Matematic˘a 2 Curs 13
Relat¸ii de ordine Definit¸ie Fie (A, ≤) o mult ¸ime part ¸ial ordonat˘a. Un element a ∈ A se nume¸ste
maxim (sau cel mai mare element ) ⇐⇒ ∀ b ∈ A . b ≤ a.
minim (sau cel mai mic element ) ⇐⇒ ∀ b ∈ A . a ≤ b .
element maximal ⇐⇒ ∀ b ∈ A astfel ˆıncˆat a ≤ b =⇒ b = a.
element minimal ⇐⇒ ∀ b ∈ A astfel ˆıncˆat b ≤ a =⇒ b = a.
Observat¸ii: Maximul (minimul) unei mult¸imi part¸ial ordonate poate exista sau nu. Dar dac˘a exist˘a, atunci este unic. O mult ¸ime part¸ial ordonat˘ a poate avea sau nu elemente maximale (minimale). Dac˘a acestea exist˘a, atunci nu sunt neap˘arat unice. Dar dac˘ a exist˘a maxim (minim), atunci acesta este ¸si unicul element maximal (minimal) (atent¸ie: reciproca nu este neap˘arat adev˘arat˘a!)
Relat¸ii de ordine Lem˘ a Fie (A, ≤) o mult ¸ime part ¸ial ordonat˘a finit˘a nevid˘a. Atunci exist˘a cel put ¸in un element maximal ˆın A (respectiv minimal).
Propozit¸ie (Sortare topologic˘ a) Fie (A, ≤) o mult ¸ime part ¸ial ordonat˘a finit˘a nevid˘a. Atunci exist˘a o relat ¸ie de ordine total˘a pe mult ¸imea A care extinde relat ¸ia ≤: ∀ a, b ∈ A . a ≤ b =⇒ a b
Observat¸ie Orice submult¸ime S a unei mult¸imi part¸ial ordonate (A, ≤) este de asemenea o mult¸ime part¸ial ordonat˘a (S , ≤S ), cu relat¸ia de ordine ≤S definit˘a prin: a, b ∈ S , a ≤S b ⇐⇒ a ≤ b
Relat¸ii de ordine – majorant (minorant), margine superioar˘a (inferioar˘a) Fie (A, ≤) o mult¸ime part¸ial ordonat˘a ¸si S ⊆ A o submult¸ime a sa. Un element a ∈ A se nume¸ste majorant pentru S ⇐⇒ ∀ b ∈ S , b ≤ a. Submult¸imea S se nume¸ste m˘arginit˘a superior dac˘a are cel put¸in un majorant. Cel mai mic majorant (dac˘a exist˘a) se nume¸ste margine superioar˘a (sau suprem) pentru S ¸si se noteaz˘a sup(S ) sau S .
Dac˘a S = { a1 , . . . , an }, vom nota sup(S ) cu a1 ∨ a2 ∨ . . . ∨ an .
Un element a ∈ A se nume¸ste minorant pentru S ⇐⇒ ∀ b ∈ S , a ≤ b Submult¸imea S se nume¸ste m˘arginit˘a inferior dac˘a are cel put¸in un minorant. Cel mai mare minorant (dac˘a exist˘a) se nume¸ste margine inferioar˘a (sau infim) pentru S ¸si se noteaz˘a inf(S ) sau S .
Dac˘a S = { a1 , . . . , an }, vom nota inf(S ) cu a1 ∧ a2 ∧ . . . ∧ an .
Relat¸ii de ordine – majorant (minorant), margine superioar˘a (inferioar˘a) Exemple
mult¸imea p˘art¸ilor cu relat¸ia de incluziune (P (M ), ⊆) sup(S ) =
X ¸si inf (S ) =
X ∈S
X , ∀ S ⊆ P (M )
X ∈S
mult¸imea numerelor naturale cu relat¸ia de divizibilitate ( , | ) a ∨ b = c.m.m.m.c.(a, b )
¸si a ∧ b = c.m.m.d.c.(a, b )
mult¸imea numerelor naturale cu relat¸ia de ordine uzual˘a ( , ≤) a ∨ b = max(a, b )
¸si a ∧ b = min(a, b )
Latici Definit¸ie
O latice este o mult ¸ime part ¸ial ordonat˘a (A, ≤) cu proprietatea c˘a pentru orice a, b ∈ A, exist˘a a ∨ b , a ∧ b . Spunem c˘a o latice A este m˘arginit˘a dac˘a are atˆat cel mai mare element, notat 1, cˆat ¸si cel mic element, notat 0. O latice A este distributiv˘a dac˘a pentru orice a, b , c ∈ A au loc relat ¸iile (a ∨ b ) ∧ c = (a ∧ c ) ∨ (b ∧ c )
¸si
(a ∧ b ) ∨ c = (a ∨ c ) ∧ (b ∨ c )
ˆ Intr-o latice A, un element a ∈ A admite complement ¬a ∈ A dac˘a
¬a ∨ a = 1
¸si
¬a ∧ a = 0
Algebre Boole Definit¸ie O algebr˘ a Boole este o latice m˘arginit˘a, distributiv˘a, ˆın care fiecare element admite complement.
Exemplu (P (M ), ∪, ∩, (−)c , ∅, M ) algebra Boole a p˘art ¸ilor unei mult ¸imi M .
Propozit¸ie (Thm. de reprezentare Stone) Orice algebr˘a Boole cu un num˘ar finit de elemente este izomorf˘a cu algebra Boole a p˘art ¸ilor unei mult ¸imi.
Relat¸ii de ordine. Funct¸ii monotone ¸si puncte fixe O funct¸ie f : (A, ≤) → ( B , ≤) se nume¸ste monoton˘ a dac˘a a ≤ b =⇒ f (a) ≤ f (b )
Un punct fix pentru f este un element a ∈ A astfel ˆıncˆat f (a) = a.
Teorem˘ a (Knaster-Tarski) Fie f : P (M ) → P (M ) o funct ¸ie monoton˘a. Atunci exist˘a cel put ¸in un punct fix pentru f . Mai precis, X min =
{S ⊆ M | f (S ) ⊆ S } ¸si X max =
{S ⊆ M | S ⊆ f (S )}
sunt cel mai mic, respectiv cel mai mare punct fix al lui f .
Corolar (Thm. Cantor-Schr¨ oder-Bernstein) Fie A, B mult ¸imi nevide astfel ˆıncˆat exist˘a o funct ¸ie injectiv˘a A → B ¸si o funct ¸ie injectiv˘a B → A. Atunci A ¸si B sunt echipotente.
Structuri algebrice
Structuri algebrice Definit¸ie Fie A o mult ¸ime nevid˘a. O operat¸ie pe A este o funct ¸ie
A × .. . × A → A n
ori
Num˘arul natural n se nume¸ste aritatea operat ¸iei.
n = 2 =⇒ operat¸ie binar˘ a A × A → A.
n = 1 =⇒ operat¸ie unar˘ a A → A.
n = 0 =⇒ operat¸ie nular˘ a (constant˘a) a ∈ A.
Definit¸ie O algebr˘ a este o mult ¸ime nevid˘a A, ˆımpreun˘a cu o familie de operat ¸ii de diverse arit˘a¸i. t
Exemple de algebre: monoid, grup, inel, corp, latice, algebr˘ a Boole
Monoizi
Un monoid (M , ·, e ) este o mult¸ime nevid˘a M , ˆınzestrat˘a cu o operat¸ie binar˘a asociativ˘a (x · y ) · z = x · (y · z ) ,
∀ x , y , z ∈ M
¸si cu element neutru e x · e = e · x = x ,
∀ x ∈ M Dac˘a ˆın plus operat¸ia binar˘a este comutativ˘a x · y = y · x , ∀ x , y ∈ M spunem c˘a monoidul este abelian (comutativ).
Un morfism de monoizi f : ( M , ·M , e M ) → ( N , ·N , e N ) este o funct¸ie f : M → N astfel ˆıncˆ at f (x ·M y ) = f (x ) ·N f (y )
∀ x , y ∈ M ¸si
f (e M ) = e N
O submult¸ime M a unui monoid (M , ·, e ) se nume¸ste submonoid dac˘a x , y ∈ M =⇒ x · y ∈ M ¸si e ∈ M
Monoizi – exemple
( , +, 0) monoidul aditiv al numerelor naturale.
( , ·, 1) monoidul multiplicativ al numerelor naturale
(X X , ◦, IdX ) monoidul funct¸iilor X → X , ˆımpreun˘a cu operat¸ia de compunere ¸si cu funt¸ia identitate (P (M ), ∪, ∅) ¸si (P (M ), ∩, M ) monoidul p˘art¸ilor cu operat¸ia de reuniune, respectiv intersect¸ie. Monoidul liber peste un alfabet (mult¸ime) A = ∅
A =
An , unde A0 = { }
n∈
cu operat¸ia de concatenare a string-urilor [a1 . . . an ] · [b 1 . . . b m ] = [a1 . . . an b 1 . . . b m ] ¸si cu string-ul vid ca element neutru.
Monoidul liber peste un alfabet
A
Propozit¸ie Fie A o mult ¸ime nevid˘a ¸si i : A → A funct ¸ia care asociaz˘a fiec˘arui caracter (element) a ∈ A, string-ul i (a) = [a].
Atunci pentru orice monoid (M , ·M , e M ) ¸si pentru orice funct ¸ie f : A → M exist˘a un unic morfism de monoizi f : ( A , ·, ) → ( M , ·M , e M ) astfel ˆıncˆat f ◦ i = f .
a
A i
[a]
f
M
f
A
Exemplu Fie f : A → ( , +, 0) funct ¸ia constant˘a f (a) = 1, ∀ a ∈ A. Atunci morfismul de monoizi indus f : ( A , ·, ) → ( , +, 0) asociaz˘a fiec˘arui string din A lungimea sa (num˘arul de caractere).
Monoidul de tranzit¸ie asociat unui automat Definit¸ie Automat finit determinist peste un alfabet A:
A = (X , δ : A × X → X ) mult ¸imea finit˘ a a st˘ arilor
funct ¸ia de tranzit ¸ie
Pentru fiecare a ∈ A, fie funct¸ia δ a : X → X , δ a (x ) = δ (a, x )
Extindem de la a ∈ A la [a1 . . . an ] ∈ A : fie funct¸ia δ [a1
...an
]
: X → X ,
δ [a1 ...an ] (x ) = δ (a1 , δ (a2 , . . . , δ (an−1 , δ (an , x )) . . .)
Atunci δ a1
...an
= δ a1 ◦ . . . ◦ δ an
Dac˘a not˘am ¸si δ = IdX , atunci mult¸imea {δ : X → X | ω ∈ A } formeaz˘a un submonoid ˆın (X X , ◦, IdX ), numit monoidul de tranzit¸ie asociat automatului A.
ω
Alte exemple de structuri algebrice: latici ¸si algebre Boole Definit¸ie O latice este o mult ¸ime A ˆınzestrat˘a cu dou˘a operat ¸ii binare ∨, ∧ care satisfac urm˘atoarele propriet˘a¸i: t
asociativitate (a ∨ b ) ∨ c = a ∨ (b ∨ c )
comutativitate a ∨ b = b ∨ a
¸si
a ∧ b = b ∧ a
∀ a, b ∈ A
idempotent ¸˘a a∨a=a
(a ∧ b ) ∧ c = a ∧ (b ∧ c ) ∀ a, b , c ∈ A
¸si
¸si
a∧a=a
∀a∈A
absorbt ¸ie (a ∨ b ) ∧ a = a
¸si
(a ∧ b ) ∨ a = a
∀ a, b ∈ A
Observat¸ie Cele dou˘a definit ¸ii ale unei latici sunt echivalente: relat ¸ia de ordine se obt ¸ine din a ≤ b ⇐⇒ a ∨ b = b ⇐⇒ a ∧ b = a
Alte exemple de structuri algebrice: latici ¸si algebre Boole Definit¸ie O algebr˘ ¸ime A ˆınzestrat˘a cu dou˘a operat ¸ii binare a Boole este o mult ∨, ∧, o operat ¸ie unar˘a ¬ ¸si dou˘a constante 0, 1 ∈ A care satisfac urm˘atoarele propriet˘a¸i: t
(A, ∨, ∧) este o latice distributiv˘a identit˘a¸i: t a∨0=a
¸si
a∧1=a
∀a ∈ A
¬a ∨ a = 1
¸si
¬a ∧ a = 0 ∀ a ∈ A
complement:
Observat¸ie Cele dou˘a definit ¸ii ale unei algebre Boole sunt echivalente.
