RESOLUÇÃO QUESTÕES PROBLEMAS HALLIDAY 3.docx

Instituto Federal do Pará Curso de Engenharia de Controle e Automação 2º semestre Disciplina: Física II Proessor: !eonardo "ascimento #esolução de Pro$lemas do !i%ro Fundamentos Fundamentos da Física &' Ed( )ol( * 2014

CAP01-!, 2

P#,3!E4 A 25

A Fig.2 ig.211-30 30 mostr mostra a um sist sistema ema de quat quatro ro part partíc ícul ulas as ca carr rrega egada dass co com m θ=300 °

e

d =2,00 cm . A carga da partícula 2 é

carg ca rga a das das part partíc ícul ulas as 3 e 4 é

−19

q3 =q 4=−1,60 × 10

∁

−19

q 2=+ 8,00 × 10

∁

;a

. (a) Qual dee ser a

dist!"cia # e"tre e"tre a origem e a partícula 2 para que a $or%a que age so&re a partícula 1 se'a "ula? (&) e as partículas 3 e 4 so apro*imadas do ei*o  x ma"te"do-se simétricas em este ei*o+ o dist!"cia # é me"or ou item (a)?

#E+,!-./, #ados,

rela%o a alor da maior+ igual ao do

d =2 cm cos30 ° =√ 3 / 2

|q 3|=|q4|=1,6 ∙ 10−19  |q |=+ 8 ∙ 10−

19

2



lculo de r  a partir dos tri!"gulos

cos30 ° =

r=

d

=

d  =r . cos30 ° =d r

2d

2d √ 3 √ 3  + logo r = 3 √  2

alcula"do a $or%a eletrosttica temos,

 F 13=

|q 1|=|q3|cos30 ° r2

|q1|=|q 4|cos30 °

 F 14 =

r

2

↔ F 13=

|q1|=|q 3|cos30 ° r

2

A"alisa"do as compo"e"tes e $a/e"do a soma etorial temos,

d =2 cm cos30 ° =√ 3 / 2

|q 3|=|q4|=1,6 ∙ 10−19  |q |=+ 8 ∙ 10−

19

2



lculo de r  a partir dos tri!"gulos

cos30 ° =

r=

d

=

d  =r . cos30 ° =d r

2d

2d √ 3 √ 3  + logo r = 3 √  2

alcula"do a $or%a eletrosttica temos,

 F 13=

|q 1|=|q3|cos30 ° r2

|q1|=|q 4|cos30 °

 F 14 =

r

2

↔ F 13=

|q1|=|q 3|cos30 ° r

2

A"alisa"do as compo"e"tes e $a/e"do a soma etorial temos,

 Fr =

 Fr =

2|q1|∙|q3|cos30 ° 4 πε r

2

=

2|q 1|∙|q3| 4 πε

∙

√ 3 ∙ 1 = 3 √ 3|q 1 ∙ q 3|

4d 2 2

2

16 πε d

2

3 √ 3|q 1 ∙ q3| 16 πε d

2

 Fr − F 12= 0 3 √ 3|q 1 ∙ q3| 16 πε d

2

=

|q1|∙|q2|

4 πε ( D + d )

3 √ 3|q 1 ∙ q3| 16 πε d

 D= d ∙ 2 ∙

CAP01-!, 2

2

=

 3 √ 3|q 1 ∙ q3|

↔ 2

|q1|∙ 5|q3|

2

2

4 πε ( D + d )

√ √  5

3 3

2

16 πε d

↔ ( D + d ) =

=

|q1|∙ 5|q3| 2

4 πε ( D + d )

5∙4d

2

3 √ 3

−1=1,92 cm

P#,3!E4 A 2

a Fig. 21-31+ as partículas 1 e 2+ de carga so&re o ei*o  y  + a uma dist!"cia

− 19

q1 =q2 =+ 3,20 × 10

∁

 + esto

d =17,00 cm  da origem. A partícula partícula 3

−19 =+ 6,40 10 q × ∁  + é deslocada ao lo"go do ei*o  x + de  x =0 3 de carga

até

 x =+ 5,0 m . ara que alor de  x  o mdulo da $or%a eletroesttica

e*ercida pelas partículas 1 e 2 so&re a partícula 3 é (a) mí"imo e (&) m*imo? Quais so os alores (c) mí"imo e (d) m*imo do mdulo.

#E+,!-./, #ados −19

e =1,6 × 10

cos θ = x / √  x

2

C 

+d 2 − 19

q1 =q2 =3,2 × 10 −19

q3 =6,4 × 10

 F  Res=2 F e × cos θ =

2× ( 2 e) × (4 e ) 4 π ε 0 ( x

2

+d 2 )

1 2 2

( x + d ) 2

C → q3 = 4 e 2

x

×

C → q 1 = q 2 =2 e

4 e  x

=

π ε 0 ( x + d 2

3 2 2

)

#eria"do ape"as o que est de"tro do círculo temos, d  F  dx  Res

d = dx

3 2 2

( x + d ) 2

1

 3 − x 2 x ( x2 +d 2 ) 2 2

[( (

2  x + d

−3

d =( x2 + d 2 ) 2 − dx

3 2 2

)

)]

2

2

2 2 2 2 2 d  x + d −3 x  d − 2 x = → = 5 5 5 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x + d ) ( x + d ) ( x + d )

3 x

2

→

3 2 2

1 2 2

d ( x + d ) 3 x ( x + d ) =  − 2 2 3 dx ( x 2+ d 2 )3 ( x +d ) 2

2

2

2

d 4e d −2 x d  F  Res= × →  F  Res= 0 5 dx π ε0 dx ( x 2+ d 2 ) 2

2

4e

π ε0

2 x

2

×

 d

2

− 2 x 2 5 2 2

=0 → d 2−2 x 2=0

( x2 + d )

= d 2 → x =±

d

√ 2

A"alisa"do o estudo si"al temos,

a) omo

o

po"to

e"co"tra-se "o limite i"$erior do i"teralo+ e"to  x min= 0 ;

&)

x max=

d

√ 2

=12 cm;

c)  alor mí"imo da  F  Res=0 ;

d)  alor m*imo é,

mí"imo

2

4e

π ε0

×

2 2  d − 2 x

→Parax = 5

( x2 + d2 ) 2

d

√ 2

→ x max=12 cm= 0,12 m

 F  Res= 4,9 × 10−26 N 

CAP01-!, 2

P#,3!E4 A 22

A Fig. 21-32 a  mostra um sistema de trs partículas carregadas separadas por uma dist!"cia d . As partículas A e  esto 5*as "o lugar so&re o ei*o  x   ( Fig. 21-32 b ). As curas da Fig. 21-32 c   mostram+ para duas

situa%6es+ o mdulo

 F l! 

da $or%a eletrosttica total que as outras

partículas e*ercem so&re a partícula A. 7sta $or%a total est plotada em $u"%o do !"gulo θ e como m8ltiplo da uma $or%a de re$er"cia  F 0 . Assim+ por e*emplo+ "a cura 1+ para

θ=180 ° + emos que  F l! = 2 F 0 . (a)

para a situa%o correspo"de"te 9 cura 1+ qual é a ra/o e"tre a carga da partícula  e a carga da partícula : (i"clui"do o si"al) ? (b) Qual é a mesma razão para a situação correspondente à curva 2?

#E+,!-./, a)  F =

1

q1 q 2

4 π ε0 d 2

Qua"do θ= 0 °  F ! =0  F C" + F #" =0

 F C" =− F #"

Qua"do θ=180 °

 F ! =2 F 0

"de+  F #"=

 F C" =

1

q " q #

4 π ε 0 d2 1

q " q C 

4 π ε 0 ( 2 d )2

ogo+
 F #" 4 π ε 0 d q #= q "

q #  e qC   "as segui"tes e*press6es+ temos,

2

2

 F C" 4 π ε 0 4 d qC = q "

Fa/e"do+

qC  q#

qC  4 F C" = q #  F #"  F C" + F #" =0

 F C" =− F #" qC  =−4 q#

&) ara resolermos essa alter"atia+ "oame"te iremos o&serar as i"$orma%6es co"tidas "o gr5co. ara o θ= 0 ° + temos que a For%a

=esulta"te "a partícula A é, 1+2> . ? para

θ=180 ° + a For%a =esulta"te

ser de 0+@>. rimeirame"te iremos calcular a situa%o 1 ( θ= 0 ° ),  F #" + F C" =1,25

 $ q " q #  $ q " qC  d

+

2

( 2 d )2

=1,25

4 $ q " q# + $ q " q C  4d ²

=1,25


¿  $  ¿

q " =

5d ²

¿

Agora iremos calcular a situa%o 2( θ=180 ° ¿

− F #" + F C" =0,75 − $ q " q #  $ q " q C  + =0,75 d2 ( 2 d )2 − 4 $ q " q # + $ q " qC  4d ²

=0,75


¿  $  ¿

q " =

3d ²

¿

omo a carga A é a mesma "as duas situa%6es+ podemos iguala-las,

C  −4 q # + q ¿

¿

C 

4 q # + q¿

¿  $  ¿  $  ¿

3 d²

¿

Aps a ma"ipula%o algé&rica+ o resultado ser, qc = 16 q#

CAP01-!, 2

P#,3!E4 A 2*

ma casca es$érica "o-co"dutora+ com um raio i"ter"o de 4+0 cm e um raio e*ter"o de B+0 cm+ possui uma distri&ui%o de cargas "o-Comog"eas. A de"sidade olumétrica de carga D é a carga por u"idade de olume+ medida em coulom&s por metro c8&ico. o caso dessa casca+

dista"cia em metros a partir do ce"tro da casca e b carga total da casca.

#E+,!-./,

 %=

b r + o"de r é

¿ 3,0 & C / m2 . Qual é a

r 1= 4 cm

r 2=6 cm

#ados  %=

b r

; se"do

b =3,0 &c / m2

r 1= 4 cm r 2=6 cm

"otação: 2

d' = r senθdθd(dr

"de+ sen θ dθd ( =4 π 

2 7"to+ d' = 4 πr dr

 %=

 dq →dq = %d'  d' 

∫ dq =∫ %d' →q =∫ br ∙ 4 π r dr 2

r2

q = 4 πb

∫ r1

2

|

 r r 2 rdr→q = 4 πb 2 r1

q = 2 πb r

2

|

r2 r1

q =2 π 3 ( 0,06

→ q=2 πb (r 22−r 12 )

2

−0,042 )

−8

q ≅ 0,038 & C =3,8 ∙ 10 C 

CAP01-!, 2

P#,3!E4 A *6

A Fig. 21-3> mostra dois elétro"s+ 1 e 2+ so&re o ei*o  x + e dois ío"s+ 3 e 4+ de carga −q + so&re o ei*o  y .  !"gulo

θ  é o mesmo para os dois

ío"s.  elétro"s 2 est lire para se moer; as outras trs partículas so ma"tidas 5*as a uma dist!"cia Cori/o"tal R do elétro" 2+ e seu o&'etio é

impedir que o elétro" 2 se moa. ara alores 5sicame"te possíeis de q ) 5 e + determi"e (a) o me"or alor possíel de

θ ; (&) o segu"do me"or

alor possíel de θ ; (c) 0 terceiro me"or alor possíel de θ .

#E+,!-./,

 R R →r = cos θ r

cos θ =

 Fe2,1= Fe 2,3 x + Fe2,4 x

 Fe2,3 x = Fe2,3 cos θ  Fe2,4 x = Fe2,4 cos θ

 $  (−e ) (−e )  $  (−e ) (−q ) cos θ  $ (−e ) (−q ) cos θ  R

=

2

r

+

2

r

2

* (− $e )

e q cos θ q cos θ = 2 + 2 2  R r r  R cos θ

 ¿2

¿ ¿

e  R

2

=

2 q cos θ

¿

=esole"do a equa%o acima+ co"sidera"do a e*ig"cia de que q ) 5 e  "os lea a, e

1

3

2cos θ

)5 e ⟹

(10 )

1 3

) cos θ

 pro&lema pede para Ealores 5sicame"te possíeisE+ e é ra/oel supor que ape"as alores positios-i"teiros m8ltiplos de q =ne + para

q . e dei*armos

e"co"trado toma"do o

ne =

e

√

−1 3

3

2cos θ

a) ara n =1 ;

→θ =cos

√

−1  3

cos

1 2n

1 2n .

e  so permitidos para

n =1, +, 5 + em seguida+

θ   ser

√

1

−1 3

θ= cos

2× 1

√

=cos−1

 3

=cos−1

 3

1 2

=cos−1 0,794 → θ

≅

=cos−1 0,629 → θ

≅

=cos−1 0,55 →θ

56,6 ° ( R-P/0" )

37,5 ° ( R-P/0" )

&) ara n =2 ;

√

1

−1 3

θ= cos

2× 2

√

1 4

50,95 ° ( R-P/0" )

c) ara n =3 ;

√

−1 3

θ= cos

CAP01-!, 2

1 2× 3

=cos−1

√

 3

1 6

≅

P#,3!E4 A *7

os cristais de cloreto de césio+ os ío"s de césio+ értices de um cu&o+ com um ío" de cloro+ aresta do cu&o tem

0,40 nm

. s ío"s

+¿¿

C s

−¿¿ Cl

+¿¿

C s

+ esto "os oito

+ "o ce"tro (Fig. 21-3B). A

 possuem um elétro" a me"os

−¿¿ + e (e+ porta"to+ uma carga )+ e os ío"s Cl  possuem um elétro" a mais (e+ porta"to+ uma carga  1 e ). (a) Qual é o mdulo da $or%a eletrosttica total e*ercida so&re o ío" cu&o. (&) e um dos ío"s

−¿¿ Cl

−¿¿ C s

 pelos ío"s

+¿¿

C s

 situados "os értices do

est $alta"do+ di/emos que o cristal possui

um de$eito; qual é o mdulo da $or%a eletrosttica total e*ercida so&re o ío"

+¿¿

−¿¿

 pelos ío"s C s  resta"tes?

Cl

#E+,!-./,

a) ada ío" de césio "o ca"to do cu&o e*erce a mesma $or%a sem se"tidos opostos so&re o ío" de cloro "o ce"tro do cu&ro+ deste modo a $or%a total e*ercida so&re o ío" de cloro é igual a /ero.

&)

c)

−¿=−e +¿=+ e ; C l ¿ ; ¿ Cs

+¿ ; ¿ q1 q 2 = e

√ 3 ;

d)

d= a

e)

( 8,99 × 10−9 ) × ( 1,6 × 10−19 )  e 2 e2 = =1,9 × 10−9 N   F e = 2  2 =2  2 2 3 3 d × ( 0,4 × 10−9 ) a

2

2

() 4

CAP01-!, 22

P#,3!E4 A 8

() 4

A Fig. 22-3 um a"el de plstico de raio

 R=50,0 cm . #uas peque"as

co"tas coloridas esto so&re o a"el, a co"ta 1+ de carga

+ 2,00 & ∁ + que é

ma"tida 5*a "a e*tremidade esquerda+ e a co"ta 2+ de carga

+ 6,00  & ∁ +

que pode ser deslocada ao lo"go do a"el. As duas co"tas produ/em+ 'u"tas+ um campo elétrico de mdulo

 -  "o ce"tro do a"el. #etermi"e (a) um

alor positio e (&) um alor "egatio do !"gulo  -= 2,00 × 105 N  /∁ .

#E+,!-./,  #ados q1 =+ 2,00 × 10−6 C  q 2=+ 6,00 × 10−6 C  −5

 -=+ 2 × 10  N / C   R=50,0 cm

alcula"do o campo elétrico das compo"e"tes temos,

θ

para que

 - x =

 - y =

q1 4 π ε 0 R

− 2

 q 2 cos θ 4 π ε 0 R

2

−q1 cos θ 4 π ε 0 R

2

Assim;  -

2

= - x 2+ - y 2

q1

2

2

2 q 2 q 1 cos θ

q1

2

2

2 q 2 q 1 cos θ

(

)( 2

−q2 senθ q2 cos θ −  + +  - = 2 2 2 2 4 π ε 0 R ( 4 π ε 0 R 2 ) ( 4 π ε 0 R2 ) 4 π ε 0 R

 -

=

2 2

( 4 π ε  R )

−

0

 -

2

=

q1

( 4 π ε  R )

−

0

q1 2

2

 - =

2

 - =

( 4 π ε 0 R

2 2

)

 +

2

2 2

2 2

( 4 π ε  R )

 +

2 2

2

2

2 2

( 4 π ε  R ) 0

2 q 2 q 1 cos θ

( 4 π ε 0 R

0

q 2 ( c s θ s e n θ ) 2

2 q 2 q 1 cos θ

 +

q 22 ( 1 ) 2 2

) ( 4 π ε  R ) 0

2 2

( 4 π ε  R ) 0

(

+

0

2 2 q 1 + q 2 −2 q2 q1 cos θ

θ= cos−1

2

q2 se n θ

( 4 π ε  R ) ( 4 π ε  R ) ( 4 π ε  R )

0

−

2

2 2

0

2 2 2

2 2

2

q2 c s θ

2

q12 + q 22−( 4 π ε 0 R 2)  - 2 2 q1 q2

)

)

2

u&stitui"do os alores temos,

a)  alor positio do !"gulo é θ= 67,8 °

&)  alor "egatio do !"gulo é θ=−67,8 °

CAP01-!, 22

P#,3!E4 A 9

#uas co"tas carregadas esto so&re o a"el da Fig. 22-40 a+ que possui um raio R G B0+0 cm. A co"ta 2+ que "o aparece "a 5gura+ é ma"tida 5*a. A co"ta 1 est i"cialme"te so&re o ei*o

 x

+ "a posi%o

°

θ= 0 + mas é

deslocada para a e*tremidade oposta do a"el+ ou se'a+ para a posi%o θ=180

°

+ passa"do pelo primeiro e segu"do quadra"tes do sistema de

coorde"adas

 xy . A Fig.22-40b mostra a compo"e"te

 x do campo

elétrico produ/ido "a origem pelas duas co"tas em $u"%o de

θ , e a Fig.

22-40c mostra a compo"e"te  y  do campo. As escalas dos ei*os erticais 4 4 so de5"idas por  - xs=5,0 × 10  N / C   e  - ys =−9,0 × 10  N / C  . Qual é !"gulo

θ  da co"ta 2? #etermi"e as cargas (&) da co"ta 1 e (c) da co"ta 2.

#E+,!-./, a) Qua"do a co"ta 1 est "o ei*o H positio+ "o e*iste compo"e"te I do campo elétrico resulta"te+ o que implica que a co"ta 2 est "o ei*o J "egatio+ e"to o ngulo ; <=5>(

&)

−12 ) ( 0,6 ) ( 5.10 4 )= 2.10−6 C  q 1= 4 π ϵ 0 -= 4 π ( 8,854.10

c)

−12 ) ( 0,6 ) (−4.104 ) =−1,6.10−6 C  q 2= 4 π ϵ 0 -= 4 π ( 8,854.10

CAP01-!, 22

P#,3!E4 A 2

Quadrupolo elétrico. A Fig. 22-42 mostra um quadrupolo elétrico+ $ormado por dois dipolos de mesmo mdulo e se"tidos opostos. Kostre que o alor de  - em um po"to  P   so&re o ei*o do quadrupolo situado a uma dist!"cia  3  do ce"tro (supo"do  3 ≫ d ) é dado por,

 -=

34 4 π ε 0 3

4

"de+

¿ 2 q d2 4 ¿ ) é cCamado de mome"to quadrupolar da distri&ui%o de

cargas.

#E+,!-./, alcula"do o campo elétrico "o po"to  temos,

+¿ ¿ −¿ ¿ ¿  -= - ¿

1 4 πε

 "ota:

 ∙

q

 −1

= 2

(−)  3 2

d

4 πε

2

( − ) =[ ( ) ]  3 2

d

2

 ∙

2

 3 2 ∙ 1 ±

2

 d

q

(−)  32

G

(

( 3 2) ∙ 1 ± d 2 3 2

q

(

2

2

2

2

d 4 πε ( 3 2) ∙ 1− 2 3 2 2

d

= 2

)

)

2

−q

(

d 4 πε ( 3 2) ∙ 1 + 2 3 2 2

)

2

q

∙ 2

4 πε ( 3 2)

"ota:

 x =

[(

1

d 1− 2 3 2

− 2

) (

1

d 1+ 2 3 2

)

2

]

d 2 3 2  ? logo o&temos a segui"te e*presso,

1 1 q −  ∙ 2 2 2 4 πε ( 3 2) ( 1− x ) ( 1 + x )

+ resole"do ape"as a parte em ermelCo

temos,

[

][

]

( 1 + x )2 1 ( 1− x )2 1 − = −  ∙  ∙ ↔ ( 1− x )2 (1 + x )2 ( 1 + x )2 ( 1− x )2 ( 1 + x )2 ( 1− x )2 1

1

( 1 + x )2 ( 1− x )2 ¿ −  ↔ ( 1 + x )2 ∙ ( 1− x )2 (1 + x )2 ∙ ( 1− x )2

 ( 1 + x )2−( 1− x )2 4  x ¿  = ( 1 + x )2 ∙ ( 1− x )2 ( 1− x 2 )2

Assim:

[

4 x  4 d q q = ∙ ∙ ∙ 2 2 2 4 πε ( 3 2) ( 1 − x 2) 4 πε ( 32 ) 2 3 2

 -2=

qd 3

2 πε ( 3 2 )

e

 - 1=

−qd 2 πε ( 3 1 )

3

[ ( )] ] 1

d 1− 2 3 2

2 2

ogo+ o campo elétrico produ/ido pelo dipolo elétrico ser,  -1 + -2= - q

qd  ∙ 2 πε

[(

1

 3 −

d 2

−

1

) ( ) 3

 3 +

d

3

2

]

[ () ( )]

qd d ↔  ∙  3 − 2 πε 2

"ota: E@pansão 3inominal

( 3 −d / 2 )−3 5 3 −3−3 3−4 (−d / 2 )

( 3 + d / 2 )−3 5 3−3−3 3−4 ( d / 2 )

2 omo 4=2 q d

[

]

2

qd  1  3 d  1  3 d 6q d  -= + − + = 4 2 π ε 0  3 3 2 3 4  3 3 2 3 4 4 π ε 0 3

 -=

34 4 πε ( 3 )

4

−3

−  3 +

d 2

−3

CAP01-!, 22 a

P#,3!E4 A *2 Fig.

22->1+

uma

carga

positia

q =7,81  6 ∁

est

distri&uída

u"i$ormeme"te em &arra 5"a+ "o-co"dutora+ de comprime"to  7=14,5 cm . #etermi"e (a) o mdulo e (&) a orie"ta%o (em rela%o ao semi-ei*o  x positio) do campo elétrico produ/ido "o po"to

 P + situado so&re a

mediatri/ da &arra+ a uma dist!"cia  R=6,00 cm  da &arra.

#E+,!-./,

"otaçes: r = √  x 2 + R2

+

dq dx

 8 =

d- ∙ cos θ=

 R r

cos θ =

d- =

+

senθ =

 x  R

dq

1

4 πε r 2

dq  ∙ cos θ 4 πε r 2 1

 -=∫ d- ∙ cos θ =∫

1 dq 4 πε r

2

∙ cos θ→ - =∫ d- ∙ cos θ=∫

1 dq  R

8dx 1 1 ∙  → - =  R ∫  ∙ ∫ d- ∙ cos θ = 4 1πε  R ∫ dq 4 πε r r ( x + R )

 -=

2

2

l

 -=

1 R8 4 πε

2

∫ 0

dx 3 2 2

( x + R ) 2

 x = R ∙ tan θ

dx = R9 ∙ tan θ + R ∙ tan θ9 = R se c2 θ dθ

1  -=  R ∙ 8 ∙ 2 4 πε

∫

2

  R ∙ s e c θ dθ 3 2 2

(( R ∙ tan θ ) + R ) 2

2

∙

4 πε r 2 r

1 1 2 2

( x + R ) 2

"otação: 2

θ=¿ se c θ 2 2 c s θ se n θ + = 1 2 → 1 + ! :2 ¿ 2 c s θ cos θ cs θ

1  -=  R ∙ 8 ∙ 2 4 πε

∫

2

  R ∙ s e c θ dθ 3 2 2

(( R ∙ tan θ ) + R ) 2

=esole"do ape"as a equa%o em ermelCo temos 3 2 2

( ( R ∙ tan θ ) + R ) =[ ( ( R ∙ tan θ ) + R )] 2

2

2

3 2

→

3 2

¿ [ R ( ! : θ + 1 ) ] → R3 ∙sec 3 θ 2

2

Assim; 3 2 2

( ( R ∙ tan θ ) + R ) 2

= R3 ∙sec 3 θ

ogo; 2

1  R ∙ s e c θ dθ  -=  R ∙ 8 ∙ 2 3 3 4 πε  R ∙sec θ

∫

 -=

1

 8 ∙ 2 4 πε  R  ∙

1  8 ∙ 2 ∙ dθ  → -=  ∙ ∫ 1secθ ∫ cos θ∙dθ 4 πε  R

 -=

1  8 ∙ 2  ∙ ∙ ( senθ − senθi ) 4 πε  R

senθ =

x

√  x 2 + R2

|

 -=

1  8 ∙ 2 x  ∙ ∙ 2 2 l/2 4 πε  R √  x + R 0

 -=

1  8 ∙ 2 7  ∙ ∙ =12,4 N  /C  4 πε  R √  72+ 4 R2

CAP01-!, 22

P#,3!E4 A **

a Fig. 22->2+ uma &arra "o-co"dutora Lsemi-i"5"itaM (ou se'a+ i"5"ita ape"as em um se"tido) possui uma de"sidade li"ear de cargas u"i$orme  8 . Kostre o campo elétrico

 - 6

 "o po"to  P  $a/ um !"gulo de

45 °

com a &arra e que esse resultado "o depe"de da dist!"cia R .  (ugesto, calcule separadame"te as compo"e"tes de perpe"dicular 9 &arra).

#E+,!-./, 2 2 r = x + R ²

 8 =

dq dx

 R csθ = r

senθ =

d- =

 x  R

dq 4 πε r ² 1

 - 6   "as dire%6es paralela e

 - y = d-csθ=

dq  csθ 4 πε r ² 1

 R ∫ d-csθ= 4 1πε ( x 8dx + R ) ( x + R ) /

 - y =

2

2

2

2 1 2

+<

8R dx  - y = ∫ 2 4 πε 0 ( x + R 2)3 /2

N em&ra"do que,

2

dx = R . se c θ.dθ

B  #(tg θ orta"to+

8R  - y = 4 πε

π / 2

2

 R . se c θ.dθ

 ∫ (( R . !:θ ) + R ) / 2

2 3 2

0

π / 2

8R  R . se c 2 θ.dθ  - y =  ∫ 4 πε 0  R3 .sec ³ θ π / 2

8 dθ  - y =  ∫ 4 πεR 0 secθ π / 2

8  - y =  ∫ csθ.dθ 4 πεR 0

 - y =

()

8  π  − sen ( 0 ) = 8  . sen 4 πεR 2 4 πεR

Conclusão:

e 5/ermos o clculo do campo elétrico "o 7i*o ser o mesmo do campo do ei*o

x

+ eremos que o alor

y . ara isso+ é "ecessrio a su&stitui%o

de cos θ  por se" θ  "o i"ício dos clculos. 7ssa igualdade de campos é porque sen 45 ° =cos 45 °.

CAP01-!, P#,3!E4 2* A 8 A super$ície gaussia"a em $orma de paralelepípedo da Fig. 23- 43 e"ole uma carga de + 24,0 ε 0 ∁   e est imersa em um campo elétrico dado  -=[ ( 10,0 + 2,00 x ) ^  = −3,00 > + b3 $  ] N  / ∁ + com ^

⃗

^

 x e

 3

em metros e

b

co"sta"te. A $ace i"$erior est "o pla"o  x3 ; a $ace superior est "o pla"o Cori/o"tal

que

passa

pelo

po"to

 y 2=1,00 m .

 x 2=4,00 m +  3 1=1,00 m  e  3 2=3,00 m + qual é alor de

#E+,!-./, ara a $ace esquerda,

ara b ?

 x 1=1,00 m +

[

]

(e =∫ - x ∙ d" =∫ ( 10 + 2 x 1 ) ^i × (−d" ) ^i → ⃗

⃗

⃗

∫ [ ( 10 +2 × 1 ) ^i × (−d" ) ^i ] →−12∫ d" =−12 × 2 → ⃗

∫

2

(e =  - x ∙ d" =−24 N m / C  ⃗

⃗

ara a $ace direita,

∫

∫ [ ( 10 + 2 x ) ^i × ( d" ) ^i ] →

(d =  - x ∙ d" = ⃗

⃗

2

⃗

∫ [ ( 10 +2 × 4 ) ^i × ( d" ) ^i ] → 18∫ d" =18 × 2 → ⃗

2 (d =∫ - x ∙ d" =36 N m / C  ⃗

⃗

ara a $ace superior

∫

∫ [ ( 3 ) ^ ?× (−d" ) ^ ? ] →

( s =  - y ∙ d" = ⃗

⃗

⃗

∫ [ ( 3 ) × (−d" ) ] →− 3∫ d" =−3 × 6 → ∫

2

( s =  - x ∙ d" =−18 N m / C  ⃗

⃗

ara a $ace i"$erior,

∫

∫ [ ( 3 ) ^ ? × ( d" ) ^ ? ] →

(i =  - y ∙ d" = ⃗

⃗

⃗

∫ [ ( 3 ) × ( d" ) ] → 3∫ d" =3 × 6 → ∫

2

(i =  - y ∙ d" =18 N m / C  ⃗

⃗

ara a $ace $ro"tal,

∫

∫ [ ( b 3 ) 2^ × ( d" ) ^2 ] →

(  =  - 3 ∙ d" = ⃗

⃗

⃗

2

∫ [ ( b × 3 ) ^2 × ( d" ) ^2 ] → 3 b =∫ d" =3 b × 3 ⃗

∫

2

(  =  - 3 ∙ d" =9 bN m / C  ⃗

⃗

ara a $ace traseira,

∫

∫ [ ( b 3 ) ^2 × (−d" ) ^2 ] →

(! =  - 3 ∙ d" = ⃗

⃗

⃗

1

∫ [ ( b × 1 ) 2^ × (−d" ) ^2 ] →−b =∫ d" =−b × 3 ⃗

∫

2

(! =  - 3 ∙ d" =−3 bN m / C  ⃗

⃗

lculo do Ou*o total,

(0 =( e + ( d + ( s + ( i+ (   + (!  →

(0 =−24 + 36 −18 + 18 + 9 b−3 b

(0 =12 + 6 bN m 2 / C 

lculo de &,

q en@ =ε 0 ×( 0  → 24 ε 0= ε 0 ( 12+ 6 b ) → 6 b =24 −12 → 6 b =12 →

b =2 N  /Cm

CAP01-!, 2*

P#,3!E4 A *2

m cili"dro maci%o+ lo"go+ "o-co"dutor+ com

4,0 cm

de"sidade olumétrica de carga "o-u"i$orme dist!"cia radial 5

 " = 2,5 & C / m

r

 %

a partir do ei*o do cili"dro,

de raio+ possui uma que é $u"%o da  %= " r

+ determi"e o mdulo do campo elétrico (a) para

2

  . ara

r =3,0 cm

; para r =5,0 cm

#E+,!-./, ara calcular o campo utili/amos a e de Pauss+ utili/a-se uma super$ície cilí"drica de rea 2 πr7.   olume dessa super$ície é,

2

' = π r  7

u e"to, d'  =2 πr7→d' =2 πr7dr dr

alcula"do a carga e"olida temos,

 %=

 q d'  → %= →dq = % ∙ d'  '  dr

Assim+ i"tegra"do temos,

∫ dq =∫ % ∙ d' → q

en@

=∫ % ∙ d' 

2 #e5"i"do a i"tegral e su&stitui"do  %= " r  e

r

d' = 2 πr7dr   temos,

r

q en@ =∫ " r 2 πr7dr→q en@ =2 π"7∫ r 3 dr 2

0

0

[ ]  r

4

4

0  r q en@ =2 πr7  − → q en@=2 πr7 4 4 4

q en@ =

π  2

"7r

4

alcula"do o campo elétrico temos,

"ota, ela ei de Pauss o Ou*o e carga e"olida so respectiame"te, A =| -|∙ "

q en@ =ε 0 A

Assim+ temos, π 

| -|∙ " = ⃗

"7 r 4

q en@ 2 →| -|( 2 πr7 )= ε0 ε0 ⃗

3

3

 " r  " r 2| -|= →| -|= 2 ε0 4 ε0 ⃗

⃗

a) Fa/e"do para r = 0,03 m

( 2,5 × 10−6 ) ∙ ( 0,03 )3 | -|= →| -|=1,9 N / C  −12 4 ( 8,85 × 10 ) ⃗

⃗

&) #o lado de $ora do cili"dro+ 9 equa%o 23-12 é o&edecida (li"Cas lo"gas de cargas). ogo+ para acCar a de"sidade li"ear de carga  8 =q / 7 + assim podemos e"co"trar a carga total.

q 1  8 = =  7  7

0,04

 ∫  " r

2

 1

2 πr7dr → 8 =

0

[ ]

 7

0,04

 ∫ r

2 πr"7

3

dr

0

2

 ( 0,04 ) 0  8 =2 π"  − → 8 =2 π" → 4 4 4 r

4

 8 =( 1 × 10

−11

) C / m

Aplica"do a equa%o 23-12 e su&stitui"do  8  e r = 0,05 m   temos,

( )

(

− 11

1 × 10 8  -= r → -= −12 2 πε 0 2 ∙ , 14 ∙ 8,85 × 10

 -=3,6 N  / C 

)

CAP01-!, 2*

P#,3!E4 A 6*

A Fig. 23-4@ mostra uma se%o reta de uma placa "o-co"dutora muito e*te"sa com uma espessura d = 9,40 mm  e uma de"sidade olumétrica de 3 cargas u"i$orme  %=5,80  C / m . A origem do ei*o  x  est "o ce"tro da

placa. #etermi"e o mdulo do campo elétrico (a) em

 x =0 ; (&) em

 x =2,00 mm ; (c)  x =4,70 mm ; (d) em  x =26,0 mm .

#E+,!-./, a)

 campo est paralelo 9s outras $aces da super$ície gaussia"a e o Ou*o atraés deles é /ero.  Ou*o total atraés da super$ície gaussia"a é, 2

( =2 - a

 olume $ecCado pela super$ície Paussia"a é co"tida é, 2

q =2 a  x%

ela lei de Pauss  x% ε 0 ( =q en@ =ε 0 2 - a2=2 a2 x%→ - = ε0

orta"to+ para  x =0 + temos,

 -=

 x%  0 % =0 → ε0 ε0

&) −15 3 −3  x% ( 5,8 × 10 C / m ) ∙ ( 2 × 10 m )  -= = → −12 2 2 ε0 8,85 × 10 C  / N m

 -=

c) ara

 x% =1,31 × 10−6 N / C  ε0

d −2  x = =4,7 × 10 m 2

+ temos,

−15 3 −3  x% ( 5,8 × 10 C / m ) ∙ ( 4,7 × 10 m )  -= = → −12 2 2 ε0 8,85 × 10 C  / N m

 -=

 x% =3,08 × 10−6 N / C  ε0

2

2 a  x

+e a carga "ela

 x =2,6 × 10−2 m + temos uma super$ície Paussia"a de mesma

d) ara

 x > d / 2 .

$orma e orie"ta%o+ mas com

A carga compree"dida é

agora, q =a2 d%

ela lei de Pauss 2

2

ε 0 ( =q en@ =ε 0 2 - a = a d % → -=

d% 2 ε0

d% ( 5,8 × 10 C / m ) ∙ ( 9,4 × 10 m ) =  -= → 2 −12 2 2 ε0 ( ) 2 8,85 × 10 C  / N m −15

 -=

CAP01-!, 2*

3

−3

d% =3,08 × 10−6 N  /C  ε0

P#,3!E4 A 7*

ma distri&ui%o de cargas "o-u"i$orme+ mas com simetria es$érica produ/ 4 um campo elétrico de mdulo  -= $r + o"de  $   é uma co"sta"te e r é a dist!"cia do ce"tro da es$era.  campo apo"ta para lo"ge do ce"tro da es$era. Qual é a distri&ui%o olumétrica de cargas  %

#E+,!-./,

?

∫¿  -=

1 4 π ε0 r

2

q¿

∫ ¿=∫ %d'  q¿

sa"do coorde"adas es$éricas ( ( ; θ ; r )  temos,

π  2 π 

r

2

∫ ¿=∫ d ( ∫ cos θ dθ∫ % ( r ) r dr → 2

0

−π 

0

2

q¿

r

∫ ¿=4 π ∫ % ( r ) r dr 2

0

q¿

ogo o campo ser dado por,

2

 % ( r ) r dr =¿

r

1

∫ % ( r ) r d r → - =2 r ε r 2

2

0

0

 -=

r

1 4 π ε 0r

2

∫¿

 4 π 

0

Assim; r

1

∫ % ( r ) r dr =2 r → ε r 2

4

2

0

0

r

∫ % ( r ) r dr =2 r 2

0

4

2 6 ε 0 r =ε 0 2r

4

sa"do o teorema $u"dame"tal do clculo temos, r

d 2   ( r ) dr =¿   ( r ) → ∫ % ( r ) r dr→ dr 0 d =∫ ¿ dr

d ε 0 2r6 ) → % ( r ) r 2= 6 ε 0 2r 5  ( dr

7"to o&temos a segui"te resposta,  % ( r )=6 ε 0 2r

CAP01-!, 2*

3

P#,3!E4 A 76

A Fig. 23->4 mostra+ em se%o reta+ duas es$era de raio

 R + com

distri&ui%6es olumétricas u"i$ormes de cargas.  po"to  P  est so&re a

reta que liga os ce"tros das es$eras+ a uma dist!"cia

es$era 1. e o campo elétrico "o po"to

 R

2,00  do ce"tro da

 P  é /ero+ qual é a ra/o

e"tre a carga da es$era 2 e a carga da es$era 1 #E+,!-./,

q2 q1

sa"do a rela%o, 4 1 9  4 1 = '  1 9  ' 1

"de Q1R e S1R so+ respectiame"te+ a carga parcial e o olume parcial da es$era 1+ e usa"do a lei de oulom& "a carga parcial+ logo,

 -=

4 1 '  1 B 1 × '  1 4 π ε 0 R 9  ²

 -=

1 4 1 R 9  ³ 4 1 R 9  = × 4 π ε 0 R 9 ² 4 π ε 0 R ³  R ³

sa"do a lei de coulom& "a es$era 2 "o po"to + temos, 4 1 R 9  42 = 4 π ε 0 R ³ 4 π ε 0( R + R9 ) ²

9 

4 2 4 π ε 0 ( R + R ) ² R9  = = 41 4 π ε 0 R ³

CAP01-!, 2*

(

3 R  R )² 2 2  R ³

=9 8

P#,3!E4 A 77

ma es$era "o-co"dutora de raio  R=5,60 cm  possui uma distri&ui%o de cargas "o u"i$orme

 %=( 14,1 6C / m 3) r / R + o"de

r   é a dist!"cia em

rela%o ao ce"tro da es$era. (a) #etermi"e a carga da es$era. #etermi"e o mdulo  -  do campo elétrico (&) em r = R . (e) Fa%a m gr5co de

#E+,!-./,

r = 0 ; (c) em

 -  em $u"%o de

r .

r = R / 2,00 ; (d) em

a) dq = % → %d@= dq d@

 R

∫ 14,1 x 10 −

12

x 4πr³ dr

=∫ dq

0

 R

4=14,1 x 10−12 x R³ π

−15

4 =7,78 x 10

&)



-= 0

c) −12

4

4 14,1 x 10  x r π   -=  → - = 2 4 π ε0 r ² 4 π ε0 r x R −12

14,1 x 10 x r  -= 4 ε x  R

 -c =

14,1 x 10

−12

2

 x ( R / 2 ) ²

4 ε 0 x  R −3

 -c =5,58x 10  N  /m

d) −12

14,1 × 10 × r  -= 4 ε 0 x  R − 12

14,1×10  -d = 4 ε0

2

×R

−2

 -d =2,23 × 10

e)

CAP01-!, 26

P#,3!E4 A 5

#ois pla"os i"5"itos+ "o-co"dutores+ u"i$ormeme"te carregados+ so paralelos ao pla"o  y3  e posicio"ados em  x =−50 cm  e  x =+ 50 cm . As de"sidades de cargas dos pla"os so

−50 nC / m2  e + 25 nC / m2 +

respectiame"te. Qual é o alor a&soluto da di$ere"%a de pote"cial e"tre a origem e o po"to so&re o ei*o  x  em  x =+ 80 cm  (Sugestão: se a lei de Pauss.)

#E+,!-./, −12

ε 0 =8,85 × 10

−9

 D1=−50 × 10

−9

 D 2=+ 25 × 10

 -1=

d1 2 × ε0

 -2=

d2 2 ×ε 0

 -C =−(

d1 d2 + ) 2 × ε 0 2 ×ε 0

 - =

d2 d1 − 2 × ε0 2× ε0

(

 -C =−

 - =

−9

−9

50 × 10

2 × ( 8,85 × 10

− 12

 +

)

25 × 10

2 × ( 8,85 × 10

−12

)

)

=−4,2 × 103 N  /C 

d2 d1 − =−1,4 × 10 3 N / C  2× ԑ 0 2× ԑ 0 0,5

0,8

0

0,5

 ' =−∫ -c ×ds −∫ - × ds

0,5

0,8

 ' =−∫ −4,2 × 10 × ds −∫ −1,4 × 10 3 × ds 3

0

0,5

3

 ' = 2,5 x 10 ' 

CAP01-!, 26

P#,3!E4 A 

ma es$era "o co"dutora tem raio  R=2,31 cm  e uma carga u"i$ormeme"te distri&uída q =+ 3,5 C  . Tome o pote"cial elétrico "o ce"tro da es$era como se"do ' 0=0 . #etermi"e o alor de '   (a) para uma dist!"cia radial r =1,45 cm ; (&) para r = R . ( Sugestão: Se'a a se%o 23.)

#E+,!-./, a)  pote"cial como uma $u"%o de r é, r

r

−q r 2 qr = ' ( R )=' ( 0)−∫ -r dr =0 −∫ 3 3 8 π ε 0 R 0 0 4 π ε 0 R

2

0.0145 m ¿

¿

m 0.0231 ¿

¿ ¿3 2¿ 2

m ( 8.99 x 10  N . 2 )( 3.50 x 10−15 C )¿ C  '  ( R )=−¿ 9

&) Assim,  ' = ' ( 0 )−'  ( R )=q / 8 π ε 0 R . Temos, 2

−(8.99 x 10  N . m2 )( 3.50  10−15 C ) −q C  '  ( R )=  → '  ( R )= 8 πε 0 R 2 ( 0.0231 m) 9

−4

'  ( R )=−6,81 × 10 ' 

CAP01-!, 26 dada por

P#,3!E4 A *2  8 =bx + o"de

 x + e"tre  x =0

e

ma distri&ui%o li"ear de cargas "o-u"i$orme b  é uma co"sta"te+ est situada so&re o ei*o

 x =0,20 m . e

b =20 nC / m

2

e

' =0   "o i"5"ito+

determi"e o pote"cial elétrico (a) "a origem; (&) "o po"to

 y =0,15 m +

so&re o ei*o  y .

#E+,!-./,: a) sa"do a de"sidade li"ear de carga,  8 =

dq  → dq = 8 dx , mas 8 =bx . 7: : dx

dq =bx dx

Aplica"do a $rmula do pote"cial elétrico ("o i"teralo e"tre *G0 m e *G0+20 m),

' =

' =

0,20

1 4 π ε0

∫ dqr 0

0,20

1 4 π ε0

∫ bxdx  x 0

0,20

b ' = ∫ dx 4 π ε0 0 ' =

b ( 0,20− 0 )=36 ' → ( R-P/0" ) 4 π ε0

2 2 &) Agora. r = √ d + x + aplica"do a $rmula do pote"cial elétrico,

' =

' =

' =

0,20

1 4 π ε0

0

0,20

1 4 π ε0

∫ 0

0,20

1 4 π ε0

2

∫ dqr

∫ 0

dq √ d 2 + x 2 bxdx √ d 2 + x 2

2

E= d + x →dE =2 x dx → x dx =

0,20

−1

0,20

−1

1 b ' = ×  ∫ E 2 dE 4 π ε0 2 0 1 b ' = ×  ∫ E 2 dE 4 π ε0 2 0 1

b ' = × [ E 2 ] 0,20 4 π ε0 0

dE 2

' =

b 2 2 0,20 × [ √ d + x ] 4 π ε0 0 −9

' =

20 × 10

−12 ×

4 × 3,14 × 8,85 × 10

( √ ( 0,20 ) +( 0,15 ) −0,15 ) 2

2

' =17,98 '  ≅ 18 ' → ( R-P/0"  R-P/0" )

CAP01-!, 26

P#,3!E4 A **

A &arra 5"a de plstico que aparece "a Fig. 24-43 tem um comprime"to  G 12+0 cm e uma de"sidade li"ear de cargas "o-u"i$orme U G c*+ o"de c G 2V+ pWmX. om S G 0 "o i"5"ito+ determi"e o pote"cial elétrico "o po"to 1 so&re o ei*o *+ a uma dist!"cia d G 3+00 cm de uma das e*tremidades.

 7

 7

0

0

' =∫ d'  ' =∫ $ 

 7

d4 d + x

 cx  cx dx ' =  $   ' = $c + d  x 0

∫

 7

∫  xd +dx x 0

 x −d ln ( x + d )∨ 7 0

' = $c ¿

(0 + d )  7−d ln ( 7 + d )−0 −d ln ¿ ' = $c ¿

(d )  7−d ln ( 7 + d )− d ln ¿ ' = $c ¿

( )

 7 + d d ' = $c ¿

 7−d ln

0,12 −( 0,03 ) ln

(

0,12.0,03 0,03

)

 =8,99 . 10 9 .28,9 . 10−12 ¿ '  = 259,811. 10 ' =259,811.

−3

[ 0,12−( 0,03 ) ln ( 5 ) ]

−3 259,811. 10 [ 0,12 −( 0,03 ) .1,6 ] ' =259,811.

259,811. 10 ' =259,811.

−3

[ 0,12−0,048 ]

−3 259,811. 10 [ 0,072 ] ' =259,811.

' =0,259811 [ 0,072 ]

' =0,0187 ' 

CAP01-!, P#,3!E4 26 A 65 A &arra 5"a de plstico que aparece "a Fig. 24-43 tem um comprime"to  G 10+0 10+0 cm e uma de"sida de"sidade de li"ear li"ear de cargas cargas "o-u"i$ "o-u"i$orm orme e  8 =cx + o"de c = 49,9 6C / m

2

. (a) om

' =0  "o i"5"ito+ determi"e o pote"cial elétrico  y =3,56 cm . (&) #etermi"e a

"o po"to 2+ situado so&re o ei*o

 y + em em

compo"e"te do campo elétrico  - y

"o po"to 2. (c) or que a compo"e"te

 - x

do campo em 2 "o pode ser calculada usa"do o resultado do item

(a)

#E+,!-./,

a) o"sidere um segme"to i"5"itesimal dx o pote"cial do po"to 2,  8 ( x ) dx

da Caste. ua co"tri&ui%o para

 7

c  x = =   = d' = dx→'  d'  dx ∫ ∫ 4 πε √  x 2+ y ² 4 πε √  x 2 + y ² 4 πε 0 √  x 2 + y ² 1

cx

1

=esole"do a i"tegral pelo método da su&stitui%o+ temos que,

' =

c  ( 2 2 √  7 + y − y ) 4 πε

2 2 √ ( 0,100 m) + ( 0,0356 m ) −0,0356 m

− 12

9

' = 8,99.10 . 49,9.10

.¿

− 12

' =3,16 × 10

&) A compo"e"te do J do campo elétrico é,  - y =

−G '6  − c d  ( 2 2 ) c =  ( 1−  ∙ √  7 + y − y = Gy

4 πε dy

4 πε

y

√  7 + y 2

2

)

u&stitui"do os alores $or"ecidos+ temos que,  - y = 0,298 N  / C 

c) o item (a)+ o&temos alores para qualquer po"to estritame"te "o ei*o H. ara calcularmos "o ei*o I+ deeríamos calcular a deriada parcial com rela%o a I.

AYT 24

=:7KA B1

upo"Ca que  N  di$ere"tes.

a

elétro"s possam ser colocados em duas co"5gura%6es

co"5gura%o 1

todos os elétro"s so distri&uídos

u"i$ormeme"te ao lo"go de um a"el circular estreito de raio

 R . a

co"5gura%o 2 N −1  elétro"s so distri&uídos ao lo"go do a"el e o elétro" resta"te é colocado "o ce"tro do a"el. (a) Qual é o me"or alor de

 N 

para o qual a segu"da co"5gura%o possui me"or e"ergia que a primeira (&) ara esse alor de  N  , co"sidere um dos elétro"s do a"el+ e 0 .

Qua"tos outros elétro"s do a"el esto mais pr*imos de

e 0  que o elétro"

ce"tral

#E+,!-./,

CAP01-! , 27

P#,3!E4 A 28

A 5gura 2>-42 mostra uma &ateria de 12+0 S e trs capacitores descarregados de capacit!"cias+ C 2 =6 &F  e C 3 =3 &F  . A cCae é deslocada para a esquerda até que o capacitor 1 este'a totalme"te carregado. 7m seguida+ a cCae é deslocada para a direita. #etermi"e a carga 5"al(a) do capacitor1; (&) do capacitor 2; (c) do capacitor 3.

#E+,!-./, As cargas dos capacitores 2 e 3 so as mesmas (por associa%o em série)+ e"to estes capacitores podem ser su&stituídos por um equiale"te dado por, 1

C eq 2,3

=

1

+

1

C 2 C 3

=

C 2 + C 3 C  C  1 = 2 3 E C 2 C 3 C eq 2,3 C 2+ C 3

A carga "o capacitor equiale"te é a mesma da carga em cada um dos capacitores da com&i"a%o e a ddp do capacitor equiale"te é dada por q 2/ C  q1 / C  =q2 /C  . A ddp ao lo"go do capacitor 1 é . Agora algumas das eq

1

eq

cargas origi"alme"te "o capacitor 1 Ouem para a associa%o de 2 e 3. e

q0

é a carga origi"al+ a co"sera%o das cargas implica em

q1 + q 2=q 0=C 1 ' 0 + o"de

' 0  é a ddp i"icial do capacitor 1.

a) =esole"do as duas equa%6es q1 q2,3 q1 C eq 2,3 ' 1=' 2 ⟹ = q2,3 = ⟹ C 1 C eq 2,3 C 1

ela co"sera%o de carga+ temos q1 + q 2,3= q0

C 1 ' 0=q 1 +

q1 + q 2,3=C 1 ' 0

q1 C eq 2,3 C 1

C 21 ' 0= q1 C 1 + q1 C 1 + q 1 C eq 2,3 2

q1 =

C 1 '  0 C eq 2,3 + C 1 1

C 2 C 3 + C  C 2 + C 3 ¿

¿ ¿

2

C 1 ' 0

q1= ¿

2

q1 =

C 1 ' 0( C  +C  ) 2

3

C 1 C 2+ C 1 C 3 + C 2 C 3

( 4,00 )2 ∙ 12,00 ∙ ( 6,00 + 3,00 ) q1 = q =32 &F  ( 4,00 + 6,00 ) + ( 4,00 + 3,00 ) ∙ ( 6,00 + 3,00 ) 1 ⟹

c) A carga "o capacitor 2 é igual a, q1 + q 2=C 1 ' 0 ⟹ q2=C 1 ' 0−q 1=( 4,00 &F ) ( 12,0 '  )−32,0 &C =16 &C 

d) A carga "o capacitor 2 e 3 esto em série. ogo,

q3 =q2 =16,0 &C 

CAP01-!, 27

P#,3!E4 A 29

A 5gura 2>-43 mostra uma &ateria de 12+0S e quatro capacitores descarregados de capacit!"cias C 1 =1,00 &F  + C 2 =2,00 &F  + C 3 =3,00 &F 

e

C 4= 4,00 &F  .

e ape"as a cCae

1

é $ecCada+

determi"e a carga (a) do capacitor 1; (&) do capacitor (2); (c) do capacitor 3; (d) do capacitor 4.. e as duas cCaes so $ecCadas+ determi"e a carga (e) do capacitor 1; ($) do capacitor 2; (g) do capacitor 3; (C) do capacitor 4.

#E+,!-./, a) essa situa%o+ os capacitores 1 e 3 esto em série+ o que sig"i5ca que suas cargas so as mesmas. #essa $orma+ q1 =q3 =

C 1 C 3 '  ( 1,00 &F ) ( 3,00 &F ) ( 12,0 '  ) = = 9,00 &C  1,00 &F + 3,00 &F  C 1 + C 3

&) s capacitores 2 e 4 tam&ém esto em série.

q 2= q 4=

C 2 C 4 '  C 2+ C 4

=

( 2,00 &F ) ( 4,00 &F ) ( 12,0 '  ) 1 2,00 &F + 4,00  &F 

c)

q3 =q1 =9,00 &C 

d)

q 4= q2=16,00 &C  2

e) om a cCae C 1

=16,00 &C 

tam&ém $ecCada+ a te"so elétrica

 dee ser igual a te"so atraés de

' 1=

C 3 + C 4 C 1 + C 2 + C 3+ C 4

=

' 1

  atraés de

C 2 . ogo+

( 3,00 &F + 4,00 &F ) ( 12,0 '  ) =8,40 '  1,00 &F + 2,00 &F + 3,00 &F + 4,00 &F 

Assim+ q1 =C 1 ' 1=( 1,00 &F ) ( 8,40 '  )=8,40 &C  $) imilarme"te+ q 2=C 2 ' 1=( 2,00 &F ) ( 8,40 '  )=16,80 &C  g)

q3 =C 3 ( ' − ' 1) =( 3,00 &F ) ( 12,0 ' −8,40 ' )=10,8 &C 

C)

q 4=C 4 ( ' −'  1 ) =( 4,00 &F ) ( 12,0 ' − 8,40 '  )=14,4 &C 

CAP01-!, 27

P#,3!E4 A 2&

 capacitor 3 da 5gura 2>-44a é um capacitor ariel (é até possíel $a/er ariar a capacit!"cia

C 3

). A 5gura 2>-44& mostra o pote"cial elétrico

' 1  e"tre as placas do capacitor 1 em $u"%o de

é

de5"ida

por

C 3 =120 &F 

.



assi"toticame"te para 10 S qua"do elétrico S da &ateria; (&) C 1  (c) C 2 .

pote"cial C 3 ⟶ <

C 3

. A escala Cori/o"tal

elétrico

' 1   te"de

. #etermi"e (a) o pote"cial

#E+,!-./, rimeirame"te calculamos o capacitor equiale"te C 123 , 1

C 123

=1 +

1

C 1 C 1 + C 2

 C 1 + C 2+ C 3 C 1( C 2 + C 3 )

=

a&emos que, q =C 123 ' ; q = q1=C 1 ' 1

7"to+ reali/a"do as su&stitui%6es+ temos, ' 1=

q1 C 1

=

C 2 + C 3 q C 123 ' = '  = C 1 C 1 C 1 + C 2+ C 3

< a) Temos C 1 ⟶

e

' 1=' 

&) tili/a"do o gr5co+ para

  o"de

' =10 ' 

C 3 =0 + temos

' 1=2 ' 

. u&stitui"do esses

alores em

' 1=

C 2 + C 3 '  C 1 + C 2+ C 3

e sa&e"do que S "o aria e perma"ece em 10 S+ temos+

C 1 =4 C 2 .

lCa"do o gr5co "a escala+ o"de

C 3 =6 &F    e"co"tramos

' 1=5 '  .

e"do assim, C 2 + 6 &F  C 2 + 6 &F  1 = = 2 C 1+ C 2 + 6 &F  4 C 2 + C 2+ 6 &F 

u&stitui"do "a equa%o C 1 =4 C 2 + e"co"tramos C 1 =8 &F  .

c)

C 2 =2 &F 

CAP01-!, 28

P#,3!E4 A *7

a  Fi: . 26−30  uma corre"te elétrica atraessa um tro"co de co"e circular reto de resistiidade b =2,30 mm

731 H∙ m

e comprime"to

+ raio me"or

a =2,00 mm + raio maior

 7=1,94 cm . A de"sidade de corre"te é

u"i$orme ao lo"go de uma se%o reta perpe"dicular ao ei*o do o&'eto. Qual é a resist"cia do o&'eto

#E+,!-./, Ao co"trrio do caso do cili"dro (rea da sec%o tra"sersal co"sta"te)+ agora temos que o raio do tro"co aria li"earme"te com o comprime"to. #eemos i"icialme"te calcular o campo. 7 para em seguida calcular o pote"cial e a resist"cia. A"alisa"do o caso em que o raio "o aria.

 -=I →'  =−∫ - dx → R =  R=

1

i

|' | i

∫ - dx

A resist"cia é,  R=

|' | i

  ;nde

' =−∫ - dx

a 5gura a&ai*o a rea aria com o comprime"to do tro"co+ e os raios de cada circu"$er"cia tam&ém ariam com o comprime"to do tro"co+ s que li"earme"te. #essa ma"eira podemos escreer, r =C 1 + C 2 x

r =C 1=a

ara I G 0+ temos,

+ para I G  ;

 Temos, r G & e"to, C 2 =

b −a x  7

Assim+ temos, r= a +

b− a x  7

A corre"te aria com o i"erso do quadrado do raio atraés da equa%o; > =

 i = 2=  P π r

i 2

b −a π ( a + x)  7

om essa e*presso para o campo elétrico podemos calcular o pote"cial;

( )

' =

−i% −b  1 b π  b −a J  a

' =

i% 7 1 1 − π  b −a b a

' =

i% 7 a −b π  b −a ab

[ ( )] [ (  ) ]

ma e/ que (a −¿  &) G −¿  (& −¿  a)+ teremos (e'a que o pote"cial e "egatio); ' = −

 R=

i%  7 π  ab

|' | i% 7  1 = × ×  → R= % × 7 i

π 

ab

i

π  ab

 alor a&soluto do pote"cial e deido a de5"i%o de resist"cia+ que é a

de5"ida positia. &sere que para co"Cecido caso do cili"dro de raio

r =

sec%o tra"sersal e co"sta"te e igual a  R=

|' |  % =  × i

π 

= b

a

o pro&lema redu/-se ao '

= b+

uma e/ que a rea da

πa 2 ;

7 2 a

u&stitui"do os alores "uméricos do pro&lema "a equa%o+ teremos, −2

 R=

731 × ( 1,94 × 10 −3

3,14 × ( 2 × 10

)

) × ( 2,3 × 10−3 )

 R  = 9,81 × 106 H → ( R-P/0" )

CAP01-!, 28

P#,3!E4 A *8

A  Fi: .26−31  mostra um 5o 1+ com

4,00 R  de di!metro+ e um 5o 2+ com

2,00 R  de di!metro+ ligados por um trecCo de 5o em que o di!metro aria

gradualme"te.  5o é de co&re e est se"do percorrido por uma corre"te distri&uída u"i$ormeme"te ao lo"go de qualquer se%o reta do 5o. A aria%o do pote"cial elétrico '   ao lo"go do comprime"to  7=2,00 m  do 5o é

10,0 &'  .  "8mero de portadores de carga por u"idade de olume é

28

−3

8,49 × 10 m

. Qual é a elocidade de deria dos elétro"s de co"du%o "o

5o 1

#E+,!-./,:  "8mero da de"sidade de elétro"s de co"du%o "o co&re é "G 28

2

8,49 10 m / s

 -=

dd 6  7

=

.  campo elétrico "a se%o << é,

( 10,0 &' ) =5,00 & ' / m ( 2,00 m )

−18 e"do %=1,69 x 10

K .m + para o co&re (e'a a ta&ela 2B-1) e"to a

de"sidade de corre"te é, > 2=

( 10,0 &'  )

( 1,69 x 10

K .m )

−18

= 296 " / m 2 ,naseLM== 

ogo+ a co"sera%o da corre"te elétrica "a se%o < e "a se%o << implica que, > 1 " 1=¿

> 2 " 2

> 1 ( 4 π R 2 )=¿

> 2 ( π R 2 ) , então isso leva para

2

> 1=74 " / m . Agora, para a

velocidade de deriva dos elétrons de condução na seção I, A Eq. 26!  produ" i#ediata#ente:

'd =

> 1 =5,44 x 10−9 m / s → ( R-P/0" ) ne

CAP01-!, 28

P#,3!E4 A 76

A  Fi: . 26−36 a  mostra uma &arra de material resistio. A resist"cia por u"idade de comprime"to da &arra aume"ta "o se"tido positio do ei*o  x . ao logo da &arra a resist"cia

dR   de um

eleme"to de largura dx  é dada por dR =5,00 x dx + o"de

dR  est em

7m qualquer posi%o

 x

oCms e  x  em metros. A  Fi: . 26−36 b

mostra um desses eleme"tos de

resist"cia.  trecCo da &arra e"tre  x =0  e  x = 7  é cortado e ligado aos termi"ais de uma &ateria com uma di$ere"%a de pote"cial  Fi: . 26−36 c ). Qual dee ser o alor de

dissipada pelo trecCo cortado se'a

#E+,!-./,:  7

 R=∫ dR→R =∫ dR 0

 7

 7

0

0

 R=∫ 5 x dx → R =5 ∫ x dx

200  



 7

' =5,0 ' 

(

para que a pot"cia

2

(0 )  x 2  7  7 2  72  R=5  ∨ → R =5  − 5 → R =5 2

2

0

2

2

' 2 ' 2  P= → R =  R  P

 R=

( 5)2 200

→ R=

0,125=5

7

25  → R = 0,125 H 200

2

2

→7

CAP01-!, 29

2

= 2 . 0,125 → 7 =√ 0,05 → 7=0,224 m→ ( R-P/0" ) 5

P#,3!E4 A 2

a 5gura 2@-3@ a $o"te 1 tem uma $or%a eletromotri/  -1=12,0 '   e uma resist"cia i"ter"a

r 1=0,016 H + e a $o"te 2 tem uma $or%a eletromotri/

 -2=12,0 '   e uma resist"cia i"ter"a

r 2=0,012 H . As $o"tes so ligadas

em série com uma resist"cia e*ter"a  R .(a) Qual é o alor de  R

para

o qual a di$ere"%a de pote"cial e"tre os termi"ais de uma das $o"tes é /ero (&) om qual das duas $o"tes isso aco"tece

#E+,!-./, a) Aplica"do a lei das malCas de ZircCo[ ao circuito temos, ε 1− ir 1−iR − ε 1−i r 2=0 ' a + ε 1 −i r 1=' b

ε 1− ir 1=' b −' a ε 1− ir 1=0 ε 1= i r 1

i=

ε1 r1

Assim su&stitui"do "a e*presso i"icial temos, ε 1− ir 1−iR − ε 1−i r 2=0

 ε ε  ε ε 1− 1 r 1− 1  R −ε 1− 1 r 2=0 r1 r1 r1

 R=

ε 2 r 1− ε 1 r 2 ε1

 R= 0,004 K

&) a&emos que a pot"cia 8til $or"ecida pela $o"te é, ot"cia total \ ot"cia dissipada. s alores das $or%as eletromotri/es so co"sta"tes. ara a pot"cia ser igual a /ero+ é mais proel que se'a para a $o"te com maior resist"cia i"ter"a.

CAP01-!, 29

P#,3!E4 A 22

ma celular solar produ/ uma di$ere"%a de pote"cial de 0+10 S qua"do um resistor de >00 ] é ligado a seus termi"ais+ e uma di$ere"%a de pote"cial de 0+1> S qua"do o alor do resistor é de 1000 ]. #etermi"e (a) a resist"cia i"ter"a e (&) a $or%a eletromotri/ da celular solar. (c) A rea da célula é >+0 cm 2  e a pot"cia lumi"osa rece&ida é 2+0m^Wcm2. Qual a e5ccia da célula ao co"erter e"ergia lumi"osa em e"ergia térmica $or"ecida ao resistor de 1000 ] 

#E+,!-./, o"sidera"do o segui"te esquema temos,

a) Aplica"do ZircCo[ ao temos,

a lei das malCas de circuito da esquerda ε −i1 R1−i 1 r 1=0

ε =i1 ( R1 + r )

(1)

 Fa/e"do o mesmo para o circuito da direita temos, ε =i 2 ( R2 + r )

(2)

Assim+ iguala"do as equa%6es (1) e (2) temos,

r=

i1 R1−i2 R2 i2− i1

alcula"do as corre"tes i1  e i2 temos,

i 1=

i 2=

' ab  R 1

' ab  R 2

=

( 0,10 ' )  = 2,0 × 10−4  " ( 500 K )

=

 ( 0,15 ' ) =1,5 × 10−4  " ( 1000 K )

(3)

u&stitui"do os alores "a equa%o (3) temos,

i1 R1−i 2 R2 ( 2,0 × 10−4 ) ∙ (500 K )−( 1,5 × 10−4 ) ∙ ( 1000 K ) = r= i2− i1 ( 1,5 × 10−4 ) −( 2,0 × 10−4 ) r =1000 K =1,0 × 103 K

&) 7"to+ su&stitui"do os alores para equa%o (1) temos, ε =i1 ( R1 + r ) ε =( 2,0 × 10

−4

) ∙ [ ( 500 K ) + ( 1000 K ) ]

ε =0,30 ' 

c) A e5ci"cia da célula é a ra/o e"tre a pote"cia dissipada pelo resistor  R1 ou  R1, ( P R ¿  que é a pote"cia rece&ida do sol pela célula (  Ps ¿

. 7ste é o produto da i"te"sidade da lu/ solar que ati"ge a célula 1

da rea (A) da célula. 3

 P R  = 2 R2 e= = →  Ps  ="

( 1,5 × 10−4 )2 ∙ ( 1000 K) e= =2,3 × 10−3 2 2 −3 ( 2,0 × 10 O / cm ) ∙ ( 5,0 × cm ) e =0,23

CAP01-!, P#,3!E4 29 A 69 m 5o de raio a G 0+2>0 mm tem uma capa de alumí"io de raio e*ter"o b G 0+3V0 mm. A corre"te "o 5o composto é i G 2+00 A. sa"do a Ta&ela 2B-1+ calcule a corre"te (a) "o co&re e (&) "o alumí"io. (c) e uma di$ere"%a de

pote"cial $ % 12+0 S e"tre as e*tremidades ma"tém a corre"te+ qual é o comprime"to do 5o composto

#E+,!-./, "otação:  Rc =

 %7 %7 → RC = 2  " πa

 R "l=

%7 %7 %7 → R "l= 2 →  " 2− " 1 π b − π a2 π ( b2 −a2 )

o"sidera"do os segui"tes 5os em paralelo+ logo teremos um circuito em paralelo e assim o&seramos que a di$ere"%a de pote"cial aplicada "as resist"cias do circuito estaro su&metidas a mesma di$ere"%a de pote"cial. Assim+ pelo circuito a&ai*o temos,

a)

'c ='a

i C  RC =i "l R "l

i C  % C  7 πa

2

i C  % C  a2

=

=

i a % a 7 π ( b

2

− a2 )

i " % "

( b2 − a2 )

→

iC  % C  r C 2

=

i "l % "

( r "l −r C  ) 2

2

Assim+ isola"do iC   e i "l , temos,

2

i C =

r C  i "l % " 2 2  %C ( r "l −r C  )

i "l=

i C  % C ( r "l

2

−r C 2 )

2

r C   % "

Aplica"do a regra dos "s pela lei de _ircCo[ temos, i =iC + i "l

orre"te para co&re, i =iC + i "l

i C =i −

i C =

2 2 iC  % C  (r "l −r C  ) 2

r C   % "

2 2 2 i r C   % " −i C  % C ( r "l −r C  ) 2

r C   % "

2 2 2 2 i C r C   % " + i C  % C ( r "l −r C  )=ir C   % "

2 2 2 2 i C r C   % " + i C  % C ( r "l −r C  )=ir C   % "

[

i C  r C   % " + %C ( r "l 2

2

]

−r C 2 ) =i r C 2 % "

2

i C =

i r C   % "

[r

2

C 

 % " + %C ( r

2

 "l

− rC 2 )

]

=esole"do a parte em ermelCo temos,

[

r C 2 % " + % C (r

− rC 

2

 "l

2

=( 2,75 × 10−8 K ∙ m ) ∙ ( 0,250 × 10−3 m ) + ( 1,69 × 10−8 K ∙ m ) [ ( 0,380 × 10−3 m ) −( 0,250 × 10 )

]

2

2

[r

 % " + % C (r

]=(3,10 × 10

−15

2

C 

− rC 2)

2

 "l

K∙ m )

ogo+ a corre"te "o co&re é,

( 0,250 × 10−3 m) 2 ∙ ( 2,75 × 10−8 K∙ m ) ∙ ( 2,00  " ) i C = ( 3,10 × 10−15 K∙ m ) i C =1,11 "

orre"te para alumí"io, i =iC + i "l i "l=i−iC  2

i "l=i−

i "l=

r C  i "l % " 2 2  %C ( r "l −r C  )

i % C ( r "l

2

−r C 2 ) −r C 2 i "l % "

 %C  ( r "l

2

−r C 2 )

i "l %C  ( r "l2−r C 2) + r C 2 i "l % "=i % C ( r "l2−r C 2 )

[

i "l  % C  ( r "l

2

]

−r C 2 )+ r C 2 % " =i %C  ( r "l2 −r C 2 )

i %C  ( r "l −r C  2

i "l=

[ % ( r C 

 "l

2

2

)

−r C 2 ) + r C 2 % "

]

"de+

[r

 % " + % C (r

( ) ] = 3,10 × 10

−15

2

C 

2

 "l

−rC 

2

K∙ m )

ogo+ a corre"te "o alumí"io é,

i "l=

i %C  ( r "l2−r C 2 )

[ % ( r C 

2

 "l

−r C 2 ) + r C 2 % "

]

( 2,00  " ) ∙ ( 1,69 × 10−8 K ∙ m ) ∙ [ ( 0,380 × 10−3 m) −( 0,250 × 10−3 m ) 2

i "l=

2

]

( 3,10 × 10−15 K∙m )

i "l=0,893  "

&) Aplica"do a lei de Cm temos, iC  %C  7 π r C 2 '  ' =i C  R C → ' = → 7= → 2 i C  %C  π r C  2

( 3,14159 ) ( 0,250 × 10−3 m ) ( 12,0 '  )  7= → 7 =126 m ( 1.11 " ) ( 1,69 × 10−8 K ∙ m )

CAP01-!, 29

P#,3!E4 A 6&

a 5gura 2@->1+ R1 G @+00 ]+ R2 G 12+0 ]+ R3 G 4+00 ] e a $or%a eletromotri/ da $o"te ideal é ` G 24+0 S. #etermi"e para que alor R4 a pot"cia $or"ecida pela $o"te aos resistores é igual (a) a B0+0 ^; (&) ao maior alor possíel &#'( ) (c) ao me"or alor possíel &#*n .#etermi"e (d) &#'( ; (e) &#*n .

#E+,!-./, a)

P=i i=  R 1234 2

 - ×  P= → P=  R1234  R1234 1

=

1

+

1

+

1

 R 234  R2  R3  R 4 1

 R 234

 R3 R 4 + R2 R4 + R2 R3  R2 R 3 R 4

=

 R234=

R2 R 3 R 4  R2 R3 + R 2 R4 + R 3 R 4

R 2 R3 R 4  R1234 = R1 + R234 → R1234 = R1 +  R 2 R3 + R2 R4 + R3 R4 2

 P=

R 2 R3 R 4

→ P=

 R1 +  R 2 R3 + R2 R 4 + R3 R4

 P= - 2 ×

-

2

 R 1 R 2 R 3+ R 1 R2 R4 + R 1 R3 R 4 + R2 R3 R 4  R2 R3 + R2 R 4 + R3 R4

R2 R3 + R 2 R4 + R 3 R 4  R1 R 2 R3 + R1 R2 R 4 + R1 R 3 R 4 + R2 R3 R4

 R (¿ ¿ 2 R3 + R2 R 4 + R3 R4 )  P ( R1 R 2 R3 + R1 R2 R 4 + R1 R 3 R 4 + R2 R 3 R4 )= -2 ¿  P R 1 R2 R 3+ P R1 R2 R 4 + P R1 R3 R4 + P R2 R3 R 4= - 2 R2 R3 + -2 R 2 R 4+ -2 R 3 R 4  P R 1 R2 R 4 + P R1 R 3 R4 + P R2 R3 R 4 − - 2 R2 R4 − -2 R 3 R 4= -2 R2 R 3− P R 1 R2 R3 2

2

2

 R4 ( P R1 R2+ P R1 R3 + P R 2 R3 − -  R2 − -  R 3)= -  R2 R3− P R1 R 2 R3

 -

¿

 R1 ¿ 2− P ¿ R

¿

¿ 2 R 3 ¿ ¿ ¿ 2 -  R2 R3− P R1 R 2 R3 =¿  R4 = 2 2  P R1 R 2+ P R1 R3 + P R 2 R3 − -  R2− -  R3  R4 =19,5 H ( R-P/0" )

&) omo  P  e  R1234  so i"ersame"te proporcio"ais+ para o&termos  Pmx deemos mi"imi/ar  R1234  $a/e"do  R4 =0. ( R-P/0" )

c)

d)

R4 =<  para  Pmin . ( R-P/0" )

2 R 2 R3 R4  R4 =0 → Pmx = R1234 = R1 +  R1234 ( min )  R 2 R3 + R2 R4 + R3 R4  ; ara

R 2 R3 R4  R1234 ( min )= R1 + → R 1234 (min )= R 1=7 H  R 2 R3 + R2 R4 + R 3 R4 2

 - 24  Pmx = =  R 1 7

e)

2 ≅

82,3  ( R-P/0" )

2 R 2 R3 R4 R1234 = R1 + ;ParaR 4= <→ P min=  R 2 R3 + R2 R4 + R3 R4  R1234 ( mx )

R2 R3 12 × 4 =7 +  =10 H  R1234 ( mx )= R1 + 12 + 4  R 2+ R 3

-

2

2

24 =  Pmx =  R1234 (mx ) 10

CAP01-!, 29

=

576 =57,6  ( R-P/0" ) 10

P#,3!E4 A 8&

A 5gura 2@-B@ mostra dois circuitos com um capacitor carregado que pode ser descarregado atraés de um resistor qua"do uma cCae é $ecCada. a Fig. 2@-B@a , R1 G 20+0 ] e +1 G >+00  F. a 5g. 2@-B@ b, R 2 G 10+0 ] e +2 G V+00 V+00  F. A ra/o ra/o e"tre e"tre as cargas cargas i"iciais i"iciais dos dois dois capaci capacitor tores es é q02Wq01 G 1+>0. o i"sta"te t G 0+ as duas cCaes so $ecCadas. 7m que i"sta"tes t  os  os dois capacitores possuem a mesma carga

#E+,!-./, q =q 0 2e −  / /

!   RC 

q02 3 = q01 2

e"do, −6

=1 ∙ × 10−4 s

−6

=0,8 ∙ × 10−5 s

Q 1= R 1 C 1=20 ∙ 5 × 10

Q 2= R 2 C 2=10 ∙ 8 × 10

Assim+ iguala"do as cargas temos,

q1 =q2

q 01 e

− ! / R1  C 1

= q 0 2e

−!  / / R 2 C 2

−! 

! 

q02 e−! / R C  q 02  R C  +  R C  = → =e q01 e−! / R C  q 01 1

1

1

2

ln

() 3 2

1

2

2

2

(

!  !  1 1 − − → !   R 2 C 2  R1 C 1  R2 C 2  R1 C 1

=

(

) ()

) ()

 R1 C 1 × R2 C 2 ∙ ln

 R C  − R C  3 !  1 1 2 2 =ln → ! = 2  R1 C 1 × R2 C 2

3 2

= ln

() 3 2

 R1 C 1− R 2 C 2

−4

! =1,62 × 10 s

CAP01-!, P#,3!E4 29 A 8= m resistor de 3+00 K] e um capacitor de 1+00  F so ligados em série com uma $o"te ideal de $or%a eletromotri/ ` G 4+00 S. #epois de tra"scorrido 1+00 s+ determi"e (a) a ta*a de aume"to da carga do capacitor; (&) a ta*a de arma/e"ame"to de e"ergia "o capacitor; (c) a ta*a de dissipa%o de e"ergia "o capacitor; (d) a ta*a de $or"ecime"to de e"ergia pela $o"te.

#E+,!-./,

6 −6  RC =3 × 10 ∙ 1 × 10 =3 s

a)

q = C - ( 1 −e

−!   RC 

) −! 

dq  = C - −C - e RC  d!  −! 

− ! 

dq 1  1  =  C - e RC =  - e RC  d!   RC   R

−1

dq 1 −7  =  × 4 × e 3 =9,55 × 10 C / s d!  3000

&) 2

q J c =  → 2 C 

(

)

−!  −!  d J c  q  dq  1  RC   dq  RC  =  ∙ ⟹C Cm m q=C - 1−e e  =  - e ; Ebs!i!Ein Ebs!i!Eind d !ems !ems : d!  C  d!  d!   R

(

C - 1− e = d!  C 

d J c

d J c d! 

c)

) ∙ 1  - e

−!   RC 

 R

=1,08 × 10−6  

2

P=i  R

i=

dq d!  −7

2

 P=( 9,55 × 10 ) ∙ 3 × 10 −6

 P=2,74 × 10  

6

−! 

2

(

 - 1− e =  R

 RC 

)e

−!   RC 

−!   RC 

2

=

(

−1

4 1 −e

3

3000

)e

−1 3

d)

P=i −

 P=9,55 × 10 7 ∙ 4 −6

 P=3,82 × 10  

CAP01-!, 2& o i"sta"te

P#,3!E4 A 2 ! 1 + um elétro" que est se moe"do "o se"tido positio do

ei*o  x  pe"etra em uma regio o"de e*istem um campo elétrico  -  em um campo mag"ético # + com  -  paralelo ao ei*o  y . A 5gura 2V-3B

mostra a compo"e"te

 y

da $or%a total

campos so&re o elétro" "o i"sta"te

 F 0!al, y

! 1 . A escala do ei*o Cori/o"tal é

de5"ida por ' s= 100,0 m / s . As compo"e"tes x /ero "o i"sta"te

! 1 . upo"do que

e  3  da $or%a total so

# x =0 + determi"e (a) o modulo  -

do campo elétrico; (&) o campo mag"ético u"itrios.

e*ercida pelo dois

#   em termos dos etores

#E+,!-./, egu"do a 5gura qua"do a elocidade

' =50 m / s   a $or%a total  F ! =0 +

isso "os permite co"cluir+ ' que co"$orme o e"u"ciado as compo"e"tes  x  e  3  da $or%a total so /ero+ a $or%a mag"ética e"co"tra-se em  y  e est oposta a $or%a elétrica+ por esse motio "esse po"to a $or%a elétrica ca"cela-se com a $or%a mag"ética comproa"do assim que  F ! =0 . Assim,  F ! = F b− F e

ota,  sen 90 °

aparece "a

$rmula deido ao $ato do 0 = F b − F e

7létro" est se moe"do

com elocidade @  "o  F b − F e= 0

ei*o positio de  x .

q@#senθ = q@#sen 90 ° = -

@# = - → - =50 #

o po"to

' s

da 5gura a elocidade equiale a

−19 total  F ! =2 × 10  N  .

ogo+ −19

 F b − F e= 2 × 10

 N  −19

q@#sen 90 ° −q- =2 × 10 −19

q ( @#− - )=2 × 10

Ebs!i!Eind # =

50

' =100 m / s  e a $or%a

(

q 100

50

)

− - = 2 × 10−19

−19

1,6 × 10

−19

 - =2,19 × 10

a)

-=1,25 N / C 

&)

# = - / 50 =1,25 / 50 → #=25 m0  ^ ?

CAP01-!, 2&

P#,3!E4 A 8

A 5gura 2V-3V mostra um paralelepípedo metlico com as $aces paralelas aos ei*os coorde"ados.  o&'eto est imerso em um campo mag"ético u"i$orme de modulo 0+020 T. ma das arestas do o&'eto que não est' dese"Cado em escala+ mede 2> cm.  o&'eto é deslocado a uma elocidade de 3+0 mWs+ paralelame"te aos ei*os *+ J e /+ e a di$ere"%a de pote"cial S que aparece e"tre as $aces do o&'eto é medida. Qua"do o o&'eto se desloca paralelame"te ao ei*o J+ $  G 12mS; qua"do o o&'eto se desloca paralelame"te ao ei*o /+ $  G 1VmS; qua"do o o&'eto se desloca

paralelame"te ao ei*o *+ $  G 0. #etermi"e as dime"s6es (a) d*; (&) dJ e (c) d/ do o&'eto.

#E+,!-./, #ados, # =0,020 m0  '  y =12 m'  '  3 =18 m' 

' 0=0 ' =3 m / s

omo o paralelepípedo é metlico e est imerso em campo mag"ético u"i$orme+ surgem te"s6es i"du/idas em suas $aces. As dime"s6es do o&'eto sero dadas pela 7q. 2V-, ' = -d

esta equa%o+ d é a dist!"cia e"tre as $aces do o&'eto (dime"s6es)+ 7 é o campo elétrico gerado pelo moime"to dos elétro"s de"tro do paralelepípedo e S é a te"so i"du/ida. omo os elétro"s tem carga q e esto se moe"do com elocidade  em um campo mag"ético+ a $or%a mag"ética é dada pela 7q. 2V-3,  F #=|q|@# sn A

otamos que #  dee estar ao lo"go do ei*o  ( + pois qua"do a elocidade est ao lo"go deste ei*o "o C te"so i"du/ida. Ao e"trar "o campo mag"ético+ os elétro"s se separam e o mdulo do campo elétrico i"ter"o aume"ta. o mome"to em que a $or%a elétrica e a mag"ética se igualam+ temos,  F  -= F #  F  -=|q| -

 !"gulo e"tre os etores # e ⃗@  é 0 "as $aces direita+ superior e $ro"tal. a $ace esquerda+ o !"gulo é igual a 1V0. ogo,

|q| - =|q|@# sn 90 °  -= @#

Kas ' = -d . ogo, '   '  d =  =  - @#

"de dee-se i"terpretar os sím&olos cuidadosame"te para assegurar que d + ⃗@ e ⃗ # so mutuame"te perpe"diculares. 7"to+ qua"do a elocidade é paralela ao ei*o J+ o alor a&soluto da te"so (que é co"siderada "a mesma dire%o de d ) é 0+012 S+ e,

d = d 3=

0,012 ' 

 

( 3,0 m / s ) ( 0,020 0 )

= 0,20 m

or outro lado+ qua"do a elocidade é paralela ao ei*o /+ o alor a&soluto da te"so apropriada é 0+01V S+ e, d = d y =

  0,018 '  =0,30 m (3,0 m / s ) ( 0,020 0 )

ogo+ "ossas respostas so, a)

d x = 25 cm

&)

d y =30 cm

c)

d 3 =20 cm

(or elimi"a%o)

CAP01-!, 2&

P#,3!E4 A 67

ma &arra de co&re de 1+0 Zg repousa em dois trilCos Cori/o"tais situados a 1+0m de dist!"cia um do outro e é percorrida por uma corre"te de >0 A.  coe5cie"te de atrito esttico e"tre a &arra e os trilCos é 0+B0. #etermi"e (a) o mdulo e (&) o !"gulo (em rela%o 9 ertical) do me"or campo mag"ético que $a/ a &arra se moer.

#E+,!-./,

a)  F #x ¿ F # cos θ  F #y = F # senθ

ara ei*o  y  temos,  N + F #i=m:  N = m:− F #i

ara ei*o  x  temos,  F #x − F  Fa! =0

"de+  F  Fa! = & ∙ N = & ( m:− F # senθ )

 F #=i ∙ 7 ∙ #

ogo+ para o ei*o  x  temos,  F # cos θ= & ( m: − F # senθ )

Assim+ iguala"do as segui"tes $or%as temos,  F b cos θ = F  Fa! 

i ∙ 7 ∙ # ∙ cos θ = & ∙ ( m: −i ∙ 7 ∙ # ∙ s e n θ )

i ∙ 7 ∙ # ∙ cos θ = & ∙ m ∙ : −i∙7∙&∙#∙senθ

i ∙ 7 ∙ # ∙ cos θ + i ∙ 7 ∙ & ∙ # ∙ s e n θ= & ∙ m ∙ :

i ∙ 7 ∙ # ( cos θ + & ∙ sen θ )= & ∙ m∙ :

#=

  &∙m∙: i ∙ 7 ( cos θ + & ∙ sen θ )

#=

1 &∙m∙: d# → i ∙ 7 ( cos θ + &∙senθ ) dθ

(

)

d#  & ∙ m ∙ :  = ∙ dθ i∙ 7

[

]

−(− senθ + & ∙ cos θ ) d#  =0 → dθ ( cos θ + & ∙ sen θ )2

 & ∙ m∙ :  ( senθ− & ∙ cos θ ) ∙  → i∙7 ( cos θ + & ∙ sen θ )2

0=

0 =senθ − & ∙ cos θ

& ∙ cos θ = senθ

&=

senθ  →!:θ =& cos θ

−1 −1 θ= !: & → θ =!: 0,6 =31 °

u&stitui"do os alores "a equa%o; #=

  &∙m∙: i ∙ 7 ( cos θ + & ∙ sen θ )

7"co"tramos o alor do mdulo do campo mag"ético, #=

0,6 ∙ 1 ∙ 9,8 50 ∙ 1 ( cos31 ° + 0,6 ∙ sen 31 ° )

=0,10 0 

−1 −1 &) omo mostrado acima+ o !"gulo é de θ= !: & → θ =!: 0,6 =31 ° .

CAP01-!, 2&

P#,3!E4 A 68

m co"dutor lo"go+ rígido+ retilí"eo+ situado so&re o ei*o  ( + é percorrido por uma corre"te de >+0 A "o se"tido "egatio do ei*o  ( . m campo mag"ético  - esta prese"te+ dado por #  G 3+0 b  V+0* 2 + com  (  em metros e # em militesla. #etermi"e+ em termos dos etores u"itrios+ a $or%a e*ercida pelo campo so&re o segme"to de 2+0 m do co"dutor e"tre os po"tos * G 1+0 m e * G 3+0 m.

#E+,!-./, ara um campo mag"ético "o perpe"dicular ao 5o+ a $or%a mag"ética é dada por,  F #=i 7×# ;

o"sidera"do segme"tos i"5"itesimais+ temos, d F # =id 7× # ;

Aplica"do i"tegra%o+ podemos calcular a $or%a total que age so&re todo o 5o,

∫ d  F  =∫ id⃗  7 × # ⃗

omo

⃗

#

⇒

∫

⃗ #;  F #= id  7× ⃗

⃗

⃗ =−dx i^ + e ⃗ # = # x i^ + # y  ?^ + e queremos calcular a $or%a para certo d 7

i"teralo+ temos, # #  y 3

3

^ +∫ ( idx ) (¿ sen 90 °)=−i∫ #  y dx ^2 =−( 5,0 " ) ( idx ) (¿ # x sen 0 ° ) 2  1

1

(∫ ( )) 3

^ =−( 5,0 " ) ∙ 8 ∙ 8 x dx 2  2

1

3

(¿¿  x ^i + # y  ?^ )=∫ ¿ 1

idx ^i × ¿ 3

3

1

1

 F # =−∫ id⃗  7 × ⃗ #=−∫ ¿ ⃗

CAP01-!, 2=

P#,3!E4 A *5

( )| =(−  x ³ 3

3

1

0,35

A espira percorrida por corre"te da 5gura 2->V a  é co"stituída por uma semicircu"$er"cia com 10+0 cm de raio+ uma semicircu"$er"cia me"or com o mesmo ce"tro e dois segme"tos radiais+ todos "o mesmo pla"o. A semicircu"$er"cia me"or so$re uma rota%o de um !"gulo θ  para $ora do pla"o (5gura 2->Vb). A 5gura 2->Vc mostra o modulo do campo

mag"ético "o ce"tro de uma curatura em $u"%o do !"gulo

θ . A escala

ertical é de5"ida por -a G 12+0  T. Qual é o raio do semicírculo me"or

#E+,!-./, #ados  R=10 cm # a=10 &0  # b=12 &0  r =I

lculo do campo i"icial,

# i=

(  ) ( )

& 0 iA & 0 iA & 0 iA  1 1 + → ∙  + 4 πR 4 πr 4 π   R r

lculo do campo 5"al,

( ) ( ) (  ) ( 2

2

2

 & iA  & iA & iA  1  1 ( # ) = 40πR + 40πr → 40 π  ∙ 2 + 2  R r 2

¿ # b  e ampo 5"al ¿ # a .

→  ampo i"icial

elo gr5co

2

7"to+ $a/e"do # a  e diidi"do

( )

# b2 2 #a + "s o&temos,

( +) ) ( + ) 2

#b 2 = #a

)

( &0 iA / 4 π ) ∙ ( &0 iA / 4 π 

2

∙

 1

1

2

 R r 1

 1

 R2 r 2

+ ) ( ( )= + ( ) #b

2

#a

2

 1

1

 R

r

1

 1

 R

2

r

2

u&stitui"do os alores temos,

( 1,2

( )= ( 2

1 1 + 10 r 1 2

10

1,44 + 1,44 r

r=

+

2

)

2

 1

r

2

[ (( 100 +r +20 r ) ) / ( 100 r ) ] → → 1,44 = 2

)

2

( 100 + r 2 ) /( 100 r 2 )

−100−r 2−20 r =0 → 0,44 r 2−20 r ∓ 44 = 0

20 ±  322,56 0,88

9 

r = 43,13 9 9  r =2,33

Assim+ como  R=10 cm  e r < R + logo r =2,33 cm .

CAP01-!, 2=

P#,3!E4 A *

A 5gura 2-> mostra uma se%o reta de uma 5ta lo"ga e 5"a de largura  G 4+1 cm que esta co"du/i"do uma corre"te u"i$ormeme"te distri&uída i G 4+B1 A para de"tro do papel. 7m termos dos etores u"itrios+ qual 7 o campo mag"ético - em um po"to & "o pla"o da 5ta situado a uma dista"cia d  G 2+1B cm de uma das &ordas ( Sugestão:
#E+,!-./,: o"sideremos uma se%o da 5ta de espessura dx + situada a uma dist!"cia * do po"to . A corre"te que passa por ela dx S di =  , e sEa cn!ribEiLM 6ara# P S ; O  &0 di & 0 dix  = d # P= 2 πx 2 πxO

Assim+ para a 5ta completa temos

# P =∫ d # P=

d +O

( ( + )=

i&0 dx i&0  O =  ln 1  ∫ 2 πO d  x 2 πO d

−7

4π∙

10 m

)(

4,61 ∙ 10  " ) −6

 " 2 π ( 0,0491 m )

(

ln 1 +

 0,049 0,0216

−11  ^  7 # P  apo"ta para cima. 7m "ota%o de ersores+ # P =( 2,23 ∙ 10 0 )  ? ⃗

)

=2,23 ∙ 10−11 0 

CAP01-!, 2=

P#,3!E4 A *2

A 5gura 2-B0 mostra+ em se%o reta+ dois 5os retilí"eos lo"gos apoiados "a super$ície de cili"dro de plstico de 20+0 cm de raio+ paralelame"te ao ei*o do cili"dro.  5o 1 co"du/ uma corre"te i1 G B0+0 mA para $ora do papel e é ma"tido 5*o "o lugar+ do lado esquerdo do cili"dro.  5o 2 co"du/ uma corre"te i2 G 40+0 mA para $ora do papel e pode ser deslocado em tor"o do θ 2 do 5o 2 para que+ "a cili"dro. Qual dee ser o !"gulo (positio)

origem+ o mdulo do campo mag"ético total se'a V0+0 "T

#E+,!-./, #A#, i 1=60 m"

i 2=40 m" # =80 n0 

θ 2= I

rimeirame"te acCaremos # 1  e # 2 , # 1=

&0i =60 n0  2 πR

# 2=

&0i = 40 n0  2 πR

#

2

=(− #2 senθ2 )2+( #1− #2 cos θ2)2

# 2= #22 sen2 θ2 + # 21−2 #1 # 2 cos θ 2+ #22 cos2 θ2 2 2 2 2 2 # = #2 ( sen θ2 + cos θ 2) + # 1−2 #1 # 2 cos θ 2

# 2= #22+ #21 −2 #1 # 2 cos θ2 2

2

2 #1 # 2 cos θ 2=# 2+ #1 −# 2

2

# 2 + # 1− # cos θ2 = 2 #1 # 2

θ2=cos

[

θ2=cos−1

[  ]=

−1

2

2

2

#2 + # 1− # 2 #1 #2

−1

CAP01-!, 2=

4

2

2

]

104 °

P#,3!E4 A **

a 5gura 2-B1 a G 4+@ cm e i G 13 A. #etermi"e (a) o mdulo e (&) o se"tido (para de"tro ou para $ora do papel) do campo mag"ético "o po"to &. (&sere que "o se trata de 5os lo"gos.)

#E+,!-./, sn θ=

R

( x + R ) /

2 1 2

2

 x = R tan θ dx = R sec ² θ

a)  & 0 i senθ d# = dx 4 π  r 2  & 0 i

∫ d# =∫ 4 π   & 0 iR

#=

 7

∫ 4 π  0

 R

1

( x + R ) ( x + R ) 2 1/ 2

2

2

2

dx

( x 2+ R 2 ) /

3 2

& 0 iR  7  R sec ² θ #=  dθ ∫ 4 π  0 ( ( R tan θ )2+ R 2) 3/ 2 &0 i  7 #= ∫ cos θ dθ 4 πR 0

 dx

 & 0 i  sn θ #= 4 πR

#=

&0 i  7 4 πR √  72+ R 2

ampo mag"ético produ/ido pelo 5o de comprime"to a, # a=

# a=

# a=

&0 i a 2 4 π a √ a + a2 &0 i

a

4 π a a √ 2

&0 i 1 & 0 i √ 2 = →/ cam6ma:nS!ices!en!randn 6n! P 4 π a √ 2 8 π a

ampo mag"ético produ/ido pelo 5o de comprime"to 2a, # 2 a=

&0i 2a 4 π 2 a √ 4 a 2+ 4 a2

# 2 a=

&0i & i √ 2 2a = 0 →/ cam6 ma:nS!ic es! saind n 6n! P 4 π 2 a 2 a √ 2 8 π 2 a

ampo Kag"ético total produ/ido "o po"to , #6 =2 # a−2 #2 a =

√ 2 & 0 i 8πa

=1.96 x 1 0−5 0 5 2 x 1 0−5 0 

&) A dire%o do campo é para de"tro do papel.

CAP01-!, 2=

P#,3!E4 A *6

#ois 5os retilí"eos percorridos por corre"tes esto apoiados "a super$ície de um cili"dro lo"go de plstico de raio R G 20+0 cm+ paralelame"te ao ei*o do cili"dro. A 5gura 2-B2 /  mostra+ em se%o reta+ o cili"dro e o 5o 1+ mas "o o 5o 2. om o 5o 2 ma"tido 5*o "o

lugar o 5o 1 é deslocado so&re o cili"dro+ do !"gulo θ

θ

 G 0 ate o !"gulo

1

 G 1V0+ passa"do pelo primeiro e segu"do quadra"tes do sistema de

1

coorde"adas  (0 .  campo mag"ético θ

em $u"%o de $u"%o de θ

#  "o ce"tro do cili"dro é medido

. A 5gura 2-B2 b mostra a compo"e"te - (  de

1

#

em

 ( a escala ertical é de5"ida por -*s G B+0  &  T)+ e a 5gura

1

2-B2c mostra a compo"e"te -J ( a escala ertical é de5"ida -Js G 4+0  &

 T). (a) Qual é o !"gulo

θ

 que de5"e a posi%o do 5o 2 #etermi"e (&) o

2

alor e (c) o se"tido (para de"tro ou para $ora do papel) da compo"e"te "o 5o 1. #etermi"e tam&ém (d) o alor e (e) o se"tido do corre"te "o 5o 2.

#E+,!-./, <"icialme"te o&sere que em  G 0 a soa soma das compo"e"tes dos campos "a dire%o J é /ero Figura (c).
1) ara o campo a"ular-se "a dire%o J o 5o 2 por simetria dee estar em

−π   π  θ1=  .  u θ1= 2 2 . 2) s campos tem se"tidos opostos e se a"ulam "a dire%o J+ logo e*iste corre"tes co"trarias.

a) #eido ao raciocí"io a"terior o 5o 2 dee estar "o po"to e/ que+ se qua"do desli/aremos o 5o 1 para a posi%o

θ2 =

−π  2

. ma

π 

2  os dois 5os

ocupariam o mesmo espa%o. &) &sera"do o gr5co (&) o"de a compo"e"te total do campo é :G

6 &0 

(o&sere a escala) temos, # 1 x + 2,0 &0 =6 &0  # 1 x = 4 &0 

ela equa%o 2-4 i 1=

2 π b1 x R

&0

−6

=

2 π (4,  x 10 0 )(  , 200 m )

 T  4 π x 10 0 .  " −7

=4 "

c) omo "a 5gura (&) o gr5co cresce com

θ1  de 0 até 0+ a corre"te dee

estar sai"do do papel. d) a 5gura (&) a compo"e"te do campo do 5o 1 qua"do # 2 x =2 &0 ,

i 2=

θ1=0  é tal que

de $orma que

2 π b2 x R

&0

−6

=

2 π ( 2,  x 10 0 )(  , 200 m )

 T  4 π x 10 0 .  "

=2 "

−7

e) omo imos "o raciocí"io i"icial 2) acima as corre"tes "os dois 5os so co"trrias+ se"do assim a corre"te "o

i 2

 est e"tra"do "o papel.

CAP01-!, 2=

P#,3!E4 A 6

a 5gura 2-BB um 5o retilí"eo lo"go co"du/ uma corre"te uma espira reta"gular co"du/ uma corre"te a =1,00 cm +

a =8,00 cm

 & ∙i 1 ∙i 2

 F 2 =

2 πa

& ∙ i1 ∙i 2 2 π ( a + b )

 F r = F 1− F 2

 Fr =

& ∙ i 1 ∙ i2 & ∙ i1 ∙i 2 − 2 πa 2 π ( a + b ) −7

4 π × 10 × 30 × 20 × 8 × 3  Fr = 18 π 

 Fr =3,2 × 10−3 N 

e

i 2=20 " . upo"Ca que

e  7=30,0 cm . 7m termos dos etores u"itrios+

qual é a $or%a a que est su&metida a espira

 F 1=

i 1=30 "