Tippens Fisica 7e Soluciones 05

Capítulo 5. Momento de torsión y equilibrio rotacional Conversión de unidades 5-1. Dibuje el brazo del momento de la fuerza F sobre un eje en el punto A de la figura 5-11a. ¿Cuál es la magnitud del brazo del momento? Se dibujan perpendiculares a la línea de acción: rA = (2 ft) sen 250

250

rA A

rA = 0.845 ft

2 ft

B

3 ft

F

250

r B

5-2. Calcule el brazo del momento sobre el eje B de la figura 5-11a. (Véase la figura anterior.) rB = (3 ft) sen 250

rB = 1.27 ft

5-3. Calcule el brazo del momento si el eje de rotación está en el punto A de la figura 5-11b. ¿Cuál es la magnitud del brazo del momento? 0

rB = (2 m) sen 60

F

rB = 1.73 m

5-4. Halle el brazo del momento en el eje B de la figura 5-11b. rB = (5 m) sen 300

2m A

600

5m

B

300

rA

rB

rB = 2.50 m

Momento de torsión 5-5. Si la fuerza F de la figura 5-11a es igual a 80 lb, ¿cuál es el momento de torsión resultante en el eje A (ignore el peso de la varilla)? ¿Cuál es el del eje B? Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que τA es – y τB es +. (a) τA = (80 lb)(0.845 ft) = –67.6 lb ft

(b) τB = (80 lb)(1.27 ft) = +101 lb ft

5-6. La fuerza F ilustrada en la figura 5-11b es de 400 N y el peso del hierro del ángulo es insignificante. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno de los ejes A y B? Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que τA es – y τB es +. (a) τA = (400 N)(1.732 m) = +693 N m;

39

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5

(b) τB = (400 N)(2.50 m) = –1000 N m

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5-7. Una correa de cuero enrollada en una polea de 20 cm de diámetro. Se aplica a la correa una fuerza de 60 N. ¿Cuál es el momento de torsión en el centro del eje? r = ½D = 10 cm;

F

τ = (60 N)(0.10 m) = +6.00 N m

5-8. La varilla liviana de la figura 5-12 tiene 60 cm de longitud y gira libre alrededor del punto A. Halle la magnitud y el signo del momento de torsión provocado por la fuerza de 200 N, si el ángulo θ es de (a) 90º, (b) 60º, (c) 30º y (d) 0º.

τ = (200 N) (0.60 m) sen θ para todos los ángulos: (a) τ = 120 N m

(b) τ = 104 N m

(b) τ = 60 N m

(d) τ = 0

60 cm

A

200 N

θ

θ

r

5-9. Una persona que pesa 650 N decide pasear en bicicleta. Los pedales giran con un radio de 40 cm. Si todo el peso actúa en cada movimiento descendente del pedal, ¿cuál es el momento de torsión máximo?

τ = (250 N)(0.40 m)

τ = 260 N m

5-10. Una correa corre en dos poleas. La de tracción: 10 cm de diámetro, la de salida un diámetro de 20 cm. Si la tensión en la parte superior de la correa es de 50 N en el borde de cada polea, ¿cuáles son los momentos de torsión de entrada y de salida? Torsión a la entrada = (50 N)(0.10 m) = 5 N m Torsión a la salida = (50 N)(0.20 m) = 10 N m

Momento de torsión resultante 5-11. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en A de la figura 5-13? Ignore la barra. 15 N

Στ = +(30 N)(6 m) - (15 N)(2 m) – (20 N)(3 m) τ = 90.0 N m, en sentido contrario al reloj.

4m 30 N

40


3m

2m

A

20 N


5-12. Calcule el momento de torsión resultante en la figura 5-13 si el eje se mueve hasta el extremo izquierdo de la barra.

15 N

A 4m

Στ = +(30 N)(0) + (15 N)(4 m) – (20 N)(9 m)

3m

2m

30 N

τ = –120 N m, en sentido contrario al reloj.

20 N

5-13. ¿Qué fuerza horizontal se aplica en el punto A de la figura 5-11b para que el momento de torsión resultante en B sea igual a cero si la fuerza F = 80 N?

F = 80 N

0

τ = P (2 m) – (80 N)(5 m) (sen 30 ) = 0 2 P = 200 N;

5m

B

300

P = 100 N

2m

rB

P

5-14. Dos ruedas de 60 cm y 20 cm de diámetro giran sobre el mismo eje, figura 5-14. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno de un eje central con los pesos ahí indicados? r1 = ½(60 cm) = 0.30 m; r2 = ½(30 cm) = 0.15 m

τ = (200 N)(0.30 m) – (150 N)(0.15 m) = 37.5 N m;

τ = 37.5 N m, contra reloj

5-15. Suponga que retira el peso de 150 N de la rueda más pequeña de la figura 5-14. ¿Qué nuevo peso puede colgar para obtener un momento de torsión resultante de cero?

τ = (200 N)(0.30 m) – W (0.15 m) = 0;

W = 400 N

5-16. Calcule el momento de torsión resultante de la esquina A.

80 N

B

0

Στ = +(160 N)(0.60 m) sen 40 – (80 N)(0.20 m)

160 N

20 cm 60 cm

Στ = 61.7 N m – 16.0 N m = 45.7 N m

A

τR = 45.7 N m

400

400

C

r

5-17. Halle el momento de torsión resultante de C en la figura 5-15. Στ = – (80 N)(0.20 m) = –16 N m 20 cm

80 N 60 cm

160 N

r 400

C

41



*5-18. Halle el momento de torsión resultante del eje B. 0

Fx = 160 cos 40 ;

Fy = 160 sen 40

0

B

160 N

80 N

20 cm

Fy

60 cm

Στ = – (123 N)(0.2 m) + (103 N)(0.6 m) = 37.2 N m

400

Fx

Equilibrio 5-19. Una regla de material uniforme se ha equilibrado en su punto medio en un punto de apoyo. Una pesa de 60 N cuelga a 30 cm. ¿En qué punto debe colgar una pesa de 40 N para equilibrar el sistema? (El peso de 60 N está a 20 cm del eje.) 20 cm

Στ = 0; (60 N)(20 cm) – (40 N)x = 0 40 x = 1200 N cm

o x = 30 cm:

x

60 N

40 N

El peso debe colgar en la marca de 80 cm.

5-20. En una regla se colocan pesas de 10 N, 20 N y 30 N en las marcas de 20, 40 y 60 cm,. La regla se balancea sobre un solo apoyo en su punto medio. ¿En qué punto habrá que agregar una pesa de 5 N para obtener el equilibrio? 10 cm

Στ = (10 N)(30 cm) + (20 N)(10 cm)

30 cm

x

20 N

30 N

– (30 N)(10 cm) – (5 N) x = 0 5 x = (300 + 200 –300) o

x = 40 cm

El peso de 5 N debe estar a los 90 cm.

10 N

5N

5-21. Una tabla de 8 m con peso despreciable está sostenida a 2 m del extremo derecho, donde se le aplica un peso de 50 N. ¿Qué fuerza descendente se tendrá que ejercer en el extremo izquierdo para alcanzar el equilibrio? F

Στ = 0: F (6 m) – (50 N)(2 m) = 0 6 F = 100 N m

o

6m

2m

F = 16.7 N

5-22. Un poste de 4 m usado por dos cazadores para cargar un venado de 800 N que cuelga50a N 1.5 m del extremo izquierdo. ¿Cuáles son las fuerzas ascendentes para cargarlo? Στ = A (0) – (800 N)(1.5 m) + B (4.0 m) = 0

A

4B = 1200 N o B = 300 N

1.5 m

ΣFy = A + B – 800 lb = 0;

42

A = 500 N


Eje

B 2.5 m 800 N


5-23. Suponga que la barra de la figura 5-16 tiene un peso despreciable. Halle las fuerzas F y A considerando que el sistema está en equilibrio. Στ = (80 N)(1.20 m) – F (0.90 m) = 0;

F

F = 107 N

30 cm

Eje

90 cm

ΣFy = F – A – 80 N = 0; A = 107 N – 80 N = 26.7 N F = 107 N,

80 N

A = 26.7 N

A

5-24. ¿Cuáles deben ser las fuerzas F1 y F2 para lograr el equilibrio en la figura 5-17? F1 Στ = (90 lb)(5 ft) – F2 (4 ft) – (20 lb)(5 ft) = 0;

4 ft

5 ft

F2 = 87.5 lb ΣFy = F1 – F2 – 20 lb – 90 lb = 0 F1 = F2 +110 lb = 87.5 lb + 110 lb, F1 = 198 lb

Eje

90 lb

1 ft

F2 20 lb

5-25. Considere la barra ligera sostenida como indica la figura 5-18. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes A y B? ΣτΑ = B (11 m) – (60 N)(3 m) – (40 N)( 9 m) = 0; B = 49.1 N

B

A

ΣFy = A + B – 40 N – 60 N = 0

A = 100 N – B = 100 N – 49.1 N;

2m

6m

3m Eje 60 N

B = 50.9 N

40 N

5-26. Una correa en V enrollada en una polea de 16 pulg de diámetro. Requiere un momento de torsión resultante de 4 lb ft, ¿qué fuerza debe aplicar a la correa? R = ½(16 in) = 8 in R = (8/12 ft) = 0.667 ft

τ = F (0.667 ft) = 4 lb ft;

F

F = 6.00 lb

5-27. Un puente pesa 4500 N, tiene 20 m de longitud y soportes en ambos extremos. Halle las fuerzas que ejerce en cada extremo un tractor de 1600 N a 8 m del extremo izquierdo. ΣτΑ = B (20 m) – (1600 N)(8 m) – (4500 N)( 10 m) = 0; B = 2890 N

ΣFy = A + B – 1600 N – 4500 N = 0

A = 6100 N – B = 6100 N – 2890 N;

B = 3210 N

B

A 8m

2m

Eje 1600 N

43


10 m

4500 N


5-28. Una plataforma de 10 ft que pesa 40 lb la sostienen escaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 lb está a 4 ft del extremo derecho. Encuentre las fuerzas que ejercen los soportes. ΣτΑ = B(10 ft) – (40 lb)(5 ft) – (180 lb)( 6 ft) = 0; B = 128 lb

1 ft

5 ft

ΣFy = A + B – 40 lb – 180 lb = 0

A = 220 lb – B = 220 lb – 128 lb;

B

A 4 ft

Eje

A = 92.0 lb

40 lb

180 lb

*5-29. Una barra horizontal de 6 m, de 400 N, gira sobre un pivote fijo, véase figura 5-19. La barra sujeta un cable a 4.5 m de la pared y sostiene un peso de 1200 N en el extremo derecho. ¿Cuál es la tensión en el cable? 0

0

0

0

φ = 90 – 37 = 53 ; Ty = T sen 53

Ty

3m

ΣτΑ = (T sen 530)(4.5 m) – (400 N)(3 m) – (1200 N)(6 m) = 0; 3.59 T = 1200 N + 7200 N;

Ty

V Eje

H

1.5 m

1.5 m 400 N

T = 2340 N

1200 N

*5-30. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la barra? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de esa fuerza? ΣFx = H – Tx = 0;

H – T cos 530 = 0;

H = (2340 N) cos 530;

H = 1408 N

ΣFy = V + T sen 530 – 400 N – 1200 N = 0; V = 1600 N – (2340 N) sen 530 = –269 N Así, las componentes son:

H = 1408 N y V = –269 N. La resultante es:

R = H 2 + V 2 = 1434 N; tan! =

-269 ! =10.80 SE 1408

R = 1434 N, 349.20

Centro de gravedad 5-31. Una barra con longitud de 6 m pesa 30 N. De su extremo izquierdo pende una pesa de 50 N y en el derecho se aplica una fuerza de 20 N. ¿A qué distancia del extremo izquierdo debe aplicar una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio? ΣFy = F – 50 N – 30 N – 20 N = 0;

F = 100 N

Στ = F x – (30 N)(3 m) – (20 N)(6 m) = 0 (100 N) x = 210 N m;

x = 2.10 m

F x

Eje

3m 50 N

44


B

3m 30 N

20 N


5-32. Una esfera de 40 N y otra de 12 N unidas por una varilla ligera de 200 mm de longitud. ¿A qué distancia del punto medio de la esfera de 40 N está el centro de gravedad? ΣFy = F – 40 N – 12 N = 0; F = 52 N Στ = F x – (40 N)(0) – (12 N)(0.20 m) = 0 (52 N) x = 2.40 N m;

x = 0.0462 m

or

F

x

200 mm 40 N

x = 46.2 mm

12 N

5-33. Pesas de 2, 5, 8 y 10 N penden de una varilla ligera de 10 m a distancias de 2, 4, 6 y 8 m del extremo izquierdo. ¿A qué distancia del extremo izquierdo está el centro de gravedad? ΣFy = F – 10 N – 8 N – 5 N – 2 N = 0;

F = 25 N

Fx – (2 N)(2 m) – (5 N)(4 m) – (8 N)(6 m) – (10 N)(8 m) = 0 (25 N) x = 152 N m;

F

x 2m

2m 2m

x = 6.08 m 2N

5N

2m 2m

8N

10 N

5-34. Calcule el centro de gravedad de un martillo si la cabeza de metal pesa 12 lb y el mango de 32 in que la sostiene pesa 2 lb. Suponga que la construcción y el peso del mango son uniformes. ΣFy = F – 2 lb – 12 lb = 0;

Fx – (12 lb)(0) – (2 lb)(16 in) = 0; (14 lb) x = 32 lb in;

F

x

F = 14 lb

16 in

Fx = 32 lb in 12 lb

x = 2.29 in de la cabeza.

16 in

2 lb

Problemas adicionales 5-35. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno del pivote de la figura 5-20?

τ = (80 N)(0.6 m) – (200 N)(0.4 m) sen 400 = 48.0 N m – 51.4 N m;

60 cm 80 N

τ = – 3.42 N m

r

400 400

200 N 40 cm

5.36 ¿Con qué fuerza horizontal, aplicada al extremo izquierdo de la varilla, figura 5-20, se llega al equilibrio rotacional? Del problema 5-33: τ = - 3.42 N m.

F

80 N

Así, si Στ = 0, entonces se debe adicionar la torsión de +3.42 N.

45


r

400 40 cm


F (0.6 m) cos 400 = +3.45 N m;

46

F = 7.45 N



5-37. Pesas de 100, 200 y 500 N colocadas sobre una tabla ligera que descansa en dos soportes, como se aprecia en la figura 5-21. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes? Στ = (100 N)(2 m) + B(8 m)

A

– (200 N)(3 m) – (500 N)(6 m) = 0;

100 N

A = 375 N

Las fuerzas ejercidas por los soportes son:

3m

2m

Eje

ΣFy = A + B – 100 N – 200 N – 500 N = 0 A = 800 N – B = 800 N – 425 N;

3m

2m

B = 425 N

B

A = 375 N y

200 N

500 N

B = 425 N

5-38. Una viga de acero de 8 m pesa 2400 N sostenida a 3 m del extremo derecho. Si se coloca un peso de 9000 N en el extremo derecho, ¿qué fuerza se debe aplicar en el extremo izquierdo para equilibrar el sistema?

F 1m

4m

ΣτΑ = A (5 m) + (2400 N)(1 m) – (9000 N)( 3 m) = 0;

3m

A = 4920 N ΣFy = A + B – 2400 N – 9000 N = 0 B = 11 400 N – A = 11 400 N – 4920 N;

A = 6480 N

A

9000 N

2400 N

*5-39. Halle el momento de torsión resultante del punto A, figura 5-22.

B

500

Στ = (70 N)(0.05 m) sen 500 – (50 N)(0.16 m) sen 550

5 cm

70 N

Στ = 2.68 N m – 6.55 N m = –3.87 N m

A

r

Στ = –3.87 N m

16 cm 50 N

55

*5-40. Halle el momento de torsión resultante del punto B, figura 5-22. Στ = (70 N)(0) – (50 N)(a + b) ;

B

Primero encuentre a y b.

0

r 0

500

0

a = (0.05 m) cos 50 = 0.0231 m; b = (0.16 m) sen 55 = 0.131 m

5 cm

70 N

a

Στ = – (50 N)(0.0231 m + 0.131 m) = –8.16 N m Στ = –8.16 N m

16 cm 50 N

47


55

b

0


Preguntas para la reflexión crítica *5-41. Una caja de 30 lb y otra de 50 están en extremos opuestos de una tabla de 16 ft sostenida en su punto medio. ¿A qué distancia del lado izquierdo se debe colocar una caja de 40 lb para lograr el equilibrio? ¿Sería diferente si pesara 90 lb? ¿Por qué sí o por qué no? Στ = (30 lb)(8 ft) + (40 lb)(x) – (50 lb)(8 ft) = 0; x = 4.00 ft

F

8 ft

Note que el peso en el centro NO

contribuye a la torsion alrededor del centro y por

8 ft

x 30 lb

consiguiente, el punto de equilibrio no es afectado,

W

40 lb

50 lb

sin importar el peso. 5-42. En un banco tiene una piedra pequeña, una regla de 4 N y un soporte con borde de navaja. Cómo usa esos tres elementos para hallar el peso de la piedra pequeña. Mida las distancias a y b, determine F y después

b

a

0.5 m

F

calcule el peso W a partir de métodos de equilibrio.

4N

W

*5-43. Calcule las fuerzas F1, F2 y F3 para que el sistema de la figura 5-23 quede en equilibrio. Note las fuerzas de acción-reacción R y R’.

F1

R 6 ft

2 ft

Primero, trabaje la tabla superior:

50 lb 2 ft

F3

F2

Στ (de R) = 0; R es hacia arriba. ΣτR = (300 lb)(6 ft) – (50 lb)(2 ft) – F1(8 ft) = 0

3 ft

5 ft

2 ft

300 lb

F1 = 213 lb Ahora, ΣFy = 0 da: 213 lb + R –300 lb – 50 lb = 0;

R’ ’ R = 138 lb = R’

200 lb

Sume los momentos de torsión F2 con R’ = 138 lb hacia abajo: ΣτF = (138 lb)(3 ft) + F3(7 ft) – (200 lb)(5 ft) = 0; De donde: F3 = 83.9 lb ΣFy = 0 = F2 + 83.9 lb – 138 lb – 200 lb; Las tres fuerzas desconocida:

48

F2 = –254 lb

F1 = 213 lb, F2 = –254 lb, F3 = 83.9 lb



*5-44. (a) ¿Qué peso W producirá una tensión de 400 N en la cuerda atada a la vigueta de la figura 5-24? (b) ¿Cuál sería la tensión en la cuerda si W = 400 N? Ignore el peso de la vigueta en ambos casos.

300

0

(a) Στ = (400 Ν)(4 m) sen 300) – W (6 m) cos 30 = 0

2m

400 N

W = 154 N

4m

0

0

(b) Στ = T(4 m) sen 30 – (400 N)(6 m) cos 30 = 0

Axis

W 30

0

T = 600 N *5-45. Suponga que la vigueta de la figura 5-24 pesa 100 N y que el peso suspendido W es igual a 300

40 N. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 0

Στ = Τ(4 m) sen 30 ) – (40 N)(6 m) cos 30

T

0

2m

4m

– (100 N)(3 m) cos 300 = 0

Eje

T = 234 N

W 30

100 N

0

*5-46. En las condiciones del problema 5-45, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el gozne sobre la base de la vigueta? ΣFx = H – 1169 N = 0;

o

H = 1169 N

ΣFy = V – 100 N – 400 N = 0; H = 1169 N

y

300

o V = 500 N

V = 500 N

2m

1169 N V Eje

4m

400 N

300

100 N

H

**5-47. ¿Cuál es la tensión en el cable de la figura 5-25? El peso de la vigueta es 300 N, pero se ignora su longitud. (Seleccione el eje en la pared, L se cancela.) L "! = TLsen750 # (300 N ) sen300 # 546 Lsen300 = 0 2

T sen 750 = 75.0 N + 273 N;

450

T = 360 N

T 750

L 300

V H

49


r

546 N

300 N


**5-48. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que ejerce la pared sobre la vigueta, figura 5-25? También, suponga que el peso de la tabla es de 300 N. Remítase a la figura y datos dados en el problema 5-7 y recuerde que T = 360 N. ΣFx = H - (360 N) cos 450 = 0;

H = 255 N

T = 360 N

0

ΣFy = V + (360 N) sen 45 – 300 N – 546 N = 0; V = 591 N H = 255 N

y

450

V = 591 N

600 300

*5-49. El eje trasero está a 3.4 m del delantero de un auto. 60 % del peso del auto descansa en las ruedas delanteras, ¿a qué distancia del eje frontal se localiza el centro de gravedad? Στ = 0.6W(0) + 0.4W(3.4 m) – F x = 0 Pero F = W:

x

Eje

1.36 W – W x = 0

x = 1.36 m en el eje frontal

50

F


0.4W

3.4 m

0.6W


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