Redes de Fluidos
Folhas de Teóricas de Apoio à Cadeira Ano lectivo de 2006/2007 Departamento de Engenharia Mecânica Área Científica de Termodinâmica Aplicada
Realizadas pelo Docente da Cadeira: Miguel Cavique Outubro de 2007 Versão 1.1.
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1. Introdução Da experiência colhida nos últimos anos, pretende-se que es tas folhas possam contribuir para a melhoria do conhecimento dos alunos na disciplina de Redes de Fluidos. Esta disciplina, com 7 ECTS, deverá dar aos alunos as bases que lhes permitam definir sistemas mais elaborados. Os alunos deverão considerar uma carga de trabalho externa às aulas de 110h, das quais 90h no período lectivo. No final, os alunos deverão dominar os conhecimentos básicos de Redes de Fluidos, saber aplicá-los aos casos de redes prediais e urbanas de gás e de água sabendo inscrevê-las e dimensioná-las, conhecer os equipamentos básicos destas redes e analisar redes em anel. Saberão ainda dimensionar redes elementares de água e de ar em instalações de ar condicionado. Deverão demonstrar a capacidade de aplicar os conhecimentos obtidos a redes com outros fluidos. As matérias leccionadas deverão ser encaradas como aplicações dos conhecimentos de base, não devendo ser confundido com manuais de projecto de redes gás, água ou de ar condicionado. Posteriormente e na vida activa deverão os alunos conhecer em pormenor os códigos de boa prática, o tipo de aplicação determinado por cada distribuidora de gás ou de água, ou conhecer as técnicas de aplicação a cada indústria. Estas folhas pretendem ser um resumo da matéria e como tal um bom auxiliar. São indicadas as principais demonstrações, mesmo que em alguns casos se faça uso de comparação com outros métodos, os dados mais importantes para o dimensionamento de redes e propostas de exercícios, de trabalhos e de reflexões sobre o tema. Como primeira versão melhorada das folhas anteriores, será concerteza alvo de melhorias. Os alunos devem encará-las como uma manual de aplicação geral não dispensando a consulta de outros referidos na bibliografia.
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2. Perdas de carga 2.1. Equação de Bernoulli Bernoulli demonstrou que num escoamento de um qualquer líquido entre dois pontos (“1”-montante e “2”-jusante) o líquido cede energia para vencer as resistências que se oferecem ao seu escoamento. A equação da energia pode ser expressa por:
ρV ρV + p + ρgh ∆P = + p + ρgh − 2 2 2
2
1
2
1
1
2
2
(2.1)
onde: -
h1 e h2 são as cotas
-
p1 e p2, as pressões estáticas
-
V1 e V2, são as velocidades
respectivamente nos pontos 1 e 2 definidos anteriormente. Em qualquer projecto de uma rede é necessário calcular a energia que o líquido irá despender para poder escoar na tubagem, isto é a perda de carga na tubagem. t ubagem.
2.2. Fórmula de Darcy A perda de carga, ou de energia, resulta do atrito interno do líquido devido à sua viscosidade e da resistência oferecida pelas paredes em virtude da sua rugosidade. Darcy propôs a expressão geral da perda de carga:
L V2 ∆P = f .ρ. . D 2
(2.2)
VHQG VHQGR R 3DSHUG 3DSHUGDGH DGHFDU FDUJD JD, que varia directamente com o comprimento L da tubagem, com a energia cinética do escoamento e com o factor de atrito f e inversamente com o diâmetro D da secção do escoamento. Esta expressão pode ser obtida por análise dimensional. ___________________________ _________________________________________ ______________________ ________ Exercício 2.1. – Analise dimensionalmente a expressão (2.2). A perda de carga carga P é muitas vezes expressa em (m.c.a.). Altere (2.2) de modo que a perda de pressão seja obtida em metros de coluna do líquido considerado. ___________________________ _________________________________________ ______________________ ________
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Nas expressões que se seguem D será considerado o diâmetro de uma conduta circular. Em casos de condutas com outras formas poder-se-á utilizar em sua substituição o diâmetro hidráulico D h dado pela relação de 4 vezes a secção da conduta sobre o perímetro molhado. Para uma conduta circular D h=D, como se verifica pela expressão
Dh
=
4.A P
=
4.
πD 2
4 π.D
= D . Numa conduta de secção rectangular de dimensões a e b, o
diâmetro hidráulico será D h
=
2(a.b) (a + b )
.
___________________________ _________________________________________ ______________________ ________ Exercício 2.2. – Para uma conduta de ar condicionado de secção rectangular considere b a dimensão vertical supostamente fixa e a a dimensão horizontal com possibilidade de variar. Prove que por maior que seja a, o Dh é dependente de b não podendo ser superior s uperior a 2b. ___________________________ _________________________________________ ______________________ ________
Rescrevendo a eq. 2.2 função do caudal Q, para uma conduta circular:
∆P = 8.
f
π2
.ρ.L.
Q2 D
(2.3)
5
Ou para um fluido e admitindo f aproximadamente constante:
∆P = K.L.
Q2 D
(2.3. a)
5
Em regime turbulento, o factor de atrito f depende, da rugosidade relativa das paredes
GDWXEDJH GDWXEDJHP P 'VHQG 'VHQGR R ε a rugosidade absoluta das paredes Re o número de Reynolds dado por Re = onde
V.D
(2.4)
ν 1
é a viscosidade cinemática do fluido . A viscosidade cinemática
viscosidade dinâmica
é função da
VHJ VHJXQ XQGR GR
A viscosidade dos fluidos varia com a temperatura. Para o ar e gás natural inserem-se na tabela seguinte os valores da viscosidade dinâmica em centi Poise:
1
Viscosity Calculator: http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm
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Viscosidade -3 [cPoise = 10 Pa.s]
o d i u l F
Temperatura [ºC] 0ºC 0.0174 0.0121 0.0106
Ar Gás Natural sg(0.5) Gás Natural sg(0.75)
15ºC 0.0181 0.0125 0.0112
25ºC 0.0186 0.0129 0.0113
Tabela 2.1 – Viscosidade dinâmica de gases em centi p oise
O Poise é a unidade de viscosidade dinâmica do sistema CGS, devendo o seu nome a Poiseuille, médico francês do século XIX, que estudou a circulação sanguínea e escreveu "Le mouvement des liquides dans les tubes de petits diamètres", publicada em 1844. Esta unidade é ainda usada em diversas indústrias, sendo a conversão de 1 centi -3
Poise = 10
Pa.s. A viscosidade em gases é fundamentalmente dependente da
temperatura, variando positivamente com o aumento de temperatura. A correcção da viscosidade para pressões de 35 bar geralmente inferior a 10% do seu valor.
Para a água e muitos outros líquidos, a viscosidade diminui com a temperatura. A tabela -6
2
seguinte exprime essa relação em centi Stokes, unidade igual a 10 m /s.
Temperatura [ºC]
0 -6
2
Viscosidade [cStokes= 10 m
/s]
1,79
15 1,14
20
25
1,01
0,90
45 0,61
60 0,49
80 0,37
Tabela 2.2 – Viscosidade cinemática da água
O factor de atrito f pode depende do tipo de escoamento, e como tal de Re, e da
UXJRVLGDGH UXJRVLGDGH UHODWLYD UHODWLYD ' ' 2 FRQK FRQKHFL HFLGR GR GLDJU GLDJUDP DPD D GH 0R 0RRG RG\ \ SHUPL SHUPLWH WH HVWD HVWDEH EHOH OHFHU FHU HVVD HVVD relação. Dado que depende de números adimensionais permite a obtenção do factor de atrito para qualquer fluido.
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Figura 2.1 – Diagrama de Moody
Este diagrama pode ser expresso por diversas equações de aproximação. Sitam-se a de Colebrook necessitando de resolução iterativa, dado que f aparece em ambos os lados da equação:
ε = 1,74 − 2 log10 2 + 18.7 f D Re f
1
(2.5)
Ou em alternativa pode ser utilizada a expressão de Hunter-Rouse: 1 f
D = 2 log10 + 1,14 ε
(2.6)
Numa outra expressão explicitada em ordem a f: f =
0,25
ε 5,74 D + 0,9 log10 3 , 7 Re
2
(2.7)
Ou a expressão de Churcill (1977):
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8 12 1 f = 8 + 1, 5 Re (A + B)
1 12
1 A = 2,457 ln 0 ,9 ε 7 + 0,27 Re D
(2.8) 16 16
e
37530 B= Re
Os valores da rugosidade variam com o material e estado de uso, conforme tabela seguinte: Rugosidade Absoluta Cobre ou plástico Aço polido Aço Galvanizado com costura Aço Galvanizado sem costura Ferro Fundido Fero Fundido revestido com cimento
>P@ 1,5 a 15 45 150 a 200 60 a 150 260 50 a 150
Tabela 2.3 – Rugosidade absoluta de materiais empregues em tubos
2.3. Expressões de correlação Para uma determinada indústria é usual a utilização de uma determinada gama de diâmetros de tubagens para determinados caudais, pelo que para esses tipos de escoamentos é possível expressar o factor de atrito função exclusivamente de Re.
b
f=f(Re)=a.Re
(2.9)
sendo b próximo de –0,2 para a maioria dos fluidos, a eq.1.3 pode ser expressa na forma:
∆P = K.L.
Qn Dm
,
(2.10)
sendo n próximo de 1,8 e m próximo de 4,8.
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_________________________________________________ Exercício 2.3. – Considere os tubos de plástico de diâmetros nominais entre 22mm e os 90mm com velocidades de escoamento de 1m/s. Utilizando o diagrama de Moody ou uma das expressões apresentadas obtenha f(Re). Seguidamente determine uma equação de perda de carga da forma apresentada em (1.7). {Sugestão: para determinar as constantes a e b de (1.7), aplique uma recta de regressão de mínimos quadrados ao logaritmo da expressão, ou seja ln(f)=ln(a)+b.ln(Re) }. _________________________________________________ É comum estabelecer perdas de pressão por unidade de comprimento de tubagem, pelo que a expressão (2.10) surge diversaVYH]HVQDIRUPDM 3/ Fórmulas diversas têm sido propostas nesta base, nomeadamente as de Fair-Hassio, para tubos de ferro galvanizado até 4”:
j[m.c.a. m] = 0,002021
Q1,88 [m 3 s ] D
4 ,88
[m]
(2.11)
Ou a Flamant para tubos lisos: 1
v 7 [m s] 4 ,que para tubos usados toma a seguinte forma j[m.c.a. m] = D[m] D[m ] 4b
j[m.c.a. m] = 0,0014
Q
1, 75
[m s] 3
D 4, 75 [m]
(2.12)
Sendo b=0,00023 para tubos usados e b=0,00018 para tubos novos. São ainda conhecidas as expressões para tubagem de cobre com água fria: j[m.c.a. m] = 0,00086
Q
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1, 75
D
[m s]
4, 75
3
[m]
(2.13)
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Ou para tubagem de cobre com água quente:
j[m.c.a. m] = 0,0007
Q1, 75 [m 3 s ] D 4,75 [m]
(2.14)
2.4. Importância relativa dos parâmetros na perda de carga. A expressão (2.3.a) mostra a importância relativa do diâmetro face às restantes variáveis da equação. A perda de carga, numa conduta circular, varia linearmente com o comprimento, quadraticamente com o caudal e com o quíntuplo do diâmetro. Os eventuais erros na escolha ou utilização de tubos, influenciam o diâmetro interior, tendo pois um impacto determinante na determinação da perda de carga. O efeito relativo na pressão por variação de um qualquer dos parâmetros pode ser obtido diferenciando a expressão (2.3.a). Obtém-se então:
∂∆P ∂∆P ∂∆P Qn Q n −1 Qn + + = K m dL + nKL m dQ − mKL m+1 dD d∆P = ∂L ∂Q ∂D D D D RX GLYLGLQGRSRU 3REWém-se as variações relativas da pressão com o comprimento, caudal e diâmetro: d∆P
∆P
=
dL L
+n
dQ Q
−m
dD D
(2.15)
Da expressão anterior assinala-se que a variação em 10% no diâmetro causa uma variação de cerca de 50% na perda de carga. É pois muito importante conhecer qual o material e a norma seguida para os tubos empregues numa rede, dado que as variações para o mesmo diâmetro nominal podem ser superiores a 10%.
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______________________________________________________________________ _________________________________________________ Exercício 2.3 – Determine a expressão do erro relativo de cálculo da pressão por utilização incorrecta do diâmetro exterior de uma tubagem de polietileno sdr 11, conforme tabela 2.4. _________________________________________________
Designação IP
DN
Designação métrica
Aço Galv.
Aço sem
Cobre
PE
Tubo Spiro
DIN2444
costura
NP-1638
ISO 4427
Taabela
Série média
NP EN 1028-I
Sdr11
parcial
D ext
(pol) (mm)
e
D ext
e
D ext
e
D ext
e
D int
Tol
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
10.2
1.8
6
0.8
20
3
80
+0.5
¼”
13.5
2.35
13.5
2.3
8
0.8
32
3
100
+0.5
3/8”
17.2
2.35
17.2
2.3
10
0.8
40
3,7
125
+0.5
½”
21.3
2.65
21.3
2.9
12
0.8
63
5,8
140
+0.6
¾”
26.9
2.65
26.9
2.9
15
1.0
90
8,2
150
+0.6
1”
33.7
3.25
33.7
3.6
18
1.0
110
10,0
160
+0.6
1” ¼
42.4
3.25
42.4
3.6
22
1.0
125
11,4
180
+0.7
1” ½
48.3
3.25
48.3
4.0
28
1.2
160
14,6
200
+0.7
2”
60.3
3.65
60.3
4.0
35
1.5
200
18,2
224
+0.8
2” ½
76.1
3.65
76.1
5.0
42
1.5
250
+0.8
3”
88.9
4.05
88.9
5.6
54
2.0
280
+0.9
4”
114.3
1.05
114.3
6.3
300
+0.9
5”
139.7
4.85
315
+0.9
Tabela 2.4 –
Dimensões de Tubos
Na tabela anterior D ext designa o diâmetro exterior, D int o diâmetro interior e e a espessura da parede da tubagem. Nas séries métricas o diâmetro é normalmente definido pelo exterior, de modo que diversos acessórios sejam compatíveis entre diversos materiais e normas. Nas séries em polegadas o diâmetro nominal não corresponde quer ao exterior, quer ao interior, sendo normalmente ligeiramente superior ao diâmetro interior.
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______________________________________________________________________ Na tubagem em plástico é comum definir o sdr (standard diameter ratio) dado como a relação entre o diâmetro e a espessura. Assim para o PE 110 – sdr 11 a espessura é de 110/11= 10mm e o diâmetro interior dado por 110-2x10=90mm. Nas tubagens de aço é comum referir as tubagens função do seu “ Schedule” Sch, definida como uma relação entre a pressão suportada e a tensão admissível do material. O Sch=1000xP[psi g]/S[psi], sendo comum utilizar o Sch 40 para tubagens com fluidos a temperatura próxima da ambiente.
2.5. Perda de carg a em regime compressível A introdução de redes de gás natural veio tornar especialmente importante a análise de redes de fluidos compressíveis. Por facilidade de trabalho os caudais de gás numa rede são normalmente referidos às condições normais (0) de pressão e temperatura. Para as pressões de trabalho até 25 bar e à temperatura ambiente o gás natural pode ser considerado como gás perfeito. Aplicando a equação de estado dos gases perfeitos pode-se alterar a expressão de perda de carga contemplando o caudal às condições normais em vez de considerar o caudal que realmente passa na tubagem. Considere-se pois a expressão (2.3) nas condições de escoamento e introduza-se a equação dos gases perfeitos:
ρ 0 P0 = ρ P
T
(2.16)
T0
A expressão referida pode ser escrita na forma: 8ρ Q = − 2 f 5 dL π D 2
dP
(2.17)
E dado que o caudal mássico na conduta é igual ao dos locais de consumo
4 0Q0 ,
PXOWLSOLFDQGRHGLYLGLQGRSRU : dP dL dP dL
=− =−
8
π2
⋅ f ⋅ ⋅ ρ
8ρ 0
π2
1
⋅ f ⋅
ρ02 Q 02 D
5
ou introduzindo 2.16,
Q 02 TP0
⋅
D 5 T0 P
Considerando o escoamento isotérmico a expressão anterior pode ser reescrita como:
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______________________________________________________________________ dP dL
=−
8ρ 0
⋅ f ⋅
π2
P.dP = −
8ρ 0 P0
π2
Q 02 P0 D5
⋅ f ⋅
⋅
P
Q 02 D5
(2.18)
dL
Integrando entre A e B e utilizando a densidade relativa ao ar ( specific
gravity,
s)
obtém-se: PA2
− PB2 = −
16 ⋅ ρ ar
π2
⋅ s ⋅ P0 ⋅ f ⋅
Q 02 D5
⋅L
(2.19)
A muito conhecida expressão de Renouard para média pressão, considera uma relação do factor de atrito com Re da forma f=f(Re-0.18), transformando 2.19. na expressão:
2 A
P
− P [bar ]= 43,9 ⋅ s ⋅ L[m]⋅ 2 B
2
Q10,82 m 3 h D
4 ,82
[mm]
(2.20)
De notar nesta expressão, face à demonstração, que P é pressão absoluta. Á diferença PA2-PB2 é chamada diferença quadrática de pressão representada por 3(2), onde o (2) pretende indicar que é uma diferença de quadrados e não o quadrado de uma diferença. Conhecida a pressão relativa em A pA e a pressão atmosférica po (1,01325 bar), facilmente se obtém a pressão relativa em B como: pB= ( (pA+po)2- 3(2))1/2-po
(2.21)
_________________________________________________ Exercício 2.4. – Determine a perda de pressão 33A-PB= pA-pB numa rede de gás natural com uma tubagem de 1000m e um caudal de 150 m3/h, quando a pressão de entrada for de 110 mbar, 1,5 bar, 4 bar ou 7 bar (valores típicos para a pressão nominal de redes de gás em média pressão). Comente as conclusões. _________________________________________________ Nas redes de gás em baixa pressão a pressão é de cerca de 20 mbar, valor utilizado nos gasodomésticos mais comuns. A obtenção de uma expressão para a perda de carga pode
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______________________________________________________________________ ser obtida linearizando a expressão (2.20). Se P for a pressão em qualquer ponto e PA a 2
pressão no nó de injecção, a função P pode ser linearizada por desenvolvimento em série de Taylor P =PA - (P-PA) (2.PA 2
2
2X 3(2)= P A2-P2=2.PA(P-PA), pelo que se sendo
SS-pA=P-PA, S 3(2) /(2.PA), obtendo-se de (2.20) a expressão com a diferença de pressões em mbar:
∆p[mbar] = 21950 ⋅ s ⋅
Q10,82 [m 3 h ] D 4,82 [mm]
(2.22)
Renouard propôs uma expressão ligeiramente diferente dada por:
∆p[mbar] = 23200 ⋅ s ⋅
Q10,82 m 3 h D 4,82 [mm]
(2.23)
As expressões descritas muito embora sejam válidas em sentido estrito para as aplicações que foram deduzidas, podem no entanto sem erro significativos serem utilizadas em outras aplicações. A fórmula de Renouard para média pressão é aplicada em redes de diversos gases combustíveis a pressões entre os 100 mbar e os 25 bar e pode ser utilizada em redes de ar comprimido. A fórmula de baixa pressão pode ser utilizada em redes de distribuição de ar.
_________________________________________________ Exercício 2.5. – Resolva o exercício 2.4. em baixa pressão (20 mbar) utilizando as expressões (2.20) e (2.23). _________________________________________________ Exercício 2.6. - Uma tubagem de ar de aço, com rugosidade de 0,01 mm, deverá transportar 10.000m3/h, com uma perda de pressão de 1 Pa/m, a uma temperatura média de 300ºK. Nessas condições a massa específica do ar é de 1,1774 kg/m3 e a viscosidade cinemática de 15,69x10-6 m2/s. Determine: a) O diâmetro, com recurso à formula de Renouard para o ar. b) Para o diâmetro da alínea a) e utilizando o diagrama de Moody determine o valor exacto da perda de ca rga. _________________________________________________
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2.6. Variação da pressão relativa com a altura A pressão absoluta P na base de uma coluna de líquido é obtida da altura h dessa coluna e da pressão atmosférica P0, como sendo: P= P0
JK
(2.24)
Em algumas instalações, nomeadamente de ventilação ou de distribuição de gás, interessa que a uma determinada cota o fluido tenha uma pressão relativa determinada. Por exemplo, a distribuição de gás natural necessita que se garanta uma pressão relativa de 20 mbar nos aparelhos, de modo a garantir as condições de queima. Dado que a pressão atmosférica varia igualmente com a altura a pressão relativa será obtida da diferença entre as pressões da coluna de ar atmosférica e a coluna de fluido. Seja P 0 a pressão atmosférica na base das colunas de ar e de fluido e p g(0) a pressão relativa na base da coluna do fluido g. A pressão absoluta a uma altura h de ambas as colunas será:
Pa(h)= P0-
a
.g.h,
para o ar e
Pg(h)=P0+pg(0) -
g
.g.h
para o fluido g.
A pressão relativa do gás será então dada por: pg(h)= Pg(h)-Pa(h)=pg a- g).gh. Assim sendo, se o gás for menos denso que o ar a pressão relativa aumenta com a altura h, dizendo-se que existem ganhos de pressão relativa
Sg. Dado que a densidade do ar é
3
de cerca de 1,2 kg/m , a expressão pode tomar a forma em Pa:
pg = ( a- g)gh = 1,2 g.h(s-1)
(2.25)
_________________________________________________ Exercício 2.7. – a) Determine a altura manométrica, a vencer por uma bomba, para elevar a 10m uma coluna de água situada na atmosfera terrestre. b) Determine a altura manométrica, a vencer por um ventilador, para elevar a 10m uma coluna de ar situada na atmosfera terrestre. Explique as eventuais diferenças de concepção encontradas. _________________________________________________
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2.7. Perdas de carga em linha e singulares Além da perda de carga ocorrida ao longo da tubagem, as peças especiais, válvulas, conexões, etc. originam perdas de pressão denominadas de locais, localizadas ou acidentais. As perdas de carga localizadas podem ser determinadas pelo método do comprimento equivalente ou pela perda de energia. Nesta, as perdas localizadas são calculadas usando um coeficiente K, na expressão: J=K
V2
(2.26)
2g
Em válvulas e nomeadamente em válvulas de controlo é comum a utilização de um coeficiente de fluxo Kv usado em: Q[m / h ] = K v 3
∆P[bar] ρ[kg / m 3 ]
(2.27)
O método dos comprimentos equivalentes baseia-se em corresponder à perda de carga de cada peça especial ou ligação a que produziria um certo comprimento de tubagem com o mesmo diâmetro. Para o efeito são usadas tabelas conforme as indicadas em anexo. Por vezes é utilizado um comprimento equivalente que engloba as perdas em linha e singulares. Nas redes de gás é comum considerar-se as perdas singulares como 20% das perdas em linha; nas redes prediais de água usa-se muitas vezes 30%. Estes critérios estimativos não deverão ser usados nos casos em que existam diversos equipamentos, como é o caso de redes de água de centrais de ar condicionado. Nestes casos, a soma das perdas de carga singulares é mais importante que as perdas em linha, por vezes sendo diversas vezes superior. _________________________________________________ Exercício 2.8- Um anel primário de um chiller de 160 kW, que trabalha com água a 7ºC à entrada e 11ºC à saída, tem uma topologia conforme indicada na figura. A rede tem 15 metros em tubo de aço de 3’, contando ainda com os seguintes acessórios: 4 juntas de dilatação; 2 válvulas de macho esférico;
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______________________________________________________________________ 1 válvula de globo; 1 filtro, de 2’1/2, com característica em anexo; ligações de entrada e de saída do depósito. Nas condições nominais a perda de pressão no evaporador é de 43 kPa. Utilizando a expressão de perda de carga (2.11), obtenha a perda de carga na rede primária, com base no caudal nominal de água que deverá passar no evaporador. Depósito
Circuito Hidráulico
_________________________________________________ Notas do aluno sobre a matéria do capítulo 2:
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______________________________________________________________________
3. Caudais As redes de fluidos deverão ser dimensionadas para os caudais instantâneos, eventualmente afectados de coeficientes de simultaneidade. Indicam-se na tabela 3.1. os caudais instantâneos de alguns aparelhos sanitários:
Aparelho Sanitário
Caudal instantâneo [l/s]
Lavatório
0,10
Retrete com depósito
0,10
Retrete com fluxómetro
1,50
Banheira
0,35
Duche
0,10 – 0,20
Lavatório de cozinha
0,20
Urinol com descarga
0,05
Tabela 3.1. Consumos instantâneos em aparelhos sanitários
Os caudais instantâneos para as redes de gás são normalmente obtidos da potência calorífica útil necessária. As potências caloríficas superiores e inferiores, a densidade e a pressão típica de queima são dadas na tabela seguinte:
3
Gás
3
PCS [MJ/m ]
PCI [MJ/m ]
s
P [mbar]
Cidade (54% H2)
17,6
15,7
0,6
8
Natural
42,0
37,9
0,65
20
Ar Propanado
56,6
52,1
1,31
20
Propano
102,1
93,5
1,56
37
Tabela 3.2. Características de gases combustíveis
As potências típicas dos gasodomésticos podem ser referidas a valores nominais normalmente associados à potência do caudal de consumo referida ao PCS do gás, ou à potência útil transferida para a utilização do gasodoméstico. Neste caso deve-se considera os rendimentos de queima e de transferência de calor
Miguel Cavique Versão 1.1 – Jan 2007
HRPodo de exaustão
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______________________________________________________________________ dos produtos de combustão. Será usado o PCI, caso haja condensação do vapor no permutador do gasodoméstico, caso contrário o PCS. O cálculo do caudal função da potência útil pode ser obtido de:
Q[m 3 / h ] =
P[kW ].3600
(3.1)
PCI[MJ / m 3 ].1000.η
As potências nominais típicas de diversos aparelhos são apresentados no seguinte quadro: Aparelho
Potência Nom. [kW]
Fogão com forno
9
Fogão industrial
30 a 60
Forno independente
6
Grelhador
16
Fritadeira
27
Esquentador 11 l/m
23
Esquentador 14 l/m
28
Termoacumulador
8
Tabela 3.3. Potências nominais de aparelhos a gás
A determinação do caudal mássico de água m numa rede de ar condicionado pode ser obtido da potência Pt dos aparelhos que a rede serve de acordo com: Pt[kW]=m[kg/s].c[kJ/kg..@ 7>ºC],
sendo
c
o
calor
específico
da
água,
aproximadamente 4,18 kJ/kgK. A diferença de temperatura é referida à diferença entre a entrada e saída da bateria que serve. A potência total Pt removida por uma caudal de ar tem uma componente sensível e uma componente latente, pelo que se utilizará a expressão: Pt[kW]=m[kg/s]. K>N-NJ@ É comum considerar que nem todos os aparelhos presentes numa instalação estão em funcionamento simultâneo. A relação entre o caudal máximo probabilístico num troço e o caudal máximo absoluto de abastecimento de todos os aparelhos a jusante, designa-se
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______________________________________________________________________
por coeficiente de simultaneidade Cs. O Cs é sempre inferior a 1, sendo comum por razões de segurança utilizar valores sempre superiores a 0,20. Note-se que muito embora a equação da continuidade seja válida em cada instante de funcionamento da rede, não aparece explicitamente nos caudais simultâneos nos troços. A determinação da simultaneidade dos caudais exige que o projectista conheça a utilização da rede. Por exemplo para uma rede de águas de um balneário de um clube desportivo ou em uma cozinha industrial de fabrico de pão, deverá ser usado um valor de simultaneidade de 1, enquanto que para o abastecimento a um prédio os valores relativos ao ramal são próximos de 0,20. Em outras situações utilizam-se expressões de correlação função do número de aparelhos. É o caso do abastecimento de gás a diversos fogos. Admitindo que cada fogo tem um fogão e um esquentador é comum determinar o caudal Q no troço que abastece N fogos a jusante como sendo: Q[m3 /h]=(5+(3.N)0,736).a , com a=0,47 para o GN e a=0,35 para o Propano
(3.2.)
Uma expressão mais geral era utilizada nas redes de gás de cidade, função da potência dos aparelhos. Era usual usar-se como unidades a termia (1 termia=1000 kcal), ou a kcal/min (1 kcal/h= 1,16 kW). A expressão seguinte foi adaptada dessas unidades. Q[m3 /h]=(5+(n1+n2+0,5.n3+1,5.n4+2.n5)0,736+0,267x10-3.Pt).a
(3.3.)
, sendo n1 o número de fogões, n2 o de aparelhos de aquecimento de água até 9 kW, n3 o de máquinas de lavar aquecidas a gás, n4 o de esquentadores até 14 kW, n5 o de esquentadores entre 22 e 27 kW e Pt a potência em kW dos equipamentos de aquecimento ambiente. _________________________________________________ Exercício 3.1- Obtenha o caudal de simultaneidade de abastecimento de gás propano a um edifício de habitação com 8 fogos, admitindo que em cada existe um fogão, um esquentador e uma caldeira de 30 kW de aquecimento. _________________________________________________
Miguel Cavique
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______________________________________________________________________
O problema da determinação do caudal de simultaneidade pode ser resolvido pela determinação do caudal máximo provável, admitindo que cada aparelho tem uma distribuição de consumo segundo uma distribuição normal, com média padrão
H GHVYLR
2FDXGDOPáximo provável será obtido da soma das diversas distribuições
normais Ni
i), tendo uma distribuição N(
i
mesma distribuição N( uma distribuição N(n.
i
2 1/2 i ) ).
Se os n aparelhos tiverem a
DH[SUHVVão anterior simplifica-se obtendo-se como soma
¥Q
6HMD RTXDQWLOSDUDRTXDOVH pretende calcular o caudal simultâneo Q dos n aparelhos indicados. Este será dado por:
4Q ¥Q
(3.4.)
Dado que o caudal máximo Qmax, para o mesmo quantil, será n.(
RFRHILFLHQWHGH
simultaneidade Cs será dado por: Cs =
Q Q max
=
n.µ + λσ. n
(3.5.)
n.µ + λσ.n
Em muitas situações as médias horárias de consumo são pequenas, pelo que
GHVSUH]DQGR IDFHD Cs =
Q Q max
=
1 n
. Dado que é comum admitir a simultaneidade
de 2 aparelhos como 1, a expressão usada é: Cs =
Q Q max
=
1
(3.6.)
n −1
Esta expressão é usada para a determinação de coeficientes de simultaneidade de redes prediais, considerando-se um valor mínimo de 0,20. Nestas redes os aparelhos são geralmente diferentes conforme indicado na tabela 3.1. Nestas situações é comum considerar nm o número de aparelhos de maior consumo (aparelhos de consumo superior à média): Cs m
=
Q Q max
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=
1 nm
−1
.
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______________________________________________________________________
_________________________________________________ Exercício 3.2- Determine o caudal de simultaneidade de abastecimento de água a uma moradia com 3 casas de banho com lavatório, bidé, banheira e sanita, e com cozinha equipada com lava loiça, máquinas de lavar roupa e loiça e esquentador de 20 l/m. _________________________________________________
O caudal a considerar em cada troço poderá considerar o caudal dos aparelhos de maior consumo a jusante Csm. Qm, ou, de forma mais conservadora, admitir os caudais de todos os aparelhos Csm. Qi.
Da expressão 3.5 se
RFRHILFLHQWHGHVLPXOWDQHLGDGHWHQGHUá para 1.
Por vezes os consumos médios dos aparelhos não são desprezáveis, podendo admitir-se que o consumo máximo do aparelho i ocorre para Q i
i
i. Sendo a distribuição
centrada pode admitir-VH i=QiH i=Q /4. Ou seja a introdução de cada novo aparelho i contribui em média com um acréscimo de caudal de Q i /2. Esta conclusão pode igualmente ser obtida se obtivermos de 3.4. a média dos consumos:
Q=
Q n
=
n.µ + λσ. n n
=
Q 2
(1 +
1 2 n
)→
Q 2
O resultado desta expressão é usado para a determinação dos caudais de simultaneidade num troço, que abastece aparelhos a gás de potências diversas. Se Q1 e Q2 forem os caudais dos aparelhos de maior potência de um conjunto de n aparelhos servidos, o caudal de simultaneidade será dado pela soma desses dois caudais e a semi-soma dos restantes, conforme a expressão: Q = Q1
n
+ Q 2 + ∑ Q i / 2
(3.7.)
i =3
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______________________________________________________________________ Deste conjunto de abordagens dos caudais de simultaneidade há que reter que o projectista deverá adaptar o método de cálculo à situação particular que se depara, devendo usar sempre os modelos consagrados para cada aplicação. _________________________________________________ Exercício 3.3- Uma rede de gás natural de um edifício fabril, abastece 3 gasodomésticos a gás natural dispostos em altura distanciados entre si de 10m. Os aparelhos têm uma potência útil de respectivamente: 70kW para o situado na base, 120 kW para o situado no piso acima e 200 kW para o do topo. Calcule os caudais de simultaneidade e determine a variação de pressão relativa com a altura. _________________________________________________
Notas do aluno sobre a matéria do capítulo 3:
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______________________________________________________________________
4. Critérios de Dimensionamento Após o cálculo dos caudais em cada troço, pode efectuar-se o dimensionamento do diâmetro das tubagens muitas vezes confundido com o dimensionamento da rede. Da expressão (2.10), conclui que para um fluido e um determinado comprimento de um troço o diâmetro depende do caudal. A maioria dos métodos de dimensionamento tentam obter uma função entre o caudal e o diâmetro, D=D(Q). Para a determinação desta função é comum considerar um determinado parâmetro fixo, tais como:
- Velocidade constante. - Perda de pressão constante. - Perda de energia constante. - Recuperação de pressão estática, ou ainda - Critérios económicos. Em qualquer dos métodos é comum verificar os valores de velocidade e de perda de carga.
Velocidade constante A velocidade é imposta, normalmente limitada pelo ruído que provoca. O diâmetro será obtido de: 1 / 2
4.Q D= π.V
(4.1)
Em tubagens de água de circuitos de ar condicionado é comum a utilização de valores máximos de 2 m/s. Alguns autores aconselham o dimensionamento a 500 Pa/m para caudais até 25 l/s e para caudais superiores dimensionar para 2,4 m/s. Para tubagens de ar os valores dependem do troço considerado, variando normalmente entre 3m/s nos troços terminais a 7m/s nos principais, podendo ser utilizado para orientação a seguinte tabela:
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______________________________________________________________________
V [m/s] Conduta
Conduta
Principal
secundária
Residenciais ou hotéis
3-5
1-3
Espaços públicos e de serviços
5-7
1-3
Espaços industriais ou grandes espaços
5-10
2-5
Locais para instalações centralizadas
comerciais Tabela 4.1. Velocidade do ar em condutas
Nas redes prediais é comum que a velocidade da água seja inferior a 1m/s, embora em algumas instalações se possa manter por valores superiores dentro da mesma ordem de grandeza. Em redes de gás a velocidade real do escoamento depende da pressão de funcionamento. Para uma pressão média absoluta Pm e um caudal às condições nominais Q, a velocidade é dada por:
V[m / s ] = 354.
Q[m 3 / h ]
(4.2)
D 2 [mm].Pm[bar ]
A velocidade não deverá ser superior a 15 m/s na coluna montante e a 10 m/s nas redes interiores. Este critério é utilizado no dimensionamento de condutas em instalações com constrangimentos acústicos, ou como forma de pré dimensionamento de redes. Geralmente é utilizado como critério de verificação após a aplicação de outros métodos, nomeadamente o de perda de pressão constante por unidade de comprimento. _________________________________________________
Exercício 4.1- Determine a altura de uma conduta rectangular de insuflação, de uma unidade de tratamento de ar (UTA) de 3 35.000 m /h de uma grande instalação comercial, sabendo-se que a sua largura não poderá exceder 1,5 m. _________________________________________________
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______________________________________________________________________
Perda de Pressão
O critério de perda de pressão linear constante “j” é o critério mais comum de dimensionamento. Diríamos mesmo que é o critério de dimensionamento por excelência sendo usado na maioria das instalações. Como regra geral este método utiliza 10 a 30% da pressão disponível, distribuindo a sua perda uniformemente pelo comprimento da rede. Da expressão 2.10 o diâmetro de cálculo pode ser obtido como:
D=(
k .Q j
n
)1 / m
(4.3.)
É comum e fortemente aconselhável, que a escolha dos diâmetros para a rede se faça dos diâmetros comerciais, cujos diâmetros interiores sejam superiores aos calculados. Algum sobredimensionamento da rede geralmente não acarreta sobrecustos de monta na instalação, mas o reverso pode inviabilizar o seu funcionamento. Em tubagens de água refrigerada de redes de climatização a perda de carga pode variar entre 100 Pa/m a 1000 Pa/m. É comum utilizar valores próximos de 200Pa/m para a maioria das redes e 500Pa/m para pequenos troços de interligação de aparelhos. Em condutas de ar condicionado os valores variam entre 0,5 e 3 Pa/m, sendo comum a utilização de 1 Pa/m. Nas redes de águas prediais a perda de pressão disponível depende da zona urbana considerada, face à variação orográfica da pressão. A pressão na rede pr varia geralmente entre os 2 bar e um máximo de 6 bar; a pressão mínima nos aparelhos pa é normalmente de 3 a 5 m.c.a. Para uma comprimento equivalente Leq da linha de corrente mais desfavorável, onde se considera o comprimento da linha e o comprimento equivalente relativo às perdas singulares, e uma cota a vencer h, a perda linear j será dada por:
j =
pr − h − pa Leq
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(4.4.)
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______________________________________________________________________ Nas redes de gás a perda de pressão disponível é definida pelas concessionárias, dependendo se a rede é interior ou coluna montante e se a pressão é média ou baixa. A título indicativo poder-se-ão utilizar os seguintes valores:
Topologia
Coluna em BP
Coluna em MP
Rede
SU
Pressão relativa
disponível
[mbar]
[mbar]
Interior
20
0,5
Coluna
20
1,0
Interior
20
1,5
Coluna
100-110
10-30
Tabela 4.2. Perda de pressão disponível em redes de gás.
A perda de pressão para a determinar a perda de carga linear deverá considerar a perda de pressão disponível na rede (2.25
SUHRVJDQKRVGHSUHVV ão relativa conforme expressão
SK 'DGR TXH R FRPSULPHQWR HTXLYDOHQWH é muitas vezes considerado 20%
superior ao comprimento da tubagem, j pode ser obtido de:
j =
∆pr + ∆ph 1,2.L
(4.5.)
Caso se utilizem outros critérios é conveniente que se verifique se a perda de pressão na rede está dentro de valores admissíveis. De igual modo é conveniente a verificação da velocidade nos troços. Os critérios de velocidade e de perda de carga podem igualmente servir como critérios de dimensionamento do primeiro troço, com o qual se iniciam outros métodos como os que se descrevem de seguida. _________________________________________________ Exercício 4.2- Resolva o exercício 3.1 admitindo uma perda de carga máxima de 1 mbar. Considere a variação de pressão relativa com a altura e determine os diâmetros comerciais a instalar. Com base nas escolhas efectuadas, determine as pressões previsíveis à entrada dos aparelhos, considerando uma pressão de entrada de 37 mbar. _________________________________________________
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______________________________________________________________________
Perda de Energia Este critério pretende que a dissipação de energia seja proporcional ao comprimento da tubagem. Como a perda de energia por unidade de comprimento e de tempo, depende da perda de carga e do caudal, pode ser expressa por:
>:P@4>P3
/s].j[Pa/m]
Este critério pode ser utilizado no dimensionamento directo de redes malhadas, podendo ser utilizado para redes urbanas de gás ou de água. Ao contrário do critério de perda de carga constante é possível criar uma rede malhada ajustando o caudal de modo que a dissipação de energia seja constante e que a lei das malhas seja válida. No critério de perda de pressão constante, já que a perda de carga total depende do comprimento da tubagem, não é possível garantir que um dimensionamento origine a mesma perda de carga por dois caminhos entre dois pontos. A aplicação do método inicia-se com a definição da perda de pressão e caudal de um troço inicial ou tipo, com a consequente definição de
&RQKHFLGR DFDGDFDXGDO é
definida uma perda de carga j e consequentemente um diâmetro. Já que a
FRQVWDQWH
quanto maior for o caudal menor será j, este método garante menores perdas de pressão nos troços principais onde o caudal é maior, criando uma estrutura de rede compatível como a possibilidade de expansão. _________________________________________________ Exercício 4.3- Com base no exercício 4.2. determine os diâmetros da rede utilizando o método de perda de energia constante. Considere a perda de pressão do primeiro troço para efeitos de determinação do valor de Com base nas escolhas efectuadas, determine as pressões previsíveis à entrada dos aparelhos, considerando uma pressão de entrada de 37 mbar. _________________________________________________
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______________________________________________________________________
Recuperação de Pressão Estática Este critério é usado quase em exclusivo para sistemas de ventilação. Considere-se a rede aerólica de insuflação da figura 4.1. com difusores de ar iguais para o ambiente nos pontos B e C. O fluxo de ar para o ambiente em B ou em C, depende da diferença de pressões entre qualquer destes pontos e o ambiente exterior à conduta. Caso a pressão em B seja igual à pressão em C o caudal de insuflação será igual. Esta situação evita a necessidade de calibrar os difusores para o caudal de insuflação, necessitando-se tão somente de acertar o caudal de ar no início do troço. No entanto há uma perda de pressão entre os pontos B e C. Dado que a diferença de pressão, que faz mover o ar de B ou de C para o exterior, é a diferença de pressões estáticas entre o escoamento e o ambiente; já que a energia potencial de pressão é dada pela soma da pressão estática pe e pressão dinâmica pd=
92 /2,
é em muitos casos
possível manter a pressão estática reduzindo apenas a pressão dinâmica do escoamento.
A
B
C
Figura 4.1. Esquema de uma rede.
Aplicando a equação de Bernoulli entre B e C, admitindo cotas iguais e garantindo-se pressões estáticas iguais, obtém-se
VC
=
VB2
−2
∆p ρ
ρVC2 ρVB2 = ∆p + 2 , ou explicitando V c: 2 (4.7)
Este método implica normalmente a utilização de velocidade do primeiro troço ligeiramente maior, dado que a perda de pressão é compensada com a variação de pressão dinâmica. As velocidades nos troços terminais são geralmente muito baixas. O método inicia-se pela imposição de uma velocidade no primeiro troço, determinando-se
DSHUGDGHFDUJD SHFDOFXODQGR-se de seguida a velocidade usando (4.7.) O diâmetro deste segundo troço é calculado usando (4.1.), seguindo-se novamente a perda de carga desse novo troço.
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______________________________________________________________________ _________________________________________________ Exercício 4.4- Considere a rede da figura 4.1 e admita que no 3 troço mais a montante passa um caudal de ar de 15.000 m /h, 3 3 extraindo-se em B 5.000 m /h e em C 2.000 m /h. Para uma velocidade inicial de 10 m/s determine o diâmetros dos troços A-B, B-C e o posterior ao ponto C, utilizando o método de recuperação de pressão estática. _________________________________________________ Critério Económico
Em todos os critérios anteriores, existe subjacente a ideia da correcta escolha do parâmetro de dimensionamento. Este parâmetro está normalmente associado a factores de índole económica. Para uma análise económica simples poderemos considerar na equação o investimento inicial e o consumo de energia ao longo da vida do investimento. Se a perda de pressão linear “j” aumentar, o diâmetro da tubagem diminui e o consumo de energia aumenta. Num investimento de muito curto prazo interessa escolher o menor diâmetro compatível com o funcionamento da instalação, aumentando-se a potência da central de bombagem. A central de bombagem pode ser ignorada na equação económica, já que o aumento dos custos da central de bombagem devidos a aumentos de potência, são de algum modo compensados com as reduções de diâmetro.
O custo da instalação da tubagem e acessórios tem no mercado, uma variação linear com diâmetro D, pelo que o investimento inicial poderá ser expresso por: I.inicial[ / m] = (C 0
+ C t .D). O custo em energia utilizada depende da potência entregue
ao f OXLGRGRUHQGLPHQWRJOREDO
GDFHQWUDOGHERPEDJHPGRFXVWRXQLWário da energia
utilizada Ce e do tempo de funcionamento. Dado que a potência entregue ao fluido é Q.j o custo anual em energia será dado por:
Q[m 3 / s]. j[Pa / m] CE[( / ano) / m] = C e [ /(W.h)].t[h / ano] η O tempo de vida de uma rede é de cerca de 30 anos, mas o tempo de investimento para o qual se pretende rentabilizar o projecto é geralmente muito mais curto. Mesmo a custos constantes, ou seja admitindo C e invariável, não é indiferente pagar a energia do
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______________________________________________________________________
período de investimento no primeiro ano ou ao longo dos anos. Esta diferença pode ser expressa por uma taxa de investimento i, que representa a valorização anual líquida que o investidor dá ao seu dinheiro. Assim um pagamento C a realizar no primeiro ano valerá C, mas no próximo ano terá um significado actual de C/(1+i), após dois anos C/(1+i)2, após n-1 anos C/(1+i)n-1. O custo actual será dado da soma de uma progressão geométrica de razão r=1/(1+i), ou seja S =
1− r
n −1
1− r
. É pois possível determinar a quantos anos A de esforço actual
representam n anos de pagamentos anuais. Este valor pode ser calculado para cada caso, apresentando-se na tabela seguinte alguns casos de interesse: n
i
5%
8%
10%
5
4.5
4.3
4.2
10
8.1
7.2
6.8
15
10.9
9.2
8.4
20
13.1
10.6
9.4
Tabela 4.3. Anualização A de investimento a n anos, com taxa i de investimento
O investimento inicial na rede e o consumo de n anos anualizados em A anos pode então ser expresso por: I = (C 0
Q. j + C t .D)+ C e .t.A η
(4.8)
_________________________________________________ Exercício 4.5- Reescreva a equação 4.8 admitindo uma lei a .D exponencial para o investimento I.inicial[ / m] = C 0 .e e obtenha o valor de j económico adaptando os passos seguintes a esta equação. _________________________________________________
Introduzindo a relação entre diâmetro D e caudal Q, na forma: 1
k .Q 2 5 D = j
Miguel Cavique
Versão 1.1 – Jan 2007
(4.9)
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______________________________________________________________________ Obtêm-se: 1 2 5 k . Q Q. j + I = C 0 + C t C . t . A e η j
(4.10)
Derivando I em ordem a ”j” e igualando a zero obtém-se o mínimo do investimento: 5
1 C t η 6 16 − 12 j = . . .k .Q 5 C e t.A Esta expressão indica uma relação de j com Q
(4.11) -1/2
, que expressa que a caudais menores a
perda de carga deverá ser superior que quadruplicando-se o caudal a perda de carga deverá reduzir-se a metade. Mostra ainda uma quase linearidade com a relação C t/Ce, parâmetro razoavelmente constante ao longo do tempo. _________________________________________________ Exercício 4.6- Determine os diâmetros por cada um dos métodos enunciados de uma rede aerólica com três troços e difusores de 500 m3/h no final de cada toco, utilizando os seguintes parâmetros: a) Velocidade constante de 4 m/s. b) Perda de carga constante de 1 Pa/m. c) Recuperação de pressão estática para uma velocidade inicial de 5 m/s. d) Critério de energia para uma perda de carga no primeiro troço de 1 Pa/m. e) Critério económico admitindo a energia eléctrica a 0,1 ¼N:KRLQYHVWLPH nto na rede dado por C[ ¼P@ D[m] efectuado a 5 anos com uma taxa de 8%. _________________________________________________ Notas do aluno sobre a matéria do capítulo 4:
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______________________________________________________________________
5. Bombas O funcionamento das bombas baseia-se no aumento da energia cinética do escoamento realizado no rotor e sua transformação em energia potencial de pressão na voluta. Para um determinado rotor, este aumento de energia cinética depende do fluxo de caudal e da sua velocidade de rotação. A velocidade de saída das pás do rotor é uma composição das duas velocidades.
Fig. 5.1 Triângulo de velocidades
A direcção da velocidade à saída da pá deve ser acompanhada pela forma da voluta, que aumentando progressivamente de área proporcionará a transformação de energia cinética em energia de pressão. Na ausência de atritos e perdas o funcionamento da máquina é dado por uma característica rectilínea. O aumento do caudal implica um 2
aumento de perdas por atrito aproximadamente proporcional a Q . De forma análoga respondem as perdas volumétricas causadas por diferentes pressões nos bordos das pás. Quando por variação do caudal, os triângulos de velocidade se alteram, aumentam os choques na entrada das pás e na voluta, causando perdas suplementares. A característica resultante é dada pela composição de todas estas contribuições conforme figura seguinte:
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Fig.5.2 Característica de bomba centrífuga
5.1. Característica de bomba e rede A curva da bomba e a curva do sistema podem ser traçadas no mesmo gráfico. Na intersecção das duas curvas encontra-se o ponto de operação do sistema. Tipicamente, a curva real do sistema é ligeiramente diferente da curva desejada em projecto. Em consequência, a bomba opera num outro ponto, preferencialmente com maior caudal, que deverá ser ajustado por intervenção numa válvula de regulação de caudal. A perda de carga do circuito pode ser estimada admitindo uma lei de potência
SD4n.
_________________________________________________ Exercício 5.1- Uma rede tem um ponto de funcionamento 3 nominal de 20 m /h vencendo uma perda de carga de 100 kPa. Tendo sido utilizada a bomba tipo A, conforme figura anexa, determine o ponto de funcionamento da rede admitindo uma lei de perda de carga para tubos de aço galvanizado.
_________________________________________________
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5.2. Associação de bombas Quando as bombas são associadas em paralelo, cada bomba opera à mesma pressão contribuindo com uma parte do fluxo. Geralmente recomenda-se a utilização de bombas de igual tamanho. Obtém-se a curva conjunta duplicando o fluxo para cada valor de altura manométrica. O ponto de funcionamento do sistema depende da característica da rede, pelo que o conjunto das duas bombas não irá fornecer o dobro do caudal de uma só bomba.
Figura 5.3 Característica da associação de duas bombas iguais em paralelo
Deve ser também analisada a condição de funcionamento de cada bomba, dado que a altura manométrica vencida por cada uma será maior. A utilização de duas bombas diferentes associadas em paralelo requer um especial cuidado. Em algumas situações uma das bombas poderá trabalhar sem capacidade de bombear, podendo originar sobreaquecimentos indesejados.
Figura 5.4 Característica da associação de duas bombas diferentes em paralelo
Na situação de bombas em série, a característica conjunta é obtida da soma das alturas manométricas para cada valor de caudal.
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Figura 5.5 Ponto de funcionamento de uma rede numa associação de duas bombas iguais em série
_________________________________________________ Exercício 5.2- Para a rede definida no exercício 5.1, determine o ponto de funcionamento quando se instalam duas bombas iguais do tipo A em série e em paralelo. _________________________________________________
5.3. Leis de semelhança As bombas e turbomáquinas podem ser descritas por leis de semelhança, que permitem conhecido um ponto de funcionamento estimar o funcionamento da máquina em outras condições. Pressupõem que a curva do sistema é conhecida e que a pressão varia como o quadrado de fluxo. Podem ser expressas conforme tabela seguinte:
Variação na
Variação no
velocidade de
diâmetro do
rotação N
rotor D
Caudal
Q2 /Q1=(N2 /N1)
Pressão
p2 /p1=(N2 /N1)
3
Q2 /Q1=(D2 /D1)
2
p2 /p1=(D2 /D1) 3
Potência Pt2 /Pt1=(N2 /N1)
2 5
Pt2 /Pt1=(D2 /D1)
Tabela 5.1. Leis de semelhança
As leis de semelhança também podem ser usadas para prever o ponto de melhor eficiência quando se varia a velocidade da bomba. Esta situação tem especial aplicação em sistemas com bombas de velocidade variável. É normal fazer variar a velocidade de
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______________________________________________________________________ rotação entre um limite mínimo de 30% e um máximo de 80%. O controlo de velocidade de rotação deve ter em consideração a alteração da característica da bomba, assim como a da instalação.
5.4. NPSH Durante muito tempo especulou-se da razão pela qual era impossível bombear água, sugando a uma altura superior a 5 ou 6 metros. Este fenómeno deve-se à possibilidade de vaporização da água quando se atinge uma pressão muito baixa, a temperatura constante, tendo-se designado por cavitação. Para todo fluido no estado líquido pode ser estabelecida a relação entre a pressão e a temperatura a que ocorre a vaporização. Por exemplo, à pressão atmosférica a temperatura de vaporização da água é de cerca de 100°C, contudo a uma pressão menor a temperatura de vaporização reduz-se. Deve ser dada uma especial atenção à pressão e à temperatura da água à entrada da bomba, especialmente em situações de utilização com águas quentes. Se a pressão à entrada da bomba for baixa e a temperatura elevada pode-se atingir as condições de vaporização do líquido criando-se pequenas bolhas de vapor nas zonas de menor pressão do rotor. O colapso destas bolhas por posterior aumento de pressão é ruidoso e pode levar à destruir a bomba. A pressão absoluta requerida à entrada da bomba para impedir a vaporização no interior da bomba, designa-se por NPSH requerida ou NPSHR. Esta é uma característica da bomba dada pelo fabricante, variando com velocidade e fluxo na bomba, normalmente para água a 15ºC. A “aspiração” do líquido nas bombas deve ocorrer a uma pressão absoluta superior. Conhecida a pressão num determinado ponto do circuito ‘o’, situado a uma cota põe hipótese inferior ‘z’ relativamente à entrada da bomba, a pressão total absoluta à entrada da bomba ‘b’ pode ser expressa como: Pb
= P0 − ρgz − ∆Po − z −
ρ.(Vb2 − Vo2 ) 2
(5.1)
A pressão à entrada da bomba deverá ser superior à pressão de vaporização do fluido às condições de temperatura Ps(T) de entrada na bomba, pelo que o NPSH disponível será:
NPSH d
= Pb − Ps (T)
(5.2)A
pressão de saturação do vapor de água pode ser obtido de tabelas de vapor. A pressão de
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______________________________________________________________________ saturação, para alguns valores típicos de temperatura de funcionamento de redes de água, é dada na tabela seguinte: T [ºC]
P [kPa]
0
0.6108
10
1.227
20
2.337
30
4.241
40
7.375
50
12.335
60
19.920
70
31.160
80
47.360
Tabela 5.2. Tabela de pressões de saturação
Em alternativa poderão utilizar-se expressões de correlação, como o exemplo seguinte:
5
Ps(T)[Pa] =10 .exp(14,2928-5291/T[K])
(5.3)
Uma bomba para operar sem os riscos de cavitação necessita que o líquido possua uma energia residual mínima. Essa energia requerida pela bomba (NPSHR) ou simplesmente o NPSH da bomba. A bomba deve ter o seu NPSH inferior ao NPSH D pela instalação, para que opere em condições favoráveis de aspiração. Caso não se disponha da curva de NPSH pode estimar-se o seu valor desde que se estime o funcionamento num ponto. Thoma chegou à conclusão de que a relação entre o NPSH da bomba e a altura manométrica é uma constante, a que chamou de “número adimensional de cavitação”, grandeza que ficou conhecida como “factor de Thoma”:
σ=
NPSH H
(5.4)
_________________________________________________ Exercício 5.4- Para a bomba tipo A da figura referida no exercício 5.1, obtenha o NPSH da bomba nas condições de funcionamento desse exercício, sabendo-se que o NPSH é de 1,5m para 200kPa. _________________________________________________
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______________________________________________________________________ _________________________________________________ Exercício 5.5- Um depósito de água quente de um sistema colectivo de AQS é mantido a 60ºC e uma pressão interna de 4 bar relativos. Uma rede em tubo de cobre de 2’ transporta a água quente até ao ponto A (atmosférico) situado 30m acima do nível do depósito. (despreze a altura de água no depósito). A 4 bar 30 m 60 ºC 20 m Admitindo inexistência de atrito qual a velocidade e o caudal em A. Determine o caudal que realmente sai em A, considerando a expressão para tubo de cobre com água quente, perdas singulares de 30% das perdas em linha e uma pressão constante no depósito. Admitindo que se pretendia instalar uma bomba, cujo NPSH é de cerca de 2 m.c.a., na prumada vertical de forma a aumentar o caudal em A (admita um caudal próximo do calculado na alínea anterior), determine qual a cota mais elevada compatível com a inexistência de cavitação. _________________________________________________ Notas do aluno sobre a matéria do capítulo 5:
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______________________________________________________________________
6. Introdução às redes de água refrigerada A maioria das redes em sistemas de climatização é fechada. Nestas redes é estabelecido um ponto a uma determinada pressão, normalmente por utilização de um vaso de expansão com gás, que estabelece a pressão do sistema. Num sistema aberto existem pelo menos dois pontos com pressão definida. Por exemplo, numa torre de refrigeração a tina da torre e a descarga estão à pressão atmosférica. Um sistema de climatização, fechado pode ser esquematizado conforme na figura 6.1
Figura 6.1. Componentes de uma rede de climatização
Os componentes fundamentais deste sistema são os dispositivos de carga, a fonte de aquecimento ou de arrefecimento, a bomba de circulação, o vaso de expansão e a rede de distribuição. Começaremos por analisar de forma genérica as cargas, que determinam os caudais de água no sistema.
6.1. Cargas As cargas térmicas do edifício deverão ser removidas pelo sistema de climatização. Estas cargas podem ser de aquecimento ou de arrefecimento, sensível ou latente. O calor sensível transferido do ambiente para o permutador é função da área de permuta A, da diferença de temperatura média logarítmica
∆Tml entre a água e o ambiente e do
coeficiente global de transferência de calor U:
PTS Com
= AU∆Tml ∆Tml =
(6.1)
∆TM − ∆Tm ∆T ln( M ) ∆Tm
Caso haja desumidificação o calor removido pode ser obtido do caudal de ar e diferença de entalpia. (ver psicrometria)
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______________________________________________________________________ A potência removida Pt é transferida para o fl uido de transporte, com fluxo mássico m e calor específico c, com uma diferença de t emperatura ∆T:
Pt
= m .c.∆T
(6.2)
No caso de sistemas a água o calor específico médio é de 4,18 kJ/kg.K e a diferença típica de temperatura da água entre a entrada e a saída do permutador de 5K. A alteração da diferença de temperatura, altera directamente o caudal de água na bateria Q, que varia sensivelmente de forma quadrática com a perda de carga correspondente: 2
∆P1 Q = 1 ∆P0 Q 0
(6.3)
Com a variação da diferença de temperatura e correspondente variação do caudal a potência das unidades varia, mas de forma não linear. O aumento de caudal acima das condições nominais altera menos que proporcionalmente a potência da unidade. Um exemplo é mostrado na figura 6.2. Sensível
Total 10
] 8 W k [ 6 a i c n 4 ê t o P 2 0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Caudal água [l/s]
Figura 6.2. Variação da Potência sensível e total com o caudal.
6.2.Temperaturas de projecto para água refrigerada A temperatura máxima (aquecimento) e mínima (arrefecimento) da água devem ser ditadas pelas necessidades térmicas do sistema e da análise económica das exigências do sistema. Nos sistemas correntes, a temperatura de arrefecimento típica é de cerca de 7ºC, imposta pela necessidade de transferência de calor para o ciclo frigorífico a cerca de 2 a 4ºC e da possibilidade de desumidificação, com temperatura húmida de cerca de 13ºC, para as aplicações correntes.
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______________________________________________________________________ Um valor elevado de
∆T
determina um menor caudal e consequentemente menor
dimensão das tubagens, das bombas e do consumo de energia associado. Tem como consequência o aumento da dimensão dos permutadores das unidades que removem as cargas. O equilíbrio entre estes factores tem determinado a utilização de 7ºC à entrada com 12ºC à saída das unidades. Outros sistemas utilizam água glicolada quando se pretende trabalhar a baixas temperaturas. _________________________________________________ Exercício 6.1- Uma bateria de arrefecimento tem uma potência de arrefecimento de 4 kW, para um regime de temperatura da água de 7-12ºC a que corresponde uma perda de pressão de 15 kPa. Estime enunciando as hipóteses simplificativas qual a perda de carga para um regime de temperatura da água de 715ºC. _________________________________________________
6.3. Controlo de caudal Os sistemas de controlo de caudal têm por objectivo disponibilizar a potência necessária na carga. A figura 6.2 espelha a variação da potência com o caudal verificando-se do inconveniente de redução do caudal. Ao invés um ligeiro aumento de caudal não causa grandes variações de potência. Um ligeiro sobredimensionamento da bomba e da rede será sempre aconselhável. A disponibilização do caudal necessário pode ser visto como a realização de duas funções: entregar o caudal necessário à entrada da unidade e fazer variar o caudal de acordo com as necessidades de carga do edifício. A primeira função depende do tipo de circuito e das válvulas de equilíbrio de caudal. Em pequenas instalações, normalmente de aquecimento, utiliza-se por vezes com um único anel com as cargas em série, ou redes com válvulas desviadoras. Em climatização são utilizados normalmente sistemas a dois tubos com retorno directo; a dois tubos com retorno inverso; a quatro tubos. Os sistemas a três tubos existem como curiosidade, sendo energeticamente ineficiente e com interconexão hidráulica entre as duas redes.
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Redes a dois tubos com retorno directo Num sistema a dois tubos a carga e as fontes funcionam exclusivamente só em arrefecimento ou em aquecimento, pelo que todas as cargas devem necessitar ou de arrefecimento ou de aquecimento. Ao projectar o sistema, o caudal e as exigências de temperatura para refrigerar e aquecer devem ser calculados para a situação mais desfavorável, normalmente a de arrefecimento. O processo de comutação, vulgo “change-over ” deve ser projectado de forma que o evaporador do chiller não esteja sujeito a variações bruscas de temperatura. A figura 6.3 representa um esquema simplificado de uma rede a dois tubos.
Figura 6.3. Rede a dois tubos
Estas redes necessitam de formas de equilíbrio suplementares nomeadamente reduzindo a perda de carga na tubagem de distribuição ou utilizando dispositivos modulantes de caudal, nomeadamente válvulas de controlo.
Redes a dois tubos com retorno inverso Num sistema de retorno inverso, o comprimento da tubagem de ida e de retorno nos vários sub-circuitos é igual. Isto permite equilibrar os diversos caudais, requerendo um balanceamento que depende somente das perdas de carga das unidades de carga. Este tipo de rede implica um maior comprimento de tubagem e custo inicial da instalação, mas geralmente uma menor perda de carga.
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Figura 6.4 Rede com retorno directo e inverso
Válvulas de equilíbrio de caudal Um sistema hidráulico de distribuição diz-se em equilíbrio quando os caudais em todo o sistema correspondem aos caudais nominais especificados no projecto, situação que ocorre geralmente com todas as válvulas de regulação abertas. Dado que não é possível garantir um correcto equilíbrio da instalação alterando somente as secções da tubagem, e comum usarem-se válvulas equilibradoras de caudais. As válvulas são geralmente referidas pelo valor kv, com a válvula totalmente aberta, conforme indicado no capítulo 2.
Válvulas de equilíbrio estático
Uma característica inerente às válvulas de equilíbrio estático é que o coeficiente kv pode ser alterado manualmente para um determinado valor. Este coeficiente pode ser obtido dos gráficos de calibração das válvulas para cada posição do manípulo. A válvula é munida de dois terminais de teste aos quais pode ser ligado um manómetro diferencial para leitura indirecta do caudal. A figura 6.5. representa uma unidade deste tipo:
Figura 6.5. Válvula de equilíbrio estático
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______________________________________________________________________ A válvula pode ser pré-regulada com base na distribuição de caudais e pressões de projecto. Estas válvulas impõem geralmente uma perda de pressão adicional de 5 a 10 kPa.
Válvulas de equilíbrio dinâmico A válvula de equilíbrio dinâmico permite o ajuste constante do caudal. O valor do kv da válvula compensa automaticamente qualquer variação da pressão diferencial, pelo que o caudal nunca excede o valor pré-ajustado. Estas válvulas podem se limitadoras de caudal ou reguladoras de caudal. As primeiras funcionam por equilíbrio entre a força de uma mola e a força provocada pela pressão diferencial entre os lados de uma barreira com orifício, conforme figura 6.6
Figura 6.6 Válvula limitadora de caudal
As válvulas de regulação funcionam por equilíbrio entre a força de uma mola e a pressão exercida por pilotagem, conforme esquema seguinte.
Figura 6.7 Válvula reguladora de caudal
A válvula é pré-regulada para o caudal nominal, função da escolha da mola e seu ajuste prévio, não sendo necessário recorrer a medições ou aj ustes posteriores. As válvulas de equilíbrio são utilizadas junto das não necessitando de equilíbrio nos circuitos de distribuição nem no circuito principal. As válvulas respondem a qualquer variação de cargas do sistema ou devido a ampliações, mantendo o caudal nas unidades.
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______________________________________________________________________ Estas válvulas conduzem geralmente a perdas de pressão da ordem dos 30 kPa. Em resultado consegue-se um melhor ajuste dos caudais com precisão de cerca de 5%, sendo necessário um maior consumo de energia. As perdas de pressão comparadas são expressas na figura 6.8:
Figura 6.8 Perda de pressão e caudal em válvulas de regulação.
_________________________________________________ Exercício 6.2- Responda Verdadeiro ou Falso As válvulas de equilíbrio estático têm perdas de pressão geralmente inferiores às de equilíbrio dinâmico. Uma única válvula de equilíbrio estática garante o equilíbrio do caudal de água numa UTA, com válvula termostática on/off de três vias. A perda de pressão na válvula termostática deve equivaler à perda de pressão na bateria. As válvulas de duas vias com change-over devem ter o bolbo do termostáto de inversão próximo da bateria. _________________________________________________ Notas do aluno sobre a matéria do capítulo 6:
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______________________________________________________________________
7. REDES COM CICLOS. As redes de distribuição e as redes em climatização sofrem geralmente variações de caudais nos diversos troços quando existe alguma alteração na rede. A determinação dos caudais e pressões nos diversos nós face a uma determinada rede é o problema principal da análise de redes. Em climatização é necessário ter consciência da interdependência entre os diversos parâmetros da rede, pretendendo-se contrariar essa tendência natural de forma a conseguir um funcionamento conforme o projectado. Designa-se por rede de recobrimento mínima ou antena a rede constituída pelo número mínimo de troços que garantem o abastecimento de todos os nós. Uma rede pode ser vista como um conjunto de troços pode ser dividida na rede de recobrimento mínima T e no seu complementar T . A este novo conjunto, desnecessário ao abastecimento pela rede mínima, mas muito importante em termos de garantia de abastecimento designa-se por conjunto de cordas, que criam as malhas. Numa rede em antena verifica-se que a cada nó acrescentado à rede corresponde um novo troço para o abastecer, obtendo-se a relação:
t= n-1
(7.1)
Numa rede malhada, ou com cordas, a criação de uma corda implica a criação de uma malha, não necessitando novos nós para o efeito:
t= n-1+m
(7.2)
7.1. Leis dos nós e das malhas
A solução de uma rede passa pela resolução conjunta das equações de Kirchoff, também designadas por lei dos nós e das malhas. A lei dos nós estabelece a continuidade em cada nó e lei das malhas o campo potencial de pressões. As expressões usadas são análogas às conhecidas dos alunos para o estudo de circuitos eléctricos. Existe no entanto uma diferença substancial entre as duas formulações já que as diferenças de potencial de pressão dependem de uma potência próxima de dois do caudal, enquanto
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______________________________________________________________________ que a diferença de potencial de um circuito eléctrico depende directamente da intensidade de corrente. As expressões para as redes eléctricas podem ser definidas na forma
ΣI in = ΣI out
ΣV = 0 , sendo I a corrente e V a diferença de potencial. Nas redes
e
de fluidos estas expressões tomam a forma:
ΣQ in = ΣQ out
(7.3)
Σ∆P = 0
(7.4)
Analise-se a rede eléctrica conforme a figura 7.1, admitindo que existe uma diferença de potencial V e uma corrente I=I 1+I2 e pretendendo-se obter uma resistência R equivalente às duas resistências em paralelo:
R1
R2
Figura 7.1 Rede com um Circuito
As equações de Kirchoff serão:
R 1 .I1 − R 2 .I 2 = 0 , I + I = I 1 2
sendo I1=I-I2 e substituindo na equação superior explicitada em
ordem a I 2, obtém-se: I 2
e sendo V
=
= R.I = R 2 I 2 =
R 1 .I R1
+ R2
R 2 .R 1 R1
+ R2
,
.I ,
pelo que comparando os dois lados da igualdade obtém-se a conhecida expressão das redes eléctricas: R
=
R 2 .R 1 R1
+ R2
.
Numa rede de fluidos, a resistência ao transporte pode ser obtida da expressão (2.10) como: R i
=
K.L i D mi
, pelo que as equações de Kirchoff podem ser escritas como:
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______________________________________________________________________
R 1 .Q n 1 − R 2 .Q n 2 = 0 Q1 + Q 2 = Q
(7.5)
Sendo Q1=Q-Q2 e substituindo na equação superior, explicitando em ordem a Q 2, obtém-se:
∆P = R.Q n = R 2 Q n 2 =
R
= (1 + (
R2 R2 R1
R 2 .Q n , ou seja a resistência equivalente será: R 2 1 / n n (1 + ( ) ) R1 (7.6)
)
1 / n
)
n
Expressão igual à dos circuitos eléctricos para n=1. _________________________________________________ Exercício 7.1- Considere o sistema de controlo de caudal numa bateria de arrefecimento de uma UTA, com uma válvula de três vias modulante, como um sistema de resistências hidráulicas em paralelo. Admita que a perda de carga entre a entrada e a saída do sistema é constante e de 3 m.c.a., que o caudal nominal da bateria é de 5 l/s e que a característica da válvula é linear. Escreva as equações que definem o caudal na bateria função da posição de abertura da válvula e da perda de carga no circuito da válvula. _________________________________________________
7.2. Definição da rede e matriz de incidência A definição topológica da rede pode ser feita através de matrizes que relacionem os elementos da rede. Tem especial interesse a matriz de incidência malha troço (matriz B), que permite obter as relações entre as malhas e os troços respectivos. Considere-se a rede constante na figura seguinte, onde se representam 5 troços interligados, que a partir de um nó de injecção abastecem 3 nós de consumo, formando 2 malhas:
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______________________________________________________________________ 4
5
3 1
2
Figura 7.2 Exemplo de Rede Malhada
A matriz B, conforme fig.7.1 tem valores nulos se uma malha não percorre um troço, positivos se a malha percorre o troço no sentido definido para esse troço e negativo se percorre no sentido contrário. Troço
Malha
1
2
3
4
7
1
+1
-1
0
+1
0
2
0
+1
-1
0
-1
Tabela 7.1 – Matriz de incidência B para o e xemplo da figura 7.2. T
O produto BxB define a relação entre as duas malhas, sendo negativo se o sentido de circulação entre as malhas for oposto.
Para o exemplo da figura 7.1 as equações (7.3) e (7.4) tomam a forma:
Q1 − Q 4 = C1 Q + Q + Q = C 2 4 5 2 Q − Q = C 5 3 3
(7.7)
e
∆P1 − ∆P2 + ∆P4 = 0 ∆P − ∆P − ∆P = 0 3 5 2
(7.8)
Cujo conjunto constitui o sistema de 5 equações não lineares a resolver.
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7.3. Resolução de sistemas de equações não lineares Nesta secção será dado um conjunto de conceitos básico de obtenção da solução de uma equação não linear, por método numérico, sendo depois generalizada para a resolução de um sistema de equações. Seja f(x) uma função com primeira derivada numa determinada região, e conheça-se dessa função uma estimativa x 0 do zero da função, conforme figura 7.3. Uma melhor estimativa da raiz pode ser obtida fazendo passar uma recta tangente ao ponto (x 0, f(x0)) e intersectando-a nas abcissas.
f(x)
x1
x0
x
Figura 7.3 Zero de uma função f(x)
Este método pode ser expresso matematicamente na forma:
x1
= x0 −
f ( x 0 ) f ’( x 0 )
(7.9)
,designado por método de Newton para resolução de uma equação não linear. Desde que x0 seja escolhido com razoável perícia x 1 estará mais próximo da raiz, sendo o método de novo aplicado as vezes que se julguem necessárias até atingir a precisão desejada. Esta precisão depende directamente do módulo da função, |f(x)|, e indirectamente de |x 1x0|.
Se a função a resolver for um sistema de equações f ( x ) = 0 , sendo f e x vectores, a expressão (7.9) pode ser generalizada para:
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______________________________________________________________________
x1
= x 0 − J −1 ( x 0 ).f ( x 0 )
(7.10)
Onde J representa o Jacobiano de f. Para um sistema de 2 equações, f 1 e f 2, a duas incógnitas, x1 e x2, o Jacobiano toma a forma:
∂f 1 ∂f 1 ∂x ∂x 1 2 J= ∂f 2 ∂f 2 ∂x ∂x 2 1
(7.11)
Ou na forma mais comum de resolução de sistema de equações lineares:
J ( x 0 ).∆ x
= −f ( x 0 )
(7.12)
Conhecida uma solução aproximada a equação (7.12) permite obter a variação
∆ x que
irá, em princípio, permitir uma solução mais aproximada. O método termina quando a norma da função f e da variação
∆x
forem pequenas. Podem ser assim resolvidas
conjuntamente as equações (7.7) e (7.8). _________________________________________________ Exercício 7.2- Estime uma aproximação da solução do seguinte sistema de equações, utilizando o método de Newton com duas iterações a partir de uma aproximação inicial (1,1). x1 − x 2 = 0
2 2 x1 + x 2 = 1
_________________________________________________
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7.4. Método de Hardy Cross e de Newton Raphson As equações (7.4) ou (7.8) podem ainda ser escritas como: B ∆P = 0
(7.12)
Para ponto de partida da resolução das equações não lineares, pode escolher-se um vector de caudais Q que satisfaça as equação (7.7), tal como no exercício 7.2. Neste caso e com base no exemplo da figura 7.1, se se aumentar em q 1 o caudal ao longo do circuito 1, a equação (7.7) não se altera. O mesmo e passa no circuito 2 em qualquer iteração. Dado que em qualquer iteração a equação (7.7) é satisfeita, basta que se explicite (7.8) com respeito aos caudais de acerto q 1 e q2 e se resolva um sistema de duas equações a duas incógnitas, conforme a equação:
(Q1 + q 1 )n (Q 2 − q 1 + q 2 )n (Q 4 + q 1 )n − k .L 2 . + k .L 4 . =0 k .L1 . m m m D D D 1 2 4 n n n k .L . (Q 2 − q 1 + q 2 ) − k .L . (Q 3 − q 2 ) − k .L . (Q 5 − q 2 ) = 0 3 5 2 Dm D 3m D 5m 2
(7.13)
Onde os caudais Qi são valores determinados dados pela aproximação que satisfaz (7.7). A resolução numérica do sistema de duas equações não lineares para os caudais Q i determinados numa iteração anterior, pode ser obtida pelo processo iterativo com base na equação (7.12). Sendo q o caudal de acerto e Qi a solução inicial essa equação é equivalente a J (Q).q
J (0).q
= −f (Q) , ou mais precisamente dado que f é só função de q:
= −f (0)
(7.14)
Sendo J o Jacobiano definido como em (7.11):
∂f 1 ∂f 1 ∂q ∂q 1 2 J= ∂f 2 ∂f 2 ∂q ∂q 2 1
(7.15)
Obtenha-se por exemplo a primeira linha do Jacobiano com base em (7.13):
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(Q1 + q 1 )n −1 (Q 2 − q 1 + q 2 )n −1 (Q 4 − q 1 )n −1 ∂f 1 = k .L1 .n. + k .L 2 .n. + k .L 4 .n. ∂q1 D1m Dm Dm 2 4 (Q 2 − q 1 + q 2 )n −1 ∂f 1 = −k .L 2 .n. m ∂q 2 D2
(7.16)
Que calculadas para (q 1,q2)=(0,0) apresentam a forma de
(Q1 )n −1 (Q 2 )n −1 (Q 4 )n −1 ∂f 1 = k .L1 .n. m + k .L 2 .n. m + k .L 4 .n. m ∂q1 D1 D2 D4 (Q 2 )n −1 ∂f 1 = −k .L 2 .n. m ∂q 2 D2 Ou seja:
∂f 1 ∆P ∆P ∆P = n. 1 + n. 2 + n. 4 ∂q 1 Q1 Q2 Q4 ∂f 1 ∆P = − n. 2 ∂q 2 Q2
(7.17)
Reescrevendo para toda a matriz Jacobiano:
∆P1 ∆P2 ∆P4 Q + Q + Q 2 4 J = n. 1 P ∆ − 2 Q2
∆P2 Q2
∆P2
Q2 ∆P3 ∆P5 + + Q3 Q 5 −
(7.18)
Sendo J a relação entre as variações das equações de perda de carga ao longo de cada malha com todas as malhas, J pode ser expressa como:
J
= B.D.B T
sendo D a matriz diagonal com elementos D ii
(7.19)
=
∆Pi Qi
.
(7.20)
O método de Hardy Cross difere do de Newton Raphson por suprimir os elementos do Jacobiano externos à diagonal principal, tomando o Jacobiano a forma:
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∆P1 ∆P2 ∆P4 Q + Q + Q 2 4 J = n. 1 0
∆P3 ∆P5 + + Q3 Q 5 0
∆P2 Q2
(7.21)
Conhecidos os caudais de acerto q os novos caudais nos diversos troços Q n, podem ser obtidos dos anteriores Q0 pela expressão seguinte, conforme facilmente se verifica: T
Qn=Q0+B .q
(7.22)
O processo de cálculo termina quando a norma dos caudais de acerto q e a norma da função f forem considerados pequenos. Poderá ser utilizada uma qualquer norma, nomeadamente a quadrática, dado que se pretende apenas um valor de referência. A norma infinito é normalmente usada dado permitir controlar o método com base no maior valor de q ou de f. _________________________________________________ Exercício 7.3- Uma rede de água, abastece três pontos de consumo em baixa pressão, podendo ser topologicamente definida conforme a figura 7.2. Todos os troços têm diâmetro de 100mm, sendo os troços maiores de 150 m e os menores de 3 100m. O consumo é de 130 m /h em cada um dos nós de consumo. Pretendendo-se obter as condições de equilíbrio da rede, sendo o nó 1 o de injecção, obtenha: a) Uma aproximação dos caudais na rede de forma a obedecer à equação da continuidade. b) Utilizando a fórmula aproximativa para tubos de aço, obtenha a perda de carga nos troços. ( 3>PFD @ L[m] Q[m3/s]1,88 /D[m]4,88) c) Identifique a matriz de incidência malha-troço. d) Aplicando uma vez o método de Hardy-Cross das malhas, obtenha uma aproximação dos caudais de equilíbrio na rede. _________________________________________________
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7.3 Algoritmo de cálculo O algoritmo de cálculo pode ser sumariado em conformidade com as equações descrita: 1. Determinar um conjunto de caudais Q0 que satisfaçam as equações dos nós (7.7). 2. 2EWHUSHUGDGHFDUJD
3GHDFRUGRFRPRFDSítulo 2.
3. Determinar a Matriz diagonal D. Eq.(7.20) 4. Obter o erro de fecho f (Q) e a sua norma. 5. Calcula o Jacobiano de acordo com (7.18) para o método de Newton-Raphson, ou com (7.21) para o método de Hardy Cross. 6. Resolver o sistema de equações lineares (7.14) 7. Calcular uma nova aproximação do caudal nos troços Q n (7.22) 8. Avaliar condições de paragem, com base na norma de q e de f(q), ou retornar ao cálculo da perda de carga.
Estes passos podem ser facilmente implementados num programa. Uma implementação despretensiosa em Matlab é descrita no exercício 7.4. Descrevem-se de seguida a relação dos principais tópicos descritos e o programa do exercício: Tópico 8 2 3 4 5 5 6 7
Linha de Programa while and(or((normaq > (qmin),(normaf>fmin)), (iter
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Exercício 7.4- Descreva o programa em MatLab anexo e a ltere-o para a análise de redes do exemplo 7.1. % Calculo de redes em malha dados os troços, com os respectivos % comprimentos e diametros e caudais iniciais. ( L D Q ) % A matriz de incidencia malha troço é a matriz B clear all echo off format short % L=[1000 300 1500]; D=[100 100 100]; Q=[64.8 0 86.7]; B=[+1 -1 -1]; s=size(L);nt=s(2); % %parametros de paragem dqmin=10; fmin=10; itermax=10;n=1.82; m=4.82 %parametros de inicializaçao normaq=100; normaf=100; iter=0; % % inicio do programa while and(or((normaq > dqmin),(normaf>fmin)), (iter
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______________________________________________________________________ _________________________________________________ Exercício 7.5- Uma rede de abastecimento de água toda de diâmetro interno de 300 mm, abastece duas urbanizações A e B a partir dos nós de injecção I1 e I2, respectivamente mantidos a 200 kPa e a 250 kPa. O caudal necessário à urbanização A é de 100 l/s e o necessário à B de 150l/s.
1.000 m
A
I1 300 m I2
1.500 m B
Utilizando a expressão de perda de carga, 3>PFD@ L[m] Q[m3/s]1,88 /D[m]4,88, determine os caudais nos três troços utilizando o método de cálculo de Hardy-Cross com duas iterações. _________________________________________________
Exercício 7.6- Duas urbanizações, uma de 10.000 clientes e outra de 5.000 clientes (admita que cada cliente tem 1 fogão e 1 esquentador), são abastecidas por duas tubagens independentes de gás em média pressão, tendo a primeira 5000m e a segunda 7000m. A emissão em qualquer das redes é efectuada a 4 bar, estimando-se uma pressão mínima de 2,5 bar nos pontos de menor pressão, nas condições nominais. a) Qual o diâmetro das tubagens de cada uma das redes, utilizando a expressão de perda de carga quadrática
3>EDU@V/>P@4>PK@'>PP@
b) Admitindo que as redes eram interligadas, qual o caudal que passaria em cada troço. ( Faça duas iterações do método de Hardy-Cross) _________________________________________________
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______________________________________________________________________ Notas do aluno sobre a matéria do capítulo 6:
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