estado continuo de movimiento de un medio continuo. Por supuesto, una configuración previa es inherente a las investigaciones de flujo para las que se especifica un campo de velocidades dependiente del tiempo.

3.3

VECTOR DE POSICION.

VECTOR DESPLAZAMIENTO

En la Fig. 3-1 se representa la configuración no deformada de un medio continuo material en el instante t = O junto con la configuración deformada del mismo medio continuo en un instante de tiempo posterior t = t. Para el presen te desarrollo resulta conveniente referir las configuraciones inicial y final a ejes coordenadas separados como se ve en la figura. 91

92

ANALISIS

DE DEFORMACIONES

CAP. 3

=

t

t

Fig.3-1

Según esto, en la configuración inicial una partícula punto Po en el espacio y tiene un vector de posición

representativa

del medio continuo

ocupa un

A

-_.-XKh

(3.1)

con respecto a los ejes cartesianos rectangulares OX¡X~X:l. En (3.1) se usan letras mayúsculas como índices y como tales aparecerán en varias ecuaciones que siguen, pero su uso como índices de suma se restri ngc solamente a esta sección. En el resto del libro los subíndices o superíndices en mayúsculas solamente sirven como distintivos. Aquí se usan para resaltar la conexión de ciertas expresiones con las coordenadas (X¡X2X:l), las que se denominan coordenadas materiales. En la configuración deformada la partícula originalmente situada en Po aparece ahora en el punto P y tiene el vector de posición (3.2) cuando está referido a los ejes cartesianos rectangulares (J;T¡:1:2:r:;. Aquí se usan letras minúsculas como subíndices para indicar su conexión con las coordenadas (:rl:C2~:J)que dan la posición actual de la partícuia y son denominadas con frecuencia coordenadas espaciales. l.a orientación relativa de los ejes materiales OX1){~X:i y de los ejes espaciales oa:¡X1X:l se especifica mediante los cosenos directores "u, Y o.KI:.' los cuales se definen por los productos escalares de los vectores unitarios según (t

(8 ..1)

1":'!:

En estas expresiones no va implícita ninguna suma debida a los índices ya que k y K son índices distintivos. Puesto que como las deltas de Kronecker se designan por las ecuaciones },.:. I¡. :=. 81>1' y Ck' p = 81:)-., las condiciones de ortogonalidad entre los ejes espaciales y materiales toman la forma

c

(t(1

J{k

x»

=0:(\' 1>'1\

'tK

=0'

kl' '

_.

:;

V!\.',;

En la Fig. 3-1, el vector u que une los puntos 'P; y P (posiciones inicial y final de la partícula, tivamente), se conoce como el vector desplazamiento. Este vector puede ser expresado como

( .)q

•. -'~) 1-

respec-

(S.S)

o también como

(S.r,)

ANALISIS DE DEFORMACIONES

CAP.3

93

en el que las componentes V¡.: y u« están relacionadas a través de los cosenos directores vector unitario Ck se expresa en función de los vectores base materiales IK como

C!kK'

De (1.89) el

(3.7)

Por lo tanto sustituyendo

(3.7) en (3.5), (3.8)

lT de la que

(3.9)

Dado que los cosenos directores "Id; son constantes, las componentes del vector desplazamiento según a la ley de transformación de los tensores cartesianos de primer orden, como debe ser.

(3.9) obedecen

El vector b de la Fig. 3-1 sirve para situar el origen o con respecto al O. De la geometría ti

=

(3.10)

b+x-X

Muy a menudo en la mecánica del medio continuo es posible considerar X3 y OXIX2X3, con b == O, de forma que (3.10) se convierte en ti

En la forma de componentes

cartesianas

=

de la figura,

superpuestos

los sistemas OX¡X2

x-x

(3.11 )

esta ecuación está dada por la expresión general (3.12)

Sin embargo, para ejes su perpuestos, las triadas unitarias ticas, debido a que los símbolos de los cosenos directores esto (3.12) se reduce a

de vectores base para los dos sistemas son idénCi ", se convienen en deltas de Kronecker. Según l (3.13)

en la que sólo aparecen subíndices se supone que los ejes espaciales minúsculos.

3.4

DESCRIPCIONES

y

minúsculos. materiales

LAGRANGIANA

En el resto del libro, a menos que se especifique otra cosa, están superpuestos y entonces solamente se usarán Índices

Y EULERIANA

Cuando un medio continuo sufre una deformación (o flujo), las partículas del medio continuo se mueven a lo largo de varios caminos en el espacio. Este movimiento puede ser expresado por ecuaciones de la forma (3.14) x = x(X, t) las que dan la posición actual de la partícula Xi que ocupaba el punto (X¡XzX3), en el tiempo t = O. También (3.14) puede interpretarsc como la forma que adquiere una distribución detallada de una configuración inicial en una con figuración final. Se supone que tal distribución detallada es biunívoca y continua, con derivadas parciales continuas hasta las de cualquier orden deseado. La descripción del movimiento o deformación expresada por (3.14) se conoce como formulación Lagrangiana. Si, por otra parte, el movimiento

o la deformación

se dan por ecuaciones de la forma

x

= X(x, t)

(8.1.1)

en la que las variables independientes son las coordenadas Xi y l, la descripción es conocida como formulación euleriana. Esta descripción puede interpretarse como la que proporciona una reproducción de la posición original de la partícula que ahora ocupa la posición (Xl, :r2, ;¡:;¡). Si (3.15) es una distribución biunivoca y continua con derivadas parciales continuas, como también se supuso para (3.14), las dos, dis-


94

tribuciónes son las inversas únicas de la una con respecto para que exista una función in versa es que el J acobiano

I

J

CAP.3

a la otra. La condición

necesaria

y suficiente

:;j [

(3.16)

no se anule. Como un ejemplo sencillo, la descripción

lagrangiana

+ X (e

Xl

Xl

dada por las ecuaciones

t

2

-1)

+ X2

-1)

XI(e-t

(3.17)

X3 tienen la formulación

euleriana

inversa,

+ xz(et

-:r.

1 - et

-1)

e

-

t

xl(e-t -1) - x~ -'1 - el -

~e-=-t

3.5

GRADIENTES DE DEFORMACION. La diferenciación

(3.18)

GRADIENTES DE DESPLAZAMIENTO

parcial

de (3.14) con respecto a X, produce el tensar dX;/aX¡ que se denomina gradiente de deformación material. En notación simbólica, DJ.';/aX) , se representa por la diádica

en la que el operador

diferencial

ux

V'x =

ÚX

A

dAl

;:&;e¡ se aplica

para aclarar

éJ;rdaXI [

+

UX

A

~v'e'l

a;CI/aX2

•

esta propiedad

aX2/aX2

élJ.:2/aXl

aJ.:~/aXI

éJx3/aX2

éJ".",¡/aXl

~~j

diente de deformación espacia/o Este tensar está representado

enla

del operador

V' x

éiXdDX:l]

fJX2/aX¡

parcial de (3.15) con respecto a

(3.19)

iJL\:J

a la derecha (como se indica explícitamente

ecuación). La forma matricial de F sirve posteriormente cuando aparece como el consecuente de una diada. Así,

La diferenciación

A

--v el +- (J.'l.~ . v e~

XV'x

F

origina el tensar aX;/D;'f¡ por la diádica

(3.20)

que se denomina

H

gra-

(3.21)

que tiene la forma matricial

[JXdaX' aX /a;!;1

=

2

aX3/a""'1

Los tensores de deformación material cadena de la diferenciación parcial,

óXdax'J.

Jx,¡nx]

aX2/D;'f2

aX'J./a;¡;'J

éJX3/éJ:c'J.

éJX3/aX:l

y espacial están relacionados

ex,

éJ;¡'i éJXj

ax~éJXk

ax¡

Da.')

7¡x;,~'

por medio de la conocida

(3.22)

regla de la (3.23)

La diferenciación parcial del vector desplazamiento U¡ respecto a ambas coordenadas origina ya sea el gradiente de desplazamiento material éJnJaX o el gradiente de desplazamiento espacial (Ju;/ax¡. De j,


CAP. 3

95

(3.13), que expresa a U¡ como una diferencia de coordenadas, estos tensores se pueden dar en función de los gradientes de deformación como el gradiente material, según ax¡ --aXj

o el gradiente

- o·lJ

F-I

o

J == u\7x

o

K==u\7x=I-H

(3.24)

espacial iJu¡

s», Habitualmente,

las formas matriciales

de

y

J

K

(3.25)

son respectivamente iJudaX2

/J

(3.26)

iJU,2/iJX2

aU3/aX2 y

'l(

[nI] 'U2

iJ a - .• , -.

,-.

aUd

a

[aXt a:12 axJ

[

?l:l

3.6

TENSORES DE DEFORMACION.

aJ.~l audax~

iJ'Uz/axl

iJU2/ iJ;1'2

au,l/a,r:J] iJuz/ a,r:1

iJU3/0;1:1

iJuj iJX2

éiu:Jéi,c¡

(3.27)

TENSORES DE DEFORMACIONES FINITAS

En la Fig. 3-2 las configu raciones inicial (no deformada) y final (deformada) de un medio continuo están referidas a los ejes coordenados cartesianos OX1X2X3 y OXIX2X:¡ superpuestos. En el proceso de deformación, dos partículas muy próximas que ocupan los puntos Po Y Qo antes de la deformación, se desplazan a los puntos P y Q, respectivamente, en la configuración deformada.

Fig.3-2

El cuadrado

del elemento

diferencial (dX)2

De (3.15), la distancia diferencial

de longitud entre Po Y Qo es

=

dX· dX

= «s. as, =

«x, dX

j

(3.28)

áX, será

o con lo que la longitud al cuadrado

Oij

dX

=

(dX)2 de (3.28) se puede escribir

H'dx

(3.29)


96

(

dX)

2

ex, ¡j}':"

= -------

a:r,

aXj

a»; dx,

CAP. 3

dx· c-a«

(dX)2

o

(3.30)

en la que el tensar de segundo orden o

(3.31)

Hc·H

C

se conoce como el tensar de deformación de Cauchy, En la configuración deformada, el cuadrado del elemento diferencial

de longitud entre P y Q es ..... ("u.u"9)

De (3.14) la distancia

diferencial

es aquí dx, =

de tal manera que la longitud (dX)2

al cuadrado

~XX¡-

él

¡

ax,

dx = F· dX

o

(3.33)

(d;1;)2de (3.32) se puede escribir

fg~ax, as,

= ~~~

e; ax. as,

=

o

dX·G·dX

(dx)2

(3.34)

en la que el tensar de segundo arden o

(3.35)

Fe· F

G

es conocido como el tensar de deformación de Creen. La diferencia (áa;)2 - (clX)2 entre dos partículas muy próximas de un medio continuo, se usa como una medida de la deformación que tiene lugar en los alrededores de las partícuías, cuando se pasa de una configuración inicial a otra final. Si esta diferencia es idénticamente nula para todas las partículas vecinas de un medio continuo se dice que ha tenido lugar un desplazamiento rígido. Usando (3.34) y (3.28), esta diferencia se puede expresar en la forma a. (d x.)2 - (lX)2

--

(a::rk a:'Ck --X -X

o o i

(dx)2 - (dX)2

o en la que el tensar d

as..o:ix,) --

~ .. )

0,)

•

2L ,)(, .. IX·

ax,

1

dX· (Fc· F - 1)· dX

=

dX· 2lG

dX

(3.36)

=

}(Fc· F - 1)

(3.37)

•

(.sundo arden

u, = se denomina

=

-

j

~GI~:~)-Sij)

le

o

tensor de deformación finita lagrangiano (o de Green).

Usando (3.32) Y (3.30), la misma diferencia se puede expresar en la forma

o

(d:C)2 - (dX)2

::::::dx·

(1 - He· H)· dx

=

dx· 2EA• dx

(3.38)

-}(I - He· H)

(3.39)

en la que el tensor de segundo orden

s; = .!. (Sij_ O~k 2

se denomina

~3k)

0:1:¡ OXj

o

E,I

tensor de deformación finita euleriano (o de Almansi).

CAP, 3

ANALISIS

DE DEFORMACIONES

Una forma especialmente útil de los tensores de aquélla en la que estos tensores aparecen como funciones si a),:/aXj de la (3.24) se sustituye en (3.37), el resultado cillas es el tensar de deformación finita lagrangiano en la

deformación finita lagrangiano y euleriano es de los gradientes de desplazamiento. Entonces, después de algunas operaciones algebraicas senforma o

De la misma manera, euleriano en la forma

si aX/aXj

LG

3.7

matriciales

=

}(J

+ J, + Jc' .1)

de (3.25) se sustituye en (3.39) resulta el tensar de deformación

o Las representaciones pectivamente.

97

=

EA

-HK

+

Kc - Kc' 1<)

de (3.40) y (3.41) se pueden escribir directamente

TEORIA DE LAS DEFORMACIONES PEQUEÑAS. DEFORMACIONES INFINITESIMALES

TENSORES

(3.40) finita

(3.41)

de (3.26) y (3.27) res-

DE

La teoría de la mecánica del medio continuo, denominada de las deformaciones pequeñas tiene como condición básica el requisito de que los gradientes de desplazamiento son pequeños comparados con la unidad. La medida fundamental de la deformación es la diferencia (dX)2 - (dX)2, la que se puede expresar en función de los gradientes de desplazamiento introduciendo (3.40) y (3.41) en (3.36) y (3.38) respectivamente. Si los gradientes de desplazamiento son pequeños, los tensores de deformaciones finitas de (3.36) y (3.38) se reducen a tensores de deformaciones infinitesimales y las ecnaciones que resultan, representan a deformaciones pequeñas. En (3.40), si cada una de las componentes de los gradientes de desplazamiento a1t¡/aXj son pequeñas comparadas con la unidad, los productos entre ellas son despreciables y pueden ser eliminados. Entonces, el tensar que resulta es el tensor de deformación infinítesirnai lagrangiano, que se denota por (3.42)

o

De igual modo, para auJaXj <{ 1 en (3.41), los términos de los productos llegar al tensor de deformación infinicesimal euleriano, que se denota por

pueden ser despreciados

para

(3.43)

o

Si ambos, los gradientes de desplazamiento y los desplazamientos mismos son pequeños, hay una diferencia muy pequeña entre las coordenadas espaciales y materiales de una partícula de un medio continuo. Según esto las componentes del gradiente material EJ1~JaXj y las del espacial auJa;r.:j son casi iguales, de tal manera que los tensores de deformaciones infinitesimales lagrangiano y euleriano se pueden considerar iguales. Entonces L, = 1)

si los desplazamientos

y

los gradientes

e..

1)

o

del desplazamiento

L

=

(3.44)

E

son ambos suficientemente

pequeños.

ANALlSIS DE DEFORMACIONES

98

3.8

DESPLAZAMIENTOS VECTOR ROTACION

RELATIVOS.

CAP. 3

TEN SOR DE ROTACION

LINEAL.

En la Fig. 3-3 los desplazamientos de dos partículas vecinas están representados por los vectores 1~¡PO) y u;Qo) (véase también Fig. 3- 2). El vector (3.4.5)

o

se denomina vector desplazamiento relativo de la partícula que originalmente está en Qo respecto a la que originalmente está en Po. Suponiendo condiciones de continuidad adecuadas en el campo de desplazamientos, se puede hacer un desarrollo en' serie de Taylor para 'l~i¡>o) en las proximidades de Po. Despreciando los términos de orden superior en este desarrollo, el vector desplazamiento relativo se puede expresar por du, = (au¡/aXjh

tiX,

o

Fig.3-3

du = (u"Vx)po'

dX

(3.46)

Aquí se emplea el paréntesis en las derivadas parciales para resaltar el requisito de que las derivadas son estimadas en el punto Po. Estas derivadas son de hecho las componentes del gradiente de desplazamiento material. La ecuación (3.46) es la forma Lagrangiana del vector desplazamiento relativo. También resulta de interés definir el vector desplazamiento relativo unitario duJdX en el que dX es la magnitud del vector d.X, de distancia diferencial. Por lo tanto si Vi es un vector unitario en la dirección de d.X, de forma que d.X, = Vi dX, entonces ou:

ax,

a-x~dX

o

--

fiu

=

dX

u"Vx';;

=

J.;

(3.47)

Puesto que el gradiente de desplazamiento material au¡/aXj puede ser descompuesto únicamente una parte simétrica y otra antisimétrica, el vector desplazamiento relativo du.s« puede expresar como

(aHi + ex. !!2{L) + ~ (UU¡. 2 aX¡

[21 aXj o

P¡~L)Jas,

aX¡

J

(3.48)

du

Al primer término del corchete de (3.48) se le conoce como el tensor de deformación lagrangiano l.; y al segundo término se le conoce como el tensor de rotación lagrangiano lineal y se denota por

W

j

.

en

= ~ (5!.1!''. aXj

2

~¡(j)

o

lineal

(3.49)

aX¡

En un desplazamiento para el cual el tensor de deformación lij es idénticamente nulo en las proximidades del punto Po, el desplazamiento relativo en aquel punto será una rotación infinitesimal de cuerpo rígido. Esta rotación infinitesimal se expresa por el vector rotación 1U " i

en función del cual el desplazamiento

-

1 ~fijk

W kj

w =

o

t"Vx

x

II

(3.50)

w x dX

(3.51)

relativo está dado por la expresión o

fiu

=

El desarrollo de la descripción lagrangiana del vector desplazamiento relativo, del tensor de rotación lineal y del vector de rotación lineal es completamente paralelo al desarrollo para las correspondientes

CAP. 3

cantidades eulerianas.

ANALISIS

DE DEFORMACIONES

99

Según esto, la descripción euleriana del vector desplazamiento relativo es

=

K'dx

=

u\7

du

o

(3.52)

y del vector desplazamiento relativo unitario iiu,

= --aXj

d U¡ La descomposición

dx,

bu,

= -'~. BXj'

tl»

del gradiente

-dx

de desplazamientos

[1 ((fUi +

du,

'cFe o

du

o

.1

BXj

2

A

euleriano

BuJaxj

+1. (!!~~¡ -

B1~j) Bx,

2

.

x

a.éj

=

¡.¿

A

(3.53)

K'/L

da lugar a la expresión

~'¡~)J a::t.;

d;tj

du

(3.54)

El primer término del corchete de (3.54) es el tensar de deformación mino es el tensor de rotación euleriano lineal y se denota por

(au~_ (-)Uj)

,,) .. = l. 2 cJ;rj 1)

cJ~ri

n

o

lineal euleriano

.f(u\7. -

EU'

El segundo ter-

- \7 u)

x

(3.55)

x

De (3.55), el vector de rotación euleriano lineal se define según o

en función del cual el desplazamiento

(3.56)

relativo está dado por la expresión du

o

3.9

INTERPRETACION

DE LOS TENSORES

=

w

x dx

(3.57)

DE DEFORMACION

LINEALES

Para la teoría de las deformaciones pequeñas, el tensor Lagrangiano de deformación finita Li, de (3.36) se puede sustituir por el tensar de deformación Lagrangiano lineal l». y aquella expresión se puede escribir ahora

o Ya que para deformaciones

+ dX)

(CLlY - (dXF

(dx - elX)(d.>:

(d:rr - (clXy

(d;( - dX)(elx + clX)

zi; (LY.¡ ax, clX·

2L'

dX

(3 ..58)

pequeñas clx ~~ elX, esta ecuación se puede escribir en la forma d« - d.X

--------

dX

=

l

d X, d.X¡

---Oo·. -' ij

elX dX

-

= l

l' l'

ij i j

(3.59)

o

El primer miembro de la ecuacion (3.59) se interpreta como el cambio de longitud por unidad de longitud original del elemento diferencial y se denomina deformación normal para el elemento de línea que originalmente tiene los cosenos directores elXJclX. Cuando

se aplica (3.59) al elemento diferencial de linea en Po respecto a un conjunto local de ejes como representa en la Fig , 3-4, resultará la deformación normal de elemento. Debido a que PoQo yace en este caso a lo largo del X2, dX2/dX = 1 Qo, situado

Po

se ese eje

:','?--"'--~'---X2

y por lo tanto la (3.59) se convierte en dx - elX

=us:

(3.60)

Fig.3-4

CAP. 3

ANALlSIS DE DEFORMACIONES

100

De esta manera, la deformación normal de un elemento que originalmente está a lo largo del eje X« constituye la componente l22. De igual modo para los elementos situados originalmente a lo largo de los ejes X¡ y X3, la (3.59) da los valores de las deformaciones, normales ll1 y l.« respectivamente. Por lo tanto, en general, los términos diagonales del tensor de deformación lineal representan deformaciones normales en las direcciones coordenadas.

Fig.3-5

La interpretación física de los términos que no ocupan la diagonal de lij', se puede obtener por consideración de los elementos de línea originalmente situados a lo largo de dos de los ejes coordenados. En la Fig. 3-5, los elementos de línea PoQo y Po1Ho que originalmente están a lo largo de los ejes X2 y X~, respectivamente, se convierten después de la defor.mación en los elementos de línea PQ y PM respecto al conjunto paralelo de ejes locales con origen en P. El ángulo recto original entre los elementos de línea se convierte en el ángulo e. De (3.46) y la hipótesis de la teoría de las deformaciones pequeñas, una aproximación de primer orden da para el vector unitario en P y en la dirección de Q, (3.61) y, para el vector unitario

en P en la dirección de M, (3.62)

Por lo tanto o, despreciando

cos O el producto

=

-"

A

n2· ns

=

ag¡ a~~l inc« aU3 aX3 -sx, + -ex, + -.aX2

(3.63)

+ ax aU3 2

(3.64)

-

que es de orden superior, COS

(J

-

-

éJU2

aX3

-

2lo_3

Posteriormente, tomando el cambio del ángulo recto original entre los elementos recordando que para la teoría lineal Y23 es muy pequeño, se sigue que

como

Y23

=

70/2 -

e, y

(3.65) Por lo tanto las componentes que no ocupan la diagonal del tensor de deformación lineal representan la mitad del cambio de ángulo recto original que formaban un elemento con otro. Estas componentes de deformación se denominan deformaciones cortantes o distorsiones, y, debido al factor 2 de (3.65), estas componentes del tensor son iguales a la mitad de las deformaciones cortantes familiares en "ingeniería".

CAP. 3


También se puede hacer pretación de las componentes cial en las deducciones estriba de yacer a lo largo de los ejes deformaciones normales y los se admite como válido lij = €¡P

101

un desarrollo esencialmente paralelo e igual al presentado para la interde l.; con el tensor de deformación euleriano lineal ( .. La diferencia esenen la elección de los elementos de línea que en la descripción euleriana han coordenados en el estado deformado. Los términos diagonales de {¡¡ son las demás son las deformaciones cortantes. En las deformaciones para las que no se hace ninguna distinción entre las interpretaciones euleriana y lagran!)

grana.

3.10

RELACION DE EXTENSION. INTERPRETACION DKFORMACIONES FINITAS

DE LAS

Una medida importante de la deformación debida al aumento de longitud de un elemento de línea diferencial es la relación dxf.dX, conocida como relación de extensión. Esta cantidad puede ser definida ya sea en un punto Po de la configuración no deformada o en el punto P de la configuración deformada. Entonces de la (3.34) la relación de extensión al cuadrado en el punto Po para un elemento de línea a lo largo del vector unitario = dX/dX, está dada por

m

(3.66)

o Análoga mente, de (3.30) el recíproco de la relación de extensión al cuadrado situado en P a lo largo del vector unitario Íi == dx/dx está dado por

clX)2 ( dx

__ ~1~ _

-

-

'}

-

e..~x¡ ~lxj 1)

o

d.x dx

A7~)

l'

=

1

~2~

"'n'

para un elemento de línea

e-

n'"

(3.67)

A(~)

Para u n elemento que originalmente está a lo largo del eje local X« como indica la Fig. 3-4, por lo tanto dXJdX = dXJ/dX = 0, dXz/dX = 1 de forma que (3.66) nos da para este elemento

íñ == e2 y (3.68)

Análogamente se pueden obtener resultados similares para y "\~~")' Para un elemento paralelo al eje Xz en el estado deformado, la (3.67) nos da A~~l)

1 -

con expresiones

similares

para las cantidades

que el elemento situado originalmente del eje Xz después de la deformación.

l/A~~l)

Y

2E22

(3.69)

l/A:~;¡).En general,

A(~2)

no es igual a

a lo largo del eje X2 no estará situado de igual manera

La relación de extensión proporciona la base para la interpretación finitas. El cambio de longitud por unidad de longitud original es dx - dX =sx:

dx dX

-

- 1

A(~)

A(~2)

puesto

a lo largo

de los tenso res de deformaciones

-

(3.70)

1

y para un elemento PoQo a lo largo del ejeXz (de la Fig. 3-4), el alargamiento unitario es por lo tanto (3.71)

Este resultado también se puede deducir directamente de (3.36). Según la teoría de las deformaciones pequeñas, (3.71) se reduce a (3.60). También, los alargamientos unitarios Li-, Y L(3) están dados por ecuaciones análogas en función de LIl y L33 respectivamente. Para los dos elementos de línea diferenciales () se expresará en función de y por A(~2)

A(~3)

indicados

en la Fig , 3-5, el cambio de ángulo

Y23

= rr/2-

102

ANALISIS

DE DEFORMACIONES

CAP. 3

2L23

Cuando las deformaciones

3.11

son pequeñas,

(3.72)

(3.72) se reduce a (3.65).

TENSORES DE EXTENSION. TEN SOR DE ROTACION

La llamada descomposición polar de un tensar de segundo orden, no singular y arbitrario, se expresa por el producto de un tensar de segundo orden simétrico y positivo con un tensor de segundo orden ortogonal. Cuando se aplica dicha descomposición multiplicativa al gradiente de deformación F, se puede escribir el resultado como o

en el que

es el tensor de rotación ortogonal, y

(3.73)

F=R'S=T'R

Y T son tensores simétricos tensor de extensión positiva y tensor de extensión negativa, respectivamente. R

S

La interpretación de (3.73) la proporciona la relación dx, = (ax;/aX ciendo los productos internos de (3.73) en (3.33) resultan las ecuaciones

j)

o

dx

positivos conocidos

como

d.X, dada por (3.33). Introdu-

= R' S • clX = T' R • dX

(3.74)

De estas expresiones, a la deformación de d.X, en dx, como se ve en la Fig. 3-2, se le pueden dar dos interpretaciones físicas. En la primera forma del segundo miembro de la (3.74), la deformación consiste en un alargamiento secuencial (dado por S) y una rotación positiva, seguidos de un desplazamiento de cuerpo rígido hasta el punto P. En la segunda interpretación, la traslación de cuerpo rígido a P va seguida de una rotación negativa y finalmente de un alargamiento (dado por T). La traslación, desde luego, no altera las componentes vectoriales relativas a los ejes Xi y Xi.

3.12

PROPIEDADES DE TRANSFORMACION DE LOS TENSORES DE DEFORMACION Los diversos

tensores

de deformación Lj, Eij, lij Y €ij definidos respectivamente en (3.37), (3.39), tensores cartesianos de segundo orden como se indicó por los dos índices libres de cada uno. Según esto, para un conjunto de ejes girados X' que tienen la matriz de transformación [bu] respecto al conjunto de ejes locales sin primas X, en el punto Po como se representa en la Fig: 3-6 (a), las componentes de y l~ están dadas por ' (3.42) Y (3.43) son todos

i;

e;

= b 1;: bqLpq

y

a)

Fig.3-6

o

L~

B' Le' Be

(3.75)

o

L'

B' L' Be

(3.76)

b)

CAP. 3

ANALISIS DE DEfORMACIONES

De igual modo, para los ejes girados componentes de E~ y e!j son

x[ que tienen la matriz de transformación

E:.') y

€D

= =

a.e1»{Ja. E pq (t¡paj(/p(!

-

o

E~

-

o

E'

=

A'

103

[aúl'en la Fig. 3-6(b), las

EA' Ac

(3.77) (3.78)

A' E' Ac

Por analogía con la cuádrica de tensiones descrita en la Sección 2.9, página 64, se pueden dar las cuádricas de deformación lineallagrangiana y euleriana respecto a las coordenadas cartesianas locales 'Ii y ~; en los puntos Po y P respectivamente como se indica en la Fig. 3-7. Así, la ecuación de la cuádrica de deformación lagrangiana está dada por o

n L'n

=

(3.79)

±h2

Fig.3-7

y la ecuación

de la cuádrica de deformación Euleriana es (3.80)

o Dos propiedades siguientes:

importantes

de la cuádrica

de deformación

lineal Lagrangiana

{Euleriana}

son las

l. La deformación normal respecto a la longitud original lfinal} de un elemento de línea es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado desde el origen de la cuádricaPo {P} a un punto de su superficie. 2. El desplazamiento relativo de una partícula vecina situada en Qo {Q} por unidad de longitud original {final} es paralelo a la normal de la superficie de la cuádrica en el punto de intersección con la línea PoQo {PQ}. Una percepción adicional de la naturaleza de las deformaciones locales en las proximidades de Po la proporciona la definición del elipsoide de deformación en aquel punto. De esta manera para un medio continuo no deformado, la ecuación de la superficie límite de una esfera infinitesimal de radio Rse da en función de las coordenadas materiales locales por (3.28) según (dX)2 Después de la deformación, (3.30) según

=

Sij

as; ax,

= R2

o

(dX)2

= dX·

I.dX

:::: R2

la ecuación de la superficie de las mismas partículas o

(dX)2

= dx : e . dx

=

materiales, R2

(3.81)

está dada por (3.82)


104

CAP. 3

la que representa a un elipsoide conocido como el elipsoide de deformación material. Por lo tanto un volumen esférico de un medio continuo en un estado no deformado se transforma por la deformación en un elipsoide en Po. Análogamente, un volumen esférico infinitesimal en P en el medio continuo deformado se originó a expensas de un elemento de volumen elipsoidal en el estado no deformado. Para una esfera de radio r situada en P, las ecuaciones de estas superficies en función de las coordenadas locales están dadas por (3.32) para la esfera, según o

(dx)2

=

dx : t- dx

o

(dX)2

=

dX·

=

1.2

(3.83)

y por (3.34) para el elipsoide (dX)2

=

GUdXidXj

=

1"2

G • dX

=

1'~

(3.84)

El elipsoide de (3.84) se denomina elipsoide de deformación espacial. Estos elipsoides de deformación como aquí se han descrito se conocen habitualmente como elipsoides de deformación de Cauchy,

3.13

tal

DEFORMACIONES PRINCIPALES. INVARIANTES DE DEFORMACION. DILATACION CUBICA.

Los tensores de deformaciones lineales, lagrangiano y euleriano son tensores cartesianos de segundo orden simétricos y por lo tan to para la determinación de sus deformaciones y direcciones principales se sigue el procedimiento de cálculo ya presentado en la Sección 1.19, página 31. Físicamente, una dirección principal de un tensar de deformación, es una dirección para la cual la orientación de un elemento situado en un punto dado no se altera por una deformación pura. El valor de una deformación principal es sencillamente el desplazamiento relativo unitario (deformación normal) que tiene lugar en una dirección principal. Para el tensar de deformación por (3.47), la que se puede escribir

lagrangiano

~~ =

(lij

lu, el vector desplazamiento

+ Wijh

~X =

o

relativo unitario

(L + W)·~

Llamando l~~) a la deformación normal en la dirección del vector unitario mación pura (W¡j == O) la relación

(3.85) ni,

la (3.85) da para una defor(3.86)

o Si la dirección

ni es una dirección principal

con una deformación

principal

l , entonces (3.87)

o Igualando

está dado

los segundos miembros de (3.86) y (3.87) se llega a la relación (lij - (Jijl)nj

= O

o

n

(L -Il)·

= O

(3.88)

que junto con la condición n¡11., = 1 de los vectores unitarios ni proporcionan las ecuaciones necesarias para la determinación de la deformación principal 1 y sus cosenos directores ni. No existen soluciones triviales de (3.88) si y solo si el determinante de los coeficientes se anula. Por lo tanto o

que desarrollada

da la ecuación característica

IL - 111

=

(3.89)

O

de lij,'o sea la cúbica O

donde

tr L,

(3.90)

detL

(3.91;

ANALISIS

CAP. 3

DE DEFORMACIONES

105

son respectivamente el primero, segundo y tercer invariantes de deformación lagrangianos. Las raíces de (3.90) son las deformaciones principales denotadas por l(J), l(2) y·l(3). El primer invariante deformaciones principales

del tensor como

de deformación

lagrangiano

puede expresarse

en función

de las (3.92)

y tiene una interpretación física importante. Para verla, consideremos un paralelepípedo rectangular diferencial cuyas aristas sean paralelas a las direcciones de deformación .principales, tal como se representa en la Fig, 3-8. El cambio de volumen por unidad de volumen original de este elemento paralepipédico se denomina dilatación cúbica y se expresa Do

=

6. Vo

=

dX¡(l

+ l(u)

dX2(1

v, En la teoría de las deformaciones

+ l(2))

+ l(3))

dX3(1

-

dX¡ dX2

as, dX dX 2

pequeñas,

la aproximación

ax,

(3.93)

3

de primer orden de esta relación es la suma (3.94)

Fig.3-8

Cuando se considera el tensor de deformación euleriano €ij y su vector desplazamiento relativo unitario <~l asociado, las direcciones y deformaciones principales €(l)' '(2)' '(~) se determinan exactamente del mismo modo que sus homólogas lagrangianas. Los invariantes de deformación eulerianos se pueden expresar en función de las deformaciones principales como

(3.95)

La dilatación

cúbica correspondiente

a la descripción 6.V/V

3.14

TENSORES

DE DEFORMACION

=

D

euleriana es

=

€Ol

+

€(2)

+

€(~)

(3.96)

ESFERICO y DESVIADOR

Cada uno de los tensores de deformaciones lineales lagrangiano y euleriano, pueden desdoblarse en un tensor esférico y otro desviador de la misma forma en la que se llevó a cabo la descomposición del

106

ANALISIS

DE DEFORMACIONES

CAP. 3

tensar de tensión en el Capítulo 2. Como entonces, si las componentes de los tensores desviadores giano y euleriano se denotan por dij y eij respectivamente, las expresiones que resultan son l.

l)

lkk

+8 3

dij

ij

y

=

I(tr L)

+ -3-

o

L

o

E = ED + I(tr E)

LD

lagran-

(3.97) (3.98)

3

Los tensores desviadores están asociados con la deformación cortante, por lo que la dilatación cúbica es nula. Por lo tanto no es sorprendente que los primeros invariantes da Y eii de los tensores de deformación desviadores sean idénticamente nulos.

3.15

DEFORMACION

PLANA.

CIRCULOS

DE MOHR DE DEFORMACIONES

Cuando solamente una de las deformaciones principales en un punto de un medio continuo es cero, se dice que existe un estado de deformación plana en aquel punto. En la descripción euleriana (la descripción lagrangiana sigue exactamente el mismo esquema), si se toma X3 como la dirección de deformación principal nula, tiene lugar un estado de deformación plana paralelo al plano XIXZ y el tensar de deformación está dado por

(3.99)

o

Cuando

Xl

Y

X2

son además direcciones

principales,

o

el tensar de deformación

~)

tiene la forma (3.100)

o

o En muchos

libros

sobre

"Resistencia

o

de Materiales"

y "Elasticidad",

se refieren

a un estado de es idéntico en todos los planos perpendiculares a la dirección de la deformación principal nula. Para una deformación plana perpendicular al eje X3, el vector desplazamiento se puede tomar solamente como una función de Xl y X2. Las componentes de desplazamiento apropiadas para este caso de deformación plana se designan por

deformación plano como un cambio de forma plana puesto que el campo de deformación

(3.101) U3

C (una constante,

Introduciendo estas expresiones en la definición de plana de la misma forma que la indicada en (3.99).

Ejj

frecuentemente

se toma cero)

dada por (3.43) se obtiene el tensor de deformación

Una descripción gráfica del estado de deformación en un punto la proporcionan los círculos de Mohr de deformaciones de una manera exactamente igual a la presentada en el Capítulo 2 para los círculos de Mohr de tensiones. Con esta finalidad el tensar de deformación se presenta con frecuencia en la forma

~y,,)

iY12 E .. 1)

C"

J~i 2 Y12

f22

tr13

h

'~[Y2.3 23

E33

(3.102)


CAP. 3

Aquí las Yij (para i ~j) son denominadas componentes de deformación el doble de las componentes de deformación cortante tensoria!. El estado de deformación en un punto exento de cargas en la superficie límite de un cuerpo de un medio continuo es localmente un estado de deformación plana. Frecuentemente en estudios experimentales que suponen medidas de deformaciones en un punto de una superficie límite, los círculos de deformaciones de Mohr resultan útiles para informar acerca de los estados observados. Frecuentemente se miden tres deformaciones en un punto dado mediante una roseta, y se construyen los círculos de Mohr a partir de estos datos. En la Fig. 3-9 se representa un diagrama para un caso típico de deformación plana, que se corresponde con los círculos de Mohr para una tensión plana. Las deformaciones principales se señalan tal como aparecen en el diagrama, y los valores máximos de la deformación cortante están representados por los puntos D y E.

3.16

ECUACIONES

DE COMPATIBILIDAD

Si las componentes de deformación seis ecuaciones independientes (3.43)

e..L)

107

cortante

de "ingeniería",

"1/2 D

'1

E

Fig.3-9

PARA DEFORMACIONES

se dan explícitamente

que son

LINEALES

como funciones de las coordenadas,

las

se pueden considerar como u n sistema de seis ecuaciones diferenciales parciales para determinar las tres componentes de desplazamiento uc El sistema está indeterminado y, en general, no poseerá una solución para una elección arbitraria de las componentes de deformación fij" Por lo tanto, si las componentes de desplazamiento u. tienen valores únicos y continuos, han de imponerse algunas condiciones a las componentes de deformación. Las condiciones necesarias y suficientes para un campo de desplazamientos semejante son expresadas por las ecuaciones Uifik

o

éJXj dX",

En total hay ochenta y una ecuaciones en (3.103), pero solamente critas en forma explícita y simbólica aparecen como lo

U2f!J

+

ux~

3. 4. 5. 6.

dX~

iJ (

af23

(ék",

d:rz

d:(:¡

d

dX3

d2E31

2~-

u::r:j a::t:¡

\ Qf:l1

, rÍf12)

+-~éi;¡;¡ UXi '

d

-

iJ2f'''l

?---'~ dX2 dX3

U;¡;i

éiJJ¡

es-

a~{l'~

uxi

a2E11 + dX;¡?

éi2f33

Estas-seis,

u:1:¡ dX2

2

éJx:í

seis son independientes.

2--~-

--i-- + a f:l:l éJ2f2?

2.

,o cr€22

(3.103)

U::t:3

+ ~E~2) d~1'2 d:t3

+ df~l

éJx¡

élXi

éJ:G2 dX3 2

dE:l¡

( éJf2:l

éPE II

~

~f12)

dX3

éJ f.'.2:2 éJ:C3

cix¡

él2f:13 élX¡dX2

o

\7x x E

X

\7"

O

(3.104)

108

ANALlSIS

DE DEFORMACIONES

CAP. 3

Las ecuaciones de compatibilidad dadas en términos del tensor de deformación lineal lagrangiano L, también se escriben como una correspondencia obvia para la forma euleriana empleada anteriormente. Para una deformación plana paralela al plano X¡;C2, las seis ecuaciones de (3.104) se reducen a la ecuación sencilla

a -+ éJx~ 2

(1l

[';2(22

o

axi

°

donde E es de la forma dada en (3.99) .

(3.105)

Problemas resueltos DESPLAZAMIENTO 3.1.

Y DEFORMACION

(Sec.3.1-3.5)

Respecto a un conj unto de ejes materiales X, y espaciales Xi superpuestos, el campo de desplazamientos de un cuerpo continuo está dado por X¡ = Xl, X2 = X« + AX3, X3 = X3 + A X¿ en las que A es una constante. Hallar las componentes del vector desplazamiento en las formas material y espacial. De (3.13) directamente,

= AX

tl3

3,

xa)/(l

=

x~= AXz.

=

del desplazamiento las expresiones

A2), las componentes

en forma material

de los desplazamientos espaciales

de u son

tll

son

ti,

=

Xl

se obtiene = 0,

1~Z

x; =

-

Xl

= A(xa

=

Xv

x2

tl2

=

X2 -

X~

=

!~

4

A2),

U3

0,

- Axz)/(l-

- AX3)/(1. - A2).

De esros resultados 1/(1 + A)

Xl =

Invirtiendo

X3 = (X3 - Axz)/(l-

- A2),

= A(X2

X;l-

las componentes

0,

Xz

se aprecia

ocupa la posición

=

X3

se convierte

que la línea recta original de las partículas Xl

= 0,

Xz

+ X3 =

materiales

1 después del desplazamiento.

después del desplazamiento

en

Xl

expresada

por

Xl

=

0,

Xz

+ X3

De igual modo la línea de partículas

= 0, Xz = X3' (lnterprétese

el significado

físico de es-

to).

3.2.

Para el campo de desplazamientos del Problema 3.1 hallar la posición desplazada de las partículas materiales que originalmente están comprendidas en (a) una superficie circular plana Xl = 0, X~ + X~ = 1/(1 - A 2), (b) un cubo infinitesimal con sus aristas de longitud dXi = dX coincidiendo con los ejes coor denados. Dibujar las configuraciones desplazadas de (a) y (b) si A = t. x*3

x*2

------t--T----~----~~~2-/v3~3~-X2

Fig.3-l0

Fig.3.11

ANALISIS

CAP. 3 (a) Sustituyendo

X2 = (xz - Ax3)/(1

directamente

en una superficie

por la elipse 5x~ - 8X2X3 ecuación

X~2

(b) Del Problema

X3

=

O,

+

=

9X;2

3.3.

té¡

=

U2

=

1i¡

= U2 =

=

5x~

+

3 que cuando

fácilmente

=

U3

O. Para

1(3

= AX2•

El vector de posición

+ u,

original

su vector de posición

=

=

=

O

Xz,

=

X3

X3, U¡

=

~¡

+ 2 ~:l'

=

a su distancia

inicial y desplazada

es X

5 ~¡

superficie

x7 (a 45° con Xi> i

de las aristas del cubo. Para la arista

de Xz proporcionalmente Las posiciones

de la partícula

circular

= i, la

A

se refiere a sus ejes principales

los desplazamientos

final es .x

AZ), la superficie Para

se transforma está limitada

=

2,3) tiene la

113

=

O,

z = AX3

U

y las partículas

al origen. Para la arista Xl

del cubo se representan

es u

=

=X

3

de = O,

en la Fig. 3-11.

el vector desplazamiento la posición desplazada

Su desplazamiento

Xz =

X¡ = Xl'

4 ~¡

+ 4 ~3

de un cuerde una parY puesto que

+ 6 ~3'

Para el sistema de coordenadas materiales cartesianas rectangulares Xi,'un campo de desplazamientos está dado por U¡ = -AX2X3, U2 = AX¡X3, U« = O donde A es una constante. Hallar las componentes del desplazamiento para unas coordenadas espaciales cilíndricas ;ri si los dos sistemas tienen el mismo origen. De la geometría O:pK

=

A

ep •

de los ejes (Fig. 3-12) el tensor de transformación

A

IK es COS X2

-sen

O:pK (

;02

sen

X2

O

COS X2

O

O

1

O

y de la inversa de (3.9), "» = O:pKUK.Como las coordenadas y cilíndricas están relacionadas por las ecuaciones X¡ = Xl X¡ sen X2, X3 = X3, la ecuación (3.9) da, U¡

(-COS

xz)AXZX:l

(-cosx2)Ax3x¡

(sen x2)Ax¡X3 2

Este desplazamiento cular.

corresponde

a la torsión

+

cartesianas X2, X2

COS

=

Fil~. 3-12

(sen;J;2)AX¡X3

senx2

(se n xZ)AXZX3

3.5.

(1- A2).

este tipo de desplazamiento.

la arista X¡

en la dirección

Ó.

=

(1 + A2)X~

Para un conjunto de ejes materiales y espaciales superpuestos, po está dado por u = 4Xie¡ + X2X~e2 + XIX~e:l. Determinar tícula que originalmente está en (1,0,2,). x =c X

3.4.

+

109

- A.2) Y X3 = (X3 - Ax2r/(1-

- 4AxzX3

3. La Fig. 3-10 representa

3.1, se calculan

esta arista se desplazan X2 = X2•

(1 + A2)X;

elíptica

DE DEFORMACIONES

+

(senxZ)Ax3X¡

COSX2

O

+ (cos x2)AX¡X3 + (cos? x2)Ax¡X3

de un eje de sección cir-

La descripción lagrangiana de una deformación está dada por X¡ = Xl (e2 - r2), Xa = e2X3 donde e es una constante. Probar que el jacobiano las ecuaciones eulerianas que describen este movimiento. 1 O De (3.16)

Invirtiendo

J

las ecuaciones,

O

1

O

O

(e2-1)

(e2

-

e-2)

(e2)

e2

#

O.

+ X (e

-1), :1', = X2 + X3 J no se anula y da lugar a 3

2

110

ANALISIS

3.6. Sea el campo de desplazamientos gradiente de deformación material

u

DE DEFORMACIONES

=

CAP. 3

el + XiXZe2 + X~X3e3. Hallar independientemente el de desplazamiento material J y comprobar (3.24),

XIX;

y el gradiente

J=F-I. Del vector desplazamiento

dado

u,

se encuentra

J

o

2XIX3

xi

o

2X2X3

x~

Puesto que x = u + x, el campo de desplazamientos también se puede describir = X2(1 + Xi), X3 = X3(1 + X~) de las que F se halla fácilmente según 2

1 +X

2X¡X2

dXi/aXj

O Una sustitución

3.7.

directa de los tensores calculados

O

3

1+

X¡

= XI(l

+ X~),

X2

2X¡X:;

xi

2X2X:3 F

por las ecuacioncs

O 1 + X~

y J en (3.24) demuestra

que la ecuación

se satisface.

Un cuerpo continuo sufre el desplazamiento u = (3X2-4X3)el+(2X¡-X3)e,~+ (4X2 -X¡)e3. Hallar la posición desplazada del vector que une las partículas A(l, 0, 3) Y B(3, 6, 6), suponiendo que los ejes materiales y espaciales están superpuestos. De (3.13) las coordenadas espaciales de este desplazamiento son X¡ ~ Xl + 3Xz - 4X3, x2 = 2XI + Xz - X3, x3 = + 4X2 + X3• La posición desplazada de la partícula A será Xl = -11,x2 = -1, X3 = 2 Yla de la partícula B, Xl = -3, x2 = 6, x3 ooc 27. Por lo tanto, la posición desplazada del vector que une a A con B se puede escribir V = 8 ~¡ +

-Xl

7e2

3.8.

+

25e3'

Para el campo de desplazamientos del Problema 3.7, hallar la posición desplazada del vector de posición de la partícula C(2, 6, 3) que es paralelo al vector que une a las partículas A y B. Probar que los dos vectores permanecen paralelos después de la deformación. Según el análisis del Problema 3.7, el vector de posición de e es U = 8~¡ paralelo a V. Esto es un ejemplo de lo que se denomina deformación homogénea.

3.9.

+

7e2

+

25~3 el cual evidentemente

es

La formulación general de la deformación homogénea se da por el campo de desplazamientos 'ni = AijXj donde Aij son constantes o a lo sumo funciones del tiempo. Probar que esta deformación es tal que (a) las secciones planas permanecen planas, (b) las líneas rectas permanecen rectas. (a) de (3.13),

Xi

=

Xi

+ Ui =

Xi

+ AijXj

=

(oij

+ Aij)X

j

Según (3.16), existen las ccuaciones inversas Xi = (oij + B;)xj suponiendo que el determinante lo;) + Aul no se anule. En este caso, el plano material f3;X; + (t :::: O se convierte en f3¡(oij + Bij)xj + (t O que puede escribirse en la forma normal como el plano Ajx) + ex = ü donde los coeficientes Aj = f3i(Oij + Bij)'

=

(b) Una línea recta

manecen

se puede considerar como la intersección de dos planos. En la geometría deformada, los planos percomo tales, tal como se ha probado, y por lo tanto la intersección de dos de ellos sigue siendo una línea recta.

homogénea injinitesimal 'U¡ = AijXj es una deformación para la que los coeficientes son tan pequeños que sus productos pueden ser despreciados en comparación con los mismos

3.10. Una deformación Aij

CAP.3

ANALISIS

DE DEFORMACIONES

III

coeficientes. Probar que la deformación resultante total de dos deformaciones homogéneas infinitesimales sucesivas puede ser considerada como la suma de las dos deformaciones individuales y que el orden de aplicación de los desplazamientos no altera la configuración final.

= (Ilij + A¡)Xj y xi + E!.i)(Ojk + Ajk)Xk = = Ulik + Bik + A¡k)Xk =

Sean X¡

=

xi

tiene xi

+ B¡)xj dos desplazamientos homogéneos e infinitesimales sucesivos. + Bik + A¡k + BijAjk)Xk' Despreciando los términos de orden superior + Cik)Xk que representa la deformación homogénea infinitesimal

= (oij (oik

(oij

(Oik

DEFORMACION

y TENSORES DE DEFORMACION

3.11. Un

continuo

cuerpo

(Sec. 3.6-3.9)

sufre la deformación Xl = XI, Calcular el tensar de deformación finita lagrangiano Le,

De (3.35),

G

=

Fe' F

Y de (3.20)

está dado en forma matricial

F

[ih;¡/aXj]

=

O

[:

1

G' y

por

~l

de forma que

lJ

A

X3 = X3 + AXz en donde emplear éste para determinar el tensar

= X« + AX3,

X2

A es una constante. de deformación

I~:

=

LI;

O

1 +Az

[Gij]

2A

O

Por lo tanto de {s.n),

Entonces se

BijAjk>

t(G '-'1)

=

~(:

A2 2A

2A O

J

1 + A2_

2:\ A2)

3.12. Calcular para el campo de desplazamientos del Problema 3.11, la longitud al cuadrado (dx)2 de los lados OA y GE, Y la diagonal oe después de la deformación en el pequeño rectángulo indicado en la Fig. 3-13. Usando

G

(3.34), la longitud forma

matricial

(dx)2

=

tal como se determinó al cuadrado

en el Problema

de la diagonal

OC está dada

.,Xs

en

por

[O, dX dX:llILo~ 1 +0A2 (1 + A2)(dXz)2

Análoga

-i- 4A

para

1 + A2

«x, dX:J +

OA,

[d:"] dX~

2:]

2.'

2A.

=

3,11 en

(d.,-)2

=

(1 + AZ)(dX3)2 (1 + A2)(dXY;

Fig.3-13 y para

OB,

(dx)2

=

(1 + A2)(dXy.

3.13. Calcular la variación en el cuadrado de la longitud de los elementos de línea del Problema 3.12 y comprobar el resultado mediante la (3.36) y el tensor de deformación Le; hallado en el Problema 3.11. Directamente

de los resultados (a) para

del Problema OC,

(dx)2

3.12, las variaciones -

son:

(1 + A2)(dX~

(dX)2

A2(dX~ (b) para

OB,

«([;,;)2

-

(dX)2

(e) para

OA,

(dX)2 -

(dX)2

-

+

dX~)

+ dX~) +

+

4A dXz dX3

4A dX2 dX3

(1

+ A2)

dX~

-

dX;

A2dX~

(1

+ A2)

dX~

-

dX~

A2dX~.

-

(dX~

+ dX~)


112 De la ecuación

(3.36), para

oe

Los cambios de OA y OB se pueden verificar

también

de la misma manera.

3.14. Calcular para el campo de desplazamientos material J y usar este tensor para determinar parar el resultado con el del Problema 3.11. Del Problema

CAP. 3

3.11 las componentes

J

del Problema 3.11, el gradiente de desplazamiento el tensor de deformación finita lagrangiano Le;. Com-

del vector desplazamiento

= (~

~~)

A

O

son

y

= O,

1(¡

= (~

J

Jc'

= AX:¡,

1{2

O

\ O

11:]

= AX~

de forma que

:2 A2)~\ O

de (3.40)

Entonces

lJ

G : ~) G ~ :) G :' +

resultado

idéntico

al obtenido

en el Problema

+

G ~ :~)

3.11.

3.15. Un campo de desplazamientos está dado por X¡ = X¡ + AX2, ::[:2 = X2 + AX:l, :C8 = X~ + AX¡ donde A es una constante. Calcular el tensor de deformación lineal lagrangiano L y el euleriano correspondiente E.Comparar l y E en el caso en que A sea muy pequeña. De (3.42), 2L

Invirtiendo

las ecuaciones te¡

de los desplazamientos A(A2x¡

resulta

z - AX.j)/(l

~ X

ti3

_A_

1 + A3

1 + A3

A es muy pequeña,

A2 y las potencias

1 (

superiores

-

A

1-A

A(-Ax¡

-A )

-A

2A2 A

=

+ A2x2 + x.3)/(1 + A3),

+ A2x3)/(1 + A3)

(_:2 ~2 1

Cuando

U2

= A(x¡ - A;c2

de las que según (3.43) 2E

+ A3),

1 A2

1- A

l-A\

2A2

l-A

l-A

+

( A2 1: A3

1 -A

I

2Az /

son despreciables

con lo que

E

se reduce a

L.

3.16. Un campo de desplazamientos está especificado por u = xi X2e¡ + (X2 - x; )ez + X~ X3e3. Determinar el vector desplazamiento relativo du en la dirección del eje -X2 y en el punto P(l, 2, -1). Determinar los desplazamientos relativos uQ¡ - UP para Q¡(l, 1, -1), Qz(l,3/2, -1), Q3(1, 7/4, -1) Y Q.¡(l, 1fí/8,-1) Y comparar sus direcciones con la dirección de duo

ANALISIS

'::AP.3 Para el udado,

el gradiente

de desplazamiento

y de (3.46) en P y en la dirección

A continuación UQ¡-up==-e¡-eZ UQ4 -

UI'

A

A

de

J

en forma matricial

es

-Xz

mediante un cálculo directo a partir de u, + 3 Ae3' D'e igua 1 moo,uQ2-up=(-e¡-e2+3.5e3 d A

= (- í?¡ - í?2 + 3.875 í?3)/8.

to relativo de las dos partículas

113

DE DEFORMACIONES

up

=

2

A

~¡ A

+ ~2 - 4 ~3 Y uo! == í?¡ _. í?3' Entonces )1 2, UQ3-up=(-e¡-e2+3.75e;l)4, A" A /

Está claro que a medida que Q¡ se aproxima

se aproxima

a la dirección

a P la dirección del desplazamien-

limite de duo

3.17. Para el campo de desplazamientos del Problema 3.16, hallar el vector desplazamiento unitario en P(1, 2, -1) Y en la dirección de Q(4, 2, 3). En P, el vector unitario en la dirección se calculó en el Problema 3.16,

relativo

de Q. es ~ = 3 -e¡/5 + 4 -ea/5, de forma que (3.47) Y la matriz de J tal como

1;I ~ ~]

[du¡/dX]

rI 12/5]

[3~5]

L

O -4

4

8/5

L 16/5

4/5

3.18. Bajo la restricción de la teoría de las deformaciones pequeñas, L = E. Según esto, para un campo de desplazamientos dado por u = (Xl - X3)2~¡ + (X2 + X3)2~2 - X¡X2e3, determinar el tensor de deformación lineal, el tensor de rotación lineal y el vector de rotación en el punto P(O, 2,. -1). Aquí el gradiente

de desplazamiento

está dado en la forma matricial

que para el punto P resulta

Descomponiendo

por

[ -:]

esta matriz en sus componentes

sirnétricay

~

~

-2

O

antisimétrica

O

resulta

'~ -:] l~ + [~

-2

Por lo tanto, de (3.56) el vector rotación

W¡

tiene las componentes

1

O

W¡

== -1,

~

o~Jl

O -1

Wz

=

W3

= O.

3.19. Determinar para el campo de desplazam,ientos del Problema 3.18 la variación de longitud por unidad de longitud (deformación normal) en la dirección de ~ == (8~1 - C2 + 4~3)/9 en el punto P(O, 2, -1).


114

CAP. 3

De (3.59fy el tensor de deformación en P tal como se calculó enel Problema 3.18, la deformación normal en P y en la dirección de p es el producto de las matrices [8/9. -1/9. 4/9]

I: -:] [-~~~] -6/81

~

L-2 3.20. Probar que el cambio en el ángulo recto formado configuración no deformada está dado por p' 2L'

1

O

4/9

por dos vectores unitarios

ortogonales

íL según la reo ría de las deformaciones

p y í? en la pequeñas.

Suponiendo gradientes . de desplazamiento pequeños, los vectores unitarios en las direcciones deformadas de p y -;L están dadas según (3.47) por ·Cv-+ J • p) y (;L -+ J • íL) respectivamente. (El estudiante debería comprobar las ecuaciones (3.61) Y (3.62) por este método). Escribiendo J.p en la forma equivalente p' Jc Y multiplicando escalarmente los dos vectores unitarios desplazados se obtiene (como en (3.63) ), cos B = sen (7T/2 - B) = sen YVJJ. = YV/l o Yv¡, = [v + v' Jei • [íl + J • íl J v·;L + p. (J + Jc) • íl + v· Jc • J • -;L. Aquí, Jc' J es de orden superior para gradientes de deformación pequeños y puesto que v ~;L, v·;L = O finalmente de (3.42), YV/l = v· 2L·;L.

=

3.21. Usar los resultados del Problema 3.20 para calcular el cambio en el ángulo recto formado por v = (8~1 - ez + 4~.N9 Y íL = (4~1 + 4~2 -7C:l)/9 en el punto P(O, 2, -1) para el campo de desplazamientos del Problema 3.18. Puesto que

L

=

E

[8/9, -1/9, 4/9] [

:

~

-4

EXTENSION

.•:~:]

para la teoría de deformaciones pequeñas, el tensar de deformación

y ROTACION

2

J

O

<'i

.;=

lij

Yasí, en P

318/81

-7/9

(Sec. 3.10-3.11)

3.22. Para la deformación cortante Xl = Xl, Xz = X2 + AX3, X3 = X3 + AX2 del Problema 3.11 probar que la relación de extensión i\ (;;,) es la unidad (deformación normal nula) para los elementos de línea paralelos al eje Xl. Calcular Al;;') para las direcciones diagonales OC y DB del cuadrado infinitesimal OBCD (Fig.314) Y comprobar los resultados mediante cálculo directo a partir del campo de desplazamientos. De,(3.66) y la matriz G tal como se halló en el Problema 3.11, la relación de extensión al cuadrado para ID = el es Fig.3-14 O 1 +A2

1

2A

De igual modo para

oc, ~ O 1+A2

(1 + A,)2

2A

,

\ \

ANALISIS

CAP. 3

DE DEFORMACIONES

115

=

e

=

De las ecuaciones de desplazamiento, la posición deformada de es Xl 0, X2 dL + AdL, X3 Entonces «L1:)2 = 2(1 + A)2(dL)2 Y puesto que dX = V2 dL, la relación de extensión al cuadrado (dx/dX)2 como se calculó de (3.66). Análogamente,

m=

para DE,

(-ez+ e;¡)/V2 y así

=

¡\~~)

=

dL

+ AdL.

es (1 -7-A)2

(1- A)2.

m.

Las relaciones de extensión A(í~l) y ,\,(~) solamente son iguales si ñ es la dirección deformada de Para el campo de desplazamientos del Problema 3.22, calcular ,\(~) para ñ = (C2 + e:>.)//2 y probar que coincide con _\2.;:,) para la diagonal oe del Problema 3.22. Invirtiendo

las ecuaeiones

de desplazamiento XI

=

XI'

X2

del Problema

=

3.22 se obtiene

(x2-Ax:))/(1-A2),

de las cuales se puede calcular el tensor de deformación

X3

de Cauchy,

=

(x3-AxJl(1-A2)

c. Entonces,

usando (3.67),

(1 _. A)2/(1 - A2)2

Con lo que

A~~)

= (1 -

no cambia de dirección

A2)2/(1

- A)2

=

bajo la deformación

(1

+ A)2

que es idéntica a

cortante

¡\(21~l)

calculada

para

oe.

El elemento

diagonal

oe

dada.

3.24. Mediante una descomposición polar del gradiente de deformación F para la deformación cortante x, = XI, X2 = X2 + AX:>., X3 = Xl + AXz, determinar el tensor de extensión positiva 5 junto con el tensor de rol ación R. Probar que los valores principales de S son las relaciones de extensión de las diagonales oe y DB determinadas en el Problema 3.22. En la descomposición

De (3.35),

una rotación

polar de. F, el tensor cle extensión

G = Fe' F

de 45° alrededor

O aquí

fGijJ

,:

O

S

O

1 + ",12

2A

y de (3.73),

J'

=

(l-A)

X;, la descomposición

R = FS-l.

I

O 2A 1 + A2 de Xl con el icnsor en su forma principal

O Respecto a los ejes coordenados

vG;

O

O Por lo tanto

=

. O O

Los ejes ~rincipales 11

de G están dados por

[G;Il

O

O (1 - A)2

1

O

O

O O

1

l.

(l+A)~J

(l+AU

es

En este ejemplo, el gradiente de deformación .F. es su propio tensor de extensión coincidencia de tos ejes principales de le y fA para la deformación cortante dada.

sy R =

1.

Este es el resultado

de la

3.25. Una rotación infinitesimal de un cuerpo rígido está dada por 1/[ ::c: -ex!. + BXl, U2 = eXI - AX:l, 113 = --BXI + AX~ donde A, B, e son constantes muy pequeñas. Probar que la relación de extensión es cero (5 = J) si los términos que comprenden cuadrados y productos de las constantes son despreciados.

CAP. :


116

Para este desplazamiento, 1 + C'" + B"

r

-AC

-AS

- AB

1

-AC

A ~ -l- ('2

.L

--BC 1 + A"

-BC

I

jl

+ B"

Despreciando términos de orden superior, tenemos

[vc;¡]

TRANSFORMACIONES DE DEFORMACIONES PRINCIPALES (Sec. 3.12-3.14)

Y DEFORMACIONES

3.26. Para la deformación cortante Xl = Xl, X2 = Xz + V2 X3, X3 = X3 + V2 X2 probar que las direcciones principales de Le Y EA coinciden como se afirmó en el Problema 3.24.

~J

o De (3.37),

transformación

[aij]

[L;¡]

[:

[:

1 V2

1

O

O

111.12

liV2 liV2J

-1/V2

De igual modo de (3.39),

la que para los ejes principales dados por la matriz de

se convierte en

I

~

[

O

- ~ ~

V2

¡la

r:

1- V2 O

1+:"J

que para la misma matriz de transformación

[aij]

-1 0

se convierte en la forma relativa a los ejes principales probar estos cálculos.

[L;j]

O

O

-1-V2

[E;;] [:

El estudiante debe com-

O

3.27. Usando la definición (3.37), se compueba que el tensor de deformación finita lagrangiano L; se transforma como un ten sor cartesiano de segundo orden bajo las transformaciones de coordenadas Xi = bjix; y = b;¡Xj.

X:

De (3.37),

1

2

(ox10 clL~¡

clXk

ax¡ -

) oij

la que, por la transformación establecida, se convierte en

CAP. 3

ANALISIS

3.28. Un cierto campo de deformación IL;;l ~

DE DEFORMACIONES

homogénea

~~~l

r ~

Determinar

117

da lugar a un tensor de deformación para

este campo

de deformación

finita las deformaciones

6J

L-2 -2 principales y sus direcciones. de segundo orden y simétrico,

Siendo un tensor cartesiano

1-L

3

-2

3

1-L

-2

-2

6-L

-2 Así,

== -2,

L(!)

L(2l

== 2,

L(3l

las deformaciones

v -

==,

8U

-

4L

La matriz de transformación

principales

+

o

32

para las direcciones

rL ~~~-~~~ l/~]

[aij]

-1/16 -l/V6

= v'3 X

3

=

1 O O De las ecuaciones 3.24) por

de deformación,

"/3 [S¡j]

O

O

O

O

3V3 + 1

y'3- 3 2V2

2/2

l/V2 -11V2

el tensor de extensión

S

==

VG

en XiX¡ == 1, el elipsoide de que la refiere a los ejes prin-

está dado (el cálculo es similar al del Problema

O que por la transformación

[aij]

[S;~]

r

J

O

y~ V6

L con las relaciones de extensión principales .\tll == 3, A12) == G, A~1) == 2. Nótese también sión principales se pueden calcular directamente de (3.66) usando [ajj] como anteriormente.

3.30. Para la deformación del Problema 3.29, hallar el elipsoide de deformación de la forma Azllxi + Af~)X~ + Al1)X; = 1. XiX¡

y'3/2 -1~2l 1/2 y'3/2

[:

2V2 se pone en la forma principal

De (3.48) la esfera

X2 el elipsoide de

xi + X~ + X~ = lo

1/V2

y'3 - 3 +V3 + 3

2/2

es

1/~]

O

[

-

esférica

De (3.82), o también invirtiendo las ecuaciones de desplazamiento y sustituyendolas deformación material es + x~ + x~ + X2X3 3. Esta ecuación se pone en la forma cipales /3 + xU6 + x;/2 == 1 por la transformación

xi

príncipales

2//6

3.29. Determinar para la deformación homogénea Xl = V3 X«, X2 = 2X2, X3 deformación material que resulta de la deformación de la superficie Probar que este elipsoide tiene la forma xilAZll + X~lAl2l + xUAf3) = 1.

xi

son las raíces de

== 1 resultaba

del elipsoide

O

O

jJ

que las relaciones

de exten-

espacial y probar que es

X • G • X == 1, o

1

ANALISIS

118

Este elipsoide se pone en la forma referida

DE DEFORMACIONES

a los ejes principales

CAP.

+

3X~

11 V312 O

o

[Uij]

3.31. Compruebe por un desarrollo puede ser expresado por

directo,

L

= 1 por la transformación

6X~ -+- 2X~

l

112 O

/3/2_

O -1/2

que el segundo

invariante

Ih del tensar •

-+-

[(ll!

+ 122 +

~l(lll +

/.22

idl)j

I

~::I +

El d~sarrollo de estos determinantes conduce a III = 1,,122 con el desarrollo directo de la segunda ecuación de (3.9/) da IIL~

de deformación

-

(ld'j

i2~133 +

133111

(l.i2 + l~:¡ + l:i,). La comparación

-

+ /2h) + {:¡hj)I

+ /d(lll + /22 + i;¡;;} -

+ i'21'2 + 1¡31¡3

(llll,¡

+ /2,121 + 122122 + 12:/23 + l:l!l:l! + i:12/:12 + 133133)] l1ll22

+ /2213:1 +

1;l:¡!1I -

+ l~:l + 1:~1)

(l~2

3.32. Para la deformación homogénea finita dada por 1(¡ = A¡jXj donde Aij son constantes, determinar una expresión para el cambio de volumen por unidad de volumen original. Si las componentes de-A¿ son muy pequeñas, probar que el resultado conduce a una dilatación cúbica. Consideremos un elemento de volumen rectangular (paralelepipédico) que tiene las dimensiones originales dX¡, dXz. a lo largo de los ejes coordenadas. Para la deformación dada, X¡ .,- (Aij + 0¡j)Xj, Entonces de (3.33) el volumen original dVo se convierte en un paralelepípedo oblicuo que tiene unas longitudes de arista dx¡ -: (AUn) + D¡(n) dXCn), ?1. =-= 1,2,3. De (1.109) este elemento deformado tiene el volumcnrét/ = <¡ji;(A¡¡ + 0¡¡)(Aj2 + 0j2)(A'k3 + ('¡,,:¡) dX¡ dX2 dX:1· Entonces dX:¡

dV dVo

Si las componentes j.V/dVo

de Ajj son muy pequeñas

=

€ij,,(A¡¡0jZOk:J

Para la teoría lineal la dilatación

cúbica

l¡¡

y se desprecian

sus productos,

+

0¡,Aj20k3

+

=

éJn/éJX¡,

que para n¡

Oi¡Oj2Ak:l

+

0i,8j28"1)

= A¡jXj

1

-

es l¡¡

=

AII

= A,¡

3.33. U!1a deformación lineal (deformación pequeña) está especificada por 7X2, U:I = -3x¡ + 4:rz + 4x;¡. Calcular las deformaciones principales viadoras principales para esta deformación.

u.,

+ AZ2 + A;¡3

+ A33'

-+- A22

= 4x¡

,2(11):

- :rz + 3X.1, Uz = X¡ + y las deformaciones des-

e(1I)

Puesto que

'ij

es la parte simétrica

4 ;0 402) es

Cij

=

=::

E(m)-

3.

fkk/

por

e:

.;j

~

O

~

~).

O

3

/3

O 2 2

aquí vendrá dado por

rJuja:oj,

(

\ O

e(1lI)

de desplazamiento

o en la forma relativa a los ejes principales

(~ desviador

del gradiente

Y referido a ejes principales

-:J

c'i;

También,

O

( O -1

\0

'k¡j3

=

5

~)

O -2

yel ten sor

Nótese que


CAP. 3

DEFORMACION

PLANA Y COMPATIBILIDAD

119

(Sec.3.15-3.16) ,

X2

3.34. Una roseta a 45° mide las deformaciones longitudinales a lo largo de los ejes indicados en la Fig. 3-15. En un punto P, <11 = 5 x 10-4, <1 = 4 x 10-4, <.," = 7 X 10cm! cm. Determinar la deformación cortante c..12 en -el punto P. -

45° 45°

4

De (3.59), con

(el + ez)h/2 como

~ =

vector unitario

Xl

Xl

P

x;

en la dirección

Fig.3-15

15 X 10-

4

I

[1Iv2, 1/v2, O]

+ 2'12 =

12 X 10-4 ---::---2

Por lo tanto

'¡2

L

O

4 X 10-4

o

<¡2

==

-2 X 10-4.

3.35. Construir los círculos de Mohr del estado de deformación plana

's

o

J'i' (3,3)

5

vis y hallar la deformación cortante probar el resultado analíticamente.

máxima.

Com-

----+--r-~=---r.-~=-~__4---~ 6 'N

Con el estado de deformación dado referido a los ejes Xi los puntos B('22 '23 ,/3 ) y D quedan determinados por el diámetro del círculo interior más grande en la Fig. 3-16. Puesto que '
= 5,

=

=

E

Una rotación de 30° alrededor del eje x¡ (equivalente a 60° en el diagrama de Mohr) da lugar a los ejes de deformación princípales con el ten sor de deformación principal dado por

.t

O

O

...;3/2

[:

-1/2

1/2

...;3í2

l-o

J O '][1 5...;3

O

-[3

LO

O

O

/3/2

-:/2]

1/2 /3/2

O

=

[:

6 O

:]

,

X3

x*3

3

O

Fig.3-16

x*3

30°

X3

x*2

~; X2 45°

x*¡ /

,

x*1

Xl

Fíg.3-17

x¡ Fíg.3-}8

ANALISIS

120

A continuación ten sor de deformación

una rotación de 45° alrededor asociado
1i...

CAP. 3

del eje x~ (90° en el diagrama

O

a través de un medio continuo o

fU

por el punto F de la Fig. 3-16. Nótese que una

(

las ecuaciones

está especificado

por

?

;t:¡

X-2

• ? X'

X3

X¡X8 ¿Se satisfacen

< y al

O

primeras filas representan el estado de deformación especificado de - 45° alrededor de ;,::;daría lugar al punto E en la Fig. 3-16.

3.36. El estado de deformación

de Mohr) da lugar a los ejes

1/12 1/12

[1/12 1 12 /

Las dos rotación

DE DEFORMACIONES

X'~") ;r~

?

:1:3

5

de compatibilidad?

Sustituyendo directamente en (3.104), todas las ecuaciones tudiante la comprobación detallada.

son idénticamente

satisfechas.

Se deja a merced del es-

Problemas diversos 3.37. Deducir la forma indicial del tensorde definición de (3.37). Según (3.24), ax¡/aXj

=

0ij + auJaxj• Lii

deformación

Entonces ~ [(

0ki

finita lagrangiano

Le de (3.40) a partir de su

(3.37) se puede expresar

+ :~~) (Ski + ~~) -

oij ]

3.38. Un campo de desplazamientos está definido por X¡ = XI - eX2 + BX3, X2 = ex¡ + X2 - AX3, X3 = -EX¡ + AXz + X3• Probar que este desplazamiento representa la rotación de un cuerpo rígido solamente- si las constantes A,B, e son muy pequeñas. Determinar el vector rotación w para una rotación infinitesimal de un cuerpo rígido.

De los desplazamientos

dados,

~

F

(

-B

-~

y de (3.37),

-;)

A

1

B2+

C2

-AC) -BC

-AB

!.

-AB

A2+ C2

2 (

-AC

-BC

A2+B2

Si se desprecian los productos de las constantes, este tensor de deformación rotación de un cuerpo rígido. De (3.50), el vector rotación es

es nulo y el desplazamiento .

se reduce a una

ANALlSIS

CAP. 3 ."..,

"..,

e¡

w

1 2

DE DEFORMACIONES "'-

ez

a/ax¡

e.3

a/ax2

-EX¡ +AXz

representada por U¡ = O.02X3, U2 = -O.03X3, relativo de Q(3,O.1 ,4) con respecto a P(3,O,4).

3.39. Para la rotación de un cuerpo rígido -O.02X¡ + O.03Xz, hallar el desplazamiento De las ecuaciones Ua - Up = -,003 ~3'

a/ax3

CX¡ -AX3

-CX2 +EX3

.03 O

3.40. Para un estado de deformación mación normal (;2 y cortante dica en la Fig. 3-19.

<;3

.02

O

.1

O

.08 ~1

-

-

a (3.65) y al Problema

-.003

du =

~3

eJ [~

<22

cos-

€22

+

8

€~;)

O

+ +

2E2:3

sen

€:!2 -

E;3:1

:

f22 €23

<23

8

+

E33

sen

28

cos 28

+

€za sen

20

cos

(3.20),

[O, cos s, sen ,{

-E22

H

2

O e;,

.06 ~:l' Entonces

+ .02 ~2:

(3.59)

2

sen ecos cos 2e

8

+

E23

,:,] 8

Ensen

2 IJ

cos

E:33

cos-

e

l J

O -sene

-

I

+

Ea:3

sen

-

B

Fig.3-19

.12 ~2

U3

plana paralelo a los ejes X2X3 hallar las expresiones para la deforcuando los ejes con primas y sin ellas están orientados como se in-

[O, cos e, sen .

Análogamente

=

de desplazamiento, uQ = .08 ~¡ - .12~2 - .057~3 y Up Se obtiene el mismo resultado de (3.51), con W = .03 ~¡

du

De la ecuación

121

Fig.3-20

J

cos

IJ

ANALlSIS

122

3.41. Para una deformación

homogénea,

CAP. 3

DE DEFORMACIONES

el tensar de las deformaciones 0.01 -0.005 [

-0.005

A

3.20,

.=

Y;.Lll

[l/v'z, -l/v'z,

A

r

l I

O.Olj' 0.01 -0.03

O

_A

O

0.02

¿Cuál será el cambio del ángulo de 90° ADC representado 3-20 si OA.= UB = oe y D es el punto medio deAB? . . L os vectores unuanos v y /l en D son .• = (el - e2)'l' Vr; z Y /l A

pequeñas está dado por

=

A

2 e3

(A

A

-

I Vr:6 . D e lIdres u ta o d e I P ro bl ema

A

ez -

e.)

.02

Oll-·~l

-.OllV3

/5-1-1\

3.42. El ten sor de deformación

por ':~

(~~~).

OABC de la Fig.

en el pequeño tetraedro

en un punto está dado por

1-1

=

€ij

o)

4

Calcular los invariantes de defor~~~ón :ar:

Y en su forma principal

~da uno de estos tensores

\0 O 3/ Y comprobar su equivalencia.

=

De (3.95), y del Problema 3.31, rE 16 = 54, IIp 24 + 18 + 12 = 54. estudiante debería comprobar estos cálculos.

=

5 + 4 + 4 Finalmente,

=

=

=

=

3.43. Para el campo de desplazamientos ;C¡ = Xl + AX3, X2 = X2 - AX3, el tensor de deformación finita Le. Probar que si A es muy pequeña, una rotación de un cuerpo rígido. Puesto que

11¡

= AX

3,

H~

=-11X8,

o

Si A es tan pequeña

que

=

-AX¡

+: AX2,

+

(: -~)-. C'

-A2

O

A2 puede ser despreciada,

A~

-A2

-A

O

O

Le

= X3 -- AX1 -'- AX2, hallar el desplazamiento representa

:r3

de (3.40),

O

A \

O - ...1) A

11;)

=

6 +4 +3 13. De igual modo HE 19 + 19 + 5(16) - 4 -- 4 = 72, lIle' = (6)(4)(3) = 72. El

13, rE' IIlE

O

O O 2A2

\

i

¡

!

I

!A~

....

I ·-A~

A2

i \

\

O

O

== O; Y de (3.50) el vector rotación es w = A

2:,)

-A2

e,

..!..

A

e2'

3.44. Probar que el campo de desplazamientos ni = Ax¡ -+- 3:r2, ~!2 = 3;¡:¡ - B;¡:2, U3 = 5 da un estado de deformación plana y determinar la relación entre A y B para la cual la deformación es isocora (cambio de forma a volumen constante).

rA

I

De las ecuaciones

de desplazamiento,

De (3.96), la dilatación

cúbica es D ==

según

fií

=A

(3.43),

fi.i

~l

O

I I 3

-B

O

Lo

O

O

- E, que se anula si A

= E.

el cual es de la forma (3.99).

ANALlSIS

CAP. 3

DE DEFORMACIONES

123

3.45. Una roseta en delta para la medida de deformaciones longitudinales en una superficie tiene la forma de un triángulo equilátero D y registra las deformaciones normales El!' t{I' E;'I en las direcciones indicadas en la Fig. 3-21. Si en un punto :ll = a, E{I:= b, e;; = e, calcular (12 y (22 . De (3.59) y L

=

la

€1~

'12

t'22

I

[1/2, 1312, O]

Lo

Fig.3-21

'°_lf

O

1/2'

I

=

b

o

2V3 '12

011-1/2 i O ';3/2 I =

e

o

--213<12

c)/Vs

y

. 13/2

O

L

+

a

4b -

3~22

J

O

xi'

Para la dirección

[-1/2,13/2,

O]

1'~2

;

¡ simultáneamente

y

'12

E12

j!

e~2

O

'-

Despejando

~--~---------XI

x;

para la dirección

E,

x{

x"1

O <22

L

0_

se obtiene

J

O
=

(b -

'22

+ 3'n -

4c -

a

+ 2b + 2c)/3.

= (-a

3.46. Deducir la ecuación (3.72) que expresa el cambio de ángulo entre las' direcciones coordenadas Xz y X3 bajo una deformación finita. Probar que (3.72) se reduce a (3.65) cuando los gradientes de desplazamiento son pequeños. Sea Y2~:c: (3.33) y (3.34)

/2 -

•..

o

el cambio

de ángulo

ahora el numerador

ez'

A continuación de (3.37) de (3.68) .\ (e:2) = -/1 + 2Loo-~ V A

G' e3 ,

dXz •

d:>:zl

Idx~

y denominador

sen

en la Fig. 3-5. Entonces,

dX2 dx:¡ ._-_._-

senh:¡

Dividiendo.

indicado

VdXz'

de esta ecuación

G'

sen Y~~

Fe • F •

=

ii~·ii:;,

cos ( tr /2 - 0)=

o de

dX3

dX2 ydX:¡'

G' dX3

por :dX21 y ¡ldX31 y usando (3.35) y (3.66), se tiene

')'23

==

.ez·

(2Lc

+ 1)'e3 = e2'

2Lc

'e3 + ez'

r-

e3

= 2Lz3

ya que

C2' e3

=

O. También

etc., y así,

VI + 2Lz2 /1+ 2L33 dU2/ÚX3

+

au;¡/aX2

+

(dU¡j"X2)(cíu¡jaX3)

= X3 + 2Xz/V3, normal es nula.

3.47. Hallar para el desplazamiento cortante sencillo XI = Xl, X2 = X2, del elemento de línea en el plano XzXo para el cual la deformación Sea íii. =

1ilz

Cz + '!il3e:¡

el normal

unitario

[0,1112'

en la dirección de la deformación

m3]

t' I lr

1

O

O

O

7/3

2/,;3

~ O 2/13

1

O

1113

X3

nula.

l !

-

1

Entonces

la dirección

de (3.66), como

A~(~l

=

1,

ANALisIS

124 o

+ 4V3 m2m3 +

71n~

m3.

=

X3

+112,

o

El estudiante

rn2

=

3m;

O,

1n3

= =

3. También

DE DEFORMACIONES

m~

+ m~ =

1, Y resolviendo

este resultado

este sistema de dos ecuaciones,

1Jt2

=

±V3/2,

nula a lo largo del eje X3 y para el elemento a 60° del eje

±1. Así, hay una deformación

debería comprobar

CAP. 3

íii.. 2lc' íii. = O deducida de (3.36).

usando la relación

Problemas propuestos 3.48.

Para el desplazamiento cortante X~ = 1 Sol. x; + 9x~ = 3

3.49.

Determinar la deformación cortante 3.47 (Fig. 3-22). S% Y~3 = sen -1

3.50.

del Problema

:2~j

3.47, hallar la ecuación

de la elipse en la que se deforma

para el estado de deformación

el círculo

X~

+

del Problema

2/17

Dado el campo de desplazamientos Xl = Xl + 2X3, Xz = X2 2X2, hallar los tenso res de deformaciones finitas Lagrangiano

-

.L

2X3• x:¡ = X3 yEuleriano Le y

2X¡

-

EA~23

Sol. Fig.3-22 3.51.

Hallar la forma principal

le

Hallar para el campo de desplazamientos del Problema (3.50) el gradiente de deformación polar de f hallar el tensor de rotación R yel tensor de extensión positiva s.

S%

i (~ ~-~),

R

-2 3.53.

Probar [(A2A (e,)

3.54.

(3.50).

:):

Sol.

3.52.

de los dos tensores del Problema

2

S

= (- ~ - ~ ~),

1

O

O

F

= (~

~ -:)

-2

3

El tensor

(e2)

de deformación

en un punto

~ = e¡/2 - e)2 Sol. «;) = 6, Y,.jJ.= Q.

3.56.

1 princípales

según

1Le

(e,)'

dirección

está dado por

+ e3/v:.

y la deformación

Hallar la forma principal de
Sol.

2

que el primer invariante de le se puede escribir en función de las relaciones de extensión -1) + (AzA -1) + (A2A -1)]12. Sugerencia: Véase la ecuación (3.68).

= (-~

-: -~).

{2 -{2

3.55.

f, y por una descomposición

cortante

entre ~y

Hallar la deformación

normal

en la

4

íL

=

-eJ2

3.54 y tener en cuenta 'que ~ y

+ e2/2 + e3/V2. íL en

ese problema

son direcciones

( ~) ~

~

O

0-2

Dibujar los círculos de Mohr para el estado de deformación dado en el Problema distorsión. Comprobar analíticamente este resultado. Sol. Ymax = 4

3.54 y determina.r

el valor de la máxima

ANALISIS

CAP. 3 3.57.

3.58.

Calcular los tres invariantes comparar los resultados. Para el

fij

del Problema

de deformación

3.54, hallar el tensar desviador -3

\~

-1

fij

y

f7j

dados en los Problemas

3.54 y 3.55 Y

y calcular sus valores principales.

o

0\

O O)

2)

-Y2

O -4

=

=

Un campo de desplazamientos está dado por ni 3xlx;, U2 2x3xl' u3 ción Eij y comprobar si se cumplen o no las condiciones de compatibilidad.

x; - x1xZ' Calcular

el tensar de deforma-

.,

3~;IXZ 1 _

=

3x2

.

+ Xa

Sí.

-X2/2

Para una roseta en delta se encontraron las deformaciones que se indican en la Fig. 3-23. Calcular E¡2 y '22 en la región que cubre la roseta. Sol. E22 1 X 10-4, <12 -0.2885 X 10-4

=

3.61.

eij

Y2\ -Y2 1,

-1-

3.60.

usando cada uno de los tensores = -4, lIlE = -24.

125

Sol. lE = 6, IIe

(-1

3.59.

DE DEFORMACIONES

=

=

=

Para el campo de desplazamientos XI XI + AX:l, X,) X2• X3 = X3 - AX¡, calcular el cambio de volumen y probar que es nulo si A es una constante muy pequeña. -

600

600 '11

= 2 x 10--4

Fig.3-23

Capítulo 4

Movimiento y flujo

4.1

MOVIMIENTO.

FLUJO.

DERIVADA

MATERIAL

Movimiento y flujo son términos usados para describir el cambio continuo o instantáneo en la configuración de un medio continuo. Flujo algunas veces encierra la idea de un movimiento que conduce a una deformación permanente como, por ejemplo, en los estudios de plasticidad. No obstante, en el flujo de fluidos la palabra denota un movimiento continuo. Como se indicó en (3.14) Y (3.15), el movimiento de un medio continuo se puede expresar ya sea en términos de coordenadas materiales (descripción lagrangiana) según x = x(X, t) (4.1) o o por la inversa de estas ecuaciones

en términos de coordenadas

X, =

La condición jacobiano

Xi(:);I,

:1:2, :1::¡,

espaciales (descripción

t) = X, (x, t)

o

euleriana)

según

X = X(x, t)

(4.2)

necesaria y suficiente para la existencia de las funciones inversas (4.2) es que el determinante (4.3)

no se anule. Físicamente, la descripción lagrangiana centra su atención en las partículas específicas del medio continuo, mientras que la descripción euleriana se interesa por una región particular del espacio ocupada por el medio continuo. Puesto que (4.1) y (4.2) son inversas entre' sí, cualquier propiedad física del medio continuo que se exprese respecto a una partícula específica (descripción meterial o lagrangiana) también se puede expresar respecto a la posición particular del espacio ocupado por la partícula (descripción espacial o euleriana). Por ejemplo, si la descripción material de la densidad P se da por p

=

p(Xi,

t)

o

(4.4)

p = p(X, t)

la descripción espacial se obtiene sustituyendo X en esta ecuación por la función dada en (4.2). De esta manera la descripción espacial de la densidad es p

=

p(X¡(x,

t), t) == p*(x¡, t)

o

=

PP."

donde el símbolo p* se usa aquí para resaltar que la forma funcional necesariamente la misma que la forma lagrangiana. 126

(X(x t) t)

=

P.*(x , t)

de la descripción

euleriana

(4.5) no es

MOVIMIENTO

CAP. 4

Y FLUJO

127

La relación respecto al tiempo de la variación de cualquier propiedad de un medio continuoreferida a las partículas específicas del medio continuo en movimiento se denomina la derivada material de tal propiedad. La derivada material (también conocida como derivada sustancia! o convectiva) puede ser considerada como un cambio respecto al tiempo que sería medido por un observador que viajara con las partículas específicas objeto de estudio. La posición instantánea Xi de una partícula es por sí misma una propiedad de la partícula. La derivada material de la posición de una partícula es la velocidad instantánea de la partícula. Por lo tanto, adoptando el símbolo d/dt o el punto superpuesto (.) para representar a la operación de derivación material (algunos libros usan D/Dt), el vector velocidad se define como

=

=

Xi o V dx/dt: = X (4.6) En general, si Fij .. es una propiedad escalar, vectorialo tensorial de un medio continuo que puede ser expresada como una función de posición de las coordenadas del punto y si la descripción lagrangiana está dada por p .. (4.7) = Pij(X, t) Vi

= dxJdt

t) ..

la derivada material de la propiedad

se expresa por dPi¡

aPij .. (X, t)

.

at

dt

El segundo miembro

de (4.8) se escribe algunas veces [aP!L-'-'(~2.EIJ

at

(4.8)

para resaltar que las coordenadas

x

se mantienen constantes, es decir, al tomar la derivada están involucradas la propiedad Pi, .. se expresa mediante la descripción espacial en la forma Pi,

=

las mismas partículas.

X

Cuando

Pi, . (x, t)

(4.fJ)

la derivada material está dada por dP¡¡ .. (x, t) dt

(4.10)

donde el último término del segundo miembro aparece debido a que las partículas específicas están cambiando de posición en el espacio. El primer término del segundo miembro de (4.10) da la relación de cambio en una posición particular y por ello se conviene en denominarla variación local. Este término se escribe algunas

veces rap¡~\x,

..

at

tll

para

resaltar

que x se mantiene

constante

en esta derivación.

El

.l x

segundo término de la derecha de (4.10) se llama variación convectiva ya que expresa la contribución debida al movimiento de las partículas en el campo variable de la propiedad. De (4.6), la derivada material (4.10) se puede expresar dPij . (x, t)

aPi¡

dt

que sugiere inmediatamente

la introducción d

4.2

VELOCIDAD.

materiales

ACELERACION.

(x,

aPij . (x, t)

t)

+

(4.11)

ax"

Vk

del operador de derivación material o

dt que se usa para tomar las derivadas

.

at

de cantidades

d

dt

=

expresadas

a

at

+

en coordenadas

CAMPO DE VELOCIDAD

En (4.6) se da una definición del vector velocidad, según Vi = dxJdt definir el mismo vector se obtiene de (3.11) que da Xi = 1(,; + X, (o X = U

(4.12)

v· V'x

espaciales.

INSTANTANEO (o v = dx/dt). Otra forma de De esta manera se puede

+ X).

MOVIMIENTO

128

+ Xi) _ du,

d(ui

definir la velocidad por

del tiempo. .

Vi ~

Si, por otra parte, el desplazamiento

au¡(X, t) at

ili(X, t)

-

v(x, t)

=

o

il(X, t)

-

-

En (4.15) la velocidad está dada implícitamente de la derecha. La función

du(X, t) dt

u

Si la velocidad

dVi(X, t) dt

(4.13)

au(X, t) at

(4.14)

au~J2 at

+

1',,(X t) aUi(X, '

t)

iJXk

v(x, t) . 'V x u(x,

t)

(4.15)

puesto que aparece como un factor del segundo término

=

v

o

v(x,

=

av¡(X, t) at

a -

o

v -

(4.16)

t)

está dada en la forma lagrandv(X, t) dt

(4,17)

se da en la forma euleriana (4.15), entonces o,¡(X,

t)

TRAYECTORIAS.

dv¡(x, t) dt

-

a(x, t)

o

4.3

+

at

se dice que especifica el campo de "Velocidadinstantáneo. La derivada material de la velocidad es la aceleración. Si la velocidad giana (4.14), entonces . ai ~ 'Vi ~

du

di

se expresa en la forma lagran-

CJUi(X, t)

du(x, t) dt

_

dt

= Ui(X, t), entonces

lt¡

dUi(X, t) dt

-

=

v

está en la forma euleriana

Vi(X, t)

o

v = dt

En (4.13), si el desplazamiento

du¡(X, t) dt

=

U;

dx _ d(u+X)

o

dI

dt

puesto que X es independiente giana u, = Ui(X, t), entonces

CAP. 4

Y FLUJO

aVi(X, t) at

av(x, t)

dv(x, t) dt

-

iJt

LINEAS DE CORRIENTE.

+

+

( t) aVi(X, t) Vk x, iJ Xk

v(x, t) . 'Vx v(x, t)

MOVIMIENTO

(4.18)

ESTACIONARIO

Una trayectoria es la curva o camino recorrido por una partícula en un flujo o movimiento. Una línea de corriente es una curva cuya tangente en cualquier punto está en la dirección de la velocidad de ese punto. El movimiento de un medio continuo se denomina movimiento estacionario si el campo de velocidad es independiente del tiempo, de forma que iJvdat = O. Para un movimiento estacionario, las trayectorias y las lineas de corriente coinciden.

4.4

aXj(o

VELOCIDAD DE DEFORMACION. DEFORMACION NATURAL

VORTICIDAD.

INCREMENTOS

DE

El gradiente espacial del campo de velocidad instantáneo define el tensor gradiente de velocidad avd Yij). Este tensor puede descomponerse en sus partes simétrica y antisimétrica según

o Esta descomposición

(4.19)

es válida aun si D. 1)

~

Vi

y iJvdaxj D jz

-

son cantidades

! (avi + 2 a::Cj

av~) aXi

finitas. El tensor simétrico o

(4.20)

MOVIMIENTO

CAP. 4

129

Y FLUJO

se denomina tensor de velocidad de deformación. Para este tensar se usan otros muchos nombres; entre ellos tensar de rapidez de deformación, de velocidad de extensión y de velocidad de deformación específica. El tensar antisimétrico (_ \ V - _ V _ 1 dV¡ a'Uj (4.21) 1)

-

)1

2 \ax~- ¡¡-;:¡)

-

o

se denomina tensar de giro, vorticidad o velocidad de rotación. Se puede probar fácilmente que el tensar de velocidad de deformación tensar de deformación lineal euleriano. Así, si en la ecuación 1 d (dU¡

dE,; _ -

dt las derivaciones d

=-:¡:-:

(J •.. )

respecto a las coordenadas

(dll¡ \ I ., -Z-t) , a ecuacion (

.

antenor

1(a'Vi

=

2

)Jx¡

material del

dE

o

(4.22)

dt

y el tiempo se intercambian,

es decir, si

!L (~.~~~)\ se sustituye

dt

por

,rlXj

1a f arma

toma

dEi) en

au¡ \

--\-+-¡ 2 dt a;('j uj.'¡/

es la derivada

.

a'Vi)

+ d;1:i

= Di,

dE _

o

1(

dt -

:r v'Vx

+ 'Vx v )

_

-

o

(4.23)

'vlediante el mismo procedimiento se puede probar que el tensar de varticidad es igual a la derivada material del tensar de rotación lineal euleriano. El resultado se expresa por la ecuación -;

rU

Se puede atribuir

1

=--=

2

(av¡ a:rj-

una interpretación

aVj ')

d;¡;i

=

interesante

Vij

o

o miembro

1(

-

'Vx v

)

_

-

V

dE

=

o dt

(4.25)

de (4.25) representa las componentes conocidas como incrementos de deformación en los problemas de flujo y en la teoría de la plasticidad (ver Cap. 8).

natural que se usan ampliamente

4.5

(4.24)

a (4.23) cuando esta ecuación se reescribe en la for-

ma El primer

dO _ dI - .~V'Vx

INTERPRETACION FISICA DE LOS TENSORES DEFORMACION y VORTICIDAD

DE VELOCIDAD

En la Fig. 4-1 las velocidades de dos partículas próximas en los puntos P y Q de un medio continuo en movimiento están dadas por Vi y Vi + d/o, respectivamente. La velocidad relativa de la partícula situada en Q respecto a la de Pes por lo tanto o

dv

=

v'Vx

•

dx

(4.26)

en la cual las derivadas parciales se han de estimar en P. En función de D¡j y Vij, (4.26) se convierte en

dv

o

Si el tenssor de velocidad nulo (Dij = O), o

=

(O

+ V)

de deformación dv

V'dx

. dx

(4.27)

es idénticamente (4.28)

Fig.4-1

DE

130

MOVIMIENTO

CAP.4

Y FLUJO

y el movimiento en los alrededores de P es la rotación de cuerpo rígido. Por esta razón se dice que un campo de velocidad es irrotacional si el tensor de vorticidad se anula en cualquier punto del campo. El vector, asociado con el tensor de vorticidad, definido por (4.29)

o

se conoce como vector vorticidad o torbellino. La forma simbólica de (4.29) indica que el vector torbellino es el rotacional del campo de velocidad. El vector definido como la mitad del vector torbellino,

n

o

=

~q

=

-v,

x v

(4.30)

se denomina vector velocidad de rotación. Para la rotación de un cuerpo rígido, tal como la descrita por (4.28), la velocidad relativa de una partícula vecina separada de P por dx.; está dada por dv

o

=

n x dx

(4.31)

Las componentes del tensor de velocidad de deformación tienen las interpretaciones físicas siguientes. Los elementos de la diagonal del tensor Dij son conocidos como las componentes de velocidad de extensión o alargamiento. Para una deformación pura, de (4.27), o

dv

=

D·

dx

(4.32

y puesto que la velocidad con la que cambia la longitud de un elemento de línea tix, por unidad de longitud instantánea está dada por de") = dv¡ = D d::ej = D (4.33 o dx ij dx ij v j !

la velocidad de deformación

en la dirección del vector unitario

Vi

es

o

De (4.34), si

V¡

está en la dirección de un eje coordenado, d = d22

digamos

d

(4.34

e2, (4.3.5

o

Los elementos restantes de Di¡ son velocidades de deformación cortantes o velocidades de distorsión que son una medida de la velocidad del cambio de dos direcciones que originalmente forman un ángulo rectc (Ver Problema 4.18). Puesto que Di, es un tensor de segundo orden simétrico, van asociados a él los conceptos de ejes principales, valores principales, in variantes, una cuádrica de velocidad de deformacián y un tensor desviador de velocidad de deformación. También se pueden desarrollar ecuaciones de compatibilidad para la; componentes del tensor de velocidad de deformación, análogas a las presentadas en el Capítulo 3 para lo; tensores de deformación lineales.

4.6

DERIVADAS MATERIALES DE ELEMENTOS VOLUMEN, AREA Y LINEA

DE

Durante el movimiento desde una configuración inicial en el instante t = O hasta una configuración presente en el instante t, las partículas del medio continuo que ocupaban el elemento de volumen diferencial dVo en el estado inicial ocupan ahora el elemento de volumen diferencial dV. Si se toma el paralelepípedo rectangular indicado en la Fig. 4.2, como elemento de volumen inicial, entonces según (J .10) dV

dX¡c¡ x dX2e2·dX3e3

(4.36)

dX¡dX2dX3 Debido al movimiento, este paralelepípedo se traslada y además se distorsiona, pero debido a que el movimiento se supone continuo el elemento de volumen no se subdivide. En efecto, debido a la relación (3.33) dx, = (iJx;/aXj) d.X¡ entre los elementos de línea espacial y material, la "Iinea de partículas"

CAP. 4

MOVIMIENTO

131

Y FLUJO

f armada

por dX 1 forma ahora el segmento de línea diferencial = (ox;/ax¡) d.X«. Análogamente d.X¿ se convierte en dX~2) n (axJaX2) dX y dX3 en dx:: = (axJaX~) dX • Por lo tanto

dx;j)

=

2

3

el elemento de volumen diferencial dV es un paralelepípedo que ha girado y tiene las aristas dx;' " dxiZ d:r¡;!) y un vol u men dado por el triple producto escalar !,

(4.37)

o

t=

Pero como se ve (4.37) es igual a

dV

f ..,. 1) ~

r):~_~:E.!.. r);rk av aX 2 aX ;) ..t\. 1

«x

'ZX.

·'l.1 t,

2

ax,

··'l.o

(4.38)

J dVo

donde J = lax;/aXjl es el jacobiano definido por (4.3). Usando (4.38), es posible obtener ahora la derivada material de dV como d

del tiempo,

biano J se puede probar que es (ver Problema

dJ dt dVo

d dt (J dVo)

dt (dV) puesto que dVo es independiente

Fig.4-2

¿fé

de forma que

(elFo)

:=

O. La derivada

(4.39)

material

del jaco-

4.28)

elJ

J

'dI

J\l x . v

(4.40)

y entonces (4.39) se puede escribir en la forma ~ (dV) dt

=

dVi dX¡

dV

%t (dV)

o

= \lx . vdV

(4.41)

Para la configuración inicial de un medio continuo, un elemento diferencial de área que tiene la magnitud dSo se puede representar en términos de su vector normal unitario ni por la expresión dSon;. Para la configuración presente del medio continuo en movimiento, las partículas que inicialmente forman el área dSo ni ahora ocupan un elemento de área representado por el vector dS n; o d.S; Se puede probar que dS = J dX . X \lx

o

(4.42)

de la que la derivada material del elemento de área es

!l,

dt

La derivada material cular como sigue

de la longitud

(J

al cuadrado

élX¡) aXi

sx.

(4.43)

J

del elemento

de línea diferencial

d . 2 d(dxi) dt x,

No obstante,

puesto que dx,

=

(axJaX¡) dXj,

dx, se puede cal-

(4,44)

MOVIMIENTO

132

Y FLUJO

CAP.4

d dt (dXi) y (4.44) se convierte

(4.45)

en 2 dx . \7x v· dx

La expresión del segundo puede escribir

miembro

(4.46)

de (4.46) en la forma indicial es simétrica en i y k, Y según esto se

(4.47) 0,

de (4.20), 2dx· o·dx

4.7

DERIVADAS SUPERFICIE

MATERIALES Y LIN EA

DE INTEGRALES

(4.48)

DE VOLUMEN,

No todas las propiedades de' un medio continuo puden ser definidas para una partícula específica como funciones de las coordenadas tales como las dadas por (4.7) Y (4.9). Algunas propiedades se definen como integrales sobre una región finita de un medio continuo. En particular, representemos a cualquier propiedad escalar, vectorial o tensorial por la integral de volumen

Iv

Pij ... (t)

donde V es el volumen material de Pi, .. (t): es

que ocupa la parte considerada -d I·p dt . 'J.....

P~ .. (x, t) dV

(4.49)

del medio continuo

:t Iv

()]t

en el instante

T: La derivada

(4.50)

p~~. (x, t) dV

y puesto que la derivación es con respecto a una parte definida del medio continuo (es decir, un sistema de masa específico), se pueden intercambiar las operaciones de derivación e integración. Por lo tanto el * (4.51) [P~ .. (x, t) dV] dt J" Pi, ... (x, t) dV

Iv :t

r

que, después de realizar la derivación d dt

r Pi,* J"

Puesto que el operador de derivación se puede poner en la forma

:t

i

y usando

.. (x, t) dV

(4.41), resulta

-f -

[dP~ 11

.(x, t)

dt

+

P'~(x,

t)

1J

ap~.. i [-~-'-'--"at

(x, t) +

v

-3

a

ax

dV

a/at + V a/ax p

*

(vpPij .. (x, t))

] dV

oXp

Usando el teorema de Gauss (1.157), el segundo término de la integral del segundo miembro puede convertir en una integral de superficie y expresar la derivada material como

a

dt

r

Jv

*

Pl, ... (x, t) dV

f

v

ap~~ ... (x, t) dV

at

+ Jrs

(4.52)

p

material está dado por (4.12) como d/dt =

p~ ..(x, t) dV

aVpJ

[p*

Vpij

...

( t)] dS x, ., p

p,

la (4.52)

(4.53)

de (4.53) se

(4.5.~)

· CAP.4

MOVIMIENTO

133

Y FLUJO

Esta ecuación establece que el ritmo de crecimiento de la propiedad J-lij . (t) en aquella parte del medio continuo que ocupa instantáneamente el volumen V es igual a la suma de la cantidad de la propiedad creada dentro de V más el flujo vp[P~ .. (x, t)] a través de la superficie límite S de V. I

El procedimiento para determinar las derivadas materiales de las integrales de superficie y de línea es esencialmente el mismo que el empleado anteriormente para la integral de volumen. Entonces para cualquier propiedad tensarial de un medio continuo representada por la integral de superficie

Jrs Q¡~.. donde S es la superficie como antes

ocupada

par la parte considerada

di

dt y, de (4.43), la diferenciación

as,

(4.55)

en el instante t, entonces,

del medio continuo

QÚ* ... (x, t) d.S;

(4.56)

de (4.56) da

r

dQíj ,(t) Para las propiedades

s

(x, t)

[dQ~j_ ,(x, t)

+

Q:~

dVq dXq

(4.57)

di

Js

expresadas

en la forma de integrales de línea tales como

dt

i R;; ..

R;j(t)

- (4.58)

(x,t)elxp

e

la derivada material está dada por d

di Derivando la integral del segundo para la derivada material

f ., r:

miembro

como se indicó en (4.59) y haciendo

el

dt

(4.59)

Rij ,. (x, t) dxp

f

[Rij(t)J

e

drR~ ,(x, t)] d . --dCO- --:l.p + t

f

e»;

-.

e dXq

*

uso de (4.45), resulta

.

[Rij,

,(x, t)] d~tq

(4.60)

Problemas resueltos DERIVADAS 4.1.

MATERIALES.

VELOCIDAD.

ACELERACION

(Sec. 4.1-4.3)

La descripción espacial (euleriana) del movimiento de un medio continuo está dada por e. = X¡e' + X3(et - 1). X2 = X3(et - e-t) + Xz, :r3 = X;" Probar que el jacobiano J no se anula para este movimiento y deducir la descripción material (lagrangiana) hallando las ecuaciones inversas del desplazamiento. De (4,3) el determinante

jacobiano

es

J

=

liJx¡/aXjl

I e' = IO O

Invirtiendo las ecuaciones del movimiento X¡ = x¡e-t Obsérvese que para cada descripción cuando t O, Xi Xi'

=

=

+ x~(e-t

O

et -1

i

1

O

1 -1),

X2

=

Xz

-

x3(et

-

e-tj,

X3

=

o'

X

MOVIMIENTO

134

4.2.

Y FLUJO

CAP.4

El movimiento de un medio continuo está dado por x¡ = Xl, Xz = et(XZ + X3)/2 + C-'(X2 - X:J)/2, X3 = et(X2 + XN2 - e-t(X2 - XN2. )Hallar las componentes de la velocidad en las formas material y espacial.

=

=

A partir de la segunda y tercera ecuaciones X2 + X3 c-t(xz + X3) y X2 - X3 et(xz - X3)' Resolvie~do este sistema, las ecuaciones inversas son X¡ = Xl> XZ = e-t(x2 + x3)/Z + et(x2 - x3)/Z, X3 = e-/(x2 + X3)/Z - et(x2 - :t'3) /Z. Según esto, las componentes del desplazamiento u¡ = Xi - Xi , se pueden escribir en su forma lagrangiana U¡ = O, Uz = et(Xz + X3)/2 + e-I(Xz - X3)/2 - X2, U3 et(X2 + X3)/Z - e-I(X2 - X3)/Z - X3, o en la forma euleriana u¡ O, U2 X2 - e-t(x2 + x3)/Z - et(x2 - X3)/Z, u3 X3 - e-t(x2 + x3)/2 + ct(x2 - x3)/2. De (4.14), Vi = auJat = aX;liJt y las componentes de velocidad en la forma lagrangiana son VI = O, V2 et(X2 + X3) /2 - e-t(X2 - X3)/Z, v3 = et(X2 + X3)/Z + e-t(Xz - X3)/2. Usando las relaciones X2 + X3 = e-t(x2 + x3) y XzX3 = et(x2 - x3)estas componentes se reducen a V¡ = O, V2 = X3' V3 = X2' También de (4.15), para la descripción euleriana,

=

=

dUz/dt

Vz

e-'I(:cz

tI,

;:.::

e'- t(X2

este sistema de ecuaciones

para

dU3/dt Resolviendo

4.3.

=

=

+ x3)/2 + x3)/2 +

el(x2

e'(:cz -

y V:}, el resultado

Vz

- x)/2 x:J)/2

+ +

dv¡/dt dVz/dt

-

dv31dt

a.¡

-Xl/el

a2

-2xz/(1

-3x3/(1

a3

+

1'z(-e-

t

es como antes

=

Vz

+ t),

+ t)2 + ~c[/(l + 1)2 = + t)2 + 4x~/(1 + tF + t)2 + ~hj(l+ 1)2

+

ct)/2

v:J =

X:¡,

+

el)/2

1'2(Z - e=! -

Un campo de velocidad está descrito por VI = :rd(l + t), vz = 2xz/(1 Estimar las componentes de la aceleración en este movimiento. De (4.18),

4.4.

=

=

1'3(2 - c-

el)/2

t -

x2·

= 3x3/(1

V3

+ t).

O

2xi(1

+ Iy

6xi(1 -1- 1.)2

Integrar las ecuaciones de velocidad del Problema 4.3 para obtener las relaciones de desplazamiento Xi = Xi(X, t) y a partir de éstas estimar las componentes de la aceleración en la forma lagrangiana del movimiento. De (4.13) VI = dx¡/dt = xl/(l + t); separando variables, ti.G¡/:>:¡ == dt/(l -1- tl e integrando resultan X¡ en la que e es una constante de integración. Puesto que X¡ = X ¡ cuando t = O, = Xl Y entonces t). Un procedimiento análogo da X2 = Xz(l + t)2 Y X3 X3(1 + t)3.

In

e

e

=

Entonces

4.5.

+ et)/2

v:l(-c--t

de (4.14) y (4.17),

VI

= Xl'

2Xz(1

Vz::::

+ t),

1):1

=

3X3(1

+ t)~

y

=

a,

O,

a2

=

2X2,

y

=

a3

In (1 + t) ..;.. = Xl (1 .,

~;¡

=

6X3(1

+ t).

El movimiento de un medio continuo se da por x, = A + (rG"/>..) seo A(A + últ), X2 = -B - (e-B"/A) cos .\(A + (,¡t), :ea = X3• Probar que las trayectorias de las partículas son circunferencias y que la magnitud de la velocidad es constante. Determinar además, la relación entre Xl y X2 y las constantes A y B.

=

=

Escribiendo Xl A (e-l1VA) sen A(A + wí), X2 + B (-e-BX/A) cos "VI -1- wt), elevándolas al cuadrado y sumándolas, y eliminando t resulta para las trayectorias las circunferencias (x¡ - A)~ -1- (x:! + B)2 = e-2BX/". De (4.6) ~I¡ BII =..: wr.-BX cos A(A + wt), v;¡ = wesen ,,(A + wt), V;¡ == O Y V2 == v~ + -¡;~ + = w2e-2BX• Finalmente, cuando t:.= O, ;1:, == Xi y así X¡ = A + (e-BX/A) sen AA, X2 = -B - (fJ-BA/,,) cos "A.

v;

4.6.

Un campo velocidad

y

de velocidad está especificado la aceleración de una partícula

Sustituyendo dado por

directamente,

a

por el vector v = x~ te¡ + X2t2e2 + x¡:l:::¡te:l. Determinar situada en P(l, 3,2) en el instante t = 1.

= e¡ + 3 e2 + 2 e3' Usando

vj,

xie¡

+

2x2teZ

+

X¡X3e:¡

+

la forma vectorial

-1-

(xite¡

-1-

• (2x,te¡e,

o

a =

Así,

3e, + ge2 + 6e3'

(x~

+ 2x~t2)

el

+

(2x2t

+

+

X2t2e2

x2t4)

e2

+

de (4.18) el campo de aceleración

x¡x:¡te:3)

x:Jte;e3

(XIX~

+

+ 2x

ee

t2

2

2

+

xst2)e:J

x1te3e3)

la está

MOVIMIENTO

CAP.4

4.7.

Para el campo de velocidad del Problema del flujo y probar que ambas coinciden.

Y FLUJO

4.3, determinar

135

las líneas de corriente y las trayectorias

En cada punto de una línea de corriente la tangente está en la dirección de la velocidad. Entonces para el vector tangente diferencial dx a lo largo de la línea de corriente, v X dx = y, según esto, las ecuaciones diferenciales de las líneas de corriente se convierten en (/):¡lv¡ =' dX2/v2 := dx:/v;¡. Para el flujo dado estas ecuaciones son dx¡/x¡ =: dX2/2'"2 = dX8/ 3:r3' Integrando y teniendo en cuenta las condiciones Xi c= Xi cuando t = O, las ecuaciones de las líneas de corriente son (x¡/X1)z:= X2/X2' (:r¡/X¡)3 = ,,-,:/X:1, (X2/X2)~ = (:r~/X:¡V

°

Integrando las expresiones de la velocidad dx/dl = 'V¡ como se realizó en el Problema 4.4 se obtienen las ecuaciones de desplazamiento XI = XI(l + 0, Xz = X~(l + tF, X:j = X3(1 + t)3. Eliminando ( en estas ecuaciones obtenemos las trayectorias que son idénticas a las líneas de corriente halladas anteriormente.

4.8.

La fuerza del campo magnético de un medio continuo electromagnético está dada por ,\ = (O'" /r donde 1'2 = xi + x~ + x~ y A es una constante. Si el campo de velocidad del medio continuo está dado por v¡ = Bx¡x3t, V2 = Bx~ t2, V3 = BX:1;C2, determinar la variación de la intensidad magnética para una partícula situada en P(2, -1, 2) cuando t = lo Puesto que iJ(T-J)/iJX¡

=

-X¡/l~j,

la ecuación

y para P a t = 1,

4.9.

~ = ·Ap =

(4.11) da -Ae-At/T

-

e-At(Bxi~;3t

+ Bx~

t2

+

BX~X2)h-3

+ B)/9.

-e-A(3A

Un campo de velocidad está dado por VI = 4:1;3 - 3:1:2, Vz = 3~c¡, 'u" = -4:1;1. Determinar las componentes de la aceleración en Ptb, 0, O) y Q(O, 4b, 3b) y poner de manifiesto que el campo de velocidad corresponde a una rotación de cuerpo rígido de velocidad angular 5 alrededor del eje e = (4 + 3C:l)/5.

ez

=

De (4.18) a¡ = -25x¡, az = -9x2 + 12x:j, a'3 = 12x2 -lGx:;. Entonces en P(b, O,O), a -25bí?\ que es una componente normal de la aceleración. También, en Q(O, 4b, 3b) que está en el eje de rotación, a O. Nótese que v w X x '- \-1

t?~-+

VELOCIDAD 4.10.

~

e)

x

(Xl

el + ~f2e2+ '-~~ e:~)== (4x~ - 3x2)'Cl -i.. 3x

1

DE DEFORMACION,

VORTICIDAD

=

e.~-- .1:-(; '~:\.

(Sec. 4.4-4.5)

Un cierto flujo está dado par 'u, =, 0. 1'.~:.. A(,c¡x~ - x~)eBt, V3 = A(x~ - x¡:t:;¡)rUl donde A y B son constantes. Estimar el gradiente de velocidad éJvJéJXj en este movimiento y de él calcular el tensor de velocidad de deformación D y el tensar de giro V para el punto P(l, 0, 3) cuando t = O.

De (4.19),

:¡ -2:~)

iJv;liJxj

2x2

y descompuesto

Ae-Rt

en P cuando

que puede ser estimado

O

t =

-XJ

según (4.20) y (4.21) como

y

D

+

V

( ~ :° -6:) (~ -3A

4.11.

=

-A

\-1.5A

O A -3A

I

-1.5A) -3A

-A

I

+

/

Calcular para el movimiento X¡ XI, :(:2 = X2 + X¡(e- 2t - 1), X;J = X3 velocidad de deformación O y de vorticidad V. Comparar O con dc.Jdt, 'J deformación euleriano de deformaciones pequeñas c.

=

°

O

\O-l.~A 3A°

+ X¡(e-31

1.5A -3A O

1) el tensor el tensor de velocidad

de de

Aquí las componentes del desplazamiento son 1/¡ == 0, 1(2 XI (c-2t - 1), U:1"" "'1 ir- ;;¡ ..- }) y de(4. /4) las componentes de velocidad son 1'1 0, v2 -2x¡e-2/, v3 -3xJe-3t. La descomposición del gradiente de velocidad éil'¡/éJxj da At';léJx¡ Dij + V;¡. De esta forma

=

=

=

=

MOVIMIENTO

136

dv/Bxj

De igual modo,

O

0\

( -2cO 2t

O

O

-3e-;¡t

O

O

la descomposición

e

e-2t

D

-c-~t

-,-"

O

-3C-31/2

O

de desplazamiento

!

:)

O O

CAP. 4

O

O

e-3t

Comparando

(

del gradiente

auJaXj

Y FLUJO

2

-3':'
da Da;!fJxj

e

c=

e-2t

e-2f

O

c-;lt

Eíj

+ W¡j

/

3':"/2 ~

O

\~'~:;2

O

y

'~"')+ ~(,,0,

-e--2t

'~H)

O

e -.ll

O

\

e--2f

O

O

con dE/elt,

dEL/clt

O

Dij

O El estudiante

puede comprobar

que

clwi/clt = Vij•

4.12. Una línea de torbellino es una línea cuya tangente en cada punto de un medio continuo en movimiento está en la dirección del vector torbellino q. Probar que las ecuaciones para las líneas de torbellino son dx-Jq, = dXZ/q2 = dX;¡!q3. Sea dx un vector de distancia (q2 d:r3 -

de la que (ü¡/q¡

q3 dX2)

e¡

+

(q;¡ dx¡

diferencial -

en la dirección de q. Entonces

q¡ d~'3) e2

+

(q¡ d:rz -

q2 dx¡)

e'l

==

q X dx: == O, o O

= dXZ/q2 = d,rjq,j'

4.13. Probar que para el campo de velocidad v = (AX3 - Exz)'e¡ de torbellino son líneas rectas y determinar sus ecuaciones. De (4.29) q == Vx x v = 2(Ce¡ torbellino son A dX3 = B clxz, B dXI de las líneas de torbellino X3 = B:rz/A

+ (Ex¡

- CX3)CZ

+ (CXz

- A1:¡)C3 las líneas

+ A eo + Be'l), y

del Problema (4.12) las ecuaciones diferenciales de las líneas de C clX3, e dxz = A dx¡. Integrando estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones + K¡, X¡ ~ CX3/B + Kz, X2 = Ax¡/C + K;¡ donde las K¡ son constantes de in-

=

tegración.

4.14. Probar que el campo de velocidad del Problema demostrando que O = O.

4.13 representa

la rotación

de un cuerpo

rígido

-B Calculando el gradiente y Dij == O.

a1'/OXj,

de velocidad

se encuentra

que es antisimétrico.

Entonces

avJa:Cj

= (

l'ij

4.15. Determinar para la rotación de un cuerpo rígido locidad de rotación n y probar que v = n x x. De (4.30)

2n

= q, o

n

;

-A

= 4

e¡ + 3 c

2.

v

=

3X3C¡ - 4X3CZ

Este vector está a lo largo del eje de rotación.

+

(4X2 - 3X¡)C3,

A \

O -C C

o I.

el vector ve-

Así,

4.16. Un campo de velocidad estacionario está dado por v = (xl - x¡X~)C¡ + (xi X2 + xz)cz. Hallar la velocidad relativa unitaria respecto a PO, 1,3) de las partículas situadas en QI(l, 0, 3), Q2(1, 3/4, 3),

CAP.4

MOVIMIENTO

Y FLUJO

Q3(1, 7/8, 3) Y probar que estos valores se aproximan Mediante

un cálculo

~"_ La matriz

gradiente

directo

VI'

-

de velocidad

+ 2 e2,

vQ, == -el

137

a la velocidad

relativa dada por (4.26).

+ 2ez

4(vp - vQz) == -7e¡/4

8(vp - vQ) ==

y

+2

-15 e¡/8

es

l' · n 3x¡ - xi

2'"C¡X2

xi + 1

O

O

L yen

P(l, 1, 3) en la dirección

negativa

de "x2

(clv¡/clx)

Así, idvf d»¡ - C:.;

--2 e¡

+ 2 e2

-2x¡xZ

:J[-:] [:;]

A

e,

que es el valor al que se aproximan

las velocidades

unitarias

4.17. Determinar para el campo de velocidad estacionario v = 3x~x2e¡ + de extensión en P(l, 1, 1) Y en la dirección ~ = (3c¡ - 4e3)/5.

Aquí el gradiente

es, [Dij] ==

r ~

de velocidad

relativas

+

2X~X3C2

es

o.51

'

.

6

1.5

1.5

4

l.5

0.5

1.5

2

Vp -

x¡x2x~e3,

va;,

la velocidad

y su parte simétrica en P

J

De (4.34), para

1.54

el

1.5

2

4.18. Hallar, para el movimiento del Problema 4.17, la velocidad ortogonales ~ = (3e¡ - 4C3)/5 y ~ = (4c¡ + 3C3)/5. Análogamente a los resultados 20 .;, o en forma matricial por

del Problema

3.20 la velocidad

[4/5,0,

3/5]

0.5] [ 1.5

O

de distorsión

de deformación

3

8

3

O

1

3 4

-4/5

° 2l,

2 :

o o

oJ

1

principales

)..de

:l

Dij'

-).. O

1

O -A

1

1

1-)..

O

está dada por

Y¡J.u

==

íL·

=

O. Hallar los valores de velocidad de deformación V3

~ -1

Y1".

89/25

2X3,

+ .:

OJ

en P entre las direcciones

cortante

3/5]112 L 3 1] ~ 3/5]

4.19. Un campo de velocidad estacionario está dado por v¡ = 2X3, Vz = y las direcciones principales (velocidades de extensión) del tensor para este movimiento.

o o

74/25

-4/5

-1

-. O

y para los valores

MOVIMIENTO

138

= +v'2,

/..r

De donde

La matriz de transformación

/..rr

=

0, /..rrr

Y FLUJO

CAP. 4

= -v'2.

para las direcciones

de los ejes principales -1/2 [

con la matriz de velocidad

4.20. Determinar

de deformación

la velocidad

1/v'2

-1/y2

1/2

1/2

máxima

Este resultado

también se obtiene teniendo cortante paralela al plano ~ = (el --:-e2J/vIz. Como se vio

Y

Y"

m.,

1/V2J

=

[+:

O

O

O

O

O

-V2

del Problema

4.19.

3, la

en cuenta que el movimiento en la dirección del vector

X¡J]2

m:;~]

[0,0, 1{: :

I

para el movimiento

Ymáx

Yz .

es una deformación

°

[D;;]

en su forma principal

de distorsión

l/v'2l

--1/2

Análogamente a las deformaciones cortantes máximas del Capítulo velocidad de la distorsión máxima es )'m3x = (I\r - /..m)/2 =

unitario

es

También es notorio que la velocidad de extensión vimiento tiene lugar en la dirección ;¡ ccc (el + e2 + en el Problema 4.19. Entonces

X2

V2

máxima en este motal como se halló 3

y2 c )/2

Fig.4-3

[1/2, 112, V2/2

J

[

O

O

O

O

i

MATERIALES

4.21. Calcular la segunda hallar d2(dx2)/dr'.

DE VOLUMENES,

derivada

material

AREAS,

del producto

LV2/2

INTEGRALES,

Y mediante

una sencilla manipulación

4.22. Hallar la derivada

material _d_ dt

ficie S.

[dD-lt

i¡

.u:.-

2

+

d x¡ d»,

(

d(c1:r2) ---'-.

,

s

p¡dS¡

éll'i

Di; ~

. rh:k

clxk

=. +

dt

de línea, es decir,

= 2Dij dx¡ d",]. Por lo tanto

(¡v¡

Dij dx¡ -1-:- a«;

]

( "le

de los seudoíndices, d2(.(.I.:1:2)

_

(lt2

-

j~ as. }J¡

2

[clDdtu

f[

. s

dPi' dt

--

+

rÍ1}k

Dk) ~

éJ:ri

+

élVk]

T ]J'-¡

rÍXk

dS

i.

AV,]

Di}; -:;-:- dx, dx ,

del flujo de la propiedad

s

Según (4.57),

:t f

ETC. (Sec. 4.6-4.7)

escalar de dos elementos

en la (4.48) se indica que d2(d,;:2)

y2

112

1 1

DERIVADAS

1/::

o";

vectorial

}J¡

a través deja

super-

y FLUJO

MOVIMIENTO

CAP.4

4.23. Probar que el teorema simbólica como

del transprote

-d dt Mediante

una transcripción

r

J~ p s

deducido en el Problema

+

v(V" p)

n dS

directa del resultado

~f

4.22 se puede escribir en la notación

i [~~ +

A r

139

del Problema

p'ndS

=

,(

4.22 a la notación

+

[~

ñ dS

V' x (p x v) ] . simbólica 'ndS

p(V·v)

-

(p'V)v]

(v· V)p

+

p(V • v) -

s

~ [(~~+ Usando obtiene

ahora

la identidad

vectorial

V

x

(p

x

v) = p(V'

v) - v(V • p)

+ (v·

(p

Sea P~(x, t) una función tensorial

cualquiera

dtd y según el teorema

de la divergencia

de las coordenadas

f

=

P*(x, t) dV v

de Gauss ésta se convierte

:t f

v

P*(x, t) dV

V)vJ •

y

y del tiempo. Entonces

f

+ v-

[iJP* --;¡¡:

1.65) se

(4.54) en la notación

eulerianas

v

n dS

V)p -:::-(p' V)v (ver Problema

el teorema del transporte de Reynold tal como se da en (4.53)

4.24. Expresar bólica.

>

sim-

(4.53) es

(P*v) ] dV

en (4.54),

=

f

v

a~* dV

e

+

•.Js

P?v : ñ dS

4.25. Si la función P"'(x, t) del Problema 4.24 es el escalar 1, la integral del primer miembro es sencillamente el volumen instantáneo de una parte del medio continuo. Hallar la derivada material de este volumen. Usando

la forma vectorial

de (4.53), tal como se da en el Problema

(4.24),

~

f

dV v

=

f

V· v clV. Aquí,

V' v

v

cúbica.

Esta relación tam-

Problemas diversos 4.26. De la definición
de vector torbellino

De (4.29), qi = 'ijkvk.j =
v¡k.j]

4.27. Probar

que la aceleración

De (4.18),

(4.29), q

+VCk.j) qi

=

=

rot v, probar que

y puesto

que

V kj =

(Sriósk

a se puede escribir como a

Ork "'sj)

q¡

=

f¡jk

Vkj y que 2Vij

= O (ver por ejemplo el Problema V kj = 211"r'

uv + q X v + '2 V' at 1?

'0-.

ai

a¡

la que, como debería comprobar

el estudiante,

es la forma indicial de la ecuación

pedida.

=

{jik

qk'

1.50),

qi

=

MOVIMIENTO

140

4.28. Probar

Escribamos aquí iJx¡liJXp como determinantes, j = fPQR(Xl,pX2,QX3.R

+ x¡,pv2,sxs,Qx3,R

de esta expresión,

CAP. 4

= div v.

que d(ln J)/dt

sXs,px2,Qx3,R

Y FLUJO

y Ahora x¡,p De los nueve determinantes

+ X¡.pX2,QX3,R danj

4.29. Probar que para el movimiento líneas de corriente coinciden.

=

EY(lRXI.PXZ,QX3,R

J

+ X¡,?>;2,QX3,R)'

+ x¡,pX2,Qv3,sxs,R)'

los tres no nulos

=

de forma que J

XLP

== vs,J.

'L'¡,¡J+v2,ZJ+V3,3J

(avJat

estacionario

= O) de

Entonces

se convierte en la suma de los tres = v¡,sxs,P, etc., y así, j == EI'QR(1.'¡, 3 X 3 que resultan de la suma en s

j

=

JV'·v

un medio continuo

yasí

==divv.

d(lnJ)/dt

las trayectorias

y las

Como se vio en el Problema 4.7, en un instante dado t las líneas de corriente son las soluciones de las ecuaciones diferenciales dx¡/v¡ = dX2/V2 = dX3/v3' Las trayectorias son las soluciones de las ecuaciones diferenciales dxf d: == v/x, t). Si Vi = v¡(x), estas ecuaciones se convierten en dt clx¡/v¡ dX2/VZ == dX3/'L'3 que coinciden con las ecuaciones diferenciales de las lineas de corriente.

=

4.30.

Dado el campo de velocidad estacionario V¡ = XiX2 + ~:~, v·} = -:c~ - x¡x;;, V3 = O hallar las expresiones de los valores principales del tensar de velocidad de deformación O en un punto arbitrario P(Xl,

X2, X3). De (1,.1.9)

avJaXj

-3xi -

x~

d(i)

+ Vii'

Di¡

-2X¡X2

O

O

Los valores principales

'-"

;ri + 3x~

( 2x,x,

d

-xi + x~ el(¡)

=

0,

elm

d(2)

=

-(xi

=

-(xi

( 2x,x, -xi + ~;~ o

-xio+ X;¡

+ x~

-xi -2X¡X2

-

t

Usando J

T

(-2(X~~ ,')

~~

+ x~)

¡ , "2

O

O

O

n

O el

O

I

I

-« I =

d(3)

(xi

+ x~).

Nótese que aquí

dI:=

(xi

+ l;~),

elIl

= o,

+ x~).

Demostrar la ecuacion (4.43) tomando l· d x". ton .a l dS, - ~i.ik ex; (2)

2(xi

-2~;lX2

O

O

+ x~),

e

de

O

De donde

o

n

son las soluciones 2~;¡X2 -

4.31.

=

la derivada

material

de d.S, en la forma de producto

vec-

(:3)

-

(3.33),

ex, dX3•

Por lo tanto,

e ( Pik

~l

'axz

(iJvqlaxq)

ax,

iJx"

dX3)

aX:J

elSp

-

(avq/ilx,,)

iJv<) iJxq

dS'I

4.32. U sar los resultados de los Problemas (4.27) y (4.23), para probar que la variación material del flujo de: torbellino _cl_ ( q. Íi dS es igual al flujo del r otacional de la aceleración a.

.u J.,

MOVIMIENTO

CAP.4 Tomando

el rotacional

de la aceleración

x

V

=

V' X a

o

puesto que q -d

dt

=

f

s

V'

y V

X v

X

Del Problema f¡j!,

ak.¡ -

vT).

f

-iJq¡ dV

at

v

f

q(V"

«r-

v) -

que a.dt J\. (qdV=

v) -

q(V"

V')vJ

as

.;;

IJ

3

V'

x

\.

J~

=

)

a = iJq/dt

V)v

(q'

por P en el Problema (V' X a) • ;;

J([E··kClr.+q·V.-q.v.]dS

1

1

+ V'

1

J

)

4.23,

as

..

X (q X v) en la forma

indicial como

aqJat =

aQ¡ clV v

at

de la divergencia

==

+

Por lo tanto

s'

f y según el teorema

+

dq/dt

se puede escribir la identidad

4.32.,

f¡Sp(fpT7lTQm

1: [~¡ a.

V' X (q X v)

4.27,

V' X V'(v2/2)

= O. Por lo tanto si q se sustituye

+

4.33. Probar para el torbellino

+

V X (q X v)

V' (0.2/2)

141

tal como se da en el Problema

V' X ~;

iJq/at..;...

==

q' An d.S

a

Y FLUJO

Eijkak

d.S¡ -

s

de Gauss (1.157),

f

(OimOsT

-

dSs

OiTOs711)(qmvT)

s


Sol.

=

1]1

(Xl

+ X3)et,

v2 == X3(et

+ e-t),

v3 == O

o

0'1

=

4.35.

En forma lagrangiana un campo de velocidad está especificado ponentes de la aceleración en forma euleriana. Sol. al == e-t(xz + tX3 - t3), Uz == O, U3 = :2

4.36.

Probar que el campo de velocidad Vi = f¡.ikbjXk un cuerpo rígido y determinar el vector torbellino Sol. q¡ = b¡x;. j - b¡ = 2b¡

4.37.

Probar

4.38.

que para el flujo

Vi.

==

x;l(l

+ t)

Xl

-

por

v2

:t'3'

1)1

+

== -X2c-t,

donde b¡ y Ci son vectores de este movimiento.

-:- C¡

las líneas de corriente

x3(et

+ e..!.'),

v3

y las trayectorias

v2 == -X3,

constantes,

X3(et

=

V3

-

e-ti,

O == 21. Hallar

representa

las com-

la rotación

XiX~,

=

Xz

Demostrar para el movimiento de un medio continuo dado por Xl XI' et(Xz + X3)/2 - e-t(X2 - X3)/2, que Dij = dfij/clt para t == O. Comparar

Sol.

D~

para el campo de velocidad de D en P(l, 2, 3).

( ~); ~

~

O

0-5

t'¡ -

X~;1;2

v.

X~X2

3/vÍO

«,

(

O

+

v2

-x:l -

4.40.

Determinar principales

de velocidad

+

Probar que para el campo culares.

X~,

xL

V2

l/vÍÜ O

\ l/vÍÜ -3/vÍÜ

== -(x~

de

coinciden.

=

4.39.

A".

'';3

La intensidad del campo eléctrico en una región que contiene el flujo de un fluido está dada por A == (A cos 3t)/T 2 xi + x~ y A es una constante. El campo de velocidad del fluido es VI == x~ Xz + x:1 .. 1'., = ,:,,:r~l - ~·1;l'2. Determinar dA/dt en el punto P(x¡, x2, X3.1. Sol. dA/dt = (-3A sen 3t).',·

1.

4.41.

=

=

X2

El movimiento de un medio continuo está dado por Xl = X¡et + X3(et -1), Xz Probar que J no se anula para este movimiento y hallar las componentes de la velocidad.

V3

= O las Iineas de corriente

=

et(X2 + X3)/2 estos tenso res para

+ x¡xD,

V3

= o,

+

e-t(X2

-

X3)/2,

donde = O.

1':1

son cir-

X3

t ::::0.5.

los valores

y las direcciones

MOVIMIENTO

142 4.42.

Hallar para el campo de velocidad del Problema 4.41, la velocidad P(l, 2, 3). ¿Cuál es la velocidad cortante máxima en P? Sol. d di)

=:

-24/9·,Ymáx

4.43.

Probar

4.44.

Probar la identidad que v¡,jVj,i =: DijDij

4.45.

Y FLUJO

=:

Demostrar

de extensión

en la dirección

-; =:

('el -

2 é2

+ 2 e3)/U

en

5 e

=:

que d(Bx/aXj)/dt

Vi,k Xk,j

'pqr(vsvr,s),q -

CAP. 4

=:

Y usarla para deducir la (4.41) del texto, directamente qpvq•q

+ vqqP.G

-

qqVp,q

donde

q¡qJ2.

que la derivada

material

del torbellino

total está dada por

Vi

es la velocidad

a partir de (4.38). y

q¡

el torbellino.

Probar

también

Capítulo 5

Leyes fundamentales de la mecánica del medio continuo

5.1

CONSERV ACION DE LA MASA. ECUACION DE CONTINUIDAD

Con cada medio continuo material hay asociada una propiedad que se conoce como masa. La cantidad de masa de una parte del medio continuo que ocupa el volumen espacial Ven el instante t está dada por la integral p(x, t) dV (5.1)

i

en la que p(x, t) es una función continua de las coordenadas que se denomina densidad de masa. La ley de la conservación de la masa establece que la masa de una parte específica del medio continuo permanece constante y, por lo tanto, que la derivada material de (5.1) es nula. Entonces, de (4.52) y pi; ... (x, t) == p(x, t), la variación de m en (5.1) es dm

dt Puesto que esta ecuación nulo, o

=

se mantiene dp

dt

d

dt

J. v

para un volumen

.L I

pVk,k

=

O

é!p

=

jT

arbitrario

p

[d

dt

+

p aVk] aXk

o

dV

V cualquiera,

el integrando

(5.2)

ha de ser

(5.3)

o

Esta ecuación se denomina ecuación de continuidad; se puede escribir en la forma

at + (pVJ.k

f

p(x, t) dV

O

usando

El campo de velocidad v(x, t) de un medio continuo ecuación

de derivación

material

también

o

(5.4)

Para un medio continuo incompresible la densidad tiempo, de tal manera que dpld.t = O Y (5.3) da lugar a o

el operador

divv

de masa de cada partícula = O

es independiente

del (5.5)

incompresible

se puede expresar por lo tanto por la

v = V x s

(5.6)

143

LEYES FUNDAMENTALES

144

DE LA MECANICA

DEL MEDIO

CONTINUO

en la que s(x, t) se denomina el potencial vectorial de v. La ecuación de continuidad también se puede expresar en la forma lagrangiana servación de la masa exige que

i

CAP.5

o material.

La con-

p(x, t) dV

(5.7)

en donde las integrales se extienden a las mismas partículas, es decir, V es el volumen que ahora ocupa la materia que en el tiempo t = O ocupaba el volumen Vo. Usando (4.1) y (4.38), la integral del segundo miembro de (5.7) se puede transformar en

lo

1'0

Po (X, O) dVo

Puesto que esta relación es válida para cualquier

volumen

pJ es independiente d

dt (pJ)

p(X, t)J

-v,

(5.8)

Va, se sigue que

pJ

Po =

la que implica que el producto

5.'0

p(x(X, t), t)J dVo

(5.9)

del tiempo puesto que Ves arbitrario,

o que (5.10)

= O

La ecuación (5.10) es la forma diferencial lagrangiana de la ecuación de continuidad.

5.2

PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL. ECUACIONES DE MOVIMIENTO. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

En la Fig. 5-1 se representa un medio continuo en movimiento que ocupa un volumen Ven el instante t. Supongamos que son conocidas las fuerzas másicas J); por unidad de masa. Que el vector tensión t;~) actúa en el elemento diferencial dS de la superficie límite. Que el campo de velocidades Vi =..dsuids; está prescrito en toda la región ocupada por el medio continuo. En este caso, la cantidad de movimiento lineal total del sistema másico contenido en V está dada por

J;(

pvdV

v X2

(5.11)

Fig.5-1

1

El principio de la cantidad de movimiento lineal, basado en la segunda ley de Newton establece que la variación por unidad de tiempo de una parte arbitraria de un medio continuo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre esa parte considerada. Por lo tanto, si las fuerzas internas entre las partículas del medio continuo de la Fig. 5-1 obedecen a la tercera ley de Newton de la acción y reacción, el principio de la cantidad de movimiento para este sistema másico se expresa por

i

s

o

i

t:~) dS + e;:)dS

+

f

v

Iv

pbdV ¡

pbdV

:t i

pV,dV

-~i

dt

v

(5.12)

pvdV

Sustituyendo ti~) = Uj,nj en la primera integral de (5.12) y transformando por el teorema de la divergencia de Gauss, (5.12) se convierte en

esta integral de superficie

CAP.5

LEYES FUNDAMENTALES

.!l r dt J

:t Iv

material

ICA DEL MEDIO

=

o

t

de (5.13), la ecuación de continuidad

r[

=

pv¡dV

Jvo

d(pJ)

Vi

dt

+

145

CONTINUO

d dV

pV

v

Calculando la derivada (5.10). Entonces

DE LA MECA

di

.,

J

pvdV

se puede usar en la forma dada por

J dv¡l dV

dtJ

p

.

(5.14)

o

Sustituyendo el segundo miembro de (5.13) por el correspondiente de (5.14) y reagrupando resulta el principo de la cantidad de movimiento lineal en su forma integral,

Jrv (O" .. + l> -pv) )t.J

Puesto que el volumen que quedan

1

•

dV

Ves arbitrario,

=

O

r

o

VV

el integrando

+ pb -

(\7.x . I

p~') dV

=

de (5.15) tiene que ser nulo. Entonces

las ecuaciones (5.16)

son conocidas como las ecuaciones de movimiento. En el caso importante de equilibrio estático en el que las componentes estas ecuaciones están dadas de (5.16) por = O

+

\7x'¿

o

Estas son las ecuaciones de equilibrio que se emplean extensivamente

5.3

términos \~15', (;;.

O

G

,,;;.;+(,U;

(.5.13)

de la aceleración

{lb = O

se anulan, (5.17)

en la mecánica de sólidos.

PRINCIPIO DEL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULÁR)

El momento de la cantidad de movimiento es como su nombre indica sencillamente, el momento de la cantidad de movimiento lineal respecto a algún punto. Así, para el medio continuo indicado en la Fig. 5-1, ~l momento total de la cantidad de movimiento o cantidad de movimiento angular como se denomina con frecuencia,

respecto al origen, es o

N =

J,.

(x

X

pv)

crv

(5.18)

en la que :"('¡ es el 'lector de posición del elemento de volumen dV. El principio del momento de la cantidad de movimiento establece que la variación de la cantidad de movimiento angular por unidad de tiempo, de cualquier parte de un medio continuo y respecto a un punto arbitrario, es igual al momento resultante (con respecto a ese punto) de las fuerzas masicas y superficiales que actúan en la parte considerada del continuo. Según esto, para el medio continuo de la Fig. 5-1, elprincipo del momento de la cantidad de movimiento se expresa en la forma integral por

Jrs

€k:rt~;') 1)

)

as +

f

v E..,XpU/ rj. J

.... dV

o

(5.1.9)

%t .(.

(x x pv)

av

La ecuación (5.19) es válida para aquellos medios continuos en los que las fuerzas entre partícuias son iguales, opuestas y colineales, yen los que no existen momentos distribuidos. El principio del momento de la cantidad de movimiento no proporciona ninguna nueva ecuación diferencial del movimiento. Si en (5.19) se hace la sustitución t~~) = O"Jl"n¡¡,y se admite la simetría del tensor de tensión, la ecuación se satisface idénticamente usando la relación dada en (5.16). Si no se supone la simetría de tensiones, se puede probar que tal simetría se sigue directamente de (5.19), que por sustitución de t'k(~)= lTpkn 11' se reduce a

146

LEYES FUNDAMENTALES

DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO

o Puesto que el volumen

(5.20)

Ves arbitrario,

o

o

que desarrollada

S.4

CAP. 5

demuestra

que

(J¡k

=

(5.21)

O'kj'

CONSERVACION DE LA ENERGIA. PRIMER PRINCIPIO DE LA'TERMODINAMICA. ECUACION DE LA ENERGIA

Si solamente se consideran cantidades mecániéas, el principio de la conservaciou de la energía del medio continuo de la Fig. 5-1, se puede deducir directamente de la ecuación del movimiento dada en (5.16). Para efectuar esto, se calcula primero el producto escalar entre (5.16) y la velocidad Vi y el resultado se integra en el volumen V. Entonces

Jll( Jr

Pero

v

que representa V,oji.i

=

(V'O"j;)

r

p1J.i·.dV "t

Jv

¡

V.O" ... t

J1,)

+

dV

-d dt

pv.vdV t

~

f f

V

fJvb. I

t

.zv dl(

2

pv -dV Ir

dt

2

la variación por unidad de tiempo de la energia cinética K en el medio continuo. 'vi,j O"ji y de (4.19)' vi,i = D¿ + Vii,de forma que (5.22) se puede escribir

Además,

i -

~~ -t

Iv

D¡jO"j¡

dV

Iv

(v¡O"Jj

dV

+

Iv

pV¡

o¡ av

(5.24)

=

puesto que Vij'Tji O. Finalmente, transformando la primera integral del segundo miembro de (5.24) en una integral de superficie mediante el teorema de la divergencia de Gauss y haciendo uso de la identidad t;~) = la ecuación de la energia aparece en la forma

r

v.

J~ '

t¡~J

dS

+

J"

v

pbv,dV "

(5.:¿S)

Esta ecuación relaciona la variación de la energía mecánica total por unidad de tiempo del medio continuo, en el primer miembro; con la variación de la cantidad de trabajo realizado por las fuerzas másicas y superficiales en el segundo miembro de la ecuación. La integral del primer miembro es conocida como la variación de la energía mecánica interna por unidad de tiempo y se escribe dU/dt. Por lo tanto ,(5.25) se puede escribir brevemente como dK

dI

+- dU

dt

ctliV rlt,

(5.26)

donde dW/dt representa la variación de la cantidad de trabajo, y el símbolo especial d se usa para indicar que esta cantidad no es una diferencial exacta. Si se van a considerar ambas energías, la mecánica y la no mecánica, se tiene que usar el principio de la conservación de la energía en su forma más general. En esta forma el principio de la conservación establece que la variación de la energía cinética más la energía interna por unidad de tiempo es igual a la

suma de la variación del trabajo más cualquier otra energía suministrada, o extraída por unidad de tiempo. Se pueden incluir en tales energías suministradas.a la energía térmica, química o electromagnética. En lo sucesivo, solamente serán consideradas las energías mecánica y térmica y el principio de la energía toma la forma de la bien conocida primera ley de la termodinámica. Para un medio continuo termomecánico unidad de tiempo como la expresión integral

es costumbre

expresar la variación de la energía interna por

LEYES FUNDAMENTALES

CAP. 5

dU dt

!i dt

DE LA MECANICA

S v

pudV

•.(

DEL MEDIO CONTINUO

147

(5.27)

püdV

donde u se denomina energía interna especifica. (El símbolo u de la energía específica está bien establecido en la literatura y por ello se usa en las ecuaciones de la energía de este capítulo y la posibilidad de que sea confundido en lo que sigue con la magnitud del vector desplazamiento 'Uj , no se toma en consideración). De igual modo, si el vector Cj se define como el flujo de calor por unidad de área y tiempo en la conducción calorífica, y z se toma como constante de radiación de calor por unidad de masa y tiempo, el ritmo de crecimiento de la cantidad de calor en el medio continuo está dada por ctQ dt:

Por lo tanto, el principio

-

(

Js

c,n¡dS

+ (

pzdV

Jv

de la energía para un medio continuo dW

(5.28)

termomecánico

es

dQ dt

-+dt

(5.29)

o en términos de las integrales de energía, como el

di

(1'¡1';

J\l

(J-2clV

r

(.

+ Jv

pudV

-

Js

+

ti;')viclS

f

pvbdV \r

I

I

+ (' J1/

pzdV

-

f

c.ti.d.S Sil

(5.30)

Transformando las integrales de superficie de (5.30) en integrales de volumen según el teorema de la divergencia de Gauss, y usando de nuevo el hecho de que Ves arbitrario se llega a la forma local de la ecuación de la energía 1 1 - (0-.1).) . + b.». - c .. + z z pUl

,J

¡

P

"1

o

(5.31) 1

-LD (J

1 - -\i"c P

+ b'v + z

Dentro del elemento de volumen arbitrariamente pequeño para el cual es válida la ecuación de la energía local (5.31), también se ha de cumplir el balance de la cantidad de movimiento dado por (5.16). Por lo tanto, tomando el producto escalar de (5.16) por la velocidad pv;vi = VilJ'ji,j + pv;bi y, después de sencillas operaciones, restando este producto de (5.31), resulta la forma tan reducida como extraordinariamente útil de la ecuación de la energía local, du -dt

1 -p a.D. 1)

1)

-

1

P- c ..

1.1

+ z

(.5.32)

Esta ecuación expresa la variación de la energía interna por unidad de tiempo como la suma del trabajo por unidad de tiempo debido a las tensiones o potencia de tensión más el calor añadido al medio continuo.

5.5

ECUACIONES DE ESTADO. ENTROPIA. PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

SEGUNDO

Se dice que la completa caracterización de un sistema termodinámico (en nuestro caso, de un medio continuo) permite describir el estado del sistema. Esta descripción se especifica, en general, mediante varias cantidades termodinámicas y cinemáticas denominadas variables de estado. Un proceso termodinámico está caracterizado por un cambio de estas variables en el tiempo. Frecuentemente no todas las variables de estado empleadas para describir el comportamiento de un sistema son independientes. Existen relaciones funcionales entre las variables de estado y estas relaciones se expresan mediante las denominadas ecuaciones de estado. Cualquier variable de estado que se pueda expresar como una función uniforme, de un conjunto de otras variables de estado, se conoce como una función de estado. Tal como se formuló en la sección anterior, el primer principio de la termodinámica postula la intercambiabilidad de las energías térmica y mecánica. En la ecuación de la energía se pone de manifiesto la

LEYES FUNDAMENTALES

148

DE LA MECANICA

DEL MEDIO CONTINUO

CAP. 5

relación que expresa la conversión de calor y trabajo en energías cinética e interna durante un proceso termodinámico. No obstante, el primer principio deja sin respuesta la cuestión de la medida en que el proceso es reversible o irreversible. Todos los procesos reales son irreversibles, sin embargo los procesos reversibles constituyen una hipótesis muy útil ya que la energía disipada puede considerarse despreciable en numerosas situaciones. El criterio básico de la irreversibilidad está dado por el segundo principio de /a termodinámica, a través de su enunciado sobre las limitaciones de producción de entropia. El segundo principio de la termodinámica postula la existencia de dos funciones de estado distintas; la temperatura absoluta T, y la entropia S con las siguientes propiedades. T es una cantidad positiva que es una función solamente de la temperatura empírica B. La entropía es una propiedad extensiva, es decir, la entropía total de un sistema es la suma de las entropías de sus partes. En la mecánica del medio continuo, la entropia especifica (por unidad de masa), o densidad de entropia se denota por s, de tal manera que la entropía total L está dada por L =

S.

pS

dV.

ciones que tienen lugar con los alrededores

La entropía

de un sistema puede cambiar ya sea por interac-

del sistema o por cambios que tienen lugar dentro del mismo. O sea ds

+ ds(i)

= ds(e)

(:7 ..'33)

donde ds es el aumento de entropía específica, ds(e) el aumento debido a la interacción del sistema con el exterior, y dS(il el aumento interno. El cambio ds(í) nunca es negativo. Es nulo para un proceso reversible, y positivo para un proceso irreversible. Por lo tanto ds(i) ds(i)

En un proceso reversible,

si

>

O

(proceso irreversible)

(5.34)

O

(proceso reversible)

(5.35)

denota el calor suministrado

dq(Rl

al sistema por unidad de masa, el cambio

ds(e) está dado por

(proceso reversible)

5.6

DESIGUALDAD

DE CLAUSIUS-DUHEM.

FUNCION

(5.36)

DE DISIPACION

De acuerdo con el segundo principio, la variación de la entropía total L por unidad de tiempo en un medio continuo que ocupa un volumen V nunca es menor que la suma del flujo de entr opia que entra a través de la superficie del medio continuo más la entropía creada interiormente a causa del propio cuerpo. Matemáticamente, este principio de la entropía se puede expresar en la forma integral como la desigual-

dad de C/ausius-Duhem,

dS

dt

\ pS dV

f

pe v

dV -

i

s

c·n· dS ~.-.: T

(.5.37)

donde e es el manantial de entropía local por unidad de masa. En (5.37) se mantiene la igualdad para los procesos reversibles y la desigualdad se aplica a los irreversibles. La desigualdad de Clausius-Duhem es válida para una elección arbitraria del volumen V, de tal manera que transformando la integral de superficie en (5.37) por el teorema de la divergencia de Gauss, la forma local de la velocidad de producción de entropía interna y, por unidad de masa, está dada por

o

(5.38)

Esta desigualdad se tiene que satisfacer en cada proceso y para cada valor asignado a las variables de estado. Por esta razón, juega un importante papel al imponer determinadas restricciones a las denominadas ecuaciones constitutivas que se discuten en la sección siguiente.

CAP. 5

LEYES FUNDAMENTALES

DE LA MECANICA

DEL MEDIO

CONTINUO

149

En la mayor parte de la mecánica del medio continuo, se supone con frecuencia (basado en la mecánica estadística de los procesos irreversibles) que el tensar de tensión se puede desdoblar en dos partes según el esquema, (5.39)

a~t

donde agl es un tensar de tensión conservativo, y lo es disipativo. Suponiendo energía (5.32) se puede escribir con la ayuda de (4.25) como

esto, la ecuación de la

I

du

(5.40)

elt

En esta ecuación,

!0;/" p

es la relación de energía disipada

debida a la tensión y por unidad de masa, y

dq/dt es la velocidad de entrada de calor en el medio continuo por unidad de masa. Si el medio continuo su fre un proceso reversible, no habrá ninguna disipación de energía, y posteriormente dq/dt = dq(RJ/dt, de forma que se pueden combinar (5.40) y (5.36) obteniendo

q?¿ dt

~p a") ij

+ T ds

(

(5.41)

dt

ij

descrito por (5.40) la velocidad de producción

Por lo tanto en el proceso irreversible expresar introduciendo (5.41). O sea

d8 dt

_ldr¡ .._- + T dt:

1.'J).

"-a

[>T

ij

,

de en tropía se puede

(5.42)

i]

El escalar a;r' {jj se denomina función de disipación. Según el segundo principio, en un proceso irreversible y adiabático (dq = O), tlsl dt > O y de (5.42) se sigue que la función de disipación se define positiva ya que f' y T son siempre positivas.

5.7

ECUACIONES CONSTITUTIVAS. MEDIOS TERMOMECANICOS y MECANICOS

CONTINUOS

En las secciones precedentes de este capítulo, se han desarrollado varias ecuaciones que se han de cumplir para cada proceso o movimiento que pueda sufrir un medio continuo. Para un medio continuo termomecánico en el que los fenómenos térmicos y mecánicos van asociados, las ecuaciones básicas son

(a) la ecuación de continuidad, (5.4)

o

o

úp -at + V·

(pv)

o

(5.4.1)

(b) la ecuación del movimiento, (5.16) o

pV

(5.44)

(c) la ecuación de la energía, (5.32) du

1

'd-¡ ~ p ajjDi¡

1

-

p

ej,i

+z

e

du

iN

1

= pL:D-pV·c+z

(:).4:))

Suponiendo que se conocen las fuerzas másicas Vi y los manantiales de calor distribuidos z , (5.43), (5.44) y (5.45) son cinco ecuaciones independientes que dan lugar a catorce funciones de posición y del tiempo desconocidas. Las incógnitas son la densidad p, las tres componentes de la velocidad Vi, (o bien las componentes del desplazamiento 'ni), las seis componentes de tensión independientes aií, las tres componentes del vector de flujo calorifico c., y la energía interna específica n. Además ha de cumplirse la desigualdad de CJausius-Duhem (5.38)

LEYES FUNDAMENTALES

150

DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO

cls _ e _ dt

! o

(~i.) T

CAP. 5

o

(5.46)

.í

la que gobierna la producción de entropía. Esta introduce dos incógnitas adicionales: la densidad de entropia s, y T la temperatura absoluta. Por lo tanto son necesarias once ecuaciones adicionales para que el sistema esté determinado. De éstas, seis estarán en la forma conocida como ecuaciones constitutivas, que caracterizan la propiedades físicas particulares del medio continuo objeto de estudio. De las cinco restantes, tres estarán en la forma de relaciones de conducción de calor-temperatura, y dos aparecerán como ecuaciones termodinámicas de estado; por ejemplo, quizás como la ecuación calórica de estado y la entrópica de estado. La formulación específica de los problemas del medio continuo termomecánico se dará en un capítulo posterior. Se debe poner de manifiesto que la función de las ecuaciones constitutivas es establecer una relación matemática entre las variables estáticas, cinemáticas y térmicas que describan el comportamiento de un material cuando está sometido a fuerzas aplicadas mecánicas o térmicas. Puesto que los materiales reales bajo varias cargas responden de una manera extremadamente complicada, las ecuaciones constitutivas no intentan abarcar todos los fenómenos observados relativos a un material particular sino, más bien, definir ciertos materiales ideales tales como el sólido elástico ideal o el fluido viscoso ideal. Tales idealizaciones o modelos materiales como algunas veces se les denomina, son muy útiles ya que reflejan razonablemente bien, dentro de un campo de cargas y temperaturas definido, el comportamiento de las sustancias reales. En muchas ocasiones se puede despreciar la interacción entre los procesos mecánicos y térmicos. En estos casos el análisis que resulta se conoce como teoría termoelástica no acoplada de los medios continuos. Bajo tal suposición, los procesos puramente mecánicos están regidos por (5.43) y (5.44) ya que la ecuación de la energía (5.45) para este caso es esencialmente la primera integral de la ecuación del movimiento. El sistema de ecuaciones formado por (5.43) y (5.44) consiste de cuatro ecuaciones en las que intervienen diez incógnitas. Para que el sistema quede determinado son necesarias seis ecuaciones constitutivas. En la teoría no acoplada, las ecuaciones constitutivas solamente contienen las variables estáticas (tensiones) y cinemáticas (velocidades, desplazamientos, deformaciones) y con frecuencia se denominan relaciones tensión-deformación. Además, en la teoría no acoplada, el campo de temperaturas normalmente se considera conocido, o a 10 sumo el problema de la conducción de calor tiene que resolverse por separado e independientemente del problema mecánico. En problemas isotérmicos se supone que la temperatura es uniforme y el problema es puramente mecánico.

Problemas resueltos

ECUACION 5.1.

DE CONTINUIDAD

En el Capítulo 4 se describió el movimiento irrotacional de un medio continuo como un movimiento para el cual se anula el torbellino. Determinar la forma de la ecuación de continuidad para tales movimientos. De (4.29), rot v 1.50). Entonces Vi

=

5.2.

(Sec, 5.1)

=

Ocuando q == O, Y así, V se convierte en el gradiente de un campo escalar es ahora clp/clt + P<'/>,kk O o dp/dt + p\12<,/> O.

<'/>,i Y (5.3)

Si pi;*(x, t) representa alguna propiedad masa de un medio continuo de forma que

=

<,/>(x¡, t)

(ver Problema

=

escalar, vectorial o tensorial cualquiera p;~ . (x, t) = pP;~*(x, t) probar que

por unidad

de

CAP. 5

LEYES FUNDAMENTALES

.E. dt

Jvr

p

DE LA MECANICA

r: (x t) dY '}...

f

,

DEL MEDIO

p dP;~*(x, dt

\/

CONTINUO

151

t) dY

De (4.52),

;~ .( pp;'/

f [!!... f[

dY

• v

(p:"* p

)

dP*,~ dt

+

dt

_'_J,_"

l'

Probar

que la forma material = Oson equivalentes.

+ pV

k•k

Diferenciando == O.

il1>k] dY

p*"' P

p** lJ, ,

1)",

')'"

(""k

( clp 'dt

clV.)]

+

dV

_k P ilXk

==

f

en: _'_}'_ V

dV

dt

P

+ P1>k,k = O.

ya que de (5.3), dp/dt

5.3.

P

+

1}",

+ p dJ/dt

= (dp/dt)J

d(pJ)/dt

= O de

d(pJ)/dt

la ecuación

de continuidad

= O Y del Problema

4.28,

dJ/dt

y la forma espacial

= JVk,k de donde d(pJ)/dt

de/dt

= J(dp/dt

,+ pVk,k) 5.4.

=

De (5.5)

y así,

5.5.

=

Probar que el campo de velocidades Vi Ax;/1-1, donde XiX, r2 y A es una constante satisface la ecuación de continuidad para un flujo incompresible.

't'k, k

Probar

't'k.k =

= (3 -

O para un flujo incompresible.

3)/1-3

Aquí,

= O que satisface la ecuación

para el campo de velocidad

Vi =

arbitraria,

de continuidad.

+ t), que

xJ(l

pX¡XZx;¡

=

POX¡X2X3.

e

e

Aquí, 1>k,k = 3/(1 + t) e integrando (5.3) resulta In p == -In (l + t):1 + In donde es una constante de integración, Puesto que p = Po cuando t = 0, esta ecuación se convierte en p = po/el + tJ3. Integrando a continuación el campo de velocidad dxf »¡ dt/(l + t) (sin suma en 1), Xi X/el + t) Y entonces px¡x2x3 == POX¡X2X3.

=

=

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR. ECUACIONES DE MOVIMIENTO (Sec. 5.2-5.3) 5.6.

Probar

mediante un desarrollo (5.20) y (5.21) es válida.

directo

de cada miembro

C, =

que la identidad

E;jkajk

¿v

usada en

De (l.15) Y (2.8) ¿v

También

5.7.

=

da idéntico resultado

ane¡

X el

el desarrollo

+

de

(1¡Ze¡ X e2

'ijk(1jk

+

(1l3el X e3

(a23 - (132) para

+ .,. +

i == 1,

(133e3 X e3

«(131-

ad

para

i

=

2,

(
(12¡),

i == 3.

Si a través de un medio continuo actúan los momentos másicos distribuidos mi por unidad de volumen, probar que las ecuaciones de movimiento (5.16) conservan su validez pero que no se puede suponer que el ten sor de tensión sea simétrico. Puesto que (5.16) se dedujo sobre la base de un equilibrio quiere un término adicional tal que

de fuerzas,

ésta no se altera. No obstante,

ahora (5./9) ad-

152

LEYES FUNDAMENTALES

la que se reduce a caso.

5.8.

f

+ mi)

('ijkajk

dV

DE LA MECANICA

= 0, (ver Problema

DEL MEDIO

CONTINUO

CAP. 5

Y es arbitrario,

2.9) y debido a que

+

'ijkCJjk

o

mi

para este

v

El principio de la cantidad de movimiento en forma diferencial (denominado en forma local o "reducida") se expresa por la ecuación o(pv)/at = pb + (O"ij - pvivJj' Probar que de esta ecuación se sigue la ecuación del movimiento (5.16). i

Llevando

a cabo la diferenciación

De (5.4) el primer término

5.9.

indicada

de la izquierda

y reagrupando

términos

es nulo y el segundo es

en la ecuación

pai'

que resulta,

De esta manera

pai

se tiene

pb¡

+

aij,i

que es (5.16).

Probar que (5.19) se reduce a (5.20). Sustituyendo resulta, se tiene

por t~;;) en (5.19) y aplicando

CJpknp

Usando los resultados

del Problema

f Según (5.16) el término

el teorema

(5.2), las diferenciaciones

+

"j,,{Xj.l'CJpk

e~:re paréntesis

Xj(apk,p

+ pbk

es nulo, además

indicadas púk)

-

Xj

de la divergencia

p ,

=

-

8jn y I

(1.157) a la integral de superficie

conducen

'iik Vjl'k

aquí a

=

pvJvd!lV

=

que

°

0, de forma que finalmente

f

•

t'

'ijkUjk!lV

= O.

5.10.

Para una rotación de cuerpo rígido alrededor de un puntov". = ',il;('trk' Probar que para esta velocidad la (5.19) se reduce al conocido principio de la cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos. El primer miembro Así, para ,', = 'ijkwP:k'

de (5.19) es el momento

total Mi de todas las fuerzas másicas y de superficie

respecto

al origen.

dV

donde

ENERGIA.

Ti))

=

f

.

p(O;pét'r¡X'I

-

x¡;x¡) dV

es el tensar del momento

de inercia .

\.

ENTROPIA.

FUNCION DE DISIPACION

(Sec. 5.4-5.6)

5.11. Comprobar que para un movimiento de un cuerpo rígido con Vi = fijkWjXk, la integral de la energía cinética de (5.23) se reduce a la forma conocida dada en la dinámica de cuerpos rígidos. De (5.23) K

En la notación

simbólica,

nótese que

K

2

LEYES FUNDAMENTALES

CAP. 5

DE LA MECANICA

5.12. En un cierto punto de un medio continuo

DEL MEDIO

los tenso res de velocidad de deformación

I

Du

y

Determinar punto.

el valor de ,\ del trabajo

Multiplicando = 58.

cada elemento

5.13. Si

o .. l)

= -po.

!

<.1

de Dij por sus equivalentes

de tiempo

de (Tij y sumando

posrtiva,

probar 1]

De (4.19), Dij = l\j - Vij; y puesto que continuidad (5.3) Vi,i = -(l/p)(dp/dt) y así, D¡p¡j

l'

7 8

debido A

4

+

a las tensiones O- 4

que el trabajo

bido a las tensiones se puede expresar por la ecuación D.a. l}

y tensión son

4 O-1)

O -2 \-1 7

(f ..

por unidad

donde p es una constante

1)

153

CONTINUO

+

0-6

D iJ..a

-7- 14 - 4

en el

1)

+

14

+

40

por unidad de tiempo de-

= E.P' ddPt.

ijuij = 0, se sigue que DiPij = (p/p)(dp/dt) para (Tij = -poij'

=

=

V¡,j(-POij)

De la ecuación

-pv¡,i'

de

5.14. Determinar la forma de la ecuación de la energía sia,; de calor: obedece a la ley de Fourier ei = -kT,i' De {5.3:!),

+ A*Dkk)í3¡jD¡j + 2.u*D¡p¡j + kT.¡¡ + z P:ir:. + (A* + 2/,*)(1 o )2 - 4¡<*II o, + k T .. + z p dt (-p

I!

donde ID Y IIo son el primer y segundo

invariantes

respectivamente,

del tensor de velocidad

5.15. Determinar una ecuación para la variación de la entropía proceso termodinámicamente reversible si a .. = -po .., iJ

.

Aquí

(Tij

=

(e) ai;'

ds

y (5.41) da T dt

=

drc

dt

P dp + ;;. di

específica

de deformación.

por unidad

de tiempo de un

1)

.

en virtud

del resultado

del Problema

5.\

3

.

5.16. Para un estado de tensión en el que (J"U)) = (3D¡kDki' hallar la función de disipación los invariantes del tensor de la velocidad de deformación D .

.

-

([).

Aquí, de (4.25), ai;
Por lo tanto

ECUACIONES

a;t)

fij

')

CONSTITUTIVAS

(ver la página 27)

y

puede ser calculada

usando

de los

'1

+ D(z) + Di:)) (D(]) + D(2) + D(3))3 + 3D(!)D(2)D(;j) = f3 [I~ - 3IoIIo + 3IIID]. Di!)

03

en términos

-

3(DIl)

+ D(2) +

D(3»)(D(J)D(2)

+

D(2)D(:l)

-"-

D(3)D(I))

(Sec. 5.7)

5.17. Probar para las ecuaciones constitutivas e., = KijpqDl)Q que debido a la simetría de los tensores de tensión y velocidad de deformación, el tensor de cuarto ordenKijpq tiene a lo sumo 36 componentes distintas. Escribir las componentes en un agrupamiento de 6 filas x 6 columnas.

LEYES FUNDAMENTALES

154

DE LA MECANICA

DEL MEDIO CONTINUO

Puesto que ai¡ = aji> Kijpq = K¡;jJq; Y ya que Dij = Dji> K¡jpq = Kijqp' terno de dos tensores simétricos AijBpq K¡lPq, está claro que como A¡j y dientes, Kijpq tendrá a lo sumo 36 componentes distintas. El agrupamiento habitual seguido en la presentación de Kijpq es

=

I

Kijpq

Kn11

1(1l22

CAP. 5

Si Kijpq se considera como el producto extienen ambos seis componentes indepen-

Bi}

KI133

K1123

K1131

K1112

K2211

K2222

K2233

K2223

1(2231

K2212

K3311

K3322

[(3333

K3323

K3331

K3312

K2..311

K2322

K2333

K2323

[(2331

K2.312

K3111

K3122

K3133

K3123

K3131

K3112

K1211

K1222

K1233

K1223

K1231

K1212

5.18. Si el medio continuo que tiene las relaciones constitutivas o.. = K 'J jjpqD o« del Problema 5.17, se supone isátropo de tal manera que Kijpq tiene el mismo agrupamiento de componentes en cualquier sistema de ejes cartesianos rectangulares, probar que mediante una señalización periódica de los ejes coordenadas las 36 componentes se pueden reducir a 26. Las direcciones

coordenadas

que se indican en la Fig. 5-2.

se pueden

señalar en las seis formas

La isotropía

de

K¡jpq

exige que

KI122

diferentes

= K113:1!==

K2233 = K2211 = K:1311 = K3322 Y que K1212 = K1313 = K2323 = K2121 = = 1(3232 lo que reduce las 36 componentes a 26. Mediante reflexiones

1(3131

y rotaciones adecuadas de los ejes coordenados pueden reducir a 2 en el caso de isotropía.

estas 26 componentes

se Fig.5-2

5.19. En caso de isotropía K¡jl'e¡ se puede representar por K¡¡pe¡ .\ *o)3pq + ¡.t*(o¡pOjq + o¡qOj,,). Hacer uso de esto para desarrollar la ecuación constitutiva o .. = K Dpq en función de .\ * Y ¡.t *. 1)

aij

+

A*8ijopqDpq

1"'(OipOjG

+

IJP
o¡qojp)DpG

+ ,u*(D¡j + Dj¡) =

A*oijDpp

5.20. Probar que la ecuacion constitutiva del Problema equivalentes, (Iu. = (3.\* + 2¡.t*)D¡; Y Sij = 2,u*D~ donde y velocidad de deformación, respectivamente. Sustituyendo a¡j ecuación sij + 8¡Pkk/3

=

Sij -1- O¡Pkk/3

=

+

).."8¡pkk

Y Dij 2¡;.*(D;j

+

A*O¡jDl'P

=

D:j + O¡Pkk/3 + O¡jDkk/3). En

2¡;.*Dij

5.19 se puede desdoblar en las ecuaciones sij y D¡~ son los tensores desviadores de tensión

=

en aij A*8¡¡Dkk + 2¡;.*Dij del Problema 5.19 resulta la ésta, cuando i, si¡ = 2¡L*Di¡ y entonces akk = (3)..* +

i.,..

2¡;.*)Dkk·

Problemas diversos 5.21. Probar que bellino. Mediante

(q¡)

~.t~ p

ü

= k,.a¡ 1),"

una diferenciación

según la ecuación

de continuidad

e)

.+

«». )lp donde p es la densidad a¡ la aceleración )

directa (5.3),

1,)

.i (~) dt

P=

p -pv¡,¡.

= ~ - qiP. Pero p

Entonces

p2

q '

<¡¡/eak.i

+

q¡v¡,j

-

q¡'Uj. j

y

a.

el vector tor-

(ver Problema

4.32); y

LEYES FUNDAMENTALES

CAP. 5

DE LA MECANICA

DEL MEDIO

CONTINUO

155

5.22. Un flujo incompresible bidimensional está dado por VI =:: A(xi - ;c~ )/r-l,ü2 = A(2x¡X2)/r4, donde 1'2 = xi + x~. Probar que la ecuación de continuidad se satisface en este movimiento. De (5.5), vi.i = O para un flujo incompresible. Sumanda.vi.¡ + v2,2 = o.

Aquí, vj.¡

=

A[-4x¡(xi

+ 2XI/14]

-x~)/r6

y V2,2

=

=

V3

A [2x¡/r4

0, -

8x¡x~/T6].

5.23. Probar

que el flujo del problema

De (4.29), rot v

=

5.22 es irrotacional.

O para un flujo irrotacional.

Entonces

a/ax¡

rol v A(xi

- X~)h-4

A [2x2h..j

-

a/ax2

a/aX3

2Ax¡X2/r4

O

+

8xi X2/r6

2X2/r4

+ 4X2(x7

5.24. En un flujo bidimensional incompresible y estacionario minar V2 para todos los valores de X2, si Vz = para X¡ cional y que las líneas de corriente son circulares.

°

VI

=

- x~ )/r6]

son

O

=

-AX2/T2 donde 1'2 = xi + x~. DeterO Probar que el movimiento es irrota-

De (5.5), 'Vi.i = O o VI, 1 = -v2.2 = 2Ax¡x2f.r para este flujo incompresible. las condiciones dadas para V2 resulta V2 Ax¡/r2. Para un movimiento irrotacional, rot v O. Aquí,

=

e3

Integrando

respecto a x2 e imponiendo

=

=

Del Problema 4.7, página 135, las ecuaciones de las líneas de corriente son dx¡/v¡ dX2/VZ' Aquí, estas ecuaciones dx¡ + X2 d'1:2 = O que al integrar dan directamente las circunferencias + x~ = constante.

xi

Xl

5.25. Para u n medio continuo cuyas ecuaciones constitutivas ecuaciones del movimiento en términos de la velocidad De (5.16),pv¡ de forma que Dkk

En la notación

=

=

pbi

¡;k,k

simbólica

+

aquí, pv¡

Uij.jO

Y 2D¡j,j

=

"i.» +

esta ecuación

=

pb¡ -

P,jOij

son

=

(-p

+A*D

)8ij

kk

+ 2,u * D ii' hallar

+ X*Dkk,jOij +

2fL*D¡j,j'

Por definición,

2Dij

v·1,1. + v·· 1.1

Vj. í¡» Por lo tanto

se escribe

5.26. Si el medio continuo del Problema 5.25 se considera incompresible, probar que la divergencia torbellino se anula y proporciona la forma de las ecuaciones del movimiento para este caso. De (4.29), qi =
=

O

+

f1"v~v.

=

las

Vi.

<¡.iI;t'!.:.ii

=

se convierten

O ya que

fijl.: es antisimétrico enp'v¡ = pb¡ - P.i +- 1,"'7.:;

del

es simétrico eni y j. Así, para V' • v o en la notación de Gibbs ov = pb - V'p

YVk.ji

• .ij

5.27. Determinar la variación material de la energía cinética por unidad de tiempo del medio continuo que ocupa el volumen Vy dar el significado de las integrales que resultan. De (5.23), dK!dt = superficiales

es

i

s

f

. v

pV(v¡ dV. Además

viu¡jnjdsque

se puede

el trabajo escribir

i

s

total por unidad de tiempo debido a las tensiones v¡t~~)dS

y según el teorema

de la divergencia

de las fuerzas (1.157)

y las

156

LEYES FUNDAMENTALES

e~uaciones

J

P(ViVí -

de movimiento b¡v¡) dl/.

DE LA MECANICA

(5.16) se pueden expresar

DEL MEDIO

como integrales

de volumen

CONTINUO

J~

I,G,;";

CAP. 5

J

dS

aj¡l'¡.j

dV

+

• l'

Así,

v

Esta suma de integrales representa ternas y las tensiones superficiales,

la variación de la cantidad respectivamente.

de trabajo

dada por las fuerzas másicas, las tensiones

5.28. Un medio continuo para el que u;J)j = ,\*DI:.Ji;i + 2!,'¡'D ,sufre un flujo irrotacional con un potencial de velocidad

Aquí, aU)) fíj = O";tlDij = (\*Du:ojj + 2,u"'D¡¡)Dij = 2,<*DijDij ya que Dkk = Vli•k Además, puesto que», =
es irrotacional

e incompresible,

.

in-

e incompresible a;jO) (ij'

O para un flujo incompresible.

~o

(q",'!',;),j)

=:;V~(V'i))2·

5.29. En un medio continuo en el que uij = .-po¡j' la entalpia especifica es h = u. + plp. Probar que la ecuación de la energía se puede escribir h. = plp + Ti; empleando así esta definición de entalpía. De (5.41), h,

iL

=- í, -

p/p -

ir

:= -POi

pp/p2

=)

+

Dij/p -pp/p~

Ti; para la tensión

+ ri.

Simplificando

dada; y según el resultado del Problema y reagrupando, ;1 = ¡l/I' + TÍ;.

5.13 y la definición

de

5.30. Si el medio continuo del Problema 5.25 sufre un flujo incompresible, hallar la ecuación del movimiento en función del torbellino q en ausencia de fuerzas másicas y suponiendo una densidad constante. Para un flujo incompresible, V' . v = O; Y si b == 0, la ecuación del movimiento del Problema 5.25 se reduce a I'{'¡ =-c 1":' 1';. Tomando el producto vectorial de V' x por esta ecuación con l' = constante, se tiene fl'./J';.
-P, i

+

+

ú

:

Problemas propuestos de rotación

=

U· V'v

5.32.

Comprobar que el flujo representado por 'L'1 -2Xl~;2X3/r4, v2 (xi - :¡;~)x3h"¡, 1'3 satisface las condiciones de un flujo incompresible. ¿Es éste un movimiento inotacional?

5.33.

En términos

,

dt

=

xL

Probar

rj

\(U) pp.

Probar

5.34.

que para el vector velocidad

!i.

5.31.

de las coordenadas

que en coordenadas

Comprobar coordenadas

cartesianas

cilíndricas

=

que el flujo 1J cilíndricas cuando T

=

x, y, z la ecuación de continuidad

T, O,::

esta ecuación

(1 -- 1.2) COS oh2, Ve = (1 la densidad p es constante.

=

xz/1·2 donde 1'2

xi

+

es

se escribe

+ 1'2)senoh·2,

vz:c:;

O satisface

la ecuación

de continuidad

en

CAP. 5

LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO

5.35.

Si Fi¡ ...(x, t) es una función escalar, vectorial o tensoríal

5.36.

Si un medio continuo está sometido de tensión g(~' además de la tensión

df

TI a.t.

\'

p(m

+x

arbitraria,

demostrar

que

a un momento másico por unidad de masa h además de una fuerza másica b y un par t(~>, el balance de la cantidad de movimiento angular se puede escribir

X v)

dV

donde m es la cantidad de movimiento angular distribuida de esta relación es p dmldt h -1- Y • G + ¿ü.

por unidad dc masa. Si~·

G

=

5.37.

Si un medio continuo tiene la ecuación Suponer incompresibilidad, Dii = o.

constitutiva

5.38.

Para un medio continuo volumen específico.

= -po¡j

5.39.

Si T ds/dt = -vi,;!" y la energía libre específica puede escribir p d+idt + pS dT/dt =-" (TijDij.

5.40,

Para un medio continuo

en el que

termornccánico

donde 'I'¿ es una temperatura

157

que la forma local

3(-p - 2aIIo/3).

(Tij

demostrar

que du. -- T ds - P d» donde v = l/p, en este problema

se define por ,¡r

que tiene la ecuación

de referencia,

= g(;;j,probar

comprobar

que

'kk

l' -

Ts, comprobar

constitutiva

= 3a(T - To) cuando

(Tij

que la ecuación

es el

de la energía se

Capítulo 6

Elasticidad lineal

6.1

LEY DE HOOKE GENERALIZADA. FUNCION DE LA ENERGIA DE DEFORMACION

En la teoría clásica de la elasticidad lineal, se supone que los desplazamientos y los gradientes de desplazamiento son suficientemente pequeños, de tal manera que no es necesaria ninguna distinción entre las descripciones lagrangiana y euleriana. Según esto, en función del vector desplazamiento u-, el tensar de deformación lineal está dado por las expresiones equivalentes

~(-u.. +u .. ) -

o

i- )

).1

(6.1)

En lo que sigue se supone que los procesos de deformación son adiabáticos (sin pérdida o ganancia de calor) e isotérmicos (a temperatura constante) a menos que específicamente se establezca lo contrario. Las ecuaciones constitutivas para un sólido elástico lineal relacionan los tensores de tensión y deformación a través de la expresión

o

(6.2)

que es conocida como la ley de Hooke generalizada. En (6.2) el tensor de las constantes elásticas C;jkm tiene 81 componentes. No obstante, debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación, haya lo sumo 36 constantes elásticas distintas. Con objeto de escribir la ley de Hooke mediante estas 36 constantes, el sistema de doble asignación de índices a las componentes de tensión y deformación se sustituye con frecuencia por un sistema de notación sencilla con un Índice de rango 6. Así, con la notación all

al

aZ3

U:3:2

al

a2~

a~

o 1~

a:l1

U_

fT:;;;

a

a12

0"21

Ur.

3

y

"

i]

2<2:1

z.;

(22

(-2

2il~

2<31

L

(:~3

LJ

2<12

2<21

<6

E

11

158

(6.3)

i4

e

(6.4)

./

CAP. 6

ELASTIClDAD LINEAL

159

la ley de Hooke se puede escribir aK

==

(6.5)

(K,M=1,2,3,4,5,6)

CK.\lf\[

en la que GKM representa a las 36 constantes alásticas, y donde los subíndices en mayúsculas latinas se usan para resaltar que el rango de estos índices es 6. Cuando se desprecian los efectos térmicos, la ecuación del balance de energía (5. 32) se puede escribir du

1

-aD .. p 1J

dI En este caso, la energía interna es puramente de masa). De (6.6),

(6.6)

1)

mecánica y se denomina

energía de deformación (por unidad (6.7)

y si u se considera será

como una función de las nueve componentes

au

du

-0-

0<..1)

Comparando

de deformación,

u == u«¡), su diferencial

d< ..

(6.8)

"

(6. 7) Y(6.8), se observa que 1

(6.9)

=sr., p

'J

La densidad de energía de deformación u*(por unidad de volumen) se define como u*

y puesto que p se puede considerar propiedad

constante

== pu

(6.10)

en la teoría de las pequeñas

deformaciones,

u* tiene la

(6.11) Además, se puede elegir arbitrariamente un estado de energía de deformación nulo; y puesto que la tensión tiene que anularse con las deformaciones, la forma más sencilla de la función de la energía de deformación que conduce a una relación tensión-deformación lineal es la forma cuadrática (6.12) De (6.2), esta ecuación se puede escribir

o En el sistema de asignación

u* = -}¿::E

(6.13)

de índices sencillos, (6.12) se convierte en (6.14)

en la que GKM = G~1K. Debido a esta simetría de GKM, el número de constantes lo sumo 21 si existe una función para la energía de deformación.

elásticas independientes

es a

160

6.2

ISOTROPIA.

CAP. 6

ELASTICIDAD

LINEAL

SIMETRIA

ELASTICA

ANISOTROPIA.

Si las propiedades elásticas son independientes del sistema de referencia usado para describirlas, se dice que tal material es elásticamente isótrapo. Un material que no es isótropo se denomina anisótropo. Puesto que las propiedades elásticas de un sólido hookiano se expresan a través de los coeficientes CKM, un cuerpo anisótropo general tendrá una matriz de constantes elásticas de la forma

¡Cn C21 [CKM]

C4!

lC"' c.. CS! Cuando existe una función de energía de deformación (6.15) se reducen a 2L

C12

Cl3

C14

Cl5

CZ2

Cz.3

C3Z

C33

C24 C3,¡

CZ5 C35

C42

C44 C.51

C45

C46

C5z

C43 C53

CS5

C56

CS2

C6:3

CG4

CS5

C66

para un cuerpo, CKM

C16l C26 C36

=

(6.15)

CMK, y las 36 constantes

de

punto existe U!! plano de simetría elástica constantes elásticas tienen los mismos valores par de sistemas coordenadas que son el como las imágenes reflejadas respecto al plano. los ejes de tales sistemas coordenadas como "direcciones elásticas equivalentes". Si el plano X1X2 es uno de simetría elástica, las constantes CKM son in variantes bajo la transformación de coordenadas

En un cuando las para cada uno del otro Se alude a

(6.16) como se indica en la Fig. 6-1. La matriz de transformación de (6.16) está dada por '1

(6.17)

O

Fig. 6-1

O

Introduciendo los valores de (6.17) en las leyes de transformación de los tensores lineales de tensión y deformación, (2.27) y (3.78) respectivamente, la matriz elástica de un material que tiene X¡X2 como plano de simetría es

[CKM]

Las 20 constantes

Cn

C!2

C10

O

O

C¡S

C21

C22

C2:1

O

O

C26

C3!

C:JZ

C3:J

O

O

C:1G

O

O

O

c..

C.!5

O

O

O

O

C54

C;5.5

O

Cn!

CGZ

CG:1

O

O

C6G

de (6.18) se reducen a 13 cuando existe una función de energía de deformación.

(6.18)

ELASTICIDAD LINEAL

CAP. 6

Si un material posee tres planos de simetría elástica denomina ortotrápico y su matriz elástica es de la forma

[CKM]

que tiene 12 constantes

161

mutuamente

perpendiculares,

Cll

C12

C13

O

O

0-1

C21

C22

C23

O

O

O

C31

C;¡z

C33

O

O

O

O

O

O

C44

O

O

O

O

O

O

C55

O

O

O

O

O

O

el material

se

(6.19)

C66~

o 9 si CK~1 = CMK.

independientes,

Se dice que en un punto existe un eje de simetrfa elástica de orden N cuando hay un conjunto de direcciones elásticas equivalentes que pueden superponerse mediante una rotación de un ángulo 2"IN alr vledor del eje. Ciertos casos de simetría elástica plana y axial son equivalentes.

6.3

MEDIOS ISOTROPOS. CONSTANTES ELASTICAS

Los cuerpos que son elásticamente equivalentes en todas las direcciones poseen una simetría comy se denominan isotropos. En este caso cada plano y cada eje tienen simetría elástica. En caso de isotropia, el número de constantes elásticas independientes se reduce a 2, y la matriz elástica es simétrica independientemente de la existencia de una función de energía de deformación. Eligiendo las dos constantes independientes como las conocidas constantes de Lamé. A y p., la matriz (6.19) se reduce a la forma elástica e isótropa pleta

A+

A

2/L

A

[C¡\M]

En términos de A y

,1).,

A+2/L

A

O

O

ol

A

O

O

O

A

A

A + 2/.~

O

O

O

O

O

O

/L

O

O

O

O

O

O

/1

O

O

O

O

O

O

~LJ

(6.20)

la ley de Hooke (6.2) se escribe para un cuerpo isótropo ai¡

=

AOi¡(kk

+ 2~t(i¡

o

donde ( = (kk = lE. Esta ecuación se puede invertir fácilmente de las tensiones según -A 2/1 (3A

+ 2)p.

1

o.akk IJ

+ 2a .. {L 'J

I

=

,\I( + 2/-tE

para expresar las deformaciones

o

(6.21)

en función

(6.22)

donde 0 = akk = II' que es el símbolo tradicionalmente usado en elasticidad para denotar al primer invariante de tensión. Para un estado de tensión uniaxial sencillo en la dirección XI, se pueden introducir las constantes de ingeniería E y v a través de las relaciones al! = ECIl y (22 = (33 = -V(ll' La constante E es conocida como

162

ELASTICIDAD LINEAL

módulo de Young, y

CAP. 6

se llama coeficiente de Poisson. En función de estas constantes Hooke para cuerpos isótropos se convierte en v

E ( (..+ 12 v 8(kk -1+1' 1) l' 1)

(Tij

o invertida

1+ v

v

---¡;¡- O' ij - E

{ij

Si consideramos el estado de tensión definir el módulo volumétrico, K

)

8;jO'kk

originado

=

o

!

o

E

--E ( E+--I(1') 1+ v 1- 21' 1+ v!

=

E

K

o

=

-

..':'.-10

hidrastática 3.\

(6.23)

(6.24)

E

E

por una presión

3(1-21')

elásticas la ley de

uniforme,

es posible

+ 2,u.

(6.25)

3

que relaciona la presión con la dilatación cúbica de un cuerpo así cargado. Para el estado denominado de cisión pura, el módulo de rigidez G relaciona las componentes cortantes de tensión y deformación. G es de hecho igual a IJ. y la expresión E 2(1+1')

G

puede ser probada

6.4

sin dificultad.

PROBLEMAS ELASTOSTATICOS.

En un problema minadas, (a) Ecuaciones

(6.26)

elastostático

PROBLEMAS ELASTODINAMICOS

de un cuerpo

isótropo

homogéneo,

existen ciertas relaciones

deno-

de equilibrio,

o

o

'1' ¿

+ pb

o

(6.27)

(b) Ley de Hooke,

o (c) Relaciones

(6.28)

desplazamiento-deformación, f·· IJ

=

t(u .. !,J

+ u. ,) ].t

o

(6.29)

que tienen que ser satisfechas en todos los puntos del cuerpo. Además, tienen que satisfacerse determinadas condiciones de tensión y/o de desplazamientos en la superficie límite del cuerpo. En elasticidad los problemas con valores de contorno se clasifican según las condiciones de contorno en problemas para los que (1) se dan los desplazamientos

en todas las partes del contorno,

(2) se dan las tensiones (tracciones (3) se dan los desplazamientos

superficiales)

en todas las partes del contorno,

en una parte del contorno

Para todos estos casos se supone que son conocidas tinuo.

y las tensiones en las partes restantes.

las fuerzas másicas en todas las partes del medio con-

CAP.6

ELASTICIDAD

LINEAL

Para aquellos problemas en los que se dan las componentes del contorno por una ecuación de la forma

163

de los desplazamientos

o

en todas las partes

u = g(X)

(6.30)

las relaciones desplazamiento-deformación (6.29) se pueden sustituir en la ley de Hooke (6.28) y el resultado a su vez en (6.27) obteniéndose así las ecuaciones que resuelven estos problemas,

o

(6.31)

que son denominadas ecuaciones de Navier-Cauchy . La solución a este tipo de problemas se da por lo tanto en la forma del vector desplazamiento Ui, que satisface (6.31) en todas las partes del medio continuo y cumple las condiciones (6.30) del contorno. Para aquellos problemas en los que se aplican tracciones no, dadas por ecuaciones de la forma

superficiales

en todas las partes del contor-

o

(6.32)

se pueden combinar las ecuaciones de compatibilidad (3.104) con la ley de Hooke (6.24) y la ecuación de equilibrio (6.27) para obtener las ecuaciones que resuelven estos problemas.

+

-1 + 1

v

Cl

kk .

..

,1J

+

p(b ..

+

p('Vb+b'V)

l,}

+ b .. ) + J,t

-1 -v

V

8.pb¡. IJ

\..,

k

o

o ,\j72¿

+

_1_'V'V8 1+ v

+

V

1_ v'P'V'b

o

(6.33)

que son llamadas ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell. La solución de este tipo de problemas se obtiene especificando el tensor de tensión que satisface (6.33) en todas las partes del medio continuo y cumple las condiciones de contorno (6.32). Para los problemas en los que se dan condiciones de contorno" mixtas" se tiene que resolver el sistema de ecuaciones formado por (6.27), (6.28) y (6.29). La solución da los campos de tensión y de desplazamientos en todas las partes del medio continuo. Las componentes de tensión tienen que satisfacer (6.32) en alguna parte del contorno, mientras que los desplazamientos satisfacen (6.30) en las restantes partes del contorno. En la formulación de problemas elastodinámicos, sustituidas por las ecuaciones de movimiento (5.16)

las ecuaciones

o

'V' L

de equilibrio

+ pb

=

(6.27) tienen que ser

pV

(6.34)

y se tienen que especificar no sólo las condiciones de contorno sino también las condiciones iniciales. En términos del campo de desplazamientos Ui, la ecuación que aquí, resuelve el problema, análoga a (6.31) en el caso elastostático es «u....

I

I,J)

+ (A + IJ.)U ... + pb. Jdt

l

= pU,_

o

(6.35)

Las soluciones de (6.35) aparecen en la forma u, = Ui(X, t) y tienen que satisfacer no solamente diciones iniciales del movimiento, frecuentemente expresadas por ecuaciones tales como y sino también las condiciones

de contorno,

O

los desplazamientos'

las con(6.36)

164

ELASTICIDAD LINEAL t,,¿

O

bien en las tracciones

=

O

u

g(x, t)

t(~)

t(~)

r 'J . .r: )

superficiales t<~) ¡

6.5

gi(X, t)

CAP.6

t;~) (x, t)

o

(x, t)

(6.38)

TEOREMA DE SUPERPOSICION. UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES. PRINCIPIO DE STo VENANT

Debido a que las ecuaciones de la elasticidad lineal son ecuaciones lineales, se puede usar el principio de superposición para obtener soluciones adicionales a partir de las que se han obtenido previamente. Si, por ejemplo, tJ ,u(l) representan una solución del sistema (6.27), (6.28) Y (6.29) con fuerzas másicas Y (T:).~l, representan otra solución con fuerzas másicas b,(2) , entonces + oJ?), u. ull) + U,(2) representan una solución del sistema para las fuerzas másicas b, = bí'! + b(2) • (T(l)

b())

t

'u¡~~)

=

(F .. "-)

1

¡

(F(l) IJ

11

t

=

I

1

t

La unicidad de una solución al problema elastostático general en elasticidad se puede establecer mediante el uso del principio de superposición, junto con la ley de la conservación de la energía. En los ejercicios presentados más adelante se incluye una prueba de la unicidad. El principio de Sto Venant es un enunciado que considera ras diferencias de tensiones y deformaciones que tienen lugar en alguna posición interior de un cuerpo elástico, debidas a dos sistemas de tracciones superficiales separados pero estáticamente equivalentes, que se aplican a alguna parte del contorno. El principio afirma que, para posiciones suficientemente alejadas del área de aplicación de las cargas, las diferencias son despreciables. Esta hipótesis a menudo es de gran ayuda en la resolución de problemas prácticos.

6.6

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. y DEFORMACION PLANA

TENSION PLANA

de la elasticidad se pueden tratar satisfactoriamente mediante una teoría plana de Hay dos tipos generales de problemas involucrados en este análisis plano. Aunque estos dos tipos se pueden definir atribuyendo ciertas restricciones y suposiciones a los campos de tensiones y desplazamientos, con frecuencia se introducen de una manera descriptiva en términos de sus prototipos físicos. En los problemas de tensión plana, la geometría del cuerpo es esencialmente la de una lámina con una dimensión mucho más pequeña que las otras dos. Las cargas se aplican uniformemente sobre el espesor de la lámina y actúan en el plano de la misma, como se indica en la Fig. 6-2(a). En los problemas de deformación plana, la geometría del cuerpo es esencialmente la de un cilindro prismático con una dimensión mucho más grande que las otras dos. Las cargas están uniformemente distribuidas con respecto a la dimensión mayor y actúan perpendicularmente a ella, como se indica en la Fig. 6-2(b). Muchos problemas

la elasticidad o teoría bidimensional.

Xz

(a)

Fig.6-2

CAP. 6

ELASTICIDAD LINEAL

165

En el problema de tensión plana de la Fig. 6-2(a) las componentes de tensión 0"33' 0"13' a23 se consideran nulas en cualquier parte, y las componentes restantes se toman como funciones de Xl y X2 únicamente (a, (3 = 1,2)

(6.39)

Según esto, las ecuaciones de campo para tensión plana son

(a)

o

(b)

"?

¿

•

+ pb

= O

(6.40)

o (6.41)

(e)

en las que

"?

a "- + -e? a "-el - aXl axz¿

+ ull,,,)

i(u".1l

€ctll

o

+

-Hu,,?

E

,,?u)

(6.42)

e .~J

(6.43)

y

("',

(T 12

a12

a22

O

o

€l2

D·

E

'12

'22

O

O

Debido a la forma particular del tensor de deformación en el caso de tensión plana, las seis ecuaciones de compatibilidad (3.104) se pueden reducir para láminas muy delgadas y con una exactitud razonable, a la ecuación sencilla (6.44)

En términos de las componentes del desplazamiento U", las ecuaciones de campo se pueden com binar para obtener la ecuación que resuelve estos problemas según

E

o

E + 2(1- v)

?

2(1 +v) y-u

Para el problema de deformación plana de la Fig. 6-2(b) la componente toma como cero, y las restantes componentes se consideran como funciones de 14>

=

,,?,,?' u

+ pb

del desplazamiento y x2solamente.

XI

1(:1

se

(6.46)

X2)

1(,,(XI,

~:- O (6.4.5)

En este caso, las ecuaciones de campo se pueden escribir así

o

(a)

"?

¿

+

=

pb

O

(6.47)

o

(b) V
(e)

'et/l

+ 1t¡l.o:)

Hu",{3 (T

en las que

•

¿

C"

12

(T22

a~2

O

.:)

2(,\

+ 1')

a "o:

O

E

Hu"?

y

E

('" f

12

O

+

,,?u)

{ 1~ E

22

O

D

're

8!BLJOTECA Fi\CULT;\D

CS. E:(C'" q ,.,

'f

/"G:':.¡'· ,•.• r ..•

"::;>i~

166

ELASTICIDAD LINEAL

De (6.47), (6.48) Y (6.49), la ecuación de Navier adecuada

CAP. 6

para deformación

plana es

o

(6.51 )

Como en el caso de tensión plana, las ecuaciones de compatibilidad la ecuación sencilla (6.44).

para deformación

plana se reducen a

Si las fuerzas aplicadas en las aristas de la lámina de la Fig. 6-2(a) no son uniformes a través de su espesor, pero son simétricas respecto al plano medio de la lámina, se dice que existe un estado de tensión plana generalizado. En la formulación de problemas de este tipo, las variables de campo U,,¡j, €"/l y u" se tienen que sustituir por tensiones, deformaciones y desplazamientos variables promediados a través del espesor de la lámina. En función de tales variables de campo promediadas, la formulación de tensión plana generalizada es esencialmente la misma que para el tipo de deformación plana si ,\ se sustituye por 2,\¡.1. vE ,\' (6.52) ,\+ 2f 1 - •.~ t

Algunas veces se menciona en los libros de elasticidad un tipo de deformación plana generalizada cuando (3:¡ se toma como una constante distinta de cero en (6.50).

6.7

FUNCION

DE TENSION

DE AIRY

Si no existen fuerzas másicas o son constantes, la solución de los problemas elastostáticos planos (problemas de tensión o deformación plana generalizada) se consigue frecuentemente haciendo uso de la función de tensión de Airy. Aunque haya que tener en cuenta las fuerzas másicas, el principio de superposición permite que sea introducida su contribución a la solución como una integral particular de las ecuaciones diferenciales lineales de campo. En los problemas brio se reducen a

elastostáticos

planos y en ausencia

de fuerzas másicas,

las ecuaciones

o y la ecuación de compatibilidad

de equili-

(6.53)

(6.44) se puede expresar en función de las componentes

de tensión según (6.54)

Ahora se dan las componentes de tensión como las derivadas Airy 4>= "'(Xl, :r2) de acuerdo con las ecuaciones

parciales

de la [unción de tensión de

(6.55)

Las ecuaciones de equilibrio (6.53) se satisfacen convierte en la ecuación biarmánica

idénticamente

y la condición

de compatibilidad

(6.54) se . (6.56)

Las funciones que satisfacen (6.56) se denominan funciones biarmónicas. Mediante la consideración de funciones biarmónicas con segundas derivadas parciales uniformes, se pueden preparar numerosas soluciones para los problemas elastostáticos planos, que satisfacen automáticamente ambas condiciones, de equilibrio y compatibilidad. Desde luego estas soluciones tienen que ser adaptadas para ajustarse a todo lo que imponen las condiciones de contorno.

CAP.6

6.8

ELASTICIDAD

LINEAL

167

PROBLEMAS ELASTOSTATICOS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

La geometría de un cuerpo con frecuencia aconseja la conveniencia de formular los problemas elastostáticos bidimensionales en función de las coordenadas polares r y e. Entonces para las ecuaciones de transformación Xl = r cos e, (6.57) Xz = r sen e las componentes la forma

de tensión indicadas

en la Fig. 6-3 nos llevan a establecer las ecuaciones ~a(rr)

+ ! r

01'

! r

en las que R y Q representan

daC9.)

ae

+

oa(ro)

a (TT) - a (00)

00

+

oa(TO)

+

+

2a(r9)

or

o

+R Q

r

de equilibrio en (6.58)

o

las fuerzas másicas por unidad de volumen en las direcciones

(6.59)

indicadas.

~~~-----L--------------------------~Xl Fig.6-3

Tomando dadas por

ahora

la función

de tensión

de Airy corno e =

(1(01))

Giro)

La condición

de compatibilidad

O),las componentes

1 a2q,

10cf> uCrr)

<1>(1',

de tensión están

-- +-1.2 d (J2

(6.60)

a2cf>/or2

(6.61 )

-~(!?~) ae

(6.62)

r dr

01'

r

conduce de nuevo a la ecuación biarmónica (6.63)

pero, en forma polar, '\F =

6.9

HIPERELASTICIDAD.

HIPOELASTICIDAD

Los recientes estudios del medio continuo conducen a ecuaciones constitutivas que definen materiales que son elásticos en un sentido especial. Bajo este punto de vista se dice que un material es hiperelástico si

ELASTICIDAD

168

CAP.6

LINEAL

posee una función de energía de deformación U tal que la derivada material de esta función es igual al trabajo debido a las tensiones por unidad de tiempo y de volumen. Entonces la ecuación constitutiva es de la forma d dt (U)

(6.64)

en la que Dues el tensor de velocidad de deformación. En una segunda clasificación, se dice que un material es hipoelástico si la variación de la tensión por unidad de tiempo es una función lineal homogénea de la velocidad de deformación. En este caso la ecuación constitutiva se escribe (6.65) en la que la variación

de tensión por unidad de tiempo

CT~

se define como (6.66)

donde Vij es el tensor torbellino.

6.10

f

ij

TERMOELASTICIDAD

LINEAL

Si se toman en consideración los efectos térmicos, se pueden considerar como la suma

las componentes

del tensor de deformación

lineal

(6.67) en la que u es la contribución del campo de tensiones y u es la contribución del campo de temperaturas. Debido a un cambio desde una temperatura de referencia 1'0 hasta la temperatura 1', las componentes de deformación de un volumen elemental en un cuerpo isótrapo no forzado, se dan por l(!')

(~T)

(TJ ij

donde es el coeficiente (6.22), en (6.67) se tiene O'

lineal de dilatación

=

térmica.

0'(1' - T o )13

(6.68)

1]

Introduciendo

(6.68), junto

con la ley de Hooke

(6.69) la que es conocida como las relaciones de Duhamel-Neumann. obtener las ecuaciones constitutivas termoelásticas

La ecuación (6.69) se puede invertir para

(6.70)

está regida por la conocida ley de Fourier de la

La conducción de calor en un sólido elástico isótropo conducción calorífica. c.

t

=

=k/I".

.t

(6.71)

donde el escalar k, es la conductividad térmica del cuerpo, que ha de ser positiva para garantizar una variación positiva de producción de entropía. Si ahora se introduce el calor especifico a deformación constante por medio de la ecuación c(v)

CAP.6

ELASTICIDAD

LINEAL

=

-e ..

l.'

p

169

e(t'Jj'

(6.7'2)

y se supone que la energia interna es una función de las componentes T, la ecuación de la energía (5.45) se puede expresar en la forma kT,ii

=

de deformación

(ij

y la temperatura

. + (3'\ + 2p.)a:T

T

pe(v)

(6.73)

o{ii

que es conocida como la ecuación de calor acoplada. El sistema de ecuaciones consiste en (a) ecuaciones

que formulan

el problema

termoelástico

de movimiento. u

(b) ecuaciones

general para un cuerpo isótropo

\,7. ¿

o

..u

+ pb

(6.74)

termo elásticas constitutivas

o

(6.75)

(c) relaciones

desplazamiento-deformación o

(d) ecuación

t(u\,7

E

+

\,7u)

(6.76)

de calor acoplada kT,ü

=

pe(o)

T

+

(3'\

+ 2f,)aToekk

o

Este sistema se tiene que resolver para los campos de tensión, las condiciones iniciales y de contorno adecuadas.

desplazamiento

y temperatura

sometidos

a

Hay una gran colección de problemas en los que se pueden despreciar los efectos de acoplamiento e inercia. En estos casos, el problema termoelástico general se descompone en dos problemas separados que deben ser resueltos sucesiva e independientemente. Entonces para el problema termoelástico, cuasi estático, no acoplado las ecuaciones básicas son (a) ecuación

de conducción

de calor kT ..

o

,11

(b) ecuaciones

(6.78)

de equilibrio o

(c) ecuaciones

termoelásticas

\,7'

¿

+ pb

o

(6.79)

tensión-deformación (Jij

'\0ij(kk

+ 2,UEij

-

(3'\

+ 2p.)aoij(T - To)

o

(6.80)

(d) relaciones

desplazamiento-deformación e.. t)

= t(u l,J). ..

+ u ..) 1

o

E

t(\1u

+

u\,7)

(6.81)

170

ELASTICIDAD

CAP. 6

LINEAL

Problemas resueltos LEY DE HOOKE. 6.1.

ENERGIA

DE DEFORMACION

es n*

= \AOij
=

+ ¡'la,! -

=

¡'oijakk]/2E

[(1

+ ¡')a¡p¡j

en notación

- Vaiiajj]/2E

simbólica

es

que en notación

u*

=

simbólica

(3.98 y (2.70) en (6.13),

=

Si;

=

O ésta se reduce a

ti':'

=

71tSl .;- 1/';'1»

= "¡¡éj6

+ s¡/'¡/2.

Suponiendo un estado de cornpresion uniforme = -po .., desarrollar las fórmulas módulo volumétrico (relación entre la presión y el cambio de volumen) dadas en (6.25).

para

(T.

1)

Para aij Entonces K

Expresar ponentes

=

=

-poij'

(6.24) se convierte

=~ E/3(1

-p/'¡¡

parcial del Problema

De (6.21) y (2.70), ;/3). Así,

1)

en tij = [(1 + ¡,)(-po;) + v8ij(3p)]/E y así, de (6.21), a¡¡ = (3A + 2/L).¡i = -3p

- 21')' De igual modo,

U;~ly U;D) del Problema de deformación.

Del resultado

a¡j = AOijEkk+

6.2 en términos 6.3,

",¡ -

de las constantes

'¡i

2¡lfij == s¡j+au,8;/3

= [-3p(1 + v) + 9p¡o]/E. de forma que K == (3A + 2¡N3.

de ingeniería

K y G y las com-

y puesto que e.,

= (3A+2¡l)'iisesiguequesij=2¡l(fij-'kkO

como una función de K, mientras

que la energía

e::.! no

En general, u* puede ser expresada en la forma cuadrática u* = C;,\1iKiM en la que cesariamente simétrica. Probar que esta ecuación puede ser escrita en la forma de (6.14) /aiK = aJ{O

Escribir la forma cuaclrática

como

u* donde

CKM

=

CMK.

Así, la derivada au* /a'R es ahora iJu*/iJeR

==

tCK~!(€K,RfM

+
el

oj1l..; Y

Nótese que la densidad de energía de dilatación ll~S) aparece solamente de distorsión UiD) está en función del módulo de rigidez ¡l (o G).

6.5.

+ ,UEijéijque

= AE¡iEi/2

Desdoblando los tensores de tensión y deformación en sus componentes esféricos y desviadores, expresar la densidad de energía de deformación n* como la suma de una densidad de energía de dilatación 'Il;:'S) y una energía de distorsión ut!)).

y puesto que e¡¡

6.4.

1/.'"

Introduciendo (6.24) en (6.13), n* = a¡¡[(1 [.(1 + l')! : ¿ - »(t.r !)2J12E.

Introduciendo

6.3.

(Sec. 6.1-6.3)

Probar que la densidad de energía de deformación u,*. para un sólido hookiano isótropo se puede expresar en términos del tensor de deformación por u" = A(tr EY/2 + ¡.tE: E, y en términos del tensor de tensión por U/' = [(1 + I'):~:: ¿ - I'(tr ¿r]/2E. Introduciendo (6. 2/) en (6.13) A(tr E)2/2 + !,E : E.

6.2.

. ISOTROPIA

y

es neque au*

CAP.6

6.6.

ELASTICIDAD

LINEAL

171

Probar que para un medio continuo elástico y ortotrópico (tres planos ortogonales de simetría elástica) la matriz de los coeficientes elásticos es tal como se da en (6.19), pág. 161.

/:¡;~'

/,

.

/ /

Sea el. plano XI X2 (o equivalentemente , X; x~) un plano de simetría elástica (Fig. 6-4). Entonces I1K== CKMEM y además 11~ == CKME,~1' .La matriz de transformación entre xi y x[ es

,r .. .. ;

/ /.

;/

"',1

r:

I

I 1 1 x~

Fig.6-4 y de (2.27) y (3.78), ejemplo,

de

11{

==

ulí

==

O'K,

.~ ==

'K

para

K

==

1,2,3,6

mien tras

para

K

==

4,5.

Así, por

CIME~1'

Pero de

estas dos expresiones 115 == -115,11¿ =

-11.t,

Si

x2x3

(o

X~X3)

para 11~ == 111 solamente son iguales si C¡4 ~ CI5 == O. De igual modo, para se halla que C24 == C25 = C34, == C3S CM (;65 == C41 == G42 == C43== C~1

=

116

es un segundo plano de simetría

=

elástica

=

tal que

I1K

=

11~

==

==

C~2

112' 11~ -

==

CKMf.~f, la matriz de transformación

==

C53

113'

CS6

u~

==

== O.

es

y ahora de (2.27) y (3. 78), 11~ I1K' EK == para-K == 1,2,2,4 mientras que 11~ == -I1K, Eí¡ == -EK para K == 5,6. Ahora C16 == CZ6 == C36 == C45 C54 C61 == C62 = C63 == O Y la matriz de los coeficientes elásticos adquiere la forma (6.19). El estudiante debería comprobar que la simetría elástica respecto al (tercer) plano x¡x3 se satisface idénticamente en esta matriz.

6.7.

-F'.

=

Dar los detalles de la reducción

=

de la matriz elástica ortotrópica

(6.19) a la matriz isotrópica

(6.20).

En caso de isotropía, las propiedades elásticas son las mismas respecto a todos los ejes coordenados cartesianos. En particular, para los ejes girados indicados en la Fig. 6-5, el método del Problema 6.6 da lugar a la matriz (6.19) simplificándose posteriormente por las condiciones Gil == C22 = C33, CH == CS5 = Co6• y GI2 == CZ\ == C¡3 == C3l := C23 ==

x;

C32•

X2

"" Fig.6-5

Fig.6-6

x")

ELASTICIDAD

172

Finalmente, para los ejes transformación es

=

x;' obtenidos

por una rotación

=

de forma que (J~' «J2 - (J¡)/2 (CIl - CI2)(EZ - El)/2 definiendo p. C44 y A C12' se obtiene la (6.20).

=

=

CAP.6

LINEAL de 45° alrededor

= E2 -

Y E~'

Dar los detalles de la inversión de (6.21) para obtener (6.22).

6.9.

Expresar las constantes

=

De (6.25), E/(l - 2v) 3A + p.). Ahora, de (6.26), E

A/2("A

=

+

y E en términos

v

2¡t; Y de (6.26),

2p.(1

+

v}

=

¡t(3A

+

E/(l

+

2p.)/(A

v)

=

+

¡t).

X3

El' Pero (J~'

6.8.

de ingeniería

de

como se indica en la Fig. 6-6, la matriz de

=

C14E~' y entonces

de las constantes

2¡t. Entonces

(3A

+

de Lamé

2¡t)(1-

2v)

6.10. Determinar la matriz de los coeficientes elásticos para un medio continuo metría elástica de orden N = 4. Suponer CKM = CMK. Sea X3 el eje de simetría elástica. Una rotación 8 del eje alrededor de X3 produce direcciones elásticas para N 4. La matriz de transformación es

=

2C44

>.. y

= 2¡t(1

+

= CIl

-

C12• y

/L.

v} de la que v

que tiene un eje de si-

=

2;r/4 ."./2 equivalentes

=

y de (2.27) y (3. 78), u~ == (12' O'~ == al' 0'3 == 0'3' O'~ == -0'5' O'~ == 0'4J O'~ == -0'6 Y f~ f2t f2 == El' fS == E3' f~ - -ES, ES == f4' f~:::: -f6. Así, por ejemplo, de (J~ = <73' C34 = C35 C36 = O, C31 = C32• De igual modo, de las cinco restantes relaciones de tensión, la matriz elástica se convierte en

=

=

Cl!

[CKMl

ELASTOSTATICA.

O

O

Cl6

Cl2

Cll

C13

O

O

C¡3

C33

O

O

O

O

O

O

C44

O

O

O

O

O

O

C44

O

O

O

O

C66

-C¡6

-C¡6

independientes.

ELASTODINAMICA. (Sec. 6.4-6.5)

6.11. Deducir las ecuaciones Sustituyendo

Cl3

t'ig.6-7

C¡3

C¡6

con siete constantes

Cl2

de Navier (6.31).

en (6.38) las componentes

de deformación

por sus expresiones

=

equivalentes

de los campos

de des-

CAP. 6

ELASTICIDAD

=

plazamientos resulta 0ij AOijuk.k + p(u¡.j ecuaciones de equilibrio (6.27) y reagrupando

+ u¡.¡l. términos

LINEAL

Entonces, se tiene

0ij.i

=

pUioji

6.12. Probar que si \J4F¡ = O, el desplazamiento "U¡ = (A + ecuación de Navier (6.31) para fuerzas másicas nulas.

+

173

+ p(u¡.j¡ + Uj.ij)' Sustituyendo + ¡L)Ujoii + pb¡ = O.

(A

2p.)F¡od/J.(A

+ v) -

F¡oj'//J.

=

Fj.

ésta en las

AUk.k¡

Diferenciando la solución supuesta, los términos p.u¡ojj (A + 2p.)Fi.kkj/(A + Jl) - F\ok¡jj p - (A + Jl)Fko kjj/ Jl son fácilmente calculados. Introduciéndolos en (6.31) resulta

es una solución y. (A

+ Jl)Uj.ji =

de la (A

+ 2Jl)

kki/

+ 2¡L)Fíokkj/(A

(A

supuesto

que

=

Fíokkjj

\J4F¡

+ p.)

=

-

[p. -

(A

+ 2p) +

(A

+ p.)]Fj•jkk¡

= O

O.

6.13. Probar, si se pueden despreciar las fuerzas másicas, que la (6.35) se satisface por e, = suponiendo que cada una, 1> y r. satisfacen la familiar ecuación de onda tridimensional. Sustituyendo

Puesto que

la supuesta

6.14. Escribiendo

=

1>

sus argumentos

y

O,esta ecuación

= .(/(1" 1'2

=

la ecuación de onda deducida

+ ct) + h(1' T

-

en es una .

en el Problema

. so 1ucion en 1a que o

g y

donde do »,

J z son

= (A + 2p.)

funci unciones ar b"itranas d e

\J2

=
== ~,..!!.-. (

Entonces

de g y h. Entonces dado.

r2(a

=

=

(g"

\J2,¡,

la forma que toman

r(g'

+ h')

+ h")/r.

cuando

las

(6.24) en (3.103) resulta

=

0íí' De las ochenta k y usando (6.27) se tiene

El = 11:

=

(6.13) donde c2

XiX¡.

usar la forma esférica

6.15. Deducir las ecuaciones de Beltrami-Michell (6.33) y determinar fuerzas másicas son conservativas, es decir, cuando pb¡ = .¡. Sustituyendo

lijk.pk.j

se puede escribir

r2 ~)' ,ya que

Aquí es conveniente

+

en (6.35) resulta

= ~ para

C2\J21>

I p, pro b ar que

U¡

1>.i

0ij.kk

+

(-).ii

y una ecuaciones

+ p(b¡.i + b¡o,í =

v(ú¡¡H.kk

aquí representadas

+

('l.ijl/(l

solamente

seis son independientes.

Así, colocan-

+ lO)

de la que (-1, kk = -(1 + 10)f1bk. kl(l - •.l. Introduciendo esta expresión de H I.k en las ecuaciones previas, se llega a (6.33). Si pb¡ =
ELASTICIDAD 6.16.

BIDIMENSIONAL

(Sec, 6.6-6.8)

Desarrollar para una tensión plana paralela al plano :(:,:1,:2, las relaciones tensión-deformación términos de A y fL Probar que estas ecuaciones corresponden con las dadas en (6.41).

en

174

ELASTICIDAD Aqui,

a:l:l

=

al:¡

=

an

=

=

O, o sea que (6.21) da 'la

duce a aa/3 = 2"t.¡i8"IJ€YY/(A + 21')+ ecuación que resulta se tiene

21l€aS con

a, f3,

=

y

CAP. 6

LINEAL '2:¡

= ( y

"33

1,2 de la que

=

a,xc.

+ <22)/(A + 21')' Entonces (6.21) se + 2¡t)€yy/("t. + 2ft) e invirtiendo

-A('l!

=

2."\3A

re-o la

Además,

6.17. Desarrollar, en términos

'a{l

para una deformación plana paralela al plano xlxz;las relaciones tensión-deformación de y E. Probar que estas ecuaciones corresponden con las dadas en (6.48). l'

Aquí, U3 == o de forma que '33 = O Y (6.24) da (1 + ,,)aa('jE - v(l + v)8aSayy/E de la que 'era

6.18. Desarrollar la ecuacion ecuación correspondiente

a33

=

6.19. Hallar la relación sión de Airy.

+ 2,u) =

necesaria

(2AI'/ (A + 2¡L)

=

que cp

= ~~[ XIX2

,,(a11

+ v)(l-

-

+ 1') =

(]",{3

(A'

+ (22) =

Aa",,,,/2(A + Il)' Entonces (6.24) se convierte 2,,)aaaíE. Finalmente, invirtiendo

o

"'.1111

~¡;~J + fc

+

=

+

"'.2222

x~ es una función

en

que es equivalente a la -\.

= 2-\1-'-/(-\ + 2l-t) por

+ v) + 2"E8a13uy,,'/2(1

-

"2).

Diferen-

y (6.51) tienen la misma forma para la sustitución

A y B si cp

2"'.1122

ción de tensión de Airy y hallar las componentes

+ 1(s,a)/2(l

E(ua.{3

+ /1-), (6.45)

entre las constantes

De (6.56), '" tiene que ser biarmónica cuando A -5E.

6.20. Probar

=

de Navier para tensión plana (6.45) y probar para deformación plana (6.51) si se sustituye -\'

Invirtiendo (6.4/) Y usando (6.42) nos conduce a ciando con respecto X{3 y sustituyendo en (6.40) resulta

puesto que 1l(3A + 21')/(A propuesta.

(1

= Axix~ + Bx~ es

= O

+

24Ax2

adecuada

+

una función de ten-

l20Exz

O, la que se satisface

para ser usada como una fun-

de tensión en la región

Xl>

O, -e

< Xz < c.

Puesto que 'V-l'Í' es idénticamente nula, '" es una función de tensión válida. Las componentes de tensión dadas por (6.55) son al! = "'.22 = -3FxIX2/2c3 + P/2c, a¡2 = -"',12 = -3F(c2 - x~)/4c3, (]22 = "',lI = O. Estas tensiones son las de una viga en voladizo sometida a una carga transversal en su extremo F y una tracción axil P(Fig. 6-8) .

•

P

X¡

Fig.6-8

CAP.6

ELASTICIDAD

LINEAL

175

6.21. En el Problema 2.36 se probó que las ecuaciones de equilibrio se satisfacían en ausencia de fuerzas másicas por r¡1l.pm· Probar que la función de tensión de Airy está representada por (x1, x2) con 911 = 922 = 12 = 13 = 1>2:; == O. no nula, aij = f¡jlqfj¡nn<1>q1l,pm se convierte en a¡j = f¡)J3fj",~4>33,pm la que se que 93:; 9, aaa (8,,08y( - O",Oya)9"" 0aIl9,yy - 9,ao' las com"',11 + 9,22 - 9,11 = ~>.22, a12 = -,12, "22 9,11 + <1>,22 - <1>,22 = <1>,11'

Puesto que 4>33 es la única componente !pucde escribir aa~ <
=

=

=

=

6.22. En coordenadas polares (1', e) la función de tensión de Airy 1> = Be se usa en la solución de un disco de radio a sometido a un momento central M. Determinar las componentes de tensión y el valor de la constante B. De (6.60) de momentos

Y (6.61), alrededor

(ICrr)

=

= 0, De (6, 62) "'(TO) = B/r2, El equilibrio

a(88)

del centro del disco exige que

M

=

de

j21T(ICTO)a2

=

o

f

b

B de = 2 tt B, De donde B = M/2 .••,

o

TERMOELASTICIDAD 6.23.

LINEAL

Llevar a cabo la inversión de (6,69) para obtener las ecuaciones De (6. 69) con i

= i,

a;;

=

2,1L)(f,¡

2,llfij

+

2,Ufij

Desarrollar

(3A,

+ AO¡l'kJj(3A 21'<¡j + AIlij«kk -

ai)

6.24.

(Sec. 6.10)

AO;jEkk -

+ 2J.L) 3a(T

2J.La:oij(T -

(31\ + 2f.')o:oij(T

"ij

termoelásticas

(6.70).

resulta

Ta)

2J.Laou(T -

To)) -

-

(6.69) para

To)). Resolviendo

3a:(T -

-

constitutivas

To)

To)

-

=

(6. 73) usando la energía libre f

la ecuación de la energía termoelástica

u - Ts,

Suponiendo que la energía libre es una función de las deformaciones y la temperatura, f = f(E;j, T) Y sustituyendo en (5.41) pli ~ aij: + pTs donde los puntos indican las derivadas respecto al tiempo, el resultado es «(Tij - paflaEij) :¡j pis + af/aT)T 0, Puesto que los términos del paréntesis son independientes de las variaciones de temperatura y deformación, se sigue que aij = paila,,, y "-::: -af/aT, De (5.38) para un proceso isotérmico reversible -e¡,¡ pTs

=

= pT(~

afij

'ij

=

+ aT ~-

r) ,

A deformación

o como antes, puesto que Bs/aT combinando aO;jTO

(5.38) con (6.71),

de forma que kT,ii

=

=

constante,

-a2flaT2,

=

=ci.. peCvlT

+

(3A

6.25. Usar (6.13) y (6.70) para desarrollar tico. Sustituyendo

(6.70) directamente

eC") kT,¡¡

;ij

=

° y comparando

= -a2fIBT2,

=

aaij.

También,

pT ( ?f
+ 2J.L)aTofii

ecv).)

+T

T

esta ecuación con (6.72) resulta anteriormente, , Finalmente

p(a2f/Bf¡jBT) de (6.70),

e(v)

=

aa;/aT

= T(as/aT)

aa;/BT

=

y así, (31\+21')

que es (6.73).

la densidad de energía de deformación

de un sólido termoelás-

en (6.13)

Problemas diversos 6.26. Probar

que la densidad

de energía de distorsión

u¿J) se puede expresar en términos

de las tensiones

ELASTICIDAD

176

Del Problema

6.2,

En función de las tensiones

urm

6.27. Emplear au*/a
= sije;/2 = sijsuf4G

UrDl

principales

que en términos

CAP. 6

de las componentes

de tensión se convierte

en

ésta resulta

ki

+ u~ + u5 [2(u~ + u~ + u~ = [(0"1 - 0"2)2 + (0"2 -

los resultados

LINEAL

+ Uz + u3)(U1 + Uz + u3)/3]/4G

(uJ

O"J0"2 0"3)2

del Problema

0"20"3 - u:lO"¡)/3]14G

+

(O":l -

uJ)2]112G

que para un material elástico an*/afij = "» Y

6.1 para probar

= fij" Del problema

=

+ }lEi/ij y así, ;>J2[E;¡(ilEi/ilEpq) + fjj(ilEiJ<3Epq)] + Z}lEij(il€ij/<3€pq) A/2[Eii8jp8jq + €jj8¡pll¡Q] + 2.iL
u*

6.1,

AEiiEi/2

De igual modo del Problema ou':-¡oO"pq

=

6.28. Expresar la densidad deformación. Del Problema

+ V)O"ij8iplljq

[2(1

[(1 + V)O"ijO"ij- VO"jiO"iJ/ZE

6.1, u* -

V(UiiOpq

+

de energía de deformación

6.1, u*

=

A€ii€nfZ

+ }l€ij€;j;

=

ujjllpq]/2E

por

Y comparando

[(1

+

EnOpq]

2.iL€pq

y

+ v)upq

- vllpqO";¡]/E

€pq

como una función

u*

con (3.91),

rE

=
Y He

=

de los invariantes (€fiEjj - €ijEij)/2,

de

se sigue que

6.29. Cuando un eje de sección circular, de longitud L y radio a. está sometido a pares extremos como se indica en la Fig. 610 las componentes de tensión no nulas son
xi.

=xi

U

f

=

u*dV

·v Nótese que como

T

=

f2"fa o

Ga(x;

Aquí I == O GaZr2/Z. La

=

Hg. 6-10

o (a (2"il-

= G~ J, J_ 2

+ x~)r

dr do

X2

O

=

O

Gaa4,,/Z,

r3drdodx3

O

U

=

TaL/2,

es el trabajo

exterior.

o

6.30. Probar que para un medio continuo que tiene un eje de simetría elástica de orden N = 2, las propiedades elásticas (ley de Hooke y energía de deformación por unidad de volumen) son de la misma forma que las de un medio continuo que tiene un plano de simetría elástica.

ELASTICIDAD

CAP.6

177

LINEAL

Aquí una rotación de ejes e =-= 2dN = 2•../2 = tr produce mente el caso de una reflexión en un plano de simetría elástica.

direcciones

eláticas

equivalentes.

Pero éste es precisa-

que (6.19) con CI1 = C22 = C33, C44 = CS5 = C66 y C12 = C13 = C23' se puede reducir a (6.20) mediante una rotación arbitraria e de los ejes alrededor de X3 (Fig. 6-11).

6.31. Probar

La transformación

entre los ejes

y

Xi

X;

es

y de (2.27), (-sene o en notación

+

cos e)O'll

(cos? e - sen- e)o-I2

+

Fig.6-11

(sene cos e)0'2"

de índices sencillos,

=

O'~

(-seno

+

cos e)O'I

(cos- 0-

sen- 0)0'6

+

(sen s cos 8)0'2

De igual modo, de (3.78) Y (6.4),
=

Cllfl

2G.l,; y con

6.J2.

=

O'¿

+

=

(-2

·C

(COS28 -

scn? 0)<6

+

(2 sen o cos 0)'2

para un cuerpo isótropo 0'2 - 0'1 = 2C1¡«~ - '1 l. Finalmente de (6.19) con las condiciones dadas Y 0'2 Cll<2 + CI~h + (2) 'y así, 0'2 .- 0'; ::,c(C11 - CIZ)«Z - (1)' Por lo tanto, (GIl - C1Z) = eJ" = A, CIl = A', 21' como se dan en (6.20).

C.¡¡f~

CI2(€Z

('l.;

+

sene cos e)'1

=

+ (1)

,I!,

Probar que en un cuerpo elástico en equilibrio bajo las fuerzas másicas b, y las superficiales t:~), la energía de deformación total es igual a la mitad del trabajo dado por las fuerzas externas que actúan con unos desplazamientos U¡. Es necesario

probar

que

J

pb¡u¡ dV

• v

ficie con

t:;")

=

O'j¡1{j

f

s

U¡

dS

= -

f

s

que la transformamos

t;~)

+

f

Ui

as

según el teorema

pb¡u¡ dV

v

t:~)

+

2

.f

=

2

f

u* dV.

Consideremos

primero

la integral

de super-

¡'

de Gauss. Entonces

0'¡j<;/2

dV

con io que se prueba el teorema.

6.33. Usar el resultado del Problema 6.32 para establecer la unicidad de la solución elastostática cuerpo elástico lineal suponiendo las dos soluciones f1;t, U¡l) y f1¡r, U¡Z). En elasticidad

lineal,

la superposición

lución para la que b¡ = O. Entonces

es válida;

así, a,·; ~

para esta solución obtenida

=

0'(1) t)

-

0'(2) 1)'

u· = 1

por la mencionada

u(l)

.:

U'.2)

l

"diferencia"

t

también

f

sería una so-

~~~)Ui

s

de un

dS = 2

f. ~

178

ELASTICIDAD

u* dV

del Problema

la izquierda

LINEAL

6.32. Puesto que las dos soluciones

torno para la ecuación

ASí,f

(6.30).

supuestas

t;~) = t:

aquí es nula ya que en el contorno

1)

satisfacen

las condiciones

t\2) para la ecuación

-

dV = O Y puesto que

u*

CAP. 6

g"

es positiva,

de contorno,

(6.32) y ?ti

=

u~ 1I

-

la integral de en el con-

U\2i

esto puede ocurrir solamente

si

=

'ii

l'

/I) 1)

-

== O, o ,;)I) =

/2) 1}

Si las deformaciones

«2) . 1)

son iguales para las dos soluciones

son iguales según la ley de Hcoke y los desplazamientos Con lo que la unicidad está establecida.

6.34. Las ecuaciones

supuestas,

las tensiones

son iguales al caso de un desplazamiento

de Navier (6.31) se pueden expresar en la forma

+

",-Ui,ij

1 ~.~. 2v

+ r/)j

'Uj.ji

para el caso de incompresibilidad (v =1) están evidentemente indeterminadas. ecuaciones de equilibrio en este caso para probar ~tUi,ij + (~).J3 + pbi = J. De la ecuación

"i.» = O

Pero

(6.24),

Y E = 3G

Eii

= (1 -

cuando

2v)cr¡¡/E;

y para

= }, de forma que

v

=},

v

==

Eii

"i.» =

-(lb¡lG

también

de un cuerpo rígido.

= Oque,

Emplear

las

= O. Así, de (6.24),

1Ii,i

-

akl<., J3G

o

+ H, /3 + pb¡

JiV2Ui

= O.


Probar que los ejes principales isótropo.

6.36.

Desarrollar la expresión de la energía de deformación las ecuaciones (6.14) y (6.19). Sol.

b.37.

=

g*

la forma

Sol. (a) u* (b)

6.38.

Hallar

+ 2C¡2f2 + ZC¡:¡fS)f¡/2 +

(CIIEI

Determinar ción plana.

[a;1

u*

de los tensores

(Ji

+

+ 2(1 + v)aiz]/2E + AEllE22 + 2Ji
Probar es

6.40.

Demostrar

6.41.

Probar

6.42.

Usar las leyes de transformación ponentes de un ten sor cartesiano

T

= A sen e = V(A + 2Ji)/p

U¡

Sol.

6.39.

que la energía de distorsión

= 2(A

+ Ji)/(3A + 21')

que para una deformación

Comprobar determinar

(-3X; (Tu

24

-2~¡X2

(XI

± ct),

Y v/(l - v)

plana paralela a x¡xZ,

homogéneo

u" en un medio elástico ortotrópico.

+

e

Usar

CC6'i.

en el caso de (a) tensión

U2

=

utDJ

=

A/(A

U3

=

=

O es una solución

plana,

(<1;p;j -

a¡¡cri/3)/4G

de la ecuación

(b) deforma-

cuando

(6.35)

y la energía de dilatación

las

específica

+ 21')'

b3 == O y que b¡ y b2 son funciones

de tensiones y deformaciones para probar que las constantes de cuarto orden de forma que C;Jkm a;pajqakra.mSCpqrs·

dere¡ y elásticas

X2

solamenre. C;jkm

son las com-

=

que la función de tensión de Airy las componentes de tensión suponiendo

Sol.

para un cuerpo elástico,

-1- C;¡;¡E~ -1- CHf~ -1- C5;;tF.

por unidad de volumen


ut~) = a¡iajj/18K.

+ v)

coinciden

2val1a22

+ A/2)(Eil + E~2)

fuerzas másicas son nulas.

6.43.

+ 2CnE4)E212

(C22'2

de deformación

a~2 -

y deformación


de la energía

el valor de e para el que

que 1/(1

de tensión

-2x¡X2

xi + x;

OO

O

2,,(x¡ - x2) ?

) ?

=

2x; + 12xix~ - 6x~ satisface deformación plana.

la ecuación

biarmónica

'9.19 = O Y

ELASTICIDAD 6.44.

Determinar las deformaciones compatibilidad (6.44).

_ (1---¡¡¡-+ v)

Sol. f¡j

-

(

asociadas

xi -

24

LINEAL

con las tensiones

3x~ - 2v(xi

del Problema

- X~)

6.43 y probar

XI

- 2v(x¡

2

2

- x2)

°

°

°

Probar que en un cuerpo elástico que tiene un eje de simetría elástica de orden N - C12) y que C¡3 y C33 son los únicos coeficientes restantes no nulos.

6.46.

Comprobar que para un medio continuo elástico con fuerzas dición de compatibilidad (6.44) se puede escribir como 920'"" 9

6.47.

=

6, CZ2

=

=

ClI,C55

=

conservativas tales que pba v) para deformación plana,

másicas

= 92",/(1 -

C44,

C66

=

e

el -

0'11

= -0'22 = 6QGXlx21r5, = 4B(1 - v)/G.

0'33

=

0, 0'12

=

e

=

=

- xi)/r5,

3QG(x~

Una función de tensión de Airy está dada en coordenadas tes. Determinar si 0'88 0, O'r8 = T cuando (J a, y

polares por 0, O'r8

0'88

=

0'13

=

= = -T

-0'22

=

Cr2(cos cuando

Sol. C

=

Probar

que en los problemas dc deformación plana termoelástica 0'33 V(O'II + 0'22) 8al3(3~ + 2/l)a(T - To).IProbar que en termoclasticidad bajo tensión plana

2¡tfal3

=

2(Cll

V", "'.ex, la cono 920'aa (1 + p)

=

Si \J4F¡ = 0, probar que tli = 2(1- v)\J2F;lG - Fj,j;lG es una solución de la ecuación (6.31) de Navier cuando 2 = XiX;, (ver Problema 6.12). Si F = B(X2 XI determinar las componentes de tensión. 2)lr donde r Q

6.49.

de

para tensión plana.

Sol.

6.48.

la ecuación

°

6.45.

2",

que se satisface

0)

-2X¡X2

+ x22

2

-2x¡x2

179

(J

=

°

donde

cos 2a) donde

211 -

==

es«

son constan-

-a.

T/(2 sen 2a)

=

-

3QGx2x31r5

b¡

-

aE(T - To) y que

O'af3

y 6.50.

=

En términos de la función de tensión de Airy <{> 4>(xI, X2), comprobar que en termoelasticidad bajo deformación plana la ecuación de compatibilidad (6. 44) se puede expresar como 94<{> -aEV2(T - To)j(l - v) y para tensión plana como 944> -aE92(T - To)'

=

=

Capítulo 7

Fluidos

7.1

PRESION DE UN FLUIDO. TENSOR DE TENSION VISCOSO. FLUJO BAROTROPICO

En cualquier fluido en reposo, el vector tensión ti;;) .que actúa en un elemento de superficie arbitrario es colineal con la normal a la superficie e igual en magnitud para cada dirección que pase por un punto dado. De esta manera,

n

(7.1)

e

en la que Po es la magnitud de la tensión, o presión hidrostática. El signo negativo, indica una tensión de compresión para un valor positivo de la presión. Aquí cada dirección es una dirección principal, y de (7.1)

(7.2)

o

que representa un estado de tensión esférico que con frecuencia se denomina presión hidrostática. De (7.2), las componentes de tensión cortante de un fluido en reposo son nulas. Para un fluido en movimiento, las componentes de tensión cortante no son normalmente nulas, yen este caso se acostumbra desdoblar el tensor de tensión según la ecuación, o

donde

Tij

~ = -pl

+r

(7.3)

se denomina, tensar de tensión viscoso y p es la presión.

Todos los fluidos reales son compresibles y viscosos. No obstante, estas características varían ampliamente para diferentes fluidos de forma que con frecuencia es posible despreciar sus efectos en determinados casos sin pérdida de exactitud en los cálculos que se basan en tales suposiciones. Según esto, un fluido no viscoso, o como se denomina, un fluido perfecto; es un fluido para el que ij es cero aun en estado de movimiento. Por otra parte, los fluidos viscosos son aquellos en los que se tiene que considerar Para un fluido compresible, la presión p es esencialmente la misma que la presión manejada en la terij• modinámica clásica. De (7.3), la tensión normal media está dada por T

T

180

CAP.

7

FLUIDOS

181

(7.4)

o

Para un fluido en reposo, Tij se anula y p se reduce a Po que en este caso es igual a la tensión normal media corl. signo negativo. Para un fluido incompresible, la presión termodinámica no se define separadamente de las condiciones mecánicas de tal manera que p se tiene que considerar como una variable mecánica independiente en tales fluidos. En un fluido compresible, la presión p , la densidad p y la temperatura través de una ecuación de estado cinética que tiene la forma p

=

absoluta

T están relacionadas

a

(7.5)

p(p, T)

Un ejemplo de tal ecuación de estado es la conocida ley de los gases ideales p = pRT

(7.6)

donde R es la constante de los gases. Si los cambios de estado de un fluido obedecen a una ecuación de estado en la que no interviene la temperatura, es decir, p = p(p), tales cambios se denominan barotrópicos. Un proceso isotérmico de un gas perfecto es un ejemplo de un caso especial que obedece a un comportamiento barotrópico.

7.2

ECUACIONES CONSTITUTIVAS. FLUIDOS NEWTONIANOS

FLUIDOS

STOKESIANOS.

Las componentes de tensión viscosas del tensar de tensión de un fluido están asociadas con la disipación de energía. En el desarrollo de las relaciones constitutivas para los fluidos, generalmente se supone que el tensor de tensión viscoso jj es una función del tensar de velocidad de deformación Dij' Si la relación funcional no es lineal, tal como se expresa simbólicamente por T

o

r

(7.7)

= f(D)

el fluido se denomina fluido stokesiano, Cuando la función es lineal de la forma, o

r =

(7.8)

K:D

donde las constantes Kijpq se denominan coeficientes de viscosidad, el fluido se conoce como un fluido newtoniano. Algunos autores clasifican a los fluidos sencillamente como newtonianos y no-newtonianos. Siguiendo un procedimiento muy parecido al llevado a cabo en el Capítulo 6 para la ley de Hooke generalizada de un medio elástico, las ecuaciones constitutivas de un fluido homogéneo, isótropo y newtoniano se pueden determinar a partir de (7.7) y (7.3). La forma final es o

donde .\ * Y

fL

*

son coeficientes

I

=

-pl

+ .\*I(trD) + 2J-L*D

(7.9)

de viscosidad del fluido. De (7.9), la tensión normal media está dada por,

(7.10) t(tr I)

donde K*

= t(3.\ * + 2¡L *)

= -p

+ 1-(3.\* + 2,u*)(tr

se denomina

D) = -p

+ K*(tr D)

coeficiente de viscosidad volumétrica. La condición (7.11)

182

FLUIDOS

CAP. 7

se conoce como condición de Stokes, y garantiza que la presión p se define como el promedio de las tensiones normales de un fluido compresible en reposo. De esta forma la presión termodinámica se define en términos de las tensiones mecánicas. En función de las componentes (7.9) se puede reescribir en la forma

desviadoras

Sij

=

(Tij -

Y D¿

Bij(TkJ3

=

D¿ -

BijDkk/3,

la ecuación

(7.12)

s + fl(tr Por lo tanto,

I)

=

+ 1('\* + ¡¡.t *)(tr D) + 2¡.t*0'

-pl

a la vista de la relación (7.10), la ecuación (7.12) se puede expresar por el par de ecuaciones Sij --

2 IL *D'ij

o

(7.13)

S

trI la primera trica.

7.3

de las cuales relaciona

los efectos cortantes

(a) la ecuación

de continuidad

da la relación volumé-

NEWTONIANOS. el problema del movimiento

de

(5.3), = O

(b) las ecuaciones del movimiento

Ú.

(7.14)

las ecuaciones básicas necesarias para formular

p + rv.,

(c) la ecuación

D)

en el fluido y la segunda

ECUACIONES BASICAS DE LOS FLUIDOS ECUACIONESDE NAVIER-STOKES-DUHEM

En la forma euleriana, un fluido newtoniano son

+ 3K*(tr

-3p

o

p + P('V'x ·v)

o

(7.15)

(5.16), Vx• I

+ pb

u

1 - I:

(7.16)

pv

de energía (5.32),

=

(d) las ecuaciones

l(T ..D p t)

t]

-le. + P

constitutivas

t,'

z

o

D -

p

1

-

p

Vx • e

+

z

(7.17)

+ 2¡.t*D

(7.18)

(7.9), -pl

+ ,\*I(tr

D)

(e) la ecuación cinética de estado (7.5),

(7.19)

p = p(p, T)

Si se consideran efectos térmicos, como muy a menudo necesarias además, las ecuaciones adicionales (f) la ley de Fourier de conducción

de fluidos,

son

de calor (6.71), e

(g) la ecuación

tienen lugar en los problemas

=

-kVT

(7.20)

calórica de estado

u

u(p, T)

(7.21)

CAP. 7

183

FLUIDOS

El sistema de ecuaciones (7.15) a (7.21) representa nitas y, por lo tanto, es un sistema determinado.

un conjunto

de dieciséis ecuaciones con dieciséis incóg-

Si se sustituye (7.18) en (7.16) y se usa la definición de 2D .. = (v .. + v .. ) las ecuaciones esta combinación son las ecuaciones del movimiento de Navier-Stokes-Duhem, l.J

t}

• --

Pb. -

pV. 1

p .

t

, ~

+

(*A

+ p. *) V'i + p. *v; ).

J

.,

),1

que resultan de

J')'

(7.22)

(v),J.. = O), (7.22) se reduce a las ecuaciones de Navier-Stokes para un

Cuando el flujo es incompresible flujo incompresible, pV.

1.

Si se admite la condición un flujo compresible

=

pb. t - p . ,1

+ 0*V

de Stokes (A *

...

1,]J

= -!p. *),

pV 1 = pb. 1,1- p .

(7.23)

o

(7.22) se reduce a las ecuaciones

+ ip.*v

...

J,]1.

+ p.*v

de Navier-Stokes para

...

Id)

(7.24)

Las ecuaciones de Navier-Stokes (7.23), junto con la ecuación de continuidad (7.15) forman un conjunto completo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: la presión p y las tres componentes de la velocidad Vi' Para cualquier problema dado, las soluciones a este conjunto de ecuaciones tienen que satisfacer las condiciones iniciales y de contorno de las componentes de velocidad y tracción. En un fluido viscoso, las condiciones de contorno adecuadas en una superficie determinada, requieren que ambas componentes de velocidad, la normal y la tangencial se anulen. Esta condición es una consecuencia del hecho experimentalmente establecido de que un fluido se adhiere y alcanza la velocidad del contorno. Para un fluido no viscoso, solamente se requiere la anulación de la componente de velocidad normal en una superficie fijada. Si las ecuaciones de Navier-Stokes se expresan en forma adimensional, aparecen varias relaciones de parámetros normalizados. Una de las relaciones más significativas y comúnmente usadas es el número de Reynolds NCRJ que expresa la relación entre las fuerzas inerciales y las viscosas. Así, si un flujo se caracteriza por una cierta longitud L, velocidad V y densidad p, el número de Reynolds es VL/v

(7.2.5)

donde v = p.*/p se denomina viscosidad cinemática. Para números de Reynolds muy grandes la contribución viscosa a los términos de tensión cortante de las ecuaciones de la cantidad de movimiento se pueden despreciar. En un flujo turbulento las tensiones aparentes actúan en el flujo pro mediado en el tiempo de una manera análoga a los efectos de la tensión viscosa en un flujo laminar. Si no existe turbulencia, los efectos inerciales predominan sobre los efectos viscosos y el fluido se comporta como si fuera no viscoso. La facilidad de un fluido para adoptar movimientos turbulentos está relacionada con el número de Reynolds. Solamente en el caso de un flujo laminar es cuando las ecuaciones constitutivas (7.18) se aplican a los fluidos reales.

7.4

FLUJO ESTACIONARIO. HIDROSTATICA. FLUJO IRROTACIONAL

Se dice que el movimiento de un fluido constituye un flujo estacionario cuando las componentes de velocidad son independientes del tiempo. En este caso, la derivada én)éJt es cero, y entonces la derivada

FLUIDOS

184

CAP. 7

material de la velocidad s», -.. at + vv} '.)

o

dE -

(7.26)

'v. = v.v .. J

o

v = v : Vxv

(7.27)

dv

se reduce a la forma sencilla I

l.)

Un flujo estacionario en el que la velocidad es nula en cualquier punto, da lugar a que las ecuaciones de Navier-Stokes (7.22) se reduzcan a (7.28)

o

que describe la situación de equilibrio hidrostático, puede definir una función de presión

Si se supone

5

se

(7.29)

si las fuerzas másicas se pueden especificar por una función potencial

o

-0 .1

las ecuaciones

p = p(p)

P

Po

Posteriormente,

barotrópica

d]]

1>

P(p)

la condición

b = -V0

(7.30)

(7.28) toman la forma (O

+ P).i

=

O

o

Un flujo en el que el tensar de giro o varticidad

v.

=

1)

iJ:rj

+ P)

o

(7.81)

(4.21),

1. (UVi _ dVj) 2

V(o

o

v = ~(vV - Vv)

d:l.\

se anula en cualquier punto, se denomina flujo irrotacional. el tensar de velocidad de rotación por la ecuación

El vector torbellino

(7.32) qi está relacionado

(7.33)

o y por lo tanto también

se anula para un flujo irrotacional. o

con

Posteriormente, q

= \7xv

(7.34)

que '\7 x v = O es la condición necesaria y suficiente para que exista un potencial de velocidad 1> el vector velocidad de un flujo irrotacional se puede expresar por

y puesto

Vi = 7.5

=»:

o

v = -Vr:f>

(7.35)

FLUIDOS PERFECTOS. ECUACION DE BERNOULLI. CIRCULACION Si los coeficientes

de viscosidad

A*

Y p." son nulos, el fluido así considerado se denomina no viscoso o (7.22) se reducen a la forma

fluido perfecto (sin fricción) y las ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem ,

FLUIDOS

CAP. 7 pV.¡

=

pb¡

-

o

P,;

pV

185

=

pb -

(7.36)

\1p

que es conocida como la ecuación del movimiento de Euler. Para un fluido barotrópico con fuerzas másicas conservativas se pueden introducir (7.29) y (7.30) de forma que (7.36) se convierte en

v Para un flujo estacionario

,

-(o +P) .

=

o

,1

v

=

-\1(0

+ P)

(7.37)

(7.37) se puede escribir

vv ..

(o+P)

)1.,)

.

.'

o

= -\1(o+P)

v'\1v

(7.38)

Si la ecuación de Euler (7.37) se integra a lo largo de una línea de corriente, nocida ecuación de Bernoulli en la forma (ver Problema 7.17) n + P + 'v"/2 ~

f

e».

aidx¡

el resultado

es la co-

(7.39)

C(t)

=

Para un movimiento estacionario ovJéJt , = O Y CU) se convierte en la constante de Bernoulli C que es, en general, diferente a lo largo de diferentes líneas de corriente. Si el flujo es irrotacional también se conserva una constante sencilla C en todo el campo del flujo. Cuando la única fuerza másica presente es debida a la gravedad, el potencial es n = gh , donde g es la aceleración de la gravedad y h es la altura respecto a algún nivel de referencia. Entonces para hp = P/g definida como la altura o carga debida a la presión, y v2j2g = h.; como la altura debida a la velocidad, la ecuación de Bernoulli establece que la altura total a lo largo de una línea de corriente es constante. Para fluidos incornpresibles (líquidos), la ecuación toma la forma h

+ \, - h" = h + p/ pg + v2/2g

= constante

Por definición, la circulación de la velocidad alrededor fluido está dada por la integral curvilínea.

(7.40)

de una curva cerrada

de partículas

de un

(7.41)

o

Del teorema de Stokes (1.153) o (1.154), página 34, la integral curvilínea (7.41) se puede transformar una integral de superficie o

donde

n

es el normal unitario

re

=

a la superficie S contenida

=

O Y la circulación es cero. En este caso el integrando dx siendo 1> el potencial de velocidad. \1 x v

La derivada (7.41) da

material

drc/dt

de la circulación

o

r n' (\1 xv)

Js

dS

=

(7.42)

en la línea cerrada. Si el flujo es irrotacional, de (7.41) es la diferencial exacta d1> = -v'

se puede determinar

re

en

.f

(v- dx

+ v-

usando (4.60) la que aplicada

dv)

Para un fluido barotrópico no viscoso, con fuerzas másicas conservativas se puede probar culación es constante. Esto se conoce como teorema de Kelvin de la circulación constante.

a

(7.43) que la cir-

FLUIDOS

186

7.6

CAP. 7

FLUJO POTENCIAL. FLUJO POTENCIAL PLANO

El dición locidad pueden

término flujo potencial se usa con frecuencia para señalar a un flujo irrotacional ya que la conde irrotacionalidad, V x v = O, es la necesaria y suficiente para la existencia del potencial de ve1> de (7.35). Para un flujo irrotacional compresible, las ecuaciones de Euler y de continuidad se linealizar y combinar tal como se hace en acústica para llegar a la ecuación de onda (7.44)

o

donde e es la velocidad del sonido en el fluido. Para un flujo irrotacional estacionario de un fluido barotrópico compresible se pueden combinar las ecuaciones de continuidad y de Euler y obtener c2V . V

o

que es la denominada

-

v' (v· Vv)

=

(7.45)

O

ecuación dinámica de los gases.

Para un flujo potencial incompresible 1>,ií

=

la ecuación de continuidad O

adquiere la forma (7.46)

o

y las soluciones de esta ecuación de Laplace proporcionan las componentes de velocidad según su definición de (7.35). Las condiciones de contorno de la velocidad también han de ser satisfechas. En un contorno fijo, por ejemplo, a1>/an = O. Un aspecto importante de esta formulación reside en el hecho de que la ecuación de Laplace es lineal de manera que es posible la superposición de soluciones. En un flujo incompresible nuidad se convierte en

bidimensional

=

Va,a

O

y paralelo

"9"v

o

al plano

=

x¡x2'

v3

= O, Y la

ecuación

de conti-

(7.47)

O

donde, como es normal en este libro, los subíndices griegos tienen un rango de dos. De (7.47), tanto si el flujo es irrotacional como si no lo es, es posible introducir la función de corriente '" = "'(X¡, X2) tal que (7.48)

Si el flujo plano es irrotacional

de forma que o

v

(7.49)

= -'91>

entonces de (7.48) y (7.49) la función de corriente y el potencial

de velocidad satisfacen

las condiciones

de

Cauchy-Riemann 1>,¡

Eliminando

1> y '" sucesivamente

De esta manera, cial complejo

=

"',2

(7.50)

y

en (7.50) se prueba fácilmente

que

1>,aa

o

o

O

(7.51)

tf;,aa

O

o

O

(7.52)

1> y '" son funciones

armónicas

cuando el flujo es irrotacional.

Posteriormente,

el poten(7.53)

CAP.7

FLUIDOS

es una función

analítica

de la variable

compleja

z

187

=

Xl

+ iX2

de forma que su derivada

d'Ir/dz define la

velocidad compleja d'Ir/ dz

(7.54)

Problemas resueltos FUNDAMENTOS 7.1.

Probar (7.3).

DE FLUIDOS.

que el desviador

De (7.3), aji

7.2.

=

+

-3p

Ti[

8¡j

FLUIDOS

NEWTONIANOS(Sec.

del tensor de tensión

7.1-7.3)

de (7.3) es igual a tij' el desviador

Uij

de "» de

y aquí,

Determinar la tensión normal media uj3 de un fluido stokesiano que ij = aD¡j + f3Di"Dkj donde a y f3 son constantes

incompresible

(no lineal) para el

T

=

De (7.3), aij -POij + aDij + [3D¡kDki un fluido incompresible de forma que

donde

7.3.

lID es el segundo

invariante

y así, aii

=

+

-3p

del tensor de velocidad

«D¿

+

.8DikDki'

Pero Dik =Dki

=O

vi,;

para

Un flujo isoentrópico, o adiabático sin fricción de un gas ideal, constituye un flujo barotrópico para el cual p cp" donde e y K, son constantes y k c(p) / c(v>, es la relación de los calores específicos a presión y a volumen constante. Determinar para este flujo las relaciones densidad-temperatura y presión-temperatura.

=

=

=

=

Hallar la ecuación constitutiva decir, con K* == O.

para un fluido newtoniano

Si K* == 0, 1\* =, -'2¡L*/3 de (7.11) y (7.9) se convierte términos del desviador de la velocidad de deformación por

Si se introduce

el desviador

de tensión

s¡j esta

en

aij

relación constitutiva

= RIC,

Hallar una expresión

para el "trabajo

por unidad

una constante.

= RICI/k,

p(k-l)/kIT

con una viscosidad volumétrica

= -poij

- (2¡L*/3)Il¡jDkk

+

nula, es

2¡L*Djj que se expresa

está dada por las dos ecuaciones

sij

= -3p. 7.5.

=

de deformación.

Introduciendo P Cp" en la ecuación (7.6), la relación densidad-temperatura es p"-IIT También, puesto que p (pIC)1!k aquí (7.6) proporciona la relación presión-temperatura según que es otra constante.

7.4.

Y Di,

de tiempo debido a las tensiones"

=

en

2¡L* D¡j Y aj¡

u.D. 11

t)

de un

188

FLUIDOS

fluido newtoriano

que tiene por relación constitutiva

De (7.9) Y la definición

En notación

CAP. 7

simbólica,

del trabajo

esta expresión

I:o

de D(j la expresión

En notación

simbólica,

por unidad de tiempo de las tensiones,

se escribe

+

= -p(trO)

En términos

la (7.9).

i\*(trO)2+

2,éo:o

es

I : o = -p(tr o) + K*(tr 0)2 -+- 21'* o' : o'

7.6.

Determinar las condiciones bajo las que la presión normal media termodinámicap, para un fluido newtoniano. Con las ecuaciones constitutivas en la forma (7.13) Y (7.14) la última ecuación cuando K* O (de (7,11) cuando 11.*= -¡I'*) o cuando Dii := O.

PCml

da

= -aj3 Pcm)

-- p

=

7.7.

es igual a la presión

=

-K*

Dii'

Así,

PCm)

Comprobar las ecuaciones del movimiento de Navier-Stokes-Duhem (7.22) para un fluido newtoniano y determinar la forma de la ecuación de la energía (7.17) para este fluido si la conducción de calor sigue la ley de Fourier (7.20). Puesto que

= V¡,i'

D¡;

la ecuación (7.18) se puede escribir

(Jij

=

-poij

+

+

i\*OijVk,k

¡¡*(Vi,j

+ Vj,i)'

Entonces

e introduciendo esta expresión en (7,16), se consigue la identificación directa de (7.22). Sustituyendo la ecuación de (Jij anterior, junto con la (7.20) en la ecuación de la energía (7.17), resulta

que se reduce a p1i

7.8.

=P

=

-pv¡,¡

+

i\*V¡,iVj,j

+

I'*(v¡,j

+ Vj,¡)(vi,;

+

vj,;)/2

-

kT,¡¡

+

pZ

Hallar la fuerza de tracción Ti que actúa en la superficie cerrada S que contiene al volumen V de un fluido newtoniano para el que la viscosidad volumétrica es nula. El elemento ción total es Ti

=

f

Ti

es d'I', =

de tracción

= .Jr ti~) dS s

(Jj¡nj dS.

T¡

=

para un fluido de módulo de Gauss, T·1

=

f

7.4, ésta se convierte

(-poij

de trac-

dS

de tensión es en

+ 2f1*D;j)nj as

X2

s

volumétrico

f

dS y la fuerza

que debido al principio

Del Problema

s

ti~)

nulo, y aplicando

el teorema Xl

(2,,* D; . - p .) dV '.j,)

v

,!

Fig. 7-1

CAP. 7

7.9.

FLUIDOS

189

En un flujo asimétrico a lo largo del eje X3 la velocidad se considera 1'2 = xi + x ~. Si la velocidad se expresa por v = qer + v3e3 donde determinar la forma de la ecuación de continuidad. La ecuación

(5.4) da la ecuación

de continuidad

usar la for ma cilíndrica del operador \i' obteniendo simplificando, resulta la ecuación de continuidad

7.10. En un flujo bidimensional

paralelo al plano para un fluido incompresible

Navier-Stokes caso. De (7.23) con se reduce a va, a = Si las fuerzas vl(J;I, Xz, t), Vz =

HIDROSTATICA.

en notación \i'. (ov)

simbólica _ 1 a(rpq)

-

- -T

éJ1'

~r

una función de :r3 Y r, donde es el vector unitario radial,

como ap/at a(pv3)

+ --.

+

\i' • (ov)

Introduciendo

éix"

= O. Aquí se puede ésta en la (5.4) y

V3 Y a/aX3 son cero. Determinar las ecuaciones de y la forma de la ecuación de continuidad para este

XIX2.;

i = 3, pb3 = P,3 Y cuando i = 1,2, pVa = pba - P,a + I'*v", BIl' La ecuación de continuidad (7.15) O. másicas fueran nulas y pVI = -éip/éixI + I'*(a~vl/axi + éi2vJax~) las ecuaciones necesarias serían VI = 0, P = p(xl> XZ, t) y éiVI/aXI = O.

FLUJO ESTACIONARIO

E IRROTACIONAL

7.11. Suponiendo

que el aire es un gas ideal cuya temperatura varía linealmente con la altitud según T = 'I'« - aX3 donde To es la temperatura al nivel del suelo y X3 mide la altura desde la tierra, determinar la presión del aire en la atmósfera como una función de X3 bajo condiciones hidrostáticas. De (7.6) en este caso P = pR(To - ax:¡); y de (7.28) con la fuerza másica b3 = =s, la aceleración de la gravedad = -pg = -pu/R(To - aX3). Separando variables e integrando In P = (g/Ra) In (To - aX3) + In C donde e es una constante de integración. Así p - C(To - aX3)glRa y si p = Po cuando X3 = 0, C = Po To -gIRa y p = Po(l - aX3/TO) dp/dx:¡ giRa.

7.12. Un fluido barotrópico

que tiene la ecuación de estado P = Al donde A y k son constantes, está en reposo en un campo gravitatorio cuya dirección es X3. Determinar la presión en el fluido en función de X3 Y Po, Y la presión a X3 = o.

= O. Nótese que la presión en las direcciones Xl y X2 es constante en Puesto que aquí p = (p/A)lIk, p-I/kdp = -gA -l/kclx3 integrando (k/(kl))p(k-ll/k = -gA -l/kx3 + C. Pero p f!o cuando X3 = de forma que C = (k/(k -1))P6k-lJlk. Por lo tanto X3 = (kpo/(k -l)gpo)(l - (p/PO)(k-ll/f<) donde Po = (PO/A)l/k. De (7.28) dp/dx3 ausencia de fuerzas

=

-pu,

másicas

dp/dxl

b]

=

y b2•

dp/dx2

=

°

7.13 .. Un recipiente

grande lleno de un líquido incompresible es acelerado a un ritmo constante a = azez + a3e3 en un campo gravitatorio que es paralelo a la dirección X3. Determinar la pendiente de la superficie libre del líquido. De (7.28) dpl d» ; = 0, dp/clx2 = pa2 y dpld~;:J = -p(g - a3)· Integrando, = pa2x2 + f(x3) y p = -p(g - a3)x3 + h(X2) donde f y h son funciones arbitrarias de sus argumentos. En general, P = pa2x2 - p(g - a3)x3 + Po donde Po es la presión en el origen de coordenadas de la superficie libre. Puesto que p = Po en cualquier parte de la superficie libre, la ecuación de esta superficie es xz/x:¡ = (g - a3)!aZ' p

"

Fig. 7-2

7.14. Si el movimiento

de un fluido es muy lento de tal manera que los términos de orden superior de la velocidad son despreciables, tiene lugar un caso límite conocido como flujo deslizante. En este caso probar que un flujo incompresible y estacionario con fuerzas másicas nulas la presión es una función armónica, es decir, \l2p = O.

190

FLUIDOS Para un flujo incompresible

y para un flujo deslizante

las ecuaciones

éstas se linealizan

de Navier-Stokes

(7.23) son

a la forma =

p(aV/at)

Entonces

CAP. 7

pbi

-

+

P,i

¡L*v¡,jj

para un flujo estacionario con fuerzas másicas nulas, P,; = ¡L*v;,jj' Tomando Y puesto que la ecuación de continuidad para un flujo incompresible es

= ¡L*vi, ijj; \l2p = O. P,li

7.15. Expresar potencial -.i'

la ecuacion de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem de velocidad

De (7.35), Vi = -,i de forma que (7.15) la ecuación de continuidad (7.22) se convierte en = pb; - P.i -

-P
o

+

-P(éJq"i/at

En notación

simbólica

esta ecuación

,k.ik)

+ P.*),jji

(A*

=

pbi -

P.i -

-

se convierte en lo - p\l2

De la definición

=

O. Además de

f

dp

p

=

puesto que dp

fP

=

(p/A) -l/k

=

+ 2p.*)c,t>,jji

(A*

que tiene la ecuación de estado

dp, el mismo resultado

Akpk-l

ECUACION

Sea dx¡ un desplazamiento

Po

se puede conseguir

[k-l]P p

DE BERNOULLI.

7.17. Deducir la ecuación (7.39) integrando

=

kA

k - 1~

Po

Ak

FLUIDOS PERFECTOS.

lIk fp
=

dp

k - 1

P=Apk

_ Po

-

k k - 1

k k - 1

(p po) p

Po

de

(p

P-

po) Po

CIRCULACION

la ecuación de Euler (7.37) a lo largo de una línea de corriente.

infinitesimal

ala

largo de una línea de corriente.

Tomando

el producto

escalar

de

con (7.37) e integrado

::i

f

dx¡

+

f

VjVi,j

+

dx,

f

n,i dx¡

+

f r,

dx¡

=

C(t)

Puesto que n,i dx¡ = dn y P,i dx¡ = dP los últimos dos términos son de integración inmediata. También, una línea de corriente, dx¡ (v/v) ds donde ds. es el aumento de distancia. En la segunda integral,

=

=

Vjv¡,jdx¡

f

vi

se escribe

P

Po

Por lo tanto,

de;

dc (7.29),

P(p)

este desplazamiento

en términos

P.*.ijj

7.16. Hallar la función de presión P(P) para un fluido barotrópico donde A y k son constantes.

Además,

la divergencia de esta ecuación = 0, se sigue que aquí P, ii =

Vi, i

Vjv¡,j

dx;

=

=

Vjvi.j(v/v)ds

f

V¡ dVi

=

tV¡Vi

·v¡v¡,j(v/v)ds

=

tv2,

=

viv¡,jdxj

y se llega a (7.39).

=

vidv¡

a lo largo de

CAP. 7

FLUIDOS

191

7.18. El fluido barotrópico del Problema 7.16 fluye desde un gran tanque cerrado a través de un tubo liso y delgado. Si la presión en el tanque es N veces la presión atmosférica, determinar la velocidad del fluido a la salida . .Aplicando la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario entre el punto A, en reposo en el fluido del tanque y el punto B, en la corriente libre de salida, (7.39) sugiere la forma !lA + PA + 1,-V; = !!B + Pn + ~~v~. Pero 1'/\ = 0, y si se supone despreciable la gravedad esta ecuación se convierte en (ver Problema 7 .16). ~

_k_, _ k - 1

y como PElp"

(P'1 _ pn)

= (p¡¡lp,\)-L'I::=

=

Pn

n.\

~liV~

el resultado

X-l/k

2k

.,

1';¡ =

(N

»»

2 _ 1-'8-------1

o

-

PE

k - 1 PR

)

PA

se puede escribir PR

~)¡. --:-_.~

--

k -

PIl

1

(Nl1<-I)/I,

1)

-

7.19. Probar que para un fluido barotrópico y no viscoso en presencia de fuerzas másicas conservativas la variación de la circulación por unidad de tiempo es nula (Teorema de Kelvin). De (7.43) j,. ~

¡

-r-;

f'

<~' (¡', d .c : -

(-l~¡ d»¡ -- P,i d.c¡

diferencial

+ 'l'i !lv;)-

+ P).i

= -in

(', di':) Y de (7.37),i·i

- .~. (
para este caso. Así,

=-

j

d(!!

+P

- v2/2)

= O. siendo el integrando

una

exacta.

7.20. Hallar la circulación alrededor del cuadrado == O (ver Fig. 7-3) para el flujo bidimensional - X2)C2_

Xl

= =1,

v =

:\'2

== :!:1,

:r;1

+ x2)el + (x;

(:1.:1

-1

Usando la forma simbólica

de (7.42) con;)

e-:l

=

y \1

x

----T---+-----~~

v = (2x¡ - 1) ~;l'

! 1

~-_-:l;-t--~A

-4

El mismo resultado

J'I

se obtendría

de (7.41) donde

+

(1-x2)cI".~

J'-I

:=

a la integración

FLUJO POTENCIAL.

Fig.7-3

v' clx

(xI+l)cI.l·¡ + S-I(1-XJclX2

1

-¡

procediendo

re

Xl

+ SI

(",¡-l)dx¡

-4

-1

¡

desde A con un sentido antihorario.

FLUJO POTENCIAL

7.21. Dar la deducción de la ecuación del potencial de velocidad <¡~.

PLANO (Sec. 7.6)

dinámica

de los gases (7.45) y expresar esta ecuación

en términos

°

Para un flujo estacionario la ecuación de continuidad (5.4) es o.iv, -+ PVi.i = y la ecuación de Euler (7.36) es 1'1Jj r-; O si se desprecian las fuerzas másicas. Para un fluido barotrópico P = p(p) y así, (1) = (r7p/rJx-;)(a.>:;!rlp)cl/J; reagrupando », = (dpldp)P.i == C~P.i donde e es la velocidad local del sonido. Introduciendo ésta en la ecuación de Euler y multiplicando por Vi da p'V,vj1ij,¡ + C~v¡P.i = O. De la ecuación de continuidad C~l'iI'., = -C~l·i.i = -C~"ij'Vi.¡ y así (C~.si¡ - 'ViV)1'i.¡ = O. En términos de ,¡ = -Vi ésta es ((!~Úij -- ~'>,i9,-¡h'.j¡ = O. vi.} -'- P. i

7.22. Probar que la función (,)= A (-xi - x~ ponentes de velocidad resultantes. Sustituyendo

¿

en (7.46)

da

2A - 2A

+ 2;i'~)satisface + 4A ==

la ecuación de Laplace y determinar

O. De (7.35),

'VI

= 2Axl•

'V~

= 2Axz,

'U3

o::

--4Ax:1.

las comTambién,

FLUIDOS

192 analizando X2 por

7.23. Probar

CAP. 7

el Problema 4.7 las líneas de corriente en el plano X¡ están representadas por X~X:l = constante; contante. Así, el flujo tiene lugar a lo largo del eje x:¡ y contra el plano x¡x2 (pared fija).

en el plano

~'i

:C3 -r-

que la función de corriente

,¡;(:r¡,X2) es constante

a lo largo de cualquier línea de corriente.

De (7.48) y la ecuación diferencial de una línea de corriente dx¡/v¡ ::::dX2/v2 (ver Problema 4.7), -elx¡/';',2 Y, ¡ d;c¡ T Y,2c!X2 = el,;,::::O. Por lo tanto, ,;, :::: constante a lo largo de cualquier línea de corriente.

7.24. Comprobar que 1>= A(x~ - X~) es un potencial cidad válido, y describir el campo de flujo.

= &r2/~,

¡

de velo~~~

Para la

líneas cquipotcnciales

líneas eje corriente

Fig. í"4

"

x:i

7.25. Un potencial de velocidad está dado por 1> función de corriente .¡; de este flujo.

+ x~.

Determinar

la

De (7.50), ';',1 = -0,2:::: 2Bx1x2h4 e integrando, Ir = -Re:!! ,':! + l(x2) donde ¡(x2) es una función arbitraria de x2· Diferenciando -f,z :::: -B(xi - x~)h·1 + f'(X2)' Pero de (7.50), ';',2= 1>,¡ :::: A + B(-xi + x~)ll'l. Así l/(X2) = A Y f(:c2) = Axz + C. Finalmente, ,;, = Axz - BX2h2 + C.

7.26. Diferenciar

el potencial complejo

1)(z)

= Alz

para obtener las componentes

Aquí d/dz :::: -A/Z2 :::: -A/(:c¡+ Ü2)2 que después de algunas manipulaciones - x~)/'r4 + i2Ax¡X2/r4. Así, 1'1 = A(x~ - X;)14 Y V2' = 2Ax¡X2/r'l., Nótese que como el> A/z ::::,A(x¡ - ix2)h2, ",-= Ax¡h·2 y ,;, = -Axz!-r". También que

de velocidad. algebraicas

dad/dz = -A(x~

=

y

Problemas diversos 7.27. Deducir la ecuación unidimensional coso a través de un tubo.

de continuidad

para el flujo de un fluido incompresible

no vis-

Sea V el volumen comprendido entre dos secciones transversales arbitrarias A y B de una corrientetubular como se indica en la Fig. 7-5.

En forma = O

puesto

r ;}.v

Js

integral,

clS

(5.2) se convierte

para este volumen

que r aquí es constante.

=

O

donde

Aplicando

;} es el normal

vASA

Iv v-

el teorema

unitario

v dV

de Gauss,

que se aleja de la A

superficie S que encierra al volumen V. Puesto ficie lateral, la integración se reduce a

La velocidad

en

se supone uniforme = una constante.

:::: vRSB

y perpendicular

que ;} 1. v en la super-

a

SA

y

Sil;

y puesto que

Fig.7-5

Vn

:::: -Vn

ñB, VA

f 5"

as -

Vn

j' SR

as

O

FLUIDOS

CAP. 7

7.28. El tensar' de tensión nula es

en un punto dado de un fluido newtoniano

-26 2 -1 \ -9 4 l. Determinar

(

uij

193

con una viscosidad

volumétrica

'ij"

\--14-3) De (7.14), para este fluido p = -a¡J3

= G. Entonces

de (7.3),

o CTij

+

o

6o¡j

6

O

7.29. Probar que

y 'u de (7.3) tienen los mismos ejes principales.

(Tij

=

=

Igualando componentes en (7.3), a11 -p + T11, a22 = -p + '22, a33 = -p + 7"33' a12 = 712' a23 72.3, a13 = TI:)' Para las direcciones principales de C7ij, a;'2 = a~3 = CT'i3 = O Y las tres últimas ecuacioncs de (7.3)~ CT7j = Ti; = O para i #- j. Así, son también ejes principales de Tij .

x;'

x7

7.30. Con frecuencia se define para un fluido newtoniano un potencial de disipación ción v/aD ="c.

q'D

dado por la rela-

1

•

,i

a'¡'Il/aDpq

,Aquí, aD;/aDpq

IJ

=

t)

1)

(Kj2)[D¡¡(aDulaDpQ) de forma que

K

Pero aD¡¡/aD

pCj

= Il¡pll;q

Opq

=-, :-" + 21' '"13,

7.31. Hallar la relación densidad-presión Para relación p

7.32. Probar

+ 2~rD;;(a.D¿jilDpq)].

(fJD)riDp,)Dj;)

= o¡pOjq - o¡jopql3

finalmente

To)oiRa

+

1)

7.11

= Po' La ley de los gases ideales (7.6) aquí es p = pR(To - aX3) y Po = poRTo; y de la altura presión del Problema 7.11 pIpo = (TITo)(gmo.- 0. Escribiendo p Po(l - aX3/ en la forma pipo = (TITo)gfRfY, se ve que 1'/1'" :-:: (p/]>(I)+Ro¡g y así, pipo = (plpo)(!-Rafg). x;l

= O, p =

para el gas ideal discutido en el Problema

= Po(l-

Po

Y

1)

=

ax/To)gIRa

para un fluido barotrópico

derivada material de la vorticidad De (4.54) y del Problema según el teorema

de la divergencia

ya que el integrando

no viscoso en presencia de fuerzas másicas conservativas, total, ·dr!.- ( q. dV = ( v», dS ..

f'

dd q¡ dV t • \' (1.157),

4.33,

es nulo (producto

que la

t

J1' = •s

f

Js

1

('¡jka"

de un tensar simétrico

1)

+ q¡v¡) as;

)

Pero aquí,

por otro antisimétrico).

ak

= -(n + P).k

de (7.37), y

Entonces

7.33. Probar que en un fluido newtoniano incompresible que se mueve en el interior de un recipiente rígido cerrado y qu~eto, la ~ariació~ .de la energía cinética ~or unidad de tiempo del fluido es +p." q2 dV suponiendo fuerzas rnasicas nulas. q es la magnitud del vector torbellino. v

i

CAP. 7

FLUIDOS

194 Del Problema

5.27, la variación

de la energía cinética por unidad de tiempo de un medio continuo

es

dK

lit En este problema

la primera

y tercera integrales

son nulas; y para un fluido newtoniano

-f

dK dt

(-poii

de (7.18),

+ A*Oi¡Dkk + 2Jl*Dij)vi,j

dV

v

Pero la incomprensibilidad

significa que vi,i

= Di; = O

dK dt

y así,

-,,* r-

f

·dV

(v 1,)·+v)v ),1

1,)

V

7.34. Demostrar que para un fluido perfecto en presencia de fuerzas másicas

r

despreciables la variación

de la circulación por unidad de tiempo e está dada por - J~ r k(l/p) .p k dS.. De (7.43), re = Vi dx¡ + Vi dv¡; y como d(tv2) = O, la se~unda integral es nula. Vi

= -p.Jp

.f

.f

f· t)

.f

.J.

1.

De (7.36) con bi

= O,

y ahora

J(S... '''k(P

-

en la que se usó (7.42) para transformar

1}

la integral de superficie.

,

klp)

,J

·nt dS

Diferenciando.

-f

'''k(l/p) 1)

,1

P

J

k

as,

t

S

Problemas propuestos constitutiva de un fluido isotrópico es aij = -PO¡i Probar que los ejes principales de tensión coinciden

7.35.

La ecuación coordenadas.

7.36.

Probar

que (l/p)(dp/dt)

7.37.

Probar presar

que las relaciones constitutivas de un fluido newtoniano por el par de ecuaciones 8ij 2¡;.* Dij . Y -aií = 3p.

=

O es una condición

para que

-(1i;/3

+ Ki,ipqDpq

con Kijpq constantes independientes con los de velocidad de deformación.

= P en

de las

un fluido newtoniano.

con una viscosidad

volumétrica

nula se pueden

ex-

=

v=

7.38.

Probar que las ecuaciones de Navier-Stokes en términos del vector torbellino q se pueden escribir b - Vp/p - v*V X q donde v* = ¡;.*/p es la viscosidad cinemática. Probar que para un movimiento irrotacional esta ecuación se reduce a (7.36).

7.39.

Si un fluido se mueve radialmente nuidad es ~e. + v ap + 1'. .i.. (r2v) at ar r2 ar

con una velocidad

v ~ v(r, t) donde

r2 = XiXi.

demostrar

que la ecuación

de conti-

= o.

!

7.40.

7.4

t.

Un líquido gira como un cuerpo rígido con una velocidad gravedad es la única fuerza másica, probar que p/p - ",zr2/2 Demostrar para un gas ideal bajo condiciones donde (lo YPo son la densidad y presión a "'3

isotérrnicas

= o.

angular

+ gX3 =

constante constante.

(temperatura

'" alrededor

constante

= To),

de un eje vertical

que pipo

= pipo = e

X3'

Si la

-(gIRTox,l

FLUIDOS

CAP. 7

195

7.42.

Probar que si las fuerzas másicas son conservativas b¡ = -n,i, las ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem para el movimiento irrotacional de un fluido barotrópico pueden integrarse obteniendo -p(éJ/éJt + (\]<;6)2/2)+ pn + P + (>-.* + 2,u*)\]2 = f(t). (ver Problema 7.15).

7.43.

Demostrar que la velocidad y vorticidad de un flujo no viscoso en presencia de fuerzas másicas conservativas y una densidad constante satisfacen la relación q¡ - qjVi,j O. Probar que para un flujo estacionario del mismo fluido Vj q¡, i

=

qjvi,j'

7.44.

7.45.

Probar para un fluido barotrópico definido por (7.29) con

y P(P), que grad P

= grad

p/ p.

Probar que para un movimiento estacionario de un gas ideal la ecuación de Bernoulli (7.39) toma la forma (a) n + p In + v2/2 constante, para un flujo isotérmico y (b) n + (k/k - l)(p/p) + v2/2 = constante, para un flujo isoentrópico.

(p/ p)

7.46.

p = p(p)

=

Probar que el campo de velocidad VI = -2X¡X2X3h4, V2 = (xi - x~)x:¡/r4, flujo posible para un fluido incompresible. ¿El movimiento es irrotacional?

V3

=

donde

x2h·2

7.47.

Si el potencial de velocidad (z) = '" + i.p es una función analítica de variable compleja z en coordenadas po lares -éJ= -1 éJ.p ._.-/y -1 -éJ", - -éJ.p

7.48.

Si las fuerzas másicas son nulas, probar que para un flujo potencial irrotacional nemática.

Br

l'

éJfJ

r

ee

r

2

=

xi + x~

+ xg es un

Sol. Sí. rei9 probar que

ar

= = ¡;.*/p

.p,ii

pO'

es la viscosidad ci-

Capitulo 8

Plasticidad

8.1.

CONCEPTOS

BASICOS y DEFINICIONES

Las deformaciones elásticas, consideradas en el Capítulo 6, se caracterizaban por una recuperación completa en la configuración no deformada, una vez que se retiran las cargas aplicadas. Además, las deformaciones elásticas solamente dependen de la magnitud de la tensión y no de la historia de tensiones o deformaciones previas. Cualquier cambio de forma como respuesta de un medio continuo a las cargas aplicadas, o a condiciones ambientales, que no obedezca a las leyes constitutivas de la elasticidad clásica, se considera como una deformación inelástica. En particular, las deformaciones irreversibles que resultan de mecanismos de deslizamiento, o de dislocaciones a una escala atómica, y que por lo tanto conducen a cambios dimensionales: permanentes, son conocidas como deformaciones plásticas. Tales deformaciones únicamente tienen lugar a intensidades de tensión por encima de un cierto valor umbral conocido como límite elástico o tensión de fluencia, que aquí se denota por O"yEn la teoría de la plasticidad, la cuestión fundamental consiste en la formulación matemática de las relaciones tensión-deformación adecuadas para la descripción fenomenológica de las deformaciones plásticas, y en la adopción de un criterio de fluencia apropiado para predecir el comienzo del comportamiento plástico. Por el contrario, el estudio de la deformación plástica desde un punto de vista microscópico pertenece al dominio de la física del estado sólido. B

La frase flujo plástico se usa ampliamente en plasticidad para designar a una deformación plástica continua. No obstante, a diferencia del flujo de un fluido, un flujo plástico continuo se puede referir a una cantidad de deformación, como a una velocidad de deformación. Desde luego, un sólido en estado "plástico" puede soportar tensiones cortantes aun estando en reposo. Muchos de los conceptos básicos de la plasticidad se pueden introducir de una forma elemental considerando el diagrama tensión-deformación de un ensayo de tensión (o compresión) uniaxial correspondiente a 196

j

J

ay

Fig.8-1

197

PLASTICIDAD

CAP. 8

un material hipotético como se indica en la Fig, 8-1. En este diagrama, a es la tensión nominal (fuerza/sección original), mientras que la deformación € se puede representar ya sea por la deformación (de ingenieria) convencional definida aquí por e

donde L es la longitud instantánea (logarítmica) o real definida por €

=

=

de la probeta

In (L/Lo)

=

(L - Lo)/Lo

(8.1)

y Lo la longitud original,

In (1 + e)

=

e - e2/2

+ O(e3)

o por la deformación

natural

(8.2)

Para deformaciones pequeñas, estas dos medidas de la deformación son casi iguales como se ve en (8.2) y a menudo se puede despreciar la diferencia. El punto límite P, correspondiente al límite elástico ay, separa a la curva tensión-deformación de la Fig. 8-1 en un campo elástico y un campo plástico. Desafortunadamente, este punto no siempre se encuentra bien definido. Algunas veces se toma en el límite de proporcionalidad que está situado en el extremo superior de la parte inicial recta de la curva. En ocasiones se puede también elegir un punto J, conocido como límite elástico aparente de Johnson que se define como la tensión correspondiente al punto en el que la pendiente de la curva alcanza un 50070 de su valor inicial. También se usan varios métodos equivalentes para definir este punto límite, uno de los cuales es la tensión que produce una deformación permanente del 0.2070. En el campo elástico inicial, que puede ser lineal o no lineal, un aumento de la tensión da lugar a que el punto representativo del estado de tensión-deformación se desplace hacia arriba a lo largo de la curva, y una disminución de la tensión o una descarga da lugar a que dicho punto se desplace hacia abajo a lo largo del mismo camino. Por lo tanto, en el campo elástico existe una relación biunívoca tensióndeformación. En el campo 'plástico, la descarga a partir de un punto tal como el B de la Fig. 8-1, da lugar a que el punto representativo de la tensión siga el camino Be que esencialmente es paralelo a la recta elástica inicial de la curva. En e, cuando la tensión es nula, queda una deformación plástica permanente ,l'. La deformación elástica recuperable desde B se señala por fE en la Fig. 8-]. Si se vuelve a cargar desde e volviendo hacia B seguiría muy estrechamente el camino Be pero con una curvatura en B, y con un pequeño anillo de histéresis debido a la pérdida de energía en el ciclo de carga y descarga. Después de volver a B es necesario un aumento de carga para originar una deformación posterior, condición que se conoce como endurecimiento por trabajo o endurecimiento por deformación. Está claro, por lo tanto, que en el campo plástico las tensiones dependen de las cargas aplicadas o de la historia de deformación del material. Aunque se reconoce que la temperatura tiene una influencia definitiva en el comportamiento plástico de un material real, es constumbre en la mayor parte de la plasticidad suponer condiciones isotérmicas y considerar a la temperatura como un parámetro. De igual modo, es una práctica común en la plasticidad tradicional despreciar cualquier efecto que tuviera la velocidad de deformación en la curva tensióndeformación. Según esto, se supone que las deformaciones plásticas son independientes del tiempo y separadas de fenómenos tales como la fluencia y relajación.

8.2.

COMPORTAMIENTO

PLASTICO

IDEALIZADO

Gran parte de la teoría tridimensional que analiza el comportamiento plástico se puede considerar como una generalización de ciertas idealizaciones de la curva de tensión-deformación unidimensional de la Fig. 8-1. Los cuatro diagramas tensión-deformación idealizados más comunmente usados se presentan en la Fig. 8-2, acompañados cada uno de un modelo mecánico sencillo. En los modelos, el desplazmiento de la masa representa a la deformación plástica y la fuerza F a la tensión.

198

PLASTICIDAD

CAP. 8

En la Fig. 8-2(0), la respuesta elástica y el endurecimiento por deformación se han omitido, mientras que en (b) se incluye la respuesta elástica, previa al limite elástico, pero no así el endurecimiento por deformación. En ausencia del endurecimiento por deformación la respuesta plástica se denomina perfectamente plástica. Las representaciones (a) y (b) son especialmente útiles para el estudio de la deformación plástica restringida en la que no son posibles deformaciones grandes. En la Fig. 8-2(c) se ha omitido la respuesta elástica y se ha supuesto que el endurecimiento por deformación es lineal. Esta representación, así como la (a), se ha usado ampliamente para analizar el flujo plástico no restringido. Las curvas tensión-deformación de la Fig. 8-2 aparecen en el contexto de las curvas de tensión. La curva de compresión para una probeta no deformada previamente (sin historia de deformación plástica) se toma como la imagen de la curva de tensión respecto al origen. No obstante, si se aplica una tensión reversible (tensión a compresión o viceversa) a un material real, que ha sido endurecido por deformación, se observa una disminución definida del límite elástico. Este fenómeno se conoce como efecto Bauschinger y en este libro no se tendrá en cuenta. C1

C1y

f-----------'-----

~

;'F

.

~//ffff/ff;~//,?////.

Rugoso (a)

Rígido-perfectamenteplástico

Uy

~F

~------------_~E (b)

Elástico-Perfectamente

~ Rugoso plástico

C1

~'VVEvvv----' C1y

M

Rugoso (e)

Rígido-Endurecimiento por deformación lineal

.C1

Rugoso (d)

Elástico-Endurecimiento por deformación lineal Fig.8-2

CAP. 8.

8.3.

199

PLASTICIDAD

CONDICIONES DE PLASTICIDAD.

CRITERIOS DE TRESCA y VON MISES

Una condición de plasticidad es en esencia una generalización a un estado de tensión tridimensional del concepto de límite elástico bajo carga en una dimensión. Fundamentalmente, un criterio de plasticidad es una relación matemática entre las componentes del estado de tensión en un punto, la que se ha de satisfacer para que comience en el punto el comportamiento plástico. En general, un criterio de plasticidad se expresa poi la ecuación f(CJ)

(8.3)

= C;

donde C; es conocida como la constante de fluencia, o como se da algunas veces por la ecuación (8.4)

en la que t, (CJi) se denomina la función de fluencia. Para un material isótropo, la condición de plasticidad tiene que ser independiente de cualquier dirección y por lo tanto puede expresarse como una función de los invariantes de tensión, o, de otro modo, como una función simétrica de las tensiones principales. Así, (8.3) puede aparecer como (8.5)

Además, la experimentación indica que la incipiencia de plasticidad no está afectada por tensiones hidrostáticas moderadas, de tal manera que es posible presentar la condición de plasticidad como una función de los invariantes desviadores de tensión en la forma (8.6)

De las numerosas condiciones de plasticidad que han sido propuestas, dos de ellas son razonablemente sencillas y aun lo suficientemente exactas como para que sean de gran utilidad en la fluencia inicial de los materiales isótropos. Estas son:

(1) Criterio de Tresca (Teoría de la cisión máxima) Esta condición afirma que el comportamiento plástico comienza cuando la cisión máxima alcanza un valor crítico eT Matemáticamente, la condición se expresa en su forma más sencilla cuando se da en función de las tensiones principales. Así, para CJ1 > aII > a111' el criterio de Tresca está dado por (2.54b) como (8.7) ~-(a[ - am) = ey (una constante) Para relacionar a la constante el' con el límite elástico a tracción uniaxial ay, la cisión máxima a tensión uniaxial es ay/2 (como se observa en los círculos de Mohr de la Fig. 8-3(a), por ejemplo). Por lo tanto, cuando el criterio de Tresca se relaciona con el limite elástico a tracción uniaxial se convierte en

(8.8) El límite elástico correspondiente a un estado de tensión que se denomina de cisián pura también se puede usar como una tensión de referencia para determinar la constante y• Así, si el valor del límite elástico a cisión pura es k, la constante el' es igual a k (de nuevo los círculos de Mohr prueban claramente este hecho, en la Fig. 8-3 (b», y el criterio de Tresca se escribe en la forma

e

(SJJ)

200

PLASTICIDAD

CAP. 8

<7\·/2

O'¡

=-

k

------~------~~-----+~--~~ -k 0'1I1 :....:

(a)

(j.",

Tensión uniaxial

Cisión pura

(b)

Fil{. 8-3

(2) Criterio de van Mises Crearía de la Energía de Distorsión) Esta condición afirma que la deformación plástica comienza cuando el segundo invariante de tensión desviador alcanza un valor crítico. Matemáticamente, la condición plástica de von Mises establece que -IhJ) = Cv (8.10) que escrita en función de las tensiones principales

es (8.11)

Respecto al límite elástico a tracción uniaxial, se prueba fácilmente que (8.11) da lugar a (al -

a¡y

+

(alI -

am)2

+

(aIII -

aJ2

=

2,,;.

(8.12)

También, en relación con el valor del límite elástico a cisión pura K, la condición de van Mises (8.1 J) aparece en la forma (U¡_-UJI)2+

(alI-umF+

Existen varias modificaciones para presentar tensión distintas de las tensiones principales.

8.4.

ESPACIO DE TENSIONES.

= 6k2

(8.13)

(8.12) y (8.13) cuando se emplean otras componentes

EL PLANO-TI.

Se puede establecer un espacio de tensiones usando la magnitud de las tensiones como una distancia que se lleva en los ejes coordenados. En el espacio de tensiones de Haigh- Westergaard de la Fig. 8-4 los ejes de coordenadas se asocian con las tensiones principales. Entonces a cada punto de este espacio le corresponde un estado de tensión y el vector de posición de un punto cualquiera P(up Ull' um) de éstos, se puede descomponer en una componente OA a lo largo de la línea 02, que forma el mismo ángulo con los tres ejes coordenadas y una componente OB que yace en el plano (conocido como plano- TI) que es perpendicular a 02 y pasa a través del origen. La componente a lo largo de 02, para la que e. II = lll' representa a un estado de tensión hidrostático, mientras que la componente que está en el plano- TI representa la parte desviadora del estado de tensión. Se comprueba fácilmente que la ecuación del plano- Il es =U

(um-u¡f

SUPERFICIES

DE FLUENCIA

"Ill

U

"1

Fig.8-4

de

PLASTICIDAD

CAP. 8

201

(8.14)

En el espacio de tensiones, la condición de plasticidad (8.5), f2(aI' al!' (Tm) = CYJ define una superficie denominada superficie de fluencia. Puesto que los criterios de plasticidad son independientes de la tensión hidrostática, tales superficies son generalmente cilindros que tienen sus generatrices paralelas a 02. Los puntos que yacen en el interior de la superficie cilíndrica representan estados de tensión elásticos, y los que yacen en la superficie misma representan estados de tensión plástica incipiente. La intersección de la superficie de fluencia con el plano- 11 se denomina curva de fluencia. En una vista real del plano- n- mirándolo en la dirección 02 y hacia el origen 0, los ejes de las tensiones principales aparecen simétricamente separados a 1200 como se indica en la Fig. 8-5(a). Las curvas de fluencia para los criterios de van Mises y Tresca aparecen en el plano-rr tal como se representan en la Fig. 8-5(b) y (c). En la Fig. 8-5(b), estas curvas se han dibujado según (8.7) y (8.11), tomando como base el límite elástico a tracción uniaxial. En estas condiciones, el círculo de van Mises de radio V273 y circunscribe el hexágono regular de Tresca. En la Fig. 8-5(c), las dos curvas de fluencia están basadas en el límite elástico a cisión pura k. Aquí, el círculo de van Mises está inscrito en el hexágono de Tresca. U

aIl!

I UIII

a'I'

/./

~ radio: v7.ay

~

.1

radio: kV2

O

aIl

a,

(al

a,

/ "'"(;1

aIl

GIl

(e)

(b)

Fig.8-5

La posicion en el plano- TI de la proyección de un punto de tensión arbitrario P(uI' (Tn' (T1lI) está aumentada linealmente puesto que cada uno de los ejes del espacio de tensiones forman. coa " /213 con el plano- 1I- Así, las componentes desviadoras proyectadas son (V2íJ y2/3 "n' V2/3 (TnJ El problema inverso de la determinación de las componentes de tensión de un punto arbitrario del plano- n- no tiene solución única ya que las componentes hidrostáticas de tensión pueden tener un valor cualquiera. (J"¡>

8.5.

COMPORTAMIENTO POST-ELASTICO. ISOTROPICOY CINEMATICO

ENDURECIMIENTO

El aumento de la carga después de llegar al límite elástico conduce a una deformación plástica que puede ir acompañada de alteraciones en la superficie de fluencia. Para un material que se supone perfectamente plástico la superficie de fluencia no cambia durante la deformación plástica y continúa como válida la condición inicial de comienzo de plasticidad, caso representado en la Fig. 8-2(a) para un comportamiento perfectamente plástico unidimensional. Para un material con endurecimiento por deformación, la deformación plástica va generalmente acompañada de cambios en la superficie de fluencia. Para tener en cuenta tales cambios, es necesario que la función de f1uencia 1,(
o

(8.15)

202

PLASTICIDAD

CAP. 8

que no solamente depende de las tensiones, sino también de las deformaciones plásticas (1: y de las características de endurecimiento por deformación representadas por el parámetro K. La ecuación (8.15) define una superficie de carga en el sentido de que = O es la superficie de f1uencia, < O es una superficie interior (elástica) y 17> 0, otra que al ser exterior a la superficie de fluencia no tiene ningún significado.

r:

Diferenciando

1;

(8.15) según la regla de la cadena

(8.16)

°

Así, para t; = y (af;/Ba) 9,aij < 0, se dice que tiene lugar una descarga; para f~' = O Y (at;/Ba;j) da;j = 0, una carga neutra; y para T= O-y (Bt;/Ba) da;; » O una carga.' La forma en la que entran las deformaciones plásticas €i~ en la funciórí(8.15) cuando se aplica una carga está definida por las reglas de endurecimiento, y en lo que sigue se describen dos casos especialmente sencillos. La hipótesis de un endurecimiento isotropico bajo condiciones de carga postula que la superficie límite simplemente aumenta de tamaño y mantiene su forma original. Por esto, en el plano-rr las curvas límites para los criterios de von Mises y Tresca son círculos concéntricos y hexágonos regulares como se ve en la Fig. 8-6.

Curvas de fluencia originales

(a)

Círculos

_

de Mises

(b)

Hexágonos

de Tresca

Fig.8-6

En el endurecimiento cinemático, la superficie de f1uencia inicial se traslada a una nueva posición en el espacio de tensiones sin cambio de tamaño o forma. Así, (8.4) que define una superficie de fluencia inicial se sustituye por (8.17) donde las (X;j son las coordenadas del centro de la nueva superficie límite. Si se supone un endurecimiento lineal,

p

(8.18) donde e es una constante. Para un caso uni-dirnensional, el hexágono de Tresca podría trasladarse como se indica en la Fig. 8-7.

8.6.

ECUACIONES PLASTICAS POTENCIAL PLASTICO

TENSION-DEFORMACION.

Fig.8-7

TEORIA DEL

U na vez que comienza la deformación plástica, las ecuaciones constitutivas de la elasticidad ya no son válidas. Debido a que las deformaciones plásticas dependen de la historia completa de las cargas

CAP. 8

203

PLASTICIDAD

previamente aplicadas al material, las relaciones plásticas tensión-deformación se presentan con frecuencia en términos de incrementos de deformación, en forma de las denominadas teorías incrementales. Despreciando la región elástica y suponiendo que los ejes principales de los incrementos de deformación coinciden con los ejes de tensión principales, las ecuaciones de Levy-Mises relacionan los incrementos de deformación totales con las componentes desviadoras de tensión a través de las ecuaciones (8.19) Aquí el factor de proporcionalidad d): 'aparece en forma diferencial para resaltar que las deformaciones incrementales se están relacionando con las componentes de tensión finitas. El factor dA puede cambiar durante la carga y es, por lo tanto, un multiplicador escalar y no Una constante fijada. Las ecuaciones (8.19) representan la regla de flujo de un material perfectamente rígido-plástico. Si el incremento

de deformación

se desdobla en sus partes elástica y plástica según (8.20)

y los incrementos

de deformación

plástica se relacionan

con las componentes

del tensor desviador

según (8.21)

las ecuaciones que resultan se conocen como ecuaciones de Prandtl-Reuss. Las ecuaciones (8.21) representan la regla de flujo de un material perfectamente elasto-plástico. Estas ecuaciones proporcionan una relación entre los incrementos de deformación plástica y las tensiones desviadoras instantáneas, pero. no especifican las magnitudes de tales incrementos de deformación. Se da el nombre para la que

de función

potencial

plástico

a una función

de las componentes

de tensión

g(ui)

(8.22) Para un material denominado plásticamente estable, existe esta [unción y es idéntica a la función fluencia. Además, cuando la función de fluencia I1 (ui) = IIrD, la (8.22) da lugar a las ecuaciones Prandtl-Reuss (8.21).

8.7

TENSION EQUIVALENTE. EQUIV ALENTE

INCREMENTO

DE DEFORMACION

En relación con la formulación matemática de las reglas de endurecimiento utilidad definir la tensión eficaz o equivalente UEQ como uEa

-

-

1 {[( V2

ull

-

u22 )2

+ ( u22

-

Esta expresión se puede escribir abreviadarnente

U33

)2 + ( u33

-

uII

)2"J + 6( UJ22 + 0"232

+

de de

PLASTICA por deformación,

2)} ¡/2

es de (8 . 23)

U31

como (8.24)

De manera análoga,

se define el incremento

de deformación

plástica eficaz o equivalente

dffQ

por

(8.25)

204

PLASTICIDAD

que abreviadamente

CAP. S

es (8.26)

En términos de los incrementos respectivamente, dA de (8.21) será

de deformación

TRABAJO PLASTICO. DEFORMACION

equivalentes

definidos

en (8.25) y (8.24)

3 dEfo

dA

8.8

y tensión

2

HIPOTESIS

(8.27)

e 1':0

DE ENDURECIMIENTO

POR

La velocidad a la que las tensiones realizan un trabajo, o la potencia de tensión como se denomina, se ha dado en (5.32) como cr¡jDii por unidad de volumen. De (4.25) diU = Du clt de tal manera que el incremento de trabajo por unidad de volumen se puede expresar por clW = y usando

(8.20), ésta se puede desdoblar

(8.28)

crdc 1)

1)

en (8.2,9)

Para un material plásticamente

el trabajo plástico incremento! se convierte en

incompresible

(8.30) y si el material

obedece a las ecuaciones puede expresar por

de Prandtl-Reuss

(8.21), el incremento

de trabajo

plástico se

(8.31)

dlP' y (8.21) reescrita en la forma

(8.32)

Se han propuesto dos hipótesis ampliamente consideradas para el cálculo del límite elástico instantáneo, bajo un flujo plástico de endurecimiento por deformación isotrópica. Una de ellas, conocida como la hipótesis de endurecimiento por trabajo, supone que la superficie de fluencia instantánea depende solamente del trabajo plástico total dado. Así, cuando el trabajo plástico total se expresa por la integral Wp el criterio de plasticidad

--

f

(Tu

se puede expresar simbólicamente

u:

(,t:ij

(8.33)

por la ecuación (8.3.4)

para la cual se ha de determinar experimentalmente la forma funcional precisa. Una segunda hipótesis, conocida como hipótesis de endurecimiento por deformación, supone que el endurecimiento es una función de la cantidad de deformación plástica. En términos de la deformación equivalente total

CAP. 8

PLASTICIDAD

205

(8.35)

esta regla de endurecimiento

se expresa simbólicamente

por la ecuación (8.36)

en la cual la forma funcional se determina en un ensayo de tensión-deformación uniaxial del material. Se ruede comprobar que para el criterio de von Mises, las reglas de endurecimiento (8.34) y (8.36) son iuivalentes.

8.9 TEORIA DE LA DEFORMACION

TOTAL

En contraste con la teoría incremental de la deformación plástica tal como se presentó en las ecuaciones tensión-deformación incrementales (8.19) y (8.21), la teoría de la deformación total de Hencky relaciona la tensión con la deformación total. Estas ecuaciones son (8.37) (8.38)

En términos de la tensión y deformación

equivalentes, _.

el parámetro 3

rl->

se expresa por

Era

2 "Ea

donde aquí,

EEPQ ;.

=

(8.39)

y2fP. u EP./3 de modo que 1)

(8 ..4.0)

8.10

PROBLEMAS

ELASTOPLASTICOS

Las situaciones en las que en un cuerpo existen deformaciones elásticas y plásticas aproximadamente del mismo orden bajo una carga se denominan problemas elasto-plásticos. Un número de ejemplos de tales problemas 'bien conocidos tiene lugar en la teoría de vigas, torsión de ejes y tubos de pared gruesa y esferas sometidas a presión. En general, las ecuaciones que resuelven el problema de la región elástica, la región plástica y la interfase elasto-plástica son éstas: (a) Región elástica

1. 2. 3. 4.

Ecuaciones de equilibrio (2.23), página 62 Relaciones tensión-deformación (6.23) o (6.24), página 162 Condiciones de contorno de tensión o desplazamiento Condiciones de compatibilidad

(b) Región plástica

l. 2. 3. 4.

Ecuaciones de equilibrio (2.23), página 62 Relaciones de tensión-incremento de deformación (8.21) Criterios de plasticidad (8.8) u (8.11) Condiciones de contorno en el contorno plástico cuando existan

(c) Interfase

elasto-plástica l. Condiciones de continuidad

de tensión y desplazamiento

206

CAP. 8

PLASTICIDAD

8.11 TEORIA ELEMENTAL DE LAS LINEAS DE DESLIZAMIENTO EN DEFORMACION PLASTICA PLANA En un flujo plástico no restringido tal como el que tiene lugar en las operaciones de hechura do de los metales, es posible despreciar las deformaciones elásticas y considerar que el material es perfectamente rígido-plástico. Si además, se considera que este flujo constituye un caso de deformación plana, el campo de velocidad resultante se puede estudiar mediante la teoria de las líneas de deslizamiento. Tomando el plano XIXZ como el del flujo, el tensor de tensión es de la forma

(8.41)

17

ij

o y como se desprecian las deformaciones en estas condiciones es

elásticas el tensar de velocidad de deformación

plástica aplicable

(8.42)

En (8.41) y (8.42) las variables solamente

son funciones de

Xl

y

X2

y además (8.43)

donde

Vi

son las componentes

de velocidad.

Para las condiciones supuestas Reuss (8.21), la tensión 1733 es

de deformación

plana,

d€33

= O; y así, de las ecuaciones

de Prandtl-

(8.44) Adoptando la notación característica de las líneas de deslizamiento 0'33 = -p, Y V(O'l1 k, los valores que resultan para las tensiones principales de (8.41) son

-

22)2/4

(7

+

(0'12)2

=

+ k

0'(1)

-p

17(2)

-p

0'(3)

-p - k

(8.45)

Las direcciones de tensión principales están dadas respecto a los ejes X¡X2 como se indica en la Fig. 8-8, donde

tan

2e

=

20'1/(1711

-

(722),

Tal como se vió en la Sección 2.11, las direcciones de la cisión máxima están a 45° respecto a las direcciones principales. En la Fig. 8-8, las direcciones de cisión máxima se designan como las direcciones a y f3. De la geometría de este diagrama, O = ."./4 + q, de forma que

tan 2q,

= -

1

tan 28

~~--L-J------------Xl

Fig.8·8

(8.46)

y para un campo de tensiones dado en un flujo plástico, se pueden establecer dos familias de curvas a lo largo de las direcciones de máxima cisión en cada punto. Estas curvas se llaman líneas de deslizamiento.

CAP. 8

PLASTICIDAD

Considerando un pequeño como se indica en la Fig. 8-9.

elemento

curvilíneo

limitado

-p -

0"11

+

-p

le

O"12

COS

207

por dos pares de líneas de deslizamiento,

k sen 2cp k sen2cp

(8.47)

2cp

y de la ecuaciones de quilibrio se puede comprobar que p + 2kcp CI una constante a lo largo de una línea a p - 2k~ = C2 una constante a lo largo de una línea (3

(8.48)

Xz

f3

f3

XI

Hg. 8-9

Respecto a las componentes

Fig.8-10

de velocidad,

la Fig. 8-10 muestra que en relación con las líneas

a

y (3 (8.49)

Para un material isótropo, los ejes principales de tensión y velocidad de deformación plástica coinciden. Por lo tanto, si x¡ y x2 son direcciones de líneas de deslizamiento, f¡¡ y fS2 serán nulas a lo largo de estas líneas de tal manera que

r

el

'.

:tI

'l-a'

(Va

cos cp -

V~

1

sen cp)J'

o

(8.50)

o

(8.51)

<1>=0

Estas ecuaciones conducen a las relaciones

Finalmente, para problemas puede hallar de (8.48), y usando (8.52) y (8.53).

o

en líneas

et

(8.52)

o

en líneas

(3

(8.53)

estáticamente determinados, el campo de líneas de deslizamiento se este campo de líneas se puede determinar el campo de velocidades por

1 208

PLASTICIDAD

CAP. 8

Problemas resueltos CONCEPTOS 8.1.

BASICOS.

De (8.1),

8.2.

8.1-8-4)

=

= e+1

LILa

Y (8.2) se convierte

= In

en e

= Lo de.

L de

(e

+ 1).

Derivando

esta ecuación,

de/de

=

l/(e

+ 1) = Lo/L

En un ensayo unidimensional bajo una carga P la tensión real es CT = PIA, mientras que la de ingeniería es S = PIAo donde Ao es el área original y A el area instantánea. Determinar para una deformación plástica a volumen constante (AoLo = AL), la condición de la carga máxima.

00

Aquí, S = P/Ao = (P/A)(A/Ao) = a(Lo/L) = a/(l + e), y en un diagrama S-e la carga máxima tiene lugar cuando la pendiente d.Sl de O. Una derivación da dS/de == (da/de - a)/(l + e)2 y ésta es nula cuando da/de a. Del Problema 8.1, esta condición se puede expresar por da/de = a/(l + e).

=

=

Como una medida de la influencia de la tensión principal intermedia en el comienzo de la deformación plástica se usa con frecuencia el parámetro de Lode, /'. = (2uIl - U¡ - "ur )/(,,] - "m)' Probar que en términos de las tensiones principales desviad oras éste sc expresa por [L = 3srJ(s] - sm)' De

(2.71),

a¡ jl

81

+ aM,

etc.,

con

[2(sn -1- a;\¡) --

[3sIl

8.4.

rs«.

DE FLUENCIA

Haciendo uso de las definiciones (8.1) y (8.2), deducir la relación que hay entre las deformaciones natural y de ingeniería. ¿Cómo están relacionados los incrementos de deformación de estas cantidades?

ya que dL

8.3.

FENOMENOS

-

(SI

-+-

Sn

(SI+-

uM -

a;\j) -

a¡,l3.

Así,

(sJIl -1-a;\¡)l/[(s]

-1- SlII J:/(s¡ -

+ a \¡) o

-

+ aM)]

(sm

SIl¡)

Deducir para el estado de tensión Uu = c, CT2Z = U33 = O, "12 = "23 = (T13 = Oproducido en un ensayo de tensión-torsión de un tubo de pared delgada, las curvas límites en el plano .con las condiciones de Tresca y van Mises si el límite elástico a tracción uniaxial es Uy. T,

U-T

-J

-J

Para el estado de? tensión dado, las tensiones princiaples valen al = (a + 472 + a2 )/2, an = O,alll =(a 472 + (2) 2 /2 como se indica en el diagrama de Mohr de la Fig. 8-11. Así, de (8.8) la curva límite de Tresca es -J 47 -+- a2 ay, a2 + 472 = a~, una elipse en el plano c=r . De igual modo, de (8.12) la curva límite de Mises es la elipse a2 + 372 = a~-, Las elipses límites de Tresca y Mises se comparan para este caso en la representación de la Fig. 8-12.

r----==--------------,

0.57 0.5~-

__

Mises 'I'resca

>:"

UI]¡

o

Fig.8-11

1.0 U/Uy

Fig.8-12

=

CAP. 8

8.5.

209

PLASTICIDAD

Convertir el criterio de van Mises (8.10) en la forma (8.11) expresada en función de las tensiones principales. =

De (2.72), -IlrD tonces,

+ SIl

-(SIS¡¡

Sm

-(UIOII

+

sJII SI);

Y de (2.71),

+ UnUm + UIII

(1)

=

s¡

+

(u¡

+

o¡ -

011

0iV/,

+

etc., donde

UM

=

(u¡

+

U¡¡

+

En-

um )2/3

Así,

8.6.

Con el sistema coordenada rectangular OXYZ orientado de forma que el plano XY coincide con el plano -TI y el eje
U¡

Fig.8-13 La tabla de los coeficientes de transformación indica arriba. Por io tanto, U¡

8.7.

1/12

y

-1//6

-V{6

z

1fY3

1/Y3

entr e los dos conjuntos

+ (X/V2 - 3Y /16)2 + (X/V2 + 3YIV6)2 =

X)2

al círculo de fluencia de Mises 3X2

las

u

del

Problema

8.6

+

3Y2

=

!

=

2Y/V6

1/Y3

fácilmente

+ Z/V3

del Problema

en (8.14),

U¡

+

2u~

Un

8.6, probar que (8.14),
+ uII!

y3 Z

= O, o Z = O la que

Para un estado de tensión biaxial con
ui -

Un

= O, la condición

U¡U¡II

+ uin =

de Mises se reduce a

o~

que es la elipse {:r¡luy)2 -

y es la que se

20~ de la Fig. 8-5(b).

XY (plano-rI).

8.8.

2//6 --

de ejes se determina

UIII

Usando las ecuaciones de transformación la ecuación del plano-rr Sustituyendo

o

-1/V2

en

(-V2 la que se simplifica

O¡¡¡

X

= -xl12 -- Ytl6 + Z/Y3,

y (8.12) se convierte

Uu

(CTluII!/CT~)

+

(OIlI/uy)2

1

Fig.8-14

es el plano

210 con sus ejes a 45° en la representación. dición

O"llJ/uy

de (8.8) Y las ecuaciones

De igual modo,

de Tresca da lugar a los segmentos

ecuaciones

8.9.

CAP. 8

PLASTICIDAD

de línea AB y ED con ecuaciones

= :!:1, Y BC y EF con ecuaciones

vur

-

(u¡/uy)

Uy, Un -

al!

(O"IlJ/uy)

-

=

U¡

=

Uy,

la con-

:!:1, DC y FA con

= :;:1, respectivamente.

(I¡/O"Y

En la Sección 8.3 se ha hecho referencia a la condición de plasticidad de von Mises como la Teoría de la Energía de Distorsión. Probar que si la energía de distorsion por unidad de volumen ntD) se hace igual a la constante de fluencia C; el resultado es el criterio de Mises tal como se dio en (8.12). Del Problema

6.26,

UtD)

está dada en términos

de las tensiones

y para el caso de una tracción uniaxial en la que C11 antes, la condición de Mises se expresa por (8.12).

DEFORMACION

PLASTICA.

=

C1y, C1I!

ENDURECIMIENTO

=

principales

(1m

=

O,

u(D)

por

= u~/6G.

Así"

POR DEFORMACION

Cy

=

uy/6G

y, como

(Sec. 8.4-8.8)

8.10. Probar que las ecuaciones de Prandtl-Reuss(8.21) implican una coaxialidad entre los ejes principales de tensión y los de los incrementos de deformación plástica y expresar las ecuaciones en función de las tensiones principales. De la forma de (8.21) cuando se refiere a un sistema de coordenadas en el que las cisiones son nulas, los incrementos de deformación plástica cortante son también nulos. En el sistema de ejes princiaples, (8.21) se convierte en dE; /S¡ dE~/SII dE~¡/SIII == dx; Así, dE; == (uI - uM) dA, dE~ == (UI! - UM) dil, etc., y restando,

=

=

dEi al

-

d,~

d,in

el,;¡ -

un

dE~I -

d,i

u¡n

0"11 -

8.11. Para un caso de deformación plástica plana, con '33 = 0, d'33 = O Y Z2 = 0, probar que las ecuaciones de Levy-Mises (8.19) conducen a la conclusión de que las condiciones de Tresca y Mises son idénticas (cuando se relacionan con la cisión elástica límite K). U

=

=

=

Aquí, (8.19) se convierte en dfll (2ull - (33) dA/3, dfZ2 -(U11 + O"d dA/'J, O 2u33'- uu. Y en ausencia de cisiones UI Ull, Un = "33 == O"u/2. "m == O = "22' Entonces de (8.9) la condición de Tresca es O"¡ - "1II == "11 == 2k. Además, de (8.13) para este caso, la condición de Mises es (ull/2)2 + (-uU/2)2 + (-"1l)Z == 6k2 o 0"~1 = 4k2 Y0"11 == 2k.

=

8.12. Probar que las ecuaciones de Prandtl-Reuss implican Problema 8.3) y v = (2d'i¡ - d'i - d,~¡)/(d,;' - d,i~¡). De las ecuaciones

(8.21), v -

(2slI-s¡-Sm)elA/(S,-sJI[)dil (2(0"1l - "M) (2un

8.13. Escribiendo

IhD

la igualdad entre la variable de Lode

= s ..s ../2., IJ

IJ

-

u,-

UIll

('"

-

uM)

)/(0", -

probar que alh

D

-

C1m)

(UllI

-

=

!1

la(J".. = s ... 1)

l)

",\1»/«(u¡

-

UM) -

(aJI[ - aM»

p.

(ver

CAP. 8

PLASTICIDAD Aquí, alIria"pq (o;pOjq - oijopq/3)s;j

== ==

Spq

(aSulaCIpq)sij donde aSij/aCIpq puesto que Sii == lID == O.

==

211

u(a;j -

8.14. Probar que cuando la función potencial plástico g(aij) = IhD, (8.22) se transforman en las ecuaciones de Prandtl-Reuss. La prueba se obtiene directamente se reduce a (8.21).

8.15. Desarrollar (8.23).

del resultado

(8.24) para probar

De la ecuación

del Problema

que la tensión

==

0ipkk/3)/aCIpq

0i¡,1ljq -

==

Sij

==

Así, aIIrD/aO"pq

las ecuaciones del potencial

8.13, puesto que ag/a"ij

equivalente

OijOpq/i3.

plástico

en este caso la (8.22)

se puede escribir en la forma de

aEQ

(8.24),

y desarrollándola

[3(O"i1

+

0"~2

+

+

0"~3)

[2(O"i1 [(0"11 -

que confirma

+

6(O"i2 0"~2

0"22)2

+ +

+ "~3 + O"i3 -

"~1) -

0"110"22 -

("22 - "d2

(0"11

+

"33)2]12

+

6("i2

6(O"i2

+

"33"11)

0"220"33 -

+

+

0"22

("33 - "11)2

+

"ª3

+ "ª3 + +

"~1 )]/2

"51 )J/2

la (8.23).

8.16. En la teoría del potencial plástico el vector incremento de deformación plástica es normal a la superficie de carga (fluencia) en un punto regular. Si lNl, N2, N31 son los valores de los cosenos directores de la normal a la superficie de fluencia t.(aij)' probar que dEi/SI = d€ir1sn = dEir/sm bajo la condición de plasticidad de van Mises y la ley de flujo plástico. La condición de normalidad se expresa por N == grad 11que exige que Nl/(a/l/a"r) == N2/(a/l/aCIn) == N3/(a/l/aCIm) para el caso de Mises donde 1, == (ar - O"n)2 + (O"n - O"m)2 + (O"m' - 0"¡)2 - 2,,~ == O. Entonces al ¡laO"¡ 2(20"¡ - "n - am) = 68¡, etc., y puesto que el vector incremento de deformación plástica está a lo largo de la normal, se sigue que

=

d.i /s¡

=

d.ir/8n == d.t¡/sm'

8.17. Determinar

las proporciones

= ay, (b) tensión con a12 = ayll/3. a11

(a) Aquí

CI11== "r

=

de los incrementos

biaxial con

O"y, "n == "m

a11

= -ayll/3,

== O Y S¡

==

de deformación a22

2"y/3, sn

= ayll/3,

=

sm

==

plástica para (a) tensión simple con

a33

-"y/3.

= a = a = a13 = 0, (e) 12

23

Así, del Problema

8.16,

cisión pura

dei/2 = -d'i/1

==

-d.ir¡ /l.

(b) Aquí,

a¡

== "y/V3,

tercer término el numerador. (e) Aquí,

vr

O"n == O, "m

= -"y/V3

y

Sr

= "y/V3,

se omite puesto que se entiende normalmente

= CIy/V3, Un =

O, "m

= -uy/V3

y de nuevo

SIl

=

O,

Sm

= -"y/V3

.Así,

en la teoría que si el denominador

d.i /1 == -d.in/l.

d'i

== -d.ir/1

Y el

es nulo también

lo es

/1

212

CAP. 8

PLASTICIDAD

8.18. Determinar el incremento de trabajo plástico dWP y el incremento de deformación valente d(~Q para el estado de tensión biaxial 0"11 = -O"yiV3, 0"22 = O"y/V3, 0"33 = 0"12 la deformación plástica es controlada de forma que dfi = e, una constante.

=

(8.30) es dWP 001 d.f + Un d.-ir deir O; entonces

En la forma relativa a los ejes principales, sión dado, el Problema 8.17 prueba que def

= -deirI'

=

+

=

plástica equi0"23 =0"31 = O si

Um deirr; y para el estado de ten-

de (8.25), de~Q

{2[(d.f - deir)2 {2[C2

+

+ C2 + 4C2]}

(deir - deirr)2 1/2/3

=

+

(d.irr - d.f)2)}

112/3

2C/V3

8.19. Verificar (8.32), comprobando que para un material que obedece a las ecuaciones de Prandtl-Reuss el incremento de trabajo plástico es dWP = «TEa dE~Q como se da en (8.31).

=

De (8.30), dWP 8ij8ij dA para un material para tal material y así dWP (3sijsd2)(d'iQ/oEo) /UEQ y (8.32) se sigue directamente de (8.21).

=

de Prandtl-Reuss que satisface (8.21). Pero de (8.27), dA 3 d€~Q/2uEQ que debido a la definición (8.24) da dWP UEO d,fQ' Así, = dWP

=

=

d.io

8.20. Para un material que responde a la condición de plasticidad de von Mises, la tensión equivalente Q'EQ se puede tomar como la función de fluencia en las reglas de endurecimiento (8.34) y (8.36). Probar que en este caso Q'E~F' = H' donde F' y H' son las derivadas de las funciones de endurecimiento con respecto a sus argumentos respectivos. Aquí, (8.34) se convierte H ('~Q)

Y dUEO

=

en

UEO

H' d.~Q'

se sigue de una vez que uEoF'

=

F(WP)

yasí,

=

F' dWP

Así,

riuEQ

H' d'~Q'.y

= F'

dWP.

puesto

TOTAL (Sec. 8.9)

8.21. La teoría de la deformación total de Hencky se puede representar El> + ¿: siendo E!'tJ = eE. + 8.(Ek'kI3 = (s/2)G + 8..(1 - 2v)ukk/3E ecuaciones son equivalentes a (8.37) y (8.38). 11

1]

= ,¡¡.

'ii

'¡¡

=

8.22. Comprobar

1>

sijs;j

o

U

al cuadrado

las componentes

que multiplicada 1>

PROBLEMAS

ELASTOPLASTICOS

';j

-

tJt)

E

eij

ef;

+ E;;P

+

e;;

.'

_

E

Y aqui se sigue que 'jj - 'w De la (1) + tG)s¡j. (8.37). También de

=

y sumando

= ..J 3,:; ,~12/UEQ

1>

por medio de las ecuaciones E;j y fP. =
~J

=

que el parámetro

Elevando 2

IJ

p . l' P o o sea que 'iiP -- ei;P -- 1>Si;,1 y 'u - 1>8ij irnp tea 'u eij + 0ii'kk/3 eiJ + oije~J3 + ef; que se reduce a eij (1 - 2V)Ukk/E. (8.38).

.. L a ecuacion misma ecuación,

8.19) dWP

= H'.

TEORIA DE LA DEFORMACION

l)

= = uEod'~Q'

De igual modo (8.36) está dada aquí por UEQ

que de (8.31) (o Problema

=

de la ecuación

en cada miembro

3..J 2,:; E:; /3 /2uEQ

e:; =

cp8¡j del Problema

(8.21) se tiene

por 2/3 resulta = 3'~Q /2UEQ

(Sec. 8.10)

8.23. Una viga rectangular elástica y perfectamente plástica se carga a flexión pura. Usando la teoría sencilla de las vigas, determinar los momentos extremos M para los que se extiende un núcleo elástico residual desde -a hasta a, como se indica en la Fig. 8-15.

CAP. 8

PLASTICIDAD

213

Fig.8-15 Aqui, la única tensión no nula es la tensión de flexión "11' En la región elástica de la viga, (-a < Xz < a), donde R es el radio de curvatura y E el módulo de Young. En la región plástica, "11 = "y. Así,

"11

= E'tl

= Ex.JR

=

M

2

J(aE R(X2)2b

+

dX2

A

fe

2

X9.CTvbdX2

=

b"y(e2

-

a2/3)

O

donde ha sido usada CTy= Ea/R, la condición de tensión en la interfase elasto-plástica. Del resultado obtenido, M = 2b c2"y/3 para el comienzo de plasticidad (cuando a == e), y M == be2"y para la viga completamente plástica cuando a

=

O).

8.24. Hallar el momento de una viga cargada como en el Problema 8-23 si el material se comporta con un endurecimiento lineal por deformación que obedece a la ecuación post-elástica all = ay + A(€l1 ay/E)

La distribución 'a

=

x2/R

2

J(aE(X2)2b o -R--

= <1y

=

M

en esta viga se indica en la Fig. 8-16. De nuevo

y

M

o usando

de tensiones

3

2Eba 3R

=

Ea!R

e2b"y(1

dX2

+

+

2b {CTY 2

2

fC[

(1_~)

Ti -

E

+ 2c3bA/3R

CTY)] E

b dX2

x2

<1JI

(eZ _ a2)

como en el Problema - A/E)

(X2

CTy+ A

a

+

3

3

A(e

-

a

)}

3R

8.23,

+

Fig.8-16

bCT~R2(A/E -1)/3E2

8.25. Un eje circular elástico y perfectamente plástico de radio e está sometido en sus extremos a los pares de torsión T como se indica en la Fig. 8-17. Determinar el par para el que queda un núcleo elástico interior de radio a.

para

La cisión "12 está dada aquí por a "" r "" e donde K es la cisión

=

T

21T

i

a

O

(k?.:J/a) dr

+

21T

fe

= krlo. para O "" r "" a, y de CT¡2= k elástica límite del material. Entonces,

<112

k?-2

dr

=

2-k T(c

3 -

a3/4)

• a

=

Por lo tanto, el par al comienzo de la deformación plástica es T¡ 1Tkc3/2 cuando a e; y para un estado completamente plástico, T2 = 21Tkc3/3 = 4T¡/3

=

cuando

a

=

O.

XI

Fig.8-17

214

PLASTICIDAD

CAP. 8

8.26. Un esfera hueca de pared gruesa de dimensiones indicadas en la Fig. g, 18 está sometida a una presión interior creciente Po. Usar el criterio de van Mises y hallar la presión a la que tiene lugar el comienzo de la deformación plástica. Debido a la simetría tes esféricas U(88) = -(8.12) da lugar a U(80)

de la carga,

=

U¡ -

U!I,

U(TT)

principales

son las componen-

Entonces, la condición de von Mises = «v- Las componentes de tensión elásticas son

=

U(88)

UIJI.

=

U(rr)

Por lo tanto, de plasticidad

las tensiones

=

U(TT)

-Po (b3h-3

u(
=

1)/(b3/a3

-

Po (b3/21-3

=

+

-

1)

1)/(b3/a3

1)

-

=

3b3po/2r3(b3/a3 - 1) Y Po 2uy(1 -:- a3/b3)/3 para el comienzo que tiene lugar en la superficie de radio interior, a.

Uy

fig.8-18

TEORIA

DE LAS LINEAS DE DESLIZAMIENTO

8.27. Comprobar (8.41) con

directamente a33 = (a¡¡

+ an)í2

(Sec. 8.11)

los valores de las tensiones como se da en (8.44).

Los valores de las tensiones principales

se hallan, resolviendo Ull

u

-

O

la ecuación

(8.45) para el tensor de tensión

(2.37) que aquí es

o

U¡2 U22 -

Desarrollando

principales

o

O

u

-P-U

O

por la tercera columna, (-p -

U)¡(CT¡1

-

0')(0'22 -

ai2]

a) ¡

Las raíces de esta ecuación

son 0'== -P

y

t(al¡

0'=

=

+ (22)

(-p - 0')[0'2 .

:±:

(0'11

+ a22}a

Vi(a¡l

+ ad2

-1-ai2 =

8.28. Hacer uso de que la cisión elástica límite k es constante, y combinar equilibrio para que integrando se pruebe la ecuación (8.48). De las ecuaciones

de equilibrio

éJa¡¡/élx¡

+ (JaIZ/¡kcZ =

-

aizl

= O

··'-'0_"'-_-

O Y oa¡?!aa:¡

-]1 :±:

k.

(8.47) con las ecuaciones

+ aa22/a';;2 =

de

O que aquí son válidas,(8.47)

da

y

=

Si Xl está a lo largo de una línea a y X2 a lo largo de una linea s , O if; y de estas ecuaciones -ap/ax¡ - 2k(iJ",féJx¡) lo largo de una línea a,-éJp/éJx2 + 2k(éJif;/éJx2) O a lo largo de una línea f3. Integrando directamente, p + 2k

=

una línea

a,

p -

2kcf> ~

=

= Oa CI en

C2 en una línea f3.

8.29. En una extrusión sin fricción con una matriz de abertura cuadrada que origina una reducción del cincuenta por ciento, la región en abanico centrada en A está formada por líneas rectas radiales (3 y circulares como se indica en la Fig. 8-19. Hallar las componentes; de velocidad a lo largo de estas líneas de deslizamiento en términos de la velocidad de entrada U y las coordenadaspolares r y (j. (t

CAP. 8

PLASTICIDAD

215

u=s-« 2U --+

-ctFig.8-19 A lo largo de las líneas rectas

dV2 = O o

(3, de,,.. O; Y de (8.53),

es U cos o y

cidad normal a lo largo de. BC, aquí la constante «. d
fO

~'1

Ucoso(/e

+

U(seno

V2

=: constante.

De la continuidad

de la velo-

=-: U cos o. A lo largo de los arcos de circunferencia

V2

1/V2)

-'ir!'4

Problemas diversos 8.30. Probar

que la condición

taédrica

por

U"el

En función (Ul-

+

all)2

= y2u /3.

UDet

-

+

uIIl)2

principales

(UIl!

-

que la ecuación

De (2.71),

UI

SI

+-

u!\I,

Ul)2

de von Mises se puede expresar en términos de la cisión oc-

(ver Problema

y

de las tensiones

(aIl

8.31. Comprobar según

de plasticidad

=

=

3uDet

pués de algunas al -

alll

=

ay.

UIl

etc., Y así, (8.13) se convierte

=

+

ull)2

(8.13) para la condición

8.32. ¿Para qué valor del parámetro de Lode de plasticidad de Tresca y Mises? de I",

-

(
+ Uln

)/2

(uIl

-

+

aIIl)2

(alH

-

al)2

(Problema

2.22) y

!)a~ct

de acuerdo con la (8.12).

2u~:

Desarrollando y reagrupando, se puede escribir s~ + == O de lo que resulta la ecuación del enunciado.

De la definición

V(UI

2.22).

.tL

+

=

s7!

+

(2(T1I

I,{a¡ -

alil

de plasticidad

de von Mises se puede escribir

en

SilI

-

-

U

I

(s!

-

+ SIl + Sil!

UIII

)/(aI

2k2

Pero

SI

+ SIl + slll

son idénticas

uIII)

-

)/2 que al sustituir

=

)2/3

en la condición

las condiciones

de Mises (8.12), da, des-

operaciones al - alll 2ay/..[3 +- .u2 (ver Problema 8.42). La condición de Tresca, ecuación (8.8), es Cuando f1.= 1 las dos son idénticas. Cuando al! = a" Jl 1 que a veces se denomina estado de

=

tensión cilíndrico.

T

8.3J.

Determinar

para el estado de tensión

(7 ..
= (: \0

de plasticidad

a

o

según los criterios de Tresca y von Mises.

donde

a y

T

son constantes,

la condición

216

PLASTICIDAD

CAP. 8

Se ve fácilmente que aquí las tensiones princiaples son G¡ == U + T, Un - u, Um - U-T. Entonces, de (8.8), la condición de Tresca U¡ - vm = Uy da 2:" = O"y. De (8.12) la condición de Mises da T = uy/V3. Nótese que en cada caso el comienzo de la deformación plástica depende de T, no de a, es decir, dicho, comienzo es independiente de la tensión hidrostática.

8.34. Probar que las ecuaciones de Prandtl-Reuss cribir las ecuaciones en términos

implican una deformación de las tensiones reales.

plástica incompresible

y es-

De (8.21), dE~; = Sii dA= O ya que Si; = IrD == O y se llega a la condición de incompresibilidad dE;; = O. En función de las tensiones, clE~; :=c-(~ij - 0ij Ul
8.35. Usando la condición de von Mises, probar que en el plano -n las componentes sión en el comienzo del comportamiento S¡

== [-20"ycos(ti-,,/6)]I3,

SIl

donde ti == tan :" Y/X en la notación

desviado ras de ten-

plástico son (20"y

== [20"yCOS(ti+7T/6)]I3,

del Problema

sen

ti)/3

8.6.

El radio del círculo de Mises es \1273 Uy y por definición X = ...,12/3 Uy cos 8, Y = V273 ay sen 8 para de la plasticidad. De la tabla de transformación dada en el Problema 8.6 junto con a¡ == SI + aM, etc., se ecuaciones S¡ - SIl = X = -(2/V3 )ay cos 8 y SI + SIl ~~"JII ==-y6 Y = -2ay sen eAdemás, en SI + SIl + Sm == O. Resolviendo estas tres ecuaciones simultáneamente se obtienen las expresiones deseadas, estudiante debe comprobar.

--12

el comienzo obtienen las el plano -TI tal como el

8.36. Un material

elástico, perfectamente plástico e incompresible se carga en condiciones de deformación plana entre dos láminas rígidas de tal manera que 0"22 == O Y E33 == O (Fig. 8.20). Usar la condición de Mises para determinar la tensión de carga 0"11 de comienzo de plasticidad y la correspondiente deformación Ell' La ecuación tensión-deformación

elástica

se reduce aquí a a33 == pall' De esta manera, las tensiones a¡ == O,
principales

son

Xl

de la que an == -ay/VI - v - ,,2 (compresiva) en el comienzo de plasticidad. De igual modo, de EEll = all - l'(aZ2 a3o) vemos que aquí

Fil~.8-20

.L,

E11

= -ay(l -

,,2)

/EyI

- ,,- "s

para la incipiencia

8.37. Una viga rectangular elástica y perfectamente plástica es cargada a flexión pura hasta plasticidad total. Hallar la tensión residual de la viga después de la retirada del momento flector M.

de plasticidad.

ID

1-- b --1

Fig.8-2I

217

PLASTICIDAD

CAP. 8

Para un estado completamente plástico, el momento es M = be2ay (ver Problema 8.23). Este momento origina una tensión elástica que da lugar a a = M e/I = 3ay/2 en las fibras externas, ya que 1 = 2be3/3. La retirada de M es equivalente a la aplicación de una tensión elástica negativa correspondiente que da lugar a la tensión residual indicada en la Fig. 8.22.

ay

3ay/2

ay/2

+

completamente

elástica

tensión

plástica

negativa

residual

Fig.8-22

8.38. Un tubo cilíndrico de pared gruesa de dimensiones indicadas en la Fig. 8-23 está sometido a una presión interna p¡. Determinar el valor de P; para incipiencia de plasticidad si los extremos del tubo están cerrados. Suponer las condiciones de plasticidad (a) de van Mises y (b) de Tresca.

Fig.8-23 Las componentes que aCTT) = -p;(b2h·2 (a) Aquí,

la condición

Fig.8-24

de tensión cilíndricas -

l)IQ,

acee)

(Fig , 8-24) son tensiones

= p;(b2/r2 + 1)/Q,

aCzz)

= p¡/Q

principales y según un análisis elástico se puede ver donde Q = (b2/a2 - 1).

de Mises es

o

La tensión máxima está a r

=

a,

y para la incipiencia

de plasticidad

p¡

la condición de Tresca, aceo) - (JCTT) = ay ya que (Jzz es la tensión ahora a r = a, Pi = (ay/2)(1 - a2/b2) para incipiencia de plasticidad.

(b) Para

=

(ay/V3)(l

principal

- a2/b2).

intermedia.

Así, 2p¡b2/r2

=

Qay

218

CAP. 8

PLASTICIDAD


Una función tensión-deformación unidimensional está dada por a = K,II , donde K y n son constantes mación real. Demostrar que la carga máxima tiene lugar para ,= n.

8.40.

Resolver el Problema

8.4 usando

Tresca.

Sol. Mises.: (a/l/S k)2

8.41.

Haciendo

uso del material

8.42.

De la definición

=

2ayh/3

+ (T/k)2 =

presentado

de! parámetro

+ /12

el límite elástico cortantex 1; Tresca:

en el Problema

de Lode

(a/2k)2

+

=

(T/k)2

8.6, comprobar

de plasticidad

la geometría

de la Fig. 8-5(c) ..

de plasticidad

de Mises, probar

que al - aIII

•

= -Ys

o

=

8.43.

Probar

que

8.44.

Probar

que los invariantes

sill)/2

y HILD = (s~

8.45.

Probar

que la condición

8.46.

Siguiendo el procedimiento del Problema 8.17, determinar las relaciones que hay entre los incrementos plastica para (a) tensión biaxial con u" = U22 = Uy, (b) tensión-torsión con all uy/2, U'2 = uy/2.

/t

de Mises y

1.

8.3) y la condición

(ver Problema

/1

en lugar de ay en las condiciones

y e es la defor-

tan O , en el plano-rr

donde

del tensor desviador

+ S~I + s;lI)/~

tan

=

IIrD

-1

Y/X

con X e Y tal como se definieron

=

sijsij/2 y IIIrD

SijSjkSk/3

en el Problema

se pueden escribir IIrD

=

(si

8.6.

+ sil +

respectivamente.

de plasticidad

de von Mises se puede escribir en la forma

de deformación

=

Sol. 8.47.

8.48.

Comprobar las expresiones equivalentes que siguen para el incremento manifiesto en cada caso que d<~Q = d';1 para tensión uniaxial U11'

8.50.

d'~Q

=

V2i3 [{d';1)2 +

(b)

l' d'EQ

--

10/ [d( (y2,3)

(d';2)2

d·'22 P )"-

P

<11 -

+

+

+

(d.f.1)2

(d <22 P

2(d<~'2)2

1 P )2

-«33

+

+

T

+ 2(d.fl V 1/2 )2 + 6( ('12 1 P )2 -l- 6( ('23 1 P

(l«33l' -

l P

«l!

d'~Q

que el tensar de tensión (8.4l) se convierte

(

)2

+ 6( «31 1 P )2J 1/2

O

en

h

1-1

.>------

-~

2h --' .. - .. ~

Fig.8-25

~

-~

I

45-

O-p

se refiere a unos ejes girados

alrededor

de :<':3 un ángulo

e,

en la Fig.

e

8-8. 8.51.

y poner de

= uy/2.

-~

cuando

eficaz

combinadas. Primero se aplica una continuamente desde cero. ¿A qué

La viga de sección transversal triangular de la Fig. 8-25 está sometida a flexión pura. Determinar la posición del eje neutro (distancia b desde el vértice superior) de la viga cuando está en condiciones de plasticidad completa. Sol. b = h/V2. Probar

plástica

2(d,f3)2

Un tubo de pared delgada, elástico y perfectamente plástico se carga a tensión-torsión tensión axial u = u1'/2 y se mantiene constante mientras que la cisión T se aumenta valor de T tendrá lugar la incipiencia de plasticidad según la condición de Mises? Sol.

8.49.

(a)

de deformación

Un abanico centrado de arcos de circunferencia a y radios J3.abarca un ángulo de 30° como se indica en la Fig. 8.26. La presión en AB esk. Determinar la presión en AC. Sol. p k(1 -:- ::-/3).

=

Fig.8-26

Capítulo 9

Viscoelasticidad

9.1

lineal

COMPORTAMIENTO VISCOELASTICO LINEAL

Los sólidos elásticos y los fluidos viscosos difieren ampliamente en sus características de deformación. Los cuerpos deformados elásticamente vuelven a su estado natural o no deformado una vez que se retiran las cargas aplicadas. Los fluidos viscosos, no presentan en absoluto ninguna tendencia a una recuperación de su deformación. Además, las tensiones elásticas están directamente relacionadas con las deformaciones, mientras que, en un fluido viscoso, las tensiones (excepto para las componentes hidrostáticas) están relacionadas con la velocidad de deformación. El comportamiento de un material que presenta una combinación de ambas características, elásticas y viscosas, se denomina comportamiento viscoelástico, El sólido elástico hookiano y el fluido viscoso newtoniano representan comportamientos opuestos y extremos de un amplio espectro de comportamientos viscoelásticos. Aunque los materiales viscoelásticos son sensibles a la tempertatura, la discusión que sigue se restringe a condiciones isotérmicas y la temperatura interviene en las ecuaciones solamente como un parámetro.

9.2

MODELOS VISCOELASTICOS SENCILLOS

La viscoelasticidad lineal se puede introducir convenientemente mediante un punto de vista unidimensional ya través de una discusión con modelos mecánicos que reflejan la respuesta de deformación de varios materiales viscoelásticos. Los elementos mecánicos de tales modelos son un muelle lineal sin masa con una constante elástica de respuesta G, y un pistón viscoso cuya fricción simula una viscosidad constante 'l. Como se representa en la Fig. 9-1, la fuerza del muelle a está relacionada con su alargamiento < por (9.1) y

la ecuación análoga para el pistón (J

-

7)<

(9.2)

donde: = dddi, A los modelos se les da una mayor generalidad prescindiendo de los efectos dimensionales y considerando a como una tensión y a ( como una deformación, tornando estas cantidades sobre una base unitaria. (J

ZÍ9

220

VISCOELASTICIDAD

LINEAL

CAP. ~

o

G 1

G

~ o --'WNWWWWI/WlV',---o-o

-~ •. o

Muelle lineal

(a)

(b)

Pistón viscoso

Fig.9-1

El modelo de Maxwelf en viscoelasticidad es la combinación de un muelle y un pistón en serie como se indica en la Fig. 9-2(a). El modelo de Kelvin o Voigt es el agrupamiento en paralelo indicado en la Fig. 9-2(b). La relación tensión-deformación para el modelo de Maxwell es

a + ~ = (. r¡

(9.3)

G y para el modelo de Kelvin es

(9.4)

Estas son esencialmente ecuaciones constitutivas viscoelásticas unidimensionales. Resulta provechoso cribirlas en forma de operadores usando el operador diferencial lineal at == a/at. Así, (9.3) resulta

es-

(9,5) y (9.4) (9.6)

encerrando

los operadores

adecuados

en paréntesis G

G

7J

"~~~~~~~~~[]l----~c~.~,,,,----0---1

\---0-_" '/

(a)

Maxwell

(b)

Kelvin

Fig.9-2

Los sencillos modelos de Maxwell y Kelvin no son adecuados para representar completamente el comportamiento de los materiales reales. Otros modelos más complicados ofrecen una flexibilidad más grande para imaginar la respuesta de los materiales reales. En la Fig. 9-3 (a),se representa un modelo de tres parámetros construido con dos muelles y un pistón conocido como sólido lineal estándar. En la Fig, 9-3(b) se representa un modelo viscoso de tres parámetros que consiste en dos pistones y un muelle. Se debe reparar en que desde el punto de vista de la forma de sus ecuaciones constitutivas, una unidad Maxwell en paralelo con un muelle es análoga al sólido lineal estándar de la Fig. 9-3(a), y una unidad de Maxwell en paralelo con Ul1 pistón es análoga al modelo viscoso de la Fig. 9-3(b).

CAP. 9

VISCOELASTlCIDAD

LINEAL

221

7]¡

u _-0--;

(a)

Sólido lineal estándar

(b) Modelo

viscoso de tres parámetros

Fig.9-3

Un modelo de cuatro parámetros que consiste en dos muelles y dos pistones se puede considerar como una unidad de Maxwell en serie con una unidad de Kelvin como se representa en la Fig. 9-4. Existen varias formas equivalentes de este modelo. El modelo de cuatro parámetros es capaz de incluir los tres modelos de respuesta viscoelástica básicos. O sea, incorpora la "respuesta instantánea elástica" debido al muelle libre G¡, un "flujo viscoso" debido al pistón libre.v., y finalmente una "respuesta elástica retardada" de la unidad de Kelvin.

'11

Fig.9-4

La ecuación tensión-deformación forma general

para cualquiera

de los modelos de tres o cuatro parámetros

es de la

(9.7~

donde las Pi' y q/ son coeficientes formados por combinaciones de G y '7 Y dependen específico de los elementos en el modelo. En la forma de operador, (9.7) se escribe

del agrupamiento

(9.8) 9.3

MODELOS GENERALIZADOS. DIFERENCIAL LINEAL

ECUACION DEL OPERADOR

El modelo de Kelvin generalizado consiste en una secuencia de unidades de Kelvin agrupadas en serie tal como se presentan en la Fig. 9-5. La deformación total de este modelo es igual a la suma de las deformaciones de las unidades individuales de Kelvin. En la forma de operador la ecuación constitutiva es, de (9.6),

(9.9)

'7¡

Fig.9-5

222

VISCOELASTICIDAD

LINEAL

CAP. 9

Análogamente, una secuencia de unidades de Maxwell en paralelo, como se representa en la Fig. 9-6, se denomina modelo de Maxwell generalizado. Aquí, la tensión total es la resultante de las tensiones de cada unidad de forma que (9.5), (9.10)

_--------'j>------6----

- - - - - - - - --~

'71 ().......-------<>-----9----

- -

- - - - - -

--~

Fig.9-6

Para modelos específicos,

(9.9) y (9.10) dan lugar a ecuaciones

de la forma (9.11)

la que se puede expresar abreviadamente

por (9.12)

Esta ecuación del operador diferencial lineal se puede escribir {P}(1

donde los operadores

según (9.13)

{Q}f

{P} y {Q} se definen por

(9.14)

{Q}

{P}

9.4

=

simbólicamente

FLUENCIA LENTA y RELAJACION

Los dos experimentos básicos de la viscoelasticidad son los ensayos de fluencia lenta y relajación. Estos ensayos se pueden realizar bajo una tensión (compresión) unidimensional o bajo una cisión simple. El experimento de fluencia lenta consiste en la aplicación instantánea de una tensión a una probeta viscoelástica y manteniendo la tensión constante se mide a continuación la deformación (respuesta de fluencia lenta) como una función del tiempo. En el experimento de relajación se impone una deformación instantánea fO y se mantiene en la probeta mientras que se mide la tensión (relajación) como una función del tiempo. Matemáticamente, las cargas de fluencia lenta y relajación se expresan en términos de la función escalonada unitaria [U(t - t,)J., definida por' (10

{~ y representada

f(t)

(9.15) 1

-----------------------

en la Fig. 9-7.

Para la carga de fluencia lenta (9.16)

Fig.9-7

CAP. 9

VISCOELASTlCIDAD

LINEAL

223

donde ,U~t)J representa la función escalonada unitaria aplicada en el instante t, =0. ~encia lenta para un material de Kelvin se determina resolviendo la ecuación diferencial

~+ ~

=

La respuesta

CTO[U(t)]

(9.17)

r¡

T

de

que resulta de introducir (9.16) en (9.4). Aquí, = r¡IG se denomina tiempo de retardo. Para cualquier función continua del tiempo f(t), se puede probar que para t' como variabledeintegración, T

[U(t

- tI)]

s;r" f(t')

dt'

(9.18)

por medio de la cual se puede integrar la (9.17) para obtener la respuesta a la fluencia lenta de Kelvin €(t)

CT

= cJ (1- e-t/T)[U(t)]

La carga de fluencia lenta, junto con la respuesta representa en la Fig. 9-8.

(9.19)

para los modelos (materiales)

de Kelvin y Maxwell se

ao~--------------------------

(a)

(b)

Carga en fluencia lenta

Repuesta

de fluencia lenta

Fig.9-8

La relajación

de tensión que tiene lugar en un material de Maxwell al establecer una deformación ( = EO[U(t)]

(9.20)

está dada por la solución de la ecuación diferencial (9.21) que se obtiene introduciendo

la derivada con respecto al tiempo de (9.20) en (9.3). Aquí, [Il(t)] = d[U(t)]1 denominada función de impulso unidad, o funcián delta de Dirac.

dt es una función de una singularidad,

Por definición, (9.22a)

(9.22b)

Esta función es nula en cualquier parte excepto para t = tI donde se dice que tiene un pico indeterminado. Para una función continua f(t), se puede probar que cuando t > t;

224

VISCOELASTICIDAD LINEAL

CAP. 9

(9.23)

con ayuda de la cual la (9.21) se puede integrar para obtener la relajación de tensión de Maxwell (9.24)

La relajación de tensión para un material de Kelvin se obtiene directamente introduciendo ~== €o[a(t)] en (9.4), resultando (9.2.5)

La función delta en (9.25) indica que sería necesaria una tensión infinita para producir una deformación finita instantánea en un cuerpo de Kelvin.

9.5

(t)]

FUNCION DE FLUENCIA LENTA. INTEGRALES HEREDITARIAS

FUNCION

DE RELAJACION.

La respuesta a la fluencia lenta de cualquier material (modelo) a una carga de fluencia lenta se puede escribir en la forma

(T

==

(To[U

(9.26)

donde ~(t) se conoce como función de fluencia lenta. Por ejemplo, esta función para el modelo de Kelvin generalizado de la Fig. 9-5, está determinada por (9.19), siendo ~'

'l'(t)

L J.(1-

==

e-tf~¡)[U(t)]

(9.27)

i=l

donde J. == lIG se denomina, acomodación. Si el número de unidades de Kelvin aumenta indefinidamente, o sea N --)oc de tal manera que el conjunto finito de constantes h,J) puede ser sustituido por la fU11ción de acomodación continua J(,),la función de fluencia lenta de Kelvin resulta 1

1

(9.28)

~(t)

La función J(.) se conoce como "distribución de los tiempos de retardo" o espectro de retardo. Por analogía con la respuesta de fluencia lenta, la relajación de tensión para cualquier modelo sometido a la deformación e == €o[U(t)] sepuede escribir en la forma (9.29)

donde (t) se llama función de relajación. Para el modelo de Maxwell generalizado de la Fig. 9-6, la función de relajación se determina de (9.24) según N

rp(t)

==

L G¡e-UT¡[U(t)]

(9.30)

i=l

Aquí, cuando N --)00 la función G(T) reemplaza al conjunto de constantes (Gil';) Yla función de relajación se define por

I

CAP. 9


225

(9.31)

distribución de los tiempos de relajación" o espectro de relajación.

La función G(r) se conoce como"

En la viscoelasticidad lineal, es válido el principio de superposición. Así, el "efecto" total de una suma de "causas" es igual a la suma de los "efectos" de cada una de las "causas". Según esto, si la historia escalonada de tensiones de la Fig. 9-9(a) se aplica a una material para el que la función de tluencia es 'fr(t), la respuesta de fluencia lenta será ~

e(t)

= uo'lr(t)

+

u1'fr(t -

tI)

+

u2'fr(t - t2)

+

u3'lr(t - t3)

=

L ai'lr(t -

(9.32)

t)

i=O

Por lo tanto, la historia de tensiones arbitraria u = u(t) de la Fig. 9-9(b) se puede analizar como una infinidad de cargas escalonadas cada una de magnitud da y la respuesta de fluencia está dada por la integral de superposición

S

t

-00

du(~') 'lt(t - t') dt' dt

(9.33)

Tales integrales se conocen como integrales hereditarias ya que la deformación tiempo se considera que depende de la historia de tensiones completa.

en cualquier

instante de

I-------:.>:: u

u+';'dt'

j------------,- -- - -- ----I I

:/:

u

-7:: I I ,

I

--------------I

I I I

I

t'

(a)

t'

+ di'

(b)

Fig.9-9

Para un material inicialmente "virgen o recocido", es decir, completamente libre de tensiones y deformaciones en un instante cero, el límite inferior de (9.33) se puede sustituir por cero y expresar la respuesta de fluencia lenta como

i

t

d~~~') 'fr(t - t') dt:

A continuación, si la carga de tensión origina una discontinuidad (9.34) se escribirá en la forma u

o

'Ht)

+

e: da(~') -iJr(tdt

Jo

(9.34)

escalonada

t') di'

de magnitud

ao

a t

= 0,

(.9.35)

Siguiendo argumentos análogos a los anteriores, la tensión como una función del tiempo se puede representar por una integral de superposición que incluye la historia de deformación e(t) y la función de relajación 9(t). Por analogía con (9.33) la tensión se da por

226

VISCOELASTICIDAD

CAP. 9

f -,; dt

elEU,') q,(t _ t') di'

t

u(t)

y considerando

LINEAL

un material virgen o recocido

= 0,

a t

(9.86)

las integrales comparables

a (9.34) y (9.35) son res-

pectivamente

r

u(t)

d~~:) (t _ t') di'

(9.37)

i

(9.38)

t

y

u(t)

'ocp(t)

+

d~~:) cp(t - t') dt'

Puesto que la integral de fluencia (9.34) o la de relajación (9.37) se pueden usar para especificar las características viscoelásticas de un material dado, se sigue que tiene que existir alguna relación entre la función de fluencia 'Ir(t) y la de relajación q,(t). Tal relación no es fácil de hallar generalmente, pero usando la definición de transformada de Laplace

In'" f(t)e-

f (8) es posible probar que las transformadas

dt

st

(9.89)

~ (8) Y 1> (t) están relacionadas

por la ecuación

~(8);¡;(S) donde s es el parámetro

9.6

MODULOS

(9.40)

de la transformada.

COMPLEJOS

y ACOMODACIONES

Si una probeta de ensayo linealmente viscoelástica está sometida a una tensión unidimensional (de tracción o cortante) u = 0'0 sen ())t, el estado de deformación estacionario resultante será e = 'o sen ('ut - 8), una respuesta sinusoidal de la misma frecuencia pero desfasada con la tensión en un ángulo de retraso o" La tensión y deformación en este caso se pueden representar gráficamente por las proyecciones verticales de vectores de magnitud constante que giran con una velocidad angular constante co como se indica en la Fig. 9-10. O>

Las relaciones de las amplitudes de la tensión y deformación definen el módulo dinámico absoluto Y la acomodación dinámica absoluta U/EO' Además, las componentes de los vectores de tensión o deformación en fase o desfasados de la Fig. 9-1O(a) se usan para definir

- '0/0'0'

(a) el módulo

(b) el módulo

de acumulación

de disipación

G

l

=

0'0

COS

o

'o 0'0

G2

seno EO

(e) el coeficiente

de acumulación

f.(J

COS

J1

o

0'0

(d) el coeficiente

de disipación

fO

J2

sen [)

-0'0

227


CAP. 9 a,' ~

=

sen ",t . e

=

fO

sen

(wt -

8)

(b)

(a)

Fig.9-10

Una generalización de la descripción do la tensión en forma compleja según

anterior del comportamiento

viscoelástico

se consigue expresan(9.41)

y también la deformación

resultante

en la forma compleja como (9.42)

De (9.41) y (9.42) se define el módulo complejo G'¡'(io» como la cantidad compleja u*h*

=

G*('i'd)

=

(Jof€Jé\

(9.43)

= Gl~- iG-:.

cuya parte real es el módulo de acumulación y cuya parte Análogamente, la acomodación compleja está definida por

imaginaria

es el módulo

de disipación

«/(Jo)e-ii5 (9.44) J1

-

iJ2 Jl

donde la parte real es el coeficiente de acumulación y la parte imaginaria la negativa del coeficiente de disipación. En la Fig. 9-11 se representa la descomposición de los dos vectores G* y J* . Nótese que G* = 1/J*.

9.7

J.,

J* ~

Fig.9-11

TEORIA TRIDIMENSIONAL

Al desarrollar la teoría tridimensional de la viscoelasticidad lineal, es costumbre considerar por separado el comportamiento viscoelástico bajo condiciones denominadas de cisión pura y de dilatación pura. Así, los efectos de cambio de forma o de distorsión y los de volumen se prescriben independientemente y a continuación se combinan paré! obtener una teoría general. Matemáticamente, esto se realiza descomponiendo los tenso res de tensión y deformación en sus sumandos esférico y desviador, y entonces se establecen las relaciones constitutivas para cada uno de ellos. La descomposición del tensor de tensión está dada por (2.70) según (9.45)

y el tensor de pequeñas

deformaciones

(3.98) según (9.46)

Usando la notación de estas ecuaciones, la generalización tridimensional de la ecuación constitutiva coelástica (9.13) en forma de operador diferencial se escribe mediante la combinación

vis-

228

VISCOELASTIClDAD

= =

{P}Sij y

{Mh¡

LINEAL

CAP. 9

2{Q}e;j

(9.47a)

3{N}f¡¡

(9.47b)

donde {P}, {Q}, {M} Y {N} son operadores de la forma (9.14) y los factores numéricos se introducen por conveniencia. Puesto que prácticamente todos los materiales responden elásticamente a cargas hidrostáticas moderadas, los operadores de dilatación {M} y {N} se toman realmente como constantes y las (9.47) se modifican a (9.l¡.8a) (9.l¡.8b)

donde K es el módulo volumétrico

elástico.

Siguiendo la misma regla general de separacion para el comportamiento de cambio de forma y volumen, las relaciones constitutivas viscoelásticas y tridimensionales están dadas en la forma de la in-

tegral de fluencia lenta

rr

e

(t _ t') as¡! dt/

'li"

.J,

s.

(t _ t')

r 'lr

Jo

l'

at'

(9.49a)

aaii di'

(9.49b)

at'

y en la forma de la integral de relajación por

f S e

cf>s

(t - t') aeij cW

(9.50a)

at'

O

rJE.

t

U .. 11

O

.i. ~'"

(t - t') -~ di:

(9.50b)

at'

La extensión a tres dimensiones de la formulación de módulos complejos del comportamiento viscoelástico requiere la introdución de un módulo complejo volumétrico K*. De nuevo, escribiendo separadamente las ecuaciones para el cambio de forma y volumen, las ecuaciones adecuadas son de la forma

s*:

2G*(iw)e~

u:J'

3K*(i(")E~

1)

lt

9.8

2(G¡

+ iG,,)e:': -

(9.51a)

1)

(9.51b)

ANALISIS DE TENSIONES VISCOELASTICASo PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

El problema del análisis de tensiones para un cuerpo de un medio continuo isótropo y viscoe1ástico que ocupa un volumen V y tiene la superficie de contorno S como se indica en la Fig. 9-12, se formula de la manera siguiente: Sean /¡ las fuerzas másicas a través de V y las tracciones de contorno prescritas por t:~)(Xk' t) sobre la región SI de S, y prescritos también los desplazamientos .rJ¡(.r". t) en la porción S~ de la superficie S. Entonces las ecuaciones de campo que resuelven el problema toman la forma de:

¡;jg.9-12

CAP. 9


l. Ecuaciones

de movimiento

229

(o de equilibrio) (9.52)

2. Ecuaciones

desplazamiento-deformación (u 1,)

+ u)

(9.53)

2E..lJ = (v ..

+ v.)

(9.54)

),1

o ecuaciones de velocidad de deformación, t.)

3. Condiciones

J.I

de contorno (T¡j(xk,t)ni(x/)

= t;~)(Xk,t)

u¡ (xk' t) = g¡ (xk' t)

4. Condiciones

(9.55)

en S2

(9.56)

iniciales U¡(Xk,O) Vi(Xk,

5. Ecuaciones

en SI

=

O)

Uo

(9.57)

Vo

(9.58)

constitutivas

(a) en la forma de operador

diferencial

lineal (9.48)

o (b) en la forma de integral hereditaria

(9.49) 0(9.50)

o (c) en la forma de módulo

complejo (9.51)

Si la geometría del cuerpo y las condiciones de carga son suficientemente sencillas, y si el comportamiento del material se puede representar por uno de los modelos más simples las ecuaciones de campo anteriores se pueden integrar directamente (ver Problema 9.22). Para condiciones más generales, se acostumbra buscar Una solución a través del uso del principio de correspondencia. Este principio surge de forma análoga entre las ecuaciones de campo que rigen los problemas de la elasticidad y de las transformadas de Laplace con respecto al tiempo de las ecuaciones básicas de campo viscoelásticas dadas arriba. Una comparación de las ecuaciones pertinentes para problemas cuasi estáticos e isotérmicos se proporciona en la tabla siguiente en la que las cantidades con una barra superior indican transformadas de Laplace según la definición (9.59) Elásticas

Viscoelásticas transformadas 1.

(T .. 1).]

+ b. = 1

2.2E=(U

.. +U .. )

t,]

IJ

3. (Tn EJ

J

=

t(~) t

- - -3. (T¡jn j

e, 4. s .. 1)

(T ..

"

4.

=

F(s)s¡j a.11

°

),1

-t(~)

i

Oi = 2Q(s)e¡j 3Ki" u

230

VISCOELASTICIDAD

LINEAL

CAP. 9

De esta tabla se observa que cuando G en las ecuaciones elásticas se reemplaza por Q/ P, los dos conjuntos de ecuaciones tienen la misma forma. Según esto, si en la solución del "problema elástico correspondiente" G se sustituye por Q/ p para el material viscoelástico involucrado, el resultado es la transformada de Laplace de la solución viscoelástica. La inversión de la solución transformada da la solución viscoelástica. El principio de correspondencia se puede también establecer para otros problemas además de los cuasiestáticos. Posteriormente, la forma de las ecuaciones constitutivas no ha de ser necesariamente la del operador diferencial lineal sino que pueden aparecer como en (9.49), (9.50) o (9.51). El problema particular que se estudie aconsejará la forma adecuada en la que se debe usar el mencionado principio.

Problemas resueltos MODELOS 9.1.

VISCOELASTICOS

(Sec. 9.1-9.3)

Comprobar las relaciones tensión-deformación (9.3) y (9.4) respectivamente.

para los modelos

de Maxwell y Kelvin dados en

En el modelo de Maxwell de la Fig. 9-2(0) la deformación total es la suma de la deformación en el muelle más la del pistón. Entonces, € = ES + ED Y también ; = <5 + ;D· Puesto que la tensión a través de cada elemento es 0", se pueden usar (9.1) y (9.2) para obtener E = (¡/G + O"/TJ. En el modelo de Kelvin de la Fig. 9-2(b), a

9.2.

+ aD

Y directamente

de (9.1) y (9.2), a

=

71;

+ GL

Aquí, la deformación total es la suma de la deformación en el muelle más la de la unidad de Kelvin. Entonces, o en forma de operador e = a/G1 -1- a/{Gz + 7)2r7,}. De ésta,

E

=

ES

El(

G¡{G2

y

G¡GZE

+ G1TJZ€

-+ 7)2iJ,}.

= (G1

=.., {Gz

+ TJzu¡}a

.1- G1a

+ G)a + 7)2".

Determinar la ecuación tensión-deformación para el modelo de cuatro parámetros Suponer que 1]1 --;. 00 comparar con el resultado del Problema 9.2. Aquí, la deformación

Desarrollando

Cuando 9.2.

9.4.

as

Usar la forma operacional de la relación tensión-deformación del modelo de Kelvin para obtener la relación tensión-deformación del sólido lineal estándar de la Fig. 9-3(a).

+

9.3.

=

total es

y reagrupando

'11 -> co

€

=

términos

se convierte

en

ii

+

El(

+ ',\1

Y en forma de operador

se tiene

(Gl

+ GZ)Ü/7)2

=

Gl',

+

la que es equivalente

G¡G~f/TJ2

al resultado

a

u

Y operando

(9.10) para N = 2 en la forma

= G¡f!{cI¡

+

1/T1} -1- G2f/{cl, -1-

como se indica, resulta

del Problema

7]1

Tratando el modelo de la Fig. 9-13 como un caso especial del modelo de Maxwell generalizado, hallar su ecuación tensión-deformación. Escribiendo

de la Fig. 9-4.

a

G"2

1hz} Fig.9-13

VISCOELASTICIDAD

CAP.9

la que desarrollada

9.5.

y reagrupando

231

LINEAL

da

El modelo indicado en la Fig. 9-14 se puede considerar como una forma degenerada del modelo de Maxwell generalizado con G1 .:::: r¡2 para el caso N = 3. Usando estos valores en (9.10), desarrollar la ecuación tensión-deformación de este modelo.

C/

CIJ

Aquí, (9.10) da lugar a

=

(J

+ GzU{éJt} + U{OI/G3 + 1/'13} o + 1/1J:¡}';' = {aJG3 + 1/'13}('11'<' +

'11'

{éJ/G3 La aplicación

de los operadores "i/G3

la que también

FLUENCIA 9.6.

+

a/7):l

=

7)1

Gzf)

+f

da

7)1·.·/G:3

+

(1

+

GiG3+

'11/'1)'<'+

o

GZ/7):l€

se puede escribir

Fig.9-14

LENTA Y RELAJACION

(Sec. 9.4)

Hallar las ecuaciones de respuesta a la fluencia lenta de Kelvin y Maxwell por integración (9.17) y (9.21) respectivamente. Usando el factor de integración

eu=, (9.17) se convierte

en cctlT

=

e' .....: G(l')]

a~ el 1]

.J

directa de

dt' la que según (9.18) da

11

e = (00/G)(1 -

o

(j-t/T)[U(t)]

o!

El uso de etlT como factor de integración

=

oet/r

9.7.

Determinar

en (9.21) da oet/T G
=

Geo

jo

e

=

es

+

haciendo

de la Fig. 9-3(a).

a la f1uencia lenta para este modelo es de (9.1) y (9.19) sencillamente

=

c(t) Se obtiene el mismo resultado

'12

=

[l/GI

co

+ (1/G2)

(1 - e-tlTz)]oo[U(f)]

en la respuesta

generalizada

de Kelvin (N

=

2

2)

<

= ~ i=l

[U(t)]

o integrando

El estudiante

9.8.

directamente

deberá comprobar

la relación

tensión-deformación

del sólido estándar.

los detalles.

El experimento de recuperación de fluencia lenta consiste en una carga de fluencia lenta que se mantiene durante un período de tiempo y entonces se retira instantáneamente. Hallar la respuesta de recuperación de fluencia lenta del sólido estándar (Fig. 9-3(a» para la carga indicada en la Fig. 9-15. Del Problema

<

9.7 la respuesta,

(9.23).

o

la respuesta a la fluencia lenta del sólido lineal estándar

Puesto que

cU'; Y según la fórmula

Ct'/T[ 8(t')]

mientras

que la carga es

C/

(t

272)' será

Fig.9-15

J, (1 - e-tITi)ao

232

VISCOELASTICIDAD Para. 272

t

= 2r2

la carga se retira y a es cero al mismo tiempo

la respuesta

está regida por la ecuación,

+

:

(ver Problema 9.2). La solución de esta ecuación T O, ,= C uo(1 - e-2)/G2 y así,

=

9.9.

LINEAL

=

que se recupera

la deformación

O que es la relación

diferencial

=

CAP. 9

es e

=

Ce-T/T2


e es una

donde

"0/G1• Para

"elástica"

del modelo

constante

y T

=

con' t-

u

t

>

=

O

2ro.

En

-

El modelo especial indicado en la Fig. 9-16 se alarga a una velocidad constante; = Ea/tI como se indica en la Fig. 9-17. Determinar la tensión en el modelo sometido a esta deformación. G 11

G

.¡.

---------

'0

a

a

I 1

11

I I tI

~

t

Fig.9-17

Fig.9-16

Del Problema 9.5 la relación tensión-deformación para el modelo es .;. + u/r = 11·; + 3G; + Gdr y aquí,'; + al-r = 3G'0/tl + G'ot/rt¡. Integrando se tiene u = '0(311 + Gt - 11) + Ce-I/T donde es la constante de integración. Cuando t O, a 11'o/tl Y C -11
=

=

e

=

= ~ SI e

uet!T

a

tI

,

3Get'/T

dt' + ~ ft

Gt' e_t'IT __

f

tI

o

dt'

r

9.10. Determinar por integración directa de la relación tensión-deformación relajación de tensión bajo la deformación = EO[U(t)).

del sólido lineal estándar, su

E

112)

Escribiendo la relación tensión-deformación (ver Problema 9.2) según'; para este caso y empleando. el factor integrante eCG, + G2lt/112 se ve que

=

ueCG, +G2lt!n2

[8(t')]e(G, +G2)t1lnz dt'

+

o Integrando

'12

=

+ G¡e-CG,+G2ltln2)[U(t»)/(G¡

LENTA y RELAJACIQN.

DE FLUENCIA

La relación tensión-deformación

u + a/rz = =

+ G¡G2[U(t)]I

f t [U(t'»)eCG, +G2W/n2 dt' a

.

+ G2)

INTEGRALES

HEREDITARIAS

9.11. Determinar la función de relajación <{>(t) para el modelo de tres parámetros de la Fig, 9-18.

y con.

esta ecuación con la ayuda de (9.18) y (9.23), a

FUNCIONES

'oG¡Gz

+ (G¡ + G2)U/112 =

'a[U(t)]

y É

=

(G¡

'a[o(t)]

de este modelo es

+ G2): +

a

el/T2

da

=

= 'o(G¡

GI

G¡G.
y el uso del factor integrante

aet/T2

(Sec. 9.5)

+ G2)

e Jo

t

et'/r2[o(t')]

dt'

+

=

r

Fig.9-18 Ct'/T2[U(t'»)

dt'

O

Empleando (9.18) y (9.23), u (t).Nótese que este resultado 'I¡ -+ co en (9.30) para el modelo de Maxwell generalizado.

también

se puede obtener haciendo

VISCOELASTICIDAD

CAP. 9

9.12. Usando la función de relajación lenta mediante (9.40). La transformada de transformadas

que puede ser invertida

.en el modelo del Problema

de q,(t) == G¡

de Laplace

de Laplace).

(f)

Entonces

fácilmente

Este resultado se puede verificar carga de f1uencia lenta.

233

LINEAL

+ GZC--th

es ¡(s)

2

li¡/S

9.11. hallar la función de fluencia

+

G2/(s

r J..!T2)

(ver cualquier

tabla estándar

de (9.40).

con una tabla de transformadas

rápidamente

por integración

de Laplace, obteniendo.

de la ecuación


del modelo bajo un"

9.13. Si a un material de Kelvin se le aplica una tensión que aumenta linealmente y luego se mantiene constante a "'¡ (Fig. 9-19), hallar la deformación resultante. Supóngase que a¡ft¡ = x. La tensión se puede expresar como u

=

At[U(t.)]

-

A(t - t¡)[U(t

- ti)]

Fig.9·19 que al introducirla

en (9.4) conduce a

Integrando

t'etl/T[U(t')]

dt'

con ayuda de (9.18) se obtiene

• = que cuando

~[~t

=

.et/,.

t

-7

OC)

(A/G){(t

se reduce a

•

+ r(e-tIT

=

-

1»[U(t)]

-

«t -

ti)

+

,.(e
-

l»[U(t

-

tI)]}

At¡/G = ",¡IG.

9.14. Usando la integral de fluencia lenta (9.34) junto con la función de fluencia de Kelvin, comprobar resultado del Problema 9.13.

=

(1- e-tlT)/G

G ([U(t')]

+ t'[I>(t')]

Para un cuerpo de Kelvin,y,(t)

.(t)

=

I

S

A

el

y (9.34) da

-

[U(t'

-

tI)]

-

(t' - tl)[Il(t'

-

t¡)])(1-

e-(t-I')!T)

dt'

-00

que con (9.18) y (9.23) se reduce a

Una evaluación

directa de estas integrales

confirma

el resultado

del Problema

9.15. Por una aplicación directa del principio de superposición, Kelvin a la tensión indicada en la Fig. 9-20.

9.13.

determinar

la respuesta de un material de

VISCOELASTICIDAD

234

LINEAL

CAP.9

t~ Fig.9-20

Fig.9-21

La tensión se puede representar por una secuencia de variaciones de tensión inclinadas como indica la Fig. 9-21. Del Problema 9.13, .. co (A/G)! t + r(e-1iT - 1) IIU(t); para esta tensión. En este caso, por lo tanto E(t)

'-'o

(A/GH(t

-«t Nótese que cuando

MODULOS 9.16.

+ r(e-t/Tl))[U(t)] - 2t¡) + r(e-Ct-2t¡)!T t ...• "',

€..."

-

+ T(c-ct-t¡l!T-1))[U(t - ti)] - 2t¡)] + «t - 3t1) + r(e-(t-3t¡)/T

«t - ti) -l))[U(t

o.

COMPLEJOS Y ACOMODACIONES

Determinar

-l))[U(t - 3t1)]]

el módulo complejo

(Sec. 9.6)

G* y el ángulo de retraso

Escribiendo (9.3) como ~ + alr = G ~ e introduciendo = G* = Giwr/(l + l",r) , o en la forma estándar

8 del material

(9.41) y (9.42) da i",aoei"'!

de Maxwell de la Fig. 9-2.

+ aoci"¡!/r = Giw
de la que

aoci5/EO

=

= GzlG¡

De la Fig. 9-11,8

GwT/Gw2,2

=

l/",r,

9.17. Probar que el resultado del Problema 9.16 también se puede obtener sustituyendo operador e, por iw en la ecuación (9.5) y definiendo U/E = G*. Después de la sustitución

indicada,

(9.5) se convierte

en (iw/G

+ 1/7))a = i'OE

sencillamente

de la que

9.18. Usar la ecuación (9.10) del modeJo de Maxwell generalizado para poner de manifiesto que "para modelos en paralelo, los módulos complejos se suman". Del Problema 9.17 los módulos Escribiendo (9.10) como

el módulo complejo

9.19. Comprobar

complejos

del modelo de Maxwell se pueden escribir G* = al< .

del modelo de Maxwell generalizado

la relación J

1

=

De (9.43) Y (9.44),J*

1/G*yasí,J¡-iJ2 J1

=

G¡/(Gi

+

G~)

la regla de

= Gi",r/(l + i",.,.).

es

= l/G¡(l + tan" 8) entre

el módulo de acumulación

=

1/(G¡+iG2)

=

l/G¡(l

+

=

y la acomodación.

(G¡-iG2)/(Gf+G~),Así,

(Gz/G¡)2)

=

el

l/G¡(l

+ tan2

o)

CAP. 9

VISCOELASTICIDAD

9.20. Probar pación

LINEAL

que la energía disipada

por ciclo está relacionada

J2 calculando

f

La integración

la integral

u

a. en

rr w 2 '

d,

f

_

o dt dt

-

o

2;;/0

o

("O

con el coeficiente

de disi-

de la Fig. 9.10,

f

o de

a lo largo de un ciclo es

sen wt),ow cos (wt - o) dt .

r

"o'oW

directamente

un ciclo.

de los vectores de tensión y deformación

f

235

sen wt (eos wt eos Ii + sen wt sens) dt

o

"~W[Jl~2"'/W

TEORIA

TRIDIMENSIONAL.

ANALISIS

sen 2wtdt 2

+

DE TENSIONES

VISCOELASTICAS

9.21. Combínese (9.48a) y (9.48b) para obtener la relación constitutiva
9.22. Una barra hecha de un material u: :! = U = a~:l ::-: U:11 = O 'donde l 12

=

ojj{(3KP

Y sustituyendo

Úij
+

- 2Q)/3Phkk

o

t

->

00,

=

2{G

+ >¡dt}«ll

O'o[U(t)](3K

(3K

= llij{R}(kk

por el segundo

-

+ G)/9"K

=

0'0(3K

+ G)O'o/9KG ==

+ G)(l-

e-l/Tí

[U(t)]/9KG

+ {S J

miembro

de

{2Q/P}'jj

all/3)

ao[U(t)]!9K)

+

+

"o[ú(t)]/9K

aoc-u'¡U(tl]/9K

ao/E.

9.23. Un bloque de un material de Kelvin se mantiene en un recipiente de paredes rígidas de forma que <22 = (33 = O cuando se aplica la tensión Ul1 = -alJ[U(t)]. Determinar (11 y las componentes de tensión Un y U33 que impiden las otras deformaciones.

=

Aquí, 'ü '11 Y 0'22 0'33 de forma que (9.48b) es O'¡¡ + 20'22 == 3K'I' (9.48a) da 2(a11 - O'd/3 == 2G{1 + Ti)t} (2<11/3) para un cuerpo de Kelvin, Combinando estas relaciones se obtiene la ecuación diferencial

U

22

=

= {2Q}(,u - ,;/3). Pero

diferencial '11

Cuando

"kk

Uij

de Kelvin es estirada a tensión de forma que Ull = uo[U(t)], U <11 para esta carga. o es constante. Hallar la deformación

2"o[U(t)]I3

esta ecuación

(Sec. 9.7-9.8)

viscoelástica

De (9.48b), 3,¡¡ = "o[U(t)J/K para este caso; y de (9.48a) con i =:: j = 1, lP}(aIJ'de (9.6) {P} = 1 Y {Q}= {Ci+ "dt} para un material de Kelvin; y ahora,

Resolviendo

=

J2~2;;/W(Sen2wt)dtJ

Fig.9-22

236

VISCOELASTICIDAD

fJl

que integrada

=

+ 3K)EJl/4GT

(4G

CAP. 9

-3uo[U(t)]/4Gr

da

=

El!

Introduciendo

+

LINEAL

-3uo[U(t)](1-

en (9. 48a) para

este resultado

=

U~2

(+uo/2

i= j = 2 -

+ 3K)

+ 3Klt/1Grl/(4G

e-(4G

da

9Kuo(l-

e-(4G+3K)t¡~Gr)/(8G

+ 6K\lfU!f\1

9.24. La componente de tensión radial en un semi-espacio elástico sometido a una carga concentrada en el origen se puede expresar por U(rr)

= (P/27r)[(1-

2v)t.Y(r, z) - ,6'(r, z)]

donde t.Y Y f3 son funciones conocidas. Determinar la tensión radial de un semi-espacio viscoelástico de Kelvin por medio de} principio de correspondencia cuando P -- Po[U(t)]. El operador viscoelástico para el término solución viscoelástica transformada es

ü(rrl

3Po [

=

2r.s

que se puede invertir con la ayuda de fracciones 3Po [(

-

U(Tr)

-

217"

3K

+ Q}

(1 - 21') is {3Q}/{3KP

3K

+ ns G +

G

+

'lS a(r, z) -

Fig.9-23 de forma que para un cuerpo de Kelvin la

{l(r, z)

]

parciales y las tablas de transformadas

G

+

+

G

3K

3K

+

G e

-(3K +

Glt/n) (. a

1,

Z

que dan la tensión viscoelástica.

l+

{l(

r,

Z

l]

9.25. El principio de correspondencia se puede usar para obtener tanto desplazamientos como tensiones. El desplazamiento z de la superficie del semi-espacio del Problema 9.24 está dado por wez=OJ = P(l - v2)/E7rr. Determinar el desplazamiento viscoe1ástico de la superficie para el material viscoelástico de aquel problema. El operador viscoelástico correspondiente a (1 - p2)/E origina que el desplazamiento transformado sea W(Z=OJ

Después de considerables

operaciones

Wez=Ol

Nótese que cuando

t = 0,

w(z=OJ

=

Po(3K

e invirtiendo,

_

~.o!3~

-

4r,y2(3K

=

+

4(G

+ 1/s»/4r.rs(3K

+ Q)

que para el cuerpo

de Kelvin

+ G + 'ls)(G + 1/s)

resulta,

+ 4G~ [..!. + G) G

° y cuando

+ 4Q}/4Q(3K

is {3K

t

--> "',

_

1l_e-:-(3K+clt!TI

3K w(FOl

+ 4G -->

-

3K G(3K

+G + 4G)

Po (1 - ¡,2)/E11"T,

9.26. Una viga simplemente apoyada y cargada uniformemente, se supone hecha de un material de MaxweIl. Determinar la tensión de flexión Ull y la flecha w(x¡, t) si la carga es p =. p [U(t)].

tlT

]

e-

que es el desplazamiento

elástico ..

VISCOELASTICIDAD

CAP. 9

237

LINEAL

La tensión de flexión de una viga elástica simplemente apoyada en sus extremos no depende de las propiedades del material por lo que aquí la tensión de flexión elástica y viscoelástica son las mismas. La flecha elástica .de la viga es w(x¡) poa(x¡)/24E1 donde a(x¡) es una función conocida. Para un cuerpo de Maxwell, {P} {at + liT} Y {Q} ={Gat}, de forma que la flecha transformada es

=

=

poa(x¡) 241

que integrada

Cuando

t

+

(3KIT

(3K 9KGs2

+

GlS)

da

= O,

w(x¡,

O)

= poa(x¡)/24E1,

que es la flecha elástica.

9.27. Probar que cuando t -+ co la tensión (7.,., del Problema 9.23 se aproxima porta como un fluido) si el material se considera incompresible (v = 1/2). Dei problema

(9.23) =

que puede ser escrita en términos

-ao(9K

de

-

(4G

cuando a:!"

l'

+ 3K»/2(4G

t->oo

=

+ 3K)

-I'a(,!(l-

,.).

=

-ao(3K

Así, para

a

(70

- 2G)/(3K p

=

1/2,

(el material

se com-

+ 4G)

a:!2It~",

= -au·

Problemas diversos 9.28. Determinar la relación constitutiva para el modelo tipo Kelvin-Maxwell representado en la Fig. 9-25 Y reducirla a partir de los resultados de las relaciones tensióndeformación de Kelvin y Maxwell. Aquí,

aplicando

los operadores

de tiempo,

se llega a Fig.9-25

a

En esta ecuación si 'Iz = O (muelle en paralelo con modelo de Maxwell), + alr¡ (G¡ + GZ)E + (G2fT¡) e, A continuación, si Gz O, resulta la relación de Maxwell ü + a/T¡ G¡ ~ De igual modo, si G2 se toma nulo (pistón en paralelo con modelo de Maxwell), ü + alr¡ 'I?" + (G¡ + 'I2fT¡);; y cuando '12 O, este también se reduce a la relación de Maxwell.

=

=

=

Si se reescribe la relación constitutiva 'Ila

y

'7¡

'72"

+

=

de cuatro parámetros

G¡a

=

'71'72"c'

+

(GI'7¡

se hace nulo, resulta la relación de Kelvin (J = '1:; E + G2€. G2 <, representando de nuevo el modelo de Kelvin.

+ G2'1¡ + G¡'1z); + De igual modo, si

+

9.29. Usar el principio de superposición para obtener la respuesta de recuperación de fluencia lenta para el sólido lineal están dar de la Fig. 9-3(a) y comparar el resultado con el del Problema 9.8. Con una carga de tensión expresada (J

=

por (Jo[U(t)]

-

(ver Fig. 9-26), la deformación se puede escribir partir del resultado del Problema 9.7, según

(Jo[U(t

-

2T2)]

inmediatamente

G1GZ• G¡

= O la ecuación

reducida

"' r ------f--·----~ 27,)

--a()

---------------

a Fig.9-26

es

a

238

VISCOELASTICIDAD

t >

En su instante

2"2 ambas

que coincide con el resultado

funciones

escalonadas

del Problema

LINEAL

CAP.9

valen la unidad y

9.8.

9.30. Determinar la tensión en el modelo del Problema 9.9 sometido a la historia de deformación indicada en la Fig, 9-27. Probar que con el tiempo el muelle "libre" del modelo soporta la totalidad de la tensión. Del Problema

9.9 y el principio

de superposición

..

la tensión será Fig.9-27

Para tiempos

t

>

tIla tensión es a = f(l,¡(rr¡i,

_. 1)e--

itr

/t I

+

Gf¡b cuando

cc ésta se reduce a

t>

(J

::-:

Gc.;

9.31. El "espectro de retardo Iogaritrnico " L se define en términos del espectro de retardo J por L(ln T) = d(T). Determinar a partir de esta definición la función de fluencia lenta ¡f¡(t) en términos de L(ln T) . Sea l»

f

y(t) ~ •

rítmico,

T::-:

>.

A de forma

que e: =

L(ln 1')(1 - c-tlT)d(In

,).

T

Y así d+Id»: =

De la misma

eh

=

forma,

1', o

dT

==

1'd(ln

si H(ln 1')

T).

= 1'GH

De ésta, la (9.28) que define a y(t! resulta define

el espectro

de relajación

toga-

r)

r¡,(tl de (9.31) se puede escribir

1>(t)

i"

H(In

,)e-UTd(ln

T)

o

9.32. Para el modelo de Maxwell de la Fig.9-2(a), determinar los módulos de acumulación y disipación, G l YG2' como funciones de In ".1' y representar en una gráfica la forma de estas funciones. Del Problema

para un material

x

9.16,

de Maxwell.

G

-w,

=

-----_-_---

Entonces,

= In WT. Para \ = O, GI = G/2; para A = oo, GI == G; Y para GI O. De igual modo, G2 == (]('·\/(l + e2.\) y para A O, G2 = G/2; para t.. = ::': G~ 0-:: O. La forma de las curvas de estas funciones es la indicada en la Fig , 9-28. donde

A ==

f(w)

A = ln er

=

0'0,

Fig.9-28

VISCOELASTICIDAD

CAP. 9

9.33.

Determinar la forma del operador viscoelástico pleando las relaciones constitutivas (9.48).

LINEAL

239

de la constante elástica

v

(coeficiente de Poisson) em-

Bajo una tensión uniaxial 0'11 = 0"0' (9.48b) da ,¡¡/3 = O"o/9Kde forma que (9. 48a) para i = j .::: 1 da De la misma forma (9.48a) para i j 2 da '22 ={2Q - 3PK}"(l/{18KQ:.Entonces, operador, /' = -€~2;'11 = {3PK - 2Q}/{6KP + 2Q}.

+

=

Q}"o!(9KQ}.

9.34. Un cuerpo viscoelástico cilíndrico, se inserta en un recipiente bien ajustado y rígido (Fig. 9-29) de forma que (TT) = O (deformación radial nula). El cuerpo es elástico a dilatación y tiene la función de fluencia lenta e, ., = A + Bt + Ce" donde A, E, e, A son constantes, Si (;11 = {u[U(t)], determinar (T;jt). Aquí, «u = 3K€ü Además,

y de la simetría . i

de (9.50a) con

Despejando

U3:1

=

j

=

de estas dos relaciones

del problema, 1,

O"I¡

"3;1

-

::-=

'11

=

Zy¡

¡

'

f

-

+-

=:

U;l:J

{3KP

T k

31(.:13'

d •.,~ -'I~C;' ",,(t - t') dt',

~

.u

C'o

=

en forma de

se obtiene Fig.9-29

1>., se puede hallar con la ayuda de (9.40).

La función de relajación El resultado

es 1'1.2 = [A>- -

donde

o 33

que integrando

=

'Í's

=

D :;: \/(A>-

~- IJ)2¡-

2 J't

K Et

o

[(-T¡ -

+ -3

fo

-

(1'2 -

-

,,)eT1(t-t»

¡

A)cr,t]/(1'¡

e).

4JJC>- ]/2(!1";"

[(1'

o

A)eT¡t

(1'¡ -

Asi,

- 1'2)

finalmente

(r.) - ,,)eT1
1'2)

f (7(t')l

dt'

.

da

9.35. El "pandeo de fluencia lenta" de una columna viscoelástica se puede analizar dentro de la teoría lineal a través del principio de correspondencia, Determinar por este método la flecha w(x¡, t) de una columna de Kelvin apoyada en dos puntos extremos,

..--.-~~~--=-Po Fig.9-30

La fórmula por el operador

de la columna {E

+ 'Id,}

elástica es ([2-w/d:ci

+

Pou'/EI

de forma que para una columna

do la flecha en forma de un producto

w(x¡,

t)

=

W(x¡)e(t),

= 0, y para un material de Kelvin viscoelástica

el operador

{E

+ ~dt}

conduce

(d2w/dxi)

a la ecuación

+

E se puede

Po iot I

diferencial

=

reemplazar

O. Suponien-

VISCOELASTICIDAD

240

LINEAL

CAP. 9

de la que donde r = 7J/E. Pero como la carga de pandeo elástico es Pn -EI(d2W/dxi)!wentonces;' O que se integra fácilmente para dar e = e(Po/Pn-lJtIT. Finalmente la flecha en el "pandeo W

=

=

+ (1- Po/Pn)e/r de fluencia lenta"

es

weePO/PB-¡JtIT.

9.36. Plantear el problema de una vibración en estado estacionario en una viga viscoelástica, suponiendo que las relaciones constitutivas son las dadas por (9.48). Las vibraciones

libres de una viga elástica

obedecen

a la ecuación

EI(a4w/ax~)

+

pA(a2w/at2)

=

O. De (9.48)

el

operador viscoelástico para E es {9KQ/(3KP + Q)}, y si la flecha es w(x¡, t),"" W(x¡)o(t) la ecuación diferencial viscoelástica que resulta se puede desdoblar en la ecuación de espacio d4 W/d.' k4W O Y en la de tiempo {3KP + Q}(d2e/dt2) + (k4l/pA){9KQ }(o) = O. La solución W¡ de la ecuación de espacio representa la i-ésima, y de la ecuación

i-

de tiempo para k

=

=

.'i

k¡ la solución

e,

= ~

Aije'4

donde

N depende

del grado del operador.

La solución total,

;=1

oz

!\'

= ~ ~

por lo tanto, es w(x¡, t)

es

Wi\x¡)AijeAijt

en la que

Aij

son complejos.

i=¡ ;=¡

Problemas propuestos

9.37.

Determinar Sol.

la ecuación constitutiva

parámetros

del modelo de cuatro

a + (G¡/7J2 + G2/1}z + G¡/7J¡)ü +

(G¡G211}¡1}2)a

=

G¡'"

indicado

+

en la Fig. 9-31.

(G¡GZ/1}2):

G2

a

Fig.9-31 Determinar la respuesta de fluencia lenta del sólido lineal estándar /G¡7J2 + ao[8(t)]lG¡. (ver Problema 9.7)

9.39.

Deducir las relaciones tensión-deformación de Kelvin y Maxwell a partir de los resultados establecidos- en el Problema para el modelo de cuatro parámerros de aquel problema. (Sugerencia. Tómese G3 = 0, etc.)

9.40.

Usar la ecuación (9.40) para obtener ",(t) si .p(t) = a(b/t)'" m < 1. (Sugerencia. Tomar ?n = 1 - k; entonces q,(t)

=

Sol. 9.41.

Determinar las funciones dicado en la Fig. 9-32. Sol . ..¡,(t) <;t>(t)

=

..¡,(t) = sen "m am"

de fluencia

(!.)

l/Gz - G¡e-G2t/(G,+G2)T,/G2(G¡ G2

+ G¡e-tIT

¡

directa de ;

dr2

con

m

b

y relajación

por integración

+

9.38.

a

del modelo

+ G2)

u

in-

Fig.9-32

9.5

VISCOELASTICIDAD

CAP. 9 9.42.

241

LINEAL

Determinar G* en el modelo indicado en la Fig. 9-33. G¡(1 Sol.

G*

t

+ G2w2Ti

T~w2)

1+

w2T~

+

G

l

Fig.9-33

9.43.

En el modelo del Problema 9-42 sea G¡ = G2 = G Y 7]2 = 7]3 = 7] y determine la historia de tensión del modelo resultante cuando está sometido a la secuencia de deformación representada en la Fig. 9-34. Sol.

9.44.

Fig.9-34

u

= ~t¡

(G(2t - ti)

+

7](4 -

(1 + et¡/T)e-tIT»

para t¡ < t < 2t¡

Un bloque viscoelástico que tiene la ecuación constitutiva a + aa = 13; + y, donde 0'.,13, y son constantes, se carga bajo condiciones tales que Ull = -uo[U(t)], U22 ~ O, '33 = O (ver Fig. 9-35). Suponiendo Ui; = 3K'i;' determinar U33(t), U33(O) y U33( 00).

Sol.

1

3O'.K -0"0L2(3aK

U33

2y

+ y)A +

( 3K - 213 3aK - 2Y) 2(3K + 13) - 2(3O'.K + Y)A

e

At]

d .

d

on e

A

(3O'.K + y)/(3K

+ 13).

Fig.9-36

9.45.

Una columna apoyada en dos puntos extremos es de un material de Maxwell para el que a + alr = E ;.La forma inicial de la columna es w = Wo sen (1T'x/l) cuando se aplica la cargapc[U(t)] (ver Fig. 9-36). Determinar la flecha subsiguiente w(x¡, t) como una función de PB, la carga elástica de pandeo. Sol.

w(x¡,

t)

=

Wo

sen (-;rx¡/l)e-

tlO-

PBIPo)T

Indice analítico Aceleración, 127 Acomodación, 224 dinámica absoluta, 226 Adición y sustracción, de matrices, 28 de tensores (cartesianos), 26 de vectores, 12 Análisis de tensiones viscoelásticas, Anisotropía, 57, 160 Antisimétrica, diádica, 16 matriz, 30 tensor, 30

para tensiones, 67-70 Cisión pura, 199 Coeficiente dePoisson, 162 Complejo, módulo, 226 potencial, 186 Componente, 11, 18 normales de tensión, 60 Comportamiento postelástíco, 201 Concepto de medio continuo, 57 Condiciones, de contorno, 163 de plasticidad, 199 de Stokes, 182 de ortogonalidad, 24, 25 iniciales, 163 Configuración, 91 Conservación de la, energía, 146 masa, 143 Constantes de Lamé, 161 Contracción, 26 Convectiva, derivada, 127 variación, 127 Convención, de suma, 19,21 de rango, 19 Coordenadas, cartesianas rectangulares, 17 cilíndricas, 18 curvilineas, 18 esféricas, 18 espaciales, 92 Cortantes, componentes de deformación, 101 componentes de tensión, 65 Cosenos directores, 17 Criterio de, von Mises, 200 Tresca, 199 Cuádrica de, deformación, 103, 104 tensión, 64 Curvas, de tensión-deformación idealizadas, de f1uencia, 201

228-229

Bases, 9, 16 ortonormal, 17 recíprocas, 39 ___ Calor, ecuación acoplada de, 169 ley de conducción del, 168 flujo de, 147 radiante, 147 Cambio, barotrópico, 181 de ángulo, 100 Campos, tensoriales, 33 vectoriales, 33 Cartesianas (os), coordenadas, 17 tensores, 11, 23, 24 Cauchy, cuádrica de tensión de, 64 elipsoides de deformación de, 104 principio de tensión de, 58 tensar de deformación de, 95 Cauchy-Riernann, condiciones de, 186 Cero, matriz, 28 orden de un tensor, 12 vector, 12 Cinemático, endurecimiento, 202 viscosidad, 183 Cinética, energía, 146 Circulación, 184 teorema de Kelvin de la, 185 Círculos de Mohr, para deformaciones, 106

Delta de Kronecker, 24 Deformación, 91 cortante, 10 1 desviador de, 105 243

199

INI ICE ANALITICO

244 Deformación, elipsoide de, 103 energía de, 159 endurecimiento por, 197 esférico de, 105 gradiente de, 94 inelástica, 196 infinitesimal, 97 leyes de transformación de la, 102 natural, 197 plana, 106 plástica, 196 tensores de, 95 teoría de la (deformación) total, 205 total, 205 velocidad de, 129 Densidad, 57, 143 de energía de deformación, 159 de entropía, 147

erivada, de tensores, 33 de vectores, 33 material, 126, 130 Descomposición, del gradiente de velocidad, 128 polar, 102 Desigualdad de Clausius-Duhem, 148 Desplazamiento, 92, 98 gradiente de, 94 relativo, 98 rígido, 96 Desviador, tensor de deformación, 105 tensor de tensión, 71 Diadas, 14 forma nonion de las, 18 Diádicas, 12, 14 antisimétrica, 16 conjugada, 14 simétrica, 16 Dilatación, 105 cúbica, 105 Ecuaciones, de Beltrami-Michell, 163 biarmónica, 166 calórica de estado, 147 constitutivas, 149 de Bernoulli, 184 de compatibilidad, 107, 130 de continuidad, 143 de equilibrio, 62, 145 de estado, 147 de Hamilton-Cayley, 32 de Hencky, 205 de movimiento, 145 de Levy-Mises, 203 de Navier-Cauchy, 163 de Navier-Stokes-Duhern , 183 de Prandtl-Reuss, 203 Ecuaciones de campo, elásti161, 166 viscc., ' 229 Efecto Bauschinger, 198 ~fica3, '''---- .. -'

incremento de deformación plástico, tensión, 203 Eje de simetría elástica, 161 Elasticidad, 158 Elástico, constantes, 160 límite, 196 simetría, 160 Elastodinámica, 162 Elastostática bidimensional, en forma polar, 167 en forma rectangular, 164 Endurecimiento, cinemática, 202 isotrópico, 202 por deformación, 197,204 por trabajo, 197, 204 Energía, cinética, 146 de deformación, 159 interna, 146 térmica, 146 Ensayo de tracción, 196 Entropía, 148 especifica, 148 Equivalente, incremento de deformación plástico, tensión, 203 Escalar, 12 campo, 33 de una diádica, 15 triple producto, 14 Espacio euclidiano, 21 Especí fico, calor, 168 entropía, 148 Estado de tensión, 59 Euleriano, coordenadas, 93 descripción, 93 tensor de deformación finita, 96 tensar de deformación lineal, 98 Extensión, relación de, 101 tensor de, 102 Factor idéntico, 15 Fluencia lenta, función de, 224 ensayo de, 222 Fluido, compresible, 186 no viscoso, 180 perfecto, 180, 184 presi ón de un, 180 stokesiano, 181 viscoso newtoniano, 181,219 Flujo, 91,126 de fluencia lenta, 189 estacionario, 183 irrotacional,184 plástico, 196 potencial, 186 regla de, 203 v":"dón, 219

204

204

INDICE ANALI1!,CO Fuerzas, de inercia, 62 másicas, 58 superficiales, 58 Funciones, armónicas, 186 de corriente, 186 de disipación, 149 de tensión de Airy, 166 Gas, ecuación dinámíca, 186 ley de los, 181 Gauss, teorema de, 34 Generalizado, deformación plana, 166 ley de Hooke, 158 modelo de Kelvin, 221 modelo de Maxwell, 222 tensión plana, 166 Gradiente, de deformación, 95 de desplazamiento, 94 Green, ten sor de deformación de, 96 tensor de deformación finito, 96 Hidrostática, 183 Histéresis, 197 Homogéneo, deformación, 110 material, 57 Ideal, gas, 181 materiales, 150 Indices, 19 Integrales, curvilíneas, 34 hereditarias, 225 Invariantes, 32 de deformación, 104, 105 de tensión, 64 de velocidad de deformación, 130 1rrotacional, flujo, )30, 184 Isotropía, 57, 161 Jacobiano, 22, 94 Lagrangiana, descripción, 93 tensor de deformación finita, 96 tensor de deformacion infinitesimal, 97 Laplace, ecuación, 186 transformada de, 226, 229 Ley de, adición del paralelogramo, 12 la conducción de Fourier, 168 Límite, de proporcionalidad, 197 elástico aparente de Johnson, 197 Lineal,

momento de la cantidad de movimiento, 144 operador vectorial, 18 ensor de rotación, 98 termoelasticidad, 168 úscoelasticidad,219 Líneas de corriente, 128 logarítmica, deformación, 197 .Masa, 143 Material, coordenadas, 92 derivada, 147, 127-168 «escripción del movimiento, 93 hiperelásticos, 167 hipoelásticos, 167 Matrices, 28, 30 columna, 28 conformes, 28 Matrices, diagonal, 28 identidad, 29 Máxima, tensión cortante, 66, 67 tensión normal, 65 Modele, (material) de Kelvin, 220 (material) de Maxwell, 220 de Vc;gt, 220 Momento. angular, )45 de la c.ir.tidad de movimiento, 145 Módulo, cornptejo, 227 de acumu Iación, 226 de disipación, 226 de rigidez, 162 dinámico absoluto, 226 dinámicos, 226 de Young, 162 volumétrico, 162 Movimiento, 126 estacionario, 128 Multiplicación de, matrices, 28 tensores, 26 vectores, 13 Notación, de Gibss, 12 indicial, 19 simbólica, 12,21 Octaédrico, plano,73 tensión cortante, 214 Ortogonal, tensor , 102 transformación; 23 Ortotrópico, 161 Partícula, 91 Perfectamente plástico, 198 Plana, deformación, 106

245

INDICE

246

deformaci ón especifica, 106, 164 elasticidad, 164 ' Tensión, 70-71, 164 Plano tt , 200 Plástico, campo, 197 deformación, 196 flujo, 196 incremento de deformación, 204 teoría del potencial, 202 Polar, descomposición, 102 ecuaciones de equilibrio, 167 Potencial, flujo, 186 plástico, 204 Presión, de un fluido, 180 función de, 184 hidrostática, 180 Primer principio de la termodinámica, 146 Principales, ejes, 31 valores de deformación, 104 valores de tensión, 64, 71 Principio, de correspondencia, 229 Principio, de la cantidad de movimiento, 144 de SI. Venant, 164 Problema, cuasiestático viscoelástico, 229 elastoplásticos, 205 Procesos, adiabáticos, 158 irreversible, 148 isotérmico, 158 reversible, 148 termodinámico, 150 Producto, escalar de diadas, 16 escalar de vectores, 13 externo, 26 interno, 27 veetorial, 13, 15,27 veetorial indeterminado, 14 Punto, 91 Regla del triángulo, 12 Relaciones de Duhamel-Neumann, Relajación, ensayo, 222 función de, 224 espectro de, 225 Retardo, espectro de, 224 tiempo de, 223

168

Segundo principio de la termodinámica, Símbolo de perrnutación, 27 Simetría, de tensores, 30 Simetría, elástica, 160 Sólido hookiano , 219

----_.-------'::;:----

-.-

147

ANALlTICO Sólido lineal estándar , 220 Superficie de f1uencia, 200 Temperatura, 148 Tensión, circulos de Mohr de, 67 -70 componentes de, 60 conservativa, 149 cortante, 60, 66 cuádrica de, 64 desviador de, 71 elipsoide de, 66 eficaz, 203 _esférica, 71 función de, 166 invariantes de, 64 leyes de transformación de, 63 normal,60 plana, 70 principio de, 64 simetría de, 62 tensar de, 59 potencia de, 147 vector, 58 Tensión y deformación convencionales, 197 de ingeniería, 197 Tensor, cartesiano, 11, 23, 24 componente de un, 11 contravariante, 22 covariante, 22 de deformación, 95 de deformación de Almansi, 96 Tensor, de deformación finita, 95, 96 de extensión, 102 de extensión negativa, 102 de extensión positiva, 102 de rotación finita, 102 de rotación infinitesimal, 97, 98 de tensión disipativa, 148 de tensión viscosa, 180 de velocidad de rotación, 128 derivada de un, 33 esférico, 71,105 general, 11,21 leyes de transformación de un, II métrico, 23 métrico fundamental, 23 multiplicación, 26 orden, 12 potencias de un. 32 velocidad de deformación, 128 Teorema, del transporte de Reynolds, 139 de integrales, 34 de la divergencia (de Gauss), 34 de Stokes, 34 de superposición, 164 de unicidad, 164, 177 Teoría, de la energía de distorsión, 197 de las líneas de deslizamiento, 206 de las pequeñas deformaciones, 97

-~,-_.

INDICE in cremen tal, 203 Termoelasticidad, 150, 168 no acoplada, 150, 169 Tetraedro de tensión, 61 Trabajo, endurecimiento por, 198 plástico, 204 Transformación, de coordenadas, 21 de tensores, 11 leyes de, 24, 102 ortogonal, 23, 25 propia, 28 Trayectorias, 128 Triple producto vectorial, 14 Unitaria, diádica, 15 desplazamientos relativos, triadas, 18 vector, 13 Variación, local, 127 convectiva, 127 Vector base, 16

98

ANALITICO de posición, 23, 91 de rotación, 98 de una diádica, 15 desplazamiento, 92 dual,27 leyes de transformación, 25 par-tensión, 59 potencial, 144 productos de, 14, 15, 27 rotación, 98 suma de, 12 Vector, tracción, 59 torbellino, 130 Velocidad, 127 compleja, 187 de deformación, 128 potencial, 184 Viscoelasticidad,219 Verticidad, tensor, 129 vector, 130 Volumétrico, módulo, 162 viscosidad, 181

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[Schaum - George E.mase] Mecanica Del Medio Continuo

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