Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Escuela de Matem´atica atica MAY230 - Matem´atica atica para Inform´atica atica I er 1 Semestre 2013
Progresiones e inducci´ on mat ma tem´ atic ti ca Edici´ on on Fil´a ander n der A. Sequei Seq ueira ra Chavarr Chavar r´ıa
Contenido 1. Sumas Sumas y productos productos
1
1.1. Notaci Notaci´on o´n de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Notaci Notaci´on o´n de producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Notaci Notaci´on o´n general de Σ y Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. El fact factori orial al de un un n´umero umero natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. El teore teorema ma del binom binomio io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Progresio Progresiones nes
23
2.1. Progre Progresi´ si´ on on arit ar itm´ m´etica eti ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Progre Progresi´ si´ on on geom´ ge om´etrica etr ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Resolu Resoluci´ ci´ on on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Principio Principio de inducci´ inducci´ on on mate ma tem´ m´ atic at ica a
1. 1.1. 1.1.
43
Suma Su mass y pr prod oduc ucto toss Nota Notaci ci´ ´ on on de suma
Considere una computadora con seis procesadores, y sea N i la cantidad de procesos, independientes, realizados por el procesador i = 0, 1, . . . , 5. Entonces, la cantidad total de procesos realizados por la computadora vienen dados por + N 1 + N + N 2 + N + N 3 + N + N 4 + N + N 5 . N 0 + N Es conveniente conveniente tener una notaci´on on abreviada para estas sumas tan largas. Dicha notaci´on on utiliza la letra griega Σ, denominada sigma may´ may´ uscula, uscula, como s´ımbolo de suma. As´ As´ı, la suma anterior
1
Fil´ ander ande r A. Sequeira Seque ira Chavarr Chavar r´ıa
2
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puede ser representada de la forma: 5
N i
i=0
Esta expresi´on on se lee “la suma desde i 0 hasta i 5 de d e N hay n + 1 i igual 0 i igual 5 N i ”. Suponiendo que hay n procesadores, entonces se tiene que n
i=0
+ N 1 + N + N 2 + . + . . . + N + N n−1 + N + N n. N i = N 0 + N
Esta notaci´on on indica indica que se debe formar formar la suma de todos los t´ erminos erminos cuando cuando se sustituy sustituyee i por enteros sucesivos, empezando con i = i = 0 (en este caso particular) y acabando con i = i = n n.. El s´ımbo mb olo i se denomina ´ındice ındice de la suma, el cual es una variable que puede ser identificada n
por cualquiera de las letras del alfabeto. Por ejemplo
n
N j y
j =0
N i representan la misma suma.
i=0
Definici´ on on 1. Considere m y n n´umer u meros os ente entero ross tale taless que que m am , am+1 , . . . , an, se puede denotar por
≤
de los n´ umeros umeros n. La suma de
n
+ am+1 + . + . . . + a + an . ai = am + a
i=m
Don de el s´ımbolo Donde ımbo lo i es el ´ındice de la suma, m es el l´ ın dicee y n es el l´ımite ımi te inferi inf erior or del ´ındic de l ´ındi ın dice ce.. l´ımite ımi te sup su p erior eri or del
on anterior se puede apreciar que los l´ımites inferiores y superiores Observaci´ on: on: De la definici´on de la suma pueden cambiar, por ejemplo, 24
+ N 20 + N 21 + N 22 + N 23 + N 24 N i = N 19 19 + N 20 + N 21 + N 22 + N 23 + N 24 ,
i=19
es el total de procesos independientes realizados por los procesadores del 19 al 24. Adem´ as, as, si el l´ımite inferior y superior son iguales, entonces entonces la “suma” se reduce a un t´ermino, ermino, por ejemplo, ejemplo, 1 3 1 1 1 = = N i = N 1 , . 2 2 3 9 i i=1 i=3
Luego, si el l´ımite superior es menor que el l´ımite inferior, no hay ning´un un t´ermino, ermino, por lo que la “suma” es cero, por ejemplo, 1
i=3
N i = 0.
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Ejemplo 1. Calcular el valor de las sumas: 5
1.
6
i
2
2.
i=1
2
(5k (5k
k =3
− 3)
3.
j =0
1 ( j + 1)( j + + 3) j + 1)( j
Soluci´ on. on. 5
1.
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
i=1
6
2.
(5k (5k
k=3
2
3.
j =0
− 3) = (5 · 3 − 3) + (5 · 4 − 3) + (5 · 5 − 3) + (5 · 6 − 3) = 78
1 1 1 1 40 + 15 + 8 63 = + + = = ( j + 1)( j + + 3) (0 + 1)(0 + 3) (1 + 1)(1 + 3) (2 + 1)(2 + 3) 120 120 j + 1)( j
areas, como econom´ econom´ıa y computaci´ computaci on. o´n. Observaci´ on: on: Las sumas aparecen en gran variedad de ´areas, Particularmente en computaci´on, on, se tiene la siguiente equivalencia:
≡ n
S =
ai
i=m
Ejercicio 1.
S 0 = m to n do for i = m + ai S S + a end
← ← ← ←
Escriba la suma 1 + 3 + 32 + 33 + . . . + 3 81 con la notaci´on on Σ.
Teorema 1 (Propiedades de la suma). Para m Para m,, n, p igualdades:
∈
con m
≤ n, c ∈
y a1 , . . . , an, b1, . . . , bn
∈
n
1.
n
= nc c = nc
3.
i=1 n
2.
i=1
n
(ai + b + bi) =
i=1
4.
bi
i=1
n m+ p
ai =
i=m
ai +
i=1
n
ai
n
i=1
n
= c cai = c
, se cumplen cumplen las siguie siguiente ntess
−
i= p
ai+m− p
Demostraci´ on. on. (ejercicio)
un el teorema anterior, de la igualdad a) se puede afirmar que in=1 1 = n, Observaci´ on: on: Seg´un n , cuando se toma c = 1. La igualdad b) afirma que cualquier t´ermino ermino que este multiplicando, y
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no depende del ´ındice ındice de la suma, puede salir a multipl multiplicar icar la suma, es lo que se conoce como factor com´ un . La igualdad c igualdad c)) muestra que las sumas dentro de la notaci´on on Σ se pueden separar en otras sumas con la notaci´on on Σ. As´ As´ı, utilizando estas propiedades se puede determinar que n
n
(ai + b + bi
i=1
− c + d + d)) i
n
n
−
=
ai +
i=1
bi
i=1
+ nd. ci + nd.
i=1
Finalmente, la igualdad d) muestra c´omo omo se puede cambiar el l´ımite inferior en una suma, sin alterar el resultado de la misma, por ejemplo, 5
i=3
2
+ N 1 + N + N 2 = N i−3 = N 0 + N
N i .
i=0
Adem´ as, de esta propiedad, se puede concluir el traslado del ´ındice, as, ındice, de la siguiente manera: n+k
n
ai+k =
i=m
n
y
ai ,
i=m
i=m+k
−
n k
ai−k =
ai .
i=m k
−
Es decir, decir, que si se cambia cambia el ´ındice ındice dentro dentro de la suma, basta con modificar los l´ımites ımites de la suma, para que el valor de la suma se mantenga igual. representar el traslado de un ´ındice, de la siguiente manera: En resumen: Se puede representar sumar k al l´ımit ım itee
restar k al l´ımit ım itee
arestar
a l ´ındi ın dice ce k al
sumar k al l´ımit ım itee
asumar
a l ´ındi ın dice ce k al
restar k al l´ımit ım itee
Ejemplo 2. Determine el valor de la suma n
(m m=2
1
− 1)m 1)m
1
=
1 2
·
+
1 2 3
·
+
1 3 4
·
+ . + . . . +
1
(n
. − 1)n 1)n
(1)
Para ayudarse, considere la identidad 1 (m
− 1)m 1)m
=
1
1 − . m−1 m
(2)
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Soluci´ on. on. Sustituyendo el resultado (2 (2) en la suma de (1 (1) se tiene que: n
m=2
n
1 (m
=
− 1)m 1)m
n
n
− − − − − − − − − 1
1
m
m=2
1 m
=
−
n
1 = (m + 1) m=2−1
1 m m=2
1
n 1
n 1
−
−
1 1 + 1 m=2 m n 1
= 1+
−
= 1
1 m
m=2
n 1
−
1 m
1 m
m=2
1 n
+
✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘
m=2
1 m m=2
1
m
m=2
n 1
=
1
1 n
− n1
Por lo tanto, la resultado exacto de la suma es 1
−
1
.
n
(Med ia aritm´ ar itm´etica) eti ca) . Ejemplo 3 (Media La media aritm´etica etica x¯ de n n´ n umeros u ´ meros x1 , x2, . . . , xn es la suma de todos ellos dividida por el n´ umero n umero n de t´erminos, ermi nos, es decir, deci r, 1 x¯ = n
n
xi .
i=1
Muestre que se cumple que n
1.
n
(xi
i=1
− x¯)
= 0
2.
n
(xi
i=1
− x¯)
2
− xi2
=
nx¯2
i=1
Soluci´ on. on. 1. Se tiene que n
n
(xi
i=1
− x¯)
=
n
− xi
i=1
i=1
2. Similarme Similarmente nte,, observe observe que n
i=1
n
(xi
− x¯)
2
=
− − − 2
(xi
i=1 n
=
2
xi
i=1 n
=
xi2
i=1
− − − − −
1 x¯ = n n
n
n
x¯
xi
i=1
1 = nx¯
i=1
¯ x
n
n
n
2
2
2xi x¯ + x ¯ ) =
n
2
2x¯
xi
i=1
1 2nx¯ n
nx¯ = 0.
¯ xi + x
i=1
n
1
i=1
n
2
xi + n¯ nx¯
i=1
xi2
=
i=1
n
2nx¯2 + n¯ nx¯2 =
xi2
i=1
nx¯2 .
2nx¯x¯ + n + n¯ x¯2
Fil´ ander A. Sequeira Chavarr´ıa
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Observaci´ on: Un error com´un en la notaci´on Σ, es afirmar que se cumple que
2
n
n
=
ai
i=1
a2i ,
i=1
lo cual no ocurre, ya que ni=1 a2i = a21 + . . . + a2n , mientras que ( Por lo tanto, en general se tiene que 2
n
ai
n
=
i=1
n
2
ai , adem´as
i=1
n i=1
2
ai ) = (a1 + . . . + an )2 .
n
xi yi =
i=1
n
xi
i=1
yi .
i=1
Ejercicio 2. n
Determine el valor exacto de
(1 + 2n).
i=m
Teorema 2. Si n
, entonces se cumple que
∈ n
1.
i=1 n
2.
i=1
n
n(n + 1) i = 2
3.
3
i =
i=1 n
n(n + 1)(2n + 1) i = 6 2
4.
n(n + 1) 2
2
n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n i = 30 4
i=1
− 1)
Demostraci´ on. S´olo se demostr´a la primera igualdad, las demostraciones de las dem´as igualdades, son dejadas de ejercicio para el lector, para ayudarse, se recomienda la subsecci´on 1.5 o bien el uso de la inducci´ on matem´ atica de la secci´on 3. n
Considere S = miento)
i, el valor de S se puede escribir de dos formas (diferentes, s´olo en ordena-
i=1
S = 1 + 2 + . . . + (n S = n + (n sumando ambos resultados se tiene que
− 1) + n,
− 1) + . . . + 2 + 1,
1 + 2 + . . . + (n 1) + S = n + S = + (n 1) + . . . + 2 + 1 n 2S = (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) + (n + 1)
−
−
n veces
Por lo tanto, 2S = n(n + 1), con lo que se tiene que n
S =
i=1
i =
n(n + 1) . 2
Fil´ ander A. Sequeira Chavarr´ıa
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Observaci´ on: N´otese que las cuatro sumas del teorema 2, pueden iniciar en cero, sin afectar la igualdad. Por ejemplo, n
n
i = 0+
i=0
i = 0+
i=1
n(n + 1) n(n + 1) = . 2 2
Ejemplo 4. 100
Calcule el valor exacto de la suma
(6i
− 3).
i=0
Soluci´ on. Por propiedades de la suma se tiene que 100
100
(6i
i=0
− 3)
=
100
100
100
− − − 6i
i3 = 6
i=0
i
i=0
i=0
·
1
i=0
100
100(100 + 1) = 6 2 = 300 101
3
3 1+
1
i=1
− 3(1 + 100)
= 29997.
Por lo tanto, el valor exacto corresponde a 29997.
Ejercicio 3. n
Determine el valor de
k2 + 3k + 2 .
k =0
Observaci´ on: Tambi´en es posible considerar una suma de sumas, es decir, m
m
m
ai1 +
i=1
ai2 + . . . +
i=1
ain ,
i=1
n sumas
la cual es posible de representar por dos signos Σ, lo que se conoce como sumas dobles , es decir, n
m
n
m
aij =
j =1 i=1
aij
j =1
.
i=1
Adem´ as, se puede verificar que el orden de las sumas en una suma doble es irrelevante, siempre que los ´ındices de ambas sumas sean independientes el uno del otro, as´ı, n
m
m
n
aij =
j =1 i=1
i=1 j =1
aij .
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Ejemplo 5. 3
Calcular
4
(i + 2 j).
i=1 j =1
Soluci´ on. 3
4
3
(i + 2 j) =
i=1 j =1
[(i + 2) + (i + 4) + (i + 6) + (i + 8)]
i=1
3
=
(4i + 20) = 24 + 28 + 32 = 84.
i=1
Ejemplo 6. m
Calcular
n
i.
i=1 j =1
Soluci´ on. Por propiedades de la suma, se tiene que:
m
n
m
n
m
i =
i=1 j =1
i
i=1
=
j =1
n
1
i
i=1
m
j =1
=
m
(in) = n
i=1
i =
i=1
Ejercicio 4. 3
Determine el valor exacto de
3
3
xi y j z k .
i=0 j =0 k=0
Observaci´ on: En computaci´on, se tiene la siguiente equivalencia:
≡ n1
S =
n2
aij
i=k1 j =k2
S 0 for i = k 1 to n1 do for j = k 2 to n2 do S S + aij end end
←
←
nm(m + 1) . 2
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Ejercicios (secci´ on 1.1) 1. Calcular el valor de las sumas 10
a )
5
c )
i
i=1
k =2
(2m + 1)
e )
m=0
6
b)
10
(5 · 3 −
− k)
d )
2
i=1
4
2
k 2
t
22
f )
t=0
j + 1 j j =1
2. Desarrollar las siguientes sumas 2
a )
n
3
√
2 k + 2
(x + 2i)2
b)
c )
−
aki bk+1
k =1
i=0
k= 2
3. Utilice la notaci´on Σ para representar las siguientes sumas d ) 13 + 23 + 33 + 43 + . . . + n3
a ) (2 b)
− 8) + (3 − 27) + . . . + (10 − 1000) 1 2 3 33 34 − + − . . . + − 2 3 4 34 35
1 1 1 ( 1)n e ) 1 + + . . . + 3 5 7 2n + 1 f ) 3x + 9x2 + 27x3 + 81x4 + 243x5 + 729x6
−
c ) 4 + 8 + 12 + 16 + . . . + 4n
−
−
4. Un polinomio de grado n y variable x se define como pn(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + anxn . Utilice la notaci´on Σ para reescribir pn. 5. Determine cu´ales de las siguientes igualdades son ciertas 7
a )
4
k 2
5− =
k =3 n
b)
k =1
n
5
c )
k=0
1 ak = k k
n
ak
a )
2i
i=1
j =n+1
− 3i + 2
ai =
i=1
n 1
−
b)
k=0
n x
kx n
k =0
−a ) k
n 1
c )
= a9
−a , 0
n
(ak+1
k=0
−a ) k
−
i=0
y que en general se cumple que
ai
2
8
(ak+1
j =1
i=1
7. Probar que
b j
n
d )
k=1
N
b j =
n
n
2
b j +
j =1
6. Calcule las sumas
N
||
k +1
= an+1
−a . 0
(a + id)
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10
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8. Use el resultado del ejercicio 7, para calcular las sumas 50
a )
k =1
1 k
n
12
− 1 k + 1
b)
k +1
3
k=1
k
−3
ark+1
c )
k =1
− ar
k
9. Usando el hecho de que 1
−r
n+1
= (1
− r)(1 + r + r
2
+ . . . + r n),
para calcular el valor exacto de la suma geom´etrica n
ark .
k=0
10. Verifique las siguientes igualdades
−
n
a )
1 = n + 1
i=m n
b)
2
n
−m
(n + 1
i =
c )
2
n
3
d )
im(m
i=m
n
2
(i3
=
i
i=m
− m)(n + m)
i=m
n
i =
i=m
n
+
i
− 1))
i=m
i
i=m
11. Desarrolle las siguientes sumas dobles 3
a )
4
·
2
j
i 3
b)
4
s=0 r=2
i=1 j =1
rs r + s
m
2
c )
n
·
i k j , (k = 1)
i=1 j =1
12. Verifique las siguientes igualdades n1
a )
n2
n2
n1
aij =
i=k1 j =k2
n1
aij
b)
j =k2 i=k1
n2
n1
b j =
ai
i=k1
j =k2
i=k1 j =k2
13. Demostrar que la suma de todos los n´umeros del tri´angulo a11 a21 a31 .. .
a22 a32 .. .
a33 .. .
...
am1 am2 am3
· ··
amm
se puede escribir en la forma
m
i
aij
i=1
j =1
m
o como
m
aij
j =1
n2
i= j
.
ai b j
Fil´ ander A. Sequeira Chavarr´ıa
1.2.
11
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Notaci´ on de producto
Existe una notaci´on especial para productos, an´aloga a la notaci´on Σ, pero con la letra griega Π, pi may´ uscula. Si a 1 , a2 , . . . , an son n´ umeros, entonces se escribe el producto de esos n´umero n como i=1 ai , es decir,
n
ai = a1 a2 . . . an .
· · ·
i=1
En otras palabras se multiplican todos los valores a i cuando i var´ıa desde 1 hasta n. De forma m´as general se tiene la siguiente definici´on.
Definici´ on 2. Considere m y n n´umeros enteros tales que m am , am+1 , . . . , an, se puede denotar por
n. El producto de los n´umeros
≤
n
ai = am am+1 . . . an.
·
i=m
· ·
Donde el s´ımbolo i es el ´ındice del producto, m es el l´ımite inferior del ´ındice y n es el l´ımite superior del ´ındice.
Observaci´ on: Este producto tiene n m + 1 factores. Por ejemplo, si n = 6 y m = 3, entonces 6 3 + 1 = 4 factores. i=3 ai = a3 a4 a5 a6 es un producto de 6
−
−
Ejemplo 7. Desarrollar los siguientes productos: 1.
n
6
(2i
i=3
2.
− 1)
1 1+ k
k=1
k
Soluci´ on. 6
1.
− ·− ·− ·− ·− · · (2i
1) = (2 3
1)(2 4
1)(2 5
1)(2 6
1) = 5 7 9 11 = 3465.
· · ·
i=3 n
2.
k=1
1 1+ k
k
1 = 1+ 1
1
1 1+ 2
2
...
1 1+ n
n
.
Observaci´ on: N´otese que se cumple que n
n
a
· · ·
= a a ... a = n veces
i=1
a,
Fil´ ander A. Sequeira Chavarr´ıa
as´ı, se tiene que
12
MAY-230
n
n
n
a = a
y
i=1
a = an−m+1 .
i=m
Por otro lado, similar a la notaci´on de suma, cuando m > n no hay nada que multiplicar, por lo que el producto es 1. Por ejemplo, 2
2
ai = 0
y
i=3
ai = 1.
i=3
Ejemplo 8. 2
Calcular el valor exacto de
i
(1
i=0 j =1
2
− 2 j) .
Soluci´ on. Calculando primero la suma: 2
0
i
(1
i=0 j =1
− 2 j)
2
=
1
2
(1
2
2
− 2 j) + (1 − 2 j) + (1 − 2 j) 1 + (1 − 2 · 1) + (1 − 2 · 1) · (1 − 2 · 2) 1 + (−1) + (−1) · (−3)
j =1
= = = 11
j =1
2
2
2
j =1
2
2
2
2
Ejercicio 5.
3
Calcular el valor de
5
xs y k .
k =1
s=k +1
Observaci´ on: En computaci´on, se tiene la siguiente equivalencia:
≡ n
P =
ai
i=m
Ejercicios (secci´ on 1.2)
P 1 for i = m to n do P P ai end
← ← ·
1. Calcular los siguientes productos 6
a )
s=1
6
2−s
b)
k =3
1
k3
j c ) j + 3 j =−2
d )
5 s=3 (1 + rs ) 5 s=1 (1 + rs )
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13
MAY-230
2. Desarrollar las expresiones siguientes n
a )
i=1
n
ai bi
b)
n
n
c )
as bi
i=1
2k 2k 2k 1 2k + 1 k =1
s=i+1
−
3. ¿Cu´ales de las siguientes igualdades son verdaderas? n
a )
b)
n
kai = k
i=1
n
n
am i =
i=1
n
ai
i=1
c )
n
ai bi =
ai
i=1
m
i=1
n
d )
ai
i
bi
i=1
n
n
aij =
i=1 j =1
i=1
n
aij
j =1 i= j
4. Verifique que se cumplen las siguientes igualdades n
a )
n
logb (ai ) = logb
i=k
1.3.
b ) b[
ai
n
a i=k i
]=
n
ba
i
i=k
i=k
Notaci´ on general de Σ y Π
Definici´ on 3. La notaci´on Σ y la notaci´on Π se pueden generalizar considerando una proposici´on abierta P (n) y definiendo an y an como la suma y el producto de todos los an para los
P (n)
P (n)
n que cumplen P (n). Si no existen valores que satisfacen la proposici´on P (n), se define an = 0 y an = 1.
P (n)
P (n)
Ejemplo 9. Calcule el valor de
[1 + ( 1)n ].
−
0
≤
Soluci´ on. En esta suma se tiene que P (n) : 0 < n 10 y es importante notar que aunque 0 < n 10 n ]0, 10] el cual es un conjunto con infinitos elementos, para el caso de las sumas en realidad se esta considerando
≤
≤ ≡ ∈
0 < n
≤ 10 ≡ n ∈]0, 10] ∩
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
es decir que se tiene que
0
≤
10
n
[1 + ( 1) ] =
−
i=1
[1 + ( 1)n] = 1 0.
−
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14
MAY-230
Ejemplo 10. Calcule el valor de
2i +
n 24 n>6
|
24 . i
Soluci´ on. Se consideran los n tales que n 24, es decir, los divisores de 24, los cuales son 1, 2, 3 4, 6, 8, 12 y 24. Adem´as, se tiene que n > 6, por lo que los n´umero que se consideran son 8, 12 y 24, por lo tanto
± ± ± ± ± ±
|
±
±
· ·
n 24 n>6
|
24 2i + i
=
24 2 8+ 8
·
24 2 12 + 12
24 2 24 + 24
= 19 26 49 = 24206.
· ·
Ejercicio 6. Determine el valor exacto de
(n + k).
n 6 01
|
Ejercicios (secci´ on 1.3) 1. Calcular las expresiones a )
2
b)
(i + 1)
0
≤
| j |≤2
2. Dados los conjuntos A = [20, 30[ a )
∈
i A
− 3)
b)
− 1)
c )
p
p 20 p primo
≤
{
}
2
c )
p
∈
k
∈ ∩
p B
3. Considere una funci´on f :
y B = 2, 3, 5, 7, 11, 13 , determinar los valores de
∩
(2i
( j
3
k A B
y n´umeros reales distintos x0 , x1 , . . . , xn. El polinomio interpolador de Lagrange aproxima la funci´ on f en los puntos x0 , x1 , . . . , xn , por un polinomio de grado n, el cual viene dado por
→
n
pn(x) =
Lk (x)f (xk ),
k=0
donde Lk es un polinomio de grado n definido por n
Lk (x) =
i=0 i=k
x xk
−x . −x i
i
a ) Determine el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´ on f (x) = x 2 , con los
puntos x 0 = 1, x 1 = 2 y x 2 = 3. b ) Determine el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´ on f (x) = tan(x), con
los puntos x 0 =
−1.5, x = −0.75, x 1
2
= 0, x 3 = 0.75 y x 4 = 1.5.
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1.4.
15
MAY-230
El factorial de un n´ umero natural
Definici´ on 4. La funci´ on factorial definida sobre
y denotada por f (n) = n!, es dada por
n
n! =
k = 1 2 3 . . . (n
· · · · − 1) · n,
k =1
y adem´as n´otese que 0! = 1.
Ejemplo 11. Al considerar los primeros valores para n de n! : 0! = 1
, se tiene que:
→
5! = 5 4 3 2 1 = 5 4! = 120
· · · · · 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6 · 5! = 720 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7 · 6! = 5040 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 8 · 7! = 40320 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 9 · 8! = 362880
1! = 1 = 1 0! = 1
·
2! = 2 1 = 2 1! = 2
· · 3! = 3 · 2 · 1 = 3 · 2! = 6 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 4 · 3! = 24
Observaci´ on: Del ejemplo anterior, se puede apreciar que otra forma ´util de definir el factorial de un n´umero natural, es por medio de la forma recursiva : n! = n (n
· − 1)!
Ejemplo 12. Calcular el valor de
1986! . 1984!
Soluci´ on. N´otese que se tiene que 1986! 1986 1985 1984! = = 1986 1985 = 3942210, 1984! 1984!
·
✘ ✘ ✘
Por lo tanto, el valor es 3942210.
Ejercicio 7. Calcular el valor de
100! . 2!(100 2)!
−
·
✘ ✘ ✘
·
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16
MAY-230
Observaci´ on: La forma generalizada del factorial, aplicada a x como la funci´ on gamma , definida por
∈
+
Γ(x) =
∞
, con x > 0, es conocida
β x−1 e−β dβ
0
y cuando n , se cumple que Γ(n) = (n 1)!. El s´ımbolo se denomina integral y se considera en cualquier curso b´asico de c´alculo. Adicionalmente, en algunos cursos de c´alculo tambi´en se consideran las igualdades:
∈
−
+
x
e
=
∞
xn n!
− − n=0
= 1 + x +
x 2 x 3 x 4 x5 + + + + . . . 2 6 24 120
+
sen(x) =
∞ ( 1)n
n=0
2n+1
(2n + 1)!
x
3
= x
+
cos(x) =
∞ ( 1)n
n=0
(2n)!
x
2n
= 1
−
+
x5 120
−
x6 + . . . 720
− x6
x 2 x4 + 2 24
7
x − 5040 + . . .
En ellas, cuando el l´ımite superior de una suma es + , a la suma se le conoce como serie . Las identidades anteriores se les llama series de potencia . De ellas, cuando se cambia + por un n´umero N “grande”, se tienen aproximaciones para las funciones ex , sen(x) y cos(x) dadas por polinomios (el m´etodo de Horner es u ´ til aca). Estas aproximaciones son las que usan las computadoras para evaluar dichas funciones.
∞
∞
Ejercicios (secci´ on 1.4) 1. Simplifique las expresiones a )
(n + 2)! n!
b)
(2n + 2)! 2n!
c )
(n 1)! (n + 1)!
−
2. Desarrolle la siguiente expresi´on, la cual es una aproximaci´on para la funci´on cuando x 1. 5 ( 1)n (2n)! 1 + x xn . 2 n (1 2n)(n!) (4 ) n=0
| | ≤
√
≈
√ 1 + x
− −
√ Luego de ello, utilice este desarrollo para aproximar 2.
1.5.
El teorema del binomio
Por propiedades de potencias, es conocido que (x + y)1 = x + y, y que (x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2 . Utilizando esta u ´ ltima igualdad se puede escribir (x + y)3 = (x + y)2 (x + y) y (x + y)4 = (x + y)2 (x + y)2 para obtener los resultados: (x + y)1 (x + y)2 (x + y)3 (x + y)4
= = = =
x + y x2 + 2xy + y 2 x3 + 3x2 y + 3xy2 + y 3 x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy3 + y 4
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17
MAY-230
Estas f´ormulas son muy u ´ tiles, por ejemplo, se puede usar la f´ormula de (x + y)3 para probar la igualdad n n(n + 1)(2n + 1) i2 = 6 i=1
del teorema 2, considerando (i + 1)3 = i 3 + 3i2 + 3i + 1, y con ello n
n
3
(i + 1)
=
i=1
n
3
2
(i + 3i + 3i + 1) =
i=1
n
n
n
3
2
i +3
i=1
i +3
i=1
i +
i=1
1.
i=1
Luego, despejando la suma de i 2 , se tiene que: n
i=1
i2
1 = 3
n
− − − − − − n
(i + 1)3
i=1
i3
3
n
1
i
i=1
1 3n(n + 1) = (n + 1)3 3 2 3n n + 1 2 = n + 2n + 1 3 2
−
1 3
=
i=1
(n + 1)3
− − 1
n(n + 1) 3 2
−
− n
3n n + 1 (n + 1) = (n + 1)2 1 3 2 n + 1 2 n n(n + 1)(2n + 1) 1 = = n + . 3 2 6
−
Ejercicio 8. Pruebe que para n
≥ 1, se cumple que
n
3
i =
i=1
n(n + 1) 2
2
.
Para ello, utilice una identidad con (i + 1)4 .
Luego de apreciar la utilidad de las f´ormulas (x + y)1 , . . . , (x + y)4 , surge la interrogante: ¿cu´ al n es la f´ ormula para calcular (x + y) con n arbitrario? La respuesta, es la f´ormula dada por el Teorema del binomio de Newton . Sin embargo, antes de presentar dicho teorema, es necesario conocer la siguiente definici´on.
∈
Definici´ on 5 (Coeficiente binomial) . Sean n, r
∈
con r
≤ n, se define
n r
=
n! , r!(n r)!
−
como el n´umero de subconjuntos de tama˜no r que posee un conjunto de tama˜no n. Tambi´en on de n en r . se denota como C (n, r) y se lee como la combinaci´
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18
MAY-230
Ejemplo 13. Dado el conjunto A = a,b,c , todos los posibles subconjuntos A, es decir el conjunto potencia de A, se denota (A) y es dado por:
{ } P = , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a,b,c}
P (A)
∅
.
Es claro que, hay 1 conjunto con cero elementos, 3 con un elemento, 3 con dos elementos y 1 con un tres elementos. Lo cual tambi´en se puede obtener utilizando las combinaciones:
3 0
3! 3! = = = 1 0!(3 0)! 3!
3 1
=
−
3! 3! = = 3 1!(3 1)! 2!
−
3 2
=
3! 3! = = 3 2!(3 2)! 2!
3 3
=
3! 3! = = 1 3!(3 3)! 3!
− −
Observaci´ on: La combinaci´on C (n, r) tambi´en se define como la cantidad de maneras en las que se pueden escoger r objetos distintos de entre n objetos distintos. Es uno de principios fundamentales del conteo. Ejemplo 14. Un estudiante que realiza un examen de matem´atica recibe la instrucci´on de responder siete de diez preguntas. ¿De cu´antas maneras distintas puede escoger las siete preguntas?
Soluci´ on. Como no importa el orden en que responde las preguntas, entonces la cantidad de maneras de escoger 7 preguntas distintas de las 10 que se tienen, corresponde a
10 7
=
10! 10 9 8 7! 10 9 8 = = = 120. 7!(10 7)! 7! 3! 3 2 1
−
· · · ·
· · · ·
Por lo tanto, el estudiante tiene 120 formas distintas de elegir sus preguntas.
Ejercicio 9. Una computadora que cuenta con 32 procesadores, desea asignar tres procesos independientes a los mismos. ¿De cu´antas formas diferentes se puede hacer la asignaci´on?
Teorema 3 (Propiedades de los coeficientes binomiales). Si n, r 1. 2.
∈
con 0
≤ r ≤ n, se cumple que
n = n 1 n = 0
n = 1 n
3. 4.
− n = r
n
n
r
n n + = r r + 1
n + 1 r + 1
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19
MAY-230
Demostraci´ on. Estas propiedades se pueden probar por la definici´ on del coeficiente binomial. 1. 2. 3.
n! n (n 1)! = = n. 1!(n 1)! (n 1)!
n 1
=
n 0
n! n! = = = 1, adem´as 0!(n 0)! n!
n r
n! = = (n r!(n r!)
· − −
− −
−
−
n! n + r)!(n
n n
− r!)
n! n! = = 1. n!(n n)! n! 0!
=
=
−
(n
−
·
n! r!)(n (n
− − r))!
=
n
n
−r
.
4. Se tiene que
n r
+
n
r + 1
n!
=
r !(n
n!
=
n!
+
r !(n r )! (r + 1)!(n (r + 1))! (r + 1)r!(n r n! n! r + 1 + n r 1 1 + = r !(n r r !(n r 1)! n r r + 1 1)! (n r)(r + 1) (n + 1)! n! n + 1 = 1)! (n r)(r + 1) (r + 1)!(n r)! r !(n r (n + 1)! n + 1 = . r + 1 (r + 1)!(n + 1 (r + 1))!
=
− r)!
n!
+
− −
=
− −
=
−
−
−
−
−
− −
−
−
− − 1)!
−
Teorema 4 (Teorema del binomio). Si x y y son variables y n es un entero positivo, entonces se tiene que n
n
(x + y)
=
k =0
n n−k k x y . k
Demostraci´ on. (ejercicio) Observaci´ on: El teorema del binomio ofrece una f´ormula general para calcular el producto n (x + y) para n , dada por
∈
n
n
(x + y)
=
k =0
=
n n−k k x y k
n n n n−1 n n−2 2 n n n x + x y + x y + . . . + xyn−1 + y . 0 1 2 n 1 n
−
N´otese que por conmutatividad de la suma y por propiedades del coeficiente binomial, la siguiente igualdad se cumple n
n
(x + y)
=
k =0
Ejemplo 15. Desarrollar la expresi´on (2
8
− x) .
n n−k k x y = k
n
k=0
n k n−k x y . k
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Soluci´ on. Aplicando el teorema del binomio, se tiene que: (2
8
− x)
= (2 + ( x))8
−
8
=
− − − − − − − − − 8 8−k 2 ( x)k k
k=0
8 8 8 7 8 6 8 5 8 4 2 ( x)0 + 2 ( x)1 + 2 ( x)2 + 2 ( x)3 + 2 ( x)4 0 1 2 3 4 8 3 8 2 8 1 8 0 + 2 ( x)5 + 2 ( x)6 + 2 ( x)7 + 2 ( x)8 5 6 7 8 = 256 1 128 8x + 64 28x2 32 56x3 + 16 70x4 8 56x5 + 4 28x6 2 8x7 + 1 x8 = 256 1024x + 1792x2 1792x3 + 1120x4 448x5 + 112x6 16x7 + x8 =
· − · − · · −
·
− ·
−
·
− ·
−
−
·
−
Ejemplo 16. n
Calcular la suma
n . k
k =0
Soluci´ on. Aplicando el teorema del binomio, se tiene que:
n
k =0
n k
n
=
k =0
n n−k k 1 1 = (1 + 1)n = 2n . k
Por lo tanto, la suma tiene el valor de 2 n.
Ejercicio 10. Desarrollar la expresi´on (3 + 2x)5 .
Observaci´ on: Si se observan los coeficientes binomiales, y se considera las propiedades:
n = 0
n = 1 n
y
n n + = r r + 1
n + 1 , r + 1
del teorema 3, estos se pueden ordenar por filas sucesivas, como se muestra:
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21
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angulo de Pascal , el cual al calcular las combinaciones, A este ordenamiento se le conoce como tri´ se tiene que: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.. .
9
28 36
84
4 5 15 35
70 126
1
10
35 ...
1
20
56
...
3
10
21
1
6
15
7 ...
3
5 6
8
2
4
1
1
...
6 21
56 126
1
...
1 7
28 84
...
1 8
36
...
1 9
...
1
El tri´angulo de Pascal, ayuda a calcular los coeficientes binomiales del teorema del binomio, para que la construcci´on de f´ormulas para (x + y)n con n sea m´as sencilla:
∈
(x + y)1 (x + y)2 (x + y)3 (x + y)4 (x + y)5 (x + y)6 (x + y)7 (x + y)8 (x + y)9
= = = = = = = = =
x + y x2 + 2xy + y 2 x3 + 3x2 y + 3xy2 + y 3 x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy3 + y 4 x5 + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5 x6 + 6x5 y + 15x4 y 2 + 20x3 y 3 + 15x2 y 4 + 6xy5 + y 6 x7 + 7x6 y + 21x5 y 2 + 35x4 y 3 + 35x3 y 4 + 21x2 y 5 + 7xy 6 + y 7 x8 + 8x7 y + 28x6 y 2 + 56x5 y 3 + 70x4 y 4 + 56x3 y 5 + 28x2 y 6 + 8xy7 + y 8 x9 + 9x8 y + 36x7 y 2 + 84x6 y 3 + 126x5 y 4 + 126x4 y 5 + 84x3 y 6 + 36x2 y 7 + 9xy8 + y 9
N´otese que se escriben los coeficientes en cada fila del tri´angulo de Pascal acompa˜ nados por α β un t´ermino x y , donde el exponente de x disminuye en uno, mientras que el exponente de y aumenta en uno. Es decir, siguen la sucesi´on: xny 0 , xn−1 y 1 , xn−2 y 2 , . . . , x2 y n−2, x1 y n−1, x0 y n. Adem´ as, como se mostr´o en el ejemplo 15 la f´ormula para (x y)n se puede obtener al escribir la expresi´on equivalente (x + ( y))n, lo que produce la misma f´ormula del teorema del binomio, pero el negativo va alternando en los t´erminos, como se muestra:
−
−
(x (x (x (x (x (x (x (x (x
− y) − y) − y) − y) − y) − y) − y) − y) − y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
= = = = = = = = =
− − − − − − − − −
x y x2 2xy + y 2 x3 3x2 y + 3xy 2 y 3 x4 4x3 y + 6x2 y 2 4xy 3 + y 4 x5 5x4 y + 10x3 y 2 10x2 y 3 + 5xy4 y 5 x6 6x5 y + 15x4 y 2 20x3 y 3 + 15x2 y 4 6xy 5 + y 6 x7 7x6 y + 21x5 y 2 35x4 y 3 + 35x3 y 4 21x2 y 5 + 7xy 6 y 7 x8 8x7 y + 28x6 y 2 56x5 y 3 + 70x4 y 4 56x3 y 5 + 28x2 y 6 8xy7 + y 8 x9 9x8 y + 36x7 y 2 84x6 y 3 + 126x5 y 4 126x4 y 5 + 84x3 y 6 36x2 y 7 + 9xy8
− − − − − − −
−
− − − −
−
−
−
−y
9
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22
MAY-230
Ejemplo 17. Desarrolle la expresi´on
2 1+ a
3
.
Soluci´ on. Realizando el tri´angulo de Pascal hasta su fila 3 + 1 = 4, se tiene: 1 n=0: 1 1 n=1: 1 2 1 n=2: 3 3 1 n=3: 1 Por lo tanto, se obtiene la f´ormula (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y 3 , y aplicando la misma para x = a y y = a2 , se tiene que:
2 1+ a
As´ı, el desarrollo es 1 + a6 +
3
12 a2
3
= 1 +3 1 +
8 a3
2
· ·
· ·
2 + 3 1 a
2
2 a
2 a
+
3
,
.
Observaci´ on: Existe una versi´on generalizada del teorema del binomio dada por Isaac Newton, en la cual se permiter calcular (x + y)r , para cualesquiera x y y n´umeros reales que cumplen que x > y , y r cualquier n´umero complejo. Sin embargo, esta generalizaci´on cambia la suma finita por una infinita, es decir, por una serie, tal y como se muestra:
|| ||
+
(x + y)
r
∞
=
k=0
r r−k k x y k
= xr + rx r−1 y +
r(r
− 1) x − y
r 2 2
2!
+
r(r
− 1)(r − 2) x − y
r 3 3
3!
Ejercicios (secci´ on 1.5) 1. Calcule el valor de a )
12 3
2. Para k,m, n
b)
∈
16 4
c )
28 7
, verifique que se cumple que
− n k
k m
n m
=
n k
−
m . m
Adem´ as, muestre que cuando m = 1 se obtiene que k
− − n k
3. Escriba los desarrollos de
= n
n k
−
1 , 1
o
n k
=
n n k k
−
1 . 1
+ . . .
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4
a ) (x
− 2) b ) (3 − 2x)
c ) (2a + 3b)7 8
23
MAY-230
d ) (x + 6) 3
− 3 4
e )
1+
a
f )
x
x
1 6
4. Verifique que se cumplen las siguientes igualdades
− r
a )
k =0
m k
n
r
k
=
m
m + n r
b)
m k
k=0
n = r + k
m + n m + r
5. Explique porqu´ e se cumple la igualdad
− n
( 1)i
i=0
n i
= 0.
6. El teorema del binomio puede generalizarse incluso en el n´umero de variables dentro de on multivariable es definida por la potencia. La versi´
···
(x1 + x2 + . . . + xm )
n
=
k1 ,k2 ,...,k m
donde
n
n xk11 xk22 k1 , k2 , . . . , km
n
n
,
n
=
k1 ,k2 ,...,k m
km m
·· · x
.
k1 =0 k2 =0
km−1 =0 km =0
Adem´ as, se define el coeficiente multinomial como: n k1 , k2 , . . . , km
=
n! . k1 ! k2 ! km !
·· ·
a ) Determine el coeficiente de xyz 2 en la expresi´on (x + y + z )4 y en (w + x + y + z )4 . b ) Desarrollar la expresi´ on (x + y + z )7 .
2.
Progresiones
Definici´ on 6. on es una lista ordenada de objetos. Cuando estos objetos son n´umeros reales, Una sucesi´ on num´ erica. se dice que es una sucesi´ Observaci´ on: El valor de los n´umeros en la sucesi´on puede o no depender de su posici´on en la lista. Es decir, que los valores pueden ser determinados de manera aleatoria, sin ninguna relaci´on en cuanto al orden. Cuando el valor depende de la posici´on, entonces se denota por a n al valor de la sucesi´on a en la posici´on n. Formalmente, una sucesi´on num´erica es una funci´on con dominio en , es decir a : , en la cual a(n) es denotado por an. Como el orden en un sucesi´on es importante, entonces es usual escribir an = (a0 , a1 , a2 , . . .)
→
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24
MAY-230
por lo que, si a es una sucesi´on, donde sus elementos dependen de la posici´on donde se encuentran, se escribe (an ) o bien an n∈ . Adem´as, al conjunto de todas las sucesiones num´ericas, se denota por ∞ .
{ }
Ejemplo 18. Considere las siguientes sucesiones num´ericas: (an) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .
(cn) : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, . . .
(bn ) : 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .
(dn) : 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .
Estas se pueden reescribir de la siguiente manera: (an ) : an = n (bn ) : bn = 2n
(cn ) : cn = 2n + 1 (dn) : dn =
0 si n es par 1 si n es impar
Observaci´ on: Las sucesiones se representan por letras min´usculas, adem´as en el ejemplo anterior, se tiene que el quinto t´ermino de ( cn) es 9, por lo que se tiene que c4 = 9. N´otese que apesar de ser la quinta posici´on se escribe un 4, esto debido a que 0 , por lo que la primera posici´on es 0, la segunda 1, y as´ı sucesivamente. Sin embargo, esto no siempre ocurre, ya que en ocasiones la sucesi´on no est´a definida para 0, por lo que se inicia la sucesi´on en el primer n´umero natural que se permita, o se trasladan los ´ındices para que estos inicien en 0.
∈
Ejemplo 19. Considere (an ) donde a n = n1 , es claro que a 0 no est´a definido por lo que la sucesi´on inicia en a 1 . O bien, se trasladan los ´ındices de la sucesi´ on para que cero sea v´alido, es decir, se 1 considera an = n+1 , y ahora a 0 si est´a definido.
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25
MAY-230
Definici´ on 7. Tres formas en las que se pueden expresar las sucesiones, son las siguientes:
erminos: similar a la notaci´on por extensi´on de los conjuntos, 1. Describiendo los t´ en ella, se escriben los primeros t´erminos de la sucesi´on y la ley por la cual pueden obtener nuevos t´erminos, es conocida como la propiedad caracter´ıstica . Por ejemplo: Los n´ umeros naturales acabados en siete: 7, 17, 27, 37, 47, . . . Los m´ ultiplos de siete: 0, 7, 14, 21, 28, . . . Los n´ umeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
ormula: se designa una f´ormula general para los t´erminos, y con 2. Mediante una f´ ello se dan valores al contador del t´ermino general para ir obteniendo todos y cada uno de los t´erminos de la sucesi´on, por ejemplo: an = 2n + 2, dando valores naturales a n se obtiene: a0 = 2 0 + 2 = 2, a1 = 2 1 + 2 = 4, a2 = 2 2 + 2 = 6, . . .
·
·
·
bn = 10n + 7, la cual consiste de los n´umeros naturales acabados en siete: b0 = 10 0 + 7 = 7, b 1 = 10 1 + 7 = 17, b 2 = 10 2 + 7 = 27, . . .
·
·
·
3. Mediante una ley de recurrencia: se designa la relaci´on entre un t´ermino cualquiera y los anteriores, o entre un t´ermino, los anteriores y el lugar que ´este ocupa, por ejemplo: Un t´ermino cualquiera es igual a la suma de los dos que le preceden, es decir an = an−1 + a n−2 , si se parte de a0 = 1, y a1 = 1, se obtiene la sucesi´on on de Fibonacci . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . ., conocida como la sucesi´ Si a n = a n−1 + n, iniciando con a 0 = 1, se obtiene 1, 2, 4, 7, 11, 16, . . .
Observaci´ on: La sucesi´on de Fibonacci, usualmente definida como: F 1 = F 2 = 1 y F n = F n−1 + F n−2 , tambi´en se puede apreciar en el tri´angulo de Pascal, como se muestra en la figura:
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Ejercicio 11. 1. Escriba los cinco primeros t´erminos de las sucesiones: a ) an = 5
− 2n
b ) bn = 2n+1
c ) cn =
n 3 2n + 1
−
2. Hallar el t´ermino general en las sucesiones: a ) 3, 1,
−1, −3, −5, . . .
b ) 1,
1 1 1 1 , , , , ... 4 9 16 25
Observaci´ on: No siempre es sencillo encontrar una expresi´on general para los t´ermino de una sucesi´ on. Sin embargo, existe un tipo de sucesiones, llamadas progresiones , en las cuales esto es relativamente sencillo. Definici´ on 8. on es un sucesi´on en la cual la f´ormula general que da los t´erminos depende Una progresi´ de una constante fija.
Observaci´ on: Al referirse a que la f´ormula general de los t´erminos dependa de una constante fija, se refiere a por ejemplo, que cada t´ermino est´e a una distancia fija del otro, o bien, que cada t´ermino sea el t´ermino anterior multiplicado por una constante fija, entre otros. Estos dos tipos particulares de progresiones son conocidos como progresiones aritm´eticas y progresiones geom´etricas , respectivamente, las cuales se describen en las siguientes secciones.
Ejercicios (secci´ on 2.0) 1. Escriba los cinco primeros t´erminos de las sucesiones: a ) an = 2n2
−1
( 1)n b ) bn = n + 3
−
3n 2 n + 1 d ) dn = 3n−1 c ) cn =
−
e ) en = 25 f ) f n =
2n + 5
2. Hallar el t´ermino general en las sucesiones a ) 2,
−6, 18, −54, . . . b ) −3, 6, −12, 24, . . .
d ) 5, 5.5, 6, 6.5, 7, . . .
c )
f ) 3,
1 2 3 4 , , , , ... 2 3 4 5
e )
−1, −4, −16, −64, . . . 3 3 3 , , , ... 2 4 8
2
−n −12
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2.1.
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Progresi´ on aritm´ etica
Definici´ on 9. Una progresi´on es aritm´ etica, si la diferencia entre t´erminos consecutivos es una cantidad fija, denomida diferencia com´ un. Es decir, (an) se dice progresi´on aritm´etica si para todo se cumple que a n+1 an = d, donde d es una constante. n
∈
−
Observaci´ on: Como en una progresi´on aritm´etica se tiene que an+1 an = d, entonces se tiene que a n+1 = an + d, la cual ser´ıa la forma recursiva de expresar (an ).
−
Ejemplo 20. Las siguientes son progresiones aritm´eticas: 1. La sucesi´o n de los pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, . . ., ya que todos los t´erminos tiene una diferencia com´un de d = 2. 2. La sucesi´on de los impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . ., ya que todos los t´erminos tiene una diferencia com´un de d = 2. 3. La sucesi´ on: 8, 1, 6, 13, 20, 27, . . ., ya que todos los t´erminos tiene una diferencia com´ un de d = 7.
− − −
La sucesi´on de los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . no es una progresi´on aritm´etica.
Observaci´ on: Del ejemplo anterior, se puede apreciar que las sucesiones de los pares y los impares tienen la misma diferencia com´un, sin embargo, estas progresiones son distintas. La diferencia que se presentan en ambas sucesiones es que en los pares el primer t´ ermino es 0, mientras que en los impares es el 1, lo cual se puede interpretar de la siguiente manera: una progresi´ on aritm´etica puede ser completamente definida, si se conoce el primer t´ermino a 0 y la diferencia com´un d, ya que con ellos, es sencillo hallar a1 , luego a2 y as´ı sucesivamente cada t´ermino de la progresi´on. Ejemplo 21. Determine los cinco primeros t´erminos de una progresi´on aritm´etica cuyo primer t´ermino es 1 y la diferencia com´un es 5.
−
√
√ − Soluci´ on. Del enunciado del problema, se tiene que a = 1 y d = 5, por lo que se tiene que: √ 5, a = a + d = −1 + √ a = a + d = −1 + 2 √ 5, a = a + d = −1 + 3 √ 5, a = a + d = −1 + 4 5. √ √ √ √ Por lo tanto, los cinco primeros t´erminos son: −1, −1 + 5, −1 + 2 5, −1 + 3√ 5 y −1 + 5 5. Adem´ as, es claro que la f´ormula del t´ermino general es dada por a = −1 + n 5. 0
1
0
2
1
3
2
4
3
n
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Teorema 5 (T´erminos equidistantes de los extremos) . Sea (an ) una progresi´on aritm´etica y p, q , n, m n´umeros naturales. Si p + q = n + m, entonces a p + aq = am + an .
Demostraci´ on. Considere (an) una progresi´on aritm´etica, con a0 su primer t´ermino, es decir que la f´ormula general corresponde a a n = a0 + nd, donde d es su diferencia com´un. Luego, se tiene que: a p + aq = = = =
(a0 + pd) + (a0 + qd) = a0 + a0 + ( pd + qd), a0 + a0 + ( p + q )d = a0 + a0 + (m + n)d (pues p + q = n + m), a0 + a0 + (md + nd) = (a0 + md) + (a0 + nd), am + an .
Por lo tanto, se cumple que a p + aq = a m + an , siempre que p + q = n + m.
Observaci´ on: Si (an ) es una progresi´on artim´etica, y se tienen las igualdades: a3 + a5 a17 + a12 a6 + ay 2a7
= = = =
a0 + aw a19 + ax a5 + a7 a5 + az
entontes, por el teorema anterior, estas igualdades s´olo pueden tener sentido si w = 8, x = 10, y = 6 y z = 9.
Ejemplo 23. Si (an ) es una progresi´on artim´etica, donde a2 = 19 y a6 = 32, determine el t´ermino general para esta progresi´ on.
Soluci´ on. N´otese que de a 2 a a6 hay 6
|
a2
− 2 = 4 diferencias comunes: | | | |
a3
a4
a5
d
Por lo tanto, se tiene que 4d = a6 d
d
d
− a , es decir, 32 − 19 a −a = =
d
a6
2
6
2
4
4
=
13 . 4
Otra forma de justificar esto, consiste de considera el hecho de que a n = a k + (n k)d, ya que como a2 = 19 y a6 = 32, tomando n = 6 y k = 2 se tiene que a6 = a2 + (6 2)d, de donde d = a6 −4 a2 .
−
−
Luego, d = a2 a1 , por lo que a1 = a2 d = 63 y similarmente se tiene que a0 = a1 4 1 por lo que la f´ormula general corresponde a a n = 25 + 13 (50 + 13n). 2 4 n = 4
−
−
− d =
25 , 2
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Observaci´ on: Una segunda forma alternativa para resolver el ejemplo anterior, consiste en recordar que como (an) es una progresi´on artim´etica, entonces su f´ormula general es dada por an = a 0 + nd, y como se tiene que a2 = 19 y a6 = 32, entonces se puede considerar el sistema de ecuaciones lineales: a0 + 2d = 19, a0 + 6d = 21.
En este sistema a0 y d son las inc´ognitas por encontrar, y una vez estas se calculen, se tendr´a la f´ormula buscada.
Ejercicio 13. Si (an) es una progresi´on aritm´etica, donde a10 = 41 y a19 = 77, determine el t´ermino general para esta progresi´ on.
Teorema 6 (Suma parcial de t´erminos) . Si (an ) es una progresi´on artim´etica, entonces la suma de los primeros n t´erminos satisface la igualdad: n−1 n ak = (a0 + an−1 ) . 2 k=0
Demostraci´ on. Similar a la expresi´on (3), se tiene por propiedades de las sumas: n 1
−
n 1
ak =
k=0
−
n 1
(a0 + kd) = a0
k =0
= a0 n + =
−
n 1
1 + d
k=0
dn(n 1) 2
−
n [a0 + [a0 + (n 2
−
=
− 1)d]]
k = a0 n + d
·
k=0
2a0 n + n(n 2 =
− 1)d
n(a0 + a0 + (n 2
=
n (a0 + an−1 ) 2
· (n − 1)[(n2 − 1) + 1]
=
− 1)d)
n (a0 + an−1 ) . 2
Ejemplo 24. ¿Cu´antos valores consecutivos de la progresi´on a n = suma sea 616?
−
−1 − 5n, son requeridos, para que su
la cantidad de t´erminos de la progresi´on (an) cuya suma es Soluci´ on. Sea n el teorema anterior, se tiene que: n (a0 + an−1 ) = 616, 2 n ( 1 5 0) + ( 1 5(n 1)) = 616, 2 n (3 5n) = 616, 2 5n2 3n + + 616 = 0, 2 2 2 5n + 3n + 1232 = 0.
∈
− − ·
− −
− −
− −
− − −
−616, y por
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Luego, se tiene que el discrimiante de esta ecuaci´on es ∆ = 24649 = 157 2 , y por la f´ormula general se obtiene 3 157 77 n = n = n = 16. 10 5 Como n , se tiene que la suma corresponde a los primeros 16 t´erminos de (an ).
− ± −
∈
⇒
− ∨
Ejercicio 14. ¿Cu´antos impares positivos consecutivos, son necesarios, para que su suma sea 400?
Observaci´ on: De las progresiones presentes en los ejemplos, se puede apreciar que cuando la diferencia com´un d es positiva, se tiene que los t´ erminos de la progresi´on van en aumento, es decir, an < an+1 para todo n , en este caso se afirma que la progresi´ on aritm´etica es creciente . Similarmente, si la diferencia com´un es negatica, se tiene que an > an+1 para todo , se dice que la progresi´on aritm´etica es decreciente . n
∈
∈
Ejercicios (secci´ on 2.1) 1. Hallar el t´ermino general en las sucesiones a ) 11, b ) 4,
−1, −13, −25, . . .
c ) 4,
13 14 , , 5, . . . 3 3
−3, −10, −17, −24,
...
d ) log(1000), log(100), log(10), 0, . . .
2. Determine el d´ecimo y el d´ecimo noveno t´ermino de las progresiones aritm´eticas a ) 8, 11, 14, . . .
b ) 8, 5, 2, . . .
c ) k,
2k k , , 0, . . . 3 3
3. Determine la suma de las siguientes progresiones aritm´eticas hasta el t´ermino n que se indicada. a ) 1 + 4 + 7 + 10 + . . . con n = 30.
c ) 4
− 3 − 10 − 17 − 24 − . . . con n = 23.
b ) 51 + 48 + 45 + 42 + . . . + 18.
d ) 4 + 92 + 5 +
11 2
+ 6 + . . . con n = 100.
4. Determine la suma de los mil primeros n´umeros pares y de los mil primeros n´umeros impares. ¿Cu´al suma es mayor? 5. Si el t´ercer t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 18, y su y s´etimo t´ermino es 30, encuentre el decimoquinto t´ermino. 6. La suma de los primeros 20 t´erminos de una progresi´on aritm´etica es igual a la suma de sus primeros 22 t´erminos. Si la diferencia com´un es 2, encuentre el primer t´ermino.
−
7. ¿Qu´e t´ermino de la progresi´on aritm´etica 5, 14, 23, 32, . . . es 239? 8. ¿Cu´antos t´erminos de la sucesi´ on 9, 12, 15, . . . es necesario considerar de modo que su suma sea 306?
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9. Una ingeniero en inform´atica compr´o recientemente una computadora en $1500. Luego de trascurrir 9 a˜nos, debido al desgaste, su computadora tiene un valor de $420. Suponiendo que el desgaste anual es constante, determine dicho desgaste anual. 10. Una persona est´a de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto n´umero de pagos, tal que cada uno de ellos (empezando con el segundo) sea menor que el previo en $10. Si el quinto pago es de $200, ¿cu´antos pagos ser´an necesarios para saldar la deuda? 11. Los pagos mensuales de Esteban al banco, debidos a un pr´estamo, forman una progresi´ on aritm´etica. Si el octavo y decimoquinto pagos son $153 y $181, respectivamente, ¿de cu´anto ser´a el vig´esimo pago? 12. La suma del tercer y cuarto t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 12 y el sexto t´ermino es 1. Encontrar el t´ermino general de esta progresi´on. 13. Las edades de 4 hermanos forman una progresi´on aritm´etica cuya suma es 32. El mayor tiene 6 a˜nos m´as que el menor. Averiguar los a˜nos de los 4 hermanos. 14. Si C representa un monto de dinero (capital), r es la tasa de inter´es (tanto por ciento) anual que cobra un banco por guardar ese capital, y t es el tiempo en a˜nos en que ese capital se ha mantenido guardado. Entonces el inter´es simple se define por: it =
C r t . 100
· ·
a ) Verifique que el capital actual en el banco, sigue una progresi´ on aritm´etica, y en-
cuentre la misma. b ) Si una persona cuenta con $500 en una cuenta de banco, cuyo inter´es es 0.1 %
anual, determine cu´anto dinero tendr´a en su cuenta luego de tres a˜nos de no realizar movimientos bancarios, suponiendo que el banco otorga un inter´es simple. c ) Una persona deposita $50 al inicio de cada mes en una cuenta de ahorros en la cual
el inter´es es de 0.5 % al mes. Determine el saldo de la cuenta al t´ermino del segundo a˜no, calculado a inter´es simple.
2.2.
Progresi´ on geom´etrica
Definici´ on 10. Una progresi´o n es geom´ etrica , si el cociente de t´erminos consecutivos es una misma cantidad, denomida raz´ on com´ un. Es decir, (an ) se dice progresi´on geom´etrica si para an+1 todo n se cumple que = r, donde r es una constante. an
∈
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Ejemplo 25. Las siguientes son progresiones geom´etricas: 1 1 1 1 1. La sucesi´on: 1, , , , , . . ., ya que todos los t´erminos se encuentran a una raz´on 2 4 8 16 com´ un r = 12 . 2. La sucesi´ on: 2, 6, 18, 54, 162, 486, . . ., ya que todos los t´erminos tiene una raz´on com´ un de r = 3.
− −
−
−
La sucesi´on de los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . no es una progresi´on geom´etrica.
Ejemplo 26. Determine los cinco primeros t´erminos de una progresi´on geom´etrica cuyo primer t´ermino es 1 y la diferencia com´un es 5.
√
−
√ ·
Soluci´ on. Del enunciado del problema, se tiene que a0 = 1 y r = 5, y como la progresi´on es geom´etrica, entonces se cumple que aa+1 = r, de donde an+1 = a n r, es decir, en este caso an+1 = an 5. por lo que se tiene que:
−
n
√
n
−1√ √ 5 =√ −√ 5, −1√ 5 5 = −5, −5 √ 5, √ −5 5 5 = −25. √ −5, −5√ 5 y −25. Adem´as, es claro Por lo tanto, los cinco primeros t´erminos son: −1, −1 5, √ que la f´ormula del t´ermino general es dada por a = − 5 . a1 a2 a3 a4
= = = =
a0 a1 a2 a3
√ 5 √ 5 √ 5 √ 5
= = = =
n
n
Ejercicio 15. ¿Cu´al es el quinto t´ermino de una progresi´on geom´etrica en la que a 0 = 2 y r = 3?
Observaci´ on: Similar a las progresiones aritm´eticas, se puede apreciar que la f´ormula del t´ermino general para una progresi´on geom´etrica (an ), puede ser determinada si se conoce su primer t´ermino a 0 y su raz´on com´ un r. Para encontrar dicha f´ormula, se parte del hecho de que an+1 = an r, como se muestra:
·
an+1 = an r = (an−1 r) r = (an−2 r) r2 = . . . = a0 rn .
·
· ·
· ·
Es decir, el t´ermino general de una progresi´on geom´etrica viene dado por: an = a0 rn. En caso de que la progresi´on no iniciara en a 0 , si no en a k , entonces la f´ormula es a n = ak r n−k , particularmente, cuando k = 1, se tiene que an = a1 rn−1 .
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Ejemplo 28. n 1
Si (an) es una progresi´on geom´etrica, entonces determine el valor de
−
| |
ak .
k=0
Soluci´ on. Sea (an) una progresi´on geom´etrica con primer t´ermino a0 y raz´on com´ un r, entonces el producto de sus primeros n t´ erminos se puede escribir de dos formas: n 1
−
k =0
ak = a0 a1 a2 . . . an−3 an−2 an−1 ,
· · · ·
·
·
n 1
−
k =0
ak = an−1 an−2 an−3 . . . a2 a1 a0 .
·
·
· · · ·
Luego, multiplicando ambos resultados entre s´ı, y aplicando la relaci´ on entre los t´erminos equidistantes de una progresi´on geom´etrica, se tiene que:
n 1
−
2
ak
k =0
= (a0 an−1 )(a1 an−2 )(a2 an−3 ) . . . (an−3 a2 )(an−2 a1 )(an−1 a0 ),
· · · · · · · a − )(a · a − )(a · a − ) . . . (a · a − )(a · a − )(a · a − ), ·a − ) .
= (a0 = (a0
n 1 n 1
0
n 1
0
n 1
0
n 1
0
n 1
0
n 1
n
Finalmente, se tiene que
n 1
−
k =0
|| · n 1
−
ak =
(a0 an−1 )n.
ak =
k=0
Teorema 8 (Suma parcial de t´erminos) .
Si (an) es una progresi´on geom´etrica, entonces la suma de los primeros n t´erminos satisface la igualdad: si r = 1 a0 n n−1 ak = rn 1 si r = 1 a0 k =0 r 1
·
− −
Demostraci´ on. Suponiendo que r = 1, se tiene que: n 1
−
n 1
−
ak =
k=0
n 1
n
a0 1
·
k=0
= a0
−
k=0
1 = a0 n.
·
Luego, en el caso en que r = 1, se tiene que:
n 1
−
n 1
−
k =0
ak =
k =0
n 1
a0 r
k
= a0
−
k=0
r k = a0 1 + r + r 2 + . . . + r n−1 .
(4)
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Adem´ as, de la igualdad 1
−r
n
36
MAY-230
= (1
− r) (1 + r + r
2
+ . . . + r n−1 ), se puede concluir que
1 rn = 1 + r + r 2 + . . . + r n−1, 1 r
− −
y sustituyendo en (4) se tiene que n 1
−
ak
k =0
1 rn = a0 . 1 r
− −
Observaci´ on: Del teorema anterior, cuando r = 1 (progresi´on no constante), se tiene que
n 1
−
ak = a0
k =0
1 rn a0 a0 rn a0 an−1 r = = , 1 r 1 r 1 r
− −
− −
− −
con lo cual se tiene que para calcular la suma de los primeros n t´erminos de una progresi´on geom´etrica es necesario el primer y el n-´esimo t´ermino, adem´as de su raz´on com´ un.
Ejemplo 29. En una progresi´on geom´etrica el primer t´ermino es 3, el n-´esimo t´ermino es 1875 y la suma de los primeros n t´erminos es 2343. Halle la raz´on com´ u n y el n´umero de t´erminos que se han sumado. un el enunciado, se tiene que a0 = 3, an−1 = 1875 y como la progresi´o n es Soluci´ on. Seg´ geom´etrica, entonces a0 −1a−r−1 r = 2343, por lo que se tiene que n
−a − r = 1−r 3 − 1875r = 2343r − 1875r = a0
n 1
2343,
2343(1 r), 2343 3, 468r = 2340, r = 5.
−
−
Luego, se tiene que an−1 = a0 r n−1 , y sustituyendo los valores se obtiene que 1875 = 3 5n−1 , 625 = 5n−1 , 54 = 5n−1 .
·
De lo anterior, se tiene que n 1 = 4, por lo que n = 5, es decir, que la raz´on com´ un es r = 5 y el n´umero de t´erminos que se sumaron fue 5.
−
Ejemplo 30. ¿Cu´antos t´erminos en la progresi´on geom´etrica 4, 3.6, 3.24, . . . son necesarios para que la suma exceda 35?
Fil´ ander A. Sequeira Chavarr´ıa
37
MAY-230
Soluci´ on. Como la progresi´on es geom´etrica, se tiene que a 0 = 4 y r = general es dado por n 9 an = 4 . 10
3.6 4
=
9 , 10
as´ı el t´ermino
·
Luego, se desea encontrar el valor de n, para el cual se cumpla que n 1
−
ak > 35.
k =0
Utilizando la f´ormula de la suma parcial, se tiene que n
1 r a0 > 35 1 r
− −
⇒ ⇒ − ⇒ ⇒ · ≈ ⇒ 4
1
− 1−
9 10
9 n 10 9 10
n
<
log n> log
> 35
1 8
1
n log
1 8 9 10
9 10
n
>
9 > log 10
7 8
1 8
19.7364
Por lo tanto, se deben considerar por lo menos 20 t´erminos de la progresi´on.
Ejercicio 17. La suma de los primeros tres t´erminos de una progresi´on geom´etrica es 37 , mientras que la 8 3367 suma de los primeros seis t´erminos es 512 . Determine el primer t´ermino y la raz´on com´ un.
Observaci´ on: Una progresi´on geom´etrica se dice creciente cuando un t´ermino cualquiera es siempre mayor que todos los que le preceden, esto ocurre cuando la raz´on com´ un, en valor absoluto, es mayor que uno. Se dice decreciente cuando un t´ermino cualquiera es siempre menor que todos los que le preceden, lo cual ocurre cuando la raz´on com´ un, en valor absoluto, es menor que uno. Finalmente, se dice alternada cuando la raz´on com´ un es negativa, que significa que los t´erminos van alternando su signo, entre positivo y negativo.
Ejercicios (secci´ on 2.2) 1. Hallar el t´ermino general en las sucesiones a )
√ 3, 3, 3√ 3, 9, . . .
c ) 4, 1.2, 0.36, 0.108, . . .
b)
2 , 5
d )
− 12 ,
5 , ... 8
−4, −6, −9, −13.5, . . .
2. ¿Puede una progresi´on ser aritm´etica y geom´etrica a la vez? 3. Determine la suma de las siguientes progresiones geom´etricas hasta el t´ermino n que se indicada.
Fil´ ander A. Sequeira Chavarr´ıa
38
MAY-230
a ) 2 + 6 + 18 + 54 + . . . con n = 12.
b ) 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 1024.
4. Hallar los cinco primeros t´erminos, y el d´ecimo t´ermino de la progresi´on geom´etrica cuyo primer t´ermino es 3 y en la que la raz´on com´ un es −21 . 5. Calcular el primer t´ermino de una progresi´on geom´etrica cuyo octavo t´ermino es 1280 y cuya raz´on com´ un es dos. 6. Si el tercer t´ermino de una progresi´on geom´etrica es 5 y el sexto t´ermino es minar el octavo t´ermino.
−40, deter-
7. El segundo t´ermino de una progresi´ on geom´etrica es 24 y el quinto es 81. Determine la f´ormula del t´ermino general y calcule el d´ecimo t´ermino. 8. Calcular el resultado de 3 32 33 34 . . . 3350 y representelo en forma de potencia.
· · · · ·
9. Obt´enga el t´ermino general de una progresi´on geom´etrica que cumple que a3 = 75 y a4 = 375. 10. La suma de los cinco primeros t´erminos de una progresi´ on geom´etrica es com´ un es 2. Determinar los valores de esos cinco t´erminos.
31 y 4
la raz´on
11. Encuentre la diferencia com´un de una progresi´on aritm´etica cuyo primer t´ermino es 3 y donde el segundo, cuarto y octavo t´ermino son t´erminos consecutivos de una progresi´on geom´etrica. 12. Si C representa un monto de dinero (capital), r es la tasa de inter´es (tanto por ciento) anual que cobra un banco por guardar ese capital, y t es el tiempo en a˜nos en que ese capital se ha mantenido guardado. Entonces el inter´es compuesto sigue la progresi´on geom´etrica: r t C t = C 1 + 100
·
a ) Si una persona cuenta con $500 en una cuenta de banco, cuyo inter´es es 0.1 %
anual, determine cu´anto dinero tendr´a en su cuenta luego de tres a˜nos de no realizar movimientos bancarios, suponiendo que el banco otorga un inter´es compuesto. b ) Cada a˜ no una persona invierte $1000 en un plan de ahorros, del cual percibe intereses
del 8 % anual. ¿Cu´ al es el valor de este plan de ahorros al d´ecimo aniversario de la primera inversi´on? Incluya el pago actual y use el inter´es compuesto.
2.3.
Resoluci´ on de problemas
En esta secci´on se presentan problemas relacionados con aplicaciones de las progresiones aritm´eticas y geom´etricas. Para resolver dichos problemas es necesario tener en cuenta las principales caracter´ısticas y diferencias de ambas progresiones, las cuales se resumen en el siguiente cuadro.
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39
MAY-230
Progresi´ o n aritm´ e tica Constante
Diferencia com´un: d
T´ ermino general Relaci´ on entre t´ erminos T´ erminos equidistantes
n
t´ erminos
an = ak + (n
− k)d
Si p + q = n + m, entonces a p + aq = am + an
−
k=0
ak
n = (a0 + an−1 ) 2
Creciente: Comportamiento
Raz´on com´ un: r an = a 0 rn
an = a0 + nd
n 1
Suma de
Progresi´ on geom´etrica
d > 0
Decreciente: d < 0 Constante:
d = 0
·
an = ak r n−k
·
Si p + q = n + m, entonces a p aq = am an
·
· − 1−r a = a 1−r |r| > 1 Creciente: Decreciente: |r| < 1 n 1
n
k
0
k=0
Constante:
r = 1
Alternada:
r < 0
Ejemplo 31. Un anfiteatro tiene 40 butacas en la primera fila y 35 filas en total. Si cada fila tiene dos butacas m´ as que la fila anterior, ¿cu´antas butacas hay en dicho anfiteatro?
Soluci´ on. Como el anfiteatro tiene 35 filas de butacas, iniciando su primera fila en 40 y cada fila consecutiva tiene una diferencia de dos butacas, entonces la cantidad de butacas sigue una progresi´ on aritm´etica con b 0 = 40 y d = 2, cuyo t´ermino general es bn = 40 + 2n.
As´ı, la cantidad total de butacas es dada por: 34
k =0
bk =
35 35 (b0 + b34 ) = (40 + 108) = 2590. 2 2
·
Por lo tanto, la cantidad total de butacas del anfiteatro es 2590.
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MAY-230
40
Ejemplo 32. Un jardinero tiene que echar un cubo de agua al pie de cada uno de los 30 ´arboles que hay al lado de un camino. El pozo de agua se ubica a 10m del primer ´arbol, y de un ´arbol a otro hay 6m. Halle la distancia total recorrida por el jardinero despu´ es de terminar el riego y regresar con el cubo al pozo.
Soluci´ on. Se puede apreciar que el primer ´arbol se encuentra a 10m del pozo, el segundo a 16m, el tercero a 22m, y as´ı sucesivamente. Por lo que la distancia que el jardinero recorre del pozo al primer ´arbol y de regreso es de 20m, al segundo ´arbol 32m, al tercero 44m. As´ı, la distancia de cada ´arbol al pozo y de regreso, sigue una progresi´on aritm´etica cuyo t´ermino general es a n = 2(10 + 6n) = 20 + 12n.
Luego, como se tienen 30 ´arboles, entonces la distancia total recorrida por el jardinero es: 29
ak =
k =0
30 (a0 + a29 ) = 15(20 + 368) = 5820. 2
Por lo tanto, recorre 5820m.
Ejercicio 18. Un coronel coloca un soldado en primera fila, tres en la segunda, cinco en la tercera y as´ı sucesivamente hasta colocar 1600 soldados en total. ¿Cu´antos soldados habr´ a en la fila 32? Adem´as, ¿cu´antas filas hay en total y cu´antos soldados coloca en la ´ultima fila?
Ejemplo 33. Cada cuadrado de una serie de cuadrados tiene sus v´ertices en los puntos medios de los lados del cuadrado precedente. Encuentre el lado y el ´area del octavo cuadrado si el lado del cuadrado m´as grande mide 12cm. un el enunciado se tiene la figura: Soluci´ on. Seg´
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41
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Luego, el ´area de los cuadrados sigue una progresi´on geom´etrica con raz´on com´ un 12 , ya que el ´area del siguiente cuadrado corresponde a la mitad del ´area del cuadrado anterior. Adem´as, el primer t´ermino es 12 2 = 144, con lo que se define su t´ermino general como: An = 144
· 1 2
n
As´ı, el ´area del octavo cuadrado corresponde a a 7 = 144 su lado es dada por
9 8
=
√
3 2 . 4
.
·
1 7 2
= 98 , y finalmente, la medida de
Ejemplo 34. La presidenta de la asociaci´on de padres tiene que convocar a todos los padres y madres para la pr´oxima reuni´on. Para ello env´ıa cinco cartas a cinco domicilios de alumnos, de manera que cada uno de ellos haga llegar la noticia a otros cinco padres (sin repetir), y as´ı se organice una cadena de informaci´on. Si en total hay 780 domicilios, ¿cu´antos env´ıos se tienen que realizar? Se considera un env´ıo al bloque de cinco cartas que manda cada padre.
Soluci´ on. La presidente inicia enviando convocatorias a cinco personas para que luego estas cinco convoquen a otras cinco cada una, es decir, que se convocan a otras 5 5 = 25 personas, y as´ı se sigue hasta convocar a todos los padres y madres.
·
Se puede apreciar que la cantidad de personas involucradas sigue una progresi´on geom´etrica con a0 = 5 y r = 5. Adem´as, como hay 780 domicilios, entonces se tiene que la suma de los primeros n t´erminos de la progresi´on es 780, con lo que 1 rn 1 5n 5 = 780 5 = 780 (1 5n ) = 780 a0 1 r 1 5 4 n 1 5 = 624 5n = 625 n = 4.
− −
⇒ −− ⇒ − −
⇒ − − ⇒ ⇒
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42
As´ı, se necesitan 4 t´erminos de la progresi´on para satisfacer la cantidad de domicilios. Luego, se puede completar la siguiente tabla:
T´ ermino Valor N´ umero de env´ıos 5 1 a0 25 5 a1 125 25 a2 625 125 a3 Suma 780 156 Por lo tanto, se realizaron 156 env´ıos.
Ejercicio 19. Se deja caer una bola desde una altura de 135cm y rebota (cada vez que golpea el piso), dos terceras partes de la altura de la cual cae. Con esto la altura de los rebotes corresponde con una progresi´on. ¿Qu´e distancia habr´a recorrido cuando golpea el piso por octava vez?
Ejercicios (secci´ on 2.3) 1. ¿Cu´antas campanadas da un reloj com´un marcando las horas de un d´ıa? ˙ por el primer metro perforado. A medida 2. Una empresa que construye pozos cobra $42071 ˙ m´as por cada metro perforado de m´as. Si necesitamos que sigue perforando cobra $90 15 construir un pozo de 70m de profundidad, ¿cu´anto costar´a la construcci´on del mismo? 3. En un laboratorio se est´a investigando sobre el origen de la gripe del a˜no 2012. Para ello se hace un cultivo de diez virus. Este virus se divide en dos cada veinticuatro horas. ¿Cu´antos virus se tendr´an dentro de quince d´ıas? 4. En un jard´ın hay seis filas de ´arboles y cada fila tiene tres ´arboles m´as que la anterior. La tercera fila tiene once ´arboles. Determinar la cantidad de ´arboles que hay en la primera fila, en la ´ultima y el n´umero total de ´arboles del jard´ın. 5. La poblaci´on de una ciudad ha aumentado en progresi´on geom´etrica. En 1996 era de 200000 habitantes y en 1998 era de 345600. Calcular la poblaci´o n en el a˜no 1997. ¿Cu´al es la raz´on con la que crece la poblaci´on? ¿Cu´al ser´a la poblaci´on en el 2001? 6. Se cuenta que el inventor del ajedrez pidi´o como recompensa lo siguiente: “un grano de trigo por el primer cuadrado del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, y as´ı sucesivamente, duplicando siempre hasta el ´ultimo cuadrado”. Determine la cantidad de granos de trigo que recibe el inventor por el ´ultimo cuadrado. Si cada grano de trigo pesara 1dg, hallar el peso total de trigo que se llevar´ıa por todo el tablero. 7. En una poblaci´on que cuenta con 29524 habitantes mayores de siete a˜nos, uno de ellos se entera de una noticia en cierto instante. Al cabo de un minuto lo ha comunicado a tres de sus amigos. Cada uno de ellos se lo comunica en otro minuto a otras tres personas, las
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43
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cuales contin´uan extendiendo la noticia de igual modo, y as´ı sucesivamente. ¿Al cabo de cu´anto tiempo se habr´an enterado todos los habitantes mayores de siete a˜nos? 8. Se deja caer una pelota desde un cuarto piso de 12m, y en cada rebote alcanza una altura igual a los 23 de la altura anterior. a ) ¿Cu´ anto sube en el tercer y sexto rebote? b ) Hallar el t´ ermino general de la progresi´on que forman las alturas alcanzadas. c ) Calcular la altura alcanzada en el quincuag´ esimo (50) rebote. d ) Calcular los metros recorridos arriba y abajo por la pelota hasta que queda quieta.
3.
Principio de inducci´ on matem´ atica
Recuerde que seg´un los Axiomas de Peano, los cuales caracterizan al conjunto de los n´umero naturales , se define el principio de inducci´ on como sigue: Si A
⊆
es un subconjunto que cumple que
i) 0
∈ A y ii) n ∈ A ⇒ S (n) = (n + 1) ∈ A, entonces A =
.
Este principio de inducci´on se puede interpretar de la siguiente manera: dado un conjunto A = n / P (n) , donde P (n) es una proposici´on v´alida para 0, y si se supone que P (n) se cumple para n fijo, y se demuestra que P (n + 1) tambi´en es cierta, entonces P (n) es v´alida para todo n . Sin embargo, no siempre el primer valor v´alido para la proposici´on es en n = 0, si no m´as bien es otro valor n 0 , por lo que se considera n0 en lugar de 0.
{ ∈ ∈
}
Definici´ on 11 (Principio de inducci´on matem´atica). Para demostrar que la proposici´on P (n) es verdadera para todo n probar que:
∈
con n
≥ n , basta 0
i) P (n0 ) es verdadera y ii) Si P (n) es verdadera, entonces P (n + 1) es verdadera.
Observaci´ on: Para probar i) basta con verificar que P (n) es cierta cuando n = n0 , sin embargo, otesis de inducci´ on para probar ii) se asume que P (n) es cierta, lo que se conoce como la hip´ (h.i.) y con ella se demuestra que P (n +1) es cierta, lo que se conoce como el paso inductivo.
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Ejemplo 35. Al inicio de la secci´on 1.5 se prob´o, de manera directa, la igualdad n
i2 = 12 + 22 + . . . + (n
i=1
− 1)
2
+ n2 =
n(n + 1)(2n + 1) . 6
A continuaci´on se demostrar´a por el m´etodo de inducci´on matem´atica.
Demostraci´ on(por inducci´ on). Como la suma inicia para i = 1, entonces el primer valor a considerar es n0 = 1. 1, se tiene que 16 n(n+1)(2n+1) = 1, y como se tiene que la afirmaci´on es v´alida para n = 1.
➊ Sustituyendo n =
➋ Se
1 2 i=1 i
= 12 = 1, entonces
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, n
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1) 6
es cierta. Esta es la (h.i.). ➌ Es
necesario probar que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir que se cumple que n+1
(n + 1)(n + 2)(2n + 3) , 6
i2 =
i=1
para ello, n´otese que se cumple que n+1
n
2
i
i=1
=
i2
+ (n + 1) 2
h.i.
=
i=1
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2 = 6 (n + 1)(2n2 + 7n + 6) = 6 Por lo tanto, 12 + 22 + . . . + (n
− 1)
2
=
=
(n + 1) [n(2n + 1) + 6(n + 1)] 6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3) . 6
+ n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1) para todo n
≥ 1.
Observaci´ on: En el paso ➊ se prueba que la proposici´on es v´alida para n = n 0 , mientras que en ➋ se define la hip´otesis de inducci´ on y finalmente en ➌ se realiza el paso inductivo. Ejercicio 20. Pruebe, para n
≥ 1 entero, que se cumple la igualdad
n
k =1
k(k + 2) = 1 3 + 2 4 + 3 5 + . . . + n(n + 2) =
·
·
·
n(n + 1)(2n + 7) . 6
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MAY-230
Observaci´ on: Seg´ un el ejemplo 35, la suma de los primeros n n´umero naturales al cuadrado 1 es 6 n(n + 1)(2n + 1), de lo cual es interesante notar que la suma es de s´olo enteros, por lo que dicha suma tambi´en es entera, pero la expresi´ on 16 n(n + 1)(2n + 1) consiste de un cociente, el cual podr´ıa no ser entero, por lo que es com´un preguntarse si 6 n(n + 1)(2n + 1) cuando , lo cual se verifica en el siguiente ejemplo. n
|
∈
Ejemplo 36. Demostrar que 6 n(n + 1)(2n + 1) se cumple, para todo n
|
∈
.
Demostraci´ on(por inducci´ on). ➊ Sustituyendo
n = 0, se tiene que n(n + 1)(2n + 1) = 0, y como 6 0, entonces se tiene que la afirmaci´on es v´alida para n = 0.
➋
|
Se asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, 6 n(n +1)(2n + 1) es cierta (h.i.).
|
➌ Ahora,
se demuestra que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir que se cumple que 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3),
|
(5)
para ello, n´otese que se cumple que: (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = (n + 1)((n + 1) + 1)((2n + 1) + 2) = = = = = = =
(n + 1)((n + 1) + 1) ((2n + 1) + 2) n(n + 1) + n + (n + 1) + 1 ((2n + 1) + 2) n(n + 1) + (2n + 2) ((2n + 1) + 2)
n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + (2n + 2)(2n + 1) + 2(2n + 2) n(n + 1)(2n + 1) + 6n2 + 12n + 6 n(n + 1)(2n + 1) + 6(n2 + 2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
con lo que se tiene que (n + 1)(n + 2)(2n + 3) n(n + 1)(2n + 1) 6(n + 1)2 n(n + 1)(2n + 1) = + = + (n + 1)2 , 6 6 6 6 as´ı, como (n + 1)2 es entero cuando n es entero y como 16 n(n + 1)(2n + 1) tambi´en es entero por (h.i.), entonces se cumple (5). Por lo tanto, 6 n(n + 1)(2n + 1) para todo n
|
∈
.
Observaci´ on: Otra forma de realizar la demostraci´on anterior, es recordar que
| ⇔ (∃k ∈
b a
) [ a = bk ] .
As´ı, se puede demostrar que una expresi´ on es divisible por otra por medio de esta definici´on, como se mostrar´a en el siguiente ejemplo. Se deja al lector, como ejercicio, reescribir la demostraci´ on del ejemplo anterior con esta definici´on.
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Ejemplo 37. Demostrar que 42n+1 + 3n+2 es divisible por 13, para todo n
≥ 1 entero.
Demostraci´ on(por inducci´ on). n = 1, se tiene que 4 2n+1 + 3 n+2 = 91 = 13 7, el cual es divisible por 13, por lo que la afirmaci´on es v´alida para n = 1.
➊ Sustituyendo
➋ Se
·
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, la (h.i.) corresponde a
∃ ∈
➌ Luego,
) 4 2n+1 + 3n+2 = 13k .
( k
se prueba que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir, se debe probar que: ) 4 2n+3 + 3n+3 = 13k ′ ,
( k′
∃ ∈
y para lograrlo se puede apreciar que:
h.i.
42n+3 + 3n+3 = 42 42n+1 + 3 3n+2 = = As´ı, como k se cumple que:
∈
· · 16 · 13k − 16 · 3 13(16k − 3 ).
n+2
=
16 (13k
·
+ 3 3n+2 =
n+2
·
por (h.i.), se puede tomar k′ = 16k
n+2
−3
n+2
n+2
−3 )+3·3 16 · 13k − 13 · 3
n+2
ya que es entero, y con ello
42n+3 + 3n+3 = 13k ′ . Por lo tanto, para n
≥ 1 es v´alido que 13 divide a 4
2n+1
+ 3n+2 .
Ejercicio 21. Pruebe que 72n + 16n
− 1 es divisible por 64, para todo n ≥ 1 entero.
Ejemplo 38. Pruebe que para todo n
≥ 0, se cumple que 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1.
Demostraci´ on(por inducci´ on). ➊ Sustituyendo
n = 0, se tiene que 0 0! = 0, mientras que (n + 1)! por lo que la afirmaci´on es v´alida para n = 0.
➋ Se
·
− 1 = (0 + 1)! − 1 = 0,
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, la (h.i.) corresponde a n
·
k k! = (n + 1)!
k =0
− 1.
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➌ Luego,
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se prueba que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir, se debe probar que: n+1
·
k k! = (n + 2)!
k =0
para ello, n´otese que: n+1
− 1.
n
·
k k!
k =0
=
k k! + (n + 1) (n + 1)!
·
k=0
h.i.
=
·
(n + 1)!
− 1 + (n + 1) · (n + 1)! = (n + 1)! [1 + (n + 1)] − 1 = (n + 1)!(n + 2) − 1 = (n + 2)! − 1. Por lo tanto, para n ≥ 0 es v´alido la afirmaci´on k · k! = (n + 1)! − 1.
Ejemplo 39. Demostrar que 2n < n! para todo n
n k=0
≥ 4.
Demostraci´ on(por inducci´ on). n = 4, se tiene que 2 4 = 16, mientras que 4! = 24 y debido a que 16 < 24, entonces la afirmaci´on es v´alida para n = 4.
➊ Sustituyendo
➋ Se
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, la (h.i.) es dada por 2 n < n!.
➌ Luego,
se prueba que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir, se debe probar que: 2n+1 < (n + 1)!,
para ello, n´otese que: h.i.
2n+1 = 2n 2 < n! 2,
·
·
adem´ as, ya que 2 < n + 1 para todo n 2n+1 < Por lo tanto, para n
≥ 4, entonces se tiene que n! · 2 < n! · (n + 1) = (n + 1)!
≥ 4 se cumple que 2
n
< n!.
Observaci´ on: En el ejemplo anterior se utiliza la propiedad transitiva o la transitividad del “menor que”(<), la cual viene dada por (a < b
∧
b < c)
⇒ a < c.
Similarmente, se tiene la transitividad para las dem´as desigualdades: (a b (a > b (a b
≤ ∧ b ≤ c) ⇒ a ≤ c, ∧ b > c) ⇒ a > c, ≥ ∧ b ≥ c) ⇒ a ≥ c.
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Ejemplo 40. Demostrar que 13 + 23 + . . . + (n
− 1)
3
4
< n4 , para todo n
≥ 2.
Demostraci´ on(por inducci´ on). n = 2, se tiene que (2 1)3 = 13 = 1, mientras que entonces se tiene que la afirmaci´on es v´alida para n = 2.
➊ Sustituyendo
➋ Se
−
24 = 4
4, y ya que 1 < 4,
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, la (h.i.) corresponde a n 1
−
k3 <
k =2
➌ Ahora,
n4 . 4
se prueba que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir, se debe probar que: n
k3 <
k=2
(n + 1)4 , 4
para ello, n´otese que:
n 1
n
k
3
=
k=2
−
k3
k =2
Para obtener lo que se desea, se debe cumplir que esta desigualdad es cierta:
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
h.i.
+ n3 < n4
4
n4 + n3 . 4
+ n3 <
(n+1)4 , 4
as´ı que se probar´a que
(n + 1)4 n4 3 + n < 4 4 4 3 (n + 1)4 n + 4n < 4 4 4 3 n + 4n < (n + 1)4 n4 + 4n3 < n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 0 < 6n2 + 4n + 1.
Ya que el discriminante de 6n2 + 4n + 1 es ∆ = 8 < 0 y como es c´oncava hacia arriba, 4 4 entonces es verdad que 6n2 + 4n + 1 > 0, por lo que se cumple que n4 + n3 < (n+1) ,y 4 con ello, por transitividad, se tiene que:
−
n
k =2
k
3
(n + 1)4 n4 3 + n < < . 4 4
Por lo tanto, la afirmaci´on es v´alida para todo n
≥ 2.
Ejercicio 22. Se prob´o que 2n < n! para todo n
n
≥ 4. Ahora, muestre que n! < n
para n > 1.
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Observaci´ on: Con este ejercicio se tiene que para n 4 se cumple que 2 n < n! < nn , es decir que el factorial de n crece m´as r´apido que la exponencial 2n, sin embargo, la n-´esima potencia de n crece a´un m´as r´apido.
≥
Ejemplo 41. 1 1 1 Pruebe que 1 + + + . . . + 2 3 n
≤ n2 + 1, para todo n ≥ 1.
Demostraci´ on(por inducci´ on). 1, se tiene que 1 + . . . + n1 = 1, mientras que n2 + 1 = 32 , y ya que 1 entonces se tiene que la afirmaci´on es v´alida para n = 1.
➊ Sustituyendo n =
➋ Se
≤
3 , 2
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, la (h.i.) corresponde a n
k=1
➌ Ahora,
1 k
≤
n + 1. 2
se prueba que la proposici´on es v´alida para n + 1, es decir, se debe probar que: n+1
k=1
1 k
≤
n + 1 + 1, 2
para ello, n´otese que:
n+1
k =1
n
1 = k
k =1
1 k
+
1 n + 1
h.i.
≤
Para obtener lo que se desea, se debe cumplir que probar´a que esta desigualdad es cierta:
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
1 n +1+ 2 n + 1 n(n + 1) + 2 2(n + 1) n(n + 1) + 2 n2 + n + 2 1
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
1 n +1+ . 2 n + 1 n
2
+1+
1 n+1
≤
n+1
2
+ 1, as´ı que se
n + 1 +1 2 n + 1 2 (n + 1)2 n2 + 2n + 1 n.
Por hip´otesis se tiene que n 1, y como los pasos anteriores son equivalencias ( ), 1 n+1 entonces se cumple que n2 + 1 + n+1 + 1, y con ello, por transitividad, se tiene que: 2
≥
n+1
k=1
1 k
≤
⇔
≤
1 n +1+ 2 n + 1
≤
n + 1 + 1. 2
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Por lo tanto, la afirmaci´on es v´alida para todo n
≥ 1.
Ejercicio 23. Pruebe que
√ n
<
√ 11 + √ 12 + √ 13 + . . . + √ 1n , para todo n ≥ 1.
Observaci´ on: En el siguiente ejemplo se muestra que tambi´en se puede aplicar el m´etodo de inducci´ on matem´atica al n´umero de valores que expresan una proposici´on. Esto es importante, ´ ya que en el ´area de Algebra Lineal muchas de las propiedades m´as relevantes son demostradas por el m´etodo de inducci´on matem´atica, lo que a la vez permite demostrar importantes resul´ tados en el ´area de Algebra Lineal Num´erica, la cual es muy investigada para los que traba jan en Ciencias de la Computaci´on, o bien, en Computaci´on Cient´ıfica. Ejemplo 42 (MA-MG). Dados x1 , x2 , . . . , xn n´ umeros reales positivos, con n x1 + x2 + . . . + xn n
≥ 2, entonces se cumple la desigualdad ≥ √ x · x · . . . · x . n
1
2
n
Demostraci´ on(por inducci´ on). Se utilizar´a el m´etodo de inducci´on matem´atica sobre n, es decir, sobre la cantidad de n´umero reales positivos x 1 , x2 , . . . , xn. n = 2, se debe probar que x1+2 x2 x2 son positivos, entonces se cumple que:
➊ Sustituyendo
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≥ √ x x , para ello n´otese que como x 1 2
x1 + x2 2 (x1 + x2 )2 4 (x1 + x2 )2 x21 + 2x1 x2 + x22 x21
2 2
− 2x x + x (x − x ) 1 2 1
2
2
1
y
≥ √ x x ≥ xx ≥ 4x x ≥ 4x x ≥ 0 ≥ 0.
1 2
1 2
1 2 1 2
Como lo anterior siempre es verdadero y ya que se tienen solamente equivalencias, entonces, la afirmaci´on es v´alida para n = 2. ➋ Se
asume que la proposici´on es v´alida para n, es decir, la (h.i.) es dada por 1 n
≥ n
n
xk
k =1
n
k=1
xk .
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➌ Luego,
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se debe probar que la proposici´o n es v´alida para n + 1, es decir, se debe probar
que: 1 n + 1
n+1
n+1
n+1
≥
xk
k =1
k=1
Para probar esto, primero n´otese que:
x1 + x2 + . . . + x2n 2n
xk .
≥ √ x · x · . . . · x 2n
1
(6)
2n ,
2
ya que: x1 + x2 + . . . + x2n 2n
⇔ ⇔ ⇔
x1 +x2 +...+xn n
=
h.i.
h.i.
+
xn+1+xn+2 +...+x2n n
2 x1 + x2 + . . . + xn x n+1 + xn+2 + . . . + x2n n n
√ ·
≥ ≥
· √ · x · . . . · x x x · ...· x · x √ x · x · . . . · x . n
=
2n
1
1
2
n
n
2
n+1
n+2
2n
2n
Por lo tanto, como la afirmaci´on se cumple para n valores, entonces tambi´en se cumple para 2n valores. Ahora, se debe probar que si se cumple para n valores tambi´en se cumple para n + 1 valores, para ello considere
⇔
2n n+1
(x1 + x2 + . . . + xn+1 ) 2n 1 (x1 + x2 + . . . + xn+1 ) x1 + x2 + . . . + xn+1 + nn− +1 = 2n
x1 + x2 + . . . + xn+1 = n + 1
2n valores
−
x1 + x2 + . . . + xn+1 + (n
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
≥ =
2n
2n
· · ·
x1 x2 . . . xn+1
√ x · x · . . . · x
2n
= (x1
x1 + x2 + . . . + xn+1 1) n + 1
1
2
2
n+1
x1 + x2 + . . . + xn+1 n + 1
2n
n+1
· x · ... ·x
· · ·
)
1 2n
n 1
−
, por (6) n 1
−
x1 + x2 + . . . + xn+1 n + 1 −1 x1 + x2 + . . . + xn+1 2 . n + 1
n
n
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As´ı, finalmente se tiene que
⇔ ⇔
x1 + x2 + . . . + xn+1 n + 1 +1 x1 + x2 + . . . + xn+1 2 n + 1 x1 + x2 + . . . + xn+1 n + 1
1 n + 1
⇔
≥
(x1 x2 . . . xn+1 )
· · ·
1 2n
n
n
≥ (x · x · . . . · x ) ≥ √ x · x · . . . · x 1
n+1
n+1
1
2
n+1
2
·
x1 + x2 + . . . + xn+1 n + 1
n−1 2n
1 2n
n+1
n+1
xk
≥
k=1
n+1
xk .
k=1
Por lo tanto, se ha probado que la media aritm´etica (ME) es menor o igual a la media geom´etrica (MG).
Observaci´ on: El ejemplo anterior muestra la relaci´on que existe entre la media aritm´etica x1 + x2 + . . . + xn , n y la media geom´etrica
√ x · x · . . . · x . n
1
2
n
Adem´ as, se tiene que s´olo cuando x1 = x 2 = . . . = x n , se cumple la igualdad: x1 + x2 + . . . + xn = n
√ x · x · . . . · x . n
1
2
n
Ejercicios (secci´ on 3.0) 1. Utilice el m´etodo de inducci´on matem´atica, para demostrar el teorema 2 de la p´agina 6. 2. Utilice el m´etodo de inducci´on matem´atica para probar las siguientes igualdades a ) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n 2 + n, para n
≥ 1. b ) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n , para n ≥ 1. − 1, para n ≥ 0. c ) 1 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 2 2 2 1 d ) + + . . . + = 1 − , para n ≥ 1. 3 9 3 3 2
2
3
n
e )
1 1 3
·
i=m n
g )
1 3 5
·
n
f )
+
k =0
i m
k 2
n
+ . . . +
=
1 (2n
n + 1 . m + 1 n2
=
n+1
n
− 1) · (2n + 1)
si n es par,
4
n2 1
−
4
si n es impar.
=
n , para n 2n + 1
≥ 1.
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3. Utilice el m´etodo de inducci´on matem´atica para probar las siguientes afirmaciones a ) 5n b ) n3 c ) n3 d ) n2 e ) n4 f ) n5
− 1 es divisible por 4, para n ≥ 1. + 2n es divisible por 3, para n ≥ 0. − n es divisible por 6, para n ≥ 1. − 1 es divisible por 8, para todo n entero impar positivo. + 2n + n es divisible por 4, para n ≥ 1. − n es divisible por 30, para n ≥ 0. +2 es divisible por 7, para n ≥ 1. + 7 − 2 es divisible por 8, para n ≥ 1. 3
g ) 32n+1 h ) 3n
2
n+2
n
4. Utilice el m´etodo de inducci´on matem´atica para probar las siguientes desigualdades a ) n < 2 n para n
≥ 0.
1 1 1 1 + + + . . . + n < n ln(2), para n 1. 2 4 8 2 1 1 1 13 c ) + + . . . + > , para n 2. 2n 24 n + 1 n + 2
b)
·
n
d )
(2n + 1)2 . 8
≤ ≤ k
k =1 n
e )
k =1
≥ ≥
1 k2
2
− n1 .
5. Pruebe que para n 2
2
2
3
3
3
a ) 1 + 2 + 3
≥ 2 se cumple que n + . . . + (n − 1) < 3 2
b ) 1 + 2 + 3 + . . . + (n
6. Pruebe que para n
−
3
< 12 + 22 + 32 + . . . + (n
− 1)
2
+ n2 .
n4 1) < < 13 + 23 + 33 + . . . + (n 4
− 1)
3
+ n3 .
3
≥ 1 se cumple que √ n ≤ √ 1 + √ 1 + √ 1 √ ≤ n n. 1 2 3 + . . . + √ 1
n
7. Demuestre el teorema 4 de la p´agina 19. 8. Dado x >
−1, pruebe que para todo n ≤ 1, se cumple que (1 + x) ≥ 1 + nx. n
9. Pruebe por inducci´on que el n´umero total de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2n .