Capítulo 4A. Equilibrio traslacional Pr Presentació esentación n PowerPoint PowerPoint de de Presentaci ón Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Poltechnic State !ni"ersit # $%%&
UN ESCALADOR DE MONT MONTA AÑAS ejerce fuerzas de acción sobre hendiduras y cornisas !ue "roduce fuerzas de reacción sobre e# esca#ador #o !ue #e "er$i%e esca#ar #os riscos& Foto'rafía de Photo (is) *ol. +-ett
b/eti"os0 (espu1s de co2pletar este 2ódulo, deber30 Establecer describir e/e2plos con las tres lees de 2o"i2iento de 5ewton. Establecer describir con e/e2plos su co2prensión de la pri2era condición para el equilibrio. (ibu/ar dia'ra2as de cuerpo libre para para ob/etos en equilibrio traslacional. Escribir aplicar la pri2era condición para el equilibrio a a la solución de proble2as si2ilares a los de este 2ódulo.
Pri2era le de 5ewton Pri2era Pri2era le le !n le Pri2era le Pri2era le de 5ewton0 5ewton0 !n !n ob/eto ob/eto en en reposo reposo oo en en le de !n 2o"i2iento 2o"i2iento con con rapide6 rapide6 constante constante per2anecer3 per2anecer3 en en reposo reposo oo con con rapide6 rapide6 constante constante en en ausencia ausencia de de una una fuer6a fuer6a resultante. resultante.
Se Se coloca coloca un un "aso "aso sobre so bre un sobre un tablero tablero tablero 1ste 1ste se se /ala /ala r3pida2ente r3pida2ente hacia hacia la la derecha. derecha. El El "aso "aso tiende tiende aa per2anecer per2anecer per2ane cer en en reposo reposo 2ientras 2ientras el el tablero tablero se se
Pri2era le de 5ewton 7cont.8 Pri2era Pri2era le le !n le Pri2era le Pri2era le de 5ewton0 5ewton0 !n !n ob/eto ob/eto en en reposo reposo oo le de !n en en 2o"i2iento 2o"i2iento con con rapide6 rapide6 constante constante per2anecer3 per2anecer3 en en reposo reposo oo con con rapide6 rapide6 constante constante en en ausencia ausencia de de una una fuer6a fuer6a resultante. resultante.
Supon'a Supon'a que que el el "aso "aso el el tablero tablero se se 2ue"en 2ue"en /untos tabler /untos con con rapide6 rapide6 constante. constante. Si Si el el tablero el tableroo tablero se se detiene detiene s9bita2ente, s9bita2ente, el el "aso "aso tiende tiende aa 2antener 2antener su su rapide6 rapide6 constante. constante.
Co2prensión de la pri2era Co2prensión le0 (iscuta lo que e:peri2enta el conductor cuando un auto acelera desde el reposo lue'o aplica los frenos. 7a8 Se fuer6a al conductor a 2o"erse hacia adelante. !n ob/eto en reposo tiende a per2anecer en reposo. 7b8 El conductor debe resistir el 2o"i2iento hacia adelante 2ientras se aplican los frenos frenos.. !n ob/eto en 2o"i2iento tiende a per2anecerr en 2o"i2iento. per2anece
Se'unda le de 5ewton ;a se'unda le de 5ewton se 5ewton se discutir3 cuantitati"a2ente cuantitati"a2ent e en un capítulo ulterior, despu1s de cubrir aceleración.. aceleración ;a aceleración es la tasa a la que ca2bia la rapide6 de un ob/eto. !n ob/eto con una aceleración de $ 2s$, por e/e2plo, es un ob/eto cua rapide6 au2enta $ 2s cada se'undo que "ia/a.
Se'unda le de 5ewton0 Se'und Se'unda a le le 0 Sie2pre le0 Se'unda le0 Sie2pre que que una una fuer6a fuer6a resultante resultante act9a act9a sobre sobre un un ob/eto, ob/eto, produce produce una una aceleración, aceleración, una una aceleración aceleración que que es es directa2ente propor directa2ente proporcional proporcional proporcional cional aa la la fuer6a fuer6a ee in"ersa2ente in"ersa2ente proporcional proporcional aa la la 2asa. 2asa.
F F aa ∝ ∝ m m
Aceleraci Aceleración ón Aceleració n fuer6a fuer6a con fuer6as de fricción cer cero o
Empujar el carro con el doble de fuerza produce el doble de aceleración. Tres veces la fuerza triplica la aceleración.
Aceleración 2asa de nue"o con fricción f ricción cero F
F a/2 a
Empujar dos dos carros carros con la misma fuerza F produce la mitad de la aceleración. aceleración. La aceleración varía inversamente con la cantidad de material (la masa).
Tercera Ter cera le de 5ewton 5ewton Para cada fuer6a de acción debe haber una fuer6a de reacción i'ual opuesta. Fuer6a de techo sobre ho2bre Fuer6a de ho2bre sobre techo
Fuer6a de suelo sobre ho2br e
Fuer6a de ho2bre sobre suelo
Fuer6a de pared sobre 2anos
Fuer6a de 2anos sobre pared
;as fuer6as de acción reacción act9an sobre ob/etos
Tercera Ter cera le de 5ewton 5ewton (os e/e2plos 23s0 Acció n
Reacción
Acción
>eacció n
;as fuer6as de acción reacción act9an sobre ob/etos diferentes. diferentes. <5o se cancelan 2utua2ente=
Equilibrio traslacional traslaciona traslacionall Se dice que un ob/eto est3 en equilibrio traslacional si si sólo si no e:iste fuer6a resultante. Esto si'ni?ca que la su2a de todas las fuer6as actuantes es cero.
@
A
C
En el e/e2plo, la resultante resultante de de las tres fuer6as A, @ C que act9an sobre sobre el el anillo debe ser cero.
*isuali6ación de fuer6as ;os dia'ra2as de fuer6a son necesarios para estudiar ob/etos en equilibrio. 5o confunda fuer6as de acción con fuer6as de reacción. Equilibrio0 ;as fuer6as de acción son cada una S@>E el anillo. ΣΣ F F = = '' A
@ C
Fuer6a A0 (el techo sobre el anillo. Fuer6a @0 (el techo sobre el anillo. Fuer6a C0 (el peso sobre el anillo.
*isu *isuali6ación ali6ación de fuer6as *isuali6ación 7cont.8
Ahora obser"e las fuer6as de re reacción acción para el 2is2o arre'lo. Ser3n i'uales, pero opuestas, act9an sobre diferentes ob/etos. Fuer6as de ;as fuer6as de reacción reacción0 se e/ercen P> el anillo. @r
Ar Cr
Fuer6a Ar0 (el anillo sobre el techo. Fuer6a @r0 (el anillo sobre el techo. Fuer6a Cr0 (el anillo sobre el peso.
Su2a "ectorial de fuer6as Se dice que un ob/eto est3 en equilibrio traslacional si si sólo si no ha fuer6a resultante. En este caso, la su2a "ectorial de todas las fuer6as que act9an sobre el el anillo es cero. cero.
4%%
A
! "
Su2a "ectorial0 ΣF A B @ B C %
(ia'ra2a de "ector fuer6a A
4%%
A
! "
!
A $ 4%
%
"
A $
A #
!n dia'ra2a de cuerpo libre es libre es un dia'ra2a de que 2uestra todos los ele2entos en este fuer6a dia'ra2a0 e/es, "ectores, co2ponentes 3n'ulos.
(ia'ra2as de cuerpo libre0 ;ea ;ea el el proble2a proble2a dibu/e dibu/e etiquete etiquete un un esque2a. esque2a. Aísle Aísle un un punto punto co29n co29n donde donde act9en act9en todas todas las las fuer6as. fuer6as. Construa Construa un un dia'ra2a dia'ra2a de de fuer6a fuer6a en en el el ori'en ori'en de ,, $ .. de los los e/es e/es # # $ Puntee Puntee rect3n'ulos rect3n'ulos etiquete etiquete los los co2ponentes co2ponentes # opuesto opuesto # $ $ opuesto adacentes adacentes aa los los 3n'ulos. 3n'ulos. opuesto Etiquete Etiquete toda toda la la infor2ación infor2ación dada dada estable6ca estable6ca qu1 qu1 fuer6as fuer6as oo 3n'ulos 3n'ulos se se deben deben encontrar. encontrar.
bser"e de nue"o el arre'lo anterior A
4%
%
A
! "
A $ !
4%%
A $
A # "
+. Aí Aísl sle e pun punto to.. $. (ibu/e e/es # e/es # , $ . D. (ibu/e "ectores.
4. Etiquete co2ponentes.
. uestre toda la infor2ación dada.
E/e2plo +. (ibu/e un dia'ra2a de cuerpo libre para el arre'lo que se 2uestra a la i6quierda. El asta es li'era de peso despreciable. A Cuidado0 A
Sobre cuerda
!
D%%
"
&%% 5
!
El asta sólo ! puede e2pu/ar o /alar pues no tiene peso.
A $
D%%
"
A #
&%% 5
;a fuer6a ! es la fuer6a e/ercida sobre Aísle la cuerda en el e:tre2o del boom boom.. laE la con la fuer6a de reacción cuerda= e/ercida por la cuerda sobre el asta.
Equilibrio traslacional traslaciona traslacionall ;a pri2era condición para el equilibrio es es que no debe haber fuer6a resultante. Esto si'ni?ca que la su2a de todas las fuer6as actuantes es cero.
ΣΣ F = '' F x x =
ΣΣ F F = '' y y =
E /e2plo $. Encuentre Encuentre las E/e2plo tensiones en las cuerdas A ! para el arre'lo que se 2uestra. A
4%%
A
!
!
A $
4%
%
A $
" A #
"
$%% 5 $%% 5 ;a fuer6a resultante sobre el anillo es cero0 R ΣF %
R # A A # B ! # B " # % R $ A A $ B ! $ B " $ %
E/e2plo $. 7cont.8 Encuentre los co2ponentes. >ecuerde tri'ono2etrí a para encontrar co2ponente A A $ s0
A
p Hip # Hip # sen sen A $ A A sen sen 4%%
Ad Hip # Hip # cos A # A A cos cos 4%%
;os co2ponentes @ % de los "ectores se 4% ! encuentran a A ! # " # partir del C % : C dia'ra2a de $%% 5 C G$%% cuerpo libre. %
E/e2plo $. 7cont.8 Co2ponentes A # A cos % 4% A $ A sen % 4% ! @ ! #
$
% " # % " $ I
A !
A $ 4%
%
"
A $
A #
!n dia%rama de cuerpo libre debe libre debe representar todas las fuer6as co2o co2ponentes a lo l o lar'o de los e/es # e/es # $ $ . Ta2bi1n debe 2ostrar toda la infor2ación dada.
E/e2plo $ . 7cont.8 A 4%%
!
A " $%% 5
ΣF:& '
!
A $
A $ %
4%
" A # $%% 5
ΣF& '
('' − )'' N = '* or A sin (' ('' = )'' N ∑ F = A sin (' y
∑ F x = A cos ('° − B = '* ∑ F y
Co2ponentes A # A cos % 4% A $ A sen % 4% ! @ ! #
$
% " # % " $ I o B + A cos (',
sen ('° − )'' )'' N = '* o A sen(', + )'' N = Asen
E/e2plo $ . 7cont.8 A !
A $
4%
%
A $
" A #
(os sen(', + )'' N A ecuacione s dos ' = cos(' B A incó'nitas
$%% 5
)'' N ;ue'o >esuel"a = .// N A = ' resuel"a pri2ero para sen(' para @ ' ' A 0co os (' * 1 +).2 N B = A cos (' = -.// N0c ;as tensiones en A @ son
A & D++ 5 ! & $DJ 5
Estrate'ia para rresolución esolución de proble2as +. (ibu/e (ibu/e un esq esque2 ue2a a eti etique quete te tod toda a la infor2ación. $. (ib (ibu/e u/e un dia' dia'ra2 ra2a a de cue cuerpo rpo lib librre. D. Encuent Encuentrre co2pon co2ponent entes es de tod todas as las fuer fuer6as 6as 7B G8. 4. Apl Apliqu ique e pri2e pri2era ra cond condici ición ón de eq equili uilibri brio0 o0
ΣF:& %
ΣF& %
. >esuel"a para fuer6as o 3n'ulos desconocidos.
E /e2plo D. Encuentre Encuentre la tensión E/e2plo en las cuerdas cu erdas A !. D%%
A
D%%
K%%
!
K%
%
A $
A D%%
A # 4%% 5 +. (ibu/e dia'ra2a de cuerpo libre. $. (eter2ine 3n'ulos. D. (ibu/eetiquete
!
! $
K%%
! #
4%% 5 A continuación se encontrar3n co2ponentes de cada "ector.
E /e2plo D. Encuentre Encuentre Encuentr e la tensión E/e2plo en las cuerdas cu erdas A !. c uerdas
Pri2era condición para equilibrio0 ΣF # & %
ΣF $ & %
A $
A D%%
A #
!
! $
K%%
! #
I 4%% 5 4. Aplique +a condición para equilibrio0 ΣF ! # # & ! # A # & ' A ! B A $ # & ! A & ' ΣF $ $ $ $
E /e2plo D. Encuentre Encuentre la E/e2plo tensión en las cuerdas A @.
A: A A cos cos D%% A A A sen sen D%% !: ! cos % K% ! ! sen
A $
K%% I: % I G4%% 5
A D%%
A #
!
! $
K%%
! #
I 4%% 5
Con tri'ono2etría, la pri2era condición produce0 % @ :
A: A & ! $ $
! cos K% A A cos % D% % A sen A sen D% B ! sen K%% 4%% 5
E /e2plo D 7cont.8 Encontrar Encontrar la tensión en A E/e2plo !. ! cos K%% ! cos D%%
A $
A D% A %
#
! K%%
!
! $
#
I 4%% 5
A sen A sen D%% B ! sen K%% 4%% 5 Ahora resuel"a para A para A !0 dos ecuaciones dos incó'nitas.
Pri2ero resuel"a la ecuación hori6ontal para ! en t1r2inos de la incó'nita A incó'nita A00 B =
A cos.'
cos4'
'
'
= /&3. A
B & +.&D$ A +.&D$ A
E /e2plo D 7cont.8 Encontrar la tensión A E/e2plo !.
A $
A D% A %
4%% 5 #
! K%%
!
#
! $
! & +.&D$ A Ahora use A $ tri'ono2etría0 B ! $ & 4%% 5
A sen K%% B ! sen K%% 4%% 5
! & +.&D$ +.&D$ A A A sen D%% ! sen K%% 5 A8 sen A sen D%% 4%% 7+.&D$ A8 sen K%% 4%% 5 %.%% A %.%% A B B +.% A +.% A 4%% A A & & $%% $%% 5 5
E /e2plo D 7cont.8 Encontrar ! con con A E/e2plo $%% 5.
A $
A D% A %
#
! K%%
!
#
I 4%% 5
! $
A & $%% 5 ! & +.&D$ +.&D$ A A ! & +.&D$74%% 58 ! & D4K 5
Las tensiones en las cuerdas son* A & $%% 5 $ ! & D4K 5
Este proble2a se hace 2ucho 23s si2ple si nota que el 3n'ulo entre los "ectores "ectores ! A es L%% rota los e/es # $ 7contin9a8 7contin9a8
E /e2plo 4. >ote >ote e/es para el 2is2o E/e2plo e/e2plo. $ A
K%%
D%% D%
%
!
K%%
A $
# A D%%
A # 4%% 5
4%% 5
!
! $
K%%
! # I
Se reconoce que A ! est3n en 3n'ulos rectos el e/e : se se eli'e a lo lar'o de !, no hori6ontal2ente. Entonces el e/e estar3 estar3 a lo lar'o de A, con despla6ado
(ado que A ! son son perpendiculares perpendiculares, perpendiculares,, se puede encontrar el n92er n92ero o 3n'ulo φ con con 'eo2etría. : $ # !
A
A
!
K%%
D%%
φ
K%% D%% 4%% 5
I 4%% 5
(ebe de2ostrar que el 3n'ulo φ ser3 D%%. Ahora sólo traba/e con los co2ponentes de I.
>ecuerde0 & 4%% 5. Entonces se tiene0 :
A
!
#
D%%
4%% 5
# & & 74%% 58 cos D%% $ & & 74%% 58 sen D%%
+or tanto, los componentes del vector peso son*
# & & D4K 5 & $%% $ & $ 5 Aplique la pri2era condición para equilibrio . . . ! - A - # & ' $ &
E /e2plo 4 7cont.8 Ahora Ahora resuel"a para A E/e2plo :
A
!
# D%%
$ 4%% 5
Antes de trabajar un problema, puede ver si a$uda la rotación
ΣF # & ! # & ' ! & # & 74%% 58 cos D%%
!! & & D4K D4K 5 5 ΣF $ & A $ & ' A & $ & 74%% 58 sen D%%
A A & & $%% $%% 5 5
>esu2en Pri2era le !n Pri2era le le de le de 5ewton0 5ewton0 !n !n ob/eto ob/eto en en reposo reposo oo en en !n 2o"i2iento 2o"i2iento con con rapide6 rapide6 constante constante per2anecer3 per2anecer3 en en reposo reposo oo con con rapide6 rapide6 constante constante en en ausencia ausencia de de una una fuer6a fuer6a resultante. resultante.
>esu2en Se'unda le Se'unda le0 le00 Sie2pre le0 Sie2pre que que una una fuer6a fuer6a resultante resultante act9e act9e sobre sobre un un ob/eto, ob/eto, produce produce una una aceleración, aceleración, una una aceleración aceleración que que es es directa2ente propor directa2ente proporcional proporcional proporcional cional aa la la fuer6a fuer6a ee in"ersa2ente in"ersa2ente proporcional proporcional aa la la 2asa. 2asa.
>esu2en Tercera ercera le0 le0 Para d e acción debe T Para toda fuer6a de haber una fuer6a de reacción i'ual opuesta.
Acció n
Reacción >eacció n
Acción
(ia'ra2as de cuerpo libre0 ;ea ;ea el el proble2a proble2a dibu/e dibu/e etiquete etiquete esque2a. esque2a. Aísle Aísle un un punto punto co29n co29n donde donde act9en act9en todas todas las las fuer6as. fuer6as. Construa Construa un un dia'ra2a dia'ra2a de de fuer6a fuer6a en en el el ori'en ori'en de ,, $ .. de los los e/es e/es # # $ Puntee Puntee rect3n'ulos rect3n'ulos etiquete etiquete los los co2ponentes opuesto co2ponentes # # $ opuesto opuesto adacente adacente aa los los $ opuesto 3n'ulos. 3n'ulos. Etiquete Etiquete toda toda la la infor2ación infor2ación dada dada estable6ca estable6ca qu1 d ebe encontrar deb e encontrar. qu1 fuer6as fuer6as oo 3n'ulos 3n'ulos debe de debe be encontrar.. encontrar.
Equilibrio traslacional traslaciona traslacionall ;a pri2era condición para el equilibrio es es que no debe haber fuer6a resultante. Esto si'ni?ca que la su2a de todas las fuer6as actuantes es cero.
ΣΣ F = '' F x x =
ΣΣ F F = '' y y =
Estrate'ia para resolución de proble2as +. (ibu/e (ibu/e un esq esque2 ue2a a et etiqu iquete ete tod toda a la infor2ación. $. (ib (ibu/e u/e un dia' dia'ra2 ra2a a de cue cuerpo rpo lib librre. D. Encuen Encuentr tre e co2pon co2ponent entes es de toda todas s las fuer6 fuer6as as 7B G8. 4. Ap Apliq lique ue pri2e pri2era ra condi condició ción n para para equili equilibri brio0 o0
ΣF # & %
ΣF $ & %
. >esuel"a para fuer6as o 3n'ulos desconocidos.
Conclusión0 Capítulo 4A Equilibrio traslacional traslaciona traslacionall
