ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIAL ARCIALES ES CUASILINEALES ´ PRIMER PRI MER ORD ORDEN, EN, NOC NOCION IONES ES BASICAS ´ E. SAEZ
Una Ecuaci´ on Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es on simplemente una expresi´ on on de la forma (1)
E (x,y,z,
∂ z ∂ ∂z z )=0 , ∂x ∂y
Ejemplos: ∂z ∂z a ∂x + b ∂y ∂z ∂z − ∂y x ∂x
= 0 , a,b son constantes = f (x, y ) , f es una funci´ on on continua
Pregunta: ¿ Cu´ al al es la idea de una soluci´ una soluci´on de on de una E.D.P. ? Respuesta: Sea Ω ⊂ R2 un dominio y f : Ω → R con derivadas parciales continuas. La funci´ on on f es una soluci´on on de la E.D.P. (1) ssi se satisface la identidad E (x,y,f (x, y ),
∂f ∂ f ∂f ∂ f (x, y ), (x, y )) ≡ 0 , en Ω ∂x ∂y
Geom´etricamente etricamente la identidad anterior significa , que la gr´ g r´ afica de f que es una 3 superficie en R satisfa satisface ce la E.D.P E.D.P.. ¿ Como Como encont encontrar rar estas superfici superficies es ?. Pa Para ra una E.D.P cualesquiera esta pregunta es muy complicada. Sin embargo en algunos casos muy particulares es posible dar respuesta a la pregunta. Definici´ on on : Sea Ω ⊂
(2)
P (x,y,z )
R
3
un domino . Una E.D.P. de Primer Orden de la forma
∂z ∂z + Q(x , y , z) = R (x , y , z) , P, Q, Q , R ∈ C 1 (Ω) ∂x ∂y
se llama E.D.P E.D.P. Cuasili Cuasilineal neal de Primer Primer Orden Orden , donde las funciones coeficientes P, Q no se anulan simultaneamentes en Ω. Departamento de Matem´atica, atica, UTFSM e–mail:
[email protected]. 1
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La ecuaci´ ecuaci´ on on (2) se llama llama Cuasili Cuasilineal neal pues en general general las funcio funciones nes coeficien coeficientes tes P,Q,R no necesariamente son transformaciones lineales en la tercera coordenada. La ecuaci´ on (2) bajo un punto de vista vectorial, se puede escribir equivalentemente on en t´erminos erminos de la base can´ onica onica {ˆı, ˆ, ˆ k } del Espacio Vectorial R3, como el Producto Punto: ∂z ∂z (P ˆı + Qˆ + Rkˆ) · ( ˆı + ˆ − kˆ) = 0 ∂x
: Ω → Consideremos el campo de vectores F
(3)
∂y
R
3
, tal que, que,
ˆ (x,y,z ) = P (x,y,z )ˆ F )ˆı + Q(x,y,z )ˆ + R(x , y , z) k.
Con el objeto de simplificar la escritura, equivalentemente el anterior campo de vec = (P,Q,R) en el entendido que el trio es un tores se puede escribir simplemente F vector. Sea Ω un dominio en R3 , S una superficie en Ω que es la gr´afica afica de una funci´ on on diferenciable de dos variables f : D → R tal que z = f (x, y ) con D un dominio en R2 . Entonces si se define E (x , y , z) = z − afica afica − f (x, y ) se tiene que S coincide con la gr´ del conjunto conjunto − f (x, y ) = 0} E 1 (0) = { (x , y , z) | z − La superficie S se puede entonces considerar como la superficie de nivel nivel cero de cero de la funci´on on E . Si S es una superficie regular que es soluci´ on de (2) y consideramos el on ∂z ∂z E = (− , − , 1) se tiene de inmediato la identidad gradiente ∇ ∂x ∂y −
· ∇ E ≡ 0 , en E 1 (0) F −
Si se interpreta interpreta geom´ geom´etricamente etricamente la identidad identidad anterior anterior significa significa que la superficie soluci´on on S , tambi´ tamb i´en en llamad lla madaa Superficie Integral, Integral, es tangente tangente al campo de vectores (ver Fig. 1). F E ∇ E R
F
•0
Fig. 1
ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES PARCIALES CUA
...
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?. Pregunta: ¿ Como encontrar superficies tangentes superficies tangentes al al campo de vectores F
Para responder la pregunta anterior recordemos la definici´ on de orbita o´ rbita , o bien, trayectoria de un campo de vectores. : Ω → R3 un campo de vectores. Una curva Definici´ on. on. Sea Ω un dominio en R y F para pa ram´ m´etri et rica ca r : I → Ω donde I es un subintervalo de R es una orbita o´rbita (trayectoria) del campo de vectores ssi se satisface la identidad d r(t) (r(t)) , en I ≡ F dt
(4)
La definici´ on on anterior dice que una curva param´etrica etrica tal que el vector tangente a la curva coincide con el campo de vectores en cada punto, es una orbita o´rbita (ver Fig. 2). ) ) t ( r ( F
d r(t) dt
r(t)
Fig. 3 Superficie de orbitas o´rbitas
Fig. 2
N´otese otese que si se tiene una superficie superficie (ver Fig. 3) formada s´ olo por orbitas o´rbitas del campo de vectores entonces es inmediato que es una superficie tangente al campo de vectores y en consecuencia es una soluci´ on o n de la E.D.P E.D.P (2). (2). El proble problema ma para encont encontrar rar Superficies Integrales se reduce a conseguir orbitas o´rbitas del campo de vectores. La identidad (4) se puede escribir equivalentemente equivalentemente en t´ermino ermino de las componentes de los vectores de donde se tiene la igualdad (
dx dy dz , , ) = (P (x,y,z ), Q(x , y , z) , R(x , y , z)) ) ) dt dt dt
o bien, b ien, en t´ermino ermino de las diferenciales se tiene t iene el sistema: (5)
dx = P (x , y , z) dt dy = Q(x , y , z) dt dz = R(x , y , z) dt
Recordemos que una soluci´ on general de una ecuaci´ on on on diferencial diferencial ordinaria de primer orden, o bien una soluci´ on de las formas diferenciales correspondientes, contienen una on constante arbitraria.
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Supongamos que del sistema (5) se obtiene un par de ecuaciones diferenciales ordinarias esencialmente diferentes en el sentido que admiten como soluciones superficies independiente independientess que se intersectan intersectan transversalm transversalmente ente segun una curva. curva. Dicha Dicha curva es una soluci´on on del sistema y en consecuencia es una orbita o´rbita del campo de vectores. Luego las orbitas o´rbitas , o bien, trayectorias del campo de vectores son curvas en R 3 determinadas por la intersecci´ on de un par de superficies de niveles c1 , c2 (ver on (ver Fig. 4) independientes de la forma
(6)
1
−
ϕ
ϕ1 (x,y,z ) = c1 ϕ2 (x,y,z ) = c2
(c2)
c2
(c1 , c2) ϕ 1 (c1 )
c1
−
orbita ´orbita
Fig. Fig. 5
Las superficies anteriores se llaman llaman carac car acte terr´ıst ıstica icass de (2). Importante: N´ otese que si se mueve sobre una curva arbitaria el punto (c1, c2 ) en el otese plano c 1 c2 , la ´orbita orbita en R3 adquiere una din´amica amica y genera y genera una superficie de orbitas o´rbitas como en la Fig. 3. , es decir, se tiene una superficie integral de (2). M´ as a s exactamente , sea Φ(c1 , c2 ) = 0 con Φ ∈ C 1 la ecuaci´ on o n de una curva en el plano c1 c2 , entonces entonces por las caracter´ caracter´ısticas ısticas (6) reemplazando reemplazando las constantes constantes en la ecuaci´ on se obtiene una ecuaci´ on on on en las variables x, x, y,z de de la forma Φ(ϕ1(x,y,z ), ϕ2(x,y,z )) )) = 0 La expresi´ on anterior es una ecuaci´ on on de una superficie integral, llamada on llamada soluci´on on general en general en el sentido que una funci´ on on arbitraria Φ. An´ alogamente, alogamente, en el plano c1c2 se puede considerar una gr´ afica afica de una funci´on on 1 arbitaria, dada por una ecuaci´ on on de la forma c 2 = Φ(c1 ) con Φ ∈ C . Por cada punto de la gr´ afica de Φ se tiene, excepto casos degenerados, en R 3 una orbita afica o´rbita del campo de vectores (3) como intersecci´ on on de las caracter´ caracter´ısticas (6). Entonces, ver Fig. 6, los 3 puntos de la gr´ afica afica de Φ generan en R una superficie de orbitas o´rbitas y en consecuencia una soluci´on on general de (2) de ecuaci´ on on ϕ2 (x,y,z ) = Φ(ϕ1 (x,y,z )) ))
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c2
) c 1 ( Φ =
(c1 , c2) z x
5
...
c 2
c1 y
Fig. 6 problema frecuente frecuente en la resoluci´ resolucion o´n de E.D.P. cuasilineales es preProblema Una problema guntar , si existe, una superficie soluci´on on de la E.D, que tenga la propiedad de contener una curva predeterminada. on se reduce a encontrar la ecuaci´ on on de la curva en el plano on Respuesta La soluci´ de las constantes c 1 c2 que tiene la propiedad de generar la superficie integral soluci´ on on del problema. Para conseguir conseguir dicha curva curva basta considerar considerar el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones formado por p or las ecuaciones de las caracter´ caracter´ısticas y las ecuaciones que definen la curva dada. Este sistema, sistema, si es consistent consistente, e, define impl´ impl´ıcitamente ıcitamente la ecuaci´ ecuacion ´ de la curva que genera la superficie integral soluci´ on on del problema. Observaci´on o n : Es inmed inmedia iato to que que si la curv curvaa dada dada en R3 es una orbita o´rbita del campo de vectores (3) significa que la curva es la intersecci´ on respectiva de dos superficies on de niveles c1, c2 de las caracter´ caracter´ıticas. Entonces dada cualquier curva cur va diferenciable en el plano de las constantes c1 c2 que pase por el punto (c1, c2) genera una superficie soluci´on. on. El problema problema es mal plantead planteado, o, en el sentid sentidoo que no se tiene tiene unicidad unicidad de soluci´on on . ∗
∗
∗
∗
Ejemplo. Encontrar la superficie soluci´ on on de la E.D.P y
∂z ∂z =0 −x ∂x ∂y
que tenga la propiedad de contener la curva intersecci´ on on de la superficie z = y 2 con el plano x = 0. Respuesta: El sistema (6) se reduce
dx = ydt dy = −xdt dz = 0
, de las dos primeras ecuaciones se tiene xdx = −ydy
Integrando, se obtiene la primera caracter´ caracter´ıstica x2 + y 2 = c1 , donde c1 > 0 es una constante constante arbitraria. arbitraria. La segunda segunda caracter´ caracter´ıstica ıstica es inmediata inmediata de la tercera ecuaci´ on pues basta integrar y se obtiene z = c2 , donde c2 es una constan constante te arbitrar arbitraria. ia. Sea
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una curva en el plano de las constantes c2 = Φ(c1) con Φ ∈ C 1 una funci´on on arbitaria. arbitaria. 2 2 Entonces z = Φ(x + y ) es una soluci´ on on general de la E.D.P. Para encontrar la soluci´ on que contenga la curva dada consideremos el sistema on formado por p or las caracter´ caracter´ıstica y las ecuaciones de la curva, en efecto: x2 + y 2 z z x
= = = =
c1 c2 y2
0
Este sistema de 4 ecuaciones y las 3 variables de R3, define d efine impl´ impl´ıcitamente ıcitam ente la ecuaci e cuaci´ on o´n de la curva en el plano c1c2 que genera la superficie integral soluci´ on on del problema. Por esta raz´ on operatoriamente eliminando las variables se obtiene la ecuaci´ on on on c 2 = c 1 con c1 > 0. Geom´etricamente etricamente se tiene la bisectriz principal del plano c 1 c2 restringida a c 1 > 0. Esta semirecta por las caracter´ısticas ısticas genera el paraboloide parab oloide z = x 2 + y 2 que es la superficie integral del problema. Comentario Si en un problema determinado, se dispone de una primera carac-
ter´ ter´ıstica y no es simple conseguir la segunda caracter´ caracter´ıstica independiente. Entonces se pueden restringir los c´ alculos alculos a la caracter´ caracter´ıstica conocida, ¿ C´ omo ?. Simplemente asumiendo su ecuaci´ on. on. La curva curva intersecci´ intersecci´ on que se obtenga con la segunda caracon ter´ ter´ıstica independiente indep endiente es una u na orbita o´rbita del campo de vectores pues se encuentra por la restricci´ on o n en la gr´ afica afica de la primera caracter´ caracter´ıstica. ∂z ∂z Ejemplo: Resolver xz ∂x + yz y z ∂y = − xy
Respuesta: El sistema (6) se reduce
dx = xzdt dy = yzdt dz = −xydt
, de las dos primeras ecuaciones se tiene
dx dy = x y
Integrando, se obtiene la primera caracter´ caracter´ıstica y = xc1 , donde c1 es una constante arbitraria. Para conseguir la segunda segunda caracter´ caracter´ıstica se puede multiplicar multiplicar la tercera ecuaci´ on o n del sistema por z y se obtiene zdz = y (−xzdt) de donde por la primera ecuaci´ on on del sistema se tiene zdz = −ydx. Restrin Res tringiend giendo o los c´ alculos alcul os on on diferencial ordinaria a la primera caracter´ caracter´ıstica y = xc1 se obtiene la ecuaci´ 2 2 zdz = −c1 xdx cuya cuya soluci´ solucion o´n inmediata es z + x c1 = c2 . Pero ero por la prim primer eraa 2 caracter carac ter´´ıstica reemplazand reempl azandoo c1 , se tiene que z + xy = c2 es claramente la segunda caracter carac ter´´ıstica independiente indep endiente,, donde d onde c2 es una constante arbitraria. on o n general de la Ecuaci´ on o n de Onda Ejercici Ejercicio o Importante Importante Encontrar la soluci´ Unidimensional donde −∞ < x < ∞ es una variable espacial y t > 0 designa el
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tiempo: 2 ∂ 2 z 2 ∂ z = c , c > 0 es una constan constante te ∂t 2 ∂x 2
Soluci´on: on: La Ecuaci´ Ecuaci´ on de Onda no es una E.D.P. de primer orden, sin embargo, se on puede reducir a dos E.D.P. Cuasilineales de primer orden ¿ Como ?. La Ecuaci´ on de Onda se puede factorizar en el siguiente sentido on
∂ ∂ − c ∂x ( ∂ ) ◦ ( ∂ + c ∂x )(z ) = 0 ∂t ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ( ∂t + c ∂x ) ◦ ( ∂t − c ∂x )(z ) = 0
o bien bien,, perm permutan utando do los los fact factor ores es
Es inmediato que si z = f (t, x) con f ∈ C 2 es una soluci´on on de uno de los factores, entonces es soluci´ on on de la ecuaci´ on on completa. Adem´ as por la Linealidad de la Ecuaci´on as on de Onda, o bien, por el Principio de Superposici´ on de soluciones para operadores on lineales, la combinaci´on on lineal de soluciones es soluci´ on. on. Por la idea anterior el problema de resoluci´ on on de la Ecuaci´ on on de Onda se reduce a encontrar soluciones de los factores anteriores, es decir a resolver E.D.P. Cuasilineales. Sea el factor
∂z ∂t
∂z + c ∂x = 0. Entonces el sistema (6) se reduce:
dt = dλ dx = cdλ dz = 0
De las dos primeras ecuaciones del sistema se tiene la primera caracter´ caracter´ıstica ct −x = c 1 y de la tercera ecuaci´ on on se obtiene la segunda caracter´ caracter´ıstica z = c2 . Sea Sea una curva curva 2 en el plano de las constantes c2 = ϕ (c1 ) con ϕ ∈ C una funci´ on on arbitaria. Entonces z = ϕ (x − ct) es una soluci´ on on de la Ecuaci´ on on de Onda. ∂z An´alogamente alogamente considerando el factor ∂z = 0 se obtiene las caracter´ caracter´ısticas − c ∂x ∂t independientes ct + x = c1, z = c2 . Lueg Luegoo z = ψ (x + ct ) con ψ ∈ C 2 una funci´on on arbitraria es otra soluci´ on on de la Ecuaci´ on de Onda. Por el Principio de Superposici´ on on on se obtiene la soluci´on on
(7)
z = ϕ (x − ct) + ψ (x + ct)
La soluci´on on anterior es general por contener dos funciones arbitarias dado que la E.D.P es de segundo orden y lleva el nombre de soluci´on on de D’Alambert de la Ecuaci´ on on de Onda. Interpretaci´ on de la soluci´on on on z = = ϕ (x − ct) Supongamos que la gr´ afica afica de z = ϕ(x) es como como en la Fig. Fig. 7, la vari variabl ablee t es el tiempo y la constante c > 0 es una velocidad. Entonces s = ct es un desplazamiento y la gr´afica afica de z = ϕ (x − ct) es la gr´ afica afica de z = ϕ (x) que se traslada en cada instante s = ct unidades hacia la derecha.
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gr (ϕ)
z
s = ct
x
Fig. 7 Por la interpretaci´ on on anterior se dice que z = ϕ(x − ct ) es una onda viajera de la Ecuaci´ on on de Onda. An´ alogamnete, alogamnete, la gr´ afica afica en el plano xz de de la soluci´on on z = ψ (x + ct) es la gr´ afica afica de la onda z = ψ (x) que se traslada en sentido negativo del eje x a velocidad s = ct . En consecuencia, la soluci´ on (7) es una onda que es suma de dos ondas viajeras. on Problema adicional , adicional , supongamos que interesa encontrar soluciones de la Ecuaci´ on on de Onda que satisfagan un par de condiciones iniciales llamadas de Cauchy
z (0 (0, x) = f (x) (0, x) = g (x)
; con con f, f , g :
∂z ∂t
R
→ R , f ∈ C 2 , g ∈ C 1
Respue Respuesta: sta: La soluci´ soluci´ on o n general de la Ecuaci´ o n de Onda es (7) y el problema se on reduce a encontrar las funciones precisas ϕ, ψ tales que (7) satisfaga las condiciones de Cauchy. Tomando t = 0 y reemplazando las condiciones iniciales en la soluci´ on on general se tiene que ϕ, ψ satisfacen el sistema:
f (x) = ϕ(x) + ψ (x) g (x) = cϕ (x) − cψ (x)
Derivando la primera ecuaci´ on del sistema anterior respecto de x se tiene que las on derivadas de ϕ, ψ satisfacen el sistema: ϕ (x) + ψ (x) = f (x) cϕ (x) − cψ (x) = g (x)
Despejando del sistema las derivadas de ϕ, ψ tenemos:
ϕ (x) = ψ (x) =
cf (x)+g (x) 2c cf (x)−g (x) 2c
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Integrando respecto de x se tiene las identidades:
ϕ(x) ≡ ψ (x) ≡
f (x)
2 f (x) 2
+ 21c − 21c
x
0
x
0
g (ξ )dξ g (ξ )dξ
Reemplazando las traslaciones x → x + ct y x → x − ct en la primera y segunda identidad respectivamente se obtiene:
ϕ(x + ct) ≡ ψ (x − ct) ≡
f (x+ct)
2
f (x−ct)
2
+ 21c − 21c
x+ct
0
x−ct
0
g (ξ )dξ g (ξ )dξ
Finalmente, Finalmente, sumando las dos identidades identidades anteriores encontramos encontramos la soluci´ solucion ´ llamada de D’Alambert del problema de la Ecuaci´ on de Onda con condiciones iniciales de on Cauchy. 1 1 x+ct z (t, x) = [f (x + ct) + f (x − ct)] + g (ξ )dξ 2 2c x ct Ejercicios:
−
1) Encontrar la soluci´ on on general de la E.D.P. x2
∂z ∂z + y 2 = (x + y )z ∂x ∂y
2) Sea la Ecuaci´ on on Diferencial Parcial: ∂z ∂z y 2 z − x2 z = x2 y ∂x ∂y
i) Encontrar dos caracter´ caracter´ısticas independientes. ii Encontrar, si existe , la superficie integral que contiene la curva intersecci´ on on de las superficies x3 + y 2 = 1 , z = 0
3) Encontrar la superficie integral de la E.D.P. x(y 2 + z )
∂z ∂z = (x2 − y 2)z − y (x2 + z ) ∂x ∂y
que contiene la recta intersecci´ on on de los planos x + y = 0, z = = 1. 4) Encontrar la superficie integral de la E.D.P ∂z ∂z yz + xz = 3y 3 ∂x ∂y
que contiene la recta de ecuaciones param´etricas etricas x = 0, y = λ, z = = λ con λ ∈ R. 5) Sea la ecuaci´ on de Onda con condiciones de Cauchy: on ∂ 2 u ∂ 2 u = 16 , −∞ < x < ∞ 2 ∂t 2 ∂x u(0, x) = 0 , ∂u (0, x) = x , −∞ < t < ∞ ∂t
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(i) Resolver el problema de Cauchy. (ii) En el plano (x, u) haga un bosquejo de las ondas del problema para los instantes t = 0 y t = 2 , respectivamente. (iii) En el plano (x, u) ¿ Para qu´e tiempo tiemp o t la onda del problema pasa por el punto (x, u) = (1, 1) ?. 6) Sea la ecuaci´ on de Onda Unidimensional on ∂ 2 z ∂ 2 z = 2 , con − ∞ < x < ∞ , t > 0 ∂t 2 ∂x
i) ¿ Cu´al al es la soluci´on on que satisface las condiciones iniciales de Cauchy ? z (0 (0, x) = 1 − x2 ∂z (0, x) = 0 ∂t
ii) En el plano xz haga haga un bosquejo de la soluci´on on para t = 0 y t = 1. iii) En el plano xz . ¿ Para qu´e tiempo t > 0 la soluci´ on on encontrada en i) pasa por el punto (x, z ) = (0, −4) ?. Haga un bosquejo de la onda. iv) ¿ Existe algun instante t tal que la soluci´on on encontrada en i) pasa, en el 1 plano xz , por el punto (x, z ) = (1, 2 ) ?. 7) Sea el problema de Cauchy ∂ 2 u ∂t 2
=
∂ 2 u ∂x 2
u(x, 0) = ∂u ∂t
;
x, t ∈ R sen x si x ∈ [0 , π ]
0
si otro caso
(x, 0) ≡ 0
Haga un bosquejo en el plano ux, de la onda soluci´ on o n del problema, en el instante t = π .
References
[1] A. R. Castro Castro F. F. Curso b´ . Addison-Wesley Iberoamerasico de ecuaciones en derivadas parciales . icana . Wilmington, Delaware. E.U.A. 1997. [2] I. Peral A. Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales . Addison-Wesley / Universidad Aut´ onoma de Madrid. Wilmington, Delaware. E.U.A. 1995. onoma
