I.E. N° 021 “W.A.R.C”- MALVAL
CAPTULO
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REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA
1. La regl regla a de tres tres::
I. M)TODO U+IDAD:
Es una una oper operac ació ión n que que tien tiene e por por obje objeto to,, dado dados s dos dos o más más part partes es de cant cantid idad ades es propor proporciona cionales les siendo siendo una desconocid desconocida a o incógnita, hallar el valor de esta última.
DE
REDUCCI*+
A
LA
Regla de Tres Simple Dire#ta:
•
La Regla egla de Tres pued puede e ser ser: Simp imple
E(em E(empl plo o 1: !i 2 sillas cuestan !&*34
Compesta
()uánto costarán 3 sillas
Es Simple cuando cuando intervien intervienen en dos pares de cantidades proporcionales. proporcionales. Es Compesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales. proporcionales.
Resol#i$": Supuesto: 5 sillas → S/180 S/180 Pregunta: 8 sillas → x x
!. Regla Regla de de Tres Tres Simple: Simple: Ra,o"a"do:
En la regla de Tres !imple intervienen tres cantid ntida ades des cono conoci cida das s o Datos una una i"#$g"ita. desconocida o Esta Esta regla egla puede puede ser: ser: Dire# Dire#ta ta o I"%ersa& según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales. proporcionales. •
!i 2 sillas cuestan !&*34 * silla costará
S / 180 5
5 !&%'
Lego: 8 sillas costarán: 8 x S/36 = S/288
Spesto ' Preg"ta: En toda regla de tres ha dos "las de t#rminos o números. El supues supuesto to $ormad $ormado o por los t#rmin t#rminos os conocidos del problema va generalmente en la parte superi erior. La pregunta $ormada por los t#rminos que contienen a la incó incógn gnit ita a del del prob proble lema ma va en la parte in$erior.
E(em E(empl plo o !: !i +4 chocolates cuestan !&'4 ()uánto costarán ' chocolates
Resol#i$": Supuesto: 20 chocolates → S/60 S/60 Pregunta: 6 chocolates → x x
lapice cerros, os, cues cuesta tan n !&'. !&'. E(emplo: !i % lapi ()uánto costarán *+ lapiceros
Ra,o"a"do:
Resol#i$" :
!i +4 chocolates cuestan !&'4
Spesto: % lapiceros → !&' Preg"ta: *+ lapiceros → !&•
•
El supuesto está $ormado por % lapiceros !&' la pregunta por *+ lapiceros la incógnita !&-.
* chocolate costará
0. 00. 000.
20
5 !&%
Lego: 6 chocolates costarán: 6 x S/3 = S/18 -.
/#todos /#todos de Resolución: esolución: Todo problema problema que se plante plantea a por una Regla egla de Tres res puede resolverse por tres m#todos.
S / 60
Regla de Tres Simple I"%ersa: E(emplo 1: !i 3 obreros terminan una obra en *2 d6as (*+ obreros en cuán cuánto tos s d6as d6as ter termina minará rán n la mism misma a obra
/#tod #todo o de Redu educció cción n a la unidad idad /#tod #todo o de de la las pr propor porcio ciones nes /#todo 1ráctico
Resol#i$": -1-
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van de menos a menos 8 á 9, es decir son cantidades directamente prop propor orci cion onal ales es,, por por cons consig igui uien ente te la Regla es Dire#ta .
Supuesto: 8 obreros → 15 15 días Pregunta: 12 obreros → x x
Ra,o"a"do:
;hora $ormamos una proporción ión escr escrib ibie iend ndo o la ra<ó ra<ón n dir directa ecta de las las primeras cantidades 8pollos9 igual a la ra<ón directa de las segundas cantidades 8soles9 ;s6:
!i 3 obreros hacen la obra en *2 d6as * obrero lo hará en *2 - 3 5 *+4 d6as
25
Lego: 12 obreros harán la obra en: 120 días 12
112.50 =
14
= 10 días
x
0alla"do el trmi"o des#o"o#ido: -5
14
.
E(emplo !: !i trab trabaj ajan ando do *4 hora horas s diarias una cuadrilla de obreros tardan *3 d6as para terminar una obra trabajando ' horas diarias. (En cuántos d6as terminar6an la misma obra
2.
112,50 25
5 '%
- 5 !&'%
⇒
Regla de Tres Simple I"%ersa: E(emplo:
!i trabajando *4 horas diar diaria ias s una cua cuadr dril illa la de obr obreros eros demo demora ran n *3 d6as d6as para para termi termina narr una una obra, obra, trabaj trabajand ando o ' horas horas diaria diarias. s. (En (En cuán cuánto tos s d6as d6as ter termina minar6 r6an an la mism misma a obra
Resol#i$": Supuesto: 10 h/d → 18 18 días Pregunta: 6 h/ds → x x
Resol#i$": Ra,o"a"do:
Supuesto: 10 h/d → 18 18 días Pregunta: 6 h/d → x x
!i trabajando *4 h&d tardan *3 d6as Trabajando Trabajando * h&d tardar6an tardar6an *3 - *4 5 *34 d6as
Ra,o"a"do: !i trabajando *4 h&d demoran *3 d6as, trabajando menos horas diarias 8'9 lo termin terminar6 ar6an an en más más d6as. d6as. =emos emos que estas cantidades proporcionales van de menos a más 8 a >9 osea que son inv inversa ersame ment nte e prop propor orci cion onal ales es por por cons consig igui uien ente te la Regl Regla a de Tres res es
Lego: Trabajando 6 h/d tardaran: 180 días 6
= 30 días
II. M)TODO M)TODO DE DE LAS LAS PROPOR PROPORCIO+ CIO+ES ES /.
I"%ersa.
Regla de Tres Si Simple Dire#ta: ollos s cuest uesta an E(emplo 1: !i +2 pollo !&** !&**+. +.24 24 ()uá ()uánt nto o se paga pagará rá por por *7 pollos
Ento Entonc nces es se $or $orma una una prop propor orci ción ón escr escrib ibie iend ndo o la ra<ó ra<ón n dir directa ecta de las las prim primer eras as cant cantid idad ades es 8h&d 8h&d99 igua iguall a la ra<ón inversa de las segundas Regla: cantidades 8d6as9. ;s6: *. !e e-amina si la Regla es 10 x ?irecta e 0nversa. !i las 6 18 cantidade cantidades s propor pro porciona cionales les van de m4s a m4s o de me"os a De do"de: , la Regla es ?irecta si me"os 18 . 10 an de m4s de d6as me"os ⇒ ∴ - o -v5 5 %4ad6as 5 %4 Regla gla es me"os6 a m4s la Re I"%ersa. +. !i la l a Regl Regla a es Dire Dire#t #ta a. !e III. M)TODO PR3CTICO multiplican los datos en aspa se divi divide de entr entre e el otr otro dato dato este cociente es el valor de la incógnita. !i la Regla es 0nversa: !e multiplican los ?atos del !upuesto se divide entre el otr otro da dato de la re unta unta est este e =
Resol#i$": Supuesto: 25 pollos → S/112,50 S/112,50 Pregunta: 14 pollos → x x
Ra,o"a"do: !i: !i: +2 poll pollos os cues cuesta tan n !&** !&**+. +.24 24 por por menos menos pollos pollos 8*79, 8*79, se pagará pagará menos menos soles. Estas cantidades proporcionales -2-
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!i en *4 d6as hacen la obra +* obreros para hacerlo en más d6as se necesitarán menos obreros 8> a 9 la
Regla es i"%ersa. #irecta
!egla de Tres Si"ple a
→ b
c
→ x
$n%ersa
x=
Luego: -5
x=
b .c
21 oberos . 10 días 15 días
=
14 obreros
a .b
1ara hacer la misma misma obra en *2 d6as se necesitar6an *7 obreros obreros ∴
5.
Regla de Tres Si Simple Dire#ta: PRO7LEMAS RESUELTOS RESUELTOS
etros de pol olstel stel E(emplo: !i % metr cuesta cuesta !&*+4. !&*+4. ()uán ()uánto to se pagar pagará á por 2,2 metros del mismo polstel
Pro8lem Pro8lema a 1: @n auto tarda 3 horas en
Resol#i$": Supuesto:
3m
Pregunta:
5,5 m
recor ecorrrer un tra traec ecto to end endo o a A4 Bm&h Bm&h.. ()uá ()uánt nto o tard tardar ará á en recor ecorre rerr el mism mismo o traecto endo a '4 Bm&h
S/1 20
Resol#i$":
X
m4s
a
m4s
Ye"do Ye"do a: A4 Bm&h
Ra,o"a"do:
tarde 3
→
horas
!i por % metros se paga !&*+4 por más metros se pagará más soles 8 > a >9 la
Regla es dire#ta. Luego: - 5 ∴
S / 120 .
3m
5,5m =
La duración del traecto es inversamente prop propor orci cion onal al a la velo veloci cida dad, d, lo que que se indica por 0 colocada encima de la columna de las velocidades.
S / 220
1or los 2,2 metros del mismo polstel se pagará !&++4.
Por ta"to: 5 *+ horas
6.
90
x =
60
8
de do"de: - 5
90.8 60
- 5 *+ horas
⇒ ∴
Regla de Tres Si Simple I"%ersa: E(emplo: !i +* obreros tardan *4 d6as
Pro8 Pro8lem lema a !: !i *+ metros de cable
para hacer una obra. ()uántos obreros se nece necesi sita tará rán n para para hace hacerr la mism misma a obra en *2 d6as
cues cuesta tan n 7+ sole soles. s. ()uá ()uánt nto o cost costar arán án *' metros
Resol#i$":
Resol#i$": Supuesto: Pregunta:
10 días
21 obrer os
15 días
X obrer os
m4s a
Si:
*+ m
cuestan
→
!&7+ El costo costo es direct directame amente nte propo proporc rcion ional al al número de metros lo que se indica por la letra D encima de la columna metros.
me"os
Ra,o"a"do: -3-
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Por Por ta"to: ta"to: 46.16 12
9.
12
42
de do do"de: - 5
=
16
x
5 2' soles ⇒
Resol#i$": Escr Escrib ibim imos os el supu supues esto to la preg pregun unta ta luego luego hacemo hacemos s las compar comparaci acione ones s para para sabe saberr si las las regla eglas s de tres tres simp simple le son son directas o inversas.
- 5 2' soles
∴
Regla de Tres Compesta: En la Regla de Tres )ompuesta interviene tres o más pares de cantidades proporcionales, siendo una la cantidad desconocida o incógnita.
Spesto: 180 metros
18 obreros
21 días
120 metros Preg"ta:
1 obreros
! días
Mtodo pr4#ti#o 1ara 1ara resolver resolver los problema problemas s de Regla Regla de Tres, aplicamos el m#todo llamado CLa le de los signosD, que no es más que la constante práctica de magn magnit itud udes es prop propor orci cion onal ales es que que consiste en lo siguiente: !e colocan los valores correspondientes correspondientes a la misma magnitud, uno debajo de otro, a continuación se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el para para que que cont contie iene ne a la incó incógn gnit ita a para saber si son directa o invers inversame amente nte propo proporc rcion ionale ales s con la incógnita CD:
Compara#io"es: 1ara hacer menos a Metr Metros os #o" #o" d;as d;as:: 1ara metros de pista tardarán menos d6as, luego luego la regla regla es ?irect ?irecta a coloca colocando ndo arriba de la columna de metros la letra D. obreros s 8 O8reros #o" d;as: /enos obrero tardarán más d6as la regla es 0nversa colo coloca cand ndo o arri arriba ba de la colu column mna a de obreros obreros la letra I.
Do"de: D
Si son directamente proporcionales
arriba – abajo +
Spesto:180 metros
18 obreros
21 días
120 metros
1 obreros
! días
Preg"ta:
Lueg Luego o pasa pasamo mos s a colo coloca carr los los sign signos os correspondientes: Si son invers amente proporcionales
arriba + abajo -
-
El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuo numerador es el producto de toda todas s las las cant cantid idad ades es a$ect a$ectad adas as del del sign signo o 8>9 cuo cuo denom denomin inad ador or es el producto de las cantidades a$ectadas del signo gno 89 89 en tod todos los los prob proble lem mas sin sin e-cepción el valor num#rico que es de la misma misma especi especie e que que la incóg incógnit nita a lleva llevará rá signo 8>9.
18 obreros
21 días
120 metros
1 obreros
! días
+
de pist pista a *3 obrer brero os tar tardan +* d6a d6as. ()uántos tos d6as se necesitar tarán para pavimentar *+4 metros de la misma pista con 7 obreros menos
+
Spesto:180 metros Preg"ta:
Pro8lema 1: 1ara pavimentar *34 metros
+
-
La incógnita viene dado por un quebrado cuo numerador es el produ producto cto de todas todas las cantid cantidade ades s del signo signo 8>9 8>9 cuo cuo denomi denominad nador or es el el producto producto de las cantidade cantidades s a$ectadas a$ectadas por el signo 89, as6: 120 metros . 18 obreros . 21días
x=
-4-
180 metros . 14 obreros
= 18
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;9 ' d6as 6as ?9 A d6as
F9 d6as d6as )9 E9 *4 d6as
3
d6as 6as
. @n capat capata< a< contr contrata ata una una obra obra que que debe debe terminar en %4 d6as. ;l iniciarla obra con con *4 obr obreros eros trab trabaj ajan ando do ' hora horas s diar diaria ias, s, tran trans scur currido ridos s +4 d6as d6as han han reali
RE
;9 *4 ?9 3
*. monos comen plátanos en minutos ()uánto tiempo se demorarán + monos en comerse + plátanos ;9 + min. F9 * min. )9 min. ?9 7 min. E9 ' min.
F9 *2 E9 +4
)9 2
3. @na cuad cuadrrilla illa de *+ obr obreros eros puede ede terminar un trabajo en *2 d6as, trabajando *4 horas diarias. ;l cabo de d6as de labor se en$erman 2 de los obreros, % d6as más tarde se com comunica nica al cont contrratis atista ta para para que entregue el trabajo en la $echa "jada previamente ()uántos obreros adic adicio iona nale les s tend tendrá rá que que toma tomarr para para cumplir con tal e-igencia
+. La cant cantid idad ad de gran ranos de ma6< ma6< que que entran en un balón es$#rico de %m de diá diámetr metro o es *+4 *+4 ()uán )uánto tos s gra granos nos entrarán en un balón de 'm de diámetro ;9 734 F9 '44 )9 A'4 ?9 *774 E9 G.;.
;9 3 ?9 A
%. @n propi propieta etario rio tiene tiene '74 '74 corder corderos os que que puede uede alim alimen enta tarr dura urante nte '2 d6as. 6as. ()uá ()uánt ntos os cor corder deros debe debe vend vender er si quiere alimentar su rebaHo por *2 d6as más dando la misma ración ;9 *+4 F9 **4 )9 34 ?9 *%4 E9 G.;.
F9 *4 E9
)9 A
A. @n alba albaHi Hill pensó pensó hace hacerr un muro muro en *2 d6as pero tardó ' d6as más por trabajar + horas menos cada d6a ()uántas horas trabajó diariamente ;9 2 ?9 3
7. )ierto número de ovejas son alimentadas con '4 Bg de pasto. 1ero si disminuimos en *2 el número de ovej oveja as, ento entonc nces es se nec necesi esitar6 tar6a an sola solame ment nte e 74 Bg de past pasto. o. Iall Iallar ar el número de ovejas. )9 7% ;9 74 F9 7+ ?9 72 E9 73
F9 ' E9 **
)9
*4.%4 obreros e-cavan una
2. !eis eis obrer brero os hac hacen una una obra bra en *2 horas el triple de obreros (Ju# tiempo tomarán para hacer la misma obra ;9 % h F9 7 h )9 2 h ?9 ' h E9 h
;9 ' ?9 *4
'. !i *' *' obrer obreros os trabaja trabajando ndo A horas horas diarias diarias en *+ d6as d6as hace hacen n '4 sill sillas as ()uá ()uánt ntos os d6as necesitarán 74 obreros trabajando * hora hora diar diaria ia meno menos s para para hace hacerr un ciento de las mismas sillas
-5-
F9 3 E9 *+
)9 A