´ gico de Monter Tecnologico o Monterrey rey
F´ ısica Experiment Experimental al I Semestre Enero-Mayo Enero-Mayo 2015
Pr´ Pr´ acti ac tica ca # 4
Equipo 6:
Daniel A. Hern´ ande an dezz Ben Be n´ıtez ıt ez David E. Peraza Peraz a Cort´es es Andrea Andr ea E. Parra Mej´ Mej´ıa
A00813376 A00813389 A01220769
´ ndez Dr. Ra´ ul ul Hernandez a
11 de marzo de 2015
Interfer´ ometro de Michelson
Daniel A. Hern´ andez, David E. Peraza, and Andrea E. Parra Instituto Tecnol´ ogico y de Estudios Superiores de Monterrey Departamento de F´ısica, Campus Monterrey
(Dated: 11 de febrero de 2015) Se construy´ o un interfer´ ometro de Michaelson utilizando una fuente l´ aser de Helio-Ne´on. Se observaron y analizaron los patrones de interferencia generados al desplazar uno de los brazos del interfer´ometro. Tambi´ en se hizo una medici´ on experimental de la longitud de coherencia y se relacionaron estas cantidades con el radio de los anillos formados por interferencia. Palabras clave: Interferometr´ıa, patr´ on de interferencia, distribuci´ on de intensidad, camino ´ optico I.
´ INTRODUCCION A.
Objetivo
Comprender el significado y funcionamiento de un interfer´ ometro de divisi´ on de amplitud y reproducir, en particular, el interfer´o metro de Michelson. Realizar mediciones de la distribuci´on de intensidad del patr´on de interferencia y comparar con los resultados te´oricos. B.
Descripci´ on
En este experimento se emplear´a el Interfer´ometro de Michelson a fin de estudiar los patrones de interferencia ante el cambio en la distancia y alineaci´on del espejo m´ovil. Interfer´ ometro de Michelson . Se reprodujo el interfer´ ometro de Michelson, el cual consiste de una fuente de luz coherente, la cual es colimada haciendo uso de una lente de foco cercano y otra de foco lejano. El haz colimado pasa por un prisma divisor de haz, dividiendo el haz original en dos nuevos haces; uno contin´ua su trayectoria original (la que hubiera seguido sin el prisma), el otro sigue un camino perpendicular al primero. Ambos haces inciden sobre un espejo totalmente reflector y regresan en la misma direcci´on hasta que se ’recombinan’ en el divisor de haz. Entonces se observan los patrones de interferencia en una superficie. Uno de los espejos es fijo y el otro es libre de moverse. La diferencia de caminos ´opticos influye en el patr´on de interferencia observado. El arreglo se encuentra ilustrado en la figura 1. C.
Marco Te´ orico
La interferometr´ıa comprende una serie de t´ecnicas que hacen uso del principio de superposici´on de ondas para estudiar ciertas propiedades de las mismas. En ´optica, la interferometr´ıa se usa para medir las propiedades de coherencia de la luz. El interfer´ ometro de Michelson es uno de muchos arreglos de y, en un principio, fue dise˜nado y usado para medir la velocidad relativa de la Tierra en el ”´eter”, cuando esta era la teor´ıa m´as extendida para la propagaci´on de la luz.
FIG. 1. Interfer´ometro de Michelson
Como ya se mencion´o antes, un haz de luz (normalmente coherente), es dividido por un prisma o un espejo semi reflector. La diferencia entre los caminos ´opticos de los haces introduce una diferencia de fase, la cual es responsable por los diversos patrones de interferencia que resultan de la superposici´on de los frentes de onda de la recombinaci´ on de los haces. Llamemos OP D a la diferencia de camino ´optico, la cual est´a dada por OP D = n ∆l
(1)
De donde n es el ´ındice de refracci´ o n del medio en el que viaja la onda y l es la distancia entre la fuente y un punto determinado. Es entonces la diferencia de fase de dos caminos ´opticos φ =
2π λ
OP D
(2)
El desfase entre los haces de luz que se superponen, provocan interferencia de manera constructiva y destructiva en diversos puntos, generando el patr´ o n. Este se ve afectado por la forma del frente de onda de la luz, la distancia del espejo movible al divisor de haz y de la orientaci´ on de los espejos entre otros factores. La interferencia de los haces tambi´en puede ser vista como el resultado de la superposici´on de la luz proveniente de dos fuentes virtuales creadas detr´as del espejo fijo, como se muestra en la figura 2. Basandonos en la figura 2, en el caso a , las fuentes virtuales se ubican en una misma recta junto con el centro de la pantalla; mientras que, en el caso b la inclinaci´ on
2 II.
PROCEDIMIENTO A.
Material
Para la realizaci´on de la pr´actica se utiliz´o el siguiente material: 1. L´ aser He-Ne (15 mW, 632.5 nm). 2. Divisor de haz. 3. Espejos totalmente reflectores. 4. Filtro espacial. 5. Pantalla de observaci´on.
FIG. 2. Interfer´ometros con sus respectivas im´ agenes
6. C´ amara fotogr´afica. de los espejos puede provocar que las fuentes se encuentren en una recta a un ´angulo con respecto al plano de la pantalla (o como en este caso espec´ıfico, paralelo al plano). El interfer´ometro de Michaelson es un interfer´ometro de divisi´ on de amplitud. En este arreglo la diferemcia de camino ´optico es una funci´on de λ y la distancia entre m´aximos y m´ınimos. Cuando el patron de interferencia son c´ırculos conc´entricos el radio de cada c´ırculo se puede obtener con la diferencia de camino ´optico y longitud de onda.
ρn = D
nλ d
(3)
Donde D es la distancia entre la fuente y la pantalla de observaci´on, y n (el n´ umero de radio) es un entero. Para ondas esf´ericas, la ecuaci´on de interferencia es
2d = cos θm = mλ
(4)
De donde d es la diferencia de caminos recorridos y θ es el ´angulo de incidencia. Si lo ´unico que est´a variando es el ´angulo de incidencia, tenemos que
2d = mλ
(5)
2d(1 − cos θn ) = nλ
(6)
Y mediante una expansi´on de Taylor se puede comprobar que
θn =
nλ d
(7)
B.
Colimado de la fuente
Antes de montar el interfer´ometro es necesario primero ampliar y colimar nuestra fuente, puesto que el di´ametro del l´ aser He-Ne es de .70mm y requerimos que el di´ametro se mantenga relativamente constante a lo largo de la l´ınea de propagaci´on. Para esto se usaron lentes de focos distintos, y tal y como se aline´o el l´aser al principio de la pr´ actica, se modificaron las distancias entre las lentes y la altura de las mismas para lograr un haz de luz m´as amplio y constante tanto cerca como lejos de la fuente. Una vez colimado nuestro haz, proseguimos a montar el interfer´ ometro. Primeramente, se mont´o el arreglo mostrado en la figura 1, colimando el haz incidente con un arreglo de dos lentes, uno m´a s grueso que el otro. Uno de ellos ten´ıa un foco m´as peque˜ no (el grueso). Se coloc´ o ´este antes y luego el delgado a una distancia m´as lejana al foco del primero para obtener un ancho mayor en el haz colimado. Con esta fuente obten´ıamos un patr´on de interferencia de franjas paralelas, ya que el haz colimado simulaba frentes de onda planos. Para obtener anillos quitamos el segundo lente para, con el foco del primer lente, simular una fuente puntual y obtener frentes de onda esf´ericos.
C.
Patrones de interferencia
Una vez obtenidos los anillos se procedi´o a desplazar el espejo B. Primero lo pusimos a la misma distancia que el espejo A (11 cm), y fotografiamos el patr´on resultante. Repetimos el proceso para las distancias 6cm, 8cm, 15cm y 27cm para el espejo B. Despu´ es dejando ambos espejos a la misma distancia se procedi´o a desalinear ligeramente el espejo A, y se observ´ o que se formaban l´ıneas paralelas que rotaban conforme se inclinaba el espejo.
3 D.
Mediciones de coherencia
Para medir la longitud de coherencia de nuestra fuente se alej´o el espejo m´ovil hasta que los anillos de los patrones de interferencia fueran indistinguibles, siendo esa distancia D max. Se busc´o de nuevo que los anillos fueran indistinguibles pero ahora acercando el espejo al divisor de haz, siendo esa distancia Dmin. Tenemos entonces que Lc = D m ax − Dm in = 120cm − 4cm = 116cm
(8) FIG. 4. D = 11cm
III. A.
RESULTADOS
An´ a lisis de datos y C´ alculos
Patr´ on de interferencia: geometr´ıa y contraste
Se observaron los patrones de interferencia para varios casos de las distancias de los espejos. Al tener un espejo m´as cerca del divisor de haz, se observ´o el siguiente patr´ on:
FIG. 5. D = 27cm
FIG. 3. D = 8cm
En este caso se pueden apreciar c´ırculos conc´entricos de diferentes intensidades y anchos. Vemos que el anillo central es el de mayor ancho e intensidad, y conforme aumenta el radio, la distancia entre los anillos se hace cada vez menor. Tambi´ en vemos que le intensidad de cada anillo consecuente es ligeramente menor que la del anterior. Para cuando los espejos se encontraban a la misma distancia, observamos el siguiente patr´on: Como podemos ver, la forma no parece ser circular, y no se encuentra un patr´on definido como en otros casos. Podemos interpretar este resultado pensando en que las ondas esf´ericas que se superponen tienen el mismo radio, puesto que el desfase es m´ınimo (idealmente cero) por lo que las superficies que se est´an sumando son iguales y no se aprecian c´ırculos como tal. En cuanto al contraste, podemos ver una zona bastante iluminada en el centro rodeada de un contorno irregular con un contraste bajo. En seguida aumenta un poco el contraste, pero se pierde ya el resto de la figura. Tambi´ en analizamos el caso para cuando un espejo se encuentra m´as lejos del divisor de haz:
En esta ocasi´on los anillos apenas se pueden diferenciar. El contraste es el mismo a lo largo de casi toda la imagen y aun se puede apreciar que el anillo central tiene un grosor mayor, el cual disminuye conforme aumenta el radio, pero ahora el grosor disminuye mucho m´as r´apido hasta que eventualmente las l´ıneas se confunden unas con otras y solo se ve un continuo de un solo contraste. Nota: en las im´ agenes se alcanzan a ver peque˜ nos c´ırculos que parecen ser parte del patr´on de interferencia, pero solo se trata de imperfecciones en el espejo que se puede mover. Como ya se hab´ıa mencionado, las diferencias de contraste se generan por la superposici´ on de frentes de onda esf´ ericos con una cierta diferencia de fase, donde las regiones obscuras son de interferencia destructiva y las luminosas de interferencia constructiva. Para predecir el radio de cada anillo con respecto al n´ umero de anillo realizamos el siguiente procedimiento tan θn =
ρ L
(9)
De donde ρ es el radio del n-´esimo anillo y L es la distancia del divisor de haz al punto de observaci´on. Para perturbaciones peque˜ nas en los espejos podemos decir que
tan θn
≈
θn =
nλ ρ = d L
(10)
Y encontramos una relaci´on para el radio del n -´esimo anillo:
4 B.
An´ alisis de errores
Las principales fuentes de error en esta pr´actica fueron: alineamiento, colimaci´ on, mediciones de longitud con poca exactitud, entre otros, que afectan en menor grado, como las vibraciones. El alineamiento afecta, puesto que, como se vio en el marco te´orico, la correcta alineaci´ on y distancias de espejos determinan la posici´on de las fuentes virtuales. La que, probablemente, fue la mayor fuente de error, es la medici´on de las longitudes entre espejos y divisor de has. Lo anterior, se debe a que el instrumento usado para este fin fue una cinta m´ etrica que era dif´ıcil colocar en los extremos a medir, lo que provocaba que se tomaran longitudes midiendo ”de aire” e introduciendo un error. Las desviaciones en las mediciones, con respecto a los valores predichos en teor´ıa, se deben a las fuentes de error mencionadas con anterioridad, y en parte al error humano.
IV.
FIG. 6. Frentes de onda esf´ ericos
ρ = L
nλ d
(11)
Usando los valores L = 1.7m, λ = 632nm y d = .01 se obtuvo la gr´afica del comportamiento del radio, que al compararla con el perfil de intensidad de los anillos (usando la funci´on improfile de Matlab), obtuvimos:
FIG. 7. Comportamiento del radio y perfil de intensidad
CONCLUSIONES
Se mont´o el arreglo del interfer´ometro de Michelson, con lo que se pudo obtener los patrones de interferencia bajo distintas condiciones de: diferencia de camino ´optico, longitud con respecto a longitud de coherencia y inclinaci´ on de espejos (alineaci´on). Nuestras observaciones y mediciones fueron congruentes con que, en la medida en que aumentaba la OPD (distancia entre un espejo y divisor vs el otro espejo y divisor), mayor era la distancia entre franjas. Uno de los fen´omenos que nos parecieron m´as interesantes fue que, al variar la inclinaci´on del espejo m´ovil, el patr´ on que se observ´o se asemejaba m´as a franjas rectas que a c´ırculos. Lo anterior lo pudimos interpretar de dos maneras: las fuentes virtuales se encuentran en una recta paralela a la pantalla (patr´on de interferencia de Young); o circulo central (donde se genera el m´aximo de intensidad) lo alejamos cada vez m´as del centro de la pantalla, de manera que en el ”infinito” ya no vemos segmentos de circunferencias conc´entricas, sino franjas paralelas (como en la figura 8).
FIG. 8. Franjas quasi-paralelas observadas con inclinaci´ on del espejo m´ ovil
5 V.
ANEXOS
FIG. 9. Anexo I. Notas tomadas durante la pr´ actica.
[1] G.W. Stroke, Diffraction Gratings , (Encyclopedia of Physics, Vol.29, pp.426, 1967). [2] E. Hecht, Optics , 4th ed (Pearson Education, 2002). [3] F.A. Jenkins and H.E. White, Fundamentals of Optics ,
4E. (McGraw-Hill, 1976). [4] C.R. Nave, Atomic Spectra , (HyperPhysics. Dept. of Physics and Astronomy, Georgia State Univ. USA). [5] SCHOTT optical glass data sheets 2012-12-04; & SCHOTT Zemax catalog 2012-12-04.
