2A : Réacteurs non-idéaux
ECOULEMENTS DANS LES REACTEURS DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR
H. DELMAS A.M. WILHELM
PLAN DU COURS :
I-DTS : définitions II- DTS : détermination expérimentale II-1- Traceur II-2- Injection-impulsion II-3- Injection-échelon II-4- Méthode des deux mesures III- MOMENTS IV- REACTEURS IDEAUX IV-1- Réacteur parfaitement mélangé IV-2- Réacteur piston V- EXPLOITATION D’UNE EXPERIENCE DE DTS V-1- Forme adimensionnelle V-2- Echantillonnage V-3- Diagnostiques de mauvais fonctionnements V-4- Réacteurs polyphasiques VI- MODELES D’ECOULEMENT VI-1- Bacs en cascade VI-2- Modèle piston-dispersion VI-3- Association de réacteurs idéaux VII- CONSEQUENCES DES NON-IDEALITES EN REACTION VII-1- Bacs en cascade-Associations de réacteurs idéaux VII-2- Modèle piston-dispersion VII-3- Modèle des filets en parallèle
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Introduction Réacteur ouvert en régime d’écoulement permanent. Temps de séjour d’une molécule : temps passé par une molécule dans le réacteur. Etat de mélange du réacteur relié à la distribution des temps de séjours : - RPiston : toutes les molécules ont le même temps de séjour - RAC : temps de séjour très différents.
Objectifs du cours : -
Caractériser l’état de mélange d’un réacteur Identifier ses défauts d’écoulement Représenter le réacteur par un modèle Prévoir les performances en réaction
Démarche : Distribution des temps de séjour
Exemples d’application : Réacteurs monophasiques ouverts (gaz , liquide, ou solide). Réacteurs polyphasiques : étude de chaque phase.
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I- DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR : définitions Hypothèses : - phénomènes déterministes - écoulement en régime permanent - fluide incompressible Définitions de E(t) et F(t): E(t), distribution des temps de séjour, est telle que E(t).dt est la fraction du débit de sortie qui est restée dans le réacteur un temps compris entre t et t+dt.
Propriétés de E(t) : - E(t) est toujours positive +∞
- E(t) est normée : ∫ E( t ).dt = 1 -1
0
- E(t) [T ] t2
∫ E( t ).dt : fraction de débit restée entre t1 et t 2 dans le réacteur
t1
F(t), distribution cumulée des temps de séjour, est la fraction de débit qui est restée moins de t dans le réacteur (plus jeune que t). t
F( t ) = ∫ E( t ' ).dt ' 0
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II- DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR : détermination II-1- Traceur Il marque le fluide, sans le perturber. - Mêmes propriétés que le fluide - Inerte - Mesurable en continu - Injection et détection sur toute la section.
II-2- Injection impulsion (ou Dirac) Introduction d’un nombre de moles n0 pendant un temps très court. Mesure de la concentration cI(t) en sortie de réacteur.
Bilans en traceur : - en sortie, pendant un temps dt : Qc I ( t )dt = E( t ).dt fraction du traceur ayant séjourné entre t et t + dt n0
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- entrée-sortie du réacteur : +∞
n 0 = ∫ Q.c I ( t ).dt 0
E( t ) =
cI ( t ) +∞
si le débit est uniforme.
∫ c I ( t )dt 0
La DTS E(t) est donc la réponse normée du réacteur à une injectionimpulsion.
II-3- Injection échelon Echelon-positif : l’entrée passe brusquement de la concentration nulle à la concentration c0. On mesure en sortie la concentration : cE(t) cE (t ) t = ∫ E( t ' ).dt ' = F( t ) c0 0 fraction de fluide entrée après t=0 (plus jeune que t).
La fonction F(t) apparaît comme la réponse adimensionnelle du réacteur à un échelon-positif de traceur.
E( t ) =
dF on peut donc calculer E(t) à partir de F(t). dt
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Echelon-négatif (ou purge-échelon): l’entrée passe brusquement de la concentration c0 à la concentration nulle. On mesure en sortie la concentration : cPE(t).
c PE ( t ) +∞ = ∫ E( t ' ).dt ' = 1 − F( t ) fraction de fluide plus vieille que t c0 t II-4- Entrée quelconque, méthode des deux mesures. Afin de s’affranchir des méthodes d’injection et de détection, on peut faire deux mesures de concentration à deux niveaux dans le réacteur : x(t) et y(t). +∞
+∞
Si les deux fonctions sont normées : ∫ x( t )dt = ∫ y( t )dt = 1 0
0
t2
y( t 2 ) = ∫ x( t1 ).E( t 2 − t1 ).dt1 0
Si le système est linéaire, on peut appliquer la transformée de Laplace L(f) à x(t) et y(t) pour obtenir X(s) et Y(s). +∞
L(f ) = ∫ exp( −st ).f ( t ).dt 0
Y(s)= X(s).G(s)
G(s) fonction de transfert du système G=L(E)
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III- MOMENTS Définition du moment µn et du moment centré µ’n d’ordre n de la distribution E(t) : +∞
+∞
n
µ n = ∫ t .E( t ).dt 0
µ' n = ∫ ( t − t ) n .E( t ).dt 0
Moment d’ordre 1 : +∞
t = µ1 = ∫ t.E( t ).dt
temps de séjour moyen
0
t=τ=
V Q
(s’il n’y a pas de dispersion en entrée-sortie du
réacteur).
Moment centré d’ordre 2 : +∞
2
σ = µ' 2 = ∫ ( t − t ) 2 .E( t ).dt = µ 2 − t
2
0 2
σ : variance de la distribution ; σ : écart-type. Caractérise l’étalement de la distribution E(t), donc le mélange dans le réacteur.
Systèmes linéaires :
∂ nG µ n = (− 1) . lim s→0 n théorème de Van der Laan. ∂ s Les moments du système situé entre les 2 points de mesure x(t) et y(t) s’écrivent : ts = t y − t x σs2 = σ 2y − σ 2x n
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IV- REACTEURS IDEAUX IV-1- Réacteur parfaitement mélangé. Réponse impulsionnelle : t c I ( t ) = c0 . exp − t
1 t E( t ) = . exp − t t
Réponse à un échelon : t c E ( t ) = c0 .1 − exp − t
t F( t ) = 1 − exp − t
Moments :
t=τ
2
σ2 = t .
IV-2- Réacteur piston Distributions E et F :
E ( t ) = δ( t − t ) Moments :
t=τ
F( t ) = H( t − t ) σ2 = 0
V- EXPLOITATION D’UNE EXPERIENCE DE DTS. V-1- Forme adimensionnelle. Variable adimensionnelle θ et fonctions adimensionnelles Eθ et Fθ: t θ= E θ = t .E ( t ) Fθ = F( t ) t
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V-2- Traitement d’un signal échantillonné
Cas 1
Cas 2
Cas 1 : échantillonnage d’un signal continu (ti ;cIi). Cas 2 : prise d’échantillons discrets (ti-ti+1 ;cIi) - On peut travailler sur les moments de E(t) ou ceux de cI(t) : +∞ +∞ m n µ n = ∫ t .E( t ).dt m n = ∫ t n .c I ( t ).dt µn = n m0 0 0 - Approximation des intégrales par des sommes (trapèzes par exemple) : N
Cas 1 :
µn =
∑ t in .E i .∆t i i =1
Cas 2 : µ n =
N n ∑ t i .E i .∆t i i =1
où t i est le milieu de l’intervalle [ti,ti+1]. On effectue les calculs suivants : - moments : m0, m1, m2 puis µ1, µ’2 ou directement µ1, µ’2 . - E(ti)=cIi/m0
m1 m0 m' m 2 2 - Variance : σ 2 = µ'2 = µ 2 − t = 2 = 2 − t m0 m0 t - Adimensionnalisation de la DTS : θi = i E θi = t.E i t - Temps de séjour moyen :
t = µ1 =
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V-3- Diagnostiques de mauvais fonctionnements. Volume mort Si le temps de séjour mesuré est inférieur au temps de passage : mauvaise estimation du volume offert au fluide. Volumes stagnants
Traînée de courbe : diffusion vers les zones stagnantes. Si le signal C(t) est enregistré entièrement t=τ. Si le signal est coupé, t<τ. Court-circuit
Premier pic fin : sortie du court-circuit. Si le signal C(t) est enregistré entièrement t=τ. Si le signal est tronqué (fréquence d’échantillonnage trop faible), t>τ. V-4- Réacteurs polyphasiques Si un réacteur comporte plusieurs phases, on réalise une DTS pour chaque phase.
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VI- MODELES D’ECOULEMENT VI-1- Bacs en cascade
N RAC en série
− Nt exp t N N −1 E ( t ) = .t . ( N − 1)! t N
DTS :
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t Moments : t = N.t N = N.τ N σ = N τN, tN : temps de passage ou temps de séjour moyen dans un RAC. 2
VI-2- Modèle piston-dispersion Modèle Piston + Dispersion axiale
Fj = Q.c j − D A .
∂c j
.S (convection + dispersion) ∂z DA : coefficient de dispersion axiale (m2.s-1) S : section de la colonne Flux de j :
Bilan en régime transitoire avec réaction ( ∑ ν j .A j = 0 ) : j
ν jr = v.
∂c j ∂z
− DA .
∂ 2c j ∂z 2
+
∂c j ∂t
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Conditions limites : DA=0
DA=0
DA=0
DA
Fermé-fermé
DA
Fermé-ouvert DA=0
Entrée :
DA
Ouvert-fermé
DA
Ouvert-ouvert
∂c j Q.c0 = Q.c j − D A . ∂ z z =0+ c0=cz=0+
fermé Ouvert
Sortie :
∂c =0 ∂z z= L cz=L=cs
fermé Ouvert
Bilan en traceur : ∂c j ∂ 2 c j ∂c j v. − DA . 2 + =0 ∂z ∂t ∂z avec :
Pe =
v.L DA
x=
ou z L
2 1 ∂ c j ∂c j − . 2 + =0 ∂x Pe ∂x ∂θ
∂c j
θ=
t t
Solution en ouvert-ouvert : 1 2
− Pe.(t − t )2 1 Pe E( t ) = . . exp 2 π.t.t 4. t . t Pour les autres conditions limites, pas de solution analytique.
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Moments :
Conditions limites Ouvert-ouvert Ouvert-fermé ou fermé-ouvert Fermé-fermé
Moment 1 : t τ
Moment 2 : σ2 τ2
1+
2 Pe
2 8 + Pe Pe 2
1+
1 Pe
2 3 + Pe Pe2
1
2 2 .(1 − exp( − Pe) ) − Pe Pe2
Allure des courbes E(τ) :
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DA ou Pe sont donnés par des abaques ou corrélations dépendant du contacteur : - tube vide :
v2R 2 régime laminaire : D A = D m + pour 48.D m v.d t régime turbulent : =5 pour Re > 105 DA
L vR > R 8. D m
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VI-3- Associations de réacteurs idéaux Mise en série ou parallèle de réacteurs idéaux : RAC, RP, ou volume morts.
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VII- CONSEQUENCES DES NON-IDEALITES EN REACTION VII-1- Bacs en cascade- Association de réacteurs idéaux On calcule la concentration en sortie avec le modèle d’association de réacteurs idéaux : - calcul de concentration en sortie de chaque réacteur ex : cinétique d’ordre 1 c 1 RAC : s = RP : cs=c0.exp(-k.τ) c0 1 + k.τ - réacteurs en série : sortie du 1er =entrée du 2nd - branches en parallèle : bilan aux nœuds (conservation du flux) Bacs en cascade- Cinétique d’ordre 1 :
cs 1 = c0 (1 + k.τ N )N
VII-2- Modèle piston-dispersion dc j d 2c j dc j 1 d 2 c j v. − DA . 2 + r = 0 ou − . 2 + r. t = 0 dz dx Pe dx dz Pour une cinétique d’ordre 1 (r=kc) et des conditions ferme-fermé, cette équation a une solution analytique :
Pe 4.s. exp 4. k. t cs 2 = avec s = 1 + Pe c0 Pe Pe (1 + s)2 exp s. − (1 − s)2 exp − s. 2 2
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Les limites de cette équation sont : c lim s = exp( − k.t ) pour RP ( D A → 0) c0
lim
cs 1 = c0 1 + k t
pour RAC ( D A → ∞)
VII-3- Modèle des filets en parallèle ou de ségrégation totale Calcul des performances du réacteur avec uniquement E(t). Hypothèse : Les molécules de même temps de séjour voyagent ensemble et ne se mélangent pas aux molécules de temps de séjour différent.
cs + ∞ c( t ) = ∫ .E( t ).dt où c(t) est la concentration en fin de filet c0 0 c0 de temps de séjour t, donc en sortie d’un RP de temps de passage t. Pour une cinétique d’ordre 1, c(t)=c0.exp(-k.t) et : cs + ∞ = ∫ exp( − k.t ).E( t ).dt c0 0
OUVRAGES DE REFERENCE : S. Fogler, Elements of chemical reaction engineering, Prentice Hall, 1999. O. Levenspiel, Chemical reaction engineering, John Wiley, 1999. P. Trambouze, J.P. Euzen, Les réacteurs chimiques, Technip, 2002. J. Villermaux, Génie de la réaction chimique, Tec Doc, 1995. (La majorité des figures sont issues de cet ouvrage.)
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