Recursos Para El Profesor. Mat 2

Matemáticas

r o s e f o r p l e a r a p s o s r u c e r e d o r b i L

Presentación

Estimado profesor: Editorial Santillana pone en sus manos el libro Recursos para el profesor , que le proporciona los siguientes apartados para apoyar su trabajo con el texto del alumno de la serie Horizontes : Una educación basada en competencias. Contextualiza

y explica la necesidad de

esta nueva forma de enseñanza. El per�l de egreso de secundaria. Presenta los rasgos que los estudiantes deberán

mostrar al término de la educación básica. El papel del docente. Explica

los nuevos retos que tiene ante sí el profesor en una enseñanza basada en competencias. Los materiales didácticos en una educación basada en competencias. Propone

el uso de variados recursos en el aula, que resultan muy útiles al desarrollar la propuesta didáctica basada en competencias. La evaluación, una propuesta integral. Ofrece

una guía para evaluar de manera continua los avances de los estudiantes en las competencias. Didáctica de las Matemáticas. Desarrolla una propuesta actual sobre la manera de

abordar conocimientos, habilidades, actitudes y valores en una secuencia didáctica propia de la asignatura. El libro del alumno. Se

reproducen los apartados del libro del alumno en los que se describe nuestra propuesta didáctica para trabajar competencias, plasmada en esta nueva serie. Para el desarrollo didáctico en el aula, le ofrece los siguientes recursos:     

a t n e v u s a d i

b i h o r P

Conexiones trabajadas durante el bimestre con otras áreas del currículo. Dosificación por bloque. Planeación por secuencia didáctica. Reproducción del libro del alumno con sugerencias de respuestas. Acompañamiento didáctico:  

Intención pedagógica. Especifica el propósito de aprendizaje de las actividades. Sugerencias de contenido. Ofrece información propia de la asignatura para

desarrollar actividades. 

Recomendaciones procedimentales. Propone

cómo realizar las actividades

del libro. Deseamos que nuestra propuesta educativa lo acompañe en su importante labor como formador de individuos competentes para la sociedad que buscamos construir.

LOS EDITORES

Contenido Una educación basada en competencias

6

El per�l de egreso de secundaria

9

El papel del docente

14

1

2

e u q o l B

e u q o l B

Los materiales didácticos en una educación basada en competencias 18

La evaluación, una propuesta integral

20

34

Didáctica de las Matemáticas

24

35

El libro del alumno

28

Recursos digitales

32

Desarrollo didáctico

Conexiones con otras asignaturas

36 Dosi�cación del primer bimestre

38

33 Planeación didáctica

a t n e v u s a d i b i

h o r P

48 Reproducción del libro del alumno

128 129 Conexiones con otras asignaturas

130 Dosi�cación del segundo bimestre



3

4

e u q o l B

5

e u q o l B

e u q o l B

202

362

203 Conexiones con otras asignaturas

204 Dosi�cación del tercer bimestre

206 Planeación didáctica a t n e v u s a d i

b i h o r P


3

290 291 Conexiones con otras asignaturas


4 Dosi�cación del quinto bimestre


292 Dosi�cación del cuarto bimestre




Solucionario

416

Fuentes de Información

424

Una educación basada en competencias El diseño y la puesta en marcha de un nuevo currículo supone considerar el tipo de sociedad en el que hoy estamos inmersos: una sociedad envuelta en un continuo proceso de transformación que afecta el modo como nos organizamos, como trabajamos, como nos relacionamos y como aprendemos dentro y fuera de la escuela. Hoy, nuestra realidad exige que hombres y mujeres participen de manera activa en la resolución de problemas, que sus miembros sean capaces de desempeñarse responsablemente consigo mismos, con la Naturaleza y con su comunidad, para que juntos construyan una sociedad más libre, más democrática y justa. Todo esto no sería posible sin individuos que sean capaces de adquirir, desarrollar y emplear conocimientos, habilidades, actitudes y valores a lo largo de su vida. Estos cambios tienen un re�ejo visible en la escuela como institución encargada de formar a los nuevos ciudadanos. ¿En qué afectan estos cambios a la escuela? ¿Cuál es el modelo pedagógico que demanda nuestra sociedad? Ante estas preguntas, los expertos en educación han concluido que la escuela debe poner el énfasis en el desarrollo de las competencias.

¿Qué es una competencia? Una competencia implica un saber hacer (habilidades) con saber (conocimiento), así como un saber ser (valores y actitudes) en un contexto especí�co y una situación determinada.

Enfoques tradicionales

Enfoque por competencias

Maestro

Alumno Competencia:

Transmite la información

Recibe la información

vincula, integra y pone en marcha los tres componentes.

Habilidades

a t n e v

Por tanto, hay un desarrollo desvinculado:

u s a d i b i

Conocimientos

h o r P

Habilidades

Conocimientos

Actitudes y valores

Actitudes y valores

Las competencias, pues, movilizan y dirigen todos los saberes hacia la consecución de propósitos concretos, lo cual se evidencia cuando los conocimientos adquiridos y las habilidades desarrolladas se aplican a las tareas y retos cotidianos en entornos escolares y extraescolares. Una forma de ejempli�car lo anterior es:

Contexto y situación determinada

que

Habilidades enfrenta al individuo a un reto o problema por resolver,

para lo cual requiere movilizar, integrar y dirigir en un contexto especí�co, sus

Conocimientos

Competencias para la vida


h o r P

La educación básica busca que los alumnos movilicen sus saberes dentro y fuera del aula. Esto signi�ca que sean capaces de aplicar lo aprendido en situaciones cotidianas, y que consideren posibles repercusiones personales y sociales; por ello “La Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) propone cinco competencias para la vida, que deberán desarrollarse desde todas las asignaturas, y procurando que se proporcionen oportunidades y experiencias de aprendizaje que sean signi�cativas para todos los alumnos”.1 a) b) c) d) e)

Competencias para el aprendizaje permanente. Competencias para el manejo de la información. Competencias para el manejo de situaciones. Competencias para la convivencia. Competencias para la vida en sociedad.

¿Qué caracteriza a cada competencia para la vida? ¿Qué se desarrolla con cada una? ¿Cómo permiten estas competencias formar a estos nuevos ciudadanos? He aquí algunas respuestas.

1

SEP. Plan de Estudios 2006. Educación básica. Secundaria , México, 2007, pp. 11-12.

Actitudes y valores

Competencias para la vida

Permite

Para el aprendizaje permanente

La posibilidad de aprender, asumir y dirigir el propio aprendizaje a lo largo de la vida.

Integrarse a la cultura escrita.

Movilizar diversos saberes culturales, lingüísticos, sociales, cientí�cos y tecnológicos para comprender la realidad.

Para el manejo de la información

La búsqueda, identi�cación, evaluación, selección y sistematización de información.

Analizar, sintetizar, utilizar y compartir información.

Pensar, re�exionar, argumentar y expresar juicios críticos.

La posibilidad de organizar y diseñar proyectos de vida, y de tener iniciativa para llevarlos a cabo.

Plantear, enfrentar, llevar a buen término procedimientos o alternativas para la resolución de problemas.

Considerar diversos aspectos como los históricos, sociales, políticos, culturales, geográ�cos, ambientales, económicos, académicos y afectivos para tomar decisiones.

La relación armónica con otros y con la Naturaleza.

Comunicarse con e�cacia, trabajar en equipo, tomar acuerdos y negociar con otros; crecer con los demás.

Manejar armónicamente las relaciones personales y emocionales; desarrollar la identidad personal y social.

La capacidad para decidir y actuar con juicio crítico frente a los valores y las normas sociales y culturales.

Proceder en favor de la democracia, la libertad, la paz, el respeto a la legalidad y a los derechos humanos.

Actuar con respeto ante la diversidad sociocultural; combatir la discriminación y el racismo, y manifestar una conciencia de pertenencia a su cultura, a su país y al mundo.

Para el manejo de situaciones

Para la convivencia

a t n e v

Implica

Para la vida en sociedad

u s a d i b i

h o r P

Así, las competencias para la vida, a diferencia de los contenidos aislados: 







son transversales y favorecen la interdisciplinariedad porque su aprendizaje no es exclusivo de una sola asignatura. son integradoras porque combinan conocimientos, habilidades y actitudes y valores. son dinámicas, porque las competencias de las personas pueden desarrollarse y crecer a lo largo de la vida. se aplican en múltiples situaciones y contextos para conseguir distintos ob jetivos, resolver situaciones o problemas variados y realizar diferentes tipos de trabajos.

El per�l de egreso de secundaria El per�l de egreso es el conjunto de rasgos que los estudiantes deberán mostrar al término de la educación básica. Dichos rasgos son el resultado de una formación que destaca la necesidad de desarrollar competencias para la vida, que además de conocimientos y habilidades incluyen actitudes y valores para enfrentar con éxito diversas tareas. Se busca que al �nalizar la educación secundaria, el alumno se caracterice por que: a) Utiliza el lenguaje oral y escrito con claridad, �uidez y adecuadamente, para interactuar en distintos contextos sociales. Reconoce y aprecia la diversidad lingüística del país. b) Emplea la argumentación y el razonamiento al analizar situaciones, identi�car problemas, formular preguntas, emitir juicios y proponer diversas soluciones. c) Selecciona, analiza, evalúa y comparte información proveniente de diversas fuentes y aprovecha los recursos tecnológicos a su alcance para profundizar y ampliar sus aprendizajes de manera permanente. d) Emplea los conocimientos adquiridos a �n de interpretar y explicar procesos sociales, económicos, culturales y naturales, así como para tomar decisiones y actuar, individual o colectivamente, en aras de promover la salud y el cuidado ambiental, como formas para mejorar la calidad de vida. e) Conoce los derechos humanos y los valores que favorecen la vida democrática, los pone en práctica al analizar situaciones y tomar decisiones con responsabilidad y apego a la ley. f) Reconoce y valora distintas prácticas y procesos culturales. Asume la interculturalidad como riqueza y forma de convivencia en la diversidad social, étnica, cultural y lingüística. Contribuye a la convivencia respetuosa. g) Conoce y valora sus características y potencialidades como ser humano, se identi�ca como parte de un grupo social, emprende diversos proyectos personales, se esfuerza por lograr sus propósitos y asume con responsabilidad las consecuencias de sus acciones. h) Aprecia y participa en diversas manifestaciones artísticas. Integra conocimientos y saberes de las culturas como medio para conocer las ideas y los sentimientos de otros, así como para manifestar los propios. Se reconoce como un ser con potencialidades físicas que le permiten mejorar su capacidad motriz, favorecer un estilo de vida activo y saludable, así como interactuar en contextos lúdicos, recreativos y deportivos.2 Este per�l de egreso se suma al de toda la educación básica: preescolar, primaria y secundaria en cuatro campos formativos para el desarrollo de las competencias, como se muestra en las siguientes páginas. a t n e v u s a d i b i

h o r P

2

SEP. Plan de Estudios 2006. Educación básica. Secundaria , México, 2007, p. 10.

Campos formativos para la educación básica Con el objetivo de articular las asignaturas, asegurar la integración de sus enfoques y permitir el desarrollo de las competencias para la vida, el mapa curricular está organizado en cuatro campos formativos:3

Preescolar

Primaria

Campos formativos 1º

2º

3º

1º

2º

3º

Lenguaje y comunicación

4º

5º

6º

Español

Lenguaje y comunicación Asignatura Estatal: Lengua Adicional*

Pensamiento matemático

Asignatura Estatal: Lengua Adicional

Pensamiento matemático

Matemáticas

Ciencias Naturales*

Exploración y conocimiento del mundo Exploración de la Naturaleza y la Sociedad*

Exploración y comprensión del mundo natural y social Desarrollo físico y salud

Estudio de la entidad donde vivo*

Geografía*

Historia* Formación Cívica y Ética** a t n e v u s a d i

b i h o r P

Desarrollo personal y social Desarrollo personal y para la convivencia

Educación Física** Expresión y apreciación artística

Educación Artística

* Incluyen contenidos del campo de la tecnología. ** Se establecen vínculos formativos con Ciencias Naturales, Geografía e Historia.

3

Diario Oficial de la Federación , viernes 20 de agosto de 2010, Segunda Sección, p. 8.

Las asignaturas deben compartir de manera transversal una serie de temas orientados a desarrollar en los estudiantes las competencias. Tales temas están relacionados con:   

La educación ambiental. La formación en valores. La educación sexual y la equidad de género.

Secundaria 1º

2º

3º

Español I, II y III

Lengua Extranjera I, II y III

Matemáticas I, II y III

Ciencias I (énfasis en Biología)

Ciencias II (énfasis en Física)

Ciencias III (énfasis en Química)

Tecnología I, II y III Geografía de México y del mundo

Historia I y II

Asignatura estatal Formación Cívica y Ética I y II a t n e v

Orientación y tutoría

u s a d i b i

h o r P

Educación Física I, II y III Artes: Música, Danza, Teatro o Artes Visuales

A continuación se muestra el mapa curricular para la educación secundaria,4 con la organización horaria del trabajo en el aula.

a t n e v u s a d i

b i h o r P

Primer grado

Horas

Segundo grado

Horas

Tercer grado

Horas

Español I

5

Español II

5

Español III

5

Matemáticas I

5

Matemáticas II

5

Matemáticas III

5

Ciencias I (énfasis en Biología)

6

Ciencias II (énfasis en Física)

6

Ciencias III (énfasis en Química)

6

Geografía de México y del Mundo

5

Historia I

4

Historia II

4

Formación Cívica y Ética I

4

Formación Cívica y Ética II

4

Lengua Extranjera I

3

Lengua Extranjera II

3

Lengua Extranjera III

3

Educación Física I

2

Educación Física II

2

Educación Física III

2

Tecnología I*

3

Tecnología II*

3

Tecnología III*

3

Artes (Música, Danza, Teatro o Artes Visuales)

2


2


2

Asignatura estatal

3

Orientación y Tutoría

1


1


1

Total

35

35

35

*En el caso de la asignatura Tecnología, la distribución horaria no será limitativa para la educación secundaria técnica, con la �nalidad de que se cumpla con los requerimientos pedagógicos que caracterizan a esta modalidad y, por tanto, sus cargas horarias serán determinadas según los campos tecnológicos impartidos. 4

SEP. Plan de Estudios 2006 . Educación básica. Secundaria , México, 2007, p. 31.

El trabajo colegiado para lograr el per�l de egreso La propuesta curricular para secundaria promueve la convivencia y el aprendizaje en ambientes colaborativos y desa�antes; posibilita una transformación de la relación entre maestros, alumnos y otros miembros de la comunidad escolar, y facilita la integración de los conocimientos que los estudiantes adquieren en las distintas asignaturas. Existen numerosas oportunidades para realizar proyectos didácticos compartidos entre maestros de diferentes asignaturas. El tipo de trabajo que se sugiere en la propuesta curricular permite relacionar las actividades que desarrollan distintos maestros. Así, por ejemplo, un maestro de Ciencias puede organizar una feria de ciencias para dar a conocer lo que aprenden los alumnos en el ciclo escolar, y los maestros de Español y de Artes podrán apoyarlo en la elaboración de carteles publicitarios o invitaciones para convocar a la comunidad escolar al evento; un maestro de Español podría organizar la publicación de un periódico escolar donde se incluyan textos producidos en distintas asignaturas, con la colaboración de los demás maestros, en español y alguna lengua indígena o extranjera (inglés o francés). La de�nición explícita de las relaciones entre las asignaturas que conforman la propuesta curricular incrementa las oportunidades para integrar los conocimientos, las habilidades y los valores de las distintas áreas de aprendizaje. El trabajo colegiado se transforma en un espacio necesario para compartir experiencias centradas en procesos de enseñanza y aprendizaje. Para una óptima operación de la propuesta curricular los maestros requieren intercambiar información al interior de las academias especí�cas, acordar con maestros de otras asignaturas, y compartir ayuda y apoyo para el logro de metas comunes.


h o r P

El trabajo que se desarrolla en la escuela puede trascender las paredes escolares. En primer lugar, entre los nuevos elementos que se encuentran en los programas de las asignaturas está la explicitación de los aprendizajes que se espera logren los alumnos durante el ciclo escolar. Esta información permitirá tanto a los maestros como a los alumnos y a sus padres conocer hacia dónde deben dirigir sus esfuerzos. Una adecuada relación escuela-comunidad favorece el intercambio de experiencias y el vínculo entre estudiantes de diferentes culturas; además, aporta un mayor sentido al aprendizaje. La realización de entrevistas, el análisis de situaciones problemáticas en el contexto inmediato o la organización de eventos artísticos, entre otros, son ocasiones privilegiadas para que los padres y la comunidad participen en el trabajo que se hace en la escuela.5 5


El papel del docente El Plan de Estudios 2006 señala algunas de las principales responsabilidades de los docentes:   

Dar cumplimiento a los programas de estudio. Promover diversas formas de interacción dentro del aula. Organizar la distribución del tiempo y el uso de materiales.

Para asumir estas responsabilidades, se recomienda plani�car el trabajo considerando el qué (los contenidos) de la lección, el cómo (las tareas), el cuándo , (los tiempos), y el con qué (los materiales). Además, se deben evaluar de manera permanente las actividades realizadas. Con el propósito de que el docente aproveche mejor los programas de su asignatura, se le proporcionan las siguientes orientaciones didácticas. a) Incorporar los intereses, las necesidades y los conocimientos previos de los b)

alumnos. Atender la diversidad. Lejos

de ser un obstáculo, la heterogeneidad de los estudiantes en los aspectos étnico, cultural y lingüístico, debe tomarse como una oportunidad para enriquecer la calidad de la educación. Deben considerarse aquí los aspectos académicos, individuales, interpersonales y afectivos. c) Promover el trabajo grupal y la construcción colectiva del conocimiento. Para lograrlo, es necesario:6 











Ser sensibles, en la planeación de las actividades, a diversas formas de aprendizaje, ritmos, ideas, experiencias y diferentes estilos de relación. Promover la participación de todos los alumnos en el desarrollo de las actividades escolares. Permitir que los estudiantes elijan algunas actividades de manera que se les ayude a identificar sus intereses y a comprometerse con la toma de decisiones. Estimular el intercambio entre alumnos que tienen diferentes nivele s de conocimiento, ya sea entre los que cursan un mismo grado o de distintos grados. Facilitar el intercambio de experiencias entre los alumnos, especialmente entre los que hablan otras lenguas además del español. Ampliar la idea de recursos de aprendizaje, considerando el apoyo de compañeros y adultos diferentes al profesor, la comunicación oral, las imágenes, los medios de comunicación y la experiencia extraescolar como valiosas fuentes de información.


h o r P

6


d) Diversi�car las estrategias didácticas. El trabajo por proyectos es una de las estrategias más provechosas en la enseñanza por competencias. Se recomienda particularmente en las asignaturas de Ciencias, Español y Formación Cívica y Ética, aunque en cada una de ellas adopta formas particulares. e) Optimizar el uso del tiempo y del espacio. Resulta fundamental la organización del docente para aprovechar mejor el tiempo en las actividades del aula. Con esta idea, es importante reducir la carga del trabajo externo a la clase, como la administración, las ceremonias, los festivales y los concursos. También es esencial disponer el mobiliario del salón de manera que permita la interacción y el desarrollo de las actividades. f) Seleccionar los materiales adecuados. Los materiales didácticos constituyen un valioso auxilar en el aula. Además del libro de texto, deben considerarse otros materiales de lectura e incorporarse desde la plani�cación misma del trabajo semanal, mensual, bimestral y anual. g) Impulsar la autonomía de los estudiantes. Cuando hablamos de autonomía, nos referimos a la capacidad de los alumnos para aprender por su cuenta. Pero esto no signi�ca que deban aislarse para hacerlo, sino que ellos pueden gestionar su propio aprendizaje y buscar a otras personas para lograrlo. Esto puede alcanzarse si el docente:     




h o r P

Permite que los alumnos apliquen lo aprendido de maneras distintas. Promueve el debate dentro del aula. Propicia la exposición de las propias ideas de los estudiantes. Promueve las experiencias de investigación. Estimula la reflexión sobre lo que han aprendido y cómo lo han aprendido (metacognición). Genera desafíos en el aprendizaje.

h) Evaluar. La evaluación permite al docente emitir juicios sobre el desempeño de los alumnos y tomar las acciones pertinentes que ayuden a mejorarlo. En este sentido, evaluar no es sinónimo de cali�car o examinar, aunque los exámenes pueden ser una manera de obtener información. Evaluar también implica la autoevaluación del docente, con la misma intención: cambiar el rumbo de lo que no esté contribuyendo a un mejor desempeño. En la página 20 se detalla este tema. Acerca del papel del docente, Philippe Perrenoud, profesor de la Universidad de Ginebra y uno de los más connotados investigadores de las competencias en educación, nos ofrece una especie de decálogo, donde señala los diez campos de competencias que los maestros de hoy deben desarrollar para tener un desempeño adecuado en esta modalidad de la enseñanza. En las páginas siguientes se sintetizan las ideas de Perrenoud respecto al desempeño de los docentes en el aula.

Diez dominios de competencias consideradas prioritarias en la formación continua del profesorado7 Competencias de referencia

Competencias más especí�cas para trabajar en formación continua (ejemplos) 



1. Organizar y animar situaciones de aprendizaje

  





2. Gestionar la progresión de los aprendizajes

 



 

3. Elaborar y hacer evolucionar dispositivos de diferenciación

 



a t n e v

4. Implicar a los alumnos en su aprendizaje y en su trabajo



 

u s

Conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que hay que enseñar y su traducción en objetivos de aprendizaje. Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos. Trabajar a partir de los errores y los obstáculos en el aprendizaje. Construir y planificar dispositivos y secuencias didácticas. Implicar a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento. Concebir y hacer frente a situaciones problema ajustadas al nivel y a las posibilidades de los alumnos. Adquirir una visión longitudinal de los objetivos de la enseñanza. Establecer vínculos con las teorías que sostienen las actividades de aprendizaje. Observar y evaluar a los alumnos en situaciones de aprendizaje, según un enfoque formativo. Establecer controles periódicos de competencias y tomar decisiones de progresión.

Hacer frente a la heterogeneidad en el mismo grupo-clase. Compartimentar, extender la gestión de clase a un espacio más amplio. Practicar un apoyo integrado, trabajar con los alumnos en grandes dificultades. Desarrollar la cooperación entre alumnos y ciertas formas simples de enseñanza mutua.

Fomentar el deseo de aprender, explicitar la relación con el conocimiento, el sentido del trabajo escolar y desarrollar la capacidad de autoevaluación con el niño. Instituir y hacer funcionar un consejo de alumnos (consejo de clase o de escuela) y negociar con ellos varios tipos de reglas y de acuerdos. Ofrecer actividades de formación opcionales, "a la carta". Favorecer la definición de un proyecto personal del alumno.

a d i b i

h o r P

 

5. Trabajar en equipo

 



Elaborar un proyecto de equipo, de representaciones comunes. Impulsar un grupo de trabajo, dirigir reuniones. Formar y renovar un equipo pedagógico. Afrontar y analizar conjuntamente situaciones complejas, prácticas y problemas profesionales. Hacer frente a crisis o conflictos entre personas.

7

Perrenoud, Philippe. Diez nuevas competencias para enseñar, Graó, Barcelona, 2007, pp. 15-16.

Competencias de referencia

Competencias más especí�cas para trabajar en formación continua (ejemplos)  

6. Participar en la gestión de la escuela







7. Informar e implicar a los padres

 

 

8. Utilizar las nuevas tecnologías  

 

9. Afrontar los deberes y los dilemas éticos de la profesión a t n e v



 

u s a d i b i



h o r P



10. Organizar la propia formación continua







Elaborar, negociar un proyecto institucional. Administrar los recursos de la escuela. Coordinar, fomentar una escuela con todos los componentes (extraescolares, del barrio, asociaciones de padres, profesores de lengua y cultura de origen). Organizar y hacer evolucionar, en la misma escuela, la participación de los alumnos.

Favorecer reuniones informativas y de debate. Dirigir las reuniones. Implicar a los padres en la valorización de la construcción de los conocimientos.

Utilizar los programas de edición de documentos. Explotar los potenciales didácticos de programas en relación con los objetivos de los dominios de enseñanza. Comunicar a distancia por medio de la telemática. Utilizar los instrumentos multimedia en su enseñanza.

Prevenir la violencia en la escuela o la ciudad. Luchar contra los prejuicios y las discriminaciones sexuales, étnicas y sociales. Participar en la creación de reglas de vida común referentes a la disciplina en la escuela, las sanciones, la apreciación de la conducta. Analizar la relación pedagógica, la autoridad, la comunicación en clase. Desarrollar el sentido de la responsabilidad, la solidaridad, el sentimiento de justicia. Saber explicitar sus prácticas. Establecer un control de competencias y un programa personal de formación continua propios. Negociar un proyecto de formación común con los compañeros (equipo, escuela, red). Implicarse en las tareas a nivel general de la enseñanza o del sistema educativo. Aceptar y participar en la formación de los compañeros.

Los materiales didácticos en una educación basada en competencias Para que la aplicación del Plan de estudios sea e�caz y en el aula se haga cotidiana una educación basada en competencias, es indispensable, primero, la labor del docente no sólo concebido como el agente que transmite información y conocimientos, sino como un acompañante y guía para que el alumno aprenda a aprender, y después, que los materiales didácticos con los que trabaje en el aula sustenten la propuesta pedagógica basada en competencias. Así, se requiere la renovación de los recursos didácticos, puesto que el éxito de la enseñanza resultará del binomio docente-material didáctico. Por ello, nuestra serie Horizontes Santillana se apega a los programas vigentes y apoya a los profesores y profesoras en la puesta en marcha del currículo en los siguientes momentos: 

Durante la planificación de su labor docente, al: 







En el desarrollo del trabajo, puesto que: 

 





u s a d i b i

h o r P

integra en el libro del alumno conocimientos, habilidades, actitudes y valores en función del logro de aprendizajes esperados, y mediante la elaboración de productos concretos que sintetizan saberes. tiene en cuenta y favorece el desarrollo de competencias. presenta retos, situaciones de aprendizaje y tareas que permiten el tratamiento transversal de contenidos de distintas asignaturas. mediante la estructura de la serie (apartados que se explicarán más adelante) atiende la transversalidad señalada en el currículo y organiza, en cuatro momentos bien definidos, las situaciones de aprendizaje.

Cuando evalúa, puesto que: 

a t n e v

organizar el libro del alumno y los Recursos para el profesor según el número de bloques señalados en los programas de estudio. ofrecer dosificaciones bimestrales y la planeación didáctica de cada una de las secuencias o proyectos que se trabajan en el libro del alumno. explicitar los aprendizajes esperados en ambos libros.

en el diseño de la serie se han considerado tres tipos de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa, apuntando cada uno a la verificación del cumplimiento de los aprendizajes esperados.

Para realizar este acompañamiento, el libro para el profesor cuenta con tres tipos de recomendaciones didácticas: 





Intención pedagógica , que permitirá identificar los propósitos de las secuen-

cias y de los apartados de la serie. Sugerencias de contenido para ampliar los conceptos que se trabajan en el aula. Sugerencias procedimentales en las que se indica paso a paso el desarrollo de la secuencia y se acompaña al docente en la elaboración del producto.

Para la Secretaría de Educación Pública: Los materiales didácticos constituyen un apoyo importante para desarrollar las actividades, por lo que es necesario valorar sus ventajas y limitaciones. Si se eligen y utilizan adecuadamente, los materiales contribuirán al desarrollo de situaciones de aprendizaje signi�cativas .8

Las escuelas deben aprovechar sus bibliotecas y videotecas, incluso las que estén disponibles en su comunidad, para enriquecer el trabajo con los alumnos. Para el mismo propósito deben servir los recursos tecnológicos como los procesadores de texto, las hojas de cálculo y los programas para trabajar imágenes. Incluso los materiales que no han sido diseñados especí�camente para �nes didácticos, como el periódico, las revistas, la televisión y la radio, no sólo pueden, sino que deben servir a los propósitos del docente. Un elemento de la tecnología que está al alcance de los estudiantes y del docente es el teléfono celular. Lo mismo sucede con otros dispositivos de comunicación electrónicos de última generación. Los recursos de video, fotografía, audio, calculadora, conectividad y algunos otros pueden aprovecharse para una gran variedad de apoyos en las actividades del aula.


h o r P

La evaluación, una propuesta integral La evaluación se concibe como parte integral del proceso de aprendizaje y del desarrollo de competencias, ya que en este enfoque es necesario que el alumnado sea responsable de su proceso de aprendizaje como un practicante re�exivo que se enfrenta con una situación problema, plani�ca cómo resolverla, re�exiona sobre su proceso y �nalmente valora sus logros. Por su parte, el docente no sólo se �ja en los conocimientos, habilidades o destrezas adquiridas, sino en el desempeño total de la persona; es decir, cómo pone en práctica lo aprendido con una actitud propicia en contextos diferenciados. Asimismo, el docente obtiene de la evaluación la información necesaria para tomar decisiones sobre la mejor manera de apoyar al alumnado en el logro de los propósitos y los aprendizajes esperados. La propuesta de evaluación es integral, tanto por los instrumentos que emplea como por los propósitos que persigue: ¿Para qué evaluar? Propósitos

  

¿Qué evaluar? Los aprendizajes esperados

   

¿Cómo evaluar?

   

Evaluación diagnóstica Evaluación formativa Evaluación sumativa Conocimientos Habilidades Actitudes Capacidad de aplicar lo aprendido Inventario de recursos Rúbricas Exámenes Proyectos y actividades integradoras

Los propósitos de la evaluación La evaluación se realiza en tres momentos, cumpliendo en cada caso propósitos especí�cos para el logro de los aprendizajes esperados. Evaluación diagnóstica: al inicio de cada secuencia didáctica el alum-

nado hace un balance de sus saberes, habilidades y actitudes previas. Éste es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y en el desarrollo de competencias. Es recomendable aprovechar este momento para identi�car las necesidades de orientación y apoyo de los estudiantes. a t n e v u s a d i b i

h o r P

Evaluación formativa: se realiza durante el desarrollo de la secuencia

didáctica con el propósito de observar los avances en el logro de los aprendizajes esperados e identi�car las di�cultades y aspectos que cada estudiante requiere fortalecer. La evaluación formativa fortalece la responsabilidad del alumnado en su proceso de aprendizaje, ya que la re�exión continua sobre él mismo le ayuda a comprender si está aprendiendo y cómo lo está logrando. También favorece la toma de conciencia de sus estrategias de aprendizaje y le ayuda a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas para la resolución de problemas. Para el docente, es un recurso para identi�car la mejor manera de apoyar al alumnado en su proceso de aprendizaje.

Evaluación sumativa: se realiza al cierre de cada secuencia didáctica y al �nal del

bloque con el propósito de observar el desempeño �nal del alumnado en el logro de los aprendizajes esperados. Puede ser de utilidad para tomar decisiones sobre la manera de apoyar a los escolares en su proceso o bien aportar elementos para asignar una cali�cación. Este esquema muestra cómo debe ser el proceso de evaluación: La evaluación

debe ser

Continua y global

Individualizada

Integradora

Cualitativa

Orientadora

Atiende el aprendizaje como proceso y contrasta las diversas fases considerando el progreso en todas las áreas del currículo.

Se centra en la evolución de cada alumno, en su situación inicial y en sus particularidades.

Contempla la existencia de diferentes grupos y situaciones, y la �exibilidad en la aplicación de los criterios de evaluación.

Aprecia todos los aspectos que inciden en cada situación en particular y se evalúan diversos niveles de desarrollo del alumno.

Aporta información precisa al escolar para mejorar su aprendizaje mediante estrategias apropiadas.

¿Qué evaluar? Indicadores y evidencias de desempeño En la educación básica, los referentes para la evaluación son los aprendizajes esperados y abarcan conocimientos, habilidades y actitudes. a t n e v u s a d i b i

h o r P

Los aprendizajes esperados constituyen un elemento importante del programa como indicadores de logro y de los avances posibles de los alumnos en el desarrollo del trabajo de cada unidad. En la perspectiva de un programa organizado a partir de competencias, los aprendizajes de los alumnos tienen prioridad en las decisiones que los docentes habrán de tomar al diseñar estrategias, actividades y recursos de carácter didáctico. 9

En la serie Horizontes Santillana , la evaluación se desarrolla mediante indicadores que se expresan durante y al �nal de cada secuencia didáctica, en los apartados ¿Cómo vamos? y ¿Cómo nos fue? , que atienden aspectos colectivos y, por tanto, hay evaluación y coevaluación. El último está dedicado a la autoevaluación, en la que se emplean preguntas que permiten al alumno valorar sus logros y la calidad del producto elaborado. Es recomendable que el alumnado los identi�que al inicio de la secuencia ya que pueden orientar su proceso de aprendizaje.

El desarrollo de competencias supone un proceso de largo aliento. Cada persona lo vive de manera diferente y logra distintos niveles de desempeño. La observación del docente es fundamental para identi�car los pequeños y grandes avances del alumnado en cada secuencia, identi�car el momento en el que se encuentra cada uno en el desarrollo de las competencias y apoyarlos para fortalecer el progreso.

¿Cómo evaluamos en la serie Horizontes Santillana ? Recursos e instrumentos Las actividades, recursos e instrumentos de evaluación presentadas en nuestra serie atienden a tres características: no implican reproducir una tarea ya resuelta ni repetir un texto; su nivel de complejidad genera en los estudiantes un con�icto cognitivo en el que requiere aplicar de manera integrada sus conocimientos, habilidades, actitudes, ideas, disposiciones emocionales y otros recursos para solucionarlo, y favorece la construcción autónoma de la solución. Para la evaluación del proceso de aprendizaje se utilizan diversas técnicas e instrumentos en diferentes momentos y asignaturas de nuestra serie. Algunos de éstos se emplean en los apartados y secciones Preguntas para andar , ¿Cómo vamos? , ¿Cómo nos fue? , Ponte a prueba y Tu archivo de evidencias .

Inventario de recursos Forma parte del inicio de la secuencia didáctica y c orresponde a la evaluación diagnóstica. Al enfrentarse con la situación problema y con la tarea por realizar, el alumnado hace un balance de lo que sabe, lo que sabe hacer, lo que piensa y lo que valora. Esta apreciación es utilizada por el estudiante para planear su proceso, mientras que el docente la puede emplear para de�nir apoyos especí�cos para los alumnos que lo requieran.

Autoevaluación Es un proceso metacognitivo y cognitivo del alumno en el que evalúa su propio desempeño buscando encontrar el acierto para repetirlo y el error para evitarlo. Cuenta con dos mecanismos: a) a t n e v u s a d i b i

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El instrumento, en el que se autoevalúa por medio de preguntas redactadas en primera persona, presente y singular, por ejemplo: ¿Resolví el problema sin ayuda de mi profesor y mis compañeros?

b)

La autoevaluación continua mediante la interacción del docente y el alumno con preguntas que permiten al escolar re�exionar y encontrar sus aciertos y sus errores. La autoevaluación es un elemento que permite producir aprendizajes.

Coevaluación Es el proceso en el que los estudiantes se evalúan entre ellos. El docente hace preguntas y los compañeros, que también hicieron la misma actividad, dan su punto de vista sobre el desempeño de una persona o de un equipo. Esta herramienta se centra en los aspectos positivos, con el objetivo de desarrollar el pensamiento crítico de los escolares y una actitud abierta y de escucha hacia las observaciones de los demás.

Archivo de evidencias Este instrumento es la suma de los trabajos más representativos del progreso del estudiante en la realización de una actividad, a lo largo del bloque o del curso. Es valioso en el aprendizaje autónomo ya que el alumno selecciona los trabajos que mejor muestren sus competencias, teniendo en cuenta los objetivos de la secuencia didáctica. Permite al escolar y al profesor conocer el proceso y las di�cultades que enfrentan, y también favorece los momentos de metacognición.

Rúbricas Una matriz de valoración (rúbrica) es una lista de criterios e indicadores que permiten valorar el logro de los aprendizajes esperados así como la expresión de las actitudes y valores. Son un apoyo para que el docente dé seguimiento y registre el progreso del alumno o del grupo en relación con los distintos niveles de desempeño esperados en el desarrollo de una o varias competencias. Gracias a que en éstas se de�nen de manera explícita los rasgos por desarrollar y las expectativas de logro, tanto el escolar como el docente tienen una clara visión de lo que se espera y de los criterios de evaluación. En el libro del alumno se incluye una serie de preguntas al �nal de cada secuencia didáctica en la que el alumno, de manera individual o en equipo, valorará tres aspectos: 





Los aspectos conceptuales que se pusieron en marcha durante el desarrollo de la secuencia. La participación en la elaboración del producto: interesa que el alumno sea consciente de los recursos que movilizó, de sus estrategias para la solución de problemas y de sus actitudes ante el trabajo individual y colectivo. La calidad del producto elaborado a partir de indicadores derivados de los aprendizajes esperados.

Exámenes El diseño de un examen debe puntualizar las competencias por evaluar, los indicadores y los niveles de desempeño. Estos últimos se observan en la articulación de los conocimientos, habilidades del pensamiento, destrezas y el contexto en la resolución de problemas de la vida con mayor o menor capacidad de ejecución. a t n e v u s a d i b i

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Por ejemplo, un examen de opción múltiple o de respuesta abierta, tipo PISA (Programme for International Students Assessment o Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes), como el que presentamos en nuestra serie, explora los aprendizajes de carácter conceptual, algunas habilidades cognitivas, así como la toma de postura ante dilemas morales y distintos problemas planteados. El objetivo primordial de la evaluación PISA es determinar en qué grado los jóvenes han adquirido las destrezas y los conocimientos generales de lectura, matemáticas y ciencias que necesitarán en la vida adulta. Los aprendizajes esperados, en los que se explicita qué deben lograr los alumnos al término de cada uno de los cinco bloques, constituyen una guía fundamental para la elaboración de las evaluaciones.

Didáctica de las Matemáticas Propósitos de la asignatura Ayudar a los alumnos a estudiar Matemáticas, con base en actividades diseñadas, implica un cambio en el papel del maestro que ha trabajado con la idea de que su función es transmitir información. El nuevo planteamiento permite experimentar en el ambiente del salón de clases: ahora se busca que los alumnos piensen, comenten, discutan con interés y aprendan. Ante esta situación, es necesario trabajar para lograr: a) Que los alumnos se interesen en buscar la forma de resolver los problemas que se les plantean; de esta manera compartirán sus ideas, tendrán acuerdos y desacuerdos, se expresarán con libertad y re�exionarán en torno al problema que tratan de resolver. b) Que los estudiantes lean con cuidado la información que hay en los problemas, pues con frecuencia los errores en la resolución de éstos se deben a las interpretaciones de los enunciados. c) Que muestren una actitud adecuada para trabajar en equipo; el maestro debe insistir en que todos los integrantes asuman la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver, no de manera individual sino colectiva. d) Que manejen de modo adecuado el tiempo para concluir las actividades. Más vale dedicar el tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con signi�cado, desarrollen habilidades y sigan aprendiendo, en lugar de repetirles información que pronto olvidarán. Tampoco es su�ciente con plantearles problemas y esperar a que los resuelvan sin ninguna ayuda; se deben analizar, junto con ellos, sus producciones, aclarar ideas y, siempre que sea pertinente, aportar la información necesaria para su avance. e) Que los maestros busquen espacios para compartir experiencias. La escuela en su conjunto debe dar a los docentes oportunidades para el aprendizaje signi�cativo. Para ello será de gran ayuda que los profesores compartan sus experiencias, aunque no siempre sean exitosas; hablar de ellas y escuchar a sus pares les permitirá mejorar su trabajo.


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El enfoque de enseñanza Los conocimientos adquiridos y las habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica determinarán en gran parte la formación matemática que permita a las personas enfrentar y responder a determinados problemas de la vida moderna. Por eso, la experiencia que vivan los niños al estudiar Matemáticas en la escuela puede tener consecuencias opuestas:   

El gusto o el rechazo por su estudio. La creatividad para buscar soluciones o la pasividad para imitar las de otros. La búsqueda de argumentos para validar sus resultados o la aceptación de los que imponga el maestro.

La metodología didáctica que proponen los programas o�ciales pone el énfasis en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los inviten a re�exionar, a buscar formas de resolver los problemas y a esgrimir argumentos para validar los resultados. El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y de�niciones sólo es importante si los alumnos lo pueden usar, de manera �exible, para solucionar problemas. Por ello, la construcción de ese conocimiento requiere procesos de estudio prolongados, que transitan de lo informal a lo convencional, tanto en términos de lenguaje como de representaciones y procedimientos. La actividad intelectual en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización. Sin embargo, también son necesarios los ejercicios de práctica o el uso de la memoria para conservar ciertos datos; de este modo, los alumnos podrán avanzar hacia la solución de problemas más complejos. Pero es necesario garantizar que, si lo olvidan, tengan opciones para reconstruirlo.


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De acuerdo con este enfoque, es determinante el papel que desempeña el medio, entendido como el conjunto de las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar los obstáculos que surgen en el proceso de aprendizaje. Es decir, se trata de propiciar en el salón de clases un ambiente en el que los alumnos estudien Matemáticas con base en actividades y problemas interesantes debidamente articulados, para que aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más e�caces. En esta propuesta didáctica, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que signi�ca enseñar y aprender.

Plani�cación del trabajo diario10 Una de las tareas fundamentales de los docentes que ayuda a garantizar la e�ciencia del proceso de estudio, enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas es la plani�cación de actividades de estudio, pues ésta permite formular expectativas en torno a la e�cacia de las actividades que se plantean, sobre el pensamiento matemático de los alumnos y sobre la gestión de la clase por parte del profesor. Estos tres elementos: actividad de estudio, pensamiento matemático de los alumnos y gestión constituyen los tres pilares mediante los cuales se puede generar un verdadero ambiente de aprendizaje en el aula, lo que signi�ca que tanto los alumnos como el profesor encuentren sentido a las actividades que realizan conjuntamente. La plani�cación del trabajo diario que aquí se sugiere no implica dejar al docente la responsabilidad de elaborar los planes de clase diarios, pero sí la de analizarlos, estudiarlos, hacer las modi�caciones que se crean pertinentes y evaluarlos, con la intención de que se puedan mejorar. En resumen, se trata de sustituir la plani�cación de carácter administrativo por una plani�cación que sea útil durante el encuentro con los alumnos. Las características de un plan de clase funcional, de acuerdo con el enfoque de esta propuesta curricular, son las siguientes: 





Que sea útil, esto es, que indique con la mayor claridad posible el reto que se va a plantear a los alumnos, lo que se espera de éstos en términos de recursos por utilizar y algunas previsiones que aporten elementos para la gestión de la clase. Que sea conciso, es decir, que contenga únicamente los elementos clave que requiere el profesor para guiar el desarrollo de la clase. Que permita mejorar el desempeño docente: la planificación del trabajo diario es una tarea de largo aliento, cuya elaboración implica mucho tiempo y esfuerzo pero no es para usarse una sola vez. Cada actividad que se plantea, en condiciones muy particulares, amerita un comentario escrito por parte del maestro, con miras a mejorar la actividad o la gestión de la misma, antes de ser aplicada en otro ciclo escolar. De esta manera los profesores podrán contar en el mediano y largo plazos con actividades para el trabajo diario suficientemente probadas y evaluadas.

Una secuencia de trabajo para los docentes a t n e v u s a d i b i

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El libro del alumno está organizado por secuencias didácticas en las cuales se trabajan los temas que contiene el programa o�cial. En cada secuencia se pueden distinguir claramente cuatro momentos:    

Inicio Planeación Desarrollo Cierre

No obstante, el trabajo del docente debe iniciar mucho antes que el del alumno. Para ello, sugerimos estas pautas, que pueden modi�carse según las circunstancias del quehacer escolar.

10

SEP. Programas de estudio 2009. Sexto grado. Educación básica. Primaria , México, 2009, pp. 80-81

Antes de la clase

Al inicio del bimestre, conocer el enfoque didáctico y los contenidos del programa o�cial de la asignatura.

Revisar la dosi�cación del bloque propuesta en este libro de Recursos para el profesor .

Leer las Conexiones con otras asignaturas .

Leer con una semana de anticipación la secuencia que se va a traba jar.. Estudi jar Estudiar ar los apart apartados ados que acompañan las páginas en reducción.

Anotar en el formato de planeación de secuencia las fechas, de acuerdo con el calendario escolar.

Conocer la planeación de cada una de las secuencias del bloque, también incluida en este libro.

Tratar de ceñirse a los tiempos de avance propuestos en la planeación de las secuencias o proyectos.

Cerciorarse de que los alumnos entienden con toda claridad qué trabajo desarrollarán en la secuencia o proyecto. Para ello, se puede leer en voz alta las instrucciones.

Apoyar a los equipos en todo momento aclarándoles sus dudas y proporcionándoles la información necesaria para que avancen.

Al �nal del bimestre, aplicar las evaluaciones sugeridas en el libro del alumno y cali�carlas.

Observar activamente las autoevaluaciones de los alumnos y preguntarles en qué se basan para responder responder..

Moderar las sesiones plenarias y recordar a los alumnos la necesidad de una escucha respetuosa.

Re�exionar sobre la dinámica de la clase. Anotar las observaciones más importantes sobre el proceso y las conductas de los estudiantes.

Repasar la plani�cación de la clase siguiente. De�nir estrategias de trabajo.

Preparar materiales didácticos. Revisar los ejercicios que requieran una solución y buscarla en su libro de Recursos.

Si es la última clase de la secuencia, repasar el producto que deben lograr los jóvenes al �nal.

Repasar los conceptos de�nidos en este libro para explicarlos al grupo en la siguiente clase.

Durante la clase

Después de la clase


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Sin duda, la experiencia del docente, sumada a estas recomendaciones, harán de su trabajo un logro de enseñanza y de aprendizaje.

Explorar las páginas web que se sugieren en este libro.

El libro del alumno El análisis realizado por Editorial Santillana acerca de la enseñanza de las matemáticas nos condujo a desarrollar la propuesta didáctica del libro del alumno, cuya estructura describimos a continuación.

Entrada de bloque

Bloque2

Estas páginas se hallan ilustradas ilustr adas con una gran imagen y un texto breve que describe la relación que ésta guarda con alguno de los contenidos que trabajará el alumno en el bloque. En estas páginas también encontrará los Aprendizajes esperados , que exponen los conocimientos y habilidades que desarrollará al realizar las actividades que se proponen en los temas.

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que:

1. Evalúes, con calculadora o sin ella, expresiones numéricascon paréntesisy expresionesalgebraicas, dadoslosvaloresde lasliterales. 2.Resuelvaspr oblemasqueimpliquenoperaro expresar resultadosmediante expresionesalgebraicas. 3. Anticipesdiferentesvistasde uncuerpogeométrico. 4. Resuelvasproblemasenlosqueseanecesariocalcularcualquierade lostérminosde lasfórmulaspara obtenerelvolumen deprismas ypirámidesrectos. Establezcasrelacionesdevariaciónentredichostérminos. 5. Resuelvasproblemas que implican comparar oigualar doso másrazones. 6. Resuelvasproblemas que implican calcular e interpretar lasmedidasde tendencia central.

1. Evalúes, con calculadora o sin ella, expresiones numéricascon paréntesisy expresionesalgebraicas, dadoslosvaloresde lasliterales. 2.Resuelvasproblemas queimpliquenoperaro expresar resultadosmediante expresionesalgebraicas. 3. nticipesdiferentesvistasde A uncuerpogeométrico. 4. Resuelvasproblemasenlosqueseanecesariocalcularcualquieradelos términosdelas fórmulaspara obtenerelvolumen deprismasy pirámidesrectos. Establezcasrelacionesdevariaciónentredichostérminos. 5.Resuelvas problemasque implican comparar oigualar doso másrazones. 6. Resuelvasproblemas que implican calcular e interpretar lasmedidasde tendencia central.

Bloque 2


1. Evalúes, con calculadora o sin ella, expresiones numéricascon paréntesisy e sisy expresionesalgebraicas,dadoslosvaloresde lasliterales. 2. Resuelvasproblemasqueimpliq e masqueimpliquenoperaroexpresar resultadosmediante expresionesalgebraic as. 3. Anticipesdiferentesvistasde uncuerpo geométrico. 4. Resuelvasproblemasen losquesea necesariocalcularcualquieradelos e radelos términosdelas n osdelas fórmulaspara obtenerel volumende prismasy pirámidesrectos. Establezcasrelacionesde variaciónentre dichostérminos. PrismasBasálticosdeHidalgo,México. 5. Resuelvasproblemasque implican comparar oi-seformaron Hacemillonesde años,productodeunaerupción, estascolumnasdebasaltodemásde40m dealtura,cuyasformas gualar doso másrazones. geométricassedebenaquelalavase enfriórápidamentealentraren contactoconelaguadela super�cie. 6. Resuelvasprob lemas que implican calcular e in103 terpretar lasmedidas de tendencia central.

PrismasBasálticosdeHidalgo, México. Hacemillonesdeaños,productodeunaerupción,seformaron estascolumnasdebasaltodemásde40m dealtura,cuyasformas geométricassedebenaquelalavase enfriórápidamentealentraren contactoconelaguadela super�cie. 102

103

102

Prismas Basálticos de Hidalgo, México. Hace millones de años, producto de una erupción, se formaron estas columnas de basalto de más de 40 m de altura, cuyas formas geométricas se deben a que la lava se enfrió rápidamente al entrar en contacto con el agua de la super�cie. 102

Los temas y subtemas se desarrollan en cuatro etapas:

Inicio

Inicio 5 e u q o l

Al inicio se encuentra una situ situación, ya sea un problema, un juego o una actividad, que el alumno analizará a �n de proponer diversas diversas estrategias de solución. Preguntas para andar. Este apartado complementa la situación inicial con preguntas que harán re�exionar al alumno sobre lo que ya sabe y sobre las estrategias estrategi as que q ue diseñó; al mismo tiempo, tiempo, los cuestionamientos planteados lo introducirán en los contenidos que estudiará en la secuencia.

Bloque2

Como resultado del estudio deeste bloque temático se espera que:

B

103

Desarrollo

Planeación

Traslación de �guras

Bloque2

Mosaicos y transformaciones geométricas

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1. Evalúes, con calculadorao sin ella, expresiones numéricascon paréntesisy expresionesalgebraicas, dadoslosvaloresde lasliterales. 2.Resuelvasproblemas queimpliquenoperaro expresar resultadosmediante expresionesalgebraicas. 3. nticipesdiferentesvistasde A uncuerpogeométrico. 4. Resuelvasproblemasenlosqueseanecesariocalcularcualquieradelos términosdelas fórmulaspara obtenerelvolumen deprismasy pirámidesrectos. Establezcasrelacionesdevariaciónentredichostérminos. 5. Resuelvasproblemasque implican comparar oigualar doso másrazones. 6. Resuelvasproblemas que implican calcular e interpretar lasmedidasde tendencia central.

Conocimientosyhabilidades

Bloque2

¿Recuerdasque en tu curso de primer año estudiaste la simetría? Ahora aprendere mosacerca de otrastransformacionesgeométricasen elplano.

Como resultado del estudiode este bloque temático se espera que:

Como resultado del estudio de este bloque t emático se espera que: 1. Evalúes, con calculadora o sin ella, expresiones numéricascon paréntesisy expresionesalgebraicas, dadoslosvaloresde lasliterales. 2.Resuelvasproblemas queimpliquenoperaro expresar resultadosmediante expresionesalgebraicas. 3. nticipesdiferentesvistasde A uncuerpogeométrico. 4. Resuelvasproblemasenlosqueseanecesariocalcularcualquieradelos términosdelas fórmulaspara obtenerelvolumen deprismasy pirámidesrectos. Establezcasrelacionesdevariaciónentredichostérminos. 5. Resuelvasproblemas que implican comparar oigualar doso másrazones. 6. Resuelvasproblemas que implican calcular e interpretar lasmedidasde tendencia central.

ara empezar, encontraremoslos movimientosque se hicieron para obtener losmosaicosmostradosen la actividadde inicio. Analza el mosa co de la derecha yresponde.

5.2. Determinar laspropiedadesde la rotación yde la traslación de �guras. Construir yreconocer diseños que combinan la simetría axialycentral, la rotación yla traslación de �guras.

w

w

Los mosaicos

¿Cuálesl a figura mínima empleada en esta imagen? Imagina que copiasesa figura (la de color blanco, por ejemplo), la recortasy la superponesen la figura original. ¿Qué movimiento debeshacer con ésta para obtener todaslasfigurasde la misma fila?

Losrecubrimientosde super�ciesplanascon �gurasque no se superponen ha sido usadospor variasculturas como la musulmana para elaborar adornos. En activida desanteriorespudisteconstruirmosaicos;ahoraobservalas siguientesimágenes.

w

partirde esaprimeraposición,¿quémovimientodeberíashacerparaobtenerlas igurasde la segunda fila blanca de la imagen?

Reúnete con un compañero e intercambien susrespuestas, luego, analicen y respondan lassiguientespreguntas.

PrismasBasálticosdeHidalgo,México. Hacemillonesdeaños,productodeunaerupción,seformaron estascolumnasdebasaltodemásde40m dealtura,cuyasformas geométricassedebenaquelalavase enfriórápidamentealentraren contactoconelaguadela super�cie. 102

103

ü ü

w

¿Quétipode movimientosusaron(rectilíneos,circulares,etc.)?

w

¿Cambió elsentido del movimiento para cada caso?

w

¿Quéorientacióntomóla figuradespuésdehacercadamovimiento?

w

¿Qué nombre le darían a ese movimiento?

PrismasBasálticosdeHidalgo,México. Hacemillonesdeaños,productodeunaerupción,seformaron estascolumnasdebasaltodemásde40m dealtura,cuyasformas geométricassedebenaquelalavase enfriórápidamentealentraren contactoconelaguadela super�cie.

102

¿Cuántasfigurasfueronempleadasencadamosaico ¿Observasfigurassimétricas?¿en qué casos

103

w

bserven la orma, eltamaño yla orientación de la igura empleada ysu relación con lasdemásobtenidascon el movimiento, ¿qué propiedadesse mantienen?

Anota tusrespuestasen el cuaderno ycoméntalascon loscompañerosyp rofesor.

Preguntasparaandar Comparen susrespuestascon suscompañeros. w

w

w

¿Cómo podríasreproducir los mosaicosanterioresmediante eluso de la geometría ¿Qué entiendespor trasladar o rotar una figura? ¿En qué figurasobservas estastransformaciones ¿Quéaplicacionestienen lastransformacionesgeométricas

Nuestrotrabajo

w

w

w

Enesteproyectoelaborarán un diseño, y struido d o porustedesmism retomadodeotros,enel queseevidencieeluso delastransformacionesgeométricas: simetría (axialy central), traslación yrotación. w

uandosehaceunmovimientoenlínearecta quedejalas�gurasconl amismaorientación en la que estaban antesde mover se se dice que se hizo una traslación.

Sigue lasinstruccionesde tu profesor para formar tu equipo. eberánentregarasu profesorunadescripcióndetalladadelas transformacionesgeométricasque se hacen en eldiseño elegido.

w

egresa a la página anterior, analiza lastres imágenesy encuentra lasfigurasque sean resultado de traslacionesde una figura en el plano. Determina en cada caso cuánto se desplazó la primera figura para obtener la segunda (toma como modelo, la primera figura del extremo superior izquierdo de cada mosaico). Selecciona variospuntosde la figura originaly únelos con suscorrespondientes de la segunda con segmentosde recta, como se muestra en el ejemplo de la deerecha. ¿ u éobservas ¿ ué relación hayentre laslíneasque trazaste

omennten sus re respuesta spuesta as con osco mp mpa a e r os y e proesor.

313

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Nuestro trabajo

Planeación


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En este proyecto elaborarán un diseño , ya sea construido por ustedes mismos o retomado de otros, en el que se evidencie el uso de las transformaciones geométricas: simetría (axial y central), traslación y rotación.

ra a o. o. En este apartado enconNuestro uestro trabajo. trará recomendaciones específicas para hacer un determinado producto a lo largo del desarrollo de los temas. También hallará sugerencias de las formas en que puede organizarse —individualmente, en parejas, en equipo o en grupo— e indicaciones del material que necesitará para llevar a cabo el producto. En algunos casos se recomiendan fuentes de información. Los productos que realice a lo largo del ciclo escolar deberá conservarlos para integrar su Archivo de evidencias .

w w

Inicio

Sigue las instrucciones de tu profesor para formar tu equipo. Deberán entregar a su profesor una descripción detallada de las transformaciones geométricas que se hacen en el diseño elegido.

Desarrollo

Planeación

Uno, el otro o ambos a la vez 5 e u q o l B

35

Eventos mutuamente excluyentes y probabilidad Conocimientosyhabilidades

Antesderesolverelproblemadelos dados,revisemosquésigni�caque dosomás eventosseanmutuamenteexcluyentes,paraello,hazlas entes,paraello,hazlas siguientesactividades.

Enunaescuelahayun torneointercolegialdealgunosdeportes.Lascondiciones para participar establecen: “Pueden inscribirse en voleibol o en basquetbol”. w

5.4. Distinguir en diversassituaciones de azar eventosque son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que sepuede calcular la probabilidad deocurrencia.

El juego de dados Aldo yLuis juegan con dosdadosuno azuly uno verde. Han establecido tablecido que pueden ganar con cualquiera de tres condiciones, que podemosrepresentar como los siguienteseventos: A   la suma de ambosdadosesigual a 6  B  eldado azulcae en el6  C  eldado verde cae en el6  Para hacerlo másdifícil, decidieron que elganador sería quien obtuviera una combinacióndedoseventos. ü

ü

ü

Desarrollo

¿Cuáles la probabilidad de que la suma de ambosdadossea igual a 6 yque el dado verde caiga en 6? ¿Cuáles la probabilidad de que la suma de ambosdadossea igual a 6 o que el dado azulcaiga en 6? ¿Cuálesla probabilidad de que en eldado azulcaiga en el6 y que eldado verde caiga en el6?

¿En cuálde los deportespodría inscribirse un alumno que quiera competir en eltorneo?Como no se aclara sise pueden o no inscribir alos dosa la vez, pudiste responder que al voleibol, basquetbolo ambosa la vez.

Pero silas condicionespara participar indican: “Pueden inscribirse en voleibolo en basquetbol, pero no en los dosa la vez.” w

¿En qué deportesse podrá inscribir un alumno para competir en el torneo?

Como en este caso, síse aclara que no se pueden inscribir cribir en losdos deportesa la vez, así, si alguien se inscribe en voleibol, automáticamente quedará fuera dela inscripción en basquetbolyviceversa, queda excluido de participar en eltorneo de basquetbol o voleibolsegún el caso, esto signi�ca que son sucesos mutuamente excluyentes. Ahora, retomemosel problema acerca de losdados, léelo nuevamente. w

Completa la siguiente tabla para obtener el espacio muestral E , que se tiene al lanzar dosdados(azuly verde), para ver cuántospuntossalen en cada dado.

Recuerda que el espaciomuestral son todoslos posiblesresultadoso eventossimplesque se pueden obtener el hacer un experimento aleatorio o de azar. Tabla 1

Re�exiona laspreguntasanterioresy comenta con tuscompañerossi creen que es factible la variable que proponen.

Dado azul 1

Preguntasparaandar w

w w w

2

3

4

5

6

Dado verde 1

Allanzar los dosdados, ¿puede ocurrir que la suma de ambosdadossea iguala 6 yque a su vezeldado azulcaiga en 6?¿Por qué? ¿Qué significa que ocurra un evento yelotro a la vez? ¿Qué significa calcular la probabilidad de que ocurra un evento u otro? ¿Quésignificaque doseventosseanmutuamenteexcluyentes?

1,1

1,5 2,4

2

3,3

3

4, 2

4 5

5,1

4, 6 5,4

6

Durant Durante Dura ntee es esta ta et eta etapa, a a re real realizará aliz izar aráá actividades individuales y colectivas, que le ayudarán a adquirir nuevos conocimientos y a desarrollar otras habilidades y actitudes.

Nuestrotrabajo En esta ocasión, por parejas, de�nirán doseventosaleatoriosmutuamente excluyentes P yQ, ydoseventosque no son excluyentes R y S . w w

w

330

Luego,calcularánlaprobabilidaddequeocurraeleventocompuestoPoQy uestoPoQy RoS. Pueden utilizar dados, monedas, una moneda y un dado, fichasde colores, papelesnumeradosu otrosobjetos. Alfinalizar las actividades, cada equipo presentará loseventosque definió, explicará por qué son o no mutuamente excluyentesyqué significa, en cada caso, la probabilidad de que ocurra P o Q yR o S.

w

¿Cuántosposibleseventoshayal lanzar losdosdados?

w

¿Cuálesla probabilidaddequeel resultadodela sumadelosdadossea6?

Este resultado corresponde al evento A delproblema de la actividad inicial. w

w

Marca con un círculo de color azullosresultadosdelevento B, esdecir, en losque eldado azulcae en el6. Marca con un círculo de color verde losresultadosdelevento C, en los que eldado verde cae en el6. 331

Desarrollo Desarrollo

En diferentes momentos del desarrollo de los temas encontrará el apartado ¿Cómo vamos?, que le permitirá hacer un alto en el camino y evaluar sus avances acerca de lo que ha aprendido del desarrollo del producto.

El mecanismode mecanismo deuna una brújula brújulaconsiste consisteen en una una aguja que girasobre el eje. eje. El El campo magn magnético ético de de lala Tierra ierra ejerce ejerce unain�uenciaylogra unain�uencia y lograorientarla orientarlaen en dirección norte-sur, norte-sur, muy muy aproximada aala aproximada la orientación orientación geográ�ca. geográ�ca.Por Poreso esose se habla habla dede ortegeográ�co yun orte magnétco magnético . un Nortegeográ�co yun Norte La diferencia dierencia en en gradosentre elNorte geográ�co geográ�coyyel elNorte Norte verdaderose verdadero se llama llama declnac cambia según según declinación ón magnética magnétca yy cambia ellugar de de lalaTierra ierrayel yel paso de delosaños. losaños. En nues nuestro tro países tro paíse s aproximadamente aproximada mentedede7º.º. Elsímbolo que quese se utiliza para paraindicar lospuntosca lospuntos cardinales rdinales esla Rosa osade devientos, vientos, los los1 16 puntosprincipales puntosprincipalesde de ella ella son ella losquese losque se muestran. muestran. 

Anotalosgradosquecorresponde notalosgradosquecorrespondena naloslospuntos puntosNNO,, NNE,NEE,SEE,SSE,SSO, N E, N E E, S E E, S S E, S S O, SOOyy NOO..

Con regla yy compás Lassiguientesil s ustracionesmuestran ustraconesmuestr an la a manera de de copa de copiar copa run unángulo un ánguo ánguousando usandorega usan dorega regla ycompás.

Reúnete conn un un compañero compañ ero ero y,y,de de acuerdo acuerdocon acuerd con lolo que que se que se muestra, mue uestra,,describan uestra describanelel procedimientopara to pararepro pararep reproducir roducir ducirun un ángulo áng ulo ulocon conregla reglaay ycompás regl compás.s.



Ángulooriginal origin inal

De igual forma, a lo largo del desarrollo, el alumno encontrará diversos apartados que le ayudarán a establecer la relación de las Matemáticas con otras asignaturas.

Paso asso so 1

A

B’ O’

B

O

Paso 2

Paso 3

Paso 4 A’

B’ ’ ’ B

O’

B’

O’ O

B’

El mecanismo de una brújula consiste en una aguja que gira sobre el eje. El campo magnético de la Tierra ejerce una in�uencia y logra orientarla en dirección norte-sur, muy aproximada a la orientación geográ�ca. Por eso se habla de un Norte geográ�co y un Norte magnético . O’

Datos a la mano. Este apartado le ofrece datos interesantes, por lo general numéricos, vinculados con los contenidos tratados. La información que contiene le ayudará a relacionar lo que aprendió con otros contenidos de Matemáticas que ha trabajado antes y con los de otras asignaturas.

La diferencia en grados entre el Norte49geográ�co y el Norte verdadero se llama declinación magnética y cambia según el lugar de la Tierra y el paso de los años. En nuestro país es aproximadamente de 7º. El símbolo que se utiliza para indicar los puntos cardinales es la Rosa de vientos, los 16 puntos principales de ella son los que se muestran. 

Anota los grados que corresponden a los puntos NNO, NNE, NEE, SEE, SSE, SSO, SOO y NOO.


La propiedad distributiva Re�exionensobrelapropiedaddistributivaenlosproductosdeexpresionesalgebraicas.

Enelproductodeexpresionesalgebraicascomo(3 x  2)(2x  4) se usala propiedad multiplicación:a ×( b  c )  a × b  a × × c . distributiva de la

Por ejemplo(3x  2)(2x  4)  (3x 2)(2x)  (3x –2)(4) y alusar nuevamente esa propiedadresulta(3 x 2)(2x  4)  6x 2  4x  12x  8, que alsumar lostérminos semejantesresulta (3 x  2)(2x  4)  6x 2  8x  8. A partir del ejemploanterior deduce yresponde.

Antes del siglo XVII, la cantidad comparada del área de un terreno o del precio de algo se describía con una explicación verbal. A partir de ese siglo, con el trabajo de François Viète y Descartes, se usa el lenguaje simbólico para describir lo mismo. Hoy en día incluso se usan las mismas expresiones algebraicas o numéricas. Un problema puede describirse en distinto idioma, pero si está escrito con expresiones algebraicas éstas tendrán que ser las mismas, independientemente del idioma.

w

¿Cómoseobtiene elprimer término6 x 2 a partir de lostérminosde losfactores?

w

¿Cómoseobtieneeltérminoindependiente

w

8 a partir de



2 yde 4?



Encuentra una regla quete permitacompletar expresionesalgebraicascomo las siguientesyúsalaparaobtenerlos resultados,consideraque a y y b son constantes: (x  a )2, (x  a )2, (x  a )( )(x  a ), ), (x  a )( )(x  b ). ).

Historias de vida. Estos recuadros que aparecen en el libro contienen relatos sobre personas y acontecimiento acontecimientoss o referencias históricas asociados con el contenido de las actividades.

¿Cómovamos? Cómova Reúnetecon Re eúnete con tu pareja eúnete parejayyavanc avancen en laelaboración del rompecabezas. w

w

w

w

Recorten ecorten las figuras iguras que necesi necesiten para armar un rompecabezas que muestrecada cada una unadedelas las expresiones expresione s siguientes, i puedenusarrectángulosy cuadrados. (6x  2)(2x  1),(3 1), (3 x  2 2)(2x  1) Encuentren la expresión equivale equivalente alente nte aacadauno cadaunode de losproductosdeexpresionesalgebraicasparacompletarcadaidentidad cadaidentidadalgeb algebraica. En la laotra otra cartulina dibu dibujen jen losrompecabezasque losrompecabezasquearmaron armaro yescriban la identidadcorrespon correspondienteallado dienteallado de decada cadafigura. igura. Inventen nventen otroproducto otro productode de expresiones expresiones,, represénten represéntenlolocomo como rompecab rompecabezasy siganlas instruccionesanteriores.

Antesdel ntesdel sigloXV sigloXVII,, lacantidadcomparada lacantidad comparada delárea deláreade de un terreno odel o del preciode precio de algose describíacon una unaexplicación explicación verbal. verbal. AApartir partir de deese ese siglo,, con siglo con eleltrabajo trabajo de deFrançoisViète rançoisVièteyy Descartes, escartes, se seusa usa el ellengua lenguaje je simbólicoparadescribir simbólico para describirlo lomismo. mismo. Hoyen día incluso se usan lasmismas lasmismas expresionesalgebraicaso numéricas.Unproblemapuede problemapuededescribirseen distintoidioma, perosiestá perosiestáescrito escritocon conexpresionesalgebraicaséstastenexpresionesalgebraicaséstastendránqueser queser lasmismas,independientementedel idioma.

Desarrollo Desarrollo esarro o 

¿Cuáles elartículo queaumentasu preciomásrápido quelosdemás?



¿Cómo lo sabes?



¿ Disminuyeelprecio dealgún artículoconformepasael tiempo?¿Cuál?¿Cómo lo

41

sabes? Gra�ca, sobre un plano cartesianoen elcuaderno, lafunción y5 x. Observaque en este casoelvalor de la pendiente(m) es1. Gra�caahoraotrastres rectasdela forma y5 mx, con m mayor que1 yotrast resrectas en lasquem seamenor que1 pero mayor que cero. 

¿Qué sucede cuando elvalor de m esmayor esmayor que1 ycrece?



¿Qué sucede cuandoelvalor de m e s menor que1 y seacercaa0?

¿Cómovamos?

Si puedes usar una computadora, realiza las grá�cas de tu proyecto en una hoja de cálculo. Luego, compáralas con las que trazaste en papel milimétrico y si encuentras diferencias entre éstas analiza cuál es el posible error.

Escribe otrascuatro ecuacionesdela forma y y = = mx mx + + b quetengan lamisma ordenadaal origen que tu primeraexpresión, perodiferente pendiente. Para cada ecuación llena una tablay elaborala grá�cacorrespondiente sobreel mismo planocartesianoen quetrazastela rectade tu primeraecuación. 



¿En qué se diferencian estafamilia derectas yla queelaborasteen lasecuenciadidácticaanterior? 1 o 1 ? ¿Quésucedesilapendienteespositivaperomenorque1,por ejemplo 2 3

El problema del zoológico Analiza con un compañerolasgrá�cas delos trenesdel parque ydel zoológico de lasecuenciadidácticaanterior. 

¿Cómosonlaspendientesdelasrectasenelparque?¿Yenelzoológico?



¿Cómosonlas ordenadasalorigenen cadalugar?



Siaumentasla distancia de laentrada delparqueal inicio

Sipuedesusar ip ipuedesus aruna una computado compu tadora, ra, realiza re ealiza las ealiza lasgrá�casde grá�casdettuuproyecto proyecto proyecto en unahoja unahoja de decálculo cálculo. o. Lu Luego, ego, compáralascon compáralasc on la lasqu sque ue trazaste ue trazaste trazaste en papel papelmilimétricoy mil imétrico yssiencuenmilimétrico iencuen trasdiferenciasentreéstas trasdiferenciasentr trasdiferen ciasentrreé reé stasanalianaliza cuáleselposib cuálese cuálesel lposib posibleerror. i l e error.

Espacio tecnológico. En este apartado le recomendamos al estudiante actividades complementarias complementa rias a las que realiza en el libro. Dichas actividades se basan en el uso de recursos tecnológicos: tecnológico s: Internet, radio, televisión, video, teléfono celular, calculadora, hoja de cálculo, entre otros.

delrecorrido delostrenes, ¿cómocambiarálagráfica? 

¿Qué sucede en la gráficasiaumentalavelocidad dealguno?

Escribe cinco nuevasecuacionesde laforma y y = = mx mx + + b ,to, todascon pendiente negativaydistintas entresí ycon la misma ordenada al origen.Elabora unatablay lagrá�ca correspondiente para cada ecuación en un mismoplano cartesiano.

227

a t n e v u s a d i

b i h o r P

Recuerda que es importante respetar el trabajo de los demás así como los demás deben de respetar el tuyo. Escucha las sugerencias de tus compañeros de manera ordenada.

Desarrollo

Cierre Desarrollo rrollo

d)¿Qué d ¿ uésignificado signiic tiene cadapendiente? ee) ¿Qué ¿ u éauto au t ova ova aamayor mayorvelocidad?¿Cómo mayor vel lo sabes?

Para entendernos mejor. El desarrollo del pensamiento matemático debe estar cimentado en valores y actitudes para convivir en forma armónica. Este apartado destaca la relación de los contenidos matemáticos con la asignatura Formación Cívica y Ética.

f) ¿Cuáles uáálesla á leslala velocidadde cadaau de de cadaau cada auto? u to uto

Para expresar dudas, ideas y sugerencias se debe levantar primero la mano para que el profesor lleve la discusión en orden y todos puedan hablar.

Comparatusrespuestasconlasde omparatusrespuestasc om paratusrespuestasc o n a s detu detuscompa tuscompañeros. scompa eros eros..

Recuerda ecuerda que que esimportante esimportan esimportanterespetar te respetareltrabajode e ltrabajo de eltrabajo d elosdemásasí los demásasícomo como losdemás osdemáásde ásdeben deben ben derespetar derespeetareltuyo. eltuyo yo. Escucha Escuchalas Es cuchalas lassugerenciasde sugerencias detus sugerencias tus compañero compa añerosd sdeemaneraordenada. maneraoordenada. ordenada... Paraexpresardudas araexpresardudas,,ideasysugerenciassedebelevantarprimerolamano araexpresardudas, ,,ideasysu ,ideasysugerenciassedebelevantarprimerolamano ideasysugeren gerenciassedebe ciassedebeelevantarprimerolamano elevantarprimerolamano paraqueel araqueel profesorlleveladiscusiónenordeny proesorlle proeso rllevv e l a discus discussiónenorde nytodospuedanhablar todospuedanhablar ..

Presentación de nuestro trabajo Elaboren su informe sobre el presupuesto, utilicen lastablas ygrá�cas para cada empresa que investigaron, ypreséntenloal resto del grupo. 



Expliquen cómo obtuvieron cadaunade lasecuacionesque representaelpresupuesto de cada empresa. Informen a qué destinoplanearonelviaje ycuál delas empresaslesconvendría contratar para que viaje todalaescuela.    

¿Encontraron todaslasecuacionescorrespondientes? ¿Qué diferenciasencontraron con lasexposicionesdelosdemás? ¿Cuálfue el problema máscomún en cadauno de losinformes? ¿Qué procedimiento utilizarían con la información detodaslas empresasque investigaron, para encontrar todoslospresupuestosposibles de cadalugar que propusieron?

Entre todo el grupo, utilicen su procedimientoanterior parade�nir a quélugar y por qué empresa les convendría viajar. Conserven su trabajo e intégrenloen su archivode evidencias.

¿Cómonosfu e? Comenta lasrespuestasde lassiguientes preguntascon tuscompañeros ytu profesor.   



¿Cuálfuelautilidaddelasgráficasparadecidirelpresupuestoquelesconvenía? toquelesconvenía? ¿Quéproblemaenfrentaronparaencontrarcadaunade lasecuaciones? Escribe almenosdosejemplosdondese utilizan las funcioneslineales, una con pendiente positivayunacon pendientenegativa. ¿En qué otrade lasasignaturasquellevashas utilizadolasgráficasde funcioneslineales? 213


Tareas. En este apartado le proponemos diferentes actividades para que el estudiante ejercite las habilidades, desarrolle nuevas estrategias y refuerce los procedimientos de resolución de problemas que trabajó en la secuencia.

En n grupo ycon ayuda de su pr ofesor, esor, planteen una de�nición de traslación de �guras en elplano el que les permita identi�carlas. identi La imagen siguiente puede servirles.

A

C D

B F E

Simetríacentral Hazla siguiente actividad y responde en tu cuaderno. central de la En la siguiente imagen, se ha realizado una simetríaa cen la letra F alrededor delpunto O. O

Une con segmentoslos puntosinicialess ysus y s u correspondientesen spondientesen lala figura simétrica.

w

w w

w

w

¿Qué observasrespecto alpunto unto inicialys ysuu simétrico simétrico? ¿Qué pasa conelpunto Oyyto todoslosssegmentos segmentosque que unen unen aacada cada punto inicial ysussimétricos? ¿Cómo esla distancia cia ddelpunto to originalal originalal centro de simetría yde ese centro a su punto simétrico? trico? Reúnete con un un compañero añero yyescriban escriban una una frase rase que defina la simetría central.

1.. Enn laa ��gura, guraa,, elpolígo elpolígono no iniciales iniciales AB ABCDEF CDEF ymediante simetría centralse obtuvieron obt uvie ierron loss polígonosverde polígonos verde A’B ’C ’D ’ E ’F ’ ’ yy aa zzuull A’’’B ’ ’’’C ’’’D ’ ’’E ’’F ’’. En n cada ccaso, asso, sseñala ssuu centro de simetr simetría, i ría, sino sino aparece, aparece,encuéntralo. encuéntralo. Coloca oloca las las letrascorr etrassccorrespon espondientesal ndiientes a l ppolígono o lígono í originalen originalen losdos losdos polígonossimétricos. polígonossimétricos. Después esspués traza un un nuevo po nuevo polí l ígono go n o A’’’’’ B’ ’’’ C’’ ’’’D’’ ’’’E ’ ’’cuyo centro de de simetría simetría E’ ’’F’’’cuyo sea M . D B F

C

A M

1. En En lala �gura, �gura,elel polígono polígon ini cial es ABCDEF y mediante simetría central se obtuvieron los polígonos verde A’B ’C ’D ’E ’F ’ y azul A’’B ’’C ’’D ’’E ’’F ’’. En cada caso, señala su centro de simetría, si no aparece, encuéntralo. Coloca las letras correspondientes al polígono original en los dos polígonos simétricos. Después traza un nuevo polígono A’’’B ’’’C’ ’’D’ ’’E’ ’’F ’’’ cuyo centro de simetría sea M . D

E

2.. Dibuja iibujaun uncuadrado, cuadrado,un un rectángul rectángulo, lo lo,un un círculo ccírrculoyun yuntriángulo. triánguu l o.Enn cada cada c acaso c as o encuentra ssihay iha hayuno, uno, ni ninguno inguno ooomáscentros máscen ás ntros os de simetrí simetría í a para pa ra obtener o uuna na �gura simétri simétrica ica que q ue se se super superpone pone aa lalaoriginal. original.

B

3. Consulta Consultalala de�ni de�nición iciónde de traslación ttraslación geométrica geom métrica en en elp elplano. lanoo. F

C

4.. Investiga nvestigaacerca acerca de de aplicacionesde a plica caciones deesta esstatransformación transsor macciónggeométrica ylléva geométrica yllévalasa asa la la siguiente si guienteclase, classe, coméntalascon comééntalascontutuprofesor pro esory y compañeros. coompaañeros.

A M

P

P

E

315

2. Dibuja un cuadrado, un rectángulo, un círculo y un triángulo. En cada caso encuentra si hay uno, ninguno o más centros de simetría para obtener una �gura simétrica que se superpone a la original. 3. Consulta la de�nición de traslación geométrica en el plano. 4. Investiga acerca de aplicaciones de esta transformación geométrica y llévalas a la siguiente clase, coméntalas con tu profesor y compañeros.

Cierre En esta última etapa el alumno presentará a sus compañeros y profesor el resultado de su producto mediante una exposición en el salón, un periódico mural, un dibujo o una construcción geométrica, etcétera.

Desarrollo De llo

Desarrolloo Aligual que en elcaso so delcubo delcuboyydelpris delprisma cuadrangular, uadrangular, también existen existendiferentes desarrollos planosdeelos losprismas prismashexag hexagonalyypentagonal. pentagonal. A continuación continuación se se muesmuestran dosdiferentes de cada cadauno. uno.

En parejascontinúen con su proyecto.   





Tracen losdesarr ollosplanos de osobjetos l sque que eligieron. eligieron. ¿Qué cuerposgeométricos usaron para su u proyecto proyecto? ¿Qué desarrollosdel prisma cuadrangular r escogeríaspara escogeríaspara tra trazar sobre una hoja grande de cartón siquisieras minimizar la la cantidad cantidadde decartón cartó desperdiciada? Elaboren una representación de la vista superior uperior yla yla vista vista fro frontalde cada una de losobjetos e inclúyanla en la ficha quelaa acompañará. acompañará. Hagan la descripción delnúmero de vértices, rtices, carasy carasy aristasde arista sus prismasy pirámidesy encuentren una fórmula que relacione relacioneelnúmero elnúme de vértices, caras yaristas que tiene un prisma o una pirámide. mide.

Realiza lassi lassiguientes guientes ac actividades. 

¿Puedesdiseña arr otros otrosdesarrol desarrollos l osdiferente ntess?Junto Junto con con otroscompañe otroscompañer roseno sencuentra otrasposibilidades. sibilidades.

1. Observa la foto yres ponde. a) ¿Qué forma tiene la base de cada una de laspirámides? laspirámides?

Las pirámides

b) ¿Qué forma tienen lascaras laterales?

Laspirámides se nombran mbran de orma formasim similar a como como sehace hace con con losprismas. Lasde asde base cuadrada se llaman man ppirámides i r ám i e s cuadrangulares cua ares, lasde base triangular se llaman pirámides triangulares es, etcétera.

En el apartado Presentación de nuestro trabajo encontrará recomendaciones para compartir los resultados de su trabajo. Y para que pueda evaluar lo que aprendió, el resultado de su producto, las di�cultades a que se enfrentó y la forma en que las resolvió, tanto en lo individual como en lo colectivo, el apartado ¿Cómo nos fue? le ofrece una útil guía.







c) ¿Existen diferentesdesarrollos planosposibles? osibles d) Investiga lasdimensionesde estaspirámides. ides. 2. En México también existe una gran diversidad adde de pirámides pirámides que que se construyeron en la época prehispánica.

Usa eldesarr ollo plano lano de la izquierda para construir construir una pirámide. ¿De qué tipo de pirámide pirámide se setrata? trata

a) Investiga lascaracterísticasde algunasde esaspirámides. saspirámides.

Traza eldesarrollo deelalasiguiente siguiente pirámide pirám heptagonal. ptagonal.

Presentación de nuestro trabajo Presenten al grupo su trabajo e intercámbienlo con otro equipo. uipo. 





Tracen losdibujosque muestren diferentesvistas de la construcción nstrucción de de suscomsuscom pañeros. Después,verifiquen quelosdesarrollos planostrazados adospor por elloscorres elloscorres-pondan con losobjetos presentados. Comparen la fórmula que encontraron para determinar elnúmero erode devértices, vértices,cacarasy arista sde cada una de susfiguras.

¿Cuántascaras lateralestiene esta pirámide?

Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

Asícomo sí se pueden trazar lasdiferentes vistasde una construcción strucción hecha con con cucubos, también esposible dibujar lasdiferentesvistas de una pirámide. b irámide.   

¿Cómo sería la vista superior de una pirámide hexagonal? ¿Cómo dibujaríasla vista frontalde una pirámide triangular? Realiz alos trazoscorrespondientesenel cuadernoy compáraloscon aloscon los losde detus tus compañeros.

Comenta con elprofesor y con tuscompañeroslasdi�cultadesque enfren enrentaste tasteal al momento de hacer tusdesarrollos y armarlos. Seguramenteha habrás notado que que es complicado imaginar volúmenes, que constan de tresdimensiones, ones yluego godibujarlos dibujarlos en una hoja de papelque sólo tiene dosdimensiones.

¿Cómo nos fue?   





¿Pudisteconstruirprismasy pirámides?¿Necesitasantesdibujarsu desarrollo? ¿Puedesdibujar el desarrollo de cualquier prisma o pirámide? ¿Te sirvieron estasactividadespara acrecentar tu imaginación espacial?¿Sientesque ahora eres máscapaz de imaginarte lasfiguras tridimensionalesy de determinar suscaracterísticas? de Escribe scr un párrafoen elque describasalgunas aplicacionesdiferentes a las vistasen clase relacionadascon losprismasy laspirámides. vistas Investiguen nvestig la fórmula que encontró elmatemático Euler relacionando el número de devvértices, carasyar istasde losprismas. 125 2

124

a t n e v

Taller de

u s

Matemáticas

Ahora realizalassigui entesactivi dadesde formaindividual. Puedesconsul tar con el profesor o comentar con tuscompañeros.

Estima elespacio que ocuparía $1 000 000000 (milmillones de pesos) en billetesde $200.

a d i

b i h o r P

Cierre Desarrollo

¿Cómo vamos?

Estimación

w

Estimar esasignar un valor aproximado. Por ejemplo, se puede estimar elresultado de una operación matemática y decir que 19 357  31 028 esaproximadamente 50 000 o bien estimar una medición como la altura del monte Everest. También podemosestimar el perímetro de una circunferenciade diámetro 1. ¿Yrecuerdas elvalor aproximado delnúmero π?

Taller de Matemáticas

Primero,investigacuánto mideexactamenteun billetede$200. Luego,aproximacuántomidelaalturadeunapilade100billetesde$200. w

¿Cuánta sde estaspilasnecesitasparasumar milmillo nesdepesos?¿Quévolumen ocuparían?

La habilidad deestimar esde gran importancia, puesen muchasocasiones esimposible obtener un resultado exacto. Además, conocer un resultado aproximado puede ahorrarnostiempo, dinero ymucho esfuerzo. Saber aproximar esmuy valioso pero hayque saber además qué tan bien o mal aproximamosun cálculo o valor, esdecir, qué tan pequeño o grande esel error cometido. Recuerda que elerror es la diferencia entre elvalor estimado yel valor exacto. En este taller realizarásalgunas actividadesque te permitirán practicar tu habilidad para estimar.

Al �nal de cada bloque se incluyó la sección Taller de Matemáticas con actividades que ayudarán al alumno a desarrollar habilidades como calcular, medir, imaginar, comunicar, estimar, deducir, formular hipótesis, generalizar, entre otras.

w

¿Sería factible construir una bóveda quepudiera almacenar esta cantidad de dinero?¿Por qué sí o por qué no?

Formen equiposde treso cuatro compañeros yreal icen la actividad siguiente.

Queremosestimar la cantidad de granosde arroz que hayen esta bolsa de 400 g. w

¿Qué procedimiento seguirían para ello?Analicen diversosmétodos ypor qué algunosserían mejores que otrospara aproximar este valor.

Comentensus conclusionescon otrosequiposy elprofesory respondan lassiguientespreguntas. w

Observa la �gura siguiente, queremos calcular el valor su área. Labase mide ocho centímetrospero, ¿cuánto miden la altura máximay lamínima? w

¿Quéharíasparaobtenerel valordelárea?Comentacontuscompañerosydiscutan posiblessoluciones.

¿Qué tan grande o pequeño creen que sea elerror en cada uno de losmétodos que analizaron?

w

¿Creen que haya la misma cantidad de granosde arrozen todaslas bolsasde 400 g? ¿Por qué sío por qué no? Altura máxima Altura mínima

8 cm 294

295

Francia

l a g u t r o P

España Granada N

La pajarita nazarí

Maurits Cornelis Escher

Se leconoce desde el siglo IX; enel sigloXIse incorporóal recinto amurallado de la ciudad. Enel siglo XIII, el monarca nazarí Mohamed ben Al-Hamar la convirtió en laresidencia real. En la actualidad esel monumento más visitado deEspaña, por un promediode ode tresmillonesde turistasal a aaño. a .

Lasvisitasde Escher a la Alhambra fueron degran inspiracion parasu trabajo. En 1936 pasómuchosdías copiando ydibujando los teselados quedecoranlasparedesytechos. En susdiseñosutilizóretículasgeométricascomo basey despuésagregófigurasde animales, personasy algunosobjetos. os.

Uno de los teseladosmás famososesel de lapajarita. Su diseño está basado en triángulosequiláterosy circunferencias.

Infografía

Hay pájaros en la Decoración Losarqui tectosdecor aron cada espaciode la Alhambra, por muy pequeñoquefuera.

Al �nal de cada bloque blo ue encontrará encontra enco ntrará rá una doble doble página á ina con fotografías e imágenes atractivas en las que se aborda un tema de interés general, ya sea de música, de arquitectura, de deportes o de ciencias, en cuya explicación hallará contenidos matemáticos que trabajó en el bloque. La infografía i nfografía le puede dar ideas de cómo organizar información para una presentación o un cartel.

En la ciudad de Granada, España, se encuentra la Alhambra, una fortaleza que alojó a sultanes nazaríes durante la invasión musulmana a este país. Su nombre significa “castillo rojo” por lo que también se le conoce como La Roja. Este monumento, reconocido por su belleza, representa el esplendor de la cultura árabe en España.

Los teselados teselados Muchosdelosteseladosdela os e o s e s e a o s e aAlhambrasebasan a m r a s e a sa nen e transformacio n r a n s or m ac ionesde ne s epolígonosregulares. p o í g on os r e gu a r es .Al modificar el polígono paracr ear lanueva figura, se garantiza que unida con otrasiguales se recubrirá completamente unasuperfi ciesi n dejarespacios. Según suforma, lasfiguras que componenlos teseladosde laAlhambrarecibenun nombreenparticular:

Arabescos

El pétalo

El avión

Losarabescosson entrelazadosgeométricosque i cosque cumplen condistintas propiedades de simetría. Tienen líneasque imitan formas naturales, e s, como floresyhojas, ylos más importantes se basan en la división del círculo en cuatro, cinco, seis, ocho ydoce partes. Siguiendo lalínea que forma la figura, quees una sola, se entra en unciclo infinito.

El hueso

236

237

Ponte a prueba

C)

Ponte a prueba

D) y

y 80000

l a t o t o t s o C

Leelassiguientessituacionesy responde.

Los dueñosde una fábrica compraron dosmáquinas para producir botellasde vidrio. La máquina A costó $20 000 y permite producir botellasa un costo de $0.30 la pieza; la máquina B, quees másmoderna, costó $30 000ypermite fabricar botellas delmismo tamaño a $0.20 la pieza.

60000

A

40000 B

20000 0

50000

100000

150000

x

l a t o t o t s o C

60000

A

40000 B

20000 0

50000

Botellasproducidas

100 000

150000

x

Botellasproducidas

En esta sección encontrará una evaluación escrita en la que se plantean situaciones para que pueda poner en práctica sus s us conocimientos, habilidades y actitudes.

5. ¿Cuál máquinaconviene máspara producir una cantidad muygrande de botellas? Explica por qué. 1. ¿Cuál esel costo de producir 30 000 botellasen la máquina A?¿Y en la máquina B?Explica cómo obtuviste tusresultados.

MáquinaA:

Máquina B: Arturo está comparandoprecios para hacer un viajede 5 díaspor 5 ciudades( A, B , C , D y E ) en un auto rentado. En la agencia deviajes lehan ofrecido dosopciones:

2. ¿Cuántasbot ellas debe producir cada máquinapara que el costode producción de ambasmáquinas sea el mismo?





3. Explica por qué la pregunta anterior se puede responder resolviendola ecuación: 20 000

Llegar alaeropuerto de A yrentar el auto para hacer elviaje. Ahíla renta cuesta $4 000por 5 días, más$20 por kilómetro recorrido. Llegar alaeropuerto de B yrentar el auto para hacer elviaje. Ahíla renta cuesta $5 000 por 5 díasmás $18 por kilómetrorecorrido.

0.3x x  30 000  0.2 0.2x x  0.3

4. Identi�ca la grá�ca querepresenta loscostos de cadamáquina.

A)

B) y y

40000 80000 l a t o t o t s o C

30000

60000

A

40000 B

20000 0

50 000

100 000

150 000

x

Botellasproducidas

l a t o t o t s o C

A

20000 B

10000 0

50000

100 000

150000

x

6. Observalas distanciasquehay entre lasciudades. ¿Qué opción le conviene mása Arturo?¿Por qué?

–10000 –20000 Botellas producidas

238

239

a t n e v

Tu archivo de evidencias

u s

¿Qué es una evidencia?

A lo largo dellibro te solicitamosque guardesdiversos productosen tu archivo de evidencias. A continuación inuación te describiremoslos propósitosde este instrumento ycómo contribuirá a mejorar tu formación académica.

Una evidencia esun conjunto deobjetoso elementostangibles con losque podemos demostrar que se ha adquirido, de manera satisfactoria, un aprendizaje ouna competencia. Existen dostiposde evidencias:

a d i

Evidencia de conocimiento: implica tener elconocimientode loque se tiene quehacer, cómo se debe hacer ypor qué. Evalúaelconocimiento teórico ylas habilidades relacionadascon éste. Evidencia de desempeño: esel comportamiento en ciertascircunstancias, de modo que se puedaidenti�car sise resuelven situacionespara las quese requiera elconocimiento adquirido.

b i h o r P

Alestar trabajando competencias, éstaspueden desarrollarsea un mayor gradoque elnivel requerido porlasevidencias.

¿Para qué hacer un archivo de evidencias a lo largo del curso? Laintenciónde ó nde guardarevidenciasduranteel cursoesque tepermitanobservartu progresoendiversosaspectosdetuformaciónacadémica:elpoderexpresa c a:elpoderexpresarmatemáticamentealgunassituacionesquesepresentanenel a nenel díaadía,conocertécnicaspara reconocer,planteary resolverproblemas,y podertener unaactitudcrítica alestudiar la asignatura,colaborandotambién contus compañerosy compañerasde clase. Por otro lado, esta colección te será de utilidad para evaluar tu desar rollo de lasdistintascompetencias, ya que documentan tu experiencia durante elpro ceso de aprendizaje yelprogreso alcanzado en diferentesaspectos, erentesaspectos, comoel uso delaargumentación para sustentar ideas. Asimismo, larevisión guiada delosdocumentos ytrabajos que integran tuarchivode evidenciases un valioso instrumento que te orientará en eldesarrollo de estrategias, y te permitirá ver cómo se construyeron losconocimientos y se desplegaron habilidades; asícomo eldesarrollo de tu autonomía, aspectosindispensablespara seguir aprendiendo.

346

En elcaso del archivo individual, deberásguardar en un fólder una hoja, por cada producto, quecontenga una tabla como la siguiente: ArchivodeevidenciasdeMatemáticas2

Nombre :

Fecha:

Integrantes de l equipo:

Secuencia:

Bimestr e:

No del todo

Sí

Contenidosdel programa relacionados Eje temático Evidenciasesperadas Evidenciasobtenidas Relación con evidenciasanteriores Relación con otrosejes temáticos ¿Se ol gr ó el ap apr endizaje es perado?

No

¿Qué alta af lta paraque se logreese aprendizaje? LasseccionesRelación con otrosejes temáticos y ¿Se logró elaprendizaje esperado? , tienen respuestasque variarán conforme avance el año escolar. Alanalizar los productosposteriores, puedesencontrar r ar nuevasrelacionescon losdistintosejesy o sejesy aclarar lasdudas que ocasionaban que tu comprensión de loscontenidos no fuera la esperada. Al�nalde cadabimestre, r e,deberásrealizar unanálisisdetodaslas evidenciasdetu archivo. ¿Cómose relacionan entreellas? ¿Qué relación tienen con lasde los otros bloques?¿Qué conocimientosquedaron confusoso faltan yqué puedeshacer alrespecto?¿Cómo serelacionan asmatemáticas l con tusactividades diarias? Recuerda quecuanto más ordenado yclaro sea tu archivo de evidencias, másfácil será consultarlo.

¿Cómo elaboro mi archivo de evidencias?

¿Cuándo reviso mi archivo de evidencias?

Al haber muchosproductos que realizasen equipo o por parejas, serecomienda tener un archivo deevidenciasdel salón yuno individual.

Larevisión de lospr oductosdeberá ser una tarea periódica: al�nalde cada bimestre, amediadosdelcursoy al�naldelaño escolar,asídetectarástusavancesy de�cienciasen el desarrollo de tushabilidadesy construcción de conocimientos. Esto será un puntode partida paraque re�exiones en torno a tusaprendizajes, tu rendimiento académico, la orma of rma como realizasprocesos, la formación yperfeccionamiento de tushabilidades yactitudes, ypara queestablezcas estrategiaspara continuar con el desarrollode competencias.

Elar chivo delsalón incluirá todoslos productos realizados. Juntocon elprofesor o profesora, organicen losdistintos trabajosteniendo en consideración qué son (maquetas, láminas, documentos,etc.) yel espacio que tienen disponibleen su salón.

Tu archivo de evidencias

Pueden organizarlospor eje temático en cajaso en algún librero, dependiendodel espacio quenecesiten paraellosy delque hayaen elsalón, pero siempreprocurando que sea fácilubicar dónde están en caso de que necesiten utilizarlosdurante el cicloescolar. También serecomienda que etiqueten cada producto especi�candola secuenciaa laque correspondey losnombresde todoslosintegrantesdel equipo queparticiparon.

347

Al �nal de la obra encontrará recomendacioness para que el recomendacione alumno conforme su archivo de evidencias con los productos que elaboró durante el desarrollo de las secuencias. Este archivo le permitirá observar los avances a lo largo del ciclo escolar y evaluar su desempeño.

Recursos digitales

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El aprovechamiento de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la enseñanza es necesario porque uno de los objetivos básicos de la educación es preparar a los alumnos para ser ciudadanos de una sociedad plural, democrática y tecnológicamente avanzada, y porque estas tecnologías ofrecen posibilidades didácticas de gran alcance. Las TIC comprenden no sólo las herramientas relacionadas con la computación, sino otros medios como el cine, la televisión, la radio y el video.

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Editorial Santillana, consciente de esta necesidad, ofrece junto con este libro un CD con una serie de recursos digitales que enriquecen el trabajo del docente y del alumno en el aula; además, permiten que el estudiante se desenvuelva en una sociedad que se transforma de manera vertiginosa por impulso de las TIC.

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Recursos digitales didácticos

Los recursos digitales que apoyan el trabajo didáctico, incluidos en el disco compacto, son de tres clases: 

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Planes de lección por bimestre, que constan de: − Sugerencias metodológicas . Textos que sirven

como guía de uso y de aplicación de los recursos digitales. Incluyen los objetivos conceptuales y pedagógicos, describen las actividades y proponen una forma de trabajo en el aula. − Un recurso principal . Se trata de un objeto digital de aprendizaje en formato de animación, interactivo o video, que desarrolla el tema principal del plan de lección. − Actividades . Son ejercicios interactivos que refuerzan los conceptos desarrollados en el recurso principal. Evaluaciones bimestrales imprimibles. Los exámenes contienen reactivos para evaluar los contenidos vistos en el bloque. Además, se complementan con unas páginas para el maestro, que presentan las respuestas y una tabla de los contenidos evaluados. Infografías interactivas. Son las versiones animadas de las infografías del libro del alumno, que incorporan elementos dinámicos como movimiento, sonido e interactividad. De esta manera se promueve la lectura de textos no lineales en un entorno de información gráfica.

En la planeación didáctica y en las recomendaciones procedimentales de este libro, se presenta el icono cuando se sugiere el empleo de alguno de estos recursos digitales. Recursos digitales administrativos a t n e v u s a d i b i

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Para apoyar al docente en su labor, se incluyen también varios documentos administrativos editables. Son formatos que pueden trabajarse de manera impresa o digital:          

Control de asistencia Registro de alumnos Diagnóstico académico Planeación de sesión Planeación de clase Ficha personal del alumno Seguimiento a estudiantes con bajo rendimiento académico Planeación de actividades Autorización de salidas escolares Reconocimientos

Haga de su CD de Recursos digitales un un elemento tan importante como el Libro de recursos para el profesor para para un desempeño de excelencia en el aula.

Desarrollo didáctico


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Bloque 1


h o r P

Conexiones con otras asignaturas Asignatura

Conexión

Secuencia

Leen sobre el hábito de alimentarse sanamente para prevenir la obesidad.

Secuencia 10, página 91

Leen y comparan los ángulos de visión de algunos seres vivos.

Infografía, Échale un ojo , páginas 98-99

Diseñan cinco rompecabezas de �guras geométricas para ilustrar cinco expresiones algebraicas equivalentes.

Secuencia 3, páginas 38-43

Elaboran tres rompecabezas de �guras geométricas en diferentes escalas.


En el apartado Historias de vida , leen cómo se realizó el conteo de los minuetos que es posible escribir con los 176 compases musicales compuestos por Mozart.


Elaboran las instrucciones de un juego en el que se requiera multiplicar o dividir números negativos y positivos, y luego simulan una partida.


Escriben un breve resumen acerca de la información que proporcionan las grá�cas de la investigación.


En el apartado Historias de vida , leen cuál fue la aportación de Leonardo de Pisa para sucesiones numéricas empleando la reproducción ideal de una pareja de conejos.


En el apartado Historias de vida , leen cuándo se empezaron a utilizar las expresiones algebraicas y cuáles son las ventajas de que hoy en día el álgebra sea un lenguaje universal.



En el apartado Datos a la mano , leen en qué consiste la declinación magnética. También miden y anotan la medida en grados de los 16 puntos cardinales.


Educación Física

Diseñan una cancha multifuncional que sirva para jugar basquetbol y volibol, considerando las características de ambos deportes y las medidas o�ciales de sus canchas.


Biología

Artes

Español

a t n e v

Historia

u s a d i

b i h o r P

Dosi�cación del primer bimestre

Se espera que los alumnos: 1. 2. 3.

Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. Justi�quen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

Bloque 1 Semana

Eje

Tema

1 2

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Signi�cado y uso de los números

3

Medida

Subtema

Secuencia

Problemas multiplicativos

1. Multiplicación y división de números con signo

Problemas aditivos

2. Operaciones con expresiones algebraicas

Operaciones combinadas

3. De la geometría al álgebra

Estimar, medir y calcular

4. Orientación y ángulos

4

5. Rectas y ángulos Forma, espacio y medida

Formas geométricas

Rectas y ángulos

5 6. Relación entre ángulos

a t n e v

Análisis de la información

u s a d i b i

7. Factor inverso de proporcionalidad

6 Relaciones de proporcionalidad

7

h o r P

8. Proporcionalidad múltiple Manejo de la información

8

9

Representación de la información

Diagramas y tablas

9. Problemas de conteo

Rectas y ángulos

10. Grá�cas de frecuencia

Primera evaluación bimestral

4. 5.

Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.

Conocimientos y habilidades


1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Español

24-29

1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Historia

30-37

1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Historia Artes

38-43

1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. 1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar de�niciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Recursos digitales


Conversiones de grados y horas

44-51

Educación Física

El tren

52-59

1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justi�car las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. a t n e v u s a d i b i

h o r P

1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

60-65

Artes

1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. 1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identi�cación de regularidades. Veri�car los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. 1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

Páginas del libro del alumno

El viaje escolar

66-71

72-77

Artes

78-85

Biología

86-93

Planeación didáctica Secuencia 1. Multiplicación y división de números con signo Bloque 1

Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema: Signi�cado y uso de los números

Duración: 0.5 semanas

Número de sesiones: 3

Subtema: Problemas multiplicativos

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesión (es)

Actividades 

Inicio 

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Planeación 

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Desarrollo 1

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Resuelven la actividad inicial El juego de cartas . Para ello, analizan las reglas del juego propuesto así como los datos que se presentan, y responden las preguntas que se plantean. En el apartado Preguntas para andar , responden cuestionamientos acerca de la actividad inicial y de la multiplicación de números con signo.

Páginas del L.A.*

24

Conforman equipos de trabajo para elaborar un juego en el que multipliquen y dividan números con signo. Eligen los elementos que incluirán en su juego. En la actividad Con calculadora , resuelven multiplicaciones y divisiones de números con signo para luego analizar el signo que tiene el resultado.

25

En equipos, resuelven la actividad El juego de la moneda y el dado . Después llevan a cabo el juego siguiendo las instrucciones correspondientes. En parejas, completan la tabla y responden las preguntas de la actividad Otra partida . En el apartado Espacio tecnológico , identifican en su calculadora las teclas que les permiten trabajar con números negativos. En la actividad A trabajar con negativos , los alumnos analizan y responden preguntas referentes al inverso multiplicativo y a la división de números con signo. Retoman y resuelven el problema de la actividad inicial. En equipos, contestan las preguntas del apartado ¿Cómo vamos? y prueban su juego para verificar que funciona y cumple con lo requerido. Resuelven en equipos la actividad Operaciones , en la que practican la multiplicación de números con signo y reflexionan acerca de las reglas de la multiplicación y división de números con signo.

25-28

Los distintos equipos presentan su juego y analizan con el resto del grupo si cumple con los requisitos que se indicaron. En caso de no ser así, lo modifican. Leen cómo funciona el Archivo de evidencias e integran en él su trabajo. Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue? y comentan el uso de la multiplicación y división de números con signo en distintos contextos.

29

u s a d i b i

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Socialización y cierre

Observaciones

1

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Secuencia 2. Operaciones con expresiones algebraicas Bloque 1


Tema: Problemas aditivos

Duración: 0.5 semanas


Subtema: Números naturales

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.


Sesión (es)

Actividades 

Inicio

Planeación

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1

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Leen el problema de la actividad inicial Los tiempos de Rita y reflexionan acerca de las preguntas que se plantean. Responden las Preguntas para andar . Comentan sobre la suma y resta de expresiones algebraicas.

Páginas del L.A.

30

Conforman equipos de trabajo para elaborar varios juegos de cartas con expresiones algebraicas y los signos + y –. Consiguen el material que utilizarán en la elaboración de las cartas. 31

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Desarrollo 

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1  

Observaciones

En la actividad El caso de los monomios , representan sucesiones con expresiones algebraicas y encuentran y representan las sucesiones correspondientes a diferentes expresiones algebraicas. Suman expresiones algebraicas. En la primera actividad, Los tiempos de Rita , leen la definición de término de una expresión algebraica, luego retoman la actividad inicial y responden las preguntas correspondientes. Identifican qué son los términos semejantes. En el apartado ¿Cómo vamos? se reúnen con su equipo para elaborar su primer juego de cartas y jugar con él. Después contestan las preguntas. En la actividad Operaciones con más de una variable , determinan la expresión algebraica que representa a una sucesión de figuras y analizan la resta de expresiones algebraicas. Elaboran un segundo juego de cartas, juegan una partida y contestan las preguntas del apartado ¿Cómo vamos?

32-34

En la actividad Con dos o más variables , trabajan con sucesiones utilizando dos variables distintas. En el apartado ¿Cómo vamos?, elaboran un tercer juego de cartas, esta vez con expresiones algebraicas con dos o más variables, y siguen las instrucciones para jugar con él. Terminan de resolver la actividad inicial utilizando lo aprendido a lo largo de la secuencia. Leen acerca de la sucesión de Fibonacci en el apartado Historias de vida y encuentran la regla que la rige.

35-37

Cada equipo presenta sus tres juegos de cartas al grupo y expone cómo sumar y restar expresiones algebraicas. Después el grupo revisa las expresiones algebraicas de cada equipo y decide cuál fue el mejor trabajo. Integran su trabajo en el Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue?

37

Secuencia 3. De la geometría al álgebra Bloque 1


Tema: Signi�cado y uso de los números

Duración: 1 semana


Subtema: Operaciones combinadas

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.


Sesión (es)



Inicio

Páginas del L.A.

Actividades

Leen el problema de la actividad inicial El diseño de la preguntas correspondientes y las Preguntas para andar .

bodega y contestan las

1

38 

Planeación 



1

 

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Desarrollo

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1 

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b i h o r P

En la actividad Identidades algebraicas: desarrollo de factores , trabajan con expresiones algebraicas equivalentes utilizando figuras geométricas para representarlas y demostrar su equivalencia. Comprenden lo que es una identidad algebraica y resuelven ejercicios de práctica. En la actividad La propiedad distributiva , trabajan con el producto de expresiones algebraicas. En parejas, empiezan a elaborar su rompecabezas y representan con él las expresiones algebraicas que se piden en el apartado ¿Cómo vamos? En el apartado Historias de vida , leen acerca del lenguaje simbólico en matemáticas. Utilizan un rompecabezas para resolver ejercicios de identidades algebraicas y deducen un procedimiento para obtenerlas. Terminan sus rompecabezas y resuelven lo que se pide en el apartado ¿Cómo

39- 41

41- 42

vamos?

a t n e v

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Forman equipos de trabajo para diseñar cinco rompecabezas de figuras geométricas en los que representen expresiones algebraicas. Consiguen el material que necesitarán para elaborar sus rompecabezas.






1  

Observaciones

Revisan en equipos sus respuestas del apartado Tareas. Entregan al profesor sus rompecabezas, los comparan con los del resto de sus compañeros y comentan los resultados con ellos y con el profesor. Integran el trabajo en su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue?

43

Secuencia 4. Orientación y ángulos Bloque 1

Eje temático: Forma, espacio y medida

Tema: Medida

Duración: 1 semana


Subtema: Estimar, medir y calcular

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.


Sesión (es)

Actividades



Inicio

Páginas del L.A.

Leen el texto introductorio Rutas aéreas , aprenden el significado de ruta y rumbo en la aeronáutica y responden las Preguntas para andar .

44

Se reúnen en parejas para trazar una ruta de viaje, la cual comentarán con sus compañeros y entregarán al profesor como se indica en el apartado Nuestro trabajo . Consiguen el mapa que necesitan para realizar su trabajo.

45

En la actividad Rumbos y ángulos , retoman la actividad inicial y, con ayuda de una brújula hecha por ellos mismos, miden ángulos para determinar el rumbo de distintas rutas. En la actividad Ángulos, estimación y medida , leen la definición de vértice y lado de un ángulo. En la actividad Diferentes destinos , trabajan la medición de ángulos determinando el rumbo de distintas rutas aéreas por medio del grado sexagesimal (º) y los minutos (‘). En parejas, resuelven lo que se pide en el apartado ¿Cómo vamos?

45- 48

Resuelven la actividad Ángulos en la carrera , en la cual ejercitan el trazo y la medición de los ángulos que se generan al cambiar de rumbo o al hacer giros. En el apartado Datos a la mano , recuerdan lo qué es la Rosa de los vientos y aprenden cuál es la diferencia entre el Norte magnético y el Norte geográfico. También determinan los grados que corresponden a distintos puntos. En la actividad Con regla y compás , describen el procedimiento para copiar un ángulo usando dichos instrumentos. Con ayuda de su brújula y un transportador, resuelven el problema planteado en la actividad La selva Lacandona . Luego analizan y comparan sus resultados.

48- 51

Los distintos equipos muestran al grupo la ruta de su viaje y leen su descripción a otros compañeros para que la tracen en un mapa. Guardan el trabajo en su Archivo de evidencias . Responden las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue?

51

1 

Planeación 





1 

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Desarrollo 

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1 

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1

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Recursos digitales

Observaciones

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Trabajan en las actividades: Minutos y El cronómetro .

y segundos, El reloj, El estacionamiento

Secuencia 5. Rectas y ángulos Bloque 1


Tema: Formas geométricas

Duración: 1 semana


Subtema: Rectas y ángulos

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar de�niciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesión (es)

Actividades 

Inicio 

1 

Planeación

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1

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Desarrollo

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1 a t n e v

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1

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Recursos digitales

Observaciones

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Páginas del L.A.

Observan el croquis de la actividad inicial El croquis de la ciudad, analizan el trazo de las calles y responden las preguntas que se plantean. Responden las Preguntas para andar .

52

En el apartado Nuestro trabajo, se organizan en parejas para diseñar una cancha multifuncional de basquetbol y volibol. Leen las características del trabajo que van a elaborar y de los materiales que utilizarán.

53

En la actividad Pares de rectas, ángulos y sus relaciones , los alumnos analizan tres pares de rectas y aprenden la notación utilizada para representar segmento de recta, semirrecta y recta. Luego construyen sus propias definiciones de recta, semirrecta y segmento de recta. En la actividad Más de rectas , trazan rectas que pasen por uno y dos puntos y escriben su propia definición de rectas paralelas, rectas perpendiculares y rectas oblicuas. En la actividad Trazos, ángulos y sus relaciones , trazan semirrectas para formar ángulos y aprenden cómo representarlos con notación simbólica. Definen qué es un ángulo consecutivo, ángulos adyacentes, suplementarios y complementarios.

54-56

En el apartado ¿Cómo vamos? , se reúnen con su compañero para decidir cómo será el diseño de su cancha y responden las preguntas que se plantean. En la actividad Conjeturas y afirmaciones , aprenden qué son los ángulos opuestos por el vértice. Además, validan conjeturas y afirmaciones y completan una demostración matemática.

57-59

Trabajan con el programa de geometría dinámica que se recomienda en el apartado Espacio tecnológico . Presentan su diseño al grupo y comentan con sus compañeros su experiencia al realizar los trazos y trabajar con rectas y ángulos. Incorporan el trabajo a su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas de el apartado ¿Cómo nos fue?

58-59

Trabajan las actividades: El tren , El museo de las rectas y Posición relativa de varias rectas .

Secuencia 6. Relación entre ángulos Bloque 1


Tema: Formas geométricas

Duración: 1 semana


Subtema: Rectas y ángulos

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justi�car las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.


Sesión (es)

Actividades



Inicio

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Planeación 1

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Desarrollo

1 

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1 

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Páginas del L.A.

En la actividad inicial Geometría en la casa , analizan dos representaciones de planos de una casa y detectan los posibles errores.

60

En el apartado Nuestro trabajo, se organizan en equipos para construir una mesa o burro de planchar que cumpla con las características que se indican. Leen las sugerencias que se dan para realizar su trabajo.

60

En la actividad Escaleras y elevadores , retoman la actividad inicial, determinan la posición de las rectas representadas en los planos y trazan rectas para representar el plano de una casa. También conocen lo que es una recta transversal, trazan rectas cortadas por una transversal y analizan los ángulos que se forman entre ellas.

61

En la actividad Parejas de ángulos , analizan los ángulos que se forman entre parejas de rectas paralelas y oblicuas cortadas por una transversal. Reconocen el nombre y la relación que hay entre dichos ángulos. Se reúnen con su equipo para trabajar en el diseño de su mesa o burro de planchar y responden las preguntas del apartado ¿Cómo vamos?

62-63

Justifican la suma de los ángulos interiores de un triángulo a partir de distintas representaciones geométricas, y responden preguntas para comprobar sus conjeturas. En la actividad Ángulos de los cuadriláteros , argumentan la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

64-65

Presentan el diseño de su burro de planchar al grupo y argumentan geométricamente el paralelismo de la base con el piso. Comentan con sus compañeros las dificultades que tuvieron al realizar su trabajo y entregan su informe al profesor. Incorporan el trabajo a su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue?

65

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


1  

Observaciones

Secuencia 7. Factor inverso de proporcionalidad Bloque 1

Eje temático: Manejo de la información

Tema: Análisis de la información

Duración: 1 semana


Subtema: Relaciones de proporcionalidad

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.


Sesión (es) 

Inicio

Planeación

1

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1 



Desarrollo 1 

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Recursos digitales

Observaciones

Páginas del L.A.

Actividades



En la primera actividad de la secuencia Reducción fraccionaria , leen un pequeño texto acerca de la novela Alicia en el país de las maravillas y resuelven un problema de proporcionalidad referente al aumento o disminución del tamaño de dicho personaje. Responden las Preguntas para andar .

66

Se organizan en equipos de trabajo para elaborar un mismo rompecabezas en tres diferentes tamaños, como se indica en el apartado Nuestro trabajo .

67

Trabajan la primera parte de la actividad Las medidas de Alicia, en la que retoman el problema de la actividad inicial. Completan una tabla de datos y responden las preguntas que se plantean. Leen la definición de factor de proporcionalidad y de factor inverso de proporcionalidad.

67

Retoman la actividad Las medidas de Alicia , y resuelven problemas en donde trabajan con el inverso de proporcionalidad. En el apartado ¿Cómo vamos? , trabajan en la elaboración de su primer rompecabezas.

68

Resuelven de manera individual la actividad Otros cambios de Alicia , en la que trabajan con factores de proporcionalidad fraccionarios y decimales. Luego comentan sus respuestas con el profesor y con sus compañeros. En el apartado ¿Cómo vamos? , elaboran un segundo rompecabezas proporcional al primero y responden las preguntas que se plantean.

69

En equipos, revisan sus respuestas del apartado Tareas . Se reúnen nuevamente con su equipo y elaboran su tercer rompecabezas. Responden las preguntas del apartado ¿Cómo vamos? y determinan el factor de escala en el primero y el tercero de sus rompecabezas. Resuelven la actividad Factores de proporcionalidad . Encuentran la relación entre el porcentaje y el factor de proporcionalidad.

70-71

Presentan sus rompecabezas y los intercambian para verificar que sean proporcionales y que cumplan con los factores de proporcionalidad indicados. Incorporan el trabajo a su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue?

71

Trabajan en las actividades: Función de proporcionalidad inversa, dad inversa y Constantes de proporcionalidad I y II.

Proporcionali-

Secuencia 8. Proporcionalidad múltiple Bloque 1


Tema: Análisis de la información

Duración: 1 semana


Subtema: Relaciones de proporcionalidad

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.


Sesión (es)

Actividades 

Inicio 1



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Planeación

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2 

Desarrollo

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1 

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1 Socialización y cierre

Observaciones



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Páginas del L.A.

Leen la información de la actividad inicial Los folletos , resuelven el problema que se plantea y argumentan ante sus compañeros cómo obtuvieron el resultado. Responden las Preguntas para andar .

72

En el apartado Nuestro trabajo , planean en equipos cómo elaborar una pecera con forma de prisma. También acuerdan qué material aportarán para el proyecto.

72

En la actividad Retomemos los folletos , responden preguntas referentes al problema de la actividad inicial y completan tablas de proporcionalidad. Responden cuestionamientos acerca del trabajo realizado en la actividad y determinan si las cantidades que varían lo hacen de manera directamente proporcional o inversamente proporcional. Trabajan en la primera parte del apartado ¿Cómo vamos?, deciden la forma y medidas de su acuario y responden las preguntas que se plantean. Luego trazan el plano, elaboran su acuario y lo decoran. Finalmente calculan su volumen. En la segunda parte del apartado ¿Cómo vamos? , elaboran una tabla en la que calculan el volumen de su acuario usando cinco diferentes medidas para la altura. Escriben una expresión algebraica que represente la relación entre el volumen y la altura del acuario, y determinan qué variables se mantienen constantes y cuáles cambian. En la actividad Nuevamente los folletos , completan una tabla de proporcionalidad múltiple y encuentran expresiones algebraicas para distintas relaciones de proporcionalidad. Entienden el concepto de proporcionalidad múltiple y verifican si las afirmaciones dadas como ejemplo se cumplen. En el apartado ¿Cómo vamos? , elaboran una tabla en la que muestran c ómo cambia el volumen de su acuario cuando modifican la medida de una de las dimensiones de la base, al usar cinco medidas diferentes. Elaboran una segunda tabla como la que se presenta, en la que relacionan el volumen del acuario con su altura y con el área de su base.

73-75

76

En la actividad La forma del acuario , a partir de investigar distintos cuestionamientos determinan si existe proporcionalidad entre el radio de la base y el volumen de un acuario con forma de cilindro. Luego comentan sus experiencias con el grupo. Presentan su acuario y sus tablas a sus compañeros y al profesor, y comentan las características de sus tablas. También responden las preguntas que se plantean. Incorporan el trabajo a su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue? Inventan un problema de proporcionalidad múltiple y lo intercambian con un compañero.

77

Secuencia 9. Problemas de conteo Bloque 1


Tema: Representación de la información

Duración: 1 semana


Subtema: Diagramas y tablas

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identi�cación de regularidades. Veri�car los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.


Sesión (es)

Actividades 

Inicio 1





Planeación 

1







Desarrollo 

2 

a t n e v



u s a d i b i



h o r P 




1  

Observaciones

Páginas del L.A.

En la actividad inicial, ¿De cuántas maneras diferentes? , resuelven un problema de conteo en el que a partir del croquis que se muestra tienen que determinar cuántas maneras hay para ir de un lugar A a un lugar D. Responden las Preguntas para andar .

78

En el apartado Nuestro trabajo, se organizan en equipos para resolver un problema y hacer una presentación sobre el viaje que realizará una persona por distintas ciudades.

79

Resuelven la actividad ¿Cuántos caminos diferentes hay? , en la que retoman y resuelven el problema inicial, y justifican ante sus compañeros su respuesta al número de maneras de ir de un lugar A a un lugar D. Completan la actividad El diagrama de árbol . Resuelven los ejercicios que se plantean referentes al croquis del problema inicial y encuentran las multiplicaciones que resuelven cada uno de los problemas planteados.

79-81

Se reúnen con su equipo de trabajo y responden las preguntas del apartado ¿Cómo vamos? referentes al problema del apartado Nuestro trabajo . En la actividad La junta directiva , elaboran tablas de datos en las que representan todas las posibles combinaciones de un problema de conteo y responden las pregu ntas que se plantean. Encuentran diferencias entre los problemas que se les presentan y comparten con sus compañeros sus estrategias de resolución y sus resultados.

81-82

En la actividad ¿Cómo terminó la carrera? , completan una tabla en la que muestran el orden en que pueden llegar a la meta cuatro competidores que participan en una carrera de natación. Analizan y explican la multiplicación que resuelve el problema. Leen la información del apartado Historias de vida . En la actividad ¡A juntar dinero!, calculan de cuántas maneras diferentes se puede representar una cantidad de dinero con monedas de distintas denominaciones. Luego comparten y comparan sus estrategias. En el apartado ¿Cómo vamos?, elaboran una tabla en la que calculan el costo de cada recorrido que hará la persona que viajará por distintas ciudades, y responden las preguntas que se plantean.

83-84

Comentan y comparan sus respuestas del apartado Tareas . Comparten con sus compañeros la solución del problema del viajero y explican los procedimientos que emplearon para encontrar las respuestas. Incorporan el trabajo a su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue?

85

Secuencia 10. Grá�cas de frecuencia Bloque 1


Tema: Representación de la información

Duración: 1 semana


Subtema: Grá�cas

Periodo: del _______________ al _________________ de ____________________ Conocimientos y habilidades 1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.


Sesión (es)

Actividades 

Inicio 

1



Planeación





1

Desarrollo





1







a t n e v



u s a d i b i

h o r P

1 Socialización y cierre

Observaciones

1

En el apartado Nuestro trabajo , se organizan en equipos para llevar a cabo una investigación sobre las temperaturas o precipitación pluvial en su estado. Leen acerca de los medios en donde pueden encontrar la información y e ligen el tema a trabajar.

86-87

En la actividad Precipitación media , analizan la información del polígono de frecuencias de la actividad inicial y responden los cuestionamientos que se presentan. Para trabajar en el apartado ¿Cómo vamos? , se reúnen con su equipo para elaborar una tabla con la media de los datos del tema que eligieron. Responden las preguntas que se plantean. En la actividad Polígonos de frecuencia con datos no agrupados , reconocen lo que es un histograma y, a partir de la información de una tabla de datos, trazan dos histogramas. Responden las preguntas de la actividad y representan la información de los histogramas anteriores en un sólo polígono de frecuencias.

88-89

Identifican la diferencia entre las variables cualitativas y cuantitativas de un con junto de datos. Analizan la información representada en una tabla y responden las preguntas de la actividad Polígono de frecuencia con datos agrupados o intervalos . En la actividad Presentación por intervalos , representan en una tabla por intervalos los datos de la tabla de la actividad anterior. Realizan la actividad sugerida en el apartado Datos a la mano.

90-92

En el apartado ¿Cómo vamos? , retoman su proyecto y construyen un histograma y los polígonos de frecuencia respectivos. En el apartado Espacio tecnológico , se les sugiere trabajar con una hoja de cálculo para realizar las gráficas de su proyecto.





Resuelven la evaluación Ponte a prueba.

 

Evaluación bimestral

En la actividad inicial, ¡Las gráficas dicen más que mil palabras!, analizan y comparan una gráfica sobre la cantidad de lluvia que cayó en el Distrito Federal en los años 2008 y 2009. Responden las Preguntas para andar .

Presentan sus gráficas ante el grupo. Cada equipo plantea, acerca de su trabajo, preguntas de reflexión al resto del grupo y comparte la información obtenida con el resto de la comunidad escolar. Incorporan el trabajo a su Archivo de evidencias . Contestan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue? Revisan su archivo de evidencias para ver sus avances.



Páginas del L.A.

93

100-101

Reproducción del libro del alumno Intención pedagógica La fotografía a doble página ilustra cómo los contenidos matemáticos permiten analizar elementos en diversos contextos. En este caso, los estudiantes podrán observar en la estructura de la puerta torii la manera en que las vigas están colocadas unas con respecto a otras de manera paralela o transversal. También podrán estimar su altura comparándola con la del niño que aparece en la fotografía.

22

Recomendaciones procedimentales


h o r P

1.

Pida a los alumnos que describan la fotografía y, de acuerdo con los detalles que observan, identi�quen en qué lugar se ubica la puerta. Después hágales preguntas que los lleven a encontrar la relación entre la imagen y los contenidos de la asignatura. Por ejemplo, puede preguntar: ¿Qué características tiene la estructura? ¿Cómo están

colocadas las vigas que la forman? ¿Qué relación hay entre ellas en cuanto a la posición?

2.

Motívelos para que comenten qué edi�cios o estructuras con características similares conocen.

3.

Forme equipos e indíqueles que diseñen una estructura similar a la puerta. Las líneas que la compongan deberán tener las mismas características que ésta tiene.

Intención pedagógica Se espera que cuando los alumnos lean los aprendizajes esperados:

Bloque 1






1. Resuelvas problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. 2. Justi�ques la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resuelvas problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 4. Resuelvas problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. 5. Interpretes y construyas polígonos de frecuencia.

Adquieran una visión general de los contenidos que estudiarán a lo largo del bloque. Reconozcan el nivel de dominio de los contenidos que deben alcanzar al término del bimestre, y de ese modo enriquezcan su proceso de autoevaluación.

Gran puerta torii de madera en Miyajima, Japón Las puertas torii están formadas por vigas paralelas cruzadas por otras transversales. Señalan la entrada a un lugar sagrado y son parte importante de los templos sintoístas y de algunos budistas de Japón.

23

Recomendaciones procedimentales a t n e v

4.

Lea con los alumnos el pie de foto de la entrada de bloque. Pregúnteles si conocen los términos matemáticos que se mencionan y pídales ejemplos en caso de que así sea.

5.

Organice una lectura grupal de los aprendizajes esperados del bloque y pídales que comenten si anteriormente han estudiado algo al respecto. Pregúnteles, con base en lo que leyeron, qué esperan aprender con las actividades de este bloque.

u s a d i b i

h o r P

6.

Comente con ellos qué es lo que tendrían que hacer para calcular la altura de la puerta a partir de la estatura del niño que aparece en la fotografía. Pregunte: ¿Con qué aprendizaje esperado se relaciona este problema? , y luego indíqueles que estimen la altura considerando que la estatura del niño es de 1.60 m.

7.

Pídales que expliquen de qué manera se relaciona la fotografía con los aprendizajes esperados del bloque.

Inicio

Intención pedagógica 1

En esta secuencia, los alumnos resuelven problemas utilizando multiplicaciones y divisiones de números con signo. De esta manera, se favorece que los estudiantes encuentren un sentido lógico a la regla de los signos.

e u q o l B

Planeación

Multiplicación y división de números con signo

1

Conocimientos y habilidades 1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

El juego de cartas La secuencia está orientada hacia la adquisición del aprendizaje esperado: 

La familia Pineda organizó un juego de cartas en el que pueden participar más de cuatro personas. En este juego los puntos perdidos se consideran puntos negativos y se escriben en un tablero con el signo ; los puntos ganados se escriben con el signo . Para determinar el marcador �nal, por turnos, cada participante debe lanzar un dado. Si el número resultante es par, sus puntos quedarán intactos; pero si es impar, el total de puntos perdidos o ganados se triplicará.

Resuelve problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.

Observa la tabla que muestra los resultados del juego. Participante

Daniel Patricio María Paloma Lorenzo Jerónimo Olivia

En las Preguntas para andar se plantean preguntas acerca de conocimientos previos o acerca de estrategias para comprender la actividad inicial. En este caso ayudarán a que los estudiantes comprendan el signo del producto de la multiplicación de números con signo.

 



2) Respuesta modelo (R. M.) De mayor a menor: Lorenzo > María > Patricio > Olivia > Jerónimo > Paloma > Daniel No.

Puntos acumulados 235 17.5 110 86 150.25 76 12

1)

Resultado de lanzar el dado

Total

3 1 6 3 2 2 5

–705 52.5 110 –258 150.25 –76 –36

Con base en las reglas del juego, calcula la puntuación total de cada jugador. 1) Si Julia, otra participante, obtuvo 60 puntos luego de que le salió un número impar al lanzar los dados, ¿cuántos puntos acumulados tenía? –20 puntos Ordena a los participantes de acuerdo con el resultado que obtuvieron luego de lanzar el dado. ¿Quedaron ordenados de la misma manera que antes de lanzarlo? 2)

Preguntas para andar   



3) R. M. Si sus puntos son negativos, pierden más puntos; y si son positivos, ganan más.

¿Cómo afecta a cada participante el hecho de que los puntos finales se tripliquen? ¿Qué operación se debe hacer para calcular el resultado en cada caso? ¿Qué signo tiene el número que se obtiene al triplicar los puntos perdidos? ¿Qué signo tiene el número que se obtiene al triplicar los puntos ganados? ¿Qué signo tiene el número que se obtiene al multiplicar un número con signo negativo y otro con signo positivo?

3) 4) 5) 6) 7)

Nuestro trabajo

4) Multiplicar por 3 5) Negativo

En equipos de 4 o 5 integrantes elaborarán un juego en el que se requiera multiplicar y dividir números con signo. Escribirán las instrucciones del juego y la simulación de una partida. Pueden utilizar elementos de juegos de azar como dados o monedas. En el desarrollo de las actividades adquirirán herramientas para hacerlo. Al �nal, entregarán su juego al profesor.

6) Positivo 7) Negativo 24


a t n e v

1.

Pida a los estudiantes que mencionen qué jugadores modi�can su puntuación después de lanzar el dado, y qué operación permite obtener el resultado �nal de cada uno.

2.

Antes de que respondan las preguntas de la actividad, pídales que analicen los datos de la tabla y expliquen con argumentos a quién creen que le afecta más el resultado del lanzamiento del dado.

u s a d i b i

h o r P

3.

Si los estudiantes tienen di�cultad para determinar el signo de la multiplicación, plantee algunas sumas de sumandos iguales, por ejemplo: (−3) + (−3) + (−3) = 3 × (−3).

4.

Antes de que los alumnos respondan la tercera pregunta de la actividad inicial, pídales que ordenen, de menor a mayor, los puntos acumulados antes de lanzar el dado. Después de lanzarlo, los ordenarán de nuevo para que noten si el lanzamiento del dado afectó o no los resultados �nales.

5.

Pídales que resuelvan de manera grupal las Preguntas para andar y den ejemplos que ilustren sus respuestas.

6.

Antes de que formen los equipos de trabajo, lea en voz alta el texto del apartado Nuestro trabajo y pregunte a los alumnos cómo se imaginan que será el juego y qué reglas utilizarían para jugarlo.

Desarrollo

Intención pedagógica

Con calculadora En el apartado Nuestro trabajo , se propone a los alumnos elaborar un producto relacionado con el conocimiento y habilidad que se trabaja en la secuencia. SE hacen recomendaciones sobre la forma de organización, materiales, etcétera.

Con tu calculadora resuelve las siguientes operaciones. 28 0 –6 –18 –24 –24 24 7 –9





Con base en los resultados que obtuviste, completa las siguientes oraciones.

      



        

(5)  (5)  (9)  (0)  (6)  (3)  (4)  (4)  (4)  (3)  (8)  (4)  (8)  (1)  (9)  (6)  (9)  (1) 

1 0 2 1 –1.33 –2 –8 1.5 –9

(7)  (4)  (2)  (0)  (6)  (1)  (9)  (2)  (8)  (3)  (6)  (4)  (8)  (3)  (1)  (7)  (9)  (1) 



Con la primera actividad de esta página, se busca que los estudiantes descubran las reglas de los signos.

Siempre que se multiplican o dividen dos números del mismo signo, el resultado tiene signo: Positivo



Con la segunda actividad, se pretende que los estudiantes practiquen los productos de números con signo y generalicen la regla del producto de números con signo para más de dos factores.

Siempre que se multiplican o dividen dos números de distinto signo, el resultado tiene signo: Negativo



Siempre que se multiplica o divide un número por Igual al inverso del mismo número.

1,

el resultado es:

El juego de la moneda y el dado Reúnete con cuatro compañeros y hagan lo que se indica.  





Sugerencia de contenido

Consigan una moneda y un dado. Cada jugador deberá lanzar en forma simultánea la moneda y el dado al aire. Si cae águila (A), los puntos del dado se considerarán positivos; si cae sol (S) se considerarán negativos. Realicen dos lanzamientos, registren los resultados del dado, anoten los signos que correspondan y multiplíquenlos. El resultado de la multiplicación es el total de puntos que obtiene cada jugador.

Las reglas para multiplicar y dividir números con signo son: (+)(+) = + (+)(−) = − (−)(−) = + (−)(+) = −

Antes de jugar observen el siguiente ejemplo.

Mónica y Alejandro llevaron acabo el juego. Mónica obtuvo los siguientes resultados en sus lanzamientos: Primer turno

A 

Segundo turno

S

Escriban la puntuación que obtuvo en cada turno, usen el signo que le corresponde a cada resultado y multiplíquenlos. Primer turno: 4; segundo turno: –5; total: –20



Jueguen una partida de cinco turnos y registren sus resultados. Después, jueguen partidas de tres lanzamientos en cada turno. Multipliquen los resultados en el orden que los obtienen y regístrenlos. 

¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación tiene más de dos factores? R. M. Si hay un número par de factores negativos, el producto será positivo. Si entre los factores hay un número impar de factores negativos, el producto será negativo.

25


7.

Antes de que los estudiantes hagan las operaciones con calculadora, motívelos para que anticipen el signo de los resultados y anote sus propuestas en el pizarrón. Después compárelas con los resultados que obtengan.

8.

Si hay calculadoras que cuenten con la tecla ±, explique de forma breve para qué sirve.

9.

Pregunte cómo representarían números negativos con las calculadoras que no tienen esa tecla. Permita que el grupo discuta sus propuestas, y sólo en caso de que nadie proponga restarle el número al cero explique dicho procedimiento. Pídales que realicen un producto del tipo (−4) × 5 usando este recurso, y enseguida solicite que realicen el producto 5 × (−4). Probablemente opriman las teclas en el siguiente orden: 5, ×, 0, −, 4, en cuyo caso obtendrán como resultado −4. Aproveche para hablar un

u s a d i b i

h o r P

poco sobre la jerarquía de las operaciones —que más adelante trabajarán—, y �nalmente recuérdeles que el orden de los factores no altera el producto. 10. Asegúrese de que todos los equipos cuenten con el material necesario para desarrollar el juego que se propone. Si no tienen dados, pueden remplazarlos con seis papelitos numerados del 1 al 6 dentro de una bolsa: en vez de lanzar el dado, extraerán un papelito de la bolsa. 11. Veri�que que estén jugando correctamente. Para disipar las dudas entre los estudiantes, puede hacer una demostración del juego. 12. Pídales que comparen sus respuestas a la última pregunta, y en caso de que haya diferencias propicie una discusión de la que extraigan una respuesta en común.

Desarrollo


Primer turno

En la actividad Otra Partida , se busca que, con base en los conocimientos adquiridos en las actividades previas, los estudiantes dividan números con signo y descubran las reglas de los signos para la división.



S Segundo turno

Observen las monedas y los dados de los lanzamientos de Alejandro. 

Escriban los puntos que obtuvo. Primer turno: –2; segundo turno: –3



¿Cómo se resuelve esta multiplicación? (–2) × (–3) = 6



¿Qué signo tiene el resultado de la multiplicación que hicieron? Positivo



¿Cuál es el total de puntos que obtuvo Alejandro?



¿Quién es el ganador, Mónica o Alejandro?

6

Alejandro

Retomen el problema de la actividad inicial y hagan lo que se les indica.

S






Identifiquen cuáles participantes mantuvieron su resultado y cuáles lo triplicaron. 1) Calculen el resultado de los que triplicaron sus totales y escriban en su cuaderno 2) las operaciones. Recuerden que al triplicar la ganancia ésta sigue siendo ganancia y al triplicar la pérdida ésta sigue siendo pérdida.

Otra partida

En el sitio web:

Reúnete con un compañero y r ealicen la siguiente actividad.

http://www.thatquiz.org/es/



encontrará ejercicios de multiplicación y división de números con signo. Coloque el cursor en la celda Aritmética y dé clic; luego podrá elegir las opciones Multiplicar o Dividir, Sencillo y Negativos.

Ana y Luz jugaron partidas de tres turnos y obtuvieron los resultados que se muestran en la tabla. Complétenla

Cara moneda

Puntos en el dado

Cara moneda

Puntos en el dado

Cara moneda

Puntos en el dado

Resultado de la multiplicación

Ana

águila

4

sol

5

águila

3

60

Luz

sol

6

águila

sol

2

60



5

¿Qué operaciones hicieron para conocer los datos faltantes? R. M. Divisiones y multiplicaciones

1) Lo mantuvieron María, Lorenzo y Jerónimo, y lo triplicaron Daniel, Patricio, Paloma y Olivia.



Escriban las operaciones. R. M. Ana: –60 ÷ (–5) = 12; 4 × 3 = 12.

Luz: (–6) × (–2) = 12; 60 ÷ 12 = 5



¿Por qué obtuviste un resultado negativo y otro positivo? R. M. Porque Ana obtuvo dos águilas y Luz dos soles.

2)



Daniel: –235 × 3 = –705 Patricio: 17.5 × 3 = 52.5 Paloma: –86 × 3 = –258 Olivia: –12 × 3 = –36

¿Qué pueden concluir de la división de un número positivo entre un número negativo?

R. M. Que el signo del cociente es negativo.

¿Y de la división de un número

negativo entre un número positivo? Que el signo del cociente también será negativo. Escriban en su cuaderno cuatro multiplicaciones y cuatro divisiones que involucren un número positivo y un número negativo y pidan a otra pareja que las resuelva y ustedes contesten las que ellos plantearon. 3 ÷ 1 = R. M. 450 × (–24) = 228 ÷ (–6) = (–389) × 7 = ( 5 ) 7 Observen que al multiplicar o dividir dos números con signo contrario, el producto resultante tiene signo negativo. 

26



h o r P

13. Comente con el grupo las respuestas a las preguntas formuladas en el ejemplo. 14. Para que los estudiantes puedan llenar la tabla de la actividad Otra partida , formule preguntas como las siguientes:

15. Para que llenen el segundo renglón de la tabla, continúe formulando preguntas similares a estas: ¿De qué lado

cayó la moneda en el primer tiro de Luz? ¿Qué signo tiene el producto del primer y tercer tiro de Luz? ¿De qué lado debió caer la moneda en el segundo tiro de Luz? ¿Qué signo tiene el número del segundo tiro de Luz? ¿Cuál es el producto de los números del primer y tercer tiro de Luz? ¿Cuál debe ser el número del segundo tiro de Luz?; ¿por qué?

¿Qué signo tiene el número del primer tiro de Ana?; ¿por qué? ¿Qué signo tiene el producto de los dos primeros tiros de Ana? ¿De qué lado debió caer la moneda en el tercer tiro de Ana? ¿Qué signo debe tener el número del tercer tiro de Ana? ¿Cuál debe ser el producto de los números obtenidos en el primer y tercer tiros de Ana?; ¿por qué? ¿Qué 16. Una vez que los estudiantes hayan obtenido las respuestas de la actividad, propicie que las discutan grupalmente. parejas de números enteros menores que 6 dan ese producto? ¿Hay una sola manera de solucionar el juego de Ana? ¿Cuántas posibles soluciones encontraron?


En la actividad A trabajar con números negativos , se busca que además de aplicar las reglas de los signos, los estudiantes comprendan el procedimiento usado al trabajar con ellas.

En muchas calculadoras hay una tecla con el símbolo que al utilizarla cambia al número mostrado en la pantalla por su inverso. Por ejemplo, si presionas las teclas: 7 en la pantalla de tu calculadora, aparecerá el inverso de 7, es decir, 7. ¿Cómo escribirías 7 si la tecla de signo no sirve? R. M. Oprimiendo las teclas –, 7, = Hay diversos problemas en los que se debe multiplicar o dividir números negativos y positivos, por lo que practicar con la calculadora te será de gran utilidad.


¿Cómo vamos? Reúnete con tus compañeros de equipo y revisen sus avances. R. L.  








El inverso aditivo de un número se obtiene multiplicándolo por −1.

¿Ya saben cómo harán su juego? ¿Cómo aplicarán en las reglas del juego la multiplicación y la división de números con signo? Usen las reglas del problema inicial, inventen ganancias para ustedes mismos y jueguen con un dado. Utilicen una calculadora para hallar los resultados. Jueguen nuevamente el juego de la moneda y el dado y utilicen una calculadora para saber quién es el ganador. Anoten las operaciones y los resultados en su cuaderno. Tomen en cuenta las reglas de ambos juegos para proponer las del suyo.

Por ejemplo, el inverso aditivo de 3 es −3, pues (−1) × 3 = −3,

A trabajar con negativos y el inverso aditivo de −6 es 6, pues

Re�exiona y contesta. 

Considera el número 2. Si se sabe que al multiplicar (2) ( 1) resultó su inverso, es decir, 2, ¿se puede hacer lo mismo con la multiplicación (2) ( 3)? ¿Por qué?

(−1) × (−6) =

R. M. No, ya que el inverso de un número sólo se obtiene multiplicando dicho número por –1. 

(−1) × [(−1) × 6] = 6

La multiplicación anterior, también se puede escribir como: (2) ( 1) (3)  (1) (6)  6. R. M. (5)(–1)(8) = (–1)(40) = –40



Intenten escribir otros ejemplos:



¿Qué pueden concluir? R. M. Para obtener el inverso de un número, se puede multiplicar por –1.



¿Cuál es el producto de (2) (50)? –100



¿Qué diferencia hay entre las multiplicaciones de números con signo y las que

Al sumar un número con su inverso aditivo obtenemos 0.

ya conocen? R. M. El resultado no siempre es un número positivo. 2 

Si sabemos también que al dividir

se obtiene el inverso, es decir (–2), ¿qué 2

1 2 = 2 =– 1, ? R. M. Se obtiene – ; como 2 (–1)(4) (–4) 2 sí es equivalente. ¿Qué diferencia hay entre las divisiones con signo y las que ya conocen?

sucedería entonces con la división 

–1 2

–4

? ¿Sería equivalente a

(–1)(4)

R. M. El resultado no siempre es un número positivo. 

Considera nuevamente el producto ( 1) (2). Al multiplicar un número cualquiera por 1 el resultado es el inverso de ese número. Recuerda que el opuesto de 2 es 2, entonces ¿cuál es el resultado de (1) ( 2)?

2 27

Recomendaciones procedimentales a t n e v u s a d i b i

h o r P

17. Revise con los alumnos el contenido del apartado Espacio Tecnológico . Recuérdeles cómo se pueden escribir números negativos en las calculadoras que no cuentan con la tecla ±. 18. Una vez que los equipos hayan trabajado en el apartado ¿Cómo vamos? , promueva que el grupo discuta las distintas ideas que hayan surgido.

19. Veri�que que las reglas del juego propuestas por cada equipo permitan trabajar con la multiplicación y la división de números con signo. 20. Asegúrese de que los estudiantes realicen el trabajo con números negativos sin hacer uso de la calculadora, pues es necesario que en este momento re�exionen acerca de los algoritmos para la multiplicación y división de números con signo.

Desarrollo




15, ya que al multiplicar dos

¿Cuánto es (5) ( 3)? Explica tu respuesta. números negativos se obtiene un número positivo.

Al retomar la solución de la actividad inicial, se espera que los estudiantes fortalezcan los conocimientos y habilidades que han adquirido y el docente tenga la oportunidad de evaluar sus avances. 

( )(

)

=

¿cuánto sería entonces el resultado de ¿y el resultado de



¿y el resultado de (–21)?

(– 89 )(– 57 ) = 40 63

?

3

¿En qué casos el cociente es igual a 1? Al dividir un número entre él mismo.



¿En qué casos el cociente es igual a 0? Al dividir cero entre cualquier número.

Escribe en tu cuaderno cuatro multiplicaciones y cuatro divisiones que involucren dos números negativos. Intercambien cuadernos y resuelvan lo que propusieron. 1)

Regresa a la actividad inicial y resuélvela. 2) Respuestas en solucionario. Participante



Puntos acumulados originalmente

Resultado Operación del dado realizada

Puntos �nales

Lugar obtenido

Con base en los datos de la tabla, responde las Preguntas para andar .

¿Cómo vamos?

192 100



¿Cuáles son las reglas del juego? R. L. ¿Cómo aplicaron en las reglas del juego la multiplicación y la división de números con signo? R. L.

Una vez que lo hayan de�nido, hagan pruebas jugándolo ustedes mismos para comprobar que funciona, con�rmar que utiliza multiplicaciones o divisiones de números con signo; y �nalmente, para divertirse un rato.

(–108) ÷ (–9) = 12

(– 26 )÷(– 35 ) =

–2

?





1) R. M. (–18)(–75) = 1 350

(4)

–4



(–5)

(–8)

Al multiplicar o dividir dos números con signo negativo, el producto o cociente es un número con signo positivo.

Por ejemplo, el producto: (3.2) (0.6) se puede expresar como: 6 10



(–7)

Los números racionales se pueden expresar en forma decimal o como fracciones. La multiplicación y división de números racionales se facilita cuando éstos se expresan en forma de fracciones.

–

¿Y para dividir un número negativo entre otro negativo? Sucede lo mismo que al multiplicar.

(20)


32 10



5 9

Operaciones

3) R. M. Se utilizan las reglas de los signos, después se hace la multiplicación y división para obtener el resultado. 4) R. M. Se opera de la misma forma en ambos casos, la diferencia está en el signo del producto.

En equipos de tres compañeros resuelvan las siguientes operaciones. Describan en el cuaderno el procedimiento que emplearon y contesten las preguntas. 84 (31) (0) (12)  (0)(12) = 0 



(7) (4) ( 3) 



a



(7.15) (12.2) (3.14) ( 5.57)



^ 0h^

1 2

2 3

ka

ka

a 12 k

2h

3 2

k

– 6 =– 1 12 2 

1 525.635254

a

5 2



^

9h^



(12) (12) (12)

0  

5

( 2 ) (–4.3) = –10.75



k 2 h^

a

1.2 h



1 2

ka

3 2

k



–(18) (1.2) 3 – (21.6) (0.75) – 16.2 4

( )

–1 728

¿Qué reglas utilizas para multiplicar o dividir números con signo? 3) ¿Encuentras alguna diferencia entre multiplicar números positivos y multiplicar números negativos? ¿Cuál? 4)

28



h o r P

21. Una vez que los estudiantes hayan concluido el trabajo con los números negativos, promueva que presenten sus respuestas ante el resto del grupo, especialmente aquellas en las que hayan escrito sus procedimientos, justi�caciones y conclusiones. 22. Pídales que resuelvan la actividad inicial y que llenen en su cuaderno la tabla que aparece en el texto. Cuando terminen de llenar la tabla, formule nuevamente las Pregun- tas para andar : los datos que obtuvieron les servirán para responderlas.

23. Discuta con los estudiantes sus avances en la tarea del apartado Nuestro trabajo , y veri�que que en las reglas del juego se apliquen adecuadamente la multiplicación y división de números con signo. 24. Promueva que cada equipo presente ante el resto del grupo los resultados obtenidos en la actividad Operaciones . Ponga especial atención en los ejemplos donde aparecen productos de fracciones y fomente que los alumnos trabajen sin recurrir a sus calculadoras. Aproveche para recordarles cómo transformar un número decimal en una fracción.

Desarrollo

1. Resuelve las siguientes siguiente operaciones. g) ^ 3h

a) (1) (5)  –5

^1h

b) (2) (1)  2 c) ^1h

a

1 2

k

h) (32.5) (1) (12.75)  414.37

–1 2

i) 8  (–2)

d) (6) (5)  –30 e)

a 12 k^

2 h^

1h

–3

 4

j) (4) ( 2) (2) ( 2)  32 1

f) (14.32) ( 1)  –14.32

k) l)

^ ^

1h





8h

1h m) ^ 

^

8h

(–2)



–2

o) (1.25) × (–4) p) (3) (2) 

 5

6

1 = 0.125 8

q) (9)2  81

1 2

r) (7.5) (2) ( –3 )  45



a 12 k ^1h



Con los productos que vayan elaborando, los alumnos formarán su Archivo de evidencias , que conviene revisen al �nal de cada bloque para ver lo que han aprendido.

2. Encuentra un número que al multiplicarlo por −7 dé −49. 7 3. Encuentra un número que al multiplicarlo por 1 dé 1. –5 

Intención pedagógica En el apartado Presentación de nuestro trabajo , se hacen recomendaciones para socializar el producto hecho a lo largo de la secuencia. Los estudiantes ponen de mani�esto el nivel alcanzado en la adquisición de los aprendizajes esperados, así como su capacidad de inventiva y sus habilidades comunicativas.

1 = 0.125 8



(4)

n)




5

Presentación de nuestro trabajo Cada equipo deberá presentar y explicar al grupo su juego. 







El apartado ¿Cómo nos fue? , es una guía para que los estudiantes evalúen lo que aprendieron y el producto de su trabajo, y para que reconozcan las di�cultades que enfrentaron.

Una vez que todos los juegos hayan sido presentados, el grupo decidirá si éstos cumplen con los requisitos pedidos. Es decir que sus reglas impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. Si hubiera alguno que no cumpliera con esos requisitos, en forma grupal propongan las modificaciones que deben hacerse. Luego, organícense en equipos e intercambien los juegos de manera que a cada equipo le toque un juego distinto del que inventó y jugarán una partida. Al final, entre todos elijan el juego que involucre más operaciones de números con signo, mejor explicación y que sea el más divertido. Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias. Para saber cómo funciona, revisa las páginas 346 y 347.

¿Cómo nos fue? 

  

¿Qué relación guarda el signo del resultado de una multiplicación con el hecho de que los signos de los factores sean iguales o diferentes? 1) ¿Existe algún número que al dividirlo entre −3 dé 7? ¿Cuál es? Sí, –21 ¿Qué situaciones de la vida cotidiana se resuelven con este tipo de operaciones? ¿Qué tan útil te parece saber resolverlas? ¿Por qué? R. M. Cálculos en contabilidad, medición de las temperaturas, etcétera.

La multiplicación y la división de números con signo nos permiten resolver problemas que impliquen, por ejemplo, el reparto de una deuda (número negativo) entre varias personas para cubrirla. También hay muchas otras situaciones en las que es necesario utilizar estas operaciones, como herramientas para llegar al resultado de un procedimiento más complejo. Tal es el caso de sustituir valores negativos y positivos en alguna fórmula.  Comenta con tus compañeros en qué otros contextos se utilizan la multiplicación y la división de números con signo. R. L.

1) R. M. Cuando hay dos factores, si los signos son iguales el resultado es positivo y si los signos son diferentes el resultado es negativo. Cuando hay más de dos factores, si todos son positivos el resultado será positivo. Cuando aparecen factores con signos negativos, si hay una cantidad par de ellos el resultado será positivo, pero si son un número impar el resultado será negativo.

29


h o r P

25. Revise con el grupo los resultados del apartadoTareas . 26. Pida a cada equipo que presente su juego al resto del grupo, y al término de la presentación proponga que se formulen preguntas. Si la presentación de las instrucciones no es clara o no incluye de manera adecuada la multiplicación y división de números con signo, solicite al equipo en turno que haga las precisiones necesarias. Si el equipo no logra incorporar dichas precisiones, pida a los demás alumnos que ofrezcan propuestas para mejorar el juego. 27. Una vez que se hayan presentado todos los juegos, intercambie las propuestas y permita que los equipos jueguen con la propuesta que les tocó. Al �nal del juego, pida a los equipos que expongan sus experiencias.

28. Organice una discusión acerca de qué juego fue el mejor. Escriba en el pizarrón o en un lugar visible las ventajas de cada propuesta. 29 Ayude a los estudiantes a completar su tabla del archivo de evidencias. Al �nal del libro puede encontrar información al respecto. 30. Discuta con los alumnos las respuestas al apartado ¿Cómo nos fue? , y evalúe con ellos los avances en el aprendizaje esperado.

Inicio


Durante el trabajo de la secuencia, se espera que los estudiantes resuelvan problemas con diferentes tipos de expresiones algebraicas: monomio, binomios, o polinomios de dos o más variables.

e u q o l B

Operaciones con expresiones algebraicas

2

Conocimientos y habilidades 1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Reconoce y obtiene expresiones algebraicas a partir de sucesiones numéricas, a la vez que aprende a operar, sumar y restar con ellas.

Los tiempos de Rita Rita entrena para participar en una carrera. Para ello, corre por los alrededores de su pueblo aprovechando que hay distintos tipos de terreno. Un día, sus cinco mejores amigas le ayudaron para que pudiera comparar en qué partes de su recorrido tenía una mayor o menor velocidad. Así que, con un cronómetro, midieron el tiempo de recorrido en cada parte.

Sugerencia de contenido En las expresiones algebraicas, las letras representan cantidades desconocidas y se conocen como variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas son la traducción a lenguaje matemático de expresiones del lenguaje común. La fórmula para calcular la velocidad es igual a distancia entre tiempo, que se expresa de la siguiente forma:

V = d t

1) R.M. Planteando en cada tramo una expresión algebraica y sumando los tiempos en expresión algebraica. 2) La expresión algebraica a la izquierda del signo es igual a la expresión que está a su derecha, aunque estén representadas de distinta manera (generalmente la segunda está simpli�cada, y por ello es más sencilla). 3) Agrupando términos semejantes que contienen la misma variable a la misma potencia.

Sus amigas le entregaron la siguiente información: En el tercer tramo del recorrido, hiciste el doble del tiempo que en el primero; en el cuarto tramo, el tiempo fue el mismo que en el segundo más seis minutos; mientras que el tiempo del quinto tramo fue un tercio del tiempo del cuarto tramo menos tres minutos. 



¿Cómo puede calcular Rita el tiempo que hizo en cada tramo y el tiempo total del recorrido? R. M. Conociendo el tiempo que hizo en el primer tramo y sumando cada uno de los tramos para descubrir el tiempo total. ¿Cómo puede medir su velocidad?

R. M. Necesita dividir la distancia recorrida entre el tiempo total ( V = d/t ). Coméntalo con tus compañeros de grupo y con el profesor.

Preguntas para andar 





¿Cómo se puede calcular el tiempo de recorrido de Rita en cada tramo? ¿Y el tiempo total? 1) ¿Qué significa el signo  que se encuentra entre una expresión algebraica y su simplificación? 2) ¿Cómo se suman o restan las expresiones algebraicas? 3)

30


a t n e v

1.

u s a d i b i

2.

h o r P

Antes iniciar el trabajo de la secuencia didáctica, recuerde al grupo que toda expresión algebraica es una combinación de letras, números y símbolos. Organice al grupo en equipos e indíqueles que representen grá�camente el problema elaborando un dibujo del recorrido de Rita. Pida que cada equipo muestre su dibujo al resto del grupo y lo explique.

3.

Solicíteles que identi�quen cuál o cuáles tramos del recorrido están determinados en función de otro tramo. Propicie que discutan grupalmente para determinarlo.

4.

Si después de comentar la segunda pregunta de la actividad nadie propuso la fórmula para calcular la velocidad, coméntela con ellos o pídales que la investiguen.

5.

Con el �n de que identi�quen los datos que hacen falta para poder calcular el tiempo que hizo Rita en su entrenamiento, plantee las siguientes preguntas: ¿Es necesario conocer el

tiempo de todos los tramos para calcular la velocidad de Rita? ¿El tiempo de qué tramos necesitan conocer para calcular el tiempo del resto de ellos? 6.

Propicie la discusión grupal para dar respuesta al apartado Preguntas para andar . Pida que den ejemplos para ilustrar sus respuestas. Esto les ayudará a comprender que las expresiones algebraicas son formas de simbolizar una situación problemática, así como a familiarizarse en el operar con ellas.

Planeación

Desarrollo


Nuestro trabajo En la actividad El caso de los monomios , propicia que los estudiantes generalicen y obtengan expresiones algebraicas de situaciones concretas, así como de sucesiones numéricas representadas grá�camente.

En equipos, elaborarán tres juegos de 24 cartas cada uno, con expresiones algebraicas y dos cartas que tendrán los sígnos  y  respectivamente.  



Recortarán tarjetas de cartulina que midan 10 por 5 cm. Entregarán los resultados de los juegos a su maestro acompañados de una explicación sobre cómo resolver sumas y restas de expresiones algebraicas. A lo largo de las actividades encontrarán las instrucciones para hacer cada juego de cartas.

El caso de los monomios También se pretende mostrar a los alumnos la suma y resta de monomios.

Para ayudar a Rita a calcular sus tiempos y para elaborar tus cartas, necesitas utilizar expresiones algebraicas. A continuación realizarás varias actividades que te ayudarán a entender cómo sumar y restar éstas expresiones. En algunos casos, como las sucesiones, es conveniente utilizar expresiones algebraicas para representarlas.


Por ejemplo, la expresión 3n 1 puede representar la siguiente sucesión de canicas, en la que n representa a cada término de la sucesión:

  

, , ¿Cuántas canicas tendrá el término 15 de la sucesión? ¿Y el 18? 44 y 53 ¿Cómo obtuviste los resultados? Multiplicando (3)(15) −1 y (3)(18) −1 Considera las siguientes sucesiones de canicas: ,



...

,

,

...

,

,

,

...

1) R. M. Que el valor de n se multiplica por 3, 5 y −2, respectivamente.

Escribe una expresión algebraica que represente el número de canicas que hay en cualquier posición de cada sucesión: canicas verdes: 

(n − n ) + 1

canicas azules:

(n − n ) + 1

Si juntas las dos sucesiones, término a término, para formar una sola, ¿cuál es la expresión algebraica que representa cada término de la nueva sucesión?

2) R. M.

(n − n ) + 2 



Escribe en el cuaderno el significado de las expresiones algebraicas 3 n , 5n y

2n .



¿Qué valor puede tomar n en cada una de las expresiones? Cualquier valor.



¿Cómo representarías la suma de las expresiones 3n y 5n ? 3n + 5n

Cuando una expresión algebraica está compuesta por un solo término, se llama monomio ; cuando está compuesta por dos términos, binomio ; por tres términos, trinomio . Cuando tiene dos o más términos, también se le puede llamar polinomio .

1)

Representa en el cuaderno, con mosaicos de diferente color, la sucesión generada a partir de la suma de las expresiones 3n y 5n , como una misma. 2) 

¿Cómo obtendrías el total de mosaicos de cada término de esta secuencia? Sumando el producto del primer término por el producto del segundo (3 n + 5n ).



¿Coincide con la suma que propusiste? Sí



¿Cómo escribirías la resta de estas expresiones? ¿Qué significaría en términos de las sucesiones de mosaicos? 5n − 3n = 2n o 3n − 5n =

3) R. M. Para la primera expresión, el valor de cada término se multiplica por dos; para la segunda expresión, no signi�ca nada, porque el resultado es un número negativo.

3)



¿Cuál expresión algebraica representa la suma de 3n , 5n y 2n ? 3n + 5n + (−2n ) = 8n −2n = 6n



¿Cuánto vale la suma de las tres expresiones si n  85? 3(85) + 5(85) + (− 2)( 85) = 225 + 425 − 170 = 480



¿Cuál es el valor de 5n  3n si n  85? 425 − 255 = 170 31


7.

u s a d i b i

h o r P

8.

Antes de leer la actividad El caso de los monomios , pida a los alumnos que observen las ilustración de las canicas y describan qué es lo que observan. Indíqueles que expresen numéricamente la sucesión representada por los dibujos. Pida que identi�quen cuántos términos están representados en la primera sucesión y cuántas canicas hay en cada uno. Sugiérales que continúen durante tres o cuatro términos más la sucesión numérica que representan las canicas. Para ello, guíelos con razonamientos como el siguiente: Si se tiene 2, 5, 8, ¿qué número sigue? Propicie la discusión grupal a propósito de las respuestas a las preguntas de esta actividad.

9. Repita el mismo procedimiento para el caso de la segunda ilustración (las canicas verdes y azules). 10. Motívelos para que diferentes voluntarios expongan al grupo el signi�cado de las expresiones algebraicas dadas. Sugiera que den ejemplos concretos. 11. Organice al grupo en equipos para realizar la parte de la actividad en que tienen que hacer los mosaicos. Indique que primero comenten las respuestas con su equipo y luego las discutan con el resto del grupo.

Desarrollo

Intención pedagógica En la actividad Los tiempos de Rita , se busca que los estudiantes reconozcan el aspecto formal de las expresiones algebraicas, es decir, sus elementos y nombres. Asimismo, se pretende que puedan traducir a lenguaje algebraico una situación presentada en lenguaje cotidiano.



¿Qué representa la suma 5 a  (a )? R. M. Que a la expresión 5a se le resta a .



Calcula el resultado y explica qué significa. 4a; signi�ca que se multiplica por 4



¿Cuánto vale la suma si a  1.56? ¿Y si a 

el valor de a .



3 ? 4

6.24 y 3

Numera las siguientes figuras y escribe una expresión, para cada color, que describa la sucesión de palillos:

n + 1 n palillos rojos Sucesión de todos los palillos: 2n + 1 Suma las dos expresiones y compara el resultado con la expresión que describe a la secuencia de todos los palillos. n + n + 1 = 2n + 1

palillos azules 

Compara tu procedimiento y respuestas con los de otros compañeros.


Los tiempos de Rita Reúnete con un compañero para realizar las siguientes actividades.

Los términos de la expresión 4a + a 2 no son semejantes, ya que las variables no están elevadas a la misma potencia, por lo tanto no se pueden simpli�car.

Como recordarán, una expresión algebraica es la combinación de números, letras y signos de operación. En casos como éste las letras o variables representan un número general, es decir, pueden tomar cualquier valor. A las variables de una expresión algebraica separadas por signo  o  se les llama términos de la expresión. 

Lean nuevamente la información de la actividad inicial sobre el tiempo que hizo Rita en cada uno de los tramos de su entrenamiento. 

Si Rita hubiera hecho el mismo tiempo en cada uno de los cinco tramos, ¿cuál sería la suma de los tiempos empleados?



t + t + t + t + t = 5t

o o o ¿Qué tramos del recorrido guardan una relación entre sí? El 1. con el 3. , y el 2.

con el 4.o y con el 5.o. 

Elijan una variable y, con ella, escriban una expresión algebraica que represente el tiempo que hizo Rita en recorrer el tercer tramo: R. M. Si llamamos t al primer tramo del recorrido, la expresión sería 2 t .



Ahora, escriban una expresión que represente la suma de los tiempos del primer y tercer tramo:

t + 2t

Una variable puede aparecer multiplicada por una constante, por ejemplo 3n o 7 n . Observen que 3n y 7 n comparten la misma variable elevada a la misma potencia. A este tipo de términos se les conoce como términos semejantes. Al sumar términos semejantes las constantes se suman y la variable se mantiene, por ejemplo 3n  7n  10n , por tanto el resultado también es un término semejante.  

7 x son 5

¿Y 9a con 7b ? No, porque tienen distintas variables. ¿Cómo restarían términos semejantes? R. M. Restando los coe�cientes. ¿Los términos 4x y

semejantes?

Sí

Para encontrar un valor en particular de n , por ejemplo n  2.56, pueden calcular la suma de las expresiones para ese valor. Así que en 3 n  7 n  10n quedaría 3  2.56  7  2.56  10  2.56 que de cualquier forma da lo mismo, ¡verifíquenlo! 32



h o r P

12. Revise con los alumnos las respuestas que hayan dado al problema de la sucesión de palillos. Si surgen diferencias, pida que para veri�car sus expresiones sustituyan las literales por su valor numérico. En caso de detectar errores, corríjalos con el grupo. 13. Organice al grupo en los mismos equipos del inicio de la secuencia y pídales que retomen el trabajo que realizaron entonces. Sugiérales que elaboren un dibujo de la nueva situación que se plantea y que comenten entre sí cómo podrían expresar dicha situación en lenguaje algebraico. 14. Cada equipo deberá elegir una variable distinta, es decir, una letra con la que se pueda expresar lo que se indica en la actividad. Después cada equipo expondrá ante el grupo sus conclusiones, ejempli�cándolas y justi�cando su validez.

15. Solicite a diferentes voluntarios que le expliquen al grupo lo que es un término semejante. Para ello tendrán que dar ejemplos de términos semejantes y de términos que no lo sean. 16. Escriba en el pizarrón ejemplos de expresiones en las que haya términos semejantes y expresiones en las que no aparezcan. Pídales que identi�quen en cada caso los términos que sean semejantes. 17. Al �nal, guíe a los alumnos para que determinen entre todos una estrategia que les permita identi�car en qué casos son semejantes dos o más términos.



¿Cómo vamos?

Operaciones con más de una variable , se pretende que los En la actividad

Reúnete con tu equipo para jugar con su primer juego de 24 cartas.

En cada carta escriban expresiones algebraicas como las que se muestran en las cartas de la derecha.Utilicen x como variable. – 4x Coloquen las cartas con la cara hacia abajo y , por turnos, lancen el dado y tomen tantas cartas como puntos hayan obtenido. Si sale 1 vuelvan a lanzar el dado. Después, tomen una de las tarjetas con el signo  o ; representen la operación y resuélvanla. Quien lo haga correctamente gana tantos puntos como números haya obtenido en los dados.

2 x

estudiantes reconozcan y obtengan expresiones algebraicas de dos variables a partir de una sucesión numérica representada grá�camente.

x

3 _1 x

Analicen los resultados del juego y contesten las preguntas.    

También se pretende que los alumnos distingan entre los coe�cientes de las variables y los coe�cientes independientes.

¿Quién ganó el juego? R.L. ¿Qué tan complicado resultó? R.L. ¿Qué deben hacer para sumar o restar monomios con la misma variable? Sumar o restar los coe�cientes. ¿Podrían sumar las expresiones 2 x y 4x 2? ¿Por qué? No, porque aunque tienen la misma variable no están elevadas a la misma potencia.

Operaciones con más de una variable


Antes de continuar con el problema de Rita, reúnete con un compañero y r ealicen las siguientes actividades.

En esta sucesión los rectángulos representan mesas y los cuadrados sillas para los posibles invitados a una reunión de trabajo.



En las expresiones algebraicas de dos o más términos, algunos de ellos están conformados por número y variable, y otros tan sólo por un número. Los números de las variables se denominan coe�ciente de la variable , e indican el número de veces que aparece la variable. El término con un solo número se llama coe�ciente independiente , e indica el valor de ese número.

Escriban una expresión algebraica para la sucesión que representa el número de: 2n + 4 n Mesas: Sillas: 

¿Cómo podrían encontrar el total de muebles para cualquier posición? Sumando las expresiones que representan las sucesiones de sillas y mesas.



Ahora, escriban una expresión algebraica que represente la suma de las mesas y las sillas: n + (2n + 4) = 3n + 4



En la suma, ¿los términos que contienen la variable representan lo mismo que los independientes, es decir, los que no tienen variable?

No

¿Por qué? Porque los otros son constantes. 

¿Tiene sentido sumar términos con variable con términos independientes? ¿Por qué? R. M. No, porque no representan cosas distintas.



¿Cuántos muebles habrá en el octavo término? 8 mesas y 20 sillas, 28 en total.

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En caso de que encuentren diferencias, intercambien puntos de vista para llegar a conclusiones. 33


h o r P

18. Un día antes de que se lleve a cabo el juego con las tarjetas, pida a los estudiantes que se organicen en equipos para elaborar el material. Sugiérales que lo elaboren como tarea para aprovechar el tiempo de la clase en la realización del juego. Las tarjetas se pueden hacer doblando por la mitad hojas de papel blanco. El número de dobleces dependerá del tamaño que se quiera dar a las tarjetas. 19. Pida a diferentes voluntarios que pasen al pizarrón a escribir una expresión algebraica siguiendo lo sugerido en el apartado ¿Cómo vamos? Una vez que la hayan escrito, indique al resto del grupo que discuta cuál es el signi�cado de cada expresión. 20. Revise que todos los equipos tengan el material y organícelos para que lleven a cabo el juego de manera ordenada. Otorgue un tiempo pertinente para su realización.

21. Antes de iniciar la actividad Operaciones con más de una variable , pida a los alumnos que comenten qué observan en la sucesión mostrada en la imagen, tanto en términos numéricos como en las �guras geométricas. 22. Después de leer el problema, sugiérales que para cada caso (mesas y sillas) escriban una sucesión numérica que sirva cuando menos para los cinco primeros términos. 23. Pregúnteles si pueden usar la misma variable al escribir la expresión algebraica de cada caso (mesas y sillas). Es decir, si pueden escribir la misma letra. Pida que justi�quen su respuesta.

Desarrollo




En las expresiones 5 a  4a  2 y 8x  3  4x  4, ¿qué valores pueden tomar a y x en cada caso? Cualquier valor.

En la actividad Retomemos el problema de Rita , se busca que con base en lo trabajado los estudiantes sean capaces de obtener expresiones algebraicas conformadas por términos con variables y términos independientes, y que sean capaces de sumar y restar dichas expresiones.



Los términos con variable y los independientes, ¿son semejantes? No



En cada caso, ¿cuál es el resultado si se suman los términos semejantes? 9a + 2 y 12x + 1



Simplifiquen las expresiones: 5a  4a  2 

9a + 2

8x  3  4x  4 

12x + 1

Retomemos el problema de Rita. Trabaja de manera individual.

Se denomina s al tiempo que hizo Rita en recorrer el segundo tramo. 


Escribe las expresiones algebraicas que describan el tiempo que hizo Rita en el cuarto y en el quinto tramos: R. M. Si llamamos s al segundo tramo: Cuarto tramo:



Quinto tramo:

(s + 6 ) − 3 = ( 1 s + 2) − 3 3 3

Expresa y simplifica la suma de los tiempos de Rita del segundo, cuarto y quinto tramos.

Cuando se resta una expresión algebraica a otra, se debe sumar el simétrico del sustraendo.

s + 6

s + s + 6 + s + 6 − 3 = 2 1 s − 1 3 3

Si los datos del problema inicial fueran que Rita tardó 6 t  5 minutos en recorrer todo el trayecto, el último tramo lo recorrió en 2 t  1 minuto e hizo t minutos en el primer tramo. 

¿Cuánto tiempo tardó Rita en recorrer el resto del trayecto?



Escribe y simplifica la expresión algebraica. (6t − 5) − (2t + 1) − (t )= 6t − 5 − 2t − 1 − t = 3t − 6

3t − 6

En actividades anteriores, sumaste y restaste expresiones algebraicas de una variable. Nota que en restas como (3n  4)  (7n  5), el signo de sustracción indica que hay que sumar el simétrico del sustraendo, es decir, hay que sumar ( 7n  5) a (3n  4). Así (3n  4)  (7n  5) quedaría como 3n  4  7n  5, que simpli�cando da  4n  1. 

Explica cómo sumarías o restarías expresiones con dos o más variables. Agrupando los términos semejantes de cada variable.



Escribe un ejemplo que demuestre tu explicación.

R. M. 3n + 4m − 4 − n + 2n − 2m + 6 = 2n + 2m − 10 Compara tu explicación con las de otros compañe ros y, en caso de que encuentren diferencias, coméntelas con el profesor y busquen llegar a conclusiones.

– 4 n – 2n

+ 3

+ 1

¿Cómo vamos? 3 n

+ 4

1 _ 3 n – 2

Reúnete con tu equipo para hacer el segundo juego de cartas.

Elaboren 24 cartas que tengan expresiones algebraicas con términos con variables y términos independientes como los que se muestran. Utilicen la letra n para representar la variable. Jueguen otra partida como la anterior.  

¿Cuál es la mayor dificultad que encontraron al realizar el juego? R.L. ¿Les ha ayudado a comprender la suma y resta de expresiones algebraicas? R.L.

Recuerden realizar el escrito en el que expliquen cómo sumar y restar expresiones algebraicas con términos con variable y términos independientes. 34



h o r P

24. Discuta con el grupo las respuestas al problema de Rita. Es probable que algunos estudiantes no usen paréntesis para representar el tiempo en el quinto tramo del recorrido; en tal caso, discuta la diferencia entre las siguientes expresiones: 1 (s + 6) − 3, 1 s + 6 − 3 y ( 1 s + 6) − 3. 3 3 3 Aproveche el momento para recordar la propiedad distributiva del producto con la adición.

25. Veri�que que las tarjetas elaboradas por los equipos cumplan con las características requeridas. Luego dedique un tiempo pertinente para que los estudiantes jueguen con ellas. 26. Pídales que anoten en su cuaderno las expresiones obtenidas en cada turno y que registren los resultados de cada jugador en su respectivo turno. Después coordínelos para que muestren y comenten sus resultados en plenaria. Ayude a quienes tengan dudas respecto de algún resultado.



Con dos o más variables Recuerda que en las expresiones algebraicas para nombrar distintos objetos o valores puedes usar diferentes símbolos para cada variable. Las variables con símbolos distintos no se pueden sumar ni restar porque representan objetos diferentes. Únicamente puedes operar con variables representadas por la misma letra.

En estas actividades, se espera que los estudiantes puedan sumar y restar expresiones algebraicas en las que aparecen términos que no son seme jantes.

Nuevamente reúnete con un compañero para trabajar con las siguientes actividades. Discutan sus procedimientos y sus resultados. 

Para la siguiente secuencia en la que, como recordarán, los rectángulos representan mesas y los cuadrados sillas: 1

2

3

1 5 1) 8 a + 2 − 3b + (−2a + 1 6 b − 2) = 6a − 1 6 b

 

 

Numeren las figuras. Encuentren una expresión que describa la sucesión de las sillas y otra que describa la secuencia de las mesas. Sillas: 2n + 4 Mesas: m Sumen las dos expresiones, consideren por separado las mesas y las sillas. Comparen su resultado con la expresión que describe la sucesión de todos los muebles.

5 1 2) 12 − 9 6 = −6 6 1 3) 8 a + 2 − 3b − (−2a + 1 6 b − 2) = 1 1 8a + 2 − 3b + 2a − 1 6 b + 2 = 10a − 4 6 b + 4

3n + 4 + m

5 1 4) 20 − 20 6 + 4 = 3 6

Contesten las siguientes preguntas con base en estas expresiones:

8a  3  (3b  1)

2a

1 ^ 3 hb

3 ^ 2 hb

2



¿Qué valores pueden tomar las variables a y b ? Pueden tomar cualquier valor.



¿Cómo las sumarías o restarías? Agrupando los términos semejantes y sumando o restando sus coe�cientes.



¿Cuál es el resultado de sumar las dos expresiones? 1)



¿Cuánto vale la suma de las expresiones, si a  2 y b  5? 2)



¿Cuál es el resultado de restar la segunda expresión a la primera?



¿Cuánto vale esta resta, si a  2 y b  5? 4)



3)

¿Cómo escribirías la suma de tres números consecutivos? ¿Es el resultado de la suma divisible entre 3? n + (n + 1) + (n + 2) Sí, porque la suma es igual a 3 n + 3, y para cualquier valor de n el resultado siempre será divisible entre 3.

Realiza las siguientes act actividades en el cuaderno.

1. Analiza esta sucesión:

a) Encuentra una expresión algebraica que describa al número de cuadrados sombreados de cualquier �gura y otra para los cuadrados blancos. Azules: n + 1 b) Suma las expresiones para obtener el número total de cuadrados en cada �gura. (n + 1) + (n 2 − n ) = n 2 + 1

Blancos: n 2 − n

35


h o r P

27. Pida a los estudiantes que usen distintas literales para representar las mesas y las sillas. Sugiera que elaboren una tabla como la que se muestra. En la primera columna deberán anotar el número de término; en la segunda, el número de mesas; en la tercera, el número de sillas, y en la cuarta el total de muebles de la �gura correspondiente.

Término

Mesas

Sillas

Total de muebles

1

1

6

7

2

2

8

10

28. Indíqueles que continúen la sucesión numérica hasta el décimo término para que puedan determinar las expresiones algebraicas. 29. Propicie una discusión grupal a propósito de las diferencias entre la expresión obtenida al considerar la suma de las dos sucesiones y la expresión obtenida para expresar el total de muebles. 30. Discuta en plenaria las respuestas de los estudiantes, y permita en caso de error sean ellos mismos quienes se corrijan.

Desarrollo


¿Cómo vamos? En la actividad Los tiempos de Rita , los estudiantes pondrán en práctica todos los conocimientos y habilidades adquiridos a lo largo de la secuencia para, �nalmente, resolver el problema.

Reúnete nuevamente con tu equipo para hacer su tercer juego de cartas. R.L.

2 2a – 3b –





2 +b –4a + 3a





Elaboren 24 cartas que tengan expresiones algebraicas de dos o más variables, como las que se muestran a la izquierda. Sigan las reglas de los j uegos anteriores. Recuerden que al hacer sumas o restas con expresiones algebraicas deberán realizar las operaciones, con los términos que contienen la misma variable a la misma potencia, por separado de las que contengan una variable diferente, es decir deberán agrupar los términos semejantes y simplificar. Escriban una explicación de cómo sumar y restar expresiones algebraicas, con más de una variable, para presentarla al final.

Los tiempos de Rita Para saber el tiempo que hizo Rita en todo su recorrido es necesario sumar expresiones algebraicas de distintas variables. Reúnete con tus compañeros de equipo y recuperen los datos del problema de Rita. Completen la siguiente tabla. Tiempo en minutos que hizo Rita en cada tramo del r ecorrido









Primero

Segundo

t

s

Cuarto

2t

s + 6

Si el tiempo total del recorrido de Rita es de una hora con 15 minutos y el tiempo en el segundo tramo es de 12 minutos, ¿cuánto tiempo hizo en cada tramo de su 14 min, 12 min, 28 min, 18 min y 3 min, respectivamente.

¿Cómo calcularían la distancia recorrida por Rita en cada parte de su trayectoria? Dividiendo la velocidad entre el tiempo ( d =

 

Quinto s + 6 −3 3

Escriban la expresión que representa a la suma de los tiempos empleados. t + s + 2t + s + 6 + s + 6 −3 3 Apliquen la propiedad distributiva en la expresión del tiempo para el quinto tramo. 1 (s + 6) − 3 = 1 s + 2 − 3 3 3 Simplifiquen la suma de los tiempos empleados en cada tramo para obtener el tiempo total del recorrido de Rita. Utilicen lo que saben sobre las operaciones con 1 términos semejantes. 3t + 2 s + 5 3

recorrido? 

Tercero

v ). t

¿Cómo calcularían la distancia total que recorrió? Sumando las distancias de cada tramo. Si usan la relación velocidad  distancia/tiempo y las distancias de cada tramo que midieron las amigas de Rita, que son d 1  175 m, d 2  200 m, d 3  198 m, d4  182 m y d 5  160 m, ¿cuál fue su velocidad en cada parte del trayecto? 12.5 m/min, 16.6 m/min, 7.07m/min, 10.11 m/min, 53.3 m/min



¿En cuál parte Rita llevaba mayor velocidad?

En el quinto tramo.

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y expliquen la manera en que las obtuvieron. 36



h o r P

31. Nuevamente, dedique un tiempo razonable para que los estudiantes elaboren las tarjetas y jueguen varias veces con ellas. Recuérdeles que en esta ocasión deberán escribir sus conclusiones, para presentarlas al �nal del trabajo de la secuencia.

32. Una vez que los estudiantes hayan resuelto el problema de Los tiempos de Rita , elija a un equipo que exponga su respuesta a la primera pregunta. Deje abierta la posibilidad de que el resto del grupo formule preguntas y que sean ellos mismos quienes las respondan. De la segunda pregunta en adelante irá cambiando el equipo que exponga la respuesta correspondiente, de manera que la mayoría de los equipos puedan participar en la exposición.

Desarrollo

Cierre Desarrollo rr llo

En la sección Historias de Vida se presentan referencias históricas, o relatos acerca de personas o acontecimientos que se relacionan con el tema que se está estudiando. En este caso, se habla de una sucesión descubierta por Fibonacci.

Realiza las siguientes ac actividades en el cuaderno.

1. ¿Cuál es el resultado de sumar las siguientes expresiones? a) a  1 ka 2  a 3 k a  a 2 k b b)  a 5 k a 2  a 3 k a  a 1 k b c) 8 4 4 4 2 8 2. Resta las siguientes expresiones: a) a  1 ka 2  a 3 ka  a 2 kb menos  a 5 ka 2  a 3 k a  a 1 k b 4 2 8 8 4 4 b)  a 5 ka 2  a 3 ka  a 1 k b menos  2a 2  a 3 k a  a 1 k b 8 4 4 8 2 3. Escribe y simpli�ca la resta de las expresiones 7r  3s  8w y



2a 2  ^ 3 h a  ^ 1 h b − 23 a 2 − 1 a −b 8 2 8 3 a) 3 a 2 + 3 a 8 4 b) − 11 a 2 + 3 a + 1 b 8 8 4

9r  6s  4w . 16r − 3s − 4w



Si r  2w y s  8w , ¿cuál es la expresión que representa la diferencia? 14w + 24w − 8w + 18w − 48w + 4w = 4w 4. Suma las expresiones: 9a 2  ab  2a  8b

3a 2 7a  6b  4ab




5a 2  10b 12a 9ab a 2 −12ab − 21a + 24b




14n 2 + 10mn −12m + 20n

5. Resta las expresiones: (9n 2  mn 2m  8n )  ( 5n 2  10m 12n 9mn ) 6. La fórmula para calcular la temperatura en grados Fahrenheit (°F), a partir de la temperatura dada en grados Celsius (°C), es °F  9 5 °C  32. ¿Cómo usarías esta expresión para calcular el promedio de temperaturas en grados Fahrenheit de cinco días diferentes? R. M. Convirtiendo la temperatura expresada en grados Revisa tu tarea en equipo y corrige lo que sea necesario.

En esta página web puede encontrar más información relacionada con la sucesión de Fibonacci, así como un video interesante e ilustrativo:

Celsius a grados Fahrenheit, sumando las cantidades y dividiendo el resultado entre cinco.

http://www.ingenegros.com.ar/Documentales/mas-por-menos-fibonaccimagia-de-los-numeros.html

En 1202, el matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci) planteó y resolvió el problema de la reproducción ideal de una pareja de conejos durante un año. Él lo planteó así: al �nal de un mes habría una pareja, la original; al segundo habría dos parejas, al tercero habría tres parejas, al siguiente cinco parejas y así sucesivamente. Fibonacci encontró la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… ¿Puedes encontrar cómo se va formando la sucesión? R. M. Cada término representa la suma de los dos términos anteriores.

Presentación de nuestro trabajo Presenten a sus compañeros y al profesor sus juegos de cartas. Expongan cómo sumar y restar expresiones algebraicas. 

 

Revisen que las expresiones, en cada caso, correspondan con las características que se requirieron. Compartan sus juegos con otros equipos y practiquen con ellos. ¿Cuál fue el mejor trabajo? R.L. Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

¿Cómo nos fue?    

¿Qué tan difíciles resultaron los juegos? ¿Fueron parecidos? R.L. ¿Puedes ahora sumar y restar expresiones algebraicas? Explica cómo. R.L. Agrupando términos semejantes. ¿Cómo se comportaron durante los dos juegos? R.L. Escribe un párrafo en el que expliques a un amigo por qué es importante utilizar variables distintas para objetos diferentes. R.L. 37


h o r P

33. Divida al grupo en parejas e indique a los estudiantes que intercambien la tarea para que cada uno revise el trabajo del otro. Terminada la revisión, pida que regresen los cuadernos de modo que cada estudiante observe la valoración de su pareja. Finalmente, propicie la discusión grupal a propósito de los resultados de los ejercicios. 34. Pida a los estudiantes que lean el apartado Historias de vida y que encuentren en equipo el patrón de construcción de la sucesión de Fibonacci.

35. Dedique una sesión completa a la exposición de los juegos de tarjetas. Una vez elegido el mejor, lo podrán jugar por equipos. 36. Discuta con el grupo las respuestas al apartado ¿Cómo nos fue? , y evalúe junto con ellos los avances en el aprendizaje esperado.

Inicio


Durante el trabajo en esta secuencia didáctica, se espera que los estudiantes reconozcan expresiones algebraicas equivalentes y trabajen con ellas. De este modo aprenderán a reconocer identidades algebraicas simples mediante el uso de modelos geométricos.


Planeación

De la geometría al álgebra

3

e u q o l B

1) R. M. ab − 3cs − 4s 2 Calcular el área total y restar las áreas del baño y la o�cina. ab − (3cs + 4s 2) Calcular el área total y restar la suma de las áreas del baño y la o�cina. 2) R. M.

Conocimientos y habilidades 1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

El diseño de la bodega Observa la siguiente imagen que representa una bodega rectangular de a metros de largo y b metros de ancho, en donde se desea construir una o�cina de 3 s de ancho por c de largo y un baño sobre una super�cie cuadrada de 2s por lado. a

a

Una identidad algebraica es la igualdad entre dos expresiones algebraicas que se veri�ca dando valores numéricos a las variables.

a

a

a

1

a +1

2

a

a (a + 1)

a

O�cina

a

a

Las identidades algebraicas son útiles para transformar una expresión algebraica en otra más sencilla o más adecuada para los �nes que se buscan.

Baño

b

a + 2

2a

3s

c

Con base en los datos que te proporciona el diseño contesta.

a (a + 2)

  

3) Sí. R. M. Por ejemplo:

4= a +1

2s

4+ a

¿Cuál es la expresión algebraica del área que ocupa el baño? (2s )2 ¿Y cuál es la expresión algebraica del área de la oficina? (c)(3s ) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de espacio libre en la bodega? R. M. (a )(b ) − (c )(3s ) − (2s )2

Preguntas para andar

4 1





 

¿Cómo puedes escribir de dos maneras distintas la expresión algebraica que representa el área del espacio libre en la bodega? Describe el procedimiento que usaste. 1) ¿Cómo representarías con figuras geométricas a las expresiones algebraicas a 2, a , a (a  1), a (a  2), 2 a ? 2) ¿La expresión algebraica 4(a  1) es equivalente a 4a  4? Sí ¿Crees que se podría demostrar geométricamente que son equivalentes? 3)

Nuestro trabajo En parejas, diseñarán cinco rompecabezas de �guras geométricas que permitan ilustrar cinco expresiones algebraicas equivalentes. A lo largo de las actividades encontrarán información útil para elaborarlos. 

Necesitarán dos cartulinas, tijeras, cinta adhesiva y una base de cartón.

38


a t n e v

1.

h o r P

4.

¿qué forma tiene? ¿qué otras formas o �guras observan en ella?

u s a d i b i

Pida a diferentes alumnos que describan la ilustración del diseño de la bodega partiendo de las siguientes preguntas:

2.

3.

Antes de responder a las preguntas de la situación problemática, pídales que digan cuáles son las fórmulas para calcular el área del cuadrado y del rectángulo. Luego de que expliquen cómo se aplican dichas fórmulas, guíelos para que expresen en lenguaje común la forma en que pueden calcular el área del terreno que queda libre y después escriban la expresión algebraica correspondiente. Propicie la discusión grupal acerca de sus posibles respuestas en el apartado Preguntas para andar .

Cuestiónelos acerca del trabajo que se les pide que hagan en la sección Nuestro trabajo y motívelos para que ilustren un ejemplo de un posible rompecabezas. Si surgen di�cultades, exponga un ejemplo concreto del trabajo que se espera que elaboren.

Área = a 2

Área = a (2a )

a 5.

Organice al grupo en parejas y establezca un lapso pertinente para que organicen el trabajo. Pídales que en la próxima sesión traigan el material para elaborar las primeras piezas de su rompecabezas.

Desarrollo


Identidades algebraicas: desarrollo de factores Con esta actividad, se pretende que mediante la manipulación de modelos geométricos los estudiantes, identi�quen las identidades algebraicas del producto de un binomio por una variable y del producto de binomios con un término común. Esto es:

Representa expresiones algebraicas con las piezas de un rompecabezas.

En el diseño de la bodega podemos trabajar con representaciones geométricas que nos permiten identi�car y utilizar expresiones algebraicas equivalentes para representar el área total del terreno y de cada una de las partes del diseño. Antes de esto explora cómo se puede representar la expresión ( x  1)(x  2) con cuadrados de lado x , cuadrados de lado 1 y rectángulos de 1 de ancho y x de largo, como los que se muestran a la derecha.

x

Con estas �guras, ¿cómo se puede representar el lado x  1 de otra �gura? 

x

x

1

1

1)

Reúnete con un compañero y en el cuaderno, dibujen las figuras de manera que representen una nueva figura que tenga un lado de longitud x  1. 

 

(x + 1)x = x 2 + x

Intercambien su dibujo con otro equipo. ¿Son iguales? ¿Por qué? Comenten sus respuestas. R. L. ¿Cuál sería la otra dimensión de esa figura? R. M. Puede ser cualquiera, en el ejemplo es x .

(x + 1)(x + 2) = x 2 + 3x + 2

¿Qué tendrían que hacer con las figuras anteriores para que esa dimensión fuera x  2, sin alterar la prim era dimensión que construyeron? 2)

1)

Representen con el rompecabezas las expresiones (x + 1) (x ) y (x + 1) (x + 2). 

Sí, al unir un cuadrado de lado x y un rectángulo de lado 1 se obtiene:

Junten un cuadrado de lado x con un rectángulo de lados 1 y x . Formen un nuevo rectángulo de largo x 1 y ancho x . 3)

x +1

x

2)

x  1 



¿Cómo representarían un rectángulo con dimensiones x  1 y x  2 utilizando las figuras anteriores? Se forma con un cuadrado de lado x , dos rectángulos pegados a su derecha y un rectángulo encima de él. La �gura se completa con dos A la figura anterior colóquenle dos rectángulos, como se muestra a continuacuadrados de 1 por lado. ción. Después completen la nueva figura utilizando cuadrados de 1 de lado.

Agregar dos rectángulos en la parte superior de la �gura y rellenar los espacios sobrantes con dos cuadrados de 1 de lado. (x + 1)(x )

(x + 1) (x + 2)

x +2 x  2

x  2

x +1 3) x  1

x  1

La operación (x  1) (x  2) en la �gura, representa el área del rectángulo cuyos lados son x  1 y x  2. Para visualizarlo necesitan completarlo. Observen el rectángulo. Área del cuadrado de lado x



Tres veces el área de un rectángulo (ancho 1, largo x )



x

Dos veces el área del cuadrado de lado 1

x +1 39


h o r P

6. Antes de iniciar la actividad, pida que diferentes voluntarios pasen al pizarrón y tracen un segmento de longitud x ; luego uno de x + 1, uno de x + 2 y �nalmente uno de x + 3. Permita que hagan lo que se les ocurra y propicie la discusión grupal acerca de cómo se trazan estos segmentos, asegurándose de que entre todos concluyan una estrategia correcta. 7. Propicie la discusión en torno de las respuestas que dieron a las preguntas de la primera actividad. Sugiérales que al exponer aprovechen sus dibujos para justi�car sus respuestas.

8. En la segunda parte, pídales que observen las piezas del rompecabezas que deben elaborar y sugiérales que, por lo pronto, sólo elaboren un cuadrado verde, tres rectángulos amarillos y un cuadrado azul. 9. Antes de vean la expresión algebraica de la suma descrita al �nal de la página, pídales que sean ellos quienes la representen, y que después consulten la expresión de la siguiente página para comprobar su respuesta.

Desarrollo


Otra forma de representar el área del rectángulo de la página anterior es sumando las áreas de las �guras que lo componen. Por ejemplo, esto se representa con la expresión x 2  3x  2.

1)

Practicar en la obtención y reconocimiento de identidades algebraicas semejantes a las ya trabajadas, además de obtener y reconocer una nueva identidad algebraica: el binomio al cuadrado; esto es:

=x + 2

+2

x

Como se está analizando el área de la misma �gura, esas dos expresiones deben ser iguales independientemente del valor de x , es decir que

x +1

x +1

x +1

(x 1)(x  2)  x 2  3x  2 A este tipo de igualdad de expresiones algebraicas se le llama identidad algebraica. Indica que ambas expresiones algebraicas son equivalentes o representan la misma cantidad para cualquier valor de la variable. ¿Observaron que esta identidad no es una ecuación?

2) x 2 + 3x + 5x + 15 = x 2 + 8x + 15



(x + a)2 = x 2 + 2ax + a 2


Para cualquier valor de x que sustituyan en la expresión, la igualdad se cumple. 

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos y desconocidos que se relacionan mediante operaciones matemáticas.

¿La variable x no representa a un valor que hay que encontrar? ¿Por qué? Porque la igualdad se cumple para cualquier valor de x .

Junto con tu compañero demuestren que la expresión ( x  1)( x ) también representa el área del rectángulo ( x  1) (x  2). 1)

( x  1)(2)



Reúnete con otro compañero y realicen lo que se indica. 

Utilicen las figuras de la página anterior y dibujen en el cuaderno, las figuras necesarias para representar los siguientes productos. Completen las identidades algebraicas y anoten la expresión equivalente.

4) (x + 1)(x + 1) = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1

3) 6x 2 + 2x + 12x + 4 = 6x 2 + 14x + 4

2)



(x  5) (x  3) 



(2x  4) (3x  1) 



(x + 1)

 



2



3)

4)

(3x  5) (2x  3) 

5)

¿Para qué valores de x la igualdad de cada una de las expresiones anteriores es cierta? Para cualquier valor de x . Observen las expresiones resultantes de cada multiplicación o potencia. ¿Cómo se obtiene el coeficiente de la x a partir de los factores dados? R. M. Al multiplicar los factores, obtenemos los nuevos coe�cientes para x .



5) 6x 2 + 9x + 10x + 15 = 6x 2 + 19x + 15



6)

R. M.

¿Y el término independiente? R. M. Al multiplicar los términos independientes de cada expresión.

En un terreno rectangular de largo a y ancho b , se desea hacer una huerta rectangular, cuyo ancho coincide con el del terreno pero su largo mide c . 

Hagan la figura que muestre al terreno con la huerta. 

Huerta

b

6)

Escriban la expresión algebraica que representa el área del terreno que no queda ocupada por la huerta. b (a − c )

Comparen sus respuestas con otros compañeros. Comenten acerca de las diferencias, si es que las hay, y por qué se dieron.

a

c 40



h o r P

10. Una vez trabajada la primera parte de la página, solicite que diferentes voluntarios expongan con ejemplos concretos la diferencia entre una ecuación y una identidad algebraica. El resto del grupo cali�cará las propuestas. 11. Sugiera que observen las identidades que aparecen y con base en ellas determinen cuántas piezas de cada tipo deben elaborar. Permita que discutan y concluyan las cantidades entre todo el grupo; luego otorgue un tiempo pertinente para que elaboren las piezas con que podrán armar las identidades que se proponen.

a

12. Para los nuevos casos de producto de binomios con términos semejantes, pídales que comenten qué quiere decir, en términos de las piezas del rompecabez as, tener 2x , 3x , etc. Para el caso del binomio al cuadrado, pregúnteles de qué otro modo pueden pensar la expresión (x + 1)2; esto es, pregunte qué quiere decir que algo está elevado al cuadrado. Guíe a los alumnos para que concluyan que: (x + 1)2 = (x + 1) (x + 1).



La propiedad distributiva Mediante las actividades de esta página, se busca que los estudiantes comprendan y utilicen la propiedad distributiva de la multiplicación entre expresiones algebraicas, y que sean capaces de establecer una regla que les permita obtener los productos notables de las diferentes identidades algebraicas, binomio al cuadrado, binomios conjugados y binomios con término común.

Re�exionen sobre la propiedad distributiva en los productos de expresiones algebraicas.

En el producto de expresiones algebraicas como (3 x  2)(2x  4) se usa la propiedad distributiva de la multiplicación: a × (b  c )  a × b  a × c . Por ejemplo (3x  2)(2x  4)  (3x 2)(2x)  (3x – 2)(4) y al usar nuevamente esa propiedad resulta (3x 2)(2x  4)  6x 2  4x  12x  8, que al sumar los términos semejantes resulta (3x  2)(2x  4)  6x 2  8x  8. A partir del ejemplo anterior deduce y responde. 

¿Cómo se obtiene el primer término 6 x 2 a partir de los términos de los factores? Se multiplican los primeros términos de cada factor: (3x )(2x )



¿Cómo se obtiene el término independiente 8 a partir de 2 y de 4? Se multiplican: (−2)(4) = −8



Encuentra una regla que te permita completar expresiones algebraicas como las siguientes y úsala para obtener los resultados, considera que a y b son constantes:


(x  a )2, (x  a )2, (x  a )(x  a ), (x  a )(x  b ). R. M. (x + a)2: El cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo. x 2 + 2ax + a 2 (x − a )2: El cuadrado del primer término, menos el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo. x 2 −2ax + a 2 (x + a )(x − a ): El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. x 2 − a 2 (x + a )(x + b ): 2El término común al cuadrado, más la suma de los términos no comunes por el común, más el producto de los términos no comunes. x + ax + bx + ab

Cuando se aplica la Propiedad distributiva de la multiplicación sobre una suma, el producto de la suma de dos o más sumandos multiplicado por un número o variable es igual a la suma de los productos de los sumandos por el número o variable:

¿Cómo vamos? Reúnete con tu pareja y avancen en la elaboración del rompecabezas. 







Recorten las figuras que necesiten para armar un rompecabezas que muestre cada una de las expresiones sigui entes, pueden usar rectángulos y cuadrados. 1) (6x  2)(2x  1), (3x  2)(2x  1) Encuentren la expresión equivalente a cada uno de los productos de expresiones algebraicas para completar cada identidad algebraica. En la otra cartulina dibujen los rompecabezas que armaron y escriban la identidad correspondiente al lado de cada figura. Inventen otro producto de expresiones, represéntenlo como rompecabezas y sigan las instrucciones anteriores. R. L.

a (b + c ) = ab + ac 1)

Antes del siglo XVII, la cantidad comparada del área de un terreno o del precio de algo se describía con una explicación verbal. A partir de ese siglo, con el trabajo de François Viète y Descartes, se usa el lenguaje simbólico para describir lo mismo. Hoy en día incluso se usan las mismas expresiones algebraicas o numéricas. Un problema puede describirse en distinto idioma, pero si está escrito con expresiones algebraicas éstas tendrán que ser las mismas, independientemente del idioma.

R. M. (6x + 2)(2x + 1) Expresión equivalente: 12x 2 + 6x + 4x + 2

(3x + 2)(2x + 1) Expresión equivalente: 6x 2 + 3x + 4x + 2

41


h o r P

13. Motive a los estudiantes para que expliquen voluntariamente qué es la ley distributiva de la multiplicación, y sugiera que den ejemplos concretos para comprobarla.

16. Una vez que cada equipo haya logrado determinar una regla, pida que la expongan y la expliquen al grupo para que entre todos establezcan la regla más óptima.

14. Propicie la discusión grupal acerca de las respuestas a las preguntas de la primera actividad. Sugiera que elaboren dibujos que representen el producto planteado.

17. Asigne un tiempo pertinente para que elaboren el trabajo planteado en el apartado ¿Cómo vamos?

15. Organice al grupo en equipos. Cada uno de ellos elegirá una de las identidades planteadas y buscará la regla que permita obtener el producto de manera rápida. Sugiera que hagan dibujos que representen la identidad y, con base en ellos, determinen la regla. No olvide asegurarse de que se trabajen las cuatro identidades.

Desarrollo


Con rompecabezas 1)

Al retomar la resolución de la actividad inicial, así como al trabajar en la sección ¿Cómo vamos? , los estudiantes reforzarán los conocimientos y habilidades adquiridos, al tiempo que el docente tendrá oportunidad de evaluar sus avances.

En parejas, resuelvan cada caso usando un rompecabezas como los anteriores. 

2)



a

Baño b

O�cina

2s

3s

Escriban dos factores que representen cada una de l as siguientes expresiones. 1) (x + 3)(x + 1)



x 2  4x  3 



2 x 2  2x  1  2) (x + 1)(x + 1) = (x + 1)



x 2  7x  10  3) (x + 2)(x + 5)

Regresemos al problema de la actividad inicial. Escriban la expresión algebraica que representa al área de la oficina, del baño y la del área que queda libre. 

Área de la oficina: 3sc



Área del baño: 4s 2



Área libre: ab − 3sc − 4s 2

c



3)

Analicen las identidades algebraicas que han dibujado. 

¿Hay algún procedimiento que les permita encontrar las identidades sin emplear al rompecabezas? Descríbanlo. R. L.



Empleen su procedimiento para obtener identidades algebraicas con los productos siguientes: a 2 + ab



a (a  b ) 



(a  b )(a  b )  a 2 − b 2



(a  b )2  a 2 + 2ab + b 2



a2b2

(a − b )(a + b )

¿Cómo vamos? Terminen los rompecabezas.  









¿Cómo has utilizado las figuras del rompecabezas? R. L. ¿El uso del rompecabezas te facilita la comprensión de lo que es una identidad algebraica? R. L. ¿Qué te resulta más fácil, armar el rompecabezas de un producto o el de la suma de expresiones algebraicas? R. L. Recorten las piezas necesarias para armar un rompecabezas que represente las expresiones ( a  b )2, a (a  b ), (a  b )(a  b ) y encuentren las identidades correspondientes. Dibujen cada rompecabezas en la otra cartulina y anoten la identidad respectiva. Inventen y armen un rompecabezas para una suma de expresiones sencillas.

42



h o r P

18. Antes de trabajar la actividad Con rompecabezas , pida a diferentes estudiantes que traduzcan a lenguaje común las expresiones algebraicas que se presentan y expliquen lo que signi�ca cada una.

20. Propóngales que, antes de resolver los casos de los productos que se presentan en la actividad previa al apartado ¿Cómo vamos? , traten de expresar en lenguaje común cada producto, y luego los resultados.

19. En el caso de las expresiones del problema inicial que se piden en la actividad, sugiérales que primero escriban con lenguaje común lo que se solicita. Puede apoyarlos dando el primer ejemplo: el área de la o�cina se obtiene a partir de multiplicar la longitud del lado largo, por la longitud del lado corto.

21. Una vez que las parejas hayan trabajado el apartado ¿Cómo vamos? , promueva que todo el grupo participe en la discusión de las distintas ideas.

Desarrollo

Desarrollo o Cierre Desarrollo

El apartado Tareas busca que a partir de la resolución de problemas especí�cos los estudiantes apliquen los conocimientos y habilidades adquiridos a lo largo de la secuencia.

Utiliza identidades algebr algebraicas y resuelve los problemas.

1. Anota una expresión equivalente a cada una de las que representan el área de los rompecabezas.

a) (2x  1) (x  3) 

2x 2 + 7x + 3


b) (2x  1) (2x  1)  4x 2 + 4x + 1


c) Asigna un valor a x y sustitúyelo en ambas expresiones. ¿Se cumple la igualdad? R. M. x = 2 (2)(2) +1)(2 + 3) = 2(2)2 + 7(2) + 3 = 8 + 14 + 3 = 25 ((2)(2) + 1 )((2)(2) + 1) = 4(2)2 + 4(2) + 1 = 16 + 8 + 1 = 25 Sí se cumple la igualdad en ambos casos. 2. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular cuyo largo es 6 unidades mayor que el ancho? Escribe la expre2 sión de otra forma usando una identidad algebraica. A = (x + 6)(x ) = x + 6x

Proponga a los estudiantes que ingresen a la página web de la Universidad de Utah:

3. Una fotografía mide 7 cm de largo y 5 cm de ancho. Está rodeada por un adorno de ancho x . ¿Cuál identidad algebraica representa al área de la fotografía con todo y el adorno? ( x + 7)(x + 5) = x 2 + 12x + 35

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

4. Completa las siguientes identidades algebraicas:

En la casilla Algebra encontrarán la actividad Baldosas algebraicas , en la que podrán modelar geométricamente expresiones algebraicas.

a) (2x  4) (3x  1)  6x 2 + 14x + 4 b) (3x  1) (x  2) 

3x 2 + 7x + 2

5. Explica cuál es la diferencia entre a  a  a  10, a  a  a  10 y y  a  a  a  10.

1)

En equipo revisen su tarea y corrijan lo que sea necesario.

Presentación de nuestro trabajo

1)

R. M. La primera es una identidad en donde a puede tener cualquier valor. La segunda es una ecuación en donde sólo un valor de a cumple la igualdad. La tercera es una función en donde el valor de y dependerá del valor asignado a la variable a .

2)

R. M. Una expresión algebraica es un conjunto de variables, coe�cientes y términos independientes a los que se aplica una operación (suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz). Una identidad algebraica es una igualdad de expresiones algebraicas. Una ecuación es una igualdad de expresiones algebraicas que sólo se cumple con ciertos valores de las variables.

Compartan los rompecabezas elaborados.  



Entreguen su cartulina con los rompecabezas de las identidades algebraicas. Comparen con dos equipos las identidades que cada pareja inventó. Expliquen a sus compañeros cómo encontraron esas identidades. Comparen sus expresiones con las de sus compañeros y comenten con ellos y el profesor. Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.








¿Qué tanto te ayudaron los rompecabezas para entender las identidades algebraicas? R. L. Describe las expresiones x (x  1) y a (a  b )2 y encuentra una expresión idéntica a cada una de ellas. x (x + 1) = x 2 + x a (a + b )2 = a (a 2 + 2ab +b 2) = a 3+ 2 a 2b + ab 2 Escribe un párrafo en el que expliques qué es una identidad algebraica y cuál es la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. 2) ¿Participaste activamente en la construcción de l os rompecabezas? R. L.

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22. Organice al grupo en parejas e indique que intercambien sus cuadernos y comparen las respuestas del apartado Tareas . Después, promueva una discusión grupal a propósito de las distintas respuestas.

24. Propicie que todo el grupo discuta acerca de lo trabajado en la sección.

25. Como parte de la evaluación del trabajo de la secuencia, veri�que la descripción y el escrito que se solicita en el 23. Para �nalizar con el trabajo del apartado Presentación apartado ¿Cómo nos fue? de nuestro trabajo , organice una exposición de los diferentes trabajos elaborados por las parejas, y pida que los peguen en las paredes del salón.

Inicio


Durante el trabajo de esta secuencia didáctica, se espera que los estudiantes resuelvan problemas que les permitan identi�car el ángulo como la apertura entre dos planos. También se espera que aprendan a estimar la medida de los ángulos utilizando como instrumento el transportador y como magnitud el grado.

4

e u q o l B

Orientación y ángulos Conocimientos y habilidades 1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

Rutas aéreas El siguiente mapa muestra la ubicación de algunos aeropuertos del país. En aeronáutica se le llama ruta a la proyección trazada del punto de salida de un avión al punto de su destino. Se denomina rumbo al ángulo comprendido entre la semirrecta que va del punto de salida hacia el Norte y el segmento que une el punto de salida con su destino. Éste ángulo es leído en grados sexagesimales y en el sentido de las manecillas del reloj.

Asimismo, en esta secuencia utilizan la regla y el compás para trazar ángulos dados.

Tijuana

Mexicali SanLuisRíoColorado

Ensenada


ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

Nogales Puerto Peñasco

Cd.Juárez

Guaymas

Hermosillo Chihuahua

GuerreroNegro

Tipos de ángulos:

Recto α = 90° Llano α = 180° Completo α = 360° Agudo 0° < α < 90° Obtuso 90° < α < 180° Cóncavo 0° < α < 180° Convexo 180° < α < 360°

G o Cd.Obregón l f o d e C LosMochis Loreto a l i f o r n Culiacán i a LaP az Lo sCabos

PiedrasNegras Monclova

Torreón

DelNorte

NuevoLaredo Reynosa

Saltillo Monterrey

Matamoros

Durango

Matehuala Cd.Victoria Aguascalientes SanLuisPotosí Tampico Tamuín

Mazatlán

Tepic

OCÉANO PACÍFICO

Bajío PuertoVallarta Guadalajara Colima Manzanillo LázaroCárdenas

Querétaro

PozaRica

Golfo de México

Celaya Pachuca Xalapa Morelia Toluca México Córdoba Puebla Veracruz Uruapan Cuernavaca Tehuacán Minatitlán

Ixtapa-Zihuatanejo Acapulco

Chilpancingo

LomaBonita

Cozumel

Cd.delCarmen

 

Chetumal

Villahermosa Palenque

Mar Caribe

BELIZE

SanCristóbaldelasCasas Comitán

Ixtepec Huatulco

Tapachula



Cancún

TuxtlaGtz.

Oaxaca PuertoEscondido

Merida

Campeche

HONDURAS GUATEMALA

Para ir de Guadalajara a la Ciudad de México, ¿el rumbo es mayor o menor a 90º? Mayor a 90° ¿Cuál es el rumbo de un avión que sale de un aeropuerto y regresa al mismo lugar? 360° Si un avión sale de Acapulco con rumbo 90º, ¿cuál puede ser su destino? R. M. Tuxtla Gutiérrez

Compara tus respuestas con las de tus compañeros de grupo. 1)

R. M. Midiendo el ángulo que se forma entre la línea imaginaria que va del aeropuerto de salida hacía el norte y la semirrecta que va del mismo aeropuerto al aeropuerto de destino, en el sentido de las manecillas del reloj.

Preguntas para andar     

¿Qué estado de la República mexicana tiene más aeropuertos? Sonora con seis. ¿Cómo determinas el rumbo de un avión? 1) ¿Cómo mides un ángulo? R. M. Usando un transportador. ¿En qué otras situaciones es necesario medir ángulos? R. M. En �guras geométricas, en planos arquitectó¿Qué relación crees que haya entre una brújula y los grados sexagesimales? nicos, R. M. Para calcular la dirección del rumbo indicado en una brújula se usan los grados etcétera. sexagesimales.

44



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1. Pida con anterioridad que los estudiantes lleven regla, compás, escuadra, transportador y un acetato. Indíqueles que utilizarán estos materiales a lo largo de las actividades de la secuencia didáctica. 2. Lea el texto de la actividad y solicite a diferentes voluntarios que expongan ante el grupo lo que entendieron que son la ruta y el rumbo de un avión. Propicie la discusión grupal para determinar y responder las preguntas de la situación problemática. 3. Cuestiónelos acerca del punto cardinal hacia el que se dirige un avión que sale con rumbo 180º: ¿Qué nombre recibe el ángulo que se forma? ¿Qué ángulo se forma si el avión sale con rumbo hacia el oeste? Pídales que justi�quen su respuesta.

4. De ser posible, trabaje la actividad con todo el grupo. Para ello, coloque sobre el pizarrón un mapa grande de la república mexicana. 5. Pregunte cómo deben trazar la semirrecta del punto de salida hacia el norte. Pida a diferentes voluntarios que tracen en el mapa del pizarrón los dos rumbos planteados. 6. Sugiérales que resuelvan de manera grupal las respuestas a las Preguntas para andar , e indíqueles que justi�quen cada una de sus respuestas.

Planeación

Desarrollo


Nuestro trabajo

En la actividad Rumbos y ángulos , se busca que los estudiantes reconozcan al transportador como instrumento para trazar ángulos, y al grado sexagesimal como unidad para medirlos.

En parejas trazarán una ruta para realizar un viaje, siguiendo las formas que se usan en la aeronáutica. 

 

Para ello necesitarán un mapa de su estado o de la República, si lo prefieren, y ubiquen el lugar donde viven y l as zonas que les gustaría conocer. Al final, comenten su proyecto a sus compañeros y entréguenlo a su profesor. A lo largo de la secuencia encontrarán la información necesaria para su trabajo.

Rumbos y ángulos Retomemos el problema de las rutas aéreas de la página anterior. 

¿Qué hiciste para calcular el rumbo de las rutas mencionadas en la actividad? Trazar una semirrecta del punto de

salida hacia el norte y otro segmento del punto de salida al destino. El rumbo es el ángulo comprendido entre los dos segmentos. 

Si viajas a un destino cualquiera en dirección hacia el sur, ¿cuál es tu rumbo?

El rumbo es de 180° Al igual que en las rutas aéreas, en la siguiente brújula los rumbos se de�nen a partir del Norte (0°) hasta 360°, en el sentido de las manecillas del reloj. Es como si dividieras una circunferencia en 360 partes y cada parte corresponde a un grado sexagesimal. 

Reúnete con un compañero y copien en un acetato la brújula y recórtenla. 

En el mapa de la página anterior tracen una semirrecta del aeropuerto de Guadalajara hacia el norte y un segmento que represente la ruta Guadalajara - Durango.



Coloquen el centro de la brújula sobre el aeropuerto de Guadalajara, cuidando que el cero quede sobre la semirrecta que trazaron. Marquen el punto que indique esta dirección y el de la ruta.

1)

El número del borde de la brújula sobre la ruta indica el rumbo. 

¿Cuál es el rumbo de la ruta Guadalajara-Durango? Rumbo de 344°



¿Tienen el mismo rumbo las rutas Monterrey-Hermosillo que Hermosillo-Monterrey? Justifiquen su respuesta.



No, porque los ángulos comprendidos entre la semirrecta que va del punto de salida hacia el Norte y el segmento que une el punto de salida con su destino son diferentes en cada caso (resultan ser ángulos conjugados).

1)

Utilicen la brújula y midan el rumbo de las siguientes rutas. México - Cancún

80°

Guadalajara-Monterrey

30°

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y usen la brújula para justi�carlas. 45


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7. Organice al grupo en parejas y asigne un tiempo pertinente para que cada una de ellas organice las labores de la sección Nuestro trabajo . Pida a los miembros de cada pareja que comenten cuáles son los lugares que les gustaría visitar y por qué.

10. Para trabajar la actividad con todo el grupo, utilice el mapa grande y pida a distintos voluntarios que señalen los diferentes aeropuertos que se indican. Mientras tanto, el resto del grupo los deberá localizar en el mapa del libro.

8. Indíqueles que observen la ilustración de la brújula y la describan. Luego pregúnteles qué diferencias encuentran entre la brújula y su transportador.

11. Discuta con el grupo las respuestas a las preguntas formuladas en el ejemplo.

9. Antes de que elaboren la brújula, sugiera que en lugar de calcar todo lo que aparece conversen con su pareja y determinen qué elementos debe tener su brújula para poder medir los rumbos que se piden. Propicie la discusión grupal al respecto y motívelos para que entre todos de�nan el mínimo indispensable que debe tener su brú jula para asegurarse de que hacen la medición correcta.

12. Recuérdeles que la medida de un ángulo no está determinada por la longitud de sus semirrectas, sino por la abertura que hay entre ellas.

Desarrollo


Ángulos, estimación y medida Con esta actividad, se pretende que los estudiantes aprendan la de�nición de ángulo y se familiaricen con sus partes y las diferentes maneras de representarlo.

Como se puede notar, en las actividades anteriores los rumbos representan ángulos cuyo vértice es el punto de origen y uno de sus lados está representado por la dirección de dicho punto hacia el norte. Z

P



A

También se busca que sean capaces de estimar la medida de diferentes ángulos, para luego veri�car sus estimaciones con ayuda del transportador.

¿Qué representa el otro lado del ángulo? El segmento que une el punto de salida con su destino.

Como sabes, un ángulo es una región formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Al origen se le llama vértice del ángulo y a las semirrectas que lo forman lados (inicial y �nal). Un ángulo se representa de diversas formas, una de ellas es con el símbolo ∠. Por ejemplo, para representar al ángulo que se muestra se escribe ∠ ZAP , aquí la segunda letra es el vértice y las otras dos son los lados. Otra forma de representarlo es ∠ A. Los ángulos se marcan con un arco para distinguir la parte que se debe medir. 

Traza en tu cuaderno un ángulo. R. M. 

¿En cuántas regiones se divide el plano? En dos regiones.

Estima la medida de los siguientes ángulos.

B

C A

90°

270°

180°

E

D

F

230°

300°

65°



Compara tu estimación con la de tus compañeros. Argumenta cada una de tus respuestas frente al profesor.



Después, utiliza tu transportador y mide los ángulos. Confronta estos resultados con tu estimación.

46



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13. Trabaje con el grupo la primera parte de la actividad. Pida que diferentes voluntarios expongan con ayuda de ejemplos qué es un ángulo y cómo se representa. 14. Trace un ángulo en el pizarrón y propicie una discusión con la que busquen dar respuesta a la pregunta de en cuántas regiones se divide el plano. 15. Para la actividad de estimar ángulos, organice al grupo en equipos e indíqueles que comenten y determinen una estimación para cada caso. Enseguida, pida que cada equipo diga sus resultados. Antes de que midan con el transportador, pídales que comparen los ángulos con un ángulo recto.

16. Pregúnteles: ¿Qué otra cosa pueden utilizar para medir un ángulo? (la esquina de una hoja, una escuadra, etc.). ¿En qué casos es posible decir con precisión la medida del ángulo sin necesidad de medir con el transportador? ¿Por qué? 17. Pida que utilicen la esquina de la hoja para calcular con ella las medidas de los ángulos. Por último, pídales que usen el transportador en los casos en que hay ángulos mayores a 180°, y pregúnteles cómo pueden medirlos.

Desarrollo Desarrollo esarro o


Diferentes destinos La unidad de medida angular es el grado sexagesimal (°), por ejemplo si se a�rma que

En la actividad Diferentes destinos , se busca que los estudiantes tengan un acercamiento a la noción de minuto como una sexagésima parte del grado, y que sean capaces de determinar la medida de los ángulos en términos de grados y minutos.

un ángulo mide 38°, se indica que la amplitud del giro es de 38 de una vuelta 360

completa. Cuando queremos representar un ángulo que no es un número entero, usamos los minutos (´), es decir, se divide el ángulo en 60 partes iguales y cada una representa un minuto. Por ejemplo, si un ángulo mide 36.5º, como 0.5 representa la mitad de un ángulo y la mitad de 60 es 30, entonces ese ángulo mide: 36º 30´. 

Observa los ángulos que forman las siguientes rutas. Escribe en cada caso cuánto mide el ángulo que se forma, utiliza el transportador. Si no se trata de un número entero, estima los minutos que corresponden, aproxima y anota el resultado en grados y minutos. 1)

Tijuana

1)

Ciudad Obregón-México: 134°30´ Los Cabos-Mazatlán: 95° México-Matamoros : 13° Tampico-La Paz: 79°30´


Mexicali San Luis Río Colorado

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

Ensenada Puerto Peñasco

Nogales Cd. Juárez

Guaymas

Para convertir de decimal a sexagesimal, aplicamos una regla de tres simple.

Hermosillo Chihuahua

Guerrero Negro

G o Cd. Obregón l f o d e C Los Mochis Loreto a l i f o r n Culiacán i La Paz a

Piedras Negras Monclova Del Norte

Torreón

Nuevo Laredo Reynosa

Monterrey Matamoros Durango Matehuala

Los Cabos

Mazatlán

Aguascalientes Tepic

OCÉANO PACÍFICO

y x 100 = 60

Saltillo

Bajío Puerto Vallarta Guadalajara Manzanillo

Colima

Lázaro Cárdenas

Cd. Victoria

San Luis Potosí Tamuín Querétaro

Tampico Poza Rica

Golfo de México

Celaya Pachuca Xalapa Morelia Toluca México Córdoba Puebla Veracruz Uruapan Cuernavaca Tehuacán Minatitlán

Ixtapa-Zihuatanejo Acapulco

Chilpancingo

Cozumel

Campeche Cd. del Carmen

Tuxtla Gtz. Oaxaca Ixtepec Huatulco

Mar Caribe

BELIZE

Palenque

Tapachula



Chetumal

Villahermosa

Loma Bonita

Puerto Escondido

Por ejemplo, para convertir 34.25º a grados y minutos, se divide 25 entre 100 y el resultado se multiplica por 60 dando 15’, porque 25 = 15 100 60 Por lo tanto, el 34.25º = 34º 15’.

Cancún Mérida

San Cristóbal de las Casas Comitán

HONDURAS GUATEMALA

Para reforzar el entendimiento del sistema sexagesimal, se puede recurrir a la página web:

¿Cuál ruta es más larga, México-San Luis Potosí o México-Chihuahua?

México-Chihuahua 

¿Cómo son las medidas de los ángulos que se forman en ambas rutas?

México-San Luis Potosí: 50° 

México-Chihuahua: 50°

http://www.genmagic.net/mates2/ gs1c.swf

¿Las distancias de los destinos anteriores hacen que el rumbo, es decir, el ángulo sea diferente? ¿Por qué? No. Porque no importa la longitud de los segmentos si la abertura

entre ellos es la misma. Quedan sobre el mismo segmento que une el punto de salida con su destino. 

Si un avión sale del aeropuerto de Puerto Vallarta con rumbo 128º, ¿cuál es su destino?

Acapulco

Compara tus respuestas con tus compañeros. En caso de que sean diferentes, midan nuevamente para validar. 47


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18. Exhorte a diferentes voluntarios a que expliquen al resto del grupo el concepto de minuto, en términos de medición de ángulos, y cómo se obtiene. Mencione otros casos sencillos de ángulos expresados en número decimal, para que los escolares determinen su medida en grados y minutos. Por ejemplo: 34.25° (34º 15 ’), 10.10° (10º 6 ’), 3.75° (3º 45 ’). En cada caso hay que identi�car la fracción que representa la parte decimal, y luego calcular la parte correspondiente en términos sexagesimales.

19. Sugiérales que para medir con mayor exactitud los ángulos que se presentan y determinar correctamente las rutas, calquen éstas en una hoja blanca. 20. Propicie la discusión grupal acerca de las respuestas a las preguntas formuladas en la actividad. 21. Si el tiempo de clase lo permite o como tarea, pídales que tracen diferentes rutas y determinen qué ángulo se forma en cada caso.

Desarrollo


¿Cómo vamos?

1) y 2)

En la actividad Ángulos en la carrera , se busca que los estudiantes practiquen la medición de ángulos utilizando el transportador y determinen la medida de ángulos adyacentes con base en el conocimiento de uno de ellos.

Giro 85°

Rumbo 215°



Giro 60°



120° Rumbo 15°

Giro 55°


125°

N



Giro 60°



120°

 

R. L. ¿El viaje será dentro o fuera de su estado? ¿Qué lugares planean visitar? Ubiquen en el mapa varios puntos de referencia por los que deberán pasar para llegar a los lugares que desean conocer y tracen en el mapa el recorrido que harán. Marquen y describan el rumbo a seguir después de cada parada. ¿Cuál fue el rumbo final de su viaje? Si emprenden el camino de regreso de manera directa, ¿cuál será su rumbo? ¿Qué instrumentos utilizaron para trazar su recorrido? ¿Cuál es la mayor dificultad a la que se enfrentaron? ¿Cómo la resolvieron?

Rumbo 75°

Ángulos en la carrera

20°

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, a la vez que sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

En algunos desiertos se llevan a cabo competencias de autos. Los pilotos son guiados por su equipo para llegar a la meta, por lo que cada uno tiene un indicador de rumbo en su coche. Lee y contesta las preguntas.

La conversación entre el piloto Juan y su equipo es la siguiente:

La suma de los ángulos adyacentes equivale a un ángulo llano (180º).

45º

Reúnete con tu compañero de equipo y realicen las siguientes actividades.

Rumbo 330°

95°

Equipo: Juan, ¿cuál es tu rumbo actual? Juan: Mi rumbo es 20°. Equipo: Entendido, ahora cambia a 75°. Juan: De acuerdo. Mi nuevo rumbo es 75°. Equipo: Juan, cambia tu rumbo a 15°. Juan: Con�rmado. Equipo: Piloto, cambia tu rumbo a 330°. Equipo: Ahora cambia tu rumbo a 215° hasta llegar a la meta.

135º



¿Cuántos giros hace el piloto? Cuatro



¿De cuántos grados fue el primer giro que dio Juan? 55°



Juan giró su auto de 20° a 215°, ¿cuál fue el tamaño total del giro? 195°

Comenta con el profesor tus respuestas y las estrategias utilizadas. 

N

55° giro



Un giro se hace al cambiar de una dirección a otra, hacia la derecha o hacia la izquierda. Por ejemplo, el esquema muestra que, cuando Juan cambió de 20° a 75°, hizo un giro de 55° hacia la derecha. Cuando el piloto da un giro se forma un ángulo en su trayectoria, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo resultante? Argumenta tu respuesta. 125°, porque es suplementario de 55º.

ángulo resultante 

Ahora, traza en el cuaderno el trayecto de Juan de acuerdo con las indicaciones que recibió. 1)   

Calcula la medida del ángulo de cada giro y el ángulo resultante. 2) Ver en �gura. Compara tu dibujo con los de otros compañeros. ¿Qué relación hay entre el giro y el ángulo resultante? Coméntalo con tus compañeros y con el profesor. Son suplementarios, porque suman 180°.

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22. Asigne un tiempo pertinente para que realicen la actividad del apartado ¿Cómo vamos? Una vez que todas las parejas hayan concluido, pida que cada una de ellas muestre y explique al grupo su trabajo. Propicie una discusión respecto de la última pregunta formulada. 23. Otorgue cierto tiempo para que trabajen de manera individual la primera parte de la actividad Ángulos en la carrera . Después, indíqueles que conformen pare jas y discutan acerca de las respuestas a las preguntas formuladas y la estrategia que siguieron. Por último, favorezca la discusión entre el grupo.

24. Indique que tracen por parejas el trayecto que se pide. Sugiérales que trabajen en una hoja blanca y utilicen diferentes colores para marcar los distintos giros. 25. Organice una exposición de los trabajos en el salón y solicite que cada pareja dé una explicación acerca de su trabajo.


El apartado Datos a la mano ofrece información, por lo general numérica, que permite a los estudiantes vincular las matemáticas con otras asignaturas del currículum.

El mecanismo de una brújula consiste en una aguja que gira sobre el eje. El campo magnético de la Tierra ejerce una in�uencia y logra orientarla en dirección norte-sur, muy aproximada a la orientación geográ�ca. Por eso se habla de un Norte geográ�co y un Norte magnético. La diferencia en grados entre el Norte geográ�co y el Norte verdadero se llama declinación magnética y cambia según el lugar de la Tierra y el paso de los años. En nuestro país es aproximadamente de 7º.

En este caso, proporciona información adicional acerca de la utilidad de los ángulos en el campo de la geografía.

El símbolo que se utiliza para indicar los puntos cardinales es la Rosa de vientos, los 16 puntos principales de ella son los que se muestran. 

Anota los grados que corresponden a los puntos NNO, NNE, NEE, SEE, SSE, SSO, SOO y NOO. 1)

1)

Con regla y compás Las siguientes ilustraciones muestran la manera de copiar un ángulo usando regla y compás. 

Reúnete con un compañero y, de acuerdo con lo que se muestra, describan el procedimiento para reproducir un ángulo con regla y compás. Ángulo original


Paso 1 A

NNE: 22º 30’ NEE: 67º 30’ SEE: 112º 30’ SSE: 157º 30’ SSO: 202º 30’ SOO: 247º 30’ NOO: 292º 30’ NNO: 337º 30’

B’

B

O’

O

Paso 2

Paso 3

Paso 4 A’

B’

O’

B’

O’

B’

O’

Paso 1: Se mide el segmento OB y se traza otro segmento igual: O ’B ’. Paso 2: Abrimos el compás al tamaño del segmento OB , lo colocamos en el vértice de O ’ y

trazamos un arco. Paso 3: Medimos con el compás la distancia que hay del punto A al B del ángulo original

y, manteniendo esa abertura, colocamos el compás sobre el vértice B ’ para trazar un arco que corte al anterior. Paso 4: Finalmente,

se traza una recta del punto O ’al punto en donde se cortan los dos arcos.

49


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26. Pida a los alumnos que mencionen el punto cardinal que corresponde a cada una de las abreviaturas que aparecen en la ilustración del libro. 27. Solicite que mencionen por turnos el ángulo correspondiente a cada uno de los puntos cardinales que se indican. Revise que justi�quen su respuestas. 28. Antes de iniciar la actividad Con regla y compás , pídales que tracen individualmente un ángulo cualquiera en una hoja blanca, y luego analicen cómo pueden copiarlo utilizando sólo la regla y el compás. Pida que diferentes voluntarios expongan su estrategia de copiado.

29. Organice al grupo en parejas e indíqueles que mientras llevan a cabo la actividad, discutan y determinen entre los dos cómo le explicarían por teléfono a alguien la manera de reproducir un ángulo siguiendo este procedimiento. 30. Pida a las diferentes parejas que lean su texto al resto del grupo para que entre todos determinen la manera más adecuada de explicar el procedimiento.

Desarrollo


Utiliza dicho procedimiento y traza los siguientes ángulos en el cuaderno. Después, mídelos.

En el apartado Tareas , se busca que los estudiantes apliquen los conocimientos y habilidades trabajados a lo largo de la secuencia, y que mediante deducciones simples sean capaces de determinar ciertos ángulos a partir de la suma de los ángulos interiores de un triángulo y de un cuadrilátero.

A

B

C

60°

75°

135°

Resuelve las siguientes actividades.

1. En un recorrido en forma de triángulo equiláter o, ¿cuánto mide cada giro y cada ángulo resultante? 60° y 120°, respectivamente. 2. Observa la siguiente �gura.


127.8° 112° 118.7°

Para ilustrar la justi�cación del teorema acerca de la suma de los ángulos interiores de un polígono, se puede recurrir a la página web:

99.8°

56.6°

44.7°

a) ¿Crees que las medidas de todos los ángulos son correctas? Explícalo. No, porque la suma de los ángulos de un hexágono debe sumar 180°(n – 2) = 720°.

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/polisuma.htm

3. Utiliza el transportador y traza los siguientes ángulos a partir del lado que se muestra. 135º

88º

210º

4. Calcula y anota la medida de los ángulos en las siguientes �guras, si se sabe que la suma de los ángulos de un triángulo s 180º y de los cuadriláteros, 360º. 115°45’ 126°30’ 53°30’

53°30’

64°15’ 55°20’

126°30’ 64°15’

115°45’

62°20’

62°20’

Al llegar a la escuela, compara tus resultados con los de tus compañeros.

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31. Organice al grupo en parejas y solicíteles que intercambien su cuaderno y comparen las respuestas a los ejercicios planteados en el apartado Tareas . 32. Propicie la discusión grupal acerca de las soluciones y respuestas que dieron a los ejercicios y preguntas del apartado Tareas . Sugiera que las ejempli�quen. 33. Motívelos para que justi�quen la medida de los ángulos de las �guras del último ejercicio. Pregúnteles cómo son los ángulos de un trapecio y un romboide, qué tipo de triángulo es el que se muestra y cómo son sus ángulos.

34. Pida que le digan si creen que es cierto que en el caso de los triángulos la suma de los ángulos interiores da 180°, y en el caso de los cuadriláteros 360°. Permita que compartan cualquier opinión, y sugiérales que tracen entre 5 y 10 �guras de cada tipo y midan sus ángulos para comprobar si se cumple lo que manifestaron. 35. Deje de tarea que investiguen cómo demostrar que ambos enunciados son verdaderos. 36. Sugiérales que conviertan a decimal la medida de los ángulos de las �guras que aparecen en el libro.

Desarrollo


La selva Lacandona Resuelve el siguiente problema, usa tu brújula o tu transportador.

Un aeroplano que sobrevolaba la selva Lacandona tuvo una falla de motor que lo hizo descender. En su último r eporte, el piloto dijo: —Puedo ver la laguna Miramar en dirección poniente—. Un guía lacandón que estaba cerca de la laguna Lacanjá, dijo ver al avión con un rumbo aproximado de 240°. Con base en la información anterior, traza un ángulo que delimite el área donde pudo haber descendido el aeroplano. 0°

Laguna Lacanjá

Laguna Miramar

Compara tus resultados con los de otro compañero. Si hay diferencias, analicen a qué se deben y lleguen a conclusiones.

Presentación de nuestro trabajo Presenten al grupo la ruta de su viaje y pónganlo a prueba.  

Atiendan las indicaciones de su profesor y reúnanse con otros dos equipos. Pongan a prueba la descripción de la ruta que inventaron, den un mapa a otros dos equipos y léanles las indicaciones, para que la tracen con color verde. Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

¿Cómo nos fue?  

 



 

¿Qué aplicaciones tienen los ángulos en tu localidad? R. L. ¿Cómo puedes estimar si un ángulo mide más de 90°, menos de 90° o si es mayor o menor de 180°? R. M. Un ángulo de 180º debe verse como una línea recta y las semirrectas que forman un ángulo de 90º ¿Para qué te sirvió estimar y medir ángulos en diversos contextos? R. L. deben ser perpendiculares. A partir de Escribe un párrafo en el que describas otras aplicaciones relacionadas con estos datos se puede hacer la estimación. los ángulos, diferentes a las vistas en clase. R. L. ¿De qué manera escuchaste y respetaste las ideas y opiniones de tus compañeros? R. L. ¿Qué aportaste para el desarrollo del proyecto de tu equipo? R. L. ¿Cómo demostraste tu compromiso para terminar los trabajos y actividades? R. L. 51


h o r P

37. Veri�que que cada pareja de estudiantes llegue a un acuerdo acerca del ángulo en el que se localiza el aeroplano. Si no lo logran, propicie que comparen su trabajo con el de otros equipos para encontrar sus posibles errores. 38. Pida con anticipación que cada pareja lleve por escrito la o las rutas a seguir durante su viaje y el mapa en el que trabajaron sin la ruta. Sugiérales que busquen fotografías o recortes de lugares emblemáticos de los sitios que eligieron en su trabajo, y que los incluyan como parte de su proyecto. 39. Organice al grupo en parejas e indique que cada una de ellas intercambie con otra el mapa y la descripción de la ruta de su viaje. Cada pareja debe trazar en el mapa la ruta del viaje.

40. Propicie la discusión entre las parejas para que determinen si la presentación de las instrucciones es o no clara, y de ser necesario las precisen. 41. Organice una discusión para decidir cuál es el mejor traba jo. Escriba en el pizarrón las virtudes de cada propuesta. 42. Solicíteles que respondan las preguntas del apartado ¿Cómo nos fue? junto con el compañero con quien realizaron el proyecto, y pídales que sean honestos. 43. Para reforzar el trabajo de la secuencia, utilice el recurso digital Conversiones de grados y horas .

Inicio


Durante el trabajo de esta secuencia didáctica, se pretende que los estudiantes analicen y determinen, mediante su construcción, las posiciones relativas de dos rectas en el plano, y que de�nan rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

5

e u q o l B

Rectas y ángulos Conocimientos y habilidades 1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar de�niciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Asimismo, en esta secuencia los alumnos analizan y establecen la relación entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano.

El croquis de la ciudad El siguiente croquis muestra la traza de una ciudad de Colombia, en la que las calles (Cl) van en dirección oriente-poniente y las carreras (Cr) van en dirección sur-norte. Para facilitar la ubicación, todas las calles y carreras están numeradas. Observa el croquis y contesta las preguntas. 1 7 A

1)

2)

3)

4)

r 2 0

l1 3

C C r 1 8

Mucho, porque a partir de la medida de los ángulos se puede determinar si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

C r 2 2

C l1 4

1 4 C r 1 7

C r 2 1

a C l in i c e C a r l o M o n t

C l1 4

C l15

C l15

C l15

C r 2 4



C l15 Cl16

C r 2 3

C l1 6

C l1 6

Cuando no se tocan en ningún punto y siempre se encuentran a la misma distancia.

C r 2 5

C r 2 6





C l1 7

C l1 6

1 7

C r 2 0

C l1 8

R. M. Se coloca una regla y una escuadra pegada a ésta y se traza una línea sobre una arista de la escuadra. Después, se desplaza la escuadra, sin despegarla de la regla, y se traza otra línea sobre la misma arista de la escuadra.

C r 2 5

C l 1 9 C l 1 9

C l 2 0

C l1 9 C r 1 6



C l1 8

C r 1 9

C r1 8

C r 2 6 

C r 2 1

C l 2 0 C l 2 1

C l 2 1

C l 2 2

2

C r 2 4

C l 2 4

C l 2 2

1 3 l C

¿Cómo están trazadas las calles entre sí? Paralelamente, en su mayoría. ¿Cómo están trazadas las carreras entre sí? Paralelamente, la mayor parte de ellas. ¿Cómo se ubican las calles con respecto a las carreras? Perpendicularmente Toma como referencia que las calles 15 y 16 son paralelas entre sí y analiza si las calles 24 y 22 también lo son. Argumenta tu respuesta. No, porque no guardan la misma distancia en todos sus puntos. El círculo verde representa una glorieta. ¿Cómo son entre sí la calle 17 y la carrera 21 que se cruzan en la glorieta? Perpendiculares, porque al cortarse forman un ángulo de 90º.


R. M. Se traza una línea con regla, sobre ésta se coloca una escuadra que tenga un ángulo recto y se traza la perpendicular.





   

¿Cómo te ayuda conocer la medida de los ángulos que se forman al bisecarse dos rectas para determinar qué tipo de rectas son? 1) ¿Qué tipo de ángulos se forman cuando se intersecan dos rectas perpendiculares? Ángulos rectos. ¿Cómo puedes establecer que dos rectas son paralelas? 2) ¿Cómo puedes trazar dos rectas paralelas? 3) ¿Cómo trazas dos rectas perpendiculares? 4) ¿En qué contextos, además del que se presenta en la actividad inicial, se trazan rectas con estas características? R. L.

52



h o r P

1. Prepare con anticipación una fotocopia del croquis en tamaño doble carta (o mayor, si es posible) y colóquela en el pizarrón. Pídales que, de acuerdo con lo que se dice en el texto, identi�quen en el croquis los cuatro puntos cardinales. Algunos voluntarios pasarán a señalarlos, mientras que el resto del grupo hará lo mismo en sus libros.

3. Organice al grupo en parejas e indíqueles que realicen la actividad conjuntamente, discutiendo acerca de las posibles respuestas a las preguntas formuladas.

2. Solicíteles que después de identi�car las calles y las carreras en su croquis, usen tres colores para trazar las calles y otro tres colores para trazar las carreras, partiendo del centro.

5. Pídales que marquen un par de calles y carreteras paralelas, diferentes a las que se mencionan.

4. Motive a las diferentes parejas para que expongan al grupo sus respuestas. Sugiérales que utilicen el croquis para argumentar sus respuestas.

6. Indíqueles que respondan grupalmente las Preguntas para andar .

Planeación

Desarrollo


Nuestro trabajo

En la actividad Pares de rectas, án- gulos y sus relaciones , se busca que a partir del análisis de la representación grá�ca y el conocimiento de su nomenclatura los alumnos reconozcan un segmento de recta, una semirrecta y una recta, y que puedan dar la de�nición de cada uno de ellos.

En parejas, diseñarán una cancha multifuncional, es decir que sirva para j ugar basquetbol y volibol. Para ello consulten las medidas que deben tener éstas y las características de cada una. 





El diseño debe incluir el trazo de cada una de las canchas, diferenciadas con colores e instrucciones para que se tracen los segmentos de recta que corresponden a cada cancha. Deberán entregar por escrito a su profesor el procedimiento geométrico para trazar, por ejemplo, un segmento de recta paralelo a uno dado. Necesitarán papel bond , lápices de colores, regla y compás.

A lo largo de la secuencia didáctica adquirirán elementos para hacer su diseño.


Pares de rectas, ángulos y sus relaciones Ana Sofía, Daniela y Juan Andrés representaron de la siguiente manera las calles 16 y 17 del plano de la actividad inicial. Los tres coinciden en que son paralelas entre sí.

Segmento de recta es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

Analiza las representaciones que hicieron los niños y contesta lo que se te pide. Ana Sofía

Daniela

Juan Andrés

Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos.

B

B

E

A

B

D

E

E A A

D





 



 

Recta es una línea que se prolonga inde�nidamente en dos sentidos opuestos.

D

Sí, es lo mismo. La distancia comprendida entre un punto y otro es la misma. A esta propiedad se le conoce como relación fundamental de una recta. 2) R. M. Segmento de recta es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos. Semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto �jo de la recta. Recta es una sucesión in�nita de puntos, situados en una misma dirección. 1)

¿Qué diferencia hay entre las r epresentaciones que hicieron? R. M. La posición y la distancia entre éstas. Otra de las diferencias es el tipo de representación que uso cada uno; Ana Sofía utilizó rectas; Daniela, semirrectas y Juan Andrés, segmentos de recta unas son segmentos de recta, otras semirrectas y las terceras son rectas. ¿Qué características tienen las rectas paralelas? Que guardan la misma distancia entre cada uno de sus puntos y nunca tienen contacto entre éstas. Comprueba que todas las rectas que trazaron los niños lo sean. En las representaciones anteriores, los estudiantes usaron segmentos de recta, semirrectas y rectas. Identifica el segmento AB (AB ), la semirrecta AB (AB ), y la recta AB (AB ); el segmento BA (AB ), la semirrecta BA (BA) y la recta BA (BA). ¿Es lo mismo la semirrecta DE que la semirrecta ED ? Argumenta tu respuesta. 1) ¿Sucede lo mismo con los segmentos DE y ED ? Argumenta tu respuesta. En el caso de los segmentos DE y ED sucede lo mismo.

Reúnete con un compañero. Con base en la información anterior, revisen nuevamente las representaciones de los niños y construyan la de�nición de semirrecta, recta y segmento de recta. Comenten sus de�niciones con sus compañeros de grupo y con el profesor. 2) 53


h o r P

7. Permita que los alumnos escojan a su pareja para esta actividad, y establezca un tiempo pertinente para que organicen las labores de la sección Nuestro trabajo .

9. Indíqueles que trabajen la actividad con el mismo compañero, y propicie una discusión grupal acerca de las respuestas que dieron a las preguntas formuladas.

8. Antes de comenzar con el trabajo de la actividad Pares de rectas, ángulos y sus relaciones , indique a cada pare ja que a partir del croquis de la actividad inicial busque una manera de representar con líneas rectas dos tramos de calles paralelas. Por ejemplo, los tramos de las calles paralelas 18 y 19, que parten de las carreras 21 y 25; y de las mismas calles paralelas, iniciando de la carrera 21 en adelante. Pida que las diferentes parejas expongan por turnos qué fue lo que hicieron. Propicie la discusión contrastando las diferentes propuestas que surjan.

10. Solicite a los alumnos que comenten las diferentes de�niciones a las que llegó cada pareja, para luego compararlas y determinar cuáles son las más pertinentes.

Desarrollo


Más de rectas En la actividad Más de rectas , se busca que los estudiantes establezcan una de�nición acerca de qué son las rectas paralelas, las rectas perpendiculares y las rectas oblicuas.

Consigue una hoja y haz lo siguiente: 

Divide tu hoja por la mitad. En una mitad dibuja un punto y traza todas las rectas



que puedan pasar por ese punto. ¿Cuántas son? Pueden pasar una cantidad in�nita de rectas. En la otra mitad traza dos puntos. ¿Cuántas rectas pueden pasar por esos dos






Dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si no comparten ningún punto. Dos rectas, contenidas en un plano, son perpendiculares si tienen un punto de intersección y forman cuatro ángulos iguales.

puntos? Solamente una. Traza dos rectas. Reúnete con tres compañeros y comparen sus resultados. Comenten si todos trazaron las rectas en posiciones diferentes y de cuántas maneras diferentes las pueden trazar. 1) Ana Sofía llegó a las siguientes conclusiones después de realizar sus trazos.

A

D

1)

1. No tener ningún punto en común. 2. Tener sólo un punto en común. 3. Tener únicamente dos puntos en común. 4. Tener todos los puntos en común.

E



R. M. Ningún punto en común

Dos rectas que están en un mismo plano, es decir, que estan en una misma super�cie plana, pueden:

B



En equipo, analicen las afirmaciones anteriores y argumenten si son correctas o no. Validen sus respuestas con sus trazos. 2)

La maestra de los niños les mostró l as siguientes calles y marcó con azul las perpendiculares, con rojo las paralelas y con anaranjado las oblicuas. C r 2 0

1 7 A

Dos rectas, contenidas en un plano, son oblicuas si tienen un punto de intersección y forman ángulos iguales dos a dos.

a C l i n ic o a r l M o n t e C

C l1 4

C l15 C r 1 7

C r 2 4

C l1 4

C l1 4

Un punto en común

C r 2 2

C r 2 1

l1 3

C C r1 8

C l15

C r 2 5

C l15 Cl16

C r 2 3

C r 2 6

C l1 6

C l15 C l1 6 C l1 7

C l1 6

C r1 8

C l1 7

Todos los puntos en común

C l1 8

C r 1 9

C r 2 0

C l1 8

C l 1 9 C l 1 9

C r 2 5 C r 2 3

C r 2 6

C l 2 0

C l1 9

2)

De las a�rmaciones de Sofía, la que no es posible es: Tener únicamente dos puntos en común, por lo menos una tendría que ser curva o circular para que esto sucediera.

C r1 6

C r 2 1

C l 2 0

C l 2 1



C l 2 1

C l 2 2

C r 2 4

C l 2 4

C l 2

1 3

Analiza las líneas que se forman en cada caso y escribe una definición de rectas paralelas, rectas perpendiculares y rectas oblicuas. Observa la medida de los ángulos que se forman. Dos rectas paralelas son aquellas que siempre están a la misma distancia en cada uno de sus puntos (equidistan), nunca se tocan y tienen la misma dirección. Las rectas perpendiculares se cortan en un punto, dividiendo el plano en cuatro partes iguales. Los ángulos formados entre estas líneas son de 90°. Las rectas oblicuas se intersecan en un punto y dividen el plano en cuatro sectores, formando ángulos diferentes de 90º, iguales dos a dos.

Coméntalas con el profesor y tus compañeros. 54



h o r P

11. Indique a los estudiantes que resuelvan de manera individual los dos primeros ejercicios de la actividad Más de rectas . Solicite a diferentes voluntarios que expongan sus resultados y argumenten sus respuestas oral y grá�camente. 12. Pida que un voluntario lea cada una de las a�rmaciones planteadas acerca de los pares de rectas, y escríbalas en el pizarrón poniéndolas en diferentes columnas. 13. Solicíteles que pasen en orden al frente y que, luego de mostrar las rectas que trazaron, mencionen a cuál de las a�rmaciones escritas corresponden. Dígales que las peguen en la columna correspondiente y por el momento no haga ningún tipo de corrección.

14. Indíqueles que analicen la clasi�cación que hicieron y discutan acerca de ella, para que a partir de esto deduzcan cuál de las a�rmaciones es falsa (la tercera). 15. Plantéeles la siguiente pregunta: De las rectas que trazaron y que no se tocan, ¿todas son paralelas? Solicite que argumenten su respuesta e identi�quen algunos casos en que las rectas sí sean paralelas y otros en que no. 16. Propicie una discusión acerca de la columna en la que deben ir las rectas que no son paralelas, aunque en los trazos que elaboraron no se toquen. 17. Pídales que de�nan en equipo los distintos pares de rectas, y luego comparen grupalmente las de�niciones de cada equipo para elegir las que sean más claras.



Ana Sofía hizo el siguiente esquema de l as calles de su colonia.

A

En la primera actividad, se busca que los alumnos identi�quen líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas, y también que determinen algunos de los ángulos formados con las intersecciones de líneas.

A

A

A A



 

De acuerdo con la definición que hiciste, identifica cuáles líneas son paralelas, cuáles perpendiculares y cuáles oblicuas. Ubica y marca con rojo por lo menos cinco ángulos que se formen. Marca con número o letra los ángulos que estimes que tengan la misma medida.

En la actividad Trazos, ángulos y sus relaciones , los alumnos construyen ángulos a partir de la lectura de indicaciones en términos de la nomenclatura matemática. Se busca que puedan determinar una nomenclatura para escribir el nombre de distintos ángulos.

Trazos, ángulos y sus relaciones Sigue las instrucciones y realiza los siguientes trazos en el cuaderno. B

Trazo 1   

O

Marca un punto y llámalo O . Dibuja una semirrecta a partir del punto y llámala OA. Traza una semirrecta OB , opuesta a OA. 

Una recta Porque pasa por los puntos O , A y B

¿Qué obtuviste?

Explica tu respuesta.

 

C

Marca un punto y llámalo O . Traza tres semirrectas que tengan origen en O . Identifica los ángulos menores de 180° que se formaron entre las semirrectas que trazaste. 


D 1)

Trazo 2 1) 

A

Los ángulos consecutivos son aquellos que tienen un mismo vértice y sólo tienen un lado en común.

B O

¿Cuántos ángulos se forman? Mide cada uno de los ángulos y escribe qué relación encuentras entre éstos. Se forman tres ángulos: ∠COB , ∠COD y ∠DOB . R. M.

La suma de los ángulos COD y ∠DOB es igual a la medida del ángulo COB . 

Juan Andrés hizo la siguiente representación de las tres semirrectas que representan calles y carreras que coinciden en unas esquinas. 

En matemáticas, los ángulos se representan con el símbolo .

Escribe el nombre de los tres ángulos que se forman, usa

el símbolo . 

P X

∠XOM , ∠XOP , ∠POM

Mide los ángulos 1, 2 y 3 y explica qué relación encuentras

3

M

2 1

O

entre los tres. R. M. La suma de los ángulos 1 y 2 es igual al ángulo 3.

S 2

Los tres ángulos comparten el mismo vértice y, los ángulos 1 y 2 tienen un lado común. 

Los

1

y

2

son consecutivos. Analízalos y escribe la definición de ángulo

consecutivo. Los ángulos consecutivos son aquellos que tienen un vértice en común y comparten uno de sus lados. 55


h o r P

18. Divida la actividad en dos partes. En la primera, indique a los alumnos que remarquen con diferente color cada pareja de rectas y pida que algunos voluntarios muestren sus trazos al grupo y los justi�quen. 19. Pregúnteles cómo pueden veri�car los tipos de líneas. Si nadie propone una idea, sugiérales que utilicen una escuadra o la esquina de una hoja para comparar los ángulos que se forman entre las intersecciones, y de esta manera demuestren que se trata de cierto tipo de líneas. 20. En la segunda parte, indíqueles que busquen con un compañero una estrategia para comparar los diferentes ángulos que marcaron, y que determinen cuáles de ellos son iguales.

21. En la actividad Trazos, ángulos y sus relaciones , exhórtelos de igual manera que en la actividad anterior para que intercambien sus cuadernos con otro alumno y veri�quen si los trazos de su compañero corresponden a las instrucciones que se dieron. 22. Propicie la discusión grupal acerca del último ejercicio. Indíqueles que comparen sus resultados y acuerden entre todos cuáles son más claros.

Desarrollo




En esta actividad, se busca que los alumnos analicen y reconozcan ángulos adyacentes complementarios y suplementarios, para luego establecer una de�nición adecuada para cada caso.

Observa los siguientes casos y haz lo que se te indica.

Ángulos adyacentes

Ángulos no adyacentes

Ángulos complementarios o s a c r e m i r P

S 2

S 1

S 3 S

N

L

A

3 2 C

B

1


Ángulos suplementarios S 2

o s a c o d n u g e S

Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen un mismo vértice y un lado en común, y son exteriores el uno al otro.

S 1

N

N

3

C

1

2

A

B

N S 3



Escribe con notación simbólica los ángulos adyacentes de cada caso.

R. M: ∠SCL y ∠NCS Segundo caso: R. M: ∠S 3 CS 2 ∠S 2 CS 1 Primer caso:



Mide los ángulos 1, 2 y 3 del primer caso. ¿Qué relación hay entre ellos?

R. M. La suma de los ángulos 1 y 2 es igual al ángulo 3. Los tres ángulos comparten el mismo vértice y, los ángulos 1 y 2 tienen un lado común. 

En el primer caso, los ángulos 1 y 2; A y B se llaman complementarios. Escribe tu propia definición, sin medirlos. R. M. Los ángulos complementarios son aquellos

cuyas medidas suman 90°.



En el segundo caso, los ángulos 1 y 2, A y B se ll aman suplementarios. Escribe tu propia definición, sin medirlos. R. M. Los ángulos suplementarios son aquellos

cuyas medidas suman 180°. D 

C

¿Cómo son los ángulos de la izquierda? ¿Por qué? Son ángulos consecutivos o

adyacentes porque tienen un vértice común y comparten uno de sus lados. 1) R. M. 

En el cuaderno representa gráficamente lo que dice el siguiente enunciado: “El lado común de dos ángulos adyacentes es una diagonal y además son ángulos complementarios”. 1)

Intercambia tus respuestas con un compañero y precisen sus de�niciones. 56



h o r P

23. Antes llevar a cabo los ejercicios de esta actividad, pida a los estudiantes que observen la ilustración y solicite que diferentes voluntarios mencionen lo que entienden por ángulos adyacentes. 24. Reproduzca en el pizarrón el trazo de los dos casos de ángulos adyacentes, escribiendo también las letras. Luego pida que diferentes voluntarios pasen al pizarrón y justi�quen la notación simbólica que asignaron a cada caso.

25. Organice al grupo en parejas e indíqueles que intercambien y comparen sus respuestas. Deberán con�rmar en cuáles coinciden y discutir respecto de aquellas en las que divergen, para luego llegar a una respuesta en común.


Resuelve en el cuaderno. 1. Consulta otras de�niciones de ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios. Compáralas con las tuyas para complementarlas. R. L. 2. Resuelve y realiza una representación geométrica de cada situación: a) Encuentra el valor de dos ángulos suplementarios tales que el mayor sea el triple del menor. 1) b) Traza dos ángulos adyacentes que formen un ángulo de 145°. 2) c) Encuentra los valores de dos ángulos de un triángulo isósceles si el tercer ángulo mide 45°. c) x + x + 45° = 180° x = 67.5 = 67°30’ 3. Observa las imágenes y contesta las preguntas. En ambos casos argumenta tus respuestas. Figura 1

1)

x + 3x = 180° x = 45° Comprobación: 45° + 135° = 180°

2) c) 45°

45°

135°

67°30’ 67°30’

2)

R. M.

Figura 2

110°

35°

a) ¿Los renglones horizontales de la �gura 1 son paralelos? Sí b) ¿Las líneas rojas de la �gura 2 son paralelas? Sí

3)

4. En los siguientes casos, encuentra el valor de x y y , respectivamente. x + 2x = 180 3x = 180° x = 60°

A

W

120°

3)

2x

x C

2 y − 30 + y = 120 3 y − 30 = 120 + 30 3 y = 150 y = 50º

y

S

2 y – 30

En equipo, revisen su tarea y contesten las preguntas en el cuaderno.

¿Cómo vamos? 











R. L.

Reúnete con tu compañero y decidan cómo harán su diseño. Investiguen en libros y revistas qué medidas debe tener cada cancha. Dibujen las canchas y ubiquen las rectas, perpendiculares, las paralelas y las oblicuas que se forman en su diseño. Describan las estrategias geométricas seguidas para realizar los trazos. Es decir, expliquen cómo pueden asegurar que las rectas paralelas se encuentran a la misma distancia (no se intersecan) o que los ángulos de las rectas perpendiculares miden 90°. ¿Fue posible realizar los trazos y las mediciones con regla y compás o necesitaron otro instrumento? ¿Cómo les ayuda a dibujar su cancha el conocer las medidas de los ángulos y las características de las rectas? ¿En qué grado de avance va el proyecto que están elaborando tú y tu compañero? Diseñen una estrategia para terminarlo a tiempo. 57


h o r P

26. Organice al grupo en equipos y pida que cada uno de éstos revise, compare y corrija las respuestas de los ejercicios correspondientes al apartado Tareas .

28. Antes de trabajar el apartado ¿Cómo vamos? , pídales como tarea que realicen la investigación acerca de las medidas de las canchas.

27. Propicie la discusión entre los equipos acerca de las respuestas, y solicite que cada equipo exponga de manera ordenada las soluciones que entre todos juzgaron correctas. Sugiera que comenten los diferentes argumentos y las distintas estrategias que los integrantes del equipo propusieron para obtener las soluciones de los ejercicios.

29. Otórgueles un plazo pertinente para que comiencen a elaborar su trabajo, y sugiera que antes de responder las preguntas formuladas hagan un borrador del diseño del trabajo y un dibujo de cómo será su diseño.

Desarrollo


Conjeturas y a�rmaciones En la actividad Conjeturas y a�rmaciones , se busca que los alumnos busquen argumentos veraces con los cuales justi�car el teorema acerca de la igualdad de ángulos opuestos por el vértice.

Como has observado en actividades anteriores, cuando dos rectas se intersecan, se forman ángulos. Por ejemplo, los AOM y DOB se llaman opuestos por el vértice. 

M

Reúnete con tres compañeros, observen la imagen de la izquierda y describan qué son los ángulos opuestos por el vértice y señalen, si existen, otro par de ángulos de este tipo. R. M. Tienen un vértice común y los lados de uno son la prolongación de los del otro. Los ángulos MOD y AOB , también son opuestos por el vértice. Midan los ángulos opuestos por el vértice. ¿Qué observan? Que miden lo mismo. 

D O



A

¿Qué propiedad tiene un par de ángulos opuestos por el vértice? Arguméntenlo.


R. M. Que son congruentes.

B

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

B

Busca en el aula de medios o sala de cómputo algún programa de geometría dinámica y si no hay, entra en cualquiera de las siguientes páginas www.geogebra.org/cms/es o http://www.cabri.com/ . Después de descargar el programa, traza dos rectas que se intersequen y analiza las características de los ángulos opuestos que se forman.

C 0

A

P



Analicen los siguientes casos, marquen los ángulos opuestos por el vértice y verifiquen si miden lo mismo.

Demostrar que:

AOB ≅ ∠COD

∠

A’

Demostración:

AOB + ∠BOC ≅ 180° ∠BOC + ∠COD ≅ 180° ∠

A’

B

B’

B’

B

A

A

A’

B A

B’

Luego:

AOB + ∠BOC ≅ ∠BOC + ∠COD

∠

Por lo tanto:

Figura 1

AOB ≅ ∠COD

∠

Figura 2

Figura 3

En geometría se pueden validar conjeturas o a�rmaciones con sólo algunos ejemplos. En este caso, se pueden hacer mediciones con el transportador o estimaciones a simple vista. Sin embargo, esto no garantiza que la conjetura o a�rmación se cumpla siempre. Para ello se hace una demostración matemática basada en argumentos verdaderos. 58



h o r P

30. Una vez que los alumnos hayan trabajado en tercias la primera parte de la actividad Conjeturas y a�rmaciones , propicie una discusión grupal acerca de las respuestas que dieron a las preguntas formuladas. Sugiérales que durante su participación usen ejemplos para demostrar sus argumentos. 31. Una vez terminada la segunda parte de la actividad, solicíteles que trabajen en parejas y tracen en el cuaderno al menos cinco pares de rectas que se intersequen, y luego las midan para comprobar que los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.

32. Oriente al grupo para discutir acerca de la veracidad de la a�rmación de que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Pida que busquen alguna forma de mostrar que esto es verdad sin tener que recurrir a una medición. Permita que propongan cualquier solución que se les ocurra. Fomente y favorezca el uso del lenguaje geométrico.

Desarrollo


Completa la siguiente demostración, usa las rectas y los ángulos de la �gura al inicio de la página anterior, así como las de�niciones y propiedades geométricas que has aprendido a lo largo de la secuencia.

En la primera actividad de la página, se busca que los estudiantes tengan un acercamiento al lenguaje formal matemático, y demuestren que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

“Todo par de ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo, es decir, son congruentes”. 

¿Qué relación tienen AD , MB y el punto O ? Son oblicuas, porque se intersecan en un punto y no forman ángulos rectos.



¿Cómo son



¿En qué te basas para afirmarlo? R. M. Porque representan una recta.



AOD 

AOD y MOB ?

R. M.

∠AOM



Son congruentes, miden 180º.

∠MOD

y MOB 

∠MOD

M



∠BOD


D

O A



Se puede afirmar que

AOD  MOB porque


R. M. Porque son igual a la suma

de dos ángulos adyacentes suplementarios. B 

AOM + MOD   MOD  DOB porque

Consulte el sitio web:

R. M. Ambas parejas de ángulos son suplementarios.

y si se resta a ambos lados de la igualdad

MOD , podemos

ver

que AOM y DOB son congruentes , por ser opuestos por el vértice. 

Podemos concluir que son

AOM y DOB

opuestos por el vértice

miden

. Por lo que

lo mismo

http://200.40.200.99/contenidos/ areas_conocimiento/mat/angulos/

, es decir,

AOM  DOB .

en cuyas actividades Tipos de ángulos y Rectas y ángulos encontrará las de�niciones y ejemplos grá�cos de los temas vistos a lo largo de la secuencia.

El signo  que se lee “es congruente con ” establece la relación de que dos ángulos, segmentos o �guras miden lo mismo.

Presentación de nuestro trabajo Reúnete con tu compañero y presenten su diseño. 







Recuerden argumentar cómo hicieron los trazos y las mediciones. Entreguen por escrito las instrucciones de cómo deben hacer los trazos de las líneas de cada cancha. Comenten las dificultades que enfrentaron al hacer los trazos de su diseño y cómo el trabajar con rectas y ángulos les ayudó a terminar su trabajo. Compartan con sus compañeros y el profesor las inquietudes y dudas que surgieron a lo largo del desarrollo de las actividades.





¿Qué tipo de ángulos se forman entre dos rectas que se cortan? Ángulos rectos, si son perpendiculares o parejas de ángulos ¿Qué relaciones se pueden establecer entre ellos? Que son congruentes dos a dos. opuestos por el vértice. ¿Cómo te ayudó analizar las características de los ángulos que se forman al bisecarse dos rectas para definir los diferentes tipos de rectas? R. L. ¿En qué otros contextos puedes encontrar aplicaciones de lo que aprendiste en esta secuencia didáctica? R. L.

59


h o r P

33. Trabaje la primera actividad con todo el grupo. Discuta una por una las respuestas a las preguntas planteadas en la demostración, y conforme los alumnos vean cada caso pídales que justi�quen cada respuesta o planteamiento. 34. Indique a cada pareja que al momento de presentar su trabajo frente al grupo procure explicar cómo lo construyeron: qué tipo de líneas usaron, cómo las trazaron, etcétera. 35. Como parte de la evaluación de los conocimientos adquiridos, motive a los alumnos para que detecten en el entorno objetos en los que haya diferentes tipos de líneas y casos en los que puedan verse ángulos adyacentes. También puede conseguir un croquis y pedirles que observen las calles para identi�car rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

36. Discuta con los estudiantes las respuestas a la sección ¿Cómo nos fue? , y evalúe junto con ell os los avances en el aprendizaje esperado. 37. Apóyese en el recurso digital El tren para repasar con los estudiantes el contenido de la secuencia.

Inicio


En esta secuencia, se busca que los estudiantes reconozcan y establezcan las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos paralelas y la transversal que las corta.

e u q o l B

Planeación

6

Relación entre ángulos Conocimientos y habilidades 1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justi�car las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Durante el trabajo de la secuencia didáctica, se espera que adquieran el siguiente aprendizaje esperado: 

Geometría en la casa Un arquitecto pidió a unos estudiantes de la carrera de arquitectura que, en un plano, representaran con líneas rectas la planta baja y el primer piso de una casa y, con otra recta, la escalera que los comunica. El arquitecto recibió estas propuestas por parte los estudiantes. Propuesta 1 Propuesta 2

Justifican la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

Escalera


Primer piso

Planta baja

Escalera

Primer piso

Planta baja

El arquitecto comentó que una de las propuestas tiene graves problemas estructurales y les pidió que la revisaran.

Para reforzar tanto lo estudiado hasta ahora como el trabajo de esta secuencia, relacionado con el tema de ángulos, puede consultar la página web:



¿En cuál diseño se presenta el error y en qué consiste?

Coméntalo con tus compañeros y el profesor.

En la propuesta 2. Porque el piso y el techo no son paralelos.

Preguntas para andar 1) R. M. En la propuesta 1, cuatro

y cuatro y en la propuesta 2, las parejas de ángulos opuestos por el vértice. 2) Transversal o secante. La transversal toca un punto de cada una de las rectas.

http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/ areas_conocimiento/mat/angulos/index.html

  



¿Cuántos ángulos se generan entre las rectas de los diseños? Ocho Sin medir, ¿cuántos ángulos iguales hay en cada diseño? ¿Cómo puedes saberlo? 1) ¿Qué nombre recibe la recta que representa la escalera? ¿Qué relación tiene con las rectas que representan cada planta? 2) Si tienes tres rectas en un plano, ¿qué posiciones relativas deberán tener para que se generen doce pares de ángulos congruentes entre sí?

Paralelas, y deben ser cortadas por una perpendicular.

Nuestro trabajo En equipos de tres, construirán una mesa o burro de planchar pequeño, por ejemplo con palillos o popotes para las patas y un cartón para la base. Para realizarla se sugiere:  

Buscar tres diferentes mesas o burros de planchar. Encontrar la relación entre los dos apoyos (o patas) de la mesa y el lugar donde se ubica el tornillo que las une.

Al �nal, presentarán el modelo de mesa que elaboraron al grupo y entregarán un reporte con la descripción de sus características y cómo construirla. 60


a t n e v

1.

Pida que dos voluntarios pasen al pizarrón a trazar una de las propuestas del plano que aparecen en la actividad. Solicite a los demás alumnos que busquen los argumentos necesarios para determinar cuál de los casos presenta el error y porqué no es factible llevar a cabo dicho proyecto.

3.

Genere una discusión en torno a la última pregunta y pídales que realicen el trazo que justi�que su respuesta. No descarte ninguna de las respuestas y espere a que sean ellos quienes determinen que la recta que corte las paralelas debe ser perpendicular a ellas.

2.

Indíqueles que respondan grupalmente las Preguntas para andar . Sugiérales que recurran a los trazos del pizarrón

4.

Organice al grupo en tercias y asigne un plazo pertinente para que lean la información acerca del trabajo que realizarán, según se indica en la sección Nuestro trabajo .

u s a d i b i

h o r P

para ejempli�car sus respuestas y que manejen la nomenclatura correcta para nombrar los ángulos.

Desarrollo


Escaleras y elevadores Reúnete con un compañero y midan los ángulos que se forman en los esquemas de las propuestas hechas por los estudiantes en la página anterior. Contesten en su cuaderno las siguientes preguntas 

 



En la actividad Escaleras y elevadores , se busca que los estudiantes recurran a la exploración y el análisis para determinar el número de ángulos que se forman, y que comiencen a establecer algunas de las relaciones entre los ángulos formados por dos paralelas y una transversal que las corta, así como la relación de los ángulos entre dos paralelas y una perpendi cular.

¿Cómo son entre sí los ángulos que se forman sobre la planta baja y el primer piso de la propuesta 1? Congruentes dos a dos. ¿Se repite el patrón con los ángulos de la propuesta 2? No ¿Cómo son entre sí las rectas que representan la planta baja y el primer piso en la propuesta 1? ¿Qué sucede con la rectas de l a segunda propuesta? Las primeras son paralelas y las segundas oblicuas. ¿En los casos anteriores, la posición de las rectas tiene relación con la medida de los ángulos que se forman? Coméntenlo con sus compañeros y con el profesor.

Sí, porque la posición de las rectas determina la medida de los ángulos. 

Si tuvieran que diseñar un plano de una casa con dos pisos y elevador, ¿cómo lo representarían? Trácenlo en su cuaderno. 1) 

1) R. M.

Primer piso

¿Cómo son las líneas que representan la planta baja y el primer piso?

Paralelas. 

Elevador

¿Cómo son las líneas anteriores en comparación con las que representan al elevador?

Planta baja


Perpendiculares.

Comparen su diseño y respuestas con los de otros compañeros.

Para visualizar y comprobar los diversos aspectos del tema de esta página, se puede consultar la dirección electrónica:

Como lo vimos en la secuencia anterior, hay in�nitas formas de colocar dos rectas en un plano. Sin embargo, tienen una propiedad entre ell as y es su posición relativa, pueden intersecarse o no. 

¿Cómo se llaman las rectas que se intersecan? ¿Y las que no se intersecan?

Las que se intersecan, perpendiculares u oblicuas transversales y las que no se intersecan, paralelas.

http://tutormatematicas.com/GEO/Angulos_en_lineas_paralelas_transversal. html

En los esquemas de la página anterior, la recta que representa las escaleras se conoce como recta transversal o secante, que es una recta que interseca a dos o más rectas en el mismo plano y en diferentes puntos, formando varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes a cada i ntersección. 

Traza dos rectas oblicuas y una transversal o dos rectas paralelas y una transversal.

R. M.

Ocho



¿Cuántos ángulos se formaron?



Reúnete con un compañero y comparen sus dibujos de rectas. ¿En qué se parecen? ¿Cuáles son sus diferencias? Comenten sus respuestas. R. L.



¿Qué diferencias hay entre los ángulos formados en las rectas paralelas cortadas por la transversal y las oblicuas? Entre las paralelas cortadas por una transversal

se forman dos cuartetos de ángulos congruentes, y en las oblicuas, sólo las parejas de ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 61


5.

u s a d i b i

h o r P

Organice al grupo en parejas y destine un lapso adecuado para que trabajen en la primera parte de la actividad Escaleras y elevadores . Propicie la discusión colectiva respecto de las respuestas a las preguntas formuladas en la actividad. Pida a las diferentes parejas que expongan sus resultados argumentando y ejempli�cando cada respuesta.

6.

Pregúnteles cómo son los ángulos que se generan entre las líneas que representan los pisos de la casa y el elevador.

7.

Pídales que resuelvan grupalmente la segunda parte de la actividad y recuérdeles que deben argumentar sus respuestas.

8.

Indíqueles que señalen con números o letras los ángulos que se forman en los trazos de la página anterior, y que anoten el nombre de las parejas de ángulos opuestos por el vértice.

9.

Al llegar a la última pregunta, pídales que midan los ángulos de los esquemas de la página anterior, y que usen la nomenclatura correcta para indicar qué ángulos miden lo mismo en cada caso. Sólo después de ello podrán responder la pregunta.

Desarrollo


Parejas de ángulos

Figura 1

t

Reúnete con un compañero y observen las �guras de la izquierda.

En la actividad Parejas de ángulos , se busca que los estudiantes identi�quen y conozcan el nombre de las parejas de ángulos que se forman cuando un par de rectas es cortado por una transversal, así como la congruencia entre dichos ángulos.



e

2 1 3A 4

En cada figura, ¿cómo son entre sí los ángulos 1 y 3; 2 y 4; 5 y 7; y 6 y 8? ¿Por qué?



Figura 2

En esta actividad se formaliza el conocimiento trabajado de manera intuitiva en las páginas anteriores.

En cada caso, t es una transversal de las rectas e y h . Entre dos rectas y una transversal se forman ocho ángulos diferentes. Estos ángulos se clasi�can de acuerdo con la posición que ocupan: t

2 1 4 3A


¿Cuánto suman las parejas de ángulos 1 y 2; 3 y 4; 5 y 6; y 7 y 8? ¿Por qué? 180°. Porque son adyacentes y suplementarios.

h

5 6 7 B 8

Ángulos correspondientes. Están del mismo lado de las paralelas y del mismo lado de la transversal.

e

Ángulos alternos internos. Se encuentran entre las paralelas en distintos lados de la transversal.

Ángulos alternos externos. Están fuera de las paralelas en distinto lado de 5 6 7 B 8

Cuando una transversal corta dos rectas paralelas, los ángulos alternos

internos, alternos externos y correspondientes son congruentes en cada caso.

h

la transversal. En algunos casos, hay pares de ángulos que son congruentes (miden lo mismo).

Comparen las parejas de ángulos en cada �gura y completen la siguiente tabla. Anoten las parejas que faltan en cada caso. Observen el ejemplo.

2)

Son suplementarios, porque los ángulos 2 y 3 cumplen con esta condición y, por ser el ángulo 5 congruente con el 2, también cumplen con esa condición.

Congruentes

Parejas de ángulos

Figura 1

Figura 2

Alternos internos

4y5

Sí

No

Alternos externos

2y8

Sí

No

1y6

Sí

No

Tipo de ángulos

1)

Congruentes, porque son opuestos por el vértice.

Correspondientes

Reúnanse con otra pareja y comparen sus respuestas. En caso de errores, resuelvan conjuntamente. Después, respondan en el cuaderno lo siguiente.

Pueden ser congruentes cuando son opuestos por el vértice, ángulos alternos internos y externos, y ángulos correspondientes o suplementarios cuando son ángulos adyacentes o ángulos colaterales.











Si los ángulos 3 y 6 son congruentes, ¿las rectas e y h son paralelas? Argumenten su respuesta. Sí. Porque los ángulos alternos internos son congruentes. ¿Es posible trazar dos rectas que no sean paralelas y una transversal, de manera que dos ángulos alternos internos sean congruentes? No. ¿Es posible construir dos rectas que no sean paralelas con una transversal y que se cumpla que dos ángulos alternos internos sean congruentes? No. Si los ángulos 2 y 5 son congruentes, ¿cómo son entre sí los ángulos 5 y 3? ¿Por qué? 1) ¿Cómo son las parejas de ángulos que se forman, cuando una transversal corta a dos rectas paralelas? 2)

62



h o r P

10. Organice a los estudiantes para que realicen la actividad en parejas. Antes de que empiecen a resolverla, pida a diferentes parejas que describan las ilustraciones que se presentan. Solicíteles que mencionen cuál es la relación entre las rectas y qué representan tanto los números como las letras. Indíqueles que respondan las primeras preguntas de la actividad. 11. Trace en el pizarrón las dos �guras mostradas en el libro y anote en diferentes columnas el nombre de los distintos tipos de ángulos que se indican. Lea junto con el grupo la clasi�cación dada. Exhórtelos para que diferentes voluntarios pasen al pizarrón y marquen de un mismo color un par de alguno de los tipos de ángulos. Pídales que justi�quen su elección y que anoten en la columna correspondiente los ángulos que hayan identi�cado; el resto del grupo cali�cará el trabajo de cada voluntario.

12. Al término del ejercicio, propicie la discusión grupal en torno a las respuestas que dieron a las preguntas formuladas en la última parte de la actividad. 13. Mencióneles que hay otras parejas de ángulos llamadas conjugados , que son aquellos que se encuentr an en un mismo semiplano con respecto a las transversales. Pídales que identifiquen parejas de este tipo de ángulos en los esquemas del libro y cuestiónelos para que observen cómo son dichos ángulos entre sí, guiándolos para que concluyan que forman ángulos suplementarios.

Desarrollo Desarrollo esarro o


¿Cómo vamos? En la sección Tareas , se busca que los estudiantes apliquen los conocimientos y habilidades adquiridos respecto de las relaciones entre los ángulos que se obtienen cuando una transversal corta dos rectas paralelas.

Reúnete con tu equipo y tr abajen en la elaboración de la mesa de planchar. 



 

¿A qué distancia se debe colocar el tornillo para sujetar las patas? ¿Qué relación hay entre el largo de las patas? 1) ¿Cómo debe ser la parte superior de la mesa en comparación con el piso? 2) ¿Hay alguna relación entre los ángulos que se forman? ¿Cuál es? 3) ¿Qué aplicaciones encuentran a su alrededor relacionadas con este tema? 4) Una vez que tengan l a mesa construida, deben argumentar geométricamente por qué la parte superior siempre queda paralela al piso. 5)

1)

R. M. El largo de las patas y la posición del tornillo se encuentran en una relación de 1 al igual que 3 la distribución del peso en la parte de las patas.

2)

R. M. Debe ser paralela. La fuerza que se ejerza con el peso de la mesa y el apoyo de las patas, permiten que el peso se distribuya uniformemente y que la mesa pueda sostenerse por sí sola.

3)

Si existe una relación entre los ángulos, forman ángulos opuestos por el vértice.

4)

R. M. Algunos puentes son construidos con base en este principio de triángulos en la base y en la parte superior, ya que esta forma geométrica con�ere una gran resistencia a las estructuras por distribuir equitativamente el peso y la presión.

5)

R. M. Porque corresponde a una línea paralela a la misma distancia en cada uno de sus puntos respecto del suelo.

Resuelve las las actividades act v dades siguientes 1. Completa las siguientes a�rmaciones. Si es necesario construye una representación para visualizarlas. a) Si dos rectas son cortadas por una transversal y forman ángulos alternos internos congruentes cuando las rectas son

paralelas

.

b) Si dos rectas se cortan con una transversal y forman cuatro pares de ángulos congruentes opues-

paralelas

tos por el vértice, las rectas son

y la transversal es

secante

a ellas.

2. Resuelve aplicando la congruencia de ángulos entre paralelas y una transversal. a) Si las rectas L1 y L2 son paralelas y forman un ángulo de 59.2° con la transversal, determina en grados la medida de todos los ángulos.

120.8° 59.2° 59.2° 120.8°

59.2° 120.8° 59.2° 120.8°

L 1

L 2

b) Encuentra las rectas que son paralelas, con las medidas de los ángulos que se indican en la siguiente �gura. l k Las rectas paralelas son c y s ; k y l .

j

88.5°

n 90.0°

90.0°

91.5°

c s

91.5°

En equipo revisen su tarea y corrijan lo que sea necesario. 63


h o r P

14. Pida al grupo que se organice en las tercias para elaborar el modelo de Nuestro trabajo . Propóngales utilizar material de fácil manejo, como colores, palillos, popotes, etcétera, colocándolos en diferentes posiciones para veri�car la factibilidad de su proyecto. 15. Establezca un lapso pertinente para que discutan y respondan las preguntas formuladas en la sección ¿Cómo vamos? Propicie la discusión grupal acerca de las respuestas a las preguntas de la sección.

16. Sugiera a los equipos que como primera fase del trabajo elaboren una maqueta del modelo �nal, pues les servirá para descubrir a qué di�cultades se enfrentarán. 17. Como tarea, propóngale a l os miembros de cada equipo que trabajen en la argumentación geométrica de su proyecto, y que discutan en el salón de clases la mejor argumentación para presentarla con el diseño de su mesa.

Desarrollo


Ángulos interiores de un triángulo Consigue hojas blancas, una regla o escuadra, tijeras, realiza las act ividades y responde las preguntas en el cuaderno.

En la actividad Ángulos interiores de un triángulo , se busca que los estudiantes exploren de diferentes maneras la manera de mostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

B



En tu hoja traza tres triángulos diferentes y recórtalos. 1) 

C

A   

ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es 180°.




Recorta un semicírculo y divídelo en tres arcos con ángulos diferentes. Asigna una letra a cada vértice. 2) 

La suma de los ángulos interiores de un triángulo y de un cuadrilátero es 180° y 360°, respectivamente.

D

E F

 



R. M.



B A

Colócalos sobre la mesa y, utilizando una regla, acomódalos de tal manera que se forme un triángulo. ¿Cuánto suman los tres ángulos de tu triángulo? Argumenta tu respuesta. 3) Separa o junta los trozos del semicírculo para formar nuevos triángulos. ¿Es posible construir otro triángulo? No es posible construir otro triángulo.

Ahora traza y recorta otro triángulo y realiza los siguientes dobleces: 

1)

Toma uno de los triángulos y rotula cada ángulo con una letra. Recórtalos como se muestra y ubícalos sobre una regla de tal manera que queden alineados, es decir, acomodados como ángulos adyacentes. ¿Cuánto suman estos tres ángulos? Suman 180º. Repite el proceso anterior con los otros triángulos y compara los resultados. ¿Qué observas? ¿Sucederá lo mismo si repites la actividad con otros triángulos? La suma de los ángulos de todos los triángulos es de 180°. Sí, porque la suma de los

Dobla el vértice 1 de modo que coincida con el lado opuesto. La parte superior del doblez debe ser paralela a dicho lado. Después, dobla los vértices 2 y 3 para que coincidan con el vértice 1.

1

1

C 1 2

3

2) R. M.

E

3)

Suman 180°. Porque los tres ángulos son consecutivos y suplementarios. Como una circunferencia mide 360º, un semicírculo mide 180°.

3



F

4) R. M.

D

A

A

5)

E

Las parejas de ángulos congruentes con B , con D , con C y con E . R. M. Porque al tener dos rectas cortadas por una transversal, las parejas de ángulos mencionadas resultan ser ángulos alternos internos. 6)

B

C

B

C

Sí. Porque la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es de 180°.

2

¿Cuánto suman los ángulos 1, 2 y 3? ¿Por qué? 180°, porque todos los vértices coinciden

sobre un mismo vértice y se convierten en ángulos suplementarios. 

Traza un triángulo y nombra los vértices A, B y C . 4) 

D

3

2



  

Traza una paralela al lado BC que pase por el vértice A. Sobre dicha recta se forman tres ángulos. Nombra a los nuevos ángulos como D y E . ¿Alguno de los ángulos es congruente con el C ? ¿Y con el B ? Argumenta tu respuesta. 5) ¿Qué puedes concluir de B  C  A ? Que la suma de los tres ángulos es igual a 180°. Lo anterior, ¿se cumplirá para cualquier triángulo ? ¿Por qué? 6) Reúnete con tres compañeros, comparen los triángulos trazados, ¿son iguales? ¿La conclusión a la que llegaron es la misma? R. L.

Analicen las respuestas con el profesor y noten que no se usó el transportador. En equipo, justi�quen la a�rmación.

64



h o r P

18. Pida con anterioridad el material que usarán los estudiantes para trabajar en esta sesión.

deles las indicaciones del procedimiento en cuestión, ejempli�cándolo en el pizarrón.

19. Sugiérales que tracen triángulos de tamaño grande para que los manipulen más fácilmente.

22. Durante la última actividad, pídales que prolonguen los lados del triángulo hacia ambos extremos, como se muestra, y que recuerden los conocimientos adquiridos acerca de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Pregúnteles: ¿Qué tipo de

20. Realice la actividad junto con el grupo para ir aclarando las dudas que vayan surgiendo. En los dos primeros casos, pida que diferentes voluntarios lean en voz alta las instrucciones mientras el resto del grupo las lleva a cabo. Pida que respondan grupalmente las preguntas formuladas en cada caso. 21. En el último caso, sugiérales que utilicen las escuadras para trazar la paralela al lado BC . Otorgue un tiempo pertinente para que lo intenten, y en caso de que no lo logren,

ángulos son C y B con sus respectivos ángulos congruentes? (Son ángulos alternos internos). Pida que justi�quen su respuesta.

E C

A

D B

Desarrollo A partir de lo visto durante la secuencia acerca de rectas cortadas por una transversal y sobre la medida de los ángulos interiores de un triángulo, encuentra el valor del ángulo x en la �gura de la derecha. Argumenta tu respuesta. El ángulo x mide 90°. Porque la semirrecta CB es perpendicular a L1 y L2.

En equipo tracen en el cuaderno lo siguiente:  








C

Compara tu respuesta las de tus compañeros y presenta tu argumentación al profesor.

Ángulos de los cuadriláteros

Cierre

D A

30° x

L1

E

L2

En esta actividad, se busca que los alumnos generalicen y determinen que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.

120° B

Un triángulo isósceles y uno equilátero. 1) El simétrico de cada triángulo, de modo que uno de los lados sea el eje de simetría. ¿Qué tipo de cuadriláteros obtuvieron? ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de cada uno? Arguméntenlo. 2) Tracen un triángulo que, al reflejarlo con respecto de uno de sus lados, les permita obtener un paralelogramo (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide). 3) A partir de lo anterior, ¿cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? ¿Cómo podrían argumentar esta afirmación? Suman 360º. R. M. Porque siempre

1)

R. M.

2)

Con los triángulos isósceles se obtuvo un trapezoide y con los equiláteros un rombo. Los ángulos suman 360°, porque la suma de los ángulos de cada triángulo es igual a 180º. 180 × 2 = 360º.

3)

R. M.

es posible dividir un cuadrilátero en dos triángulos, y como los ángulos de cada triángulo suman 180º, por tanto los ángulos de los cuadriláteros suman 360º.


Presenten su diseño de la mesa de planchar al grupo. Argumenten geométricamente por qué la base es paralela al piso. 

 

Comenten al grupo las mayores dificultades que tuvieron para realizarlo y cómo las superaron. Entreguen el informe con la argumentación geométrica al profesor. Reúnanse con otros dos equipos para compartir la justificación geométrica elaborada. Decidan cuál de las tres es la más clara y sólida para presentarla a todos los demás.

Conocer sus nombres y la relación entre éstos. 5) R. M. En las repisas de un librero o de un mueble de cocina. 6) Para saber en donde están los puntos de apoyo de la mesa. 7) Quedaría inclinada, y los objetos que se colocarán sobre ésta se podrían caer o no se sostendría la mesa. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360°. R. M. Con dos triángulos congruentes siempre es posible formar un cuadrilátero. 180 × 2 = 360° 8) No. Porque siempre sumas 180º y porque la medida de un ángulo no depende del tamaño de sus lados, sino de la abertura entre éstos. 4)













¿Cuál fue la utilidad de conocer la relación entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal? 4) ¿Existen en casa otros objetos en los que se utiliza lo estudiado en esta secuencia didáctica? Da dos ejemplos. 5) En la elaboración de la mesa, ¿cómo has utilizado la relación de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal? 6) Al escuchar a los demás equipos, ¿qué nuevas ideas aprendieron para argumentar el paralelismo entre la parte superior de la mesa y el piso? R. L. Si esta condición no se cumpliera, ¿qué consecuencias tendría?¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero? ¿Cómo podrías argumentar esta afirmación? 7) ¿La suma de los ángulos interiores de un triángulo pequeño es menor que la suma de los ángulos interiores de un triángulo grande? Argumenta tu respuesta. 8)

65


h o r P

23. Propicie entre todo el grupo una discusión acerca de la a�rmación a la que se pretende que lleguen. Pregúnteles si basándose en estos tres casos que están analizando pueden asegurar que se cumple tal a�rmación. 24. Sugiera a los alumnos que tracen en una hoja blanca al menos cinco �guras de cuatro lados, es decir, cinco cuadriláteros cualesquiera. Indique que midan sus ángulos interiores y vean si se cumple la a�rmación.

25. Solicite a cada equipo que haga la presentación de su mesa de planchar y exponga las conclusiones a las que llegaron con los otros dos equipos. 26. Discuta con los alumnos las respuestas a la sección ¿Cómo nos fue? , y evalúe junto con ellos l os avances en el aprendizaje esperado.

Inicio


En esta secuencia, se busca que los estudiantes aprendan a determinar el factor inverso y el factor de proporcionalidad fraccionario a partir de analizar y trabajar diferentes situaciones problemáticas de escala.

e u q o l B

Factor inverso de proporcionalidad

7

Conocimientos y habilidades 1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

Reducción fraccionaria


En la novela Alicia en el país de las maravillas de Lewis Carroll; Alicia, la protagonista de la historia, aumenta o disminuye su estatura al beber un líquido de ciertas botellas.

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales de un objeto o lugar y las del dibujo que lo representa en un plano o un mapa.

Supón que luego de tomar un trago de una de las botellas su estatura disminuyó de 70 a 40 centímetros.

4

 

¿Cuál es el factor de reducción? 7 Si quisiera regresar a su tamaño original, ¿qué factor de proporcionalidad debe aplicarse a sus medidas? 1.75

Preguntas para andar  





¿Cómo se encuentra el factor o constante de proporcionalidad? Dividiendo el valor del tamaño ¿Qué característica tiene el factor de proporcionalidad cuando se reduce la original entre el valor del tamaño estatura de Alicia? R. M. Es un número fraccionario o menor a la unidad. ¿Qué característica tiene el factor de proporcionalidad cuando Alicia vuelve �nal. a su estatura original? Es un número decimal mayor a la unidad. ¿Cómo encontraste el factor de proporcionalidad inverso, es decir, el que aplicado a los 40 centímetros regresó a Alicia a su estatura original?R. M. Dividiendo 70 entre 40.

66



h o r P

1.

Antes de iniciar el trabajo de esta secuencia didáctica, repase con los alumnos el tema de proporcionali dad directa trabajando brevemente en problemas relacionados. Por ejemplo:

2.

Conforme resuelvan cada problema, pídales que expliquen la estrategia empleada. Propicie una discusión grupal acerca de qué tipo de probl emas son estos y cómo se resuelven generalmente.

Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm, y la segunda uno de 75 cm. Cuando la primera haya dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

3.

Genere un debate entre todo el grupo respecto del problema planteado en la actividad del libro y en las preguntas formuladas. Pídales que deduzcan qué tiene que ver esta situación con la escala y, para rescatar sus conocimientos previos, pregúnteles si saben qué es la escala y en qué situaciones se trabaja con ella. Solicite que mencionen ejemplos concretos.

4.

Indíqueles que resuelvan de manera grupal las Preguntas para andar y sugiérales dar ejemplos que ilustren sus







De los 800 alumnos de un colegio, 600 hicieron un viaje. ¿Qué porcentaje de alumnos se fue de viaje? Un ganadero tiene pacas de paja para alimentar a 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿para cuántos días alcanzará el alimento?

respuestas.

Planeación

Desarrollo


Nuestro trabajo La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles.

En equipo elaborarán un rompecabezas de �guras geométricas en tres diferentes tamaños: chico, mediano y grande. Necesitarán hojas de foami de colores, tijeras, escuadras, regla graduada y una calculadora sencilla. A lo largo de l a secuencia didáctica encontrarán indicaciones sobre las medidas del rompecabezas. Al �nal lo presentarán al grupo y explicarán cómo obtuvieron sus medidas.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.

Las medidas de Alicia En la actividad inicial, Alicia, a la cual llamaremos Alicia 1, redujo su estatura, a esa reducción la llamaremos Alicia 2; pero Alicia también puede hacerse grande. 

Considera que cuando la estatura de Alicia es de 70 cm, su mano mide 6 cm de largo. ¿Cuál sería la longitud de su mano si la estatura de Alicia (3) fuera de 140 centímetros? Justifica tu respuesta. La longitud de la mano de Alicia es de 12 cm. Porque al aumentar

su tamaño al doble, su mano aumenta en la misma proporción. Factor de proporcionalidad igual a 

3

Con base en los datos del problema anterior, completa la tabla.

Estatura Manos Piernas Cabeza Tronco 

140 =2 70

Medida original Alicia 1 (cm)

Medida Alicia 3 (cm)

70

140

6 40

12 80

7

14

30.5

61

1

¿La relación entre las medidas de Alicia 1 y las medidas de Alicia 3 es proporcional? Explica tu respuesta. Sí , porque las medidas de Alicia 3 son el doble de las de Alicia 1.



Recuerda que el factor de proporcionalidad (o de escala) es el número por el cual se multiplican las medidas originales (Alicia 1) para obtener medidas de crecimiento o reducción (Alicia 3). ¿Cuál es el factor de proporcionalidad en este ejemplo? Explica cómo lo obtuviste. El factor de proporcionalidad es 2 y se

obtuvo al dividir la medida de Alicia 3 entre la de Alicia 1. 

Si consideras las medidas de crecimiento, ¿qué factor de proporcionalidad de bes

1 o 0.5; R. M. Al dividir

aplicar para obtener las medidas originales? ¿Cómo lo supiste? 2

1 entre el factor de proporcionalidad, que en este caso es 2, se obtiene el factor de proporcionalidad 1 . 2 Cuando tenemos dos conjuntos en los que las cantidades se relacionan de manera proporcional, para obtener las cantidades del segundo conjunto a partir del primero, basta con multiplicar cada cantidad por el factor de proporcionalidad. Para obtener las cantidades del primer conjunto a partir del segundo, podemos utilizar el factor inverso de proporcionalidad, que es igual a 1 entre el factor de proporcionalidad. Si a es el factor de proporcionalidad, entonces el factor inverso de proporcionalidad es 1, en donde a es cualquier número diferente de cero. a

67


5.

Organice al grupo en equipos y asigne un lapso pertinente para que distribuyan las labores propuestas en la sección Nuestro trabajo .

6.

Pida a los alumnos que trabajen individualmente la actividad Las medidas de Alicia . Una vez que concluyan el trabajo, indíqueles que intercambien sus libros con un compañero y comparen sus respuestas con el �n de que discutir y determinar juntos las respuestas más convenientes a las preguntas formuladas.

u s a d i b i

h o r P

7.

Pregunte al grupo qué pasaría si las partes del cuerpo de Alicia no crecieran o no se achicaran de manera proporcional, por ejemplo, si sus brazos aumentaran el doble y su cuerpo sólo una tercera parte. Indíqueles que recurr an al procedimiento que consideren conveniente para veri�car lo qué pasaría.

8.

Pídale a diferentes voluntarios que ejemplifiquen una situación en la que se aplique el factor inverso de proporcionalidad. Un caso de ello se encuentra en los mapas: cuando se quiere conocer las medidas reales de la zona que muestran es necesario aplicar el inverso de proporcionalidad a la escala en que fueron trazados.

Desarrollo


Observa que en el problema de la página anterior, el factor de proporcionalidad es 2 (el doble) y el factor inverso de proporcionalidad es 1 (la mitad). 2

Al retomar la solución de la actividad inicial, se busca que los estudiantes trabajen en la solución del problema de manera formal: así reforzarán los conocimientos y habilidades adquiridos y usted tendrá una oportunidad para evaluar los avances.

Multiplica cada medida de Alicia 3 por el factor inverso de proporcionalidad para obtener las medidas originales de Alicia 1.



1 , ¿las cantidades son más pequeñas o más grandes? 2

Al multiplicar por



Son más pequeñas. ¿Por qué? Porque al multiplicar cualquier número por uno menor a la unidad, el resultado siempre es menor al número en cuestión. 1 que dividir entre 2? 2 1

Sí Argumenta R. M. Al multiplicar un número por el resultado es igual a la mitad del tu respuesta. 2 número original y al dividir un número entre dos, el resultado también es igual a la mitad (dividir un número entre un número x es lo mismo que multiplicarlo por su inverso multiplicativo 1 . ¿Es lo mismo multiplicar por



x

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el maestro.

Considera nuevamente el problema del la actividad inicial, completa la tabla y responde.



3 Alicia 1 (cm)

Alicia 2 (cm)

70

40

Manos

6

3.42

Piernas

40

22.85

Cabeza

7

4

Tronco

30.5

17.42

Estatura

1 2

En este caso, ¿cuál es el factor inverso de proporcionalidad? Es decir, el que



regresa a Alicia a su estatura original. En este caso el factor inverso de proporcionalidad es 1.75. Si el factor de proporcionalidad que relaciona a dos conjuntos de cantidades es entonces el factor inverso de proporcionalidad es b porque: 1



^ 11 h

^ b a h ^ b a h

a b

a



(1 b ) (1



a )



b a

en donde a y b son números diferentes de cero.

¿Cómo vamos? Junto con tus compañeros de equipo inicia la elaboración del rompecabezas.

R. L. 





Reúnan el material para trabajar y póngase de acuerdo acerca de cómo harán su diseño. Utilicen al menos tres figuras geométricas y cuiden que no se repitan. Recorten un cuadrado de foami de 12 centímetros de lado y dibujen las figuras que formarán su rompecabezas. ¿Cómo eligieron las figuras geométricas?

Guarden su rompecabezas, más adelante lo utilizarán.

68



h o r P

9.

Propicie entre los alumnos una discusión acerca de las respuestas que dieron a las primeras preguntas de la actividad. Sugiérales que investiguen qué pasa si utilizan otros números, y acuerde con todo el grupo cuáles fueron las respuestas más óptimas, en razón de estar mejor explicadas y utilizar un lenguaje claro y preciso.

12. Motívelos para que, a partir del problema de la actividad, justi�quen el texto que explica el factor inverso de proporcionalidad.

10. Antes de que determinen el factor inverso de proporcionalidad, pregunte a los alumnos: ¿Por cuánto hay que

14. Destine un tiempo pertinente para que elaboren sus rompecabezas. Sugiérales que muestren su trabajo a otros equipos para comparar las �guras que cada uno utilizó en su diseño, e indíqueles que veri�quen si cumple con el requisito solicitado.

multiplicar las medidas originales de Alicia para obtener las de su reducción? Es decir: ¿Por qué número hay que multiplicar 70 a �n de obtener 40? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? 11. Solicíteles que escriban el factor inverso del problema de la actividad en forma de fracción y de número decimal.

13. Pida con anticipación el material que usarán durante la sección ¿Cómo vamos?



Otros cambios de Alicia En la actividad Otros cambios de Ali- cia , se pretende que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos hasta ahora para favorecer que sean capaces de determinar los casos generales. Es decir, que establezcan una fórmula para cada caso de factor.

Alicia ha cambiado de estatura varias veces. Resuelve cada situación empleando el factor inverso y encuentra cuánto medía Alicia. 

Las medidas que muestra la tabla se obtuvieron al aplicar un factor de proporcionalidad de 1.5. ¿Cuánto medía Alicia antes de crecer? Completa la tabla. Medidas antes de crecer (cm) Manos Piernas Cabeza Tronco 

Nuevas medidas (cm)

56.66 4.85 32.38 5.66 24.68

Estatura

85

7.28

48.57 8.5 37.03

¿Qué factor debe aplicarse a las nuevas medidas para obtener las medidas an-

El factor de proporcio-

tes de crecer? nalidad es 2 .



¿Cómo lo supiste? R. M. Dividiendo 1 entre el factor 3 de proporcionalidad que en este caso es 1.5, para obtener el factor de proporcionalidad inverso. 2 0.6666 Escríbelo como decimal y como fracción. 3 Si x indica la medida original, es decir, antes del crecimiento o reducción, y y la medida nueva, escribe las fórmulas que relacionen las variables x y y , con el factor de proporcionalidad y con el factor de proporcionalidad inverso. x = 2 y y = 1.5x

3



¿Son equivalentes las dos fórmulas?

Sí

¿Por qué?

R. M. Porque una expresión puede obtenerse a partir de la otra. Comenta tu respuesta con el profesor y con tus compañeros. 

Alicia modificó nuevamente sus medidas de acuerdo con un factor de escala de 5 . Toma como referencia las medidas de Alicia 1 y haz los cálculos. 7

Se reduce.



¿Se agranda o se reduce la estatura de Alicia?



¿Qué factor se deberá utilizar para obtener las medidas originales de Alicia?

El factor es 1.4. 

Escribe una fórmula que relacione las medidas originales con las medidas de crecimiento o reducción de Alicia. Para llevar a cabo la reducción de Alicia 1 la

fórmula sería x = 5 n. Para regresarla al tamaño normal de Alicia 1 la fórmula sería y = 1.4n 7

¿Cómo vamos? Reúnete con tus compañeros de equipo y realicen las actividades que se indican.  

 

Reproduzcan el rompecabezas que diseñaron, utilicen un factor de escala de 5 . 6 ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado sobre el cual copiarán el diseño de su rompecabezas? 10 cm ¿Qué estrategias utilizarán para copiar el diseño? R. L. ¿Cómo se encuentra el factor inverso de proporcionalidad cuando se conocen las medidas originales de una figura? Si hubieran empezado con el rompecabezas pequeño, ¿qué factor de escala habrían utilizado para trazar el grande?

Se divide 1 entre el factor de proporcionalidad; el factor sería 1.2.

69


h o r P

15. Pida que un voluntario diga en forma de fracción el factor de proporcionalidad mencionado en la actividad de la tabla. Sugiérales que completen la tabla utilizando el factor de proporcionalidad en la representación que consideren más conveniente, ya sea un número decimal o una fracción. 16. Cuando hayan completado la tabla, propicie una discusión en el grupo a propósito de la conveniencia de utilizar la representación del factor en los diferentes productos.

17. Solicíteles trabajar en parejas la parte de la actividad en la que tienen que establecer las fórmulas. Pida a diferentes parejas que muestren y justi�quen sus fórmulas ante el grupo. 18. Otórgueles un plazo adecuado para que trabajen en la sección ¿Cómo vamos? elaborando su nuevo rompecabezas. Pídales que comenten con los demás equipos las respuestas a las preguntas formuladas y el desarrollo de su trabajo.

Desarrollo

Resuelve los siguientes problemas.

1. Si la estatura de Alicia se reduce de 40 cm a 20 cm, ¿qué factor de escala se

1 utilizó? El factor de proporcionalidad es de 2 o 0.5

a) ¿Cuál es el factor que regresa a Alicia a su estatura de 40 centímetros? El factor es 2 b) Escribe una fórmula que relacione las medidas originales con las nuevas x = n o x = 1 n reduce medidas de Alicia. x = 2n

2

2

2. Si la estatura de Alicia se redujo de 70 cm a 40 cm y luego se redujo nuevamente de 40 cm a 20 cm, ¿qué factor de proporcionalidad se aplicaría si se quiere reducir la estatura de Alicia directamente de 70 cm a 20 cm? El factor es 2

7

a) El factor de proporcionalidad que se usa para reducir la estatura de 70 cm a 20 cm es igual al producto de los factores que reducen de 70 a 40 centímetros y de 40 a 20 centímetros. Es decir:

4 7



2 4



8 = 2 28 7

b) ¿Cuál es el factor inverso de escala, es decir, el que cambia la estatura de

1)

Alicia de 20 centímetros a 70 centímetros?

Es 7 = 3.5 2

3. ¿Qué sucede si se le aplica a la �gura de la izquierda un factor de escala de

1

y

2 1 después un factor de 3? La �gura �nal sería 2 mayor a la original, es decir, el factor de escala �nal sería 1.5.

1.5

a) ¿Son mayores o menores las medidas de la �gura �nal con respecto de la �gura original?

Son mayores.

b) ¿Cuál es el factor que regresa la �gura �nal a su tamaño original?

1 2

2 3

c) Traza en tu cuaderno las tres �guras y comprueba tu respuesta. 1)

En equipos revisen su tarea y analicen la siguiente conclusión.

Aplicar dos factores de proporcionalidad a y b de manera sucesiva es equivalente a aplicar una sola vez el factor a  b a las medidas originales. 

¿Corresponde con los resultados de su tarea? Comenten su respuesta con el resto del grupo y con el profesor.

70



h o r P

19. Organice al grupo en parejas y dígales que comparen sus respuestas a los ejercicios y a las preguntas formuladas en el apartado Tareas . Pida a cada pareja que exponga sus respuestas y las justi�que. Indíqueles que establezcan entre todos qué respuestas fueron más adecuadas debido a su claridad y precisión. 20. Pídales que supongan varios casos de aplicación de dos factores y el factor producto para reforzar el entendimiento de la a�rmación. Diga que busquen entre todos una manera de mostrar que la a�rmación siempre es verdadera.

21. Motívelos para que respondan las siguientes preguntas:

¿Qué característica debe tener el factor de proporcionalidad que sirve para ampliar una �gura? ¿Y para reducirla? 22. Solicíteles que inventen un problema en donde se tenga que aplicar el factor inverso de proporcionalidad y que lo intercambien con un compañero para que lo resuelva.

Desarrollo


¿Cómo vamos?

En la actividad Factores de proporcionalidad , se busca que los estudiantes puedan aplicar los conocimientos y habilidades trabajados a lo largo de la secuencia, de esta manera usted tendrá la oportunidad de valorar el avance de los alumnos en el tema, rea�rmar el contenido de éste, disipar dudas y corregir errores.

Reúnete con tu equipo y hagan otro rompecabezas.    

Apliquen un factor de escala de 4 al segundo rompecabezas. 3 El nuevo rompecabezas, ¿es mayor o menor que el segundo? Mayor ¿Cuál es el menor de los tres? ¿Y el mayor? El menor es el segundo rompecabezas Si quisieran hacer el tercer rompecabezas a partir del primero que y el mayor, hicieron, ¿qué factor de escala deberían aplicar? el tercero.

5 6

×

4 = 20 = 10 , por lo tanto, el factor de escala sería 10 o 1.11 3 18 9 9

Factores de proporcionalidad En parejas resuelvan las siguientes situaciones. Escriban sus respuestas en el cuaderno. 



Las medidas de Alicia se modificaron primero con un factor desconocido y después con un factor de 3 . Si el factor que relaciona las medidas originales de Alicia 4 con las medidas finales es de 3 , ¿cuál es el factor desconocido? 3 ÷ 3 = 1 , por lo que el factor desconocido es 1 . 8 8 4 2 2 Alicia creció 50% primero y después disminuyó su estatura 25%.   

Sugerencia de contenido Para reforzar el trabajo de este tema, se puede recurrir a la página web:

¿Cuáles son los factores de proporcionalidad en cada caso? ¿Cómo lo sabes? 1) ¿Qué factor de proporcionalidad regresa a Alicia a su estatura original en cada caso? 2) ¿Cómo se puede expresar este cambio en forma de porcentaje? 3)

1) Cuando crece el factor de proporcionalidad es 1.5 y cuando disminuye es de 3 , si tomamos del original al 4 tercero el factor sería 1.125. Lo sabeComenta con el profesor y con tus compañeros qué relación hay entre el porcentaje y mos porque las proporciones por ser el factor o constante de proporcionalidad. porcentajes pueden ser interpretadas como números fraccionarios. Presentación de nuestro trabajo 2) En el primer caso, el factor sería 2 3 y para el segundo, 1.33, para regrePresenten sus rompecabezas a sus compañeros y expliquen cómo obtuvieron las sar del tercero al original, el factor medidas, en cada caso. sería 8 . 9 Intercambien sus rompecabezas con otro equipo y verifiquen si éstos son propor- 3) Primero, Alicia creció 50% y después  cionales y si utilizaron los factores de proporcionalidad indicados. disminuyó 25%, resultando que el Comenten con todo el grupo qué factores de escala deben utilizar si quisieran pa tamaño de Alicia aumentó 112.5% sar del tercer rompecabezas al primero. del tamaño original. Para veri�car sus respuestas supongan que inicialmente Alicia tenía una estatura especí�ca, por ejemplo, de 50 centímetros o de 1 metro. 4)



 



¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas planteados a lo largo de la secuencia didáctica? R. L. ¿Cómo encuentras el factor de proporcionalidad inverso? Dividiendo1 entre el factor de proporcionalidad. ¿Cómo utilizaste lo que aprendiste sobre los factores de proporcionalidad para crear los rompecabezas? R. L. ¿En qué otros contextos se pueden aplicar los factores de proporcionalidad?

R. M. En la fabricación de objetos y artefactos a escala, tales como maquetas, aviones, monumentos, utensilios; pero quizá una de las más importantes aplicaciones y contextos sea la representación de mapas y planos.


http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funciones_funcion_de_proporcionalidad/ index.htm

4) R. M. Suponiendo que Alicia mide 50 cm y que aumenta su tamaño con factor de proporcionalidad 1.5, su estatura resultante sería de 75 cm. Después, se reduce esa estatura con un factor de escala de 0.75 o 3 por lo que su estatura �nal 4 sería 56.25 cm, que es igual al 112.5% de 50 cm (factor de escala 1.125). Para regresar a Alicia a su estatura normal, multiplicamos 56.25 por 1.33, que es el inverso proporcional de 3 , para 4 regresar a 75 cm, y, por último, se multiplica esta medida por 2 para volverla a su estatura 3 de 50 cm. Para regresar directamente del tercer tamaño al original multiplicamos 56.25 por 8 , 9 que es el factor inverso proporcional de 1.125.

71


h o r P

23. Para la elaboración del tercer rompecabezas, sugiérales que cada integrante del equipo elabore por su cuenta una de las piezas usando la escala que se indica. Al �nal deberán reunirse y armar el rompecabezas: si usaron la escala correcta lo harán sin problemas, pero en caso de haberse equivocado deben buscar dónde estuvo el error para luego corregirlo. 24. Una vez elaborados los rompecabezas, propicie una discusión grupal respecto de las preguntas formuladas en la sección. 25. Para la actividad Factores de proporcionalidad , pídales que comenten las preguntas antes de responder y que establezcan una manera clara de exponer sus respuestas. Pida a las diferentes parejas que presenten sus respuestas al resto del grupo.

26. Durante la presentación de los rompecabezas, elabore una tabla en el pizarrón y pida a cada equipo que anote las dimensiones de sus rompecabezas según el factor de proporcionalidad que se pide en cada caso. 27. Discuta con los alumnos las respuestas al apartado ¿Cómo nos fue? , y evalúe junto con ellos los avances en el aprendizaje esperado. 28. Trabaje con el grupo el recurso digital El viaje escolar con el �n de reforzar los conocimientos y habilidades de la secuencia.

Inicio


En esta secuencia, se busca que mediante la resolución de situaciones especí�cas los estudiantes usen estrategias para resolver problemas en los que se relacionan tres o más conjuntos de valores de manera proporcional, es decir, problemas de proporcionalidad múltiple.

e u q o l B

Planeación

Proporcionalidad múltiple

8

Conocimientos y habilidades 1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

Los folletos En el salón de Lucía los alumnos están preocupados por las especies animales en peligro de extinción. Con el objetivo de informar sobre este problema a la población, decidieron repartir folletos con información acerca de cómo cuidar a estas especies. Los estudiantes saben que, si participa todo el grupo y si cada uno reparte 25 folletos diarios, en 15 días lograrán repartir 15 000 folletos.

Esta secuencia contribuye al logro del siguiente aprendizaje esperado: Resuelve problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades.




¿Cuántos alumnos hay en el salón de Lucía? ¿Cómo obtuviste el resultado? 40. Dividiendo el total de folletos entre los días y el resultado entre los 25 folletos por alumno.

Coméntalo con tus compañeros y con el profesor.

Para reforzar el trabajo de determinación de factores de proporcionalidad multiple en un prisma, se puede recurrir a la página web:






http://arquimedes.matem.unam.mx/

 

Ruta: Secundaria/Matemáticas 2º/8. 2m _b01_t08_s01

Si quisieran repartir 30 000 folletos, con la participación del mismo número de alumnos y cada uno repartiendo 25 folletos diarios, ¿cuántos días se necesitarían? 30 días Si cada niño reparte 25 folletos diarios, ¿de qué depende el número de días que se tarden en repartir los folletos? ¿Del número de niños que los repartan? ¿Del número de folletos por repartir? ¿De ambas cosas? De ambas cosas ¿A qué crees que se refiera el término proporcionalidad múltiple? 1) ¿Cómo se modifica el volumen de un prisma cuando se aumenta una de sus dimensiones al doble? El volumen aumenta al doble.

Nuestro trabajo En parejas, planearán y elaborarán un acuario o pecera en cartulina con forma de prisma.

1) R. M. A que en una misma situación más de dos cantidades se relacionan entre sí proporcionalmente.

 

 

Deberán decidir la forma del acuario. Elaborarán unas tablas en las que se muestren diferentes valores para las medidas y el volumen que tendría en cada caso. A lo largo de la secuencia encontrarán más información al respecto. Al final presentarán su trabajo al profesor y al resto del grupo. Necesitarán: cartulina, regla, colores y pegamento.

72


a t n e v

1.

Antes de que los alumnos resuelvan la actividad, lea en voz alta la situación que se plantea. Después pregúnteles qué cantidades se relacionan y pida que in�eran si representan una situación de proporcionalidad.

2.

Solicite a diferentes estudiantes que expongan al grupo la solución del problema que se plantea y cómo hicieron para encontrarla. Motive a los demás alumnos para que comparen las diferentes estrategias usadas.

3.

Pida que respondan en grupo el apartado Preguntas para andar .

u s a d i b i

h o r P

4.

Solicite que mencionen alguna situación semejante a la que se plantea en la actividad. En caso de que no surjan propuestas, plantee una situación como la siguiente: Si se triplica la longitud de la base de un rectángulo y se duplica su ancho , ¿qué pasa con el área del rectángulo? Procure mencionar otra situación que no sean semejante, por ejemplo: Si para guisar arroz se vierten dos tazas de agua por cada taza de arroz, ¿cuántas tazas de agua son necesarias para preparar 3 ½ tazas de arroz? Indíqueles que comparen ambos casos con el problema de la actividad, y que expliquen por qué tiene o no tiene similitud con él.

5.

Otorgue un lapso pertinente para que organicen el proyecto propuesto en el apartado Nuestro trabajo , y permita que elijan libremente la pareja con la que trabajarán.

Desarrollo


Retomemos los folletos Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas. Consideren el problema de la actividad inicial y que cada niño reparte 25 folletos diarios. 

Con las actividades de esta página, se busca que los estudiantes exploren diferentes opciones para resolver la situación problemática inicial, y así determinen procedimientos que les permitan resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

Si sabemos que 25 niños van a repartir folletos durante 10 días, ¿cómo podemos calcular el número de folletos que se van a repartir? R. M. Cada niño reparte 25

folletos diarios, así que 25 folletos por 25 niños por 10 días, nos da un total de 6 250 folletos por repartir. 



¿De qué depende el número de folletos que se repartan? Del número de días que los reparten y de la cantidad de alumnos. ¿De qué depende el número de días que se tarden en repartir x cantidad de folletos? De la cantidad de estudiantes.



¿Cómo calcularon el número de días en el que los alumnos repartirían 30 000 folletos? 30 000 ÷ 40 = 750; 750 ÷ 25 = 30



¿Son necesarios más o menos días para repartir 15 000 folletos? ¿Por qué?

Menos días, ya que son menos folletos



cinco días? 

20 000

¿Cuántos folletos se repartirían en 20 días?

¿Y en

5 000

Completen la tabla 1 considerando que el grupo completo de Lucía reparte los folletos.

Tabla 1 Número de días Número de folletos 

5 10 15 20 25 30 35 40 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 3 0 000 35 000 4 0 000

¿Se trata de una situación de proporcionalidad directa o inversa? Argumenten su respuesta. R. M. Es una proporción directa. Mientras más días, más folletos se reparten.



Completen la tabla 2 considerando que 20 alumnos reparten los folletos.

Tabla 2 Número de días Número de folletos 

5 2 500

10 5 000

15 20 25 30 35 40 7 500 10 000 12 500 15 000 17 500 20 000

¿Cómo cambian las cantidades de la tabla 2 con respecto de la tabla 1?

Las cantidades se reducen a la mitad.¿Por qué? Porque reparten folletos la mitad de alumnos.



En el cuaderno, elaboren una tercera tabla considerando que 30 alumnos reparten los folletos, durante los mismos días que en las tablas anteriores. 1) 

¿Qué sucede con el número de folletos repartidos cuando el número de alumnos aumenta?



Aumenta

¿Y cuando disminuye?

Disminuye

¿Qué tienen en común las tres tablas que elaboraron? ¿En qué son distintas? Tienen en común el número de días y son distintas en el número de folletos que reparten. 73


6.

u s a d i b i

h o r P

7.

Organice al grupo en tercias para resolver los problemas que se plantean. Cuestiónelos: ¿Cuántos folletos reparti- rán por día entre todo el grupo? De ese modo los ayudará a re�exionar acerca de cómo resolver los problemas que se plantean.

8.

Para supervisar cómo elaboraron las tablas, exhórtelos a pasar al pizarrón para trazar una de las que hicieron. Deberán justi�car por qué la llenaron de ese modo.

9.

Pídales que mencionen las diferencias entre este problema y los de la secuencia anterior. Motívelos para que comenten acerca del número de conjuntos de valores que se relacionan en cada caso.

Propicie que el grupo compare sus respuestas y discuta acerca de ellas. Lea las primeras preguntas y sugiérales que vayan dando sus respuestas por turnos, mencionando qué operaciones les permitieron obtener la respuesta correspondiente.

1) Tabla 3 Número de días

5

10

Número de folletos

3 750

7 500

15

20

11 250 15 000

25 18 750

30

35

22 500 26 250

40 30 000

Desarrollo


En las tres tablas que hicieron hay tres variables involucradas: el número de folletos, el número de días y el número de alumnos participantes.

En la sección ¿Cómo vamos? , se busca que los estudiantes averigüen de manera experimental lo que sucede en un prisma al variar una o dos de sus dimensiones y mantener constantes las otras.

Respondan en el cuaderno. 








En cada tabla, ¿qué variables cambian? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Qué variable se mantiene constante? 1) ¿Qué variables se encuentran relacionadas de manera directamente proporcional, una con respecto de la otra? 2) Verifiquen la respuesta anterior, cerciorándose de que, por ejemplo, al aumentar una de las cantidades al doble, la otra también aumenta al doble. Tomando las tres tablas en su conjunto, ¿qué cantidades varían? ¿Lo hacen de manera directamente proporcional o inversamente proporcional? ¿Por qué? 3)

Compartan y comparen sus respuestas con otros compañeros.

Un prisma es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas que se d enominan bases, y de un número variable de caras laterales que son paralelogramos.

¿Cómo vamos? Reúnete con tu compañero para trabajar en el diseño del acuario. 

1) Cambian el número de alumnos y el número de folletos; la variable dependiente es el número de folletos; la variable independiente es el número de alumnos; el número de días se mantiene constante. 2) El número de folletos con el número de estudiantes, y el número de días con el número de folletos. 3) Varían el número de alumnos y el número de folletos. Es directamente proporcional ya que cuantos más alumnos repartan folletos, más de éstos se reparten por día. 4) V = (Ab )h , donde Ab es el área de la base y h la altura del cuerpo geométrico. 5) El volumen cambia dependiendo de la modi�cación que se hizo. 6) El volumen con el área de la base y la altura; cambian la altura y el volumen; el área de la base se mantiene constante. 7) Volumen con área de la base y el volumen con la altura.









 

Área de la base en cm2









Decidan qué forma tendrá el acuario así como sus medidas. R. L. ¿Cuáles serán las medidas de la base? Por ejemplo, si se trata de un prisma rectangular, determinen las medidas del largo y ancho del rectángulo. R. L. Definan la altura que tendrá y encuentren el volumen del acuario. R. L. ¿Qué pasa con el volumen si aumenta la altura al doble? ¿Y si sólo se aumentan las medidas de la base al doble? El volumen aumenta el doble; el volumen aumenta el cuádruple. Tracen el plano y elaboren su acuario. Decórenlo de manera creativa simulando los peces. R. L. ¿Qué forma tiene su acuario? ¿Cuál es su volumen? R. L. En una tabla escriban al menos cinco medidas diferentes para la altura con su correspondiente volumen. Recuerden que éste se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. R. L.

Medida de la altura en cm

Volumen en cm3

Escriban una expresión que relacione el volumen (V ) con la medida de la altura (h ), cuando el área de la base se mantiene constante. 4) ¿Qué sucede con el volumen del acuario, si conservan las medidas de la base pero modifican la medida de la altura? 5) ¿Cuáles son las distintas cantidades que están relacionadas? ¿Cuáles cambian? ¿Cuáles se mantienen constantes? 6) ¿Qué variables se relacionan de manera proporcional? 7)

74



h o r P

10. Pida a los estudiantes que investiguen como tarea una situación semejante a la anterior y la presenten al grupo. Sugiérales que aprovechen contextos como el de las recetas de cocina para hacer el trabajo; por ejemplo, podrían plantear preguntas como: ¿Qué cantidad de x ingrediente se necesita si la ración de n se aumenta al doble? ¿Para cuántas porciones alcanza? 11. Antes de comenzar el trabajo de la sección ¿Cómo vamos? , determine con los alumnos cuáles son los diferentes tipos de prismas que podrían construir. Propicie la participación del grupo y pida que diferentes voluntarios dibujen algún tipo de prisma en el pizarrón. Después, otros compañeros trazarán el plano o desarrollo de cada uno de los prismas. El resto del grupo veri�cará si el plano trazado equivale al prisma correspondiente, y en caso de que no sea así indicará qué es lo se debe recti�car.

12. Pídales que se reúnan con su compañero y elaboren el prisma. Déles el tiempo necesario para ello y guíe el trabajo de las parejas a las que se les di�culte trazar el plano. 13. Propicie la discusión grupal acerca de las preguntas formuladas. Pida que ejempli�quen sus respuestas y que recurran a la tabla o a su modelo de acuario para sustentar sus argumentos.



Nuevamente los folletos 

Completen la siguiente tabla con el número de folletos repartidos. Recuerden que cada alumno reparte 25 folletos por día. Usen su calculadora o una hoja de cálculo electrónica.

En esta página, se busca que a partir de una tabla de doble entrada los alumnos trabajen de manera concreta en situaciones de proporcionalidad múltiple en las que uno de los conjuntos de valores se mantiene constante mientras los otros varían.

Número de folletos repartidos Número de alumnos

Número de días





25

30

35

40

5

1 875

2 500

3 125

3 750

4 375

5 000

10

3 750

5 000

6 250

7 500

8 750

10 000

15

5 625

7 500

9 375

11 250

13 125

15 000

20

7 500

10 000

12 500

15 000

17 500

20 000

25

9 375

12 500

15 625

18 750

21 875

25 000

30

11 250

15 000

18 750

22 500

26 250

30 000

También se busca que establezcan una expresión algebraica con la que muestren las relaciones de proporcionalidad trabajadas.

500 x

Escriban ahora una expresión para 25, 30 y 40 alumnos: y 

625x

y 

750x

y 

1 000x

Si z es el número de alumnos que participan en la repartición de folletos, escriban una expresión para calcular el número de folletos y , si se reparten durante 10 días. y = 250z 



20

Si y es el número de folletos que se van a repartir y x es el número de días, escriban una expresión algebraica que permita calcular el número de folletos que se van a repartir, si participan 20 alumnos: y 



15

Escriban ahora una expresión para 5, 20, 35 y 40 días. y = 125z ; y = 500z ; y = 875z ; y = 1 000 z

Si z es el número de alumnos que participa en la repartición de folletos y x es nuevamente el número de días, escriban una fórmula para calcular el número de folletos.

y = 25xz

Comparen sus expresiones con las de otros compañeros, en caso de que existan diferencias, sustituyan las literales para veri�car cuál es la correcta. Cuando en una misma situación varias cantidades se relacionan entre sí de manera proporcional, se dice que es una proporcionalidad múltiple. Como en el problema anterior, en donde el número de días se relaciona de manera proporcional con el número de folletos, cuando el número de alumnos se mantiene constante. De igual manera, el número de alumnos se relaciona de manera proporcional con el número de folletos, cuando el número de días permanece constante. Veri�ca estas a�rmaciones utilizando tus conocimientos sobre proporcionalidad. 

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en cada una de estas relaciones? Para número de alumnos y número de folletos el factor es 25. Para tiempo y número de folletos es 25, considerando cuántos folletos reparte un alumno en un día.

75


h o r P

14. Organice al grupo en parejas y déles un plazo determinado para que completen la tabla de la actividad. 15. Dibuje la tabla en el pizarrón y pídales que pasen por turnos a llenar una casilla y a explicar al resto del grupo qué fue lo que hicieron para obtener esa cantidad. Las demás parejas revisan si pusieron la misma cantidad en su tabla. Si su resultado es distinto deberán debatir con la pareja en turno acerca de la veracidad de su resu ltado. 16. Pídales que determinen en grupo el factor de proporcionalidad que se pide en la última pregunta.

17. Pregúnteles que pasaría con las cantidades de la tabla si cada niño repartiera el doble de folletos o si sólo repartieran 5. Plantéeles preguntas como: Si se tienen 20 niños y se quieren repartir 5 000 folletos, ¿se requieren más o menos días que los que indica la tabla del libro? ¿En qué proporción? ¿Cuántos niños hacen falta para repartir la misma cantidad de folletos en 10 días? Sugiérales que elaboren una tabla como la del libro para representar cada caso.

Desarrollo

Resuelve el siguiente pro problema en el cuaderno. 1. El grupo de Lucía decide vender camisetas para recaudar fondos e invertirlos en un proyecto ecológico. a) ¿Cuántas camisetas debe vender cada alumno si se quiere recaudar $10 000? R. M. Cinco camisetas b) ¿A cuánto se debe vender cada camiseta? R. M. $50 c) Escribe una fórmula que indique el dinero recaudado y , si cada alumno vende m camisetas y el precio de cada una es n . y = 40mn d) ¿Qué variables se relacionan de manera proporcional en esta situación? 1) e) Si el precio aumenta, ¿qué sucede con el dinero recaudado? Aumenta f) Si el número de camisetas vendidas por alumno disminuye, ¿qué sucede con el dinero recaudado? Disminuye

1) El dinero recaudado con el número de camisetas y el precio de éstas.

¿Cómo vamos? Reúnete nuevamente con tu equipo y t rabajen con el diseño que hicieron.

2) Si las medidas de la base aumentan el volumen aumenta. Si las medidas de la base disminuyen el volumen también disminuye.

Elaboren otra tabla en la que se muestre cómo cambia el volumen cuando se modi�ca alguna medida de la base (largo del rectángulo, altura del triángulo, apotema, etc.) para cinco medidas diferentes. 

3) Sí. Porque si aumenta la altura, aumenta el volumen y al disminuir la altura, el volumen también disminuye.

 



4) V = (Ab )h , donde Ab es el área de la base y h es la altura.

¿Qué sucede si cambia la altura del rectángulo de la base? Si se trata de un pentágono, ¿qué sucede al cambiar la medida del apotema? 2) Escriban al menos cinco medidas diferentes para la variable que cambia. R. L. Escriban una fórmula que relacione una de las medidas de la base con el volumen, cuando la altura se mantiene constante. R. L. Elaboren una nueva tabla en la que se muestre la relación entre el área de la base y el volumen, al variar la primera manteniendo constante la altura del prisma: R. L.

Área de la base

5) El volumen con la altura y el volumen con el área de la base

  

Altura

Volumen

¿Son proporcionales las medidas? ¿Por qué? 3) Escriban una fórmula que relacione el volumen con el área de la base. 4) Elaboren una tabla, como la que se presenta a continuación, en la que se muestre cómo se relaciona el volumen con la altura del acuario y el área de la base. Para ello, deberán proporcionar diferentes medidas tanto para la altura como para el área de la base y mostrar cómo cambia el volumen al variar estas cantidades. R. L.

Volumen en m3 Área de la base Altura del acuario 

  

En el caso del volumen, el área de la base y la altura del acuario, ¿se trata de una relación de proporcionalidad múltiple? Sí ¿Qué parejas de variables se relacionan de manera proporcional? 5) ¿Qué cantidad(es) se mantiene(n) constante(s)? La altura y el área de la base Escriban una fórmula que relacione el volumen (V ) con la medida de la al tura (h ) y con la medida del área de la base (A). V = Ah

76



h o r P

18. Organice al grupo en parejas e indíqueles que comparen sus respuestas a las preguntas del apartado Tareas . Propicie que todo el grupo debata al respecto y pida que algunas parejas expongan los argumentos que justi�can sus respuestas. 19. Repase con el grupo la manera de calcular el área de los diferentes polígonos que presente cada equipo. Supervise que determinen en cada caso las diferentes variables que involucran la fórmula del área del polígono en cuestión.

20. Pídales que muestren su acuario al resto del grupo y comenten por qué eligieron el tipo de prisma con que lo elaboraron. 21. Motívelos para que comenten sus respuestas a las preguntas formuladas y en caso de que surjan diferencias las discutan para llegar a respuestas en común.

Desarrollo


La forma del acuario Un grupo de alumnos construyó su acuario con forma de cilindro, como el que se muestra a la derecha.

1) R. M.

¿Se relacionan el radio y el volumen de manera proporcional? Sí

Radio en cm 2 3.5 8

Para dar respuesta a la pregunta anterior, en parejas investiguen:



¿Qué sucede con el volumen si el radio aumenta al doble? Aumenta ¿Aumenta también el volumen al doble? No



¿Y si se aumenta al triple la medida del radio? No







Elaboren una tabla en el cuaderno mostrando diferentes medidas para el radio y encuentren el volumen para cada caso. 1) En este mismo ejemplo, ¿qué sucede si el área de la base aumenta al doble? 2)



Escriban fórmulas relacionando el radio con el volumen y el área de la base con el 2 volumen, manteniendo la altura del prisma constante. V = πr h , donde h es la altura;


4) R. M. Acuario de base circular: volumen con área de la base, volumen con altura del acuario y el radio de la base con el área de la base.

Presenten su acuario y sus tablas al resto del grupo y al profesor. Comenten las características de las tablas que elaboraron para su acuario.





¿Qué diferencias hay entre las tablas que elaboraron? R. L. ¿Qué tipo de prismas usaron otros compañeros? R. L. Si se mantiene constante la altura del acuario, ¿cómo se modifica el volumen cuando cambia el área de la base? 3) Encuentren todas las parejas de cantidades (por ejemplo área de la base y volumen) que se relacionan de manera proporcional. 4)

5) Tres o más variables están relacionadas de manera proporcional.


6) Aumenta el volumen; no; el volumen aumenta el cuádruple si ambas au-mentan el doble.






 





Volumen en cm3 163.28 500.24 2 613.80

3) Si el área de la base aumenta el volumen aumenta. Si el área de la base disminuye el volumen también.

V = Ah , donde A es el área de la base



Altura en cm 13 13 13

2) El volumen aumenta al doble.

¿Lo hace también el volumen? Sí

Comenten con el grupo y con el profesor sus experiencias.



Área de la base en cm2 12.56 38.48 201.06

¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas de la secuencia? R. L. ¿Qué caracteriza una situación de proporcionalidad múltiple? 5) ¿Cómo usaste lo aprendido sobre la proporcionalidad múltiple para elaborar las tablas de análisis del acuario? R. L. ¿Qué sucedería si se aumentaran, de manera simultánea, el área de l a base y la altura de un prisma? Si se aumentan ambas al doble, ¿aumenta también al doble la medida del volumen? ¿Por qué? 6) Piensa en una situación que involucre proporcionalidad múltiple en tu vida cotidiana. ¿Qué variables están involucradas? 7) ¿Comprendiste cómo obtener la constante de proporcionalidad? R. L. ¿Ya puedes resolver problemas en donde se utiliza la proporcionalidad múltiple? R. L. Comenten entre todo el grupo qué cantidades se relacionan de manera proporcional. R. L. Inventa un problema relacionado con proporcionalidad múltiple e intercámbialo con un compañero para que lo resuelva. R. L.

7) R. M. La relación entre la oferta, la demanda y el trabajo, siendo éstas las variables. Al aumentar la demanda de un producto, la oferta debe aumentar para tratar de cubrir la demanda y por lo tanto el trabajo también lo hace.

77


h o r P

22. Pida que un voluntario le recuerde al grupo la fórmula para calcular el volumen de un cilindro, o expóngala usted si ninguno la sabe o la recuerda. 23. Sugiera a los estudiantes que para responder las tres primeras preguntas de la actividad, asignen un valor al radio de la base y otro a la altura, y luego modi�quen dichas dimensiones como se indica. 24. Pida que alguna pareja pase al pizarrón y elabore una tabla como la que se indica en la actividad. Después, coordine que cada una de las parejas pase a escribir en la tabla un caso en particular.

25. Veri�que que realicen en orden la presentación de sus peceras. 26. Organice una exposición para que la comunidad escolar aprecie el trabajo que hicieron los estudiantes. 27. Discuta con el grupo las respuestas y las actividades que se piden en el apartado ¿Cómo nos fue? , y evalúe con ellos los avances en el aprendizaje esperado.

Inicio


El objetivo de esta secuencia es que los estudiantes sean capaces de anticipar los resultados en problemas de conteo usando la estrategia de identi�car regularidades. También se espera que puedan veri�car sus resultados utilizando estrategias de solución como los diagramas de árbol o los arreglos rectangulares, y que puedan encontrar procedimientos sistemáticos para establecer fórmulas sencillas de recuento.

e u q o l B

9

Problemas de conteo Conocimientos y habilidades 1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identi�cación de regularidades. Veri�car los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

¿De cuántas maneras diferentes? Observa el siguiente croquis que muestra los diferentes caminos que comunican las ciudades A, B, C y D. Las rutas que puede seguir una persona para desplazarse de una ciudad a otra dependen del lugar en el que se encuentran.

Durante la secuencia se trabaja con el siguiente aprendizaje esperado: 

Resuelve problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

Con base en la imagen contesta las siguientes preguntas.

1) No, ya que la suma de todos no representa todas las combinaciones de carreteras que se pueden utilizar para llegar de A a D.

 



2) R. M. Multiplicando el número de caminos de A a B por el de B a C y después por el de C a D.

¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ci udad A a la ciudad D ? 40 Si la carretera BC2 se cerrara por mantenimiento, ¿cuántas rutas quedarían para ir de A a D ? 30 Si se cerrarán de manera alternada cada una de las carreteras para darles mantenimiento, ¿cuál de estos cierres afectaría más a los automovilistas al reducir a la mitad el número de rutas para ir de la ciudad A a la ciudad D ? Afectan por igual el cierre AB1 y el de AB2.

Preguntas para andar 





Para calcular la cantidad de caminos diferentes que hay para ir de la ciudad A a la ciudad D, ¿basta con sumar las carreteras entre ciudades? ¿Por qué? 1) ¿Cómo calcularías la cantidad de caminos diferentes que hay para ir de A a D sin hacer un diagrama de árbol ni contando de uno en uno? Explica a tus compañeros cómo lo harías. 2) ¿Qué operación aritmética utilizarías para calcular el total de rutas de A a D ? Multiplicación

78



h o r P

1.

Resuelva con todo el grupo la situación problemática que se presenta. Para la primera pregunta, dibuje el croquis en el pizarrón y pida que distintos voluntarios pasen a trazar uno de los posibles caminos para ir de A a D. Una vez que hayan trazado varios caminos, propicie una discusión grupal acerca de qué estrategia seguir para calcular todos los caminos sin necesidad de trazarlos. Anote las propuestas en un pliego de papel y no descarte ninguna de ellas, sólo veri�que que todas lleguen a la respuesta correcta.

2.

Pídales que contesten individualmente las otras preguntas de la actividad y después comparen sus respuestas con el resto del grupo. Sugiérales que pasen al pizarrón y modi�quen el croquis de la manera que consideren conveniente para veri�car sus respuestas.

3.

Solicite que respondan en grupo las Preguntas para andar . Motívelos para que den ejemplos que ilustren sus respuestas.

Desarrollo

Planeación

Nuestro trabajo En equipo resolverán el siguiente problema y harán una presentación en la que expliquen las estrategias y procedimientos que siguieron. Una persona viajará por cuatro ciudades que están comunicadas entre sí y tiene que hacer un itinerario con las siguientes condiciones:   

tiene que pasar por todas la ciudades una sola vez. debe terminar su viaje en la ciudad en la que lo inició. debe elegir el viaje más barato.

Consideren que los costos del viaje son los siguientes:

 

Destinos

Costo del viaje entre ciudades ($)

Ciudad 1 - Ciudad 2

100

Ciudad 1 - Ciudad 3

150

Ciudad 1 - Ciudad 4

200

Ciudad 2 - Ciudad 3

300

Ciudad 2 - Ciudad 4

50

Ciudad 3 - Ciudad 4

250

¿Cuál es el itinerario que debe seguir para cumplir con las condiciones? R. L. ¿Cuántos itinerarios creen que cumplan con las condiciones planteadas en el problema? R. L.

A lo largo de la secuencia didáctica se les proporcionarán herramientas para resolver el problema.

¿Cuántos caminos diferentes hay? Retoma la actividad inicial y contesta. 





Revisa el croquis y estima cuántas rutas hay para ir de la ciudad A a la ciudad D. R. L. ¿Qué procedimientos conoces para contar l as diferentes opciones? R. M. Contar cada una de las rutas por las que se puede llegar de la ciudad A a la D. Multiplicar la cantidad de caminos que existen entre ciudad y ciudad. Elige el procedimiento que consideres adecuado y en el cuaderno verifica tu estimación. 

¿Qué procedimiento utilizaste? R. M. El de multiplicación



¿Qué resultados obtuviste? Hay 40 rutas distintas de A a D.



El procedimiento que utilizaste te permite responder todas las preguntas de la actividad inicial? Sí Argumenta tu respuesta. R. M. El procedimiento

sirve para calcular el total de rutas de A a D y las que quedan al cerrar alguna de las carreteras.




h o r P

4.

Por turnos, expliquen a sus compañeros la cantidad de caminos diferentes que hay para ir de la ciudad A a la ciudad D y justifiquen su razonamiento. R. M. La cantidad total de caminos de A a D está dada en función de la cantidad de caminos entre ciudad y ciudad. Entre A y B existen solamente 2 caminos por lo que hay 2 opciones. De B a C existen 4 opciones diferentes. Entre C y D hay 5 caminos distintos. Por tanto, 2 × 4 × 5 nos da el total de rutas de A a D, que es 40.

Organice los equipos para llevar a cabo el proyecto de la sección Nuestro trabajo . Pídales que lean el problema y coménteles que en este momento no es necesario resolverlo, sólo tienen que discutirlo para plantear alguna estrategia que les permita llegar a la respuesta. Propóngales que elaboren una primera representación de la situación problemática, es decir, que elaboren un dibujo que muestre las distintas ciudades y la forma en que podrían estar conectadas.

79


5.

Para la actividad ¿Cuántos caminos diferentes hay? , discuta con todo el grupo para establecer una estimación de cuántas rutas hay. Después, muestre la hoja donde anotó las propuestas de conteo para que los alumnos respondan las preguntas formuladas.

6.

Pídales que comparen las respuestas que dieron a las preguntas formuladas y que cada uno explique la estrategia que siguió para contar las rutas y veri�car su estimación. Motívelos para que elijan entre todos la estrategia que consideren más adecuada.

Desarrollo


Diagrama de árbol 

En esta página, se busca que los estudiantes utilicen un diagrama de árbol como recurso para determinar todos los posibles sucesos o alternativas de una situación especí�ca. A la vez, se busca que reconozcan el diagrama de árbol como una estrategia que facilita la representación de todas las posibilidades en problemas de conteo.

Como han visto en grados anteriores, una manera de contar los diferentes caminos es con un diagrama de árbol. Completen el siguiente diagrama de árbol y comprueben cuál de las respuestas que dieron es la correcta.

CD1 CD2 BC1

BC2


BC3

BC4

CD1 CD2 CD3 CD4 CD5

BC1

CD1 CD2 CD3 CD4 CD5

BC2

CD1 CD2 CD3 CD4 CD5

BC3

CD1 CD2 CD3 CD4 CD5

El Diagrama de árbol es una herramienta grá�ca que facilita la exploración de posibilidades y el cálculo de probabilidades.

Ruta

Una rama puede ser un nuevo nodo del que partan nuevas ramas, o bien un nodo �nal.

Conjunto A 1

2

3

Conjunto B 4

Conjunto A×B (1, 4)

5

(1, 5)

6 4

(1, 6) (2, 4)

5

(2, 5)

6 4

(2, 6) (3, 4)

5

(3, 5)

6

CD1 CD2 CD3 CD4 CD5 CD1 CD2 CD3 CD4 CD5

AB1

Para elaborar un diagrama de árbol, se parte de un nodo o punto de comienzo del que sale una rama para representar cada caso posible.

CD3

CD4 CD5

AB2

BC4

(3, 6) 

¿Cuántos caminos diferentes encontraron? 40 caminos diferentes

CD1 CD2 CD3 CD4 CD5

80


a t n e v

7.

Antes de resolver la actividad, pregunte a los estudiantes si conocen qué es un diagrama de árbol, si alguna vez lo han usado para resolver un problema y si recuerdan en qué consiste.

8.

Pida que diferentes voluntarios expliquen al grupo la estructura del diagrama de árbol, es decir, que digan de qué y cómo se compone. Indíqueles también que mencionen cómo usar el diagrama de árbol para determinar o contar todos los diferentes caminos.

u s a d i b i

h o r P

9.

Dígales que comparen el diagrama de árbol con la estrategia de trazar todos los caminos, y que comenten las ventajas y desventajas de cada representación.

10. Motívelos para que inventen un problema de conteo en el que puedan usar un diagrama de árbol para representar los posibles resultados, e indíqueles que lo intercambien con un compañero para que lo resuelva.

Desarrollo Desarrollo 


Observen el diagrama que hicieron y escriban en cada cuadro los factores para obtener el total de caminos para ir de la ciudad A a la ciudad D. 2 



4



5



Con esta actividad, se busca que luego de analizar los resultados que arroja un diagrama de árbol los estudiantes sean capaces de establecer las operaciones que permiten llegar al mismo resultado.

40

Analicen la operación anterior y argumenten por qué el total de caminos que van de la ciudad A a la ciudad D se obtiene al multiplicar el número de caminos que van de cada ciudad a la siguiente. R. M. Hay 2 carreteras de A a B y de B a C hay 4, por tanto para cada carretera de A a B hay 4 formas de llegar a C, en total hay

2 × 4 = 8 rutas de A a C. Ahora, de C a D hay 5 carreteras, por tanto el total de caminos de A a D es 2 × 4 × 5 = 8 × 5. 

Con base en la información que les proporciona el diagrama de árbol calculen cuántos caminos posibles quedan si se cierra la carretera BC2 para ir de la ciudad A a la ciudad D. ¿Qué estrategia siguieron para saber la respuesta? Existirían 30 posibles caminos. Se suman los caminos restantes entre ciudades si se

cierra BC2. 

Escriban los factores que les permiten obtener el total de rutas distintas para ir de la ciudad A a la ciudad D si se cierra la carretera BC2.

2 



3



5



1) R. M. Sí, ya que se pueden representar los distintos recorridos con ayuda del diagrama de árbol.

30

¿Obtuvieron los mismos resultados con ambos procedimientos? Argumenten

2) 24 recorridos

su respuesta. R. M. Sí. Sumar cada posible ruta completa es igual que multiplicar el número de carreteras entre ciudades, ya que nos da todas las posibles rutas. 

3) R. M. Se toma una ciudad como la inicial. Se multiplica el número de opciones que hay para la segunda ciudad del recorrido por el número de opciones que hay para la tercera ciudad, por el número que hay para la cuarta y para la quinta. El resultado se multiplica por cinco.

Observen el diagrama de árbol y encuentren qué carretera se debe cerrar para que sólo queden 20 posibles caminos para ir de la ciudad A a la ciudad D. Completen con los factores adecuados, para obtener 20 diferentes rutas para ir de la ciudad A a la ciudad D.

1



4



5



20

¿Cómo vamos?

4) R. M. La misma que en el caso anterior.

Reúnete con tus compañeros de equipo y comenten sus resultados. 

 



¿Pueden calcular los diferentes recorridos con un diagrama de árbol? Argumenten sus respuestas. 1) ¿Cuántos recorridos diferentes encontraron? 2) ¿Cómo podrían calcular la cantidad de recorridos si fueran cinco ciudades y no cuatro? 3) Y si fueran 10 ciudades, ¿qué estrategias emplearían? 4)

El problema que están trabajando en su proyecto es una variación de otro que no se ha podido resolver por la complejidad que implica contar todas las opciones que surgen según aumenta el número de ciudades. Investiguen hasta qué número de opciones se ha logrado contar y qué relación guardan éstas con el número de ciudades. 81


h o r P

11. Organice al grupo en parejas para resolver los problemas de la actividad. Una vez que todas las parejas hayan concluido el trabajo, pídales que comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Si hay diferencias propicie una discusión grupal en la que argumenten sus respuestas. 12. Indíqueles que se reúnan con su equipo de trabajo para la elaboración del proyecto. Pida que cada equipo muestre el diagrama que elaboró acerca de la situación problemática, e indique al grupo que compare semejanzas y diferencias entre los diagramas. Al �nal, entre todos decidirán qué diagrama representa de mejor manera la situación. 13. Pida que entre todos comenten y respondan las preguntas formuladas.

14. Si lo cree pertinente, comente al grupo la historia del problema “Los siete puentes de Königsberg”: Un ciudadano de Königsberg (Prusia) se propuso dar un paseo cruzando una sola vez cada uno de los siete puentes que existen sobre el río Pregel. Los dos brazos del río rodean a una isla llamada Kneiphof. ¿Cómo debe cruzar los puentes para realizar el paseo? A isla

C

B

Para investigar acerca del tema, se puede recurrir al sitio de Internet: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/151-o-p.html

Desarrollo


La junta directiva En equipos resuelvan los siguientes problemas. Compartan estrategias de resolución y comparen sus respuestas.

En la actividad La junta directiva , se busca que los alumnos utilicen tablas de datos y tablas de doble entrada como recursos para organizar la información y determinar el número de combinaciones posibles en problemas de combinatoria.



Al inicio de cada ciclo escolar, en las escuelas se elige a los padres de familia que integrarán la junta directiva, ésta se compone por un presidente, un tesorero, un secretario y dos vocales. 

Si para los cargos de presidente, tesorero y secretario se propusieron cinco padres, ¿cuántas ternas posibles se pueden formar?



Sugerencia de contenido La combinatoria estudia las diferentes maneras que existen de considerar los elementos de un conjunto dado de acuerdo con ciertas reglas. Un problema combinatorio usualmente consiste en establecer una regla acerca de las combinaciones y determinar cuántas de ellas cumplen dicha regla.



5 × 4 × 3 = 60

Para que puedan determinar todas las ternas posibles usen letras para representar a cada uno de los cinco padres (A, B , C , D y E ) y dibujen en el cuaderno una tabla como la siguiente. Hagan todas l as filas que necesiten. 1) Respuesta en solucionario.

Presidente

Tesorero

Secretario

A

B

C

A

B

D

Revisen su tabla y contesten. 





No ¿La terna integrada por ABC es igual a la terna BCA ? Porque aunque son las mismas personas, realizarán funciones diferentes.

¿Por qué?

¿Es importante el orden en que se eligen a las personas? Sí ¿Por qué? Con base en la tabla, el orden en que se eligen las personas indica el cargo que tendrán. Si se propusieron cuatro padres para ocupar los dos puestos de vocales. ¿Cuántas parejas de vocales se pueden formar?

6 parejas de vocales

Para los puestos de vocal se propusieron dos padres que no fueron elegidos para los puestos anteriores más otros dos. Ahora los llamaremos F , G , H , I .

2)



F F

G

H

I

FG

FH

FI

GH

GI

G

GF

H

HF

HG

I

IF

IG

Completen la tabla de la i zquierda para calcular las posibles de parejas de vocales que se pueden formar. 2) 

Sí

¿Por qué? Porque realizarán el mismo cargo, ambos serán vocales.

HI



Expliquen si en este caso importa el orden en que se eligen a las personas. R. M. No, porque el cargo que se les asignará es el mismo.

IH 

82

La pareja FG , ¿es la misma que la pareja GF ?

¿Qué diferencias encuentran entre las ternas de presidente, tesorero y secretario; y las parejas de vocales? R. M. En el caso de las ternas el orden es importante, ya que las personas realizarán funciones diferentes; en el caso de las parejas el orden no importa, ya que el cargo que se les asignará es el mismo.



h o r P

15. Organice los equipos para llevar a cabo la actividad e indíqueles que lean el problema y realicen su estimación sobre las posibles ternas. Anote todas las respuestas en el pizarrón. 16. Sugiera a los equipos que antes de elaborar la tabla comprueben la solución con un modelo. Necesitarán cinco tarjetas de colores o pedazos de papel con los que simulen las posibles ternas y representen las opciones a elegir. 17. Pida a los diferentes equipos que luego de elaborar la tabla, la comparen con el resultado de la estimación que hicieron al inicio.

18. Indíqueles que comenten en grupo sus respuestas a las preguntas del problema y argumenten cada una. 19. Trabaje el segundo problema de manera similar a la sugerida en el primero. 20. Comente con el grupo las diferencias entre los dos problemas trabajados en la actividad, y con base en ellas den respuesta a la última pregunta.



¿Cómo terminó la carrera? Resuelve el siguiente problema. En una competencia de natación hay cuatro participantes A, B , C y D . 

1)

¿De cuántas maneras puede terminar una carrera de natación de 4 competidores, si no hay empates? Puede terminar de 24 maneras.



4 competidores

¿Cuántos competidores pueden aspirar al primer lugar? 

Una vez ocupado el primer lugar, ¿cuántos competidores pueden obtener el

3

2do lugar?

2

¿Y el tercero?

¿Y el cuarto?

1

Observa la siguiente tabla que muestra algunos órdenes en los que pueden llegar los cuatro competidores.





1.o

2.o

3.o

4.o

A

B

C

D

A

B

D

C

A

C

B

D

A

C

D

B

A

D

B

C

A

D

C

B

En las dos primeras filas, ¿quiénes permanecen en los mismos lugares? A y B ¿Qué observas en las siguientes filas? R. M. A es el único que permanece en el mismo lugar en todas las combinaciones.

Copia la tabla en el cuaderno y complétala para ver las diferentes maneras en que puede terminar la competencia. 1) 

Analiza y resuelve la multiplicación que representa el problema y explica a tus

1.° A A A A A A B B B B B B C C C C C C D D D D D D

2.° B B C C D D A A C C D D A A B B D D A A B B C C

3.° C D B D B C C D A D C A B D A D A B B C A C A B

Una combinación es todo arreglo en el que no es importante el orden o la posición de los elementos que lo componen.

4.° D C D B C B D C D A A C D B D A B A C B C A B A

Una permutación es otro arreglo en el que sí es importante el orden de los elementos. Para el apartado Historias de vida , sugiera que los alumnos visiten los sitios: http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/ collaborate.cgi?tables=yes o http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/collaborate.cgi?tables=no donde pueden jugar y crear sus propios minuetos.

2) R. M. El primer factor representa cuántos competidores pueden obtener el primer lugar; ya otorgado éste, el segundo indica cuántos pueden obtener el segundo lugar; el tercer factor, cuántos pueden aspirar al tercer lugar y el cuarto, al cuarto lugar.

compañeros qué representa cada uno de los factores. 2) 4



3



2



1



24

Mozart compuso 176 compases musicales para un juego de dados. El juego consiste en lanzar 16 veces un par de dados para elegir, con la suma de sus caras, los compases que compondrán un minueto. Para cada uno de los tiros hay 11 posibles compases. Esto quiere decir que hay casi 46 billones de minuetos posibles. ¿Crees que a lo largo de la historia se hayan podido componer todas las variaciones? R. L.

83


h o r P

21. Pida que diferentes voluntarios digan sus respuestas a las primeras preguntas de la actividad. El resto del grupo debe veri�car que coincidan con las suyas, y en los casos en que sean diferentes, coordinarse para llegar a una respuesta en común. 22. Pídales que analicen la tabla y pregúnteles si hay alguna otra combinación en la que el participante A pueda llegar en primer lugar. Sugiérales también que antes de completar su tabla se basen en la tabla del libro para intentar anticipar de cuántas maneras puede terminar la carrera, y pídales que argumenten su respuesta.

23. Organícelos en tercias e indique que uno de los integrantes de cada equipo elabore una tabla con todas las formas posibles en que B puede terminar la carrera llegando en primer lugar; otro hará lo mismo para C y el otro para D . Después, intercambiarán sus tablas, comprobarán sus resultados y las copiarán en su cuaderno. Al final, cada alumno debe tener anotadas las cuatro tablas en su cuaderno. 24. Para la multiplicación que resuelve el problema de la actividad, pídales que analicen sus respuestas y que a partir de ellas intenten explicar el signi�cado de cada uno de los factores de la multiplicación. 25. Pida que un voluntario lea en voz alta el texto del apartado Historias de vida . Después, propicie una discusión en torno a la pregunta que se plantea.

Desarrollo

¡A juntar monedas! Utiliza el procedimiento de conteo que pre�eras y resuelve el siguiente problema. 

1)

¿De cuántas maneras diferentes se pueden pagar 16 pesos con monedas de 10, 5, 2 y un peso, de manera que no sea necesario dar cambio?

10 + 5 + 1

2(5) + 2(2) + 2(1)

5 + 2(2) + 7(1)

5(2) + 6(1)

10 + 3(2)

2(5) + 2 + 4(1)

5 + 2 + 9(1)

4(2) + 8(1)

10 + 2(2) + 2(1)

2(5) + 6(1)

5 + 11(1)

3(2) + 10(1)

10 + 2 + 4(1)

5 + 5(2) + 1

8(2)

2(2) + 12(1)

3(5) + 1

5 + 4(2) + 3(1)

7(2) + 2(1)

2 + 14(1)

2(5) + 3(2)

5 + 3(2) + 5(1)

6(2) + 4(1)

16(1)



Si sólo se usan monedas de 1 peso, ¿cuántas se necesitan? 16 monedas



Si se usa una moneda de 2 pesos y el resto de 1 peso, ¿cuántas de 1 peso se necesitan?

14 monedas

¿Y si se paga con dos de 2 pesos? 12 monedas

8 monedas



¿Con cuántas monedas de 2 pesos se puede pagar?



Si se paga con monedas de 5 pesos, de 10, de 1 y 2 pesos, ¿de cuántas maneras diferentes se puede hacer?

1) Se puede hacer de 24 formas distintas.

Comenta con tus compañeros las estrategias que empleaste en las actividades de la secuencia didáctica y evalúen en forma grupal qué procedimiento resulta más conveniente en cada caso. Escriban una fórmula que les permita calcular el total de resultados de cada problema.

2) 1–2–3–4–1

Costo Parte 1 100

Costo Parte 2 300

Costo Parte 3 250

Costo Parte 4 200

Costo Total $850

1–2–4–3–1

100

50

250

150

$550

1–3–2–4–1

150

300

50

200

$700

1–3–4–2–1

150

250

50

100

$550

1–4–2–3–1

200

50

300

150

$700

1–4–3–2–1

200

250

300

100

$850

Recorrido

Costo parte 1

Costo parte 2

Costo parte 3

Costo parte 4

2–1–3–4–2

100

150

250

50

$550

1. ABCDA

AB

BC

CD

DA

2–1–4–3–2

100

200

250

300

$850

2–3–1–4–2

300

150

200

50

$700

2–3–4–1–2

300

250

200

100

$850

Recorrido

24 formas

¿Cómo vamos? En el cuaderno, completen una tabla como ésta para calcular el costo de cada recorrido. 2)

 

Costo Total

¿Cuáles y cuántos son l os recorridos más baratos? 3) ¿Sabías que con los actuales modelos de computación, este problema todavía no se puede resolver sin realizar todos estos cálculos?

2–4–1–3–2

50

200

150

300

$700

2–4–3–1–2

50

250

150

100

$550

3–1–2–4–3

150

100

50

250

$550

3–1–4–2–3

150

200

50

300

$700

3–2–1–4–3

300

100

200

250

$850

Resuelve los siguientes problemas.

3–2–4–1–3

300

50

200

150

$700

3–4–1–2–3

250

200

100

300

$850

3–4–2–1–3

250

50

100

150

$550

1. En el cuaderno elabora un diagrama de árbol y encuentra cuántas comidas completas se pueden servir. Considera que una comida completa incluye una sopa, un guisado, un postre y agua. 4) Respuesta en el solucionario.

4–1–2–3–4

200

100

300

250

$850

4–1–3–2–4

200

150

300

50

$700

4–2–1–3–4

50

100

150

250

$550

4–2–3–1–4

50

300

150

200

$700

4–3–1–2–4

250

150

100

50

$550

4–3–2–1–4

250

300

100

200

$850

Menú

Sopas

Guisados

Arroz Pasta

Bistec con ensalada Pechuga de pollo asada con verduras Tacos dorados de pollo Tortitas de papa

Postres

Aguas

Plátanos con crema Ate con queso

Jamaica Horchata

a) ¿Cuántas comidas completas diferentes se pueden servir? 32 comidas b) ¿Puedes calcular la cantidad de comidas sin necesidad de trazar un diagrama de árbol? Explica tus respuestas. Sí. Multiplicamos número de sopas × número de guisados × número de postres × número de aguas, es decir 2 × 4 × 2 × 2. 84



h o r P

26. Organice al grupo en parejas para resolver la actividad. Pida que cada pareja proponga una estimación que responda la pregunta inicial de la actividad.

28. Organice al grupo en los equipos del proyecto Nuestro trabajo , e indique que trabajen en la situación planteada. Pida que muestren su tabla �nal y que comparen sus resultados con los de los demás equipos.

27. Una vez resuelta la actividad, propicie que las parejas discutan acerca de las diferentes respuestas, estrategias, fórmulas y conclusiones a las que llegaron. Indíqueles que pasen por turnos al pizarrón y hagan una representación del recurso (tabla, diagrama, etcétera) que usaron en cada caso para responder a las preguntas. Motívelos para que entre todos comparen las estrategias de solución y determinen las más adecuadas.

3) Hay 8 recorridos de $550:

1–2–4–3–1

2–1–3–4–2

3–1–2–4–3

4–2–1–3–4

1–3–4–2–1

2–4–3–1–2

3–4–2–1–3

4–3–1–2–4

Desarrollo



2. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con el 0, el 2, el 4 y el 6, si no pueden comenzar con cero y no se pueden repetir?

En la página de Internet Disfruta de las matemáticas :

3 × 3 × 2 × 1 = 18

3. ¿Cuántos números pares de tres cifras pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstos pueden repetirse y los números que se forman no pueden comenzar con el cero?

http://www.disfrutalasmatematicas. com/combinatoria/combinaciones-permutaciones-calculadora.html

6 × 7 × 4 = 168

4. Inventa dos problemas de conteo que se resuelvan con las multiplicaciones 2  2  2 y 4  3  2. Escríbelos en el cuaderno. 1) 5. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden escribir los números del 1 al 5 en los vértices de una estrella de 5 puntas si no se pueden

A

encontrará ejemplos del tema y una calculadora de combinaciones y permutaciones.

repetir? 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 2) a) ¿Cómo encontraste la solución? b) ¿Podrías resolver este problema con alguna o varias operaciones aritméticas?

E

B

3)

6. Encuentra y dibuja con diferentes colores los caminos de recorrido mínimo que hay para ir desde A hasta B en la siguiente �gura. Sólo puedes avanzar hacia la derecha y hacia arriba.

1) Luis tiene un pantalón azul y uno café; una camisa blanca y una roja, un par de zapatos cafés y un par de negros. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir? Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8 maneras diferentes

C

D

B

4)

A

Presentación de nuestro trabajo Compartan la solución del problema. Cada equipo explicará a los demás compañeros, los procedimientos utilizados para calcular la cantidad de recorridos si son cuatro y cinco ciudades. 



¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con los números 4, 5, 7 y 9? Respuesta: 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3 × 2 = 24

4) Existen 6 caminos posibles para llegar del punto A al B.

También explicarán cómo se resolvería el problema si son 100 o más ci udades las que se tienen que recorrer. Comenten qué dificultades y aciertos tuvieron al resolver el problema.


B

B

2) R. M. Al multiplicar el número de opciones para cada vértice, considerando cuántos números ya fueron utilizados en cada caso.

B

3) R. M. Sí, siempre y cuando se estableciera desde un principio las condicionantes que deben tomarse en cuenta.

A

A




 

A ¿Cómo te ayudó utilizar diferentes estrategias de conteo para resolver el problema de su proyecto? R. L. ¿Todos los problemas de conteo se resuelven con la misma estrategia? Argumenta tu respuesta. R. M. No. Hay que tomar en cuenta si se consideran las repeticiones, cuántos elementos se combinan y cómo. ¿De qué manera participaste en la resolución del problema? R. L. ¿En qué otros contextos puedes emplear las estrategias de conteo que aprendiste en esta secuencia didáctica? R. M. Para conocer los posibles resultados en un juego de azar y para elegir el orden en el que un equipo expondrá un trabajo. 85


h o r P

29. Indique a los alumnos que intercambien su libro con otro compañero para comparar y veri�car las respuestas de los problemas. Pídales que comenten las diferentes estrategias que utilizaron para resolver cada problema. Luego, solicite a diferentes parejas que presenten al grupo la solución de alguno de los problemas. Las demás parejas deberán veri�car su respuesta o debatir con la pareja en turno en los casos en que haya respuestas diferentes.

30. Coordine que cada equipo presente la solución del problema inicial. Escriba en el pizarrón las diferentes estrategias que propongan y propicie una discusión acerca de las bondades de cada una. 31. Discuta con el grupo las respuestas a la sección ¿Cómo nos fue? y evalúe junto con ellos los avances en el aprendizaje esperado.

Inicio


En esta secuencia didáctica, los estudiantes analizarán y elaborarán grá�cas poligonales para comparar dos o más conjuntos de datos. También trabajarán en la construcción de polígonos de frecuencia a partir de un histograma.

e u q o l B

Planeación

10 Grá�cas de frecuencia Conocimientos y habilidades 1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

¡Las grá�cas dicen más que mil palabras! El trabajo de esta secuencia didáctica propicia la adquisición del siguiente aprendizaje esperado:

En 2008 y 2009, por la falta de lluvia, las presas que abastecen de agua al Distrito Federal no alcanzaron los niveles necesarios para cubrir el consumo de los habitantes de esta ciudad.

Analiza con algunos compañeros la información que se muestra en la grá�ca. 

)

Interpreta y construye polígonos de frecuencia.

3 250 m m ( 200 a i v u l l 150 e d d 100 a d i t 50 n a C 0

2008 2009

l o i o l o o r i i o s t o e b r e r e r e e r r e r o a r z A b a y u n b b b r u o m J u g M J E n b A i m e e O c t v e i i m F e M t i c p o N D S e

Fuente: smn.cna.gob.mx/climatologia/precipitacion/estados/est-2008.gifsmn. cna.gob.mx/climatologia/precipitacion/estados/est-2009.gif

1) Los puntos representan la frecuencia absoluta de cantidad de lluvia para cada mes. Las líneas son las variaciones de lluvia entre mes y mes.

 

¿En qué mes del año 2008 llovió más? ¿Y en el 2009? Agosto; septiembre ¿Por qué es útil contar con este tipo de gráficas? Coméntenlo con el profesor. Sirve para analizar y comparar datos.

Preguntas para andar    

¿Qué representan cada una de las líneas de la gráfica y los puntos sobre ellas? 1) ¿En qué año llovió más? Haz una estimación. R. L. ¿Qué tipo de variables se presentan en la gráfica? Cuantitativas ¿Sabes cómo se le llama a este tipo de gráficas? ¿Qué otra clase de información podrías presentar en una gráfica como ésta? Polígonos de frecuencia. Crecimiento demográ�co, escolaridad de la población, temperaturas, etcétera.

Nuestro trabajo En equipos, harán una investigación sobre la temperatura máxima y mínima promedio o la temperatura media o las precipitaciones pluviales medias en su estado en los tres últimos años. 





La información la podrán encontrar en la página el ectrónica del Sistema Meteorológico Nacional de la Comisión Nacional del Agua. Deben elaborar una tabla con la información de cada año y representarla en una gráfica como la anterior. Al final, presentarán su trabajo ante el grupo. Elijan el tema con el que trabajarán.

86


a t n e v

1.

u s a d i b i

h o r P

Pida que diferentes voluntarios describan toda la información que aparece en la grá�ca presentada (cómo está construida, qué datos numéricos aparecen, qué otro tipo de datos hay, cómo son las líneas dibujadas, cuáles son los rangos que se muestran, qué forma tienen las diferentes líneas, etc.). Propicie una discusión grupal respecto de la grá�ca y pida que determinen entre todos una descripción clara y precisa de ella.

2.

Indique que respondan grupalmente las preguntas formuladas en la actividad.

3.

Pregúnteles qué hicieron para contestar la primera pregunta: ¿Fue necesario hacer algún tipo de medición o cálculo? ¿Por qué?

4.

Al llegar a la segunda pregunta, pídales que comenten en qué otras situaciones han visto grá�cas como las de la actividad y qué tipo de datos representaban.

5.

Solicíteles que resuelvan de manera grupal las Preguntas para andar .

6.

Organícelos en equipos para que planeen el proyecto propuesto en el apartado Nuestro trabajo , y otorgue un plazo pertinente para que la resuelvan.



Precipitación media En esta actividad, se busca guiar la atención de los alumnos en el análisis de los aspectos a tomar en cuenta para leer correctamente una grá�ca poligonal.

A las grá�cas como la anterior se les conoce como polígonos de frecuencia, ya que están formados por una línea poligonal construida al unir los puntos ubicados con las marcas de clase y sus respectivas frecuencias. En ellos podemos leer y comparar la frecuencia con que se repite un fenómeno. Observa nuevamente la grá�ca de la página anterior y contesta lo siguiente. 

¿Qué variables se representan? ¿Qué tipo de datos se utilizan para cada una de las variables? Cantidad de lluvia: datos numéricos, tiempo: rango de tiempo en meses

 

¿En qué unidades de medida se expresan las precipitaciones? mm3 ¿Qué información se presenta en el eje x ? ¿Y en el eje vertical y ? En x los meses y en y la cantidad de lluvia



En la gráfica del 2009 ubica el punto que se localiza sobre 96. ¿Qué significa este número? Es la marca de clase de junio, es decir, la frecuencia absoluta de lluvia de dicho mes.



¿En qué mes del año 2008 llovió más que en el mi smo mes del 2009? Abril, junio, julio y agosto



¿En qué mes se observa la mayor diferencia entre precipitaciones medias ? Septiembre ¿De cuánto es aproximadamente?



110 mm3

¿En qué meses de cada año no llovió? ¿Cómo lo sabes? 2008: enero, febrero, marzo, noviembre y diciembre; 2009: noviembre y diciembre; la frecuencia absoluta es 0.

Realiza esta actividad.

1. Observa la grá�ca y contesta en el cuaderno. Producción y consumo de maíz blanco y amarillo, 1999-2004 27 000

26269 25607 24630

25 000 s a d a l e n o t

23 000

23187

23643

22877

Consumo

21686

e d s e l i 19 M

Producción

20701

21 000

20134 19298

000 17706

17556

17 000 15 000

Años 1999

2000

2001

2002

2003

2004

Fuente: Centro de Estudios de las Finanzas Públicas de la H. Cámara de Diputados, con datos de la Secretaría de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación y la Secretaría de Economía. Noviembre 2004.

a) b) c) d) e) f)

¿En qué unidades se mide cada una de las variables? En miles de toneladas y en años. Escribe lo que observas en relación con la producción y la demanda o consumo de maíz. b) Del periodo mostrado ¿en qué año México tuvo la mayor producción de maíz? ¿Y la menor? Mayor: 2004; menor: 2000 ¿En qué año tuvo el mayor consumo? ¿Y el menor? Mayor: 2001; menor: 2004 ¿En qué año la diferencia entre la producción y el consumo fue menor? ¿En qué año fue mayor? Menor: 2004; mayor: 2001 ¿Qué acciones crees que debe realizar el gobierno mexicano cuando el consumo es mayor que la producción? R. M. Importar maíz.

b)

a t n e v

7.

u s a d i b i

h o r P

8.

9.

R. M. La producción es considerablemente menor que la demanda al principio y para el 2004 la diferencia entre consumo y producción ha disminuido.

Pida que diferentes voluntarios expongan al grupo lo que entendieron que son los polígonos de frecuencia. Sugiérales que utilicen la grá�ca para señalar la descripción dada. Motívelos para que mencionen un tema cuyos datos sea adecuado representar en un polígono de frecuencias. Después, coordine un debate acerca de las distintas propuestas y la conveniencia de su representación en una grá�ca poligonal. Organice al grupo en parejas para que respondan las preguntas de la actividad. Una vez resuelta, pida que diferentes parejas expongan sus respuestas argumentando cómo llegaron a ellas. Propicie un debate acerca de las respuestas de las parejas.

87


10. Pida que cada pareja elabore dos preguntas relacionadas con la información de la grá�ca y las exponga al grupo para que las respondan entre todos. 11. Sugiera a los equipos del apartado Nuestro trabajo que recaben la información que requerirán para su investigación, y recuérdeles el sitio de Internet en el que pueden encontrar la información (aparece en la grá�ca de la página anterior). 12. Para el apartado Tareas , solicíteles que inventen y respondan dos preguntas relacionadas con los datos de la grá�ca.

Desarrollo


¿Cómo vamos? Un histograma es una representación grá�ca de una variable en forma de barras, en la que la super�cie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, mientras que en el eje horizontal los valores de las variables.

Reúnete con tus compañeros para trabajar en el proyecto. 

  



Con la información que cada uno recabó elaboren las tablas con la media mensual de temperatura o de las precipitaciones de su estado. R. L. ¿Qué tema decidieron trabajar, la variación de temperatur a o las precipitaciones? R. L. ¿En qué mes y año la temperatura o la precipitación fue mayor? R. L. ¿En qué año se registró la mayor diferencia mensual entre las temperaturas máxima y mínima o entre la cantidad de lluvia? R. L. ¿Cuál fue la mayor dificultad a la que se enfrentaron al realizar su investigación? R. L.

Conserven la información para trabajar con ella más adelante.

Polígono de frecuencia con datos no agrupados Reúnete con un compañero para resolver lo que se pida.

La grá�ca de la izquierda, llamada histograma, muestra los datos de la tabla que aparece abajo sobre el pronóstico de las temperaturas máximas para Monterrey. La grá�ca de la derecha muestra cómo se forma el polígono de frecuencia de los mismos datos, al unir los puntos medios de la parte superior de cada barra del histograma con segmentos de recta. Pronóstico de temperaturas máximas (°C) para Monterrey ) 35 C ° ( 30 s a m 25 i x á m 20 s a r 15 u t a r e 10 p m 5 e T

0

Pronóstico de temperaturas máximas (°C) para Monterrey 35

) C ° ( 30 s a 25 m i x á 20 m s a r 15 u t a r e10 p m 5 e T Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

0

Domingo

Lunes

Martes

Miércoles



Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Días

Días

Observen la tabla de temperaturas máxima y mínima, pronosticadas para una semana en la ciudad de Monterrey.

Días de la semana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Temperatura máxima (ºC)

24

24

27

28

30

28

29

Temperatura mínima (ºC)

5

5

12

15

16

13

14



¿Cuáles son las variables que se presentan? Temperaturas máximas, temperaturas mínimas, días de la semana.



Para trazar un polígono de frecuencia con la información anterior, ¿cuál variable colocarían en eje y ? ¿Y en el eje x ? ¿Qué escala utilizarían para representar las temperaturas? R. M. En el eje y las temperaturas y en el eje x los días, con una escala de 5 en 5

88



h o r P

13. Indique que revisen en grupo el ejercicio del apartado Tareas de la página anterior para comparar y veri�car sus respuestas. Si es necesario, pídales que corrijan. 14. Organice al grupo en los equipos del proyecto del apartado Nuestro trabajo , y concédales un plazo para que elaboren sus tablas y para que discutan y respondan las preguntas formuladas. 15. Antes de leer la información acerca del histograma, pida que diferentes voluntarios describan las grá�cas que aparecen: ¿Cómo están construidas? ¿Qué elementos las componen? Indíqueles que mencionen qué tienen en común y en qué di�eren.

16. Pida que otros voluntarios describan la información que aparece en la tabla presentada. Después, indíqueles que comparen la información de la tabla con las grá�cas y propicie una discusión grupal respecto de la comparación. A partir de ella, pida que respondan entre todos las respuestas formuladas al �nal de la página.


En cada plano cartesiano elaboren el histograma para las temperaturas máxima y mínima pronosticadas en Monterrey y, a partir de ellos, tracen los polígonos de frecuencia.



Temperatura máxima y

40

16

35

14

30

) C ° ( a r u t a r e p m e T

En esta actividad, se pretende que los estudiantes elaboren en un primer momento dos grá�cos poligonales por separado y establezcan las di�cultades a las que se enfrentan al comparar algunos de los elementos de ambos conjuntos de datos. Después, en un segundo momento deberán elaborar en una misma representación los dos grá�cos poligonales y establecer cuál es la ventaja de esta presentación.

Temperatura mínima

y

12

) C ° ( a r u t a r e p m e T

25

10

20 15 10 5

8 6 4 2

0

x

0

Días


x

Días 5 °C ¿Y la más alta? 30 °C



¿Cuál es la temperatura más baja pronosticada?



¿En qué día la diferencia entre la temperatura máxima y mínima fue mayor? Lunes y martes



¿En qué día se registró menor diferencia entre ambas temperaturas? Jueves



¿Qué dificultades encontraron al comparar los datos en diferentes gráficas? R. L.

Comparen sus polígonos de frecuencia con los de otros compañeros. En caso de que detecten errores, corrijan en equipo. 

Ahora, en equipos, construyan los polígonos de frecuencia de las temperaturas máximas y mínimas de la ciudad de Monterrey en el siguiente plano cartesiano. Marquen cada polígono con diferente color. 35 ) 30 C º ( s 25 a m i x 20 á m s 15 a r u t a r 10 e p m 5 e T

0



Temperatura mínima Temperatura máxima

L un es

M ar te s M ié rc ol es J ue ve s Días

V ie rn es

S áb ad o D om in go

¿Qué ventajas tiene presentar la información en un mismo plano cartesiano? R. M. Es más fácil comparar la información y analizarla. 89


h o r P

17. Indique a los estudiantes que antes de trazar los polígonos de frecuencia comparen sus histogramas con los de otros compañeros. Pídales que pongan especial atención en la escala que usó cada uno para su representación, e indíqueles que veri�quen y corrijan si es necesario. 18. Pídales que después de responder las preguntas de la actividad las comparen con las de otros compañeros. Propicie una discusión grupal acerca de las respuestas.

19. Organice parejas para construir la grá�ca del último ejercicio de la actividad. Al terminar, deberán comparar su representación con la de otros compañeros. 20. Pídales que establezcan las bondades de presentar los dos polígonos de frecuencias en el mismo plano a diferencia de hacerlo en un plano cada uno, y motívelos para que compartan y comparen sus conclusiones con las de otros compañeros.

Desarrollo


Polígono de frecuencia con datos agrupados o intervalos En esta actividad, se busca que los estudiantes distingan entre las variables cualitativas y cuantitativas; y dentro de estas últimas, entre las discretas y las continuas.

Las variables de un conjunto de datos pueden clasi�carse en cualitativas o cuantitativas según la escala de medición. Las variables cualitativas expresan características como, el nombre de las personas, el estado civil, el orden de llegada de corredores, entre otras. Las variables cuantitativas expresan cantidades numéricas. Pueden ser discretas o continuas. Las discretas sólo admiten valores enteros por ejemplo, el número de hijos (2, 5, 7). Las variables continuas pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especi�cado de valores. Por ejemplo, el intervalo de 25 a 27 kg de la variable peso admite cantidades decimales como 25.00 kg, 25.7 kg, 26.75 kg, etcétera. La obesidad es un problema de salud que aumenta en México. En una investigación sobre el estado nutricional de alumnos de 5 a 13 años de edad en siete primarias de la zona norte del Distrito Federal, se obtuvo la siguiente información: Número de niños con: Edad (años)

Peso normal o ideal (N)

Desnutrición leve (DL)

Desnutrición severa (DS)

Sobrepeso (S)

Obesidad (O)

5

21

2

0

7

5

6

29

4

0

8

4

7

31

6

0

10

4

8

72

10

4

14

7

9

80

12

3

18

8

10

96

14

1

23

7

11

48

2

1

4

6

12

52

4

1

5

3

13

45

3

0

6

2

Subtotal

474

57

10

95

Total

474

67

46 141

Fuente: Los datos se basan en el estudio denominado De�ciencias de peso corporal en escolares de 5-13 años en 7 escuelas del Distrito Federal. Dr. Mario de Jesús Mesas Guzmán.



¿Qué tipo de variables se presentan en la tabla? Variables cuantitativas



¿Cuántos niños participaron en el estudio? 682 niños



¿En qué edad hay más niños con problemas de sobrepeso y obesidad? 10 años



¿Cuál es el promedio de niños con desnutrición? ¿Y con obesidad y sobrepeso? Desnutrición: 7.44; obesidad y sobrepeso: 15.66



En general, ¿cómo calificarías el estado de salud del grupo de niños? Coméntalo con tus compañeros y con el profesor. R. L.

90



h o r P

21. Lea junto con el grupo los dos primeros párrafos de la actividad y pida que diferentes voluntarios expongan lo que entienden por variables cualitativas o cuantitativas. Recomiéndeles que traten de dar ejemplos de cada tipo de variable. 22. Pídales que expliquen la diferencia entre variables discretas o continuas, y que den ejemplos que representen otras variables de cada caso. Pídales que establezcan entre todos qué tipo de variables, según estas de�niciones, se presentan en cada una de las grá�cas de las páginas anteriores.

23. Pida que diferentes voluntarios describan el contenido de la tabla que se presenta. 24. Exhórtelos a comentar y responder de manera grupal las preguntas que se plantean en la actividad. Al terminar la actividad, comente con el grupo en qué forma pueden contribuir a solucionar el problema de la obesidad. 25. Pida que la próxima clase traigan hojas de papel milimétrico para llevar a cabo las actividades de la siguiente página.



Presentación por intervalos En esta actividad, los estudiantes trabajan en completar una tabla a partir de representar datos agrupados en intervalos.

Dado que la edad es una variable cuantitativa continua, para efectos de estudiar las características de los estudiantes, se decidió representar los grupos de edad en tres intervalos. 

Reúnete con un compañero y completa la siguiente tabla con la marca de clase de cada intervalo. Para ello sumen las frecuencias correspondientes a las edades de cada intervalo. Y calculen el promedio de los límites inferior y superior.

Se introducen los conceptos límite inferior, límite superior y el de rango (amplitud total).

Al número menor de un intervalo se le llama límite inferior y al número mayor límite superior. Número de niños con:

Edad por intervalos

Marca de clase

Peso normal o ideal (N)

Desnutrición leve (DL)

Desnutrición severa (DS)

De 10% a 25% por debajo del peso normal

De 26% a 40% por debajo del peso normal

5-7

6

81

12

8-10

9

248

11-13

12

145

Sobrepeso

Obesidad

De 10% a 19% por encima del peso normal

20% y más por encima del peso normal

0

25

13

36

8

55

22

9

2

15

11

En el conjunto de datos agrupados por intervalos la diferencia entre la edad mínima y máxima se denomina amplitud total o rango. En este caso la amplitud es 13  5  8. Para obtener la cantidad de intervalos que se forma para el grupo de datos se divide el rango, que en este caso es 8, entre el número de edades de cada intervalo que es 3.

Uno de los hábitos que puede prevenir la obesidad infantil es crear en los niños la costumbre de alimentarse sanamente. Darles alimento sano desde su nacimiento es la mejor manera de mantenerlos con buena salud.

8  3  2.66, que redondeado a enteros es 3. 



Ahora, tracen los polígonos de frecuencia para cada estado nutricional en hojas de papel milimétrico, en un mismo plano cartesiano y con diferentes colores. 1) Respuesta en solucionario. En el eje y representen las frecuencias (número de niños), mientras que en el eje x representen los rangos de clase. Elijan la escala apropiada y cuiden que el cero sea el inicio del eje y . 

¿En qué rango se encuentran más niños con problemas de obesidad? 8-10 años





¿En qué rango no hay niños con desnutrición severa? 5-7 años

Comparen sus gráficas poligonales con las de otros compañeros.  

¿Todos utilizaron la misma escala? ¿Qué diferencias observas? R. L. Escriban en el cuaderno un reporte del estudio que acaban de analizar. 91


h o r P

26. Pida a los estudiantes que realicen la actividad en parejas. Sugiérales que observen la tabla, la información y los datos que se dan para comprender a cabalidad las de�niciones presentadas.

29. Una vez elaborados lo polígonos de frecuencia, pida que cada equipo muestre su grá�co al grupo y explique cómo lo elaboraron, como determinaron los valores de las variables de cada eje, etcétera.

27. Pida que diferentes parejas expongan su tabla y expliquen cómo obtuvieron los datos correspondientes. Indíqueles que comparen sus tablas con las de otros compañeros y corrijan o adecuen lo necesario para tener la información correcta en la tabla.

30. Sugiérales que entre todos respondan las preguntas formuladas y antes de escribir el reporte de estudio comenten la información que arroja el grá�co. Aclare aquí que se trata de hacer de manera general una descripción verbal y luego escrita de la información que da la grá�ca.

28. Organice el grupo en equipos para trabajar la segunda parte de la actividad de la página. Antes de trazar el polígono de frecuencias, sugiérales que para determinar la escala que usarán re�exionen acerca del rango que hay entre los datos que van a representar en el eje y .

Desarrollo

Intención pedagógica En el apartado Datos a la mano , se pretende que los estudiantes re�exionen el problema de la obesidad en México a partir del análisis de una grá�ca poligonal.

De acuerdo con la OMS, el Índice de Masa Corporal (IMC) de�ne el sobrepeso con un valor igual o superior a 25; la obesidad, igual o superior a 30; valores entre 20 y 24.9 son considerados adecuados y menores a 20 como desnutrición. Analiza la grá�ca y contesta en el cuaderno las preguntas que se presentan a continuación. 6 5, 5 5 4, 5 s o j i h

e d o i d e m o r P

4

3, 7 2, 9

3

1, 6

0

0, 9

0, 2 0, 2

1, 5

0, 9

0, 2 De 15 a 19

2, 6

1990 2000 2005

2, 1

1 1

3, 9 3, 3

2, 9

2, 4

2 2

3, 4

2, 9

De 20 a 24

De 25 a 29

De 30 a 34

De 35 a 39

De 40 a 44

De 45 a 49

Edad en años

Fuente: SSA, INSP. Encuesta Nacional de Salud y Nutrición, 2006. Tomado de: Mujeres y hombres en México 2010.

INEGI, 2010. www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/sociodemogra�co/ mujeresyhombres/2010/MyH_2010.pdf   

1) 34.5. La marca de clase representa el punto

 

medio de cada intervalo, el cual se utiliza para realizar cálculos estadísticos.

 



2) R. M. Toda la población femenina, pero en

¿Cuáles son las variables que se presentan en la gráfica? El porcentaje de mujeres y la edad ¿Son cuantitativas o cualitativas? Cuantitativas En el caso de que sean cuantitativas, ¿son discretas o continuas? Discretas ¿Cuál es la marca de clase del intervalo de 30 a 39? ¿Qué representa? 1) ¿En qué rangos de edad se da el problema de obesidad? En todos los rangos de edad ¿En qué grupo de edad se da el mayor porcentaje con sobrepeso y obesidad? 50-59 años Si tuvieras que organizar una campaña sobre el cuidado de la salud, ¿a qué segmento de la población femenina te dirigirías? 2) ¿Qué conclusión obtienes de la gráfica? Comparte y comenta tus conclusiones con el grupo y con el profesor. R. L.

particular las mujeres entre 50 y 59 años que son las de mayor problema. Realiza la actividad sigui siguiente.

1. Traza en el cuaderno una grá�ca poligonal que permita comparar la cantidad de horas promedio de trabajo por semana entre mujeres y hombres mayores de 14 años. 3) Respuesta en solucionario. Grupos de edad

Hombres

Mujeres

14-29 30-59 60 y más

43.3 48.5 32.1

49 54.7 34.9

Fuente: INEGI-STPS. Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo, 2009. Segundo trimestre. Base de datos. Tomado de: Tomado de: Mujeres y hombres en México 2010. INEGI, 2010. www.inegi.org.mx/prod_serv/ contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/sociodemogra�co/mujeresyhombres/2010/MyH_2010.pdf

a) Escribe tus conclusiones respecto a las diferencias de horas por semana de trabajo semanal entre hombres y mujeres. ¿A qué crees que se deba esto? R. L. 92



h o r P

31. Indique a los alumnos que observen la grá�ca que aparece en el apartado Datos a la mano y pida que diferentes voluntarios la describan. 32. Indíqueles que respondan grupalmente las preguntas formuladas en la sección. 33. Pídales que busquen en periódicos, en Internet o en cualquier otro medio información de diferentes fenómenos representados en una sola grá�ca de polígonos de frecuencia. Indíqueles que analicen el tipo de información que representa y determinen si los datos que muestra son cualitativos o cuantitativos y si están o no agrupados por intervalos. Pida que calculen el rango de amplitud entre el valor mínimo y el máximo. Solicíteles que lleven a la clase la grá�ca e información correspondientes.

34. Para el apartado Tareas , motívelos para que intercambien su cuaderno y comparen sus grá�cas. Solicite que corri jan los errores en caso de que los haya y que también muestren al grupo su trabajo de investigación.

Desarrollo


¿Cómo vamos?

En el apartado Espacio tecnológico , se sugiere a los estudiantes usar alguna hoja de cálculo para que aprendan a utilizarla y elaboren histogramas y polígonos de frecuencia.

Reúnanse nuevamente para trabajar en su proyecto. 



 




Recuperen la información de las tablas que elaboraron y construyan, en una hoja de papel milimétrico, un histograma con la información que decidieron analizar. R. L. Después, construyan los polígonos de frecuencia que representen la temperatura media mensual, las temperaturas máximas y mínimas promedio, la temperatura media o las precipitaciones de su entidad. R. L. ¿Qué tipo de datos son los que trabajaron, cualitativos o cuantitativos? ¿Por qué? R. L. Con estos datos, ¿podrían elaborar un polígono de frecuencia con datos agrupados? Justifiquen su respuesta. R. L. Escriban un breve resumen acerca de la información que proporcionan las gráficas. R. L.

Las hojas de cálculo resultan muy útiles para trazar histogramas y polígonos de frecuencia. Si tienes oportunidad, investiga cómo trazar dichas grá�cas y utilízalas para representar los resultados de tu investigación. En la construcción de un histograma puedes cambiar el tipo de grá�co pulsando el botón derecho del ratón y eligiendo la opción Tipo de grá�co.

Presentación de nuestro trabajo Presenten las grá�cas correspondientes a las temperaturas o precipitaciones así como los resultados de su análisis. 





Es importante que el equipo expositor plantee preguntas de reflexión al resto de los equipos, para que las contesten en forma oral. Al final presentarán sus conclusiones. Los demás equipos complementarán, en caso de que sea necesario, las conclusiones presentadas. Compartan la información pegándola en los pasillos de la escuela o en paredes donde la puedan leer los demás grupos. Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

¿Cómo nos fue? 





¿En qué otras situaciones podrías utilizar un polígono de frecuencia para presentar y analizar información? R. M. Crecimiento demográ�co, oferta y demanda, tasa de desempleo, etcétera. ¿Cuál fue tu participación en la elaboración de las gráficas de precipitaciones o de temperatura en tu estado? R. L. ¿En qué casos es conveniente agrupar datos por intervalos? ¿Qué característica debe tener la variable para determinar los intervalos? Cita dos ejemplos. R. M. Los datos se agrupan en intervalos cuando la variable que se trabaja toma un gran número de valores o es continua. Cantidades de dinero y número de habitantes.

Has concluido los temas del primer bloque. Te sugerimos que revises, con el profesor, tu archivo de evidencias para ver tu avance.

93


h o r P

35. Asigne un tiempo pertinente para que los alumnos elaboren los histogramas y grá�cas poligonales que se les piden. Después, separe a los equipos en dos grupos (los que trabajaron con la precipitación pluvial y los que eligieron las temperaturas) y pídales que respondan en grupo las preguntas de la sección. 36. Indíqueles que para la elaboración del resumen trabajen trabajen solamente con su equipo del proyecto, y sugiérales que antes de redactar su resumen primero escriban una descripción de las grá�cas.

37. Durante la presentación presentación de los proyectos, propicie la la participación de todos los integrantes de cada equipo interviniendo con preguntas especí�cas para aquellos estudiantes que se distraigan o no participen al momento de la exposición. 38. Discuta con el grupo las respuestas respu estas del apartado apartado ¿Cómo nos fue? , y evalúe junto con ellos los avances en el aprendizaje esperado. 39. Organice una sesión para revisar con los estudiantes estudiantes los trabajos del archivo de evidencias.

Taller de


Matemáticas

El Taller de Matemáticas tiene tiene como propósito que los estudiantes desarrollen habilidades matemáticas especí�cas a partir de la resolución de problemas diversos.

Medición La habilidad de medir es básica en matemáticas. Medir signi�ca comparar ; por ejemplo, en este este bloque aprendiste a medir ángulos entre líneas rectas, para ello, lo que hiciste fue comparar un determinado ángulo con transportador, el cual está graduado en unidades de medida llamadas grados . Las siguientes actividades te permitirán poner en práctica tus habilidades para medir.

En este bloque, se busca que los estudiantes reconozcan diferentes magnitudes de medición, y resuelvan problemas en los que apliquen los conocimientos y habilidades adquiridos, hasta ahora relacionados con medir ángulos y áreas de polígonos.

Reúnete con un compañero y hagan la siguiente actividad sin utilizar un transportador. 

Sugerencia de contenido Magnitud es una propiedad o caracteMagnitud es rística que poseen todos los cuerpos o fenómenos y permite que puedan ser comparados (medidos).

Observen la imagen. Determinen, de forma aproximada, el ángulo al que debe girar el radar de un aeropuerto para ubicar la posición de cada avión en la pantalla. Tengan en cuenta que para lograrlo, el haz de luz que emite el radar detecta el centro del avión.

Medidas exactas: A: 310°;

B: 220° ; C: 140° ; D: 80°

\A \0º

La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la rapidez y la temperatura son algunas de las muchas magnitudes que hay.

\B

La magnitud es la propiedad, la cantidad es el valor de la magnitud. \C \D

Discutan su solución con otros compañeros y con el profesor. 94


a t n e v

1.

u s a d i b i

h o r P

2.

Lea con los estudiantes el texto que habla acerca de la habilidad de medir y luego explíqueles el signi�cado de magnitud . Después, pídales que mencionen algunos objetos del entorno que se puedan medir. Solicíteles que incluyan la unidad o magnitud que se utiliza para dicho �n. Pida a diferentes parejas que describan la imagen. imagen. Al ter ter-minar,, propicie una discusión entre las parejas acerca de minar los diferentes cálculos, los resultados que obtuvieron y la manera en que llegaron a ellos. Cada pareja debe compartir sus estimaciones y explicar cómo las obtuvieron.

3.

Pida a los alumnos que comparen las estrategias de cada pareja y expongan los pros y contras de cada estrategia propuesta.

4.

Al �nal, solicíteles que midan con el transportador los ángulos de giro del radar y los comparen con su estimación.

5.

Propóngales que ubiquen ubiquen otros puntos dentro del círculo y que, sin medir medir,, estimen el ángulo de giro del radar.

Por supuesto, los ángulos no son lo único que se mide. Como recordarás, hay varios sistemas para medir y en cada uno se emplean distintas unidades. Haz las siguientes actividades de forma individual. 

Investiga las unidades que se utilizan en distintos sistemas para medir lo siguiente. R. M. Longitud (por ejemplo, de un tren)

Super�cie (por ejemplo, de un cultivo)

kilómetro, yarda

hectárea, kilómetro cuadrado, yardas cuadradas, acre



Volumen (líquido y sólido)

Masa

decímetro cúbico,

tonelada, kilogramo,

metro cúbico

gramo, libra, onza

La receta para hacer un pastel ha pasado de generación en generación, pero es tan antigua que menciona medidas inglesas. Actualiza la receta convirtiendo las medidas al sistema métrico decimal. 1)

1) 1 libra = 226.79 g

2 8 oz = 226.79 g

Pastel de la abuela

INGREDIENTES

3 1 oz = 99.22 g 2 1 pinta = 570 mL

1 2 libra

de chocolate oscuro 8 onzas de mantequilla 3 1 onzas de harina 2 1 pinta inglesa de leche 1 cucharadita de vainilla 1 cucharada de bicarbonato de sodio 4 Se mezclan los ingredientes y se bate por unos cinco minutos. Se vierte la mezcla en un molde y se pone al horno a 356° Farenheit por 30 minutos.

1 cucharadita ≈ 5 mL Por ejemplo, una pinta inglesa equivale a 570 mL.

1 cucharada ≈ 3.75 g 4 356 °F = 180 °C

No olvides convertir a grados Celsius.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el profesor. 95


6.

u s a d i b i

h o r P

7.

Antes de iniciar la actividad, pida a los estudiantes que piensen en diferentes objetos o fenómenos que puedan ser medidos y escriban una lista de ellos. Luego solicite que diferentes voluntarios digan lo que escribieron en su lista y den un ejemplo de cada caso. De ser posible, lleve lleve a clase material material de los diferentes diferentes sistemas de medida y tablas de equivalencias, o elabore en el pizarrón una tabla de equivalencias que corresponda a las unidades de medida de la segunda actividad.

8.

Indíqueles que comparen grupalmente grupalmente el trabajo de la primera actividad. Pida que diferentes voluntarios mencionen qué es lo que se está midiendo en algunos de los casos y qué unidades de medida conocen.

9.

Solicite que comparen comparen sus resultados resultados de manera manera grupal, grupal, y en caso de que haya diferencias, que debatan para establecer los resultados correctos y corrijan los posibles errores.

Sugerencia de contenido Resuelve el siguiente problema.

Un teselado es una superficie plana cubierta con un patrón de formas de manera que éstas no se superponen ni tienen huecos entre sí.

En un centro comercial se ha delimitado un área con forma de un hexágono regular en la que se pondrá piso de mármol. Determina el área total de este piso si cada lado del hexágono mide 10 m y el apotema es de 8.66 metros, aproximadamente. A = Pa = (6 × 10)(8.66) = 259.8

2

Para obtener más información sobre el tema, se puede recurrir a la siguiente página web:

2

A = 259.8 m2

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm 10 m

Ahora volvamos a medir ángulos. Observa la imagen, en ella se usan de forma ingeniosa algunas propiedades geométricas. Al ver esta obra podríamos preguntarnos: ¿todas las �guras se pueden usar para llenar un espacio de tal forma que no se superpongan ni quede ningún hueco? ¿Qué �guras podríamos usar y cuáles no? En la siguiente actividad responderemos esta pregunta: podemos usar los polígonos regulares. Observa, por ejemplo, que si empleamos triángulos isósceles y los rotamos alrededor de un mismo centro, podemos llenar el espacio sin que quede ningún vacío, pero no ocurre lo mismo si utilizamos pentágonos:

Los pentágonos dejan un vacío

96



h o r P

10. En el primer ejercicio, pida que diferentes voluntarios expongan su resultado al resto del grupo y expliquen la estrategia que siguieron para calcular el área del hexágono. Luego ayude al grupo a comentar las estrategias y determinar entre todos cuál de ellas es la más óptima.

11. De ser posible, lleve a los alumnos al salón de cómputo e indíqueles que investiguen el tema de la teselación. Si no es posible acudir a ese salón o no cuentan con él, deje este trabajo de tarea.

Intención pedagógica Entonces, para este caso, la pregunta es: ¿qué polígonos regulares podemos usar para llenar un espacio sin que quede ningún vacío? La respuesta se relaciona con una medida : los ángulos internos de los polígonos.

En la actividad de esta página, se busca que los estudiantes calculen la suma de los ángulos interiores de polígonos regulares, y establezcan entonces una expresión algebraica para determinar la medida de los ángulos interiores de cualquier polígono regular.

Reúnete con dos compañeros para hacer la siguiente actividad. 

Dibujen y midan (con su transportador) los ángulos internos de los siguientes polígonos regulares y completen la tabla. Número de lados

Medida de uno de sus ángulos internos

3

60°

Cuadrado

4

90°

Pentágono

5

108°

Polígono regular

Triángulo isósceles

60° 60°

También se pretende que los alumnos deduzcan con cuáles polígonos regulares es posible crear un teselado.

60°


Hexágono

6

120°

Heptágono

7

128.57°

Octágono

8

135°

… n -gono

n

(n − 2)(180°)

Para conocer la medida de los ángulos interiores de un polígono regular convexo, se usa la fórmula: (n – 2) 180 n En la que n representa el número de lados del polígono.

n



Con base en la información de la tabla, respondan las siguientes preguntas. Coméntenlas con sus compañeros y su profesor. 

¿Cuánto deben sumar los ángulos alrededor del centro de rotación para que un polígono regular llene el espacio sin dejar ningún vacío? 360°



¿Qué polígonos regulares llenan el espacio sin superponerse ni dejar ningún vacío?

Triángulo equilátero, cuadrado y hexágono

97


h o r P

12. Organice a los alumnos en tercias e indíqueles que busquen formas de trazar los diferentes polígonos regulares que se piden, para luego determinar la medida de los ángulos interiores de cada polígono.

13. Indique a los equipos que expongan sus resultados y los comparen entre sí. Recuérdeles que deben argumentar sus respuestas y debatir en los casos en que no coinciden hasta de�nir cuál es la respuesta correcta.

Infografía Intención pedagógica

Échale un

ojo

Al presentar esta información, se busca que los estudiantes relacionen alguno o algunos de los contenidos matemáticos trabajados durante el bloque con algunos datos de uso común en la vida. En este caso, la información vincula el subtema de Rectas y ángulos con aspectos de la vida cotidiana, en particular con biología.

El ángulo de visión incluye todo aquello que los ojos pueden captar sin necesidad de mover la cabeza. Diferentes animales tienen distintos ángulos de visión.

Visión binocular Cada ojo manda una imagen al cerebro, donde se unen ambas para formar una sola en tercera dimensión.

Visión monocular Se da al observar una escena o un objeto con un solo ojo, con lo que se obtiene una imagen plana, bidimensional.

El búho puede mover la cabeza hasta 270º, lo que amplía su ángulo de visión.

De acuerdo con la ubicación de los ojos, el ser humano y los animales obtienen más ventajas de un tipo de visión o de otro. Un mayor campo periférico sacrifica visión binocular y viceversa. 98


a t n e v

1.

Antes de comenzar a leer la información que se muestra, indique a los alumnos que hagan el siguiente movimiento: desplazarán la vista de izquierda a derecha manteniendo la cabeza estática, y abrirán los brazos tratando de abarcar el límite de su panorama visual hacia ambos lados. Solicíteles que estimen el ángulo que recorren al hacer este movimiento y luego explíqueles que ese ángulo se conoce como ángulo de visión .

2.

Pídales que repitan la actividad anterior, pero ahora haciendo el movimiento a partir del cu ello, sin girar el tronco. Pregúnteles cómo medirían el ángulo del espacio que no pudieron observar, y motívelos para que discutan sus distintas opiniones justi�cando por qué les parecen pertinentes.

u s a d i b i

h o r P

3.

Pida que diferentes voluntarios lean en voz alta los recuadros correspondientes a esta página. Después, indíquele a los alumnos que cierren sus libros y expliquen por turnos lo que entendieron del texto.

Intención pedagógica Herbívoros

Carnívoros y omnívoros

Ser humano

Para detectar la proximidad de un depredador, los herbívoros tienen visión monocular. Aunque pequeña, la zona en la que ambas vistas monoculares se encuentran, genera una visión binocular.

Estos animales necesitan una visión de mejor calidad para identificar la distancia y movimiento de sus presas. Los animales con visión binocular también tienen visión monocular en los extremos del ángulo de visión.

Cada ojo tiene un ángulo de visión monocular de 150°, aunque con un punto ciego. Como prácticamente siempre miramos un objeto con ambos ojos, uno completa la imagen del otro. Nuestra visión binocular es de 140°.

Caballo: 215º

Perro: 250º-260º

Ser humano: 180º

Monocular Monocular

Monocular

Binocular

Monocular

Monocular

Monocular

Binocular

Binocular Búho: 110º

Visión monocular derecha

Visión binocular 70˚

Visión monocular izquierda

Ojos compuestos La mayoría de los insectos tienen ojos compuestos, formados por miles de ojos simples o receptores llamados omatidios, cada uno dirigido a un lugar distinto. Gracias a esto el ángulo de visión de algunos insectos es de 360º.

La cantidad de omatidios que tiene el insecto determina la calidad de su visión, la cual, no obstante, siempre es inferior a la del ser humano.

99


4.

u s a d i b i

h o r P

5.

Pida que diferentes voluntarios lean y expliquen cada uno de los casos presentados a propósito del campo de visión. Después indíqueles que imaginen que los animales que se mencionaron están parados en donde están ellos. Una vez que hayan visualizado lo anterior, deberán decir qué objetos o compañeros de grupo alcanzaría a ver cada animal de acuerdo con el ángulo de visión que le corresponda. Indíqueles que averigüen con apoyo de otro compañero cuál es su campo de visión cuando sólo desplazan la vista y cuando también giran la cabeza. Después le ayudarán al compañero a estimar sus ángulos de visión.

6.

Sugiérales que estimen su ángulo de visión vertical, es decir, el espacio que abarcan al mover los ojos de arriba hacia abajo.

7.

Pregunte al grupo: ¿Cuál sería el campo de visión de cada animal si le faltara un ojo? Sugiera que se tapen un ojo y exploren qué tanto se reduce su campo de visión. Luego Propicie una discusión acerca de las estimaciones que hicieron.

8.

Invítelos a investigar como tarea el ángulo de visión de otros animales.


Ponte a prueba

La evaluación Ponte a prueba tiene como propósito valorar mediante problemas planteados en diversos contextos los conocimientos y habilidades adquiridos por los alumnos a lo largo del bloque.

Lee las siguientes situaciones y responde.

El señor González y su familia fabrican huaraches en un taller en Oaxaca. Cada mes pagan 7 500 pesos por la renta del local, la luz, el agua y otros servicios. El material para fabricar cada par de huaraches cuesta 53 pesos, contando cuero, clavos, pegamento y hule para la suela. 1. Ayer el señor González pagó las cuentas mensuales del taller y compró material su�ciente para hacer 200 pares de huaraches. ¿Cuánto gastó en total?

$18 10 2. ¿Es cierto que los gastos mensuales del señor González se pueden resumir en la expresión 7 500 + 53x ? En caso de que sí, ¿qué representa x en la expresión? Sí. x = número de huaraches que fabrica

3. ¿Cuál de las siguientes grá�cas representa los gastos del señor González?

A)

C) y

y

8000

14000

7000

12000

6000

10000 s o s e P

s o s e P

8000 6000

4000 3000

4000

2000

2000 0

5000

1000

20

40

60

80

100

120

0

x

x

20

40

60

80

100

120

Número de huaraches


B)

D) y

14000 8000

12000

7000

10000

6000

s o s e P

s 5000 o s e 4000 P

8000 6000

3000

4000

2000

2000

1000 0

0

20

40

60

80

100

120

x

20

40

60

80

100

120

x



100



h o r P

1.

Antes de realizar la actividad, solicite a los estudiantes que tengan listos: lápiz, goma, sacapuntas y calculadora.

2.

Sugiérales que antes de responder lean las veces que sea necesario la información que se da en cada situación, y que no comiencen hasta que hayan entendido los datos y las preguntas que se plantean.

3.

Indíqueles que resuelvan individualmente los problemas planteados. Pídales que cuando tengan que hacer operaciones las escriban a un costado, para que al momento de revisar usted pueda valorar los procedimientos.

4.

Para el reactivo 3, indique a los alumnos que encierren en un círculo el inciso con la respuesta correcta.

Desarrollo

En la siguiente grá�ca se muestran las temperaturas promedio de cada mes en la Isla de los Macacos durante los años 2002 y 2003. y

35° 30°

o i d e m 25° o r p a r u 20° t a r e p m 15° e T

0°

2002 2003

o r e n E

o r e r b e F

l o i r z r a b A M

o i o y n a u M J

o i l u J

o t s o g A

Mes

e e r r b b u m t e c i t O p e S

e r b m e i v o N

x

e r b m e i c i D

4. ¿Qué año tuvo el mes más frío? ¿Y el mes más caliente? Explica y justi�ca con base en las grá�cas.

Mes más frío: 2002; mes más caliente: 2003. R. M. En las grá�cas podemos comparar las temperaturas promedio buscando qué grá�ca tiene el punto más cercano a 0° y cuál tiene el punto más cercano a 35°. 5. ¿Cuál dirías que fue el año más cálido? ¿Por qué?

2002. R. M. Al comparar las grá�cas, la temperatura promedio de 7 meses en el 2002 está por encima de las correspondientes en 2003. En un torneo de futbol se han inscrito siete escuelas. La mecánica del torneo es que cada equipo se enfrente a los demás dos veces, una en su propia escuela y otra en la del otro equipo.

42 partidos

6. ¿Cuántos partidos se llevarán a cabo en total en todo el torneo? 7. ¿La fórmula

( − 1) funciona para estos casos? Explícalo utilizando la tabla de abajo.

n n

\

1

1

2

3

4

5

6

7

1-2

1-3

1-4

1-5

1-6

1-7

2-3

2-4

2-5

2-6

2-7

3-4

3-5

3-6

3-7

4-5

4-6

4-7

2

2-1

3

3-1

3-2

4

4-1

4-2

4-3

5

5-1

5-2

5-3

5-4

6

6-1

6-2

6-3

6-4

6-5

7

7-1

7-2

7-3

7-4

7-5

5-7 6-7 7-6

R. M. Al hacer las combinaciones de partidos, eliminamos aquellas en las que se considera que un equipo juega contra él mismo. En cada columna resultan 6 partidos por jugar y tenemos 7 columnas, esto signi�ca que hay 7 × 6 partidos, que es igual a n (n – 1), con n = 7. 101


5.

u s a d i b i

h o r P

6.

Haga énfasis en que los estudiantes deberán darle una buena redacción a sus explicaciones y justi�caciones para que puedan ser evaluadas correctamente. Solicite que expongan las diferentes estrategias que utilizaron para responder la pregunta 6.

7.

Indíqueles que formulen en conjunto una conclusión para la pregunta 7.

8.

Al terminar su evaluación, sugiérales que no la entreguen sin haber revisado nuevamente sus respuestas para tratar de detectar posibles errores.

Recursos Para El Profesor. Mat 2

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