Recursos Didacticos Mati Gep

RECURSOS DIDÁCTICOS MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA I GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA VÍCTOR MANUEL HERNÁNDEZ SUÁREZ AGUSTÍN MORALES GONZÁLEZ

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

INTRODUCCIÓN

Los Principios y Estándares del 2000 (NCTM; 2000) señalan que: La resolución de problemas es una parte integral de todo el aprendizaje matemático. matemático. Resolver problemas significa implicarse en una tarea para la cual no conocemos los métodos de resolución. Para buscar una solución, los estudiantes deben partir de su propio conocimiento y a través de este proceso desarrollarán desarrollarán nueva comprensión comprensión matemática. Resolver problemas no es sólo un objetivo del aprendizaje, sino sino el principal medio para hacerlo. hacerlo.

DEFINICIÓN DE PROBLEMA

¿Qué es un problema o juego matemático? Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, conseguir, y que es aceptada como problema por alguien. alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito, propósito, y requiere deliberación, deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo algoritmo o procedimiento procedimiento para para resolverlo resolverlo .

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

INTRODUCCIÓN

Los Principios y Estándares del 2000 (NCTM; 2000) señalan que: La resolución de problemas es una parte integral de todo el aprendizaje matemático. matemático. Resolver problemas significa implicarse en una tarea para la cual no conocemos los métodos de resolución. Para buscar una solución, los estudiantes deben partir de su propio conocimiento y a través de este proceso desarrollarán desarrollarán nueva comprensión comprensión matemática. Resolver problemas no es sólo un objetivo del aprendizaje, sino sino el principal medio para hacerlo. hacerlo.


¿Qué es un problema o juego matemático? Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, conseguir, y que es aceptada como problema por alguien. alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito, propósito, y requiere deliberación, deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo algoritmo o procedimiento procedimiento para para resolverlo resolverlo .


¿Qué es un problema o juego matemático? Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, conseguir, y que es aceptada como problema por alguien. alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito, propósito, y requiere deliberación, deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo algoritmo o procedimiento procedimiento para para resolverlo resolverlo . Antón y otros (1994)

CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Clasificación de Baroody DE ENUNCIADO VERBAL

DE ENUNCIADO NO VERBAL

PROBLEMAS DE ENUNCIADOS NO VERBALES: EJEMPLOS Definición

Los problemas de enunciado no verbal son los que tienen como soporte principal la imagen: los problemas

CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Clasificación de Baroody DE ENUNCIADO VERBAL

DE ENUNCIADO NO VERBAL

PROBLEMAS DE ENUNCIADOS NO VERBALES: EJEMPLOS Definición

Los problemas de enunciado no verbal son los que tienen como soporte principal la imagen: los problemas visuales y los problemas de secuencias.

Problemas visuales

Problemas visuales

Problemas de secuencias

Problemas de secuencias

A

448

I Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

A

448


Problemas de estructura aditiva: clasificación

Anexo I 449

A

Anexo I 449

A

A

450


I

Anexo 451

A

A

452


2. M ATERIALES DIDÁCTICOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS 2.1. Regletas de Cuisenaire

2.1.1. Descripción

Material ideado por G. Cuisenaire y divulgado por Gattegno, son prismas cuadrangulares de colores, de 1 cm 2 de base que representan los números del 1 al 10, y tienen una longitud

Anexo I 453

centímetro cuadrado de sección y de diferentes longitudes que van desde 1 cm hasta 10 cm. Cada regleta tiene un color determinado, de manera que regletas de longitudes diferentes tienen colores diferentes. Asimismo, cada regleta representa un número, dependiendo de la longitud y color que tenga. Las regletas tienen los siguientes colores y longitudes: R egleta del

Color

Longitud (cm)

Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez

Blanco Rojo Verde claro Rosa Amarillo Verde oscuro Negro Marrón Azul Naranja

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.1.2. Interés didáctico • Establecimiento de equivalencias, ya que si se unen varias regletas se obtienen longitudes equivalentes a las de otras más largas. • Enseñanza y aprendizaje del concepto de número y de las operaciones aritméticas básicas. • Comprobación empírica de algunas propiedades de las operaciones. • Utilización de las regletas como unidades de medida de longitud. Cambios. • Aplicación de las regletas para trabajar la superficie y el volumen. • Construcción del número natural. La secuencia numérica del 1 al 10: cada número es igual al anterior de la serie más 1. • Ordenación de números: trabajar manipulativamente las relaciones “ser mayor que”, “ser menor que” y “ser equivalente” de los números, basándose en la comparación de longitudes. • Realizar particiones y repartos como introducción a la división. • Comprobación de la relación de inclusión en la serie numérica. En cada número están incluidos los anteriores.

A

La siguiente tabla de Multiplicación ha sido reproducida del libro: Los color de G. Cuisenaire .

Números en

Autor: José Antonio Fernández Bravo. Editorial: Seco Olea.

Página 169. Madrid, 1989

Ver Anexo 1 sobre Las Regletas de Cuisenaire

A

454


Esquemas de los problemas de estr uctura aditiva y de estrategias para su resolución mediante el uso de regletas Cuisenaire

Anexo I 455

A

A

456


Anexo I 457

A

A

458


Esquemas de los problemas de estructura multiplicativa y de estrategias para su resolución mediante el uso de regletas Cuisenaire

Anexo I 459

Algunos ejemplos de modelización de problemas de división mediante el uso de regletas Cuisenaire. División por reparto y agrupamiento

A

A

460


Se cumple la propiedad fundamental:

D = d · c + r ; 45 = 7 · 6 + 3

Anexo I 461

A

A

462


2.2. Bloques multibásicos de Dienes

Zolthan Paul Dienes defendía el trabajo en las escuelas con bases de numeración distintas de la decimal, comenzando con las bases más pequeñas. Para facilitar la abstracción de la idea de valor relativo y la comprensión de los algoritmos de cálculo ideó, alrededor de 1960, el material que nos ocupa. 2.2.1. Descripción

Los bloques multibásicos de Dienes están diseñados para reproducir las características propias de cualquier sistema de numeración tratando de formalizar el principio de agr upamiento. En este caso, los bloques que utilizamos corresponden al sistema decimal. El material se presenta en cajas, una para cada base de numeración. En cada caja pueden distinguirse: unidades (cubitos), barras, placas y bloques, construidos en madera pulida, sin color a fin de facilitar la abstracción. Las piezas están marcadas mediante ranuras, separadas entre sí 1 cm con el fin de dar la impresión de que las unidades se han pegado unas con otras. De esta manera se pretende facilitar el reconocimiento de los valores numéricos que representan. Sólo trabajaremos con la caja correspondiente a la BASE 10.

Anexo I 463

Este material consta de una serie de piezas, normalmente de madera o plástico, que representan unidades de primer, segundo, tercer y cuarto orden (unidades, decenas, centenas y unidades de millar). Se representan en forma de: • Cubos: de 1 cm de arista, ar ista, que representan las unidades (de primer orden). • Barras: compuestas de 10 cubos unidos. En el SND, corresponderían a las decenas (unidades de segundo orden). • Placas: constan de una superficie cuadrada compuesta en cada lado por tantos cubos como indique la base del sistema de numeración; en nuestro sistema la placa sería una superficie de 10 x 10 cubos: la centena . Correspondería también a 10 barras unidas. (unidades de tercer orden). • Bloques: son cubos cuyo volumen viene determinado por la base elegida; en nuestra base 10, el bloque estaría compuesto por 10 x 10 x 10 cubos, es decir, 1.000 cubos; correspondería también a 100 barras o 10 placas; la unidad de millar (unidades de cuarto orden).

Tabla de equivalencias R EP EP R ESENTAN ESENTAN Cubo

EQUIVA LEN CIAS EN E L SND

Unidad

Decena

1 barra = 10 cubos

Centena

1 placa = 10 barras

Millar

1 bloque = 10 placas

Barra

Placa

Bloque

A

A

464


2.2.2. Interés didáctico • Realizar Realizar agrupamientos agrupamientos con los cubos cubos en distint distintas as bases 4, 4, 6, 8, 10, e intercamb intercambiar iar estas agrupaciones por las piezas de unidades de segundo orden (las barras), y éstas por las de tercer orden. • Manejar Manejar los concepto conceptoss de unidades unidades de orden orden superior superior con un un apoyo apoyo concreto concreto.. • Llegar a compren comprender der el valor valor posicion posicional al de las cifras; cifras; así, así, un cubo tiene tiene diferent diferentee valor valor que una barra. • Realizar Realizar las las operacion operaciones es de adición adición y sustracción sustracción de forma manipul manipulativ ativa. a. • Comprende Comprenderr de forma práctica práctica la suma suma y resta resta “con llevadas” llevadas”.. • Trabaja rabajarr los los concep conceptos tos de dob doble le y mita mitad. d. • Iniciar Iniciar de forma forma manipulati manipulativa va las las operacione operacioness de multipl multiplicació icación n y división división.. • Ayudar Ayudar a la resolución resolución de problemas problemas cotidian cotidianos os con las las operaciones operaciones de números números natural naturales. es. • Afianzar Afianzar los conceptos conceptos aprendido aprendidoss con otros otros recursos, recursos, como como ábacos, ábacos, regletas de Cuisenaire, etc. • Trabaja rabajarr el SND y otro otross sistema sistemass de numer numeraci ación. ón. • Estudiar Estudiar los los algoritmos algoritmos de de las operaci operaciones ones a través través de la la manipula manipulación. ción. • Utilizar Utilizar los los cubos, cubos, las las barras y las placas placas como unidades unidades de de medida. medida.

2.2.3. Algoritmos con los bloques multibásicos de Dienes 2.2.3.1. Adición y sustracción

Ejemplo 1 Antonio tiene 125 125 gallinas y su prima 195 patos. patos. ¿Cuántas aves tienen tienen entre los dos? Se representan los dos sumandos con los Bloques Multibásicos de Dienes, de la siguiente forma:

Anexo I 465

Se suman cubos con cubos, barras con barras y placas con placas. Se sabe que diez cubos forman una barra, que hay que añadir al total de las mismas y se obtienen 12.

Las diez barras se transforman en una placa, quedan tres placas y dos barras.

El resultado es, por tanto, 320 aves.

Ejemplo 2 Francisco tiene 5346 € en el Banco y gana en la Lotería Primitiva un premio de 3978 €. ¿Cuántos euros tendrá en total? Resuelve esta actividad utilizando los Bloques Multibásicos de Dienes. Debes representar los dos números que inter vienen en la operación. Asimismo, Asimism o, debes representar repres entar y explicar, e xplicar, detalladamente, detallad amente, cada paso realizado realiza do al a l mismo m ismo tiempo que efectúas las operaciones. operaciones.

Resolución del problema Se representan los dos sumandos con los Bloques Multibásicos de Dienes, de la siguiente forma:

A

A

466


5346 (5 unidades de millar, 3 centenas, 4 decenas y 6 unidades)

3978 (3 unidades de millar, 9 centenas, 7 decenas y 8 unidades)

Adición Se suman cubos con cubos, barras con barras y placas con placas. Se sabe que diez cubos (unidades) forman una barra (decena), que hay que añadir al total de éstas; así se obtienen 12 barras (decenas); y quedan 4 cubos (unidades) sin agrupar.

De las 12 barras (decenas), 10 barras se transforman en una placa (centena), por lo que se obtienen 13 placas (centenas); y quedan 2 barras (decenas) y 4 cubos (unidades) sin agrupar.

Anexo I 467

De las 13 placas (centenas), 10 placas se transforman en un bloque (unidad de millar) y se obtienen 9 bloques (unidades de millar); y quedan 3 placas (centenas), 2 barras (decenas) y 4 cubos (unidades) sin agrupar.

Respuesta El resultado es, por tanto, 9324 euros. (9 unidades de millar, 3 centenas, 2 decenas y

4 unidades).

A LGORITMO DE LA SUSTRACCIÓN: MÉTODO “SUMAR DIEZ” Ejemplo 3 María le da al dueño de una tienda 230 € por una compra de 211 €. ¿Cuántos euros tiene que devolverle el dueño de la tienda? Inicialmente, se representa la cantidad asignada al minuendo con el material:

A

A

468


Seguidamente, tenemos que restar un cubo al conjunto de piezas que representa al minuendo. En este caso, al no disponer de cubos sueltos añadimos 10 y restamos uno:

Al añadir los 10 cubos, la cantidad representada ahora es 240 y para que la resta no cambie debemos quitar además de la barra, indicada por el sustraendo, otra más, ya que, 10 cubos forman una barra.

Finalmente, restamos dos placas.

En la práctica acostumbramos a representar, con el material, el minuendo y el sustraendo.

A LGORITMO DE LA SUSTRACCIÓN: MÉTODO “TOMAR PRESTADO” Resolvemos el problema anterior de la siguiente manera: Inicialmente, se representa la cantidad asignada al minuendo con el material.

Posteriormente, tenemos que restar un cubo al conjunto de piezas que representa al minuendo. En este caso, al no disponer de cubos, tomamos prestada una barra de las tres disponibles, ésta la transformamos en 10 cubos y restamos uno.

Anexo I 469

A continuación, restamos una barra a las dos existentes:

Finalmente, sustraemos dos placas a los dos que tenemos.

Ejemplo 4 Salvador tiene 3475 € y le presta a su hermana Rosa 1897 €. ¿Cuántos euros le quedan? Resuelve esta actividad utilizando los Bloques de base diez de Z.P. Dienes. Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo que efectúas las operaciones.

Resolución del problema Salvador tiene 3475 €:

A

A

470


Y su hermana Rosa 1897 €:

A LGORITMO DE LA SUSTRACCIÓN: MÉTODO DE “TOMAR PRESTADO” En primer lugar, representamos con el material solamente el minuendo para proceder a la sustracción:

Tenemos que restar 7 cubos (unidades) a los cubos del minuendo. Como sólo disponemos de 5 cubos, de las siete barras (decenas) disponibles, tomamos prestada una de ellas y la transformamos en 10 cubos, con lo cual tendremos 15 cubos en el minuendo, lo que nos permite restar los 7 cubos del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar del minuendo dicha barra, así como los 7 cubos.

Anexo I 471

A continuación debemos restar nueve barras (decenas), pero como solamente hay 6 de ellas, de las placas (centenas) disponibles, tomamos prestada una de ellas que se transforman en 10 barras (decenas), con lo cual tendremos 16 barras en el minuendo, lo que nos permite restar las 9 barras del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar dicha placa y eliminamos las nueve barras (decenas) necesarias:

hora le toca el turno a las centenas. En este caso, necesitamos restar ocho placas (centenas), pero sólo disponemos de tres. Por ello, tomamos prestado un bloque (unidad de millar), que eliminamos, y lo transformamos en diez placas (centenas); de esta manera, disponemos de 13 placas con lo que podemos eliminar 8 de ellas:

A

A

472


Finalmente, siguiendo un proceso análogo, restamos la unidad de millar que aparece en el sustraendo:

Por tanto, tras prestarle 1897 € a su hermana Rosa, a Salvador le quedan 1578 €.

Anexo I 473

2.2.3.2. Multiplicación y división El algoritmo de la multiplicación se trabaja como una suma reiterada. En cambio, para el algoritmo de la división se reparten o se agrupan piezas, de los Bloques Multibásicos, de un mismo tipo. A continuación, vamos a ver un ejemplo: Juan tiene 113 € y desea repartirlos en partes iguales entre sus dos amigos. ¿Cuántos euros recibe cada uno? Representamos el 113 con el material:

Se reparten placas, barras y cubos. Al disponer de una sola placa no podemos repartirla entre dos. Para ello, la transformamos en 10 barras que sumadas a la existente hacen 11 barras y las repartimos entre dos:

Se forman dos grupos de cinco barras y queda una sin repartir. Esta barra se transforma en 10 cubos que añadidos a los tres hacen un total de trece.

Se forman dos grupos de seis cubos y queda uno sin repartir. Así, el cociente es 56 y el resto 1. 2.2.3.3. Bloques aritméticos multibásicos (BAM) de Dienes y expresiones decimales Este material consta de una serie de piezas, normalmente de madera o plástico, que representan unidades de primer, segundo, tercer y cuarto orden (milésimas, centésimas, décimas y unidades enteras).

A

A

474


Se representan en forma de: • Cubos: de 1 cm de arista, que representan las unidades de primer orden (milésimas). • Barras: compuestas de 10 cubos unidos. En el SND, corresponderían a las centésimas (unidades de segundo orden). • Placas: constan de una superficie cuadrada compuesta en cada lado por tantos cubos como indique la base del sistema de numeración; en nuestro sistema la placa sería una superficie de 10 x 10 cubos: la décima . Corresponderían también a 10 barras unidas (unidades de tercer orden). • Bloques: son cubos cuyo volumen viene determinado por la base elegida; en nuestra base 10, el bloque estaría compuesto por 10 x 10 x 10 cubos, es decir, 1.000 cubos; correspondería también a 100 barras o 10 placas; la unidad entera (unidades de cuarto orden).

Tabla de equivalencias REPRESENTAN Cu b o

EQUIVALENCIAS EQUIV LENCIAS EN EL SN SND

Mil il ésimas

Cent C ent ésimas

1 b arra = 10 cu bos

Dé cimas

1 p laca = = 10 b arras

Unidades nidades

1 b lo que = 10 p lacas

Barra

Placa

Blo q ue

PROBLEMA DE SUMA CON LOS BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES Ejemplo Francisco obtiene en el examen de Matemáticas y su didáctica 5,346 puntos y en las acti vidades 3,978 puntos. ¿Cuál será su nota final, sabiendo que ésta se obtiene sumando las notas del examen y de las actividades? Resuelve este problema utilizando los Bloques Multibásicos de Dienes. Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes representar y explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo

Anexo I 475

Resolución del problema Se representan los dos sumandos con los Bloques Multibásicos de Dienes, de la siguiente forma: 5,346 (5 unidades enteras, 3 décimas, 4 centésimas y 6 milésimas)

3,978 (3 unidades enteras, 9 décimas, 7 centésimas y 8 milésimas)

Adición Se suman cubos con cubos, barras con barras , placas con placas y bloques con bloques. Se sabe que diez cubos (milésimas) forman una barra (centésima), que hay que añadir al total de éstas; así se obtienen 12 barras (centésimas); y quedan 4 cubos (milésimas) sin agrupar.

A

A

476


De las 12 barras (centésimas), 10 barras se transforman en una placa (décima), por lo que se obtienen 13 placas (décimas); y quedan 2 barras (centésimas) y 4 cubos (milésimas) sin agrupar.

De las 13 placas (décimas), 10 placas se transforman en un bloque (unidad entera) y se obtienen 9 bloques (unidades enteras); y quedan 3 placas (décimas), 2 bar ras (centésimas) y 4 cubos (milésimas) sin agrupar.

Respuesta Por tanto, la calificación final obtenida por Francisco es sobresaliente 9,324 (9 unidades enteras-bloques, 3 décimas-placas, 2 centésimas-barras y 4 milésimas-cubos).

Anexo I 477

PROBLEMA DE RESTA CON LOS BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES Ejemplo Salvador obtuvo en el examen final de Matemáticas y su didáctica 3,475 puntos y su hermana Rosa 1,897. ¿En cuántos puntos superó Salvador a su hermana? Resuelve este problema utilizando los Bloques Multibásicos de Dienes. Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes representar y explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo que efectúas las operaciones.

Resolución del problema Salvador obtiene en el examen 3,475 puntos:

Y su hermana Rosa 1,897 puntos:

A

A

478


A LGORITMO DE LA SUSTRACCIÓN: MÉTODO DE “TOMAR PRESTADO” En primer lugar, representamos con el material solamente el minuendo para proceder a la sustracción:

Tenemos que restar 7 cubos (milésimas) a los cubos del m inuendo. Como sólo disponemos de 5 cubos, de las siete barras (centésimas) disponibles, tomamos prestada una de ellas y la transformamos en 10 cubos, con lo cual tendremos 15 cubos en el minuendo, lo que nos permite restar los 7 cubos del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar del minuendo dicha barra, así como los 7 cubos.

A continuación debemos restar nueve barras (centésimas), pero como solamente hay 6 de ellas, de las placas (décimas) disponibles, tomamos prestada una de ellas que se transforma en 10 barras (centésimas), con lo cual tendremos 16 barras en el minuendo, lo que nos permite restar las 9 barras del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar dicha placa y también las nueve barras (centésimas) necesarias:

Anexo I 479

Ahora le toca el turno a las décimas. En este caso, necesitamos restar ocho placas (décimas), pero sólo disponemos de tres. Por ello, tomamos prestado un bloque (unidad entera), que eliminamos, y lo transformamos en diez placas (décimas); de esta manera, disponemos de 13 placas con lo que podemos eliminar 8 de ellas:

A

A

480


Finalmente, siguiendo un proceso análogo, restamos la unidad de millar que aparece en el sustraendo:

Respuesta Por tanto, Salvador supera a su hermana Rosa, en 1,578 puntos (1 unidad entera-bloque, 5 décimas-placas, 7 centésimas-barras y 8 milésimas- cubos).

2.3. Ábaco

2.3.1. Descripción Material didáctico que consta de un soporte o marco de madera y de una serie de varillas metálicas y paralelas. Cada varilla representa un orden de unidades y lleva insertada diez bolas de un mismo color. Diez bolas en una varilla equivalen a una bola en la varilla del orden in-

Anexo I 481

2.3.2. Interés didáctico • El uso del ábaco puede ayudar al alumnado a comprender: • El Sistema de Numeración Decimal. • Los algoritmos de cálculo, aplicándolos de forma razonada. • La representación de los números decimales en escritura decimal y el cálculo. • El valor relativo de las cifras, en función de las posiciones que ocupan.

2.3.3. Algoritmos con el Ábaco 2.3.3.1. Adición y sustracción

Adición Raquel tiene 176 euros y le prestan 144 más. ¿Cuántos euros tiene en total? En el cuadro siguiente se representan los pasos que se dan para obtener la suma (176 + 144): (a) 176 = 100 + 70 + 6 Sumamos las cuatro unidades al 176: (b) 176 + 4 = (100 + 70 + 6) + 4 = 100 + 70 + (6 + 4) (c) 176 + 4 = 100 + (70 +10) = 100 + 80 Añadimos 40 unidades al 180: (d) (100 + 80) + 20 = 100 + 80 + 20 = 100 + (80 + 20) (e) (100 + 80 + 20) + 20 = 200 + 20 Finalmente, agregamos cien unidades al 220:

A

A

482


Sustracción Juan tiene 176 patos y vende 89. ¿Cuántos patos le quedan? En el dibujo siguiente se representa en el ábaco el cálculo de la resta (176 - 89): (a) 176 = 100 + 70 + 6 Restamos nueve unidades a 176: (b) 176 – 6 = (100 + 70 + 6) – 6 = 170 (c) 170 – 3 = 160 + (10 – 3) = 167 Aquí se han tomado prestadas 10 unidades y se restan 3. Finalmente, se sustraen 80 unidades al 167: (d) (100 + 60 + 7) – 60 = (100 + 60 + 7) – 60 = 107 (e) (100 +7) – 20 = (80 + 20 + 7) – 20 = 80 + 7 = 87

Anexo I 483

C

D

U

6

(a)

10

1

(b)

3

(c)

6

(d)

1

10

2

(e) Una bola en una var illa equivale a diez b olas en la var illa del or den de unidades inmediat o inf er ior .

Ver Anexo 3 sobre el Ábaco

ETAPAS DEL APRENDIZAJE PROPUESTAS POR BRUNER La importancia de considerar el papel que desempeñan los diferentes tipos de representación en la comprensión de las Matemáticas ha sido puesta de manifiesto por diferentes investigadores. Por ejemplo, según el psicólogo estadounidense Jerome Bruner (New York, 1915), hay que considerar tres tipos de representaciones: 1. LA REPRESENTACIÓN ENACTIVA: este tipo de representación permite representar eventos mediante una respuesta motriz adecuada. Como ejemplo de esta representación tenemos el caso del niño que cuando deja caer un sonajero imita el movimiento del sonajero con la mano, indicando así que recuerda el objeto en relación con la acción que se realiza

A

ETAPAS DEL APRENDIZAJE PROPUESTAS POR BRUNER La importancia de considerar el papel que desempeñan los diferentes tipos de representación en la comprensión de las Matemáticas ha sido puesta de manifiesto por diferentes investigadores. Por ejemplo, según el psicólogo estadounidense Jerome Bruner (New York, 1915), hay que considerar tres tipos de representaciones: 1. LA REPRESENTACIÓN ENACTIVA: este tipo de representación permite representar eventos mediante una respuesta motriz adecuada. Como ejemplo de esta representación tenemos el caso del niño que cuando deja caer un sonajero imita el movimiento del sonajero con la mano, indicando así que recuerda el objeto en relación con la acción que se realiza sobre éste.

2. LA REPRESENTACIÓN ICÓNICA: este tipo de representación permite representar una situación por medio de dibujos, figuras o iconos que tengan algún tipo de parecido con aquello que se representa.

3. LA REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA: este tipo de representación va ligada a la competencia lingüística y permite representar las situaciones mediante símbolos. Es decir, según este investigador, el proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos debe respetar las siguientes etapas:

1. MANIPULATIVA. Hay que presentar a las alumnas y alumnos los objetos, los materiales, en la situación real y concreta que se quiere resolver, para que opere en un contexto significativo. “La manipulación”, “La concretización”, es precisa para que los alumnos perciban, a través de sus acciones concretas, cuáles son las operaciones aritméticas que deben utilizar. Es conveniente, que los alumnos traduzcan, de manera verbal, lo que han realizado de manera manipulativa.

2. GRÁFICA. Representar lo realizado, de manera manipulativa, en forma de dibujos o esquemas gráficos.

3. SIMBÓLICA. Valiéndose de los símbolos numéricos y del texto escrito. una de las principales contribuciones del profesorado al fracaso escolar en el área de Matemáticas es Desde el punto de vista didáctico y metodológico,

“que no se respetan estas fases del aprendizaje” . La tendencia general ha sido dedicar a las dos primeras fases un tiempo demasiado escaso, comenzando en la gran mayoría de las ocasiones el aprendizaje en la etapa simbólica, y por lo tanto abusando de las actividades de lápiz y papel (trabajo simbólico).

El discurso que recoge este párrafo, ha sido pronunciado en múltiples oportunidades por muchos investigadores. Sin embargo, la situación se sigue repitiendo, la pregunta que se debe responder es, ¿cuándo va a empezar a cambiar esta situación?

TABLA DE LAS REPRESENTACIONES PARA LA ADICIÓN Y LA RESTA. SE AÑADEN EJEMPLOS DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN (Trabajamos hasta la centena y en un contexto de resolución de problemas aritméticos)

NOTA: Cada columna indica los objetos y las acciones que se hacen con ellos en el nivel de abstracción correspondiente en el proceso de lo concreto a lo abstracto (fases manipulativa, gráfica y simbólica). El orden de las filas coincide con el del algoritmo de derecha a izquierda.

Trabajamos con las unidades (U), (después de

BLOQUES MULTIBÁSICOS Representación manipulativa

ÁBACO PLANO Representación gráfica C D U

representar las cantidades)

C

D

U

C

D

U

Trabajamos con las decenas (D)

Representación simbólica







C

D

U

C

D

U


Trabajamos con las centenas (C)

TABLA DE REPRESENTACIONES PARA LOS ALGORITMOS DE LA ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN (números de tres cifras) REPRESENTACIÓN PROCESO DE LO MANIPULATIVA REPRESENTACIÓN GRÁFICA REPRESENTACIÓN CONCRETO A LO (BLOQUES ARITMÉTICOS (ÁBACO PLANO) SIMBÓLICA ABSTRACTO DE DIENES, BASE 10) CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

TRABAJAMOS CON LAS UNIDADES (U) (Previamente se representan los términos conocidos de la operación)

TRABAJAMOS CON LAS DECENAS (D)

TRABAJAMOS CON LAS

TABLA DE REPRESENTACIONES PARA LOS ALGORITMOS DE LA ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN (números de tres cifras) REPRESENTACIÓN PROCESO DE LO MANIPULATIVA REPRESENTACIÓN GRÁFICA REPRESENTACIÓN CONCRETO A LO (BLOQUES ARITMÉTICOS (ÁBACO PLANO) SIMBÓLICA ABSTRACTO DE DIENES, BASE 10) CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

TRABAJAMOS CON LAS UNIDADES (U) (Previamente se representan los términos conocidos de la operación)


TRABAJAMOS CON LAS CENTENAS (C)

TABLA DE REPRESENTACIONES PARA EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN (dividendo de tres cifras) REPRESENTACIÓN PROCESO DE LO MANIPULATIVA REPRESENTACIÓN GRÁFICA REPRESENTACIÓN CONCRETO A LO (BLOQUES ARITMÉTICOS (ÁBACO PLANO) SIMBÓLICA ABSTRACTO DE DIENES, BASE 10) CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

TRABAJAMOS CON LAS CENTENAS (C) (Previamente se representa el dividendo)


TRABAJAMOS CON LAS UNIDADES (U)

TABLA DE REPRESENTACIONES PARA EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN (dividendo de tres cifras) REPRESENTACIÓN PROCESO DE LO MANIPULATIVA REPRESENTACIÓN GRÁFICA REPRESENTACIÓN CONCRETO A LO (BLOQUES ARITMÉTICOS (ÁBACO PLANO) SIMBÓLICA ABSTRACTO DE DIENES, BASE 10) CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

TRABAJAMOS CON LAS CENTENAS (C) (Previamente se representa el dividendo)


TRABAJAMOS CON LAS UNIDADES (U)

NOTA: Cada columna indica los objetos y las acciones que se hacen con ellos en el nivel de abstracción correspondiente, en el proceso de lo concreto a lo abstracto (fases manipulativa, gráfica y simbólica). El orden de las filas coincide con el del algoritmo de derecha a izquierda, en los algoritmos de la adición, sustracción y multiplicación. Para el caso de la división el orden de las filas es distinto. El algoritmo de la división se desarrolla de izquierda a derecha. Así se empieza por las centenas, con números de tres cifras, se sigue por las decenas y se finaliza por las unidades.

NOTA: Cada columna indica los objetos y las acciones que se hacen con ellos en el nivel de abstracción correspondiente, en el proceso de lo concreto a lo abstracto (fases manipulativa, gráfica y simbólica). El orden de las filas coincide con el del algoritmo de derecha a izquierda, en los algoritmos de la adición, sustracción y multiplicación. Para el caso de la división el orden de las filas es distinto. El algoritmo de la división se desarrolla de izquierda a derecha. Así se empieza por las centenas, con números de tres cifras, se sigue por las decenas y se finaliza por las unidades.

Carlos tiene 153 € en su cartilla de ahorros y su hermana 147€. ¿Cuántos euros tienen los dos ahorrados? 153 + 147

Carlos tiene 153 € en su cartilla de ahorros y su hermana 147€. ¿Cuántos euros tienen los dos ahorrados? 153 + 147





Representación simbólica 1

1 5 3 +147 0


C

D

U


1

1

1 5 3 +147 0 0 C

D

U






1 5 3 +147 0


C

D

U


1

1

1 5 3 +147 0 0 C

D

U 1


1

1 5 3 +147 300

Susana devuelve unos zapatos de 132 € por unas zapatillas de 47 €. ¿Cuántos euros le sobran? Aplicamos los dos métodos para hacer la resta: “Pedir prestado” y “Sumar 10 y llevarse una”.

Susana devuelve unos zapatos de 132 € por unas zapatillas de 47 €. ¿Cuántos euros le sobran? Aplicamos los dos métodos para hacer la resta: “Pedir prestado” y “Sumar 10 y llevarse una”.





Representación simbólica 2 10 1 3 2 - 47 5


C

D

U

10

2 10 1 3 2 - 47 8 5

Trabajamos con las decenas (D) C

D

U





2 10 1 3 2 - 47 5


C

D

U

C

D

U

10

2 10 1 3 2 - 47 085



10

2 10 1 3 2 - 47 8 5







132 - 41 7 5


C

D

U


10 10

132 - 1 41 7 85 C

D

U




ÁBACO PLANO Representación simbólica

Representación gráfica C D U

10

132 - 41 7 5


C

D

U


10 10

132 - 1 41 7 85 C


D

U 10 10

132 - 1 41 7 085

Ejemplo de una multiplicación y de una división: María tiene en su hucha una cantidad de euros que es el doble de 152. ¿Cuántos euros tiene?

Ejemplo de una multiplicación y de una división: María tiene en su hucha una cantidad de euros que es el doble de 152. ¿Cuántos euros tiene?






152 X 2 4


C

D

U


1

1 5 2 X 2 0 4 C

D

U





152 X 2 4


C

D

U


1

1 5 2 X 2 0 4 C



D

U 1

1 5 2 X 2 3 0 4

Para el caso de la división el orden de las filas es distinto. El algoritmo de la división se desarrolla de izquierda a derecha. Así se empieza por las centenas, con números de tres cifras, se sigue por las decenas y se finaliza por las unidades. Si tenemos 132 libros que queremos empaquetar en cajas de tres libros. ¿Cuántas cajas se necesitan?

Para el caso de la división el orden de las filas es distinto. El algoritmo de la división se desarrolla de izquierda a derecha. Así se empieza por las centenas, con números de tres cifras, se sigue por las decenas y se finaliza por las unidades. Si tenemos 132 libros que queremos empaquetar en cajas de tres libros. ¿Cuántas cajas se necesitan?

NOTA: Cada columna indica los objetos y las acciones que se hacen con ellos en el nivel de abstracción correspondiente en el proceso de lo concreto a lo abstracto (fases manipulativa, gráfica y simbólica). El orden de las filas coincide con el del algoritmo de izquierda a derecha.

Trabajamos con las centenas (C), (después de




13, 2

3


C

D

U


132 12 C

D

U

3 4


Trabajamos con las centenas (C), (después de




13, 2

3


C

D

U


132 12 C

D

3 4

U

Trabajamos con las unidades (U)

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR VARIAS CIFRAS

132 3 12 44 0

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR VARIAS CIFRAS


Trabajamos con las unidades del multiplicador


ÁBACO PLANO Representación gráfica M C D

U 142 X 12 284

M Trabajamos con las decenas del multiplicador y


C

D

U 142 X 12 21 8 4 +1 4 2 0 1704



Trabajamos con las unidades del multiplicador

ÁBACO PLANO Representación simbólica

Representación gráfica M C D

U 142 X 12 284

M

C

D

U 142 X 12 21 8 4 +1 4 2 0 1704

Trabajamos con las decenas del multiplicador y se suman los productos parciales


Buscamos un múltiplo del divisor que se aproxime por defecto al dividendo Buscamos un múltiplo del divisor que se aproxime por defecto al dividendo parcial obtenido, siempre que éste sea mayor o igual que el divisor




243 21 -210 10 33 C

D

U

243 -210 33 - 21 12 C

D

U

21 10 + 1 11



Buscamos un múltiplo del divisor que se aproxime por defecto al dividendo


243 21 -210 10 33 C

Buscamos un múltiplo del divisor que se aproxime por defecto al dividendo parcial obtenido, siempre que éste sea mayor o igual que el divisor

D

U

243 -210 33 - 21 12 C

D

U

Se finaliza la iteración del paso anterior cuando el dividendo parcial es menor que el divisor.





243 -210 33 - 21 12

21 10 + 1 11 21 10 + 1 11



185 15 -150 10 35 C

D

U

185 -150 35 - 30 05 C

D

U

15 10 + 2 12





185 15 -150 10 35 C

D

U

185 -150 35 - 30 05 C

Se finaliza la iteración del paso anterior cuando el dividendo parcial es menor que el divisor.


D

U

185 -150 35 - 30 05

15 10 + 2 12 15 10 + 2 12

DIFICULTADES GENERALES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Falta de comprensión del enunciado del problema



a) b) c) d)

Porque el alumnado no posee comprensión lectora Porque no se domina el vocabulario utilizado Porque las magnitudes utilizadas no están interiorizadas Porque las situaciones planteadas no les son familiares

DIFICULTADES GENERALES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Falta de comprensión del enunciado del problema



a) b) c) d) e)

Porque el alumnado no posee comprensión lectora Porque no se domina el vocabulario utilizado Porque las magnitudes utilizadas no están interiorizadas Porque las situaciones planteadas no les son familiares Porque no distinguen entre los datos conocidos y los datos que se piden

DIFICULTADES GENERALES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS 





Tienen dificultad para reconocer la operación que hay que aplicar para resolver el problema En la resolución de problemas compuestos se encuentran con la dificultad para captar el orden en el que hay que hacer las operaciones No suelen comprobar si la solución obtenida es razonable

DIFICULTADES GENERALES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS 





Tienen dificultad para reconocer la operación que hay que aplicar para resolver el problema En la resolución de problemas compuestos se encuentran con la dificultad para captar el orden en el que hay que hacer las operaciones No suelen comprobar si la solución obtenida es razonable

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 





Considerar la resolución de problemas como el punto de arranque y el elemento que caracteriza todo el proceso de enseñanza. Incorporar a la enseñanza de las operaciones el estudio de las distintas categorías de problemas aritméticos. La manipulación de los elementos del problema y






Considerar la resolución de problemas como el punto de arranque y el elemento que caracteriza todo el proceso de enseñanza. Incorporar a la enseñanza de las operaciones el estudio de las distintas categorías de problemas aritméticos. La manipulación de los elementos del problema y su representación posterior son medios válidos de la mente infantil para resolver problemas.


Considerar las estrategias informales como el principio de un proceso cuya finalidad es conseguir una evolución de éstas hacia métodos más eficaces: Uso de objetos y dedos

Uso del conteo mental progresivo primero y después el regresivo


Considerar las estrategias informales como el principio de un proceso cuya finalidad es conseguir una evolución de éstas hacia métodos más eficaces: Uso de objetos y dedos

Uso del conteo mental progresivo primero y después el regresivo

Memorización de hechos numéricos


La elección de una estrategia depende, al principio, de la estructura semántica del problema (problemas de estructura aditiva) de manera que los problemas de distintos tipos se resolverán por métodos diferentes. El dominio de la relación Parte – Todo reduce las estrategias para resolver los problemas a: Parte + Parte =…. y Parte + …. = Todo Parte + Parte + Parte + . (k). . + Parte = … Parte + Parte + Parte + . (?). . + Parte = Todo


La elección de una estrategia depende, al principio, de la estructura semántica del problema (problemas de estructura aditiva) de manera que los problemas de distintos tipos se resolverán por métodos diferentes. El dominio de la relación Parte – Todo reduce las estrategias para resolver los problemas a: Parte + Parte =…. y Parte + …. = Todo Parte + Parte + Parte + . (k). . + Parte = … Parte + Parte + Parte + . (?). . + Parte = Todo ¿Parte? + ¿Parte? + ¿Parte? + . (k). . + ¿Parte? = Todo


La organización del estudio de los tipos de problemas aritméticos no constituye un organigrama lineal. Ejemplo: (Hernández J. y otros (2000)).

Estructura aditiva Combinación y cambio. Comparación e igualación. Estructura multiplicativa

1º ciclo

2º ciclo

3º ciclo

X

X

X

X (Orden de magnitud no superior a 20)

X

X


La organización del estudio de los tipos de problemas aritméticos no constituye un organigrama lineal. Ejemplo: (Hernández J. y otros (2000)).

Estructura aditiva Combinación y cambio. Comparación e igualación. Estructura multiplicativa Razón y comparación Producto cartesiano Problemas con dos operaciones

1º ciclo

2º ciclo

3º ciclo

X

X

X

X (Orden de magnitud no superior a 20)

X

X

X

X X

X

Problemas con dos o más operaciones

X

X


Es importante que el maestro disponga de un modelo de resolución de problemas que pueda guiar su acción en el aula. Este modelo deberá contemplar los siguientes aspectos: a) b)

Lectura comprensiva del enunciado del problema. Representación manipulativa o gráfica de los elementos del problema que ayude a comprender la situación y a buscar la estrategia.


Es importante que el maestro disponga de un modelo de resolución de problemas que pueda guiar su acción en el aula. Este modelo deberá contemplar los siguientes aspectos: a) b)

c) d) e)

Lectura comprensiva del enunciado del problema. Representación manipulativa o gráfica de los elementos del problema que ayude a comprender la situación y a buscar la estrategia. Desarrollo de la estrategia. Comprobación de la solución. Representación simbólica, ejecución y solución .

VENTAJAS DEL USO DE RECURSOS

-El recurso manipulativo ES SIEMPRE UN MEDIO para promover el aprendizaje de un concepto, nunca debe ser un fin en sí mismo. -Promueve el aprendizaje conceptual de los conceptos. -Permite la manipulación de conceptos abstractos, reduciéndolos a aspectos concretos del mismo.


-El recurso manipulativo ES SIEMPRE UN MEDIO para promover el aprendizaje de un concepto, nunca debe ser un fin en sí mismo. -Promueve el aprendizaje conceptual de los conceptos. -Permite la manipulación de conceptos abstractos, reduciéndolos a aspectos concretos del mismo. -Permiten ver, tocar, coger y mover, reproduciendo acciones irreproducibles en la pizarra


-Las construcciones realizadas pueden permanecer en el tiempo para volver a ellas durante el repaso. -Ayuda a afianzar y consolidar los conocimientos -Permite adaptarse a la heterogeneidad del grupo, resultando imprescindible para los alumnos con necesidades educativas especiales. -Son instrumentos motivadores


-Las construcciones realizadas pueden permanecer en el tiempo para volver a ellas durante el repaso. -Ayuda a afianzar y consolidar los conocimientos -Permite adaptarse a la heterogeneidad del grupo, resultando imprescindible para los alumnos con necesidades educativas especiales. -Son instrumentos motivadores

LIMITACIONES DEL USO DE RECURSOS

-Las restricciones que impone la naturaleza y características de cada tipo de material didáctico o recurso. -Posee un uso limitado temporalmente. Hay que exigir que, progresivamente, comiencen a manipular mentalmente el material en ausencia física del mismo para poder pasar a la abstracción. -El uso del material debe ser ágil, no debe estorbar a la actividad sino facilitarla.

LIMITACIONES DEL USO DE RECURSOS

-Las restricciones que impone la naturaleza y características de cada tipo de material didáctico o recurso. -Posee un uso limitado temporalmente. Hay que exigir que, progresivamente, comiencen a manipular mentalmente el material en ausencia física del mismo para poder pasar a la abstracción. -El uso del material debe ser ágil, no debe estorbar a la actividad sino facilitarla.

ANEXO 1

ANEXO 1

LAS REGLETAS

DE CUISENAIRE

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color)

M. Cinta Muñoz Catalán



LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color) Las regletas son prismas cuadrangulares de 1cm2 de base y cuya longitud oscila entre 1 y 10 cm. Cada regleta equivale a un número determinado: La regleta blanca, con 1 cm. de longitud, representa al nº 1. La regleta roja, con 2 cm. representa al nº 2. La regleta verde claro, con 3 cm. representa al nº 3. La regleta rosa, con 4 cm. representa al nº 4. La regleta amarilla, con 5 cm. representa al nº 5. La regleta verde oscuro, con 6 cm. representa al nº 6. La regleta negra, con 7 cm. representa al nº 7. La regleta marrón, con 8 cm. representa al nº 8. La regleta azul 9 cm. representa al nº 9.

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color) Las regletas son prismas cuadrangulares de 1cm2 de base y cuya longitud oscila entre 1 y 10 cm. Cada regleta equivale a un número determinado: La regleta blanca, con 1 cm. de longitud, representa al nº 1. La regleta roja, con 2 cm. representa al nº 2. La regleta verde claro, con 3 cm. representa al nº 3. La regleta rosa, con 4 cm. representa al nº 4. La regleta amarilla, con 5 cm. representa al nº 5. La regleta verde oscuro, con 6 cm. representa al nº 6. La regleta negra, con 7 cm. representa al nº 7. La regleta marrón, con 8 cm. representa al nº 8. La regleta azul, con 9 cm. representa al nº 9. La regleta naranja, con 10 cm. representa al nº 10.

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color) La representación más apropiada para las regletas deberí a ser la siguiente (prisma):

Utilizaremos la representación poligonal por motivos de simplificación

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color) La representación más apropiada para las regletas deberí a ser la siguiente (prisma):

Utilizaremos la representación poligonal por motivos de simplificación

-Construcción del número natural *La secuencia numérica del 1 al 10: cada número es igual al anterior de la serie más 1. *Ordenación de números: conceptos ‘mayor que’, ‘menor que’, ‘equivalente a’. *Visión flexible del número: composición y descomposición de los números -Iniciación a las operaciones básicas y propiedades


-1º Familiarización con el material: aprender los colores y a ordenar por tamaños. (Se pueden trabajar los conceptos de ‘mayor que’, ‘menor que’ o ‘igual o equivalente a’). -2ª Asociar cada regleta de color con el número que representa.

CONSTRUCCIÓN DE LA SECUENCIA NUMÉRICA

-1º Familiarización con el material: aprender los colores y a ordenar por tamaños. (Se pueden trabajar los conceptos de ‘mayor que’, ‘menor que’ o ‘igual o equivalente a’). -2ª Asociar cada regleta de color con el número que representa.

CONSTRUCCIÓN DE LA SECUENCIA NUMÉRICA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CONCEPTO DE NÚMERO QUE SE PONE DE RELIEVE:

Cada número es igual al anterior de la serie más 1. 2

=

1

+

1

6

=

5

+

1

3

=

2

+

1

7

=

6

+

1

4

=

3

+

1

8

=

7

+

1

5

=

4

+

1

9

=

8

+

1

10

=

9

+

1

CONCEPTO DE NÚMERO QUE SE PONE DE RELIEVE:

Cada número es igual al anterior de la serie más 1. 2

=

1

+

1

6

=

5

+

1

3

=

2

+

1

7

=

6

+

1

4

=

3

+

1

8

=

7

+

1

5

=

4

+

1

9

=

8

+

1

10

=

9

+

1

Unos números están contenidos en otros.

¿CUÁL DE ESTOS NÚMEROS ES EL MAYOR? ¿CUÁL ES EL MENOR?

4

8

5

2

6


4

8

5

2

6



2 4

5 6

8

8

6 5

4

2

¿CUÁL DE ESTOS NÚMEROS ES EL MAYOR? ¿CUÁL ES EL MENOR? CONTENIDOS TRABAJADOS

*Comparación y ordenación de números (El color y la longitud de las regletas ayuda a afianzar el valor de cada número y a compararlos entre sí) *Trabajar los conceptos ‘mayor qué’, ‘menor que’, ‘equivalente a o igual a’.

¿CUÁL DE ESTOS NÚMEROS ES EL MAYOR? ¿CUÁL ES EL MENOR? CONTENIDOS TRABAJADOS

*Comparación y ordenación de números (El color y la longitud de las regletas ayuda a afianzar el valor de cada número y a compararlos entre sí)

2

4 5 6

8

*Trabajar los conceptos ‘mayor qué’, ‘menor que’, ‘equivalente a o igual a’. (La utilización el signo vendrá después)

REPRESENTA EL NÚMERO 5

-¿Cuántas regletas, como máximo, podemos utilizar para representar el 5? ¿Y como mínimo? ¿Qué otras opciones hay? Ejemplos con el número máximo de regletas, con el número mínimo y sólo con dos regletas.


-¿Cuántas regletas, como máximo, podemos utilizar para representar el 5? ¿Y como mínimo? ¿Qué otras opciones hay? Ejemplos con el número máximo de regletas, con el número mínimo y sólo con dos regletas.


CONTENIDOS TRABAJADOS

*El desarrollo de una idea flexible del número natural



*El desarrollo de una idea flexible del número natural *Intuitivamente observan que unos números están contenidos en otros


¿Sólo podemos representarlo componiendo regletas? Es decir, ¿sólo podemos representarlo por


¿Sólo podemos representarlo componiendo regletas? Es decir, ¿sólo podemos representarlo por medio de sumas?



-Relacionado con la idea de desarrollar una imagen



-Relacionado con la idea de desarrollar una imagen flexible del número, podemos trabajar la composición y descomposición de números, mediante la suma y la resta.



Indagar cómo el uso de las regletas da sentido a los siguientes contenidos matemáticos. SUMA -Concepto de suma que pone de relieve. -Las propiedades de la suma (conmutativa, asociativa). -La suma con llevadas.

MULTIPLICACIÓN -Concepto de multiplicación que pone de relieve. -Propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y la resta.

RESTA -Concepto de resta que pone de relieve. -¿Qué propiedades cumple?

DIVISIÓN -Concepto de división que pone de relieve (División partitiva y cuotitiva) -La división exacta y la división entera

Indagar cómo el uso de las regletas da sentido a los siguientes contenidos matemáticos. SUMA -Concepto de suma que pone de relieve. -Las propiedades de la suma (conmutativa, asociativa). -La suma con llevadas.

MULTIPLICACIÓN -Concepto de multiplicación que pone de relieve. -Propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y la resta.

RESTA -Concepto de resta que pone de relieve. -¿Qué propiedades cumple? -La resta con llevadas.

DIVISIÓN -Concepto de división que pone de relieve (División partitiva y cuotitiva) -La división exacta y la división entera -La división por exceso y por defecto -¿Qué propiedades cumple?

6+4= y

SUMA COMO UNIÓN DE CONJUNTOS

y

6+4= y

SUMA COMO UNIÓN DE CONJUNTOS

y

¿6+4=4+6? y

y

¿6+4=4+6? y

y PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

-El resultado de esta operación podemos identificarlo con una regleta única de la misma longitud. Los valores iniciales (6 y 4) están contenidos en el 10, pero la utilización de la regleta de 10 elimina la referencia a esos valores y muestra la idea de convertirse en un ente diferente a los anteriores. -En este caso, tanto el color como la longitud de la regletaresultado supone un apoyo perceptual para la comprensión de la suma. ¿Siempre será así?

-El resultado de esta operación podemos identificarlo con una regleta única de la misma longitud. Los valores iniciales (6 y 4) están contenidos en el 10, pero la utilización de la regleta de 10 elimina la referencia a esos valores y muestra la idea de convertirse en un ente diferente a los anteriores. -En este caso, tanto el color como la longitud de la regletaresultado supone un apoyo perceptual para la comprensión de la suma. ¿Siempre será así? - En el caso de las sumas con resultado mayor de 10, se elimina este apoyo perceptual.

¿(5+3)+1=5+(3+1)? (5+3)+1=

(

+

)+

=

+

=

+

= =

¿(5+3)+1=5+(3+1)? (5+3)+1=

(

+

)+

=

+

=

+

= = =9

¿(5+3)+1=5+(3+1)? 5+(3+1)=

+

(

+

)

=

+

=

+

= =

¿(5+3)+1=5+(3+1)? 5+(3+1)=

+

(

+

)

=

+

=

+

= = =9

¿(5+3)+1=5+(3+1)? -Obtenemos el mismo resultado en cada miembro de la igualdad: el número 9 o, en el lenguaje de las regletas:

-Las regletas nos ayudan a comprobar manipulativamente la propiedad asociativa de la

¿(5+3)+1=5+(3+1)? -Obtenemos el mismo resultado en cada miembro de la igualdad: el número 9 o, en el lenguaje de las regletas:

-Las regletas nos ayudan a comprobar manipulativamente la propiedad asociativa de la suma

¿Cuánto es 27+14?

+

=

=

¿Cuánto es 27+14?

+

=

=

-En las sumas con llevadas, es conveniente representar los números haciendo uso de la regleta del 10, tantas veces como sea posible (descomposición numérica en base al 10) -Así asemejamos la representación con regletas a nuestro sistema de numeración decimal. -La regla básica es que 10 regletas blancas (o sumas de regletas hasta 10) es igual a una regleta naranja. (10 unidades = 1 Decena)

-En las sumas con llevadas, es conveniente representar los números haciendo uso de la regleta del 10, tantas veces como sea posible (descomposición numérica en base al 10) -Así asemejamos la representación con regletas a nuestro sistema de numeración decimal. -La regla básica es que 10 regletas blancas (o sumas de regletas hasta 10) es igual a una regleta naranja. (10 unidades = 1 Decena)

Tengo 9 caramelos y me como 5 ¿Cuántos me quedan?

XXXXX 4

-Con las regletas blancas, podemos trabajar la resta con el significado de ‘quitar’: En el ejemplo: ‘a 9 le quito 5 y me quedan 4’


XXXXX 4

-Con las regletas blancas, podemos trabajar la resta con el significado de ‘quitar’: En el ejemplo: ‘a 9 le quito 5 y me quedan 4’


-Las regletas de colores permiten trabajar el significado de la resta: ‘cuántas faltan para’ En el ejemplo: ‘a 5 le faltan 4 para llegar a 9’


-Las regletas de colores permiten trabajar el significado de la resta: ‘cuántas faltan para’ En el ejemplo: ‘a 5 le faltan 4 para llegar a 9’

-En la resta, al igual que en la suma, se cumple la propiedad distributiva. Con las regletas se comprueba de la misma manera. -En la resta ¿Se cumple la propiedad conmutativa en el conjunto de los números naturales? ¿Cómo se comprobaría con las regletas?

-En la resta, al igual que en la suma, se cumple la propiedad distributiva. Con las regletas se comprueba de la misma manera. -En la resta ¿Se cumple la propiedad conmutativa en el conjunto de los números naturales? ¿Cómo se comprobaría con las regletas?

Tengo 32 caramelos y me como 17 ¿Cuántos me quedan? No puedo quitarle la negra a la roja, porque la negra no está contenida en la roja Solución: transformo una naranja en 10 blancas y las coloco en el lugar de las unidades

Tengo 32 caramelos y me como 17 ¿Cuántos me quedan? No puedo quitarle la negra a la roja, porque la negra no está contenida en la roja Solución: transformo una naranja en 10 blancas y las coloco en el lugar de las unidades

Tengo 32 caramelos y me como 17 ¿Cuántos me quedan? X X X X X X

X

X

=

=

Tengo 32 caramelos y me como 17 ¿Cuántos me quedan? X X X X X X

X

X

=

=

3x2= 2 veces 3

3 veces 2

CONTENIDOS

-Concepto de multiplicación: La multiplicación como suma reiterada. -Se pone de relieve la propiedad conmutativa de

3x2= 2 veces 3

CONTENIDOS

-Concepto de multiplicación: La multiplicación como suma reiterada. -Se pone de relieve la propiedad conmutativa de la multiplicación.

3 veces 2

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

3 veces

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

4

6x4=24

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

6x4=24

4

6

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

3 veces

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

3

3x8=24

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

3x8=24

3

8

? S E T N E L A V V I U Q E N Á ¿SER ¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

4 veces 2

? S E T N E L A V V I U Q E N Á R E ¿S ¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

4 veces 2

3 veces

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces 2 veces 3

-Con el color, se pierde la referencia a las unidades.

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 2 veces 3

(3x2)x4=

4 veces 2 veces 3

4 veces

-Con el color, se pierde la referencia a las unidades.

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 3x(2x4)=

2 veces 3

4 veces 2

3 veces

-Efectivamente, se trata de representaciones equivalentes, cumpliéndose así la piedad ciativ

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 3x(2x4)=

4 veces 2

2 veces 3

4 veces

3 veces

-Efectivamente, se trata de representaciones equivalentes, cumpliéndose así la propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se comprueba también con las regletas ¿Seríais capaces de comprobar 3x(2+1)=3x2+3x1?

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se comprueba también con las regletas ¿Seríais capaces de comprobar que 3x(2+1)=3x2+3x1?

EXPRESAMOS EL PRODUCTO DE OTRA MANERA… Formamos un rectángulo con 5 regletas rojas 5X2

2 blancas de ancho 5 Blancas de largo

EXPRESAMOS EL PRODUCTO DE OTRA MANERA… Formamos un rectángulo con 5 regletas rojas 5X2

2 blancas de ancho 5 Blancas de largo

La regleta de encima indica las veces que tenemos la regleta de abajo

Representa el 12 con regletas en cruz

4x3 6x2

3x2x2

Representa el 12 con regletas en cruz

4x3

3x2x2

6x2 12x1

¿Podríamos representar los números que poseen centena? (Por ejemplo, 126) 2 regletas naranjas en cruz (10x10), 2 regletas naranjas, 1 verde oscuro

¿Podríamos representar los números que poseen unidades de millar? (Por ejemplo, 1126) 3 regletas naranjas en cruz, 2 regletas naranjas en cruz (10x10), 2 regletas

¿Podríamos representar los números que poseen centena? (Por ejemplo, 126) 2 regletas naranjas en cruz (10x10), 2 regletas naranjas, 1 verde oscuro

¿Podríamos representar los números que poseen unidades de millar? (Por ejemplo, 1126) 3 regletas naranjas en cruz, 2 regletas naranjas en cruz (10x10), 2 regletas naranjas, 1 verde oscuro

¿Cuál es el mayor número que se podría representar? Cualquiera, dependiendo del número de piezas de que dispongamos y de la estabilidad de la montaña que formemos

¿Hasta que número deberíamos representar? Los materiales siempre son para la introducción al concepto y hay que intentar ir progresivamente

¿Cuál es el mayor número que se podría representar? Cualquiera, dependiendo del número de piezas de que dispongamos y de la estabilidad de la montaña que formemos

¿Hasta que número deberíamos representar? Los materiales siempre son para la introducción al concepto y hay que intentar ir progresivamente eliminándolo para promover el pensamiento abstracto.

QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

-La división supone un reparto equitativo. QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS EN PARTES IGUALES ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

-La división supone un reparto equitativo. QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS EN PARTES IGUALES ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS EN PARTES IGUALES ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

CONTENIDO TRABAJADO

-El concepto de división que se pone de relieve es el de ‘Reparto equitativo’ (División partitiva).

QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS EN PARTES IGUALES ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

CONTENIDO TRABAJADO

-El concepto de división que se pone de relieve es el de ‘Reparto equitativo’ (División partitiva). -Las regletas blancas permiten reproducir manipulativamente el reparto.

6: 3=2

CONCEPTOS DE DIVISIÓN

-Reparto equitativo de 6 en 3 partes (División partitiva) Ejemplo: QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE 3 NIÑOS EQUITATIVAMENTE ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

-Representa cuántas veces está contenido el 3 en el 6. (División cuotitiva o de medida)

6: 3=2

CONCEPTOS DE DIVISIÓN

-Reparto equitativo de 6 en 3 partes (División partitiva) Ejemplo: QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE 3 NIÑOS EQUITATIVAMENTE ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

-Representa cuántas veces está contenido el 3 en el 6. (División cuotitiva o de medida) Ejemplo: TENÍAMOS 6 CARAMELOS Y LO HE REPARTIDO, DE MANERA QUE A CADA NIÑO LE HA TODACO 3 CARAMELOS ¿CUÁNTOS NIÑOS ERAN?

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE DIVISIÓN POR REPARTO Y AGRUPAMIENTO Las regletas de Cuisenaire, nos permiten presentar y visualizar con facilidad, dos interpretaciones diferentes de la división:

Reparto



Agrupamiento



- En el reparto, se trata de repartir una cantidad, de forma equitativa, entre un número determinado de partes.

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE DIVISIÓN POR REPARTO Y AGRUPAMIENTO Las regletas de Cuisenaire, nos permiten presentar y visualizar con facilidad, dos interpretaciones diferentes de la división:

Reparto



Agrupamiento



- En el reparto, se trata de repartir una cantidad, de forma equitativa, entre un número determinado de partes. Puede ser que en ese reparto sobren algunos elementos, o no. En cada caso, se debe reflexionar sobre lo que ocurre al volver a reunir todas las partes (más el resto, si lo hubiese).

- En el agrupamiento, se trata de ir agrupando elementos de una cantidad inicial, en la forma en que lo indique el enunciado, representando con las regletas lo que se plantea, y también interpretar lo que ocurre, cuántos grupos se han podido formar y si sobran o no, elementos.

En las páginas siguientes se plantean dos situaciones sencillas, para representar con las regletas y se comenta la forma de llevar a cabo cada una de ellas.

Enuncia dos actividades de división de números naturales y resuélvelas con ayuda de las Regletas de Cuisenaire

Actividad 1 (División por reparto)

Pedro tiene 12 caramelos y quiere repartirlos entre sus 2 amigos. ¿Cuántos caramelos le tocarán a cada uno?

En el enunciado nos piden que compartamos los caramelos de Pedro entre sus dos amigos, por lo que podemos decir que este ejercicio lo resolveremos por medio de una división por reparto. Comenzamos construyendo el tren del 12 con las regletas (naranja-roja) que representan los 12 caramelos.

Para poder repartir los caramelos entre dos personas tenemos que buscar una regleta que, colocada dos veces, tenga la misma longitud que el tren formado por las regletas naranja-roja. Tras probar con varias regletas, es decir, mediante ensayo-error, llegamos a la conclusión de que la verde oscura (la del 6) es la que cumple la condición indicada.

RESPUESTA: Pedro podrá darle 6 caramelos a cada uno de sus amigos o o o o

Dividendo: 12 (la regleta naranja más la regleta roja) Divisor: 2 (el número de regletas verde-oscuras) Cociente: 6 (la longitud de la regleta verde-oscura) Resto: 0 (la división es exacta, por lo que no sobra nada)

Actividad 2 (División por agrupamiento)

En el supermercado tienen 12 kg de papas que quieren envasar en bolsas de 2 kg. ¿Cuántas bolsas se requerirán?

Este problema nos pide que hagamos diferentes grupos de la misma cantidad, 2 kg. Por ello decimos que se trata de una división concebida como agrupamiento. El primer paso es representar los datos. Construimos con las regletas el tren del 12 (formado por una regleta naranja y una roja), correspondiente a los 12 kg de papas.

Para realizar los agrupamientos colocaremos tantas regletas rojas (2 kilos) como la suma de las longitudes de las regletas naranja y roja nos permita, es decir, determinaremos cuántas veces está contenida la regleta roja en el tren del 12.

RESPUESTA: con los 12 kg podremos realizar 6 agrupamientos de 2 kg cada uno. o o o o

Dividendo: 12 (la regleta naranja más la regleta roja) Divisor: 2 (la longitud de las regletas rojas de la línea inferior) Cociente: 6 (número de regletas rojas de la línea inferior) Resto: 0 (la división es exacta, por lo que no sobra nada)

En definitiva, se requieren 6 bolsas de papas cada una de las cuales contendrá 2 kg.

ANEXO 2

BIOGRAFÍA DE Z. P. DIENES

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

BIOGRAFÍA DE Z.P. DIENES http://www.zoltandienes.com/biography.html

Dr. Zoltan P. Dienes is a world-famous theorist and tireless practitioner of the "new mathematics" - an approach to mathematics learning that uses games, songs and dance to make it more appealing to children. Holder of numerous honorary degrees, Dr. Dienes has had a long and fruitful career, breaking new ground and gaining many followers with his revolutionary ideas of learning often complex mathematical concepts in such fun ways that children are often unaware that they are learning anything! This is an honest account of an academic radical, covering his sometimes unconventional childhood in Hungary, France, Germany and Britain, his peripatetic academic career, his successes and failures and his personal affairs. Occasionally sad or moving, frequently amusing and always fascinating, this autobiography shares some of the intelligence, spirit and humanity that have made Dr. Dienes such a landmark figure in mathematics education. A 'must-read' for anyone with a professional interest in the field, this is also an absorbing and frank book for anyone interested in the life of a man of ideas who was not afraid to take on the might of the traditionalist educational establishment.

ANEXO 3

EL ÁBACO

EL ÁBACO

DESCRIPCIÓN Material didáctico que consta de un soporte o marco de madera y de una serie de varillas metálicas y paralelas. Cada varilla representa un orden de unidades y lleva insertada diez bolas de un mismo color. Diez bolas en una varilla equivalen a una bola en la varilla del orden inmediato superior.

El Ábaco

El Ábaco

El ábaco es un instrumento que sirve para facilitar al alumno el aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración (en cualquier base), cómo se forman las distintas unidades que lo conforman, así como para ayudar a comprender las operaciones de números naturales (suma, resta, multiplicación y división) y ayudar a afianzar su cálculo. También nos va a permitir profundizar en los conceptos de clasificación y ordenación. Por último podemos desarrollar pequeñas investigaciones acerca de la forma de los números y utilizarlo como apoyo en la representación de los números decimales, así como en la representación de las unidades de longitud.

Descripción El ábaco es uno de los recursos más antiguos utilizados en didáctica de las matemáticas. Está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas (con un número variable de ellas) colocadas vertical u horizontalmente (ábaco vertical o ábaco horizontal). En estas varillas se van introduciendo bolas de distintos colores, con la condición de que en cada varilla sólo se introducen 10 bolas del mismo color. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas, ...; y cada bola de cada color ha de ser introducida en su varilla correspondiente.

¿Para qué sirve? El ábaco nos va a ayudar, como cualquier otro material que utilicemos, a despertar en el alumnado una actividad mental que les ayude a comprender el significado del número y el sentido de las operaciones básicas. La iniciación a las operaciones de una manera abstracta puede provocar errores en la adquisición de los conceptos. La enseñanza de la suma y de la resta con el truco de “me llevo una”, hace que el alumnado aprenda de manera mecánica las operaciones y que obviemos el verdadero objetivo: aprender el significado del número, el sentido de las operaciones y el efecto que estas operaciones hacen sobre los números. La fase manipulativa, por la que debe pasar cualquier tipo de conocimiento matemático en la escuela primaria, se cubre con el ábaco en la enseñanza de los sistemas de numeración posicional.

Es muy conveniente que, al mismo tiempo que se trabaja manipulativamente con el ábaco los distintos conceptos, trabajemos a un nivel de abstracción superior, representando gráficamente las operaciones, lo que hacemos en el ábaco plano. Éste consiste en hacer en una hoja de papel una tabla en la que representemos un orden de unidades, escritas de derecha a izquierda y comenzando por las unidades, decenas, ... Es conveniente hacer uso del color al principio.

Antes de ponernos a trabajar con el ábaco es conveniente haber trabajado la noción de cantidad. Una vez trabajadas estas actividades el ábaco puede convertirse en un gran aliado para la enseñanza aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración. El trabajo con el ábaco puede facilitar más adelante el cálculo mental, la comprensión de operaciones más complejas y abstractas, así como el uso racional de la calculadora.

¿Qué podemos hacer con el ábaco? Con este material podemos trabajar en principio actividades que lleven a la adquisición de ciertos conceptos previos, que los alumnos ya han trabajado en la etapa de Educación Infantil, como: • • •

• •

Contar acciones o elementos y representarlas en el ábaco. Separar elementos que no pertenecen a un conjunto. Reconocer ciertas posiciones en el espacio: más cerca – más lejos; delante – detrás; arriba – abajo; derecha – izquierda; ... Concepto de cantidad: más que, menos que, igual que. Composición y descomposición de los números hasta el 9 y su representación en el ábaco. Podemos seguir trabajando actividades encaminadas a:

•

•

• •

Establecer distintos convenios de representación en el ábaco de ciertas acciones de conteo (procedimiento de representar los números en el ábaco). Establecer equivalencias diversas entre bolas de distintos colores. Reversibilidad de esa relación de equivalencia. Comprender cómo se forman los números y su representación en el ábaco. Comprender cómo se forman las unidades de un orden inmediatamente superior (decena, ...).

•

•

Comprender que las cifras que forman un número tienen un valor relativo, dependiendo de la posición que ocupen dentro del número. Resolver de manera razonada y no mecánica las operaciones básicas con números naturales.

También podemos utilizar el ábaco como un instrumento para realizar pequeñas investigaciones con los números, e introducir algunos conceptos nuevos: • • • • •

Simetrías de algunos números (capicúas). Números complementarios. ¿Qué “números” podemos formar con un determinado número de bolas? Representación de los números decimales. Representación de las unidades de longitud.

Una posible secuencia de actividades • •

• •

•

•

•

•

• •

• • •

•

• • • • • •

Juego libre Juegos de representación. Contar elementos o efectuar acciones y representarlas en el ábaco. Juegos de clasificación. Establecer equivalencias diversas a través de cambio de bolas de distintos colores. Deshacer las equivalencias efectuadas (reversibilidad en la relación de equivalencia). Representar gráficamente (en el ábaco plano) las actividades que realizamos en el ábaco. Pasar de la representación gráfica de las actividades (ábaco plano) a la representación de las mismas en el ábaco Formación del número. Introducción del sistema decimal. Agrupamientos de 10 en 10. Representación en el ábaco. Formación de la decena. Pasar de la representación en el ábaco plano a la representación en el ábaco vertical. Comprender el valor de posición de las cifras. Reconocer el valor del cero según su posición. Iniciación a la suma (“sumas sin llevadas”) de forma manipulativa, gráfica y numérica. Iniciación a la resta (“resta sin llevadas”) de forma manipulativa, gráfica y numérica. Iniciación a la “suma con llevadas” de forma manipulativa, gráfica y numérica. Iniciación a la “resta con llevadas” de forma manipulativa, gráfica y numérica. Pequeñas investigaciones con el ábaco. Introducción al sistema métrico decimal. Introducción a los números decimales. Introducción a la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros.

Desarrollo de algunas actividades 1. Jugamos con el ábaco El objetivo de esta actividad es la manipulación libre por parte del niño del ábaco, para que vaya explorando las distintas posibilidades que el material le ofrece. Al principio el juego puede ser individual, pero es conveniente que se vayan agrupando y que el juego se vaya verbalizando entre ellos. En principio se juega sin ningún tipo de reglas, pero a medida que se avanza en la actividad conviene dar algún tipo de orden (las bolas de un mismo color en la misma varilla; tres bolas en cada varilla; ...).

2. Experiencias prenuméricas y clasificaciones Teniendo en cuenta que los objetivos que pretendemos alcanzar (entre otros) con este material son el aprendizaje de la numeración y la adquisición del concepto de cantidad, es conveniente trabajar algunas actividades tales como: • •

• •

Agrupar el material en distintos conjuntos. Separar un conjunto en subconjuntos (bolas de distintos colores, tapones de distintas formas, chapas de distintos refrescos, cromos, ...) Trabajar los conceptos “más que”, “menos que”, “igual que”. Contar elementos (bolas, tapones, chapas, ...)

•

3. Contamos y representamos en el ábaco •

De lo que se trata es de contar palillos, palmadas, palabras, pasos, saltos ..., todo lo que se nos ocurra; y pedirles a los niños y niñas que utilicen las bolas y el ábaco para representar esas acciones. No hay reglas en la representación. En un principio vamos a contar elementos hasta el 9. El primer convenio al que tenemos que llegar con los alumnos es a que estas acciones las representen, todos, en la barra de la derecha.

4. Cambiamos en el banco unas bolas por otras •

El objetivo de esta actividad es establecer equivalencias diversas a través de sucesivos cambios de bolas de distintos colores. Se pretende que a partir de estos juegos, los niños se vayan acercando a la comprensión de los distintos órdenes de unidades que conforman el número. En primer lugar hay que llegar a un acuerdo con los alumnos el cambio que vamos a efectuar: por ejemplo, una bola roja vale por tres bolas azules . Este acuerdo se puede llegar a realizar dentro de una historia Representamos en la pizarra la equivalencia que se ha establecido para que esté bien visible, y al mismo tiempo podemos ir anotando en una cartulina los distintos cambios que vamos adoptando cada vez:

CAMBIOS

Se realizan varios cambios, hasta que los niños se familiaricen con la actividad. Los cambios los haremos entre los números 1 al 9. El desarrollo de esta actividad puede ser: Se elige un lugar de la clase que haga de banco; y a un alumno que haga de banquero (se van cambiando). Podemos también incluir la figura del inspector, que velará porque los cambios se efectúen bien. Se coloca el cartel con el cambio aceptado por todos y se les da a los niños una serie de bolas de distintos colores, que podrán ir al banco a cambiar. Una vez que todos han efectuado el cambio cuentan el número de bolas que tienen y dicen el color. Los cambios los podemos ir haciendo cada vez más complejos, dependiendo del grado de comprensión que vayan adquiriendo los alumnos. Esta actividad debe terminar deshaciendo el cambio, es decir, los alumnos irán al banco y cambiarán las bolas azules por las bolas rojas correspondientes. Se hará una reflexión acerca del número de bolas que teníamos al principio y el número de bolas que tenemos al final, en cada uno de los cambios que hagamos.

5. Cambio bolas en mi ábaco •

Antes de introducir al niño en el sistema de numeración decimal, vamos a realizar una serie de cambios que les conduzca a comprender el orden de unidades. Para ello le vamos a dar a cada niño una serie de bolas de un color determinado, por ejemplo 7 bolas azules, y las van a colocar en la varilla de la derecha, la que será posteriormente la varilla de las unidades. El orden de las varillas van a tomar ya importancia a la hora de cambiar. En la cartulina de cambios anotamos la equivalencia que estimemos conveniente, o la que los niños digan. Por ejemplo: Empezaremos diciendo que, por cada dos bolas azules te las cambiaré por una bola roja, que las irás colocando en la varilla que está a continuación. Preguntaremos cosas, tales como: ¿Cuántas bolas rojas tienes? ¿Y azules? ¿Cuántas bolas azules tenías al comienzo del juego? ¿Te quedan más bolas azules? ¿Puedes cambiarlas por más bolas rojas? Inmediatamente hacemos la actividad recíproca, es decir, vamos a cambiar

segunda varilla, te daré dos bolas azules que colocarás en la varilla de la derecha. Preguntaremos. ¿Cuántas bolas azules hay en la varilla de la derecha? ¿Hay más o menos que al principio?. Se irán repitiendo cambios idénticos con distintos números de bolas y diferentes colores.

6. Del ábaco vertical •

al ábaco plano

Se trata de pasar de la fase representativa o manipulativa, a la fase gráfica en la construcción del conocimiento matemático. Utilizamos para ello el ábaco plano, en el que en la fila superior, representamos las bolas con los mismos colores y en la misma posición que en el ábaco vertical. La actividad consiste en dibujar tantas bolas, del mismo color y en la misma posición, en el ábaco plano, como bolas hayamos puesto en el ábaco vertical:

Hay quien piensa que es bueno ir cambiando los colores de las bolas y su posición en el ábaco, para que así, posteriormente, el niño no llegue a asociar un color con un determinado orden de unidades. En el ábaco plano, cuando introduzcamos los conceptos de unidad, decena, centena ..., añadiremos una columna a la derecha, donde representaremos el número con cifras. Pero la introducción de estos conceptos tienen que efectuarse una vez que los niños y niñas hayan trabajado todo lo relativo a agrupaciones y cambios. Como en todas las actividades anteriores, es conveniente hacer la actividad inversa, es decir, pasar de la representación gráfica que tenemos en el ábaco plano, a la representación en el ábaco vertical.

7. Juntamos tus bolas y las mías •

Esta actividad va encaminada a introducir la operación suma de forma manipulativa y gráfica. Empezamos desde el principio a darle sentido a la operación y no a darle importancia al algoritmo para resolverla. Vamos a trabajar por parejas, y cada pareja utilizará tres ábacos. Cada alumno tendrá un ábaco, el tercero lo utilizaremos para representar el resultado final. Definimos al comienzo un tipo de agrupamiento, por ejemplo: En cada ábaco de los alumnos hay representadas ciertas cantidades, por ejemplo:

Cada alumno copia en un ábaco plano el número de bolas que ha puesto en su ábaco vertical. Se verbalizan las bolas que tienen cada uno. A continuación se les pide a cada pareja que junten sus bolas y representen la cantidad resultante en el tercer ábaco. ¿Cuántas bolas tenéis ahora? ¿Qué hemos hecho? ¿Puedo cambiar bolas azules por rojas?

Una vez efectuado el cambio, podemos seguir preguntando, ¿cuántas bolas tengo ahora? Esta actividad se puede hacer gráficamente, con ábacos planos, de la siguiente forma:

8. Construimos los números De aquí en adelante vamos a trabajar conjuntamente con el ábaco plano y el ábaco vertical. Cada representación que hagamos en el ábaco vertical, la vamos a hacer en el ábaco plano, y viceversa, al que le hemos añadido una columna a la derecha para representar con números las acciones que representamos en el ábaco vertical. •

Partimos de una situación de conteo, como las que teníamos al principio. Queremos contar palmadas, sillas, ... Por cada palmada que demos, la representamos en el ábaco, introduciendo una bola azul en la varilla de la derecha. Este tipo de convenio ya se utilizó al principio, por lo que el alumno está familiarizado con él. Empezamos contando y representado acciones u objetos hasta el 9.

Número 7

¿Qué pasará cuando queramos contar diez cosas? ¿Cómo las representaremos? Evidentemente, todos los alumnos introducirán las diez bolas azules en la varilla correspondiente. Tendremos que inventarnos algo para construir nuestro sistema de numeración decimal. ¿Os acordáis de los cambios de bolas que hacíamos? Bien, pues el cambio que vamos a hacer es que por cada diez bolas azules que tengamos las vamos a cambiar por una bola roja, que introduciremos en la varilla siguiente. El convenio de que una bola roja en la segunda varilla vale por diez bolas azules en la primera varilla, nos va a permitir seguir avanzando en la construcción del sistema posicional de base 10. A partir de aquí, introducimos el concepto de decena. Los alumnos representarán, sin mayor dificultad, los números, entendiendo por qué se escriben así. Más adelante haremos actividades para construir decenas completas, trabajar el valor de posición de las cifras de un número, así como reconocer el valor del cero según la posición que ocupe. La primera dificultad con la que nos vamos a encontrar a la hora de construir nuestro sistema de numeración decimal es la formación de la primera decena (la construcción del 10). Es imprescindible que el niño asimile la equivalencia establecida, y que le ayudemos a comprender que el cero significa que no hay bolas azules en la varilla de la derecha. Por eso la grafía del diez en el ábaco plano es 1 (una bola roja en la segunda varilla) y 0 (ninguna bola azul en la varilla de la derecha).

C

D

U

Número 10 11 12

Para seguir contando no tenemos más que seguir añadiendo bolas azules sucesivamente en la varilla de la derecha y respetar el convenio de que por

cada diez bolas azules en la varilla de la derecha, la cambiamos por una bola roja que introducimos en la varilla que está inmediatamente a su izquierda. Otra forma de actuar para que los niños comprendan por qué el diez se escribe así (10), es contar hacia atrás en un ábaco. Supongamos que tenemos representado el 15, si le decimos a los alumnos que vayan poniendo sucesivamente en el ábaco el 14, 13, 12, 11 y 10, llegarán por sí mismos a comprender que la representación de ese número es una bola roja en la segunda varilla y ninguna bola azul en la varilla de la derecha. Se efectuarán todas las representaciones que hagan falta para que el alumno comprenda cómo se forman los números y el por qué de su grafía. Les haremos preguntas como: ¿Cuántas bolas azules tienes? ¿Y rojas? ¿Si cambio las rojas por azules, cuántas azules tengo? Encaminadas a la comprensión de que la decena está formada por diez unidades del “orden inmediatamente inferior”. A continuación podemos hacer la actividad recíproca, es decir, le damos a los alumnos números escritos en el ábaco plano y éstos tienen que hacer la representación en el ábaco vertical.

9. Escribimos el siguiente de un número •

Esta actividad la pueden realizar por parejas. Un alumno representa un número en el ábaco vertical y lo escribe en el ábaco plano. El compañero tiene que hacer la representación del número siguiente y efectuar la misma operación.

La dificultad, y por tanto el punto de aprendizaje, se presentará cuando haya que construir una nueva decena. La acción que tenemos que valorar es ver si el alumno, efectivamente, cambia las 10 bolas azules de la varilla de la derecha, por una bola roja, y la introduce en la varilla siguiente.

10. ¿Quién es mayor? •

Con esta actividad queremos trabajar el valor de posición de las cifras, que el alumno comprenda que el valor de la cifra 1 en los números 18 y 31 no es el mismo.

Podemos empezar representando en el ábaco distintos números de dos cifras. A continuación, el maestro representará en dos ábacos distintos, dos números, por ejemplo el 18 y el 31. La pregunta es: ¿Qué número es más grande? Si el alumno se fija en el número de bolas, evidentemente la representación del número 18 en el ábaco tiene más bolas que la representación del numero 31. El punto de enseñanza está en hacer que el niño comprenda que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es en la que nos tenemos que fijar para saber qué número es mayor. Para los alumnos que pudieran haberse dejado llevar por la percepción visual, y hubieran dicho que el 18 es más grande 1ue el 31, podemos efectuar el cambio: una bola roja en la segunda varilla, vale por 10 bolas azules en la varilla de la derecha. Entonces haremos que el niño cuente las bolas azules que hay en cada representación. Volveremos a pedirle al alumno que deshaga el cambio para que queden los números representados como al principio. Preguntamos de nuevo: ¿Qué número es, entonces, más grande?

11. Número con ceros •

La idea a trabajar con esta actividad es que cuando no haya bolas en una varilla, lo representamos con la cifra cero. Así, el alumno tendrá que distinguir entre la representación del 05 y del 50. El proceso sería parecido a que empezáramos construyendo, al mismo tiempo, en el ábaco vertical y en el ábaco plano, las decenas completas hasta el 90, a través de situaciones de conteo que fueran múltiplos de 10. En otro ábaco, representaremos, también a través de situaciones de conteo, los números del 1 al 9.

Preguntar si los dos números representados, cada vez, son iguales. ¿Cuál es mayor? ¿Por qué? Los alumnos tendrán que efectuar mentalmente el cambio de las bolas que representan las decenas (rojas) por las bolas que representan las unidades (azules).

D

U

D

U

5

0

0

5

12. Iniciación a la suma •

•

Los alumnos ya saben juntar las bolas de dos ábacos en un tercero y hacer los agrupamientos pertinentes. Vamos a pasar de la fase manipulativa y gráfica, a una fase más abstracta: la representación numérica en el ábaco plano del resultado de la operación. En un principio no introducimos el algoritmo clásico de la suma. Se hará posteriormente, cuando el alumno haya interiorizado el sentido de la operación a través de diversas situaciones como la que a continuación explicitamos: La actividad la realizamos por parejas. Cada pareja cuenta con tres ábacos. Cada alumno representa en su ábaco (tanto en el vertical, como en el ábaco plano) un número (estaremos pendientes de que las bolas que se introduzcan en las varillas equivalentes de los dos ábacos, al sumarlas, no superen la decena). Por ejemplo:

D

U

D

U

3

1

2

5

A continuación, cada uno de los alumnos traspasa las bolas de su ábaco, al tercer ábaco, a las varillas equivalentes, respetando el orden de éstas, es decir, las bolas azules en la varilla de la derecha y las bolas rojas en la varilla siguiente. Estamos efectuando la operación. Cada alumno anota el resultado en su ábaco plano. Como en la realización del algoritmo habitual de la suma, en el ábaco introducimos primero las bolas que corresponden a las unidades y posteriormente las que corresponden a las decenas.

D

U

5

6

Un punto de estudio interesante es dar a los alumno un número en el ábaco plano y que ellos hagan la representación en dos sumandos en los ábacos verticales. Cuando hayamos hecho varias actividades de este tipo, conviene que los alumnos hagan cada suma en el papel (en el mismo ábaco plano), y que se percaten que las unidades se suman con las unidades; y las decenas con las decenas.

D

U

3 2

1 5

5

6

Si los alumnos han comprendido el proceso llevado hasta ahora, estamos en disposición de introducir la suma “con llevadas”. La manera de proceder es la misma: trabajo por parejas, cada pareja con tres ábacos. Decimos a cada alumno que represente un número en su ábaco (ahora tendremos que estar pendientes que esos números sobrepasen, al sumarlos, la decena en el orden de las unidades). Por ejemplo:

D

U

D

U

2

6

5

8

En el tercer ábaco, al juntar las bolas de los dos ábacos correspondientes a las unidades, nos encontramos con que en la varilla de la derecha tenemos que introducir 14 bolas azules. Es el momento de recordar el trabajo previo con los agrupamientos y el cambio de bolas. Cada 10 bolas azules en la primera varilla, las cambio por 1 bola roja en la varilla siguiente (empieza a tener sentido la

coletilla “me llevo una”). Por lo tanto el resultado, después de contar las bolas en el ábaco será:

D

U

2 5

6 8

8

4

Como en toda operación, la idea es ir dejando paulatinamente el apoyo manipulativo y el apoyo gráfico, para terminar con la representación abstracta de los números y de la operación que realizo con ellos.

13. Iniciamos la resta •

El comienzo de esta actividad es muy parecido al proceso seguido con la suma. Conviene plantear la suma y la resta de manera simultánea. El orden en la que se presentan aquí es pura anécdota. Empezaremos trabajando por parejas. Cada niño tendrá un ábaco. Les pediremos que representen cada uno de ellos un número en su ábaco(con cuidado de que uno de ellos sea mayor que el otro en todos sus órdenes de unidades). Al igual que en la suma, no introducimos el algoritmo hasta que se hayan trabajado suficientes actividades de este tipo. Por ejemplo:

D

U

D

U

7

5

5

3

La primera pregunta que les hacemos a los niños es: ¿Cuál de los dos números es mayor? Una vez solucionada la pregunta, iremos quitando al número mayor tantas bolas azules y tantas bolas rojas como bolas azules y rojas hay en el otro ábaco. Este proceso conviene que lo hagamos de manera ordenada, para no confundir a los alumnos: por cada bola que quito en el ábaco del número menor, quito una bola en el ábaco del número mayor del mismo color y de la misma varilla. Por último representamos en el ábaco plano el resultado obtenido.

D

U

2

2

Al igual que con la suma, si los alumnos han comprendido bien este proceso, es hora de introducir la resta “con llevadas”. Tenemos que empezar recordando a los alumnos los juegos de cambios de bolas que hacíamos al principio. De igual forma, hemos de trabajar los cambios recíprocos (deshacer los cambios). El proceso podría ser como sigue. Seguimos trabajando por parejas. Los alumnos anotan en sus ábacos una cantidad (cuidaremos que la cifra de las unidades del minuendo sea más pequeña que la del sustraendo). Comparamos las cantidades y elegimos el número mayor. Y empezamos a quitar bolas del ábaco del número mayor ... Nos daremos cuenta que nos faltan bolas. Este es el momento en el que preguntamos ¿Qué hacemos? Recordamos las equivalencias entre las bolas y repasamos que una bola roja en la segunda varilla, vale por diez bolas azules en la varilla de la derecha. ¿Si no tenemos bolas suficientes, por qué no cambiamos una bola roja en el banco? De esta manera tendremos una bola roja menos, pero tendremos diez bolas azules más. Así, si que puedo quitar ya las bolas azules. Por ejemplo: Representamos las cantidades 53y 28 en dos ábacos. Comparamos las cantidades y decidimos cuál es la mayor. Una vez elegida, comenzamos a quitar bolas, empezando por la varilla de las unidades.

D

U

D

U

5

3

2

8

Efectuamos el cambio: Por lo que tenemos en el ábaco que hace de minuendo, 4 bolas rojas (una menos de las que teníamos) y 13 bolas azules, diez más de las que teníamos. Lo que hay que hacerles ver a los alumnos es que, aunque tengamos distinto número de bolas, el número representado es el mismo. Y por lo tanto, ahora si podemos ir quitando bolas, como lo hacíamos antes, y el resultado es:

D

U

2

5

El algoritmo para la resolución de la operación es el de todos conocidos:

D

U

D

U

5 2

3 8

4 2

13 8

2

5

14. Pequeñas investigaciones con el ábaco Vamos a presentar en este apartado una serie de actividades tipo que se podrán adaptar a los distintos niveles de aprendizaje, con sólo elegir los números dentro del campo numérico en el que estemos trabajando. Una consideración importante es que las bolas van a perder la propiedad del color, es decir, tomarán el valor dependiendo de la varilla en la que la introduzca. Es un paso más en la adquisición del valor de posición de la cifra. •

•

•

¿Qué números de dos, tres, cuatro, ..., cifras, necesitan para anotar su siguiente, desplazar más de una bola a las varillas de la izquierda. Con una bola, ¿qué números podemos representar en un ábaco de dos varillas? ¿Y de tres varillas?... Con cinco bolas, ¿cuántos números puedes representar en un ábaco de tres varillas?

•

•

•

•

•

•

•

(En este tipo de actividad se puede jugar con las variables nº de bolas y nº de varillas del ábaco) ¿Cuál es el mayor de los números formados? ¿Y el menor? ¿Cuáles de estos números tendrán un cero? ¿Y un uno?... Representar en un ábaco (definimos número de varillas según la necesidad) números con ceros y unos solamente, empleando, una bola, dos, ... (definimos el número de bolas según la necesidad) Representar números pares. ¿Con cuántas bolas, como mínimo, puedo formar un número par en la varilla de la derecha? Con una bola, en un ábaco de tres varillas, ¿cuántos números pares puedo representar? Representar números impares. ¿Con cuántas bolas, como mínimo, puedo formar un número impar en la varilla de la derecha? Con dos bolas, en un ábaco de tres varillas, ¿cuántos números impares puedo representar? Números capicúas son aquellos que se leen igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha.

Si tienes un ábaco de cuatro varillas y tienes 8 bolas, ¿qué números capicúas puedes formar? ¿Cuál es el mayor? ¿Y el menor? Si formas un número capicúa (con un determinado número de bolas y en un determinado ábaco), ¿cuál es el siguiente capicúa que puedes formar? Números complementarios son aquellos que al sumarlos, resulta un número con todas sus cifras iguales.

+

•

=

Con dos ábacos de tres varillas y 7 bolas para cada ábaco, forma dos números complementarios. Con dos ábacos y 12 bolas, forma números complementarios.

15. Otros usos del ábaco •

Representación de los números decimales. El ábaco puede ser una ayuda para representar los números decimales, es un modelo sugerente que podemos utilizar. Lo primero que tenemos es que determinar la varilla correspondiente a las unidades, es decir, donde situaremos la coma. Una vez definida esta cuestión, las varillas del ábaco tomarán los valores de los distintos órdenes de unidades. Luego para pasar de una unidad a otra (de una varilla a otra), únicamente hemos de aplicar las reglas ya conocidas: o o

Estamos trabajando en un sistema de numeración posicional. Cada 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediatamente superior, o, cada unidad de un orden cualquiera forma diez unidades del orden inmediatamente inferior.

UM C

D U

d

c

El número representado en el ábaco es: 3.256, 34 Si queremos pasar este número incomplejo a complejo, no tenemos más que escribir el número de bolas de cada varilla y la unidad correspondiente. Si, al contrario, queremos pasar de un número complejo a incomplejo, lo representamos en el ábaco, fijamos la varilla donde se representan las unidades (el lugar de la coma), y a continuación escribimos el número, cuyas cifras se corresponden con el número de bolas que hay en cada orden de unidades. •

Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros. La utilización del ábaco, como apoyo material para la realización de estas operaciones, puede ayudarnos a dar una regla para su aprendizaje, así como a comprenderlas. Lo primero que tenemos que hacer es, como en el caso anterior, determinar la varilla correspondiente a las unidades. Una vez definida esta cuestión, las varillas del ábaco tomarán los valores de los distintos órdenes de unidades. Este material puede permitir que el propio alumno sea capaz de definir la regla para efectuar estas operaciones: o o

Una bola en la varilla de la derecha vale uno. La misma bola situada en la segunda varilla vale 10 veces más lo que vale en la primera.

o

o

La misma bola situada en la tercera varilla vale 100 veces más lo que vale en la primera, o 10 veces más lo que vale la segunda. ...

Dado un número cualquiera representado en el ábaco, si lo queremos multiplicar por la unidad seguida de ceros, únicamente hemos de trasladar de manera ordenada todas las bolas desde su varilla, a otra varilla situada a la izquierda, tantos lugares como ceros tiene la unidad. Por ejemplo: Si queremos multiplicar 725 x 1000, procederemos, primero a representar el número en el ábaco: Y luego, desplazaremos las bolas, ordenadamente, tres varillas hacia la izquierda.

725

725.000

Para dividir por la unidad seguida de ceros, el procedimiento es análogo, únicamente que los desplazamientos se producen hacia la derecha. Si son números decimales, los desplazamientos los hacemos en función de la coma, a derecha o izquierda, dependiendo si dividimos o multiplicamos. Por ejemplo si quiero realizar 72’5:1000, primero representamos el número en el ábaco, definiendo previamente el orden de unidades en las varillas:

C

D

U d

725

c mm

C

D U

d

0’725

c mm

•

Introducción al sistema métrico decimal. La manera de proceder es exactamente la misma que la utilizada para representar los números decimales. Se han de respetar las propiedades del sistema de numeración decimal: o

o

Es un sistema de numeración posicional, es decir, dependiendo del lugar que la cifra ocupe dentro del número, ésta tomará un determinado valor. Diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediatamente superior.

El ábaco tomaría esta apariencia:

Km Hm Dm m dm cm

•

•

Para pasar de una unidad a otra, sólo tenemos que definir la equivalencia de que una bola situada en una determinada varilla, vale por diez bolas situadas en la varilla que está situada inmediatamente a su derecha. De la misma manera, 10 bolas situadas en una determinada varilla, vale por una bola situada en la varilla que está situada inmediatamente a su izquierda. Para pasar de números complejos a incomplejos; y viceversa, sólo tenemos que aplicar lo ya reseñado en el punto de los números decimales.

Universidad de la Frontera Facultad de Ingenier´ıa, Ciencias y Admistración Departamento de Matemática

TALLER # 2 - Sistema Decimal Actividad Did´ actica : El Abaco

El ábaco es uno de los recursos más antiguos utilizados en didáctica de las matemáticas. Está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas (con un número variable de ellas) colocadas vertical u horizontalmente (ábaco vertical o ábaco horizontal). En estas varillas se van introduciendo bolas de distintos colores, con la condición de que en cada varilla sólo se introducen 10 bolas del mismo color. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas, ...; y cada bola de cada color ha de ser introducida en su varilla correspondiente.

El a´baco nos va a ayudar, como cualquier otro material que utilicemos, a despertar en el alumnado una actividad mental que les ayude a comprender el significado del número y el sentido de las operaciones básicas. La iniciación a las operaciones de una manera abstracta puede provocar errores en la adquisición de los conceptos. La enseñanza de la suma y de la resta con el truco de “me llevo una”, hace que el alumnado aprenda de manera mecánica las operaciones y que obviemos el verdadero objetivo: aprender el significado del número, el sentido de las operaciones y el efecto que estas operaciones hacen sobre los números. La fase manipulativa, por la que debe pasar cualquier tipo de conocimiento matemático en la escuela primaria, se cubre con el ábaco en la enseñanza de los sistemas de numeraci´ on posicional. Antes de ponernos a trabajar con el ábaco es conveniente haber trabajado la noción de cantidad. Una vez trabajadas estas actividades el ábaco puede convertirse en un gran aliado para la enseñanza aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración. Abaco plano

Es muy conveniente que, al mismo tiempo que se trabaja manipulativamente con el ábaco los distintos conceptos, trabajemos a un nivel de abstracción superior, representando gráficamente las operaciones, lo que hacemos en el ´ ábaco plano. Este consiste en hacer en una hoja de papel una tabla en la que representemos un orden de unidades, escritas de derecha a izquierda y comenzando por las unidades, decenas, · · · Es conveniente hacer uso, al principio, del color. Actividad 0 En una cartulina blanca recortamos una porción rectangular de 15 × 10. Trazar una recta horizontal, de lado a lado, a 2 cms de la parte superior y tres rectas verticales cada 5 cms. Finalmente, pintar las tres partes superiores de colores, azul, rojo y amarillo. Ver la siguiente figura.

1

Una primera actividad, para introducir al niño en el sistema de numeración decimal, es realizar una serie de cambios que les conduzca a comprender el orden de unidades. abaco plano. Actividad 1 Se proporciona a cada niño 7 fichas azules y se les pide las coloquen en el ´ Las acciones pueden ser: Profesor Les cambio 2 fichas azules por una roja. Las rojas se ubican en el color rojo. Profesor Les cambio 4 fichas azules ¿Cuántas rojas debo entregarles? Los alumnos dirán 2, aceptan el canje y las ponen en el ábaco plano. antas fichas azules te quedan? ...... ¿Puedes cambiarlas por m´ as fichas rojas? .......... Profesor ¿Cu´ antas fichas azules Profesor Vamos a deshacer los cambios para que tengan las 7 fichas azules del principio. ¿Cu´ debo entregarles por las tres rojas que tiene? ...... Muy bien, pasen a mi esctitorio para hacer el cambio. La figura siguiente muestra la acción inicial y final en el ábaco plano.

no o niña tiene 7 fichas azules ubicadas en el ábaco plano. Las acciones son: Actividad 2 Cada ni˜ Profesor Les cambio 3 fichas azules por una roja. Las rojas las ubican en el color rojo. Profesor ¿Cu´ anto es el m´ aximo de fichas rojas que pueden lograr con este canje? ........ ¿Cu´ antas azules les quedan? ...... La figura siguiente muestra la acción inicial y final en el ábaco plano.

no o niña ubica 7 fichas azules y 3 rojas en su ábaco plano. Las acciones son: Actividad 3 Cada ni˜ al el m´ aximo de canjes que puedes hacer? ....... ¿cu´ antas Profesor Si el cambio es una roja por dos azules ¿Cu´ azules te quedan? ..... aximo de canjes que puedes hacer? ....... ¿Cuántas Profesor Si el cambio es una roja por tres azules ¿Cuál el m´ azules te quedan? ..... Profesor Si el cambio es una roja por cuatro azules ¿Cuál el m´ aximo de canjes que puedes hacer? .......¿Cuántas azules te quedan? .... aximo de canjes que puedes hacer? ....... ¿Cuántas Profesor Si el cambio es una roja por siete azules ¿Cuál el m´ azules te quedan? .... aximo de canjes que puedes hacer? ....... Profesor Si el cambio es una roja por ocho azules ¿Cuál el m´ no o niña ubica 12 fichas azules en su ábaco plano. Las acciones son: Actividad 4 Cada ni˜ Profesor Si el cambio es una roja por diez azules ¿Cu´ antas azules te quedan? ..... ¿Cu´ antas rojas tienes? ..... Ubica tus fichas en el ábaco plano e indica la cantidad que tienes en la parte inferior del ábaco

2

no o niña ubica 25 fichas azules en su ábaco plano. Las acciones son: Actividad 5 Cada ni˜

Profesor Si el cambio es una roja por diez azules ¿Cu´ antas rojas obtienes al hacer todos los cambios? .....

¿Cu´ antas azules te quedan? ..... Ubica tus fichas en el ábaco plano e indica la cantidad, de rojas y azules, que tienes en la parte inferior del ábaco. ¿Te diste cuenta que 25 fichas azules se han transformado en 2 rojas y 5 azules? no o niña ubica 38 fichas azules en su ábaco plano. Las acciones son: Actividad 6 Cada ni˜

antas rojas obtienes al hacer todos los cambios? ..... Profesor Si el cambio es una roja por diez azules ¿Cu´ ¿Cu´ antas azules te quedan? ..... Ubica tus fichas en el ábaco plano e indica la cantidad, de rojas y azules, que tienes en la parte inferior del ábaco. ¿Te diste cuenta que 38 fichas azules se han transformado en 3 rojas y 8 azules? Si lo anterior lo tienes claro y el canje sigue siendo una roja por diez azules, dime ¿cuántas fichas rojas obtienes al canjear 64 fichas azules? .... y ¿cu´ antas azules? ...... Y en el caso de tener 97 fichas azules ¿cu´ antas rojas despu´ es del canje? ..... ¿cuántas azules? Juntando fichas

Esta actividad va encaminada a introducir la operación suma de forma manipulativa y gr´ afica. Empezamos desde el principio a darle sentido a la operación y no a darle importancia al algoritmo para resolverla. Vamos a trabajar por parejas, y cada pareja utilizar´ a tres ábacos. a un ábaco, el tercero lo utilizaremos para representar el resultado final. Definimos Actividad 5 Cada alumno tendr´ al comienzo un tipo de agrupamiento o canje, por ejemplo, Una roja por seis azules. En cada ábaco de los alumnos hay representadas ciertas cantidades, por ejemplo:

3

No olvides los colores. En el rect´ angulo de la derecha van las azules y en el siguiente, hacia la izquierda, las rojas. Considerando el canje establecido y contando todas las fichas, ¿cu´ antas fichas azules debiera tener cada alumno? ............ y .............. En el tercer a´baco juntamos todas las fichas. Debes tener algo como lo siguiente:

Considerando el canje de una roja por seis azules, estableces la situación final de las fichas en el tercer ábaco que aparece a continuación.

Sistema de Numeraci´ on Decimal

De aqu´ı en adelante vamos a considerar sólo canjes de una ficha roja por diez azules. Partimos de una situación de conteo. Empezamos contando y representado acciones u objetos hasta el 9. Por ejemplo, si pedimos ubicar 7 fichas en ambos ábacos, la situación será la siguiente: 4

Actividad 6. La primera dificultad con la que nos vamos a encontrar a la hora de construir nuestro sistema de

numeraci´ on decimal es la formación de la primera decena (la construcción del 10). ¿Qué pasará cuando queramos contar diez cosas? ¿Cómo las representaremos? Evidentemente, todos los alumnos colocarán las diez fichas azules en la columna de las azules.

Tendremos que inventarnos algo para construir nuestro sistema de numeración decimal. ¿Recuerdas los cambios de fichas que hac´ıamos? Bien, el cambio que vamos a hacer es que por cada diez fichas azules que tengamos las vamos a cambiar por una ficha roja, que colocamos en la columna de las fichas rojas. Es imprescindible que el niño asimile la equivalencia establecida, y que le ayudemos a comprender que el cero significa que no hay fichas azules en la columna de la derecha. Por eso la representación del diez en el ábaco plano es 1 (una ficha roja en la segunda columna) y 0 (ninguna ficha azul en la primera de la derecha).

El convenio de que una ficha roja en la segunda columna vale por diez fichas azules en la primera columna, nos va a permitir seguir avanzando en la construcción del sistema posicional de base 10. A partir de aqu´ı, introducimos el concepto de decena. Los alumnos representar´ an, sin mayor dificultad, los números, entendiendo por qué se escriben as´ı. M´ as adelante haremos actividades para construir decenas completas, trabajar el valor de posición de las cifras de un número, as´ı como reconocer el valor del cero según la posición que ocupe. De esta forma llegamos a tener lo siguiente:

5

Actividad 7. Representar el 15 en el ábaco plano

Una vez que tienes ubicadas las fichas, escribe la cantidad de éstas en la última fila. Ahora saca de a una todas las fichas azules y anota el número de fichas que van quedando.

Se efectuar´ an todas las representaciones que hagan falta para que el alumno comprenda cómo se forman los números y el por qu´ e de su escritura. Les haremos preguntas como: ¿Cu´ antas fichas azules tienes? ¿Y rojas? ¿Si cambio las rojas por azules, cuántas azules tengo? encaminadas a la comprensi´ on de que la decena est´ a formada por diez unidades del “orden inmediatamente inferior”. A continuación podemos hacer la actividad rec´ıproca, es decir, le damos a los alumnos números escritos en el ábaco plano y éstos tienen que hacer la representación. umeros que aparecen en la última fila de cada ábaco. Actividad 8. Representa los n´

6

´ El Abaco Vertical Abierto

El ábaco es uno de los recursos más antiguos utilizados en didáctica de las matemáticas. Está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas. En estas varillas se van introduciendo fichas, con la condici´ on de que en cada varilla no pueden haber más de nueves fichas. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas.

Dejaremos, paulatinamente, de lado el color, pero para empezar asociamos el azul con la primera varilla derecha y el rojo con la que está a la izquierda de ésta. No olvidar que el canje aqu´ı estipula que 10 fichas en una varilla corresponde a una ficha en la varilla inmediatamente a la izquierda 1 roja por 10 azules). Veamos ejemplos para una mejor comprensión de la idea. umero 7 en el ábaco plano y en el abierto. Actividad 9 La siguiente figura muestra la representación del n´

umero 13 en el ábaco plano y su equivalente en el abierto. Actividad 10 Representa el n´

7

Escribimos el siguiente de un n´ umero umero

Esta actividad la pueden realizar por parejas. Un alumno representa un número umero en el ábaco abaco vertical v ertical y lo escribe escrib e en el ábaco abaco plano. El compañero nero tiene que hacer la representación on del número umero siguiente y efectuar la misma operación. on. La dificultad, y por p or tanto el punto de aprendizaje, aprendizaje, se presentar´ a cuando haya que construir una nueva decena. La acción on que tenemos que valorar es ver si el alumno, efectivamente, cambia las 10 bolas azules de la varilla de la derecha, por una bola roja, y la introduce en la varilla siguiente. umeros, en el mismo órden, orden, 17, 18, 19, 20, 21 en el ábaco abaco Actividad 11 Hay que representar los siguientes números, plano y en el vertical

8

¿Qui´ Qui ´ en en es mayor ? Con esta actividad queremos trabajar el valor de posición de las cifras, que el alumno comprenda que el valor de la cifra 1 en los números umeros 18 y 31 no es el mismo. abacos abacos siguientes siguient es representa los números umeros 18 en el de la izquierda y el 31 en el de la derecha. Actividad 12 En los ´

La pregunta es: ¿Qué número umero es m´ as as grande? grande? Si el alumno alumno se fija en el n´ umero de fichas, evidentemente la umero representaci´ on o n del n´ umero u mero 18 en el ábaco abaco tiene m´ as as bolas que la representaci´ on on del numero 31. El punt punto o de ense˜ nanza nanza est´ a en hacer que el ni˜ no comprenda que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es en la que no nos tenemos que fijar para saber qu´ e n´ umero es mayor. Para los alumnos que pudieran haberse dejado llevar

por la percepción on visual, y hubieran dicho que el 18 es más as grande que el 31, habr´ habr´ıa que recordarles el cambio: una ficha roja en la segunda varilla, vale por 10 bolas azules en la varilla de la derecha. Entonces haremos que el niño cuente las fichas azules que hay en cada representación. Volveremos a pedirle al alumno que deshaga el cambio para que queden los números umeros representados como al principio. Preguntamos de nuevo: ¿Qu´ e número umero es, entonces, más as grande? N´ umero umero con ceros La idea a trabajar con esta actividad es que cuando no haya fichas en una varilla, lo representamos con la cifra cero. As´ As´ı, el alumno tendrá que distinguir distin guir entre la representaci´ representaci ón on del 05 y del 50. El proceso proceso ser´ ser´ıa parecido parecido a que empezáramos aramos construyendo, al mismo m ismo tiempo, tiemp o, en e n el ábaco abaco vertical vertica l y en el ábaco abaco plano, las decenas completas completa s hasta has ta el 90, a trav´ es es de situaciones de conteo que fueran múltiplos ultiplos de 10. abacos siguientes representa los números abacos umeros 30, 50, 70, 80, 90. Actividad 13 En los ´

9

A partir de este momento damos nuevos nombres a las fichas azules, unidades (U) y a las rojas decenas (D)

N´ umeros umeros de tres cifras Se recuerda que seguimos con el canje de 1 ficha roja por 10 azules y que ahora agregamos el canje de 1 ficha amarilla por 10 rojas. on on del número umero 99, en los ábacos abacos plano y abierto es Actividad 13 La representaci´

En tu ábaco abaco plano agrega una ficha azul en las unidades (U) ¿cu´ antas antas fichas azules tienes? ......... Es correcto, correcto, pero no olvides olvides que el canje canje es una roja por diez azules, azules, lo que significa significa que NUNCA NUNCA puedes puedes tener m´ as as de 9 fichas en un color ¿Qué se te ocurre o curre hacer? Dijiste ¡hacer el canje! correcto, hazlo notar en el siguiente ábaco abaco (rojas por azules) 10

Ahora pasa algo similar, la cantidad de fichas rojas es ........ Luego, debes hacer canje de fichas. Hazlo en el siguiente ábaco

Escribe, en la parte inferior del ábaco, el n´ umero que ha resultado. Tambi´ en anota en el ábaco abierto el equivalente al n´ umero que pusiste en el ábaco plano

umeros: 123, 231, 132, 213, 321, 312 Actividad 14 Escribir en el ábaco plano y vertical abierto los siguientes n´

11

Iniciaci´ on a la suma Los alumnos ya saben juntar las fichas de dos ábacos en un tercero y hacer los agrupamientos pertinentes. Vamos a pasar de la fase manipulativa y gr´ afica, a una fase m´ as abstracta: la representación numérica en el ábaco plano del resultado de la operación. En un principio no introducimos el algoritmo clásico de la suma. Se har´ a posteriormente, cuando el alumno haya interiorizado el sentido de la operación a través de diversas situaciones como la que a continuaci´ on explicitamos: La actividad la realizamos por parejas. Cada pareja cuenta con tres ábacos. Cada alumno representa en su ábaco (tanto en el vertical, como en el ábaco plano) un número (estaremos pendientes de que las fichas que se introduzcan en las varillas equivalentes de los dos ábacos, al sumarlas, no superen la decena). Por ejemplo:

12

A continuación, cada uno de los alumnos traspasa las fichas de su ábaco, al tercer ábaco, a las varillas equivalentes, respetando el orden de éstas, es decir, las fichas azules en la varilla de la derecha y las fichas rojas en la varilla siguiente. Estamos efectuando la operación. Cada alumno anota el resultado en su ábaco plano. Como en la realización del algoritmo habitual de la suma, en el ábaco introducimos primero las fichas que corresponden a las unidades y posteriormente las que corresponden a las decenas.

Un punto de estudio interesante es dar a los alumnos un número en el ábaco plano y que ellos hagan la representaci´ on en dos sumandos en los ábacos verticales. Cuando hayamos hecho varias actividades de este tipo, conviene que los alumnos hagan cada suma en el papel (en el mismo ábaco plano), y que se percaten que las unidades se suman con las unidades; y las decenas con las decenas.

abacos plano y vertical el número 44. El alumno 2 representa el 23. Actividad 15 El alumno 1 representa en los ´

En los a´bacos siguientes juntan las fichas, recuerdan lo del canje y escriben la cantidad de fichas reunidas

13

Con más actividades y si los alumnos han comprendido el proceso llevado hasta ahora, estamos en disposición de introducir la suma “con llevadas”. La manera de proceder es la misma: trabajo por parejas, cada pareja con tres ábacos. Decimos a cada alumno que represente un número en su ábaco (ahora tendremos que estar pendientes que esos n´ umeros sobrepasen, al sumarlos, la decena en el orden de las unidades). Por ejemplo:

En el tercer ábaco, al juntar las fichas de los dos ábacos correspondientes a las unidades, nos encontramos con que en la varilla de la derecha tenemos que introducir 14 fichas azules. Es el momento de recordar el trabajo previo con los agrupamientos y el cambio de fichas. Cada 10 fichas azules en la primera varilla, las cambio por 1 ficha roja en la varilla siguiente (empieza a tener sentido la frase famosa “me llevo una”). Por lo tanto el resultado, después de contar las fichas en el ábaco será:

Como en toda operación, la idea es ir dejando paulatinamente el apoyo manipulativo y el apoyo gr´ afico, para terminar con la representación abstracta de los números y de la operación que se realizó con ellos. abacos plano y vertical el número 54. El alumno 2 representa el 37. Actividad 16 El alumno 1 representa en los ´

En los a´bacos siguientes juntan las fichas, recuerdan lo del canje y escriben la cantidad de fichas reunidas

14

Iniciamos la resta

El comienzo de esta actividad es muy parecido al proceso seguido con la suma. Conviene plantear la suma y la resta de manera simult´ anea. El orden en la que se presentan aqu´ı es pura an´ ecdota. Empezaremos trabajando por parejas. Cada niño tendrá un ábaco. Les pediremos que representen cada uno de ellos un número en su ábaco (con cuidado de que uno de ellos sea mayor que el otro en todos sus órdenes de unidades). Al igual que en la suma, no introducimos el algoritmo hasta que se hayan trabajado suficientes actividades de este tipo. Por ejemplo:

La primera pregunta que les hacemos a los niños es: ¿Cuál de los dos números es mayor? Una vez solucionada la pregunta, iremos quitando al número mayor tantas fichas azules y tantas fichas rojas como fichas azules y rojas hay en el otro ábaco. Este proceso conviene que lo hagamos de manera ordenada, para no confundir a los alumnos: por cada ficha que quito en el ábaco del número menor, quito una ficha en el ábaco del número mayor del mismo color y de la misma varilla. Por último representamos en el ábaco plano el resultado obtenido.

Al igual que con la suma, si los alumnos han comprendido bien este proceso, es hora de introducir la resta “con llevadas”. Tenemos que empezar recordando a los alumnos los juegos de cambios de fichas que hac´ıamos al principio. De igual forma, hemos de trabajar los cambios rec´ıprocos (deshacer los cambios). El proceso podr´ıa ser como sigue: Representamos las cantidades 53 y 28 en dos ábacos. Comparamos las cantidades y decidimos cu´ al es la mayor. El ábaco con mayor cantidad de ficha (53) lo ubicamos a la izquierda y el otro a la derecha. Comenzamos a quitar fichas, empezando por la varilla de las unidades. Preguntamos ¿es posible a 3 fichas quitarle 8? Se procede a recordar lo del canje de 10 fichas azules por una roja. Al pedirles que hagan este canje, la situación en el ábaco es la siguiente

15

En el ábaco que hace de minuendo tenemos ahora 4 fichas rojas (una menos de las que ten´ıamos) y 13 fichas azules, diez m´ as de las que ten´ıamos. Lo que hay que hacer ver a los alumnos es que, aunque tengamos distinto número de fichas, el número representado es el mismo. Y por lo tanto, ahora si podemos ir quitando fichas, como lo hac´ıamos antes, y el resultado es:

El algoritmo para la resolución de la operación es el de todos conocidos:

Una consideración importante es que las fichas van a perder la propiedad del color, es decir, tomar´ an el valor dependiendo de la varilla en la que la introduzca. Es un paso más en la adquisición del valor de posición de la cifra. Ya sin colores, el maestro(a) indica “si coloco esta ficha aqu´ı (en la primera posición de derecha a izquierda) la ficha vale .......................”

16

Los ni˜ n os y niñas debieran decir que 1. Como en la primera barra de la derecha no hay 10, se dicen que son unidades de orden cero y se simbolizan como 100 . Por supuesto que esta es una explicación de la lógica del ábaco para el maestro, que obviamente no se transmite a los niños, pero que se debe tener en cuenta cuando se utiliza este instrumento. Si la coloco aqu´ı (posición correspondiente a la barra siguiente), vale .........

La respuesta es evidentemente 10. En la barra siguiente (de derecha a izquierda) cada ficha vale 10, entonces esa barra corresponde con las unidades de orden 1, que se representa como 101 y que se denominan “decenas”. Los alumnos deben entender que en el ábaco, el valor de las fichas cambia al cambiar de posición y que una ficha en la barra que vale 10 equivale a 10 fichas en la barra que vale 1. El profesor ahora puede preguntar por el valor que tienen las dos fichas que muestra el ábaco.

A partir de esto, el profesor o profesora puede mover las fichas e ir preguntando el valor y corrigiendo los errores. Otra estrategia que resulta adecuada para que los alumnos entiendan la equivalencia y la composición es pedirles representar los números 9, 99 y 999 y pedirles que agreguen 1 ficha más y muestren el efecto que se ha producido. A medida que los alumnos entienden la lógica del sistema, el maestro les pide representar los números que él les dicte. 1. Representar en el ábaco 5030

17

Recursos Didacticos Mati Gep

Recommend Documents