RESISTENCIA DE MATERIALES I Conferencia # 12 Tema VII: Flexión. Contenido: Cálculo de los desplazamientos en flexión (Método de los parámetros de origen). Condición de rigidez. INTRODUCCION Realiz Realizar ar un recorda recordator torio io de la confere conferenci nciaa pasada pasada acerca acerca de la flexió flexión, n, tipos tipos de flexión, tensiones que se originan y como calcularlas así como la aplicación de la cond condic ició ión n de resis resisten tenci cia. a. Reco Record rdar ar el cálcu cálculo lo de perfi perfile less de pared paredes es delg delgad adas as y comprobar el estudio del ejemplo que se orientó sobre esto. Preguntas de comprobación.
_¿Cómo se plantea la condición de resistencia? _¿Que problemas podemos resolver a partir de ella? _¿Cómo calcular un perfil de paredes delgadas?. Ejemplo un doble T _¿Cómo calcularíamos los desplazamientos y que tipos de desplazamientos surgen en la flexión? OBJETIVOS
A través de la conferencia los estudiantes conocerán: Que tipos desplazamientos surgen en flexión. Como se determinan. Como aplicar la condición de rigidez. DESARROLLO
Deformaciones en la flexión.
Debi Debido do a la acci acción ón de las las carg cargas as exte exteri rior ores es la viga viga se defo deform rma, a, las las secci seccion ones es transv transversa ersales les se despla desplazan zan (verti (verticalm calment ente) e) perpen perpendic dicula ulares res al eje inicia iniciall recto recto y al mismo tiempo se produce una rotación de la sección según puede verse en la figura. El desplazamiento del centroide de la sección en la dirección perpendicular al eje inicial recto se le denomina “deflexión de la viga” o flecha de la viga y se designa “Y”. El ángulo de la sección transversal ( θ ) respecto a su posición inicial se denomina ángulo de rotación o ángulo de giro. El ángulo de giro en los cálculos prácticos se determina por el ángulo que forma la tangente en el punto dado y el eje inicial recto;
esto se debe a que la sección transversal, después de la rotación se mantiene plana y perpendicular al deflectado (OJO)de la viga (hipótesis de las secciones planas). El conocimiento de las deformaciones en las vigas (la flecha) es necesario así como el ángulo de giro( θ ) ya que en la práctica ingenieril se tiene que efectuar el cálculo de vigas sometidas a flexión no solo por resistencia sino también a la rigidez o deformabilidad. Para lograr el funcionamiento adecuado se define una flecha permisible. El valor de esta flecha permisible en los elementos de máquinas varia en un amplio rango en dependencia de la utilización del elemento. 1 1 1 ÷ [Y ] = 1: longitud entre apoyos. 100 300 Las deformaciones deben conocerse además para poder resolver los problemas estáticamente indeterminados. Los valores de los ángulos de giro en los apoyos deben ser inferiores a 0,001 radian [θ ] . Para conocer exactamente la deformación de la viga es necesario calcular para cada sección la deflexión (Y) y ( θ ). Existen diferentes métodos para calcular los desplazamientos: Ecuación diferencial de la elástica de la viga (EDEV) Ecuación de los parámetros de origen. Método de Mohr. Método de Vereshiaguin. Nosotros estudiaremos el segundo de ellos y los dos últimos se estudiaran después en Resistencia de Materiales II. El método a través de la ecuación diferencial de la línea elástica, permite la determinación de los desplazamientos por el método de la integración directa de la ecuación diferencial de la línea elástica (curva plana, cuya forma toma el eje de la viga en la flexión plana). Cuando la viga tiene un número grande de tramos, ofrece grandes dificultades relacionadas con la obtención de las constantes arbitrarias de integración. Durante la integración de las ecuaciones diferenciales para el número (n) de tramos se tiene que emplear el número doble de las constantes de integración. El problema se torna bastante voluminoso. La técnica de la determinación de las constantes de integración puede simplificarse sensiblemente al reducirla a la obtención de solo dos incógnitas, la fecha y el ángulo de giro en el origen de coordenadas elegido. Este es el Método de los Parámetros de Origen. Método de los Parámetros de Origen.
Este método se funda de las siguientes tesis de partida. El origen de coordenadas se escoge en el ultimo punto izquierdo de la viga en cuestión y es común para todos los tramos.
La expresión para el momento flector M(z) se compone mediante el cálculo de los momentos de las fuerzas situadas a la izquierda de la sección examinada, a una distancia z desde el origen de coordenadas. Al incluir en las ecuaciones el momento exterior concentrado M, aplicado acierta distancia a desde el origen de coordenadas, aquel se multiplica por el factor ( z a) 0 igual a 1. En el caso de la ruptura de la carga distribuida, esta se prologa hasta el final del tramo en cuestión, introduciendo, para establecer la carga compensadora de dirección contraria. La interpretación en todos los tramos se efectúa sin abrir el paréntesis. Con este enfoque, la expresión para el momento flector en cualquier tramo se representa por medio de todos los factores de fuerza que actúan a la izquierda de la sección examinada.
Como limitante tiene el que se puede aplicar solamente a vigas de igual rigidez en toda su longitud. Veamos el método
d2 y
EI X
dz 2
---------- Ecuación diferencial aproximada del eje
= M( z)
flexionado de la viga.
dy dz Integrando los dos miembros entre θ y z (considerando EI x constante) EI X dθ = M( z )dz
θ
siendo θ =
z
∫
∫
EIx d θ = Mzdz 0
θ 0
z
∫
de donde: EIx(θ − θ 0 ) = Mzdz 0 z
∫
EIxθ = EIxθ 0 + Mzdz ---------- (2) 0
de donde θ 0 : es el ángulo de giro en el origen de coordenadas (z = 0) y es el primer parámetro de origen. Escribiendo la ecuación anterior de la siguiente forma: EIx
dy dz
z
= EIx + ∫ Mzdz 0
Integrando: y
∫
z
∫
z
z
∫ ∫
EIx dy = EIxθ 0 dz + dz Mzdz y0
0
De aquí obtenemos:
0
0
z
z
∫ ∫
EIxy = EIxy 0 + EIxθ 0 z + dz Mzdz ----------- (3) 0
0
siendo y: la flecha en el origen de coordenadas. (Segundo Parámetro de Origen). Las ecuaciones (2) y (3) se pueden considerar como ecuaciones universales para determinar las flechas y ángulos de giro, escritas de forma general. Analicemos una viga sometida a los 3 tipos de cargas que pueden actuar: M = 0 ( z ≤ a ) I. II. M = Mf ( a ≤ z ≤ b) M = Mf + P ( z − b) (b ≤ z ≤ c) III. IV.
M = Mf + P ( z − b) +
q( z − c) 2
(c ≤ z ≤ 1)
2
Ver demostración pág.361 Gilda Fdez Tomo I. Para cada una de las cargas. El sentido que tienen aquí los momentos, la carga concentrada y la carga distribuida le da el signo positivo (+) en la ecuación. Cuando simultáneamente actúan varias fuerzas exteriores de los tipos analizados, las ecuaciones para determinar el ángulo de giro (θ) y la flecha ( Y ) serán: Para el ángulo de giro:
EIxθ ´= EIxθ = EIxθ 0 + ∑ Mf ( z − a) + ∑
P ( z − b) 2
2
+∑
q( z − c) 6
Para la flecha: EIxy = EIxy 0 + EIxθ 0 z +
∑
Mf ( z − a ) 2 2
+∑
P ( z − b) 3 6
+∑
q( z − c ) 24
Donde: (a, b, c): Distancia desde donde esta aplicado el Mf, P y q al origen de coordenadas respectivamente. (z): Distancia para la cual se determina la flecha y el ángulo de giro. Estas ecuaciones se denominan: Ecuaciones Universales de la Línea Elástica de una Viga; en ellas se introducen, con el signo correspondiente, todas las fuerzas exteriores, (incluyendo las reacciones) situadas entre el origen y la distancia(z) donde se calcula el desplazamiento. Veamos las condiciones de apoyo y su relación con ( Y0 y θ 0 )
Viga empotrada o en voladizo
Viga simplemente apoyada
θ0 θA
Considerando YB, como deformación máxima Ejemplo:
1)
El origen se ubica en el empotramiento. θ 0 = 0 y Y0 = 0
2)
Calculo de las reacciones en el empotramiento. Fy = 0 Mto( A) = 0 − P + R = 0
∑
∑
P .l − M = 0 M = P .l
R = P Para calcular Ymax esta será en (z = l). EIxY = EIxY 0 + EIxθ 0 z +
EIxY = −
P .l ( z − 0) 2 2
+
∑
Mf ( z − a) 2 2
P ( z − 0) 3 6
−
+∑
P ( z − b) 3 6
+∑
q ( z − c) 24
P ( z − l ) 6
Sustituyendo (z = l) EIxY =
EIxY =
EIxY =
− P .l (l ) 2 2
− P .l 3 2
− 2 P .l 6
+
P (l ) 3 P (l l ) + 6 6 P (l) 3 6
= P.l(1 6 - 1 2) Y =
− P .l 3 EI
El signo negativo (-) significa que el desplazamiento es hacia abajo. El signo positivo (+) será lo contrario. Y max ≤ [Y ]
Para el ángulo de giro, el signo (+) significa sentido de giro antihorario y el signo (-) significa sentido de giro horario. Ejemplo: Determinar la flecha en el punto (A) y el ángulo de giro en el punto (B) de la siguiente viga.
Datos:
= P .a q = P a
M
EI
= cnst .
- Se deben calcular las reacciones en los apoyos donde: R1 = P R2 = P el origen en el apoyo izquierdo Y 0 = 0 y θ 0 = 0 planteando para z = 3 en el otro apoyo Y = 0 y con la ecuación de la flecha se despeja el θ 0 . EIxY = EIxY 0 + EIxθ 0 z +
0 = EIxθ 0 z +
M ( z − 2a) 2 2
∑ +
Mf ( z − a) 2 2
P ( z − 0) 6
+
+∑
P ( z − b) 3 6
P ( z − 3a) 6
−
+∑
q( z − 0) 24
q ( z − c)
+
24 q( z − 2a) 24
(z = 3a) θ 0
θ 0
− Pa (a) 2 P (3a) P / a (3a ) P / a(a) = − + − 2 6 24 24 EIx3a 1
=
− 5 Pa 2 9 EIx
Para calcular (θ ) en el punto B, se aplica la ecuación de ( θ ) para (z = 3a) EIxθ = EIxθ 0 +
∑ Mf ( z − a) + ∑
EIxθ = − EIxθ 0 ∗ (z = 3a)
5 Pa 2 9 EIx
P ( z − b) 2
+ Pa ( z − 2a) +
2
+∑
P ( z − 0) 2
+
q( z − c ) 6
P ( z − 3a) 2 2
−
P / a( z − 0) 6
+
P / a( z − 2a ) 6
0=
0=
2 1 5 Pa
EIx 9
+ Pa( a) +
P (3a )
2
2
+ P (0) −
Pa 2
P / a (3a )
6
+
P / a ( a )
6
11 Pa 2
[ − 5 / 9 + 1 + 9 / 2 − 27 / 6 + 1 / 6] = EIx 18 EIx (sentido de giro antihorario(+)) θ max
≤ [θ ]
La flecha en el punto (A) se evalúa en la ecuación de la flecha y para (z = 4a). EIxy a = EIxy 0 + EIxθ 0 z +
EIxy a = − EIx
5 Pa 2 9 EIx
z +
∑
Mf ( z − a) 2 2
Pa ( z − 2a ) 2 2
0
+
+∑
P ( z − b) 3 6
P ( z − 0) 6
+
+∑
P ( z − 3a ) 6
q( z − c )
−
24 P / a ( z − 0) 24
+
P / a( z − 2a) 24
(z = 4a) 1 5 Pa 2
y a =
Pa − 160 + 144 + 768 + 12 − 768 + 48 − EIx 72
y a =
11 Pa 18 EIx
=
0,61 Pa EIx
6
+
P (a )
− EIx
2
+
P ( 4a )
y a =
9
(4a ) +
Pa (2a) 2
6
−
P / a( 4a) 24
+
P / a (2a) 24
y a ≤ [ y ]
CONCLUSIONES
Se debe puntualizar en los signos, como tener en cuenta las condiciones de los apoyos para ( Y0 ) y ( θ 0 ) o para evaluar en diferentes puntos como se ve en el ejemplo. Además el análisis de los resultados con los signos si la flecha es positiva, ¿qué indica?, y si lo es el ángulo de giro. PREGUNTAS DE COMPROBACION
1. - ¿Que métodos se conocen? 2. - ¿Que limitaciones hay para aplicar el método de los parámetros de origen? 3. - ¿Que significa que el ángulo de giro sea negativo?
BIBLIOGRAFIA
1. Resistencia de Materiales. Feodosiev pág. 157... 162 y 188... 198 Tomo I (deben ver las demostraciones fundamentales de la ecuación). 2. Resistencia de Materiales. Gilda Fdez pág. 348... 369 (estudiar los ejemplos propuestos y los resultados). 3. Resistencia de Materiales. Silovsky pág. 663 (aparece la deducción de la ecuación general). 4. Resistencia de Materiales. Pisarenko pág. 237. ¿Qué pasara con una barra curva sometida a flexión?
