Apuntes de Huesca de Mecanica Del Medio Continuo

Apuntes de elementos de mecánica del medio continuo Marco Antonio Reyes Huesca Departamento de Termo‡uidos, División de Ingeniería Mecánica e Industrial, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México Sem 2009-II Actualización: 4 de marzo de 2008

ii

Índice general 1. Introducción y fundamentos generales 1.1. Concepto de medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Número de Knudsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 4

2. Conceptos básicos de análisis vectorial y tensorial 2.1. Notación indicial, convención de la suma y matrices . . . . . . . 2.1.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Espacio Euclideano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Ejemplos de sistemas de coordenadas curvilíneos . . . . . 2.2.2. Vectores base de un sistema de coordenadas curvilíneo en E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Métrica fundamental de un espacio euclideano . . . . . . 2.3. El concepto de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Tensores de segundo orden absolutos . . . . . . . . . . . . 2.4. Cálculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Derivadas parciales de los vectores base: Los símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Derivada parcial covariante de un campo tensorial . . . . 2.4.3. El operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. El operador divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. El operador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. El operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. El operador v r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 5 8 10

3. Deformación y rapidez de deformación 3.1. Deformación de un medio continuo . . . . . 3.1.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana 3.1.2. Deformación de un cuerpo . . . . . . 3.1.3. Tensores de deformación y de . . . . 3.1.4. Medidas de strain . . . . . . . . . . 3.2. Vector de desplazamiento . . . . . . . . . . iii

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

10 11 17 17 22 22 23 25 26 29 32 33 34 37 37 37 38 40 41 42

iv

ÍNDICE GENERAL 3.3. Relaciones de los gradientes de deformación-tensión . . . . . . . . 3.3.1. Tensor de rotación in…nitesimal . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Descripción material o lagrangiana . . . . . . . . . . . . . 3.5. Rapidez de cambio de deformación, rapidez de cambio de tensión y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Cambios en la longitud, área y volumen durante la deformación .

43 44 44 45 46 48

4. Esfuerzo 4.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de super…cie. Vector esfuerzo 4.2. Principio de los esfuerzos de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 4.3. El tensor de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos . . . . 4.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Estados de esfuerzos esféricos y deviatorios . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

49 49 51 53 53 54 55 57

5. Ecuaciones generales de balance 5.1. Ecuaciones de balance global . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . 5.1.2. Ley del balance global de masa . . . . . . . . . . . 5.1.3. Ley de balance global de momentum lineal . . . . 5.1.4. Ley de balance global de momento de momentum . 5.1.5. Ley de balance global de energía . . . . . . . . . . 5.1.6. Ley de balance global de entropía . . . . . . . . . . 5.2. Ecuaciones locales de balace . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Axioma de localidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Ley del balance local de masa . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Ley de local global de momentum lineal . . . . . . 5.2.4. Ley de balance local de momento de momentum . 5.2.5. Ley de balance local de energía . . . . . . . . . . . 5.2.6. Ley de balance local de entropía . . . . . . . . . . 5.3. Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Función de densidad de energía interna . . . . . . 5.3.3. La desigualdad de Clausius-Duhem . . . . . . . . . 5.3.4. Axiomas constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 60 60 60 61 61 62 62 62 62 63 63 63 64 64 64 65 66 66

6. Fluidos 6.1. Ecuaciones constitutivas para ‡uidos . . . . . 6.1.1. Fluidos Stokesianos . . . . . . . . . . 6.1.2. Fluidos Stokesianos lineales . . . . . . 6.2. Ecuaciones básicas en teoría de ‡ujo viscoso . 6.2.1. Las ecuaciones de Navier-Stokes . . . 6.3. Ecuaciones de campo en forma de ‡ujo (‡ux) 6.4. Disipación viscosa . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

71 71 71 72 75 76 77 77

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

ÍNDICE GENERAL

v

6.5. Condiciones de frontera y condiciones iniciales . . . . . . . . . . . 6.6. Propiedades generales de la ecuación de Navier-Stokes . . . . . . 6.6.1. Eliminación del término de fuerzas de cuerpo . . . . . . . 6.6.2. La ecuación de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3. Función de corriente en ‡ujos planos . . . . . . . . . . . . 6.6.4. Ecuación de Navier-Stokes en términos de la función de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5. Función de corriente en ‡ujos axisimétricos generales . . . 6.7. Principio de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas, polares cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Sólidos 7.1. Ecuaciones constitutivas para sólidos . 7.2. Deformaciones planas en elastoestática 7.3. Esfuerzos planos en elastoestática . . . 7.4. Función de esfuerzos de Airy . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

78 78 78 79 80 82 83 83 86 90 96 105 105 107 108 109

A. Operadores diferenciales

113

B. Identidades

115

C. Coordenadas Polares Cilíndricas C.1. Transformación de coordenadas . . . . . . C.2. Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3. Vectores base natural . . . . . . . . . . . . C.4. Tensor métrico fundamental . . . . . . . . C.5. Vectores base recíprocos . . . . . . . . . . C.6. Tensor métrico recíproco . . . . . . . . . . C.7. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . C.8. Componentes físicos de un vector . . . . . C.9. Símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . C.10.Derivadas covariantes de componentes vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.11.Operadores diferenciales . . . . . . . . . . C.11.1. Gradiente de una función escalar . C.11.2. Divergencia de un campo vectorial C.11.3. Rotacional de un campo vectorial . C.11.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

117 117 118 118 118 118 119 119 119 119

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

120 120 120 121 121 121

D. Coordenadas Esféricas 123 D.1. Transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 D.2. Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 D.3. Vectores base natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

vi

ÍNDICE GENERAL D.4. Tensor métrico fundamental . . . . . . . . D.5. Vectores base recíprocos . . . . . . . . . . D.6. Tensor métrico recíproco . . . . . . . . . . D.7. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . D.8. Componentes físicos de un vector . . . . . D.9. Símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . D.10.Derivadas covariantes de componentes vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.11.Operadores diferenciales . . . . . . . . . . D.11.1. Gradiente de una función escalar . D.11.2. Divergencia de un campo vectorial D.11.3. Rotacional de un campo vectorial . D.11.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . .

E. Ecuaciones cúbicas

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

124 125 125 125 125 126

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

126 127 127 127 127 127 129

Capítulo 1

Introducción y fundamentos generales 1.1.

Concepto de medio continuo

La mecánica del medio continuo es una rama de la mecánica que estudia la cinemática y el comportamiento mecánico de materiales modelados como un continuo. La mecánica del medio continuo propone un modelo uni…cado para sólidos y ‡uidos. El concepto de medio continuo asume que la sustancia del cuerpo está distribuida a lo largo –y que llena completamente–el espacio que ocupa. La mecánica del medio continuo es el estudio matemático del comportamiento de los materiales así como de los principios gobernantes. Los constituyentes principales del material son tratados como continuos en vez de la naturaleza de los elementos que constituyen un material. El término medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemático, como cualquier porción de material cuyo comportamiento se puede describir adecuadamente por ese modelo. Existen dos grandes grupos de medios continuos: 1. Mecánica de sólidos deformables a) Elasticidad b) Plasticidad 2. Mecánica de ‡uidos a) Fluidos compresibles b) Fluidos incompresibles 1

2

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y FUNDAMENTOS GENERALES

Las teorías que estudian el efecto de la naturaleza microscópica de la materia son la mecánica estadística, mecánica cuántica y la dinámica de estructuras cristalinas (lattices). Las teorías que se encuentran en el intermedio son la mecánica del continuo generalizado, teorías polares o teorías de medios orientados, las teorías del microcontinuo o del continuo local. Estas teorías se han aplicado a problemas de fractura, de dislocaciones, dispersión de ondas, materiales compuestos, cristales líquidos, teoría de capa de frontera, ondas de choque, fenómenos super…ciales como tensión super…cial y turbulencia.

1.1.1.

Medio continuo

Se entiende por Medio Continuo al conjunto de partículas que forman parte de un cuerpo, ya sea sólido o ‡uido, que se estudia desde un punto de vista macroscópico, es decir, sin considerar la naturaleza de la estructura del cuerpo a nivel microscópico (nivel atómico o molecular). En consecuencia, se modela el cuerpo sin discontinuidades entre las partículas, por lo tanto la descripción matemática de este medio y de sus propiedades se puede realizar mediante funciones continuas. Es una teoría de campo. Aunque la mecánica de medios continuos es un modelo que permite investigar las propiedades de sólidos deformables y ‡uidos con gran precisión, hay que recordar que a escalas muy pequeñas la materia está hecha de átomos. Y esa naturaleza atómica de la materia da lugar a cierto tipo de microestructura heterogénea que viola alguno de los principios de la mecánica de medios continuos. Sin embargo, pese a esta di…cultad, la mecánica de medios continuos es una aproximación válida en la mayoría de situaciones macroscópicas en las que la microestructura asociada a la naturaleza atómica de la materia puede ser ignorada (en los ‡uidos, el número de Knudsen se usa para determinar hasta qué punto la hipótesis de continuidad del medio es adecuada). En el modelo planteado por la mecánica de medios continuos, las magnitudes físicas como la energía o la cantidad de movimiento pueden ser manejadas en el límite in…nitesimal. Por esa razón, las relaciones básicas en mecánica de medios continuos toman la forma de ecuaciones diferenciales. Los tipos básicos de ecuaciones usadas en mecánica de medios continuos son: 1. Ecuaciones constitutivas (o teoría constitutiva) que caracterizan las propiedades del material que trata de modelarse como medio continuo. a) Coe…cientes materiales 2. Leyes de conservación que son leyes física fundamentales como: a) Conservación de masa b) Conservación de energía. c) Conservación de cantidad de movimiento lineal y angular d ) Principio de entropía

1.1. CONCEPTO DE MEDIO CONTINUO

3

3. Termodinámica. La característica esencial de la mecánica del medio continuo es la derivación de las ecuaciones constitutivas a partir de las leyes de la termodinámica en vez de los métodos tradicionales de la mecánica de ‡uidos y de la elasticidad. Puesto que las propiedades de los sólidos y ‡uidos no dependen del sistema de coordenadas elegido para su estudio, las ecuaciones de la mecánica de medios continuos tienen forma tensorial. Es decir, las magnitudes básicas que aparecen en la mecánica de medios continuos son tensores lo cual permite escribir las ecuaciones en una forma básica que no varia de un sistema de coordenadas a otro.

Diferencia entre sólidos, ‡uidos y gases. Fuerzas moleculares, empaquetamiento que contribuye a una forma de…nida. Estado desordenado Resistencia al corte. Grado de compresibilidad

Mecánica de medios continuos. Estudio uni…cado de los cuerpos deformables. Mecánica de sólidos deformables. La mecánica de sólidos deformables es la rama de la física que trata de medios continuos que tienen una forma de…nida no determinada enteramente por el recipiente o conjunto de constricciones sobre la super…cie del sólido. Elasticidad que describe los materiales que recuperan su forma si se retiran las fuerzas causantes de la deformación. Plasticidad que describe los materiales que sufren deformaciones permanentes y no recuperables después de la aplicación de fuerzas su…cientemente grandes. Mecánica de ‡uidos que trata de la física de ‡uidos. Una propiedad importante de los ‡uidos es su viscosidad, que es una fuerza interna generada por un ‡uido que se opone al movimiento del mismo. Reología Materiales con viscoelasticidad (combinación de propiedades elásticas y viscosas)

Partícula o punto material (o partícula continua) es una agregado de un gran número de átomos o moléculas, pero aún lo bastante pequeño como para ser considerado como una partícula, y sus propiedades son medidas como un promedio de sus componentes.

4

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y FUNDAMENTOS GENERALES

1.1.2.

Número de Knudsen

El número de Knudsen (Kn) es un número adimensional de…nido como el cociente entre la longitud del camino molecular libre promedio, , y una escala de longitud física representativa, L, que puede ser el tamaño del cuerpo o el tamaño del recipiente que lo contiene. Se de…ne como: Kn = : (1.1) L Para un gas ideal, el número de Knudsen está dado por Kn = p

kB T : 2 2P L

(1.2)

donde kB = 1;3806568 10 23 J K 1 es la constante de Boltzmann, T es la temperatura ( K), P es la presión absoluta o total ( Pa) y es el diámetro de la partícula ( m) : El número de Knudsen determina cuando la formulación de la dinámica de ‡uidos se debe de hacer en términos de la mecánica estadística o en términos de la mecánica del medio continuo.

Capítulo 2

Conceptos básicos de análisis vectorial y tensorial 2.1. 2.1.1.

Notación indicial, convención de la suma y matrices Espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores para los cuales dos operaciones matemáticas son introducidas por de…nición: 1. la suma de vectores y 2. el producto de vectores por un escalar. Los elementos que resultan de estas operaciones están gobernados por ciertas reglas precisas.

2.1.2.

Espacio Euclideano.

De…nition 1 Un espacio euclidiano es de…nido como un espacio n-vectorial, denotado por En , en el cual: El producto interno entre dos vectores está de…nido. La métrica, es decir, el cuadrado del elemento de línea del espacio, obtenido por el uso de la operación de producto interno entre vectores, es una forma cuadrática positivamente de…nida (es decir, la métrica siempre es real y positiva, y es cero solamente cuando el elemento de línea es cero). Es posible expresar la métrica como la suma de n cuadrados con coe…cientes constantes realizando una transformación de coordenadas apropiada. 5

6CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL Notación directa (vectorial). Forma invariante, independiente del sistema de coordenadas. Notación indicial Subíndices y superíndices asociados a una letra núcleo (kernel). Usada en la derivación detallada de los componentes en un sistema de coordenadas dado. Forma covariante: vk Forma contravariante: v k Las formas covariantes y contravariantes aparecen en sistemas de coordenadas curvilíneos. En el caso de sistemas cartesianos, no existe diferencia entre las dos formas. Convención de la suma Introducida por Albert Einstein en 1916. Si un índice aparece solamente una vez como un subíndice asociado a una letra núcleo en un término dado, y aparece de nuevo solamente una vez más, como el superíndice asociado a la misma letra núcleo o a una diferente en el mismo término, entonces se tiene una suma o sumatoria implícita sobre ese índice a lo largo de todo el intervalo de valores disponibles. El índice repetido es llamado índice de suma (summation index) o índice mudo (dummy index) Ejemplos: 1. 3 X

ak bk = ak bk = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

(2.1)

k=1

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = ak bk ;

para k = 1; 2; 3

(2.2)

2. Caso contrario 3 X

ak bk ck = a1 b1 c1 + a2 b2 c2 + a3 b3 c3

(2.3)

k=1

3. Sistema de ecuaciones simultáneas aij xj = bi ;

para i = 1 : m;

j=1:n

(2.4)

bi j xj = ci ;

para i = 1 : m;

j=1:n

(2.5)

En este ejemplo, el índice que no entra en la suma se llama índice libre. En notación directa, los sistemas anteriores se expresan como Ax = b

(2.6)

Bx = c

(2.7)

2.1. NOTACIÓN INDICIAL, CONVENCIÓN DE LA SUMA Y MATRICES7 por lo que el primer índice representa el renglón y el segundo la columna En general ai j 6= aj i :

4. Doble suma

i j

f = aij

(2.8) j i

= aji

:

(2.9)

5. Producto de matrices AB = C (aik ) b

k

j

= (cij )

(2.10)

para i = 1 : m;

j = 1 : n; k = 1 : p:

(2.11)

Delta de Kronecker De…nition 2 Las cantidades ij ;

ij

ij

ij , i

;

j

i

,

;

j

i

j,

j

i

con las propiedades

1 i=j 0 i= 6 j

=

(2.12)

son de…nidas como deltas de Kronecker. Ejemplos de uso i

aj T

m

ikl

i

l

j n

= ai k

=T

(2.13) inm

:

=1=I

j

(2.14) (2.15)

Caso especial. Cancelación de la suma. Se indica con un guión bajo en el índice repetido i (2.16) i =1 i

i

= n:

(2.17)

Transpuesta De…nida sobre matrices cuadradas La transpuesta de los elementos individuales de una matriz está dada por aTij = aji bij ci j

ci j

T

T

6=

T

(2.18)

= bji

(2.19)

= cj i 6= cj i

(2.20)

ci j

T

= cj i

(2.21)

8CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL Matrices simétricas y antisimétricas Cada una de las matrices siguientes de n n, (aij ), bij y ci j se dice que son simétricas si T (aij ) = (aij ) ; (2.22) bij = bij

T

ci j = ci j

;

T

(2.23) :

(2.24) kl

De forma similar, las matrices siguientes de n n, (dkl ), e que son antisimétricas si T (dkl ) = (dkl ) ; ekl =

ekl

fk l =

fk l

T

y f

;

T

k

l

se dice (2.25) (2.26)

:

(2.27)

En el caso de estas matrices,los elementos de la diagonal son nulos. Las matrices que no son simétricas ni antisimétricas se llaman asimétricas. Cualquier matriz cuadrada se puede representar por una matriz simétrica y otra antisimétrica 1 1 A + AT + A AT (2.28) A= 2 2 Notation 3 Para las derivadas parciales se utiliza v k ;l =

2.2.

@v k ; @xl

vk ;l =

@vk : @xl

(2.29)

Coordenadas curvilíneas

Un aspecto importante de los problemas en mecánica del medio continuo es la geometría de los objetos materiales involucrados así como la geometría de la región sobre la cual se extiende su respuesta a los estímulos externos y condiciones ambientales. Una solución matemática satisfactoria depende en gran medida de la correcta selección del sistema de coordenadas mejor apropiado a la geometría del problema. Sea E3 un espacio euclideano representado por un sistema cartesiano z k , y cada punto está de…nido por la intersección de tres planos mutuamente perpendiculares no coincidentes. Alternativamente, se puede pensar que cada punto es localizado por la intersección de tres super…cies curvilíneas únicas y no coincidentes (es decir, no degeneradas) en vez de los tres planos. Estas tres super…cies pueden ser especi…cadas por sus respectivas ecuaciones referidas al sistema de coordenadas rectangular. El sistema de coordenadas rectangulares z k depende de un conjunto de tres variables xk , en E3 de la forma z k = f k x1 ; x2 ; x3 = z k x1 ; x2 ; x3

para k = 1 : 3

(2.30)

2.2. COORDENADAS CURVILÍNEAS

9

donde las funciones f k 2 C r , con r 1 y están de…nidas en alguna región de E3 . El sistema de ecuaciones 2.30 se dice que de…ne una transformación de coordenadas. Las funciones de…nidas por este sistema deben ser uno a uno o biyectivas. Theorem 4 Teorema de la función implícita. Sea xk = xk x1 ; x2 ; x3

para k = 1 : 3

(2.31)

un conjunto de funciones de clase C r , con r 1, de…nidas a lo largo de la vecindad N = xk xk0 < ( 2 < y > 0), centrado en algún punto xk0 , en el espacio de las variables xk , y es un número real, positivo y arbitrario. Entonces, el conjunto de funciones xk en 2.31 poseerá una inversa única dada por el conjunto de funciones xk = xk x1 ; x2 ; x3

para k = 1 : 3

(2.32)

en una vecindad correspondiente M = xk xk0 < " (" > 0), centrado en el punto xk0 en el espacio de las variables xk , si y solo si el jacobiano de 2.31, de…nido por 0 1 1 1 1 J = det

@ xk @xl

también denotado por

B = det @

J=

@x @x22 @x @x23 @x @x2

@x @xl @ x2 @x13 @x @x1

@x @x3 @ x2 @x3 @ x3 @x3

@ x1 ; x2 ; x3 @ (x1 ; x2 ; x3 )

C A;

(2.33)

(2.34)

no se anula en ninguna parte en el conjunto abierto N . Entonces, de acuerdo al teorema de la función implícita, las transformaciones xk k

x

= xk x1 ; x2 ; x3 k

= x

1

2

(2.35)

3

x ;x ;x

(2.36)

son mutuamente inversas en todos los puntos de sus dominios de de…nición si y solo si el jacobiano J no se anula en todos esos puntos. Regresando a la transformación de coordenadas 2.30, se tiene que por medio del teorema de la función implícita zk k

x

= z k x1 ; x2 ; x3 k

= x

1

2

z ;z ;z

(2.37)

3

(2.38)

son las inversas mutuas únicas de cada uno de ellas en cada punto de sus dominios de de…nición si y sólo si el jacobiano J=

@ z1; z2; z3 = det @ (x1 ; x2 ; x3 )

@z k @xl

6= 0:

(2.39)

10CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL k

Si ahora le asignamos algún valor real arbitrario xk z 1 ; z 2 ; z 3 =

k

a xk , entonces se tiene

;

(2.40)

que representa un conjunto de tres super…cies curvilíneas, en general. La condición J 6= 0 garantiza que las super…cies curvilíneas no son degeneradas (no coincidentes). Las tres super…cies xk = constante son de…nidas como super…cies coordenadas curvilíneas. Los valores k se de…nen como coordenadas curvilíneas del punto p. Cuando se toman dos super…cies coordenadas a la vez, la intersección de ellas forma una curva que se denomina curva coordenada. Entonces existen tres curvas, la curva x1 a lo largo de la cual sólo x1 varía, mientras x2 y x3 permanecen constantes, y así con las demás. Sistema local de coordenadas. Cuando el signo del jacobiano es positivo indica que se trata de sistemas de giro derecho, y cuando el signo es negativo quiere decir que los sistemas son de giro contrario. Cuando J > 0 se dice que son positivamente orientados, y cuando J < 0, son negativamente orientados.

2.2.1.

Ejemplos de sistemas de coordenadas curvilíneos

Coordenadas polares cilíndricas Coordenadas esféricas

2.2.2.

Vectores base de un sistema de coordenadas curvilíneo en E 3

Sean x1 , x2 y x3 las coordenadas curvilíneas de un punto p en un espacio euclideano tridimensional E 3 , cuyas coordenadas cartesianas son z 1 , z 2 y z 3 . Sean i1 , i2 y i3 un conjunto de vectores base ortonormales del sistema cartesiano z k . El vector de posición del punto p es denotado por p referido al sistema de coordenadas cartesiano. Entonces podemos expresar p = p (z) = im z m ;

(2.41)

donde z es la notación directa para el punto z 1 ; z 2 ; z 3 : Puesto que se tiene un mapeo uno a uno, z k = z k x1 ; x2 ; x3 ;

xk = xk z 1 ; z 2 ; z 3 ;

J = det

@z k @xl

> 0:

(2.42)

El vector de posición p no solo es una función de z sino que también es una función de x a través de las relaciones 2.42. Entonces p (z) = p ^ (x)

p (x) :

(2.43)


11

Los vectores base del sistema cartesiano se obtienen de las derivadas parciales del vector de posición p (z). Entonces, para la base ortonormal im im = im (z) =

@p (z) : @z m

(2.44)

De forma similar

@p (x) : (2.45) @xk Para entender el signi…cado geométrico de los vectores gk , consideremos el diferencial dp del vector p, dado en términos de las coordenadas curvilíneas por gk (x) =

dp =

@p k dx = gk dxk : @xk

(2.46)

La ecuación anterior puede ser interpretada como la resolución del vector dp en sus componentes vectoriales a lo largo de las curvas coordenadas xk en el punto p. Puesto que las curvas coordenadas intersectan en el punto p y no son coincidentes o paralelas entre ellas, no degeneran en una línea sola o en un punto. Sus vectores tangentes en p, por lo tanto, forman un conjunto de tres vectores linealmente independientes, llamados g1 , g2 y g3 . Esta propiedad de las curvas coordenadas es garantizadas por la no nulidad del jacobiano de las transformación de coordenadas. Del álgebra lineal, estos tres vectores linealmente independientes constituyen una base vectorial en E 3 . Tomando la diferencial de 2.41 con respecto a xk , se obtiene @p (x) @z m = gk (x) = im (z) ; k @x @xk

(2.47)

que expresa a gk en términos de im : Las derivadas parciales @z m =@xk representan los componentes cartesianos de gk con respecto a la base ortonormal im . Alternativamente @xk im (z) = gk (x) m : (2.48) @z

2.2.3.

Métrica fundamental de un espacio euclideano

Consideremos una curva C en el espacio E 3 dada por la ecuación paramétrica C:

p (t) = p; t 2 [a; b] ; a; b 2 <; b > a

(2.49) (2.50)

donde t es un parámetro en el intervalo cerrado. Sean P y Q dos puntos consecutivos sobre la curva C con vectores de posición p y p + dp, respectivamente. ! Entonces P Q = dp, y sea ds la longitud de arco de P Q a lo largo de C. Cuando el punto P se acerca al punto Q a lo largo de la curva C, la diferencia entre la

12CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL longitud de dp y la longitud de arco ds se acerca a cero en el límite. Por lo tanto, el elemento de línea ds puede ser tomado como igual a la longitud del vector in…nitesimal dp, y es dada por ds2 = dp dp = gk gl dxk dxl

(2.51)

gkl (x) = gk gl = glk (x) :

(2.52)

y La expresión para el cuadrado del elemento de línea se conoce como la métrica del espacio. Las funciones gkl (x) se dice que son los coe…cientes métricos fundamentales del espacio. (gkl (x)) forma el tensor métrico fundamental. Coordenadas curvilíneas ortogonales De…nition 5 Un sistema coordenado en E 3 se dice que es un sistema ortogonal si gkl gkk

= gk gl = 0; para k 6= l 6 = 0; para k = 1 : n:

(2.53) (2.54)

Método de expansión de un determinante de Laplace Un determinante puede ser expresado en la forma det (aij )

a22 a32

= a11

a23 a33

a12

a21 a31

a23 a33

+ a13

a21 a31

= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ;

a22 a32 (2.55)

donde Aij es el cofactor del elemento aij ; de…nido por i+j

Aij = ( 1)

Determinante obtenido de borrar el renglón i y la columna j.

(2.56)

Entonces se puede extender el cálculo del determinante a los demás renglones como det (aij ) = a1m A1m = a2m A2m = a3m A3m ; det (aij ) = akm Akm :

(2.57) (2.58)

Además se tiene lo siguiente akm Alm akm Alm

= =

0; l

k

para k 6= l; det (aij ) :

(2.59) (2.60)

Tomando la transpuesta de Alm T

Alm = Aml ;

(2.61)


13

se llega a la representación en forma de multiplicación de matrices akm Aml

T

l

=

det (aij ) :

k

(2.62)

Y para los componentes contravariantes se tiene k

akl Alm T =

det aij :

m

(2.63)

Aplicando el método de Laplace para calcular el determinante del tensor métrico fundamental det (gkl ) ; se tiene gkm Gml

T

=

l

det (gij )

k

(2.64)

Reescribiendo la ecuación anterior como gkl g lm =

l

k

;

(2.65)

donde T

g lm

=

g

=

Gml ; g det (gij ) 6= 0:

(2.66) (2.67)

Y de la simetría de los índices para gkl , g lm = g ml :

(2.68)

kl

El conjunto de funciones g (x) se de…ne como el recíproco del conjunto fgkl (x)g y g kl (x) se le llama tensor métrico recíproco o tensor métrico conjugado, el cual es el inverso del tensor métrico fundamental. Conjunto de vectores recíprocos De…nition 6 Un conjunto de vectores gk , k = 1 : 3 en E 3 , se dice que es el recíproco del conjunto gk , k = 1 : 3, si gk gl = gl gk =

k

l

;

para k; m = 1 : 3:

(2.69)

k

Theorem 7 El conjunto de vectores g (x), recíprocos del conjunto gk (x) en E 3 , es la solución de 2.69 dada por gk = g kl gl :

(2.70)

Se tienen los siguientes resultados gk gm gk gl gkl g lm g k gl gk gk g k gk gk gl

= = = = = = = =

g kl gl gm = g kl gkl = glk ; m k; k l; gkl gl ; g kl gl ; 1; g kl = g lk :

m

l

= g km ;

(2.71) (2.72) (2.73) (2.74) (2.75) (2.76) (2.77) (2.78)

14CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL Para sistemas ortogonales se tiene que gkl = 0 para k 6= l; y haciendo m = k en la ecuación gkl g lm = m k y suspendiendo la suma con respecto a k, se tiene que (2.79) gkl g lk = k k = 1; y los únicos términos que no son nulos ocurren cuando k = l; por lo que g

kk

=

1 ; para k = 1:3: gkk

(2.80)

Extendiendo el resultado g kl = 0; para k 6= l

(2.81)

Signi…cado físico del conjunto de vectores recíprocos De la ecuación gkl g lm = m k ; se deduce que cada vector del conjunto recíproco gi (x) es ortogonal a dos vectores del conjunto fgk (x)g mientras que su proyección con el tercero es unitaria. g1 g2 g3

= = =

g3 ; g1 ; g2 :

g2 g3 g1

(2.82) (2.83) (2.84)

El volumen del paralelepípedo formado por el conjunto de vectores base es g1 ( g2

g3 ) = g2 ( g3

g1 ) = g3 ( g1

g2 ) =

p

g:

(2.85)

Y como g 1 g1

=

1=

(g2 1 =p ; g

) y de igual forma para

p = 1= g y

g3 ) g1 =

p

g;

(2.86) (2.87)

p = 1= g, por lo que

g1

=

g2

=

g3

=

g2 g3 ; p g g3 g1 ; p g g1 g2 : p g

(2.88) (2.89) (2.90)

Y además g1

g2

g3 = g2

g3

g1 = g3

g1

1 g2 = p : g

(2.91)


15

Al conjunto gk usualmente se le llama vectores base naturales, para distinguirlos de los vectores base recíprocos gk : En un sistema ortogonal se tiene que gk g

k

= gkk gk ;

(2.92)

kk

= g gk :

(2.93)

Magnitud de los vectores base De…nition 8 La magnitud de un vector v se denota por kvk y es de…nida como p kvk = v v: (2.94) Las magnitudes de los vectores base están dadas por p p kgk k = gk gk = gkk ; p p gk = gk gk = g kk :

(2.95) (2.96)

Vectores base unitarios de un sistema de coordenadas curvilíneos Los vectores base unitarios de un sistema de coordenadas curvilíneo y de sus respectivos vectores base unitarios recíprocos, están dados por ek

=

ek

=

Si el sistema es ortogonal se tiene que ek ek

gk ; p gkk

(2.97)

gk p : g kk

(2.98)

p = g kk gk ; p gkk gk : =

(2.99) (2.100)

Vectores referidos a un sistema de coordenadas curvilíneo Un vector en E 3 se puede representar como v = ik v

k

= gk v k = gk vk ;

para k = 1 : 3

(2.101)

en donde v k se re…ere a los componentes cartesianos de v. Los componentes de v referidos a la base natural gk son denotados por v k y son llamados componentes contravariantes de v, mientras que los componentes de v referidos a la base recíproca gk son llamados componentes covariantes de v. Los componentes covariantes y contravariantes de un vector se pueden obtener tomando el producto interno del vector con el vector base apropiado. Entonces, para la parte covariante v gl = vk gk gl = vk

k

l

= vl ;

(2.102)

16CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL y para la contravariante l

v g l = v k gk g l = v k

k

= vl :

(2.103)

Theorem 9 (El teorema de recuperación) Un campo vectorial v (x) puede ser recuperado del producto interno de las expresiones v gl y v gl por medio de las siguientes operaciones gl (v gl ) = v = gl v gl :

(2.104)

Elevado y bajado de índices en vectores Aquí se muestran las relaciones que existen entre los componentes covariantes y contravariantes de un vector, por medio de los coe…cientes métricos fundamentales. Theorem 10 Los componentes covariantes y contravariantes de un vector v están relacionadas por vl vl

= vk g kl ; = v k gkl :

(2.105) (2.106)

Operaciones Suma de vectores u + v = (uk + vk ) gk = uk + v k gk :

(2.107)

Multiplicación por un escalar u=

uk g k =

uk gk :

(2.108)

Producto interno, punto o escalar u v = uk gk vl gl = (uk vl ) g kl = uk v k

(2.109)

u v = uk gk v l gl = uk v l gkl = uk vk = uk v k :

(2.110)

Producto cruz o vectorial

u

v

=

i1 u1 v1

=

(u2 v3

i2 u2 v2

i3 u3 v3

u3 v2 ) i1 + (u3 v1

u1 v3 ) i2 + (u1 v2

u2 v1 ) i3(2.111) :

2.3. EL CONCEPTO DE TENSOR

2.3.

17

El concepto de tensor

La invarianza de “objetos” matemáticos tales como puntos, curvas y super…cies es una aspecto ampliamente estudiado en geometría. En un cambio del marco de referencia o una transformación de coordenadas, sólo cambian las coordenadas de un punto en el espacio, pero el cambio no le hace nada al punto en sí. Similarmente, las ecuaciones de una curva o una super…cie pueden cambiar bajo una transformación de coordenadas, pero la curva o la super…cie en sí misma es un concepto geométricamente invariante. En 1901, la teoría de los tensores fue desarrollada por G. Ricci y T. LeviCivita con el objetivo de mantener la invarianza de los objetos geométricos bajo un grupo de transformaciones de coordenadas. La invarianza matemática de los tensores se utiliza para propósitos de mantener la invarianza de los principios físicos, ya que la descripción de los fenómenos naturales la formulación de los principios físicos gobernantes deben ser independientes del sistema de coordenados utilizado. Los tensores: 1. Preservan la invarianza de las formulaciones matemáticas de las leyes físicas bajo cambios del marco de referencia. 2. Resaltan las características comunes de varios fenómenos físicos aparentemente diferentes en una amplia variedad de medios. 3. Permiten la posibilidad de desarrollar expresiones analíticas para cantidades físicas tales como los esfuerzos, deformación, y el ‡ujo de energía momentum electromagnético para los cuales los vectores son inapropiados. 4. Condensan expresiones matemáticas complicadas en formas fácilmente identi…cables y elegantes en el análisis de fenómenos físicos. Ejemplos familiares de tensores El tensor de esfuerzo Los tensores de deformación y rotación El tensor de rapidez de deformación y el tensor de vorticidad

2.3.1.

Tensores de segundo orden absolutos

Los tensores son de dos tipos: absolutos o relativos. De…nition 11 (1) Un tensor de segundo orden absoluto T es de…nido como una transformación lineal u operador lineal tal que si u es un elemento arbitrario

18CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL de un espacio vectorial V , el papel del operador T es mapear u a otro vector v que también pertenece a V: Este mapeo es expresado como T : u ! v;

u; v 2 V;

(2.112)

o equivalentemente T [u] = T u = v;

u; v 2 V;

(2.113)

donde el punto entre T y u denota el producto interno. Además, se introducen dos operaciones, la multiplicación por un escalar y la suma de vectores, T [ u] T [ u + v]

= T [u] ; = T [ u] + T [ v] = T [u] + T [v] :

(2.114) (2.115)

El principio de superposición que presentan los tensores es llamada la propiedad de linealidad u homogeneidad de T. Se tienen las siguientes reglas (T + S) [v] 0 [v] I [v] TS [v] TS (R) T (S + R) (S + R) T (TS)

= = = = = = =

T [v] + S [v] ; (2.116) 0 operador nulo, (2.117) v; I = Operador identidad, (2.118) T (S [v]) ; Ley asociativa, (2.119) T (SR) ; Ley asociativa para multiplicación, (2.120) TS + TR; Ley distributiva, (2.121) ST + RT; Ley distributiva, (2.122) Ley asociativa para multiplicación = ( T) S = T ( S) ; (2.123) por un escalar,

IT = TI = T; TS 6= ST; en general.

T = T kl gk gl = T k l gk gl = Tk l gk gl = Tkl gk gl

(2.124) (2.125)

(2.126)

Operaciones algebraícas con tensores Suma de tensores La suma de tensores sólo está de…nida para tensores con el mismo orden y el mismo tipo (mismos índices covariantes y contravariantes). Multiplicación de tensores

2.3. EL CONCEPTO DE TENSOR

19

Producto tensorial de vectores De…nition 12 Si a y b son un par de vectores no nulos, su producto tensorial (también llamado producto libre o producto externo) es denotado por b = ab

a

(2.127)

y es de…nido como el operador lineal que tiene la propiedad (a v (a

b) [v] = ab [v] = ab v = a (b v) b) [v] = v ab = (v a) b:

(2.128) (2.129)

Generalizando para tres vectores se tiene a

b

c = abc;

(2.130)

donde abc [v] = abc v v abc = (v a) bc:

(2.131) (2.132)

El producto tensorial de dos vectores en un tensor de segundo orden ab = T;

(2.133)

ab 6= ba

(2.134)

y es un producto no conmutativo

Al producto tensorial de vectores también se le conoce como producto diádico o simplemente diada. Producto tensorial de tensores El producto tensorial o externo de tensores de orden superior se de…ne como (T v (T

S) [v] = TS [v] = TS v = T (S v) S) [v] = v TS = (v T) S:

(2.135) (2.136)

El orden resultante del tensor obtenido del producto tensorial de dos tensores es igual a la suma de los ordenes de los tensores que forman el producto tensorial. Por ejemplo, el producto externo de un tensor de segundo orden T con un tensor de tercer orden R da como resultado un tensor de quinto orden T

R = T ij gi gj Rklm gk gl gm = T ij Rklm gi gj gk gl gm

(2.137)

20CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL Producto interno de dos tensores T S = TS = T ij gi gj S klm gk gl gm = T ij S klm gi (gj gk ) gl gm = T ij S klm gjk gi gl gm = T ij Sj lm gi gl gm = T i k S klm gi gl gm :

(2.138)

El producto interno también es conocido como producto externo contraído y el orden resultante es igual al total del orden reducido por dos. El producto interno de dos tensores no es conmutativo T S 6= S T:

(2.139)

a T b = b TT a:

(2.140)

Transpuesta de tensores

Magnitud de un tensor de segundo orden r kTk =

Tr TTT

Tr T = T i i

(2.141) (2.142)

Los tensores de permutación y de Levi-Civita En un espacio Euclideano tridimensional, E 3 , los símbolos de permutación de orden tres, denotados por eijk o eijk , para k = 1 : 3 son de…nidos por eijk ;

eijk = +1; 1; 0

(2.143)

de acuerdo al número de permutaciones requeridos para reestablecer el orden de los índices i, j, k, al orden natural 1; 2; 3, es par o non o se repite algún índice. El tensor de Levi-Civita, "ijk y "ijk es p "ijk (x) = g (x)eijk ; 1 "ijk (x) = p eijk : g (x)

(2.144) (2.145)

Producto vectorial en E 3

c=a

b = "ijk aj bk gi = ci gi

= "ijk aj bk gi

c=a

(2.146)

b = aj gj

= aj bk gj

gk

bk g k (2.147)

2.3. EL CONCEPTO DE TENSOR gj gj

gj

gm = gj

gk gk

21 = "ijk gi = "ijk gi

(2.148) (2.149)

gk gkm = "ijk gkm gi = "ij m gi

(2.150)

Por ejemplo, el producto vectorial de un tensor de segundo orden T con un tensor de tercer orden R

T

R

= T ij gi gj ij

= "njk T R

Rklm gk gl gm = T ij Rklm gi (gj klm

n

gi g gl gm = T

ij

Rj

lm

gi gl gm

gk ) gl gm (2.151)

Componentes físicos de vectores y tensores Los tensores son empleados en la formulación de las leyes físicas para preservar la invarianza de éstas bajo transformaciones del observador. Las formulaciones tensoriales generalmente están expresadas en términos de componentes tensoriales referidos a un sistema coordenado curvilíneo general. Pero los componentes de un tensor en sistemas curvilíneos no tienen la mismas dimensiones o unidades físicas del tensor mismo. p p dim (gk ) = dim ek gkk = dim gkk

(2.152)

De…nition 13 Los componentes físicos de un vector (tensor) con respecto a una determinado sistema de coordenadas curvilíneo local están de…nidos como los componentes del vector (tensor) relativos a los vectores unitarios localmente tangentes a las curvas coordenadas. En E 3 , sea gk ek = p gkk

(2.153)

para k = 1 : 3, el vector unitario a lo largo de las xk –curvas coordenadas. Los componentes del vector v con respecto a ek , k = 1 : 3, como vectores base son los componentes físicos de v en el sistema de coordenadas curvilíneo. Entonces se tiene p (2.154) v = v (k) ek = v k gk = v k ek gkk : Por lo que v (k) vk

p = v k gkk ;

(2.155)

(k)

=

v p

gkk

:

(2.156)

22CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL De la misma forma, para la base recíproca ek v(k) vk

gk p ; g kk p = vk g kk ; v(k) : = p g kk =

(2.157) (2.158) (2.159)

Los componentes de un tensor de segundo orden p p T = T kl gk gl = T = T kl ek el gkk gll = T (k)(l) ek el ;

(2.160)

entonces T (k)(l) T kl

p p = T kl gkk gll ;

(2.161)

(k)(l)

=

T p p : gkk gll

(2.162)

Cuando se tiene un tensor de segundo orden en términos de sus componentes físicos, se pude representar como una matriz.

2.4. 2.4.1.

Cálculo tensorial Derivadas parciales de los vectores base: Los símbolos de Christo¤el

Sean z k un sistema coordenado cartesiano y xk un sistema coordenado curvilíneo en E 3 , con la propiedad de que sean mutuamente inversos el uno del otro, de tal forma que para k; l = 1 : 3, z k = z k x1 ; x2 ; x3 ;

xk = xk z 1 ; z 2 ; z 3 ;

det

@z k @xl

> 0:

(2.163)

Entonces sus respectivos vectores base están relacionados uno al otro por gk (x) = in

@z n ; @xk

in = gk (x)

@xk : @z n

(2.164)

Tomando la derivada parcial de gk (x) con respecto a la coordenada espacial xl , se obtiene @gk @ @z n @2zn = in k = in l k : (2.165) l l @x @x @x @x @x Sustituyendo in @gk @xm @ 2 z n = gm ; @xl @z n @xl @xk

(2.166)

2.4. CÁLCULO TENSORIAL

23 @gk = @xl

m gm ; kl

(2.167)

donde

m @xm @ 2 z n ; para k; l; m = 1 : 3 (2.168) = @z n @xl @xk kl son de…nidos como los símbolos de Christo¤ el de segundo grado relativos al sistema coordenado curvilíneo xk . Los símbolos de Christo¤el son simétricos con respecto a k y l, m kl

=

m ; lk

(2.169)

por lo que para E 3 se tienen 18 combinaciones de los índices diferentes. Para la derivada parcial de los vectores base recíprocos, se tiene @gk = @xl

k gm : lm

(2.170)

Los símbolos de Christo¤ el esencialmente representan las derivadas parciales de los vectores base de un sistema coordenado curvilíneo con respecto a las variables coordenadas.

2.4.2.

Derivada parcial covariante de un campo tensorial

Sea u (x) una función vectorial de x continuamente diferenciable de…nida en algún dominio, su derivada parcial es @u @xk

= = =

@ @um @gm (um gm ) = gm + um k k @x @xk @x n n @u n @um gm + u m gn = gn + um gn @xk mk @xk mk n @un gn : + um mk @xk

(2.171)

La expresión dentro de los brackets es denotada por un ;k = un ;k + um

n ; mk

(2.172)

y es de…nida como la derivada parcial covariante del vector contravariante un con respecto a la coordenada espacial xk . La derivada parcial covariante de un vector covariante es @u @xk

= = =

@ @um m @gm m (u g ) = g + u m m @xk @xk @xk @um m m @un n m g um gn = g um gn @xk kn @xk kn @un m um gn : @xk kn

(2.173)

24CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL La expresión dentro de los brackets es denotada por un;k = un;k

m ; kn

um

(2.174)

y es de…nida como la derivada parcial covariante del vector contravariante un con respecto a la coordenada espacial xk . Entonces, tenemos que @u = un ;k gn = un;k gn : @xk

(2.175)

uk;m = uk ;l g lm ;

(2.176)

De…nition 14 Sean uk;

m

= uk;l g

lm

;

(2.177)

k;m

donde u es de…nida como la derivada parcial contravariante del vector covariante uk con respecto a la coordenada espacial xm y uk; m es de…nida como la derivada parcial contravariante del vector contravariante uk con respecto a la coordenada espacial xm : Derivada parcial covariante de un campo tensorial Sea T (x) un campo tensorial de segundo orden T = T ij gi gj ;

(2.178)

entonces @T @xk

@T ij @gi @gj gi gj + T ij k gj + T ij gi k k @x @x @x m ij ij m gm gj + T ij gi gm T ;k gi gj + T jk ik i j gi gj + T im gi gj T ij ;k gi gj + T mj mk mk i j T ij ;k + T mj + T im gi gj mk mk

= = = =

T ij ;k gi gj ;

=

(2.179)

donde T ij ;k = T ij ;k + T mj

i mk

+ T im

j : mk

(2.180)

m : jk

(2.181)

De forma similar, T i j;k = T i j;k + T m j Tij;k = Tij;k

Tmj

i km m ik

Tim Tim

m : jk

(2.182)


25

Derivadas covariantes del tensor métrico fundamental Theorem 15 Teorema de Ricci. Las derivadas covariantes del tensor métrico fundamental y del tensor métrico fundamental recíproco son cero gkl;m = 0 = g kl ;m k kl

=

@ p (ln ( g)) ; @xl

(2.183) (2.184)

donde g = det (gkl ) : Derivadas covariantes del tensor de Levi–Civita Las derivadas covariantes del tensor de Levi–Civita son cero "klm;n = 0 = "klm ;n

2.4.3.

(2.185)

El operador gradiente

En coordenadas cartesianas, el operador gradiente está expresado como @ ; @z m

(2.186)

@ @xk @ @ = im m k = g k k ; m @z @z @x @x

(2.187)

@ : @xk

(2.188)

r = im utilizando la regla de la cadena, r = im entonces r = gk Gradiente de una función escalar

Sea (x) una función de un campo escalar diferenciable continuamente de…nido sobre un dominio en E 3 . Entonces @ r = gk k = gk ;k : (2.189) @x r da la suma vectorial de la rapidez de cambio espacial de relativa a las direcciones de los vectores base recíprocos gk de un sistema de coordenadas curvilíneo xk : La magnitud de r da la máxima rapidez de cambio espacial de la función y su máximo cambio ocurre en la dirección normal a la super…cie = constante. Se puede expresar X p (2.190) r = gk ;k = g kl ;k gl = g kl gll ;k el l

26CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL Gradiente de una función vectorial Sea u (x) un campo vectorial diferenciable continuamente en E 3 . Entonces ru (x) = gk

@u = um;k gk gm = (ru)km gk gm : @xk

(2.191)

La transpuesta es T

(ru) = (ru)mk gk gm = uk;m gk gm :

(2.192)

Gradiente de un tensor de segundo orden Sea T (x) un campo tensorial de segundo orden diferenciable continuamente en E 3 . Entonces @T (2.193) rT (x) = gk k = T ij ;k gk gi gj @x por lo que ij (rT)k = T ij ;k : (2.194)

2.4.4.

El operador divergencia

Sea u (x) un campo vectorial diferenciable continuamente en E 3 . Entonces T r (ru) = r u = gk

@u : @xk

(2.195)

De…nition 16 La divergencia de un campo vectorial u (x) diferenciable continuamente en E 3 es de…nida como r u = T r (ru) :

r u = gk

(2.196)

@u = gk um;k gm = um;k g km = um; m = uk ;k : @xk

r u = =

uk ;k =

(2.197)

@uk k + um @xk mk

@uk @ 1 @ p k p + um k (ln ( g)) = p gu : k @x @x g @xk

(2.198)

En términos de los componentes físicos de u, se tiene r u= u

k

;k

3 X 1 @ = p g @xk k=1

p u(k) gp gkk

!

:

(2.199)


27

Divergencia de un tensor de segundo orden Sea T (x) un campo tensorial de segundo orden diferenciable continuamente en E 3 . Entonces r T (x) = T r (rT) (2.200) por lo que r T = gk

@T = gk T lm ;k gl gm = T lm ;k @xk

k

l

gm = T km ;k gm :

(2.201)

Teorema de la Divergencia de Green-Gauss El Teorema de la Divergencia de Green-Gauss gobierna la divergencia de un campo vectorial en un punto dado dentro de una región cerrada ocupada por un cuerpo. Sea V el volumen de un cuerpo, con sus elementos de volumen dv y S denota la super…cie de frontera con elementos da: La región ocupada por el cuerpo es una región simplemente conectada, esto es, una región tal que cada curva cerrada que se encuentre completamente dentro de la región pueda ser encogida continuamente a un punto sin que ninguna parte de la curva pase por afuera de la región. La super…cie de frontera del cuerpo, S, es una super…cie orientada, esto es, que la super…cie para la cual los lados positivos y negativos pueden ser especi…cados en cada uno de sus puntos por las direcciones de un vector unitario continuamente variante en esos puntos. Por ejemplo, para especi…car el lado positivo de una super…cie, uno puede escoger el vector unitario normal exterior n que apunta hacia afuera del cuerpo, y el lado opuesto será la parte negativa de la super…cie. Sea f (x) un campo vectorial continuamente diferenciable en todo el interior del volumen V así como sobre la super…cie S: También da = n da

(2.202)

donde da es el vector elemento de área con su vector unitario normal n y da denota la magnitud de da. El teorema de la divergencia de Green-Gauss establece que para el campo vectorial f de…nido sobre el volumen V es: Z I r f dv = n f da; (2.203) V

S

donde la integral de super…cie sobre la super…cie cerrada S se denomina como el ‡ujo (por unidad de tiempo por unidad de área de la super…cie) total del campo f a través de S. El teorema de la divergencia proporciona una relación entre una integral de volumen y una integral de super…cie. En notación por componentes, Z I k f ;k dv = f k nk da: (2.204) V

S

28CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL La generalización del teorema de la divergencia para campos vectoriales y tensoriales Z I t k ;k dv = t k nk da; (2.205) V

Z

S

r T dv

I

=

V

n T da:

(2.206)

S

Signi…cado físico de la divergencia de un campo vectorial El valor de r f , donde f está de…nido como se señala en el teorema de la divergencia de Green-Gauss, en cualquier punto P dentro del cuerpo, puede ser obtenida rodeando el punto P con un elemento de volumen arbitrario v, teniendo a S como su super…cie de frontera. Aplicando el teorema de la divergencia en ese elemento de volumen in…nitesimal, , el teorema toma la forma 1 r f= v

I

n f da

(2.207)

S

que da el ‡ujo total del campo f por unidad de volumen. Entonces r f en el punto P puede ser obtenido de la ecuación anterior haciendo que v tienda a cero (asumiendo que el límite existe). Entonces 0 1 I 1 (r f )jP = l m @ n f daA : (2.208) v!0 v S

Esto es, la r f en P es el ‡ujo de f a través de la super…cie de frontera de un elemento de volumen arbitrario. En particular, si f = v, la velocidad en un punto de un ‡uido contenido en una región de un volumen V delimitado por una super…cie cerrada S, se obtiene 0 1 I 1 (r v)jP = l m @ n v daA : (2.209) v!0 v S

Esto es, la divergencia de la velocidad en cualquier punto en la región del ‡uido es el ‡ujo del campo de velocidad a través de la super…cie delimitante de un elemento de volumen in…nitesimal arbitrario que está dentro del volumen y que encierra a ese punto, calculado por la unidad de volumen de ese elemento. Por esta razón, r v es referido como la rapidez de dilatación del ‡uido. El teorema de la divergencia es una declaración matemática del hecho físico de que, en la ausencia de creación o destrucción de materia, la densidad dentro de una región del espacio puede cambiar solo teniendo ‡ujo hacia adentro o afuera de la región a través de su frontera.


2.4.5.

29

El operador rotacional

De…nition 17 Para un campo vectorial u (x) diferenciable continuamente, de…nido en E 3 el operador rotacional o simplemente rotacional se denota por u = curl u:

r

(2.210)

El rotacional de un campo vectorial es @u = gk ui;k gi @xk = ui;k gk gi = "mki ui;k gm ;

u = gk

r

(2.211)

en donde utilizamos las expresiones desarrolladas previamente gl

gm = "klm gk ;

(2.212)

gl

gm = "klm gk :

(2.213)

y El rotacional también lo podemos escribir de la siguiente forma u = "lmk um;l gk = "klm um;l gk ;

r

(2.214)

en donde sólo se tienen permutaciones pares en el tensor de Levi–Civita. En forma de determinante r

1 u = "kij uj;i gk = p ekij uj;i gk g 1 = p gk ek12 u2;1 + ek21 u1;2 + ek23 u3;2 + ek32 u2:3 g + ek31 u1;3 + ek13 u3;1 1 = p [g1 (u3;2 g

u2:3 ) + g2 (u1;3

u3;1 )

+ g3 (u2;1

u1;2 )] : (2.215)

Y como ui;j

uj;i =

ui;j

um

m ij

uj;i

um

m ji

= ui;j

uj;i

(2.216)

entonces podemos reescribir el rotacional como un determinate

r

1 u= p g

g1

g2

g3

@ @x1 v1

@ @x2 v2

@ @x3 v3

(2.217)

30CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL que queda en términos de los componentes covariantes vi . Para los componentes contravariantes se tiene 1 u= p g

r

g1

g2

g3

@ @x1 k v gk1

@ @x2 k v gk2

@ @x3 k v gk3

:

(2.218)

Y en términos de los componentes físicos se tiene

r

p e1 g11

1 u= p g

P k

p e2 g22

@ @x1 gk1 (k) p gkk v

En el caso de sistemas ortogonales r

1 u= p g

P k

p e3 g33


p e1 g11

p e2 g22

@ @x1

@ @x2

p

g11 v

(1)

p

g22 v

P k

(2)


:

(2.219)

p e3 g33 p

@ @x3

:

(2.220)

g33 v (3)

Rotacional de un tensor de segundo orden Sea T (x) un campo tensorial de segundo orden diferenciable continuamente en E 3 . Entonces r

@T = Tlm;k gk @xk = "kl n Tlm;k gn gm :

T = gk

gl gm (2.221)

Teorema de Stokes El teorema de Stokes proporciona una relación entre una integral de super…cie y una integral de línea. Consideremos un campo vectorial f (x) continuamente diferenciable de…nido sobre una super…cie abierta S, en E 3 , cuyo elemento de área es dado por da = n da. Sea P cualquier punto sobre el área da y n es el vector unitario normal exterior a da en P . Sea C una curva cerrada que forma una frontera sobre la super…cie S: El vector unitario normal, en cualquier punto de la super…cie S, es tomado de tal forma que apunta hacia afuera de la super…cie y forma un sistema de mano derecha con respecto al sentido de la descripción de la curva cerrada C, la cual es considerada positiva cuando es descrita en sentido contrario a las manecillas del reloj. En todo caso, la curva cerrada C es referida como una curva orientada y la super…cie S es una super…cie orientada. Además, se asume que S no está en contacto ni es atravesada por ninguna curva de discontinuidad estacionaria o en movimiento. Entonces, se tiene que el teorema de Stokes establece que Z S

n r

f dp =

I

C

f dp

(2.222)


31

donde dp representa el vector tangente in…nitesimal en un punto P de la curva cerrada C. En notación por componentes, se tiene la forma Z

"klm fm;l nk da =

S

I

fk dxk :

(2.223)

C

Signi…cado físico del rotacional de un campo vectorial En el teorema de Stokes, el lado derecho es una integral de línea sobre la curva cerrada C descrita en sentido contrario a las manecillas del reloj. Esta integral de línea puede ser interpretada como la cantidad neta de efecto de rotación del campo f , mientras el vector tangente in…nitesimal dp es movido a lo largo de la curva cerrada C en la dirección contraria a las manecillas del reloj. Entonces, el lado izquierdo del teorema de Stokes, representa el efecto total de la rotación de f alrededor de la curva C. El valor de n r f , que es el componente normal de r f , en cualquier punto P sobre la super…cie S puede ser calculado rodeando ese punto con un elemento de área arbitrario da teniendo una frontera cerrada que pertenece completamente a S. Entonces, el teorema de Stokes se hace aplicable a este elemento de área, así que n r

1 f= a

I

f dp;

(2.224)

C

donde C ahora denota la frontera cerrada de da. El valor de n r f en el punto P puede ser obtenido tomando el límite cuando a se aproxima a cero, es decir 1 0 I 1 f dpA : (2.225) (n r f )jP = l m @ a!0 a C

Entonces, n r f en P representa el giro o el efecto rotatorio del campo f alrededor del eje n en el punto P , calculado por unidad de área. En particular, si f = v, el efecto rotatorio será máximo si el vector unitario n está en la misma dirección de r v. Esto es, el máximo ocurre cuando n= El vector r

r kr

v : vk

(2.226)

v es llamado el vector de vorticidad y =

I

v dp

(2.227)

C

es llamada la circulación de v alrededor del circuito cerrado C. El componente normal n r v puede ser interpretado como la circulación de v, por unidad de área de una super…cie perpendicular a n.

32CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL En una rotación de cuerpo rígido, la velocidad lineal de una partícula rotando alrededor de un eje dado con una velocidad angular constante es dada por r

v=2 ;

(2.228)

donde v es la velocidad lineal de la partícula. Sea p el vector de posición de una partícula relativa a algún eje de rotación, entonces v= p: (2.229) r r

(

y puesto que

p) =

(r p)

v=r (

r) p

(

(2.230)

p)

(p r)

+ p (r

)

(2.231)

es un vector constante, la expresión anterior se reduce a r

(

p) =

(r p)

(

r) p

(2.232)

=3

(2.233)

y @p = gk gk = @xk @p g k k = k l k gk = @x

r p = gk (

r) p =

l

gl

k

k k

gk =

:

(2.234)

Entonces

1 r v: (2.235) 2 Esto es, el rotacional del vector de velocidad tangencial de una partícula realizando una rotación de cuerpo rígido alrededor de un eje dado con una velocidad angular constante es igual a dos veces la velocidad angular. =

2.4.6.

El operador laplaciano

El operador laplaciano es de…nido por r2 = r r

(2.236)

Desarrollando obtenemos r2 = r r = g k

@ @xk

gl

@ @xl

@gl @ @2 l + g @xk @xl @xk @xl l @ @2 = gk gm l + gl k l km @x @x @x 2 @ l @ = g kl k l g km @x @x k m @xl = gk

(2.237)


33

Laplaciano de una función escalar Sea (x) una función de un campo escalar diferenciable continuamente de…nido sobre un dominio en E 3 . Entonces r2

= g kl

@2 @xk @xl

= g kl

l km

g km

;kl

l @ k m @xl

g km

;l :

(2.238)

Laplaciano de un campo vectorial Sea u (x) un campo vectorial diferenciable continuamente en E 3 . Entonces r2 u (x) = g kl

@2u @xk @xl

g km

l @u : k m @xl

(2.239)

Para el caso de tensores de orden mayor o igual que uno, resulta conveniente regresar a la de…nición original del laplaciano r2 = r r, y desarrollar primero el gradiente y posteriormente calcularle su divergencia. Entonces, el gradiente del campo vectorial es un tensor de segundo orden que queda como ru = ui;j gj gi = Tji gj gi = T;

(2.240)

y su divergencia es r2 u = r ru = r rT @ = gk Tji gj gi @xk = Tji;k g kj gi = (ui;j );k g kj gi = ui;jk g kj gi

(2.241)

en donde ui;jk

= =

(ui;j );k = (ui;j );k ui;j

= ui;jk

2.4.7.

un un;k

n ij n ij

un;j

n ik

un;j ;k

un

n ij

ui;n n ik

n jk

ui;n un;j

;k

n jk

n ik

ui;n

n (2.242) jk

El operador v r

El operador v r v r = v m gm g k

@ @ = vk k : k @x @x

Para un campo escalar continuamente diferenciable (v r)

= v r = vk

@ : @xk

(2.243)

(x) ; se tiene (2.244)

34CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL Para un campo vectorial continuamente diferenciable v (x) ; se tiene (v r) v = v rv = v k

@v = v k vm;k gm : @xk

(2.245)

Este operador representa la rapidez de cambio espacial en un campo en cualquier instante de tiempo como es observado por alguien que se mueve con la velocidad v. Esta rapidez de cambio es llamada como la rapidez de cambio convectiva. Teorema de Green para el plano Sea f z 1 ; z 2 una función vectorial, arbitraria, continuamente diferenciable de z, de…nida en R una región plana limitada por una curva suave C. Sean f1 z 1 ; z 2 , f2 z 1 ; z 2 los componentes de f relativos a los ejes z 1 y z 2 , respectivamente, Entonces ZZ

@f1 @x2

@f2 @z 1

dz 1 dz 2 =

I

f1 dz 1 + f2 dz 2

(2.246)

C

R

en donde C es la frontera cerrada orientada encerrando a R.

2.4.8.

Identidades r ( v) = r v + v r r ( rv) = r2 v+r

rv

(2.248)

r (uv) = (r u) v + u rv

(2.249)

r (uT) = (r u) T + u rT

(2.250)

r (u u r r (u v)

(u

(2.247)

v) = v (r (r

u)

v) = rv u

v) = ur v

u rv

= ru v rv u = u (r v) + v

(r

u (r

v)

(2.251)

u rv

(2.252)

vr u + v ru

(2.253)

u) + u rv + v ru (2.254)


35

1 r (v v) 2

v

r (r r r r2 (

(r

(r

v) = v rv

u) = 0

(2.256)

r =0

v) = r (r v)

(2.255)

(2.257) r2 v

) = r2 + 2 (r ) (r ) + r2

(2.258) (2.259)

36CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL

Capítulo 3

Deformación y rapidez de deformación Cinemática es el estudio del movimiento de los cuerpos sin …jarse en la naturaleza de las fuerzas que causan el movimiento.

3.1.

Deformación de un medio continuo

En la teoría del continuo, un cuerpo es modelado como compuesto de un gran conjunto de partículas materiales, llamadas puntos materiales, cada una de las cuales tiene una masa asignada. Esa masa es continua de forma que (x; t) = l m

v!0

m : v

(3.1)

El estado inicial de un cuerpo X estado deformado x.

3.1.1.

Descripción Lagrangiana y Euleriana

La forma en que las partículas materiales de un cuerpo X hacia un estado deformado x en el tiempo t es especi…cada por medio de una función de mapeo continuamente diferenciable xk = xk X K ; t

(3.2)

la cual también es llamada movimiento. Como el movimiento es uno a uno, entonces la ecuación anterior tiene una sola inversa X K = X K xk ; t la cual describe el movimiento inverso. 37

(3.3)

38

CAPÍTULO 3. DEFORMACIÓN Y RAPIDEZ DE DEFORMACIÓN

El principio físico que permite la existencia de tal inversa se conoce como el axioma de la impenetrabilidad de la materia de física. Matemáticamente, esta condición se describe con la no nulidad del jacobiano j = jJj = det

@xk @X K

> 0;

j

1

= J

1

= det

@X K @xk

> 0:

(3.4)

Para analizar el movimiento, existen dos métodos equivalentes: el lagrangiano y el euleriano. En el método lagrangiano se estudia el movimiento de las partículas individualmente de un cuerpo no deformado mientras este se deforma. Esto se realiza siguiendo el movimiento de la partícula X y describiendo todas las propiedades de los campo físicos relevantes como funciones de X y de t. En el método euleriano se estudian las posiciones espaciales individuales en el estado deformado del cuerpo, sin importar que partículas alcanzan esas posiciones en el tiempo. Las propiedades de los campo físicos relevantes como funciones de x y de t. X k coordenadas materiales o lagrangianas xk coordenadas espaciales o eulerianas. Un cuerpo se deforma cuando las partículas materiales que constituye el cuerpo experimentan cambios en sus posiciones relativas como respuesta a cargas aplicadas. La con…guración de un cuerpo es el mapeo tridimensional que describe la posición relativa de las partículas materiales. La totalidad de estos mapeos constituye la deformación de un cuerpo. Para propósitos de análisis, se utiliza una con…guración de referencia.

3.1.2.

Deformación de un cuerpo ^ (X) = P (x; t) ; P = P (Z) = P p = p (z) = p ^ (x) = p (X; t) :

(3.5) (3.6)

Los vectores base son IM =

@P ; @Z M

GK =

@P ; @X K

(3.7)

@p @p ; gk = ; (3.8) m @z @xk @p @p k CK = = x ;K = gk xk ;K ; (3.9) @X K @xk @P @P ck = = X K ;k = GK X K ;k ; (3.10) @xk @X K que caracterizan el proceso de deformación. CK representa el cambio del vector de posición p en el estado deformado con respecto al cambio en las coordenadas im =

3.1. DEFORMACIÓN DE UN MEDIO CONTINUO

39

materiales X K y es, por lo tanto, de…nido como vector de deformación en las coordenadas materiales. ck representa el cambio del vector de posición P en el estado no deformado con respecto al cambio en las coordenadas espaciales xk y es, por lo tanto, de…nido como vector de deformación en las coordenadas espaciales. Las derivadas parciales xk ;K y X K ;k son el gradiente de deformación y la inversa del gradiente de deformación, respectivamente. Debido a xk ;K X K ;l X

K

;k

k

x

;L

= =

k

l K

; L

(3.11) :

(3.12)

Los sistemas de coordenadas materiales del espacio no deformado, Z K y X K , poseen una relación de transformación de coordenadas uno a uno ZM XK @Z M @X K

det

= Z M (X) ; = X K (Z) ;

(3.13a) (3.13b)

6=

(3.13c)

0:

Similarmente, los sistemas de coordenadas espaciales del espacio deformado, z k y xk , también poseen una relación de transformación uno a uno zm xk det

@z m @xk

= z m (x) ; = xk (z) ;

(3.14a) (3.14b)

6=

(3.14c)

0:

De las ecuaciones de movimiento y de movimiento inverso, Ecs. 3.2 y 3.3, y las relaciones de transformación material y espacial, Ecs. 3.13 y 3.14, se deduce que se tienen relaciones mutuamente inversas y únicas zm ZM

= z m (Z; t) ; = Z M (z; t) ;

ya que J = det

@z m @Z M

6= 0:

(3.15a) (3.15b)

(3.16)

Las Ecs. 3.15 representan el mapeo de la deformación y su inversa cuando las coordenadas rectangulares de los puntos P y p son Z K y z k , respectivamente. Además, J y j son los jacobianos de los mapeos de deformación, en los sistemas de coordenadas rectangular y curvilíneo, respectivamente, usados para los puntos P y p. En el caso particular de sistemas de coordenadas rectangulares, el gradiente de la matriz de deformación es denotada usualmente por F. Entonces, F=

@z m @Z M

= ( z m ;M )

(3.17)

40


y 1

F

=

@Z M @z m

= Z M ;m ;

(3.18)

con det F 6= 0:

3.1.3.

(3.19)

Tensores de deformación y de

La deformación que un cuerpo experimenta involucra cambios en las longitudes, ángulos, y consecuentemente en áreas y volúmenes de los elementos materiales. Consideremos un par de partículas vecinas P y Q en el estado no deformado, y sea dS la distancia entre ellas. Cuando las partículas son llevadas por el movimiento, especi…cado por la Ec. 3.2, a sus respectivas posiciones espaciales p y q en el estado deformado, cuya distancia está dada por ds. Entonces, si la deformación es tal que ds = dS, o equivalentemente, ds2 = dS 2 , para todo par de partículas tales como P y Q en el cuerpo, la deformación puede ser al menos un movimiento de cuerpo rígido. En tal caso, la posición relativa de las partículas es la misma en todo el cuerpo. Si, por otra parte, se tiene al menos para un par de partículas, ds2 6= dS 2 , entonces ocurre una deformación en el cuerpo. Por lo tanto, ds2 dS 2 puede ser tomada como una deformación del cuerpo. Calculando dS 2 utilizando la Ec. 3.10 se tiene que dS 2 = dP dP = GK dX K GL dX L = GKL dX K dX L = GKL X K ;k X L ;l dxk dxl = GK X K ;k GL X L ;l dxk dxl = ck cl dxk dxl = ckl dxk dxl ; (3.20) donde ckl = ck cl = GKL X K ;k X L ;l = clk:

(3.21)

2

De forma similar, para ds se tiene ds2 = dp dp = gk dxk gl dxl = gkl dxk dxl = gkl xk ;K xl ;L dX K dX L = gk xk ;K gl xl ;L dX K dX L = CK CL dX K dX L = CKL dX K dX L ; (3.22) donde CKL = CK CL = gk xk ;K gl xl ;L = CLK : Calculando ahora ds ds2

2

(3.23)

2

dS , se tiene que

dS 2 = (CKL

GKL ) dX K dX L = (gkl

ckl ) dxk dxl ;

(3.24)

las cuales son las expresiones para la medida de la deformación en las coordenadas materiales y espaciales. El tensor CKL es identi…cado como el tensor

3.1. DEFORMACIÓN DE UN MEDIO CONTINUO

41

de deformación en coordenadas materiales y GKL solo tiene un signi…cado geométrico. Más especí…camente, CKL es de…nido como el tensor de deformación de Green. De forma similar, el tensor ckl es de…nido como el tensor de deformación de Cauchy en coordenadas espaciales. Escribiendo ahora ds2

dS 2 = 2EKL dX K dX L = 2ekl dxk dxl ;

(3.25)

1 (CKL 2

(3.26a)

donde EKL = ELK = ekl = elk =

1 (gkl 2

GKL ) ;

ckl ) ;

(3.26b)

y son llamados, el tensor de deformación (strain) Lagrangiano y el tensor de deformación (strain) Euleriano, respectivamente. En notación directa, las Ecs. 3.26 se pueden escribir como 1 (C I) ; 2 1 e = (I c) ; 2 I = gkl gk gl :

E=

(3.27a) (3.27b) (3.27c)

Relaciones entre EKL y ekl se obtienen utilizando 3.25, EKL dX K dX L = ekl dxk dxl ;

(3.28)

EKL X K ;k X L ;l dxk dxl = ekl dxk dxl ;

(3.29)

ekl xk ;K xl ;L dX K dX L = EKL dX K dX L ;

(3.30)

EKL = ekl xk ;K xl ;L ;

(3.31)

y por lo tanto, y por lo que ekl = EKL X

3.1.4.

K

X

;k

L

;l

:

(3.32)

Medidas de strain

Existen varias medidas de la deformación. 1. Medida de Cauchy: C

ds

S

ds

e =

dS ; dS

(3.33)

2. Medida de Swainger: e =

dS ds

;

(3.34)

42

CAPÍTULO 3. DEFORMACIÓN Y RAPIDEZ DE DEFORMACIÓN 3. Medida de Hencky: ds dS

H

e = ln

4. Medida de Green: 1 e = 2

G

5. Medida de Almansi:

"

ds dS

" 1 e = 1 2

(3.35) #

2

ds dS

A

;

1 ;

(3.36)

#

(3.37)

2

:

Las primeras dos medidas son lineales y se utilizan en teoría lineal de la elasticidad, la de Hecky es útil en plasticidad, la de Green y de Almansi son medidas no lineales y se utilizan en elasticidad no lineal o …nita.

3.2.

Vector de desplazamiento

El vector de desplazamiento es de…nido como el vector que va desde la posición inicial de una partícula material de un cuerpo en el estado no deformado, hasta su posición …nal en el estado deformado del mismo cuerpo en un instante de tiempo posterior. Si a describe el vector constante del desplazamiento de los orígenes O a o, entonces el vector de desplazamiento es u=p

P + a:

(3.38)

Si P y p están referidos con respecto al mismo origen, entonces a = 0 y entonces, u=p

P:

(3.39)

Los componentes del vector de desplazamiento u con respecto a los sistemas coordenados lagrangiano y euleriano están dados por u GK (X) u GK (X)

= UK ; = UK;

(3.40) (3.41)

y u gk (x) = uk ; u gk (x) = uk ;

(3.42) (3.43)

u = U K GK = UK GK = uk gk = uk gk :

(3.44)

de forma que El vector de desplazamiento es una función de x y t, y por medio de las ecuaciones de movimiento y de movimiento inverso, también de X y t, por lo que u = u (x; t) = u [x (X; t) ; t] = u ^ (X; t) : (3.45) Propiedad de dualidad. Función tanto de X y de x es un instante de tiempo t, que permite interrelacionar los dos espacios dados por la Ec. 3.44

3.3. RELACIONES DE LOS GRADIENTES DE DEFORMACIÓN-TENSIÓN43

3.3.

Relaciones de los gradientes de deformacióntensión

El gradiente de deformación puede ser expresado como CK =

@p @P @u = + = GK + UM ;K GM ; K K @X @X @X K

(3.46)

el tensor de deformación de Green CKL es CKL

= CK CL = GK + UM ;K GM

GL + UN ;L GN

= GKL + UK;L + UL;K + UM ;K U

M

;L

;

(3.47) (3.48)

y el tensor de deformación lagrangiano EKL es ELK

= =

1 (CKL GKL ) 2 1 UK;L + UL;K + UM ;K U M ;L : 2

(3.49) (3.50)

De forma similar, se calcula el tensor de deformación de Cauchy, ckl ck = ckl

@p @P = k @x @xk

@u = gk @xk

um;k gm :

= ck cl = (gk um;k gm ) (gl un;l gn ) = gkl uk;l ul;k + um;k um ;l ;

(3.51) (3.52) (3.53)

y el tensor de deformación Euleriano ekl es ekl =

1 (gkl 2

ckl ) =

1 (uk;l + ul;k 2

um;k um ;l ) :

(3.54)

Como los tensores de tensión EKL y ekl están dados en términos de los tensores del gradiente de deformación y contienen términos cuadráticos, son apropiados para estudios de elasticidad no lineal. La teoría de elasticidad lineal es un caso especial de la teoría no lineal de la elasticidad, también conocida como elasticidad …nita, y es obtenida despreciando los términos no lineales. Esta linealización solo se efectúa cuando los gradientes de desplazamientos son pequeños, aunque el desplazamiento puede ser grande, y es por ello que a esta teoría también se le llama teoría de deformaciones in…nitesimales o teoría de pequeñas deformaciones, así como la correspondiente teoría no lineal es referida como teoría de deformaciones …nitas. De acuerdo con la teoría lineal, los tensores de tensión lagrangiano y euleriano quedan como 1 ELK = (UK;L + UL;K ) ; (3.55) 2 y 1 ekl = (uk;l + ul;k ) : (3.56) 2

44


Nuevamente, los componentes con mismo índice son llamados deformaciones normales, mientras que los que tienen diferente índice son deformaciones cortantes.

3.3.1.

Tensor de rotación in…nitesimal

El tensor de rotación …nita representa una rotación de cuerpo rígido. El tensor del gradiente de desplazamiento de teoría lineal de la elasticidad se descompone en su parte simétrica y su parte antisimétrica 1 1 uk;l = (uk;l + ul;k ) + (uk;l ul;k ) (3.57) 2 2 = ekl + rkl ; (3.58) donde rkl =

rlk =

1 (uk;l 2

ul;k )

(3.59)

El vector u = "klm um;l gk

r=r

(3.60)

representa la rotación del campo de desplazamiento u alrededor de un eje apropiado. El componente rk es rk = "klm um;l (3.61) y multiplicando ambos lados por "kpq se tiene rk "kpq = "klm "kpq um;l

(3.62)

y en donde l

"klm "kpq =

p

m

q

m

l

p

q

;

(3.63)

um;l

(3.64)

entonces rk "kpq

=

l

p

m

q

= uq;p up;q = 2rpq = 2rqp

m

p

l

q

(3.65) (3.66)

Como el vector r representa la rotación local del campo de desplazamiento, y el tensor de rotación es, por lo tanto, un tensor de rotación local. Como se trata del caso de teoría de deformaciones pequeñas, el tensor rkl es llamado tensor rotación local in…nitesimal, y debido a su relación con el vector axial r, el tensor rkl es llamado tensor axial. De forma similar se obtiene para el marco de referencia Lagrangiano.

3.4.

Derivada material

Aspecto fundamental de la mecánica del medio continuo es el cálculo de la rapidez de cambio temporal de los campos físicos. Descripción material y descripción espacial, métodos equivalentes. Las funciones involucradas son continuamente diferenciables.

3.4. DERIVADA MATERIAL

3.4.1.

45

Descripción material o lagrangiana

Axioma de impenetrabilidad. La materia no puede penetrarse a sí misma. La diferenciación siguiendo el movimiento de una partícula arbitraria, identi…cada como X en una con…guración de referencia escogida de un medio continuo deformable, la cual es llevada a su posición espacial x en un tiempo dado t, es de…nida como la diferenciación temporal-material. El operador de rapidez tempo-material es denotado por d dt

;

(3.67)

X

que indica que la diferenciación con respecto al tiempo se realiza manteniendo X constante. El operador se puede aplicar tanto a campos tensoriales materiales o espaciales. La velocidad y la aceleración están dadas por dx (X; t) dt dv (X; t) dt

@x (X; t) = v (X; t) ; @t @v (X; t) = a (X; t) : @t

= X

= X

(3.68) (3.69)

Utilizando la ecuación de movimiento inverso, se puede expresar la velocidad en términos de las coordenadas espaciales. La rapidez de cambio temporal material de un campo vectorial material F (X; t) ; está dado por dF (X; t) dt

= X

@F (X; t) : @t

(3.70)

Por otra parte, la rapidez de cambio temporal material de un campo vectorial espacial f (x; t) ; está dado por df (x; t) dt

= X

@ @ xm @ + @t @t @ xm

f= X

@ +v r @t

f:

(3.71)

X

De forma equivalente, df (x; t) dt

= X

@f @f + vm m @t @x

=

@ fk D fk + v m f k ;m gk = @t Dt

gk ; X

(3.72)

donde v m es el vector de velocidad en coordenadas espaciales y D fk @ fk = + v m f k ;m Dt @t y se le llama derivada material de un campo vectorial espacial f k . La derivada material suele encontrarse en forma general como D @ = +v r Dt @t Euler (1770), Lagrange (1783) y Stokes (1845).

(3.73)

(3.74)

46


3.5.

Rapidez de cambio de deformación, rapidez de cambio de tensión y rotación

Derivada material del gradiente de deformación D xk ;K = v k ;l xl ;K : Dt

(3.75)

D dxk = v k ;l dxl : Dt

(3.76)

D X K ;k = Dt

X K ;l v l ;k :

(3.77)

Propiedades D @ gkl (x) = gkl (x) + gkl;m v m = 0: Dt @t D @ GKL (X) = GKL (X) Dt @t

= 0:

(3.78) (3.79)

X

D D g (x) = (det (gkl )) = 0: Dt Dt

(3.80)

D D G (x) = (det (GKL )) = 0: Dt Dt

(3.81)

D @ "ijk (x) = "ijk (x) + "ijk;m v m = 0: Dt @t

(3.82)

D ijk " (x) = 0: Dt

(3.83)

D D dS 2 = GKL dX K dX L Dt Dt @ = GKL dX K dX L @t

X

= 0:

(3.84)

La rapidez de cambio de deformación es el tensor que se obtiene de la derivada material de la medida de deformación. D ds2 Dt

= = = = =

D gkl dxk dxl Dt D D gkl dxk dxl + gkl dxk dxl Dt Dt D 2gkl dxk dxl = 2gkl v k ;m dxm dxl Dt 2 vl;m dxm dxl 2 dml dxm dxl

(3.85)

3.5. RAPIDEZ DE CAMBIO DE DEFORMACIÓN, RAPIDEZ DE CAMBIO DE TENSIÓN Y ROTACIÓN47 dml =

1 (vl;m + vm;l ) = dlm 2

(3.86)

En notación directa d=

1 rv + rvT 2

= dT

(3.87)

este tensor se llama tensor de rapidez de deformación y representa la derivada material de la medida de deformación. D ds2 Dt D ds2 Dt

dS 2

dS 2 =

= =

D ds2 Dt

dS 2

D ds2 = 2 dkl dxk dxl Dt

(3.88)

D 2EKL dX K dX L = 2E_ KL dX K dX L Dt 2E_ KL X K ;k X L ;l dxk dxl (3.89)

dkl = E_ KL X K ;k X L ;l :

(3.90)

1 E_ KL = C_ KL = dkl xk ;K xl ;L 2

(3.91)

D 2ekl dxk dxl Dt

=

D D dxk dxl + 2ekl dxk dxl Dt Dt = 2e_ kl dxk dxl + 2ekl v k ;m dxm dxl + 2ekl dxk v l ;m dxm = 2 (e_ kl + eml v m ;k + ekm v m ;l ) dxk dxl (3.92) 2e_ kl dxk dxl + 2ekl

=

Por lo que dkl = e_ kl + eml v m ;k + ekm v m ;l :

(3.93)

Tensor de vorticidad

vk;l

1 1 (vk;l + vl;k ) + (vk;l 2 2 = dkl + wkl =

vl;k ) (3.94)

y wkl =

1 (vk;l 2

vl;k ) =

wlk

(3.95)

48


3.6.

Cambios en la longitud, área y volumen durante la deformación

Los cambios de longitud de los elementos materiales son expresados como dxk dX K

= =

xk ;K dX K ; X K ;k dxk :

D (dv) = (r v) dv Dt D (dak ) = v m ;m dak Dt

v m ;k dam

(3.96) (3.97)

(3.98) (3.99)

Capítulo 4

Esfuerzo El esfuerzo es una medida de la intensidad de una fuerza, ya sea dentro o en la frontera de un cuerpo sujeto a cargas.

4.1.

Fuerzas de volumen y fuerzas de super…cie. Vector esfuerzo

Un sistema de fuerzas aplicados a un cuerpo es equivalente a una fuerza y un momento. Esta fuerza y momento resultante se llaman fuerzas o cargas (loads) actuando sobre un cuerpo. Las cargas aplicadas a un cuerpo pueden ser mecánicas, térmicas, electromagnéticas, químicas o de alguna otra naturaleza y pueden estar acopladas, como por ejemplo, termomecánicamente, electroquímicamente, electromecánica, etc. Las fuerzas están divididas en tres categorías: 1. Fuerzas o cargas de cuerpo, que consisten de fuerzas de cuerpo y momentos de cuerpo. 2. Fuerzas o cargas super…ciales, consistentes en fuerzas super…ciales y momentos super…ciales. 3. Cargas concentradas, consistentes de fuerzas concentradas y momentos concentrados. Las cargas de cuerpo o volumen se llaman así porque actúan en cada punto del volumen total del cuerpo. Las cargas de cuerpo generan propiedades de campo en cada punto de una región o campo debido a una fuente. Gravitacional, inercial y electromagnética. Los momentos de cuerpo se mani…estan como momentos de fuerzas de cuerpo y están asociados con efectos rotatorios. 49

50

CAPÍTULO 4. ESFUERZO

Las cargas de cuerpo surgen de efectos externos al cuerpo y son llamados cargas de cuerpo externa. Las cargas de cuerpo son medidas usualmente por unidad de masa del cuerpo sobre el cual actúan. Las cargas super…ciales son llamadas así porque requieren de una super…cie para actuar, y también se conocen como cargas de contacto. Las cargas actuando sobre la super…cie de frontera de un cuerpo o las cargas actuando sobre las super…cie de frontera común entre las partes internas de un cuerpo deformable son fuerzas super…ciales. El sistema de fuerzas super…ciales es equivalente a una fuerza super…cial y a un momento super…cial. Ejemplos son la tensión super…cial, la presión hidrostática sobre un cuerpo sumergido es una fuerza super…cial externa, evaporación, condensación y adhesión sobre una super…cie ‡uida. Las cargas de super…cie son medidas por unidad de área de la super…cie sobre la cual actúan. La fuerza super…cial por unidad de área es llamada vector de esfuerzo, y el momento super…cial por unidad de área es llamado vector de momento o vector del momento del esfuerzo. Los vectores de esfuerzo y de momento dependen de la posición del punto sobre el cual actúan y de la orientación de la super…cie. La orientación de una super…cie en un medio continuo es especi…cada en cada uno de sus puntos por medio de un vector normal unitario exterior. En el interior de un cuerpo, existe un in…nidad de posibilidades para hacer super…cies en cada punto, por lo que se tiene el estado de esfuerzo en cada punto x. Vector de esfuerzo sobre la super…cie con vector normal n t(n) :

(4.1)

También se le denomina tracción super…cial. Las cargas concentradas se aplican solo a unos cuantos puntos del cuerpo. Ejemplos de estas son las cargas puntuales sobre vigas. explosiones, fracturas frágiles. Se utilizan funciones delta de Dirac. Cargas internas se re…eren a la acción mutua y reacción de los pares de partículas en el interior de un cuerpo y a la carga ejercida sobre una parte del cuerpo por el resto del cuerpo como una consecuencia de la respuesta interna del cuerpo a la carga ejercida. Fuerzas resultantes y pares actuando sobre un cuerpo Sea V el volumen de la región de un cuerpo y S la super…cie de la frontera en su estado deformado. Sea f la fuerza de cuerpo por unidad de masa, t(n) el vector de esfuerzo, y m(n) el vector de esfuerzos de par, y p el vector de posición. La fuerza resultante actuando sobre el cuerpo está dada por I Z N X F = t(n) da + f dv + F : (4.2) S

V

=1

4.2. PRINCIPIO DE LOS ESFUERZOS DE CAUCHY

51

Sean l , m(n) y m el par de cuerpo (o momento de cuerpo) por unidad de masa, el vector de par de esfuerzo, y los pares de cuerpo concentrados en las posiciones p , el momento resultante alrededor del origen O actuando sobre el cuerpo es dado por M =

I

t(n) da +

m(n) + p

S

+

(l + p

f ) dv

(4.3)

V N X

(m + p

F ):

=1

F =

I

t(n) da +

S

M =

I

Z

(4.4)

f dv;

V

p

t(n) da +

S

4.2.

Z

Z

p

(4.5)

f dv

(4.6)

V

Principio de los esfuerzos de Cauchy

También se le conoce como hipótesis de los esfuerzos de Cauchy, que considera la respuesta de un cuerpo deformable a una carga aplicada. La respuesta se entiende en términos de la carga de una parte del cuerpo ejercida por el resto del cuerpo transmitida a través de su frontera común. La carga de super…cie resultante consiste de una tracción super…cial t(n) . Los esfuerzos que actúan hacia afuera del cuerpo tienen signo positivo, y los esfuerzos que actúan hacia adentro tienen signo negativo. Es decir, que la tensión es considerada positiva mientras que la compresión se considera negativa. Consideremos un elemento tetraédrico arbitrario denotado por A con tres de sus caras coincidentes con las super…cies coordenadas en el punto p de un sistema de coordenadas curvilíneo. Sean n y t(n) el vector unitario normal y el vector de esfuerzo actuando en cualquier punto q de la cuarta super…cie. Los otros vectores de esfuerzos de las otras caras serán denotados por tk con sus signos apropiados. Aplicando el balance de momentum lineal al elemento tetraédrico, sustituyendo cada una de las integrales por su valor, obtenido por medio del teorema del valor medio para las integrales, y las denotaremos con un asterisco. Entonces se tiene d ( v v) = t(n) a tk ak + f v: dt El lado izquierdo puede ser simpli…cado como d ( v dt

v) =

dv dt

v+v

d ( dt

v) ;

52


pero d ( dt

v) = 0

por el principio de conservación de masa. Entonces, d ( v dt

dv dt

v) =

v;

y dv dt

v = t(n)

a

Dividiendo la ecuación anterior por

a

dv dt

v = t(n) a

tk

tk

ak + f

ak + f a

v:

v a

y aproximando como cero el límite de la dimensión lineal av cuando el tetraedro se va encogiendo al punto p, el cual es el límite del punto q. Entonces tenemos t(n) = tk

dak = t k n k = tk nk da

en donde dak = nk da; da = n da: Tenemos el siguiente teorema. Theorem 18 La tracción super…cial en un punto x actuando sobre una super…cie dada está completamente determinada por los vectores de esfuerzo actuando sobre las tres super…cies de las coordenadas que mutuamente se intersectan en x de un sistema de coordenadas admisible. Además, la tracción super…cial en x es una función lineal del vector unitario normal a la super…cie dada. Los vectores de esfuerzo tk son independientes de n, por de…nición. Asumiendo que t(n) es una función continua de n, si se cambia el signo de n, se tiene que t(n) cambia de signo, esto es, t(

n)

=

t(n) :

Esto signi…ca que las tracciones super…ciales actuando en lados opuestos de la misma super…cie en un punto dado son iguales en magnitud pero de signo opuesto.

4.3. EL TENSOR DE ESFUERZO

4.3.

53

El tensor de esfuerzo

El vector de esfuerzo actuando sobre un punto en un material sobre el lado positivo de la super…cie coordenada xk = constante es denotado por tk . El componente del tensor de esfuerzo a lo largo de la dirección positiva del sistema coordenado de la curva xl es denotado por Tkl . Esto es, tk gl = Tkl : Entonces, tk = Tkl gl ; y tk = T kl gl : El vector de esfuerzos está compuesto por los componentes Tkl . El tensor de esfuerzos Tkl está de…nido como el componente xl del vector de esfuerzo tk actuando sobre el lado positivo de la super…cie coordenada constante xk . Por la de…nición del tensor de segundo orden Tkl = gk T gl ; T = Tkl gk gl = T kl gk gl : Entonces, podemos escribir t(n) = tk nk = T kl nk gl = Tkl nk gl = n T Los componentes del tensor de esfuerzos normales son los que son normales a la super…cie sobre la que actúan. Los componentes con índices mixtos son tangentes al plano sobre el que actúan y se llaman componentes de esfuerzo cortante.

4.4.

Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos

Consideremos los valores principales y sus correspondientes direcciones principales del tensor de esfuerzos T. Los valores principales y los vectores principales de t está, dados por T n = n; donde el vector unitario n es el vector principal (o eigenvector) de la matriz de esfuerzo correspondiente al valor principal . Entonces, podemos escribir tk l

k

l

nl = 0;

(4.7)

este sistema lineal sólo tendrá soluciones no triviales para n cuando det tk l

k

l

= 0;

(4.8)

54


la cual es la ecuación característica para el tensor de esfuerzos. Como la matriz es simétrica, la ecuación cúbica resultante tiene tres raíces reales. Los valores principales 1 , 2 y 3 obtenidos de la ecuación anterior y se sustituyen en la ecuación para obtener los respectivos valores de los vectores principales ni . Los vectores principales ni se llaman también ejes principales de la matriz de esfuerzos. Como la matriz de esfuerzo es simétrica, se puede diagonalizar con los valores en la diagonal principal dados por i que son llamados esfuerzos principales. Entonces los componentes del esfuerzo referidos a los ejes principales del tensor de esfuerzos como ejes coordenados dan los esfuerzos principales. 2

3 n1 Q = 4 n2 5 ; n3

QQT QTQT

= I; 2

1

= 4 0 0

0 2

0

(4.9)

3

0 0 5: 3

(4.10) (4.11)

Los planos formados por los ejes principales tomados de dos al mismo tiempo son llamados planos principales. Tenemos los siguientes estados de esfuerzo: 1. Si dos de los tres esfuerzos principales son cero,el estado de esfuerzos se dice que es tensión simple o tensión uniaxial. 2. Cuando solo uno de los esfuerzos principales es cero, el estado de esfuerzos se dice que son esfuerzos planos o esfuerzos biaxiales. 3. Si ninguno de los esfuerzos principales es nulo, entonces el estados de esfuerzos se dice que es triaxial. 4. Si uno de los esfuerzos cortantes es diferente de cero mientras que todos los demás componentes son nulos, entonces el estado de esfuerzos se dice que es simple cortante.

4.4.1.

Invariantes

Los invariantes de un tensor de segundo orden son I1

=

I2

=

I3

=

Tr T = T k k ; i 1 h 2 (Tr T) Tr T2 ; 2! i 1h 3 Tr T3 + 3 I1 I2 (Tr T) = det T: 3

(4.12) (4.13) (4.14)

La ecuación característica de un tensor de segundo orden en términos de sus invariantes es 3 I1 2 + I2 I3 = 0: (4.15)

4.4. ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS55

4.4.2.

Esfuerzos cortantes

Dado un vector de esfuerzos t(n) relativo a un plano con normal n, se puede descomponer en sus componentes normal y tangencial a dicho plano, de forma que el componente normal es = (n T) n

N

y se tiene que el componente tangencial 2 S

t(n) n

(4.16)

2 N:

(4.17)

S

= t(n) t(n)

Considerando los valores principales del tensor de esfuerzos, i , y ordenándolos de forma que I > II > III ; el vector de esfuerzos con respecto al tensor de esfuerzos diagonalizado queda como =

t(n)

n(1) e1 +

2 I

=

t(n) t(n) N

I

n

(1) 2

II

n(2) e2 +

2 II

+

n

2

= t(n) n =

2 III

+

n(3) e2 ; n

2

n(1) +

I

(2) 2

III

n(2) +

II

III

(3) 2

(4.18)

;

n(3)

(4.19)

2

(4.20)

y sustituyendo en la ecuación 4.17 se obtiene 2 S

=

2

2 I

n(1) +

2

2 II

n(2) +

2 III

n(3)

2 2

2

n(1) +

I

n(2) +

II

III

n(3)

2 2

(4.21)

y como estamos considerando que n es unitario, se tiene que n(i) n(i) = 1; de tal forma que 2 2 2 n(3) = 1 n(1) n(2) (4.22) y entonces 2 S

=

2

2 I

n(1) +

2

2 II

n(2) +

2 III

2

I

n(1) +

n(1)

1

2

n(2)

2

II

n(2) +

1

III

2

n(1)

2

n(2)

2

2

(4.23)

y reacomodando 2 S

=

2 I

2 III

2

n(1) + (

2 II III )

I

2

2 III

n(2) +

2

n(1) + (

2 III III )

II

2

2

n(2) +

III

(4.24)

Los valores máximos de 2S se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones generado a partir de igualar las derivadas de 2S con respecto a n(1) y n(2) igual a cero @ 2S =2 @n(1)

2 I

2 III

n(1) (

I

4 ( III )

III ) n

I

(1)

2

n(1) + (

II

III )

2

n(2) +

III

(4.25)

56

CAPÍTULO 4. ESFUERZO @ 2S = 2n(1) ( @n(1)

III ) [ ( I

I

2 (

+

III )

I

III ) 2

n(1) + (

i

(4.26)

=0

(4.27)

2

n(2) +

III )

II

III

entonces 2n(1) (

III ) [( I

I

III ) 2

I

III )

n(1) + (

n(2)

4 (

II

2 (

III )

II

n(2)

i

2

y @ 2S =2 @n(2)

2 II

2 III

(

@ 2S = 2( @n(2)

III )

II

2 (

2(

III )

II

n(2) [(

III )

I

n(2) [(

II

I

III )

II

III )

2 (

III ) n

(2)

2

n(1) + (

+

2

n(1) + (

2

(2) III ) n

II

I

III )

2 (

III )

I

se obtiene n(1) =

s

2

n(1) + (

1 2

( (

III )

II

II

III )

I

III )

i

(4.29)

=0

(4.30)

2

n(2) +

III )

II

Resolviendo para n(1) en (

(4.28)

III

III )

(1) +( III ) n

I

2

n(2) +

III )

II

n(2)

2

III

2

i

=0

2

n(2) ;

(4.31)

(4.32)

y para n(2) en (

II

III )

2 (

I

se obtiene n(2) =

n

(1)

= 0;

n

(2)

=

r

1 ; 2

III )

s

n

2

n(1) + (

1 2

(3)

( (

=

III )

II

I

III )

II

III )

r

1 : 2

S

n(2)

2

=0

2

n(1) ;

=

1 ( 2

(4.33)

(4.34)

II

III )

(4.35)

4.5. ESTADOS DE ESFUERZOS ESFÉRICOS Y DEVIATORIOS

n

(1)

n

(1)

=

r

=

r

1 ; 2

1 ; 2

n

(2)

n

(2)

= 0;

=

n r

(3)

1 ; 2

S max

4.5.

=

r

1 : 2

S

=

1 ( 2

III

n(3) = 0 :

S

=

1 ( 2

I

=

1 ( 2

I)

III

:

57

I)

(4.36)

II )

(4.37)

(4.38)

Estados de esfuerzos esféricos y deviatorios

La media aritmética de los esfuerzos normales es M

=

1 1 11 T + T 22 + T 33 = Tr T 3 3

(4.39)

se llama esfuerzo normal medio. El estado de esfuerzos que tiene todos los esfuerzos principales iguales (por la tanto, igual a M ) se llama estado de esfuerzos esférico. Todo estado de esfuerzos puede ser descompuesto en una parte esférica y en una parte S llamada esfuerzo deviatórico de la forma T=S+

M

1

(4.40)

58


Capítulo 5

Ecuaciones generales de balance 5.1.

Ecuaciones de balance global

Las ecuaciones o leyes de balance global gobiernan la deformación o ‡ujo del cuerpo entero como una totalidad y son expresados en términos de integrales sobre el cuerpo entero. En mecánica del medio continuo, las siguientes leyes fundamentales gobiernan la deformación o ‡ujo de un cuerpo a pesar de su naturaleza, geometría y constitución: 1. Conservación de masa, 2. Balance de momentum o ímpetu lineal 3. Balance de momento de momentum, 4. Conservación de energía, 5. La ley de la entropía, 6. Conservación de carga, 7. Ley de Faraday, y 8. Ley de Ampere. Cuando el ambiente externo de un cuerpo no excita signi…cativamente la respuesta electromagnética de un cuerpo, en comparación con los efectos termomecánicos, se pueden despreciar los efectos electromagnéticos (teoría electromagnética y dinámica de plasmas de medios continuos). 59

60

CAPÍTULO 5. ECUACIONES GENERALES DE BALANCE

5.1.1.

Teorema del transporte de Reynolds

d dt

Z

(x; t) dv

Z

=

V

@

(x; t) + r ( (x; t) v) @t

V

Z

=

@ dv + @t

V

5.1.2.

I

dv

( v) n da

(5.1)

S

Ley del balance global de masa

Este principio establece que la masa total de un medio es conservada mientras el medio experimenta una deformación. En la ausencia de fuentes y sumideros , la masa de un cuerpo antes de una deformación dada (o ‡ujo) es igual a la masa total de un cuerpo después de la deformación (o ‡ujo). La continuidad de masa de un medio continuo Z

dv =

V

Z

0

dV;

(5.2)

V

que implica que la rapidez de cambio temporal de la masa total de un cuerpo es cero. Esto es Z d dv = 0: (5.3) dt V

La ley global de conservación de masa en su forma espacial d dt

Z

dv

=

V

Z

d ( dv) = dt

V

=

Z

Z

V

( _ + r v) dv =

V

5.1.3.

D ( dv) = Dt Z

@ + r ( v) @t

dv = 0:

(5.4)

V

Ley de balance global de momentum lineal

Segunda ley de Newton aplicada a medios continuos. La rapidez de cambio temporal del momentum lineal total de un cuerpo mientras éste experimenta una deformación o ‡ujo está en balance con la suma total de las fuerzas de super…cie sobre la super…cie limitante del cuerpo y de las fuerzas de cuerpo actuando sobre el cuerpo entero. Z I Z d v dv = t(n) da + f dv (5.5) dt V

S

V

5.1. ECUACIONES DE BALANCE GLOBAL

5.1.4.

61

Ley de balance global de momento de momentum

La rapidez de cambio temporal del momento del momentum total de un cuerpo alrededor de un origen mientras éste experimenta una deformación o ‡ujo está en balance con el ‡ujo total de momento de momentum a través de la super…cie limitante del cuerpo provenientes del momento total de todas las fuerzas de super…cie mas el momento de las fuerzas de cuerpo d dt

Z

p

v dv =

V

5.1.5.

I

p

t(n) da +

S

Z

p

f dv

(5.6)

V

Ley de balance global de energía

La energía interna total de un cuerpo es E=

Z

" dv:

(5.7)

V

La rapidez de cambio temporal de la suma total de la energía cinética y de la energía interna (calor y deformación o elástica, disipación viscosa) en el cuerpo es igual a la suma de la rapidez de trabajo realizado por las cargas de super…ciales y de cuerpo en producir la deformación (o ‡ujo) junto con la energía calorí…ca que puede liberar o entrar en el cuerpo a cierta rapidez. d (E + K) = Q + W; dt donde 1 K= 2

Z

v v dv

(5.8)

(5.9)

V

es la energía cinética total y Q es la rapidez de la energía calorí…ca. Para el trabajo I Z W = t(n) v da + f v dv: S

(5.10)

V

Para la energía calorí…ca Q=

I S

q n da +

Z

h dv;

(5.11)

V

donde q es el vector del ‡ujo de calor por unidad de área de la super…cie del cuerpo y una fuente de calor de densidad h por unidad de masa. El vector de ‡ujo de calor está de…nido por la ley de la conducción de calor de Fourier q= r ; (5.12)

62


donde es el tensor de conductividad térmica y es la temperatura absoluta. Entonces, la ley de conservación de la energía se escribe como d dt

Z

1 "+ v v 2

dv =

V

5.1.6.

I

t(n) v + q n da +

S

Z

(f v + h) dv

(5.13)

V

Ley de balance global de entropía

Entropía de…nida como el grado de desordenamiento sufrida por la organización interna de los elementos que constituyen al cuerpo del material debidos a un incremento en la energía calorí…ca, mientras el tiempo avanza durante un proceso de deformación. La rapidez de cambio temporal de la entropía total en un cuerpo que experimenta una deformación (o ‡ujo) es mayor o igual que la suma total del ‡ujo de entropía a través de la super…cie del cuerpo y de la distribución volumétrica total de fuentes de entropía en el cuerpo. N=

d dt

Z

V

dv

I

q

n da

S

Z

h

dv

0;

(5.14)

V

donde N es la rapidez de producción de entropía, es la densidad de entropía (por unidad de masa del cuerpo), q es la densidad de ‡ujo de entropía a través de la super…cie, y h es la densidad de la distribución de fuentes de entropía en el cuerpo. Segunda Ley de la termodinámica.

5.2. 5.2.1.

Ecuaciones locales de balace Axioma de localidad

El estado de un cuerpo en un instante de tiempo t, en cualquiera de sus puntos materiales, por decir x, es determinado únicamente por el estado de sus campos físicos que prevalecen al tiempo t en una vecindad arbitrariamente pequeña (local) a ese punto. Además, todas las leyes de balance y axiomas constitutivos son válidos para cualquier parte del cuerpo.

5.2.2.

Ley del balance local de masa d @ + r v= + r ( v) = 0: dt @t

(5.15)

Conocida también como ecuación de continuidad en mecánica de ‡uidos. D = Dt

r v:

(5.16)

5.2. ECUACIONES LOCALES DE BALACE

5.2.3.

63

Ley de local global de momentum lineal d dt I

Z

v dv =

V

t(n) da =

S

d dt

Z

I S

v dv =

V

Z

V

I

t(n) da +

S

Z

n T da = Z

Z

(5.17)

r T dv

(5.18)

Z

(5.19)

V

V

d v dv = dt

V

f dv

v_ dv

V

(r T+ (f r T+ (f

v)) _ dv = 0

(5.20)

v) _ =0

(5.21)

Esta ecuación es conocida como la primera ley del movimiento de Cauchy. En elastoestática, el término de la aceleración es despreciado v_ = 0; por lo que la ecuación de movimiento queda como r T+ f = 0

(5.22)

que es conocida como la ecuación de equilibrio.

5.2.4.

Ley de balance local de momento de momentum

Segunda ley del movimiento de Cauchy. T = TT

5.2.5. d dt

Z

(5.23)

Ley de balance local de energía

"+

1 v v 2

dv =

V

I

((n T) v + q n) da +

S

Z

d dt

1 "+ v v 2

Z

(f v + h) dv (5.24)

V

dv

=

V

Z

d dt

1 "+ v v 2

dv

V

Z +

=

Z

V

1 "+ v v 2

V

"_ dv +

Z

V

d ( dv) dt

v v_ dv

(5.25)

64

CAPÍTULO 5. ECUACIONES GENERALES DE BALANCE I

((n T) v) da =

S

Z

r (T v) dv =

V

donde T : rv

((r T) v + T : rv) dv

= T ij gi gj : vl;k gk gl = vl;k T ij gi gj : gk gl = vl;k T ij j k gi gl = vl;k T ij I Z q n da = r q dv

j

k

i

l

= T ij vi;j :

(5.27) (5.28)

V

= v v+ _ (r T) v + T : rv + r q+ f v + h = (r T+ (f v)) _ v + T : rv + r q + h = T : rv + r q + h D=

T : rv

(5.26)

V

S

"_

Z

1 rv + rvT 2

= T ij vi;j = = =

=

1 (vi;j + vj;i ) 2

(5.29) (5.30)

1 ij 1 1 T + T ji vi;j = T ij vi;j + T ji vi;j 2 2 2

1 ij T (vi;j + vj;i ) = T ij Dij = T : D 2 Tr (T D)

(5.31) (5.32)

"_ = T : D + r q + h

(5.33)

El primer término del lado derecho se conoce como potencia mecánica, y representa la rapidez del trabajo realizado por los esfuerzos al producir deformación o ‡ujo.

5.2.6. d dt

Z

V

Ley de balance local de entropía

dv

I

q

n da

S

Z

h

dv =

V

5.3.1.

_+

d ( dv) dt

V

_

5.3.

Z

r

r

q

h

dv

0;

(5.34) q

h

0:

(5.35)

Ecuaciones constitutivas Entropía

La reversibilidad de la transferencia de energía es importante en los sistemas materiales para poder medir la cantidad de energía disponible o exergía para su uso.

5.3. ECUACIONES CONSTITUTIVAS

65

La transferencia de energía sólo ocurre en una dirección, de una forma disponible a otra no disponible (destrucción de exergía). La entropía puede ser descrita como una medida de la pérdida de la cantidad de energía que es transformada de forma irreversible desde una forma útil a otra no útil, la cual no puede ser transformada en trabajo de nuevo. Un sistema físico con algún grado de orden en sus constituyentes internos tiende a perder ese orden en una forma irreversible cuando se calienta, correspondiendo a una transformación de una forma disponible de energía a otra no disponible (destrucción de exergía). Una transformación de un estado ordenado a uno desordenado es descrito con un incremento en la entropía.

5.3.2.

Función de densidad de energía interna

Para un medio deformable constituido por una sustancia simple, entre los parámetros que in‡uyen en la energía interna en una región y tiempo dados en el medio, se encuentran cantidades mecánicas como los gradientes de deformación, o cantidades electromagnéticas como el desplazamiento eléctrico. Estos parámetros son …nitos en número y son denotados por , = 1; 2; :::; n, donde n depende de la constitución interna del cuerpo. Las dimensiones físicas de estos parámetros involucran unidades mecánicas, electromagnéticas y químicas. La energía interna para sistemas termomecánicos que se están deformando o ‡uyendo, es de…nida como la energía total del sistema menos la energía cinética, y por lo tanto consiste de energía mecánica debida a el trabajo realizado por la super…cie y las fuerzas de cuerpo, junto con la energía térmica. Esto implica que parámetros con unidades puramente mecánicas no son su…cientes para describir la energía interna puesto que se tiene energía térmica cuyas unidades son independientes de las mecánicas, por lo que debe de haber algún otro parámetro cuyas unidades sean independientes de las de y que tenga unidades que sean consistentes con las de la energía térmica y temperatura. Esa variable, denotada por , es llamada la entropía especí…ca. La función de densidad de energía interna " en cada punto material del cuerpo X es " = " ( ; ; X) ; = 1; 2; :::; n: (5.36) La dependencia con X implica que el cuerpo puede ser termodinámicamente no homogéneo. Si " no depende de X, el cuerpo es termodinámicamente homogéneo. La función " se denomina como función o ecuación de estado puesto que caracteriza la constitución interna del cuerpo. El conjunto de variables f ; g constituye un estado termodinámico en X, y y son llamadas variables de estado termodinámico. Tomando las derivadas parciales de " con respecto a y se obtiene =

@" ; @

=

@" ; @

= 1; 2; :::; n;

(5.37)

66


donde y son la temperatura termodinámica (absoluta) y las tensiones termodinámicas, respectivamente. El cambio en la energía interna (ecuación de Gibbs) d" = d +

5.3.3.

d

:

(5.38)

La desigualdad de Clausius-Duhem

Eliminando h de las ecuaciones de balance local de la energía y la entropía 1

1 T : D+ r q _

r

q

=

1

_

r

q

r q+q r "_

"_

1

1 + T: D

= 0;

(5.39)

0; = 1

1

2q

(5.40) r q+ r

1

2q

0:

r

(5.41) (5.42)

Esta es la desigualdad de Clausius-Duhem. La función de la densidad de energía libre de Helmholtz, de…nida como ="

;

(5.43)

representa un exceso de la energía interna sobre la energía térmica de un sistema que es disponible para realizar trabajo (exergía). Reemplazando en la desigualdad de Clausius-Duhem se obtiene _ +

_ + T: D

1

q r

0

(5.44)

que es válida para todos los procesos termomecánicos independientes que un sistema físico experimenta descritos por el conjunto f ; g.

5.3.4.

Axiomas constitutivos

Las ecuaciones de balance (local o global) y la desigualdad de ClausiusDuhem constituyen un sistemas de ecuaciones y una desigualdad que está indeterminado, puesto que sólo hay ocho ecuaciones y una desigualdad, mientras que hay 19 incógnitas, , x, T, q; ; y : Las ecuaciones constitutivas deben re‡ejar el comportamiento de los cuerpos y sus respuestas a cargas aplicadas y externas. Se requiere de un número preciso de ecuaciones constitutivas para suplementas las ecuaciones de balance de forma que los problemas físicos queden determinados. Las ecuaciones constitutivas son modelos matemáticos idealizados de los materiales reales. Para que estos modelos puedan representan adecuadamente a los materiales reales, se deben imponer ciertas restricciones. Estas restricciones son llamadas principios o axiomas constitutivos.


67

Principio de causalidad Conjunto de variables constitutivas independientes (movimiento y temperatura) de un cuerpo de una partícula material a un tiempo t x (X; t) ;

(X; t) :

(5.45)

Éstas son los efectos observables que son resultado de ciertas causas. Estas causas se seleccionan de un conjunto de variables constitutivas dependientes como T (X; t) ; q (X; t) ; (X; t) y (X; t), que son referidas como funciones de respuesta. La apropiada selección de estas variables constitutivas dependientes e independientes constituyen el axioma de causalidad. Principio de determinismo Los funcionales de respuesta constitutivos están determinados por las historias de movimiento y de temperatura de todos los puntos materiales del cuerpo. Principio de equipresencia El axioma de equipresencia establece que si una variable constitutiva independiente está presente en un funcional de respuesta, ésta debe estar presente en todos a menos de que algunas leyes de balance o limitaciones físicas lo contradigan. T (X; t) = F (x (X0 ; t0 ) ; (X0 ; t0 ) ; X; t) (5.46) en donde X0 representa a las partículas materiales del resto del cuerpo y t0 es la variable temporal de los tiempos pasados 1 < t0 t Principio de la vecindad La respuesta de un punto material X en un cuerpo está determinado únicamente por el comportamiento material en una vecindad arbitrariamente pequeña alrededor de X. Si los funcionales x (X0 ; t0 ) y (X0 ; t0 ) alrededor de X son su…cientemente suaves, se puede hacer una expansión en series de Taylor alrededor de X en términos de X0 X y se puede considerar el orden deseado de exactitud. Si se deja hasta orden uno, las ecuaciones constitutivas resultantes describen materiales simples. x (X0 ; t0 ) = x (X; t0 ) + X 0K X K x;K (X; t0 ) 1 + X 0K X K X 0L X L x;KL (X; t0 ) + ::: 2! (X0 ; t0 ) = (X; t0 ) + X 0K X K ;K (X; t0 ) 1 + X 0K X K X 0L X L 2!

;KL

(X; t0 ) + :::

(5.47)

(5.48)

68

CAPÍTULO 5. ECUACIONES GENERALES DE BALANCE Para los materiales simples T (X; t) = G (x (X; t0 ) ; x;K (X; t0 ) ; (X; t0 ) ;

;K

(X; t0 ) ; X; t)

(5.49)

materiales dependientes del gradiente. Principio de la memoria Si el comportamiento de un medio en el instante presente no es apreciablemente afectado por los efectos de un pasado distante, los funcionales constitutivos pueden ser formulados enfatizando los efectos en sólo una vecindad in…nitesimal t t0 de t. Memoria suave y memoria difusa. Series de Taylor para memoria suave alrededor de t x (X0 ; t0 ) = x (X0 ; t) + (t0 (X0 ; t0 ) = (X0 ; t) + (t0

t) x_ (X0 ; t) +

1 0 (t 2!

1 t) _ (X0 ; t) + (t0 2!

2

t) x • (X0 ; t) + :::

(5.50)

2 t) • (X0 ; t) + :::

(5.51)

T (X; t) = H (x (X; t0 ) ; x_ (X0 ; t) ; x • (X0 ; t) ; :::; (X; t0 ) ; _ (X0 ; t) ; • (X0 ; t) ; :::; X; t

(5.52)

Las ecuaciones constitutivas que involucran rapideces de cambio temporal se dice que son materiales dependientes de la rapidez de cambio temporal. Los materiales reales pueden tener los dos tipos de dependencia, del gradiente y de la rapidez de cambio, T (X; t) = M x; x; _ x •; :::; x;K ; x;K ; :::; ; _ ; •; :::;

;K ; ;K ; :::; X; t

!

: (5.53)

Para materiales simples T (X; t) = M x; x;K ; x;K ; :::; ; _ ; •; :::;

;K ; ;K ; :::; X; t

:

(5.54)

Principio de la objetividad espacial y de la simetría material El axioma de objetividad espacial se re…ere a la invarianza de los funcionales constitutivos con respecto a transformaciones de los marcos de referencia espaciales.


69

El axioma de simetría material se re…ere a la invarianza de los funcionales constitutivos con respecto a transformaciones rígidas de los marcos de referencia materiales. Los funcionales de respuesta constitutivos para materiales simples termomecánicos tienen la forma típica T (X; t) = T

• (X0 ; t) ; x;K (X; t) ; x;K (X; t) ; x_ (X0 ; t) ; x (X; t0 ) ; _ (X0 ; t) ;

T (X; t) = T

;K

CKL ; C_ KL ; ; _ ;

(X; t0 ) ;

;K

(X0 ; t) ; X : (5.55)

1

(5.56)

;K ; ;K ;

; _; X

Materiales termoviscoelásticos simples T (X; t) = T

CKL ; C_ KL ; ; _ ;

;K ; ;K ; X

(5.57)

que combina respuestas del material tanto viscosas como elásticas. Para materiales puramente termoelásticos cuando C_ KL ; _ ; y ciables, la ecuación constitutiva toma la forma T (X; t) = T (CKL ; ;

;K

son despre-

;K ; X) :

(5.58)

;K ; ;K ; x

(5.59)

Para ‡uidos puramente termoviscosos T (x; t) = T y si _ y

;K

D;

1

; ; _;

son despreciables, queda como T (x; t) = T D;

1

; ;

;K ; x

^ D; =T

1

; ;r ;x

(5.60)

Axioma de consistencia El Axioma de consistencia o de estados admisibles establece que las ecuaciones constitutivas no deben contradecir las leyes de balance fundamentales ni la desigualdad de la entropía. Este axioma se necesita porque las ecuaciones de campo que resultan de la sustitución de las ecuaciones constitutivas de un material en las ecuaciones de balance y la ley de la entropía junto con las condiciones de frontera gobiernan los problemas físicos que involucran el material y por lo tanto deben ser compatibles unas con otras.

70


Capítulo 6

Fluidos 6.1. 6.1.1.

Ecuaciones constitutivas para ‡uidos Fluidos Stokesianos

Las ecuaciones constitutivas para ‡uidos termoviscosos T (x; t) q (x; t) (x; t) (x; t)

^ D; = T

1

= q ^ D; = ^ D;

1

=

1

^ D;

; ;r ;x ;

; ;r ;x ;

(6.2)

; ;r ;x ;

(6.3)

1

; ;r ;x ;

sujetas a la desigualdad de Clausius-Duhem. Aplicando la desigualdad de Clausius-Duhem a (x; t) = ^

1

(6.1)

(6.4)

se llega a

; ;x

(6.5)

y la desigualdad queda como T

@ @

1

g

1

1 : D+ q r

0;

(6.6)

0:

(6.7)

o en notación indicial @ @

T kl

1

1 g kl Dkl + q k

;k

El término

@ @ 1 se denomina presión termodinámica (esfuerzo esférico), mientras que =

T kl

@ @

1

g kl

= T kl + g kl = S kl ;

S kl

= S kl D; 71

1

; ;r ;x ;

(6.8)

(6.9) (6.10)

72

CAPÍTULO 6. FLUIDOS

entonces la desigualdad de Clausius–Duhem queda como 1 S kl Dkl + q k

0

;k

y como los términos son independientes y

(6.11)

0 (temperatura absoluta)

S kl Dkl q k ;k

0; 0:

(6.12) (6.13)

F (D) = S : D

(6.14)

F (D)

0;

F (0) = 0

(6.15)

por lo que se tiene un mínimo en D = 0 y por lo tanto @F=@Dkl = 0 en Dkl = 0. S es debido únicamente al ‡ujo y es nulo o cero cuando la rapidez de deformación o ‡ujo es cero. Las ecuaciones constitutivas para ‡uidos termoviscosos no lineales, no homogéneos, anisótropos y conductores del calor, denominados ‡uidos Stokesianos son T kl S kl S kl Dkl q (x; t)

= g kl + S kl ; kl = S D; 1 ; ; r ; x ;

0; = q ^ D; @ ; (x; t) = @ q k ;k 0;

1

; ;r ;x ;

(6.16a) (6.16b) (6.16c) (6.16d) (6.16e) (6.16f)

con la propiedad S=0

6.1.2.

para

D = 0:

(6.17)

Fluidos Stokesianos lineales

Para obtener las ecuaciones constitutivas para ‡uidos Stokesianos lineales con respecto a D y r ; se expanden S y q como polinomios lineales de Dkl y ;k ; S kl q

k

= =

kl klmn Dmn 0 + 1 k klm Dlm + 0 + 1

+ kl

klm ;m ; 2

(6.18)

;l ;

(6.19)

en donde los coe…cientes son funciones de 1 ; y x. Puesto que S = 0 cuando D = 0 y q = 0 cuando r = 0, las ecuaciones se reducen a S kl qk

= =

klmn Dmn ; 1 kl : ;l

(6.20) (6.21)

6.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS

73

Sustituyendo en 6.22 se obtiene T kl klmn Dmn Dkl 1 k

q

(x; t) kl

;l

g kl +

=

klmn Dmn ; 1

0; kl

=

;l ;

@ ; @

=

(6.22d)

0;

;k

(6.22a) (6.22b) (6.22c)

(6.22e)

1 1 1 en donde = kl ; ; x ; klmn = klmn ; ; x y kl = kl ; ;x ; 1 1 y son las ecuaciones constitutivas para un ‡uido Stokesiano lineal termoviscoso, anisótropo y conductor del calor.

Fluidos termoviscosos lineales e isótropos Si el ‡uido es isótropo con respecto a los esfuerzos, se puede expandir la función tensorial de cuarto orden klmn en términos de tensores isótropos de un 1 orden más bajo (par). Entonces T kl =

g kl +

Dm m g kl + 2

Dkl ;

(6.23)

donde los coe…cientes y son funciones de 1 ; y x. Para ‡uidos homogéneos estos coe…cientes sonindependientes de x. De forma similar, si el ‡uido es isótropo con respecto al ‡ujo de calor, se tiene kl = g kl (6.24) y entonces qk =

g kl

;l ;

( > 0) :

(6.25)

Las ecuaciones constitutivas para un ‡uido Stokesiano lineal termoviscoso, isótropo con respecto al tensor de esfuerzos y al ‡ujo de calor quedan como T kl qk

= =

g kl + g kl ;l ;

Dm m g kl + 2 ( > 0) :

Dkl ;

(6.26) (6.27)

Los coe…cientes y se denominan los coe…cientes de viscosidad del ‡uido, mientras que el coe…ciente se denomina conductividad térmica del ‡uido. El segundo término en la ecuación del esfuerzo que contiene Dm m , representa la parte del esfuerzo debido a expansiones volumétricas del ‡uido o rapidez de dilatación, y por lo tanto el coe…ciente se denomina viscosidad dilatacional. El coe…ciente se denomina coe…cientes de viscosidad dinámica o viscosidad al cortante. Las dimensiones de y son dim (

) = dim (

)=ML

1

T

1

:

(6.28)

74


Fluidos viscosos lineales e isótropos Si los efectos de la transferencia de calor son despreciables, entonces la dependencia de S sobre r son despreciables e implica que q = 0. Entonces T kl = Restricciones sobre

g kl +

Dm m g kl + 2

Dkl :

(6.29)

y

Considerando la desigualdad S kl Dkl

0;

(6.30)

se tiene que Dm m g kl + 2

S kl Dkl =

Dkl Dkl

0:

(6.31)

Utilizando ID IID Tr D2 kl

D Dkl

Tr D = Dm m ; 1 2 (Tr D) Tr D2 = 2 = Dlk Dkl = Dkl Dkl ; =

=

2 ID

(6.32) 1 2 ( Dm m ) = 2

Tr D2

(6.34)

2IID

(6.35)

2 ID +2

( (

2 ID 2 ) ID 2 ) ID

+2 +2

2IID 4 4

IID IID

0;

(6.36)

0; 0;

(6.37) (6.38)

1 2 2 (3 + 2 ) ID +2 2ID 6IID 0; 3 y expresando los invariantes en términos de los valores principales ID IID IIID

(6.33)

= D1 + D2 + D3 ; = D1 D2 + D2 D3 + D3 D1 ; = D1 D2 D3 ;

(6.39)

(6.40) (6.41) (6.42)

entonces 2 2ID

6IID = (D1

2

2

D2 ) + (D2

D3 ) + (D3

2

D1 )

0;

(6.43)

por lo que (

+2

)

0; 0:

(6.44) (6.45)

Cuando las variaciones de presión en el ‡ujo de un ‡uido son tales que no afectan la densidad del ‡uido, entonces es independiente de x y t y permanece constante en todo el ‡uido. Por lo tanto, de la ecuación de continuidad se obtiene r v = v k ;k = Dk k = 0:

(6.46)

6.2. ECUACIONES BÁSICAS EN TEORÍA DE FLUJO VISCOSO

75

Tales ‡uidos se denominan ‡uidos incompresibles o líquidos. Se acostumbre en estos casos reemplazar la presión termodinámica = 1 ; en la expresión del tensor de esfuerzos por p, la cual es de…nida como la presión hidrostática isótropa y representa la presión en el ‡uido cuando está en reposo. Entonces la ecuación constitutiva para los esfuerzos en un ‡uido viscoso e incompresible es T kl = p g kl + 2 Dkl ; (6.47) o en notación directa T=

p1 + 2

(6.48)

D

con la restricción 0:

(6.49)

Los ‡uidos que obedecen a esta ecuación constitutiva se denominan ‡uidos Newtonianos. En el caso en donde + 2 = 0, la cual se llama la condición de Stokes, para el caso de ‡uidos newtonianos compresibles, que es váñida sólo para gases monoatómicos. Pero como no se tienen medidas disponibles para el coe…ciente de viscosidad dilatacional, se utiliza = 32 para todos los ‡uidos compresibles. Tomando la traza de T=( p+

Tr D) 1 + 2

(6.50)

D

se tiene Tr T = 3 ( p + y si se toma

=

Tr D) + 2 2 3

Tr D =

3p + (3

+2

) Tr D:

(6.51)

en la ecuación de arriba, se obtiene 1 Tr T; 3

p=p=

(6.52)

donde p se denomina como presión mecánica. Y sustituyendo = 23 en T, T=

6.2.

p+

2 3

Tr D

1+2

D:

(6.53)

Ecuaciones básicas en teoría de ‡ujo viscoso

Las ecuaciones de balance @ + r ( v) = 0; @t r T+ (f v_ =

v) _ =0

Dv @v = + v rv; Dt @t

(6.54) (6.55) (6.56)

76

CAPÍTULO 6. FLUIDOS T = TT ; T=

p+

2 3

Tr D

(6.57) 1+2

(6.58)

D;

1 rv + rvT ; 2 "_ = T : D + r q + h = Tr (T D) +r q + h; D=

_ +

1

_ + T: D

(6.60)

q r = _ +

6.2.1.

(6.59)

_ + Tr (T D)

1

q r

0: (6.61)

Las ecuaciones de Navier-Stokes @v + v rv @t

2 Tr D 3 r A + 2 r D;

r T = r = donde A=

p+

r A

= r T+ f

2 3

p+

Tr D

= gk =

1=

p+

@v + v rv @t

=

rp

=

f

1+2

D (6.63)

r v

1=

1

(6.64)

@ Ai j gi gj = Ai j;i gj @xk i j j ;i g

= r = rp + r D=

2 3

(6.62)

2 3

r (r v)

1 r2 v + r (r v) 2

2 3 rp +

r (r v) +

(6.65) (6.66)

r2 v + r (r v) + f

1 r2 v + r (r v) ; 3

(6.67)

y para ‡uidos incompresibles @v + v rv @t

= f

rp +

r2 v;

(6.68)

6.3. ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DE FLUJO (FLUX)

6.3.

77

Ecuaciones de campo en forma de ‡ujo (‡ux)

@ + r ( v) = 0; @t donde v es la densidad de ‡ujo de masa. @v = f @t @ ( v) @t

v rv + r T @v @ +v @t @t @v v r ( v) @t

= =

@v @ = ( v) + v r ( v) @t @t @ ( v) = f @t

v rv

v r ( v) + r T

(6.69)

(6.70)

(6.71) (6.72) (6.73)

r (uv) = (r u) v + u rv

(6.74)

r ( vv) = v rv + v r ( v)

(6.75)

@ ( v) = f r ( vv) + r T (6.76) @t donde vv es el producto tensorial de v con v. Expresnado la ecuación anterior como @ ( v) = f r ; (6.77) @t donde = vv T (6.78) es el tensor de densidad de ‡ujo de momentum.

6.4.

Disipación viscosa

Durante el ‡ujo de un ‡uido se disipa calor en una forma irreversible. La parte del esfuerzo que es debida al ‡ujo y a la dilatación es identi…cada como el esfuerzo disipativo. Para ‡uidos compresibles, el esfuerzo disipativo está dado por S = ( Tr D) 1 + 2 D = (r u) 1 + 2 D; (6.79) o utilizando la condición de Stokes, S=

=

2 3

,

2 (r u) 1 + 2D ; 3

(6.80)

78


y para ‡uidos incompresibles S=2

(6.81)

D:

El trabajo hecho por el esfuerzo disipativo en producir un ‡ujo contribuye a la disipación viscosa de energía. Entonces, la expresión para la rapidez de cambio de disipación viscosa es S : D = Tr (S D) = S kl Dkl =

0:

(6.82)

Para ‡uidos compresibles se tiene que = Tr (S D) = Tr [( (r u) 1 + 2 = Tr (r u) D + 2 D2 2

=

D) D]

Tr D2 :

(r u) + 2

(6.83) (6.84) (6.85)

Utilizando la de…nición de la magnitud de un tensor de segundo orden q kAk = Tr (A AT ) se tiene que para un tensor simétrico q p p kDk = Tr (D DT ) = Tr (D2 ) = Dkl Dkl :

(6.86)

(6.87)

Por lo que

=

2

(r u) + 2

2

uk ;k

kDk =

2

+2

Dkl Dkl ;

(6.88)

y utilizando la condición de Stokes =

2

2 kDk

2 2 (r u) : 3

(6.89)

Para el caso de ‡uidos incompresibles =2

6.5.

2

kDk :

(6.90)

Condiciones de frontera y condiciones iniciales

Condición de no deslizamiento de la velocidad o condición de adherencia

6.6. 6.6.1.

Propiedades generales de la ecuación de NavierStokes Eliminación del término de fuerzas de cuerpo

En el caso de un ‡uido incompresible, el término de la fuerza de cuerpo en la ecuación de Navier-Stokes @v + v rv = f rp + r2 v; (6.91) @t

6.6. PROPIEDADES GENERALES DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES79 puede ser incluido en el término del gradiente de presión bajo las siguientes condiciones: 1. La única fuerza de cuerpo es debida a la gravedad, i.e. f = g. 2. No hay super…cies libres en el cuerpo, en cuyo caso la presencia explícita de la fuerza de cuerpo debida a la gravedad es necesaria. 3. No hay estrati…caciones de la densidad (el ‡uido es homogéneo y las fuerzas de ‡otación son despreciables). Cuando las condiciones mencionadas se cumplen, entonces f = g=

(6.92)

rU;

donde U es la energía potencial del ‡uido, de forma que la ecuación de NavierStokes para ‡uidos incompresibles toma la forma @v + v rv @t

=

rP +

r2 v;

(6.93)

donde P = p + U + p0

(6.94)

y p0 es una presión constante. La cantidad P es la presión modi…cada.

6.6.2.

La ecuación de la vorticidad

La ecuación de Navier-Stokes para ‡uidos incompresibles y en auscencia de fuerzas de cuerpo es @v + v rv @t

=

@v + v rv = @t

1

rp +

r2 v:

rp + r2 v:

(6.95) (6.96)

Utilizando la identidad 1 r (v v) 2

(r

v

v) = v rv;

(6.97)

y el vector de vorticidad !=r

(6.98)

v

se tiene que @v 1 + r (v v) @t 2

v

!=

1

rp + r2 v:

(6.99)

Tomando el rotacional en ambos lados de la ecuación anterior, y utilizando r

r =0

(6.100)

80


y r se obtiene

(r

r2 v

v) = r (r v)

@! =r @t

(6.101)

!) + r2 !:

(v

(6.102)

Utilizando ahora r

(u

v) = ur v

u rv

vr u + v ru

(6.103)

y @! = vr ! @t

!r v + ! rv + r2 !;

v r!

r v = 0;

@! = @t

r ! = 0;

(6.104) (6.105)

v r! + (! r) v + r2 !:

(6.106)

se obtiene

d! = (! r) v + r2 !: (6.107) dt Las Ecuaciones 6.102 y 6.107 gobiernan el transporte de vorticidad durante el ‡ujo de un ‡uido. En la Ecuación 6.102, el primer y segundo término a la derecha representan la convección y la difusión de la vorticidad, respectivamente, los dos procesos contribuyen a la rapidez de cambio de la vorticidad de un ‡uido. Cuando la vorticidad inicial en el ‡ujo de un ‡uido es diferente de cero, de acuerdo con las Ecuaciones 6.102 y 6.107, la vorticidad nunca será cero durante el ‡ujo. Esto signi…ca, que la vorticidad, una vez que se presenta en un ‡uido, permanece presente permanentemente en el ‡ujo. A este fenomeno se le llama la permanencia de la vorticidad.

6.6.3.

Función de corriente en ‡ujos planos

Un ‡ujo plano es aquel cuyo movimiento consiste de líneas de corriente en cada instante de tiempo que son geométricamente idénticas en planos paralelos a un plano dado, y no ocurren cambios en la dirección normal a estos planos. La formulación matemática de los ‡ujos planos puede ser reducida a dos dimensiones. Debido a esta simpli…cación, todos aquellos sistemas de coordenadas que son cilíndricos pueden ser utilizados para representar este tipo de ‡ujos. Para un ‡ujo plano incompresible, la solución de la ecuación de continuidad, r v = 0; puede ser expresada en la forma v=r

;

(6.108)

donde el vector tiene la forma =

3

=

(3)

=

x1 ; x2 ; t g3 = 1

2

x1 ; x2 ; t g3

2

x ; x ; t e3 = 1

3

x ; x ; t e3 ;

1

(3)

2

x ;x ;t e

(6.109) 3

(6.110) (6.111)

6.6. PROPIEDADES GENERALES DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES81 donde es el componente en la dirección de e3 (la dirección en donde el vector base es constante), y por lo tanto, los símbolos de Christo¤el asociados con esa dirección son cero. Los componentes de la velocidad son v

= "mki i;k gm 1 g1 = p 3;1 g2 g 3;2 = 3;2 g1 3;1 g2 p p g11 g22 = e1 e2 : p p g ;2 g ;1

(6.112)

La función es llamada función de corriente. Una línea de corriente es una curva en una región del ‡ujo de un ‡uido tal que el vector de velocidad en cada uno de sus puntos es tangencial a la curva; tal curva tiene la propiedad dx2 dx3 dx1 = 2 = 3 : (6.113) 1 v v v Para el caso de coordenadas cartesianas, los componentes de la velocidad, de acuerdo con la Ec. 6.112, quedan como @ ; @y @ v = : @x en cada instante t, se obtiene que u

Calculando la diferencial de

=

d (x; y; t) = u dy

(6.114) (6.115)

v dx

(6.116)

dz = 0;

(6.117)

y de la Ec. 6.113 se tiene que u dy

v dx = 0;

por lo que a cada instante t se tiene d (x; y; t) = 0;

(6.118)

(x; y; t) = c;

(6.119)

entonces donde c es una constante arbitraria de integración. Para diferentes valores de c, se tiene una familia de líneas de corriente del ‡ujo en cada instante. Para el caso de coordenadas polares, los componentes de la velocidad, de acuerdo con la Ec. 6.112, quedan como vr

=

v

=

1@ ; r@ @ : @r

(6.120) (6.121)

82


En el caso de un ‡ujo plano incompresible dado en un sistema coordenado no cilíndrico, como el caso de las coordenadas esféricas (r; ; ) ; donde es el ángulo azimutal con respecto a = 0, la ecuación de continuidad está dada por r v=

1 @ @ 1 r2 vr + (v sin ) = 0; 2 r @r r sin @

(6.122)

en donde vr = vr (r; ) ; v = v (r; ) ; v = 0. Este campo de velocidad representa un ‡ujo axisimétrico alrededor del eje = 0. La función de corriente (r; ) que satisface la Ec. 6.122 está dada por vr

=

v

=

@ 1 ; sin @ 1 @ : r sin @r

(6.123)

r2

(6.124)

La función de corriente para este caso es llamada función de corriente de Stokes para lujo axisimétrico. En el caso de un ‡ujo compresible, los componentes de la velocidad en coordenadas cartesianas quedan como

6.6.4.

u

=

v

=

1@ ; @y 1@ : @x

(6.125) (6.126)

Ecuación de Navier-Stokes en términos de la función de corriente

La vorticidad de un ‡ujo plano incompresible en términos de la función de corriente en un sistema de coordenadas cilíndrico es !=r

v=r

(r

);

(6.127)

r2 v;

(6.128)

y utilizando r v = 0 y la identidad r

(r

v) = r (r v)

se tiene que !=r

(r

)=

r2

=

e3 r 2 :

(6.129)

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de Navier–Stokes en la forma de transporte de vorticidad @! + v r! = (! r) v + r2 !; @t

(6.130)

en donde el término (! r) v = 0 debido a que el gradiente del campo de velocidad es normal al vector de vorticidad, por lo que la ecuación queda @! + v r! = @t

r2 !;

(6.131)

6.7. PRINCIPIO DE SIMILITUD

83

y sustituyendo las expresiones para v y ! en términos de la función de corriente e3

@ r2 @t

e3

r4

;

g k e3 =

r2

;k

+ v r! =

(6.132)

en donde r4 = r2 r2 es el biarmónico.. Para el término v r! se tiene que r! = gk

@ @xk

e3 r 2

r2

=

;k

y v r!

= = =

p p g11 g22 e1 e2 p p g ;2 g ;1 p p g11 g 11 ;2 r2 ;1 p g 1 p g

;2

r2

;1

1 p g

r2

;k

p p g22 g 22 p g ;1

r2

;2

p

p

g kk ek e3 ; (6.133)

g kk ek e3

;1

r2

;2

e3

e3 ;

(6.134)

r4 :

(6.135)

entonces la Ec. queda como @ r2 @t

6.6.5.

1 +p g

;2

r2

;1

1 p g

;1

r2

;2

=

Función de corriente en ‡ujos axisimétricos generales

Pendiente

6.7.

Principio de similitud

Similaridad geométrica Similaridad dinámica Para simular una situación de un ‡ujo real, es necesario mantener patrones idénticos de las líneas de corriente del ‡ujo. Esto se lleva a cabo manteniendo las razones de fuerzas idénticas en todos los puntos correspondientes del ‡ujo. Forma adimensional. Cantidades características representativas de un ‡ujo Consideremos el ‡ujo laminar y no estacionario de un ‡uido incompresible en ausencia de fuerzas de cuerpo. Sean x, t; ; v y p las coordenadas espaciales, el tiempo, la densidad de masa, el campo de velocidad y el campo de presión, respectivamente. La ecuación de Navier–Stokes que gobierna al ‡ujo, en ausencia de fuerzas de cuerpo es Dv @v = + v rv = Dt @t

1

rp + r2 v:

(6.136)

84


Sean ahora L; U; t1 = L=U; p1 = U 2 la longitud, velocidad, tiempo y presión caracterísiticos que tipi…can al ‡ujo. De…niendo las siguientes cantidades adimensionales x ; L v ; U t Ut = ; t1 L p p ; = p1 U2

x = v

=

t

=

p

=

(6.137) (6.138) (6.139) (6.140)

en donde la adimensionalización de las coordenadas espaciales sólo aplica para aquellas variables coordenadas que tienen dimensiones de longitud. Para los operadores diferenciales, se tiene que r = gk

@ 1 @ 1 = gk k = r: @xk L @x L

(6.141)

Sustituyendo en la ecuación de Navier–Stokes x = L x; v = U v; L t = t; U p = U 2 p; @v + v rv @t

=

@ (U v) 1 + (U v) r (U v) L L @ Ut

=

U2 L

Dv = Dt donde Re =

(6.144) (6.145)

@v + v rv @t

(6.146)

1 2 r v; Re

(6.147)

rp + UL

(6.142) (6.143)

=

UL

(6.148)

es un número adimensional llamado el número de Reynolds del ‡ujo. Por conveniencia en la notación, las barras se pueden quitar y la ecuación queda como 1 2 Dv = rp + r v; (6.149) Dt Re la cual es la forma adimensional de la ecuación de Navier–Stokes. Si dos campos de ‡ujo pasan a través de cuerpos geométricamente similares con condiciones de frontera similares, y cada ‡uido tienen sus propias características, pero los dos ‡ujos serán dinámicamente similares (es decir, tendrán las

6.7. PRINCIPIO DE SIMILITUD

85

mismas líneas de corriente) si y solo si tienen el mismo valor para el número de Reynolds. Este principio es conocido como Principio de similaridad de Reynolds (O. Reynolds, 1938). El tensor de rapidez de deformación D=

1 T ru + (ru) 2

=

donde D=

1 2

U U ru + ru L L

1 ru + ru 2

T

T

=

U D; L

:

(6.150)

(6.151)

El tensor de esfuerzos T=

p 1 + 2 D = U2

p1 +

2 D Re

= U 2 T;

(6.152)

donde

T 2 = p1 + D: (6.153) U2 Re El término convectivo de las fuerzas inerciales, v rv, tiene el orden de magnitud U 2 =L, mientras que el término de las fuerzas viscosas, r2 v, tiene el orden de magnitud U=L2 : El cociente de las fuerzas inerciales (Fi ) entre las fuerzas viscosas (Fv ), está dado por T=

Fi Fv

U 2 =L UL = Re = U=L2

(6.154)

en donde se observa que el número de Reynolds es una medida del la razón de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas viscosas ( orden de magnitud). En el caso de campos de ‡ujo en donde es necesario considerar la presencia del campo gravitatorio y su relación con respecto a las fuerzas inerciales, como en el caso de super…cies libres o campos de ‡ujo con estrati…caciones en la densidad, se de…ne el número de Froude F r, el cual es una medida de la razón de las fuerzas de inercia entre las fuerzas gravitacionales, dado por s U Fr = ; (6.155) Lg en donde g es el valor de la aceleración debida a la gravedad. Cuando el ‡uido es compresible, el efecto de las fuerzas de compresibilidad debe tomarse en cuenta. Tal efecto se muestra como fuerzas de elasticidad debidas a la compresibilidad del medio y que lleva a la propagación de las ondas de sonido. Para ello se de…ne el número de Mach M; como una medida de la razón de las fuerzas de inercia entre las fuerzas de compresibilidad, la cual está dada por U M= ; (6.156) c donde c es la velocidad local del sonido. Cuando M < 1 subsónico, cuando M ! 1 transónico, cuando 1 < M 6 supersónico y cuando M > 6 hipersónico.

86


6.8.

Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas, polares cilíndricas y esféricas

La ecuación de Navier-Stokes para un ‡uido compresible es @v + v rv = f @t

1

rp +

1 r2 v + r (r v) : 3

(6.157)

El gradiente de la presión @ (p) = p;k gk : @xk La divergencia del campo de velocidad rp = gk

@ vi gi = vi;k gk gi = vi;k g ki = v k ;k : @xk El gradiente del campo de velocidad r v = gk

rv = gk

@ vi gi = vi;k gk gi @xk

(6.158)

(6.159)

(6.160)

Para r (r v) r (r v) = gk

@ v i ;i = v i ;ik gk = vi;jk g ji gk @xk

(6.161)

El operador v rv v rv = vj gj

vi;k gk gi = vj vi;j gj gk gi = vj vi;j g jk gi

(6.162)

Para el laplaciano del campo de velocidad r2 v r2 v = r rv = gk

@ vi;j gj gi = vi;jk g kj gi : @xk

(6.163)

Los vectores base unitarios son ek gk ek gk

gk p ; g kk p = g kk ek

=

gk ; p gkk p = gkk ek

=

(6.164) (6.165) (6.166) (6.167)

y los componentes físicos del campo de velocidad son v v(k) vk

= vk gk = v(k) ek ; p = g kk vk ; 1 = p v(k) ; g kk

(6.168) (6.169) (6.170)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES = v k gk = v (k) ek ; p = gkk v k ; 1 = p v (k) ; gkk

v v

(k)

vk

(6.171) (6.172) (6.173)

Entonces los operadores antes mencionados en términos de sus componentes físicos quedan como p rp = p;k gk = g kk p;k ek ; (6.174) p r (r v) = vi;jk g ji gk = g kk g ji vi;jk ek (6.175) rv

p p n g kk ek g ii ei ik p p n = g kk g ii vi;k vn ek ei ik p v rv = vj vi;j g jk gi = g ii g jk vj vi;j ei ;

= vi;k gk gi =

2

vi;k

vn

kj i

kj i

(6.176) (6.177)

kj i

r v = vi;jk g g = (vi;j );k g g = Tji;k g g Tji;k = Tji;k

Tji;k

=

Tni

n jk

Tjn

vi;j

vn

(vi;j );k =

= vi;jk

n ij

vn;k

(6.178)

n ; ik n ij

vn

(6.179)

;k

n ij

;

(6.180)

;k

Tni

n jk

= vi;n

n jk

=

vi;n

vm

m in

n ; jk

(6.181)

Tjn

n ik

= vn;j

n ik

=

vn;j

vm

m nj

n ; ik

(6.182)

entonces vi;jk

= vi;jk

vn;k

+vm

m in

=

vi;jk +vm

=

vi;jk

vi;n m in vi;n

n ij n jk n jk n jk n jk

vn

n ij

m + nj vn;k +

m nj

vi;n ;k

n ik n ij

n jk

vn

n ij

vn;j

n ik

vn;j ;k

n ik

n ik

Aijk + Bijk ;

(6.183)

88


donde Aijk Bijk

= vn;k = vm

n ij

+ vn

m in

n jk

n ij

+ vn;j ;k

m nj

+

n ik

n ; ik

(6.184)

:

(6.185)

El operador laplaciano para un campo escalar es r2 = g kj

@2 @xk @xj

n @ j k @xn

;

(6.186)

y para el campo esclar vi queda como r2 vi = g kj vi;kj

n jk

vi;n

;

(6.187)

por lo que el laplaciano de un campo vectorial r2 v

= vi;jk g kj gi =

vi;jk

vi;n

n jk

Aijk + Bijk g kj gi

r2 vi Aijk g kj + Bijk g kj gi p g ii r2 vi Aijk g kj + Bijk g kj ei : = =

(6.188)

El laplaciano r2 vi en términos del componente físico v(i) queda como r2 vi = r2

1 p v(i) g ii

!

0

1 = g kj @ p v(i) g ii

!

;kj

1 p v(i) g ii

!

;n

para el primer término del lado derecho se tiene que 1 0 ! ! 1 1 1 p v(i) = @ p v(i) + p v(i);k A ii g ii g g ii ;k ;kj ;j ! ! 1 1 p = v(i) + p v(i);j g ii ;kj g ii ;k ! 1 1 + p v(i);k + p v(i);kj ; g ii ;j g ii y para el segundo término del lado derecho se tiene ! ! 1 1 1 p v(i) = p v(i) + p v(i);n : g ii g ii ;n g ii ;n

1

n A ; jk

(6.189)

(6.190)

(6.191)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES Sustituyendo en r2 vi y agrupando los términos que están multiplicandos por p ii 1= g se tiene 1 r2 vi = p g ii

g kj v(i);kj 0

n jk

v(i);n

0

1 g kj @v(i) @ p g ii +

que se puede expresar ahora como

+

!

1 p g ii

;kj

1 p g ii

!

donde

Cijk =

!

1 p g ii

;k

1 r vi = p r2 v(i) + v(i) r2 g ii 1 p g ii

;n

v(i);j +

1 p g ii

2

1 p g ii

v(i);j +

;k

1 n A jk

!

!

!

;j

v(i);k A ; (6.192)

+ Cijk g kj ;

!

v(i);k :

1

(6.193)

(6.194)

;j

Finalmente, el laplaciano del campo de velocidad queda como p r2 v = g ii r2 vi Aijk g kj + Bijk g kj ei " ! # p 1 1 2 2 kj kj kj ii p r v(i) + v(i) r p + Cijk g Aijk g + Bijk g ei = g g ii g ii " ! !# p 1 2 2 kj i p = r v(i) + g ii v(i) r + g (Cijk Aijk + Bijk ) e(6.195) g ii Para sistemas ortogonales, tenemos que los componentes del tensor métrico recíproco g kj sólo son diferentes de cero cuando j = k, por lo que la expresión para el laplaciano se reduce a " ! !# p 1 2 2 2 kk p r v = r v(i) + g ii v(i) r + g (Cikk Aikk + Bikk ) ei ii g h i p p 2 2 i = r v(i) + g ii v(i) r gii + g kk (Cikk Aikk + Bikk ) e(6.196) ;

en donde

1 gii = p g ii quedan como p

y los tensores Aikk , Bikk y Cikk Aikk

= vn;k =

2vn;k

n ik n ik

+ vn + vn

n ik n ik

(6.197)

+ vn;k ;k

; ;k

n ik (6.198)

90

CAPÍTULO 6. FLUIDOS Bikk = vm Cikk

m in

n kk

+

p

gii ;k v(i);k + p 2 gii ;k v(i);k :

= =

r2 u = g kk u;kk

6.8.1.

u;n

m nk p

gii

n ik ;k

;

(6.199)

v(i);k (6.200)

n kk

;

(6.201)

Coordenadas polares

Para cada uno de los términos en los que aparece un operador diferencial de la ecuación de Navier–Stokes tenemos: Gradiente del campo de presión p @p 1 @p @p er + e + ez : (6.202) rp = g kk p;k ek = @r r@ @z Divergencia del campo de velocidad r v = v k ;k =

1 @v @vz 1 @ (r vr ) + + : r @r r @ @z

(6.203)

Gradiente del campo de velocidad rv

= vi;k gk gi = =

p p g kk g ii vi;k

vn

n ik

ek ei

1 @ (r v ) @vz @vr er er + v er e + er ez @r r @r @r 1 @vr @v 1 1 + v e er + 2 r + r vr e e + r @ r @ r @v @vz @vr ez er + ez e + ez ez ; + @z @z @z

@vz @

e ez (6.204)

y en forma matricial 2

rv = 4

1 r

@vr @r @vr @ @vr @z

v

1 r

Para el componente convectivo inercial

v rv

=

@vr v + @r r v @v + + vr @r r @vz v + vr + @r r vr

@v @r @v @ + @v @z

vr

@vz @r 1 @vz r @ @vz @z

3

5:

@vr @vr v + vz er @ @z @v @v + vr + vz e @ @z @vz @vz + vz ez : @ @z

(6.205)

(6.206)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES El laplaciano de un campo escalar r2 =

@2 1 @ @2 1 @2 + + ; + @r2 r @r r2 @ 2 @z 2

(6.207)

El laplaciano del campo de velocidad r2 v = r2 v i g i = r2 v

(i)

ei

(6.208)

en donde r2 v

(i)

= r2 v(i) +

p p g ii v(i) r2 gii + g kk (Cikk

Aikk + Bikk ) : (6.209)

Para el primer componente del laplaciano de la velocidad (i = 1) ; se tiene p p r2 v r = r2 vr + g 11 vr r2 ( g11 ) + g kk (C1kk A1kk + B1kk ) ; (6.210)

y como

p

g 11 = 1, y r2 r2 v

r

p

g11 = r2 (1) = 0, entonces

= r2 vr + g kk (C1kk

A1kk + B1kk ) ;

(6.211)

y desarrollando la sumas con respecto a k y expresando los sumandos por separado por claridad se tienen las siguientes expresiones para cada uno de los valores del índice k. Para k = 1 ! n n 11 11 = 0; (6.212) g A111 = g 2vn;1 + vn 11 1 1 ;1 m 1n

g 11 B111 = g 11 vm

g 11 C111

n m n + 11 n1 11 p = 2 ( g11 );1 vr;1 = 0:

= 0;

(6.213) (6.214)

Para k = 2 22

g A122

= g

22

= g 22 =

g 22 B122

1 r2 m 1n

= g 22 vm = g 22 v1

1 22

2vn;2 2v2;2

n n + vn 12 12 2 2 + v2 12 12

2 @ (r v ) r @

=

;2

;2

!

!

2 @v ; r2 @

n m n + 22 n2 12 2 1 = vr ( r) 12 r2

(6.215)

1 r

=

vr ; (6.216) r2

92

CAPÍTULO 6. FLUIDOS p g 22 C122 = 2g 22 ( g11 );2 vr;2 = 0:

Para k = 3 33

g A133 = g

33

g 33 B133 = g 33 vm

2vn;3 m 1n

g 33 C133

n n + vn 13 13

;3

(6.217) !

n m n + 33 n3 13 p = 2 ( g11 );3 vr;3 = 0:

= 0;

(6.218)

= 0:

(6.219) (6.220)

Finalmente

2 @v vr : r2 @ r2 Para el segundo componente del laplaciano (i = 2) ; se tiene p p r2 v (2) = r2 v = r2 v + g 22 v r2 ( g22 ) + g kk (C2kk r2 v

r

= r2 vr

1 v r2 (r) + g kk (C2kk r

A2kk + B2kk ) :

r2 v = g kk v

n kk

= r2 v +

(6.221)

A2kk + B2kk ) (6.222)

Para la parte r2 v2

r2 v2

;n

= r2 (r v ) = g kk (r v );kk = g kk (r v );kk

(r v );kk

@2v

= g kk r v

;kk

= g kk r

v

(r v );n

(6.223)

(r v );n n kk

n kk

;

(6.224)

@v @r @2r + v 2 2 @xk @xk @ (xk ) @ (xk ) = r v ;kk + 2v ;k r;k + v r;kk ;

(6.225)

@r @v +v @xn @xn = r v ;n + v r;n ;

(6.226)

= r

(r v );n

r2 v2

v

;kk

+ 2v

;kk

= r r2 v + g kk 2v

= r

;k r;k

v

;n

+2

+ v r;kk n kk

;k r;k

+ 2v

+ v r;kk

(r v

;n

;k r;k

v r;n

+ v r;n )

+ v r;kk n kk

n kk v r;n

n kk (6.227)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES por lo tanto r2 v2

= r r2 v + g 11 2v

;1 r;1

+ v r;11

+g 22 2v

;2 r;2

+ v r;22

2v r;n

+g 33 2v

;3 r;3

+ v r;33

2v r;n

= r r2 v + 2

v r;n

n 11

n 22 n 33

@v v + : @r r

(6.228)

El laplaciano @2 1 @ (r) + (r) 2 @r r @r

1 1 2 r (r) = r r

1 : r2

=

(6.229)

Para los otros componentes realizamos las sumas con respecto a k. Para k=1 ! n n 11 11 g A211 = g 2vn;1 + vn = 21 2 1 ;1 ! 2 2 11 = g 2v2;1 + v2 21 2 1 ;1 2

= g 11 B211

2 21 1 (r v ) r

= g 11 v2

p g 11 C211 = 2g 11 ( g22 );1 v

1 r2

+rv

(6.230)

m 2n

= g 11 vm

=

1 r

@ (r v ) @r @v v 2 + @r r

=

n m + 11 n1

n 21

2 21 1 v = ; r r ;1

=2

(6.231)

@ (r) @ v @v =2 : @r @r @r

k=2 22

g A222

= g

22

= g 22 =

1 r2

2vn;2 2v1;2

n n + vn 22 22 1 1 + v1 22 22

2r

@vr @

=

;2

;2

2 @vr r @

(6.232)

!

!

(6.233)

94

CAPÍTULO 6. FLUIDOS g 22 B222

= g 22 vm = g 22 v2 =

2

=

1 r2 v 2 r

m 2n 2 21

n m n + 22 n2 22 1 2 1 + 22 12 22 1 (r v ) ( r) r (6.234)

p g 22 C222 = 2g 22 ( g22 );2 v

;2

= 0:

(6.235)

k=3 33

g A233 = g

33

2vn;3 m 2n

g 33 B233 = g 33 vm

n n + vn 23 23

n m + 33 n3

n 23

p g 33 C233 = 2g 33 ( g22 );3 v Finalmente

g kk A2kk = 2

(6.236)

=0

(6.237)

= 0:

(6.238)

A2kk + B2kk )

= =

= r2 v +

v r

@v @r 2 @vr r @

2

(6.241)

v ; r

@v v + @r r

(6.242)

2 @vr r @

v r

2

+

v r

2

v r

(6.243)

p p g 22 v r2 ( g22 ) + g kk (C2kk

1 v 2 @vr + r r r @ 2 @v v r = r2 v + 2 : r @ r2 = r2 v +

(6.240) 2 @vr ; r @

2

2 2

(6.239)

@v ; @r

@v v + @r r

g kk B2kk =

r2 v

;3

=0

v p v r2 ( g22 ) = 2 ; r g kk C2kk = 2

g kk (C2kk

;3

!

A2kk + B2kk )

v r

(6.244)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES 1 r

@v v + @r r v 2 @v v + + 2 + 2 r @r r r 2 @vr v + + 2 2 2 r @ r 2 @v v r = r2 v + 2 r @ r2

r2 v

=

r r2 v + 2

(6.245)

Para el tercer componente del laplaciano (i = 3) p p r2 v (3) = r2 v z = r2 vz + g 33 vz r2 ( g33 ) + g kk (C3kk = r2 vz + vz r2 (1) + g kk (C3kk 2

= r vz + g

kk

(C3kk

A3kk + B3kk )

A3kk + B3kk ) :

(6.246)

Para k = 1 g 11 A311 = g 11

n n + vn 31 31

2vn;1

;1

g 11 C311

n m n + 11 n1 31 11 p = 2g ( g33 );1 vz;1 = 0:

k=2 22

g A322 = g

22

n n + vn 32 32

2vn;2

;2

g 22 C322

g A333 = g g 33 B333 = g 33 vm

!

n m n + 22 n2 32 22 p = 2g ( g33 );2 vz;2 = 0:

k=3 33

n n + vn 33 33

2vn;3 m 3n

g 33 C333

;3

n m n + 33 n3 33 p = 2g 33 ( g33 );3 vz;3 = 0:

= 0;

(6.247)

= 0;

(6.248) (6.249)

m 3n

g 22 B322 = g 22 vm

33

!

m 3n

g 11 B311 = g 11 vm

A3kk + B3kk )

= 0; = 0;

(6.250) (6.251)

!

= 0;

(6.252)

= 0;

(6.253) (6.254)

Finalmente r2 v

z

= r2 vz :

(6.255)

Los componentes de la ecuación de Navier-Stokes para coordenadas polares cilíndricas quedan como @v + v rv = f @t

1

rp +

1 r2 v + r (r v) : 3

(6.256)

96

CAPÍTULO 6. FLUIDOS v2 1 @p = + fr r @r 2 @v vr @ + r2 vr (r v) (6.257) 2 2 r @ r 3 @r

@ vr @vr v @vr @vr + vr + + vz @t @r r @ @z

@v @v v @v @v vr v 1 1 @p + vr + + vz + = +f @t @r r @ @z r r@ v 1 @ 2 @vr + (r v) (6.258) r2 v + 2 2 r @ r 3r@ @ vz @vz v @vz @vz + vr + + vz = @t @r r @ @z

1 @p + fz @z r2 vz +

6.8.2.

@ (r v) (6.259) 3 @z

Coordenadas esféricas

Para cada uno de los términos en los que aparece un operador diferencial de la ecuación de Navier–Stokes tenemos: El campo de velocidad v = vr er + v e + v ez

(6.260)

Gradiente del campo de presión rp =

p @p 1 @p 1 @p g kk p;k ek = er + e + ez : @r r@ r sin @

(6.261)

Divergencia del campo de velocidad r v = v k ;k =

1 @ 1 @ 1 @v (v sin ) + : r2 vr + 2 r @r r sin @ r sin @

(6.262)

Gradiente del campo de velocidad rv = vi;k gk gi = v1;1 = v1;1

v2;1

= v2;1 =

vn

vn

@ (r v ) @r

p

g kk

n 11

p g ii (vi;k ) ek ei

=

@ v1 @ vr = ; @r @r

n @ v2 2 = v2 21 @r 21 1 @v (r v ) = r ; r @r

(6.263)

(6.264)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES v3;1

n 31 @ (r sin v ) @r

= v3;1 =

v1;2

v2;2

n 32 @ (r sin v ) @

= v3;2 =

v1;3

@ vr @

= v2;3 =

v3;3

vn

= v1;3 =

v2;3

vn

@ (r v ) @

=

vn

@ (r v ) @

@ v3 @r

3 21

v3

1 @v (r sin v ) = r sin ; r @r

n 12

vn

@ vr @

= v2;2

=

@ v1 @ 1 @ vr (r v ) = r @

= v1;2 =

v3;2

vn

vn

n 22

v2

=

=

@ v3 @

v3

@v + r vr ; @

cot (r sin v ) = r sin

n 13

=

@ v1 @

v3

@ v2 @

@v ; @

(6.268)

3 13

3 23 @v cot (r sin v ) = r @ =

(6.267)

3 32

1 @ vr (r sin v ) = r @

n 23

(6.266)

1 22

v1

( r) (vr ) = r

=

2 12

v ;

@ v2 @

(6.265)

sin v ;

(6.269)

v3

r cos v ;

(6.270)

n @ v3 1 2 = v1 v2 33 @ 33 33 @ (r sin v ) = r sin2 vr ( sin cos ) (r v ) @ @v = r sin + sin vr + cos v ; (6.271) @ = v3;3

vn

98


rv

@vr 1 @v 1 @v er er + r er e + r sin er e @r r @r r sin @r @v 1 1 @v 1 @ vr r sin e e v e er + 2 r + r vr e e + 2 + r @ r @ r sin @ 1 @ vr 1 @v + sin v e er + 2 r r cos v e e r sin @ r sin @ @v 1 r sin + 2 + sin vr + cos v e e ; (6.272) 2 @ r sin

=

simpli…cando y representando en forma matricial 2 @v @r vr 1 @v r @ + r cot v @v 1 r sin @ r

@vr @r v 1 @vr r @ r v @ vr 1 r sin @ r

6 rv = 4

@v @r 1 @v r @ @v + vrr @

1 r sin

cot v r

+

3

7 5:

(6.273)

Para el componente convectivo inercial

v rv =

v @vr v @ vr @vr vr + + @r r @ r sin @

+ + vr

v2 r

v2 r

!

er

cot v 2 r

v @v v @v vr v @v + + + vr @r r @ r sin @ r

v @v v @v vr v cot v v @v + + + + @r r @ r sin @ r r

!

e e : (6.274)

El laplaciano de un campo escalar r2 =

1 @ r2 @r

r2

@ @r

+

1 @ 2 r sin @

sin

@ @

+

1 @2 : r2 sin2 @ 2

(6.275)

ei

(6.276)

El laplaciano del campo de velocidad r2 v = r2 v i g i = r 2 v

(i)

en donde r2 v

(i)

= r2 v(i) +

p p g ii v(i) r2 gii + g kk (Cikk

Aikk + Bikk ) : (6.277)

Para el primer componente del laplaciano de la velocidad (i = 1) ; se tiene p p r2 v r = r2 vr + g 11 vr r2 ( g11 ) + g kk (C1kk A1kk + B1kk ) ; (6.278)

y como

p p g 11 = 1, y r2 g11 = r2 (1) = 0, entonces r2 v

r

= r2 vr + g kk (C1kk

A1kk + B1kk ) ;

(6.279)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES y desarrollando la sumas con respecto a k y expresando los sumandos por separado por claridad se tienen las siguientes expresiones para cada uno de los valores del índice k. Para k = 1 11

g A111 = g

11

2vn;1

m 1n

g 11 B111 = g 11 vm

n n + vn 11 11

n m + 11 n1

;1

!

n 11

= 0;

(6.280)

= 0;

(6.281)

p g 11 C111 = 2 ( g11 );1 vr;1 = 0:

(6.282)

Para k = 2 g 22 A122

= g 22 = g =

g 22 B122

2vn;2

22

2v2;2

m 1n 1 22

= g 22 v1

;2

2 2 + v2 12 12

2 @ (r v ) r @

1 r2

= g 22 vm

n n + vn 12 12

;2

!

!

2 @v = 2 ; r @

(6.283)

n m n + 22 n2 12 2 1 vr ( r) = r2 12

1 r

=

vr ; (6.284) r2

p g 22 C122 = 2g 22 ( g11 );2 vr;2 = 0:

(6.285)

Para k = 3 33

g A133

= g = =

33

2vn;3

n n + vn 13 13

1 2 r sin2

2v3;3

1 r2 sin2

2

;3

!

3 3 + v3 13 13

@ (r sin v ) @

1 r

;3

!

=

2 @v r2 sin @

(6.286)

100


g 33 B133

n 13 3 2 3 g 33 v2 + v2 13 33 13 1 3 g 33 v2 + v1 33 13 1 1 1 (r v ) ( sin cos ) + + vr r sin2 r r r2 sin2 vr 2 cot v r2 r2

= g 33 vm = = = =

m 1n 2 12 2 33

n m + 33 n3 2 1 + v1 33 33 2 3 + 12 13

p g 33 C133 = 2 ( g11 );3 vr;3 = 0:

1 r (6.287)

(6.288)

Finalmente r2 v

r

2 @v r2 @ 2vr r2 r2

= r2 vr = r2 vr

vr 2 @v 2 cot v 2 2 r r sin @ r2 2 @v 2 @v cot v + sin @ r2 @

vr r2 : (6.289)

Para el segundo componente del laplaciano (i = 2) ; se tiene r2 v

(2)

=

r2 v

= r2 v +

= r2 v +

p p g 22 v r2 ( g22 ) + g kk (C2kk

1 v r2 (r) + g kk (C2kk r

A2kk + B2kk ) :

A2kk + B2kk ) (6.290)

El laplaciano 1 1 v r2 (r) = r r

1 @ r2 @r

r2

@ (r) @r

=

2v : r2

(6.291)

Para los otros componentes realizamos las sumas con respecto a k. Para k=1 ! n n 11 11 g A211 = g 2vn;1 + vn = 21 2 1 ;1 ! 2 2 11 = g 2v2;1 + v2 21 2 1 ;1 = =

@ (r v ) @r @v v 2 + @r r 2

1 r

+rv

1 r2 (6.292)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES g 11 B211

m 2n

= g 11 vm 2 21 1 (r v ) r

n 21

2 21 1 v = ; r r

= g 11 v2 =

n m + 11 n1

p g 11 C211 = 2g 11 ( g22 );1 v

;1

=2

(6.293)

@ (r) @ v @v =2 : @r @r @r

(6.294)

k=2 g 22 A222

= g 22 = g

22

= g 22 vm = g 22 v2 =

2

=

2v1;2

1 r2

=

g 22 B222

2vn;2

1 r2 v 2 r

n n + vn 22 22 1 1 + v1 22 22

@vr 2r @

2 @vr r @

=

g A233 = g g 33 B233 = g 33 vm

2vn;3

(6.296) ;2

= 0:

Finalmente

n n + vn 23 23

m 2n

g 33 C233

(6.295)

n m n + 22 n2 22 1 2 1 + 22 12 22 1 (r v ) ( r) r

k=3 33

;2

!

m 2n 2 21

p g 22 C222 = 2g 22 ( g22 );2 v 33

;2

!

n m + 33 n3 33 p = 2g ( g22 );3 v

;3

n 23 ;3

= 0:

v p v r2 ( g22 ) = 2 ; r @v g kk C2kk = 2 ; @r @v v 2 @vr g kk A2kk = 2 + ; @r r r @

(6.297) !

=0

(6.298)

=0

(6.299) (6.300) (6.301) (6.302) (6.303)

102

CAPÍTULO 6. FLUIDOS g kk B2kk =

g kk (C2kk

A2kk + B2kk )

@v @r 2 @vr r @

=

2

=

= r2 v +

r2 v

v r 2 2

v ; r

(6.304)

@v v + @r r

2 @vr r @

+

v r

2

1 r

=

v r

(6.308) (6.309)

r r2 v + 2

(6.310)

Para el tercer componente del laplaciano (i = 3) p p r2 v (3) = r2 v = r2 v + g 33 v r2 ( g33 ) + g kk (C3kk = r2 v +

1 r sin

v (6.305) 2 r

A2kk + B2kk(6.307) )

@v v + @r r 2 @v v v + + 2 + 2 r @r r r 2 @vr v + + 2 2 2 r @ r @v v 2 r = r2 v + 2 r @ r2

r2 v

v r

(6.306)

p p g 22 v r2 ( g22 ) + g kk (C2kk

1 v 2 @vr + r r r @ v 2 @vr : = r2 v + 2 r @ r2 = r2 v +

2

v r2 (r sin ) + g kk (C3kk

A3kk + B3kk )

A3kk + B3kk ) : (6.311)

El laplaciano 1 v r2 (r sin ) r sin

= =

1 1 @ 1 @ @ (r sin ) @ (r sin ) r2 + 2 sin (6.312) 2 r r @r @r r sin @ @ 1 r v 1 2r sin + 2r v = 2 2 sin + 2(6.313) : 3 r sin r sin

Para k = 1 11

g A311 = g g 11 B311 = g 11 vm

11

2vn;1 m 3n

g 11 C311

n n + vn 31 31

;1

n m n + 11 n1 31 11 p = 2g ( g33 );1 vz;1 = 0:

!

= 0;

(6.314)

= 0;

(6.315) (6.316)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ES k=2 g 22 A322 = g 22

n n + vn 32 32

2vn;2

;2

m 3n

g 22 B322 = g 22 vm

g 22 C322

n m n + 22 n2 32 22 p = 2g ( g33 );2 vz;2 = 0:

k=3 33

g A333 = g g 33 B333 = g 33 vm

!

33

n n + vn 33 33

2vn;3 m 3n

g 33 C333

;3

n m n + 33 n3 33 33 p = 2g ( g33 );3 vz;3 = 0:

= 0; = 0;

(6.317) (6.318)

!

= 0;

(6.319)

= 0;

(6.320) (6.321)

Finalmente r2 v

z

= r2 vz :

(6.322)

Los componentes de la ecuación de Navier-Stokes para coordenadas polares cilíndricas quedan como @v + v rv = f @t

1

rp +

1 r2 v + r (r v) : 3

(6.323)

v2 1 @p = + fr r @r vr @ 2 @v (r v) (6.324) r2 vr + r2 @ r2 3 @r

@ vr v @vr @vr @vr + vr + + vz @t @r r @ @z

@v @v v @v @v vr v 1 1 @p + vr + + vz + = +f @t @r r @ @z r r@ 2 @vr v 1 @ r2 v + 2 + (r v) (6.325) r @ r2 3r@

104


Capítulo 7

Sólidos 7.1.

Ecuaciones constitutivas para sólidos

El gradiente del campo de desplazamiento es ru = ui;k gk gi = =

p

g kk

p

g ii ui;k

un

n ik

ek ei

1 @ (r u ) @uz @ur er er + u er e + er ez @r r @r @r 1 @ur 1 @u 1 + v e er + 2 r + r vr e e + r @ r @ r @u @uz @ur ez er + ez e + ez ez ; + @z @z @z

@uz @

e ez (7.1)

y en forma matricial 2

rv = 4

1 r

@ur @r @ur @ @ur @z

u

1 r

@u @r @u @ + @u @z

El tensor de deformación e=

ur

@uz @r 1 @uz r @ @uz @z

3

5:

1 ru + ruT 2

(7.2)

(7.3)

Los componentes del tensor de deformación en términos del campo de desplazamiento son 2 3 @u u @uz @ur 1 @ur 2 @ur r @ + @r r @r + @z 1 4 1 @ur @r @u u @u 5 ur 1 @uz e= (7.4) 2 1r @u r @ + @r r @ + r r @ + @z 2 @u @uz @ur @uz 1 @uz + + 2 @r @z r @ @z @z Ie = Tr e = r u =

@ur 1 @u ur @uz + + + @r r @ r @z 105

(7.5)

106

CAPÍTULO 7. SÓLIDOS

1

e= IT Ie

2

1 2

=

e

=

= =

3

e e

=

(3

e

+2 e+ e e

2(

e+

e)

1

(7.8)

2 1 2

3

e)

;

Tk l e

(7.10)

:

+2 e i e T i 3 e+2 e

e

(7.9)

e

e IT

Tk l

(7.7)

1

+2

e

e Ie ;

3 e+2 e E = ; 2 ( e + e) 2 e E ; 2 (1 + ) 2 e E = 1 2 (1 + ) (1

= e

e IT

T

=

(7.6)

1)

Tr T = 3 e Ie + 2 IT = 3 e+2 e

E

ek l

e Ie

=

e=

1+

(T e

(7.11)

(7.12) (7.13) 2 ) k

:

l

e

k

l

IT = Tr T = T i i = T 1 1 + T 2 2 + T 3 3 e1 1

= =

1 e T11 T11 + T22 + T33 2 e 3 e+2 e 1 T11 T22 + T33 ; E 1 T22 T11 + T33 ; e2 2 = E 1 T33 T11 + T22 ; e3 3 = E e1 2 e1 3 e2 3

= = =

1 2

(7.15) (7.16)

(7.17) (7.18) (7.19)

T12 ;

(7.20)

T13 ;

(7.21)

T23 :

(7.22)

e

1 2

e

1 2

(7.14)

e

7.2. DEFORMACIONES PLANAS EN ELASTOESTÁTICA

7.2.

107

Deformaciones planas en elastoestática

Un cuerpo experimenta una deformación plana si esta deformación es idéntica en planos paralelos y no hay deformación en la dirección normal a estos planos. Para el caso de un cilindro, se debe tener un campo de desplazamiento ur u uz El tensor de deformación es 2 @ur e=4

1 2

@r + @u @r

1 @ur r @

= ur (r; ) ; = u (r; ) ; = 0:

@u 1 @ur r @ + @r @u ur 1 r @ + r

1 2

u r

(7.23) (7.24) (7.25)

0

3 0 0 5; 0

u r

0

Ie =

@ur 1 @u ur + + @r r @ r

(7.26)

(7.27)

Tensor de esfuerzos T=

e Ie

1+2

e

(7.28)

e;

entonces Trr =

T

=

e Ie

e Ie

+2

+2

e

e err

e

Tzz =

=

r

+2

=2

e

@ur 1 @u ur + + @r r @ r

1 @u ur @ur + + @r r @ r

e

e Ie

Tr = T

=

e ezz

e er

=

=

e

e

Trz = Tzr = T

e3 3

=

T33

=

z

+2

+2

e

r

e

@ur ; @r

(7.29)

@u + ur ; (7.30) @

1 @u ur @ur + + @r r @ r

;

(7.31)

@u 1 @ur + r @ @r

;

(7.32)

u r

= Tz = 0;

1 T33 T11 + T22 E T11 + T22

(7.33)

= 0;

(7.34) (7.35)

108


7.3.

Esfuerzos planos en elastoestática

Cuando el tensor de esfuerzos es expresado en términos de los esfuerzos principales, 1 , 2 y 3 , y sólo uno de ellos es cero, entonces se dice que el cuerpo se encuentra en un estado de esfuerzos planos. Consideremos un cuerpo cilíndrico Trr =

T

=

e Ie

e Ie

+2

+2

e

e err

e

=

=

Tr = T

@ur 1 @u ur @uz + + + @r r @ r @z

e

@ur 1 @u ur @uz + + + @r r @ r @z

e

r

=2

e er

Tzz Trz

Tzz =

e Ie

+2

e ezz

=

=

e

= 0; = Tzr = T

@uz = @z

e e

+2

e

+2

@u 1 @ur + r @ @r

z

e

(7.36)

@u + ur ; @ (7.37)

e

r

u r

@ur ; @r

;

(7.38)

(7.39) (7.40)

= Tz = 0;

@ur 1 @u ur @uz + + + @r r @ r @z

e

+2

+2

e

@uz = 0; (7.41) @z

@ur 1 @u ur + + @r r @ r

(7.42)

y sustituyendo en Ie

@ur 1 @u ur @uz + + + @r r @ r @z @ur 1 @u ur e + + @r r @ r e+2 2 e @ur 1 @u ur + + @r r @ r e+2 e

= = =

e

1 @u ur @ur + + @r r @ r (7.43)

entonces Trr =

T

=

e Ie

e Ie

+2

+2

e

e err

e

2

=

=

e

e

e+2

2

e

e

+2

e e

e

@ur 1 @u ur + + @r r @ r @ur 1 @u ur + + @r r @ r

+2

+2

e

r

e

@ur ; @r

(7.44)

@u + ur : @ (7.45)

7.4. FUNCIÓN DE ESFUERZOS DE AIRY

7.4.

109

Función de esfuerzos de Airy

Cuando se tienen pronlemas de elasticidad isotrópica lineal planos, y las fuerzas de cuerpo pueden ser expresadas en términos de un función de potencial U = U x1 ; x2 , tal que f i = U;i , se puede introducir la función de esfuerzos de Airy (1)

110


Referencias [1] Mysore N. L. Narasimhan. Principles of Continuum Mechanics. John Wiley and Sons, U. S. A., 1993.

111

112

REFERENCIAS

Apéndice A

Operadores diferenciales Derivada covariante un ;k = un ;k + um un;k = un;k Operadores diferenciales Gradiente r = gk

um

n : mk

(A.1)

m : nk

(A.2)

@ : @xk

(A.3)

Divergencia r = gk Rotacional r

= gk

@ : @xk

(A.4)

@ : @xk

(A.5)

Laplaciano r r = gk

@ @xk

113

gk

@ @xk

:

(A.6)

114

APÉNDICE A. OPERADORES DIFERENCIALES

Apéndice B

Identidades r ( v) = r v + v r r ( rv) = r2 v+r

rv

(B.2)

r (uv) = (r u) v + u rv

(B.3)

r (uT) = (r u) T + u rT

(B.4)

r (u u r r (u v)

(u

(B.1)

v) = v (r (r

u)

v) = rv u

v) = ur v

u rv

= ru v rv u = u (r v) + v 1 r (v v) 2

r (r

(r

(r

v

r (r

r

u (r

(B.6)

vr u + v ru

(B.7)

u) + u rv + v ru

(B.8)

v) = v rv

(B.9) (B.10)

r =0

v) = r (r v)

(B.5)

u rv

u) = 0

115

v)

(B.11) r2 v

(B.12)

116

APÉNDICE B. IDENTIDADES

r2 (

) = r2 + 2 (r ) (r ) + r2

(B.13)

Apéndice C

Coordenadas Polares Cilíndricas C.1.

Transformación de coordenadas

x1

= r=

z1

2

+ z2

2

1 2

;

(C.1)

2

z z1

x2

=

x3

= z3:

(C.3)

z1 z2 z3

(C.4) (C.5) (C.6)

= arctan

= x1 cos x2 ; = x1 sin x2 ; = x3 :

;

(C.2)

Las super…cies coordenadas son cilindros para x1 = constante, con eje en el eje x3 , planos verticales para x2 = constante, y planos horizontales que cortan el eje x3 para x3 = constante. Los intervalos de valores que toman las coordenadas polares cilíndricas son x1 x2 x3

2 (0; 1) ; 2 [0; 2 ) ; = ( 1; 1) : 117

(C.7) (C.8) (C.9)

118

C.2.

APÉNDICE C. COORDENADAS POLARES CILÍNDRICAS

Jacobiano @z k @xl

J = det

cos x2 sin x2 0

=

x1 sin x2 x1 cos x2 0

0 0 1

= x1 ;

(C.10)

J 6= 0 excepto en x1 = 0, por lo que el eje z 3 no está de…nido en coordenadas polares cilíndricas.

C.3.

Vectores base natural g1 (x) = i1 cos x2 + i2 sin x2 ; g2 (x) = i1 x1 sin x2 + i2 x1 cos x2 ; g3 (x) = i3 :

C.4.

i1

= g1 cos x2

i2

= g1 sin x2 + g2

i3

= g3 :

sin x2 x1 cos x2 x1

g2

;

(C.14)

;

(C.15) (C.16)

Tensor métrico fundamental 0

1 (gij ) = @ 0 0

0 x1 0

2

g = det (gij ) = x1

ds2 = dr2 + r2 d

C.5.

(C.11) (C.12) (C.13)

2

1 0 0 A: 1 2

:

+ dz 2 :

(C.17) (C.18) (C.19)

Vectores base recíprocos g1 (x)

= g1 (x) ; g2 (x) g2 (x) = 2 ; (x1 )

g3 (x)

= g3 (x) :

(C.20) (C.21) (C.22)

C.6. TENSOR MÉTRICO RECÍPROCO

C.6.

Tensor métrico recíproco

g ij

C.7.

0

1 =@ 0 0

1 0 0 A: 1

0 1 (x1 )2

0

= g1 (x) ; g2 (x) = ; x1 = g3 (x) ; = g1 (x) ; = x1 g2 (x) ; = g3 (x) ; = e1 (x) = er (x) ; = e2 (x) = e (x) ; = e3 (x) = ez (x)

e2 (x) e3 (x) e1 (x) e2 (x) e3 (x) e1 (x) e2 (x) e3 (x)

(C.24) (C.25) (C.26) (C.27) (C.28) (C.29) (C.30) (C.31) (C.32)

Componentes físicos de un vector u(1) = u1 ; u(1) = u1 ; u(1) = u(1) = ur ; 1 (2) 2 u = r u ; u(2) = r u2 ; u(2) = u(2) = u ; u(3) = u3 ; u(3) = u3 ; u(3) = u(3) = uz :

C.9.

(C.23)

Vectores unitarios

e1 (x)

C.8.

119

(C.33)

Símbolos de Christo¤el 2 12 1 22 i mk

=

2 21

=

x1 =

=0

1 1 = ; x1 r

(C.34)

r

(C.35)

para todos los demás

(C.36)

=

120

C.10.


Derivadas covariantes de componentes vectoriales

Derivadas covariantes de componentes covariantes. m um : ik

ui;k = ui;k u1;1

= u1;1

u2;1 u3;1

= u2;1 = u3;1

u1;2

= u1;2

u2;2 u3;2 u1;3 u2;3 u3;3

= = = = =

u2 x1

u2 x1 u2;2 + x1 u1 u3;2 u1;3 u2;3 u3;3

Derivadas covariantes de componentes contravariantes ui ;k = ui ;k +

i um : mk

u1 ;1

=

u1 ;1

u2 ;1

=

u2 ;1 +

u3 ;1 u1 ;2

= =

u3 ;1 u1 ;2

u2 ;2

=

u2 ;2 +

u3 ;2 u1 ;3 u2 ;3 u3 ;3

= = = =

u3 ;2 u1 ;3 u2 ;3 u3 ;3

u2 x1 x1 u2 u1 x1

C.11.

Operadores diferenciales

C.11.1.

Gradiente de una función escalar r = er

@ e @ @ + + ez : @r r @ @z

(C.37)

C.11. OPERADORES DIFERENCIALES

C.11.2.

Divergencia de un campo vectorial r v=

C.11.3.

r

v=

121

1 @v @vz 1 @ (r vr ) + + : r @r r @ @z

Rotacional de un campo vectorial

1 @vz r @

@v @z

er +

@vr @z

@vz @r +

C.11.4.

(C.38)

e 1 r

@ (r v ) @r

@vr @

ez : (C.39)

Laplaciano r2 =

@2 @2 1 @ 1 @2 + + 2 2+ 2 2 @r r @r r @ @z

(C.40)

122


Apéndice D

Coordenadas Esféricas D.1.

Transformación de coordenadas x1 2

x

=

x3

=

z1

2

2

+ z2 + z3 0 1 2 + z2 B z = arctan @ z3

= r=

= arctan

z1 z2 z3

z2 z1

:

1 2

2

2

;

(D.1)

1 1 2

C A;

= x1 sin x2 cos x3 ; = x1 sin x2 sin x3 ; = x1 cos x2 :

(D.2)

(D.3)

(D.4) (D.5) (D.6)

Las super…cies coordenadas son: x1 = constante, esferas con centro en el origen cartesiano. x2 = constante, conos con ángulo semivertical x2 y teniendo como eje al eje x3 . x3 = constante. planos meridianos perpendiculares al plano ecuatorial. Los intervalos de valores que toman las coordenadas polares cilíndricas son x1 x2 x3

2 (0; 1) ; 2 (0; ) ; = [0; 2 ) : 123

(D.7) (D.8) (D.9)

124

D.2.

APÉNDICE D. COORDENADAS ESFÉRICAS

Jacobiano @z k @xl

J = det =

=

sin x2 cos x3 sin x2 sin x3 cos x2

= x1

2

x1 cos x2 cos x3 x1 cos x2 sin x3 x1 sin x2

x1 sin x2 sin x3 x1 sin x2 cos x3 0

=

sin x2 ;

(D.10)

J 6= 0 excepto en x1 = 0; x2 = 0 y x2 = , por lo que el eje z 3 no está de…nido en coordenadas esféricas.

D.3.

Vectores base natural g1 (x) = i1 sin x2 cos x3 + i2 sin x2 sin x3 + i3 cos x2 ; (D.11) 1 2 3 1 2 3 1 2 g2 (x) = i1 x cos x cos x + i2 x cos x sin x i3 x sin x ; (D.12) g3 (x) = i1 x1 sin x2 sin x3 + i2 x1 sin x2 cos x3 : (D.13)

i1 i2 i3

D.4.

cos x2 cos x3 x1 2 cos x sin x3 = g1 sin x2 sin x3 + g2 x1 2 sin x = g1 cos x2 g2 1 : x = g1 sin x2 cos x3 + g2

csc x2 sin x3 ; x1 csc x2 cos x3 g3 ; x1 g3

(D.14) (D.15) (D.16)

Tensor métrico fundamental 0

1 B (gij ) = @ 0 0

0 x1 0

1 0 C 0 A: 2 2 1 2 x sin x

2

g = det (gij ) = x1 ds2 = dr2 + r2 d

2

4

sin2 x2 :

+ r2 sin2 d

(D.17)

(D.18) 2

(D.19)

D.5. VECTORES BASE RECÍPROCOS

D.5.

125

Vectores base recíprocos

g1 (x)

= g1 (x) ; g2 (x) g2 (x) = 2 ; (x1 ) g3 (x) g3 (x) = : 2 1 (x ) sin2 x2

D.6.

0

1 B =@ 0 0

(D.22)

0 1 (x1 )2

0

0 0 1 (x1 )2 sin2 x2

1

C A:

(D.23)

Vectores unitarios

e1 (x) e2 (x) e3 (x) 1

e (x) e2 (x) e3 (x) e1 (x) e2 (x) e3 (x)

D.8.

(D.21)

Tensor métrico recíproco

g ij

D.7.

(D.20)

= g1 (x) ; g2 (x) = ; x1 g3 (x) ; = x1 sin x2 1 = g (x) ; = x1 g2 (x) ; = x1 sin x2 g3 (x) ; = e1 (x) = er (x) ; = e2 (x) = e (x) ; = e3 (x) = e (x)

(D.24) (D.25) (D.26) (D.27) (D.28) (D.29) (D.30) (D.31) (D.32)

Componentes físicos de un vector u(1) = u1 ; u(1) = u1 ; u(1) = u(1) = ur ; 1 u(2) = r u2 ; u(2) = r u2 ; u(2) = u(2) = u ; 1 (3) 3 u = r sin u ; u(3) = r sin u3 ; u(3) = u(3) = u :

(D.33)

126

D.9.


Símbolos de Christo¤el 1 22 1 33 2 33 2 12 3 13 3 23

=

x1 =

=

x1 sin2 x2 =

=

sin x2 cos x2 =

= = i mk

D.10.

2 21 3 31 3 32

=

=0

r;

(D.34) r sin2 ; sin cos ;

1 1 = ; 1 x r 1 1 = 1 = ; x r =

= cot x2 = cot ; para todos los demás

(D.35) (D.36) (D.37) (D.38) (D.39) (D.40)

Derivadas covariantes de componentes vectoriales

Derivadas covariantes de componentes covariantes. ui;k = ui;k u1;1

= u1;1

u2;1

= u2;1

u3;1

=

u1;2

=

u2;2 u3;2

= =

u1;3

=

u2;3 u3;3

= =

m um : ik

u2 x1 u3 u3;1 x1 u2 u1;2 x1 u2;2 + x1 u1 u3;2 cot x2 u3 u3 u1;3 x1 u2;3 cot x2 u3 u3;3 + x1 sin2 x2 u1 + sin x2 cos x2 u2

Derivadas covariantes de componentes contravariantes ui ;k = ui ;k +

i um : mk

D.11. OPERADORES DIFERENCIALES

127

u1 ;1

=

u1 ;1

u2 ;1

=

u2 ;1 +

u3 ;1

=

u1 ;2

=

u2 x1 u3 u3 ;1 + 1 x u1 ;2 x1 u2

u2 ;2

=

u2 ;2 +

u3 ;2 u1 ;3 u2 ;3

= = =

u1 x1 3 u ;2 + cot x2 u3 u1 ;3 x1 sin2 x2 u3 u2 ;3 sin x2 cos x2 u3

u3 ;3

=

u3 ;3 +

u1 + cot x2 u2 x1

D.11.

Operadores diferenciales

D.11.1.

Gradiente de una función escalar r = er

D.11.2.

r

v=

1 @ 1 @v 1 @ r2 vr + (v sin ) + : r2 @r r sin @ r sin @

@ (v sin ) @

@v er @ r sin @ 1 @vr (r v ) sin @ @r +

r2 =

(D.42)

Rotacional de un campo vectorial

+

D.11.4.

(D.41)

Divergencia de un campo vectorial

r v=

D.11.3.

@ e @ e @ + + : @r r @ r sin @

e r

@ (r v ) @r

@vr @

e : (D.43) r

Laplaciano 1 @ r2 @r

r2

@ @r

+

r2

1 @ sin @

sin

@ @

+

1 @2 2 r2 sin @ 2

(D.44)

128


Apéndice E

Ecuaciones cúbicas La solución general para la ecuación cúbica a x3 + b x2 + c x + d = 0

(E.1)

es x1

=

x2

=

x2

=

1 6a 1 12 a 1 12 a

A + 41=3 C ; C p p A + 41=3 1 i 3 C ; 4 b + 161=3 1 + i 3 C p p A 4 b + 161=3 1 i 3 + 41=3 1 + i 3 C C

2 b + 161=3

(E.2) (E.3) (E.4)

en donde A = b2 3 a c; B = 2 b3 9 a b c + 27 a2 d; p C = B+ 4 A3 + B 2 p i = 1:

129

(E.5) (E.6) 1 3

;

(E.7) (E.8)

130

APÉNDICE E. ECUACIONES CÚBICAS

Apuntes de Huesca de Mecanica Del Medio Continuo

Recommend Documents