Volume 48, Number 1, 2007
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Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur Mécanique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant Abdelrahim BENTAALLAH, Abdelkader MEROUFEL, Ahmed MASSOUM, Abdelber BENDAOUD et Karim MEDLES Résumé — Cet article présente le concept général de la commande non linéaire de la machine asynchrone avec observateur par mode mode glissant de flux rotorique et estimateur estimateur de vitesse. Le découplage entre le flux et la vitesse est réalisé par la technique de linéarisation entrée/sortie. Le flux rotorique est estimé par observateur par mode glissant et mis en contre réaction pour la régulation. Le capteur mécanique est remplacé par un estimateur de vitesse puis introduit dans la boucle de régulation. Plusieurs essais de simulation sous Simulink/Matlab sont effectués en vue de mettre en évidence les performances du système de commande. Mots clés — Commande non linéaire, linéarisation, observateur, mode glissant.
1. Introduction Les observateurs non linéaires ne sont pas très développés devant les observateurs linéaires. Cependant, les chercheurs s’étaient intéressés à développer des observateurs pour les systèmes ayant une non linéarité régulière comme le système des flux rotorique et statorique au sein de la machine asynchrone [1,2,3] Grâce aux propriétés importantes des systèmes à structure variable, les chercheurs ont pensé aux observateurs basés sur l’approche du mode de glissement. Ces observateurs ont la même structure que les observateurs classiques [6,7,8]. La différence réside dans la contre réaction qui dépend d’une fonction ‘sign’. Dans cet article, on a opté pour l’observateur de flux à mode glissant, qui présente une contre réaction robuste. D’autre part, pour une simplicité de commande non linéaire avec observateur du flux à mode
glissant, on a préféré l’utilisation d’un estimateur de vitesse en vue d’éliminer le capteur mécanique et de réduire l’encombrement de la machine. Cette structure de commande non linéaire simplifiée, présente de bonnes performances avec les régulateurs classiques.
2. Modèle non linéaire de la MAS alimentée en tension Le modèle de la machine dans le référentiel d-q choisi de telle manière que le flux rotorique possède une composante nulle selon l’axe q est donné par les équations d’états suivantes : = F ( X ) + G .U X
(1)
Avec :
X = ( ids iqs Φ ds Φ qs )T = ( x1 x2 x3 x4 ) (2) F ( x ) = ( f 1( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 4 ( x ), )t (3)
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ACTA ELECTROTEHNICA
2 R M 2 R 1 M M x2 1 f 1( x ) = −( s + 2 r ). x1 + R x . R .uds + + x2 x4 + r 2 r 3 σ L . s Lr σ L . s σ L . S Lr Lr x3 σ L . s
L 2 f h 1 ( x ) =
R M 2 R M M x x 1 f 2( x ) = −( s + 2 r ). x2 − x3 x . 4 − Rr 1 2 + x1 x4 + .uqs σ L . s Lr σ L . s σ L . S Lr Lr x3 σ L . s
L 2 f h 2 ( x ) =
R R f 3( x ) = r M x . 1 − r x .3 Lr Lr
R r L r
(Mf 1 ( x ) − f 2 ( x ))
M JL r
(10)
( x 3 f 2 ( x ) + x 2 f 3 ( x ) )
Le choix de ces sorties aboutit à une linéarisation complète d’ordre 4 ( r 1+r 2=n= 4) avec n : ordre du système.
C 1 M f 4( x ) = x . 2 x3 − r J Lr J
(4)
2.3. Transformation difféomorphisme
Où :
σ = 1 −
M 2 L s L . r
; λ =
2 R s Rr M
. s σ L . s L . 2r σ L
Le changement de coordonnées non linéaire nécessaire est donné par le système d’équations suivant [3,4,5].
;
z 1 = h1 ( x ) = x 3
g 1( x ) = [1 σ L . s 0 0 0]
t
g 2 ( x ) = [0 1 σ L . s 0 0 ]
(5)
U = ( U sd
(6)
t
U sq ) t
2.1.Choix des sorties Le choix des sorties est lié aux objectifs de commande, on choisit comme sortie x 3 (composante du flux rotorique selon l’axe d) et x4 (la vitesse) [4,5] ; on pose :
⎡ h1 ( x )⎤ ⎡ x 3 ⎤ Y ( x ) = ⎢ ⎥ = ⎢ x ⎥ h ( x ) ⎣ 2 ⎦ ⎣ 4⎦
z 2 = L f h1 ( x ) = f 3 ( x )
(11)
z 3 = h2 ( x ) = x 4 z 4 = L f h2 ( x ) = f 4 ( x )
L’application du changement de variables (11) au système d’équations (4) aboutit à l’écriture suivante : 1 = z 2 z 2 2 = L f h1 ( x ) + L g L f h1 ( x )u 1 = v 1 z
3 = z 4 z
(7)
(12)
2 4 = L f h 2 ( x ) + L g L f h 2 ( x )u 2 = v 2 z
2.2.Linéarisation entrée/sortie
2.4. Loi de commande non linéaire
La condition permettant de vérifier si le système non linéaire admet une linéarisation E/S est la détermination du degré relatif. a) Degré relatif à la sortie Y 1( x )
Pour avoir une linéarisation E/S complète d’ordre 4 en boucle fermée, il faut appliquer le retour d’état non linéaire, à condition que Φ r ( 0 ) ≠ 0 :
( x ) = h ( x ) = L .h ( x ) Y 1 1 f 1 ( x ) = L2 h ( x ) + L L h ( x ).u ( x ) = h Y 1 1 f 1 g f 1
(8)
b) Degré relatif à la sortie Y 2 ( x )
( x ) = L2 .h ( x ) + L L ( x ) = h Y x ).u 2 2 f 2 g . f h2 (
Le degré relatif associé à Y 2 ( x ) est r 2=2 Avec :
v2 ) − A( x )
(13)
⎡ MRr ⎢σ L L D( x ) = ⎢ s r ⎢ ⎢ 0 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ Mx3 ⎥ J σ L s Lr ⎥⎦
(14)
t
Où
Le degré relatif associé à Y 1 ( x ) est r 1=2
( x ) = h ( x ) = L .h ( x ) Y 2 2 f 2
U = D −1 ( x ) (v1
(9)
0
est la matrice de découplage, avec :
⎡ L f 2 h1 ( x )⎤ A( x ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ L f h2 ( x )⎥⎦
(15)
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L’application de la loi (13) au système d’équation (12) aboutit au modèle linéaire (16) schématisé par la figure 1.
un observateur en vue de le contrôler par un régulateur classique.
4. Structure générale d’un observateur par mode glissant
1 = z 2 z 2 = v1 z 3 = z 4 z
(16)
4 = v2 z
Considérons le système non linéaire suivant : x = f ( x, u , t )
1
1
z 4 =
v2 = 1
1
z 1 =
y = Cx
z 3 =
3. Commande par imposition de trajectoire
xˆ = f ( xˆ, y, u, t ) + Λ u s
Pour poursuivre des trajectoires de référence du flux ( Z 1ref ) et de vitesse ( Z 3ref ) avec une certaine dynamique, on impose au système linéarisé des pôles stables répondant aux performances désirées (polynôme d’Hurwitz). Les entrées v1, v2 peuvent être calculées de la façon suivante : 3 ref − z 3 ) + z 3ref v2 = k 21 ( z 3ref − z 2 ) + k 22 ( z
e2 + k 22 e2 + k 21 e2 = 0
(17)
(18)
Avec : e1 = z 1ref − z 1
Avec : xˆ est de même dimension que x(n) ˆ est le modèle d’estimation f Λ est la matrice des gains de dimension n×r (r est la dimension de u) u s est un vecteur définit par : u s = [ sign( s1 ) sign( s 2 ) … sign( s r )] (23)
[ s
…
s r ] = S = Γ [ y − C xˆ ] t
k 11 + k 12 s + s 2 = 0
(19)
Comme le flux est difficilement accessible, il est préférable de l’estimer par
(24)
Nous définissons aussi le vecteur d’erreur e = x − xˆ en soustrayant les équations (21) et (19), ensuite nous obtenons :
e = Δ f − Λ u s
Les coefficients K ij (i = 1,2 ; j = 1,2) sont choisis de manière à satisfaire le polynôme d’Hurwitz.
k 21 + k 22 s . + s = 0
s 2
Γ est une matrice carrée (r x r) à déterminer.
e 2 = z 3 ref − z 3
2
(22)
t
Les équations d’erreur de poursuite deviennent :
e1 + k 12 e1 + k 11 e1 = 0
(21)
Si le système est observable, l’objectif de l’observateur est de donner la meilleure estimation des variables d’état à partir des mesures sur la sortie y et sur l’entrée u. Nous définissons l’observateur par la structure suivante [8,9] :
Fig. 1. Système découplé et linéaire.
1 − z ref ) + z 1ref v1 = k 11 z 1ref − z 1 ) + k 12 z
(20)
Considérons aussi le vecteur y des variables mesurables qui sont reliées linéairement avec les variables d’état ; [6,7,8]
z 2 v1 =
5
(25)
Avec ˆ , y ,u ,t ) Δ f = f ( x ,u ,t ) − f ( x
Le vecteur surface S=0 est attractif, si : < 0 pour i= 1, r S i S i
(26)
Durant le mode de glissement, le terme de commutation (22) est nul. Car le vecteur surface et sa dérivée sont nuls ( S ≡ S ≡ 0 ).
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ACTA ELECTROTEHNICA
La grandeur équivalente du terme de commutation est donnée comme suit : (27) Γ C (Δ f − Λ u~ ) = 0 s
Donc, on peut écrire : u~ = (Γ C Λ ) −1 Γ C Δ f
(28)
s
La matrice Γ C Λ doit être inversible. Cela constitue la première exigence sur le choix de Λ et Γ . La dynamique de l’erreur est gouvernée par l’équation (29).
e = ( I − Λ (Γ C Λ)−1 Γ C )Δ f
(29)
Le choix des matrices Γ et Λ et le ˆ est donc décisif pour assurer la modèle f convergence de l’erreur vers zéro.
1 1 ⎧ ⎪ids = −λ ids + ωsiqs + k T Φ dr + kω r Φ qr + σ L vds r s ⎪ 1 1 ⎪ ⎪iqs = −ωsids − λ iqs − ω r Φ dr k + k T Φ qr + σ L vqs (31) ⎪ r s ⎨ 1 M ⎪Φ ids − Φ dr + ω sl Φ qr dr = ⎪ Tr T r ⎪ 1 M ⎪Φ iqs − ω sl Φ dr − Φ qr qr = ⎪⎩ Tr T r
Le modèle de l’observateur est : 1 ˆ 1 ⎧ ˆ 1 ˆ ⎪ids = −λ ids + ωsiqs + k T Φ dr + kω rΦ qr + σ L v ds + Λ 1 u s r s ⎪ 1 ˆ 1 ⎪ ˆ 2 ˆ ⎪iqs = −ωs ids − λ iqs − ω r Φ dr k + k T Φ qr + σ L v qs + Λ 1 u s ⎪ r s ⎨ M 1 ⎪Φ ˆ = ˆ + ω Φˆ + Λ 1 u i − Φ 2 s sl qr ⎪ dr Tr ds T r dr ⎪ M 1 ˆ ⎪Φ = i − ω slΦˆ dr − Φˆ qr + Λ 22 u s ⎪⎩ qr Tr qs T r
(32)
Nous définissons la matrice des gains comme suit : Λ ji = [Λ1
Λ2 ] pour i = 1,2 et j = 1,2
Avec :
⎡ Λ11 ⎤ ⎡Λ12 ⎤ Λ1 = ⎢ 2 ⎥ , Λ2 = ⎢ 2 ⎥ ⎣Λ1 ⎦ ⎣Λ2 ⎦ Fig. 2. Schéma de principe d’un observateur par mode glissant. Mode de glissant.
5. Observateur par mode de glissement (MG) du flux rotorique L’objectif est d’estimer les composantes du flux rotorique ( Φ dr ,Φ qr ) à base des courants et des tensions statoriques qui sont facilement mesurables. Le vecteur sortie utilisé pour l’estimation est donné par :
⎛ 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟ x 0 1 0 0 0 ⎝ ⎠
y = C x = ⎜⎜
(30)
Considérons maintenant le système du moteur asynchrone en tenant compte des variables ids , iqs , Фdr , Фqr. ; les variables à ˆ ,Φ ˆ observer sont donc : ˆ i ,ˆ i ,Φ ds
qs
dr
Le système à observer est :
qr
Pour avoir l’erreur d’observation, nous soustrayons (31) de (32), ce qui donne :
1 ⎧ i k k = − Φ + Φ qr − Λ 12 us ω r dr ⎪ qs T r ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ids = k T Φ dr + kω r Φ qr − Λ 1 us ⎪ r ⎨ 1 ⎪Φ Φ dr + ω sl Φ qr − Λ12 us dr = − ⎪ T r ⎪ 1 ⎪Φ Φ qr − Λ 22 us qr = −ω sl Φ dr − ⎪⎩ T r
(33)
Avec u s = [ sign( s1 ) sign( s2 )]
t
⎡ s1 ⎤ et S = ⎢ ⎥ = Γ ( y − yˆ ) . ⎣ s2 ⎦ Le vecteur d’erreur est : e = [ I S Φ r ] Posons les représentations matricielles suivantes :
C = [0 1] ,
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⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ k k ω ω − r sl ⎢ T ⎥ ⎢ T ⎥ r A1 = ⎢ ⎥ , A2 = ⎢ r ⎥ 1 1 ⎢− k ω k ⎥ ⎢− ω − ⎥ r ⎢⎣ ⎢⎣ sl T r ⎥⎦ T r ⎥⎦ Le système (31) devient :
⎧
⎪ I s = A1Φ r − Λ u ⎨ ⎪⎩Φ = A2Φ r −Λ12 us ˆ ) = Γ y , La surface S = Γ ( y − y 1 1 s
(35)
La fonction de Lyapunov est : [9,10,11] V =
1 2
S t S > 0
(36)
, d’où la dérivée V
= S t Γ I V s
(37)
Notons que d Γ dt doit être nulle. Après un calcul intermédiaire, nous obtenons : = S Γ A Φ − S Γ Λ u V 1 r 1 s t
t
1
(38)
⎡δ 1 0 ⎤ En posant Γ Λ1 = ⎢ ⎥ , il suffit de 0 δ 2⎦ ⎣ vérifier la condition (37) pour satisfaire la condition d’attractivité des surfaces. δ 1 S 1 + δ 2 S 2 > S t Γ A1Φ r
(39)
La détermination des gains se fait selon deux étapes : - La première consiste à satisfaire la condition d’attractivité :
⎡δ 1 0 ⎤ Λ1 = Γ ⎢ ⎥ ⎣ 0 δ 2 ⎦ −1
-
(40)
La deuxième consiste à imposer pour l’erreur une dynamique de convergence exponentielle. Lorsque le régime de glissement est
établit ( I s = 0 et I s = 0 ), nous avons alors : u~ s = Λ1−1 Λ1Φ r
Par devient :
substitution,
(41) l’erreur
sur
(42)
Pour que l’erreur converge exponentiellement, nous devons poser : Φ r = −QΦ r
⎡q1 Q=⎢ ⎣0
(43)
0⎤
⎥,
q2 ⎦
q1 ,
q2
sont
des
constantes positives D’où :
d’où S = Γ I s
−1 Φ r = −(− A2 + Λ2 Λ1 A1 )Φ r
Avec (34)
7
Φ r
⎡δ 1 Λ2 = ( Q + A2 )Λ1−1Γ − 1⎢ ⎣0
0⎤
⎥
δ 2 ⎦
(44)
Pour une raison de simplification, nous posons : Γ = Λ1−1
(45)
La condition dΓ dt = 0 est vérifiée en considérant que la vitesse est suffisamment lente devant la dynamique de l’observateur. Ce qui en résulte :
⎡δ 1 Λ1 = A1 ⎢ ⎣0
0⎤
(46)
⎥
δ 2 ⎦
⎡δ 1 Λ2 = ( Q − A2 )⎢ ⎣0
0⎤
⎥
δ 2 ⎦
(47)
Par développement, nous obtenons :
⎡ 1 ⎤ k k ω − r ⎢ T ⎥ 1 r ⎢ ⎥ (48) Γ = 2 1 ⎢ ⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ k ⎟⎟ + (k ω r )2 ⎢ k ω r k T ⎥ ⎣ r ⎦ ⎝ T r ⎠ 1 ⎡ ⎤ k k δ δ ω 1 1 r ⎢ ⎥ T r ⎥ Λ1 = ⎢ ⎢δ k ω δ k 1 ⎥ 2 ⎢⎣ 2 r T r ⎥⎦
(49)
⎡ ⎛ ⎤ 1 ⎞ δ 1ω sl ⎥ ⎢δ 1 ⎜⎜ q − ⎟⎟ T r ⎠ ⎥ Λ2 = ⎢ ⎝ ⎢ ⎛ 1 ⎞⎥ δ 2 ⎜⎜ q2 − ⎟⎟⎥ ⎢ − δ 2ω sl T r ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝
(50)
Ainsi, la condition d’attractivité devient comme suit : δ 1 S 1 + δ 2 S 2 > S t Φ r
(51)
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ACTA ELECTROTEHNICA
La dynamique de l’observateur doit être plus rapide que celle du système à observer ; cela exige un choix convenable des constantes : δ1 , δ 2 , q1 , q 2 . 6. Estimateur de la vitesse rotorique Les équations d’état de la machine asynchrone exprimée dans un espace vectoriel sont [12]:
d i s dt
= a11 .i s + a12 .Φ r + B1 .v s
d Φ r dt
(52)
= a21 .i s + a22 .Φ r Fig. 3 . Schéma de simulation de la commande non linéaire MAS avec observateur MG de flux et estimateur de vitesse rotorique.
Où : a11 = − a12 =
D
;
LS .σ 1
M
(
LS .σ Lr .Tr
a21 =
M
B1 =
1
Tr
− j.ω r
a22 = j.ω r −
;
Ls .σ
D = R s +
;
M Lr 1 T r
);
;
Rr .M 2 2 r
L
; Tr =
Ce système d’équation réarrangé comme suit :
v s = ( R s + Rr
M 2 2 r
L
).i s + L s .σ .
d i s
−
M
dt Lr .T r
Φ r +
M Lr
Lr Rr
peut
être
(53)
. jω r .Φ r
Considérant que les vecteurs tension, courant et flux rotorique peuvent êtres exprimés sous forme complexe, à partir de l’équation (VI.1), on déduit la vitesse rotorique estimée : ˆ r = ω
ˆ ( v − D .i − L .σ Φ r α s β s β s
di s β
ˆ ( v − D .i − L .σ di sα ) − Φ r β sα sα s dt 2 M ˆ Φ Lr
(54)
dt
7. Simulation Nous simulons le comportement de l’observateur du flux rotorique et de la vitesse en utilisant le schéma de la figure 3. Les figures 4, 5 et 6 montrent que le système est découplé et que les réponses sont sans erreurs statique et sans dépassement. Nous remarquons aussi que l’intégration de l’observateur n’a pas d’influence sur les
Fig 4 .Réglage de la MAS sans capteur mécanique.
performances du réglage. D’autre part, le flux Φ r est orienté dans la direction ‘d’ ( Φ dr = Φ r ; Φ qr = 0 ). Nous remarquons aussi que les flux observés convergent rapidement
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Fig. 5. Réglage de la MAS sans capteur mécanique : réponse de la vitesse.
vers les flux réels et ne les quittent pas ultérieurement. 8. Conclusion Dans cet article, nous avons présenté la commande non linéaire d’une machine asynchrone sans capteur mécanique avec observateur du flux rotorique à mode glissant. Le découplage est obtenu par la technique de linéarisation E/S du modèle de la machine asynchrone dans le repère dq. Le contrôle du flux rotorique est réalisé par un correcteur classique. Le flux est estimé par un observateur MG, la vitesse est déterminée par un estimateur et contrôlée par un régulateur classique. Le flux observé et la vitesse estimée convergent rapidement vers les variables réelles correspondantes. Les performances de ce système de contrôle sont satisfaisantes et prometteuses.
Fig . 6 .Réglage de la MAS sans capteur mécanique : réponse du flux.
Références 1. B. Le Pioufle, G. Georgiou, I.P. Louis, “ Application des commandes NL pour la régulation en vitesse ou en position de la machine synchrone autopilotée “, Revue physique appliquée 1990, PP. 517-527. 2. B. Le Pioufle, “ Comparison of speed non linear Control strategies for the servomotor”, electric Machines and power systems, 1993, PP. 151-169.
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ACTA ELECTROTEHNICA
3. B. Belabbes, “ Commande linéarisante d’une machine synchrone à aimants permanents“, Thèse de magister U. Sidi bel abbes 2001. 4. Hyungbo Shim and Jin Heon Seo, “ Non-Linear Output feedback stabilization on a bounded region of attraction“, INT.J. Control, 2000. 5. A. Bentaallah, A. Meroufel, A. Massoum, M.K. Fellah, “ Réglage et linéarisation entréesortie d’une machine asynchrone alimentée en tension“ ICEL 2005 International Conference on Electrotechnics, U.S.T. Oran. 6. J.J. Slotine, J.K. Hedrik, and E.A. Misawa, “On sliding observers for nonlinear systems,” ASME J. Dynam. Syst. Meas., vol. 109, pp. 245- 252, Sept. 1987. 7. A. Kerboua, “ Commandes et observateurs par mode glissant: Application a une machine asynchrone alimentée en tension“ Thèse de magister, ENP 1999. 8. G.C. Verghese, “Observers for Flux estimation in Induction Machines”, IEEE Trans. on Ind. Elec., Vol. 35,No. 1, February 1988, pp. 85-94. 9. Utkin V.I., 1993, “Sliding mode control design principles and applications to electric drives”, IEEE Trans. Indus. Electro., 40, 26-36. 10. Dote Y. et Anbok. “Combined parameter and state estimation of controlled current induction motor drive system via stochastic non linear filtering technique”, In IAS Annual Meeting. Cleveland , p. 838-842, 1979. 11. Djemai M., Hernandez J. et Barbot J.P., “Nonlinear control with flux observer for a singularly perturbed induction motor”, In IEEE Conf. on Decision. And Control, 33, p.3391-3396, 1993. 12. S. Sthiakumer, “Dynamic flux observer for induction motor speed control”, Lecturer in school of electrical and information engineering. University of Sydney, NSW2206, Australia.
D(x) : Matrice de découplage zi(1,2,…) :Changement de variable v1, v2 : Commande linéaire e : Erreur d’estimation K : Gain d’observation
Paramètres de la MAS
Abdelber BENDAOUD
P = 1.5 kW U = 380/220 -50 Hz I = 3/6 A, R s = 4.85 Ω, Ls = 0.274 H, 2 J = 0.031 Kgm ,
p=2 N = 1450 tr/mn M = 0.258 H R r = 3.81 Ω Lr = 0.274 H f = 0.0114 Nm/rd/s
Notations utilisées
v sd : Tension statorique instantanée dans l’axe d
v sq : Tension statorique instantanée dans l’axe q
i sd : Courant statorique instantané dans l’axe d i sq : Courant statorique instantané dans l’axe d
ωs : Pulsation statorique ωsl : Vitesse de glissement Ω r : Vitesse mécanique de rotation C e : Couple électromagnétique
C r : Couple résistant
Φ ˆ Φ
: Flux
: Flux estimé L f h ( x ) : Dérivée de Lie de h(x) le long de f(x)
ˆ : Représente le vecteur des tensions observées V s
Λ Γ
: Matrice des gains de dimension (n x r) : Matrice carrée (r x r) S : Vecteur surface
ˆ : Modèle d’estimation f Q : Matrice carrée δ1 , δ 2 , q1 , q 2 Constantes
Abdelrahim BENTAALLAH e.mail: ba_asmo@yahoo fr
Abdelkader MEROUFEL e-mail :
[email protected]
Ahmed MASSOUM e-mail :
[email protected] e-mail :
[email protected]
Karim MEDLES e-mail :
[email protected] Laboratoire I.C.E.P.S Département Electrotechnique Faculté des Sciences de l’Ingénieur Université Djillali Liabes BP 89 Sidi Bel Abbes 22000, Algérie
