Fundamentos de Probabilidad Conjunto y técnicas de conteo
El conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Técnicas de conteo
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Técnicas de multiplicación
PRINCIPIO ADITIVO.
Implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas ara ser realizada. Se la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos.
Principio de
Permutación: un arreglos o posición de r objetos
permutación
seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes.
En una permutación, el orden de los objetos de PRINCIPIO
cada posible resultado es diferente. Si el or den de
ADITIVO.
los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.
Concepto clásico y como Frecuencia Relativa
El enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. La probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número de resultados posibles. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:
P (E)=
número de veces que el evento ocurrió en el pasado Numero total de observaciones Espacio Muestral y Eventos
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés .
Axiomas y Teoremas
Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.
Primer axioma: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0
p(A)
1
Segundo axioma: La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1. p () = 1
Tercer axioma: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes.
p(AB) = p(A) + p (B) Teoremas •
Teorema 1: Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero. p ()=0
Ejemplo: La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varón". Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5 •
Teorema 2: La probabilidad del complemento de A, A c debe ser, c
p (A )= 1 – p(A). •
Demostración: Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y A c luego =A Ac, por tanto p( )=p(A) + p(A c) y como en el axioma dos se afirma que p( )=1, por tanto, p(A c)= 1 - p(A) .LQQD Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".
•
•
Teorema 3: Si un evento A B, entonces la p(A)
p (B).
Demostración: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A (B \ A) y p (B)=p(A) +p (B \ A), luego entonces si p (B \ A) 0 entonces se cumple que p(A) p (B). LQQD Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
•
•
Teorema 4: La p( A \ B )= p(A) – p(AB) Demostración: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y A B,
por tanto, A=(A \ B) (AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(A B), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD •
•
Teorema 5: Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p (B) – p(AB). Demostración: Si A B = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p (B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AB), por tanto, p(A B) = p(A) + p (B) – p(AB). LQQD Probabilidad Clásica Espacio Finito Equiparable
Probabilidad clásica Sea E un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como: # A P ( A) (1) E # Donde:
#A - número de casos favorables #E - número de casos totales
Se supone que todos los elementos del espacio tienen la misma posibilidad de ocurrir
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila.
Calcular la probabilidad de A:
P ( A)
# A # E
E = {A, S} A = {A}
Ejemplo. Sea el experimento lanzar un dado
Sea A: Obtener el número 6.
A={6}
El espacio muestral (espacio equiprobable) E = {1, 2, 3, 4, 5,6} La probabilidad de obtener el número 6 es dada por
P ( A)
# A
# E
1
6
1 2
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES. Sea un espacio muestral que contiene n elementos, = a1 , a 2 , a3 ,....,an, si a cada uno de los elementos de le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener n elementos , entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, p cero, pi 0. 2. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1. pi = 1
En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable. equiprobable. Solo en el caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A evento A cualquiera, entonces; p(A) = r*1/n = r/n p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Número de elementos del espacio muestral
r = maneras de que ocurra el evento A 1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral n = número de elementos del espacio muestral
Probabilidad Condicional e Independencia
Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B. En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida por que el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionados Teorema de Bayes
El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información información.. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una
extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.
Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:
