ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE 4. EJERCICIOS DE ESTADISTICA ESTADISTICA INFERENCIAL
De acuerdo a las propiedades de la estadística inferencia realiza de forma clara los siguientes ejercicios: a) Ejercicios de límites de confianza 1. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre o!teni"ndose una media muestral de 110 mg#c. c. Se sa!e que la desviaci$n est%ndar de la po!laci$n es de &0 mg#c.c. 'rocedimiento:
σ 20 = =2 100 √ n √ 100 (enemos (enemos que calcular
Z α / 2 TALQUE P ( Z α / 2 ≤ Z ≤α / 2 )
α
α
2
2
+ P ( −Z α / 2 ≤ Z ≤ Z α / 2) + =1
⟹
2 P ( Z ≤ Z α / 2)
¿ 1+ P (−Z α α / 2 ≤ Z ≤ Z α α / 2) P=(− Z α /2 ≤ Z ≤ Z α /2 ) =0.90 ⟹ 2 P ( Z ≤ Z α /2 )−1 =0.90 ⟹ P ( Z ≤ Z α /2 )=
0.90 + 1 2
Entrando con valor 0* en la ta!la de la +orma + ,01) o!tenemos el valor
= 0.95
Z α /2=1.645 a) -!t"n un intervalo de confianza al 0 para el nivel de glucosa en sangre en la po!laci$n. 110−1.645∗2,110 + 1.645∗2 =106,71,113,29
¿
!) /u" error m%imo se comete con la estimaci$n anterior2
Ε= Z α / 2 ∙
20 σ =1.645 ∙ =1.645 ∙ 2=3,29 √ n √ 100
&. 3as medidas de los di%metros de una muestra tomada al azar de &00 cojinetes de !olas hechos por una determinada m%quina dieron una media de & cm 4 una desviaci$n est%ndar de 01 cm. 5allar los intervalos de confianza del * 4 del para el di%metro de todos los cojinetes. En cada caso vamos a calcular
Z α /2
P=(− Z α / 2 ≤ Z ≤ Z α / 2 ) =0.9544 ⟹ 2 P ( Z ≤ Z α / 2 ) −1=0.9544 ⟹ P ( Z ≤ Z α / 2 )=
0.9544 + 1 2
=0.9772
Empleando las (a!las de la +ormal ,01) sigue que:
Z α /2=2,0 El intervalo de confianza es:
( 2−
2∗ 0.1
√ 200
, 2+
2∗0.1
√ 200
)=(1.986,2.014 )
67
P=(− Z α / 2 ≤ Z ≤ Z α / 2 ) =0,9973 ⟹2 P ( Z ≤ Z α / 2 )−1 =0,9973 ⟹ P ( Z ≤ Z α /2 )= Empleando las (a!las de la +ormal ,01) sigue que
Z α /2=3,0 El intervalo de confianza es:
( 2−3 ∙
0,1
√ 200
, 2 +3 ∙
0,1
√ 200
)=( 1,979,2,021 )
0,9973 + 1 2
=0,9986
7. En una determinada colonia se seleccion$ al azar una muestra de 100 personas cu4a media de ingresos mensuales resulta!a igual a 810900. on una desviaci$n est%ndar de 8&000. a) Si se toma un nivel de confianza del * /cu%l es el intervalo de confianza para la media de los ingresos mensuales de toda la po!laci$n2
P=(− Z α /2 ≤ Z ≤ Z α /2 ) =0,95 ⟹ 2 P ( Z ≤ Z α / 2 )−1 =0,95 ⟹ P ( Z ≤ Z α /2 )=
0,95 + 1 2
=0,975
Z α /2=1,96 El intervalo de confianza es: 10,600 −1,96 ∙
2000
√ 100
, 10,600 + 1,96 ∙
¿
2000
√ 100
=( 10208,10992 )
;. 3a media de las medidas de los di%metros de una muestra aleatoria de &00 !olas de rodamiento fa!ricadas por cierta m%quina fue de 0<&; cm 4 la desviaci$n típica fue de 00; cm. 5alla los límites de confianza al * para el di%metro medio de las !olas fa!ricadas por esa m%quina. 'ara el nivel de confianza de 0 *
( 0,824 −1,96 ∙
0,042
√ 200
, 0,824 + 1,96 ∙
Z α /2 = 19 el intervalo de confianza ser%: 0,042
√ 200
)=(0,818, 0,830)
3os límites de confianza son: 0<1< 4 0<70
*. En una gran ciudad la altura media de sus ha!itantes tiene una desviaci$n típica de < cm. Se pide: a) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se o!tiene una altura media de 16< cm. Determina un intervalo de confianza del * para la altura media de los ha!itantes de esta ciudad. Eplica los pasos seguidos para o!tener la respuesta. n=100 no sa!emos la medida de la po!laci$n por lo tanto tomamos como medida de la po!laci$n media de la muestra si conocemos la desviaci$n típica. 'ara un nivel de confianza de 0*
Z α /2=1,96
P=(− Z α /2 ≤ Z ≤ Z α /2 ) =0,95 ⟹ 2 P ( Z ≤ Z α / 2 )−1 =0,95 ⟹ P ( Z ≤ Z α /2 )=
0,95 + 1 2
=0,975
Z α /2=1.96 El intervalo de confianza es:
( 178−1,96 ∙
8
√ 100
, 178 + 1,96 ∙
8
√ 100
)=( 176,432,179,568 )
!) Ejercicios de prue!a de hip$tesis 1. Se desea compro!ar si la cantidad de dinero que un estudiante gasta diariamente en promedio es ma4or que 8<6.00 seleccionando una muestra al azar de & estudiantes 4 se encuentra que la media es de 8<.00 teniendo una desviaci$n típica de 86.&*. > un nivel de significaci$n del * pro!ar si es verdad que los estudiantes gastan diariamente en promedio 8<6.00
Z =
´ −μ X σ / √ n
n =29
x´ =89 σ =7.25 .
α =0.05 μ=¿ 87
Z =
¿ ¿
89−87 7.25 / √ 29
89 −87 1,35 2 1,35
=1,48
&. ?na encuesta revela que los 100 autos particulares que constitu4en una muestra aleatoria se condujeron a un promedio de 1&*00 @m. durante un aAo con una desviaci$n est%ndar de &;00 @m. on !ase en esta informaci$n pro!ar la hip$tesis donde en promedio los autos particulares se condujeron a 1&000 @m durante un aAo frente a la alternativa de que el promedio sea superior. ?tilizar el nivel de significaci$n del *. Datos: n= 100
´ 1&*00 X S= &;00 >) 5o:B=1&000 5a:BC1&000 ) a=0.0*
´ − μ X Z = s/√ n
c ¿ Z =
15−15.9 2.3 / √ 64
=−3.13
Se u!ica en la regi$n de rechazo por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene un efecto significativo negativo respecto a la resistencia de las cuerdas al nivel del *. 7. ?na muestra aleatoria de 100 actas de defunci$n registradas en "ico el aAo pasado muestra una vida promedio de 61.< aAos. Suponga una desviaci$n est%ndar po!lacional de <. aAos. ueremos pro!ar si la vida media ho4 en día es ma4or a 60 aAos con !ase en esa muestra. ?tilizar un nivel de significancia de 0.0*. Se trata de una distri!uci$n muestral de medias con desviaci$n est%ndar conocida. Datos: B=60 aAos
σ = <. aAos
= 61.< aAos n = 100
α = 0.0* Ensa4o de hip$tesis 5oF B = 60 aAos. 51F B C 60 aAos.
Gegla de decisi$n: Si
Z R H1.9;* no se rechaza 5o.
Si
Z R C 1.9;* se rechaza 5o.
%lculos:
´ R− μ 71.8−70 X = −2.02 Z R= α / √ n 8.9 / √ 100 Iustificaci$n 4 decisi$n. omo &.0& C1.9;* se rechaza 5o 4 se conclu4e con un nivel de significancia del 0.0* que la vida media ho4 en día es ma4or que 60 aAos. Eiste otra manera de resolver este ejercicio tomando la decisi$n en !ase al estadístico real en este caso la media de la muestra. De la formula de la distri!uci$n muestral de medias se despeja la media de la muestra:
´ L − μ X Z L= α / √ n
´ L = BJ X
Z L α ( 1.645 ) ( 8.9 ) = 70 + = 71.46 √n √ 100
Gegla de decisi$n: ´ Si X R H 61.;9 +o se rechaza 5o
Si
X ´ R C 61.;9 Se rechaza 5o omo la media de la muestral es de 61.< aAos 4 es ma4or al valor de la media
muestral límite de 61.;9 por lo tanto se rechaza 5o 4 se llega a la misma conclusi$n. ;. Se desea conocer el peso promedio de todos los pasajeros de un avi$n. omo ha4 limitaciones de tiempo 4 dinero para pesarlos a todos se toma una muestra de 79 pasajeros de la cual se o!tiene una media de la muestra = 97 Kg. Suponga adem%s que la distri!uci$n de los pasajeros tenga una distri!uci$n normal con desviaci$n est%ndar de 1& Kg. con un nivel de significancia de *. /Se puede concluir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 97 Kg2 +ota como puede ver esta es una prue!a de una cola ,a la izquierda) por lo que ha4 que utilizar una ta!la de distri!uci$n para una cola.
Datos:
n =36 x´ =63
σ =12 kg α =0.05
H 0 : μ ≥ 63 H 1 : μ < 63 μ0=63
´ − μ0 63 −63 0 X = = =−2 Z = σ / √ n 12 / √ 36 6 H 0 : μ ≥ μ0 H 1 : μ < μ 0 Gechazo 5o si L M N L1N O +o rechazo 5o si L PNL1NO
Z 1−0.05= Z 0,95=1,65 N& M N19* onclusi$n: Se rechaza la hip$tesis nula quiere decir que promedio de todos los pasajeros es menor a 97 Kg. *.N Estamos estudiando el efecto del estr"s so!re la presi$n arterial. +uestra hip$tesis es que la presi$n sist$lica media en varones j$venes estresados es ma4or que 1<0 mm de 5g Estudiamos una muestra de 79 sujetos 4 encontramos una media de 1<* mm de 5g 4 desviaci$n est%ndar de 7.9 mm de 5g > un nivel de significaci$n del * pro!ar si es verdad que el estr"s afecta a la presi$n sist$lica. >ntes de resolver este ejercicio de!o tener en cuenta lo siguiente: 3as hip$tesis estadísticas se pueden contrastar con la informaci$n etraída de las muestras 4 tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error. a=
p,rechazar
50Q50 cierta)
!=
p,aceptar
50Q50 falsa)
'otencia =1N! = p,rechazar 50Q50 falsa)
5a4 que tener en cuenta estos detalles: 1 a 4 ! est%n inversamente relacionadas. Los pasos necesarios para realizar un contraste relativo a un par%metro q son: 1. Esta!lecer
5o: 2.
la hip$tesis nula en t"rminos de igualdad
θ=θo
Esta!lecer la hip$tesis alternativa que puede hacerse de tres maneras
dependiendo del inter"s del investigador
θ >θ 0
H 1 :θ ≠θ 0
θ<θ 0
En el primer caso se ha!la de contraste bilateral o de dos colas 4 en los otros dos de lateral ,derecho en
el
&R
caso
o izquierdo en
el
7R)
o una
cola.
3. Elegir
un nivel de significación : nivel crítico para a
4. Elegir
un estadístico de contraste: estadístico cu4a distri!uci$n muestral se conozca
en 50 4 que est" relacionado con q 4 esta!lecer en !ase a dicha distri!uci$n la región crítica: regi$n en la que el estadístico tiene una pro!a!ilidad menor que a si 50 fuera
cierta 4 en consecuencia si el estadístico ca4era en la misma se rechazaría 50. -!servar que de esta manera se est% m%s seguro cuando se rechaza una hip$tesis que cuando no. 'or eso se fija como 50 lo que se quiere rechazar. uando no se rechaza no se ha demostrado nada simplemente no se ha podido rechazar. 'or otro lado la decisi$n se toma en !ase a la distri!uci$n muestral en 50 por eso es necesario que tenga la igualdad. 5. alcular
el estadístico para una muestra aleatoria 4 compararlo con la regi$n crítica
o equivalentemente calcular el valor p del estadístico ,pro!a!ilidad de o!tener ese valor u otro m%s alejado de la 50 si 50fuera cierta) 4 compararlo con a. Solución:
´ =18,5 X 1.
S =3,6
Se trata de un contraste so!re medias. 3a hip$tesis nula ,lo que queremos
rechazar) es:
H 0 : μ =18 2. la
hip$tesis alternativa
H 1 : μ > 18 Es un contraste lateral derecho.
3.
Tijamos a priori el nivel de significaci$n en 00*
4. El
estadístico para el contraste es
´ − μ0 X S/√ n
T = U
la
regi$n
crítica
(
¿ α
Si el contraste hu!iera sido lateral izquierdo la regi$n crítica sería (Mt1N 4
si
hu!iera
sido
!ilateral
(Mt1N O#& o
(Ct O#&
En este ejemplo t,7*)00*=19. *.Nalculamos el valor de t en la muestra
T =
18,5 −18 3,6 / √ 36
=0,833
+o est% en la regi$n crítica ,no es ma4or que 19) por tanto no rechazamos 50. -tra manera equivalente de hacer lo mismo ,lo que hacen los paquetes estadísticos) es !uscar en las ta!las el valor p que corresponde a (=0<77 que para 7* g.l. es aproimadamente 0&0. Es decir si 50fuera cierta la pro!a!ilidad de encontrar un valor de ( como el que hemos encontrado o mayor ,/por qu" ma4or2 'orque la 5 1 es que B es ma4or lo que produciría una media muestral ma4or 4 por tanto ma4or valor de t) es 0&0 dicho de otra manera la pro!a!ilidad de equivocarnos si rechazamos 50 es 0&0 como la frontera se esta!lece en 00* no la rechazamos. Este valor crítico de 00* es ar!itrario pero es la convenci$n ha!itual. ILIO!RAFIA:
https:##!ooKs.google.com.m#!ooKs2id=G!aN V'WqjsXq=intervaloJdeJconfianzaXhl=esXsource=g!sYVordYcloudYrXcad=;Zv=sni ppetXq=intervalo&0de&0confianzaXf=false http:##VVV.mediafire.com#doVnload#j97m0j!1peshpr#Estadistica &JDescriptivaJeJ[nferencialJNJanuelJordovaJLamora.pdf
