1. Introducere 1.1 Generalități Sistemele robotizate autonome pot fi clasificate, la modul general, în două mari categorii: • roboți de tip manipulator; • roboți mobili. În ceea ce privește roboții mobili, la alegerea de tipului de locomoție trebuie luate în considerare următoarele aspecte: • cerințele impuse de aplicația robotului; • restricțiile impuse de terenul/mediul pe/în care trebuie sa opereze robotul; • limitele actuatorilor adoptați; • sursa de energie disponibilă pentru alimentarea robotului și autonomia energetică impusă. Plecând de la aceste idei, există trei tipuri fundamentale de locomoție ce pot fi adoptate pentru roboții tereștri: • cu roți sau șenile; • cu picioare, similar animalelor; • utilizând structuri articulate asemănătoare corpului șarpelui. Fiecare dintre aceste tipuri de locomoție prezintă caracteristici specifice, care le fac adecvate pentru cazuri particulare de aplicații. ʺRobotul pășitor este un sistem dinamic multi-corp, format dintr-o platformă (corpul robotului) și un număr de picioare având structuri similare lanțurilor cinematice ale roboților de tip manipulatorʺ (Jose L. Silivino et al., Brazilia).
1.2 Motivele studierii roboților pășitori În afara faptului că realizarea unei platforme pășitoare este interesantă din punct de vedere tehnic, există două motive serioase pentru studierea utilizării locomoției cu picioare: a) Primul motiv este mobilitatea deosebită pe care o au roboții pășitori. Este necesară realizarea de vehicule care să fie capabile a se deplasa în teren accidentat, unde vehiculele obișnuite (cu roți sau șenile, etc.) nu au acces. Roțile excelează pe terenuri cu suprafețe pregătite, cum ar fi șoselele sau căile de rulare (șine de cale ferată, tramvai), dar cea mai mare parte a suprafeței terestre nu este pavată sau asfaltată. Astfel, doar în jur de jumătate din suprafața fără apa a Terrei este accesibilă actualelor vehicule cu roți sau șenile, în timp ce un procent mult mai mare din această suprafață poate fi explorată de animale cu picioare. De aceea, se impune realizarea de vehicule pășitoare care să exploreze locurile pe unde deja animalele au trecut. Un motiv pentru care picioarele oferă o mobilitate mai bună pe teren accidentat, comparativ cu roțile sau șenilele, este acela că ele pot utiliza suprafețe izolate de contact cu solul (teoretic, contactul picior-sol poate fi considerat punctual), ce optimizează poligonul de suport și forța de tracțiune necesară deplasării, în timp ce roțile necesită un contact continuu. Drept consecință, mobilitatea unui robot pășitor este în general limitată de găsirea celor mai bune puncte de contact cu solul (în vederea menținerii stabilității vehiculului și asigurarea tracțiunii), iar cea a unui robot cu roți este limitată de dificultatea terenului. Scara este cel mai bun exemplu: contratreapta nu permite ascensiunea roților, în timp ce treapta permite picioarelor să o utilizeze ca suprafață de sprijin în escaladarea scării.
Un alt avantaj al picioarelor este acela că asigură o suspensie activă, fapt ce permite decuplarea traiectoriei corpului robotului de traiectoriile extremităților finale ale picioarelor. În aceste condiții, sarcina transportată de vehicul poate fi menținută într-o poziție orizontală, chiar dacă acesta traversează o zonă cu teren accidentat. De asemenea, un robot pășitor poate trece peste obstacolele întâlnite în deplasarea sa. Extrapolând, performanțele unui vehicul cu picioare pot fi independente de dificultatea terenului traversat. De asemenea, există studii recente privind avantajul roboților pășitori relativ la toleranța la defectare a acestora în cazul locomoției stabile static. Consecințele defectării unei roți, în cazul roboților cu roți, este pierderea severă a mobilității, deoarece toate roțile acestor tipuri de vehicule trebuie să fie permanent în contact cu solul pe durata deplasării. Roboții pășitori pot dispune de un număr redundant de picioare, de aceea pot să-și asigure o stabilitate statică chiar și în situația în care unul sau mai multe picioare sunt distruse (Yang & Kim [ ], Hirore & Kato [ ], Lee & Hirose [ ], Yang [ ], Spenneberg et al. [ ]). În fine, trebuie menționat faptul că picioarele pot fi utilizate nu numai pentru locomoție, ci și atunci când vehiculul este imobilizat. Spre exemplu, corpul robotului poate fi acționat (deplasat) în timp ce picioarele sunt fixate la sol, funcționând ca un suport activ (platformă mobilă) pentru un manipulator (Nonami & Huang [ ], Garcia et. al. [ ]) sau pentru o unealtă - sculă (Ihme [ ] montată pe acest corp. Ca o alternativă la montarea unui manipulator pe corpul robotului, în cazul vehiculelor cu mai multe picioare, un picior sau mai multe pot fi utilizate pentru manipularea de obiecte, așa cum procedează unele animale (multe animale își utilizează membrele pentru a prinde, manipula și transporta obiecte). Drept exemplu, Takita et al. [ ] prezintă un robot biped a cărui structură mecanică este inspirată din anatomia dinozaurilor, al cărui coadă este utilizată pentru menținerea echilibrului în timpul deplasării și a operațiilor de manipulare pe care acesta le efectuează cu ajutorul gâtului, coada fiind utilizată ca al treilea element de sprijin în timpul acestor manipulări, mărind stabilitatea statică a vehiculului. Hirose & Kato [ ] propun utilizarea robotului pășitor patruped TITANVIII pentru detectarea și distrugerea minelor. În acest scop este utilizat un picior al robotului, care are funcția de manipulator, cu posibilitatea atașării acestui picior a unui set de diferiți efectori finali. Omata et al. [ ] propun, de asemenea, utilizarea unui robot patruped pentru operații de manipulare, pentru care două picioare sunt utilizate pentru locomoție, în timp ce corpul și celelalte două picioare sunt folosite pentru manipulare de obiecte.
Construcția roboților pășitori depinde de progresele realizate într-o serie de domenii ale ingineriei și științei. Aceste vehicule au nevoie de sisteme ce le asigură controlul mișcării cuplelor cinematice, monitorizarea și menținerea stabilității, detectarea naturii și dificultății terenului în scopul găsirii punctelor optime de sprijin, precum și pentru determinarea secvențelor optime de pășire. Cele mai multe dintre aceste acțiuni nu sunt încă foarte bine înțelese dar există cercetări în acest sens. Dacă aceste cercetări vor avea succes, vor contribui la dezvoltarea vehiculelor pășitoare ce traversează eficient și repede pe terenuri cu suprafața
moale, înclinate sau cu obstacole, care fac ineficiente vehiculele existente. Asemenea vehicule vor fi utile în industrie, agricultură, aplicații militare, etc. Takahashi et al [ ] și Koyaki et al. prezintă soluții similare celor menționate anterior dar pentru roboți pășitori hexapozi. Asemenea soluții au avantajul reducerii masei totale a sistemului și creșterea autonomiei energetice, altfel ar fi necesară montarea de manipulatoare pe corpul robotului mobil, sisteme care ar avea doar rolul de a manipula obiecte. b) Al doilea motiv pentru dezvoltarea de mașini pășitoare este înțelegerea locomoției umane sau animale. Este suficient să privim câteva instantanee la televizor, pentru a fi impresionați de varietatea și complexitatea modalităților prin care atleții pot căra, înota, arunca, aluneca, etc., propulsându-și corpul prin spațiu și menținându-și direcția, echilibrul și viteza în deplasarea lor. Asemenea performanțe nu sunt limitate doar la sportivii profesioniști, iar aceste aspecte sunt interesante atât din punct de vedere al ingineriei mecanice, acționării, sistemului senzorial sau al calculelor necesare. Probabil, cel mai incitant aspect este cel al trecerii rapide a unui copil de la fazele de târâre, apoi mers pe mâini și genunchi, la mers obișnuit, alergare, sărit, țopăit sau cățărat. Animalele demonstrează, de asemenea, o mobilitate și o agilitate deosebite. Acestea se deplasează rapid și cu ușurință prin pădure, teren moale, mlaștină, junglă, precum și din copac în copac. Uneori, ele se deplasează cu mare viteză, cel mai adesea cu mare eficiență. Avantajele utilizării locomoției cu roți, cu picioare multiple sau cu două picioare sunt prezentate succint în Tabelul 1.1 și Tabelul 1.2 (C. Balaguer [1], M. H. Raibert [2], B. Siciliano & O. Kathib [3],). Din aceste tabele se desprinde clar ideea că roboții bipezi au cele mai complexe sisteme mecanice și de control, dar au mai multe avantaje în aplicații specifice mediului uman, comparativ cu roboții cu roți sau cu mai multe picioare. În plus, dacă roboții bipezi sunt echipați cu brațe sunt numiți roboți umanoizi. Cel mai important avantaj al roboților umanoizi este acela că pot fi utilizați în aplicații de cooperare cu omul, să manipuleze unelte sau dispozitive specifice omului, efectuând operații periculoase pentru acesta și arătând, într-o oarecare măsură, ca un om, este mai ușor să efectueze munci în cooperare cu el, ca un partener prietenos. Este posibilă rezumarea capacităților roboților umanoizi după cum urmează: • Asemănarea cu omul în ceea ce privește aspectul permite sentimente emoționale utile comunicării prietenoase cu oamenii. • Robotul umanoid poate lucra in medii concepute pentru om. • Umanoidul își poate extinde propriile abilități utilizând mașini și echipamente pe care le utilizăm și noi. • Este ușor pentru oameni să înțeleagă și să prezică mișcările unui robot umanoid. • Un robot umanoid poate fi o mașină inteligentă cu multiple destinații. În ciuda faptului ca utilizăm cu mare eficiență și ușurință propriile picioare pentru ne deplasa, înțelegerea principiilor de control care stau la baza mersului și alergării este încă întrun stadiu incipient. Tabelul 1.1 Avantajele și dezavantajele roboților cu roți comparativ cu roboții pășitori Roboți cu roți
Avantaje Au un sistem de locomoție simplu
Sunt ușor de conceput
Dezavantaje Nu se deplasează pe teren dificil (moale, accidentat), ci în general pe suprafețe pregătite în prealabil (căi de rulare, drumuri, etc.) Necesită un contact continuu cu
Consum redus de energie Viteză ridicată pe teren structurat
Roboți pășitori
solul Dificil de manevrat (mobilitate redusă) Pentru deplasare omni-direcțională crește numărul de roți
Efortul depus pentru efectuarea controlului mișcării este redus, datorită simplicității mecanismelor Probleme mici în ceea ce privește asigurarea stabilității Avantaje Dezavantaje Se pot deplasa pe teren dificil (moale, accidentat) Permite deplasare omnidirecțională Contact izolat (intermitent) cu solul, optimizând poligonul de sprijin și forța de tracțiune Traiectoria corpului robotului poate fi decuplată de traiectoriile extremităților picioarelor Poziția sarcinii transportate nu este influiențată de neregularitățile terenului Un robot pășitor poate trece peste obstacole, urca sau coborâ scările Pot păși fără să fie influiențați de neregularitățile terenului Pot asigura o deplasare lină pe teren accidentat, variind lungimile efective ale picioarelor în funcție de neregularitățile terenului (suspensie activă) Construcția roboților pășitori depinde de progresele într-o serie de domenii ale ingineriei și științei Distrug mai puțin terenul pe care se deplasează Comportamentul în timpul deplasării este interesant atât din punct de vedere al ingineriei mecanice, acționării, sistemului senzorial sau al calculelor necesare Au un aspect natural, biologic Sunt adecvate mediului uman Au performanțe energetice mai bune Au mai puține probleme de blocare
Concepere complexă (deoarece are un sistem mecanic complex) Consum energetic ridicat Algoritmi de control complexitate sporită
de
Viteză redusă pe teren accidentat Necesitatea sincronizării mișcării unui număr mare de cuple cinematice
sau alunecare Tabelul 1.2 Avantajele și dezavantajele roboților cu mai multe picioare comparativ cu roboții bipezi Dezavantaje Roboți cu mai Avantaje multe picioare Se pot deplasa pe teren dificil Concepere complexă (deoarece are (moale, accidentat) un sistem mecanic complex) Permite deplasare omni- Consum energetic ridicat direcțională Contact izolat (intermitent) cu Algoritmi de control de solul, optimizând poligonul de complexitate sporită sprijin și forța de tracțiune Traiectoria corpului robotului poate Viteză redusă pe teren accidentat fi decuplată de traiectoriile extremităților picioarelor Poziția sarcinii transportate nu este Necesitatea sincronizării mișcării influiențată de neregularitățile unui număr mare de cuple terenului cinematice Un robot pășitor poate trece peste obstacole, urca sau coborâ scările Pot păși fără să fie influiențați de neregularitățile terenului Pot asigura o deplasare lină pe teren accidentat, variind lungimile efective ale picioarelor în funcție de neregularitățile terenului (suspensie activă) Construcția roboților pășitori depinde de progresele într-o serie de domenii ale ingineriei și științei Distrug mai puțin terenul pe care se deplasează Comportamentul în timpul deplasării este interesant atât din punct de vedere al ingineriei mecanice, acționării, sistemului senzorial sau al calculelor necesare Au un aspect natural, biologic Sunt adecvate mediului uman Au performanțe energetice mai bune Au mai puține probleme de blocare sau alunecare Dezavantaje Roboți bipezi Avantaje Coordonarea picioarelor este mult Controlul mișcării este mai mai simplă, fiind necesar controlul complex, deoarece asigurarea doar a două suprafețe de contact stabilității în faza de suport cu un singur picior nu este simplă
Pot să se deplaseze în spații înguste
Necesită un concept mecanic robust, cu materiale ușoare, scumpe
Consumă mai puțină energie Adaptarea la mediul uman este mai bună (spre exemplu, așezarea pe un scaun) Un robot biped poate genera momente de girație asupra corpului atunci când picioarele picioarele se deplasează în sens invers Asemănarea cu omul în ceea ce privește aspectul permite sentimente emoționale utile comunicării prietenoase cu oamenii
1.3 Limite ale roboților pășitori Deși aspectele prezentate în paragraful anterior indică faptul că locomoția cu picioare este în avantaj atunci când este comparatâ cu locomoția vehiculelor tradiționale, trebuie avut în vedere faptul că, în stadiul actual de dezvoltare a acestora, roboții pășitori au încă o serie de limite serioase, atâta vreme cât acestea dezvoltă viteze mici, sunt dificil de construit și necesită algoritmi de control de complexitate ridicată. Pe lângă acestea, mecanismele utilizate astăzi au mase mari, deoarece necesită un număr mare de actuatori pentru a pune în mișcare mai multe picioare, fapt ce presupune un consum ridicat de energie.
1.4 Domenii de utilizare a roboților pășitori Roboții mobili, indiferent de principiul de locomoție, sunt adecvați celor 3-D medii (Dirty, Doll, Dangerous): murdar, plictisitor, periculos. Aceste vehicule sunt capabile să înlocuiască omul, cu scopul îmbunătățirii calității vieții acestuia, în toate cazurile de muncă periculoasă ce necesită măsuri severe de securitate a muncii sau în medii în care omul nu are acces cu ușurință. În cazul roboților pășitori, pot fi exemplificate următoarele situații: • Explorarea unor locații aflate la distanțe mari: o În vulcani (Wettergreen, et al., 1993); o În spațiul extraterestru sau pe alte planete (Bares, et al., 1989; Kemurdjian, et al., 1995; Preumont, et al., 1997; Fiorini, 2000; Kubota and Takahashi , 2003; Kennedy, et al., 2005a; Kennedy, et al., 2005b); o Pe fundul mărilor sau oceanelor (Ayers, et al., 2000a; Ayers, et al., 2000b); • Medii ostile sau periculoase: o În centrale nucleare sau locații cu nivel ridicat al radiațiilor (Konaka, 1991); o Prospectarea sau explorarea minelor (Cox, 1970; Roberts, et al., 1999); o În aplicații de deminaj umanitar (DeBolt, et al., 1997; Hirose and Kato, 1998; Flannigan, et al., 1998; Ayers, et al., 2000b; Nonami and Huang, 2001; Marques, et al., 2002; Garcia, et al., 2003); o În zone unde au avut loc dezastre sau situații catastrofale (Konaka, 1991; Mae, et al., 2000; Kikuchi, et al., 2003); o În operații de căutare și de salvare (Mae, et al., 2000);
o În operații militare (Caldwell and Warren, 2001). În afară de aceste aplicații, vehivulele pășitoare pot fi de asemenea utilizate într-o largă varietate de operații, cum ar fi (Hirose, 1991; Tsukagoshi, et al., 1997): • Lucrări de excavare sau de construcții (Hasunuma, et al., 2003); • Defrișarea arborilor și transportul acestora;
•
Ajutarea omului în acțiuni de transport a unor greutăți (Neuhaus and Kazerooni, 2000; Yokoyama, et al., 2003); • Aplicații medicale, cum ar fi colonoscopia (Kim, et al., 2002) sau ca soluții alternative pentru scaunele cu rotile (Takeda, et al., 2001; Sugahara, et al., 2004); • În servicii, în special în aplicații de sprijin a oamenilor în clădiri (Sakagami, et al., 2002; Nishiyama, et al., 2003). În plus, există preziceri cu privire la introducerea acestor roboți în case, fie pentru efectuarea unor operații casnice (Sawasaki, et al., 2003), fie ca simpli companioni. În fine, trebuie menționat succesul pe care unii roboți pășitori l-au avut în domeniul divertismentului (Fujita, 2000; Kuroki, et al., 2003) sau în educație (Kitano, et al., 2000). Însă, în stadiul actual al dezvoltărilor de asemenea sisteme nu se poate spune că roboții pășitori reprezintă o alternativă efectivă de locomoție pentru vehiculele clasice cu roți sau picioare, deoarece ramân încă nerezolvate o serie de probleme inginerești.
1.5 Evoluția in timp a roboților cu picioare Deși ar părea că suntem în fața unei "noi științe", primele concepte în locomoția cu picioare sunt relativ vechi. 1.5.1 Primele idei Primele idei de implementare a vehiculelor cu picioare datează din secolul al XV-lea. Între anii 1495 și 1497 Leonardo da Vinci a conceput și, posibil, a construit primul robot antropomorf din istoria civilizației țărilor vestice. Acest cavaler țn armură a fost conceput să stea în picioare, să-și fluture brațele și să-și miște capul grație unui gât flexibil, în timp ce-și închide și își deschide maxilarul. Robotul lui Leonardo da Vinci pare a fi un Italo-German în armura specifică secolului respectiv. Acesta a fost construit din lemn cu elemente din piele și alamă sau bronz și era operat prin cabluri. Acest proiect a fost o dezvoltare semnifiocativă a studiilor sale de anatomie și kinesiologie, constituind o punte între lucrările sale în domeniul mecanic și aceste studii.
În anul 1850, matematicianul rus Chebyshev a prezentat un model pentru un sistem de locomoție. Acesta utiliza un lanț cinematic pentru a deplasa corpul central al sistemului de-a lungul unei traiectorii orizontale, în timp ce picioarele se deplasau sus/jos, corespunzător fazelor de suport sau de transfer ale locomoției. Figura 1 prezintă schița unuia dintre primele vehicule cu picioare, din secolul al XVIII-lea. În cazul acestu vehicul, bazat pe un motor cu aburi, deplasarea era asigurată prin intermediul unui set de picioare. De asemenea, în această figură se poate vedea un desen al primului vehicul patruped, numit "cal mecanic", al cărui proiect aparține lui L. A. Rygg. În construcția acestei mașini, scările duble constituie pedale pentru călăreț, ce poate genera mișcările necesare deplasării prin intermediul acestora (mișcarea este transmisă de la pedale la picioare prin intermediul unor transmisii cu roți dințate). Hățurile (frâiele) deplasează capul și picioarele din față pentru schimbarea direcției. Această mașină a fost patentată în data de 14 februarie 1893, insă nu exită evidențe care să probeze că inventatorul menționat a construit-o.
Fig. 1 Schița primului vehicul cu picioare (stânga), respectiv primul vehicul cu patru picioare (dreapta) Figura 2 prezintă un vehicul biped numit "omul cu aburi". Această mașină, concepută de Georges Moore în anul 1893, a fost probabil primul biped, fiind pus în mișcare de un boiler și atingând o viteză de 14 km/h. Stabilitatea era asigurată utilizând un braț de echilibrare, aflat în mișcare de pendulare în timpul deplasării vehiculului, astfel încât centrul de masă să fie menținut în interiorul poligonului de spijin (în acest caz, în interiorul suprafeței definite de piciorul aflat în contact cu solul). Tracțiunea era asigurată de un set de pinteni, din capul vehiculului ieșea fum, iar din nas aburi.
Fig. 2. Proiectul primei mașini bipede
În anul 1913, Bechtolsheim Baron a patentat proiectul unei mașina patrupedă, al cărui concept este prezenta în Fig. 3. Încă odată, nu există nici un indiciu că această mașină a fost construită. În aceeași figură, se prezintă o mașină hibridă cu roți și picioare, ce datează din timpul primului război mondial. Acest prototip a fost dezvoltat de Thring, dar n-a depășit niciodată această fază.
Fig. 3 Mașina patrupedă a lui Bechtolsheim Baron (stânga), prototipul unui tractor cu roți și picioare (dreapta) 1.5.2 Primele studii științifice Primul studiu științific asupra locomoției animale se datorează lui Eadweard Muybridge, care a studiat mersul cailor cu ajutorul fotografiilor făcute în timpul deplasării la trap al acestora. Rezultatele acestei munci au fost publicate în 1878 în jurnalul Scientific American. După acest studiu inițial, autorul s-a dedicat analizei mersului unui număr de alte 40 de mamifere, incluzând omul. În mijlocul anului 1950, un număr de grupuri de cercetare au demarat, într-un mod sistematic, studii și dezvoltări de mașini pășitoare. Aproximativ un deceniu mai târziu, au început să fie concepute și construite asemenea mașini de diferite grupuri. În anul 1960, Shigley a demarat un studiu intensiv al mecanismelor cu bare în scopul utilizării acestora în locomoția cu picioare. În acea lucrare, acesta a propus o serie de mecanisme, care ar putea fi utilizate ca și picioare ale unor mașini pășitoare. Aceste mecanisme includeau mecanisme patrulatere cu bare, mecanisme cu came, mecanisme pantograf. De asemenea, autorul a construit un vehicul cu patru cadre rectangulare. Fiecare cadru servea ca și picior și avea aproximativ lungimea corpului. Picioarele erau deplasate în pereche iar pasul era suficient de mic pentru a asigura stabilitatea statică. Mișcarea picioarelor era controlată de un set de mecanisme dublu-balansier. Deși acestea au asigurat funcția necesară, acestea au necesitat angrenaje necirculare pentru uniformizarea vitezei piciorului și s-a arătat ca nefiind practică. În anii 1960, Space General Corporation a dezvoltat două mașini pășitoare cu scopul de a explora conceptul locomoției cu picioare pentru un vehicul lunar, una cu șase, iar cealaltă cu opt picioare. Mișcările picioarelor ambelor mașini erau coordonate de mecanisme cu came și transmise prin mecanisme cu bare. Aceste vehicule au fost relativ eficiente în raport cu scopul pentru care au fost construite. Mașina cu opt picioare putea să vireze utilizând ceva similar vehiculului cu șenile. Adaptarea la teren era rudimentară, datorită lipsei de grade de libertate necesare. Unul diin primele vehicule capabile să utilizeze diferite tipuri de mers a fost patrupedul General Electric, dezvoltat de R. Mosher și finalizată în 1968. Acest vehicul, având 3,3 m înălțime, 3 m lungime și 1400 kg greutate, avea patru picioare cu trei grade de mobilitate (unul la genunchi și două la șold), fiecare cuplă cinematică fiind acționată prin intermediul unui cilindru hidraulic, vehiculul fiind propulsat de un motor cu ardere internă de 68 kw. Controlul acestuia depindea de antrenamentul operatorului uman, pentru a putea
funcționa așa cum trebuia. Acesta din urmă controla cele patru picioare prin intermediul a patru joystick-uri și pedale, care erau conectate hidraulic la picioarele robotului. Vehiculul necesita 12 grade de mobilitate, de aceea puțini oameni erau capabili să-l opereze, fiind obosiți după un timp. Deși acesta era capabil să treacă peste obstacole și avea o bună mobilitate în teren accidentat, era foarte clar că acesta necesita un sistem de control bazat pe un calculator.
Fig. 4: patrupedul General Electric (stânga) și patrupedul Phoney Poney quadruped (dreapta) Phoney Poney (Fig. 4) a fost dezvoltat de McGhee și Frank, cam în același timp. Acest patruped, finalizat în 1966, a fost primul robot pășitor capabil să se deplaseze autonom, fiind controlat de un computer și fiind acționat electric. Fiecare picior avea două grade de mobilitate, iar fiecare cuplă cinematică fiind acționată de un motor-reductor electric. coordonarea acestor cuple era asigurată de un circuit logic digital, demonstrând două tipuri de mers. Dezavantajul său principal era faptul că acesta se deplasa doar în linie dreaptă, nefiind capabil să vireze. Figura 5 prezintă cea mai mare mașină pășitoare realizată până astăzi (15 000 tone), Big Muskie. Aceasta, construită de Bucryus-Erie Co. în 1969, fiind utilizată într- mină descoperită de cărbune și având patru picioare hidraulice.
Fig. 5: Big Muskie
1.6 Exemple de vehicule pășitoare actuale 1.6.1 Roboți cu un singur picior În cazul roboților cu un singur picior locomoția este realizată prin salturi. de aceea, aceste mașini sunt cunoscute și sub numele de roboți săritori (țopăitori). Deși cel mai apropiat exemplu natural al acestui tip de locomoție este cangurul, acest model poate fi aplicat și la bipezii alergători, care alternează între un picior sau niciunul în contact cu solul. Aceste mașini păstrează un echilibru activ în timpul deplasării, asigurând o stabilitate dinamică și permițând o înțelegere mai bună a schimburilor de energie ce au loc de-a lungul unui ciclu de locomoție, accentuând problemele de stabilitate dinamică, fără a necesita scheme de coordonare a picioarelor. Primul asemenea robot a fost construit de Matsouka, obiectivul său fiind de a modela săriturile ciclice în locomoția umană. În scopul atingerii acestui obiectiv, Matsouka a formulat un model constituit dintr-un corp și un picior fără masă (pentru a simplifica problema), și a considerat că durata fazei de suport era mai mică în comparație cu cea de transfer. Acest tip de mers, pentru care întregul ciclu corespunde aproape în totalitate fazei de transfer, minimizează influiența înclinării din faza de suport. Pentru a testa sistemul de control, autorul a construit un model plan al unei mașini țopăitoare cu un picior. Raibert a efectuat, de asemenea, studii în domeniul sistemelor cu locomoție dinamică, iar în anul 1983 a construit un asemenea robot la Carnegie Mellon University (CMU). Acest sistem format dintr-un corp și un singur picior, trebuia să sară continuu pentru a-și menține echilibrul. Piciorul putea fi extins, variind diametrul său, fiind echipat cu arcuri în lungul axei sale. Robotul era dotat cu o serie de senzori, pentru a măsura unghiul de înclinare al corpului, unghiul din articulația șoldului, diametrul piciorului, rigiditatea arcului și pentru a detecta contactul cu solul. Prima mașină era limitată la deplasări pe o suprafață orizontală, putându-se mișca sus și jos, înainte-înapoi și roti în plan. Al doilea prototip, numit Pogostick (Fig. 6), avea o articulație suplimentară la șold, care să permită piciorului a se deplasa și lateral, precum și înainte-înapoi. În timpul deplasării, acest robot se echilibra în timp ce sărea, având o viteză de 2,2 m/s.
Fig. 6 Robotul Pogostick (stânga) și robotul ARL Monopod II (dreapta) Robotul ARL Monopod II (Fig. 6), cu doua grade de mobilitate si actionare electrica, este un exemplu mai recent a acestui tip de roboti pasitori. Acesta este constituit din doua parti: corpul, pe care se afla motoarele si senzorii; piciorul, ce permite deplasarea. Robotul
poseda un motor ce actioneaza un mecanism surub-piulita, respectiv un sistem de stocare/recuperare a energiei cu ajutorul unor elemente elastice (arcuri). Un proiect diferit de cele prezentate, care au o cupla de translatie in lungul axei piciorului, au prezentat Schwind si Koditschek (1997), ce reprezenta un robot cu doua cuple cinematice de rotatie in structura piciorului. Mai recent, Hyon si Mita (2002) au dezvoltat un robot saritor cu trei cuple cinematice de rotatie, una dintre ele fiind pasiva. Configuratia adoptata pentru picior se apropie mai mult de licioarele animalelor, permitand in acest fel un punct de vedere in studiul biomecanicii picioarelor fiintelor vii. De asemenea, au fost dezvoltate sisteme de mentinere a echilibrului acestui gen de roboti, chiar si atunci cand robotul se opreste, utilizand picioare cu geometrie speciala (Iida, et al., 2002). S-ar putea crede ca acest tip de roboti nu pot avea aplicatii practice, totusi realitatea este cu totul diferita. Aceste sisteme permit trecerea peste obstacole sau se pot pozitiona in zone unde exista loc pentru plasarea piciorului, fara a ne face probleme privind asigurarea stabilitatii statice. Spre exemplu, trebuie mentionat faptul ca in anul 1945, Wallace a patentat un tanc „saritor”. Dupa spusele acestuia, traiectoria neregulata a unui asemenea tanc ar constitui un avantaj prin faptul ca ar face dificila distrugerea sa de catre inamic. O posibila aplicatie pentru acest tip de roboti pasitori este explorarea corpurilor ceresti mici (sateliti, asteroizi, comete), unde robotii cu mai multe picioare sau roti nu sunt capabili sa se deplaseze cu succes, datorita gravitatiei locale reduse (Shimoda, et al., 2004). In aceste conditii, Seifert a propus, in anul 1967, utilizarea unui asemenea vehicul, numit Lunar Pogo, drept mijloc de locomoție pentru astronauți, pe Lună (Seifert, 1967). 1.6.2 Roboți bipezi Cercetările în domeniul locomoției bipede, comparativ cu stuația celor cu mai multe picioare, au avansat mai lent datorită dificultăților în controlul stabilității, deoarece acești roboți necesită asigurarea unei stabilități dinamice. În ciuda acestui fapt, rezultatele recente sunt încurajatoare. Începând cu finele anului 1960, Waseda University, japonia, a dezvoltat o serie de sisteme bipede controlate de calculator. În anul 1969, Ichiro Kato a dezvoltat robotul biped WAP-1 (Fig. 7), în cadrul laboratorului de cercetare pentru roboți umanoizi. Pentru acționare, acest robot folosea mușschi artificiali acționați pneumatic. Principalul dezavantaj al acestui vehicul era viteza sa redusă, având nevoie de 90 secunde pentru a face un pas. Progresele ulterioare au permis atingerea de viteze apropiate celei atinse de om.
Fig. 7 Roboții bipezi WAP-1 (stânga) și WL-9DR (dreapta)
La începutul anilor 1980, Kato și colaboratorii săi au construit bipedul WL-9DR, ce utiliza un mers cvasi-dinamic (Ogo, et. al., 1980; Kato, et al. 1983). Această mașină avea zece grade de mobilitate acționate hidraulic și două tălpi relativ mari (Fig. 7). Sistemul adopta un mers static, deplasându-se după o traiectorie prestabilită, cu scopul de a păstra centrul de greutate în centrul suprafeței de suport a piciorului aflat pe sol. În prezent există o largă varietate de roboți bipezi, având o înfățișare umanoidă și bune capacități de locomoție. Unul dintre aceștia este robotul umanoid Honda (Fig. 8). Acest robot a început în anul 1986 și ideile principale adoptate pentru acest proiect erau "inteligența" și "mobilitatea", deoaarece robotul trebuia să coexiste și să coopereze cu oamenii. Dezvoltarea robotului s-a făcut utilizând date obținute din analiza mersului uman.
Fig. 8 Robotul umanoid Honda – modelul P3 (stânga) și ASIMO (dreapta) Ideea proiectului Honda era de a folosi robotul în viața de zi cu zi, în opoziție cu cea a altor roboți, dezvoltați pentru aplicații particulare, cu scopul de a fi introdus în fabrici (Hirai, et al., 1998). De asemenea, trebuiau îndeplinite trei funcții: viteza de deplasare trebuia să corespundă celei a omului (aproximativ 2 km/h), structura robotului trebuia să poată susține cele două brațe cu mâini, și trebuia să fie capabil a urca și coborâ scările. Ultima versiune a acestu robot, numită ASIMO (Advanced Step in Innovative MObility), a fost finalizată în anul 2000, având 1,2 m înălțime și 43 kg. Această versiune avea 26 grade de mobilitate, acționate electric, și putea ține 0,5 kg în fiecare mână, fiind complet autonom (cu autonomie de 15minute). Robotul era antrenat de a efectua activități de așteptare sau de ghidare în muzee, datorită senzorilor video și audio integrați, precum și a sistemului de recunoaștere a gesticulării, fiind capabil de a interacționa cu oamenii. WABIAN (WAseda BIpedal humANoid) este un alt exemplu de roboți bipezi construiți în Japonia. Scopul principal al acestui proiect a fost acela de a crea un robot antropomorf prezentând un comportament similar celui uman (Yamaguchi și Takanishi, 1998). Acest robot, cu 43 grade de mobilitate, 136 kg și 1,96 m înălțime era acționat electric, fiind construit cu scopul de a interacționa într-un mod natural cu omul, putând vorbi și exprima emoții. Capul era capabil să culeagă informații vizuale și auditive, grație senzorilor cu care era dotat. În ceea ce privește capacitățile sale de locomoție, robotul era capabil să se deplaseze
înainte și înapoi, să danseze într-un ritm dinamic, mișcându-și brațele, și să transporte unele greutăți, utilizându-le pe acestea din urmă (Yamaguchi, et al. 1999).
Fig. 9 Robotul umanoid WABIAN Saltul uriaș în cercetările privind locomoția bipedă din ultimii ani se datorează parțial implementării în Japonia a programului HRP. Obiectivul pricipal al acestui program, lansat de Ministerul Japonez al Economiei, Comerțului și Industriei, între anii 1998 și 2002, a fost similar cu cel al proiectului WABIAN. Unul dintre exemplele de roboți bipezi dezvoltați în cadrul acestu program este umanoidul HRP-2 (Kaneco, et al. 2004), Fig. 10. Acest robot este capabil să se deplaseze pe suprafețe cu neregularități, cu o viteză de 2/3 din cea normală a omului, și este capabil să traverseze spații înguste, modificându-și mersul în funcție de caz (Kanehiro, et al., 2004). În situația în care robotul își pierde echilibrul și cade, în afara faptului că această cădere este controlată, pentru a minimiza eventualele distrugeri, acesta este capabil să se ridice singur (Fujiwara, et al., 2003).
Fig. 10 Robotul umanoid HRP-2
1.6.3 Roboți cu mai multe picioare Aspectele principale în dezvoltarea sistemelor artificiale folosind locomoție cu mai mult de două picioare sunt prezentate în cele ce urmează. Deoarece cea mai mare parte a roboților dezvoltați vreodată se încadrează în această categorie, doar câteva exemple vor fi prezentate, alegerea făcându-se pe baza succesului pe care l-au avut proiectele respective. Primul robot la care vom face referire este Adaptive Suspension Vehicle (ASV). Această mașină pășitoare (Fig. 11) a fost realizată la Ohio State University, în colaborare cu University of Wisconsin și Environmental Reserch Institute of Michigan, și a fost finalizat la sfârșitul anului 1985 (Song and Waldron, 1989).
Fig. 11 Robotul hexapod ASV
Fig. 12 Robotul cu opt picioare DANTE II Acest vehicul, cu o masă de 2720 kg și 5,6m lungime, are acționare hidraulică fiind, presiunea necesară acestui sistem fiind generată de o pompă pusă în mișcare de un motor cu ardere internă. Pentru comanda acestuia este nevoie de un operator uman, ce manevrează și supervizează vehiculul. Acest operator controlează viteza de deplasare a vehiculului, precum și direcția, prin intermediul unui joystick, dar controlul individual al fiecărui picior este asigurată de un calculator central. De asemenea, robotul ASV posedă un radar optic pentru a studia terenul din fața acestuia și pentru a decide unde să plaseze picioarele din față. Ca și caracteristici principale, trebuie menționat că acesta are o capacitate de încărcare de 250 kg, poate urca rampe de până la 60% înclinare, să treacă peste canale de 1,8 m lățime și să atingă o viteză maximă de 2,3 m/s în teren normal.
Al doilea robot ce poate fi considerat ca un proiect de succes este DANTE, dezvoltat de CMU Field Robotics Center. Aplicația robotului DANTE II este cea de explorare a vulcanilor. DANTE II a fost utilizat cu oarecare succes explorarea vulcanului Mount Spurr în Alaska, în luna iulie 1994 (Bares and Wettergreen, 1999). Robotul cu opt picioare este acționat electric, alimentarea cu energie făcându-se de la o sursă externa, printr-un cordon ombilical, care servește și drept cablu de comunicare și de salvare. De aceea, acesta este capabil să coboare peretele craterului într-un mod similar coborârii în rapel, cu scopul de a lua probe de gaz aflat la o temperatură foarte înaltă și de a-l analiza. Pe lângă aplicația menționată, un alt obiectiv important al acestui robot este acela de a demonstra posibilitatea explorării, utilizând roboți, a unor medii extreme, cum ar fi cele aflate pe suprafața altor planete. Al treilea robot ce merită menționat este Walking Harvester (Fig. 12). Acest hexapod este dezvoltat de Plustech Oy Ltd (Finlanda) pentru aplicații în pădure. Vehiculul are trei grade de mobilitate pe picior, acționate hidraulic, sursa de energie fiind, de asemenea, un motor cu ardere internă, ce-i permite să atingă o viteză maximă de 1 m/s. Pentru manevrarea sa este necesar un operator uman, care controlează mașina prin intermediul unui joystick. Deși robotul nu este încă în stadiu comercial, acest prototip a fost premiat de câteva ori.
Fig. 12 Robotul hexapod Walking Harvester 1.6.4 Aplicații specifice roboților pășitori Pe lângă cele trei aplicații prezentate în paragraful anterior, în cele ce urmează vor fi discutate două domenii pentru care au fost dezvoltați roboți pășitori și anume, roboți pentru inspectarea conductelor și roboți cățărători. 1.6.4.1 Roboți pentru inspectarea conductelor Un posibil domeniu de aplicare a roboților pășitori este inspectarea la interior a conductelor. Există deja câțiva roboți destinați acestor aplicații, având locomoție cu roți sau șenile, sau care plutesc în mediul în care sunt introduși. Însă sistemele ce utilizează aceste tipuri de locomoție au probleme în ceea ce privește tracțiunea, precum și probleme legate de trecerea peste obstacole sau peste suprafețe înclinate (Hertzberg, et al. 1998). Un exemplu de robot pășitor pentru inspectarea unor asemenea conducte poate fi Pipe Climbing Robot (Fig. 13). Acest robot, dezvoltat de SIEMENS A.G. în anul 1995, are acționare electrică și opt picioare cu câte două grade de mobilitate fiecare.
Pentru locomoție, robotul apasă două picioare opuse pe pereții interni ai conductei, în așa fel încât acestea să se înțepenească pe conductă, iar mai apoi își deplasează în direcția dorită. Deși acesta are o viteză maximă de numai 0,3 m/s, acesta poate căra o sarcină de 700g.
Figure 13 Pipe Climbing Robot Robotul MORIZ (Fig. 14) este dezvoltat la Technical University of Munich (TUM). Acesta este capabil să se cațere pe suprafața interioară a conductelor cu diferite pante (de la conducte orizontale la cele verticale) și curbe, și este capabil să se descurce în zona ramificațiilor acestora (Zagler and Pfeiffer, 2003). Vehiculul are opt picioare, fiecare cu trei grade de mobilitate, unul pasiv și două acționate cu motoare DC. Teoria utilizată pentru locomoția lui este aceeași ca în cazul robotului Pipe Climbing, putând atinge o viteză de 0.1 m/s și având o capacitate de încărcare de 15 kg.
Figure 14 Robotul MORITZ 1.6.4.1 Roboți cățărători Roboții cățărători constituie o altă categorie de roboți pășitori. Acești roboți pot fi utilizați în pentru inspectarea tehnică și diagnoza unor defecte sau distrugeri în medii periculoase. Aceste intervenții sunt necesare pe suprafețele exterioare ale clădirilor, centralelor nucleare sau a conductelor pentru transportul unor fluide, rezervoarelor din industria chimică, petrolieră sau a gazelor naturale, a avioanelor sau vapoarelor, în industria construcțiilor pentru reparații sau intreținere, în prevenirea sau stingerea incendiilor sau în operații de spalare a geamurilor cladirilor din categoria zgârie-nori, ori în transportul de diverse mărfuri în interiorul clădirilor (Minor, et al., 2000; Elkmann, et al., 2002). Ca și soluții alternative simple la roboții cu picioare, se pot folosi segmente alunecătoare, cu ventuze, ce se fixează de suprafața pe care se deplasează robotul.
Sistemele având de la două până la opt picioare sunt predominante pentru asemenea aplicații. Adoptarea unui număr mare de picioare oferă un sprijin redundant și, frecvent, conduce la creșterea capacității portante a robotului, precum și a siguranței sale. Aceste avantaje sunt asigurate cu prețul creșterii complexității, mărimii și masei totale. De aceea, atunci când mărimea și eficiența sunt critice, o structură cu masă și complexitate minime este mai adecvată. Din aceste motive, o structură bipedă este un candidat excelent.
Figure 15 Robotul RAMR1 (stânga) și robotul MRWALLSPECT-III (dreapta) În prezent există mai mulți roboți bipezi cu abilități de cățărare pe suprafețe cu diferite înlinări Minor, et al., 2000). Spre exemplu, Tummala, et al. (2002) propun adoptarea unei soluții de robot biped cățărător pentru aplicații de inspectare a unor suprafețe cu diverse grade de înclinare. Acest robot, numnit RAMR1 (Reconfigurable Adaptable Miniature Robot), are o serie de ventuze la extremitatea picioarelor (Fig. 15). Acest robot prezintă ți abilitatea de a se cățăra pe pereți și pe tavan. Atunci când este necesară creșterea siguranței și capacității de încărcare a robotului, se adoptă roboți cu patru sau mai multe picioare. Controlul acestora este, care au, de obicei, dimensiuni mari, este mult mai complex. Un exemplu de asemenea robot este prezentat în Fig. 15, și anume robotul MRWALLSPECT-III (Multifunctional Robot for WALL inSPECTion - Version III) (Kang, et al., 2003). Acest robot a fost conceput pentru a transporta o cameră video și un sistem cu ultrasunete, pentru a efectua teste nedistructive unor structuri industriale. Fiecare picior are trei grade de mobilitate acționate cu motoare DC și un grad de mobilitate pasiv la gleznă, utilizând o cuplă cinematică sferică. Forța de fixare, necesară menținerii robotului pe suprafața pe care se deplasează, este asigurată de trei ventuze pe fiecare picior, aranjate simetric, la care se adaugă alte șase ventuze aflate sub corpul robotului. Pentru realizarea vacuumului se utilizează patru pompe de vid. În ceea ce privește capacitățile sale de locomoție, robotul este pregătit să se cațere, pe pereți și diferite suprafețe înclinate, trecând singur de pe o suprafață pe alta. Spre exemplu, acesta este capabil să se deplaseze de pe podea pe perete și de pe perete pe tavan, descurcândse singur la îmbinările dintre aceste suprafețe.
2. Roboti pasitori hexapozi 2.1 Notiuni de baza in studiul robotilor pasitori hexapozi Piciorul este un element de locomotie discontinua, de aceea acesta trebuie ridicat la sfirsitul cursei efective, intors si plasat la inceputul unei noi curse de suport. Acest lucru creaza probleme în ceea ce priveste coordonarea picioarelor, coordonare descrisa prin termenul numit ‘mers‘. In aceste conditii, pentru o deplasare sigura a unui animal sau a unei masini pasitoare, este necesara definirea mersului. Pe de alta parte, pentru un mers bine stabilit, poate fi definita precis deplasarea unui animal sau masina pasitoare. In consecinta , mersurile descriu si determina viteza, directia de deplasare si mobilitatea acestora. Pentru a proiecta o masina pasitoare este necesara o buna intelegere a mersurilor, deoarece numarul picioarelor, structura si performantele piciorului depind foarte mult de mersul selectat. Avind in vedere tema proiectului, in capitolul de fata vor fi prezentate citeva notiuni de baza necesare pentru studiul unui robot pasitor hexapod. 2.1.1 Parametrii de baza ce caracterizeaza un mers Definitiile si teoremele de baza utilizate pentru analiza unui mers au fost stabilite de catre McGhee [13] si colaboratorii sai, apoi completate de catre Song si Waldron [16], [18]. Pentru a intelege mai bine aceste definitii, se considera o schema de principiu a unui robot hexapod , numerotind corespunzator fiecare picior (Fig. 2.1).
Fig. 2.1 Definirea parametrilor geometrici Plecind de la aceasta figura, parametrii ce caracterizeaza mersul sunt prezentati pe scurt in cele ce urmeaza. •
Faza de transfer a unui picior este intervalul de timp in care piciorul nu este in contact cu solul, timpul corespunzator acestei faze se noteaza cu τ
•
Faza de suport a unui picior este intervalul de timp in care piciorul se afla in contact cu solul, timpul corespunzator notindu-se cu s.
•
Durata unui ciclu, T, este durata unui ciclu complet de locomotie a unui picior, respectiv T = s + τ . Mersurile periodice sunt caracterizate prin aceeasi durata a ciclului pentru toate picioarele.
•
Pozitiile extreme ale fazei de suport se numesc: - pozitie extrema anterioara ( AEP – Anterior Extreme Position ) - pozitie extrema posterioara ( PEP – Posterior Extreme Position ). In cazul unei deplasari rectilinii uniforme a robotului, in faza de suport extremitatea piciorului executa o miscare opusa directiei de mers. De asemenea, in faza de transfer piciorul avanseaza in scopul cautarii unui nou punct de sprijin. Din acest motiv, partea finala a fazei de transfer este foarte delicata si necesita o informatie tactila in cazul unui teren accidentat. •
Factorul de utilizare (Duty Factor) a unui picior este dat de relatia
T = s + τ ceea ce inseamna λ =
λ=
s . Dar T
s s λ . In final, se poate scrie = . Stabilitatea s+λ τ 1− λ
statica necesita ca, permanent, cel putin trei picioare sa fie in contact cu solul, aceasta fiind conditia ce impune valoarea minima a factorului de utilizare: λ ≥ 3 / n , unde n este numarul total de picioare ale robotului. Pentru robotii hexapozi aceasta inseamna λ ≥ 1 / 2 . Un mers este numit regulat daca factorul de utilizare are aceeasi valoare λ pentru fiecare picior. •
Faza φ i a unui picior este fractiunea de ciclu ce separa inceputul ciclului piciorului i de cel al piciorului 1, luat drept referinta. Un mers este simetric daca perechile de picioare stinga – dreapta au miscarile decalate cu 1/2 (jumatate) ciclu sau o diferenta de faza Δφ = 1 / 2 . Un mers cu increment de faza constant este cel la care diferentele de faza dintrepicioarele succesive aflate de aceeasi parte a robotului sunt egale:
φ 3 − φ1 = φ 5 − φ 3 •
Pasul piciorului L (Leg Stride) este distanta parcursa de centrul de masa al robotului pe durata unui ciclu de locomotie.
•
Cursa C (Stroke) este distanta parcursa de picior in faza de suport (distanta dintre AEP si PEP).
•
Pasul cursei P (Stroke Pitch) este distanta dintre doua picioare adiacente de pe aceeasi parte a robotului.
•
Lungimea efectiva a corpului, Lb , a unui animal sau robot cu n picioare este distanta dintre centrele de rotatie ale picioarelor din fata , respectiv din spatele robotului, picioare aflate pe aceeasi parte a corpului. Daca distantele dintre picioarele adiacente sunt aceleasi, se poate scrie:
Lb = (n − 1) ⋅ L
(2.1)
•
Un mers este periodic daca toate picioarele au aceeasi durata a ciclului de locomotie. Viteza unui robot, pentru un mers periodic regulat, cu o cursa C fixa, este
V=
L C C C 1− λ = = = ⋅ T λ ⋅T s τ λ
(2.2)
Se poate observa ca pentru o faza de transfer minima τ min (impusa de viteza servomotorului) si o cursa C maxima (impusa de punctele AEP si PEP limita, depinzind de schema cinematica a robotului) viteza robotului poate fi marita prin micsorarea factorului de utilizare λ.. Deci, din relatia (3.2) se observa ca pentru un raport (C / τ min ) limitat, viteza poate varia prin modificarea lui λ. Se poate scrie astfel:
V⋅
τ min C
=
1− λ
(2.3)
λ
Pentru o durata minima a unui ciclu este necesar ca s min = τ min , deci:
V⋅
s min 1 − λ = C λ
(2.4)
Insa, asa cum s-a mentionat mai sus, in cazul robotilor hexapozi λ ≥ 1 / 2 , limita impusa de stabilitatea statica (in permanenta, cel putin trei picioare trebuie sa fie in contact cu solul ). Aceasta inseamna ca raportul
1− λ
λ
poate avea valoarea maxima 1
pentru robotii hexapozi, ceea ce se poate vedea si din graficul prezentat in (Fig 2.2). Limita de stabilitate statica pentru robotii tetrapozi impune ca λ ≥ 3 / 4 , ceea ce inseamna ca valoarea maxima a raportului
1− λ
λ
poate fi 1/3, adica viteza maxima a
unui robot hexapod este de trei ori mai mare decit cea a unui robot tetrapod , pentru aceleasi conditii cinematice. De aceea se prefera mai mult utilizarea unui numar de sase picioare.
Fig. 2.2 Viteza maxima in functie de factorul de utilizare 2.1.2 Tipuri de mers Coordonarea miscarii picioarelor unui robot este foarte importanta din doua motive : •
mentinerea robotului in echilibru
•
deplasarea acestuia cu o anumita viteza impusa Aceasta se poate face utilizind mai multe tipuri de mers :
•
Mersuri periodice, caracterizate prin aceeasi durata a unui ciclu complet de locomotie, pentru toate picioarele robotului. Acesta tipuri de mers constituie baza altor strategii de coordonare.
•
Mers in unde adaptiv (Adaptive Wave Gait), constituie o extensie a mersului periodic si se caracterizeaza prin aceea ca permite utilizarea secventelor fixe de miscare la deplasari omnidirectionale.
•
Coordonare neurobiologica, bazata pe un model al mecanismelor coordonatoare ale insectelor.
•
Mers liber (Free Gait), asigura controlul robotului in functie de viteza impusa si de obstacolele intilnite.
Avind in vedere faptul ca in cazul robotului, ce face obiectul studiului din aceasta lucrare, controlul deplasarii se face utilizind tipuri periodice regulate de mers (durata T a unui ciclu este identica pentru toate cele sase picioare, factorul de utilizare λ este acelasi pentru fiecare picior), in continuare vor fi prezentate pe scurt citeva dintre acestea. 2.1.2.1 Mers in unde ( Wave Gait ) Este denumit astfel deoarece fazele de transfer se propaga de la un picior la altul asemenea unor valuri. Acest tip de mers se caracterizeaza prin:
φ3 = λ ; φ5 = 2 ⋅ λ − 1 In functie de sensul de propagare in timp a fazelor de transfer, putem avea:
•
Mers in unde inainte (Farward Wave Gait) – Fig 2.3, cind fazele de transfer se propaga incepind cu piciorul 5, pina la piciorul 2.
•
Mers in unde inapoi (Backward Wave Gait) – Fig 2.4, cind fazele de transfer se propaga de la piciorul 2 spre piciorul 5.
Fig. 2.3 Forward Wave Gait : a) λ = 5/6 ; b) λ = 2/3
Fig. 2.4 Backward Wave Gait : a) λ = 5/6; b) λ = 2/3 2.1.2.2 Mers tripod alternant Acest tip de mers este caracterizat prin λ = 1 / 2 , φ 3 = 1 / 2 , φ 5 = 0 , la sol fiind in permanenta trei picioare. Diagrama mersului tripod alternat este aratata in Fig.2.5.
Fig. 2.5 Mers tripod alternant, λ = ½ 2.1.2.3 Stabilitatea in mers Mentinerea echilibrului unui robot in timpul mersului este o problema foarte importanta. In functie de acest lucru, robotii pasitori se pot clasifica in urmatoarele tipuri: •
Roboti stabili static. Acesti roboti sunt in permanenta in echilibru, in timpul deplasarii avind cel putin trei picioare in contact cu solul, in timpul locomotiei. In general, robotii stabili static sunt prevazuti cu 6 – 8 picioare.
•
Roboti cvasi – stabili (semi – stabili) static. Pe durata locomotiei acesti roboti se pot regasi usor in configuratii instabile pentru un timp scurt. Robotii cvasi – stabili static au in general 4 picioare.
•
Roboti stabili dinamic. Acesti roboti nu au configuratii stabile ale poligonului de support, pe durata locomotiei. Atunci cind aceste configuratii exista, ele sunt sensibile la conditiile dinamice ale miscarii. In general, robotii stabili dinamic sunt cei cu 1 – 2 picioare.
Tinind seama de faptul ca in aceasta lucrare este studiat un robot hexapod, vor fi prezentate doar notiunile generale cu privire la stabilitatea statica. Echilibrul static al unui robot pasitor aflat sub efectul greutatii proprii poate fi verificat cu ajutorul poligonului de sprijin (Fig.2.6), care constituie poligonul format de proiectiile in plan orizontal ale punctelor de sprijin ale picioarelor, in faza de suport. Mersul este stabil static daca, in orice moment, proiectia verticala a centrului de masa G este in interiorul poligonului de sprijin , putindu-se defini urmatoarele limite de stabilitate: •
Limita de stabilitate S este distanta minima de la proiectia G’ a centrului de masa la poligonul de sprijin. Robotul este stabil static daca S ≥ 0 .
Fig. 2.6 Poligonul de sprijin si definirea diferitelor limite de stabilitate •
Limita de stabilitate frontala S f este distanta de la proiectia G’ a centrului de masa la latura frontala a poligonului de sprijin , masurata pe directia de miscare.
•
Limita de stabilitate spate S s este distanta de la proiectia G’ a centrului de masa la latura din spate a poligonului de sprijin, masurata pe directia de miscare.
•
Limita de stabilitate longitudinala S l este S l = min( S f , S s ) .
Definitiile prezentate mai sus caracterizeaza echilibrul static al robotului pentru o pozitie data, putind fi extinse in cazul echilibrului static al mersului. Limita de stabilitate longitudinala S l (M ) a unui mers periodic M este valoarea
minima Sl in timpul unui ciclu de locomotie. Un mers este stabil static daca S l ( M ) ≥ 0 . Pentru o configuratie de suport data, proiectia centrului de masa se deplaseaza in interiorul poligonului de sprijin din spate catre fata datorita inaintarii robotului , ceea ce produce o diminuare a limitei de stabilitate frontale si o crestere corespunzatoare a limitei de stabilitate spate. Aceasta inseamna ca limita de stabilitate spate este minima la inceputul configuratiei de suport si maxima la sfirsit , in timp ce limita de stabilitate frontala este maxima la inceput si minima la sfirsit. Aceasta constatare permite determinarea momentelor critice pentru calculul limitei de stabilitate longitudinala a unui mers. Limita de stabilitate longitudinala redusa este data de relatia:
S l∗ =
Sl λ = ⋅ Sl L C
Limita de stabilitate a unui mers periodic de viteza data (λ fix) depinde direct de diferentele de faza Δφ i existente intre miscarile picioarelor. 2.1.2.4 Conditii de evitare a interferentei geometrice a picioarelor In cazul in care cursa picioarelor este mai mare decit distanta dintre doua picioare adiacente (C > P), spatiile de lucru ale acestora se intersecteaza, ceea ce inseamna ca este posibila interferenta picioarelor succesive in timpul mersului.
Fig. 2.7 Conditiile de evitare a interferentei geometrice a picioarelor succesive; a) - ( Φ 3 ≤ λ ) ; b) - ( Φ 3 > λ ) Pentru a evita acest lucru (Fig. 2.7), trebuie respectate urmatoarele conditii:
P> P>
C ⋅ φ3
λ
C ⋅ (1 − φ 3 ) 1− λ
(φ 3 ≤ λ )
(2.5)
(φ 3 > λ )
(2.6)
Prima conditie corespunde cazului in care asezarea piciorului 3 pe sol are loc atunci cind piciorul 1 este in faza de suport, situatie valabila atunci cind (φ 3 < λ ) .
Pozitia piciorului 3 in raport cu centrul robotului este data de relatia x 3 = C / 2 (AEP), in timp ce piciorul 1 a parcurs in faza de suport (cu viteza C / λ ⋅ T ) distanta C ⋅ φ 3 / λ , pozitia acestuia in raport cu centrul robotului fiind data de relatia
x1 = P + C / 2 − C ⋅ φ 3 / λ . Pentru evitarea coliziunii dintre cele doua picioare este necesar ca x1 > x 3 , de unde rezulta si inegalitatea (3.5). Daca (φ 3 < λ ) , piciorul 1 este deja in faza de transfer (cu viteza C /(1 − λ ) ⋅ T )
atunci cind piciorul 3 este asezat pe sol. Desi piciorul 1 a parcurs distanta R ⋅ (φ 3 − λ ) /(1 − λ ) , pozitia acestuia fata de centrul robotului fiind
x1 = P − C / 2 + (φ 3 − λ ) /(1 − λ ) . In acelasi timp, pozitia piciorului 3 este x 3 = C / 2 .
Pentru evitarea interferentei celor doua picioare in acest caz, este necesara existenta aceleasi inegalitati x1 > x 3 , de unde rezulta conditia (3.6). Daca sunt respectate cele doua inegalitati, este evidenta interferenta tuturor picioarelor robotului, pentru toate tipurile de mers simetrice cu increment de faza constant.
2.2 Modelarea matematica a unui robot pasitor hexapod cu picior tip paralelogram 2.2.1 Structura unui picior Tinand seama de faptul ca, in cazul in care robotul trebuie sa efectueze o deplasare dupa o traiectorie rectilinie (inainte sau inapoi), traiectoria extremitatii piciorului in faza de suport trebuie sa fie, de asemenea, liniara. In cazul in care piciorul are in structura sa numai cuple cinematice de rotatie, acest lucru presupune ca piciorul sa aiba cel putin trei cuple active (conducatoare), adica cel putin trei motoare de actionare. Un motor asigura ridicareacoborarea piciorului, al doilea asigura avansarea-retragerea piciorului (prin rotirea sa in jurul unei axe verticale), iar al treilea corijeaza abaterea de la rectilinitate a traiectoriei extremitatii piciorului in faza de suport. Din considerente bugetare (costuri prea mari, trei motoare pentru un singur picior insemnand 18 motoare pentru intregul robot), dar si pentru simplificarea algoritmului de control, s-a optat pentru o structura de picior cu doua cuple cinematice active, A si B (vezi Fig. 2.8.a). Insa, in aceasta situatie, traiectoria extremitatii piciorului va fi un arc de cerc (traiectoria trasata cu linie continua in Fig. 2.8.a). Pentru eliminarea acestui neajuns, s-a introdus o cupla cinematica pasiva (E’), „actionata” de un resort de compresiune. Astfel, in faza de suport, traiectoria extremitatii piciorului va fi corectata, aceasta fiind cea trasata cu linie intrerupta.
(a)
(b) Fig. 2.8 Picior: a) structura; b) Model CAD 3D
Pentru a asigura o mai buna rigiditate piciorului, s-a optat pentru un mecanism in bucla inchisa, de tip paralelogram. Acest mecanism prezinta si avantajul ca elementul EF este in permanenta perpendicular pe suprafata terenului. Modelul CAD al piciorului, utilizand structura descrisa anterior, este prezentat in Fig. 2.8.b.
2.2.2 Modelul cinematic al unui picior Pentru scrierea modelului cinematic se va apela la conventia Denavit-Hartenberg. Deoarece mecanismul din structura unui picior nu este un lant cinematic deschis, ci contine o bucla inchisa, acest lucru complica putin lucrurile. 2.2.2.1 Cinematica directa Problema cinematicii directe presupune ca se cunosc parametrii cinematici ai cuplelor conducatoare si se cere sa se determine pozitia si orientarea extremitatii piciorului. Asa cum sa mentionat anterior, pentru rezolvarea cinematicii directe se va apela la parametrii DenavitHartengerg. 2.2.2.1.1 Conventia Denavit-Hartenberg Consideram, pentru inceput, un lant cinematic deschis, schema transformarilor de coordonate efectuate in vederea efectuarii cinematicii directe fiind prezentata in Fig. 2.9 .
Fig. 2.9 Transformari de coordonate intr-un lant cinematic deschis Pentru rezolvarea cinematicii directe, fiecarui element i se ataseaza cate un sistem de coordonate triortogonal iar apoi se scriu matricele ce definesc transformarile de coordonate, la trecera de la un sistem de coordonate la urmatorul. In final, se scrie matricea de transformare omogena totala, folosind relatia: T = 10 A ⋅ 21 A ⋅ ........ ⋅ n −n1 A
0 n
Atasarea sistemelor de axe se poate face arbitrar, dar este mai convenabil sa se respecte anumite reguli, in cazul nostru regulile impuse de conventia mentionata anterior. Consideram doua elemente i-1 si i, legate prin cupla cinematica i (Fig. 2.10). Conventia Denavit-Hartenberg va fi utilizata pentru atasarea sistemului de coordonate i, dupa cum urmeaza:
Fig. 2.10 Parametrii Denavit-Hartenberg
• •
Axa zi coincide cu axa cuplei cinematice i+1. Originea Oi a sistemului va fi la intersectia axei zi cu perpendiculara comuna la axele zi-1 si zi. De asemenea, originea Oi este la intersectia normalei comune cu axa zi-1. • Axa xi este in lungul perpendicularei la axele zi-1 si zi, avand sensul de la cupla i spre cupla i+1. • Axa yi rezulta astfel incat sistemul de coordonate sa respecte regula mainii drepte. Conventia Denavit-Hartenberg ofera mai multe solutii in urmatoarele cazuri: • Pentru sistemul initial {0}, este specificata numai axa z0. Originea O0 si axa x0 pot fi alese arbitrar. Axa x0 se alege, totusi, astfel incat transformarea de coordonate la trecerea de la sistemul {0} la sistemul {1} sa fie cat mai simpla. • Pentru sistemul n, deoarece nu exista cupla cinematica n+1, axa zn nu este definita unic, deoarece axa xn trebuie sa fie perpendiculara pe axa zi-1. In mod obisnuit, cupla n este de rotatie, de aceea axa zn va fi coliniara cu axa zi-1. • Cand doua axe consecutive sunt paralele, perpendiculara lor comuna nu este unic definita. • Cand doua axe consecutive se intersecteaza, directia axei xi este arbitrara. • Cand cupla i este de translatie, directia axei zi-1 este arbitrara. In astfel de cazuri, atasarea sistemelorde axe se face in asa fel incat problema sa fie cat mai simpla; spre exemplu, axele a doua sisteme consecutive pot fi paralele. Odata ce au fost stabilite sistemele de coordonate, pozitia si orientarea sistemului i in raport cu sistemul i-1 sunt definite complet de urmatorii parametri: ai- distanta dintre zi-1 si zi, masurata in lungul lui xi; di- distanta dintre xi-1 si xi, masurata in lungul lui zi-1; αi- unghiul dintre axele zi-1 si zi, masurat in jurul axei xi; acesta este pozitiv cand rotatia este facuta in sens trigonometric; θi- unghiul dintre axele xi-1 si xi, masurat in jurul axei zi-1; acesta este pozitiv cand rotatia are loc in sens trigonometric. Doi dintre acesti parametri (di si αi) sunt constanti si depind numai de geometria robotului. Dintre ceilalti doi parametri, doar unul este variabil, in functie de tipul cuplei cinematice: • θi este variabil in cazul in care cupla i este de rotatie; • di este variabil in cazul in care cupla i este de translatie. Trecerea de la sistemul de referinta i-1 la sistemul i’ are loc printr-o treanslatie cu di in lungul axei zi-1, urmata de o rotatie cu θi in jurul axei zi-1:
⎡cos θ i ⎢ sin θ i i −1 ⎢ i' A= ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sin θ i cos θ i 0 0
0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ 1 di ⎥ ⎥ 0 1⎦
Trecerea de la sistemul i’ la sistemul i are loc printr-o translatie cu ai in lungul axei xi’ si o rotatie in jurul lui xi’ cu unghiul αi; matricea omogena corespunzatoare este:
0 ⎡1 ⎢0 cos α i' i ⎢ i A= ⎢0 sin α i ⎢ 0 ⎣0
0 − sin α i cos α i 0
ai ⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
Matricea omogena totala, la trecerea de la sistemul i-1 la i va fi:
⎡cos θ i ⎢ sin θ i −1 i −1 i' i ⎢ A = A ⋅ A = i i' i ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sin θ i cos α i cos θ i cos α i sin α i 0
sin θ i sin α i − cos θ i sin α i cos α i 0
ai cos θ i ⎤ ai sin θ i ⎥⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
In cazul unui lant cinematic inchis, numarul cuplelor cinematice c este mai mare decat numarul elementelor mobile n. Numarul buclelor inchise este egal cu diferenta c-n.
(a)
(b) Fig. 2.11 Lant cinematic inchis :a); legatura dintre elemente; b) transformari de coordonate. Dupa cum se observa in Fig. 2.11.a, in aceasta situatie unele elemente sunt conectate la mai mult de un element. Pentru rezolvarea problemei si determinarea parametrilor cinematici se procedeaza in felul urmator:
•
Se alege o cupla cinematica pasiva si se desface aceasta cupla, obtinandu-se un lant cinematic deschis, in structura ramificata; • Se calculeaza matricea de transformare omogena, conform conventiei DenavitHartenberg; • Se cauta relatiile intre parametrii sistemelor de coordonate avand originile in cupla cinematica taiata; • Se determina constrangerile pentru un numar redus de variabile; • Se exprima matricea de transformare omogena totala, prin compunerea matricelor de transformare elementare. 2.2.2.1.2 Cinematica directa a unui picior Consideram schema structurala a unui picior, eliminand cupla pasiva E’. Atasam sistemele de axe corespunzatoare fiecarui element, folosind conventia Denavit-Hartenberg (Fig. 2.12.a). Cupla cinematica ce va fi desfacuta este E. Se obtine, astfel, un lant cinematic deschis cu structura ramificata (Fig. 2.12.b) Parametrii Denavit-Hartenberg corespunzatori fiecarui element sunt prezentati in Tabelul 2.1. Tabelul 2.1 Element 1’
ai lAB
αi
di 0
1
lBC
0
0
2
lCD
0
0
4
lDE
0
0
3 4’
lBE lEF
0 0
0 0
π 2
θi
π + θi 2 π 2 π − + θ2 2 π − + θ4 2 θ3 0
(a) (b) Fig. 2.12: Structura picior: a) atasarea sistemelor de axe; b) desfacerea buclei cinematice inchise Vom scrie, pentru inceput, matricele de transformare la trecerea de la un sistem la altul, pornind de la sistemul de referinta {0}, atasat elementului fix (in ansamblul general, acesta fiind corpul robotului), catre sistemul de axe {4}, atasat extremitatii finale F a piciorului. Pentru aceasta, se foloseste forma generala a matricei omogene totale.
⎡− sin θ i ⎢ cos θ 1 0 ⎢ = A 1` ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 cos θ1 0 sin θ1 1 0 0 0
⎡0 − 1 ⎢1 0 1` ⎢ 1A= ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
0 0⎤ 0 l BC ⎥⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦
⎡ sin θ 2 ⎢− cos θ 2 1 ⎢ = A 2 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
cos θ 2 sin θ 2 0 0
− l AB sin θ1 ⎤ l AB cos θ1 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎦
(2.7)
(2.8)
0 l CD sin θ 2 ⎤ 0 − l CD cos θ 2 ⎥⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(2.9)
⎡ sin θ4 ⎢ − cos θ 4 2 ⎢ A = 4 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 ⎡cos θ 3 ⎢ sin θ 1' 3 ⎢ 3 A= ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 ⎡1 ⎢0 4 ⎢ = A 4' ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
cos θ4 sin θ4 0 0 − sin θ 3 cos θ 3 0 0
0 lCD sin θ4 ⎤ 0 −lCD cos θ4 ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(2.10)
0 l BE cos θ 3 ⎤ 0 l BE sin θ 3 ⎥⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(2.11)
0 l EF ⎤ 0 0 ⎥⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦
(2.12)
Pentru a usura rezolvarea problemei, consideram initial doar mecanismul paralelogram plan, BCDE, si calculam matricea omogena la trecerea de la sistemul de axe {1’} la sistemul {4}, pe ramura BCDE. ⎡ c2 s4 + s2 c4 ⎢s s − c c 1' 1' 1 2 ⎢ 2 4 2 4 4 A = 1 A⋅ 2 A⋅ 4 A = = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ ⎡ s24 ⎢−s = ⎢ 24 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
c24 s24 0 0
c2 c4 − s2 s4 c2 s4 + s2 c4 0 0
0 lDE s24 + lCD s2 ⎤ 0 −lDE c24 + lCD + lBC ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
0 lDE ( c2 s4 + s2 c4 ) + lCD c2 ⎤ 0 lDE ( s2 s4 − c2 c4 ) + lCD s2 + lBC ⎥ ⎥= ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦ (2.13)
S-au facut notatiile: c2 = cosθ2; s2 = sinθ2; s4 = sinθ4; c4=cosθ4; s24 = sin(θ2+θ4); c24 = cos(θ2+θ4). In matricea (2.13), primele 3 elemente ale primelor 3 coloane reprezinta matricea de orientare (rotatie) a originii O4 in raport cu originea O1’.
1' 4
⎡ s24 R = ⎢ − c24 ⎢ ⎢⎣ 0
c24 s24 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 1 ⎥⎦
(2.14)
Primele elemente din ultima coloana a matricei (2.13) reprezinta coordonatele originii O4, scrise in raport cu originea O1.
⎧ x41' = lDE s24 + lCD s2 ⎪ ⎨ y41' = −lDE c24 + lCD c2 + lBC ⎪z = 0 ⎩ 41'
(2.15)
Deoarece gradul de mobilitate al mecanismului paralelogram BCDE este egal cu 1 (mecanismul are o singura cupla cinematica conducatoare, adica poate fi actionat cu un singur motor), este necesar sa se scrie relatiile de dependenta intre parametrii cinematici ai cuplelor (θ1, θ2, θ3, θ4). Acest lucru se face rezolvand ecuatia
4 1'
− x31' ⎤ ⎡ 0 ⎤ − y31' ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ − z31' ⎥⎦ ⎢⎣ d 43 ⎥⎦
⎡ x41' R ⋅ ⎢⎢ y41' ⎢⎣ z41'
(2.16)
unde: x31’, y31’, z31’ sunt primele trei elemente ale ultimei coloane din matricea (2.11); d43 este distanta dintre axele x4 si x3, masurata in lungul axei z4. ⎧ x31' = lBE c3 ⎪ ⎨ y31' = lBE c3 ; ⎪z = 0 ⎩ 31'
d 43 = 0
(2.17)
S-au facut notatiile: c3 = cosθ3; s3 = sinθ3.
4 1'
⎡ s24 R = R = ⎢ c24 ⎢ ⎢⎣ 0 1' 4
−1
−c24 s24 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 1 ⎥⎦
(2.18)
Facand inlocuirile necesare in relatia (2.16), se obtine: ⎡ s24 ⎢c ⎢ 24 ⎢⎣ 0
− c24 s24 0
0⎤ ⎡ lDE s24 + lCD c2 − lBE c3 ⎤ ⎡0⎤ 0⎥ ⋅ ⎢ −lDE c24 + lCD s2 + lBC − lBE s3 ⎥ = ⎢0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ 1⎥⎦ ⎢⎣ 0
(2.19)
respectiv
⎧lDE + lCD sin θ4 − lBE sin( θ2 + θ4 − θ3 ) − lBC cos(θ2 + θ4 ) = 0 ⎨ ⎩lCD cos θ4 − lBE cos( θ2 + θ4 − θ3 ) + lBC sin(θ2 + θ4 ) = 0 Dar, din faptul ca mecanismul BCDE este paralelogram, exista relatiile BC = DE, CD = BE. In aceste conditii, obtinem
(2.20)
⎧lDE [1 − cos( θ2 + θ4 )] + lBE [sin θ4 − sin( θ2 + θ4 − θ3 )] = 0 ⎨ ⎩lBE [cos θ4 − cos( θ2 + θ4 − θ3 )] + lDE sin(θ2 + θ4 ) = 0
(2.21)
Aceste relatii sunt adevarate numai daca θ2 = θ3; θ4 = - θ2 = - θ3
(2.22)
Asa cum s-a spus anterior, acest lucru demonstreaza ca mecanismul BCDE functioneaza daca se actioneaza un singur element. In cazul nostru, acesta va fi elementul BE (cupla cinematica B, cu parametrul cinematic θ3). Inlocuind conditiile (2.22) in matricea (2.13) obtinem ⎡0 ⎢ −1 1' ⎢ 4A= ⎢0 ⎢ ⎣0
1 0 0 0
0 lBE cos θ3 ⎤ 0 lBE sin θ3 ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(2.23)
Matricea omogena totala va fi: ⎡ 0 − sin θ1 cos θ1 ⎢ 0 cos θ sin θ1 1 0 0 1' 4 ⎢ 4 'T = 1' A ⋅ 4 A ⋅ 4 ' A = ⎢ −1 0 0 ⎢ 0 0 ⎣0
−(l AB + lBE cos θ3 )sin θ1 ⎤ (l AB + lBE cos θ3 )cos θ1 ⎥ ⎥ ⎥ lBE sin θ3 − lEF ⎥ 1 ⎦
(2.24)
Primele trei elemente ale primelor trei coloane din matricea (2.24) reprezinta orientarea extremitatii F a piciorului, in raport cu originea axele sistemului de referinta. Primele trei elemente ale ultimei coloane determina coordonatele extremitatii F in raport cu originea mentionata. ⎧ xF = −(l AB + lBE cos θ3 )sin θ1 ⎪ ⎨ y F = (l AB + lBE sin θ3 )cos θ1 ⎪ z = l sin θ − l ⎩ F BE 3 EF
(2.25)
2.2.2.2 Cinematica inversa Problema cinematicii inverse presupune ca se impun orientarea si coordonatele extremitatii F si se cer parametrii cinematici ai cuplelor conducatoare (θ1 si θ3), astfel incat sa se asigura orientarea si coordonatele respective. Pentru rezolvarea problemei inverse vom face apel la functia trigonometrica inversa atan2. Daca se cunosc valorile functiilor sin si cos pentru o anumita pozitie unghiulara x, respectiv s = sinx, c = cosx, atunci
atan2(s,c) = x Consideram iar matricea de transformare omogena totala
(2.26)
⎡ 0 − sin θ1 cos θ1 ⎢ 0 cos θ sin θ1 1 0 ⎢ T = 4' ⎢ −1 0 0 ⎢ 0 0 ⎣0 ⎡ a11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ a31 ⎢ ⎣0
a12 a 22 a32 0
a13 a 23 a33 0
−(l AB + lBE cos θ3 )sin θ1 ⎤ (l AB + lBE cos θ3 )cos θ1 ⎥ ⎥= ⎥ lBE sin θ3 − lEF ⎥ 1 ⎦
xF ⎤ y F ⎥⎥ zF ⎥ ⎥ 1⎦
(2.27)
Toate elementele matricei sunt considerate cunoscute (impuse). Pentru a determina parametrul θ1, luam elementele ⎧ xF = −(l AB + lBE cos θ3 )sin θ1 ⎨ ⎩ y F = (l AB + lBE cos θ3 )cos θ1 Facand raportul acestor elemente, obtinem − x F sin θ1 = yF cos θ 1
Rezulta θ1 = atan2(-xF, yF)
(2.28)
Pentru determinarea parametrului θ3, consideram, pentru inceput, aceleasi elemente ⎧ xF = −(l AB + lBE cos θ3 )sin θ1 ⎨ ⎩ y F = (l AB + lBE cos θ3 )cos θ1 Ridicand la patrat cele doua relatii si adunandu-le, obtinem xF2 + yF2 = lAB2 + 2lABlBEcosθ3 + lBE2cos2θ3 Rezolvand aceasta ecuatie, se obtine cosθ3 = -lAB ± x F2 + y F2
(2.29)
π π Deoarece, practic, θ3 nu poate lua valori decat in intervalul ( − , ), se va considera 2 2 semnul pozitiv in relatia (2.29), respectiv cosθ3 =
− l AB + x F2 + y F2 l BE
(2.30)
Din egalitatea zF = lBEsinθ3- lEF
obtinem sinθ3 =
z F + l EF l BE
(2.31)
Folosind egalitatile (2.30) si (2.31), vom obtine sin θ 3 z F + l EF = cos θ 3 − l AB + x F2 + y F2 respectiv θ3= atan2(zF+lEF, -lAB+ x F2 + y F2 )
(2.32)
2.2.3 MODELUL CINEMATIC AL ROBOTULUI 2.2.3.1 Cinematica directa Consideram schema structurala a robotului pasitor hexapod (Fig. 2.13) si sistemul de referinta {0} atasat corpului, in centrul geometric al acestuia. Aplicand aceeasi metoda ca la paragraful anterior, se obtine matricea de transformare omogena a extremitatii F1 a piciorului 1, in raport cu originea O0 a sistemului de referinta, de forma 1' T = 00' A ⋅ 0"0 ' A ⋅ 0" 1' A ⋅ 4' A =
0 4'
⎡ 0 − sin α1 ⎢ 0 cos α 1 =⎢ ⎢ −1 0 ⎢ 0 ⎣0
cos α1 sin α1 0 0
−(l AB + lBE cos β1 )sin α1 + lOO ' ⎤ (l AB + lBE cos β1 )cos α1 + lO ' A ⎥ ⎥ ⎥ −lEF + lBE sin β1 ⎥ 1 ⎦
(2.33)
S-au facut notatiile: α1 = θ11 ; β1 = θ31 . Din matricea (2.23) rezulta coordonatele extremitatii F1 a piciorului 1, in raport cu originea O0 a sistemului de referinta. ⎧ xF 1 = −(l AB + lBE cos β1 )sin α1 + lOO ' ⎪ ⎨ y F 1 = (l AB + lBE cos β1 )cos α1 + lO ' A ⎪ z = −l + l sin β ⎩ F1 EF BE 1
(2.34)
Similar, se obtin si coordonatele extremitatilor celorlalte picioare, in raport cu originea O0
⎧ xF 2 = −(l AB + lBE cos β2 )sin α2 + lOO ' ⎪ ⎨ y F 2 = −(l AB + lBE cos β2 )cos α2 − lO ' A ⎪ z = −l + l sin β ⎩ F2 EF BE 2
(2.35)
Fig. 2.13 Schema structurala a robotului ⎧ xF 3 = −(l AB + lBE cos β3 )sin α3 ⎪ ⎨ y F 3 = (l AB + lBE cos β3 )cos α3 + lO ' A ⎪ z = −l + l sin β ⎩ F3 EF BE 3
(2.36)
⎧ xF 4 = −(l AB + lBE cos β4 )sin α4 ⎪ ⎨ y F 4 = −(l AB + lBE cos β4 )cos α4 − lO ' A ⎪ z = −l + l sin β ⎩ F4 EF BE 4
(2.37)
⎧ xF 5 = (l AB + lBE cos β5 )sin α5 − lOO ' ⎪ ⎨ y F 5 = (l AB + lBE cos β5 )cos α5 + lO ' A ⎪ z = −l + l sin β ⎩ F5 EF BE 5
(2.38)
⎧ xF 6 = (l AB + lBE cos β6 )sin α6 − lOO ' ⎪ ⎨ y F 6 = −(l AB + lBE cos β6 )cos α6 − lO ' A ⎪ z = −l + l sin β ⎩ F6 EF BE 6
(2.39)
Semnul lui α este pozitiv daca rotirea piciorului produce avansarea corpului robotului in sensul pozitiv al lui x (pentru picioarele 1, 2 si 3 aceasta inseamna rotirea spre dreapta, iar pentru picioarele 2, 4 si 6 rotire spre stanga). Semnul lui β este pozitiv la ridicarea piciorului. 2.2.3.1 Cinematica inversa a robotului Aplicand aceeasi metodologie ca la paragraful 2.2.2.2, se obtin parametrii cinematici ai fiecarei cuple conducatoare, cunoscand orientarea si pozitia extremitatii fiecarui picior. ⎧⎪ α1 = atan2( −( xF 1 − lOO ' ), y F 1 − lO ' A ) ⎨ ⎪⎩β1 = atan2 z F 1 + lEF , −l AB + ( xF 1 − lOO ' ) + ( y F 1 − lO ' A
(
(2.40)
)
⎧⎪ α2 = atan2( −( xF 2 − lOO ' ), −( y F 2 + lO ' A )) ⎨ 2 2 ⎪⎩β2 = atan2 z F 2 + lEF , −l AB + ( xF 2 − lOO ' ) + ( y F 2 + lO ' A )
(
)
(2.41)
⎧⎪ α3 = atan2( − xF 3 , y F 3 − lO ' A ) ⎨ 2 2 ⎪⎩β3 = atan2 z F 3 + lEF , −l AB + xF 3 + ( y F 3 − lO ' A )
)
(2.42)
⎧⎪ α4 = atan2( − xF 4 ,( y F 4 + lO ' A )) ⎨ 2 2 ⎪⎩β4 = atan2 z F 4 + l EF , −l AB + xF 4 + ( y F 4 + lO ' A )
)
(2.43)
(
(
⎧⎪ α5 = atan2( xF 5 + lOO ' , y F 5 − lO ' A ) ⎨ 2 2 ⎪⎩β5 = atan2 z F 5 + lEF , −l AB + ( xF 5 + lOO ' ) + ( y F 5 − lO ' A )
)
(2.44)
⎧⎪ α6 = atan2( xF 6 + lOO ' , −( y F 6 + lO ' A )) ⎨ 2 2 ⎪⎩β6 = atan2 z F 6 + lEF , −l AB + ( xF 6 + lOO ' ) + ( y F 6 + lO ' A )
)
(2.45)
(
(
3. Robot pasitor patruped 3.1 Locomotia patrupeda la animale 3.1.1 Generalitati
Acest tip de locomoţie este întâlnit la cea mai mare parte a vertebratelor. (Fig. 3.1 ): • unele amfibiene • reptile • cea mai mare parte a mamiferelor •
Fig. 3.1 Exemple de patrupede Vertebratele terestre a căror masa variază de la 0,5g pana la câteva tone, nu sunt asemănătoare geometric. Unele dintre ele, cum ar fi primatele si cele cu copite, au picioarele mai lungi decât alte mamifere de aceeaşi masa. Pe de alta parte diferiţi parametri fiziologici sunt strâns legaţi de talia animalului. De asemenea, frecventa de mişcare a membrelor creste la animalele de dimensiuni mici si scade la cele de dimensiuni mari ( f = 4,48 ⋅ m −0,14 , unde m este masa in kg). Viteza de deplasare este legata de diverse variabile spatio-temporale : durata unui ciclu pentru frecare picior, distanta parcursa pe durata unui ciclu si frecventa mişcării picioarelor. In echilibru static, rezultanta tuturor forţelor de reacţiune exercitate asupra forţelor picioarelor de sprijin este egala si opusa greutăţii totale a corpului. Suma momentelor acestor forte in raport cu axele longitudinala si transversala, ce trec prin centrul de masa a corpului este nula. În timpul mersului, echilibrul patrupedului depinde de durata de sprijin a picioarelor, de forţele aplicate asupra solului si de viteza de deplasare. Aceasta caută ca prin ordinea de intrare în acţiune a picioarelor sale sa realizeze o succesiune de mişcări, care sa asigure in permanenta un poligon de sprijin (triunghiular) de dimensiuni cat mai mari. In acest sens secvenţa „laterală” este preferata secvenţei „diagonale” (Fig. 3.2). Alegerea ordinei de deplasare a picioarelor conduce la menţinerea centrului de masa a corpului in interiorul triunghiului de sprijin.
Fig. 3.2 Echilibru dynamic La viteza mai mare, corpul tinde sa fie susţinut de numai doua picioare, iar poligonul de sprijin devine o dreapta. Timpul de contact este scurt, echilibrul nemaifiind asigurat static, ci rezultând din mişcările corpului (echilibru dinamic). 3.1.2 tipuri de mers practice ale patrupedelor Mersul este o secvenţa de deplasări ale membrelor in spaţiu si timp (Fig. 3.3). In termeni cantitativi, acesta poate fi definit astfel: • fiecare picior trece prin doua faze repetitive, de sprijin(contact cu solul) si de transfer; • durata unui ciclu de mişcări (sprijin şi transfer) este aceeaşi pentru toate cele patru picioare. In cadrul aceluiaşi ciclu, durata relativa a fazelor de sprijin si de transfer poate varia; • în timpul unui ciclu de revoluţie, mişcările celor patru picioare se succed in ordinea intrării lor în acţiune; • deplasarea este in diagonala, aceasta însemnând într-o jumătate de ciclu de revoluţie, doua picioare aflate in diagonala se succed.
Fig. 3.3 Deplasare diagonala a membrelor patrupedelor: AD si AS – picioare anterioare; PD si PS – picioare posterioare Mersurile se definesc prin durata fazelor de sprijin şi de transfer şi prin timpul ce separa acelaşi eveniment (începutul fazei de sprijin sau al celei de transfer)al membrelor in diagonala, sau laterale. Reprezentarea grafica e mersului usureaza determinarea acestor decalaje (Fig. 3.4). Ciclul unui singur picior, ales ca referinta, este suficient pentru a caracteriza un mers.
Fig. 3.4 Reprezentarea grafica a mersului -
Mersurile patrupedelor pot fi clasificate in: mersuri simetrice mersul asimetrice
3.1.2.1 Mersuri simetrice (la pas, la trap, buiestru) In cadrul unui mers simetric, timpul care separa debutul fazelor de sprijin ale picioarelor anterioare este identic celui ce separa debutul fazelor de sprijin ale picioarelor posterioare.
Teoretic, duratele fazelor de sprijin si de transfer sunt egale, reprezentand 50% din durata totala a unui ciclu (Fig. 3.5): - decalaj de 25% intre fazele de sprijin succesive ale picioarelor in mersul la pas; - doua picioare in diagonala sunt in faza de sprijin simultan, iar doua picioare laterale sunt in opozitie de faza in mersul la trap; - doua membre laterale sunt simultan in faza de sprijin si doua membre in diagonala sunt in opzitie de faza, in cadrul mersului buiestru
Fig. 3.5 Mersuri simetrice 3.1.2.2 Mersuri asimetrice In cadrul unui mers asimetric timpul ce separa debutul fazelor de sprijin ale membrelor anterioare este diferit de cel ce separa debutul fazelor de sprijin al membrelor posterioare (Fig. 3.6).
Fig. 3.6 Mersuri asimetrice -
In general, sunt suficienti cinci parametri pentru a caracteriza mersurile asimetrice: durata fazelor de sprijin ale membrelor posterioare, raportata la durata ciclului de referinta (intotdeauna, ciclul unui picior posterior) durata fazelor de sprijin ale membrelor anterioare (idem) decalajul in timp intre fazele de sprijin ale membrelor anterioare, raportat la durata fazei lor de sprijin decalajul in timp intre fazele de sprijin ale membrelor anterioare, raportat la durata fazei lor de sprijin decalajul dintre media duratelor totale ale membrelor anterioare si posterioare, raportat la durata ciclului de referinta
3.2. Modelare matematica 3.2.1 Consideraţii generale Ideea conceperii, realizării şi studierii unui robot păşitor patruped pleaca de la faptul că un robot cu patru picioare prezintă un interes deosebit în ceea ce priveşte controlul mişcări acestuia. Dificultatea controlului unui asemenea robot, comparativ cu un robot hexapod constă în asigurarea stabilităţii statice în timpul mersului. Pentru a asigura stabilitatea statică ar trebui ca în permanenţă, să avem trei picioare în contact cu solul dar şi centrul de masă să fie menţinut întotdeauna în interiorul poligonului de sprijin. acest lucru este mult mai uşor de realizat în cazul unui robot cu şase picioare, când centrul de masă rămâne în permanenţă în centrul poligonului de sprijin, chiar şi pentru un mers tripod (cu trei picioare în permanenţă pe sol). De altfel patru este numărul minim de picioare pentru un robot, dacă nu se utilizează elemente suplimentare de echilibrare dinamică. Patrupedul este la limita dintre echilibrarea statică şi dinamică. În cazul de faţă se doreste realizarea unui robot, căruia să i se asigure o stabilitate statică în timpul mersului. 3.2.2 Structura unui picior Structura piciorului s-a făcut ţinând seama de robotul păşitor hexapod, de la care s-a încercat a se utiliza cât mai multe componente, in copul modularizarii. S-a observat că masa totală a sistemului se apropie de limita maximă suportată de motoare. În plus mecanismul de picior utilizat în acel caz favorizează un consum ridicat de energie datorită faptului ca motoarele picioarelor aflate la sol trebuie să suporte în permanenţă
o parte din forţa de greutate a robotului (în cazul mersului tripod, aceasta are valoarea
mR ⋅ g , 3
unde mR este masa totală a robotului). Plecând de la aceste considerente s-a încercat diminuarea la maxim a cuplului rezistent pe motoarele de susţinere (cuplu rezistent datorat greutăţii robotului). Ţinând seama de acest lucru, dar şi de faptul menţionat anterior, acela de a utiliza cât mai multe dintre componentele piciorului hexapodului, s-a optat pentru structura de picior din Fig. 3.7.
(a) (b) Fig. 3.7 Picior: a)Structură; b)Model CAD 3D Deoarece, în cazul nostru masa totală a robotului este mai mică şi aceasta este suportată în permanenţă tot de minim trei motoare (ca şi în cazul hexapodului), iar proiecţia piciorului în plan orizontal este mult mai mică decât în cazul robotului hexapod, abaterea de la rectilinitate a traiectoriei piciorului în faza de suport este mai mică. De aceea nu s-a mai utilizat o cuplă pasivă, „acţionată” de un resort de compresiune, pentru corectarea traiectorii. Evident, vor avea loc alunecări ale picioarelor în timpul mersului, dar având în vedere dimensiunile mici, aceste alunecări au valori neînsemnate. În concluzie, din considerente bugetare, pentru utilizarea unor componente de la robotul hexapod, dar şi pentru simplificarea algoritmului de control, se utilizează o structură de picior cu două cuple cinematice conducătoare (două motoare de acţionare pentru fiecare picior). Pentru o bună rigiditate asigurata piciorului, mecanismul utilizat este în bucla închisă, mai exact un paralelogram. Acest mecanism prezintă şi avantajul că elementul EF rămâne în permanenţă perpendicular pe planul de suport. 3.2.3 Cinematica directă pentru mecanismul piciorului Vom considera schema cinematică a unui picior, ataşând fiecărui element câte un sistem de coordonate triortogonal, conform convenţiei Denavit – Hartenberg (Fig. 3.8.a). Cupla cinematică selectată a fi desfăcută este cupla E. Prin desfacerea cuplei E Se obţine, astfel, un lanţ cinematic deschis în structură ramificata (Fig. 3.8.b).
(a)
(b) Fig. 3.8 a) lant cinematic ramificat; b) transformari de coordonate intr-un lant cinematic inchis Parametrii D − H corespunzători fiecărui element sunt prezentaţi în Tabelul 3.1. Tabelul 3.1. Elemementul
l AB
αi π
1
lBC
2 0
0
2
lCD
0
0
4
lDE
0
0
3
lBE
0
0
4`
lEF
0
0
1`
ai
di 0
θi π 2 −
π
+ θ1 3π 4
+ θ2 4 3π + θ4 4 −
π
+ θ3 2 3π − 4
Unghiul dintre elementele menţionate are valoarea de 45onumai din considerente practice, astfel încât să se poată folosi componentele robotului hexapod. Vom scrie din nou parametrii D − H , pentru schema cinematică generală din Fig. 3.9, aceştia regăsindu-se în Tabelul 3.2 Tabelul 3.2 Elemementul
l AB
αi π
1
lBC
2 0
0
2
lCD
0
0
1`
ai
di 0
θi π 2
+ θ1
π
π 2
4
lDE
0
0
π
2 3 4`
lBE lEF
0
0
0
0
(a)
−
+ θ2 + θ4
π 2 −
+ θ3
π 2
(b) Fig. 3.9 Folosind forma generala a matricei omogene a unui element, vom scrie matricele de transnsformare corespunzatoare trecerii de la un sistem de coordonate la celălalt, pornind de la sistemul de referinţă fix {0} , către sistemul {4 '} ataşat extremităţii F a piciorului. În ansamblul generat al robotului elementul fix este considerat a fi corpul acestuia. ⎡ − sin θ1 ⎢ cos θ 1 0 ⎢ 1' A = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 cos θ1 0 sin θ1 1 0 0 0
−l AB ⋅ sin θ1 ⎤ l AB ⋅ cos θ1 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎦
⎡ −1 0 ⎢ 0 −1 1' ⎢ 1A = ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
0 −l AB ⎤ 0 0 ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
⎡ − sin θ 2 ⎢ cos θ 2 1 ⎢ 2A= ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− cos θ 2 − sin θ 2 0 0
0 −lCD ⋅ sin θ 2 ⎤ 0 lCD ⋅ cos θ 2 ⎥⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(3.3)
⎡ − sin θ 4 ⎢ cos θ 4 2 ⎢ A = 4 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− cos θ 4 − sin θ 4 0 0
0 −lDE ⋅ sin θ 4 ⎤ 0 lDE ⋅ cos θ 4 ⎥⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(3.4)
(3.1)
(3.2)
⎡ − sin θ3 ⎢ cos θ 3 1' ⎢ A = 3 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 ⎡0 ⎢ −1 4' ⎢ 4A= ⎢0 ⎢ ⎣0
1 0 0 0
− cos θ3 − sin θ3 0 0
0 lBE ⋅ sin θ3 ⎤ 0 −lBE ⋅ cos θ3 ⎥⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
0 0 ⎤ 0 −lEF ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
(3.5)
(3.6)
Pentru început, considerăm doar mecanismul paralelogram BCDE, şi calculăm matricea de transformare omogenă, la trecerea de la sistemul de coordonate {1'} la sistemul {4} , pe ramura deschisă BCDE. ⎡cos(θ 2 + θ 4 ) − sin(θ 2 + θ 4 ) ⎢ sin(θ + θ ) cos(θ + θ ) 2 4 2 4 2 1' 1' 1 2 ⎢ A A A A = ⋅ ⋅ = 4 1 2 4 ⎢ 0 0 ⎢ 0 0 ⎣
0 lDE ⋅ cos(θ 2 + θ 4 ) + lCD sin θ 2 − lBC ⎤ 0 lDE ⋅ sin(θ 2 + θ 4 ) − lCD cos θ 2 ⎥⎥ (3.7) ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
În matricea (3.8) primele trei elemente ale primelor trei coloane reprezintă elementele matricei de orientare(rotaţie) a originii θ 4 în raport cu originea θ1' . 1' 4
⎡cos(θ 2 + θ 4 ) − sin(θ 2 − θ 4 ) 0 ⎤ R = ⎢⎢ sin(θ 2 + θ 4 ) cos(θ 2 + θ 4 ) 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
(3.8)
Primele trei elemente din ultima coloană a matricei (3.7) reprezintă coordonatele originii 04 , scrise în raport cu originea 01' . ⎧ x41' = lDE ⋅ cos(θ 2 + θ 4 ) + lCD sin θ 2 + lBC ⎪ ⎨ y41' = lDE ⋅ sin(θ 2 + θ 4 ) − lCD cos θ 2 ⎪z = 0 ⎩ 41'
(3.9)
În continuare, se vor determina relaţiile de dependenţă între parametrii cinematici ai cuplelor mecanismului paralelogram BCDE, in scopul simplificării problemei (ştiindu-se deja ca doar o singură cuplă cinematică este conducătoare, mecanismul având un singur grad de mobilitate). Acest lucru se face rezolvând ecuaţia: ⎡ x41' − x31' ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1' 4 R ⋅ ⎢ y41' − y31' ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ z41' − z31' ⎥⎦ ⎢⎣ d 43 ⎥⎦
(3.10)
unde: x31' , y31' , z31' sunt coordonatele originii 03 în raport cu originea 01' ; d 43 este distanţa dintre originile 04 şi 0 3 , masurată în lungul axei Din matricea (3.5)avem:
z4 .
⎧ x31' = lBE ⋅ sin θ 3 ⎪ ⎨ y31' = −lBE ⋅ cos θ3 ⎪z = 0 ⎩ 31'
(3.11)
De asemenea ştim că d 43 = 0 .
4 1'
⎡ cos(θ 2 + θ 4 ) sin(θ 2 − θ 4 ) 0 ⎤ R = R = ⎢⎢ − sin(θ 2 + θ 4 ) cos(θ 2 + θ 4 ) 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ 1' 4
−1
(3.12)
Făcând înlocuirile necesare în relaţia (3.10) obţinem: ⎡ cos(θ 2 + θ 4 ) sin(θ 2 + θ 4 ) 0 ⎤ ⎡lDE cos(θ 2 + θ 4 ) + lCD sin θ 2 − lBC − lBE sin θ3 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ − sin(θ + θ ) cos(θ + θ ) 0⎥ ⋅ ⎢ l sin(θ + θ ) − l cos θ l + l cos θ ⎥ = ⎢0⎥ (3.13) 2 4 2 4 2 4 CD 2 BC BE 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ DE ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
respectiv ⎧lDE − lCD sin θ 4lBC cos(θ 2 + θ 4 ) + lBE sin(θ 2 + θ 4 − θ 3 ) = 0 (3.14) ⎨ ⎩−lCD cos θ 4 + lBC sin(θ 2 + θ 4 ) + lBE cos(θ 2 + θ 4 − θ 3 ) = 0
Datorită faptului că mecanismul BCDE este paralelogram, atunci BC=DE, CD=BE. În aceste condiţii, rezultă: ⎧⎪lDE [1 − c os(θ 2 + θ 4 )] + lBE [sin(θ 2 + θ 4 − θ 3 ) − sin θ 4 ] = 0 ⎨ ⎪⎩lDE sin(θ 2 + θ 4 ) + lBE [ cos(θ 2 + θ 4 − θ3 ) − cos θ 4 ] = 0
(3.15)
Aceste relaţii sunt adevărate numai dacă: ⎧θ 2 = θ3 ⎨ ⎩θ 4 = −θ 2 = −θ 3
(3.16)
Acest lucru înseamnă că doar una dintre cuplele cinematice ale mecanismului paralelogram va fi conducătoare. Aceasta va fi cupla B, cu parametrul cinematic θ3 . Elementul BE va fi conducător. Înlocuind condiţiile (3.169) în matricea (3.7) obţinem:
⎡1 ⎢0 4 ⎢ 1' R = ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 lBE sin θ3 ⎤ 0 −lBE cos θ3 ⎥⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦
(3.17)
Cu matricea 1'4 A obţinută, putem calcula matricea omogenă totală, la trecerea de la
sistemul de referinţă {0} la sistemul {4 '} astfel:
⎡ 0 sin θ1 cos θ1 ⎢ 0 0 1' 4 ⎢ 0 cos θ1 sin θ1 4' A = 1' A ⋅ 4 A ⋅ 4' A = ⎢ −1 0 0 ⎢ 0 0 ⎣0
− ( l AB − lBE sin θ 3 ) sin θ1 ⎤ ( l AB + lBE sin θ3 ) cos θ1 ⎥⎥ ⎥ lBE cos θ3 − lEF ⎥ 1 ⎦
(3.18)
Din matricea (3.18) rezultă că coordonatele extremităţii F a piciorului, în raport cu originea O0' a sistemului de referinţă, ca fiind primele trei elemente ale ultimei coloane. ⎧ xF = − ( l AB + lBE sin θ 3 ) sin θ1 ⎪ ⎨ yF = ( l AB + lBE sin θ 3 ) cos θ1 ⎪ z = −l cos θ − l BE 3 EF ⎩ F
(3.19)
3.2.4 Cinematica inversă a piciorului În acest caz se consideră cunoscute orientarea şi poziţia extremităţii piciorului şi se determină parametrii cinematici ai cuplelor conducătoare, respectiv θ1 şi θ3 . Pentru rezolvarea problemei vom face apel la funcţia trigonometrică inversă a tan 2 , funcţie ce necesită două argumente si returnează un singur rezultat (pentru a evita ambiguitatea funcţiilor trigonometrice obişnuite, care oferă acelaşi rezultat pentru două poziţii unghiulare diferite din intervalul (0, 2π ) ). Cunoscând valorile funcţiilor sin şi cos pentru o anumită poziţie unghiulară x(sin x = s;cos x = c) obţinem:
atan2( s, c) = x
(3.20)
Vom relua matricea de transformare omogenă totală (3.18) şi vom încerca determinarea parametrilor θ1 şi θ3 , considerând că se cunosc poziţia şi orientarea extremităţii F. Pentru a determina parametrul θ1 , considerăm elementele: ⎧ x F = −(l AB + l BE sin θ 3 ) sin θ1 ⎨ ⎩ y F = (l AB + l BE sin θ 3 ) cos θ 1
Făcând raportul acestor elemente, rezulta − x F sin θ1 = yF cos θ 1
respectiv θ1=atan2(-xF,yF)
(3.21)
Pentru a determina parametrul θ3, luam, pentru inceput, aceleasi elemente le ridicam la patrat si le adunam, obtinand xF2+yF2= lAB+2lABlBEsinθ3+lBE2sin2θ3
(3.22)
Rezolvand aceasta ecuatie , obtinem sinθ3=
− l AB ± x F2 + y F2 l BE
Practic, parametrul θ3 poate lua valori doar in intervalul ( −
(3.23)
π π
, ), ceea ce înseamnă 2 2 că vom avea două soluţii pentru θ3 . Insă, pentru ridicarea piciorului, unghiul θ3 trebuie să ia
π
), ceea ce simplifică problema, obţinând o singura soluţie pentru θ3 2 si anume considerând doar semnul (+) din relaţia (3.23)
valori în intervalul [0,
l AB + xF2 + yF2 sin θ3 = − lBE Din (3.20) ştim că zF= -lBEcosθ3- lEF ceea ce înseamnă cosθ3=
− z F − l EF l BE
(3.24)
Folosind egalităţile (3.23) si (3.24), vom avea
l AB + x F2 + y F2 sin θ 3 =− cos θ 3 − z F − l EF respectiv θ3=atan(-lAB+
x F2 + y F2 ,− z F − l EF )
(3.25)
3.2.5 Modelul cinematic al robotului 3.2.5.1 Cinematica directa Pentru rezolvarea problemei cinematice directe, consideram schema structurala a robotului păşitor patruped (Fig. 3.9), căruia i se ataşează sistemul de referinţa {0} în centrul geometric al corpului.
Fig. 3.10 Aplicând aceeaşi metodologie ca la paragraful anterior, se obţine matricea de transformare omogena a extremităţii F1 a piciorului 1, in raport cu originea O0 a sistemului de referinţă: T = 00' A⋅00''' A⋅01''' A⋅ 41'' A =
0 4'
⎡ 0 − sin α 1 ⎢0 cos α 1 =⎢ ⎢− 1 0 ⎢ 0 ⎣0
cos α 1 sin α 1 0 0
− (l AB + l BE sin β 1 ) sin α 1 + l OO ' ⎤ (l AB + l BE sin β 1 ) cos α 1 + lO ' A ⎥⎥ ⎥ − l BE cos β 1 − l EF ⎥ 1 ⎦
(3.26)
S-au facut notatiile: α1=θ11; β1=θ31 Din matricea (3.27) se obtin coordonatele extremitatii F1 a piciorului 1, in raport cu originea O0 a sistemului de referinta. ⎧ x F 1 = −(l AB + l BE sin β1 ) sin α 1 + l OO ' ⎪ ⎨ y F 1 = (l AB + l BE sin β1 ) cos α 1 + l O ' A ⎪ z F 1 = −l BE cos β 1 − l EF ⎩
(3.27)
In mod similar, se obtin si coordonatele extremitatilor celorlalte trei picioare, in raport cu aceeasi origine O0. ⎧ x F 2 = −(l AB + l BE sin β 2 ) sin α 2 + l OO ' ⎪ ⎨ y F 2 = −(l AB + l BE sin β 2 ) cos α 2 − lO ' A ⎪ z F 2 = −l BE cos β 2 − l EF ⎩
(3.28)
⎧ x F 3 = (l AB + l BE sin β 3 ) sin α 3 − lOO ' ⎪ ⎨ y F 3 = (l AB + l BE cos β 3 ) cos α 3 + lO ' A ⎪ z F 3 = −l BE cos β 3 − l EF ⎩
(3.29)
⎧ x F 4 = (l AB + l BE sin β 4 ) sin α 4 − lOO ' ⎪ ⎨ y F 4 = −(l AB + l BE sin β 4 ) cos α 4 − lO ' A ⎪ z F 3 = −l BE cos β 3 − l EF ⎩
(3.30)
Semnul lui α este considerat pozitiv daca rotirea piciorului produce avansarea corpului robotului in sensul pozitiv al lui x0 (pentru picioarele 1 si 3, aceasta inseamna rotirea spre dreapta, iar pentru picioarele 2 si 4, rotirea spre stanga). 3.2.5.2 Cinematica inversa Aplicand metodologia de la paragraful 3.2.4, obtinem parametrii cinematici ai fiecarei cuple cinematice conducatoare, considerand cunoscute pozitia si orientarea extremitatilor picioarelor.
α 1 = a tan 2(−( x F 1 − l OO ' ), y F 1 − lO ' A ) ⎧ ⎨ 2 2 ⎩β 1 = a tan 2(−l AB + ( x F 1 − lOO ' ) + ( y F 1 − lO ' A ) ,− z F 1 − l EF )
(3.31)
α 2 = a tan 2(−( x F 1 − l OO ' ),−( y F 2 + l O ' A )) ⎧ ⎨ 2 2 ⎩β 2 = a tan 2(−l AB + ( x F 2 − l OO ' ) + ( y F 2 − lO ' A ) ,− z F 2 − l EF )
(3.32)
α 3 = a tan 2( x F 3 + lOO ' , y F 3 − lO ' A ) ⎧ ⎨ 2 2 ⎩β 3 = a tan 2(−l AB + ( x F 3 + l OO ' ) + ( y F 3 + lO ' A ) ,− z F 3 − l EF )
(3.33)
α 4 = a tan 2( x F 4 + l OO ' ,−( y F 4 + lO ' A )) ⎧ ⎨ 2 2 ⎩β 4 = (−l AB + ( x F 4 + lOO ' ) + ( y F 4 + l O ' A ) ,− z F 4 − l EF )
(3.34)
