[Schaum - Murray R.Spiegel] Mecanica Teorica

l'r35'

1'136'

e. ar

alrededor de un triángulo con vé¡tices en

El conductor de un automóvil parte de un punto A en una autopista y se detiene en un punto B después de viajar una distancia D en un tiempo ?. Du¡ante el viaje alcanza una velocidad mrírima V. Suponiendo que el valor de la aceleración es constante tanto al comienzo como al final del viaje, demostrar que el tiempo durante el cual se mantuvo la velocidad máxima se da por 2D/V _ T. Demostrar que las medianas de un trirítrgulo: (o) pueden fo¡mar un triángulo, (ó) se encuentran en un pun-

to que divide la longitud de cada mediana en la relación dos a uno.

l'r37'

Si una partícula tiene velocidad v y aceleración a a lo largo de una curva en el espacio, demostrar que el radio de curvatu¡a de su trayecto¡ia se da numéricamente por

n

-", lvxal

1.f38.

Demostra¡queeláreadeuntriánguloformadoporlosvectores A,B

1.139.

(o) Demostrarquelaecuación A x X: (ó) Demostrar que una solución es X : 8¿sp. (c) X : B X A/A2 * IA donde

f.l40.

Encontrar todos los vectores Resp.

l'141.

v C es IlAx B+ BX C+Cx Al.

B puederesolverseparaXsiysólosi A.B:0 yAI B x A/A'. (c) ¿h¡eáe encontrar la solución general?

I

o.

es un escalar.

X tales que A . X : p.

X : pA/A, + V X A

dondeV es un vector arbitrario

Por un punto interno de un triríngulo se trazan tres líneas paralelas respectivarnente a cada uno de los tres lados del triángulo. Cada línea termina sobre los otros dos lados. Demostrar que la suma de las relaciones entre las longitudes de estas líneas y sus lados correspondientes es 2.

L'142. Si T'NyB: T X N sonlosvectorestangentesunitariosyseconsideraquelanormalprincipalylabinormal a la curva en el espacio r : r(u) son dife¡enciables, demostrar que dT dB dN

6=*N, á=-tN, fr="8-*T

Estas son las fórmulas de Frenet-Serret. En estas fórmulas r se llama la curuatura, inversos R : l/x, o : L/¡ se llaman el rad,io de curuatura y el radio de torsíón.

r

es

la úorsión y

sus

lcAP. l

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

32

1,143. En la figura 1-31, AB es una biela de pistón de longitud l. Si A se mueve a lo largo de una línea horizontal CD, y B se mueve con velocidad angular constante o al¡ededor del círculo de radio a con centro en f), encontrar: (¿) la velocidad, v (b) la aceleración de A.

P I I

Dl

Y

I

tO

,

r) r l,/

e Fig. l-32

Fis. r-31

1.144.

Un bote sale de un punto P (figura 1.32) sobre la orilla de un río y viaja con velocidad constante V dirigido hacia un punto Q sobre la otra orilla del río, situado en dirección directamente opuesta a P. La distancia entre los dos puntos es D. Si r es la distancia instantánea desde Q al bote, 0 es el ángulo entre r y PQ, y las ag¡as del río se mueven con rapidez u, demostrar que la trayecto¡ia del bote se da por

r= 1.f45.

Si en el problerna 1.144 u

1.f46, (o)

:

Dsece

(seca*tana)u/Y

V, demostrar que la trayectoria

Demostrar que en coordenadas cilíndricas ( p, ó,

z)

es un arco de parábola.

(figura 1-33) el vector de posición

r = pcoséi * psenói *

es

zk

(b) Expresar la velocidad en coo¡denadas cilínd¡icas. (c) Expresar la aceleración en coo¡denadas cilindricas.

v - ipt+p6Or+Lu (c) a = (í-piz)pr+(pt+zii)otI?u

Resp. (b)

Coo¡denadas cilínd¡icas

Coordenadas esféricas

Fig.l-33

Fig.l-34

1.L47. (c) Demostra¡ que en coordenadas esféricas (¡, ,, ó) (figu¡a l-34) el vector de posición r = rsenrcosOi+ rsenrsenQi*rcosAk I

:

I

es

:::: : :: [ :::il:::il'J":i:,T"1'"1'":'iil:l';. v = h, + r'cc, * ri sen o ¡1 (c) ¡ = ('i - rbz - rí2 sen2 c)q* Qiá + ri - ri2""n, ¡ 1Zr'ci * 2ii se" e + r'ó senc)ár

Resp. (b)

1.f48,

Demostra¡ que si una partícula se mueve en el plarro ¡educen a los del problema 1.49.

co!¡,)'r

ry los resultados

de los problemas l.L46y 1.147

Copítufo 2 Leyes de Newton sobre movimiento. Troboio, energío y contidod de movimiento LEYES DE NEWTON Las tres leyes del movimiento enunciadas por Sir Isaac Newton son consideradas como los axiomas de la mecánica:

l'

Toda partícula permanece en estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta (es decir, con velocidad constante) a menos que actúe una fuerza sobre ella.

2' Si actúa una ta

fuerza F (externa) sobre una partícula de masa m y como consecuencia se mueve con velocidad v, entonces

és-

F_dilo =*\tnv)=E(1) donde P : mv se llama momentum o cantid,qd de mouimienúo. Si m es independiente del tiempo ú, entonces

F=

d,v *a:ma

(2)

donde a es la aceleración de la partícula.

3' Si una partícula l

actúa sobre una partícula 2 con una fuerza F,, en dirección de la li nea que une las partículas, la partícula 2 actúa sobre la partícula 1 con una f'uerza F2,, por tanto,

y

opuesta.

Frt : -Frz. En otras palabras,

para toda acción existe unareacción igual

DEFINICIONES DE FUERZAY MASA Los conceptos de fuerza y mascr utilizados en los axiomas anteriores están aún sin definir, a pesar de que intuitivamente tengamos alguna idea de masa como una medida de la ,.cantidad de materia de un objeto" y de fuerza como una medida del "empuje o tracción sobre un objeto". Sin embargo, podemos usa¡ los axiomas anteriores para desarrollar las definiciones (véase el problema 2.28).

UNIDADES DE FUERZA Y MASA Las unidades patrón de masa son el gramo (g) en el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo), elkilogramo (kg) en el sistema MKS (metro-kilogramo-segundo) y la libra (lb) en el sistema PLS (pie-libra-segundo). Las unidades patrón de fuerza en estos sistemas sonla dina, el newton (nt) y el poundal (pdl), respectivamente.IJna dina es la fuerza que imparte una aceleración de I cm,/seg2 a I g. Un newton es aquella fuerza que imparte una aceleración de 1 m,/seg' tl kg masa. IJn poundal es la fuerza que imparte a 1 libra masa una acele" ¡ación de l pie,/seg2. Para las relaciones entre estas unidades véase el apéndice A.

SISTEMAS INERCIALES DE REFERENCIA. MOVIMIENTO ABSOLUTO Debe hacerse énfasis en que las leyes de Newton se postularon con la consideración de que todas las medidas u observaciones se hicieron con resplcto a un sistema coordenado de referencia fijo en el espacio, es decir, en reposo absoluto. Este enunciado considera que tanto el es33

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

lcAP.

2

pacio como el movimiento son absolutos. Sin embargo, una partícula puede esta¡ en reposo o en movimiento uniforme en línea recta con respecto a un sistema de referencia, pero con respecto a otro sistema de referencia puede estar moviéndose sobre una trayectoria curvilínea y tener aceleración. Podemos demostrar que si las leyes de Newton se cumplen en un sistema de referencia, también se cumplen en cualquier otro sistema de referencia que se mueva con velocidad constante relativa al primero (véase el problema 2.3) . Tales sistemas de referencia se llaman sistemas inerciales d.e referencia o sistemas newtonianos de referencia. Para todos Ios observadores en estos sistemas inerciales, la fuerza que actúa sobre una partícula será la misma, es decir, será inuarianüe. Esto algunas veces se Ilama el princípio clásico de relatiuidad. La Tierra no es exactamente un sistema inercial, pero para muchos propósitos prácticos podemos considerar que su movimiento tiene lugar con pequeña rapidez. Usaremos los métohos del capítulo 6 para sistemas no inerciales. Para velocidades comparables con la velocidad de la luz (186.000 mi/seg),las leyes de la mecánica de Newton deben remplazarse por las leves de relatiuidad de Einstein o mecónica relatiuística'

TRABAJO Si una fuerza F actúa sobre una partícula y la desplaza dr, entonces el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula se define como d,W

= F' dr

(3)

puesto que solamente Ia componente de F en la dirección del desplazamiento dr es la que realmente produce el movimiento. El trabajo total efectuado por un campo de fuerzas F (campo vectorial) al mover la partícula del punto P¡ al punto P, a lo largo de la curva C de la figura 2-1 se expresa mediante la integral de línea (véase el capítulo 1). fPz r

u

Fig.2-l

frz w = )"r.'a, = J", "' dr = vrl| r.ar

donde

rr y tz

son los vectores de posición de

P1

y Pr,

(4)

respectivamente'

POTENCIA La variación en el tiempo del trabajo efectuado sobre una partícula frecuentemente se denomina potencia instantónea. o simplemente potencio aplicada a la partícula. Usando los símbolos W y ? para trabajo y potencia, respectivamente, tenemos

adw si actúa una fuerza F

sobre una partícula cuya velocidad es

e = F'v ENERGIA CINETICA

(5)

dt

v, tenemos (6)

y los Supongamos que las partículas anteriormente utiliaadas tienen masa constante en velocidades y con tt tz están localizadas en P1 y P2 (figura 2-I) se mueven

tiempos

!

cAP. 2l

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

vr : drr/dt y vz : drz/dt, (véase el problema 2.8).

Teorema

P, hasta &

35

respectivamente. Podemos demostrar el siguiente teorema

2.7. El trabajo realizado al mover la partícula

se da por

a lo largo de la curva C desde

w : f"t.a, T:

Si llamamos a la cantidad

(7\

imu2

(8)

la energía cinética de la partícula, entonces el teorema 2.1 es equivalente a decir

trabajo total realizado desde P1 hasta & a lo largo de : energía cinética en P2 - energía cinética en P,

(e)

W:72-Tl

o, en símbolos,

donde Tt =

C

l¿mo?,

(10)

7, = $maf,.

CAMPO DE FUERZA CONSERVATIVO Supongamos que existe una función escalar V tal que F mostrar el siguiente teorema (véase problema 2.15).

: -

V V. Entonces podemos de-

Teorema 2.2. El trabajo total realizado al mover la partícula a lo largo de

hasta

P,

se da por

w = fr*,'r. o, =

v(Pi

-

C desde p1

v(P,)

(/r)

En tal caso, el trabajo realizado es independiente de la trayectorio C que une los puntos P, y &. Si el trabajo realizado por un campo de fuerza al mover una partícula de un punto a otro es independiente de la trayectoria que une los puntos, entonces se dice que el campo de fuerza es conseruatiuo. Los teoremas siguientes son válidos.

Teorema 2.3. Un campo de fuerza F es conservativo si y sólo si existe un campo larVdiferenciablecontinuamentetalque F: o,equivalentemente, siysólosi

esca-

-VV

VxF - rot F =

0

idénticamente

(12)

Teorema 2-4- Un campo de fuerza F diferenciable continuamente es conservativo si y sólo si para cualquier curva cerrada C que no se intersecte consigo misma (curva cerrada simple),

es decir, el trabajo

f "t.a, :

o

(131

total realizado al mover la partícula sobre cualquier trayectoria cerrada

es

cero.

ENERGIA POTENCIAL O POTENCIAL El escalar Vtal que F : - VV se llama energíapotencial,llamadodambiénelpotencial escalar o simplemente potencial de la partícula en el campo de fuerza conservativo F. En tal caso, la ecuación (11) del teorema 2.2 puede escribirse trabajo total realizado desde P1 hasta P2 a lo largo de C (14) : energía potencial en P1 - energía potencial en P2

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, E¡.ERGIA Y MOMENTUM

36

W

o, en símbolos, donde Vt : V(Pt), V, : V(Pr).

Vt

tcAP.

V2

2

(15)

Debe notarse que el potencial se def inió sin sumar una constante arbitraria. Podemos expresar el potencial como

v = -f"r.a,

(16)

u¡o

donde suponemos que V

: 0 cuando r :

ro.

CONSERVACION DE LA ENERGIA Para un campo de fuerza conservativo tenemos de Ias ecuaciones (I0) y Tr-7, = Vr-Vz o Tr*Vt: Tz-lVz lo cual puede escribirse

como

)¿ma'l*

Vt -

(15),

L2mu2r+ Vz

(17) (18)

La cantidad E : T * V que es la suma de la energía cinética y energía potencial, se llama Ia energía total. De (t8) vemos que la energía total en P¡ es la misma que en Pr. Podemos establecer nuestros resultados en la siguiente forma.

Teorema 2.5. En un campo de fuerza conservativo, la energía total (es decir, la suma de energía cinética y energía potencial) es una constante. En símbolos, T + V : constan-

te:8.

Este teorema se IIama frecuentemente el principio de conseruación de La energía.

IMPULSO

tt y

Supongamos que la partícula en

t.¿ con velocidades dada por

la figura 2-1 está localizada en Pr y P2 en Ios instantes en el tiempo de la fuerza F

vr y v2, respectivamente. La integral ntz

I

nat

(19)

!1

llama eI ímpulso de Ia fuerza F. Los siguientes teoremas pueden demostrarse (véase el problema 2.18). Teorema 2.6. El impulso es igual al cambio de momentum; o, en símbolos, se

ft,

J. Fdt = .t

mv,

-

nLvt

: p, - p,

Qol

Este teorema es válido aunque la masa sea variable y la fuerza no sea conservativa.

MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTUM ANGU LAR Si r es el vector de posición de una partícula que se mueve en un campo de fuerza F (figura 2-2). definimos

A = rXF

(21)

como el momento de la fuerza F con respecto a O.

La magnitud de A es una medida del "efecto de giro" producido por la fuerza sobre Ia partícula. Podemos demostrar (véase el problema 2.20\ Teorema 2.7.

rxF : Lwíxv)\ dt'

Q2)

r

Fie.2-2

CAP'

2]

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

37

La cantidad

A = m(r Xv) = ¡¡n

(23) se llama el momentum angular o momento del momentum con respecto a o. En otros términos' el teorema establece que el momento que actúa sobre una partícula es igual a la tasa de variación en el tiempo de su momentum angular, es decir.

da

^- ü.

e4)

Este teorema es válido aun sea la masa rn variable o Ia fuerza no conservativa.

CONSERVACION DEL MOMNNTÚU Si hacemos F : O en la segunda ley de Newton, encontramos

d. ¿r(mv)=0 o

,rnv

=constante

(%\

lo cual lleva al

tum

Teorema 2'8' Si la fuerza neta externa será constante.

que actúa sobre la partícula es cero, su momen-

Este teorema se llama el principio d'e conseruación d,el momentum. para el caso de masa constante, equivale a la primera ley de Newton.

CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULAR Si hacemos : 0 en (24), encontramos

^

ftWtxv))=0 o

m(rxv) =constante

(26)

lo cual nos lleva al Teorema 2'9' Si el momento externo neto que actúa sobre una partícula es cero, el momentum angular permanecerá constante. Este teorema se llama generalmente el principio de conser uación del montentum angular.

FUERZAS NO CONSERVATIVAS

ue

F=

-VZ

(o, equivalentemente,

si V X

?rza no conseruatiuo. Los resultados (7), (20) y L todos los tipos de campos de fuerza, conserva(17) o (18) se cumplen solamente para campos

ESTATICA O EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA Un caso de especial importancia de movimiento de una partícula ocurre cuando la partícula está, o parece estar, en reposo o en equilibrio con respecto a un sistema inercial de coordenadas o sistema de referencia. Una .orrdi"ión ,r"ces"ri" y suficiente, de la segunda ley de Newton, es

F=0

Q7)

es decir, la fuerza neta (externa) que actúe sobre la partícula debe ser cero. Si el campo de fuerza es conservativo con potencial v, entonces una condición necesaria y suficiente para que la partícula esté en equilibrio en un punto es

Y7=0, en el punto.

i.e.

u*{=#={=o

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

38

ICAP.

2

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO si una partícula en equilibrio es desplazada ligeramente

de un punto P y tiende a volver y se dice que el equilibrio es a P, entonces P se llama in punto de estabilidad o punto estable y que el equilibrio esinestaestable. De otra manera, dirémos que el punto es de dnesúobilidad

El teorema siguiente es fundamental' Teorema 2.Io. Una condición necesaria y suficiente para que un punto en equilibrio punto sea un mínimo. sea un punto de estabilidad, es que el potencial v en el

bJe.

P

roble ma s re sueltos

LEYES DE NEWTON

2.1.

se mueve a lo larDebido a un campo de fuerza, una partícula de 5 unidades de masa función del tiempo ü go de una curva en el espacio cuyo vector de posición se da como

por

r - (2t"+ ú)i +

t2+ 8)i

Hallar: (o) la velocidad, (b) el momentum, (c) la fuerza en cualquier tiemPo

-

12¿'zk

aceleración,

y (d) el campo

de

ü.

(tzts-zt)i-zltk

(o)

Velocidad: v

= tdt =

(b)

Momentum =

(c)

Aceleración =

p= mv = 5v = (30úz+5)i+(60¿s-10ú)i-120¿k a= ú0, = # = r2ti+ (s6ú2 -z)i - zut*

(d) Fuerza

2.2.

(gt4

(6¿2+l)i +

= F = # - *# =

60Úi+ (180¿2-10)i- 120k

que su vector de posiuna partícula de masa rn se mueve en el plano ry de manera ción es r : ocosoúi + bsenoüj

la partícula se muesiendo a, b y ¡o constantes positivas y a > ¿. (o) Demostrarque partícula está dirigila ve en una elipse. (b) Demostrar que Ia fuerza que actúa sobre da siempre hacia el origen. a (o) EI vector de Posición es r = ri+ai = ¿cosoúi*bsenoúj así que r : o cos @t' Y : b sen of son las ecu:

b

ciones paramétricas de una elipse con semieje mayor y semieje menor de longitudes o y ó, respectivamen-

te (figura

2-3).

Por tanto,

(r/a\z I (a/O¡z - cos2oú *sen2ot = 1 que es la ecuación de la elipse, ya que x¿"n2 *

Fis.2-3

v'/b2 -- l' (b)

Ia fuerza que actúa sob¡e ella es Considerando la partícula de masa constante m' ü ,,- cosoú)i d2r .-- 't: (ó senoÚ)il dv

F = m7; = *# = *fr\t" = ml-oza cos ot i : -mrzle cosot i *

lo cual demuestra que la

o2b sen oÚ

ü senoÚ

fuerza se dirige hacia el origen'

*

i]

il =

-rno2r

cAP. 2l

2.3.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

Dos observadores O y O,, fijos con rela_ ción a dos sistemas coordenad.os Oxyz y O'x'y'z', respectivamente, observan el movimi.ento de una partícula p en el espacio (figura 2-4). Demostrar que pa_ ra ambos observadores actúa la misma fuerza sobre la partícula si y sólo si los sistemas coordenados se mueven con velocidad relativa constante ent¡e sí.

39

.. 1 t|'

Sean los vectorcs de posición de la partícula

en los sistemas coordenados Oxyz y O'x,y;2,, y r I, respectivamente, y sea el vecto¡ de posición de O;

con respecto a O,

R : r _ r,.

Para los observadores o y erpresan, respectivamente, por

Fig.2-4

o' las fuerzas

que actúan sobre p de acue¡do con las leyes de Newton se

F=m#, ,,=*ffi La diferencia en las fuerzas obse¡vadas

F_F' y ésta

será cero

si y sólo si

es

=

*ffi{, -,,)

ffi=,.#

=

=*# constante

decir' que los sistemas coo¡denados están moviéndose a velocidad constante uno con relación al otro. Estos sistemas se llaman sistemas coordenados inerciales. El resultado es, algunas veces, llamado el principío es

clósico de

2'4'

ta relatiuidad.

una partícula de masa 2 se mueve en un campo de fuerza dependiente del tiempo y expresado mediante

F = Z4t2i + (S6t_ 16)j _ fZ¿t Suponiendoquepara ü:0 lapartículaestálocalizadaen ro : Bi _ j + 4k ytiene velocidad vo : 6i + 15i 8k, hallar: (o) la u"to"iá"¿, y (ó) la posición para cualquier tiempo ü.

(o)

De acuerdo con la segunda ley de Newton.

2dvldt = Z4t2i+ (S6ú_16)j _tltk dvldt = t2t2i+ (18¿_8)j_6¿k Integrando con respecto a

como

Í y llamando c,

v=v0=6i+16i-; v =

(b) Como v : d¡/dt,

ra constante de integración, tenemos

""=,::

:i"--'l: =.,:;-'ru

(4¿3+6)i

+

(9¿2_8ú+16)j

_ (3¿2+8)k"".,

+

(9t2_8ú+16)i

_ (3ú2+8)k

tenemos, de la parte (o),

dr

ü =

(4¿E+6)¡

Integrando con respecto a f y llamando c, la constante de integración

LEYES SOBRE MOVIMIENTO' TRABAJO, ENERGIA Y

40

MOMENTUM

ICAP'

2

r = (ü4+64i + (Sf -4t2+160i - (¿8+8ú)k + c2 y Como r - to = 3i-j+4kenü : 0, tenemos cz = 3i-j+4k r = (¿4+6ú+3)i + (}ts-4t2+16Ú-l)i + (4-¿e-8ú)k

2.6.

la velociuna fuerza F constante que actúa sobre una partícula de masa m cambia dad de vr e v2 en el tiempo r' (o) Probar que F : ¡n(vz - vr)/r' (b) ¿El resultado obtenido en (o) se mantendrá si la fuerza varía? Explique' (o) De acuerdo con la segunda ley de Newton (r) ---dv _ ^ 4y - F e mA-I ih-m

Entonces, si F y m son constantes' tenemos al integrar

v = (Flm)ttc, Enú=0,V=Vrasíeuec1 =v1,i.e. En o

ú=r, v=vz

así

que

sea.

Otro método Escribi¡(I) como

mdv:

Fdü' Como

v: vr

fJ

fv2

e)

v = (F/m)t*t, Y2 = (Flm'¡r I v1 F = rn(v2-v1)lt

|' *dt = of| ¡ I"at J

Pa¡a

o

t:0

(3)

y v - v2 pa¡a t:

r

tenemos

tn(vz-v1) = Fr

",

que es el resultado deseado'

(b)No,engeneralelresultadonosemantienesiFnoesconstante,puestoqueentalcasonopodúamos (o)' obtener el resultado de la integración conseguido en

2.6.

10.000 g en movimien-

Hallar la fuerza constante necesaria para acelerar una masa de 5 minutos' to a lo largo de una recta desde una rapidez de 5¿ km,/h a 108 km'lh en MKS' (b) sistema el en Expresarla: (o) en el sistema CGS, y eje r' Entonces si v' y v' son las velocidaconsideremos el movimiento en Ia di¡ección positiva del des,tenemosdelosdatosdadosvt:54ikrrr'/h'vz:108ikn/h'm:10'0009't:5min' (o) En el sistema CGS 300seg m:10a B, vr :54ikm,/h:1,5 x t03icm,/seg. tz = 3,0x103icm/seg' ú = /v., - v,\ /1,5 X 103i cm/seg \ = (10r s) \- Bxlgr*s i Entonces Ir = ma, = *\?) = 0,5X 105i gcm/seg2 = 5X104idinas

lb)

Lamagnituddelafuerzaesde50.000dinasenladireccióndelejepositivor. En el sistema MKS 15i m/seg, v, = 30im/seg' ¿ = 300 seg $4ikm/h

m = l¡kg, vr = Entonces

=

/v.-v,\ F = rna = ^\-) = 0,5i kg m/seg2 =

/15im/seg\ = (10ks)\ g00*- / 0,5i newtons

Demodoquelamagnitudes0,Sntenladirecciónpositivadelejer.Esteresultadotarnbiénse que t nt : 105 dinas o sea que I dina : 10-5nt' habría podido obtene¡ de la parte (¿) considerando

cAP. 2l

LEYES SOBRE MOVIMIENTO, TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM

4l

En este problema el vecto¡ unitario i se omite algunas veces, se sob¡entiende que la fuerza F tend¡á la dirección positiva del eje r. Sin embargo, es próctico utilizar el vector unitario en problemas similarcs para hacer énfasis en el carácter vectorial de la fi¡erza, de la velocidad, etc. Esto ea impottante en los casos en los que las velocidades cambien sus direcciones. Véase, por ejemplo, el problema 2.46.

2.7.

¿Qué fuerza se necesita para detener en 4 segundos una masa de 2000 lb que se mueve

con una rapidez de 0O mi,/h? Supondremos que el movimiento se realiza a lo largo de una línea recta que hacenos coincidir con la

dirección

;"-l

ffi: ::": ffi

Entonces

sea que se opone

-

"'; ¿"t) = (2000lb) ¡-aei e/seg ) / \ 4seg / p x l0ti lb,/seg2 poundals x 10li = -4r4 = -4,4 tiene una magnitud de 4,4 X 1ü poundals en la dirección

F = tna =

De modo que la fuerza

111H,

-":;'='T;::;""

4

*s

,o f

\

al movimiento, como era de

negativa del eje

r,

o

esperarae.

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA CINETICA 2.8. Una partícula de masa constante zr se mueve en el espacio bajo la influencia de un campo de fuerza F. Suponiendo que en los tiempos tt y tz las velocidades son v, y v2, ¡espectivamente, demostrar que el trabajo dado es igual al cambio de energía cinética, esto es,

t. _¡l

trabajo realiza,j'

=

í' -tt ntz

Jq

F.dr

t .fiat

gmal

. v)

-

gmal

= fo r."o,

^fi' , a' =

r^ l,::d(v 2.9.

=

* !,1,,,

".

n"

= r^*l[i, =

f,tnof,

-

ltnt!

Hallar el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del vector r : 3i + 2j - 5k si la fuerza aplicadaes F:2i - j - k (figura2-5). trabajo ¡ealizado : (magnftud de la fuerza en la dirección del movimiento) (distancia reco¡rida)

- (f' cos a)(r) - F. r = (2i-j-k).(3i+2i-6k) - 6-2*6 = 9

fl I

Fig.2ó

2.1O. Refiriéndonos al proble ma 2.2; (o) hallar la energía cinética de la partícula en los puntos A y B, (b) hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza al moverse la partícula de A a B, (c) ilustrar el resultado del problema 2.8 en este caso, y (d) demostrar que el trabajo total rcalizado por el campo sobre la partícula que se mueve sobre una elipse es cero.

42

LEYES SOBRE MOVTMIENTO. TRABAJO, ENERGTA

(a)

2

: v : d¡/dt : -@o sen oti * ob cosoü j. cinética : \moz - $m(o2o2aer,2ot*,¡2b2cos2,;úl.

(b) Método l.

Energía cinética en

A [donde

Energía cinética en

I

[donde coso¿

,. o" =

f" ¿A

=

'¡B

= -t^, 2.

= 1, senoú = 0] = = 0, senoú = 1] =

f

Podemos supone¡ que en A y

habajo realizado

Smrzbz $mozaz

y

d.,

r¡ = -¡^-rrrl" -

a1r.

l¿

$m,P(az

-

gz)

B, t :0 y t : t/2o rcsge,tivamente;

J¡

=

| ¿o

=

| uo

?¡l2o

(¿cosoú

l-^t

i*

frl2@

De las partes (a)

(t -rntz.rA ,.

=

entonqeg

ft t'r.

=

=

r¡. a,

¡^t

f" ot¡

"A $m,,Paz - $mlzbz =

= Método

cosúJ¿

De la parte (b) del problema 2.2,

trabajo ¡ealizado

mot(62

l.mof(oz

-

6z¡

-

b2) sen

"enz

ot

ü senóúi)] . [-"¿senú,úi

of

cos

ú1"t2' =

oü cos

ot!]itt

d,t

lrru&(az

l0

*

-

bz¡

(b)

trabajo rearizado

= (d).

tCAp.

Velocidad Energía

(c)

y MOMENTUM

r:J^':^il-^:^

Ugando el método 2 de la parte (ó) tenemos, que como clo al¡ededor de la elipse,

t

^r:::;T::: varía de 0 a ú

^"

2t/o,

ae

completa un ci-

az,to

trabajo realizado

=

| of¡

mr,¡s1o,2

trur2(az

El método I también

2.11.

se puede

-

-

ü2) sen oú cos of d,t

bz. senz

urar pa¡a obtene¡ el mismo

ú12"t' =

0

*rt;:".

Demostrar que si F es la fue¡za que actúa sobre la partícula y v es la velocidad (instantrínea) de la partícula, entonces la potencia (instantánea) aplicada a la partícula se da por

?=F.v Po¡ definición, el trabajo rtalizado por una fueza F sobre una paÉícula que se desplaza dr es

ilW = F.d,r Entonces, la potencia (instantánea) se da por

comoqueríamos. 2.12. Hallar

#="'#="'o

la potencia (instantánea) aplicada a la partícula del problema 2.1por el campo de fuerza.

CAP.

2I

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO. ENERGIA Y

Porel ptoblema 2.1, Ia velocidad y la fuerza

y= F=

se

MOMENTUM

43

dan, rcspectivamente, por

(6t2+ 1)i + (12¿s-ztli - 24tk 60úi + (180ú2-10)i - 120k

Entonces, la potencia (por el pmblema 2.11) se da por

? = F.v = =

+

(60¿)(6ú2+ 1) 2160¿s

-

-2t) + (1201(24t)

(1AO¿z- 10)(12¿3

l20ts +

2960ú

2.13. Hallar el trabajo realizado por la fuerza en: (a) el problema 2.6, (b) el problema 2.7. (o)

EnelsistemaCGS: tr¡

= lvrl :1,5X103cm/seg, 1)z=

3,0X108cm/seg, m

=

lv2l

Entonces, por el problema 2.8, trabajo realizado : cambio de eneryía cinética

$m(of,- oll {(1oa c)(9,0

x

106

-

=

B,B8xlotogcm:

seg'

=

3,38

2,25

x 10lo dina cm

x

ltr)cm:

seg-

3,38

=

ro'o(*# )"",,

x

3,88 X 10lo ergios

Similarmente, en el sistema MKS, tenemos trabajo realizado

(b)

=

-zlq# = 3,38 x 103 (*eff) t.l $(10 ks)(900

Como en la parte (c),

trabajo realizado

=

+(2000 lbx882

=

?,24

x

106(F)

=

3,38

x

103 newton metro

p2

-0r)#

(H)

=

?,?4

x 1os p pdl

CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS, ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIA 2.14. Demostrar que el campo de fuerza F definido por

F =

(U'zt

-

6nz2\i

* 2ryzgi *

(3*9222

-

6a2z)k

es un campo de fuerza conservativo. Método

l.

Elcampode fuerza esconservativosiysólosi

VXF

=

¡otF: V X F:

iik 610r Aldu a2zs - 6ü22 2rgzs

O. Ahora

dldz 3ry222

-

6sZ,

6a2z) fi
= o entonces el campo de fuerza es conservativo.

+ u}r
=

l$aE.

MOMENTUM

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y

44

[CAP.

2

Método 2. El campo de fuerza E es consen ativo si y sólo si e¡iste una función escala¡ que F : -grad V: - VV. Entonces,

F = -vv

o

potencial V(r, y, z) tal

= -u,{i-#t-Y" =

(A2zs

-

6rz2\i

*

2ryzsi

I

(3ry22z

6n2zlk

-

De modo que si F es consenfativa, podremos encontrar un V tal que

dV/fu = Integrando la primera

- Azz3, dV/dy = -2ryz3, dV/02 = 612z - Bny22z ecuación con respecto a r (manteniendo y y z constantes). Entonces, V - !,4222 - rY22s 4 gt(U,a')

(I)

6fr22

donde 91 (y, z), es una función de y y z. Análogamente, integrando la segunda ecuación con ¡esp€cto a y (manteniendo tercera ecuación con respecto a z (manténiendo ¡ y y constantes), tenemoa

V -

¡

(2)

y z conatantes) y la

* g2@,zl v - g,¡222 _ ry22a * gs@,al

(3)

-ry223

v)

L¿s ecuaciones (2), (3) y (4), dan un ycomún si escogenos

g{u,z) = c, gz(u,zl =

3r222

* c, gs(r,ul = c

(5)

donde c es una constante arbitraria; y se sigue que

v - 3n222_ry22a¡,

es el potencial requerido.

Método 3. f

fr

G,v,z>

V = - | F.dr = - | (A2zs-Gxz2)dr i Zryzsdy * u ro " (uo'vo,zo, ?
d(xyz2s-gnzzzl = = - ¿| (t¡,v¡, zs) donde

2.L6.

c=

3r222-rA2zs

+

(Bry2zz-6x2zldz

c

roa2ozS-Brlz!.

Demostrar el teorema 2.2 del capítulo 2: Si la fuerza que actúa sobre una partícula se F : - V% entonces el trabajo total realizado para mover la partícula a lo largo de una curva C desde P1 hasta P, es da por

w=f

r','

r,

0, =

v(p)

-

v(pr\

Tenemos

w = l'i," r.0, = t:," -yv . it¡ = !'i,' -0, = -" l": = ve) 2.16. Hallar el trabajo

v(pz)

realizado por el campo de fueraa F del problema2.l4 para mover una partícula desde el punto A(-2,1, 3) hasta B(1, 2, - -I). trabajo realizado

= I

o, =

-o,

.

o,

ft ", ^ (r,-2,-r) f = | -dV = -V(r,y,zl " <-z't'g, =

-Bn2z2

r

ry22s

l(r, -2,

-t)

I

l(-2'r'3)

- ,l(l'-z'-tl l( -2,r,s,

=

166

CAP.

2]

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

2.11. (o)

45

Demostrar que el campo de fuerza del problema 2.2 es consen¡ativo. Hallarla energía potencial en lospuntos Ay Bde la figura 2-3.

(b) (c) Encontrar el trabajo realizado por la fuerza al mover la partícula

desde

A hasta

B y compararlo con el problema 2.10(ó). (d) Encontrar la energía total de la partícula y demostrar que ésta es constante, i.e. demostrar el principio de la conservación de la eneriía.

(o)

Apartirdelproblema2(b),

F:

VXF

ijk dldr

=

=

-mo2r- -mo2(xi *yj).

AlAg 0/02 -¡noPr -m,¡Lu 0 zat t [#(o) - fiFrn

=o

Entonces

*, l1<-,,,,,t- *.,]

* xlft<-*"u'| - hFm'zr¡)

De modo que el campo es congeryativo.

(ó)

Puesto que el campo ee consen¡ativo, eriste un potencial

Vtal

que

. aV . F = -mr,fxi - m-2Ui = -VV = -;;t-dut-E* Entonces |V/dr = mazs, |V/ay - ,aoozr, aV/az = 0 AV

AV -

de lo cual, omitiendo la constante, tenemos

V = $rno2r2++moU2 = \mo2(n2*U2l =

que es el potencial requerido.

(c)

$mrzrz

la figura 2-8, [donde r : aJ : *mr2a2. I de la figura 2.3, [donde r : ¿r] : tmr2b2. Entonces, trabajo ¡ealizado desde A hasüa g : potenciar en A -- potencial en g Potencial en el punto A de Potencial en el punto

= $mo2a2 que está de acuerdo con el problen" 2.f0(b),

(d)

*::"il::,ffi:'j':JJ:::l?.= rrgía potencial en cualquier

punto

r

-

__

= V -= =

l2mtz6z

$mvz

=

=

SmoP(az

-

bz¡

g,nlz

$m(o2a2 sen2

úrü

*

@2b2 cos2 @tl

[moz&

* b2 *n2 sen2 oú * cos2 oü : 1, I v = $muz(az * bzl |ma*(a2 cosz

r,¡ü

oúl

Si sumamos para cualquier punto y usamos ro cual ea una

constante

IMPULSO, TORSION, MOMENTUM ANGULAR Y CONSERVACION DEL MOMENTUM 2.18. Demostrar el teorema 2.6: El imirulso de una fuerza

es igual al cambio de momentum.

Por definición de impulso, (véase (19), página 36) y de la segunda ley de Newton, tenemog

ftz

(tt¿

r'at = .,l'*w¡¿t l'" q ctc' ,,

"

ftz

= Jl-'a6v¡ ', = ^1" "" ,r, = r,

?nvz- tnvl

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y

46

2.f9.

MOMENTUM

[CAP.

2

¿Cuál es el impulso de una masa de 5000 kg que se mueve en línea recta al pasar de una rapidez de 540 km/h a una de 720 km,/h, durante dos minutos? Método

l.

Supongamos que

la masa viaja en la dirección positiva del eje r. En el sistema MKS,

v1

= 54oi+ = !1r##a =

1,5x1o2is

T2oixlooom v^ = z2oik* = 2,gv1gz¡E '-"' h = seg 36oo seg Entonces, del pmblema 2.18,

= m(v2- v) = (5000 kg)(0,5 x 10zi m/seg) = 2;5 x 10si kg m/seg = 2,5 x 105i newton seg que l nt : lkgm6eg2 o l nt seg : I kg m,/seg. impulso

puesto

Entonces el impulso tiene una magrritud de 2,5

Método 2. Usando el sistema CGS, 10{i cm/seg. Entonces

vr :

540i

X

105

nt seg en la di¡ección positiva del eje r.

km4r : 1,5 x lOri cm/seg ! vz :

720t

kmlh : 2,0 x

x 10r g)(0,5 x l0{i cm,/seg) = 2,50 x lOtoi g cm/*g = 2,50 x 1010i dina seg puestoque I dina : lgcm/seg2 o l dina seg : l gcm,/segimpulso = m(vz-vtl =

(5000

Obsérvese que para hallar el impulso no hicimos uso del tiempo de 2 minutos que se dio al establecer

el Problemn'

2.7: El momento de una fuerza o momento de torsión alrededor del origen o de un sistema de coordenadas es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular.

2.2O. Demostrar el teorema

El

momento de una fueza o mompnto de torsión al¡ededo¡ del origen O es

rXF = rxft@vl ^= La cantidad de movimiento angular o momento de la cantidad de movimiento alrededo¡ de O

o = m(rXv)

Ahoratenemo.

es

= rx(mv)

# = ftGx*u\ = ffx@v)+rxft@v) = vx(nr.v) +rxft@v\ = o*rxF = a

que era el rcsultado pedido.

2.21.

Determinar: (o) el momento de torsión, y (b) la cantidad de movimientoangularalrededor del origen para la partícula del problema 2.4 en cualquier tiempo ü. (¿) Momento de torsión A : r X F = [(ú4+ 6¿+3)i + (st}-4t2+rít- l)i + (4- Ú3-8¿)k] x l24t2i + (36ü-16X - 12úkl

3t3-4t2+15¿-1- 4-tt-8t 36¿ - 16 -12t (tzÉ+l92ts - 168ú2= (32t8+ 108¿2- 26Ot+64)í (36ü5 48)k -12¿ + - 80ú4 + 360¿:r 240t2 t

+6t+3 24t2

36úX

CAP.

2]

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

(ü)

: r X (mv) :

rn(r X v) 2ÍQ4+6t+3)i + (\ts-4t2 +16ú-1)i + (4-¿3-80k1 x [(4¿3 + 6)i + (et2 - 8t + 15)j - (3ú2 + 8)k]

Cantidad de movimiento angular O

=

.t

ijk ¿4+6¿+3

3t3

(8ú4+ 36ú3-

-

(0¿0

-

- 4t2+l6t-L

4-

9ú2-8ú+15

4t8+6

=

47

130¿2 16¿5

t3

-gt

-3t2-8

+64t- 104)i - (2t6+ 48t4 - 66t3-18¿2_ 90ú4 - 80ú3 - 6t2 + 48t - toz\k

96)j

+

Obséwese que el momento de torsión es Ia derivada con respecto a ü de la cantidad de movimiento angular, como se ilustra en el teorema del problema 2.20.

2.22.

Una partícula se mueve en un campo de fuerza dado por F : fr, donde r es el vector de posición de la partícula. Demostrar que la cantidad de movimiento angular de la partícula se consewa. El momento

de

torsión que actúa sobre la partícula es

A = rXF = rX(r2r) -

¡'2(r

Xr) =

g

Por el teorema 2.9, la cantidad de movimiento angular es constante, esto es, la cantidad de movimiento angular se consen'a.

FUERZAS NO CONSERVATIVAS 2.23. Demostrar que el campo de fuerza dado por F tivo.

Tenemos

VXF = Entonces V *. n

*

iik 0/0n alay szAz O

0l0z

:

x2yzi

= -rzzi I

-

(n2y

*

xyzzk es no

yzz)i

-

conserva-

nzzk

-nyzz

O, el ca mpo es no conservativo.

ESTATICA DE UNA PARTICULA 2.24. Una partícula P está sometida a la acción de las fuerzas Fr, Fr, Fr, Fn, Fs y Fo, como se muestra en la figura 2-6. Representar geométricamente la fuerza necesaria para evitar el movimiento de P.

Fig.2-6

Fis.2-7

F4

La resultante R de las fue¡zas F,, Fr, Fr, Fn, Fs y Fo se puede encontrar por la suma vectorial indicadaenlafigura2-7.Tenemos,R:FrlFz*Fa*Fr*Fo*F6.Lafuerzanecesariaparaevitar el movimiento de P es - B, que es un vector de igual magnitud de R, pero de sentido contrario, llamado algunas veces equilibrante.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

48

lcAP.

2

2.26. UnapartículaestásometidaalasfuerzasF, :5i -

y Fs :

15i - 20t + en equilibrio.

10i + 15k, Fz:10i +%i -20k 10k. Encontrar la fuerza necesaria para mantener la partícula

La ¡esultante de las fuerzas eg

F = (6i-10i+16k) + (10i+26i-20k) + (16i-20i+10k) = 30i-5j+6k la fuerza necesaria para mantener en equilibrio la partícula es - R : - 30i + 5i - 5k. E=

Por tanto,

2.26.

Fr + F2+

Las fuerzas coplanarias indicadas en la figura 2-8 actúan sobre una partícula P. Encontrar la resultante de estas fuerzas: (a) analíticamente, y (b) gráficamente. ¿Qué fuerza es necesaria para mantener la partícula en equilibrio?

a-

o) //,\'

Fig.2-9

Fis.2-E

(o) Atulíticanente. Fr =

De la figura 2-8 tenemos, 160(cos 460

Fz = 100(- cos 30o i * Fg = 120(- cos 60" I - sen 60" i)

i*

sen

460

i).

sen 30o

i)'

Entonces la resultante R es

B = Fr+F2+Fg - (160 cos 460 - 100 cos 30o = -33,46i + 69,21i

120 cos 60o)i

+

(160 sen 460

*

100 sen 30o

-

120 sen 60o)i

Esc¡ibiendoB:ncoscifBsenajdondeceselángulofo¡madoconlapartepositivadeleje ¡, medido en el sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, tenemos rrue .B cosa - -33,46, Esena = 69121 Así, la magnitud de R es F : \(-T,4iJ-:-159-llF - 68,0 lb, y la dirección de c con la parte positiva del eje r se da por tana : 59,21/(-33,4f) : -1,770 o a : 119' 28'' de 20 Ib, como se muestra en la ñgura 2-9, y encontramos que la resultante tiene como magnitud alrededor de 68 lb y que forma un ángulo de 61' con la parte negativa del eje r (usando un trasportador), de modo que el ángulo con la parte positiva del eje 'r es aprorimadamente de 119'. Es necesaria una fuerza -R, de sentido opuesto a R para mantener a P en equilibrio.

(b) Gróficanente. Escogemos una unidad

ESTABILIDAD

2.27.

DE

L EQUILIBRIO

Una partícula se mueve a lo largo del eje r en un campo de fuerza que tiene un potencial V : |xx2, x > 0. (o) Determinar los puntos de equilibrio, y (b) investigar la estabilidad. (a) Los puntosde equilibrio seprtsentan donde VV : O o' en estecaso,

o ¡=0 hay un punto de equilibrio, en ¡ : 0. dV/ds=xr=0

Por tanto, solamente

cAP. 2l

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

49

(ó) Método l. Puesto que d2V/ú2 : r ) 0, se sigue que en ¡ : O, V es un mínimo. por el teorema 2.10, ¡ : 0 es un punto de estabilidad. En el problema 2.36 también se ha demostrado que la partícula oscila alrededor de ¡ : 0.

Método

v(xl

2.

dv =-Et '

=-rcl. por -V-', r ) 0, sobre la partícula actúa una fue¡za hacia la izquierda y cuando ¡ ( 0 sobre la partícula actúa una fuerza hacia la derecha. De modo que ¡ : 0 es un punto de equilibrio estable. Tenemos F =

tanüo, cuando

Método

g.

El hecho de que x : 0 es un mínimo. se puede ver en la gráfica de V(¡) contra r (figura 2-10).

Fig.2-10

PROBLEMAS VARIOS

2'28'

Mostrar cómo las leyes de Newton pueden utilizarse para desarrollar las definiciones de fuerza y masa. Conside¡emos primero una partícula P, suponiendo que la masa ¡7¡¿ no está definida, sino que simplemente es una cantidad escalar constante asociada con P. El axioma 1 establece que gi p se mueve con velocidad constante (inclusive cero), entonces la fuerza que actúa sobre ella es ce¡o. El a¡ioma 2 establece que si la velocidad no es constante, entonces hay una fuerza que actúa sobre p dada por mpg,p,donde ap es la acele¡ación de P- La fuerza se define así por los axioma. y (aunque 1 2 el arioma I no es necesario, puesto que éste se puede deduci¡ del axioma 2 haciendo F : o). 3e puede notar que la fuerza es un vector y posee todas las propiedades de los vectores, en particular la ley del paralelogramo para la suma de vectores.

Pa¡a definir Ia masa mp de la partícula P, dejemos ahora que ésta interactúe con otra partícula que conside¡a¡emoa como partícula patrón y a la cual tomamos comi unidad de masa. Si ap y as son las aceleraciones de la partícula P y de la partícula patrón, respectivamente, se concluye por los ariomas 2 y B gu€ mpsp : -as. De modo que mp se puede defini¡ como _as./ap.

2'29'

Calcular el trabajo realizado para hacer que una partícula efectúe una vuelta en una circunferencia C en el plano ry, si su centro coincide con el origen, el radio es de B unidades y la fuerza del campo se da por

F = (2r-a+z)i + (r*a-zr)i + (Bn_2y+42)k Enel plano trabajo realizado

z:0, F:

(2x

es

l"''o'

=

- y)i *

l"

l(zn

-

(.r

y)i

*y)i *

(Br

_ 2y)k ! dt: dxi]- dyj

* (r t üi I

(sr

-

zu\kJ. litr

i+

dy

demodoqueel

il

Í" (2r-údr * (r*üda Escogemos las ecuaciones paramétricas del círculo como r : 3cosú, y : 3sen f donde ú varía de 0a2r (figura2-ll). Entonces, la integral de línea es igual a n2t I trttcosú)-3senúl[-Bsenü] dú * [Bcosú*Bsenú][B cost]dt

¿ c=o

r2t

= ro | tr-9senücosú)df = st-fse¡ztl2" 2---- -lo =

182

Al recorre¡ C elegimos el sentido contrario al giro de las agujas del reloi, como se indica en la figura 2-11. Llamamos positivo este sentido o decimos que a C lo hemos ¡ecorrido en el sentido positivo. Si ¡ecorre_ mos a C en el sentido contrario (negativo), el valor de la integral seúa - 18r.

¡ = ai*Ui = Scosúi*3senúi Fig.2-U

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

50

lcAP.

2

2.3O. (o) SiF : -VV,

donde Vesunvaloruniformeytienederivadasparcialescontinuas, demostrar que el trabajo realizado para mover una partícula desde un punto Pt = (¡r , !r, zt) de este campo hasta otro punto P2 : (x2, !2, zz) es independiente de la trayectoria que una los dos puntos.

si úrC f

es independiente de la trayectoria C que une dos ".¿, puntos cualesquiera, demostrar que existe una función v tal que F : - vy.

(b) Inversamente,

(a)

Trabajo

nalizado

= l"i,' = - t:,' ev 'dr "'o, (" ({t * {¡ * ryn) . ktui * d.yi + dzkl = - Jr, \ar'' da'' az^/

= -("Ya,*Yao+Ya" dU Jr, o, dz

¡P'

= - J,,| dv = v(Prl-v(Pz) = V(ryuuzl¡-V(r2,v2,22\ De modo que la integral depende únicamente de P1 y Pz y no de la trayectoria entre ellos. Es claro que esto sólo es verdad si V(¡, y, z) es un valor uniforme en todos los valo¡es de P, y Pr.

(b)

Sea

F: Fri + ¡rj + lrsk. Porhipótesis, Jcf r.O,

dos puntos cualesquiera a los que toma¡emos como

esindependientedelatravectoria

(¡r, yr, ztl y

n(t,v,z)

Cqueune

(x, y, z), respectivamente. Entonces

fE,u,z)

F.dr = - ¿I (xvapzl) (Frdr*F2dv*F3dz) V(u,y,z) = - J| (t1,v1,21) es independiente de la trayectoria entre (¡r,

yr, z¡\

Y @, y,

V(a,u,zl = - J"Írt{",v,zl dr t

z).

Así que

F2@,a,2) da

*

Fs(r, a,z) ilzl

donde C es la trayectoria que une (¡r, yr, er) con (x, y, z). Elijamos como trayectoúaparticular los segmentos ¡ectilíneos de (r¡, !t, z) a (r, yr, zr) a (x,y, zt) a (r, y, z\ y llamamos V(x, y' z) el trabajo a lo largo de esta trayectoria en particular. Entonces

v(r,y,z\ = - Jt, f"

rrrr,v1,z1)dr -

- Jvt f",rr,,u,z)du - .f' ut,

Fs(r,a,zldz

Se concluye que

Y = Az ov

év

=

=

-F3(r,y,z)

(' 6q'-(r,u,"\d"

= t',:,Ii,r!'oo" = 'r','lr',,orn",',,',

(" 3F'

-Fz@'a'zt\ -Fog-,

- )"-#t"'v'ztd'z

lzr

-Fz(r,u,zt\ - Fz@,U,2) 1F2@,y,zll = -F2@,v'z'¡

av= 6r

(s a0o -Fr(r,ut, zt\ - ) o,#r",y,z) ila (u aF, -F,(", u1,21) - Jr,ñ(r,y,z1)oo -Fr(r,ur,z)

-

Ft(r,a,")1"

lcl

-

(' aF^ ),, i{"'s, z) dz (' dF, J,,a;@'a'z)dz

rrP,Y,"¡l' lzr

-Ffr,!1,21) - Fr(*,a,21\ * F(u,Urzt\-Fr(",Y,2) * F(r,g,z1\ = -Fr(r,y'z)

cAP. 2l

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

F = ¡'ri+tr'2i+¡'sk = -{t-#t-#*

Entonces

51

= -vv

Así, una condición necesaria y suficiente para que el campo F sea conservativo eg que rot

F:

O.

F: VX

2.31. (o) Demostrar

que el campo de fuerza F : (2xy * zs)i * rri * Bxz2k es conservativo. (b) Encontrar el potencial. (c) Encontrar el trabajo necesario para mover un objeto en este campo desde (1, 1) hasta (g, 1, 4).

-2,

(a)

La condición necesaria y suficiente para que la fuerza sea conservativa es que rotF

Aho¡abien

VXF =

0/da Alaa Oldz 2*g I zs ü2 3az2

= l),

Así que

:

V

x F:

O.

F es un campo de fuerza

conservativo.

2.32.

(ü)

Como en el problema 2.14, métodos 2 ó 3, encontramos que V

(c)

Trabajo realizado

Demostrar que

= -(rza+

rrt)

= ltt't't' t(r,-2,r)

: -

(x,2y

*

xza).

-202.

?Pt

si ^r" F'dr úpr

es independiente de

la trayectoria que une dos puntos cualesquiera Pt Y P, en una región dada, entonces { f'.ar = 0 para toda trayectoria cerrada en la región, y recíprocamente. J Sea PTAPTBP¡ (figura 2-12) una curva cerrada. Entonces

f n.a' = I F.d.r = " = PrAP¡ t ".or- Í plAp¡Bp1

f?

J F.dr* J P|API

F.dr

P2BPr

F.dr =

0

PI.BP'

puesto que

la integral de P, a p, a lo largo de una trayectoria

que pasa por A es la misma que la que pasa por B, por hipótesis. Recíprocamente

fr?

si

f F.dr = 0,

entonces

J F.dr = PIAP| J F.dr* P2BP: J F.dr = PIAPIBPI de modo

que, Jff E. dr = PIAP2

A

f/a

| r'.¿r-

JJ P!AP2

| r.¿t =

o

P|BP,

J F. dr.

PrBp,

2.33. (o)

Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que F1 dr * Fzd.y * Fs dz seauna diferencial exacta es que V X F : O dondeF : Fri * Fzj+ frt. (b) Demostrarque (y2zs cos x 4xsz) dx I 2zey sen xdy * (Syrz, sen, - xa) dz es una diferencial exacta de la función ó y hallar o.

(o)

Supongamos que F,

it*

|

F2dy

I

Fsitz

-

dO

= ffa"

+

#0, * fd", ""^ una diferencial

exacta. Entonces, puesto que x, y y z son variables independientés,

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

52

n-_

ad aO. - a{ tz=ú'

ts:6;

lcAP.

2

aO

VxVO - 0. = F¡+FrSl¡'rk = 9i+9;+9t dr' 0y' dz-- - Vp.EntoncesVxF = i'e' Recíprocamente,si VXF=0, entonces F=VO ycomo F'dr = 96'd'.=d9, Flilr * F2ily I Fsdz = dp, es una diferencial exacta. de modoquetr

(ó) F -

lyz"s cosr- 4rszli*z.srseÍri*(\Uzzzsenr-¡4)k por (c) se llega el rcsultado pedido.

y VXF da cero,

de modo

que

2.34. Con relación al problema 2.4, hallar: (o) la energía cinética de la partícula para ú : 1 y t : 2, (b) el trabajo realizado por el campo en el movimiento de la partícula desde el punto donde

t: 1 y ü: tat:2.

en

(o)

t : L hasta el punto donde t :

2, (c) el momentum de la partícula 2, y (d) elimpulsoenelmovimientodelapartículadesde ü: I has-

De la parte (a) del problema 2.4,

v - (4t3+6)i + (9ü2-8¿+ 15)j - (3¿2+8)k Entonceslasvelocidadesen ,: 1 y ü:2 son vr = 10i + 16i - 11k, vz = 38i + 35j - 20k ylasenergíascinéticasen ü: 1 y ú:2 son T, = lmvz, = {(2)[(10)2+ (16)2+ (-rr¡'1 = 477, T, = !mv22 = (ó)

Trabajorealizado

= J|^2 f'at t=l v2

= J| t:l

fzarri

+ (86ú-16)i-12úkl.[(4¿s+6)i + (e¿2-8ü+15X

f2 = )r-rÍ{ztt)ltúa+6) + (86ú-16x9ú2-8¿+15) + 3069

3069

(L2tl(3t2

-

(3¿2+8)k]dú

+8)ld¿ =

2692

Obsérvese que po¡ la parte (o) es lo mismo que la diferencia o cambio en la energía cinética - 477 : 2592, ilust¡ando así el teorema 2.1, esto es, trabajo realizado : cambio en la energía

cinética.

(c)

Por la parte (o), el momentum en cualquier tiempo

ü es

p = mv = 2v = (8¿3+12)i+(18¿2-16ú+30)j-(6ú2+16)k Entonces, lascantidadesde movimientoen t : 1 y t : 2 son Pr = 20i + 32i - 22k, P¿ = 76i + ?0j - 40k (d)

¡2

Impulso

= J| t=l f

at

|^2 lz4tzi+(86r-r6)i-rztkldt = b6i*B8i-18k = Jt=t' Obséwese que por la parte (b) es lo mismo que la dife¡encia o cambio en el momentum, esto es,

pc-pr:(?6i+ZOi-40k)-(20i+32j-22k):56i+38j-lSk,locualilust¡aelteorema2.6, impulso : cambio en el momentum.

2.36.

Una partícula de masa ¿1 se mueve a lo largo del eje r bajo la acción de un campo de fuerzas conservativo cuyo potencial es V(¡). Si la partícula está localizada en las posiciones rt y Íz en los tiempos tt y tz, respectivamente, demostrar que si E es la energía total,

cAP. 2l

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

[ñ f'"

tz-tt=

\rlE J,,

53

dr

,,fvOl

Po¡ la congervación de la energía,

*

energía cinética

2 +m(doldt Entonces

+

@aldt¡z

:

energía potencial

V(r)

E

= E

= (2/mllE-v(rl)

(r)

de lo cual obtenemog considerando la raíz cuadrada positiva,

dt = t/ñ(¿rtt@l De donde, por integración,"rn

J

r:,,'

d,r o' = tz - tt = tE l:,' ,/r4@,

(2)

2'36' (c) Si la partícula del problema 2.35 tiene un potencial y : lxr2 y parte del reposo de Í : a, demostra¡ que r : a cos vmt, y (b) describir el movimiento. (o) Apartirde (I) delproblema2.#, hallamos B : lxa2 aaí que @alaqz

=

(dr/dt)z

Qlm)(oz

Laintegraciónda gen-t (x/a)

: (l/m)(E _

- xz) o

tt*x2). puestoque

¿r¡r@=P

dr/dt:0

donde

¡:

a,

= t1ffi¿¿

: +Vffit * cr. puestoer¡e ¡ : c

en

¿:

0, cr

: ¡/2.

Entonces

= *tffit+nlz

aen-r(rlol o Í = aaenft/2*t/ffit¡ = acosrQiñ.t (ü) Lapartículagemantieneoscilandoalolargodelejerentre¡:ay x: -¿. Eltiempoparaelcual se completa una vibración u oscilación partiendode r. : a y regresando a o nuevarnente se llama -: período de Ia oscilación y se da por p yffi. 2¡

2'37'

Una partícula de 3 unidades de masa se mueve en el plano ry bajo la acción de un campo de fuerza que tiene un potencial y : l2x(3y 4x). particula parte del reLa poso en el tiem-po ü : 0 del punto cuyo vector de josición es 10i - 10j. (o¡ plantear la ecuación diferencial y las condiciones que desc"iien el movimiento. ia)' Resolver la ecuación propuesta en (o). (c) Encontrar la posición en cualquier tiempá. (d) Hallar la velocidad en cualquier tiempo.

(¿)

Puesto que

y:

I2r(Sy

- 4r) : 96", _

4gr2, el campo de fuerza es

F = -vv = -fft-

uuLi-

*{k =

(-s6y*96r)i-86¡j

Por la segunda ley de Newton,

t# =

.s6a +e6r)i

-

B6rj

¡ = al*Ul, dzsldtz - -l2U * g2r, &Aldtz = _l2n donde r=!0, i=0, U=-L1, ú=0 en ú= O utilizandoel hechodequelapartículapartede r : lOi - 10j con velocidad v : i o, en términos de componentes, empleando

(ó)

De la segunda ecuación de

(r), ¡ : -it d2y/dt2. sustituyendo en la primera

aa-82a2

e) o.

ecuación de

d4u/dtt-82üy/¿¿z-t44y - o

! : eot es la solución de (J) dado que -144 = 0, i.e. (az+4¡1sz_86) = g 6 a=t2i,c=t6

Si a es constante entonceg

(I)

(I),

da

€)

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

&

tcAP.

2

(entérminosdefuncionesr€ales) Lassolucionesson ez,r, e. 2,r,e6,,e-6' o cos2ü,sen2t,e6t,e-6t

y la solución general es

U = c1 cos2t * c2sen}t * cse6t * coe-et (4)' Así" a partir de ¡ : -hd2y/dt2 enconttamos, mediante & = |o¡ tos 2t * [c2sen2t - Screot - Scoe-at Remplazando (2) en (4)

@)

(5)

v (5), obtenemos

-Bca - lO, Ncr- lScs * 18ca = I' c1 * ca * ca = -19, 2c2* 6cs - 6co - 0

|c1

Resorviendo

(c)

3ca

-

"-"J':":;"1.

:

r;

;i ]r:

;

i:,"'

=''-: ":';1t:;":::::,

La posición en cualquier tiempo es

(-2cos2t*6eot +6¿-6t)i

r = riIUi = (-6cos2t-2eot-'"-ot\i* (d)

La velocidad en cualquier tiempo

v = i = ii+i¡

es

= $2sen2ú- l2e8'*t'"-atli*

(4sen2ú*36¿0t-36e-6t)i

En términos de Ias funciones hiperbólicas senhaü también Podemos escribir

¡ = (-6 cos2t v = i - (12 sen 2t -

= l(e"c+e-n'l

coshaÚ

= $(eat-e-otl,

* (-2 cos 2t + L2 cosh 6ú)i 6¿)i * (4 sen 2t + 72 senh 6ú)i

4 cosh 6Ú)i z4senh

que en coordenadas polares (r, 0)'

2.38. Demostrar

Vv = #r, *'A{ut, Sea

donde G y

H están determinadas'

Como

9V = Gt1 * Ho1 dt: ¿lti * dyj tenemoscon t:

problema 1.47(b),

dr =

(cos 0

dr

-

rsenOXcosrrl

o

v Q'l

(2)

rd'eov

* Holl'(Ir4t ritcot) = Gilr *

(I)

se convierte

acuerdo con

la

Hrde

= ffa, + ffa'

G=#, "=l#

demodoque

2.39. De

y: rsen0 ydel

dr* r cosa dcxeena 11 * cosdll)

obtenemos

(Gr1

Entonces

(sene

rcos0,

iV.dt = ¡w = {a,*ffot

Ahora bien Usando (1)

- sen rrl) + dr = d.rrtI

(1)

vV = #', *lu#"

en

teoría de

la relatiuidad, la masa fn =

donde u es la velocidad,

m.s

m de una particula se da por

fllo

ffi

p : u/c' la masa en reposo' c la velocidad de la luz y

CAP.

2I

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y

(o) Demostrar

MOMENTUM

55

que ra variación de tiempo del trabajo rearizado se da por rnoc'

.l

fr(l -

Bz¡-rrz

(ó) Deducir a partir de (a) que la energía cinética es T = (m-mo)c2 = mocz{(l- pz)-r/z l} (c) Si u es mucho menorque c, mostrarque ? : irnu2 aproximadamente. (a)

Por la segunda rev de Newton

(_!L_\ = e¿. *<*o¡ = + d,ty¡¡_Bz/

"

Entonces, si IZ es el trabajo realizado,

dw F.r = "A\ñ) E = a-! "+(4, \ =

-^¿t B \ *o"'lft(ffi)

_ *,"'#,(#) *-oct/ =

obüenido por diferenciación directa.

(ó)

Como trabajo ¡ealizado : cambio en la energía cinética, tenemos variación de tiempo del trabajo realizado : variación de tiempo

dw

del cambio en la energía cinética

,#=#=*o"r!/+\ \{l - Br)

o, por la parte (o),

dT

út

ry

Integrando,

mo&

t/t= Bz ' "'

Pa¡a dete¡minar c, nótese que, por definición, - nroc2. Obtenemos así lo que necesitábamos.

T = (c)

?: 0 ffiocz

#r-

( I tenemos por el teorema del binomio, -- 1 = (l-B2l-u2 = 1+ {t-p2 f t"'z .,.-.J-l Entonces T = moczlr +;b + -

cuando

=

u:0oP:O,demodoquecr:

(rn-mn¡cz

Para É

Problemas

Lu"

l'8on * * 2. 4-

tuoc2

= f,*"

ffiu'*

"'

apmximadamente.

propuestos

r

LEYES DE NEWTON

2'4o'

Una paÉícula de 2 unidades de masa se mueve a lo largo de una curva en el espacio definida por r : (4t2 - tz)i - 6ti + (r. - 2)h" Hallar: (o) el momentu;, (b) la fuerza que actúa sobre ella en el tiempo

t:1.

Resp.

2'41'

(a) 10i-t0j+8k, (D) 4i+Z4h

Una partícula que se mueve en un campo de fuerza F tiene su momentuú dado en cualquier tiempo t por

p = 3e-ti- 2cosúj - Bsenük Halla¡F.

2'42'

Resp._Be_ti*2senü

j_gcosúk

una partícula de masa rn se mueve bajo la influencia de un campo de fuerza a lo largo de la elipse

si p es er momentum,

demosrrar

o*,',"i, ::"=" ;:;,"a;"j.,"

=

lm(bz

-

o2)

sen2ot.

lcAP.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

56

que la fuerza que actúa sobre Ia partícula del problema 2'42, demostrar resultado. mente este

2.4g.

si F

2.44.

una fuerza de

es

2

r x F : O' Explicar fisica-

partícula de 2 g de masa dinas dirigida en el sentido positivo del eje .r actúa sobre una reposo? partió del que suponiendo partícula la du¡ante l0 minutos. ¿Qué veiocidad adquiere 100

ResP.3x10'cm,/seg

2.46.

I0 Trabajar el problema 2.,t4 si la fuerza es de 20 nt y la masa es de

kg'

Resp'

1200

m/seg

una m¿sa de 40 kg desde una velocidad 2,48. (o) Halla¡ la fuerza gtconstante necesaria para acelerar (o)? (b) 2ó."g' ¿Cuál es la magnitud de Ia fue¡za en hasta una ¿. ai+ - Sk -/..g en Resp. (o) 8i + 16i - 16k nt o (8i * 16i - 16k) X ld dinas (b) 24 nt o 24 x ld dinas

2,47. 2,8.

4i

-

5i

+ 3k

(¿) Explicarpor

Unascenso¡viajasindetenersedesdeelpisosuperiorhastaelinferiordeunedificioalto' (b) ¿Puede Ia persona notar movimiento cuando qué un pa.a¡ero no siente el movimiento del ascensor. Explicar' comienza a moverse o cuando se detiene? dado en té¡minos del tiempo t por una partícula de masa unitaria se mueve en un campo de fuerza

F = (6t-8)i -

60úei

+

(20¿3+36ú2)k

Suposiciónyvelocidadinicialsedan,respectivamente,pofro:2i-3kYvo:5i+4j.Encontrar: (o)laposición,y(b)lavelocidaddelapartículaeneltiempot:2' 8esp. (o) 4i - 88i + ??k, (ü) i - 236i + 176k

2.45.

del tiempo ü por La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m se da en términos F = ocosoÚi * bsenorúj

(o) su posición, Si Ia partícula está inicialmente en reposo en el ongen, encontrar:

tarde -cosoú) i +

cualquier tiemPo más

""*.

trl ffi
fi<"t - senorü) i,

(b)

hsen"ti

+

y (b) la velocidad en

[

-.

*$ - cosoú) i

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA CINETTCA

2.60.

2.61. 2.62.

2.63.

: 20i - 30j + 15k segrin la Iínea recta que va del Una partícula se mueve bajo la acción de Ia fue¡za F 3k y 5i - 3j - 6k. Hallareltrapunto A al punto B cuyos respectivos vectores de posición son 2i + 7i bajo realizado. ResP. 315 Hallar la energia cinética de una partícula de

5j + 4k.

20 unidades de masa que se mueve a

la velocidad de 3i -

ResP. 500

: mueve según la curva en eI espacio r Debido a un campo de fuerza F, una partícula de masa 4 se el desde partícula la se mueve cuando campo el (3t2 - 2t)i + ¿3j - t{k. Hallar el trabajo realizado ¡.ror : 2454 Resp' 2' t punto donde : el I hasta punto donde ú curva en el espacio con uf¡a velocidad

En cierto tiempo una partícula de masa 10 viaja a lo largo de una es 8i - 20j' Encontrar el trabajo realizado dada por 4i + l6k. En otro tiempo posterior su velocidaá 192 Resp' bre la partícula entre esos dos tiempos'

so-

2.64.

Verificar el teorema 2'1 para la partícula del problema 2'52'

2.66.

Unapartículademasa''rsemuevebajolaaccióndeuncampodefuerzadadoporF:o(seno¿i* en el origen, probar que eI trabajo realizado sobre la cos oü j). Si la partícula está inicialmente en reposo partícula se da por (a2/mo2)(l - cosot)' problema 2'55 es (a2/mo) seno'' que Ia potencia instantánea aplicada a la particula del

2.66. 2.67.

Demostra¡

unapartículasemueveconvelocidad 5i - 3j *6k bajolaaccióndelafuerzaconstante Resp' 160 15k. ¿Curíl es Ia potencia instantánea aplicada a la partícula?

F:20i +

10j

+

CAP.

2]

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

57

CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS, ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIA

2-64.

(¿) Demostrarqueelcampodefuerza

F:

es conservativo,

(b) Halla¡ el potencial V asociado ^Resp.

2.59.

(ü) ryz

-

s2y23

*

(yr-2xyzT)i + (3+ 2xy - x2zi)j *

-

Sx2yz2)k

con el campo de fuerza de (o).

3y +$z+

Una particula se mueve en el campo de fuerza del problema 2.58 desde el punto (2,

Halla¡ el trabajo

(6zr

realizado.

itesp.

5b

-

1,2) hasta

(

- l, 3, -

2).

2.60. (o) Hallarlasconstantesa,byc,talesqueelcampodefuerzadefinidoporF: (x*2y-taz)it(bx_ 3y - z)i * (4¡ * cy * 2z)k es conservativo. (b)

¿Cuál es el potencial asociado con el campo de fuerza (a)?

iBesp.

(o)

a=4, b=2, c=-l

(b) V = -+n2+tAz-zz-2u!J-Axz1.yz

2.fj1.

Hallar el trabajo realizado al mover una partícula desde el punto (1, 1, 2) hasta (2, B, l) en un campo de fuerza cuyo potencial es V : x" - y" * 2xy - y2 + 4r.. Resp. l5

2'62.

Determinarsielcampodefuerza

F:

(x2y

iBesp. No es conservativo

2'63.

- z3)i+ (3xyz* xz2)j+ (2r2yz* yza)k

Encontrar el trabajo necesario para mover una partícula en un campo de fue¡za F

:

3¡2i

*

alolargode: (a) la¡ectade(0,0,0) a(2,1,8), (b) lacurvaenelespacio x:2t2, !: desde ü : 0 hasta ú : 1. ¿Es independiente de la trayectoria este trabajo? Erplicar. Besp. (o) 16, (b) r4,2

esconservativo.

- y)j + zk t, z:4t2 - t

(2xz

2'64. (a) Calcular

t f'dr donde F: (r - 3y)i* (y -2x)j y Ceslacurvacer¡adaenelplano x!, x: 2cost, /:3senf desde f:0 hasta t:2r. (b) Darunaexplicaciónfísicaal¡esultado(o). Resp. (a)

2.66.

6¡ si C se recorre en la dirección positiva

(o) Demostrar que el campo de fuerza F : - ñ¡3r es conse¡vativo. (b) Escribir la energía potencial de la partícula que se mueve en el campo

(c) Si una partícula

de masa m se riueve con velocidad v : energía total E es constante, entonces +m(dr/¡Itlz * frrs -

2'66'

de fuerza dado en 1a¡.

dr/dt en este campo, demogt¡ar que si la E. ¿eué importante principio se ilustra?

Una partícula de masa 4 se mueve en un campo de fuerza definido por F : -2o0r/r3. (o) Mostrarque el campo es conservativo y hallar la energía potencial. (b) Si la partícula parte de r : 1 con rapidez 20, ¿cuál será la rapidez en r : 2? i?esp. (a) V : 200/r, (b) l5\O,

IMPULSO, MOMENTO DE TORSION Y MOMENTUM ANGULAR. CONSERVACION DEL MOMENTUM

2.67,

Una partícula de masa unitaria se mueve en un campo de fuerza dado por ¡ : (3ú, - 4t)i + (l2t - 6)j + (6t - L%2)k donde t es el tiempo. (o) Encontrar el cambio de momentum de la partícula desde el tiempo ú: I hasta t:2. (b) Silavelocidaden ú: I es 4i _ bj+ lOk, ¿cuáleslavelocidad e¡t:2? Resp.

(a)

i + 12j - 19k, (b) 5i + ?j -

9k

2.68.

una partíc'la de masa /n se mueve a lo largo de la cu¡va definida por r : o cos ori trar: (o) el momento de torsión, y (á) el momentum angular al¡ededor del origen. Resp. (a) O, (b) 2mabok

2.69.

Una partícula se mueve en un campo de fuerza dado por rededor del origen es constante.

F : O(r)r. probar

*

ó sen oü

j.

Encon-

que su momentum angular al_

2'7o' Hallar: (a) el momento

de torsión, (b) el momentum angular al¡rdedor del origen de la partícula del problema 2.67 en el tiempo ü : 2, suponiendo que para t : 0 está localizado en el origen. Resp. (a) - (36i + 128j + 60k), (b| - 44i+ b2j + 16k

2.71.

Hallarelimpulsodesarrolladoporlafuerzadadapor rBesp.

8i

* l2j |

24¡¡t

F:

4ti

+ (ü, _ 2li+

12k desde

¿:

0 hasta

r:

2.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

58

2.72.

[cAP.

¿Cuál es la magnitud del impulso desarrollado por una masa de 200 g que cambia su velocidad 5i - 3j i ik m/seg hasta 2i * 3j + k m,/seg? rBesp. 1,8 X 10ó dina seg o 1,8 nt seg

2

desde

ESTATTCA DE UNA PARTICULA

2.73. SobreunapartículaactúanlasfuerzasFr=2iAaj-3k, Fz=5i*cj+6¡, Fe=ói-5¡+7k'F{: ci - 6j * ok. Hallar los valores de las constantes o, ó y c que permitan equilibrio en la partícula. Resp.a:7,b:11.c:4 2.74, Hallar: (o) gráficamente,

(b) analíticamente

la

resul-

tante de las fue¡zas que actúan sob¡e Ia masa tn de la figura 2-13, donde todas las fuerzas son coplanarias. ftesp. (b) 19,5 dinas en la dirección que forma un ángulo de 85' 22' conla parte negativa de r

2.76. El potencial de una partícula V:2x2 - lxy * 3y2 Í 6x -

en el plano ¡y se da por 7y. (a) Probarqueexiste un punto y sólo uno en el cual la partícula permanece en equilibrio. (ó) Encontrar las coo¡denadas de ese punto.

rlesp (b)

2.76.

(1, 2)

Probar que una partícula que se mueve en un campo de fuerza de potencial V : 12 * 4y2 I z2 - 4xy - 4yz * 2xz - 4x * 8y - 4z puede permanecer en equilibrio en infinito número de puntos y localice esos puntos. Resp. Todos los puntos del plano x - 2y I z : 2

Fig.2-13

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO 2.77

.

Una partícula se mueve sob¡e el eje r en un campo de fue¡za que tiene un potencial V : x2 (6 (¿) Hallar los puntos de equilibrio. (b) Investigar la estabilidad. Resp. x : 0 es un punto de equilibrio estable; ¡ : 4 es un punto de equilibrio inestable

-

2.78.

Trabajarelproblema2.TTsi: (a) V: xa - 8¡3 - 612 *24x, (b) V: xa. Resp. (o) x: I,2 sonpuntosdeequilibrioestable; r : -1 esunpuntodeequilibrioinestable (ó) ¡ : 0 es un punto de equilibrio estable

2,79,

Trabajar el problema 2.77 si V : sen 2r.r. entonces Resp. Si n :0, +1, +2,+3, i * n son puntos de equilibrio inestable

2,8O.

Unaparticulasemueveenuncampodefue¡2adepotencial puntos de equilibrio estable. Besp. (4, - 8, 2)

¡).

r : I + n sonpuntosdeequilibrioestable,entantoQue ¡ : V:

x2

lyt *

z2

-

8x

* 16y- 42. Hallar los

PROBLEMAS VARIOS

2.81.

(o)Demost¡a¡que F: (y2cos x *23)i * (2ysen x - 4)i * (3¡22 * 2)k es un campo de fuerza conservativo. (b) Encontra¡ el potencial corres' pondiente a F. (c) Hallar el trabajo realizado al mover una partícula en este campo desde (0, 1, - 1) hasta (r/2, l, -2). Resp

2.82.

2,83.

(a\ V = a2senf+sz|-4v*22*c,

(b)15+4r

Una particula P está bajo la acción de 3 fuer¿as coplanarias, como se indica en la figura 2-14. Encontrar la fuerza necesaria para evitar el movimiento de P. Resp. 323 lb en dirección opuesta a la fuerza de 150 lb

(o) Probarque F : rsr esconservativa. (b) Halla¡el potencialcorres'

pondiente.

ftesp.

(ó) V - -lra I

c

Fig.2-14

cAP. 2l

2.44.

2.85.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

59

Explicar la siguiente paradoja: De acue¡do con la tercera ley de Newton, una grúa hala un automóvil con igual fuerza con la que éste hala a la grúa. Por tanto, el automóvil no se mueve. Encontrar el potencial de una partícula colocada en un campo de fuerza dado por son constantes. Tratar todos los casos.

yn

F : - rr-ar

donde

x

2.86.

UnacaídadeaguadeS00piesdealturatieneunflujodeaguade440.000pies3,/seg. Suponiendoqueladensidad del agua es 62,5 lb/pies y que un caballo de potencia es igual a 550 lb-pie,/seg, encontrar el número de caballos de potencia de la caída de agua. Resp. 25 X 106 HP

2.A7.

La potencia aplicada a una partícula por un carnpo de fuerza se da en función del tiempo ú por ?(¿) : 3t2 - 4t * 2. Hallar el trabajo realizado al moverse la partícula desde el punto donde ü : 2 hasta el

punto donde ú

: 4.

Resp. 36

2.88.

¿Puede ser cero el momento de torsión sobre una partícula aunque la fuerza no sea ce¡o? Explicar.

2.A5.

¿Puede ser cero

2'9O.

Una partícula de masa 2 se mueve bajo la acción de un campo de fuerza, según la curva en el espacio 6t4i - 3t2j + (4t3 - 5)k. Hallar: (o) el t¡abajo para move¡ la partícula desde el punto donde t hasta el punto donde f : l, (ó) la potencia aplicada a la partícula en cualquier tiempo. Resp.

2.91.

(al

756

(bl

72t(48t4 + 8¿

-

ó2)@3 sen

EI momentum angular de una partícula

se da en

(a)

función del tiempo f por

(2t+ 1)j + (12ú3_8ú2)k

Hallar el momento de torsión en el tiempo ü : I

Resp.

l2i - 2i + 20k

Halla¡ la fue¡za constante necesaria para imprimirle a un cuerpo de 36.000 lb una rapidez de minutos partiendo del reposo.

2.54.

r : ¿ cos o, i * b sen o¿ j.

oú cos oú

a = 6Pi_ 2.93.

r: : 0

+ l)

Un campo de fue¡za mueve una partícula, según la curva en el espacio ¿Qué potencia se necesita? (b) Discutir fisicamente el caso ¿ - b. Resp. (a) m(o"2

2.92.

la fuerza sobre una partícula aunque el momentum angular no sea cero? Explicar.

10

mi,/h en

5

Resp. 1760 poundals

Una fuerza constante de 100 nt se aplica durante 2 minutos a una masa de 20 kg que está inicialmente en reposo. (o) ¿Cuál es la rapidez alcanzada? (b) ¿Qué distancia ¡ecorre? Resp. (a) 600 m./seg. (ó) 36.000 m

2.95.

Una partícula de masa fn se mueve sobre el eje

2.96.

Trabajar el problema 2.95 si F :

2.97.

Unaparticula de 2 unidades de masa se mueve en el campo de fuerza F : ú2i - 3rj + (t + 2)k donde ü es el tiempo. (o) ¿Qué distancia recorre la partícula desde ú : 0 hasta f - 3 si estaba originalmente en reposo en el origen? (ó) Hallar la energía cinética en los tiempos t : L y ú : 3. (c) ¿Qué trabajo realiza elcampos<¡brelapartículadesde ú: t hasta t-- 3? (d) ¿Quépotenciaseaplicóalapartícula en t: L?

O dada por F : tiempo dado por

r bajo la acción de una fuerza de at¡acción hacia el origen - (^/x2)i. Si la partícula parte del reposo en Í : a, probar que llega al origen en un Loa{ñd.. - (x/x3)i.

¿Quó impulso se suministró a la partícula

en

ú

:

1?

2.98.

Una partícula de masa unitaria está en reposo en el origen en el tiempo t : 0. Si se le ejerce la fuerza F:100üe-21i, halla¡: (o) elcambiodemomentumdelapartículaenelintervalode t: L a t:2, (b) la velocidad después de que ha trascur¡ido un tiempo largo. fte.sp. (a) 25e-2(3-Ee-2)i, (b) 26

2.99.

Una particula de 3 unidades de masa se mueve en el plano ry por la acción de un campo de fuerza cuyo potencial es V : 6x3 I L2y3 * 36ry - 48x2. Investigar el movimiento de la partícula si se desplaza débilmente de su posición de equilibrio. (Sueerencia. Ce¡ca de ¡ : 0, y : 0 el potencial es aproximadamente 36ry - 48t2 puesto que 6ra y

12y3 son despreciables.)

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM

60

2.100.

2

r por la acción de un campo de fuerza cuyo potencial esunaposicióndeequilibrioestable. (b) Demostrarquesi la masa es débilmente desplazada de su posición de equilibrio oscila¡á alrededor de ella con un período de Una partícula de masa unita¡ia se mueve sob¡e el eje

V:6r(r -

es

2). (o) Demost¡arque

4r{5. (Sugerencia. Haga

2.101,

lcAP.

¡:

l

r : I I u y desprecie los términos

en u de grado mayorque uno.)

F : -rri. (a) ¿Cuánto trabajo se realiza al move¡lapartículadesde ¡ : ¡r hasta x: xz? Siunapartículaunidadpartede ¡ : rr conrapidez Resp (o) t.(q-rzr, @) ur, ücuál es la rapidez cuando llega a x : x2?

Una partícula de masa /n se mueve en el campo de fuerza

\8l-J'/?',@4

2.IO2. Una partícula de masa 2 se mueve en el plano ry bajo la acción de un campo de fuerza cuyo potencial es V : x2 * y2. La partícula parte del reposo en el tiempo t : 0 del punto (2, 1). (¿) Plantear la ecuación diferencial y las condiciones que describan el movimiento. (b) Hallar la posición en cualquier tiempo f . (c) Hallar la velocidad en cualquier tiempo ü.

2.103. Desarrollar el problema 2.102 si V : 8xy. 2.104.

¿Es válido el teorema 2.7

relativo a sistemas

o coordenadas de ¡eferencia no inerciales? Demostrar su resul-

tado.

2,1O5. (o) Mostra¡quesiunapartículasemueveenelplanorybajolaaccióndeuncampodefuerzacuyopotenciales V: l2x(3y - 4r), entonces r:0, y:0 esunpuntodeequilibrioestable. (ó) Discutirla¡elación del ¡esultado en (o) del problema 2.37.

2.106. (o) Demostrar

que una condición suficiente pa¡a que el punto (o, ó) sea un mínimo de la

función V(¡, y)

es

que en (o, b)

(ii) A= /azv\/azV\ / /\aa2

(i) Y=*=0, oa dr (b

2.107.

)

/

\anz

azv 1z

\ar

ay

/

*ro dt.

>0

Con ayuda de (a) encont¡ar los puntos de equilibrio estable de una partícula que se mueve en el campo de fuerza que tiene potencial V : x3 * y' - 3x - 12y.. Resp. (b) El punto (1, 2) es un punto de equilibrio estable

Suponerque una particula de masa unita¡ia se mueve en el campo de fuerza del problema 2.106. Halla¡ su rapidez en cualquier tiempo.

2.108. Una partícula

r : a(cosdi * (ri-uil/@2+Yz¡

se mueve alrededor del círculo

F(a) Hallar el trabajo ¡ealizado. (b) y (b) el teorema 2.4? Explicar.

send

j)

en un campo de fuerza

¿El campo de fuerza es conservativo? (c) ¿Cont¡adicen las respuestas

(o)

2.f09.

2.llD.

Algunas veces se establece que la mecánica clásica o newtoniana hace las suposiciones de que el espacio como el tiempo son absclutos. Discutir el significado de esta proposición.

). La cantidad Fprcm= i-

Fdt r,

se

llama la fuerza medía que actúa sobre una partícula desde t, hasta t2.

¿Coincide el resultado (3) del p¡oblema 2.5, si remplazamos F

z.lll.

porFp--

? Explicar.

Unapartículade2gdemasasemueveenelcampodefue¡za F:8¡yi el punto Resp.

ti

(-I,2, -1) tiene una rapidez d,e 4cm/seg,

I (4x2 - 8z)j - 8ykdinas. Sien ¿cuál es su rapidez en el punto (1, -1, 1)?

cm,/seg

2.112. (¿) Hallar las posicidnes tencial l/ : lgrzr-zr.

de

equilibrio estable de una partícula que se mueve en un campo de fuerza de po-

(b) Si se suelta la partícula cuando r : l, hallar la rapidez cuando alcanza la posición de equilibrio. (c) Hallarelperíodocuandolasoscilacionesalrededordelaposicióndeequilibriosonpequeñas. 2.113. De acuerdo cor,la

teoría especiaL de Ia relatiuidad de Einstein, la masa ¡n

con rapidez u, con respecto a un observador, se da por m

:

^o/GW

dqlna partícula

que se mueve donde c es la velocidad

CAP.

2I de

LEYES SOBRE MOVIM¡ENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

la

:

300.000

km,/s

la

rjT,i:;#d],".'il,,],il,H"; 2.114.

es

6l el incrc-

Demostrar que en coordenadas cilíndricae

vv = 9!. *!av^ -ov - 6.. opoo -;}lt, donde

2.1f6.

Grr G6r

c,

son vectores unitaríos en la direccíón en que aumentsn p, O y z,respectivamente.

Denostrar que en coordenadas esféúcas,

1 AVvv = av ,ldv "c¡+Vi;co+ñiT% donde G',o¿,G¿ son vectores unitarios en

la di¡ección a que aumentán ¡, c,,ó, respectivamente,

Cqpítulo 3 Movimiento en un comPo uniforme Coído de cuerpos y proyectiles CAT\{POS UNIFORMES DE FUERZA Un campo de fuerza que tiene magnitud

constantes recibe el nombre de uniforme o campo de fuerza constante- Si la dirección del campo se toma en la dirección negativa de z, como se indica en la figura 3-1, y si la magnitud es la constante Fo > 0, entonces el campo de fuerza está dado por

y dirección

F = -Fok

Fig.3-l

(1)

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO Si una partícula de masa constante m se mueve en un campo de fuerza uniforme, entonces su aceleración es uniforme o constante. Entonces el movimiento se describe como ¡nouimiento uniformemente acelerado. Si en (1) hacemos F : m8, la aceleración de una partícula de masa m que se mueve en el campo de fuerza uniforme (1) está dada por

a= -ffu

(2\

PESO Y ACELERACION DEBIDOS A LA GRAVEDAI) Se encuentra experimentalmente que ce¡ca de la superficie terrestre los cuerpos caen con una aceleración vertical que es constante si la resistencia del aire es despreciable. Esta aceleración se representa por g y se llama la aceleración debida a la grauedad o la aceleroción grauitacional. La magnitud aproximada de g es 980 cm/seg2, 9,80 m./seg2 o 32 pies/seg2, según se utilicen los sistemas de unidades CGS, MKS, o LPS. El valor varía en diferentes partes de la superficie terrestre, aumentando ligeramente hacia los polos. Suponiendo que el plano xy de la figura 3-2 representa la superficie de la Tierra, la fuerza que actúa sobre una partícula de masa nr está dada por

gt = -mgk

(3)

Esta fuerza, que se llama el peso de Ia partícula, tiene la magnitud W : mg. 62

Í Fig.3-2

CAP.

3]

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

.

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 63

SISTEMA GRAVITACIONAL DE UNIDADES - Como W: ^g, entonces m: W/g. Este hecho ha conducido a muchos científicos e ingenieros, que aplican con mucha frecuencia la mecánica sobre la superficie terrestre, a escribi¡ en las ecuaciones de movimiento el peso IjTen lugar de la masa m. Así, por ejemplo, la se-

gunda ley de Newton se escribe como

F=Y^ g

(4)

Enestaecuación,tanto IiÍcomogpuedenvariar,pero m :W/s esconstante.Unsistema de unidades que emplea (4) es el sistema grauitacional o sistema inglés próctico, en donde la

unidad de F o I'7 es la líbra fuerza (lb-O, la longitud se da en pies y ti"*po en segundos. En este caso, la unidad de n es el slug y, con frecuencia, el sistema se llama "1 sistemqpie-slug-segundo (FSS)' También son posibles otros sistemas. Por ejemplo, podemos expresar F o W en kilogramos fuerza (kg-f) con la longitud en metros y el tiempo ,eg.rrrdor.

"r,

SUPOSICION DE QUE LA TIERRA ES PLANA La ecuación (3) indica que la fue¡za que actúa sobre la masa m tiene una magnitud constante mg y que en cada punto se dirige perpendicularmente a la superficie terrestre representada por el plano ry. En realidad, esta suposición llamad ala suposición de la tierra plana no es correcta, primero poryue la Tierra no es plana y segundo porque la fuerza que actúa sobre la masa m varía con la distancia desde el centro de la Tierra, como se explica en el capítulo b. En la práctica, la suposición de la Tierra plana es bastante exacta para describir los movimientos de objetos sobre o cerca de la superficie terrestre y se utilizará en todo el capítulo. Sin embargo, para describir el movimiento de objetos alejados de la superficie terrestre deben emplearse los métodos del capítulo 5.

CUERPOS EN CAIDA LIBRE Si un objeto se mueve en tal forma que la única fuerza que actúa sobre él es su propio peso, o sea la fuerza debida a la gravedad, entonces frecuentemente el objeto recibe el nomb¡e de cuerpo encaída Libre- Si r es el vectordeposiciónyrn esla masa delcuerpo, entoncesla ecuación diferencial del movimiento, aplicando la segunda ley de Newton y la ecuación (J), es

*ffi=-msk

"

#=-ek

(5)

Como en esta ecuación no aparece la masa rn, el movimiento de un cueryo que cae libremente es independiente de su masa.

PROYECTILES Un objeto que se dispara desde una plataforma o se lanza desde un aeroplano en movimiento recibe el nombre de proyectil. Si la ¡esistencia del aire es despreciable, se puede considerar el proyectil como un cuerpo en caída lib¡e, de tal forma que su movimiento se puede determina¡ empleando la ecuación (5) y las condiciones iniciales apropiadas. Si la resistencia del ai¡e es despreciable, la trayectoria de un proyectil es un ¿é parábola (o una línea recta, que puede considerarse como una parábola degenerada). Véase "t.ó ef problema 8.6.

U

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

3

POTENCIAL Y ENERGIA POTENCIAL EN UN CAMPO UNIFORME DE FUERZA El potencial de un campo uniforme de fuerza o la energía potencial de una partícula en dicho campo de fuerza' se da por

- zo\ arbitraria, tal que, cuando z: v=

donde zo es una constante el niuel de referencia.

(6)

Fo(z

2o,

En particular, para un campo gravitacional constant€, Fo de la Partícula es

v = mg(z -

V:0. :

Llamamoss'

z:

zo

mg y la energía potencial

zo)

@

Que conduce al

3.1.

La energía potencial de una partícula en un campo gravitacional constante se encuentra al multiplicar la magnitud de su peso por la altura medida desde un determinado nivel de referencia. Obsérvese que la energía potencial es el trabajo realizado por el peso al desplazarse la distancia z - zo.

Teorema

MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESISTENTE En la práctica, un objeto no sólo experimenta la acción de su propio

peso sino también la que a oponerse al tienden de otras fuerzas. Una clase importante de fuerzas es la de aquellas en algún memovimiento movimiento de un objeto. En general, tales fuerzas son debidas al

dio tal como el aire ó el agua y se llaman fuerzas resistentes, omortiguadoras o disipatiuas y se dice que el medio correspondiente es un medio resistente, amortiguador o disipatiuo. Experimentalmente se encuentra que cuando las velocidades son pequeñas, la magnitud de la fuerza resistente ps proporcional a la velocidad. En estos casos puede serproporcional al cuadrado (o a otra potencia) de Ia velocidad. Si Ia fuerza resistente es R, entonces el movimiento de una partícula de masa nt en un campo (gravitacional) uniforme de fuerza se da

Por Si R

n# = msk-F. dz

:

O se reduce a

(s)

(5).

SISTEMAS AISLADOS

Al considerar la dinámica o la estática de una partícula (o de un sistema de partículas

como veremos posteriormente) es en extremo importante tener en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (o sobre el sistema de partículas). Frecuentemente este proceso recibe el nombre de aislar el sistema.

MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES En algunos casos una partícula P debe moverse sobre una curva o superficie específica, por ejemplo, el plano inclinado de la figura 3-3, o sobre la superficie interna de la copa semiesférica de la figura 3-4. La curva o superficie sobre la que se debe mover la partícula se llama una constricción y el movimiento resultante recibe el nombre de mouimiento sometido a constricciones. Por la tercera ley de Newton, cuando la partícula ejerce una fuerza sobre la constricción aparece una fuerza de reacción de Ia constricción sob¡e la partícula. Frecuentemente, la fuerza de reacción se describe dando sus componentes N y f, normal y paralela, respectivamente, a la dirección del movimiento. En la mayoía de los casos que se presentan en la práctica, f es la fuerza debida al rozamiento y se toma en dirección opuesta al movimiento.

CAP.

3I

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

.

CAIDA DE CUERPOS Y

Fig.3-3

PROYECTILES

65

Fig.3-4

Los problemas de movimiento sometidos a constricciones pueden resolverse utilizando la segunda ley de Newton para llegar a las ecuaciones diferenciales del movimiento y luego resolver estas ecuaciones y someterlas a las condiciones iniciales.

ROZAMIENTO En las partículas en que se presenta movimiento so_ metido a constricciones, una de las fuerzas más impor_ tantes que se opone al movimiento es la debida al roza_ miento. En la figura B-5, supongamos que N es la mag_ nitud de la componente normal de la reacción de la constricción sobre la partícula r¿. Se encuentra experi_ mentalmente que la magnitud de la fue¡za f debida al rozamiento se da por

f =pN

(9)

Fig.3-5

donde ¡r es el coeficiente de rozamiento. La dirección de f es siempre opuesta a la dirección del movimiento. El coeficiente de rozamiento, que depende tanto dei maierial de la partícula como del material de la constricción, se consider" l" práctica como una constante.

"tr

ESTATICA EN UN CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORME Como se indicó en el capítulo 2, una partícula está en equilibrio bajo la influencia de un sistema de fuerzas si y sólo si la fuerza neta que actúa sobre ella es F : o.

Problemas resueltos CAMPOS UNIFORMES DE FUERZA Y MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO 3.1. Una partícula de masa rzl se mueve en línea recta bajo la influencia de una fuerza constante de magnitud F. Si su velocidad inicial €s u6, encontrar: (o) la rapidez o magnitud de la velocidad, (b) la velocidad, y (c) la distancia reco_ rrida después de un tiempo ú.

Fi

Fig.3-6

66

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

(o)

.

CAIDA DE CUERPOS Y

PROYECTILES ICAP.

3

Supongamos que la línea recta sobre la que se mueve la partícula P es el eje Í, como se indica en la figura 3-6, y que en el tiempo ü la partícula está a una distancia r del origen O. Si i es un vector unitario en la dirección OPy u es la rapidez en el tiempo t, entonces la velocidad es ui. Po¡la segunda ley de Newton, tenemos que da il . (f)

ft(mai) =

Fi o mfi= F

du=Ldt " Íar= fftat

Entonces Iuego

1) = lt + ", tn

(2\

donde c¡ es una constante de integración. Para encontrar cr, aplicamos la condición inicial que cuando f: 0, u: uo, luegode (2), c¡ : uo Y

F Lt+'¿n a = rn (ó)

o

1)

, F. = 1¿¡*-t rn,

(3)

Según (3) la velocidad en el tiempo f es

ai = ¡;ni+Lfi "rn-rn donde v: ui, vo : uoi y F: Fi. (c) Como u : dx/dt

v = vn+I¿

o

obtenemosde (3),

ilr , F. ffi,=uo*-, o

/ . r'-\ = (ro+Lt)dt

dx

Ahora, integrando y suponiendo que c2 es la constante de integración, obtenemos

ú = ".¿+fg)P*c2 \2m/ Ya que

¡:

0 cuando t

:

0, encont¡amos cz

:

0.

Luego

r =,ot+(#)P g.2.

(4)

Demostrarque en el problema 3.1 la rapidez de la partícula en cualquierposición

por

u:

Método

t se da

la|+(ZFlm)u. 1.

A partir de (3) del problema 3.1, tenemos t : m(u - uo)/F. Sustituyendo en encont¡amos r : (m/2F) (u2 - of;). Despejando u obtenemos el resultado rtquerido.

(l) y simplificando,

Método 2. A partir de (I) del problema 3.1, tenemos

do F ¡tt - m' d'tt F

o como u -- dx/dt,

"7, = 'i,

:

Método 3.

uo cuando

F iloilr E dt = *

i.e.

a

¡ : 0, encontramos c, :

a2ol2

luego

o

fmu2

u

: 0 hasta cualquier tiemPo t trabajo realizado al desplazarse la partícula desde ¡ : 0 hasta cualquierposición.r

La variación de la energía cinética desde t

:

du == \d, *

Lr+cs t =

Integrando, Ya que u

l'e'

- t-o\ = F(r -

0). Entonces

=

\E+ AFffi.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

cAP. 3l

67

MOVIMIENTO LINEAL DE CUERPOS QUE CAEN LIBREMENTE

3.3.

Se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra un objeto de masa rn con velocidad ue. Encontrar: (a) la posición en cualquier tiempo, (b) el tiempo requerido para alcanzar el punto más alto, y (c) la altura máxima alcanzada.

(o)

Sea

f'=

el vector de posición de m en cualquier tiempo

r : ¡i * yj + zk. Suponemos que el objeto parte de r : O cuando ü : 0. Como la fuerza que actúa sobre el objeto es - mgk, tenemos, por la ley ú

de Newton, que

donde

v

es

*#

=

Fig.3-7

' #: -ek

*#, = -^ou

la velocidad en el tiempo

ú.

(r)

Integrando (1) una vez, se tiene

v - -gúk*c,

Como la velocidad cuando , uok, entonces

(2)

: 0 (es decir, la velocidad inicial) v - -gtk * toh - (úo- gtlk d¡

==

o

=

€s Dek¡ obtenemos de (2), cl (3)

(ao_ gt)k

(4)

Al integrar (4) se tiene r - (o¡t-SOtz)k* cz Como r: O cuando t: 0, cz: O. Entoncesel vectordeposición es r - (o¡t-\otz\k o sea, r=0, U=0, z=Dot-*Ct, (b)

El punto más alto

(c)

En el tiempo

se alcanza cuando

t : uo/g la máxima

v

:

(uo

-

Cú)k

:

(5)

(6) (7)

O, es decir, para

altura que se alcanza es, a partir

d,e

t:

(7), z

uo/g.

:

úo/20.

Otro método. Si suponemos, como es fisicamente evidente, que el objeto debe estar siempre en el eje z, podemos anu-

lar los vectores escribiendo la ley de Newton en forma equivalente, como (véase la ecuación (I) anteriory tómese

r: ek)

ilzzliltz

de la cual, haciendo

z:

0,

dz,/dt:

uo cuando

ü

= -g : 0, encontramos,

como anteriormente, que

z = r,)ot-*Ct, Las respuestas de (b) y (c) se obtienen como se hizopreviamente.

3.4.

Hallar la rapidez de la partícula del problema 3.3 en función de su distancia al origen O. Método l. Apartirde las ecuaciones (J) y (fl del problema 8.3, tenemos Despejando ú de ra primer"

"",,".,1n

/th-o\

= "t\ Método

2.

;

; ":r"i;^; /on-o\2

, )-+o\

,::;11i1."""",."-.. o?-tf

o

o ) = "2,

: uk y u : dz/dt, ilo o uñ=-C

De la ecuación (1) del problema 3.3 obtenemos, ya que

ilo d,z l.e, do d=-0' d"ü=-C Luego, al integrar u2 /2: - gz * c¡. Como u : uo en z: Método 3. Véase el método del problema 3.9 que cumple

o2=ozo-Zsz

:

v

:

412 yentonces u, oZ- 2gz. el principio de la conservación de la energía. 0, cs

68

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

. CAIDA DE CUERPOS

Y PROYECTILES ICAP.

3

MOVIMIBNTO DE PROYECTILES

3.5.

Se lanza un proyectil con velocidad

ini-

cial u6 formando un ángulo a con la horizontal. Encontrar: (o) el vector de posición en cualquier tiempo, (b) el tiempo para alcanzar el punto más alto, (c) la altura máxima alcanzada, (d) el tiempo en que regresa a la Tierra, ( e ) el alcance.

(o)

Sea r el vector de posición del proyectil y v la velocidad en cualquier tiempo t. Entonces,

Fis.3-8

por la ley de Newton, d2r mffi = -mok

esto

(t)

d2r

w

es,

= -gk

Integrando,

-dt

o-=

dv

-sk

(2)

v - -gúk*ct

Supongamos que el proyectil se mueve inicialmente en el

(3)

planoyz, entonces la velocidad inicial

Vs = trocosdj * rrosenak Como v : vo cuando ú : 0, encontramos de (J), v = trocosdj*(uosena-gú)k v

(4)

(5)

d,r/dt en (5) e integrando, obtenemos r = (r.rs cos a)ú i * {(ro sen a)ú - $otz\k o, análogamente, r :0, A = kto cosa)ú, z = h)osenalt - $gt2

Sustituyendo

es

pot

(6)

(7\

En consecuencia, el proyectil permanece en el plano.vz.

(b) En el punto más alto la componente

de la velocidad

osS€nd-gt = 0

v en la dirección k ?,g S€ll

| =

Y

es cero. Entonces

d

(8)

o sea el tiempo requerido. (c)

Con el valor de t obtenido en (b), encontramos de (7) que

Máxima altura alcanzada

(d)

=

(o6 sena)

(T-)

-

El tiempo en que ¡egresa a la Tierra es el tiempo cuando e (uo sena)f

- tct' -

ú[(oo sena)

+c

(39jt":)'

:

0,

-

l2ot1

-

af,sen2 o

2g

(e)

es decir, cuando

= ¡

ocomo f +0, QO\

Obsérvese que este tiempo es el doble del calculado en (b).

(e) El alcance

es

el valor de y cuando el tiempo es el dado por (/0), esto es,

/

2on sen a

Alcance: (uocos")(:l

\c/s

3.6.

\

2tt2n sen

d cos a

= ------------:--

ufr sen 2o

=

Demostrar que la trayectoria del proyectil del problema 3.5 es una parábola. De la segunda ecuación de (7) del problema 3.5, tenemos ¡ : y/\us cos a). Sustituyendo sión en la tercera ecuación de (7) del problema 3.5, encontramos

z = (uosena)(y/u6cosc) - $g(a/a¡cos"¡z o que es una parábola en el plano,r,e.

z = ytana-@/2t:!)V2secza

esta exp¡e-

cAP'

3'7

'

3l

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS

y pRoyBcrILES

69

Comprobar que el alcanc-e del proyectil del problema B.b es máximo cuando el ángulo de :

lanzamiento es d

45"

,

De acuerdo con el problema S.5(e) el alcance es (oisen 2o)/g. euees máximo cuando sen 2a decir,2a:90ooa:45".

: l,

es

POTENCIAL Y ENERGIA POTENCIAL EN UN CAMPO DE FUERZA UNIFORME

3'8' jl] cta de (a)

un campo de fuerza uniforme es conservativo, (ó) hallar el poten(c) deducir la energía potencial de una partícula ampo de fuerza gravitacional uniforme. e a dicho campo, Y

SielcampodefuerzaescomoseindicaenlafiguraB-l,entonces

F: -

Fok.Tenemosque

ijk VXF

=

0/3n Alay

0/32

00-Fo

=0

En consecuencia, el campo de fue¡za es conservativo.

(b) F

= -F¡k = -ev =

-frr-r#t-r#n

V =Fozi-c, Si 7=0cuando z=?¡,

(c)

3.9.

Y, =0,#=0,#=ro de c=-Fozo y V:Fs(z_z¡).

Luego

entonces

Para un campode fuerza gravitacional uniforme, : _rngk F (figura 3-2) ycorlesponde Entonces, por la parte (ó), el potencial o la energía potencial .. y : mg (z _ z).

Hacer el problema 3.4 utilizando el principio de la conservación de la energía. De acue¡do con el principio de la conse¡vación de la energía, tenemos que

Eren z=0 *E"ena=0

+

0

Luego, a2

= of,-

2gz,

L^3

= Eren z *E"en

=

v

rnsz + *^r,

MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESISTENTE 3.fO. En el tiempo ü : 0, u gura

peso situadoenz:0yse

3-9) que tiene un

está ente

hacia abajo con rapidez uo. Si la fuerza, o resistencia del aire que actúa sobre el para_ caídas es proporcional a la rapidez instantá_ nea, hallar: (o) la rapidez, (ó) la distancia recorrida, y (c) la aceleración en cualquier tiempo ü > 0. (¿) Suponemos que el paracaidista (considerado cono

por la ley de Newton. ¡l mfik = a¡

(mg

- Bu)k

(r)

Fig.3-9

donde

a Fo:

mg.

70

MovIMIENToENUNcAMPoUNIFoRME-CAIDADEcUERPoSYPRoYEoTILEStcAP'3

*#

es decir,

-

rns

-Tr"

Integra ndo,

u: lo

Como

--

cuando ú

:

=

o, cr

: -Tln

mdo

o

,ng

- Fal

@c

(rng-

ffnt*o-B?o)

- Ba = ttct

=

d,t (2)

Éuo). Entonces, de (2),

- frh1^s-Bo¡ = T^(ffi)

= ¿eum o

ffi

Luego

91)

1)

=ry*Q,-T)¿-et/m

(3)

(b)De(3),ilz|itt=¡ngtF*klo_mglB)e_9tln.p¡¡g¡ges,integrando,

z = ry - T("" -ae) e-atr^ + Como

z:0

cuando

t:O, cz: @/P)(uo- mg/A) enconsecuencia, n - e-Bttm¡ z,. := ¡ngt p_-+ Y( r^ -4¿\ B

F\"0

(c)

cz

Utilizando (3), la aceleración

(4)

/'-

se da por

81,..-rns\e-¡,/m = (o-U"\"-ur,,^ ú=aiilo =-t\"u-p/"'\" m/-

g.ll.

(5)

por Demostrar que el paracaidista del problema 3.10 alcanza una rapidez límite dada

ms/p. Método

l.

a medida que ú De la ecuación (3) del problerna 3.10 u : mg/B + fuo - mg/A)e-Ptlm. Entonces, mueve con una se paracaidista el tiempo fo.-" tal que después de un corto aumenta, u tiende a mg/F

"n raPidez que es casi constante. Método 2.

ciór

ser cero. Entonces, de la ecuaSi el paracaidista tiende a una rapidez límite, la aceleración límite debe : olln¡ mg/p' o 0 que mg 9uÍ^: (I) del problema 3.10, tenemos -

g.12. Una partícula de masa m se desplaza sobre el eje r de tal modo que cuando ú : 0 está que se opone situada en r : 0 y tiene rapidJz us. Sobre la partícula actúa una fuerza

la rapidez instanal movimiento, fuerza cuya magnitud es proporcional aI cuadrado de de la partícula en (c) y aceleración la po.i"iótt, (b) la t¿í,nea. Hallar: (o) la rapidez, cualquier tiempo ú> 0. (o) Suponemos que la partícula está situada a una di"i'ancia ¡ del origen O cuando t : O y que tiene una rapidez u (véase la figura 3-10). En consecuencia,

la fuerza

es F : - Bu2i, donde É ) 0 esuna constantede

proportionalidad. Po¡ la ley de Newton,

ilv , mfri = -B,:zi '

d.ts

í;

--

F, -L-¡It

Integrando, -l/u: -Bt/m * cr' Como u: : cr : -l/uo' L'¡ego tenemos 0, cuando ü que es la rapidez.

(b)

De (2),

-!lU = -Bt-t a¡ Út

# -- #+r.

Entonces,

(l) uo

Fis.3'10 o

1)

frlÚO

= ñlT*

f o, : Í ffi,rt

ü = ftn(,+ffi)+",

=

98,

(2)

I *+M

o

CAP'

31

.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CUERPOS Y

Como¡:0cuando t:0,c2 - -vrnt,n / r"\

PROYECTILES

7T

Lueco

\-/.

/., ,¿\ rn1 / m\ /- . Boot\ N = m, = n,. p'"\r*p%)-prn\p^) ¡=r,(r+;)

(3)

(c) De (o), rtluo \ ihs d/ B*o"o a=a=a\V"rt¡^) :-@f# Obsérvese que aunque

3'f

3'

v)

la rapidez de la partícula disminuye continuamente, nunca

se detiene.

Determinar: (a) la rapidez, y (ó) la aceleración de la partícula del problema 3.12 en función de la distancia r desde el origen O. Método l. De las partes (a) V (b) del problema 8.12,

m ,_

/

pt\-*

Fttot

I m1 ),

Entonces

tuuo ¿¡=¡^¡¡*

Y

, =?t.(?)

y la magnitud de la aceleración

1)¡

a=po¿-er/m

es

dtt ar=E=tn-&rn que también puede obtenerse de

o

'

paot * m --:*-::=;

P?o

"-o',^d!

la ecuación (4) del problema

= -

FoZ

"-rur,^

8.12.

Mótodo 2. De la ecuación (I) del problema 8.12 tenemos d,o d.u dr

*¿l = *A, ¿¡ = *r#i¡t _

ocomo cuando

3'14'

_go2

ilo B - y da ul o, rndu= Integrando, lnu: _ \x/m* -Po ;= -hr. r:0, ca : lnuo. Luego ln (u/uo't: -Br/m o u: uoe- lr/m.

ca. yaque

t):

uo

Suponer que sobre el proyectil del problema 3.5 actúa una fue¡za debida a la resistencia del aire igual a - gv, donde I es una constante positivay v es la velocidad instantánea. Hallar: (o) la velocidad, y (ó) el vector de posición en cualquier tiempo.

(o) La ecuación

de movimienüo en este caso es

^ffi

=

-msk

-

pv " ^#*

Dividiendo por m y multiplicando por el factor ¿

Integrando, se

Flmat

"t

fr|"u"^v| = ¿Bt/mu = _ff

tiene

La velocidad inicial o velocidad cuando J : 0

Bv

=

= elt/m,la

-msk

(r)

ecuación puede escribirse como

-gelt/m1a

"er,^k

* c1

e)

es

vo = trocosa j * t,osenak

(J)

Remplazando en (2) encontramos

cl =

rrocosdj

+

oosen¿k

*ryU

Entonces, al dividi¡ (2) po¡ eB¡tn,, tenemos

v =

(t'u cosa

j * o6sen ak\e-Bt/m - Trt

- ",Btr,nlk

(4)

72

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

(b)

Remplazando en (4)

v

r = r:

Como

O cuando

pot

dr/dt

e integrando, obtenemos

-ffOocosaj*oosend k)c-Btrn

ú: 0,

3

- ffU ¡L"-arr^¡k + c2

j*tr6senak) * c2 = m VQ;ocosc

Sustituyendo (6) en (5), encont¡amos 'llIU g j*senak)(1 -e-st/m) r = 7;(.o.a

w.

(5)

(6)

ry(,* ftc-a'lm - ?)-

@

3.15. Demostrar que el proyectil del problema 3.14 alcanza una velocidad límite y encontrar su valor. Método

l.

De acue¡do con la ecuación (4) del problema 3.14, cuando ü aumenta, e-gúlrt ¿¡.-¡nuye. Entonces, la velocidad tiende a un valor límite igual I vü^ : - (me/ilU-

Método 2. Si el proyectil tiende a una velocidad límite, su aceleración (mg/P)k. (1) del problema 3.14, mgk llo¡i^: 0 o v,r.

-

-

: -

límite debe sercero. Luego de la ecuación

MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES

3.16. Una partícula

P de masa /n se desliza sin rodar por un plano inclinado liso AB que forma un ángulo a (figura 3-11). Si parte del reposo desde el punto más alto A del plano, hallar: (a) la aceleración, (b) la velocidad, y (c) la distancia recorrida después de un tiempo ü.

(o)

ra

Como no hay rozamiento, las únicae fuerzas que actúan sobre P son el peso W : - mgk y la fuerza de reacción del plano que es la fuerza normal N.

w=

e¡ y

e2 los vectores unitarios, paralelo y perpendicular, respectivamente, al plano inclinado. Si representamos por s la magnitud del desplazamiento desde el punto rnás alto A del plano inclinado, tenemos, por la segunda ley de Newton, Sean

como se indica

-mg

-mcklx Y COg

vl;

a Q2/

O

Fig' 3-ll

)tz mfu(ee) = W + N = mqsenaal en la figura 3-11, la resultante de W * N es igual a mg send et. De (l), tenemos dzs/iltz = g send

(r)

(2)

En consecuencia, la aceleración hacia abajo del plano inclinado en cualquier tiempo t es una constante igual a gsend.

(b)

Como u

: ds/dt

es

la rapidez, (2)

se puede

esc¡ibi¡ así

ila/d,t= gsena o u =(gsena)Ú*c¡ al integrar. Con las condiciones iniciales u : 0 cuando Ú : 0, obtenemos ct : 0, entonces la rapidez en cualquier tiempo t es (3) 1¡ = (g sena)t La velocidad es uer : (gsena)üe, de magnitud (gsenc)ü en la dirección e¡ hacia abajo. (c) Como u : ds/dt, puede escribirse (3) así deldt = (g sen c)ú o 8 = !(O sena)t2 * c2 al integrar. Con la condición inicial s : 0, cuando t : 0, encontramos c2 : 0, así que Ia distancia recorrida es

s = l(o

sena)ú2

(4)

cAP.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

3l

3.17.

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

73

Si la longitud AB del plano inclinado del problema 3.16 es l, encontrar: ( a) el tiempo r requerido por la partícula para llegar al punto más bajo B del plano, y (b) la rapidez en B.

(¿)

Ya que en

I = +(c

(b)

B, s : l,

sen

el tiempo r para llegar al punto más bajo es, de la ecuación a)r2 o | = \tzt/(@.

La rapidez en

I

se calcula de (3) del problema 8.16,

MOVIMIENTO CUANDO HAY

3.18.

.

por u : (g sena)r

(4) del problema 8.16,

: \lZETffi.

ROZATVIIENTO

Hacer el problema 3.16 si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento constante p. (¿) Además de las fuerzas W y N que actúan sob¡e p, interviene en este caso la fue¡za de rozamiento f (figura 3-12) dirigida hacia arriba del plano

(en

dirección opuesta al movimiento) y de magnitud (I) pN = pmg cosa esto

es,

f = -Fmí

cosa

entonces se remplaza la ecuación 3.16 por

et

e)

(/) del

p¡oblema

&Ge)

maT = W+N+f

Fig.3-12

= m!

3e'ra1

et - pmg cos 4 el

(3)

o

d2s/dt2 - g(sena - p cosa) (4) Por consiguiente,- la aceleración hacia abajo del plano inclinado tiene una magnitud constante

g(senc-pcosa)perodebecumplirsequesend>pcosaotana>¡(deot¡omodolafuerza de ¡ozamiento es tan grande que la partícula no se mueve).

(ó) Remplazando

d2 s/dt2 por du/dt en (4) e integrando como en la parte (ü) del problema 3.16, encont¡amos que la rapidez en cualquier tiempo ú es

o = g(senc (c

)

p cos

a)ú

(5)

Remplazando u por ds /dt en (5) e integrando como en la parte (c ) del problema 3.16, encontramoa

s = {g(sena-pcosalt2

3.f9.

(6)

Un objeto se desliza sobre una superficie de hielo a lo largo de una línea horizontal OA (figura 3-13). En cierto punto de la trayectoria la rapidez es uo y luego de recorrer una distancia ro el objeto se detiene. Comprobar que el coeficiente de rozamiento es u2 /2gxs. Sea ¡ la distancia instantánea del objeto de masa m al origen O y supongamos que anando ú : 0, ¡:0yd.x/dt:uo. T¡es fuerzas actúan sobre el objeto, a saber: (l) lV: rng, (2) la fuerza normal N de la superficie de hielo sobre el objeto, y (B) la fuerza de roza-

el peso

Fig.3-13

miento f. Si u es la rapidez instantánea, tenemos, por la segunda ley de Newton, que . ^¿tí = W+N +f ¿I1t

Perocomo

N: -W ylamagnituddef

^fri

es

/:

¡¡N:

= -ttrngi

png así que o

th¡

E=

(J)

f: -ttg

pmgi, y

(f)

se

convierte en (2)

74

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

Mótodo

.

CAIDA DE CUERPOS Y

PROYECTILES ICAP.

3

1.

Escribir (2)

como d.ts ilx deü=-pg

Entonces

(3)

iltt = -!g dú que u : uo en ¡ : 0, encontramos o

Integrando y usando eI hecho

u2l2 Entonces como u

iht odú=-llg

o

: 0 cuando Í :

= _ygr*of;12

(4)

1o, (4) se convierte en

-p7ro'ltrtl2 =

0 o

p = fil2ors

Método 2. De (2) obtenemos, al integrar y utilizar el hecho 9ue u

:

(5)

ue cuando ü

:

0,

0 = ao-Fgt

o d.rldt = ao-Fgt Integrando nuevamente, empleando el hecho que ¡ - 0 cuando ü : 0, encont¡amos t; (z) que ;: el objeto se detiene d; vemos De c. "3""J" o¡-pgt=0 o t=aolpg Remplazando en (7) y obsen¡ando 9ue ¡ : to, obtenemos eI r€sultado deseado.

(6)

@

ESTATICA EN UN CAMPO GRAVT.TACIONAL UNIT'ORME 3.2O. Una partícula de masa rn está suspendida, en equilibrio, de dos cuerdas no elásticas de longitudesaybsujetasalasclavijasAyBseparadasunadistanciac.Encontrarla tensión en cada cuerda.

Fig.3-15

Fig.3-14

lV representa el peso de la partícula y Tr V Tz las tensiones respectivas en las cuerdas de longitudes c y b, como ee indica en la figura 3-14. Estas fuerzas se indican también en la ñgura 3-15 y ee supone que están en el plano formado por los vectores unitarios zontales y verticales, se encuentra que

Tl = ?rsenck - Ircosa j,

j y k.

Descomponiendo

Tz =

T2senp

donde T¡ y ?z son tas magnitudes de T1 y T2, respectivamente, en A y B. Tenemos también que

Tr Y Tz

en componentes hori-

k * fzcosÉ j

y a y P son los ángulos

respectivos

W = -mgk

Como la partícula está en equilib¡io si y sólo si la fuerza neta que actúa sobre ella es cero, obtenemos que

F:

Tr+T2+W = ?rsenak - ?rcosaj * T2senpk + T2cosq i = (?2 cos B - T, cosa)i * (?¡ sen a I T2senp - mC)k =0

mgk

cAp. 3l

MoVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CI'ERPOS Y PROYECTILES

ID

De lo anterior, debemos tener

TrcosB

-flcosa =

?1 sena

0,

*

p

?o sen

- tttg --

0

Resolviendo simultáneamente, encont¡amos

mg.cos9 T,' = sen(a+F)

ntg cosa T^ z _ sen("*É)

Los ángulos c y É pueden encontrarse a partir de la ley de los cosenos

a=

coS-r (

a'z

+

\

g:-- b'z\, za.c /.

- azl B = cos-r (az +:: 2bc / \

con los ángulos anteriores las tensiones pueden erq)¡esarse en función

de a, ó, c.

PROBLEMAS VARIOS 3.21. Un plano inclinado (figura 8-16) forma un ángulo d con la horizontal. Se dispara un proyectil desde el punto más bajo A del plano inclinado con rapidez uo formando un ángulo É con la horizontal. (a) Demostrar que el alcance R sobre el plano inclinado es

R-

2a2osen(B

p

-

a) cos B

COS2

Fig.3-16

o

(ó) Probar que el alcance máximo sobre

er

plano inclinado

R-¿¡ = g(1 * que se obtiene cuando E (a)

:

-"0 o/2.

"/4*

se da

por

sena)

Como en la ecuación (6) del problema 3.5, el vector de posición del proyectil en cualquier tiempo

r = (oe cosB)új * ((oosenÉ)ú - 120t2\k .U = (o6 cosp)ú, z = (uosenÉ)ú _ tCt,

o

La ecuación del plano inclinado (que en el planoyz es una ¡ecra,

¿

es (1) (2)

eg

z = Atana

(J)

Remplazando la ecuación (2) en (3), vemos que la trayectoria del proyectil y el plano se intersectan en aquellos valores de ü en que (r.re

estoes,

¿:0

y

sen B)ú

t-

- tCt, =

[(oo cos B)ú] tan a

2tro(genÉcosa-cospsena) g

COsd

-

2tr6sen(9-") I

El valor f : 0 da el'punto

COSd

de intersección A. Con el eegundo valo¡ de ú se encuentra el punto B que es el punto requerido. Utilizando el segundo valor de t en la primera ecuación de (2), encontramos que el alcance R sobre el plano inclinado es

R= (ó) Método l.

a

sec

d=

(ro cos É)

-'} r"" {"t:!^:! L gcosa ) --- " -

2ot sen (É

El alcance ft puede exp¡esarse utilizando la identidad trigonométrica

senÁcos6 = {{sen(A+B) *senl,4-B)) D

fi-A¡ = ' COS'q {sen(2p-o) 0 =--

sena}

--a)

gcosza

cos F

76

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

Es un máximo cuandosen(2p-a) este máximo

es

.

=1,

CAIDA DE CUERPOS Y

esto es,

D2 Do

,

aí

o B=a/2*r/4, yel

(1

ICAP.

valor

de

D¡

sena) = g(1 * senc) g(l - se¡2s) '- -

- sena) =

R = g---*-(l COS'd

2B-a=t/2

PROYECTILES

Método 2. El ¡esultado requerido puede obtenerse también por los métodos del cálculo diferencial para

en-

cont¡ar máximos y mínimos.

3.22.

Dos partículas de masas Í\ Y mz, respectivamente, se conectan a una cuerda no extensible de masa despreciable que pasa por una polea fija y lisa de masa despreciable, tal como se muestra en la figura 3-1?. Describir el movimiento encontrando: (o) la aceleración de las partículas, y (ó) la tensión en Ia cuerda. Aislemos primero la masa mr. Hay dos fuerzas que actúan mtgk y (2) la fue¡za debida a la

sobre ella: (1) su peso m¡g: cuerda que es la tensión T : entonces, por la ley de Newton,

7h' Si a : ak

es

la aceleración,

mlak = rnpk - Tk

(1)

Aho¡a aislamos la masa m2.Hay dos fuerzas que actúan sobre ella: (1) su peso m2E : m2gk, y (2) la tensión T : - ?k (la tensión es la misma en toda la cuerda ya que se considera de masa despreciable y no extensible). Como la cuerda es inertensible, la aceleración de mz es - a : - ok. Entonces, por la ley de Newton,

-m2uk = mzg|r-Tk

De (1) y (2) tenemos 7n1a

Fig.3-17

(2)

= mrg - T,

-'nl2d = mzg-T

Resolviendo simultáneamente, encontramos

fflt

o = rnll-

fllz

rrbg'

2lnrmo

T = lfll----#U t fil2

Porconsiguiente, las partículas se mueven con aceleración constante, una partícula sube y la otra desciende. En este sistema, algunas veces llamado máquina de Atwood,la polea puede rotar. Sin embargo, debido a que la polea es lisa y no tiene masa (o es de masa despreciable) el efecto es el mismo que si la cuerda en lugar de la polea pasara sobre una clavija lisa o sin rozamiento. Cuando la masa de la polea no es despreciable, se deben tener en cuenta los efectos de rotación que se consideran en el capítulo 9.

3.23. Una partícula P de masa m está colocada

en

el punto más alto A de una esfera fija lisa de radio b. La partícula se desplaza ligeramente para que deslice sobre la esfera pero sin que rote. (o) ¿En qué punto se separará de la esfera? (b) ¿Curíl será la rapidez en dicho punto? La partícula se deslizará formando un círculo de radio o; hacemos que el círculo esté en el plano.ry, como se indica en la figura 3-18. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son: (l) su peso W : mgi, y (2) la fuerza normal de reacción N de la esfera sobre Ia particula. Método l.

(a) Midamos la posición de la partícula sob¡e el círculo por medio del ángulo 0 y supongamos que ,r y r¡ s€an vectores unitarios. Descomponiendo W en componentes en las direcciones rl y ,1' tenemos, como en el problema

1.,13,

Fig.3-1E

CAP.

3]

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

W

. CAIDA DE CUERPOS

77

= (W.rr)rr+(W.rr)r, = (-rr,ci.r1)r1 t (-tnci.ot)ot N=Nrr

También,

Y PROYECTILES

_r¿g 8€n c 11 _

m!

cosc

01

usando la segunda ley de Newton y el resultado del problema 1.49, obtenemos

F = ma = ml(;_riz¡rr+(ri+Z|árorl = lt*N = (N-rngwne)r1 -mgcosdrr Entonces m('i - ráz¡ - N - ,ng aene, m(ri + zii¡ = -rng coso Mientras la partícula eetá sobr€ la esfera, tenemos que r : b. sustituyendo en (2), -mbiz = l\f - ,rog¡y¿\c, bi = -g coac Multiplicando la segunda ecuación po,

i, n"-o, que puede escúbirse d. , ¿ /iz1 'ü\2 ) = -l7¡Geno)

Integrando, biz/z

= -tsen c +

t/2,

cr.Ahora,cuando c =

=

bcz

Zc(l

-

á

(1) (2)

(3)

como

= 0 asíque cr :g

v

sen a)

(4)

Sustituyendo (4) en la primera ecuación de (J), encontramos que

N =

mg(8 eenc

- 2)

(5)

Ahora bien, la partícula permanece sobre la esfe¡a cuando N > 0; pero cuando N: 0 eeinminente la separaci ón de la partícula de la esfera. Entonces el ángulo requeridá se da por B sen e - 2 : 0, esto es,

senc

(ü)

Haciendo sen d

:

= 2/3

o

c =gen-rL/B

(6)

Z en (4), encontramos

i, = Entonces si u es la rapidez, tenemos u

:

zclgb

b6, asíque de

@

(fl

obtenemos u2

: lbg o u:

,TTFE.

Método

2. Por la conservación de la energía, tomando al eje

E, enA

*

0 tsz

Utilizando el ¡esultado del problema

1.35

de curvatura es b,

F=

tna

Empleando solamente la componente

-

sen

1¿*o,

t)

(8)

= (*,,-#t,) \o = rr,

*

y la segunda ley de Newton, tenemos, debido a que el radio

(N

-

mg senc)r¡

= w+N -

ntg coac ar

tenemos que

o2lb De(8)y(9)encontramosque

2gb(L

E" enP

mgbsen¡

=

=

como nivel de referencia, tenemos

: EpenP*

E" en A

,¡tgb +

r

= N-mgaenc

N: ms@senr-

método 1. La rapidez se encuentra a pa¡ti¡ de (g).

(9)

2)quedaelángulorequeridosen-r G)comoenel

78

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

3

Proble mas propuestos CAMPOS UNIFORMES DE FUERZA Y MOVIMIENTO LINEAL DE CUERPOS QUE CAEN LIBREMENTE

g.24.

Un objeto de masa m se deja cae¡ desde una altura H. Demostrar que si la resistencia del aire es despreciable, llega al suelo: (¿) en un tiempo \ñ878, y (b) con velocidad \E@-

g.26.

Hace¡elproblema 3.24 si el objeto rBesp.

(o)

(rETzsH -tso)ls,

se

suelta verticalmente hacia abajocon rapidez inicialde magnitud u6.

1o¡

t/fi+Wu

3.26.

Comprobar que el objeto del problema 3.3 regresa a la superficie de la Tie¡¡a: (o) con rapidez de magnitud igual a la r'apidez inicial, y (b) en un tiempo que es el doble del invertido en alcanza¡ la altura máxima.

g.27.

Una esfera que se lanza hacia a¡¡iba alcanza una altura máxima de 100 pies y luego regresa al punto de partida. (o) ¿Con qué rapidez se lanzó? (ó) ¿Cuánto tiempo gasta en regresar? Resp. (o) 80pies/seg, (b) 5 seg

3.28.

Una esfera que se lanza hacia a¡riba pasa por cierta altura Il después de un tiempo 7r cuando se mueve hale cia arriba, y después de un tiempo r, cuando se mueve hacia abajo. Comprobarque: (c) magnitud de : (ó) y ¡1 ,"), la altura lgt1r2. que es I lanzó Ia esfera con se Ig(r, la velocidad inicial

3.29,

¿Cuáleslaaltu¡amá¡imaquesealcanzaenelproblemaS-ü)?Resp-

B.BO.

Dos objetos se dejan caer desde la cima de un farallón de altu¡a Il. El segundo se suelta cuando el primero ha caído una distancia D. Comprobar que en el instante en que el primer objeto ha llegado al suelo el segundo

está a una distancia por encima del primero igual

tgQr+ 'r)t

a 2VDH - D'

gjl.

Un ascensor parte del ¡eposo y alcanza u¡a rapidez de 16 pies,/seg en 2 seg. Encontra¡ el peso en el ascenso¡ (b) 120 lb de un hombre de 160 lb si el ascensor: (o) está subiendo, (b) estábajando. ResP. (o) 200 lb'

g.g2.

Una partícula de 3 kg de masa se mueve en línea rectay desacelera uniformemente desde una velocidad de (b) 4O m/seg hasta 20 m/aeg en una distancia de 300 m. (a) Encontrar la magnitud de la desaceleracién. gasta? y tiempo cuánto de detenerse avanza antes ¿Cuánto más Resp.

g.Bg.

(a)

2 m/seg2,

(b) lm m; 10 seg

partícula desde la veloci¿Cuál es el trabajo total hecho sobre la partícula del problema 3.32 para detene¡ la julios)' (o newtons metro dad de 4O m/seg'! Resp. 24ffi

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

3.34.

Un proyectil se dispara con una velocidad de 1800 milh formando un ángulo de 60' con la horizontal. Si cae sobre el mismo plano, encontrar: (o) la altura máxima alcanzada, (b) el tiempo para alcanzar la altu¡a márima, (c) el tiempo total del movimiento, (d) el alcance, (e) la rapidez después del primer minuto del disparo, (/ ) Ia rapidez a una altura de 32.000 pies. Resp. (a) 15,5 mi, (b)7I,4 seg, (c) 142,8 seg, (d) 35'? mi/h, (l) 1558 mi,/h.

3,3ó.

(o)

g.86.

El alcance máximo

que se dispara con velocidad de 1mi,/seg? (ó) ¿Qué ¿Curíü es el alcance máximo posible de un proyectil altura se alcanza en este caso? Resp. ( o ) 165 mi' (b ) 4L,25 mi

po total

""

de un cañón

es.tl^6r. Comprobar que: (o) la altura alcanzada es lRr6', y (b) el tiem-

Vfiffi.

g.87.

disparar un proyectil desde el suelo para que haga impacto en cierto punto sobre el suelo que está a una distancia inferio¡ a la del alcance má¡imo. Demostra¡ que hay dos ángulos posibles de disparo, uno me' nor de 45' en determinada cantidad y otro mayor de 45' en la misma cantidad.

8,g8,

Un proyectil que tiene un alcance ho¡izontal B llega a una altura máxima H. Demostrar que debe habe¡se y (b) formando un ángulo con la horidisparado: (o) con rapidez inicial igual a !Ñ-FTF-A\M, zontal dado por sen-t Qn/'/-FFtaFz)'

Se desea

CAP.

3I

3.39.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

. CAIDA DE CUERPOS

Y PROYECTILES

79

Se dispara un proyectil desde un acantilado de altura 11 sobre el nivel del mar, formando un ángulo a. Si cae al mar a una distancia D de la base del acantilado, comp¡obar que su altura máxima por encima del nivel del mar es

Fig.3-19

MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESTSTENTE

3.4o.

Se lanza verticalmente hacia arriba con rapidez uo un objeto de peso W. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea y que la constante de proporcionalidad es r, comprobar que: (o) el objeto alcanza una altura má¡ima de

Wxa6 W. /. -Pr *'s-'n

*ro\ \' * W )

y que, (b) el tiempo requerido para alcanzar la altura máxima *on\ W . /.

*,"\'*

es

*)

3'4r'

Un paracaidista cae del reposoy adquiere una velocidad límite de 15 mi/h. Suponiendoque la resistencia del aire es proporcional a la rapidez instantánea, encontrar qué tiempo se requiere para adquirir una velocidad de 14 mi,/h. Resp. 1,g6 seg

3'42'

Una masa m se mueve en línea recta bajo la acción de una fue¡za constante F. Suponiendo que hay una fue¡za de resistencia que es numéricamente igual a ru2, donde u es la rapidez instantánea v r es una constante, demostrar que la distancia reco¡rida desde la rapidez u¡ hasta la rapidez u, es

rn, /F-*?r?\ %tn\F=Ar)' 3'43'

Una partícula de masa /n se mueve en línea recta y se ejerce sobre ella una fue¡za de resistencia constante de magnitud .F. Si parte con rapidez us, (o) ¿en cuánto tiempo se detiene? y (ó) ¿qué distancia ¡ecorre en dicho tiempo? Resp. (a) muo/F, (b) mu?/2F

3.44.

¿Puede ¡esolve¡se el problema 8.4Íl por consideraciones de energía? Explicar.

3'45.

Una locomotora de masa m viaja con rapidez constante uo sobre rieles horizontales. (o) ¿En qué tiempo se detiene la locomotora después que se desconecta la ignición, si la resistencia al movimiento se da por a I gu2, donde u es la rapidez instantánea y a y p son constantes? (b) ¿Curíl es la distancia recorri-

da?

Resp.

(a) ñhan-,

(uol&), $) (n/zp)ln(ri

puf,/a)

3'46'

Una partícula se mueve en dirección x y sólo experimenta la acción de una fuerza de resistencia que es p¡oporcional al cubo de la rapidez instantánea. Si la rapidez inicial es u¡ y después de un tiempo r es *uo, probar que la rapidez será iuo en un tiempo 5r.

3'47'

Encontra¡ la distancia total recorrida por la partícula del problema 3.46 para alcanzar las rapideces: (c) áuo, (b) iuo. Resp. (o) lu¡t, (b) un,

3.48.

Demostrar que para el proyectil el problema 8.14,

(o) el tiempopara alcanzarelpunto más altoes

(ó) la altura máxima

es

flLAg sarl a

+h/, l5- \

4ln 1, * É'ot"t"\ rns P -\-

/'

.

'"n",. * u'o,ng /

MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES Y ROZAMIENM

3'49'

Un cuerpo de 100 lb parte del reposo desde el punto más alto de un plano inclinado de 60' y de 200 pies de longitud. Despreciando el rozamiento: (o) ¿qué tiempo requiere para llegar al punto más bajo del plano?, v (b) ¿con qué rapidez llega a dicho punto? Resp. (a) 3,80 seg, (ó) ios,gpies,zses

80

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

.

CAIDA DE CUERPOS Y

PROYECTILES [CAP. 3

g.5O.

Hacer el problema 3.49 si el coeficiente de rozamiento es

g.6f.

plano inclinado, de ángulo c ¿Con qué rapidez debe lanzarse un objeto desde el punto más bajo de un (b) plano. punto alto del más ¿Qué tiempo gasta? y longitud I para que apenas alcance a llegar al

Resp. (o) 4,18 seg, (b) 95,7 pies/seg

(o)

nesp. (o)

g.62.

0,3.

\MQll@)

Demost¡ar que el coeficiente de rczamiento de un objeto cuya rapidez inicial es uo y que requiere un tiemr para detene¡se cuando se desliza gobre una superñcie de hielo es us/g''

po

g.b3.

¿Qué fuerza es necesaria para subir por un plano inclinado ResP. 5,87 t de rozamiento es

30'

un camión que pesa 10

t, si el coeficiente

0,1?

g.b4.

una masa rn sobre una tabla horizontal de madera. Se levanta la tabla por un extremo hasta que la masa m empieza a deslizarse. Si en este instante la tabla fo¡ma un ángulo a con la horizontal, demostrar que el coeficiente de rozamiento es t : tan a.

g.56.

Sobre una masa de 400 kg que está sobre un plano inctinado 30" se ejerce una fuerza de 4800 nt y que forma un ángulo de 30' con el plano, como se indica en la figura 3-20. Encontrar la acele¡ación de la masa si Resp.5,5 m/seg2 , (b) 5,0 m,/seg2 el plano: (¿) es liso, (b) tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2'

Se coloca

Fig.3-2r

Fig.3-20

3.66.

Hacer el problema 3.55 si la fuerza de 48ffi nt actúa como se indica en la figura 3-21. Resp. (a) 5,5 m/aeg2 , (bl 2,6m/ser2 .

ESTATICA EN UN CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORME

3.67.

Un peso de 100 kg se suspende verticalmente del centro de una cue¡da, como se muestra en Ia figura 3-22. Determina¡ Ia tensión ? en la cue¡da. Resp. T - 1ü) kg-f : 980 nt

100

h3

Fis.3-23

Fig.8-22 3.58.

En la ñgura 3-28, ABy AC son cuerdas fijas aI techo CD y a la pared 8D, en los puntos C y 8, respectivamente. De A se suspende un peso Il¿. $i las cuerdas AB y AC forman, respectivamente, ángulos 0t y 0, con la pared y el techo, encont¡a¡ las tensiones Tt J Tz en las cuerdas' Resp.

3.59.

Fig.3-%

Wsen W cosl, rr = ós (ará , T2 = "*C,;;

ct

Encontrar la magnitud de la fue¡za F requerida para mantener en equilibrio sobrc el plano inclinado la masa m, si: (o) el plano es liso, (b) el plano tiene un coeficiente de rozamiento p. Resp. (o)

tr'=

ffi,

(D)

¡'= gffi4-99t")

cAP. 3l

3'60.

3.6 f

.

3'62'

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

81

Qué fuerza debe aplicarse a un trtn que pesa 320 t para que adquiera una rapidez de lb mi,/h en 20 segundos, partiendo del reposo, si el coeficiente de rozamiento es 0,02 y: (a) cuando la üa fé¡rea es horizontal, (b) cuando la vía fér¡ea fo¡ma un ángulo de 10" con la horizontal y el tren va hacia arriba. (Use sen 10o : 0,1737, cos 10" : 0,9813) Resp. (a) l?,4 t, (b) 129,6 t

Resolver el problema 3.60 ( b ) cuando el t¡en baia.

Resp. 3,6

t

Un tren de masa rn se desliza con rapidez constante uo sobre un plano inclinado que forma un

4 con la horizontal, y de coeficiente de rozamiento ¡r. Demostrar que la fue¡za el t¡en en un tiempo ¡ se da por rng(seno - p cos a) I muo/r.

ángulo

necesaria para detener

PROBLEMAS VARIOS

3'63'

Una piedra se arroja a un pozo y el sonido producido al choca¡ con el agua es oído un tiempo r posterior al instante en que se soltó. Suponiendo que la rapidez del soniilo es c, probar que el nivel del agua del pozo está a una profundidad (@ 2ec, - c)"/28.

3'64'

Un proyectil se lanza hacia abajo desde la parte superior de un plano inclinado un ángulo a, formando un ángulo 7 con el plano inclinado. Suponiendo que el proyectil golpea el plano, probar que (a) el alcance se da

por o

:

2oó

sely--c5y

- ")

y que, (ó) el arcance máximo hacia abajo del prano es

E,á, = 3'65'

T:

td=;;t

Un cañón se coloca sobre un cerro que tiene la forma de un plano inclinado que forma un ángulo c con la horizontal. Un proyectil se dispara hacia a¡riba formando un ángulo É con el plano. probar que si se de-

seaqueelproyectilgolpeeelcerrohorizontarmente,debecumplirseque É:

3'66'

tan-t/=2*""21 \. \3 - cos 2a/'

Suponer que dos proyectiles se lanzan formando ángulos a y p con la horizontal desde el mismo punto en el mismo instante, en el mismo plano vertical y con la misma rapidez inicial. probar que durante el movimiento, la línea que une los proyectiles forma un ángulo constante con la vertical dado por t@ 1-

il.

3.67.

¿Es posible resolver

Explicar.

la ecuación F : d,\mv)/dt : dp/dt por el método de

separación de variables?

3'68'

Cuando un pr<-ryectil se lanza formando un ángulo d, con la horizontal, cae a una distancia D¡ antes de su blanco, mientras que para un ángulo 0, cae a una distancia D, más allá del blanco. Determinar el ángulo para que al lanzar el proyectil dé en el blanco.

3'69'

Un objeto fue arrojado verticalmente hacia abajo. Durante el décimo segundo de su viaje descendió dos veces lo que descendió du¡ante el quinto segundo. ¿Con qué rapidez fuc arrojado? Resp. 16pies,/seg

3'7o'

La rapidez de salid¿i de una bala es uo; se sitúa el cañón a una altura h sobre un plano ho¡izontal. p¡oba¡ que el ángulo con el cual debe hacerse el disparo para lograr el mayor alcance sob¡e el plano se da por

o

3.71.

= +cos-rshl@iÍgh).

En la figura 3-25, AB es una mesa sin ¡ozamiento. Las masas mr y rn, están unidas por una cuerda que pasa sobre una polea liviana en B. Determina¡: (o) la aceleración de la masa mz, y (b) la tensión en la cuer_ da.

Resp.

(a)

mt,

Qt

#f#.;

mzlmt Fig.3-25

3.72.

Hacer el problema 3.?l si la mesa AB tiene un coeficiente de ¡ozamiento

3'73'

El máximo alcance de un proyectil cuando se dispara hacia abajo en un plano inclinado es dos veces el máximo alcance cuando es disparado hacia arriba en el mismo plano inclinado. Dete¡minar el ángulo que forma el plano con la horizontal. Resp. sen-rl,/3.

¡.

82

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

3.74.

Las masas mt ! mz se colocan sobre los planos inclinados sin rozamiento de ángulos ar y d2, respectivamente, y se unen por una cue¡da no extensible de masa des-

preciable la cual pasa sobre una polea liviana en A (figura 3-26). Determina¡ la aceleración de las masas. Resp. Las aceleraciones son de magnitud igual a 7t1 Sefldl - fk2S9fl d2 mr+ m2

3.7lo. Hacer el p¡oblema Re sp.

3.76.

7111

S€Il at -

3.?4 si el coeficiente de rozamiento entre las masas y el plano inclinado es p, nl2sen d2 - ¡t?ltt

mr +

COS

al

-

pm2

COS

a2

'rnz

P¡oba¡ que la fuerza mínima F necesaria para subir un cilindro de ¡adio o y peso W sob¡e un obstáculo de altura b (figu¡a 3-27) tiene una magnitud de

wt/

3.77.

Fis.3-26

u-tza - olt(¿ -

b).

Explicar matemáticamente por qué un píoyectil dispara' do por el cañón A en la parte superior de un precipicio de

.|_

+

altu¡a H puede llegar a un cañón B, localizado en el fondo, mientras que un proyectil disparado por el cañón B, con Ia misma velocidad de salida no podrá llegar al cañón A'

3.78.

En Ia figura 3-28 la masa rn cuelga de una cuerda no extensible OA' Mediante una cuerda horizontal AB se sostiene la masa en tal fo¡ma que OA forme un ángulo a con la vertical. Determinar la tensión en cada cuenda. Resp. Tensión

3.79.

Fig.3-27

e¡ AB : mgtana; en OA : mgseca

sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje r actúa una fue¡za resistiva tal que el tiempo ü para desplazarse la partícula una distancia ¡ es t : Ax2 I Br I C donde A, B, C sonconstantes' Probar que la magnitud de la fuerza resistiva es proporcional a Ia rapidez instantánea al cubo. se lanza desde A hasta B (los cuales son, Fespectivamente, Ias bases de dos planos inclinados un ángu' lo a y p como se muestra en Ia figura 3-n) y justamente alcanza a pasar por el extrerno de una asta de altu¡a H' Si la distancia ent¡e A y B es D, determinar el ángulo que debe forma¡ el proyectil con la ho¡izontal, al ser lanzado'

3.8O. Un proyectil

3,8f ,

g.g2.

Una partícula de masa m se mueve sob¡e un plano inclinado sin ¡ozamiento, que forma un ángulo c y tiene una longitud J. Si la partícula parte del reposo en la parte superior del plano inclinado, ¿cuál será su rapidez en la parte inferior del plano suponiendo que la ¡esistencia del aire es ru, donde u es Ia rapidez instantánea y ( es constante?

A

Fig.3-29

Suponer que en el problema 3.23 Ia partícula P tiene una rapidez inicial us en Ia parte superior del círculo (o esfera). (o) probar que si u¡ S \/Vl el ángulo r1ra¡a que la particula se separc del circulo se da por

sen-t (fi

+ o|llgb).

(ó) Discutir que pasa si ue

)

Vgb.

g,gg.

mar' Un cañón está situado en la parte superior de un risco con vista al mar, de altu¡a Il sobre el nivel del que y pegar un barto a proyectil un para disparar del cañón de salida ¿Cuál debe ser la meno¡ velocidad está a una distancia D del pie del risco?

g.g4.

y (b) ¿cu¡í'l es la velociEn el problema 3.83: (o) i,cuánto tiempo gasta el proyectil antes de pegar al barco?, dad del proyectil al golpear el barco?

cAP.

3.E5.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

3l

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

83

Una cadena uniforme de longitud total a tiene una posi-

ción

0< ó < a

yestápendiendoporetextremode

una mesa sin rozamiento AB (figura B-30). probar que si la cadena parte del rcposo, el tiempo que gasta para desliza¡se totalmente sobrB la mesa es

,/"tg l" (a + t/az - V)tt 3.E6.

Si la mesa del problema 3.85 tiene un coeficiente de rozamiento p probar que el tiempo gastado es

a" f" + /', -lt(l+ /,) - ,/,f l !A+rf ''16¡

3.E7. un peso I7, cuelga

de un lado de una polea fija de masa despreciable (figura 3-31). Un hombre de peso IV2 asciende por sí mismo de mane_ ¡a que su aceleración relativa a la polea ñja es a. probar que el peso W, se mueve hacia ar¡iba con una aceleración dada por

Íc(Wz-W) 3.88.

W2a)/W1

Dos micos de igual cuerda que pasa po co comienza a trep tras que el otro per

wt

el movimiento del segundo mico. Xesp.

3.89.

Fig.8-31

segundo mico se mueve hacia

arriba a ¡azón de 1 pie,/seg

Probar que la partícula del problema 3.23 llegará a una distancia dada por

la

3'90.

El

base de

la

esfera.

(4!ffi'+

¡^9:y'-;)b/EL de

Probar que si el rozamiento es desprrciable, el tiempo que tanda una partícula para deslizarse cualquier cuerda de un círculo vertical, partiendo del reposo, en la parte superior del cfirulo es el rnismo que si no tuviéramos en cuenta la cue¡da.

3.9f.

Dada la línea AB de la figura 3-32 y el punto p, donde

.P

AB y P están en el mismo plano vertical. Hallar un punto Q sobre AB tal que una partícula que parta del punto P llegue a Q en el menor tiempo posible. (Sugerencia. Use al problema 8.90.)

3.92.

3.93.

Resolver el problema 3.91 si la línea AB se remplaza por una curva plana. ¿Puede hace¡se esto para una curva en el espacio? Explicar.

B

e A Fig.3-32

Hallar el trabajo realizado al mover la masa desde la parte superior del plano hasta su parte inferior en el problema 3.18. 8esp. mgl(sen a ¡ cos c)

-

3.94.

La fuerza magnética, que obra sobre una partícula que tiene carga eléctrica g y que se mueve en un campo magnético de intensidad B, es F : q(v x B) donde v es la velocidad instantánea. Probar que si la partícula tiene una rapidez inicial u6 en un plano perpendicular al campo magnético B de intensidad constante y uniforme, entonces: (o) se moverá con rapidez constante uo, y (ó) describirá una trayectoria circula¡ de ¡adio mus/qB. Suponer que la fuerza gravitacional es despreciable.

3.95.

Probar qtrc el período, esto es, el tiempo para una revolución completa, de la partícula del problema es independiente de la rapidez de la partícula y hallar su valor.. Resp.2tm,/qB

3.96.

Hacer el problema 3.94 si B es constante y uniforme pero Ia partícula tiene una rapidez uo en un plano que no necesariamente es perpendicular al campo magnético. ¿Podemos defini¡ en est€ caso un período? Explicar.

B.9r4

CAIDA DE CUERPOS Y

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

84

3.9?.

PROYECTILES [CAP. 3

Si una partícula de carga eléct¡ica g y masa rn se mueve con una velocidad v en un campo electromagnético que tiene una intensidad eléct¡ica E e intensidad magnética B, la fue¡za que actúa sobre ella, llamada fuerza de Lorentz, se da por

F = g(E*vxB) Suponer que B y E son constantes y están en la dirección negativa del eje y y positiva del eje z, respectivamente. Probar que si la partícula parte del reposo en el origen, describirá una cicloide en el plano yz cuya ecuación es z = b(I -cosa) a = bte -send), : : qBt/m, b mE/qB2 y ú es el tiempo. donde ú

3.98.

(o) Un astronauta de 80 kg de peso en la Tierra despega verticalmente en una nave espacial y alcanza una rapidez de 2000 km,/h en 2 minutos. Suponiendo que la aceleración es constante, ¿cuál es su peso aparente durante este tiempo? (b) Hacer la parte (o) si el astronauta tiene 180 libras de peso en la Tierra y Ia nave espacial alcanza una rapidez de 1280 mi,/h en 2 minutos. Resp. (a) 11? kg de peso, (b) 268 libras peso

3.99.

En el problema 3.82, ¿cuán lejos de la base de la esfe¡a caerá la partícula?

3. f

, el cual está colocado sobre un plano horizontal' El coeIV2 y el plano es ¡r. Suponer que se aplica sobre W, una fuerza F inclinada un ángulo c con la horizontal. Probar que si cota 2 ,¡r ) ,¡2, entonces una condición necesaria y suficiente para que W2 se mueva con relación al plano mientras que W¡ no se mueva con respecto a W2 es

OO. En la figura

3-33 el peso W¡ está sobre el peso

lV2

ficiente de rozamiento entre Wt ! Wz es tr, y entre

p2(W1* COS

W2))

a - /r2 sen a


PtW t

cosa - P¡ sena

Fig.3-33

3.fOl.

Discuti¡ los resultados en el problema 3.100 si alguna de las condiciones no

3.1O2. Dar

3,103.

se satisface.

una generalización del problema 3.100'

Describir el movimiento de la partícula del problema 3.9? si E y B son constantes y tienen la misma di' recci ón.

3.fO4. Una cuenta de masa m está localizada

sobre un alambre de forma parabólica, como se indica en la figura 3-34, y cuya ecuación

es cz : ¡2. Si el coeficiente de rozamiento es p, determinar la máxima distancia al eje r pa¡a que la partícula esté en equilib¡io. Resp. i *2 c 3.104 si la forma parabólica se remplaza por una circunferencia de radio b, la cual es tangente al eje r.

3.1O5. Hacer el problema g.106.

Un peso W se suspende de 3 cuerdas iguales de longitud J, las cuales se fijan a los 3 vértices de un triángulo equilátero horizontal de lado s. Hallar la tensión en las cuerdas.

R"'p. WIltf6l2 B,lO7.

Fig.3-31

-

3s2

Hace¡ el problema 3.106 si hay n cuerdas iguales fijas a los n vértices de un polígono regular de n lados'

cAP. 3l

3.f08.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

Una cuerda pasa sobre la polea fija A de la figura 3-SS. De uno de los extr€moe de la cue¡da se cuelga una masa Mr. Del ot¡o extre_ mo se cuelga otra polea de masa M, sobre la cual paaa otra cuer_ da con masas ¡nl y no, sujetas a sus ext¡emos. Demostrar que la aceleración de la masa m1 se da por SmzMz

-

mrMt

-

¡ntMz

(m1@s

3.f0g.

mzJltlt

-

4mtm2

_

?-. 77(f + send) ". --

Fig. 3-36

Un automóvil de peso W sube por un plano inclingdo un ángulo o, impulsado por un motor que tiene una potencia instantánea constante ?. Suponiendo que la resistencia al movimienio por unidad de peso es ru, donde u es la rapidez instantánea y r una constante, prcba¡ que la máxima rapidez posible sobre el plano

inclinado es

3'lll.

-

Un automóvil de peso Wcon un motor que tiene potencia instantá_ nea constante do un ángulo c. Suponiendo que la unidad de peso son r, probar que la mantener subiendo el

Plano inclina¿o

3'rlo'

g@]ffiq

- W aena)l\rW.

Unacadenacuelgasobreunapolealiviana,conunalongitudadeunladoybdelotro,donde Probar que el tiempo necesario para que la cadena se desiice totalmente sob¡e la polea es

3'l12'

85

0

1

b

I

a.

Probar que una cuenta P colocada en cualquier punto de un alambre sin rozamiento (figura 8-86) que tiene

la forma de una cicloide

r =

b(0

*senA), y = b(]--cos¿)

sobrc un plano vertical llegará al punto más bajo en un tiempo que es independiente del punto de partida determinarlo. Resp. *ffg

y

Fig.3-36

Copítulo 4 Oscilodor ormónico simple y péndulo simple OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Uno de los extremos de un resorte de masa despreciable y longitud natural I se fija al punto E, como se indica en la figura 4-1(a). En el

otro extremo del resorte se acopla una masa E m que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento, indicada en la figura por el eje r. Si nr se desplaza a lo largo del eje ¡ (figura 4-1(b) y se suelta, oscilará o vibrará alrededor de la posición de equilibrio O. Para determinar la ecuación de movimiento, nótese que en el tiempo en que el resorte tiene longitud I * ¡ (figura 4-1(b)) hav una E fuerza que trata de llevar a tn a la posición de (D) equilibrio. De acuerdo con la ley de Hooke, esta fuerza, llamada fuerza restauradora, es proFig.4-l porcional a la deformación r y está dada por (r) Fn = -^ci donde el subíndice R indica "fuerza restauradora", r es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte, constante elóstica, factor de rigidez o módulo de elasticidad ley de Newe i es un vector unitario en la dirección positiva de ¡. De acuerdo con la segunda ton. tenemos

o rn:;*xíÍ =

(21

O

Este sistema en vibración se llama oscilador armónico simple u oscilad'or annónico lineaL Este tipo de movimiento se llama mouimiento arrnónico simple.

AMPLITUD, PERIODO Y FRECUENCIA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Si resolvemos la ecuación diferencial (2) con las condiciones

iniciales x

:

A y dx/dt

:

o,

enf:0,encontramos

r = Acosrt donde , - l/*/m (Para el caso en elcual A : 20, m : 2 y K : 8, véase elproblema 4.1.) : Yaque cosúrü varía entre -1y *1, la masa oscilaráentre ¡ : - A y x n 4-2 se muestra una gráfica de r en función de ú' 86

(3)

A. En

la figu-

cAP.

4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

87

T A

1

Fig.4-2

La amplitud del movimiento es la distancia A que es la máxima al punto de equilibrio. El período del movimiento es el tiempo necesario para efectuar una oscilación o vibración (algunas veces se le da el nombre de un ciclo) o sea el tiempo en ir desde : x A hasta x - -A y regresar nuevamente a x -- A. Si pdenota el peúodo, entonces

P : Ztl, = Zr\htl/. La frecuencio del movimiento, se denota por , es f pletos por unidad de tiempo

.1,¿117 J=P=

e-l

(4)

número de oscilaciones o ciclos com-

ú = ,;rrl *

(5)

En el caso general, la solución de (2) es n = A cosrú f Bsen,,rü donde ú) : (6) donde A y B se determinan de las condiciones iniciales. como se verá en el problema 4.2, la ecuación (6) puede escribirse en la forma (7) r =, C cos(.ú-p) donde , -- \/*hn y donde (8) C = {F¡@ y + = tan -t (B/A)

\frln

La amplitud en este caso es C en tanto que el peíodo y la frecuencia son los mismos que en las ecu¿ciones @) y (5); por consiguiente, no son afectados por un cambio de las condiciones iniciales' El ángulo ó se llama ánguro de fase o fase, escofiendo 0 < < ¡-. si : (z)

d

convierte en (3).

ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Si ?eslaenergíacinética, Vlaenergíapotencial y E: T lador armónico simple, tenemos

v

+

T-$moz, V-4*rz E - f,maz*l¡xn2

d

0,

se

V laenergíatotaldelosci(e) (101

Véase el problema 4.1?.

OSCILADOR ARMONICO AMORTIGUADO En la práctica, varias fuerzas pueden actua¡ sobre un oscilador armónico, las cuales tienden a reducir la magnitud de las oscilaciones sucesivas alrededor de la posición de equilibrio. A estas fuerzas se les da el nombre d,e fuerzas amortiguadoras. Una fuerza amortiguadora útil es aquella que es proporcionar a la verocidad y esrááad; por

FD = - Bv

= -Faí = -B#,

(111

lcAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

88

4

donde el subíndice D indica "fuerza amortiguadora" y 0 es una constante positiva llamada coeficiente de amortiguamíento. Nótese que F¿ y v tienen direcciones opuestas. Si además de la fuerza restauradora tenemos en cuenta la fuerza amortiguadora (ll), la ecuación de movimiento del oscilador armónico, la llamaremos ahora ecuación del oscilador amortiguado, y está dada Por

dzr ^dn ^d* o 1nffi+Fffi+* =o *#d,2x= -.*-|ffi ^

la cual se obtiene aplicando la segunda ley de Newton. Dividiendo por m y llamando B/m = 27, xfrn = ,2 puede escribirse

'i+zy&*,2n = o

{12)

(I3) Q4)

donde los puntos indican, como es corriente, la derivada con respecto a

ü.

MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO, CRITICAMENTE AMORTIGUADO Y BAJOAMORTIGUADO En la solución de la ecuaciín Qa) se obtienen tres casos

Caso 7, Movimiento sobreamortiguado,

12

En este caso (I4) tiene la solución general

ay

¿-tt(Aeo¿

Ay B son constantes arbitrarias

Caso

+

)

",

i'e'

Ft

)

xrrl

Be-"t\ donde a -- Vq--l;

u5)

que se determinan con las condiciones iniciales.

2, Movimiento críticamente amortiguado,

y2

: '2, i'e' Ét :

4xm

En este caso (/4) tiene Ia solución general

, _

AyB

se

,_tt(A -l Bt\

(/6)

determinan de las condiciones iniciales.

caso 3, Movimiento oscilatorio amortiguado o bajoamortiguado, y2 1,u2, i.e' ll' 14ltm En este caso (14) tiene la solución general * - "-tt(Asen,\,ú * B coslú) - Ce-tt cos(,r,ú-4) donrle

y donde c : vF-T-$,

¡ = 1/P1

Q7)

llamada amplitud Y Ó, el ángulo de f ase, se determinan de las condiciones iniciales. Molimiento En los casos 1 y 2 el amortiguamiento es criticamente amtrrtiguado. 7'= o¡ tan grande que no hay oscilación y la masa /n Movimiento regresa simplemente a la posición de equilibrio ¡ : 0. En la figura 4-3 se ilustra lo anterior xe suponiendo las condiciones iniciales ¡ y dx/dt : O. Nótese que en el caso críticamente amortiguado la masa rn regresa a la posición de equilibrio más rápidamente que en el caso sobreamorüiguado. Movimiento bajoamortiguado, En el caso 3, el amortiguamiento se reduce Fig.4-3 a tal grado que hay oscilaciones alrededor del

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

89

punto de equilibrio, aunque la magnitud de esas oscilaciones decrece con el tiempo, como se muestra en la figura 4-3. La diferencia de tiempo entre dos máximos (o mínimos) sucesivos en el movimiento bajoamortiguado (u oscilatorio amortiguado) de la figura 4-3 se llama período del movimiento y está dado por

P=2-'¡=L= n

(18)

{r'-'r'

y la frecuencia, que es el inverso del peúodo, está.dada por

f=i

=

+=q==y \MP 4tlT¿

(1el

Obsérvese que si A : 0, (IS) y (I9) se reducen a (4) (5), respectivamente. El período y la frecuencia correspondientes a p : O se llaman período natural y frecuencia natural, respectivamente.

El período P dado por la ecuación (I8) es también igual a la diferencia entre dos valores sucesivosdeüparaloscuales cos(trt - ó):1 (ocos(It -ó) - -1)comoseindicaenla ecuación (17). Supongamos que los valores de r correspondientes a los valores sucesivos ún

V t¡+t

: t" i P son xn V frr+1 respectivamente.

Entonces,

ünffin+t - A-rt"/e-tQ^+P) -

La cantidad

8

=

ln (r"/rn+r)

=

evP

Q0)

(21)

yP

la cual es constante y recibe el nombre de decrecitniento logarítmico.

OSCILACIONES FORZADAS Supongamos que además de la fuerza restauradora -Éui aplicamos a la masa rn una fuerza F(¿)i donde

- r¡i y la fuerza amortiguadora (22)

F(t) = f'o cos aú

La ecuación diferencial del movimiento

es

*# = -xn-p#*Focosaü t

o

donde

+ zyi

I = F/2m,

* ,zr = .fo cos oú .2 = ¡alTL, f o=

Fo/m

(23)

(%) (%)

La solución general de Qa) se determina sumando la solución general de

'i+Zyi*,2ü = O

(26)

(la cual ya se ha determinado y está dada por (15), (16) o (17)) a cualquier solución particuIar de (24). una solución particular de ee está dada por (véase el problema 4.1g)

x = J--cos(af-ó) r2)2 + 4y2o2

(27)

{("'-

donde

tan4

=

h

0<6Szr

(28)

Como hemos visto, la solución general d,e (26) tiende a cero en un tiempo corto, por lo cual llamamos a esta solución, solución transitoria. Después de que ha trascurrido este tiempo, el movimiento de la masa m estádado esencialmente por (27),la cual se llama solución de estado estable. Las oscilaciones, llamadas oscilacíones forzadas, ocurren con una fre-

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

90

tcAP.4

cuencia igual a la frecuencia de la fuerza aplicada pero atrasadas un ángulo d con respecto a la fuerza.

RESONANCIA La amplitud de las oscilaciones de estado estable (27) es

er4 =

l/@'-.2)2 *

Qg) 4y2a2

suponiendo .y I 0, i.e. 0.1 0 para que haya amorbiguamiento. El máximo valor deczl tiene lugar en este caso cuando la frecuencia o/2n de la fuerza aplicada es tal que @0) o2 = o'*= 12-2.12 suponiendo que 72 < i.' (véase el problema 4.19). En Ia proximidad de esta frecuencia pueden producirse oscilaciones de gran amplitud, las cuales en ciertos casos causan daños al sistema. El fenómeno se llama resonancia y Ia frecuencia an/2n se llama frecuencíaderesonancia o frecuencia resonante.

El valor

de

la máxima amplitud para la frecuencia resonante

cA^* = La amplitud (29) puede escribirse

t ,0 t'-6'-----= ^ZyVo' - .l'

a¡ Í,

en términos de

e/4 =

es

(31)

como {32)

Una gráfica de eA en función de o2 se muestra en la figura 4-4. Nótese que la gráfica es simétrica con respecto a la frecuencia resonante y que la frecuencia resonante, la frecuencia con amortiguamiento y la frecuencia natural (sin amortiguamiento) son diferentes. En el caso de no haber amortiguamiento, esto es, T : 0 o I : 0, todas las frecuencias son iguales. En esta forma la resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza aplicada es igual a la frecuencia natural de oscilación. La solución general es entonces

t = Acos.ú*Bseno,ú +f{""n,t

(33)

Del último término de (33) vemos que las oscilaciones van creciendo con el tiempo hasta que finalmente se rompe el resorte. (Véase el problema 4.20.) Frecuencia de resonancia Frecuencia con amortiguamiento

Frecuencia natural (s¡n amortiguamientol

@2-f2 a2P

= tz-2''z

a2

Fig.4-4

PENDU LO SIMPLE El péndulo simple consiste en una masa m (figura 4-5) suspendida del extremo de una cuerda o varilla de masa despreciable, de longitud I (la cual permanece siempre tensa, es de-

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

cir, rígida). Si la masa rn, llamada algunas vecespéndulo, se desplaza y luego se suelta, resultará un movimiento oscilatorio. Llamando d el ángulo instantáneo que forma la cuerda con la vertical, la ecuación diferencial de movimiento es (véase el problema 4.28)

d2e o W = -isená

@)

la cual supone que no hay fuerzas amortiguadas o fuerzas externas. Para ángulos pequeños (por ejemplo menores de 5" con la vertical), sen d es aproximadamente igual a d, donde d está en radianes; la ecuación (J4), con un-alto grado de aproximación, se puede escribir como

gn

d20

-7v

w

(35)

Esta ecuación tiene la solución general

o - Acoslsnt *

Bsent6|lt

(36)

donde A y B se determinan de las condiciones iniciales. por ejemplo, ü : 0, tenemos

0

=

0o cos

si d :

0o,á:0en

t6/I t

(37)

En este caso, el movimiento del péndulo es un movimiento armónico simple. El período está dado por

P = 2n\/TIi

y la frecuencia por

f

=

"l

=

{nn

(se)

Si los ángulos no son pequeños, podemos demostrar (véanse los problemas 4.29 y a.Bg) que el período es igual a

p=

nrFoÍ,",,#

ITr . (})'r,*(#+)'r,.*(#:+)'*.* /r\ = ,"1*{r donde á :

sen

...}

(0o/2). Para ángulos pequeños, esta ecuación se ¡educe a

@0)

(3g).

Para el caso en que se tengan en cuenta fuerzas externas y de amortiguamiento, véanse los problemas 4.25 y 4.114.

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES Supongamos que una partícula de masa m se mue_ ve en el plano ry bajo la influencia de un campo de fuerza F que está dado por

donde Kt

F = -xrÍi - *rUi y xz son constantes positivas.

@I)

En este caso las ecuaciones de movimiento de rn están dadas por ... d2t d2u ftlp = -xrür mfip = -^zU

y sus soluciones por fr = ArcosliJrn

(42) Fig.4-6

t+

Brsent/iJm

t,

:

+

t

Azcos 1/^"/m t B2sent/*r/m @J) donde Ar, Br, Az, Bz son constantes que se determinan de las condiciones iniciales. La masa m sometida al campo de fuerza @1) a menudo se llama oscilad,or armónico bidimensional.

U

[cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

92

4

Las diferentes curvas que describe m en su movimiento se llaman curuas o figuras de l,issajous.

Estas ideas se pueden extender fácilmente a un oscilador armónico tridimensional de masa m sometido a un campo de fuerza dado por

F = -xrfi-*rUi-xrzk

(44)

donde Kr, x2, K3 son constantes positivas.

Problemas resueltos MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPLD

4.1.

Una partícula P de 2 unidades de masa se mueve a lo largo del eje ¡ atraída hacia el origen O por una fuerza cuya magnitud es 8¡ (figura 4-?). Si inicialmente se encuentra en reposo eu r : 20, determinar: (a) la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que describen el movimiento, (b) la posición de la partícula en cualquier instante, (c) la rapidez y velocidad de la partícula en

-8rt

cualquier instante, y (d) la amplitud, el período y la frecuencia de la oscilación. (a) Sea r : ¡i el vector de posición de P. La aceleración *2 l|2¿ que actúa de P es futril = ffii. La fuerza neta sobre P es -8¡i. Por la segunda ley de Newton,

zffii = -ari

=o

ffi*n

o

I I

Fig.l-7

(r)

la cual es la ecuación de movimiento. Las condiciones iniciales son

n--20i dr/d't=0 en ú=0 (b) La solución general de (l) Cuando

ü:0,

¡:20

es

asíque

(2)

r -- Acos2t*B*¡2t A - 20. Por tanto r =

20 cos2t

*

(3)

(4)

B sen 2ú

d.r/d.t = -40 sen 2t 4 28 cos?t Entonces como en t : 0, dx/dt : 0 encont¡amos que I : 0' Entonces (3) se convierte en r = 20 cos2t

(5)

(6)

que da Ia posición en cualquier tiempo. (c

4.2.

)

De (6\

dr/dt : -

40 sen

2t

que es la rapidez en cualquier tiempo. La velocidad será

ils. fr1 =

:2r/2:

sen 2ú

i

r. Frecuencia: /peiodo:

(d)

Amplitud:

(o)

Demostrar que la función A cos

20. Peíodo

-40

<.¡ü

*

B sen

<^rú

L/*.

puede escribirse como C cos

(
-

@),

donde C: {F-+-P y ó : tan-r (B/A). (b) Determinarla amplitud, elperíodo y la frecuencia de la función en (o).

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

(a) A

*

93

= ,/F¡W(-J-

cosoú * -Jse.rü\ \vá2 + 82 {A2 + 82 l cosort *sen f senr.rú) = {FBkosp = lF+E¡ cos (<,rú - p) = C cos (
4.3,

cosr¡ú

Bseno¡ú

Hacer el problema 4.1 si P está inicialmente en r : 20, pero en movimiento: (a) hacia la derecha con rapidez de 30, (b) hacia la izquierda cón rapidez de 30. Determinar la amplitud, el período y la frecuencia en cada caso.

(c) La única diferencia es que la condición dx/dt 0 en ú : 0 del problema 4.1 se remplaza por dx/dt : 30 en t : 0. De la ecuación (5) del p¡oblema 4.1, hallamos B : lb; por tanto, la ecua_ ción (3) del problema 4.1

se

convierte en

ü =

20 cos2t

*

15 sen2ú

u)

que da la posición de P en cualquier tiempo. También puede escribirse (véase el problema 4.2) como

t = \reO4llBt {-#cos2t LV(zo)' + (16)2 =

26{$

cos

2t + g

donde El ángulo

sen

2ú} =

cosp

26

i+ *nzr} 1/1zs¡z + (16\2 )

cos

(2t

-

q)

= $, senÉ = t

tZl

puede determina¡se de la ecuación (2). Este ángulo se llama óngulo de fase. Ya que el coseno vaía entre - 1 y * 1, la amplitud : 25. El período y la frecuencia tienen los @

mismos valores anteriores, período

(b)

: 2r/2: , y f¡€cuencia?./2¡ :

i-/r,

:0 en ú : 0 del problema 4.1 se remplazapor dx/dt: -80 : - lb y la posición será t = 2O cos2t - 15 sen2ú

En este caso, la condición dr/dt

f:

0. Entonces B

en

la cual, como en la parte (¿), puede escribirse como

donde

r = 2b(f cos 2t - ! sen2tl = 25{cos,y' cos 2ú a ss¡ g een2t) = cos/ = f, sen 4 = -*.

25

cos

(2t

-

,¡,)

La amplitud, el período y la frccuencia tienen los mismos valores que en la parte (a). La única diferencia está en el ángulo de fase. La relación entrc ú y ó es : ó l t, lo cual se describe diciendo ', que los dos movimientos están desfasados lg0' entre sí.

4.4.

Un resorte de masa despreciable al suspenderse verticalmente de uno de sus extremos se alarga una longitud de 20 cm cuando una masa de 5 g se suspende de su extremo libre. El resorte y la masa se colocan sobre una mesa horizontal sin rozamiento, como en la figura 4'7(a), con el extremo de suspensión fijo ahora al punto E. La masa se desplaza una distancia de 20 cm con respecto al punto de equilibrio O y se suelta. Determinar: (o) la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que describen el movimiento, (ó) la posición en el tiempo ü, y (c) la amplitud, el peíodo y la frecuencia de la oscilación.

(o)

La fuerza gravitacional sobre una masa de 5 g (peso de 5 g masa) es bg : 5(9g0) dinas : 4900 dinas. Lae 4900 dinas alargan el resorte 20 cm; por tanto, la constante del resorte es ¡ : 4nO/20 : 245 dinas,/cm. Ahora, cuando el resorte se alarga 20 cm más allá de su posición de equilibrio, Ia fuerza

restau¡adoraes-245¡i.PorlasegundaleydeNewton,si

r: ¡i

eselvectordeposicióndelamasa,

6W = -245üi . ffi+ 4er = Las condiciones iniciales

(ó) (c)

De

¡:

1/2*

(2)

r = A cos?t * B senTü (2), encont¡anos A : fr, B : 0 asíque x : es

20cos ?ú vemosque: amplitud

:

4

(r)

o

son r = 20, d.r/dt : 0 en t = 0

La solución general de (I) Usandolacondición

4.6.

lcAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

94

(3)

20 cosTt

20cm; período : 2r/7 seg; frecuencia:7/2* viblseg

o

ciclos/seg.

Una partícula de masa rn se mueve a lo largo del eje r, atraída hacia un punto fijo O por una fuerza que actúa sobre ella, la cual es propo¡cional a la distancia a O. Inicialmente la partícula está a una distancia re de O y se le imprime una velocidad u6 dirigida hacia O. Determinar: (a) la posición en cualquier tiempo, (b) la velocidad en cualquier tiempo, y (c) la amplitud, el peúodo, la frecuencia y la máxima rapidez.

(c)

La fuerza de atracción hacia O es - ¡¡i donde r ee una constante positiva de proporcionalidad. Por la segunda ley de Newton,

üx'

m¿Pr = -¡cri Resolviendo

(1

o ?i+g=o rL

(t)

), encontramos

tr, = Acos{-*/rnt*8snlxlmt

(2)

También tenemos las condiciones iniciales

Fig.4-8

(3) ,=ro, dr/d.t=ao en t=0 De ¡ : ,o €n ú : 0 determinamos, usando (2), que A: xo. Entonces tr = *o"o"fiiñt * Bsenr/¿*t ilrldt = -ro ,,/ */m *n t/ .l^ t + B \Ftm cos \/ */rn t así que

De

dr/dt:

uo €n ú

: 0 determinamos, tr =

,o

"os

usando (5), que

t/*/* t +

,tot/n¿/*

B : uolm/x.

(4) (5)

Así (4) se convierte en (6)

""nr/*/*t

De acuerdo con el problema 4.2 podemos escribir

tr = \4T ^W

-

(7)

ol

(8)

Usando (61 o (7), la velocidad se¡ó

v = frt

=

(-rot/ */m nntf */* t *

-\l;n{4T *rT

= (c)

*lñ.t

e = tan-r (ao/ro\ l/trilx

donde

(b)

cos (tf

De (7), la amplitud

""

,@+

tt¡

"o,

,f-*/*'t) i

sen(\/-*lmt

gen({-*lmt

-

Ol

-

ol i

i

(e)

^ozoh'

: 2*Fr/m. La frecr¡encia es / : l/P : z¡ffi' De (9), la rapidez es máxima cuando sen 1ffi t - ü : + 1; la rapidez {l-o'¡*r3/*.

De (7), el período es P

""

4.6.

Un objeto de 20 kg de masa se mueve con movimiento armónico simple sobre el eje x. Inicialmente (¿ : 0) está localizado a una distancia de 4 metros del origen' ¡ : 0 y tiene una velocidad de 15 m/seg y una aceleración de 100 m/seg2 dirigida hacia

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

r : 0. Determinar: (a) la posición y la frecuencia de la oscilación,

(a)

Si

¡ denota

95

en cualquier tiempo, (ó) la amplitud, el peíodo

y (c) la fuerza sobre el objeto cuand; t : ohó seg.

la posición del objeto en el tiempo ü, entonces las condiciones iniciales son

5=

4,

de/d,t

- -16,

d2r/d,t2

= -100 en ú =

u)

0

Para el movimiento armónico simple,

ü = Acosoú *

Bsenoú

Dife¡enciar¡do, encontramos

d,r/dt = -áosen oú * dze/¡lt2 = -.4o2 cog o:t -

(2)

Bo cosoú

(3)

(l)

BoP senot

Usardo las condiciones (I) en (2), (3) V (4), encontramos 4 : A, viendo simultáneamente, determinamos A: 4, o : 5, B:

I =

que puede escribi¡se

r =

6

4cos5ü

cos(6ü-g)

(b)

De (6) vemos que: amplitud

(c)

Magnituddelaaceleración=d2r/dtz Fuerza sobre el objeto

4.7.

- l5 : Bo, -g asíque

: :

-

: 2r/5

: -4o2.

Resol-

Ssen 6ú

(5)

donde cosp = *, r"o

5 m, peiodo

l1¡g

seg, frecuencia

É

= -g

: 5/2r

(6)

vib,/seg.

=-100co¡6ü*?6eer¡6ú =75mlsegz en t=¡110.

(masa)(aceleración)

:

(20 kg)(?S m/seg2)

:

lb00 newtons.

Un objeto de 20 libras de peso se suspende del extrcmo libre de un resorte vertical de masa despre_ ciable y lo alarga 6 pulgadas. (o) Determinar la posición del objeto en cualquier tiempo si inicialmente se prduce un alargamiento de 2 pulgadas y se suelta. (b) Determinar la amplitud, el período y la frecuencia del movimiento. (¿) D y E (figura 4-9) reprcsentan la posición del ert¡emo libre del resorte antes y después de suspender el objeto. La posición E es la posición de equilibrio del objeto.

Escojamos un sistema coordenado, como el que se indica en la figura 4-9, tal que el eje positivo z esté dirigido hacia abajo y tenga su origen en la posición de equi_ librio. Por la ley de Hooke, si 20 libras fuerza alargan el reI pie, entonces para alargar I pie se requieren 40 libras fuerza; por tanto, 40(0,5 + z) libras-peso producen un alargamiento de (0,5 * e). De lo anterior concluimos que cuando el objeto está en F, actuará sobre él una fuerza de magnitud 4()(0,5 * e) hacia arriba y una fuerza de magnitud 20 hacia abajo debida a su peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos

D---E

----

J-

sorte

F'----l

Hf:*. = zok - 4o(0,5 * z)k " #*

r--

-l

F L-- J Fig.l-9

642

=.0

Resolviendo, z =,4cos8ú*Bsengú En ¿ : 0, :* y dz,/dt: 0; entonce. A : t, g: 0 y "

(r)

(21

(ó) 4.8.

De (2): amplitud

: tpi",

período

: r,)r:

"j;""tr¡ecuencia : 4h

vib/ses.

Resolver el problema 4.7 si inicialmente el objeto se desplaza hacia abajo lugar de 2) y luego se le da una velocidad inicial d.e 2 plseg hacia abajá.

B

pul

(en

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO STMPLE

96

[cAP.

En egte caso la solución (I) del problema 4.? aún es válida pero las condicionee iniciales son: en dz/dt - 2. Dedondeencontramosque A: I y B- l, demodoque

ü

:

4

0,

z: I y

. = Así, la amplitvd

: {2/4pie,

y la frecuencis no

4.9.

1} cos

peúodo

8ú

* |

sen

8ü =

{214

"o"

(8t

- ¡l4l

: 2¡/8 - */4 geg, fiecuencia : 4/¡ vib/¿eg.

Nótese que el peúodo

se afectan con el cambio de condicione¡ iniciales.

Una partícula se mueve con una frecuencia angular uniforme <,r alrededor d'e un círculo de radio b. Demostrar que su proyección sobre un diámetro oscila con movimiento armónico simple de período 2r/,'t abededor del centro. Eacojamos el círcr¡lo en el plano ¡y con su cent¡o en el origen como se indica en Ia figura 4'10. Sea Q la proyección de la partícula P pobre el diámet¡o AB a lo largo del eje r. Si la partícula está inicialmente en B, en el tiempo rotado un Ángulo BOP : 0 - oti por tanto, en el tiempo sición de P se¡á

¿

habrá

ú

la po-

r = bcosúrúi*üsenoúi

La proyección Q de P sobre el eje

r

(I)

es una distancia

r.i = r = bcoatrt

Q)

desde O en cualquier tiempo. De la ecuación (2) vemos que la pro-

yección Q oscila con novimiento ar¡rónico simple de período 2¡/o al¡ededo¡ del cent¡o.

Fis.4-10

OSCILADOR ARMONICO AMORTIGUADO 4.1O. Supongamos que en el problema 4.1, sobre la partícula P hay también una fuerza amortiguadora cuya magnitud es numéricamente 8 veces la rapidez instantánea. Determinar: (a) la posición, y (b) la velocidad de la partícula en cualquier tiempo. (c) Ilustrar gráfican¡ente la posición de la partícula en función del tiempo t.

(o)

En este caso la fuerza neta que actúa gobre P es (ñgura 4-11) -8ci - 8ffi. Por la segunda lev de Newton,

,

,#, = -8¡i - r#, #+aff+u =0

La solución es (véage el problema C.14 del apéndice)

ü = a_2t(A+Bt) Cuando t-0, r- my dx/dt:0;

entonces A

ción en cualquier tiempo.

(b)

:

20,

B:

40,

! , :

2oe-zt (1 + 2t) da la posi-

r

La velocidad está dada por

ilr. "=ái--$Ql¿-2ti (c) La gráfica de ¡ en función de t se indica

en la fi-

gura 4-12. Observamog que no es un movimiento oscilatorio. La partícula se aproxima lentamente a O pero nunca llega. Este es un ejemplo de movimiento c íticd mente amortiguado.

4.1f

.

Una partícula de masa 5 g se mueve a lo largo del eje r bajo la influencia de dos fuerzas: (i) una fuerza de atracción hacia el origen O la cual está dada en dinas y es numéricamente 40 veces la distancia instantáneA a O, y (ii) una fuerza amortiguadora proporcional a la rapidez instantánea, tal que cuando la rapidez es de 10 cm/seg la fuerza amortiguadora es de 200 dinas. Suponiendo que la partícula parte del reposo

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

97

a una distancia de 20 cm de O: (a) establecer la ecuación diferencial y las condicio(b) determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo, (c) determinar la amplitud, el período y la frecuencia de la oscilación amortiguada, y (d) representar gráficamente el movimiento. (a) Denotamos el vector de posición de la partícula P por r : ¡i, como se muest¡a en la figura 4_13. La fuerza de at¡acción (dirigida hacia O) es nes que describen el movimiento,

(r)

-40xi La magnitud de la fuerza amortiguadora

/

es pro_

porrional a la rapidez; así que f : g dt/dt. don_ de É es constante. Luego, si Í - M cuando

dx,/dt:10,

entonces F :20 y f : Ndx/dt. nótese que cuando dx/dt > O y Fig.1-r3 r ) 0, la partícula está sob¡e el eje positivo y moviéndose hacia la derecha. por tanto, la fuerza de resistencia debe estar dirigida hacia la izquierda. Esto sólo puede cumplirse si

Para hallar

f,

f - -zoffi Esfácilmost¡arquelamismaformadef dr,/dt < 0 (véase el problema 4.,15). Por la segunda ley de Newton

esco¡r€ctasi

r)

e)

0, dr/dt < 0,

r(

0,

dt/dt>

u#, = -zofri- 4oni ffi+tff+a, =

0,

¡ < 0,

(3)

o

(4)

Como la partícula parte del reposo a 20 cm de O, tendremos

r = 20, dr/dt = 0

en ú=0

donde suponemos que la partícula parte del Iado positivo del eje partícula parte del lado negativo, en este caso ¡ : 20).

-

(b) x :

eot es una solución de (4) si a2

I4rr*8 = 0

La solución general Si

r

(5)

(habíamos podido sr.poner que la

¡ : N en t :

o

a = +(-4tlto-S2) = -Zt}i

es

, "-zt(A

* B sen2tl

(6)

A : 20, i.e., t - e-2t(20cos2t* Bsen2ú)

(7)

cos2t

0, encont¡amos de (6) que

Diferenciando obtenemos,

dr/dt = (e-2tx-40 se¡2t * 28 cos2t) * (-2e-zt)(20 cos 2t * B aen2tl Puesto que dx/dt : 0 en ú : 0, de (g) tenemos, B : 20, Entonces (Z) se convierte en a - 20e-2t(cos2t * sen 2ú) = 20t/2e-zt cos (2t - r/41

Usando el problema 4.2.

r

20fr cn

(s)

@)

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

lcAP.

4

(c)

De (9): amplitud

(d)

En la figura 4-14 se muestra la g¡áñca. Nótese que la amplitud de la oscilación decrece tendiendo

a

98

ce¡o cuando

4.12.

t

:2gt$"-zt

cm, peúodo

:2r/2:

¡

seg, frecuencia

: l/r

vib/seg.

crece.

Determinar el decrecimiento logaítmico en el problema 4.11. Método

l.

El máximo (c mínimo) de ¡ tiene lugar

cuando

dt/dt : 0.

De (9), en el problema 4.11,

drldt = -80e-2t sen2ú = 0 t : 0, r/2, r,3"/2,2r,5¡/2,. El máximo ocurre cuando t : 0, ¡,2¡, ; el mínimo ocurre t : r/2,3r,/2,5r/2, La ¡azón de dos máximos sucesivos ss ¿-z(oll¿-2G) s s-2(t)f¿-2(2nr, etc., i.e. e2-. Entonces el decrecimiento logarítmico es ó : ln (e2') : 2r.

cuando cuando

Método 2. De (9), en el problema 4.11, la diferencia entre dos valores sucesivos de ú, denotados po¡ para los cuales cos (2t - r/4) : 1 (ó -1) es ¡, que es el peíodo. Entonces

20{2 e-2'" = "'" ,*4, = lrBli;

3 = ln(tn/xn+t) =

Y

t¡ y

fn

+r

2o

Método 3. De (I3), (18) Y (21), tenemos

aTm 1\zrn )y,/n.'n -@ )

A = ^tP = /9\/ Puesto que

4.13.

m

: 5, I :

20,

r:

2"9

,ta*,

-

40 [Problema 4.11, ecuación @\1, 6

p,

:

2r.

Determinar el período natural y Ia frecuencia de la partícula del problema 4.11. El peúodo natural es aquel en que no hay amortiguamiento. En tal caso el movimiento está dado por las ecuaciones (3) o (a), de las cuales se ha quitado el término dx/dt, del problema 4.11. Entonces

o tr = Acos21/-2tIBsen2l/lt dzrliltz*8r=0 Así: peíodo natu¡al : 2r/2{Tseg: n/frseg; frecuencia natural - fr/" viblseg. 4.14. ¿Para qué intervalo de valores de la constante de amortiguamiento del problema 4.11 tendremos movimiento: (o) sobreamortiguado? (b) oscilatorio amortiguado? (c) críticamente amortiguado? Denotando la constante de amortiguamiento por É, la ecuación (3) del problema 4.11, queda como

- d2r. = ^ilr . 6 -FE'dtri

40fl

o

ilzx +, B dx , o^ü2 E ü-r ón =

u ^

Entonces, el movimiento es:

(o)

Sobreamortiguado si (É/5)z

(b)

Bajoamortiguado si (É/6)2 ( 32, i.e. B <20{r. (Nótese que este es el mismo caso del problema 4.11 donde P

(c)

) 32, i.e. B >

Críticamente amortiguado si (P/5)2

:

201f2.

32, o sea, A

:

--

20.)

201ft.

4.L6, Resolver el problema 4.7 teniendo en cuenta una fuerza externa de amortiguamiento Éu dada numéricamente en Iibras peso, donde u es la rapidez instantánea expresada en pies,/seg y: (o) 0 : 8, (b) tl : 10, (c) P -- I2,5. La ecuación de rnovimiento 20 d2"

añ¿Fk

=

20k

es

-40(0,5+z)k-

dz dzz 89 dz , pfik o fi+ !fi+

., aaz

=

0

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

(o) Si p :

99

I Mz :0. La solución es z - e-6,4t(A cos 4,8¿ * B sen 4,g¿) Usandolascondiciones z: l/6, dz/dt:0 en f:0, encontramos A: L/6, B:2/g demodoque 1Á z = ñe-6'1t(3 cos 4,8r * 4 sen 4,8t) = (4,8t _ 5g"8,) f6e-a,at cos El moviniento es osóilatorio amortiguado con peíodo 2n,/4,g : 5rh2 seg. 8, entonces d2z/dt2

(b) si p : r0, entonces

+

d2z/dt2

t2,gdz/dt

r

L6dz/dt

r Mz :0. La solución es z _ e_4t(a+Bt)

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos

A = +, B = *;entonces z = f¿-at F+

El movimiénto es críticamente amortigundo ya que cualquier decrecimiento en movimiento oscilato¡io.

(c)

Si É

:

l2,b entonces d2z/dt2

-l

* 642:0. La soluciónes 2 = l¿-4t+Be-r$t Aplicandolascondicionesiniciales,obtenemos A: l/6, B: -l/zl; El movimiento

es

sob

4t).

p producirá

Z\dz/dt

entonces

z= f¿-at-fie-nt.

reamortiguado.

ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE 4'16' (o) Demostrar que la fuerza F : - xri que actúa sobre un oscilador armónico simple es

conservativa. (ó) Determinar la energía potencial de un oscilador armónico simple.

ijk (o)

Tenemos

VXF =

O/As A/Ay

A/Az

-K,c 0 (ó)

| = 0

de modo que

F

El potencial está dado por Vdonde F

: _VV

o

-rcxi = -(Yr+{r+*r) dz / da\d, Entonces dv/Br=xx, ov/|y=0,|v/dz=0 delocual y:rxx2 cuando ¡:0, encontramos c:0 asíque V: |rr2.

4'17'

es conservativa.

0

*c.

suponiendo

v:0

Expresar en símbolos el principio de la conservación de la energía para un oscilador armónico simple. Empleando el prrblema 4.16(ó), tenemos energía cinética

o puesto que

lmtz u

* +

energía potencial

:

t*rt

=

ene¡gia total

E

: dx/dt, también puede escribirse como \m(dr/at¡z*

Ot¡o método' La

$xrz = E.

ecuación dife¡encial para el movimiento de un oscilador armónico simple es

tndzuldtz

= -K!Í : u, puede escribirse como da .. do ilr ^A = -*, o rn¿¿ú = -*r, obtenemos $tnoz * \xrz = E.

Ya que dx,/dt

Integrando,

ilo i.e. mafi - -xn

lcAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

r00

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA 4.18. Hallar la solución de estado estable (27) correspondiente La ecuación diferencial

Considerando una solución particular de la forma r = c1 cosaú

de la

2yac2

cual

I

r,r2c1) cos

aü

!

(-a2c2

/6

cosaú

(I)

c2

senaú

e)

*

donde c¡ y c2 deben determinarse. Sustituyendo (2) en

*

diferencial (24).

es

'i + zyi I o2r =

(-a2c1

a la ecuación

-

(I), hallamos 2yac1*

= l¡ * o2c, = 0

r.r2c2)

sencü

coa

at

* 2yac2* oPcl = f¡, -a2cz- 2yac1 (o,2-o2)q-2.¡ac2=-fo, 2yo.q*(a2-o2'¡cr=Q

-a2c1

o

4

(3)

V\

Resolviéndolas simultáneamente, encont¡amos

o2l

f oGz 4 = Éfufu'

c2

=

2f o'lo

(5)

Así, (2) se convierte en

tr=(6) Del problema 4.2,

* 2ya senat = frr@@ : 3 $ 3 r. De (7) en (6), encontramos @2), 0 21a/(a2 tan 6 (of

donde

-

azl cos

aú

tr'

4.19.

cos (aü

- p)

(7)

fo

= fficos(aü-P)

Demostrar que: (o) la amplitud en el problema 4.18 es un máximo cuando la frey (b) el valor de esta máxima amplitud es cuencia aplicada es c, : \FT,

fo/Q^Y\/7---V, Método

l.

La amplitud en el problema 4.18

es

f"h/@-cr'+

¿tu'

U)

que es un máximo cuando el denominador (o el denominador al cuad¡ado) es un mínimo. Pa¡a determi' na¡ este mínimo, esc¡ibimos (a2

-

62)2

*

4.¡2oz

- 2(o2 -2'y2)a2 i ota a4 - 2(of - t72)sz + (o2 - Zyz)z I (o2 fo,2 - 2^/2\\2 * 4yz(oP - rz¡

= = =

a4

01

-

kú2

-

2yz)z

cuando a2 : ¡'s2 - 212 eue es un mínimo cuando el primer término de la última línea se hace cero, esto es, en (I) se obtiene para dada la amplitud y el valor es entonces 4t2(,,r2 - r2). Así, el valor máximo de

¡o/1Z1Yr-72).

Método 2. La función (J : @2

-

t2)2

*

4t2a2 tiene un mínimo o un máximo cuando

f,ff

a(a2-@2+2f2) - 0 # = rbr-6212ü*872c = 0 o i.e, a = 0t a = t/F@ donde 72 ( fo2. Ahora bien, dzu/do2 = L2a2 - 4,,* * 8-12 For a = o, d2uldd2 = -4k;¿ - zfz) < O. Pa¡a o = 1fp--2y2, dztlld& = 8(úrP da el valor mínimo. tonces c : \@-ry

272\

>

0,

En-

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

101

4.20. (o) Obtener la solución (33), de la teoría del capítulo 4, para el caso en que no haya amortiguamiento y la frecuencia aplicada sea igual a la frecuencia natural. (b) Dar una interpretación física. (o) Elcasoporconsidera¡seobtienehaciendo 7:0 o g:0 y d: o enlasecuaciones(23) y (24) del capítulo 4. Entonces, debemos resolve¡ la ecuación 'ú

+ ,zr - /6 cos orú

(/)

Para encontrar la solución general de esta ecuación sumamos Ia solución general de

'iluzn =

o

(2)

a la solución particular de (I). Ahora, la solución general de (2) es

ü = Acosroú*Bsenú,ú Para encontrar la solución particular de forma

(l) no sería

tr =

c1 coS toú

(J)

conveniente suponer una solución particular de la

*

c2 sen


(4)

porque al sustituir (¿) (quo tiene idéntica forma a (3)) en el lado izquierdo de (l), podríamog obtener ce¡o. Porconsiguiente, debemos modifica¡la fo¡ma de la soluciónparticularsupuesta (4). Como se anota en el apéndice C, la solución particular tiene la forma

r =

t(ct cosoú

*

c2

senoü)

(5)

Pa¡a verificar que corresponde a la solución particular, diferenciamos (5) para obtener

& - t(- onlsen r¡ü * o¿2 cos oú) * (cr cos oú * c2 senr,rú) '¿ - t(-uzcrcosr¿ü- o2c2senoú) * 2(- oclsenoú*oo2cosoú)

(6) (Z)

Sustituyendo (5), (6) y (7) en (l), encontramoe, después de simplificar,

- zocr sen of * 2ocz cosoú = de donde cr : 0 y c2 : fo/zt. Así, la solución particular requerida (5) es x : (fo/2o)t sen of. L¿ ssl¡-

/e

cosorü

ción general de (I) es, por consiguiente,

r =

,4 cosr¿

*

Bsen oú

* (f¡/%,:)taenut (S)

(ó) Las constantes A y ¡l en (8) se determinan de las condiciones iniciales. A diferencia del caso con amortiguamiento, los té¡minos en los que intervienen A y I no se hacen pequeños con el tiempo. Sin embargo, el último término que involucra ü aumenta con el tiernpo en tal magnitud que el resorte finalmente puede romperse. La representación gráfica del último término que se muegtra en la figura 4-15 indica la forma en la cual la oscilación aumenta en magnitud.

Fig.4-15

4.21. Un resorte vertical tiene un factor de rigidez igual a B lb-fuerza por pie. En ¿ : 0 una fuerza expresada en lb-fuerza por F(ú) : 12 sen 4t, t > 0 se aplica a un cuerpo de 6 lb de fuerza en equilibrio que cuelga del extremo del resorte. bespreciando el amortiguamiento, encontrar la posición del peso para cualquier tiempo ü posterior. Empleando el método del problema 4.7, tenemos, por la segunda ley de Newton,

##= -Bz*r2*¡4t ffi* ,u" = 64 sen4ú

(r)

IcAP.4

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

102

Resolviendo,

z = Aeos4t*Bsen4t -8úcos4ú :0;entoncesA:0,8:2Y

Cuandot:0,2:0ydz/dt

z -- 2 wnft -

8ú

cos4ú

(2)

Cuando t se hace mayor, el término -8t cos 4¿ aumenta numéricamente sin limitación, y fisicamente el resorte ñnalmente se romperá. El ejemplo ilust¡a el fenómeno de resonarwia. Nótese que l8 frecuencia natu¡al del rcsofte (4/2r : 2/*l es igual a la frecuencia de Ia fuerza aplicada.

4.22.

Desarrollar el problema 4.21

si F(t) :

6t,

30 cos

¿

>

0.

En este caso, la ecuación (1) del problema 4.21 se convierte en

üzldtz y las condiciones iniciales La solución general de (I) Usando

son

*

16z

=

(r)

160 cos 5ú

z=0, dz/dt=0 en t:0

(21

es

z = Acosft * Bsen4ú - 8cos6ú las condiciones (2) y (3), encont¡amos A : 8, B : O y z = 8(cos4ü-cos6ú) = 8{cos(5ú-Ú)-cos(6ú+0} =

(3)

16senüsen6ú

La gráfica de e en función de ¿ está representada por la curva continua de la figura 4-16. Las líneas a trazos corresponden a las curvas z : 116 sen ú obtenidas haciendo senSt : *1. Si consideramos que 16 sen ú es la amplitud de sen 5f , vemos que la amplitud varía sinusoidalmente. El fenómeno se conoce como moduloción de la amplitud y tiene importancia práctica en comunicaciones y electrónica.

Fig.4-16

EL PENDULO SIMPLE

4.23.

Determinar el movimiento de un péndulo simple de longitud I y masa m considerando oscilaciones pequeñas y ausencia de fuerzas de resistencia' Conside¡emos que la posición de ¡n en cualquier tiempo está determinada por s, longitud del arco medida desde Ia posición de equilibrio O (figura 4-17). Sea 0 el ángulo formado por el péndulo con la vertical. Si T es el vector unitario tangente a la trayectoria circular de la masa m del péndulo, entonces, de acue¡do con la segunda ley de Newton, d,ze

^ffif o,comos:

J0.

^

üe

= -mgseneT

@¿=

-9;seno

Para pequeñas oscilaciones podemos remplazar

(l)

\2) sen

d

por 0 con un buen grado de precisión, de manera que la ecuación (2) puede remplaza¡se por

4o**1t =

o

(3)

CAP.

4]

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

r03

la cual tiene como solución

c = A eostñltt * B sentlillt e - 0o, d|/dt:0 en ú:0, encontramos A:

Tomandocomocondicionesiniciales

4.24.

0=

co cos

De donde observamos que el período del péndulo es

2r{ffi.

0s,

B:0y

\/i|l t

Demostrar cómo puede obtenerse la ecuación (2) para el péndulo del problem a 4.2g usando el principio de la conservación de la energía.

OA: OC _ AC: I _ lcose : \L _ cosr). Deacue¡doconelprincipio de la conservación de la energía (tomando el nivel de refercncia para la energía potencial el plano horizontal que pasa por el punto más bajo O) tenemos energía potencial en I * energía cinética en B : energía total : E : constanre Vemos,delafigura4-l?,que

Como

s:

mgl(l

-

mgl(l

-

cos

a)

+

tm(ds/clt)2

=

D

u)

ld, cos

a)

+

+rnl2(de

/dt)2 :

E

(2)

Diferenciando ambos lados de (2) con respecto a ú, encontramos

mgl*neá+mlzií = 0

.i+(c/lr""n,

o

=

o

de acuerdo con la ecuación (Z) del problema 4.23.

4'26'

Resolver el problema 4.23 considerando que actúa una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad instantánea. En este caso, la ecuación de movimiento (i) del problema 4.28

se remplaza

por

*#, = -mssenor-B#, , # = -rs€nr-{-# Usando s

- ld y remplazando sen d por 0 para pequeñas

Trcs casos se presentan: Caso

1.

F2/4rnz

#-#,#*1,

oscilaciones. se obtiene

=o

< 0,, Q

=

¿-et/2m (A cosoú

* I senroú)

donde o =

{l:/t _ pt¡4^z

Este es el caso de oscilociones amortiguadas o mouimiento de amortigwción débil. Caso

2.

F2/4m2

= gll

Q

= e_Bt/2n(A+Bt)

Este es el caso de mouimiento críticamente amortiguado. Caso

3.

B2/4m2

> Clt

0 = e-Bt/2m(Aert¡Be-\.)

donde,

tr={p/nmz_¡¿

Este es el caso de mouimiento sobreamortiguado. En cada caso las constantes A y I pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales. En el caso t hay oscilaciones que disminuyen continuamente. En los casos y 2 B el péndulo gradualmente regrcsa a la posición de equilibrio sin oscilar.

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES 4.26. Hallar la energía potencial para el oscilador armónico: (o) en dos dimensiones, y en tres dimensiones.

(ó)

[cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

104

(¿)

En este caso la fuerza está dada por puesto que

VXF:

F = -rcpi-xzUi

O, el campo de fuerza

existe una función Vtal que

F : -VV.

F = -K/'i_ a partir de la

4

KzA!

es

conservativo, Entonces eriete un potencial, es deci¡,

Tenemos

-fft-{*

= -vv = -{l

cual av/or = r¡r, |Vldy =

xza, 0Vl0z

=0

o

V - lrP2 |t*ra' tomando igual a cero la constante arbitraria de integración, se obtiene así la energía potencial requerida.

(b)

F: O' EnEnestecasotenemos F: -.r¡i - x¿li - (Bzk quetambiénesconservativapo¡que V X la energía la cual xsz de dVl\z x2A, (a), 0V/0U xp, = parte |VlAr en la contramos, como = potencial requerida es

l/ - lxpz *

4.27.

[¡*rU'*

$xszz

Urra partícula se mueve en el plano xy en un campo de fuerza dado por

F : -x¡i -

xyj. Demostrar que Ia partícula se moverá generalmente en una trayectoria

elíp'

tica. Si la partícula tiene masa m, su ecuación de movimiento es ¿2r

m;; o,comor:¡i*yi,

*#r+*ffii = -rri-rvi

Entonces

rnAF

&r

=

(r)

= F = -rri-xYi

(2)

^ffi = -*u

-Kr,

Estas ecuaciones tienen soluciones dadas respectivamente por

tr =

A1

cos{ñt *

u = Blcostflimt *

A2"entflimt,

B2sen

vector de posición supongamos que en ¿ : 0 la partícula está localizada en un punto cuyo encontramos condiciones, : estas usando uzj. * uri dr/dt velocidld o¡ + bj moviéndos!_gen

lr=1, A2=o¡flii, Bz=rz@

Elevando

al

cuadrado

o Considerando que

la

y

dú =

,

A -- D cos c¡t * d sen oÚ sen@t y cosot en (4) encontramos, si ad I oa-bt . sñor=fi-fi

y teniendo en cuenta que cos2ot * sen2ot: l, (ilr-cal2 t (aa-br\z - (oil-bc)z (b2+¡12)n2-2(cd'*ab)rv*(a2*c2la2 = (o'il-bc¡z sumando,

ecuación

es r : At : a,

Y

fr = ocosoú*csenoú, donde c : ur{m, d : uzYffi. Despejando cos

(3)

'/-l^t

(4)

bc,

encontramos

(5)

donde A>0, c>0'D>0 Arz*Bra*Cyz - p yaunahipérbolasi correspondeaunaelipsesi 82 - 4AC < 0, aunaparábolasi 82 - 4AC:0 82 - 4AC > 0. En (5) vemosque A: b2 + d2, B - -2(cdt ab), C: a2 * c2 asíque 82-4AC = 4(cd+-ob)z-4(bt*ü)(az+c2l = -4(otl-bc)z ' O si A : c' pues od I bc. Por tanto, en general, la trayectoria es una elipse y será una circunferencia : Si o¿ -: bc la elipse se reduce a una línea rccta ay br'

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

cAP. 4l

105

PROBLEMAS VARIOS 4.28. Un cilindro flota con su eje en posición vertical en un líquido de densidad o.

Se em-

puja levemente hacia abajo y luego se deja libre. Encontrar el peúodo de la oscilación si el cilindro tiene un peso Wy una sección trasversal de área A. Sea i?S, la posición de equilibrio del cilind¡o, situada a una distancia z de la superficie PQ del líquido en cualquier tiempo ú. De acuerdo con el príncipio de Arquímedes, la fuerza de empuje sob¡e el cilind¡o es (Ae)o. Apli-

cando la segunda ley de Newton,

W&z e iltz = -Azo

#*t#"

Resolviendo,

z =

=

o

.os1@t

+ c2"entfffit y el período de oscilación es zrfr@.

4.29.

c1

Fig. {-18

Demostrar que si no se suponen pequeñas oscilaciones, el peúodo de un péndulo simple es

. [7 f"''

¿.1-

da

t

donde k =

I s Jo tFñó

La ecuación de movimiento para un péndulo simple (ecuación (31), de este capítulo)

si no se

sen(00/2\

suponen pequeñas oscilaciones es

(r)

-

Sea

d|/dt : ¿. Entonces

y (l)

se trasfo¡ma en (2)

Integrando (2) obtenemos

* = +coac+c Cuando 0

:

(3)

u : 0 entonces c : -(C/l) cosC¡. Portanto (J) puede eecribirse u2 = (2clll(cosr-cosro) o itolitt = *r,/@i

Co,

como @)

Si rtstringimos el movimiento de manera que el péndulo ¡c mueva de C : 0s a 0 : 0, lo cual corresponde en tiempo a una cuarta parte del perlodo, debemos usar el signo menos en (4) y obtenemos entonces

deldt=-\Ml

Separando las variables e integrando, tenemos

[t r

\úJ ffi

l= Como

ü:0

en

0:0o y t: P/4

en

0:0,

dc

dondePeselpeíodo,

_ F fto F = o\uJ,

¿tc

(5)

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

106

Haciendo uso de la identidad trigonométrica cosd plaza 0 por de, (5) puede escribirse como

P=

2 sen2(0/2)

- l,

dc

sen

4

y de una similar, donde se rem.

,rTli {;pcñ -sep@Ia

sen(el2) =

Tomando

:

[cAP.

(6)

t-)

(asl2) senp

Y tomando la dife¡encia en ambos lados.

f, cos(cl2) dc = o llamando

k:

sen(es/2) cos d dé

sen (0o/2),

de=

Vemostambiénde(7)quecuando0:0,ó:0,ycuando0:0o,ó:¡/2.Porconsiguiente,(6)se trasforma en la ecuación requerida,

¡ttz d6 ? = o \;[-l J. fiur""nrr

(8)

Nótese que si se tienen pequeñas oscilaciones, es decir, si & es ce¡o o tiende a cero, entonces se obtiene pa-

ra el período

(8), (e)

como ya lo vimos.

La integral en (8) se llama integrol eúptica y no puede ser evaluada exactamente en términos de funciones elementales. La ecuación de movimiento del péndulo puede resolve¡se pa¡a I en términos de funciones elípticas, las cuales son generalizaciones de las funciones trigonométricas.

4.30.

Demost¡ar que el período obtenido en el problema 4.29 puede escribirse como

('\\' t,* /11)' k, * ( !-'3,' 1-)' ¿. *, . .] P = 2,t/Ugjl+(: - ¡ ,2/'" '\2'4/'" '\2'4'6/')

El teorema del binomío establece que si lr

(l*c)a Si

p : - *, la ecuación

|(

1,

entonces

= | * pr *#*

* "'

* W*

anterio¡ puede escribirse como

(r+a¡-rtz

= t -i" +fi"r- !'35n' 1 ...

Haciendo x : -h2 sen2ó e integrando desde 0 a r/2, encontramos

_ F =

_

avrio

fnt2

dO

)o

= o* !:"{t . i k2*n2ó + ffit'."'no + "'}¿o . (;)'-, . (#+)' r + (}s.n. o)'" * . } = 2,,/Tn{' -,.ffi;;re donde hemos usado

la fórmula derintegración

I uo

senz"

6

dP

=

1.3.6"'(2n-l)r

2.4.6...(2n)

La integración término por término es poóible porque lfr |

4.31. Una cuenta

<

2

1.

de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en forma de cicloide y colocado en un plano vertical, (figura 4-19) cuyas ecuaciones paramétricas son

cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4l

107

(r) ?l = o'(L - cosó) si la cuenta parte del reposo en el punto O, (a) encontrar su rapidez en el punto inferior de la trayectoria, y (b) demostrar que la cuenta realiza oscilaciones con peúodo equivalente al de un péndulo simple de longitud 4o.

fr =

(o)

a(rh

-sen4),

Sean P la posición de la cuenta en cualquier tiempo f y s la longitud del arco a lo largo de la cicloide medida desde el punto O. Teniendo en cuenta la conse¡vación de la energía y midiendo la energía potencial relativa a la línea AB que pasa por el punto más bajo de la cicloide, tenemos: Ep en P * Ec en P : Ep en O * Ec en O

ms(2a

a) 1- Im(dsld.t)2

-

= mg(2a\ * 0

(21

O

n1,

A-

o

Fig.4-19

rz - (d,s/dtlz - 2gU o D = its/¿tt = {rW : 2fga. En el punto más bajo ! : 2a la rapidez es u : @¡ Entonces (b)

De la parte

(a), (ds/dt)2

2gy. Perc

- a2(l-cosq)z$z*a2sen2¡O2 = 2a2(I - cos p)|z = 2ga(l - cos C) o A2 - g/a. Por tanto

(ds/ctt)z Entonces

:

=

(dnldt)z I(da/d.t)2

ülctt : t/lla

Cuando ó:O,

de(a)'

t:0;

(3)

cuando ó:2r,

y

t:

2a2(1

-cos{)¿z

4 - fi¡at+ct

\41

P/2 dondePeselpeíodo.Ydelasegundaecuación

P=A,r{a/c=2or/Tolg

y el peíodo es el mismo que el de un péndulo simple de longitud I : 4a. Véanse los problemas 4.86-4.88 donde aparecen algunas aplicaciones interesantes.

4.32. En el interior de un paraboloide de revolución liso que tiene como ecuación cz x2 * y', se coloca una partícula de masa m en un punto P situado a una altura H la horizontal (considerada como el plano ry). Suponiendo que la partícula parte del reposo: (o) encontrar la rapidez con la cual alcanza el vértice O, (b) encontrar el tiempo r empleado, y (c) encontrar el peiodo para pequeñas oscilaciones. sobre

Es conveniente escoger el punto P en el plano yz de manera eue r : 0 y cz : y2. Aplicando el principio de la conservación de la energía en cualquier punto Q sobre la trayectoria PQO, tenemos

E,

en

msH +

P

: +m(0)2 =

*

E" en P

Eo en Q

trlsz

*

E" en

Q

*$m(ils/dt\2

donde s es la longitud de arco a lo largo de OPQ medida desde O. De la ecuación anterior.

= 2g(H-z\

(l)

= -\/21Jl=Á

(2)

(dsldt)z

íts/dt

usando el signo negativo puesto que s decrece con I

(o) Si e : 0,

encontramos que

la velocidad en el vértice es lT[rt.

OSEILADOR ARJVIONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

108

(b) Como ¡ : 0 y cz :y2,

[cAP.

4

tenemos

(b\' = /@\' -\drl-\ü) (@\' * (a\' = (@\' -",\ü) * !t(a\' = (, *!t\(du\' \ü/ * \E/ \Af/ \'-T)\dl)

Portanto, (l) puede escribirse (I * 4y2/cr)(dy/dt)2 :2C(H - yr/r). Entonces

da dt

= -.r;-\Gí-a'z Yzgc--: {c2 + 4u2 z : H y,

Usando el hecho de que

) : 0, al integrar ?r

¡

t/cH

y : Vcil

en consecuencia,

(o

|

=

"

y : lffi

= --

+ 4a, da

-

Yz

f : 0 mientras

en

eue en ú

:

tenemos

| -t@¿t Jo Haciendo

{c - {2gc dt = --:

o

cos

|

1/2gc J

l*

,,pn

_7

+ ¿* 1 ¡{cu \/A -----:tiy tlzsc Jo lfH - ur-"

7 =

o

d, la integral puede escribirse t/cz

t

* -du 4cH cos2e de =

1f¡/2

-= J,| lc {2sc

+ tcn

- tcn se"z e ae

la cual puede escribirse

t/t - trn"za ¿e

t=

(3)

k - t/aH/kIaH\

donde

(41

La integral en (3) es una integral elíptica y no puede evaluarse usando funciones elementales. Pero, sin embargo, puede evaluarse mediante series (véase el problema 4.11g). (c

) La partícula oscila hacia

atrás y hacia adelante dentro del paraboloide con un peúodo dado por

p = 4¡ :

^

rW

!o"''

r/t

-

n"""nu

(5)

ae

Para pequeñas oscilaciones, el valor de &, dado Wt (4), puede conside¡arse tan pequeño que para p¡opósitos prácticos puede tomarse igual a cero. Por consiguiente, (5) se convierte en

La longitud del péndulo

p :2otf@*4H)/2s simple equivalente es I : Lk + 4H).

Problemas propuestos MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPLE

4'33.

Una partícula de masa 12 g se mueve a lo largo del eje r at¡aída hacia el punto O po¡ una fuerza (en dinas) que es numéricamente igual a 60 veces su distancia instantánea ¡ cm desde O. Si la partícula parte del reposo en ¡ : 10, encontrar: (o) la amplitud, (ó) el pe¡íodo, y (c) la frecuencia del movimiento. Resp.

4.34.

(a) 10 cm, (b) 2oltfi see, k) t/llZo vib/see

(o) Si la partícula del problema

4.33 comienza su movimiento en r : 10, con una rapidez hacia O de y su f¡ecuencia. (ó) Determinar el tiempo en que la par-

20 cm/seg, determinar su amplitud, su período tícula llega al punto O por primera vez.

Resp. (¿) Amplitud

4'35.

seg,

frecuencia

: 15,/2r vib,/seg;

(b) 0,33

seg

Una partícula se mueve sobre el eje r atraída hacia el origen O con una fuerza proporcional a su distancia instantánea desde O. Si parte del reposo en .r : 5 cm y alcanza x : 2,5 cm por primera vez después de 2 seg, encontra¡: (o) la posición en cualquier tiempo ú después de comenza¡ su movimiento, (b) la rapidez en ¡ : 0, (c) la amplitud, el período y la frecuencia de oscilación, (d) la máxima aceleración, (e) la máxima rapidez.

Resp.

(a) ¡ :

(el 5r/6 cm/seg 4.36.

: 6V5'cm, período : 2r/{-B

Scos

(,t/a); (U) 5r/6 cm/segi (c) 5 cm, 12

seg, t,/12 vib/seg;

(d) 5#/36

cm/seg2;

Si una partícula se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje r, probar que en la trayec-

toria: (o) la acele¡ación tiene su máximo valo¡ en los extremos, (b) la velocidad tiene su máximo valor en el punto medio, (c) la aceleración es cero en la mitad, (d) la velocidad es cero en los extremos.

cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4l

4.37.

109

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple en línea recta. Su máxima velocidad es 20 y su máxima acele¡ación es 80 pies,/seg2. Encont¡ar el período y la frecuencia del movimiento.

pies/seg

Resp.

r/2

seg,

2,/r vib/seg

4.38.

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple. Si su acéleración a la distancia D de su posición de equilibrio es A, probar que el período de movimiento es:2¡!DA..

4'39'

Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple tiene rapidez de B cm,/seg y 4 cm/seg a las distancias 8 cm y 6 cm, respectivamente de su posición de equilibrio. Hallar el período de su mwimiento. Resp. 4r seg

4'4O'

Un peso de 8 kg está colocado sobre un resorte vertical alargándolo en 20 cm. El peso se hala hacia abajo y se suelta. (o) Encontrar la amplitud, el período y la frecuencia de la oscilación. (ó) ¿Cuál es la posición y la rapidez en cualquier tiempo? Resp. (a\ 40 em,2r/7 seg, 7l2r vib/seg

una distancia de 40 cm

(ó)

4'41'

r = 40 cos Tú cm, a =

-2g0

sen ?ú cm/seg

Una masa de 200 g se coloca en el extremo inferio¡ de un reso¡te vertical y lo extiende 20 cm. Cuando está en equilibrio, la masa se golpea y sube una distancia de 8 cm antes de que empiece a bajar de nuevo. Encont¡a¡: (a) la magnitud de la velocidad impartida a la masa cuando ésta se golpea, y (b) el período

del

movimiento. Resp. (o)

56 cm,/seg,

(b)

2"h

sel

4'42'

Una masa de 5 kg está en el extremo de un ¡eso¡te que se mueve con movimiento armónico simple a lo largo de una línea ¡ecta ho¡izontal con período de 3 seg y amplitud de 2 m. (o) Determina¡ la constante del ¡eso¡te. (ó) ¿cuál es la fue¡za máxima ejercida sob¡e el resorte? Resp. (o) 1f40 dinas,/cm o l,l4 nt/m (b) 2,28 X 105 dinas o 2,28 nt

4'43'

Cuando una masa M cuelga del extremo inferior de un ¡esorte vertical y se hace mover, oscila con período P. P¡oba¡ que el período cuando se añade una masa M es prr-ñ7V

OSCI LADOR ARMONICO AMORTIGUADO

4.44.

(o) Resolverlaecuación d2x/dt2 *%]x,/dt *5¡:0 sometidaalascondiciones,:5, dx/dt: en t : 0, V (b) da¡ una interpretación física del resultado. 8esp. (a) ¡: le-t(I0cos2ü - 5sen2t)

4.45.

Ve¡ificar que la fuerza amortiguadora dada por la ecuación (2) del problema 4.11 es co¡recta independientemente de la posición y velocidad de la partícula.

4-46.

Un peso de 60 lb que cuelga de un reso¡te vertical lo esti¡a 2 pies. El peso luego se hala hacia abajo 3 pies y se suelta. (o) Encontrar la posición del peso en cualquier tiempo si la fuerza amortiguadora es numéricamente igual a l5 veces el valor de la rapidez instantánea para esa posición. (b) ¿Es el movimiento oscilatorio amortiguado, sobreamortiguado o críticamente amortiguado?

_s

Resp. (a) x : \e-rt(4t + l), (b) críticamente amortiguado

4.47-

Desarrolla¡ el problema 4.46 si la fuerza amortiguadora es numéricamente igual a 18,?5 veces la rapidez instantánea. Resp. (o) ¡ : 4e-2, - e-8,, (b) sobreamortiguado

4,44.

En el problema 4.46 suponer que la fue¡za amortiguadora es numé¡icamente igual a ?,5 veces la rapidez instantánea. (a) Probar que el movimiento es oscilatorio amortiguado. (b) Encontrar Ia amplitud, el

período y la frecuencia de las oscilaciones. (c) Encont¡ar el dec¡ecimiento logarítmico.

Resp. (ó) Amplitud : 2\/T e-2r pies, período :

4.49.

: t/T/, vib/seg; (c\ 2r/!3 "/uT seg, frecuencia

Probar que el decrecimiento logarítmico es el tiempo requerido para que durante una oscilación la máxid,e su valor.

ma amplitud disminuya en l/e

4.5o.

La frecuencia natu¡al de una masa que oscila en un resorte es 20 vib,/seg mientras su f¡ecuencia amortiguación es 16 vib,/seg. Encontrar el decrecimiento logarítmico. ilesp. 3/4

4.51.

Probar que la dife¡encia en tiempo correspondiente adesplazamientos máximos sucesivos de un oscilador armónico amortiguado dada por la ecuación (I2) del capítulo 4, es constante e igual a4¡mfifñBz.

con

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

110

4.62.

IcAP.4

¿Es la diferencia en tiempo entre desplazamientos minimos sucesivos de un oscilado¡ armónico amortiguado la misma que en el problema 4.51? Justificar su respuesta'

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

4.53.

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje ¡ se determina mediante la ecuación d2r/dt2 * 4dt/dt * 8¡ : 20 cos 2ü. Si la particulaparte del reposo en ¡ : 0, hallar: (o) ¡ en función de t, (b) Ia amplitud, el período y la frecuencia de oscilación después de que ha trascur¡ido un tiempo largo.

Resp. (o) ¡ : cos2ü * 2 sen2t - e-2'(cos2t I 3 sen2t) (b) Amplitud : vE período : r, f¡ecuencia : 1/r

4.64.

(o) Da¡ una interpretación física del problema 4.53 conside¡ando una masa en el extremo de un resorte vertical. (ó) ¿Cuál es la frecuencia natural de la oscilación del resorte? (c) ¿Cuál es la frecuencia de la fuerza impulsora? Resp. (b) \E/r, (c) l/"

4.55.

Un peso sobre un reso¡te ve¡tical está sometido a vibraciones forzadas de acue¡do con la ecuación d2r/dt2 * 4x :8 sen ot donde ¡ es el desplazamiento desde la posición de equilibrioy o > 0 es una

constante.Sient:0,¡:0ydx/dt:0,encontrar:(a)¡enfunciónde¿,(b)elperíodode la fue¡za externa para que haya resonancia. Resp (a) x: (8senoü - 4osenzt)/( - o2) si o l2;

(b) r:2

4.66.

x:

sen2¿

- 2úcos2t si o:2

o período: r

Un reso¡te vertical de constante 17 lb/pie tiene suspendido un peso de 32 lb; se aplica una fuerza externa expresada como función del tiempo t por F(l) : 65 sen 4t, t > 0; se supone que actúa una fue¡za de amortiguamiento expresada en lb por 2u, donde u es la rapidez instantánea del peso en pies/seg. Inicialmente el peso está en teposo en la posición de equilibrio. (o) Dete¡minar la posición del peso en cualquier tiempo. (b) Indica¡ las soluciones de la oscilación momentánea y de estado estable y dar las interpretaciones físicas de cada una. (c) Encontrar la amplitud, el peíodo y la frecuencia de la solución de estado estable (emPlear C

:

32 pies,/seg2).

Resp. (a) x : 4e-'

cos 4f * sen 4t - 4 cos 4t (ó) Transitoria,4e-t cos 4t; estado estable, sen 4t - 4 cos

(c) Amplitud : \fti pies, período : ,/2

seg, frecuencia

4ú

: 2/o vib/seg

4.57,

Un resorte se comprime 5 cm. al actuar sobre él una fue¡za de 50 dinas. Una masa de 10 g se coloca en el ext¡emo inferior del resorte. Después de que el equilibrio se alcanza, el ext¡emo superior del resorte se mueve hacia arriba y hacia abajo de manera que la fuerza que actúa sobre la masa está dada por F(t) : 20 cos oú, ú > 0. (o) Encontra¡ la posición de la masa en cualquier tiempo medido I partir de su posi' ción de equilibrio. (b) Encont¡ar el valo¡ de o para que haya resonancia. Resp (a) ¡ = (20 cos oú)/(1 - t2) - 20 cos ú, (b) o = 1

4.6A.

Una fue¡za exte¡na periódica actúa sobre una masa de 6 kg suspendida del ertremo inferior de un ¡esorte ve¡tical de constante 150 nt/m. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la rapidez instantánea de la masa y es 80 nt cuando la rapidez es 2 m/seg. Encontra¡ la frecue."ia para que haya resonancia. Resp. 5/6" vib/seg

PENDULO SIMPLE 4.59.

Encontra¡ la longitud de un péndulo simple cuyo período es 1 seg. Dicho péndulo que registra segundos llamado un péndulo de segundos. Resp. 99,3 crn o 3,26 pies

4,60.

¿Será el período de un péndulo que registra segundos en un cierto punto, mayo¡ o meno¡ cuando se lleva

a otro punto donde la aceleración de la gravedad es mayor? Explicar.

es

Resp. Aumenta su peúodo

4.61.

Un péndulo simple cuya longitud es 2 m se desplaza hasta que la cuerda fo¡ma un ángulo de 30' con la vertical Entonces se suelta. (o) ¿Cuál es la rapidez del póndulo cuando pasa por un punto más bajo? (b) ¿Cuál es la rapidez angular en el punto más bajo? (c) ¿Cuál es la máxima aceleración y cuándo ocu¡re? .Resp. (a) 2,93 m/seg, (ó) 1,46 rad/seg, (c\ 2 m/seg2

4.62.

Probar que la tensión en la cuerda de un péndulc simple vertical de longitud I y de masa m está dada por mg cos 0, donde d es el ángulo instantáneo que forma la cuerda con la vertical.

cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4l

111

4.63.

Un péndulo de segundos que registra ei tiempo correcto en cie¡to lugar es llevado a otro donde se ve que pierde T seg por día. Determinar la aceleración gravitacional en el segundo lugar. Resp. g(1 - T/86.4N)2, donde g es la acele¡ación gravitacional en el primer lugar

4.64.

¿Cuál es la longitud de un péndulo de segundos sobre la superficie de la Luna donde la aceleración de la gravedad es aproximadamente l/6 de la gravedad de la Tierra? Resp. 16,5 cm.

4.65.

Un péndulo simple de longitud I y masa ln cuelga verticalmente de un punto fijo O. Se le da una velocidad horizontal inicial de magnitud us. Probar que el arco sobre el cual oscila en un período tiene una

longitud dada por 4l cos-t (1 -

4.66.

ul/2gl).

Encontrar el valor mínimo de us en el problema 4.65 con el fin de que el péndulo complete una ci¡cunferencia vertical con centro en O. Resp. 2Qf

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

4.67.

Una partícula de masa 2 se mueve en el plano ry atraída hacia et origen por una fuerza dada por F : - 18¡i - 50yj. En , : 0 la partícula se coloca en el punto (3, a) V se Ie da una velocidad de magnitud l0 en dirección perpendicular al eje ¡. (o) Hallar la posición y velocidad de Ia partícuia en cualquier tiempo. (b) ¿Qué curva desc¡ibe la partícula? Resp. (a) r = 3 cosS¿ i+ [4 cos6¿+2 senSú]j, v = -9 senSú i* [10 cos 6t-20 senSú]i

4.68.

Hallar la energía total de la particula del problema

4.69.

Un oscilador armónico en dos dimensiones de masa 2 tiene energía potencial dada por V : 8(t2 I 4y'). Si el vecto¡ de posición y la velocidad del oscilador en el tiempo t : 0 están dados respectivamente por ro : 2i - j y ro : 4i + 8i, (o) hallarsuposición y velocidad en cualquier tiempo f ¡ 0, y (ó) determinar el período del movimiento. Resp.

(a) r -

(2

4.67.

cos4ü*sen4ú)i* (sen8ú-cos8¿)j, y:

(b\ T /8

Eesp. 581

(4 cos4ú-8sen

40i+

si V : 8(¡2 + A'). ¿Existirá en este caso un

(8 cos8ú+8 sen8ü)j

4.70.

Desarrollar el problema 4.69 movimiento? Explicar.

4.71.

Una partícula de masa m se mueve en un campo de fue¡za tridimensional cuyo potencial está dado por V : ir(t2 I 4y2 I 16z2). (a) Demostrar que si la partícula se coloca en un punto arbitrario en el espacio, diferente del origen, regresará a este punto después de algún período de tiempo. Determinar este tiempo. (b) ¿Es la velocidad con la cual regresa al punto de partida igual a la velocidad inicial? Explicar.

4.72.

Suponer que en el problema 4.71 el potencial es punto de partida? Explicar.

V : lx(x2 + Zy2 + 522).

pe¡íodo definido para el

¿Regresará

la partícula

al

PROBLEMAS VARIOS

4'73.

Un resorte vertical de constante ¡ tiene una longitud natural I y está sostenido en un punto fijo A. Una masa m se coloca en el extremo inferior del resorte, se eleva a una altura h por debajo de A y se suelta. Demostrar que el punto más bajo que alcanzará está a una distancia por debajo de A dada por | * mg/, *

\/wF-+-n¿rn:

4.74.

Resolver el problema 4.73 si se tiene en cuenta una amortiguación proporcional a la velocidad instantánea.

4.76.

Dada la ecuación + pi I xt : 0 para oscilaciones amortiguadas de un oscilador armónico, demostrar que si E :^'i¡mi2 * lrx2, entonces E : -p;2. Esto demuestra que si hay amortiguamiento la energía total E disminuye con el tiempo. ¿Qué ocu¡re con la energía perdida? Explicar.

4.76. (¿)

Demostrar

donde.4

que

=@,

.41 cos (oú - Ér)

* A2cos(ot- q2) = A cos (oú -

p)

e: ,"r-, (

)

(ó) Usar (a) para demostrar que la suma de dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia y sobre la misma recta es un movimiento armónico simple de la misma frecuencia.

4.77.

Dar una interpretación vecto¡ial a los resultados del problema 4.?6

ttz

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4.78.

Discutir el problema

4-79.

Una partfoula oscila en un plano de mane¡a que sus distancias pendiculares están dadas como funciones del tiernpo por

4.76 en caso de que las frecuencias de los dos movimiéntos armónicos simples no sean iguales. ¿El movimiento resultante será a¡mónico simple? Justificar su respuesra.

r y y desde

dos ejes respectivamente per-

ü = A cos(oú*Pt), U = B cos(oú*d2) (o) Demostrar que la partícula se mueve en una elipse inscrita en el rectángulo definido por r : I : +8. (ó) Demostrar que el período en su trayectoria elíptica es 2*/o. 4.8O.

:EA,

Suponer que la partícula del problema 4.?9 se mueve de manera que

r = Acos(orü*41), A =

B cos(oú*cttezl

donde e se considera una constante positiva que se supone mucho mayor que o, Defnostrar que la partícula oscila en elipses que ¡otan lentamente inscritas en el rectángulo ¡ : +A, y : ¡9. 4.8

r.

Ilustrar el problema yectoria

4.80 haciendo

una gráfica del movimiento de una partícula que se mueve en la tra-

r = 3cosl2ttrl(l, a = 4.42.

4.83.

4.84.

Una masa rn que se coloca sobre una mesa sin rozamiento (figura 4-21) se acopla a dos resortes fijos en los puntos A y .B, como se ilustra en la figu¡a 4-21. Los resortes tienen igual longitud natural, masas despreciables y constantes r¡ ¡r 12, respectivamente. La masa rn se desplaza horizontalmente y lüego se suelta. Demostrar que el período de oscilación estádadopo¡ P : 2¡ffiT ,)-.

4 cos(2,4ü)

A Fig. l-21

Un resorte de constante r y masa despreciable tiene uno de sus ext¡emos fijo en el punto A. En el otro extremo se coloca una masa m sobre un plano inclinado c, como se indica en la figura 4-22. Si la masa ¡n se hala una distancia re por debajo de la posición de equilibrio y luego se suelta, hallar el desplazamiento en cualquier tiempo referido a la posición de equilib¡io, si: (o) el plano inclinado no presenta rozamiento, (ó) si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento ¡.

flig.l-22

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje .r. En el tiempo to, Zto está situada en ¡ : a, b y c, respectivamente. Demostrar que el período de oscilación es

"o"_r

4tt¡ 1ol

y

Bto

c)l2b

4.85.

Un péndulo de segundos que da el tiempo cor¡ecto en un lugar, se lleva a orro lugar donde pierde 5 minutos por día. ¿En cuánto deberá alargarse o acorta¡se para que mida el tiempo correcto?

4.86.

Un péndulo que tiene una masa rn se suspende del punto O. Cuando oscila, la cuerda está constreñlda a moverse según las curvas ODA (u OC), como se indica en la figura 4-23. P¡oba¡ que si la curva ABC es una cicloide, entonces el período de oscilación será el mismo, independientemente de la amplitud de la oscilación. En este caso el péndulo se llama un péndulo cicloidal. Las curvas ODA y OC se construyen de manera que sean las euolutas de la cicloide. (Sugerencia. Usar el problema 4.31.)

4.a7.

Fig.l-23

Una cuenta se desliza sobre un alambre sin rozamiento colocado en un plano vertical. Se desea encontrar la forma que debe tener el alambre para que la cuenta al moverse por acción de la gravedad llegue al punto inferio¡ del alamb¡e en el mismo tiempo, independientemente del punto donde se coloque inicialmente la cuenta sobre el alambre. Este es f¡ecuentemente un problema llamado de períodos iguales. Demostrar que el alambre debe tener la forma de una cicloide. (Sugerencia. Usar el problema 4.31.)

cAP. 4l

4'88'

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

Demostrar que las curvas oDA

cloide ABC.

y OC del problema 4.86

son cicloides que tienen

113

la misma forma de la ci-

4'89'

El punto soporte de un péndulo simple de longitud I se mueve hacia adelante y hacia atrás, a lo largo de una recta horizontal, de manera que su distancia a un punto fijo sob¡e la recta es A sen oú, ú > 0. Hallar la posición de la masa pendular en cualquier tiempo ¿ cons'ide¡ando que ésta se encuent¡a en reposo en la posición de equilibrio en ú : 0.

4'9o'

Desarrollar el problema 4.89 si el punto soporte se mueve verticalmente en lugar de moverse horizontalmente y si en ü : 0 la cuerda del péndulo forma un ángulo 0s con ra vertical.

4'91'

una partícula de masa ¡n se mueve en un plano bajo la influencia de fuerzas de atracción hacia puntos fijos' las cuales.son directamente proporcionales a su distancia instantánea a estos puntos. Demostrar que, en general, la partícula describirá una elipse.

4'92'

un resorte elástico vertical de peso despreciable que tiene su extremo superior fijo, soporta un peso w en el otro extremo' El peso es levantado de tal maneia que la tensión en el ¡esorte es cero y entonces se suel-

ta. Demostrar que la tensión en el ¡esorte no excede 2IV.

4.93.

4.95.

un platillo en la par24). Determina¡ la freoscila¡ de ma'nera que

Una particula se mueve en el plano .ry y su posición está dada por cos @ú, y : B cos 2ot. Demostra¡ que describe u.,

x : A

de parábola.

"."o

Fig.4-24

4.96.

Una partícula se mueve en el plano.ry y su posición está dada por .r : A cos (o1ü * ót), y : B cos (o2f * dr)' Demostrar que la partícula describe una cu¡va cerrada o no según si o1/o2 sea o no racional. ¿En qué caso el movimiento es periódico?

4'97'

La posición de una partícula que se mueve en el plano

¡y se expresa mediante las ecuaciones d2x/dt2 : -4x. En el tiempo f : 0 la particula se encuent¡a en reposo en el punto (6,3). Hallar en cualquier tiempo posterior: (o) su posició.r, V tbl su velocidad. -4y' dzy/¿¡z :

4'98'

Hallar el

períod^o de

un péndulo simple de

tical es: (o) J0", (b) 60., (c) 90..

I metro de longitud si el ángulo máximo que forma con la ve¡-

4'99'

Un péndulo simple de 3 pies de longitud se suspende verticalmente de un punto fijo. En t : 0 se le comunica una velocidad horizontal de 8 pies,/seg. Hallar: (o) el ángulo máximo que forma el péndulo con la vertical, (ó) el período de las oscilaciones. Resp. (a) cos-t 2/B = 4Lo 49,, (b) 1,92 seg

4'loo'

Demostra¡ que los promedios de.tiempo sobre un período de energía potencial y energía cinética de un oscilado¡ armónico simple son iguales a 2T2A2/P-2 donde A es la amplitud y p es el período del movimiento.

4'lol'

un cilind¡o de 10 pies de radio con su eje vertical oscila verticalmente en agua de densidad 62,5 lb/piea con un período de b segundos. ¿Cuál es su peso? Resp. B,9g X 105 lb

4'lo2'

una partícula que se mueve en el plano ¡y en un campo de fuerza cuyo potencial está dado por v : x2 | xy + v2' si la partícula inicialmente está en el punto (3, 4) y tiene una velocidad de magnitud l0 en la di¡ección paralela al eje positivo ¡: (a) hallar la po.i.ion "en cualquier tiempo, y (ó) determinar el período del movimiento si existe.

4'lo3'

En el problem" minado (¡o, yo) no podrá ser alc

arbitrariamente

.' que o1,/r2 es irracional y que en t : 0 la partícula está en un punto deterrectángulo definido por ¡ : +A, .y : tB. Demostrar que el punto (¡o, yo) evamente sino que la particula a., de su movimiento cerra¡á la curva "l "rr..o er Dunto.

4.104,

IcAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

114

4

hacia abajo' Demostrar que

Una partícula oscila sin rozamiento sob¡e una cicloide vertical con su vértice la proyección de la particula sobre un eje vertical oscila con movimiento armónico simple'

de elasticidad 20 de b kg en el extremo inferio¡ de un resorte vertical que tiene una constante (b) el período amortiguamiento, (o) de la constante Hallar: segundos. período 10 de nt,/m oscila con un natural, y (c) el dec¡ecimiento logarítmico. Resp (a) 19 nt seglm, (ó) 3'r4 seg

4.105. Una masa

de 100 g se sostiene en equilibrio mediante dos resortes idénticos de masas despreciables y de constantes iguales a 50 di-

4.106. Una masa

B

A

nas/cm. En la posición de equilibrio mostrada en la figura 4-25' los resortes forman un ángulo de 30" con la horizontal y tienen una longitud de 100 cm. Si la masa se hala hacia abajo una distancia de 2 cm y luego se suelta, encontrar el período de la oscilac

ión. ¡esultante.

hueco de radio interno 10 cm de paredes delgadas se mantiene fijo con su eje horizontal' Se coloca una partícula

4.107. un cilind¡o circular

sobre Ia superficie interna sin rozamiento del cilindro de manera que su distancia vertical con respecto al punto más bajo sea 2 cm' Hallar: (o) el tiempo que trascurre para que la partícula alcance el punto más bajo, y (b) el periodo de la oscilación'

100 g

Fig.4-25

que el període lado o y peso !l/oscila verticalmente en aguade densidad o. Demostrar (2"/o)\f6-7W: es do de vibración

4.log. Una caja cúbica 4.1O9. Un resorte

en oscilación tiene como ecuación de movimiento

mdzxldtz+Kr

= F(0

Si¡:0,dr/dt:0ent:0,hallarrcomofuncióndeltiempo¿' Resp.

r

=

+r ymK vo

F(z)

4.110. Desar¡ollar el problema

sen

4.10g

,/it^

A

-

u) dn

si se tiene en cuenta un amortiguamiento proporcional a dx/dt.

4.1f 1, Un resorte en oscilación tiene como ecuación de movimiento

*¿zs/flfz ! rr Si¡:0,;:usenl:0:(o)encontrarxencualquiertiempot'y(b)determinarlosvaloresdeo para que haYa resonancta.

infe¡ior' En 4.112, Un resorte vertical que tiene una constante r tiene acoplada una masa /n en su extremo vertical la dirección en súbitamente mueve se superior extremo su equilibrio : en resorte t 0 estando el posición de (o) la Z Hallar: 0 ot, sen t por A de manera que su distancia al punt<-r original esté dada lamasamencualquiertiempo¿,y(b)losvaloresdeoparaquehayaresonancia.

4.113. (o)Resolver d2x/dt2 *x:tsenf*cosf

donde

(b)darunainterpre-

x:o,dx/dt:0ent:0,y

tación física.

1.114. Discutir el movimiento de un péndulo simple 4,115. Hallar el periodo para pequeñas oscilaciones zontal en agua de densidad

cuando existe amortiguamiento

y

fuerzas externas'

de un cilindro de radio o y altura h que flota con su eje hori-

o.

de g que tiene una constante elástica de 2 nt por metro tiene un peso de 50 suspendido : 6 cosa t, t ¿ 0' F(t) ¿ mediante tiempo del función en que dada está nt en fuerza una é1. Se aplica le imprime una velocidad bacia arriSuponiendo que al peso inicialmente en la posición de equilibrio se en cualquier tiempo para el peso: determinar despreciable, es y que amortiguamiento el ba de 4 m/seg (¿) su Posición, Y (b) su velocidad'

4.116. Un resorte vertical

4.117. En el problema

4.55, ¿puede

limite cuando a - 2'l

la respuesta o : 2 deducitse de la

Justificar su respuesta'

respuesta

pala o I 2 tomando

el

cAP. 4l

-

4.118.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

Sob¡e un oscilado¡ actúa una fuerza restauradora cuya magnitud es - c¡2 donde . es muy pequeño coriparado con r. Demostrar que el desplazamiento del o¡cilador-¡tr (en este caso llam¡do oscilador anarmónicol a partir de la posición de equilibrio está dado aproximadamente por

a= donde A

4'119.

115

y 6 se determinan por las

Aco¡(o¡ú-É)

+ +Í{coa2(ut-o)-B}

condicionee iniciales.

Demostrar que si las oscilaciones en el problema 4.32 no son necesariamente pequeñas entonces el período está dado por

p : ,- ^[@- í, - /!\'ro/r'g\2e¿ - /1'g.o\zte t \¡i *- \¡l¡) i'-(rEñ)

"1Tt'

-' j 'l

Copítulo 5 Fuerzos centroles

y movimiento plonetorio

FUERZAS CENTRALES Supongamos que una fuerza actúa sobre una partícula de masa n-l de tal manera que (figura 5-1):

(o) siempre está dirigida desde m hacia o alejándose de un Punto fijo O, (b) su magnitud depende solamente de la

distancia r desde O. Entonces podemos llamar la fuerza una fuerza central o un caÍtpo de fuerza centrál con O como centro de fuerza. En símbolos, F es una fuerza ü central si y sólo si (1) f = l(r) ¡' = f(r) ilr donde rt : r/r es un vector unitario en la dirección de r.

La fuerza central f

(r)

Fig.5-l

es de oürocciónhacia O o de repulsión desde O según

> 0, respectivamente.

si /(r) ( 0

o

ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS CAMPOS DE FUERZA CENTRAL Si una partícula se mueve en un campo.de fuerza central, entonces las propiedades siguientes son válidas.

órbita o trayectoria de la partícula debe ser una curva plana, es decir, la partícula debe moverse en un plano. El plano frecuentemente seleccionado es el plano ry. Véase el problema 5.1. El momentum angular de la partícula se conserva, es decir, es constante. Véase el problema 5.2. La partícula se mueve de tal manera que el vector de posición o radio vector dibujado desde O a la partícula, barre áreas iguales en tiempos iguales. En otras palabras, la tasa de cambio del á¡ea en el tiempo es constante. El enunciado anterior algunas veces se llama la ley de las óreas. Véase el problema 5.6.

1. La Z. B.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA EN UN CAMPO CENTRAL Según la propiedad 1, el movimiento de una partícula en un campo de fuerza central tiene lugar en un plano. Escogiendo este plano como el plano ry y las coordenadas de la partícula como coordenadas polares (r, 0), la ecuación de movimiento obtenida es (véase el problema 5.3)

rn('i-rtP¡ = ¡1r¡ m(re+ zi'e¡ = ¡

(2) (3) 116

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

donde los puntos denotan diferenciaciones con respecto al tiempo

Lt7

r.

De las ecuaciones (J) encontramos

12á:constante:h la que relaciona las propiedades 2 y

(4)

B establecidas anteriormenre.

ECUACIONES IMPORTANTES DEDUCIDAS DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Las siguientes ecuaciones deducidas de las ecuaciones fundamentales (2) v e) resultan ser frecuentemente muy útiles.

h' f(r) rrn dzu 1 ¿gz-tu = -ffifrf(tlu) '; -

1. 2.

donde

u : l/r.

d2r 2/dr\z

3.

lF-n\m) -r

=

(5)

(6)

r^f(r) @

mh2

ENERGIA POTENCIAL DE UNA PARTICULA EN UN CAMPO CENTRAL un campo de fuerza central € sonservativo y, por consiguiente, puede derivarse de un potencial' Este potenc nde solamente de 4 sin que aparezcala constante arbitraria de integración, es

v(r)

= -f fOlor

(8)

y también corresponde. a la energía potencial de una partícula en un campo de fuerza central. La constante arbitraria de intelración puede obtenerse considerando, por ejemplo, v : 0 en r: 0 o V.- 0 cuando r- @. CONSERVACION DE LA ENERGIA Empleando (8) y el hecho de que en coordenadas polares la energía cinética de una partícula es !m(P +1262¡, la ecuación de conservación de la energía puede escribirse como

*m(i"+r'it')+V(r) = fi

Lm(i"+r,áI-f flrlo,

(e)

=E

(10)

donde E es la energÍa total que es constante. Empleando (4),la ecuación (10) puede escribirse como

y también

como

En función de u

: I/r,

#l(#)'**l - f

r@o,

=

T(*.H) _ t ffio, =

E

podemos escribir

D

(1

1)

(12)

la ecuación (9) como

(#)'*", =

W

(/3)

DETERMINACION DE LA ORBITA DEBIDA A UNA FUERZA CENTRAL si el campo de fuerza central se conoce, es decir, si /(r) está dado, es posible determinar la órbita o trayectoria de la partícula. Esta órbita puede obtenerse en la forma

r-

r(0)

(14)

lcAP.5

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

118

es decir,

r

como una función de d o, en

la forma'

r=t'(t),

Q5)

0:0(t)

ú' que son las ecuaciones paramétricas en función del parámetro de tiempo para determinar la órbita mediante la expresión Qa\ es conveniente emplear las ecuaindica en (15), algunas veces es conciones (6), (7) u (lt). Para obtener las ecuaciones como se veniente usar las ecuaciones (12) y @) o @) y (5\'

DETERMINACION DE LA FUERZA CENTRAL CONOCIDA LA ORBITA encontrar la fuersi conocemos la órbita o trayectoria de la partícula, entonces podemos r(0) o u: u(0) r: za central correspondiente. si la órbita está expresada mediante donde u: l/r, la fuerza central puede expresarse como

f(r\

s

f

=ry{#-?(#)'-,}

(Uu)

=

(

-mh2uz

(r6)

il.zu. I

Qn

\ffi * "l

(7) de la página anterior. También pueden obtelas cuales se obtienen de las ecuaciones (d) v ecuaciones (9) a (I3)' nerse de otras ecuaciones, como por ejemplo de las infinitos campos de fuerza paEs importante notar que dada una órbita pueden existir un campo de fuerza central único' sóra los cuales la órbita es posible. sin embargo, si existe

lo

será posible una órbita.

SECCIONESCONICAS,ELIPSE,PARABOLAEHIPERBOLA distancia D de o' como se muesconsideremos un punto fijo o y una línea fija AB a una plllo de O y de AB se mueve de matra en la figura b-8. Supongamos que un punto F en el .n distancia al punto o a su distancia a la recta AB es siempre nera que la relación "rrtr" igual a una constante Positiva e' Entonces la curva que describe P expresada en coordenadas polares (r, 0) escá dada por

r = lfecos0

(18)

Véase el problema 5'16. El punto O se llama foco,

la línea AB directriz y el radio e excentricidad. La curva frecuentemente se llama seccíón cónica debido a que puede obtenerse por la intersección de un plano y r'rr, .ono a diferentes ángulos' Existen tres tipos de curvas de acuerdo con el valor de la ex-

-

Fig.5-3

centricidad.

1.

Elipse: e ( 1 (figura 5-4)' Si C es el centro de la elipse y CV : CU : entonces la ecuación de la elipse puede escribirse

o

como

_a(l-¿)_ r = 1+.cosd Nótese que 2a.

el

es la Iongitud del semíeje maYor, (19)

y rJ de la elipse y tiene longitud eje mayores la recta que une los uértices v

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

Si b es la longitud del semieje menor (CW o CS en la figura b-4) y c es la dis_ tancia CO desde el centro al foco, entonces tenemos el siguiente resultado importante ¿ - y/F-.@ = a, (20) Un círculo puede considerarse como un caso especial de una elipse con excentricidad igual a cero.

2. Parábola:e :1(figura La ecuación de la parábola

r = ir¡*e

119

ó

p

c

o

o

o'

b-5). es

eD

Podemos considerar una parábola co_ mo el caso límite de la elipse (I9) donde c- 1, lo cual significa eu€ ¿ + - (es decir, el eje mayor se hace infinito) de tal manera que a(1 - .r) : p.

Fig.5-5

3. Hipérbola: r ) 1 (figura b_6). La hipérbola consta de dos ramas. co_ mo se indica en la figura b_6. La rama de la izquierda es la que nos interesa para nuestros propósitos. La hipérbola es asintó_ tica a las líneas a trazos de la figura b_6, las cuales son llamadas asíntotas. El pun_ to de intersección C de las asíntotas Uumado el centro. La distancia CV".: a del centro C al vértice V se llama semieje mayor (el eje mayor, por analogía con la elipse, es la distancia entre los vértices V y U). La ecuación de la hipérbola puede escribirse como

r = ¿('2-1) i+dosd

t\22)

Fig.5-6

se pueden dar otras definiciones para secciones cónicas. por ejemplo, una elipse puede definirse como el lugar o trayectoria de todos los puntos puntos fijos es una constante. Análogamente, una "rryu-.rr*" de las distancias desde dos hipéibola puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia entre las distancias a dos puntos fijos es una constante' En ambos casos' los dos puntos fijos son los focos y la constante es igual en magnitud a la longitud del eje mayor.

ALGUNAS DEFINICIONES EN ASTRONOMIA rella (tal como nuestro Sol trella es un cuerpo que emi 'la. Además hay objetos qu lite

s.

En nuestro sistema-solar, por ejemplo, la Luna es un satélite de la Tierra y ésta es un planeta que se mueve alrededor del Sol. Además existen ."i¿tit", artificiales hechos por el hombre que pueden moverse alrededor de los planetas o de .r,. lunas.

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

t20

[cAP.5

y mínima distanLa trayectoria de un planeta o satélite se llama su órbiúa' La máxima llaman afelio y se éste de cia de un planeta con respecto al sol en su movimiento alrededor perihelio, respectivamente. La máxima y mínima dista planeta alrededor del cual se mueve se llaman apogeo y Se llama período el tiempo que el cuerpo emplea en ta. Algunas veces se llama período sideral para distingui del movimiento de la Tierra alrededor de su eje, etc'

LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Antes de que Newton enunciara sus famosas leyes de movimiento, Kepler, usando numerosos datos recogidos por Tycho Brahe' formuló sus tres leyes relativas al movimiento de los planetas alrededor del Sol (figura 5-7)' Fig.5-7 1. Cada planeta se mueve en una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. (la 2. El radio vector desde el sol a cualquier planeta barre áreas iguales en tiempos iguales tey de las áreas, como vimos anteriormente)'

3.

proporcionales a los cubos Los cuadrados de los peiodos de revolución de los planetas son de los semiejes mayores de sus órbitas'

LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON (17), Newton pudo deducir su (f usando la primera ley de Kepler y las ecuaciones 6) o para

luego postuló como válida famosa ley de gravitación entre el Sol y los planetas, la cual 5'21)' todos los objetos en eI universo (véase el problema de masas Ley de la gravitación universal de Newton. Dos partículas cualesquiera con una otra la a atraerá una cada r, trlt y tnz, ,arp"atiu"mente, separadas una distancia

fuerza

D : _- Grnúnz-".. F r,

(25)

donde G es una constante llamada constante grauitacional. leyes de Kepler, e inverusando la ley de la gravitación de Newton, podemos deducir las tabla de la página342' la da en se G samente (véanse los problemas 5.13 y 5.23). El valor de

ATRACCION DE ESFERAS Y OTROS OBJETOS n, podemos deter

Para hacerlo' us licamos la leY de , por métodos de fuerza resultante de atracción. una aplicación importante se ÍIt Y tTLz' respectiTeorema 5.1. Dos esferas uniformes sólidas o huecas de masas de la misma mapartículas vamente, que no se intercepten, se atraen entre sí como si fueran sa situadas en sus respectivos centros geométricos' Puesto que el potencial correspondiente

F=

a

-9yy!2

"

(24)

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

es

V =

t2l

,

-Gmtm" ,'u, también es posible hallar la fuerza de atracción entre objetos, obteniendo primero potenel cial y luego usando F : VV. Véanse los problemas S.ZO_S.gS.

-

MOVIMIENTO EN UN CAMPO DE FUERZA DEPENDIENTE DEL INVERSO DEL CUADRADO Hemos visto que los planetas se mueven sobre órbitas elípticas estando el sol en uno de sus focos' De manera similar, los satélites (naturales o artificiales) pueden moverse alrededor

de los planetas en órbitas elípticas. Sin embargo, el movimiento de un objeto en un campo de fue¡zas dependiente del inverso del cuadraáo no necesariamente se moverá sobre una trayectoria elíptica sino más bien parabólica o hiperbólica. En tales casos un objeto, tal como un cometa o un meteorito, podrían entrar al sistema solar y salir de él sin ,"io..ru.. Las condiciones siguientes en función de la energía total E determinan la trayectoria de un objeto.

(i) si E ( 0 la trayectoria es una elipse. (ii) si E : 0 la trayectoria es una parábola. (iii) si E ) 0 la trayectoria es una hipérbola. otras condiciones en función de la velocidad del objeto son también aprovechables. Véase el problema 5.37. En este capítulo supondremos que el Sol está fijo y que los planetas no interactúan entre sí' Análogamente, en el movimiento de los satélites alreáedor de un planeta, tal como la Tierra' por ejemplo, suponemos que el planeta está fijo y además q,r" Sol y los otros planetas no lo afectan. "i Aunque tales consideraciones sean correctas, en principio, la influencia de otros planetas deberá tenerse en cuenta para fines de cierta exactitud. En los problemas relacionados con el movimiento de dos, ttes, etc., objetos bajo sus atracciones mutuas se denominan frecuentemente el problema de dos cu.erpos, o er probrema de tres cuerpos, etc.

Proble mas resueltos FUERZAS CENTRALES Y PROPIEDADES IMPORTANTES 5'l' Demostrar que si una partícula se mueve en un campo de fuerza central, entonces trayectoria debe ser una curva plana. Sea F

: /(r)r,

el campo de fue¡za cent¡al. Entonces

rXF = /(r)rXrr = como birse

rt

su

0

es un vector unitario en la dirección del vector de posición

tXdv/d,t = o

Integrando encontramos

(r)

r. Como F : mdv/dt,

puede escri-

0

d

dú(rxv) = 0 rXv = h

donde h es un vectorconstante. Multiplicando ambos lados de (4) por

usandoelhechodeque

r., r.h = 0 t¡l r'(rx v) : (rX r)'v: o. Así,resperpendicularalvectorconstanteh,de

modo que el movimiento se realiza en el plano. Suponemos que este plano es el plano

el cent¡o de fuerza.

ry cuyo origei

está en

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

L22

6.2.

IcAP.

5

Demostrar que el momentum angular de una partícula que se mueve en un campo de fuerza central se conserva. De las ecuaciones (4) del problema 5.1 tenemos,

rXv =

h

donde h es un vector constante. Entonces multiplicando por Ia masa m,

(/)

m(txvl = 1¡

Como el lado izquierdo de (f) es el momentum angular, se deduce que el momentum angular se conserva, esto es, siempre es constante tanto en magnitud como en di¡ección.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN UN CAMPO CENTRAL 5.3. Escribir las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo de fuerza central. Según el problema 5.1, el movimiento de la partícula tiene lugar en el plano ry y las coordenadas describen la posicién de la partícula en cualquier tiempo ú para las coordenadas polares (r, d). Usando los resultados del problema 1.49, tenemos (masa) (aceleración) : fuerza neta

mlr(;

-

ritz)t,

+

(ri + Zi'e)or) =

.f(r')

(r)

rr

Así, las ecuaciones del movimiento están dadas por

m(i-ráz¡ = fV) m(ri*2|i¡ = s

6.4.

Demostrar que Método l.

12

á

: h,

(3)

es constante.

La ecuación (3) del problema

n"t,*r|2i) - oy

(2)

5.3 puede escribi¡se como

mbii+zlit = ?bzi+zr;A\ = T ftv'at rr cono

=Q

12á=h

u)

donde h es una constante.

Mótodo 2. Según el problema 1.49,

la velocidad en coordenadas polares

es

v = irtlr'oot Entonces de la ecuación (4) del problema 5.1, Q) h = rxv = ilrxrr)*rá(rxct) = rzák yaque rX rr: O y rX lr: rk, dondekeselvectorunitarioenunadirecciónperpendicularalplano del movimiento (el plano ¡y), esto es, en la dirección r X v. Usando h : hk en (2), vemos que 126 : h.

5.5.

Demostrar que r'd : 2Á donde Á es la tasa de tiempo a la cual el área es barrida por el vector de posición r. Supongamos que en el tiempo Aü la partícula se mueve desde M hasta N (figura 5-8). El á¡ea AA banida por el vecto¡ de posición en este tiempo es aproximadamente la mitad del área de un paralelogramo de lados r y Ar (véase el problema 1.18) o

^A

=

lrlrxarl

Dividiendo por Aú y haciendo Aú --

: l¡*, '* l = | l¡T, ^# 11.

0,

r. x

"l

Fig.5-t

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

t?3

Á = yrxvl = {rzi

es deci¡, usando los resultados el problema 5.4.

Portanto

12á

= 2Á,

como se

requeía. La cantidad vectorial

Á = it = {(rxv) = }(r2i)k se

5.6.

denomina a veces la uelocídad areal.

Demostrar que una partícula en movimiento en un campo de fuerza central tiene una velocidad areal constante.

126: h : una constante.

Según el problema 5.4,

Á: |rriL:

|h, un

Entonces la velocidad areal es

vector constante

'hk: se enuncia en la siguiente forma:

El ¡esultado generalmente Si una partícula ge mueve en un campo de fuerza central con O como su centro, entonces el radio vector dibujado áesde O hasta la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Este ¡reultado se llama la ley de las óreas.

6.7.

Haciendo la sustitución r: I/u, demostrar que la ecuación diferencial que describe la trayectoria de una partícula en un campo de fuerza central es

d2u , ^. f(l/u) = _ffi @+u

Del problema b.4 o la ecuación (J) del problema 5.8, tenemos

12á=h

o

ó=h/rz=huv

(r)

Sustituyendo en la ecuación (2) del problema b.3, encontramos

m(';-h2lr+\ = f(r') Ahora si r : I/u, tenemos

dr r, = E = drde dcü

| = ü

ü

=

(2)

hdr ,du rzA; = -nde

d/ .d*\ = a¿\-^a) = ü¡t (-r#)# =

(3)

-h2u2#

(4)

De donde se obse¡va que (2) puede escribirse como

m(-hzu,z dzul(ls2

o, como se

, -. dez

dzu

deseaba.

=

l¿2lrsl

-

l(Uu'l

f(llul ¡nh2u2

ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIA EN CAMPOS DE FUERZA CENTRAL 5.8. (o) Demostrar que un campo de fuerza central es conservativo. (ó) Encont¡ar la rrespondiente energía potencial de una partícula en dicho campo. Método l.

(5) (6)

co-

Si podemos encontrar la energía potencial o el potencial, entonces podremos ptobar si el campo es conservativo. Aho¡a, si el potencial V existe, debe se¡ tal que

F. donde F como

: /(r)r,

r.dr :

F. rd¡.

d¡ = -ilV

es la fue¡za central. Tenemos

dr = f(r)¡t, dr = f(r)\, d.t - f(r)dr

Como podemos determina¡ V tal que

_¿y = l(r) d.r

(1)

t24

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

po¡

IcAP.

v = -J'tvto,

ejemplo,

5

(2)

se deduce que el campo es conservativo y que (2) rep¡esenta el potencial o

la energía potencial.

Método 2. Podemos demostra¡ que

5.9.

V X F : O directamente,

pe¡o este método es tedioso.

Expresar el principio de conservación de la energía para una partícula de masa rn en un campo de fuerza central. Método

1.

La velocidad de una partícula expresada en coordenadas polares es (problema

" = |¡t*rbor

1.49)

demodoque u2 = v'u - i'z¡,zlz

Entonces el principio de conse¡vación de la energía puede expresarse como

*maz*V z

= E

o

{n1}z

+

rz'ezt

-

J'

r
o, =

E

donde E es una constante.

Método 2. Las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo central son; según el problema

5.3,

m(i - ráz¡ = f@\

m@í+ziá\ = Multiplicando la ecuación (t) por

o

(2)

Ia ecuación (2) por rá y sumándolas, obtenemos

i

m1|'i + r2i'i + r¡62¡

¡*ft6,+r2b2\

que puede escribirse

(I)

=

fQ)|

(3)

= fttx,to"

(4)

Integrando ambos lados, tenemos gm1|z

5.f0.

+

rziz)

- .f f
E

(5)

Demostrar que la ecuación diferencial que describe el movimiento de una partícula en un campo de fuerza central puede escribirse como

f .. mh2f/dr\2 "l :,,L\Aa) *,")) f(r)dr -

=

E

Según el problema 5.9, podemos exp¡esar la conservación de la energía como

¡m1i"z+rzá\

Tambiéntenemos

- f Xrlo, =

(r)

E

dr; i - y, = ilrde de dt = do-

(2)

Sustituyendo (21 en (1), encont¡amos f t'

\2

1

+-l(#)" *,,)a, -

! rvto, =

E

"

1 r mh2f/dr\z**)ffiL(a,/ ) r{''ta'

=E

.olno á : h,/r'¿.

5.11. (o) Si u: l/r,

demostrar que ?r2 = i'+ r"á' - h2{(du/d0\2*u'). (b) Usar (o) para demostrarque la ecuación de conservaciónde la energía se reduce (du/d|)z

* tt2 =

2(E

-

V\lmhz

a

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO (¿)

De las ecuaciones (I)

o2 (ó)

y

i: _hdu/de. Así, (yuzl(hfilz = lfl(duldgzauz¡

(J) del problema b.? tenemos

= P*r2i2 =

hz(d.u/ttc\z*

á:

125

hu2,

Del principio de conservación de la energía (problema b.9) y de la parte (o),

$mpz

-

= E-V

[rn1i.z+rit2l

(duldc)z

o

! u2 =

2(E -V\/mhz

DETERMINACION DE LA ORBITA A PARTIR DE LA FUERZA CENTRAL O LA FUERZA CENTRAL A PARTIR DE LA ORBITA 6'12' Demostrar que la posición de la partícula como una función del tiempo ú puede terminarse de las ecuaciones

t =)

Haciendo 6

:

t - f!,"ae

[G(r)]-t/2dr,

#*|frotd,-#

=

G(r)

donde

de-

n,/r2 en la ecuación de conservación de la energía del problema b.9,

+rn(;2+hz/r2)

|z =

-f

,
=

E

,#.*! r
G@)

Entonces, admitiendo la raíz cuad¡ada positiva, tenemos

4r¡¿¿

= t/@

y separando las va¡iables e integrando, obtenemos

t = ) La

5.r3.

segunda ecuación se deduce escribiendo 6

Íe{d|-t,ra,

: h/r2 como dt :

12

d\/h

e integrando.

Demostrar que si la ley de fuerza central se define mediante

f(r) = -K/r2, K>o

es decir, como una ley de atracción del inverso del cuadrado, entonces

de la partícula es una cónica. Mérodo

la trayectoria

l.

En este caso f

ma 5.7, encont¡amos

(l/u) : -

Ku2

.

Sustituyendo en la ecuación diferencial del movimiento en el proble-

dzulde2*u = Klmhz

(r)

Esta ecuación tiene como solución general

xL = Acoso*Bsene *Klmhz

(2)

o usando el resultado del problema 4.2.

1tr esto es,

=

Klmh2

*

Ccos(e-p)

| = nffi+]cosp]

(3)

1

Es siempre posible escoger los ejes de tal mane¡a que ó

-' :

Klmhz

: 0,

I

(4)

caso en el cual tenemos

Ccose

(5)

IcAP.

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

126

(véase

la cual tiene la forma general de una cónica

5

el problema 5.16)'

ol

r = l+.cosa = l6FJ¡lelc.oe

(6)

Entonces, comparando (5) V (6) vemos que

,lP - C llp = ¡¡¡^¡2, c-mhzClK p-mh2lK,

o Método 2. Como

/(r) : - K,/r2,

tenemos

@ (8)

f

V = -) f{r\a, = -KlrIcl donde c¡ es unA Constante. Si suponemos que V.+ 0 cuando r+ V = -Klr

(e)

@, entonces cr

: 0 y como (10)

Usando el resultado del problema 5.10' encontramos

de

^nrf(L\'+ef 'r ltr-L\t6l --) = E+L . Iznr¿ i, urr :tlr =,

donde

(12)

L

\lm

ae

ull

-mh2-

Separando va¡iables e integrando (véase el problema 5.66) encontramos la solución (5) donde C se erpresa en función de la eneryía E.

Obtener la constante C del problema 5.13 en función de la energía E' (b') Demostrar que la cónica es una elipse, una parábola, o una hipérbola dependiendo de si E < 0, E : 0, E > 0, resPectivamente.

5.14. (o)

Método

(a)

l.

La energía potencial

es

v = -fJ'" ¡Olo, = Jf Wnlo, = -Klr = -Ku donde usamos u : l/r y elegimos la constante de integración tal que ecuación (5) del p¡oblema 5.13,

7t = tlr =

Así del problema 5.11(b) y la ecuación

(csen r)z

o

G=

haciendo C > 0.

(b)

+ (ffi+c

#.*h

(l),

K/¡nh2

*

lim

V

U)

: 0. Ahora de la (2)

Ccosa

tenemos

.o.r)' = ffi o

+

#(#+

c"o"c)

c=\ffi(r)

Usando el valor de C en la parte (o), la ecuación de la cónica es

comparándola con la ecuación (4) del problema 5.16 vemos que la ercentricidad es

Trzo^tr c = {r__W_

De donde puede concluirse que la cónica es una elipse

unaparábolasi

si E < 0

(4)

- K2/2mh2)' e:1 y e) 1

(pero mucho mayorque

E:0 yunahipérbolasi E>b, Iocualesequivalentea c<

1,

respectivamente.

Mótodo 2. EI valor de

C puede obtenerse

también utilizando el segundo método del problema

5.13.

cAP. 5l

5'15'

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

r27

Bajo la influencia de una fuerza central en el punto O, una partícula se mueve en una órbita circular la cual pasa por o. Encontrarla ley de fuerza. Método

l.

coo¡denadas polares la ecuación de un círculo, de radio a, que pasa por O es (figura b-9)

Entonces como

r = u : L/r : d.u de

2acoso (sec sec e

0)/2a. tan

tenemos

e

2a

d.2u

ile2

=

secs,

*

sec

c tanz o

2a

Fig.5-9

Así, por el problema 5.7,

f(t/u)

=

-mhzu2

(# - ") =

-^uru, ("""

¡nh2u2 t-^'a ^ L -^^ ^ t.^-'o = -mhLuz - Zú {secüd+seca(tan2d+1)} =, -=if,.2aecac = -8mh2a2u5 _ 8mh2a2 fo\ tE

Así, la fueza es de atracción va¡iando inversamente a la quinta potencia de la distancia deede O. Método 2.

Empleando

r:

2a cosd en la ecuación (16), tenemos

f(r) = %-{-r"cos, - *k(-2osen r L zaeogo. -- 4amh2 ra cose

elz

-

2a.orr} )

8ahnh2

p

SECCIONES CONICAS, ELIPSE, PARABOLA E HIPERBOLA 5'16' Deducir de la ecuación (18) de este capítulo la expresión pa¡a una sección cónica. Haciendo referencia a la figura 5-3, por definición de una sección cónica, tenemos para cualquierpun-

to P sob¡e ella,

r/d=,

o

d.=rlc

(r)

p=cD

(2)

Haciendo corresponder al punto particular

e tenemos o P/D- G

Pero

D = d,Ircosc

= !+r"o"c

= I1l+.cosa¡

(3)

Entonces de (2) y (J), al elimina¡ D, obtenemos

p = r(l *ccos0) La ecuacióncorresponderáa un cí¡culo una hipérbola ei c ) l.

6.17.

o

r = l+ra¿*,

si c : 0, a una elipse si 0< e ( l,

(4)

a unaparábola

si c : I ya

Deducir la ecuación (I9) para una elipse. Haciendoreferencia alafiguraS-4,vemosquecuando Por tanto, usando la ecuación (4) del p¡oblema 5.t0,

0:

o,

r:

OV y entonces

c: t, r-

OU.

IcAP.5

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

r28

OV -- p/(l *

,),

OU=

pl(L

o

p/(r +

+p/(1 -e) =

(r)

,)

-

Pero como 2¿ es la longitud del eje mayor,

OVÍOU = 2a de

p

donde

= o(1 -

Así la ecuación de la elipse es

(o)

en la figura 5-4:

(3)

ez¡

¿(1

*

e)'

Según el problema 5.1?, la ecuación (3) y la primera ecuación de (l),

:-

c)

(r)

a(l-r.)

(2)

a(t

-

Según el problema 5.17, la ecuación (3) y la segunda ecuación de (I),

cll -e2)

ou = := I -€ 5.19. Demostrar es

(4)

(a) OV: a(l - .), (b) OU:

ov = ío+- = {*4.' (b)

(2)

2a

a(l - ez¡ 1*ecosá

r=

6.18. Demostrarque

e)

que c

:

r -

€

=

¿e donde c es la distancia desde el centro al foco de la elipse. o

la longitud del semieje mayor y e la excentricidad. De la figuraS-4tenemos c : CO : CV - OV: a- a(l-

c)

-

se'

un resultado anólogo es válido para la hipérbola (véase el problema5.73(c)).

6.20.

Si a y c reprcsentan lo mismo del problema 5.19 y b es la longitud del semieje menor' demostrar que: (o) c = \F -F, (b) b = alh - ,'(o) De la figura 5-4 y de acue¡do con la definición de elipse, tenemos

OV

'-W-

CV-CO - a-c vE vE

o

vE - ú-c €

(I)

También como la excentricidad es la distancia desde O hasta tVdividida porla distancia desde Wa la dircct¡iz AB (la cual es igual a CE), ten€mos

OWICE o, usando

(t) y el resultado del problema 5.19,

OW = cCE =- e(CV*VEl : Entonces (OWl2

(b)

= ,

- (OC\|+(CW)2 o

Según el problema 5.19

a2

y la parte (a), a2

:

ela,*

=

b2

b2

(a-c)/,) = cal a'- c =

a

lc2, i.e' "=1@=F. I a2'2 s $ : s\/l --ez'

LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Y LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON que si un planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita elíptica, con el Sol en uno de sus focos (primera ley de Kepler), entonces la fuerza central necesaria vaia inversamente con el cuadrado de la distancia del planeta al Sol.

6.21. Demostrar

Si la trayectoria es una elipse, con el Sol en uno de sus focos, entonces llamando r la distancia desde según el problema 5'16,

el Sol, tenemos,

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES

r-?-:-

Y

MOVIMIENTO PLANETARIO

lle u = -rpp = -+-cosd

o

I+€COSd

r29

(1)

donde c ( 1. Entonces la fue¡za central está dada, como en el problema 5.?, por

Í0/u) =

al sustituir el valo¡ de u

en

-^¡zyz(tl2u/de2 Iul = -mh\P/p (1). De (2) tenemos al remplazar upor I/r,

f(r)=-mh2/pr2=-Klrz

6'22'

(2)

(3)

Discutir la relación de la ley de la gravitación universal de Newton con el problema

5.2r.

Históricamente, Newton llegó a la ley de fuerza del inverso del cuadrado para los planetas usando la primera ley de Kepler y el método del problema 5.21. Luego conside¡ó que todos los objeios del universo se atra¡an entre sí con una fuerza que e¡a inversamente proporcional al cuad¡ado de la distancia ry directamente propo¡cional ar producto de sus masas. Formuló su postulado como GMn¿ ^ ¡=-ürt(1)

tt_ll

constante de la gravitación universal. En forma equivalente, la ley de fuerza (J) del problema

3:10:esI la misma que (I) donde b.zt

K =

6'23'

GM¡n

(2)

Demostrar la te¡cera ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de los diferentes planetas son proporcionales a los cubos de sus correspondientes semiejes mayores. Si o y b son las longitudes de los semiejes mayores y menores, entonces el área de la elipse es rob. Como la velocidad areal tiene magnitud h/2 (problema 5.6), el tiempo empleado en barrer toda el área rob, esto es, el peíodo, es

D -

lreb

2rab

hn

h

(Ir

Ahora por la ecuación (3) del problema 5.1?, el problema 5.20(b) y la ecuación (g) del problema b.13, tenemos

b = otfii4, Entonces de (1)

y

p = a(L-.2) =

mh2lK

(21

(2) hallamos

p = lvmr/2s3/2/Kr/2

o

P2 _

4zr2ma3/K

Así, los cuadrados de los períodos son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores.

6.24.

Demostrar que GM

:

gR2.

sobre la superficie de la Tierra, esto es, ¡: rR, donde B es er ¡adio de la Tierra, la fue¡za de atracción de la Tierra sob¡e un objeto de masa ,n es igual al peso mg der objeto. Así, si M es la masa de la Tierra_

GMn/R2

6.26.

=

mg

o

GM-gR2

Calcular la masa de la Tierra. 108

según el problema 5.24, GM : gR2 o M : eR2/G. 'romando el radiode la Tierra como 6,38 X g : g8o cm/seg2 y G :6,62 x r0-8 unidades cGS. encont¡amos M : 5,98 X 1027 g :

cm,

1,32

x

1025 lb.

ATRACCION DE OBJETOS 5'26' Hallar la fuerza de atracción de una varilla delgada uniforme de longitud 2o sobre una partícula de masa ¡n colocada a una distancia ó de su punto medi;.

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

130

lcAP.5

Escogemos el eje r a lo largo de la varilla y el eje perpendicular a ella y hacemos que O esté en el centro, como se muestra en la figura 5-10. Sea o la masa por unidad de longitud de la varilla. La fuerza de atracción dF entre un elemento de masa o d¡ de la varilla y la masa rn, según la ley de gravitación universal de Newton, es

y

dF

odfr

+a

-u

= ffi(senai-cosri) =

Gmor

d,r |

@rTt4ol,

-

como de la figura 5-10, sen e : ción es

Gmob dn @2

+ b\uz t

x/!T-F,

F =, 1,"=

Fig.5-10 cos d

: b/\/;z#.

-"#ffi -

t .f,"=

Entonces la fue¡za total de at¡ac-

-"ffi,¡,,

: f) - zit""ffiffi = -2Gmobi!," ¡pfu Sea

¡: btand

x:0,0:0;

enestaintegral.Entoncescuando

ycuando

r: a,0: tan-t (a/bl.

Así, la integral se convierte en

F =

rt"n-l (o/b) b

-zcmobi I

"o

Como la masa de la varilla es

M

:

sec2

e de

(bz serz s)tlz

2oo, también podemos escribi¡ GMm

-

b{a'2

+ b2'

Asi vemos que la fuerza de at¡acción está diúgida desde m hasta el centro de la varilla y su magni-

tud es

6.27.

2Gmoa/b{lrTT

o

GMm/bG

+-l-b|.

m sobre la perpendicular que pasa por el centro de una placa circular de radio a v a una distancia b del centro. Hallar la fuerza de atracción entre la placa y la masa m. Se coloca una masa

Método

l.

n un vector unita¡io dibujado de manera que su origen O coincide con el punto P donde está Iocalizada la masa /n, y dirigido hacia el cent¡o O de la placa. Subdividiendo la placa circular en anillos circula¡es (tales como ABC en la figura 5-11) de radio ¡ y espesor dr. Si o es la masa por unidad de área, entonces la masa del anillo es o(2rrd.r). Como todos los puntos del anillo están a la misma distancia llR de P, la fue¡za de atracción del anillo sobre la masa m se¡á Sea

d'I

=

=

Go(%rr d,r\m

--:-t/rz + Uz Go 2tr dr mb

COS

I n

ffin

(.1)

donde, debido a la simetría, la fuerza resultante de at¡acción está en la dirección n. Al integrar sob¡e todos los anillos desde r: 0 hasta ¡ : a, encontramos que la atrac-

ción total

Fig.5-1r

es

n' = 2tGom' b" Para evaluarla integral, sea 12 * b2 cuando r: 0 y u: G-T-F

¡:

(o

r dr

), Taffio

: u2 de manera que rdr: a, la ¡esultante es

udu.

el Entonces, como

u: b

cuando

CAP.

5I

l3l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

F=

2¡Gomb"

Si hacemos a igual al valo¡ de

# =

f* rb

2rGom^(,

\

{ cuando r : d. entonces F = 2¡Gom n (1 - cos a)

-+) 1/az*bz/ (J)

Por tanto la fuerza está dirigida desde m al centro o de la placa y tiene una magnitud 2rGom(l

-

cos c).

Método 2.

El método de integración doble también puede utilizarse. En tal caso el elemento de área en A es rdrdq, donde d es el ángulo medido desde una línea (que puede ser el eje r) en el plano de la placa

circular y que pase por el centro O. Entonces tenemos, como en la ecuación (l), Gob dr d,c\mb

ctt =

6'+wn

n

y, por integración sobre la placa circular,

ro (r" r d,r de (" 2trr d,r F = Go^un),=o)r=rt*íffi = ""^'nJ,=offiffi =

6.28. Una placa uniforme está formada

2rGomn(l -cosa)

por

dos semicírculos concéntricos de radios interno y externo a y b, respectivamente, como se muestra en la figura 5_12. Hallar la fuerza de atracción que ejerce la placa sobre una masa rn localizada en el centro O. Es conveniente usar coo¡denadas polares

(¿ d). El elemento de á¡ea de la placa (sombrea_ do en la figura 5-12) es dA: rdrd|, y la masa es ordrd0. Entonces la fuerza de at¡acción en_

tredAyOes

Fig.5-12

dF =

G(ordtde\m(cosa rz

i 4sena i)

Así, la fuerza total de atracción es

F=

Ír"=,

l"'="futffu

(cose

/t\ fr = Gomlnf : ) | (cosa i * \ú / _e=o Como

M:

a(!¡*b2

-

tr"a2), tenemos

i

sena

o:2M/r(b2 _

F=

*

sena

j)

j) da =

ZGomln( __-.." -..

/r\ !\¡

\r/,

a2) y lafueuapuedeescribirse

!=Q-M*=, r" /¿\ ;F6 ',n \;/'

.

El método de integración simple puede también emplearse dividiendo la región comprrndida r - a y r : b en anillos circulares, como en el problema 5.2?.

5'29. Hallar la fuerza de atracción tícula P de masa mo

17¿

entre

de un cascarón esférico delgado de radio o sobre una par> a de su centro.

a una distancia r

Sea O el centro de la esfera. Subdividiendo la superficie de la esfera en elementos ci¡tulares tales coABCDA, en la figura 5-rB, usando planos paralelos perpendiculares a op. El área del elemento de superficie ABCDA, como se muestra en la figura 5-13, es

2t(asenc)(ad,cl -

2zraz Eeno do

ya que el radio es d sen 0 (de manera que el perímet¡o es 2r (o sen 0)) y el espesor es a d0. Entonces o eg la masa por unidad de área, la masa de ABCDA es 2¡a2o sen| d0.

t32

FUERZAS CENTRALES

Y

MOVIMIENTO PLANETARIO

IcAP.

5

Como todos los puntos de ABCDA están a la misma distancia w : AP de P, la fuerza de at¡acción del elemento ABCDA sobre ¡n es cos C

n

(t)

teniendo en cuenta que por simetría la fuerza neta actuará en la dirección del vector unitario n desde P hacia 0. Aho¡a, de la figura 5-13,

coso= PE lp= Usando (2) en (1)

u)2

y

=

PO-EO ¡p

r-a,cose

Q)

empleando la ley de los cosenos a2

Irz-2arcoso

Ql

hallamos

dF=

G(2ra2o (a2

sen

|

Entonces la fuerza total

r2

e de\m(r

2or

-

@

cos a)

es /.¡ F = 2rGa2onn I cos e\3/2

J

o=o

Fig.5-r3

(/ - o cos d) sen,

(a2

I

r2

-

2ar

eose)3/2

de

\4)

Podemos calcular la integral usando la variable ¿¿ dada por (3) en lugar de d. Cuando d : 0, u:2: a2 - 2arl r2: (r - o)2 demaneraque ¿, : r- a si r) ¿. Tambiéncuando f :v, ¡¡'2: a2 I 2ar* 12: (rI al2, asíque p: r* o. Porconsiguientetenemos 2w du = Zar sene do u2-a,2+12 z¿2\ 12 ocosa : r-a\-- /a2 * %r2r )

en n ^r+a / 12 - o2\ ' F = oGao:mn ('-" (, J,-o\+w2)au'

Entonces (4) se convierte

5.30.

Desarrollar el problema 5.29

si r <

4rGa2omn

P

a.

En este caso la fuerza también está dada por (4) del problema 5.29. Sin embargo, al caleular la integral observamos que al hacer la sustitución (3) del problema 5.29, 0 : 0, se obtiene ,'z : (a - r) 2 o LL) : a- r si ¡( o Entonceselresultado(4)delproblemaS.29sereducea

F - =

¡Gaolmn

12

('*' ( t _", -!\ u)2

J

\-

/-

a* =

o

Po¡ tanto un cascarón esférico no ejercerá ,."i; O" atracción sobre ninguna masa colocada en su interior. Esto significa que una partícula estará en equilibrio dentro del cascarón esférico.

5.31.

Demostrar que la fuerza de atracción en el problema 5.29 es Ia misma si se considera que la masa del cascarón esférico está concentrada en su centro. La masa del casca¡ón es M muestra el resultado pedido.

: 4ra2o. Po¡ tanto, la fuerza es F : (GMm/r2)n,

con lo cual se de-

5.32. (o) Hallar la fuerza de atracción de una esfera sólida

uniforme de masa m colocada fuera de ella. (b) Demostrarque se obtiene la misma fuerza como si Ia masa estuviera concentrada en su centro. (o) Podemos subdividir la esfera sólida en cascarones esféricos concéntricos. Si p es la distancia desde cualquiera de estos al centro y si do es su espesor, entonces, según el problema 5.29, la fuerza de atrac' ción de este cascarón sobre la masa in es

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

¿I¡^

=

133

P91U¡2.2-dP)m n

(r)

do¡de o es la masa por unidad de volumen. Entonces la fue¡za total obtenida al integrar desde 0 hasta ¡: c es G({nax)omn ,, , E - A¡Gotnn (o | u- r7¡t = --FJo -=-

(ó)

Como la masa de la esfe¡a ¡4: $raso, (2) puede escribirse como F "" demuestra que la fuerza de at¡acción es la misma c<¡mo si la masa estuviera Se puede

5'33'

(2)

: (GMm/r2)n, lo cual concentrada en el centro.

también hacer integración triple para obtenereste resultado (véase el problema 5.180).

Deducir el resultado de los problemas 5.29 y 5.30 a partir del potencial debido a la dis-

tribución de masa.

El potencial dV debido al elemento ABCDA es

cIV = -G(2¡a2osenede)m er

la, + r, _ Zar cosl

Entonces el potencial totai es

V=

sen 0 de

-ZrGa2om.f , .'o

{dr¡ r, - Zar cos o tfrlrr\2 rf¡n|fit, {V(¿* r\2 - t/(a-r)z) -2rGaom f -

Si ¡)

rr

¿ seobtiene

Si r< ¿ seobtiene Entonces

si r ) o la fuerza

( o

la fuerza

GMm

t¡

V = -4rGaont es

F=-VV y si r

4tGa2om

es

GMm - / GMm\ tt = --rz / '

F=-VV=_y(_A¡Gaom\=¡ lo cual está de acuerdo con loe Soblemas 5.2g y 5.30.

PROBLEMAS VARIOS 5'34' Un objeto se lanza verticalmente desde la superficie de la Tierra con rapidez inicial uo' Despreciando la resistencia del aire: (a) Lallar la rapidez a una disiancia por If encima de la superficie terrest¡e, y (b) la mínima velocidad de lanzamiento a fin de que el objeto nunca regrese.

F = _ry,,

(1)

donde r, es un vecto¡ unitario dirigido ¡adialmente hacia afue¡a desde el centro de la Tie¡ra en la dirección del movi_ miento del objeto.

Si u es la rapidez en el tiempo ú, de acuerdo con la

gunda ley de Newton.

se-

Fig.5.14

lcAP.5

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

134

*#"

=

-Y"

GM

ilo

ü

o

(2)

12

Lo cual puede escribirse como

#H=_e:! o

Al integrar

(4)

Como el objeto parte desde ls supelicie terrestre con rapidez ue, tenemos u así que c, : t:f,/2 - GM/R- Entonces (4) se reduce a

02 Así, cuando el objeto está a una

D2 o

sea,

(3)

= GMlr*cl

o2/2

se obtiene

GM

o#=

:

uo

cuando

r:

n,

I \ /t *"7 = zcMl;-i)

(5)

altura H sobre Ia superficie de la Tierra,

es decir,

cuando

r:

B

*

H'

= rcM(E+E-+).4 = c-ff1**a zcMH O = \II ,¡o_ FIFTE

Usando el resultado del problema 5.24, se puede escribir

1)

(b)

Cuando H

f^" = !0¡_ETE "BH

(6) - -, la rapidez límite dada en es

,/q=

lq=EÑn como

lim

#ñ

= 1.

(6)

rñ

@

La rapidez inicial mínima ocurre cuando (7) es cero o cuando

oo

:

1@ñiE =

{rln

€)

se llama uelocidad Esta rapidez minima se llama ropidez de escape y la correspondiente velocidad

de escape de la superficie terrestre'

ó.35.

teDemostrar que la magnitud de la velocidad de escape de un objeto de la superficie rrestre es alrededor de 7 mi/seg. De la ecuación (8) del problema 5.34, us encontramos uo : 6'96 mi/seg'

5.36.

: @E-

Tomando

g:

32pies/seg2

y

R

-

4000

ni'

Sol Demostrar por métodos vectoriales que la trayectoria de un planeta alrededor del focos. sus es una elipse, con el Sol en uno de Como la fuerza F entre el planeta y el Sol es

GMm F = *Adv = -T-rt

ilv

tenemos

¿lt

-

-ry-r. rz

(¡)

(2)

También, según el problema 5.1, ecuación (4), tenemos

rXv = YcomoÍ=rtb

v=

h

# = ,+*#,,. De (r), h = rxv = *,r(,#*#,,) = r2r,xfi

(3)

(4)

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

135

De (21,

#"n = -ffr1xn = -GMr1r(r,"*) d¡, .d',.) ^..11 drr\ = -Gn' t(rr o, )" - (rr'il-¿rl = e*i usando la ecuación (4) anterior y la ecuación (z) del capítulo de vectores. pero h es un vector constante,

# " ^ = *ex h) así que d

ft(vxtr) integrando, dedonde r.(vxh)

= c*;d.t

vXh = GMtl*c

= GMr*rr1 .c = GMr*rccoac donde c es un vector constante arbitrario que tiene magnitud c, y que forr¡a un ángulo d con rr. Como r. (v X h) : (r X v).h : h.h : l¡2 [véase el problema 1.72(a)1, h2 = GMr*rceose Y

así

= GMr.t1*r.c

r = dFi*r* = ,Tffi

"r*

la cual es la ecuación de una cónica. como la única cónica que es una curva cer¡ada es una elipse, queda demostrado lo pedido.

5'37'

Demostrarque la rapidez u de una partícula que se mueve en una trayectoria elíptica en un campo de fuerza del inve¡so del cuadrado está dada por donde

a es el semieje mayor.

K /2 1\ ^.2 u - m\ra)

Según (8) del problema 5'r3, (4) del problema 5.14 y (J) del problema 5.1?, tenemr.¡s

o=ry

de la

cual

"(-r#)

=úú(r-G2)=

(r)

E = _K/2a

Y según el púncipio de conservación de la energía, usando

e)

v: _K/r

tenemos

t^rt = E-V = -#.+ o

4(?-L\ o, - = m\r a/

(3)

Análogamente podemos demost¡ar que pa¡a una hipérbola

1)2

= 4/?*t\ m\l -á/

mient¡as que para una parábola (lo cual corresponde a hacer

o2

=

(4) a

-. -

bien sea en (J) o en (4)),

2Kl¡nr

5'38' Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a una altura Il Determinar: (a)

sobre su superficie.

la rapidez orbital, y (b) el período orbital requerido para que un hombre dentro del satélite no experimente peso.

(a)

suponemos que la Tierra es esférica y que tiene un radio .8. No se erperimenta peso cuando la fuetza centúfuga (igual en magnitud a la fue¡za centrípeta, esto eB, la fuerza debida a la aceleración centrl-

IcAP.5

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

136

peta) que actúa sobr€ el hombre por efecto de la rotación del satélite alrededor de la Tierra iguale exactamente la atracción de la Tier¡a. Entonces si us es la rapidez orbital,

,nD6

ETH =

GMm

(R+H)2

o

snw - (n+ m2

0o

=

p

ffi{tn-W

Si H es pequeña comparada con B, se obtiene VEg aproxi madamente. Rapidez o¡bital

(b)

Así'

:

1)¡

distancia ¡ecor¡ida en una ¡evolución

tñpo

d-e

untrevolución o Período

= ttg;lt

Entonces de la parte (c),

p = 2r(R*H) -"\ n / os = z,(R!H\

Si H es pequeña comparada con fl, se obtiene

5.39.

z"lEG,

aproximadamente.

Calcular: (o) la rapidez orbital, y (b) el peiodo en el problema 5'38 suponiendo que la altura .E[ por en;ima de la superficie terrestre es pequeña comparada con el radio de la Tierra. TomandoelradiodelaTie¡racomo4000millasy g:32pies/seg2'encontramos:(¿)

4,92mi/seg, y (ó) P

:2*lEE

: 1,42h:

85

5.40. Hallar Ia fuerza de atracción de una esfera sólida de radio o masa

17¿

a una distancia b

I a

uo:tffig:

minutos aproximadamente'

sobre una partícula de

a partir de su centro'

Según el problema 5.30, la fue¡za de atracción de cualquier cascarón esférico sobre una masa m en su inteúo¡ (tal como el cagcarón esférico dibujado a trazos en la figura 5-15) es cero' Así, la fuerza de atracción sobre m es la fuerza debida a la esfera de radio b < o con centro en O. Si o es la masa por uni' dad de volumen. la fue¡za de atracción es

c(trbslcmlb2

=

1$tGom)b

Po¡ tanto, Ia fuerza varía en función directa a la distancia b de Ia masa al centro.

Fig.5-15

Proble mas propuestos FUERZAS CENTRALES Y ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

5.41.

y son respul Indicar cuál de los siguientes campos de fuerza cent¡al son atractivos hacia el origen O cuáles : (c) I)r't/(rz + 1); (d) F r(r : (ó) O; : K > F (o) Krr/{1, F sivos desde o. -4r3rr;

rrlr. (a) atractiva; (b) repulsiva; (c) atractivasi 0 < r ( 1, repulsivasi r > 1; (d) repulsivaPara 2n 1 r < 2n *1, atractiva para 2n* 1 ( r < 2tt * 2 donde n : 0' 1' 2' 3 yi)' Demostrarque en coordenadas rectangulares la magnitud de la velocidad areal es i(¡i -

F:

S€D

Resp.

6.42. 6.43.

de fuerza cen' Dar un ejemplo de un campo de fue¡za dirigido hacia un punto fijo que no sea un campo tral.

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

r37

6.44.

Deducir la ecuación (Z) de este capítulo.

5'45'

Si una partícula se mueve en una órbita ci¡cular bajo la acción de un campo de fuerza central dirigido hacia el centro, demostrar que el valor de su velocidaá alrededor de la órbita debe ser cons¡ante.

5'46'

Una partícula de masa m se mueve en el campo de fuerza central definido por F : - Krr/rs. Si parte del eje r de un punto situado una distancia positiva a medida desde el origen y se mueve con rapidez u¡ en una dirección que forma el ángulo c con la parte positiva del eje r, demostrar que la ecuación dife¡cncial para la posición radial r de la partícula en cualquier tiempo t es

d2r dt, 6'47' (a)

Demostra¡ que la ecuación diferencial de la órbita del problema 5.46 en función de dada por

d2u,,.K ¿rz+\t-t)u (b) 5'48'

(K - rna2trtsenz a) - -----ñ-

= 0

donde

y

u: L/r

está

= ñWna

Resolver la ecuación diferencial de la parte (a) e interpreta¡ fisicamente los resultados.

se mueve bajo la acción de un campo de fuerza central Ylil,"-u*.'" orDlr'ar es sremp¡e constante e igual a uo. Deducir

tal que la magnitud de su velocidad

todas las órbitas posibles.

ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIA

5'49'

Hallar la energía potencial o el potencial correspondiente al campo de fue¡za cent¡al definido por (¿) F--Kr1/É, (D) F= (a/r2tg/f)rt, (c) F=Krrr, (ill F=r/tlF, (e) F=senrrrt.

Resp. (a)

5'5o' (o) (b)

-K/2r2, (b) alr ! p/2r2, (c\ [Krz, (ü

2r,/V, (el

(eost)lr

Hallar la energía potencial de una particula que se mueve en el ca-Fo de fuerza : F - Krr/r2. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza dada en (o) para mover una partícula desde un punto aobre el círcu-

lo r: a ) 0 aot¡opunto sobreelcírculo r: b) 0? ¿Eltrabajodependedelatrayectoria?Brplicar. Resp. (a) - K/r, (b) K(a - b)/ab

5.51.

Desa¡¡olla¡elproblemab.F0paraelcampodefuerza

6.62.

Una partícula de masa m se mueve en el

camp energía. de velocidad está dada por u : V

cribi¡ la ecuación de conservación de la su magnitud

F: _K¡t/r

Resp.

(a)

_Klnr,

definido por

(b)

_Kln(a/b)

F: _Kr¡/rs.

(o)

Ee_

si E es la energía total de la partícula,

5'53'

Una particula de masa m se mueve en el campo de fuerza central E : Kr2rt. Si parte del reposo de un punto sobre el círculo r: o: (a) demost¡a¡que cuando alcance el círculo r: ó la magnitud de su velocidad setá lTKl-@T ---jrfifi v que, (b) la magnitud de la velocidad es independiente de la t¡ayectoria.

5'54'

Una partículg de masa m se mueve en el campo de fuerza cent¡al F : Ktt/r" donde K y n son constantes' Si parte del reposo de r: a y llega a r: 0 con una rapidez finita uo: (o) demostrar que se

debecumplirque

¿< ty K> 0, (b) demostra¡que us: \E-Kar=;l*A=¡,

cado físico del ¡esultado (¿).

5.55.

(c) discutirelsignifi-

Derivando ambos lados de ra ecuación (/J), deduci¡ la ecuación (6).

DETERMINACION DE LA ORBTTA A PARTIR DE UNA FUERZA CENTRAL O LA FUERZA CENTRAL A PARTIR DE LA ORBITA

5'56' Una K es Pend

6'57'

asa m

se

positiva' determin

fuerza cent¡al cuya magnitud es /(r): -K¡ donde n r : a, d - 0 con rapidez uo en la dirección perde curva describe?

(a) Desar¡ollar el problema 5.56 si la rapidez uo tiene una dirección que forma un ángulo c con la parte positiva del eje r. (ó) Discuti¡ los casos cuando c : 0, a : r y dar el significado fÍsico.

IcAP.5

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

138

5.58.

Una partícula se mueve en un campo de fuerza central localizado en r : 0 y describe la espiral r Demostrar que la magnitud de la fue¡za es inve¡samente propbrcional a r3.

6.59.

Hallar la fuetza necesaria para hacer que una partícula describa la lemniscata 12 : a2 cos 20 (figura 5-16). 8esp. Una fuerza proporcional a r7

ó.60.

Obtener

5.61.

Demostrar que las dos órbitas r : e-0 y r : l/0 son posibles para un campo de fuerza inverso al cubo de la distancia. Explicar fisicamente por qué es posible

:

a-o

la órbita de Ia partícula del problema 5.46 y explicarla físicamente. Fig.5-16

esto,

5.62. (a)

Demostrar que si la ley de fuerza está dada por

F=-

A¡, f

cose

entonces la partícula se puede move¡ en la órbita circular r: 2a cos 0. (b) ¿Qué se puede conclui¡ acerca de las fuerzas únicas cuando se especifican las órbitas? (c) Responder la parte (b) cuando las fue¡zas son centrales.

5.63, (¿)

¿Qué fuerza cent¡al en el origen O es necesaria pa¡a que una partícula se mueva alrededor de O con una magnitud de velocidad que sea inversamente proporcional a la distancia medida desde O. (b) ¿Qué tipos de ó¡bitas son posibles en cada caso? Eesp. (o) Una fuerza inve¡sa al cubo

* P/f)tt

5.64.

Discutir el movimiento de una particula en el campo de fuerza dado po¡ F

o.oo.

Demostrar que no eriste una fuerza central capaz de hacer que una partícula se mueva en línea rec',a.

5.66.

Completar la integración de la ecuación (12) del problema 5.13 para obtene¡ Ia ecuación (5) del mismo problema. (Sugerencia. Hacer r : l/u.l

6.67.

Suponer que

la órbita

5.68.

(a/rz

de una partícula que se mueve en un campo de fue¡za central está dada

d(r). Demostrarque la ley nes con ¡€specto a

=

r.

de fuerza

""

por

e

:

donde las primas indican derivacio-mh2f2e'*r,e'^'-*r2(e')31 r5('')g

5.6? demost¡a¡ que si 0 : L,/r, la fuerza central es de atracción y varía versamente con r3. (b) Dibujar la órbita de la parte (o) y expllcar fisicamente.

(o) A parti¡ del problema

SECCIONES CONICA^S. ELIPSE, PARABOLA

b.69. La ecuación de una cónica es r = #A*

in'

E IIIPERBOLA Representarla gráficamente y halla¡: (o) el foco, (ó) los vé¡-

tices, (c) la longitud del eje mayor, (d) la longitud del eje menor, y (e) la distancia desde el cent¡o hasta la direct¡iz.

5.7o.

Resolver el problema 5.69 para la cónica

, = I +'J

.

"o",

: p sec2 (0/2l..

6.71.

Demostrar que la ecuación de una parábola se puede escribi¡ como r

6,72,

Hallar la ecuación de una elipse que tiene uno de sus focos en el origen, su centro en el punto eje mayor tiene una longitud de 10. Resp. r : 9/(5 * 4 cos d)

(-

4' 0) y su

cAP. 5l

6.73.

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

r39

En la figura 5-17, Sn o ?N representan el eje menor de la hipérbola y su longitud generalmente se simbolizapor 2b. La longitud, del eje mayor W es 2o y la distancia entre los focos O y O,es % (es decir, la dis. tancia del centro C al foco O u O,es C).

(o) (b) (c)

Demostrar que c2 : a2 I b2. Demost¡a¡ que b : oVP--1. donde resla excentricidad. Demostra¡ eue c : o.. Comparar con los resultados de la elipse. Fig.5-17

5.74.

Deducir la ecuación (22), pa¡a la hipérbola.

6'76'

Las formas no¡males de las ecuaciones de la elipse y la hipérbola en coordenadas rectangulares son

2'.+t' or-br='

Y

a't-, nr-t,

respectivamente, donde a y b son las longitudes de los semiejes mayor y meno¡. Dibujar estas ecuaciones y localizar los vértices, focos y directrices y explicar la relación de estas ecuacioneg con las ecuaciones (I9) y

e2).

5.76. Apartirde 5.77,

las definiciones de elipse e hipérbola, hallarlas ecuaciones (1g) v e2).

Demostrar que el ángulo entre las asintotas de una hipérbola eg 2 cos-t

(ll).

LEYES DE KEPLER Y LEY DE LA GRAVITACION DE NEWTON El período de Ma¡te al¡ededor del Sol es aprorimadamente de 687 días Tierra; hallar la distancia media

5'7E'

de

Marte al Sol. La distancia

de

la Tierra al Sol

es de 93

millones de millas. iesp.

140

millones de millas

5'79'

Resolver el problema 5.78: (o) para Júpiter, y (b) para Venus, cuyos respectivos peíodos son 4833 días Tienay 225 dias Tierra. Fesp. (o) 484 millones de millas, (ó) 6? millones de millas

6.80'

y con una densidad media de 5 g/cmt: ¿cuál seria la aceleración de la gravedad en la superficie? (b) ¿cuál se¡ía el peso de un hombre en ese planeta sabiendo que en la Tierra pesa g0 kg?

5'81.

Si la aceleración de la gravedad ell la superficie de un planeta esfé¡ico P es ge, su densidad media el radio Be , demostrar que gp : trG&eor , donde G es la constante de la gravitación universal.

5'82'

Si L, M y ? representan las dimensiones de longitud, masa y tiempo, hallar las dimensiones de la constante de la gravitación universal. Resp. LtM-tT-2

5.83.

calcular la masa del sol teniendo en cuenta que la Tierra está vez al¡ededo¡ de él en 365 días. Resp. 2 X 10so kg.

5.84.

Suponiendo que un pequeño planeta esférico de ¡adio l0 km

(a)

a

150 X

ld

calcular la fuerza entre el sol y la Tierra si la distancia entre ellos es de la Tierra y el Sol son 6X 102{ kg, y 2X l0ro kg, respectivamente.

150

sas de

oe

y

kilómet¡os y que gira una

X fff

kilómetros y las martesp. 1,16 X 102{ newtons

ATRACCION DE OBJETOS

5'85'

Halla¡ la fuerza de atracción que ejerce una varilla uniforme delgada-de longitud ¿ sobre una masa m erte¡ior a la varilla, pero situada a una distancia ó del extremo en el mismo eje de la varilla. Resp.

GMm/b(o*

b)

5'86'

En el problema 5.85 determinar en dónde debeia esta¡ concentrada la masa de la varilla para que la fue¡za de at¡acción sea la misma. Resp. En un punto de la varilla a una distancia V6'(áTJI - ó de uno de los extremos

5'87'

Hallar la fuerza de atracción ent¡e una varilla uniforme delgada infinitamente larga y una masa m situada a una distancia b de la va¡illa. Resp. La magnitud ásde zGmo/b

6.88.

IcAP.5

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

140

Un alambre uniforme tiene forma de arco de circunferencia de ¡adio b y ángulo central Ú' Demostrar que la fuerza de atracción del alanbre sob¡e una masa m colocada en el centto tiene una magnitud de 2Gqm sen('t'/2| b2,t,

M

donde

"/2 9:

es la masa del alambre y o es la masa po¡ unidad de longitud. Discutir los casos cuando

y

5.89.

ry'

:

*.

En Ia figura 5.18, A¡ es una bar¡a delgada de longitud 2a y m es una masa situada en el punto C a una distancia b de la bar¡a. Demostrar que la fue¡za de atracción de la barra sobrc la masa tiene una magnitud de

G\^ úo

""n*(o

+

É)

en una direpción que forma con la barra un ángulo dado por

* coso) \senp-send/ Discutir el caso cuando o : I ! compararlo con el ¿"tt-r lcosÉ

'---- l, --)

o

G

B

Fig.5-rt

del problema 5.2i.

5.g0.

Por comparación de los problemas 5.89 y 5.88, demost¡a¡ que la barra del problema 5.89 se puede remplazat por el alamb¡r en forma de arco de circunferencia DEG (mostrado por la línea discontinua en la figura 5-18) cuyo centro está en el punto C y es tangente a la bar¡a en el punto E. Demostrar que la fuerza de atracción es hacia el punto medio del arco.

5.91.

Una semiesfera de masa M y radio a tiene una partícula de masa m localizada en su cent¡o. Hallar Ia fuerza de atracción: (o) si es un cascarón semiesférico, (b) una semiesfera sólida. Resp.

6.92. 5.93.

(al GMm/za2, (b)

Mm/2a2

Resolve¡ el problema 5.91 para un cascarón semiesfé¡ico de radio exterior a y radio interio¡

b.

Demostrar a partir de las leyes de Kepler que si la fuerza de atracción ent¡e el Sol y los planetas tiene una

magnitud

5,94.

36

de lm/r2,

entonces

r

debe ser independiente de un planeta en particular.

Un cono tiene altura H y radio o. Demostrar que la fuerza de atracción sobre una partícula de masa colocada

rn

acYm (t en su vértice tiene una magnitud de - 4).

ó.95.

Hallar la atracción ent¡e dos esferas que no

5.96.

Una partícula de masa m situada en el exterior de una semiesfera sólida unifo¡me de radio a a una dis' tancia a sobre la línea perpendicular que pasa por el centro de su base. Demostrar que la fue¡za de at¡ac-

ción tiene una magnitud de GMm(lT

6.97,

3e

inte¡sectan.

- ll/a2.

Resolver, hallando prime¡o el potencial, los problemas: (o)

6.26, (b)

5.n, y

(c)

5.94.

PROBLEMAS VABIOS

5.9E.

Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una rapidez ini'

cial

uq.

(c)

Demostrar que la altura máxima alcanzada por encima de la superficie de la Tier¡a es de ozonl2gn - 1)201. Discutir el significado del caso donde t;zo : 2gp Demost¡a¡ que si H es pequeña, entonces ésta será aproximadamente igual a ofilLO.

(ó) (c) 5.99. (o)

Demostrar que el tiempo necesario para alcanzar Ia altura máxima del problema 5.98 es

n+Hl

w\

H

E

*L#.*_,(#))

II :

cAP. 5l

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

(ó) 6'loo' (a) (b)

Demostrar que si damente \mE

I/

t4l

es muy pequeña en comparación con B, entonces el tiempo en (a) es aprorima-

Comprobar que si un objeto se deja caer desde una altura lr a la superficie terrestrc y si la resistencia del aire es despreciable, entonces llegará a la Tier¡a con velocidad u : IZ-g'EWT-(R H) en don+ de R es el radio de la Tie¡ra. Calcr¡Iar la velocidad de la parte (o) en los casos en que I{ : 100 millas y H : 10.000 millas, respectivamente. Toma¡ er ¡adio de la Tie¡ra como 4000 millas.

6'lol'

Halla¡ el tiempo para que el objeto del problema 5.100 llegue, en ambos casos, a la superficie de la Tie¡ra.

5'lo2'

¿Cuál debe ser la ley de fuerza si la rapidez de la partícula en un campo de fuerza central debe ser proporcional a r-", donde n es una constante?

5'fO3'

¿Qué velocidad debe tene¡ una nave espacial para mantenerla en

tancia de: (¿) 200 millas? (b)

5'ro4'

2000

ó¡bita alrededo¡ de la Tier¡a a una dismillas sobre la superficie tenestre?

Se lanza un objeto hacia arriba desde la superficie te¡¡est¡e con velocidad u¡. Suponiendo que regresa la Tierra y que la ¡esistencia del ai¡e es despreciable, hallar su velocidad al regreso.

5'ro5' (o) (ó) 5'106' (a) (b)

a

¿Cudl es el trabajo realizado po¡ una nave espacial de masa m al desplazarse desde una altura o po¡ encrma de la superficie ter¡est¡e hasta la altu¡a ó ? ¿Depende el trabajo de

la trayectoria?

Expricar.

Resp. (a) GmM(a

-

b)/ab

Demostra¡ que es posible que una partícula se mueva en una ci¡cunfarencia de ¡adio ¿ en cualquier s6mFo de fuerza cent¡al cuya ley de fuerza sea /(r). Suponer que la partícula de la parte (o) se desvia ligeramente de su ó¡bita ci¡cular. Demostrar la órbita, es decir, el movimiento es esfoóle, si

que regrcsará a

af'(a)* 8/(o) > (c)

O

pero de lo contraúo, es inestabie.

Ilustrar el resultado de (ó) considerando

lidad.

/(r) : l/r" ( S

ftesp. (c) Hay estabilidad cuando n

y decidir para qué valores de n hay

estabi_

5'lo7'

Si la Luna se detuviera súbitamente en su órbita, ¿cuánto tiempo requeriría para cae¡ a la Tierra, suponiendo que la Tierra permanece en reposo? Resp. Aprox. 4 días 1g horas

5'lo8'

Si la Tie¡ra se detuviera rtpentinamente en su órbita, ¿cuánto tiempo gastaúa en cae¡ al Sol? 8esp. Ahededor de 65 días

5.1O9. Hacer el problema b.84, utilizando

métodos de energía.

6'110'

Encontrar la velocidad de escape de un objeto de la superficie de la Luna. Usa¡ el hecho de que la acele¡ación de la gravedad en la superficie de la Luna es apiorimadamente L/6 de la ter¡estre y que el radio de la Luna es L/4 d,el radio terrestre. gesp. l,b mi/seg

6'lll'

Se deja cae¡ un objeto por un o¡ificio que pasa por el centro de la Tiena. Suponiendo que la resistencia al movimiento es despreciable, demostrar que la,-rapidez de la partícula cuando pasa po¡ el centro de Ia Tierra es ligeramente inferior a 5 mi,/seg. (Sug'erencía. Emplear el problema b.40).

6'l12'

Demostra¡ que en el problema anterior, el tiempo necesario para que el objeto ¡eg¡ese es aproximadamente 85 minutos.

5.110.

Hacer los problemas 5.111 y 5.112 si el orifició eB r€cto pero no pasa por el centro de la Tier¡a.

6.114.

Discutir la relación ent¡t los resultados de los problemas

6.116.

¿Cómo erplicaúa usted el hecho de que

5.116.

Demostrar el teorema 5.1.

6.117.

Discutir el teorema 5.1 si las esfe¡as se inte¡sectan.

5.111

y 5.1L2 y el problema b.89.

la Tierra tenga atmósfera y Ia Luna

no?

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

r42

5,118.

IcAP.5

Explicar cómo podría ugar el resultado del problema 5.27 pal.a hallar la fuerza de atracción de una esfera sólida sobre una partícula.

ó.llg.

Halla¡ Ia fuerza de atracción ent¡e un anillo ci¡cula¡ uniforme de radio e¡temo o y radio interno b y una masa m eituada sobr€ 8u eje a una distancia b de su centro.

6.lZO.

Dos naves espaciales se mueven alrededor de la Tierra sobre la misma trayectoria elíptica de excentricidad c. Si en el perigeo están separadas por una pequeña distancia D, demostrar que en el apogeo estarán se'

paradas por una distancia

D(l -

e)/(L

I

e\.

5.121. (¿) Erplicar cómo calcula¡ía la velocidad de escape en la superficie de un planeta. (ó) Emplear todo para calcular la velocidad de escape en Marte. Resp. (ó) íkm./seg, o aprox. S mi,/seg Venus.

su mé-

8esp. (o) Aprox.3€l mr'/seg. (b) Ap¡ox. 6,3 mi,/seg

6.122,

Hace¡elproblema5.l2lpara: (o) Júpiter, (ó)

6.f23.

T¡es varillas uniformes delgadas, inf¡nitamente largas, tienen la misma masa por unidad de longitud y están situadas en un mismo plano formando un triángulo. Demostra¡ que la fuerza de atracción sobre una partícula serÁ ce¡o si y sólo si la partícul a está ubicada en la intersección de las medianas del triángulo. de atracción entre una varilla uniforme de longitud ¿ y una esfera de radio b si no se intersectan, y si la línea de la varilla pasa por el centro.

6.124. Hallar la fuerza

5.f25.

Hacer el problema 5.124 si la va¡illa está situada de tal modo que una línea trazada desde el cent¡o y pe¡pendicular a la línea de la varilla co¡ta la vaÉlla en dos partes iguales.

5.f26.

Un satélite de radio a ¡ota en una órbita ci¡cular alrededo¡ de un planeta de radio b con período P. Si la distancia mÁs corta ent¡e sus superficies es c, demostrar que la masa del planeta ea 4r2 (a + b + c)a /GP'z .

6.127.

Si la Luna está aprorimadamente a 240.000 millas de la Tierra y da una revolución completa al¡ededor de la Tierra en 271 dias aprorimadamente, halla¡ la masa de la Tierra. Resp. 6 X 102{ kg

5.128. Discuti¡ la ¡elación

entre el problema 5.126 y la terce¡a ley de Kepler.

6.f29.

Comprobar que el único campo de fuerza central inve¡so del cuadrado.

6.f30.

Hace¡ el probtema 5.32 por integración triple.

6.131.

Un cilind¡g sólido ci¡cular rccto unifo¡me tiene radio o y altu¡a IL Una partícula de masa m se coloca en la prclongación del eje del cilindro, en forma tal que está a una distancia D de un ertremo del cilindro. Demostrar que la fuerza de at¡acción está dirigida a lo Iargo del eje y su magnitud está dada por

F cuya divergencia

ZGMW --lz¡¡ r'"I + {a2 + D2 -

5.f32.

ltaz + 1o +

es cero, es un canpo de fue¡za del

nY¡

Suponer que el cilind¡o del problema 5.131 tiene cierto volumen. Comprobar que la fuerza de atracción cuando la partícula está en el cent¡o de uno de los e¡t¡emos del cilindro es máxima cuardo a/H :

l(e- vii). 6.133.

5.134.

Hacer: (a) el problema 5.26 v (b) el problema 5.2/, suponiendo una ley de atracción del inve¡so del cubo. ¿Son aplicables los t€sultados de log problemas 5.29 y 5.30

si hay una ley de atracción del inve¡so del cubo?

Erplicar.

5.135.

¿Cuál eeía la velocidad de escape en el planeta del problema 6.80?

5.f36.

Un cascarón esférico de ¡adio interio¡ o y radio erterior b tiene una densidad constante c. Demostrar que el potencial gravitacional V(r) a una distancia r del centro está dado por

r1a f2ro(bz-az¡ V(r\ = j2""(b2-tt2) - 4taasl3r a 1 r 1 b r)b [4zo(b3-es)lBr

cAP. 5l

5.137.

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

143

Si se tiene en cuenta la teoía de la relatiuidad de Einstein, la ecuación diferencial de la órbita de un planeta es

eu

K

¿rr+": ffirtuz

donde t : 3K/mc2, y c es la velocidad de la luz. (o) Demost¡ar que si se escogen adecuadamente los ejes, entonces la posición r del planeta puede determinarse aprorimadamente a partir de

r : i +Klmhz .;os; (ó) Emplea¡ (a) pa¡a demostrar

donde ¿ =

1

-.rKlmhz

que un planeta se mueve realmente en una trayectoria elíptica pero que

dicha elipse rota lentamente en el espacio, siendo la velocidad angular de rotación 2qK/mh2.-(c)

Demostrar que en el caso de Mercurio esta rotación es de 4Íl segundos por siglo. Esto ha sido observado proporcionando una pmeba erperimental de la validez de la teoría de la relatividad.

5.138. Hallar la posición

de un planeta en su órbita alrededor del Sol en función del tiempo instante en que está más alejado del Sol.

ü medido desde el

5.139.

En el apogeo, a 200 millas desde la superficie te¡rest¡e, dos naves espaciales que tienen la misma t¡ayectoria elíptica están separadas una distancia de 500 pies. ¿Cuál será la distancia entre ellas en el perigeo, a 150 millas, suponiendo que flotan sin alterar su trayectoria.

5.14o.

Una partícula de masa m está situada sobre la línea perpendicular que pasa por el centro de una placa rectangular de lados 2a y 2b y a una distancia D del centro de la placa. Demostra¡ que la magnitud de la fuerza de atracción de Ia placa sob¡e la partícula está dada por

GMm ./ -----sen -¡ [ ao\

ab

\/@Trri¡Qt-+D\

5.141. Hallar la fue¡za de atracción

de una placa infinita uniforme de espesor despreciable y densidad o sobre una partícula colocada a una distancia D de la placa. Resp. 2¡aGm

5.142.

Se llaman ópsides los puntos en que i : 0. (o) Demostrar que en un campo de fuerza cent¡al con potencialV(r)yenergíatotalElosápsidessonraícesdelaecuación V(r)*hz/2rz:8. (b)Hallarlosáp-

sides correspondientes a un campo de fuerza del inverso del cuadrado, demostrando que hay dos, uno o ninguno, según si la órbita es una elipse, hipérbola o parábola.

6.143.

Una partícula Ee mueve en un campo de fuerza central siguiendo una trayectoria que es la cicloide o(l - cos 0). Halla¡ la ley de la fuerza. Resp. El inverso de la cuarta potencia de r

5'144.

Establecer las ecuaciones de movimiento de una partícula en un campo de fuerza central si ocurre en un medio donde la resistencia es proporcional a la rapidez instant¡ínea de la partícula.

5.145. Las velocidades

orbitales máxima

y

minima de un satélite son uDÁ¡.y u6irr r€specrivamente.

most¡ar que la excentricidad de la órbita del satélite es igual

5.146.

r:

De-

" *ffi;.

Demostra¡ que si el satélite del problema 5.145 tiene un peíodo igual a elíptica cuyo eje mayor es de longitud ! r/o*,o-rn.

r,

sigue entonces una trayectoria

Copítulo 6 Sistemos coordenodos en movimiento SISTEMAS COORDENADOS NO INERCIALES En los capítulos anteriores se supuso que los sistemas coordenados utilizados para describir el movimiento de las partículas eran inerciales Ivéase la pág.331. Sin embargo, en muchos casos de importancia práctica no se garantiza dicha suposición. Por ejemplo, un sistema coordenado fijo en la Tierra no es un sistema inercial debido a que la Tierra rota en el espacio. En consecuencia, si empleamos este sistema coordenado para describir el movimiento de una partícula con relación a la Tierra, obtenemos resultados que pueden ser errados. Debemos, por consiguiente, considerar el movimiento de partículas relativo a sistemas coordenados en movimiento. SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION XYZ rcpresenta en la figura 6-1 un sistema coordenado inercial con origen en O que consideraremos fijo en el espacio. Dejemos que el sistema coordenado r,yz qtJe tiene el mismo origen O ¡ote con respecto al sistema XYZ. Consideremos un vector A que vaúa con el tiempo. Para un observador fijo con relación al sistema xyz se encuentra que la variación de A : Ari * Azi * Atk con el tiempo es

dA

ff*

d,At. iIAz . d,As' = ffi*ffi+7u

(1)

en donde el subíndice M indica la derivada con relación aI sistema en movimiento (xyz). Sin embargo, se encuentra que la variación con el tiempo de A con respecto al sistema fijo XYZ rcpresentado por el subíndice F, es (véase el problema 6.1)

+l 4l * oxA dt l, = dt l,

donde

<,¡

es

Fig.6-1

(2)

la uelocidad ongular del sistema xyz con respecto al sistema XYZ.

OPERADORES DE DERIVADAS Hagamos que Dr y Dü representen los operadores de de¡ivadas con respecto al tiempo en los sistemas fijo y en movimiento. En consecuencia, podemos escribir la equivalencia de los operadores

DF = Dr+ox

(3)

Este resultado es útil para relacionar derivadas de orden superior con respecto al tiempo entre los sistemas fijo y en movimiento. Véase el problema 6.6.

tu

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

t45

VELOCIDAD EN UN SISTEMA EN MOVIMIENTO Si en particular el vector A es el vector de posición r de una partícula, entonces de (2) obtiene d,r I dt

dtl, = d,l,+ 'xt I

{4)

Dr, = Drr*oXr

(5)

Escribamos

= dt/dtl, : Drt = velocidad de la partícula P con relación al sistema fijo. V"rr = d'r/iltl, = D*t = velocidad de la partícula P con relación al sistema en mov"ro

vtmlento. velocidad del sistema en movimiento con relación al sistema fijo. Entonces @) o (5) pueden escribirse como Vplr = vetnr f vr," (6)

vrr. =

¡,¡

X

r =

ACELERACION EN UN SISTEMA EN MOVIMIENTO Si D; - d2littzlr v D"* = d,2/d,t2 L son los operadores de la segunda derivada con respecto a t y los sistemas fijo y móvil, entonces la aplicación de (J) resulta en (véase el problema 6.6).

D?, = D'z¡+

Escribamos

= rpl¡¿ = r"r¡,

d,2r/d,t2 le

d,2t/dtz

ln

(Dror)

xr*2oxD*r *oX(orXr)

@

= D?r = aceleración de la partícula P con relación al sistema fijo. = Di,r = aceleración de la partícula p con relación al sistema en movimiento.

a¡rtr

=

(D,nr)

xr!-2oXD*r *roX(.xr)

=

aceleración del sistema en movimiento con relación al sistema fijo. Luego (7) puede eséribirse como i"lt

,ñ\ (d/

= a"l" * atlt

ACELERACIONES DE CORIOLIS Y CENTRIPETA Los dos últimos términos a la derech a de (7) se denominan respectivamente la aceleración de coriolis y la aceleración centrípeúo, es decir, Aceleración de coriolis = 26X D*r Aceleración centúpeta : r¿ X (
El

segundo término a la derech a d,e (7) se Ilama a veces

Aceleración lineal

:

(D,
x

= 2oXv*

(e)

(10)

la

aceleración lineal, esto

r = (#lr) r,

es.

(11)

Y Du.

es la aceleración angular. En muchos casos de importancia práctica (por ejemplo en la rotación de la Tierra) o¡ €s conStante y Dr
MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA RESPECTO A LA TIERRA La segunda ley de Newton se aplica estrictamente sólo a sistemas inerciales. Sin em-

bargo, empleando (7) obtenemos un resultado válido en sistemas no inerciales, que tiene la forma mD2rr = F - m(Dr,r) x" - 2m(ox Drr) - mox (oxr) (12)

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

146

IcAP.6

en donde F es la resultante de todas las fue¡zas que actúan sobre la partícula vista por un observador en el sistema fijo o inercial. En la práctica, estamos interesados en expresar las ecuaciones de movimiento en función de cantidades determinadas por un observador fijo en Tierra (o en otro sistema en movimiento). En tal caso, podemos omitir el subíndice My escribir (I2) como

*#

:

F - m(ix r)

-

2m(rx v\

-

mf'x

(."

En el caso de la Tierra que rota con velocidad angular constante ó : 0 y entonces (-13) se convierte en d2t *d* = F - Zm(oxv) - mfurx(.¿ x r)]

x r)l o¡ alrededor

(r3)

de su eje, (14)

FUERZAS DE CORIOLIS Y CENTRIPETA Con relación a las ecuaciones (13) o (/4) usamos frecuentemente la siguiente terminología

Fuerza de coriolis'

2m(oxi) = z*("xn)

Fuerza centúpeta

mlox (, x r)]

Fuerza centrífuga

-mfox

(,o

x r)]

SISTEM AS COORDENADOS EN

MOVIMIENTO, EN GENERAL En los resultados anteriores suponemos que los sistemas coordenados xyz y XYZ tenían (figura 6-1) un origen común O. En caso que no tengan un origen común, los resultados se obtienen fácilmente de los ya considerados.

el vector de posición del origen Q con respecto al origen O (figura 6-2). Entonces si R y ii ,"pr"."ttan la velocidad y la aceleración de Q con respecto a O, Ias ecuaciones (5) y Supongamos que R es

(7) se remplazan, respectivamente, por

D"r = É + Drr * oXr

= ir*#* D7,

Fig.6-2

¡¡Xr

(15)

.:R

1- D2,rt -l (Drno) x

=ñ

d2r -, dtr-

ó

x

t

-l-

2'x Drrr *

r + 2oxv *

or

X

(
r,¡

X (o x r)

x r)

(16)

En la misma forma, la ecuación (I4) se remplaza por á2-

F-2m('xv) -mfox(.xr)] -mB m# dt' =

(17)

PENDULO DE FOUCAULT Consideremos un péndulo simple que consiste de una cuerda larga y una perilla pesada suspendidas verticalmente de un soporte liso. Supongamos que se desplaza la perilla de su posición de equilibrio y puede rotar libremente en cualquier plano vertical. Entonces, debido a la rotación de la Tierra, el plano en que oscila el péndulo toma una precesión gradual alrededor del eje vertical. En el hemisferio norte la precesión es en la dirección del movimientc'

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

t47

de las agujas del reloj, si miramos hacia abajo, es decir, hacia la superficie de la Tierra. En el hemisferio sur, la precesión será en dirección contraria a la del movimiento de las agujas del

reloj.

Este péndulo usado para detectar la rotación de la Tierra fue empleado por primera vez por Foucaulü en 1851 y recibe el nombre de péndulo de Foucault.

Problemas resueltos SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION 6'1. Un observador situado en un punto fijo con relación a un sistema coordenad o xyz de origen O (figura 6-l) ve un vector A : A, i + Azj + A3k y encuentra que su deriva_ da con respecto al tiempo

* #¡ * #u.

"" ffi

Posteriormente observa que su sis-

tema coordenado rota con relación a un sistema coordenadoXYZque se considera fijo en el espacio y cuyo origen es también O. El observador pr"grr.rt": ,.¿Cuál será la "" derivada con respecto al tiempo de A para un observado. q,r"-".iá fijo coir respecto al sistema coordenado XyZ?,,. .., dAl y dLl representan, respectivamente, las ot derivadas con respecto al ¿ lo Af lM tiempo de A en los sistemas fijo y en movimiento, demostrarque existe una cantidad

vectorial

' tal que

d[l

dA ü1, = EIM+ @xa I

Para al obse¡vado¡ fijo vaían en realidad con el tiempo los vectores unitarios i, j, k. En consecuencia, dicho obse¡vador debe calcular la derivada con respecto al tiempo como

# = #t*#t*#u*n,#*e,fr+e,ff #" = *4l],*o,#*d,fi+e,ff Como i es un vector ur,itario, di/d,t porjyk.Luego

es perpendicular a

i y debe estar por tanto

(/)

(21

en el plano formado

dildt = a1i*a2k Similarmente,

djldt = a3k*aai dk/dt = a5i*a6i

di di yaquei' j:0, ladiferenciación da i'lt+ ¿t'i = 0' Luego ao - _cr. Delmismomodo

y do : -ar.

(3)

i.k:0,,.#*#,U=0

(4) (D'

Pero

'ti i'fr=

yo,--o2;

de

)-,.,-. - de q¿ (4\,

di-.;t'i= dr de (3).

j.k:0,

¡.#*j|.f

Entonces

dildt = c1j * a2k, ¿lildt =

a3k

- a,i,

ttk/dt = -a2i -

=O

a3!

Por consiguiente,

¿'r# +

er4ol,

que puede escribirse como

+ erff

=

(-a1Ar-a2As)i

t

iik aB

-d2

Ar A2

al A3

(a1A1-osAii

* @rA1*asA)k

(6)

148

[cAP.

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

Entonces, si hacemosque da

: ot, -d2 : 62t dt : os el determinante seconvierte

6

en

rik arl donde

o: ori* o2j*

aDZ

Ar A2

= oXA

úrg

A8


De (2) y (6) encontramos lo que queríamos

d,^l = d^l * ,lr "o al" La cantidad vectorial

¡

es

la uelocidad angular del sistema en movimiento con relación al sistema

fijo.

6.2.

Consideremos que Dr y Dx son operadores simbólicos de derivadas en los sistemas fijo y en movimiento, respectivamente. Demostrar la equivalencia del operador

DF = D*ltx Po¡

definición D¡A = #1" = dA DvA = A;

derivada en el sistema fijo derivada e:r el sistema en movimiento

=

Entonces, del problema 6.1,

= (D¡a*oX)A Dr = Dv * o X '

DnL = D¡¡A*oXA que demuestra la equivalencia de los operadores

6.3.

Demostrar que la aceleración angular es la misma en los dos sistemas de coordenadas

ryz y xYz. En el problema 6.1 hagamos A

: o

Entonces

+l dtlu drlu'*oXo = +l iltlr = +l Como d

o/dt

es

la aceleración angular, hemos demostrado el problema.

VELOCIDAD Y ACEIJRACION EN SISTTMAS EN MOVIMIENTO 6.4. Calcular la velocidad de una partícula en movimiento tal como la ven los dos observadores,

del problema 6.1.

Remplazando A por el vector de posición de la partícula, tenemos

itrl

"l,

=

¿rl ál'*'*'

(1)

Si se erprrsa r en función de los vecto¡es unitarios i, j, k del sistema coordenado en movimiento, entonces la velocidad relativa de la partícula a dicho sistema es, suprimiendo el subíndice M,

d,¡

-dt

=

ila. -dri

. d.z. * iltt fri + ;u

e)

y la velocidad de la partícula con ¡elación al sistema fijo es de (l),

d'l = 4+.tt clt lr

(J)

dt

La velocidad (3) recibe a veces el nombre de uelocidad uerdadera en tanto que (2) es la uelocid.ad aparente.

cAP. 6l

6.5.

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

149

Un sistema coordenado xyz rota con respecto a un sistema coordenado XyZ que tiene el mismo origen y que se supone fijo en el espacio (es decir, es un sistema inercial). La velocidad angular del sistema xyz relativa al sistem a XYZ €s o : 2ti f i + (2ü + 4)k donde ú es el tiempo. El vector de posición de una partícula en el tiempo ü, tal como se observa en el sistema xyz está dado por r = (t2 + l)i - 6ti + 4;ak. Encontrar: (o) la velocidad aparente, y (b) la velocidad verdadera en el tiempo ü : l.

(o)

La velocidad aparente en cualquier ¡nstante t

es

drlilt = 2ti-6i+LLtzk Cuando ú : 1 éstees

(b)

2i- 6j+

12k.

En cualquier tiempo ú la velocidad verdadera

es

d¡ldt * rxt = (zti-6i+r2t2kl + Ízti-t2i+ (2¿+4)kl x [(¿2+1)i-6új+4¿3k] Cuandoú:léstees

iik 2-t6 2-64

2i-6j+12k+

6.6.

= 34i-2j+2k

Determinar la aceleración de una partícula en movimiento tal como la ven los dos observadores del problema 6.1. La aceleración de la particula tal como la ve el observador en el sistema fljo XyZ es D?r Empleando la equivalencia de los operadores establecida en el problema 6.2, tenemos

Dp(D¡) = Dr(Dr¡r*oxr) = (D¡a* ox )(Dyr * oxr) = D¡¡(D¡at *oXr) I ox(D¡¡r *oXr) = D2¡at + Dpl(oxr) * o XDyt * oX(cXr) ocomo D¿(oXr) = (D¡ao)xr * oX(D¡ar), O3, = D26+(Dyo)xrl2ox(Drr)*ox(oxr)

:

D

r (Drr) .

(1)

Si se expresa el vector de posición r en función de los vectores unitarios i, j, k del sistema coordenado en movimiento, entonces la acele¡ación de la partícula relativa a dicho sistema es, suprimiendo el subíndice M.

d.2r

dt, =

#r*

o*@i*ffiu

La aceleración de la partícula con relación al sistema fijo

se deduce

(2)

de (I) como

dzr | &r do @1, = ¿¿z+ *xr *2oX(#)-oX(oxr) Algunas veces a la aceleración (3) se le llama aceleración uerdadera en tanto que (2) es rente.

6'7'

(3)

la

aceleración apa-

Hallar: (o) la aceleración aparente, y (b) la aceleración verdadera de la partícula del

problema 6.b.

(o)

La acele¡ación aparente en cualquier tiempo t

d2r

dt:" =

Cuando

(b) La

t : 1, éste es 2i *

d/tu\ dr\¡r)

es

d

= h?ti-6i+12ú2k) = 2i+24tk

24k.

aceleración verdade¡a en cualquier tiempo

f es d2, , n .,dr do.. + zn t üX, d.t2 at ^

* oX (oXr)

lcAP.

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

150

Cuando

t:1

6

esiguala

2i + 24k + (4i-2i+tzk) x (2i-6j+12k)

+ (2i- 2i + 2k) x (2i - 6i + 4k) + (2i-j+6k) x {(2i- j+6k)x(2i-6j+4k)} = 2i + 24k + (48i-24i- 20k) + (4i-4j-8k) + (-14i+2r2i+40k) : 40i + 184i + 36k ACELERACIONES DE CORIOLIS Y CENTRIPETA 6.8. Con referencia al problema 6.5 hallar: (a) la aceleración de Coriolis, (b) la aceleración centípeta, y (c) sus magnitudes cuando t : l-

(o)

Del problema 6.5 tenemos Aceleración de

(ó)

coriolis

= 2tx drld.t : (4i-2i - 48i - 24i - 20k

12k)

Del problema 6.5 tenemos Acele¡ación centipeta

(c)

+ 12k) x (2i - 6i +

= o X (o X r) = (2i-i+6k) x (32i+4i-10k) = -lAi+ 212i + 40k

De las partes (a) V (b) tenemos

Magnitud de la aceleración de Coriol¡5

= 4{ñ6

=@

= z'/lÑ

Magnitud de la acele¡ación centrípeta = @

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA CON RESPECTO A LA TMRRA 6.9. (a) Expresar la segunda ley de Newton del movimiento de una partícula relativo a un sistema coordenado fijo XYZ (sistema inercial). (b) Usar (o) para encontrar una ecuación de movimiento de la partícula con relación a un sistema xyz que tiene el mismo origen de XYZ pero que rota con respecto a é1. de Ia partícula (supuesta constante), d't/dt2 lr et.,, aceleración en el sistema fijo y F la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, tal como se observa en el sistema fijo, entonces la segunda ley de Newton establece que

(¿) Si m es la masa

ürl = F *ffi\, (b) Si el subíndice M del problema

6.6,

(r)

representa las cantidades que se observan en el sistema en movimiento, tenemos

¿-l ihrl dzrt ;Fl, = ffi\"* ixr+ 2cxfilr*.x(oxr)

Q)

Sustituyendo en (1), hallamos Ia ecuación requerida

ürl *&1, = t'-

m(ixr)

\

/ '¡-I - zm\o"fr\") -

mln

x(oxr)l

€)

Podemos suprimir el subíndice M si se tiene en cuenta que todas las cantidades, con excepción de F, son determinadas por un observador en el sistema en movimiento. Debe hacerse énfasis en que la cantidad F es la fuerza resultante que se observa en el sistema fijo o inercial. Si quitamos el subíndice M y hacemos que dr/dt : v, entonces (3) puede escribirse como

iPt m# = F-m(i'xr)-2m(oxv)-mlnx(oxr)l

V)

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

6.10.

151

calcular la rapidez angular de la Tier¡a alrededor de su eje. Como la Tierra da una revolución (2r radianes) alrededor de su eje en 24 horas madamente, la rapidez angular es

,*

" = 86;06 = i,Zt x l0-s

:

86.400 seg aproxi-

rad/seg

El tiempo real de una revolución es muy próximo a 86.164 seg y la rapidez angular se¡á ?,2g x 10-¡ rad,/seg.

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO, EN GENERAL 6.11. Hacer el problema 6.4 si no coinciden los orfenes de los sistemas xyz y XyZ. Sea R el vecto¡ de posición del origen e del siste_ ma ryz con respecto al origen O del sistema fijo (o iner_ cial) XYZ (figura 6-3). La velocidad de la partícula p relativa al sistema en movimiento es, como antes,

drl

atl*

= lr A

, dy, , ilz = du, ü'* dt¡+d¿k

(I)

Ahora el vector de posición de p respecto a O es p : R * r, luego la velocidad de p tal, como se obser-

va en el sistema XYZ, es t|^lt

*(R*r)l' l¡ út = ac' =

=

dRl , ihl -

al" al,

ft*#*oXr

(2)

X

utilizando. la ecuación (J) del problema 6.4. Obse¡vamos que R es la velocidad de e con respecto a O. Si R : O el resultado se reduce al del problema 6.4.

6'12.

Fig.6-3

Hacer el problema 6.6 si los oígenes de los sitemas XYZ y xyz nocoinciden. Refi¡iéndonos a la figura 6-3, la aceleración de la particula P relativa al sistema en movimiento

como anteriormente.

erl

at'lu

ilzr &r, , dzu, , d2",_ E = Er+ffit+¿2x

Como el vector de posición de p ¡elativo a O es

ma XYZ, es

p=

R

* r, la aceleración

de

es.

(t)

p, tal como se ve en el siste_

#1" = *4e+.)1. = #1,*#1,

=

"*# + fix,

empleando la ecuación (3) del problema 6.6. Nótese q,r.

el ¡esultado se reduce al del problema

í¡'13.

6.6.

ii

".

+ 2,

x#

* ox(oxr)

Ia aceleraci ón de e con respecto a O.

(2)

Si R

:

o

Hacer el problema 6.9 si los oúgenes de los sistemas XyZ y xyz no coinciden. (¿) El vecto¡de posición de la partícula con r€specto al sistema fijo XyZ es p.

Entonces la ecuación de

movimiento requerida es

^3*1, (b) Empleando el resultado

=

F

(r)

(2) del problema 6-12 en (1), obtenemos

d2¡ rnffi = r-z¿ii-m(ixr)-

2m(oxv)- mlox(oxr)l

donde F es la fuerza que actúa sobre rn, vista desde el sistema inerciar v donde

v : i.

(2)

6.14.

IcAP.

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

t52

6

Encontrar la ecuación de movimiento de una partícula con relación a un observador en la superficie de la Tierra. Suponemos que la Tierra es una esfe¡a con cent¡o en O (ñgura 6-4) que rota alrededor del eje Z con

r

velocidad angular o = oK. Usamos también el hecho de que el efecto de la ¡otación de la Tierra al¡ededor del Sol es despreciable, asíque el sistema XYZ puede considerarse como un sistema inercial.

Por consiguiente, podemos aplicar la ecuación (2) del problema 6'12. Para el caso de la Tierra, tenemos

i:0

(r)

B

se debe a que la ¡otación de la Tierra al¡ededor de su eje se realiza a velocidad anguiar constante, la segunda se debe aI hecho de que ia aceleración del origen Q relativa a O es la acelera- X

la primera ecuación

ción centrípeta y la tercera proviene de la ley de la

Fig.6-4

gravitación de Newton. Aplicándolas en (2) del problema 6.12, se llega a Ia ecuación requerida,

# = -#,

-

oX(oxR)

-

2(oxv)

- ox(oxr)

(4)

etc') suponiendo que son despreciables las otras fuerzas que actúan sob¡e m (tal como la ¡esistencia del aire, Podemos definir

s=-T"*-'-ox(exR)

to,

como la aceleración debida a la gravedad, así que (4) se convierte en

# Cerca de

=

g

- 2(nxv) - ox(oXr)

la sr.perficie terrcstre el úItimo término de (6) puede

(6)

despreciarse, así que en un alto grado de

aProximación'

*atv = g-2(oxv)

e\

En la práctica, consideramos la magnitud de g como una constante aunque vaúa ligeramente sobre la superficie terrestrc. Si actúan otras fuerzas externas, las debemos sumar al lado derecho de las ecuaciones (6) o (7).

6.15.

Demostrar que si la partícula del problema 6.14 se mueve cerca de la superficie de la Tierra, entonces las ecuaciones de movimiento son -

en donde el ángulo

ü = 2o cos)''ít ü = -2(orcosl;+'sen¡¿) 2 - -g. * 2.sen^ i )r es la colstitud (figura 6-4) y 90" - tr es la latitud'

De la figura 6-4, tenemos que

K = (K.i)i + (K. j)j + (K'k)k = (-senl)i + 0j + (cos\)k = y

asr

o = o¡K =

-csenli

-sen)r

i*

* ocos)rk

cosX k

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

oXv

Luego

153

= o x (;i +tti+2k')

ijk I 0 o¡ Cos ), aaz = (-ocoslr)i + (ocos)ri+rser, I;)i - (,,rsenri)k -o

sen

Entonces de la ecuación (7) del problema 6.14, tenemos d.2r

dF

=

t-rn'li,l.s¡r¡ii

-

2(ocos¡.i*osenr,!)j

*

2,¡sen¡,úk

fuualando los coeficientes correspondientes de i, j, k en ambos lados de esta ecuación, encontramos. como

requeríamos,

u -

2r,rcostri

(1)

'ú - -2(r.rcosXi * r¡senl!) ; - -g*2osentr!

6'16'

12)

(3)

Un objeto de masa m inicialmente en reposo, se deja caer a la Tierra desde una altura pequeña en comparación con el radio terrestre. Suponiendo que la rapidez angular r¡ de la Tierra alrededor de su eje es constante, demostrar que después de un tiempo ü el objeto se deflecta hacia el este de la vertical en cantidad iguai a *, gtt sen tr. Método 1. Suponemosqueelobjetoestálocalizadosobreelejezen,:0, y:0, z: h (fiilva6-4).Alinte_

grar las ecuaciones (I) V

Comoen

t:0,

e) del problema

6.15, tenemos

i - 2ocosl,uIct, ú - _2(ocostr¡*osenl,z)*c2 ¿=0, íl=0, ü=0, a=0, z-- h tenemos cr:0, cz:2osentr/¡. lugge & - 2ocosl,,g, ú - -2(ocosl,r*osen)\z) _l_ 2osentrl¿

(11

Entonces (3) del problema 6.15 se convierte en

2 - -g * 2osen)ri :

-g -

rrsen)t[cos)rr*senI (z_¿)]

Pero como los términos de la derecha que contienen ,2 son muy pequeños en comparación con _ g podemosdespreciarlqsyesc¡ibi¡ 2: porintegración,2: _gt* c". Como

2:0 e¡ ú:0,

-g.

c¡:o o

z=

-gt

tenemos

e)

Aplicando la ecuación (2) y la primera ecuación de (I) en la ecuación (2) del problema 6.15, encon-

Iramos

Ü = (-2o = -4o2

I g) * (-2o cos2 lt y * 2o sen \ gú

cos I)(2<.: cos

sen

rx-g¿)

Despreciando el primer término, tenemos

ü : Z, sen)\gt. Integrando, ogsenrt2*ca ü:

-'

0 cuando ú: 0, tenemos c{ : 0 v ú - ogsentrt2. Integrandonuevamente, A = |argsentrúo * c5 : Pero como y 0 cuando ú : 0, cs : 0 asi que, Eomo requeríamos, Como

i:

A =

$org sen )t

(3)

ú3

Método 2. Integrando las ecuaciones (l), (2) V

(.?)

del problema 6.15, tenemos

& - 2ocos)rU*c, iJ - -2(ocos)\r*osenl,z) * 2 - -Ct+ 2r¡sen)rU*c,

c2

SISTEMAS COORDENADOS EN

L54

Usandoelhechodequecuando t:0, 2oh sen)r, c¡ : 0. Por consiguiente

MOVIMIENTO

6

)':0, z: h, tenemos c¡ :0, c2:

y ¡:0;

i=ú=i:0

[CAP.

¿ - 2ocosh3t ü = -2(or cos )r ¡ * o sen )r z) * 2 - -Ct+ 2osentr3t

2ol¿ sen tr

Integrando y aplicando las condiciones anteriores

tr =

2ocosh

u =

2ohtsen)r

z =

h

\41

Ío'oou

-

- $otz*

"o"x

!o'

,d.u

2osen x

fo'

uau

2o

-

2o sen)\

Ío' "ou

(5)

\6)

Como todas las incógnitas están bajo la integral, las ecuaciones se llaman ecuaciones integroles. Usaremos

el llamado método de aproximaciones sucesiuos o método de iteración para obtener una solución con la exactitud deseada. El método consiste en usar un primer valor tentativo de ¡, y, z en las integrales (4), (5) y (6) para obtener un valor más exacto. Como primer valor supuesto podemos eDsayar en las integrales x : 0, y - 0, z : 0. Encontramos entonces el segundo valor supuesto

ü = O,

U = Zohtsenl¡, z = h-*ct'

Sustituyéndolos en (4), (5) V (6) y despreciando los términos con o2, encontramos la tercera aproximación

tr=0,

U =2ohtsentr-2osentr(l¿ü-|Ot3) = {ogü3sen)., z = l¿-tCt' resultados en (4), (5) V (6) y despreciando nuevamente los términos con o2, encontramos

Usando estbs el cuarto valor supuesto

r=0,

U-

{ogú3 sen

\,

z = h- tgt"

Como la cuarta aproximación es idéntica al tercer valor, estos resultados son exactos hasta términos que contengan o2 y no es necesa¡io ensayar más apmximaciones. Se ha visto entonces que la deflexión es t : logta sentr, como se requería.

6.17.

Con referencia al problema 6.16, demostrar que un objeto que se deja caer desde una altura h por encima de la superficie terrestre hace impacto en la Tierra en un punto al este de la vertical a una distancia f
t en (J) del problema

6.16.

EL PENDULO DE FOUCAULT 6.18. Deducir la ecuación del movimiento de un péndulo simple, teniendo en cuenta la rotación de la Tierra alrededor de su eje. Escogemos el sistema coordenado ryz de la figura 6-5. Suponemos que el origen O es la posición de equilibrio de la perilla B, el punto de suspensión es A y la longitud de la cuerda AB es l. Si T es la tensión de la

cuenda, tenemos entonces que

T = (T.i)i + (T.j)j + (T.k)k = ?cosai * ?cosBi + T cosTk /-\ /",\ = -r(+\L/ )i - r(í)¡ \¿,/

+

/t--\ r(=)k ¿ / \

(1)

Como la fuerza neta sobre I es T * mg, la ecuación de movimiento de B está dada por (véase el problema 6.14)

Fig.6-5

,12-

rnffi = T*mg-2m(axv) -rnox(rXr)

(21

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

Si despreciamos el último término de (2), hacemor¡ g

nentes de (2) como

rnt

-

T(l

nLz

6.19.

: - gk y usamos (I), podemos escribir

-T(s/t) * 2moi¡ coa)t. -T(a/t) - zmo{i coetr * i

m,u

zl/l

-

155

mg

las compo(3)

senr)

(4)

+ 2rnoi sent

6)

Suponiendo que la perilla del péndulo simple del problema 6.18 realiza oscilaciones pequeñas alrededor de la posición de equilibrio, de modo que se puede suponer que el movimiento se hace en un plano horizontal, simplificar las ecuaciones de movimiento. La suposición de que el movimiento de la perilla tiene lugar en un plano horizontal equivale a Buponer que 2y 2 cero. Cuando las vibraciones son muy pequeñas (t - z) /tes casi igual a uno. Entonces "e^n la ecuación (5) del p¡oblema 6.lg da

Q = l-mgI2mofiaenx T = mg - 2mofi aen\

o

(l)

sustituyendo (1) en las ecuaciones (3) v (4) del problema 6.1g y simplificando, obtenemos

'; - -92 + 2"-|' '^- t * 2o'ít cosx r. ffi gu :: - --- +, 2rrú""nr- 2.,'a ^ . coE

(21

(3)

^

-T-

Estas ecuaciones dife¡enciales no son lineales debido a la presencia de los términos que contienen r! y w. Sin embargo, estos términos son despreciables en comparación con los otros ya que ol, r y y son pequeñor. Despreciándolos, obtenemos las ecuaciones diferenciales lineales,

'¿ - -gall * 2roi cos )r Ü = -cylt - 2,¡i cos\

6.20.

(4) (5)

Resolver las ecuaciones del movimiento del péndulo obtenidas en el problema 6.lg suponiendo condiciones iniciales apropiadas. Suponemos que inicialmente la perilla está en el plano yz y se le imparte un desplazamiento z de > 0 y después se suelüa. Entonces las condiciones iniciales son

magnitud A

r=0, i=t!, U=A, ú=O

en t=O

(¡)

Para encontrar la solución de las ecuaciones (4) y (5) del problema 6.lg es conveniente hacer que

= gll, d = ocosl '| - -I(zr*Zai ü = -KzU-Zai,

Kz entonces se convierten en

(2) (3) (4)

Es también conveniente emplear números complejos. Multiplicando la ecuación (4) por

a (3), encontramos

+ ¿Ü = -It2(r t ial + u: xl i, podemos esc¡ibir 'd

Haciendo

ü=

-K2u

zaú

- züit

Si u - Cer donde C y I son constantes.

- ütl = o

-Kz(r * iu',

-

|ú+z¿"í,*r?u =

zi¡¡(á

+ iü)

o

(5)

entonces

y2*2iay1-K2 =

0

't - (-zio+6¡¡z-4yz)12 = -ia+¡1/p¡yz Ahora, como c2 : ,2 cos2tr es pequeña en comparación con K¿ : g/t, podemos así

i y sumándola

que

'l = -idliK

(6)

escribir @

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

156

IcAP.6

Las soluciones de las ecuaciones son entonces (introduciendo coeficientes complejos)

(Cr+

iCr¡e-x"-xtt

y

(Cz* iCn\e-i
y la solución general es

1t = (c1*

ic2)¡e-ila-K)¿

+ (csl ico¡e-it"+x>t

(8)

en donde se supone que C¡, Cr, Cr, Ca son reales. Utilizando las fó¡mulas de Euler

eio = cos, + isen d, e-iq = cosd - i send y el hecho de que u : x * iy, (8) podemos escribirlo como n + ia = (Cr*iCz){cos (a-K)t - isen (a-Klt} + (Ca+iCn)(cos(aIK)t - isen (a+K)t)

(9)

fuualando entre sí las partes reales y las partes imaginarias, encontramos Q0) o = C1 cos(c-K\t + C2sen(a -K)t + C3cos(a +K)t + C¿sen(a*K)ú (1I) a = -C1 sen(o -Klt + C2cos(c -Klt - C3sen(c +K\t + C.rcos(a*K)ú en f:0, encontramosde(10)que Cr+ C3:0 o Cs: Empleandolacondicióninicial ¡:0 : ,rsando i cuando t : 0, encontramos de (I0) que Del mismo modo, 0 Cr. -

c4

=

,,(f;:)

@\ las ecuaciones (10) y (ll)

=

)

tenemos, en un alto grado de aproximación, C¿

Como o costr es pequeño comparado con Porconsiguiente,

c'(

:

Cz.

se expresan como

(12) -K',t + C2sen(c -K\t - C1 cos(a+Klt + C2sen(alK)t (13) -C1 sen (a-K)t * C2cos(a-K\t * C1 sen (a*K)t * C2cos(a*K\t Con la condición inicial y : 0, se obtiene de (I3) C, : 0. Similarmente, empleando J : A cuando ú : 0 encontramos C, : |4. Entonces (12) y (13) se convierten en t = |á sen (a - K\t + lA sen(a * K)t y = {A cos (a - K)t * }A cos (a'l K)t

tr = A =

C¡ cos(c

a= esto es.

a= 6.21.

A

cos

KÚ

sen a¿

A

cos

Kú

cos aü

A

cos

\filt t

(r4l

sen (o cos )r

t)

cos(d costr

¿)

115)

A

"o"r/gllt

Dar una interpretación física a Ia solución (15) del problema 6.20. En forma vectorial, (/5) puede escribirse como

r = rity! = Acostfllltn n = i sen (o cos ),)¿ + j cos (o cos \)ü

do nde

es un vector unita¡io.

{fi

t (a saber, 2" \/T6

es muy pequeño comparado con el peíodo de n (a saber, es un vecto¡ que gira muy despacio. Por consiguienle, el péndulo oscila ñsicamente en un plano que pasa por el eje z, el plano ¡ota lentamente (o tiene una precesión) alrededor del

El peíodo

d,e cos

2r/(ocos l)). Concluimos que n eJe z.

Ahora,cuandof:0,n:jylaperillaestáeny:A.Despuésdeuntiempot:2¡/(4ocos¡\), por ejemplo, n : i{-Zi + L{2i entonces la rotación del plano se realiza en la dirección del movimiento de las agujas del reloj, si se mi¡a desde arriba de Ia superficie terrestre en el hemisferio norte (donde cosl ) 0). En el hemisferio sur, la ¡otación del plano es contra¡ia a la del movimiento de las agujas del reloj.

La rotación del plano fue observada por Foucault en

la rotación de la Tierra alrededor de su eje.

1851

y sirvió

como evidencia experimental de

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

PROBLEMAS VARIOS 6.22. La varilla vertical AB de la figura 6_6 rota con velocidad angular constante r,,. Una cuerda liviana inextensible de longitud I tiene un extremo fijo al punto O de la va¡illa y en el extremo p de la se coloca una masa fn. Hallar: (a) la tensión",r"rd" en la cuerda. y (b) el ángulo que la cuerda Op forma con la verti_ cal cuando se alcanza el equilibrio. Escogemos los vecto¡es unitarios i y k de tal modo que sean respectivamente perpendiculares y paralelos a la varilla y que ro_ ten con ella. Puede escogerse el vectorj para que sea perpendicu_ lar al plano de i y k. Sea

r = lsenai - lcosek

el vecto¡ de posición de ¡n con respecto a O. Sobre la particula ¡n actúan tres fuerzas

(i) El peso, mg: - mgk (ii) La fuerza centrífuga

Fig.6-6

-rn{ox.(o xr)) = _rn{[,.rk] x ([ok] X [l

= (iii)

La tensión, T

: - ?sen0i*

-zt.{[ok] X

(orl sena

sena i_ Icosa k])] j)] = rnu2lsenc i

Tcosdk

Cuando la partícula está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas es cero. Luego

esto

-mgk * mo2lsenli - Tsenei * fcostk = (mt;zlsend - ?sen e)i + (T cose - mg)k = 0 mo2lsen| - ?send = 0

es,

o

Tcosa

- mg =

Resolviendo (1) V Q) simultáneamente, encontramos

0

(1)

0

(o) ? : mo2l, (bl 0 :

(2)

cos-t(g/o2 l).

, .c:Tola.cue¡da oPylamasa¡nenPdescribenlasuperficiedeuncono,elsistemaesavecesllamaoo penctulo conrco.

6'23'

Una varilla AOB (figura6-7) rota en un plano vertical (el planoyz) alrededor de un

eje horizontal que pasa por O y que es perpendicular a dichó planó (el eje

r)

con velo-

cidad angular constante o. Suponiendo que no hay fuerzas de rozamiento, determinar el movimiento de una partícula P de masa ¡n cánstreñida a moverse a lo largo de la varilla. Hay un problema equivalente cuando la varilla AOB se remplaza pá. u.t tubo hueco dentro del cual la partícula puede moverse.

Fig.6_2

En el tiempo t, supongamos que do por

r

es el vector de posición de la partícula y que d es el rángulo forma-

la varilla con el eje y. Escogemos los vectores unitarios j y k en las direcciones y y z, respectivamen-

[cAP.6

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

158

te,y elvectorunitario i: i X k. la dirección en que aumenta 0.

Sea

rr unvectorunitarioenladirección rj 0¡ un vectorunitarioen

Hay tres fuerzas que actúan sobre P:

(i) EI peso, mg: -mgk: -mgsend \ (ii) La fuerza centrífuga -zrrr x (c x r)r

(iii)

mgcosel¡

: -i[''di -]"H;,',

La fue¡za de reacción N : l\?r de la varilla que es perpendicular a la varilla ya que no hay rozamiento o fuerzas de resistencia. Entonces, por la segunda ley de Newton, d.2t m# =

&r mfrn = :

rng

sen e

(m.2r

= Luego N

-rng

cos0 y

-mgk*mo2r¡1 +Ner

-

¡t -

,ng

sen

drr/dt" =

mg cos e 01

*

rno2rt1

a)rt * (N - mg oLr

cos e)e

+

Ne

1

1

- gsenl

(I)

Comoi:o,unaconstante,tenemos0:otsisuponemosc:0cuandot:0.Entonces(I)seconvierte

en

- o4 = -g senoú Si suponemos que cuando t - 0, r : ro, dr/dt : uo, encontramos

(2)

d2r/d.tz

r = (2 + !\z'2"

+ A) -s-) 4"2/'"'t +'\2/2-32o'4,¡2/

e-@'

I *.e',ü 2o2---'-'

(3)

o utilizando las funciones hiperbólicas

t =

6.24. ( o) Demostrar

rq cosh oú

. (? - zro)""nn" * frsen,t

(4)

que con condiciones apropiadas la partícula del problema 6.23 puede os-

cilar a lo largo de la varilla con movimiento armónico simple y hallar dichas condiciones. (b) ¿Qué ocurre a la partícula si no se satisfacen las condiciones de (o)? (o) La partícula oscilará a lo largo de Ia varilla con movimiento armónico simple si y sólo si ro : 0 y uo : g/2r. En este caso r : (g/2@21 senot. Entonces la amplitud y el pgríodo del movimiento armónico simple están dados por g/2t' y 2¡/o, respectivamente. (b) Si uo : G/Zt) - toro entonces r : roe-* I (g/zt') sen @¿ y después de cierto tiempo el movimiento es aproximadamente a¡mónico simple. De lo contrario, la masa saldría despedida de la vari-

lla si ésta es finita.

8.26. Un proyectil situado

en la colatitud )\ es disparado con velocidad uo en dirección sudeste formando un ríngulo a con la horizontal. (o) Hallar la posición del proyectil después de un tiempo ü. (b) Demostrar que después de un tiempo ú el proyectil es deflectado hacia el este del plano vertical del movimiento inicial en una cantidad $r,rP

(c)

sentr

ts -

auo

cos (c

- I)

ú2

Aplicamos las ecuaciones del problema 6.15. Suponiendo que el proyectil parte del origen, tenemos

r=0, A=0,

z

=0cuando ü=0

(r)

cAP. 6l

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

159

También, la velocidad inicial es V0

= o0 cos c i * oo send k así que &=o¡coso, ú=0, á=ro.erro cuando ú=0

(2)

Integrando las ecuaciones (I), (2) y (3) del problema 6.16 y empleando las condiciones (?), ob-

tenemos

¿ - 2r.r cos )\ y * u¡ cos c ú - -2(o cos )\ r + o sen ¡\ z) ; - -C¿+ 2osenly*ossenc

(J) (4) (5)

En lugar de tratar de resolver estas ecuaciones directamente usamos el método de iteración o de aproximaciones sucesiuas como lo hicimos en et método 2 del problema 6.16. Integrando y utilizando las condiciones (I), encontramos

r

=

2r¡ cos

f. )\ | "o

U

,1" *

(?q cos a)ú

y = -2ocosl I?axdttJo

2osentr

z =

2o¡ sen x

(o6 sen

(6) ?a

| Jg

zitu

@

lo u ilu bajo la integral gue ¡ - 0, y :

(8)

c)ú

- *ct, *

Como primera aproximación empleamos los té¡minos que contienen ,2, (6), (7) v @) se convierten en

r = y = z, =

e

-

0. Despreciando

(o6 cos a)ú

(e)

0

Q0)

(o6 sena)ü

-

ut)

tCt,

Pa¡a obtener una mejor aprorimación ¡¿mFlazamos (9), (to) y llegando a

ü = Y = z =

0,

(lI)

en las integrales (61, (7)

y

(u6 cos a)ú

(g),

(r2)

- I) ¿¿ * (ttq sen a)ú - tCt, -o106 coS (c

forgú8 sen

)r

(r3)

(r4)

donde nuevamente hemos despreciado los términos con ot. Con posteriores aprnrimaciones se lle_ ga nuevamente a las ecuaciones (I2), (I3l y (l4l,luego estas ecuaciones son eractas en tanto no contengan o2.

(b)

De la ecuación (13) hemos visto que el proyectil se desvía hacia el eate del plano rz en la cantidad |ogüa senr - o,uocos(a - r)ú2. Si u¡ :0 elresultadoanteriorconcuerdaconelproblema6.16.

6-26- Demostrar

que cuando el proyectil del problema 6.25 regresa a la horizontal, estará a

una distancia

orulsenr

r

c

._

(3 cos c cos ),

*

senc sentr)

hacia el oeste del punto donde hubiera caído suponiendo que no hubiera rotación axial de la Tierra. El proyectil regresará a la horizontal cuando z

(o6senc)ú-*Ctt = 0 Remplazando este valo¡ de

t

:

0,

o

es deci¡,

| =

(2oosena)lg

en la ecuación (I3) del problema 6.25, encontramos el re¡ultado requerido.

IcAP.6

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

160

Problemas propuestos SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION. VELOCIDAD Y ACELERACION 6.27. Un sistema coordenado ¡yz se mueve con velocidad angular . : 2i - 3i + 5k relativa a un sistema coo¡denado XYZ fijo o inercial que tiene el mismo origen. Si un vector relativo al sistema ryz es dado en función del tiempo ú por A : senüi - cos tj* e-t k, halla¡: (a) dA/dt con relación al sistema fijo, (ó) dA/dt relativo al sistema en movimiento. (3sent- 2cosú- e-')k Resp. (o) (6cosü- 3¿-')i* (6sen t-2e-')i*

(ó) cosúi* senúj- e-rk

6,2A.

Calcular d2A/dt2 del vector A del problema 6.27 con respecto: (a) al sistema fijo, y (ó) al sistema

en

movimiento.

Resp. (o) (6 cosú- 46sen¿* 16¿-')i * (40cosú - 6sen t - lLe-tli * (10 sen ú - 23 cos ¿ * 16e-t)k

(b) -senúi * costi * e-tk

6.29.

Un sistema coordenado xyz rota con velocidad angular ¡ : 5i - 4i - 10k relativa a un sistema fijo de coordenadas XYZque tieneelmismoorigen.Hallarlavelocidaddeunapartículafijaenelsistemaryzen el punto (3,

l, -2) tal

Resp. 18i - 20j +

como la ve un observador fijo en el sistema XYZ.

17k

. por - o en: (o) el problema

y (b) el problema 6.6.

6.30.

Discutir la interpretación física cuando

6.3f.

Explicar desde un punto de vist,a fisico por qué es de esperar que el resultado del problema 6.3 sea correcto'

6.32.

Unsistemacoordenado xyzrotaconvelocidadangular o: cosúi* sen¿i+ k conrespectoaunsistema coordenado f.ijo XYZ que tiene el mismo origen. Si el vector de posición de una partícula es r : senúi- cosf j* tk, hallar:(o)lavelocidadapa¡ente,y(b)lavelocidadverdaderaencualquiertiempoü. Resp. (o)cosüi* senrj+ k (b) (¿ sen¿+ 2cosú)i* (2senú- ücosú)j

6.33.

Determinar: ( ¿) la aceleración aparente, y (b ) la acele¡ación verdadera de la partícula del problema 6.32.

Resp. (o) -sen úi*

cos

se

remplaza

6.a

ti ftl Qtcosü- 3sent)i* (3cosü* 2¿senÚ)i+ (l- r)k

ACELERACIONES Y FUERZAS DE CORIOLIS Y CENTRIPETA 6,34. Se lanza horizontalmente una bola en el hemisfe¡io norte. (a) ¿Seía la trayectoria de la bola, si se tiene en cuenta la fuerza de Coriolis, hacia la derecha o hacia la izquierda de la trayecto¡ia vista por la persona que lanza la bola y que no la tiene en cuenta? (b) ¿Curil sería su respuesta a (o) si la bola se lanzara en el hemisferio su¡? Resp. (a\ a la derecha, (ó) a la izquierda

6.35.

¿Cuál sería su respuesta al problema 6.34 si la bola se lanzara en el polo no¡te o en el sur?

6.36.

Explicar por qué en el hemisferio norte el agua que sale de un desagüe vertical forma remolinos en dirección contra¡ia al del movimiento de las agujas del reloj y en la di¡ección del movimiento de las agujas del reloj en el hemisferio sur. ¿Qué sucede en el ecuador?

6.37.

Demostra¡ que la fuerza centífuga que actúa sobre una partícula de masa m en la superficie terrestre es un vecto¡: (o) que se aleja de la Tierra y perpendicular al vector de velocidad angular ¡, y (b) de r-nagnitud rno2 ft sen\ donde tr es la colatitud.

6.38.

En el problema 6.3?, ¿en dónde sería la fue¡za centífuga: (¿) un máximo? (b) un mínimo? Besp. (o) en el ecuador, (ó) en los polos norte y sur

6.39.

Encontrar la fuerza centúfuga que actúa sobre un tren de 100.000 kg de masa en: (o) el ecuador, (b) colatiResp. (o) 35 kg-f, (b) 17,5 ke-f

tud 30".

6.40.

(o) Un río de anchura D fluye hacia el norte con velocidad constante

uo en la colatitud tr. Dernost¡a¡ que la orilla izquierda del úo es más alta qug la orilla derecha en una cantidad igual a (2Dotts cos I)(g2

*

4o2t¡2 cos2

I)-1l2

donde o es la velocidad angular de la Ticr¡a alrededor de su eje. (ó) Demostra¡ que pa¡a todos los fines prácticos el resultado de la parte (a) se reduce a

(2Douo cosl),/g.

cAP. 6l

6'41'

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

161

Si el úo del problema 6.40 tiene 2km de anchura y fluye a una velocidad de 5km/h en la colatitud 4b', la mayor altura de la o¡illa izquierda sob¡e la o¡illa derecha? Resp. 2,g cm

¿curíl seúa

6'42' 6.43.

Un automóvil viaja por una curva cuyo radio de curvatu¡a es p. Si el coeficiente de ¡ozamiento es p, probar que la máxima rapidez con que puede desplazarse sin que se deslice sobre la vía es {-ypg.

Determinar si el automóvil del problema 6.42 se deslizará si su rapidez es 60 mi,/h, p : 0,5 y: (a) p : pies, (b) p : 50 pies. Discutir los ¡esultados fisicamente.

500

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA RELATIVO A LA TIERRA

6'44'

Un objeto se suelta en el ecuado¡ desde una altura de 400 met¡os. Si se desprecia la resistencia del ai¡e, dete¡minar la distancia medida sob¡e la superficie de la Tier¡a a la cual golpea el objeto el suelo, con relación a la proyección vertical der punto desde el cual se dejó caer el objeto. Resp. 17,6cm hacia el este

6'45.

Hace¡ el problema 6'44 si el objeto se suelta: (o) a una colatitud de 60", y (ó) en el polo norte.

Resp. (a) 15,2 hacia el este

6'46'

Un objeto se lanza verticalmente hacia a¡¡iba en una colatitud tr con rapidez u6. probar que cuando éste reg¡esa estará a una distancia (4ruo3 sentr)/3g2 al oeste del punto inicial.

6'47'

Un objeto que está en el ecuador se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 60 mi,/h. ¿A qué distancia del punto inicial regresará? Resp. 0,Zg pulgadas

6'44'

¿Con qué rapidez se debe lanzar el objeto del problema 6.47 paraque retorne a te 20 pies de la posición original? Resp. 4O6 mi/h

6'49'

Un objeto se lanza hacia arriba con una rapidez inicial u¡. Probar que después de un tiempo ha deflectado hacia el este con respecto a la vertical una cantidad doo sen ¡\

6'50'

t2 + $o/

sen tr

la Tierra

a un

punto que dis-

ú

el objeto se

ú3

Demostrar que si el objeto del problema 6.49 se lanza hacia abajo desde una altura h sobre la superficie de desde la práyección ve¡tical del punto inicial sobre la Tierra está dada por o sen r, , Fr--:--=-= ,-

la Tierra, la distancia a la cual toca tie¡¡a medida

=#t

6'5r'

$/4+

zsh

-

oo¡z1t/QTlgh + zr'¡

Suponer que la masa m de un péndulo cónico de longitud I se mueve en plano horizontal formando un círculo de radio ¿. Probar que: (o) la rapidez ." ofi/ VF=¿ , y (ó) .la tensión en la cuerda es

mgllt2T=-E

6'52'

Si un objeto está cayendo hacia la superficie de la Tierra probar que su trayectoria es una parábola semi-

cúbica.

PENDULO DE FOUCAULT

6'53'

Explicar físicamente larazón por la cual el plano de oscilación del péndulo de Foucault debe rotar en el sentido de la ¡otación de las agujas del reloj cuando se ve desde encima de la superficie de la Tier¡a en el hemisferio no¡te y en el sentido contra¡io al del movimiento de las agujas del reloj en el hemisferio sur.

6'54'

iCu¿ínto tiempo ta¡da en dar una revolución completa el plano de oscilación del péndulo de F.oucault si está situado en: (a) el polo norte? (b) colatitud 45"? (c) colatitud 8b.?

Resp. (¿) 23,94h, (b)33,86

6'55'

h, (c)92,50h

Explicar fisicamente la ¡azón por la cual un péndulo de Foucault situado en el ecuador no detecta la ¡otación de la Tierra alrededo¡ de su eje (de la Tierra). ¿Es válido maternáticamente este resultado? Explicar.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN MOVIMTENTO, EN GENERAL Un sistema de coordenadas xyz rota al¡ededor del eje z con una velocidad angular o : cos úi f sen új con ¡especto a un sistema de coordenadas XYZ fijo, siendo t el tiempo. El origen del sistema ryz está localizadoconrespectoal sistemaXyZporelvectoráeposiciónR:fi_j+¿rk.Sielvectordeposiciónde

6'56'

fcAP.6

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

162

unapa¡tículacon¡espectoal sistemaenmovimientoes r: (3t+ velocidad aparente, y (b) la velocidad verdadera en cualquier tiempo'

l)i -2ti+

5k, determinar:(a) la

6.67.

Enelproblema6.S6determinar: (o) la aceleración aparente,y (b) la acele¡aciónverdaderadelapartícula.

6.58,

Hacer:

(o

) el problem a 6.5, y

fijo XYZ es R

:

tzi

-

2ti

*

(b

) el problem a 6.?, si el vector de posición del sistema

tyz relativo al s istema

5k.

PROBLEMAS VARIOS

6.59.

Demostrar que debido a la rotación de la Tierra alrededor de su eje el peso aparente de un objeto de masa m

enlacolatitudres¡ndondeReselradiodelaTierra. 6.60.

Demostrar que el ángulo É que forma la vertical aparente con la vertical verdade¡a en la colatitud )t está dado por tan B

=#H#*

6.61.

Explicar fisicamente la razón por la cual la vertical verdadera y la vertical aparente deben coincidir en el ecuador y en los polos norte y sur.

6.62,

Una piedra se hace rotar en un círculo vertical mediante una cuetda de l0 pies de longitud. Demostrar que necesita una rapidez a lo menos de 20 pies/seg para mantener su t¡ayectoria y poder completar el círculo.

6.63.

Un miniauto C (figu¡a 6-8) se mueve en un cí¡culo vertical cer¡ado de radio a sin sali¡se de la vía. Suponiendo que la vía no tiene rozamiento, determinar la altura H de la cual debe partir para que dé Ia vuelta completa.

6.64.

Una partícula de masa rn está constreñida a moverse sob¡e un círculo vertical sin rozamiento de ¡adio o el cual rota alrededor de un diámetro fijo con velocidad angular o constante. Demost¡ar que la partícula tendrá pequeñas oscilaciones alrededo¡ de su posición de equilibrio con una frecuencia dada por 2*ar/lVli:!.

6.65.

Discuti¡ lo que sucede en el problema 6.64

6.66.

Un tubo cilíndrico hueco AOB de longitud 2o (figu¡a 6-9) rota con velocidad angular constante o alrededor de un

si , - \/in.

Fig.6-8

eje vertical que pasa por su centro O. Una partícula se encuentra inicialmente en ¡eposo dent¡o del tubo a una distancia b de O. Suponiendo que no hay fue¡zas de ¡ozamiento dete¡minar: (¿) la posición, y (ó) la rapidez de la partícula en cualquier tiemPo.

6,6?. (o) ¿Curinto

tiempo emplea la particula del problema 6.66 para salir del tubo? (b) ¿Cuál es su rapidez al abandonarlo? Re.sP.

(o)

I

l

o

ltt (o' +

Fig.6-9

,/@=El

6.68,

Dete¡mina¡ la fuerza sobre la particula del problema 6.66 para cualquier posición dentro del tubo.

6.69.

Una masa se sujeta a una cuerda, la cual se suspende de un punto fijo. La masa describe un círculo, que está contenido en un plano horizontal y su centro está localizado en la vertical por debajo del punto fijo. Dete¡minar la distancia del centro del circulo al punto fijo si la masa se mueve con una frecuencia de 20 revoluciones por

6.20.

Resp. 2,23 metros

Una partfoula que está sobre un plano horizontal sin rozamiento en una colatitud )r tiene una rapidez inicial uo en la dirección norte. Proba¡ que ta partícula describe un círculo de radio uo/(2@ costr) con pe'

ríodo ¡/(o cos

6.71.

minuto.

tr).

La masa de un péndulo cónico describe un cí¡culo horizontal de radio o. Si la longitud del círculo es l, pro-

bar que el peíodo está dado po,

4r'{Ñ/g.

cAP. 6l

a'72'

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

163

Una partícula con velocidad inicial vs está const¡eñida a moverse sobre un alamb¡e circula¡ de radio o y coeficiente de rozamiento p. Suponiendo que no actúan ot¡as fuerzas, determinar cuánto tiempo tarda la partícula en llegar al reposo.

6'73' (o) Demostrarquesilarapidezangularde¡otacióndelaTierra

es \E|-ndondeRessuradioyglaace-

le¡ación debida a la gravedad, el peso de una partícula de masa m se¡ía igual en todas las latitudes. (b) ¿Cuál es el valor numérico de esta rapidez angular? Resp. (g) 1,74X l0-a rad/seg

a'74'

Un tanque cilíndrico que contiene agua, gira al¡ededor de su eje con rapidez angular o, de manera que no se derrama

el agua. Demostra¡ que la superficie del agua es un paraboloide de revolución.

6'76'

Hacer: (a) el problema 6.16, y (ó) el problema 6.1?, aproximando hasta té¡minos que involucren o2.

6'78'

Demostrar que el viento cuando en el hemisferio norte se desplaza de una área de alta presión a una á¡ea de baja presión ¡ota en sentido contra¡io al del movimiento de las agujas del reloj,..r".do es visto desde arriba de la superficie de la Tierra, debido a la ¡otación de la Tierra. ¿Qué ocuniní a los vientos en el he-

misferio sur?

6.77. (o) Demostrar que en el hemisfe¡io

no¡te los vientos que vienen del norte, este, sur y oeste se desplazan hacia el oeste, norte, este y sur respectivamente como indica la figura 6-r0. (ó) use este argumento para explicar el origen de los c jclone.s.

o

E

6.78.

Determinar qué condición debe tener ra rapidez angular pa¡a que una partícula desc¡iba un círculo ho¡izontal dentro de un cono vertical sin rozamiento de ángulo a.

6.79.

Hace¡ el problema 6.78 para un cascarón hemisférico.

6'80'

El peúodo de un péndulo simple es P. Demost¡a¡ que cuando el péndulo se suspende del techo de un tren que se mueve con rapidez uo sobre una trayectoria circula¡ de ¡adio p su peúodo está dado por

P\/ps/v4T7F 6.81.

Hacer el problema 6.25 aproximando a términos que contengan o2.

6.83.

Hacer el problema 6.82 en el caso de que haya un coeficiente de roza-

miento p.

6.84.

Demostrar que la partícula del problema 6.g2 está en equilibrio esta. ble entre las distancias medidas desde O dadas por

úrsend/r-¡tan"\ u2 \ tanc*p / suponiendo tana < l/t. 6.85.

cseno/1*ptana\ --T \ tar"_/, /

Fig.6-ll

Un tren que lleva una rapidez uo toma una curva de radio de curvatura p. Demostrar que si no hay fuer_ za lateral sobre el riel externo, entonces éste deberá estar colocado con respecto al riel interno a una altura dada

6.86.

t--

por aoltt@

donde o es la separación entre los ¡ieles.

Un proyectil se dispara en una colatitud tr con velocidad ue dirigida hacia el oeste y formando un ángulo a con la horizontal. Probar que al no tener en cuenta los términos en o2, el tiempo que necesita para alcanzar la máxima altura es

d_ o92

o0 sen

Zoaf;sen )r sen a cos a

Comparar este resultado con el caso en que

6.87,

@

ICAP,

6

: 0, esto es, que la Tierra no gire alre
En el problema 6.86 demostrar que la máxima altu¡a alcanzada es 2oofl sen Isen 2 d cos ¿ ug2sen2 o

-w

Compárelo con el caso en que o

6.88.

MOVIMIENTO

SISTEMAS COORDENADOS EN

r&1

g2

:0.

Demost¡ar que el alcance del proyectil del problema 6.86 es

of;

2a

otrf; sen a sen

s -T

sen

l,

(8 sen 2 a

-

6)

de orden superior a éste, el alcance se¡á acuerdo con que o ) 60', a{ 60" o c :

y demostrar que si no tenemos en cuenta los términos €n o2 y mayo¡, menoro igual como en el caso en que @

: 0 de

60" respectivamente.

6.89,

Si un proyectil se dispara con una velocidad inicial uli I ,.;"j + usk desde el origen de un sistema de coordenadas fijo relativo a la superficie de la Tierra en una colatitud tr, demostrar que para cualquier instante posterior su posición estará dada por

ü : A : z =

ts( *

oo2t2 coslr

u2t - atz(a, costr * t'3sen)r) * $ogt3 sentr tt3t - tgt2 * otr2Ú2 sen L

donde no se han tenido en cuenta los términos en o'.

6.90.

Hacer el problema 6.89 incluyendo los términos en ,2 pero no los términos en o3.

6.9f .

Un objeto de masa m que inicialmente está en reposo se suelta desde una altura h a la superficie de la Tierra en una colatitud tr. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la rapidez instantánea del objeto y que la Tierra rota alrededor de su eje, demostrar que después de un tiempo t el objeto se ha apar' tado de la vertical hacia el este una cantidad 2o s-9nr B3

Íg -zlt12)(l- e-Bt) + pzhtl--Bt - pct +

$oB2t2)

donde no se han tenido en ctrenta los términos afl o2 y de orden superior.

6.92.

Hace¡ el problema 6.91 indicando la exactitud cuando se incluyen términos en o2.

6.9g.

Un plano inclinado un ángulo o, sin rozamiento y de longitud J se localiza en una colatitud tr y se coloca de tal manera que una partícula colocada sobre él se desliza, debido a la influencia de la gravedad, de norte a sur. Si la partícula parte del reposo en la parte superior del plano, demostrar que el tiempo empleado para llegaralaparteinferio¡delplano,despreciandolostérminosdeorden o2, estádadopor

.ffi. I

srl=;-:

y que su rapidez en la parte más baja es

\/U *"" - $rl 6.94.

(¿)

sena cosd senl

Demostrar que cuando la partícula del problema 6.93 llega a la parte inferior del plano, su deflexión es

2ta I zI 3 19*,'"

cos(d1-^'

al esteuoesterespectivamentedeacuerdoconsi cos(a* I) esmayoromenorquecero.(b)Discutirelcaso que cos (a * I) : 0. (c) Aplicar el resultado de (o) para obtene¡ el ¡esultado del problema 6.17.

en

6.95.

Hacer el problema 6.93 y 6.94 si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento r-

Copítulo 7 Sistemos de portículos SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS Hasta ahora hemos tratado principalmente con el movimiento de un objeto que puede ser considerado como una partícula o masa puntual. En muchos casos prácticos los objetos con los cuales debemos tratar pueden considerarse en una forma más real como una colección o sistema de partículas. Estos sistemas son llamad os d"iscretos o continuos de acuerdo con que las partículas puedan considerarse separadas una de otra o no. En muchos casos prácticos un sistema discreto que tenga un gran número, pero finito, de partículas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente un sistema continuo puede tratarse como sistema discreto con un gran número, pero finito, de partículas.

DENSIDAD Para un sistema continuo de partícul una región en el espacio es con fre_ cuencia conveniente definir una masa por umen, la cual se llama densidad uo_ lumétrica o sirnplemente densidad. Mate si AM es la masa total de un volumen a¡ de partículas, entonces la densidad puede definirse como O=

tM A¡+o Ar

(1)

La d'ensidad es una función de la posición y puede variar de un punto a otro. Cuando la densidad es una constante, se dice que el sistema tiene d,ensidad iniforme o simplem ente uni-

forme.

Cuando un sistema continuo ocupa una superficie, podemos, en forma similar, definir una densidad superficiol o mase nor unidad de área. Igualmente, cuando las partículas ocupan una línea (o curva) definimos una masa por unidad de longitud o densidad lineal.

CUERPOS ELASTICOS Y RIGIDOS En la práctica, al aplicar fuerzas a sistemas de partículas la distancia individual entre ellas cambiará. Tales sistemas se llaman deformable, o elósticos. Sin embargo, en algunos casos, la deformación puede ser tan pequeña que para "u"rpo, fines prácticos podemos suponer que no existe. Entonces es conveniente definir rrn .ntd"lo matemático en el cual la distancia entre dos partículas cualesquiera de un sistema permanezca igual, sin considerar las fuerzas aplicadas' Tal sistema se IIama cuerpo rígido. La mecánica del cuerpo úgido se considerará en los capítulos 9 y 10. GRADOS DE LIBERTAD

El número de coordenadas requeridas para determinar la posición de un srstema de una o más partículas se llama el número d,e grados de libertad del sistema. Ejemplo 1. Una partícula que se mueve libremente en el espacio necesita 3 coordenadas, es deci¡ (x, y, z),paradeterminar

su posición. Por

tanto, el número de grados de libertad es igual a B. 165

tcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

166

?

Ejemplo 2. Un sistema compuesto de N partículas que se mueven libremente en el espacio necesita 3N coordenadas pa¡a determinar su posición. Entonces el número de grados de libertad es 3N.

Un cuerpo rígido que puede moverse libremente en el espacio tiene 6 grados de libertad, esto es, se requieren 6 coordenadas para determinar su posición. Véase el problema 7.2.

CENTRO DE MASA Sean rr, 12, ., rN los vectores de posición de un sistema de N partículas de masas tnt, trt2; .¡f2¡v, r€Sp€ctivamente (figura 7-1). El centro de maso o centroide del sistema de partículas se define como el punto C que tiene por vector de posición

i N

donde

M = >rnv esla v=l

)

lugar de

1múr+m2r2+"'*rttxt¡,t= f g ili uZ-r',o"" Íttr*1,ttz+-,.+nN

masa total del sistema. Usaremos algunas veces

(21

)v

o simplemente

N

"tt

).

Fis.7-2

Fig.7-l

Para sistemas continuos de partículas que ocupan una región R del espacio en el cual la densidad volumétrica es or, el centro de masa puede expresarse como

r=

Í^"'a'

(3)

fn"o' donde

la integral

se toma en toda

la región R (figrr¡a 7-2). si escribimos

i = ii+Ai+Zk, ¡u: s,i*A,il-z'lr entonces (3) puede escribirse como

,:ry,

ú=>#t, 2=z#t

f o*d,,

v

donde la masa

Jq O=-:A

f "ud', ,

tlq

, U=-M

= 7=

f

¿'R,

(4)

ozil M

(5)

total está dada por cualquiera de las dos siguientes expresiones

M = 2*" M = fn"a,

(6) (7)

CAP. ?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

167

Las integrales de (3), (5) o (7) pueden ser integrales simples, dobles o triples, dependiendc del caso en cuestión. 'En la práctica para pasar de sistemas discretos a sistemas coñtinuos es correcto cambiar las sumatorias por integrales. Posteriormente presentaremos todos los teoremas para sist,emas discretos.

CENTRO DE GRAVEDAD Si un sistema de partículas se encuentra en un campo gravitacional uniforme, el tro de masa se llama algunas veces el centro de grauedad.

cen-

MOMENTUM (O CANTIDAD DE MOVIMIENTO) DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

Si v, - ihJd,t = i,

como

es

la velocidad de m,, el momentum total del sistema ¡¡N

P = 2*,o,

= 2*,i,

se define (8)

Podemos demostrar (véase el problema Z.g) que

donde

p=Mn=M+=Mi aÍ

i : df/ü

(e)

es la velocidad del centro de masa. Esto se expresa en forma de teorema de la siguiente manera: Teoremd 7'r' El momentum total de un sistema de partículas puede hallarse multiplicando la masa total M del sistema por la velocidad y del centro de masa.

MOVIMIENTO DEL CENTRO DE IVIASA Supongamos que las fuerzas internas entre dos partícuias cualesquiera de un sistema obedecen a la tercera ley de Newton. Entonces si F es ia fuerza externa resultante que actúa

sobre el sistema, tenemos (véase el problema 2.4)

F=

#

= M# = MA;

(10)

Lo cual se expresa en el Teorema 7'2' El centro de masa de un sÍstema de particulas se mueve como si la masa total y la resultante de la fuerza externa estuvieran aplicadas en ese puntr). CONSERVACION DEL MOMENTUM

HaciendoF:Oen

(10), hallamos que N

P = 2*,u,

=

constante

(1i

)

Entonces tenemos el

Teorema 7.3. Si la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema de partículas total permanece constante, esto es, se conserva. En este caso

es cero' entonces el momentum

el centro de masa permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante_

Este teorema se llama frecuentementeprincipio de La conseruación del momentum y es una generalización del teorema 2.8.

[cAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

168

7

MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS La caútidad N

o = 2rmr(r,xv,)

U2)

llama momentum angular total (o momento del momentum) de un sistema de partículas con respecto al origen O. se

MOMENTO EXTERNO TOTAL QUE ACTUA SOBRE UN SISTEMA Si F, es la fuerza externa que actúa sobre Ia partícula r', entonces r, X F, mento de la fuerza F, o torque con respecto a O y Ia suma

se llama momento externo

total

^

= jr,xF,

se

llama mo(13)

conrespecto'"=ltot'*"t''

RELACION ENTRE EL MOMENTUM ANGULAR Y EL MOMENTO EXTERNO TOTAL Si suponemos que las fuerzas internas entre dos partículas cualesquiera están siempre sobre la línea que las une (esto es, son fuerzas centrales), entonces podemos demostrar como se verá en el problema 7.12 que ¿IA

^ =H

Entonces tenemos el

Q4)

Teorema 2.4. EI momento total externo sobre un sistema de partículas es igual a la que tasa de cambio con respecto al tiempo del momentum angular del sistema, siempre las fuerzas internas entre las partículas sean fuerzas centrales.

CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGUI,AR Haciendo .d, : O en (14) hallamos que N

o :2rm'(r'xv')

= constante

U5)

Entonces tenemos el

Teorema 7.5. Si el momento externo resultante que actúa sobre un sistema de partículas es cerg, el momentum angular total permanece Constante, esto eS' Se conserva' geEste teorema es llamado principio de la conseruaL;on del momentum angular y es una neralización del teorema 2'9.

ENERGIA CINETICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS La energía cínética total de un sistema de partículas se define como

1{1.1!... -., 'n r = 22m'al = )2rm"I3

(,lb')

TRABAJO Si R es la fuerza (externa o interna) que actúa sobre la partícula r, entonces el trabajo total'réalizado para pasar el sistema de partículas de un estado (simbolizado por 1) a otro (simbolizado por 2)

es

wtz = 2, Írrr,. or,

\17)

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

169

Como en el caso de una sola partícula, podemos probar el

Teorent'a 7'6' El trabajo total realizado para pasar un sistema oe partículas desde un estado donde la energía cinética es ?r a otrodonde la energía cinética Wtz

".

= Tz-Tt

?r,

""

(/8)

ENERGIA POTENCIAL. CONSERVACION DE LA ENERGIA Cuando todas las fuerzas, externas e internas, son conservativas podemos definir una energía potencial total v del sistema. En tal caso podemos probar el Teorema 7'7' Si ? y V son la energía cinética total y la energía potencial total del sistema respectivamente, entonces

T

+ V:

constante

(1e)

Este es el principio de la conseruación de la energía paraun sistema de partículas.

MOVIMIENTO RELATIVO AL CENTRO DE MASA A menudo se acostumbra describir el movimiento de un sistema de partículas con pecto (o relativo) al centro de masa. Los siguientes teoremas son fundamentales.

res-

En todos

los casos las variables con el signo (prima) denotan cantidades referidas al centro de masa.

Teorema 7'8' El momentum lineal total de un sistema de partículas con respecto al centro de masa es cero. En símbolos Nil

Z*,"i:)^,ri =

o

(20)

Teorema 7'9' El momentum angular total de un sistema de partículas con respecto a cualquier punto o es igual al momentnm angular de la masa total, la cual suponemos localizada en el centro de masa, más el momentum angular con respecto al centro de masa. En símbolos,

O = ixMÍ+)m,ftixvi) Te

to a cu

niendo to con

(21)

energía cinética total de un sistema de partículas con respecigual a la energía cinética de traslación del centro de masa (supolizada en el centro de masa) más la energÍa cinética del movimiende masa. En símbolos.

T=

1 rl =zMÍ, *;V=rm,a,,'

{22)

Teorema 7'11. El momento externo total con respecto al centro de masa es igual a la tasa de cambio en el tiempo del momentum angul", respecto al centro de masa, esro es, la ecuación (14) es válida no sólo para un sistema de "án coordenadas inercial sino también para un sistema que se mueve con el centro de masa. En símbolos,

L'=ry dt

e3)

Si el movimiento se describe con relación a otros puntos diferentes al centro de masa, el resultado de los teoremas anteriores puede ser más complicado.

IMPULSO Si F es la fuerza total externa que actúa

sobre un sistema de partículas, entonces

170

SISTEMAS DE PARTICULAS

Í:

Fdt

[CAP:

7

(24)

se llama impulso lineal total o impulso total. Como en el caso de una sola partícula, podemos probar el

Teorema 7.12. El impulso lineal total es igual al cambio en el momentum lineal. Similarmente si .1, es el momento total externo aplicado a un sistema de partículas con respecto al origen O, entonces ?tz

I t¿t

se

(%)

llama impuiso angular total. Podemos entonces probar el

Teorema 7.13. El impulso angular total

es igual al cambio en el momentum angular.

CONSTRICCIONES. CONSTRICCIONES HOLONOMICAS Y NO HOLONOMICAS En la práctica, a menudo, el movimiento de una partícula o sistema de partículas está restringido a alguna trayectoria. Por ejemplo, en un cuerpo rígido (capítulos 9 y 10) el movimiento debe ser tal que la distancia entre dos partículas cualesquiera del cuerpo úgido sea siempre la misma. Otro ejemplo se tiene cuando el movimiento de las partículas se restringe a que sea sobre una curva o sobre una superficie.

Las limitaciones al movimiento se llaman con frecuencia constricciones. Si la condición de constricción puede expresarse en una ecuación como

g(rr, rz, . . ., r¡l,

ú) = 0

(26)

Ia cual relaciona los vectores de posición de las partículas con el tiempo, entonces la constricción se llama holonómica. Si rto puede expresarse en esa forma la llamaremos no holonómica.

DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES Consideremos dos configuraciones posibles de un sistema de partículas, en un instante determinado, que sean compatibles con las fuerzas y constricciones. Para ir desde una configuración a otra necesitamos solamente dar a la v-ésima partícula un desplazamiento Er, de la antigua a la nueva posición. Llamaremos a 6r, desplazamiento uirtual para distinguirlo del desplazamiento reol (denotado por d,r,l el cual tiene lugar en un intervalo de tiempo en el que las fuerzas y constricciones pueden estar cambiando. EI símbolo ó tiene las propiedades usuales de la diferencial d; por ejemplo, D(sen d) : cos d ód.

ESTATICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL Para que un sistema de partículas esté en equilibrio, la fuerza resultante que actúa sobre cada partícula debe ser cero, esto es F, : O. De lo anterior se sigue que F,' Er, : 0 donde F,' 6r, se llama trabajo virtual. Sumándolos tenemos N

)F,.6r, =

o

(27)

F, : F;")+Fj')

(28)

Si hay constricciones podemos escribir donde FÍ'' y Fj") son la fuerza actual y la fuerza de constricción, respectivamente, que actúan sobre la u-ésima partícula. Suponiendo que el trabajo debido a las fuerzas de constricción es cero (lo cual es válido para cuerpos rígidos y para movimiento sobre curvas y superficies sin rozamiento), Ilegamos al

CAP. ?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

L7l

Teorema 7.14. Un sistema de partículas está en equilihrio si y sólo si el trabajo virtual total de la fuerza real es cero, esto es, si N

,¿

FÍ", . sr,

=

0

(2s)

con frecuencia este teorema se llama er principio de trabajo uirtuar.

EQUTLTBRIO EN CAMPOS CONSERVATTVoS. ESTABILIDAD DE EQUILIBRIO Lo que se ha obtenido para el equilibrio de una partícula en un campo de fuerza conrerva. tivo puede generalizarse a un sistema de partícul"r. Lor teoremas resumen los resultados básicos. "igarientes

Teorema

7'75'

de las coordenadas

Si V es el potencial total de un sistema de partículas que entonces el sisterna estará en equilibrio si

ett e2t. . .,

av^av = o'

-= o, .oq, Ya que el trabajo virtual realizado sobre un sistema

dependen

(3r)

.A

es

= #'o'l-#oq,+"'

sY

(3I) es equivalente al principio de trabajo virtual. Teorema 7'16' Un sistema de partículas estará en equilibrio estable si el potencial V es un mínimo. En el caso que vdependa solamente de una coordenada, digamos gr, las condiciones suficientes son dv _ a2v - ^

^ d4= ''

u4'o

otros casos de equilibrio en que el potencial no es un mínimo

se

llaman de equilibri o inestable.

PRINCIPIO DE D'ALEMBERT Aunque el teorema 7.14 se estableció para aplicarlo a la estática de un sistema de partículas, puede refo¡marse para obtene¡ un teoremq análogo para la dinámica. para hacer esto observemos que de acuerdo con la segunda ley de N"*íorr-+t movimiento,

F,=i,

o F,-i,=0

(,30)

donde Pv es el momentum de la v-ésima partícula. La segunda ecuación se valora diciendo que un sistema de partículas en movimiento se puede en equilibrio bajo una fuer"orr.=id"r", za Fu -if', esto es, la fuerza real más la fuerza -i, l" cual frecuentemente se llama la fuerza efectiua inuersa sobre la partícula v-ésima. usaido ptirr.ipio de trabajo virtual podemos llegar al "L

Teorema total sea

?'I7'. un sistema

de partículas se mueve de manera que el trabajo virtual

)

(r'i",

- i¡,). ¡r, =

o

(32¡

con este teorema, el cual recibe el nombre deprincipio de D,Alemberü, podemos considerar la dinrímica como un caso especial de la estática.

IcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

t72

?

Proble mas resueltos GRADOS DE LIBERTAD 7.1. Determinar el número,de grados de libertad en cada uno de los siguientes casos: (o) una partícula se mueve sobre una curva dada en el espacio; (b) cinco partículas se mueven libremente en un plano; (c) cinco partículas se mueven libremente en el espacio; (d) dos partículas unidas por una varilla rígida se mueven libremente en un plano. se puede describir por las ecuaciones paramétricas ¡ : ¡(s), y : y(s), z : es el parámetro. Entonces la posición de Ia partícula sobre la curva está determinada por

z(s\

(o) La curva (b) (c)

donde

s

la especifica-

ción de una coordenada, y pot tanto, hay un grado de libertad. Cada partícula requiere dos coordenadas pa¡a fijar su posición en el plano. Así 5'2 : 10 coordena' das son necesa¡ias para determinar las posiciones de todas las 5 partículas, esto es, el sistema tiene 10 grados de libertad. Ya que cada partícula requiere tres coordenadas para determinar su posición, el sistema tiene 5'3 : 15 grados de libertad.

(d\ Método l.

Las coordenadas de las dos partículas se pueden exp¡esar por (r¡, yr) y (¡r, y2), esto es, un total de 4 coordenadas. Sin embargo, como la distancia entre esos dos puntos es una constante ¿ (la longitud de la varilla úgida), tenemoe (xt - xz)2 * (yr - Jt)2 : c2 así que una de las coordenadas se puede expresar en función de las otras. Entonces hay 4

-

1

:

3 grados de

libertad.

Método 2. El movimiento

está totalmente especificado si damos las dos coo¡denadas del centro de masa y el ángrlo que forma la varilla con alguna dirección específica. Entonces hay 2 * 1 : 3 grados de libertad.

7.2. Determinar el número de grados de libertad,para un cuerpo igido el cual:

(o) puede

moverse libremente en el espacio de tres dimensiones, (b) tiene un punto puede moverse en el espacio alrededor de ese punto.

fijo

pero

(a) Método 1. Si tres puntos, no colineales, de un cuerpo rígido están fijos en el espacio, el cuerpo también es(xz,!z,zz), (xulz,zsl- lascoordenadasdeesospuntos, un total de 9. Ya que el cuerpo es rígido debemos tene¡ las rBlaciones

táfijoenelespacio.Sean (¡t,!r,zt\,

@t-

rz)2

I (Ut-

az\z

* (zt- z2)2 = constante, (rz- r,s\2 * (Az- Asl2 * (zz(rs- rt)2 * (Az- at\2 * (zs- zt)z - constante

zs)2

=

constante,

por tanto 3 coo¡denadas se pueden expresar en función de las otras 6. Entonces se necesitan 6 coo¡' denadas independientes para describir el movimiento, esto es, hay 6 grados de libertad.

Método 2. Para fijar un punto del cuerpo ígido se requieren 3 coordenadas. Un eje a través de estos puntos está fijo si especificamos 2 relaciones de los cosenos directores de este eje. Una rotación alrededo¡ de este eje se puede desc¡ibi¡ por I coordenada angular. El número total de coordenadas requeridas,

(ó)

esto es, el núme¡o de grados de libertad, es 3 * 2 + 1 : 6. EI movimiento está completamente determinado si conocemos las coo¡denadas de dos puntos, digamos (¡r, !t, ztl y (xz, yz, er), donde el punto fijo se toma como el origen de un sistema de coordenadas. Pe¡o como el cuerpo es úgido debemos tener constante, (r, - x)2 I (y, _ yr)' * (er -22)2:conszl= constante, "?+ú* "3+a7*2f;= se pueden determinar en función de las 3 ¡estantes. Entonces hay tres tante, de lo cual 3 coo¡denadas grados de libertad.

CENTRO DE MASA Y MOMENTUM DE UN SISTEMA DE PARTICULAS 7.3. Demostrar el teorema 7.1: El momentum total de un sistema de partículas se puede determinar multiplicando la masa total M del sistema por la velocidad ü del centro de masa.

CAP. ?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

pordefinición el centrc c^ -Le masa ---- es,

r73

i- =-2*u'u --A-.

Entonces el momentum total es

7

'4'

Demostrar el teorema 7.2: El centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si la masa total y la fuerza externa resultante estuvieran aplicadas a ese punto. Sea Fu la fue¡za erterna resultante que actúa sob¡e la partícula y mientrag que fr¡ es la fuerza interna sobre la partícula y debida a la partícula tr. Supond¡emos que fr, 0, esto Js, la partícula

no ejerce fuerza alguna sob¡e sí misma. Por la segunda ley de Newton la fuerza totar sobre ra partícura

Fy+>ryr

=

r

r

es

= + = ffi@"r,)

donde el segundo término de la izquierda ¡epresehta bida a todas las demás partículas.

(1)

la fuerza interria resultante

sobre la partícula

r

de-

Haciendo la sumatoria sobre y en la ecuación (^/), tenemos

?"'*;?',^ = #{}^,',} Ahora, de acuerdo con la terce¡a ley de Newton de acción y reacción, fr)r =

toria de la izquierda de (2) es cero. Si escribimos

F = ?"" (2) se convierte en

Q)

_ff,,

asÍ que la doble suma-

y r = h2*,r, F=M#

(3) (4)

Ya que F es Ia fuerza exte¡na total sobre todas las particulas aplicadas en el cent¡o de masa pedido queda demostrado.

7.6.

i,

el resultado

Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistem.a que consta de una masa de 3 gramos en (1, 0, - 1), otra de 5 gramos en (- 2, r, g) y otra de 2 gramos en (3, - 1, 1). Los vectores de posición de las partículas son, respectivamente,

rr = i-k,

tz = -2í+j+Bk,

rs = Bi-j+t

Entonces el centro de masa está dado por

I = 3(i-k)+5(-2i+j+3k)+2(3i-j+k) Por tanto, las coo¡denadas del centro de masa son (_rfu,

7'6'

is.,

1., 3,,7+;t = -ñi*frl Í).

Demostra¡ que si el momentum total de un sistema es constante, esto es, se conserva, entonces el centro de masa está en reposo o en movimiento con velocidad constante. El momentum total del sistema

es

- = p = 2*,n, = 2*,iu *2^,r, =

"*{¿#"1 = M#

Entonces si p es constante, di/d,t también lo es, que es la velocidad de'l cent.o 7

'7

'

0".""..

Explicar la ¡azón por la cual la expulsión de gases a alta velocidad por la parte posterior de un cohete lo moverá hacia adelante. Ya que las partículas del gae se mueven hacia atrás con gran velocidad y como el centro de masa no se mueve' el cohete debe moverse hacia adelante. Pa¡a aplicaciones que implican movimiento de cohetes,

véase el capítulo 8.

7.8.

lcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

174

7

Deto¡minar el centroide de una región R sólida como la de la figura 7-3. Congidérese el elemento de volumen At, del sólido' L6 masa de este eleroento de volumen

ÁMv

-

ouAlru

es

= orÁartYu\z,

donde o, es la densidad (masa por unidad de volumen) y Át.rrAUy,Azy son las dimeneiones del elemento de volumen' Entonces el centroide está dado aprorimadamente por

2

2

tMu

)

ou

r, n,

LAv Lzu

^úv

) orAr, LllvLzv

Ar,

t

donde la sumato¡ia se toma ¡¡obre todos los elementos de Fig. ?-B volurnen del sólido. Tomando el límite cuar.rdo el número de elementos de volumen se hace infinito de modo que Ar, o A5, + 0, 6Uu - O, Á2, s 0, obtenemos para el centroide del sólido

t:=

Í^,0,

fÍ[fi. ,"ilrdyitz

l^o*

[[[a.

{ como se indica. *Ui*zk, f = ti+úi+zkpuede

+

0

"o"ooo"

donde la inte¡tal se ha,ce sobre

r=

EscribieFdo

ü= Á

+

ffR--Í

ci

,,o dr dy dz

!¡¡ ^*"*'

"

R

7.g.

=

!ÍÍq.

!Íffi.

escribirse en forma de componentes como

!íÍq.

"oitrilvilz ,irritaitz

Determinar el centroide de la región limitada por el plano

"odnd.ydz o

dr

d.y

dz

r + y * z: o y los pla-

nosx:0,,y:0,2:0.

La rcg,ión, como se indica en la figura ?-4,

es

un tetraedro. Para determinar el centroide, usa¡emos

lqg resulta'dos del Problema 7.8. Al c alcula¡ Ia suma sobre todos los elementos de volumen de la región es conveniente proceder en for' a elementoe de volu' ma ordenada. Una posibilidad es suma¡ primero todos los términos correspondientes ! Ay fijos y su' men contenido" .r, ,¡" columna tal como PO en la figura. Esto se obtiene manteniendo ty guma de todas las yr. la da Esto sob¡e todo y sumamos ru fijo mantenemos Después zr. todo mando sobre de todos los columnas como pe, que están contenidas en una lámina iS y, en consecuencia, da la suma tales como láminag las todas da la suma de Esto ru. variamos Finalmente lámina. la en cubos contenidos

ns. En la integración sobre q., usamos las mismas ideas' ¡ y y constantes integramos deede z :

Aeí manteniendo

0 (basedelacolumnaPQ)hasta z: a- r-y(parte superior de la columna PQ). Después se mantiene r cons'

tante y se integra con respecto ay. Esto da Ia suma de las columnas con base en el plano

ry Q:0)

localizadag des-

¡ * y: a o y es degde y : 0 hasta y : a -

Áte

0) haeta S (donde

de8(dondey: o - ¡), y la integración ¡. Finalmente sumanos todas lag láminas paralelas al plano yz para lo cual ¡e integra deede ¡ - 0 hasta ¡ : o. Así obtenemos

= Lt" ÁllrMu

Fis. ?-r

ya que en este

caso

r

es constante se puede cancelar.

Al calcula¡ el denominador gin c

yelnuneradorsinoes (da/2411(i+ j+k). Asíelcentrodemasaes i: ú: a/4, 2: a/4.

se

obtiene

(a/4')(i+j*k) o e:

¿3./6

a/4,

cAP. 7l

7.ro.

SISTEMAS DE PARTICULAS

Encontrar el centroide de una región semicircular de radio Método

175

o.

l.

Usando coordenadas rectangulares. Escogemos la región corno en la figura 7-5. Laecuación del círculo C es ¡2

yaque y 2

0.

* y, :

a2 o y

: \/F7

Si o es la masa por unidad de área, la cual suponemos constante, entonces las coordenadas del centroide están dadas por

1,"=-"

Í,"=-" eje

l"ftn**

l,T**

2o813

;AE

4a

s"

Nótese que podemos escribir inmediatamente E :0 ya que por simetría el centroide está sobre el para f se puede calcular sin integrar observando que éste representa el área semicir-

y' El denominado¡

culat la cual es jro2.

o d,A

Ng. ?-5

Fic.7{

Método 2. Usando coordenadas polares.

: e (figura 7-6). Como en el método anterior, vemos que por simetría el cent¡oide debe estar sobre el eje y, así que 0 : 0. Como en coordenadas polares y : ¡sen 0 y dl : rdrdC podemos escribir La ecuación del círculo es r

?t

,^!

| | " 0=o ¿

(r

senc)

ril¡ü

¡=o

l:=, l:=, rd.r ü 7.11.

2osl3

AIz

4o

u

Determinar el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio Por simetría el centro de masa está sobre el eje e (figura 7-?). Subdividamos el hemisfe¡io en discos ci¡culares sólidos de ¡adio ¡, tal como ABCDEA. Si el centro G del disco eetá a una distancia z del centrc O del hemisfe¡io, tenemos que r2 * e2 : o2. Enton. ces si el espesor del disco es dz su volumen será

= r(az _ z2) dz y la masa es ro(o! - z2ldz. Así tenemos ¡¡2 d,z fd

| rcz(o2 - "21 & 2 = "z=o fa z2l dz | J "nG\ z=o

-=¡'a

q o

Fig.7-7

a.

SISTEMAS DE PARTICULAS

176

IcAP.

7

MOMENTUM ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA

7.12.

Demostrar el teorema 7.4. El momento externo total sobre un sistema de partículas es igual a la tasa de cambio temporal del momentum angular del sistema, siempre que las fuerzas internas entre las partículas sean fuerzas centrales. Como en la ecuación (I) del problema 7.4, tenemos

Fy+>ryr

=* =

Premultiplicando vectorialmente ambos lados de

rrXF, Ya

r,XF,

en

sumando para todo

tenemos

* )rrXfr¡ = ,rXft(mrvrl I

," x fiQnov,l =

que

(2) se convierte

(I) por ryX,

(1)

ft@,',\

' ""rt'],;T:'. ";

)

r, x

(3)

ft{m,(t,x ",1\

* )r,Xf,¡ =

ft{m,(r,xv,))

r,¡ =

;1

{;

(2)

m,r,,xv,)}

(4)

(5)

La doble sumato¡ia de (5) está compuesta de términos tales como

r, X fr¡ i r¡ X f¡, la cual escribiendo fr, = -fr¡. de acue¡do con la tercera ley de Newton llega a ser r, X fr¡ - r¡ X ly¡ = (r, - r¡) X fr¡

(6)

(71

Como hemos supuesto que las fuerzas son centrales, esto es, fu¡ tiene la misma dirección de tr-t¡, entonces (7) es cero como también lo es la doble sumatoria de (5). Así la ecuación (5) se convierte en

)

r, X Fu

=

¿ (- m,(t,xv,)l I

"

^=#

o

t;

O = lrnu(rrXvr).

donde A = )rrXF,

TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y ENERGIA POTENCIAL 7.13. Demostrar el teorema 7.6. El trabajo total realizado cuando un sistema de partículas pasa de un estado a ot¡o con energías cinéticas ?r Y ?2 respectivamente es Tz - Tt. La ecuación de movimiento de la v-ésima partícula del sistema es

=

v,

Fy

+

>fy\ =

i, F,. i, + )

Multiplicando escala¡mente a ambos lados por

f,.i,

=

. d. ¡v. Ttlmv¡vt

Ya que

(2) se puede egcribir

r,.

i,

=

fr@"i,I

fu^.

i, = i, , ft<^,i,t

= tftv,G,.i,ll i, + ) I

)

tetremos

A

Fr.

(r

fu^.

i,

=

=

(2)

L#,^.ú,,

i *<^,"h

(3)

Sumando para todo v en la ecuación (3), encontramos

)I,.i,

= )r,.i, + ))f,r.i,

= 'rit(+^ú)

(4)

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

Integrandoconrespectoaüaambosladosde(l)desde

wn = ]

t,:,,,

Usando el hecho de que tivamente, podemos escribir

r,.i,dt

i, dt =

d,rv

r77

ú:úr hasta t:12,

encontramos

] Í,:,," F"i,dt * ; ? t'," ',^'',o' l] 1,,,' *,m,,fi\ dt

=

y los símbolos 1 y

2 para indicar los tiempos

tt !

tz, regpec-

wn = ]t'r,.a,, = ?f'",.d,r,*):f'f,¡.dr, = rz-rt u Jt iiJr I donde

?r y ?2

son las energías cinéticas totales en

wp

(5)

tr y t2, respectivamente. ya que

= ] t.'r,.a,,

(6)

"1.

es el trabajo total realizado (por las fuerzas externas e internas) para mover el sistema de un estado a otro, lo cual da el resultado requerido. Debemos observa¡ que la doble sumato¡ia en (5) indica que el trabajo realizado por las fuerzas internas no puede reduci¡se a ce¡o usando la tercera ley de Newion o la suposición de fuerzas centrales. Esta es una cont¡adistinción a la doble sumatoria de los problemas ?.4 y 2.12 las cuales se reducen a cero.

7.14.

Suponer que las fuerzas internas de un sistema de partículas son conservativas y se derivan de un potencial de la forma

Vx,(r'x,)

=

V,^(r,x)

donde Tr.v = Tvx = tículas tr y r del sistema.

es

(o) Demostrar que > ¿ fx,.dr, = -;) )ar^" sobre la partículi ,^O"OiO" a la partícula tr. (b) Calcular la doble sumatoria (o) La fuerza

que actúa sobre la particula

frlr :

r

dvx,

ar^

sobre

dvxu

*k

la partícula tr

|vx,

t, - ay^t. -

|vx,

donde

fr, es la fuerza interna

del problema 7.L8.

es

dvx'' dvx'' - a"ri - ayri -

La fuerza que actúa

- = f,,.

? ? fr'f^,.d,r,

la distancia entre las par-

= -gradrV¡,

=

(I)

-YuVx,

es _

=

-grad¡V¡,

= -VrVr,

=

-frx

Q)

El trabajo que estas fuerzas realizan para ^x producir los desplazamientos dr, y dr¡ de las partículas y

y

)\ es, respectivamente,

t,¡.dr,

*

r¡.,.dr¡ =

-

{T0",.+da,+a+d,,+*drr+#au^+ffa"}

- -dVx, Entonces el trabajo total realizado por las fue¡zas inte¡nas es

))r^,.a', = -;;?ou^,

(r)

el factor I de la derecha se introduce porque de otra manera los términos de la sumatoria entrarían

dos veces.

[cAP.7

SISTEMAS DE PARTICULAS

178

(ó) Integrando (3) y teniendo en cuenta la parte (o), tenemos t f2 ¡'2

? ? J,

r¡"dr' = -;

o'^' =

? ? J,

Y(rtrt)

-

(41

Y(rnt)

donde Vf¡nt)y Vr(int)denotan los potenciales totales internos

I

en los tiempos ür Y tz, respectivamente.

7.L5.

(5)

, ??u.

Demostrar que si tanto las fuerzas internas como las externas en un sistema de partículas son conservativas, entonces eI principio de la conservación de la energía es válido. Si las fuerzas exte¡nas son conservativas.

entonces

(r)

F' = -iVu de lo

cual

¡2

¡2

? Jr-",.r.,

= -] ), or" =

y(ext)

(2)

fext)

-

donde V{""t) y V;"*" denotan el potencial exte¡no total

2v, en los tiempos ür y fz, respectivamente. Usando (2) y la ecuación (4) del problema ?.14(ó) en la ecuación (5) del problema 7.13, encont¡amos

= y(ext)-y(ext)+V(t^t'-V(t¡L' = Yr-Vz Vz = V<'\L' + V
Tz-Tt donde

son las energías potenciales totales (externa e interna) en los tiempos ür

(3) obtenemos

fr+Vr

= TL+V2

o

T+V

=

y

ü2, respectivamente.

(3) (41

Así, de (5)

constante

que es el principio de la conservación de la energía.

MOVIMIENTO RELATIVO AL CENTRO DE MASA 7.16, Sean ri y vi el vector de posición y velocidad, respectivamente, de la partícula v relativos al centro de masa. Demostrar que (o) ) m,r', = 0, (b) > ft;,v'o = Q. (o)

Sea r, el vecto¡ de posición de la partícula v ¡elativo a 0 y I el vector de posición del centro de masa C relativo a O. Entonces de la definición del centro de masa,

i = #]*,r, donde

M = *,. i

Sustituyendo (2) en

de lo cual

(ó)

De

(I),

(I)

la figura 7-8 tenemos

tv = ri+r

,,IY

O

Fig.7-t

(2)

encontramos

11 r = i?^"1rj+t) = ¡2*,r|, 2 ^rr'" =

Diferenciando ambos lados de (3) con respecto a

+ (3)

o

,, tenemos 2mrv'u =

g.

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

7.17.

179

Demostrar el teorema 7.9. El momentum angular total de un sistema de partículas con respecto a cualquier punto O es igual al momentum angular de la masa total concentrada en el centro de masa más el momentum angular con respecto al centro de masa. Sean r, el vecto¡ de posición de la partícula v relativo a O, r el vector de posición del centro de masa C relativo a O y r', el vector de posición de lapartícula y relativo a C. Entonces

t;* t Diferenciando con ¡especto

"

(I)

,,

"rr.orrrr"tj": V, = i, = ];+

i = ní+V

e)

donde g es la velocidad del cent¡o de masa ¡elativo a O, v, la velocidad de la partícula / ¡elativa a y v'" la velocidad de la partícula relativa a C.

O

El momentum angular total del sistema con respecto a O es

O = )mr(r,xv,) = )m,l(r',+i) x(vi+v))

= ]*,
+ )zc,(rxfl

(J)

7.16,

)rn,(r',xi) = {>*r;}"o u v ") Lt

=

0

>tny(ixv;) = t"{>*,o',,) v"'ln')

=

o

r) )zn,(rxV) = 1¿*,ftixvl L, )

= M(txv)

Como se requeúa (J) se convierte en.

O = ]^,(,xvi) +M(rxv) 7.f8.

Demostrar el teorema 7.10: La energía cinética total de un sistema de partículas con respecto a cualquier punto O es igual a la energía cinética del centro de masa (suponiendo la masa concent¡ada en el centro de masa) más la energía cinética del movimiento alrededor del centro de masa. La energía cinética relativa a O es (figura ?_g)

r = f,2*,,, = L;^ri,.i¡ Utilizando la ecuación (2) del problema Z.16 encontramos Así (f ) se puede escribir

ir=ili'r=v+v', como

r = L+^,r* *oi) = i,2*,u.o *

. tv

+,,)¡

* ; ; m,v',.v' 'l /\ f + v.t?^";i * I]-,i' = til¡-*)v2 * L7*,,,, =

i*

Ya que

2*u"'u = 0 del problema

?.16.

?

m,i.v',

(r)

SISTEMAS DE PARTICULAS

180

IcAP.

7

IMPULSO

7.19. Demostrar

el teorema 7.12:EI impulso lineal total es igual al cambio del momentum

lineal. Po¡ la ecuación (4) del problema 7.4 la fuerza exte¡na total

F = M# = Entonces el impulso lineal total ¡to

*Eo,

es

/'a,

E

= Mv2-twL = pz-pr

= Jl'affat Jl"l"at r, r, cI'¿

donde pt : Mit

es

y pz : MV2 representan los momenta totales en los tiempos t1 y t2, respecti-

vamente.

CONSTRICCIONES. CONSTRICCIONES HOLONOMICAS Y NO HOLONOMICAS 7.2O. En cada uno de Ios siguientes casos establecer cuándo Ia constricción es holonómica o no holonómica y dar la razón de su respuesta: (o) una cuenta moviéndose sobre un alambre circular; (ó) una partícula deslizándose hacia abajo en un plano inclinado bajo la influencia de la gravedad; (c) una partícula deslizándose hacia abajo sobre una esfera desde un punto cercano al punto más alto bajo la influencia de la gravedad. (o) La constricción es holonómica ya que la cuenta, que puede ser considerada como una partícula, está constreñida a moverse sobre el alambre circular. (b) La const¡icción es holonómica ya que la partícula está constreñida a moverse a lo largo de Ia superficie, que en este caso es un plano.

(c) La constricción es no holonómica ya que después de que la partícula llega a cierto punto sobre la esfe¡a se separa de la esfera. Otro punto de vista es que si r es el vector de posición de la partícula relativo al centro de la esfera como origen y o el ¡adio de la esfera, entonces la partícula se mueve en tal forma que r2 ¿ o2. Esta es una constricción no holonómica ya que no tiene la forma de la ecuación (26). Un ejemplo de una const¡icción holonómica seía r2 : a2.

ESTATICA. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL. ESTABILIDAD 7,21. Demosttar el principio de trabajo virtual, teorema 7.14. Como hay equilibrio, la fue¡za neta resultante

F,

sobre cada partícula debe ser cero, así que

)F,'6r, = o Pe¡o como F, = F o'+ Ft") donde Ff") y Ff") la v-ésima partícula, (1) puede esc¡ibirse como

? "Í"''

or,

(I)

son las fue¡zas real y de constricción que actúan sobre

* )

F(c)'

6ry = o

(2)

Si suponemos que el trabajo vi¡tual de las fuerzas de constricción es cero, el segundo sumando de la izquierda de (2) es cero, entonces

)

X'fo).

or, =

0

(3)

lo cual es el principio de trabajo virtual.

7.22. Dos partículas de masas mt y Ít2 están colocadas sobre un plano inclinado doble sin rozamiento y están unidas por una cuerda inextensible de masa despreciable qr,fb pasa sobre una polea liviana (figura 7-9). Usar el principio de trabajo virtual y demostrar que para el equilibrio debemos tener ,lftz sen dr tf¿t sen a2 donde dr y d2 son los ángulos de inclinación.

CAP. ?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

Método

181

1.

r¡ y

12 los vectores de posición con rela! Í,2, respectivamente, Las fuerzas que actúan (debidas a la gravedad) sob¡e mty mz son, respectivamente, Sean

ción a O de las masas mt

fro, = F5", = *rg ^rg,

(I)

De acuerdo con el principio del trabajo virtual,

)x'jo)'or, =

o

o

Flo).6rr*F!").0r2 = O donde ór¡ y ór2 son los desplazamientos inclinados. Remplazando (I) en (2),

(2)

Fig.7-9

virtuales de rp¡ y rn2 hacia abajo

* m2g.8r, = m10 6f1 sen cl * *"0 ór2 sen a2 no se extiende, esto es, ór¡ $ ó¡2 : Q m1g.8r1

o Entonces

la

cuerda

sobre

los

planos (3)

0

(41

o 612 :

-6¡t,

(4) se trasforma

en

- m2g sena2ltrl -0 Pero como ór¡ es arbitraria, se debe cumplir mrgsendr - Ít2! SQrra2 : 0, es deCi¡, (m1g senal

sendt S€IllI2 =

Método

fllZ

(5)

(tL7

2.

Cuando no se conozca cla¡amente cuáles fue¡zas presentan constricción y no hacen trabajo, debemos tener en cuenta todos las fuerzas y luego aplicar el principio de trabajo virtual. Asi, por ejemplo, teniendo en cuenta las reacciones Rr y R: de los planos inclinados sobre las partículas y

las tensiones

Tr y Tz, el principio del trabajo virtual expresa (m$+T1 +Rr).611 * (mzgIT2*R2).612 =

0

(6)

Como suponemos que los planos inclinados son lisos

(las reacciones son perpendiculares a éstos) tenemos

R1'6r1

= 0, $.0r2 -

(7)

0

Además, como no hay rozamiento en el perno, las tensiones Tr y Tz tienen la misma magnitud. Te_ niendo en cuenta que 6r¡ y ór2 se dirigen hacia abajo sobre cada uno de los planos inclinados entonces 6r, : - ór, y, por tanto,

T,.611 *T2.612.

= ;rr:r;r;r:rr:ro

puesto que

Tt : Tz.

ecuación (6) queda ?¿rg . 6rt

I

(s)

Entonces usando (Z) y (S), la

m"¿.

6t2 =

0

Fis.7-10

resultado que concuerda con el obtenido en (J).

7.23. Usar el teorema 7.15 para resolver el problema

7.22.

Supongamos que la cuerda tiene una longitud I y que las longitudes de la cuerda OA y OB sobre los planos inclinados (figura ?-9) son r y I - r, respectivamente. Usando un plano horizontal que pasa por O como nivel de referencia, la energía potencial total es

V = -mtgn Entonces

si hay equilibrio av

sen

ct -

rn2pQ

- nl

sena2

debe¡á cumplirse

dt ftuz send2 fnl Debe notarse que V en este caso no es un mínimo de manera que el equilibrio no es estable d,

= -rfl,lg sendt * tn2g sena2 = 0

cual es evidente físicamente.

sen

o

lo

r82

SISTEMAS DE PARTICULAS

lcAP.

7

PRINCIPIO DE D'ALEMBERT

7.24. Usar el principio de D'Alembert para describir el movimiento de las

masas del

problema 7.22. Introducimos las fuerzas efectivas contrarias 7.22

y

obtenemos

- mtí¡. M, *

(m$

¡n

r'ir y

(mzE

2 en la ecuación (3) del - mr:ir¡. 6t" = 0 m2ii

problema

(r)

que puede escribirse

- mr'ir¡6r, t (mzg sena2 - mrlir¡6r, = Como la cuerda no se deforma rt I rz - constante, y por tanto 6rr + 612 = 0, 'i. *li, = ¡ o 3r2 = -6ry 'ir- -lir Así (2) después de dividir por ór¡ 10, queda (m1g senal

ln1! senal - nt'it -

rnfl

.. -r '

fnZg sena2

- rrL2T¡ =

al - rtn2Jg fnl+m2

sen

0

(21

0

Sen az

Entonces la partícula I se mueve hacia arriba o hacia abajo sobre el plano inclinado según que mlSsen a¡ ) m2(, send2 o mlgsen a1 1 m2S sena2, respectivamente. La partícula 2 irá hacia arriba o hacia abajo respectivamente, con la misma aceleración constante. Podemos también usar un método análogo al segundo método utilizado en el problema 7.22.

PROBLEMAS VARIOS 7.26. Dos partículas de masas mt y m2 S€- lnü€V€D en tal forma que su velocidad relativa es v y la velocidad de su centro de masa es V. Si M - Ít1 * mz es la masa total y ¡r : m tm 2/(m | + m z) es la masa reducida del sistema, probar que la energía cinética total es iMo2 I ipu2. Sean r¡, 12 y F los vecto¡es de posición con ¡especto a 0, de las masas rn t, mz J del centro de masa

C, respectivamente.

De la definición de centro de masa. tenemos

¡ o usando v1 =

i1, v, = ir,

V

^,-\_t

* T_,"

= i,

Si la velocidad de rn¡ relativa a rt2 v

mpy 4 eS

rrl2rr2

=

=

*\tt-tzl

V1-V2

(ll V

= Qq*

m2)i

fl-12

=

(r)

v, entonces

d.

así que Desarrolfando

_r

flll t rfi2

=

Yt-Y2 (2)

Y

Q', simultáneamente, encontramos

vr -¡ =

'lflqY v -r -------:-. m1

* m2'

vo =

fltY v - :-:----rnt -r 7n2

Entonces la energía cinética total es

T=

l,^rn', + f,rnr"l

i^,

(u +

'¿l*r*

-!t-)'

m2\o2

* L* (, - #

* r mr'

*)'

= f,ao' + f,rr'

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

183

7.26. Hallar el centroide de un alambre semi. circular de radio

a.

De acuerdo con la simetúa (figura ?-12) el cen_ troide del alambre debe esta¡ sobre el eje y, así que t :0. Si c es la masa por unidad de longitud del alambre y si ds reprcsenta un elemento de arco. "r,tonces ds : adC de modo que

e)(a de\ Í0" ,o ""n

lo" oo' 2a

7,27.

Fis.7-12

supongamos que n sistemas de partículas tienen centroides en Ft, Fz, . . ., Fr, y masas IvI ,,...,Mo, respectivamente. Demostrar que el centroide de todos

totales Mr,

en

los sistemas está

Mftt*Mziz*.,,+Mnin Mt*Mz+... +M,

Consideremosqueelsistemalestácompueótodelas',rssssfn¡¡,m¡2¡

,localizadas€¡r¡¡,r¡2,..

, respectivamente' Análogamente consideremos que el sistema (2) est¡í compuesto de las masas rn2¡, ñzz, localizadas €rl 121,t22, Entonces, por definición,

f1

=

,:= l¡=

*trlprp*... rnÍ + rnp+ ... rn2¡21 irn22t22*,.. m¡1r11

rn21

*,n22

?r1¡r1¡

M1 tn21t21

1..,

rnnlt¡1-ttrn2r.n2

I'..

* mptp* ... *m22r22

I...

M2

tu¡ttrL*lttn2rr2*...

m6imn2*.'.

Mn

Pero el centroide para todos los sistemas está localizado en

(rn¡¡¡ * rnptr2 + ' . . ) + (mzqzt * m22r2r+ . . .) + . . . * (rnn¡n1* mn2rn2* \rn11-rnp+'..) + (rn21*m22+...) + ... * (m¡Imn2*.,.1 MFr + M2i2+ ... + Mnr^

f=

@

7.28. Hallar el centroide de un sólido de densidad cons-

tante formado por un cilind¡o de radio o y altura semiesfera de radio a acoplada sobre el cilindro (figura ?-1S). Sea I la distancia del cent¡oide del sólido a su base. El

II y de una centroide de

ta I H

la semiesfera de radio a está a una distancia y su masa es M1 _ lrazo

desde la base del sólido

(véase el problema Z.1l). El centroide del cilind¡o de radio o y altura H está a una distancia f ll de la base del sólido y .u -'"r" es M, : ¡a2Ho. Entonces, por el problema 2.22,

F =

(Iro3ol(to* H) * GozHol(tí) Nroao

*

to2Ho

3a2*8aH*6Hz 8o

* t2H

Ftg.7-18

..

.l

7.29.

IcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

184

Se perfora un

en

la figura

7

orificio de radio a/2 en una región circular de radio o, como se muestra Hallar el centroide de la región sombreada obtenida.

?-14.

Fig'

Fig. Fig.7-14 ?-14

?-15

Por simet¡ia el centroide está localizado sobre el eje r, así que j¡:0' Podemos remplazar la región circular de ¡adio o por la masa M¡ : ra2o concent¡ada en su centroide .r¡ : ¿ (figura ?-15). Análogamente, podemos remplazar el orificio circula¡ de radio a/2 pot la masa negatiua M2 : -!*a2o concentrada en su cent¡oide x2 : Na. Entonces el centroide está localizado sobre el eje

r

en

Mtrl * M2r2 u_ = --E:+T;

(¡ azo)(a)

* (- lt a2o) (N a) - Ltazo

tuzo

o

6"

PQ (figura ?-16) de masa m y longitud L, tiene su extremo P descansando sobre una pared vertical lisa AB y su otro extremo Q sostenido mediante una cuerda OQ indeformable de longitud I en el punto fijo O sobre la pared. Consi' derando que el plano que contiene a P, QV O, es vertical y perpendicular a la pared, demostrar que existe equilibrio si

7.30. Una varilla uniforme

sena

=

{[F=V r\/g

senB :

Hay solamente una fue¡za real, el peso /ng de la varilla. -, de la pared sobre la Ot¡as fuerzas que actúan son la fuerza varilla y la tensión en la cue¡da. Sin embargo, estas fue¡zas

A

p¡esentan const¡icción y no pueden hacer trabajo, lo cual puede visualiza¡se ya que si P se desliza¡a hacia abajo, la pared no realiza¡ía trabajo porque no existe ¡ozamiento y por tanto la fuerza ejercida por la pared sobre la bar¡a es perpendicular a la pared. También si Q cayera sólo podría moverse perpen-

dicularmente a la cuerda en Sea

r el vector

Q.

de posición del cent¡o de masa C, en este

caso también el centro de gravedad con relación a O. Si i y j son los vectores unitarios en las direcciones ho¡izontal y vertical,

respectivamente, entonces

De la figura

r:

¡i *yj'

Fig. ?-r6

7-16,

= OP+PQ oQ = oc+CQ

OQ

Entonces de

(I), tomando el producto escalar

(r

)

(2)

con i,

oQ.i = OP'i+PQ'i Como

o

OP'i : 0,

se ¡educe a

oQ.i = PQ'i lsena = LsenB

(3)

CAP.

?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

r85

Análogamente al realizar el producto escala¡ de ambos lados de la ecuación (Z) con j,

oe.t = oc.i+ce.i

o

le,ua = ailLcoaB Ahora un desplazamiento virtual del cent¡o de masa

(4)

c estÁ dado por

6r = 6r,l*tAl Como rng es

Usando (5),

la única fue¡za efectiva, aplicando el principio

mt'6t = ,¡tg óy = 0 o

tenemos

Ahora de (g)

(5) de trabajo

virtual

se tiene

0

(6)

EU

=

0

(7)

v G) se obtiene

6a = L coaB 69 -tsencta = Sa-ILsenBdp puesto que l y I son constantes y ó tiene lag mismas propiedades del operador Segin (7) 6y - 0, entonces estas ecuacionee se t¡asforman en fcocclta = LeosB6B tsenc6a = {EsenBSB Icoca

Dividiendo (S) v

(8) (e)

(9)

senc

_

corc

De (3)

senB

así que

corp

Y la ecuación

diferencial d.

=

=

1 sen

ll

2

F

4-

co¿

(10)

QlLl sena

(11)

= r/1-Wñ

(12)

(10) puede erp¡esarse gen

ffi Dividiendo por sen a

y

elevando

y de (rI)

1 ;vñ

c

| sena

(13)

al cuadrado ambos lados, encontramos

@4

sen

d = ---¿{s

Sen

P' =

como se requería.

(r4l

\/ñ=F (15)

LtlS

7.31. Un sólido uniforme está formado por un cilindro de radio a y altura Il colocado sobre un hemisferio

de radio tr, como se indica en la figura 7_L7. De_ mostra¡ que el sólido estará en equilibrio estable sobre un plano horizontalsi y sólo si a/H > \E Según el problema T.2g el centroide C está a una distan_ I del hemisferio dada por

cia CB del centro

*

* 6H2 D "----a;FTDF-: 3a2

8aH

6Hz

-

Bap

Bf+nF

Entonces la distancia del centroide C sobre el plano es

cP coao + ü = ::,::; 8a + ::2H- ":":^"."c

+ BQ F|g.7.17

186

SISTEMAS DE PARTICULAS

[cAP.

7

de manera que la energía potencial (o potencial) es

-- /6vz-3azcosc+ o) v = tvls \8a +8, / (#) El equilibrio tiene lugar cuando *ae= o , ao-\Eo+LzH/ Entonces el equilibrio será estable si

azyl

@lu=o = es decir

twc

/Saz-6gz\ \BúT

LzH

e

:

o,

esdeci¡e:0.

"'(ffi) ,

=

|

)"o"lr=o

sen

3a2-6H2)0 o a/H>{.Z,

o

7.32. Una

cadena uniforme tiene sus extremos suspendidos de dos puntos fijos ubicados sobre el mismo nivel horizontal. Hallar la ecuación de la curva que forma

la

cadena. Sean

c+L0

A y B (figu¡a 7-18) los puntos fijos. Un

la cadena de longitud as está en equilibrio bajo las tensiones de magnitud T y elemento de

T + LT por el resto de la cadena, y también el peso ogas del elemento de la cadena. Ahora, si en la figura ?-18, las dirccciones de los vectores

fo¡man los ángulos correspondientes a ?y T + ^T tenemos 0 y 0 I Ac con eI eje r respectivamente,

como condición de equilibrio (despreciando los términos de orden (40)3 y mayores),

Fig. ?-lE

(f +A1) cos(c*ad)i + (?+A?) sen(a*Ar)j - (?cosc i * ?sena j) - osiAs =

(?+af) cos(a*ao) = T coso (T+LT)sen(o*At) - fsend = ogLe

0

(/) (2)

La ecuación (I) indica que la componente horizontal ?cosd debe ser una constante, la cual podemos tomar como ?6 5l eue corresponde a la tensión en el punto más bajo de la cadena, donde d : 0. Así'

Tcosd =

(3)

To

Dividiendo (2) por A0, se obtiene

(f +Af)

sen(e

*Ad) - f send -

Le

Tomando el límite a ambos lados de (4) cuando

a'-0'

A8

"c

(41

^c

encont¡amos

,l

d,s

fr(? sene) =

"c

(5)

de

Usando (3) pa¡a elimina¡ ?, (5) se convierte en

ftQot^nr)

d,s

ogü

=

+ dC = og "."r, To

o

¡ln

dondeó:To/'og.Aho¡a y de (7) y

ü

=

COg C,

d.u

ü

b

(6)

(7)

secz o

(8)

= sen,

(8),

d.r

d.r ila

d.e

dt

d,a dc

=

dc

du da ¡le

d.c

=

(cos e)(ü sec2

e) =

b sec c

(sene)(b secz

a) =

b sec

t tan,

(9)

(r0)

CAP.

?I

SISTEMAS DE PARTICULAS

187

Integrando (9) V (10) con respecto a 0, encontramos

tr = óln(secd*tane\ y = bsece * cz Considerandoque en el punto más bajo de la cadena 0

tramos cl : 0, cz : 0. Así

a

De (I3) Pe¡o

'tenemos

ü ln (sec,

= =

u

*

c1

(1

(12)

: 0, x : 0 y y :

b, de (11)

+ tan r)

C

-

tan2

ó secd

(12) encon-

(14)

+ tan, = ¿rlb = (sec c * tan a)(sec c -

0

y

(/3)

secd SeC2

1)

(lD, ta,n

c) =

1

(16)

Dividiendo (16) por (15), obtenemos SeC, Sumando (15) a (17)

y usando (i4),

- tAnd = e-rlb

(17)

encontramos

u=

A

fi@xn+e-zrcl

=

Dcoshf

(r8)

Curva que se llama catenaria (del latin, que significa cadena).

Problemas propuestos GRADOS DE LIBERTAD

7.33.

Deterrninar el número de grados de libertad en cada uno de los siguientes casos: (o) una partícula rnoviénplana; (ó) dos partículas sobre una curva en el espacio que mantienen una distancia constante entre ellas; (c) tres partículas moviéndose en el espacio de manera que la distancia entre dos cualesquiera de ellas es siempre constante. Resp. (a) 1, (ó ) l, (c ) 6 dose sobre una curva

7.34.

Encontrar el núme¡o de grados de libertad para un cuerpo rígido: (¿) que se mueve paralelamente a un plano fijo, (b) que tiene dos puntos fijos pero puede moverse lib¡emente en cualquier forma. Resp.

7.35.

(c) 3, (b) 1

Encontrar el número de grados de libertad para un sistema constituido de una varilla rígida que puede move¡se libremente en el espácio y una partícula limitada a moverse sobre la varilla. Resp.4

CDNTRO DE MASA Y MOMENTUM DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

7.ffi.

Un cuadriláte¡o ABC D tiene masas

C(1,

-2,0 y

l,

2,3 y 4.unidades localizadas en sus vértices A

D(3, 1, 2). Encontra¡ las coo¡denadas del cent¡o de masa

(-

L, - 2,2), B(8, 2, - l), Resp. (2,0, 2l

7.37.

Un sistema está formado de dos partículas de masas mt ! mz.Demostra¡ que el centro de masa del sistema divide la línea que une ilt¡ a tn2 en dos segmentos cuyas longitudes están en la relación Ít2 a t11.

7.38.

Una bomba que se deja caer desde un aeroplano explota en el aire. Demcistrar que si se desprecia la resistencia del aire, entonces el centro de masa describe una parábola.

7.39.

rr : 5¿i - 2trj + (3t - 2)k, rs:(.2t-t)i+(tr+2)j-üskdonderesel tiempo. Encontra¡: (a) la velocidad del centro de masa en el instante t : l, I (b) elmomentum lineal del sistema-en t : l. Resp. (o) 3i - 2j - k, (b) r8i - 12j - 6k Tres partículas de masas 2, 1, 3 tienen respectivamente los vectores de posición

r":(2t-3)i+(12-5t2)i+(4+6r-3¿3)k,

[cAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

188

7

7.4O.

Tres masas iguales están colocadas en los vértices de un triángulo. Demostra¡ que el centro de masa está localizado en la intersección de las medianas del triángulo.

7.41.

Una placa unifo¡me tiene la forma de la región limitada por la parábola ! : x2 y la recta y : H en el plano ry. Hallar el centro de masa.

ResP.7:0,Y-gH

7.42.

Encontrar el centro de masa de un cono ci¡cular recto uniforme de radio o y altura H. fiesp. Sobre el eje r a la distancia lH del vértice

7.49.

La región sombreada de la figura 7-19 es un casquete esférico de altu¡a H obtenido al cortar una esfe¡a sólida uniforme de radio o. (o) Demostrar que el centroide del casquete está localizado a una distancia l(2a H\2 /(3a - fI) desde la base AB. (b) Discutir los casos H : 0, H : a

y

7.44.

H:2a.

Fig. ?-19

Encont¡ar el centro de masa de una placa uniforme limi-

: sen r Y el eje .r. Resp.i.:*/2;Y:r/8

tada Por Y

7.46.

Hallar el centro de masa de una va¡illa de longitud I cuya densidad es proporcional a la distancia del extremo O. Resp.

7.46.

tl del extremo

O

Encont¡ar el centroide de un sólido uniforme limitado por losplanos 4x * 2y * z : 8, x : 0, y : 0, z : 0.

Resp.t:r.1o(i+2i+4k)

7.47.

Un sólido uniforme está limitado por el paraboloide de ¡evolución 12 * !2 : cz ! el plano z : H (fieu¡a 7-20). Hallar el centroide. Resp. 7 : 0, y- : 0, Z : ?H

Fis.

?-¿o

MOMENTUM ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA 7.8. Tres partículas de masas 2,3y 5 se mueven bajo la influencia de un campo de fuerza de manera que vectores de posición ¡elativos a un sistema de coordenadas

fijo están dados

respectivamente

por

sus

r¡ :

zti- 3i + r2k, 12: (r+ l)i+ 3rj - 4k y rs : tzi+ tj+ (2t - l)k dondeúeseltiempo.Hallar:(o)el momentum angular del sistema, y (b) el momento total exte¡no aplicado al sistema con relación al origen. 8esp. (o) (31 - 12¿)i + (6t' - 10t - 12)j + (2r + 5t'z)k (b) -r2i + (r2t - ro)j +

10úk

7.45.

Resolver el problema ?.48 si el momentum angular total y el momento se toman con respecto al centro de masa.

7.5O.

Verifica¡ que: (o) en el problema7.48, y (b) en el problema 7.49, el momento externo total es igual a la variación en el tiempo del momentum angular.

7.61,

En el problema 7.48 hallar: (a) el momentum angular total, (ó) el momento total exte¡no tompdo con ¡especto a un punto cuyo vector de posición está dado por r : ti - 2tj * 3k. En este caso, ¿el mornento externo total es igual al cambio en el tiempo del momentum angular? Explicar.

7.62.

Verificar el teorema

7,63.

Establecer y probar un teorema análogo al del problema 7.9 para el momento externo aplicado al sistema.

7.14.

¿Se conserva

7.9

para el sistema de partículas del problema 7.48.

el momentum angular en el problema 7.38? Explicar.

TRABAJO. ENERGIA E IMPULSO

7.66,

Hallar el trabajo total realizado por el campo de fuerza del problema ?.48 al moverse las partículas de sus posiciones en el tiempo t : L a sus posiciones en el tiempo t : 2. Resp. 42

cAP. 7l

7'66.' 7 '67

'

7'68' 7'69'

SISTEMAS DE PARTICULAS

189

¿En el problema ?'55 el trabajo realizado es el mismo que se efectuaría sobre el centro de masa conside¡ando que toda la masa estuvie¡a concentrada allí? Explicar.

Hallar la energía cinética total de las partículas en el problema ?.48 en los tiempos: (o) : t r, y (b) Discuti¡ la relación entre Bus ¡esultadosy los del probrema ?.b5. Resp. (o) ?2,5, (ü) g0,5 Encontrar el momentum lineal total del sistema de partículas del problema ?.4g en los tiempos

t :2.

Resp.

(a) L7i+ 4i + l4k, (b)

27i

+ 4j +

18k

Encontrarelimpulsototalaplicadoalsistemadelproblema?.rEdesde relación de sus resultados con los del problema

?.bg.

gesp. lOi

*

7.60.

Demost¡ar el teorema ?.13.

7.61.

Verificar el teorema ?.lB para el gistema de partículas del problema

ú: l

hasta

t:

t: I

2.

y

t:2ydiscutirla

4k

2.4g.

CONSTRICCIONES, ESTATICA, TRABAJO VIATUAL, ESTABILIDAD Y PRINCIPIO DE D,ALEMBERT Establece¡ en cada caeo si la coÍstricción es holonómica o no holonómica y dar lag razones de su respuesta: (c) una partícula que está constreñida a move¡se bajo la gravedad en el inte¡ior de un paráboloide vertical de revolución cuyo vértice está hacia abajo; (ü) una pa.tí"ula que se desliza sobre un elipsoide bajo la acción de la gravedad; (c) una esfera que rueda y posiblemente se desliza hacia abajo plano

7'62'

en un

do; (dl una esfera que rueda hacia abajo ,rn pi"no inclinado paralelo a un plano vertical fijo; "t partícula que ee desliza por acción de la gravedad por filera de un corro vertical invertido. Resp' (a) holonómica, (á) no holonómica, (c) no holonómica, (d) holonómica, (e) holonómica

7.63.

Una palanca ABC (figura Z-21) tiene colocadr Wt ! Wz a las distancias o¡ y o2 del soporrr Usando el principio de trabajo virtual, demos, una condición necegaria y suficiente para qul equilibrio es lfi o¡ : Wzaz.

7.64.

Resolver el problema Z.68 si se colocan uno o m adicionales sobre la palanca.

7.65.

Fig.7-2f

Una cuerda indeformable de masa despreciable que pa_ sa sobre un perno liso en g (figura ?_22) conecta una masa rnr sobre un plano sin rozamiento inclinado un

ángulo a, a otra masa rnr. Usando el principio de D'Alembert, demostra¡ que las masas esta¡án en equi_

lib¡io si zl2 :

?.66.

Resolver el problema 2.65 si el plano inclinado tiene coeficiente de rozamiento ¡. ResP.

7.a7

-

7.68.

rnr sen a,

m2: zrt

(Bena

-

un

A

tcosa)

una escalera .48 de masa m tiene sus extremos apoyados sob¡e una pared vertical y sobre er piso (figura z-29). El pie de la escaiera egtá sujeto mediante una cuerda inextensible de masa despreciable a la base C de la pared de mane¡a que la escalera forma un óngulo con el piso. usando el principio de trabajo virtual, encontrar-el valo¡ de la tensión en la cuerda. Resp. lmgcota Resolve¡: (a) el problema 7.68, y (b) el problema 2.65 usando el método de energía potencial. Demost¡a¡ que el equilibrio en

cada caso es inestable.

7.8s.

FiS.'l-22

una variila uniforme delgada de longitud I tiene sus dos ertremos consrreñidos a moverse sob¡e la ci¡cunfe¡encia de un círculo ve¡tical liso de radio a (figura 7-24). Detetminar las condiciones de equilibrio.

Fig. ?-28

inclina) una

(e

SISTEMAS DE PARTICULAS

190

7.7O.

¿El equilibrio de la varilla del problema ?.69 es eetable, o no? Explicar'

7.7L.

un hemisfe¡io sólido de radio ¿ está localizado te rugoso el cual estó inclinado un ángulo o.

sobre un plano perfectamen-

(a) Demostrar que está en equilibrio estable si a ( sen-t(3'l8)' (b) ¿Para qué otros valores de c podrá estar en equilibrio? ¿cuáles de estos, si los hay, permitirán equilibrio estable?

flis.7-?A

7.72,

m2 del Usar el principio de D'Alembert para obtener las ecuaciones de movimiento de las masas m¡ Y problema 7.65.

7.7g.

Resolver el problema referente a

la máquina de Atwood

(véase el problema 7.22) usando el principio de

D'Alembert.

7.74.

péndulo simple' Usa¡ el principio de D'Alembert para determinar las ecuaciones de movimiento de un

PROBLEMAS VARIOS

7,76.

Demostra¡ que el centro de masa de un arco circular uniforme de radio o y ángulo central a está localizado sobre el eje de simetúa a una distancia del cent¡o igual a (asenal/a.

7.76.

Discutir los casos en que: (a) o

7.77.

Se hace un

7.7g.

y (b) d

: Í

en el problema 7'75'

orificio circular de radio o en una placa uniforrne

de

>c

como se indica en la figura 7-25. Si la distancia entre los centros A y B es D, encohtrar el centro de masa. Resp. Estará por debajo de B a la distancia az D/(b2 - o2l'

radio b

7.7A.

: t/2,

Desanolla¡ el problerna 7.?? si los círculos se remplazan por esferas' Besp. Estará por debajo de I a la distancia otp/(6t - as). Demostrar que el centro de masa no depende del origen del sistema

de coordenadas utilizado.

7.8O.

Demostrar que el centro de masa de un casca¡ón delgado semies' férico de ¡adio o está localizado a una distancia Io del centro'

2.8f.

Considerando que el momentum angular de la Luna con respecto a la Tierra es A, encontrar el momentum angular del sistema formado solamente por la Tierra y la Luna, con relación a su centro de masa'

suponer que las masas de Resp.

7.g2.

la Tier¡a y la Luna son M¿ y M¡,

Fig.7-25

respectivamente.

M.L/(M, * Mt\

[El teorema ?.13 se aplicará en caso de que el momentum angular

sea tomado con respecto a cualquier

punto arbitrario? ExPlicar.

7.83.

En la figura 7'26, AD, BD v CD son varillas delgadas uniformes de igual longitud o y de igual peso ru' Se apoyan en Ll donde no existe rozamiento y sus extremos A, I y C descansan sobre un plano horizontal liso. Para impedir el movimiento de los extremos A, B y C, se usa una cuerda indefo¡mable ABC de masa despreciable que forma un trirí'ngulo equilátero como se indica en la figura. Si se suspende un peso llf en D de tal manera que las varillas fo¡men án-

gulo: iguales c con el plano horizontal, demostrar que la magnitud de la tensión en la cuerda es

+rFW *

7.A4.

3a,) cota

si el peso W se suspende ahora del centro de una de las varillasResolver el problema ?.83

Fig.7-26

cAP. 7l

7.46.

SISTEMAS DE PARTICULAS

19r

Deducir una erpresión para: (o) el momentum angular, y (ó) el momento total de un sistema con respec.

to a un punto arbitrario.

7.86.

gual al camsólo si: (o) o (c) P está I movimien-

to del centro de masa.

7.87.

Encontrar el centroide de un sólido de densidad constante formado de un cono circular de radio o y altura H y de una semiesfera de radio o colocados como se indica en la figura 7.2?. Fesp. A una

7.88.

por encima de O

Desarrollar el problema ?.8? si la deneidad del cono es el doble de la densi_ dad de la semiesfe¡a. Resp. A una

7.89.

altura l(a2 * Hr)/(2a * Il)

altura

f (o2

*

2H2)/(a

* II)

por encima de O

Fls.7-X

Se cava una semiesfe¡a de radio a en un cubo sólido uniforme de arista

t¡a¡ el centro de masa del sólido remanente.

Fig.7-2t

Fig.7-29

b > 2o, (figrua 7-E). Encon.

Fig. ?-30

7'9o'

Una cadena unifo¡me de 45 kg de peso se suspende de dos soportes fijos separados lb metros. Si la flecha en la mitad es 20cm, encontrar la tensión en los soportes. Resp. 450kg

7'91'

Una cadena de longitud L y densidad constante o se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo ni. vel horizontal. Si la flecha en la mitad está a una distancia D por debajo de la línea ho¡izontal que une los puntos fijos, demost¡ar que la tensión en el punto mrís bajo de la cadena es o(L2 4Dr)/gi.

-

7"92'

Se colocan tres partículas de masas iltt,,nz, rn3 en los vértices de un triángulo de manera que queden opuestas a los lados de longitudes at, oz ! o¡, respectivamente. Demostrar que el centro de masa está colocado en la intersección de las bisectrices del triángulo si y sólo si mt/at : mz/az : ms,/as.

7"93'

Dos masas, ñt ! mz, están colocadas sob¡e un cilindro sin rozamiento y unidas entre sí mediante una cue¡da inextensible de masa despreciable (ñgura 7-%). (a) Usando el principio de trabajo virtual, demos.

trar que el sistema esti en equilibrio si rn¡ sen at

:

m2sena2. (á) ¿EI equitibrio es estable? Erplicar.

7.94-

Resolver el problema 2.93 conside¡ando que existe ¡ozamiento.

7'glt'

Deducir una expresión para la energía cinética total de un sistema de partículas con relación a un punto que puede moverse en el espacio. ¿Con qué condiciones la expresión matemática puede simplificarse? Dis. cutir el significado fisico de la simplificación.

7'94'

Encontrar el centro de masa de la placa unifo¡me que aparece sombreada en la figura ?.80 y que eatá limitada po¡ la hipocicloide r2/A -r U2ts =-- d2¡3 y las rectas ¡ : 0, y : 0. (Sugerencio. Las ecuaciones para.

métricasdelahipocicloideson

l:

ocos¡C,

y:

asena

A.)

Resp.

X:_f :2ffio,/Bl|¡

7.57.

lcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

r92

Sean m¡, mz y ma las maeas de t¡es pa¡tícul8s v vrz, vza, v¡3 su9 velocidades relativas. trar que la energía cinética total del sistema con respecto a su centro de masa es m

1m2r!2

(o)

7

Demos-

* m¿mglr2zs * m 1ms1)ls m¡* m2* mg

(b) Generalizar el resultado obtenido en (a).

Z.gt.

Una cadena de densidad variable se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo nivel horizontal. Si la densidad de la cadena varía en función de la distancia ho¡izontal referida a la vertical que pasa por su centro, demostrar que la cadena toma fo¡ma de parábola.

7,gg..

Discuti¡ las relaciones que pueden existir entre el problema ?.98 y la forma de suspensión de un puente.

Z.fOO. Un eólido formado po¡ un cono recto circula¡ uniforme de ángulo c en el vértice, y una semiesfera de la misma densidad acoplados como se indica en la figura ?-31. Demostrar que el sólido sólo puede estar en equilibrio estable soDre un plano horizontal si y sólo

si a > 60''

Fig.7-82

Fig.7-31

7.lol.

Un sólido uniforme (figura ?-32) consiste en una semiesfe¡a de radio o sobre la cual se ha montado un cubo de lado ó colocado simét¡icamente con relación al eje que pasa po¡ el cent¡o de la semiesfera. Hallar la condición que deben satisfacer d y ó para que el equilibrio sea estable. Resp. olb > lIffi

7.1O2. Hallar

el centroide del á¡ea limitada por la cicloide

n = y el

7.103.

7

,1O4.

eje

r.

Resp.

a,(C

-sen,),

u = a(l -cosr)

(¡a,5a/6)

Si la componente del momento con respecto a un punto P en cualquie¡ dirección es cero, demostrar que la componente del momentum angularcon respecto a Pen esadi¡ección seconserva si: (a) Pesunpunto fijo, (b ) P coincide con el centro de masa, o (c ) P es un punto que se mueve en la misma dirección del centro de masa. En el problem a 7.103, ¿el momentum angular se conserva sólo si se cumple

(o

)'

(b

)o

(

c

)?

Explicar'

?.106.

Demostrar que el t¡absjo virtual de una fuerza es igual a la suma de los trabajos virtuales correspondientes a todas las componentes de la fue¡za.

Z.fO6.

Demostra¡ que es imposible el equilibrio estable de una esfera colocada sob¡e otra de superficie perfectamente rugosa (es decir con coeficiente de ¡ozamiento p : 1). ¿Es posible alguna clase de equilib¡io? Erplicar'

7.1O7. Un sólido uniforme que tiene la forma del paraboloide de ¡evolución cz - { + y2, c > 0 estácolocada sobre el plano ry ionsiderado horizontal. Si la altu¡a del paraboloide es I1, demostrar que el equilibrio es estable si y sólo si H < lc.

Z.lO8.

Resolve¡ el problema 7.10? si el plano

ry

está inclinado un ángulo a con la horizontal'

cAP. 7l

7.109.

SISTEMAS DE PARTICULAS

r93

Sobre un plano vertical se colocan dos alambres AC y BC que forman ángulos de 60' y S0' respectivamente con la horizontal, como se indica en la figura ?-33. Dos masas de Bg y 6g unidas mediante una varilla delgada de masa despreciable se colocan sobre los alambres. Demostrar que el sistema estará en equilibrio cuando la va¡illa fo¡ma un ángulo con la horizontal dado por tan-ti6/l¡.

Fis.7-33

7.llo.

Denostrar cada uno de los siguientes teoremas enunciados por pappus.

(¿) Si una curva cer¡ada C en un plano é1,

se mueve alrededo¡ de un eje en el plano que no se intersecta con entonces el volumen generado es igual al área limitada por C multiplicada por la distancia ¡ecor¡i-

da por el centroide del área.

(b) Si un

arco de una curva plana (cenada o no) rota alrededor de un eje en un plano que no se intersecta con é1, entonces el área de la superficie generada es igual a la longitud deiarco multiplicada por la distancia recor¡ida por el centroide del arco.

7'l I l'

Usa¡ el teo¡ema de Pappus para encontra¡: ( o ) el centroide de una placa semicircular, (ü el centroide de un ) alambre eemicircular, (c) el centroide de una placa en forma de un triángulo rectángulo, (d) el volumen

de un cilindro.

7.112.

Hallar: (a) el área superficial, y (b) el volumen de la región toroidal obtenida al hacer rotar un círculo de ¡adio c alrededor de una línea en su plano a una distancia ,ó ) a de su centro. Resp. (a) 4¡2ab, (b) 2¡2d2b

Copítulo 8 Aplicociones o sistemos oscilontes, cohetes y colisiones SISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS Si se conectan mediante resortes dos o más partículas (o interactúan de alguna manera equivalente), entonces las partículas oscilarán o vibrarán unas con respecto a otras. Como vimos en el capítulo 4, una partícula que vibra o que oscila, tal como el oscilador armónico simple o Ia masa de un péndulo simple, tiene una frecuencia única de oscilación. En el caso de sistemas de partículas, generalmente existe más de una frecuencia de vibración. Tales frecuencias se llaman frecuencias normales. Los movimientos de las partículas en estos casos son frecuentemente uibracipnes multiperiódicas. lJn modo de uibración (es decir, una manera peculiar como ocurre la vibración, debido por ejemplo a condiciones particulares iniciales) en el-cual se presenta solamente una de las

frecuencias normales se llama modo normal de uibracíón Véanse los problemas 8.1-8.3.

o simplemente modo normal

PROBLEMAS RELACIONADOS CON MASAS VARIABLES. COHETES Hasta ahora hemos restringido nuestro estudio al movimiento de partículas que tienen masa constante. Existen situaciones importantes que se refieren a masas variables. Un ejemplo, es un cohete que se mueve hacia adelante a causa de la expulsión hacia atrás de las partículas de una mezcla de combustible. Véanse los problemas 8.4 y 8.5.

COLISIONES DE PARTICULAS Durante el curso de suF movimientos dos o más partículas pueden chocar. Los problemas en los cuales consideremos el movimie¡rto de tales partículas se Ilaman problemas de colisión o de choque. En la práctica al considerar objetos que chocan, tales como esferas, suponemos que son elásticos. El tiempo durante el cual están en contacto comprende: el tiempo de compresión, durante el cual ocurre una ligera deformación, y el tiempo de restitución durante el cual se recupera la forma original. Consideramos que las esferas son Iisas de maneraque Ias fuerzas ejercidas actúan a lo largo de una normal común a las esferas en el punto de contacto (y que pasa por sus centros). Una colisión puede ser frontal u oblicua. En una colisión frontal, la dirección del movimiento de ambas esferas se realiza a lo largo de Ia normal común en el puntb de contacto tanto antes como después de la colisión. Una colisión que no es frontal se llama oblicua. En los problemas de colisiones es fundamental el siguiente principio llamado regla de colisiones de Newton, basado en Ia evidencia experimental. Se considera como un postulado. Regla de colisión de Newton. Sean v,, y v,', las velocidades relativas de las esferas a Io Iargo de la normal común antes y después de la colisión. Entonces v'r, : -ev* 194

CAP.

8I

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y

COLISIONES

La cantidad e, llamada el coeficiente de restitución, depende de los materiales de los objetos y se toma generalmente como una constante cuyo valor vaúa entre 0 y 1. Si e : 0 la colisión se denomina totalmente inelástico o simplemente inelóstica. Si e : 1 Ia colisión se denomina totalmente elástica o simplemente erástica. En el caso de colisiones totalmente elásticas Ia energía cinética total antes y después del choque es la misma. SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS En algunos problemas el número de partículas por unidad de longitud , área o volumen es tan alto que, para propósitos prácticos, el sistema puede considerarse continuo. Como ejemplos, una cuerda de violín en vibración, una membrana en vibración o una esfera que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado. Las leyes básicas del capítulo 7 son válidas para tales sistemas continuos de partículas. Sin embargo, al aplicarlas es necesario usar integración en lugar de sumatoria ranro para el número total de partículas como para el concepto de densidad. CUERDAS EN VIBRACION Consideremos una cuerda elástica tal como una cuerda de piano que está ligeramente tensionada entre dos puntos fijos r : 0 y ¡ : I a lo Iargo del eje de las r (figura 8-1). Si la cuerda se desplaza de su posición inicial y luego se suelta, vibrará u oscilará alrededor de la posición de equilibrio.

r=0

a=l

I I

Fig.

t-l

Fig. E-2

Si Y(x,t) denota el desplazamiento de cualquier punto ¡ de la cuerda desde su posición de equilibrio en el tiempo ú (figura 8-2), entonces Ia ecuación que rige las vibraciones está dada por la ecuacíón diferencial parcial a2y at2

"dzy = "'#

donde si ? es la tensión (constante) de la cuerda y unidad de longitud de la cuerda). c2

: T/o

r

(1) es

la densidad (constante) (masa por (2)

La ecuación (1) es válida para el caso de vibraciones que se consideren tan pequeñas que la pendiente 0Y/0r en cualquier punto arbitrario de la cuerda sea mucho menor que l.

PROBLEMAS CON VALORES DE CONTORNO Los problemas donde se debe resolver una ecuación tal como (l) sometidos a varias condiciones, llamadas condiciones de contorno se suelen llamar problemas con ualores de contorno. Un método importante para resolver tales problemas hace uso de las series de Fourier.

196

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES. COHETES

Y

COLISIONES

[cAP.

8

SERIES DE FOURIER Con ciertas condiciones una función /(¡), definida en el intervalo 'y < x < tenga un período 2l fuera de este intervalo tiene el desarrollo en serie

t + 2l

f(r) = ? . ft(o,"o.ff + a^"""ff)

y que

(3)

donde los coeficientes en serie, llamados coeficientes de Fourier, están dados por

fi.tx . ., (ln = I ),f'*'t /(r) cos i dr i

' bn

V)

("*" ,, --, ---- rlnx r /(c)sen

= i1J"

(5)

Td*

Una serie de éstas se llama serie de Fourier de /(¡). En muchos problemas

r: 0 o -1.

FUNCIONES PARES E IMPARES Si y: -1,'pueden hacerse ciertas simplificaciones en los coeficientes (4) y (5) como se indica a continuación:

1. Sii(-x)--f(x), A¡

(r.,, tL¡ = ¡2 )o r\4 "o" j d'r,

b' =

0

(6)

En tal caso /(¡) se llama una funcíón par y la serie de Fourier correspondiente a /(r) tiene solamente términos en coseno

2. Si i(- t¡ : -f

(x),

dn=0,

2,

bn =

!,' rc1""nff a*

(7)

En tal caso /(¡) se llama una función impar y la serie de Fourier correspondiente a f (x) tiene solamente términos en seno. Si /(¡) es una función que no es par ni impar la serie de Fourier contendrá términos tanto en coseno como en seno. Son ejemplos de las funciones pares ra, 3ro * 4x2 - 5, cos x, e'* e-' y la función representada gráficamente en la figura 8-3. Ejemplos de funciones impares son r3,2xt 5¡3 * 4, sen x, €' - e' y la función representada en la figura 8-4. Ejemplos de funciones que no son pares ni impares son ¡a * rt, ¡ * cosr y la función representada gráficamente en la figura 8-5.

Fig. t-3

Fig.

t-l

Fis.8-5

Si una función se define en el "semiperiodo" x--0 a x,: I y se especifica como impar entonces la función se conoce en el intervalo .- I I x 1 l, de manera que la serie que contiene solamente términos en seno puede encontrarse. Esta serie frecuentemente se

cAP.8l

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

r97

suele llamat serie seno de Fourier en un semí-interualo. Similarmente, una función definida desde ¡ : 0 hasta ¡ : I la cual se especifica como par tiene un desarrollo en serie que se suele llamar serie coseno de Fourier, en un sem,i-interualo.

CONVE,RGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Supongamos las siguientes condiciones de /(¡): 1.

2.

/(¡)estádefinidaenT( x 1t*2l¿. f(x) y su derivada /'(¡) son continuas porsegmentos en 1 < x, ( r t 21. (Se

Í@)

dice que una función es continua por segmentos en un intervalo, si el inter_ valo puede dividirse en un número finito de subintervalos en cada uno de los cuales la función es continua y acotada, esto es, existe una constante B>0 talque -B< f\x) < B. Un ejemplo de una función de esta clase se indica en la figura 8-6.)

3.

Fig. t-6

En cada punto de discontinuidad, por ejemplo, rr (o rr) en la figura g-6, tiene límites finitos a la izquierda y la derecha dlsignados, respectivamente, por /(¡) * 0) /(r1 0) (o (xz

Y

/(rr -

4. /(¡)

f

*

0),

/(¡z -

tiene período 2l esto es

0)).

/(r * 2l) : f(x).

Estas condiciones, si se satisfacen, son suficienúes para garantizar la validez de la ecuación (3) (esto es, las series a la derecha de (3) conu.rg"r, a (x)) en cada punto donde f /(¡) es continua' En cada punto en que /(¡) es discontinua, (3) permanece válida si se /(r) remplaza por LUG -t 0) * /(¡ 0)) es decir, el valor medio de los límites a la derecha y a la izquierda. Las condiciones descritas anteriormente se conocen como condiciones de Dirichlet.

Problemas resueltos SISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS 8.f. Dos masas iguales m se conectan por resortes que tienen la misma constan_ te x, como se muestra en la figura g_Z de modo que las masas están libres para deslizarse sobre una superficie lisa AB. Los extremos del resorte se hallan fijos a las paredes A y B. Determinar las ecuaciones diferenciales del movi_ miento de las masas. Sean

r,i y 12i (figura g_g) los

desplaza_

mientos de las masas desde sus posiciones equilibrio C y D'en cualquier tiempo f .

de

Fig. t-Z

Ct xi AB Fis.8-E

Di

rzi

APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES

198

Consideremos las fuerzas que actúan sobre

¡esorte hacia la de¡echa dada por hacia la izquierda dada por -rr¡i.

Y COLISIONES

tCAP.8

la primera masa en P. Hab¡á una fuerza debida al

x(r2i - r¡i) : x(xz - ¡r)i' y una fuerza debida al ¡esorte Así la fuerza neta que actúa sobre la primera masa en P es x(r2- u)i - xrli

En la misma forma la fuerza neta que actúa sobre la segunda masa en Q

x(n1- r2li

es

xr.2i

-

Entonces por la segunda ley de Newton tenemos

i2

mfu(xil =

x(t2-

r)i - "tri

¡2

m

j*(xzil = x(t1- r2li -

xr2i

(I)

= r(n2-Zxl¡ m'dz = r(n1-2x2)

r"it

o

B.Z. Hallar: (a) las frecuencias

normales,

y

sistema del problema 8.1. (o) Sea .r¡ : Ar cosoú, xz: At cos@t en las

e)

(b) los modos normales de vibración del ecuaciones

(I) y (2) del problema 8.1. Entonces

encontramos, después de simplificar,

- rA2 -xA¡*(2x-rnozlA2(2r-mo2\A1

Aho¡a si

At ! Az son distintos

2x

-r

Despejando

0

(21

=0

(3)

de ce¡o, tenemos

2r - ma2

o

(r)

Q

-x - ma2

¡¡t'2o4-4pnu2* 3r2 = o (r*-^"2\(2x-m.21 -x2 = 0 tz*4n2 ¿*m = {la* de donde o2, encontramos cr2 :

,2 = *ltn

!

0

Ul

o2 = }rl¡n

Entonces las frecuencias normales (o naturales) del sistema están dadas po¡

._ 1.f; r=2"\^

v Y

rf -u\'^ =1^/E

(5)

Las frecuencias normales se llaman también frecuencias coracterísticas y el determinante (3)

se

llama determinonte caracteístico o determinante secular'

(ó) Para encontrar el modo normal correspondiente a o : !7ñ, tomamos o2 : ,/m en las ecuaciones (l) y (2). Entonces encontramos At=Az En este caso el modo normal de vibración corresponde al movimiento de las masas en la mísma dirección (es decir, ambas a la derecha y ambas a la izquierda) como se indica en la figura 8-9. + '<>

r-o000L{ y0000\r-r0000 Modo normal correspondiente a o : \trlm Fis.

Modo normal correspondiente

t-9

a o : Vffi

Fig' t'10

Similarmente encontramos el modo normal corrtspondiente a ': en las ecuaciones (I) y (2). Entonces encontramos

At = -Az

l57l'

tomando o2 :\x/m

cAP. El

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y COLISIONES

En este caso el modo normal de vib¡ación correaponde al movimiento de la¡ masas en direccionea opuestas (es decir, cuando una se mueve a la derecha la otra se rDueve a la izquierda, y viceveraa) como ee indica en la figura 8-10. Al reeolver este problema podríamos haber considerado, r¡ : Br sen ot, x2 Il2 senorú o Ir : ArCosoú +B¡eenoú, 1.z:AzCOsú,ú *8¡s€núrt o r.1:Qr¿lot, t2:Qr¿1o3. -

8.3.

Supongamos que en el problema 8.1 la primera masa se mantiene en su posición de equilibrio en tanto que la segunda masa se desplaza hacia la derecha un valor a > 0 de su posición de equilibrio. Luego las masas se sueltan. Hallar la posición de cada masa en cualquier instante posterior. Escribiendo

tt : lffi

! oz : Vffi,

mediante

t1 = t2 =

* D1 cos o1t * C1

coso¡ü

el movimiento general de amba¡ masas

C2 senr^r1ú

D2 aeno{

* *

* ps cos o2ú * Cs cos o2t

se describe

Caaeno2t

(r)

D4 senlrt

(2',)

donde loe coeficientes son todoe constantes. Suetituyendo Iao ecuacioñee anterioree en la ecuación (I) o €) del problema 8.1 (ambae dan et mismo ¡esultado) encohtramos los coeficientes correspondiente¡ de cos@r r, genol t, coe @zt, aener2¿ respectivamente,

D¡ =

C¡

Dz

= Cz, Da = -Cs, Dt = -Cq

Así las ecuacioneg (1) V Q) pueden escribirse

Ahora

t1 = C¡ cosolú * C2senorú * Cscos o2t l- Caeeno4t ü2 = C1 cosolú * C2senort - C¡ cos o2t _ Caaeno\t determinamos cr, cz, cs, cn teniendo en cuenta las condiciones iniciales üt=0, t2=o, it=0, iz-O en ü:0

(3) (4)

(5)

De eetas condiciones encont¡amos, respectivamente,

C1* Cs = Q, C1- C, = 6, De donde hallamos

Ct

Q2o1

= ta, Cz= 0,

!

C4o2

C" =

-\a,

= e, C^

=

Cz,¿t

-

C4ro2

0

=

g (6)

Así, las ecuaciones (3) y (a) proporcionan las ecuaciones rcqueridas

donde o,

: {ñ,

tz: fiffi.

rt = 12 =

$c(cos o¡ú {o(cosr,r¡ú

*

cos

ro2ú)

(7)

coso2ú)

(8)

Obsérvese que en el movimiento descrito por (7) y (8), están prcsentes ambas fiecuencias no¡males. Egtas ecuaciones demuestran que el movimiento general es una sr¿perposición de los modos normoles, que algunas veces se llama el príncípio de superposición.

MASA VARIABLE. COHETES 8.4. Deducir una ecuación de movimiento para un cohete que se mueve en línea recta, Sea m la masa total del cohete en el tiempo ¿. Un tiempo mCs ta¡de ü f Aú euponemos que la masa es ¡n * A¡n debida a la etpulsión de una masa -Arn de gas que se desprcnde del

cohete. Nótese que -Arn es ¡ealmente una cantidad positiva porque An se considera negativa.

O

Flg.t-U

SeanvYv*avlasvelocidadesdelcoheteenloetiempos¿yü+Jttrrpectoal¡istenraine¡rial o es v { v¡ donde -v6

con origen en o' La velocidad de la masa del gas expulaado dei coheíe relativo a es la velocidad del gaa con relación al cohete.

2OO

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

[CAP.8

Como el cambio de momentum del sistema es igual al impulso, tenemos

t + Lt - momentum total en t : impulso ((m*6m)(v 4av) * (-az¡)(v*v6)) - mv =

momentum total en

F es la fuerza neta exte¡na que actúa La ecuación (I) puede escribirse como

donde

Escribiendo

v:

ui, vo

: -

u6i,

Av

F : .Fi, esto se convierte d¡n ¡tvt+ ooE

^d,¿

8.5.

(r)

sobre el cohete.

A,n AY - "0¡t + ¿J-L^ = I' ^t el límite cuando A¿-. 0, encontramos .lm ilv m&,-voE = !' rfu

Entonces tomando

Faú

(2\

en

= r'

(3)

la velocidad del cohete del problema 8.4 considerando que el gas es expul' sado a una tasa y velocidad constantes con respecto al cohete y que se mueve verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante.

E:ncontrar

Sielgasesexpulsadoaunatasaconstantec)0entoncesm:ms-at,dondem¡eslamasa ü:0. Como F: -mgi (o F: -me) y dm/dt: -c, laecuación(3)delproblema

delcoheteen

8.4 puede escribirse

Qno-atl#-'o, = -(mo-otls

.

# = -c+#

(I)

u : - gt - ue ln (¡no - aü) * cr encontramos Ql Si u : 0 en ü : 0, es decir, si el cohete parte del ¡eposo, entonces cr = uqlnth o Q = 0-oolnm¡|q mo \ ./ u : - gt * u¡ ln Así, (2) se puede exp¡esa¡ como \rrr"-) que da la velocidad en cualquier tiempo. La velocidad es v : ui. Nótese que debe tenerse ms - at > 0, porque de otra manera el cohete no expulsaría gas' caso

Integrando

en el cual el cohete no tendría combustible.

COLISIONES DE PARTICULAS 8.6. Dos masas rn, y mz que se mueven sobre la misma recta chocan. Encontrar las velocidades de las partículas después de la colisión en función de las velocidades antes del choque. Conside¡emos que

mueven es el eje

se

y

después del choque son vr, y v{, vl, resPectivamente. De acue¡do con la regla de colisión de Newton

partículas antes

vz

la recta sob¡e la cual

r y que las velocidades de las

vi-vi Según

^rO_\,

el prir{cipio de la conservación del

-n

Fig.8-12

(l)

=.(vz-vr)

nr@_\,

mo-

mentum,

Momentum total después del choque: momentum total antes del choque

rnpl*rn2vl =

m1v1 1-m2v2

(21

CAP.

8J

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Resolviendo simultáneamente (I)

y

Y COLISIONES

(2),

(m1-

cm2)v1

i

m2(L

t

c'lv2

rnr + ,nz

v!2 =

8.7.

m1(l

I clvl * Qn2- em)v2 m1*m2

Discutir el problema 8.6 para el caso de: (o) choque perfectamente inelástico, (ó) choque perfectamente elástico. (a) Hagamos e : 0 en (3) V Q) del problema

9.6 para obtene¡

_ tutyt*.m2v2 -,, vt =

ñty!*mrv, , v;= ffi

-ñÍ6f,'

De modo que después del choque las dos partículas se mueven con la misma velocidad, es decir, se mueven conjuntamente como si formaran una sola partícula.

(á) Hacemos c : I

en (3) V U) del problema 8.6 y obtenemos

oi -

(*'-^'l'''* 2^'"" ,nr+,n2 '

vL =

.

2mp1

* (mz-

m)vz

,nr + m2

Estas velocidades no son iguales.

8'8'

Demostrar que en un choque perfectamente elástico de las partículas del problema g.6

la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética total después del choque. Usando el resultado (b) del p¡oblema 8.7 tenemos

Energía cinética total después del choque

=

L^rnit +

Lrm2v,22

| (m2-m)v2 mr+úh l^1 + )rnar, = i^r"í

=

8'9'

energía cinética

total antes del

l'

choque

Dos esferas de masas m t Y mz chocan oblicuamente. Encontrar sus velocidades después del choque en términos de sus velocidades antes del choque. Sean v,, v:, y V,r, v,2 las velocidades antes y después del choque, respectivamente, como se indica en la figura 8-1S. Escogemos un sistema de coo¡denadas tal que el plano ry sea el plano de v¡ ! vz y que en el instante del choque el eje r pase

por los centros C, y C9 de las esferas. Según la conse¡vación de momentum, tenemos m1v1

*

tttzy2

= rnpi *

m2v'2

(1)

Fig.

En la figura 8-13 podemos ver que

v1 =

or(cos a,

i-

sen a1

t-lt

j)

v, = o2(cos A2 I - sen ¿, j¡ ví = oí(cos p1 i - senp, j) ví = oLkos4ri-sen6rj) sustituyendo las ecuaciones (2)-(5) en (I) e igualando coeficientes de i y de tenemos i,

(2) (3) (4) (5)

n2

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

* nxLarser.et I

= mta| cosg, * = nr10l senpl I

m2a2cose2

rz,ru¡cogCl

m2ttgsen02

Y

COLISIONES

IcAP.

I

m2a'2cosg2

(6)

m2a'2 senq2

(7)

Por la regla de Newton sobre colisiones, tenemos

Velocidad ¡elativa a lo largo de r después del choque - c I velocidad relativa a lo largo de ¡ antes del choque

o

vi

'i - vi'i

=

-e(v¡

'i - vz'i)

-c(o¡

cos e L

I

(8)

lo cual usando las ecuaciohes (2)-(5) se convierte en

ttl

cos

41

-

o'2 coa

q2 =

-

02 cos ez)

(e)

Además, como las velocidades tangenciales antes y después del choque son iguales

vr'j = ví'j vz'i = vL'j 0t sen At = l,i sen Ér

(10)

=

(r3)

u23en02

(lr) (12)

aLsenqz

La ecuación (7) se satisface remplazando las ecuaciones (I2) v (I3). De las ecuaciones (6) y (9) encontramos

oi

(m1cos Cr

,'2coa62

=

=

dl + m2(1 * e)tt2 cos e 2 fr\ -f fitz rnt(1 *c)o1 cos c1 * (m2-m¡)o2coae2 m2r)a1cos

m1*m2

Entonces, utilizando (I2) y (13) hallamos

v'1 :

oi(cos P1 i - sen Pt (m¡ - m2c)a 1 cos ,r

i)

i * nz$ * + ftuz

rnr

v'2 =

=

tt'2@os 62

m{l*

i-

sen

c)o1 cos

e)o2 cos a2

i

- olsendlj

P, i)

cri * (mz-tuf)ozcosezí -a2seno2i rnLtm2 _

SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS 8.10. Hallar la ecuación diferencial parcial (/) de las oscilaciones trasversales

de una cuerda

en vibración.

Fig. t-14 Consideremos el movimiento de un elemento de aumentado en la figura 8-14.

la

cuerda de longitud As, que se r€presenta muy

Las fuerzas que actúan sob¡e el elemento, debidas al resto de la cuerda, son las tensiones most¡adas en la figura 8-1,1, de magnitudes T(r) y T(x * A¡) en los ext¡emos x y x * A¡ del elemento.

CAP,

8J

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y COLISIONES

La fuerza neta horizontal que actúa sobre el elemento en la dirección i

lT(r

1- Lr) cos

r(, * Ac) - f(c)

j

La fuerza neta que actúa sob¡e el elemento en la dirección

cos

203

es

a(r)li

(r)

es

[?(r * ar) sen d(r * tr) - T(rl sen r(r)]i que el movimiento horizontal en la dirección i es despreciable,

(z)

Si suponemos la fuerza neta dada en (I) es nula. Teniendo en cuenta que la aceleración del elemento es azY/áP, aproximadamente, y que su maaa es oAs donde c es la masa por unidad de longitud, tenemos a partir ae iZ) v de la segunda ley de Newron,

'

*ffi i =

lT(r

*

a,r)

sen

0(,

+ trl

-

T(r)sen a(r)li

(3)

o, dividiendo por Arj,

Aa 02Y t^"dt,

=

tY\z

(4)

/ \*) iF Al tomar el límite cuando A¡

azY

.- 0. tenemos

=

S{r."na}

(5)

dYl0n

Como

,/t + tx¡W

la ecuación (5)

se puede

, / aY\z azr - \d, / ¡¡

(6)

Para simplificar esta ecuación, suponemos que la oscilación es pequeña de modo que la pendiente dYlilx valor absoluto comparado con l. Por tanto (6Y/0r)z es despreciable en comparación con l, v (6) se convierte en azy ay\ a /- 'a, = 0) ' es pequeña en

at2

a" \t'

)

Si posteriormente suponemos que la tensión ? es constante a lo largo de la cuerda y que d también lo es, (7) se puede expresar como

Azy

dtz =

^Azy "" aa

(8)

donde c2 : T/o. A menos que se especifique lo contrario, utiliza¡emos la ecuación (8) en la oscilación de una cuerda.

8.11. Hallar la ecuación gravedad.

del problema 8.10 si la cuerda es horizontal y se tiene en cuenta la

En este caso debemos agregar al lado derecho de la ecuación (3) del problema 8.10 la fuerza sobre el elemento debida a la gravedad

_rng =

_o

LB

gi

El efecto de esto es remplazar la ecuación (8) del problema g.l0 por

#

= "'#-o

SERIES DE FOURIER

a-12.

Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones.

| 3 0(o(6 _5(c(0

(a)f(r) =t_g

, ?eríodo:10

APLICACIONES A STSTEMAS OSCIANTES. COHETES Y COLISIONES

204

IcAP.

8

l(r) I

+

Período

-

Fig. t-15 Puesto que el período es 10, la porción de la gráfica de -5 ( ¡ ( 5 (línea gruesa en la figura 8.15) se extiende periódicamente por fuera de este intervalo de variación (línea a trazos). Nótese aue /(¡) no está definida en .r : 0,5, -5, f0, -f0, 15, -15, etc. Estos son los valores de discr¡n-

tinuidad de f(x).

(b) /(c)

fsettc 0
Período

:

2¡

f(x)

Fig.8-16 Refiriéndonos a la figura 8-16 observamos que das partes.

8.13. Demostrar

J'

.".r

(' a. = I-, v ff

I, To' = I, 'o' Lt; a' = *"

k¡ü d, , a'

I k¡txf -¿;"os¿l-, I krrlt #r"n1= l_,

J'r".,

ff

"o"ff

d.x

donde m y n pueden tomar los valores

(o)

Portrigonometría: cosA cos (A

*

Il) l.

si

está definida para todo

¿

=

=

Í_' ,

-1/''cosT,tr I

f;senkr

)-

I

fi

cos

(-kn\ =

- 3 .rn (-ko) =

o

tCÍ

ll

_

0

,n+n rn=n

=o

L,2,3, . . ..

cos8: |lcos(A -

B)

+

cos (A

* 8)1, senÁ sen8: |[cos

(A

- Bl -

m

J_, '"n=i=.envf

en to-

.

ll,t¡ü, fftrfrSen--il0 Sen-rr CLr = 1 L

I n, por el problema 8.13, (' ^^^rnr& ^^-ntu s- = ! C' I t*-n\rr cos, de t J_, ttot---lJ_, "o.T Similarmente si m* n, mt, nru.dr l( lt | t*-n)rr

Entonces,

r y es continua

= 0 si k = 1,2,3, . ..

cos ='r=

8.14. Demostrar @ Í_, cosry cosry a, = 1a¡

/(¡)

= i J_, {"".---

(m|-nhx\ O, + cos= r

0

(mtnlrr) dr = - cosffl

0

)

cAP. 8l

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Sim:n,

Y COLISIONES

205

tenemos

!'-,*"*"osffa, = il_,(r+"."ff)a, =

t

7l

Nótese que

(ó)

si m : n : 0

Tenemos que senA cosB

m*

n,

estas integrales son iguales a 2l

: *lsen (¡ - B) +

l-,"",T"o"ffa, = Sí rn=n,

sen (A

*

y

D)

f

}respectivamente.

.

Entonces, por el problema g.13, si

iÍ:,{*ry*.."9*}*

=

o

?t

I -,'""T "o"T a, = L Í'-,*"'ff o, =

o

Los resultados de las partes (c) y (á) se mantienen válidos aun cuando los limites de integraI se remplacen por y, .t + 21, respectivamente.

ción -1,

8.15.

Si

, *'á (","o"ff+b,""nff)

f(r) =

demostrar que hacieldo las suposiciones convenientes, la integración término a término de las series infinitas, para n : 1,2,8, . . .,

(a) a^

(a)

tfl

= i [_,/(z)

cos

T ¿r, (b) b" = !, Í_, f(r)senff dx, (4 A = 9t.

Multiplicando

f(al por cos

ff

J-, tal

=n*

e intezrando desde

-l

(o,

"o"ff

+- b,

(r)

""^T)

hasta l, y usando el problema g.14, tenemos

"o"So" = n !' , "o"ff a, + ü^l

"3

{"" í-, si m* 0

"o"ff "o"T ¡L + b,l' ,"ory"",T or}

171

Así, que

am

=+| 'u-l

(ó)

"i

Í@) cosryz dr L

ai rn=112,9,,..

Multiplicando (1) por sen4rq e integrando desde -l hasta I del problema g.14, tenemos ^a

l"

ot_¡

¡<'l

c ""n-2

d, = á Jft ,"n' 42I ¿, *"á = b^l

{*I,'"n T"""Td,

(3)

+ b^l-. """ff

"""7

drI

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

206

(c

= | !' ,tt l ""nff a,

bm

De nodo que

La integración de (I) desde

)

- I hasta l, usando el problema

¡t I .r_t ftr)¿"=zAt Haciendo

si

m - o en el

tm

Y COLISIONES

tcAP.

8

= r,2,8,...

8'13, será

rf tAa, A=|¿.1 -'v-l

o

resultado de la parte (o), encont¡amos

t I y "o--i J_, f(r\ilx

asi

^oo =z'

^

Los resultados anteriores también se mantienen cuando los límites de integración -1, I se ¡em' Plazan Nt t, t * 21, y Nótese que en todas las partes anteriores hemos supuesto intercambiables la sumatoria la iny ó-, tal ¿' los coeficientes tegración, Auttque no fueran juetificadas lae anteriores suposiciones, y corresponseries Ias a conespondientes Fourier de /(¡) se ltaman coeficientes como fueron obtenidos, dientes con eoos valores de a. y ó. se llaman las series de Fourier de f(:). Un problema importan' te en este caso es investigar las condiciones con las cuales estas series convergen a /(¡). Una condición euficiente para esta convergencia es la condic ión de Dirichlet '

g.16. ( o)

(b

Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes

a

la función

lo , Período:10 f(r) -- {- -6
) Escribir la serie de Fourier

correspondiente.

(c) ¿Cómosepodrádefinir/(¡)en x: -5, ¡:0 de Fourier converja a /(¡) para -5 3 r 3 5? La gráfica de

/(¡)

se

y x:5 conelfindequelaserie

muestra en la figura 8-17'

f(xl I

Peñodo

-

-

Fig.8-r7 (o

)

peíodo

-

2l

-

10

yI:

5. Escogemos el intervalo de

r a r * 2l como -- 5 a 5, de modo que 7 : -

Entonces

an =

!,

!"'*'

flrl

"o"T

¿, = i .f:, f(rl cosff dr

coaff ilx + * ff -, Qt

;(*.""T)[ = $it=0,

on =

úo

=i

J' tr) "o. ry

*\ =

3

t,' *"r;

o,

si ¿*0

0

Í"*"ff*

3.f

=

br=

!

*=

s'

Í' ,'*' ""nff an

J',r,."nry*l = ?f *"ry* 3(1

-

cqs_zz)

5.

cAP. 8l

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES

(b)

n7

La serie de Fouriercorrespondiente es

d¡

@/ nnü,, ¿r¡\ * $g(l-cos¿r)s¿¡gg4 ; "¿ (""*? + b,sen'T) = g* z ,!t nt 6

t . :(*"? + *.""Y + |s"nT. (c

)

Como

/(¡)

)

satisface la condición de Dirichlet, podemos decir que la serie converge a /(¡) en todos los

puntos de continuidad v

^

f@9j!9-

0)

en los puntos de di¡continuidad. En

son log puntos d9 discontinuidad, la serie conver8e a (g volvemoe a defini¡ /(¡) cono sigré

+

O)/Z

(812 x = -6 l0 -6(¡(0 f(t) = lúz a=o

- 3/2,

t -

-6,0, 5, que como se ve en la gráfica. Si

I

período-lo

0(¿(6 l3 t=6 l8l2 I

entonces

8.r7.

Si

(a)

/(r)

es

la

serie convergerá a

/(r)para-5S¡s5.

pa¡, mostrar que (o) a^

=

?

f"'

tl4 cosT¿Ia, (b)

b,.

=

0.

o, = lÍ'ror"o.ffa, = \, forrrr"orT**+1"'r*r*Te Cambiandc

I

t : -u.

t', rat corff a, =

l Ío' o-'r *" (7)

puestoque, pordefinición, de una funciónpar,

on (b) bn

= | ['

= Ialo( ¡ol"nYdn a

/(¿). Entonces

o, "o"ff dú + +, Ír' o, "o"ff ao = i Ír' o,

"*ff a

= if'r,*r""nffa, = |f,or""nff**rtÍ,'rrr,enffan

Si hacemoe la trasformación

! (o f@l'"nffat ,,-r-^^i¡r,7

f(-ul -

n"

J-,

¡ : -u en la prinera integral del lado derecho de (I), obtenemoa t fr ,, -., /-nn2\ dn = |', Jo(t ,r-ursen1-1-/

dondehemosusadoe,n*'":u";:

j":::ii^,:,_,:!{,r,:?":':i:'".on,.'l

variable de integración z puede ser remplazada por cualquier otro símbolo, en este caio por (I) y usando (2), teneinoa

bo =

8'18'

Desarrollar

(o)

-ituoÍ'

t@l aenff

f(x) : r, 0 < r 1.2,

series de coseno.

u)

'

**

.f'

+lJo

,rr,

""off ao

en un semi-intervalo,

=

¡. Asi

de

o

(a) en series de seno, (b) en

Anpliamoa la definición de la función dada con el fin de dejar una función inpar de período 4, tal como 8e muestra en la figura 8-1E Egto ee llama dgunas veces la eúensión impar de f(¡). E¡tonce¡

2l:4, t:2.

208

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y COLISIONES

[cAP.

8

Fig. t-18

Así,on:Qy

bo =

'7

:

2 C2 n¡l.c , = I Jo " se^-l- ar

f' ral ""nff a,

{r,(#*"T) -

(r)

rnor\l l' / -¿ *"=;

(;%r

-4 cosnt )l l" = -

Entonces f(r) = 2r#"o.rn ""n!f, 4/

tu

|

= ;\t"nt-rsen2

2tn

\tr | \ +Ssen 2 -"')

de /(¡) pa¡a que la función sea pa¡ de período 4, como se muestra en la figu¡a 8-19. Esta es la eúensíón par de f(x). Entonces 2l : 4, I : 2.

(b) Ampliando la definición

z/^\\ o Fig. De modo que b"

t-l9

:9'

=

!,'

"o"ff a'

= ? t,' " "o"ff a,

''' = {*,(**"T) - í,(#.".ry))1, = firco"nt - rl si n#O Siz=0,

eo =

Entonces f(r)

1

f' ,a, = z.

"o

= t * ftu{"o"no - l\ eosff "i, Pr(*"t + #"""T! + #.""ry. =|-

Se puede notar que la función dada seriesdiferentes dadae en (o) y en (b).

...)

/(¡) : x, 0 < r ( 2' se representa correctamente

por las dos

cAP.8l

APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES Y COLISIONES

209

SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE CUERDAS VIBRANTES

8.f9.

Encontrar el desplazamiento trasversal de una cuerda que oscila, de longitud l, cuyos extremos están fijos, si Ia cuerda se desplaza en f (xl a partir de la posición de equilibrio y se suelta. Sea Y(r, ü ) el desplazamiento trasversal de cualquier punto ¡ de la cuerda en el tiempo f. puesto que losextremos ¡:0 y ¡:l delacuerdaestánfijos,tenemosque y(0,¿):0 y y(l,tl:0. Comoel des. plazamiento inicial es /(r), tenemos que Y(r, 0) : /(¡); y como la velocidad inicial es cero, tenemos que Yt(x, 0) : 0, donde Yr denota la derivada parcial con respecto a f. Debemos resolver un problema de valores de contorno,

a2Y ^ azy 7F = "'aF Í(0,

ú)

=

6,

Y(l,t) =

¡,

Y(r,O) =

Supongamos una solución de (I) de la forma Y : camente de ¿. Entonces sustituyendo en (1), y usando d2 T/dt 2. tenemos

(1)

l(r),

y¡ (r,0) =

g

(2)

XT, donde X depende únicamente de.r y ? úni. X,,para denota¡ d2X/dx2 y ?,,para denotar

XT" = c2X"T X" T"

-7

(e)

c2T

Puesto que un lado depende únicamente de r y el otro lado únicamente de f, en tanto que r y f son independientes, la única forma para 9ue (2) sea válida es si cada lado es una constante. la cual tomaremos

como -trz. Así

x,, -x=

T"

cI- =

= 0,

X't + )\2X

T,,

-tr2

*

-

¡Jczt

0

Ecuaciones que tienen por soluciones

X =

á1 cos

l,r *

sen

)rc,

(.41 cos

},r *

81

T =

A2 cos trcú

*

82 sen

trcü

De modo que una solución está dada por

Y(x,t) :

XT =

.8, sen lr)(l4.2 cos trc¿ * g2 sen

trcú)

(4\

De la primera condición en (2), tenemos B

así que A

r

: 0 (si el segundo

m<¡s). Así

o escribiendo, B,At:

r(42

cos

ltct

I

82 sen trcú)

=

0

factor es cero, entonces la solución es idénticamente cero. lo cual no desea.

Y(a,tl = =

B¡ sen Lc (.42 cos ltct sen trc (ó cos trcú

*

*

82 sentrcú)

¿ sen \cú)

(5)

b, BtB¿:0.

En:pleando la segunda condición de (2) en (.i) encontramos que sen Así que )t, : ¡t¡/l y la solución, hasta ahora es

L,2,3,

Y(r,

tl

=

Il : 0 o

nÍx / , nrct noCt\ sen-i--(ocos t + úsen t )

tr1

: nr donde rr : (6)

Derivando con respecto a ¿, teuemos

( - nncb rurct + nrCA n¡ct\ = ""., ""nn'!,' ¿ \-_r_senJ¿"o" I)

Y¡ @, t) \-,vt

de modo que la cuarta condición en (2)_nos conduce a Y

' de donde

o : 0. Por tanto,

(r'o)

=

Y(r,

t) =

""n?T

(t;") =

o

(6) es b

ntÍ sen-J-

cos

ntct --

(71

2ro

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y COLISIONES

[cAP.

8

Para satisfacer la terce¡a condición de (2) usamos el hecho de que las soluciones de (7) multiplicadas por las constantes o las sumas de las soluciones son también soluciones (teorema o principío de superposición de las ecuaciones dife¡enciales lineales). De esta manera llegamos a la solución

Y(r,t) = n=l3

b^

senff L "o"U!

(8)

o

Usando Ia tercera condición de (2) en (8), tenemos

= f(nl =

Y(r,01 Pero esto no es otra cosa que el desarrollo

Por

O,

"?,

(e)

"""ff

de /(¡) en series de seno de Fouriery los coeficientes están dados

.2 = ^ ^l ór iJ,t<"1""nffa,

Así, la solución está dada por

Y(r,t) :

@

tr Í,' f(n) senffa,l

¡=1

El método de solución que supone que

Y

,: XT

*,ry"o"uf!

(10)

es el método llamado frecuentemente de separación de

uariables.

8.20.

Una cuerda fija en sus extremos es separada de su centro una distancia H a partir de la posición de equilibrio y se suelta. Encontrar el desplazamiento de un punto en cualquier tiempo. Fis. t-20

De la figura 8-20 vemos que el desplazamiento

inicial de la cuerda está dado

por

Y(r,O) = f(rl = Ahora

0
IzHr/t

bt = o?l il" Jo t
pH- sen(n"12\

t2

n2

usando integración por partes para calcular las integrales. Empleando este resultado en la ecuación (10) del problema 8.19, encontramos

E sen(no/2\ nÍtr Y(x,t\ = 8Il nj,¿rffsenfcosf

tct 8H I t tt cosf = -F1e,senf -

8.21.

nrct 6tn ^^-6¡rct 3¡o --\rct +, 1 senTcos | psen , cos-lE ¿

Encontrar las frecuencias normales y los modos normales de vibración de la cuerda del problema 8.20. El modo normal correspondiente a la frecuencia normal rnás baja está dado por el primer término de la solución del problema 8.20, o sea,

La frecuencia está dada por /'r, donde

2rft =

8H sen ti 7 oe

cos

¡ct -J-

T o ,/r =&=ht?

cAP. 8j

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

-1 y +t,

Puestoqueelcosenova¡íaentre

Y

ztl

COLISIONES

elmodoestalquelacuerdaoscila,comogemuestraenlafi-

gura 8-21, desde la curva continua a la curva a t¡azos

y

asÍ sucesivamente.

Fig.8-21

Fig. t-22

La frecuencia mayor siguiente está dada por el modo correspondiente al término siguiente de la serie, el cual, excepto por el signo, es

8H Brx Btct gF sen -J- cos -l-

. En este caso la frecuencia está dada por

o fg = X

=T

2trfs

=

h\E

modo que está indicado en la figura 8-22. Las mayores frecuencias normales están dadas por

tJ5 Las amplitudes de los modos correspondientes a Ias frecuencias pares

fz=

._4IT 14 ,1;,

,

son cero, de modo que tales f¡ecuencias no están presentes. En un desplazamiento, en general, se podían presentar.

Debido al hecho de que todas las mayores frecuencias normales son múltiplos ente¡os de la frecuencia normal más baja, ésta se suele llamar la frecuencia fundamental y la cuenda en oscilación emite ¿oüos musicales. Las frecuencias mayores se llaman algunas veces armónicos.

8,22.

Encontrar el desplazamiento trasversal de una cuerda en oscilación con extremos fijos, si la cuerda está inicialmente en la posición de equilibrio y se le imparte una distribución de velocidad definida por g(r). En este caso debemos resolver un problema de valores de contorno

a2Y

aF

Y(0,t) ¿

0,

Y(l,t) =

g,

^a2Y = ""6A

Y(o,0) =

Se emplea el método de separación de va¡iables y (2) dan, como en el problema 8.19,

Y(r,t)

=

""nT(¿.o.

(r)

g,

y¡@,0) = g(r)

(2)

la aplicación de lasdos primeras

condiciones de

ff + "*"ry)

Sin embargo, en este caso si aplicamos la tercera condición de (2), encontramos b

: 0, así que

Y(r,t) = o""nYtt ""nn\"t Pa¡a satisfacer la cuarta condición, debemos primero notar que el aplicar el principio de superposición, nos conduce a la solución

Y(r,t'¡

= ,!, ," ""nT ""nryf! @

(il

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

2r2

De aquí, por diferenciación con respecto a

IcAP.

8

tenemos

= 2.Y? ""nT "o"Af

Y¡@,tl o

t,

Y COLISIONES

¿=l

Y¿(r,01 = C@l =

Por el método de las series de Fou¡ier vemos que

"i,?.""

ry=lf,'oat""nffa, o

at=

nÍtr t

*f,'

nÍu

, gle) senl- dfr

(r)

Así, la solución requerida es, remplazando (4) en (3),

Y(r,t\

= 2, {**f,' a<'t""^ffa'}

sen

nTÍ -7_

sen

nrct _-'-

(c,

8.23. Hallar

el desplazamiento trasversal de una cuerda que oscila, de longitud l, cuyos extremos están fijos, si la cuerda inicialmente tiene un desplazamiento desde su posición de equilibrio dado por f (x) y una distribución de velocidad dada por g(¡). La solución del problema es la suma de las soluciones de los problemas 8.19 y 8.22. Así, la solución pedida

es

Y(r,t\

,.

b rt -. , nrr . ) )o tt"l sents drj

":, t

*

sen

ntrct nrx cosff -:f

c@)""nTa,} ."' T "i, {h !"'

*"7

PROBLEMAS VARIOS 8.24. Una partícula se suelta sobre un plano horizontal fijo. Si ésta golpea al plano con locidad v, demostrar que rebotará con velocidad -ev. La solución de este problema

se puede obtener a

ve-

partir de los ¡esultados del problema 8.6, conside-

randoquem2esinfinitayvz:O;entantqquevr:v(dondelossubíndicesly2serefierenala partícula y al plano, respectivamente)Jntonces las correspondientes velocidades después del choque están dadas por (Qn1/m2l ,\v

lím vi =

mt+ ó

lím

m!+ ú

II

-

(mllrn2l

= ^1,,y_Y## = partícula es (v. La velocidad

lím vi

o

m2-@ que

la velocidad de la

después del choque

:: ilf

8.26.

-

del plano, por supuesto,

Suponer que la partícula del problem a 8.24 se suelta del reposo desde una altura H por encima del plano. Demostrar que la distancia teórica lotal que viaja la partícula antes de quedar en reposo está dada por H(l * ,2)/\t - ,21. la velocidad de la particula justamente antes de golpear el plano. Entonces, por la conservación delaenergía, lmu2 | 0:0+ mgH o t,2:2gH Así,delproblema S.24, laparticularebotaconrapidez eu y alcanzará una altu¡a (cul2/2g : c2H. Luego se devuelve hacia el plano recorriendo la distancia c2H, de modo que después del primer rebote ya ha viajado 2e 2H. Razonamientoe análogos nos llevan a encont*ar que en los rebotes segundo, tercero, , lapártícula viaja a través de tas distancias 2caH, 2e6H, Entonces la distancia teórica total que viaja antes de Sea u

quedar en reposo es

H+z&H+24H+ze,Hr... = H+z¿H(t*e2*ea+...) = usandoefresultado

l*r*

r2

*rs I

: I/(l_ r) sil¡l < l

H+#=

"(i#)

cAP. 8l

APLTCACIONES

A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES

8.26. Dos partículas de masas m y M se mueven a lo largo del eje r (sin rozamiento) con velocidades uri V Vi, respectivamente. Suponiendo que chocan y que las velocidades después del choque son u ,i y V respectivamente, "i,velocidad del cent¡odemostrar que la de masa antes y después del choque per-

O

Fig.8-23

manece igual. Por la conse¡vación del momentum. Momentum total antes del choque

:

muf IMVri

Momentum total después del choque

= rno2i*MV2i

r v X son * MX)/(m + '"':;;::j.";"";; Lttl.

conside¡emos que

masa será

i:

(mx

l" i.t'".,"",as

La velocidad del centro de masa antes del choque

r, =

213

(mur

La velocidad del centro de masa después del choque

l

",

La ubicación der centro de

es

MV r)/(nr

i, -

I

M)

(ma2* MVz)/(m*M). Así9u"

,1,

= ir.

8'27' Una partícula de masa n se desliza hacia abajo por un plano inclinado un ángulo ., sin de masa M y d,e longitud ¿, el lual está sobre una superficie horizontal to (figura 8-24). Si La partícula parte de lo alto del piano desde el repos que el tiempo para que alcance el punto más bájo está dado por

Escogemos un sistema de coordenadas verticales ¡_1', como en la figura 8.24. Sean R el vecto¡ de posición del cent¡o de masa C de la partícula y el plano inclinad,, A un vector

(constante) desde C hasta la parte superior del plano y s el vector de posición de la partícula desde lo alto del plano. Entonces, el vector de posición de la partícula /n con respecto al sistema fijo de coordenadas ry es R + A + s. Como la única fuerza que actúa sobre la par-

tícula es su peso mg tenemos, por la

/u-t1

segunda

ley de Newton aplicada a la particula, .x¿

mj*@*a*s) ^ "

= rn7,

(/)

üR,d2s ¿tz-¿F = g,

EscribiendoR:xi+Y,s:_

el

Fig.8-21

ciys:ssr,dondesresunvectorunitariohaciaabajodel planoen

la dirección de s, la ecuación (2) se convierte

d2x ctt2

Multiplicando por s ¡ ., esto viene a

|.

en d2s

+ Itz

"t = -Ci

ser

d2x sr ¿¡2

't *

d2s

¿psr.st

= -gsr.j

Y COLISIONES

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

2t4

lcAP.

-ffi"o"'+ffi = tsenc

o

8

(3)

puesto que la fuerza neta horizontal que actúa sobre el sistema formado por la partícula y el plano es cero' el momentum total en la dirección ho¡izontal antes y después de comenza¡ a deslizarse la partícula es celo. Entonces

M#.i+ mft@*a*s)'i =

o

Esto lo podemos escribir como

W+dff-^fi"o"o = o Derivando (4) con respecto a

t y despejando d2x/dt2'

¡12X dtt

(41

enconttamos

m cosa &e

(5)

M*miltz

Sustituyendo en (3) da

*

(tuI

iFo

m)g

sen

(M

* mlg

sena

(6)

dt2

Integrando (6) teniendo en cuentaque para ú

: 0, s :

O

y ds/dt :

0'

"=a

1 P -y1*-n¿"oazoM*¡msen2a

la cual, cuando s

8.28.

: L,

nos da el tiempo pedido'

Resolver el problema 8.19 teniendo en cuenta la aceleraciórr y la gravedad. Se

trata de un problema de valo¡eg de contorno dado por

azY= c'ia-c ^AzY M

f(0, Debido al término este término,

-g

ü)

(r)

= g, Y(t, ú) = g, Y(r,ol = f(t),

Y¡ (o,0)

=g

(2)

el método de separación de variables no es adecuado en este caeo. Para elimina¡

hacemos

Y(x,t')

Z(x'tl*'t'@)

=

(3)

en la ecuación y condiciones. Encontramos d2z ñ = éffi+cPg"-g

Z(O,t't+rr(0)

= 0, Z(t,tl+'y'(4 = 0,

La ecuación (¿) y l¡3 condiciones (5) eon simila¡es

c\{-| En este caso (4) y (5) se trasforman

Z(O,¿I De (6) encontramos Ir€rtrog

en

= 0,

Z(t,01

(4)

*9@) =

f(r)'

a problemas ya discutidos

ú(0)

= O' 9Q) =

Z,(n'01

Z(n,O\

(6)

O

c¡ : 0, cr : -gl,/2c2. Aaí

*(u\

(n

- f(rl-q@),

ú" : g/c'o ú(¡) : gr2/2c2 { c¡r * c2l }

= Slno-t"¡

(5)

si escogemos ú tal que

a2Z "d2Z iF = "'fr

- O, Z(t,tl - O,

=0

Z¿(n,0)

corno t/(0)

=

g

(8)

:0' ú(ll : 0, obte-

CAP.

8I

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

La solución de la ecuación (7) con las condiciones (8) es, como en problema el

y

( Vrr-v@ll""nn!,¿r}..n z(r,t) = r=r > {+ ¿ L¿Jo Y(r,tl

a'29'

@

=

¡=l

{?

g.19.

nT,

)

así

2r5

--- I I "o"n\"t

Í,' Irat - h,,,-@]""^Td,j ""nT "o"ff

+ ${az-tx¡

Suponer que una cuerda continua, fija en sus extremos, que oscila trasversalmente, N partículas de masa m a igual distancia una de la otra. Determinar la ecuación de movimiento de las partículas. es remplazada por

Suponemos que las particulas están unidas unas con ot¡as con cuerdas elásticas que se mantienen a una tensión constante

ra 8-25). También

?

(figu_

suponemos que la distancia horizontal de las partículas (o sea en la di-

rección del vector unita¡io i) es igual a o y que el desplazamiento trasversal (o sea en la dirección del vector unita¡io j) de la partícula t esY' Consideramos que las particulas no se desplazan en la dirección i ni -i.

Fig. t-25 Aislemos la partícula. v-ésima. Las fuerzas que actúan sobre esa partícula son las debidas a las par. tículas (r - l)-ésima y (, * 1)-ésima. Tene.rros entonces Fuerza trasversal debida a

la

Fuerza trasversal debida a

la (r *

De ra segunda

r"r o"

*;:;},l:*:""

z,t =

-

1)_ésima

partícula

l)-ésima partícula que actúa sobre ra partícura r

'rY,-,)r ::;;;,_,"ar _ -rq"

,(+),

es

&Yu *-E = Irt,-, - zYv + Yv+)

o

o

(v

Yu=

sea,

#r,-r-2Y,+Yv+i

(r)

Teniendo en cuenta qu-e los extremos son fijos, suponemos dos partículas que corresponden a y : 0 I paralascuales Yo : 0 y fiv+r : 0. Entonces haciendo y : I y y : N enlaecuación (1), encontramos

y I : N{

V, = fr¡zvr+Yr¡, f,* = #rr*-r-2yN) 8.3o.

12l

obtener el determinante secular para las frecuencias normares der sistema de partículas del problema g.29. Sea f, = A, cosot en las ecuaciones (1) y (2) del problema 8.2g. Entonces, después de simplificar, encontramos

-Av-t + @ - mao2/T)A, - Av+t = 0 v = 2,..., N- 1 (2-maoz/T)At-Az = 0, -árv_r +Q_mnflT)Ay = 0 2-maozlT =

Haciendo

c

- A, = Q, -At* cA2- A, = g, !..,

el (3)

esas ecuaciones se pueden escribi¡

cA1

(ll

-á¡v_r * cA¡ =

6

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

216

Entonces si deseamos soluciones tales que cientes de orden N-ésimo sea cero, es decir,

a¡v

00 00 00

000 000

-1c-l 0-1

0

0

0

IcAP.8

COLISIONES

Av*0, se debe cumplir que el determinante de los coefi'

c -L 0 0 0 ... -1c-L00 0 -1 a -L 0 ..' 0

Y

0 0 0

c

Las frecuencias no¡males se obtienen resolviendo esta ecuación para los N valores de o2' Aunque hemos usado Y, = A, costt, también habríamos podido tomat Y, = 8, sen rú o yr= Arcosot * Brsenot o Yr= Qu"iot. El determinante secular tendria que ser el mismo (com' párese con la nota al final del problema 8.2(b)).

8.31.

Demostrar que las frecuencias normales del problema 8.30 son

.? = #(r-cosñT,) a=r,...,N Desa¡rollando el determinante

fila,

A¡ del problema

8.30 en función de los elementos de

la primera

tenemos

(l)

A,u = cA¡v-r - Ar-e

Al = c, L2 =

Del mismo modo,

¿2

- 1

Ql

en (1), vemos que las ecuaciones (2) se satisfacen formalmente si tomamos lo: Haciendo N:2 De modo que las condiciones consistentes con (l) Y (2) son

l. (J)

Ao=1,At=c

Para resolver la ecuación de diferencia (/) suponemos que A¡ : pN, donde p es una constante pa¡a se¡ determinada. Sustituyendo en (I) J dividiendo Por Px-2, encontramos

p2-cp*1 = Si llamamos c:2cos0,

o o

o=

tF

entonces

p =

cOSd

:t i sen, = elio

Así que las soluciones de la ecuación de dife¡eucia scn

(eie¡rv =

eiNo =

cosN¿ * isenNe

y

(a-ie¡N -

e-Ni, = cosNd - isenNa

puesto que si se multiplican po¡ constantes estas soluciones y las sumas de soluciones son también soluciones (como en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales), vemos entonces que' la solucirín Eeneral es (4) A¡ = G cos Ne * rll sen Na

De(3)tenemos

ao: l,ar:2cos0, A¡y =

Esto es igual a cerocuando sen(N problema 8.30, encontramos

cos

*

asíque

G: l,H:

NA t

sen

1)0

,r2q

cotá'

N, cos,

: 0 o-.".,J0 : ar/lN *

Así,

sen (N sen

*

1)a

1), donde a :

= #(t - "". oT.)

(5)

A

1'

,

N.

Usando (.i) del (6)

CAP.

8I

APLICACIONES A SISTEMAS OSCEANTES, COHETES Y

8.32. En el problema

COLISIONES

2I7

y por consiguiente encontrar el desplazamiento

8.30 obtener A, trasversal Y, de la partícula r.

De las ecuaciones (I) y (2) del problema 8.30 tenemos (usando las frecuencias normales darlas por (6) en el problema 8.31 y con el superíndice c que indica que las A dependen de a),

-AÍlr+zAt"r.o.ffT-A:?, = junto con las condiciones finales.

8.31; hallamos

1"'-:"r1";JT BÍ"'

Así que las soluciones están dadas por d.ylf

¡a¡

cos

y como la suma de las soluciones también

Y, = c. y

e)

se puede resolver en forma exactamente

donde co son constantes arbitrarias final del problema 8.S0) podemos obtener

Las constantes

(r)

A["'=0, AÍo1r=o

La ecuación (f) sujeta a las condiciones (2),

CL sen

o

suponemos

igual al problema

y,=B,senroú

(véase el

= ao t"n ffi

orú !

Dnsen

d.yt

ffi

sen

rú

es solución, tenemos

-!i- *" ff<""€osoc*D¿senoú)

Do se determr""l o" las condiciones iniciales.

Se puede ver fácilmente

la analogía con la cuerda que

oscila.

Problemas propuestos STSTEMAS DE PARTICULAS OSCILANTES

8.33.

Encontrar las frecuencias normales de vibración en el problema 8.1, si las constantes de los resortes y las masas son todas diferentes.

8.34.

Dos masas iguales m se encuentran sob¡e una superficie horizontal sin rozamiento, como se muestra en la figura 8-26, y están unidas por resortes iguales. El extremo de uno de los ¡esortes está fijo en A y las masas se ponen en movimiento. (o) Plantear las ecuaciones de movimiento del sistema. (ü) Halla¡ las f¡ecuencias no¡males de vib¡ación. (c) Desc¡ibir los

A

modos nornales de vibración.

Fis. t-26

8.35.

Desarrollar el problema 8.34 si las constanteg y las masas de los resortes son diferentes.

8.38.

Dos masas iguales ¡n están unidas a los extremos de un resorte de constante r, el cual está sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si las masas se separan y luego se sueltan, demost¡ar que ellas vib¡arán una con respecto a la ot¡a con período 2rVffi.

8.37.

Desarrollar el problema 8.36 si las masas son diferentes e iguales a Resp. 2¡!& donde p: MtMz/(Mt* Mz)

Mt y M2,

respectivamente.

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

2r8

8.38.

Y

COLISIONES

lcAP.

8

En la figura 8-27 se muest¡an masas iguales m que están sobre una superficie ho¡izontal sin rozamiento y unidas entre sí y con los puntos fijos A y B por medio de cuerdas elásticas de tensión constante y longitud l. Si los desplazamientos desde la posición de equilibrio AB de las

masas son, respectivamente, Yr Y Y2, demostrar que las ecuaciones de movimiento están dadas por

i, = *(Yz-ZYr), ?z :

*(Yt-2Yr\

Fis.

E-27

^ñ / donde ¡:3'1'/ml.

8.39.

Demostrar que las frecuencias naturales de oscilación en el problema 8.38 están dadas, respectivamente, por

| [sf

%\l

*¿

Y2r

1

9T

nl

y describir los modos de vibración.

8.4O. Encontra¡ las frecuencias y modos normales de oscilación del sistema de partículas de masas rÍtt ! trtz conectadas por resortes, como se indica en la figura 8-28, MASA VARIABLE. COHETES

8.41.

(a

)

Demost¡ar que la distancia total ¡ecorrid a por el cohete del problema 8.5 en el tiempo t está dada por

(b) ¿Cuál es la altura máxima 8.42.

la acción de un campo gravitacional constante. En el instante de la partida expulsa gas a velocidad constánte a en la dirección del campo gravitacional y a rapidez u¡ con resp€cto al cohete. Encontrar la rapidez después del tiempo ,. Suponer que un cohete parte del reposo y cae bajo

Resp.

8.43.

que alcanza el cohete y cuánto tarda¡á en llegar a esta altu¡a máxima?

gt -

r.16ln

/m¡\ \*;-)

¿A qué distancia se encuentra el cohete del problema 8.42en el tiempo ü?

Reso

r¿ot2

- ,,{, .(ry)'"(1[g}

8.44.

Desc¡ibi¡ cómo el cohete del problema 8.42 puede descende¡ suavemente sobre la superficie de un planeta o satélite.

8.45.

Demost¡ar el movimiento de un cohete de dos etapas, en el que una pa¡te se desprende y la otra continúa su movimiento.

COLISIONES DE PARTICULAS

8.46.

Un cañón dispara una bala de masa rn con velocidad horizontal v y penetra en un bloque de made¡a de masa M que estaba en reposo sobre un plano horizontal sin ¡ozamiento. Si la bala queda incrustada en la madera: (o) dete¡mina¡ la velqcidad subsiguiente del sistema, y (b) la pérdida de energía cinética' Eesp. (a\ mvl(M * m) (b) mMa2lZ(M ! m)

8.47.

Desprrollar el problema 8.46 si el bloque estaba en rDovimiento alejándose del cañón con velocidad V.

8.44.

Se suélta una pelota desde la altura If hacia el piso y-tebota a una altura h < I{. Dete¡minar el coeficiente de ¡estitución. Resp. |TTH ./ Una masa ñl¡ s€ lnueV€ con rapidez u sobre un plano/horizontal y golpea a otra masa m2, Que s€ hallaba en reposo. Si el coeficiente de ¡estitución es e; demost¡ar que hay una pérdida de energía

8.49.

cinética igual a m1m2(l - e2\u2/2(nryI ^").

cAP. 8l

8.50.

APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES

tan-t

(3,/5)

Las masas de dos partículas que chocan son m¡ y mz ! sus respectivas velocidades antes del choque soll vl, v2' Si el coeficiente de restitución es c, demostrar que la pérdida de energía cinética a consecuencia del c'hoque es

8.52.

L 'nrrnz , ryT rnr(v1 -

v2)z(1

Demostra¡ que el momentum trasfe¡ido de

es E.53.

2r9

COLISIONES

Una bola de billar choca oblicuamente con otra formando un ángulo de 4b' con la línea de sus centros en el instante del choque. Si el coeficiente de restitución es hallar el ángulo de ,,¡ebote',. |, Resp.

8'51'

Y

ffliftro

::-*+ ,nt

- l).

la primera partícula a la

segunda en el problema g.51,

(1*c)(vr-vz).

'rl1,z

Se deja caer una bola desde una altu¡a h por encima de un plano horizontal a un plano inclinado que forma un ángulo a con la horizontal. Demostrar que si el coeficiente de restitución es c, entonces la distancia vertical entre los dos primeros puntos con los que choca la bola sobre el plano inclinado está dada por 4c(1 * r)h sen a.

SERIES DE FOURIER, FUNCIONES PARES E IMPARES, SERIES DE FOURIER

DEL SENO Y EL COSENO

8'54'

Representar gráficamente cada una de las funciones siguientes y encontrar las correspondientes series de Fourier, empleando, donde sea aplicable, las propiedades de las funciones pa¡es e impares.

(a\ r(u\

= {-:

i:::l

(bt f(n)

= {-:

-:=:=_i

Resp.

(at

Desa¡¡ollar

(o) (ó)

f(r)

#{ cos

7rü

4

Desar¡olla¡

8

(d) r@,

(c) ,o

"o"ff

@,

"i

ltn -r | cos -Z5t

Período

0<¡(3 -3(c(0

= {:

-+á*.*

lz+

( r ( 10,

0
i

10

Período

6

,1.tü

{*#

o

"o"ff -u"#non"T} /(¡) y hallar

los valores hacia los

(c) r = 9,=10, !20, ... ; 20 (d) r= t3,=9,416,...;3

O

01r<4 41 nI g

{t-" [r-6

o

-r,1

"n

series de Fourier de peíodo 8'

6tr * ..'ll 4

52cos

f(r) : cosr, 0 ( r < r, en una serie de seno de Fourie¡. /(¡) en ¡ :0 y en r : r de modo que las series converjan a /(¡)

¿Cómo se podría defini¡

Resp. (a)

9.68.

@) r(r,) = 4r,

En cada parte del problema 8.54, localizar las discontinuidades de cuales conve¡ge la serie en tales discontinuidades.

*"r, 4.67.

período

-3"iry

Besp. @) r=0,!2,!4,...i (ó) sin discontinuidades

8.56.

4

f "3- ry"*ff

(b) z 8.55.

r",ioao

"\ffi+

(b)

para

f(0)=f(¡)=O

(o) Desarrollar en serie de Fou¡ier /(¡) : cos ¡, 0 < r < T, si el período es ¡esultado del problema 8.57, explicando las similitudes y diferencias entre ellos. Resp. La respuesta es la misma del problema 8.57

r. (b)

Comparar con el

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

220

8.59.

f(r) =

Desarrollar

Resp.

(o)

#P,

o1r14

f I

ntt ntrsenl-

(ó)5"3

nz""n Z

IcAP.

8

en series de: (¿) senos, (b) cosenos.

41n18

L8-t

Y COLISIONES

P-ry^)*.ff

LA CUERDA VIBRANTE

8.60. (o)

Resolver el problema de valores de contorno

azY =

# yr(O,ú)

(b)

= 0, Y(tr,t) = ¡,

Y(c,0)

= 9, Yt(c,0) =

0

Dar una interpretación ñsica a la parte (¿) del problena'

Resp.

8.61.

o(¡(t,t)o

ezY 4#

Y(r,t) = *

":r#+

sen(z-|)r

seir

(2n-r\t

Resolver el problema de valo¡es de contorno

Ytt = Yt"-g g, f(0,ü) = Y(t,t) = g,

0(¡(t't)0 Y(r,O'¡ = prb¡-rl,

Y¡(r,0) =

g

e interprételo físicamente.

Besp. Y(r.,

t) = ry

">,

iñ:lF

sen

(2n

-

l)c

cos (2n

- t\t - \orir - nl

8.G2. (o) Encontra¡ la solución de la ecuación # = O# la cual satisface las condiciones Y(O,t) : Y(¡,t):0,Y(¡,0):0,1sen¡*0,01sen4r,Y,(¡,0):0para0<¡(¡,ü)0.(b)Interpreta¡fisica'

0,

mente lás condiciones de conto¡no dadas en (o) y la solución. Resp. (o) Y(¡, t) : 0,1 sen r coe 2ü * 0,01 sen 4¡ cos 8t

E.63.

(o) Resolver el problema de valoree de contorno # = n#, sujeto a las condiciones y(0,ú) : Y(2,t):0,Y(¡,0):0,05¡(2-r),YtG,0):0,donde0<,x12,ü>0.(b)Interpretarfísicamente' (2n-L)¡a :ft1.69 3(2n-l\rt t cos Resp. (al Y(n,tl = ;S ofu sen ft-

0,

"¿

8.64.

Resolver el problema 8.63 con las condiciones de conto¡no para Y(r, 0) y Y,'(¡, Y(¡,0) : 0, Y,(¡,0) : 0,05¡(2 - r), y dé una interpretación ñsica. Resp.

Y(r,q

: #">, iñ+iF "^ff

0) inte¡cambiadas,

es decir,

""nry

PROBLEMAS VARIOS

8.65.

Una gota esfé¡ica de lluvia que cae en un campo gravitacional constante, crece por absorción de humedad del ambiente a una velocidad que es proporcional al área superficial inetantánea. Suponiendo que parte de radio cero, determinar su aceleración. Resp. l/8g

8.66. Un cañón de masa M

está en reposo sobre un plano horizontal de coeficiente de ¡ozamiento ¡. Si dispara un proyectil de masa m con velocidad inicial uo en una dirección que forma un ángulo o con la ho¡izontal, determinar cuónto retrocede el cañón por efecto del disparo.

8,67.

Una bola es lanzada a la velocidad uo contra una superficie horizontal sin rozamiento, con un ángulo c con la ho¡izontal. Si c es el coeficiente de restitución, demostra¡ que la velocidad de Ia bola después en una dirección que forma un ángulo tan-r(c tanc) del choque está dada por uoVT:(I-'¡ry€Tffi con la horizontal.

cAP. 8l

8'68'

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Demost¡ar que el tiempo teórico total para que

V2E7E

Y COLISIONES

la partícula del problema g.67 se detenga

0*c)/(r-c)

22r

es

8'69'

Demost¡a¡ que mientras la partícula del problema 8./l se desliza desde el punto más alto al más bajo del plano inclinado, éste se desplaza una distancia (mZcos a)/(M I m).

E'7o'

Demostrar que la pérdida de energía cinética de las esferas del problema g.9 es

*p(ur cosdr

8'71'

Demostrar que

-

u2 cos

la aceleración en el doble plano inclinado (figurag-29) de masa M que está en

superficie lisa está dada

8'72'

0)2 (r - c2) donde ,¡ es la masa ¡educida m¡m2/(mrl m).

por ..

(,'rr sen 41 cos q

-

una

dz cos dz)g

Si la aceleración del plano inclinado del problema 8.?l es A, demostrar que las aceleraciones relativas de las masas al plano inclinado son numéricamente iguales a

rn{A cosal * g senal) * fn1 -t

8'73

?'1r1'28en

m2(A cosa2

- g sena2l

7t1,2

Fig. t-29 Fig. t-30 Una masa m se desliza hacia abajo de un plano inclinado de masa igual con coeficiente de rozamiento ,¡ y que está en un plano horizontal. Demostrar que el plano se mueve hacia la derecha con aceleración

igual a (t

- gñ/(3 _ p) (figura 8_80).

a'74'

M eetá localizada sob¡e un plano inclinado un ángulo a. El plano está sob¡e una superficie ho¡izontal lisa. El arma dispara una bala de masa m que se aleja horizontalmente del plano con velocidad us. Encontrar la velocidad de retroceso del arma. Resp. (mu cos a)/M hacia ar¡iba del plano inclinado

8'7ó'

¿Cuánto sube el a¡ma del problema 8.?4 por el plano antes de que se detenga, si el plano es: (¿) liso? (ó) tiene coeficiente de rozamiento ¡?

8.76.

se deja caer un peso w desde una altura r/ por encima de ra placa Ag de la figura 8-81 que es sostenida por un reso¡te de constanie r. Encontrar la velocidad con que rebota el peso.

8:77,

Se lanza una bola con velocidad ue formando un ángulo a con un plano horizontal. si rebota sucesivamente en el plano, encontrar su posición después de n rebotes. suponer que el coeficiente de restitución es é y que la resistencia del aire es despreciable,.

Una arma de masa

['ig.8-81

8'78'

Desarrollar el problema 8'?? si el plano horizontal se remplaza por un plano inclinado de ríngulo p y la bola se lanza: (a) hacia abajo, (ó) hacia arriba.

8'79'

obtener la ecuación (1), de este capítulo, para la cue¡da vibrante considerando las ecuaciones de movimiento de las N partículas del problema g.29 haciendo que jg.. _.

8'8o'

Demostrar que cuando N* - las f¡ecuencias normales dadas en el problema 8.s1 se aproximan a las de una cuerda continua en vibración.

8.81.

Demostrar que cuando

0S ¡ (¡,

(o) r(¡ - u) =

+-(Y*ry*+es.

(ó)

:(W*W*"+P..)

u(r

- r)

='

)

8.82.

IcAP.8

Emplear el problema 8.81 para demostrar que

(¿) 8.83.

Y COLISIONES

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

222

2,#=+,(D) },cF=É,(c)

Demostrar que

y : f(x -l ctl * SQ -

"i#+

=#'

cú) es una solución de la ecuación

Ary "A2y dF = "'Ñ

y discutir la relación entre esta solución y el problema de la cuerda vibrante.

I Í,' (#)'*

(¿) Demostrar que la energía potencial total de una cuerda vib¡ante es 7 =

(ó) 8.8b. (a)

Entonces demostrar que

7 = # |rn'(o,"o"Y *

bn sen

Demostra¡ que la energía cinética de la cuerda vib¡ahte es E.C.

(ó)

Por consiguiente demostrar que

(c)

¿Puede ser

E.C.

ry)".

= * lo (#)'Ot'

Prn'(o""o"ff -

= #

b'

sen

tf)''

infinita la energía cinética? Explicar.

Demost¡a¡ que la energía total de una cuerda

vitr¡ante es

E =T ""

\ ^2,

n2@?

+

a2,¡.

8,82,

problema 8'20, Encontrar la energía potencial, la energía cinética y la energía total de la cuerda: (o) del (b) del Problema 8.28.

8,88.

Si se tiene en cuenta que el amortiguamiento es proporcional a la velocidad trasversal instantánea' elproblemadelacuerdavibrante,derhostra¡quesuecuacióndemovimientoes

8.89.

8.90.

en

azY ^AY .dLY F + F E = e ffi '

Demostrar que las frecuencias de vibración de la cuerda amortiguada del problema 8.88 son

,/ffi14n,

1=!,2,8,....

y x: Resolverelproblemadelacuerdavibranteamortiguadasisefijaporlosext¡emos ¡:0 y equilibrio posición de (ó) la en está y se suelta, la cuerda: (o) tiene una forma inicial /(¡) luego da una distribución inicial de velocidad g(¡), (c) se le da una forma inicial

Iy se le

/(¡) y una distribución

de

velocidad g(¡).

8.g1.

Hace¡ el problema de la cúe¡da vibrante amortiguada teniendo en cuenta la gravitación.

8.92.

Desarrollar: (o) el problema 8.84(o), (b) el problema 8.85(a), (c) el problema 8.86, (d) el problema 8'88 cuando la cue¡da se remplaza por N partículas, como en el problema 8.29. En la figura 8-32 el sistema del doble péndulo puede vibrar libremente en un plano vertical. Encontrar las frecuencias y modos normales suponiendo vibraciones pequeñas.

8,94.

Desarrolla¡ el problema 8.93 si se suspende una masa adicional ms de mz por medio de una cuerda de longitud 13.

8.95.

Generalizar el movimiento de: (o) el problema 8.1, (b) el problema 8.34 para N partículas Y resortes iguales.

8.96.

Investigar en el problema 8.95 el caso límite cu¿ndo significado fisico de los resultados.

N- -.

Discutir el Fig. t-32

CAPI

8

8.97.

|

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y COLISIONES

Resolve¡ el problema de condiciones de contorno

Y(0,

t) =

6,

y dar una interpretación fisica.

azY ^a2Y + asenoú iF = c'* Y(l,t) : g, Y(r,O) = f(nl,

y, 1r,0¡

Desa¡¡ollar el problema 8.g? si se remplaza la condición

8.99.

Desa¡rollar el problema 8.9? si se remplaza la ecuación diferencial parcial por

e interpretarlo fisicamente.

=

g

y,(¡,0) : 0 po¡ y,(¡,0) :

8.98.

8'loo'

223

a2Y , ^dY ^d2Y = c¿r¿* atr*PE

g(x).

asenoÚ

Establecer las ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales del movimiento de un cohete en un campo gravitacional del inve¡so de la distancia al cuadrado. ¿Cree usted que estas ecuaciones se pueden

resolve¡? Explicar.

8'lol.

Dos cuerpos (tales como el Sol y Ia Tierra, o la Tierra y la Luna) de masas mr y m2 se mueven relativamente entre sí bajo la at¡acción mutua del inverso al cuadrado de acuerdo con la ley unive¡sal de la gravitación. Si rr v rz son sus vectores de posición relativos a un sistema coordenado fijo y r : rr - rr, demostra¡ que sus ecuaciones de movimiento son Gmr(rr rz) .. tt = - ---r, -__ ,

Esto se conoce como el problema de

8'lo2'

.. tZ

Gmr(rz _ rr)

=

d.os cuerpos.

En el problema 8'101 tomar el nuevo origen en el cent¡o de masa de los dos cuetpos, es decir, tal entonces que si hacemos que r sea el vector de posici'ón ¿" a, respecto a m2, entonces .f. _G(mt*m)rt . _ G(m1*m2)rr_

Íl¡rr a Ít2r2 : O' Demostrar

rl - -

o, al restar,

tz = la-, .i _ _G(¡q*mz\r f

Utilizando el problema 8.102 obtener la órbita de rn1 relativa

t'104.

Si P es el período de revolución de m, con respecto a mz elíptica de m¡ alrededor de m2, demostrar que

*n

,s-

Por consiguiente, demostrar que el movimiento de rn¡ relativo a Ít2 aa exactamente si el cuerpo de maea m2 estuviera fijo y su masa aumentara a m1l m2.

8'lo3'

que

el

mismo,

I nL2 y compararla con los resultados del capítulo 5. ¿Se modifican en alguna forma las dos primeras leyes de Kepler? Explicar.

4¡r2

P2

A

! o es el semieje mayor de la trayectoria

eon,-
Comparar este resultado con la tercera ley de Kepler: En el caeo de la Tierra (u otro planeta) y el Sol, ¿tiene mucho efecto esta ley modificada de Kepler? Erplicar.

8'105.

Establecer las ecuaciones que describan el movimiento de 3 cuerpos bajo una ley mutua de atracción del inverso al cuadrado.

8'106'

Trasformar las ecuacionee obtenidas en el problema 8.10b para que las poeiciones de los cuerpos sean descritas con relación a su centro de masa. ¿Cree usted que estas ecuacionee puedan se¡ resueltas exactamente?

8.107.

Desanollar los problemae 8.105 y g.106 para N cuerpos.

Copítulo

I

Movimiento de cuerpos rígidos en el plono

CUERPOS RIGIDOS Un sistema de partículas en el que la distancia entre dos partículas cualesquiera no cambia a pesar de las fuerzas que actúen, se llama vn cuerpo rígido. Como un cueryo rígido es un caso especial de un sistema de partículas, valen también para los cuerpos rígidos todos los teoremas desarrollados en el capítulo 7.

TRASLACIONES Y ROTACIONES lJn desplazamiento de un cuerpo rígido es un cambio de una posición a otra. Si durante un desplazamiento todos los puntos del cuerpo permanecen fijos sobre una línea, el desplazamiento es una rotación alrededor de la línea. Si durante un desplazamiento todos los puntos del cuerpo rígido se mueven entre sí en líneas paralelas, el desplazamiento es una traslación.

TEOREMA DE EULER. EJE INSTANTANEO DE ROTACION El siguiente teorema llamado teorema de Euler es fundamental en el movimiento

de

cuerpos rígidos.

de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo del cuerpo es equivalente a una rotación alrededor de una línea que pase por el punto. Esta línea se llama el eje instantóneo de rotación. Las rotaciones pueden considerarse como finitas o infinitesimales. Las rotaciones finitas no pueden representarse por vectores debido a que no se cumple la ley conmutativa. Sin embargo, las rotaciones infinitesimales pueden representarse por vectores.

Teorema

9.7. La rotación

MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO. TEOREMA DE CHASLE En el movimiento general de un cuerpo rígido ningún punto del cuerpo puede ser fijo. En tal caso es fundamental el siguiente teorema llamado teorema de Chasle. Teorema 9.2. El movimiento general de un cuerpo rígido puede considerarse como

una traslación más una rotación alrededor de un punto apropiado que frecuentemente es el centro de masa.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO EN BL PLANO El movimiento de un cuerpo rígido se simplifica considerablemente cuando todos los puntos se mueven paralelos a un cierto plano fijo. En tal caso son posibles dos clases de movimiento, llamados mouimientos en el plano. l. Rotación alrededor de un eje fijo. En este caso el cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo perpendicular al plano fijo. El sistema tiene solamente un grado de libertad (véase el capítulo 7) y, por consiguiente, sólo se necesita una coordenada para describir el movimiento. 224

cAP. el

2.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

225

Movimiento general en el plano. En este caso, el movimiento puede considerarse como una traslación paralela a cierto plano fijo más una rotación aliededor de un eje apro-

piado perpendicular al plano. Frecuentemente el eje se hace pasar por el centro de masa. En tal movimiento el número de grados de libertad es 3: dos coordenadas que se emplean para describir la traslación y una para describir la rotación.

El eje es el eje instantóneo y el punto donde el eje instantáneo intersecta al plano fijo se denomina el centro instantóneo de rotación. Consideraremos en este capítulo estas dos clases de movimiento en el plano. El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio de tres dimensiones es más complicado y se considerará en el capítulo 10. MOMENTO DE INERCIA Una cantidad geométrica de gran importancia al discutir el movimiento de cuerpos rígidos es el momento de inercia. El momento de inercia de una partícula de masa m con respecto a una línea o eje AB se define como I=mf (l) donde r es la distancia de la masa a la línea. El momento de inercia de un sistema de partículas de masas rn1, rrr2, .. ,frtrN se define con respecto a la línea o eje AB como N

I-

2 m,r3 =

v=l

rn{?

+ tnrrz" * .. . +

enNrk

e)

donde rr, r2,. .,rN son sus distancias respectivas a AB. El momento de inercia de una distribución continua de masa, como la del cuerpo rígido sólido (. de la figura 9-1 está dado por

I- f

atR

donde

r

es

la distancia

desde

*o*

(3)

Fic.9-r

AB al elemento de masa dm.

RADIO DE GIRO Sea

AB y M

/ = il

N

P-_r^,r3

el momento de inercia de un sistema de partículas con respecto a

= .2 *" la masa total del sistema. Entonces la cantidad K tal 2 rwri

nz

se

=#

=

)m,

que

(4)

llama el radio de giro del sistema con respecto a AB. Para una distribución continua de masa se remplaza (4) por

I? =

M!- =

(5)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

[cAP.

e

TEOREMAS SOBRE MOMENTOS DE INERCIA l. Teorema 9.3: Teorema d.e los ejes paralelos. Sea I el momento de inercia de un sistema con respecto al eje AB y sea .I¿. el momento de inercia del sistema con respecto a un eje paralelo a AB y que pasa por el centro de masa del sistema. Entonces, si b es la distancia entre los eies v M es la masa total del sistema. tenemos

I = I"+Mbz

(6)

2. Teorema 9.4: Teorema de los ejes perpendieulares. Consideremos una distribución de masa en el plano xy de un sistema coordenado ryz. Supongamos que .I,, f" e f, representen los momentos de inercia con respecto a los ejes r, y y z, respectivamente. Entonces

I, = I'*Iu

(7)

MOMENTOS DE INERCIA ESPECIALES En la siguiente tabla aparecen los momentos de inercia de varios cuerpos rígidos que se presentan en la práctica. Se supone en todos los casos que el cuerpo tiene densidad uniforme (es decir, constante). Cuerpo rígido

Momento de inercia

l. Cilindro circular sólido de radio a y masa M con ¡especto al eje del cilindro

LMo'

2. CiLindro circuLar de ¡adio a

y

hueco masa M

con respecto al eje del cilindro.

Mo2

Espesor de la pared despreciable.

3. Esfera sólida de ¡adio a y masa M con respecto a un diámetro.

4. Esfera hueca de radio a y masa M con respecto a un diámet¡o. Espesor de

la

*Mo'

Ma2

esfera despreciable.

5. Placa rectangular

deladosdybymasaM alrededor de un eje

perpendicular a la placa y que

$M(az

*

pasa por el centro de masa.

6. VarilLa delgada de longitud a y masa M con respecto a un eje

perpendicular a la varilla y que pasa por el centro de masa.

PARES Dos fuerzas iguales y paralelas que actúan en direcciones opuestas pero que no tienen la misma línea de acción (figura 9-2) reciben el nombre de un por. Dicho par tiene un efecto de rotación y eL momento de fuerzo o el momento del par está dado por r X F. EI siguiente teorema es importante.

#Mo'

bz)

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

Teorema 9-5- Cualquier sistema de fuerzas que actúe sobre un cuerpo rígido puede remplazarse en forma equivalente por un par apropiado y una fuerza única que actúe en un punto específico. ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULAR CON RESPECTO A UN EJE FIJO Supongamos que un cuerpo rígido está rotando alrededor de un eje fijo con velocidad angular o que tiene Ia dirección del eje AB (figura 9-3). Entonces la energía cinética de rotación está dada por

T - ¡I.z

(8)

donde 1 es el momento de inercia del cuerpo rígido con res-

pecto al eje. En forma similar, el momentum angular está dado por

A=Io

(9)

Fig.9-3

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO CON RESPECTO A UN EJE FIJO Los dos teoremas siguientes proporcionan dos métodos importantes para tratar el movimiento de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo. Teorema 9.6: Principío del momentunt angular. Si A es el momento de todas las fuerzas externas con respecto al eje y O : .Io es el momentum angular, entonces

d

A = *U,

= h =

Ia

(10)

la aceleración angular. Teorema g-7: Principio de la conseruación d.e la energía. Si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido son conservativas, de tal modo que el cuerpo rígido tiene una en donde

es

energía potencial V, entonces

T+V = +1.2+V = E

=constante

(1

1)

TRABAJO Y POTENCIA Consideremos un cuerpo rígido fi. que puede rotar en un plano alrededor de un eje O perpendicular al plano, como se indica en la figura g-4. Si A es la magnitud del momento aplicado al cuerpo en el punto A, bajo la in_ fluencia de la fuerza F, el trabajo realízad.o al rotar el cuerpo un ángulo dá es

dW = Ld|

U2\

y la potengio instantánea desarrollada

?dW = -E donde <¡ es

la velocidad

=

es

A<'¡

(13)

angular.

Fis.9-1

Tenemos el

Teorema 9-8- El trabajo total realizado al rotar un cuerpo rígido desde un ángulo la velocidad angular es <,r1 hasta un ángu\o 0r, donde Ia velocidad angular eS rrr2, es la diferencia de la energía cinética de rotación en t,lr y c.r2. En símbolos, d1, donde

f'"tae =

y,E-,lL?

(14)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

228

[cAP.

e

IMPULSO. CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULAR La integral con respecto al tiempo del momento ?t"

J = ),,

L

dt

(I5)

se llama impulso angular desde el tiempo úr hasta el tiempo ü2. Tenemos los siguientes teoremas.

Teorema

símbolos

9.9. El

impulso angular es igual al cambio del momentum angular. En

rb

I Lat = Jtt

oz

-

(16)

or

IO:

Conseruación del ntomentum angular. Si el momento de fuerza neto aplicado a un cuerpo rígido es cero, entonces el momentum angular es constante, es decir, se conserva.

Teorema

9.

EL PENDULO COMPUESTO Supongamos que ( (figura 9-5) es un cuerpo rígido que puede oscilar libremente bajo la influencia de la gravedad en un plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo que pasa

por O. Llarnamos a tal cuerpo rígido un péndulo compuesto. Supongamos que C es el centro de masa y que el ángulo entre OC y la vertical OA es 0. Entonces, si 16 es el momento de inercia de ( con respecto al eje horizontal que pasa por O, M es la masa del cuerpo rígido y o es la distancia OC, tenemos que la ecuación del movimiento es

d+ff""ne =

(17)

0

Cuando las oscilaciones son pequeñas, el período de vibración

p=

La longitud del péndulo simple equivalente

Fig.9-l es

(r8)

2,t/hNisa, es

I-

(te)

IolMa

El siguiente teorema es interesante. Teorema 9.11. El período de vibración de un péndulo compuesto es mínimo cuanla distancia O C : a es igual al radio de giro del cuerpo con respecto al eje horizontal do que pasa por el centro de masa.

MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO El movimiento general de un cuerpo rígido en el plano puede considerarse como una traslación paralela al plano más una rotación alrededor de un eje apropiado perpendicular al plano. Los siguientes teoremas proporcionan dos métodos importantes para tratar el movimiento general de un cuerpo rígido en el plano.

Teorema 9.12: Principio d.el molrúentum

líneal. Si r

es el vector de posición del

centro de masa de un cuerpo rígido con respecto a un origen O, entonces

*,*r,

=

Mi:

F

(20)

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

donde M es la masa sobre el cuerpo.

total que

se supone constante, y

F

229

la fuerza neta externa que actúa

es

Teore¡na 9.13: Princípio det momentum angular. Si Ic es el momento de inercia del cuerpo rígido con respecto al centro de masa, o¡ es la velocidad angular A" el v momento total de las fuerzas externas con respecto al centro de masa, entonces

^c= frV",)=I"i Teorema

(21)

14: Principío de la conservacíón d,e la energía. Si las fuerzas externas son conservativas, tal que la energía potencial del cuerpo rígido es V, entonces g.

T+V - tm|r++Ico,2*V = E = constante observamos que *mi' - lmaz es la energía cinética de traslación y ilc.,2

energía cinética de rotacióru del cuerpo rígido alrededor del centro de masa.

CENTRO INSTANTANEO. CENTRODES ESPACIAL Y DEL CUERPO Supongamos que un cuerpo rígido ( se mueve paralelamente a cierto plano fijo, digamos el plano ry de la ñgura g-6. Consideremos un plano x,y, pa_ ralelo al plano ry y que se sujeta rígidamente al

(22)

es la

a

cuerpo.

Como el cuerpo se mueve, habrá en cualquier instante ü un punto del plano móvil r'y, que esté instantáneamente en reposo con respecto al plano ry. Dicho punto, que puede estar o no en el cuerpo. se llama centro instantóneo. La línea perpendicuiar o al plano y que pasa por el centro instantáneo se llama eje instantáneo.

Fig.9-6

A medida que el cuerpo se mueve, se mueve también el centro instantáneo. El lugar geométrico o trayectoria del centro instantáneo relativo al plano fijo se llama lugar geométrico espacial o centrode espacial. El lugar geométrico relativo al plano móvil se llamá lugar geométrico del cuerpo o centrode del cuerpo. El movimiento del cuerpo rígido puede describirse como el giro o rodamiento del lugar geométrico del cuerpo sobre ellugar geométrico espacial. El centro instantáneo puede considerarse como el punto alrededor del cual hay rotación pero no traslación. En una traslación pura de un cuerpo rígido, el centro instantáneo está en el infinito.

ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO La estática o equilibrio de un cuerpo rígido to. El siguiente teorema es fundamentai.

Teore¡na

9.

15. Una

en equilibrio es que

condición necesaria

F=0,

es el caso especial cuando no hay movimien-

y suficiente para que un cuerpo rígido

esté

A=0

eB)

donde F es la fuerza externa neta que actúa sobre el cuerpo

yA

es el momento exrerno neto.

PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL Y PRINCIPIO DE D'ALEMBERT Como un cuerpo rígido es sólo un caso especial de un sistema de partículas, el principio de trabajo virtual y el principio de D'Alembert también se aplican a los cuerpos rígidos.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

2n

[cAP.

PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA. ESTABILIDAD En una posición de equilibrio la fuerza neta externa es cero, tal que si las fuerzas servativas y la energía potencial es V,

F--V7=0 o en componentes,

#=0,

e

son con(24)

#:o'{=o

(%)

En tal caso V puede ser o no un mínimo. Si es un mínimo se dice que el equilibrio es estable y un pequeño cambio de la configuración restaurará el cuerpo a su posición original. Si no es un mínimo se dice que el cuerpo está en equilibrio ínestoble y un pequeño cambio de la configuración desplazará el cuerpo alejándolo de su posición inicial. Tenemos el Teorema 9.16. Una condición necesaria y suficiente para que un cuerpo rígido esté en equilibrio estable es que su energía potencial sea mínima.

Proble mas resueltos CUERPOS RIGIDOS 9.1. Un cuerpo rígido en forma de un triángulo ABC (figura 9-7) se mueve en un plano hasta la posición DEF, es decir, los vértices A, B y C se llevan a D, EY fl respectivamente. Demostrar que el movimiento puede considerarse como una

traslación más una rotación alrededor de un punto apropiado.

Escojamos un punto G en el triángulo ABC que corresponde al punto H del triángulo DEF. H* gamos la traslación en la dirección GH o sea que el

l¡

t/

triánguloABC se desplaza hasta A'B'C'' Hagamos rotar el triángulo A'B'C' un ángulo d tomando a H como centro de rotación, como se indica, para que A1B'C' coincida con DEF. En consecuencia, el movimiento ha sido realizado por una traslación más

A Fig.9-/

una ¡otación. 9.2.

Dar un ejemplo para demostrar que las rotaciones finitas no pueden representarse por vectores. Hagamos que A, represent€ una rotación de un cuerpo (tal como el paralelepípedo rectangular de la figura $8(o)) alrededor del eje r en tanto que A, represente una rotación al¡ededor del eje y. Suponemos qúe tales rotaciones se ¡ealizan en sentido positivo o sea contrario al del movimiento de las agujas del

reloj de acuerdo con la regla de la mano derecha.

(ó)

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

237

Fig.9-9 En la figura 9-8(a) empezamos con el paralelepípedo en la posición indicada y efectuamos la ¡otación ¡, como se indica en la figura 9-8(b) y luego la rotación al¡ededor de y, como se indica en la figura 9-8(c). Entonces la figura 9_g(c) es el resultado de la rotación A, + Ay de la figura 9-g(o). En la figura g-9(a) comenzamos con el paralelepípedo en la misma posición de la figura 9-g(o), pero esta vez hacemos primr¡ró la rotación Ar alrededor del eje y, como se indica en la figura s-stal v luego la rotación A' alrededo¡ del eje l, como se indica en la figura g-9(c). Luego la figura 9-9(c) es el resultado de la rotación Ay + A, de la figura 9-9(a). Como la posición del paralelepípedo de la figura g-8(c) no es la misma de la figura 9-9(c), concluimos que la operación A' * At no es la misma que la operación A, * .A,. En consecuencia, no se satisface la ley conmutativa y, por tanto, no es posibre representar por vectores a A, y A".

A'

alrededor de

MOMENTOS DE INERCIA 9'3' Dos partículas de masas m t y m2 s€ conectan por una varilla de masa despreciable de longitud o que se rr\ueve libremente en un plano. Demostrar que el momento de inercia del sistema con respecto a un eje perpendicular al plano y que pasa por el centro de masa es pa2 donde la masa m2 reducida es ¡r: mrm2/(mrIm). Sea r¡ la distancia de la masa m r al cen_ tro de masa C. Entonces la distancia de la masa m2 al centro C es e - rt. Como C es el cen_

Y'-

tro de masa.

rnyrl = m2(a-r)

de

donde

"

,n2ú

tr = n\ +

,na

Fig.9-10

v

ll-ft

Tlltú

= m1

*

rn2

Luego el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por C es

mtú+mz(a-rttz

9'4'

- *,(ffi)'* ^,(ffi)'

=

ffi"2

=

po2

Encontrar el momento de inercia de un cilindro circular sólido de radio a, altura y h masa M con respecto al eje del cilindro. Método l. Por integración eimple. SuMividir el cilindro, cuya

sección trasversal apa¡ece en la figura g-11, en anillos concéntricos, uno de los cualeg es el elemento sombreado que se muestra. El volumen de dicho elemento es (área)(espesor) - (2tr dr)(D) = 2¡"rh ilr el elemento de masa es dm : 2rarh dr.

El

momento de inercia de dm es

12 d,m = 2¡otsh d,r donde o es la densidad y, por tanto, el momento total ine¡cia es

=

tr2ttfhitr

=

l¡nohoa

de

(r)

Fig.9-U

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

232

Entonces, como la masa

es

¡ : \Ma2.

encont¡amos

tcAP.

e

Ao

M=lznorhdr= J ¡=o

dn¿

= ohr dr dc

Método 2. Por integración doble. De la figura 9-12 vemos que empleando coordenadas polares (¿ e) el momento de ine¡cia del elemento de masa dm situado a una distancia r del eJe es

12

d.m

=

rzohr dr ¿le

=

ohrs

dr

¡Ie

y d es la masa

como hr dr d0 es el elemento de volumen por unidad de volumen (densidad). Entonces el momento inercia

de

es

I -

V2t ¡o

otus ilr do = $rohoa v|0=0 v|¡=0

La masa del cilindro

(1)

Fig.9-12

es

" M = v0=ovf=0 f'" f

olv

d.r

ilo = otúh

@l

que también puede encontrarse directamente al observar que el volumen del cilindro es razh. Dividiendo Ia ecuación (l) por (2), encontramos I/M : la2 o I: !Ma2.

9.ó.

Encontrar el radio de giro K del cilindro del problema 9.4. como K2 : I/M : *a2, K : o/t¡i : la]r,.

9.6.

Encontrar: (¿) el momento de inercia, y (b) el radio de giro de una placa reótangular de lados o y b con respecto a un lado. Método l. Por integración simple.

(o) El elemento de masa sombreado en la figura 9-13 es ob dt y 8u momento de inercia con respecto al ejey es (obdr)rz : abx2 dx. Luego el momento total de inercia es aao

! = Jz=o | obazils = Como

fobor

la masa total de la placa es M : oóo, tenemos I/M : ta2 o I : lMa2'

(ó) K2 : I/M:

!a2 o K: a/VT: Ia{t.

dm

=

od,A

dr

Flg.9-ll

Fig.9-18

Método 2. Por integración doble. Supongamos que el espesor de Ia placa es la unidad. Si dm : odydx es un elemento de masa (figura 9-14), el momento de inercia de dm con rcspecto al lado que escogemos como el ejey es x2 dm : ox2 dy dx. Entonces el momento total de inercia es tña

?b

x=0

!=0

!-llorzdUtu=|oüo8 v v La masa total de la placa es M : abo.

K: io\6

Luego, como en

el método l, encontramo" ¡ : lMa2 I

cAP. el

9.7.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

233

Encontrar el momento de inercia de un cono circular recto de altura h y radio a con respecto a su eje. Método l. Por integración simple. El momento de inercia

del disco circular cilíndrico, del cual se representa la cuarta parte PQ^B en la figura 9-lb es, por el problema 9.4,

[(rr2o d,z)(rz)

=

$rora

d.z

dz

ya que dicho disco es de volumen ¡r2 dz y radio

r.

/h-\ o r="\__T_). -' h _a

L-"

De la figura g-rc,

Entonces el momento total de ine¡cia con respecto al

eje

r

es

ah ( rh-r\ln,

I -

t"n J"=o

7"\T )l * :

fizraaoh

ü

También,

( /n-r\l'M = "" |¡'h 10 (T )l d, = r'¿=o L \ '¿ /)

Luego

Fig.9-15 fzrazha

f = frMaz.

Mérodo 2.

Por integración triple. Subdividimos el cono, del cual se muest¡a una cuarta parte en la figura 9-le en elementos de masa drn, como se indica en la figura. El elemento de masa dm del cilind¡o en coordenadas cilíndricas (r, 0, zl es dm : ordrd,|d,z donde

d.m=

o es la densidad. tt momento de inercia de d¡n con respecto al eje

o¡iI¡doik

, ".

12

Comoenelmétodo Entonces

- af ilr d.c itz r 1,b"

d,m

"r -o-"',to

/'-\ )",)",

r,l;:.:,":::#I =

La masa total del cono

¡2¡

4c

J r=o J,=o

¡h(a-r)/a

J,=o

Fig.9-16

"""

of

itr d'c

dz =

es

M = .f^* f
Luego

9.8.

firaaoh

/ - $Maz.

ltazho es !ra2h.

Encontrar el radio de giro K del cono del problema 9.2. Kz= IlM - #o, y I( =o1@=+oú0.

TEOREMAS SOBRE MOMENTOS DE INERCIA

9.9.

Demostrar el teo¡ema de los ejes paraleios (teorema g.B). Sean OQ cualquier ejey ACP un eje paralelo que pasa por el centroide y C a una distancia ó de Oe. En la figura g-17 se hizo que OQ fue¡a el eje z y entoncer ¡p perpendicular al plano ry en el punto p.

".

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

234

[cAP.

I

Si b ¡ es un vector u-nitario en la dirección OP, entonces el vector ó?está dado por

b=bbr y

en donde b es constante

es

(I) la distancia entre los

eJes.

Sean r, y rf los vectores de posición de la masa 7ny con relación a O y C, respectivamente. Si t es el vecto¡ de posición de C con respecto a O tenemos

rv = {v+i

El

Q)

momento total de inercia de todas las

al eje OQ es

masas rny con respecto

ü

Fig.9-l7

N

| = ) mr(r,. $t¡z v=l

(3)

El momento total de inercia de todas las masas ?t¿v con respecto al eje ACP

es

N

Ic = y=l)

(4)

m,(ri.b¡)2

Empleando (2) encontramos N

N

I_

v=l N

=

y=l

=Ic NN

comof.br=b, 2^"=M v=l El ¡esultado

se

2 v=l

rnr(rr. b1\2 =

m,,(r',.b)z

*

y

2 v=l

br)2 N

N

2

i.

m,(r'r. b1xi.

bl) +

\N

1N

+ 2b(\v=l2

m,(ri. br +

).t, + b22m,

^,r1,/-v=l

>mrtl=

v=l

0

=

br)2 > v=l "b(r.

Ic +

Mb2

(Problema?.16)-

ertiende fácilmente a sistemas continuos de masa utilizando integrales en lugar de

sumatorias.

9.fO. Utilizar el teorema de los ejes paralelos para encontrar el momento de inercia de un cilind¡o circular sólido con

respecto a una línea sobre la superficie del cilindro y que es paralela al eje del cilindro. Supongamos que en la figura 9-18 representamos la sección t¡asversal del cilindro. Entonces el cilind¡o se representa por C y la línea sobre Ia superficie del cilindro se representa por A. Si a es el radio del cilindro, entonces según el problema 9.4 y el teorema de los ejes paralelos, tenemos

It = Ic*Moz = lMazi¡4sz -

9.11.

Fig.9-rt

|Maz

Demostrar el teorema de los ejes peryendiculares (teorema 9.4). Sea el vector de posición, en el plano ry, de la partícula de masa

.¡nv

ru = trí*Yri

(figura 9-19). El momento de ine¡cia de mr co¡ respecto al eje z es rnrlrrlz. Entonces, el momento total de inercia de todas las particulas con respecto al eje z es

Fig.9-19

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO N

frz v=l N

v=l

N

m,1r|+

fi)

mo lr,12

=

mrtj

2 *,ú, = Ir+ v=l

y=l

N

+

Iy

donde 1' e 1" son los momentos totales de ine¡cia con relación a los ejes El ¡esultado

9.12.

se

n5

¡ y y,

respectivamente.

extiende muy fácilmente a sistemas continuos.

Encontrar el momento de ine¡cia de una placa rectangular de lados ¿ y b con respecto a un eje perpendicular a la placa y que pase por un vértice. Tomamos la placa rectangular (figura g-20) en el plano ry con lados sobre los ejes r y y. Escoger el eje z perpendicular a la placa en un vértice.

Del problema 9.6, tomamos los momentos inercia con respecto a los ejes r y y

de

Ix - +Mb2, Iu = $Maz Entonces aplicando el teorema de los ejes paralelos el momento de inercia con respecto al eje z es

I, = I,* Iu =

lozl fM(az * bzl

$M(bz

u Fig.9-20

PARES

9.13.

Demostrar que una fuerza que actúa en un punto de un cuerpo rígido puede remplazarse en forma equivalente por una fuerza única que actúa en unpun¿o específicoy un par apropiado. Sea la fuerza F¡ que actúa en el punto p¡ co_ mo se indica en la figura 9-21. Si e es cualquier punro específico, vemos que el efecto de F¡ si estuvie¡a sola es el mismo si aplicamos en e dos fue¡zas fr y -fr,

En particular, si escogemos

f, :

si f¡ tiene la misma magnitud de F¡ -F¡, pero dirección opuesta, vemos que el efecto de F1 si estuviera sola es el mismo que el efecto del par fornado por F¡ y fr : -F¡ (que tiene un momento r¡ X F¡) más la es decir,

Fis.9-21

fuerza-fr:Pr.

9.14.

Demost¡ar el teo¡ema 9.5: cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido puede remplazarse por una fuerza única que actúa en un punto específico y por un par apropiado. Según fuerza

F,

el

problema 9.13 podemos remplazar la F, en Q más un parde moFu. Luego los sistemas de fuerzas F,,

en P, por la fuerza

r, X F¿, . . , F, en los puntos pr, pz, , pn pueden combina¡se en fuerzas F,, Fr, , F¡ en e cuya re_ mento

sultante

.P¿

.Pt

es

F = Fr+F2+.'. *F¡v y

con pa¡es de momentos

r¡XF1, 12XFr, ..., r¡yXF¡ que pueden sumarce para producir un par único. En consecuencia, el sistema de fue¡zas puede remplazar_ se en fo¡ma equivalente por la fuerza única que actúa en Q más el par.

Fig.9-22

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

236

lcAP.

e

ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULAR 9.15. Si un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo con velocidad angular ro, demostrar que la energía cinética de rotación es 7 : llo2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje. AB en la figura 9-23, el eje. Una partícula P de masa alrededor del eje con velocidad angular o. Por tanbo describirá un cí¡culo PQRSP con velocidad lineal a, = o¡r, donde r, es la distancia de la partícula al eje AB. Entonces su energía cinética de ¡otación alrededor del eje AB es $rnrtl = $mr,,t2r! y la energía cinética total de todas las partlculas es Sea

m, rotará

N

/N -\ T = v=l2,$^,"rr7 = +(> - \v=1 ^,ri)", ,l

N

en

donde

to a AB.

I = 2 ^rrl v:l

=

trl""

es el momento de inercia con ¡espec-

El resultado también hubie¡a podido demostrarse por tegración de la sumatoria.

9.f6.

in-

Fig.9-23

Demostrar que el momentum angular del cuerpo rígido del problema 9.15 está dado

por O =

.ft0.

El momentum angular de la particula P con respecto al eje AB es mrrzrn. Entonces el momentum angular total de todas las partículas con ¡especto al eje AB es N

O = v=l)m,fi.

=

(5-,d). = ro \v=l

/

N

donde

r? f = 2 ^r

es el momento de

inercia alrededor de AB'

Este resultado podría haberse demostrado por integración en lugar de la sumatoria.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO CON RESPECTO A UN EJE FIJO 9.17. Demostrar el principio de momentum angular para un cuerpo rígido

que

rota

con

respecto a un eje fijo (teorema 9.6).

L

Por el problema 7.12, como un cuerpo rígido es el caso especial de un sistema de partículas, = dAldt A es el momento de todas las fuerzas externas con respecto al eje y O es el momentum angular to-

donde

tal con respecto al eje. Como

9.18.

O:

Iútporelp¡oblema9.l6,

¡ = fiO.l = I# =

ür.

Demostrar el principio de la conservación de la energía para un cuerpo rígido que rota con respecto a un eje fijo (teorema 9.7), siempre y cuando que las fuerzas que actúan sean conservativas. El principio de la conservación de la energía se aplica a cualquier sistema de partículas en que las fue¡zas que actúen sean conservativas. De aquí que en particular se aplica al caso especial de un cuerpo rígido que rota con respecto a un eje fijo. Si T y V son las energías cinética y potencial totales, tenemos entonces

Empleando el resultado del problema

T*V = constante: E 9.15, podemos escribir |It' i

V

:

E.

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

237

TRABAJO, POTENCIA E IMPULSO 9'r9' Demostrar la ecuación (f2) del trabajo realizado al rotar un cuerpo rígido con to a un eje fijo. consideremos la figura 9-4. sea la velocidad angular de un cuerpo o unita¡io en la di¡ección del eje de rotación. El trabajo reilizado po. F

dW

= F.dr = n.fiat = F.vitt =

: ok

donde

k

respec-

es un vector

".

F.(oxr)dú

= (rXF).odú = A.odt = Lod,t = A=Ak, o=rk y o: d\/dt.

Ld¿

en los dos últimos pasos empleamos

9'2o.

Demostrar la ecuación (rJ) de ra potencia desarrolada.

: o, ?=dwldt=Ade/dt=Lo

Del problema 9.19 y del hecho que d0 /dt

9.21.

Demostrar el teorema g.g.

,",rurrl".tt-ot

L=Ido/dt

Trabajo realizado

9'22'

asÍque

odt,

no, = f'" ,ff,., = -ft' _ +16l ue, 2--z Jr, clt - = J^, f"" rro, = tlr?

Demostrar el teorema g.9: angular.

?tz I ut,

9'23'

A= I&¡/dt, Entoncesdelproblemag.lgydelhechoque d0:

El impulso angular es igual al cambio del momentum

Lat = Jt,(,|

dO dt

-

=dt

= oz_or

Demostrar el teorema 9.10 de la conservación del momentum angular si el momen-

to de fuerza neto es cero.

Del problema 9.22, si A = 0 entonces O2

_ O1.

EL PENDULO COMPUESTO

9.24.

Obtener la ecuación de movimiento (17), de un péndulo compuesto. Método l. Supongamos que el plano vertical de vib¡ación es eI ry (figura 9-24) en donde el eje z que pasa por el ori_ gen O es el eje horizontal de suspensión.

plano

Sea a el vecto¡ de posición de C con relación a 0. Co. mo el cuerpo es rígido, I a | : o es constante y es la distan.

ciaent¡e Oy

C.

La única fuerza erte¡na que actúa sobre el cuerpo es su

peso Mg : - MSi que actúa verticalmente hacia abajo. Por tanto, tenemos

A = = donde

k

momentototalexternoconrespectoaz

aX Mg

es un vecto¡

- -arfgj

=

aMg

sene

k

(f)

Fig.9-24

unitario en la dirección z positiva (hacia afuera del plano del papel, hacia el lector).

También la velocidad angular instantánea

es

¿le' o = -ak = -EK = -'¡r luego si Iq es el momento de inercia con respecto al eje z

\2)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

238

O=

momentum angular con respecto

Sustituyendo de (I) y (2) en

La fuerza MS

: -

MCj

eje

e

z = Io¡ = -foák

A = dA/d't,

oMssenek Mótodo 2.

al

lcAP.

es

.1

= h_Iobil

í+ff""nc = o

o

(3)

conservativa, entonces la energía potencial V es tal que

= -Mci

-vv = -{t-#t-#*

.

#=0,#=Mg, #=o

V = Mga I c = -Mgacosc * c

endonde ya que y : -o

V)

cos0. Esto se pudo haber observado directamente debido a que de C por debajo del eje r que se toma como nivel de referencia. Según el problema 9.15, la energía cinética de rotación de la conservación de la energía conduce a

T+V

es

= lloiz-Mgacoae =

{1so2

y : -¿

cos0 es la altura

= +Io;)2, Entonces el principio

constante

= E

(5)

Diferenciando la ecuación (5) con respecto a ú,

+ Msa*ne á = o fsT+ futgo sen, = 0 como se requiere' Ioi-'r.

o,como inoesigualacero,

9.26.

Demostrar que para pequeñas vibraciones el péndulo del problem a 9.24 tiene período

P

:2"\/Wm.

Cuando las vibraciones son pequeñas podemos hacer la aproximación sen

del movimiento se convierte en

:

0, entonces la ecuación

'i+M!o, = o I6

(1)

Por tanto, como en el problema 4.23, encontramos que el período es P

9.28.

C

: 2,t/7Wá'

Demostrar que la longitud I de un péndulo simple equivalente al péndulo compuesto del problema 9.24 es

I:

Io

/Ma.

La ecuación del movimiento correspondiente a un péndulo simple de longitud I suspendido verticalmente de O es (véase el problema 4.23, ecuación (2))

ü+f.""e = 0 Comparando esta ecuación con (/) del problema 9.25 vemos que I

:

(l) Io/Ma.

MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO g.27. Demostrar el principio del momentum lineal, teorema 9.12, en el movimiento general de un cuerpo rígido en el plano. Se demuegt¡a inmediatamente del teorema conespondiente de sistemas de partículas (teorema ?.1) debido a que los arerpos rígidos son casos especiales.

9.28.

Demostrar el principio del momentum angular, teorema 9.13, en el movimiento general de un cuerpo rígido en el plano. Se demuestra

que los cuerpos

inmediatamente del teorema correspondiente de sistemas de partículas (teorema 7.4), ya

ígidos

son casos especiales.

cAP. ei

9.29.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

239

Un cilindro sólido de radio a y masa M rueda sin deslizarse por un plano inclinado de ángulo a. Demostrar que la aceleración es constante e igual a tg sen c. Supongamos que inicialmente el cilindro está en contacto con el punto O del plano y que después de un tiempo t el cilind¡o ha rotado un ángulo c (figura 9-%).

Las fuerzas que actúan sobre el cilind¡o en el instante t son: (i) el peso Mg que actúa verticalmente hacia abajo en el centro de masa C; (ii) la reacción R del plano inclinado que actúa perpendicularmente al plano; (lli) la fuerza de rozamiento f que actúa hacia ar¡iba en Ia dirección del plano.

ü

Fig.9-25

Escojamos el plano ry como el plano en el que se efectúa el movimiento, en donde el eje sitivo hacia abajo del plano y el origen en O.

Si r es la posición del centro de masa en el instante momentum lineal,

r

se toma po-

por el principio de la conservación del

ú, entonces

Mí = Mg*R tf Pero g

:

g senai

- gcosaj,

(r)

: ftj, f : - fi.Portanto(I)puedeescribirse M2; = (Mg sena - /)i + (R - Mg cosa)i R

e)

EI momento externo total con respecto al eje horizontal que pasa por el centro de masa es

A = |xMg +0xR+CBxf

= CBxf F (-oj)x(-/i) = -aÍk

El momentum angular total con respecto al eje horizontal

(J)

que pasa por el centro de masa es

a = Ico = /c(-;k) = -Ici)k

(4)

donde fs es el momento de inercia del cilindro con respecto a este eje.

Sustituyendo (3) v (a) en

A = clo/d.t,

encontramos -alk - -IcTk o Isl; = of . r : ¡i * yj en (2), obtenemos Mt = Mgsena-f, (5) MÜ = R-Mgcosa Ahora, si no hay deslizamier¡to, x : aC o 0 : x/a. Del mismo modo, como el cilind¡o pe¡manece sobre el plano inclinado, Í : 0; pot tanto, de (5), n : Mgcos a. Empleando 0: x/a en I-"?i: o¡f, tenemos f : Ic'i/a2. Delproblemag.4, Ic: iMa2. Entonces sustituyendo f : ItM'; en la primera ecuación de (5), obtenemos i : lg sen o como se requería.

Usando

9.3O. Demostrar que en el problema 9.29 el coeficiente

de rozamiento debe ser por lo menos

I tan a. El coeficiente de rozamiento es p: l/R. Delproblema9.29tenemos

miento p debe ser por lo menos

9.31.

f : iMí: trMgsena y R: /R : I tan a.

Mgcosc. Luegopa¡aquenohayadesliza-

f

)

Hacer el problema 9.29 si el coeficiente de rozamiento entre el cilindro y el plano inclinado es p. (ó) Discutir el movimiento para diferentes valores de p. (o

(¿)

En la ecuación (5) del problema 9.29 sustituimos

/:

pR

-

pj/'/gcosd y obtenemos

.? - g(sena-pcosa) Observamos que en este caso el centro de masa se mueve de la misma forma que una particula que desciende por el plano inclinado. Sin embargo, el cilindro puede tanto desliza¡se como rodar.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

240

La aceleración al ¡odar

""

o'i = I = tC

La aceleración debida al deslizamiento

es

a2pllIg cosa

tMo'

tr-ae

=

lcAP.

e

2Fg cosa.

= g(senc

-

3p cosc).

(ó) Si (seno- Spcosa) > 0, esdecir, p < jtana, entonceshaydeslizamiento. Si (senc - 3pcosc) S 0, es decir, p 2 |tana, entonces hay rodamiento pero no deslizamiento. Estos resultados son consistentes con los del problema 9.30.

9.32.

Demostrar el principio de la conservación de la energía (teorema 9.14). Se dernuest¡a del teorema correspondiente de un sistema de partículas (teorema 7.7). La energía cinética total ? es la suma de la energía cinética de traslación del cent¡o de masa más la energía cinética de rotación alrededor del centro de masa. esto es,

T - lmiz*llso2 Si Ves la energía potencial, entonces el principio de la conse¡vación de la es constante,

9.33.

T*V = $mlz+ll¿o2-tV =

energía establece que

si E

E

Hacer el problema 9.29 aplicando el principio de la conservación de la energía. La energía potencial está compuesta de la energía potencial debida a las fuerzas externas (en este caso

la gravedad) y la energía potencial debida a las fue¡zas inte¡nas (que es una constante y puede omitirse). Tomando como nivel de referencia la base del plano y suponiendo que inicialmente la altura del centro de masa es H y que en cualquier instante t es h, tenemos

+Mi2+llsoztMgh = MgH o remplazando H- h: ¡seno y iz=iz+ú'=;t' como!-0, +Miz+*Icrz - Mgrsena Sustituyendo ,¡ = ó = i/a y I" : lMa2, encontramos i, - tg, sena. Diferenciando a ü obtenemos 't =fiosena o 2iü={o&un"

con respecto

CENTRO INSTANTANEO. CENTRODES ESPACIAL Y DEL CUERPO 9.34. Encontrar el vector de posición del centro instantáneo de un cuerpo rígido en mou vimiento paralelo a un plano fijo dado. Escogemos el plano

plano fijo y el plano

XY de la figura

g-26 como el

ry fijo al cuerpo rígido (.

y que se mueve con é1. Supongamos que el punto P del plano ry (que puede estar o no en el cuerpo rígido) tenga vectores de posición R y r con respecto a los planos y xy. Si v y v¡ son las velocidades respectivas de P y A relativas al sistema XY

XY

v=vA * ¡Xr = v¡ * ox(B-B¡)

(1)

R¡ es el vector de posición de A ¡elativo a O. Si P es el centro instantáneo, entonces v : O luego

donde

ox(B-B¡) = -v¡

e)

Multiplicando ambos lados de (2) por . X como se indica y usando (7), o{o' (R - R¿)} - (R -

Fig.9-26

B¡X"' t) = -.

a R - R^, se trasforma en (R-R¡)o2 = oXvA o R=

X ve

Entonces como ó es perpendicular

Re*a+

(3)

cAP. el

9.35.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

241

Un cilindro se mueve sobre un plano horizontal. Hallar: (o) el centrode espacial, (ó) el centrode del cuerpo. Discutir el caso en que haya deslizamiento. (o) El movimiento

general conesponde al caso en el

cual el cuerpo rueda y se desliza. Supongamos que el cilindrc se mueve hacia la derecha con velocidad v¡ (la velocidad de su cent¡o de masa) y está ¡otando alrededo¡ de A con veloci_ dad angular o. Ya que ó : -ok y v¡ : u¡i, tenemos -outi así que (3) del problema

o X vi :

9.34 se convierte en

)i R=R¡-j-:.o..=Ro-fj (,na

1)

t Fig.9-27

En forma de componentes,

Xi +

Yj = Xti *

ai

- @t/u)i

o

X = X* Y = a-a¡/o

Así el centro instantáneo está localizado verticalmente arriba del punto de contacto del cilindro con el plano y a una altu¡a a - ut/o sob¡e é1.

Entoncés el centrode espacial es una línea paralela al plano ho¡izontal y a una distancia ¿sob¡e éste. Si no hay deslizamiento, entonces uA : a6 y el centrode espacial es el eje X mientras que el centro instantá¡reo es el punto de contacto del cilindro con el eje X.

u^/o

(ó) El centrode

del cuerpo está dado por lrl : uo/t, o un círculo de ¡adio uo/o. En caso de que no haya deslizamiento, Do : ao y el centrode del cuerpo es la ci¡cunfe¡encia del cilindro.

9.36.

Hacer el problema 9.29 usando el centro instantáneo. Según el problema g.35, si no hay deslizamiento entonces el punto P de contacto del cilind¡o con el plano es el centro instantáneo. El movimiento de p

es paralelo al movimiento del centro de masa así que podemos usar el resultado del problema ?.g6(c).

El momento de inercia del cilindro con respecto a P, según el teo¡ema de los ejes paralelos,

Ma2

es trMa2 I al eje ho-

NMa2. El momento con respecto rizontal que pasa por p es Mga sen a. Así

-

r'*:':;,:::*"' d

"

d = sen, 3.: Ya que x : a0, la aceleración es ü= |0sene,

Fig.9-2E

ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO 9.37. Una escalera de longitud I y peso lZ¡ tiene un extremo contra una pared vertical sin rozamiento y el otro extremo sobre el piso, que suponemos es horizontal. La escalera forma un ángulo d con el piso. Demostrar que una persona de peso IV_ podrá escalar sin que la escalera se deslice si el mínimo coeficiente de rozamiento ¡¡ entre la escalera y el piso

""

ffiffi

"ot,.

Representemos la escalera por AB en la figura 9_2g y seleccionemos un sistema de coo¡denadas ¡y como se indica.

Fis.9.29

lcAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

242

e

se deslice corresponde a cuando la persona está en el extremo en este caso que la escalera debe estar en equilibrio. en cuenta tene¡ tanto, debemos Por superior de ella.

La situación crítica para que la escalera

: Rri de la pared; (ii) el peso en el centro de graveconcent¡ado de la escalera (iii) peso Tf, persona; el = -Wí de Ia dad C; (iu) la reacción R, : Rzj del piso; (u) Ia fuerza de rozamiento f : 'fi' Las fuerzas que actúan sobre la escalera son: (i) la reacción Rr

W. : W.j

En el equilibrio se requiere que

A=0 donde F es la fueua extema total sobre la escalera y A el momento

(l)

F=0,

extemo total con respecto a un

eje conveniente el cual se tomará como el eje borizonta! que pasa por A y perpendicular al plano ry'

F= st

También,

Br+W-+Wr*&*f = (Rr-fli+(-W^-W*BLli Rt-f =O y -W^-WtIRz=0

0

Q)

(0)xnr + (0)xWn + (AC)xWr + (AB)x& + (AB)xt (0) x (Rri) + (0)x (-W^i) * (|l cos ai - $l senc j)x (-Wd) * (l cosa i - | sena i) x (Rgi) * (t coe qi - lsen a j) x (-/i) = -tlWrcosck * lE2cosak- lfsenak = 0

= ^ =

si

-$W¡cosa*R2costt-/sena

=

(3)

0

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) v (3)' encontramos

f = Rt = (W^*$W¡)cota t

Rz

= lil^*Wt

Entonces el coeficiente mínimo de rozamiento necesario para evitar que se deslice la escalera es

w^* twt f tt = 4 = fillficota

PROBLEMAS VARIOS g.88. Dos masas mt y mz se unen mediante una cuerda inextensible de masa despreciable la cual pasa sobre una polea sin rozamiento de masa M' radio a y radio de giro K la cual puede rotar con respecto a un eje que pasa por c y es perpendicular a la polea. Discutir el movimiento. Escojamos los vectores unitarios i y j en el plano de rotación como se muestra en la figura

9-30.

aceleración de la masa Si representamos entonces la aceleración de la masa mz es -Ai,

la

Aj, se

m¡

por

Escojamos las tensiones Tr Y T: en Ia cuerda como indica en la figura. De acuerdo con la segunda ley de Newton,

mtAi - T1 *

-m,Ai = Así o

Tz

*

m1g

= -Tti*múi

rn2g

=

= t1\! - Ty Tt = mlg-Al,

m1A

-Tr1

* m2Pi

= Tz-nzg T, = m"(g * A\

m2A

(r) QI (3)

V)

El momento externo total con respecto al eje que pasa por C es A = (-oi) x (-rri) + (oi) x (-fd)

Fis.9-30

=

a(T1- T2lk

(5)

El momentum angular total con respecto a O es

O=fco=lcr¡k=Icilk Ya que

l, = d0/dt,

determinamos de (5)

y

(6)

(6)'

a(Tt- Tzl = Ici = MIP'|

(7)

CAP.

9I

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

243

Si no hay deslizamiento sobre la polea, también tenemos (8)

Usando (8) en (7),

(e)

Usando (a) en (9),

(10)

Entonces las masas se mueven con acele¡ación constante cuya magnitud está dada por (10). Nótese que se reduce al problema 8.22.

si M : 0 el resultado (I0)

9.39.

Determinar el momento de inercia de una esfera sólida con respecto a un diámetro. Sea O el cent¡o de la esfera y AOB el diámetro con ¡especto al cual se toma el momento de inercia (figura 9-31). Dividimos la esfe¡a en discos tales como enS?e perpendiculares a AOB y con centro sobre AOB en P. Tomamos el ¡adio de la esfe¡a igual a

a, Op:

z,

SP : r y el espesor del disco igual a dz. Entonces, según el problema 9.4 el momento de inercia del disco con respecto a AOB

es

l2(rr2o d,z)rz

- $to/ dz

(I)

Del triángulo OSP, r2 : a2 - 22. Sustituyendo en (I), el momento de ine¡cia total es

I -

fa

| Jt=

-o

-ln"(a2

-

z2)2

Fig.9-31

dz = ftroas

(2)

La masa de la esfe¡a es

M = )

/4

ro(o2

-

z2)

dz = f,raso

(J)

,;;"ndo en cuenta que el volumen de la "b,.""r, (3) : y tenemos I/M taz o I : lMaz.

resultado que habríamos podido

De (2)

esfera es fza8.

9,4O. Un cubo de lado s y masa M

se suspende verticalmente de uno de sus lados. (o) Demostrar que el período para pequeñas oscilaciones es P : 2r{2V;nE. (b) ¿Cuál es la longitud del péndulo simple equivalente?

(

o)

Ya que la diagonal de un cuad¡ado de lado s tiene una longitud \/T# : sVZ, la distancia OC desde el eje O hasta el centro de masa es |sVZ.

El momento de inercia f de un cubo con respecto a uno de sus lados al de una placa cuadrada con respecto a un lado. Entonces según

es igual

el problema 9.6,

1:

áM(s,

*

s2)

:

?Ms2.

De acr¡erdo con el problema 9.25, el período para pequeñas oscilaclones es,

P= (ó)

2¡

Por el problema 9.26, la longitud del péndulo simple equivalente es

|= 9.4I.

r,[eM'Wc$'$n = ztw\/ilsc lMsz/[MQ¿"{l¡]

=

fri/2

Fig.9-32

e

Demostrar el teorema 9.11: El período de pequeñas oscilaciones de un péndulo compuesto es mínimo cuando la distancia OC : o es igual al radio de giro del cuerpo con respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de masa. Si Is es el momento de ine¡cia con respecto al eje del centro de masa e

^fe

el momento de inercia

con respecto al eje de suspensión, entonces de acuerdo con el teorema de los ejes paralelos tenemos

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

244

lcAP.

I

Io = IcIMoz Entonces el cuadrado del período para pequeñas oscilaciones es

4¡2In P2=Er;= donde

Ki = Ic/M

es el cuadrado del

Ic , \ 4r2/K3 = o\"*") \ c\M"*")

4¡2/

radio de giro con respecto al eje del centro de masa.

Derivando P2 con respecto a o e igualando a cero, obtenemos

f,

üe\ = 4(-4*r\ T\--a*,,

de donde

a : Kc. Se puede demostrar

=

o

que es uh mínimo ya que d'(P2)/da'z

<

0. Así el teorema

queda demostrado. El teorema también es válido aunque no se supongan pequeñas las oscilaciones. Véase el problema 9.147.

9.42.

Una esfera de radio o y masa m reposa en la parte superior de una esfera rugosa fija de radio b. La primera esfera se desplaza ligeramente de su posición de manera que rueda sin deslizarse hacia abajo sobre la segunda esfera. ¿En qué punto abandonará la primera esfera a la segunda? Escojamos el plano ry tal que pase por los centros de las dos esferas, de modo que su origen O coincida con el centro de la esfe¡a fija O (figura 9-33). La posición del centro de masa C de la primera esfera está localizado por un ángulo 0, y supongamos que el cent¡o de masa C con respecto a O está localizado por el vector de posición r. Sean rr Y 0r vectores unitarios como se indican en la figura 9-33. en sus comDescomponiendo el peso W : ^gi (compaponentes en las direccion€s r¡ ] C¡ tenemos re con el problema 1.43)

W = (W.r1)r1+(W.rr)rr tt - fng CoS, ,l La fuerza de reacción es N : Nr¡ y la de rozamiento f : fCt Usando el teorema 9.12, junto = -rng

sen C

con el resultado del problema 1.49, tenemos

F=

rnL

Fis.9-39

= mÍ(; - r'ezlr, + 1rT + Zíó¡e = W+N+f = (N - mg send)r, + (f - mg cosorCr ,1

m(ri+Z|ól = f -mgcosl m('i-r'ez¡ = N-mgsenc, delocual Yaque r: a * b (distanciade Ca O),estasecuacionesseconvie¡tenen m(a|bl'i = f -mgcose -rn(a+b)'c2 = N-tngsenc,

(l)

Ahora aplicamos el teorema 9.f3. El momento total externo de todas las fue¡zas con respecto al centro de masa C es (ya que W y N pasan por C),

A = (-orr)xf

= (-or1)x(/Cl) = -alk

También, la acele¡ación angular de la primera eslera con respecto a C

es

d2,

d = -f*to+vlu = -tii+ülr Ya que sólo rueda y no desliza, el arco AP es igual al arco BP (b/al("/2 - d), así que

o bó : orl,.Entonces

o = -(t+ü)k = -(-r-*o)n

=

/ a + b\..-

\ " )'"

Q=r/2-c y 9=

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

245

Como el momento de inercia de la primera esfe¡a con ¡especto al eje horizontal de rotación que Fasa po¡ C es I : lmaz, tenemos por el teorema g.13,

A.

= Iq,

Usando este valo¡ de

/ en la

-úfk =

segunda ecuación de

Multiplicandoa ambosladospor

o

g: ¡/2,

o

*n"r(ff);x (I),

| = -lm(o*eT

encontramos

6s cosr A - - TGTTI ^^^^

i

(2)

e integrando,despuésdeusa¡lacondicióndeque

encontramos

iz = =lg;t (1 7(¿ * ó) .- -

sen

í:0

en

e)

ú:0 (3)

Usando (3) en la primera de las ecuaciones (I ) obtenemos N : I*C G7:sen , - | 10). Entonces la primera esfera abandona a la segunda esfera cuando N : 0, esto es cuando d sen- Lo/17.

Problemas propuestos CUERPOS RIGIDOS

9.43.

Demostra¡ que el movimiento por el cual la región f( lle_ ga a la región j(, de la figura 9-34 puede hace¡se por me. dio de una t¡aslación más una ¡otación con respecto a un eje conveniente.

9.44.

Hace¡ el problema 9.1 haciendo primero una traslación del punto A del triángulo ABC.

9.45.

Si 4,, Ar,

A¿ r€p¡esentan las ¡otaciones de un cuerpo rígido con ¡especto a los ejes x, y y z respectivamente, ¿secumple la ley asociativa, esto es, es A, + (A, + A")

: (A' + A") + A,? Justificar la

respuesta.

Fis.9-M

MOMENTOS DE INERCIA

9.46.

Trespartículasdemasass,Sy2estáncolocadasenlospuntos(-1,0, 1),(2,-1,3) y (-2,2,L),respectiva-

mente. Encont¡ar: (o) el momento de inercia, y (ó) el radio de giro con respecto al eje r. Resp. 7I 9'47

'

9'48'

Encontrar el momento de inercia del sistema de particulas del problema 9.46 con respecto: (a) al ejey, (ó) al eje z. Resp. (a) 81, (b) 44 Determinar el momento de inercia de una va¡illa uniforme de longitud I con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por: (o) el cent¡o de masa, (b) un extremo, (c) un punto que d,ista t/4 de un extremo. Resp. (a)

#MIr,

(b, +M12, (c)

tÚt2

9'49'

Dete¡mina¡ el: (o) momento de inercia, y (b) radio de giro de un cuadrado de lado a con respecto a una diagonal. Resp. (a) #Mot, (A) t"y'5

9'5O' 9'51'

Determina¡ el momento de ine¡cia de un cubo de arista con ¡especto a una arista. Resp. !Ma2 Dete¡mina¡ el momento de inercia de una placa rectangular de laios o y ó con respecto a una diagonal. Resp. fMazb2l(az + b2')

9'52.

Determinar el momento de ine¡cia de un paralelogramo de lados a y b que forma un ángulo c, con respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro. Resp. *M(o" + ó2) sen2 o

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

246 9.53.

Determina¡ el momento de inercia de un cubo de lado o con respecto a una diagonal.

9.54.

Determina¡ el momento de inercia de un cilindro de radio a y altura h con respecto a un eje paralelo al eje del cilindro y a una distancia b de su cent¡o. Resp. trM(a2 * 2b2)

9.55.

Un sólido de densidad constante está formado por un cilindro de radio a y altu¡a h y un hemisferio de ¡adio o como se muest¡a en la figura 9-35. Determinar el momento de inercia con respecto a un eje vertical que pasa por sus centros. Resp. M(2a3 + l5a'h)/(10¿ * l5h)

9.56.

9.5?.

lcAP.

9

T I

h I

_l_

Hace¡ el problema 9.55 si el cilind¡o se remplaza po¡ un cono de ¡adio o y altura h.

Dete¡rninar el momento de inercia de una región sólida uniforme li-

mitada por el paraboloide cz : x2 I y2 y el plano z : h Resp. IMch respecto al eje z.

con

Fie.9-35

definir el momento de inercia de un sólido con respecto a: (o) un punto? (b) un plano? ¿Tienen significado fisico estos resultados? Explicar.

9.58.

¿Cómo puede

9.59.

Usar las definiciones del problema 9.58 para determinar el momento de inercia de un cubo de lado o con respecto a: (¿) un vértice, y (b) una cara. 8esp. (o) Ma2, (b) trMa2

ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULAR 9.60. Una varilla uniforme, de longitud 2 pies y masa 6 lb, rota con velocidad angular de 10 radianes por

se-

gundo con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro. Determinar la energía cinética

de

rotación. Resp. 100 p2 lb/segz.

9.61.

Hacer el problema 9.6O si el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por uno de sus ext¡emos. Rcsp. 400 p2 lb/seg2.

9.62.

Un disco cilíndrico hueco de radio ¿ y masa M rueda por un plano horizontal con rapidez u. Determinar Resp. Mu2 la energía cinética total.

9.63.

Hacer el problema 9.62 para un disco cilíndrico sólido de radio

9.64.

Un volante que tiene un ¡adio de giro de 2 metros y masa

9.65.

Encontra¡ el momentum angular de: (o) la varilla del problema 9.60, (ó) el volante del problema Resp. (c) 5 p2 lb,/seg, (ó) 200 m2 kg/seg

9.66.

Probar el resultado: (o) del problema 9.15, (ó) del p¡oblema 9.16, usando integrales en lugar de sumato'

o.

Resp. lMu2

10 kilogramos

rota con velocidad angular de

5 radianes,/seg con respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su cent¡o. Encontrar la energÍa cinética de rotación. Besp. 1000 julios 9.64.

r¡as.

9.67.

Hallar un "teorema de ejes paralelos" de: (a) la energía cinética, y (b) el momentum angular y explicar el significado fisico.

MOVIMIENTO DE UN CUERPIO RIGIDO. PENDULO COMPUESTO. TRABAJO, POTENCIA E IMPULSO 9.68. Una fuerza de magnitud constante Fo se aplica tangencialmente a un volante que puede rota¡ con respecto a un eje fijo perpendicular a él y que pasa por su centro. Si el volante tiene un radio a, radio de giro K y masa M, demostrar que la aceleración angular está dada por Fsa/MK2'

9.69.

angular oq ¿Cuánto tiempo trascurre antes de que el volante del problema 9.68 alcance una velocidad

si parte del reposo? Resp. MK2o¡/Fsa

cAP. el

S'7O.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

247

Suponiendo que el volante del problema 9.68 parte del reposo, encontrar: (o) el trabajo total realizado, (ó) la potencia total desarrollada, y (c) el impulso total aplicado para adquirir la velocidad angular @0. Resp. (a\ *MKr&o, (b) F¡ao¡ @) MI?os

g-71.

Hacer: (o) el problema 9.6E, (b) el problema 9.69, y (c) el problema 9.70, si Fo tro, K : 0,5 metros, M : 20 kilogramos y oo : 20 radianes,/geg. Resp. (a) 2tad/seg2; (ó) 10 seg; (c) 25Ojulios, 200 julios,/seg, 100newton seg

s'72'

Determinar el peúodo de vibraciones pequeñas para un péndulo simple suponiendo que la cue¡da que sostiene la masa m

se

remplaza por una varilla uniforme de longitud I y masa

10

newton, o

Resp. 2n

: I me-

2(M

Ilm\l

W,4

+r^)s

9.73.

Discutir los casos: (a)

S'74'

Una placa rectangular, con lados de longitud a y b, cuelga verticalmente del lado de longitud o. (o) Determinar el período para oscilaciones pequeñas, y (b) la lóngitud del péndulo simple equñalente. Resp.

M:

M.

:

0, V (b) m

: 0 en el problema 9.72.

(a) zTVZFBEI $) tb

9'76'

Una esfe¡a sólida uniforme de ¡adio ¿ y masa M se suspende verticalmente de un punto sobre su supe¡ficie' Encont¡ar: (a) el peíodo para oscilaciones pequeñas en un plano, (b) la longitud del péndulo simple equivalente. Resp. (a) 2*yTl6g, ft) 7a/5

9'76'

Un yo-yo se compone de un cilindro de

80 g

de masa alrededor del cual se enrolla una cuerda de 60 cm de

longitud. Si el extremo de la cuerda se mantiene fijo y el yo-yo se deja caer verticalmente, partiendo del relDso' determina¡ su rapidez cuando llega al extremo de la cuerda. Resp. 2t0 cm/seg

9-77,

Encontrar la tensión en la cuerda del problema

9.78.

un disco cilíndrico

g.76.

Be.sp. 19.600 dinas

hueco de masa M que se mueve con rapidez constana un plano inclinado de Angulo a. Demostra¡ que si no hay deslizamiento llegará a una distancia a2r/(g sen o).

tc u6 llega

9.79. si el disco hueco del problema g.7g se remplaza por un disco sólido, ¿a qué altura llegará? Resp. g u2o/6C sen a). gao. En la figura g-36 se muestra una polea sin rozamiento de 0,2 metros de radio y 0,1 metros de radio de giro. ¿cuál es la aceleración de la masa de 5 kg? Resp. 2,45 m/seg2

5kg

Fig.9-36

CENTBO INSTANTANEO. CENTRO}ES ESPACIAL Y DEL CUERPO Una escalera de longitud I se mueve en tal forma que uno de sus extremos está sobre una pared vertical y el otro sobre el piso horizontal. Encont¡ar: (a) el centrode espacial, (b) el centrode del cuerpo.

g'Er'

Resp. (a) Un círculo de radio I con centro en el punto O donde el piso y la pared se unen. (b) Un cfrculo cuyo diámetro es la escalera

9.42.

Una varilla de longitud AB se mueve en tal forma que permanece en contacto con el extremo superior de un poste de altura h rnientras su pie I se mueve sobre la línea horizontal CD (figura 9-3?). Suponiendo que el moviniento es en un plano, determinar el cent¡o instantáneo.

9.83.

¿Cuál es el: (o) centrode del cuerpo? y (b) centrode espa_ cial en el problema 9.82?

9.84.

Hacer los probtemas 9.82 y g.g3 si el poste se remplaza

un cilindro fijo de radio

por

o.

C

Fig.9-37

ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO

9'86'

Una escale¡a uniforme de peso t7y longitud J tiene su parte euperior cont¡a una pared lisa y su pie sobre un piso que tiene coeficiente de rozamiento p. (a) Encontrar el menor ángulo o que la escalera puede hacer con la horizontal y permanecer en equilibrio. (ó) haber equilibrio si p : 0? Explicar. ¿Puede

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

248

tcAP.

e

9.86.

Hacer el problema 9.85 si la pared tiene un coeficiente de rozamiento ¡¡.

9.87.

En la figura 9-38, AB es una ba¡ra uniforme de longitud I y peso lrfl que está soportada en C. Se colocan pesos W¡ en Ay W2 en D en tal forma que AC : a y CD: ó. ¿En qué punto debe colocarse un peso Wa para que el sistema esté en equilibrio?

wr ws

w,

D nc AADB

c

f-l

D

Fig.9-39

Fig.9-3t

9.88.

Una placa delgada de forma triangular y uniforme cuelga desde un punto fijo O por medio de las cuerdas OA, OB y OC de longitudes a, b y c respectivamente. Demostra¡ que las teneiones 71, T2 y Ts en las cue¡das son tales que T1/a: T2/b: Ts/c.

9.89,

Una tabla uniforme AB de longitud I y peso I;f se apoya en los puntos C y D que distan o de A y b de8, respectivamente (figu¡a 9-39). Determinar las respectivas fuerzas de ¡eacción en C y D.

9.9O.

En la figura 9-4ll., OA y OB son va¡illas unifo¡mes que tienen la misma densidad y que están unidas en O así que AOB forma ángulo recto. El sistema se soporta en O tal que AOB pstá en un plano vertical. Encontrar los ángulos a y p para que haya equilibrio. Resp. a: tan- | (a/b), fl : r/2 - ,^n- r (a/b)

Fis.9-40

PROBLEMAS VARIOS

9.91.

Un cilindro ci¡cular tiene ¡adio ¿ y altura h. Demostrar que el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular al eje del cilind¡o y que pasa por el centroide es $M1h2 * 3c2).

9.92.

Demostrar que el efecto de una fue¡za sobre un cuerpo ígido no cambia si Ia fuerza se desliza a lo largo de su línea de acción.

9.93.

Un cilindro de radio o y radio de giro K rueda sin deslizarse hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c y de longitud l. Si el cilindro parte del reposo en Ia parte superior del plano inclinado, demostrar que

cuandollegaalapartemásbajadelplanolarapidezse¡Affi. 9.94.

A un cilindro que reposa sobre la parte superior de un cilindro, fijo se le aplica un pequeño desplazamiento en tal fo¡ma que rueda sin deslizarse. Determina¡ en qué punto abandona al cilindro fijo. Resp. 0 : sen- | 4h donde 0 se mide como se indica en la figura 9-33

9.96.

Hace¡ el problema 9.42 si se aplica a la esfera una velocid.¿d uo.

9.96.

Hace¡ el problema 9.94 si al cilind¡o se aplica una rapidez inicial uo'

g.g7.

Una esfera de radio o y radio de giro K con ¡especto a un diámetro rueda hacia abajo sin deslizarge sobre un plano inclinado un ángulo a. Demostrar que desciende con una acele¡ación constante dada por (go2 sen o)/(a2 * K2).

9.98.

Hacer el problema 9.97 si la esfe¡a es: (o) sólida, (ó) hueca y de espesor despreciable. Resp. (o) f/ sen o, (ó) *g sen

"

9.99.

Una esfera hueca tiene radio interior o y radio exterior b. Demostra¡ que si M es su masa, entonces el mo' mento de inercia con ¡especto a un eje que pasa po¡ su centro es

* * z"( aa 1 a8ba2*obIb2 a2b2

Discutirloscasos enque b

: 0Ya:

b.

¿bs

*

ü4\

-l

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

9.lOO.

Bloques de madera de la misma forma rectangular ee colocan uno gobre ot¡o como se indican en la figu_ ra 9-41. (o) Si la longitud de cada bloque es 2c, demostrar que las condiciones de equilibrio prevalecerán si el (n * l)-ésimo bloque sobrcsale una digtancia má¡ima d.e a/n sobre el n-ésimo bloque donde n : 1,2, 3, . . (ó) ¿Cuál es la márima distancia horizontal a la cual ae puede llegar si más y más bloques se adicionan?

9.l0l.

Hace¡ el problema 9.100 si los .bloques se colocan sobre una esfe¡a de ¡adio .R en lugar de colocarlos sobre una superficie plana como se supuso en ese pro-

249

Fig.9-41

blema.

9.102.

Un cilindro de radio a rueda sobre la superficie interio¡ de un cilindro liso de radio 2a. Demostrar que el período de pequeñas oscilaciones es

2rvTdt!.

9.ro3.

Una escalera de longitud I y peso despreciable reposa con uno de sus ert¡emos cont¡a una pared que tiene coeficiente de rozamiento rr y su otro extremo sobre un piso que tiene coeficiente de rozamiento ¡2. La escalera fo¡ma un ángulo a con el piso. (¿) ¿Cuónto puede subir por la escalera un hombre antes de que ella se deslice? (ü) ¿Cuál es la condición para que la escalera no se deelice indiferentemente de donde el hombre esté colocado? iesp. (¿) pzl(pt I tan al/(ptz I l), (b) tan a ) l/pz

9.104.

Hacer el problema 9.103 si el peso de la escalera no es despreciable.

9.105.

Una escalera AB de longitud I (figura 9-42) tiene su extremo A sobre un plano inclinado un ángulo a y el extremo B sobre una

pared vertical. La escalera está en reposo y forma un ángulo p con el pfano inclinado. Si la pared es lisa y el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento p, encontrar el valor más pequeño de ¡¡ para que un hombre de peso W- pueda eubir por la escalera sin que ésta se deslice. Comprobar su respuesta con el resultado obtenido en el problema g.B?, como un caso especial.

9.fO6. 9.107.

Hace¡ el problema 9.105 si la pared tiene un coeficiente de rozamiento ¡1.

Fis.9-t2

Una varilla uniforme AB con punto fijo en A ¡ota con respecto a un eje vertical formando un ángulo constante c con la ve¡tical (figura 9-49). Si la longitud de la varilla es l, demostrar que la velocidad angular neceearia para que esto suceda €s o - VT! seg "J7TI.

A,

Fig.9-48

Fis.9-¿4

Fig.9-15

9.108.

Un cilindro circula¡ de masa m y radio c se suspende del techo por medio de un alamb¡e como f¡e muestra en la figura g-44. El cilindro se gira un ángulo c6 ! se suelta. Si suponemos que el momen[o es p¡oporcional al ángulo que se ha rotado el cilindro y que la constante de proporcionalidad es tr, demostrar que el cilindro oscila con movimiento armónico simple de peúodo 2ra!ffi.

9.109.

Encont¡ar el peúodo en el problema 9.108 si el cilindro se remplaza po¡ una esfera de radio

Resp.2ra!ñffi

¿.

2ffi

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

IcAP.

e

9.lfO.

Hacer: (a) el problema 9.108, y (ó) el problema 9.109 si el amortiguamiento es proporcional a Ia velocidad angular. Discuti¡lo fi sicamente.

9.lll,

Una viga uniforme, AB, de longitud I y peso l;f/ (figura 9-45) es soportada por las cuerdas AC y BD de longitudes o y ó respectivamente que forman los ángulos c y É con el techo CD al cual las cuerdas están fijas. Si las condiciones de equilibrio prevalecen determinar las tensiones en las cuerdas.

9.112.

En la figura 9-46 la masa m está atada a una cuerda la cual se en¡olla alrededor de una polea fija de masa M y radio de giro K. La polea puede rotar libremente alrededor de O. Si Ia masa se deja en reposo, dete¡minar: (o) la velocidad angular de la polea un tiempo ú posterior, y (b) la tensión en la cuerda.

la

la masa ¡n en el problema 9.112

9.113.

Demost¡ar que gaz/(a2 + K2).

9.f14.

Describi¡ cómo se puede usar el problema 9.112 para determinar el ¡adio de giro de una polea.

9.115.

Una va¡illa uniforme, AB, (figura 9-47) de longitud I y peso !V tiene sus extremos sobre Ia pared OA y el piso OB ambos sin rozamiento. La varilla se desliza partiendo del reposo cuando su pie I| está a una distancia d de O. Demost¡ar que el otro extremo A abandonará Ia pa¡ed cuando el pie B esté a una distancia de O dada po, ¡rftnTaiP .

9,1f6.

Un cilindro de masa 10 lb rota al¡ededor de un eje ho¡izontal fijo que pasa por su centro 5, es perpendicular al cilindro. De una cuerda enrollada alrededor pende una masa de 20 Ib. Suponiendo que la masa parte del reposo, encontrar su rapidez 5 segundos después. Resp. l28p/seg

9.117.

¿Cuál debe ser

acele¡ación de

la longitud

es

Fis.9¿6

Fig.9-47

de una varilla que se suspende de un extremo para formar un péndulo de se-

gundos y que ejecuta pequeñas vib¡aciones en un

plano? ftesp. 149 cm

9.118. Una

esfera sólida y una esfe¡a hueca que tienen igual radio parten ambas del reposo en la parte superior de un plano inclinado un ángrrlo a y ruedan sin deslizarse hacia abajo por el plano. ¿Cuál de ellas llega primero a la parte inferior del plano? Explicar. Resp. La esfera sólida

9.119. Un péndulo compuesto de masa M y radio de giro K

se desplaza con respecto a un eje horizontal en tal forma que hace un ángulo 0s con la vertical y se deja en ¡eposo. Demost¡ar que si el cent¡o de masa está a una distancia o del eje, entonces la fuerza de reacción sobre el eje está dada por

lu^

ffiA{(Kz+2o21

coa. - a2

cog do)2

*

(K2 sen a)2

9.12O. Un paralelepípedo rectangula¡ de lados a, b y c se suspende verticalmente del lado

de longitud o. Determi-

nar el período de pequeñas oscilaciones.

9.121, Dete¡minar el menor coeficiente de rozamiento necesa¡io para prevenir el deslizamiento lar sobre un plano inclinado un ángulo a. Resp. ftan c

de un aro circu-

9.122. Encontrar el período

de pequeñas oscilaciones de una varilla de longitud I suspendida ve¡ticalmente con respecto a un punto que está a * de I de un ext¡emo.

9.f23.

Un sistema de poleas consta de dos discos sólidos de racHos r¡ ] 12 eue están rígidamente unidos uno al otro y que puede rota¡ librenente al¡ededo¡ de un eje horizontal fijo que pasa po¡ el centro O. Un peso 17 se suspende por medio de una cuerda que se en¡olla al disco menor como se muestra en la figura 9-48. Si el radio de giro del sistema de poleas es K y su peso es ¿, encontrar: (a) la aceleración angular con la cual desciende el peso, y (ó) la tensión en la cuerda..

Resp. (a) Wsrtl\ryrz1* wlf¿), (b) Wutl?l(Wrl + uXz¡

9.LZJ.

Una esfera sólida de radio b rueda en el interior de una esfera hueca lisa de radio o. Demostrar que el período de pequeñas oscilaciones está dado por

z,\nG _-bVlA.

Fig.9-4t

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

9.12ó.

Una placa sólida circular y delgada, de radio a se suspende verticalmente de un eje que pasa por una cue¡da AB (figura 9-49). Si hace pequeñas oscilaciones con respecto a este eje, demostra¡ que la frecuencia de tales osci. laciones es máxima cuando AB está a una distancia a/2 del cenbo.

9.126.

Una varilla uniforme de longitud 5l se suspende verticalmente por medio de una cuerda de longitud 2l que tiene su otro extremo fijo. Demostra¡ que

las f¡ecuencias normales para pequeñas oscilaciones en un plano v I f E, !2r rE lóI'2r't

25r

son

Fig.9-49

y describir los modos normales.

c

9.127.

Una varilla uniforme de masa m y longitud I se suspende de uno de sus extremos. ¿Cuál es la mínima velocidad que se le debe dar al ext¡emo libre para que describa un círculo vertical completo?

9.12E. (o) Si la masa

de un péndulo simple es una esfera sólida unifo¡me de radio a en vez de una masa punpequeñas es 2*{TF2fllii. ¿Para qué valo¡ de I el período (o) es mínimo?

tual, demostrar que el período de oscilaciones

(ó) 9.129.

Una esfera de radio o y masa M rueda a lo laryo de un plano horizontal con rapidez constante u6. La esfera llega a un plano inclinado de ángulo a. Suponiendo que rueda sin deslizarse, ¿qué distancia sube por el plano

inclinado?

Resp. Lluf;,/eg

sen

o\

9.f3O.

Demost¡ar que el momento de ine¡cia del toroide sólido de la figura 9-50 con respecto a su eje está dado pot IM(3a2 + 4b2).

9.131.

Un cilindro de masa rn y radio c ¡ueda sin deslizarse hacia abajo sobre un plano inclinado 45', cuya masa es M y está colocado sob¡e una mesa horizontal sin rozamiento. Demostrar que mientras el rodamiento tiene lugar, el plano inclinado se moverá con una aceleración dada por me/@M * 2m).

9.f32.

Hacer el problema 9.131 Resp. (mg sen 2al/(3M

9.133.

*

si el plano inclinado tiene un 2m

-

ángulo c.

Fig.9-50

rn cos 2c).

Encontra¡: (o) la tensión en la cuerda, (ó) la aceleración del sistema que se muestra en la figura 9-51 si el ¡adio de giro de la polea es 0,5 m y su masa 20 kg.

9.134.

Comparar el resultado del problema 9.133 con el que se obtiene suponiendo que la masa de la polea es despreciable.

9.f35.

Demostrar que si el momento erterno neto con respecserá cero con respecto a cualquier otro eje.

to a un eje es cero, entonces también

9.136.

Fig.9-51

Un disco cilíndrico sólido de radio ¿ tiene un hueco de radio b cuyo cent¡o está a una distancia d de! cen-

tro del mismo. Si el disco rueda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c, encontrar su ración (figura 9-52).

Fig.9-52

acele-

Fig.9-58

9.137. Dete¡mina¡ el momento de ine¡cia de la región limitada por la lemniscata 12 : o2 cos 20 (figura 9-53) con respecto al eje r. Resp. Mo2(3r - 8)/8

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

252

lcAP.

e

9.13E.

Encontrar el mayor ángulo de un plano inclinado para que un cilindro sólido ruede sin deslizarse. si el coeficiente de ¡ozamiento del plano inclinado es p.

9.139.

Hacer el problema 9.138 para una esfera sólida.

9.140,

Discutir el movimiento de un cilindro hueco de radio inte¡ior c y radio exterior b si rqeda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo a.

9.141.

El table¡o de una mesa de peso despreciable tiene la fo¡ma de un triángulo equilátero ABC de lado s. Las petas son perpendiculares al tablero de la mesa y están colocadas en sus vértices. Un gran peso Wse coloca sobre el tablero de la mesa en un punto que dista a del lado BC y b del lado A C. Determinar qué parte del peso es soportado por las patas en A, B y C, respectivamente.

n",p. 9.142.

w (t - 2o +-2ü) ), '+, avg avg \ ¡VB /

Discuti¡ el movimiento del problema 9.136 cuando se mueve hacia abajo por el plano inclinado si el coeficiente de ¡ozamiento es ¡.

9.143. Un monte tiene sección trasversal en fo¡ma de cicloide

, =

a(c

*

sen

d), A -- ú(l -

cos

r)

como se indica en la figura 9-54. Una esfera sólida de radio ó que parte del reposo en la parte superior del monte rueda sin desliza¡se hacia abajo. Encontrar la rapidez de su cent¡o cuando llega a la parte

más baja del

monte.

Resp.

ffiE-Qa --61fr

Fig.9-51

9.144.

Hacer el problema 3.108 si la masa y los momentos de inercia, de las poleas se tienen en cuenta.

9.145.

Hace¡ el problema 9.38, si se tiene en cuenta el rozamiento.

9.146. Una varilla

uniforme de longitud I se coloca verticalmente sobre una mesa y se deja caer. Suponiendo que su punto de contacto con la mesa no se mueve, demostra¡ que su velocidad angular en el instante en

que forma un ángulo d con la vertical está dada por

@|Fañ-|VIE

9.147.

Demostrar el teorema 9.11, en el caso de que las vibraciones no sean necesariamente pequeñas. Comparar su resultado con el problema 9.41.

9.f48.

Un cuerpo rígido se mueve paralelamente a un plano fijo determinado. Demost¡ar que sólo hay un punto del cuerpo rígido cuya aceleración instantánea es cero.

9.f49,

Un hemisferio sólido de radio o reposa con su superficie convexa sobre una mesa horizontal. Si el hemisferio se desplaza suavemente una pequeña cantidad, demost¡ar que oscilará con un período igual al de un péndulo simple equivalente de longitud 4c,/3.

9,150. Un cilindro sólido

de rsdio ¿ y altura h se suspende del eje AB como se indica en la figura 9-55. Encontrar el período de pequeñas oscilaciones con

A

respecto a este eje.

9.151.

Demost¡a¡ que una esfera sólida rodará hacia abajo por un plano inclinado un ángulo a sin deslizarse si el coeficiente de rozamiento es por Io menos I de tan o.

9.152.

Encontra¡ el menor coeficiente de ¡ozamiento de un plano inclinado un ángulo c para que un cilindro sólido ruede hacia abajo sin deslizarse. Besp.

I

de tan a

Iüc.0{6

Copítulo l0 Movimiento de cuerpos rígidos en el espocio

MOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO En el capítulo 9 tratamos el movimiento de los cuerpos úgidos referente a una trasiación del centro de masa más una rotación con respecto a un eje que pasa por el centro de masa y perpendicular a un plano fijo. En este capítulo trata¡emos el movimiento general de un.rr"rpi rígido en el espacio. Este movimiento general se compone de una traslación de un punto fijo del cuerpo (usualmente el centro de masa) más una rotación con respecto a un eje que pasa por un punto fijo el cual no necesariamente tiene dirección restringida.

GRADOS DE LIBERTAD

El número de grados de libertad para el movimiento general de un cuerpo rígido en el espacio es 6, esto es, se necesitan 6 coordenadas para especificar su movimiento. Usualmente tomamos 3 de éstas para determinar las coordenadas de un purito del cuerpo (usualmente el centro de masa) y las tres restantes para los ángulos (por ejemplo, los ánlulos de Euler) los cuales describen la rotación del cuerpo rígido con respecto al punto. Si un cuerpo rígido está constreñido en alguna forma, como por ejemplo manteniendo un punto fijo, el número de grados de libertad se reduce de acuerdo con las constricciones. ROTACION PURA DE CUERPOS RIGIDOS Ya que el movimiento general de un cuerpo rígido se puede expresar también en función de la traslación de un punto fijo del cuerpo úgido más la rotación con respecto a un eje que pasa por ese punto, es natural considerar primero el caso de una rotación pura y posteriormente adicionar los efectos de la traslación. Para hacer esto, primero supondremos que un punto del cuerpo rígido está fijo en el espacio. Los efectos de traslación son relativamente fáciles de manejar y se pueden obtener usando el resultado (/0) del capítulo ?.

VELOCIDAD Y VELOCIDAD ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO CON UN PUNTO FIJO Supongamos que el punto O del cuerpo rígido

la figura 10-1 está fijo. Entonces en un instante

fr

de

dado

el cuerpo esta¡á rotando con una uelocidad angular o con respecto al eje instantáneo que pasa por O. Una partícula P del cuerpo cuyo vector de posición rv con respecto a O tendrá una velocidad instantánea v, dada por

v, = i, = oXry

(/

Véase el problema 10.2.

)

Fig.10-l 253

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

IcAP.

10

ITIOMENTUM ANGULAR El momentum angular de un cuerpo rígido, que tiene un punto fijo, con respecto a un eje instantáneo que pasa por el punto fijo es

O = )m,(r,xv,l = )m,{t'x(oxrr} donde früv¡ es la masa de las partículas de R.

Q)

la y-ésima partícula y donde la sumatoria se toma sobre todas

MOMENTOS DE INERCIA Y PRODUCTOS DE INERCIA Escojamos un sistema de coordenadas xyz fijo con origen en O y escribamos

o = o,i+oj+ork,

o=

o,i+"'j+"'¡

(3)

fv = 'vi]-u,j+zk

Entonces la ecuación (2) se puede escribir en forma de componentes como (véase el problema 10.3) I-.u * /rrrrl

e" = Ir".r* llu = Iyrrr* Iuuru*Iur,rl Q. = Ir,r, Il.ru*I-..)

donde

1,,

= 2rn,(ú,+z?), I- = 2m,(z?+r;3), I* = 2m,(ú+u?,\ I"! = -) munuau = I*l Io. : -) m,guz, = I-l

U) (5)

(6)

Iu = -), mrzur, = Ir.)

Las cantidades I", 1"", 1,, se llaman nlotnentos de inercia con respecto a los ejes r' y y z, respectivamente. Las cantidades lrr, I* se llaman productos de inercia' PAra distribuciones continuas de masa éstas se pueden calcular por integración. Nótese que los productos de inercia en (6) se han definido asociándoles un signo menos. Como consecuencia los signos menos se eluden en (4).

MATRIZ O TENSOR DEL MOMENTO DE INERCIA Las nueve cantidades 1", I'", ..., 1", se pueden escribir en un arreglo que con frecuencia se llama una matriz o tensor dado por

(;.

';

\r*

14,

r)

e)

I-l

y cada cantidad se llama un elemento de la matriz o tensor. La diagonal que constituye los elementos 1,,, Iyy, 1," se llama principal o diagonal principal' Ya que

I-= Iy", I".-- Iu, Ivr= I.t

(8)

(7) se llama los elementos son simétricos con respecto a la diagonal principal. Por esta taz6n

matriz o tensor simétrico.

ENERGIA CINETICA DE ROTACION La energía cinética de rotación está dada por (e)

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACTO

101

EJES PRINCIPALES DE INERCIA Se llaman ejes principales de inercia o simpleme nte ejes princípales al conjunto

255

de 3 ejes

mutuamente perpendiculares cuyo origen es O los cuales están /ryos en el cuerpo rotando con él y tienen la propiedad de que los productos de inercia con respecto a ellos son cero. Una propiedad importante de un eje principal (la cual puede tomarse también como una definición) es que si un cuerpo rígido rota con respecto a é1, la dirección de su momentum angular es la misma que la de su velocidad angular. Así

A=It donde

/

es

(10)

url escalar. De lo anterio¡ encontramos (véase el problema 10.6) que

(1,,- I\^" * I-,o, * Ino,

=0

Iy,r,*(Iu-I).yII*'. = 0lI I ua,

* I.o, * (I *- I),r, =

Para que (1I) tenga soluciones no triviales

1,"-I Iw Iu

<.¡¡

:

0, oy

0

:

14 In I'tr-I Iw I4 Io- I

0,

(11)

)

.nz:0,

debe cumplirse

=0

(12)

Esto conduce a una ecuación cúbica en .f que tiene 3 raíces reales I1,I2,I', las cuales se llaman momentos principales de inercia. Las direcciones de los ejes principales se pueden determinar de (11), como se hace en el problema 10.6 por la determinación de la relación a,'x:oy:oz.

Un eje de simetría de un cuerpo rlgido es siempre un eje principal.

MOMENTUM ANGULAR Y ENERGIA CINETICA CON RESPECTO A LOS EJES PRINCIPALES Si llamamos @1,!)2,@s Y Or, Oz, O¡ las magnitudes de las velocidades angulares

y los momenta angulares con respecto a los ejes principales, respectivamente, entonces O,

= /rorr, ar=

Iro*

O,

= fr-,

(r3)

La energía cinética de rotación con respecto a los ejes principales está dada por

T:

f,(Irrzr+ I2r?2+ 18,03)

(14)

la cual puede escribirse en forma de vector como (compare con la ecuación (9))

T-

1¡o'O

(15)

EL ELIPSOIDE DE INERCIA Sea

n un vector unitario en la dirección de o. Entonces

o:

orn

= ,(cosci*cosÉitcosyk)

donde cosd'cosp,cosy sonloscosenosdirectoresdeo onconrespectoalosejesr, Entonces la energía cinética de rotación está dada por

7- tr"

(16)

yy

z.

(17)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

256

I -

donde

* I*cossp + Ir.cos2¡ + 2I ,ycosdcos p + zly"cosp cos.¡ *

I""cos2a

Definiendo un vector P donde

P

=

P'i

*

lcAP. lo

*

Zl".cosc cosT

(18)

(re)

= ^/\/T

"t i.!;r':,i_:; :T_";:';;:.o * 2r u.pup. * 2r..p.p. = |

(20)

Err las coordenadas pr, py, pz la ecuación (20) representa un elipsoide el cual se llama elipsoide de inercia. Si los ejes de coordenadas se rotan para que coincidan con los ejes principales del elipsoide, la ecuación se trasforma en (21) Irpl+ IrpT* Irp? = | donde pL, p2, pa representan las coordenadas de los nuevos ejes.

ECUACIONES DE EULER DEL MOVIMIENTO Es conveniente describir el movimiento de un cuerpo rígido con respecto a un conjunto de ejes de coordenadas que coincidan con los ejes principales fijos al cuerpo y roten con el y @t,@2, @a representan las respectivas componentes de los momentos cuerpo. Si ^r,^2,^B las velocidades angulares a lo largo de los ejes principales, las ecuaciones de externos y de movimiento están dadas por (22)

las cuales con frecuencia

se

MOVIMIENTO LIBRE DE FUBRZAS. LINEA Y PLANO INVARIABLE Supongamos que un cuerpo rígido está rotando con respecto a un punto fijo O y que no hay fuerzas que actúan sobre el cuerpo (excepto la reacción en el punto fijo). Entonces el momento externo total es cero. Por tanto el vector momentum angular O es constante y tiene una dirección fija en el espacio como se indica en la figura 10-2. La línea que indica esta dirección se llama línea inuariable.

Puesto que

la

energía cinética es constante (I5) tenemos

(véase el problema 10.34), de

o. O = constante

Fig.10-2

(23)

Esto significa que la proyección de o sobre O es constante, por tanto el punto extremo de o describe un plano. Este plano se llama plano inuariable. A medida que un cuerpo sólido rota, un observador en reposo con relación a los ejes del cuerpo debe ver una rotación o precesión del vector velocidad angular ó con respecto al vector momentum angular O.

cAP. l0l

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

257

CONSTRUCCION DE POINSOT. POLHODE. HERPOLHODE. CONO ESPACIAL Y CONO DEL CUERPO Como lo hizo notar Poinsot, las ideas an_ terio¡es se pueden interpretar geométrica_ mente como el rodamiento, sin deslizar sobre el plano invariable, del elipsoide de inercia correspondiente al cuerpo rígido. Se llama herpolhode la curva descrita sobre el plano invariable por el punto de contacto entre el plano invariable y el elipsoide (figura 10-B). El polhode es la curva correspondiente sobre

el elipsoide.

A un observador fijo en el espacio le debe parecer que el vector o describe un cono, el cual se llama cono espacial. A un observador fijo en el cuerpo le debe parecer que o también describe un cono el cual se llama cono del cuerpo. Entonces el movimiento se puede des_ cribir equivalentemente co'mo un rodamiento sin deslizar, de un cono sobre el ot¡o. Véase el problema 10.19.

Fig. r0-3

CUERPOS RIGIDOS SIMETRICOS. ROTACION DE LA TIERRA En el caso de un cuerpo rígido simétrico se pueden hacer algunas simplificaciones. En este caso por lo menos dos momentos principaleÁ de inercia son iguales, : d-ig"-o. It Iz, y el elipsoide de inercia es un elipsoide áe revolución. Podemos demostrar (véase el problema 10'17) que el vecto¡ velocidad angular o efectúa precesión alrededor del vector momentum angular f! con una frecuencia

f: donde la constante simetría.

A

es

llIg-/rl, : z"l-T-lA

(24)

la óomponente de la velocidad angular en la dirección del eje de

En el caso de la Tierra, la cual se puede suponer como un elipsoide de ¡evolución ligeramente achatado en los polos, se puede predecir un período de precesión de más o menos 300 días' Sin embargo en la práctica, el período es alrededor de 480 días. La explicación de esta diferencia está en el hecho de que la Tierra no es un cuerpo perfectamente rígido.

ANGULOS DE EULER Para describir la rotación de un cueryo

rí_

gido alrededor de un punto usamos tres coo¡denadas angulares que se llaman óngulos de Euler. Estas coordenadas, denotadas por ó, 0 y ú se indican en la figura 10_4. En esta figura el sistema de coo¡denadas xy z puede trasformarse en el sistema x'y,2, mediante rotaciones sucesivas de ángulos ó, 0 y ú (véase el problema 10.20). La línea OA con frecuencia se llama línea nodal.

z'

Fig.10-4

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

IcAP.

VELOCIDAD ANGULAR Y ENERGIA CINETICA EN FUNCION DE LOS ANGULOS DE EULER Las componentes o)1, ti2, t, s de la velocidad angular a lo largo de los ejes x', !', z', en función de los ángulos de Euler están dadas por

a,,: ol : isendsenú+ásen,¿l ,y, = u2 : isendcosú - i.""g I 6"' = os : 6cosd + i )

10

Y

(%)

La energía cinética de rotación esta dada por 7 = $(Ir.l+12,?+/8.:) donde 11, 12, 13 son los momentos principales de inercia.

(26)

MOVIMIENTO DE SPIN DE UN TROMPO Un ejemplo interesante del movimiento de un cuerpo úgido es el de un cuerpo rígido simétrico que tiene un punto sobre el eje de simetúa fijo en el espacio y tiene movimiento de spin en un campo gravitacional. Uno de estos movimientos es el de un

trompo de juguete como el que se muestra en la figura 10-5, donde el punto O se supone como el punto fijo. Para una discusión de las diferentes ciases de movimiento que pueden ocurrir, véanse los problemas 10.25 - 10.32 y 10.36.

Fig.l0-5

GIROSCOPOS

un disco circular, que tiene su eje montado sobre uniones uniuersales o cardqnes (figura 10-6) y tiene un spin de velocidad angular o. Si el cardón exterior se rota un ángulo, el eje de spin del disco apuntará en la misma dirección inicial (figura 10-7). Lo Supongamos

anterior, supone que el rozamiento en el cardán es despreciable. En general Ia dirección del eje de spin se mantiene fija cuando el cardán exterior se mueve libremente. Este mecanismo llamado giróscopo tiene muchas aplicaciones en casos en los que es importante mantener una dirección determinada, como por ejemplo en navegación y guía o control de barcos, aviones, submarinos, misiles, satélites u otros vehículos en movimiento. Un giróscopo es otro ejemplo de movimiento de spin de un cuerpo rígido simétrico punto fijo sobre el eje de simetría (usualmente el centro de masa). un con

Fig. l0-7

cAP. l0l

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

259

Problemas resueltos MOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 1O.1. Determinar el número de grados de libertad para un cuerpo rígido que: (o) puede moverse libremente en el espacio, (ó) tiene un punto fijo, (c) tiene dos puntos fijos. (o) 6 [véase el problema 7.2(o) ] (b) 3 [véase el problema 7.2(ó)] (c) Si dos puntos están fijos, entonces el cuerpo puede rotar alrededor del eje que los une. Entonces el número de grados de libertad es l, el cual, por ejemplo puede ser el ángulo de rotación del cuerpo ígido alrededor de este eje.

1O.2. Un cuerpo rígido rota con velocidad angular o respecto a un punto fijo que la velocidad v de cualquier partícula del cueryo que tenga vector

relativoaOesv:(.Xr.

Se deduce inmediatamente del problema 6.1, teniendo en cuenta que

ma en movimiento es dr/dtly

: dr/dtl¿:

O. Demostrar de posición r

la velocidad relativa al siste-

O.

MOMENTUM ANGULAR, ENERGIA CINETICA. MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

fO.3.

Encontrar las ecuaciones (4) de este capítulo, para las componentes del momentum angular en función de los momentos y productos de inercia dado por las ecuaciones (5) V (6) de este capítulo. El momentum angular total está dado

por

o = Srn,(r,xvu¡ = á-,,",x(oxr,)) donde hemos usado el problema 10.2 aplicado a la y-ésima particula. Ahora por la ecuación (Z), del capítulo 1, tenemos

r, X (o X rr) = o(rr. rr) - rr(o. rr) : (o,i * ,oyi + ,¡Ji(g.? + u? + 4,) - (ari * y,j * z,k)(o;r, *

=

fu,fu?,+

- 'un,a, {ov(*,+ 4) - oxavAv

4\

+

oyUy

I o,zr)

o4erzr)i

* (t"(ú+a?,1 -

6zU&,\i @sü&v- @yrrzulk

-

Entonces multiplicando por rnv, sumando sobre y e igualando los coeficientes de O, respectivamente, obtenemos como se desea

y

fN I r N ) m,(uT+ 4,)l + *,r,u,f r,2. 1.2. --') i ", y-=1 Ly=r J L = I"ro" * Irool * Irrot,

o, =

-

i, j y k a O,, 0"

r N l + .i- vEr *,r,",1," > ...) t

r Nñvivu,fI + rN I + .{r Nmny,zul," oy = J) >. ]2.m,(r3+4llrn y=r L .J", Lu=r ) t vÉr --'-) .)

=

Ir¡,s"

*

Iur,,tu

I

lyro,

N r N I I rN l oz = l-r r=r rnvtrvzvf + mruvzvf - + 12 > > {') "" y=l ", ^,@t,+ú,11,, L J L ) lv=t =

Irro" * Iy2uu I lr"o"

zffi

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

IcAP.

10

Para una distribución continua de masa de densidad c, podemos obtener el mismo resultado partiendo de

11 f O = r'R | o(rxv)dr = | o{rx(rxr))dr "t

1O.4. Si un cuerpo rígido con un punto fijo, rota con velocidad angular o tiene un momentum angular O, demostrar que la energía cinética está dada por ? : * o . O.

T = S2m,o2, = ¡)rm,(i,.i,) = {)nt{(.xrr)'(rxr,)} = })m,{.'[r,x(oxr,)]] = f,. . )m¡,X (r X r,) = *.. O donde hemos usado la abreviación

1O.5. Demostrar

)

en lugar

que la energía cinética

T=

1¿(I

d" i

.

.,

10.4 se puede escribir como

"" or"=Or"ma ,,r2rt luorzu* I..t2* 2I .r,rn*21

,,,'trt"*2lu.roo.,)

Del problema 10.4, tenemos

T = t..O

usando el hecho de que

= *("rt*orrj+orrk).(ori+Oyi+ozk) = {(rr0, * o¡Ílr.| o{2.1 = tlot(I*.* I-oo* Iriu.l * oy(Iyxox* Iufy* Iy*r) I o"(Ir¡trl lru,'so1. I".otrl) = \(Ir*? t lrr,al, + I*2 * 2lr,¡t¡uu * 21"¿o.o, *

2lr7,tuo.l

f- = Iy' Io= Ir, Iyr-- Irv,

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA Y EJES PRINCIPALES fO.6. Encontrar las ecuaciones (//), de este capítulo, de los momentos principales de inercia y las direcciones de los ejes principales. (1)

A=Io

Usando

junto con las ecuaciones (3) V (4), de este capítulo, tenemos

I"du"* I-o"l

lr¿'t. = Io,

Iy"or* Iorol* Iyz!'tz = Ioy Irrtt * Iu.ou* Ir¿o. = Io4

(Ir"-I)t,* Irrlnr* 1,,u" = Iyrut * (Iuu- Doy * Iur,,t, = Ir*" * Iy*y * (1,,- Ilo, =

0 o

e)

Q

Los momentos principales de inercia se dete¡minan haciendo que el determinante de los coeficientes de @2, @tt o, en (2) sea igual a cero, esto es,

Irr-I Iu, I*

Iu Ioo-I Iu,

Ifl Io,

Ir, - I

=0

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

1ol

pri la de

lo'7'

26r

Esta es una ecuación cúbica en r que conduce a tres valores 11,12, Is los cuales gon los momentos Haciendo I : It en (2) obtenemos lag reücilnee @si oyi o, lae cuales dan dirección del eje principal correspondientes a f¡. En forma similar, por sustitución las direcciones de loe ejee principales. "or.".porrdi"rrtes

Encontrar: (o) los momentos de inercia, y (b) los productos de inercia de una placa cuadrada de lado o con respecto a los ejes x, y z tomados como se muestra en la !

figura 10-8. (a) El momento

de inercia de un elemento dx dy de la placa con

al eje r, si la densidad es a ee o1r2dr dy. tonces el momento de inercia de la placa completa

respecto

respecto al eje

r

/^¿

F.n_

con

es

A

1,. = ¿x=o | Jy=o | nU2du¿U = *oo+ = $Moz ó ya que la masa de la placa ea

M-

(r)

oa2.

Análogamente, el momento de inercia de le placa con

respecto al eje

Iou

y

fa

es

f¿

or2d.ndy = = .t v x=0- t-ty=0

*nno

= t [o,

(2)

lo cual ee evidenüe por la simetría de la placa.

Fig.10-8

El momento de inercia de dx dy con reepecto el eje z cs o(rz

mento de ine¡cia de la placa completa con ¡€specto al eje z es

1", =

Í"_^ f ^^n2rszlitnd.y "z=0 úl=o

=

*

12) dx

tnoz + *Map

dy,

así que el mo-

= *rwaz

(s)

lo cual tanbién se obtiene del teorema de los ejes perpendiculares.

(ó)

El producto de inercia 'lel clemento dx dy de la placa con respecto a los ejes manera que el producto de inercia de ra placa total respecto a estos e¡es es

I,t = Io, =

-1,"=o

f_onruorn,

=

, y y es ory dx dy, de

-loa+ = -tAoz

U)

El producto

odx

de inercia del elem¿nto dx dy de la placa con ¡especto a los ejes r. y z esel producto dy por las distancias a loe plcnot yz y xy, las cudcs .on , y 0 respectivamente. Entonces te-

Ir, = Iu = Q, y análogamente Iy2 = Ia =

ro'8'

g

(5)

Determina¡: (o) los momentos principales de inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales para la placa del problema t0.?.

(¿)

Segrin el problema 10.6

y los resultados (I)-(5) del problema 10.?, obtenemos

*Mú-I

-lMot

-tMú +Mú-r

0

=0

o

0

o la cual

lMoz-I [($aaz-Ir(trMa\-I) - (-lÚaz)flaa2\lfiMaz-4 =

(J)

0

puede escribirse

llz

-

lMozl + +lHÚzgtll}Úo,z

-4 =

0

Haciendo el primer factor igual a cG¡o y u¡ando la f&mul¡ de la ecueción cuadrática para obtener/, encontramos que las tree raíces dc (I) con, 11

= .frMol,

12

que son los momentos principales dc inprcie.

=

fiMé, I" = NMoz

(2)

IcAP. ro

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

262

(á) Para determinar Ia dirección del eje principal correspondiente a 1r, tomamos I:It:$Mozen las ecuaciones

(fÚaz-Ilr,- lMazotu * 0o, = 0 I -!Mo2o,*([Moz-I)oo*0o, = 0 | 0ror * }ou * ($MaL-I),, = 0 J

(3)

Las dos primeras ecuaciones dan ot : o' mientras que la tercera da o' : 0. Po¡ tanto, la dirección del eje principal es la misma que la del vecto¡ velocidad angular

c = o¡i*otri*r.k

= otri*'"i

= or(i*i)

Entonces eI eje principal correspondiente a fr está en la dirección Similarmente, haciendo I : I¿ : Lr"Mo" en (3) encontramos @v : -az¡ @z :0 de manera que la dirección de los correspondientes ejes principales es r = ori - t"i =

i * j'

o i-i. ""(i-i)Si hacemos I : Is : trMa2 e¡ (3) encontramos o' : : 0 mient¡as que @, es arbit¡ario. Esto da, ¡ : 0, ,, o,k de donde se deduce que el terce¡ eje principal está en la dirección k.

Las di¡ecciones de los ejes principales se indican por

i+

i, i - j

yk

en la figura l0-9. Nótese que son mutuamen-

teperpendicularcsyque

i+i

e

i- j

tienenlasdirecciones

de las diagonales de la placa cuadrada que son las líneas de

simetría. Fig.10-9

momento principal de inercia puede también determinarse identificando las líneas de simetría.

El

lo.g.

Encontrar los momentos principales de inercia en el centro de una placa rectangular

deladosayb. El eje principal se encuentra a lo largo de las direcciones de simet¡ía y debe estar a lo largo del eje r, del ejey y del eje z (este último perpendicular al plano ry) como en la figura 10-10. : ]nMa2, En los problemas g.6, g.9 y 9.11 se encontró que los momentos principales de inercia eran fr

12:+,Mb2, Ie: +M(a2 +

b2).

Fig.

Fig. r0-10

l0-lr

lO.lO. Encontrar los momentos principales de inereia en el centro del elipsoide frz -a2 -?2 : lr

ar- v- e

En la figura l0-11 se indica una octava parte del elipsoide. El momento de inercia del elemento dr

de masa o d¡ con respecto al eje z o eje "3" es (r2 pecto al eje z es I3

=

,1""=,

!,':*

Integrando con respecto a z obtenemos

* y2lndr, y el momento total de inertia con res-

Í"",:*

(rz*v2)odzd.ada

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

ra

nbr/'t

| Jl=o | Jx=o

8"c

--

"-:FF

Pa¡a efectua¡ la integración hacemos

integral puede escribirse tse

aX,

rl

| ¿y=o | ux=o

Introduciendo coordenadas polares g,

fr

y : bY,

¡'l t-xz

soobc

Soabc

trz+yz¡F

e

(ozXz

*

en el plano

donde

=

zroabc(az

+ b\

.f -R=o

^

Xy

¿a

a,

son nuevas va¡iables. Entonces la yE\ ¿Iy dX

se obtiene

b2R2 senz e)

ns

Xyy

bzy\ \/T= etz +

¡t/2

| | @rn, cos2 o * "R=o "e=o

@rlo+uryo\

263

{t -

nz

y'f:

nz R dR de

¿n =

ftroabc(az

+

bz¡

I - R2 : (J2 pa¡a calcular la última integral. Como el volumen del elipsoide ll : ftoa_bc y por tanto Is : ", ,rar:ó":.la_masa Por simetría encont¡amog I, : : c2), I, I *M(br" $M1az \ ez¡. la sustitución

donde hemos hecho

lo'11'

Supongamos que el elipsoide del problema 10.10 es un esfe¡oide achatado que c difiere ligeramente de a o b. Demostra¡ que con

a : b en tanto

do de aproximación (/a

sólo ligeramente

-

Ir)

fi, : | _

c

+

tal

b2).

que

un alto gra-

/a.

rs|rl (o--cXotc). perosicdifiere "? I-4^ Ir = a2 cz a,2 + c2-' de o entonces o * c = 2a y a2 t c2 = 2a2. Asíaproximadamente. (Is-It)/I: (a-cl(2a)/2az = t-c/a,

Delproblema 10.10, si

lo'12'

+M(a2

o: b

entonces

Resolver el problema 10.11 si se considera

la Tiena como un esferoide achatado.

Como el diámetro polar o distancia entre los polos norte y sur es alrededor de ?g00 millas mientras que el di¡6met¡o ecuatorial tiene aprorimadamente ?926 nillÁ, entonces tomando el eje polar como el

eje "S" tenemos %

: 79ff,

2a

-

: 3g50, a : 8g6g. _ I)/h : | _ ggfi/ggfi} :

7!26 o c

De acuerdo con el problema 10.11 (.f¡

0.OO32S.

ELIPSOIDE DD INERCIA

l0.l3. Sup resp I:,

ercia de un cuerpo rígido t con se intersecta en O son 1,,, f"", ue el momento de inercia de gulos a, A y I con los ejes Í, ! y z, respec_

ff I -

I,,CoS2aJ-Iyycos2B+ Iucos2y + z[,!cosa cos B + Zl,"cosc cos.y

*

Zly.cosp cosy

Un vector unitario en la dirección del eje está da-

do por

n = cosci * cospj * coayk

Entonces si rar, tiene un vector de posición ry, su mo_ '¡ento de ine¡cia con respecto al eje OA es *rDj d,oo_ de D., : lr, X nl. Pe¡o

ryXD =

üv a

Uv zu B cos Y (Vv cosf - z, coe pli cos

*

cos

- r, coayli * (rrcoeF - A, cosa)k

(2, coaa

Fig.10-12

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

2U

IcAP.

10

lr,Xnl2 = (yrcosy-zveosF)2 * (zrcosd- rrcos¡lz * (rrcosp-gucosa)2

y

= Así, el momento

| =

fu\+1)cos2c * 1r!+zl¡coszp * (4,*a?)coszt - 2rr1rcogdcos B - 2rrzrcosacos1r - ZUrz, cosBcosT

total de ine¡cia de todas las masas zl,

es

2-rD?

( ( r ) ^l -') j2*"@?+u?)l + m,,1rl+4,)l.o"B + cosz" 12*, L-)tJlr (I I r + 2'{ -2*,nua,f .o.o.o. P + 2l-2*,',",f cosocosT tJl.') cosp cosY *,

cosz^¡

{->*,u,",\

= I""cosza * fru cos2 B * It cosz'Y + zlxy cos d cos P + zln cos a cos 'y *

2Iy, cos p cos 1

10.14. Encontrar una ecuación para el elipsoide de inercia correspondiente a la placa cuadrada del problema 10.7. Según el Problema 10.? tenemos

1", =

fMaz,

Ion

= $Mo2, 1., = ftMaz, Iru = -[Maz, Ir, = 0, Iu" =

0

Entonces la ecuación del elipsoide de inercia está dado por la ecuación (20) de este capítulo,

*Mrrp?t fMazp!,* NÚazpz,- [Mazp,pu = p?+ p?+2p?-tp'py = slMo?

L

ECUACIONES DE EULBR DEL MOVIMIENTO l0.l5. Determinar una relación entre la variación en el tiempo del momentum angular de un cuerpo con respecto a ejes fijos en el espacio y ejes fijos al cuerpo. Si los ejes del cuerpo rígido se escogen como ejes principales que tengan las direcciones de los vecto-

r€s €1, €r Y ec respectivamente, entonces el momentum angular

0 =

I l2o¿e2*

ft¿¡r€r

será

/3o3es

a los ejes Ahora, según el problema 6.1, si n^ y ü se refieren respectivamente a los ejes fijos en el espacioy entonces cuerpo, el sobre en movimiento

dql dol 7ll" = Elo r¿ oX0 = t'0"'**,"lllT;i;::;

=

t¡'s'

X

(r¡0,1e1

I 'il;J'i;;;I;,;,,1'fi'

*

*

(rr

-

r2o2e2*rso,ses) rs)o1orsle2

lO.16. Deducir las ecuaciones (22) de Euler del movimiento' Según el principio del momentum angular, tenemos

dol fr| ^ .

donde

A

=

(t)

es el momento externo total. Escribiendo

A =

donde a1,

A2¡

Arer

*

L2e2*

Ases

Q)

(l) As son las componentes del momento externo a lo largo de los ejes principales; usando

y los resultados del problema

trO.15' encontramos

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

IrSr+(Is-I2lo2og Iz32 + Qr- fs)ú,s(ú1 Is33 + (I2 -I1lo4ot2

2ffi

_ ^,.l -Arf

(3)

_

^sJ

MOVIMIENTO LIBRE DE FUERZAS DE UN CUERPO RIGIDO. ROTACION DE LA TIERRA 10'17' Un cuerpo rígido simétrico con respecto a un eje tiene un punto fijo sobre este eje. Discutir el movimiento rotacional del cuelpo, suponiendo que no hay fuerzas que actúan, exceptuando la fuerza de reacción en el punto fijo. Escogemos los ejes de simetría coincidentes con uno de los ejes principales, digamos en

e¡. Entonces It : Iz y lae ecuaciones de Euler ." arpr"r"r, .¡r;r + (fs-f¡)ro2r,r3

De (3), o,a : constante

la dirección

"rí

=g Ii'2+ Qr-fs)ruso¡ - 0 fsós = I

(r) (2) (3)

: A así que (I) v e) después de dividir por f¡ se escriben, . /Is-Ir\. o *+\-f

= ' ' /It-I"\ óz+\f,)e', =o )a"z

(4)

(5)

Diferenciando (5) con respecto a ¿ y usando (4), encontramos

;,+(+)'*,, 'ó2*

o

x2o2

=

=

o

(6)

g

@

tr = ltt;ttl, I rt

donde

(8)

I

Regolviendo (7), encontramos

.ú2

= Bcogrú{f,senrü : 0 cuando ú - 0, entonces = Ceenrt ot = C co'rt

Si escogemos la escala de tiempo de mane¡a eue

rrr2

oz

y de (5)

obtenemos

Por tanto la velocidad angular

a = =

úrrcr

t

tt2Q2

Ccosrú e,

*

I

(g)

(r0)

ea

ogeg

Csenrúe2

* Áca eI)

De donde se concluye que la velocidad angular tiene magnitud constante igual a o : l.l : \rcTAn y tiene movimiento de precesión ahededor del eje ,.8,' con frecuencia

f-*

como se indica en

=

la figura

w^

(r2)

10-18.

Nótese que el vector o desc¡ibe un cono al¡ede_ dor del eje "3". Sin embargo, este movimiento es re_ lativo al eje principal del cuerpo que a su vez está rotando en el espacio con velocidad angular o.

ro'r8'

Calcular la frecuencia de precesión del problema rota alrededor de su eje.

ü

Fig. 10-18

10.1? en

el caso de la Tierra que

MOVIMIENTO DE CUERPOS RreIDOS EN EL ESPACIO

266

Como la Tierra rota alrededor de su eje una vez por día, tenemos que oa Entonces la frecuencia de precesión scgún los problemas 10.12 y 10.17 es,

-\

L/ = ;(t -;)o

l/Is-Ir\. r| =- úlT)^

I

=

;;to,ooaxt

lcAP.

10

: A - 2¡ radianes/día.

(2¡):0,00328radianes/día

- l/ t : 305 días. El período obse¡vado es de 430 días, puede erplica¡se debido a que la Tie¡ra no cs complctamente rígida. El peíodo de precesión es P

y la dife¡encia

LINEA Y PLANO INVARIABLES.

PHOLODE, HERPOLHODE, LOS CONOS ESPACIAL Y DEL CUERPO lO.l9. Describir la ¡otación de la Tierra con respecto a su eje en función de los conos espacial y del cuerpo. Según el problema 10.1? la vclocidad angular o y el momentum angular f) est¡í¡ expresados respectivamente por

; = ;::" ;",i;i:,;::';:;.:.:;;i":i",, Supongamos que

a

r¡ - oaG¡ - Ae¡ Y O. Entonces = l.sl lol coec = At@@cos"

es el lngulo entre

.s.o =

co'

Y Análogamente

si p

*,"n", IsAz

IEA

,{Ftw

't =

y o. Entonces .s'o = lrsl lrl cos p = A¡/CL lT

es el ángulo entre os

cosÉ =

tlC¿ +

cos

p =

Az

lz

D€ (I) y (2) vemos que C

senll =

3€nd =

{O +E

I'c tanB :c tlnc = ;|-, =A Ist'^' t¿nc \ tan P = ¡s

Así

(5)

la Tierra o para cualquier esferoidc achatado (achatado en los polos) tenemos It 1 Ia. Portanto c( P. La situación puede representarse geométricamenüe mediante la figura 10-14. El cono con eje en Ia dirección f) está fijo en el espacio y se llama cono espociaL El cono con eje t3 : o3€s que se considera fijo en la Tiena se llama cono del cuerpo. El cono del cuerpo puede rotar sobre el cono espacial de

Ahora, para

manera que el elemento en común sea el vector velocid¡d angular

O2

C1

rgXo =

004 I1C cos xt

aen

Ahora

C3

= -AILC I1C

¡.

xt

sen rú

c1

+

AILC cos rú

IsA

Así pues O . (rs

x o)

=

(I1C eot rü c1

*

.. t'AItCa¡ =Q

/¡C

sen

rú r1

tt c2 *

IsAcs)

* AIIC aotxt

c2l

e2

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

1ol

Se deduce del problema mismo plano.

l.2l(ü) que O, og y ¡ están

267

sobre el

.- Un observador fijo en el espacio podría ver el vector o describiendo el cono espaciat (figura 10-14). Un observador fijo al cuerpo podría ver el vector o describiendo el cono del cuerpo. En el el con cono del cuer¡ro ( Ie.

alargado, I cono espac

sa es del co

10.121).

roide y el lema

LOS ANGULOS DE EULER 1o'2o' Usando tres figuras separadas demostrar la forma como el sistema coordenado ryz de la figura 10-4 se trasforma en el sistem a x'y'z'mediante rotaciones sucesivas de los ángulos de Euler ó, 0 y ú. Refiriéndonos a las figuras 10_15, 10-16 y l0-l?, la ñgura 10-15 indica la rotación de los ejes : y y un ángulo C para llegar a los ejes X y y, respectivamente, manteniendo el eje z igual al eje Z.

En la figura 10-16 se indica la rotación del eje X un

ángulo 0 de manera que los ejes y y Z de la figura 10-15 se trasforman en los ejes y,y Z', respectivamente, de la figura 10-16.

f

En la figura 10-1? los

ejes

de manera que los ejes X, vamente, en los ejes r, y y'.

Z'

o e, se rotan en ángulo respecti-

y y, se trasforman,

En las figuras ee han indicado los vectores unitarios sobre los ejes r, y, z; X, y, Z; X,, y,, Z'y r', y,, z,por

i, j, k; I, J, K; I,, J,, K, e i,, j,, k,, respecrivamenre.

Fig.l0-15

z

Fig. l0-16

Fig. r0-r7

ro.21. Errcont¡ar las relaciones entre los vecto¡es unitarios: (a) i, j, k e I, J, K de la figura 10-15, (ó) I, J, K eI,, J,, K'de la figura 10_16, (c) l', J', K'e i', j', k'de la 10-17.

figura

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL

(a)

De la figura

10-15,,

i = (i.t)f +(i.J)J +(i.K)K t - (i.I)I+(j'J)J+(i'K)K

= cosóI-senÉJ = senCI+cosoJ

k - (k'I)r+G'J)J+(k'K)K = (b)

K

De la figrrra 10-16,

I - (t. t')I' + (r. r')J' + (I . K')K', = l' J - (t.I')I' + (J.J')J' + (J'K')K' = cosdJ' K = (K.l')I' + (K. t')J' + (K. K')K' = sen t J' * (c)

ESPACIO

senrK' cos, K'

De la figura 10-17,

l' = (I'.i')i' + (I'.j')j' + (l'.k')k' = cos,y'i' ! = (J'.i')i' + (J'.i')i' + (J'.k')k' = aeng i' * K' = (K' . i')i' + (K'. j')j' + (K' . k')k' = k' LO.22. Expresar los vectores unitarios i, Segin el problema

i, k

senúi' cosg

en función de i',

j'

j" k'.

10-21,

i - cospt-senÉJ, t - senpl*cospJ, k=K I = t', t = cosrJ' - sendK', K = senrJ' * costK' l' = cosúi' - sen'y' j', J' = senúi' * cosgi', K' = k' Entonces i = cosóI-s€nOJ = cosóI'-senÉcosdJ'*senpsenrKf = coso cosg i' - cososen!y' jl - senO cosdsen I i' - senp cos, cos,¿ i' * sen ÓEent k' = (cos p cos ry' - sen O cos, sen ú)i' * (- cos É sen ú - sen O cos , cos ú)i' * sen d sen , k' j - senpI + cospJ = senpI' * cospcosrJ' - cospsenrK' = sen o cos.ry' i' - sen o senú if * cosp cosdsen g i' * cosp cosr cosrr i' - cos4send k' = (senp cos 'y' * cos O cos, senrr)i' * (-senpsen ú * cosqt cost cos'y')i' - cospsen, k' t¡ = senrJ'* costK' = senrsen,pi'* senrcosry' j'* cosak' 10.23. Deducir las ecuaciones (25)

ó = or6k*rol,*ogK'= ih+irr+,!r, = fisencsen 9i' + a.senrcosVi' + 6 cosrk' * ácos,t,i'- ásenúi7 +,ik' = (ó sen e sen {, * i cos,p)i' * (ó sena cosú - isen,y')j' * (ó cog, +'¡)k' Como o

= or,i'* or,i'* tr,Ix',

@r, ol : i."na."og*icoag 6t, -J oz = iretracosg - iseng @2. os = icosc * 'i,

[CAP.

10

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

269

10.24. (a) Expresar la energía cinética de rotación de un cuerpo úgido con respecto al eje principal en función de los ángulos de Euler. (b) Si It : Iz, ¿qué resultado se ob_ tiene en (o)?

(o)

Usando los resultados del problema 10.23, la energía cinética está dada por

T=

(ó) Si f, :

[(I'"? + 1".!+ Iruzr¡ ]I¡(isen esen ry' * i cos,¿¡z * $I2(isen e cos4 -

ósenp¡z

+ tlrti

cose

+ i¡z

12, el resultado puede escribirse

T=

llr($zaenzc+A\

+

*Ir(ócosa+,i,¡z

MOVIMIENTO DE SPIN DE TROMPOS Y GIROSCOPOS 10.25. Establecer las ecuaciones del movimiento de un trompo que tiene un punto fijo (figura 10-18).

O

Representemos por ryz un sistema inercial frjo de ejes que tienen el origen O, y por x'y'z' los ejc,l principales del trompo que tie-

nen el mismo origen. Escojamos la orientación del plano r'y' de tal manera que Oz, Oz,

y Qr'

sean coplanarios. Entonces el eje r, está en el plano ry. La línea ON en el plano r,y, forma un ángulo ry' con el eje r, que se supone fijo al trompo.

La velocidad angular correspondiente la rotación de los ejes r'y'z' ejes ryz es ó = olel *

Al

obtener

el

o2e2

a

con respecto a los

* o3e3

(,f )

momentum angular debemos

usar el hecho de que al sumar la componente os debida a la rotación del sistema r,y,z, existe también la componente s : se3 : fe3

r

debido a que el trompo tiene spin alrededor del eje z'. Entonces el momentum angular es

O= Ahora si los subíndices según el problema 6.1,

f1o1e1

Fig.

*

*

I2a4e2

/3(os

l0-lt

* a)es

e)

/ y ó denotan el sistema fijo y el eistema del cuerpo respectivamente, tenemos

do

¡to

dtu * oXO

d,t,

(3)

Remplazando (1) V Q) en (3), encontramos

#1, =

{r1;r + Qs- I2l.,2os*

+

{12;t2

* (Ir - fs)r1,.rs - fsorls)e2 + {Is(;s + ¡) + (t2 - f1)ro1ro2}e3

El momento de fuerza total con respecto a O es I = (teJ x(msl

k = =

Como

el momento

es

(k.c1)e1 sen

,

cz

rsr.r2s}e1

=

(hs)

x(-rnskl

* ft .e2)e2 * ft .eJcs = coa(r/Z- o)e2*cosc

+ cog,

(4)

(5)

o¡

es

A = -mgl(esKk) =

m4l

senC

e1

(d)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

270

Entonceg usando

A

=-l

f

cAP. ro

.tOl con ft : f2, encontramos de (4) y (6), dt lt fr¿r + (fs -11\,,;2us* I*zc = ,nglsenc Iirz + gr- ls)ú,1ú,¡ - Isúr1e = 0 ts(ós+i) = O

(7)

10.26. Expresar las ecuaciones (7) del problema 10.25 en función de los ángulos de Euler y ó de la figura 10-18. Las componentea r.r¡, r¡r2, .r3 pueden obtenerse del problema 10.23 haciendo

Encontramos

@t

= ó,

u2

ú:

0

0.

= $sen.o, or, = i cosa

(t)

Entonce¡ lag ecuaciones (7) del problema 10.25 se convierten en

IrA + Qs-Irl62senrcosd I lg$e sen, = motsenef 0 I1(fisenc+6bco8t)+(It-Is)'cbcosr-Isbs= I 'l r3(ffcosc

- j,isenr+i) = o

Q)

)

Las cantidade ó, i y s se conocen como las magnitudes de la uelocidad angular de precesión, de nutación " y del spin respectivamente.

10.27. Demostrar que las ecuaciones (2) del problema 10.26 pueden escribirse como (a) ItU - f,ó2sen 0 cosl * IA$senl = mglsenl

(b)

-

/r(fisen e + 26b coso) donde A es una constante.

IsAá

=

0

De la tercera ecuación en (7) del problema 10.25,

og*e =,4

o

I = A-ts

(r)

Suatituyendo estos ¡esultados en la primera y segunda de las ecuaciones (7) se obtiene

- I{'t2tts * Istr2A = ,¡'tgl senl fr,i2 * frotrng - fsr.r¡r{ = 0 I1ó1

(2) (3)

Usando los resultados (f) del problema 10.26, encontramos que las ecuaciones (2) V (3) corresponden a las ecuaciones deseadas.

10.28.

(a) Encontrar la condición de precesión constante de un trompo. (ó) Demostrar que son posibles dos frecuencias precesionales. Co¡¡o 0 es constante entonces

de lo cual

O, y según el problema LO.27(a),

I mgll aena = O Ir$2 coae - IAi I mgl = o IsA = t/@ lng¿Ireo.c .

(friz o

ii : cos

c

-

ItA$

- ,

Por tanto hay doe frecuenciae ya que

(r)

"t"0

filz , Amglllcoae

(2)

ftnz :

4 mgllt cos 0 sólo es posible una sola frecuencia. Si á e¡ muy grande, es decir si el spin del trompo es muy grande, entonces existirán dos frecuencias, una grande y una pequeña, dadas por

Si

IsAl(l1

coe

el,

mCIlIsA

(3)

cAP. r0l

MOVIMIENTO DE CUERPOS RreIDOS EN EL ESPACIO

271

fO.29. Demostrar que

(¿) tI{42 +i2sen2 0) + +IA, + nlg|ccn| = (b) /rósen2l * IsAcos| : constante : K

constante

=

E

y dar una interpretación física de cada resultado.

(o)

Multiplicando las ecuaciones (7) del problena 10.2b por dolas obtenemog ^I1(o1ó1

*'Árl *

fs(os + aXrh +

e,r,

2

y o¡

i) =

*

s, reepectivamente, y aumán_

mgü¡r'ito

á

lo cual puede escribirse como .T

fitgr<"?+ ,?rl + {re(o¡ * r)2} = frFm4.oaol Integrandoyusando c¡s *s :A y también or : í y .rz: iseni, ¡eobtiene *It|2+62tr'ln.z0l+*1¡A2*mslcoto = E

(t)

donde E es constante. El resultado es equivalcnte al principio de la conservación de la enprgía, puesto que la energía cinética es

f =

f,Ir1iz* Feenlo) +

es

V = mgl cocl

mient¡as que la energía potencial

y T+ V: E (ó)

es

{I¡tz

(2) (3)

laenergíatotal.

Multiplicando el resultado del problema LO.ng) por sen

llieen2o lo cual puede escribirse

t

Zlr$ósenrco€o

0

- IsAi*no =

0

,t

fr(Iisenzo*I¡Acorcl =

0

flisen2o t ly'coao = coristante = K

Integrando,

(4)

Para inte-rpretar este resultado físicamente, nótese que la componente vertical del momentun f¡f sen2 0 + IsA cos | (véase el problema ro.rzg), que debe ¡er constante porque el momento debido al peso del trompo tiene una componcnte cero en la dirección vertical.

angular es

u:

lO.3O. Sea

cos

d. Demost¡ar

(a)

que

= ("-Fu)(t-utl-0-su), = f(ul donde n= 2(E -llf,Ázlllu F = 2mgtllb | = KlIt 6 = IAII| ú,t

t - Í#*constante

(b)

(a)

Segrin el problema 10.29,

+ y4' * nglcoao = fli seni r i l¡Accro = K

tlr(iz + i2

De

(2),

een¿

A

ol

=

E

(1)

el

K-Iy'esc (3)

11rr;n2 o

Sustituyendo éata en (I)

(K - It/l co¡cP Lf.Zt + --7¡6;t, +yr'Lr*ñglcoso = ttr'-T

E

IcAP. l0

MOVIMIENTO DE CUERPOS RJGIDOS EN EL ESPACIO

272

Tomando

u:

-senCd y

ú:

cos0 entonces

p¡esa

sen20

: 1 - u2, la ecuación

Y'h.##rmstu -

Así

ú2

+

/K_J#"\z l-r rt / -

lo cual puede escribirse

2mslu(l-uz) Ir

anterior se ex-

= E-tl$t =

,!f

,,

-+rsAz,)

como

- ("-Fu\(l-uz)- (r-or¡' = f(u\ a - (28 - IsAz)lIb g = Zmglll¡ 1 = KlIy A = IsAlIt 'i&

donde

(4)

(5)

Obgé¡vese que con esta notación (3) puede escribirse

¿,_#

(ó)

Del resultado de (a) como

ri > 0 tenemos . ilu r-;;--u=ñ=VÍlu')

(6)

,, o ctc=

du

rm

t = !f*."

Integrando

(7)

La integral puede calcularse en términos de funciones elípticas, las cuales

son periódicas.

rO.3l. (a) Demostrar qne d : 0 en aquellos valores de u para los cuales f (u) = (a - Bu)(L - u2) - (t, - 8z)'¿ - 0 (b) Demostrar que la ecuación en (a) tiene tres raíces reales, ttr, ttz, u3, auDQü€ en general, no todos los ángulos correspondientes a éstas son reales. (o)

(b)

- ?u)(l - 6\ - (y - 6u\z Como r?: -senc á:O sededuceque á:0 donde ü:0, o f(u\:0.Así, d:0 ¡aíces de la ecuación rfu) = (a- Fu)ll-uzl - (l-dz¡z : g Según el problema 10.30(¿)

irz = l(u') =

(a

(t) enlas (2')

La ecuación (I) puede escribirse como

Í@l = Como P

> 0, se deduce que

put

- (62* a\uz 4 (2.16-

t

a

-

72

/(.) - ., /(-.) - -. /(1) - -(7 - 6)2, /(-1) = -(r + 0¡,

Entonces hay un cambio de signo de -. a * cuandou varía de I a -, y por tanto debe existir una raí2, digamos u¡, entre 1 e ó como se indica en la figu-

ra

P)u

f(ul

10-19.

Sabemos que para que

el

tromPo

se mueva debe cumplirse Ífu) ú2 Z o. Además, como 0 3 c < r/2, debemos tener 0 < u 5 1. De donde

se deduce que deben existir dos raíces 1, como se indica en

ut ! uz entre 0 y la figura.

Se deduce que en general haY dos ángulos correspondientes 0¡ y 02 tales

que cosC¡ : tttt cos02 : u2. En casos especiales puede ocurrir que u, : II2Oll2:U¡:I.

Fig. l0-19

(3)

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

273

f O.32. Dar una interpretación física de los resultados encont¡ados en el problema 10.31.

El hecho de que existan dos ¡aíces ut y uz conespondientes a 0¡ ! a 0z respectivamente, demuestra que el movimiento del trompo es tal que su eje siempre forma un ángulo e con la vertical ubicada entre ct ! 0¿. Este movimiento, de cabeceo del eje entre los línites 0t ! 02, se llama nutación y tiene lugar simultáneamente con el mouimiento de precesión del eje del trompo alrededor de la vertical, y con el de spin del tr,ompo con ¡especto a su eje. Debido a que el movimiento puede erpresarse en términos de funciones elípticas (véase el problema f0.104), podemos demost¡ar que es perirídico. En general el extremo superior del eje del trompo describirá uno de los diferentes tipos de curvas que se indican en las figuras 10-20, 10-21 y L0-22. El tipo de curva dependerá de la raíz de la ecuación (véase la ecuación (6) del problema 10.30)

6=#=o

Si la raíz dada por

(t)

t/¿

es mayor que ur, se obtiene la cu¡va de la figura 10-20. Si es igual a ur, será Si está entre ut ! uz, describirá la curva de la figura 10-22. Pueden presentarse otros casos si la raíz es igual o menor que u1 (véase el problema 10.124).

la curva de la figura

10-21.

0=or

yl6

)

0 = 0l

u"

f/8:u2

tt, 1 yl6 1u2

Fig. l0-20

Fig.10-21

Fig.10-22

Además del movimiento general en el cual ocurre nutación y precesión, pueden presentarse varios casos especiales. Uno de éstos es el de precesión estable sin nutación (véase el problema f0.28). En este caso lz¡ u2 de manera que 02 o 0 constante. Ot¡o caso es el del "trompo dormido", que ocu¡Te

:

cuar¡do u2

:

ttx

tr : : 1 y el eje de spin

:

del trompo permanece siempre vertical (véase el problema

10.36).

PROBLEMAS VARIOS 1O.33. Si ? es la energía cinética total de rotación de un cuerpo rígido con un punto fijo, mostrar qtre dT/dt cipales del trompo.

: o'A

Multiplicando ambos lados de las ecuaciones (3) de Euler del problema 10.1G por @r, @2 y

respectivamente, y sumando obtenemos

.ft"tó1 * Iro2á2 I f3orsóg = o1A1 *o242*r,rsA3

Pero y

r,oró1 o¡41

*

*

I2o2á2* r3osós

o2A2

- f,ftU"?*Iroftts,ll = {

* o3As = (oler * o2e2* o3ca).(Ater*

(r) (2)

(3)

ilTld,t = o.L

es

@s,

A2e2*A3e3)

= o.A Así (1)

de-

donde todas las cantidades se refieren a los ejes prin-

(4)

fO.34. (a) Demostrar que si no hay fuerzas que actúen sobre un cuerpo rígido con un punto fijo, entonces la energía cinética de rotación es constante. (b) Entonces probar que

o.O :27 :

(o)

constante.

como no hay fuerzas,

A : o.

Entonces según el problema lo.gs,

dr/dt : 0, o ? :

constante.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

274

(b) Como O =

/1o1e¡

lcAP.

10

* I2o¡e2* f3r,rse3 y . = o1G1* olp2t os3gr r'O = lr,,ft+ Itazr* Isu! - 2? = constante

10.35. Determinar la f¡ecuencia de precesión del problema 10.17 en función de la energía cinética y del momentum angular del cuerpo rígido. La

energía cinética es

r = $(I."?* o

ly,fi*

-

rsú,!)

rr.or2

+ rr,3)

=

{(Ir@ + IsAzl'

IrCe+IsAz=27

sea

El momentum

(r

)

angu.lar es

O =

f¡
*I2o¿92*Is@scs = f1ole¡*Ip2e2*fso3e3

= frC(cos rú c1 *

así

|(/r"? +

o=lol=t@z+PrA2

Resolviendo simultáneamente

srin rú c2)

* IsAcs

o

Écz+IlAz = (I) y (2), encontramos 2TI" _ Q2 c2 = Tñ-n'

Entonces según el problema 10.1?, ecuación (12),

1

t-

últ

la

(2)

sz

Az

Q2

_ 2TII

= 4gr-tu

(3)

frecuencia de pregesión es

ll(o,

- 2flrxts - IJI

(4)

fO.36. Encontrar la condición del movimiento de un "ttompo dormido". Paraun"trompodormido"debecumplirseque0-0ye:0,debidoaquesuejedebeestar vertical y no debe ocu¡rir nutacion. Entonces según el problema

I4 = K, También,según elproblema10.30, a : A J 1 : 6, Yportanto

IsAz

-

10.29,

z(E-mstl IsA/It, ¡:

o:2mgl/lt,9:2mgt/It,t:

IÁ/\.

Entonces

f(ul = (a-Pu\(l-u2)- (r-orr¡, = c(1-ul(L-uzl-72(l-u)z = (L-u)zla(Ltul-'¡21 De donde se deduce que ¡f(u) : 0 tiene una ¡aíz doble u : 1, mientras que la tercera raíz está dada

t--1=

por

#,-,

Entonces el trompo estará "dormido" si esta raíz es mayor o al menos igual a

l,

así que

Az 2 4¡ngTtll? En general, aunque esta condición pueda aplicarse al comienzo del movimiento, en la práctica la energía disminuye debido al rozamiento en el soporte, de manera que después de algún tiempo se tendrá además de precesión. Además la pérdida de ener-

A2 < 4mElIt/I!. n" tat caso se presentará nutación gía ocasionará finalmente la caída del trcmpo.

fO.37. Encontrar el momento necesario para que una placa de lados o y b (fieura alrededor de la diagonal con velocidad angular constante o.

10-23) rote

Según el problema 10.9 los momento¡ piincipales de inercia de la placa en el centm de O están da'

dos por 11

Tenemos o

(o.

= SMoz, Iz -

#Mb\ It = $M(a2 *

b2)

(r)

i)t + lo. t)l oa.ob

t/oz

I Sz

{oz

*V

(2)

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

1ol

Así

¡,Jl =

-oó

{a, + br'

{oz

t

gz

275

úrg=0

(3)

(l) V (3) en las ecuaciones de Euler

Sustituyendo

= ¡, I2irz+ Ur-fs)oso1 = A, Isi4 + Q2- f1)or1r,r2 - Ag

frór+(fs-12)oúls

Fis.10-23 encontramos Ar

= 0,

Az

= 0, n, = H##.

Á = Nótese que si la placa rectangular es cuadrada,

Así el momento requerido con respecto aOes M(b2

- azlab<'P ,n@2+b4 R es decir, si o : b entonces a = 0.

(4)

Problemas propuestos MOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO lo'3E' Determinar el número de grados de libertad de: (a) una esfera que rueda lib¡emente sobre un plano, (b) un elipsoide que rota con respecto a un punto fijo, (c) un avión que se mueve en el espacio. 8esp. (¿)

3,

(b)

3,

(c)

6

fO.39. En la figura 10-24 se indica el

desplazamiento

de un tetraedro en el espacio. Demost¡ar di¡ectamente que el desplazamiento puede exp¡esa¡se como uno de traslación más uno de rotación con respecto a un eje adecuado, como se ilustró en el teorema de Chasle para el espacio.

lO,4O. Dar una ilustración similar a Ia del 10.39,

problema

para un cuerpo rígido cuyas superficies no

son planas.

l0.4l.

(a)

Deducir los ¡esultados del problema 10.2 sin usar los del problema 6.1.

(ó)

Fig. r0-24

MOMENTUM ANGULAR. ENDRGIA CINETTCA. MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

lo'42'

Un cuerpo rígido formado de 3 partículas de masas 2, L, 4 localizadas respectivamente en los puntos (1, -1' 1)' (2,0,2), (-l' l' 0). Encontrar el momentum angular del cuerpo si éste rota alrededo¡ del origen con velocidad angular o: 3i - 2i + 4k. Resp. * 42k

-6j

10.43. Deterninar: (c) los momentos

de inercia con respecto a los ejes r, y y z, y (ó) los productos de inercia del cuerpo rígido del problema 10.42.

Resp. (o) 1,,

:

L2,1r,

:

16,

I*:

16;

(b) 1,"

:

6,

Iy,:

2,

1,,: -6

10.44.

¿Cuál es la energía cinética de rotación del sistema del problema

lo'45'

Encontrar: (a) los momentos de inercia, y (ó) los productos de inercia de una placa rectangular uniforme ABCD d'e lados AB : a y AD: b, tomados con ¡especto a los ejes AB, AD y a una línea perpendicular

10.42?

a la placa en 8.

Resp.

(a) 1,, - +Mb2, Iuu = $Maz, 1," = fM(az I (b) Iry - -lMab, Io. = 0, 1". = 0

b2l

llamando los ejes que pasan por ág y AD respectivamente

r y y.

.Resp. 1g0

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

276

fO.46.

IcAP.

r0

Encontrar: (o) los momentos de inercia, y (b) los productos de inercia de un cubo de arista o tomados con respecto a los ejes t, y, z qne coinciden con las tres aristas del cubo que se inte¡sectan.

(o) I"r= Iuy- Irr= lMa2, (bl I"u= Irlr= Ir.= -fMa2 10.47, Encontrar: (o) el momentum angular, y (b) la energía cinética de rotación del cubo del Re.sp.

problerna 10.46 con respecto al punto de intersección O de las t¡es aristas del cubo, si este tiene una velocidad angular o

10.48.

:

2i

*

5j

-

3k conrespecto a o.

Resp.

(a)$,Mor(lü *

43i

- 45k), (b)

l85Ma2A2

Encontrar: (o) los momentos de ine¡cia, y (b) los productos de inercia de una esfera sólida uniforme 12

I z2: ¿2 enelprimeroctante,esdecir,enlaregión r>0, y >0, z>0. Resp. (o) 1",= Iyy- Iu= lMoz, (b) I-= Iy.= Ir.= -2Mozl6¡

+

y2

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA. EJES PRINCIPALES. ELIPSOIDE DE INERCTA 10.49, Demost¡ar que los momentos principales de inercia de ún sistema formado por dos partículas de masas Í,t y t7.z conectadas mediante una varilla ígida de masa despreciable y longitud I son f¡ : Iz :

m¡m2l'/(^r+m), I":9.

1O.5O. Encontrar: (a) del problema 8esp. (o) f,

(ó)

10.61.

10.52.

los momentos principales dé inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales del sistema

10.42.

= 18, Iz= l3-1/i3, fs =

13

+\/il

i+k, +(r+y'?'li-i +k, ü(1-/75)i-i +k,

Determina¡: (¿) los momentos principales de inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales para el triángulo rectángulo ABC de la figura 10-25 con respecto al punto C. Encontrar: (a) los momentos principales de inercia en el cen-

t¡o de un paralelogramo de lados a y b y ángulo agudo

a.

principales de inercia, y (ó) las direcciones de los ejes principales del cubo del problema 10.46'

10.53. Encont¡ar: (o) Ios momentos ResP.

Fig. r0-25

(c) It= Iz- tlMo2, It= fMaz

(ó) El eje asociado con 13 está en la dirección de la diagonal desde el origen. Los ejes asociados con Ir e Iz tienen direcciones cualesquiera perpendicula¡es entre sí sobre un plano perpendicular a esta diagonal.

10.54. Encontrar los momentos de inercia de un cilindro uniforme de radio o y altura Resp. 11- Iz = fiM(la2 + h2), Is = $Maz

h,

10.55, Obtener los momentos principales de inercia y las

direcciones de los ejes principales de un rectángulo de lados o y b usando los resultados del problema 10.45 y las ecuaciones (11). Hacer una compa¡ación con el problema 10.9.

10.56. Encontrar las longitudes de los ejes del elipsoide de inercia correspondientes al rectángulo del problerna 10.55. Retp. ttffia2, 4,ffi, tt/slu1oz + oz¡ 1O.57. Encontrar las longitudes de los ejes del elipsoide de inercia p. 4{3 / flM o2, R I ttÚ oz, 2\/ 6 / M o' "

"

^f-Z

10.58. Demostrar que el elipsoide de inercia

correspondientes al cubo del problema 10.46.

de un tetraedro regular es una esfera y determinar su radio.

10.59. Si Ir, ¡2, /3 son los momentos principales de inercia, demostrar que It = Iz]- Is, 12 < 11* Is, Is = It* Iz IO.GO. ¿Con qué condiciones

permanecen uno o todos los signos de igualdad del problema 10.59?

cAP. l0l

10'61'

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO Demostrar que si un cuerpo rígido es un sólido de revolución alrededor de una línea

principal correspondiente a cualquier parte de .L.

10'62'

277

z,

entonces .L es el eje

Suponer que un cuerpo rígido es simétrico con respecto a un plano p. Demostrar que si .L es una línea perpendicular a P en el punto o, entonces z es un eje principai que pasa por punto el o.

ECUACIONES DE EULER DEL MOVIMIENTO

10'63'

Un cuerpo rígido que tiene un punto fijo o sobre el cual no actúa momento externo con respecto a o, tlene dos ejes principales de inercia iguales. Demost¡ar que debe rotar con velocidad angular constante.

10'64'

Escribi¡ las ecuaciones de Euler para el caso del movimiento de un cuerpo ígido en un plano y discutir su significado fisico.

10'66.

Resolver el problema de un péndulo compuesto usando las ecuaciones de Eule¡.

f

0'66'

10.67.

Describi¡ la forma en que pueden usarse las ecuaciones de Euler para discutir el movimiento de un cilindro sólido que rueda por un plano inclinado. Expresar las ecuaciones de Euler en el caso en el cual los ejes no son los ejes principales.

MOVIMIENTO LIBRE DE FUERZA. LINEA Y PLANO INVARHBLDS.

FOLHODE, HERPOLHODE, CONOS ESPACIALES Y DEL CUERPO 10'68' Si dos momentos principales de inercia correspondientes al punto fijo con respecto al cual rota el cuerpo rígido son iguales, demostra¡ que: (a) el elipsoide de Poinsoies un eiipsoide de revolución, (b) el polhode es un círculo,

10'69'

y (c) el herpolhode

es

un círculo.

Discuti¡: (a) la línea y el plano invariables, (ó) el polhode y el herpolhode, y (c) los conos espacial y del cuerpo en el caso de un cuerpo rígido que se mueve paralelamente a un plano dado, es decii, el movimiento en el plano de un cuerpo rígido.

1o'7o' (¿) ¿Cómo podría usted definir espacio?

lo'71'

el eje instantáneo de rotación del movimiento de un cuerpo rígido en el (ü) ¿Cuál es la relación entre el eje instantáneo de rotación y los conos espacial y del cuerpo?

Demostrar que con ¡elación al centro de masa el eje con respecto al cual gira en un día rotará alrededor de un eje inclinado 28,5. con respecto a éste 2b.?g0 años.

ANGULOS DE EULER

lO'72.

Usando la notación del problema 10.20, encontrar: (a) I, J, I, J, K; (c) i,, j,, k, en función de I,, J,, K,.

K

de

rBesp.

10.73.

en función de i, j, k; (ó) I,, J,,

K,

en función

(o) I = cogpi*sengi, J = -senCi*cospj, K = k (ó) lt = l, J, = cos'J*sendK, K, = _sene J*cosAK (c) i/ = cogú I'* seng J,, J, = -senú I, * cosú J,, k, K, =

Demostrar los resultados

Lo'74' Si 1r - Iz : Is, principales es ?

.t. = , CoSO * ¡! send sen p t,l', = ,senó - úsenrcosó .tz = i+*.o"t,

demostrar que la energia cinética de rotación de un cuerpo rígido referido a los ejes

= *Ir(it + 6, + i, + Zii

coa e).

MOVIMIENTO DE SPIN DE TROMPOS Y GIROSCOPOS

lo'75'

Un trompo, que tiene un ¡adio de giro con respecto a su eje igual a 6 cm, rota al¡ededo¡ de su eje. El punto fijo y el cent¡o de gravedad egtá sobre el eje a-uni distancia de B cm del punto fijo. Si se ooserva que el trompo tiene un movimiento de precesión alrededo¡ de la vertical dando 20 revoluciones,/minuto, encontrar la magnitud de la velocidad angular del trompo alrededo¡ de su eje. Resp. 3,10 rev/seg ó 19,5 rad,/seg de giro está

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

278

IcAP.

10

10.76,

Un cono recto circular sólido de ¡adio a y altura l¿ rota de modo que su vértice está fijo y su eje está inclinado un ángulo c constante con relación a la vertical. Si el eje tiene un movimiento de precesión de peúodo P, encontrar la magnitud de la velocidad angular del cono con respecto a su eje.

l}.l7.

Desarrollar eI problema 10.?6 si sobre el cono se acopla una semiesfera sólida uniforme de radio o y de la misma densidad del cono.

10.78.

Explicar físicamente por qué el eje de spin del giróscopo de las figuras 10-6 y 10-7 debe mantener su dirección.

10.79.

Explicar la forma en la cual un giróscopo puede usarse para consegui¡ que un barco, un avión, un submarino o un proyectil siga una trayectoria determinada.

PROBLEMAS VARIOS de a¡ista ¿ y masa M se dispone de manera que tres de sus a¡istas coincidan con los ejes positivos x, y y z de un sistema de coordenadas y el vértice con el origen O- Si rota al¡ededor del eje z con velocidad angular o, constante, encontrar el mo¡nentum angular. Resp. -SMa2o(3i * 3j - 8k)

lO.8O. Un cubo sólido uniforme

fo.$l. fO.82.

Encontrar el momento de inercia de un cono sólido uniforme de ¡adio o, altura h y masa M con respecto vértice. 8esp. (o) hMo", (b)*M(2h2 * a2)

a: (c) la base, (b) el

Encontrar los momentos principales de inercia centroidales de una placa elíptica uniforme de semieje mayor o y semieje menor b. Resp. It : +Mb2, Iz : IMa2, Ix : IM(a2 + b2')

fO.83. Un trompo tiene Ia fo¡ma de un disco sólido uniforme de radio a

y masa M y una varilla delgada de masa m y longitud I acoplada a su centro (figura 10-26). Encontrar la velocidad angular con la cual el trompo debe rotar para que parezca "dormido". Suponer que el punto O es

fijo.

10.84.

Desarrollar el problema 10.&3 ¡eferido a un cono de ¡adio c, altura lr y masa M.

10.85.

Desa¡rolla¡ el problema 10.8Íl para un cono de radio a, altura h y masa M sobre el cual se ha acoplado una semiesfera de radio o y masa m.

10.86.

Una moneda de radio t¡ se pone en rotación, con respecto al eje vertical, con velocidad angular o (figura 10-27). Demostrar que el movimiento es estable si o2 2 4g/s-

10.87.

Suponer que la moneda del problema 10.86 rota con velocidad angular s alrededor de un diámetro que está inclinado un ángulo d con ¡especto a la vertical y el cual está fijo en O. Suponiendo que no hay nutación, encontrar el valor de la velocidad angular de precesión de la moneda alrededor del eje vertical.

Fig. l0-26

10.88. Discutir la forma en que pueden usarse los

Fig. l0-27

giróscopos para controlar

los movimientos de un barco en un mar tormentoso.

10.89. El

vé¡tice de un cono sólido uniforme de radio c, altura h y masa M se fija a un punto O de un plano hor¡ alrededor de un eje que pasa por O y

rizontal. Demost¡ar que si el cono rota con velocidad angular perpendicular al plano, entonces la energía cinética de rotación

lO.9O. Explicar cómo pueden de los ejes principales.

es '

3Mh1\:'=+

4ü(oz*

2l!:'"' hz)

encont¡arse los ejes principales de un cuerpo rígido conociendo la dirección de uno

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

279

ro'91. un cono sólido uniforme tiene un radio

igual al dobre de su altura. Demostrer que el elipsoide de inercia correspondiente a su vé¡tice es una esfera.

ro.92.

Explicar cómo puede usarse el giróscopo como brujula, frecuentemente llamado u,na brújula giroscópica.

10.93. El

sistema most¡ado en Ia figura 10-23 muestra dos masas M

Fig. l0-2t

lo'94' (a) Demostrar que la magnitud del momento necesario para mantener I +Ml2@2 sen 20¿. (ü) ¿Cuál es la dirección del momenio?

el sistema

10.98 en movimiento

lo'95'

Desarrollar: (a) el problema 10.93, y (b) el problema 10.94 si la varilla tiene una masa m.

10.96.

Una placa sólida delgada y uniformc de forma circular y dc ra_ dio a tiene su centro acoplado ar e¡tremo superior de una varilla deliada vertical OA (figura 10-29). Este gira con un valor cons_ tante oe alrededor de un eje inclinado un ángulo a con la normal OB a la placa. (a) Demost¡ar que el vector velocidad angular o tiene una precesión alrededor de la normal OB de pe_ Áodo 2r/(os cos c). (b) Demostrar que el eje Og describe un cono espacial y su periodo es 2r/(os\nTá cosu;).

fO.97.

En el problema 10.96 encontrar el ángulo que gira la placa en el tiempo en que OB desc¡ibe el cono especial.

ro.98.

Encontra¡ los momentos principales de inertia de un cono sólido uniforme de ¡adio c, altura h y masa M con rcspecto al: (o) vórtice, (b) centro de masa. Resp.

lo'99'

B

(o) It = Iz = tW(a2 + thzl, Is = fiHcz (ó) Ir - tr=SM1nz*4o\, Ir= $Aot

Fig. 10-29

Un péndulo compuesto de masa M o¡cila ¡lrededor de un eje ho¡izontal que forma los ángulos a, F, t con respecto a los ejes principales de ine¡cia. Si log momenlos principales de inercia son.I¡, f2, f3 respectivamente y la distancia del centro de masa al eje de ¡otación es l, demostrar que para pequeñas oscilacioneselperíodoes 2"1@i donde 1: Mlz +Itcoe2 af I2coe2 coe2

AlIa

t.

fO.1OO. Encontrar el período de pequeñas oscilacionés de un cono sólido uniforme que rota alrededor de un eje horizontal coincidente con el vértice del cono.

l0.l0l.

Una placa elíptica (figura 10-30) de aemieje mayor ¿ y semieje menor b rota con un valor o6 conrtante alredcdor de un eje que forma un ángulo a con el eje rrayor. En_ contrar el momento requerido para producir estc movi_ miento,

lO,lO2. Desarrollar el problema plaza por un elipsoide,

10.101

si la placa elíptica re ¡rÉFig.10-30

lcAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

280

10

lO.1Og. Dadas las ecuaciones de Euler del movimiento Ce un cuerpo rígido cuando no existe momento externo

fijo O, es decir, flór+(^I3-12)o2,is

a un punto

demostrar

= 0,

1232+gr-f3)rsor1

* Is"! = I?"1 + t?'7+ 13"3 = tr"! +

que

Y

tro?,

= 0,

Isüs+(12-f1)o1r'r2

constante

=

2T

constante

=

I12

= I

lO.lO4. Demost¡ar del problema 10.103 que @r, 02 y dB satisfacen una ecuación diferencial de Ia forma

dy/dx : \/G-pl¡--TJ|¡,

y comprobar

así que

la velocidad angular

puede expresarse en térmi-

nos de funciones elípticas.

lO.lO5. Encont¡ar el momento de inercia de un

cono sólido uniforme de radio o, altura h

to a una linea que coincide con su generatriz.

Resp.

y masa M

con respec-

-ftMa2(a2 l6h2),/(a2 + h2)

10.106. Losmomentosyproductosdeinerciadeuncuerporígidoconrespectoalosejesx,yyzsonl":3, Ivv: l,/g, 1,, : g,/8, I,y : 4/8, 1,, : -4/3, Iy, : o. Encontrar: (o) los momentos principales de inercia, y (b) las dirccciones de los ejes principales. Resp.

(dl fr = 8, I2=2, lt- 4 (D) e1 = l-2t-2k, e2= -2i+i-2k,

ee

=

-2i-2i+k

sobre un plano horizontal con el vértice fijo en el punto O. Demostrar que el eje del cono rota alrededo¡ del eje vertical que pasa por O con una velocidad angular de valor o tan a constante.

lO.lO7. Ur¡ cono de ángulo a con Ia vertical rueda con un valo¡ o constante

alrededo¡ de un eje vertical con una velocidad angular o constante. Una esfera sólida uniforme de ¡adio o se coloca sobre este plano. Demost¡ar que el centro desc¡ibe un círculo con velocidad angular de valor fior.

lO.lO8. Un plano horizontal rota

el problema 10.108 si la esfe¡a no tiene densidad constante. Resp. oK2,/(Kz ¡ sz) donde K es el radio de giro con respecto a un diámetro

lo.lo9. Desarrollar

lO,flO. Demost¡ar cómo pueden encontrarse las distancias ¡elativas máxima y mínima del origen al elipsoide ¿D : Ar2 I By' + Cz2 * Dxy * EYz I Fxz: l. (Sugerencia. Encontrar el má¡imo y el míninto de la función * : x2 * y2 * z2 para la condición ,D : l. Para hacerlo, úsese el método de los multiplicadores de Lagrange, esto es, considérese la función G : V * Ió donde )r (constante) es el multiplicador de Lagrange y eI conjunto AGlan' AG/da,0Gl0z es igual a cero.)

lo,llf.

Explicar la relación entre el problema 10.110 y el método de la prígina 255 para obtener los momenios principales de inercia y las direcciones de los ejes principales.

lO.lf2. (c) Encontrar las distancias relativas máxima y mínima del origen al elipsoide 9x2 * 4xY - 4xz:3(b) Discutir la relación entre los ¡esultados de (o) con l.; del problema 10.106. lg.ff3. Encontrar el momento de inercia del sistema de partículas del problema que pasapor el punto (2, -I,3) en Ia dirección 3i - 2i + 4k.

822

*

si A2 2 anglIJI?.

10.36 es estable

lo.1l5. Encont¡a¡ el momento de ine¡cia de la lemniscata r2 : a2 cos20

con respecto al eje

0.116.

|

10.42 con respecto a una línea

10.114. Demostra¡ que el movimiento del "trompo dormido" del problema

f

LOy2

z.

Resp' [Ma2

Sobre un cuerpo rígido plano (una lámina) se toman dos sistemas coordenados ty y x'y' con su origen O coincidiendo de modo que el ángulo entre los ejes r y r'es c (figura 10-31). Demostrarque (o) Ir'r' = Irx cos2 a - 2lto send cos a I l*sen2 a

(b) It'u' = I*een2 o * 2lry

1O.117. Usar el problema

10.116

sen

d cos a

*

Iuosenz q

para demostrar que

y dar una interpretación fisiba.

Ir'r' + Iv'u, = I""I

Iou

cAP.

101

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

28r

Fig.l0-31

lo.ll8. lo.ll9.

Con refe¡encia al problema 10.116, encontrar una expresión de lr,o, en función de

f,,, I,r, I, y

a,

Usando los resultados de los problemas 10.116 y 10.118 probar que para una región plana cuyos momenros

y productos de inercia se definen mediante 1,,, I,r, /r, con relación a un sistema coordenado particular ry, los ejes principales se obtienen rotando los ejes un ángrllo c dado por tan 2a : I,r/(Ir, 1,,).

-

l0.l2o.

Demostra¡ que las longitudes de los ejes principales en el problema 10.116 están dadas por

,(1,,+t"¡+1/ffi@

lO.l2l.

Discutir el problema 10.19, si

I, )

1".

lo.l22. Halla¡ el momento de inercia de un alambre semicircula¡ de masa M y radio a con respecto a 8u centro. Resp. 2M(r - 2la2/r r0.r23. Demostra¡ que la expresión del lado izquierdo de la ecuación (4) en el problema 10.29 es la componente ve¡tical del momentum angular.

lo.l24. Discutir el problema

si la raíz de la ecuación (1) es: (o) igual a u,, (b) menor eu€ u1. roJ25. un cuerpo rígido consta de 3 partícul8s Dl¡, mz ! ms. Las distancias entre ¡n t ! mzi mz y mai mt ! m ¡ son J¡2, lzs ! let, respectivamente. Demostrar que el momento de inercia del sistema alre10.32

dedor de un eje perpendicula¡ al plano de las partículas y que pasa po¡ su centro de masa está dado por

mtmzt?zj,rcr*msmi!, lo'126'

Deducir un "teorema de los ejes paralelos" para los productos de inercia e ilustrarlo con un ejemplo.

LO'127' Demostra¡ que los momentos principales de inercia de un triángulo de lado a, b, c y de masa M al¡ededor del cent¡o de masa están dados por

It = Iz = ff@r+b2+"2+2@, lo'l2E'

Is = fff""*b2+c2)

Una moneda de 1,5 cm de ¡adio rueda sin deslizarse sob¡e una mesa horizontal en tal forma que el plano de la moneda hace un ángulo de 60o con la mesa. Si el centro de la moneda se mueve con rapidez de 3 m/seg, demostrar que la moneda se mueve en una trayectoria circular y hallar el radio . Resp. 2,5 m

Copítulo ll Ecuociones de Logronge METODOS GENERALES DE LA MECANICA Hasta ahora la formulación de los problemas de mecánica ha sido tratada fundamentalmente con las leyes del movimiento, de Newton. Es posible tratar la mecánica desde puntos de vista más generales, en particular los que se deben a Lagrange y a Hamilton. ^A,unque tales procedimientos se reducen a las leyes de Newton, ellos se caracterizan no solamente por la relativa facilidad con que muchos problemas se pueden formular y resolver sino por su relación tanto teórica como práctica en campos avanzados, tales como mecánica cuántica, mecánica estadística, mecánica celeste y electrodinámica.

COORDENADAS GENERALIZADAS Supongamos que una partíóula o un sistema de N partículas se mueven sujetas a posibles constricciones, como por ejemplo una partícula que se mueve a lo largo de un alambre circular, o un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de un plano inclinado. Entonces, se necesita un número mínimo de coordenadas independientes para especificar el movimiento. Estas coordenadas denotadas por Qt, Qz, . .

(1)

., Qn

son llamadas coordenadas generalizadqs y pueden ser distancias, ángulos o cantidades que las relacionan. El número n de coordenadas generalizadas es el número de grados de libertad.

En un problema dado son posibles varios conjuntos de coordenadas generalizadas, pero una elección apropiada puede simplificar el análisis considerablemente. NOTACION En adelante el subíndice a denotará el rango de I a n, del número de grados de libertad, en tanto que el subíndice y indicará el rango de 1 a A, del número de partículas del sistema.

ECUACIONES DE TRASFORMACION Sea r,= fivi'lU,i*z,k el vector de posición de la ¡,-ésima partícula con. respecto a un sistema de coordenadas xyz. Las relaciones de las coordenadas generalizadas (1) a las coordenadas de posición están dadas por las ecuaciones de trasformación rv = rr(Qt, Qz, . . ., q', t)l

Uv :

2v =

U,(qr, qz, . ' ., Q", lr(Qr, qr, . . ., qr,

t) | t)

(2)

|

donde ú representa el tiempo. En Ia forma vectorial (2) se puede escribir así

ru :

rr(et, ez, , , ., en,

t)

Se ha supuesto que las funciones (2) V (3) son continuas y tienen derivadas continuas.

(3)

cAP.

111

ECUACIONES DE LAGRANGE

283

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS MECANICOS Los sistemas mecánicos se pueden clasificar en escreronómicos o reonómicos, holonómicos o no-holonómicos y conseruatiuos o no-conseruatiuos de acuerdo con las siguientes definiciones. SISTEMAS ESCLERONOMICOS Y REONOMICOS En muchos sistemas mecánicos importantes el tiempo ú no aparece explícitamente en las ecuaciones (2) o (3). Tales sistemas algunas veces se llaman escleronómicos. En otros, como por ejemplo aquellos que implican movimientos con constricción, el tiempo ü aparece explí-

citamente. Tales sistemas se llaman reonómicos.

SISTEMAS HOLONOMICOS Y NO.HOLONOMICOS Denotemos por g r, e z, . ., Q n las coordenadas generalizadas que describen un sis_ tema y llamemos ü el tiempo. Si todas las constricciones del sistema se pueden expresar por ecuaciones que tengan la forma ó(qt, e2,..., Qo, t) - 0, o su equiválente, se'dice, entonces, que el sistema es h'olonómico y en caso contrario se dice qué el sistema es no-holo-

nómico.

SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO.CONSERVATIVOS Si todas las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden obtener de una función potencial (o energía potencial) V, entonces el sistema se llama conseruatiuo. en caso contra¡io será no-conseru at iuo. ENERGIA CINETICA. VELOCIDADES GENERALIZADAS La energía cinética total de un sistema es

T = !2L*,*

(4)

La energía cinética se puede escribir como una forma cuad,rótica de las uelocidades generalizadas ó". Si el sistema es escleronómico (o sea, explícitamente independiente del tiempo ü) entonces la fo¡ma cuadrática tiene solamente términos de la forma a,pQ.ep. Si este es reonómico, también están presentes los términos lineales enQ,.

FUERZAS GENERALIZADAS Si I;[/ es el trabajo total realizado sobre un sistema de partículas por las fuerzas F, que actúan sobre la y-ésima partícula, entonces I

dW= 2

i;*

donde

oa = E-"

oodq,

6q"

llama la fuerza generalízado asociada con la coordenada generali ma 11.6. se

(5) (6) zad.a q o. Véase el proble-

ECUACIONES DE LAGRANGE La fuerza generalizada se puede relacionar con la energía cinética por las ecuaciones (véase el problema 11.10)

ldT \ A\ail/ d

ar ¡,q"

=Oa

(7)

2U

ECUACIONES DE LAGRANGE

IcAP.

11

Si el sistema es conservativo de modo que las fuerzas se pueden obtener de un potencial o de la energía potencial V, podemos escribir (7) como

d /aL\ ó¿ ti\iil) -t":

donde

o

(8)

L=T-V

(9)

que se llama función lagrangiana del sistema o simplemente lagrangiana. Las ecuaciones (7) y (8) se llaman ecuaciones de Lagrange y son válidas para sistemas holonómicos los cuales pueden ser escleronómicos o reonómicos.

Si algunas de las fuerzas del sistema son conservativas o sea que se pueden obtener de un potencial V', en tanto que otras fuerzas tales como el rozamiento, etc., son fuerzas no-conservativas, podemos escribir las ecuaciones de Lagrange como

d

/aL\

a¿

dt\aq"/ donde

L : T - V' y qL

(10)

:Qc

lqo

son las fuerzas generalizadas asociadas con las fuerzas no-

conservativas del sistema.

MOMENTA GENERALIZADOS Definimos

Fa:fil dT

(1

1)

el momentum generalizado asociado con la coordenada generalizada q,. Con frecuencia llamamos a p, el momentum conjugado de go, o ¡nomentum conjugado. Si el sistema es conservativo y su energía potencial depende únicamente de la coordenada generalizada, entonces (lI) se puede escribir en función de la Lagrangiana L : T - V

pa=filAL

(12)

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO-HOLONOMICOS Supongamos que hay rn ecuaciones de constricción de la forma

2 A"dq, + Adt o su equivalente

(13)

)A"d"+a =0, )8"A"+B:0,

Por supuesto debemos tener m

( n

(14)

donde n es el número de coordenadas g".

Las ecuaciones (I3) o (I4) pueden o no ser integrables para obtener relaciones que involucren las go. Si no son integrables las constricciones son no-holonómícas o no-integrables; en caso contrario son holonómicos o integrables. En cualquier caso las ecuaciones de Lagrange se pueden remplazar por

d laT

;¡\iil donde los rn parámetros el problema 11.18).

?-

\ - a? = ,*

trr, tr2,

@o

*

trrao

+

)'28" +

(15)

son los llamados multiplicadores de Lagrange (véase

Si las fuerzas son conservativas (15) se puede escribir en función de la lagrangiana Z V como a¿ d /aL\ a\;=*) - ," =

trrao

*

'\28"

+ "'

:

(16)

cAP.

lrl

ECUACIONES DE LAGRANGE

285

Hacemos énfasis en que los resultados anteriores son aplicables a sistemas holonómicos (como también a los no-holonómicos) puesto que una condición de const¡icción de Ia forma

ó(Qtqz,...,Qn,t) =

0

(17)

=o

08)

por diferenciación se puede escribir como

la cual tiene la forma (IJ).

saÓaa"+ffat ? aq"*

ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS IMPULSIVAS Supongamos que las fuerzas F, que actúan sobre un sistema son tales que

('\dt lím r+O

= J,

)¡

(/e)

donde 7 representa un intervalo de tiempo, F,, las fuerzas impulsiuas y J" los ímpulsos. Si empleamos los subíndices 1 y 2 para denotar, respectivamente, las cantidades antes y después de la aplicación de las fuerzas impulsivas, las ecuaciones de Lagrange se convierten en (véase el problema 11.28):

d?\

a?\ = l" - ñ)' T"= 1t,.#,

(20)

ad"l, donde

si llamamos f" el ímpulso generalizado, Impulso generalizado

:

(21)

(20) se puede escribir

cambio en el momentum

generalizado

e2l

lo cual es la generalización del teorema 2.6.

Proble mas resueltos COORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE TRASFORMACION 11.1. Dar un conjunto de coordenadas generalizadas necesarias para especificar completamente el movimiento en cada uno de los casos siguientes: (o) una partícula constreñida a moverse sobre una elipse, (b) un cilindro que rueda hacia rn un plano "b"¡o inclinado, (c) las dos masas de un péndulo doble (figura 1l-3) constreñidas a moverse en un plano. (o) Consideremos que la elipse está en el plano ry de la figura ll-1. La partícula de masa m en movimiento sob¡e la elipse tiene las coordenadas (r, y). Sin embargo, puesto que tenemos las ecuaciones de t¡asformación ¡ : a cos t, y : b sen d, podemos especificar completamente el movimiento empleado por la coordenada generalizada c.

v

,'ó

Fig. l1-l

Fis. lr-2

Fis. U-8

zffi

ECUACIONES DE LAGRANGE

(b)

lcAP.

11

La posición del cilindro (filu¡a l1-2) sobre el plano inclinado está completamente especificada por la distancia r, que se ha movido por el centro de masa y por el ángulo d que ha rotado el cilindro alrededor de su eje.

Si no hay deslizamiento r y d están relacionados, de modo que tan solo se necesita una coordenada generalizada (bien sea r o e). Si hay deslizamiento son necesarias las dos coordenadas generalizadas r y e. (c)

Las dos coordenadas 0t ! 02, especifican completamente la posición de las masas m1 y m2 (véala figura l1-3) y pueden ser consideradas como las coordenadas generalizadas pedidas.

se

11.2.

EScribir las ecuaciones de trasformación para el sistema del problema 11.1(c). Escojamos un sistema de coordenadas.ry como se muest¡a en la figura 11-3. Sean (¡t, yr) y (tz, yzl las coordenadas rectangula¡es de n¿t ! fiz respectivamente. Entonces en la figura 11-3 vemos que

d1

I1

11

cos

52

J1

cosdl * l2cosC2

Ut = A2 =

11 sen 01 11

sendl * l2sen02

son las ecuaciones de trasformación pedidas.

11.3.

Demostrar que Tenemos

*0Q"-

aP-.

\qo'

tu = tr(Qbgz, ..., {¡, t).

Entonces

dtr. + Aqrer

. ru =

, orr. , "'-'-ll;q¡tE

4

Así

dan

oru

(r)

dr,

(2)

0qo

Podemos considerar este resultado como una "cancelación de los puntos"

11.4.

Demostrar que Tenemos de

9i.. 4/!IL\ dt\aq"/= 0Q"'

(I),

del problema 11.3,

Arv. . , Arv. ¡v = afier+ "'+l¡%+E 02t,

(r) d2tu

= t*t*qr*"'+aqiq"c"+acá¡ 0 /|r,\dq, O f d:,\dqu a/a\\ acr\acJE- "'- a%\a%)E- ü\a%/ 02r, 02¡u 02ru aq¡*tr + "' + auauq" + an,-

Entonces

Ahora

Como se supuso que

02¡u

0¡,

r,

Q)

(3)

tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, el orden de la deriva-

ción no tiene importancia. De modo que de (2) y (3) se llega al resultado pedido. El resultado se puede interpretar como un intercambio en el orden de los operadores, o sea

¿/ a\

¿¡\aq") =

a

/¿I\

aq"\E

)

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS MECANICOS 11.5. Clasificar cada uno de los siguientes sistemas según ellos sean: (i) escleronómicos o reonómicos, (ii) holonómicos o no-holonómicos y (iii) conservativos o no-conservativos.

cAP.

rll

ECUACIONES DE LAGRANGE

287

(a) Una esfera que rueda hacia abajo desde la parte superior de una esfera fija. (b) Un cilindro que rueda sin deslizarse hacia abajo en un plano rugoso inclinado un

ángulo c. ( c ) Una partícula que se desliza hacia abajo sobre la superficie interior, con coeficiente de rozarniento ¡r, de un paraboloide de revolución que tiene su eje vertical y su vértice inclinados. (d) Una partícula que se mueve sobre un alambre muy largo siñ rozamiento, el cual rota con velocidad angular constante alrededor de un eje horizontal. (o) escleronómico (las ecuaciones no contienen el tiempo ú erplícitamente,¡ no-holonómico (puesto que la esfera que rueda abandona la esfera fija en algrin punto)

conservativo

(b)

(la fuerza gravitatori a se puede obtener de un potencial)

escleronómico

holonómico

(la ecuación de constricción

es

la de una línea o un plano)

congervativo (c) escleronómico holonómico

(d)

no-conservativo

(puesto que las fuerzas de rozamiento no se pueden obtener de un potencial)

reonómico holonómico

(las constricciones contienen erplícitamente el tiempo ü) (la ecuación de constricción es lg de una línea que contiene erplícitamente el tiempo ü )

conservativo

TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y FUERZAS GENERALIZADAS 11.6. Deducir las ecuaciones (5) y (6) para el trabajo realizado sobre un sistema de partículas.

Supongamos que un sistema erperimenta inc¡ementos dqr, dq", , dqn de las coordenadas generalizadas. Enüonces la v-ésima partícula experimenta un desplazamiento

d'u Así el trabajo total realizado es

dw =

r,. at, ":),

=

= ,2r*,oo'

.i {"i n,'}}au = "i+"aa"

+a =

donde

á".;

Llamamos th"lafuerzageneralizada, asociadaconlacoordenadagenerarizadaqo.

11.7.

Demostrar que ec = 0W/0q". Tenemos

dw = t#oo".También,

por el problem

>(*"

a rL.6, dw:

-#)o'" =

) ood{,.

Entonces

o

Así, puesto que las dg" son independientes, todos los coeficientes de dqo deben ser ce¡o, y por

0W/)qo,

f

1.8.

Sea F, la fuerza neta Demostrar que

#{e

tanto ó" :

actúa sobre la y-ésima partícula de un sistema.

- )m,i,'

0í, aq"

= ?','#,

lcAP. rr

ECUACIONES DE LAGRANGE

288

De acue¡do con la segrnda ley de Newton aplicada a la partícula r-ésima, tenemos

mr'i, = ú,

Entonces

*ti,.#

Ahora, por el problema

r1.4,

Aeí

ir(r".

(r)

= \.*

el

#) = ;". # * i".*r(r?) = .;,.y;; * ,,.*

i,.dqfu;

= *(r,.*E) - i,'.*

(4)

Por tanto, de (2) tenemos, ya que my es constante,

*(^,','*) - ^,','* = ','fr Sumando en ambos lados cún respecto a todas las partículas r, tenemos

f

1.9. Si ? es la energía cinética

(a) (o)

de un sistema de partículas, demostrar que

#=1*,r,.*, La energía cinérica es

(b)

# = )m,i,.H

f = I7^r3 = L2^"|". i,. Así aT ac"

(b)

= siry"'ll;Oiu

Tenemos por la "cancelación de los puntos" (problena 11.3),

d1'siirs.ot" = zmr\'ñ ñ

=

zmu¡u'ld

ECUACIONES DE LAGRANGE

ll.lo.

Demostrar su"

#(#) - # =

Del problema 11.8,

#{;

tba¡

d= l, ...,fi, donde

oa

=

>

*r'#) - }^r.'*, = ?",.#

De loe problemas 11.9(o) y r1.9(b),

sj^"'r*oi, s.irudT mur,.

i Enüoncea, eustituyendo (2) V @) en

(I),

ñ

F,.

#. (,,

aT = r*

e)

= ft

(3)

encontramos

*(#)-# = óa

v)

cAP.11l

ECUACIONES DE LAGRANGE

La cantidad

Pa

289

=#

(5)

es llamada el momentum generalizado o momentum conjugado asociado con la coordenada generaliza-

d" g"'

ll.1l.

Suponer que las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden obtener de una función potencial V es decir, considerar que el sistema es conseryativo. Demos-

trar que si la función lagrangiana es -L : T _ V, entonces, d /aL\ d¿

d¿\ail)

-d* =

o

Si las fue¡zas se pueden obtener de un potencial V, entonces (véase el problema 11.?),

éa

=

# = -#

Puesto que el potencial o la energía potencial es función únicamente de las q (y posiblemente del tiem-

po

aL = :-€-vl ailtin'

¿,)

aT

= din

leo =

Entonces del problema 11.10

*(#)-#,=-#'*(#)-#

=0

f 1.12. (a) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple, (ó) obtener la ecuación que describe su movimiento.

(¿)

Escogemos como coordenada generalizada el ángulo d que forma la cuerda del péndulo OB y la vertical OA (véase la fi!u_ ra 11-4). Si I es la longitud OB, entonces la energía cinética es

T=

Smoz

=

*,n(lirz

= \rntzáz

(r)

La energía potencial de la masa m (tomando como nivel de referencia el plano horizontal en el punto más bajo Á) está

dada por

V - ms(OA-OCl = ms(t- Icosa) = ¡ngl(L _ cos r)

el

Fig.ll-4

Así la lagrangiana es

L= (ó)

La ecuación de Lagrange

De

T

4,4-\ -eL ) ae =

es

dc\ae AL

(J),

- V = t*lt;, _ mgt(l_

d0

dL

= -mglsene,

cosr)

(3)

o

Tó=

(4)

mlzá

(5)

Sustituyendo en (4) tenemos

mlz'i+mglsenc

= 0

o

'i+f""nc =

0

(6)

la cual es la ecuación de movimiento pedida (comparar con el problema 4.23).

rl'13'

Una masa M2 cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa sobre una polea sin rozamiento y que no rota, (véase la figura 11-5). En el otro extremo de la cuerda hay una polea que no rota de masa M¡ sobre la cual pasa una cuerda que porta las masas mt Y mz. (a) Determinar la lalrangiana del (ó) Hallar la ace"i.t"*". leración de M z.

2n

lcAP. l1

ECUACIONES DE LAGRANGE

Sean respectivamente Xt y Xz las distancias de las masas Mt ! Mz por debajo del centro de la polea fija. Sean ¡r y ¡z las respectivas distancias de m¡ y m2por debajo del centro de la polea móvil M1. Puesto que las cuerdas son de longitud fija,

XL+ Xz = constante = Entonces diferenciando con respecto al tiempo

6',

tt+ü2

= constante =

ü

ú,

ir+li, = s o *r- -*, rr+tt2 = 0

Y

o

fr2

= -xr

Así tenemos

M, - *, de M, - *, = -*, . .l de rn, = ;16r+ rtl = Xt 4 rt

Velocidad de Velocidad Velocidad

=

*r*r*

12)

=' *, +

i, = *, - i,

,nl Fig. rl-5

Entonces, Ia energía cinética total del sistema es

r = twr*i + +Mr*1 *

gm¡(*1+i,)z

+ L m, (*, - i,\'

(r)

La energía potencial total del sistema medida con relación al plano horizontal que pasa por el cen-

tro de la polea fija

v

es

= -Tn',oo**', -:::: -.1"1.;J,i;',;,:":.;:i*',*

Entonces la lagrangiana

o

-,u

e)

es

L = T-V

=

tMr*1 + +M2*1 + Sml*1*ir¡z ¡ ¡m¡*r-ir¡z * MúX, -l M2s@-Xt) + mú(Xt*¡r) 4 mzc(Xt*ü-r1)

Las correspondientes ecuaciones de Lagrange para X ¡ j

a

¡

(3)

son

d/aL\ a¿ = o, ^ d/aL\ dL al#;)-#, a\r;)- r,

=

(4'

o

De (3) tenemos Af.

= (Mt-Mz*m1lrn2)g

d¡, = Mú-Mzg+rnplm2g AL

oXt dL dnt AL d&t

nlr*r+ ar*r+ m¡i.r+ir¡ + ^r1*r-ir¡ = mp-n¿zg = Q\-mzlg = m¡*r+ir¡ - ^¡*r-ir¡

(Mt+Mz+m1+m2)*1

= pnr-m2)*r * (m1im2li1

Así, las ecuaciones (4) vienen a ser

* (mr-rn2)11 = (Mr-Mz+m1*m)g @r-*z)i, * (mt*mz)'í = (mt-mzls

(ML+ M2*m1*m2)X1

Resolviendo simultáneamente. encontramos

*

(m1-m2)i1

CAP.

111

ECUACIONES DE LAGRANGE

29r

Entonces la aceleración hacia abajo de la masa M2 es constante e igual a

X2=-Xt=g l1'14' Usar las

ecuaciones de Lagrange para determinar sas en oscilación del problema g.1. Refiriéndonos a las figuras 8-T y 8-g, la energía cinética

T = \mil+

la ecuación diferencial de las ma-

es

grni:l

(1)

Como los alargamientos de ios reso¡tes AP, PQ y QB de la figura 8-8 son numéricamente iguales a xz - xt y 12 respectivamente, la energía potencial del sistema es De modo que la lagrangiana

y = ¡*r2'-t !r(r2-

es

r1)2

r

e)

lx',?"

L = T-V - +nxil+t*i,tr-**"1_ t*@r_n112_$rxf, Las ecuaciones de Lagrange

a¿ ^ d /aL\ Tr\;l) a''=u' ¿¡l;ily

como

0rt

(3)

son

d /aL\

Entonces

r¡,

u)

- -Krr* x(r2-n1l = r(r2-Zrr),

AL

dn,= -*(n'-e)-Krz las ecrraciones (4) se convierten

= 'c(rt-2'r),

"n mt, = K(rc2-rrrr,

m'iz

)

(5)

en concordancia con las que se obtuvie¡on en el problema g.1.

1r'15' Usar las ecuaciones de Lagrange para hallar la ecuación diferencial de un péndulo compuesto que oscila en un plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo.

Consideremos que el plano de oscilación está representado por el plano ry de la figura ll-6, donde O es la inte¡sección con el eje de rotación y C es el cent¡o de masa.

Co

que la masa del péndulo es M y su momento

de inerc radio de

cto a su eje de rotación es 16

istancia OC

:

:

MK2 (K

:

h.

Si d es el ángulo instantáneo que hace OC

con el eje vertipasa po¡ O, entonces la energía cinética es ? : ¡tobt : lMXz'ez. La energía potencial con relación al plano ho¡izontal que pasa por O es V : cos d. po¡ tanto la lagrangiana

cal

que-

-Mgh

es

L = T-V

Puesto queóL/Oe = ción de Lagrange es

o

- l2Mlfziz*Mghcose -Meh sen d y dL/6it = MR26, la ecua-

#(#)sea

MK2';*Mghsene = 0 Compare con el problema 9.24.

ll'16' Una partícula

-e o

=

o

T+*""ne 'K2

=

0

Fig.ll-6

de masa /n se mueve en un campo de fuerza conservativo. Hallar (o) la función de Lagrange (b) las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas (p, ó, e) (véase el problema LI47).

292

ECUACIONES DE

(o)

La energía cinética total

la lagrangiana

ces

es

? = t*lb, *

p2í2

LAGRANGE

[CAP. 1I

+ izl. La energía potencial V : V(0, d, z). Enton-

L = T-V - **liz+e242+r2)-V(p,e,zl (b) Las

ecuaciones de Lagrange son

¿t / aL\ aL :-l:=dr\a; l-- ao = 0,estoes

) ¡l / aL\\-- aL _=t: = dú \a¿ ) ao

4(+\-* dú\a; )

a"

=

_av

#,^;, - (^or"

dp

*fi -0 '

0,estoes

ftwr"b

o,estoes

¿\mz) +

d..,.av E

=

i, -. o mZbzd dt" " ---

av ao

U o ¡nz=-E av

11.17. Hacer el problema 11.16 si la partícula se mueve en el plano ry y si el potencial depende únicamente de la distancia al origen. En este caso V depende únicamente de p y z : 0. Entonces las ecuaciones de Lagrange en la parte (b) del problema 11.16 vienen a ser

m(í_p6\ =

_#,

ftG,it =

o

Estas son las ecuaciones de movimiento en un campo de fuerza central obtenidas en el problema 5.3.

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO.HOLONOMICOS 11.18. Deducir las ecuaciones de Lagrange para constricciones no-holonómicas. Supongamos que hay m condiciones de constricción de

?O"Oo.

I Ailt = 0,

la

2B.dqn

forma

* Bilt =

o,

(r)

< n, el núme¡o dq coordenadas 9". Como en el problema 11.10, tenemos

donde ¡n

Yn

=

*(#)-#

= ]*,;,.*

(2)

Si 8r, son los desplazamientos virtuales que satisfacen las constricciones instantáneas (obtenidas considerando que el tiempo , es una constante), entonces Ahora el trabajo virtual realizado es

sW

6r' = ? *'0"

(3)

= )m,i,'6r, = ??-,i'*ro'

= )Yoeq, a

Ahora, puesto que el trabajo virtual se puede escribir en función de las fuerzas generalizadas

sw

Q) Oo como

(5) d

por resta de (4) y (5) tenemos,

>(Y"-óo)6go = q

(6)

0

Puesto que ógo no son todos independientes, no podemos concluir que Y" : éo, lo cual nos con' a las ecuaciones de Lagrange como en el problema 11.10. A partir de (l), como t es constante para constricciones instantáneas, tenemos las ¡n ecuaciones

duciía

)Ar8qo = g, )8oEqo = qd

o,

(7)

cAP. Ul

ECUACIONES DE LAGRANGE

Multiplicando por los m multiplicadores de Lagrange trr,

) (Irao + )\zBa * .. .)

293

tr2, y sumando, go = 0

tenemos (s)

e

y (8) nos da

Restando de (6)

?

("" -

éd

-

¡,r¿a

-

tr¿Bo

- ...)

8qo

= o

(9)

Ahora según (7) podemos resolver ¡n de las cantidades 69" (digamos 6qt, ..., óg.) en función de las restantes fo" (digamos 0qm+¡ , óC^). Así en (9) se pueden .orr.id"r* inr, .., óg. como de-

y 6e m+r¡ . . ., 8{, como independientes. Consideremos arbitra¡iamente los coeficientes de las va¡iables dependientes iguales a cero, es decir,

pendientes

Yo-óo-trtÁo-)\¿Bo-..,

- 0,

a=1,2,..,rrn

(10)

Entonces quedarán en la suma (9) únicamente las cantidades independientes óq" y, puesto que éstas

son a¡bitra¡ias, se deduce que sus coeficientes deben ser ce¡o, Así.

Yo- úo-)\ta, Las ecuaciones (2), (I0) y

(lI)

d /aT\ A\ffl-ñ,

-\zBo_

... - 0,

a=tt|,*Lr.,.rn

nos conducen a

dT

= oc+rraa+tr28o+"'

corlo se pedía. Estas ecuaciones junto con (I) establecen las ¿

r1.19. Deducir las ecuaciones Del problema

utl

a=1,2,..',n

(12',

* ¡n ecuaciones con n * m incógnitae,

(16), para sistemas no-holonómicos conservativos.

11.18

n"(#")-# = ód + r'ád + + "' ^2Ba Entonces las fuerzas se pueden obtene¡ de un potencial, (1) se puede escribir

#t(fn) -

dondeZ:T-V.

# :

é, = -aV/ilqo

rr,c +

r28a

+

(r)

donde V no depende de rio. Aeí,

"'

(21

f f.2O. Una partícula de masa fn se mueve bajo la acción de la gravedad sobre la superficie interna del paraboloide de revolución x2 + J2 : az el cual suponemos sin rozamiento (véase la figura 11-7). Obtener las ecuaciones de movi_ miento. Según el problema 11.16, nadas cilíndricas está dada por

la

lagrangiana en coorde.

L = f,m1i,z + p2;i2 + iz¡ - mgz (r) I y2 : pz, la condición de constricción

Puesto que x2

esp2-az-0asíque

2p8p-o6z = O Si llamamos gt : 0, Qz :

e)

tf, Qt : z y

comparamos (2) con las ecuaciones (Z) del problema 11.1g, vemos que

At=2p, Az=0, As=-a

Fig.11-7

(J)

puesto que sólo se da una const¡icción. Las ecuaciones de Lagrange (véase el problema

escribi¡

d /aL \ ¿i\ñ)-

ó¿ ú, = trrl'

a

= tr2r$

U.l9)

se pueden

IcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

294

es

decir, *(#) -ú =

Usando

,^,0,

d /aL\

dL

A(rA)

=

dp

d /aL\

u'

Tr\rz

)-

1r

aL

a" = -)rro

(l), esto viene a ser

*6-p6\ = 2)rrP ^ftb'it = o m2 = -mg-^ro

(4) (5) (6)

También tenemos la condición de const¡icción

2pp-o2 =

(7)

O

Las cuatro ecuaciones (4), (5), (6) v (7) nos facilitan encontrar las cuatro incógnitas p, ó, z, ]¡.

Ll-.zL. (a) Demostrar que la partícula del problema 11.20 describirá un círculo horizontal en el plano z : h siempre y cuando se le imprima una velocidad angular de magnitud igual I o : \tr|n. (b) Demostrar que si la partícula se desplaza ligeramente de su ttayectoria circular, entrará en oscilación alrededor de su trayectoria con una frecuencia dada por

(r/")\/2e8.

(c) Discutir la estabilidad (¿)

El radio del círculo que

se

de la partícula en la trayectoria circular.

obtiene al intersectar el plano z

oo Rcmplazando

z: h

-

: h

con el

paraboloide p2

az

es

(/)

tlob

en la ecuación (6) del problema 11.20 hallamos

ltt = -'nglo

e)

Entonces remplazamos (1) V Ql en la ecuación (4) del problema 11.20 y llamando tramos que rn (-p9ro2) = 2(-mglolpo o ,¿2 = 2glo de lo cual

El período y la frecuencia de la partícula

,,=r,G y

(b)

:

": ":tmtoria

i :

a, encon-

circula¡ están dados, .""o""ri""-"n,1,

lt=*"\rc

(4)

De la ecuación (5) del problema 11.20 hallamos

P2ó

Si

suponemos que

=constante= A

la particula partió con velocidad angular

i =

(5) o,

hallamos

A : aho,

así que (6)

olu¡lP2

Como las oscilaclones tienen lugar muy cerca del plano

z:

h, hallamos, remplazando

z:

á

en la ecuación (6) del problema 11.20, que

\t = -'nglo Remplazando (6)

v (7) en la ecuación (l) del problema

(7) 11.20 hallamos

i - oznz']¡rt = -zgplú

(8)

Ahora si la trayectoria se aparta ligeramente del círculo, entonces p se aparta ligeramente de p6. Esto nos perrnite hacer la t¡asformación

o - pstu

(9)

en (8); donde u es pequeña en comparación con p¡. Entonces (8) viene a ge¡

ü-m

= -!too*u)

Pero con un alto grado de aproximación,

11

6,+"F =

wÑ

=

t('*#)-' = t('-#)

Q0)

cAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

111

295

po¡ el teorema del binomio, en donde despreciamos los términos que tienen u2, do los valo¡es de po y o dados en (I) y (J) respectivamente, (I0) vlene a ser

ü+(Sslolu cuya solución

=

u3,..

Emplean-

o

(5)

es 1t = q cos 1f Bgll ú * c2 sen 6c/" t, Así p = po*u = t/ií+,reos{ffiú*e2sen{ag/"t

De esto se concluye que si la partícula se desplaza ligeramente de su trayecto¡ia circular de radio po : \/ffi, esta entra¡á en oscilación al¡ededor de la trayectoria con frecuencia

rz =

+rE =:tE

Pz-=

o período

(6)

"rE

(7)

Es interesante obsen'ar que el peúodo de oscilación en la trayectoria circular dada por (4) es el doble del peíodo de oscilación alrededo¡ de la trayectoria ci¡cular dada por (z). (

c

)

Puesto que la partícula tiende a ¡egresar a la trayectoria circular cuando se desplaza ligeramente de ella, el movimiento es estable.

11.22. Discutir el significado físico de los multiplicadores de Lagrange blema 11.18.

rr,

)rz,

del pro-

En el caso que no haya constricciones, las ecuaciones de movimiento, según el problema 11.10, son

!/9L\-ar at \ad" ) lea =

ó

En el caso que haya const¡icciones las ecuaciones, según el problema 11.1g, son d /aT \ a?

ñ\d)

=

- d

Óa

+

¡'rÁa

+

r28a

+ "'

Se sigue que los té¡minos rrA" * rrB" * "' cor¡esponden a las fuerzas generalizadas asociadas con lae const¡icciones. Físicamente, los multiplicado¡es de Lagrange están asociados con las fue¡zas de constricción que actúan sobre el sistema- Así, cuando determinamos los multiplicadores de Lagrange esencialmente estamos tomando en cuenta los efectos de las fuerzas de constricción sin que encontremos explícitamente es-

tas

fuerzas.

ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS DE IMPULSO 11.23. Deducir la ecuación (20). Para el caso de las fue¡zas finitas tenemos, según el problema 11.10,

¡l /aT \ A\rü-f*

donde

a?

=

.Da = _-r >r...9\qn

lntegrando a ambos lados de (r) con ¡especto a t desde ü

Í,' asr que

(r)

'Da

/aT\ \ilil),=,

Tomando el límite cuando

(2)

- 0 hasta ü : r.

*(#)" - Íl #3 = !' *"a,

/aT\ - (A/,=, í,'#n = ;{({

(3)

"'")'*}

¡- 0. tenemos

'r-fl+\ -/dr\ I- )n!:#," = ;{(l*

r-o [\dlc,/t=r \ad"/r=J

11,"4'Hl

(4)

(#),-(#), = +r"#,

o

usando

11.24.

IcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

296

rsf

#* =

0 puesto

0""

#

es finito,

r lS {

11

=Tn Dudt

= gn

Un cuadrado ABCD formado por cuatro barras de longitud 2l y de masa ,7¿, articuladas en sus extremos, reposa sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Un impulso de magnitud .l se aplica en el vé¡tice A en la dirección AD. Hallar la ecuación del movimiento. Después de golpear el cuadrado, su fo¡ma en gene-

ral

será un rombo

(figura

11-8).

Supongamos que en cualquier instante ü, los án-

gulos formados por los lados AD (o BC) y AB (o CD) r son respectivamente 0t ! 0z y las coordenadas del centro M son (1, y). De modo que r, y, er, C2 son las coordenadas generalizadas. De la figura 11-8 vemos que los vectores de posición de los centros de las barras E, F, G, II están dados, respectivamente, por

con el eje

rs = t¡, = ts = r¡7 =

O

Fig.U-t

(u

-lcosc)i*(A -lsencl)i *tcoser)i*(U -lsene)i (u *lco¡cr)i*(y*lsenar)j (u -tcoser)i1'(A *Isenc/i (x

Lasvelocidades instantáneas de E, F, G, H están dadaspor

vr = i¡ - G +lsencl át)i+ (ü- Icosot ár)i v¡ = ir = (¿-laene2ór:lt+6-lcoscri2l¡ vc = ic = (;-!sendlbr)i+ú*tcoscrJl)j v¡r = ir = (¿+Isenc2ór)i+ ú+leoac2it2l! La energía cinética de la bar¡a AB es la misma que la energía cinética de una masa m localizada en el centm de masa E, más la energía cinética de ¡otación con respecto a un eje que pasa por E perpendicular al plano ry. Puesto que la velocidad angular tiene magnitud ti2 y el momento de inercia de una bar¡a de longitud 2l con respecto a su centro de masa es .[^, : lml2, la energía total de la barra AB es

Ttn

=

*m;3+üIo"b?

Análogamente, las energías cinéticas totales de las barras BC, CD y AD son

Tac

=

¡m12,

+

Ut"i?,

Tco

=

$mize

+ trIcDilZ, Tto =

Así, la energía cinética total es (usando el hecho de que .I

\mifu + *Inoi",

-- In : I"c : I"o : [ml2)

T = Tna+TBc+TcD+TAD

dos

y

iil + \;?+ áZ)

=

gm(f;+ i3 + iá +

= =

\m(tlz * tiz a zr2|l + 2t24) + zm(i:z + ít2) + tmt2(ü+ ilrr)

¡mtzlá1,

+ 'fi¡

Supongamos que inicialmente el rombo era ún cuadrado con sus lados paralelos a los ejes coordenasu centro localizado en el origen. Entonces tenemos

r=O,A=0, c1=t/2, ez=0, &=0,ú=0, át=0,i2-0

Si usamos la notación

( )r y ( )2 para

las cantidades antes y después de aplicarse el impulso, tenemos

CAP.

lrl

ECUACIONES DE LAGRAN6E

297

(#), = (4tni)' = o (#), - Qmit' = s (fi), =gtnni,),- o (#),=1tu12ó),=o (#),=

(mit2 =

Ami (#),=

@rnürz

-

4mú

(#),=

Qmtzi,)2

= Jmtz61 (#),=

gmt2i2

-

fimtzá"

Entonces

o

ff'),-(#),= ''

r, o

(#),-(#),=

(#),-(#), ", o (#),-(#,), =', o donde hemos suprimido el subíndice

r'

4¡ni

=

4,,,:i¡

= v,

f;'mtzá1

=

rs,

tmtzá'

=

re,

(1)

( )r.

Para hallar Tt, Ty, Tcr, Te" notamos que

To donde

7!,

= 7J,.#

(5)

son las fuerzas impulsivas. Así tenemos

T, = .g".u# * Je .'# * t".'ff * .gr.t# ry = .g^.d#* J".#* t".#*.g".# = s",#r J".#r* t".'utrr*.g".'#, r," = J^.#r J".#* t".#..g".H Tr,

(e)

Ahora, de la figura 11-8 encontramos que los vectores de posición de A, B, C, D eatdn dadoe por

t¡ = (r - lcos0, - I cos czli * (a - | send¡ * lsena2fi rs = (r- Icoscl * t cos e2li * (y - l sencl - t senczl! rg = (r * | cosel * I cos czli * (u * | sencl - I aene)i rp = (r * l cosal - l cos czli -l (U * lsen el * l aenc2li Puesto que la fuerza impulsiva en A está inicialmente en la di¡ección poeitiva del ejey, tenemog

Jt =

.9i

Entonces las ecuaciones (6)-(g) dan

f , = 0, Ty = .9,

Te,

=

-,91

coslr,

Te,

=

,91

eoaez

Qll

Entonces las ecuaciones (l)-(a) se convierten en

4m&

= 0,

¿mü

= ,9,

lnAzá,

- -¿!lcosc1,

fimtrá,

= ¿lleoal2

U2l

11.26. Demostrar que la energía cinética desarrollada inmediatamente después de la aplicación de las fuerzas impulsivas en el problema 11.24 es T : ,g/ztn.

ECUACIONES DE LAGRANGE

298

IcAP.

11

De la ecuación (I2) del problema 11.24, tenemos

i = o, ü = *,

6t =

-ffi"o"rr,

'e,

= ffi"oscz

Sustituyendo estos valores en la energía cinética obtenida en el problemaLL.24, hallamos

| =# .

d,

Ynos2

* cos2 a2)

Pero inmediatamente después de la aplicación de las fue¡zas impulsivas, madamente. De modo que (I) viene a se¡ ? : J"/Z^.

(I)

0, : ,/2 ! 0z : 0

PROBLEMAS VARIOS 11.26. En la figura ll-9, AB es un alambre recto y liso, fijo en el punto A sobre el eje vertical OA. AB gira alrededor del eje OA con velocidad angular constante úr. Una cuenta de masa ¡? está const¡eñida a moverse sobre el alambre. (c) Determinar la lagrangiana. (b) Escribir las ecuaciones de Lagrange. (c) Determinar el movimiento en cualquier instante. (c) Sea r la distancia de la cuenta al punto A en el ins-

aproxi-

z

tante ¿. Las coordenadas rectangulares de la cuenta están dadas por

U = fSenaCOgr¡ü A = rsendseno¿ z = h_rcoaa donde hemoe supuesto que en ü : 0 el alamb¡e eetá en el plano ¡z y que la distancia OA es h. La energía cinética de la cuenta

r Fig.U-9

es

T = [m(iz+úz+¿2\ = $ml(i

sen a cos o¿

* (i

- of

sen a sen oú)2

sen a sen orú

+ o/

sen a cos

r,rú)2

* (-i

cos a)2)

= ¡m(iz * o42sen2a) r

cos

La energía potencial tomando el plano ry como nivel de referencia, es V : mgz : mC(h d). Ehtonces, la lagrangiana es

L = T-l (b)

Tenemos

AL

mt¡zrsenza * mg

0r

y la ecuación de

es deci¡,

(c) La

= $m1|z+o2r2senzel-m¡(h-rcosc)

d / aL\ Lagrang. ees A\$)-t

dL

=o

AL ----= lnf

coaa.,

dr

"

m'i - 1m^zrsen2c * mg cosal = ii_1"zsen2c)r = gcosd

solución general de la ecuación

(I)

0

(r)

remplazando el lado de¡echo por cero es

cra(o

sen

a)t j

¿r¿-(osen a)t

Puesto que el lado derecho de (I) es una constante, una solución particular es - g cos q/62 sen2 d. Así, la solución general de (1) es

r =

Cle(usen art

+

cze-
c)!

-

gr .¿2

"

a".o! sen2 a

(2)

CAP.

11]

ECUACIONES DE LAGRANGE

299

Este resultado también se puede escribir en términoe de funciones hiperbólicas como

r =

cs cosh

(r,r

*

senc)ü

c4 senh (o sen

c)ú

- ffi

(3)

11.27. Suponer que en el problema 11.26 la cuenta pa¡te del reposo en A. ¿Cuánto tiempo tomará para alcanzar el extremo B del alambre suponiendo que su longitud es l? Comolacuentapartedelreposoenelinstante

ú:0,

ces, de la ecuación (2) del problema 11.26,

\*c2 = ffi Así c,

=

o, =

y (2) del problema

ffi

tenemosque

Y ll.Zi

r:0, ;:0

%-cz =

en

t:0.

Enton-

0

viene a se¡

r = ffi(e(oeend)t+o-(orena)¿) -

(r) (2)

ro".u"r

t"-¡¡¿n

se puede

obtener.:,":.,":ffi,":ff::1.;::"""." r - r, (2) da cosh(osenc)ü

Así que el tiempo necesario

t =

lo2sen2¿

*

=,

g codd

eg

1

ür8enccosh-r 1, \

*

ün'z

¡enz c

\

Ceaaza,/

I II sens o\ + **a=)+ = ;",""1(t ün¡2

rr.28. Un péndulo doble (véanse el problema 11.1(c) y la figura 11-3) oscila en unplano vertical. (a) Escribir la lagrangiana del sistema. (b) Obtener las ecuaciones de movi_ miento.

(o)

Las ecuaciones de traeformación dadas en el problema 11.2,

= 11 coaCl rz = It cosel * l2co8C2

ú1

dan

= \aene1 Uz = ltsendl * U1

l2sen12

át = -ltitsenct út = ltitcosct it = -titséne1 - t2i2seno2 úz = titcosdl *

l2á2cosc2

La energía cinética del sistema es

r = = lt +

¡tnrlil+ü! +**"
La

energía potencial del sistema (tomando como nivel de refe¡eneia un plano a la distancia 12 por debajo del punto de suspensión de la figura 11-B) es

V = múl\+.lr-\coscl

* m2g[\+ ¿2- ercosdl A

t2cosa2l]

Entonces la lagrangiana es

L = T-V

=

+ lmrltiói + qó? + 2tlt26i2 coa (c1_ c2l! -núl\t k- \ corrrl - m2g[\I tz- (\eos11+ tscoec2ll

+mfi6?

(b) Las ecuaciones de Lagrange

asociadas con ,r y

d /aL\ ¿¿ A\A,)- t', = o,

,2

(/)

son

¿l

/aL

ü\r,:.,

-# =

o

(2)

IcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

300

De

1r

(I) hallamos aL/acr =

aLlail = mtli, + = aLtaiz =

-

-m2l1l2i762sen(c1

ALlAez

mrtl6,

m2tlriri2sen

+

mr$6,

(d1

- mplrsencl -- m2g\sene,

e2l

+

m2ll2á2cos(e1- erl

-

e2)

m,g12*ne2

-

rn2ll261coa(e1-

e2)

Las ecuaciones (2) vienen a ser

^'P"i'=4,';,iuiÍ:i';:;':)!),:""::,u!":',;,'':":::''-'u y

m24t,

+ nztlz'it cos (c1 - e2\ - mrlrlrórfr- árl sen (ar = m2ll2i$2sen (c1 - 02) - m2gl2sen c2

e¿)

lo cual se rpduce, respectivamente, a

@r+^)4ír+ y

m"lrtrircos(e1

+ nt ll2|l

mztlii,

cos (c1

-02\ * m2lrlráf,*n@¡-c2l = -b\*m2lg\senc1

-

e2\

-

m2lrtrfi een(c,

- o2) =

11.29. Escribir las ecuaciones del problena 11.23 para el caso Ítry

12:1'

eecribir

:

trl2

: m Y lt

lt : lz en las ecuaciones (3) y (4) del problema 11.28 y eimplificando, (t) zr';t + tí2 cot(ct- o) t rá22 sen(c1- c2) = -zg *ncr ti'1 cos (et- cz\ + l'riz - litzrsen(e1- o2l = -! een02 Ql

Remplazando Drt se pueden

(4)

-m2gl2aenc2

-

(3)

tnz,

1f.3O. Obtener las ecuaciones del problema 11.29 para el caso en que suponemos oscilaciones pequeñas.

i'd,

Empleando lae aprorimaciones een C - C y cos C - 1 y despreciando los términos que incluyan 1". ecuaciones (1) v Ql del problema 11.29 vienen a ser

2t'ú+t;2 = tir+tí, =

-2set -gcz

11.31. Hallar (a) las frecuencias normales y (b) los modos normales correspondientes a pequeñas oscilaciones del péndulo doble.

(o)

:

6t [o A¡etd, Azet*l en Ias ecuaciones

Sean C¡ Ar cos
-

= O1 -tÉAt*@-wrAz- o)

del

problema

2(g-Ióz)Ar-&ozAr

(t)

Con cl fin de que A¡ y A2 sean diferentes de cero, debemos hacer el determinante de los coeficientes igual a cero, er decir,

z(c-W\ -lr,rz

o l2oa

-

4lgo2

t

-l/ú2 g

- lr,

=0

2gt -- 0. Resolviendo, hallamos

4ts t \/@ ú^ = --a-

- 8W

@={2)c =.-T-

(z+filc .i, (Z-filc = I

,i. = ----T-,

(2)

cAP.

.

111

ECUACIONES DE LAGRANGE

301

Luego las frecuencias normales son

Y fz=#= (ó)

sustituyendo

tt - ,'r:

(2

+ filg/t

(3)

en las ecuaciones (I) de laparte (o) se obtiene

A, =

_1/TA,

(4',)

Esto corresponde al modo normal en el que las masas se mueven en direcciones opuestas.

Sustituyendo

Que corresponde.

., - t, :

(Z

- ñg/t

en las ecuaciones (I) de la parte (o) se obtiene

A' = t/i'A'

(5)

al modo normal en el cual las masas se mueven en las nrisrnas direcciones.

ll'32' (a)

Establecer la lagrangiana del movimiento de un trompo simétrico (véase el problema 10.25) y (b) obtener ras ecuaciones de movimiento.

(a)

La energía cinética en función de los Ángulos de Euler (véase el problema 10.24) es

T = [(I*!t La energía potencial

l2o?"r IgeE\

=

V=

es

+ iz)+ +Il;

ll1(jzaenz o

cosa +,i,¡z

mgl cosc

(21

: I

y la altura del centro de masa C por enci.

como se ve en la figura 10-18 ya que la distancia OC ma del plano ry es I cos d. Luego

L = T - v = $I1(izsenzo+iz)+ *¡r(icoge* i¡z (b)

(r)

dLldc = flizsenrcos, + Is(icosc+irlisena) * dLlAi = Iri aLlaó = 0 dLld6 = I1$senz e + Is(i, cos c * ü) .o. a dLla't = 0 dLlai = Is(ócosa*i)

mgtccsc

(3)

tnslv.lno

Entonces las ecuaciones de Lagrange son

*(#)o

=

,,ü

o, *(#)-#

=

0, #(#) -#

=

lr'i - trlzsen, cos c + Is|tcos, * il6nn0 : mglaeno = ftVri""nrc

+

Is(a.cose

*V'
*

ü)

cosal

+i)l =

=

o o

o

o

Remplazando (2) en (I)

(ó)

+

Is(A cose

i,i,¡

"osa =

constante

= K

ocoEr+ú = A flisen2e *IgAcoso = K tr$z Een, co¡

cI

IsA$

$nc =

de

(r) (2)

Utilizando (2) en la ecuación (4) del problema 11.82, encontramos que

\'i --

(5) (6)

1r.33. Utilizar los resultados del problema 11.32 para esta¡ de acuerdo con la ecuación (a) problema 10.29(b), y (b) problema 10.2?(o). (o) Al integrar las ecuaciones (5) v (6) del probrema 1r.82 obtenemog flisen2 c

G)

mglaenc

n2

ECUACIONES DE LAGRANGE

f

cAP.

11

11.34. Obtener las ecuaciones de Euler del movimiento de un cuerpo rígido empleando las ecuaciones de Lagrange. La energía cinética en función de los ángulos de Euler es (véase el problema 10.24)

T = *(rr"i + trol+ tt,:?t¡ = {I¡(f sentsenú+ ácog,t\z + Ltr(isentcosg-ir"nú)z + tlsfcosc+i)z Luego AT/d,, = I¡(isenrseng + i cos*Xósen, cos g - iaeng¡ + IzG send cosú - i."n *X-ó sen, senry' - ó cosg) =

(11- I2)up2

I¡oyt2 I l2(or2)(-o1) =

arhi = Ir(icosa+i) = Entonces por el problema

fs,s

ll.l0, la ecuación de Lagrange correspondiente d. / dT\ aT +'!

a 1| es

ú\rt) - ,r =

fsirs+(12-I)op2 =

(r)

+,,

Esta es la tercera de las ecuacioneg (22) de Eule¡. La cantidad Oú, reprcsenta la fuerza generalizada correspondiente a una ¡otación ry' alrededor de un eje y representa ñeicamente la componente A3 del momento con respecto a eate eje (véase el problema f 1.f02).

Las ecuaciones restantes

= ¡t I2¿oz + Qr - Is)rsrol = ¡,

fr&r + (fs - f/o2ors

(21

(3)

pueden obtenerge por consideracionee de eimetría, permutando log índices. No se obtienen directamente usando las ecuaciones de Lagrange conespondientes a t y O, pero pueden deducirse indi¡ectamente de ellae (véase el problema 11.79).

11.35. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en forma de cicloide (figura 11-10) cuya ecuación es

n = a(0 -sen0), a = a(l *cos0) donde 0 < 0 3 2r. Encontrar (¿) la fun-

ción lagrangiana, (b) la ecuación del movi-

Fig. u-10

miento.

(c)

Energíacinética

Energíapotencial

= T = !m(iz+'fi2¡ = lmoz(l(L - cosa)i¡z * [-sena i]z] = ú2(l - coso¡iz = Y = rngy = mgo(l*coscl

Luego la

lagrangiana

= L = T-Y

= moz(L-cosa¡iz -mga(l*cosa)

d/dL\ AL 0,esdecir ¿ (b) ál#)-= = frlz*"rtt-cosr)il

-Imozaene

'024msosenel

¿-

frUr-co8r);l -¡fsenei,2-f,""nc que puede

escribirse

(1

-

cos

c)i + +r"nc i" - {r*"c

=

=

=

Q

o

0

11.36. (a) Demostrar que la ecuación del movimiento de la parte (b) del problema puede escribirse

dUo ffi + h" = 0

donde

u=

cos(0/2)

11.35

cAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

111

303

y por tanto (ó) muestra que la esfera oscila con período

(c)

Si

u:

Z"{lVg.

cos (o/21, entonces

# = -+sen(ct2)it, # = -á*,elq,.-leos(clz)iz Luego # * #" = o es lo mismo que -lsen(e/zl? -|cos(e/|irz+ f,eos(clz) = 0

que puede escribirse como

T

-

=

f,cor@lz)

(r)

0

cot(ctz)=ffi=a##!4 =#h

Ya que se concluye que

(b)

+ + cot(elzláz

la ecuación (I) es iguar a la obtenida en el problema r1.BS(ó).

La solución de la ecuación

es

It =

coa

(e/2)

= ct coít/Glg t *

c2

"ent@Il

t

de donde vemos que cos (0/2) vuelve a su valor original después de un tiempo 2rtlWj es el período requerido. Observar que este perÍodo es el mismo que el de un péndulo

tud

I:

el crtal simple de longi-

4o.

Una aplicación es el péndulo cicloidal. Véase el problema

1l'37'

Obtener las ecuaciones para ecuaciones de Lagrange.

,

la esfera que rueda, en el problema

observa¡ la figura 9-ÍlÍ| en donde

radio cP

: o rueda sin deslizarse

4.g6.

/

9.42 empleando las

{ y representan coo¡denadas generalizadas. Como la esfera de sobre la esfera de radio op ó, Énemos

:

bd6ldt = od,l,/d,t o si 6 : 0, cuando ú : 0, entonces bó=og Por consiguiente ó y ú [y por tanto dó y d{ o so y sú]

b$

que implica que

La energía cinética de la esfe¡a que está rotando

= qi (r)

no sorr independientes.

es

T = [m(a*b)z]z*fr* = [m(o * blz]z ¡ t.enorl$ + i¡z ya que .f 1 Imo' es el momento de inercia de la esfera con respecto a un eje ho¡izontal que pasa por su centro de masa. La energía potencial de la esfe¡a que está rotando [considerando el plano horizontat que pasa por O como el nivel de referencial es

V= Luego

la lagrangiana

rng(a

*

ó) cos 6

es

L = T-V = $m(o+blzjla*m"r(6+i)r-rns(a*ü)cosp

e)

Utilizaremos las ecuaciones de Lagrange (16) de sistemas no-holonómicos. De (.1) tenemos que así que si hacemos mos que

9t : ó y

b8¡-a8'y' = 0 : q2 r, y comparamos con la ecuación (Z) del problema ll.lg, At= b, Az= -o

(3) encont¡a(4)

En consecuencia, las ecuaciones (16) se trasforman en

d /dL\ _ dL ñ\;ó),, = trrD d /dL\ aL ú\ú)- rf = -)tr@

(5)

(6)

lcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

3(X

11

Remplazando (2) en (5) y (6) obtenemos

n(otbltii + |noz(l+'i) - *c@*ü)senp = Xmozl'$ +',i) = -).ro Sustituyendo ú

: (b/a)ó

(I)) en (7) y (8), encontramos m(o*blz'$ + Xmozlt+blol'ó - rns(a*ó) senp

@

).rü

(8)

(de

=

rrü

(e)

lmo2(L+blúí = -)rld De (I0) tenemos

;r1

=

*

-fzo(o

ü)

(10)

ií

y remplazando eete resultado en (9) se obtiene después de simplificar y despejar ií, 6o o - (oT

Dt

Eeta ecuación es igual a la (2) del problema 9.42, con ó lar el Ángulo requerido para que caiga la esfera.

seno

-

,,/2

- . Véase eI problema 11.104 para calcue

11.38. (a) Resolver las ecuaciones de movimiento obtenidas en elproblema Ll.24y, (b) interpretarlas fisicamente.

(s)

De la primera de las ecuaciones (I2), problema 11.24, tenemos

(I)

¡:constante:Q ya que

¡ : 0 cuando , : 0. Análogamente, de la segunda de las ecuaciones

(I2) tenemos que

v-*,

(2)

debido aque y : 0 cuando ú : 0. De la tercera de las ecuaciones (I2) obtenemos al separar variables,

sectr

drr = -#0,

"*,(;-f) = -#*",

o integrando

*" (; - ?) =

esto es Entonces como

,r : ¡/2

debemos tener c1

ctando ü

aoasuuemt

: 0, tenemos cz : 0.

Esto significa que en todo instante

-- */2.

De la cua¡ta de las ecuaciones (.12) del problema 11.24 obtenemos

= #nt

se,ozil,cz

"*.(l-?) = ffi*

o al integrar

*" (: - ?) =

esto es Ahora cuando

t:

O,

cz: 0, así eu€ c¿ : l.

^"G-?) (ü)

",

cao-l'ltt8nr

Entonces

= e-lJ't8n¿ o

0z

=

i-2t¿n-r?-4'9¿t8"")

y (2) indican que el centro se desplaza en dirección y con velocidad constante ,9/lm. Las varillas ADy BC siempre sonparalelas al ejey en tantoque las varillas ABy CDgiran lentamente hasta que finalmente [t - o ] el rombo se desploma, de tal forma que todas las Las ecuaciones (t)

cuatro varillae estarán sobre el eje y.

cAP.

ul

ECUACIONES DE LAGRANGE

305

Problemas propuestos COORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE TRASFORMACION l1'39' Da¡ un conjunto de coo¡denadas generalizadas necesa¡ias para especificar completamente cada uno de los movimientos slguientes: (c) una esferita constreñida a moverse en un alambre circular; (ó) una partícula const¡eñida a moverse sobre una esfera; (c) un péndulo compuesto; (d) una má¡uina de Atwood (véase el problema 3-22); (e) un disco ci¡cular que rueda en un plano horizontal; (/) un cono que rueda sobre un plano ho¡izontal.

ll'4o'

Esc¡ibi¡ ecuaciones de t¡asfo¡mación del movimiento de un péndulo triple en función de un conjunto apropiado de coo¡denadas generalizadas.

ll'41'

Una partícula se mueve sob¡e la superficie superior de un paraboloide de revolución, sin rozamiento, cuya ecuación es ¡2 * !2 : cz. Escribi¡ las ecuaciones de trasformación del movimiento de lapartícula en función de un conjunto apropiado de coordenadas generalizadas.

ll''42'

Esc¡ibir las ecuaciones de t¡asformación del movimiento de una partícula constreñida a move¡se sobre una esfera.

CLASIFICACION DE SISTEMAS MECANICOS

l1'43'

Clasificar de acuerdo con si son: (i) escleronómico o ¡eonórnico, (ii) holonómico o no-holonómico, (iii) conservativo o no-conservat ivo: (o) un cilind¡o horizontal de radio a ¡ueda dentro de un cascarón cilínd¡ico horizontal totalmente so de

¡adio b >

rugo-

¿;

(b) un cilindro que rueda (y que posiblemente lo

a;

se desliza) hacia abajo por un plano inclinado un ángu-

(c) una esfe¡a

que rueda hacia abajo sobre otra esfera que está ¡odando con velocidad unifo¡me en un plano horizontal; (d) una partícula constreñida a desplazarse sobre una línea bajo la influencia de una fuerza que es inversamente proporcional al cuad¡ado de su distancia a un punto fijo y con una fuerza amortiguadora proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Resp.

(a) escleronómico, holonómico, conservativo (b) escleronómico, no-holonómico, conservativo (c) reonómico, no-holonómico, conservativo (d) escle¡onómico, holonómico, no-conservativo

TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y FUERZAS GENERALIZADAS 11.44. Demostrar que si las ecuaciones de trasfe¡mación son rv : tv(qt, qz,

, gn), es decir, no contienen

explicitamente el tiempo t, entonces la energía cinética puede escribirse como

T = donde oop son funciones de las go.

aoPüoiP

"¿r¿

ll'45'

Discr¡tir el problema 11.44 en el caso en que las ecuaciones de trasformación dependan explícitamente del tiempo t.

11.46.

Se dice que F es una t'unción homogénea de orden 4 si F(tr.r, Iy, Iz) : I" ¡(r, y, z) donde tr es un parámetro. Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas (si es que lay), dando en cada caso el orden:

(al uzIU2+.2*rylaztrz (bl 3a-2y*42 (c) rgz * 2ry * Zaz * 2gz

(ü @+u*zl/r

(el rt tan-r (y/rl

(fl

4 senag

@) (xlatzll(uz*y2*22)

Resp' (a) homogénea de orden 2, (ó) homogénea de orden 1, (c) no-homogénea, (d) homogénea de orden cero, (e) homogénea de orden B, (/) no-homogénea, (g) hornogéneaáe orden

-1.

rt.47.

Si F(¡, y, z)

es homogénea de orden

n (véase el problema 11.46) comprobar que aF aF

..aF ,

'Al+uau*"-l;

=

nF

ECUACIONES DE LAGRANGE

306

'

IcAP.

Esta ecuación se llama teorema de Euler d,e funciones homogéneos. (Sugerencia. Derivar ambos lados de la identidad F(I¡, Iy, Iz)

luegohacerl:1.)

: I'F(¡, y, z)

con respecto

11.48.

Gene¡aliza¡ el resultado del problema 11.4?.

11.49.

Comprobar que si las ecuaciones de trasforrnación no dependen explícitamente del tiempo energía cinética, entonces

.aT

toT,

'itfr + tzfi+ ¿Puede demostra¡lo directamente sin rr.47)?

,y?

11

aI y

es la

"' ¡,.,AT o"fi = 2T

utilizar el teorema de Euler de funciones

homogéneas (problema

ECUACIONES DE LAGRANGE (¿) Establecer la lagrangiana de un oscilador armónico en una dimensión y, (b) escribi¡ las ecuaciones de Lagrange. Resp. (a) L = tm¿z - **r2, (ü ¡nU + xr = 0

ll.5O. tl.5l.

(o) Establecer la lagrangiana de una partícula de masa rn que cae lib¡emente en un campo gravitacional uniforme y, (b) escribir las ecuaciones de Lagrange.

11.52.

Resolver el problema 11.51 en el caso en que el campo de fuerza gravitacional va¡íe inve¡samente con el cuad¡ado de la distancia desde un punto fijo O, suponiendo que la partícula se mueve en una recta que

pasa por f

O.

l.ó3. Emplear las ecuaciones de Lagrange para desc¡ibir el movimiento

de una partícula de masa m que baja

por un plano liso inclinado un ángulo a.

f1.54. Utilizar las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento inicial ue formando un ángulo o con Ia horizontal. 11.55.

de un proyectil lanzado con velocidad

Resolver con las ecuaciones de Lagrange el problema de un oscilador armónico (o) en dos dimensiones, (ó) en tres dimensiones.

11.56. Una partícula de masa m en un plano horizontal está unida a un punto fijo P por medio de una cuerda de longitud l. El plano rota con velocidad angular constante o alrededo¡ de un eje vertical que pasa por unpuntoOdelplano,donde OP:o. (a)Establece¡lalagrangianadelsistema,(b)escribirlasecuaciones del movimiento de la partícula.

11.57. Las coo¡denadas rectangulares (r, y, e)

que definen la posición de una partícula de masa m que se mueve en un campo de fuerza que tiene un potencial 7 están dadas en función de las coo¡denadas csfé¡icas (r, 0, ó), por las ecuaciones de trasfo¡mación.

n = rsenocosr, u = rse¡csenr, z = rco30 Utilizar las ecuaciones de Lagrange para establecer las ecuaciones del movimiento.

Resp. ml'i

-

r$z

-

rá2 cosz

d' = -'l*

1

fa ml¿@zol * r2c2senÉcosol = -; rav ,, rn

;".

dt\rze

senz

tiv

p¡ = - r *" d Aó

11.58.

Resolver el problema 11.56 si la partícula no se mueve necesariamente en una línea recta que pasa por O.

11.59.

Resolver el problema 4.23 con las ecuaciones de Lagrange.

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO-HOLONOMICOS

fl.60. (a) Resolver

el problema 11.20 si se remplaza el paraboloide por el cono x2

dificación debe hacerse en este caso al problema

ll.6l.

* y2 :

c222. (ó) ¿Qué mo-

11.21?

Usar el método de las ecuaciones de Lagrange para sistemas no-holonómicos para resolver el problema de una partícula de masa rn que baja sin ¡ozamiento por un plano inclinado un ángulo a.

cAP.

lll

ll'62'

ECUACIONES DE LAGRANGE

307

Resolver el problema 3.?4 por el método de las ecuaciones de Lagrange pa¡a sistemas no-holonómicos.

ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS IMPULSIVAS ll'63' Una varilla unifo¡me 'le longitud I y masa M está en reposo sobre una mesa ho¡izontal lisa. Se aplica un impulsodemagnitud.9enunext¡emoAdelavarillayperpendicularaella. Comprobarque(a)lavelocidad comunicada aI extremo A es a.9/M, (ó) la velocidad del centro de masa is .g/U'V, (c) la vari_ lla gira alrededor del centro de masa con velocidad angular de magnitud 6,!/ul.

11.64. En la figura lL-ll, AB y BC

representan dos varillas uniformes que tienen la misma longitud I y masa M unidas en B sin ¡ozamiento, y están en ¡eposo en un plano horizontal liso. Se aplica en C un impulso nor_

mal a 8C en la dirección indicada en la figura ll-11 y la velocidad inicial del punto C es v6. Hallar, (o) las velocidades iniciales de los puntos A y B y (ó) las magnitudes de las velocidades angulares iniciales de AB y BC con respecto a sus centros de masa. Resp.

(a)

A

voh,-2voh; (b) Buohl,-9uohL

Fig.

ll-ll

rl'6ó.

Demostrar que la energía cinética total desarrollada por el sistema del problema 11.64 después del impulso es lMof,.

r1'66'

Un cuadrado de lado tr y masa M, formado por cuatro varillas unifo¡mes que están unidas en sus vértices por bisagras sin rozamiento descansa sobre un plano horizontal liso. Se aplica en uno de los vé¡tices un impulso en dirección de la diagonal que pasa por el vértice así que éste adquiere una velocidad de magnitud uo. Comprobar que las varillas se mueven alrededor de sus centros de masa con velocidad angular 3' o/4o

11.67. (¿) Si en el problema

11.66 JJ es la magnitud del impulso aplicado en el vértice, ve¡ificarque la energia cinética de las varillas es 5,92/4M. (ü) ¿Cuál es la energía cinética en función de uo? (c) ¿Tiene la dirección del impulso alguna diferencia? Explicar

rl'68'

Suponer en el problem a 11.24 que el impulso se aplica en el centro de una de las varillas en dirección per-

pendicularalava¡illa. comprobarquelaenergíacinéticadesa¡¡ollada es,t2/gm. PROBLEMAS VARIOS

ll'69'

Una partícula de masa /n se mueve en el interior de un cascarón hemisférico liso de ¡adio a con su vértice sobre un plano horizontal. ¿Con qué velocidad ho¡izontal debe lanzarse la partícula para que pe¡manez-

ca en un círculo horizontal a una artura h por encima del vé¡tice?

ll.7O.

Una partícula de masa m está constreñida a moverse dentro de un tubo delgado sin ¡ozamiento (véase la fi_ gura 11-12), el cual está rotando con velocidad angular constante o en un plano horizontal ry alrededo¡ de un eje vertical fijo que pasa po¡ O. Describi¡ el movivimiento utilizando las ecuaciones de Lagrange.

ll.7l.

Resolver el problema 11.20

11.72. Una partícula de masa /n

si el plano .ry

es vertical.

se mueve en un campo de

fuerza central de potencial V(r) donde ¡ es la distancia desde el centro de fuerza. Usando coordenadas esfé¡i_ cas, (o) establece¡ la lagrangiana, (ó) determinar las ecuaciones de movimiento. ¿podrÍa deducir de estas ecuaciones que el movimiento @urre en un plano?

(Comparar con el problema 5.1.)

ll'73'

Fig. ll-12

Una partícula se mueve sin rozamiento en un alambre horizontal de ¡adio c y experimenta la acción de una fuerza resistente que es proporcional a la velocidad instantánea. Si la partícula tiene una velocidad inicial us, halla¡ la posición de ra partícula en cuarquier tiempo t. Resp. e = (mas/x)(l - e-xtlma], donde d es el ángulo que un radio trazado desde ¡n forma con un radio fijo tal que ú : 0 cuando f : 0 y ( es una constante de proporcionalidad.

t1.74.

IcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

308

11

Resolver el problema 11.73 si la fuerza resistente es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

Ilesp.

11.75. Un

c =;rt\ 't1'' /m*rtt¡t\ _ )

péndulo esférico está fijo en un punto O pero puede movetse libternente en cualquier dirección. Es-

cribir sus ecuaciones de movimiento.

11.76. 11.77.

Resolver el problerna 9.29 empleando las ecuaciones de Lagrange. Resolver el problema 11.20 si se remplaza el paraboloide de revolución por el paraboloide elíptico oz * cy2, donde a, ó, c son constantes positivas.

:

bx2

11,?8.

Comprobar que la fuerza generalizada correspondiente al ángulo de rotación alrededor de un eje, repre' senta físicamente la componente del momento con respecto a dicho eje.

de Lagrange correspondientes a 0 y d en el problema 11.34 y demostrar que no son iguales a las ecuaciones (2) V (3) de ese problema. (á) Indicar cómo se pueden obtener, mediante las ecuaciones de Lagrange, de la parte (¿) las ecuaciones (2) y (3) del problema 11.34.

11.79. (o) Obtener las ecuaciones

fl.8o,

Kt ! Kz y

Dos discos circula¡es de radios de giro

masas

Ítt,

trtz,

respectivamente, están suspendidos verticalmente de un alambre de masa despreciable (véase la figura 11-13). Se ponen en movimiento girando uno o ambos discos en sus planos y luego se sueltan. Sean 0r y f2 Ios ángulos formados con alguna dirección específica. (a) Verificar que Ia energía cinética es

7' (ó)

=

g(mí?'ez +

mrxf,'ezr¡

Comprobar que la energía potencial es

Y=

$lr$?

I

ry@2-

e1\2)

¡r y 12 son las constantes de torsión, es decir, los momentos requeridos para hacer girar los discos un radián. Establecer las ecuaciones de movimiento de Lagrange. donde

(c) 11.81.

Fig.1l-13

Resolver el sistema vibrante del problema 11.80, calculando (a) las frecuencias normales, y (b) los modos

normales de vibración.

11,82. Generalizar los resultados

de los problemas 11.80 y 11.81 pa¡a 3 o más discos.

11.83. (o) Ve¡ifica¡ que si el péndulo doble del problema

11.28

con mt * mz Y lt I ¿2 entonces las fre-

cuencias normales de oscilaciones pequeñas están dadas

u2= (ó) f

1.84.

(m1* m2l(1+

¿zr

por o/2r,

dond,e

! 2l{gn1

Analizar los modos normales correspondientes a las frecuencias de la parte (a).

En el problema

11.85. Utilizar

11.83

examinar el caso especial

lt : lz, tftt I

mz-

las ecuaciones de Lagrange pa¡a describir el movimiento de una esfera de radio o que rueda sobre

la superficie interior de un cascarón hemisfé¡ico liso de radio b

>

¿.

1f.86.

Una partícula que está sobre la superficie interior lisa de un paraboloide de revoluciór az : x2 * y2 tiene una velocidad horizontal uo a una altura H¡ por encima del vértice. Encontrar el valor de us Resp. us : \/En para que la partícula oscile entre los planos z : Ht y z : H2

ll.E7.

En el problema 11.86 encontra¡ el período de oscilación.

11,88. A una esfera de radio a se le imprime una velocidad inicial uo hacia arriba de un plano inclinado un ángulo c sin rozamiento, en una dirección que no es la de la línea de máxima pendiente. Demost¡ar que su centro describe una parábola.

cAP.

rll

l1'69'

ECUACIONES DE LAGRANGE

309

Una esfe¡ita de masa ¡n tiene la constricción de moverse sin rozamiento en un alamb¡e

tal liso de radio o el cual está girando con velocidad angular constante o al¡ededor circular horizonde un eje vertical fijo que pasa por un punto del alambre. Comprobar qo" relación al alamb¡e la esferita oscila como

un péndulo simple.

ll'9o'

"-on

si una partícula de masa m y catla e se mueve con velocidad magnético B, entonces la fuerza que actúa sobre ella es

v

en un campo eléctrico E y un campo

F = e(E * vxB) En función de un potencial escalador é y un potencial vectorial A, el carnpo puede expresarse mediante las ¡elaciones E = -Vé_AA/AL

B = VXA

comprobar que la lagrangiana que define el movimiento de la partícula

L =

[mo2 *

e(A. v)

es

_ ea

ll.9l.

Hacer el problema 10.g6 con las ecuaciones de Lagrange.

ll'92'

una varilla uniforme de longitud I y masa M tiene sus extremos constreñidos a moverse sobre la circunfe¡encia de un alambre circula¡ ve¡tical liso de radio a > I/2. El alambre rota al¡ededo¡ del diámetro ve¡tical con velocidad angular constante o. obtene¡ ecuaciones del movimiento de la varilla.

11.93.

Suponer que el potencial V depende tanto de

T

es constante,

11.94.

i,

como

de gr. Verificar

que la cantidad

+v->a,#

Emplear las ecuaciones de Lagrange para establecer y resolver el problema de dos cuerpos que se discu_ en el capítulo b.

tió

11.95' Encontrar ra aceleración de ra masa de 5 g en el sistema de la figura 11-14. Resp. 7tg/622

de poleas

esta desigualdad.

11.97, Emplear las 8.27.

11'98.

ecuaciones de Lagrange para resolver el problema

Desc¡ibir el movimiento de las va¡illas del problema 11.64 después de un tiempo cualquiera f de aplicar el impulso.

(a) Establecer la lagrangiana del sistema. (ó) Escribir una ecuación dife¡encial del movimiento de P en

(c)

función de r. Encontrar la magnitud de la velocidad de p para cualquier posición.

Resp. (ol (b')

L - [mlZia * rziz1 * ms(t- r) 'i = az&/f - g

(c)i-

t/2aúoi 2C@-rl

-

2azúolr

Fig.11-11

Fig. 11-15

[cAP. u

ECUACIONES DE LAGRANGE

310

ll.foo.

Hacer el problema 11.99 si las masas de las partículas P y Q son, respectivamente, mr y m2-

ll.lol.

Demost¡ar que

cí¡culo

si

uo

r : a y que "i

:

la partícula P del problema 11.99 permanece en equilibrio estable en el pose despla"a ligeramente de su posición de equilibrio oscilará al¡ededo¡ de esa

5

sición con un movimiento armónico simple de período Z"t/Ulgg'

ll.lo2,

A¡ del moComprobar que la cantidad O,¡ del problema 11.34 representa fisicamente la componente mento.

rl.log.

de un tiempo Deecribir el movimiento del sistema del (¿) problema 11.63 y, (b) problema 11.66 despuée cualquiera f de aplicar el impulso.

ll.lo4.

Indicar cómo calcular el ángulo con el cual cae la esfera del problema 11'37'

rl.lo5. (o) (b)

Establecer la Iagrangiana del péndulo triple de la figura 1l-16. Encontra¡ las ecuaciones de movimiento'

ll.106.

oscilacioObl,ener las frecuencias y modos normales del péndulo triple del problema 11.105 considerando neó pequenas.

ll.lOZ.

Hacer los problemas 11.105 y 11.106 cuando las masas y las longitudes son dife¡entes.

Fig. rr-16

Fig. l1-1?

masa m y se resorte ve¡tical tiene una masa M y una constante ¡. si se suspende del ¡esorte una un mopone en movimiento, demoetrar, utilizando las ecuaciones de Lagrange, que eI sistema iniciará vimiento armónico simple de período 2,@ +ffi'

1l.ro8. un

Copítulo

12

Teorío homiltoniono METODOS HAMILTONIANOS En el capítulo 11 estudiamos una formulación de la mecánica debida a Lagrange. En este capítulo estudiaremos una fo¡mulación debida a Hamilton y conocida en conjunto como métodos hamiltonianos o teoría hamiltoniano. Aunque esta teoría puede emplearse para resolver problemas específicos de la mecánica, se encuentra que es más útil en proporcionar postulados fundamentales en campos tales como la mecánica cuántica, la mecánica estadística y la mecánica celeste.

LA HAMILTONIANA Del mismo modo que en el capítulo 11 la función lagrangiana, o brevemente la lagrangiana, es fundamental, en este capítulo será fundamentálla ¡unción hamiltoniana o la hamiltoniana. La hamiltoniana que se representa por H, se define en función de la lagrangiana como

H = to"A"-"

(r)

y debe expresarse en función de las generalizadas go y los momentos genera"oord""n=j¿^s lizadosp.. Para cumplir este propósito deben eliminarse de (I) las velocidades ri" rriitir"rrdo las ecuaciones de Lagrange (por ejemplo véase el problema 12.3). En tal caso la función

ff

puede esc¡ibirse

H(Pr, , . ., Pn, et, , . ., q¡, t) o más brevemente

H(po,

eo,

t),

que también recibe el nombre de hamiltoniana

(2)

del sistema.

ECUACIONES DE HAMILTON Las ecuaciones del movimiento del sistema pueden escribirse en forma simétrica función de la hamiltoniana

en

Fn= (3)

Qo= Estas son las ecuaciones canónicas de Hamilton o ecuaciones de Hamilton. Las ecuaciones sirven para indicar que las p. y las go desempeñan papeles similares en una formulación general de los principios de la mecánica.

LA HAMILTONIANA DE SISTEMAS CONSERVATIVOS Si un sistema es conservativo, la hamiltoniana puede interpretarse como la energía total (cinética y potencial) del sistema, esf,o es.

H=

T

TV

(4)

Esta ecuación proporciona frecuentemente un método fácil de establecer la hamiltoniana de un sistema. 311

[cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

3r2

12

COORDENADAS CICLICAS O IGNORABLES Una coordenada go que no aparece explícitamente en la lagrangiana es wa coordenoda cíclica o ignorable. En tal caso

b,=*--o

de

(5)

tal modo que po es una constante, llamada frecuentemente constante del mouimiento. En este caso tenemos también que óIIlóq" =

0.

ESPACIO DE FASE La formulación hamiltoniana proporciona una simetría obvia ent¡e las p" y las go a las que, respectivamente, llamamos coordenadas de momentum y posición' Con frecuencia está indies riiit imaginar un espacio de 2n dimensiones en eI cual un punto representatiuo cado por 2n coordenadas

(Pt, .. .,Pn, Qt, . .,,

(6)

Q")

llama un espacio de fase de 2n dimensiones o un espacio de fasepq. Siempre y cuando que conozcamos el estado de un sistema mecánico en un tiempo ü' esto es, conozcamos todas las coordenadas de posición y momentum, entonces este estado corresponde a un punto particular en el espacio de fase' Recíprocamente, un punto en el espacio de fase especifica el estado de un sistema mecánico. Aunque el sistema mecánico se mueve en el espacio físico de 3 dimensiones, el punto representativo describe una trayectoria en el espacio de fase de acuerdo con las ecuaciones (3).

Tal espacio

se

TEOREMA DE LIOUVILLE Consideremos un gran número de sistemas mecánicos conservativos que tienen la misma hamiltoniana. En tal caso la hamiltoniana es la energía total y es constante, es decir,

H(Pr, . . ., Pn, Qt, , . ', qn) = constante

=

'E

(7)

que puede representarse por una superficie en el espacio de fase'

Supongamos que las energías totales de todos estos sistemas están comprendidas entre Et V Ez. Entonces la trayectoria de todos estos sistemas estará comprendida, en el espacio Et Y de fase. entre las dos superficies H Ez, como se indica esquemáticamente H en la figura l2-1. Debido a que los sistemas tienen condiciones iniciales diferentes, se desplazarán en el es-

pacio de fase por trayectorias diferentes. Imaginemos que los puntos iniciales están contenidos en la región (r de la figura l2-l y que después de un tiempo f estos puntos ocupan la región fi.r. Por ejemplo, el punto representativo coFig. l2-l rrespondiente a un sistema particular se desplaza desde el punto A hasta B. Es obvio que el número de puntos representativos en fi.r y Rz es el mismo. Lo que no es tan obvio es el siguiente teorema, llamado teorema de Liouuille.

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

313

12.12 Teorema de Liouuille. Los volúmenes de 2n dimensiones de Rr son los mismos, o si definimos la densidad como el número de puntos por unidad de volumen, entonces la densidad es constante. Podemos conside¡ar los puntos de Rr como partículas de un fluido incompresible que se desplaza desde tr hasta fi.2 en un tiempo ú.

Teorema

y tz

CALCULO DE VARIACIONES Un problema que se presenta frecuentemente en matemáticas es hallar una curva

Y(¡) queunelospuntos

x: a y x: ó talquelaintegral(endonde y' :dy/dxl ?b

)" sea

F(n,y,y')

] :

dr

(8)

un máximo o un mínimo, llamado también ualor extremo. Con frecuencia a la curva

se le da el nombre d.e extrernal. Puede demostrarse (véase el problema 12.6) que una condi-

ción necesaria para que (8) tenga un valor extremo

es

d/{\-{ v ñ\w/- u = o

(e)

que es la llamada ecuación de Euler. Este problema y problemas similares se estudian en una rama de las matemáticas llamada cálculo de uariaciones.

PRINCIPIO DE HAMILTON La semejanza de (9) con la ecuación de Lagrange conduce a considerar el problema

de

calcular los vq,lores extremos de ftz

{ttI

o

L(qr, . . ., e,, qr, . . ., e^, tl

brevemente,

donde

ft" úat

L : T - V es la lagrangiana

Podemos demostrar que

r

d,t

Q0)

a,

de un sistema.

la condición necesaria de una curva extremal

+(9L il\lt)

\ - a¿= aq"

es

u

(rr)

que son precisamente las ecuaciones de Lagrange. El resultado llevó a Hamilton a'formular un principio variacional general conocido como el

Príneipio de Hamilton. Un sistema mecánico conservativo se desplaza un tiempo ü r hasta un tiempo t 2 en tal forma que ?tz

J,, "

O'

desde

Q2\

llamada la integral de acción, tiene un valor extremo. Debido a que frecuentemente el valor extremo de (12) es un mínimo, el principio se conoce también como el principio de Harnilton de la mínirna acción. El hecho de que la integral (12) es un mínimo, se simboliza estableciendo que ?.2 ,Jr,"O = 0

donde ó es el símbolo de variación.

(I3)

TEORIA HAMTLTONIANA

314

lcAP.

12

TRASFORMACIONES CANONICAS O DE CONTACTO La facilidad de la solución de muchos problemas de mecánica depende frecuentemente de las coordenadas generalizadas que se empleen. En consecuencia es necesario examinar las

trasformaciones de un conjunto de coordenadas de posición y momentum en diferentes coordenadas generalizadas. Por ejemplo, si go ypa son las antiguas coordenadas de posición y momentum y si Q' Y P, son las nuevas coordenadas de posición y momentum, la trasformación es

Po

=

Po(pr, ...,Fn, et, ...,en,

t),

Qo

=

Q,(pr¡

Q"

=

Q"(po,eo,t\

...¡Fn,

et,

...,en, t)

(14)

o brevemente

Pn

= Po(Pn,eo,t'),

(15)

Nos limitamos a las trasformaciones llamadas trasformacíones canónicas o de contacto, para las que existe una función ¡tl, llamada la hamiltoniana en las nuevas coordenadas,

tal

que

: aJ{ 'ñ, q"=ffi i,"=-'&

(/6)

En tal caso Qo y P" reciben el nombre d,e coordenodas canónicas. Las lagrangianas en las antiguas y en las nuevas coordenadas son, respectivamente, L(Po, Qn, f) y {( Pn, Qo, t). Ellas están relacionadas con las hamiltonianas H(po, qo, t) y J{(P", Q", ü) por las ecuaciones

H = 2pod"-L, J( = )p"ó"-{ donde

la sumatoria

se extiende desde

c: t

(17)

hasta n.

CoNDICION PARA QUE UNA TRASFORMACION SEA CANONTCA El siguiente es un teorema importante. Teoremo 12.2. La trasformación Po = Po(po,en,t), Q" = Q"(po,eo,t\ es canonrca

Zp"dq"

8r

> P"dQ"

(r8) (1e)

es una diferencial exacta.

FU NC IONES GENERATRICES

Po¡ el principio de Hamilton las t¡asformacioñes canónicas Qa) o (/5) deben satisfacer las condiciones de que f" r,at , f" {ilt tengan ambas valores extremos, esto es, debeut\

lr

ar

mos tener simultáneamente que

af,,"Ldt Se satisfarán estas condiciones

=o

y

tf"'
Véase el problema 12.11. Llamamos

q

(20)

si hay una función e tal que

# = L -"( Suponiendo que

0

(21')

a g una función generatriz.

es una función, que representaremos por sf, de las antiguas coordenadas de posición go, de las nuevas coordenadas de momenturn Po y también del tiempo ü, es decir,

cAP.

121

TEORIA HAMILTONIANA

315

Q = d(q" P", t)

(22)

podemos comprobar que (véase el problema 12.13)

aó Pa= l,t"' donde

Yp,, J{ - H*, aJ{ A aJl

Q" =

D

ad

-

(23) (24)

Resultados similares son válidos si la función generatriz es función de otras coordenadas (véase el problema 12.12).

ECUACION DE HAMILTON.JACOBI Si podemos encontrar una trasformación canónica que conduzca a J{ = 0, vemos entonces de (%) que P, y Q" serán constantes (es decir, P, y Q, serán coordenadas ignorables o cíclicas). Entonces por medio de la trasformación podemos encontrar po y Qn V de ellas determinar el movimiento del sistema. El procedimiento depende de encontrar la función generatriz correcta. De la tercera ecuación de (23) vemos que al hacer J( = 0 la función generatriz debe satisfacer la ecuación diferencial parcial. dd at

I

H(p", q",

t) =

H*r(#,q",t)=

0

(%)

o

(26)

La ecuación rdcibe el nombre de ecuación de Hamilton-Jacobi. SOLUCION DE LA ECUACION DE HAMILTON-JACOBI Para aleanzar nuestro objetivo debemos encontrar una solución apropiada de la ecuación de Hamilton-Jacobi. Como esta ecuación contiene un total de n * 1 variables independientes, es decir, et, ez, ...,en y t, una solucirin completa tendrá n * L constantes. Omitiendo una constante aditiva arbitraria y representando las n constantes restantes por At, 92, ..., Ao (ninguna de ellas es aditiva) la solución puede expresarse como

ó = ó(qr, Qz, . . ., Qn, Fb 92, . . ,,

Fn,

t)

(27\

Cuando se obtiene esta solución podemos determinar entonces las antiguas coordenadas de momentum por

F" =

AeJ

(2u)

-aqn

También, si identificamos las nuevas coordenadas de momentum Po con las constantes aó (2e) w__=./ -c EB" td donde ^l q, d : 1, . . ., n son constantes. Utilizando estas constantes podemos encontrar entonces ga en función de Éo, '1 Y t, " con lo que obtenemos el movimiento del sistema. Po, entonces

CASO EN QUE LA HAMILTONIANA ES INDEPENDIENTE DEL TIEMPO Al obtener la solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi es frecuentemente útil considerar una solución de la forma

TEORIA HAMILTONIANA

316

eJ

[cAP.

= S'(sr)+S¿(qc)+...+S"(q")+f'(ú)

12

(30)

en donde cada función de la derecha depende solamente de una variable (véanse los problemas 12.15 y 12.16). Este método, llamado separación de uariables, es especialmente útil cuando la hamiltoniana no depende explícitamente del tiempo. Entonces encontramos que F(ü) : - Et, y si se representa la parte independiente dei tiempo de eJ por

S = S'(9,) +Sz(qz) +...+S"(q") la ecuación de Hamilton-Jacobi (26) se reduce

(31¡

a

\ = EH(!s XA.^,q")

(32)

donde E es una constante que representa la energía

total del sistema. También puede obtenerse di¡ectamente la ecuaci6n (32) considerando una función generatriz que sea independiente del tiempo. En tal caso se remplazan las ecuaciones (23) y (24) por as

Po= aq"' F"

donde

o"=r* aJ{ dQo'

t

8"

J{=H=E

(33)

_

(u)

dJ{ -eE

INTEGRALES DE FASE. VARIABLES ANGULARES Y DE ACCION Los métodos hamiltonianos son útiles en la investigación de sistemas mecánicos periódicos. En tal caso las proyecciones del movimiento del punto representativo en el espacio de fase sobre cualquier plano pog. serán curvas cerradas C". A la integral de línea

Jo = Jcn 6 se Ie

(35)

?odeo

llama integral de fase o la uariable de acción.

Podemos demostrar (véanse los problemas 12.17 y 12.18) que

S = S(qr, ...,(ln,Jr,,,.,Jn\

(36)

as

I4n = as Pc = ;-, oVa 8J"

donde

(37)

-

Se suelen representar las nuevas coordenadas Qo por

se remplazan por

as

oq"'

se

.9{ = ción de (39),

donde

E

'": ffi

depende solamente de las componentes

wo - fot+co

fo Y co son constantes.

Véanse los problemas 12.19

(38)

convierte, entonces, en (véanse las ecuaciones (33) y (34)) aJ{

in=.a.q{ -#,,'

donde

entonces las ecuaciones (37)

ós aJ"

Po==-rüq:-

La ecuación de Hamilton

aro,

y

J".

(39)

Entonces de la segunda ecua(40)

Las rrc son las variables de ángulo. Las frecuencias '¡lt, son

f"=#

12.20.

(41)

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

317

Problemas resueltos TIAMILTONIANA Y ECUACIONES DE HAMILTON 12.L. Si la hamiltoniana H : Ep"do - L, en donde la suma se extiende desde c : 1 hasta n, se expresa en función de las coordenadas go y los momenta pn, comprobar las ecuaciones de Hamilton,

,ñ"=-#, A"=#

independientemente de si If: (a) no contenga, o (b) contenga el tiempo variable explícita. (o) H no contiene explícitamente a t. Diferenciando H : Ep"á" - L, tenemos que

itH = 2pnitdn + >¿" dpo Luego utilizando el hecho de que po

ú como una

,#oo, - ,#or"

= 0Ll0ün y in = |Lldqo,

(I)

se reduce a

dH = 2doap, - 2ño¿q, Pero como

lf

está erpresada en función d"

p" y

e)

go, tenemos

dH = -saL¿".+ -ifidu >..aH ' apo-,n Comparando (2) V

$)

llegamos al resultado deseado,

irH.aH la=¡¿, (ó)

H contiene explícitamente a

=

dH = dH

O"=-Agn

t.

En este caso lag ecuaciones

dH

(3)

(l),

(2) v (3) de la parte (o) se remplazan por las ecuaciones

2p.¡ti, + >i" ilpn 2&n¿po

-

>ó" aq, -

,#oo" - ,#or" -

fiat

#ot

v) (5)

= >ffiur" + 2ffaa, + ffat

(6)

Luego, comparando (5) y (6) tenemos que

.dH.dHdHdL Qa=6, Fa=-¡¿,

ü=-ü

12.2. Si la hamiltoniana

es explícitamente independiente de ü, demostrar que es: (a) una constante y es, (b) igual a la energía total del sistema.

(a)

De la ecuación (12) del problema 12.1 tenemos

# = >¿"i"->ó"i" =

o

Por consiguiente H es una constante, digamos E.

(ó)

Po¡ el teorema de Eule¡ de funciones homogéneas (véase el problema 11.47),

>¿-+ = -dúo

2r

318

TEORIA HAMILTONIANA

[cAP.

12

donde ? ea la energía cinética. Entonces, como pa - ALhAn = ATlilin suponiendo que el potencial V no depende de {o, tenemoe )po üo = ZT, po¡ tanto comprobamos que

H = 2poi,-L 12.3. Una partícula

se mueve en el plano

= LT-(T-V,) = T+V =

E

ry bajo la influencia de una fuerza central

que

depende únicamente de su distancia al origen. (a) Establecer la hamiltoniana del sistema. (b) Escribir las ecuaciones de Hamilton del movimiento.

(o)

Suponer que la posición de la partícula se erpresa en coordenadas polares (r, c) y que el potencial debidoalafue¡zacentraleeVb). Comolaenergíacinéticadelapartículaes ?: trm(i2 l'¿i2l, la

lagrangiana es

L = T-V = ¡mftz+rz'sz¡_V(rl p, = aLlO; - ni, pe = 0Ll6i = ¡nr26 i=pJm, i-prlmrz

Tenemos

así que Tenemoe entonces que

H=

la hamiltoniana t-

(r) (2)

(3)

es

= ei + poi -

"?rn"a'-L /e,\ / pc

= o,\^) + nt\ñ) \ _

p7

G¡n(i¿

+

nlózl

- v(rl)

{*(# * ,,.#*)- v(d}

G)

e8 = z^+ñ+V(r)

Obsen¡ar que esta es la energía total erpresada en función de las coordenadas y los momenta.

(ó)

Las ecuaciones de Hamilton

Luego

gon iln = dHl|ps, iio - -ilHllqn

i=dHldp,=pJn, it=dVl¡pe-pl¡nrz b, = -aHl|, = plnÉ - V(r\, ,ie = -dHlAc = 0

(5) (6)

Observamos que las ecuaciones (5) son equivalentes a las ecuaciones (B).

ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE 12,4. Demostrar el teo¡ema de Liouville en el caso de un grado de libertad. Podemos imaginar el sistema mecánico desc¡ito en función del movimiento de puntos representativoa a t¡avés de un elemento de volumen en el eapacio de fase. En el caso de un sistema mecánico con un grado de libertad, tenemos un espacio de fase de dos dimensiones (¿ g) y el elemento de volumen se reduce a un elemento de Area dpdq (figora l2-2). Sea p : p(p, C, t) la densidad de los puntos rep¡esentativos, eato es, el número de puntos representativos por unidad de área, el cual se obtiene por un procedimiento apropiado de límites. Como la velocidad con que los puntos representativos entran a través de AB es Q, el número de puntos representativoe que entran a través de ÁB por unidad de tienpo es

pi ¿p

(r)

Fig.l2-2

El número de puntos representativos que salen a través de CD

es

')

f.+ d {n,i frteilao¡ao

(2)

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

319

Por coneiguiente el número de puntos que permanecen dentrc del elemento ee (I) menos (2), o

-

á^

6obtl

dn

do

(s)

Similarmente el núme¡o de puntos representativos que entran pot AD y salen por 8C son, respectiva-

menüe,

pi¿c

l'/

v

tee

\

+ a "'

*blldplac

Luego el número que permanece en eI elemento es

.,

d, . -¡obildndt El

Ul

aumento de puntos representativos es, po¡ consiguiente, (sumando (g) V (a))

* {@ Loc Como es iS,aal

a

fiiQdq,

a!i't\ dp)

oooo

debemos üener

g*J4O+i@] dt Laq ae) = o

**,#*#a+,**hb Po¡ las ecuaciones de Hamilton b

= -aVlaq, i = |Hldp a'H . aA 9i-

0p =

o

=

(5)

así que

azr

Aq-- dq dp

- 0p 0q'

Por tanto, como

supon_emos

cluye que dfilap

que la hamiltoniana tiene derivadas continuas de segundo orrden, ee con-

= -ailaC.

Remplazando este resultado en (5), tenemos que

Pe¡o esto se puede esc¡ibir

**#a*#b = o

como

(6)

ilpldt = 0

(7')

lo que demuestra que la densidad en el espacio de fase es constante y, €n cons€cü€ncia, hemos verificado el teorema de Liouville.

12.6.

Demostrar el teorema de Liouville en el caso general. En el caso general el elemento de volumen en el espacio de fase es

dV --

dq1

.. . ilqnilpt... ilpn

Se encuentra en una forma exactamente igual a la del problema 12.4, que el aumento de puntos representativos en dV es

... + abi,,| + abitl +... l@ +?""--iacr aqr- apr-"'+ y como es igual

"

fraV,

aerlov

debemos tener que

a(p,ir)

dt * 0h + ?p

abiJ\,,,

,

... + a(p,in) + lqn

abbtl

lpt

+... *

a(páo)

to+ $. a!ed")+ = At ' Et ilqn ' i @ ae"

o Esto puede escribirse como

dpt

ign

=

o

o

"€,

s lao:.@;-\+ o" - ap"o" u - ,At \aq" ¡

3

o3, o"/4*91=) \ac"- ae")

=o u

(r)

TEORIA HAMILTONIANA

320

Por las ecuaciones de Hamilton

in= -dVl\qo, iin= 0HlOpn

,io _ _ azH ipn

Luego

lcAP.

Abnl|pn= -\iollqn y (l)

así que

,dn _

|po1qo'

lgu

a2H dqodpo

ge convierte en

. *¡") esto

dpld.t

eE,

op-

12

=0

(2) (3)

=Q

constante

Observemos que hemos usado el hecho de que

dp ü

si

p

:

p(qt,

{ laoit!y+g¿l,.:)+g a4E/ - dt =

"á \ac"E-

,p', ü) entonces

3

+

a=l

!;t") + fi

CALCULO DE VARIACIONES Y PRINCIPIO DE HAMILTON

12.6. Verificar que la condición mo (máximo o mínimol

f: = o.

necesaria para que

* *(#)-ff

Suponer que la curva que hace que

f

fo vc

,rr,

y, y')

sea un valor extre-

sea un ertremo está dada por

a = Y(xl, o=rSb Luego U = Y(xl*c1@l = Y*cn donde e que es independiente de r, es una curva cercana que pasa po¡ ¡ : q@)=z(b)=0 el valor de .I para esta curva

dx

(l) (2)

¿

y ¡ : b si hacemos

que (3)

cencana es

ab

I(.) = J"rrr,Y*q,Y'*cr¡'ldr

(4\

Eeta es un ertremo cuando e : 0. Una condición necesaria para que esto sea ".i, ". Pero de¡ivando dentro de la integral, suponiendo que esto es válido, encont¡amos

¿il1 = (olaP + ar',\ ¿ l.=o J" \*' *t' )ar

qu. $ Q. 6€ |l€=0- =

=

que puede escribirse integrando por partes como

*(#) * (b lap ¿ /ar\l = = )",\*_ú\r¡)Jo"

Í"' #,¡ itr I

#

rl'"

-

Í"o ,

o

en donde hemos utilizado (3). Debido a que z es arbitraria, debemos tener

¿ /ar\ #-*(#) =. o t\ú)-fr

aF

=

o

que es la ecuación de Euler o de Logrange. El resultado se ertiende fácilmente a la integral

vb

I ua

r@, yt,yl; gz,uL, , ' ., un,!'nl tlu

y conduce a las ecuaciones de Euler o de Lagrange

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

d,/aF\_aF ú\aI) -dY" = o

321

a=l'Z'""n

Por el desarrollo de la serie de Taylor, de (4) encontramos que

rG)

- r(0) = " l"'(il,

. #r)t6

-f

términos de orden superior sn c2,ra, erc. (5)

El coeficiente de t en (5) sb llama con frecuencia uariacíón de la integral.y /'b

sJI El

hecho

F(x, y, y,l dr

a, ou. Jo F(a,A,U'l da sea un extremo E

se denota por

es indicado por

r+

I F(x,y,y,) ilr =

ul

0

12.7. Discutir la relación

del principio de Hamilton con el problema 12.6. Identificando la función F(x, y, y') con la lagrangiana .L(ú, q, i) donde t, y y y,

zado por

Ú,

g,

i

se han rempla. respectivamente, observamos que una condición necesaria para que Ia integral de acción

t." , o,

(t

)

.l

sea un extremo (máximo o mínimo) está dada por

.aL

!a\A)/at\

dq =

o

(2)

Como lo hemos visto (2) describe el movimiento de la partícula, por tanto para que se realice tal movi. miento se requiere que (.r) sea un extremo, lo cual corresponde al frincipio de Hamilton. Para sistemas que involucren n grados de libertad consideramos la integral (I) donde

L =

L(t,qbAt,qz,ü2, .,.,qn,ünl

que conduce a las ecuaciones de Lagrange

d/aL\_aL ¿t\ad"/ oÍa 12.8.

Una partícula

se

v^

e.

= lr2, ,. .rn

desliza desde el reposo, sobre

un alambre en un plano vertical, desde un punto hasta otro por la influencia de la gravedad. Determinar el tiempo total empleado. Indicamos la forma de la curva C del alambre en la figura 12-B y suponemos que los puntos inicial y final del

movimiento son el origen pectivamente.

y el punto A(¡o, yo),

res-

Supongamos que la partícula tiene masa m y que

por p(r, f). Según el principio de la conservación de la energía, si elegimos como nivel de refe¡encia una línea horizontal que pase por A, tenemos Fig.12-B ...*" potencial en O -| energía cinética en O : energía potencial en p * energía cinética en p su posición está dada

o

msys

dond,e

ds/dt

* 0 =

rns(aó-ú + *m(ü/dtz

es la rapidez instantánea de la partícula en el tiempo ú. Entonces

daldt

= ¡Fw

,)

Si medimos el arco s desde el origen, entonces s aumenta cuando la partÍcula se mueve. Entonces ds/df ea positivo, así que ds/dt : {td o dt : ds/VW.

El tiempo total

empleado para

ir desde y

: 0

hasta

y : yo es

[cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

322

ft

12

frto

l-" ds = Jol'¿, = Jy=o @ pe¡o (ds)2

:

(d.x)2 1- @y),

o

ds: ,Ñ

d¡.

Enüonceseltiemporequeridoes

I

rYo '/f+7 . ,lo "" )"=o -r/w

¡ =

e)

viaja del punto O al punto A en el menor tiempo posible, demostrar que la ecuación diferencial de la curva C que define la forma del alambre es 1 * y'2 + 2yy" :0. Una condición necesaria para el tiempo r según la ecuación (2) del problema 12.8 para ser un míni'

12.g. Si la partícula del problema

12.8

mo es que

¡t /dF\ ¿r ú\Ú)-;i = o

(r)

¡' =

(21

*g'\rtzg-rrz ilFloy, = (l+g,\-rrz u' u-rtz, 0Fl0g = -ü(r + o'z¡ttzn-ttz

donde Ahora

(1

Sustituyendo ésta en (I), haciendo la derivación indicada con respecto a ecuación diferencial requerida. El problema de determinar tocroma.

r y simplificando

obtenemos la

frpcuentemente el problema de la braquis-

la forma del alambre ee llama

12.f O. (a) Resolver la ecuación diferencial del problema 12.9 y así, (b) demostrar gue la curva requerida es una cicloide.

(a)

Ya que .r no apa¡ece en Ia ecuación diferencial, hagamos

y,, =

#= #y"=

!' : u aeí que

Hu, =

"#

Entonces la ecuación diferencial ee convierte en

LtuzIZuufr=

O

2uilu,du-n

t+dÉ-T -

o

Integrando obüenemos

o

ln(1*22)*ln/=lnü donde b es una constante.

Entonces dt u=u.=á={-3

(1

+u2lu

"

-

b

f_

ya que la pendiente debe se¡ posiüiva. separando las variables e integrando, encontramos

' =I Haciendo

J:

Fr-"du*c

b senz e, podemos esc¡ibir

/. r-ü = J {f#*'2D

sen

c

coEo

ilc

+

c

ff

Entonces las ecuaciones paraméüricas de la curva requerida son

n - [b(zc-sen20)*o' tt = bsen2' = *ütr-co¡2c) Ya que la curva debe pasar Por ¡ : 0, y - 0' tenemos c : 0' Entonces haciendo o=*b o=2c,

(r)

las ecuaciones paramétricas requeridas son

t =

o(Q

-senP),

! =

o(L

-coso)

(2)

cAP. r2l

TEORIA HAMILTONIANA

(ó)

323

Las ecuaciones (2), son lae ecuaciones paramétricas de una cicloide (figura l2-4). La constanüe o se debe determinar en tal forma que la cuiva pase po¡ el puntoA. La cicloide es la trayectoria desc¡ita po¡ un punto fijo sobre un cí¡culo que rueda a lo largo de una línea dada (véase el problema l2.gg).

\t

\----l

a

Fig. t2-4

TRASFORMACIONES CANONICAS Y FUNCIONES GENERATRICES l2'll' Demostrar que una trasformación es canónica si existe una función tal que itrqldt e = L- -q. ¡en se¡ simultáneamente extremas así que sus variaciones

?tt ólut, lat=O

y af'," {t -<)dt

Entoncee por resta,

Eeto se puede cumpiir si eriste una función

como en

tal

=

o

f tal que

L-1= d,Qldt , l,':#* = 6(aa)-detD

caso

=

o

La función 6 ae llama furción generatriz.

L2'12' Suponer que la función generatriz es una función f de las antiguas y nuevas coordenadas de posi-ción Q' Y Q" respectivamente como también del tiempo t, esto es, f : ,f (en, eo, f ). Demostrar que

p" =

," = -#,

#,

J{ =

#**

donde

ir"=

-#,, e"=ff"

Según el problema 12.11,

dT

L-1=

¡lt

dT Pero si

T=

2pnáo-H-{t"á"-"} 2poi, - )po ó, + .gt - n = 2poitqn - >Pa itQn * ll!- H\ dt

T(qo,Qo, ú), entonces

dr = Comparando

(l)

Las ecuaciones debido a que

milton

(r)

V

e),

2f*oo, +

>#

ao, +

f, at

e)

tenemos como se requiere

o"=#, Po=-#n, J¡-r=# b"=-W, ón=#

f es la hamiltoniana en las coordenadas corresponden a las del problema 12.1.

P", Q" de manera que las

ecuaciones de Ha-

[cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

que 12.13. sea et una función generatriz que sólo depende de go, Po, ü. Demostrar -^ donde = 'e, =

Aof J4=#+H .. Aol _ AeJ p"=ffi,Q"--ffi, De la ecuación

(I) del problema

= :

¿IT

i- -ry. ra=-¿fit

a-91

ñ,

12'12, tenemos

>P"dQ" + (J1- Hl.lt

-

2pndqo

o{>""o"} *

2pndqo-

>QodP, + (.gil-Hl¡tt (1)

d,q'o + 2QoEo + (Jl-H\¿It \/r +>p"o") ='roo deJ = 2poilqo + >SditPo + Ul-$dt eS = f +>PaOa

¿(

o

esto

esr

donde Pero como

g[

es una función

Los

v)'

1

(2)

(3)

de 9", P", t'

d,er comparando (2\ Y

12

=

r,Hoo,

+ 2ftae" + flat

,, = H, g, = ffi,

resurtado.

É

g¡ =

(41

fl*,

: -'#,, á" ='#

"

sonconsecuenciadelproblema]12.12,y8que¿l|esl^ahamiltoniana.

P : á(p' * q'\, Q : tan-'(q/p)

L2.14. Demostrar que la trasformación Método

l.

sean I/(p, il v ,9I@, Q) las hamiltonianas en coordenadas P, que H(p, ql : ,9{@, Q). y" que p, g son coo¡denadas canónicas'

.

O

pero

9 v P' Q' respectivaFente,

aH C :_dH : il = --ll,

dq

e\

oJ{ aQ a.9l q. , a.g{ aQ a:H # ññ dP f,* ,Q uo' de "*

a,.9{

así

(t)

;=fti+ffio,;=#b+#á aH :

es canónica'

ap

(3)

De las ecuaciones de trasfo¡mación dadae, tenemos

aP :ap =

dP P' -ll = o'

dQ= p -q = + dt' aq - T+ qD 12 -ap aQ-

a P y Q respectivamente obtenemos También. diferenciando las ecuacionee de trasformación con ¡especto

/ oq dp , .ao 0 ^ = (our-uU)/\P 'v, t. = e#+q#, "9L\ /r,.r+olt

o = ,fr *

,fr, t = (r:á- oft) /w'**t

Resolviéndolas simultáneamente, encontramos

# = Fir'

u4,

=

F1*' # = -o' # =

o

(4)

cAP. l2l

TEORIA HAMILTONIANA Entonces las ecuaciones (1)

y (Z)

b=

325

se convierten en

FiOF-qe, ; = ffiF+oo

(5)

aH

q a,!{ * p dJ{ dH = _aJ{ dq = nuú '7F-erTc'r¿@, ap Pap:-F;Vñ

Así, de las ecuaciones (1), (5)

y (6)

(6)

tenemos

ffii_oá = _,#_F+# ffii +,ó = ,#- F+d#

Resolviéndolas simultáneamente encontramos

las cuales muest¡an que

-F=-Vad' v = ;P ^-aJ{

Py Q son canónicas

(7)

y que por consiguiente la trasfo¡mación es canónica.

Método 2. Por el teorem a 12.2, la trasformación es canónica si

2poitqn - >podg"

(8)

es una diferencial exacta. En este caso (g) se convierte en

pilq - PdQ =

- t@z+qz¡ (p¿q^ , q!e\ \ p2*q2 / t@h + odol = ,t(tpq) p¿Ic

=

una diferencial exacta. Entonces la t¡asformación es canónica.

ECUACIONES DE HAMILTON.JACOBI 12'16' (o) Escribir la hamiltoniana para un oscilador armónico unidimensional de masa (b) Escribir la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi. (c) Usar el método Hamilton-Jacobi para oi¡iener el movimiento del oscilador.

¡n. de

(a) Método l. Sea q la coordenada de posición del oscilado¡ armónico, asi que energía cinética es ? : *mdt y la energía potencial :

V

Er momentum así

"

es

que

f

es su velocidad.

trrqr, la lagrangiana

=

ya que la

es

(r)

i =orrlrrT-*^u*

e)

i = p/*

(J)

H = 2podn-L = n&-l¡mflz-t*czl = |f/m + ¡*qz

Vl

Entonces la hamiltoniana es

Mótodo

2. según el problema l2'2,ya que la hamiltoniana es la misma energía total para un sistema conservativo,

H = $mlz***q'= tn(plmrz|t*q" = lp2/m*L*q,

[c AP.

TEORIA HAMILTONIANA

326

12

de Hamilton-Jacobi es (véaee la Usando P = deJlAq v la hamiltoniana de Ia parte (o), la ecuación ecuación (26)

(b)

'#. *(H)'* ¡0, = (c)

tc,

o

Supongamos una solución de (5) de la forma

eJ Entonces (5) ee convierte

=

(6)

Sr(q)+sz(ú)

en h,(+)' * **q' = -#

(71

Haciendo cada lado igual a la constante p, encontramos

,*,(+)'*t*c' = F' fr=-a omitiendo las constantes de integración, las soluciones son

st= Í t/ffiaq, en

así que (6) ee convierte

eJ = Í

s2

,/@dc

-

(8)

= -Bt

(e)

Ft

AóloidentificamosconlanuevacoordenadadelmomentumP.Entoncesparalanuevacoor. denada de posición

tenemos,

z

-\

e=H=#u,@oo-P'j dq = @¡ n-J 'fñ-= _,

Pero ya que la nueva coordenada Q es una constante ?'

@(-,tq 2r{s4 t/ffi

o integrando

es

=.1

""n-r
= tI t

q = rfll7l""n./ñ1t+^¡¡

Entonces despejando g,

la cual

_-.

la solución requerida. Las constantes p y 1

Q0)

se pueden determina¡ de lae condiciones

ini'

ciales.

a Ia energía total E del sistema Es interesante notar que la cantidad p es ñsicamente igual

(véaseeIproblemal2.g2(o)).Elresultadoconp:Eilustralaecuación(31).

problema de una partícula en 12.L6. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para resolver el un campo de fuerza central que depende del inverso del cuadrado' La hamiltoniana Entonces como pr

H=

es

= |ef l0r, Pc= Oól0c,la

*(e.'J)-i ecuación de Hamilton'Jacobi es

!f/q\' * rfg)'I r = ra\de/ ) - +

* dl- 2^l\a"/

ael

Sea

ef =

(/)

Sr(r)*S¿(a)+Ss(Ú)

o

(2) (3)

cAP.

121

TEORIA HAMILTONIANA

Entonces (z) se

327

1 r/ds.\2 ,hl(H".i(#)]-f

convierl

'een

=

-#

Haciendo ambos lados iguales a la constante Éa, encontramos

d.Ss/ilt

= -B,

+{/E)'+1/1&\1 zml\dr/',2\¿f/l-;

(4)

_s =

es

(5)

La integración de (4) da, además de una constante de integración,

S, Multiplicando ambos rados de (5) por 2mr2

/dso\2

(#)

=

y

=

_Bsú

esc¡ibiéndora en ra forma

(

-(#)]

"lz^o,+zryK

depende sólo de d mienüraa que el otro depende de r, se concluve que cada lado

"ttrrT:t"i."r"1t:ljio"

dS2filo=B, o

52=Bro

,,{z^m+w-(#)} = d'St

E =

pz

Yznqs*2mKlr-Fltrz

(7)

tomando la ¡aíz cuadrada positiva. Entonces

^s, Po¡

= [@a,

(s)

el = )f {znA+ znxt-@

tanto a

Identificando

dr

-

az y É3 con log nuevos momenta

Q,

= H=

a p, ! pr,

+

B2c

_ Bst

(e)

respectivamente, tenemos

&lWd.r*c

= yr

Qe=&=&Í@dr-t=rz son constantes,

:;":::r"lJrtc

digamos .rty "t2. Efectuando las diferenciaciones con respecto a

fffi=c-r,

| .are^tr'- p-21r. La integral

(i0)

-en como ecuación de

se puede

la órbita,

calcular haciendo la sustitución

Az

!

As,

Q0)

t + f2

r : I /u,

(t

t¡

y después de integrar encontramos

r= cos (r

* il2 -

^¡r¡

La constante p3

se puede identificar con la energía E (véase el problema L2.g2(b)),la cual ilust¡a ción (3/) de este capítulo'-si E : la ecuaat a o, i. E : Fa ) 0' es una hipérbola. E.to *n"uli" IrTir" es una eliise; .;; : Éa : 0, es unaparábola; y si

r*

resurtados der capíturo

5. ""r La ecuación (I1) cuando se integra da laposición en función del tiempo.

[cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

328

12

INTEGRALES DE FASE Y VARIABLES ANGULARES

que contiene las n 12.17. Seá ef una solución completa, de la ecuación de Hamilton-Jacobi, son funciones constantes Ft, . . . , i.o. sea J" : f o,on.. Demostrar que las o/, sólo de É". (I) .'' + St(gt'Fl' "''Pn) - Bí Tenemos ó = Sr(gr,Ét' "''9') + donde Ia constante 0t: E' es la energía total' Ahora

aeJ d,sa Po=ac"=a%

,In =

Entonces

f

(2\

(3)

n,au

eon las constantes pero al hacer la integración ga no aparece, así que las únicas cantidades que permangcen ecuaciones n 0t, .., É". Así tenemos las

usando (4) podemos

12.18.

(a)

V) Jo = Js(B1'"''|n) a=L¡"'¡rltr (I)enfuncióndeloeJ"' resolver Ft, ,pn en función de Jr, ,J" y expresar

y de momentum son u'c y Ja' respectivamente.DemostrarquesiJlleslanuevahamiltoniana' jo = -0-91/0wo, tbn = AJlldJ" Suponer que las nuevas coordenadas de posición

(b) De (o)

se deduce que

o[, = constante donde

(o)

Según

f n! co son constantes y

f'

6n = fotl0" -- dJlldJ"' Y

las ecuaciones de Hamilton para las coordenadas canónicas Q., P", (¿o = ¿,!{laP' Fo

(')

= -oJUaQo,

y momentum se toman como Entonces, ya que las nuevas coordenadas de posición ser a vienen P" : J", estas ecuaciones

io = -|Jlllu", (ó)

Ya que ,!H

donde

'ñn

= alfllaln

: E, la nueva hamiltoniana depende sóIo de J" y no de r¿"' Entonces jo = 0, óo = constante = fa

fc = aJlUaJn De (3) encontramos,

Qo

:Uoy (21

de (2) tenemos (3)

como se requiere'

Jc = constante, uto = fot* cn

(4)

integrales y Las cantidades J" se llaman uariables de acción las correspondientes

f

o'ao'

=

(5)

Jo

llaman integrales de fase siempre y cuando la integral se realice nada q". Las cantidades ud se llaman uariables angulares' se

12.19.

(c)

Denotemos por Lt¡)o el cambio de w r€l Particular g," Demostrar que

un ciclo completo en la coordenada sl d=f

Aü)t

=

{l

en un ciclo completo de Ia coorde'

si

a*T

[CAP.

12

TEORIA HAMILTONIANA

329

(b) Dar una interpretación fisica del resultado en (o).

(o)

Lu)o.

= fffoo, = f #(ñ)",= f #(#)". d tAS )- = 0J. ft si 4=7 = 4,Yfiao' ú = {o siallr

donde hemos usado el hecho de que üra = ilSllJo (véanse los problemas 12.17 puesto que el orden de la diferenciación e integración no influye.

(ó)

y

L2.Lg)

y hemos su-

De (c) se sigue que ar" cambia en uno, cuando g" realiza un ciclo completo, pero que no hay cambio cuando cualquier otro g realiza un ciclo completo. Entonces gc es una función peritídica de u" de período igual a uno. Físicamente esto significa que las .f, en ia ecuación (4) del problema 12.1g son las frecuencias.

12.20. Deterrninar la frecuencia del oscilador armónico del problema

12.15.

Un ciclo completo de la coordenada g(véase la ecuación (I0) del problema 12.15) consiste en el movimientodesde g : -\Eil* hasta q : +\trm yregresa a q: Entonceslavariabledeacció¡

-frú,.

f (b eilo J

J -

=

flm ¡Et* =, J_u*t/znlp-r-ñ aq = J, {zrntp-¡,.ñ aq n

z"Bt/ffi

Jf; F = E = %\*

Entonces

-Jl

-d.il1 AJ

vt=J!:L

2r

12'21. Determinar la frecuencia del problema de Kepler (véase el problema a

r

12.16).

*.::*::11r":'":il,'"':ffH:-rT'.1',TjitTi."ffJ"lT;.r*,n

cuad

ión (I0) del problema

12.16)

2mBs*2mKlr- gf,lrz = De las ecuaciones (6)

ro =

l, = f

y

(r)

O

(Z) del problema 12.16 tenemos,

f

o,o,

fti'"liTjifr

,,0, =

=f

f#0,

= f#"

#* = f#*

= zrrmK/1/ñp" -

=

= Ío'"uro, =

%ruz

e)

,!_'^.* '

mtn

2ogz

(3)

De (2) y (3) por eliminación de p2 tenemos,

Jo+ J¡ Ya que

h:

=

UmXtt/-ZmB"

(4)

E, (4) se obtiene

F' :- -

2n2nK2

O;77$

asr que

Entonces las fipcuencias son

_ ,^=u4 oJc

4t%nKL

(Jo+ J,l0'

Como estas dos frecuencias son iguales, hay una sola frecuencia, entonces decimos que el sistema es

degenerado.

lcAP.

TEORTA HAMILTONIANA

330

12

PROBLEMAS VARIOS 12.22. Una partícula de masa m se mueve en un campo de fuerza potencial V. Escribir: (c) la hamiltoniaDa, y (b) las ecuaciones de Hamilton en coo¡denadas esféricas (r, o,ó)

.

(a) La energía

cinética en coordenadas esfé¡icas

y=

¡m(ie

es

+

rziz

(r)

+ Pser'zc izl

Entoncee la lagrangiana es

L = T-l = tnfz+*A,+rz."tr¿ai2) -V(r,0,9) Tenemoe

p, = \Lla| =

mi,

pe

=

0Lla6

= mt¿á, 90 =

.9¡.9e.P.bc=ffir ,=ñ,,

T

dLlai

(2)

- mf aenzol

o=ffi;n4

(3) (4)

eatá dada Por

La hamiltoniana

H = 2p,i"-L = oj + o& + po| - *n|z + rziz l pZ ^? = e7

rzgs¡zo $z¡

+ v(r,o,gl

#*#+ffi*v(r,c,el

(5)

donde hemos usado los regultadog de la ecuación (4).

Tanbién podemos obtener (5) directamente, usando el hecho de que para un eistema con' aervativo la hamiltoniana es la energía total, esto ea, H : T + V,

(ü)

aH ' = aH i" ' parte son ú" fr, = -fr,. Entonces de la P6 . 0H AH Pe . ]-0HoP, -p,.,n'o=ñ=ffi'9=6=ffi;F6

Las ecuaciones de Hemilton

b. =

(c),

-#=#.4-*

b,=-'#=H-X .dHdV Fo = -ao = -a6

12.29. Una partícula de masa lz¿ se mueve en un campo de fuerza cuyo potencial en coordenadas esféricas es V : -(Kcos 0)/r2. Escribir la ecuación de HamiltonJacobi que describa su movimiento. Segrim el pmblema 12'22 la hamiltoniana e¡ 1/^,e3,e?o \ Kcoro (I)

H=

Escribiendo

,r=H,

or= H,

f^\fi+i+ffi)

eo=H,

la ecuación de Hamilton-Jacobi requerida

dó | Jlaó\'-ll9\'* = r= lgYI -Kceec = ,¿ T+- ztnt\rr7 -nl\u / -7'"."20\aa lJ

o

es

(2)

12.24. (a) Encontrar una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi del problema 12.23. (b) Indica¡ cómo se puede determinar el movimiento de la partícula. (o) Tomando e[ : St(r) + Sr(c) * S¡(C) - Et en la ecuación (2) del problema L2.8, se puede escribir

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

331

I /6t\t _L 1 /6r\, ,+ffi\fl r /dS¡\, Kc -F#\#) 2m\itr/ -+ge = (l) por

Multiplicando la ebuación

,,/6t\' *\E)

E

2mr2 y reagnrpando tórminos,

-z,ttu'n

7¿sr\t

I /ds¡\l. t2mKcoco = -\A;) -.#;1fl

Como el lado izquierdo depende solamenüe de r y el lado derecho depende de cada lado debe se¡ igual a una constante, la cual llamamos pr. Así

0

y 6, se deduce

rf+)'-z,no,' = Ft yar / /d'srtr t - \7; ) - 1 \7; -/6r\t) '*6

y

Multiplicando la ecuación

(B)

por

/dso \t (A)" =

(I)

gen2

2¡nlt

coto

que

(21

=

(3)

Ft

d y reagrupando términos,

Zmreen2oco!,

-

B1sen2,

-senrr(*)t

u)

Como el lado izquierdo depende únicamente de 4 mientras que el lado derccho depende sólo de !, cada lado debe ger igual a una constante que llamamos p2. sin embargo, como

det dsr Po=6=6 podemos eecribir P2

: pl.

Esto eg consecuencia del hecho de que C es una cpordenada clclica

o ignorable. Entonces (4) se trasforma 2mK

senzo

en

cos, -

Resolviendo las ecuaciones (2), (6)

s, =Jt/@dr,

y

B1 sen2

sr=

et = !' rtW

c - seng /dSr \2

'\6)

= e6 o

(6)

(5), obtenemos

d, +

s¡=por

Í@*,

donde hemos escogido la ¡afz cuadrada poaitiva integración. La golución completa es

(b)

(5)

y

se han omitido las constanü€¡ arbitrariag de

*

Í @ü

p6e

- Et

Las ecuaciones requeridas del movimiento se encuentran escribiendo

ae|

deJ

deJ

_ _ - -. 7E=rr, lfi=rt' fi=tt

y

luego resolviéndolas obtenemoe lae coordenadas r, c, ó como funciones de tiempo ugando lag condiciones iniciales para carcular laa constantes arbit¡arias.

12.2ó. Si las funciones F y G dependen de las coordenadas de posición gr, de log momenta po y del tiempo t el corchete de poísson de F y G se define

t.,c) = Demostra¡ 9ue (o) LF,

(c)

t4 Q,l :

(o)

oFlop,,

r.,ct =

Gl : (d,)

"o-o-'

?(#.,#-#,#)

[p, F], (b) lP,p,l - -dF/aq,.

?(*a#,-##)

=

t4 +

Fz,

Gl : IFr, G) +

-tffi#-##)

Esto demuestra que el corchete de Poisson no obedece

la lqr conmutatiua del

=

lF2, G),

-Íc,F1

ólgebra.

TEORIA HAMILTONIANA

332

rF,+ Fz,

(ü)

[cAP.

{*i{¿ #- ry t*}

ct = ;

un aG ('i 0q" * t = ?".1u", -o4tdc\ dg" lqo lpo/ 7 \dp" \0p"

=

G] +

[F'r,

|qt|qn: I

para

a:r

!

0q" 0P"/

lq

distributiua del ólgebra.

) (# #_ #,,#) = ,;

t-,c) = como

arr!9\

fPz, G)

Esto demuestra que el corchete de Poisson obedece la (c)

12

Opara

alr,y

iqr/}pc:0 paratodoc.

Comoresarbitraria,

se obtiene el resultado requerido.

t*,p)=;(#H,_#"H) = _#,

(d)

como lprlilqn: 0 para todo a, y ApJApo : 1 pa¡a a traria, se obtiene el resultado requerido.

: | !

0 para

cl r.

Como

¡

es aibi-

fI es la hamiltoniana, demostrar que si / es cualquier función que dependa la posición, de los momenta y del tiempo, entonces,

12.26. Si

t ,tl

Pero por las ecuaciones de

de

¡f

= fr,*w,fl

dt =

{at+Z(#""*fiuo")

(t)

#

#*?(*,u*#r")

(2)

=

Hamilton, = #,

i" = -#

(3)

Así (2) puede escribirse cou¡o

#=H*tC+#,-##)

= #*w,n

Problemas propuestos LA HAMTLTOMANA Y II\S ECUACIONES I'E HAMILTON 12.27. Una partícula de masa m se mueve en un cdmpo de fuerza, de potencial V. (¿) Escribir la niana. (b) Las ecuacioneg de Hamilton en coordenadaa rectangulares (¡,y,2). iBesp. (al

(ü)

hamilüo-

@?+e3+ últZ* * V(¡,a,zl pJm, ú=pJn,2=pJm, ñ,= -dVldr, ñu=-AVldU, ñ,=-¡Vlaz =

H=

i

12.2A. Usando laa ecuaciones de Hamilton deecribir el movimiento de una partícula de maea m que baja sin rozamiento por un plano inclinado un ángulo a.

12.25.

Resolver el problema de pequeñas ogcilaciones de un péndulo simple usando las ecuaciones de Hamilton.

12.30. Usar las ecuacionee

de Hamilton para obtener el movimiento de un proyectil lanzado con rapidez u6 formando un ángulo a con la horizontal.

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

12'31'

Usar

la¡

333

ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador armónico en: (o) una dimensión, y (c) tres dimensiones.

(b) dos dimensiones,

12.32.

Resolve¡ el problema Bi2? usando la ecuación de Hamilton.

ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE

12'33' 12'34'

Explicar por qué la trayectoria de un punto fase en un espacio de fase un sistema de partículas no puede cruzarse nunca po¡ sí mismo.

que representa el movimiento de

Considerar todos los detalles en la demostración del teo¡ema de Liouville para el caso de dos grados de

libertad.

CALCULO DE VARIACIONES Y PRINCIPIO DE HAMILTON 12'35' Usar los métodos del cálculo de variaciones para encontra¡ la curva de mínima longitud que conecta dos puntos fijos de un plano.

12.36. Demostrarquesilafunción.Fenlaintegral ¡b FG,y,y,)d.r esindependienteder,entonceslaintegral I es un extremo

' 12.38. 12'37

si I - y,Fy,: c

donde

"

ír"una

constante,

Usar los resultados del problema 12.36 para resolver: (o) el problema 12.9, (b) el problema 12.3b.

Si se desea que la curva de la figura l2_5 que tiene extremos finales fijos en p(¡,,y¡) y eGz,yz)

rote alrededo¡ del eje

r

de manera que el área.t de la

superficie de revolución sea mínima.

(o)

Demosrrar que

r=

,, l-"

at/T + ao ar.

-l

(b) (c)

Obtener la ecuación dife¡encial de la curva. Demostrar que la curva requerida es una tenaria. Resp. (b) w":r *(y,)r.

12.39.

ca_

Dos alambres circulares idénticos en con[acto que se colocan en una solución de jabón y luego Ee separan

forman una pelicula de jabón. ExplicJr por qué la fo¡ma de la película de jabón está relacionada con el resultado del problema l2.Bg.

Fig.l2-5

l2'4O,

Usar el principio de Hamilton para determinar el movimiento de un péndulo simple.

12'41'

Resolver el problema del movimiento de un proyectil usando el principio de Hamilton.

12'42.

Usar el principio de Hamilton para determinar el movimiento de un cilindro sólido que rueda sobre un plano inclinado un ángulo c.

TRASFORMACIONES CANONICAS Y FUNCIONES GENERATRICES 12.43. Demostrar que la trasformación e : p, p : _q es canónica.

12.44.

Demostrar que

12'46' (o) (ó) (c) (d) L2'46'

Demostrar

la trasformación e : qtanp, p: lnsenp es canónica. que la hamiltoniana pa¡a un oscilador armónico simple puede escribirse en la

¡¡:lp2/mlü*q".

forma

Demostrar que la traeformación; o = llut/-- sen e, e = \[*prfrcose es canónica. Expresar la hamiltoniana de la parte (a) en función de p y y demostrar que e e es cíclica. obtener la solución del oscilado¡ armónico usando los resultados anteriores.

Demostrar que la función generatriz el problema 12.45(b).

s : ¿\6q,

cot

Q, da lugar a las trasformaciones canónicas

en

lcAP.

TEORIA HAMILTONIANA

334

t2-47.

Demostrar que el resultado de dos o más trasformaciones canónicas, es también una canónica-

12.48.

Sea

1,1

una función generatriz dependiente únicamente de Qo, Po, t. Demostrar que

P" 12.49.

12

rururu eq = -li,

= -ú,,

Ji = ¡¡''. H

Sea ? una función generatriz dependiente únicamente de los momenta inicial y final Pn tivamente y del tiempo ü. Demostrar que

d'u .1 va -= f,fit

q" = -ñ;aT

!

Pn respec-

n, - &.u -;¡r u Jr

12.ó0.

Demoetrar que la función generatriz U del problema 12.48 estÁ rclacionada con la función generatriz Íldel problema 12.12 mediante 1l = T - 2poqo.

12.61.

Demostrar que la función generatriz del problema 12.12 mediante 7) --

? del problema 12.49 egtá relacionada con Ia función generatriz f f +>PaQo - )pogo.

ECUACION HAMILIION.JACOBI

12.62. Uear el método Hamilton-Jacobi para determinar el movimiento de una partícula que ijae verticalmente en un campo gravitacional uniforme.

12.68. (o) Establecer la ecuación Hamilton-Jacobi del movimiento de una partícula que 3e desliza hacia abajo sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo a. (ó) Resolver la ecuación H¡miltonJacobi despejado en (a) y determinar el movimiento de la partícula' 12.64.

Desarrolla¡ el problema de un proyectil lanzado con rapidez uo fórmando un ángulo c con la horizontal usando los métodos de Hamilton-Jacobi.

t2.6ó.

Uea¡ loa método¡ de Hamilton-Jacobi para describir el movimiento y encont¡a¡ las frecuencias de un ogcilador armónico en (a) 2 dimensiones, (ó) 3 dimensiones'

f2.66.

Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para obtener la función generatriz del problema

12.46.

INTEGBALES DE FASE Y VARIABLES ANGULARES

L2.67. Usar log métodos

de integrales de fase y de variables angulares para encontrar la frecuencia de un péndulo

simple de longitud

I

suponiendo oscilaciones

pequeñas' nttp. lf l9 2¡lll

12.ó8. Encont¡ar las frecuencias de: (o) un oscilador armónico bidimensional, (b) un

oscilador armónico t¡i-

dimensional.

12.óg.

Usando las integrales de fase obtener la frecuencia de pequeñas oscilaciones de un péndulo compuesto.

f2.6O. Se conectan mediante reeorteg igualea

dos

masas'igualee m que pueden desliza¡se sin rozamiento sobre un plano AB. Los extremos de dos de los ¡esorteg se fijan a las paredes en A y B (figu¡a 12-6). Usardo integrales de fage determina¡ lag frecuencias de los modos normales.

12.81. Discutir el problema

12.5? si laa oscilacioneg no

Fig. 12-6

son pequeñas.

PROBLEMAS VABIOS z son l2.BZ. Una partícula de masa m se mueve en un campo de fue¡za de potencial V(p,6,2) donde p,C, partícula' para la (ó) de Hamilton y ecuaciones (¿) las hamiltoniana, la Dar: cilíndricas. coordenadas Resp.

(al ¡¡ -- lclo+ p?61p2 + ú)tz^ * V(p,Q,z) (ü) i = polrn, ó = p¡lmr2, 2 - p,/m,'ño = pllmpt - |Vldp, io= -aVl\o' i'= -aVldz

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

12'63'

335

Una partícula de masa tn que se mueve en un plano, con relación a un conjunto fijo de ejes, tiene una hamiltoniana dada por la energía total. Encontrar la hamiltoniana relativa a un tonjunto de ejes que rotan con velocidad angular constante ¡ con relación a los ejes fijos.

12'6,4'

Establece¡ la hamiltoniana para un péndulo doble. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para determinar

las frecuencias normales en el caso de pequeñas vibraciones.

12.65.

Probar que la condición necesaria para

que

f = f" ,1r,r,i,:il¿t "tt

aF_d/ar\_ü/aF\ *n\a)

dr-dt\a-i

=

gea

un e¡t¡emo

ea

o

¿Puede generalizar este resultado?

12.66.

Desar¡ollar el problema B.T2 por métodos hamiltonianos.

12'67' Una partícula de masa ¡n se mueve sin rozamiento dentro de un cono vertical cuya ecuación es x2 * !2 : z2 tan2a. (o) Escribir la hamiltoniana, y (ü) las ecuaciones de Hamilton usando coordenadas cilíndricas.

Resp.

12'68' 12'69'

H = ry.#r*rnspcota (ó) i - 4#, i, = #-mscota (ol

Usar los resultados del problema 12.67 para demostrar que la partícula describirá una órbita estable en cualquier plano horizontal z : t¿ > 0, y encontrar la frecuencia en esta órbita. Demost¡a¡ que el producto de una coordenada de posición

y su momento

canónicamente conjugado

deberá tene¡ las dimensiones de acción o energía mulüiplicada por el tiempo, esto es,

l2'zo'

Efectuar la integración de la ecuación (I0) del problema 12.16 y comprobarla con la solución de Kepler

del capítulo

12.71. Verificar 12-72.

ML2T-r.

5.

los resultados de la integración (J) del problema 12.21.

Demostrar que la ecuación (9) de Euler, capítulo 12, puede escribirse como

,,,#+u,ffi+#+-#

=

o

12.79. Un hombre puede viajar en bote con rapidez u1 y puede caminar con rapidez u2. Refiriéndose a la figura 12-? demostra¡ que con el fin de ir en el mínimo tiempo desde.el punto A situado sobre una de las riberas del rio a un punto B del ot¡o lado, ól debe dejar su bote en un punto P donde los ángulos ,r y ,2 sean tales que sen r, r*% =

o1

% Discutir la relación de estos resultados con la ref¡acción de la luz en la teoría de la óptica.

12.74.

12.75.

Demostra¡ que si una particula se mueve sin que sobre ella actúen fuerzas exterr-ras, esto es, una partícula libre, entonces el principio de la mínima acción corresponde al del mínimo tiempo. Discutir la relación de estos resultados con los del problema 12.?8.

Fig. r2-?

Deducir la condición de reflexión de la luz en la teoría de óptica usando el principio del mínimo tiempo.

12.76.

[c AP.

TEORIA HAMILTONIANA

336

12

Se desea encontrar Ia forma de una curva sobre un plano que tenga los puntos extremos fijos, tal que su rnomento de ine¡cia con respecto a un eje perpendicular al plano y que pese por un origen fijo sea

mínimo. (o) Usando coordenadas polares (r,0) demostrar que el problem es equivalente a minimiza¡

tegral

I

-

la

in-

f\ ,"r/t 'f f(d.eld':;' v |f=fl

donde los e¡trtmos frjos del alambre son (r¡, c1), Q2,c2). Escribir la ecuación de Euler, o sea obtener Ia ecuación diferencial de Ia curva. Resolver la ecuación diferencial obtenida en (b) o sea encontrar la ecuación de la curva. ftesp. (c) rt : ct sec (30 - c2) donde c¡ y cz se determinan teniendo en cuenta que pasa a través de los puntos fijos.

(b) (c)

12.77. Usar el nétoCo liamilton-Jacobi para establecer la ecuación del movimiento de un péndulo 12.7E. Usar los métodos 12.7$..

de Hamilton-Jacobi para resolver los problemas 11.20

Si tF, C I es el corchete de Poisson (véanse los problemas (o) [¡'r ¡'2, C] = I'tlFz, G\ + F2 [Í'r, G]

(ü) e c) atlP,

(c)

12.25

y

y

la

curva

esférico.

11.21.

12.26), demostrar que

, -l + [r.E'l = [c{. L "l L- , J a¿

aú

" = [sr. c-l + [r.41 ;;IF,G1 Ldú,-J L-, ¡rt)

= 0, (bl lpn,pp) = 0, (a) lpo,epl = inp sic=É ll donde 6op = { ^ es llamado delta de Kronecher. [0 sia*B f2.tl. Evaluar [I{, ü] donde Il es la hamiltoniana y ú es el tiempo. ¿¡I y t son las variables

12.80. Derrostrar que (¿)

[qo, eo]

canónicamente

conjugadas? Erplicar.

12.82.

Demost¡ar

la identidad de Jacobi para los corchetes de Poisson. [tr'r, [tr'2,f's]l

12.83. Ilust¡ar el teorema de Liouville

t

fPz,

[f's,Fr]l

*

[Fr, [Fr,Fz]I

=

0

usando un oscilado¡ armónico unidimensional.

12.84. (o) ¿La lagrangiana de un sistema dinámico

(b)

será única? Explicar' Discutir la unicidad de los momentageneralizados y la hamiltoniana generalizada de un sistema.

12,A6. (c) Establecer la hamiltoniana

(b)

de una cuerda formadapor Npartículas (véase el problema 8.29)' para encontrar los modos ! Ias f'egr¡e¡sias normales' Hamilton'Jacobi Usa¡ los métodos

f2.86.

Demost¡ar que el corchete de Poisson es invariante bajo una t¡asformación canónica.

12.87.

Demost¡ar que el teorema de Liouville es equivalente al resultado

\p/At=[p,H].

l2.BE. (o) Sean Qo= 2nouqn, Pc- 2borpn donde ooryó"rsonconstantesdadasy c: 4=l |¡=l l, 2, , n. Demostrar que la trasformación es canónica si y sólo si b", : L.y/t dond,e A es el determinante.

Qt ap ozt ozz

at,

d¡2

úrr

útt

azn

y Ao¡ es el cofacto¡ del elemento aar en este determinante. (ó) Demostrar que las condiciones en (a) son equivalentes a lá condición >Po8o = )'pr4o.

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

12.89. Demostrar que la trayectoria descrita por un determinado punto línea dada es una cicloide.

337

de un círculo que rota a lo largo de una

12.90. (a) Expresar como una integral la energía potencial total de una cadena uniforme cuyos

extremos

están suspendidos de dos puntos fijos. (b) Teniendo en cuenta que en el equilibrio la energía potencial total es un mínimo, usa¡ el cálculo de variaciones para demostrar que la ecuación de la curva que p¡esenta la cadena es una cotend¡i¿ como en el problema 7.32. (Sugerencio. Encontrar el mínimo de la integral sometida a la condición de constricción de que la Iongitud de la cadena sea una constante).

12.91.

Usar los métodos del cálculo de variaciones para encontrar la curva plana cerrada de máxima área.

12.52. Demost¡ar que las constantes: (a) É en el problema

12.15,

tificarse con Ia energía total.

y (b) É¡ en el problema

12.16 pueden iden-

12.93. Si se tiene en cuenta la teo¡ía de la ¡elatividad en el movimiento de una particula de masa m en un campo de fuerza de potencial V la hamiltoniana está dada por

H = t/fcz+n¿z¿+V donde c es la velocidad de la luz. Obtener las ecuaciones de movimiento para esta partícula.

L2.94. Usa¡ los métodos hamiltonianos para resolver el problema de una partícula que se mueve

en un campo

de fuerza que varía con el inve¡so del cubo de la distancia.

L2.96.

12.96.

Usar coo¡denadas esféricas para resolver el problema de Kepler.

Suponer que

Qt,Qz,

m de las n

'g-).

g1,g2, ,gn

a:

es

son cíclicas (digamos los primeros m, esto

m

9t = 2"oüo-L a=t

Probar que para

La función (

coordenadas

Sea

m

* r,

donde

d / d?'' \ ¿¡\aE) =

,n

-

cü

es

aL/ad,,

at ,%

llamada lunción de Routh o la routhiano. Usándola en un problema que contenga n n - m grados de libertad.

grados de libertad se puede ¡educir a uno que contenga

L2.97,

Usando las propiedades

sL

= fiuo * #r0,,

(8a),

= ta,

del símbolo va¡iacional ó (véase problema 12.6) y considerando que el operador 6 puede colocarse bajo el signo de la integral, demostrar cómo las ecuaciones de Lagrange pueden deducirse del principio de Hamilton.

r2.9E. Sea P : P(p,c), Q : Q(p,s). Suponer que la hamiltoniana expresada en términos d,e p,q y p,e está dada 9or H : H(p, q) y .gI: Jt@, Q) respectivamente. probar que si entonces

i=dHlap, ó=aJ{/ar,

ñ=-aílaq i=-dtl{laQ

dado que el determinante jacobíano (o jacobiano)

aP/dp aP/ac aQ/ap dQlaq

=1

Discutir la relación entre estos resultados con la teo¡ía hamiltoniana.

12.99. (o)

(ó) (c)

Establece¡ la hamiltoniana del movimiento de un cilindro sólido que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c. Escribir las ecuaciones de Hamilton y deducir de ellas la ecuación del movimiento del cilindro. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para obtener el movimiento del cilind¡o y compararlo con la

parte (b).

12.loo. Desar¡ollar el problema

?.22, usando los métodos de Hamilton-Jacobi.

TEORIA HAMILTONIANA

338

l2.l01.

12'

Escribir: (o) la hamiltoniana, y (b) las ecuaciones de Hamilton de una partícula de carga e y masa m que se mueve en un campo electromagnético (véase el problema 11.90). Resp.

(¿) U=*$-ealz+e+

(b) v l2.10l2.

lcAP.

- !1p-eA), i =

-¿VoA¿V(A'v)

(a) Obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi del movimiento de la partícula del problema 12.101. (b) Usa¡ el ¡esultado para escribir las ecuaciones de movimiento en un campo electromagnético de una partícula cargada. Obtener la hamiltoniana del movimiento de un trompo simétrico y obtener aeí las ecuaciones de movimiento. (b) Comparar los resultados obtenidos en (a) con los obtenidos en el capítulo 10.

f2,f03, (o)

l2.l04.

Demostra¡ el teorema 12.2.

l2.fo5.

Un átomo con un electrón de carga núcleo de carga Ze tal que

-e

el cual se mueve en un campo de fuerza central F al¡ededor del

v--@ -r8

r es el vector de posición del electrón con relación al nricleo y Z es el nrimero atómico. En la teoría cuántica de Boh¡ del átomo, las integrales de fasé son múltiplos enteros de la constonte h de Planch, esto es, r ?

donde

t

o,a,

= nth, t otat = n2h

Usando eatas ecuaciones, demostrar que existirá solamenüe un conjunto diecreto de energías dado por

zaernn6l Ei^ = -@ donde

n : nr * nz: L,2,3,4,...

es el número cuóntico orbital.

Apéndice A

Unidodes

y

dimensiones

UNIDADES Los patrones de longitudes, tiempos y masas en función de los cuales se miden otras longitudes, tiempos y masas se llaman unidades. Por ejemplo una distancia puede medirse en función del pie o del metro patrón. Un tiempo puede medirse en segundos, horas o días. Una masa puede medirse en poundal o e\ granxos. Son posibles diferentes tipos de unidades. Sin embargo, actualmente se utilizan principalmente los siguientes cuatro sistemas.

1. 2. 3. 4.

CGS

o

MKS FPS FSS

o

o o

sistema centímetro- gramo- segundo. sistema metro-kilogram o- segundo. sistema pie-poundal-segundo. sistema pie-slug-segundo, también llamado el sistema gravitacional inglés de ingeniería.

o

Los dos primeros se llaman sistemas métricos, en tanto que los dos últimos se llaman sistemas íngleses. Existe una tendencia que se está incrementando para usar los sistemas métricos. A continuación se presentan cuatro conjuntos consistentes de unidades en los sistemas mencionados que se pueden usar según la ecuación F : ma: Sistema Sistema Sistema Sistema

CGS: MKS: FPS: FSS:

F (dinas) F (newtons) F(poundals)

F (librasl

nz (gramos)

X

a (cm/seg2)

m (kilogramos) X. a (m/seg2) m (libra) X a (p/seg2) m (slugs) X a (p/seg2)

En la tercera columna de la tabla que se presenta adelantd se dan las unidades de varias cantidades de estos sistemas. En la página 341 hay una tabla de factores de conversión de las unidades de los diversos sistemas.

DIMENSIONES Las dimensiones de todas las cantidades mecánicas pueden expresarse en función de las dimensiones fundamentales de lqngitud Z, masa M y tiempo ?. En la segunda columna de la siguiente tabla, se indican las dimensiones de varias cantidades físicas. 339

UNIDADES Y DIMENSIONES

340

[APENDICE A

UNIDADES Y DIMENSIONES Cantidad física

Dimensión

Sistema CGS

Sistema MKS

Sistema FPS

Longitud

L

cm

m

p

p

Masa

M

c

kg

lb

slug

Tiempo

T

seg

seg

seg

seg

Velocidad

LT-I

cm/seg

m/seg

p/seg

P/seg

Acele¡aci ón

LT_2

cm/seg2

m/se92

p/seg2

P/seg2

lb p/seg2

slug p/seg2

Fuerza

MLT_2

Momentum, impulso

MLT_I

g cm/seg2,

ML2 T_2

Potencia

MLz T-3

:

g cm/seg

: dina seg

g Energía, trabajo

kgm/seg2

: dina

g

cm2

: nt

/segl

kg m2

:ntm : julio

: :

/segt

julio,/seg

vatio

:Ib

poundal

lb P,/seg

slug p,/seg

pdl

lb

:

seg

kgm2 /seg2

: dina cm/seg : ergio/seg

:

kgm/seg

/se92

: dina cm : e¡gro

cm2

newton

Sistema FSS

lb

p2

seg

lb

p2

seg

/seg2

slug p2lseg2

/segg

slug p2,/sega

: ppdl

:

:

p ¡dl,/seg

: plb

: plb/*E pie

t

Volumen

Ls

cm3

m3

pie

Densidad

ML-S

E/cm¿

kg/ml

lb,/pie

¡adián (¡ad)

rad

rad

¡ad

Angulo

3

g

slug,/pie

3

Velocidad angular

T-r

rad/seg

rad/seg

rad/seg

rad,/seg

Aceleración angular

T-2

rad,/seg2

rad/seg2

rad/seg2

tad./seg2

Momento

MLz T_2

Momentum angular

MLzT_L

Momento de inercia

ML2

Presión

ML_I T-2

g

cm2

/seg2

: dina

g

cmz

cm

/seg

g cm2

g/(cm

seg2)

- dina/cm2

kgm2 /seg2

: ntm

kg m2

kg

/seg

m'

kg/(m seg2) : ntlm2

lb

p2

/seg2

: ppdl

lb

p2,/seg

slugp2 /seg2

: pIb slug p2,/seg

lb p2

slug pie

pdl/p2

lb/p2

2

APENDICE A]

UNIDADES Y DIMENSIONES

341

FACTORES DE CONVERSION

Longitud

Area

I I I I

(km) : (m) : centímetro (cm) : milírnetro (mm) : : 1 micra (¡r) 1 milimicra (mp) : I angstrom (A) : kilómetro

metros 100 centímetros l0-2 m 10-a m 10-6 m l0-e m 10-ro m

pulgada : 2,b40 cm _ B0,rE cm 1 pie (p) 1 milla (mi) : 1,609 km : 1Q-a pul 1 mil I centímetro :0,398?pul I metro : 89,3?pul I kilómetro :0.6214milla

: :

I milla cuad¡ada I acre

1000

metro

1 metro cuad¡ado (m2) 1 pie cuadrado (pie2)

Volumen

Masa

I I I I

metro

105?quart (qt) 1000

1 kilogramo (xg) :2,2.046 32,174

:

6f,0Zpula

:

(mi2)

Densidad I I

Bl0 acres 48.5ffi p2

0,08532 pa

I :35,32p4

lb

:

lb :0,06852 slug;

f

lb :458,69:0,08108 slug

14,59 kg

g/cmt

mi/h: 0,9118 p/seg kmA : 0,&70 m/ses

r,467 p/ses :1,609

:

103 kg,/m3

:62,481b/ps

-

1,940 slug,/ps

lb/ps :0,01ffi2g/cm}; 1 slug/pa :0,5L54g/cms

:

1gs dinas : 0,1020 kg fuerza : 0,224g libra fuerza I poundal 0bf) : 4,448 nt : 0,4536 kg-f : 32,L7 poundals I kilogramo fuerza(kgf) : 2,2M lbf : 9,80? nt I t co¡ta americana : 2000 lbf; I t larga : 2240 rbf;l t métrica :

1 newton (nt)

2205

Energía

t julio: l ntm : r07 ergios :0,?326 plbf :0,2389ca1 :9,4Er X r0-{ Btu r lbf : 1,356 julios :0,9239 cal : 1,285 X t0-B Btu 1 caloría(cal) :4,186 julios:3,08? plbf :9,968 X 10-a Btu I Btu : ZZ8 p lbf : 10b5 julios : 0,298 vatio h I kilovatiohora (kwh):3,60 X 106 julios :860,0 kcal :3413Btu I elect¡ón voltio (ev) : 1,602 X t0-rs julios

Potencia

1 vatio

Presión

L

lbf

: 1 julio,/seg : 107 ergios,/seg :0,23gg cal/seg t horsepower(HP) : 550 plbf,/seg : 33.000 plbf,/min : ?4b,? vatios I kilovatio (kw) :1,34r HP : ?8?,6 plbf/aeg : 0,9488 Btu,/seg nt/m2:

dinas,/cm' :9,g69 X 10-6 atmósfe¡as

- 2,0g9 x ro-2 lbfh2 nt/m2: b,l?l cm de mercurio :27,6g pul de-agua 1 atmósfera (atm) - f,013 X ]:O5 nt/m2 : 1,018 X 106 dinas,/cm2 : 14,7O lbfrfiul2 : 76 cm me¡rurio :406,gpul agua 10

1 lbf,/pulr-689b

Angulo

: :

1 km,/h :0,2778 m/seg :0,6214

I milh :

Fuerza

1000crn3

pie2 929cm2 ' 10,76

piecúbico (pB) :7.481 gal americano :0,02832 ms :2fJ,B2 I galón americano (gal) : 231pul3 : 3,285 l; I galón inglés : 1,201gaIón ame¡icano :277,4pu|s

1 slug :

Rapidez

:

: cúbico (m3) -

litro (l)

1

1 radián (rad)

:

57,296"; 1'

:

0,012453 rad

Apéndice B Dotos ostronómicos EL SOL

o

Masa

4.4 X 10ao lb

Radio

4,32

mi o

6,96

X

Densidad media

89,21b/p3 o

1,42

g/cmr

Aceleración media de la gravedad en la superficie

896p,/seg2 o

273 m/segz

Velocidad de escape en la superficie

385

mi,/seg o

620 km,/seg

Período de rotación alrededo¡ de su eje

25.38días o

Constante de gravitación

t'lTÁ::;:

universal

X

lOs

o

G

2,0 X 1030 kg 105

km

2,L87

X

6,6?3

x ro-t

106 seg

cm3/g-segz

I.A LUNA

mi o

3.84 X 105 km

Distancia media a la Tierra

239

X

Peíodo de rotación alrededor de la Tier¡a

2?,3

días

o

2,36

X

Radio ecuatorial

1080

mi

o

1738

km

Masa

1,63

X

1023

;b o

7,38

X

Densidad media

208

lb,/p3

o

3,34g/cms

p/seg2

o

1,62m/seg2

Velocidad de escaPe

l,48mi/seg o

2,38km,/seg

Período de rotación alrededor de su eje

2?,3

días

Rapidez orbital

0,64

mi,/seg o

Excentricidad orbital

0,055

Aceleración de la gravedad

en la superficie

5,3O

103

342

o

106 seg

1022 kg

2,36 X 100 seg L,D2km/seg

tOS PLANETAS 'tr (5

Mercurio Distancia media

al

Sol

36,2 X 106 mi 58,2

Tierra

Venus

X 106 mi X 106 km 108 X 106 km 67,2

X l0o mi 150 X 106 km

92,9

Marte

Júpiter

141

X

106

mi

227

x

106

km

x 106 mi 778 x 106 km 484

Saturno 887 X 100 mi 1427

X

106

km

Urano

Neptuno

zF

Plutón

() trl

1784

X

106

mi

2795

X

106

mi

3670 X 106 mi

:28?1

x

106

km

4498

x

106

km

5910

X

108

TE

km

Período de

rotación

88,0 días

alrededor

0,241 años

del

Masa

Densidad media Aceleración media de la gravedad en la superficie

1500

mi

x

1025

687,0 días

4333 días

10.760 días

30.690 días

60.180 días

90.730 días

1,000 años

1,88 años

11,86 años

29,46 años

84,0 años

164,8 años

248,4 años

mi

3963

mi

2110

mi

44.370

mi

37.500

mi

14.800

mi

13.900

6200 km

6378

km

3400 km

71.400

km

60.400 km

23.800

km

22.300 km

3850

24?okm 0,071

365,26 días

224,7

Sol

Radio ecuato¡ial

üas

0,615 años

0,32 X 102i kg

$otbóe 5,3 g/cmz

x

x 1025 lb

0,14

4,9 X 1024 kg 5,98 X 102{ kg

0,64

lb 1,1

1025

lb

306 lb,/pa 4,95

g/cmg

1,32

340lb,/p

3

x 1025 lb x l02i kg

247

lb/pi

420 1900

x 1025 lb x 102{ kg

81 lb,/p3

5,52g,/em¡

3,959/cmr

L,33

32,2p/seg2

12,5p/seg2

85

9,81m/seg2

3,8 m/seg2

g/cmg

x 1025 lb 570 x 102r kg

x 1025 lb 87 x 1021 kg

44lb/px

r00 lblpa

0,70 g/cma

1,56g,/cms

126

19

mi

x L025 lb 103 x 102. kg

22,7

t4llb,/pt 2,28

g/c6a

1850

mi

2960km 1,2

x

1025

lb

5,4 X 102. kg

?50|b/pt 4,0g/emr

rl a a "l

z L2p/seg2 3,6m/seg2

28

p/seg2

8,5 m/seg2

Velocidad

2,6mi/seg

6,3 mi,/seg

de escape

4,2km/seg

I0,2km/seg

26

p/seg2

Q^/seg2

p/seg2

3Lp,/seg2

49p,/seg2

LL,2m/seg2

9,4m/seg2

L5,0m/seg2

37

mi/seg

3,1mi,/seg

38 mi,/seg

23 mi,/seg

14mi/seg

L6mi/seg

LL,2km,/seg

5,0 km,/seg

61 km,/seg

37 km,/seg

22km/seg

25km/seg

7,0

26p/seg2 8,0 m/seg2

o a

6mi/seg 10

km,/seg

Período de

rotación alrededor de su eje

88,0 días

7,58

x

106 seg

30

dias

(estimado)

23,93 h

24,6r h

9,84 h

10,23 h

10,8 h

15,7 h

16,0 h

86.164 seg

88.580 seg

35.430 seg

36.840 seg

38.900 seg

56.400 seg

57.600 seg

Rapidez

D,8 mi/seg

2l,8mi/seg

18,5 mi,/seg

15,0 mi,/seg

8,L2mi/se9

orbital

6,00 mi,/seg

4,22mi/seg

3,38 mi,/seg

2,95mi/seg

47,9km/seg

35,1 km,/seg

29,8 km,/seg

24,1km/seg

13,1km,/seg

9,65 km,/seg

6,80 km,/seg

5,44km/seg

4,75km/seg

0,206

0,0068

0,017

0,093

0,048

4,055

0,047

Excentricidad

orbital

0,009

0,247

A

Apéndice

C

Soluciones de ecuociones diferencioles esPecioles ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación que contenga derivadas o diferenciales de una función desconocida se llama ecuación diferencial El orden de la ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada o diferencial que esté presente. lJna solución de la ecuación dife¡encial es cualquier relación

entre las variables que conduzca a una identidad en la ecuación diferencial.

Ejemplo 1. _ .. dlt es una ecuación diferencial de primer orden o de orden 1. Una solución de esta La ecuación ffi=r, ecuación es y : ce2' donde c es una constante cualquiera, ya que al sustituir ésta en la ecuación diferencial dada nos conduce a

Ejemplo

la identidaO

,ce2, =

Zce%

2.

La ecuación x2dx I y"dr :0 es una ecuación diferencial de primer orden. Una solución es xz /3 donde c es una constante cualquiera, puesto que al tomar la diferencial de la solución tenemos

il(rs/3*úln¡ = ¡

o

r2d.r*usda -

* ya/4 :

c

0

Ejemplo 3, . La ecuación

,r^, üa orden. Una solución es #, - 3# + 2A = 4n es una ecuación dife¡encial de segundo que U = are'* cre2t I 2r * 3 Puesto 4Za -' = (cre,*4c2e2x) - 3(cp, 1-2a2ebl2) * 2(ap"*a2ebi2n*31 = 4r ¿ltz "dr' "4* En los ejemplos anteriores hemos usado a r como variable independiente y a y como variable dependiente. Sin embargo, es obvio que pueden utilizarse otros símbolos cualesquiera. Así por ejemplo, la ecuación diferenciai del ejemplo 3 podría ser

dzr ,'* W-3ffi+2t = con

ú

cze2'

como variable independiente y

l2t + 3.

r

4t

como variable dependiente y con solución

¡ :cpt*

Las ecuaciones anteriores frecuentemente se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias "azY [ue o €5p para distinguirlas de las ecuaciorres diferencia.les parciales, tales "o ff = relacionan dos o más variables independientes.

CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES En los ejemplos anteriores, las constantes c, ct, c2 pueden tomar cualquier valor y se llaman constantes arbitrarias. En la práctica Ia ecuación diferencial de n-ésimo orden tendrá una solución que involucra exactamente a n constantes arbitrarias independientes. Tal solución se llama solución general. Todos los casos especiales de la solución general encontrados al dar valores especiales a las constantes se llaman soluciones particulares. En el caso del ejemplo 3 si hacemos a cr : 5, cz: -3 en la solución general ! : ct'e'* c2e2'* 2x * 3 obtenemos la soluciónparticular ! :5e'- 3e2'* 2x 13. 344

APENDICE

C]

SOLUCTONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

345

Las soluciones particulares se encuentran con frecuencia a partir de ciertas condiciones que se imponen al problema, las cuales se llaman condiciones de contorno o condiciones iniciales. En el caso del ejemplo 3, si queremos satisfacer las condiciones I : 5 cuando x : O ! y' : dy/dx cuando tr :0, obtenemos cr :5, cz: -8. Un problema en el que necesitamos resolver una ecuación diferencial sujeta a determinadas condiciones se llama problema de uarores de contorno.

SOLUCIONES DE ALGUNAS ECUACIONES ESPECIALES DE PRIMER ORDEN En la siguiente lista se indican algunos métodos importantes para hallar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de primer órden.

l.

Separación de variables si se puede escribir la ecuación diferencial de primer orden como F(al ila + G(u\ dv = 0 (r ) se dice que las variables son sepcrc btes y la solución que se obtiene por integración

directaes 2.

f ,rr¡ax+f

G@)¡ru

=

c

(2)

Ecuacionee lineales Se llama ecuación lineal a una ecuación diferencial de primer orden si tiene la forma

fr*n6¡n = Multiplicando ambos lados por

J'*,

obtenemos

*uJ'1 Entonces integrando,

(3)

e(n)

la solución general

= eJ'*

es

urlr* = f o"tr*darc u = "-!r*Í grtr*d,, * El factor J'u

3.

se

ce_!r*

(4)

llama factor integrdnte.

Ecuación exacta

La

ecuación

*

Mds N¿lA (5) 0 y donde M N son funciones de ¡ yy se llama ecuación diferencial exacta sí M dx * N dy se puede erpresar como una diferencial exacta dIl de una función U(r,y). En este

=

está dada por U(r,y) : s. La condición necesaria y suficiente para que (5) sea exacta es

la solución

AM 0g =

ATV

0a

caso

(6)

En algunos casos una ecuación que no es exacta se puede convertir en exacta multiplicándola por un factor adecuado llamado factor integrante como en el caso de la ecuación lineal.

346

4.

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ESPECIALES

TAPENDICE

C

Ecuaciones homogéneas Si una ecuación tiene la forma

a1

= F&\ \fr/

úü se llama ecuación

homogénea

Así (7) se trasforma

y

(7)

se puede resolver haciendo

la trasformación

y:

ux,.

en

. do o+nA;

dt¡ F(a) o |dr = F¡¡4

(8)

en la cual se han separado-Tás variables. Entonces la solución general es

(ils

J;

f da = )ffi+"

u:Y/x

donde

(e)

Ocasionalmente se pueden usar otras trasformaciones, las cuales pueden o no ser evidentes dependiendo de la forma de la ecuación diferencial dada, con la cual se obtiene Ia solución general.

SOLUCIONES DB LAS ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR En la lista siguiente se indican ciertas ecuaciones de orden superior las cuales resolver frecuentemente.

1. # = ,@).

En este caso la ecuación

u= I

I

se puede

se pueden

integrar n veces y obtener

F@)ita^* cr * czÍ

*

csaz

+ ... +

cnan-r

2. # = , (r,#).

En este caso no aparecey y se puede hacer el remplazo dy/dx con el cual la ecuación se trasforma en

:

u

*dn = Fk.o\ la cual es una ecuación de primer orden. Si ésta se puede resolver remplazamos u por dy/dx y obtenemos una ecuación de primer orden la cual entonces se puede calcular.

, d'a - .n (^, dat Como en esta ecuación no aparece r se puede hacer la sustitución d,r2 \o, ilr). dv/dx : u' obteniendo ita,,a .a ipa .a

afr=¿i=úñ=oú,

la ecuación hallada

se puede escribir como Áq¡

la cuar debemos

resolver.

una ecuación de primer orden

afi =

F(a'o)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE UNO Consideraremos la solución de la ecuación diferencial de segundo orden. Los resultados se pueden extender a las ecuaciones lineales de orden superior. Una ecuación líneal de segundo orden tiene Ia forma

d'u - pt-\'t^' d,r2 ' -,4#

+ Q(a)u = E(r)

(to)

C]

APENDICE

Si y" es

la

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERECIALES ESPECIALES

347

solución general de la ecuación

p(,'du t!- - -,r)ñ+q@)u = 0 drz

(1/)

(obtenida remplazando el miembro derecho de la ecuación (10) por cero) y si Jp es cualquier solución particular de (i0) entonces la solución general de (10) es

a : a"+ ?lp

La ecuación (11) complementaria.

se

Q2)

llama ecuación complementariay su solución general se llama solución

ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES La solución complementaria se puede obtener fácilmente cuando P(x) y Q(r) son pectivamente las constantes A y B. En tal caso la ecuación (11) se puede escribir como

(4*efl+ay =o dnz'--dr'-o

res-

(rr)

Si suponemos como solución ! : eo' donde a es constante en (11), hallamos que a debe

satisfacer la

ecuación

oz

+ Ao + B =

o

Esta ecuación tiene dos raíces y presentan los siguientes casos. l. Las raíces son reales y diferentes, o sea qt I az. En este caso las soluciones son ¿ott y eor'. De esto se concluye que ereatt y también soluciones y por tanto la suma ctedt + c2ed2, es la solución general. 2. Las raíces son reales e iguales, o sea dt : c 2.

creazr gon

En este caso las soluciones halladas son ¿or' y fleot" y la solución general es creaF

+

czfredp.

3. Las raíces son complejas. siAyBsonreales, lasraícescomplejassonconjugadas,osea o * bi y a - bi. tal caso las soluciones son e@+btrt=eorebtr -rcr(cos bx * í senbr) y e@-vt¡¡(cosbr - jsenb¡). La solución general se puede escribir e"'(ct cosb¡ * cz senb¡). SOLUCIONES PARTICU LARES Para hallar la solución general

En

de

#*afr+nu = R(r)

(14)

debemos hallar una solución particular de esta ecuación

y sumarla con la solución general de (13) obtenida anteriormente. Hay dos métodos importantes para hallar esta solución.

1. Método de coeficientes indeterminados. Este método se puede aplicar únicamente para funciones especiales ft(r) tales como funciones de polinomios, exponenciales o trigonométricas que tengan la forma ep', cospÍ, senpr donde p es constante, también es válido con las sumas o productos de tales funciones. Véanse los problemas C.1T y C.1g.

2. Método de variación de parámetros. En este método se escribe primero la solución complementaria en función de c¡

y cz. Luego se remplazár c1 y c: por las funciones fr(x) y fze) que se han para que escogido

satisfagan la ecuación dada. El método se ilustra en el problema C.19.

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

348

ESPECIALES

[APENDTCE C

Proble mas resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES. CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES

C.f.

(a) Demostrar que

cial

! :

ce-'

*

x

1 itu

-

es Ia solución general de

=

áí-r*a

la ecuación diferen-

o

(b) Hallar la solución particular tal que J : 3 cuando ¡ : 0. (a) Siy:6¿-'*¡1, entonces dy/dt : -ce-'* I yasí dAldr-r*g = (-c"-"+1)- r*(ce-t*r-1) = g Aeí y : ce-' * ¡ - 1 es una solución; y como tiene un número arbitrario de constantes (en este caso sólo una) igual al orden de la ecuación diferencial, esta es la solución general.

(b) Comoy:3 cuando ¡:0, tenemosdey:ce-'* ¡- 1,3-c¡ - I es la solución particular pedida.

C.2. (o)

Demostrar que

x : cpt I c2e-?t +

*dtz* z* - dt -

sen

(c) Apartirde ¡ : c¡et I cze-t' * sent ,rr

:

ffi + zfr- s" = =

Asi

-

2, dx/dt

de

4senü

- -3

en

ú

:

0.

tenemos

i20

fr = crct-Bc2e-8t*cost, ffi =

Entonces

c:4. Asíy:4e-'+

ü es la solución general

Br =Zcosú

(b) Hallar la solución particular tal que x

1o

cret*9a2e-8ú-senü

(",u':;¿11;'i;;r,1,***lyi,,-lc,e-at 2cosú

-

*cosú)

4senü

¡: cp'4c2e-3! * sent esunasolución;ypuestoquetienedosconstantesarbitrariasyla

ecuación diferencial es de orden dos, esta es la solución general.

(ó)

: 0 en las erpresiones de r y dt/dt, te¡emos | 2=c1*c2 [q*a2=2 o cr-3c2 +L = 1", -8c2 = -4 t-t hallamos c¡ : *, cz : 3/2. Por tanto, la solución particularpedida - t", * Ne-tc t sen ú

De la parte (o), haciendo ú

Resolviendo,

es

SEPARACION DE VARIABLES C.3. (o) Hallar la solución general de (¡ * xy') dx * (y * x'y) dy : O. (b) Hallar la solución particular tal que I : 2 cuando x : l. (¿) Escribimos la ecuación así ¡(1 I y2l dt * y(l * x2) dy : g. Dividiendo por (1 * ¡2) (1 + y2) # 0 al sepa¡ar las variables, hallamos

t"_ + =U_4= l*.r2 Lluz

_, Entonces integrando tenemos,

=o

f rih C uda = Jffi Jffi+ { ln(1+

ú21

+ It ln(1*s2) =

(I

c1 c1

)

APENDICE

CI

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

Esto se puede escribir como

(ü)

Como

es

y:2

cuando

x - I,

tenemosremplazando en(2), cz

es

* at)(l *y2) = 10

(1

Calcular

az

el

la solución general pedida.

cular pedida

C.4.

I ln l(t * ¡2)(l * yr)l - cr o

(1*rsX1*y1 =

la cual

349

o

s2

fidt : pt¡, si R : 1 cuando ü :

Separando variables,

tenemos

*

y2

- l0; portantolaeoluciónparti. + ¡zyr = I

1.

O&- ,, dt. Integrando

ambos lados

-* = f *" Remplazando

t:

L,

R

: t

c

- -4lB. 1_¿r _E = T_s 1 o

halla¡nos que

truf

fi^ = ¡_8

ECUACION LINEAL

C.5.

Calcular

dqt

ffi +2xy:

xs

*x siy:2

cuando

¡:0.

Eeta es una ecuación lineal de la forma (J), con p : 2x, e - ¡¡ ,tu* = F. Multiplicando la ecuación po¡ este factor, hallamoe

eH*2ayct = lo cual se puede escribir

como

Inregrando,

* ¡.

Un factor intcgrante

es

(aar.xl/.,

ftO C¡ = e, + alé

uci = [e*s,lp¿s+a

o, remplazando u - x2 en la integral,

ut = *sr/+o Así

y = Ld loc# Como y:2 cuando ¡:0, hallamosque c:2. Así t -- lat l2c-'2 Verificación: Si y = fd + Zc'i, entonces dy/dx : x - 1re-'2. Ag!

#*ra C.6.

Resolver

ff:

sU

= a-lxc-ú*2r({d*2c-é¡ = ;rta

+ 1 si U: 0 cuando

ü

:

0.

Escribiendo la ecucción en la forma

#-to

=

1

(r)

ESPECIALES

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

350

"t-tot =¿-8t.

vemosqueesraesunaecuaciónlinealconunfactorintegrante

e-a',

podemos escribir

Integrando,

Como U

d .-. frlu"-t'¡ =

que c

: l/3.

(Je-Bt= -te-3r+t

o

: 0 cuando ú : 0, hallamos

Multiplicando(1)por

e-ot

Ue-at - -te-at *

tenemos

TAPENDICE C

c

Así

u -$(e3t-l)

Q)

Otro mótodo. Esta ecuación también se puede resolver por el método de separación de va¡iables. Así te-

nemos

dU

=

lu+l Integrando, Como U:0 cuando ü:0,

dt

$ln(3U+1) = t*c haltamosque c:0 po¡tanto I ln (3U* l):

ECUACIONES EXACTAS C.7. Rcsolver (3r2 *y cos r) dr

*

-

(sen x

4ys) dy

:

r. Así

U:

+(e3'

-1).

O.

Comparando con Md¡ * N dy : 0, tenemos M : 3x2 * ycos¡, N - senl - 4y3. Entonces dMldg = cosr = 0Nl0r por tanto la ecuación es exacta. Hay dos métodos adecuados de solución.

Mótodo l. Como Ia ecuación es exacta, el lado izquierdo de la ecuación debe ser una dife¡encial eracta dé una función U. Reagrupando términos hallamos que la ecuación se puede escribir

senrda) - afda

3n2dr * (ycosrilr*

= g

d.(rs)* d(ysenxl*il(-t')

osea,

Integrando, obtenemos la solución pedida,

¡3 + y

0

il(rs *gsenr-ú')

o sen

=

¡ - la :

=

O

c.

Método 2. La ecuación se puede escribir en la siguiente forma

(3rz*ycosel¿Í-*(senr-4salifu

= .tU = flar*ffOo

Entonces, tendremos

(I) # = 3t2*Ycosr Integrando (1) con respecto a

(21

¡, manteniendoy constante,

# =

senr-4Yg

tenemos

U = u3+aseno*tr'(y) Remplazando en (2), hallamos

sen'+F'(!r) = senr-4gs donde tanto

F'(y) -- dF/dy.

o

F'(al--44

Integrando, omitiendo la constante de integración, tenemos

U = é * usenr - yl

De modo que la ecuación diferencial se puede escribi¡

iIU = y así la solución es ¡3 I y

sen

d.(xs

r - la :

c.

*yeeni-úl

=

0

F(y)

: -y{

po¡

APENDICE

C]

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

351

ECUACIONES HOMOGENEAS

C.8.

Resolver

#:

Haciendo

""'"

*I.

! : ux. La ecuación

puede escribirse

o+r* (tfr = eor, Separando variables,

e-r l' :

C.

* = "-tüo.

,*dt =

o

¡ : -e-u * c.

Integrando, ln

co

Así la solución general es ln

rf

SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

C.9.

ezff

Resolver

t*cosü

+: dt

donde

Integrandounavez' Entonces

(I:2, dU/dt:3

du/dt =

en

ú:0.

t r c1 como dIl/dt: 3 en f : 0, encontramos cr : 3. Así ¡luldt = ú*senú*3

Integrandodenuevo, Ahora como

U:2

ú

*

sen

U = ltz- cottlSt* c2 encontramos cz:3. La solución

en t:0,

requerida es

U = +¿2-cosü+8ú+3 C.fO. Resolver xy" + 2y' : x2 donde y' : dy/dx, !" : d2y/dx2. Como

y no aparece, hacemos y' : dy/dx : u. La ecuación

do,^ (t) r¿I2o = sD

fr@al

Entonces por integración, x2u

: ta/4 f cr

C.f

f.

y:

xa/Lz\

=

ú

ul "'"ds -- ¿ltx - ,la12= ¡t. Multiplicando

=

úa

o

= rntegrando nuevamenre,

. iht,2 Ql fr+i"

o

Esta es una ecuación lineal en u con factor integrante (2) por 12, puede escribi¡se como ,,

puede escribirse

r2/4

*

alln'

',r"i'ii

yy" + (y')' :0 donde y': dy,/dx, y't: d2y/dx2. Como ¡ no aparece, hacemos y' : dy/dx : u. Entonces

Resolver

u,,=#=#.H="#o y la

ecuación dada puede esc¡ibirse

iht uofitoz =0

asíque De(1), Que u1'

y':0 :6 t Y

(1) o = 0 o!:c,.

De(2),

o o

**?=0,

\ l¿o r:\afi+o) =

Q')

Ufi+o =

0

O

estoes lnu*ln!:cz

o ln(uy):c¡

así

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

352

u = dyldn - ca/A o

y2l2 - csr * c4

Integrando,

o

ESPECIALES

C

IAPENDICE

= csda az = Ar * B UdA

Por tanto las soluciones son y : ct ! !2 : Ax * 8. Como la primera es un caso especial de la gunda, la solución general requerida puede escribirse y2 : Ax * B.

se-

ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

C.tz.

Resolver

A2¡t

¿l¡t

4_4?_6u da" dt

=

0.

Haciendo J - en' en la ecuación, obtenemos

(a2-4a-6)ecr = 0 o a2-4a- 6 = 0 Así(a-5)("+1):0yc:5,-l.Lasaolucionessones'ye-'ylasolucióngeneralesr: cre63+c2e-'.

¿zqt

Aqt

C.f3. Resolver #+10++26u (t0at

=

0.

y : eo', encontramos o2 * lOa + 25 : 0, estoes (a * 5)(a * 5) : 0' o a : Como la raiz está repetida, las soluciones son e-5' y xe-í'. La solución general es c ¡e-3' * c 2fe-5t. Haciendo

-5.

i2a

C.14. Resolver 1# dt" +

lo

4# + 4a = d,t

Haciendor-eot,encontramoga2

x

: C p-2. I

c

rt¿-2,

-5,

y:

:

tl2at

¿-2t

(sr

*

c¡f

0.

l4a*4=0oc:-2,-2.Entonceslasolucióngenerales

).

¿l¡t

+ 6u = C.r6. Resolver 44 úa' + 2Y d,x

0.

o d: -l*.2i. Entonceslaseolucionesson Haciendo y - en', encontramos a2 *2a *5:0 6(-l*ttlr =6-x62|c - 6-z(coa2r *deen2o) y c(-r-21)x = 6-x¿-28 = ¿-z(cos2u-ísen2ol. La ¡olución general es y - e-'(c ¡ cos 2r * c z aen 2¡).

C.16. Resolver

dLuld,az

Haciendo

coso¡*isene,¡

!:

*

'29

--

g.

o a- *io. Entonceslassolucionesson e¡": e"', encont¡amos o2 +t2:0 y e-t-:cosa,¡igeno¡. Lasolucióngenera[esy-crcos6¡*c2senol.

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS ALt _ Aqt _ 6a = ar + c.17. Resolver + úü' 4? aú Según el problema C.12

zeE

.

la solución complementaria,

ü",

es decir, la solución general,

)".

ffi-tffi-au = es

uc =

cre6t

o

* c2e-"

(t)

Como el lado derecho de la ecuación dada contiene un polinomio de segundo grado (esto es, ¡2) ensayamos la solución particular trivial

y una erponencial (2e3'),

Ue donde A,

B, C, D

= Art*Bn*C+De8'

(2)

son constantes que deben ser determinadas.

Sustituyendo (2) en la ecuación dada y simplificando, tenemos (2A

- 48-6C) + (-8z{ -

68lr

Ya que esta debe ser una identidad, se deberá tene¡

-

6Arz

-

SDdz

=

ú' + 2d'

APENDICE

C]

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

2A-48 -5C = 0, -BA-EB = 0, -6A = l, -gD = Encontrando A = -!, B =*,C = -#, D = -I. Entonces de (2), ao

=

-trz

+

353

2

*" - #- ¡"t'

Así la solución general lequerida de la ecuación dada es

A

=

UcaUo

= cpl,+c2a-x-lrz+ftr-#-IA,

lo cual puede verificarse por sustitución directa. C.f8.

Resolver

d2ot

dat

+ l0+ + 26u = i* CLü" d,Í

20 cos2r.

La solución complementaria (según el problema C.lB)

es

lc = cra-ít * c2re-sx como el lado derecho contiene el término cos 2¡. obtenemos la solución trivial Up = Acos2r * Bsen2r Sustituyendo en la ecuación dada, y simplificando, (2lA + 208) coa?r * (2lB - 20Al senBr = 20 coa2r Igualando los coeficientes de los términos comunes, obtenemos 2U + nB : n, nB solviendo, encontramos a=#,8=# de modo que la solución particular es

U, = #cos2c * ,.9 y la solución general de la ecuación dada

(I) (21

-

20A

: 0. Re.

ser,2r

es

U = U"*.Up = c¡e-sz¡c2ú6-tz*fficoa2a *Ssen2o METODO DE VARHCION DE PARAMETROS C.19. Resolver ilLAldat*A = tanc. La solución complementaria, como en el problema

C.16 con o: Uc = dlcoS& I c2aenr

Suponemos ahora que

la solución a la ecuación dada tiene la

1:

(I)

forma

(2) U = .fr cost * /2sen a /¡ y /2 son funciones de ¡. De (2), usando el signo prima para denota¡ la derivación con respecto a l, tenemos ilulda = -flaeni * f2coau + fi, cosr + flsenr (J) Antes de encont¡a¡ d2y/dx2 observemos que como hay dos funciones lt y fz que deben determi.

donde

narse y sólo una relación que debe satisfacerse (en particular que la ecuación dife¡encial dada debe satisfacerse) estamos en libe¡tad de imponer una relación entre /¡ y /2. Escogemos la relación

flcosnlfLsenx la cual permite simplificar (J)

= 0

U)

obteniéndose

dylilr = -.f¡ sena * f2cosr

(5)

ilzglflr,z = -.f¡ cos! - f2seno - fl senr 1- fLcosx

(61

Ot¡a derivación conduce

a

De (2) y (6) vemos que la ecuación diferenciar dada puede escribirse

üuldrz*y Así De (4)

y (8) encontramos

= -fisenr* fLcosr = tan¡ -/l sen x * f'2cosr = t¿n¡ /i : -sen2 ¡,/cos r, f ; : sen ¡. Asi

(71

(S)

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

354

fsenzr,

-ln(seca * tanr) * senr *

=

"n

C

= -J

c1

?

fz Sustituyendo

IAPENDICE

( (r*r-cosr)dn

f t_e¡*r, = -JÉ0,

ft = -J"k;d"

ESPECIALES

fsenada =

-cosr*c2

(z) ln.orrtramos Ia solución general requerida

A =

c1

co'ü 'l-

t -

c2 sen

cos

c ln

(sec

r I lant)

Problemas propuestos ECUACIONES DIFERENCIALES, CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GNNERALES Y PARTICULARES C.2O. Verificar si cada una de las ecuaciones diferenciales tiene la solución general indicada.

"ixzx 1o) @ (b)

C.21. (a)

^o'=*x=ti - z1t

.rf I tfri

U

I=(c1 Ic2tlct+t+2

= tt) F-ítU =

Demostrar eue z

: e-r(c¡

sen

a

t*

cz cos

)|¿-

t)

es una solución general de

,r.

íá+zfr+zz = (b)

Determinar la solución particular tal que Resp. (b) z:e-'(3 senú- 2costú)

o

z : -2 y dz/dt: 5 en t :

0.

SOLUCTONES A ECUACIONES ESPECIALES DE PRIMER ORDEN

dy/dx:-2xy siy:4cuando ¡:0.

C.22.

Resolve¡

C.23.

Resolver

C.24.

Resolve¡

Q.26.

Resolve¡

(x*2y\dx*(2x

-fu)dy:0

c.zr..

Resolver

H = "r*#.

Resp. ln

C.27.

Resolver (ye'

C.28.

Resolver

C,zg'

dq

6/é

fr= ffi. 2u = r

"*-

Resp. V7

si y(1)

- e-v)dr+ (ir-" *

(x*r'y)dx*(ry*y)dy:0.

Demostrar que

- t2 -

:5.

e')dy

Resp.

Resp.

-

Yl

z¿

!=4e-t2

:

c

y:6x2 - r'

si y:

l

cuando

r.:2.

Resp. 12

*Axy -fu2:7

'I G/vl: c :9.

Resp.

Resp. (x

ye'

-

xe-!

:

c

+ lXv+l):¿¿'+t

la ecuación diferencial (4u - x2) dx * xdy : ¡ tiene un factor integrante que la ecuación. Resp. ray - |ro : c

de'

pende solamente de una variable y resolver

SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

C.3o.

Resolve¡ d2IJ/dt2

c.3r.

Resolver

,#-

: t + e-t gi IJ:3, du/dt:2

Sfr = az.

Resp.

en t:0.

y: -i¡3 * c tra * c2

Resp.

IJ:{tr

t e-t * 3t *

2

APENDICE

CI

ESPECIALES

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

C.32.

Resolver

c.3s. -

Resolver

d.r! _r/¿u\, U dtr*r\E)

A = 0.

IJP:cú|_cz

Resp.

(*\' ltL *(4\'f' \d"/J = \¿h2/

Resp. (x

355

- A), +(y -

R),

:

1

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

,12", )", 7*r-zffi-83

C.34.

Resolver

C.35.

Resolver

C.36.

Resolver

J2o Jo ffi+ 4# *

C.37.

Resolver

n#*

26a

C.38.

Resolver

d.2¡t

Jat

#-4#-A

C.39.

Resolver 4y"

c.4o,

Resolver

C.4L.

Resoiver Resp.

C.42.

= 0.

=0 siU: r, du/dt:0

ffi+n#*4U

)2",

-

I

6a

= 0,

- 0

25y

siy(0)

Resp.

= O. : 0.

|

.tf f

U: cp-2t + c2et -

3t

ú:0.

f

c2senf)

Resp.

Resp.

IJ:(r!2t)e-21

y:10(cosf r+senf r)

Resp.y=ezz(¿r¿'lEr*c2e-'llx¡

Resp. (c t

=

ffi+fi-ZU

en

z:¿-zt(s¡cosf

:10,y'(0):25.

I

* tH * ro = e-8'.

# ,t2f

2Oy'

Resp.y:ctet'*cr¿-z'

c zx)e5'/2

y

Resp.

:

crp-'

i c"e-z' * Lr-r,

6¿-10cos2ú*6.

- 4+ , sen 2t -

N

cos

2ü

y" + y : sec r usando el método de la va¡iación de parámetros. : cr SeD¡ *cz cos¡ * ¡ senr - cos¡ln sec¡

Resolver Resp. y

C,43.

Resolve¡ (a) El problema C.40

C.44.

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones por cualquier método.

y (ó) el problema

C.41 por va¡iación de parámetros.

(a) U" - 6A' I 6y = 60 sen4a (cl A" I 4g = cscar (bl a" *2A'-By = s¿-z (d) A,,I8a,*25y - 25r *83*18e-¿ Resp. (a) g = cLez'* crel, * 2 cos 4r - sen4s (b\ A = clar * c"e-32 - f,re-" (c) A = c1 cos2a I c2 sen2a - {r cos 2, - * sen2c,ln (csc2r) (ü a = * c2 senSo) * n * | I e-r "-tt(4cos3r

C.46.

Resolve¡

C.46.

Resolver simultáneamente: dx/dt t y : €t, Resp. n = ct cos t - c2 sent I $et * t,

U

C,47,

Resp.

y:

(cr

+

c2x)¿-zt

Í - dy/dt :

*

lrx2e-z' t.

= ctsenú* c2cost*$et-t

y" +y:4cost si y(0) :2, y'(O): ¿EsaplicableelmétododecoeficientesindeterminaExplicar. Resp. y: 2 cost ü: sen t+2t-1. sen t

Resolver

dos?

C.48.

t" * 4y'l4y: s-z'.

Demostrar cómo resolve¡ ecuaciones lineales de orden mayor que dos y encontra¡ las soluciones generales de

(a) A"' - 6A" I lly' - Gg = 36n, (ó) y
n2.

Besp.

4

Apéndíce D Indice de símbolos y notociones especioles La siguiente lista presenta los símbolos y notaciones especiales que se usan en este libro junto con el número de la página en la cual aparecen por primera vez. Todas las letras en negrilla denotan vectores. Los casos en los cuales un símbolo tenga más de un significado este se aclarará según el contexto.

Símbolos o longitud del semieje mayor de la elipse o de la hipérbola, 38 or coeficientes coseno de Fourier, 196 ¡ aceleración. ? ap¡n, aceleración de la partícula P2 relativa a la partícula P¡, 7 A área,122 A vector potencial del campo electromagnético, 309 i velocidad a¡eal,l22 et amplitud de oscilación de estado estable, 90 ú^¿, amplitud máxima de oscilación de estado estable, 90 D longitud del semieje menor de la elipse o de la hipérbola, 38 ó¡ coeficienüe seno de Fou¡ie¡,196 B intensidad magnética, 83 B binormal unitaria, 7 o velocidad de la luz, 54 C curva,6 Dr,Du operador derivada con respecto al tiempo en sistemas fijos y móviles, c1¡ G2r G3 vectores unitarios, 72 E energía total, 36 E intensidad eléctrica, &l f fuerza debida al rozamiento, 65 frr fuerza interna sobre la partícula r debida a la particula I,173 / frecuencia, 89 ln frecuencias,316 F fuerza,33 Fr¿ fuerza de la particula I sob¡e la partícula 2,33 Fo.. fuetra promedio, 60 F¡ fuerza de amortiguamiento, 87 Fy fuerzas impulsivas, 2&5 Fv(a),F(c)

t" V,

f'uerzas reales

y de constricción que actúan sobre la partícula r,

impulso generalizado,

14{

1?0

2&5

fte¡za (externa e interna) que actúa sobre la partícula v de un sistema de partículas,

356

168

APENDICE

D]

g G q fr, H Jl I f Ie Ir'Iy',Iu IqpIy,I¡, I¡12,Is .9, ,9 I Js k K I L m tn¡ M r n N N N pa ¡, P Pd e q ea Qo r r f r1 ri n n E-t B B I R e s S el

INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES

aceleración de la gravedad,62 congtante de gravitación universal, función generatriz, 314 cpnatante de Planck, 838

357

120

hamiltoniana, 311 hamiltoniana bajo una t¡aaformación canónica, Jl4 vector unitario en la dirección positiva del eje r, B momento de inercia, 225 momento de ine¡cia con respecto al eje que pasa por el centro de masa, 226 momentos de ine¡cia con respecto a los ejea x, y, 2,2il productos de inercia, 254 momentos principalee de inercia, lb6 impuleos, 285

impulso angular, 228 vector unitario en la di¡ección positiva del eje y, integral de fase o variable de acción, 316 vector unitario en la dirección positiva del eje z, ¡adio de giro, 2p5

longitud,

B

B

90

lagrangiana,2S4 masa, &l

masa en reposo, 54 masa total de un sistema de partículas, tgg número de grados de libertad,282 núnero cuántico orbital, ggg componente normal de la fuerza de ¡eacción,65 número de partículae de un ei¡tema, 1616 no¡mal unita¡ia, Z Eomenta generalizado o conjugado, 2&4 mortrentum, 33 peúodo, E9 nuevos momenta generalizados bajo una trasformación canónica,3l4 poüencia,34 catga elécürica, g{ coordenadas generalizadas, 2g2 nuevas coordenadag generalizadas bajo una t¡asformación canónica. 314 coordenadas esféricas, 82

vector de posición o ¡adio vector,4 vector de posición del cent¡o de masa, 166 vecto¡ unita¡io en dirección radial,25 vecto¡ de posición de la partícura v relativo ar centro de maga. rs ¡adio de curvatura,8 alcance, TS alcance máximo,75

fuerza resistiva, 64 resultante de fue¡zas,47 cuerpo rígido,228 función de Routh o rcuthiana,

BB7

longitud del arco, Z velocidad angr,rlar de spin, 269 función generatriz, 316 función generatriz que depende de las cooFdenadas de posición antiguas rnomenta. 914

y de los

nuevos

INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES

358

f T T T f u omÁ¡

tiempo,

V I rt)d W W Uc Ue Y a Z

TAPENDICE D

6

energía cinética,35

tensión, 74 vector unitario tangente, T función genetatriz que depende de las coordenadas de posición antiguas y nuevas,323 función generatriz de las coordenadas nuevas y de los momenta antiguos, 334

0tím rapidez límite,70 omín rapidez orbital máxima y mínima,

v V Ye¡p, vi vp,v!2

ESPECIALES

143

velocidad, T velocidad del centro de masa,167 velocidad de la partícula P2 relativa a la partícula P1,7 velocidad de la partícula v relativa al centro de masa, 169 y velocidadee relativas de las partículas a Io largo de una normal común antes después del choque, 194 energía potencial o función potencial, &5 función generatriz que depende de los antiguos y nuevos momenta,334

variables angulares,316 trabajo,34 Peso,62

solución comPlementaria,

347

soluciónParticular,347 desplazamiento trasversal de una cuerda vibrante,195 coordenada cilíndrica, 32

número atómico,

&38

t

Símbolos griegos c a a B P B 7 6 I 6cE A ¡ € , ¿ , , Cr r r I 11, )r2, 18, . . . r\1, a2, ag A Lc

ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eie r,24 índice de sumaüoria, 282

aceleraciónangular,29 ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eje y,24

constante de amortiguamiento,SS relación de la velocidad de la partícula a la velocidad de la luz, eeto es, u/c,54 ángulo formado por el vector con la dirección positiva del qe 2,24 dec¡ecimiento logarítmico, 89 símbolo de variación,313 delta de Kronecker, 336 determinante, 336 coeficiente de restitución,195 ercentricidad,118 coo¡denadacilíndrica,32 ángulo de Euler,257 coordenada Polar, 32 coordenada eeférica' 257

vector unitario perpendicular a la dirección ¡adial, 2i

curvatura,8 constante de un resorte, 36

celatitud, 152 multiplicadores de Lagrange,ASO' 284 componentes del momento a lo largo de los ejes principales, momento. 36 momento respecto

al

centro de masa, 229

256

APENDICE

D]

INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES

,¡ Í r p p c o r r r p 0 á ó óa r¡ or,.,zr.Ds o ArrA,,,Í22 OlrO2rOs O

coeficiente de mzamiento,

359

65

masa reducida, 182

índice de suma,

166

coordenada cilíndrica, 32 densidad en el espacio de fase, 31g densidad, 114

torsión. 3l radio de torsión. tiempo, 81 volumen,

81

166

ángulo de Euler,25T ángulo de fase, 88 coo¡denada esférica, 32 potencial escalar, B0g fuerza generalizada, 28S

velocidad angular (magnitud de la). g componentes de la velocidad angular según los ejes principales, 256 velocidad angular, 144 componentes del momentum angular según los ejes x, y, z, 254 componentes del momentum angular según los ejes principales, momentum angular, 3?

25b

Notaciones lAl A-E A. B A X.B A. (B X C) A X (B X C) A(¿) A(s,y,z) É(¿) e(a,y,zl Á,Á f A(ul ilu JI nB

I

{a

magnitud de A,

4

magnitud de la distancia desde A hasta g, ll producto escalar o producto punto de A y B, 4 producto cruz o producto vecto¡ial de A y B, triple producto escalar, 5

triple producto vectorial,

5

función vectorial de ¿, 6 función vectorial de x, y, z, g fünción escalar de u, 6 función escalar de x, y, z, g de¡ivadasconrespectoaltiempodeA estoes dA/dt, d2\/dtz. integral indefinida de A(u),

áifr¿¡au integral definida

I

6

de A(u), 6

irrt"g."l a lo largo de la curva

"C

? J0 V Vp = grad p V . A = div A V X A = rot A f(rl [f', G]

b

C, 9

integral al¡ededor de una curva cerrada, operador nabla. g gradiente de ó, g divergencia de A,

8

¡otacional de A, 9 magnitud de una fuerza central, corchete de poisson de F

y

116

G, J31

9

g

INDICE Aceleración, 7 angular, 8 debida a la gravedad, 62

centrípeta,

145

de coriolis,

145

Datos astronómicoq 342-3,1Í| Densidad lineal, volumétrica y uniforme;

Dinámica,

Divergencia, 8

en un sistema en movimiento, instantánea,7 normal y tangencial.

relativa,

105

Ecuación(es),

de Eule¡ del movimiento, 256 7-8

de Hamilton, 311 de Hamilton-Jacobi,

7

Algebra vectorial, 2-3 leyes del, 3 modulación de la,

315

soh¡ción de la, 315

de Lagrange, An-zú con fuerzag impulsivaa, 285 para sistemaa no holonómicos,

Amplitud, 86€7 102

Angulo(s),

W

de t¡aeformación. 282

de Eule¡, 25? de fase, 87, 93

Elipse, 11E-ll9 Energía,

Astronomía, algunas definiciones en, r19-u0 Cálculo de va¡iaciones,

cinética, 3/'45,

313

central, 1f6, 117 energía potencial de una partícula en un,

potencial,

tt?

total,

de fuerza conservativo, 35 uniformes de fuerza,

vectorial, 8 Centro instantáneo,

&5

36

Equilibrio, estabilidad del, inestable, 38

escala¡. 8 62

38

Escalar(es), 2 producto, 4 Eapacio, I de fase, 312

229

Cent¡odes espacial y del cuerpo, 229 1

Coeficiente de amortiguamiento, 88 Colisiones,

Estática,

I

de un cuerpo Ágido,2D de un gistema de partículas, 1?0 en un campo gravitacional uniforme, 65 o equilibrio de una partícula, 3?

de partículas, 194

regla de, de Newton, 194 Componentes rectangulares vectoriales,

m,2A

de rotación. 254 de un sistema de partículas, 168 en función de loa ángulos de Euler, 258 consewación de la, 3O ll7 de un oscilado¡ armónico simple, 8?

Campo(s),

Cinemática,

I

4

Cono,

del cuerpo, lb1 espacial, 257 Constante, del resorte, 86 elástica, 86

Const¡icciones holonómicas holonómicas,

v

no

Factor de rigidez, 86 Figuras de Lisajous, 92 Fó¡mulas de Frenet-Senrt, 3l Frecuencia, 87 de resonancia, 90 del movimiento armónico simple, 86

natural,

170

Coordenadas,

cíclicas o ignorables, 312 generalizadas, 282 Cosenos.

generatrices, 314 pafes e impares, 196-19/ Fuerza(s),

directores,24 ley de loe, 27

amortiguadoras, 87 centrales,116-121

Cuerdas en vibración,

propiedades importantes de las, 116 de co¡iolis y centrípeta, 146 de reacción, &l definición y unidades de, 33 generalizadas, 2&| media, 60

19.5

Cuerpo(s),

en caída libre, 6Íl elásticos y rígidos,

165

rígid,os, 224

gimétricos.

89

F\nciones,

257

361

165

INDICE

no conservativas,

general de cuerpos rígidos en el espacio, 253

37

lib¡e de fuerzas, 256 oscilatorio amortiguado,

restauradora, 86 Giróscopo, 258

Gradiente,

8

Grados de libe¡tad, 253 G¡avedad, cent¡o de, 16?

Herpolhode,

Nivel de referencia, Notaciones,

257

Hipérbola, l1&119

bidimensional,

Inerqia, ejes principales de, 255

92

en dos y tres dimensiones, 91-92 simple, 86-92

255

Integral (es), de fase. 316

Parábola,

de línea, 9

elíptica,

64

359

Oscilaciones forzadas, 89 Oscilador armónico, amortiguado, 8?€8

Impulso, 36, 169-170 angular y total, 170

elipsoide de,

88

sobreamortiguado, 88 sometido a constricciones, 64-65 uniformemente acelerado. 62

118-1 19

Partícula patron,

106

49

Péndulo,

cicloidal, 3Gl

La hamiltoniana,

compuesto, 221

311

caso en que, es independiente del tiempo,

146-147

simple, 86-92

315

de sistemas conservativos,

Período, 86-87

311

Ley(es),

de Kepler del movimiento planetario, de la gravitación, 120 de las áreas, 116 de Newton, 33

Línea invariable,

120

169

definición y unidades de, 33 2

230

del momentum,

Mecánica,

fundamentos axiomóticos de la, métodos generales de la, 82 Métodos hamiltonianos, 311

Momenta generalizados,

284

Producto (s),

triples, 5 üectorial, hoyectiles,

5 63

Radio,

de curvatu¡a, 20, 3l de giro, 225

167-168

angular, 36-37, 168, 227,254, 255 de un sistema de partículas, 168 congervación del, L67. 2%

Movimiento,

de torsión, 3l Rapidez de escape, 134 Resonancia, 90 Rotación pura de cuerpos rígidos, 253

Rotacional.

absoluto. 33-34 armónico simple, 86

circular, 8 críticamente amortiguado,

angular, 229 lineal,228

1

Momento(s), de ine¡cia, Y25, 254 mat¡iz tenso¡ del, 254 del par, 226 de una fuerzal 36

Momentum.

257

Principio, de D'Alembert, l7\ 2n de energíi potencial mínimai de Hamilton, 313 de trabajo virtual, 170,2n

167

movimiento del, 16?, Materia,

Polhode,

62

u

76

Masa,

centro de, 166,

del movimiento, 89 natural, 89 Pe9o, debido a la gravedad, Plano invariable. 256

Potencia instantánea. 34 Potencial en un campo uniforme de fuerza,

256

Máquina de Atwood,

9

Rozamiento, 65

coeficiente de,

65

88-96

de un cuerpo rígido con respecto a un eje

fijo,

de Foucault,

227

ecuaciones del, en un cuerpo central, llGfl? en el plano de cuerpos rígidos, 224-230

en un campo uniforme, 62-65 en un medio resistente. &

Secciones cónicas, 118-119 Series,

convergencia de las, de Fourier, 195-196 Símbolos, 356-358 griegos, 358-359

962

197

INDICE

Sistema(s),

congen¡ativos y rio conservatiVos,

Trabajo, 34, f68-169 y potencia, 2n-2Al

283

continuos de partículas, lg5

Tlasfonnaci ón (es), canónicas o de contacto, 314 condición para que una, sea canónica, 814 Traslaciones y rotaciones, 224 Trayectoria, independencia de la, 9 Trompo, movimiento de spin de un, 2b8

coordenados,

en movimiento, 144, en rotación, 114

148

inerciales, 39

no inerciales,

114

de partículas, 165-17f discretos y continuos, egcleronómicos

y

Unidades y dimensiones, 339-341

165

reonómicos, 288

gravitacional de unidades,

Variables angulares y de acción,

63

componentes de un, de posición, 4 derivación de, 6

mecánicos.

clasificación de loq

289

fijo,

oscilantes, cohetes y colisiones, Lg4-Ln

unitarios,

89

3

rectangulares, 3-4 Velocidad(es), 6-7, 253 angular, 8, 253

Teorema(s),

en función de los ángulos de Euler, 258 de escape, 134 en un gistema en movimiento, 145 generalizadas, 289

312-313

sobre momentos de ine¡cia. 226 Teo¡la hamiltoniana, 3f 1-316 Tiempo, 1-2 Tierra, suposición de que la, es plana,

6

lib¡es, 9-10

de estado estable, 89

de Liouville,

4

10

integración de,

Solución,

transitgria,

816

Vector(es),2

holonómicoe y no holonómicos, 283 inercialee de referencia, 38-84

instantánea,

¡elativa,

86

363

7

7

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