Résumé de Cours

G ROUPES : Dé Défin finiti ition on..

: Ré Résu sulta ltatt de co cour urs. s.

G ROUPES

: Ré Résu sulta ltatt pr prat atiq ique ue..

: As Astu tuce ce..

Morphismes de groupes

Soit deux groupes (G, .) et (G , ?) d’éléments neutres re −→ → G une application. On spectifs eG et eG . Soit f : G − dit que f est un morphisme de groupes si pour tous x et y éléments de G:

• la loi ? est associative:

0

0

0

(x ? y ) ? z = x ? (y ? z) x ? e = e ? x = e

• Tout élément x de G admet un symétrique, c’està-dire ∀x ∈ G , ∃x ∈ G tel que x ? x = x ? x = e Si de plus ∀x, y ∈ G : x ? y = y ? x, on dit que la loi ? est 0

0

0

commutative, et que le groupe est abélien. Soit (G , ? ) et (G , ? ) deux groupes. En définissant dans G × G la loi ? par: 1

1

2

2

∀(a, b), (c,d ) ∈ G1 × G2 , ( a, b) ? (c, d) = ( a ?1 c, b ?2 d )

Alors (G × G , ?) est un groupe d’élément neutre (eG , eG ). Un tel groupe est appelé le groupe produit 1

• La composée de deux morphismes de groupes est

un morphisme de groupes;

groupe est un isomorphisme de groupes

2

1

1

Opérations de morphismes

• L’application réciproque d’un isomorphisme de

Groupe produit

2

Soit f : (G,. ) → (G , ?) un morphisme de groupes. Alors pour tout x, y ∈ G et n ∈ Z:

3.

f xy

⇐⇒

⇐⇒

6 = ∅ ; H 6 ∀x, y ∈ H : x.y ∈ H ; ∀x ∈ H : x−1 ∈ H

(x + y ∈ H ) (−x ∈ H )

∀x, y ∈ H : x.y

∈ H.

(x − y ∈ H )

Les sous-groupes de (Z, +)

Soit H un sous groupe de Z , alors il existe un unique = nZ entier n ∈ N tel que H =

1. Si G est infini, alors a et a teurs de < a >

2. il existe k ∈ N tel que ak = e .

I MAGE ET NOYAU

Sous-groupe engendré • L’intersection d’une famille non vide de sous-

groupes est un sous-groupe

• < S > l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant S ⊂ G est le plus petit sous-groupe de (G,. ), au sens de l’inclusion, contenant S , dit le

sous-groupe engendré par S

Exemple k

n

2π

• k engendre

⇐⇒ ⇒ n | k ak = e ⇐

•

ωk

.  Z

, + ⇐⇒ n ∧ k = 1 nZ

engendre (Un, ×) ⇐⇒ n ∧ k = 1

Si a ∈ G est d’ordre fini n et r ∈ Z, alors ◦ (ar ) =

Soit f : : ( G, .) → (G , .) un morph morphismede ismede group groupes. es. Alors 0

sous-groupe de G .

−1

0

un sous-groupe de G .

(H ) est

de Lagrange

Exemple

Pour tout k ∈

0

.

Z

, l’ordre de k dans

nZ



◦ k =

En particulier ({e }), le noyau de f , est un sous-groupe de G. On le note Ker(f ). 0

• f ( (G), l’image de f , est un sous-groupe de G . On le note Im (f )

T HÉORÈME DE L AGRANGE

n n∧r

n

.  Z

,+ nZ

Injectivité et surjectivté

Un morphisme de groupe f : ( G, .) → (G , ?) est 0

= {eG } 1. injectif si, et seulement, si Kerf = = G 2. surjective si, et seulement, si Imf =

0

Ordre et cardinal

Soit G un groupe fini. Alors: 1. Tout élément de G est d’ordre fini;

Groupe d’ordre premier

Si a est d’ordre n, alors • Le groupe < a > est de cardinal n et < a >:= e,a, · · · , a n−1



• < a > est isomorphe à

Corollaire

est

2. l’ordre de tout élément a de G divise l’ordre du groupe. C’est-à-dire a CardG = eG

n∧k

0

SOUS - GROUPES ENGENDRÉ

sont les seuls généra-

Z/nZ et de U [[00, n − 1] 1]]] et ω = e i Soit k ∈ [[

Générateurs de

| ak = e }

Ordre des itérés

Images de sous-groupes

−1

−1

2. Si G est cyclique, alors les générateurs de G sont 1]]] et r ∧ n = 1 exactement ar avec r ∈ [[0, n − 1]

et aussi l’unique entier n de N tel que l’on ait : ∀k ∈ Z,

• f

∗

,+ nZ

Soit G =< a > un groupe monogène

1. a est d’ordre fini;

N

Z

n

• Si H est un sous-groupe de G , alors f

Un sous-groupe d’un groupe est un groupe.

Générateurs d’un gr monogène

. 

∗

0

Théorème

• Si G est d’ordre n, il est isomorphe à

Si G est fini, son cardinal est appelé son ordre

min{k ∈ ◦(a) = min{

0

−1

Tout groupe monogène est abélien

• Si G est infini, il est isomorphe à Z

−1

• Si H est un sous-groupe de G , alors f (H ) est un

6 = ∅ ; H 6

Propriété

Ordre d’un groupe

= f (x) ? f ( (y )

4. f ((xn ) = f (x)n

Soit ( G, .) un groupe. Une partie H ⊂ G est un sousgroupe de G

 (

−1

le groupe est

Soit G =< a > un groupe monogène, alors

Dans ce cas

−1

−1

x >= G ,

eG le seul élément de G d’ordre 1

0

 

1. S’il existe x ∈ G tel que < dit monogène.

Classification

Exemple

∗

1. f ((eG) = e G

2. f (x ) = f (x)

Sous-groupe

est appelé l’ordre de a. On note alors ◦(a) = n

Les affirmations suivantes sont équivalentes :

0

Groupe monogène, groupe cyclique

2. Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.

• Si n = 0 , alors on dit que a est d’ordre infini

Caractérisation de l’ordre

Propriétés de morphismes

2

S OUS - GROUPE

Définition • Si n ∈ N , alors on dit que a est d’ordre fini et n

Si de plus f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme de groupes

: In Info form rmat atio ion n

G ROUPES MONOGÈNE , CYCLIQUE

(G, .) un groupe d’élément neutre eG et a ∈ G . L’application ϕ a : Z −→< a >,k 7−→ a k est un morphisme de groupes, il existe donc un unique n ∈ N tel que Kerϕa = n Z

∗

f (x.y) = f (x) ? f (y )

• G possède un élément neutre: ∃e ∈ G tel que

: At Atte tent ntio ion. n.

O RDRES

On appelle groupe un ensemble G muni d’une loi de composition interne ? vérifiant :

∀x ∈ G,

: Ex Exem emple ple cla class ssiq ique ue..

MORPHISMES DE GROUPES

Groupe

∀x,y,z ∈ G :

: Dé Déma marc rche he..

.  Z

Soit G un groupe fini d’ordre premier p . Alo Alors rs G est cyclique.



,+ nZ

Si a est d’ordre fini, alors ◦(a) = Card (< a >)

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R ÉDUCTION : Définition.

: Résultat de cours.

É LÉMENTS PROPRES

: Résultat pratique.

• Soit λ ∈ K. On dit que λ est valeur propre de u s’il existe x ∈ E \ {0} tel que u(x) = λx. • Soit x ∈ E . On dit que x est vecteur propre de u si x 6 = 0 et s’il existe λ ∈ K tel que u (x) = λx. • L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme est appelé le spectre de u et noté SpK (u). • Soit λ ∈ S p(u). E λ(u) = Ker (u − λ · IdE ) est un sev de E distinct de {0E } appelé le sous-espace

• On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme χA = det(X In − A). • On appelle polynôme caractéristique de u le polynôme χu = det(X IdE − u).

Endomorphisme induit F

k

(u − λ · IdE ) n’est pas injectif

(u − λ · IdE ) n’est pas surjectif (u − λ · IdE ) n’est pas bijectif ⇔ rg (u − λ · IdE ) < n ⇔ det(u − λ · IdE ) = 0 ⇔ ⇔

Éléments propres d’une matrice Les éléments propres d’une matrice A sont ceux de l’endomorphisme canoniquement associé uA :



M n,1 (K) X

F i tel

que ∀ i ∈ [[1, k ]], F i

i=1 k

est stable par u, alors χu =

Si E est de dimension finie n > 1, alors ⇔

M Y

−→ − 7 →

M n,1 (K) AX

On écrit A à la place de uA

χu

K

, χ u (λ) = 0 }

Définition

Soit u ∈ L (E ), soit A ∈ M n (K).

Un endomorphisme u ∈ L (E ) est dit nilpotent s’il existe p ∈ N tel que u p = 0 . Auquel cas le plus petit p vérifiant cette identité est appelé indice de nilpotence de u. Ce vocabulaire se transpose aux matrices

• On dit que u ∈ L(E ) est diagonalisable s’il existe une base B de E telle que M B (u) est diagonale. • On dit que A ∈ M n (K) est diagonalisable si elle

est semblable à une matrice diagonale.

La multiplicité d’une racine λ de χ u est appelée l’ordre de multiplicité de λ; elle est noté m (λ).

Dimensions de sep

k

3.

Soit P =

ai X i ∈ K[X ].

i=0 n

P (u) :=

ai ui

n

et P (A) :=

i=0

Propriété

X

ai Ai

Si A = Mat (u) alors P (A) = Mat (P ( u)). B

B

du morphisme d’évaluation P 7−→ P (u) est un idéal de K[X ]. On l’appelle l’idéal annulateur de u. K[X ] | P (u) = 0}

k

Φ

Φ

:



K[X ] → L (E ) P 7→ P (u)

et Ψ :

k

P i

(u) =

i=1



K[X ] → M n (K) P 7→ P (A)

et Ψ sont des morphismes d’algèbres.

Ker (P i (u))

Y

i=1

• KerΨ est l’idéal annulateur de A

i

• u est dite trigonalisable s’il existe une base B de E pour laquelle M B (u) est triangulaire supérieure. • M estdite trigonalisable si elleest semblable à une

matrice T triangulaire supérieure.

0

Les quatres affirmations sont équivalentes : χu est scindé.

1

..

.

(0)

..

.

..

.

1 0

(0)

  

∈ M n (K)

D ÉCOMPOSITION SPÉCTRALE Décomposition spéctrale Si

u est diagonalisable où E est de dim finie, avec Sp (u) = {λi , i ∈ [[1, k ]]}. Pour i ∈ [[1, k ]], E i = Ker (u − λi Id E ) et soit p i la projeck

tion de E sur E i de direction

M

E j .

j =1 j6 =i

Alors

k

u =

X

λi pi

i=1

et

k

∀P ∈

K[X ], P (u) =

X

P (λi ) pi

i=1

πu est scindé.

Corollaire

Ker (P i (u))

Si K = C, alors

i=1

1. Tout u ∈ L(E ) est trigonalisable.

Théorème de Cayley-Hamilton le polynôme caractéristique de , alors

  

Propriétés caractéristiques

4. E =

Tout matrice A ∈ M n (K) nilpotente d’indice n est sem blable à la matrice de Jordan

dim(E λ ) = n ;

3. u annule un polynôme scindé

P i un polynôme annulateur de u , alors k

• KerΦ est l’idéal annulateur de u

Une matrice A est nilpotente si, et seulement si, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte

Matrice de Jordan

T RIGONALISATION

2.

i=1

M

X

1. u est trigonalisable.

k

Si P =

;

Soit u ∈ L (E ), soit M ∈ M n (K).

Si P 1 , . . . , P k sont k polynômes deux à deux premiers entre eux, alors : Ker

i

Définition

On appelle polynôme minimal de u ∈ L (E ) (resp de A ∈ M n (K)) l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal des polynômes annulateurs.

Soit u ∈ L(E ), A ∈ M n (K). Soit

E λ

L’indice de nilpotence de u est inférieur ou égal n

Théorème

En particulier si χu est scindé à racines simples, alors u est diagonalisable.

ment de l’idéal annulateur.

Propriété

2. u est trigonalisable avec 0 pour seule valeur propre.

i

Polynôme annulateur

"Y ! # M

1. u est nilpotent;

i=1

Théorème de décomposition des noyaux

i=0

Soit u ∈ L(E ) où E est de dim finie n. On a équivalence entre :

5. χu est scindé et ∀i ∈ [[1, k ]], dim E λ = m i. 6. πu est scindé à racines simples. 7. u annule un poly scindé à racines simples.

1 6 dim E λ 6 m (λ)

Polynôme minimal

n

X X

M i=1

4.

Si λ est valeur propre de u d’ordre m (λ), alors

Même définition pour les matrices

Définition

E = k

• On appelle polynôme annulateur de u tout élé-

P OLYNÔME D ’ ENDOMORPHISME

Propriété caractéristique

Si A est diagonalisable en ∆ = P −1 AP , alors les valeurs propres sontles élémentsde la diagonalede ∆ etlamultiplicité de chacune est son nombre d’occurence dans cette diagonale.

1. u est diagonalisable. 2. E possède une base de vecteurs propres;

Ordre de multiplicité

• Le noyau { P ∈

Définition

Soit Sp (u) = { λ1 , · · · , λk }. Les affirmations suivantes sont équivalentes.

Spectre et polynôme caractéristique

: Information

E NDOMORPHISMES NILPOTENTS


F i

i=1

Sp (u) = {λ ∈

: Attention.

Propriété

Si F est stable par u , alors χu |χu . Plus généralement si E =

: Exemple classique.

D IAGONALISATION

Définition

propre de u associé à λ

Caractérisation en dim finie

: Démarche.

P OLYNÔME CARACTÉRISTIQUE E est de dimension finie

Éléments propres

λ ∈ Sp (u)

: Astuce.

( )=


L ES SÉRIES À VALEURSDANS UN EVNDE DIM FINIE : Définition.


C ONVERGENCE ET DIVERGENCE E un K-espcae vectoriel de dim finie et

X

un une série de E

un converge

si la suite de ses sommes

n>0

partielles (S n ) converge dans E , lalimite dela suite (S n ) +∞

est appelée somme de la série

X

un ,

un, notée

X

un .

n=0

n>0

Une série est dite divergente si elle ne converge pas

•

−−−−−→ 0

1. S’il existe

X X

Soit q ∈ C, alors la série géométrique

q n converge si,

et seulement, si |q | < 1. Auquel cas

1

nα

1

n

q =

n=0

1

− q

X

3. S’il

un est

1

un diverge

existe λ > 0 et α

• Si α

6

n

∞

un =

n=0

0 et Rn −−−−−→ +

uk + Rn

n→

k=0

∞

nα

◦ Si

Séries numériques coordonnées p

Soit β = (e1 , · · · , e p ) une base de E et un =

X

un,i ei le

◦ Si

i=1

terme général de la série

X

un converge

1

  nα

X

un .

Alors

X ⇐⇒ ∀ ∈ X X X ! i

[[1, p]],

En cas de convergence:

un,i converge

p

+∞

+∞

un =

n=0

un,i

i=1

ei

X X

u n+1 un

6

∈

R

X X

un =

= (un ),

◦

λ nα

un converge un diverge

Critère spécial des séries alternées

un diverge, alors la série

n>0

( 1) un unesérie alternée telleque (un ) décroît

vn diverge

et est de limite nulle, alors

X−

( 1) un converge et n

f (t) dt

+∞

un converge

un diverge

∀n ∈ N,

Règle de Raabe-Duhamel

Soit (un ) une suite de réels strictement positifs telle que un+1 =1 un λ

− αn + O

nβ

uk

vk

un diverge

0

k

Inégalité triangulaire

SÉRIE DE N EUMANN

X

un

est absolument convergente.

−1

mais on ne peut

=

X

un .

n=0

k 6 1 −1kuk .

F ONCTION EXPONENTIELLE Soit A une K-algèbre normée de dimension finie. L’application exponentielle

  √ n e

n

2πn

− f (n) converge. En conséquence

+∞

f (t) dt 6

n+1

Z

un

n=0

3. k (1A − u)

k=0

X

k=n+1

+∞

f (k) 6

Z

f (t) dt

n

n

n +1

∗

∀n ∈ N ,

n=0

−1

Cela peut donner un équivalent pour la suite des restes. En cas de divergence, un encadrement de la suite des sommes partielles

1

 

∞

2. 1 A −u estinversibledans A et (1A − u)

n

+∞

n>0

 X  k

un 6

+∞

vk

k=0

X

Z

un est

n>0

n>0

f (t)dt et la série f (n) sont de même l’intégrale 0 nature. En cas de convergence, un encadrement de la suite des restes

n>0

∗

Z Z n

+

X

uk = O

k=0

∼

n>0

∞

⇒) convergence X

absolument, alors la série

convergente et

k=0 n

Soit f : R+ → R+ une fonction décroissante continue par morceaux sur R+ . La série du terme général

n→+∞

∃(α, β ) ∈ R ×]1, +∞[,

k=0 n

n+1

−−−−−→ ` ∈ R

+

n>0

n!

un converge

1. La série

vk

Théorème: Comparaison série-intégrale

n>0

n

uk =

Formule de Stirling un converge

Si

Soit u ∈ A tel que k u k < 1

n

X ◦ X ! X X ! X ∼ X X

1. Si un = ◦ (vn ), alors

Dans le troisième cas

Convergence absolue

Série de Neumann

pas conclure la convergence dans les deux premiers cas

X X

3. Si ` = 1 on ne peut pas conclure.

n>0

vn est divergente

3. Si un ∼ vn , alors

X X X 

Soit A une K-algèbre normée de dimension finie.

n>0

Soit ( un ) une suite réelle gardant un signe constant, (−1)n un est dite alternée alors la série

X

On suppose que

X

n

n>0

X

un est absolument convergente

k=0

un+1 vn+1 6 un vn

n>0

n=0

X

Dans les trois cas

k=n+1

n>0

nα

∼

2. Si ` > 1, alors

Soit

ou

1

tels que : u n

vn converge, alors la série

1. Si 0 6 ` < 1, alors

k=n+1

vk

k=n+1

2. Si un = O (vn ), alors

Séries alternées

X−

de même

Critères de D’Alembert

Si

vk

+∞

uk

n

= O (un ) ou

1, alors la série

Si ∃N ∈ N, ∀ n > N, 0

+∞

uk = O

k=n+1

Comparaison logarithmique

X X

vk

k=n+1

n>0

un converge

• Si α > 1, alors la série

uk , et on a

+∞

uk =

Cas de divergence

k=n+1

∀n ∈ N,

vn sont

α > 1 tq un = O

, alors

alors

n>0 +∞

un et

+∞

k=n+1 +∞

vn diverge.

2. S’il existe α 6 1 tq

Reste d’une série convergente

Le reste d’ordre n d’une série convergente

alors

  X ◦ X

n>0

∞

défini par Rn :=

vn ,

X ◦ X ! X X ! X ∼ X +∞

X

On dit que la série un converge absolument si la série k un k est convergente.

vn est convergente

3. Si un ∼ vn , alors

C ONVERGENCE ABSOLUE Convergence absolue

2. Si un = O (vn ), alors

Règle de Riemann

n→+∞

Série géométrique

X

un diverge

2. Si u n ∼ nature

Condition nécessaire un converge, alors u n

n

X X X⇒ X

: Information

E désigne un K-espace vectoriel normé de dimension finie

un une série numérique.

1. Si un = ◦ (vn ), alors

un = sup S n

1. Si un = ◦(vn ) ou un = O (vn ) alors • vn converge ⇒ un converge.

X X

X X

vn une SATP et

On suppose que

Principes de comparaison

(un+1 − u n ) converge si, et La série télescopique seulement, si la suite (un ) est convergente.

n>0

X

+∞

n=0

: Attention.

Cas de convergence

la suite (S n) est majorée.

En cas de convergence

X

Si la série


n>0

Série télescopique

X

Soit

n>0

un converge

: Démarche.

SOMMATION DES RELATIONS DE COMPARAISON

vn deux séries à termes positifs.

Critère de majoration

Définition

On dit que

: Astuce.

X SXÉRIES À TERMES POSITIFS X ⇐⇒ X

n>0

n>0

X

Soit


f (t) dt 6

X

k=0

n

f (k) 6 f (0) +

Z 0

f (t) dt

Soit u ∈ A. Alors la série

X

n>0

un est absolument convergente. n!

L’application sur A définie par u 7→

+∞

X

n=0

un s’appelle n!

fonction exponentielle sur A et on la note exp. Propriété

Soient u, v ∈ A 1. exp(0A) = 1 A; 2. Si uv = vu alors exp(u + v ) = exp( u) exp(v ) 3. exp(u) est inversible d’inverse exp(−u)


la

L E S FA M I L LE S S O M M AB L E S : Définition.



: Astuce.

Soient I un ensemble dénombrable et ( xk )k familles numériques.

Ensemble au plus dénombrable

On dit que: • E est dénombrable s’il existe une bijection en tre E

et N.

, (yk )k∈I deux

∈I

• E est au plus dénombrable s’il est fini ou dénom-

La famille numérique ( xk )k I est dite sommable si la famille (|xk |)k I est sommable.

•

brable

Propriété

Soit (xk )k I une famille numérique sommable. On pose ∈

Opérations • Une partie de N est dénombrable si, et seulement

si, elle est infinie.

• Une partie d’un ensemble dénombrable est au

plus dénombrable.

• Un produit fini d’ensembles dénombrables est

, (yi )i∈I deux

Au quel cas, sup

Cas de I

i∈J

somme de la famille (xi )i I et on la note ∈

) X

Im (xk )

• Lasérie

∈

xn est

absolument convergente.

xn =

2. La non sommabilité de la famille (xi )i J entraîne la non sommabilité de (yi )i I ∈

∈

x

σ

(n) =

xk

∈

k∈I

∈

σ

(λxi + y i) = λ

X X xi +

k∈I

yi

k∈I

Sous-famille d’une famille sommable

Soit (xk )k I une famille sommable et J une partie dénombrable de I . Alors (xk )k J est sommable

n>0

∈

X

n=0

x

(n) =

σ

X i∈I

xi

XX XX XX

am,n

n=0 m=0

(m,n)∈N2

+∞ +∞

am,n

+∞

xi

n=0

=

i∈I n

n=0

Sommation par paquets

X X X X X ! X

∈I n

S n converge avec S n =

n>0

X

xi .

xi .

S n =

xi

=

=

On suppose que la série

xi

vn deux

séries numériques absol-

n>0

est absolument convergent et on a

p=0

+∞

+∞

n

u p vn− p

n=0

xn est absolument conver-

n>0

gente. Alors:

et

u p vn− p

N

X

un

n>0

n>0

i∈I

Cas particulier I

X X X X ! X X ! X ! X !

Si

n

i∈I

i∈I n

Produit de Cauchy

ument convergentes alors leur produit de Cauchy

+∞

3.

a p,q .

p+q=n (n,m)∈N2

P RODUIT DE C AUCHY

est sommable. i∈I n

1. Pour tout n ∈ N la famille ( xi)i I est sommable de somme S n . 2. La famille (S n )n N est sommable. ∈

n

p=0

=

+∞

un

×

n=0

vn

n=0

Propriété

Soit A une K-algèbrenormée dedimensionfinie eta, b ∈ A tels que ab = ba . Alors exp( a + b) = exp( a)exp(b)

∈

+∞

∈

+∞

=

am,n

=

xi =

i∈I

n=0

Soit (xk )k I , (yk )k I deux familles sommables et λ ∈ K. Alors la famille (xi + λyi )i I est sommable et

X

+∞ +∞

X

|xi |.

i∈I n

Ou encore:

k∈I

Opérations

∈

X

+∞

∈

Soit (xi )i I une famille de réels positifs indexée par une famille dénombrable I et σ : N −→ I une bijection, alors, la famille ( xi )i I est sommable si, et seulement si, la série x (n) est convergente. Auquel cas

T n est convergenteavec T n =

X X X !

n=0

+∞

∈

|a p,q | converge.

Alors: ( xi)i∈I est sommable et

2. La série

σ

n=0

converge.

Auquel cas :

∈

n>0

Au quel cas

|am,n | converge et la

p+q=n (p,q)∈N2

est sommable.

∈I n

1. Pour tout n ∈ N, la famille (xi )i

xn

Si σ : N −→ I une bijection, alors, (xk )k I est sommable si, et seulement, si x (n) est absolument conver-

i∈I

|am,n |

n>0

n=0

X X X

X

n=0

4. La série

Soit (xk )k I une famille numérique sommable. Alors :

+∞

∈

X X

Retour aux séries

X

X X ! XX

m>0

n>0

∈

1. Si la famille (yi)i I est sommable, alors (xi)i I est sommable et: xi 6 yi

série

S n

la famille (xi )i

N

converge.

m=0 n=0

n>0

Auquel cas

gente.

i∈I n

Critère suffisant de sommabilité • Pour tout n ∈

|am,n | converge et la

n>0

+∞

n=0

i∈I

|am,n |

3. Pour tout m ∈ N , la série

X

n>0

xi =

X

m=0

n>0

n

∈

Retour aux séries

∈

X

X X X n∈N

Soit (xi )i I et (yi )i I deuxfamillesde réelspositifstelles que ∀i ∈ I, xi 6 yi .

i∈I

∈

X X X

X X !

+∞

xi .

i∈I

série

1. Pour tout n ∈ N, la famille (xi )i I est sommable; 2. la série S n converge avec S n = xi

∈

s’appelle la

+∞

Une famille (xi)i I de réels positifs est sommable si, et seulement si, l’on a les deux assertions:

Soit (xi )i I une famille numérique. Si :

k∈I

est sommable. m>0

Sommation par paquets

N

ment, si la série

Critère de comparaison ∈

=

Re (xk ) + i

k∈I

X

∈N2

2. Pour tout n ∈ N , la série

Une suite numérique (xn )n N est sommable si, et seule-

xi 6 M

xi , J ⊂ I et J fini

x− k

k∈I

sommables. On définit la somme par xk :=

i∈J

(X

− x+ k

k∈I

X X

∈

1. La famille (am,n)(m,n)

I n = I.

Auquel cas:

∈I

On dit que la famille (xi )i I est sommable si

∈

+∞

• Dans le cas complexe alors les deux familles réelles (Re (uk ))k∈I et (Im (uk ))k∈I sont

k∈I

Soit (am,n )(m,n) N2 une suite numérique double. Les assertions suivantes sont équivalentes :

n∈N

. x− k

k∈I

xk :=

k∈I

∈

X

− x+ k

k∈I

Définition ∃M > 0, ∀J ⊂ I et J fini ,

= max(−xk , 0) x− k

X X X X X

étant la différence

est dénombrable

FAMILLES POSITIVES SOMMABLES

et

• Si la famille ( xk )k∈I est de réels , alors ( x+ ) et k k∈I (x− k )k∈I sont sommables. On définit la somme de la famille (xk )k∈I comme

• Une union dénombrable de parties dénombrables

[

I n ∩ I m = ∅ ;

Théorème

∈

= max(xk , 0) x+ k

dénombrable.

: Information

S UITES DOUBLES

∈

• ∀ n 6 = m,

∈

: Attention.

Soit I un ensemble dénombrable et ( I n )n N une famille de parties de I tels que:

Famille numérique sommable ∈


SOMMATION PAR PAQUETS

FAMILLES NUMÉRIQUES SOMMABLES

E NSEMBLES DÉNOMBRABLES Soit E un ensemble.

Soient I un ensemble dénombrable et ( xi)i familles de réels positifs (xi)i I

: Démarche.

3. On a

X XX X S n =

n∈N

xi =

n∈N i∈I n

n=0

xn .


F ONCTIONS VECTORIELLES D’ UNE VARIABLE RÉELLE : Définition.



D ÉRIVATION normés et de dimensions finies sur K et parfois ils sont euclidiens. I, J désignent des intervalles de R. Soit f : I −→ E , B = (e1 , · · · , e p ) une base de E et (f i )16i6 p les applications coordonnées de f dans la base B : f ( t) =

i=1

Dérivation • On dit que f admet une dérivée en a si f (x) − f (a) lim x→a x−a

Soit f : I −→ E et g : I −→ F deux fonctions de classe C 1 sur I et B : E × F −→ G . Alors pour tout a, b ∈ I , alors:

Soit f ∈ D (I, E ) et L ∈ L (E, F ). Alors L ◦ f ∈ D n (I, F ) et (L ◦ f )(n) = L ◦ f (n)

Z

Formule de Leibniz

Changement de variable

b

X

existe ∈ E

Dérivées succéssives

Soit f ∈ F (I, E ). On définit les dérivées successives de f , si elles existent, au moyen d’une récurrence • f (0) = f • Soit k ∈ N . Supposons avoir défini f (k) sur I , si 0 f (k) est dérivable sur I , on pose f (k+1) = f (k)

 

La fonction f , si elle existe, est appelée la dérivée ke`me de la fonction f . (k )

• L’ensemble des fonctions n-fois dérivable sur I se note Dn (I, E )

Tous les résultats précédents restent vrais si on remplace

Dn par C n ou C ∞

I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT Soit f : I −→ E cpm. Pour tout a, b ∈ I , on appelle intégrale de f de a à b le vecteur p

b

f (t) dt :=

a

b

f (b) − f (a) b−a

• tanh x = x −

Si f (a) = f (b) on retrouve le théorème de Rolle

b

b

• f est de classe C p sur [a, b[

a

f +

a

b

2. Relation de Chasles:

a

f

c

b

f

=

a

Formule de Taylor avec reste intégral

L ◦ f

n

(b − a)k (k) f (b) = f (a) + k! =0

a

Somme de Riemann

Fonctions coordonnées

Soit f : I −→ E de fonctions coordonnées f 1 , · · · , f p dans une base de E . On a équivalence entre: 1. f ∈ Dn (I, E )

i=1

(n)

f i

f a + k

k=0

b−a n



b

−−−−−→ n→+∞

Z

f

a

Soit f ∈ C pm (I, E ), a, b ∈ I tels que a 6 b alors:

p

X

X

Si de plus

Inégalité triangulaire

f i ∈ D n (I, K)

Auquel cas f (n) =

n−1

.ei

Mêmes résultats si on remplace Dn par C n ou par C

∞

Z

X   X k

Soit f ∈ C pm ([a, b], E ), alors b−a n

 Z

f 6

kf k

1 = 1 + x

 

f (b) −

f (n+1)

a

(b − t)n (n+1) (t)dt f n!

soit majorée sur I . Alors

 

n

k

b

Z

(b − a)k (k) f (a) k! =0

6

|b − a|n+1 sup kf (n+1) k (n + 1)! [a,b]

α(α − 1) · · · (α − k + 1) k x + k!

xk + ◦ (xn)

k=0 n

(−1)k xk + ◦ (xn )

k=0

X X X X X X

• ln(1 − x) = −

k=1

n

xk + ◦ (xn ) k

(−1)k−1

k=1

k

n

• arctan x =

(−1)k

k=0

Soient f ∈ C n+1 (I, E ). Alors pour tout a, b ∈ I

b

X

n

X X

F ORMULES DE TAYLOR

b

f +

a

1 = 1−x

• ln(1 + x) =

g

c

f =

2 x5 + ◦ x5 15

k=1

Alors f est de C p sur [a, b] et ∀k ∈ [[1, p]], f (k) (b) = ` k

a

+

3

n

• Pour tout k ∈ [[1, p]], f (k) a une limite `k en b

b

Z Z Z Z Z Z ! Z

(λf + g ) = λ

•

•

• f est continue sur [a, b];

Soient f, g ∈ C pm (I, E ), a,b,c ∈ I et λ ∈ K, alors:

Z

kf (b) − f (a)k 6 M | b − a| ∗

f

x 3

+ ◦ x2n+1

2 x5 + ◦ x5 15

◦ (xn )

Soit f une application de [a, b] dans E et p ∈ N tels que

Z

+

3

• (1 + x )α = 1 +

0

∀a, b ∈ I,

x 3

+ ◦ x2n

+ ◦ x2n

n

Soit f ∈ C 1 (I, E ) telle que k f k soit bornée sur I i.e. il existe M ∈ R+ tel que ∀t ∈ I, k f (t)k 6 M , alors

a

• C (I, E ) l’ensemble des fonctions de classe C

2. ∀i ∈ [[1, p]],

• tan x = x +

Propriété

∞

sur I

ei

x2k

(2k)!

Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [ a, b] et dérivablesur ]a, b[. Alorsil existec ∈]a, b[ telque f (c) =

Théorème de prolongement par dérivabilité

S’il n’y a pas de confusion l’intégrale se note

3. Si L ∈ L(E, F ), alors L

∞

!

n

• cosh x =

des accroissements finis

b

• C n (I, E ) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I

f i (t) dt

a

i=1

1. Linéarité:

• f est dite de C ∞ sur I ou f est lisse sur I si f est k-fois dérivable sur I pour tout k ∈ N

X Z

x2k+1

(2k + 1)!

k=0

0

Z

n

• sinh x =

0

(2k)!

k=0

ϕ0 (t)f ( ϕ(t)) dt

a

Inégalité des accroissements finis

Définition

• f est dite de C n sur I si f est n-fois dérivable sur I

et f (n) est continue sur I

f (t)dt =

ϕ(a)

x2k

(−1)k

• cos x =

b

Z

I NÉGALITÉ DES ACCROISSEMENT FINIS

0

0

k=0

+ ◦ x2n+1

         

(2k + 1)!

n

ϕ(b)

et a, b ∈ I . Alors:

x2k+1

(−1)k

• sin x =

k=0

Soit f ∈ D n(I, E ), ϕ ∈ Dn (J,I ). Alors (f ◦ϕ) ∈ D n (J, E )

que f est dérivable sur I et la fonction de I vers E qui à x associe f (x) est appelée dérivée de f sur I, on la note f

B (f (t), g 0(t))dt.

Soient ϕ de classe C 1 sur I à valeurs dans J , f ∈ C (J, E )

Z

xk + ◦ (xn ) k!

X X X X X k=0

a

C ni B (f (i) , g (n−i) )

Dérivation et composition

• Lorsque f est dérivable en tout point de I on dit

B (f 0(t), g (t))dt = [ B (f (t), g (t))]ba −

n

• ex =

n

b

Z

a

i=0

df Cette limite est noté f 0(a) on note aussi (a). dx

Les développements limités usuels en 0

Intégration par parties

B (f, g )(n) =

: Information

D ÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS EN 0

Soient n ∈ N, λ ∈ K et f, g ∈ Dn (I, E ). Alors λf + g ∈ Dn (I, R) et (λf + g )(n) = λf (n) + g (n)

Soit B : E × F −→ G une application bilinéaire, n ∈ N , f ∈ D n (I, E ) et g ∈ D n (I, F ). Alors B (f, g ) ∈ D n (I, G) et n

Soit f : I → E et a ∈ I .

: Attention.

Somme et multiplication par un scalaire

n

f i (t) ei


M ÉTHODES DE CALCUL

Propriété

p

∀t ∈ I,

: Démarche.

O PÉRATIONS

E , F , G sont

X

: Astuce.

n

x 2k+1 + ◦ x2n+1 2k + 1

x2k+1

• argtanh x =

k=0

2k + 1

n

• arcsin x =

xk + ◦ (xn )

       

+ ◦ x2n+1

(2k)! x2k+1 + ◦ x2n+1 k k !)2 2k + 1 (2 k=0 n

(−1)k

• argsinh x =

k=0

(2k)! x2k+1 + ◦ x2n+1 2 (2k k!) 2k + 1

Formule de Taylor-Young

Soit f : I → E une fonction de C n sur I et a ∈ I , alors f admet un DLn (a) donné par n

(

k

)


S UITES ET SÉRIES DE FONCTIONS : Définition.


CONTEXTE


: Astuce.

Théorème d’interversion des limi tes

A = I un intervalle de R. On note: ∀n ∈ N, S n =

f k

Si:

k=0

MODE DE CONVERGENCE POUR LES SUITES

 

On dit que (f n )n converge simplement sur A ssi pour tout x ∈ A la suite (f n (x)) converge dans F . On appelle limite de la suite (f n (x)), la fonction f ∈ F A définie par: ∀x ∈ A, f (x) = l im f n(x)

Si:

A

Alors:

Convergence simple

x→a

◦ f n −−→ f

 

• • •

La suite (bn ) converge ; f admet une limite en a; lim

x→a





lim f n(x) = l im

n→+∞

n→+∞





Si ∀n ∈ N, f n admet une limite bn en a ∈ A etla suite (bn ) diverge, alors (f n ) ne converge pas uniformément

n→+∞

T HÉORÈME D ’ INTERVERSION lim ET

Convergence uniforme • •

cvu

cvs

A

A

f n −−→ f ssi f n −−→ f et k f n − f kA −−−−−→ 0 ∞ cvu

f n −−→ f ssi ∃(εn) ∈ RN + de limite nulle vérifiant: A

∀x ∈ A,

Soit a ∈ A

k f n(x) − f (x) k 6 εn Si:

N

M ODES DE CONVERGENCE POUR LES SÉRIES Convergence simple, convergence absolue

X X X

f n converge simplement sur A si: ∀x ∈ A,

n>0

f n (x) converge

f n converge absolument si verge simplement sur A.

X

•

X

+∞

converge simplement sur A et

X

nécessaire:

Si

X

cvu

X

A

f n est bornée et la série numérique

La somme

•

X

+∞

lim

x→a

f n admet une limite en a;

n=0

f n (x) =

n=0

+∞

•

n→+∞

n

ET

◦ ∀n ∈ N, f n ∈ C ([a,b ], F ) ; ◦ f n CU sur [a,b ].

`n =

n=0

n=0

a

lim f n (x)

x→a

◦ ∀n ∈ N (ou à pcr) f n est continue sur A; cvu ◦ f n −−→ f sur tout compact inclus de E dans A.

( X

◦ ∀n ∈ N, f n ∈ C (A, F ); ◦ f n CU sur tout compact inclus dans A.

Alors: la somme

+∞

X

f n est continue sur A.

n=0

Remarque: Dans les deux théorèmes précédents, si A est un inter-

valle de

, on remplace compact inclus dans A par segment inclus

f n

n=0

∀k ∈ [[0, p]] ,

f n(k) CU sur tout segment ⊂ I ∞

 X  X  X X ! X

a

f n( p) CU sur tout segment ⊂ I.

◦ ∀ p > 1,

n>0

f n est de classe C ∞ sur I et on a :

n=0

( p)

+∞

∀ p ∈ N,

  (k)

( p)

CS sur I ;

Approximation par des fonctions en escalier

Toute fonction f : [a,b ] 7−→ F continue par morceaux sur [ a,b ] est limite uniforme d’une suite ( ϕn)n N de fonctions en escalier sur [a, b], c’est-à-dire

Alors:

∈

n→+∞

•

    (k )

∀k ∈ [[0, p]], f n

CU sur tout [a,b ] ⊂ I ; (k )

•

∀k ∈ [[0, p]],

lim f n

= l im f n n→+∞

Théorème de dérivation de la limite Si:

◦ ∀n ∈ N ( ou à pcr ) f n ∈ C ∞ (I, F ); ◦ La suite (f n ) CS sur I ;

  ( p)

◦ ∀ p > 1, f n

  

Alors:

n→+∞

Théorème de Stone Weierstrass

Toute application f : [a,b ] −→ C continue est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales

CU sur tout segment inclus dans I.

•

lim f n est de classe C ∞ sur I ;

•

∀k > 0, f n CU sur tout [a,b ] ⊂ I ;

•

∀k ∈ N,

n→+∞

a,b] kf − ϕn k[∞ −−−−−→ 0

(k )

n→+∞

f n( p) .

n=0

Soit a, b ∈ R tels que a 0

Alors la somme

f n(t)dt

RÉGULARITÉ DE LA LIMITE

       

=

+∞

!

b

n=0

+∞

X ! X X

n>0

converge et on a:

a

n=0

(k )

+∞

∀k ∈ [[0, p]] ,

◦ ∀n ∈ N,f n ∈ C ∞ (I, F ); ◦ f n converge simplement sur I ;

b

+∞

•

Si:

n=0

+∞

f n ∈ C p(I, F );

Théorème de dérivation terme à terme: C

f n est continue;

f n

•

P R

et

n>0

f n( p) CU sur tout segment inclus dans I.

n=0

P R

( X  X  X Z !  Z X ! X Z la série

•

lim f n(t) dt

a n→+∞

a

X

+∞

b

f n (t) dt =

f n (t) dt =

Alors: f est continue sur A.

kf nk∞ converge.

f n converge normalement sur A si, et seulement, si N • ∃ (an) ∈ R+ / ∀n ∈ N, ∀x ∈ A : kf n (x)k 6 an

a

b

lim

Alors

converge;

f n

   X  X    

n>0

b

b

+∞

X X

Si:

Propriété caractéristique de la CN

Z ! Z Z

◦ La suite (f n ) CU sur tout [a,b ] ⊂ I.

(

f n converge normalement sur A si pour tout n ∈ N ,

X

La suite

n>0

+∞

•

Soit p > 1. Si

◦

∗

Convergence normale

P( X

n>0

Théorème de la continuité de la somme

A

•

•

f n converge unifor-

−→ 0. mément vers f , alors f n −cvu

lim f n est continue sur [a,b ];

Alors:

`n converge;

C ONTINUITÉ : L IMITE ET SOMME

f n

f k −−→ 0

k=n+1

X

X X

Si:

f n converge uniformément sur A ssi

• Condition

x→a

La série

Théorème de dérivation terme à terme: C p ◦ ∀n ∈ N,f n ∈ C p (I, F ); ◦ ∀k ∈ [[0, p − 1]] , f n(k) CS sur I ;

∞

Théorème de la continuité de la limite

Convergence uniforme

RÉGULARITÉ DE LA SOMME

Théorème de dérivation de la limite

k f n kF con-

CA ⇒ CS

•

•

Le théorème s’applique aussi en +∞ ( resp −∞) lorsque A est du type [a, +∞[ (resp ]−∞, a])

n>0

•

Si:

n>0

Alors:

  

Théorème d’interversion

f n converge uniformément sur A;

•

R

◦ ∀n ∈ N ( ou à pcr) f n ∈ C ([a,b ], F ); ◦ (f n ) converge uniformément sur [a,b ]

T HÉORÈME D ’ INTERVERSION

◦ ∀n ∈ N, f n (x) −−−→ `n ∈ F

→ 0, Si f n −−→ f et ∃(xn ) ∈ A tq (f n (xn) − f (xn )) 6 A alors f n ne converge pas uniformément vers f sur A

•

 X      ◦

La non convergence uniforme cvs

P

Théorème d’interversion limite-somme

n→+∞

: Information

(

Alors:

lim f n (x)

x→a

: Attention.

Soit (f n ) une suite de fonctions de [a,b ] dans F .

◦ ∀n ∈ N, lim f n (x) existe et vaut bn ∈ F ; cvu

Z

Théorème d’nterversion lim et

Soit a ∈ A.

n

X


T HÉORÈME D ’ INTERVERSION lim ET

T HÉORÈME D ’ INTERVERSION DES LIMITES

(f n)n∈N est une suite de fonctions définies sur A à valeurs dans F où A ⊂ E avec E et F sont de K -espaces vectoriels normés de dimensions finies. Le plus souvent, E = F = R et

: Démarche.

(k )



(k)

lim f n



= l im f n(k)


S ÉRIES ENTIÈRES : Définition.



Définition

Critère de comparaison

Soit (an ) ∈ CN . On appelle série entière associée à la suite (an ) la série an zn . de fonctions

Soient

X

an zn .

an zn est l’ensemble D

:=

{z

∈

n>0

C/

lim

n→+∞

anz converge} n



• L’application S : D −→ C , z 7−→

X

an zn est ap-

n=0

pelée la somme de la série

X

n>0

verge absolument

X

X

an zn et

l’élément de R+ ∪ {+∞} défini par

= s up{r ∈

R

R

+

/

sn zn et

X X

X

an

k bk

−

.

+∞

X X

•

+∞

snz n =

n=0

•

n>0

pn z =

n=0

an zn une série entière de rayon de convergence

+∞

anz

bn zn .

×

n=0

n=0

Série dérivée

Soit

X

• La série entière converge normalement sur tout disque fermé Df (0, R1 ) avec 0 < R 1 < R ;

X

• f : z 7→

anz est continue sur D(0,R ). n

n=0

X

dérivée de

Soit p ∈ N,

>0

an R CA, alors n

Rc

an z

>0

an z CN sur Df (0,R ). n

+∞

+∞

(−1)n

• argtanh x =

n=0

f est DSE en 0 m

x2n+1 2n + 1

x 2n+1 2n + 1 vraie aussi pour x = ±1 +∞

k=0

f (k)(0) k x k!

vraie pour x = 1

(−1)n

α

X

n

+∞

• (1 + x) = 1 + n

n

1x

−

n=0

∞

f (x) −

vraie pour x = − 1

+∞

• arctan x =

Si f existe de classe C au voisinage de 0. Alors

n→+∞

xn n n=1

X X X X

• ln(1 − x) = −

n=1

Proprieté caractéristique

∃r > 0, ∀x ∈ ] − r,r [, lim

(−1)n xn

n=0

!

X

n=1

= 0.

α(α −

1) . . . (α − n + 1) n x n!

+∞

• arcsin x =

1 × 3 × .. . × (2n − 1) x2n+1 2 × 4 × . . . × 2n (2n + 1) n=0

X

Méthode pratique

X   X    n

1 = 1 + x

xn

n=0

+∞



R=1

+∞

X X

an xn .

Auquel cas les primitives et les dérivées successives de f sont DSE en 0

an z n

n>0

n>0

X

est de rayon de convergence R et dite série

X

•

1 = 1−x

• ln(1 + x) =

• On dit que f est développable en série entière en 0 s’il existe r > 0 tel que f soit développable en série entière sur ] − r,r [ .

n>1

+∞

X

1

−

C

+∞

an zn une série entière de rayon R . La série

nan zn

•

an xn de rayon de convergence R > r telle que

n>0

• Lasérie entière converge absolumentsur ledisque de convergence D(0, R) = {z ∈ C/ |z| < R} ;

x2n+1 (2n + 1)! n=0

n=0

n=0

n

f (n) (0) n x n! =0 n

X

• Soit r > 0. On dit que f est développable en série entière sur ] − r,r [ s’il existe une série entière

∀x ∈ ] − r,r [, f (x) =

bn z n ;

+∞

n

• sinh x =

Pour tous x ∈ ] − 1, 1[ et α ∈ R:

I et f : I → Soit I un intervalle tel que 0 ∈ ˚

X

x2n (2n)!

Rayon de convergence

f (n)(0) et ainsi n!

+∞

n=0

+∞

p

−

n>0

X X X ! X ! an zn +

+∞

n=0

+∞

n! an xn (n − p)! n= p

X

f ( p) (x) =

Fonction développable en série entière

X

x2n+1 (2n + 1)!

• cosh x =

+∞

n>0

(−1)n

n=0

∞

∀x ∈ ] − R,R [, f (x) =

3. on pose R = min(Ra , Rb). ∀ z ∈ D(0, R),

an rn CA }

n>0

• sin x =

vergence R et de somme f . Alors f ∈ C (] − R, R[, K):

pnz n respec-

x2n (2n)!

+∞

an xn une série entière réelle de rayon de con-

En particulier an =

(−1)n

n=0

C

n>0

2. si Ra 6= Rb, alors Rs = min(Ra , Rb ) ;

an rn CS }

Convergence d’une série entière

X

X

1. R s > min(Ra , Rb), R p > min(Ra , Rb) ;

n>0

= s up{r ∈

X

Soit R s et R p les rayons de convergence de ces deux dernières. Alors

n→+∞

/

bn zn de rayons de convergences

n>0

+

+

Soit

tivement somme et produit de Cauchy des deux séries

/ (anrn )n est bornée } + n R / a nr −−−−−→ 0} R

X

n>0

n

an zn est

x où k ∈ n + 1

+∞

respectifs Ra et Rb et soient

n>0

R = s up{r ∈ = s up{r ∈

0

k=0

Le rayon de convergence de la série

an

zn n! n=0

+∞

• cos x =

Régularité et coefficients

précédentesi.e. ∀n ∈ N, sn = an +bn et pn =


X

n=0

∀x ∈ ] − R,R [, ∀ p ∈ N,

n>0

?

an x . n

n+1

Somme et produit

Soient

Soit r ∈ R + tel que (anr n)n soit une suite bornée avec (an )n ∈ CN . Alors ∀ z ∈ B (0C , r), la série an zn con-

• Si

x 7→ k +

Alors le rayon de convergence de la série entière 1 1 an zn est R = . Avec la convention = +∞ et

Lemme d’Abel

R.

+∞

X

X X X X X

• exp(z) =

+∞

+∞

`

Pour tous z ∈ C et x ∈ R :

n=0



R = +∞


an xn une série entière réelle de rayon de con-

Alors les primitives de f sur ] − R,R [ s’écrivent

1 = 0. +∞

+∞

Soit

X

vergence R et de somme f : x ∈ ]−R,R [ 7−→

an+1 = ` ∈ R. an

n>0

: Information

D ÉVELOPPEMENTS USUELS

n>0

n>0

• si an ∼ b n , alors Ra = Rb .

X

n>0

X

Soit

Si ( an ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang et

• Le domaine de convergence de la série en-

: Attention.

Primitive

bnz n de rayons respectifs R a et

Critère de D’Alembert

n>0

X X

X

an z n et


CAS DES SÉRIES RÉELLES

• si an = O(bn ) ou an = o(bn ), alors Ra > Rb ;

• Les nombres an s’appellent coefficients de la série

tière

X

n>0

Rb .

n>0

entière

: Démarche.

C ALCUL DE RAYON

S ÉRIES ENTIÈRES ET CONVERGENCE

X

: Astuce.

= Rc

n>0

p

n an z

n

 X     = Rc

an n z n p 1

n>

Pour montrer que lim

n→+∞



!

n

f (x) −

f (k) (0) k x = 0, k! =0

X k

on utilise l’inégalité de Taylor-Lagrange



n

X

f (k) (0)

k



|x|

n+1



( +1)




C ALCUL DIFFÉRENTIEL : Définition.


CONTEXTE Somme

D ÉRIVÉES PARTIELLES ET DIFFÉRENTIELLES

Soient f :

Dérivée selon un vecteur On dit que f admet une dérivée en a suivant h ∈ E \ f (a + th) − f (a) t

existe ou encore si ϕ : t 7−→ f (a + th ) est dérivable en 0 . Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée de f en a suivant h et on la note ϕ (0) = Dh f (a). t→0

0

Dérivées partielles • On appelle dérivées partielles de f en a les

dérivées, lorsqu’elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1 , . . . , en. ∂ f • La dérivée en a selon ei se note Di f (a) ou (a). ∂ xi

∂ f (x) s’appelle la i-ème application dérivée ∂ xi ∂ f partielle de f sur U . On la note . ∂ xi

• x 7→

Différentielle en un point On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire ` de E vers F et ε une application de E dans F continue et nulle en 0 telles que ∀h ∈ E tel que a + h ∈ U : f (a + h)

: Astuce.

O PÉRATIONS

Soient E , F , G et H des R -espaces vectoriels de dimensions finies non nulles. On pose dimE = n et dimF = p. Soient U ⊂ E et V ⊂ F deux ouverts nonvide, a ∈ U , f : U → F , B = ( e1 , . . . , en ) une base de E et C = ( ε1 , . . . , ε p) une base de F .

{0} si lim


Composition par application bilinéaire

U ⊂ E −→ F , g : U ⊂ E −→ G et B : F × G −→ H bilinéaire. Si f et g sont différentiables en a alors B (f, g ) l’est aussi et dB (f, g )a = B (df a , g(a)) + B (f (a), dga) Si de plus F est une algèbre normée alors pour f , g : U ⊂ E −→ F différentiables en a , alors fg est différentiable en a et on a: ∀ h ∈ E , d(fg )a (h) = d f a(h)g(a) + f (a)dga (h)

Soit f : U → F différentiable en a, V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G différentiable en f (a). Alors g ◦ f est différentiableen a e t o n a d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦df a .

Fonctions composantes

Soit f : U ⊂ E −→ F . Alors, f est différentiable si, et seulement si, les fonctions coordonnées de f dans une base de F le sont.

1. f est différentiable en a ⇒ f est continue en a. 2. f est différentiable en a ⇒ f est dérivable en a selon tout vecteur et: ∀h ∈ E \ {0}, df a (h) = Dh f (a). 3. Si E = R. L’application f est différentiable en a si, et seulement, si f est dérivable en a. Auquel cas, ∀h ∈ R , df a(h) = hf (a). 4. Si f est différentiable en a alors les dérivées par∗

tielles de f en a existent et on a ∀h =

X

hi ei ∈ E ,

i=1

n

df a(h) = Dh f (a) =

f 1 , · ·· , f p les ∂ fi (a) 6i6n ∂ xj



X i=1

hi

∂ f (a) ∂ xi

Différentielle On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U et l’application df : x ∈ U 7→

coordonnées de

f :

Jf (a)

=

La notion de fonction de classe C k ne dépend pas du choix de la base B .

Somme

Soit k ∈ N ∪ {∞}. Soiet f, g : U ⊂ E −→ F et λ, µ ∈ R. Si f et g sont de classe C k alors λf + µg est de classe C k et ∗

∂ (λf + µg) ∂ f ∂ g = λ + µ ∂ xi ∂ xi ∂ xi

Soient f : U → F et g : V → G de classe telles que f (U ) ⊂ V . Si f est différentiable en a et g est différentiable en f (a). On a Jg f (a) = Jg (f(a)) × Jf (a) C 1

◦

GRADIENT scalaire

X

∂ 2 f 1 (a)+◦ khk2 . hi hj ∂ xi∂ xj 2 i,j=1

 

APPLICATIONS AUX EXTRÉMUMS Caractérisation de points critiques Si f : U ⊂ E −→ R de classe C 1 et a ∈ U . Alors a est point critique de f ⇐⇒ ∀i ∈ [[1,n ]],

∂ f (a) = 0 ∂ xi

Extrémums en dimension 2

Composition par une application bilinéaire

Soit f : U ⊂ R2 −→ R de classe C 2 et a critique de f . On

Soit k ∈ N ∪ {∞}. Soit f : U ⊂ E −→ F, g : U ⊂ E −→ G et B : F × G −→ H bilinéaire. Si f et g sont de classe C k alors B (f, g) l’est aussi et

note r =

∗

∂ B (f, g) = B ∂ xi

    ∂ f , g + B ∂ xi

∂ g f, ∂ xi

Lien avec les composantes Soit f : U ⊂ E −→ F . Alors f est de classe C k sur U ssi ses fonctions composantes sont de classe C k sur U Soit f : U ⊂ E −→ F et g : V ⊂ F −→ G deux fonctions de C k telles que f (U ) ⊂ V , alors g ◦ f est de C k et ∀a ∈ U

16j6p

Propriété

E désigne un

n

f (a+h) = f (a)+df a (h)+

• C ∞ sur U si ∀k ∈ N∗ , f est C k sur U .

∀ j ∈ [[1, n]] ,

1

0

n

> 1 ) sur U si ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues sur U .

Règle de la chaine

Jf (a) = Mat (df a) ∈ M p,n (R) B,C

Propriété

• C k ( k

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f (a,b ), s = (a,b ) et t = (a,b ). ∂ x2 ∂ y∂ x ∂ y2

1. Si s2 − rt < 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a. 2. Si s2 − rt < 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a. 3. Si s 2 − rt > 0 alors a n’est pas un extrémum (On dit aussi a est un point col ou selle de f ) 4. Si s2 − rt = 0 , on ne peut pas conclure

g

On appelle matrice jacobienne relative aux bases B et C d’une application f : U ⊂ E −→ F différentiable en a ∈ U la matrice de l’application linéaire df a relative aux bases B et C

Si

D ÉVELOPPEMENT DE TAYLOR D ’ ORDRE 2 Soit f ∈ C 2 (U ). Alors ∀h ∈ E tel que a + h ∈ U on a :

Si f ∈ C k(U,F ) et g ∈ C k(U, K), alors gf ∈ C k(U,F ). Si f de plus g ne s’annule pas sur U alors est de classe C k

Définition

: Information

Propriété

On dit que f est de classe :

Propriété

MATRICE J ACOBIENNE



: Attention.

Définition

Composition de deux fonctions vectorielles

= f (a) + `(h) + k h k ε(h)


F ONCTIONS DE CLASSE C k

Soit f, g : U → F différentiables en a . Alors : ∀λ ∈ R, λf + g est différentiable en a et on a: d (λf + g )a = λdf a + dga

h→0E

L’application ` est unique, appelée la différentielle de f en a et notée df a . On écrit o(k h k) pour k h k ε(h).

: Démarche.

Si f : U ⊂ E −→ R est une application de classe C 1 alors pour tout a ∈ U , il existe un unique vecteur dans E noté ∇f (a) et appelégradientde f en a vérifiant ∀h ∈ Dh f (a) = ( ∇f (a)|h) De plus, si B = ( e1, · ·· , en ) est une BON de E alors ∂ f

i=1

∂ fi ∂ g (a). (f (a)) ∂ xj ∂ yi

Formule d’intégration Soit f : U ⊂ E −→ F une application de classe C 1 et γ : [0, 1] −→ E est un arc de classe C 1 inscrit dans U d’extrémités a = γ (0) et b = γ (1) alors

Z

1

f (b) − f (a) =

df γ (t) (γ 0(t)) d t

0

En particulier si U est un ouvert connexe par arcs alors f est constante si, et seulement si, df = 0

Théorème de Schwar z Soit f ∈

C 2

e

(U,F ). Alors :

E,

n

p

X

avec f 1 , · · · , f p les fonctions coordonnées de f .

espace euclidien dont on note ( .|.) le produit

Gradient

∂ (g ◦ f ) (a) = ∂ xj

∀i, j ∈ [[1, n]]2 ,

∂ 2 f ∂ 2 f = . ∂ xi ∂ xj ∂ xj ∂ xi

É QUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES I et J deux intervalles de R

Équation d’ordre 1 Soit f : I × J −→ R une fonction de classe C 1 telle que ∂ f ( x,y ) = 0 . Alors ∂ x

f : ( x,y ) 7−→ C (y)

avec C ∈ C 1 (J, R)

Équation d’ordre 2 Soit f : I × J −→ R une fonction de classe C 2 telle que ∂ 2 f ( x,y ) = 0 . ∂ x2

Alors

f : ( x,y ) 7−→ xC (y) + D(y)

avec C, D ∈ C 2 (J, R)

Équation d’ordre 2 Soit f : I × J −→ R une fonction de classe C 2 telle que ∂ 2 f ( x, y) = 0 . ∂ x∂ y

Alors

f : (x, y) 7−→ C (x) + D(y)

avec C ∈ C 2 (I, R) et D ∈ C 2 (J, R)


I NTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE : Définition.


I NTÉGRALES IMPROPRES b

pose

f (t)dt

f : [ a, b[→

b

Z

x

f (t)dt = lim

x→b−

a

f (t)dt

3. Si f (t) ∼ g (t) alors b même nature

cpm.

b

a

Z

f (t)dt convergent. En cas de

c

c

f (t)dt :=

a

Z

y

Z

f (t)dt = lim x a →

c

f (t)dt.

x

y→b

 1 tq f (x) = O +∞

1 x

α

f :]0 , a]

• Si ∃α > 1 tq

b

x x

f (t)dt ∼ b

g(t)dt

a

R+

cpm sur [a, +∞[

1

+∞

  Z Z

K

cpm. On dit que l’intégrale

Soit f : R + f (t)dt con-

verge absolument ou f est intégrable sur I ssi converge

1 x

α

, alors

x

α

f (t)dt CV

a

+∞

f (t)dt DIV

a

→ R+

cpm ]0, a] 1

Z

|f (t)|dt

I

Cas d’intervalle borné

, alors

x

α

a

R+

P Z Z

. Alors

f (t)dt CV

0

f (t)dt DIV

séquence

+∞

f (t) dt − f (n) converge.

f (t)dt et

X

f (n) sont de même nature.

n>0

C ALCUL DES INTÉGRALES

CA ⇒ CV I

Semi-convergence

On dit qu’une intégrale est semi-convergente si elle est convergente sans qu’elle soit absolument convergente L’intégrale de Dirichlet +∞

Z

sin x

dx est semi-convergente.

suite

Z 

converge et

f n

I

Z

f n −−−−−→

I

n∈N

→

Z

I une

bijection de

f (ϕ(x)) |ϕ0 (x)| dx et

J

f (t)dt sont de même nature. Si elles convergent elles

I

sont égales

Z

f

Soit u, v : I → R deux applications de classe C 1 sur I telles que u.v admette des limites finies aux extrémités de a et b de I . b b Alors les deux intégrales u (t)v(t)dt et u(t)v (t)dt a a sontde mêmenature. En casde convergence, ona alors:

Z

b 0

Z

0

b

( ) ( )dt = [ ( ) ( )]

b

Z

0

7−→

Convergence dominée pour les séries

Soit (f n )n N une suite de fonctions telle que:

Alors F : x 7−→

∈

• La série

( ) ( )dt

0

f (x, t)dt est de classe C 1

sur J et

(Formule de Leibniz)

n

f n =

n=0

f n

I

Soit n ∈ N et f : J × I → K une fonction admettant des ∂ f ∂ n f dérivées partielles , ·· · , n tels que: ∗

∂ x

∂ x

∈ J , l’application t 7−→ ∂ i f (x, t) est cpm et intégrable sur I ; ∂ xi ∂ n f • qui est continue par rapport à la première ∂ xn

•

[[0, n − 1]] et ∀ x

∀i ∈

variable et cpm par rapport à la seconde

CONTINUITÉ PAR DOMINATION LOCALE

• Pour tout [ a, b] ⊂ J , il existe ϕ n ∈ C m (I, R+ ) inté-

grable telle que:

Propriété

Soit f :

 

∂ f (x, t) 6 ϕ(t) ∂ x

Classe C

+∞

Z X X Z

Si la domination dans le cas des séries n’est pas accessible vous pouvez utiliser le TCVD appliqué à la suite des sommes partielles.



 

ϕ ne dépend pas de x +∞

Alors f est intégrable sur I et on a:

Z Z

∂ f 0 ∀x ∈ J, F (x) = (x,t )dt I ∂ x

|f n | converge.

I

n>0

[a, b] × I,

I

• ∀n ∈ N, f n : I −→ K est cpm et intégrable sur I ; • La série f n cvs sur I de somme f cpm sur I ;

X X Z

f (x,t ) est cpm et intégrable sur I ; ∂ f qui est ∂ x

∀(x, t) ∈

I

A × I → K (x, t) 7→ f (x, t)

•

∀t ∈

I , x 7−→ f (x, t) est continue sur A;

•

∀x ∈

A, t

7−→

∀(x,t ) ∈

où A ⊂ Rn telle que:

Alors F : x 7−→

∀(x, t) ∈

∀k ∈

Z

ϕ ne dépend pas de x

Lorsque A intervallede R, onremplace K par [a, b] Dans la troisième assertion, on peut remplacer K par A et obtenir une domination globale Cas d’un segment I = [a, b]

Soit f : A × [a, b] −→ K une fonction continue.



∂ n f (x, t) 6 ϕn (t) ∂ xn



f (x, t)dt est de classe C n

[[1, n]] , ∀ x ∈ J,

F (k) (x) =

Z I

sur J et

∂ k f (x, t)dt ∂ xk

ϕn ne dépend pas de x

K × I, | f (x, t)| 6 ϕ(t)

Alors ∀x ∈ A, la fonction t 7−→ f (x,t ) est intégrable sur I et F : x ∈ A 7−→ f (x,t )dt est continue sur A

Z

[a, b] × I,

I

f (x,t ) est cpm sur I ;

I

Intégration par parties

Z

n→+∞

• Pour tout compact K contenu dans A, il existe ϕ ∈ C m (I, R+ ) intégrable telle que

Changement de variable

Z

f (t)dt

En con-

n

Soit f : I → R cpm et ϕ : J classe C 1 sur J vers I . Alors

cpm et intégrable sur I , alors

Alors les applications f n et f sont intégrables sur I , la

0

Soit f : I → K cpm et bornée sur I et si l’intervalle I est borné, alors f est intégrable sur I

Z

[hypothèse de domination]

I n=0

une fonction décroissante cpm sur

0

Soit f : I → K et g : I → R , continues par morceaux I . Si | f | 6 g et si g intégrable sur I , alors f est intégrable sur I

ϕ

Astuce

a

  Z Z

= O (f (x)) alors

0+

→ R+ n+1

Critère de domination

K

continuepar rapportà lapremièrevariable etcpm par rapport à la seconde • Pour tout [a, b] contenu dans J il existe ϕ ∈ C m(I, R+ ) intégrable telle que

∀n ∈ N, | f n | 6

J , t

n>0

Théorème:Comparaison série intégrale

Z I

L’intégrale

g(t)dt

∼

une fonction telle que:

K

• il existe ϕ ∈ C m (I, R+ ) intégrable telle que

∀x ∈

• f admet sur J × I une dérivée partielle

I

Règle de Riemann en 0

0

Définition

Si f : I → converge

f (t)dt

= O (f (x)) , alors

+∞

• Si ∃α < 1 tq f (x) =+ O

I NTÉGRABILITÉ

b

Règle de Riemann en + ∞

Soit a > 0

a

Soit f : I →

b

a

• Si ∃α 6 1 tq

b

Z

f (t)dt sont de

a

• En cas de divergence, on a

Fausses intégrales généralisées

Soit a

b

a

Soit f : J × I →

R

•

x

x x

Soit a ∈ R b

f (t)dt +

g (t)dt

b

g (t)dt et

b

impropres f (t)dt et a convergence:

b

f (t)dt = O

• Encas deconvergence, on a

b

Z

Z

b

x

b

−→ K

Soit f :] a, b[−→ K cpm. On dit que l’intégrale f (t)dt a converge s’il existe c ∈ ]a, b[ tel que les deux intégrales

Z

alors

RÉGULARITÉ PAR DOMINATION LOCALE Dérivation sous le signe

∈

g (t)dt converge

: Information

• ∀n ∈ N, f n : I −→ K est cpm; cvs • f n −−→ f et f : I −→ K cpm sur I ;

2. Même résultat avec petit o;

a

Intégrales deux fois impropres

Z

et

f (t)dt converge et

: Attention.

Soit (f n )n N une suite de fonctions telle que:

sont cpm sur [a, b[. a

a

On a une notion similaire avec f :] a, b]

c

O(g (t))


Convergence dominée pour les suites

Z Z ! Z Z Z Z Z Z Z

b

a

Z

et

1. Si f (t) =

f (t)dt existe dans K. Dans ce cas on

b

K

g : [ a, b[→ R+

b

a

x

x→b x
Z

: Démarche.

L E THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE

Critère de comparaison

Soit f : [ a, b[−→ K cpm. Ondit quel’intégrale converge si lim

: Astuce.

C RITÈRES DE COMPARAISON

Intégrale impropre

Z Z


Gamma d’Euler +∞

x

7−→

Z 0

tx−1 e−t dt est de classe C ∞ sur R∗+

Cas d’un segment I = [a, b]

Soit f : J × [a, b] −→ K de classe C n sur J × [a, b]. b

Alors F : x ∈ J 7−→

Z

f (x, t)dt est de classe C n

a


sur J

E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS : Définition.


P RODUIT SCALAIRE


ORTHOGONALITÉ

E désigne un R-espace vectoriel

Définition

Définition

On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ : E × E → R vérifiant 1. ϕ est bilinéaire 2. ϕ estsymétriquei.e. ∀x, y ∈ E, ϕ(x, y) = ϕ (y, x) 3. ϕ est positive i.e. ∀x ∈ E, ϕ(x,x ) > 0 4. ϕ est définie i.e. ∀x ∈ E, ϕ(x,x ) = 0 ⇒ x = 0 . On dit qu’un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est dit espace préhilbertien Norme euclidienne

Soit E un espace préhilbertien.p L’application k . k : x ∈ E 7−→ < x |x > est une norme sur E dite norme euclidienne Exemple

La famille (xi)i∈I de vecteurs de E est dite • orthogonale si ∀i, j ∈ I, i 6 = j ⇒ < x i , xj > = 0 . • orthonormale si ∀i, j ∈ I,< xi , xj > = δ ij . Propriété

• Unefamille orthogonalesans vecteur nul estlibre. • Toute famille orthonormale est libre. • Tout espace euclidien, non nul, admet une base

orthonormale (En abréviation BON)

• Toute famille orthonormale d’un euclidien se

complète en une BON.

Calcul avec une BON E euclidien u ∈ L(E ).

et B = (e n

Soit x =

1

X

, . . . , en ) une

k =1

X

BON sur E et soit yk ek , alors:

v u uX x . • ∀ k ∈ [[1, n]] , x = < e , x > et kxk = t v u X uX (x − y ) • < x,y >= x y et kx − yk = t n

2

k

k

n

n

k k

• Norme de la convergence quatratique sur l’espace

des fonctions continues sur un segment;

k=1

des fonctions continues et T -périodiques sur R.

Identités et inégalités classiques

Soit E un préhilbertien. Pour tout x, y ∈ E • kx + yk2 = kxk2 + 2 < x |y > +kyk2

k

2

k =1

• Mat (u) = ( hei , u(ej )i)16i,j6n

• Soit A ⊂ E . On appelle orthogonal de A l’ensemble A⊥ = {x ∈ E, ∀a ∈ A,< x,a >= 0} • Deux parties A, B ⊂ E sont dites orthogonales si ∀a ∈ A, ∀b ∈ B,< a,b >= 0 . On note A ⊥ B . • Une famille (Ai )i∈I departiesde Eest dite orthog-

onale si les Ai sont deux à deux orthogonales.

Deux sevs F et G sont dits supplémentaires orthogonaux s’ils sont supplémentaires et orthogonaux

• Identité du Parallélogramme





PROJECTEURS ORTHOGONAUX

S YMÉTRIE ORTHOGONALE Soit F un sous-espace vectoriel d’un préhilbertienE tel que F et F ⊥ sont supplémentaires dans E

Définition

Définition

On appelle projection orthogonale sur F la projection vectorielle pF sur F parallèlement à F ⊥ .

On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie vectorielle s F par rapport à F parallèlement à F ⊥. Si F estunhyperplande E , onditque sF estla réflexion par rapport à F .

Propriété pF est un endomorphisme de E vérifiant p 2 = p , Im p = F et Ker p = F ⊥ . De plus id − p projection orthogonale sur F ⊥

Propriété

Soit p un projecteur de E . Alors Ker p ⊥ Im p ⇐⇒ Ker p = ( Im p)⊥ ⇐⇒ Im p = ( Ker p)⊥ Tout projecteur vérifiant l’une des trois assertions est projecteur orthogonal Soit p ∈ L(E ) un projecteur. On a équivalence entre : 1. p est un projecteur orthogonal 2. ∀x, y ∈ E , < p(x)|y > =< x | p(y) >. 3. ∀x ∈ E , k p(x)k 6 kxk La matrice d’un projecteur orthogonal dans une base orthonormée est symétrique. Si B = ( e , · ·· , e p ) est une base orthonormée de F alors

• Identités de Polarisation: 1 kx + yk2 − kxk2 − kyk2 2 1 kx + yk2 − kx − yk2 4





• Inégalité de Cauchy-Schwarz:

Il y a égalité si, et seulement si, (x, y) est liée. • Inégalité de Minkowski:

=1

1

=1

kx + yk ≤ kxk + kyk

Il y a égalité ssi et sont positivement liés

sous-espaces supplémentaires orthogonaux et on a: ∀i

[[1 ]]

X

F

⊥

F

Propriété sF est un endomorphisme de E vérifiant s2 = id, Ker(s − id) = F etKer(s + id) = F ⊥ . Deplus −sF = s F ⊥ et sF = 2 pF − id

Expression du symétrique

Si B = ( e , · · · , e p ) est une base orthonormée de F alors 1

p

∀x ∈ E,

sF (x) = 2

X

< e j ,x > ej − x

j =1

Exemple = 0 . Alors Soit D = Vect (a) et H = D ⊥ avec a 6 < x |a > a−x kak2

∀x ∈ E,

sD (x) = 2

∀x ∈ E,

sH (x) = x − 2

et

j =1

⊥

= 0 . Alors Soit D = Vect (a) et H = Vect(a) avec a 6 ∀x ∈ E, pD (x) =

< a|x > < a|x > a et p H (x) = x − a kak2 kak2

Pour tout y ∈ F , kx − yk > k x − pF (x)k avec égalité ssi, y = pF (x). Autrement-dit d (x, F ) = kx − pF (x)k Soit ( e , . . . , en ) une famille libre de E . Il existe une et une seule famille orthonormée ( ε , . . . , εn ) de E telle que : ∀k ∈ [[1, n]]

Si ( F i)ni une famille finie de sous-espaces vectoriels deux à deux orthogonaux, la somme F + · · · + F n est directe Auquel cas on dit que les F , · · · , F n sont en somme directe M orthogonale. Si de plusn Si la somme directe F i égale E , on dit que ( F i )i est une famille de

H = Vect(a − b)⊥

< e j ,x > ej

Exemple

1

1

• Vect(ε1 , . . . , εk ) = Vect(e1 , . . . , ek ).

Cette famille est donnée par : • ε1 =

e1

ke1 k

• ∀k ∈ [[2, n]] ,

Soit s une symétrie de E . On a équivalence entre: 1. s est une symétrie orthogonale 2. ∀ x,y ∈ E, (s(x)|y) = ( x|s(y)). 3. ∀ x ∈ E, k s(x) k = kxk La matrice d’une symétrie orthogonale dans une base orthonormée est symétrique. Les symétries orthogonales conservent le produit scalaire

εk =

ek − P k−1 (ek ) . kek − P k−1 (ek )k

(s(x)|s(y)) = (x|y)

En particulier, les symétries orthogonales conservent la norme ∀x ∈ E,

.

< x |a > a kak2


∀x,y ∈ E,

• < ε k ,e k >> 0.

16i6n

∀x, y ∈ E,

X

Si F un sev de dimension finie d’un préhilbertien E alors les espaces F et F ⊥ sont supplémentaires dans E .

1

|< x |y > | 6 kxk.kyk

pF (x) =

Algorithme de Gram-Schmidt

Généralisation

= b . Soient a, b ∈ E tels que kak = kbk et a 6 Il existe une réflexion et une seule qui échange a et b.

p

∀x ∈ E,

Soit F L et G deux sous-espaces supplémentaires de E : E = F G, alors F ⊥G ⇐⇒ G = F ⊥ ⇐⇒ F = G ⊥ Existence de supplémentaire orthogonal

Propriété

1

Minimisation de distance

Propriété

: Information

Soit F un sous-espace vectoriel d’un préhilbertienE tel que F et F ⊥ sont supplémentaires dans E

Supplémentaires orthogonaux

• < x + y|x − y > = kxk2 − kyk2 .

kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2

: Attention.

Expression du projeté

Orthogonal d’une partie

• kx − yk2 = kxk2 − 2 < x |y > +kyk2

∀x, y ∈ E,


B

• Norme de la convergence quatratique sur l’espace

 

k

: Démarche.


k =1

k=1

• Norme de Shur sur M n (R);

=

n

xk ek , y =

k

• Norme euclidienne usuelle sur Rn ;

hx | y i =

: Astuce.

ks(x)k = kxk


E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS : Définition.



: Astuce.

E NDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES

FAMILLE TOTALE E un espace préhilbertien réel et (en )n∈N une suite de E

Inégalité de Bessel Si ( en )n∈N est orthonormale. Alors ∀ x ∈ (< e n | x > )n∈N est de carré sommable et

E la

famille

E un espace préhilbertien

en | x i2 6 kxk2

La famille ( en )n∈N est dite totale si l’espace vectoriel qu’elle engendre est dense dans E . Autrement-dit Vect((en)n∈N ) = E

Endomorphisme orthogonal Soit u ∈ L(E ). On dit que u est orthogonal si

< u(x), y > =< x,u(y) >

Stabilité- Image et noyau Soit u ∈ S (E ) et F un sev de E stable par u . Alors F ⊥ est stable par u

Cas euclidien

Base hilbertienne (en )n∈N est dite base hilbertienne si elle est à la fois or-

Soit E un espace euclidien et u ∈ S (E ), alors Im (u) = ⊥ (Keru)

thonormale et totale


Propriété

Soit E un espace euclidien, B une BON de E et u ∈ L(E ). Alors u ∈ S (E ) ⇐⇒ Mat (u) ∈ S n (R)

Soit (en )n∈N base hilbertienne de E et P n le pro jecteur orthogonal de E sur Vect (e0, · · · , en), alors ∀x ∈ E,

P n (x) −−−−−→ x

Soit (en )n∈N une basehilbertienne deE . Alors pourtout x ∈ E la famille ( < e i | x > )i∈N est de carré sommable hen | xi2 = kxk2 . et

X

n∈ N

Séries de Fourier Soit f une fonction réelle T -périodique et continue. On 2 π pose ω = et pour tout n ∈ N: T

an (f ) =

bn (f ) =

2 T

Z

T

a 0

2

et 2 T

Z

X(

an cos(nwx) + bn sin(nwx))

n=1

T 2

2

f (t) dt =

− T 2

Soit A ∈ S n (R), alors PAP soit diagonale.

il existe P ∈ O n (R) tel que

Extrémum sur la sphère

k x k=1

+∞

+

t

f (t) · sin(nωt)dt

− T 2

sont les coefficients trigonométriques de Fourier de f . Alors ∀x ∈ R, f (x) =

Toutendomorphisme symétriqued’un espaceeuclidien E est diagonalisable dans une BON.

• ∀ x ∈ E : λmin k x k2 6 6 λmax k x k2 • min ( ) = λ min

T 2

Théorème spectral

Soit u ∈ S (E ). Posons λ min = min(Sp (u)) et λ max = max(Sp (u)). Alors

− T 2

Z 2

a 20

2

+∞

X + n=1

Polynômes orthogonaux

2

2

an + bn



D

Si u ∈ O (E ), alors Sp (u) ⊂ {−1, 1}.

Propriété caractéristique Soit u ∈ L(E ). Les assertions suivantes sont équivalentes:

..

−I q

..

.

0

..

.

.

..

.

· ··

0

..

    0 ... ...

.

R1

0 · ··

Rr

où pour tout k ∈ [[1, r]], on note : Rk =

1. ∀x ∈ E, k u(x)k = kxk; 2. ∀x, y ∈ E, < u(x), u(y) > =< x,y >;

0 ··· ···

  0  =  ...  ...

I p

Propriété

cos

θk

sin θk

− sin θk cos θk



3. u transforme toute BON de E une BON de E ;

avec θ k ∈ ]0, 2π[ \ {π} et p, q , r sont des entiers naturels tels p + q +2 r = n (si l’un de ces entiers est nul, les blocs de matrices correspondants n’existent pas).

4. u transforme une BON de E une BON de E .

Réduction des matrices ⊥

Matrices orthogonales Une matrice réelle A ∈ M n (R) est dite orthogonale si AA = I n . On (R), l’ensemblede matrices orthogonales, estun groupe, appelé groupe orthogonal d’ordre n.

Soit A ∈ O n (R) avec n > 2 . Il existe une matrice P ∈ On(R) telle que :

• max ( ) = λ max k x k=1

Sp (u) désigne le spectre de u

Applications aux extrema

Soient U ⊂ E un ouvert non vide, a ∈ U et f : U −→ R une fonction de classe C 2. ∂ 2 f (a) est la matrice Hessienne Hf (a) =



∂ xi ∂ xj



16i,j6n

de f en a. On suppose que f admet un point critique en a, alors:

t

Soit A ∈ M n (R) de colonnes C 1, · · · , C n et de lignes L1 , ·· · , Ln . On a équivalence entre :

PAP

0 ··· ··· −I q

...

.

R1

..

0 ···

..

.

.

..

.

· ··

0

..

0

    0 ... ...

Rr

1. la matrice A est orthogonale

Isométries positives en dim 3

2. la famille (C 1, · · · , C n ) est orthonormale

Soit f ∈ O + (E ), alors il existe une BON directe B = (u,v,w ) dans laquelle la matrice de f est de la forme

3. la famille (L1, · ·· , Ln) est orthonormale. 4.

1 0

0 0 c os θ − sin θ 0 s in θ cos θ

A estlamatricedepassaged’uneBONàuneBON

Propriété • A ∈ O n (R), alors det A = ±1. • On+ ( R) = { M ∈ O n(R), det M = 1} est un sg de On (R) • On− ( R) = {M ∈ O n (R), det M = −1} n’est pas un

groupe

Lien avec les matrices

Soit u ∈ L(E ) et B une BON de E . Alors u ∈ O (E ) ⇐⇒ MatB (u) ∈ O n (R)

• Polynômes de tchebychev;

2. Si Sp (Hf (a)) ⊂ R ∗− , alors f admet un maximum local en a;

• On− ( R) w O− (E ) = { u ∈ O (E );det u = −1}.

• Polynômes de Laguerre.

3. Si H f (a) admet deux valeurs propres de signes

∗

  0  =  ...  ...

I p


• On (R) est isomorphe à O (E );

• Polynômes de Legendre;

Soit u ∈ O(E ) avec n > 2 . Il existe une base orthonormée B de E dans laquelle la matrice de u s’ecrit :

l’ensemble des automorphismes orthogonaux, est un groupe, appelé le groupe orthogonal de E .

1. Si Sp (Hf (a)) ⊂ R +, alors f admet un minimum local en a;

Étudier l’une des familles

Réduction des endomorphismes ⊥

t

2. u est une symétrie ⊥ ssi u ∈ S (E ) et u2 = id E .

f (t) · cos(nωt)dt

T 2

1. u est un projecteur ⊥ ssi u ∈ S (E ) et u2 = u ;

R ÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ⊥ E désigne un plan euclidien orienté,

O(E ),

Endomorphismes involutifs, idempotents

Égalité de Parseval

: Information

∀x ∈ E, k u(x)k = kxk

B

Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E ).

n→+∞

E NDOMORPHISMES ORTHOGONAUX

Soit u ∈ L(E ). On dit que u est symétrique si:

désigne l’ensemble des endomorphismes symétriques de E

Famille totale

: Attention.

E désigne un euclidien de dimension n > 1

S (E )

n∈ N


Endomorphisme symétrique ∀x, y ∈ E,

Xh

: Démarche.

 

f est

dite la rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle θ .

Comment déterminer les éléments de f • Pour déterminer une telle base on prend u normé qui engendre Ker(f − id), v unitaire et orthogonal à u et w = u ∧ v; • Pour déterminer cos θ, on utilise la trace de f ; • lesignede sin θ estceluide Det(u,x,f (x)) où x est

un vecteur non colinéaire à u

• On+ ( R) w O +(E ) = { u ∈ O (E );det u = 1};


P ROBABILITÉS : Définition.


T RIBU

1. Ω ∈ T 2. Si A ∈ T alors A ∈ T 3. Pour toute famille ( Ai )i I au plus dénombrable d’éléments de T, on a Ai ∈ T.

Soit (Ω, T,P ) un espace probabilisé et A, B ∈ T 1.

Propriété

n

[ ! X  =

Ak

k=0

Additivité finie

P (Ak )

k=0

 

T B

−→

R+

7−→

P (A ∩ B) P A(B ) = P (A)

i∈I

Fromule des probabilité composées Soit (Ai)16i6n une suite d’événements telle que

4.

P (A ∪ B) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ).

P

∈

• ∀i ∈ I,

[

P

6. Soit (An )n N une suite des événements. Alors ∈

n

P

Ai

6 = 0 . Alors

Ai

= P (A1 )P (A2 |A1 ) · · · P (An|A1 ∩ · · · An−1 ).

Ai.

Ak

P (Ak )

6

Sous additivité finie

k=0

et P

6

n=0

Cas particulier Ω

Formule des probabilités totales Soit ( Ai )i I un système complet d’événements. Pour tout événement B , la famille (P (B ∩ Ai ))i I est sommable et ∈

P (B) =

n=0

X

Continuité croissante

On appelle probabilité toute application P de T dans R+ telle que 1.

P (Ω) = 1 , ∈

[ ! X +∞

n

+∞

An

= l im P n→+∞

=

σ

[ ! An

n=0

k=0

P (B ) =

X

P (B ∩ Ai ) =

i∈I

X i∈I

On peut appliquer la formule des probabilités totales lorsque (Ai)i I un système quasi complet d’événements:

∈

\ !

P (ω)

ω∈A

CardA Dans le cas de l’équiprobabilité, P (A) = . CardΩ

An

n

= l im P

n=0

n→+∞

\ !

 ! +∞

+∞

choix de ( pn )n N ∈ RN+ avec ∈

X

pn = 1

• ∀ (i, j ) ∈ I 2 i 6 = j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅ , •

[

Soit ( Ai)i I une suite d’événements où I est au plus dénombrable. ∈

• On dit que ( Ai )i∈I est une famille d’événements deux à deux indépendants pour la probabilité P si pour tout i, j ∈ I , = j ⇒ P ( Ai ∩ Aj ) = P (Ai ) P ( Aj ) i 6

= ∅ Ai 6 • On dit que ( Ai )i∈I est une famille d’événements mutuellement indépendants pour la probabilité P si pour toute partie J finie de I , on a

Ai est quasi-certain

i∈I

Formule de Bayes

P

Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, on a : P B (A) =

P (A) × P A (B ) P (B )

Soient ( Ai)i I un système complet d’événements de probabilités non nulles et A et B deux événements de probabilités non nulles. On a : ∈

Ak

k=0

En particulier si (An )n N est décroissante, alors: ∈

N

\ ! Y Ai

i∈J

Propriété

=

P (Ai )

i∈J

Soit (Ai )i I une suite d’événements indépendants pour la probabilité P avec I est au plus dénombrable. Si pour tout i ∈ I , B i = A i ou Ai alors (Bi )i I est une suited’événementsindépendants pourla probabilitéP . ∈

∈

Soit (An )n N une suite d’événements, alors P

X

• ∀ i ∈ I,

n→+∞

+∞

Probabilité uniforme

ω

Indépendance d’événements P (B |Ai )P (Ai).

Astuce

= l im P ( An )

Continuité décroissante

Le triplet (Ω, T, P ) est un espace probabilisé

p

I NDÉPENDANCE

= 0 , alors Si de plus ∀i ∈ I, P (Ai ) 6

+∞

-additivité

n=0

Si Ω est fini, alors T = P (Ω) et P (A) =

Ak

∈

P P (An)

[ !

En particulier si (An )n N est croissante, alors:

+∞

An

n=0

[ !

=

P (B ∩ Ai)

∈

n=0

2. Si ( An )n N une suite d’événements deux à deux incompatibles, alors P

Soit (An )n N une suite d’événements, alors P

X

Une probabilité sur (N, P (N)) est déterminée par le

i∈I

∈

Probabilité

P (A) =

Ω,

A

Sous additivité

P (An )

CONTINUITÉ MONOTONE

Soit (Ω, T) un espace probabilisable

∀A ⊂

ω∈

+∞

An

ω

n=0

• On dit qu’un événement A est quasi-certain ou presque sûr si P (A) = 1 .

PROBABILITÉ

P ({ω}) = p

Ω,

ω∈

De plus, celle-ci est déterminée par

∈

n

[ ! X [ ! X

• On dit qu’un événement A est négligeable si P (A) = 0 .

i∈I

∀ω ∈

n

\ ! \ ! i=1

Événement négligeable, quasi-certain

= ∅ Ai 6

• ∀(i, j) ∈ I 2 i 6 = j =⇒ A i ∩ Aj = ∅ ,

Soit Ω un ensemble au plus dénombrable. Si ( p ) Ω est une famille de réels positifs, sommable et de somme égale à 1 alors il existe une unique probabilité P sur (Ω, P (Ω)) vérifiant

n

P (A) 6 P (B ) et P (B \ A) = P (B ) − P (A)

+∞

Une famille au plus dénombrable (Ai)i I d’événements est dite un système complet d’événements si

ω∈

ω

est une probabilité sur (Ω, T ) dite conditionnée à A

P A = 1 − P (A) et 0 6 P (A) 6 1.

k=0

Système complet d’événements

Soit Ω un ensemble au plus dénombrable , T = P (Ω) et P une probabilité sur ( Ω, T ). Alors ( P ({ })) Ω est une famille de réels positifs, sommable et de somme égale à 1.

Univers au plus dénombrable

3.

∈

\

=

P A :

5. Si A ⊂ B , alors

1. ∅ ∈ T. 2. Si A et B sont deux événements de T, alors A ∪ B , A ∩ B et A \ B sont dans T . 3. Pour toute famille ( Ai )i I au plus dénombrable d’éléments de T, on a Ai ∈ T.

UNIVERS AU PLUS DÉNOMBRABLE Univers au plus dénombrable

Probabilité conditionnelle

i=1

Soit (Ω, T) un espace probabilisable.

: Information

ω

P

i∈I

: Attention.

Soit A un événementavec P (A) > 0 . Alors l’application

P (∅) = 0 .

n

[


L ES THÉORÈMES DE P ROBABILITÉ

2. Soit A0 , · · · , An sont des événements deux à deux incompatibles

∈

Le couple ( Ω, T) s’appelle un espace probabilisable. Les éléments de T sont appelés des événements

: Démarche.

(Ω, T , P ) un espace probabilisé

Propriété

Soit Ω un ensemble et T une partie de P (Ω), c’est-à-dire un ensemble de parties de Ω. On dit que T est une tribu de parties de Ω si :

Ω

: Astuce.

PROPRIÉTÉS DE PROBABILITÉ

Tribu

•


P B (A) =

P A(B )P (A)

X i∈I

P A (B)P (Ai ) i

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VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES : Définition.



1. X (Ω) est un ensemble au plus dénombrable 2. Pour tout x ∈ X (Ω), X 1 (]−∞, x]) ∈ T

Soit p

On dit que X admet une espérance lorsque la famille (xP (X = x))x X (Ω) est sommable. On appelle alors espérance de X , le réel E (X ) =

Propriété

Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T ). Pour tout A sous-ensemble de R, l’ensemble X

(A) = {ω ∈

Ω/X (ω ) ∈

A}

On appelle loi de probabilité de la VAR discrète X l’ensemble de couples (x, p (X = x))x X (Ω) ∈

• Si X > 0 et admet une espérance, alors E (X ) > 0. Si de plus E (X ) = 0 alors X = 0 est quasi certain. • Si X et Y admettentdes espéranceset X 6 Y alors E (X ) 6 E (Y ). • Si Y admet une espérance et |X | 6 Y , alors X

Soit g une fonction définie au moins sur X (Ω) et à valeurs dans R.Alors g (X ) admet une espérance ssi (g(x)P (X = x))x X (Ω) est sommable. Au quel cas ∈

E (g(X )) =

est un

X

x ∈X (Ω)

Soit {(xi , pi )/i ∈ I } une partie de R2 , où I un ensemble au plus dénombrable. Si pour tout i ∈ I , p i > 0 et si pi = 1 alors il existe un espace probabilisé (Ω, T , P )

X i∈I

etune VAR discrète X définiesur Ω telsque {(xi , pi)/i ∈ I } est la loi de X . Définition

Soit X une VARD. On appelle fonction de répartition de X l’application F : R → R définie par : F (x) = P (X 6 x). On a aussi F X (x) = P (X = xk ) Propriété

, F (x) ∈ [0; 1] F est croissante. lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1 .

∀x ∈ R

x →+∞

Soit r ∈ N . Si X r admet une espérance alors on dit que X admet un moment d’ordre r qui est le réel mr (X ) = E (X r ).

, P (a < X 6 b) = F (b) − F (a) F est continue à droite en tout point de R F est continue à gauche en x ssi P (X = x) = 0

Loi d’une VARD et fonction de répartition

Si X (Ω) = {xi /i ∈ I } tel que les x i sont rangés par ordre croissant alors pour tout x ∈ I tel que i − 1 ∈ I (on a donc xi 1 < x i) on a −

Définition

On définit sa fonction génératrice GX par +∞

et

• P (X = 0) = 1 − p

P (X = 1) = p

On écrit X �→ B ( p), et on a: E (X ) = p

et

∀s ∈ [−1, 1] ,

  X

GX (s) = E sX =

Soit r ∈ N . Si X admet un moment d’ordre r alors X admet des moments d’ordre s pour tout s ∈ [[1; r]].

binomiale de taille n et de paramètre p (notée B (n, p))

• Si X suit la loi de Bernoulli B (1, p), alors GX (t) = 1

Soit X une VAR discrète admettant une espérance et telle que la variable X − E (X ) admet un moment d’ordre 2. On appelle variance de X le réel :



V (X ) = E (X − E (X ))2



Formule de Huygens ou de Kœnig

Si X admet un moment d’ordre 2, alors: V (X ) = E (X 2 ) − E (X )2

Propriété

Si X est une VAR discrète admettant une variance alors pour tout (a,b ) ∈ R2 , aX + b admet une variance et V (aX + b) = a2 V (X )

+ pt

GX (t) = (1 − p + pt)n • X (Ω) = [[0; n]] •

∀k ∈

[[0; n]] P (X = k) = C nk pk (1 − p)n−k

• Si X suit la loi de poisson P (λ) avec λ > 0, alors GX (t) = eλ(t−1)

On écrit X �→ B (n, p) , et on a: E (X ) = np

et

V (X ) = np(1 − p)

• Si X suit la loi géométrique G ( p) avec p ∈ ]0, 1[,

alors

Loi uniforme

Soit n ∈ N . On dit que X suit la loi uniforme U ([[1; n]]) si : ∗

•

∀k ∈

[[1; n]],

On dit qu’une VAR X suit la loi géométrique de paramètre p (notée G ( p)) si : • X (Ω) = •

.

∗

1 E (X ) = p



1 1 , : q q

GX (t) =

tp 1 − qt

∀n ∈ N,

P (X = n) =

G (X ) (0) n!

Propriété

Les assertions suivantes sont équivalentes 1. X admet une espérance 2. G X est dérivable en 1. Dans ce cas: E (X ) = GX (1) Propriété

Les assertions suivantes sont équivalentes

et

V (X ) =

1

− p

p2

Loi de Poisson

Soit λ > 0. Ondit qu’une VAR X suitune loide Poisson (notée P (λ)) si :

∀n ∈ N,

−

0

P (X = n) = (1 − p)n−1 p

On écrit X �→ G ( p), et on a

•



N

∀n ∈ N∗ ,

• X (Ω) =

∈

n

Loi géométrique ∈ ]0; 1[

t

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N et GX sa fonction génératrice, alors

1 . n

n + 1 n 2 − 1 E (X ) = et V (X ) = 2 12

Soit p

∀

Loi et fonction génératrice

P (X = k) =

On écrit X �→ U ([[1, n]]) , et on a:

De plus lorsque V (X ) existe, on appelle écart-type de X le réel σ (X ) = V (X ).

p

− p

• Si X suit la loi binomiale B (n, p), alors

si :

∗

Variance

k

P(X = k)s

k=0

Fonctions génératrices usuelles V (X ) = p(1 − p)

Soit p ∈ [0; 1] et n ∈ N . On dit que la VAR X suit la loi

Propriété

∀(a, b) ∈ R2

la loi de

• X (Ω) = [[1; n]];

x∈X (Ω)

X

x→−∞

g(x)P (X = x)

Moments d’ordre r

xk ∈X (Ω) xk 6x

1. 2. 3. 4. 5. 6.

X

∗

Propriété

F ONCTION GÉNÉRATRICE

Loi binomiale (ou des tirages avec remise)

Propriétés

Propriété

: Information

• X (Ω) = {0; 1}

Lorsque E (X ) = 0 , on parle de variable centrée

Théorème du transfert

Loi d’une VARD

∈X (Ω)

xP (X = x)

aussi.

est un événement de T que l’on notera [X ∈ A].

Soit X une VARD. La famille ([X = x])x système complet d’événements. P (X = x) = 1 En particulier:

X

x∈X (Ω)

Si de plus E = R, la variable X est dite réelle 1. X (Ω) est l’ensemble des valeurs prises par X . 2. Si X (Ω) est un ensemble fini, X est dite finie

∈ [0; 1]. On dit qu’une VAR X suit Bernoulli de paramètre p (notée B (1, p)) si :

∈

−

: Attention.

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.

Loi de Bernoulli

Espérance

On appellevariable aléatoirediscrète définiesur (Ω, T ) toute application X de Ω dans un ensemble E telle que:


L OIS DISCRÈTES USUELLES

X est une variable aléatoire discrète

Variable aléatoire discrète

: Démarche.

M OMENTS

VARIABLES A LÉATOIRES DISCRÈTES (Ω, T , P ) désigne un espace probabilisé.

−1

: Astuce.

1. X admet un moment d’ordre 2 2. G X est deux fois dérivable en 1. Dans ce cas: V (X ) = GX (1) + GX (1) − (GX (1))2 00

0

0

N

P (X = n) =

e −λλn n!

On écrit X �→ P (λ), on a: E (X ) = λ

et

V (X ) = λ


VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉS : Définition.



VARIABLE ALÉATOIRE Définition

Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle (VAR) est une application X : Ω → R telle que pour tout x ∈ R, [X 6 x] ∈ T . X VAR ⇔ ∀I intervalle de R, [ X ∈ I ] ∈ T

n

X Y X i ,

i=1

i=1

X i , min X i et max X i sont des VAR 16i6n

16i6n

Cas particulier

Soit X une variable aléatoire réelle et f : R −→ R une fonction monotone par morceaux, alors f ◦ X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, T , P ) . On la note f (X ) Stabilité par convergence simple

Soit ( X n ) une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, T , P ) qui converge simplement vers X : Ω −→ R . Alors X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, T , P )

Définition

Une variable aléatoire réelle X est dite de loi à densité si sa fonction de répartition F X est continue sur R de C 1 sur R privé d’un sous-ensemble fini F . On appelle la densité de X la fonction définie sur R par f X (t) = F X (t) pour t ∈ R \ F et f X (t) = 0 pour t ∈ F 0

Propriétés caractéristiques de la densité

Soit f X une densité d’une variable aléatoire réelle X . 1. 2.

f X est à valeurs réelles positives f X est continue sur R, sauf éventuellement en un

nombre fini de points +∞

3.

Z

−∞

E(X ) =

−∞

Z

Z

Propriété

Soient X et Y deux VAR admettant chacune une espérance. 2. E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). 3. Si X > 0 presque sûrement, alors E(X ) > 0 4. Si X > Y presque sûrement, alors E(X ) > E (Y )

(b)

P (X < x ) = P (X 6 x) =

−∞

+∞

(c)

P (X > x) =

Z x

f (t) dt = 1

F (x)

Z −

Si la variable aléatoire X admet une espérance et si la variable (X − E(X ))2 admet une espérance, on appelle variance de X le réel V(X ) = E



p

Soit X une VAR à densité. X admet une variance si, et seulement, si X admet un moment d’ordre 2 et en cas d’existence, on a : V(X ) = E

X 2

 −

g(t)f (t) dt

2 E(X )

X

x∈X (Ω)

Somme de deux VAR à densité

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes admettant respectivement des densités f X et f Y . Alors la loi de S = X + Y est à densité, de densité f S : s

7−→

Z

f X (t)f Y (s

−∞

− t) dt

Si de plus X et Y sont à valeurs positives, alors f S est s

définie sur R + par f S (s) =

Z 0

et

2

V ( X ) =

( b

− a)2 12

On écrit X �→ N

2

√ 1 exp − (x 2−σ2µ) σ 2π



µ, σ2

 



et on a

E(X ) = µ

et

V(X ) = σ

2

Lorsque µ = 0 et σ = 1 on parle de la loi normale centrée réduite Soit α et λ deux réels strictement positifs. On ditqu’unevariablealéatoireX suitla loiGamma de paramètre (α, λ); et on note X �→ Γ (α, λ), si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : f (x) =

En on a:

f X (t)f Y (s

 

E(X ) =

λα Γ(α)

xα−1 e−λx

si x > 0 si x 6 0

0

α λ

et

V(X ) =

α λ2

Loi exponentielle

Soit λ un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ ; et on note X �→ E (λ), si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

+∞

− x)

a + b

f (x) =

∗

P ( X = x ) .F Y ( s

Soit µ un réel, et σ un réel strictement positif. On dit que X est de loi gaussienne de paramètres (µ, σ2 ) ou de loi normale de paramètres ( µ, σ2 ) si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

Si X est une variable à densité telle que σ (X ) = 1, on dit que X est une variable réduite. Si X admet une espérance et un écart-type non nul, la X − E(X ) variable X = est appelée la variable cenσ(X ) trée réduite associée à X .

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes dont les lois sont discrète pour X et à densité pour Y . Alors la loi de S = X + Y est de fonction de répartition

si t ∈]a; b[ sinon

a

Loi gamma

Soit X une variable à densité admettant une variance. Alors pour tout réels a et b, aX + b admet une variance et V(aX + b) = a2 V(X )

SOMME DE DEUX VARIABLES

7−→

E (X ) =

V(X )

Définition

+∞

E(g (X )) =

− E(X ))2

(X

On appelle alors écart-type le réel σ (X ) =

Définition

g (t)f (t) dt estabsolumentconvergente.



Théorème de Huygens Kœing

+∞

−∞

F S : s f (t) dt

0

Loi gaussienne de paramètres

Propriété

Soient X une VAR de densité f et g une fonction continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors g (X ) admet une espérance si, et seulement, si

b

Définition

Théorème du transfert

Discrète + à Densité

x

f (t) =

On note X �→ U ([a; b]) et on a:

6. Si X et Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X )E(Y ).

−∞

Z

x f (x) dx

 −

Soit r ∈ N et X une VAR admettantun moment d’ordre r, alors pour tout s ∈ [[1, r]] la VAR X admet un moment d’ordre s

1. Pour tout réels a et b, E(aX + b) = aE(X ) + b

Inversement pour toute f fonction d’une variable réelle vérifiant les trois assertions précédentes, il existe un espace probabilisé et une VARX sur cet espace dont la loi est à densité et dont la densité est f

1. Pour tout x réel : (a) P (X = x ) = 0

r

Propriété

−∞

Soit X une variable aléatoire admettant une densité f .

Z

∗

f (t) dt = 1

Règles de calcul

1

+∞

tf (t) dt

Soit X et Y deux VAR sur l’espace probabilisé (Ω, T , P ) . Si Y admet une espérance et si |X | 6 Y alors X admet une espérance

Z

Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] si elle admet pour densité la fonction f définie par :

−∞

Domination

Au quel cas

Loi uniforme

mr (X ) =

−∞

Z

: Information

L OIS USUELLES

Soit r ∈ N et X une VAR à densité f . On dit que X admet un moment d’ordre r, notée mr (X ), si X r admet une espérance et on a

+∞

l’intégrale

: Attention.

∗

tf (t) dt

est absolument convergente alors on dit que X admet une espérance que l’on note E(X ) et on a :

+∞

f X (t) dt est convergente et

Z

5. Inégalité triangulaire: | E(X )| 6 E (|X |)

VARIABLE À DENSITÉ


Définition +∞

Soit X uneVARde densité f . Si l’intégrale

Image d’une variable aléatoire réelle

Soit X 1 , · · · , X n des variables aléatoires réelles définies sur (Ω, T , P ) et f : Rn −→ R continue. Alors f (X 1 , · · · , X n) est une variable aléatoire réelle (Ω, T , P ) .

: Démarche.

M OMENTS ET VARIANCE

E SPÉRANCE

(Ω, T , P ) est un espace probabilisé

n

: Astuce.

− t) dt et est

f (x) = λ e−λx χ]0,+∞[ (x) =

Et on a: E(X ) =

1 λ

et

(

λe−λx

0

V(X ) =

si x > 0 si x 6 0

1 λ2


V ECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES : Définition.


L OIS D ’ UN COUPLE DE VARD X et Y désigneront

deux variables discrètes définies sur un même espace probabilisé (Ω, T , P ).


On appelle loi du couple (X, Y ), ou encore loi conjointe des X et Y , l’ensemble des couples ((x, y ), P (X = x, Y = y ))(x,y ) X (Ω) Y (Ω) où ∈

une fonction de R 2 dans R et X , Y deux variables réelles discrètes. Z = g (X, Y ) est une variable Pour tout z ∈ Z (Ω), on a :

×

Avec les notations précédentes, alors la famille (P (X = x, Y = y ))(x,y) X (Ω) Y (Ω) est sommable de somme 1 ∈

X

P (Z = z ) =

P (X = x, Y = y ) = P ([X = x ] ∩ [Y = y ])

Propriété

Loi d’une somme

S = X + Y est une variable aléatoire réelle discrète, et P ( X + Y = s )

X X

P (X = x, Y = y )

y ∈Y (Ω)

• ∀y ∈ Y (Ω), P (Y = y ) =

= =

P ( X = x, Y = s − x)

=

Si les variables X et Y admettent chacune un moment d’ordre 2. Alors XY admet une espérance et 2

P ( X + Y = s )

=

X X X

P ( X = x) P ( Y = y )

(x,y)∈X (Ω)×Y (Ω) x+y=s



=

E (XY ) 6 E X 2 E Y 2

Indépendance X et Y sont indépendantes si :∀(x,y ) ∈ X (Ω) × Y (Ω) P (X = x, Y = y ) = P (X = x )P (Y = y )

Propriété

Les assertions suivantes sont équivalentes indépendantes

2. ∀(x, y ) ∈ R2 , [X 6 x] et [Y 6 y] sont indépendants , [X ∈ A] et [Y ∈ B] sont indépendants.

=

Propriété

L’ensemble desvariablesadmettantun moment d’ordre 2 est un sous-espace vectoriel de l’espace des variables admettant un moment d’ordre 1.

Stabilité des l ois binomiales et de poisson

Si X et Y sont inépendantes, alors

Soient X et Y deux VARD admettant des moments d’ordre 2. On appelle covariance de X et de Y le nombre réel cov(X, Y ) = E ((X − E (X ))(Y − E (Y )))

Si σ (X ) σ (Y ) 6= 0, le coefficient de corrélation de X et de Y est : ρ(X, Y ) =

• X �→ P (λ) et Y �→ P (µ), alors X + Y �→ P (λ + µ)

Théorème de Transfert

La variable Z = g (X, Y ) a une espérance ssi la famille (g(x, y )P (X = x, Y = y ))(x,y ) X (Ω) Y (Ω) est sommable et dans ce cas ∈

E (g (X, Y )) =

cov(X, Y ) . σ (X ) σ(Y )

×

g (x, y )P (X = x, Y = y )

(x,y )∈X (Ω)×Y (Ω)

Propriété

Soit X et Y admettant chacune une espérance et a, b deux réels. Alors la VARD aX + bY admet une espérance, et E (aX + bY ) = aE (X ) + bE (Y )

Définition

On appelle vecteur aléatoire discret défini à partir des X 1 , · · · , X n la variable aléatoire discrète Z donnée par ∀ω ∈

Z (ω) = ( X 1 (ω), · · · , X n (ω))

Ω,

Laloi dela variable Z estappelée loiconjointedes variables X 1 , · · · , X n tandis que les lois de X 1 , · · · , X n sont les lois marginales de Z . Fonction de répartition d’un vecteur

La fonction de répartition de ( X 1 , · · · , X n ) est la fonction de n variables F (X1 ,··· ,X ) définie par n

Espérance d’un vecteur

Si ∀i ∈ [[1, n]] la variable X i admet une espérance, on définit le vecteur espérance E (X 1 , · · · , X n ) du vecteur aléatoire (X 1 , · · · , X n ) par l’égalité E (X 1 , · · · , X n ) = ( E (X 1 ) , · · · , E (X n ))

Indépendance de n variables

On dit que X 1 ,...,X n sont indépendantes lorsque pour tout I 1 , · · · , I n intervalles de R :

On dit que X et Y sont non corrélées si cov(X, Y ) = 0 .

n

P

Propriété

Soit X et Y admettant un moment d’ordre 2 alors

Propriété

\

n

! Y

[X i ∈ I i ]

i=1

=

P ( X i ∈ I i i)

i=1

Indépendance héritée

Si la famille (X i )16i6n est indépendante et si Soit n0 = 0 < n1 < n2 < · · · < nk et ( X i )16i6n une famille de VAR indépendantes. Pour i ∈ [[1, k ]], on pose Y i = f i X n 1 +1, · · · , X n , alors Y 1 , ·· · , Y k sont indépendantes k

k

Soit X , Y , Z des VARD admettant des moments d’ordre 2 et soit a et b deux réels 1. cov(X, X ) = V(X ),

• X �→ B (n,p ) et Y �→ B (m, p), alors X + Y �→ B (n + m,p )

R

Si X et Y sont indépendantes et si f et g sont deux fonctions numériques définies respectivement sur X (Ω) et Y (Ω) alors f (X ) et g (Y ) sont indépendantes.

P ( X = s − y ) P ( Y = y )

X 1 , · · · , X n des variables aléatoires discrètes

F (X1,··· ,Xn )(x1 , · · · , xn ) = P (X 1 6 x1 , · · · , X n 6 xn )

Définition

cov(X, Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )

y∈Y (Ω) s−y∈X (Ω)

X

  

Il y a égalité si et seulement si X est quasi nulle ou Y est une fonction quasi linéaire de X , c’est-à-dire, il existe un réel a tel que P (Y = aX ) = 1 .

x∈X (Ω) s−x∈Y (Ω)

∈

P (X = x, Y = y ) P [Y =y ] (X = x ) = P (Y = y )

P ( X = x ) P ( Y = s − x)

: Information

V ECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES

Inégalité de Cauchy-Schwarz

P ( X = s − y, Y = y )

Si X et Y sont des variables aléatoires réelles discrètes indépendantes, alors

: Attention.

C OVARIANCE

y∈Y (Ω) s−y∈X (Ω)

= 0. Soit y ∈ Y (Ω) tel que P (Y = y ) 6 On appelle loi conditionnelle à [Y = y] de X l’ensemble des couples x,P [Y =y ](X = x ) x X (Ω) . ∀(x,y ) ∈ X (Ω) × Y (Ω) tel que P (Y = y ) 6 = 0 on a :

Indépendance héritée

P ( X = x, Y = y )

x∈X (Ω) s−x∈Y (Ω)

Loi conditionnelle

∀A,B ⊂


P (X = x, Y = y )

x∈X (Ω)



X X X

(x,y)∈X (Ω)×Y (Ω) x+y=s

Laloide X est appeléla premièreloi marginaledu couple ( X, Y ) et la loi de Y est appelée la deuxième loi marginale du couple (X, Y ). On peut obtenir les lois marginales à partir de la loi conjointe à l’aide des égalités

3.

P ([X = x] ∩ [Y = y ])

(x,y)∈X (Ω)×Y (Ω) g(x,y)=z

Lois marginales

X et Y sont

aléatoire réelle discrète.

×

• ∀x ∈ X (Ω), P (X = x ) =

: Démarche.

L OI DE PROBABILITÉ g désigne

Propriété

Définition

1.

: Astuce.



i−

i



L’espérance d’une somme

2. cov(X, Y ) = cov(Y, X ),

Si X 1 , · · · , X n admettant toutes des espérances. Alors

3. cov(aX + bZ,Y ) = a.cov(X, Y ) + b.cov(Z, Y )

X

2

4. cov(X, Y )

n

n

X i admet une espérance: E

i=1

6

V (X ) V (X )

n

X ! X =

X i

i=1

E (X i )

i=1

Variance d’une somme

5. |ρ(X, Y )| 6 1

Si X 1 , · · · , X n admettant de moments d’ordre 2 , alors

6. |ρ(X, Y )| = 1 ⇐⇒ Y = αX + β est presque sûrement pour un certain (α, β ) ∈ R × R.

X

n

∗

Variance d’une somme

Soient alors

X

et Y deux VARD admettant des variances,

X i admet une variance et on a

i=1

n

V

n

X ! X X i

i=1

=

X X ! X

V (X i ) + 2

i=1

cov(X i , X j ).

16i
n

V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2cov(X, Y ).

En cas de l’indépendance: V

n

X i

i=1

=

i=1


V (X i ).

I NÉGALITÉS ET CONVERGENCES : Définition.



: Astuce.

: Démarche.


Inégalité de Markov

Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ( Ω, T , P ) telle que X (Ω) ⊂ espérance m = E (X ), alors on a P [X > λ] 6

: Information

C ONVERGENCE EN LOI

I NÉGALITÉS

∀λ > 0

: Attention.

E (X ) λ

+

R

et possédant une

.

Convergence en loi

Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelles définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), on note F n la fonction de répartition de X n et F celle de X . On dit que (X n) converge en loi vers X si en tout point x où F est continue ∈

lim F n (x) = F (x).

n→∞

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) possédant un moment d’ordre 2, alors on a

∀ε > 0

P [|X

− E (X )| > ε] 6 V ε(X ) . 2

L

On note X n −→ X

Cas de variables discrètes

Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires et Y une variable aléatoire définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), on suppose que ∈

Inégalité de Jensen

Si X est une VAR admettant une espérance, si f : R −→ R est une application convexe sur R et si Y = f (X ) admet une espérance alors Inégalité de Jensen f ( E (X )) 6 E (f ( X ))

C ONVERGENCE EN PROBABILITÉ

∀k ∈ N

Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelles définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), on dit que (X n) converge en probabilité vers X si ∈

∀ε > 0

lim P [|X n

n→∞

Soit ( X n )n

lim P (X n = k ) = P (Y = k ).

n→∞

une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que X n suit une loi binomiale B (n, pn ) avec

∈N

−−−−−→ λ > 0, alors (X ) converge en loi vers X qui suit une loi de poisson P (λ). n→+∞

n

Propriété

La convergence en probabilité implique la convergence en loi.

− X | > ε] = 0 .

P On écrit X n −→ X

⊂ Y (Ω) ⊂ N.

Lois de Poisson et binomiale npn

Convergence en probabilité

X n (Ω)

∀n ∈ N

La convergence en loi de la suite (X n) vers Y équivaut à:

T HÉORÈME CENTRAL LIMITE Théorème central limite

Propriété

On considère (f n)n N une suite de fonctions continues à valeurs réelles définies surR qui converge simplement sur R vers l’application f . On considère X une VAR et on définit des variables aléatoires réelles par ∈

Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) indépendantes, de même loi, possédant une espérance m = E (X ) et une variance σ 2 = V(X ) > 0. Alors ∈

X n

X n = f n (X ) ,

Y = f (X )

X i

Alors la suite (X n ) converge en probabilité en Y

σ

L OI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES

− nm √ n −→ N (0, 1) L

i=1

Formule de Bernstein

Xn n

e−n

k =0

Loi faible des grands nombres

k

k!

−−−−−→ 12 n→+∞

Soit ( X n )n N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes définies sur un espace probabilisé ( Ω, T , P ) , de même loi, possédant une espérance m et une variance σ 2 . Alors ∈

∗

X n

X i

i=1

n

P

−→ m


L ES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : Définition.


É QUA - DIFF LINÉAIRE D ’ ORDRE 1



Les problèmes de Cauhy 1. Pour tout (t0 , x0 )

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation du type : (L) : x = a.x + b. On appelle équation homogène associée à (L) l’équation: (H ) : x = a.x

∈ R × F ,

problème de Cauchy

0

2. Pour tout (t0 , x0 )

0

t 7−→ e(t

−t0

de

Cauchy

0

:

I × F admet

∈

Structures de S H et de S L C 1 (I,

)a

est

x0

0

)a

.x0 +

dim S H = n

2. S L est un sous-espace affine de tion S H

C 1

(I, F ) de direc-

Z

e(t

)a

−s

Soient (ϕ1 , . . . , ϕn ) une famille de fonctions de I à valeurs dans F . Pour tout t ∈ I la matrice W (t) = Matβ (ϕ1 (t), . . . , ϕn(t)) est appelée matrice wronskienne en t du système H = (ϕ1 , . . . , ϕn) par rapport à la base B . Le déterminant w (t) = d e t W (t) est appelé le wronskien en t du système H = (ϕ1 , . . . , ϕn ) par rapport à la base B

Base de S H

Soit H = (ϕ1 , . . . , ϕn) une famille de n éléments de S H espace solution de (H ) : x = a(t).x. Alors

X ⇐⇒ X = P Y

Soit ( ϕ1 , . . . , ϕn ) un système fondamental de solutions de ( H ). Soient λ1 , . . . , λn ∈ C 1 (I, K) tel que ϕ = n

X

n

λi ϕi .

Alors ϕ est solution de (L) ⇔

É QUATION SCALAIRE D ’ ORDRE n n−1

X

ak x(k) +

b, avec a 0 , · · · , an 1 : I −→ K et b : I −→ K continues, et d’inconnue x : I −→ K fonction n fois dérivable

solutions sur I de l’équation

X

λ0i ϕi = b

homogène ( E 0 ) :

x

(n)

=

X

k=0

= c

0

0

0

0

(k)

ak x

est un

sous-espace vectoriel de dimension n de l’espace C n (I, K). • L’ensemble S des solutions sur I de l’équation

 

 

On dit encore que x est une solution de (E ) sur I . Si (I, y) est une solution de (E ) alors pour tout intervalle d’intérieur non vide J ⊂ I , (J,y |J ) est aussi solution de (E ).

Définition On appelle problème de Cauchy un problème du type :



x = f (t,x ) où (t0 , x0 ) ∈ U x(t0 ) = x0 0

Théorème de Cauc hy-Lipschitz Le problème de Cauchy



0

ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 2

ar + br + c = 0

2

K

x = f (t,x ) x(t0 ) = x0 0

Où f ∈ C 1 (U,F ), (t0 , x0 ) ∈ U et U ouvert de R × F , admet une et une seule solution locale (I, ϕ), avec I un intervalle ouvert contenant t0 . ϕ est de classe C 1 sur I

Équations à variables séparables

2. Si (EC ) possède une racine double r , les solutions de l’équation homogène ( H ) sont les fonctions définies par y(t) = ( λ1 t + λ2 ) ert où λ1 , λ2 ∈ K

Propriété Soit a,b,c ∈ R . Si l’équation ar 2 + br + c = 0 possède des racines distinctes complexes conjuguées:

Il s’agit d’équations différentielles du type : 0

(E ) y = g(t)h(y)

où g ∈ C 1 (D1 , R) et h ∈ C 1 (D2 , R). D 1 et D2 deux intervalles ouverts de R

p + iq et p − iq avec ( p,q ) ∈ R × R

∗

Les solutions réelles sont les fonctions:

k=0

• L’ensemble S 0 des

u1 h1 + u2 h2

0

1

λ1 , λ2 ∈

Une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre n définie

Propriété

=0

0

1. Si (EC ) possède des racines distinctes r 1 et r 2 , les solutions de l’équation homogène (H ) sont les fonctions définies par y (t) = λ1 er t + λ 2 er t où

n’est pas trigonalisable

−

00

(H ) :

On résout ces systèmes par la méthode de la remontée.

x(n) =

u 1 .h1 + u2 h2

= 0 et (H ) l’équation différentielle Soit a,b,c ∈ K avec a 6

0

sur I esttoute équationde la forme(E ) :

(

É QU - DIFF LINÉAIRE D ’ ORDRE 2 ( CONSTANT)

−

n−1

Variation des constantes

f solution de (L) ⇐⇒

∀t ∈ I, t, x(t) ∈ U et x0 (t) = f t, x(t)

Propriété

Soit (h1 , h2 ) une base de S H : pour tout f ∈ C 2 (I, K), il existe un unique couple ( u1 , u2 ) d’applications de C l (I, K) tel que: f = u1 .h1 + u2 .h2 . Alors

Propriété

Si A n’est pas trigonalisable, dans ce cas K = R , alors on résout le système différentiel avec le corps de base C puis on cherche les solutions réelles.

continue avec U un ouvert de R × F .

On appelle solutionde (E ) toutcouple (I, x) forméd’un intervalle d’intérieur non vide I et d’une fonction x : I −→ R dérivable vérifiant :

1. L’ensemble S H des solutions de H est un sousespace vectoriel de dimension 2 du K-espace vectoriel C 2 (I, K).

(L2 ) : Y = T Y + P B(t) (H 2 ) : Z = T Z

A

où f ∈

x = f (t, x)

C 1 (U,F )

Structure des solutions de (L) et de (H )

1

0

K

Définition

d’équation caractéristique (EC ) :

qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels:

0

1. Pour tout t ∈ I , rg (H ) = rg (ϕ1 (t), . . . , ϕn(t)) 2. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes: (a) ( ϕ1 , . . . , ϕn) est une base de S H ; = 0; (b) ∀t ∈ I, w(t) 6 = 0. (c) ∃t0 ∈ I / w (t0 ) 6 Au quel cas ( ϕ1 , . . . , ϕn ) est un système fondamental de solutions de (H )

0

0

(E ) :

0

Méthode de variation des constantes

−

1

É QUAT- DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES On s’interesse aux équations différentielles du type (résolu)

2. L’ensemble S L des solutions de (L) est un sousespace affine de C 2 (I, K) de direction S H .

est diagonalisable ou trigonalisable

: Information

admet une et une seule solution.

b(s) ds

Si A est diagonalisable ( resp trigonalisable ), ∃P ∈ GLn (C) telle que P 1 AP = T diagonale ( resp triangulaire supérieure). On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par: Y = P

Wronskien

00

0

−

: Attention.

x + a(t) · x + b(t) · x = c(t) où t 0 ∈ I, u0 , v0 ∈ x(t0 ) = u0 , x (t0 ) = v 0

est

Aux applications a et b sont associées les applications A : t 7−→ M n (K) et B : t 7−→ M n,1 (K), où, pour tout t ∈ I , A(t) et B(t) sontlesmatrices de a(t) et b(t) dans la base B . On appelle système différentiel l’équation notée X = A(t)X + B(t) dont les inconnues X sont à valeurs dans M n,1 (K). A

F ) isomorphe à F ,



l’unique solution au

x = a.x + b x(t0 ) = x0

Système différentiel

Si ϕ est solution de (L), alors ϕ ∈ C 1 (I, F ). Si a et b sont de classe C k alors ϕ sera de classe C k+1.

1. S H est un sev de

0

t0

Régularité des solutions

où (t0 , x0 ) une et une seule solution.

(


É QU - DIFF LINÉAIRES D ’ ORDRE 2

t

a(t).ϕ(t) + b(t)

problème

x = a.x x(t0 ) = x0

∈ I × F ,

problème de Cauchy

Une solution de l’équation différentielle linéaire (L) est une fonction ϕ ∈ D (I, F ) telle que : ∀t ∈ I, ϕ (t) =

x = a(t).x + b(t) x(t0 ) = x0

l’unique solution au

−t0

Solution de l’équation différentielle linéaire



(

t 7−→ e(t

0

Théorème de Cauc hy-Lipschitz-linéaire

: Démarche.

Le problème de Cauchy

a constante

Équation différentielle linéaire du 1er ordre

Le

: Astuce.

É QUA - DIFF LINÉAIRES À COEFS CONSTANTS

F est un K -espace vectoriel normé de dimension finie n > 1 , β une base de F . Si u ∈ L(F ) et x ∈ F , on note u.x plutôt que u(x). Soit a ∈ C I, L(F ) et b ∈ C (I, F ).




f :



R

t

−→ − 7 →

R

(α cos(qt) + β sin(qt)) e pt

où (α, β ) ∈ R2

Propriété L’équation ay + by + cy = P (t)eαt admet une solution particulière de la forme y p (t) = tm Q(t)eαt où Q est une fonction polynomiale de même degré que P 00

• Si α n’est • Si α est

0

pas solution de (EC), alors m = 0 solution simple de (EC), alors m = 1


L ES FONCTIONS HOLOMORPHES : Définition.



˜ = est un ouvert non vide de C et Ω (x, y) ∈ R2 | x + iy ∈ Ω . ˜Ω est un ouvert non vide de R2 f : Ω → C une fonction, on note ˜ f l’application définie sur ˜ Ω par ˜f (x, y) = f (x + iy) et on pose P : (x,y ) ∈ ˜ Ω 7→ < ef (x + iy) et Q : (x, y) ∈ ˜ Ω 7→ = mf (x + iy) Pour tout z0 ∈ C et r ∈ R+ ∪ {+∞}, on note Ω





D (z0 , r) = {z ∈

C

: Démarche.

Fonctions analytiques

Définition

On dit que f est analytique sur Ω si pour tout z0 ∈ U il existe r > 0 et une série entière +∞

X a (z − z ) R ≥ r tels que ∀z ∈ D(z , r), f (z) = 0

0

n

n

n

n

de rayon de convergence

Xa z n

n

C

-dérivable en z0

f (z) − f (z0 ) existe dans z − z0 notée f 0 (z0 ) lim

∈

Ω

si

. Auquel cas elle est

C

2. On dit que a est un zéro isolé de f si a est un zéro de f et ∃ε > 0 tel que ∀z ∈ D(a, ε) \ {0}, f (z) 6= 0.

une application définie par une série entière dont le rayon de convergence R est non nul. Soit z0 un

X f (z ) u point de l’intérieur du disque de convergence. Alors la série entière n! X f (z ) (z − z ) égal à R − |z | et on a ∀z ∈ D (z , R − |z |) , f (z) = 0

0

n=0

Propriété

Si f est C -dérivable en z0 ∈ Ω alors f est continue en z0 . Fonction holomorphe

Une fonction f : Ω −→ C est dite holomorphe, si elle est C-dérivable en tout point de Ω et si la fonction z 7−→ f (z) est continue sur Ω. La fonction z 7−→ f (z) est alors appelée la dérivée de f , notée f . 0

(n)

0

0

n!

Conditions de Cauchy-Riemann

Corollaire

Soit f : Ω −→ C une fonction. Les assertions suivantes sont équivalentes :

+∞

∀z0 ∈ U, ∃r > 0, ∀z ∈ D(z0 , r), f (z) =

(n) (z ) 0

X f

f f ∂ ˜ ∂ ˜ (x, y) + i (x, y) = 0 . ∂ x ∂ y

2π

Z   f z + re e 0

iθ

−inθ

dθ ne dépend pas du choix de 0 < r < R

0

Xa z 2. La série entière X a (z − z )

n

a un rayon de convergence au moins égal à R , et on a l’égalité ∀ z

∈ D (z0 , R),f (z) =

∂ P

∂ Q

∂ P

∂ Q

∂ x

∂ y

∂ y

∂ x

(x,y ) = −

n

0

(x, y).

Soient Ω un ouvert connexe par arcs, f et g holomorphes sur Ω. Si ∃ (zn ) ∈ ΩN à valeurs deux à deux distinctes et convergente dans Ω telle que ∀ n ∈ N , f (zn ) = g (zn ) alors f = g sur Ω . Principe d’identification

+∞

Soient Ω un ouvert connexe par arcs, an zn et bnz n deux séries entières de rayons de convergence non nuls et de sommes respectives f et g . Les assertions suivantes sont équivalentes :

P

n

n=0

Corollaire

3. P et Q sont de classe C 1 sur Ω et elles vérifient les équations d’Euler (x, y) et

Principe d’identification

On suppose que f est holomorphe sur Ω, z0 ∈ Ω et R > 0 tels que D (z0 , R) ⊂ Ω.

n>0

2. f ˜ est différentiablede C 1 sur Ω et vérifiel’équation d’Euler

(x,y ) =

n!

2. Soient Ω un ouvertconnexepar arcs,f , g et h trois fonctions analytiques sur Ω avec h non identiquement nulle sur Ω . Si f h = gh sur Ω alors f = g sur Ω .

(z − z0 )n

Propriété

n

1. f est holomorphe sur Ω.

1. Soient Ω un ouvert connexe par arcs, f et g deux fonctionsanalytiques sur Ω . Si ∀z ∈ Ω, f (z)g(z) = 0 alors f = 0 ou g = 0 sur Ω .

3. f admet un développement de Taylor au voisinage de tout point z0 ∈ Ω . Autrement dit,

1 2πr n

Si Ω estunouvertconnexepar arcset f unefonctionnon identiquement nulle holomorphe sur Ω alors les zéros de f sont isolés. Le résultat est faux si l’ouvert n’est pas connexe par arcs. En effet, l’application f définie sur C \ {z ∈ C/|z| = 1} par f (z) = 0 si |z| < 1 et f (z) = 1 si |z| > 1 est holomorphe, non nulle et tous ses z éros sont non isolés.

2. f est infiniment dérivable sur Ω.

1. Le nombre an =

Principe des zéros isolés

Attention

n

1. f est holomorphe sur Ω.

n=0

une C-algèbre

a un rayon de convergence au moins

On suppose que f est analytique sur Ω. Alors :

0

H (Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. est

n

Analyticité des fonctions holomorphe

0

Propriété

0

n>0

+∞

0

Soit f ∈ H(Ω) et a ∈ Ω . 1. On dit que a est un zéro de f si f (a) = 0 .

Propriété

(n)

z →z0

1. f est holomorphe sur U ssi f est analytique sur Ω . 2. Une fonction holomorphe sur Ω est indéfiniment dérivable au sens complexe sur Ω et toutes ses dérivées sont analytiques sur Ω . 3. Lasommed’une série entière derayonde convergence nonnulest analytique sursondisque ouvertde convergence.

P

1. ∀n ∈ N,a n = bn . 2. Il existe une suite (zn ) ∈ CN de points deux à deux distincts qui tend vers 0 et telle que ∀ n ∈ N, f (zn ) = g(zn).

4. Soit f holomorphe sur Ω . On pose R = sup{r > 0/D(z0 , r) ⊂ Ω} ∈ ]0, +∞[∪{+∞} :

Propriété

On suppose que Ω estouvertconnexepar arcs et f holomorphe sur Ω . Alors f est constante sur Ω si et seulement si f = 0 sur Ω.

+∞

n!

f (n) (z0 ) 1 ∀0 < r < R, ∀n ∈ N, = n! 2π rn

Z

n=0

Holomorphie et séries entières

une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Alors f est infiniment C -dérivable sur D(0, R) et on a n

+∞ (k ) N, ∀z ∈ D(0, R), f (z) =

X k!C

k n n+k an+k z

n=0

(n) (z ) 0

X f

∀z ∈ D(z0 , R), f (z) =

0

∀k ∈

Pa z

n=0

Soit f (z) =

: Information

P RINCIPE DES ZÉROS ISOLÉS

n=0

On dit que f est

n

: Attention.

+∞

, |z − z0 | < r}

Définition

P Soient a z


F ONCTIONS ANALYTIQUES

F ONCTIONS HOLOMORPHES Dans ce qui suit

: Astuce.

2π

P RINCIPE DE PROLONGEMENT ANALYTIQUE

(z − z0 )n.

Théorème it

−int

f (z0 + re )e

Soit g une fonction holomorphr sur un ouvert non vide Ω1 ; s’il existe un ouvert connexe par arcs Ω contenant Ω1 et une fonction f holomorphe sur Ω et prolongeant g , alors f est unique

dt.

0

Corollaire

1. Soient f et g deux fonctions analytiques sur Ω et λ ∈ C . Alors f + g, λf et fg sont analytiques sur Ω. Si de plus, ∀z ∈ Ω, g(z) 6= 0 alors f g est analytique sur Ω . 2. Soit V un ouvert de C . Soit f

deux fonctions analytiques sur Ω V respectivement avec f (Ω) V . Alors

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Résumé de Cours

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