Realisasi Sistem Linier

Sistem Linier Tujuan Kuliah Mahasiswa mempunyai kemampuan mendefinisikan sistem linier, menggunakan alat-alat standar untuk menganalisis sistem linier, dan merealisasikan dan mengimplementasikan sistem linier yang memenuhi spesifikasi yang dipersyaratkan. The students get the ability to define linear systems, to analyse linear systems using standard tools and to realize and implement given predefined linear systems.

Tema-tema 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Pengantar tentang Sistem, Sinyal dan Sistem Linier Operasi Matematis Terhadap Sinyal Sistem dan Atributnya Konvolusi, Properti Sistem Linier Penggunaan Metode Transformasi Pole-Zero Plot dan Bode Plot Realisasi Sistem Linier Implementasi Sistem Linier Kontinyu dengan Rangkaian Op-Amp

Klik di sini untuk melihat beberapa program MatLab penting yang dipakai di web ini.

Tugas Insya Allah akan ada sekitar delapan tugas untuk dikerjakan dalam satu semester, masing-masing empat untuk setiap paruh semester. Nilai tugas dan mid semester dapat dilihat dalam daftar nilai (update:...). Jika dirasa terdapat kejanggalan pada nilai, segera hubungi dosen atau kirim e-mail. Komplain dilayani jika disampaikan sebelum ... 1. Tugas 1. Langkah awal pemodelan sistem , pengumpulan: Senin, 18 Maret 2002 (update; 3 Maret 2002) 2. Tugas 2. Sinyal, Sinyal , pengumpulan: Senin, 25 Maret 2002 (update 10 Maret 2002) 3. Tugas 3. Sinyal dasar , pengumpulan: Senin, 8 Maret 2002 (update 30 Maret 2002) 4. Tugas 4. Konvolusi, Konvolusi , pengumpulan: Saat MID Sistem Linier (update 5 April 2002) 5. Tugas 5. Metode transformasi, transformasi , pengumpulan: Saat ujian (update 3 Mei 2002) TUGAS HARAP DIBAWA SAAT UJIAN. PERTANYAAN UJIAN AKAN BERKAIT DENGAN TUGAS YANG DIBUAT 6. Tugas 6. Pole-Zero plot dan Bode plot, plot , pengumpulan: Saat ujian (update 14 Mei 2002) 7. Tugas 7. Realisasi Sistem Linier , pengumpulan: Saat ujian 8. Tugas 8. Implementasi Impleme ntasi Sistem Sist em Linier Kontinyu Kon tinyu dengan denga n Rangkaian Op-Amp Op- Amp, pengumpulan: Saat ujian

Referensi 1. Oppenheim, A.V., Signals and Systems 2. Van Valkenburg, M.E., Kinariwala, B.K, Linear Circuits, (New Jersey: Prentice Hall, 1982) 3. Hanselman, D., Littlefield, B., Mastering MatLab, A Comprehensive Tutorial and Reference , (New Jersey: Prentice Hall, 1996)

Realisasi Sistem Linier Yang dimaksud dengan realisasi sistem adalah penggambaran sistem ke bentuk diagram blok yang terdiri atas unsur-unsur elementer penyusun blok. Realisasi mutlak diperlukan ketika akan mewujudkan sistem linier diskret baik dengan perangkat lunak atau dengan perangkat keras. Realisasi juga dibutuhkan ketika akan men simulasi sistem linier kontinyu dengan perangkat lunak. Sedangkan pewujudan sistem linier kontinyu ke perangkat keras lebih sering dilakukan secara langsung dari transfer function sistem orde satu dan sistem orde dua, tanpa melalui realisasi.

Komponen-komponen realisasi Realisasi biasanya berangkat dari bentuk transfer function sistem. Jadi transfer function sistem harus diketahui terlebih dahulu. Tapi dapat pula realisasi berangkat dari persamaan diferensial sistem kontinyu (differential equation ) atau persamaan bedaan sistem diskret ( difference equation ).

Jika diperhatikan persamaan diferensial sistem linier kontinyu, maka ada tiga operasi matematis yang muncul: • • •

Penjumlahan Perkalian dengan konstanta Pendiferensialan

Dan jika diamati persamaan bedaan sistem linier diskret, maka ada tiga operasi matematis yang muncul: • • •

Penjumlahan Perkalian dengan konstanta Tundaan (delay )

Sedangkan pada transfer function sistem terdapat tiga operasi matematis yang muncul: • • •

Penjumlahan Perkalian dengan konstanta Perpangkatan variabel s pada sistem kontinyu atau variabel z pada sistem diskret







Sedangkan pada transfer function sistem terdapat tiga operasi matematis yang muncul: • • •


Namun operasi perpangkatan variabel z pada bentuk transfer function setara dengan proses tundaan pada persamaan bedaan sistem diskret. Dan operasi perpangkatan variabel s setara dengan operasi pendiferensialan pada sistem kontinyu. Jika transformasi Laplace dari sinyal y(t) adalah Y(s), maka transformasi Laplace dari dy(t)/dt adalah sY(s) dan transformasi Laplace dari d my(t)/dtm adalah smY(s). Jika transformasi Z dari y[n] adala Y(z) maka transformasi Z dari y[n-1] adalah z -1Y(z) dan transformasi Z dari y[n-k] adalah z -k Y(z). Kini jelaslah bahwa diperlukan tiga macam komponen untuk merealisasikan sistem linier, yaitu 1. Penjumlah: Penjumlah: untuk untuk merealisasik merealisasikan an proses penjuml penjumlahan, ahan, untuk untuk sistem sistem kontinyu kontinyu dan diskret. diskret. 2. Pengali=Pen Pengali=Penguat=G guat=Gain: ain: untuk merealisas merealisasikan ikan proses perkalian perkalian dengan dengan konstanta, konstanta, untuk untuk sistem kontinyu dan diskret. 3. Tundaan: Tundaan: untuk untuk merealisas merealisasikan ikan proses proses tundaan, tundaan, untuk untuk sistem sistem diskret diskret atau Differensiator/derivatif: untuk merealisasikan proses pendiferensialan, untuk sistem kontinyu atau Integrator: untuk merealisasikan proses integral yang merupakan kebalikan proses pendiferensialan, untuk sistem kontinyu. Komponen dan Bentuk

Penjumlah:

Pengali:

Diferensiator=Derivatif:

Integrator:

Tundaan=Delay:

Realisasi Langsung Bentuk I

Sinyal Masukan x(t), y(t) X(s), Y(s) x[n], y[n]

Sinyal Keluaran x(t)+y(t) X(s)+Y(s) x[n]+y[n]

X(z), Y(z)

X(z)+Y(z)

x(t) X(s) x[n]

Ax(t) AX(s) Ax[n]

X(z)

AX(z)

x(t)

dx/dt

X(s)

sX(s)

x(t) X(s)

X(s) s

x[n]

x[n-1]

X(z)

z -1X(z) = X(z)/z

Ada beberapa konfigurasi dalam realisasi yaitu realisasi langsung, realisasi paralel, realisasi kaskada, realisasi ladder, dan lain-lain. Di sini hanya akan dikenalkan mengenai Realisasi Langsung melalui contohcontoh. Contoh-contoh berikut ini mengenai realisasi sistem diskret. Contoh 1. Realisasikan sistem ini: y[n]=2x[n-1] Jawab: Masukan sistem adalah x[n] dan keluarannya adalah y[n]. Setelah melewati pengali gain=2 maka sinyal x[n] berubah menjadi sinyal 2x[n]. Dan setelah melewati tundaan, sinyal 2x[n] berubah menjadi sinyal 2x[n-1].

Contoh 2. Realisasikan sistem ini: y[n]=3x[n]-x[n-1] Jawab: Sinyal masukan dialirkan ke dua komponen. Satu menuju pengali dengan gain=3 dan satu lagi menuju pengali dengan gain=-1 dan tundaan. Sete lah itu kedua sinyal dijumlahkan dan menghasilkan sinyal 3x[n]-x[n-1].

Contoh 3. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.9y[n-1]=x[n] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.9y[n-1]+x[n]

Contoh 4. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.6y[n-1]+0.5y[n-2]=x[n-1] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.6y[n-1]-0.5y[n-2]+x[n-1]

Contoh 5. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.4y[n-1]=x[n]-2x[n-1] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.4y[n-1]+x[n]-2x[n-1]

Contoh 6. Realisasikan sistem ini: Y(z)=X(z)-3z -1X(z) Jawab:

Contoh 7. Realisasikan sistem ini: H(z)=1/(1-z -1) Jawab: H(z) adalah transfer function yang sama dengan Y(z)/X(z). Jadi persamaan di atas dapat diubah menjadi Y(z)/X(z)=1/(1-z -1) Y(z)(1-z -1)=X(z) Y(z)-z -1Y(z)=X(z) Y(z)=z -1Y(z)+X(z) dengan realisasi:

Contoh 8. Realisasikan sistem ini:

Jawab: Persamaan di atas dapat diubah menjadi:

dengan realisasi:



dengan realisasi:

Contoh 10. Realisasikan sistem pada soal 9 dengan menggunakan komponen Integrator: Jawab: Agar dapat direalisasikan dengan komponen integrator, diusahakan agar numerator dan denominator bukan merupakan perpangkatan s melainkan perpangkatan s -1. Karena itu numerator dan denominator pada persamaan di atas masing-masing dibagi dengan s sehingga diperoleh persamaan yang dapat diubah menjadi:

dengan realisasi:

Contoh 11. Realisasikan sistem ini dengan komponen integrator:

Jawab: Dengan membagi numerator dan denominator dengan s 2, persamaan di atas berubah menjadi:

dengan realisasi:

Realisasi Langsung Bentuk II Realisasi Langsung Bentuk II merupakan modifikasi dari realisasi langsung bentuk I dengan keuntungan berupa jumlah tundaan/integrator yang minimal. Perhatikan realisasi sistem pada contoh 5 di atas yang digambarkan lagi di bawah ini.

Realisasi sistem di atas menggunakan dua buah komponen tundaan. Berdasarkan sifat asosiatif sistem linier, realisasi di atas dapat diubah menjadi bentuk seperti di bawah ini.

Pada gambar terakhir ini, terlihat bahwa kedua komponen tundaan itu mempunyai sinyal masukan yang sama. Karena itu cukup digunakan satu komponen tundaan seperti gambar di bawah ini:

Bentuk seperti inilah yang dimaksud dengan realisasi langsung bentuk II yang secara umum lebih baik dari realisasi langsung bentuk I. Latihan 7. Topiknya adalah realisasi sistem linier, dan simulasi sistem dengan MatLab/Simulink. Simulink adalah salah satu TOOLBOX dari MatLab. Jika MatLab diinstal lengkap, maka salah satu komponennya adalah Simulink. Tentang MatLab/Simulink dapat dipelajari. Ingat a=tiga digit terakhir NIM, b=digit terakhir NIM. Soal 1. Realisasikan sistem berikut ini: y[n]= ax[n-1] Soal 2. Gunakan Realisasi Langsung Bentuk II untuk merealisasi sistem y[n]-y[n-b]=x[n]-0.5x[n-1] Soal 3. Realisasikan sistem ini dengan integrator H(s)=(s+a)/(s b+2) Soal 4. Sebuah sistem diskret mempunyai gain K=2, zero di z=b/10 dan di z=a/200 dan pole di z=b/a dan di z=0.6, tentukan transfer functionnya dan realisasikan sistem dengan realisasi langsung bentuk II. Soal 5. Hitunglah transfer function sistem invers dari sistem pada soal 4. Beri nama H I(z). Soal 6. Realisasikan H I(z) dari soal 5 dengan realisasi langsung bentuk II. Soal 7. Buatlah model simulink dari H(z) dan H I(z) dalam bentuk seperti gambar di bawah ini

Gunakan komponen Step sebagai sumber sinyal. Gunakan Sample time=0.1 detik. Jalankan simulasi. Dan print bentuk sinyal yang dikeluarkan oleh osiloskop. Soal 8. Ulangi soal 7 untuk sumber sinyal Sinusoidal dengan amplitudo=1 dan frekuensi 1 hertz. Jangan lupa untuk menyetel Sample time=0.1 detik.

Pengantar tentang sistem, sinyal dan sistem linier

Sistem Berbicara tentang sistem berarti berbicara tentang sekumpulan elemen/unsur yang menyusun sistem, dan berbicara tentang cara berhubungan antara elemen-elemen penyusun itu. Umumnya pengertian sistem menyangkut sesuatu yang tersusun dari elemen-elemen. Jadi sebuah komponen tidak dapat disebut sistem (tapi secara mikroskopis, sebuah elemen juga tersusun dari elemen-elemen yang lebih kecil sehingga dapat disebut sistem juga). Elemenelemen penyusun sistem mempunyai perilaku yang khas dalam sistem, atau mempunyai tugas yang spesifik yang tidak dapat digantikan oleh elemen lain. Jika sebuah elemen penyusun sistem tidak ada, maka sistem menjadi tidak ada atau sistem berganti menjadi sistem lain.

Tabel ini mendaftar contoh beberapa sistem berikut elemen penyusun dan fungsi setiap elemen. Sistem

Sistem audio

Elemen

Fungsi elemen

Mekanik playback

Mengubah sinyal magnetis dari kaset ke sinyal elektris

Penguat

Memperkuat sinyal elektris

Speaker

Mengubah sinyal elektris menjadi sinyal suara/audio

Tombol volume Matahari Tata surya Planet Satelit

Mengubah penguatan penguat Pusat tata surya Mengitari pusat tata surya Mengitari planet

Sistem audio mempunyai empat elemen, jika salah satunya tidak ada, maka tidak dapat lagi disebut sistem audio. Tanpa penguat dan mekanik playback, sistem dikatakan rusak. Tanpa speaker, sistem tidak lengkap dan tidak dapat dimanfaatkan. Tanpa tombol volume, semua orang akan tertawa. Hal yang penting untuk disepakati ketika seseorang berbicara tentang sistem teknik adalah model sistem. Memodelkan sebuah sistem berarti menyepakati besaran keluaran sistem, lalu menentukan masukan sistem dan akhirnya menentukan hubungan antara keluaran dan masukan itu. Persamaan matematis dapat disebut model sistem, yaitu model komponen elektronik resistor. Dalam model ini, besaran keluaran yang disepakati adalah arus resistor, sehingga masukannya adalah tegangan dan hubungan antaran keluaran dan masukan adalah persamaan matematis itu sendiri. Diagram blok berikut ini menyatakan bentuk umum dari sistem:

Bentuk diagram blok di atas sudah dapat disebut model. Dalam bentuk diagram blok, biasanya besaran masukan dan keluaran sudah diketahui, dan dapat pula persamaan matematisnya sudah diketahui dan dicantumkan pada label blok. Diagram blok sebuah resistor dengan keluaran arus adalah seperti berikut:

Jika keluaran sistem telah disepakati, maka penentuan masukan haruslah mengandung alasan (argumentasi). Alasan itu diperoleh dari fakta fisik sistem bahwa jika masukan diubah-ubah maka keluaran berubah. Jika arus disepakati sebagai keluaran sistem resistor, maka tegangan adalah masukan. Alasannya adalah jika tegangan resistor diubah-ubah maka arus resistor berubah. Pemodelan tidak dimaksudkan untuk mendapatkan kebenaran mutlak tentang sistem yang dimodelkan. Pemodelan dimaksudkan untuk memperoleh manfaat dari model dan kebenarannya adalah kondisional dalam batas-batas yang dipersyaratkan. Terhadap resistor berlaku persamaan matematis . Artinya jika sebuah resistor 1 Ω diberi input berupa tegangan 1 V maka akan diperoleh output berupa arus sebesar 1 A. Persamaan di atas berlaku dalam batas batas tertentu. Resistor 1 Ω 5 watt dapat diberi tegangan 1 V untuk dan menghasilkan arus 1 A, tapi resistor itu tidak dapat diberi tegangan 10 V karena akan menyebabkan resistor berada di luar batas yang diijinkan. Arus sebesar 10 A yang dihasilkan akan menyebabkan daya sebesar 100 watt masuk ke resistor dan merusak resistor itu. Resistor menjadi short atau resistor menjadi putus sehingga sesaat kemudian catu daya menjadi rusak atau tidak ada arus sama sekali yang mengalir. Contoh-contoh tentang penentuan masukan sistem beserta alasannya tersaji pada tabel. Sistem

Keluaran

Masukan

Filamen setrika

panas

arus

Bendungan

aliran air ke persawahan

posisi pintu air

Sepeda motor kecepatan

Alasan Jika diberi arus filamen mengeluarkan panas. Semakin besar arus, semakin besar panas yang dikeluarkan filamen. Semakin tinggi posisi pintu air, semakin banyak air mengalir

posisi handel Semakin besar sudut handel gas, semakin cepat gas sepeda motor berlari

Tugas 1. Carilah dua sistem lain. Tentukan/pilih keluarannya. Tentukan masukannya, sertakan alasannya. Kerjakan pada kertas double-folio bergaris. Gunakan tinta biru atau gunakan kertas bergaris biru. (updated 3 Maret 2002)

Sinyal Kata lain sinyal adalah isyarat. Tapi penggunaan sehari-hari kata "sinyal" dan kata "isyarat" sedikit berbeda. Seseorang menyuruh diam dengan meletakkan telunjuk ke bibir disebut memberi isyarat. Kereta berangkat menunggu sinyal dari petugas PPKA berupa tiupan peluit. Dalam pembicaraan tentang sistem teknik, kedua kata di atas adalah sama. Sinyal adalah besaran yang diamati dalam selang waktu tertentu. Dalam selang waktu yang dimaksud, biasanya besaran berubah secara dinamis. Dalam keseharian dikenal sinyal suara atau sinyal gambar yang besarannya senantiasa berubah terhadap waktu. Namun besaran yang tidak berubah terhadap waktu secara teknis disebut sinyal juga asalkan merupakan pengamatan dalam selang waktu tertentu. Sehingga cahaya yang keluar dari sebuah lampu (meskipun intensitasnya tetap) disebut sinyal cahaya. Sebuah sepeda motor mempunyai besaran fisik: berat, warna, ukuran, kecepatan, jumlah persnelling, dan lain-lain. Semuanya adalah sinyal yang dikeluarkan oleh sepeda motor jika diamati dalam selang waktu tertentu. Namun di antara besaran-besaran yang dimiliki oleh sepeda motor, mungkin hanya kecepatan yang sifatnya dinamis, besaran lain bersifat statis. Oleh karena itu kecepatan merupakan besaran yang paling banyak diamati/diperhatikan untuk sepeda motor.

Pembicaraan tentang sistem seringkali melibatkan pembicaraan tentang sinyal. Sistem dikenali dari sinyal yang dikeluarkannya, dan sistem diamati karena ada dinamika sinyal padanya. Masukan dan keluaran sistem berwujud sinyal. Masukan dari sistem audio adalah sinyal magnetis dari pita kaset dan keluarannya adalah sinyal suara. Dalam sistem bendungan, aliran air ke persawahan adalah sinyal, aliran air dari hulu adalah sinyal, hujan adalah sinyal, pengubahan posisi pintu air oleh petugas irigasi adalah sinyal, bahkan watt listrik yang dihasilkan (jika ada PLTA-nya) adalah sinyal. Secara teknis sinyal dibedakan menurut keberadaan dan nilai besarannya. Gambar berikut ini memperlihatkan empat macam sinyal yaitu: sinyal kontinyu (analog), sinyal kontinyu terkuantisasi, sinyal diskret, dan sinyal diskret terkuantisasi (digital).

Sinyal kontinyu merupakan bentuk kebanyakan sinyal yang ada di alam. Debit aliran air sungai, arus listrik yang masuk ke sebuah rumah pelanggan PLN dan suhu suatu ruangan adalah contohnya. Sinyal kontinyu mempunyai nilai di semua waktu dan nilainya bisa berapa saja. Sinyal kontinyu terkuantisasi mempunyai nilai di semua waktu tapi nilainya hanya tertentu saja. Contohnya adalah nilai tukar rupiah terhadap dollar, atau harga suatu barang di toko. Sinyal diskret mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya bisa berapa saja. Contohnya adalah data harian curah hujan di Solo, atau nilai indeks harga saham gabungan di bursa pada saat penutupan transaksi. Sinyal diskret terkuantisasi mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya hanya tertentu. Contohnya adalah sinyal komunikasi digital. Pembicaraan dalam kuliah sistem linier secara umum adalah menyangkut sinyal kontinyu dan diskret yang tidak terkuantisasi.

Sistem Linier Sistem linier adalah sistem dengan sifat khusus berupa linieritas. Artinya hubungan masukan dan keluarannya bersifat linier. Jika digambar pada grafik hubungan itu berupa garis lurus. Namun gambaran grafis berupa garis lurus hanya berlaku pada saat sistem berada pada kondisi mantap (steady) dan bukan pada kondisi transisi (transien). Jika resistor tiba-tiba diberi tegangan, arus resistor tidak langsung muncul sesuai hukum ohm. Ada masa transisi dari kondisi belum diberi tegangan (kondisi awal) menuju kondisi

mantap (meskipun hanya dalam hitungan mikrodetik ata u nanodetik). Hukum ohm hanya berlaku pada kondisi mantap. Kondisi transisi ini tidak diperhatikan pada desain rangkaian elektronik biasa, tapi kondisi ini menjadi perhatian pada sistem frekuensi tinggi di mana sinyal berubah dengan sangat cepat. Ada dua alasan penting mengapa studi sistem linier menjadi perlu: 1. Model sistem linier dapat dipelajari lebih mudah dan pembahasannya telah mendalam. Alat bantu analisis dan desain sistem linier telah banyak tersedia. 2. Kebanyakan sistem fisik dapat dimodelkan dengan sistem linier. 3. Sinyal

4. Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+ θ ) = A sin(t+θ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar. 5. 1. Operasi matematis terhadap sinyal

6. a. Negasi.

7. 8. b. Perkalian dengan konstanta.

9. 10. c. Perkalian/penjumlahan dengan sinyal lain.

11. 12.

Contoh Sistem dan Sinyal Perhatikan bahwa sistem seringkali baru didefinisikan setelah manusia mendefinisikan interestnya, artinya manusia menyatakan pengamatan apa yang hendak dilakukan atau manfaat apa yang ingin diperoleh dari pendefinisian sistem.

Pengamatan yang hendak dilakukan: mengamati irama pernafasan dan detak jantung di bawah pengaruh anaesthesia (pembiusan). Pengamatan ini penting dilakukan untuk memberikan jumlah obat bius yang tepat

Nama sistem: Sistem respirasi dan transportasi Keluaran: 1. Irama jantung (dalam detak per menit), 2. Frekuensi pernafasan (dalam nafas per menit) Masukan: Dosis obat bius (dalam ml)

Jika dosis obat bius sudah diketahui, maka ada dua bentuk sinyal masukan yang dapat diberikan ke sistem: 1. Sinyal impulse: Obat bius disuntikkan. Sejumlah obat bius dalam waktu yang "singkat" dimasukkan ke sistem. 2. Sinyal step: Obat bius dimasukkan melalui aliran infus. Sejumlah obat bius dimasukkan ke botol infus. Tubuh akan secara konstan menerima sejumlah obat bius dalam waktu yang relatif lama.

Sinyal Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+θ ) = A sin(t+θ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.

2. Operasi matematis terhadap argumen sinyal

a. Negasi.

b. Perkalian dengan konstanta/penskalaan.

c. Penjumlahan dengan konstanta/pergeseran. Penjumlahan argumen dengan konstanta akan menyebabkan sinyal tergeser ke kiri sejauh nilai konstanta sedangkan pengurangan argumen dengan konstanta akan menyebabkan sinyal tergeser ke kanan.

Pergeseran akibat penjumlahan dengan konstanta dipengaruhi oleh operasi negasi dan penskalaan. Penjumlahan dengan konstanta pada sinyal hasil negasi menyebabkan sinyal tergeser ke kanan sedangkan pengurangan dengan konstanta menyebabkan sinyal tergeser ke kiri. Sinyal x(-t-2) mempunyai bentuk seperti sinyal x(-t) yang tergeser sejauh 2 ke kiri. Penjumlahan dengan konstanta pada sinyal yang terskala menyebabkan nilai pergeseran terskala. Sinyal x(2t) terskala sehingga bentuk sinyal mengkerut menjadi 1/2 kali bentuk sinyal x(t). Sinyal x(2t-2) mempunyai bentuk sama dengan sinyal x(2t) tapi tergeser ke kanan sejauh 2/2 (bukan sejauh 2). Nilai pergeseran ikut terskala.

Manakah di antara kedua sinyal berikut ini yang benar???

Soal latihan 2.1

Pada gambar di atas tampak dua sinyal kontinyu x(t) dan h(t). Perhatikan bahwa sinyal x(t) mempunyai garis miring yang berawal dari titik (0,2) dan berakhir di titik (b,-1) dengan b adalah digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. x(-t) b. x(t+2) c. x(2t) d. -2x(t) e. x(3t-3) f. x(-2t-2) g. x(t)h(t) h. x(t-1)h(2t/3) Soal latihan 2.2.

Gambar di atas menampilkan sinyal h[n]. Perhatikan bahwa sinyal h[n] mengandung impuls di n=1 dengan nilai sebesar b yaitu digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. h[3n/2+2] b. h[-n-1]/2

Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+θ ) = A sin(t+θ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.

3. Bentuk sinyal kontinyu dasar Ada tiga bentuk dasar sinyal kontinyu. 1. Sinyal eksponensial sinusoidal kompleks x(t) = Ce at. Dalam rumusan ini, e adalah bilangan natural 2,718... , t adalah argumen waktu, C dan a adalah parameter kompleks. Bentuk sinyal Ce at bervariasi tergantung nilai C dan a. o Untuk C dan a riel. Sinyal akan berbentuk eksponensial, yaitu eksponensial naik jika a > 0 dan eksponensial turun jika a < 0. Pada saat t=0, nilai sinyal adalah x(t)=C.

o

o

Untuk a imajiner. Bilangan imajiner a dapat ditulis menjadi a=j ω sehingga rumusan sinyal ω menjadi x(t) = Ce j t = C cos j ω t + j sin jω t. Yang terlihat dan terdeteksi dari sinyal kompleks adalah bagian rielnya yaitu Re{x(t)} = C cos j ω t. Sinyal akan berbentuk sinusoidal dengan amplitudo C dan frekuensi ω . Sinyal sinusoidal ini bersifat periodik, artinya bentuk sinyal muncul secara berulang-ulang sehingga x(t+T)=x(t). Jangka waktu saat sinyal mulai berulang disebut periode yaitu T. Untuk sinyal sinusoidal ini, T = 2 π / ω .

θ

Untuk C dan a kompleks. Konstanta kompleks C dapat ditulis menjadi C = |C|e j dan konstanta kompleks a dapat ditulis sebagai a = r + j ω . Rumusan sinyal akan menjadi θ ω x(t) = |C|e j e(r + j )t ω θ x(t) = |C|erte j( t+ ) Bagian riel sinyal adalah Re{x(t)} = |C|e rtcos (ω )t+θ ) yang jika digambar akan berbentuk eksponensial sinusoidal.

2. Sinyal tangga satuan (unit step) u(t). Step artinya tangga. Bentuk sinyal tangga adalah seperti satu anak tangga. Untuk sinyal tangga satuan, kenaikan sinyal terjadi di t=0 dan kenaikannya sebesar satu. Secara matematis, sinyal u(t)=1 untuk t > 0 dan u(t)=0 untuk t < 0. Sinyal tangga sering dipakai untuk memodelkan proses pensaklaran on-off.

3. Sinyal impuls satuan (unit impulse) δ (t). Impulse artinya denyut. Sinyal impuls adalah sinyal yang muncul sesaat lalu hilang kembali. Seberapa lama sebuah denyut muncul agar dapat disebut impuls? Sangat relatif! Bagi manusia, aktivitas jantung adalah denyut, tapi bagi komputer, sinyal jantung sangat lama dan tidak layak disebut denyut. Ketika sebuah bola dilempar ke dinding, dinding akan memberi gaya kepada bola dalam waktu yang singkat. Gaya yang diterapkan dinding terhadap bola disebut denyut/impuls karena keberadaan gaya cukup singkat dibanding aktivitas bola. Secara matematis, unit impuls adalah sinyal yang hanya muncul di t=0 dengan energi sebesar 1. Dengan kata lain, δ (t)=1 untuk t=0 dan δ (t)=0 untuk t≠ 0.

Sinyal-sinyal dasar dapat diubah bentuknya dengan operasi matematis terhadap sinyal. Bahkan sebagian besar sinyal di alam dapat dibangun dari sinyal-sinyal dasar. Berikut adalah contoh bentuk sinyal dasar yang diberi operasi matematis. Sinyal u(t-1) adalah sinyal u(t) yang digeser sejauh 1 ke kanan. Sinyal u(2t) mengalami penskalaan tapi tidak terlihat berbeda dari sinyal u(t). Sinyal u(2t-1) adalah sinyal u(2t) yang digeser sejauh 1/2 ke kanan (Perhatikan bahwa efek penskalaan menyebabkan pergeseran sinyal diskalakan, pergeseran sinyal u(2t-1) bukan 1 ke kanan, melainkan 1/2 ke kanan). Sinyal e (-1+4i)t u(t) merupakan hasil perkalian sinyal u(t) dengan sinyal eksponensial sinusoidal. Efek perkalian sinyal x(t) dengan sinyal u(t) adalah untuk t < 0 nilai sinyal menjadi 0 dan untuk t > 0 sinyal tetap seperti bentuk semula.

[ Balik ] [ Lanjut ] Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+θ ) = A sin(t+θ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.

1. Operasi matematis terhadap sinyal a. Negasi.

b. Perkalian dengan konstanta.

c. Perkalian/penjumlahan dengan sinyal lain.

[ Balik ] [ Lanjut ]

Sistem dan Atributnya Penggambaran model sistem Dua cara berikut biasa digunakan untuk menggambarkan sistem teknik: •

•

Analitis, artinya dengan persamaan matematika. Sistem dinyatakan dengan persamaan matematika yang menyatakan bagaimana keluaran dipengaruhi oleh masukan. Persamaan matematis y(t)=Rx(t) merupakan gambaran dari sebuah sistem yang disebut resistor dengan R adalah resistansi, x(t) masukan berupa arus dan y(t) keluaran berupa tegangan. Atau persamaan yang lebih sering dijumpai untuk resistor adalah v(t)=Ri(t). Persamaan matematis Cdv/dt=i(t) merupakan gambaran dari sistem yang disebut kapasitor dengan C adalah kapasitansi. Diagram blok. Sistem digambarkan dengan sebuah blok atau kotak dengan dua panah. Satu panah masuk untuk menggambarkan sinyal masukan dan satu panah keluar untuk menggambarkan sinyal keluaran. Di dalam blok diberikan penjelasan tentang sistem yang dapat berupa kata-kata, simbol atau persamaan matematis.

Properti sistem Istilah properti sistem merupakan terjemahan dari istilah bahasa Inggris system properties, namun istilah Indonesia yang lebih tepat adalah atribut sistem. Setiap sistem mempunyai atribut seperti juga setiap benda mempunyai atribut. Sawo matang, putih dan hitam adalah bentuk-bentuk dari atribut warna kulit manusia. Manusia juga punya atribut bentuk rambut: keriting, ikal dan lurus. Setiap benda dikenali dari atributnya. Sistem juga dikenali dari atributnya. Ada enam atribut sistem: 1. Kepemilikan memori. Sistem bisa memiliki memori dan bisa tanpa memori. Sistem disebut memiliki memori jika sistem bisa menyimpan sinyal atau menyimpan energi yang masuk. Sebuah resistor jelas tidak mempunyai memori. Sebuah kapasitor mempunyai memori karena dapat menyimpan tegangan

2.

3.

4.

5.

6.

dalam bentuk muatan listrik pada keping-kepingnya. Sebuah induktor juga mempunyai memori karena dapat menyimpan arus dalam bentuk medan magnit. Sebuah komputer jelas mempunyai memori. Invertibilitas. Sistem disebut invertibel jika sinyal keluarannya dapat diproses lagi sedimikian sehingga terbentuk kembali sinyal masukannya. Sistem pemancar radio memproses sinyal suara (dari musik atau penyiar) menjadi gelombang elektromagnetik. Sistem ini invertibel karena sinyal gelombang elektro magnetik itu dapat diproses lagi sehingga terbentuk sinyal suara yang sama dengan masukannya. Sistem yang memproses secara invertibel disebut sistem invers. Sistem pemancar radio mempunyai sistem invers, yaitu pesawat penerima radio. Kausalitas. Sistem disebut kausal jika keluarannya berasal dari masukan pada saat-saat sebelumnya. Lebih jelas lagi, keluaran di saat t=1 muncul akibat masukan di saat-saat t<1. Sistem riel di alam adalah sistem kausal. Mobil berjalan di saat t=1 karena di saat-saat t<1 pedal gas pernah diinjak. Sistem yang tidak kausal adalah sistem yang memproses data rekaman. Dalam statistik dikenal istilah data smoothing atau penghalusan data, agar trend data lebih tampak secara grafis. Proses penghalusan data untuk n=5, misalnya, melibatkan data pada n=4 dan data pada n=6. Sistem seperti ini adalah sistem yang tidak kausal. Stabilitas. Sistem disebut stabil jika sistem itu tahan gangguan. Jika sistem diberi gangguan dan sistem mampu mengembalikan kondisinya seperti semula setelah gangguan hilang adalah sistem yang stabil. Sistem yang mengalami gangguan kecil lalu tidak dapat mengembalikan kondisinya seperti semula adalah sistem yang tidak stabil. Time-invariance. Sistem disebut time-invariant jika watak sistem tidak berubah terhadap waktu. Sebuah lampu disaklar sekarang, akan menyala sekarang. Jika disaklar besok, lampu akan menyala akan menyala besok. Kemarin lampu itu disaklar, dan kemarin menyala. Nyala lampu tidak berubah. Maka lampu itu bersifat time-invariant. Linieritas. Sistem disebut linier jika memenuhi dua kondisi: 1. jika masukannya dikalikan konstanta tertentu, lalu keluarannya berubah seakan dikalikan dengan konstanta yang sama, 2. jika masukannya diketahui merupakan penjumlahan dari dua masukan yang lain, lalu keluarannya merupakan penjumlahan dari dua keluaran dari masing-masing masukan tadi. Sistem yang tidak memenuhi dua kondisi di atas adalah sistem non-linier.

Latihan 3.1.

Latihan 3 ini masih menyangkut topik sinyal. Sinyal x(t), h(t), dan h[n] pada soal-soal latihan berikut ini mempunyai bentuk seperti sinyal pada soal latihan 2. Sinyal-sinyal u(t), δ (t), u[n], δ [n] masing-masing adalah sinyal tangga satuan kontinyu, impuls satuan kontinyu, tangga satuan diskret, dan impuls satuan diskret. Parameter b pada soal adalah digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. u(t-b) b. u(t)u(-t+b) c. x(t)u(t-1) d. h(t/4)u(t-b) e. u[n+1]-u[-n+b] f. u[-n+b]h[n] g. h[n]δ [n-b] h. (2δ [n]-δ [n-1])h[n] Latihan 3.2. Tulislah kembali program MatLab berikut ini (sebagai M-file) dan jalankan. function sltg3 global a b a = 120; %gantilah a dengan tiga digit terakhir NIM saudara b = 20; %gantilah b dengan digit terakhir NIM saudara t= choose(a,b); figure(1);clf; subplot(2,1,1);plot(t, x(t)),ylabel('x(t)'),grid; subplot(2,1,2);plot(t, x(t-a)),ylabel('x(t-a)'),grid; figure(2);clf; subplot(2,1,1);plot(t, x(b*t)),ylabel('x(bt)'),grid;

subplot(2,1,2);plot(t,

x(b*t-a)),ylabel('x(bt-a)'),grid;

function [x]=x(t) x=0*t; for k=1:length(t) x(k)=f(t(k)); end; function [f]=f(t) global a b if t<-b f=0; elseif and(t>=-b,t<2*b) f=b; elseif and(t>=2*b,t=20,a<50) y=linspace(-15, 110, 2000); elseif and(a>=50,a<100) y=linspace(-20, 210, 2000); else y=linspace(-20,400,2000); end;

Program ini menggambar sinyal y(t), y(t-a) pada window berjudul Figure 1. dan sinyal y(bt) dan sinyal y(bta) pada window berjudul Figure 2. Isilah nilai a dan b pada program dengan a=tiga digit terakhir NIM dan b=digit terakhir NIM saudara. Klik Sekilas Penggunaan MatLab untuk penggunaan MatLab dalam rangka tugas ini. a. Bandingkan sinyal y(t) dan sinyal y(bt). Beri komentar! b. Bandingkan sinyal y(t) dan sinyal y(t-a). Hitunglah pergeseran sinyal menurut gambar. Apakah pergeseran itu sesuai dengan teori? c. Bandingkan sinyal y(bt) dan sinyal y(bt-a). Apakah pergeseran itu sesuai dengan teori?

Sistem Linier Representasi sinyal dalam impuls Representasi sinyal dalam impuls artinya adalah menyatakan sinyal sebagai fungsi dari impuls, atau menyatakan sinyal sebagai kumpulan dari impuls-impuls. Sembarang sinyal diskret dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari impuls-impuls diskret dan sembarang sinyal kontinyu dapat dinyatakan sebagai integral impuls.

Gambar 4.1. Sinyal x[n](kiri atas) dan sinyal-sinyal penyusunnya Pada gambar kiri atas, terlihat sinyal x[n] terdiri atas lima impuls. Gambar yang lain adalah impuls-impuls penyusun gambar kiri atas. Impuls-impuls penyusun dapat diperoleh dengan mengalikan sinyal x[n] dengan impuls satuan yang digeser. Sinyal impuls x[0] δ [n] diperoleh dengan mengalikan x[n] dengan δ [n]. Sinyal impuls x[1]δ [n-1] diperoleh dengan mengalikan x[n] dengan δ [n-1]. Dan akhirnya tampak jelas bahwa: x[n] = x[0]δ [n] + x[1]δ [n-1] + x[2]δ [n-2] + x[3]δ [n-3] x[4]δ [n-4] Secara umum, sebuah sinyal diskret sembarang x[n] dapat dinyatakan sebagai penjumlahan impuls-impuls:

Seperti pada sistem diskret, sebuah sinyal kontinyu sembarang dapat dinyatakan sebagai integral dari impuls-impuls:

Konvolusi Keluaran sebuah sistem disebut juga respon. Jika sinyal berupa unit impulse masuk ke dalam sistem, maka sistem akan memberi respon yang disebut respon impuls ( impulse response ). Respon impuls biasa diberi simbol h. Jika sistemnya diskret, respon impulsnya diberi simbol h[n] dan jika sistemnya kontinyu, respon impulsnya diberi simbol h(t). Di bawah ini adalah gambar sinyal impuls satuan δ [n] dan contoh respon impuls sebuah sistem diskret h[n].

Gambar 4.2. Sinyal impuls satuan (kiri) dan contoh respon impuls (kanan) Jika respon impuls sebuah sistem linier diketahui, maka respon sistem terhadap sembarang bentuk sinyal dapat dihitung. Gambar di bawah ini memperlihatkan bagaimana respon sistem terhadap masukan x[n] dicoba dihitung untuk sistem dengan respon impuls h[n] seperti gambar 4.2 di atas.

Gambar 4.3. Respon (kanan) terhadap berbagai impuls (kiri). Impuls-impuls merupakan penyusun sinyal x[n]. Respon-respon yang ditunjukkan adalah untuk sistem dengan respon impuls seperti pada gambar 4.2 Pada penghitungan respon sistem terhadap masukan sinyal sembarang x[n], sinyal x[n] diurai menjadi sinyal-sinyal penyusunnya. Setiap sinyal penyusun kemudian dicari responnya. Respon sistem diperoleh dengan menjumlahkan seluruh respon terhadap sinyal penyusun. Dengan kata lain, Sinyal x[n] diurai menjadi sinyal-sinyal x[0]δ [n], x[1]δ [n-1], x[2]δ [n-2] dan seterusnya. Setiap sinyal penyusun akan menghasilkan respon yang mirip dengan respon impuls, tapi berbeda pada letak dan nilai besarnya. Bentuk sinyal x[0]δ [n] sama dengan impuls satuan dikali 2, maka responnya sama dengan respon impuls dikali dua atau x[0]h[n]. Bentuk sinyal x[1] δ [n-1] sama dengan impuls satuan digeser satu ke kanan dan dikali tiga, maka responnya sama dengan respon impuls digeser satu ke kanan dan dikali tiga atau x[1]h[n-1]. Dan seterusnya. Karena sinyal x[n] dapat disusun dari impuls-impuls penyusun, maka respon sistem terhadap sinyal x[n] dapat disusun dari respon-respon impuls penyusun, yaitu x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + ... . Setelah dilakukan penjumlahan seperti ini diperoleh gambar respon sistem di bawah ini:

Gambar 4.4. Respon sistem (kanan) terhadap masukan x[n] (kiri). Respon sistem merupakan penjumlahan respon-respon pada gambar 4.3

Jika h[n] adalah respon impuls sistem linier diskret, dan x[n] adalah sinyal masukan maka sinyal keluaran adalah

Rumusan di atas disebut penjumlahan konvolusi. Jika h(t) adalah respon impuls sistem linier kontinyu, dan x(t) adalah sinyal masukan maka sinyal keluaran adalah

Rumusan di atas disebut integral konvolusi. Operasi konvolusi mempunyai beberapa sifat operasional: 1. Komutatif : x * h = h * x 2. Asosiatif : (x * g) * h = x * (g * h) 3. Distributif: x * (h1 + h2) = x * h1 + x * h2 Telah disebutkan bahwa jika respon impuls sebuah sistem diketahui, respon sistem terhadap sembarang sinyal dapat dihitung. Sebuah sistem linier dan time-invariant hanya mempunyai satu respon impuls yang tidak pernah berubah. Jadi hubungan antara sebuah sistem dengan respon impuls adalah berkawan satu-satu. Itulah sebabnya respon impuls dapat digunakan menyatakan sebuah sistem dalam pemodelan seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Respon sistem terhadap masukan berupa tangga satuan ( unit step) disebut respon step. Hubungan antara unit step dengan unit impulse berkawan satu-satu. Sehingga seperti respon impuls, respon step juga dijadikan gambaran sistem. Penggunaan respon step dalam penggambaran sistem banyak dilakukan pada analisis dan desain sistem kontrol. Sedangkan penggunaan respon impuls lebih banyak dilakukan pada analisis dan desain tapis ( filter ).

Latihan 4. Sistem Linier.

1. Buatlah sebuah sinyal diskret sembarang yang paling sedikit mempunyai enam impuls. Beri nama sinyal tersebut x[n]. Setiap mahasiswa tidak diperkenankan membuat bentuk sinyal yang sama. Uraikan sinyal x[n] itu menjadi sinyal-sinyal penyusunnya (seperti contoh pada gambar 4.1 di atas). Gunakan tinta biru atau kertas double folio bergaris biru.

2. Misalkan terdapat sebuah sistem diskret dengan respon impuls seperti pada gambar. Perhatikan bahwa impuls ketiga mempunyai tinggi sebesar b yaitu digit terakhir NIM saudara (tinggi impuls harap disesuaikan dengan nilai b). Gambarlah respon sistem terhadap masukan sinyal x[n] dari soal 1. Dalam mencari respon sistem, tempuhlah proses seperti pada contoh gambar 4.3 dan gambar 4.4 di atas.

Properti Sistem Linier Kepemilikan memori. Sistem disebut tanpa memori bila keluaran pada suatu saat hanya tergantung masukan pada saat yang sama. Jadi keluaran tidak tergantung masukan pada saat yang lalu atau masukan pada saat sesudahnya. Karena unit impuls hanya mempunyai nilai di n=0 maka respon impuls sistem linier tanpa memori hanya mempunyai nilai di n=0. Dengan kata lain h[n] ≠ 0 untuk n=0 dan h[n]=0 untuk n ≠ 0. Untuk sistem linier tanpa memori, persamaan sistem adalah y[n]=kx[n] dengan k konstanta, dan respon impulsnya adalah h[n]=k δ [n]. Untuk sistem linier kontinyu tanpa memori, persamaan sistem adalah y(t)=kx(t) dengan k konstanta, dan respon impulsnya adalah h(t)=k δ (t). Apakah resistor merupakan sistem linier tanpa memori? Jika demikian, manakah konstanta sistemnya? Invertibilitas. Sistem invertibel adalah sistem yang dapat dicari sistem inversnya. Sistem invers membalik proses sistem utama. Jika keluaran sebuah sistem dimasukkan ke sistem invers, maka keluaran sistem invers itu akan sama dengan masukan dari sistem utama. Ide sistem invers banyak dipakai pada pemodelan sistem dengan menggunakan fungsi polynomial.

Pada gambar terdapat dua sistem dengan respon impuls h dan hI. Jika hI adalah sistem invers dari h, maka akan berlaku bahwa z = y * h, y = x * hI, dan z = x. Bayangkan h adalah sebuah sistem fisik dan hI adalah rangkaian op-amp. Maka keluaran z dari sistem fisik dapat diperoleh dengan memberi masukan x sebesar nilai z yang diinginkan. Konsep seperti ini diterapkan pada teknik kontrol dengan model invers. Kausalitas. Sistem kausal adalah sistem yang memberi respon setelah ada masukan. Pengaruh suatu masukan terasa pada saat itu juga dan atau terasa kemudian. Sebuah nilai keluaran dipengaruhi hanya oleh masukan pada saat yang sama atau pada saat yang lalu sehingga

Sinyal impuls satuan mengandung nilai di n = 0 atau t = 0, sehingga respon impuls sistem kausal hanya mengandung nilai di n ≥ 0 (diskret) atau di t ≥ 0 (kontinyu). Stabilitas. Sebuah sistem yang stabil akan memberikan respon yang berhingga jika masukannya berhingga. Jika masukan berhingga, maka agar keluaran berhingga haruslah respon impulsnya berhingga. Artinya

Penggunaan Metode Transformasi Penggunaan Metode Transformasi pada Sistem Kontinyu

Matematika muncul dalam upaya menjelaskan gejala alam/fisika secara simbolik dan konsisten. Misalnya, rumus Newton F=ma muncul untuk menjelaskan bahwa benda yang jatuh akan bergerak semakin lama semakin cepat. Di bidang analisis sistem, nama Fourier sangat terkenal. Dalam upaya menjelaskan gerakan mekanis yang periodis pada pegas, Fourier membuat rumusan yang disebut transformasi Fourier. Gerakan mekanis dalam hal ini disebut sinyal dan Fourier menyatakan bahwa setiap sinyal yang periodis dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier sinyal-sinyal sinusoidal. Pada pembahasan tentang konvolusi, kita diperkenalkan dan berhasil membuktikan bahwa setiap sinyal kontinyu sembarang dapat dinyatakan sebagai integral impuls-impuls. Dengan kata lain, setiap sinyal sembarang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier impuls-impuls atau:

Para ahli mengembangkan apa yang telah diperoleh Fourier. Hasilnya adalah rumusan yang menyatakan bahwa banyak sekali sinyal (tidak harus periodis) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier sinyal-sinyal sinusoidal: Ingat bahwa e jwt berbentuk sinusoidal dengan frekuensi w. Dalam rumusan di atas, H(jw) merupakan faktor pengali/faktor bobot yang disebut transformasi Fourier dari h(t). H(jw) dapat dihitung dengan rumus:

Lalu apa yang dapat diperoleh jika kita bisa menyatakan sebuah sinyal sebagai kombinasi linier sinyal-sinyal sinusoidal? Jika sebuah sistem linier mempunyai respon impuls h(t) dengan transformasi Fouriernya H(jw) dan sistem itu diberi masukan x(t)=e jwt, maka keluaran sistem adalah y(t)= h(t)*x(t), atau

Ternyata keluaran sistem terhadap masukan x(t)=e jwt adalah sama dengan e jwt dikalikan dengan H(jw) yaitu transformasi Fourier dari respon impuls! Contoh. Rangkaian RC seperti pada gambar dengan R=1kohm, C=1uF mempunyai respon impuls h(t)=e -1000tu(t). Transformasi Fourier dari h(t) adalah H(jw)=1/ (jw+1000). Jika diberi masukan x(t)=e j2t, yaitu sinyal sinusoidal dengan frekuensi w=2, maka keluarannya adalah y(t)=e j2tH(j2)=e j2t/(j2+1000). Pada contoh di atas, masukan berupa fungsi e j2t menghasilkan keluaran berupa fungsi e j2t dikalikan konstanta 1/(j2+1000). Dalam matematika, fungsi seperti ini disebut eigenfunction dan konstantanya disebut eigenvalue . Jika sinyal masukan dapat dinyatakan dalam bentuk transformasi Fourier yaitu X(jw), maka keluarannya adalah X(jw) dikalikan dengan H(jw) atau Y(jw) = X(jw)H(jw). Contoh. Jika rangkaian RC pada contoh di atas diberi masukan x(t)=u(t) yang mempunyai transformasi Fourier X(jw)=1/jw maka keluaran sistem adalah Y(jw) = X(jw)H(jw) = 1/(jw(jw+1000)). Sinyal keluaran adalah y(t) = invers transformasi Fourier dari Y(jw), yaitu y(t)=(1-e -1000t )u(t).

Bagaimana mengetahui atau menghitung transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier? Haruslah ada ketrampilan matematis yang tinggi untuk memahami cara mendapatkannya. Dari perkuliahan Metode Transformasi diketahui bahwa berbagai sinyal dasar telah dihitung transformasinya dan ditabelkan. Untuk sinyal-sinyal dasar, seperti u(t), transformasi dan invers transformasi dapat diketahui dengan melihat tabel. Untuk mencari transformasi sinyal yang bukan sinyal dasar teknisi harus mengetahui beberapa sifat operasi transformasi dan beberapa teknik untuk menguraikan sinyal menjadi penjumlahan sinyal-sinyal dasar. Tabel transformasi, sifat operasi transformasi dan beberapa teknik mencari transformasi lebih lanjut dapat dilihat di berbagai buku teks. Transformasi Fourier dari respon impuls sebuah sistem disebut juga respon frekuensi H(jw)=transformasi Fourier dari h(t)=respon frekuensi Respon frekuensi memperlihatkan bagaimana sistem mengubah amplitudo dan fase sinyal masukan periodis yang berfrekuensi. Respon frekuensi seringkali digambarkan dalam bentuk grafik yaitu grafik magnitudo dan grafik fase. Lebih lanjut tentang penggambaran respon frekuensi secara grafis akan dibahas pada bab tentang Bode Plot . Transformasi Fourier banyak dipakai di bidang komunikasi. Sebuah contoh kecil adalah grafik respon frekuensi pita kaset tergambar di sampul kaset sebagai penjelasan mutu pita kaset (pada pita kaset kosong yang dijual di toko-toko). Di samping transformasi Fourier, untuk sinyal kontinyu sering digunakan transformasi Laplace. Dalam transformasi Laplace, sebuah sinyal sembarang dinyatakan sebagai kombinasi linier sinyal-sinyal eksponensial kompleks e st dengan s=r+jw=bilangan kompleks atau

dan konstanta H(s) dihitung dengan rumusan

Sangat banyak kesamaan cara penggunaan transformasi Fourier dan Laplace. Contoh. Persoalan dengan rangkaian RC di atas dapat diselesaikan juga dengan transformasi Laplace. Transformasi Laplace dari u(t) adalah 1/s, sedangkan transformasi Laplace dari h(t)=e -1000tu(t) adalah H(s)=1/ (s+1000) sehingga respon sistem terhadap masukan u(t) adalah Y(s)=1/s(s+1000). Dalam analisis dan desain sistem dengan transformasi Laplace dikenal istilah transfer function atau fungsi alih. Transfer function adalah perbandingan Laplace sinyal keluaran dan Laplace sinyal masukan. Dalam contoh rangkaian RC di atas, transfer function rangkaian adalah Y(s)/X(s) = 1/(s+1000). Perhatikan bahwa dalam contoh itu Y(s)/X(s)= H(s). Perhatikan juga bahwa transfer function adalah transformasi Laplace dari respon impuls. Transformasi Laplace biasa digunakan di bidang teknik kontrol, pemrosesan sinyal dan berbagai bidang lain. Implementasi sistem linier dengan rangkaian op-amp akan dikaitkan dengan transfer function yang tidak lain adalah transformasi Laplace dari respon impuls. Realisasi sistem linier kontinyu dapat pula dikaitkan dengan bentuk transformasi Laplace. Kedua topik terakhir ini akan dibahas di bab-bab yang akan datang. Beberapa atribut/properti sistem linier dapat dikenali dari transfer functionnya. 1. Sistem linier tanpa memori mempunyai transfer function berupa konstanta, misalnya H(s)=5. 2. Sistem invers dari sistem yang diketahui transfer function lebih mudah diketahui. Jika H I(s) adalah sistem invers, maka H(s)HI(s)=1. Contoh: Diketahui H(s)=1/(s+1000). Sistem inversnya adalah HI(s)=1/H(s)=s+1000. 3. Stabilitas sistem linier dapat diuji dari transfer function. Lebih lanjut akan dibahas lagi di bab tentang Pole-Zero plot.

Penggunaan Metode Transformasi pada Sistem Diskret

Operasi konvolusi berlaku juga untuk sistem linier diskret yang disebut penjumlahan konvolusi:

dengan x[n] masukan, y[n] keluaran dan h[n] respon impuls. Rumusan konvolusi ini diperoleh dari kenyataan bahwa setiap sinyal diskret sembarang dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinyal-sinyal impuls. Dengan kata lain setiap sinyal diskret sembarang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier impulsimpuls atau

Untuk sistem diskret, dikembangkan juga bentuk transformasi. Banyak sekali sinyal diskret dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier sinyal eksponensial kompleks zk atau

Dalam rumusan ini, k adalah bilangan bulat, z adalah bilangan kompleks, dan integral dilakukan dalam sebuah lingkaran/kontur tertutup. H(z) merupakan faktor pengali/bobot yang disebut transformasi Z dari h(t) dan dapat dihitung dengan rumusan

Bagaimanakah jika masukan sistem linier diskret berupa sinyal x[n]=z n? Mengikuti rumusan konvolusi, keluaran sistem adalah:

Ternyata keluaran sistem terhadap masukan x[n]=z n sama dengan zn dikalikan dengan H(z) yaitu transformasi Z dari respon impuls h[n]. Jadi z n adalah eigenfunction pada sistem linier diskret dengan eigenvalue H(z). Jika sinyal masukan dapat dinyatakan dalam bentuk transformasi Z yaitu X(z), maka sinyal keluaran adalah X(z) dikalikan dengan H(z) atau Y(z)=X(z)H(z). Contoh. Sebuah filter digital mempunyai respon impuls h[n]=( δ [n] + δ [n-1])/2 yang transformasi Z-nya adalah H(z)=(1+z-1)/2. Filter tersebut diberi masukan x[n]=0.8 nu[n] dengan transformasi Z-nya X(z)=z/(z0.8). Keluaran filter adalah Y(z) = z(1+z-1)/2(z-0.8) = (z+1)/2(z-0.8) yang invers transformasi Z-nya adalah y[n]=(0.5)0.8nu[n]+(1.25)0.8nu[n-1]. Transformasi Z banyak dipakai dalam analisis dan desain pemroses sinyal digital seperti penapisan ( filtering ), identifikasi, estimasi sinyal, dan kontroler digital. Transfer function sistem linier diskret berbentuk transformasi Z dari respon impuls, yang juga merupakan perbandingan antara transformasi Z keluaran dengan transformasi Z masukan. Transfer function sistem diskret = H(z) = Y(z)/X(z) = transformasi Z dari h[n] LATIHAN Silakan lihat beberapa contoh latihan dengan metode transformasi. Latihan 5.1. Lihatlah lagi rangkaian RC seperti pada gambar. Misalkan nilai resistansi resistor = a kohm dan nilai kapasistansi kapasitor b uF (a=tiga digit terakhir, b=digit terakhir NIM). Misalkan rangkaian ini diberi nama

"rangkaian RC". 1. Gambarlah lagi rangkaian tersebut. 2. Tentukan transfer function dari sistem jika masukan adalah x(t) dan keluaran y(t) 3. Sekarang tukarlah letak R dan C pada rangkaian tersebut. Misalkan rangkaian ini diberi nama "rangkaian CR". Gambarlah rangkaiannya dan tentukan transfer function rangkaian. 4. Ujilah apakah rangkaian RC merupakan sistem invers dari rangkaian CR. 5. Tentukan respon impuls rangkaian CR, tentukan pula respon frekuensi rangkaian CR. 6. Misalkan rangkaian CR diberi masukan unit step, tentukan keluarannya dan gambarlah dengan MatLab. 7. Misalkan rangkaian CR diberi masukan e -tu(t), tentukan keluarannya dan gambarlah dengan MatLab. Latihan 5.2. Sebuah sistem linier diskret mempunyai respon impuls h[n] = (a/200) nu[n] dengan a adalah tiga digit terakhir NIM. Sistem diberi masukan sebuah sinyal x[n]=u[n-b] dengan b adalah digit terakhir NIM. Tabel transformasi Z terlampir cukup untuk digunakan dalam menyelesaikan soal tugas ini. 8. Tentukan transfer function sistem. 9. Carilah y[n] dengan metode transformasi Z. 10. Gambarlah dengan MatLab sinyal h[n], sinyal x[n], dan sinyal y[n].

Pole-Zero Plot dan Bode-Plot Transfer function Transfer function memberi gambaran lengkap tentang sebuah sistem linier. Jika transfer function suatu sistem diketahui, keluaran sistem terhadap berbagai bentuk masukan dapat dihitung, misalnya dengan metode transformasi. Jika transfer function diketahui, respon impuls dapat dihitung dengan invers transformasi. Dan jika respon impuls diketahui, respon sistem terhadap sembarang sinyal dapat dihitung dengan konvolusi. Oleh karena itu sistem linier sering digambarkan/dinyatakan dengan transfer function. Patut diingat bahwa transfer function sistem linier kontinyu dinyatakan dalam bentuk transformasi Laplace dan transfer function sistem linier diskret dinyatakan dalam bentuk transformasi Z. Secara definitif, transfer function sistem kontinyu adalah perbandingan transformasi Laplace sinyal keluaran dan transformasi Laplace sinyal masukan, sedangkan transfer function sistem diskret adalah perbandingan transformasi Z sinyal keluaran dan transformasi Z sinyal masukan. Transfer function sistem linier biasanya dinyatakan dalam bentuk fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang merupakan rasio dua polinomial. Polinomial yang merupakan pembilang disebut numerator dan polinomial yang merupakan penyebut disebut denominator.

Contoh 1. Fungsi rasional H(s)=1/(s+1) mempunyai gain K=1, numerator N(s)=1 dan denominator D(s)=s+1. Contoh 2. Fungsi rasional H(z)=z/(z-0.7) mempunyai gain K=1, numerator N(z)=z dan denominator D(z)=z0.7 Contoh 3. Fungsi rasional H(s)=5/s(s+2)=5/s 2+2s mempunyai gain K=5, numerator N(s)=1 dan denominator D(s)=s(s+2)=s2+2s. Contoh 4. Fungsi rasional H(s)=(2s+1)/s 2+2 mempunyai gain K=2, numerator N(s)=s+0.5 dan denominator D(s)=s2+2.

Pole, Zero dan Pole-Zero Plot

Setiap polinomial P(x) mempunyai nilai nol. Nilai nol adalah suatu nilai x yang menyebabkan polinomial P(x)=0. contoh 1. Nilai nol polinomial P(x)=x+1 adalah x=-1 sebab jika nilai x=-1 dimasukkan ke persamaan polinomial, maka P(-1)=-1+1=0. contoh 2. Nilai nol polinomial P(x)=x 2+x-2 adalah x=1 sebab jika nilai x=1 dimasukkan ke persamaan polinomial, maka P(1)=1 2+1-2=0. Nilai nol yang lain adalah x=-2 sebab P(-2)=(-2) 2-2-2=0. contoh 3. Nilai nol polinomial P(x)=x 2+2x+5 adalah x=-1+2j dan x=-1-2j sebab P(-1+2j)=(-1+2j) 2+2(-1+2j) +5=0 dan P(-1-2j)=(-1-2j)2+2(-1-2j)+5=0. Perhatikan bahwa nilai nol bisa berupa bilangan kompleks. Numerator dan denominator pada fungsi rasional juga mempunyai nilai nol. Nilai nol dari numerator disebut ZERO dan nilai nol dari denominator disebut POLE. Pole dan zero merupakan bilangan kompleks. Gambaran grafis pole dan zero tentulah pada bidang kompleks. Gambaran grafis pole dan zero pada bidang kompleks disebut pole-zero plot. Contoh 1. Sebuah sistem mempunyai transfer function H(s)=1/(s+1). Maka zeronya tidak ada, dan polenya terletak di s=-1. Contoh 2. Sistem diskret H(z)=z/(z-0.7) mempunyai zero di z=0 dan pole di z=0.7. Contoh 3. Sistem H(s)=5/s(s+2) tidak mempunyai zero dan mempunyai pole di s=0 dan s=-2. Contoh 4. Sistem H(s)=(s+2)/(s2+2s+5) mempunyai zero di s=-2 dan pole di s=-1-j2 dan s=-1+j2. Pole zero plot dari keempat sistem pada contoh 1 sampai contoh 4 terlihat pada gambar ini. Ingat keempatnya merupakan bidang kompleks, sumbu mendatar adalah bagian riel dan sumbu vertikal adalah bagian imajiner.

Nilai nol polinomial dengan mudah dapat dihitung dengan MatLab. Perintah yang digunakan adalah roots. Sebagai contoh untuk mencari nilai nol dari polinomial s 2+2s+5 maka dimasukkan perintah berikut:

POL=[1 2 5];roots(POL) maka akan muncul jawaban ans = -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i Perhatikan: untuk mencari nilai nol polinomial s 3+4s, maka perintah yang dimasukkan adalah

POL=[1 0 4 0];roots(POL) Jika pole dan zero sebuah sistem diketahui, maka transfer function sistem dapat dihitung asalkan gain sistem juga diketahui. Contoh 1. Sistem dengan gain=2, zero tidak ada dan pole di s=-2 mempunyai numerator N(s)=1, denominator D(s)=s+2 sehingga transfer functionnya adalah H(s)=2/(s+2) Contoh 2. Sistem dengan gain=4, zero di s=-1, dan pole di s=-1+j dan s=-1-j mempunyai numerator N(s)=s+1, denominator D(s)=(s+1-j)(s+1+j)=s2+2 sehingga transfer functionnya adalah H(s)=4(s+1)/(s 2+2)

Respon frekuensi Respon frekuensi memberikan gambaran tentang cara sistem mengolah sinyal berfrekuensi. Respon frekuensi dapat diperoleh dari transfer function dengan mengganti variabel s pada transfer function dengan jω . Respon frekuensi tidak lain adalah transformasi Fourier dari respon impuls. Bandingkan tabel

transformasi Fourier dengan tabel transformasi Laplace. Tampak bahwa tabel transformasi Fourier dapat diperoleh dari tabel transformasi Laplace dengan mengganti s dengan j ω . Contoh 1. Sistem H(s)=1/(s+1) mempunyai respon frekuensi H(j ω )=1/(jω +1) Contoh 2. Sistem H(s)=(s+2)/(s2+2s+5) mempunyai respon frekuensi H(j ω ) =(jω +2)/((jω )2+2jω +5).

Bode Plot Respon frekuensi merupakan fungsi kompleks. Fungsi seperti ini dapat dinyatakan secara secara kartesian dengan penjumlahan fungsi riel dan fungsi imajiner. Atau dapat pula secara polar dengan fungsi magnitudo dan fungsi sudut/fase.

Contoh:

Contoh. Jika sistem H(s)=1/(s+1) diberi masukan x(t)=sin 50t bagaimana keluarannya? Jawab. Sinyal masukan adalah sinyal berfrekuensi dengan amplitudo 1 dan frekuensi 50 rad/s dan fase=0 radian. Respon frekuensi sistem adalah H(j ω ) =1/(jω +1) sehingga untuk frekuensi ω =50 diperoleh H(j50)=1/(j50+1). Dari sini diperoleh magnitudo=|H(j50)|= 0.0995 dan fase= ∠ H(j50)=arctan(1/50)=0.02 radian=1.15°. Maka keluaran adalah y(t)=0.0995 sin(50t+0.02). Respon frekuensi dapat digambarkan secara grafis. Untuk menyatakan respon frekuensi secara grafis diperlukan dua grafik. Yang satu adalah grafik magnitudo terhadap frekuensi dan yang lain adalah grafik fase terhadap frekuensi. Umumnya, sumbu frekuensi digambarkan secara logaritmis. Sedangkan magnitudo dinyatakan dalam dB (desiBell) di mana (X dalam dB)=(20 log X). Bentuk seperti yang terakhir ini disebut Bode plot. Di bawah ini adalah gambar Bode plot untuk sistem H(s)=1/(s+1) seperti yang digambar oleh

MatLab.

Respon sistem terhadap masukan berfrekuensi dapat diperkirakan dengan melihat grafik. Perhatikan bahwa sumbu mendatar adalah sumbu frekuensi dengan skala logaritmis. Titik paling kiri dari sumbu mendatar adalah frekuensi ω =10-1=0.1. Tepat di tengah sumbu mendatar adalah frekuensi ω =100=1. Dan titik paling kanan sumbu mendatar adalah frekuensi ω =101 =10. Inilah yang dimaksud skala logaritmis. Sumbu vertikal grafik fase adalah sudut dalam derajat (bukan radian) seperti yang biasa dipakai orang. Sumbu vertikal grafik magnitudo adalah dalam dB. Perlu diketahui bahwa untuk rangkaian penguat elektronik magnitudo sistem disebut juga gain (atau penguatan). Jika Bode plot sistem tersedia, respon sistem terhadap masukan berfrekuensi dapat dihitung secara grafis (tentunya ketelitiannya rendah). Nilai magnitudo dan fase yang ditunjukkan oleh grafik adalah perubahan yang dilakukan oleh sistem terhadap magnitudo dan fase sinyal. Contoh 1. Jika sinyal x(t)=2 sin(5t+50°) dimasukkan ke sistem dengan bode plot seperti tergambar di atas, bagaimana sinyal keluarannya? Jawab: sinyal masukan mempunyai magnitudo = 2, fase=50°, dan frekuensi=5 radian/detik. Dari Bode plot dapat dilihat bahwa untuk frekuensi 5 rad/det respon sistem untuk magnitudo adalah sekitar -14dB dan respon sistem untuk fase sekitar -80°. Magnitudo -14dB setara dengan magnitudo sebesar 10-14/20 =10-0.7=0.1995. Maka sinyal keluaran mempunyai magnitudo 2*0.1995=0.399 dan fase 50°-80°=-30° Jadi sinyal keluaran adalah y(t)=0.399sin(5t-30°). Contoh 2. Sinyal x(t)=10 cos (t+20°) dimasukkan ke sistem dengan Bode plot seperti di atas. Tentukan sinyal keluarannya. Jawab: Masukan: magnitudo=10, fase =20°, frekuensi =1 ra d/det. Respon untuk frek. 1 rad/det: fase=-45°, magnitudo=-3dB=10 -3/20=10-0.15 =0.7 Keluaran: magnitudo=10*0.7=7, fase=20°-45°=-25° Jadi sinyal keluaran adalah y(t)=7cos(t-25°). Latihan 6. Topiknya adalah pole-zero plot dan bode plot dan antara lain menggunakan MatLab. Program MatLab dapat dipelajari. Perhatikan bahwa grafik pada MatLab dapat di-zoom jika diperlukan. Pada soal-soal ini, a=tiga digit terakhir NIM, dan b=digit terakhir NIM. Soal 1. Sebuah sistem mempunyai respon impuls h(t)=be -atu(t). Tentukan transfer function sistem. Tentukan numerator dan denominator. Dan tentukan pole dan zeronya. Soal 2. Untuk sistem berikut ini: H(z)=[1-2z -1+az-2]/[1-4z-b] tentukan numerator dan denominator dan tentukan pole dan zeronya. Soal 3. Untuk sistem dengan respon impuls seperti pada soal 1, tentukan respon frekuensi. Soal 4. Untuk sistem yang mempunyai gain=2, zero di s=0, dan pole di s=-b+ja dan s=-b-ja, tentukan numerator, denominator dan transfer function. Soal 5. Untuk sistem dengan respon frekuensi seperti pada soal 3, jika diberi masukan sinyal x(t)=b sin (100at), tentukan keluarannya.

Soal 6. Dengan MatLab gambarlah pole-zero plot dari sistem seperti pada soal 2. Soal 7. Dengan MatLab gambarlah Bode plot dari sistem dengan transfer function: H(s)=a/(s2+s+b). Soal 8. Dari gambar Bode plot pada soal 7 tentukan gain sistem untuk frekuensi a rad/det.







Sedangkan pada transfer function sistem terdapat tiga operasi matematis yang muncul:

• • •


Namun operasi perpangkatan variabel z pada bentuk transfer function setara dengan proses tundaan pada persamaan bedaan sistem diskret. Dan operasi perpangkatan variabel s setara dengan operasi pendiferensialan pada sistem kontinyu. Jika transformasi Laplace dari sinyal y(t) adalah Y(s), maka transformasi Laplace dari dy(t)/dt adalah sY(s) dan transformasi Laplace dari d my(t)/dtm adalah smY(s). Jika transformasi Z dari y[n] adala Y(z) maka transformasi Z dari y[n-1] adalah z -1Y(z) dan transformasi Z dari y[n-k] adalah z -k Y(z). Kini jelaslah bahwa diperlukan tiga macam komponen untuk merealisasikan sistem linier, yaitu 1. Penjumlah: untuk merealisasikan proses penjumlahan, untuk sistem kontinyu dan diskret. 2. Pengali=Penguat=Gain: untuk merealisasikan proses perkalian dengan konstanta, untuk sistem kontinyu dan diskret. 3. Tundaan: untuk merealisasikan proses tundaan, untuk sistem diskret atau Differensiator/derivatif: untuk merealisasikan proses pendiferensialan, untuk sistem kontinyu atau Integrator: untuk merealisasikan proses integral yang merupakan kebalikan proses pendiferensialan, untuk sistem kontinyu. Komponen dan Bentuk

Penjumlah:

Pengali:

Diferensiator=Derivatif:

Integrator:

Tundaan=Delay:

Sinyal Masukan x(t), y(t) X(s), Y(s) x[n], y[n]

Sinyal Keluaran x(t)+y(t) X(s)+Y(s) x[n]+y[n]

X(z), Y(z)

X(z)+Y(z)

x(t) X(s) x[n]

Ax(t) AX(s) Ax[n]

X(z)

AX(z)

x(t)

dx/dt

X(s)

sX(s)

x(t) X(s)

X(s) s

x[n]

x[n-1]

X(z)

z -1X(z) = X(z)/z

Realisasi Langsung Bentuk I Ada beberapa konfigurasi dalam realisasi yaitu realisasi langsung, realisasi paralel, realisasi kaskada, realisasi ladder, dan lain-lain. Di sini hanya akan dikenalkan mengenai Realisasi Langsung melalui contohcontoh. Contoh-contoh berikut ini mengenai realisasi sistem diskret. Contoh 1. Realisasikan sistem ini: y[n]=2x[n-1] Jawab: Masukan sistem adalah x[n] dan keluarannya adalah y[n]. Setelah melewati pengali gain=2 maka sinyal x[n] berubah menjadi sinyal 2x[n]. Dan setelah melewati tundaan, sinyal 2x[n] berubah menjadi sinyal 2x[n-1].

Contoh 2. Realisasikan sistem ini: y[n]=3x[n]-x[n-1] Jawab: Sinyal masukan dialirkan ke dua komponen. Satu menuju pengali dengan gain=3 dan satu lagi menuju pengali dengan gain=-1 dan tundaan. Sete lah itu kedua sinyal dijumlahkan dan menghasilkan sinyal 3x[n]-x[n-1].

Contoh 3. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.9y[n-1]=x[n] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.9y[n-1]+x[n]

Contoh 4. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.6y[n-1]+0.5y[n-2]=x[n-1] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.6y[n-1]-0.5y[n-2]+x[n-1]

Contoh 5. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.4y[n-1]=x[n]-2x[n-1] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.4y[n-1]+x[n]-2x[n-1]

Contoh 6. Realisasikan sistem ini: Y(z)=X(z)-3z -1X(z) Jawab:

Contoh 7. Realisasikan sistem ini: H(z)=1/(1-z -1) Jawab: H(z) adalah transfer function yang sama dengan Y(z)/X(z). Jadi persamaan di atas dapat diubah menjadi Y(z)/X(z)=1/(1-z -1) Y(z)(1-z -1)=X(z) Y(z)-z -1Y(z)=X(z) Y(z)=z -1Y(z)+X(z) dengan realisasi:



dengan realisasi:



dengan realisasi:

Contoh 10. Realisasikan sistem pada soal 9 dengan menggunakan komponen Integrator: Jawab: Agar dapat direalisasikan dengan komponen integrator, diusahakan agar numerator dan denominator bukan merupakan perpangkatan s melainkan perpangkatan s -1. Karena itu numerator dan denominator pada persamaan di atas masing-masing dibagi dengan s sehingga diperoleh persamaan yang dapat diubah menjadi:

dengan realisasi:

Contoh 11. Realisasikan sistem ini dengan komponen integrator:

Jawab: Dengan membagi numerator dan denominator dengan s 2, persamaan di atas berubah menjadi:

dengan realisasi:

Realisasi Langsung Bentuk II Realisasi Langsung Bentuk II merupakan modifikasi dari realisasi langsung bentuk I dengan keuntungan berupa jumlah tundaan/integrator yang minimal. Perhatikan realisasi sistem pada contoh 5 di atas yang digambarkan lagi di bawah ini.

Realisasi sistem di atas menggunakan dua buah komponen tundaan. Berdasarkan sifat asosiatif sistem linier, realisasi di atas dapat diubah menjadi bentuk seperti di bawah ini.

Pada gambar terakhir ini, terlihat bahwa kedua komponen tundaan itu mempunyai sinyal masukan yang sama. Karena itu cukup digunakan satu komponen tundaan seperti gambar di bawah ini:

Bentuk seperti inilah yang dimaksud dengan realisasi langsung bentuk II yang secara umum lebih baik dari realisasi langsung bentuk I. Latihan 7. Topiknya adalah realisasi sistem linier, dan simulasi sistem dengan MatLab/Simulink. Simulink adalah salah satu TOOLBOX dari MatLab. Jika MatLab diinstal lengkap, maka salah satu komponennya adalah Simulink. Tentang MatLab/Simulink dapat dipelajari. Ingat a=tiga digit terakhir NIM, b=digit terakhir NIM. Soal 1. Realisasikan sistem berikut ini: y[n]= ax[n-1] Soal 2. Gunakan Realisasi Langsung Bentuk II untuk merealisasi sistem y[n]-y[n-b]=x[n]-0.5x[n-1] Soal 3. Realisasikan sistem ini dengan integrator H(s)=(s+a)/(s b+2) Soal 4. Sebuah sistem diskret mempunyai gain K=2, zero di z=b/10 dan di z=a/200 dan pole di z=b/a dan di z=0.6, tentukan transfer functionnya dan realisasikan sistem dengan realisasi langsung bentuk II. Soal 5. Hitunglah transfer function sistem invers dari sistem pada soal 4. Beri nama H I(z). Soal 6. Realisasikan H I(z) dari soal 5 dengan realisasi langsung bentuk II. Soal 7. Buatlah model simulink dari H(z) dan H I(z) dalam bentuk seperti gambar di bawah ini

Gunakan komponen Step sebagai sumber sinyal. Gunakan Sample time=0.1 detik. Jalankan simulasi. Dan print bentuk sinyal yang dikeluarkan oleh osiloskop. Soal 8. Ulangi soal 7 untuk sumber sinyal Sinusoidal dengan amplitudo=1 dan frekuensi 1 hertz. Jangan lupa untuk menyetel Sample time=0.1 detik.

Implementasi Sistem Linier Kontinyu dengan Rangkaian Op-Amp UNDER CONSTRUCTION

Latihan 8. (updated Nov 30, 2000)

Pengantar tentang sistem, sinyal dan sistem linier

Sistem

Berbicara tentang sistem berarti berbicara tentang sekumpulan elemen/unsur yang menyusun sistem, dan berbicara tentang cara berhubungan antara elemen-elemen penyusun itu. Umumnya pengertian sistem menyangkut sesuatu yang tersusun dari elemen-elemen. Jadi sebuah komponen tidak dapat disebut sistem. Tapi secara mikroskopis, sebuah elemen juga tersusun dari elemen-elemen yang lebih kecil sehingga dapat disebut sistem juga. Elemen-elemen penyusun sistem mempunyai perilaku yang khas dalam sistem, atau mempunyai tugas yang spesifik yang tidak dapat digantikan oleh elemen lain. Jika sebuah elemen penyusun sistem tidak ada, maka sistem menjadi tidak ada atau sistem berganti menjadi sistem lain. Tabel ini mendaftar contoh beberapa sistem berikut elemen penyusun dan fungsi setiap elemen. Sistem

Sistem audio

Tata surya

Elemen

Fungsi elemen

Mekanik playback

Mengubah sinyal magnetis dari kaset ke sinyal elektris

Penguat

Memperkuat sinyal elektris

Speaker

Mengubah sinyal elektris menjadi sinyal suara/audio

Tombol volume

Mengubah penguatan penguat

Matahari

Pusat tata surya

Planet

Mengitari pusat tata surya

Satelit

Mengitari planet

Sistem audio mempunyai empat elemen, jika salah satunya tidak ada, maka tidak dapat lagi disebut sistem audio. Tanpa penguat dan mekanik playback, sistem dikatakan rusak. Tanpa speaker, sistem tidak lengkap dan tidak dapat dimanfaatkan. Tanpa tombol volume, semua orang akan tertawa. Hal yang penting untuk disepakati ketika seseorang berbicara tentang sistem teknik adalah model sistem. Memodelkan sebuah sistem berarti menyepakati besaran keluaran sistem, lalu menentukan masukan sistem dan akhirnya menentukan hubungan antara keluaran dan masukan itu. Persamaan matematis dapat disebut model sistem, yaitu model komponen elektronik resistor. Dalam model ini, besaran keluaran yang disepakati adalah arus resistor, sehingga masukannya adalah tegangan dan hubungan antaran keluaran dan masukan adalah persamaan matematis itu sendiri. Diagram blok berikut ini menyatakan bentuk umum dari sistem:

Bentuk diagram blok di atas sudah dapat disebut model. Dalam bentuk diagram blok, biasanya besaran masukan dan keluaran sudah diketahui, dan dapat pula persamaan matematisnya sudah diketahui dan dicantumkan pada label blok. Diagram blok sebuah resistor dengan keluaran arus adalah seperti berikut:

Jika keluaran sistem telah disepakati, maka penentuan masukan haruslah mengandung alasan (argumentasi). Alasan itu diperoleh dari fakta fisik sistem bahwa jika masukan diubah-ubah maka keluaran berubah. Jika arus disepakati sebagai keluaran sistem resistor, maka tegangan adalah masukan. Alasannya adalah jika tegangan resistor diubah-ubah maka arus resistor berubah. Pemodelan tidak dimaksudkan untuk mendapatkan kebenaran mutlak tentang sistem yang dimodelkan. Pemodelan dimaksudkan untuk memperoleh manfaat dari model dan kebenarannya adalah kondisional dalam batas-batas yang dipersyaratkan. Terhadap resistor berlaku persamaan matematis . Artinya jika sebuah resistor 1 Ω diberi input berupa tegangan 1 V maka akan diperoleh output berupa arus sebesar 1 A. Persamaan di atas berlaku dalam batas batas tertentu. Resistor 1 Ω 5 watt dapat diberi tegangan 1 V untuk dan menghasilkan arus 1 A, tapi resistor itu tidak dapat diberi tegangan 10 V karena akan menyebabkan resistor berada di luar batas yang diijinkan. Arus sebesar 10 A yang dihasilkan akan menyebabkan daya sebesar 100 watt masuk ke resistor dan merusak resistor itu. Resistor menjadi short atau resistor menjadi putus sehingga sesaat kemudian catu daya menjadi rusak atau tidak ada arus sama sekali yang mengalir. Contoh-contoh tentang penentuan masukan sistem beserta alasannya tersaji pada tabel. Sistem

Keluaran

Masukan

Alasan

Filamen setrika

panas

arus

Jika diberi arus filamen mengeluarkan panas. Semakin besar arus, semakin besar panas yang dikeluarkan filamen.

Bendungan

aliran air ke persawahan

posisi pintu air

Semakin tinggi posisi pintu air, semakin banyak air mengalir

Sepeda motor

kecepatan

posisi handel Semakin besar sudut handel gas, semakin cepat gas sepeda motor berlari

Tugas 1. Carilah dua sistem lain. Tentukan/pilih keluarannya. Tentukan masukannya, sertakan alasannya. Kerjakan pada kertas double-folio bergaris. Gunakan tinta biru atau gunakan kertas bergaris biru. (updated 3 Maret 2002)

Sinyal

Kata lain sinyal adalah isyarat. Tapi penggunaan sehari-hari kata "sinyal" dan kata "isyarat" sedikit berbeda. Seseorang menyuruh diam dengan meletakkan telunjuk ke bibir disebut memberi isyarat. Kereta berangkat menunggu sinyal dari petugas PPKA berupa tiupan peluit. Dalam pembicaraan tentang sistem teknik, kedua kata di atas adalah sama. Sinyal adalah besaran yang diamati dalam selang waktu tertentu. Dalam selang waktu yang dimaksud, biasanya besaran berubah secara dinamis. Dalam keseharian dikenal sinyal suara atau sinyal gambar yang besarannya senantiasa berubah terhadap waktu. Namun besaran yang tidak berubah terhadap waktu secara teknis disebut sinyal juga asalkan merupakan pengamatan dalam selang waktu tertentu. Sehingga cahaya yang keluar dari sebuah lampu (meskipun intensitasnya tetap) disebut sinyal cahaya. Sebuah sepeda motor mempunyai besaran fisik: berat, warna, ukuran, kecepatan, jumlah persnelling, dan lain-lain. Semuanya adalah sinyal yang dikeluarkan oleh sepeda motor jika diamati dalam selang waktu tertentu. Namun di antara besaran-besaran yang dimiliki oleh

sepeda motor, mungkin hanya kecepatan yang sifatnya dinamis, besaran lain bersifat statis. Oleh karena itu kecepatan merupakan besaran yang paling banyak diamati/diperhatikan untuk sepeda motor. Pembicaraan tentang sistem seringkali melibatkan pembicaraan tentang sinyal. Sistem dikenali dari sinyal yang dikeluarkannya, dan sistem diamati karena ada dinamika sinyal padanya. Masukan dan keluaran sistem berwujud sinyal. Masukan dari sistem audio adalah sinyal magnetis dari pita kaset dan keluarannya adalah sinyal suara. Dalam sistem bendungan, aliran air ke persawahan adalah sinyal, aliran air dari hulu adalah sinyal, hujan adalah sinyal, pengubahan posisi pintu air oleh petugas irigasi adalah sinyal, bahkan watt listrik yang dihasilkan (jika ada PLTA-nya) adalah sinyal. Secara teknis sinyal dibedakan menurut keberadaan dan nilai besarannya. Gambar berikut ini memperlihatkan empat macam sinyal yaitu: sinyal kontinyu (analog), sinyal kontinyu terkuantisasi, sinyal diskret, dan sinyal diskret terkuantisasi (digital).

Sinyal kontinyu merupakan bentuk kebanyakan sinyal yang ada di alam. Debit aliran air sungai, arus listrik yang masuk ke sebuah rumah pelanggan PLN dan suhu suatu ruangan adalah contohnya. Sinyal kontinyu mempunyai nilai di semua waktu dan nilainya bisa berapa saja. Sinyal kontinyu terkuantisasi mempunyai nilai di semua waktu tapi nilainya hanya tertentu saja. Contohnya adalah nilai tukar rupiah terhadap dollar, atau harga suatu barang di toko. Sinyal diskret mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya bisa berapa saja. Contohnya adalah data harian curah hujan di Solo, atau nilai indeks harga saham gabungan di bursa pada saat penutupan transaksi. Sinyal diskret terkuantisasi mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya hanya tertentu. Contohnya adalah sinyal komunikasi digital. Pembicaraan dalam kuliah sistem linier secara umum adalah menyangkut sinyal kontinyu dan diskret yang tidak terkuantisasi. Sistem Linier

Sistem linier adalah sistem dengan sifat khusus berupa linieritas. Artinya hubungan masukan dan keluarannya bersifat linier. Jika digambar pada grafik hubungan itu berupa garis lurus. Namun gambaran

grafis berupa garis lurus hanya berlaku pada saat sistem berada pada kondisi mantap (steady) dan bukan pada kondisi transisi (transien). Jika resistor tiba-tiba diberi tegangan, arus resistor tidak langsung muncul sesuai hukum ohm. Ada masa transisi dari kondisi belum diberi tegangan (kondisi awal) menuju kondisi mantap (meskipun hanya dalam hitungan mikrodetik ata u nanodetik). Hukum ohm hanya berlaku pada kondisi mantap. Kondisi transisi ini tidak diperhatikan pada desain rangkaian elektronik biasa, tapi kondisi ini menjadi perhatian pada sistem frekuensi tinggi di mana sinyal berubah dengan sangat cepat. Ada dua alasan penting mengapa studi sistem linier menjadi perlu: 1. Model sistem linier dapat dipelajari lebih mudah dan pembahasannya telah mendalam. Alat bantu analisis dan desain sistem linier telah banyak tersedia. 2. Kebanyakan sistem fisik dapat dimodelkan dengan sistem linier. 3. Tugas 2.

Pada gambar di atas tampak dua sinyal kontinyu x(t) dan h(t). Perhatikan bahwa sinyal x(t) mempunyai garis miring yang berawal dari titik (0,2) dan berakhir di titik (b,-1) dengan b adalah digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. x(t)h(t) b. x(t-1)h(2t/3) Kerjakanlah dulu soal latihan 2 bila saudara masih kesulitan mengerjakan soal tugas ini.

Tugas 3.1 Tugas 3 ini masih menyangkut topik sinyal. Sinyal x(t), h(t), dan h[n] pada soal-soal latihan berikut ini mempunyai bentuk seperti sinyal pada

soal latihan 2. Sinyal-sinyal u(t), δ (t), u[n], δ [n] masing-masing adalah sinyal tangga satuan kontinyu, impuls satuan kontinyu, tangga satuan diskret, dan impuls satuan diskret. Parameter b pada soal adalah digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. h(t/2)u(t-b) b. u[-n+b]h[n] c. h[2n+4]+h[n/2] Tugas 3.2. Tulislah kembali program MatLab berikut ini (sebagai M-file) dan jalankan.

function sltg3 global a b a = 120; %gantilah a dengan tiga digit terakhir NIM saudara b = 20; %gantilah b dengan digit terakhir NIM saudara t= choose(a,b);

figure(1);clf; subplot(2,1,1);plot(t, subplot(2,1,2);plot(t, figure(2);clf; subplot(2,1,1);plot(t, subplot(2,1,2);plot(t,

x(t)),ylabel('x(t)'),grid; x(t-a)),ylabel('x(t-a)'),grid; x(b*t)),ylabel('x(bt)'),grid; x(b*t-a)),ylabel('x(bt-a)'),grid;

function [x]=x(t) x=0*t; for k=1:length(t) x(k)=f(t(k)); end; function [f]=f(t) global a b if t<-b f=0; elseif and(t>=-b,t<2*b) f=b; elseif and(t>=2*b,t=20,a<50) y=linspace(-15, 110, 2000); elseif and(a>=50,a<100) y=linspace(-20, 210, 2000); else y=linspace(-20,400,2000); end; Program ini menggambar sinyal y(t), y(t-a) pada window berjudul Figure 1. dan sinyal y(bt) dan sinyal y(bt-a) pada window berjudul Figure 2. Isilah nilai a dan b pada program dengan a=tiga digit terakhir NIM dan b=digit terakhir NIM saudara. Klik Sekilas Penggunaan MatLab untuk penggunaan MatLab dalam rangka tugas ini. a. Bandingkan sinyal y(t) dan sinyal y(bt). Beri komentar! b. Bandingkan sinyal y(t) dan sinyal y(t-a). Hitunglah pergeseran sinyal menurut gambar. Apakah pergeseran itu sesuai dengan teori? c. Bandingkan sinyal y(bt) dan sinyal y(bt-a). Apakah pergeseran itu sesuai dengan teori?

Tugas 4. Konvolusi

1. Buatlah sebuah sinyal diskret sembarang yang paling sedikit mempunyai enam impuls. Beri nama sinyal tersebut x[n]. Setiap mahasiswa tidak diperkenankan membuat bentuk sinyal yang sama. Uraikan sinyal x[n] itu menjadi sinyal-sinyal penyusunnya (seperti contoh pada gambar 4.1 pada uraian tentang konvolusi). Gunakan tinta biru atau kertas double folio bergaris biru.

2. Misalkan terdapat sebuah sistem diskret dengan respon impuls seperti pada gambar. Perhatikan bahwa impuls ketiga mempunyai tinggi sebesar b yaitu digit terakhir NIM saudara (tinggi impuls harap disesuaikan dengan nilai b). Gambarlah respon sistem terhadap masukan sinyal x[n] dari soal 1. Dalam mencari respon sistem, tempuhlah proses seperti pada contoh gambar 4.3 dan gambar 4.4 pada uraian tentang konvolusi.

Tugas 5. Seperti biasa, gunakan double folio bergaris biru atau tinta biru. Pada lembar print dengan komputer, tulislah NIM dan nama di sudut kanan atas dengan tinta biru. Klik latihan dengan metode transformasi untuk melihat beberapa contoh latihan. Tugas 5.1. Lihatlah gambar rangkaian RC di samping. Misalkan nilai resistansi resistor = a/2 kohm dan nilai kapasistansi kapasitor b uF (a=tiga digit terakhir, b=digit terakhir NIM). Misalkan rangkaian ini diberi nama "rangkaian RC". 1. Gambarlah lagi rangkaian tersebut. 2. Tentukan transfer function dari sistem jika masukan adalah x(t) dan keluaran y(t) 3. Sekarang tukarlah letak R dan C pada rangkaian tersebut. Misalkan rangkaian ini diberi nama "rangkaian CR". Gambarlah rangkaiannya dan tentukan transfer function rangkaian. 4. Ujilah apakah rangkaian RC merupakan sistem invers dari rangkaian CR.

5. Tentukan respon impuls rangkaian CR, tentukan pula respon frekuensi rangkaian CR. 6. Misalkan rangkaian CR diberi masukan unit step, tentukan keluarannya dan gambarlah dengan MatLab. 7. Misalkan rangkaian CR diberi masukan e -tu(t), tentukan keluarannya dan gambarlah dengan MatLab. Tugas 5.2. Sebuah sistem linier diskret mempunyai respon impuls h[n] = (a/400) nu[n] dengan a adalah tiga digit terakhir NIM. Sistem diberi masukan sebuah sinyal x[n]=u[n-b] dengan b adalah digit terakhir NIM. Tabel transformasi Z terlampir cukup untuk digunakan dalam menyelesaikan soal tugas ini. 8. Tentukan transfer function sistem. 9. Carilah y[n] dengan metode transformasi Z. 10. Gambarlah dengan MatLab sinyal h[n], sinyal x[n], dan sinyal y[n].

Realisasi Sistem Linier

Recommend Documents