Cours d'introduction à Matlab Matlab est un logiciel de calcul numérique. Matlab est développé et commercialisé par la société américaine The MathWorks. Voici une introduction qui vous suffira largement si vous utilisez les outils mathématiques de façon ponctuelle.
Première partie : Eléments de base 1. Utilisation de Matlab à la manière d’une calculatrice scientifique 2. Calcul sur les nombres complexes 3. Calcul sur les matrices 4. Résolution d’un système d’équations linéaires 5. Création du fichier .m d’une fonction y=f(x) 6. Création du fichier .m d’une fonction définie par morceaux y=f(x) 7. Graphe en 2D (2 axes) 8. Graphe d’une fonction à une variable y = f (x) 9. Graphe en 3D (3 axes) 10. Graphe d’une fonction à deux variables z = f (x , y) 11. Calcul sur les polynômes a. Racines d'un polynôme b. Détermination des coefficients d’un polynôme à partir des ses
racines c. Produit de polynômes d. Fractions rationnelles : Décomposition en éléments simples e. Représentation graphique 12. Recherche du minimun d’une fonction f(x) 13. Recherche de racines ; Equation non linéaire à une inconnue f(x)=0 14. Dérivée d'une fonction f '(x) 15. Calcul d’intégrale 16. Equation différentielle 17. Diagramme de Bode 18. Scalaires, vecteurs, matrices et tableaux 19. Calcul numérique, calcul littéral et calcul formel 20. Gestion des fichiers : lecture et écriture N.B. Ce qui suit a été testé avec les versions 4.2. et 6.5. Niveau : bac / bac + 2 http://fabrice.sincere.pagesperso-orange.fr/matlab/matlab_index.htm
(C) Fabrice Sincère ; Révision 1.0.2
Matlab – 1-Utilisation en calculatrice scientifique 1-Variables et constantes spéciales 2- Opérateurs mathématiques 3- Fonctions mathématiques 4- Utilisation de variables 1-Variables et constantes spéciales ans
réponse la plus récente
pi
nombre pi
inf
plus l'infini
-inf
moins l'infini
NaN
(Not-a-Number)
2-Opérateurs mathématiques +
addition
-
soustraction
*
multiplication
/
division
^
puissance
>> (2 + 5.2)*10 / (5^3) ans = 0.5760 >> -2.52e3 ans = -2520 >> 2*pi ans = 6.2832
format long e affiche 16 chiffres : >> format long e >> 2*pi ans = 6.283185307179586e+000 format short (format par défaut) affiche 5 chiffres : >> format short >> 2*pi ans = 6.2832
>> 1 / 0 Warning: Divide by zero ans = Inf >> -1 / 0 Warning: Divide by zero ans = -Inf >> 0 / 0 Warning: Divide by zero ans = NaN
3- Fonctions mathématiques
sin(X)
sinus
asin(X)
sinus inverse
cos(X)
cosinus
acos(X)
cosinus inverse
tan(X)
tangente
atan(X)
tangente inverse
avec X : argument en radians.
>> sin(2) ans = 0.9093
sinus (45°) : >> sin(45*pi/180) ans = 0.7071 >> 1 + exp(2.5) ans = 13.1825
exp(X)
exponentielle
log(X)
logarithme naturel (base e)
log10(X)
logarithme décimal (base 10)
sqrt(X)
racine carrée
abs(X)
valeur absolue
4- Utilisation de variables >> 5*3 ans = 15 >> ans+4 ans = 19 >> a= 2 + log(15) a= 4.7081 >> b = - 45 b= -45 >> a * b ans = -211.8623 >> c = a - sqrt(abs(b)) c= -2.0002
Matlab – 2-Calcul sur les nombres complexes •
•
Fonctions : i
imaginaire pur
j
imaginaire pur
conj(X)
conjugué du nombre complexe X
real(X)
partie réelle
imag(X)
partie imaginaire
abs(X)
module
angle(X)
argument (en radians)
Exemples :
>> (4 - 2.5i)*(-2 + i)/(1 + i) ans = 1.7500 + 7.2500i >> a = 1 + i a= 1.0000 + 1.0000i >> b = -2 + 3.5j b= -2.0000 + 3.5000i >> a + b ans = -1.0000 + 4.5000i >> a * b ans =
-5.5000 + 1.5000i >> a / b ans = 0.0923 - 0.3385i >> conj(a) ans = 1.0000 - 1.0000i >> a * conj(a) ans = 2 >> real(a) ans = 1 >> imag(conj(a)) ans = -1 >> abs(a) ans = 1.4142 >> angle(a) ans = 0.7854
sqrt : fonction racine carrée >> c = 2 - sqrt(3)*i
c= 2.0000 - 1.7321i >> abs(c) ans = 2.6458 >> angle(c) ans = -0.7137
Argument en degrés : >> angle(c)*180/pi ans = -40.8934
Matlab 3-Calcul matriciel
+
addition de matrices
-
soustraction de matrices
*
produit de matrices
^
puissance
eye (n)
matrice unité (matrice identité) de taille n x n
inv (X)
inverse de la matrice carrée X
rank (X)
rang de la matrice X (nombre de colonnes ou de lignes indépendantes)
det (X)
déterminant de la matrice carrée X
X'
transposée de la matrice X
/
division à droite : A / B est équivalent à A * inv(B)
\
division à gauche : A \ B est équivalent à inv(A) * B
•
Fonctions :
•
Exemples :
Saisie d'une matrice carrée de taille 3 x 3 : >> A = [ 2 4 5 ; 1 5 7 ; -3 3 1] A= 245 157 -3 3 1
>> A(2 , 3)
ans = 7 >> A(2 , 3) = 6 A= 245 156 -3 3 1
>> A' ans = 2 1 -3 453 561
>> inv(A) ans = 1.0833 -0.9167 0.0833 1.5833 -1.4167 0.5833 -1.5000 1.5000 -0.5000
>> D = A * inv(A) D= 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
>> rank(A) ans = 3
>> det(A) ans = -12
>> eye(7) ans = 1000000 0100000 0010000 0001000 0000100 0000010 0000001
>> B = [ 1 1 0 ; 1 0 1 ; 0 1 1 ] B= 110 101
011
>> A + B ans = 355 257 -3 4 2
>> 2 + A ans = 467 378 -1 5 3
>> 2 * A ans = 4 8 10 2 10 12 -6 6 2
>> A * B ans = 679 6 7 11 0 -2 4
>> B * A ans = 3 9 11 -1 7 6 -2 8 7
>> A*A*A ans = -88 304 262 -98 314 268 -18 18 10
>> A^3 ans = -88 304 262 -98 314 268 -18 18 10
Saisie d'une matrice à coefficients complexes de taille 2 x 3 : >> C = [ 1 + i 0 0 ; 1 - i i 2] C= 1.0000 + 1.0000i 0 0 1.0000 - 1.0000i 0 + 1.0000i 2.0000
>> C * A ans = 2.0000 + 2.0000i 4.0000 + 4.0000i 5.0000 + 5.0000i -4.0000 - 1.0000i 10.0000 + 1.0000i 7.0000 + 1.0000i
Matlab -4-Résolution d'un système d'équations linéaires
Fonction :
\
division à gauche de matrices A \ B est équivalent à : inv(A)*B
Exemple n°1 : Soit à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues x1, x2 et x3 :
On saisit les différents coefficients dans une matrice 3 x 3 : >> A = [ 3 2 1 ; -1 5 2 ; 4 -2 3 ] A= 321 -1 5 2 4 -2 3
On complète avec un vecteur colonne 3 x 1 : >> B = [ 4 ; -1 ; 3 ] B= 4 -1
3
La solution est donnée sous la forme d'un vecteur colonne : >> A \ B ans = 1.3279 0.2951 -0.5738
Autre méthode : >> inv(A) * B ans = 1.3279 0.2951 -0.5738
>> format long e >> A \ B ans = 1.327868852459016e+000 2.950819672131148e-001 -5.737704918032788e-001
>> X = A \ B
X= 1.327868852459016e+000 2.950819672131148e-001 -5.737704918032788e-001
>> X(1) ans = 1.327868852459016e+000
>> X(2) ans = 2.950819672131148e-001
>> X(3) ans = -5.737704918032788e-001
Vérification : >> 3*X(1) + 2*X(2) + X(3) ans = 4 >> -X(1) + 5*X(2) + 2*X(3) ans = -9.999999999999998e-001
>> 4*X(1) -2*X(2) + 3*X(3) ans = 3.000000000000000e+000
•
Exemple n°2 :
Soit le système d'équations paramétriques :
On cherche à exprimer x1, x2 et x3 en fonction de b1, b2 et b3 :
>> A = [ -1 2 1 ; -1 1 2 ; 1 -2 1 ] A= -1 2 1 -1 1 2 1 -2 1
>> inv(A) ans = 2.5000 -2.0000 1.5000
1.5000 -1.0000 0.5000 0.5000 0 0.5000
>> format rational >> inv(A) ans = 5/2 -2 3/2 3/2 -1 1/2 1/2 0 1/2
>> format short >> inv(A) ans = 2.5000 -2.0000 1.5000 1.5000 -1.0000 0.5000 0.5000 0 0.5000 Finalement :
Matlab -5- Création du fichier .m d’une fonction •
Fonction :
function
•
Exemple
Soit la fonction :
a) Commencez pour ouvrir un éditeur de texte : Dans la fenêtre de commande de Matlab : File -> New -> M-file Avec la version 4.2. l'éditeur de texte par défaut est l'application "Bloc-notes". Avec la version 6.5. l'éditeur de texte par défaut est l'application "M-File Editor".
b) Donnez un nom à cette fonction (dans cet exemple fonc) et saisissez son expression mathématique :
Attention : il faut mettre un point devant les opérateurs multiplication, division et puissance : .* ./ .^
c) Sauvegardez le fichier dans votre répertoire de travail (par exemple c:\USERS) Nom : fonc Extension : .m d) Ajoutez le chemin du répertoire où se trouve votre fichier fonc.m Avec la version 4.2. : >> path(path,'c:\USERS') Avec la version 6.5. : File -> Set Path -> Add Folder -> Save -> Close
Remarque : Vous pouvez utiliser n'importe quel nom pour les variables. La fichier suivant donne le même résultat :
•
Evaluation d'une fonction
Calcul de y ( x = 0 ) : >> fonc(0) ans = 2 Calcul de y ( x = 5 ) : >> fonc(5)
ans = 10.2010 >> fonc(-1) Warning: Divide by zero ans = Inf
Avec en argument un vecteur, la fonction retourne un vecteur : >> fonc( [0 1 2 3 4 5] ) ans = 2.0000 3.8415 3.9099 6.9121 8.1121 10.2010 >> x = 0 : 5 x= 012345 >> y = fonc(x) y= 2.0000 3.8415 3.9099 6.9121 8.1121 10.2010
Avec en argument une matrice, la fonction retourne une matrice : >> fonc( [ 1 2 3 ; 4 5 6] ) ans = 3.8415 3.9099 6.9121 8.1121 10.2010 11.2939
Matlab – 6-Création du fichier .m d'une fonction définie par morceaux
•
Exemple :
Soit la fonction y = f(x) :
Le fichier f5.m associé à cette fonction s'écrit :
>> f5 (0) ans = 0 >> f5 (1)
ans = 0.5000 >>f5 (-10) ans = 0 >> f5 (3) ans = 0.0556 >> fplot ( 'f5' , [ -2 4 ] ) >> grid on
Matlab – 7-Graphe en deux dimensions •
Fonctions : trace point par point un graphe 2D identique à plot mais avec échelle logarithmique pour l'axe des abscisses identique à plot mais avec échelle logarithmique pour l'axe des ordonnées identique à plot mais avec échelles logarithmiques pour les deux axes ajoute une grille ajoute une légende pour l'axe des abscisses ajoute une légende pour l'axe des ordonnées ajoute un titre modifie les échelles des axes effectue un zoom place une légende avec la souris ajoute un graphe dans la fenêtre courante crée une nouvelle fenêtre
plot semilogx semilogy loglog grid xlabel ylabel title axis zoom gtext hold figure Exemple 1 Temps (heures)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Température (°C)
20
23
30
33
32
37
34
39
36
>> temps = [0 2 4 6 8 10 12 14 16] temps = 0 2 4 6 8 10 12 14 16 >> temperature = [20 23 30 33 32 37 34 39 36] temperature = 20 23 30 33 32 37 34 39 36 >> plot (temps , temperature)
>> grid on >> xlabel ( 'temps (en heures)' ) >> ylabel ( 'température (en °C)' ) >> title ( 'Suivi de température' ) >> axis ( [ 0 18 10 40 ] )
>> plot ( temps , temperature ,'+' )
>> plot ( temps , temperature , 'co' )
>> plot ( temps , temperature , ':' )
>> plot ( temps , temperature , '--' )
Autres options :
y
Jaune
m
Magenta
c
Cyan
r
Rouge
g
Vert
b
Bleu
w
Blanc
k
Noir
. o x + * : -. -•
Exemple 2 : graphe d’une fonction à une variable
Création du vecteur t : >> t = 0 : 0.01 : 1 t= Columns 1 through 7 0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 …
Columns 99 through 101 0.9800 0.9900 1.0000
Création du vecteur y : Attention : ne pas oublier le point devant les opérateurs multiplication, puissance et division : .* .^ ./ >> y = t.*(1 + t.^2)./10 y= Columns 1 through 7 0 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 … Columns 99 through 101 0.1921 0.1960 0.2000 >> plot ( t , y ) >> grid on
Remarque : il est plus efficace d’utiliser la fonction fplot Exemple 3 : équations paramétriques d'une ellipse x = 4cos(t) y = sin(t) >> t = 0 : pi/100 : 2*pi >> x = 4*cos(t) >> y = sin(t) >> plot ( x , y )
Matlab – 8-Représentation graphique d'une fonction à une variable y = f(x) •
Fonctions
fplot grid xlabel ylabel title axis zoom gtext hold figure
trace point par point le graphe d'une fonction ajoute une grille ajoute une légende pour l'axe des abscisses ajoute une légende pour l'axe des ordonnées ajoute un titre modifie les échelles des axes effectue un zoom place une légende avec la souris ajoute un graphe dans la fenêtre courante crée une nouvelle fenêtre
Première méthode : On veut tracer le graphe de la fonction :
>> fplot('1+ 2*x + sin(x*x)', [ 1 5 ]) Remarque : la variable doit nécessairement s'appeler x
>> fplot('1+ 2*x + sin(x*x)', [ 2 3 2 10 ])
>> grid on
>> grid off >> xlabel('axe des abscisses') >> ylabel('axe des ordonnées') >> title('y=f(x)')
>> zoom on click droit : zoom arrière click gauche : zoom avant click gauche et glissé : zoom d’une zone >> zoom off
Pour tracer plusieurs graphes dans la même fenêtre : >> fplot('[1+ 2*x + sin(x*x) , 1+ 2*x - sin(x*x) ]', [ -2 2.5 ])
>> gtext('fonction 1') >> gtext('fonction 2')
•
Deuxième méthode :
Nous allons créer le fichier .m de la fonction :
>> fplot('f2', [ 0 10])
>> hold on >> fplot('sin(x) ', [ 0 10 ] ,'b')
>> hold off >> [X Y] = fplot ( 'sin(x) ' , [ 0 10 ] ) X= 0 0.0200 0.0600 ... 9.8700 9.9350 10.0000 Y= 0
0.0200 0.0600 ... -0.4307 -0.4884 -0.5440 >> fplot ( 'sin(x) ' , [ 0 10 ] , '.' )
Autres options : y Jaune m Magenta c Cyan r
Rouge
g Vert
b Bleu w Blanc k Noir
. o x + * : -. --
Matlab- 9-Graphe en trois dimensions •
Fonctions plot3 grid xlabel ylabel zlabel title hold figure
trace point par point un graphe 3D ajoute une grille ajoute une légende pour l'axe des abscisses ajoute une légende pour l'axe des ordonnées ajoute une légende pour l'axe des z ajoute un titre ajoute un graphe dans la fenêtre courante crée une nouvelle fenêtre
view
ajuste l'angle de vue
Exemple 1 >> x = [ 1 2 3 4 ] x= 1234 >> y = [ 2 4 6 7] y= 2467 >> z = [ 3 8 5 6 ] z= 3856 >> plot3 (x , y , z ,'r*') >> grid on >> xlabel('axe des x') >> ylabel('axe des y') >> zlabel('axe des z') >> title('plot3')
•
Exemple 2 : équations paramétriques
x = cos (t) y = sin (t) z=t >> t = 0 : pi/100 : 5*pi >> plot3 (cos(t) , sin(t) , t)
Matlab- 10-Graphe d’une fonction à deux variables z = f(x,y) •
Fonctions
meshgrid mesh meshc meshz contour view grid xlabel ylabel zlabel title hold figure
(voir l'exemple) (voir l'exemple) (voir l'exemple) (voir l'exemple) (voir l'exemple) ajuste l'angle de vue ajoute une grille ajoute une légende pour l'axe des abscisses ajoute une légende pour l'axe des ordonnées ajoute une légende pour l'axe des z ajoute un titre ajoute un graphe dans la fenêtre courante crée une nouvelle fenêtre
Exemple 1
>> x = -2 : 2 x= -2 -1 0 1 2 >> y = -3 : 3 y= -3 -2 -1 0 1 2 3 >> [X , Y] = meshgrid(x , y) X= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 Y= -3 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 00000 11111 22222 33333 >> Z = sqrt (X.^2 + 2.*Y.^2) Z= 4.6904 4.3589 4.2426 4.3589 4.6904 3.4641 3.0000 2.8284 3.0000 3.4641 2.4495 1.7321 1.4142 1.7321 2.4495 2.0000 1.0000 0 1.0000 2.0000 2.4495 1.7321 1.4142 1.7321 2.4495 3.4641 3.0000 2.8284 3.0000 3.4641 4.6904 4.3589 4.2426 4.3589 4.6904
>> mesh (X , Y , Z) >> grid on
Pour une meilleure résolution : >> x = -2 : 0.1 : 2 >> y = -3 : 0.1 : 3 >> [X , Y] = meshgrid(x , y) >> Z = sqrt (X.^2 + 2.*Y.^2) >> mesh (X , Y , Z)
>> meshc (X , Y , Z)
>> contour (x , y , Z)
>> meshz (X , Y , Z)
>> mesh (X , Y , Z) >> grid on >> view(-80 , 10)
Remarque : view (-37.5 , 30) par défaut
•
Exemple 2
z = f (x , y ) = y.exp( - x² - y² )
>> x = -2 : 0.1 : 2 >> y= -2 : 0.1 : 2 >> [X , Y] = meshgrid(x , y) >> Z = Y.*exp ( -X.^2 - Y.^2)
>> mesh (X , Y , Z)
>> meshc (X , Y , Z)
>> contour (x , y , Z)
Matlab – 11-Calcul sur les polynômes 1- Racines d'un polynôme 2- Détermination des coefficients d’un polynôme à partir des ses racines 3- Produit de polynômes 4- Fractions rationnelles : Décomposition en éléments simples 5- Représentation graphique
•
Fonctions :
conv
produit de polynômes
residue
décomposition en éléments simples
roots
trouve les racines d'un polynôme
poly
trouve le polynôme à partir des ses racines
polyval
évalue le polynôme
1- Racines d'un polynôme
•
1er exemple :
3x² - 5x + 2 = 0 On commence par définir un " vecteur " qui contient les coefficients du polynôme : >> p = [ 3 -5 2 ] p= 3 -5 2 >> roots(p)
ans = 1.0000 0.6667 >> roots( [ 3 -5 2 ]) ans = 1.0000 0.6667
•
2ème exemple :
x² - 4x + 4 = 0 >> p= [ 1 -4 4 ] p= 1 -4 4 >> roots(p) ans = 2 2
•
3ème exemple :
x² + 3x + 8 = 0 >> p= [ 1 3 8 ] p= 138 >> roots(p) ans =
-1.5000 + 2.3979i -1.5000 - 2.3979i
•
4ème exemple :
>> p = [ 1 2 -2 4 3 5 ] p= 1 2 -2 4 3 5 >> roots(p) ans = -3.0417 0.9704 + 1.0983i 0.9704 - 1.0983i -0.4495 + 0.7505i -0.4495 - 0.7505i >> format long e >> roots(p) ans = -3.041684725314715e+000 9.703604093970790e-001 +1.098343294996758e+000i 9.703604093970790e-001 -1.098343294996758e+000i -4.495180467397220e-001 +7.504870344729816e-001i -4.495180467397220e-001 -7.504870344729816e-001i
•
5ème exemple :
polynôme à coefficients complexes : (1+i)x² + (2-5i)x + 3,5 = 0 >> format short >> p = [ 1+i 2-5i 3.5] p= 1.0000 + 1.0000i 2.0000 - 5.0000i 3.5000 >> roots(p) ans = 1.7116 + 4.0248i -0.2116 - 0.5248i
2- Détermination des coefficients d’un polynôme à partir des ses racines
•
1er exemple :
>> a = [ 2 1 ] a= 21 >> poly(a) ans = 1 -3 2 (c’est-à-dire : x² -3x +2)
•
2ème exemple :
>> a = [ 2 2 3 -5 ] a=
2 2 3 -5 >> poly(a) ans = 1 -2 -19 68 -60
•
3ème exemple :
>> a = [ 2+i 2-3i 5] a= 2.0000 + 1.0000i 2.0000 - 3.0000i 5.0000 >> poly(a) ans = 1.0000 -9.0000 + 2.0000i 27.0000 -14.0000i -35.0000 +20.0000i
Vérification : >> p = ans p= 1.0000 -9.0000 + 2.0000i 27.0000 -14.0000i -35.0000 +20.0000i >> roots(p) ans = 2.0000 - 3.0000i 5.0000 - 0.0000i 2.0000 + 1.0000i
3- Produit de polynômes
•
1er exemple
( x –2 )( x – 1 ) = ?
>> p1=[ 1 -2 ] p1 = 1 -2 >> p2=[ 1 -1 ] p2 = 1 -1 >> conv( p1 , p2 ) ans = 1 -3 2
Autrement dit : ( x –2 )( x – 1 ) = x² -3x +2
•
2ème exemple
(3x² - 5x + 2)( x² + 3x + 8) = ?
>> p1=[ 3 -5 2 ] p1 = 3 -5 2 >> p2=[ 1 3 8 ] p2 = 138
>> conv( p1 , p2 ) ans = 3 4 11 -34 16
Autrement écrit : (3x² - 5x + 2)( x² + 3x + 8) = 3x4 + 4x3 + 11 x² -34 x +16
4- Décomposition en éléments simples
p1 , p2 … désignent les " pôles ". •
Exemple :
polynôme du numérateur : >> n =[ 6 ] n= 6 polynôme du dénominateur : >> d =[ 1 6 11 6 0 ] d= 1 6 11 6 0 >> [ r , p , k ] = residue ( n , d) r= -1.0000
3.0000 -3.0000 1.0000 p= -3.0000 -2.0000 -1.0000 0 k= []
Finalement :
5- Représentation graphique
•
Exemple :
y = f(x) = 3x² - 5x + 2
5-1- Utilisation de la fonction plot
>> p = [ 3 -5 2 ] p= 3 -5 2
Calcul de f( x = 1) : >> polyval( p , 1 ) ans = 0 Calcul de f( x = 2) : >> polyval( p , 2) ans = 4 Création du vecteur x : >> x = 0 : 0.01 : 2 x= Columns 1 through 7 0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 … Columns 197 through 201 1.9600 1.9700 1.9800 1.9900 2.0000 Création du vecteur y : >> y = polyval( p , x) y= Columns 1 through 7 2.0000 1.9503 1.9012 1.8527 1.8048 1.7575 1.7108 … Columns 197 through 201 3.7248 3.7927 3.8612 3.9303 4.0000 >> plot (x , y)
>> grid on
5-2- Utilisation de la fonction fplot
5-2-1- Première méthode >> fplot ( '3*x^2 - 5*x + 2' , [ 0 2 ] ) >> grid on
5-2-2- Deuxième méthode
Il faut créer le fichier .m de la fonction :
>> f7(2) ans = 4 >> f7(0) ans =
2 >> fplot ('f7', [ 0 2] ) >> grid on
•
Remarque
On peut également définir le polynôme de la manière suivante :
Matlab – 12-minimum d’une fonction f(x) •
Fonction :
Fmin (version 4.2.) Fminbnd (version 6.5.) •
Exemple :
Il faut commencer par créer le fichier .m associé à cette fonction :
Dessinons maintenant le graphe de cette fonction : >> fplot( 'f1' , [ -10 10 ] ) >> grid on
Cherchons le minimum de cette fonction dans l’intervalle 0 à 5 : >> fmin ( 'f1' , 0 , 5 ) ans = 2.1177 >> f1(ans) ans = 0.0903
Matlab – 13-Equation non linéaire à une inconnue & Racines d’une fonction •
Fonction :
fzero •
Exemple :
Soit à résoudre l’équation :
Cela revient à trouver les racines de la fonction :
Il faut commencer par créer le fichier .m de cette fonction :
Représentation graphique de la fonction : >> fplot('f3', [ 0 5 ]) >> grid on
Cela fait apparaître 3 racines, aux environs de 2,7 3,1 et 3,4. >> fzero('f3', 2.7) ans = 2.6545 Pour les maniaques de la précision : >> format long e >> fzero('f3', 2.7) ans = 2.654461193307640e+000 >> format short >> fzero('f3', 3.1) ans =
3.1039 >> fzero('f3', 3.4) ans = 3.4078
Vérification : >> f3(ans) ans = 5.5511e-016
Matlab –14- Graphe de la dérivée d’une fonction f ’(x) Voici "ma" méthode : •
Prenons l'exemple suivant :
Commençons par créer le fichier .m de la fonction :
>> [ x y ] = fplot ( 'f2' , [ 0 2*pi ] ) x= 0 0.0126 0.0251 … 6.2455 6.2643 6.2832 y= 0.5000 0.4997 0.4986 …
0.4966 0.4992 0.5000
Une approximation de la dérivée est donnée par : >> dy = diff(y)./diff(x) dy = -0.0276 -0.0804 -0.1292 … 0.1370 0.0438
>> plot (x , dy) ??? Error using ==> plot Vectors must be the same lengths. >> length(x) ans = 307 >> length(dy) ans = 306
Problème !
Le vecteur dy a un élément de moins que le vecteur x, ce que n'apprécie pas la fonction plot. Nous allons contourner la difficulté en ignorant le dernier élément du vecteur x : >> plot ( x (1 : length(x)-1 , : ) , dy , '. ') >> grid on
Comparons avec la dérivée exacte (couleur bleue) : >> hold on >> fplot ( 'cos(x) - 1.5*sin(3*x) - cos(5*x)' , [ 0 2*pi ] , 'b.' )
En vert, la fonction f2(x) : >> fplot ( 'f2' , [ 0 2*pi ] , 'g.' )
Matlab – 15-Calcul d'intégrale •
Fonctions :
quad : algorithme de Simpson
quad8 : algorithme de Newton-Cote (version 4.2.) quadl (version 6.5.)
•
Exemple :
Il faut commencer par créer le fichier .m de la fonction à intégrer :
>> fplot( 'f4', [ 0 1 ]) >> grid on
>> quad( 'f4' , 0 , 1 ) ans = 3.1416 >> format long e >> quad( 'f4' , 0 , 1 ) ans = 3.141592502458707e+000
La valeur exacte de cette intégrale est pi. >> pi ans = 3.141592653589793e+000 Il y a un petit écart ...
Améliorons la précision avec une tolérance de calcul de 1e-10 (la tolérance par défaut est 1e-3) : >> quad( 'f4' , 0 , 1 , 1e-10 ) ans = 3.141592653589792e+000
... ce qui est beaucoup mieux ! >> quad8( 'f4' , 0 , 1 , 1e-10) ans = 3.141592653589793e+000
Matlab -16- Résolution d’équations différentielles •
Fonctions (Matlab version 4.2.)
ode23 : algorithme de Runge-Kutta du 2ème et 3ème ordres ode45 : algorithme de Runge-Kutta du 4ème et 5ème ordres
•
Exemple 1 : équation différentielle du premier ordre
Soit une fonction y1(t) soumise à l’équation différentielle :
Créons le fichier f10.m :
>> [ t , y ] = ode23 ( 'f10' , 0 , 20 , [ 5 ] ) t= 0 0.1562 0.4833
... 18.0327 19.2827 20.0000
y= 5.0000 5.3758 6.0735 ... 9.9995 9.9997 9.9998 >> plot ( t , y ) >> grid on
Pour avoir une tolérance sur les calculs de 1e-7 : >> [ t , y ] = ode23 ('f10' , 0 , 20 , [ 5 ] , 1e-7) A tester : >> [t , y ] = ode45 ( 'f10' , 0 , 20 , [ 5 ] ) •
Exemple 2 : équation différentielle du deuxième ordre
Créons le fichier f11.m :
>> [ t , y ]=ode23 ( 'f11' , 0 , 10 , [ 0 2 ] ) t= 0 0.0781 0.1858 ... 9.7555 9.9671
10.0000 y= 0 2.0000 -0.3058 1.9880 -0.7017 1.9334 ... -0.2114 0.1188 -0.2284 0.0719 -0.2291 0.0644 >> plot ( t , y )
Pour n'afficher que la première colonne, c'est-à-dire y1(t) ou dy2(t)/dt : >> plot ( t , y ( : , 1 ) )
Pour n'afficher que la deuxième colonne, c'est-à-dire y2(t) : >> plot ( t , y ( : , 2 ) )
•
Exemple 3 : équation différentielle du troisième ordre
Créons le fichier f12.m :
>> [ t , y ] = ode23 ( 'f12' , 0 , 2 , [ 2 1 1 ] ) t= 0 0.0156 0.1290 ... 1.8692 1.9942 2.0000 y= 2.0000 1.0000 1.0000 2.0938 1.0320 1.0159 2.7741 1.3080 1.1478 ... 13.2149 15.2195 12.8932 13.9649 16.9183 14.9009 14.0000 17.0000 15.0000 >> plot ( t , y )
Pour n'afficher que la troisième colonne, c'est-à-dire y3(t) : >> plot ( t , y ( : , 3 ) )
Nous allons comparer avec la solution exacte : y3(t) = t^3 + t^2 + t + 1 >> hold on >> fplot ( 'x^3 + x^2 + x + 1 ' , [ 0 2 ] , 'b--' )
Les deux courbes sont superposées. •
Exemple 4 : Equation non linéaire du 2ème ordre
Equation de Van der Pol
Créons le fichier f9.m :
>> [ t , y ]=ode23 ( 'f9' , 0 , 20 , [ 0 0.25 ] ) >> plot ( t , y )
Matlab
17-Diagramme de Bode
Fonctions : Log10 : logarithme décimal Semilogx : identique à la fonction plot mais avec une échelle logarithmique pour l’axe des abscisses Loglog : identique à la fonction plot mais avec une échelle logarithmique pour l’axe des abscisses et des ordonnées Premier exemple Considérons un filtre passe-bas du 2ème ordre, de fonction de transfert :
avec : K = 10, f1 = 1 kHz et f2 = 10 kHz. Il faut commencer par créer le fichier t4.m de la fonction de transfert :
Valeur de la fonction de transfert pour f = 0 Hz (régime continu) : >> t4(0) ans = 10 Valeur de la fonction de transfert pour f = 100 Hz : >> t4(100)
ans = 9.8901 - 1.0890i Le module donne l'amplification : >> abs(t4(100)) ans = 9.9499 L'argument donne le déphasage (en radians) : >> angle(t4(100)) ans = -0.1097 Etudions la fonction de transfert sur la gamme de fréquence 100 Hz à 100 kHz : >> log10(100) ans = 2 >> log10(100000) ans = 5 Nous allons créer un vecteur logf : >> logf = 2 : 0.01 : 5 >> f = 10.^logf f est un vecteur qui nous donne 300 points uniformément répartis de 100 Hz à 100 kHz (compte tenu de l’échelle logarithmique). G est un vecteur qui nous retourne le gain (en dB) pour les fréquences précédentes : >> G = 20.*log10 (abs (t4(f)) )
>> semilogx ( f , G )
>> ylabel ( 'gain (dB)' ) >> xlabel ( 'fréquence (Hz)' ) >> title ( 'diagramme de Bode du gain' ) >> grid on
Déphasage en degrés : >> dephasage = angle(t4(f))*180/pi >> semilogx ( f , dephasage ) >> grid on
•
Deuxième exemple : système du deuxième ordre
Fichier de définition de la fonction t2 :
>> logpulsation = 3 : 0.01 : 6 >> pulsation = 10.^logpulsation
>> G = 20.*log10(abs(t2(pulsation))) >> semilogx ( pulsation , G ) >> grid on
>> dephasage = angle(t2(pulsation))*180/pi >> semilogx ( pulsation , dephasage ) >> grid on
>> amplification = abs(t2(pulsation)) >> loglog ( pulsation , amplification) >> grid on >> xlabel ( 'pulsation(rad/s)' ) >> ylabel ( 'amplification' ) >> title ( 'Diagramme de Bode' )
Compléments
Matlab – 18-Remarques à propos des scalaires, vecteurs, matrices et tableaux Où l'on verra également la différence entre : *
.*
/
./
^
.^
1- Matlab manipule des scalaires, vecteurs et matrices. >> a = 6 a= 6 >> b = [ 1 3 8 ] b= 138 >> c = [ 2 10 ; 3 8] c= 2 10 38 >> d = [ 1 2 ; 3 4 ] d= 12 34 >> e = [ -2 -8 –3 ] e= -2 -8 -3 >> f = [ 8 ; 5 ; 2 ]
f= 8 5 2 >> whos Name Size a 1 by 1 b 1 by 3 c 2 by 2 d 2 by 2 e 1 by 3 f 3 by 1 a est un scalaire (autrement dit une matrice 1x1) b est un vecteur ligne (autrement dit une matrice 1x3) c est une matrice (2x2) d est une matrice (2x2) e est un vecteur ligne (autrement dit une matrice 1x3) f est un vecteur colonne (autrement dit une matrice 3x1) •
2- Tableau (Array) et matrice
Multiplication de matrice
*
Multiplication de tableau (élément par élément)
.*
Puissance de matrice
^
Puissance de tableau (élément par élément)
.^
Division de matrice
/
B / A est équivalent à B * inv(A) Division de tableau (élément par élément)
./
* est le produit matriciel : >> [ 2 10 ; 3 8] *[ 1 2 ; 3 4 ] ans = 32 44 27 38 .* désigne la multiplication élément par élément, ce qui est complètement différent : >> [ 2 10 ; 3 8] .* [ 1 2 ; 3 4 ] ans = 2 20 9 32 >> [ 2 10 ; 3 8] / [ 1 2 ; 3 4 ] ans = 11 -3 6 -1 >> [ 2 10 ; 3 8] ./ [ 1 2 ; 3 4 ] ans = 25 12 >> [ 2 10 ; 3 8] ^2 ans = 34 100 30 94 >> [ 2 10 ; 3 8] .^2 ans = 4 100
9 64 >> 6*[ 1 3 8 ] ans = 6 18 48 >> 6.*[ 1 3 8 ] ans = 6 18 48 >> 6*[ 2 10 ; 3 8] ans = 12 60 18 48 >> 6.*[ 2 10 ; 3 8] ans = 12 60 18 48
>> [ 1 3 8 ].*[ -2 -8 –3 ] ans = -2 -24 -24
Le calcul suivant n'a pas de sens : >> [ 1 3 8 ] *[ -2 -8 –3 ] ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. >> [ 1 3 8 ] .^2
ans = 1 9 64
Le calcul suivant n'a pas de sens : >> [ 1 3 8 ] ^2 ??? Error using ==> ^ Matrix must be square.
Soit un vecteur ligne 1x7 : >> x = 0 : 6 x= 0123456 >> y = (x+1).^2 y= 1 4 9 16 25 36 49 y est un vecteur ligne 1x7. >> y = (x+1)^2 ??? Error using ==> ^ Matrix must be square.
Testons avec une matrice carrée 2x2 : >> x = [ 1 2 ; 3 4 ] x= 12 34
>> y = (x+1).^2 y= 49 16 25 >> y = (x+1)^2 y= 16 21 28 37
>> t = 0 : 5 t= 012345 >> u = t.^2 + 3.*t./ (5 + 2.*t) u= 0 1.4286 4.6667 9.8182 16.9231 26.0000 >> u = t^2 + 3*t /(5 + 2*t) ??? Error using ==> ^ Matrix must be square.
>> z = 2 : 2 : 12 z= 2 4 6 8 10 12 >> t./z ans = 0 0.2500 0.3333 0.3750 0.4000 0.4167
Matlab -19- A propos du calcul numérique, du calcul littéral et du calul formel Matlab effectue du calcul numérique à partir d’algorithmes plus ou moins sophistiqués.
•
Prenons l’exemple d’un calcul d’intégrale :
Les outils mathématiques permettent d’obtenir la valeur exacte de cette intégrale :
Matlab procède tout autrement : il calcule une valeur numérique approchée de cette intégrale. Ainsi, la fonction quad utilise un algorithme de Simpson : >> quad('cos' , 0 , pi/4 , 1e-12) ans = 7.071067811865476e-001 A comparer avec la valeur exacte (ou plutôt sa valeur approchée à 1e-16 près) : >> sqrt(2)/2 ans = 7.071067811865476e-001 (La fonction sqrt évalue la racine carrée d’un nombre avec un algorithme spécifique, comme vous l’aurez certainement compris. Notez qu’une calculatrice de poche utilise la même technique).
•
Alors pourquoi s’embêter à évaluer une intégrale alors que l’on peut obtenir sa valeur exacte ?
Oui effectivement : mais le calcul littéral n’est possible que dans le cas d’expressions simples, ce qui est rare quand on cherche à mettre en équations le monde qui nous entoure. Les techniciens et ingénieurs ne s’ennuient plus depuis bien longtemps à faire du calcul littéral. Avec un ordinateur, on sait très bien faire du calcul numérique, de la simulation, de le C.A.O. ….
•
Il existe cependant des logiciels de calcul littéral (on parle aussi de calcul symbolique ou de calcul formel) : Maxima (logiciel libre), Maple, Mathematica …
•
Exemples de calcul d'intégrale avec le logiciel libre et gratuit Maxima :
Matlab – 20-Gestion des fichiers : lecture et écriture N.B. Ce qui suit a été testé avec les versions 4.2 et 6.5. 1. Lecture d'un fichier binaire • • •
2. Création et écriture d'un fichier binaire 3. Lecture d'un fichier texte 4. Création et écriture d'un fichier texte
Fonctions : • • • • • •
fopen fclose fread fwrite fprintf fscanf
1. Lecture d'un fichier binaire
On se propose de lire et d'afficher, dans Matlab, le contenu d'un fichier quelconque : test.txt Avec le bloc-notes, cela donne :
4 lignes de commande suffisent : >> [fid , message] = fopen('test.txt' , 'r')
fid = 3 message = ''
>> [A , count] = fread(fid) A= 66 111 110 106 111 117 114 32 33 13 10 49 46 50 51 9 52 53
count = 18
>> status = fclose(fid) status = 0
>> disp(setstr(A')) Bonjour ! 1.23 45
La fonction fopen ouvre le fichier test.txt en mode lecture ('r'). fid est l'identifiant du fichier (la valeur attribuée est ici 3). En cas de problème, fid vaut -1 et message est par exemple : Cannot open file. Existence? Permissions? Memory? . . .
La fonction fread lit les données binaires du fichier. Les données binaires du fichier sont écrites dans la matrice A (vecteur colonne). count est la taille du fichier : ici 18 octets. C'est donc aussi la taille de la matrice A (18 x 1). Il s'agit d'un fichier texte donc les données binaires correspondent au code ASCII.
La fonction fclose ferme le fichier. En cas de problème, status vaut -1.
La fonction setstr convertit le code ASCII en caractère. disp est la fonction d'affichage.
2. Création et écriture d'un fichier binaire
Nous allons créer un fichier binaire data.dat de 3 octets (1 octet contient un entier compris entre 0 et 255) :
>> [fid , message] = fopen('data.dat' , 'w') fid = 3 message = '' >> A = [ 65 49 125] A= 65 49 125 >> count = fwrite(fid , A) count = 3 >> status = fclose(fid) status = 0
La fonction fopen crée et ouvre le fichier data.dat (mode écriture 'w').
fid est l'identifiant du fichier. En cas de problème, fid vaut -1 et message est par exemple : Sorry. No help in figuring out the problem . . . (cela arrive si le fichier existe déjà et qu'il est en lecture seule)
La fonction fwrite écrit des données binaires dans le fichier.
La fonction fclose ferme le fichier. En cas de problème, status vaut -1.
3. Lecture d'un fichier texte
•
Exemple 1 : soit un fichier de données (une colonne de 16 nombres au format texte) : data1.txt
>> [fid , message] = fopen('data1.txt' , 'r') fid = 3 message = '' >> [A , count] = fscanf(fid , '%g') count = 16 >> status = fclose(fid) status =
0
La fonction fscanf lit les données formatées du fichier, et stocke ces données dans la matrice vecteur A (1 x 16). %g désigne un format numérique (notation exponentielle ou à point fixe).
•
Exemple 2 : soit un fichier de données (trois colonnes de 16 nombres au format texte) : data2.txt
>> [fid , message] = fopen('data2.txt' , 'r') fid = 3 message = '' >> [A , count] = fscanf(fid , '%g %g %g' , [3 inf]) count = 48 >> status = fclose(fid) status = 0
La fonction fscanf lit les données formatées du fichier, et stocke ces données dans la matrice A (3 x 16).
4. Création et écriture d'un fichier texte
Exemple : On se propose de compléter le tableau de données suivant, et d'enregistrer ces données dans un fichier texte :
x
sin(x)
exp(x)
0 10 ...
Pour cela, 6 lignes de commande suffisent :
>> [fid , message] = fopen('data.txt' , 'w') fid = 3 message = '' >> x = 0:10:100 x= 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 >> y = [x ; sin(x) ; exp(x)] >> fprintf(fid , 'x \t sin(x) \t exp(x) \r\n\r\n') ans = 24 >> fprintf(fid , '%8.12g\t %8.12g\t %8.12g\r\n' , y) ans = 484 >> status = fclose(fid)
status = 0
Avec l'éditeur Notepad++, cela donne (avec les caractères spéciaux) :
La fonction fopen crée et ouvre le fichier data.txt (mode écriture 'w'). fid est l'identifiant du fichier. En cas de problème, fid vaut -1 et message est par exemple : Sorry. No help in figuring out the problem . . . (cela arrive si le fichier existe déjà et qu'il est en lecture seule)
La fonction fprintf écrit des données formatées dans le fichier. \t désigne le caractère spécial de tabulation. \r\n désigne les caractères spéciaux de saut de ligne
%8.12g désigne un format numérique (notation exponentielle ou à point fixe) : 8 chiffres max. pour la partie entière et 12 chiffres max. pour la partie décimale. La taille du fichier est 508 octets (24 + 484).
La fonction fclose ferme le fichier. En cas de problème, status vaut -1.
•
Transfert vers Excel
Ouvrir Excel. Fichier -> Ouvrir : Tous les fichiers (*.*) Puis, dans l'assistant d'importation de texte : • •
Séparateurs : choisir la tabulation Séparateur de décimale : choisir le point (.)
