UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL - FENAV PROFESSOR: DANILO DE SOUZA BRAGA
YASSER NUNES RODRIGUES 201107440003
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Belém – 2014 2014 1
1. INTRODUÇÃO O sistema vibratório é largamente estudado devido a ser aplicado na maioria dos casos envolvendo engenharia, inclusive na área naval, sendo no sistema eixo-hélice ou casco-ondas do mar. De acordo com Rao, um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis como as excitações (entradas) e as respostas (saídas) são dependentes do tempo. Em geral, a resposta de um sistema vibratório depende das condições iniciais, bem como das excitações externas. Os sistemas vibratórios são muito complexos, mas podem ser simplificados para um sistema de um grau de liberdade. Isto facilita a análise e a resposta tem um alto grau de confiabilidade. A proposta desse relatório é determinar justamente a massa equivalente do sistema massa-mola de uma mola e uma viga em balanço durante uma oscilação.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1. Modelo Físico O modelo real da mola e da viga pode ser representado de uma forma simplificada, como na Fig.1:
Figura 1. Modelos fisicos de uma mola e uma viga (Autoria própria). Pode se observar que a viga se comporta como uma mola então é plausível a representar por uma mola também. Os valores das massas efetivas da viga e da mola são representadas pela letra m, M representa a massa do sistema dos pesos adicionados e o suporte dos pesos. X representa o deslocamento da mola.
2.3. Hipóteses As hipóteses determinadas para a realização desse relatório são: O corpo M é mais rígido que o elemento de mola. Logo, assume-se como sendo um corpo rígido. As oscilações ocorrerão no regime elástico, e serão estudadas na mola e na viga. Não há perda de energia, sem amortecimento, ou seja, a energia cinética vai ser igual à energia potencial.
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2.4. Modelo Matemático Para determinar os valores da massa efetiva da mola e da viga de forma analítica são utilizadas as seguintes equações que podem ser encontradas no livro Rao (2009):
(1) (2)
Onde Mefeitva é a massa efetiva em kg; mviga é a massa da viga em kg; mmola é a massa da mola em kg. Inicialmente para se definir os valores das massas efetivas de forma experimental, deve-se entender o que seria massa efetiva de verdade. Segundo Rao (2009) seria a massa da mola que trabalha efetivamente influenciando na oscilação junto com a massa adicionada no sistema:
(3)
Onde Mequivalete é a massa equivalente; M é a soma da massa do peso e do apoio do peso em kg. Para se determinar massa efetiva de forma experimental deve-se primeiro determinar uma equação onde se relaciona a massa efetiva com o período. Pode-se deduzir essa equação partindo da equação da frequência natural, onde segundo Rao (2009) é definida de duas formas:
√
(5) (6)
Onde Wn é a frequência natural em Rads/s; Tn é o período natural em segundos; kequivalente é a constante de rigidez em N/m. Substituindo a Eq.(6) na Eq.(5) tem-se:
√
(7)
Elevando os dois lados ao quadrado:
(8)
Substitui-se mequivalente pela Eq.(3):
(9)
Simplificando a equação chegamos à Eq.(10):
3
(10)
Após se determinar a equação que relaciona período com massa, pode-se fazer uma relação com uma equação linear onde:
(11) (12)
2.5. Abordagem Estatística Após isso se utiliza os pontos retirados do experimento, faz-se uma tabela relacionando Tn² e a massa, linearizando depois com a função do Excel (usando o método de quadrados mínimos), gerando assim uma equação linear de onde podem ser retirados os valores de a e b e relacionando com as Eq. (11) e Eq.(12), obtendo-se assim os valores experimentais da massa efetiva e k equivalente.
3. MATERIAS E METODOS 3.1. Materiais
Bancada universal para teste de vibração (TecQuipment TM 16 N.S. 200); Mola e viga com o valor de massa conhecida; Suporte para pesos; Pesos em formatos de discos; Cronômetro; Balança com precisão de 0,01 kg.
3.2. Montagem
Figura 2. Bancada dos experimentos. O sistema da experiência é constituído de uma bancada universal onde há um dispositivo com um pequeno suporte, onde o conjunto massa-mola é enroscado. Na
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extremidade da mola, há uma bandeja onde são colocados os pesos para efetuar o deslocamento da mola. No caso da viga engastada, a viga é presa de forma horizontalmente na bancada e em seguida se coloca um peso em sua extremidade.
3.3. Métodos A mola foi presa na bancada por meio de uma rosca e em seguida foi fixado a bancada para inserir as massas na mola. Depois de f eito isso, insere-se o primeiro peso e com a ajuda de um estudante, a mola foi deformada até certa medida e em seguida o esforço foi retirado, começando assim a oscilação da mola. Foi determinado o período, através do cronometro, necessário para a mola completar 20 ciclos. Isso foi feito depois para todas as outras quantidades de peso definida anteriormente. No caso da viga, a mesma foi presa na bancada universal e na sua ponta livre, foi inserido uma borracha que serve para prender os pesos aplicados. Um estudante fez o esforço para deslocar a viga e depois se retirou o esforço para se medir a oscilação. Foise medido o tempo necessário para a viga completar 10 ciclos.
4. RESULTADOS Tabela 1. Valores obtidos no experimento. Dados retirados do experimento da mola Carga M(massa peso e (kg) apoio) (kg) Tempo(s) 0,4 1,906 6 0,8 2,306 6,25 1,2 2,706 6,71 1,6 3,106 7,35 2 3,506 8 2,4 3,906 8,2 Dados retirados do experimento da viga Carga M( massa peso e (kg) apoio)(kg) Tempo(s) 0,8 2,306 1,8 1,2 2,706 2,2 1,6 3,106 2,6 2 3,506 2,93 2,4 3,906 3,4
4.1. Mola
5
0,18 0,16
y = 0,0429x + 0,0027
0,14 ) ² n T 0,12 ( l a r u t 0,1 a N0,08 o d o i r 0,06 e P 0,04
Tn² Linear (Tn²)
0,02 0 0
1
2
3
4
5
Massa do Sistema
Figura 3. Grafico Tn² por massa da mola. Utilizando o kequivalente de 920 N/m retirado da Eq.(11) e fazendo o calculo do gráfico da Eq.(12) descobre-se que o valor da massa efetiva experimental da mola é 0,062937 kg, comparando com a massa efetiva analítica de 0,054, calcula-se o erro:
) (
(14)
O erro fica acima do esperado (10%). Utilizando o kequivalente de 861 n/m do relatório anterior e fazendo o calculo do gráfico da Eq.(12) descobre-se que o valor da massa efetiva experimental da mola é 0,058885 kg, comparando com a massa efetiva analítica de 0,054, calcula-se o erro:
) (
(13)
Percebe-se que o erro está dentro do esperado, chegando à conclusão que a possibilidade do erro da Eq.(14) ter sido acima do esperado, tenha sido causada por erro de sistêmico (erro nas medições). Na Fig. 4 foi feito uma comparação entre a variação de frequência natural por massa, em uma situação considerando a massa efetiva (M+mef) e outra considerando apenas a Massa do peso e da bandeja(M). Percebe-se que mesmo com o erro acima do aceitável, fica muito difícil de diferenciar uma curva da outra, podendo se dizer que a massa efetiva da mola não contribui muito para a massa do sistema e, portanto, não influencia na frequência natural do sistema.
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25 ) 20 n w ( l a r u t 15 a N a i c 10 n e u q e r F 5
M+mef M
0 0
1
2
3
4
5
Massa do Sistema em kg
Figura 4. Grafico Frequencia natural por massa M ou M+mef da mola.
4.2. Viga 0,14 0,12 ) ² n 0,1 T ( l a r 0,08 u t a N0,06 o d o i r 0,04 e P 0,02
y = 0,051x - 0,0883 Tn² Linear (Tn²)
0 0
1
2
3
4
5
Massa do Sistema(kg)
Figura 5. Grafico Tn² por massa da viga. Fazendo a comparação do gráfico com a Eq.(11) descobre que o valor da massa efetiva experimental da mola é 0,69784 kg, comparando com a massa efetiva analítica de 0,01886, calcula-se o erro:
) (
(15)
Observa-se uma margem de erro muito grande, isso pode ter sido acarretado devido à dificuldade de se conferir os ciclos de forma ocular, sem contar que a viga já apresentava certo desgaste, alterando assim a sua rigidez.
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40 35 ) n W30 ( l a r 25 u t a N20 a i c n15 e u q e r 10 F 5
mequivalente M( massa peso e apoio)
0 0
1
2
3
4
5
Massa do Sistema (kg)
Figura 6. Grafico Frequencia natural por massa M ou M+mef da viga. Na Fig.(6) foi feito uma comparação entre a variação de frequência natural por massa, em uma situação considerando a massa efetiva (M+mef) e outra considerando apenas a Massa do peso e da bandeja(M). Percebe-se nesse caso, já há uma diferenciação das curvas sendo assim, a massa efetiva da viga nesse caso é significativa na massa do sistema.
5. CONCLUSÕES O resultado do erro obtido na mola não foi satisfatório, ficando acima da margem de 10 %, quando se foi utilizado o kequivalente obtido na experiência anterior, essa que estava dentro da margem de erro, o resultado deu dentro da margem dos 10%, percebese então que o erro pode ter sido ocasionado por erro de medição (erro sistêmico) já que é muito difícil de conferir o numero de oscilações da mola de forma ocular, acarretando assim em grandes chances de se errar na contagem de quanto tempo se leva para terminar o ciclo. Conclui-se também que a massa efetiva não contribui de forma significativa na frequência natural. O resultado do erro na viga em balanço foi desastroso, ultrapassando e muito o limite de 10%. Isto pode ter ocorrido pelo fato de a viga encontrar-se muito desgastada, podendo com isso ter saído do regime elástico. Outro ponto a levar em consideração foi o método de obtenção dos dados, o numero de oscilações foram conferidos de forma ocular, gerando uma grande incerteza no tempo correto percorrido ao longo dessas oscilações. Conclui-se também que a massa efetiva contribui de forma significativa na frequência natural.
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6. REFERENCIAS Rao, Singiresu. Vibrações Mecânicas: Quarta Edição. São Paulo: Pearson, 2009. 448 paginas.
7. RESPONSABILIDADE AUTORAL O autor, Yasser Nunes Rodrigues, é o único responsável pelo conteúdo deste trabalho.
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