Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Resumen Certamen 3 + Ejercicios - MAT024 Teorema de Stokes, Gauss y Ecuaciones Diferenciales Parciales
Fernando Iturbe Pemjean
´Indice 1. Teorema de Stokes 1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2
2. Teorema de Gauss 2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3
3. Ecuaciones Diferenciales Parciales 3.1. Problema de Sturm-Lioville . . . 3.2. Ecuaci´on de Onda . . . . . . . . . 3.3. Ecuaci´on de Calor . . . . . . . . . 3.3.1. Unidimensional(Barra) . . 3.4. Ecuaci´on de Laplace . . . . . . .
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4 4 5 8 8 10
4. Ejercicios 14 4.1. Teorema de Stokes y Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2. Ecuaciones diferenciales Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
1.
Teorema de Stokes
Es la circulaci´on por la curva generada por S, (Mismo razonamiento que el Teorema de Green) I Z Z ~ F · d~r = ∇ × F~ n ˆ ds
1.1.
Ejemplos
1. Sea el campo F (x,R y,R z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y 2 = 9 y z = 1. Calcular F ·~ndθ con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes. Asuma que la curva con orientaci´on anti horaria cumple la hip´otesis del Teorema de Stokes. Desarrollo ~ y para que ~n sea normal exterior tendr´a que ser ~n = (0, 0, 1), entonces: Sea F = ∇ × G Z Z Z Z Z Z F · ~ndσ = (3, 5, 2) · (0, 0, 1) = 2 dydx Lo cual es equivalente al a´rea del borde de la superficie S, como es una circunferencia, viene dado por πR2 , en este caso R = 3, entonces: Z Z F · ~ndσ = 18π 2. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad: Z ~ = 2a(a + b) F~ dr γ
donde γ es la curva intersecci´on entre el cilindro x2 + y 2 = a2 y el plano F~ = (y − z, z − x, x − y) Desarrollo Despejamos z en la ecuaci´on del plano: b z =b− x a Parametrizamos:
~ θ) = (rcos(θ), rsen(θ), b − b rcos(θ)) r(r, a Con lo cual nos queda el vector normal: b ~n = ( r, 0, r) a Ahora ∇ × F~ = (−2, −2, −2), entonces: Z 2π Z a b ∇ × F~ · ( r, 0, r)dadr = −2πa(a + b) a 0 0 2
x a
+
z b
= 1 y
2.
Teorema de Gauss
Usar si piden calcular: La integral de superficie El flujo en direcci´on de la normal exterior Recordar que la superficie debe ser Cerrada, si no lo es, se debe encerrar. I I Z Z Z ~ ~ F ds = ∇ · F~ dV S
V (S)
Importante Para todo F~ se cumple que: ∇ · (∇ × F~ ) = 0 Lo cual nos sirve en algunos casos para mezclar estos dos teoremas y resolver de manera m´as simple los ejercicios.
2.1.
Ejemplos
1. Sea C la curva de intesecci´on del paraboloide hiperb´olico z = y 2 − x2 y el cilindro x2 + y 2 = 1 que vista desde arriba est´a orientada en sentido antihoraria. 3 3 Sea F~ (x, y, z) = (ax3 − 3xz 2 , x2 y + by R R, cz ) y S una supercicie cuya frontera es C. Encuentre los valores de a, b, c para los cuales F~ ~ndσ es independiente de la selecci´on de S. S Desarrollo RR Para que F · ~ndσ sea independiente de S, se debe cumplir que la divergencia es igual a cero, es decir ∇ · F~ , por lo tanto: ∇ · F~ = 3ax2 − 3z 2 + x2 + 3cz 2 = 0 3ax2 + 3cz 2 = −x2 + 3z 2 Por lo tanto: a = 31 , b = 0 y c = 1 RR 2. Eval´ ue la integral de superficie F~ · ~ndθ del campo vectorial F~ dado y la superficie S orientada S indicada.F~ = xzi − 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con orientaci´on hacia fuera. Desarrollo Por Teorema de Gauss sabemos que: Z Z Z Z Z F~ · ~ndσ = ∇ · F~ dV Entonces como es una esfera, utilizamos coordenadas cil´ındricas y queda: Z Z Z 2 Z 2π Z π −64π F~ · ~ndσ = (Rcos(φ) − 2)R2 sen(φ)dφdθdR = 3 0 0 0 3
3.
Ecuaciones Diferenciales Parciales Auxx + Buxy + Cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0
∆ = b2 − 4ac Si ∆ > 0: Ecuaci´on Hiperb´olica (Ecuaci´on de onda) Si ∆ = 0: Ecuaci´on Parab´olica (Ecuaci´on de calor) Si ∆ < 0: Ecuaci´on El´ıptica (Ecuaci´on de Laplace)
3.1.
Problema de Sturm-Lioville y 00 + λy = 0 Si λ = 0 entonces y 00 = 0, la soluci´on viene dada por: y = C1 + C2 x Si λ < 0, entonces la soluci´on viene dada por: √ √ y = C1 senh( −λx) + C2 cosh( −λx) Si λ > 0, la soluci´on viene dada por: √ √ y = C1 cos( λx) + C2 sen( λx)
4
3.2.
Ecuaci´ on de Onda
Son de la forma: a2 uxx = utt Cuando x ∈ [a, b], t > 0 se resuelve mediante separaci´on de variables. Ejercicio Desarrollado: Resolver: uxx =
1 utt a2
donde u(0, t) = u(L, t) = 0 u(x, 0) = x(L − x) ut (x, 0) = 0 Resolvemos mediante separaci´on de variables, sea: u(x, t) = X · T Entonces la ecuaci´on queda: X 00 T =
XT 00 a2
Separando:
X 00 T 00 = 2 X aT Igualamos lo anterior a un multiplicador −λ T 00 X 00 = 2 = −λ X aT Con lo cual nos quedan dos ecuaciones: X 00 + λX = 0 y T 00 + a2 λT = 0 Notamos que la podemos resolver mediante el Problema de Sturm-Lioville: Con λ = 0: En este caso la soluci´on tiene forma: X(x) = C1 + C2 x Mediante las condiciones iniciales podemos ver que: X(0) = X(L) = 0 Entonces: X(0) = C1 = 0 5
X(L) = C2 L = 0 L no puede ser igual a cero, por lo tanto la u ´nica opci´on es que C2 = 0, con lo cual nos da la soluci´on trivial X(x) = 0 que no nos sirve. Con λ < 0: En este caso la soluci´on tiene forma: √ √ X(x) = C1 senh( −λx) + C2 cosh( −λx) Mediante las condiciones iniciales: X(0) = C2 = 0 √ X(L) = C1 senh( −λx) = 0
√ Recordemos que senh( −λx) = 0 ⇐⇒ x = 0, por lo tanto no ser´a cero puesto que λ < 0, entonces C1 = 0, con lo cual tambi´en da la soluci´on trivial que no nos sirve. Con λ > 0: En este caso la soluci´on tiene forma: √ √ X(x) = Acos( λx) + Bsen( λx) Mediante las condiciones iniciales: X(0) = A = 0 √ X(L) = Bsen( λL) = 0 √ Para que no nos de la soluci´on trivial sen( λL) = 0, con lo cual para que sea cero se debe cumplir que: √ λL = nπ con n ∈ N, despejando λ, obtenemos los autovalores: λ=
n2 π 2 L2
Entonces la auto funci´on es:
nπx ) L Ahora bien para la segunda ecuaci´on la soluci´on viene dada por: √ √ T = Kn cos( λat) + Dn sen( λat) Xn = Bn sen(
Como ya obtuvimos λ anteriormente, entonces: T = Kn cos( Por lo tanto: u(x, t) =
∞ X
Bn sen(
1
nπat nπat ) + Dn sen( ) L L
nπat nπat nπx )[Kn cos( ) + Dn sen( )] L L L
Ahora utilizando la condici´on inicial ut (x, 0) = 0, primero derivamos respecto a t u(x, t) y nos da: ut (x, t) =
∞ X 1
Bn sen(
nπx nπat nπa nπat nπa )[−Kn sen( ) + Dn cos( ) ]=0 L L L L L 6
Y ahora: ut (x, 0) =
∞ X
Bn sen(
1
Notamos que
Bn sen( nπx ) L
nπx nπa )[0 + Dn ]=0 L L
6= 0, entonces Dn = 0. Entonces por ahora tenemos: u(x, t) =
∞ X
Bn sen(
1
nπx nπat )[Kn cos( )] L L
Ahora con u(x, 0) = x(L − x): u(x, 0) =
∞ X
Bn sen(
1
nπx )[Kn ] = x(L − x) L
Obtenemos el coeficiente Bn mediante: Obtenci´on Coeficiente 2 Bn = L
Z
L
x(L − x)sen( 0
nπx 4L2 )dx = 3 3 (1 − (−1)n ) L nπ 2
Notamos que si n es par Bn = 0 y si es impar Bn = n8L 3 π3 . Por lo tanto solamente tomamos los n impares, es decir de la forma 2k − 1, con lo cual la soluci´on nos queda de la forma: Resultado u(x, t) =
∞ X k=1
8L2 (2k − 1)πx (2k − 1)πat sen( )cos( ) 3 3 (2k − 1) π L L
7
3.3. 3.3.1.
Ecuaci´ on de Calor Unidimensional(Barra) a2 uxx = ut
Ejercicio Desarrollado: Resolver: uxx = a2 ut con las condiciones: u(0, t) = u(L, t) = 0 5πx u(x, 0) = 5sen( ) L Resolvemos mediante separaci´on de variables, sea: u(x, y) = X · T Entonces la ecuaci´on queda: X 00 T = a2 XT 0 Separando: a2 T 0 X 00 = X T Igualamos lo anterior a un multiplicador −λ X 00 a2 T 0 = = −λ X T Con lo cual nos quedan dos ecuaciones: X 00 + λX = 0 y λ T =0 a2 La primera notamos que se resuelve mediante el Problema de Sturm Lioville, de la misma manera que en los ejercicios anteriores notamos que con λ = 0 ∧ λ < 0 no sirve. Con λ > 0: En este caso la soluci´on tiene forma: √ √ X(x) = Acos( λx) + Bsen( λx) T0 +
Mediante las condiciones iniciales: X(0) = A = 0 √ X(L) = Bsen( λL) = 0
8
√ Para que no nos de la soluci´on trivial sen( λL) = 0, con lo cual para que sea cero se debe cumplir que: √ λL = nπ con n ∈ N, despejando λ, obtenemos los autovalores: λ=
n2 π 2 L2
Entonces la auto funci´on es:
nπx ) L Ahora bien para la segunda ecuaci´on diferencial con soluci´on de la forma: Xn = Bn sen(
λt
T = Ke− a2 Entonces, como ya obtuvimos el valor de λ:
n2 π 2 t
Tn = Kn e− L2 a2 Por lo tanto: u(x, t) =
∞ X
Bn sen(
0
nπx − n22π22t )e L a L
Ahora utilizando las condiciones iniciales: u(x, 0) =
∞ X
Bn sen(
0
nπx 5πx ) = 5sen( ) L L
Con lo cual notamos que con n = 5 se tiene que Bn = 5 y para el resto Bn = 0, por lo tanto: Resultado u(x, t) = 5sen(
5πx − n22π22t )e L a L
9
3.4.
Ecuaci´ on de Laplace uxx + uyy = 0
Sector Circular r2 urr + rur + uθθ = 0 Ejercicio Desarrollado Resolver:
1 1 ur r + ur + 2 uθθ = 0 r r Si la temperatura en el borde interior es 0 y en el borde exterior es f (θ) = 20 + 5sen(2θ) + cos(4θ). Determine la temperatura del anillo si 1 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π. Notamos que la soluci´on debe ser de la forma u = R · θ y del texto obtenemos que: u(1, θ) = 0 u(4, θ) = 20 + 5sen(2θ) + cos(4θ) u(r, 0) = u(r, 2π) Entonces si multiplicamos por r2 la ecuaci´on queda como: r2 urr + rur + uθθ = 0 Con lo anterior r2 R00 θ + rR0 θ + Rθ00 = 0 Multiplicamos todo por
1 Rθ
r2 R00 θ rR0 θ Rθ00 + + =0 Rθ Rθ Rθ
Simplificando: r2 R00 rR0 θ00 + =− R R θ Ahora utilizamos un multiplicador λ r2 R00 rR0 θ00 + =− =λ R R θ Con lo cual nos quedan dos ecuaciones: θ00 + λθ = 0 La cual se resuelve mediante el problema de Sturm Lioville, notamos que con las condiciones iniciales tenemos que θ(0) = θ(2π), entonces: Con λ = 0: θ = Aθ + B Utilizando las condiciones iniciales θ(0) = B
10
y θ(2π) = A2π + B Entonces: B = A2π + B Por lo tanto A = 0 Con λ < 0 No sirve puesto que da la soluci´on trivial. Con λ > 0: La soluci´on viene dada por: √ √ θ = Acos( λθ) + Bsen( λθ) Utilizando las condiciones iniciales: θ(0) = A √ θ(2π) = A + Bsen( λ2π) Entonces:
√ Bsen( λ2π) = 0
Para que se cumpla:
√ λ2π = nπ; n ∈ N
Entonces: λ= Por lo tanto: θn = An cos(
n2 4
nθ nθ ) + Bn sen( ) 2 2
Y la segunda ecuaci´on que nos queda es: r2 R00 + rR0 − λR = 0 La cual es una Ecuaci´on Diferencial Couchy-Euler, donde R = rp , entonces R0 = prp−1 y R00 = p(p − 1)rp−2 , reemplazando en la ecuaci´on: rp (p(p − 1) + p − λ) = 0 Entonces:
√ p = ± λ, λ > 0
Por lo tanto la soluci´on viene dada por: √
R = Cr
λ
√
+ Dr−
λ
Como ya tenemos λ, reemplazando: n
n
Rn = Cn r 2 + Dn r− 2
Para λ < 0 no nos sirve y ahora para λ = 0 nos queda la ecuaci´on: r2 R00 = −rR0 11
R00 1 = − R0 r Integrando: ln(R0 ) = −ln(r) Aplicando exponencial: R0 = r−1 Integrando nuevamente:
R0 = F ln(r) + E Entonces u(r, θ) viene dado por: u(r, θ) = θo Ro +
∞ X
θn Rn
1
Reemplazando: u(r, θ) = F ln(r) + E +
∞ X
An cos(
1
n n nθ nθ ) + Bn sen( ) · Cn r 2 + Dn r− 2 2 2
Utilizamos la condici´on de borde u(1, θ): u(1, θ) = F ln(1) + E +
∞ X
An cos(
1
nθ nθ ) + Bn sen( )[Cn + Dn ] = 0 2 2
Por lo tanto para que se cumpla la igualdad E = 0 Y Cn = −Dn , con lo cual nos queda: u(r, θ) = F ln(r) +
∞ X
An cos(
1
n n nθ nθ ) + Bn sen( ) · [Cn r 2 − Cn r− 2 ] 2 2
Juntando las constantes, sea Kn = Cn An ∧ Hn = Cn Bn : u(r, θ) = F ln(r) +
∞ X 1
Kn cos(
n n nθ nθ ) + Hn sen( ) · [r 2 − r− 2 ] 2 2
Ahora utilizando u(4, θ) = 20 + 5sen(2θ) + cos(4θ): u(4, θ) = F ln(4) +
∞ X 1
Kn cos(
n n nθ nθ ) + Hn sen( ) · [4 2 − 4− 2 ] = 20 + 5sen(2θ) + cos(4θ) 2 2
De esto obtenemos que F ln(4) = 20, por lo tanto F = K4 = 0 y:
20 , ln(4)
H4 (42 − 4−2 ) = 5 =⇒ H4 =
12
ademas notamos que cuando n = 4
5 42 − 4−2
De la misma forma cuando n = 8 H8 = 0 y queda: K8 (44 − 4−4 ) = 1 =⇒ K8 =
44
1 − 4−4
Para todo n distinto de 4 y 8 se cumple que Hn = 0 ∧ Kn = 0. Con lo cual: Resultado u(r, θ) =
5 20ln(r) 1 + 2 sen(2θ)(r2 − r−2 ) + 4 cos(4θ)(r4 − r−4 ) −2 −4 ln(4) 4 −4 4 −4
13
4. 4.1.
Ejercicios Teorema de Stokes y Gauss
1. Sea el campo F (x,R y,R z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y 2 = 9 y z = 1. Calcular F ·~ndθ con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes. Asuma que la curva con orientaci´on anti horaria cumple la hip´otesis del teorema de Stokes. Respuesta: 18π 2. Sea C la curva de intersecci´on del paraboloide hiperb´olico z = y 2 − x2 y el cilindro x2 + y 2 = 1 que vista desde arriba est´a orientada en sentido antihoraria. Sea F~ (x, y, z) = (ax3 − 3xz 2 , x2 y + by 3 ,RczR3 ). Sea S una superficie cuya frontera es C. Encuentre los valores de a, b, c para los cuales F~ · ~ndσ es independiente de la selecci´on de S. S Respuesta: a = − 31 , b = 0yc = 1 RR 3. Eval´ ue la integral de superficie F~ · ~ndθ del campo vectorial F~ dado y la superficie S orientada S indicada.F~ = xzi − 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con orientaci´on hacia fuera. Respuesta: − 64π 3 4. Calcular el flujo del campo de vectores ∇ × F~ , donde F~ (x, y, z) = (h(x), −2cos(xy) + 2x + yz 2 , cos(xy) + y 2 z), si h es una funci´on diferenciable en y a trav´es de la superficie S, que se obtiene uniendo el origen O por segmentos rectil´ıneos con los puntos de la curva C, que resulta de la intersecci´on del paraboloide z = 4x2 + 9y 2 , con el plano z = 2y + 3 y con orientaci´on inducida por el vector (0, −2, 1). Bosqueje la gr´afica de S. Respuesta: 28π 27 5. Determinar una expresi´on para el flujo del campo F (x, y, z) = (1, z, 1 + 2y) a trav´es de la parte de la superficie S : x2 + y 2 + (z − 3)2 = 4, z ≥ 3, interior a D : x2 + y 2 ≤ 2x, z ≥ 0 Respuesta: Z Z Z Z √ 2−2cos(θ)+3
2π
F~ · ~ndσ = π −
cos(θ) + zsen(θ)dzdθ 0
3
6. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad: Z ~ = 2a(a + b) F~ dr γ
donde γ es la curva intersecci´on entre el cilindro x2 + y 2 = a2 y el plano F~ = (y − z, z − x, x − y) Respuesta: Z ~ = −2πa(a + b) F~ dr
x a
+
z b
= 1 y
γ
7. p Hallar el flujo depF~ (x, yz) = 2x2 i + 3y 2 j + z 2 k a trav´es de toda la superficie del cuerpo x2 + y 2 ≤ z ≤ 2R2 − x2 − y 2 en direcci´on de la normal exterior. Respuesta: πR4 14
RR 8. Hallar la integral de superficie F~ · ~ndθ donde F~ (x, y, z) = (x, y, z), S es la caja sin tapa S formada por los planos x = 1, x = 3, y = −2, y = 3, z = −1, −1 ≤ z ≤ 2 (la tapa no considerada es la que est´a sobre el plano z = 2) , y la normal considerada es la que apunta hacia el exterior de la caja. Respuesta: 40 9. Hallar el trabajo del campo vectorial: F~ = (
y 1−x , , z − x + y) 2 2 (x − 1) + y (x − 1)2 + y 2
Sobre la curva C intersecci´on de la superficie S1 y S2 definidas como: S1 : |x| + |y| = a S2 : z + x = 4a; a > 1 10. Sea S una superficie cerrada orientable la cual se puede considerar compuesta como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 donde las superficies S1 Y S2 est´a descritas de la forma S1 : x + z = 9 S2 : z + x2 = 4x con (x, y) ∈ D = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 4(x + y) y en la que S3 permite cerrar S. a) Verificar que existen constantes a y b de modo que Z Z I I ~ ~ ~ ∇×F +a F dr + b S3
C1
~ =0 F~ dr
C2
donde C1 y C2 son fronteras de S1 Y S2 orientadas positivamente. Respuesta Para que se cumpla la igualdad bajo cualquier F a = 1 y b = 1. b) Determine el flujo del rotacional de F a trav´es de S3 respecto a n ˆ exterior F~ = (4y, 2x, z) Respuesta Z Z Z 2π Z 2 Z 2π Z 2 ~ 2rdrdθ = 0 ∇×F =− −2rdrdθ − S3
0
0
0
0
11. Considere a F = (x + yz, x‘y, xy + z + 1) un campo vecorial definido sobre todo R3 . Sea S la superficie dada por: S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1, x ≤ z Sea G(x, y, z) = ∇ × F . Determine el flujo de los campos F y G sobre la superficie S. Respuesta Para F Z Z F · dS = π S
Para G
Z Z G · dS = − S
15
π 2
12. Determine el flujo del campo vectorial F~ (x, y, z) = (ey , −
zx xy , ) 4x2 + y 2 + z 2 4x2 + y 2 + z 2 2
2
2
a trav´es de la superficie S descrita por xa2 + yb2 + zc2 = 1 con a, b, c > 0; la cual est´a orientada respecto a la normal unitaria exterior. Respuesta Z Z F~ · ~ns dσ = 0 S
13. Determinar el flujo del rotacional del campo vectorial F~ (x, y, z) = (x2 − 6x + y, 2x + y 2 .z − x) a trav´es de la superficie S definida como: S = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 = 6x, (x − 3)2 + y 2 − 9 ≤ z ≤ 6 − x} Respuesta Z Z ∇ × F ~ndσ = 0 S
16
4.2.
Ecuaciones diferenciales Parciales
1. Resolver uxx = a2 ut u(0, t) = u(L, t) = 0 5πx u(x, 0) = 5sen( ) L 0≤x≤L Respuesta: u(x, t) = 5sen(
2 5πx −25π )e a2 L2 t L
2. Resolver uxx = a2 ut u(0, t) = ux (L, t) = 0 u(x, 0) = x 0≤x≤L Respuesta:
∞ X (−1)n+1 8L sen(2n − 1)πx − (2n−1)2 22π2 t u(x, t) = e 4L a ((2n − 1)2 π 2 ) 2L 1
3. Resolver uxx = ut + 4 + cos(πx) Con ux (0, t) = 0 ux (1, t) = 4 2 u(x, 0) = 2x + 3 + cos(2πx) Respuesta: 2
cos(πx)e−π t 2 + cos(2πx)e−4π t u(x, t) = 2x + 3 + 2 π 2
4. Sea
1 1 urr + ur + 2 uθθ = 0 r r Si la temperatura en el borde interior es 0 y en el borde exterior es f (θ) = 20 + 5sen(2θ) + cos(4θ). Determinar la temperatura del anillo si 1 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π. Respuesta: u(r, θ) =
20 5 1 ln(r) + 2 sen(2θ)(r2 − r−2 ) + 4 cos(4θ)(r4 − r−4 ) −2 ln(4) 4 −4 4 − 4−4
17
5. Resolver uxx =
1 utt a2
Con u(0, t) = u(L, t) = 0 u(x, 0) = x(L − x) ut (x,0) = 0 0≤x≤L Respuesta: u(x, t) =
∞ X 1
−8L2 (2k − 1)πat (2k − 1)πx )cos( ) sen( (2k − 1)3 π 3 L L
6. Resolver uxx + uyy = 0 Con u(0, y) = u(L, y) = 0 u(x, 0) = 2x(x − L) u(x, M ) = 0 0≤x≤L Respuesta: u(x, y) =
∞ X −4L3 sen( (2k−1)πx )senh( (y−M )(2k−1)π ) 2
1
2
senh( −M (2k−1)π )(2k − 1)3 π 3 L
7. Resolver la ecuaci´on de calor unidimensional ut = uxx con 2
u(x, 0) = e−x −∞ ≤ x ≤ ∞ t>0 Respuesta u(x, t) = √
x2 1 e− 1+4t 1 + 4t
8. Resuelva usando el cambio u(x, t) = eAx+Bt v(x, t) ut = uxx − 2ux 18
Sujeto a u(x, 0) = 3ex (x − 1) u(0, t) = u(1, t) = 0 00 Respuesta u(x, t) = e
x−t
∞ X −6 1
nπ
2 π2 t
sen(nπx)e−n
9. Resolver ut + sen(t)u = 8tuxx con u(x, 0) = sen2 (4x) x∈R t>0 Respuesta u(x, t) =
ecos(t)−1 2 [1 − e−256t cos(8x)] 2
10. Resolver el problema de Sturm Lioville y 00 = λy y(0) + y(1) = 0 y 0 (0) = 0 Respuesta yn = kn cos(
2n − 1π ) 2
11. Resolver la ecuaci´on ut = uxx − u con u(x, 0) = 1 ux (0, t) = u(π, t) = 0 0≤x≤π t≤0 Respuesta u(x, t) =
∞ 4 X (−1)n 2n + 1 −(1+( 1 +n)2 )t 2 cos( x)e π n=0 2n + 1 2
19
12. Resolver utt = 25uxx + cos(x) con u(0, t) = −u(π, t) = u(x, 0) =
1 25
cos(x)25 sen(2x) + ut (x, 0) = sen(x) 00
Respuesta u(x, t) =
cos(x) 1 + sen(2x)cos(10t) + sen(x)sen(5t) 25 5
13. Considere la siguiente EDP 2 utt − t4 uxx = ut t a) Encontrar la soluci´on general b) Encontrar la soluci´on particular que cumpla con t6 9 ux (0, t) = 1
u(0, t) =
Respuesta Soluci´on General: u(x, t) = p(x −
t3 t3 ) + q(x + ) 3 3
Soluci´on Particular: u(x, t) = x2 +
t6 9
14. Determinar la temperatura en estado estacionario de un sector circular de radio 1 y a´ngulo π , si la temperatura en el borde horizontal es de 10o C y en el otro borde la raz´on de cambio 4 respecto al a´ngulo en cada punto es igual a menos la temperatura en esos puntos. Adem´as en el disco es igual a 10o C. Respuesta u(r, θ) =
∞ X 1
[
4Bn 20π 4Bn θ 40θ sen(Bn ) − Bn cos(Bn )]r π sen( )+ + 10 2 (π + 4)Bn π π+4
15. Resolver el siguiente problema ∂u ∂ 2 u − 2 = sen(x) ∂t ∂x 20
con 00 u(0, t) = 2 u(π, t) = 6 u(x, 0) =
4 x + 2 + sen(x) + sen(5x) π
Respuesta u(x, t) = sen(5x)e−25t + sen(x) +
4 x+2 π
16. Resolver el Problema utt + ut + u = 9uxx Con 00 u(0, t) = u(6, t) = 0 24 πx 12 πx u(x, 0) = − sen( ) + sen( ) π 6 π 3 ut (x, 0) = x Respuesta u(x, t) = e
− 2t
√ √ 24 3 + π2t πx 12 3 + 4π 2 t πx [ cos( )sen( ) + cos( )sen( )] π 2 6 π √ 2 3 ∞ n+1 2 2 X t 24(−1) 3+n π t nπx e− 2 √ + sen( )sen( ) 2π2 2 6 nπ 3 + n n=3
17. Determine una soluci´on acotada para el problema: Hallar u = u(r, θ) tal que: r2 urr + rur + uθθ + θ2 = u + 2 uθ (r, 0) = 0 uθ (r, π) = 2π ur (1, θ) = 4cos(2π) 1
√ 4 5 u(r, θ) = θ − ( √ )cos(2θ) 5r 5 2
21
18. Determine la soluci´on u = u(x, t) de la ecuaci´on diferencial parcial uxx + u = ut + (4 + 2x2 )e−t u(−π, t) = u(π, t) ux (−π, t) = ux (π, t) − 4πe−t ut (x, 0) = 3cos(2x) + 8sen(3x) − 1 − x2 −π < x < π t>0 Sugerencia: Considerar u(x, t) = v(x, t) + φ(x)g(t) con φ(x) = ax2 + bx + c para a, b, c constantes y g(t) una funci´on adecuada que debe ser determinada. Respuesta u(x, t) = (x2 + 1)e−t − e−8t sen(3x) − e−3t cos(2x) 19. Determinar la soluci´on general u = u(x, t) de la ecuaci´on diferencial parcial utt + 2xut + uxt = −2xex 2
2
2
sujeto a las condiciones u(x, 0) = x2 e−x y ut (x, 0) = 2x2 (1 − e−x ) Respuesta x−t 2 2 2 u(x, t) = (x − t)x2 e−x − (x − t)e−x +(x−t) + 2 20. Resolver la ecuaci´on ut − uxx = x Con las condiciones ux (0, t) = u(π, t) = 0 π 3 − x3 u(x, 0) = x 6 00 Respuesta ∞ 2n−1 2 π 3 − x3 4 X 1 2 2n − 1 u(x, t) = [ + π(−1)n − e−( 2 ) t cos( x)] 2 6 π n=1 2n − 1 (2n − 1) 2
21. Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial paracial utt − uxx = 0 Con las condiciones u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, 0) = 5sen(3x) ut (x, 0) = 4sen(9x) 00 22
22. Determinar la soluci´on u = u(x, t) de la ecuaci´on diferencial parcial ut + 9u = (1 + 2t)uxx + x 2π u(−π, t) = u(π, t) − 9 ux (−π, t) = ux (π, t) ut (x, 0) = 4sen(3x) + 8cos(6x) −π < x < π t>0 Considere u(x, t) = v(x, t) + Φ(x) con Φ(x) un polinomio de grado menor o igual a 1. Respuesta x 2 8 2 2 u(x, t) = − e−9(t+t )−9t sen(3x) − e−36(t+t )−9t 9 9 45 23. Sea f (θ) una funci´on continua en todo R y a > 0, encuentre una soluci´on acotada para el problema: r2 urr + rur + uθθ = 2 + u u(r, 0) = 0 uθ (r, 1) = 2e ur (a, θ) = f (θ) a < r < +∞ 0<θ<1 Respuesta q
(2n−1)π 2 Z 1 ∞ X 2n − 1π 2a 1+( 2 ) +1 θ q f ()sen( u(r, θ) = 2e − 2 − ( )d) 2 (2n−1)π 2 0 0 1+( 2 )
r
−
q (2n−1)π 2 1+( ) +1 2
sen(
(2n − 1)π θ) 2
24. Determine la soluci´on general u = u(x, t) de la ecuaci´on diferencial parcial uxx + 4ux + 4ut = utt + 4(x − t)e−2(x−t) Respuesta 1 u(x, t) = (x + t)(x − t)2 e−2(x−t) + F (x + t)e−2(x−t) + G(x + t) 2
23
25. Resolver utt = 25uxx + cos(x) 1 u(0, t) = 25 1 u(π, t) = − 25 cos(x) u(x, 0) = + sen(2x) 25 ut (x, 0) = sen(x) 00 Respuesta u(x, t) =
sen(x)sen(5t) cos(x) + cos(10t)sen(2x) + 2 25
24
