Al completar este capítulo el alumno: Ilustrará mediante ejemplos y definiciones su comprensión de los términos brazo de palanc pal anc a y mo mento me nto de torsión. Calculará el momento de torsión resultante respecto a cualquier eje, dadas las magnitudes y posiciones de las fuerzas que actúan sobre un objeto alargado. Determinará las fuerzas o distancias desconocidas aplicando la primera y segunda condiciones de equilibrio. Definirá centro de gravedad y dará ejemplos de dicho concepto. concepto.
En los capítulos anteriores nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punt pu nto. o. Existe un equ ilibr ili brio io tras lacion lac ion al cuan cu an do la su ma vectori vec torial al es cero. Sin emb e mbarg argo, o, en muchos casos las fuerzas que actúan sobre un objeto no tienen un punto de aplicación com ún. Este tipo de fuerzas se se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecánico ejerce ejerce una fuerza en el el maneral de u na llave llave para apretar un perno. Un carp intero u tiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fúerzas de torsión que tienden a arrancar una viga de la pared. El volante de un autom óvil gira por el efecto efecto de fuerzas fuerzas que no tienen u n pu nto de aplicación aplicación común. En casos casos como éstos, éstos, puede haber u na tenden ten dencia cia a girar gi rar que se define como m om en to de tor sió n. Si aprendem os a medir y a prever los mom entos de torsión pro ducidos por ciertas fuerzas, será posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotación, es preciso preciso que no haya ningún mo men to de torsión resultante. Esto conduce conduce en forma natural a la condición de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y en ingeniería.
Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede cambiar dicha situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza además de su magnitud.
JV
w
¿y
F
(a) Hay equilibrio puesto que las fuerzas tienen la misma línea de acción, (b) No hay equilibrio
F W
porque las fuerzas opuestas no tienen la misma línea de acción.
Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5la. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La prim era cond ición de equilibrio no s dice que las fuerzas horizontales y verticales verticales están equilibradas; po p o r lo ta n to , se dice di ce qu e el siste si ste m a está es tá en eq uili ui libr br io. io . N o o bs ta nt e, si las m ism is m as do doss fuerzas se se aplican com o indica la figura 5 Ib, la llav llavee de tuercas definitivame nte tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la suma de fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condición se presentará posteriormente, a unque antes es es necesario necesario definir algunos términos. En la figura 5Ib, las fuerzas F no tienen la misma línea de acción. La de una fuerza es una línea imagin aria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.
Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado el eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a través del perno en dirección per pen p en d ic u la r a la pá gina gi na .
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza se llama brazo de palan ca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada par p ar a pr ov o ca r el m o v im ie n to ro ta ci on al . Po r ejem ej em plo, pl o, si se eje rce u n a fu erza er za F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la la rueda en relación con su centro (véase la figura 52.) El de una fuerza es la distancia perpendicular que hay de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.
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(a) Hay equilibrio puesto que las fuerzas tienen la misma línea de acción, (b) No hay equilibrio
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porque las fuerzas opuestas no tienen la misma línea de acción.
Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5la. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La prim era cond ición de equilibrio no s dice que las fuerzas horizontales y verticales verticales están equilibradas; po p o r lo ta n to , se dice di ce qu e el siste si ste m a está es tá en eq uili ui libr br io. io . N o o bs ta nt e, si las m ism is m as do doss fuerzas se se aplican com o indica la figura 5 Ib, la llav llavee de tuercas definitivame nte tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la suma de fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condición se presentará posteriormente, a unque antes es es necesario necesario definir algunos términos. En la figura 5Ib, las fuerzas F no tienen la misma línea de acción. La de una fuerza es una línea imagin aria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.
Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado el eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a través del perno en dirección per pen p en d ic u la r a la pá gina gi na .
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza se llama brazo de palan ca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada par p ar a pr ov o ca r el m o v im ie n to ro ta ci on al . Po r ejem ej em plo, pl o, si se eje rce u n a fu erza er za F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la la rueda en relación con su centro (véase la figura 52.) El de una fuerza es la distancia perpendicular que hay de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.
La fuerza no equilibrada F no produce ningún efecto rotacional sobre el punto A pero cada cada vez es más eficaz a medida que aumenta su brazo de palanca.
Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la figura 52), el brazo de palanca vale cero. cero. Se Se observa que no hay efecto efecto ro tacional, indepen dientemente de la magnitud de la fuerza. En este sencillo ejemplo, los brazos de palanca en los puntos B y C son son simplemente la distancia de los ejes de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Sin embargo, hay que notar que la línea de acción de la fuerza no es más que u na sencilla sencilla construcción geométrica. El El brazo de palanca se traza per pen p en di cu lar la r a esta es ta línea. lín ea. D ebe eb e ser igu al la dis tanc ta nc ia del de l eje al p u n to de aplic ap licac ación ión de la fuerza, pero esto es cierto sólo cuando la fuerza aplicada es perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 53, r representa el brazo de palanca; y O, el eje de rotación. Estudie Estudie cada ejemplo, observando cómo se trazan trazan los brazos de palanca y razonando si la rotación es en el mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con respecto a O.
(a) (a)
Algunos ejemplos de brazos de palanca.
102
(b)
Se ha definido la fu e r z a como un tirón o un empujón que tiende a causar un mo vimiento. El mo men to de torsión define como la tendencia tendencia a produ cir un camtorsión r se define bi o en el m o v im ie nt o ro taci ta cion on al. al . En algu al gu no s text te xtos os se le lla m a ta m b ié n m o m e n to de fuerza.* fuerza.* Co mo ya hemo s visto, visto, el mo vim iento rotacional se ve afectado afectado tanto po r la magnitud de una fuerza F como por su brazo de palanca r. Por lo tanto, definiremos el mo me nto de torsión com o el producto de una fuerza por su brazo de palanca. palanca. M om en to de torsión = fu er za X brazo de palanca T — Fr
Es preciso preciso entend er que en la ecuación (51) r se se mide en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son las unidades de fuerza po p o r distan dis tancia cia,, p o r ejemp eje mp lo, newton-metro (N • m) y libra-pie (Ib • ft). Ya antes se estableció una convención de signos para indicar la dirección de las fuerzas. La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el sentido de avance de las manecillas manecillas del reloj reloj,, o sentido retrógrad o (sr), o en dirección contra ria a ellas ellas o sentido directo (sd). Seguiremos Seguiremos la misma convención q ue para m edir ángulos. Si la fuerza F tiende a pro duc ir un a rotación contrar ia a la de las las manecillas manecillas con respecto a un eje, el momento de torsión se considerará positivo. Los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj se considerarán negativos. En la figura 53, todos los momentos de torsión son positivos (sd), excepto el correspondiente a la figura 53a.
Se ejerce una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de 120 mm. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al centro del tambor? ( Véase la figura 54.)
20N
Fuerza tangencial ejercida por el cable enrollado alrededor de un tambor.
N ote ot e qu e la lín ea de acci ac ción ón de la fu erza er za de 20 N es p er p en d icu ic u la r al d iám iá m etro et ro del tambor. Por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tambor. Si se
* Al momento de torsión también se le ha llamado en algunos textos, torque o torca (N. del R.T.)
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Algunas calculadoras científicas permiten programar fórmulas en ellas, de manera que basta sustituir los valores de las variables conocidas para obtener la respuesta que busca. Le sugerimos que haga la prueba tecleando los ejemplos que aparecen en el manual de instrucciones de la calculadora. Una vez que haya programado la calculadora, trabaje con ejemplos sencillos para comprobar que todo funciona correctamente. Asegúrese de que se trata de una fórmula "general" y no de la respuesta literal a un problema en particular.
Tecnología actual La Estación Espacial Internacional se instalará con ayuda de una versión de alta tecnología de un taladro inalámbrico. La herramienta en cuestión con mango de pistola, o PGT, alimentada por baterías puede contar el número de revoluciones y limitar la magnitud del momento de torsión aplicado a un perno. La NASA ordena a los diseñadores que usen un solo tipo de perno, el cual pueda ser manipulado fácilmente por los astronautas con sus trajes espaciales EVA (para actividades extrave hiculares).
convierte el diámetro a metros (0.12 m), el radio es de 0.06 m. El momento de torsión se calcula a partir de la ecuación (51): t = Fr = (2 0 N)(0.06 N)(0.06 m) = 1.2 0 N • m El momento de torsión es negativo porque tiende a causar una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
Un mecánico ejerce una fuerza de 20 Ib en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se observa en la figura 55. Si este tirón forma un ángulo de 60° con el mango de la llave, ¿cuál es el momento de torsión producido en la tuerca?
Cálculo del momento de torsión.
Primero trace un bosquejo ordenado, extienda la línea de acción de la fuerza de 20 Ib, y dibuje el brazo de palanca como se mostró. Observe que el brazo de pa lan ca r es p er pe nd icu lar la r tan ta n to a la línea lín ea de acció ac ció n de la fue rza rz a co m o al eje de ro tación. Debe recordar que el brazo de palanca es una construcción geométrica y pu p u ed e esta es tarr o n o so br e alg al g un a es tru tr u ct u ra física, físic a, co m o p o r eje m plo pl o el m an g o de la llave de tuercas. A partir de la figura se obtiene r = (10 in) sen 60° = r = Fr = (20 Ib)(8.66
8.66 in in) = 173 173 Ib Ib • in
Si se desea, este este mo m ento de torsión se puede tra nsfo rm ar en 14.4 14.4 Ib • ft. ft.
En algunas aplicaciones, aplicaciones, es es más útil trabajar co n las componentes de una fuerza para ob tener el m om ento de torsión resultante. En el ejemplo anterio r se se podría hab er separado el vector de 20 Ib en sus componentes horizontal y vertical. En vez de hallar el mo men to de torsión de una sola sola fuerza, fuerza, sería sería necesari necesarioo en contrar el mom ento de torsión de las dos fuerzas com ponen tes. Co mo indica la figura 56, el el vector de 20 Ib tiene tiene sus componentes Fx yFy, las que se calculan por trigonometría: Fx = (20 Fy = (20
Ib)(eos 60°) = 10 Ib Ib)(sen 60°) = 17.3 17.3 Ib
I 17.3Ib
10Ib (a)
(b)
Método de las componentes para el cálculo del momento de torsión.
Observe en la figura 56b que la línea de acción de la fuerza de 10 Ib pasa por el eje de rotación. Esto no produce ning ún m om ento de torsión po rque su brazo de palanca es cero. Por lo tanto, el momento de torsión total se debe a la componente de 17.3 Ib, que es perpendicular al mango. El brazo de palanca de esta fuerza es la longitud de la llave inglesa, y el momento de torsión es r = Fr = (17.3 lb)( 10 in) = 173 Ib • in N ote que utilizan do este m ét odo se obtien e el m is m o re su ltad o. No hac en falta más cálculos, porque la componente horizontal tiene un brazo de palanca de cero. Si elegimos las componentes de una fuerza a lo largo y perpendicularmente a la distancia conocida, tan sólo nos interesa el momento de torsión de la componente perp en dic ula r.
En el capítulo 3 se demostró que la resultante de varias fuerzas se puede determinar sum ando las componentes x y y de cada fuerza, y así obtener las comp onen tes de la resultante. Rx
A x + Bx + Cx +
Ry — Ay
By
+ Cy +
Este procedimiento se aplica a fuerzas que tienen un punto de intersección común. Las fuerzas que no tienen una línea de acción común p roducen u na resultante del momen to de torsión, además de una resultante de la fuerza traslacional. Cuando las fuerzas aplicadas actúan en el mismo plano, el momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión positivos y negativos debidos a cada fúerza. t r
5 > =
T2
+ Ti +
Hay que recordar qu e los mom entos de torsión en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj son positivos, y los que tienen el mismo sentido de las manecillas son negativos. Un elemen to esencial en las técnicas efectivas para resolver prob lemas es la organización. El siguiente procedimiento resulta útil para calcular el mo nto de torsión resultante.
NE T www.explorescience.com/ Esta página en Internet de Exploración Científica presenta sencillas demostraciones de ondas de choque para ayudar a explicar el concepto de momento de torsión.
1. Lea el problem a y luego dibuje un a figura y marque los datos. 2. Construya un d iagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas, distancias y el eje de rotación. 3. Extien da las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.
4. Dibuje y ma rque los brazos de palanca para cada fuerza. 5. Calcule los brazo s de palanca si es necesario. 6. Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente de otras fuerzas; asegúrese de asignar el signo apropiado (sd = + y sr = —). 7. El m om ento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión de cada fuerza. Véase la ecuación (52).
Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne, como se observa en la figura 57. Determine el mom ento de torsión resultante en A debido a las fuerzas de 60 N y 80 N.
Se traza un diagrama de cuerpo libre y se construyen los brazos de palanca r\ y ri como en la figura 57b. Las longitudes de los brazos de palanca son: r\ =
(12 cm) sen 50° = 9.19 cm r 2 = (10 cm) sen 70° = 9.40 cm
106
Si se considera A como eje de rotación, el mo men to de torsión debido a F\ es negativo (sr) y el causado por F 2 es positivo (sd). El momento de torsión resultante se encu entra así: t r
T i + T2 = F i n +
—
F2T2
= (60 N)(9.19 cm) + (80 N)(9.40 cm) = 5 5 2 N • cm + 752 N • cm = 200 N • cm El mo men to de torsión resultante es 200 N • cm, en sentido contrario a las manecillas del reloj. Esta respuesta se expresa mejor como 2.00 N • m en unidades del SI.
Aho ra estamos listos para analizar la condición necesaria par a el equilibrio rotacional. La condición para el equilibrio traslacional quedó establecida en forma de ecuación co mo
J> *= 0
Antes de su graduación, use sus habilidades para establecer redes de con-
Y Jpy = °
Si se desea asegurar que los efectos rotacionales también estén equilibrados, es preciso estipular que no hay momento de torsión resultante. Por lo tanto, la segunda condición de equilibrio es:
tactos. Informe a sus amigos, familiares y conocidos el tipo de carrera que desea labrarse y pregúnteles si saben de empleos o de personas con las que
] T t
= n + r 2 + T3 +
pueda ponerse en con-
o
tacto. Si una persona le da
La segunda condición de equilibrio simplemente nos indica que los mom entos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están exactamente equilibrados por los mo me ntos d e torsión opuestos al avance de las manecillas. Más aún, puesto q ue la rotación no ocurre respecto a ningún punto, podemos elegir cualquier punto como eje de rotación. Mientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el mom ento de torsión resultante será de cero. Los problem as se simplifican si se elige el eje de rotación en el pun to de aplicación de un a fuerza desconocida. Si una fuerza pa rticu lar tien e un brazo de palan ca de cero, no contrib uy e al m om en to de torsión, inde pe nd ientemen te de su mag nitud.
'•1 1 I
O.
1. Trace y marque un bosquejo con todos los datos. 2. Dibuje un diag rama de cuerpo libre (si es necesario), ind ican do las distancias entre las fuerzas. 3. Elija un eje de rotación en el pu nto d ond e se tenga menos información, por ejemplo, en el punto de aplicació n de una fuerza de scon ocida. 4. Sume los momentos de torsión correspondientes a cada fuerza con respecto al eje de
el nombre de un contacto en una compañía específica, mencione a la persona que le dio el contacto cuando solicite el empleo.
rotac ión elegido y establezca el resultado igual a cero. TR
— T i — 72 + T3 +
= 0
5. Aplique la prim era cond ición de equilibrio par a obte ner do s ecua cio ne s adicion ale s. ^F x =
0
¿ > ,= o
6. Calcule las cantid ades qu e no se conoce n.
I
Considere la situación q ue se presenta en la figura 58. Una viga uniform e que pesa 200 N está so stenida po r do s so po rte s A y B. De acuerdo con las distancias y fuerzas que aparecen en la figura, ¿cuáles son las fuerzas ejercidas po r los soportes?
-10m
-4m 400N
300N
A -12mBosquejodelsistema
2 m i
6m
4m
4m
400N
200N
300N
l
Diagramadecuerpo libre
Los problemas sobre momento de torsión se simplifican si se dibuja primero un esquema del sistema. Luego se traza un diagrama de cuerpo libre para indicar las fuerzas y la distancia.
Se traza un diagrama de cuerpo libre para que muestre claramente todas las fuerzas y las distancias entre ellas. Note que se considera que todo el peso de la viga uniforme actúa en su centro. En seguida aplicamos la primera condición de equilibrio, ecuación (53): Y Fy = A
+
B — 300
N —200 N —400 N = 0
o bien, A + B = 900
N
Puesto que esta ecuación tiene dos incógnitas, es preciso tener más información. Por lo tanto, aplicamos la segunda condición de equilibrio. En primer lugar, debemos seleccionar un eje desde el cual podamos medir brazos de palanca. La elección lógica es el punto de aplicación de alguna fuerza desconocida. Eligiendo el eje en B, el brazo de palanca de esta fuerza es cero. La suma de los mom entos de torsión respecto a B dan por resultado la siguiente ecuación: ] T t b =
108
—A(12 m) + (300 N)(10 m) + (200 N)(4 m) (400 N)(4 m) = 0
Note qu e la fuerza d e 400 N y la fue rza A tienden a pro ducir u na rotación en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a B. (Sus momentos de torsión fueron negativos.) Simplificando se obtiene ( 1 2 m)A + 3000 N • m 1600 N • m + 800 N • m = 0 Añadiendo (12 m) A a ambos lados y simplificando queda 2200 N •m = (12 m)A Dividiendo ambos lados entre 12 m, resulta A = 183 N Ahora, para determinar la fuerza ejercida por el soporte B, tomemo s en cuenta de nuevo la ecuación obtenida a partir de la primera condición de equilibrio, A + B = 900
N
Despejando B se obtiene B = 900
N —A = 900 N — 183 N = 717 N
Como comprobación de este resultado, podemos elegir el eje de rotación en A y luego aplicar la segunda condición de equilibrio para determinar B.
Un p untal u niforme d e 200 Ib de peso y 24 ft de longitud está sostenido po r un cable, como se observa en la figura 59. El pun tal se apoya en la pared y el cable forma un ángulo de 30° con respecto al pun tal, que está en posición horizon tal. Si una carga de 500 Ib se cuelga del extremo derecho, ¿cuál es la tensión T del cable? ¿Cuáles son las com pone ntes h orizon tal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote? Considerem os el pun tal como un objeto en equilibrio. De las dos fuerzas descono cidas F y T, tenemos m enos d atos de la fuerza F. Por lo ta nto, resu lta lógico elegir este pivote como eje de rotac ión p ara sum ar m om en to s de to rsión . De este m od o, la fuerza desconocida F tendrá un brazo de palanca igual a cero, haciendo que el momento de torsión a lrededor de A sea también cero. (No com eta el error de su pon er que la fuerza ejercida por este pivote coincide totalmente con lo largo del pu ntal). Es posible determ inar la tensión del cable a partir de la segunda co ndición de equilibrio. ^ t a = F(0) (200 lb)( 12 ft) (500 lb)(24 ft) + Tx( 0) + Ty(24 ft) = 0 = 0 2400 Ib • ft 12 000 Ib • ft + Ty( 24 ft) = 0 Ty( 24 ft) = 14 400 Ib • ft A partir de la figura 59b, Ty =
Tsen 30° = 0.5 T
Fuerzas que actúan sobre un soporte horizontal.
o sea que (0.5 70 (24 ft) = 14 400 Ib • ft 12T = 14 400 Ib T = 1 200 Ib Para encontrar las componentes horizontal y vertical de F, podemos aplicar la pri m era co ndició n de eq uilib rio . La c om ponen te horizo nta l se e ncu en tr a s um an do las fuerzas a lo largo del eje x. = 0
Fx~Tx=
0
de donde Fx
= Tx = T eos
30° = (1200 Ib) (eos 30°) = 1040 Ib
La componente vertical se determina sumando las fuerzas a lo largo del eje y. =0
Fy + T y -
200 Ib 500 Ib = 0
Despejando Fy, obtenemos Fy =
700 Ib Ty
o bien, Fy = 700
Ib (1200 Ib) (sen 30°) = 700 Ib 600 Ib = 100 Ib
Co mo ejercicio, dem uestre que la m agn itud y la dirección de la fuerza F, a partir de sus componentes, es 1045 Ib a 5.5° por arriba del puntal.
J i _ ■ Cada partícula que existe en la Tierra tiene al menos una fuerza en común con cualquier otra partícula: su peso. En el caso de un cuerpo formado por múltiples partíc ulas, estas fuerzas son ese ncialmente paralelas y dirigid as hac ia el centr o de la Tierra. Independientemente de la forma y tamaño del cuerpo, existe un punto en el que se puede considerar que está concentrado todo el peso del cuerpo. Este punto se llama el centro de grav ed ad del cuerpo. Por supuesto, el peso no actúa de hecho en este punto, pero podemos calcular el mismo tipo de momento de torsión respecto a un eje dado si consideramos que todo el peso actúa en este punto. El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme, un cubo, una varilla o una viga, se localiza en su centro geométrico. Este hecho se utilizó en los ejemplos de la sección anterior, donde considerábamos el peso de la viga completa actuando en su centro. Aun cuando el centro de gravedad es un punto fijo, no necesariamente tiene que estar dentro del cuerpo. Por ejemplo, una esfera hueca, un aro circular y un neum ático tienen su centro de gravedad fuera del material del cuerpo. A partir de la definición de centro de gravedad, se acepta que cualquier cuerp o sus pe nd ido des de este pun to está en equ ilibrio. Esto es ve rda d, ya que el ve ctor peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada parte del cuerpo, tienen un brazo de palanca igual a cero. Por lo tanto, es posible calcular el centro de gravedad de un cuerpo, determinando el punto en el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional.
Calcule el centro de gravedad de las dos esferas que se presentan en la figura 510, si están conectadas entre sí por u n u na b arra de 30 in, cuyo peso es despreciable. Primero se dibuja un vector hacia arriba que indique la fuerza en el centro de gravedad que equilibraría el sistema. Suponga que se elige para ubicar este vector a una cierta distanc ia del centro de la esfera de 16 Ib. La distancia x pue de trazarse y marcarse so bre la figura. Puesto q ue la fuerza ascende nte debe ser igual a la suma de las fuerzas descendentes, la primera condición de equilibrio nos lleva a
F = 16 Ib + 8 Ib = 24 Ib Aho ra elegimos el eje de rotación al centro de la esfera de 16 Ib. Ésta es la mejor elección, puesto qu e la distancia x se mide a par tir de este punto. La segunda co ndición de equilibrio se aplica en la forma siguiente: t
= (24 lb)x — (8 lb)(30 in) = 0 (24 lb)x = 240 Ib • in x = 10 in
Cálculo del centro de gravedad.
Si la barra que une las dos esferas se suspende del techo en un punto situado a 10 in del centro de la esfera de 16 Ib, el sistema estará en equilibrio. Este punto es el centro de gravedad. Usted puede dem ostrar que se llega a la misma c onclusión si se suman los momentos de torsión respecto al extremo derecho o respecto a cualquier otro punto.
Resumen Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen la misma línea de acción o no se intersecan en un pun to común, puede haber rotación. En este capítulo se presentó el concepto de momento de torsión como una medida de la tendencia a girar. Los principales conceptos se resumen a continuación: El brazo de pa lanc a de un a fuerza es la distancia perpendicular que hay entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación. El m om en to de torsión con respecto a un eje determinado se define como el producto de la magnitud de una fuerza por su brazo de palanca: M om ento de torsión = fu erz a
X
Equ ilibr io ro ta ci on al : Un cuerpo en equili-
brio ro tac iona l no tiene un m om en to de torsión resultante que actúe sobre él. En tales casos, la suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. Los ejes pueden elegirse en cualquier parte puesto que el sistema no tiene la tendencia a girar respecto a cualquier punto. Ésta se llama la segunda condición de equilibrio y se escribe como La suma de todos los mom entos de torsión respecto a cualquier punt o es cero.
brazo de pa lanca
S
=
Fr
El m om en to de torsión resultante t r con respecto a un eje particular A es la suma algebraica de los momentos de torsión producidos por cada fuerza. Los signos se determinan por la convención ya mencionada.
TR = X TA= Flrl + F2r2 + F3r3 + •••
=
0
El equilibrio total existe cuando se satisfacen la primera y la segunda condiciones de equilibrio. En tales casos, se pueden escribir tres ecuaciones independientes:
Es positivo si tiende a producir movimiento en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj (¥ ) sd directo y negativo si el movimiento se produce en el (3 mismo sr t
T
(a )5 > *= 0
(b)
=0
(c ) X t = 0
Escribiendo estas tres ecuaciones para una situación específica se pueden determ inar fuerzas, distancias y momentos de torsión desconocidos. El cen tro de gr av ed ad de un cuerpo es el pun to a través del cual actúa el peso resultante, independientemente de cómo esté orientado el cuerpo. Para las aplicaciones que incluyen momentos de torsión, se puede considerar que el peso total del objeto actúa en este punto.
Conceptos clave 1 . línea de acción 2 . eje de rotac ión
3. brazo de palanca 4. momento de torsión
5. equilibrio rotacional 6 . centro de gravedad
Preguntas de repaso 51. Usted levanta con la mano derecha una maleta pesada. Describa y explique la posición de su cuerpo. 52. Un truco de salón consiste en pedir a una pe rsona que se coloque de pie contra una pared con los pies juntos, de m anera que la parte lateral de su pie derecho se apoye contra la pared. A continuación se le pide que levante su pie izquierdo del suelo. ¿Por qué no le es posible hacerlo sin caer?
53. ¿Por qué una min iván tiene más probabilidades de volcarse que un Corvette u otros autos deportivos? 54. Si se sabe que el peso de un ladrillo es de 6 Ib, explique cómo podría usar una regla graduada y un punto de apoyo o pivote para determinar el peso de una pelota de béisbol. 55. Describa y explique los movimientos de los brazos y piernas de la persona que camina sobre la cuerda floja para no perder el equilibrio.
56. Come nte acerca de los siguientes artefactos y la aplicación que en ellos se hace del principio del momento de torsión: (a) destornillador,
(b) llave de tuercas, (c) pinzas, (d) carretilla de mano, (e) cascanueces y (f) palanca (alza prim a).
Problemas 51. Dibuje e identifique con un letrero el brazo del momento de la fuerza F sobre un eje en el pun to A de la figura 51 la. ¿Cuál es la magnitud del brazo del momento? 52. Calcule el brazo del mo me nto sobre el eje B de la figura 5lia. 53. Dibuje e identifique con un letrero el brazo del mo men to si el eje de rotación está en el pun to A de la figura 51 Ib. ¿Cuál es la magnitud del brazo del m omento?
58. La varilla liviana de la figura 512 tiene 60 cm de longitud y gira libremente alrededor del punto A. Halle la magnitud y el signo del momento de torsión provocado por la fuerza de 200 N, si el ángulo d es de (a) 90°, (b) 60°, (c) 30° y (d) 0o. F = 200N
54. Halle el brazo del mo me nto en el eje B de la figura 511b. 55. Si la fuerza Fd e la figura 5 l la es igual a 80 Ib, ¿cuál es el momento de torsión resultante en torno al eje A (considerando insignificante el peso de la varilla)? ¿Cuál es el mom en to de torsión resultante en torno al eje B? 56. La fuerza F ilustrada en la figura 51 Ib es de 400 N y el peso del hierro del ángulo es insignificante. ¿Cuál es el mom ento de torsión resultante en tor no del eje A y en torn o del eje B7. 57. Una correa de cuero está enrollada en una polea de 20 cm de diámetro. Se aplica a la correa una fuerza de 60 N. ¿Cuál es el momento de torsión en el centro del eje?
114
59. Una persona que pesa 650 N decide dar un paseo en bicicleta. Los p edales se m ueven en un círculo con 40 cm de radio. Si todo el peso actúa sobre cada movimiento descendente del pedal, ¿cuál es el momento de torsión máximo? 510. Una sola correa está enrollada en dos poleas. La polea de tracción tiene 10 cm de diámetro y la polea exterior de salida tiene un diámetro de 20 cm. Si la tensión en la parte superio r de la correa es esencialmente de 50 N en el b orde de cad a polea, ¿cuáles son los mom entos de torsión de entrad a y de salida?
5-11.
¿Cuál es el mo men to de torsió n resultante en torno al punto A de la figura 513? No tome en cuenta el peso de la barra. 15 N
2 m
4m
a:
3m
20 N
30 N
5-12. Calcule el momen to de torsión resultante en el
5-13.
5-14.
5-15.
5-16. 5-17.
caso de la figura 513 si el eje se mueve hasta el extremo izquierdo de la barra. ¿Qué fuerza horizontal se tiene que aplicar en el punto A de la figura 51 Ib para que el mom ento de torsión resultante en torno al pun to B sea igual a cero cuando la fuerza F - 80 N? Dos ruedas de 60 cm y 20 cm de diámetro están unidas y giran sobre el mismo eje como muestra la figura 514. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno de un eje central con los pesos ahí indicados? Suponga que retira el peso de 150 N de la rueda más pequeña en la figura 514. ¿Qué nuevo peso puede usted colgar de ella para obtener un mom ento de torsión resultante de cero? Calcule el momento de torsión resultante en torno a la esquina A para la figura 515. Halle el mom ento de torsión resultante en torno al punto C en la figura 515. B I*1
20 cm
60 cm
*518. Halle el mo men to de torsión resultante en torno del eje B en la figura 515.
5-19. Una regla graduada de material uniforme se
ha equilibrado en su punto medio sobre un solo punto de apoyo. Una pesa de 60 N se cuelga en la marca de 30 cm. ¿En qué punto será necesario colgar una pesa de 40 N para equilibrar el sistema? 5-20. En una regla graduada se colocan pesas de 10 N,
20 N y 30 N en las marcas de 20 cm, 40 cm y 60 cm, respectivamente. La regla se balancea sobre un solo apoyo en su punto medio. ¿En qué punto habrá que agregar una pesa de 5 N pa ra ob tene r el equilibrio?
Una tabla de 8 m con peso despreciable está sostenida en un punto localizado a 2 m del extremo derecho, donde se le aplica un peso de 50 N. ¿Qué fuerza descendente se tendrá que ejercer en el extremo izquierdo para alcanzar el equilibrio? 522. Un poste de 4 m es sostenido en sus extremos po r dos cazadores que tran sp or tan en él un venado de 800 N que cuelga en un punto localizado a 1.5 m del extremo izquierdo. ¿Cuáles son las fuerzas ascendentes q ue necesita desarrollar cada uno de los cazadores? 523. Supongamos que la barra de la figura 516 tiene un peso despreciable. Halle las fuerzas F y A considerando que el sistema está en equilibrio.
5-21.
524. ¿Cuáles deben ser las fuerzas F\ y Fj para que se alcance el equilibrio en la figura 517? No tome en cuenta el peso de la barra.
5 ft
90 Ib
4 ft
¡1ft¡
F2 20 Ib
525. Considere la barra ligera sostenida como indica la figura 518. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes A y K
116
60 N
526. Una correa en V está enrollada en una polea de 16 pulgadas de d iámetro . Si se requiere un momento de torsión resultante de 4 Ib ft, ¿qué fuerza es necesario aplicar a lo largo de la correa? 527. Un puente cuyo peso total es de 4500 N tiene 20 metros de longitud y tiene soportes en ambos extremos. Halle las fuerzas que se ejercen en cada extremo cuando se coloca un tractor de 1600 N a 8 m del extremo izquierdo. 528. Una plata form a de 10 ft que pesa 40 Ib está apoyada por los extremos en escaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 Ib se ha colocado a 4 ft del extremo derecho. Encuentre las fuerzas que ejercen los soportes. *529. Una barr a horizontal de 6 m, cuyo peso es 400 N, gira sobre un pivote fijo en la pare d como se observa en la figura 519. La barra lleva sujeto un cable en un pun to localizado a 4.5 m de la pared y sostiene un peso de 1200 N en el extremo derecho. ¿Cuál es la tensión en el cable?
I II
: :
*530. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la barra? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de esa fuerza?
5-33. Pesas de 2, 5, 8 y 10 N penden de una varilla ligera de 10 m a distancias de 2, 4, 6 y 8 m
del extremo izquierdo. ¿A qué distancia del extrem o izquierd o está el centro d e gravedad? I
5-31. Una barra de material uniforme tiene una longitud de 6 m y pesa 30 N. De su extremo
5-34. Calcule el centro de gravedad de un martillo si la cabeza de metal pesa 12 Ib y el mango
de 32 in que la sostiene pesa 2 Ib. Suponga que la construcción y el peso del mango son uniformes.
izquierdo pende una pesa de 50 N y se aplica una fuerza de 20 N en su extremo derecho. ¿A qué distancia del extremo izquierdo se deberá aplicar una sola fuerza ascendente pa ra establecer el equilibrio? 5-32. Una esfera de 40 N y una esfera de 12 N están conectadas po r u na varilla ligera de 20 0 m m de longitud. ¿A qué distancia del punto medio de la esfera de 40 N está el centro de gravedad?
Problemas reto 5-35. ¿Cuál es el mome nto de torsión resultante en
torno del pivote de la figura 520? Considere que el peso de la barra curva es insignificante.
1001b
2001b 10ft
5001b 6 ft
5-36. ¿Con qué fuerza horizon tal, aplicada al extremo
537.
538.
*5-39. *5-40.
izquierdo de la varilla curva que aparece en la figura 520, se alcanzará el equilibrio rotacional? La barra forma un ángulo recto. Pesas de 100, 200 y 500 Ib ha n sido coloca das sobre una tabla ligera que descansa en dos soportes, como se aprecia en la figura 521. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes? Una viga de acero de 8 m pesa 2400 N y está sostenida a 3 m del extremo derecho. Si se coloca un peso de 9000 N en el extremo de recho, ¿qué fuerza se debe a plicar en el extremo izquierdo para equilibrar el sistema? Halle el momento de torsión resultante en to rno al punto A en la figura 522. Halle el momento de torsión resultante en torno al punto B en la figura 522.
16 ft
7 5
4 ft
A
Preguntas para la reflexión critica 54 1. Una caja de 30 Ib y una caja de 50 Ib se colocan en los extremos opuestos de una tabla de 16 ft sostenida única mente en su pun to medio. ¿A qué distancia del extremo izquierdo se tendrá q ue colocar un a caja de 40 Ib para establecer el equilibrio? ¿Sería diferente el resultado si la tabla pesara 90 Ib? ¿Por qué sí o por qué no? 542. En un banco de laboratorio tenemos una pied ra pe qu eñ a, una regla grad ua da de 4 N y un solo soporte con borde de navaja. Explique cómo puede usar esos tres elementos para hallar el peso de la piedra pequeña.
_ 2ft
300lb
543. Calcule las fuerzas F\, Fj, y F 3 necesarias par a qu e el sistema dibu jado en la figura 523 quede en equilibrio. 544. (a) ¿Qué peso W producirá una tensión de 400 N en la cuerda atada a la vigueta de la figura 524? (b) ¿Cuál sería la tensión en la cuerda si W - 400 N? Considere q ue el peso de la vigueta es despreciable en ambos casos. 545. Supo nga que la vigueta de la figura 524 pesa 100 N y que el peso suspendido W es igual a 40 N. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
50 Ib
8ft
C O N
A 8 ft
2 ft
\ ,
3 ft
7 ft f
118
3Ib
2
f
546. En las condicion es que hemos descrito en la pr eg un ta 545, ¿cuáles son las co mp onentes horiz ontal y vertical de la fuerza que ejerce el gozne colocado en el piso sobre la base de la vigueta? *547. ¿Cuál es la tensió n en el cable de la figura 525? El peso de la vigueta es 300 N, pero se desconoce su longitud. *548. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que ejerce la pared sobre la vigueta en la figura 525? También en esta ocasión, supongamos que el peso de la tabla es de 300 N. *549. Entre los ejes delantero y trasero de acero de un automóvil hay una distancia de 3.4 m. El 60 por ciento del peso del vehículo descansa sobre las ruedas delanteras, ¿a qué distancia del eje frontal está localizado el centro de gravedad?
Al completar el estudio de este capítulo el alumno: Definirá y aplicará las fórmulas para velocidad m edia y aceleración media. Resolverá problemas que incluyan tiempo, desplazamiento, velocidad m edia y aceleración media. Aplicará las cinco ecuaciones generales del movimiento uniforme men te acelerado, para determinar alguno de los cinco parámetros: velocidad inicial, velocidad final, aceleración, tiempo y desplazamiento. Resolverá problemas generales sobre aceleración que incluyan la caída libre de los cuerpos en un campo gravitacional. Explicará por me dio de ecuaciones y diagramas el movimiento ho rizontal y vertical de un proyectil lanzado con diferentes ángulos. Determ inará la posición y la velocidad de un proyectil cuand o su velocidad inicial y su posición son los datos conocidos. Calculará el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo de proyectiles cuando la velocidad inicial y el ángulo de proyección sean datos conocidos.
El tipo más sencillo de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento uniforme en línea recta. Si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo, se dice que se mueve con ra pide z constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8 m de vía po r cada segundo que se mueve, se dice que tiene una rapi dez constante de 8 m /s. Ya sea que la rapidez sea constante o no, la rapidez m edia de un objeto en movimiento se define como Rapi dez m ed ia
di st an ci a rec orrida tiem po tran sc urri do
- —1 t
La línea sobre el símbolo v significa que la rapidez representa u n valor prom edio p ara el intervalo de tiempo t. Recuerde que la dimensión de la rapidez es la relación de u na lon gitud con u n in tervalo de tiempo. Por lo tanto, las unidades de millas por hora, pies por segundo, metros por segundo y centímetros por segundo son unidades comunes de la rapidez.
ipil»!
Un golfista logra un hoyo en un o 3 segundos después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez media de 0.8 m/s, ¿a qué distancia estaba el hoyo? Despejando s de la ecuación (61) queda
s = v t = (0.8 m/s)(3 s) Por lo tanto, la distancia que hay hasta el hoyo es de s = 2.4 m
Es importante observar que la rapidez es una cantidad escalar totalmente independiente de la dirección. En el ejemplo 61, no fue necesario conocer ni la rapidez de la pelota de golf a cada instan te, ni la naturale za de su trayectoria. En form a similar, la ra pide z me dia de un automóvil que viaja de Atlanta a Chicago es función únicamente de la distancia registrada en su odóm etro y del tiempo requerido p ara realizar el viaje. En lo que se refiere a los cálculos, no hay ninguna diferencia, ya sea que el conductor del automóvil haya tomado la ruta directa o la panorámica, o incluso si tuvo que detenerse a comer. Debemos distinguir claramente entre la cantidad escalar rapidez y su contraparte direccional, la velocidad. Esto es fácil reco rdan do la diferencia entre distancia y desplaza miento analizada en el capítulo 3. Suponga, como indica la figura 61, que un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria punteada, de A a B. La distancia recorrida en realidad se representa como s, mientras que el desplazamiento está representado por las coordenadas polares D
= (D, 6)
Como ejemplo, considere que la distancia s de la figura 6 1 es de 500 km, y que el desplazamiento es de 350 km a 45°. Si el tiempo real de travesía es de 8 h, la rapidez promedio es 62.5 km/h
Íuhü/uíu/ju ¡Jv jjyJjjJJrj Necesitará un carrito de 1 k g y u n a b a l an z a d e resorte. Después de sujetar el carrito a la balanza de resorte, tire de ésta horizontalmente, de modo que el carrito mantenga una rapidez baja constante. Al tirar del carrito, observe si las fuerzas que actúan sobre él están equilibradas o no. Si lo están, el carrito podrá m antener una rapidez constante. Inténtelo con un valor constante de 1.0 N. ¿Cuánta fuerza se necesita para mover el carrito? ¿Es posible mantener esa rapidez? ¿Por qué es difícil lograrlo? Estime la
Fneta Los resultados pueden explicarse como sigue: Sólo se requiere una pequeña fuerza, normalmente de 0.1 a 0.2 N, para mover el carrito con una rapidez constante. Esto se debe a que no fue difícil hacer que la fuerza de tracción se equilibrara con la fuerza de fricción. El carrito aceleró rápidamente cuando la fuerza de tracción se volvió más grande que la fuerza de fricción. Para calcular la Fneta, reste la fuerza de 1.0 N de la fuerza de fricción.
N ET
El desplazamiento y la velocidad son cantidades vectoriales; mientras que la distancia y la rapidez son independientes de la dirección; s, distancia; D, dezplazamiento; v, velocidad; f, tiempo.
buphy.bu.edu Para ver una demostración de la superposición de velocidades, visite esta página de Internet (no necesita teclear www).
La velocidad media, sin embargo, debe toma r en cu enta la magnitu d y la dirección del desplazamiento. La velocidad media está dada por Para que las pelotas deportivas satisfagan las noímas aceptables para su utilización, deben tener un alto coeficiente de restitución. El coeficiente de restitución se mide dejando caer la pelota desde ciertas alturas sobre una superficie dura. Así se mide la altura del rebote. Las pelotas que no alcanzan una altura aceptable son desechadas. ¿Por qué el coeficiente debe ser menor que 1.00?
D 350 km, 45° t 8 h v = 43.8 km/h, 45° Por lo tanto, si la trayectoria del objeto en movimiento es curva, la diferencia entre rapidez y velocidad es tanto en magnitud como en dirección. Los automóviles no siempre puede n viajar a rapidez, constante po r largos periodos de tiempo. Al ir del pun to A al B, quizá sea necesario ir más despacio o más rápido a causa de las condiciones del camino. Por esta razón, a veces es útil hablar de rapidez instantánea o velocidad instantánea. La es una cantidad escala r que representa la rapidez en el instante en que el automóvil está en un punto arbitrario C. Por consiguiente, es la relación del cambio de distancia con respecto al tiempo. La es una cantida d vectorial que representa la velocidad v¡ en cualquier punto C. Es la relación del cambio del desplazamiento con respecto al tiempo.
En este capítulo nos ocuparemos del movimiento en trayectoria recta, o sea que las magnitudes de la rapidez y de la velocidad son las mismas en cada instante. Si la dirección no cambia, la rapidez instantánea es la parte escalar de la velocidad instantánea. Sin embargo, es un bue n háb ito reservar el términ o velocidad para la descripción más completa del movimiento. Com o veremos en futuras secciones, un cambio de velocidad pued e originar tam bién u n ca mbio de dirección. En tales casos, los términos veloci dad y desplazamiento son más apropiados que los términos rapidez y distancia.
En choques de frente, las bolsas de aire han demostrado su utilidad para prevenir lesiones en la cabeza y el pecho. En impactos con una aceleración repentina de 10 a 15 mi/h, un dispositivo detector instalado al frente del vehículo activa un sistema de ignición que provoca la descomposición de gránulos de amida de sodio. Esto produce gas nitrógeno que infla las bolsas de nylon y las fuerza a salir de sus compartimientos de almacenamiento. El tiempo que transcurre entre el impacto y el
En la mayoría de los casos, la velocidad de u n o bjeto cam bia mie ntras éste se mueve. La razón a la que cambia la velocidad con respecto al tiempo se le llama aceleración. Por ejemplo, suponga que observa el movimiento de un cuerpo durante un tiempo t. La velocidad inicial Vq del cuerpo se define como su velocidad al inicio del intervalo de tiempo, cuando t - 0. La velocidad final se define como la velocidad vy que tiene el cuerpo al final del intervalo de tiempo, cuando t = t. Por lo tanto, si somos capaces de medir las velocidades inicial y final de un objeto en movimiento, entonces afirmaremos que su aceleración está dada por
Aceleración
cambio en la velocidad intervalo de tiempo _ v / ~ vq t
llenado de la bolsa es menor de 40 ms. Cuando el pasajero y la bolsa inflada hacen co ntacto, el gas es forzado a salir y la bolsa se desinfla en 2 s.
Si la aceleración se escribe como se acaba de indicar, se trata de una cantidad vectorial y, por lo tanto, depende de los cambios de dirección como de los cambios de ma gnitu d. Si la dirección del mov imien to es en línea recta, tan sólo la rapidez del objeto está cambiando.
No obsta nte , si se sigue un a trayecto ria curva, habría ace lera ción au n cu an do la rapidez no cambie. En realidad, si se forma un círculo perfecto y con rapidez constante, la aceleración siempre formará ángulos rectos con respecto a la velocidad. Este último tipo de movimiento se tratará en un capítulo posterior.
El tipo de aceleración más sencillo es el movimiento rectilíneo, en el cual la rapidez cambia a razón constante. Este tipo especial de movimiento se conoce como mov im ien to un iformem ente acelerad o o de aceleración uniforme. Puesto que no hay cambio en la dirección, el vector diferencia en la ecuación ( 6 2 ) se trasform a simplemente en la diferencia entre la magnitud de la velocidad final Vf y la magnitud de la velocidad inicial vo Sin embargo, conviene recordar que la velocidad sigue siendo una cantidad vectorial y que el signo asignado a la velocidad indica la dirección y no la mag nitud. Para una aceleración constante escribimos v/ ~ VQ
Por ejemplo, considere un automóv il que se mueve con aceleración uniforme, desde una rapidez inicial de 12 m /s hasta una rapidez final de 22 m/s, como indica la figura 62. Considerando la dirección a la derecha como positiva, la velocidad del automóvil en A es de +12 m/s, y su velocidad final en B es de +22 m/s. Si el incremento en la velocidad requiere 5 s, la aceleración puede determinarse a partir de la ecuación (63). Así,
— vq
Vf
22 m/s — 12 m/s
A
f= tiempo
6
A
t= 5 s
B
N ET buphy.bu.edu Si desea ver una excelente demostración del efecto de la gravedad sobre una pluma y una moneda, tanto en presencia de aire como sin aire, visite esta página de Internet (no necesita teclear w ww ).
La respuesta se lee como dos me tros por se gundo por segund o o dos metros p or seg undo al cuadrado. Esto significa que cada segundo el automóvil incrementa su rapidez en 2 m/s. Puesto que el automóvil ya tenía una velocidad de 12 m/s cuando empezamos a contar el tiempo, después de 1, 2 y 3 s tendría valores para la rapidez de 14, 16 y 18 m/s, respectivamente.
Un tren reduce su velocidad de 80 a 20 km/h en un tiempo de 8 s. Encuentre la aceleración en unidades del SI. Primero se convierte la velocidad de kilómetros po r ho ra a las unidades de SI que son m/s.
De igual manera, se determina que 20 km/h es igual a 5.56 m/s. Sustituyendo estos valores en la ecuación (63) se tiene a —
Vf —vp _ 5.56 m/s — 16.7 m/s t 8 s a = —1.39 m/s 2
Puesto que la dirección original del tren se consideró positiva, el signo negativo de la aceleración significa que el tren redujo su rapidez en 1.39 m/s cada segundo. Dicho movimiento se conoce a veces como desaceleración, pero este térm ino es problemático po rque a = 1.39 m/s 2 significa en realidad que la velocidad se vuelv e más negativa, en esa cantidad, cada segundo. Si la rapidez se increm enta en dirección negativa, la aceleración tam bién es negativa. La aceleración se refiere al ca mbio en la velocidad, lo cual significa que puede tratarse de un incremento o una disminución de la velocidad. Muchas veces, la misma ecuación se utiliza para calcular diferentes cantidades. Por lo tanto, se debe despe jar literalmen te cada símbolo que aparece en la ecuación. Una forma conveniente de presentar la ecuación se desprende de la ecuación (63) cuando se despeja la velocidad final. O sea, Velocidad fina l = velocidad inicial + cambio de velocidad Vf = vo + at
Un automóvil mantiene una aceleración constante de 8 m/s2. Si su velocidad inicial era de 20 m/s, ¿cuál es su velocidad después de 6 s? La velocidad final se obtiene a partir de la ecuación (64) vf = v0 + a t = 20 m/s + (8 m/s 2)(6 s)
o bien, Así, la velocidad final es
Ahora que se han comprendido los conceptos de velocidad inicial y final, vamos a analizar la ecuación de la velocidad media y a expresarla en términ os de estados inicial y final. La velocidad media de un objeto que se mueve con aceleración constante se determina igual que el promedio aritmético de dos números. Dadas una velocidad inicial y una velocidad final, la velocidad media es simplemente
Utilizando esta relación en la ecuación (61) se obtiene una expresión más útil para calcular la distancia: s = vi =
Vf + v0
------------ 1 - 1
2
Un objeto en movim iento increm enta uniform emen te su velocidad de 20 a 40 m/s en 2 min. ¿Cuál es la velocidad media, y qué tan lejos llegará en esos 2 min? La velocidad media se calcula sustituyendo directamente en la ecuación (65).
v=
Vf + v,o 40 m/s + 20 m/s -------- = -----------------------2
2
o bien, 60 m/s , v = --------- = 30 m/s 2
La distancia recorrida se determina a partir de la ecuación (61).
s = v t = (30 m/s)(2 min) Las unidades de tiempo son inconsistentes, pero como 2 min = 120 s, tenemos que s = (30 m/s)(120 s) = 3600 m
Hasta ahor a hemos pres entado dos relaciones fundamentales. Una surgió de la definición de velocidad; y la otra, de la definición de aceleración. Se trata de las siguientes:
Vf + Vo s — vt — — ------ - t
Vf = V :o+ at f
i
En la ecuación
9 s = vt H— 1 at2,
2 d o n d e f e s el ú n i c o v a l o r desconocido, la solución requiere a veces el uso de la ecuación cuadrática. Primero iguale la ecuación a cero, restando s de ambos lados.
Aunque éstas son las únicas fórmulas necesarias para tratar de resolver los múlti ples pro ble ma s que se pres entan en este capítu lo, hay otras tres relaciones útile s que pu ed en obtenerse a p ar tir de ellas. La primer a se der iva eliminan do la velocidad final de las ecuaciones (6 6 ) y (64). Sustituyendo la última en la primera se obtiene = (v0 + at) + v0 2
Simplificando, tenemo s s =
s s = vt H— at2 - s
2 Reordenando los términos, se obtiene
0 = —at2 + 2
D e a q u í a = —a,
c = - s
vt -
s
b = v,
para la fórmula
cuadrática. f= •
, 1 7
v n t H----- a t A
2
Una ecuación similar se obtiene eliminando vo en las mismas dos ecuaciones: 5=
1
7
V ft — ~ a t
La tercera ecuación adicional se obtiene mediante la eliminación del tiempo t en las ecuaciones básicas. Con un poco de álgebra se obtiene
las —vj — vo2
-b ± Vt)2 - ¡\ac 2 a
A pesar de que estas ecuaciones no nos proporcionan nueva información, son útiles pa ra resolver prob lem as do nd e se conocen tres de los pa rámetro s y es neces ario hallar uno de los otros dos.
Aunque la resolución de problemas en los que interviene una aceleración uniform e se basa fundame ntalmente en elegir la fórmula correcta y sustitu ir los valores conocidos, hay varias sugerencias para ayudar al alumno principiante. Los problemas con frecuencia se refieren al movimiento que par te de u n estado de reposo, o bien, se detiene a partir de cierta velocidad inicial. En cualquier caso, las fórmulas presentadas se pueden sim plificar po r la sustitución ya sea de Vo = 0 o V f = 0, según el caso. La tabla 61 resume las fórmulas generales. Un análisis más detallado de las cinco ecuaciones generales revela un total de cinco parám etros: s, vq, Vf, a y t,. Si se dan como datos tres de estas cantidades, las dos restantes pueden calcularse a pa rtir de las ecuaciones generales. Por lo tanto, el pu nto de p artida para resolver cualquier problema consiste en leer el enunciado del problema cuidadosamente con el propósito de detectar las tres cantidades necesarias para resolverlo. También es importante elegir una dirección como la positiva y aplicar este criterio en forma consistente a la velocidad, al desplazamiento y a la aceleración, cuando se sustituyan sus valores en las ecuaciones. Tabla 61 Resumen de fórmu las de la aceleración
(1) 5= V° + V ft
(4) s = Vft —~ a t2
(2) Vf = vo + at
(5) las = vj —v ¡j
(3) s = vqí + ~^at2
126
5: se le dificulta decidir qué ecuación debe usar, puede ser útil recordar las condiciones que la ecuación en cuestión debe satisfacer. Primero, debe incluir el paráme tro
desconocido. Segundo, todos los demás p arám etros q ue aparecen en la ecuación deben conocerse. Por ejemplo, si un problema ofrece como datos valores para Vf, vo y í, es posible determinar a en la ecuación ( 2 ) de la tabla 6 1 .
4. Seleccione la ecuación que incluya a uno de
los parámetros desconocidos, pero n o al otro.
1. Lea el prob lema; luego trace un bos quejo y marque en él los datos. 2. Indiq ue la dirección positiva consistente. 3. Establezca los tres parámetros conocidos y los dos desconocidos. Asegúrese de que los signos y las unidades son consistentes. Dados: ----------- Encontrar: -----------
2
2 as — Vf
Vf = vo + at
2 — vq
S = Vft —~^at
5. Sustituya las cantidades conocidas y resuelva la ecuación. '
Los ejemplos siguientes se han abreviado y no incluyen las figuras; aunque ejem plifican el proceso.
Una lancha de motor parte del reposo y alcanza una velocidad de 50 km/h en 15 s. ¿Cuál fue su aceleración y qué tan lejos viajó? Encon trar : a = ?
Datos: Vo = 0
Vf = 50 km /h = 13.9 m/s
s= ?
t = 15 s Para encontrar la aceleración debemos elegir una ecuación que incluya a pero no s. La ecuación (2) de la tabla 61 puede utilizarse y en ella v0 = 0. Así,
Vf = 0 + at de donde _ v£ _ 13.9 m/s 15 s t a =
0.926 m/s2
En la tabla 6.1, se puede calcular el desplazamiento a partir de la ecuación (1), de la siguiente forma: , = * ± 2 , = 0 + 13'9 m/s.(i5 s) 2
2
s = 104 m
Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones a 200 mi/h y se detiene por completo a 300 ft. Encuentre la aceleración y el tiempo necesario para detenerlo. Datos: v0 = 200 mi/h = 294 ft/s
Encontrar: a = ?
t = ?
v/ = 0 s = 300 ft
Al examinar la tabla 61, debemos seleccionar la ecuación (5) com o la que c ontiene a y no t t
2 as =
_ ~~
vj
Vf2 — v 2o
— vft _ (O)2 ~ (294 ft/s )2 2s ~~ 2(300 ft) a = —144 ft/s 2
Una persona sometida a una aceleración semejante, experimentaría una fuerza de detención aproximadamente igual a cuatro veces y media su peso. A continuación, hallamos el tiempo de frenado, seleccionando la ecuación don de aparece t y no a. Al despejar la ecuación (2 ) explícitamente par a t, obtenemos
vf - vo = (0) ~ (294 ft/s) —144 ft/s 2 a t = 2.04 s
Un tren que viaja inicialmente a 16 m/s se acelera constantemente a razón de 2 m/s2. ¿Qué tan lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final? Datos: vo = 16 m/s
Enco ntrar: s = ?
a = 2 m /s 2
Vf = ?
t = 20 s
128
De la ecuación (3) de la tabla 61, la cual contiene s y no Vf, tenemos , 1
S = Vof + Y
2
= (16 m/s )(20 s) + —(2 m /s 2)(20 s )2 = 320 m + 400 m —720 m La velocidad final se determina a par tir de la ecuación (2).
Vf = vo + at = (16 m/s) + (2 m/s2)(20 s) = 56 m/s £1 tren recorre u na distancia de 720 m y alcanza una velocidad de 56 m/s.
Los signos de aceleración, desplazamiento y velocidad son interdependientes, y cada uno se determina p or criterios diferentes. Tal vez éste sea el punto que más confunde a los alumno s principiantes. Siempre que cam bia la dirección del movimiento, como cuando un objeto es arrojado al aire o cuando se sujeta un objeto a un resorte que oscila, el signo correspondiente al desplazamiento y a la aceleración resulta particularmente difícil de visualizar. Únicamente el signo de la velocidad se determina por la dirección del movimiento. El signo del desplazamiento depende de la ubicación o la posición del objeto, y el signo de la aceleración queda determinado por la fuerza que produce que la velocidad cambie. Considere por ejemplo una pelota de béisbol lanzada hacia arriba como indica la figura 63. La pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo una trayectoria descendente en la misma línea. Consideraremos el punto de lanzamiento como el de desplazamiento cero (s = 0). Ahora, el signo del desplazamiento será positivo en cualquier punto ubicado arriba del punto de lanzamiento, y será negativo en cualquier punto por debajo del punto de lanzamiento. Observe que no impo rta si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo; sólo su ubicación (la coordenada y de su posición) es la que determin a el signo del desplazamiento. Por ejemplo, el valor de s puede ser + 1 m en su movimiento hacia arriba y +1 m en su movimiento hacia abajo. Su desplazamiento se vuelve negativo sólo cuando la pelota se encuentra por debajo del punto de lanzamiento. Observe ahor a los signos de la velocidad duran te el vuelo de la pelota. Suponga que la dirección hacia arriba es positiva, por lo cual decimos que la velocidad de la pelota es positiva cada vez que su movimiento se dirige hacia arriba y negativa cada vez que su movim iento se dirige hacia abajo. No im porta que la velocidad esté cambiando con el tiempo, ni tampoco su ubicación en el espacio. Por último, considere la aceleración de la pelota durante su vuelo. La única fuerza que actúa sobre ella durante su recorrido total es su peso, el cual siempre está dirigido hacia abajo. Por lo tanto, el signo de la aceleración es negativo (hacia abajo) durante todo el movimiento. Observe que la aceleración es negativa cuand o la pelota se mueve hacia arriba y también cuando se mueve hacia abajo. Para deter minar si la aceleración de un objeto es positiva o negativa, debemos considerar su ubicación ni la dirección de su movimiento;
Cuando se trabaja con un problema de muchos pasos, es posible perder de vista el significado de la respuesta final. Cuando la respuesta es negativa, algunos estudiantes suponen que su resolución fue incorrecta. Sin embargo, un resultado neg a t iv o p u e d e i n d i c a r c o n frecuencia la dirección de un vector (como velocidad o aceleración) en dirección opuesta a la que fue designada como positiva.
(J)
s = + ;y = +; a =-
(T)
s = +", v = O', a = -
©
s = +;v = - ; a = -
en lugar de eso, debemos tomar en cuenta la dirección de la fuerza que provoca el cambio de velocidad. En este ejemplo, esa fuerza es el peso del objeto. Una vez que se ha elegido la dirección positiva, la siguiente convención determinará los signos de la velocidad, el desplazamiento y la aceleración: es positivo o negativo, dependiendo de la ubicación o posición del objeto en relación con su posición cero. es positiva o negativa dependiendo de si la dirección del movimiento está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva. es positiva o negativa, dependiendo de si la fuerza resultante está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva.
130
Gran parte de nuestros conocimientos sobre la física de la caída de los cuerpos se deben al científico italiano Galileo Galilei (15641642). Él fue el primero en deducir que en ausencia de fricción, todos los cuerpos, grandes o pequeños, pesados o ligeros, caen a la Tierra con la misma aceleración. Ésa fue una idea revolucionaria, porque contradice lo que una persona pudiera suponer. Antes de la época de Galileo, la gente seguía las enseñanzas de Aristóteles, según las cuales los objetos pesados caían propo rcionalm ente más rápido que los ligeros. La explicación clásica de la paradoja radica en el hecho de que los cuerpos pesados son prop orciona dam ente m ás difíciles de ser acelerados. Esta resistencia al movimiento es una propiedad de los cuerpos llamada inercia. Por lo tanto, en el vacío, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo, porque el efecto inercial mayor de la bola de acero se compensa exactamente con su mayor peso. (Véase la figura 64.) Para tratar el asunto de la caída de los cuerpos en este capítulo, se han despreciado totalmente los efectos de la fricción debida al aire. En estas circunstancias, la aceleración gravitacio nal corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. Dicha aceleración se ha m edido a nivel del ma r y a un a latitud de 45°, y su valor es de 32.17 ft/s2, o 9.806 m/s2, representada por g. Para n uestros propósitos, los siguientes valores tienen la precisión suficiente: g = 32 ft/s 2 g = 9.8 m/s 2
Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración uniforme, se aplican las mismas ecuaciones generales del movimiento. Sin embargo, uno de los parámetros se conoce de antemano y no necesita darse como dato en el problema. Si la constante g se incluye en las ecuaciones generales (tabla 6 1 ), resultan las siguientes modificaciones: s = vt (2 a) Vf = v0 + gt (3a) s = v0t + y, g t 2 1
.
(4a) s = V f t- —gt (5a) 2 gs = Vf vi
Antes de utilizar estas ecuaciones, es conveniente hacer algunos com entarios g enerales. En problemas que tratan con cuerpos en caída libre, es demasiado im portante elegir una dirección como la positiva y seguir este criterio en forma consistente al sustituir valores conocidos. El signo de la respuesta es necesario para determinar la localización de un punto o la dirección de la velocidad en tiempos específicos. Por ejemplo, la distancia s en las ecuaciones anteriores representa el desplazamiento arriba o abajo del origen. Si la dirección ascendente se elige como positiva, un valor positivo pa ra s indica un desplazamiento po r arriba del pu nto de partida; si s es negativo, representa un desplazamiento por debajo del punto de partida. En forma similar, los signos de Vfy g indican sus direcciones.
Una pelota de hule se deja caer del reposo, como muestra la figura 65. Encuentre su velocidad y su posición después de 1, 2, 3 y 4 s.
=i6ftO
v = 32 ft/s
s = 64 ft ( i )y = 6 4 ft/s
s = 144 ft
O ' ’ 96 ft/s
s =256ft
Q - 128 ft/s
V/, Un cuerpo en caída libre tiene una aceleración uniforme, hacia abajo, igual a 32 ft/s2.
Puesto que tod os los par ám etros se med irán hac ia abajo, es más conven iente elegir la dirección descendente como positiva. Organizando los datos tenemos: Dados: Vo = 0
Encontrar:
g = +32 ft/s 2
V f
= ?
s= ?
t = 1, 2, 3 y 4 s La velocidad como función del tiempo aparece en la ecuación (2a), donde vo = 0. v0 + gt = gt = (32 ft/s2)t
Vf =
Después de 1 s tenemos V f
= (32 ft/s2)(l s) = 32 ft/s
(hacia abajo)
Haciendo una sustitución similar para t= 2, 3 y 4 s se obtien en velocidades finales de 64 ,96 y 128 ft/s, respectivamente. Todas estas velocidades se dirigen ha cia abajo, pu esto que se eligió esa dir ecció n como positiva.
La posición como función del tiempo se calcula a partir de la ecuación (3a). Puesto que la velocidad inicial es cero, tenemos s = v0t + ~gt2 = - g t2 a partir de la cual s = y(32 ft/s 2)t 2 = (16 ft/s 2)t 2 Después de 1 s, el cuerpo caerá una distancia dada por s = (16 ft/s2)(l s )2 = (16 ft/s2)(l s2) = 16 ft Después de 2 s, s = (16 ft/s2)(2 s )2 = (16 ft/s2)(4 s2) = 64 ft En for ma similar, se obtienen 144 y 256 ft par a las posiciones despu és de 3 y 4 s, respectivamente. Los resultados anteriores se resumen en la tabla 62.
Tabla 62 Tiempo t, s
Velocidad al final del tiempo t, ft/s
Posición al final de tiempo t, ft
0
0
0
1
32 64 96 128
16 64 144 256
2
3 4
Suponga que una pelota se arroja hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft/s; explique, sin utilizar ecuaciones, cómo el movimiento ascendente es exactamente inverso al movimiento descendente. Vamos a suponer que la dirección hacia arriba sea positiva, lo que hace que la aceleración de la gravedad sea igual a 3 2 ft/s2. El signo negativo indica que u n objeto arrojado verticalmente reducirá su velocidad en 32 ft/s cada segundo al elevarse. (Observe la figura 6 6 ). Si su velocidad inicial es 96 ft/s, su velocidad d espués de 1 s se reducirá a 64 ft/s. Después de 2 s su velocidad será de 32 ft/s, y después de 3 s su velocidad queda reducida a cero. Cuando la velocidad llega a cero, la pelota ha alcanzado su má xima altura y empieza a caer libr em ente pa rtien do del
Una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba regresa al suelo con la misma velocidad.
reposo. Ahora, sin embargo, la velocidad de la pelota se va a incrementar en 32 ft/s cada segundo, ya que tanto la dirección del movimiento como la aceleración de la gravedad están en la dirección negativa. Su velocidad después de 4, 5 y 6 s será de 32, 64 y 96 ft/s, respectivamente. Excepto por el signo, que indica la dirección del movimiento, las velocidades son las mismas a iguales alturas en relación con el piso.
Una pelota de béisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio alto tiene una velocidad inicial de 20 m/s. (íj) Calcule el tiempo necesario para alca nzar la altu ra máxim a. ( b) Encuentre la altura máxima, (c) Determine su posición y su velocidad después de 1.5 s. ( d) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 5 s? (Véase la figura 67.) Elegimos la dirección hacia arriba como positiva, puesto que la velocidad inicial se dirige hacia arriba. En el pun to más alto, la velocidad final de la pelota será igual a cero. Organizando los datos, tenemos que
134
Enc ontrar t = ?
Dados: vo = 20 m/s
Vf = 0
s= ?
g = —9.8 m/s 2 El tiempo requerido para llegar a la altura máxima se determina a partir de la ecuación (2 a):
t =
vf ~ vq = _ v& g 2 — 20 m/s = 2.04 s 9.8 m/s 2
La altura máxima se calcula estableciendo que _
Vf +
V,0
Vf=
0 en la ecuación {la).
, _ _Vb
s = — -------- í = --- 1 2
20 m/s
2
(2.04 s) = 20.4 m
Una pelota lanzada verticalmente hada arriba asciende hasta que su velocidad es cero y luego cae con velocidad cada vez mayor.
Para averiguar la posición y la velocidad después de 1.5 s, debemos establecer nuevas condiciones. Dados: v0 = 20 m/s
Enco ntrar: s = ?
g = —9.8 m/s2
Vf = ?
t = 1.5 s
Ahora ya es posible calcular la posición con la siguiente fórmula: S = V 0 t +, -1g t 2 ¿
= (20 m/s)(1.5 s) + j ( —9.8 m /s2)(1.5 s)2
= 30m —11 m = 19 m La velocidad después de 1.5 s se obtiene así: v0 + gt = 20 m/s + (—9.8 m/s2)(1.5 s) = 20 m/s — 14.7 m/s = 5.3 m/s
Vf =
Las mismas ecuaciones se aplican para determinar la posición y la velocidad después de 5 s. Por lo tanto, S = v0t + y g f 2 = (20 m/s)(5 s) + y ( —9.8 m/s2)(5 s)2 = 100 m — 123 m = —23 m El signo negativo indica que la pelota se localiza a 23 m por debajo del punto de lanzamiento. La velocidad después de 5 s está dada por Vf
= v0 + gt = 20 m/s + (—9.8 m/s2)(5 s) = 20 m/s —49 m/s = —29 m/s
En este caso, el signo negativo indica que la pelota se está moviendo hacia abajo.
NET www3.adnc.com/ ~topquark/fun Si desea ver una pequeña aplicación que muestra el efecto del ángulo de lanzamiento sobre el movimiento de un proyectil, haga clic en Java para esta página.
Hemos visto que los objetos que se lanzan verticalmente hacia arriba o hacia abajo, o que se dejan caer a partir del reposo, sufren una aceleración uniforme en el campo gravitacional terrestre. Ahora estudiaremos el caso más general de un cuerpo que se lanza libremente en un campo gravitacional en una dirección no vertical, como se observa en la figura 68, en la cual una pelota de fútbol se patea hacia el espacio. En ausencia de fricción, ese movimiento es otro ejemplo de aceleración uniforme o constante.
Una pelota de fútbol que recibe una patada es un proyectil que se lanza libremente al espacio sólo bajo la influencia de la gravedad. Si se desprecia la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre dicho objeto es su peso.
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de pro pulsión propia recibe el nombre de pr oy ec til. Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la únic a fuerza qu e actúa sobre el proyectil es su peso, W, que h ace que su trayectoria se desvíe de la línea recta. El proyectil experimenta una aceleración constante hacia abajo por efecto de la gravedad; pero difiere de los movimientos estudiados previamente, pues, en general, la dirección de la gravedad no coincide con la dirección de la velocidad inicial. En virtud de que ninguna fuerza actúa horizontalmente para cambiar la velocidad, la aceleración horizontal es cero; esto produce u na velocidad horizontal constante. Por o tra parte , la fue rza de gravedad hacia abajo hace que la velocidad vertical cam bie uni formemente. Por lo tanto, en condiciones normales, el movimiento de un proyectil ocurre en dos dimensiones y debe ser estudiado en esa forma.
Si un objeto se proyecta horizontalmente , la mejor m aner a de describir su movimiento es considerar por separado el movimiento horizontal y el vertical. Por ejemplo, en la figura 69 un dispositivo electrónico está ajustado para proyectar en form a simultánea una pelota horizontalmen te, mientras deja caer otra, desde su posición de reposo, a la
1S
o -o o
o
o
misma altura. La velocidad horizontal de la pelota proyectada no cambia, como lo indican las flechas, que son de la misma longitud a lo largo de toda su trayectoria. La velocidad vertical, por otra parte, es cero al principio y aumenta uniformemente de acuerdo con las ecuaciones que obtuvimos con anterioridad para el movimiento en una sola dimensión. Las pelotas golpearán el piso en el mismo instante, a pesar de que una de ellas se mueve también horizontalmente. Por lo tanto, los problemas se simplifican en gran medida si se calculan por separado las soluciones para sus com po ne ntes ho riz on tal y vertical. Las mismas ecuaciones generales presentadas en la tabla 61 para la aceleración un iforme se aplican también al movimiento de proyectiles. Sin embargo, sabemos de antemano que si la partícula se proyecta cerca de la Tierra, la aceleración vertical será igual a 9.8 m/s2 o 32 ft/s2 y que siempre estará dirigida hacia abajo. Entonces, si se decide que la dirección hacia arriba sea positiva, la aceleración de un proyectil será negativa e igual a la aceleración gravitacional. Probablemente sea preferible remplazar el símbolo s, empleado para la distancia a lo largo de cualquier línea, por el símbolo x o y , dependiendo de si el desplazamiento es horizontal o vertical. En forma similar, podemos indicar las componentes de la velocidad mediante los subíndices apropiados. Por ejemplo, si deseamos expresar el movimiento vertical como función del tiempo, podemos escribir:
y=
+ ygí2
VQyt
Observe que y representa el desplazamiento vertical, yo la velocidad vertical inicial, y g \ z aceleración de la gravedad (normalmente —9.8 m/s2). Consideremos prime ro el movimiento de un proyectil lanzado horizontalm ente en un campo gravitacional. En este caso, observamos que vox = v*
v0y - 0
ax = 0
ay = g = 9.8 m/s2
po rque la velocidad ho riz on tal es consta nte y la velocidad vertical es inicialmente igual a cero. Por lo tanto, los desplazamientos horizontal y vertical del proyectil pueden hallarse a pa rtir de: x = vo xt
Despla za m ie nt o ho rizont al
y =
Des pl aza m ie nt o ve rti ca l
Si se aplica un razonamiento similar, por el hecho de que Vf = v,o + gt, podemos encontrar las componentes horizontal y vertical de la velocidad final partiend o de: vx = vq x Vy = voy + gt
Velocidad horizontal Velocidad ver tica l .
El desplazamiento final y la velocidad de un a p artícula proyectada horizon talmente pued en hallarse a pa rtir de sus comp onentes . En todas las ecuaciones anteriores, el símbolo g se interpreta como la aceleración a causa de la gravedad, la cual siempre se dirige hacia abajo. Por lo tanto, g será negativa si el desplazamiento hacia arriba se elige como la dirección positiva. La tabla 63 presenta un excelente resumen de cómo p uede n modificarse las fórmu las generales de la aceleración uniforme para aplicarlas a proyectiles.
Tabla 63 Movimiento uniformemente acelerado y proyectiles Movimiento uniformemente acelerado (1)
. . „ . l i a
(2) v f (3) s =
,
2
=
vo
+
vo t +
(4) s = v f t -
Modificado para movimiento de proyectiles
I I
a t 1
VQxt
X =
>
II
X
X
v0xt
X=
j , a t 2
?
X £
%
7
2
Vy =
V0 y +
y
V0yt
=
y = 2gy =
(5) 2 as = v j - v \
+
, +
yyt g t 1
2
~gt¿ 1
2
Vyt
- - g t1
vj
-
v ly
Un esquiador inicia un salto horizontalmente, con una velocidad inicial de 25 m/s, como se muestra en la figura 610. La altura inicial es de 80 m con respecto al punto de contacto con el suelo. ( a ) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el esquiador? ( b ) ¿Cuál es su alcance o recorr ido horizo ntal? (c) ¿Cuáles son las com po nente s horiz on tal y vertical de la velocidad final?
Un esquiador se lanza en un salto con una velocidad horizontal inicial de 25 m/s. Su posición y su velocidad pueden determinarse en función del tiempo.
El tiempo que pasa en el aire sólo es función de parámetros verticales. La velocidad inicial en la dirección y es cero, y el esquiador debe caer u na distancia vertical de 80 m. Si se elige la dirección hacia abajo como positiva, tenemos 1 ? Despejando el tiempo y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos t =
[ 2 ¿ = /2(80m) V g V 9.8 m /s2 t
= 4.04 s
Se requiere un tiempo de 4.04 s para que el esquiador llegue al suelo.
En vista de que la velocidad horizontal es constante, el reco rrido queda determinado tan sólo por el tiempo en el aire. x = Voxt = (25 m/s)(4.04 s) = 101 m
La compon ente horizontal de la velocidad no cambia y, por lo tanto, es igual a 25 m/s en el punto de aterrizaje. La compo nente vertical final está dada p or vy = g t = (9.8 m/s2)(4.04 s) = 39.6 m/s
La compon ente ho rizontal es 25 m/s a la derecha y la compon ente vertical es 39.6 m/s dirigida hacia abajo. Recuerde que la dirección descendente se eligió como positiv a por conveniencia. Qu ed a como ejercicio que usted demu estre que la velocidad final es 46.8 m/s a un ángulo de 57.7° por debajo de la horizontal. Ésta será la velocidad un instante antes de tocar el suelo.
El caso más general de movimiento de proyectiles se presenta cuando el proyectil se lanza con cierto ángulo. Este problema se ilustra en la figura 611, donde el movimiento de un proyectil lanzado con un ángulo 0, con una velocidad inicial vo, se compa ra con el movimiento de un o bjeto lanzado verticalmente hacia arriba. Una vez más, resulta fácil notar la ventaja de tratar por separado los movimientos horizontal y vertical. En este caso se pueden utilizar las ecuaciones listadas en la tabla 63, y po dr íam os co nsiderar la dirección hacia arrib a com o positiva. Por lo tan to, si la po sición vertical y está por arriba del origen, será positiva; si está por debajo del origen, será negativa. En forma similar, las velocidades hacia arriba serán positivas. Puesto que la aceleración siempre se dirige hacia abajo, debemos darle a g un valor negativo.
El movimiento de un proyectil lanzado con determinado ángulo se compara con el movimiento de un objeto arrojado verticalmente hacia arriba.
140
1. Desc omp onga la velocidad inicial vo en sus componentes x y y. vox = vo eos 6
= v0xt , 1 2
y =
v* = v0x vy = % + gt
voy = vo sen 6
2. Las componentes horizontal y vertical del desplazamiento en cualquier instante están dadas por x
3. Las componentes horizontales y verticales de la velocidad en cualquier instante están dadas por
+
-gt¿
4. La posición y la velocidad finales pueden determinarse a partir de sus componentes. 5. Asegúrese de utilizar los signos correctos y unidades congruentes. Recuerde que la gravedad g puede ser positiva o negativa, dependiendo de su elección inicial.
Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 400 ft/s con un ángulo de 30° por encima de la horizontal. Encuentre (a) su posición y velocidad después de 8 s, ( b) el tiempo necesario para que alcance su altura máxima, y (c) el recorrido horizontal R como se indica en la figura 611. Las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial son vq x = vo y
V0
= V0
eos 6 = (400 ft/s)(cos 30°) = 346 ft/s sen 6 = (400 ft/s)(sen 30°) = 200 ft/s
La compon ente x de su posición, después de 8 s, es X = v0 xt = (346 ft/s)(8 s) = 2770 ft La componente y de su posición en ese lapso de tiempo está dada por VOyf +
1
de donde y = (200 ft/s)(8 s) + y ( —32 ft/s2)(8 s)2
= 1600 ft 1024 ft = 576 ft Así, la posición del proyectil después de 8 s es 2770 ft a lo largo de su trayectoria, y 576 ft por arriba de su posición inicial. Para calcular su velocidad en este punto, en primer lugar debemos reconocer que la componente x de la velocidad no cambia. Por lo tanto, vx =
Vo*
= 346 ft/s
SL USO D £ LA
¿AISULAdüjí A En el cálculo de ecuaciones complejas en las que intervienen multiplicaciones y potencias, es conveniente usar pares de paréntesis para cualquier cálculo cuya entrada pueda ser malinterpretada por la calculadora. Si es necesario, vuelva a plantear el problema, calculando primero la multiplicación y las potencias de dos funciones, y sumando después los resultados. Aq uí se muestra cómo hacer el cálculo en un solo paso, usando las teclas de paréntesis de su calculadora.
y = vQyt + ^ g t2
□cDaaaaQDaajD
(jDQ[D(T)00CD(I)E)(II LDEI576
La componente y debe calcularse a p artir de VO y
+ gt
de modo que 200 ft/s + (32 ft/s2)(8 s) 200 ft/s 256 ft/s —56 ft /s El signo meno s indica q ue el proyectil está en su trayectoria descendente. Por último, es preciso calcular la velocidad resultante a par tir de sus comp onente s, como indica la figura 612. v
= 346 ft/s
Vj, = - 5 6 ft/s
El ángulo (f) se calcula a partir de , 56 ft/s _ vy tan ó = — = ------ — = 0.162 vx 346 ft/s de donde
= 9.2°
La magnitud de la velocidad es _ v sen
_ ^ t t ^ = 3 s o ft/s sen 9.2
En el pun to máximo de la tra yecto ria del proyectil, la com pone nte y d e su velocidad es igual a cero. Así, el tiempo para llegar a esa altura se calcula a partir de vy = v0y + gt
Sustituyendo los datos de voy y g> obtenemos 0 = 200 ft/s + (32 ft/s2)í de donde 200 ft/s t = ----- - —r = 6.25 s 32 ft/s2 Como un ejercicio adicional, utilice este resultado para demostrar que la altura mínima en la trayectoria es de 625 ft.
El alcance del proyectil puede calcularse tomando en cuenta que el tiempo total t' del vuelo total es igual a dos veces el tiempo que tarda en llegar al punto más alto. Es decir, t ' = 2 t = (2)(6.25 s) = 12.5 s
y el alcance es R = v0 xt ' = (346 ft/s)(12.5 s) = 4325 ft
Por lo tan to, el proyectil se eleva du ran te 6.25 s hasta un a altu ra de 625 ft, y luego cae hacia el suelo a un a distancia horizontal de 4325 ft respecto al punto de pa rtida.
Resumen Una forma conveniente de describir objetos en movimiento consiste en analizar su velocidad o su aceleración. En este capítulo se presentaron diversas aplicaciones que incluyen dichas cantidades físicas. • Velocidad med ia es la distancia recorrida p or unidad de tiempo, y aceleración media es el cam bio de velocidad por un id ad de tiem po. S
v= — t
a=
Vf -
v0
-------t
• Las definiciones de velocidad y aceleración conducen al establecimiento de cuatro ecuaciones básicas correspond ien tes al mo vim iento uniformem ente acelerado:
Vf — vo + at s = v0f + —ai1
forma consistente durante toda la resolución del problem a. Aceleración gravitacional: Los problemas que incluyen la aceleración gravitacional pueden resolverse en forma similar a otros problemas de aceleración. En este caso, uno de los parámetros se conoce de antemano y es a = g = 9.8 m/s2 o 32 ft/s2
El signo de la aceleración gravitacional es + o —según se elija la dirección positiva hacia arriba o hacia abajo. Movimien to de proyectiles: La clave para resolver prob lem as que incluyen mov imiento de proye ctiles es tratar el movim iento ho rizontal y el vertical por separado. La mayoría de los problemas de proyectiles se resuelven utilizando el siguiente procedimiento: Desco mpong a la veloc idad inicial Vq en sus componentes x y y.
2
vq x
S = Vft — yflf2
= v0 eos 6
vo y = vo sen 6
Las comp onentes horizontal y vertical de su posición en cualquier instante están dadas por
2 as = v2t — V q Si se tienen como datos tres de los cinco pa rámetros (vo, Vf, a, s y t), los otros dos pueden determinarse a partir de una de estas ecuaciones. • Para resolver problemas de aceleración, lea el prob lem a analizand o cuáles son los tres parámetros prop or cion ad os com o datos, y cuáles son los dos desconocidos. Se pueden escribir en columnas como se indica a continuación: Dados: a = 4 m/s 2 Enco ntrar: Vf = ? 5 = 500 m vo = ? t = 20 s Este procedimiento lo ayuda a elegir la ecuación apropiada. Recuerde que debe elegir una dirección como positiva y aplicar este criterio de
X = v0 xt
y = V0yt +
Las componentes horizontal y vertical de su velocidad en cualquier instante están dadas por vx = v0x
Vy = v0y + g t
Es posible obtener la posición y la velocidad finales a partir de sus componentes. Un aspecto importante que hay que recordar al aplicar estas ecuaciones es que deben ser congruentes en su conversión de signos y unidades.
Conceptos clave 1. velocidad constante 2. velocidad media 3. velocidad 4. aceleración 5. rapidez instantánea 144
ygf2
6. velocidad instantánea 7. movimiento uniformemente acelerado 8. aceleración deb ida a la gravedad
9. proy ectil 10. trayectoria 11. alcance
Preguntas de repaso 61. Explique con claridad la diferencia entre los términos rapidez y velocidad. Un piloto de carreras de automóviles recorre 500 vueltas en una pista de 1 mi en un tiem po de 5 h. ¿Cuál fue su rapidez promedio? ¿Cuál fue su velocidad promedio? 62. Un conductor de autobús recorre una distancia de 300 km en 4 h. Al mismo tiempo, un turista recorre los mismos 300 km en un automóvil, pero se detiene y hace dos pausas de 30 minutos. Sin embargo, el turista llega a su destino en el mismo instante que el conductor del autobús. Compare la rapidez promedio de los dos conductores. 63. Presente varios ejemplos de movimiento don de la rapidez sea constante, per o la velocidad no lo sea. 64. Una bola de boliche desciende en una canal con inclinación de 30° una distancia corta y después se nivela unos cuantos segundos pa ra iniciar finalmente un ascenso en otro tramo inclinado 30°. Comente la aceleración de la pelota a medida que pasa p or cada segmento de su trayecto. ¿La aceleración es la misma cuando la pelota sube por el tramo inclinado que cuando baja con esa misma inclinación? Suponga que la pelota recibe un impulso inicial en la parte superior del primer tram o inclinado y después viaja libremente a mayores velocidades. ¿Será diferente la aceleración en cualquiera d e los segmentos? 65. Una piedra es arrojada verticalmente hacia arriba. Asciende hasta la máxima altura, regresa al punto de partida y continúa descendiendo. Comente los signos de su desplazamiento, velocidad y aceleración en cada punto de su recorrido. ¿Cuál es su aceleración cuando la velocidad llega a cero en el punto más alto?
66. Cua ndo n o existe la resistencia del aire, un proyectil requiere el m ismo tiempo pa ra llegar al punto más alto que para regresar al pu nto de partida . ¿Seguirá sien do válida esta afirmación si la resistencia del aire no es insignificante? Dibuje diagramas de cuerpo libre para cada situación. 67. ¿El mo vimie nto de un proyectil dispara do a cierto ángulo es un ejemplo de aceleración uniforme? ¿Qué sucede si es disparado verticalmente hacia arriba o verticalmente hacia abajo? Explique. 68. ¿En qué ángulo se debe lanzar una pe lota de béisbo l par a log rar el máximo alcance? ¿Con qué ángulo se debe lanzar para lograr la má xima altura? 69. Un cazador lanza una flecha contra una ardilla que está en la rama de un árbol y ésta cae en el instante que la flecha sale del arco. ¿Lesionará la flecha a la ardilla? Dibuje la trayectoria más probable. ¿En qué condiciones no heriría la flecha a la ardilla? 610. Un niño de ja caer una pe lota desde la ventanilla de un automóvil que viaja con una rapidez constante de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota en relación con el suelo? Describa el mov imiento. 611. Un coche de juguete es arrastrado sobre el suelo con rapidez uniforme. Un resorte incor porado al coche lanza una canica verticalmente hacia arriba. Describa el movimiento de la canica en relación con el suelo y en relación con el coche. 612. Explique el ajuste que es necesario realizar en la mira de un rifle cuando la distancia del blanco se va inc reme nta ndo. 613. Explique el razo nam iento en que se basa el uso de trayectorias altas o bajas para anotar las patadas de despeje en un juego de fútbol americano.
Problemas 61. Un automóvil recorre una distancia de 86 km a una rapidez promedio de 8 m/s. ¿Cuántas horas requirió para comp letar el viaje? 62. El sonido viaja con una rapidez prom edio de 340 m/s. El relámpago que proviene de una nube causante de una tormenta distante se observa en forma casi inmediata. Si el sonido del rayo llega a nuestro oído 3 s después, ¿a qué distancia está la tormenta?
63. Un cohete pequeño sale de su plataforma en dirección vertical ascendente y recorre una distancia de 40 m antes de iniciar su regreso hacia el suelo 5 s despu és de que fue lanzado. ¿Cuál fue la velocidad promedio de su recorrido? 64. Un automóvil transita por una curva en forma de U y recorre una distancia de 400 m en 30 s. Sin embargo, su posición final está a sólo 40 m de la posición inicial. ¿Cuál es la
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rapidez prom edio y cuál es la magnitud de la velocidad promedio? Una mujer camina 4 min en dirección al norte a una velocidad promedio de 6 km/h; después camina hacia el este a 4 km/h dur ante 10 min. ¿Cuál es su rapidez promedio durante el recorrido? ¿Cuál es la velocidad pro me dio de tod o el recorrido descrito en el problema 65? Un automóvil avanza a una rapidez prom edio de 60 mi/h durante 3 h y 20 min. ¿Cuál fue la distancia recorrida? ¿Cuánto tiempo tard ará en recorrer 400 km si la rapidez promedio es de 90 km/h? Una canica rueda hacia arriba una distancia de 5 m en una ram pa inclinada, y después se detiene y regresa hasta u n p unto localizado 5 m más abajo que su punto de partida. Todo el recorrido lo realiza en solam ente 2 s. ¿Cuál fue la rapidez promedio y cuál fue la velocidad promedio?
610. El extremo de un brazo robótico se mueve hacia la derecha a 8 m/s. Cuatro segundos después, se mueve hacia la izquierda a 2 m/s. ¿Cuál es el cambio de velocidad y cuál es la aceleración? 611. Una flecha se acelera de cero a 40 m/s en 0.5 s que per mane ce en contac to con la cuerda del arco. ¿Cuál es la aceleración promedio? 612. Un automó vil se desplaza inicialmente a 50 km/h y acelera a razón de 4 m/s2 durante 3 s. ¿Cuál es la rapidez final? 613., Un camión que viaja a 60 mi/h frena hasta detenerse po r completo en u n tram o de 180 ft. ¿Cuáles fueron la aceleración promedio y el tiempo de frenado? 614. En la cubierta de un portaaviones, un disp ositivo de frenado permite detener un avión en 1.5 s. La aceleración pro med io fue de 49 m /s2. ¿Cuál fue la distancia de frenado? ¿Cuál fue la rapidez inicial? 615.( En una prueba de frenado, un vehículo que viaja a 60 km/h se detiene en un tiempo de 3 s. ¿Cuáles fueron la aceleración y la distancia de frenado? 616.. Una bala sale del cañón de un rifle de 28 in a 2700 ft/s. ¿Cuáles son su aceleración y su tiempo dentro del cañón?
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617. A la pelota de la figura 613 se le imp arte u na velocidad inicial de 16 m/s en la parte más baja de un plano inclinado . Dos segund os más tarde, sigue moviéndose sobre el plano, pero con una velocidad de sólo 4 m/s. ¿Cuál es la aceleración?
618. En el problema 617, ¿cuál es el desplazamiento máximo desde la parte inferior y cuál es la velocidad 4 s después de salir de la parte inferior? 619. Un tren mo norrie l que viaja a 80 km/h tiene ‘ que detenerse en un a distancia de 40 m. ¿Qué aceleración promedio se requiere y cuál es el tiempo de frenado?
620. Una pelota en estado de repos o se suelta y se deja caer durante 5 s. ¿Cuáles son su posición y su velocidad en ese instante? 621. Se deja caer una p iedra a partir del estado de reposo. ¿Cuándo alcanzará un desplazamiento de 18 m por debajo del pu nto de partida? ¿Cuál es su velocidad en ese momento? 622. Una mujer suelta una pesa desde la parte más alta de un puente y le ha pedido a un amigo, que se encuentra abajo, que mida el tiempo que tarda el objeto en llegar al agua en la parte inferior. ¿Cuál es la altura del pu en te si dich o tie mpo es de 3 s? 623. A un ladrillo se le imparte u na velocidad inicial de 6 m/s en su trayectoria hacia abajo. ¿Cuál será su velocidad final después de caer una distancia de 40 m?
624. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba y regresa a su posición inicial en 5 s. ¿Cuál fue su velocidad inicial y hasta qué altu ra llegó? 625. Una flecha se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 ft/s. ¿Cuál es su altura máxima? 626. En el problema 625, ¿cuáles son la posición y la velocidad de la flecha después de 2 s y después de 6 s? 627. Un ma rtillo es arrojado verticalmente hacia arriba en dirección a la cumbre de un techo de 16 m de altura. ¿Qué velocidad inicial mínima se requirió para que llegara allá?
628. Una pelota de béisbol sale despedida de un bat con un a velocidad horizontal de 20 m/s. En un tiempo de 0.25s, ¿a qué distancia habrá viajado horizontalmente y qué tanto habrá caído verticalmente? 629. Un avión que vuela a 70 m/s deja caer una caja de provisiones. ¿Qué distancia horizontal recorrerá la caja antes de tocar el suelo, 340 m más abajo? 630. En una explotación maderera, los troncos se descargan horizontalmente a 15 m/s por medio de un conducto engrasado que se encuentra 20 m por encima de un estanque para contener madera. ¿Qué distancia recorren horizontalmente los troncos? 631. Una bola de acero rued a y cae po r el bord e de una mesa desde 4 ft por encima del piso. Si golpea el suelo a 5 ft de la base de la mesa, ¿cuál fue su velocidad horizontal inicial? 632. Una bala sale del cañón de un ar ma con una velocidad horizontal inicial de 400 m/s. Halle los desplazamientos horizontal y vertical después de 3 s.
633. Un proyectil tiene una velocidad horizontal inicial de 40 m/s en el borde de un tejado. Halle las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3 s.
634. A una piedra se le imprim e una velocidad inicial de 20 m/s a un ángulo de 58°. ¿Cuáles son sus desplazamientos horizontal y vertical después de 3s? 635. Una pelota de béisbol sale golpeada por el bat con una velocidad de 30 m/s a un ángulo de 30°. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3 s? 636. En el caso de la pelota de béisbol del pro blema 635, ¿cuál es la alt ura má xima y cuál es el alcance? 637. Una flecha sale del arco con una velocidad inicial de 120 ft/s a un ángulo de 3 7° con respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las com po nentes ho riz ontal y vertical de su desplazamiento al cabo de dos segundos? *638. En el prob lem a 637, ¿cuáles son la mag nitud y la dirección de la velocidad de la flecha después de 2 s? *639. En la figura 614, una pe lota de golf sale del pu nt o de parti da , al ser golpeada, con una velocidad de 40 m/s a 65°. Si cae sobre un green localizado 10 m más arriba que el pu nt o d e parti da , ¿cuál fue el tiempo que per maneció en el aire y cuál fue la distancia horizontal recorrida con respecto al palo? *640. Un proyectil sale dispara do del suelo con una velocidad de 35 m/s a un ángulo de 32°. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? *641. El proyectil del problema 640 se eleva y cae, gol peando una cartelera de anuncios instalada 8 m por encima del suelo. ¿Cuál fue el tiem po de vuelo y qué distancia horizontal máxima recorrió el proyectil?
Problemas reto 642. Un cohete surca el espacio a 60 m/s y entonces recibe un a aceleración repentina . Si su velocidad se incrementa a 140 m/s en 8 s, ¿cuál fue su aceleración promedio y qué distancia recorrió en este tiempo? 643. Un vagón de ferrocarril parte del reposo y desciende libremente po r una pendiente. Con una aceleración promedio de 4 ft/s2, ¿cuál será su velocidad al cabo de 5 s? ¿Qué distancia habrá recorrido en ese tiempo? *644. Un objeto es proyectado horizontalme nte a 20 m/s. Al mismo tiempo, otro objeto, localizado 12 m más abajo, se deja caer desde el reposo. ¿En qué momento chocarán ambos y a qué distancia estarán localizados abajo del pun to de partida? 645. Un camión que transita a una velocidad inicial de 30 m/s2 se detiene por completo en 10 s. ¿Cuál será la aceleración del vehículo y cuál fue la distancia de frenado? 646. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 23 m/s. ¿Cuáles serán sus posiciones y sus velocidades después de 2 s, después de 4 s y después de 8 s?
647. Una piedra se arroja verticalmente hacia abajo desde la parte más alta de un puente. Al cabo de 4 segundos llega al agua que corre abajo. Si la velocidad final fue de 60 m/s, ¿cuál fue la velocidad inicial de la piedra y cuál es la altura del puente? 648. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 ft/s. ¿Cuáles son su posición y su velocidad desp ués de (a) 1 s; (b) 3 s; y (c) 6 s? 649. Un avión que vuela horizon talmente a 500 mi/h suelta un paquete. Al cabo de cuatro segundos, el paquete llega al suelo. ¿Cuál era la altitud del avión? 650. En el prob lem a 649, ¿cuál fue el alcance horizontal del paquete arro jado y cuáles fueron las componentes de su velocidad final? 651. El green de un campo de golf está a 240 ft horizontalmente y 64 pies verticalmente del pu nt o do nd e el palo golpea un a pelota. ¿Cuáles deberán ser la magnitud y la dirección de la velocidad inicial si la pelota llega al green en este lugar después de un tiempo de 4 s?
Preguntas para la reflexión crítica 652. Una larga franja de pavimento tiene marcas a intervalos de 100 m. Los estudiantes usan cronómetros para registrar los tiempos en que un automóvil pasa por cada marca. Así han obtenido los siguientes datos: Distancia, mO Tiempo, s 0
10 20 2.1 4.3
30 6.4
40 8.4
50 10.5
Dibuje una gráfica que represente las distancias en el eje y y los tiempos en el eje x. ¿Cuál es el significado de la pendiente de esta curva? ¿Cuál es la rapidez prom edio del vehículo? ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia es igual a 34 m? ¿Cuál es la aceleración del automóvil?
653. Un astronauta intenta determ inar la gravedad de la Luna dejando caer un a her ramien ta desde una altura de 5 m. Los siguientes datos fueron registrados electrónicamente. Altura, m 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0 Tiempo, s 0 1.11 1.56 1.92 2.21 2.47 Elabore una gráfica con estos datos. ¿Es una línea recta? ¿Cuál es la rapidez promedio du ran te to da la caída? ¿Cuál es la aceleración? ¿Cómo son estos resultados en comparación con los de la gravedad de la Tierra? 654. Un autom óvil se desplaza inicialmente hacia el norte a 20 m/s. Después de recorrer una distancia de 6 m, el vehículo pasa por el punto A,
