Mecánica Medio Continuo

Facultad de Ingeniería de la UNACH

M.I. Moisés Nazar Beutelspacher

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD DE INGENIERIA

APUNTES DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO Lic. En Ingeniería Civil 4° semestre.


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APUNTES DE LA MATERIA DE MECANICA DEL MEDIO CONTINUO Programa del curso: TEMA 1. Fundamentos matemáticos. 1.1. Vectores y escalares. 1.2. Notación indicial, tensores y operaciones con tensores. 1.3. Matrices, operaciones con matrices y representación matricial de tensores. 1.4. Derivación de tensores. 1.5. Teorema de Stokes y de Gauss. 2. Concepto de medio continuo. 2.1. Propiedades del medio continuo. 2.2. Aplicaciones. 3. Análisis de esfuerzos. 3.1. Introducción. 3.2. Esfuerzo en el interior de un medio continuo. 3.3. Estado de esfuerzos plano, vector de esfuerzos. 3.4. Valores máximo y mínimo de esfuerzo cortante. 3.5. Círculo de Mohr plano. 3.6. Círculo de Mohr en el espacio. 3.7. Ecuaciones de equilibrio interno. 3.8. Primer parcial. 4. Análisis de deformaciones. 4.1. Introducción. 4.2. Desplazamientos en el interior de un medio continuo. 4.3. Deformación plana. 4.4. Velocidad de deformación. 4.5. Aceleración. 5. Relaciones Esfuerzo-Deformación-Velocidad de deformación. 5.1. Introducción. 5.2. Relación esfuerzo-deformación. 5.3. Relación esfuerzo-velocidad de deformación. 5.4. Segundo parcial.

CLASE 1ª y 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 9ª 10ª 11ª 12ª y 13ª 14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª, 20ª 21ª , 22ª 23ª 24ª y 25ª 26ª, 27ª y 28ª 29ª, 30ª y 31ª 32ª

Objetivo general del curso: Permitirá al alumno obtener los fundamentos matemáticos que dan validez a los principios que utiliza la ingeniería para resolver los diversos problemas a los que se enfrentará en las áreas de estructuras, mecánica de fluidos, termodinámica y electricidad y magnetismo.

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1. Fundamentos matemáticos. 1.1. Vectores y escalares. Las cantidades físicas que pueden ser representadas por un solo número, su magnitud, se denominan escalares; ejemplos de estas cantidades físicas son: la temperatura, el tiempo, la masa y el coeficiente de rugosidad de una canal entre muchos otros. Si para representar una magnitud física se requiere de especificar su magnitud, su dirección y sentido, entonces será una cantidad vectorial. Son ejemplos de vectores: el desplazamiento de una partícula, su velocidad, su aceleración, las fuerzas, los esfuerzos y deformaciones referidos a un plano entre muchos otros. Las operaciones con escalares son bien conocidas y están referidas al álgebra y cálculo común; las operaciones con vectores cumplen reglas distintas. Los vectores se indican generalmente con: a) Letras negritas (a,z,x). b) Agregando un índice a una letra (ai,zk,xl). c) Colocando una flecha sobre un par de letras que indican un segmento dirigido (AB, MN, PQ). Geométricamente se indican con una flecha, cuya longitud a cierta escala corresponde con su magnitud, y su dirección y sentido están determinados con la posición de la flecha. Se verifican las siguientes propiedades en las operaciones vectoriales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

a+b=b+a (ley conmutativa). a+(b+c)=(a+b)+c (Ley asociativa). m(a+b)=ma+mb (Ley distributiva). (m+n)a=ma+na (Ley distributiva escalar). a+0=a (Identidad). a+(-a)=0 (Inverso). a-b=-b+a (La sustracción de dos vectores se corresponde con la suma de una vector con el negativo del otro vector). 8. |a+b|≤|a| + |b| (Desigualdad del triángulo). 9. Si a=b, siendo a y b vectores libres, entonces a y b tienen la misma dirección y magnitud, aun cuando no coincidan en el espacio. 10. La multiplicación de un vector a por un escalar m, se define como sigue: a. La magnitud de ma es |m| |a| b. Si m>0 y a ≠ 0, entonces la dirección de ma es la de a. c. Si m<0 y a ≠ 0, entonces la dirección de ma es la contraria a la de a. d. Si m=0 o a=0, entonces ma es 0. De estas propiedades se desprende que dos vectores a y b son paralelos (a||b) si y solo si existe un escalar m tal que a=mb. 11. Un vector unitario se define como: ea=a/|a|. 12. Se define el producto punto o producto interno de dos vectores a y b como a.b = |a| |b| cos siendo  el ángulo entre a y b 0 ≤  ≤ π. 13. a.b=b.a (Ley conmutativa del producto escalar). 14. a.a=(|a|)2. 15. (b+c).a = b.a+c.a (Ley distributiva del producto escalar). 16. De lo anterior se desprende que si a.b = 0 y a≠0 y b≠0, entonces a┴b. 17. |a.b| ≤ |a||b| (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).

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18. Se define como producto cruz o producto externo de dos vectores a y b a la operación: a x b=|a||b| sen  u, donde  es el ángulo entre a y b, 0 ≤  ≤ π, y u es un vector unitario tal que u ┴ a y u ┴ b. La dirección de u es la de avance de un tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b un ángulo . Se verifican en el producto cruz las siguientes propiedades: a. a x b = -b x a (Ley anticonmutativa). b. a x (b+c) = a x b + a x c (Ley distributiva). c. (ma) x b = a x (mb) = m (a x b). d. a x a = 0. e. |a x b|2 = |a|2|b|2-(a.b) 2 (Identidad de Lagrange). 19. Se define como triple producto escalar de tres vectores a, b y c es un escalar a .(b x c), o simplemente a.bxc. El triple producto escalar de tres vectores se puede interpretar como el volumen que encierra un paralelepípedo cuyos lados sean a, b y c. Este producto tiene las siguientes propiedades: a. El punto y la cruz se pueden intercambiar sin afectar el resultado: a.bxc=axb.c, por sencillez en ocasiones se escribe simplemente como [abc]. b. La permutación cíclica de los vectores no afecta el resultado, mientras que la permutación no cíclica le cambia el signo: [abc]=[bca]=[cab]=[acb]=-[bac]=-[cba]. c. De lo anteriormente establecido se sigue que el triple producto escalar de tres vectores coplanares es 0. 20. Los vectores se pueden representar por medio de un sistema coordenado que puede ser cilíndrico, esférico, rectangular u de otra índole. El sistema empleado más a menudo es el sistema rectangular; este sistema define un vector cualquiera como una combinación lineal de vectores unitarios ortogonales, que forman una base ortonormal. El espacio definido por los vectores unitarios puede tener cualquier dimensión, la que será igual al número de vectores unitarios que forman el sistema. Son usuales los sistemas de dos, tres y cuatro dimensiones. Dentro del sistema coordenado rectangular un vector a se expresa como: a= axi+ayj+azk Donde los valores de ax, ay, az representan las componentes de a según los ejes coordenados X,Y,Z; estas componentes se obtienen efectuando el producto: ax = a . i, ay = a . j, ak = a . z Ejemplos de vectores representados en un sistema coordenado rectangular son: a = ( 2, 4, -5),

b = ( 7, -2, 3),

c = (-3, 4, -1)

El producto escalar a.b empleando su representación dentro del sistema coordenado rectangular (SCR) será: a.b = (2*7+4*(-2)+(-5)*3 = -9. El producto cruz o producto externo a x b en el SCR, será: i a x b = ax bx

j ay by

k az = i(ay *bz - az *by) – j(ax *bz - az * bx) + k(ax*by - ay * ay) bz

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Para nuestro ejemplo tendremos: i j k axb= 2 4 -5 = i(4*3-(-2)*(-5)) – j(2*3 – (-5)*7) + k(2*(-2)-4*7) 7 -2 3 a x b = 2i – 41j –32k El triple producto escalar [abc] será: (a x b) . c = (2, -41, -32) . (-3, 4, -1) = (2*(-3) + (-41)*4 + (-32)*(-1)) = -138 1.2 Notación indicial, tensores y operaciones con tensores. Definición de tensor: El concepto de tensor parte de una generalización de los vectores; un tensor será en general la representación matemática de una cantidad física referida a un sistema coordenado. Bajo esta definición podemos ver que los escalares serán un caso particular de tensores, a los que se les ha asignado el orden cero, ya que es posible definirlos con una sola componente. Un vector en cambio será un tensor de orden uno, y en el espacio físico tienen tres componentes. Los tensores de segundo orden, que abundan en la mecánica del medio continuo, corresponden a diádicas. Existen tensores de orden superior, como las triádicas, o tensores de tercer orden, y tetrádicas o tensores de cuarto orden. Una diádica D siempre puede ser representada por una suma finita de díadas, siendo una díada el producto indeterminado de dos vectores: D = a1b1+a2b2+... +aNbN La diádica conjugada de D se obtiene intercambiando los vectores antecedentes y consecuentes: Dc = b1a1+b2a2+... +bNaN Si cada diada de D se reemplaza por un producto escalar de dos vectores el resultado es un escalar, cuyo nombre será el escalar de la diádica D: Ds = a1 . b1+a2 . b2+... +aN . bN Si se sustituye en cada diada de D por el producto cruz, obtendremos el vector de la diádica D: Dv = a1 x b1+a2 x b2+... +aN x bN En el producto indeterminado de vectores se verifica:   

a(b+c) = ab+ac (a+b)c = ac+bc (a+b)(c+b) = ac+ad+bc+bd 5

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  

     


Si  y  son dos escalares cualesquiera, se cumple: o (+)ab = ab+ab o (a)b = a(b) = ab Si v es un vector cualquiera, se verifica que: o v . D = (v . a1)b1 + (v . a2)b2 + ….+ (v . aN)bN = u o D . v = a1(b1 . v) + a2(b2 . v) + ….+ aN(bN . v) = w Dos diádicas D y E son iguales solo si se cumple: o v.D=v.E o D.v=E.v La diádica unidad es una diádica que se puede representar por: o I = ê1ê1 + ê2ê2 + ê3ê3 siendo ê1, ê2, y ê3 cualquier base ortonormal en el espacio euclidiano tridimensional. o La diádica I tiene la propiedad: I . v = v . I = v para todo vector v. El producto v x D y D x v son diádicas definidas por: o v x D = (v x a1)b1 + (v x a2)b2 + ….+ (v x aN)bN = F o D x v = a1(b1 x v) + a2(b2 x v) + ….+ aN(bN x v) = G El producto escalar de dos diadas ab y cd es la diada definida por: o ab . cd = (b.c)ad El producto escalar de dos diádicas D y E es: o D . E = (a1b1+a2b2+... +aNbN) . (c1d1+c2d2+... +cNdN) = (b1 . c1)a1d1 + (b1 . c2)a1d2 + …. + (bN . cN)aNdN = G Dos diádicas D y E son recíprocas la una de la otra si: o E.D=D.E=I o También se usa la notación: E = D-1 y D = E-1 Se dice que una diádica D es autoconjugada o simétrica si: o D = Dc o y anti-autoconjugada o antisimétrica si: D = -Dc Toda diádica puede ser expresada por la suma de una diádica simétrica y otra antisimétrica: o D = ½(D + Dc) + ½(D – Dc) = G + H, para la que: Gc = G y Hc = -H

La diada ab se expresa en coordenadas cartesianas como: ab = axbx îî + axby îĵ + axbz îk + aybx ĵî + ayby ĵĵ + aybz ĵk + azbx kî + azby kĵ + azbz kk Por lo que la diada tiene nueve componentes. Cualquier diádica se puede expresar en la forma anterior, conocida como forma nonion. Cuando un tensor se expresa en forma indicial, el número de índices denota su orden, así una letra seguida de un índice a i, indica que el tensor en cuestión es un vector, o tensor de primer orden; una letra seguida de dos índices b ij, indica un tensor de segundo orden, mientras que una letra sin índices denota a un tensor de orden cero o escalar. Los tensores de orden superior se indican por la presencia de tres o más índices, que pueden ser mixtos, es decir, una combinación de subíndices y superíndices. Si en un tensor aparece un índice repetido, indica que ese índice tomará todos los valores de su rango y los términos resultantes se sumarán, así por ejemplo la ecuación tensorial: xi = cijzj indica en su forma desarrollada un sistema de ecuaciones: x1 = c11z1 + c12z2 + c13z3 6



x2 = c21z1 + c22z2 + c23z3 x3 = c31z1 + c32z2 + c33z3 Donde el índice j aparece como índice repetido. A los índices que no se repiten se les llama índices libres, y su número indica el orden del tensor. A los valores que puede tomar un índice se le llama su rango, en el espacio tridimensional, el rango de un índice será tres. En un término bien escrito no aparece un índice más de dos veces. El empleo de subíndices y superíndices, se justifica pues en la teoría tensorial se distinguen dos clases de tensores, los contravariantes y los covariantes; los primeros se indican con superíndices y los segundos con subíndices. Cuando se da el caso de que los tensores se definen en un sistema de coordenadas cartesiano, y sus transformaciones son entre sistemas de coordenadas cartesianos con un origen común, entonces no existe diferencia entre los tensores covariantes y los contravariantes, por lo que en estos casos es práctica común emplear subíndices. Los tensores cartesianos del mismo orden se pueden sumar componente a componente. Por ejemplo la suma de Aij y Bij será: Aij + Bij = Cij El orden del tensor suma será el mismo que el orden de los sumandos. El producto externo de dos tensores será un tensor cuyas componentes se forman multiplicando cada componente de uno de los tensores por todos los componentes del otro, originando así que el producto tenga un orden que será la suma de los órdenes de los factores: aibj = Tij eijk bl =  ijkl Nótese que en el producto externo tan solo se anotan los índices unos en seguida de los otros, tal como se desarrolla una diada con dos vectores. La contracción de un tensor respecto a dos de sus índices libres se origina al asignarles a estos el mismo índice. La contracción genera un tensor dos órdenes inferior al original: Tii = T11 + T22 + T33 uivi = u1v1 + u2v2 + u3v3 Eijaj = bi Eijai = cj El producto interno de dos tensores es el resultado de una contracción, que da lugar a un índice por cada tensor, realizando después el producto externo de los dos tensores. 1.3 Matrices. Operaciones con matrices. Aunque una matriz puede representar a un tensor de segundo orden, no todas las matrices son tensores.

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Ejemplos, dadas las diádicas: D = 3 îî + 4 îk + 6 ĵî +7 ĵĵ +10 kî + 2 kĵ E = 4 îk + 6 ĵĵ +10 kî -3 kĵ + kk Y los vectores: a = (3, 2, -5), b = (1, -3, 8) y c = (6, 2, -1) Determinar:  D . E, expresando a D y E en su forma matricial tendremos: D = Dij =

3 6 10

0 7 2

4 0 0

,

E = Ejk=

0 0 10

0 6 -3

4 0 1

3 2 -5

=

=

(-29, 4, 12)

H = Hik = D . E =

40 0 0

-12 42 12

16 24 40



D . a = Dij . aj =

3 6 10

0 7 2

4 0 0



a . D = aj . Dji = (3, 2, -5)

3 6 10

0 7 2



Descomponer al tensor H en sus componentes simétrica P y antisimétrica Q.

4 0 0

-11 32 34

El tensor conjugado de H es igual a la transpuesta de la matriz que lo representa: 40 Hc = -12 16

0 42 24

0 12 40

De aquí que P = ½ (H + Hc) =

40 -6 8

-6 42 18

0 6 -8

-6 0 -6

8 6 0

Y Q = ½ (H – Hc) =

8 18 40

8

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El producto externo ab será: 3 2 -5

ab =

(1, -3, 8 ) =

3 2 -5

-9 -6 15

24 16 -40

1 Mientras que el producto externo ba será: -3 8

3 (3, 2, -5 ) = -9 24

2 -6 16

-5 15 -40

Se puede ver que el producto externo de dos vectores no es conmutativo, siendo el tensor de segundo orden [ba] el conjugado del tensor [ab]. En su representación matricial guarda la propiedad de que la matriz que representa a ba es la matriz transpuesta de ab. 1.4 Derivación de tensores. Campo tensorial: Un campo tensorial asocia un tensor T(x,t) a cada par (x,t), donde el vector de posición x varía dentro de una región particular de un espacio determinado y t varía en un determinado intervalo de tiempo. Si las componentes de T son funciones de x solamente, entonces se dice que el campo tensorial es estacionario. Los campos tensoriales pueden tener varios órdenes y se representan por su notación simbólica e indicial como:   

Campo escalar:  = (xi,t) o Campo vectorial: vi = vi(x,t) o Campo tensorial de segundo orden: Tij = Tij(x,t) o

= (x,t) v = v(x,t) T = T(x,t)

La diferenciación de un tensor respecto a las coordenadas x i , se expresa por el operador diferencial (nabla), que indicialmente se escribe: ∂/∂xi, o de forma abreviada como ∂i, y es un operador diferencial de orden uno. Es de notarse que si se aplica el operador nabla a un tensor, el producto será un orden más alto que el tensor, a menos que se iguale uno de los índices del tensor a i y se efectúe la contracción. De esto último se tiene que el gradiente de un campo tensorial de segundo orden será un tensor de tercer orden, este tipo de operación no aparece en la teoría básica de la mecánica del medio continuo. Operadores importantes en la mecánica del medio continuo son: Grad =  = ∂/∂xi êi

o

Div v =  . v

∂i  = ,i o

∂i vi = vi,i

Rot v =  x v

o

eijk∂jvk = eijk vk,j

 2= 

o

∂ii = ,ii

.



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 ≡ ∂ /∂x î + ∂ /∂y ĵ + ∂ /∂z k

Gradiente: Dada la función x,y,z) definida y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta región del espacio, el gradiente de , se representará por  o grad  y se calculará como:  ≡ (∂ /∂x î + ∂ /∂y ĵ + ∂ /∂z k) = ∂ /∂x î + ∂ /∂y ĵ + ∂ /∂z k  define un campo vectorial. Con la ayuda del gradiente de la función f se puede calcular la derivada de  en la dirección de un vector unitario a, efectuando el producto punto: . a A este producto se le llama derivada de en la dirección de a o bien derivada de  según a. Divergencia: Si U(x,y,z) = U1 i + U2 j + U3 k es una función definida y derivable en todos los puntos de una región del espacio, la divergencia de U, que se representa por div U o  . U, se da por:  . U = (∂/∂x î+∂/∂y ĵ+∂/∂z k) . (U1i + U2j + U3k ) = (∂U1/∂x + ∂U2/∂y + ∂U2/∂z) Rotacional: Si U(x,y,z) es un campo vectorial derivable, el rotacional de U, representado por  x U o por rot U, viene dado por:  x U = (∂/∂x î+∂/∂y ĵ+∂/∂z k) x (U1i + U2j + U3k )  xU =

i ∂/∂x U1

j ∂/∂y U2

k ∂/∂z U3

 x U = (∂U3/∂y - ∂ U2/∂z)i + (∂U1/∂z - ∂ U3/∂x)j + ((∂U2/∂x - ∂ U1/∂y) k

Laplaciano: El Laplaciano de una función definida en una región del espacio, será la divergencia del gradiente de es decir:  . (  ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2

Físicamente estas operaciones matemáticas se pueden interpretar; así el gradiente de una función escalar indica la variación de esta función respecto a sus coordenadas; un ejemplo de este tipo de función aparece cuando se estudian las temperaturas sobre una

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placa y dentro de este estudio se pretende calcular la variación de la temperatura en la dirección de un vector p, esto se calcula efectuando la operación punto entre el gradiente de la función evaluada en el punto en estudio y el vector unitario p / |p| que toma la dirección de p. Una interpretación física de la divergencia de un campo vectorial V(x,y,z), se presenta en la mecánica de fluidos como la ecuación de continuidad de la masa: div (V) =  . (V) = -    t Es decir dentro del volumen de un paralelepípedo infinitesimal, la divergencia del campo vectorial V será igual a la variación de la densidad en el tiempo; esto implica que si el fluido es incompresible, entonces la divergencia del campo de flujo (V) será igual con cero. El rotacional tiene dentro de la mecánica de fluidos una interpretación física clara, pues expresa que el rotacional del campo de velocidades de un flujo da como resultado el doble de la velocidad angular, por consecuencia cuando un flujo no presenta rotación de sus partículas, entonces será un flujo irrotacional y el rotacional del campo vectorial de velocidades será igual con cero. = ½(rot V) = ½(  x V) Al vector 2 se le conoce como vector vorticidad. Ejemplo: 1. Siendo (x,y,z) = 3x2y-y3z2, hallar el grad de  en el punto (1,-2,-1). 2. Encontrar la derivada direccional del grad de p = x2yz +4xz2 en el punto (1, -2, -1) según el vector 2i – j - 2k. 1.5 Teorema de Stokes y de Gauss. El teorema de Stokes establece que si S es una superficie limitada por una curva cerrada simple C y f es una función vectorial que tiene primeras derivadas parciales continuas sobre S y C, entonces:

 s





f . ds =

 c

f . dr

Físicamente este teorema establece que la circulación total alrededor de una curva cerrada C es igual al flujo del rotacional f a través de una superficie S encerrada por C. Si suponemos que la función f es un campo de fuerzas, entonces el hecho de que la integral de superficie de   f en S se iguale con cero implica que la circulación alrededor de la curva que delimita S será igual con cero; como esta última integral representa al trabajo ejercido para desplazar a una partícula alrededor de C, entonces quiere esto decir que el trabajo realizado es cero; no importando la forma que adopte C, el campo de fuerzas será conservativo. Resumiendo si   f = 0, entonces el campo de fuerzas f es conservativo. De este teorema se desprenden los siguientes resultados importantes:

11




Si el rotacional de f = 0 ( 




f = 0), entonces la circulación total alrededor de

cualquier curva cerrada C (  f . dr) será igual con cero. c



Si la superficie S es una superficie cerrada, entonces el flujo del rotacional a través de la superficie S será igual con cero. Esto se deduce suponiendo que a la superficie cerrada (por ejemplo una esfera), se le divide por medio de una curva C (supongamos su circunferencia máxima), entonces si aplicamos el teorema de Stokes a cada una de las mitades de la esfera, tendremos:







f . ds =







f . ds = -  f . dr para la mitad izquierda

s1

s2



f . dr para la mitad derecha

c

S1

S2

c

Siendo que S = S1+S2 tendremos que el flujo total del rotacional a través de S será:

 s





f . ds =

 c

f . dr -

 c

f . dr = 0

Este resultado es aplicable a cualquier superficie cerrada, y la curva C que la divida podrá pasar por cualquier parte. El teorema de divergencia o teorema de Gauss expresa que la integral de volumen de la divergencia de una función vectorial f en una región R del espacio, cuyo volumen es V y que se encuentra delimitada por una superficie cerrada S, será igual a la integral de superficie de la función vectorial f integrada para toda la superficie S.



 . f dV =

R

 S

f . dS

Físicamente este teorema dice que el flujo total hacia afuera a través de la superficie cerrada S es igual a la integral de la divergencia a través de la región R limitada por S. Consecuencias importantes de este teorema son:  

 S

Permite transformar una integral de volumen en una integral se superficie. Establece que si f es el vector de posición, entonces: r . dS = 3V Siendo V el volumen de la región R delimitada por la superficie

cerrada S.  . r = x / x + y / y + z / z = 3

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Por lo que al aplicar el teorema de Gauss, obtenemos que

 R

 . r dV = 3 V.

Ejemplo: Hallar

 S

r . n dS siendo S la esfera de radio 2 con centro en (0,0,0).

Aplicando el teorema de Gauss tenemos que:

 S

r . n dS =

 R

 . r dV = 3 V = 3* (4/3  r3) = 4  (2)3 = 32 .

2. Concepto de medio continuo. Existe una gran cantidad de problemas de ingeniería que no pueden resolverse con la mecánica de los cuerpos rígidos. Para solventar estos problemas se ha idealizado la materia según el modelo de la mecánica del medio continuo. El concepto del medio continuo es el de un medio carente de huecos o separaciones entre sus partículas. Es usual suponer que el medio es isótropo, es decir que guarda las mismas propiedades en todas las direcciones posibles. Dentro del modelo matemático del medio continuo se supone que el medio se puede subdividir indefinidamente, sin que pierda sus propiedades. Por otra parte no especifica el medio la relación que existe entre los esfuerzos y deformaciones, por lo que diferentes modelos de relación esfuerzo deformación pueden ser empleados. Así se pueden construir modelos del medio continuo elásticos, o bien plásticos donde se tendrán deformaciones crecientes bajo carga constante. 2.1. Propiedades del medio continuo. Las principales propiedades que caracterizan al medio continuo son las mecánicas, térmicas, eléctricas y magnéticas. Estas propiedades se darán por medio de expresiones intensivas, es decir, que no dependen de la cantidad de masa presente en el análisis. 2.1.1. Propiedades mecánicas. Mientras que en la mecánica de los cuerpos rígidos la atención se concentra en el cálculo de los desplazamientos, en la mecánica del medio continuo se buscará calcular las deformaciones. Estas podrán ser momentáneas, de modo que duren en tanto esté aplicada la acción sobre el cuerpo, o bien podrán ser indefinidas, es decir, que mientras la acción siga actuando sobre el cuerpo, la deformación continua. Este es el caso de las fluencias en los sólidos viscoelásticos, de los líquidos y de los gases. En general las deformaciones son complejas, por lo que para simplificar su análisis, se dividen en deformaciones longitudinales y deformaciones angulares. Una deformación lineal será la que dados tres puntos no colineales (A,O,B) estos se desplazan a las nuevas posiciones (A’, O’, B’); si l es la longitud del segmento OA y l+ l la longitud del segmento O’A’, la variación unitaria de su longitud puede escribirse como:  = l/l Esta será la deformación unitaria o elongación del segmento OA. Para medir la deformación angular se calcula la variación angular de AOB, siendo AOB un ángulo recto, medida como: A’O’B’ = 90º - Siendo entonces la deformación angular unitaria la tangente del ángulo   = tan y se considera a  = ½ (tan ). 13



La deformación angular unitaria se considera positiva cuando el ángulo ABC se cierra y negativa cuando se abre. Las deformaciones pueden ser isotrópicas o distorsiónales, se dice que una deformación es isotrópica cuando es igual en todas direcciones en la proximidad de un punto; esto implica que no puede haber deformaciones angulares, sino solo elongaciones lineales; el resultado de una deformación isotrópica es un cambio de volumen, sin cambiar de forma. A este tipo de deformación también se le conoce con el nombre de deformación volumétrica. Una deformación se dice que es distorsional cuando no cambia el volumen, sino solo la forma. Una deformación cualquiera puede obtenerse como la superposición de una deformación volumétrica y una distorsional. La deformación volumétrica se obtiene a partir de las deformaciones lineales de los lados de un paralelepípedo rectangular: Si a,b,c son las longitudes de los lados del paralelepípedo rectangular y a(1+a), b(1+b), c(1+c) son las longitudes del paralelepípedo deformado volumétricamente, entonces el volumen del paralelepípedo deformado será: a(1+a)b(1+b)c(1+c)  abc(1+a+b+c) Despreciando los términos de orden superior. Si la deformación hubiese sido isotrópica, el volumen del paralelepípedo deformado sería: abc(1+v)3  abc(1+3v); igualando con la expresión anterior se obtiene: v = (a+b+c )/3 Ejemplo 2.1 : Dado un paralelepípedo rectangular de a=20, b=15, c=10, con un volumen inicial de 3000 cm3, que bajo la acción de un sistema de fuerzas se deforma de modo que: a b a = 0.03 cm b = -0.025 cm c c = 0.02 cm las deformaciones lineales en cada sentido serán: a = 0.03/20 = 0.0015 b = -0.025/15 = -0.00166666667 c = 0.02/10 = 0.002 La deformación volumétrica será: v = (0.0015-0.001666666667+0.002)/3 = 0.000611111111 Los lados del paralelepípedo deformado isotrópicamente medirán: a’ = 20*(1+0.00061111111111) = 20.01222222 cm b’ = 15*(1+0.00061111111111) = 15.00916667 cm 14



c’ = 10*(1+0.0006111111111) = 10.00611111 cm El volumen de este paralelepípedo es: V’ = 3005.5 cm3 mientras que el volumen del paralelepípedo deformado real es: V’’ = 3005.5 cm3, lo que quiere decir que la deformación isotrópica produce un paralelepípedo de igual volumen al del cuerpo deformado real. Para producir la condición deformada real es necesario agregar a la deformación isotrópica la deformación distorsional que cambia la forma del paralelepípedo sin cambiar su volumen. La deformación será en el sentido de a (1+(av)), en el sentido de b (1+(b-v)) y en el sentido de c (1+(c-v)). a’’ = 20.01222222 cm * (1+(0.0015-0.000611111111)) = 20.03 cm b’’ = 15.00916667 cm * (1+(-0.00166666667-0.0006111111111))= 14.975 cm c’’ = 10.00611111 cm * (1+(0.002-0.0006111111111111)) = 10.02 cm

Otra propiedad mecánica del medio continuo es la densidad y el peso específico, la densidad será la derivada de la masa respecto al volumen, mientras que el peso específico será la derivada del peso respecto al volumen. Cuando estas propiedades no cambian para ninguna coordenada de la región que define el medio continuo, se obtiene un valor constante de las derivadas, que nos lleva a las definiciones usuales =m/V y  = P/V. Sin embargo esta situación no siempre se cumplirá (como en el caso de la atmósfera), por lo que las definiciones generales se deberán adoptar.  = dm/dV  =dP/dV. Estas dos propiedades están ligadas entre si por la sencilla relación:  = g

Siendo g la aceleración de la gravedad.

Las fuerzas en el medio continuo pueden ser de cuerpo o de superficie, las primeras actúan de manera continua en todo el medio, mientras que las segundas solo actúan sobre algunas superficies. Si la fuerza se mide por unidad de masa encontramos la propiedad llamada fuerza másica, al ser la fuerza dividida por la masa, la unidad de las fuerzas másicas será la aceleración: F=ma :.

F/m = a = f

Las fuerzas másicas que mayormente se utilizan son el peso y la fuerza centrífuga. Si la fuerza de superficie se divide por la superficie en la que se aplica, obtendremos una propiedad mecánica llamada esfuerzo; las unidades de los esfuerzos serán unidades de fuerza entre unidades de longitud al cuadrado. Existen dos modos básicos de medir las fuerzas, el empleo de fuerzas conocidas contrarias a la primera de modo tal que la anulen, o bien midiendo las deformaciones que produce sobre un cierto cuerpo calibrado. En el primer caso su aplicación cotidiana la vemos en las balanzas, mientras que en el segundo caso se aplica en los

15



dinamómetros. Los esfuerzos internos de un medio continuo no se pueden medir directamente, por lo que se calculan a partir de las deformaciones que el cuerpo sufra. Como los esfuerzos son fuerzas por unidad de superficie, es indispensable para calcular esfuerzos en el interior del medio continuo relacionar el esfuerzo con un plano que pase por el punto que estamos estudiando. Ejemplo 2.2 : Una barra sometida a una tracción tiene las siguientes características: L = 3.00 m. D = 0.0381 m Área normal al eje de la barra = 0.00114 m2 Carga = 220 000 N Si el plano en el que se analiza el esfuerzo es normal al eje de la barra, el esfuerzo será:  = 220 000 N / 0.00114 m2 = 192’982,456 N/m2 = 192’982,456 Pa = 192.982 MPa Sin embargo si el plano que corta a la barra guarda un ángulo respecto al eje de la misma de 30º (0.5236 rad), el área de la barra en el plano del corte será: Área (30º) = 0.00114 m2 / cos 30º = 0.001316358614 m2 El esfuerzo en la dirección del eje de la barra será por tanto: f = 220 000 N / 0.001316358614 m2 = 167.128 MPa El esfuerzo sin embargo no es normal al área, por lo que el esfuerzo normal a esa área sería:  = 167.128 MPa * cos 30º = 144.737 MPa. Y la componente paralela al área llamada esfuerzo tangencial o esfuerzo cortante será:  = 167.128 MPa * sen 30º = 83.564 MPa. Los esfuerzos también se clasifican en esfuerzos isotrópicos y esfuerzos distorsionales; los esfuerzos isotrópicos son los que para cada punto del medio los esfuerzos normales son iguales en todas direcciones, como en el caso de la presión hidrostática en líquidos; este estado de esfuerzos puede producir únicamente deformaciones isotrópicas y por lo mismo únicamente puede cambiar los volúmenes. Los esfuerzos distorsionales no cambian los volúmenes, pero si la forma. Este es el caso del movimiento de los líquidos sobre las superficies sólidas, ya que en la frontera entre ambos no existe separación y si analizamos el flujo, este no cambia en volumen mas si en forma. C

A

C’

D

D’

B

16



El concepto de elasticidad relaciona las deformaciones con los esfuerzos, de modo tal que cuando un cuerpo posee esta propiedad las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos. Es de notar que el comportamiento elástico de algunos cuerpos solo es válido dentro de un cierto rango de esfuerzos fuera del cual presentará un comportamiento diferente. Al factor de proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones se le conoce con el nombre de módulo elástico. Este módulo depende del material, temperatura, presión y tipo de esfuerzo; así tendremos que existe un módulo elástico para el esfuerzo normal y otro diferente para el esfuerzo cortante. Si se le llama K al módulo que relaciona al esfuerzo isotrópico con la deformación volumétrica o isotrópica, tendremos: dv = K dV/V

pero como el volumen deformado es V+dV = V (1+dv)3

la relación (V+dV)/V = (1+dv)3  1+3 dv por lo que 3dv = dV/V sustituyendo esta última relación en la relación elástica tendremos: dv = 3Kdv Lo que quiere decir que el esfuerzo normal provocado por una deformación isotrópica será igual a tres veces el módulo elástico isotrópico por el diferencial de la deformación isotrópica. Los esfuerzos distorsionales se relacionan con las deformaciones distorsionales mediante la expresión: do = 2Gdo Ejemplo 2.3: Determinar el módulo elástico isotrópico de un líquido cuya densidad aumenta en un 0.003% cuando la presión aumenta 0.7 kg/cm2. El incremento del esfuerzo isotrópico será: v= 0.7 kg/cm2 = 0.0686 MPa La densidad del líquido es su masa por unidad de volumen, por lo que un incremento en su densidad es equivalente a una disminución de su volumen. Si V es el volumen original, el volumen después de aplicado el esfuerzo será igual a: V’ = 0.9997 V, la variación de volumen es dV/V=0.00003 De la relación elástica tenemos que: K = v/(dV/V) = 0.0686/(0.00003) = 2286.7 MPa Para esfuerzos y deformaciones distorsionales proporcionalidad entre ellas según la expresión:

es

válido

considerar

una

do = 2Gdo

17



Donde G es el llamado módulo elástico distorsional o módulo de elasticidad al esfuerzo cortante. Un concepto de alta relevancia en la ingeniería es el de la viscosidad, en este fenómeno no es de relevancia la magnitud de la deformación distorsional, sino la velocidad a la que ocurre dicha deformación. Esta propiedad se relaciona con la velocidad de deformación según la siguiente fórmula:  =  dv/dh Donde  es el coeficiente de viscosidad. Si se describe esta fórmula en términos de la velocidad de deformación unitaria distorsional do/dt y considerando que dv/dh es igual a 2 do/dt la fórmula se expresa como:  = 2  do/dt Al coeficiente  se le llama coeficiente de viscosidad dinámico, mientras que a  se le conoce como coeficiente de viscosidad cinemático. Las unidades del coeficiente  son (FL-2t), mientras que las unidades del coeficiente  son (L2t-1). Ejemplo 2.4: Un cuerpo que pesa 490 N se apoya sobre un plano inclinado 45º respecto a la horizontal, el área plana del cuerpo en contacto con el plano inclinado es de 0.21 m2 y se desliza con una velocidad de 0.92 m/s teniendo como lubricante aceite de viscosidad igual a =0.0784 N*s/m2. ¿Cuál es la distancia entre el plano y el cuerpo? Fuerza en la dirección del plano: 490 N * seno(45º) = 346.48 N  =  dv/dh ;  = F/A ;  = 346.48 N/0.21 m2 = 1649.92 N/m2 = Pa dV/dh = (0.92 m/s – 0m/s)/h = (1649.92 N/m2) / (0.0784 N*s/m2) = 21045 s-1 h = (0.92 m/s) / (21045 s-1) = 0.0000437 m = 0.00437 cm Ejemplo 2.5: Un cilindro sólido se desliza dentro de un tubo. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo, con una película de aceite entre el cilindro y el tubo . Dados los datos del problema, ¿Cuál será la velocidad terminal del cilindro? Datos: Diámetro del cilindro: Diámetro del tubo:

0.0738 m 0.074 m 18

Facultad de Ingeniería de la UNACH Longitud del cilindro: Masa del cilindro: Viscosidaddinámica :


0.15 m 2.5 kg 0.007 N*s/m2

Suponiendo una variación lineal en las velocidades del fluido entre el cilindro y el tubo, la derivada parcial de las velocidades respecto a la distancia será:  V/  h = (V – 0)/0.0001 = 10000 V s-1

Por otra parte el esfuerzo cortante entre el cilindro y el tubo es:  =  dV/dh

 = 0.007 * 10000 V = 70 V Pa

Como se tienen que igualar la fuerza resistente producida por los esfuerzos cortantes con la fuerza que actúa sobre el cilindro por su peso, podemos establecer la ecuación: W = D L = 70 V * 0.0738 * 3.1415927*0.15 = 2.5 kg * 9.81 m/s2 = 24.525 N Despejando V tenemos: V = 24.525 /2.43442 = 10.07 m/s 2.2. Propiedades térmicas. La mayoría de los materiales sufren expansión al calentarse, es por eso común encontrar grietas en las guarniciones de concreto largas y sin juntas constructivas, o problemas de ajuste en la conexión de piezas de acero que han sido tratadas térmicamente (con soldadura por ejemplo), o bien en la vida cotidiana es usual que las puertas de acero se atoren en la época de calor. Este fenómeno es producto de una deformación isotrópica que para pequeñas variaciones de temperatura es proporcional a la misma. Excepciones a este fenómeno lo constituyen el agua entre los 0º y 4º C y el hule vulcanizado. La expresión matemática que representa a este fenómeno es: dv =  dT Siendo  el coeficiente de dilatación térmica lineal y dT la variación de la temperatura. En termodinámica se relacionan principalmente tres variables: Temperatura (T), Presión (p) y Volumen (V). La presión no es sino el esfuerzo isotrópico con el signo cambiado: p = -v Si a los esfuerzos inducidos por la temperatura se agregan los esfuerzos isotrópicos resultantes de tensión mecánica, la deformación resultante será: dv = dv/(3K) +  dT Como la deformación isotrópica dv entre tres es igual a la variación de volumen entre el volumen original, la relación anterior se puede escribir como: dV/V = -dp/K + 3  dT 19



Conductividad térmica. Si un cuerpo es calentado desde el exterior, la difusión del calor a través del cuerpo cumple con la Ley de Fourier. Qc = -k S dT/dn Donde: Qc: Cantidad de calor que atraviesa en la unidad de tiempo un elemento de superficie interior igual a S. S: Area del elemento interior. DT/dn: Gradiente de temperatura en la dirección de n normal al elemento. k: Coeficiente de conductividad térmica. Esta fórmula expresa que el flujo de calor a través de una superficie interior en un cuerpo es proporcional al área del elemento y al gradiente de temperatura en la dirección normal al área; el signo negativo expresa que el calor avanza cuando la temperatura decrece. Las unidades del coeficiente de conductividad térmica serán: cal/(cm * s * ºC). Ejemplo 3.6: Una varilla de acero de 3.81 cm de diámetro y 100 cm de longitud se calienta por un extremo hasta alcanzar una temperatura de 300ºC; el flujo de calor en la punta de la varilla es de 180 cal/min. ¿Cuál será la temperatura en el otro extremo de la varilla? Qc = 300 cal/min = 3 cal/s = 0.161 cal/(cm * s * ºC) * 11.4 cm2 * (300 ºC – To)/100cm.

300 ºC –To = 163.45 ºC To = 136.55 ºC. ¿Qué pasaría si la varilla tuviese 5.07 cm de diámetro? El valor de To sería: 300 ºC –To = 92.30 ºC :. To = 207.70 ºC ¿Y si la varilla fuese más corta, por ejemplo 70 cm? 300 ºC –To = 114.42 ºC :. To = 185.58 ºC.

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3. Análisis de esfuerzos. 3.1. Introducción. La mecánica del medio continuo trata principalmente sobre las relaciones entre esfuerzos u deformaciones del medio continuo. Este tratamiento enfoca desde un punto de vista general el problema englobando las propiedades térmicas, mecánicas e incluso electromagnéticas de los materiales. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden ser másicas o superficiales y generan en un elemento interior de superficie fuerzas internas que son equipolentes a una fuerza y un momento y que en principio no son uniformemente distribuidas sobre la superficie; si la superficie interior disminuye indefinidamente, la fuerza aplicada tiene a un límite, ese límite es el esfuerzo, que matemáticamente se expresa como: t i = dfi/dS. Aun cuando de manera general al tomar el límite se puede presentar el caso de que en el elemento de superficie presente fuerzas y momentos, en la mecánica del medio continuo clásica o común no se considera que en el límite existan momentos en el elemento diferencias de superficie, siendo este caso tratado dentro de una rama avanzada de la mecánica del medio continuo. 3.2. Esfuerzos en el interior de un medio continuo. Resulta obvio el hecho de que los esfuerzos en un punto dependan del elemento de superficie que se considere, este elemento de superficie se identifica por un vector normal unitario, ni o n, al elemento de superficie. De esto se sigue que para conocer el estado de esfuerzos en un punto P sería necesario en principio conocer los esfuerzos asociados a todos los planos que puedan pasar por P; sin embargo afortunadamente esto no es necesario ya que si especificamos los vectores tensión en tres planos perpendiculares entre si que se corten en P, se pueden emplear las leyes de transformación de coordenadas para encontrar los esfuerzos en un plano cualquiera que pase por P. Considerando que el vector de tensión asociado a un punto depende del plano que se elija, y además este plano puede ser plenamente identificado por un vector normal unitario, entonces la ecuación del esfuerzo en un punto Se puede deducir a partir de un tetraedro que tenga tres caras paralelas a los planos que forman los ejes coordenados, y estando el cuarto plano sometido a un esfuerzo T(n). z y

x Si el área de la cara inclinada sobre la que actúa T(n), se denomina por dS, la proyección de esta área sobre la cara paralela al plano yz será dS cos , siendo cos  el coseno director del vector de posición n del área inclinada en la dirección de x, del mismo modo la proyección del área dS sobre los planos xy (dirección z) y xz (dirección y) serán cos  y cos  . Se supone que sobre el tetraedro actúa la fuerza de cuerpo o másica F, como esta fuerza depende de la masa del tetraedro su valor será:

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F = ma; y como la masa es igual a V, entonces F = V a F = 1/3  (h*dS) a Del equilibrio de fuerzas se tiene que esta fuerza másica se tiene que equilibrar con las fuerzas que actúan en la superficie del cuerpo, que no son más que la suma de los esfuerzos en cada cara por su área. Si el vector de posición n se expresa en términos de sus componentes, este queda: n = (cos  i + cos  j +cos  k) = (l i + m j + n k) De esta manera la resultante de fuerzas superficiales R será: R = dST(n) – ldS T(i) – mdS T(j) – ndS T(k) = dS(T(n) – l T(i) – mT(j)-nT(k)) Siendo por equilibrio R = F: dS(T(n) – l T(i) – mT(j)-nT(k)) = 1/3  (h*dS) a Si se encoge el tetraedro manteniendo al punto P dentro de él, h tenderá a cero, por lo que el segundo miembro de la ecuación de equilibrio se igualará a cero y despejando T(n) tendremos: T(n) = lT(i) + mT(j)+nT(k) Así si conocemos los esfuerzos relativos a los ejes coordenados, podemos calcular el esfuerzo en cualquier otra dirección. Ejemplo: Dado el estado de esfuerzos en el punto P, definido por: T(i) = 5k

T(j) = 2j

T(k) = 5i – 7k

Calcular el esfuerzo en la dirección que forma un ángulo de 20º con el eje X y de 100º con el eje Y, teniendo un ángulo agudo con el eje Z. l = Cos 20º = 0.9397 m = Cos 100º = -0.1736 cos2 20º +cos2 100º +cos2  = 1 cos2  = 1-0.88302-0.03015 = 0.086828 n = cos  = 0.2947  = 72.86º n = (0.9397 i -0.1736 j + 0.2947 k) Los esfuerzos en la dirección dada serán: T(n) = 0.9397 * 5 k - 0.1736 * 2 j + 0.2947 * (5 i – 7 k) = 1.4735 i + 0.3472 j+ 2.6356k

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Este problema de determinar las tensiones en una cierta dirección en un punto, cuando se conocen las tensiones en tres planos mutuamente perpendiculares, es más simple de resolver si se plantea de manera tensorial. En su planteamiento tensorial el estado de tensión en un punto se puede representar por un tensor de segundo orden, que representa a los tres vectores de tensión que actúan en los planos perpendiculares. En el caso anterior el tensor de tensiones en el punto sería: T (n) =

0 0 5

0 2 0

5 0 -7

Y el vector de posición sería:

a = (0.9397, -0.1736, 0.2947)

El vector de tensión según la dirección de a es por lo tanto: T(a) = a T (n) = (0.9397, -0.1736, 0.2947)

0 0 5

0 2 0

5 0 -7

T(a) = (1.4735, -0.3472, 2.6356) En general el estado de tensión en un punto para una dirección dada se calculará a partir del tensor de tensión y del vector normal unitario, multiplicando al vector de posición por el tensor de tensión en el punto. Si el medio se encuentra bajo un estado de tensiones permanente, el tensor de tensiones para un punto P determinado será constante, pudiendo variar de un punto al otro. Si existen leyes de variación de los tensores de tensiones en el medio, entonces se expresará el tensor de tensiones para esa región del medio como función de las coordenadas. Es de gran importancia que como consecuencia del equilibrio de las fuerzas sobre un elemento cúbico infinitesimal, el tensor de los esfuerzos sea siempre simétrico. Ejemplo: Calcular los esfuerzos en el punto P de una placa de acero de 10 cm de ancho por 70 cm de longitud y 0.635 cm de espesor, sobre la que actúan dos fuerzas de 90 000 N paralelas al lado de 70 cm y aplicadas en los extremos de la placa: a) En el elemento cúbico infinitesimal alineado con los ejes coordenados. b) En el elemento girado 20º en sentido contrario a las manecillas del reloj. El esfuerzo en el sentido X será: s1= 90000 N/(0.00635 m * 0.10 m) = 141.732 MPa En el sentido Y y en el sentido Z el esfuerzo normal es igual a cero. Por lo tanto el tensor de esfuerzos será: 141.732 0 0 T= 0 0 0

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Facultad de Ingeniería de la UNACH 0

0


0

El vector normal al plano girado será: n = ( 0.93969, 0, 0.34202) El esfuerzo en el plano girado será entonces: T(n) = ( 0.93969, 0, 0.34202)

.

141.732 0 0

0 0 0

0 0 0

= (133.184, 0, 0)

Referido al sistema coordenado original. Los esfuerzos normales y tangenciales sobre el plano inclinado serán.  = F * cos  = 125.152 Mpa  = F * sen  = 45.552 Mpa. Esto se puede expresar también como: T(n)j = Tij * ni Siendo T(n) el vector de esfuerzos que actúa en el plano normal a n, en el sistema coordenado XYZ donde se han definido los vectores y tensores de la ecuación. Para calcular la componente normal al plano de T(n), se efectúa:  = T(n) . n Para calcular la magnitud del esfuerzo cortante, se recurre al teorema de Pitágoras:  = (|T(n)|2 -  3.3 Estado de esfuerzos plano, vector de esfuerzos. Cuando por las condiciones físicas del problema podemos suponer que los esfuerzos en la dirección de algún eje son nulos, el problema del cálculo de esfuerzos se simplifica pues se transforma en un problema de esfuerzos plano. Este problema es común en placas cargadas en su plano, en los análisis de vigas, en los cálculos de esfuerzos en recipientes de presión, etc... Los principios anteriormente enunciados siguen siendo válidos para este caso particular, pudiéndose resumir en las siguientes ecuaciones: T(n)j = Tij ni  = T(n) . n  = (|T(n)|2 - 

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Ejemplo: Dada una placa de acero de 70 cm de longitud y 10 cm de ancho, con 1.27 cm de espesor, se somete a fuerzas en sus bordes, que actúan en el plano XY paralelo a los lados de 70 cm y 10 cm. Las fuerzas sobre el borde largo son de 7000 N (compresión), mientras que las fuerzas que se aplican sobre el lado corto son de 500 N (tensión); las fuerzas que actúan sobre los bordes lo hacen de manera uniformemente distribuida. Determinar el vector de esfuerzos referido al sistema XY, en un plano normal a n. Calcular  y . n = (0.866025, 0.5) El tensor de esfuerzos referido a XY será: T=

5000 0 0 -10000

5000 0 T(n) = 0 -10000

0.866025 0.5

=

4330.125 -5000

 = T(n) . n = 1250 N  = (|T(n)|2 - (43'749,983 – 1’562,500)1/2 =6495.19 N La ecuaciones para calcular los esfuerzos normales y cortantes en un plano cuya normal forma un ángulo a con el eje X, se determinan a partir del equilibrio de una cuña diferencial, estableciéndose las siguientes ecuaciones:  = x cos2  + ysen2  +xysen2  = (y – x)sen  cos  + xy cos 2 3.4 Valores máximo y mínimo de esfuerzo cortante. De la ecuación para obtener esfuerzos cortantes se puede deducir que cuando el esfuerzo normal es máximo, que es cuando la dirección de T(n) coincide con n y por tanto T(n) = , el esfuerzo cortante  es nulo. Por otra parte el esfuerzo máximo cortante dependerá de la diferencia entre los esfuerzos normales principales, para el caso de esfuerzo plano se cumple siempre que  = (1-2)/2 en su valor absoluto. Para el cálculo de la variación de los esfuerzos en un punto del medio continuo, para una orientación cualquiera de un vector n normal al plano en que interesa conocer el estado de esfuerzos, es necesario determinar en primera instancia los esfuerzos principales en el elemento infinitesimal. Los esfuerzos principales se presentan en tres caras mutuamente perpendiculares, cuando los esfuerzos cortantes son nulos en todas las caras. Bajo esta circunstancia, los vectores de esfuerzo T(n) coinciden con los vectores normales n, de modo que se puede escribir: T(n) = n, si escribimos la anterior ecuación en función de sus componentes, tendremos: X = l,

Y = m,

Z = n,

25



Los valores de X,Y y Z son las componentes del vector T(n), que en el caso general dependen de los valores de esfuerzos en las caras del elemento infinitesimal: X = lx + myx + nzx Y = lxy + my + nzy Z = lxz + myz + nz Sustituyendo los valores de X,Y y Z tendremos: L(x – ) + myx + nzx = 0 lxy + m(y– ) + nzy = 0 lxz + myz + n(z – ) = 0 Considerando como incógnitas a l, m y n, se tiene un sistema en que el determinante de los coeficientes deberá ser igual a cero para que exista una solución no trivial. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuación cúbica que se puede escribir así: 3 – I12 – I2 – I3 = 0 Los valores de las raíces de esta ecuación son todos reales, y corresponden a los valores de los esfuerzos principales 1, 2 y 3, donde 1  2  3. Como los esfuerzos principales están relacionados con direcciones principales y estas son únicas, se desprende que los coeficientes de la ecuación cúbica tendrán que permanecer constantes ante cualquier giro de los ejes coordenados, así los valores I 1, I2 e I3 son valores invariantes del tensor de esfuerzos; es decir que si determinamos el tensor de esfuerzos en el mismo punto para otra orientación de los ejes coordenados, los valores de los invariantes no cambiarán. Del desarrollo del determinante se obtienen las ecuaciones siguientes para los invariantes de esfuerzos: I1 =  x +  y +  Z I2 = xy + 2yz + 2zx – xy – yz - zx I3 = xyz +2xyyzzx – x2yz – y2zx – z2xy Para el caso en que los ejes coordenados coinciden con los ejes principales, los valores de los esfuerzos cortantes se anulan y los invariantes de esfuerzos se calculan como: I1 =  1 +  2 +  3 I2 = – 12 – 23 - 31 I3 = 123 De los dos grupos de ecuaciones, se desprende que: x + y + Z = 1 + 2 + 3 = 3m Siendo m el esfuerzo normal medio, lo que quiere decir que no importa cuales sean las direcciones de los ejes coordenados, la suma de los esfuerzos normales será igual.

26



3.5 Círculo de Mohr plano. Para el caso en que se pueda suponer que los esfuerzos sean nulos en una dirección determinada, el problema de los esfuerzos en el espacio se reducen a un problema de esfuerzos plano. Existen cuatro métodos para solucionar un problema de esfuerzo plano:  Tensorialmente.  Por fórmulas directas.  Método de la cuña.  Círculo de Mohr. El círculo de Mohr se construye teniendo un sistema coordenado en el que las abscisas representan los esfuerzos normales y las ordenadas representan a los esfuerzos cortantes. El círculo de Mohr representa el estado de esfuerzos en un punto dado, es decir, es una representación gráfica del tensor de esfuerzos, correspondiendo las coordenadas del centro del círculo a la componente isotrópica del tensor de esfuerzos y la magnitud del radio depende de la magnitud de la componente distorsional de esfuerzos. Este gráfico permite calcular los esfuerzos en un plano cualquiera que pase por el punto analizado. La construcción y uso del círculo de Mohr tiene las siguientes reglas:  Los esfuerzos en un plano cualquiera se representan por un punto en el sistema coordenado  – ; se parte del conocimiento de los esfuerzos en un elemento cuadrado alrededor del punto en estudio referenciado a un sistema coordenado XY, de modo que se conocen los esfuerzos normal y cortante en la cara cuya normal unitaria n coincide con X: P (x, xy), y los esfuerzos en la cara perpendicular Y: Q (y, yx). Se grafican P y Q y se traza un segmento de línea que los una, en el punto medio de la misma (que se encuentra sobre el eje de las abscisas) se encuentra el centro del círculo de Mohr, se traza el círculo con centro en C y con una abertura tal que pase por P (y por lo tanto por Q).  En el círculo de Mohr los ángulos centrales representan el doble del ángulo que gira el elemento real, de modo que un giro de 180° en el elemento real corresponde a un giro de 360° en el círculo de Mohr.  La convención de signos es que los esfuerzos normales de tracción son positivos y los de compresión son negativos, mientras que los esfuerzos cortantes se consideran positivos si tratan de girar al elemento en el sentido horario.  El radio con sentido hacia un punto de la circunferencia representa al eje normal al plano cuyas componentes del esfuerzo vienen dadas por las coordenadas del punto de la circunferencia. Ejemplo: En un punto de un sólido los esfuerzos que actúan sobre las caras cuyas normales están alineadas con los ejes coordenados XY son:

27



x = 100MPa

xy = 50 MPa y = 70 MPa

Trazar el círculo de Mohr correspondiente y calcular:  Los esfuerzos principales.  El esfuerzo cortante máximo.  Los esfuerzos en la cara girada 45° en sentido horario a partir del eje de las abscisas.





Del gráfico se aprecia que la magnitud del radio es igual a 98.6154 MPa y que el centro del círculo se ubica en C (15,0), por lo que los esfuerzos principales serán: 1 = 113.62 MPa. (Punto R) 2 = -83.32 MPa (Punto T) Asimismo el esfuerzo cortante máximo siempre será igual al radio = 98.62 MPa. El ángulo entre el semieje positivo de las abscisas y el radio CP es de 30.4655°, por lo que al girar un ángulo de 45° en el elemento real en el círculo de Mohr corresponde a un giro de 90°, debiéndose girar desde el semieje positivo la cantidad de 120.4655° para encontrar el punto correspondiente al estado de esfuerzos en el plano girado 45° desde el semieje positivo X en el elemento real. Haciendo las operaciones necesarias obtenemos que los esfuerzos en el plano inclinado son:  = 15-98.6154 * sen (30.4655°) = -35 MPa  = -98.6154 * cos(30.4655°) = - 85 MPa

28



3.6 Círculo de Mohr en el espacio. El estado de esfuerzos en un punto del espacio puede ser representado por círculos de Mohr; en esta generalización del método es conveniente partir de conocer los esfuerzos principales y a partir de ellos construir los círculos de Mohr, de tal manera que uno de ellos tendrá un diámetro 1-2, otro un diámetro 2-3 y un tercero que envuelve a los dos círculos anteriores un diámetro 1-3. La zona que define los estados de esfuerzos en el punto está acotada por el interior del círculo mayor y por el exterior a los círculos menores.  

2

2

1



Para conocer el estado de esfuerzos en una dirección determinada por un vector normal unitario n, se calculan los ángulos 1,2 y 3 como los arcos cuyos cosenos son las componentes de n: l, m y n; enseguida se traza desde el centro de la circunferencia 1, definida por 1 y 2, el radio con el ángulo 21, medido en sentido antihorario desde el eje de las abscisas, obteniéndose así la posición del punto D como la intersección de ese radio con la circunferencia 1; se traza por el centro de la circunferencia 2 definida por 2 y 3 el radio con ángulo 23 medido en sentido horario (para el signo positivo del ángulo) obteniéndose así el punto E como la intersección de la circunferencia 2 con el radio trazado. Ubicándose en el centro (C1) de la circunferencia 1 y con radio C 1 – E, se traza un arco de circunferencia que abarca toda la zona de posibles esfuerzos; ubicándose en el centro C2 de la circunferencia 2 y con radio C2 – D se traza un arco de circunferencia que intercepte al arco anterior; el punto de intersección (P) será el que defina el estado de esfuerzos en el plano normal a n. Ejemplo: Dado el tensor de esfuerzos T, encontrar los valores de esfuerzo normal y tangencial en el plano definido por n. T=

91 -30 -12

-30 25 -40

n=

.866025 0.25 0

-12 -40 84

29



Como primer paso se calculan las invariantes del tensor T: I1= 200 I2=-9375 I3=-62500 Enseguida se calcula la primera raíz de la ecuación cúbica en : 3 - 200 2 + 9375  + 62500 = 0 Proponiendo un valor tentativo de  = 110 Empleando el método de Newton – Raphson en combinación con la doble división sintética, tenemos: 1 110 1 110 1

- 200 9375 62500 110 -9900 -57750 - 90 -525 4750 = f(x) 110 2200 20 1675 = f’(x)

x1=110-(4750)/1675 = 107.1641791 Que será el nuevo valor de prueba para la raíz. 1 107.16 1 107.16 1

- 200 107.16 - 92.8358209 107.1641791 14.3283582

9375 62500 -9948.674538 -61477.36091 -573.6745378 1022.639087 = f(x) 1535.486744 961.8122065 = f’(x)

x2=107.1641791-(1022.639087)/961.81220065 = 106.1009371 Que será el nuevo valor de prueba para la raíz. 1 106.1009371 1 106.1009371 1

- 200 106.1009371 - 93.89906286 106.1009371 12.20187428

9375 62500 -9962.778566 -62363.85668 -587.778566 136.143317 = f(x) 1294.630296 706.8517299 = f’(x)

x3=106.1009371-(136.143317)/706.8517299 = 105.9083319 Que será el nuevo valor de prueba para la raíz. 1 105.9083319 1 105.9083319 1

- 200 105.9083319 - 94.09166806 105.9083319 11.81666388

9375 62500 -9965.091614 -62495.61849 -590.0916136 4.381512 = f(x) 1251.483161 661.391547 = f’(x)

x4=105.9083319-(4.381512)/661.391547 = 105.9017072 Que será el nuevo valor de prueba para la raíz. 1 105.9017072 1 105.9017072

- 200 105.9017072 - 94.09829279 105.9017072

9375 -9965.169852 -590.169852 1250.001738

62500 -62499.99487 0.00513 = f(x)

30



11.80341442 659.8318859 = f’(x)

El error relativo en este paso será: 4.84 *10-5 Como el error relativo aun es mayor que la tolerancia se continúa el cálculo. X5=105.9017072-(0.00513)/659.8318859 = 105.9016994 Que será el nuevo valor de prueba para la raíz. 1 105.9016994 1

- 200 9375 105.9016994 -9965.169944 - 94.09830058 -590.1699439

62500 -62500 0.00 = f(x)

Como el residuo es nulo, interrumpimos el cálculo tomando como valor de la raíz el último probado. La primera raíz será =105.9016994 Conocida la primera raíz, se calculan las dos raíces restantes de la ecuación de segundo grado obtenida al dividir la original entre (): 2 –94.09830058  -590.1699439 = 0 1= (94.09830058 + ((94.09830058)2 + 4*1*590.1699439)1/2 )/2 = 100 2= (94.09830058 - ((94.09830058)2 + 4*1*590.1699439)1/2 )/2 = -5.901699435 Ordenando las raíces en orden descendente, obtenemos las tensiones principales: 1: 105.9016994 2: 100 3: -5.9016994 Enseguida se dibujan los círculos de Mohr: 

3

2

1



Las componentes de n corresponden a los ángulos:

31



1: 30º ; 2: 90º ; 3: 60º Trazando radios con los ángulos dobles 1, 2, 3 en los círculos de Mohr, encontramos los puntos D y E, para luego trazar los arcos que definen el punto P. 3.7 Ecuaciones de equilibrio interno. Cuando idealmente se aísla dentro del medio continuo una región del espacio fija respecto a los ejes pero que no interfiere con el flujo del medio a través de sus caras, se le llama al volumen descrito volumen de control; a la superficie que lo delimita se le conoce como superficie de control. Este artificio del volumen de control es útil en la mecánica del medio continuo, especialmente en el caso de fluidos. Dentro del volumen de control se pueden definir propiedades extensivas (que dependen de la masa y por lo mismo del volumen) a través de ecuaciones integrales, sin embargo muchas veces se puede eliminar la participación del volumen escogido y escribir las ecuaciones diferenciales entre propiedades intensivas. Una de las ecuaciones fundamentales es la de la conservación de la masa, que expresa que dentro de un volumen de control no hay creación ni destrucción de masa y por tanto si hay cambios de masa en el interior del volumen de control, estos son consecuencia del flujo másico a través de la superficie de control. Si definimos que el volumen de control es Vc, y la superficie de control sea Sc, tendremos que la variación de la masa en el interior del volumen de control en la unidad de tiempo será:    / t) dV . La masa que cruce un elemento dS de la superficie de control Sc, con velocidad v en la unidad de tiempo, será: (v . n)dS; se considera que el flujo es positivo si la masa sale, pues es la dirección positiva de n. Como la variación de la masa en el interior del medio continuo es función del flujo a través de su superficie y origina un cambio en la densidad dentro del medio continuo, se puede establecer la ecuación de conservación de la masa:

 ( p / t )dV

Vc

   ( p v . n ) dS Sc

Como en la ecuación intervienen integrales de dos tipos (de volumen y de superficie) se puede transformar la integral de superficie en integral de volumen empleando el teorema de Gauss, para simplificar la fórmula:

 ( p / t  div( pv))dV

0

Vc

La ecuación obtenida es de carácter extensivo, sin embargo se puede notar que para que la integral sea igual con cero es preciso que el integrando sea igual con cero, por lo que se puede escribir: d/dt +  div v = 0

32



Siendo esta última ecuación una ecuación intensiva, que no depende por tanto del volumen de control que se escoja. Otra ecuación fundamental es la conservación de la cantidad de movimiento, que expresa que la rapidez de variación de la cantidad de movimiento de un sistema mecánico con respecto al tiempo es igual a la resultante de las fuerzas actuantes. Como las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden ser másicas o de superficie, la resultante de las fuerzas actuantes en todo el volumen de control es: R=



Vc

f dV +



Sc

T(n) dS

Siendo el primer sumando la resultante de las fuerzas másicas integradas en el volumen de control, y el segundo sumando la integral de los esfuerzos en la superficie de control. A cada partícula se le puede asociar una cantidad de movimiento v dV, si se integra la cantidad de movimiento en el volumen de control obtendremos:



Vc

vdV

La rapidez de variación de la cantidad de movimiento en el volumen de control será:  / t (



Vc

vdV) =



Vc

 ( v)/ t dV

La cantidad de movimiento se irá modificando adicionalmente por las partículas que entran o salen de la superficie de control Sc; esta variación se expresa como:



Sc

v(v . n) dS

Si se igualan la suma de las expresiones obtenidas para la

variación de la cantidad de movimiento con la resultante de las fuerzas en el volumen de control, tendremos:



Vc

 ( v)/ t dV +



Sc

v(v . n) dS =



Vc

f dV +



Sc

T(n) dS

Si se simplifica esta ecuación se obtiene la integral siguiente:



Vc

[d(v)/dt + v div v – f – div T] dV = 0

Para que se anule la integral se tiene que anular el integrando, por lo que: d(v)/dt + v div v – f – div T = 0 Esta ecuación se puede reescribir como:  dv/dt + v d/dt +v div v – f –div T = 0 Si se le llama a a la aceleración dv/dt, tendremos: a + v(d/dt +  div v) = f + div T 33



y como d/dt +  div v = 0, tendremos finalmente: a = f + div T esta ecuación relaciona con variables intensivas a la aceleración en un punto del medio continuo de densidad , con las fuerzas de cuerpo que actúan en ese punto y las variaciones respecto a las coordenadas de los esfuerzos que actúan en el elemento.

34



4

Análisis de deformaciones. 4.1 Introducción. El análisis de las deformaciones en el medio continuo tiene importancia por si misma, ya que constituye un criterio de diseño, además su importancia se realza al considerar que la medición experimental de tensiones así como su determinación analítica en aplicaciones prácticas en el interior del medio continuo, se efectúa a partir de la medición de las deformaciones. Estos cálculos se llevan a cabo empleando modelos del comportamiento esfuerzo-deformación. Lo materiales tienen diferentes comportamientos en sus deformaciones cuando se someten a esfuerzos y en su origen molecular se encuentra la explicación de su comportamiento por la existencia de fuerzas de atracción y repulsión entre los átomos que componen el cuerpo, de manera que existe una distancia entre ellos que corresponde a la mínima energía potencial; cuando por la acción de fuerzas externas esta distancia se modifica, se generan fuerzas internas que tienden a restaurar el equilibrio; las deformaciones macroscópicas son el resultados de los cambios en el espacio interatómico. La mayoría de los materiales exhiben un comportamiento elástico lineal tanto en compresión como en tensión en las primeras etapas de la deformación, pudiendo presentarse la fractura frágil del elemento después de alcanzar un valor límite, o bien cambiar su comportamiento al incrementarse su rigidez, o bien presentar fluencia. Un primer paso para comprender la relación entre esfuerzo y deformación es el estudio de la mecánica de las deformaciones. 4.2 Desplazamientos en el interior de un medio continuo. De manera análoga a como se representan los esfuerzos por medio de tensores, las deformaciones también se pueden representar por tensores facilitando su manejo y posibilitando relacionar matemáticamente a esfuerzos y deformaciones. Para el análisis de las deformaciones se emplearán los mismos procedimientos analíticos y gráficos que para las deformaciones. Como la generación de tensiones en el interior del medio continuo la causan los cambios relativos de las posiciones de los átomos, los desplazamientos por si mismos no generan tensiones. Nos interesarán las deformaciones entendidas estas como los cambios relativos de las posiciones de los puntos definidos en el interior del medio continuo. Las deformaciones unitarias serán las deformaciones por unidad de longitud y se clasificarán en lineales y angulares según se definieron en el capítulo 2. El tensor de deformaciones será:

E=

x yx zx

xy y zy

xz yz z

Si se multiplica el tensor E por el vector normal unitario n, nos produce un vector de deformaciones sobre el plano definido por n, con sus componentes referidas al sistema coordenado XYZ en el que se han definido E y n. La analogía entre el tratamiento matemático de los esfuerzos y deformaciones es formal. Las componentes del tensor de la diagonal principal representan a las deformaciones unitarias lineales, mientras que los otros elementos del tensor de deformaciones corresponden a las deformaciones unitarias angulares. Existen dos maneras de representar a las deformaciones unitarias angulares: 

Se presentan las deformaciones unitarias angulares como:

35



xy = yx = ½( Sy / x  Sx / y ) yz = zy = ½( Sz / y  Sy / z ) zx = xz = ½( Sx / z  Sz / x ) Siendo las Sx, Sy y Sz las componentes del desplazamiento respecto a los ejes XYZ. Esta presentación guarda un paralelismo con el tensor de esfuerzos. 

La otra presentación de las deformaciones angulares es popular en ingeniería y se presenta como: xy= 2 xy yz= 2 yz zx= 2 zx

Si se emplea la notación de ingeniería el tensor de las deformaciones quedaría como:

E=

x xy yx y zxzy

1/2xz yz z

Ejemplo 4.1: Dado el tensor de deformaciones E y el vector unitario normal n, calcular la deformación lineal en el plano definido por n:

E=

2 0 -2

0 2 1

-2 1 0

n = (8/9, -1/9, 4/9)

El vector de deformación asociado al plano definido por n será: E(n) = (8/9, 2/9, -17/9) La componente de deformación lineal unitaria (elongación) será:  = 64/81 –2/81 –68/81 = -6/81 Para determinar las deformaciones unitarias angulares, se mide la variación que presenta el ángulo formado por dos vectores unitarios inicialmente perpendiculares entre si  y . Matemáticamente la deformación angular unitaria se calcula como:   = 2E

36



Así del ejemplo anterior, un vector normal unitario perpendicular a n sería:  = (4/9, 4/9, -7/9) Aplicando la fórmula anterior:  2E = (0.25, 0.930604092, -0.26735)     2E 318/81

4 0 -4

0 4 2

-4 2 0

4/9 4/9 = 318/81 -7/9

En el estudio de las deformaciones en el medio continuo existe la posibilidad de elegir entre dos tipos de sistemas de referencia. Un sistema de referencia usual en la mecánica de sólidos es el de Lagrange o Lagrangiano, este sistema de referencia, conocido también con el nombre de sistema substancial, considera que la referencia es una masa determinada de materia, que independientemente de su tamaño es la misma durante todo el estudio, así si la masa se desplaza, el sistema también se desplaza. El otro sistema de referencia es el llamado sistema local o euleriano, y consiste en elegir una región del espacio como referencia, no importando que pueda entrar o salir materia de la región considerada, el concepto de volumen de control es típico del sistema de referencia Euleriano. Un ejemplo típico es la consideración de la variación de las posiciones con el tiempo de un flujo de agua alrededor de un obstáculo; para lograr imaginar el fenómeno, supongamos que soltamos aguas arriba flotadores uniformemente espaciados en dirección transversal al flujo e imaginemos que un espectador toma desde arriba una fotografía de tiempo. Si se considera un sistema Euleriano, entonces correspondería la imagen fotografiada a un espectador fijo sobre el obstáculo, mientras que si se considera al sistema Lagrangiano tendríamos que suponer que el espectador se desplaza con su cámara tomando la fotografía de tiempo con la misma velocidad que el agua. Las imágenes quedarían así:

Sistema Euleriano:

37



Sistema Lagrangiano:

Por otra parte la derivada de una función respecto al tiempo difiere si se considera el sistema local o el substancial; si f(x,y,z,t) es la función considerada, entonces su derivada según el sistema euleriano o local será considerando fijo a x,y,z, por tratarse de un punto fijo, siendo entonces la derivada local: f / t . Si se escoge el sistema lagrangiano o substancial, la derivada respecto al tiempo es la derivada substancial: df/dt = f / t + f / x vx + f / y vy + f / z vz Donde vx, vy y vz son las componentes cartesianas de la velocidad v, de la partícula considerada. Cuando los gradientes del desplazamiento y los desplazamientos mismos son pequeños, existe muy poca diferencia entre los sistemas euleriano y lagrangiano. Este es el caso del estudio de la resistencia de materiales por ejemplo, mas no es el caso de la mecánica de fluidos, donde los desplazamientos son grandes. Ejemplo 4.2: En un estado de deformaciones bidimensional se tiene en cierto punto ex = 1, ey = -2, exy = 1.5. Encuéntrense los ángulos que las direcciones de las deformaciones que son puras elongaciones (deformaciones principales) tienen con el eje x. Utilizando la fórmula: /2 = (ex - ey)sencos + exy cos 2 y considerando que en las direcciones principales  = 0, se tiene: (ex - ey)sen2exy cos 2 De donde: exy /( ex - ey) = tan 2 Reemplazando valores: Tan 2 = (2*1.5)/(1+2) = 1

38



De aquí resulta que 2 = 45º, o bien 2= 225º. Por tanto los dos ángulos buscados son: 1 = 22º 30’ y 2 = 112º 30’ Problema 4.3: Una roseta mide las deformaciones longitudinales a lo largo de los ejes indicados en la figura. En un punto P, 11 = 5*10-4, ’11 = 4*10-4, 22 = 7*10-4 cm/cm. Determinar la deformación cortante 12 en el punto P. x2

x’1

45º 45º x1 P El vector unitario en la dirección de x’1 será:  = (e1 + e2)/ 2 ’11 = (1/ 2 , 1/ 2 , 0)

5*10-4 12 0 -4 12 7*10 0 0 0 0

1/ 2 1/ 2 = 4*10-4 0

Despejando 12 tenemos: (12*10-4 +212)/2 = 4*10-4 12= -2 *10-4 Problema 4.4 Construir los círculos de Mohr del estado de deformación plana ij =

0 0 0

0 5

0

3

3

3

Y hallar la deformación cortante máxima. Problema 4.5 El tensor de deformación en un punto es:

5 -1 -1 -1 4 0 -1 0 4 Y en su forma principal esta dado por: ij =

39




 ij =

6 0 0

0 4 0


0 0 3

Calcular sus invariantes y comprobar su equivalencia: IE = 5 + 4 + 4 = 13,

IIE =

11

12

12

22

IE* = 6 + 4 + 3 = 13.

+

11

13

13

33

22 23 +

23 33

IIE = 1122+2233 +3311 – (12 + 23+ 31) = 20+16+20-(1+1+0) = 54 IIE* = 1122+2233 +3311 – (12 + 23+ 31) = 24+12+18-(0+0+0) = 54 IIIE = det eij = 5*16 + 1*(-4) –1*(4) = 72 IIIE* = det eij = 6 * 4 * 3 = 72 4.3 Deformación plana. Para el caso particular en que una de las deformaciones principales es nula en un punto, se dice que existe un estado de deformación plana en ese punto. La forma que toma el tensor de las deformaciones será: ij =

11 12 0

12 22 0

0 0 0

Este estado de esfuerzos se puede representar por medio de los círculos de Mohr, tomando estos la forma general siguiente:

3

2

1

40



Si las deformaciones se dan explícitamente como funciones de las coordenadas, entonces estas funciones deben de satisfacer las condiciones de compatibilidad. 4.4 Velocidad de deformación. En el estudio de los cuerpos deformables, en el caso de fluidos la rapidez de deformación es objeto de estudio pues se relaciona con los esfuerzos cortantes. La deformación del cuerpo se puede representar por la variación del movimiento de dos partículas del cuerpo, P y Q, que después de un tiempo se mueven a las posiciones P’ y Q’. El desplazamiento relativo entre esas partículas será: s = s(Q) – s(P) = s(P+r) – s(P) Considerando la fórmula de Taylor en sus dos primeros términos tenemos: s = (  s/ x ) x + (  s/ y ) y + (  s/ z ) z Desarrollando esta expresión se llega a la expresión matricial: ∂sx/∂x ∂sy/∂x ∂sz/∂x [grad s] = ∂sx/∂y ∂sy/∂y ∂sz/∂y ∂sx/∂z ∂sy/∂z ∂sz/∂z

5

Relaciones Esfuerzo-Deformación-Velocidad de deformación. 5.1 Introducción. En la mecánica de sólidos, para conocer los esfuerzos al interior de los cuerpos es necesario determinar los valores de sus deformaciones y a través de un modelo que relacione a los esfuerzos con las deformaciones calcular los esfuerzos. Por otra parte en la mecánica de fluidos la relación entre los esfuerzos y las velocidades de deformación permiten resolver problemas de esta área. 5.2 Relación esfuerzo-deformación. En principio tenemos que considerar que existen materiales elásticos y otros no-elásticos, si bien la mayoría de los materiales exhiben comportamiento elástico en las primeras etapas de carga. Si un material es elástico recuperará su forma una vez que se hayan retirado las cargas que lo afectan, sin embargo la relación que guarden los esfuerzos y las deformaciones puede o no ser constante; si la relación entre esfuerzo y deformación es constante para todo el tramo de esfuerzos en que el material exhibe comportamiento elástico, se dice que su elasticidad es lineal, mientras que si no existe esta relación constante, se dirá que es un material elástico nolineal. Para los materiales elásticos lineales, la Ley de Hooke Generalizada expresa que el tensor de esfuerzos es igual al tensor de constantes elásticas de cuarto orden C ijkl por el tensor de deformaciones. Si el material fuese anisótropo, de las 81 componentes del tensor de constantes elásticas solo 21 son independientes, si además el material fuese isótropo este número se reduce a dos.

41



Las ecuaciones básicas son: x = 1/E*(x-(y+z)) y = 1/E*(y-(z+x)) z = 1/E*(z-(x+y)) xy/2 = xy/G yz/2 = yz/G zx/2 = zx/G Siendo: E : Módulo de elasticidad lineal. G : Módulo elástico al esfuerzo cortante. : Módulo de Poisson. Ejemplo 5.1: Una placa de acero de 20 cm de ancho, 50 cm de longitud y 2.54 cm de espesor se encuentra sometida a esfuerzos de compresión y = - 50 MPa y a esfuerzos de tensión x = 100 MPa, estando libre de esfuerzos la cara cuya normal coincide con Z.

x = 100 MPa

y = -50 MPa Determinar:  Las deformaciones unitarias que sufre la placa según la dirección de los ejes coordenados.  Las deformaciones lineales totales que sufre la placa.  El tensor de deformaciones.  La componente isotrópica del tensor de deformaciones.  La componente distorsional del tensor de deformaciones.  La deformación volumétrica unitaria dV/V.  La deformación volumétrica total. Dado que el acero exhibe las siguientes propiedades elásticas: E = 2 100 000 kg/cm2 = 206 010 MPa G = 807,692 kg/cm2 = 82 334 MPa  = 0.3 Y empleando las ecuaciones de esfuerzo – deformación tenemos:

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x = 1/E*(x-(y+z)) = 1/206 010 * (100- 0.3*(-50)) = 0.0005582 y = 1/E*(y-(z+x)) = 1/206 010 * (-50 – 0.3*(100)) = - 0.0003883 z = 1/E*(z-(x+y)) = 1/206 010 * (0 – 0.3*(100-50)) = - 0.00007281 xy/2 = xy/G = 0 yz/2 = yz/G = 0 zx/2 = zx/G = 0 X = 0.0005582 * 50 cm = 0.02791 cm Y = - 0.0003883 * 20 cm =- 0.007766 cm Z = - 0.00007281 * 2.54 cm = -0.000185 cm ij =

5.582 0 0

0 -3.883 0

0 0 -.7281

x 10-4

Componente isotrópica del tensor de deformaciones: 'ij =

0.3236 0 0

0 0.3236 0

0 0 0.3236

x 10-4

Componente distorsional del tensor de deformaciones: "ij =

5.2584 0 0

0 -4.119 0

0 0 -1.0517

x 10-4

Deformación volumétrica unitaria dV/V: dV/V = 3 v = 0.00009708 Variación total del volumen (dV) = 0.00009708 * 50 cm * 20 cm * 2.54 cm dV = 0.247 cm3. Calculando la deformación volumétrica a partir de las longitudes de los lados deformados tenemos: Vdeformado = 50.02791 cm * 19.992234 cm * 2.539815 cm = 2540.24596 cm3. V sin deformar = 50 cm * 20 cm * 2.54 cm = 2540 cm3. dV = 0.246 cm3. Coincidiendo de manera aproximada con la variación volumétrica obtenida a partir de la deformación isotrópica.

43



A menudo los problemas de esfuerzo – deformación son mixtos, es decir, tienen como datos los esfuerzos en algunos sentidos y las deformaciones en los otros, debiendo resolver el sistema de ecuaciones resultante. Ejemplo 5.2: Una placa de acero de 30 cm de ancho, 90 cm de longitud y 0.9525 cm de espesor se encuentra restringida a deformarse linealmente en la cara cuya normal unitaria coincide con el eje Y a través de la presencia de un apoyo deslizante; en el sentido X actúa una fuerza distribuida uniformemente de intensidad igual a 1400 kgf/cm, estando libre de esfuerzos y restricciones el plano XY cuya normal coincide con el eje Z. Determinar:  Las deformaciones unitarias que sufre la placa según la dirección de los ejes coordenados.  Las deformaciones lineales totales que sufre la placa.  El tensor de deformaciones de acuerdo al sistema XYZ.  La componente isotrópica del tensor de deformaciones.  La componente distorsional del tensor de deformaciones.  La deformación volumétrica unitaria dV/V.  La deformación volumétrica total.  Los esfuerzos que actúan en el plano restringido a deformarse.  El tensor de esfuerzos de acuerdo al sistema XYZ. Dado que el acero exhibe las siguientes propiedades elásticas: E = 2 100 000 kg/cm2 G = 807,692 kg/cm2  = 0.3 Las incógnitas son en este caso: y, x, zxy/2,yz/2, zx/2. Los datos del problema son: Los esfuerzos que actúan en el sentido X sobre las caras YZ: x = (1400 kgf/cm) / 0.9525 cm = 1469.82 kgf/cm2. z = 0 kgf/cm, y = 0, xy= 0, yz = 0, zx = 0. Y empleando las ecuaciones de esfuerzo – deformación tenemos: x = 1/E*(x-(y+z)) = 1/ 2100000 * (1469.82- 0.3*(y)) x = 6.999125 E -04 – 1.4286 E-07 y y = 1/E*(y-(z+x)) = 1/ 2100000 * (y - 0.3*(1469.82)) = 0 y = 4.7619 E-07 y – 2.09974 E-04 = 0; de donde y = 440.95 kgf/cm2 z = 1/E*(z-(x+y)) = 1/ 2100000 * (0- 0.3*(1469.82+440.95)) = -2.7297 E -04 Sustituyendo el valor de y encontrado tenemos:x = 6.3692 E-04 xy/2 = xy/G = 0 yz/2 = yz/G = 0

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zx/2 = zx/G = 0 X = 0.00063692 * 90 cm Y = 0 * 30 cm Z = - 0.00027297 * 0.9525 cm ij =

6.3692 0 0

0 0 0

= 0.05732 cm = 0 cm = -0.000260 cm 0 0 -2.7297

x 10-4

Componente isotrópica del tensor de deformaciones: 'ij =

1.2132 0 0

0 1.2132 0

0 0 1.2132

x 10-4

Componente distorsional del tensor de deformaciones: "ij =

5.1560 0 0

0 -1.2132 0

0 0 -3.9429

x 10-4

Deformación volumétrica unitaria dV/V: dV/V = 3 v = 0.00036395 Variación total del volumen (dV) = 0.00036395 * 90 cm * 30 cm * 0.9525 cm dV = 0.936 cm3. Calculando la deformación volumétrica a partir de las longitudes de los lados deformados tenemos: Vdeformado = 90.05732 cm * 30 cm * 0.95224 cm = 2572.6855 cm3. V sin deformar = 90 cm * 30 cm * 0.9525 cm = 2571.75 cm3. dV = 0.9355 cm3. Coincidiendo de manera aproximada con la variación volumétrica obtenida a partir de la deformación isotrópica. El tensor de esfuerzos en el sistema XYZ se expresaría de la siguiente manera: ij =

1469.82 0

0 440.95

0 0

kgf/cm2. 45


0

M.I. Moisés Nazar Beutelspacher 0

5.3 Relación esfuerzo-velocidad de deformación. Los medios continuos pueden exhibir un comportamiento fluido bajo determinadas circunstancias, este comportamiento se determina al referir los esfuerzos a las velocidades de deformación y no a las deformaciones en sí, siendo la función que determina esta relación la que marca el tipo de fluido. Las relaciones que pueden tener entre esfuerzo y velocidad de deformación conducen a tres tipos de fluidos: Fluidos Stokesianos: Exhiben un comportamiento no lineal. Fluidos Newtonianos: Exhiben un comportamiento lineal entre esfuerzos y velocidades de deformación, se define por la viscosidad del medio. Fluidos perfectos: La función de relación es nula, es decir, es como si se tratase de un fluido newtoniano en el que la viscosidad fuese nula. La expresión matemática de esta relación general es:  = -pI + f(d,,) Es decir en general los esfuerzos dependerán de la presión en el punto, más el efecto de la velocidad de deformación “d”, de la densidad  y de la temperatura absoluta .

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Bibliografía: 1. Mase E. George. “Mecánica del medio continuo”, Mc Graw Hill, Serie Schaum, México, D.F. 1985. 2. Levi, Enzo. “Elementos de mecánica del medio continuo”, Ed. Limusa, México, D.F. 1982. 3. Sokolnikoff, I.S. “Análisis Tensorial”, Ed. Limusa, México, 1982. 4. Oliver Olivella Xavier y Saracibar Bosch, de Carlos A. “Mecánica de los medios continuos para ingenieros”. Ed. Alfaomega y ediciones UPC. México 2002. 5. Deménegui Colina, Agustín; Magaña Del Toro, Roberto y Sanginés García, Héctor.”Fundamentos de Mecánica del Medio Continuo”. Facultad de Ingeniería, UNAM, México D.F., 2003. 6. Spiegel, Murria “Análisis Vectorial”. Mc Graw Hill, Series Schaum, México, D.F., 1999.

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Mecánica Medio Continuo

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