Resumen de la Unidad 2: Variables Variables Aleatorias y Distribuciones Distribuciones de Probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS DISRETAS ! O"TI"UAS Variables Aleatorias Una variab variable le aleato aleatoria ria es una una funció función n que asigna asigna un número número real real a cada cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como #. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.
E$em%lo ons onsid ider ere e el lan! lan!am amie ient nto o de una una mone moneda da.. El espa espaci cio o mues muestra trall de este este experimento aleatorio est" constituido por dos resultados# cara y sello. Si se define X $cara%&' y X$sello%&(, se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.
Variable Variable Aleatoria Discreta y Distribuci&n de Probabilidad Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito $o infinito contable%. . )rec )recue uent ntem emen ente te el inte interé rés s reca recae e en la prob probab abil ilid idad ad de que que una una vari variab able le alea aleato tori ria a tome tome un valo valorr parti particu cula larr, para para ello ello se requ requie iere re prim primer ero o defi defini nir r claramente la variable aleatoria. Ser" importante pues, acordar la siguiente simbolog*a# +X&x denotar" el evento formado por todos los resultados para los que X&x y -$X&x% ser" la probabilidad de dico evento. /a distribu distribución ción de probabilid probabilidad ad de una variable variable aleatoria aleatoria X es es una descripció descripción n del con0unto de posibles valores de X, 0unto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gr"fica, una tabla o una
ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen m"s útil de un experimento aleatorio.
1oda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes#
Variable ontinua y su Distribuci&n de Probabilidad Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar est"n contenidos en un intervalo $finito o infinito% de números reales. 2icos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no aya uecos o interrupciones. En algunos casos, la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, resulta m"s conveniente utili!ar un modelo basado en una variable aleatoria continua. /a distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X est" caracteri!ada por una función f$x% que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función f$x% no es la misma función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. /a gr"fica de la función f$x% es una curva que se obtiene para un número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy peque3a. 4ecuerde que la gr"fica de una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es escalonada, dando la sensación de pelda3os en ascendencia. )ormalmente, la función de densidad de probabilidad f$x% de una variable aleatoria continua, se define como tal si para cualquier intervalo de números reales 5a,b6 se cumple que#
Es%eran'a (atem)tica y Varian'a de una Variable Aleatoria
El valor esperado $también llamado media o esperan!a matem"tica% de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X. Se simboli!a con 7 y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente. /a varian!a de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de ésta. Se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación.
Teorema de *+bys*e, El matem"tico 4uso -afnuty /vovic ébysev desarrolló un teorema en el que ofrece una garant*a m*nima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de 8 desviaciones est"ndar alrededor de la media. -ara cualquier variable aleatoria X con media 7 y desviación est"ndar 9, la probabilidad de que X tome un valor contenido en 8 desviaciones est"ndar de la media, siendo 8 una constante positiva cualquiera, es cuando menos. (: $(;8<% Simbólicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras#
/a desigualdad de ébysev es muy importante, ya que permite determinar los l*mites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se ale0e de la media no m"s de 8 desviaciones est"ndar, es menor o igual a (;8< para algún valor de 8 =(.
DISTRIBUIO"ES DISRETAS DE PROBABILIDAD En las distribuciones discretas de -robabilidad se tiene cinco probabilidades y su respectiva aplicación estas son#
Distribuci&n Uni-orme Discreta /a variable aleatoria discreta m"s sencilla es aquella que toma sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina entonces variable aleatoria discreta uniforme y su distribución uniforme discreta est" dada por# f$x%& (;n -ara una variable aleatoria discreta uniforme X, que puede tomar los valores (, <.., n, la media es#
> su desviación est"ndar es# S
Distribuci&n Binominal /as distribuciones binomiales son las m"s útiles dentro de las distribuciones de probabilidad discretas. Sus "reas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones, entre otras. Estas distribuciones permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categor*as relevantes# que ocurra un evento determinado o que no lo aga. Este tipo de experimento aleatorio particular es denominado ensayo de ?ernoulli. Sus dos resultados posibles son denotados por @éxito@ y @fracaso@ y se define por p la probabilidad de un éxito y (:p la probabilidad de un fracaso. 4ecibe el nombre de experimento binomial. /a variable aleatoria X, de un experimento binomial, que corresponde al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con par"metros p y n & (, <,... y su función de probabilidad es# f$x,p,n%& nx .-x .$(:-%n:x para x&',(,.....,n.
/a función de distribución binomial acumulada se expresa como#
/a media y la varian!a de una variable aleatoria binomial dependen sólo de los par"metros p y n. > ellas se definen# Ax &E$x%&n.p
y
S
Distribuci&n Binomial "e.ati,a y /eom+trica En la distribución geométrica, la variable aleatoria estaba definida como el número de ensayos ?ernoulli necesarios para obtener el primer éxito. Suponga aora que se desea conocer el número de ensayos asta obtener r éxitosB en este caso la variable aleatoria es denominada binomial negativa. /a distribución binomial negativa o distribución de -ascal es una generali!ación de la distribución geométrica donde la variable aleatoria X es el número de ensayos ?ernoulli efectuados asta que se tienen r éxitos, con una probabilidad constante de éxito p. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con par"metros p y r & (, <, C,... f$x,p,r%&
x:(r:(
qx:r . pr
x&r,rD(,rDrD
/a media y la varian!a de una variable aleatoria binomial negativa X con par"metros p y r son# Ax &E$x%& r;p
$x%& r.p;p<
/a función de distribución geométrica acumulada se expresa como#
/a media y la varian!a de una variable aleatoria geométrica son#
Distribuci&n 0i%er.eom+trica
Sea F el número de elementos de un con0unto de los cuales 8 son determinados como éxitos y F:8 como fallas, se trata aora de determinar la probabilidad de x éxitos en n ensayos de los F elementos del con0unto donde y
. Sea también la variable aleatoria X el número de éxitos en la
muestra. Entonces, X tiene una distribución ipergeométrica y su función de distribución de probabilidad est" dada por# f$x,F,8,n%& $ 8x . F:8n:x %; Fn x&',(,<,... min$8,n% /a expresión m*n $8,n% corresponde al valor menor entre el tama3o de la muestra 8 y el número m"ximo de éxitos que puede presentarse en la muestra n. /a distribución ipergeométrica suele expresarse como $xBF,8,n% . /a media y la varian!a de una variable aleatoria ipergeométrica X con par"metros F, 8 y n son# A &E$x%&n.p $x%& n.p.q $$F:n%;$F:(%%
Distribuci&n Poisson /a distribución de -oisson, llamada as* en onor a Simeón 2enis -oisson probabilista francés que fue el primero en describirla, es el principal modelo de probabilidad empleado para anali!ar problemas de l*neas de espera, confiabilidad y control de calidadB como el número de personas que llegan a un lugar determinado en un tiempo definido, los defectos en pie!as similares para el material, el número de bacterias en un cultivo, el número de goles anotados en un partido de fútbol, el número de fallas de una m"quina en una ora o en un d*a, la cantidad de ve*culos que transitan por una autopista, el número de llamadas telefónicas por minuto, etc. omo se puede observar se trata de allar la probabilidad de ocurrencia de cualquier número por unidad de medición $temporal o espacial%. 2ado un proceso -oisson donde G es el número promedio de ocurrencias en el intervalo de números reales donde este se define, la variable aleatoria X correspondiente al número de ocurrencias en el intervalo es llamada variable aleatoria -oisson y su función de probabilidad est" dada por#
f$x,n.p%& $ e:n.p $n.p%x %; xH x& ',(,<,......n.p=' El número promedio de ocurrencias de un evento por unidad de tiempo $o de espacio% es la media de la variable aleatoria -oisson y se define como#
> la desviación est"ndar resulta ser#
DISTRIBUIO"ES O"TI"1AS DE PROBABILIDAD Son aquellas que provienen de variables cuantitativas, es decir aquellas que poseen un valor por la cual puedan ser ob0etos de medición.
Distribuci&n Uni-orme Se da cuando todas las posibilidades en un experimento son posibles, se dividen en dos par"metrosB a y b, las cuales representan el valor m*nimo y m"ximo.E0# si tomamos de experimento el lan!amiento de un dado, en este se cumple la distribución uniforme, debido a que los seis resultados posibles tienen un (;I de probabilidad que ocurra.
Distribuci&n "ormal Est)ndar o Ti%i-icada Es la que consta de tres propiedades, (% presenta forma de campana, <% -osee una media igual a ', C% tiene una desviación est"ndar igual a (. Se utili!a la curva para una distribución uniforme en una l*nea ori!ontal, para que de esta manera exista una correspondencia entre "rea y probabilidad.
Distribuci&n E%onencial Es la que se usa para lo que nos interesa saber acerca del tiempo en el que ocurre determinado evento, que pueda ocurrir desde cualquier instante dado asta que ello ocurra en un instante, como por e0emplo. El tiempo que pueda transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.
Distribuci&n *i uadrado Es la función matem"tica creada por el matem"tico Jarl -earson, lo cual consiste en un test que sirve para calcular si los resultados estad*sticos de un experimento se ale0an significativamente o no de los resultados esperados del modelo teórico.
1ambién puede encontrarse en e0emplos como Ki uadrado, usualmente utili!a variables aleatorias continuas. Este es un modelo ideal para l*mites probables, su fórmula es#
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