G ROUPES : Dé Défin finiti ition on..
: Ré Résu sulta ltatt de co cour urs. s.
G ROUPES
: Ré Résu sulta ltatt pr prat atiq ique ue..
: As Astu tuce ce..
Morphismes de groupes
Soit deux groupes (G, .) et (G , ?) d’éléments neutres re −→ → G une application. On spectifs eG et eG . Soit f : G − dit que f est un morphisme de groupes si pour tous x et y éléments de G:
• la loi ? est associative:
0
0
0
(x ? y ) ? z = x ? (y ? z) x ? e = e ? x = e
• Tout élément x de G admet un symétrique, c’està-dire ∀x ∈ G , ∃x ∈ G tel que x ? x = x ? x = e Si de plus ∀x, y ∈ G : x ? y = y ? x, on dit que la loi ? est 0
0
0
commutative, et que le groupe est abélien. Soit (G , ? ) et (G , ? ) deux groupes. En définissant dans G × G la loi ? par: 1
1
2
2
∀(a, b), (c,d ) ∈ G1 × G2 , ( a, b) ? (c, d) = ( a ?1 c, b ?2 d )
Alors (G × G , ?) est un groupe d’élément neutre (eG , eG ). Un tel groupe est appelé le groupe produit 1
• La composée de deux morphismes de groupes est
un morphisme de groupes;
groupe est un isomorphisme de groupes
2
1
1
Opérations de morphismes
• L’application réciproque d’un isomorphisme de
Groupe produit
2
Soit f : (G,. ) → (G , ?) un morphisme de groupes. Alors pour tout x, y ∈ G et n ∈ Z:
3.
f xy
⇐⇒
⇐⇒
6 = ∅ ; H 6 ∀x, y ∈ H : x.y ∈ H ; ∀x ∈ H : x−1 ∈ H
(x + y ∈ H ) (−x ∈ H )
∀x, y ∈ H : x.y
∈ H.
(x − y ∈ H )
Les sous-groupes de (Z, +)
Soit H un sous groupe de Z , alors il existe un unique = nZ entier n ∈ N tel que H =
1. Si G est infini, alors a et a teurs de < a >
2. il existe k ∈ N tel que ak = e .
I MAGE ET NOYAU
Sous-groupe engendré • L’intersection d’une famille non vide de sous-
groupes est un sous-groupe
• < S > l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant S ⊂ G est le plus petit sous-groupe de (G,. ), au sens de l’inclusion, contenant S , dit le
sous-groupe engendré par S
Exemple k
n
2π
• k engendre
⇐⇒ ⇒ n | k ak = e ⇐
•
ωk
. Z
, + ⇐⇒ n ∧ k = 1 nZ
engendre (Un, ×) ⇐⇒ n ∧ k = 1
Si a ∈ G est d’ordre fini n et r ∈ Z, alors ◦ (ar ) =
Soit f : : ( G, .) → (G , .) un morph morphismede ismede group groupes. es. Alors 0
sous-groupe de G .
−1
0
un sous-groupe de G .
(H ) est
de Lagrange
Exemple
Pour tout k ∈
0
.
Z
, l’ordre de k dans
nZ
◦ k =
En particulier ({e }), le noyau de f , est un sous-groupe de G. On le note Ker(f ). 0
• f ( (G), l’image de f , est un sous-groupe de G . On le note Im (f )
T HÉORÈME DE L AGRANGE
n n∧r
n
. Z
,+ nZ
Injectivité et surjectivté
Un morphisme de groupe f : ( G, .) → (G , ?) est 0
= {eG } 1. injectif si, et seulement, si Kerf = = G 2. surjective si, et seulement, si Imf =
0
Ordre et cardinal
Soit G un groupe fini. Alors: 1. Tout élément de G est d’ordre fini;
Groupe d’ordre premier
Si a est d’ordre n, alors • Le groupe < a > est de cardinal n et < a >:= e,a, · · · , a n−1
• < a > est isomorphe à
Corollaire
est
2. l’ordre de tout élément a de G divise l’ordre du groupe. C’est-à-dire a CardG = eG
n∧k
0
SOUS - GROUPES ENGENDRÉ
sont les seuls généra-
Z/nZ et de U [[00, n − 1] 1]]] et ω = e i Soit k ∈ [[
Générateurs de
| ak = e }
Ordre des itérés
Images de sous-groupes
−1
−1
2. Si G est cyclique, alors les générateurs de G sont 1]]] et r ∧ n = 1 exactement ar avec r ∈ [[0, n − 1]
et aussi l’unique entier n de N tel que l’on ait : ∀k ∈ Z,
• f
∗
,+ nZ
Soit G =< a > un groupe monogène
1. a est d’ordre fini;
N
Z
n
• Si H est un sous-groupe de G , alors f
Un sous-groupe d’un groupe est un groupe.
Générateurs d’un gr monogène
.
∗
0
Théorème
• Si G est d’ordre n, il est isomorphe à
Si G est fini, son cardinal est appelé son ordre
min{k ∈ ◦(a) = min{
0
−1
Tout groupe monogène est abélien
• Si G est infini, il est isomorphe à Z
−1
• Si H est un sous-groupe de G , alors f (H ) est un
6 = ∅ ; H 6
Propriété
Ordre d’un groupe
= f (x) ? f ( (y )
4. f ((xn ) = f (x)n
Soit ( G, .) un groupe. Une partie H ⊂ G est un sousgroupe de G
(
−1
le groupe est
Soit G =< a > un groupe monogène, alors
Dans ce cas
−1
−1
x >= G ,
eG le seul élément de G d’ordre 1
0
1. S’il existe x ∈ G tel que < dit monogène.
Classification
Exemple
∗
1. f ((eG) = e G
2. f (x ) = f (x)
Sous-groupe
est appelé l’ordre de a. On note alors ◦(a) = n
Les affirmations suivantes sont équivalentes :
0
Groupe monogène, groupe cyclique
2. Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.
• Si n = 0 , alors on dit que a est d’ordre infini
Caractérisation de l’ordre
Propriétés de morphismes
2
S OUS - GROUPE
Définition • Si n ∈ N , alors on dit que a est d’ordre fini et n
Si de plus f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme de groupes
: In Info form rmat atio ion n
G ROUPES MONOGÈNE , CYCLIQUE
(G, .) un groupe d’élément neutre eG et a ∈ G . L’application ϕ a : Z −→< a >,k 7−→ a k est un morphisme de groupes, il existe donc un unique n ∈ N tel que Kerϕa = n Z
∗
f (x.y) = f (x) ? f (y )
• G possède un élément neutre: ∃e ∈ G tel que
: At Atte tent ntio ion. n.
O RDRES
On appelle groupe un ensemble G muni d’une loi de composition interne ? vérifiant :
∀x ∈ G,
: Ex Exem emple ple cla class ssiq ique ue..
MORPHISMES DE GROUPES
Groupe
∀x,y,z ∈ G :
: Dé Déma marc rche he..
. Z
Soit G un groupe fini d’ordre premier p . Alo Alors rs G est cyclique.
,+ nZ
Si a est d’ordre fini, alors ◦(a) = Card (< a >)
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R ÉDUCTION : Définition.
: Résultat de cours.
É LÉMENTS PROPRES
: Résultat pratique.
• Soit λ ∈ K. On dit que λ est valeur propre de u s’il existe x ∈ E \ {0} tel que u(x) = λx. • Soit x ∈ E . On dit que x est vecteur propre de u si x 6 = 0 et s’il existe λ ∈ K tel que u (x) = λx. • L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme est appelé le spectre de u et noté SpK (u). • Soit λ ∈ S p(u). E λ(u) = Ker (u − λ · IdE ) est un sev de E distinct de {0E } appelé le sous-espace
• On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme χA = det(X In − A). • On appelle polynôme caractéristique de u le polynôme χu = det(X IdE − u).
Endomorphisme induit F
k
(u − λ · IdE ) n’est pas injectif
(u − λ · IdE ) n’est pas surjectif (u − λ · IdE ) n’est pas bijectif ⇔ rg (u − λ · IdE ) < n ⇔ det(u − λ · IdE ) = 0 ⇔ ⇔
Éléments propres d’une matrice Les éléments propres d’une matrice A sont ceux de l’endomorphisme canoniquement associé uA :
M n,1 (K) X
F i tel
que ∀ i ∈ [[1, k ]], F i
i=1 k
est stable par u, alors χu =
Si E est de dimension finie n > 1, alors ⇔
M Y
−→ − 7 →
M n,1 (K) AX
On écrit A à la place de uA
χu
K
, χ u (λ) = 0 }
Définition
Soit u ∈ L (E ), soit A ∈ M n (K).
Un endomorphisme u ∈ L (E ) est dit nilpotent s’il existe p ∈ N tel que u p = 0 . Auquel cas le plus petit p vérifiant cette identité est appelé indice de nilpotence de u. Ce vocabulaire se transpose aux matrices
• On dit que u ∈ L(E ) est diagonalisable s’il existe une base B de E telle que M B (u) est diagonale. • On dit que A ∈ M n (K) est diagonalisable si elle
est semblable à une matrice diagonale.
La multiplicité d’une racine λ de χ u est appelée l’ordre de multiplicité de λ; elle est noté m (λ).
Dimensions de sep
k
3.
Soit P =
ai X i ∈ K[X ].
i=0 n
P (u) :=
ai ui
n
et P (A) :=
i=0
Propriété
X
ai Ai
Si A = Mat (u) alors P (A) = Mat (P ( u)). B
B
du morphisme d’évaluation P 7−→ P (u) est un idéal de K[X ]. On l’appelle l’idéal annulateur de u. K[X ] | P (u) = 0}
k
Φ
Φ
:
K[X ] → L (E ) P 7→ P (u)
et Ψ :
k
P i
(u) =
i=1
K[X ] → M n (K) P 7→ P (A)
et Ψ sont des morphismes d’algèbres.
Ker (P i (u))
Y
i=1
• KerΨ est l’idéal annulateur de A
i
• u est dite trigonalisable s’il existe une base B de E pour laquelle M B (u) est triangulaire supérieure. • M estdite trigonalisable si elleest semblable à une
matrice T triangulaire supérieure.
0
Les quatres affirmations sont équivalentes : χu est scindé.
1
..
.
(0)
..
.
..
.
1 0
(0)
∈ M n (K)
D ÉCOMPOSITION SPÉCTRALE Décomposition spéctrale Si
u est diagonalisable où E est de dim finie, avec Sp (u) = {λi , i ∈ [[1, k ]]}. Pour i ∈ [[1, k ]], E i = Ker (u − λi Id E ) et soit p i la projeck
tion de E sur E i de direction
M
E j .
j =1 j6 =i
Alors
k
u =
X
λi pi
i=1
et
k
∀P ∈
K[X ], P (u) =
X
P (λi ) pi
i=1
πu est scindé.
Corollaire
Ker (P i (u))
Si K = C, alors
i=1
1. Tout u ∈ L(E ) est trigonalisable.
Théorème de Cayley-Hamilton le polynôme caractéristique de , alors
Propriétés caractéristiques
4. E =
Tout matrice A ∈ M n (K) nilpotente d’indice n est sem blable à la matrice de Jordan
dim(E λ ) = n ;
3. u annule un polynôme scindé
P i un polynôme annulateur de u , alors k
• KerΦ est l’idéal annulateur de u
Une matrice A est nilpotente si, et seulement si, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte
Matrice de Jordan
T RIGONALISATION
2.
i=1
M
X
1. u est trigonalisable.
k
Si P =
;
Soit u ∈ L (E ), soit M ∈ M n (K).
Si P 1 , . . . , P k sont k polynômes deux à deux premiers entre eux, alors : Ker
i
Définition
On appelle polynôme minimal de u ∈ L (E ) (resp de A ∈ M n (K)) l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal des polynômes annulateurs.
Soit u ∈ L(E ), A ∈ M n (K). Soit
E λ
L’indice de nilpotence de u est inférieur ou égal n
Théorème
En particulier si χu est scindé à racines simples, alors u est diagonalisable.
ment de l’idéal annulateur.
Propriété
2. u est trigonalisable avec 0 pour seule valeur propre.
i
Polynôme annulateur
"Y ! # M
1. u est nilpotent;
i=1
Théorème de décomposition des noyaux
i=0
Soit u ∈ L(E ) où E est de dim finie n. On a équivalence entre :
5. χu est scindé et ∀i ∈ [[1, k ]], dim E λ = m i. 6. πu est scindé à racines simples. 7. u annule un poly scindé à racines simples.
1 6 dim E λ 6 m (λ)
Polynôme minimal
n
X X
M i=1
4.
Si λ est valeur propre de u d’ordre m (λ), alors
Même définition pour les matrices
Définition
E = k
• On appelle polynôme annulateur de u tout élé-
P OLYNÔME D ’ ENDOMORPHISME
Propriété caractéristique
Si A est diagonalisable en ∆ = P −1 AP , alors les valeurs propres sontles élémentsde la diagonalede ∆ etlamultiplicité de chacune est son nombre d’occurence dans cette diagonale.
1. u est diagonalisable. 2. E possède une base de vecteurs propres;
Ordre de multiplicité
• Le noyau { P ∈
Définition
Soit Sp (u) = { λ1 , · · · , λk }. Les affirmations suivantes sont équivalentes.
Spectre et polynôme caractéristique
: Information
E NDOMORPHISMES NILPOTENTS
Propriétés caractéristiques
F i
i=1
Sp (u) = {λ ∈
: Attention.
Propriété
Si F est stable par u , alors χu |χu . Plus généralement si E =
: Exemple classique.
D IAGONALISATION
Définition
propre de u associé à λ
Caractérisation en dim finie
: Démarche.
P OLYNÔME CARACTÉRISTIQUE E est de dimension finie
Éléments propres
λ ∈ Sp (u)
: Astuce.
( )=
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L ES SÉRIES À VALEURSDANS UN EVNDE DIM FINIE : Définition.
: Résultat de cours.
C ONVERGENCE ET DIVERGENCE E un K-espcae vectoriel de dim finie et
X
un une série de E
un converge
si la suite de ses sommes
n>0
partielles (S n ) converge dans E , lalimite dela suite (S n ) +∞
est appelée somme de la série
X
un ,
un, notée
X
un .
n=0
n>0
Une série est dite divergente si elle ne converge pas
•
−−−−−→ 0
1. S’il existe
X X
Soit q ∈ C, alors la série géométrique
q n converge si,
et seulement, si |q | < 1. Auquel cas
1
nα
1
n
q =
n=0
1
− q
X
3. S’il
un est
1
un diverge
existe λ > 0 et α
• Si α
6
n
∞
un =
n=0
0 et Rn −−−−−→ +
uk + Rn
n→
k=0
∞
nα
◦ Si
Séries numériques coordonnées p
Soit β = (e1 , · · · , e p ) une base de E et un =
X
un,i ei le
◦ Si
i=1
terme général de la série
X
un converge
1
nα
X
un .
Alors
X ⇐⇒ ∀ ∈ X X X ! i
[[1, p]],
En cas de convergence:
un,i converge
p
+∞
+∞
un =
n=0
un,i
i=1
ei
X X
u n+1 un
6
∈
R
X X
un =
= (un ),
◦
λ nα
un converge un diverge
Critère spécial des séries alternées
un diverge, alors la série
n>0
( 1) un unesérie alternée telleque (un ) décroît
vn diverge
et est de limite nulle, alors
X−
( 1) un converge et n
f (t) dt
+∞
un converge
un diverge
∀n ∈ N,
Règle de Raabe-Duhamel
Soit (un ) une suite de réels strictement positifs telle que un+1 =1 un λ
− αn + O
nβ
uk
vk
un diverge
0
k
Inégalité triangulaire
SÉRIE DE N EUMANN
X
un
est absolument convergente.
−1
mais on ne peut
=
X
un .
n=0
k 6 1 −1kuk .
F ONCTION EXPONENTIELLE Soit A une K-algèbre normée de dimension finie. L’application exponentielle
√ n e
n
2πn
− f (n) converge. En conséquence
+∞
f (t) dt 6
n+1
Z
un
n=0
3. k (1A − u)
k=0
X
k=n+1
+∞
f (k) 6
Z
f (t) dt
n
n
n +1
∗
∀n ∈ N ,
n=0
−1
Cela peut donner un équivalent pour la suite des restes. En cas de divergence, un encadrement de la suite des sommes partielles
1
∞
2. 1 A −u estinversibledans A et (1A − u)
n
+∞
n>0
X k
un 6
+∞
vk
k=0
X
Z
un est
n>0
n>0
f (t)dt et la série f (n) sont de même l’intégrale 0 nature. En cas de convergence, un encadrement de la suite des restes
n>0
∗
Z Z n
+
X
uk = O
k=0
∼
n>0
∞
⇒) convergence X
absolument, alors la série
convergente et
k=0 n
Soit f : R+ → R+ une fonction décroissante continue par morceaux sur R+ . La série du terme général
n→+∞
∃(α, β ) ∈ R ×]1, +∞[,
k=0 n
n+1
−−−−−→ ` ∈ R
+
n>0
n!
un converge
1. La série
vk
Théorème: Comparaison série-intégrale
n>0
n
uk =
Formule de Stirling un converge
Si
Soit u ∈ A tel que k u k < 1
n
X ◦ X ! X X ! X ∼ X X
1. Si un = ◦ (vn ), alors
Dans le troisième cas
Convergence absolue
Série de Neumann
pas conclure la convergence dans les deux premiers cas
X X
3. Si ` = 1 on ne peut pas conclure.
n>0
vn est divergente
3. Si un ∼ vn , alors
X X X
Soit A une K-algèbre normée de dimension finie.
n>0
Soit ( un ) une suite réelle gardant un signe constant, (−1)n un est dite alternée alors la série
X
On suppose que
X
n
n>0
X
un est absolument convergente
k=0
un+1 vn+1 6 un vn
n>0
n=0
X
Dans les trois cas
k=n+1
n>0
nα
∼
2. Si ` > 1, alors
Soit
ou
1
tels que : u n
vn converge, alors la série
1. Si 0 6 ` < 1, alors
k=n+1
vk
k=n+1
2. Si un = O (vn ), alors
Séries alternées
X−
de même
Critères de D’Alembert
Si
vk
+∞
uk
n
= O (un ) ou
1, alors la série
Si ∃N ∈ N, ∀ n > N, 0
+∞
uk = O
k=n+1
Comparaison logarithmique
X X
vk
k=n+1
n>0
un converge
• Si α > 1, alors la série
uk , et on a
+∞
uk =
Cas de divergence
k=n+1
∀n ∈ N,
vn sont
α > 1 tq un = O
, alors
alors
n>0 +∞
un et
+∞
k=n+1 +∞
vn diverge.
2. S’il existe α 6 1 tq
Reste d’une série convergente
Le reste d’ordre n d’une série convergente
alors
X ◦ X
n>0
∞
défini par Rn :=
vn ,
X ◦ X ! X X ! X ∼ X +∞
X
On dit que la série un converge absolument si la série k un k est convergente.
vn est convergente
3. Si un ∼ vn , alors
C ONVERGENCE ABSOLUE Convergence absolue
2. Si un = O (vn ), alors
Règle de Riemann
n→+∞
Série géométrique
X
un diverge
2. Si u n ∼ nature
Condition nécessaire un converge, alors u n
n
X X X⇒ X
: Information
E désigne un K-espace vectoriel normé de dimension finie
un une série numérique.
1. Si un = ◦ (vn ), alors
un = sup S n
1. Si un = ◦(vn ) ou un = O (vn ) alors • vn converge ⇒ un converge.
X X
X X
vn une SATP et
On suppose que
Principes de comparaison
(un+1 − u n ) converge si, et La série télescopique seulement, si la suite (un ) est convergente.
n>0
X
+∞
n=0
: Attention.
Cas de convergence
la suite (S n) est majorée.
En cas de convergence
X
Si la série
: Exemple classique.
n>0
Série télescopique
X
Soit
n>0
un converge
: Démarche.
SOMMATION DES RELATIONS DE COMPARAISON
vn deux séries à termes positifs.
Critère de majoration
Définition
On dit que
: Astuce.
X SXÉRIES À TERMES POSITIFS X ⇐⇒ X
n>0
n>0
X
Soit
: Résultat pratique.
f (t) dt 6
X
k=0
n
f (k) 6 f (0) +
Z 0
f (t) dt
Soit u ∈ A. Alors la série
X
n>0
un est absolument convergente. n!
L’application sur A définie par u 7→
+∞
X
n=0
un s’appelle n!
fonction exponentielle sur A et on la note exp. Propriété
Soient u, v ∈ A 1. exp(0A) = 1 A; 2. Si uv = vu alors exp(u + v ) = exp( u) exp(v ) 3. exp(u) est inversible d’inverse exp(−u)
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la
L E S FA M I L LE S S O M M AB L E S : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
: Astuce.
Soient I un ensemble dénombrable et ( xk )k familles numériques.
Ensemble au plus dénombrable
On dit que: • E est dénombrable s’il existe une bijection en tre E
et N.
, (yk )k∈I deux
∈I
• E est au plus dénombrable s’il est fini ou dénom-
La famille numérique ( xk )k I est dite sommable si la famille (|xk |)k I est sommable.
•
brable
Propriété
Soit (xk )k I une famille numérique sommable. On pose ∈
Opérations • Une partie de N est dénombrable si, et seulement
si, elle est infinie.
• Une partie d’un ensemble dénombrable est au
plus dénombrable.
• Un produit fini d’ensembles dénombrables est
, (yi )i∈I deux
Au quel cas, sup
Cas de I
i∈J
somme de la famille (xi )i I et on la note ∈
) X
Im (xk )
• Lasérie
∈
xn est
absolument convergente.
xn =
2. La non sommabilité de la famille (xi )i J entraîne la non sommabilité de (yi )i I ∈
∈
x
σ
(n) =
xk
∈
k∈I
∈
σ
(λxi + y i) = λ
X X xi +
k∈I
yi
k∈I
Sous-famille d’une famille sommable
Soit (xk )k I une famille sommable et J une partie dénombrable de I . Alors (xk )k J est sommable
n>0
∈
X
n=0
x
(n) =
σ
X i∈I
xi
XX XX XX
am,n
n=0 m=0
(m,n)∈N2
+∞ +∞
am,n
+∞
xi
n=0
=
i∈I n
n=0
Sommation par paquets
X X X X X ! X
∈I n
S n converge avec S n =
n>0
X
xi .
xi .
S n =
xi
=
=
On suppose que la série
xi
vn deux
séries numériques absol-
n>0
est absolument convergent et on a
p=0
+∞
+∞
n
u p vn− p
n=0
xn est absolument conver-
n>0
gente. Alors:
et
u p vn− p
N
X
un
n>0
n>0
i∈I
Cas particulier I
X X X X ! X X ! X ! X !
Si
n
i∈I
i∈I n
Produit de Cauchy
ument convergentes alors leur produit de Cauchy
+∞
3.
a p,q .
p+q=n (n,m)∈N2
P RODUIT DE C AUCHY
est sommable. i∈I n
1. Pour tout n ∈ N la famille ( xi)i I est sommable de somme S n . 2. La famille (S n )n N est sommable. ∈
n
p=0
=
+∞
un
×
n=0
vn
n=0
Propriété
Soit A une K-algèbrenormée dedimensionfinie eta, b ∈ A tels que ab = ba . Alors exp( a + b) = exp( a)exp(b)
∈
+∞
∈
+∞
=
am,n
=
xi =
i∈I
n=0
Soit (xk )k I , (yk )k I deux familles sommables et λ ∈ K. Alors la famille (xi + λyi )i I est sommable et
X
+∞ +∞
X
|xi |.
i∈I n
Ou encore:
k∈I
Opérations
∈
X
+∞
∈
Soit (xi )i I une famille de réels positifs indexée par une famille dénombrable I et σ : N −→ I une bijection, alors, la famille ( xi )i I est sommable si, et seulement si, la série x (n) est convergente. Auquel cas
T n est convergenteavec T n =
X X X !
n=0
+∞
∈
|a p,q | converge.
Alors: ( xi)i∈I est sommable et
2. La série
σ
n=0
converge.
Auquel cas :
∈
n>0
Au quel cas
|am,n | converge et la
p+q=n (p,q)∈N2
est sommable.
∈I n
1. Pour tout n ∈ N, la famille (xi )i
xn
Si σ : N −→ I une bijection, alors, (xk )k I est sommable si, et seulement, si x (n) est absolument conver-
i∈I
|am,n |
n>0
n=0
X X X
X
n=0
4. La série
Soit (xk )k I une famille numérique sommable. Alors :
+∞
∈
X X
Retour aux séries
X
X X ! XX
m>0
n>0
∈
1. Si la famille (yi)i I est sommable, alors (xi)i I est sommable et: xi 6 yi
série
S n
la famille (xi )i
N
converge.
m=0 n=0
n>0
Auquel cas
gente.
i∈I n
Critère suffisant de sommabilité • Pour tout n ∈
|am,n | converge et la
n>0
+∞
n=0
i∈I
|am,n |
3. Pour tout m ∈ N , la série
X
n>0
xi =
X
m=0
n>0
n
∈
Retour aux séries
∈
X
X X X n∈N
Soit (xi )i I et (yi )i I deuxfamillesde réelspositifstelles que ∀i ∈ I, xi 6 yi .
i∈I
∈
X X X
X X !
+∞
xi .
i∈I
série
1. Pour tout n ∈ N, la famille (xi )i I est sommable; 2. la série S n converge avec S n = xi
∈
s’appelle la
+∞
Une famille (xi)i I de réels positifs est sommable si, et seulement si, l’on a les deux assertions:
Soit (xi )i I une famille numérique. Si :
k∈I
est sommable. m>0
Sommation par paquets
N
ment, si la série
Critère de comparaison ∈
=
Re (xk ) + i
k∈I
X
∈N2
2. Pour tout n ∈ N , la série
Une suite numérique (xn )n N est sommable si, et seule-
xi 6 M
xi , J ⊂ I et J fini
x− k
k∈I
sommables. On définit la somme par xk :=
i∈J
(X
− x+ k
k∈I
X X
∈
1. La famille (am,n)(m,n)
I n = I.
Auquel cas:
∈I
On dit que la famille (xi )i I est sommable si
∈
+∞
• Dans le cas complexe alors les deux familles réelles (Re (uk ))k∈I et (Im (uk ))k∈I sont
k∈I
Soit (am,n )(m,n) N2 une suite numérique double. Les assertions suivantes sont équivalentes :
n∈N
. x− k
k∈I
xk :=
k∈I
∈
X
− x+ k
k∈I
Définition ∃M > 0, ∀J ⊂ I et J fini ,
= max(−xk , 0) x− k
X X X X X
étant la différence
est dénombrable
FAMILLES POSITIVES SOMMABLES
et
• Si la famille ( xk )k∈I est de réels , alors ( x+ ) et k k∈I (x− k )k∈I sont sommables. On définit la somme de la famille (xk )k∈I comme
• Une union dénombrable de parties dénombrables
[
I n ∩ I m = ∅ ;
Théorème
∈
= max(xk , 0) x+ k
dénombrable.
: Information
S UITES DOUBLES
∈
• ∀ n 6 = m,
∈
: Attention.
Soit I un ensemble dénombrable et ( I n )n N une famille de parties de I tels que:
Famille numérique sommable ∈
: Exemple classique.
SOMMATION PAR PAQUETS
FAMILLES NUMÉRIQUES SOMMABLES
E NSEMBLES DÉNOMBRABLES Soit E un ensemble.
Soient I un ensemble dénombrable et ( xi)i familles de réels positifs (xi)i I
: Démarche.
3. On a
X XX X S n =
n∈N
xi =
n∈N i∈I n
n=0
xn .
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F ONCTIONS VECTORIELLES D’ UNE VARIABLE RÉELLE : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
D ÉRIVATION normés et de dimensions finies sur K et parfois ils sont euclidiens. I, J désignent des intervalles de R. Soit f : I −→ E , B = (e1 , · · · , e p ) une base de E et (f i )16i6 p les applications coordonnées de f dans la base B : f ( t) =
i=1
Dérivation • On dit que f admet une dérivée en a si f (x) − f (a) lim x→a x−a
Soit f : I −→ E et g : I −→ F deux fonctions de classe C 1 sur I et B : E × F −→ G . Alors pour tout a, b ∈ I , alors:
Soit f ∈ D (I, E ) et L ∈ L (E, F ). Alors L ◦ f ∈ D n (I, F ) et (L ◦ f )(n) = L ◦ f (n)
Z
Formule de Leibniz
Changement de variable
b
X
existe ∈ E
Dérivées succéssives
Soit f ∈ F (I, E ). On définit les dérivées successives de f , si elles existent, au moyen d’une récurrence • f (0) = f • Soit k ∈ N . Supposons avoir défini f (k) sur I , si 0 f (k) est dérivable sur I , on pose f (k+1) = f (k)
La fonction f , si elle existe, est appelée la dérivée ke`me de la fonction f . (k )
• L’ensemble des fonctions n-fois dérivable sur I se note Dn (I, E )
Tous les résultats précédents restent vrais si on remplace
Dn par C n ou C ∞
I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT Soit f : I −→ E cpm. Pour tout a, b ∈ I , on appelle intégrale de f de a à b le vecteur p
b
f (t) dt :=
a
b
f (b) − f (a) b−a
• tanh x = x −
Si f (a) = f (b) on retrouve le théorème de Rolle
b
b
• f est de classe C p sur [a, b[
a
f +
a
b
2. Relation de Chasles:
a
f
c
b
f
=
a
Formule de Taylor avec reste intégral
L ◦ f
n
(b − a)k (k) f (b) = f (a) + k! =0
a
Somme de Riemann
Fonctions coordonnées
Soit f : I −→ E de fonctions coordonnées f 1 , · · · , f p dans une base de E . On a équivalence entre: 1. f ∈ Dn (I, E )
i=1
(n)
f i
f a + k
k=0
b−a n
b
−−−−−→ n→+∞
Z
f
a
Soit f ∈ C pm (I, E ), a, b ∈ I tels que a 6 b alors:
p
X
X
Si de plus
Inégalité triangulaire
f i ∈ D n (I, K)
Auquel cas f (n) =
n−1
.ei
Mêmes résultats si on remplace Dn par C n ou par C
∞
Z
X X k
Soit f ∈ C pm ([a, b], E ), alors b−a n
Z
f 6
kf k
1 = 1 + x
f (b) −
f (n+1)
a
(b − t)n (n+1) (t)dt f n!
soit majorée sur I . Alors
n
k
b
Z
(b − a)k (k) f (a) k! =0
6
|b − a|n+1 sup kf (n+1) k (n + 1)! [a,b]
α(α − 1) · · · (α − k + 1) k x + k!
xk + ◦ (xn)
k=0 n
(−1)k xk + ◦ (xn )
k=0
X X X X X X
• ln(1 − x) = −
k=1
n
xk + ◦ (xn ) k
(−1)k−1
k=1
k
n
• arctan x =
(−1)k
k=0
Soient f ∈ C n+1 (I, E ). Alors pour tout a, b ∈ I
b
X
n
X X
F ORMULES DE TAYLOR
b
f +
a
1 = 1−x
• ln(1 + x) =
g
c
f =
2 x5 + ◦ x5 15
k=1
Alors f est de C p sur [a, b] et ∀k ∈ [[1, p]], f (k) (b) = ` k
a
+
3
n
• Pour tout k ∈ [[1, p]], f (k) a une limite `k en b
b
Z Z Z Z Z Z ! Z
(λf + g ) = λ
•
•
• f est continue sur [a, b];
Soient f, g ∈ C pm (I, E ), a,b,c ∈ I et λ ∈ K, alors:
Z
kf (b) − f (a)k 6 M | b − a| ∗
f
x 3
+ ◦ x2n+1
2 x5 + ◦ x5 15
◦ (xn )
Soit f une application de [a, b] dans E et p ∈ N tels que
Z
+
3
• (1 + x )α = 1 +
0
∀a, b ∈ I,
x 3
+ ◦ x2n
+ ◦ x2n
n
Soit f ∈ C 1 (I, E ) telle que k f k soit bornée sur I i.e. il existe M ∈ R+ tel que ∀t ∈ I, k f (t)k 6 M , alors
a
• C (I, E ) l’ensemble des fonctions de classe C
2. ∀i ∈ [[1, p]],
• tan x = x +
Propriété
∞
sur I
ei
x2k
(2k)!
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [ a, b] et dérivablesur ]a, b[. Alorsil existec ∈]a, b[ telque f (c) =
Théorème de prolongement par dérivabilité
S’il n’y a pas de confusion l’intégrale se note
3. Si L ∈ L(E, F ), alors L
∞
!
n
• cosh x =
des accroissements finis
b
• C n (I, E ) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I
f i (t) dt
a
i=1
1. Linéarité:
• f est dite de C ∞ sur I ou f est lisse sur I si f est k-fois dérivable sur I pour tout k ∈ N
X Z
x2k+1
(2k + 1)!
k=0
0
Z
n
• sinh x =
0
(2k)!
k=0
ϕ0 (t)f ( ϕ(t)) dt
a
Inégalité des accroissements finis
Définition
• f est dite de C n sur I si f est n-fois dérivable sur I
et f (n) est continue sur I
f (t)dt =
ϕ(a)
x2k
(−1)k
• cos x =
b
Z
I NÉGALITÉ DES ACCROISSEMENT FINIS
0
0
k=0
+ ◦ x2n+1
(2k + 1)!
n
ϕ(b)
et a, b ∈ I . Alors:
x2k+1
(−1)k
• sin x =
k=0
Soit f ∈ D n(I, E ), ϕ ∈ Dn (J,I ). Alors (f ◦ϕ) ∈ D n (J, E )
que f est dérivable sur I et la fonction de I vers E qui à x associe f (x) est appelée dérivée de f sur I, on la note f
B (f (t), g 0(t))dt.
Soient ϕ de classe C 1 sur I à valeurs dans J , f ∈ C (J, E )
Z
xk + ◦ (xn ) k!
X X X X X k=0
a
C ni B (f (i) , g (n−i) )
Dérivation et composition
• Lorsque f est dérivable en tout point de I on dit
B (f 0(t), g (t))dt = [ B (f (t), g (t))]ba −
n
• ex =
n
b
Z
a
i=0
df Cette limite est noté f 0(a) on note aussi (a). dx
Les développements limités usuels en 0
Intégration par parties
B (f, g )(n) =
: Information
D ÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS EN 0
Soient n ∈ N, λ ∈ K et f, g ∈ Dn (I, E ). Alors λf + g ∈ Dn (I, R) et (λf + g )(n) = λf (n) + g (n)
Soit B : E × F −→ G une application bilinéaire, n ∈ N , f ∈ D n (I, E ) et g ∈ D n (I, F ). Alors B (f, g ) ∈ D n (I, G) et n
Soit f : I → E et a ∈ I .
: Attention.
Somme et multiplication par un scalaire
n
f i (t) ei
: Exemple classique.
M ÉTHODES DE CALCUL
Propriété
p
∀t ∈ I,
: Démarche.
O PÉRATIONS
E , F , G sont
X
: Astuce.
n
x 2k+1 + ◦ x2n+1 2k + 1
x2k+1
• argtanh x =
k=0
2k + 1
n
• arcsin x =
xk + ◦ (xn )
+ ◦ x2n+1
(2k)! x2k+1 + ◦ x2n+1 k k !)2 2k + 1 (2 k=0 n
(−1)k
• argsinh x =
k=0
(2k)! x2k+1 + ◦ x2n+1 2 (2k k!) 2k + 1
Formule de Taylor-Young
Soit f : I → E une fonction de C n sur I et a ∈ I , alors f admet un DLn (a) donné par n
(
k
)
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S UITES ET SÉRIES DE FONCTIONS : Définition.
: Résultat de cours.
CONTEXTE
: Résultat pratique.
: Astuce.
Théorème d’interversion des limi tes
A = I un intervalle de R. On note: ∀n ∈ N, S n =
f k
Si:
k=0
MODE DE CONVERGENCE POUR LES SUITES
On dit que (f n )n converge simplement sur A ssi pour tout x ∈ A la suite (f n (x)) converge dans F . On appelle limite de la suite (f n (x)), la fonction f ∈ F A définie par: ∀x ∈ A, f (x) = l im f n(x)
Si:
A
Alors:
Convergence simple
x→a
◦ f n −−→ f
• • •
La suite (bn ) converge ; f admet une limite en a; lim
x→a
lim f n(x) = l im
n→+∞
n→+∞
Si ∀n ∈ N, f n admet une limite bn en a ∈ A etla suite (bn ) diverge, alors (f n ) ne converge pas uniformément
n→+∞
T HÉORÈME D ’ INTERVERSION lim ET
Convergence uniforme • •
cvu
cvs
A
A
f n −−→ f ssi f n −−→ f et k f n − f kA −−−−−→ 0 ∞ cvu
f n −−→ f ssi ∃(εn) ∈ RN + de limite nulle vérifiant: A
∀x ∈ A,
Soit a ∈ A
k f n(x) − f (x) k 6 εn Si:
N
M ODES DE CONVERGENCE POUR LES SÉRIES Convergence simple, convergence absolue
X X X
f n converge simplement sur A si: ∀x ∈ A,
n>0
f n (x) converge
f n converge absolument si verge simplement sur A.
X
•
X
+∞
converge simplement sur A et
X
nécessaire:
Si
X
cvu
X
A
f n est bornée et la série numérique
La somme
•
X
+∞
lim
x→a
f n admet une limite en a;
n=0
f n (x) =
n=0
+∞
•
n→+∞
n
ET
◦ ∀n ∈ N, f n ∈ C ([a,b ], F ) ; ◦ f n CU sur [a,b ].
`n =
n=0
n=0
a
lim f n (x)
x→a
◦ ∀n ∈ N (ou à pcr) f n est continue sur A; cvu ◦ f n −−→ f sur tout compact inclus de E dans A.
( X
◦ ∀n ∈ N, f n ∈ C (A, F ); ◦ f n CU sur tout compact inclus dans A.
Alors: la somme
+∞
X
f n est continue sur A.
n=0
Remarque: Dans les deux théorèmes précédents, si A est un inter-
valle de
, on remplace compact inclus dans A par segment inclus
f n
n=0
∀k ∈ [[0, p]] ,
f n(k) CU sur tout segment ⊂ I ∞
X X X X ! X
a
f n( p) CU sur tout segment ⊂ I.
◦ ∀ p > 1,
n>0
f n est de classe C ∞ sur I et on a :
n=0
( p)
+∞
∀ p ∈ N,
(k)
( p)
CS sur I ;
Approximation par des fonctions en escalier
Toute fonction f : [a,b ] 7−→ F continue par morceaux sur [ a,b ] est limite uniforme d’une suite ( ϕn)n N de fonctions en escalier sur [a, b], c’est-à-dire
Alors:
∈
n→+∞
•
(k )
∀k ∈ [[0, p]], f n
CU sur tout [a,b ] ⊂ I ; (k )
•
∀k ∈ [[0, p]],
lim f n
= l im f n n→+∞
Théorème de dérivation de la limite Si:
◦ ∀n ∈ N ( ou à pcr ) f n ∈ C ∞ (I, F ); ◦ La suite (f n ) CS sur I ;
( p)
◦ ∀ p > 1, f n
Alors:
n→+∞
Théorème de Stone Weierstrass
Toute application f : [a,b ] −→ C continue est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales
CU sur tout segment inclus dans I.
•
lim f n est de classe C ∞ sur I ;
•
∀k > 0, f n CU sur tout [a,b ] ⊂ I ;
•
∀k ∈ N,
n→+∞
a,b] kf − ϕn k[∞ −−−−−→ 0
(k )
n→+∞
f n( p) .
n=0
Soit a, b ∈ R tels que a < b
lim f n est de classe C p sur I ;
•
+∞
=
L ES APPROXIMATIONS UNIFORMES
◦ ∀n ∈ N ( ou à pcr ) f n ∈ C p(I, F ); ◦ ∀k ∈ [[0, p − 1]], f n
f n
n=0
Soit p ∈ N . Si:
f n(k);
n=0
n>0
Alors la somme
f n(t)dt
RÉGULARITÉ DE LA LIMITE
=
+∞
!
b
n=0
+∞
X ! X X
n>0
converge et on a:
a
n=0
(k )
+∞
∀k ∈ [[0, p]] ,
◦ ∀n ∈ N,f n ∈ C ∞ (I, F ); ◦ f n converge simplement sur I ;
b
+∞
•
Si:
n=0
+∞
f n ∈ C p(I, F );
Théorème de dérivation terme à terme: C
f n est continue;
f n
•
P R
et
n>0
f n( p) CU sur tout segment inclus dans I.
n=0
P R
( X X X Z ! Z X ! X Z la série
•
lim f n(t) dt
a n→+∞
a
X
+∞
b
f n (t) dt =
f n (t) dt =
Alors: f est continue sur A.
kf nk∞ converge.
f n converge normalement sur A si, et seulement, si N • ∃ (an) ∈ R+ / ∀n ∈ N, ∀x ∈ A : kf n (x)k 6 an
a
b
lim
Alors
converge;
f n
X X
n>0
b
b
+∞
X X
Si:
Propriété caractéristique de la CN
Z ! Z Z
◦ La suite (f n ) CU sur tout [a,b ] ⊂ I.
(
f n converge normalement sur A si pour tout n ∈ N ,
X
La suite
n>0
+∞
•
Soit p > 1. Si
◦
∗
Convergence normale
P( X
n>0
Théorème de la continuité de la somme
A
•
•
f n converge unifor-
−→ 0. mément vers f , alors f n −cvu
lim f n est continue sur [a,b ];
Alors:
`n converge;
C ONTINUITÉ : L IMITE ET SOMME
f n
f k −−→ 0
k=n+1
X
X X
Si:
f n converge uniformément sur A ssi
• Condition
x→a
La série
Théorème de dérivation terme à terme: C p ◦ ∀n ∈ N,f n ∈ C p (I, F ); ◦ ∀k ∈ [[0, p − 1]] , f n(k) CS sur I ;
∞
Théorème de la continuité de la limite
Convergence uniforme
RÉGULARITÉ DE LA SOMME
Théorème de dérivation de la limite
k f n kF con-
CA ⇒ CS
•
•
Le théorème s’applique aussi en +∞ ( resp −∞) lorsque A est du type [a, +∞[ (resp ]−∞, a])
n>0
•
Si:
n>0
Alors:
Théorème d’interversion
f n converge uniformément sur A;
•
R
◦ ∀n ∈ N ( ou à pcr) f n ∈ C ([a,b ], F ); ◦ (f n ) converge uniformément sur [a,b ]
T HÉORÈME D ’ INTERVERSION
◦ ∀n ∈ N, f n (x) −−−→ `n ∈ F
→ 0, Si f n −−→ f et ∃(xn ) ∈ A tq (f n (xn) − f (xn )) 6 A alors f n ne converge pas uniformément vers f sur A
•
X ◦
La non convergence uniforme cvs
P
Théorème d’interversion limite-somme
n→+∞
: Information
(
Alors:
lim f n (x)
x→a
: Attention.
Soit (f n ) une suite de fonctions de [a,b ] dans F .
◦ ∀n ∈ N, lim f n (x) existe et vaut bn ∈ F ; cvu
Z
Théorème d’nterversion lim et
Soit a ∈ A.
n
X
: Exemple classique.
T HÉORÈME D ’ INTERVERSION lim ET
T HÉORÈME D ’ INTERVERSION DES LIMITES
(f n)n∈N est une suite de fonctions définies sur A à valeurs dans F où A ⊂ E avec E et F sont de K -espaces vectoriels normés de dimensions finies. Le plus souvent, E = F = R et
: Démarche.
(k )
(k)
lim f n
= l im f n(k)
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S ÉRIES ENTIÈRES : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
Définition
Critère de comparaison
Soit (an ) ∈ CN . On appelle série entière associée à la suite (an ) la série an zn . de fonctions
Soient
X
an zn .
an zn est l’ensemble D
:=
{z
∈
n>0
C/
lim
n→+∞
anz converge} n
• L’application S : D −→ C , z 7−→
X
an zn est ap-
n=0
pelée la somme de la série
X
n>0
verge absolument
X
X
an zn et
l’élément de R+ ∪ {+∞} défini par
= s up{r ∈
R
R
+
/
sn zn et
X X
X
an
k bk
−
.
+∞
X X
•
+∞
snz n =
n=0
•
n>0
pn z =
n=0
an zn une série entière de rayon de convergence
+∞
anz
bn zn .
×
n=0
n=0
Série dérivée
Soit
X
• La série entière converge normalement sur tout disque fermé Df (0, R1 ) avec 0 < R 1 < R ;
X
• f : z 7→
anz est continue sur D(0,R ). n
n=0
X
dérivée de
Soit p ∈ N,
>0
an R CA, alors n
Rc
an z
>0
an z CN sur Df (0,R ). n
+∞
+∞
(−1)n
• argtanh x =
n=0
f est DSE en 0 m
x2n+1 2n + 1
x 2n+1 2n + 1 vraie aussi pour x = ±1 +∞
k=0
f (k)(0) k x k!
vraie pour x = 1
(−1)n
α
X
n
+∞
• (1 + x) = 1 + n
n
1x
−
n=0
∞
f (x) −
vraie pour x = − 1
+∞
• arctan x =
Si f existe de classe C au voisinage de 0. Alors
n→+∞
xn n n=1
X X X X
• ln(1 − x) = −
n=1
Proprieté caractéristique
∃r > 0, ∀x ∈ ] − r,r [, lim
(−1)n xn
n=0
!
X
n=1
= 0.
α(α −
1) . . . (α − n + 1) n x n!
+∞
• arcsin x =
1 × 3 × .. . × (2n − 1) x2n+1 2 × 4 × . . . × 2n (2n + 1) n=0
X
Méthode pratique
X X n
1 = 1 + x
xn
n=0
+∞
R=1
+∞
X X
an xn .
Auquel cas les primitives et les dérivées successives de f sont DSE en 0
an z n
n>0
n>0
X
est de rayon de convergence R et dite série
X
•
1 = 1−x
• ln(1 + x) =
• On dit que f est développable en série entière en 0 s’il existe r > 0 tel que f soit développable en série entière sur ] − r,r [ .
n>1
+∞
X
1
−
C
+∞
an zn une série entière de rayon R . La série
nan zn
•
an xn de rayon de convergence R > r telle que
n>0
• Lasérie entière converge absolumentsur ledisque de convergence D(0, R) = {z ∈ C/ |z| < R} ;
x2n+1 (2n + 1)! n=0
n=0
n=0
n
f (n) (0) n x n! =0 n
X
• Soit r > 0. On dit que f est développable en série entière sur ] − r,r [ s’il existe une série entière
∀x ∈ ] − r,r [, f (x) =
bn z n ;
+∞
n
• sinh x =
Pour tous x ∈ ] − 1, 1[ et α ∈ R:
I et f : I → Soit I un intervalle tel que 0 ∈ ˚
X
x2n (2n)!
Rayon de convergence
f (n)(0) et ainsi n!
+∞
n=0
+∞
p
−
n>0
X X X ! X ! an zn +
+∞
n=0
+∞
n! an xn (n − p)! n= p
X
f ( p) (x) =
Fonction développable en série entière
X
x2n+1 (2n + 1)!
• cosh x =
+∞
n>0
(−1)n
n=0
∞
∀x ∈ ] − R,R [, f (x) =
3. on pose R = min(Ra , Rb). ∀ z ∈ D(0, R),
an rn CA }
n>0
• sin x =
vergence R et de somme f . Alors f ∈ C (] − R, R[, K):
pnz n respec-
x2n (2n)!
+∞
an xn une série entière réelle de rayon de con-
En particulier an =
(−1)n
n=0
C
n>0
2. si Ra 6= Rb, alors Rs = min(Ra , Rb ) ;
an rn CS }
Convergence d’une série entière
X
X
1. R s > min(Ra , Rb), R p > min(Ra , Rb) ;
n>0
= s up{r ∈
X
Soit R s et R p les rayons de convergence de ces deux dernières. Alors
n→+∞
/
bn zn de rayons de convergences
n>0
+
+
Soit
tivement somme et produit de Cauchy des deux séries
/ (anrn )n est bornée } + n R / a nr −−−−−→ 0} R
X
n>0
n
an zn est
x où k ∈ n + 1
+∞
respectifs Ra et Rb et soient
n>0
R = s up{r ∈ = s up{r ∈
0
k=0
Le rayon de convergence de la série
an
zn n! n=0
+∞
• cos x =
Régularité et coefficients
précédentesi.e. ∀n ∈ N, sn = an +bn et pn =
Rayon de convergence
X
n=0
∀x ∈ ] − R,R [, ∀ p ∈ N,
n>0
?
an x . n
n+1
Somme et produit
Soient
Soit r ∈ R + tel que (anr n)n soit une suite bornée avec (an )n ∈ CN . Alors ∀ z ∈ B (0C , r), la série an zn con-
• Si
x 7→ k +
Alors le rayon de convergence de la série entière 1 1 an zn est R = . Avec la convention = +∞ et
Lemme d’Abel
R.
+∞
X
X X X X X
• exp(z) =
+∞
+∞
`
Pour tous z ∈ C et x ∈ R :
n=0
R = +∞
Rayon de convergence
an xn une série entière réelle de rayon de con-
Alors les primitives de f sur ] − R,R [ s’écrivent
1 = 0. +∞
+∞
Soit
X
vergence R et de somme f : x ∈ ]−R,R [ 7−→
an+1 = ` ∈ R. an
n>0
: Information
D ÉVELOPPEMENTS USUELS
n>0
n>0
• si an ∼ b n , alors Ra = Rb .
X
n>0
X
Soit
Si ( an ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang et
• Le domaine de convergence de la série en-
: Attention.
Primitive
bnz n de rayons respectifs R a et
Critère de D’Alembert
n>0
X X
X
an z n et
: Exemple classique.
CAS DES SÉRIES RÉELLES
• si an = O(bn ) ou an = o(bn ), alors Ra > Rb ;
• Les nombres an s’appellent coefficients de la série
tière
X
n>0
Rb .
n>0
entière
: Démarche.
C ALCUL DE RAYON
S ÉRIES ENTIÈRES ET CONVERGENCE
X
: Astuce.
= Rc
n>0
p
n an z
n
X = Rc
an n z n p 1
n>
Pour montrer que lim
n→+∞
!
n
f (x) −
f (k) (0) k x = 0, k! =0
X k
on utilise l’inégalité de Taylor-Lagrange
n
X
f (k) (0)
k
|x|
n+1
( +1)
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C ALCUL DIFFÉRENTIEL : Définition.
: Résultat de cours.
CONTEXTE Somme
D ÉRIVÉES PARTIELLES ET DIFFÉRENTIELLES
Soient f :
Dérivée selon un vecteur On dit que f admet une dérivée en a suivant h ∈ E \ f (a + th) − f (a) t
existe ou encore si ϕ : t 7−→ f (a + th ) est dérivable en 0 . Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée de f en a suivant h et on la note ϕ (0) = Dh f (a). t→0
0
Dérivées partielles • On appelle dérivées partielles de f en a les
dérivées, lorsqu’elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1 , . . . , en. ∂ f • La dérivée en a selon ei se note Di f (a) ou (a). ∂ xi
∂ f (x) s’appelle la i-ème application dérivée ∂ xi ∂ f partielle de f sur U . On la note . ∂ xi
• x 7→
Différentielle en un point On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire ` de E vers F et ε une application de E dans F continue et nulle en 0 telles que ∀h ∈ E tel que a + h ∈ U : f (a + h)
: Astuce.
O PÉRATIONS
Soient E , F , G et H des R -espaces vectoriels de dimensions finies non nulles. On pose dimE = n et dimF = p. Soient U ⊂ E et V ⊂ F deux ouverts nonvide, a ∈ U , f : U → F , B = ( e1 , . . . , en ) une base de E et C = ( ε1 , . . . , ε p) une base de F .
{0} si lim
: Résultat pratique.
Composition par application bilinéaire
U ⊂ E −→ F , g : U ⊂ E −→ G et B : F × G −→ H bilinéaire. Si f et g sont différentiables en a alors B (f, g ) l’est aussi et dB (f, g )a = B (df a , g(a)) + B (f (a), dga) Si de plus F est une algèbre normée alors pour f , g : U ⊂ E −→ F différentiables en a , alors fg est différentiable en a et on a: ∀ h ∈ E , d(fg )a (h) = d f a(h)g(a) + f (a)dga (h)
Soit f : U → F différentiable en a, V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G différentiable en f (a). Alors g ◦ f est différentiableen a e t o n a d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦df a .
Fonctions composantes
Soit f : U ⊂ E −→ F . Alors, f est différentiable si, et seulement si, les fonctions coordonnées de f dans une base de F le sont.
1. f est différentiable en a ⇒ f est continue en a. 2. f est différentiable en a ⇒ f est dérivable en a selon tout vecteur et: ∀h ∈ E \ {0}, df a (h) = Dh f (a). 3. Si E = R. L’application f est différentiable en a si, et seulement, si f est dérivable en a. Auquel cas, ∀h ∈ R , df a(h) = hf (a). 4. Si f est différentiable en a alors les dérivées par∗
tielles de f en a existent et on a ∀h =
X
hi ei ∈ E ,
i=1
n
df a(h) = Dh f (a) =
f 1 , · ·· , f p les ∂ fi (a) 6i6n ∂ xj
X i=1
hi
∂ f (a) ∂ xi
Différentielle On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U et l’application df : x ∈ U 7→
coordonnées de
f :
Jf (a)
=
La notion de fonction de classe C k ne dépend pas du choix de la base B .
Somme
Soit k ∈ N ∪ {∞}. Soiet f, g : U ⊂ E −→ F et λ, µ ∈ R. Si f et g sont de classe C k alors λf + µg est de classe C k et ∗
∂ (λf + µg) ∂ f ∂ g = λ + µ ∂ xi ∂ xi ∂ xi
Soient f : U → F et g : V → G de classe telles que f (U ) ⊂ V . Si f est différentiable en a et g est différentiable en f (a). On a Jg f (a) = Jg (f(a)) × Jf (a) C 1
◦
GRADIENT scalaire
X
∂ 2 f 1 (a)+◦ khk2 . hi hj ∂ xi∂ xj 2 i,j=1
APPLICATIONS AUX EXTRÉMUMS Caractérisation de points critiques Si f : U ⊂ E −→ R de classe C 1 et a ∈ U . Alors a est point critique de f ⇐⇒ ∀i ∈ [[1,n ]],
∂ f (a) = 0 ∂ xi
Extrémums en dimension 2
Composition par une application bilinéaire
Soit f : U ⊂ R2 −→ R de classe C 2 et a critique de f . On
Soit k ∈ N ∪ {∞}. Soit f : U ⊂ E −→ F, g : U ⊂ E −→ G et B : F × G −→ H bilinéaire. Si f et g sont de classe C k alors B (f, g) l’est aussi et
note r =
∗
∂ B (f, g) = B ∂ xi
∂ f , g + B ∂ xi
∂ g f, ∂ xi
Lien avec les composantes Soit f : U ⊂ E −→ F . Alors f est de classe C k sur U ssi ses fonctions composantes sont de classe C k sur U Soit f : U ⊂ E −→ F et g : V ⊂ F −→ G deux fonctions de C k telles que f (U ) ⊂ V , alors g ◦ f est de C k et ∀a ∈ U
16j6p
Propriété
E désigne un
n
f (a+h) = f (a)+df a (h)+
• C ∞ sur U si ∀k ∈ N∗ , f est C k sur U .
∀ j ∈ [[1, n]] ,
1
0
n
> 1 ) sur U si ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues sur U .
Règle de la chaine
Jf (a) = Mat (df a) ∈ M p,n (R) B,C
Propriété
• C k ( k
∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f (a,b ), s = (a,b ) et t = (a,b ). ∂ x2 ∂ y∂ x ∂ y2
1. Si s2 − rt < 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a. 2. Si s2 − rt < 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a. 3. Si s 2 − rt > 0 alors a n’est pas un extrémum (On dit aussi a est un point col ou selle de f ) 4. Si s2 − rt = 0 , on ne peut pas conclure
g
On appelle matrice jacobienne relative aux bases B et C d’une application f : U ⊂ E −→ F différentiable en a ∈ U la matrice de l’application linéaire df a relative aux bases B et C
Si
D ÉVELOPPEMENT DE TAYLOR D ’ ORDRE 2 Soit f ∈ C 2 (U ). Alors ∀h ∈ E tel que a + h ∈ U on a :
Si f ∈ C k(U,F ) et g ∈ C k(U, K), alors gf ∈ C k(U,F ). Si f de plus g ne s’annule pas sur U alors est de classe C k
Définition
: Information
Propriété
On dit que f est de classe :
Propriété
MATRICE J ACOBIENNE
: Attention.
Définition
Composition de deux fonctions vectorielles
= f (a) + `(h) + k h k ε(h)
: Exemple classique.
F ONCTIONS DE CLASSE C k
Soit f, g : U → F différentiables en a . Alors : ∀λ ∈ R, λf + g est différentiable en a et on a: d (λf + g )a = λdf a + dga
h→0E
L’application ` est unique, appelée la différentielle de f en a et notée df a . On écrit o(k h k) pour k h k ε(h).
: Démarche.
Si f : U ⊂ E −→ R est une application de classe C 1 alors pour tout a ∈ U , il existe un unique vecteur dans E noté ∇f (a) et appelégradientde f en a vérifiant ∀h ∈ Dh f (a) = ( ∇f (a)|h) De plus, si B = ( e1, · ·· , en ) est une BON de E alors ∂ f
i=1
∂ fi ∂ g (a). (f (a)) ∂ xj ∂ yi
Formule d’intégration Soit f : U ⊂ E −→ F une application de classe C 1 et γ : [0, 1] −→ E est un arc de classe C 1 inscrit dans U d’extrémités a = γ (0) et b = γ (1) alors
Z
1
f (b) − f (a) =
df γ (t) (γ 0(t)) d t
0
En particulier si U est un ouvert connexe par arcs alors f est constante si, et seulement si, df = 0
Théorème de Schwar z Soit f ∈
C 2
e
(U,F ). Alors :
E,
n
p
X
avec f 1 , · · · , f p les fonctions coordonnées de f .
espace euclidien dont on note ( .|.) le produit
Gradient
∂ (g ◦ f ) (a) = ∂ xj
∀i, j ∈ [[1, n]]2 ,
∂ 2 f ∂ 2 f = . ∂ xi ∂ xj ∂ xj ∂ xi
É QUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES I et J deux intervalles de R
Équation d’ordre 1 Soit f : I × J −→ R une fonction de classe C 1 telle que ∂ f ( x,y ) = 0 . Alors ∂ x
f : ( x,y ) 7−→ C (y)
avec C ∈ C 1 (J, R)
Équation d’ordre 2 Soit f : I × J −→ R une fonction de classe C 2 telle que ∂ 2 f ( x,y ) = 0 . ∂ x2
Alors
f : ( x,y ) 7−→ xC (y) + D(y)
avec C, D ∈ C 2 (J, R)
Équation d’ordre 2 Soit f : I × J −→ R une fonction de classe C 2 telle que ∂ 2 f ( x, y) = 0 . ∂ x∂ y
Alors
f : (x, y) 7−→ C (x) + D(y)
avec C ∈ C 2 (I, R) et D ∈ C 2 (J, R)
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I NTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE : Définition.
: Résultat de cours.
I NTÉGRALES IMPROPRES b
pose
f (t)dt
f : [ a, b[→
b
Z
x
f (t)dt = lim
x→b−
a
f (t)dt
3. Si f (t) ∼ g (t) alors b même nature
cpm.
b
a
Z
f (t)dt convergent. En cas de
c
c
f (t)dt :=
a
Z
y
Z
f (t)dt = lim x a →
c
f (t)dt.
x
y→b
< b ∈ R , f : [a, b[→ K cpm sur [ a, b[.
une limite finie en b alors −
Si f admet
f (t)dt converge
f : [a, +∞[→
• Si ∃α > 1 tq f (x) = O +∞
1 x
α
f :]0 , a]
• Si ∃α > 1 tq
b
x x
f (t)dt ∼ b
g(t)dt
a
R+
cpm sur [a, +∞[
1
+∞
Z Z
K
cpm. On dit que l’intégrale
Soit f : R + f (t)dt con-
verge absolument ou f est intégrable sur I ssi converge
1 x
α
, alors
x
α
f (t)dt CV
a
+∞
f (t)dt DIV
a
→ R+
cpm ]0, a] 1
Z
|f (t)|dt
I
Cas d’intervalle borné
, alors
x
α
a
R+
P Z Z
. Alors
f (t)dt CV
0
f (t)dt DIV
séquence
+∞
f (t) dt − f (n) converge.
f (t)dt et
X
f (n) sont de même nature.
n>0
C ALCUL DES INTÉGRALES
CA ⇒ CV I
Semi-convergence
On dit qu’une intégrale est semi-convergente si elle est convergente sans qu’elle soit absolument convergente L’intégrale de Dirichlet +∞
Z
sin x
dx est semi-convergente.
suite
Z
converge et
f n
I
Z
f n −−−−−→
I
n∈N
→
Z
I une
bijection de
f (ϕ(x)) |ϕ0 (x)| dx et
J
f (t)dt sont de même nature. Si elles convergent elles
I
sont égales
Z
f
Soit u, v : I → R deux applications de classe C 1 sur I telles que u.v admette des limites finies aux extrémités de a et b de I . b b Alors les deux intégrales u (t)v(t)dt et u(t)v (t)dt a a sontde mêmenature. En casde convergence, ona alors:
Z
b 0
Z
0
b
( ) ( )dt = [ ( ) ( )]
b
Z
0
7−→
Convergence dominée pour les séries
Soit (f n )n N une suite de fonctions telle que:
Alors F : x 7−→
∈
• La série
( ) ( )dt
0
f (x, t)dt est de classe C 1
sur J et
(Formule de Leibniz)
n
f n =
n=0
f n
I
Soit n ∈ N et f : J × I → K une fonction admettant des ∂ f ∂ n f dérivées partielles , ·· · , n tels que: ∗
∂ x
∂ x
∈ J , l’application t 7−→ ∂ i f (x, t) est cpm et intégrable sur I ; ∂ xi ∂ n f • qui est continue par rapport à la première ∂ xn
•
[[0, n − 1]] et ∀ x
∀i ∈
variable et cpm par rapport à la seconde
CONTINUITÉ PAR DOMINATION LOCALE
• Pour tout [ a, b] ⊂ J , il existe ϕ n ∈ C m (I, R+ ) inté-
grable telle que:
Propriété
Soit f :
∂ f (x, t) 6 ϕ(t) ∂ x
Classe C
+∞
Z X X Z
Si la domination dans le cas des séries n’est pas accessible vous pouvez utiliser le TCVD appliqué à la suite des sommes partielles.
ϕ ne dépend pas de x +∞
Alors f est intégrable sur I et on a:
Z Z
∂ f 0 ∀x ∈ J, F (x) = (x,t )dt I ∂ x
|f n | converge.
I
n>0
[a, b] × I,
I
• ∀n ∈ N, f n : I −→ K est cpm et intégrable sur I ; • La série f n cvs sur I de somme f cpm sur I ;
X X Z
f (x,t ) est cpm et intégrable sur I ; ∂ f qui est ∂ x
∀(x, t) ∈
I
A × I → K (x, t) 7→ f (x, t)
•
∀t ∈
I , x 7−→ f (x, t) est continue sur A;
•
∀x ∈
A, t
7−→
∀(x,t ) ∈
où A ⊂ Rn telle que:
Alors F : x 7−→
∀(x, t) ∈
∀k ∈
Z
ϕ ne dépend pas de x
Lorsque A intervallede R, onremplace K par [a, b] Dans la troisième assertion, on peut remplacer K par A et obtenir une domination globale Cas d’un segment I = [a, b]
Soit f : A × [a, b] −→ K une fonction continue.
∂ n f (x, t) 6 ϕn (t) ∂ xn
f (x, t)dt est de classe C n
[[1, n]] , ∀ x ∈ J,
F (k) (x) =
Z I
sur J et
∂ k f (x, t)dt ∂ xk
ϕn ne dépend pas de x
K × I, | f (x, t)| 6 ϕ(t)
Alors ∀x ∈ A, la fonction t 7−→ f (x,t ) est intégrable sur I et F : x ∈ A 7−→ f (x,t )dt est continue sur A
Z
[a, b] × I,
I
f (x,t ) est cpm sur I ;
I
Intégration par parties
Z
n→+∞
• Pour tout compact K contenu dans A, il existe ϕ ∈ C m (I, R+ ) intégrable telle que
Changement de variable
Z
f (t)dt
En con-
n
Soit f : I → R cpm et ϕ : J classe C 1 sur J vers I . Alors
cpm et intégrable sur I , alors
Alors les applications f n et f sont intégrables sur I , la
0
Soit f : I → K cpm et bornée sur I et si l’intervalle I est borné, alors f est intégrable sur I
Z
[hypothèse de domination]
I n=0
une fonction décroissante cpm sur
0
Soit f : I → K et g : I → R , continues par morceaux I . Si | f | 6 g et si g intégrable sur I , alors f est intégrable sur I
ϕ
Astuce
a
Z Z
= O (f (x)) alors
0+
→ R+ n+1
Critère de domination
K
continuepar rapportà lapremièrevariable etcpm par rapport à la seconde • Pour tout [a, b] contenu dans J il existe ϕ ∈ C m(I, R+ ) intégrable telle que
∀n ∈ N, | f n | 6
J , t
n>0
Théorème:Comparaison série intégrale
Z I
L’intégrale
g(t)dt
∼
une fonction telle que:
K
• il existe ϕ ∈ C m (I, R+ ) intégrable telle que
∀x ∈
• f admet sur J × I une dérivée partielle
I
Règle de Riemann en 0
0
Définition
Si f : I → converge
f (t)dt
= O (f (x)) , alors
+∞
• Si ∃α < 1 tq f (x) =+ O
I NTÉGRABILITÉ
b
Règle de Riemann en + ∞
Soit a > 0
a
Soit f : I →
b
a
• Si ∃α 6 1 tq
b
Z
f (t)dt sont de
a
• En cas de divergence, on a
Fausses intégrales généralisées
Soit a
b
a
Soit f : J × I →
R
•
x
x x
Soit a ∈ R b
f (t)dt +
g (t)dt
b
g (t)dt et
b
impropres f (t)dt et a convergence:
b
f (t)dt = O
• Encas deconvergence, on a
b
Z
Z
b
x
b
−→ K
Soit f :] a, b[−→ K cpm. On dit que l’intégrale f (t)dt a converge s’il existe c ∈ ]a, b[ tel que les deux intégrales
Z
alors
RÉGULARITÉ PAR DOMINATION LOCALE Dérivation sous le signe
∈
g (t)dt converge
: Information
• ∀n ∈ N, f n : I −→ K est cpm; cvs • f n −−→ f et f : I −→ K cpm sur I ;
2. Même résultat avec petit o;
a
Intégrales deux fois impropres
Z
et
f (t)dt converge et
: Attention.
Soit (f n )n N une suite de fonctions telle que:
sont cpm sur [a, b[. a
a
On a une notion similaire avec f :] a, b]
c
O(g (t))
: Exemple classique.
Convergence dominée pour les suites
Z Z ! Z Z Z Z Z Z Z
b
a
Z
et
1. Si f (t) =
f (t)dt existe dans K. Dans ce cas on
b
K
g : [ a, b[→ R+
b
a
x
x→b x
Z
: Démarche.
L E THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE
Critère de comparaison
Soit f : [ a, b[−→ K cpm. Ondit quel’intégrale converge si lim
: Astuce.
C RITÈRES DE COMPARAISON
Intégrale impropre
Z Z
: Résultat pratique.
Gamma d’Euler +∞
x
7−→
Z 0
tx−1 e−t dt est de classe C ∞ sur R∗+
Cas d’un segment I = [a, b]
Soit f : J × [a, b] −→ K de classe C n sur J × [a, b]. b
Alors F : x ∈ J 7−→
Z
f (x, t)dt est de classe C n
a
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sur J
E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS : Définition.
: Résultat de cours.
P RODUIT SCALAIRE
: Résultat pratique.
ORTHOGONALITÉ
E désigne un R-espace vectoriel
Définition
Définition
On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ : E × E → R vérifiant 1. ϕ est bilinéaire 2. ϕ estsymétriquei.e. ∀x, y ∈ E, ϕ(x, y) = ϕ (y, x) 3. ϕ est positive i.e. ∀x ∈ E, ϕ(x,x ) > 0 4. ϕ est définie i.e. ∀x ∈ E, ϕ(x,x ) = 0 ⇒ x = 0 . On dit qu’un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est dit espace préhilbertien Norme euclidienne
Soit E un espace préhilbertien.p L’application k . k : x ∈ E 7−→ < x |x > est une norme sur E dite norme euclidienne Exemple
La famille (xi)i∈I de vecteurs de E est dite • orthogonale si ∀i, j ∈ I, i 6 = j ⇒ < x i , xj > = 0 . • orthonormale si ∀i, j ∈ I,< xi , xj > = δ ij . Propriété
• Unefamille orthogonalesans vecteur nul estlibre. • Toute famille orthonormale est libre. • Tout espace euclidien, non nul, admet une base
orthonormale (En abréviation BON)
• Toute famille orthonormale d’un euclidien se
complète en une BON.
Calcul avec une BON E euclidien u ∈ L(E ).
et B = (e n
Soit x =
1
X
, . . . , en ) une
k =1
X
BON sur E et soit yk ek , alors:
v u uX x . • ∀ k ∈ [[1, n]] , x = < e , x > et kxk = t v u X uX (x − y ) • < x,y >= x y et kx − yk = t n
2
k
k
n
n
k k
• Norme de la convergence quatratique sur l’espace
des fonctions continues sur un segment;
k=1
des fonctions continues et T -périodiques sur R.
Identités et inégalités classiques
Soit E un préhilbertien. Pour tout x, y ∈ E • kx + yk2 = kxk2 + 2 < x |y > +kyk2
k
2
k =1
• Mat (u) = ( hei , u(ej )i)16i,j6n
• Soit A ⊂ E . On appelle orthogonal de A l’ensemble A⊥ = {x ∈ E, ∀a ∈ A,< x,a >= 0} • Deux parties A, B ⊂ E sont dites orthogonales si ∀a ∈ A, ∀b ∈ B,< a,b >= 0 . On note A ⊥ B . • Une famille (Ai )i∈I departiesde Eest dite orthog-
onale si les Ai sont deux à deux orthogonales.
Deux sevs F et G sont dits supplémentaires orthogonaux s’ils sont supplémentaires et orthogonaux
• Identité du Parallélogramme
PROJECTEURS ORTHOGONAUX
S YMÉTRIE ORTHOGONALE Soit F un sous-espace vectoriel d’un préhilbertienE tel que F et F ⊥ sont supplémentaires dans E
Définition
Définition
On appelle projection orthogonale sur F la projection vectorielle pF sur F parallèlement à F ⊥ .
On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie vectorielle s F par rapport à F parallèlement à F ⊥. Si F estunhyperplande E , onditque sF estla réflexion par rapport à F .
Propriété pF est un endomorphisme de E vérifiant p 2 = p , Im p = F et Ker p = F ⊥ . De plus id − p projection orthogonale sur F ⊥
Propriété
Soit p un projecteur de E . Alors Ker p ⊥ Im p ⇐⇒ Ker p = ( Im p)⊥ ⇐⇒ Im p = ( Ker p)⊥ Tout projecteur vérifiant l’une des trois assertions est projecteur orthogonal Soit p ∈ L(E ) un projecteur. On a équivalence entre : 1. p est un projecteur orthogonal 2. ∀x, y ∈ E , < p(x)|y > =< x | p(y) >. 3. ∀x ∈ E , k p(x)k 6 kxk La matrice d’un projecteur orthogonal dans une base orthonormée est symétrique. Si B = ( e , · ·· , e p ) est une base orthonormée de F alors
• Identités de Polarisation: 1 kx + yk2 − kxk2 − kyk2 2 1 kx + yk2 − kx − yk2 4
• Inégalité de Cauchy-Schwarz:
Il y a égalité si, et seulement si, (x, y) est liée. • Inégalité de Minkowski:
=1
1
=1
kx + yk ≤ kxk + kyk
Il y a égalité ssi et sont positivement liés
sous-espaces supplémentaires orthogonaux et on a: ∀i
[[1 ]]
X
F
⊥
F
Propriété sF est un endomorphisme de E vérifiant s2 = id, Ker(s − id) = F etKer(s + id) = F ⊥ . Deplus −sF = s F ⊥ et sF = 2 pF − id
Expression du symétrique
Si B = ( e , · · · , e p ) est une base orthonormée de F alors 1
p
∀x ∈ E,
sF (x) = 2
X
< e j ,x > ej − x
j =1
Exemple = 0 . Alors Soit D = Vect (a) et H = D ⊥ avec a 6 < x |a > a−x kak2
∀x ∈ E,
sD (x) = 2
∀x ∈ E,
sH (x) = x − 2
et
j =1
⊥
= 0 . Alors Soit D = Vect (a) et H = Vect(a) avec a 6 ∀x ∈ E, pD (x) =
< a|x > < a|x > a et p H (x) = x − a kak2 kak2
Pour tout y ∈ F , kx − yk > k x − pF (x)k avec égalité ssi, y = pF (x). Autrement-dit d (x, F ) = kx − pF (x)k Soit ( e , . . . , en ) une famille libre de E . Il existe une et une seule famille orthonormée ( ε , . . . , εn ) de E telle que : ∀k ∈ [[1, n]]
Si ( F i)ni une famille finie de sous-espaces vectoriels deux à deux orthogonaux, la somme F + · · · + F n est directe Auquel cas on dit que les F , · · · , F n sont en somme directe M orthogonale. Si de plusn Si la somme directe F i égale E , on dit que ( F i )i est une famille de
H = Vect(a − b)⊥
< e j ,x > ej
Exemple
1
1
• Vect(ε1 , . . . , εk ) = Vect(e1 , . . . , ek ).
Cette famille est donnée par : • ε1 =
e1
ke1 k
• ∀k ∈ [[2, n]] ,
Soit s une symétrie de E . On a équivalence entre: 1. s est une symétrie orthogonale 2. ∀ x,y ∈ E, (s(x)|y) = ( x|s(y)). 3. ∀ x ∈ E, k s(x) k = kxk La matrice d’une symétrie orthogonale dans une base orthonormée est symétrique. Les symétries orthogonales conservent le produit scalaire
εk =
ek − P k−1 (ek ) . kek − P k−1 (ek )k
(s(x)|s(y)) = (x|y)
En particulier, les symétries orthogonales conservent la norme ∀x ∈ E,
.
< x |a > a kak2
Propriété caractéristique
∀x,y ∈ E,
• < ε k ,e k >> 0.
16i6n
∀x, y ∈ E,
X
Si F un sev de dimension finie d’un préhilbertien E alors les espaces F et F ⊥ sont supplémentaires dans E .
1
|< x |y > | 6 kxk.kyk
pF (x) =
Algorithme de Gram-Schmidt
Généralisation
= b . Soient a, b ∈ E tels que kak = kbk et a 6 Il existe une réflexion et une seule qui échange a et b.
p
∀x ∈ E,
Soit F L et G deux sous-espaces supplémentaires de E : E = F G, alors F ⊥G ⇐⇒ G = F ⊥ ⇐⇒ F = G ⊥ Existence de supplémentaire orthogonal
Propriété
1
Minimisation de distance
Propriété
: Information
Soit F un sous-espace vectoriel d’un préhilbertienE tel que F et F ⊥ sont supplémentaires dans E
Supplémentaires orthogonaux
• < x + y|x − y > = kxk2 − kyk2 .
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2
: Attention.
Expression du projeté
Orthogonal d’une partie
• kx − yk2 = kxk2 − 2 < x |y > +kyk2
∀x, y ∈ E,
: Exemple classique.
B
• Norme de la convergence quatratique sur l’espace
k
: Démarche.
Propriété caractéristique
k =1
k=1
• Norme de Shur sur M n (R);
=
n
xk ek , y =
k
• Norme euclidienne usuelle sur Rn ;
hx | y i =
: Astuce.
ks(x)k = kxk
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E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
: Astuce.
E NDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES
FAMILLE TOTALE E un espace préhilbertien réel et (en )n∈N une suite de E
Inégalité de Bessel Si ( en )n∈N est orthonormale. Alors ∀ x ∈ (< e n | x > )n∈N est de carré sommable et
E la
famille
E un espace préhilbertien
en | x i2 6 kxk2
La famille ( en )n∈N est dite totale si l’espace vectoriel qu’elle engendre est dense dans E . Autrement-dit Vect((en)n∈N ) = E
Endomorphisme orthogonal Soit u ∈ L(E ). On dit que u est orthogonal si
< u(x), y > =< x,u(y) >
Stabilité- Image et noyau Soit u ∈ S (E ) et F un sev de E stable par u . Alors F ⊥ est stable par u
Cas euclidien
Base hilbertienne (en )n∈N est dite base hilbertienne si elle est à la fois or-
Soit E un espace euclidien et u ∈ S (E ), alors Im (u) = ⊥ (Keru)
thonormale et totale
Propriété caractéristique
Propriété
Soit E un espace euclidien, B une BON de E et u ∈ L(E ). Alors u ∈ S (E ) ⇐⇒ Mat (u) ∈ S n (R)
Soit (en )n∈N base hilbertienne de E et P n le pro jecteur orthogonal de E sur Vect (e0, · · · , en), alors ∀x ∈ E,
P n (x) −−−−−→ x
Soit (en )n∈N une basehilbertienne deE . Alors pourtout x ∈ E la famille ( < e i | x > )i∈N est de carré sommable hen | xi2 = kxk2 . et
X
n∈ N
Séries de Fourier Soit f une fonction réelle T -périodique et continue. On 2 π pose ω = et pour tout n ∈ N: T
an (f ) =
bn (f ) =
2 T
Z
T
a 0
2
et 2 T
Z
X(
an cos(nwx) + bn sin(nwx))
n=1
T 2
2
f (t) dt =
− T 2
Soit A ∈ S n (R), alors PAP soit diagonale.
il existe P ∈ O n (R) tel que
Extrémum sur la sphère
k x k=1
+∞
+
t
f (t) · sin(nωt)dt
− T 2
sont les coefficients trigonométriques de Fourier de f . Alors ∀x ∈ R, f (x) =
Toutendomorphisme symétriqued’un espaceeuclidien E est diagonalisable dans une BON.
• ∀ x ∈ E : λmin k x k2 6< u (x), x > 6 λmax k x k2 • min (< u (x), x > ) = λ min
T 2
Théorème spectral
Soit u ∈ S (E ). Posons λ min = min(Sp (u)) et λ max = max(Sp (u)). Alors
− T 2
Z 2
a 20
2
+∞
X + n=1
Polynômes orthogonaux
2
2
an + bn
D
Si u ∈ O (E ), alors Sp (u) ⊂ {−1, 1}.
Propriété caractéristique Soit u ∈ L(E ). Les assertions suivantes sont équivalentes:
..
−I q
..
.
0
..
.
.
..
.
· ··
0
..
0 ... ...
.
R1
0 · ··
Rr
où pour tout k ∈ [[1, r]], on note : Rk =
1. ∀x ∈ E, k u(x)k = kxk; 2. ∀x, y ∈ E, < u(x), u(y) > =< x,y >;
0 ··· ···
0 = ... ...
I p
Propriété
cos
θk
sin θk
− sin θk cos θk
3. u transforme toute BON de E une BON de E ;
avec θ k ∈ ]0, 2π[ \ {π} et p, q , r sont des entiers naturels tels p + q +2 r = n (si l’un de ces entiers est nul, les blocs de matrices correspondants n’existent pas).
4. u transforme une BON de E une BON de E .
Réduction des matrices ⊥
Matrices orthogonales Une matrice réelle A ∈ M n (R) est dite orthogonale si AA = I n . On (R), l’ensemblede matrices orthogonales, estun groupe, appelé groupe orthogonal d’ordre n.
Soit A ∈ O n (R) avec n > 2 . Il existe une matrice P ∈ On(R) telle que :
• max (< u (x), x > ) = λ max k x k=1
Sp (u) désigne le spectre de u
Applications aux extrema
Soient U ⊂ E un ouvert non vide, a ∈ U et f : U −→ R une fonction de classe C 2. ∂ 2 f (a) est la matrice Hessienne Hf (a) =
∂ xi ∂ xj
16i,j6n
de f en a. On suppose que f admet un point critique en a, alors:
t
Soit A ∈ M n (R) de colonnes C 1, · · · , C n et de lignes L1 , ·· · , Ln . On a équivalence entre :
PAP
0 ··· ··· −I q
...
.
R1
..
0 ···
..
.
.
..
.
· ··
0
..
0
0 ... ...
Rr
1. la matrice A est orthogonale
Isométries positives en dim 3
2. la famille (C 1, · · · , C n ) est orthonormale
Soit f ∈ O + (E ), alors il existe une BON directe B = (u,v,w ) dans laquelle la matrice de f est de la forme
3. la famille (L1, · ·· , Ln) est orthonormale. 4.
1 0
0 0 c os θ − sin θ 0 s in θ cos θ
A estlamatricedepassaged’uneBONàuneBON
Propriété • A ∈ O n (R), alors det A = ±1. • On+ ( R) = { M ∈ O n(R), det M = 1} est un sg de On (R) • On− ( R) = {M ∈ O n (R), det M = −1} n’est pas un
groupe
Lien avec les matrices
Soit u ∈ L(E ) et B une BON de E . Alors u ∈ O (E ) ⇐⇒ MatB (u) ∈ O n (R)
• Polynômes de tchebychev;
2. Si Sp (Hf (a)) ⊂ R ∗− , alors f admet un maximum local en a;
• On− ( R) w O− (E ) = { u ∈ O (E );det u = −1}.
• Polynômes de Laguerre.
3. Si H f (a) admet deux valeurs propres de signes
∗
0 = ... ...
I p
Propriétés caractéristiques
• On (R) est isomorphe à O (E );
• Polynômes de Legendre;
Soit u ∈ O(E ) avec n > 2 . Il existe une base orthonormée B de E dans laquelle la matrice de u s’ecrit :
l’ensemble des automorphismes orthogonaux, est un groupe, appelé le groupe orthogonal de E .
1. Si Sp (Hf (a)) ⊂ R +, alors f admet un minimum local en a;
Étudier l’une des familles
Réduction des endomorphismes ⊥
t
2. u est une symétrie ⊥ ssi u ∈ S (E ) et u2 = id E .
f (t) · cos(nωt)dt
T 2
1. u est un projecteur ⊥ ssi u ∈ S (E ) et u2 = u ;
R ÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ⊥ E désigne un plan euclidien orienté,
O(E ),
Endomorphismes involutifs, idempotents
Égalité de Parseval
: Information
∀x ∈ E, k u(x)k = kxk
B
Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E ).
n→+∞
E NDOMORPHISMES ORTHOGONAUX
Soit u ∈ L(E ). On dit que u est symétrique si:
désigne l’ensemble des endomorphismes symétriques de E
Famille totale
: Attention.
E désigne un euclidien de dimension n > 1
S (E )
n∈ N
: Exemple classique.
Endomorphisme symétrique ∀x, y ∈ E,
Xh
: Démarche.
f est
dite la rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle θ .
Comment déterminer les éléments de f • Pour déterminer une telle base on prend u normé qui engendre Ker(f − id), v unitaire et orthogonal à u et w = u ∧ v; • Pour déterminer cos θ, on utilise la trace de f ; • lesignede sin θ estceluide Det(u,x,f (x)) où x est
un vecteur non colinéaire à u
• On+ ( R) w O +(E ) = { u ∈ O (E );det u = 1};
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P ROBABILITÉS : Définition.
: Résultat de cours.
T RIBU
1. Ω ∈ T 2. Si A ∈ T alors A ∈ T 3. Pour toute famille ( Ai )i I au plus dénombrable d’éléments de T, on a Ai ∈ T.
Soit (Ω, T,P ) un espace probabilisé et A, B ∈ T 1.
Propriété
n
[ ! X =
Ak
k=0
Additivité finie
P (Ak )
k=0
T B
−→
R+
7−→
P (A ∩ B) P A(B ) = P (A)
i∈I
Fromule des probabilité composées Soit (Ai)16i6n une suite d’événements telle que
4.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ).
P
∈
• ∀i ∈ I,
[
P
6. Soit (An )n N une suite des événements. Alors ∈
n
P
Ai
6 = 0 . Alors
Ai
= P (A1 )P (A2 |A1 ) · · · P (An|A1 ∩ · · · An−1 ).
Ai.
Ak
P (Ak )
6
Sous additivité finie
k=0
et P
6
n=0
Cas particulier Ω
Formule des probabilités totales Soit ( Ai )i I un système complet d’événements. Pour tout événement B , la famille (P (B ∩ Ai ))i I est sommable et ∈
P (B) =
n=0
X
Continuité croissante
On appelle probabilité toute application P de T dans R+ telle que 1.
P (Ω) = 1 , ∈
[ ! X +∞
n
+∞
An
= l im P n→+∞
=
σ
[ ! An
n=0
k=0
P (B ) =
X
P (B ∩ Ai ) =
i∈I
X i∈I
On peut appliquer la formule des probabilités totales lorsque (Ai)i I un système quasi complet d’événements:
∈
\ !
P (ω)
ω∈A
CardA Dans le cas de l’équiprobabilité, P (A) = . CardΩ
An
n
= l im P
n=0
n→+∞
\ !
! +∞
+∞
choix de ( pn )n N ∈ RN+ avec ∈
X
pn = 1
• ∀ (i, j ) ∈ I 2 i 6 = j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅ , •
[
Soit ( Ai)i I une suite d’événements où I est au plus dénombrable. ∈
• On dit que ( Ai )i∈I est une famille d’événements deux à deux indépendants pour la probabilité P si pour tout i, j ∈ I , = j ⇒ P ( Ai ∩ Aj ) = P (Ai ) P ( Aj ) i 6
= ∅ Ai 6 • On dit que ( Ai )i∈I est une famille d’événements mutuellement indépendants pour la probabilité P si pour toute partie J finie de I , on a
Ai est quasi-certain
i∈I
Formule de Bayes
P
Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, on a : P B (A) =
P (A) × P A (B ) P (B )
Soient ( Ai)i I un système complet d’événements de probabilités non nulles et A et B deux événements de probabilités non nulles. On a : ∈
Ak
k=0
En particulier si (An )n N est décroissante, alors: ∈
N
\ ! Y Ai
i∈J
Propriété
=
P (Ai )
i∈J
Soit (Ai )i I une suite d’événements indépendants pour la probabilité P avec I est au plus dénombrable. Si pour tout i ∈ I , B i = A i ou Ai alors (Bi )i I est une suited’événementsindépendants pourla probabilitéP . ∈
∈
Soit (An )n N une suite d’événements, alors P
X
• ∀ i ∈ I,
n→+∞
+∞
Probabilité uniforme
ω
Indépendance d’événements P (B |Ai )P (Ai).
Astuce
= l im P ( An )
Continuité décroissante
Le triplet (Ω, T, P ) est un espace probabilisé
p
I NDÉPENDANCE
= 0 , alors Si de plus ∀i ∈ I, P (Ai ) 6
+∞
-additivité
n=0
Si Ω est fini, alors T = P (Ω) et P (A) =
Ak
∈
P P (An)
[ !
En particulier si (An )n N est croissante, alors:
+∞
An
n=0
[ !
=
P (B ∩ Ai)
∈
n=0
2. Si ( An )n N une suite d’événements deux à deux incompatibles, alors P
Soit (An )n N une suite d’événements, alors P
X
Une probabilité sur (N, P (N)) est déterminée par le
i∈I
∈
Probabilité
P (A) =
Ω,
A
Sous additivité
P (An )
CONTINUITÉ MONOTONE
Soit (Ω, T) un espace probabilisable
∀A ⊂
ω∈
+∞
An
ω
n=0
• On dit qu’un événement A est quasi-certain ou presque sûr si P (A) = 1 .
PROBABILITÉ
P ({ω}) = p
Ω,
ω∈
De plus, celle-ci est déterminée par
∈
n
[ ! X [ ! X
• On dit qu’un événement A est négligeable si P (A) = 0 .
i∈I
∀ω ∈
n
\ ! \ ! i=1
Événement négligeable, quasi-certain
= ∅ Ai 6
• ∀(i, j) ∈ I 2 i 6 = j =⇒ A i ∩ Aj = ∅ ,
Soit Ω un ensemble au plus dénombrable. Si ( p ) Ω est une famille de réels positifs, sommable et de somme égale à 1 alors il existe une unique probabilité P sur (Ω, P (Ω)) vérifiant
n
P (A) 6 P (B ) et P (B \ A) = P (B ) − P (A)
+∞
Une famille au plus dénombrable (Ai)i I d’événements est dite un système complet d’événements si
ω∈
ω
est une probabilité sur (Ω, T ) dite conditionnée à A
P A = 1 − P (A) et 0 6 P (A) 6 1.
k=0
Système complet d’événements
Soit Ω un ensemble au plus dénombrable , T = P (Ω) et P une probabilité sur ( Ω, T ). Alors ( P ({ })) Ω est une famille de réels positifs, sommable et de somme égale à 1.
Univers au plus dénombrable
3.
∈
\
=
P A :
5. Si A ⊂ B , alors
1. ∅ ∈ T. 2. Si A et B sont deux événements de T, alors A ∪ B , A ∩ B et A \ B sont dans T . 3. Pour toute famille ( Ai )i I au plus dénombrable d’éléments de T, on a Ai ∈ T.
UNIVERS AU PLUS DÉNOMBRABLE Univers au plus dénombrable
Probabilité conditionnelle
i=1
Soit (Ω, T) un espace probabilisable.
: Information
ω
P
i∈I
: Attention.
Soit A un événementavec P (A) > 0 . Alors l’application
P (∅) = 0 .
n
[
: Exemple classique.
L ES THÉORÈMES DE P ROBABILITÉ
2. Soit A0 , · · · , An sont des événements deux à deux incompatibles
∈
Le couple ( Ω, T) s’appelle un espace probabilisable. Les éléments de T sont appelés des événements
: Démarche.
(Ω, T , P ) un espace probabilisé
Propriété
Soit Ω un ensemble et T une partie de P (Ω), c’est-à-dire un ensemble de parties de Ω. On dit que T est une tribu de parties de Ω si :
Ω
: Astuce.
PROPRIÉTÉS DE PROBABILITÉ
Tribu
•
: Résultat pratique.
P B (A) =
P A(B )P (A)
X i∈I
P A (B)P (Ai ) i
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VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
1. X (Ω) est un ensemble au plus dénombrable 2. Pour tout x ∈ X (Ω), X 1 (]−∞, x]) ∈ T
Soit p
On dit que X admet une espérance lorsque la famille (xP (X = x))x X (Ω) est sommable. On appelle alors espérance de X , le réel E (X ) =
Propriété
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T ). Pour tout A sous-ensemble de R, l’ensemble X
(A) = {ω ∈
Ω/X (ω ) ∈
A}
On appelle loi de probabilité de la VAR discrète X l’ensemble de couples (x, p (X = x))x X (Ω) ∈
• Si X > 0 et admet une espérance, alors E (X ) > 0. Si de plus E (X ) = 0 alors X = 0 est quasi certain. • Si X et Y admettentdes espéranceset X 6 Y alors E (X ) 6 E (Y ). • Si Y admet une espérance et |X | 6 Y , alors X
Soit g une fonction définie au moins sur X (Ω) et à valeurs dans R.Alors g (X ) admet une espérance ssi (g(x)P (X = x))x X (Ω) est sommable. Au quel cas ∈
E (g(X )) =
est un
X
x ∈X (Ω)
Soit {(xi , pi )/i ∈ I } une partie de R2 , où I un ensemble au plus dénombrable. Si pour tout i ∈ I , p i > 0 et si pi = 1 alors il existe un espace probabilisé (Ω, T , P )
X i∈I
etune VAR discrète X définiesur Ω telsque {(xi , pi)/i ∈ I } est la loi de X . Définition
Soit X une VARD. On appelle fonction de répartition de X l’application F : R → R définie par : F (x) = P (X 6 x). On a aussi F X (x) = P (X = xk ) Propriété
, F (x) ∈ [0; 1] F est croissante. lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1 .
∀x ∈ R
x →+∞
Soit r ∈ N . Si X r admet une espérance alors on dit que X admet un moment d’ordre r qui est le réel mr (X ) = E (X r ).
, P (a < X 6 b) = F (b) − F (a) F est continue à droite en tout point de R F est continue à gauche en x ssi P (X = x) = 0
Loi d’une VARD et fonction de répartition
Si X (Ω) = {xi /i ∈ I } tel que les x i sont rangés par ordre croissant alors pour tout x ∈ I tel que i − 1 ∈ I (on a donc xi 1 < x i) on a −
Définition
On définit sa fonction génératrice GX par +∞
et
• P (X = 0) = 1 − p
P (X = 1) = p
On écrit X �→ B ( p), et on a: E (X ) = p
et
∀s ∈ [−1, 1] ,
X
GX (s) = E sX =
Soit r ∈ N . Si X admet un moment d’ordre r alors X admet des moments d’ordre s pour tout s ∈ [[1; r]].
binomiale de taille n et de paramètre p (notée B (n, p))
• Si X suit la loi de Bernoulli B (1, p), alors GX (t) = 1
Soit X une VAR discrète admettant une espérance et telle que la variable X − E (X ) admet un moment d’ordre 2. On appelle variance de X le réel :
V (X ) = E (X − E (X ))2
Formule de Huygens ou de Kœnig
Si X admet un moment d’ordre 2, alors: V (X ) = E (X 2 ) − E (X )2
Propriété
Si X est une VAR discrète admettant une variance alors pour tout (a,b ) ∈ R2 , aX + b admet une variance et V (aX + b) = a2 V (X )
+ pt
GX (t) = (1 − p + pt)n • X (Ω) = [[0; n]] •
∀k ∈
[[0; n]] P (X = k) = C nk pk (1 − p)n−k
• Si X suit la loi de poisson P (λ) avec λ > 0, alors GX (t) = eλ(t−1)
On écrit X �→ B (n, p) , et on a: E (X ) = np
et
V (X ) = np(1 − p)
• Si X suit la loi géométrique G ( p) avec p ∈ ]0, 1[,
alors
Loi uniforme
Soit n ∈ N . On dit que X suit la loi uniforme U ([[1; n]]) si : ∗
•
∀k ∈
[[1; n]],
On dit qu’une VAR X suit la loi géométrique de paramètre p (notée G ( p)) si : • X (Ω) = •
.
∗
1 E (X ) = p
1 1 , : q q
GX (t) =
tp 1 − qt
∀n ∈ N,
P (X = n) =
G (X ) (0) n!
Propriété
Les assertions suivantes sont équivalentes 1. X admet une espérance 2. G X est dérivable en 1. Dans ce cas: E (X ) = GX (1) Propriété
Les assertions suivantes sont équivalentes
et
V (X ) =
1
− p
p2
Loi de Poisson
Soit λ > 0. Ondit qu’une VAR X suitune loide Poisson (notée P (λ)) si :
∀n ∈ N,
−
0
P (X = n) = (1 − p)n−1 p
On écrit X �→ G ( p), et on a
•
N
∀n ∈ N∗ ,
• X (Ω) =
∈
n
Loi géométrique ∈ ]0; 1[
t
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N et GX sa fonction génératrice, alors
1 . n
n + 1 n 2 − 1 E (X ) = et V (X ) = 2 12
Soit p
∀
Loi et fonction génératrice
P (X = k) =
On écrit X �→ U ([[1, n]]) , et on a:
De plus lorsque V (X ) existe, on appelle écart-type de X le réel σ (X ) = V (X ).
p
− p
• Si X suit la loi binomiale B (n, p), alors
si :
∗
Variance
k
P(X = k)s
k=0
Fonctions génératrices usuelles V (X ) = p(1 − p)
Soit p ∈ [0; 1] et n ∈ N . On dit que la VAR X suit la loi
Propriété
∀(a, b) ∈ R2
la loi de
• X (Ω) = [[1; n]];
x∈X (Ω)
X
x→−∞
g(x)P (X = x)
Moments d’ordre r
xk ∈X (Ω) xk 6x
1. 2. 3. 4. 5. 6.
X
∗
Propriété
F ONCTION GÉNÉRATRICE
Loi binomiale (ou des tirages avec remise)
Propriétés
Propriété
: Information
• X (Ω) = {0; 1}
Lorsque E (X ) = 0 , on parle de variable centrée
Théorème du transfert
Loi d’une VARD
∈X (Ω)
xP (X = x)
aussi.
est un événement de T que l’on notera [X ∈ A].
Soit X une VARD. La famille ([X = x])x système complet d’événements. P (X = x) = 1 En particulier:
X
x∈X (Ω)
Si de plus E = R, la variable X est dite réelle 1. X (Ω) est l’ensemble des valeurs prises par X . 2. Si X (Ω) est un ensemble fini, X est dite finie
∈ [0; 1]. On dit qu’une VAR X suit Bernoulli de paramètre p (notée B (1, p)) si :
∈
−
: Attention.
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
Loi de Bernoulli
Espérance
On appellevariable aléatoirediscrète définiesur (Ω, T ) toute application X de Ω dans un ensemble E telle que:
: Exemple classique.
L OIS DISCRÈTES USUELLES
X est une variable aléatoire discrète
Variable aléatoire discrète
: Démarche.
M OMENTS
VARIABLES A LÉATOIRES DISCRÈTES (Ω, T , P ) désigne un espace probabilisé.
−1
: Astuce.
1. X admet un moment d’ordre 2 2. G X est deux fois dérivable en 1. Dans ce cas: V (X ) = GX (1) + GX (1) − (GX (1))2 00
0
0
N
P (X = n) =
e −λλn n!
On écrit X �→ P (λ), on a: E (X ) = λ
et
V (X ) = λ
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VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉS : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
VARIABLE ALÉATOIRE Définition
Variable aléatoire réelle
Une variable aléatoire réelle (VAR) est une application X : Ω → R telle que pour tout x ∈ R, [X 6 x] ∈ T . X VAR ⇔ ∀I intervalle de R, [ X ∈ I ] ∈ T
n
X Y X i ,
i=1
i=1
X i , min X i et max X i sont des VAR 16i6n
16i6n
Cas particulier
Soit X une variable aléatoire réelle et f : R −→ R une fonction monotone par morceaux, alors f ◦ X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, T , P ) . On la note f (X ) Stabilité par convergence simple
Soit ( X n ) une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, T , P ) qui converge simplement vers X : Ω −→ R . Alors X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, T , P )
Définition
Une variable aléatoire réelle X est dite de loi à densité si sa fonction de répartition F X est continue sur R de C 1 sur R privé d’un sous-ensemble fini F . On appelle la densité de X la fonction définie sur R par f X (t) = F X (t) pour t ∈ R \ F et f X (t) = 0 pour t ∈ F 0
Propriétés caractéristiques de la densité
Soit f X une densité d’une variable aléatoire réelle X . 1. 2.
f X est à valeurs réelles positives f X est continue sur R, sauf éventuellement en un
nombre fini de points +∞
3.
Z
−∞
E(X ) =
−∞
Z
Z
Propriété
Soient X et Y deux VAR admettant chacune une espérance. 2. E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). 3. Si X > 0 presque sûrement, alors E(X ) > 0 4. Si X > Y presque sûrement, alors E(X ) > E (Y )
(b)
P (X < x ) = P (X 6 x) =
−∞
+∞
(c)
P (X > x) =
Z x
f (t) dt = 1
F (x)
Z −
Si la variable aléatoire X admet une espérance et si la variable (X − E(X ))2 admet une espérance, on appelle variance de X le réel V(X ) = E
p
Soit X une VAR à densité. X admet une variance si, et seulement, si X admet un moment d’ordre 2 et en cas d’existence, on a : V(X ) = E
X 2
−
g(t)f (t) dt
2 E(X )
X
x∈X (Ω)
Somme de deux VAR à densité
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes admettant respectivement des densités f X et f Y . Alors la loi de S = X + Y est à densité, de densité f S : s
7−→
Z
f X (t)f Y (s
−∞
− t) dt
Si de plus X et Y sont à valeurs positives, alors f S est s
définie sur R + par f S (s) =
Z 0
et
2
V ( X ) =
( b
− a)2 12
On écrit X �→ N
2
√ 1 exp − (x 2−σ2µ) σ 2π
µ, σ2
et on a
E(X ) = µ
et
V(X ) = σ
2
Lorsque µ = 0 et σ = 1 on parle de la loi normale centrée réduite Soit α et λ deux réels strictement positifs. On ditqu’unevariablealéatoireX suitla loiGamma de paramètre (α, λ); et on note X �→ Γ (α, λ), si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : f (x) =
En on a:
f X (t)f Y (s
E(X ) =
λα Γ(α)
xα−1 e−λx
si x > 0 si x 6 0
0
α λ
et
V(X ) =
α λ2
Loi exponentielle
Soit λ un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ ; et on note X �→ E (λ), si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
+∞
− x)
a + b
f (x) =
∗
P ( X = x ) .F Y ( s
Soit µ un réel, et σ un réel strictement positif. On dit que X est de loi gaussienne de paramètres (µ, σ2 ) ou de loi normale de paramètres ( µ, σ2 ) si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
Si X est une variable à densité telle que σ (X ) = 1, on dit que X est une variable réduite. Si X admet une espérance et un écart-type non nul, la X − E(X ) variable X = est appelée la variable cenσ(X ) trée réduite associée à X .
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes dont les lois sont discrète pour X et à densité pour Y . Alors la loi de S = X + Y est de fonction de répartition
si t ∈]a; b[ sinon
a
Loi gamma
Soit X une variable à densité admettant une variance. Alors pour tout réels a et b, aX + b admet une variance et V(aX + b) = a2 V(X )
SOMME DE DEUX VARIABLES
7−→
E (X ) =
V(X )
Définition
+∞
E(g (X )) =
− E(X ))2
(X
On appelle alors écart-type le réel σ (X ) =
Définition
g (t)f (t) dt estabsolumentconvergente.
Théorème de Huygens Kœing
+∞
−∞
F S : s f (t) dt
0
Loi gaussienne de paramètres
Propriété
Soient X une VAR de densité f et g une fonction continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors g (X ) admet une espérance si, et seulement, si
b
Définition
Théorème du transfert
Discrète + à Densité
x
f (t) =
On note X �→ U ([a; b]) et on a:
6. Si X et Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X )E(Y ).
−∞
Z
x f (x) dx
−
Soit r ∈ N et X une VAR admettantun moment d’ordre r, alors pour tout s ∈ [[1, r]] la VAR X admet un moment d’ordre s
1. Pour tout réels a et b, E(aX + b) = aE(X ) + b
Inversement pour toute f fonction d’une variable réelle vérifiant les trois assertions précédentes, il existe un espace probabilisé et une VARX sur cet espace dont la loi est à densité et dont la densité est f
1. Pour tout x réel : (a) P (X = x ) = 0
r
Propriété
−∞
Soit X une variable aléatoire admettant une densité f .
Z
∗
f (t) dt = 1
Règles de calcul
1
+∞
tf (t) dt
Soit X et Y deux VAR sur l’espace probabilisé (Ω, T , P ) . Si Y admet une espérance et si |X | 6 Y alors X admet une espérance
Z
Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] si elle admet pour densité la fonction f définie par :
−∞
Domination
Au quel cas
Loi uniforme
mr (X ) =
−∞
Z
: Information
L OIS USUELLES
Soit r ∈ N et X une VAR à densité f . On dit que X admet un moment d’ordre r, notée mr (X ), si X r admet une espérance et on a
+∞
l’intégrale
: Attention.
∗
tf (t) dt
est absolument convergente alors on dit que X admet une espérance que l’on note E(X ) et on a :
+∞
f X (t) dt est convergente et
Z
5. Inégalité triangulaire: | E(X )| 6 E (|X |)
VARIABLE À DENSITÉ
: Exemple classique.
Définition +∞
Soit X uneVARde densité f . Si l’intégrale
Image d’une variable aléatoire réelle
Soit X 1 , · · · , X n des variables aléatoires réelles définies sur (Ω, T , P ) et f : Rn −→ R continue. Alors f (X 1 , · · · , X n) est une variable aléatoire réelle (Ω, T , P ) .
: Démarche.
M OMENTS ET VARIANCE
E SPÉRANCE
(Ω, T , P ) est un espace probabilisé
n
: Astuce.
− t) dt et est
f (x) = λ e−λx χ]0,+∞[ (x) =
Et on a: E(X ) =
1 λ
et
(
λe−λx
0
V(X ) =
si x > 0 si x 6 0
1 λ2
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V ECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES : Définition.
: Résultat de cours.
L OIS D ’ UN COUPLE DE VARD X et Y désigneront
deux variables discrètes définies sur un même espace probabilisé (Ω, T , P ).
: Résultat pratique.
On appelle loi du couple (X, Y ), ou encore loi conjointe des X et Y , l’ensemble des couples ((x, y ), P (X = x, Y = y ))(x,y ) X (Ω) Y (Ω) où ∈
une fonction de R 2 dans R et X , Y deux variables réelles discrètes. Z = g (X, Y ) est une variable Pour tout z ∈ Z (Ω), on a :
×
Avec les notations précédentes, alors la famille (P (X = x, Y = y ))(x,y) X (Ω) Y (Ω) est sommable de somme 1 ∈
X
P (Z = z ) =
P (X = x, Y = y ) = P ([X = x ] ∩ [Y = y ])
Propriété
Loi d’une somme
S = X + Y est une variable aléatoire réelle discrète, et P ( X + Y = s )
X X
P (X = x, Y = y )
y ∈Y (Ω)
• ∀y ∈ Y (Ω), P (Y = y ) =
= =
P ( X = x, Y = s − x)
=
Si les variables X et Y admettent chacune un moment d’ordre 2. Alors XY admet une espérance et 2
P ( X + Y = s )
=
X X X
P ( X = x) P ( Y = y )
(x,y)∈X (Ω)×Y (Ω) x+y=s
=
E (XY ) 6 E X 2 E Y 2
Indépendance X et Y sont indépendantes si :∀(x,y ) ∈ X (Ω) × Y (Ω) P (X = x, Y = y ) = P (X = x )P (Y = y )
Propriété
Les assertions suivantes sont équivalentes indépendantes
2. ∀(x, y ) ∈ R2 , [X 6 x] et [Y 6 y] sont indépendants , [X ∈ A] et [Y ∈ B] sont indépendants.
=
Propriété
L’ensemble desvariablesadmettantun moment d’ordre 2 est un sous-espace vectoriel de l’espace des variables admettant un moment d’ordre 1.
Stabilité des l ois binomiales et de poisson
Si X et Y sont inépendantes, alors
Soient X et Y deux VARD admettant des moments d’ordre 2. On appelle covariance de X et de Y le nombre réel cov(X, Y ) = E ((X − E (X ))(Y − E (Y )))
Si σ (X ) σ (Y ) 6= 0, le coefficient de corrélation de X et de Y est : ρ(X, Y ) =
• X �→ P (λ) et Y �→ P (µ), alors X + Y �→ P (λ + µ)
Théorème de Transfert
La variable Z = g (X, Y ) a une espérance ssi la famille (g(x, y )P (X = x, Y = y ))(x,y ) X (Ω) Y (Ω) est sommable et dans ce cas ∈
E (g (X, Y )) =
cov(X, Y ) . σ (X ) σ(Y )
×
g (x, y )P (X = x, Y = y )
(x,y )∈X (Ω)×Y (Ω)
Propriété
Soit X et Y admettant chacune une espérance et a, b deux réels. Alors la VARD aX + bY admet une espérance, et E (aX + bY ) = aE (X ) + bE (Y )
Définition
On appelle vecteur aléatoire discret défini à partir des X 1 , · · · , X n la variable aléatoire discrète Z donnée par ∀ω ∈
Z (ω) = ( X 1 (ω), · · · , X n (ω))
Ω,
Laloi dela variable Z estappelée loiconjointedes variables X 1 , · · · , X n tandis que les lois de X 1 , · · · , X n sont les lois marginales de Z . Fonction de répartition d’un vecteur
La fonction de répartition de ( X 1 , · · · , X n ) est la fonction de n variables F (X1 ,··· ,X ) définie par n
Espérance d’un vecteur
Si ∀i ∈ [[1, n]] la variable X i admet une espérance, on définit le vecteur espérance E (X 1 , · · · , X n ) du vecteur aléatoire (X 1 , · · · , X n ) par l’égalité E (X 1 , · · · , X n ) = ( E (X 1 ) , · · · , E (X n ))
Indépendance de n variables
On dit que X 1 ,...,X n sont indépendantes lorsque pour tout I 1 , · · · , I n intervalles de R :
On dit que X et Y sont non corrélées si cov(X, Y ) = 0 .
n
P
Propriété
Soit X et Y admettant un moment d’ordre 2 alors
Propriété
\
n
! Y
[X i ∈ I i ]
i=1
=
P ( X i ∈ I i i)
i=1
Indépendance héritée
Si la famille (X i )16i6n est indépendante et si Soit n0 = 0 < n1 < n2 < · · · < nk et ( X i )16i6n une famille de VAR indépendantes. Pour i ∈ [[1, k ]], on pose Y i = f i X n 1 +1, · · · , X n , alors Y 1 , ·· · , Y k sont indépendantes k
k
Soit X , Y , Z des VARD admettant des moments d’ordre 2 et soit a et b deux réels 1. cov(X, X ) = V(X ),
• X �→ B (n,p ) et Y �→ B (m, p), alors X + Y �→ B (n + m,p )
R
Si X et Y sont indépendantes et si f et g sont deux fonctions numériques définies respectivement sur X (Ω) et Y (Ω) alors f (X ) et g (Y ) sont indépendantes.
P ( X = s − y ) P ( Y = y )
X 1 , · · · , X n des variables aléatoires discrètes
F (X1,··· ,Xn )(x1 , · · · , xn ) = P (X 1 6 x1 , · · · , X n 6 xn )
Définition
cov(X, Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )
y∈Y (Ω) s−y∈X (Ω)
X
Il y a égalité si et seulement si X est quasi nulle ou Y est une fonction quasi linéaire de X , c’est-à-dire, il existe un réel a tel que P (Y = aX ) = 1 .
x∈X (Ω) s−x∈Y (Ω)
∈
P (X = x, Y = y ) P [Y =y ] (X = x ) = P (Y = y )
P ( X = x ) P ( Y = s − x)
: Information
V ECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES
Inégalité de Cauchy-Schwarz
P ( X = s − y, Y = y )
Si X et Y sont des variables aléatoires réelles discrètes indépendantes, alors
: Attention.
C OVARIANCE
y∈Y (Ω) s−y∈X (Ω)
= 0. Soit y ∈ Y (Ω) tel que P (Y = y ) 6 On appelle loi conditionnelle à [Y = y] de X l’ensemble des couples x,P [Y =y ](X = x ) x X (Ω) . ∀(x,y ) ∈ X (Ω) × Y (Ω) tel que P (Y = y ) 6 = 0 on a :
Indépendance héritée
P ( X = x, Y = y )
x∈X (Ω) s−x∈Y (Ω)
Loi conditionnelle
∀A,B ⊂
: Exemple classique.
P (X = x, Y = y )
x∈X (Ω)
X X X
(x,y)∈X (Ω)×Y (Ω) x+y=s
Laloide X est appeléla premièreloi marginaledu couple ( X, Y ) et la loi de Y est appelée la deuxième loi marginale du couple (X, Y ). On peut obtenir les lois marginales à partir de la loi conjointe à l’aide des égalités
3.
P ([X = x] ∩ [Y = y ])
(x,y)∈X (Ω)×Y (Ω) g(x,y)=z
Lois marginales
X et Y sont
aléatoire réelle discrète.
×
• ∀x ∈ X (Ω), P (X = x ) =
: Démarche.
L OI DE PROBABILITÉ g désigne
Propriété
Définition
1.
: Astuce.
i−
i
L’espérance d’une somme
2. cov(X, Y ) = cov(Y, X ),
Si X 1 , · · · , X n admettant toutes des espérances. Alors
3. cov(aX + bZ,Y ) = a.cov(X, Y ) + b.cov(Z, Y )
X
2
4. cov(X, Y )
n
n
X i admet une espérance: E
i=1
6
V (X ) V (X )
n
X ! X =
X i
i=1
E (X i )
i=1
Variance d’une somme
5. |ρ(X, Y )| 6 1
Si X 1 , · · · , X n admettant de moments d’ordre 2 , alors
6. |ρ(X, Y )| = 1 ⇐⇒ Y = αX + β est presque sûrement pour un certain (α, β ) ∈ R × R.
X
n
∗
Variance d’une somme
Soient alors
X
et Y deux VARD admettant des variances,
X i admet une variance et on a
i=1
n
V
n
X ! X X i
i=1
=
X X ! X
V (X i ) + 2
i=1
cov(X i , X j ).
16i
n
V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2cov(X, Y ).
En cas de l’indépendance: V
n
X i
i=1
=
i=1
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V (X i ).
I NÉGALITÉS ET CONVERGENCES : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
: Astuce.
: Démarche.
: Exemple classique.
Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ( Ω, T , P ) telle que X (Ω) ⊂ espérance m = E (X ), alors on a P [X > λ] 6
: Information
C ONVERGENCE EN LOI
I NÉGALITÉS
∀λ > 0
: Attention.
E (X ) λ
+
R
et possédant une
.
Convergence en loi
Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelles définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), on note F n la fonction de répartition de X n et F celle de X . On dit que (X n) converge en loi vers X si en tout point x où F est continue ∈
lim F n (x) = F (x).
n→∞
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) possédant un moment d’ordre 2, alors on a
∀ε > 0
P [|X
− E (X )| > ε] 6 V ε(X ) . 2
L
On note X n −→ X
Cas de variables discrètes
Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires et Y une variable aléatoire définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), on suppose que ∈
Inégalité de Jensen
Si X est une VAR admettant une espérance, si f : R −→ R est une application convexe sur R et si Y = f (X ) admet une espérance alors Inégalité de Jensen f ( E (X )) 6 E (f ( X ))
C ONVERGENCE EN PROBABILITÉ
∀k ∈ N
Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelles définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), on dit que (X n) converge en probabilité vers X si ∈
∀ε > 0
lim P [|X n
n→∞
Soit ( X n )n
lim P (X n = k ) = P (Y = k ).
n→∞
une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que X n suit une loi binomiale B (n, pn ) avec
∈N
−−−−−→ λ > 0, alors (X ) converge en loi vers X qui suit une loi de poisson P (λ). n→+∞
n
Propriété
La convergence en probabilité implique la convergence en loi.
− X | > ε] = 0 .
P On écrit X n −→ X
⊂ Y (Ω) ⊂ N.
Lois de Poisson et binomiale npn
Convergence en probabilité
X n (Ω)
∀n ∈ N
La convergence en loi de la suite (X n) vers Y équivaut à:
T HÉORÈME CENTRAL LIMITE Théorème central limite
Propriété
On considère (f n)n N une suite de fonctions continues à valeurs réelles définies surR qui converge simplement sur R vers l’application f . On considère X une VAR et on définit des variables aléatoires réelles par ∈
Soit (X n )n N une suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) indépendantes, de même loi, possédant une espérance m = E (X ) et une variance σ 2 = V(X ) > 0. Alors ∈
X n
X n = f n (X ) ,
Y = f (X )
X i
Alors la suite (X n ) converge en probabilité en Y
σ
L OI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES
− nm √ n −→ N (0, 1) L
i=1
Formule de Bernstein
Xn n
e−n
k =0
Loi faible des grands nombres
k
k!
−−−−−→ 12 n→+∞
Soit ( X n )n N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes définies sur un espace probabilisé ( Ω, T , P ) , de même loi, possédant une espérance m et une variance σ 2 . Alors ∈
∗
X n
X i
i=1
n
P
−→ m
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L ES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : Définition.
: Résultat de cours.
É QUA - DIFF LINÉAIRE D ’ ORDRE 1
Les problèmes de Cauhy 1. Pour tout (t0 , x0 )
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation du type : (L) : x = a.x + b. On appelle équation homogène associée à (L) l’équation: (H ) : x = a.x
∈ R × F ,
problème de Cauchy
0
2. Pour tout (t0 , x0 )
0
t 7−→ e(t
−t0
de
Cauchy
0
:
I × F admet
∈
Structures de S H et de S L C 1 (I,
)a
est
x0
0
)a
.x0 +
dim S H = n
2. S L est un sous-espace affine de tion S H
C 1
(I, F ) de direc-
Z
e(t
)a
−s
Soient (ϕ1 , . . . , ϕn ) une famille de fonctions de I à valeurs dans F . Pour tout t ∈ I la matrice W (t) = Matβ (ϕ1 (t), . . . , ϕn(t)) est appelée matrice wronskienne en t du système H = (ϕ1 , . . . , ϕn) par rapport à la base B . Le déterminant w (t) = d e t W (t) est appelé le wronskien en t du système H = (ϕ1 , . . . , ϕn ) par rapport à la base B
Base de S H
Soit H = (ϕ1 , . . . , ϕn) une famille de n éléments de S H espace solution de (H ) : x = a(t).x. Alors
X ⇐⇒ X = P Y
Soit ( ϕ1 , . . . , ϕn ) un système fondamental de solutions de ( H ). Soient λ1 , . . . , λn ∈ C 1 (I, K) tel que ϕ = n
X
n
λi ϕi .
Alors ϕ est solution de (L) ⇔
É QUATION SCALAIRE D ’ ORDRE n n−1
X
ak x(k) +
b, avec a 0 , · · · , an 1 : I −→ K et b : I −→ K continues, et d’inconnue x : I −→ K fonction n fois dérivable
solutions sur I de l’équation
X
λ0i ϕi = b
homogène ( E 0 ) :
x
(n)
=
X
k=0
= c
0
0
0
0
(k)
ak x
est un
sous-espace vectoriel de dimension n de l’espace C n (I, K). • L’ensemble S des solutions sur I de l’équation
On dit encore que x est une solution de (E ) sur I . Si (I, y) est une solution de (E ) alors pour tout intervalle d’intérieur non vide J ⊂ I , (J,y |J ) est aussi solution de (E ).
Définition On appelle problème de Cauchy un problème du type :
x = f (t,x ) où (t0 , x0 ) ∈ U x(t0 ) = x0 0
Théorème de Cauc hy-Lipschitz Le problème de Cauchy
0
ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 2
ar + br + c = 0
2
K
x = f (t,x ) x(t0 ) = x0 0
Où f ∈ C 1 (U,F ), (t0 , x0 ) ∈ U et U ouvert de R × F , admet une et une seule solution locale (I, ϕ), avec I un intervalle ouvert contenant t0 . ϕ est de classe C 1 sur I
Équations à variables séparables
2. Si (EC ) possède une racine double r , les solutions de l’équation homogène ( H ) sont les fonctions définies par y(t) = ( λ1 t + λ2 ) ert où λ1 , λ2 ∈ K
Propriété Soit a,b,c ∈ R . Si l’équation ar 2 + br + c = 0 possède des racines distinctes complexes conjuguées:
Il s’agit d’équations différentielles du type : 0
(E ) y = g(t)h(y)
où g ∈ C 1 (D1 , R) et h ∈ C 1 (D2 , R). D 1 et D2 deux intervalles ouverts de R
p + iq et p − iq avec ( p,q ) ∈ R × R
∗
Les solutions réelles sont les fonctions:
k=0
• L’ensemble S 0 des
u1 h1 + u2 h2
0
1
λ1 , λ2 ∈
Une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre n définie
Propriété
=0
0
1. Si (EC ) possède des racines distinctes r 1 et r 2 , les solutions de l’équation homogène (H ) sont les fonctions définies par y (t) = λ1 er t + λ 2 er t où
n’est pas trigonalisable
−
00
(H ) :
On résout ces systèmes par la méthode de la remontée.
x(n) =
u 1 .h1 + u2 h2
= 0 et (H ) l’équation différentielle Soit a,b,c ∈ K avec a 6
0
sur I esttoute équationde la forme(E ) :
(
É QU - DIFF LINÉAIRE D ’ ORDRE 2 ( CONSTANT)
−
n−1
Variation des constantes
f solution de (L) ⇐⇒
∀t ∈ I, t, x(t) ∈ U et x0 (t) = f t, x(t)
Propriété
Soit (h1 , h2 ) une base de S H : pour tout f ∈ C 2 (I, K), il existe un unique couple ( u1 , u2 ) d’applications de C l (I, K) tel que: f = u1 .h1 + u2 .h2 . Alors
Propriété
Si A n’est pas trigonalisable, dans ce cas K = R , alors on résout le système différentiel avec le corps de base C puis on cherche les solutions réelles.
continue avec U un ouvert de R × F .
On appelle solutionde (E ) toutcouple (I, x) forméd’un intervalle d’intérieur non vide I et d’une fonction x : I −→ R dérivable vérifiant :
1. L’ensemble S H des solutions de H est un sousespace vectoriel de dimension 2 du K-espace vectoriel C 2 (I, K).
(L2 ) : Y = T Y + P B(t) (H 2 ) : Z = T Z
A
où f ∈
x = f (t, x)
C 1 (U,F )
Structure des solutions de (L) et de (H )
1
0
K
Définition
d’équation caractéristique (EC ) :
qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels:
0
1. Pour tout t ∈ I , rg (H ) = rg (ϕ1 (t), . . . , ϕn(t)) 2. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes: (a) ( ϕ1 , . . . , ϕn) est une base de S H ; = 0; (b) ∀t ∈ I, w(t) 6 = 0. (c) ∃t0 ∈ I / w (t0 ) 6 Au quel cas ( ϕ1 , . . . , ϕn ) est un système fondamental de solutions de (H )
0
0
(E ) :
0
Méthode de variation des constantes
−
1
É QUAT- DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES On s’interesse aux équations différentielles du type (résolu)
2. L’ensemble S L des solutions de (L) est un sousespace affine de C 2 (I, K) de direction S H .
est diagonalisable ou trigonalisable
: Information
admet une et une seule solution.
b(s) ds
Si A est diagonalisable ( resp trigonalisable ), ∃P ∈ GLn (C) telle que P 1 AP = T diagonale ( resp triangulaire supérieure). On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par: Y = P
Wronskien
00
0
−
: Attention.
x + a(t) · x + b(t) · x = c(t) où t 0 ∈ I, u0 , v0 ∈ x(t0 ) = u0 , x (t0 ) = v 0
est
Aux applications a et b sont associées les applications A : t 7−→ M n (K) et B : t 7−→ M n,1 (K), où, pour tout t ∈ I , A(t) et B(t) sontlesmatrices de a(t) et b(t) dans la base B . On appelle système différentiel l’équation notée X = A(t)X + B(t) dont les inconnues X sont à valeurs dans M n,1 (K). A
F ) isomorphe à F ,
l’unique solution au
x = a.x + b x(t0 ) = x0
Système différentiel
Si ϕ est solution de (L), alors ϕ ∈ C 1 (I, F ). Si a et b sont de classe C k alors ϕ sera de classe C k+1.
1. S H est un sev de
0
t0
Régularité des solutions
où (t0 , x0 ) une et une seule solution.
(
: Exemple classique.
É QU - DIFF LINÉAIRES D ’ ORDRE 2
t
a(t).ϕ(t) + b(t)
problème
x = a.x x(t0 ) = x0
∈ I × F ,
problème de Cauchy
Une solution de l’équation différentielle linéaire (L) est une fonction ϕ ∈ D (I, F ) telle que : ∀t ∈ I, ϕ (t) =
x = a(t).x + b(t) x(t0 ) = x0
l’unique solution au
−t0
Solution de l’équation différentielle linéaire
(
t 7−→ e(t
0
Théorème de Cauc hy-Lipschitz-linéaire
: Démarche.
Le problème de Cauchy
a constante
Équation différentielle linéaire du 1er ordre
Le
: Astuce.
É QUA - DIFF LINÉAIRES À COEFS CONSTANTS
F est un K -espace vectoriel normé de dimension finie n > 1 , β une base de F . Si u ∈ L(F ) et x ∈ F , on note u.x plutôt que u(x). Soit a ∈ C I, L(F ) et b ∈ C (I, F ).
: Résultat pratique.
f :
R
t
−→ − 7 →
R
(α cos(qt) + β sin(qt)) e pt
où (α, β ) ∈ R2
Propriété L’équation ay + by + cy = P (t)eαt admet une solution particulière de la forme y p (t) = tm Q(t)eαt où Q est une fonction polynomiale de même degré que P 00
• Si α n’est • Si α est
0
pas solution de (EC), alors m = 0 solution simple de (EC), alors m = 1
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L ES FONCTIONS HOLOMORPHES : Définition.
: Résultat de cours.
: Résultat pratique.
˜ = est un ouvert non vide de C et Ω (x, y) ∈ R2 | x + iy ∈ Ω . ˜Ω est un ouvert non vide de R2 f : Ω → C une fonction, on note ˜ f l’application définie sur ˜ Ω par ˜f (x, y) = f (x + iy) et on pose P : (x,y ) ∈ ˜ Ω 7→ < ef (x + iy) et Q : (x, y) ∈ ˜ Ω 7→ = mf (x + iy) Pour tout z0 ∈ C et r ∈ R+ ∪ {+∞}, on note Ω
D (z0 , r) = {z ∈
C
: Démarche.
Fonctions analytiques
Définition
On dit que f est analytique sur Ω si pour tout z0 ∈ U il existe r > 0 et une série entière +∞
X a (z − z ) R ≥ r tels que ∀z ∈ D(z , r), f (z) = 0
0
n
n
n
n
de rayon de convergence
Xa z n
n
C
-dérivable en z0
f (z) − f (z0 ) existe dans z − z0 notée f 0 (z0 ) lim
∈
Ω
si
. Auquel cas elle est
C
2. On dit que a est un zéro isolé de f si a est un zéro de f et ∃ε > 0 tel que ∀z ∈ D(a, ε) \ {0}, f (z) 6= 0.
une application définie par une série entière dont le rayon de convergence R est non nul. Soit z0 un
X f (z ) u point de l’intérieur du disque de convergence. Alors la série entière n! X f (z ) (z − z ) égal à R − |z | et on a ∀z ∈ D (z , R − |z |) , f (z) = 0
0
n=0
Propriété
Si f est C -dérivable en z0 ∈ Ω alors f est continue en z0 . Fonction holomorphe
Une fonction f : Ω −→ C est dite holomorphe, si elle est C-dérivable en tout point de Ω et si la fonction z 7−→ f (z) est continue sur Ω. La fonction z 7−→ f (z) est alors appelée la dérivée de f , notée f . 0
(n)
0
0
n!
Conditions de Cauchy-Riemann
Corollaire
Soit f : Ω −→ C une fonction. Les assertions suivantes sont équivalentes :
+∞
∀z0 ∈ U, ∃r > 0, ∀z ∈ D(z0 , r), f (z) =
(n) (z ) 0
X f
f f ∂ ˜ ∂ ˜ (x, y) + i (x, y) = 0 . ∂ x ∂ y
2π
Z f z + re e 0
iθ
−inθ
dθ ne dépend pas du choix de 0 < r < R
0
Xa z 2. La série entière X a (z − z )
n
a un rayon de convergence au moins égal à R , et on a l’égalité ∀ z
∈ D (z0 , R),f (z) =
∂ P
∂ Q
∂ P
∂ Q
∂ x
∂ y
∂ y
∂ x
(x,y ) = −
n
0
(x, y).
Soient Ω un ouvert connexe par arcs, f et g holomorphes sur Ω. Si ∃ (zn ) ∈ ΩN à valeurs deux à deux distinctes et convergente dans Ω telle que ∀ n ∈ N , f (zn ) = g (zn ) alors f = g sur Ω . Principe d’identification
+∞
Soient Ω un ouvert connexe par arcs, an zn et bnz n deux séries entières de rayons de convergence non nuls et de sommes respectives f et g . Les assertions suivantes sont équivalentes :
P
n
n=0
Corollaire
3. P et Q sont de classe C 1 sur Ω et elles vérifient les équations d’Euler (x, y) et
Principe d’identification
On suppose que f est holomorphe sur Ω, z0 ∈ Ω et R > 0 tels que D (z0 , R) ⊂ Ω.
n>0
2. f ˜ est différentiablede C 1 sur Ω et vérifiel’équation d’Euler
(x,y ) =
n!
2. Soient Ω un ouvertconnexepar arcs,f , g et h trois fonctions analytiques sur Ω avec h non identiquement nulle sur Ω . Si f h = gh sur Ω alors f = g sur Ω .
(z − z0 )n
Propriété
n
1. f est holomorphe sur Ω.
1. Soient Ω un ouvert connexe par arcs, f et g deux fonctionsanalytiques sur Ω . Si ∀z ∈ Ω, f (z)g(z) = 0 alors f = 0 ou g = 0 sur Ω .
3. f admet un développement de Taylor au voisinage de tout point z0 ∈ Ω . Autrement dit,
1 2πr n
Si Ω estunouvertconnexepar arcset f unefonctionnon identiquement nulle holomorphe sur Ω alors les zéros de f sont isolés. Le résultat est faux si l’ouvert n’est pas connexe par arcs. En effet, l’application f définie sur C \ {z ∈ C/|z| = 1} par f (z) = 0 si |z| < 1 et f (z) = 1 si |z| > 1 est holomorphe, non nulle et tous ses z éros sont non isolés.
2. f est infiniment dérivable sur Ω.
1. Le nombre an =
Principe des zéros isolés
Attention
n
1. f est holomorphe sur Ω.
n=0
une C-algèbre
a un rayon de convergence au moins
On suppose que f est analytique sur Ω. Alors :
0
H (Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. est
n
Analyticité des fonctions holomorphe
0
Propriété
0
n>0
+∞
0
Soit f ∈ H(Ω) et a ∈ Ω . 1. On dit que a est un zéro de f si f (a) = 0 .
Propriété
(n)
z →z0
1. f est holomorphe sur U ssi f est analytique sur Ω . 2. Une fonction holomorphe sur Ω est indéfiniment dérivable au sens complexe sur Ω et toutes ses dérivées sont analytiques sur Ω . 3. Lasommed’une série entière derayonde convergence nonnulest analytique sursondisque ouvertde convergence.
P
1. ∀n ∈ N,a n = bn . 2. Il existe une suite (zn ) ∈ CN de points deux à deux distincts qui tend vers 0 et telle que ∀ n ∈ N, f (zn ) = g(zn).
4. Soit f holomorphe sur Ω . On pose R = sup{r > 0/D(z0 , r) ⊂ Ω} ∈ ]0, +∞[∪{+∞} :
Propriété
On suppose que Ω estouvertconnexepar arcs et f holomorphe sur Ω . Alors f est constante sur Ω si et seulement si f = 0 sur Ω.
+∞
n!
f (n) (z0 ) 1 ∀0 < r < R, ∀n ∈ N, = n! 2π rn
Z
n=0
Holomorphie et séries entières
une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Alors f est infiniment C -dérivable sur D(0, R) et on a n
+∞ (k ) N, ∀z ∈ D(0, R), f (z) =
X k!C
k n n+k an+k z
n=0
(n) (z ) 0
X f
∀z ∈ D(z0 , R), f (z) =
0
∀k ∈
Pa z
n=0
Soit f (z) =
: Information
P RINCIPE DES ZÉROS ISOLÉS
n=0
On dit que f est
n
: Attention.
+∞
, |z − z0 | < r}
Définition
P Soient a z
: Exemple classique.
F ONCTIONS ANALYTIQUES
F ONCTIONS HOLOMORPHES Dans ce qui suit
: Astuce.
2π
P RINCIPE DE PROLONGEMENT ANALYTIQUE
(z − z0 )n.
Théorème it
−int
f (z0 + re )e
Soit g une fonction holomorphr sur un ouvert non vide Ω1 ; s’il existe un ouvert connexe par arcs Ω contenant Ω1 et une fonction f holomorphe sur Ω et prolongeant g , alors f est unique
dt.
0
Corollaire
1. Soient f et g deux fonctions analytiques sur Ω et λ ∈ C . Alors f + g, λf et fg sont analytiques sur Ω. Si de plus, ∀z ∈ Ω, g(z) 6= 0 alors f g est analytique sur Ω . 2. Soit V un ouvert de C . Soit f
deux fonctions analytiques sur Ω V respectivement avec f (Ω) V . Alors
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