Cap 8 Tippens

Capítulo 8. Trabajo, energía y potencia Trabajo 8-1. ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20 N que actúa a través de una distancia paralela de 8 m? ¿Qué fuerza realizaría el mismo trabajo en una distancia de 4 m? Trabajo = (20 N)(8 m) = 160 J ; F (4 m) = 160 J;

F = 40.0 N

8-2. Un trabajador levanta un peso de 40 lb hasta una altura de 10 ft. ¿A cuántos metros se puede levantar un bloque de 10 kg con la misma cantidad de trabajo?

! 1.356 J " Trabajo = (20 lb)(10 ft) = 200 ft lb; Trabajo = 200 ft # lb $ % = 271 J & 1 ft # lb ' Trabajo = Fh = mgh;

s=

Trabajo 271 J = ; mg (10 kg)(9.8 m/s 2 )

h = 2.77 m

8-3. Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 N sobre un barco, cuando lo desplaza a una distancia de 15 m. ¿Cuál es el trabajo realizado? Trabajo = (4000 N)(15 m);

Trabajo = 60 000 J

8-4. Un martillo de 5 kg es levantado hasta una altura de 3 m. ¿Cuál es el trabajo mínimo requerido para hacerlo? Trabajo = Fh = (5 kg)(9.8 m/s2)(3 m);

Trabajo = 147 J

8-5. Un empuje de 120 N se aplica a lo largo del asa de una cortadora de césped, produciendo un desplazamiento horizontal de 14 m. Si el asa forma un ángulo de 30º con el suelo, ¿qué trabajo fue realizado por la fuerza de 120 N? Trabajo = (F cos θ)x = (120 N) cos 300 (14 m) Trabajo = 1.46 × 103 J

x = 14 m

N

Fk W

78

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 8

300 P

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8-6. El baúl de la figura 8-10 es arrastrado a lo largo de una distancia horizontal de 24 m por una cuerda con ángulo θ con el piso. Si la tensión de la cuerda es de 8 N, ¿cuál es el trabajo realizado en cada uno de los siguientes ángulos: 0º, 30º, 60º, 90º? 80 N

Trabajo = (F cos θ)s = (80 N) cos 00 (24 m) = 1920 J θ

Trabajo = (80 N) cos 300 (24 m) = 1660 J Trabajo = 960 J; Trabajo 90 = 0 J

8-7. Un empuje horizontal sobre un trineo de 10 kg lo lleva una distancia de 40 m. Si el coeficiente de fricción de deslizamiento es 0.2, ¿cuál es el trabajo de la fuerza de fricción? Trabajo = (F cos θ)s = (F) (cos 1800)s = – Fs; pero

F = µkN = µk mg

Trabajo = µkmg s = (0.2)(10 kg)(9.8 m/s2)(40 m); Trabajo = –784 J *8-8. Un trineo es arrastrado 12 m por una cuerda, bajo una tensión constante de 140 N. La tarea requiere 1200 J de trabajo. ¿Qué ángulo forma la cuerda con el suelo? Trabajo = (F cos θ)x;

cos ! =

cos θ = 0.714;

Trabajo 1200 J = Fx (140 N)(12 m)

θ = 44.4

140 N 12 m

θ

0

Trabajo resultante 8-9. Una fuerza de 40 N comprime un resorte una distancia de 6 cm. ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 40 N? ¿Qué trabajo ha realizado el resorte? ¿Cuál es el trabajo resultante? Trabajo40 = (40 N)(0.06 m) = 2.40 J (trabajo positivo)

40 N

Trabajores = (–40 N)(0.06 m) = –2.40 J (trabajo negativo) Trabajo resultante = Σ(trabajos) = 2.4 J – 2.4 J = 0 J

0.06 m

El trabajo es positivo cuando la fuerza actúa a favor del desplazamiento, negativo cuando actúa en contra el desplazamiento.

79



8-10. Una fuerza horizontal de 20 N jala un trineo 42 m sobre el hielo a velocidad constante. Halle el trabajo de la fuerza de tracción y la de fricción. ¿Cuál es la fuerza resultante? Trabajo40 = (20 N)(24 m) = 2.40 J (trabajo positivo) Trabajores = (–20 N)(24 m) =

42 m F

–2.40 J (trabajo negativo)

20 N

La fuerza resultante y, por tanto, el trabajo resultante son cero. *8-11. Un bloque de 10 kg es arrastrado 20 m por una fuerza paralela de 26 N. Si µk = 0.2, ¿cuál es el trabajo resultante y qué aceleración se produce? Fk = µkN = µkmg

20 m F

F = 0.2(10 kg)(9.8 m/s2) = 19.6 N

26 N

Trabajo = FR x = (P – Fk)x; Trabajo = (26 N – 19.6 N)(20 m); Trabajo = 128 J FR = (26 N – 19.6 N) = 6.40 N; a =

F 6.4 N = ; m 10 kg

a = 0.640 m/s2

*8-12. Una cuerda con un ángulo de 35º arrastra una caja de 10 kg una distancia horizontal de 20 m. La tensión en la cuerda es de 60 N y la fuerza de fricción constante 30 N. ¿Qué trabajo ha realizado la cuerda?, ¿y –la fricción? ¿Cuál es el trabajo resultante? (Trabajo)cuerda = (60 N) cos 350 (20 m); (Trabajo)f = (–30 N)(20 m) = –600 J;

(Trabajo)r = 983 J (Trabajo)f = –600 J

20 m

N 60 N 350

F Trabajo resultante = Σ(trabajos) = 983 J – 600 J;

mg

Trabajo resultante = 383 J El trabajo extra puede mostrar que para este ejemplo, µk = 0.472 *8-13. En el ejemplo anterior, ¿cuál es el coeficiente de fricción entre la caja y el piso? (Véase la figura y a la información dada en el problema anterior.) ΣFy = 0; N + (60 N) sen 350 – (10 kg)(9.8 m/s2) = 0 ; y

µk =

80

f = 0.472 n


N = 63.6 N

µk = 0.472


*8-14. Un trineo de 40 kg es arrastrado horizontalmente una distancia de 500 m (µk = 0.2). Si el trabajo resultante es de 50 kJ,

N

500 m

F = µkF = µk mg = 0.2(40 kg)(9.8 m/s2); F = 78.4 N (P – F) s = 50 kJ;

P

F

¿cuál fue la fuerza de tracción paralela?

mg

(P – 78.4 N)(500 m) = 50 000 J;

P = 178 N

*8-15. Suponga que m = 8 kg en la figura 8-11 y µk = 0. ¿Qué trabajo mínimo debe realizar la fuerza P para llegar a la parte más alta del plano inclinado? ¿Qué trabajo se requiere para levantar verticalmente el bloque de 8 kg hasta la misma altura? El trabajo mínimo es P = W sen 40° con aceleración cero. 12 m 12 m sen! = ; x= = 18.67 m ; W = mg = 78.4 N x sen 400

TrabajoP = P x =(W sen 400) x = (78.4 N) sen 400 (18.67 m);

P 12 m

N

400 400

TrabajoP = 941 J (Trabajo)V = W h = (78.4 N)(12 m);

(Trabajo)V = 941 J

*8-16. ¿Cuál es el trabajo mínimo de la fuerza P para mover el bloque de 8 kg hasta la parte más alta del plano inclinado si µk = 0.4? Compare este resultado con el trabajo necesario para levantar el bloque verticalmente hasta la misma altura. ΣFy = 0; N = mg cos 400; N = (78.4 N) cos 400 = 60.06 N

P

N = µkN = (0.4)(60.06 N); N = 24.0 N ΣFx = 0;

P – F – mg sen 400 = 0; P = F + W sen 400

12 m

400

0

P = 24.0 N + (78.4 N) sen 40 ; P = 74.4 N

N F 400

Recuerde que x = 18.67 m del prob. 8-15. TrabajoP = (74.4 N)(18.67 m) ;

TrabajoP = 1390 J

Del prob. 8-15, el trabajo para elevar verticalmente es:

81


(Trabajo)V = 941 J


*8-17. ¿Cuál es el trabajo resultante si el bloque de 8 kg se desliza desde la parte más alta hasta la más baja del plano inclinado de la figura 8-11? Suponga que µk = 0.4. F

El trabajo resultante es el trabajo de la fuerza resultante: 0

0

FR = mg sen 40 – F = (78.4 N) sen 40 – 0.4(78.4 N) cos 40 FR = 26.4 N;

Trabajo = (26.4 N)(18.67 m) =

0

12 m

400

492 J

N x = 18.67 m 400

mg

Trabajo y energía cinética 8-18. ¿Cuál es la energía cinética de una bala de 6 g en el instante en que su velocidad es de 190 m/s? ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 1200 kg que transita a 80 km/h? Nota: 80 km/h = 22.2 m/s. K = ½mv2 = ½(0.006 kg)(190 m/s)2;

K = 217 J

K = ½mv2 = ½(1200 kg)(22.2 m/s)2;

K = 296 kJ

8-19. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 2400 lb cuando circula a 55 mi/h? ¿Cuál es la energía cinética de una pelota de 9 lb cuando su velocidad es de 40 ft/s? Nota: 55 mi/h = 80.7 ft/s.

ma =

W 2400 lb = = 75.0 slugs g 32 ft/s 2

mb =

K = ½mv2 = ½(75 slugs)(80.7 ft/s)2; 2

9.00 lb = 0.281 slugs 32 ft/s 2

K = 244,000 ft lb

2

K = ½mv = ½(0.281 slugs)(40 ft/s) ;

K = 225 ft lb

8-20. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética cuando una pelota de 50 g golpea el pavimento a una velocidad de 16 m/s y rebota a la velocidad de 10 m/s? Considere la dirección hacia arriba como positiva, entonces vo = –10 m/s y vf = –16 m/s. ΔK = ½mvf 2– ½mvo2 = ½(0.05 kg)(10 m/s)2 – ½(0.05 kg)(–16 m/s)2 ΔK = 2.50 J – 6.40 J = –3.90 J El cambio representa una pérdida de energía cinética.

82



*8-21. Una carreta de 400 kg entra sin control en un campo de maíz a una velocidad de 12 m/s antes de detenerse. ¿Cuál fue la magnitud del trabajo realizado por esa carreta? Trabajo = ½mvf2 – ½mvo2 =(0) – ½(400 kg)(12 m/s)2;

Trabajo = –28.8 kJ

*8-22. Un automóvil de 2400 lb incrementa su velocidad de 30 mi/h a 60 mi/h. ¿Qué trabajo resultante se requirió? ¿Cuál es el trabajo equivalente en joules? vo = 30 mi/h = 44 ft/s; vf = 60 mi/h = 88 ft/s;

m=

2400 lb = 75.0 slugs 32 ft/s 2

Trabajo = ½mvf2 – ½mvo2 = ½(75 slugs)(88 ft/s)2 – ½(75 slugs)(44 ft/s)2; Trabajo =

217,800 ft lb ;

1J ! " Trabajo = #217,800 ft lb $ % = 295 kJ & 0.7378 ft lb '

*8-23. Un martillo de 0.6 kg se mueve a 30 m/s antes de golpear una alcayata. Calcule la energía cinética inicial. ¿Qué trabajo realizó la cabeza del martillo? K = ½mv2 = ½(0.6 kg)(30 m/s)2; Trabajo = ΔK = 0 – 200 J;

K = 270 J Trabajo = –270 J

*8-24. Un martillo de 12 lb que se mueve a 80 ft/s golpea la cabeza de un clavo y lo hunde en la pared hasta una profundidad de m=

in. ¿Cuál fue la fuerza de parada promedio?

12 lb = 0.375 slugs; s = 0.250 in (1 ft/12 in) = 0.0203 ft; 32 ft/s 2

Fs = ½mvf2 – ½mvo2;

vo = 80 ft/s

F (0.0203 ft) = 0 –½(0.375 slugs)(80 ft/s)2;

F = 57,600 ft lb

8-25. ¿Qué fuerza promedio se necesita para incrementar la velocidad de un objeto de 2 kg desde 5 m/s hasta 12 m/s en una distancia de 8 m? Fs = ½mvf2 – ½mvo2;

83

F(8 m) = ½(2 kg)(12 m/s)2 – ½(2 kg)(5 m/s)2;


F = 14.9 N


*8-26. Verifique la respuesta del problema 8-25 aplicando la segunda ley de Newton sobre el movimiento. Para aplicar F = ma, necesita encontrar a: a=

v 2f ! v02 2s

=

2as = vf2 – vo2

(5 m/s) 2 ! (12 m/s) 2 ; F = (2 kg)( –7.44 m/s2) = –14.9 N 2(8 m)

*8-27. Un proyectil de 20 g choca contra un banco de fango en la figura 8-12 y penetra 6 cm antes de parar. Calcule la fuerza de frenado F si la velocidad de entrada fue de 80 m/s. Fx = ½mvf2 – ½mvo2;

F (0.06 m) = 0 – ½(0.02 kg)(80 m/s)2 F = –1070 N

*8-28. Un automóvil de 1500 kg se desplaza a 60 km/h. ¿Qué trabajo se requiere para frenarlo? Si µk = 0.7, ¿cuál es la distancia de frenado? Nota: 60 km/h = 16.67 m/s. Trabajo = ½mvf2 – ½mvo2 ; Trabajo = 0 – ½(1500 kg)(16.67 m/s)2; Trabajo = –208 300 J El trabajo es hecho por la fricción: F = µkN = µk mg y (Trabajo)F= – (µk mg)x (µk mg)x = –208 300 J;

x=

!208,300 J ; !0.7(1500 kg)(9.8 m/s 2 )

x = 20.2 m

Energía potencial 8-29. Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso. Calcule la energía potencial del bloque en relación con (a) el piso, (b) el asiento de una silla que está a 40 cm del piso y (c) en relación con el techo, a 3 m del piso. Para U = mgh, la altura h se mide del punto de referencia: Del piso, h = 0.8 m; para el asiento, h = 0.4 m; 0.8 m

para la mesa, h = –2.2 m (a) U = (2 kg)(9.8 m/s2)(0.8 m) = 2

(b) U = (2 kg)(9.8 m/s )(0.4 m) =

15.7 J

3m

0.4 m

7.84 J

(c) U = (2 kg)(9.8 m/s2)( –2.2 m) = –43.1 J

84



8-30. Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a 2 m por encima de un pozo. El fondo del pozo está 3 m abajo del nivel de la calle. En relación con la calle, ¿cuál es la energía potencial del ladrillo en cada lugar? ¿Cuál es el cambio en términos de energía potencial? Uo = (1.2 kg)(9.8 m/s2)(2 m) = 23.5 J suspendido. Uf = (1.2 kg)(9.8 m/s2)( –3 m) =

–35.3 J en el pozo

ΔU = Uf – Uo = –35.3 J – (23.5 J); ΔU = –58.8 J 8-31. Un proyectil de mortero logra una velocidad de 60 m/s. Si su energía potencial es igual a la mitad de su energía cinética, ¿cuál es su altura al nivel del suelo? K = ½mv2 y U = mgh. A los 60 m/s, U = ½ K

1!1 " mgh = # mv 2 $ 2%2 & h=

(60 m/s) 2 4(9.8 m/s 2 )

o

4 gh = v 2

h=

y

v2 4g

o

h = 91.8 m

*8-32. Un trineo de 20 kg es empujado en una pendiente de 34º hasta una altura de 140 m. Una fuerza de fricción constante de 50 N actúa durante toda esa distancia. ¿Qué trabajo externo se requirió? ¿Cuál fue el cambio en la energía potencial?

N P

El trabajo externo hecho por la fuerza P actuando para la F

distancia s: ΣFx = 0: P – mg sen 340 – F = 0;

F = 50 N, m = 20 kg

P = (5 kg)(9.8 m/s2) sen 340 + 50 N; x=

P = 77.4 N

340

140 m

340 mg

140 m = 250 m ; (Trabajo)P = (77.4 N)(250 m) sen340

(Trabajo)P = 19.400 J ΔU = mgh = (5 kg)(9.8 m/s2)(140 m);

ΔU = 6860 J

La diferencia: 19 400 J – 6860 J = 12 540 J es el trabajo hecho contra la fricción.

85



*8-33. Se requiere una fuerza promedio de 600 N para comprimir a 4 cm un resorte helicoidal. ¿Cuál es el valor del trabajo realizado por el resorte? ¿Cuál es el cambio en la energía potencial del resorte comprimido?

600 N

El trabajo del resorte es opuesto a la fuerza de compresión. Trabajo = (–600 N)(0.04 m) = –24.0 J

0.04 m

Trabajo del resorte = – 24.0 J Ahora, U = 0 al inicio, así ΔU = – ( Trabajo)res = –(–24 J); ΔU = +24.0 J

Conservación de la energía (sin fricción) 8-34. Un peso de 18 kg se levanta a 10 ft y después se suelta en caída libre. ¿Cuáles son la energía potencial, la energía cinética y la energía total en: (a) el punto más alto, (b) 3 m sobre el nivel del suelo y (c) en el suelo? Nota: W = mg = (18 kg)(9.8 m/s2) = 176.4 N) (a) Uo = Wh = (176.4 N)(12 m) = 2117 J; Ko = ½mvo2 = 0 ( vo = 0); A 12 m:

Uo = 2120 J

E = Uo + Ko = 2120 J + 0

U = 2120 J; K = 0; y E = 2120 J

(b) U = Wh = (176.4 N)(3 m) = 529 J; K = E – U; K = 2120 – 529 J;

h = 12 m

U = 529 J

K = 1591 J y=3m

A 3 m: U = 529 J; K = 1591 J; y E = 2120 J (c) A 0 m, h = 0 y E es igual: U = 0 J; K = 2120 J; y E = 2120 J

8-35. Un martillo de 4 kg se levanta hasta una altura de 10 m y se deja caer. ¿Cuáles son la energía potencial y la energía cinética del martillo cuando ha caído hasta un punto ubicado a 4 m del nivel del suelo? A 10 m: K = 0 y U = mgh = (4 kg)(9.8 m/s2)(10 m); U = mgh = (4 kg)(9.8 m/s2)(4 m);

U = 157 J;

Entonces, h = 4 m:

86


ET = 0 + 392 J = 392 J

K = ET – U = 392 J – 157 J

U = 157 J y K = 235 J


*8-36. ¿Cuál será la velocidad del martillo del problema 8-35 antes de golpear el suelo? ¿Cuál es la velocidad en el punto localizado a 4 m? En el fondo, U = 0 y ET = 392 J así que K = 392 J – 0 = 392 J; K = ½mv2 = 392 J

v=

2(392 J) 4 kg

v = 14.0 m/s

*8-37. ¿Qué velocidad inicial se debe impartir a una masa de 5 kg para elevarla a una altura de 10 m? ¿Cuál es la energía total en cualquiera de los puntos de su trayectoria? En ausencia de fricción, la energía total en el fondo debe ser igual a la energía total en lo alto: ET = ½mvo2 + 0 = 0 + mgh;

vo2 = 2 gh

v0 = 2 gh = 2(9.8 m/s 2 )(10 m)

v0 = 14.0 m/s2

Arriba: ET = 0 + mgh = (5 kg)(9.8 m/s2)(10 m);

ET = U + K en cualquier punto ET = 490 J

*8-38. Un péndulo de 1 m de longitud tiene en su extremo un peso de 8 kg. ¿Cuánto trabajo se requiere para mover el péndulo desde su punto más bajo hasta una posición horizontal? A partir de consideraciones de energía, halle la velocidad del peso cuando pasa por el punto más bajo en su oscilación. Una fuerza F igual al peso mg debe actuar a través de una distancia igual a la longitud de la cuerda: Trabajo = mgh = (8 kg)(9.8 m/s2)(1 m);

Trabajo = 78.4 J

La energía total en lo alto (mgh) debe ser igual a la energía total en el fondo. (½ mv2) mgh = ½mv2

v = 2 gh = 2(9.8 m/s 2 )(1 m)

v = 4.43 m/s

*8-39. La figura 8-13 ilustra un péndulo balístico. Una pelota de 40 g es golpeada por una masa suspendida de 500 g. Después del impacto, las dos masas se elevan a una distancia vertical de 45 mm. Calcule la velocidad de las masas combinadas en seguida del impacto. Masa total M = 40 g + 500 g = 540 g;

M = 540 g = 0.540 kg

Encuentre vo de la masa total M tal que M se eleve h = 0.045 m: Conservación de la energía: ½Mv2 + 0 = 0 + Mgh;

v = 2 gh = 2(9.8 m/s 2 )(0.045 m)

87


h

v = 0.939 m/s


*8-40. Un trineo de 100 lb se desliza a partir del reposo en la parte más alta de un plano inclinado a 37º. La altura original es de 80 ft. En ausencia de fricción, ¿cuál es la velocidad del trineo cuando llega al punto más bajo

h

del plano inclinado? (No depende de algún ángulo o peso). Conservación de la energía: 0 + mgh = ½mv2 + 0

v = 2 gh = 2(32 ft/s 2 )(80 ft)

v = 71.6 ft/s

*8-41. En la figura 8-14, un bloque de 8 kg tiene una velocidad inicial de 7 m/s en su descenso. Ignore la fricción y calcule la velocidad cuando llega al punto B. 7 m/s

½mvo2 + mgho = ½mvf2 + mghf vo2 + 2gho = vf2 + 0; 2 0

C

20 m

vf2 = vo2 + 2gho

8m

B

2

v f = v + 2 gh0 = (7 m/s) + 2(9.8 m/s)(20 m) ; vf = 21.0 m/s

*8-42. ¿Cuál es la velocidad del bloque de 8 kg en el punto C en el problema 8-39? (Observe hf ≠ 0 en este momento) ½mvo2 + mgho = ½mvf2 + mghf ;

vo2 + 2gho = vf2 + 2ghf ;

vf2 = vo2 + 2gho – 2ghf

v f = v02 + 2 g (h0 ! h f ) = (7 m/s) 2 + 2(9.8 m/s)(20 m - 8 m) ;

vf = 16.9 m/s *8-43. Una muchacha que pesa 80 lb está sentada en un columpio cuyo peso es insignificante. Si se le imparte una velocidad inicial de 20 ft/s, ¿a qué altura se elevará? Energía de conservación: 0 + mgh = ½mv2 + 0;

h=

v2 (20 ft/s) = 2 g 2(32 ft/s 2 ) h = 6.25 ft

88


h


Energía y fuerzas de fricción *8-44. Un trineo de 60 kg se desliza al fondo de una pendiente de 30 m de longitud y 25º de inclinación. Una fuerza de fricción de 100 N actúa en toda esa distancia. ¿Cuál es la energía total en la cumbre de la pendiente y al pie de la misma? ¿Cuál es la velocidad que alcanza el trineo en el punto más bajo?

F

h = (20 m)sen 250 = 8.45 m; En la cumbre: U = mgh; K = 0 ET = U + K = mgh + 0; ET = (60 kg)(9.8 m/s2)(8.45 m)

h

Energía total en la cumbre: ET = 4969 J

N s = 20 m

250

mg 25

0

Cons. de e: ET(cumbre) = Kf (fondo)+Pérdidas Pérdida = (Trabajo)f = f x; Pérdida = (100 N)(30 m) = 3000 J Cons. de e: 4960 J = ½(60 kg)v2 + 3000 J, de donde: v = 8.10 m/s *8-45. Un bloque de 500 g cae desde la parte más alta de un plano inclinado a 30º y se desliza 160 cm hasta el fondo. Una fuerza de fricción constante de 0.9 N actúa durante la caída. ¿Cuál es la energía total en la cumbre? ¿Qué trabajo ha realizado la fricción? ¿Cuál es la velocidad en el punto más bajo?

F

W = mg = (0.5 kg)(9.8 m/s2) = 4.90 N 0

h = (1.60 m) sen 30 = 0.800 m;

E=U+K

E = Wh + 0; E = (4.90 N)(0.80 m);

E = 3.92 J

h

300

(Trabajo)F = f x = (-0.900 N)(1.60 m);

N s = 160 m W 300

(Trabajo)F = -1.44 J (trabajo negativo) Energía total en la cumbre = energía total al fondo + trabajado realizado contra fricción 3.92 J = ½mv2 + f x ; Resolviendo para v se obtiene:

3.92 J = ½(0.5 kg) v2 + 1.44 J v = 3.15 m/s

Note que el trabajo realizado POR la fricción es negativo, pero cuando aplica la conservación de la energía usa el trabajo CONTRA la fricción (+1.44 J) para calcular la PÉRDIDA.

89



*8-46. ¿Qué velocidad inicial se debe impartir al bloque de 500 g del problema 8-45 para que apenas logre llegar al punto más alto de la misma pendiente? Del prob. 8-45:

F = 0.9 N, h = 0.8 m, W = 4.90 N

½mvo2 = Whf + f x = 3.92 J + 1.44 J;

x = 160 m N

½mvo2 =5.36 J h

2(5.36 J) 2(5.36 J) ; v0 = = m 0.500 kg

F

300

300

W vo = 4.63 m/s

*8-47. Un carro de 64 lb empieza a subir por un plano inclinado a 37º con una velocidad inicial de 60 ft/s. Si queda inmóvil después de una distancia de 70 ft, ¿cuánta energía se perdió a causa de la fricción? x = 70 ft

W = 64 lb; m = (64/32) = 2 slugs; h = 70 sen 370 = 42.1 m ½mvo2 = Whf + Pérdida;

N

Pérdida = ½mvo2 – Whf

Pérdida = ½(2 slugs)(60 ft/s)2 – (64 lb)(42.1 ft) Pérdida = 3600 ft lb – 2240 ft lb;

h

F 300

vo = 60 ft/s

300

Pérdida = 904 ft lb

W = 64 lb

*8-48. Una pelota de 0.4 kg cae una distancia vertical de 40 m y rebota hasta una altura de 16 m. ¿Cuánta energía se perdió en el choque con el suelo? Conservación de la energía. mgho = mghf + Pérdida;

Pérdida = mgho – mghf = mg(ho – hf)

Pérdida = (0.4 kg)(9.8 m/s2)(40 m – 16 m) Pérdida = 94.1 J

90



*8-49. A un trineo de 4 kg se le imparte una velocidad inicial de 10 m/s en la cumbre de una pendiente de 34º. Si µk = 0.2, ¿qué distancia habrá recorrido el trineo cuando su velocidad alcance los 30 m/s? mgho + ½mvo2 = 0 + ½mvf2 + F x 0

mg(x sen 34 ) – F x =

½mvf2 –

½mvo2

y

10 m/s

ho = x sen 340

N 0

; F = µk mg cos 34

x

mg(x sen 340) – (µkmg cos 340)x = ½mvf2 – ½mvo2

30 m/s

(g sen 340 – µkg cos 340)x = ½vf2 – ½vo; x=

x=

F ho

340

340 mg

v 2f ! v02 2 g (sen340 ! µ k cos 340 )

(30 m/s) 2 ! (10 m/s) 2 2(9.8 m/s 2 )(sen340 ! 0.2 cos 340 ) x = 104 m

*8-50. Suponga que la masa deslizante de la figura 8-14 es de 6 kg y que se pierden 300 J de energía en el trabajo realizado para contrarrestar la fricción. ¿Cuál es la velocidad cuando la masa llega al punto C? ½mvo2 + mgho = ½mvc2 + mghf + 300 J

7 m/s

½mvc2 = ½mvo2 + mgho – mghc – 300 J vc2 = vo2 + 2g(ho – hc) –

C

20 m

2(300 J) m

B

v0 = (7 m/s) 2 + 2(9.8 m/s 2 )(20 m ! 8 m) !

8m

2(300 J) ; 6 kg

vc = 13.6 m/s *8-51. El conductor de un autobús aplica los frenos para evitar un accidente. Los neumáticos dejan una marca de 80 ft de largo. Si µk = 0.7, ¿a qué velocidad circulaba el vehículo antes que el conductor aplicara los frenos? F = µkmg;

Trabajo = F x = µkmgx

Trabajo = ΔK;

–µkmgs = ½mvf2 –0½mvo2

v0 = 2 µk gx = 2(0.7)(32 ft/s 2 )(80 ft)

91


vo = ?

F = µk N

vf = 0

s = 80 ft vo = 59.9 ft/s


Potencia 8-52. La correa transportadora de una estación automática levanta 500 toneladas de mineral hasta una altura de 90 ft en 1 h. ¿Qué potencia promedio se requiere para esto, en caballos de fuerza? (W = 500 tons = 1 × 106 lb; 1 hp = 550 ft lb/s)

Potencia =

Trabajo Wh = ; t t

P=

(1 ! 106 lb)(90 ft) ; 3600 s

P = 25 000 ft lb/s = 45.5 hp 8-53. Una masa de 40 kg se eleva hasta 20 m en 3 s. ¿Qué potencia promedio se ha utilizado?

P=

Fh mgh = ; t t

P=

(40 kg)(9.8 m/s 2 )(20 m) ; 3s P = 2610 W

8-54. Un ascensor de 300 kg es izado a 100 m en 2 min. ¿Cuál es la potencia empleada?

P=

Fh mgh = ; t t

P=

(300 kg)(9.8 m/s 2 )(100 m) ; 120 s P = 2.45 kW

8-55. Un motor de 90 kW eleva una carga de 1200 kg. ¿Cuál es la velocidad promedio durante el ascenso? P=

Fh = Fv ; t

v=

P P 90, 000 W = = ; F mg (1200 kg)(9.8 m/s 2 ) v = 7.65 m/s

92



8-56. ¿A qué altura se puede elevar una masa de 100 kg en 3 s con un motor de 400 W?

P=

Fh mgh Pt (400 W)(3 s) = ; h= = ; r t mg (100 kg)(9.8 m/s 2 ) h = 0.122 m

8-57. Un estudiante de 800 N sube corriendo una escalera y asciende 6 m en 8 s. ¿Cuál es la potencia promedio que ha desarrollado? P=

Fh Wh (800 N)(6 m) = ; P= ; r t 8s

P = 600 W *8-58. Una lancha de carreras tiene que desarrollar 120 hp para desplazarse a una velocidad constante de 15 ft/s sobre el agua. ¿Cuál es la fuerza de resistencia promedio que puede atribuirse al agua? ! 550 ft lb/s " P = (120 hp) # $ = 66,000 ft lb/s; % 1 hp & F=

P = Fv

P 66, 000 ft lb/s = ; v 15 ft/s

F = 4400 lb

Problemas adicionales *8-59. Un trabajador saca de un pozo un cubo de 20 kg a velocidad constante y realiza un trabajo de 8 kJ. ¿Cuál es la profundidad del pozo? Trabajo = Fh ;

h=

Trabajo 8000 J = ; mg (20 kg)(9.8 m/s 2 ) h = 40.8 m

93



*8-60. Una fuerza horizontal de 200 N empuja horizontalmente una caja de 800 N hasta una distancia de 6 m a velocidad constante. ¿Qué trabajo ha realizado esa fuerza de 200 N? ¿Cuál es el trabajo resultante? Trabajo = Fs = (200 N)(6 m);

Trabajo = 1200 J

La velocidad es constante, así FR = 0 y Trabajo resultante = 0 J *8-61. Una masa de 10 kg es izada a 20 m y luego se suelta. ¿Cuál es la energía total del sistema? ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando se encuentra a 5 m del suelo? En ausencia de fricción, la energía total es constante, así que: E (arriba) = E (5 m) E = mgh + 0 = (10 kg)(9.8 m/s2)(20 m); Cuando h = 5 m,

E = 1960 J

(10 kg)(9.8 m/s2)(5 m) + ½(10 kg)vf2 = 1960 J

490 J + (5 kg)vf2 = 1960 J; vf = 17.1 m/s *8-62. Una caja se levanta a velocidad constante de 5 m/s por un motor cuya potencia de salida es de 4 kW. ¿Cuál es la masa de la caja?

P = F v = mgv ;

m=

P 4000 W = ; gv (9.8 m/s 2 )(5 m/s) m = 81.6 kg

*8-63. Una montaña rusa alcanza una altura máxima de 100 ft. ¿Cuál es la velocidad máxima en millas por hora cuando llega a su punto más bajo? (Conservación de la energía) mgh + 0 = 0 + ½mv2 ;

v = 2 gh = 2(32 ft/s 2 )(100 ft) ; v = 80.0 ft/s o 54.4 mi/h

94



*8-64. Una fuerza de 20 N arrastra un bloque de 8 kg hasta una distancia horizontal de 40 m mediante una cuerda que forma un ángulo de 37º con la horizontal. Suponga que µk = 0.2 y que el tiempo requerido es 1 min. ¿Qué trabajo resultante se ha realizado? Trabajo resultante = trabajo de la fuerza resultante FR = (20 N)cos 37 – F)

F = µk N

ΣFy = 0

40 m

N + 20 sen370 – (8 kg)(9.8 m/s2) = 0;

20 N

N

37

F

N = 66.4 N; F = 0.2(66.4 N) = 13.3 N

mg

0

FR = 20 cos 37 – 13.3 N = 2.70 N; Trabajo = FR x = (2.70 N)(40 m); Trabajo = 108 J *8-65. ¿Cuál es la velocidad del bloque anterior al final del recorrido? ¿Qué potencia resultante se requirió? (Suponga que el bloque parte del reposo, entonces aplique el teorema de trabajo–energía.) ! 2(108 J) " Trabajo = ½mvf2 – ½mvo2; 108 J = ½(8 kg)v2 + 0; v = # $; % 8 kg &

v = 5.20 m/s P=

Trabajo 108 J = t 60 s

P = 1.80 W *8-66. Un esquiador de 70 kg desciende por una pendiente de 30 m que forma un ángulo de 28º con la horizontal. Suponga que µk = 0.2. ¿Cuál es la velocidad del esquiador cuando llega al pie de la pendiente? mgho + ½mvo2 = 0 + ½mvf2 + F x

y

N

ho = s sen 280

30 m

mg(s sen 280) – F x = ½mvf2 – ½mvo2 ; F = µk mg cos 280 mg(s sen 280) – (µkmg cos 280)s = ½mvf2

vf

(g sen 280 – µkg cos 280)s = ½vf2; v 2f = 2 gs (sen 280 ! µ k cos 280 )

F 280

ho

280

0

mg

v f = 2(9.8 m/s 2 )(30 m)(sin 280 ! 0.2 cos 280 ) vf = 13.1 m/s

95



*8-67. Una pulga de 0.3 mg puede saltar hasta una altura de 3 cm. ¿Cuál debe ser su velocidad cuando inicia el salto? ¿En realidad es necesario conocer la masa de la pulga? ½mvo2 = mgh; v0 = 2 gh = 2(9.8 m/s 2 )(0.03 m) ; v = 0.767 m/s No es necesario conocer la masa. *8-68. Una montaña rusa alcanza su punto más bajo y apenas tiene fuerza para alcanzar la siguiente cuesta, 15 m más arriba. ¿Cuál es la velocidad mínima en el punto más bajo de su recorrido? ½mvo2 = mgh; v0 = 2 gh = 2(9.8 m/s 2 )(15 m) ; v = 17.1 m/s *8-69. El martillo de un martinete para hincar pilotes pesa 800 lb y cae una distancia de 16 ft antes de golpear. El impacto hinca el pilote 6 in más adentro del suelo. ¿Cuál fue la fuerza promedio para hincar el pilote? m = W/g = (800/32) = 25.0 slugs; s = 6 in = 0.5 ft El trabajo del martinete Fx está determinado por el cambio en la energía cinética; así necesita encontrar la velocidad de la rueda motriz, justo antes de golpear el poste: ½mvf2 = mgho; v f = 2 gh0 = 2(32 ft/s 2 )(16 ft) ;

v = 32.0 ft/s

Trabajo para detener la rueda motriz = cambio en la energía cinética de la rueda F x = ½mvf2 – ½mvo2;

F =!

mv02 (25 slugs)(32 ft/s) 2 =! ; 2s 2(0.5 ft) F = –25 600 lb

96



Preguntas para la reflexión crítica *8-70. Suponga que el agua de la cascada de la figura 8-15 se lleva a una turbina ubicada en la base de la caída, a una distancia vertical de 94 m (308 ft). Suponga también que 20 % de la energía disponible se pierde debido a la fricción y a otras fuerzas de resistencia. Si entran en la turbina 3000 kg de agua por min, ¿cuál es su potencia de salida? La energía máxima es igual a la energía potencial en lo alto de la cascada: mgh Así, la potencia máxima: P =

mgh ; m = 3000 kg and t = 60 s t

Para 80% de eficiencia: Psal =

y

(0.8)mgh (0.8)(3000 kg)(9.8 m/s 2 )(94 m) = t 60 s Psal = 12.3 W

*8-71. Una tabla colocada como rampa se utiliza para descargar cajas de clavos de la parte posterior de un camión. La altura de la plataforma del camión es de 60 cm y la tabla tiene 1.2 m de longitud. Suponga que µk = 0.4 y a las cajas se les imparte un empujón inicial para que empiecen a descender. ¿Cuál es la velocidad de las cajas cuando llegan al suelo? ¿Qué velocidad inicial necesitarían al llegar al suelo para subir de nuevo deslizándose hasta la plataforma del camión? Si no existiera fricción, ¿estas dos preguntas tendrían la misma respuesta? [h = 0.6 m; s = 1.2 m ; sen θ = 0.6/1.2; (a)

F

0

θ = 30 ]

(Trabajo)F = F x = µkN = µk mg cos 300 s

h=0.6 m

θ

mgh = ½mv2 + µk mg cos 300 s; 2gh = v2 +2µkgs cos 300

N x = 1.20 m mg θ

v2 = 2gh – 2gµk s cos 300 = 2(9.8 m/s2)(0.6 m) – 2(9.8 m/s2)(0.4)(1.2 m)(0.866) v2 = 11.76 – 8.15 = 3.61 m2/s2;

v = 3.61 m 2 /s 2 ;

v = 1.90 m/s

(b) Al ir hacia arriba del plano, la velocidad inicial proporciona la energía para sobrepasar la fuerza de fricción la cual podría dirigirse ahora HACIA ABAJO del plano. ½mv2 = mgh + µkmg cos 300 s (Note la diferencia en la ecuación con la de arriba.) v2 = 2gh +2µkgs cos 300 = (2)(9.8)(0.6) + 2(0.4)(9.8)(1.2)(0.866) v2 = 11.76 + 8.15 = 19.9 m2/s2;

97


v = 19.9 m 2 /s 2 ;

v = 4.46 m/s


En el caso del descenso, la energía potencial inicial se perdió a fricción y la restante apareció en la forma de una velocidad pequeña en el fondo. En el ascenso la energía cinética inicial (velocidad alta) se utilizó en ganar altura, pero se necesitó más energía para superar la fricción. En ausencia de fricción, la altura es transferida a velocidad al ir hacia abajo y la velocidad se transfiere al ir hacia arriba. Así, en ausencia de fricción, se encontraría la misma velocidad para cada uno de los casos anteriores. (v = 3.43 m/s) *8-72. Una caja fuerte de 96 lb es empujada para que suba una distancia de 12 ft por un plano inclinado a 30º con fricción insignificante. ¿Cuál es el incremento de la energía potencial? ¿Se produciría el mismo cambio de energía potencial si una fuerza de fricción de 10 lb se opusiera al movimiento ascendente por el plano? ¿Por qué? ¿Se requeriría el mismo trabajo? Nota: h = 12 sen 30° = 6.00 pies. (a) U = Wh = (96 lb)(6 ft)

U = 576 ft lb

x = 12 ft N

(b) U sólo es una función del peso y altura, de modo que ocurre el mismo cambio en energía potencial sin importar

h=6 ft

menos fricción o la trayectoria recorrida.

300

F 30

mg 0

(c) Con una fuerza de fricción de 10 lb, se necesita un trabajo de (10 lb)(12 ft) = 120 ft lb además del trabajo de 576 ft lb necesarios para levantar el peso. El trabajo total es 696 ft lb.

98



*8-73. Una pelota de 2 kg está suspendida de un cable de 3 m unido a la pared por medio de una alcayata. Entonces cambiamos de posición la pelota, de modo que el cable forme un ángulo de 70º con la pared, y luego la soltamos. Si durante la colisión con la pared se pierden 10 J de energía, ¿cuál es el ángulo máximo entre el cable y la pared después del primer rebote? yo = (3 m) cos 700 = 1.026 m; ho = 3 m – 1.026 m;

3m

ho = 1.974 m

700

yo

mgho = mghf + 10 J mghf = mgho – 10 J

3m

θ

yf

ho

10 J h f = 1.974 m ! ; (2 kg)(9.8 m/s 2 )

hf

hf = 1.464 m ; yf = 3 m – 1.464 m = 1.536 m

cos ! =

yf L

=

1.536 m ; 3.00 m

θ = 59.20 *8-74. Una pelota de 3 kg se deja caer desde una altura de 12 m y alcanza una velocidad de 10 m/s inmediatamente antes de llegar al suelo. ¿Cuál es la fuerza retardataria promedio ocasionada por la presencia del aire? Si la pelota rebota sobre el suelo con una velocidad de 8 m/s, ¿cuánta energía habrá perdido en el impacto? ¿A qué altura rebotará la pelota si la resistencia promedio del aire es la misma que en el caso anterior? Primero aplique la conservación de la energía a la parte de 8 m/s 12 m

caída en el problema.

hf

mgho = ½mv2 + F x ; F x = mgho – ½mv2 F (12 m) = (3 kg)(9.8 m/s2)(12 m) – ½(3 kg)(10 m/s)2;

F = 16.9 N

10 m/s

La pérdida o trabajo realizado debido al impacto es igual al cambio en K: Pérdida = Trabajo = ½mvf2 – ½mv20 Trabajo = ½(3 kg)(8 m/s)2 – ½(3 kg)(10 m/s)2; Trabajo = – 54 J; Pérdida por impacto = 54 J

99



Para encontrar la altura del rebote, aplica la conservación de la energía con pérdida por el aire y el impacto: mgho = mghf + (F x)aire + Pérdida por impacto;

( x = 12 m + hf )

(3 kg)(9.8 m/s2)(12 m) = (3kg)(9.8 m/s2)hf + (16.9 N)(12 m + hf) + 54 J 353 J = (29.4 N)hf + 203 J + (16.9 N)hf + 54 J; hf = 2.07 m *8-75. Considere una montaña rusa donde la primera cuesta tiene una altura de 34 m. Si en la montaña rusa se pierde sólo 8% de la energía entre las dos primeras cuestas, ¿cuál es la máxima altura posible para la segunda cuesta? mgho = mghf + 0.08 mgho;

hf = (1 – 0.08)ho = 0.92 (34 m) hf = 31.3 m

*8-76. Un bloque de 4 kg se comprime contra un resorte en la parte inferior del plano inclinado que se muestra en la figura 8-16. Se requirió una fuerza de 4 000 N para comprimir el resorte una distancia de 6 cm. Si el resorte se suelta y el coeficiente de fricción es de 0.4, ¿hasta qué altura del plano inclinado se moverá el bloque? Uo = Trabajo para comprimir el resorte = (4000 N)(0.06 m) = 240 J F x = µkmg cos 300 x

U(resorte) = mgh + F x;

N

2

F x = (0.4)(4 kg)(9.8 m/s )(0.866) x = (13.6 N) x

F

240 J = (4 kg)(9.8 m/s2)h + (13.6 N) x h = x sen 300 = 0.5 x

300

h

300

240 J = (4 kg)(9.8 m/s2)(0.5x) + (13.6 N) x;

mg

240 J = (19.6 N) x + (13.6 N) x (33.2 N) x = 240 J

100


o

x = 7.23 m


Cap 8 Tippens

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