LA RESONANCIA MECÁNICA
Resumen
En el presente trabajo se abordaran los principales aspectos de la resonancia tales como su explicación matemática, las causas que la generan, los efectos que puede tener , la implicación de este fenómeno en la vida diaria así como el planteamiento de algunas soluciones para mitigar los efectos de la resonancia en obras civiles.
Summary In this paper we addressed the main aspects of resonance such as the mathematical explanation , the causes that generate the possible effects , the implication of this phenomenon in everyday life and the approach of some solutions to mitigate the effects resonance in civil works.
INTRODUCCION La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando un tenor canta. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse. Así, en Noviembre de 1940, una suave brisa hizo entrar en resonancia al puente colgante de Tacoma Narrows (Estados Unidos). La frecuencia del viento era similar a la frecuencia natural del puente, con lo cual la energía transferida al sistema es la máxima; las ondas estacionarias producidas en el puente empezaron a balancearlo y acabaron colapsándolo.
I. Tipos de resonancia
A. Resonancia mecánica y acústica Resonancia mecánica es la tendencia de un sistema mecánico para absorber más energía cuando la frecuencia de sus oscilaciones coincide con la fr ecuencia natural del sistema de vibración de lo que hace a otras frecuencias. Puede causar movimientos oscilantes violentos y el fracaso, incluso catastrófico en estructuras mal construidas, incluyendo puentes, edificios, trenes y aviones. En el diseño de objetos, los ingenieros deben garantizar las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coinciden con la conducción frecuencias vibratorias de motores u otras partes oscilantes, un fenómeno conocido como resonancia de desastres. Cómo evitar los desastres de resonancia es una gran preocupación en todos los proyectos de construcción de edificios, la torre y el puente. Como contramedida, montajes de choque se pueden instalar para absorber las frecuencias resonantes y por lo tanto disipar la energía absorbida. El edificio Taipei 101 se basa en un péndulo de 660 toneladas - un amortiguador de masa sintonizado para cancelar la resonancia. Además, la estructura está diseñada para resonar a una frecuencia que no ocurre normalmente. Edificios en zonas sísmicas a menudo se construirán teniendo en cuenta las frecuencias de oscilación del movimiento del suelo esperado. Además, los ingenieros de diseño de objetos que tienen motores deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coinciden con la conducción frecuencias de vibración de los motores u otras partes fuertemente oscilantes. Resonancia acústica es una rama de la resonancia mecánica que se ocupa de las vibraciones mecánicas en todo el rango de frecuencia de la audición humana, en otras palabras sonido. Para los seres humanos, el oído se limita normalmente a frecuencias de entre aproximadamente 20 Hz y 20.000 Hz, Resonancia acústica es una consideración importante para los constructores de instrumentos, como la mayoría de los instrumentos acústicos utilizan resonadores, tales como las cuerdas y el cuerpo de un violín, la longitud del tubo en una flauta, y la forma de, y la tensión en, una membrana de tambor.
Al igual que la resonancia mecánica, la resonancia acústica puede resultar en una falla catastrófica del objeto en la resonancia. El ejemplo clásico de esto se está rompiendo una copa de vino con el sonido a la frecuencia de resonancia precisa del vidrio, aunque esto es difícil en la práctica. B. Resonancia eléctrica Resonancia eléctrica se produce en un circuito eléctrico a una frecuencia resonante particular, cuando la impedancia del circuito está en un mínimo en un circuito en serie o al máximo en un circuito en paralelo. C. Resonancia óptica Una cavidad óptica o resonador óptico es una disposición de espejos que forma una cavidad de resonador de onda estacionaria para las ondas de luz. Cavidades ópticas son un componente principal de los láseres, que rodea el medio de ganancia y proporcionar retroalimentación de la luz láser. También se utilizan en los osciladores paramétricos ópticos y algunos interferómetros. Luz confinada en la cavidad refleja varias veces producen ondas estacionarias para ciertas frecuencias resonantes. Los patrones de ondas estacionarias producidas se llaman modos. Modos longitudinales sólo se diferencian en la frecuencia mientras que los modos transversales diferir para diferentes frecuencias y tienen diferentes patrones de intensidad a través de la sección transversal de la viga. Resonadores de anillos y galerías susurrantes son ejemplos de resonadores ópticos que no forman ondas estacionarias. Los diferentes tipos de resonador se distinguen por las longitudes focales de los dos espejos y la distancia entre ellos. La geometría debe ser elegido por lo que el haz permanece estable, es decir, el tamaño del haz no continúa creciendo con cada reflexión. Tipos resonador también están diseñados para cumplir con otros criterios tales como la cintura de haz mínimo o que no tiene punto de contacto dentro de la cavidad. Cavidades ópticas están diseñados para tener un gran f actor Q; un haz reflejará un muy gran número de veces con poca atenuación. Por lo tanto el ancho de la línea de frecuencia de la viga es muy pequeña en comparación con la frecuencia del láser.
II.
LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCI-LLO
Para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del fenómeno de la resonancia, es conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el de una masa m ligada a un resorte de constante elástica K, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos básicos del fenómeno que se presentan en casos más complejos. Para describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton m
d2y dt 2
ky
(1)
Se propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico simple
y (t )
A cos w0t
(2)
Al sustituir esta función en la ecuación 1 se tiene que la frecuencia angular con que en el estado estacionario se moverá la masa es w0
k
m
(3)
Es de hacer notar que la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante K del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una sola frecuencia que “adopta” en forma espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina “frecuencia natural del sistema”.
Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F, frecuencia angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se
observa en la figura 1.
FIGURA 1. Resorte con oscilación forzada.
Si la fuerza externa periódica tiene la forma
F
F cos wt entonces
la fuerza total
que actúa sobre la masa m es F
ky F cos wt
(4)
Ahora la segunda ley de Newton toma la forma m
d2y dt 2
ky F cos wt
(5)
Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y
A cos wt
, con ω la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este
valor de y, así como de su segunda derivada respecto al tiempo se tiene que
mAw2 cos wt
kA cos wt F cos wt
(6)
Y al despejar el valor A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor A
F
k mw 2
Pero de acuerdo a (3),
k
(7) 2
mw0
, así es que sustituyendo este valor en la anterior
relación se obtiene finalmente que A
F 0 m w0
2
w 2
(8)
Se observa que cuando ω tiende a ωo, el valor absoluto de la amplitud A tiende
a infinito. En esta situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema entra en un estado de Resonancia. Si nos aproximamos a la frecuencia natural con valores ma yores que ωo El valor de la amplitud tendrá valores negativos; para evitar este comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fase α y A cos( wt )
(9)
Tal que α será igual a 0 para valores de ω menores que ωo , y π para valores
mayores. Para que este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de Newton ahora es m
d2y dt 2
ky F cos wt b
dy dt
(10)
Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante A
F / m 1/2
w02 w2 w 2
(11)
Donde γ=b/m. Aunque ahora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es exactamente la frecuencia natural ωo, para
muchos problemas de interés la diferencia no es considerable.
III. LA PRESENCIA DE LAS FUERZAS OSCILANTES, LAS FRECUENCIAS NATURALES Y LA RESONANCIA EN LA VIDA REAL
A. Fuerzas oscilantes
Pese a la apariencia de quietud del suelo que pisamos, de los edificios, de los puentes y de muchas otras estructuras arquitectónicas que nos rodean, en realidad están en continuo cambio y movimiento, y un tipo especial del movimiento es el debido a las fuerzas mecánicas oscilantes, basta un pequeño repaso mental para enumerar una gran cantidad de ellas: Los diversos sonidos ambientales son vibraciones de tipo mecánico, ya que son las variaciones periódicas de la presión del aire o de las cosas que nos rodean las que generan los sonidos. Los edificios en que habitamos o en que trabajamos son estructuras elásticas que permanentemente están vibrando debido al paso cercano de los automotores pesados o a los mismos impulsos mecánicos producidos por quienes los habitan, al caminar, al bailar, al mover muebles, etc. El suelo mismo en que nos movemos experimenta movimientos oscilatorios todos los días, tal como nos lo indica el reporte diario del Servicio Sismológico Nacional,
simplemente que son de tan pequeña magnitud que en general no los alcanzamos a percibir. Así, del 21 de febrero al 11 de marzo de 2009 se reportaron 93 eventos sísmicos de magnitud mayor a 3 grados en la escala Richter, es decir, casi 3 movimientos oscilatorios del suelo por día [3]. Las vibraciones que parten del motor de los automóviles someten a todas las partes de un auto y a sus ocupantes a continuas oscilaciones mecánicas. El mundo laboral está lleno de máquinas de diferentes tamaños que van desde los taladros de mano hasta máquinas más potentes que producen toda una variedad de vibraciones mecánicas. Las mismas fuerzas gravitatorias oscilan, tal como lo muestra el fenómeno de las mareas en que el nivel del mar sube y baja acompasado con el movimiento periódico de la Luna. B. Estructuras elásticas y frecuencias naturales
La elasticidad es la propiedad que tienen los cuerpos de deformarse bajo la acción de fuerzas externas y de recuperar su forma una vez que desaparecen estas fuerzas; dentro de ciertos rangos la deformación para todos los cuerpos es proporcional a la fuerza deformante aplicada. Por tanto, antes de alcanzar otra vez su estado de equilibrio, los cuerpos desarrollarán un cierto número de oscilaciones; y cada cuerpo, dependiendo de su forma, de su masa, del material de que esté hecho, así como de las restricciones a que esté sometido, oscilará con ciertas frecuencias propias a las que, como se ha indicado, se les denomina frecuencias naturales. Un sistema resorte masa tiene una sola frecuencia natural de vibración; una cuerda tensa sujeta por sus dos extremos presenta una cantidad infinita de frecuencias naturales, todas ellas múltiplos de una frecuencia básica; las placas de metal o de vidrio o las membranas de cuero también presentan frecuencias naturales; si bien no todas ellas son múltiplos de una frecuencia básica; estructuras como los puentes también presentan frecuencias naturales. C. Diversos casos de resonancia
Si estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que en muchos casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con alguna de las frecuencias naturales de las
estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia. Se mostrarán algunos ejemplos: 1) Cuando decenas o cientos de soldados marchan dando golpes rítmicos de frecuencia muy constante en el piso, al cruzar sobre un puente, que como se ha señalado es una estructura elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración, en caso de que conserven su marcha acompasada se corre el peligro de que su frecuencia de golpeteo – aproximadamente de 1 Hz- coincida con alguna de las frecuencias naturales del puente; hay que tomar en cuenta además que la fuerza del golpe colectivo puede alcanzar magnitudes de decenas de miles de N, para evitar ese peligro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper la marcha cuando cruzan un puente. 2) Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces al aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay un fenómeno de resonancia, ya que en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas. 3) Los autos están hechos de muchas partes elásticas, como por ejemplo el volante, la palanca de velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.; de hecho, cuando al volante se le da un golpe, se siente inmediatamente su vibración; pues bien, cuando el motor genera vibraciones que coinciden con la frecuencia natural de vibración de algunas de estas partes sucede el fenómeno de resonancia; es por ello que los diseñadores de las carrocerías deben tener en cuenta que la potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las frecuencias naturales de los diversos componentes de los automotores. 4) El cuerpo humano está conformado con estructuras elásticas como son los huesos, y es así que en el mundo de la medicina laboral se debe cuidar que la frecuencia de golpeteo de máquinas como los taladros que rompen las capas de pavimento, no coincida con la frecuencia natural de algunas de las partes de la estructura ósea. Cuando el cuerpo humano está sometido a vibraciones de baja frecuencia, éste se mueve como un todo, pero a frecuencias altas la respuesta del cuerpo es específica; así de 4 a 12 Hz las caderas y los hombros comienzan
a resonar, entre 20 y 30 Hz es el cráneo el que resuena, a frecuencias más altas de 60 a 90 Hz son los globos oculares los que pueden entrar en resonancia . 5) Un caso muy conocido de resonancia es cuando un o una cantante dirigen su voz hacia una copa de cristal; es aparente que la copa es una estructura elástica que vibra a frecuencias claramente reconocibles por el oído humano, por tanto, el afinado oído de los cantantes se entona con esos sonidos y lanza contra la copa un sonido potente de la misma frecuencia, con ello se forman en la copa ondas estacionarias, y si la intensidad y la frecuencia se mantienen el tiempo suficiente, se produce el fenómeno de resonancia hasta que la copa a causa de sus intensas vibraciones se rompe. 6) En el mundo animal se tienen también ejemplos muy hermosos de resonancia; por ejemplo ¿cómo pueden los mosquitos machos detectar a los mosquitos hembras? De acuerdo a H. Schmidt [5], las frecuencias de aleteo de los machos y las hembras son diferentes; los machos aletean a una frecuencia aproximada de 500 Hz, mientras que las hembras lo hacen a una frecuencia aproximada de 300 Hz; pues bien, se encuentra que las antenas de los machos tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los 300 Hz, por tanto, el aleteo de las hembras provoca en ellos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el reconocimiento (Figura
FIGURA. En esta figura se muestra la señal acústica producida por una copa.
7) Finalmente, un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en caso de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está llena de estructuras elásticas de gran escala, tales como edificios y puentes; la frecuencia de los sismos, es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los 0.5 -2 Hz, son
frecuencias relativamente bajas, pero las grandes masas de los edificios de más de 5 pisos de altura por su propia inercia tienden a tener frecuencias bajas y propician por tanto la ocurrencia del fenómeno de resonancia. En este caso la amplitud de las oscilaciones mecánicas de los edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de ruptura. ¿Cómo afecta la resonancia en las estructuras? La resonancia es un fenómeno complejo en el cual analizaremos como afecta a estructuras rígidas. Para empezar toda estructura (edificios, puentes, aviones, etc.) tiene una frecuencia natural de vibración. Dicha frecuencia es aquella con la que el sistema vibra con facilidad o tiene tendencia para hacerlo una vez que recibe cierta cantidad de energía. Cualquier sistema tiene una o varias frecuencias naturales que bajo excitación aumentarán de forma considerable la vibración. Ahora las estructuras estará sometidos a acciones externas llámese vientos, sismos, inundaciones, etc. Obviamente estas acciones tendrán una frecuencia de vibración y bien que pasaría si ¿la frecuencia de la acción sea igual a la frecuencia de la estructura? Entra en un estado de funcionamiento que se denomina resonancia y pueden causar daños severos en un breve espacio de tiempo. Un ejemplo de resonancia en un puente es en Noviembre de 1940, una suave brisa hizo entrar en resonancia al puente colgante de Tacoma Narrows (Estados Unidos). La frecuencia del viento era similar a la frecuencia natural del puente, con lo cual la energía transferida al sistema es la máxima; las ondas estacionarias producidas en el puente empezaron a balancearlo y acabaron colapsándolo.
¿Cómo evitar la resonancia? La resonancia su efecto puede destructivo pero ahora planteamos unas ideas que nos servirán para combatir la resonancia.
Los amortiguadores: Estos elementos son los encargados de absorber las vibraciones de los elementos elástico convirtiendo en calor la energía generada por las oscilaciones
Barra de torsión:
Este tipo de resorte utilizado en algunos turismos con suspensión
independiente, está basado en el principio de que si a una varilla de acero elástico sujeta por uno de sus extremos se le aplica por el otro un esfuerzo de torsión, esta varilla tenderá a retorcerse, volviendo a su forma primitiva por su elasticidad cuando cesa el esfuerzo de torsión
Disipadores de energía: son mecanismo que no necesitan intervención de la electricidad cuya función específica es reducir la deformación y esfuerzos producidos por sismos, vientos.
Aisladores sísmicos deslizante: poseen una superficie deslizante que permite la disipar la energía mediante las fuerzas de rozamiento
