UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL - FENAV PROFESSOR: DANILO DE SOUZA BRAGA
YASSER NUNES RODRIGUES 201107440003
R E L A T O RI RI O PA PA R RA A D E T E R M I N A R RI RI G I D E Z D E U M SI ST E M A M ASS ASSA-M OLA E VI GA ENGASTADA. EN GASTAD A.
Belém - 2014
1
1. INTRODUÇÃO Neste relatório iremos basicamente determinar a constante de rigidez de forma experimental e analítica. Obteremos os dados experimentais, faremos a plotagem do gráfico do deslocamento variando com a força aplicada. Depois será realizado um tratamento estatístico dos dados experimentais para a determinação da constante de rigidez do método experimental e finalmente calcular o erro relativo entre o valor analítico e experimental.
2. FUNDAMENTAÇAO TEORICA 2.1. Modelo Físico Ao realizar os experimentos, podemos representa-los através de modelos simplificados onde demonstram o que ocorre de forma simples. Na fig.1 o caso da mola simples, onde há um peso na ponta provocando um deslocamento da mola e a açao de duas molas associadas de forma paralela:
Figura 1. Modelos Fisicos de uma mola simples e em paralelo (Rao, 2009, pag. 12 - 13). E por ultimo, na fig.2 o modelo da viga engastada com o peso na ponta provocando a deflexao:
Figura 2. Modelo físico de uma viga engastada com um peso na ponta (Rao, 2009, pag. 12).
2.2. Hipóteses As medições foram feitas no ponto de equilíbrio estático, deve-se considerar que a massa da mola é desprezível, sendo o único item que possui uma deformação considerável seria a própria mola, desconsiderando outros itens devido a alta rigidez de cada um. Vale ressaltar que a viga engastada pode ser considerada uma mola também.
2.3. Modelo Matemático Para o calculo de rigidez de sistemas massa – mola, precisa-se entender primeiramente como funciona a sua teoria. 2
“Uma mola linear é um tipo de elemento mecânico cuja m assa
e amortecimento são, de modo geral, considerados desprezíveis. Uma força é desenvolvida na mola sempre que houver um movimento relativo entre suas duas extremidades” (Rao, 2009, pag. 11). A força da mola é
proporcional ao valor de deslocamento da mola:
(1)
Onde no SI: F é força em newtons; K é a constante elastica de rigidez em N/m; é o deslocamento provocado pela força na mola em metros; Para se determinar a constante de rigidez K de uma mola cujo arame é possui uma seção transversal circular, utiliza-se da formula:
(2)
Onde no SI: G é o modulo de elasticidade; É diâmetro do arame da mola; N é a quantidade de espiras ativas, ou seja, as que são estimuladas pela força aplicada no sistema. É o diâmetro nominal da mola; Para a determinação da constante elástica de rigidez k em um sistema de molas associadas em paralelo utiliza-se a seguinte expressão:
(3)
Onde no SI: é constante de elasticidade da mola um; é a constante de elasticidade de mola dois; No caso para o calculo da constante elástica de rigidez de uma viga engastada, retira-se da equação da força proporcional ao deslocamento.
(4)
Onde: F é a força aplicada em newtons; I é o momento de inercia da seção transversal da viga em ; é a deflexão da viga em metros; L é o comprimento da viga em metros; Isolando-se as variáveis F e obtemos a formula da constante elástica da viga engastada.
(5)
3
2.4. Abordagem Estatística Nossa abordagem no momento da coleta de dados foi de fazer a retirada das medidas duas vezes para utilizar um valor médio a fim de diminuir a chance de um valor fora do comum. Depois de fazer os estudos experimentais e ter o Kequivalente de cada ponto, foi feito uma media aritmética desses valores para então ser feito o calculo do erro com o Kequivalente do valor analítico.
2.5. Normas As normas utilizadas foram as fornecidas pelo professor fornecidas através de um arquivo word template.
3. MATERIAIS E METODOS Os materiais utilizados foram: Bancada universal para teste de vibração (TecQuipment TM 16 N.S. 200); Duas molas mecânicas; Uma viga de seção circular; Suporte de engaste para viga; Régua graduada (precisão 1/10 mm); Paquímetro (precisão 0.05 mm); Trena (precisão 1 mm); Suporte para pesos; Pesos em formatos de discos com 400 g cada. Micrometro.
3.1. Preparação e Montagem O sistema da experiência é constituído de uma bancada universal onde há um dispositivo com um pequeno suporte, onde o conjunto massa-mola é enroscado. Na extremidade da mola, há uma bandeja onde são colocados os pesos para efetuar o deslocamento da mola. Nessa mesma bancada há uma régua graduada, que possui liberdade para se locomover de forma vertical conforme a deformidade da mola. Antes de enroscar a mola na bancada, o diâmetro do arame da mola é medido com o auxílio do paquímetro para a obtenção do raio. Além disso, o diâmetro externo das espiras (para obtenção do diâmetro nominal) é medido com o auxílio do paquímetro e o numero de espiras da mola são conferidas, atentando-se novamente para a calibração e para evitar erros de paralaxe (posição de observação das medidas). Todas essas medidas são realizadas duas vezes, para calcular uma média aritmética que permite minimizar os erros de medida. No caso da viga engastada, a viga é presa de forma horizontalmente na bancada e em seguida se coloca um peso em sua extremidade a fim de medir a deflexão por meio do micrometro. Essas medidas são necessárias para determinação do módulo de rigidez e da constante da mola, conforme esclarecido posteriormente.
3.2. Procedimentos Depois que o sistema está montado, adiciona-se os pesos, gradativamente. São adicionados cinco pesos diferentes a fim de se obter dados mais precisos. Após a adição de cada peso, o sistema é tirado do seu ponto de equilíbrio, ou seja, há um deslocamento. Os deslocamentos são medidos com o auxílio da régua que está fixada na bancada, atentando-se para utilizar sempre o mesmo ponto como referencial e olhando-se frontalmente, de forma que a 4
massa e a escala da régua estejam alinhadas. Além disso, esse procedimento de medida é realizado duas vezes, para calcular uma média aritmética que permite minimizar os erros das medidas. No caso da viga engastada foram adicionados dois pesos diferentes, não foi possível adicionar mais pesos devido à deflexão ser maior do que o micrometro pudesse medir. Tendo os deslocamentos e as forças, é possível traçar um gráfico de Força x Deslocamento. O coeficiente angular desse gráfico é a constante da mola (K) que se deseja determinar.
4. RESULTADOS Após o experimento os dados coletados foram aplicados em uma tabela comparativa onde se foi comparados os valores do experimento e os valores obtidos de forma teórica. Com o calculo de peso foi se utilizado o valor da aceleração gravitacional no equador (9,789 m/s²).
4.1. Mola Um Tabela 1. Valores obtidos nas medições do experimento e modulo de elasticidade. DIAMETRO DO ARAME (m) 0,005 DIAMETRO EXTERNO (m) 0,0485 DIAMENTRO INTERNO (m) 0,0436 DIAMETRO NOMINAL (m) 0,04605 NUMERO DE ESPIRAS 18 G (N/m²) 7,9292E10
Tabela 2. Comparativo entre os valores experimentais e analíticos de deslocamento e força aplicada sobre a mola um. CALCULO EXPERIMENTAL KEQUIVALENTE F(N) X(m) (N/m) 11,7468 0,003 3915,6 23,4936 0,006 3915,6 35,2404 0,009 3915,6 46,9872 0,012 3915,6 58,734 0,015 3915,6 CALCULO ANALITICO KEQUIVALENTE F(N) X(m) (N/m) 11,7468 0,003322356 3535,683668 23,4936 0,006644712 3535,683668 35,2404 0,009967068 3535,683668 46,9872 0,013289424 3535,683668 58,734 0,01661178 3535,683668
5
80
F o
60
CALCULO EXPERIME
r 40
NTAL
ç 20 a
CALCULO
0
ANALITIC 0
0,01
0,02
O
Deslocamento
Figura 3. Comparativo entre os dados experimentais e analíticos de Força x Deslocamento
4.1.1. Cálculo da constante K da mola um: O erro percentual entre os dois valores é, portanto:
(6)
Observa-se um erro dentro dos limites consideráveis (10%), sendo assim, o calculo analítico pode ser validado como representação do modelo físico. Observa-se na fig.3 que o conjunto de pontos obtido através do experimento fica muito próximo da equação analítica.
4.2. Mola Dois Tabela 3. Valores obtidos nas medições do experimento e modulo de elasticidade. DIAMETRO DO ARAME (m) 0,0033 DIAMETRO EXTERNO (m) 0,0446 DIAMENTRO INTERNO (m) 0,0413 DIAMETRO NOMINAL (m) 0,04295 NUMERO DE ESPIRAS 18 G (N/m²) 7,9292E10
Tabela 4. Comparativo entre os valores experimentais e analíticos de deslocamento e força aplicada sobre a mola dois.
F(N) 3,9156 7,8312 11,7468 15,6624 19,578
CALCULO EXPERIMENTAL KEQUIVALENTE X(m) (N/m) 0,0045 870,1333333 0,0092 851,2173913 0,0135 870,1333333 0,0185 846,6162162 0,0225 870,1333333 CALCULO ANALITICO 6
F(N) 3,9156 7,8312 11,7468 15,6624 19,578
X(m) 0,004750783 0,009501566 0,014252349 0,019003132 0,023753915
KEQUIVALENTE (N/m) 824,2009964 824,2009964 824,2009964 824,2009964 824,2009964
25 20
F CALCULO
o 15
EXPERIME
r ç 10
NTAL
a
CALCULO 5
ANALITICO
0 0
0,02
0,04
Deslocamento
Figura 4. Comparativo entre os dados experimentais e analíticos de Força x Deslocamento
4.2.1 Cálculo da constante K da mola dois: O erro percentual entre os dois valores é, portanto:
(7)
Observa-se um erro dentro dos limites consideráveis (10%), sendo assim, o calculo analítico pode ser validado como representação do modelo físico. Observa-se na fig.4 que o conjunto de pontos obtido através do experimento fica muito próximo da equação analítica.
4.3. Associação Em Paralelo Das Molas Um e Dois Os valores das características das molas são os mesmo valores dados nos experimentos anteriores. Tabela 5. Comparativo entre os valores experimentais e analíticos de deslocamento e força aplicada sobre as duas molas em paralelo.
F(N) 11,7468 23,4936 35,2404 46,9872 58,734
CALCULO EXPERIMENTAL KEQUIVALENTE X(m) (N/m) 0,003 3915,6 0,005 4698,72 0,008 4405,05 0,01 4698,72 0,013 4518 7
CALCULO ANALITICO KEQUIVALENTE X(m) (N/m) 0,002694291 4359,884665 0,005388583 4359,884665 0,008082874 4359,884665 0,010777166 4359,884665 0,013471457 4359,884665
F(N) 11,7468 23,4936 35,2404 46,9872 58,734 70 60
F 50 CALCULO
o 40 r ç
EXPERIMENT AL
30
CALCULO
a 20
ANALITICO
10 0 0
0,01
0,02
Deslocamento
Figura 5. Comparativo entre os dados experimentais e analíticos de Força x Deslocamento
4.3.1. Cálculo da constante K da associação em paralelo das molas um e dois: O erro percentual entre os dois valores é, portanto:
(8)
Observa-se um erro dentro dos limites consideráveis (10%), sendo assim, o calculo analítico pode ser validado como representação do modelo físico. Observa-se na fig.5 que os pontos obtidos por meio do experimento se assemelham com os do calculo analítico, entretanto nos dois últimos pontos, eles se afastam um pouco por provável desgaste da mola ou má visualização das medidas na régua.
4.4. Experimento Com A Viga Engastada Tabela 6. Valores obtidos nas medições do experimento e modulo de elasticidade. D (m) E (N/m²) INERCIA () L (m)
0,00635 2,0685 7,97709E-11 0,505
Tabela 7. Comparativo entre os valores experimentais e analíticos de deslocamento e força aplicada sobre a viga engastada. 8
F(N) 3,9156 7,8312 F(N) 3,9156 7,8312
CALCULO EXPERIMENTAL KEQUIVALENTE X(m) (N/m) 0,0138 283,7391304 0,023 340,4869565 CALCULO ANALITICO KEQUIVALENTE X(m) (N/m) 0,010187112 384,3679973 0,020374225 384,3679973
10
F
8
o
6
r ç a
CALCULO
4
EXPERIMENTAL
2
CALCULO ANALITICO
0 0
0,01
0,02
0,03
Deslocamento
Figura 6. Comparativo entre os dados experimentais e analíticos de Força x Deslocamento
4.4. Cálculo da constante K da viga : O erro percentual entre os dois valores é, portanto:
(9)
Observa-se um erro maior que o estipulado (10%). No momento do experimento a viga devido ao seu alto comprimento, ao aplicar o peso na sua extremidade, teve uma grande deflexão, limitando as medições do micrometro para dois pontos, sem contar com um possível erro na medição do comprimento da viga, pois esse é um dos tamanhos mais relevantes, pois está elevado ao cubo.
5. CONCLUSÕES Seguindo os experimentos foi possível Determinar os valores de rigidez analítico e experimental de molas e vigas, entretanto, no caso do experimento mola um e da viga engastada, os valores ficaram fora dos valores aceitos pela margem de erro causado pela medição incorreta dos dados de deslocamento e diâmetros externo e diâmetro do arame, sem contar também com o possível desgaste da mola em si. Percebe-se a importância da utilização de equipamentos bem calibrados e conservados, como de uma medida feita com uma maior atenção. Com isso, serão obtidos resultados que possibilitarão a comprovação da Lei de Hooke e a determinação da constante de rigidez da mola.
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6. REFERÊNCIAS Rao, Singiresu. Vibrações Mecânicas: Quarta Edição. São Paulo: Pearson, 2009. 448 paginas .
7. RESPONSABILIDADE AUTORAL O autor, Yasser Nunes Rodrigues, é o único responsável pelo conteúdo deste trabalho.
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