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ZEVALLOS, POR I NNI.JI,ERABLES
TIV6.
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I,ETORIA DE I,1I PADRE I.4ARTÍN
ZEVqLLOS HAYTEE
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VIDA.
EL
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CASTI LLO.
DE
MI MIGA
NOTA
EL
A.'TOR
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?ennítd^eme, iJúeLqhnerutz, lwcut una üdenenciau.6n ettfne lÁ. ApLL tud U e.L Razonaru¿nto, QUL no Lon tünLno¿ lÁn6n inoa , cono hemod de vwt a conLLnuacLín: Aptrtud(t) : Et b di-tpoticLín ndfinol que no^ permite ú buen de. twtvolvintento ut tyla ae-LLvidnd def.umiwh, diempn* que hayomot atqu¿Aido , ademfu, la. prLepoJLae*6n nee.e¡afiia. E¿ úgo que poáeemo^ en nueltsu etpi-ta,L bíoLígi co q que podunot duoanollnn o no. ?uede duaútúru'e en Lo¿ inüvidtnt neü,ante pzwbat pieíLogieat. Apt).tud, Pl Capaei-dad o poteneial,ídad que tizne una. peiaona parLa neal-Lzo¿t una. accLín o una tnnen. Razonanientol3l: Acciftn de ¡¡zonan. Sl¿¡.ie de üguny¿.tlis e¡n Lo¿ qul áe int¿nto. ¡iettuditt a atguien¡ duetbni.n, duotÜún, o aneliitt tobne algo. E¿ utt h¿ehorenlone?a, gue á¿ pue.de enuidelwt a.k Apti.tud cono algo -INIJAIO, quz no neceai.ta, peu Su etoüttnoia:en noáot)106, de l.a adqwbie,L6n de conooiníetfoa b6.¿zicot. ?ot Ejup.l,o : Et nw¡ potiblz Erc lld.twt ga Apti;tud ¡tana dotwnpeñorue un éü.tt u el carp de Ia. lngenietia. ¡l¿ ea fiú6, Ea rc ¿Wa 6n de tal ejrho).o., dt EXISTE en lld. lNcanbid ti lld,. no po a t¡tvez del ettu-= üo puela adqwín¿¡ln
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Cumbre : T-1 -,Pá9.. 373. al Cumbre - l,lé xi co . lz) Muesti'a de Preguntas apl i cadas en el ExarBn de Ingleso. Uni versi dad Catól i ia del Pe rú - 0f. de Ingreso. Editorial Minerva - Perú. l'sl' "Di ccionari o de I a lengua Español a" T- 1. - Pág. i20. Editorial Sopena - Argentina.
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a-
Como resolver un problema
"Todos tenemos problemas". Es una frase muy conocida y aceptada por todos. En efecto la vida nos enfrenta a situaciones que debemos resolver cón tinuanente, algunas veces nosotros solos, otras con-ayuda de Ios denás. Pero no solo existen problemas a nivel persona'I, las sociedades en las cuales nos desenvolvemos y en1as de todo el mundo afrontan dificultades o problemas , los cua'les pueden ser econdmicos, cülturales, religiosos, etc. , en fin ..: de una, gran diversidad. El.planeta T'ierrq se enfrenta a multiples problemas, llámese por ejenrpio la existencia de vida e;1 otros planetas, hasta cuando durará'la energia iolar etc. flo hay ci.encia que no se enfrente a problemás en sus respectivos carn pos. Es decir, existe una inmensa variedad y cantidad de problemas que afec tan al ser humano,'los hay desde muy simples hasta rea'lmeñte complejos, tañ to que al hor¡bre]e toma muchos años resolverlos. Pero así como van sureieñ do los problernas, van surgiendo Ias soluójones, el desarrollo que actualñente ha alcanzadó la humanidad es'la respuesta a múltiples interrogantes que el hombre ha resuelto con esa admirable tenacidad e inteligenc'ia-que le iaracteri zan . Toda esta variedad y cantidad de problemas que existen ha heclio tam bién que muchos hombres se pregunten: áExiste un método Universal para su sóI ución?. Se ha buscado I a respuesta en .l as itlatemáti cas. Saberps que :asT todas las cuestiones matemáticas son susceptibles de solución, pero para resolver un problema matemático tiene que estar expresado en el lenguá¡e de las matemáticas y esto representa otra gran dificultad. Si hablamos de problemas biol6gicos, econdmicos, raciales, políticos, etc, ; Ios. cuales son realmente diflciles de resolver, porque generalmente sus problemas tienen más de una incdgnita y/o dependen de un gran número de elel¡entos variables que muchas vecei no sá p¡eden'aislar, poí lo que es muy difi-cil relacionar'los exactamente con los, jatos; todo lo cual implica quá en.ta les sectores con los conocimientos qui actuálmente posee 1a tiencla,-eilirpq. sible plantear una ecuación matemática. Por eJemplo el prob'lema de la salüiI' de una persona que depende, entre otras, cosas de la edad, la temperatura, Ia.presión sanguínea, iaalimentaci6n, etc., cu_ando nos enfermamos no exiite a disposición del médico una ecuafión en la que é1 reemplaze detérminados da tos y al despeJar la ecuacidn aparezca como respuesta que enfermedad padecel
,
ISCAR ZEVALL0S G.
Iiid ii]rl:I"i:".$;:Lo:;',;Tiilii¿.^§l
tiene que resorver er prb1.1 il""l,Tj:Ílf l:.:fui:
f9r:o
:i:,;"aiij;::;;.,lji,;:f:i,::,=i#i§'.;;i.l'§:ffi
Para suerte nuestra, por ahora, vamos a_enfrentarnos a problemas _-
susceptibles de ser resuettoi otro tipo de probtema, tieñáñ
ñii"ñiiil:Sll:, :,1ái ii'"iiiill e;;;-;';r.oen¡tas.
podemos decir que los datos son las informaciones de ponemos para poder resor'ver el problemá,-rñio"*liüilH;
con 'la incógnita, es ¿ec.ir.rJ qíi-áái.rnocemos.
los
nuestra-
incruso
las cuares dis
ltrn.n
qr"
veF
probiemás gue habr
,Xi;lT:ff1"1,'i'.ffij"
í,.-ñáui: fic! est mentar
que cualquier
n
,, .l:Í"ffi1¡i:;:,rlly:J.
r mecaniiarf.una part.r'cutaridad en ta cuai-ü¿l-a¿ó. óe ninguna gue a continuación he de describir:--- áplicar cre
-
Nuestro plan ae so.lución es
l.?. i.t.5.-
Querer reso'lver
Entender
el
el
el siguiente
:
ttmde, si
3
no sabe de que se
trata,
es muy probable que.no pueda.resolverlo. Para facilitar su labor de entendimiento, l,e sugiero, que inicial-mente anallce detallada¡mnte eI enunciado¡ trate de fijar con precisi6n la l.ncógnita. los datos y las condiciones; estudiando, hágase las siguientes --
preguntas
:
r ¿Cuál es Ia incógnita? ..: Apuntela. * J.Cuáles son lqs datos? ... Api¡ntélos. * ¿Hay alguna condici6n?.... Señalela. * iCon los datos podré satisfacer la condición? ... iPienselo'. * lSon los datos suficientes?. lSon pocos? i0 son demasiados? * ¿El problema pertenece al Algebra? a la Geometría? A que área de las mate mlticas pertenece? * iDe que se trata este problema? iQué cantidades intervienen en él? tlnter pérsonas, edades, porcentajes, áreas? * vienen iRecuerda al leerlo a algún otro problerna? iEn qué se parecen? * ZPuede cambia.rle de datos a este problema, sin que su estructura varfe? ' Es decir 1o que Ud. debe hacer es investigar, y ésta, es un actitud niental importanté, por cuanto cualquier rama de lai ciencias , exactafrTó'l
po-Tá-cffiTd;-se incline, está en constanle investigación. El hombre pasá su vida investigando diferentes hechos y situaciones debido a su jnsaciable' curiosidad y afan de progreso. Cada problema deber ser una aventúra intelectual, es un retoqueUd. tiene que vencer, pará ello es necesario conocer todo lo que pueda'acerca de é1, piense en, todos los problemas que hasta ahora ha resuelto durante sü vi da, ..:........¡... ., no negará que siempre ha empezado.analizáñ dolos en.sus diferentes partes, lo cual le permitió dominar aI problema, esdecir entenderlo totalmeñte.
problema:
prob't emá .
lmaginar un plan para resolverlo. Real
jgOI{O *TSOLIÍER UN PROBLEMA
izar .el plan, la ioluóión cibtenida
Ex¡minar
IMAGIMR UN PLAN DE SOLUCION.
Imaglne Ud.: En'estos tnomentqS deseá cruzar de una ori'lla a otra de un no existe un puenté para tal efecto, slendo considerable Ia anchura -del.rfo. Piense, ..., cuál'serfa su actitud? Su deseo de cruzar (paso 1) , lel¡ará entender latituacióaen la que se encuentra, anallzará Ud. de'que -rredlosdls¡one-gara logralo, y empezará a esbozar un plan para cruzarlo, llo hará a nado?, lSe construlrá una, enbarcación?, llntentará buscar un .luqai adecuadopara cruzarlo?. llote que estas'son formas de'resolver la difióultad que le afecta y que Ud. está üiendo cuál 'le conviene más. tNo es a¡f? De la'm'isma manera prcceda ante un problema matemático, después del paso (2) ya está ttd. convertido en un lnvástigador , para lo cual'debe estar su-capacldad de esfue¡zo origlnal trabaJandg al máximo.' Tal. vez €ste Ud. de sorientado.err el-camlho que le lleve a la-solucidn, pregúntese :
_ rfo y
l!,"i1..i1,,::X;¡:
llÍ;.
flI^jTloII,!:
9119
gd. enfienda er probre-
"El *¿::F-:ii ü Posra resolverlo a plenitud ?i;n?XEi"'i,:':l Imagfnese que es udl I'' ffi";";"iliJ:lffi i'riH?li; ü::'::.ll:"1:.1? corresponsai üé-uirá-ro'l -s gs designado pará taéá" rn iomentaiio sobrÁ,una .ññraF.n^.i. { -.:y]1r3, -..^ : ?.: :r8l.::I] :, : ?::..,,1: - :: li:,e ñc i i ü.-. t;;¿; ;á, .l iiru".ii l' :;"ü:.l"iJ.XEI.a..i..;ilÍl.o.,l:'-+ ii::: I,y:,::1;::t"Lf:;¡irl;iüii.;$ g:iiüit' ;;,ffi3iffii,li'l' Il3l" n, YÍ;,;; de 'punto llT?,i.' vi sta tu::l:::"ril:"I"::i:^:i, técnico, abárcándo éomol i i,"'úü.'¿JIi;#¿ ;';;:";3: i:TI::oH f:'::*il:t.:-fl1Ti..'-y-tioitsíl;;: "#¿;ri!"io ten. ániánaá.-..ii :,,:u*g..lo l: pgpi i;.oil,l..:,lil¡r",S::: yf ;i,::m"ü"";;"fii',:',1ñ"oilX"lÍii":i;'.::Í:.0. l: l,:.::i,,n. li d_;,ffiái¿Iil"i;'#l ;ffii.li hacerro. i:.:!!*0,l.p Lo mrsmo rL ha dé pi'iiüliii'üi'priir"ii fllffiilijt.l,iono,lu"Íl-. i no Io Bn-
Ir r |*
eQué
relación existe entre mii datoi y mls
incógnltas?
',i,,:
lPuedo representai mataáticamnte la- reláci6n éxlstente entre datos cógnitas? Isi? áCóuo?, ¿tto?, ¿porqué?
¿püedo escrlbir Ios datos en función de J,Y la cndlclór?, tla puedo r€presentar? ¿Si üago un gráfico? ZSerá
,
las
incógnltás?
i¡eJor?
Si áun no da con la idea definitiva¡'piense asl
.:. ;
g ln
)))))))
))))) OSCAR ZEVALLOS G.
COMO RESOLVER
UN PROBLEMA
arecido? problemas?
iA qué
campo pertenecen?
ad relacionada con
el
REPASAI.{DO
problema?
;^üil!!ü'3. iEilllT",ll?llí,r0" probl ema?
u* r, zrr aquer mé
s-inqógnitas-o'da.tos auxiliareis que no ca¡üien la que me pernlten resolve,lo?
Bffii.ili'llíil,3l.El"flflE,yopuesto, trate de resorver prrmeranente -
:irffi * Puede ud. imaginar argún probrema
nre tiene enf¡'ente? ¿ó ,n' pñóÉl-.*'más acces i bJ e , pero . rel ac i onbde ccin ,€I ,i, general ? ¿0 un prciblema más €spe_? * cial Esta'utfllzando todos los datos? lLa cqndrcl6n-, ra ña enteñdido fntegia-_ mente? éEstá usándor a bieni-¿uo'rá ór riüó'i¿;isil titi"á=il"opfEdad? Si se.trata de un nro!]ema.geométrico,_es siempre recomendable di6ujar .-las r¡suras que rntervienen y sénaiá; eñ-áriár. ii'i:áitó;:"'ilü;;tas que re dep urrir -a .,Ia analoofa,, revisar sus cono_ abil idad_mental gue,-algunos psicOtotós Idea Br.illante), ,que cñnsisti en-¿ái-. ldea que'ha de co'nstituir la ctavé ol u¡a de Ia solucl6n.
REALIZAR EL PláN OI.IE LE LLEVARA
A
En el-punto anterior, ya dt6 con e.l canino para resolver eI problema, ahora sóIo le queda materíaiizi"io,-iiriltu.r Ias operaciones y demostracio-.¡l:. nes i ndi spensabres, seañ
va
lritméticás.
"iiá;-é"ilEi"ilir,-áriEil;i;l'; fuera.prob'lema demostrat_ivo es preclso encontrar la cadena de razona *"^_.!i mrentos que tiene'como primer éiiiuoñ-rI'ñipé;.;i;lliiro'ürii* Si fuera
i:'::iili;rmás
oroblema.de hallar una adecuaJo- v
ra tesis.
inc6gnit.;.r.ij. el método O.
"áiiicl"i.i"li.ru.rones
-
nécesarias pai^a encontrar ""roi*"
Realice su plan ordenadamente,
controrando cada paso, para rr vrendo -asr- si es.correcto lo que va traciáñ¿óI"-, si aún no tiene mucha práctica, numere-caira uno de Jos pasos que rran va .fll,!xt ol
. l? ;, I "tl'
ii,
ji n:;;il::I#"i.*i:ti:ti,nr:Ii:i¡,i,lit'.
."dg ylg de los plena conciencia der principio Fundamente
paso.
pasos que vaya dandó. es
"ñ-"i-.r'"i;;í;;;;ffi";
1,,:,
decir: debe tener ffiJ dar tal o cual.
l-lnalmente aes.gyfs..ae interesante ave¡tura rnterectuar habra rogrhdo dar con la solución y_...una. no lo-oirii", ahora Ie invade una gran.satisfac ción' una gran aleoría,.que premio.i-eifue".o
I:;3'll"if:,1'o[irEliiniiáá J"ñoüi"ñ.',
rearizado
pues sabe-úJ.
y re insta a s,eguiF á,á-.n ra preiiíia'
PROBLEMA,
Con eI objetivo de fijar conceptos y métodosi de ejercitar su razonamien to, autócriticar su trabajo intel'ectual, debe efectuar una revisión analíticl del proceso seguido. Debe estar convencido de or,¡e la solución es correcta e-
fectuando para el.lo una revisidn de todo io qúe ha hecho. Asímismo, para aumentar sus fronteras intelectuales,
zar
el
problema
su dominio
* * * t * *
y encontrarle otras aplicac.iones. Aquf
del problema. pregúntese
trate de generali--
debe hacerse notorio
:
iPuedo constatar el resultado? éCómo? iPuedo constatar el razonamiento seguido pasa a paso? iDebo ile repalar"lo? iPuedo derivar resultados diferentes? iCuáles? éPuedo crear un problema semejante dándoine yo mismo los datos? áPuedo esbozar.otra manera de resclver eI problema? iPuedo, el metodo que aquí he empleado, utilizarlq para reso'lver otroS
problemas? ¿Si?
,
Zen cuáles?
Toda esta serie de preguntas harán que pueda'llegar a dominar totalmente un problema, haciendo que su capacidad de razonamiento y su^experiencia matemática aumenten notablemente, y harán gue se vaya formando en Ud. e1 espiritu de Ia búsqueda científica que le llevaran ha aventurarse en tiabajos inte lectuales cada vez más arduos con la convicción de que es Ud. capaz de resolver cualquier problema, teniendo !as bases, necesarias, splglflgg.u.UIqgnerse] o.
Iá SOLI.'CION.
EL
:' 4 OPERACIONES
FUNDAMENTALES
..rrrl5.'
I!
I
Lat cii4A que Le tiguut Aon el ttUtúfi.do de ¿wa¡ lat tUpeelt}ro6 col$1rtol, otrnenli*L* ett uda uuo l¡ que 6e ll¿va'de l¡ ¿wa. attuti-ott--
t
Retliza.dt la ¿unr- de cada coltntw, de 2a de¡eelu.'t¿ coloet debaio de dt"l, U tal¿l' ot¡tl¿l ae.Le. qneg
laf
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77 l7l = s39
- ÉJf'-L 'tÁe
¡'áe quzda,'
.' , A ,, 9
llevd"
4 Operaciones fundamentates F,irutnette entoncea: A + B + C + O = g + 5 + 3 + Para resolver los problemas pertenecrentes a este capftulo, no necesJta mos más que conocer los-prlnclpios.fundamentales que rlgeh a la'süma,-reiti,
'muluplliactón y dtvrslóh¡ á¿eñii-¿e-[áñár"rápiáei-iai-á'éieituar Ios cárcu-los numérlcoi necesartos. por lo tanto nos rámttrrámos a la ióiuiión-áá-i.q blemas cmro los que a contlnuacl6n se detallan: PROBL R4A
Hal I ar el
cvalor deA+B+C+Den: 77777 77777 7777
.........',.
.......... !.........
¿tla ettetdiio U,¿..t .. . ¡Cerlci6tLQ^e. iyl-tiolo¿ q eñCque7.oó a ptabt-orat PROBLE,{A
quz quz
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tt-
ni¡na. uilLuotuÁa.
(A
Si: (a + b + c)' So8rc,tín -\/
= 144. Hallar á5d + b-'Eá- + m-.
z
t qetdofotwtemoA:la+ b+cl2=144 + a+ b+ u = 12. tomo,mo¿ la ttaÍz fi 2l con aigrw poÁi,LLvo 7777 7777 7777
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¿?iga Uci. ponquQU no con nsgui¡y
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7
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D C B.S
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ú6!o-dc b.s- tuidndu del neul*ndo -de tÁ Eua Íotal, utú. dada po¡ lu ttni.dtda de b¿ t ndo¿.
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a+ b = 7Q-¡
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| = 7!-a áe-"c¡ue.dt" a+b + c + | = 13, aqLúdcabaIn"¿wnA. b + c + a.+
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llt ptitui¡tiot qu¿ Ltt)Liznnoá Wttt sunol. llu;bi.hnh¡anl,e
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Ahona lna4anoA uywá.'pnobl-ona,t 6 obrLe. mult Lpl,icaú6 n.
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ot(ta d,¿ l¿t uniddd.u d,el ndnQ. 7 noa cla 1186, Pen¡utol enl,oncul 1 ü¿n¿ qu¿ acdba¡ en 6, l0¿ ado pon ? auba ¿n ó?, leoale.otot ,
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OPERACIONES FUNDAMENTALES
Sottt*6.Li
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OSCAR ZEVALLOS G. .
cl
ttfrnetu bueado
tuh. !!,
ot PROBL Et'lA
@
Multlpllco el
por un número de 2 clfras que tlene ocho decenas y 65. Sln reallzar nlnguna operacl6n, dé Ud. el valor del multlpllcador. número 29
obtenEo como resultado un n0mero que acaba en
"m Cotno
pttoduelo w¿u)a2
mutli
Rptae
u tuutlddo
thffiHyld;t1l*"
l,Enti¿nd¿ rtd, ? ,
Bien aho¡a aptiquuoá
nnp -- x -abc :
tÁt p,u¿w¿p,l.o a rw?AüLo
t5
lPodrla Ud."lnventar" problenas semeJantes a los rnterlores?
a2
#
pnogls{n
paobLena,
l¡
mult'lpllcar un nflmero por 50, pero al hacerlo se olvlda .de cero a la deiecha, hrllando rsf un iroducto que se d'lferencla del üerd¡dero en 11610. lCuál es el n0merp que le dleron para multlPllcarr?
Un alumno ha de
poner
el
Sofuie,{6n;
r
?ieue SL
,t PROBLEI,IA
EJercl
Sl:
Ñ . ,¿r!!I, tAü, bdo ota.to?. ,.,
S
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LUM r cgro.
reso I vl endo
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nfrneto ped)l,o'lba
a quedattntú,LipLic«nfrnuo
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¿0¿
A óu vez, 2a anle¡,[on ptodut/;ot tcat 50
coneltaün, inp%oa.
que
l¡. üiuencla enl)* anboa -
- 5. 45 votu cl núnü'o pelfulo, üóuene,{at qu¿ d, áu vez po,t el dalo, u leuola 11é10, Luego, tl 45 v¿cu el ninuo peüdo u lAu.ol a 11610, enfoncu el nltnuo p[dllo tcttll 11610 + 45 , 258,
:
,l
3088 Z43S
el altnno laela
d oonllruao.tín
pon 50, puto 9ünp 40 hg Wuto e2_0, coieltlnro! quz ü lo auulo? do dnicatneng,e rul*tpÁsdo pn 5,
O
te Ud. su entendlmlento
en Lo que va a \een
lar: LUNA x SOL Rpta . : 31 1235
PROBLEMA
lcuúl es cl
Hal
son todas
menor númcro que
multlpllcrdo por 33 nos da un
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cuyts clfr¡s
7?
I
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PRoBLEUAo
I I
se
Fultlpllca er número 4r por otro de z clfras y resulta 1796. de I as dlcenas -de i ;ffirJ' oSlconoc r ¿o es 3. Dlga cufl es dlcho factuar ntnguna-aiviiión. -iÉ;'posrbre?
' '^??r#:""i"'klii"#r?' ¿cilmo tabqnot cu!@ o¿ilru 7 potee pt ntn'te'
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r) OSCAR ZEVALLOS G.
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pzegunt\ e) coiiarlat pry lu to que podaaa üvidi¡ d.c lt no üvi.de¡do a 77, al dividin nenitÍt no e) que b. nu,o b
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Luego
q
volvaw ndo ci[tut 7 ez que li lt d.¿ b. üvlt q
ubenLo,pu{ pata orpezan eoJ no ?Á cetu; efi.oncea atl-
4 OPERACIONES
nzceti-dad de
Totw¡to¿
,
, ai el tutn
Como
,
zadd.
üvidiendo de la, tmne¡a, istd).onda, hal-lnnot N =
ttÍ-
2&.
l"lw¡a
biut,
dononalot 4
PROBLB{A
Rpta,,:
Ee danoní 5 dfd"s trú.a, habrú. tlabaiado3 20d
que multJpllcado
por 22
nos da un produg
sotttciin
ttedilad u¡bt6 4 ¿qnilht hototl . 1@.
x
12.5
* si de¡í de fuabaiatt
@
2h301
lt.
PROBL EMA
l¡¿ eÁlrul¡¿ teñnqto¿t r Si etfie t.W.tottot üetwn que WarL § ?0,000.. üt W.tu iaualu, bqo,. e¡da uln p4ail.: 20,000 + t . 2,500 aolu. vez quz netlizattdo
¿evdn olgüütot alt pgatt, ahona. etfu. uta de ltt que ae'quedan pgan ' $Cora 1,500,. tolet nú,t, quiue decil que etda uni de bt que ¿o queda paga-ttÁ.t 2,500 + 1,500 " 1,000 tolu * B¿en, ahota di4ano¿ atf: 9L ttdtl quz Wgan 20 1000 ulet q eada petuona p. gd 4,000 ¿olu. ¿Cuhtu WLona,6 Wga.tún? ¡ela@| üue Ud.. naz6n, pgd hán: 20,000 + 4,0N) . 5 pe)aonta. ] Ent¡twu ¿i inicialnenle e¡.an t peuono,a q ahotu. ¿on a6lo 5 lat que p..gan con¡llfi¡a¿ en Ete 6e han ido tit pa4an t - 5 . 3 puotlil.. PROBTE{A
6
Un Jardlnero pens6 sembrar clen sarlllas en 20 dfas; pero por trabaJar 2 horas y 30 mlnutos menos cada' dfa.
tardó 5 dfas más -
li
Sotueiftn @
I s¿'htólcue Duhajado 100
h
colno penad,ba,ten
6enil,2u + 20 dfna ! 5 áeni,Lhl
¿o¡iiltt
¿unbnadal .
que eA 2o müno 2.5 20d
t
2.5hld.
.
ho¡a ü.olLb,6, ut Loa 20 50 lw¡.o¿.
I
dÍd ttubaj6: 50 hona,s + 5 dfd.^ = 10 h)tt,
SoLuü-6n
*
La
Longiild de k aee4ui.o
', t*u tt¿ 3 lucen ^ **
u
del. 640 m. + 464
n.
*
t
=,1,104
o EerL, 1,104 + 3
:tr
.
m.
368'm. clu. de La. ace
36Em-2 e¡nrinad 368n=
A
poi
dueño de
elpe6n.
EtttpnceÁ e,L pe6n, cono ¿abeno¿ utnEfnu,üLtL: 368 nÁ. pot ltt atolel le pa4a aÁn u totol 184 ¿olu; qwiutti detit qw pott l'nefiú de ace4uia. ¿e Lp aÉ6 na¡á.: 184 ¿olu + 36E m . .0.5 * ne*tu. E¿í;o
inpl-Lca quz
a áu vgz. ustún¡.do.
ella,¿ L¿ labf-an -
y N. La M en una longitud de 540 metros y la otrq N en'464 netros. El propietarlo de M se compromete hacer por sf solo 'la acequia correspondiente a su huerta y lo mlsmo el propletario de N, pero a fln de termlnar más prontg contratan a un pe6n por 184 soles. Sl los 3 hacen 'la misma iongltud de acequia. iCuál es la dlferencla entre Io que cada uno de ellos tlene que abonar al pe6n?
t
i
úÍt,
Una acequia de regadlo debe atrEvesar dos huertas li!
éCuántas horas trabaJ6 por dfa? Li
¿
@
6
+
,
truhajan:
Conelt íno¿ etifnncet, en qu¿ ¿n potL dfo.. ¿Que"Le Whece?.. ,
Soltú6nz a
ZS dfu, en Lo¿ aembnado ut ,Leat
E¿tat 50 hotu¿ de t¡abaio que Le (allaban, l,aa netLizí ut Lo¿ 5 üu aüci.ortalu de tl,abajo.
Entre I personas tl enen que pagar por partes lguales $ 201000.-, como algunas de ellas no pueden hacerlo, cada una de las restantes tlene que paqar $ 1,500 soles más para cancélar la deuda. áCuántas personas no pagarán?
Razoiantd;o
a
@
df-&6,- haban dela:dt de
PROBL B',IA
Sd,
ha.bfiÁ.
pon
enrno en
lln ¡tzoruinLento ¿in tnmlt ut etQúa lru
40404
+
Ccno vünot, lw ¿ub¡.ado: '5 - 4 . 1 ¿qnil)nm¿noE Wn d.f*, de bt que eL ¿e hobfa ptopuetto¡ uto ae dehe a que ttaba!6 2.5 hotut metloó ditJL¿orlentt, Lo aul no¿ l2eva a lt concluün de que I ¿anilla L¿ tma.ba 2.5 hoi.oA en ¿uútatút. ¿Oe atue¡.do?
I o iCrál el rtrenor número de 5 clfras "s c{fras son todas 8? to cuyas
11
auhet 6ubrtÍ. Iil 100 semilla¿, enioneQt¡?rl I dfn dad: 100 sQmil-k^6 + 25 df.oa = 4 temilfu,t;/dÍa.
afut end.o lanfu. Logtutt
rahuto¿ que ol
FUNDAMENTALES
Pon Lo
totlto
el "
k
duerto tt
d¿
"
^olu tt t'
l/ Le Wgüú;
272 m
96 m
^J
ü6e¡enu-d" etttne qtúor
Woó áuú.
x 0 .5 óole.6 = 136 áoLet, x 0.5 áoleÁ = 4t áolea.
))
)))r)))
IZ
)))r))))) 4
OSCAR ZEVALLOS G.
iEvt't¿nü6?.- podnfa eruúin¿tt¿ to¿ da.to¿
. mtlma manuu.?, , ,
pafitÁ,
tenen
ot¡o
que óe ,LeIue/cva d,e ta. t. I
¡ I
f
;?Íl f:'i?rii.'ilii, S E-É
Á
I
Er frrmero ha emoe-
i
:i.;ifr*.ritii:'trffii¿ff8,:1.i'tir¿r,il:rl:,[r;
L
a
ttuhalatt
el
E.ytfoncu;
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l.
rBsllsua
| ?on uda tto a te c 150 - 24 .
eltot tantb
como
rffit^tr¿") ;Al¡r; Wt: zs
t I
I
un netoj d.e oao valltúL: IZS x 4
Al
l¡s
pelotas?
¿E;i;'ü;;:"r ráí0, un pto bt ern r*ur¿¿oW
ü tuut
quz
uplwt
catrr/conu.
de las restantes para grnar
vend,ul e,n s5 áoLu uda pehota püLüenlo lnücan que ¿n ,LQalr¿dad cr';da u,M cuütat
noó
SL cad¡, utlc ouettt 95
deütt
que h¡btún¿
2180
7990
+ t5
petdt|t
tantur
l0 EoLu en cado, ura de ellaat t5 + l0 . qS lr,le¡,
g ¿e lo,pogal,o ¿n tottl lttl0 ¿olu, qulete + 95 ¿ot¡t . 'lgl plo*al en tnta2.
¿olu
lttll
cl.peAota u obienut 7990 áolu, habtú. vudllot 94 pclotnt,'petüeítdo en cada.wa de ellat tO to&ea, u deütt cl {lo' . 940 Áohu, qw tlen¿ qul ,Lec;ulpertilLfr,¿ al v¿ndbtt la ne¿ lgt - 94 . 104 pe,Lotut.
AL v¿ndut ,
Ud,?
cómo deberá vender cada una
i.
Lt1W.c
24 ¿o'
ldotol,
So&¡/cín i
netojü-"d;riir;,
ll
I
.
Un lndlvlrtuo pagr 18810 soles por clerto númcro de pelotas y vende p¡rte de ell¡s en 7990 soles, a 85 soles cada una, perdlendo en este negoclo 10 soles
por pelotr.i A soles en todas
ai liipra,oe: 7 x 4 .
hutot
cilLnulo¿, o¿ dan u'
@
PROBL El'lA
sol es , tCuánto val e precl o de uno de plata?
5, OOO
* Al con¡ctutt
i
e
lun venüdo en 41500 áof;ea, uto'lrnpl/ccn q' t 4,500-aohu + l0 c.ilLnersa . 150 ¿02üt Pg. dad,, que u de 21 óolu, enloncu $itt¡Inut: o tu¿ lnbtú, co¿tadot
12é ¿ol.u. Le paoc¿? ¿Ha enlenüdo Ettz nodo de nl,uci6n 2¿ evila
SoLuüdn
qn.neto! de oio, de acuatdo ,yet;¡ü .aL ptala-,'t"-r;;f;;ot#.^W non' ,irltr"tr"pon
30 0i0 nel e,il
¿QuÍ.
@ el
,
Po¡ lo tanúo k uil),Ldad qut nna tulndet 30 compudo, ¿crl, tanll., cmto k que ml tutnde u deü.1t, 51 ca¡nelu¿, Cott¡,2uinol en/uoncea m u,tilltaL de 1,224 tolut un t6lo ea)uara Lu d¿ túllidad,' A ¡¿ v¿z uM vas tu¿ fu u deút, 72 tolu.
linnlt
berto vend I 6 tZ re l oJ es de pl ata y cada retoJ sl et preció-áe-ün5'áé-oio 7 de - oro por es 4 veces
como k d¿ I cau¿ru¿ o $?a qu¿ láa not delalún aanfa utiütlal, comot 7 x 3 . 2l eatcnuto¿,
¿olu de u¡ln vqoÁ e)
7 vac¡,t conptudtl
a¿_
yinüto: Sgh + Z¿h . 63 hotw tt tegunlo: " il io--
del
I
ll
La utllLdad, ¿n
I
I
2:i.';r;,:,:.ii,i+üa:"*wr,¿n",i*M*Eátd. Ud, entenüendo?...-- -- '""
,Lelpu¿¿ta
16,464 sol es . La utl I I dad dc una vaca lüuánto costO cada carnero?
I
podurro,a. ptegqnfinwt. S¿ l2l-lo tanlo y-gr:o hot¡. t¿ d,ucuenta 43 choco_ rÁi,A, ¿En ati.rro uekpo-i¿-ieac;'r,r"fr i.,t7l ¿iáiüüüT,ii á e,\.d., ent t, I 0 cho c'lo*u; 4g--rñrto¡ü t noü- i-trfrü; t" nwpueita
¡10tLu d¿.ttahuaio
que
¿C6no colctúorto¿ lÁ. uilL¿dad, t¡fuL n¿olb¿da?,,.lc2iltot,,.Sutü. lguol a Lo que huo¿ n¿c,lbllo'pon l¡. vent¿, d,e lot u.ttru¡ot q de lat vacaa, neno¿ el co¿io tottt d¿ todot el)¡t, Aaf¡ LltJ&Ldad tottl. 141500 + lá,4611 - 19,710 . 1t221 ¿olu.
I
et w*nuo ha utpzzad.o 3g hot¡t¿ anrQ', qute\e deoJ,t que en ue raplo ha dabü¡a"dot 39 x lo ,-1-ir¡'"i\ffüu, canL&ad en ta. iue averúnla ot áesundo,
cryú.upieza
y I as vacas por la de un crrnero.
sol es
SohtalÍn:
t,
camo
"
A
el trl pl e
_
39ava,-hota,-
4 | 500
I
7
'
por
I
r
por 19,740 solcs , Los carneros se venden 30carnerosylvacas '
Se compran
I
hace 30
oL,ue,i6 n
*
r
ixE
i
ellos
13
IONES FUNDMENTALES
PROBLEMA
uou*o @ Dos personas se dedlcan.a fabrlbar chocolates. El prrmero de chocorates por hora , e1-sd;;¿;'is-eñ"li'mrsmo.*empo.
OPERAC
a t5 ¿olu
.
vflrro¿, al vendat laA t04 pez¡tal au¿ le euc.dan, tlute qut tlestpuw)L lo¿ ?10 toLu purüdot g adürú,a obtenei u¡a gá¡ann)t. de 2lC0 uüet, u dg cli, Ql)a6 tenilúln q,n phodttehlz una gatlu,nuio. det 2lt0 ¿olu + 940 . 317¡ Cc,fro
¿olu.
l
r() 14
I I
OSCAR ZEVALLOS G.
irlrl.t1nce4
uíttt¡
i¡ i ó" ;;lnA-?
debe¡í. gatan
oada ifr oü *á^' : 7 ó lien¿ff áffihr\tr rffr
i
üu iditorc a :
vendiü
I
Jrime ha adqulnldo 910 rlbros a 5 h!.,) pol cada docena qüe aáqüirio. sores cada.uno, habréndosele regarado iñ'"cri s¡anal s,sóó-.;ü;T __ ,,¡ rEys.qvv ¿ ttDros - ¡i-.-;ü';;;-ñ..1.iil'lolt", íillS"p;l por caoa ::fl ¡fa? .
,l::;l
lStrtaiflM L',a.cuÍuto¿ iniri¡.heúe atáttf¡ Le co¿fottr. u t¡ta2 btoá. qup.
Lo¿
r ll
ii:;fi
\
\ \ \
rtbto¿.
de 13 2i- \ ito-u6tü
trttupo
Vefrnoó ¿tttancet
ha'l ut io¿'
Itoáee, w@ z¡o ¿ i:n clda inup|"ñ.,t-t- f,o
' 7o *do
To.eaapit7lz'71ooo, wáa¿o'ii?)ut,
como
po,L:
Le
iaa¡,¡
= 4,
*iffiii,
5'7471400 l'283,400 = 4'464,000 EL
i lyf
=
l_9& clübm; --
dur6 30 dfas, con una ci
Solttú6u ¿lta conptenüdo Ud.. de ¿e¡i. el aigu,t-enle: Cqt n4 q¡n- fiuciono,ton l g
LL
gatio
qu.e..
obtetqmnt
qu¿
gdtÍo de I u,ñ6n quz dLrWrtrL 30 üa¡ ea I cafiín = I x 30 x 4 x 15.50 x 30 = 55,800 soLel s
Enfoncu d¿ ecuüLdo a, nuQAt^o ,LazoytoilvLe.nfo qu¿ ditpdru)Lon dtutsrúe 30 dÍ,at, á?)Á.:
* uñonu ) =
PROBL B4A
eA
ÁoLel
Ga¿to
* er,ñonel =
f;#r.1trá"run'i;:"#;:t;i##,1":,r'#;':ff #tr":4W:' que porl un ubto neetb¡¡a : t00 ¿áiü -r-ifio' ü;noá conellinoa _
15
uttúottad,o dud¿
toue.t,
bien, of vend,efiloa, porl cada *::7': do,ceta qqz 'negala, z qqe 'Lvtwq', tettfa, 'tLzgarÁ, 2 {4otloa libnoa, deei-n, {orua un onoÁn- r1;' tz- i;i;; entoneü avetis,,,*,;i i,r¡r*o¿ s,ru de t4 t¡6rl?, ff,fypoo^lu^t| #?+r:, "íftfi ofoz"= !* #y ,fo^¡ : ^yr, y. rrt- s i ó ül ü1' qi:;"';;":" ri?o: ,r;t!o , ro Ub¡toa A vude¡td. 130 = 65^,, x lZ = /50 ^ifüüi"L';ffi;ri,,u'rs Ltbrci:f,#*oo2 Ylylá.78,0 t!\qo ,L¿úbüú. to¿ $ 4,200 7
.1-
Ud, 9i ya eorccutot oettiotw do el tiupo A p cultL u añ6n $uneinnanto' t¡do' el tiunpo, m¿di,ant¿ u el nlunuo d¿ etñ.onu que (unúoíu.non frtdo el tiurpo. Veano¿t I Galto ca.ñottoÁ = I e¡ñonQt'x I bahl x Peto x Co¿t¡ x lt dfaa clhilo óune-t¡. | fu6to25aiñonu. 25 x 30 x clbah. 4 x15.50 x- tB = 837,000+ | @Atr tz cañonu - 12 x 30 x 4 x ts.s0 x z|t lJb!!!Eatn¿ do¿ gattq¿ noÁ d,an: 1,?85,400 t .Lltgo el ga§n de l¡¿ etfionu qrc ülpnaaon 30 df-a,t, uil.:
Ahona
aat o
FUNDAMENTALES
el gatto
üuclo t¡talnente?.-.
o
opERAcIoNEs
f
¿ÉÁtú.
que Le quelan, debe¡lÍ. ¿e¡
FROBL EMA'
4
' ' "'-¡- -
ivtlcful, el
nÍune¡o de cañonu
4' 464r!!!- aoLel
-f$TT
áoLü
80
@
La edad de Juan I a mul ti pl i camos por 4, al resul tado 'le añadimos 18 y a dlcha suma 'l a dividimos entre 19 obteni endo f I na'lmente ? años . áCuál es
la edad de Juan?
Sofuie-,t6n
Edte ptob|wn u t-0. intttoútce,Lfin a un n|fndo rrut¡ upecial d.i mtotve¡ ciul-toa ptobluat, müodo qu¿ ¿e innoce pgilatuent¿ con el nmúne de "REGLA OEL CAilGREJ0r, porL etuaú.uúítiet de'tesnütan pÁa alÁ.d6't, ea deüt, en ute ^u ar¡10á o. nelolvut dude eL' 6ilo2; nlLd ct¡twnente,d- wl tipo de ,LegrLQAdrnoE laÁto. el inLcio del ptoblua., hae,Lend,o: tL,L del u, oada n invuüa a Ía. que uL eae momenlo el pzobLuw ute indicando. laf:
I Fl ü.tina nuulttdo u 2, pwduttt de habat üvidido ¿ytltte 2 a un nlmeno entaú.orL, Qtttnc?a, ette ñ1nem anlu)brL, rc-oiW. al milfipLic¡lt: 2x19.3t r E¿. ttlmua 38, á'e ha, obteruLdo btego de .añad¡n I d un nfinetw anf.etúon, tol nfrne¡o áe obtudnd, al ne¡tan: 38- - 18 ;Vf t t A Euvez 20, te lu. obtetúdo al mulfiplican porl 4 La edad de Juan, ettfon-cu wÁa. halla¡Ia. üvidtrno¿ : !ffi.s6 . ¿Eytf.utü6? E
16 )
))))) OSCAR ZEVALLOS G,
Podano¿
¿tnteü(züL
Eüd d,e'Jrun
3
PROBLEM¿
1petao(orlet
,L 4
+ lt + 19 .
2,
))r)))) 4
OPERAC
LI
IONES FUNDMENTALES
üf,¡
1pe,,ueta neí nent tu.dal I
)r
I 2 3
2
Solttolínt
lnvuuü nenl,lzadu
x tg . tt 3t - g ..20 Z
Lo hacwto¿ ahota en {otun fiúl tú,pLdat 0
:.,1
20 + 4'
@¿,
peruoLo nel, ftQ.allzadn¿
0peluo.Lonel
5x2. -,,
+5
edad de Juan
xI
@
l0
+4
,I'ii,ffi
72)
r +3
i;i,il,ff iltt{,i;Híj*ilil§,ih.,,,_triifulii
+
lnveruu
2.5
10 7
49
49-4,
45
45+3?
15
15
- 5.
¡eal,Lzadat
l0 ¿olu re
SofuoÍ6n PROBL El',lA
#"hrw1:*ifrl:,e, k,ot u haata et contenzo taüud,o at oada oato h.e
',!y\f.%
ttlf,ncuute
este 0ltlmo le dupllca a CÉsar el dlnero que éste Ileva en ese momentoi en retrlbucl6n César le entrega 10 s0Ies. Sl se han cruzado 3 veces luego de Ias cuales CÉsar tlene 250 soles. üCuánto tenla César lnlclalmente? Solttci6nl
¿Ahou 0
o @ o o
uü, nú^ olaw?
petaub
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wtwLl
pod.uto¿
neat,izadal
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uL, c)ttc.
lpetuüoneA rnvetua¿ ¡ealrzadal
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Dtrnno ¿n/Lüot
+4
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üLuce
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@
{
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Uenio¿¿
pelaclo neA lnv elu
ci¡;ce +
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2d,0, u,Lce
i,U fl+l¡*ij,,iltif;i,il§[ílisffr
{
u,
alu-
e¡uel¡nu qua, E¿ g en la, tQ4utda,
,.1
etndnad,o
áaeÁno6 a^af,z atadruda
PRoBLET,|A
ha
ta neÁolvüc
¿lttl,qt,tzat¡
il ,ín ¿ün¿ + Z, elevamo¿
{wo,urn*,HrntaL¿o,L
(eúmre tW U eLaüL üuoÁ q
¿nle Leal,Lzan aon utlln b.t op Cono
ti;í;ü'ffitrJ*l",itt:rzfrii,fr
@
Crda 'vez que César se cruza con Fernando,
.
l-250
üLuce +
I
ut,, e)ulee
a¡
q) neol,Lzüna á s
. + 2. It lo + ,0 . Iuo +2 . + . {n + l0Z. + l0
260 130 140 70
t0
40totU IIT
pumüe tluolvu. Lot do¿ tlAwtentu pobLg
mdA,
'*i::i
tiiifi:;,iriíilri;H!í
PROBLEl4A
@
y Lucho¡ estfn Jugando, con la condlcl6n que aquel gue ple¡dq tlene que dupllcar el dlnero de los otros 2, Sl cada ung ha perqldo una partlda. en el orden en que han sldó nqnbrados r quedándo '¿Cuánt6' 3e I uego de haber perd'ldo el 0l tlmo rcon 20 sol es cada uno . tenfa lnlclalmente ¡luan?
Juan, Pedro
OSCAR ZEVALLOS G.
4 OPERACIONES
19
FUNDAMENTALES
PROBLEMA
Pana.
netolvuli cowo en Lo¿ etÁo6 ka opetaeio net if:nv etuo¿
lia.eiQrtdo
Tenga en eteún que: Si cola uru ' tenúln 60 ultt, etta cantidad d tal tenlan Lo¿ 3 inioitt¡tente o fui
el
..
i4ue c
Como caaLLgo: duplicí Lot ot¡ót doa'
,
20
20
Ql üneno
I
Juan A Pedno tenÍan dn
tcd lÁ. mifrdd de Lo
tr
rto,zo vtot¿üt106
dQt- puobLena? ¿S¿ da. e!¿nta" que
(u del twí,tmo tipo
qu¿
análn gwneli.e.:
* Si c.ala uto ol Áirut tien¿ 32 ¿olu, ¿rú.te Lo¿ 4 teni.an detde Ql comienzo . A ¿t eda" ¿nÁtante.tun tntt2¡ 4 x 32 = 128 ¿ol'u. I EL úlhina en petdett 6tt¿ O, au enatigo $ue duplican cl üne¡o a I¡¿ otno¿ 3 I E¿to fudiet que, atiea dz pudu O, Loá otho¿ 3- tenÍ'an b' tnff-^d de Lo que
LUCHO
6ue Luilto
de
Evtfoncel
PEARO
tietu:
dltt¡to ut puLdüL
SoÍttoüín
E,Lu
ahoia,
EL
Juego?
¿Enf.enü6 et b:tuttc¡slo ?t Wblma dnÍü,LotL?.
ücla el to AL 6iyul eada, uülr
Cuatro Jugadores: A, B, C y Di convienen.en quer en cada partldo eI que pler .de duplicárá el dlnáro de los otros 3. Asf por colnc'ldencla cada uno plerdE una pártlda en el orden en que han sldo nombrados, y después de perder D cada. uho se queda cbn 32 soles.' lCuánto tenfa cada uno de ellos al comenzar -
tienut [inalnette' EnlonceÁ, O tenf!. atúu de pendut,
It üóuenoü' enbe el totuL de ünuw iuntoE'tet4an au 3 conpañottot. ¿0e aetuldo?, EL tazonanie$¡ ¿cnÁ. anlhogo Ptlt C, B q A.. UZE Áo{;i¿Al q
que ohona tñ,neín
ü6üeneta. enflte o q. Lo que iutltoa
S
Ii
que
int Lfiefinul¿ t¿itlnwno
¿:
oá.
A
Aaf t
Eata,
Peüo
¿ituaúín
eA
Tenfa 6iwlneni,¿:
dupuü de püLd?n
Nuelt¡o ,tdzonaml;enio eA Ql p,¡ts. con Lucho
ttrimot
wvLamo
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32
1
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\ +28-5 72 \LO t/ 36 \ \o 1
)btudnemoá aAí: i
E¿tn di,,üne-i6n
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Como
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et¡tigo duptieí Qt üne¡,o
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Eninncet ?¿dno A Lueho tetÍnn
k" filifid Lo
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deAWLA que
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Y Juan tu4Ía.
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ufne el totdl
tienen
1
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o.nfe¿
+2
ahotu..
Tetfan irúublrnetf,et
+2
Lo que ellot
32,50 .50 -v ut¡'úrtíno u Lo qyz etda urc tetfa iniciahtenfe. si u necudúy runvmp.nte tz ¿otttción pdu. qua U ent¡p.t* pür¡ l*,erie: La ttetgntta (/nal twryan
17
-
aetá.: Juan.tetf-a;
28- 60
68
de
ü6Uenü.a" A
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Ju,an.
Loa ot)oa
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SV.SO'
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\¡28-48 é 80 \ i2 t/ 40 \ ?2 ¿ 20 \
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-
t/ L0
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20
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OSCAR ZEVALLOS G.
)l))t)) 4
OPERAC
IONES FUNDAMENTALES
2L
I
mcBLEttAS
rRoPuEsros
O
duracl6n: lh 30' Pedro tlene 2496 soles. Marfa 3118 soles que.pedro y 2025 so jorgi ii.n*ilene ,^1..s -menos !!e I ós qú;. A su vez Cas Tát lml ro t I ene Z4bO mlf s gr 'qrc Tlempo de
asoo menos Tlllr.v ¿uuanto poseen entre
f
rye
al
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b) $ $t7t,, e) N.A
de paño'
soles,, b
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I zxn/ Az
cl
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la
27
bl
las c'lfras del resultado.
sumr de
2l
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dl F. da,to¿ el ZnU / *
se
et_resrb del dinero. !Fg6 ¿uuünto Ie correspondl6 a esta 0lilma?
Fi' z',its',io
C
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bl 1,3! ,330 , ó0
Zi Iv, A. el
presente probrema
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¿ol.u
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0 r cero
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(o.L)(uuz¡'35.9
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l¡r la suma de las clfras del resultado de
blendo que
739.
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las clfras enteras del resultado.
al,|'.lt.'i,io bl 427,fi cl 471.6t dlt2t,t25
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12
E
Dar como respuesta
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otl
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ClfraS-r
st suponemos que:
Hallar 79
b
200
D8656565... ¡..6565
aol.u
hailar: E: (a + B) - (c + D)
56s 656
el Fattan dat¡t
además
i:i:',t0,állu 1
sl
200 ClfraS-r tBr848484..¡.r.84
178 Clf ¡-r tCr313131...,.313131 HallüF¡ entonces: E ! A + B r
sé
;¡iilri¡illii:i,rr.li:llni];iF:; iirrifu'iiii:i:iliiiliii:¡¡iriiiil mo a l¡s dos prtmerrs ¡uñtii, ñlñoi"r,ñód sotes y a la cu¡rta t0 tohu
,A'
f-300 ClfraS-r A¡ 999.r¡.r,9999
Dar como respuesta I a suma de 'las
a.L, I ,579.
f)
(e +
sabemos que:
$ 33lll ..
.
a cambr o de .'yr¡ metros de cas rmr r ha entregado,x,, metros de paño -aé-ciirmi¡ cues tan 2 mátrói ;i , a I comprar 3 metnos rr3nil
Zxn/ a
?7
EtEilEf + EEiIá?T + ?iSEilE' + EIEFfi + EfiEEi[ + ilEIttE
Dm cono respuestr
nnñindó.
ücuánto
pagan
Hallar: E,
r
todos?
a) $ gtgrt,o d) $ gnnl {!
SI se sabe que: a + b + c
la
suma de nos da 4096. )
32
,
,,6
1,'
I
lq
los productos parclales
cl
dl
25
el N.A.
multlollcar:
lE x 512¡ sa
(sumaüos convcnclonalmán--
,\r..4.
¿l Faltan futot
E r (U + c) - (r + d), 3 I en el producto: ¡5td x 95, la dlforencla dc los productos parcl a I es es 15 r 372.
Hallarl:
el ^J.A.
altz
bl t
cl j
,
dt'
6
el
lJ. A.,
22
OSCAR ZEVALLOS G.
Un comertlante adqulrl61780 naranJas a 4.48 soles cada una, y por cada docena que cmpraba le regalaban una. A c6mo debe ven
una
utllidad de 1,075.20,
al $ s.B56a \-/
Ñ
$ s.6o
cl'$
s.so
Un vendedor de manzanas compra L5? Kg. de
dl $ 6.to
e.l N.A.
ellas a $, 15.= el Kg,
Des--
pués de haber vendldo 32 Kgs. a 18 soles cada kilo, guarda el resto por varlos dfas malográndosele el 301. A c6mo debe vender el Kg. de I o que I e queda para gue pueda obtener un total de 144 soles de ganancia?
,/rzz.
$zo i!
bt
ct $te
dl $ 2l
el ^J.A.
Ivonne y l4arle'la tlenen 10 y 8 naranJas respectivamente. Cuando se aprestaban a comerlas llega Fernando, con qulen comparten las naranJas; comlendo todo¡ por lgual. Al retlrarse Fernando saca 60 soles de subolslllsy)ls¿i130 so'les a cada una como agradecimfento por su acci6n¡sor prendentemente lvonne se nlega a reclblrlos aduclendo que 1a repartl-cl6n del dlnero ha sido 'lnjusta y qúe a cada una se le debe dar de acuerdo aI número de naraqjas que de cada una de e'llas haya reclbldo Feq nando. Flnalmente, luego de'reflexlonar, Fernando se da cuenta de'l eI rror que habfa cometido en el repárto del dinero y le da a lvonne lo'q' 1 e corresponde. Tal suma es :
$3s
d"l
bl $45
c) $s5
,dT $
40
el
dl
zs,tlA do¡dado¿ 20,073
..
¿oldado¿
LJ
27,300 aoldddor el , 20,037 ¿oldado¿
cl
a la de sus costos; dfgase iCuál es la costo de una bic{cleta Y una moto?
al $ 6eo
$
6) 31
cl 29
dl 32
niol-áúe uña mu¡ár reétUe
H"ü;;,"&;'i:;ri;;¿;: adultos y
dl $ 4oo
dl f 320
Sl el costo de una moto es el cuádruple qoe eI de una blclcleta, aunque las utllldades que cada una db ellas produce están en relacl6n lnversq
cie
el N. A.
'iiüár-ál'-iá
áiiá¡aniiá enird
b) $ 3oo
$
500v dl $ 4s0
1o que reciiren 'É 8-l N. A.
p""" la sala de un teatro se hablan proyectado.clerto nfimero de filas 6e) V lin-Sá-¡uiá"ai-cáJa-unoi pero por aiipoiictOn de la Gerencia, el misino n[m""o iotal ¿e- butacai que tráUian inlcJalmente proyectado' se distrl buyen ahora uur.niiñáó-ie'iitái y dlsmÍnuyendo 14'butacas en cada unal óiti Uá.-trai-ei éi númerb totat-de butacás que se han proyectado. el N.A. c) 682 ,;üi q4s r' 6 ) 85s al 915 ntes operaciones: lo elevo. a'l cuamu] ti bl i co Por 3¡ al número as f o elevó al cubo, obtenlendo un núunidades 1e extra'igo ralz cuadrada I
,\.. d\ to v .
..
.
Siendo Posltivo e'l
bl.6
cl t4
d.l
21
el
nfimero
doble de
el
que
é1?
12
Darle l'0 soles' nifica 1o siguiente: nga después que 'le dl 10 soles y para
5-soles Por cada "favor". avores" suceslvos a Vfctor Hugo' luees, dlgase icuánto tenla antes que y0 a"l
$
14
bl $ 3
c) $5
dl
$
2,/
Q.l N.A.
ne la facultad de duplicar é'l dineagro" cobra 80 soles Para Podef man aidln coge todos sus ahorros Y va a
3['¿.fliil.3l'1,!o,l"H'oilo]13i"'
el
Pedrfn ha vendido 20 bicJcletas y 40 motos por un preclo total de $ 63,609.=, que excede en 6,000 soles a lo que en tota'l pag6 Por todos
los.
,280
3 muieres?.
20,730 aoldado¿
^J.A.
el
1
entre I os Prec I os
mujeres.y 5 clerta ferla,'salen pr"rt.qos en un'iuego:20 adultos,.iO t'íi\ Si sabesoles. 9,250 de S:/ fn un tota'l e'l'los todoi entrl ñinóil ¡áctuien¿ó tanto dinero cdtro.2 niños y qq9 un adulto rer.i.
tado dlsparando 3 horas. Hallar la suma de las clfra§ de los númerosque'representan la cantldad de cañonazos que cada uno habfa dlsparado hasta que en total entre los dos dlspararon Juntos 518 cañonazos y desde que ambos dlspararon Juntos. 26
c) $
di f erencih
os siguientás es
Un cañ6n dlspara 35 ba'las cada hora y, otro solamente 24 balas en el mls mo tlempo y tuando enpez6 a disparaiel segundo, el prlmero ya habla eE
al
e6o
$. zo
Se ha repartldo una ract6n de vlno a todos los soldados de una guarnl-cl6n. Sl se sabe que con un lltro alcanzaba para dos raclones y medla, y que el tonel,de 210 lltros ha costado 787.50 soles oro. Se desea saber cuántos.soldados lntervlnieron en la manlobra sablendo que el vlno nos ha ocaslonado un gasto total de 40,950 soles.
dl
23
+ OPERACIONES FUNDAHENTALES
isln
un sol'.
los ahorros de Edr,rardfn, s'lendo éi;; ü.-;üántos soles constitufan .áilr.iér-ü;i-ñ.6i;á (no-iesotverlo por ecuaciones) . d,l
$140
bl $23.30 e) $60
dl $75
e)
,v.
A.
1a
i¡l'e
)z-\
) ) ) ) ) ) ) ) ) ,'
- li¡ ii"tilt'¿, it
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))
drr^i,rünr.¿r¿.
).
)
)
rentendo en cuenta l.as mlsmas condlcrones que en
el problema resuelto # .ñ,ax;iüÍ.iHti'¿fililrii;*ii$*l"fiiittl_ üf
te tenfan .luan 60 soles?
y
Lucho;
al 97 ,50
I
52,50
b
si
ahora se
cl 38 .25
dl
67
.s\f
el
1,.
A.
lll dl $ 1'52.50 bl $ 7?.50 cl
$
1o
dl é
ss,¡
el
Operaciones comb¡nadas
§ cs
-Clarlsa,_lilarfa y ,lenny y cada una de e_ .orden fnverso al que hán sldó ñsnbri¿iil re lente: A la que gane-en prlmer tusar, iemii que gane en segundo Iuglr, le dartn 30 soles¡ a zo ioreioi i-iÁ nnnesar
iii
[i
üue wn obloto p¡ueúatúe unnQl¡&.ba^ianie. tip de pnoblutut. l¡s Malu fiRla^ v¿ceA te nel., laÁ que'acarúLean'urlL magorl wo d¿ ü7W et la Paüte/;u aÁc¡¿cáfs upeei,at a kt ¿oll¡ltnu ncallzado^t, pru üutan pn objtÁo dwo¡nstl,ut tu la,zonrullúetúo.
'lE,,l'iull',ttiiÍil li,o:¡5l
el,to
Luego de.Jugarse e'l cuarto-Juego y-cumpllrse con -üña-iráñE-bó'.ii.l. ¿a
clalmente tenfan itenry
&)$40
la regla del ¿p!éiiá-cúei]d!' ' drrerercra éntre roJüi3'i.ii -- ia
y Clárisa.--'
bl i'oo
cl
$100
dl
f s0
e.lÍ\,.A.
'f.
ldas en 3 corrales dlferentes, En e antmales¡ un rlfa declde verlflcar pero encuentra que lrs tranqueras an cambl¡do de corr¡I, haclcrido que I los. c¡da corral lnlclalmcnte. Ies DFebfa culdado cada uno de állos?.'pilo recuerda exlctmante pcro peden que de su corrar prsaron rr de carros tantrs O como II!,Iéste ll.gur: ovcJr¡ tenfa ,n Carlos aflrma gge
del suyo pasaron al de Luls, tantas como habfa en en el de este Últtmo. Luis vl6 gue de su corral escaparon rl de Vfctor tantas oveJas como I as que a éste I e habfan quedaü0.
tCuántas oveJas cu.ld6 Luls?
d.l
tZ
bl t4
.; I
dl 22
el Fat-tan
da.tot
§é ci¿ do¿ nfuaetlot ¡ut dan o¡no dalo¿ ¡a ¿unalst g üluutüa.l?l $n¿Cndorat halLu uúat can*idadu, ptocedu.anot d¿ l¡. ¿lgulenl,e.nu,ne¡ct ¿
§+9 ) T i rrugorl. ' §tlllA-?IFEFE§_CH tr S-? It meturl. T PRoBrEr-{A
6)
-La ¿wu de 2 nfrwlot u
t00 A lu ü6uene,U, 200. HalJilt oada, utw de elloá,
Soluclón: En este cüso:
S8800 D=2A0
#ma r
!gL+4gg r
500
r
r
300
# menor
I
l
OSCAR ZEVALLOS G.
OPERACIONES
COMB
27
INADAS
I
No
además que Para que Ud. pueda
olvide
,áróiiáii iálá-láñcrrá-.itiñe
La 6umo. de
2
cltcd númuod
u,nLtdi.du áon3
eA
11/10 A Ql
mevlo,L
eA 1 /10
menoE
que
el maqott.
O¿-
iPor
# mayor
= 1l/10
=
5
10
1
t'lAYOR
IBLEMA
Diferencia =
# menor
1/10
m
=
en contra.de.'la corrlente, la la velocJdad de la corriente
50 ltn/h
= V. LANCHA =
# MENOR = V.
3
20
viajar
mayor que
qué?
#
En este caso: Suma
ier
Entonces tenemos:
Sol uc i 6n_:
T2
que
30
CORRI ENTE
Km/h
o fteelangu,u.rL tiwte t s0 me,tzoa de perÍme,t-no. caLaúan excede al ancllo en 18 mQ'Uo6 '
z
et tnttgo
^u
d--
)
*Elperfmetrodeunrectángu.loesdosveces]asumadesus2]ados.iDe-
¿Qud hons. u? t-e ytnzgunfa Juan a Jot6. Jode L¿ ,L?Aponde: Quzdan dQl üa t hotu¿ meno6 que Lo¿ tttarueu¡widoa
0eei¡:
sol uci6n
ic¿u6.
hona
muéstre'lo Ud.l
?A? .
*
:
En e'l momento en que Ud. está leyendo este problema, notará que del dfa han transcUrrido clerto número de horas y aún faltan transcurrir otras' para.que eI dfa acabe. Esta situaci§n se produce en cada momento del dla, es decir'
en todo
instante hora
aq
'YiNo
tipos de
bos
es asf?. Eh nuestro problema las horas que Ouedan son 8 menos que Ias transcurridas, es decir, su diferencia es 8. Entonces: HORAS TRANSCURRIDAS
Quiere
= # MAY0R = ry
dec'lr, que si han transcurrido
16 horas
= t6
Entonces,
t. ;1 ü;il Éxóeóe ii nüásiro láso
En
Entonces:
EnLne
un buque nfrvega en un nAo zn el ¿etLido de t-0. co¡¡i¿nfe Ld vcloúdad d-uan¡ollt' et s0- Knlh. r¡ euando Lo hace en cottl)td de e.ILo- au volociddd i» ¿e zO K^ltr. Si ¿e ¿ahe que en onbot coao¿ el noton $unciona a pl-ena po.twLtitt. Oiga: ¿CulL e,¡ Ld veloúddd de La conni¿r',te? qu¿
LARGO
=
54 m.
ANCH0
=
36
m.
36
l:;;'i
TE)
2 pe)aottr.a ti¿nen 196 so/ct.l. Si una de
i:";dnr";
Sol uci 6n
**elu
Suponga Ud. que en estos momentos se encuentra en.una'lancha sobre e'l rfo mizoñas, si'navega a favor de la copiente, Ia veloc'ldad de'la lancha se verá aumentada en-el valor de Ia velocidad de la corriente que favorece al movlmlento, es declr en este caso ambas velocldades se smlan. lDe acuerdo?
Ud. en Contna de la cnnrlente lre rralaald¡dac ea racr¡rá'
eantidadu.
elldl üena I aolu a La oüa'
¿c¡távtto LLene La mo'qon?
;
En este caso
la
suma es
La dlferencla es 2
'
CUandO VaVa
que
p.m.
Cw.¡,:lo
*
de sus 2 lados será 90 mts.
diferencia entre largo y ancho es 18-mts' puesto anctro en tal cantidaá. áDe acuerdo?
El área será: 54 x del día, son las 4
suma
tlmttesdeclr,A-B=m.
horas
Iglg@@
*
e1 perfriretro vale 180 m.'la
* oue una cantidad A exceda a otra B en una cantidad "m" significa; primero ffi Á';r-fr.vó.-irl ffii*as que la dlferencia entre ambos equiva'le a
PROBTE¡I,IA
Sol uc ión
si
t
$ fg6.
g=$
16.
ErTlique Ud. porqu6?
Entonces:
#mayor=.j61.'J =4f=
106 sol
es
))
)a)
¿.
ürr^1, ¿.lnuJo,
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PRoB¿ElLrÁ*s
IR0pUEs
r0{
)
)))))))
@
de Z rufmetw¿ ¿abi.end,o que áu áuma u ü nd.xino númaw úelqnein u md.y,t-¡no ,,rf*¿i; de 2 üt¡ru ut et aütemc.,
1,098r b) 2gg
a)
2 piezaa de, génuo, uyta, de elha ha co'tndo $ 600," A Lü o_ Ou $ 21000,. Un me.tlto .d¿ Lo" tegunda vale f l0 md,r qu¿ un me,tho de La pninQnd., U con $ 70 puede cornprLülae. un m¿tno de cada uyw. ¿Cuá.nfoa m?t¡o¿ de génuo Ee, t LBnwt u totol?
¿Qué hona ¿e¡.d.
M.indA
^on
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dent¡o Ce S houat,
exceüdu uL t 0 potl faA
a) 7 p.m.
b) to a.m.
de
d) 9oo
c) zomts.
a) 60mts¡ idllomts.r
de_-
8,6:
c)
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COMB INADAS
Se, cünryan
Tienpc de Du¡td.ú6n: Z0 mLrutto¿
dal ma7o¡L
IONES
OPERAC
ai
en e¡fe mom¿nto t-aA honu üta¡wcúr.que aJin no hayl pd$a"do?
c) 10p.m. d) sp.m. i"a) Bp.m.t/
¿Cul.nto6
a)
sso
wbttot he conpzado en toto2?
m.
b)
335
m.
c)
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22
Agost. b) 9 Agost. *q) zf
Agost.rz
d) tZ Agost. e) il.A.
s,So tapa ¿61.0 cuuta 0,.50 neno¿ ta botüts.. ¿cr,¡lr*o ^4 ? áiiull"t "r¿i'U a) $3.= ,,¡') $ Z.=/ c) $ l.50 d) $ 3.so e) $ 2,75
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a) 39,994 b) 3g,4gg c) 3,264
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38,994
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coe,i..ent¿
el coe-tenf,e.
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ücen que un núnuo Qa ú doble de otlttt + Lu coe,tent¿ Q"2 ücen q.u¿ un rulntuw u el cuádtutple de ot¡o ') óu t' Q"4
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ücen
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*lo S¡1
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un nimuo
nftnuo
QA'
l,oá
+ d"e o.ttlo
u
l,o¿
i
d¿ ottto
-,,
^u
coaidrú,e.
q
ET5
+ 6tt coct¿rute q 3TI
I
I
30 OSCAR ZEVALLOS G.
m1BLEl'lA
c
.
['
OPERAC
IONES
COMB INADAS
31
I
u$
[, 1,200 a uno de
ellot eA et dobt-z d,et :t¡0.
Harla¡
!, I I ;
PROBLE/\{A
La üduene.U- de IÁa dolltunnt d¿ 2 p?rLsonda ?A 60,U00 tolu. Cada uyw de e$ 1 ,50 0 aL añ.0 t¡ aL cabo d¿ 6 añ07, La ptuneta t*¿n¿ Ql bu-pL-e d¿ Lo quz t-cwte La aegunda. I wLelahte*te cada una teytÍaz
l,[Á.A aho¡ttn Sol uci6n I
s q
=
11200
=2 I
#
1
#
=
MENOR
MAYOR
400. De acuerdo a @
= (2)(400) = g00,De acuerdo a @
y ffjese en e'l razonamiento: la misma cantidad, Ia diferencla actual de $ 60,000 se mantenclrá constante durante]os 6 años. En ese momento ádemás, e1 cocfente de ambas fortunas será 3 (pues una tendrá e1 triple de'ta otra), Lea detenidamente Corno ambos
el
problerna
ahorran anua'lmente
podemos entonces con
de 6
PR,BLElvlA
Ld eanLidad de ünurc que _tiene Jonge eA Lo¿ 4/s cle Lo que n*endo evúie anboa gt T'¿or-u . ¿cr,ántc il;;; i'uánil
tiue
P¿dno, te-
q=3 # menor = 'J i ner.o Jorge
=
f,+ # mayor = di nero pedro
= $ 360.=
¡:810 1
=
$
450,=
ución:
D = 420 I q=4 r
# menor # mayor
:
La üluene-La de
ne:
=
=
^u
coúente
420 = r140'
4=I
(140) t+)
QA
4.
Hd,t-b,lt anúod ruinturc¿
De acuerrJo 560
a
B
PROBLEI\{A
(A
Un Wúz¿
tiene
dQl padnz
= 2r40OL
q=ais f Fi
na
lmente:
=
$3o,ooo.--
(30,000)(3) = $ 90,000:'
tener dentro de 6
años
gu€
las fortunas actuales serán:
Lo¿
5
Lo¿
/
g
.carLgrun¿nfoá
de Lo que
menor
=
de 2 attfo¿ 8A 2 1400 Kga. Llno dz e.llo¿ üA,ottto . Evlfoncet- cac{rz uno d,¿ e}lod t d,e
tiene ü
2r4oo ?r4oo =' ñ5- i = T =4'0oo 5
mayor = (4,000)
8
5
=
6
dettÁ.
53 o.ño¿
A ,su lu+jo 17 añ.0¿, Devtfizo dz u-ávtfo tLempo
el fru,plz de La ¿da"d. de. ,su lrii
o
IJ.
edad
.
-\, Solución:
.
So'l uc i ón:
D
Fortuna mayor
=
30,000 9 ,000 : $ 21 ,000 . oo Paralamayor: 9O,OPO 9,000= $81,000.0o
* carLga
=H
sumas que han de
decir, estor
PROELEI,IIA
ne de
Fortunamenor
Para 'l a menor:
La üduene-.ia dez núrnuw¿ %' 420 u
Fi na lmente
r
Di chas fortunas 'las han consegu'ido'por haber ahorrado cada una $ 1,5C0 . = anuales, durante 5 años, ES dec'i r 6 x 1,500 = $ 9;000 de ahorro, QUiere
p?.o3LEMA
Sol
L
tales serán las
*
= ti]360
de
Dentro de 6 años: D = 601000
Sol uc i ón:
estos datos ca'lcu1ar'las fortunas que tendrán dentro
años
1400
Kgs .
Kg
Por
B
Actualmente 'l a di f erenci a de edades es ( 53 L7) = 36 años Di cha d i ferenc i a se manti ene cons tante, por s i empre .
.
condición de que el padre tenga e1 triple de las edades en aquel momento será 3. ZDe acuerdo?. Entonces s'i conocemos la diferencia y e1 cociente de las e dades en e'l futuro, podernos calcular1os: En
de
el fuiuro cuando se cumpla la Ia edad del hijo, e'l cociente
tn el futuro: D= 36
q=3
l
E. HIJo =
# menor
=
,+
= 18 años
Esta será la edad de1 hijo en el futuro: 18 años y si ahora según dato t'ie ne 17 años, quiere decir que tendrá que transcurrir L año para que se curnpla la"condicJón dada. iQué le parece?... iEstá entendiendof ¿Sit ....1 En.¡anaae ¿tia¡ lrd . i9nn nuÉ pn luoar de tomar la diferencia de ]as edadpq
)))))
)
USCAR ZEVALLOS G-
'
,JrH,.C lt,,rLs ubmu /nH,is
)
PRr/aLEMLo PROBIEIIIAS PROPUESTOS
#":tri*\:#;trái
"ffi:i,
:io *Í ffi?kr
* i, ?,t:,i,,Ltr:,tr ffi"
Solucl6n:
Del rno!
r;{risl¡,der
problema extraemos er siguiente mgqo de soruci6n: carcurare B iuntos guánto il enen ,Si rá¡emás -ña¡á."játáim'nado o,F!il^l,l es 100, podremos
nro u ene ó y cuánt; y B J;;iJi v sabemoi que su I as Z cuá
cant fá.oes
ii
.
O sl A, B y c tienen $ 9oo yc tiene S!900
q=
2
Entonces:
@ :H;:il:r S=300
D=1oo
que A
+
I
va
e'l doble de A y B Juntos, entonces:
#
menor=(e+B)
#
mayor=C=(300)(Z)
y
B ilenen juntos 300 sotes
=tr
9oo
=
# mayor
= g = 3oo+too = $200._
# menor
---A =
3oo
- loo :
Et- dobt¿ tLea.
det po+tmeüo de Lin teotá.ngLLho %
deL
100
$ loo_
2160A me,t¡0f,.,
;*#
Qt awte u.ate z/s mdt de r.o que
600
m2
c)
600,000
m2
¿a§100 Seka cigaruotc ci.ot 16 del, pne eonlu de la.a'üiOigá pttado caletil,la. c-) z,Goo a) 1,600 b) 1,000
{al-tan Wzül.
E¿ deü¡, que ton
ve_
3)
#:ff
i
*, =
s = 4,800 g = 7/5
ft ii*Hit;:il tr{üilffi
9
dncho
uLa
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d-
nec.tángLLLo .
d) 60,000
m2 e)
b) I
a.my
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ELWI-'
bala.tolen
,L
d
N.A.
.
0
m han cq e)
) 9,500
ñ\"/ l*n, ¿Qul hona et Jonge? Jcnget En ute ntomerúo la¡ honu ilutucu¡uida,¿ ¿on Í¡¡ ,1ff:*i,ftfruí{rrr*Zoorf
Ql
to, nnfud dQl Laago «tmentada elt áu wti,tad. Hol.Lut
a) 6,000 m2 b)
$6CC.=
se dtfer,enctan en g
Si llo ¡teathleru $ 1,500 núl q tu a6lo § Soo etAe Lo¿ 2 tudttlt¡to¿ $ SioOo ¿ol.u. Aho¡u ttt Uehu h. qutnla paal,e de l.o que qo iengo. Si Erwique LLene el üiple de Lo que go tengo, ¿Cul,nto le óalrs. a Érnlque Wa tenüL $ 7,800 ¿olu? d) 3!ooo, e) N,A. b) 1,500 c) 3oo' a) s,soo áLx,to, ytattie d¿
= $ 3oo.= y
Tiutpo de fu¡.a¡iin¿ 30 mfuulot
950
315 de
l¡¡
qu¿
t
c) 4 a.m
p.m
e)
d) 4 p.m
N.A.
tie¡ld'¡¡nridad. d,¿ televborl?A, u"tuá a, "mtt 6oLü c/u q o a "ni' tolü clu ln > nl. EL paecio totuL a¿ Lo¿ televilonu fi6 ba¡atot e.¿ a.lb wJliu del pn¿aio total de lo¿ televi.¿orLoÁ mAA ei)Loó (a > bl. SZ'poi tndo 4¿ nd pagado nQ: óILQA, ¿Ctllttto¿ te conprualn'de
Se ha e¡npnado
ffi
*ililii¡ffirTl*l
t,¿o6
ti,
Lod nd¿ earLoó?
# menor = valor de la casa #
rnayo
r
valor de]
=ry ,1+i
=2,clooGRotls
auto = {,f2,000) = 2,g00 GROMS
a)
Qb
Uru pe¡Ao¡w
una'de
a+b
tiene § 36t ¿otu tl otna $
etbl
soata La,
te de Lo o3e Le quefu a) $ 256 b) $ 56 00000
c)
b)
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tolu.
e) N.A.
Oupuü de que
cada
ln *gunda Le qwda. h. tutoe¡¡ W' a Ld" Wivt¿an, ¿Ctú.nto gui6 coáa uru?
rüna
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d) $ 268
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34
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OSCAR ZEUALLOS G.
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uu,ento
$-60,0!o '
$ s,ooo. ry atry pLe de Lo que tiene
Liene
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¿o-eni,ro-ái
Ia
al I año, 5 meteA dl I 5 año¿
$
*4unda? "i¡rr*
i' o,f I ¿l
ts,0o0 ¿or-e¡. Aruta.bpnte cada utund¡Á. et bú_
t/
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cl t.zs
lr. A.
*
año¿
aquel etúoncet td tenfa¡ 20 4o¿ ttx6t qu.? -uo, que tenÍa L0. qutnfa pdrL de La ¿dad que tú. tenÍa¿. s¿ elo ¿uceüd en iqoo, aútalntár*ettilqT
a)
19
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años b) zo años ; c) 44 añor/
ot-et
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In
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Caletún-n Laa
357.5
m. y
92.5 m.
ha g c rL n6 a) d) Ganó $
Perdió $
años
e) N.A.
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$
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I
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ZzO
PROB L E[{A
i
Un padne vA al e-Lne con hij od U ol áacüL ¿vúnaaaa d¿ a $ 3. = ott,sQta,lct qu? ^&J [-¿ t¡aLta ünuto WJrÁ" 3 de ellol, U ¿vtfoncea f.L¿ne clu¿ eytt¡s.da¿ d¿ I .50 ^acarL aJ'Lc,n .?-0.¿t tt cl o,s ? A,sÍ evtfcnc?A ¿ytt¡¿cn todc,s U aún t-e. ¿obnan $ 3.=, ¿Cud.ntot
I
¿CuÁ.vtf.o
I )
I
c) Ganó $
I
üneno
tzt",Ís"?
.
I I
,l-
00000
t I
Sol uci 6n
Nuestro gráfi co:
t
U^/ITARTA
y ?LFERENCIA
l' r
Td,TAL
Pa¡a WgarL uno. deuda. un
$ I ,520 ,
püLo 6L oAÍ l-o
cadn uno, Le aob¡a¡tdn
$
inüviduo pzru6 cobnan d. cada urlo de tu deudotet I-eóa.{-tartÍan $ S,lt| U,^¿Lu eobna $ 1,71, a \*gu, 205. ¿cuá,nfo¿ áon ,sua deudóne¡ a etld-nfo Le aLbu en
Sea AD
el
di nero que
ti ene el
Cuando'paga por cada entrada
padre.
$ J.=, le fa'l ta:
fCuando paga por cada entrada $ 1.50 'l e sobra: r; La diferencia
un'i
tarla entre los $
del gráfi co:
D + P, ¡. - r.
-.t
fal ta
*
R,OBLETTA
sobra
p jl-
A *
I
lll . 2I¡EREñCIA
= $ 3 x 3 = $ !.= = $ 3.=
prec'ios de'l as entradas es:
3.oo $ 1.50 = $ 1.50
La diferencia total entre 'l as 2 cantidades total es que neceslta trar a'l c i ne en ambos cas os es :
falta
u
tota'l de 5 3,31-f
Bien, ahora ca]culemos'la deuda total: En e1 primer caso'los 17 Ceudores 1e pagaron $ 1.520.=, es decir recibid 17 x 1,520 = 25,840, pero para completar'la deuda le fa'ltaban $ 3,110.=, entonces concluimos que 1a deuda será: 25,840 + 3,110 = $ 28,950 so'les.
i
i
'e') No ga na ni pi erde
una diferenc'ia
diml ento.
N.A.
Qvrd..
3?O
ES COIIB I NADAS
La respuesta'la ha'llamos diúidiendor 3,315 + 195 = 17 deudores. iHa entendido Ud.?.-. Cerci6rese que asf sea. Revise nüevarnente e1 proce-
,tg4
wt $ 4,900,2 cajonu conteniendo enda turo EL q,irr" ea.j6n Le co¿t6 _600 aoLu nú.t que la heeho,d.upuü und vea.tt_ de 70 po.quetei eguytdo cob¡ando pott todo $ 2,000, ie'quiue
280
ON
nitaria de $ 195.= iCuántosle prooucirán
S¿ comrya un teltneno lntqo A Ee L¿ noden ¿
d)
I
la cantidad total que le deben * Si cada deudor le paga $ 1,520 Ie falta ry = $ 3,1101F datos S'i caCa deudor le paga $ 1,715 le sobra ÍFZ = $ 2O5J * Al aumentar e'l pago por persona de $ 1,520 a $ 1,715, se produce u na DIFER.ENCIAU¡¡1 udor) de$1,715 1,520 = $ 195 soles. Ahora I a di ferencia total entre las 2 cantidades tota'l es que recibe, es: ÁF-t = ÁT^ ¿ m= Pp * D-% = 3;110 + 205 = $ 3,315 Entonces ahora podemos decir: Un só'lo deudor'le produce una d'iferencia
i^;;
aei,ú; ,;-
te
En
OP ERAC
Mz
m1
[o
para
+ WZ = $ 3 + $ 9 = $ tZ
r)))) §b
OSCAR ZEVA!-LOS G.
'
'51
)
dre*icrui'.rs torJr*ndns
: Por una soi a entrada la dlferenctf'oe $ l.50 por:cuüntos 'la dfferencla será de $ 12?
Ahora declnros
La respuesta es declr que
Ia
hallarnos dlvldlendo:
el nümero de hlJos
En el segundo caso o sac6
I
es:
entradas
y aún le sobraban 3 soles, ES lEstá claro hasta aquf?
soles
12 + 1.50 E
I
r
tenfa:
que
12 + 3
a
+D
h
entrad*s
I - 1 (la del padre) = 7 h{Jos a $ l.5o : es dec{r pag0: I x 1.50 decl
FaI tan
lz +
sob?an ,Sg
15 soles,
Sea
iEI
número de carame'los.total-que IÚ'el iiñ'-ér"ñrináro-áe exlstente'
tengo'
nlños
I nlño-le doy "ntr caramelos me faltan: FP " ' cara¡nelos. DF, ' 70 caramelos Sl a I nlño le doy I caramelo me sobran: doy r I nrño e3: (n-l) c¡ramelos' La.drferencra unrtar,ra entre ro que re
S{ a PROBLEMA
Venüudo uno. caia d¿ efuvoa a $ 30.0a ln 2/3 de l(g. Jc,ine garwafa $ 589.00 püLo uenüCnnobi a $ 26.25 Lo¿ 5l é d¿ Kg. paldQnÍn f 299 ,5C . ¡Cuántoa Kg . de. chvot haA en la.'u,ia A atÁnlo u el W¿el¡ de eornry de I Kg,? .
§ol
ugJ 6n :
Nuestro gráflco:
Pl
-.,
|
Ladlferenclatotalentrel¡scantldadesdecarameloses:70+2.72 obtendrc' sl dlvldlmos l¡ dlferencl¡ total entre la dlferencla unltarlr' mos
erde
el
número de
nlños:
72 n =ffiI
+
...-.1' .,. ,--,-P
,., --,1'
(n)rnffi1
+
Gana
*
IF el costg d.e I.os cl avos uu¡ndo un Kt'to es vendtdo en:
Sea
Cu¡ndo un
La
xilo
es vendldo
Entonces: n
I tml . $ 45.00, gana: DF? '
$ 585¡
en: $ IZS.ZS) - $ 31.50, pt+der PP - $ 292.50.8
le
ocaslonarón un¡ dlferencla
$SgS+292.50'$877.50
el
es
nfhero de nlños'
[iBil'lli',1'3'i 8IT,il,:I.!:' HI.'::fi,' ff il, iliili'i' 3il.fi1i3§'i,Í:ll 81-2,79c¡ramelos.
totat
¿é:
PROE
Ahore nuevamente nos pregunttmos: Sl un s61o Xtlo le produce una dlferen cla de $ 13.50. ¿Cuintó se ncéeslt¡rt paia prcduclrlb una dlferenc'la dE $ 877.50.? La respuesta es: 877.50 + 13.50 65 Kllos.
Tiwtpot
el costo de los clavos, tenlendo en cuenta el prlfs. x $ 45 c/Kllo . 2,925 soles y como al vender asf grnr 3 585, qulere declr que Ie han cost¡do: 2,925 - 585 r 21340 soles y como cqnprd 65 Kllosr cdda uno de estos le cost6: 2,340 + 65 " $ 36." Esto
qulere declr
mer caso,
ser[:
que
nilto¿ tutgo? r ¿Cuántol ¡rJúne2o¿t
!',.f,q3qEsT0,g
25 núrtu*oá
§¿ Le
tutgo?
65
heqto t¿nttt ogwnel¡¿ a uda rúÍlo cqno ntllu tetqo, ne'(cl..tan 2 eatúne. pe,ru ¿l dcA un cüupnüo a ca¡k nlllo, me ¿obaat 10 ao¿wteAo¿. ¿Cuántrtá.
tEills.
$ 400 ' p9 uflo de Lot onplQldo.t,- ne- Mttgufun ' " enpl-ea&t Wo $ t5.' a caü l,Culntto¿ tlo tL t6lo Lu Wo $ t,. , mQ. 6ÁAruÁi""3'12:0.;;
i
Lo/;
9,
I d{ferencl¡ unltarla entre los preclos dc venta es: $ 45 - 31.50 JfS.Snt
Dlchos preclos de venta
S¿
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I prlzoailo
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ü) $ 7,500.00 e) $ 42o.oo
c) $ 800.00
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OSCAR ZEVALLOS
3u
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ttdoa a Plzf?i. Le van a al oLne. Si entttan a au onLgo¿ ' ?edtu invit¡-caaa enfuadn vale nlPn Eolet, pe;w qi- enf.tun a pla' loUflL t'X' EoLeA wu tet" alh.L¿ van a ¿ob¡an 'tfl,, aol t puu cada enLndda vdle "r!' ¿olel . ¿Cuánto.A peüaotlna eon{ottmbdn
S¿ bu.to, d¿ t2enan
a)280lts.
el
b\260 lts.
NL?,
c)qzo lts.
^d)
240
1*(
ai Loa -tago ryn*4 de 2 e4 2, te d¿ afunuo¿ qw. tittgot {¿ pre Ü de. ellt¿. lAulL u el nltae¡o
ae ub¡uttfpn .2 dz -ellnt, _pelo
¿;l
ñlnr.J? '§/
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e)rz
(fi r"ngo'úutrt ilbtulo de' alú4u qw 6¿ ,Lannie^on con el {in de j¡Dttz,rl üv ne¡w W¡a hacelorte un oble4utb. lli¿ttütra¿ hahlahan dcer.u. d,e ul.ttfn dine tw pondnfa enda. uw, oitno¿ la polabtuÁ de do¿. de ello¿: lull¡z S¿ cnla uno WM "r¡"-rll 6olea, no6 van a (alto"t "24 + 3q" 6oleÁ pata unpatle tu obte4uio. Edtu¿tdo¿ Att/.¿t d¿ qut nos (al,te, neiott u que no6 robne q pon eto ¿usie ,tu quz eafu utu cont¡ib ,a @ft ilm + d' ¿ole) y o,tf fuúaanen*¿rcl ¿obtuiln "lx - 2¡' ¿olet.
2 eañe¡fru. Si dÜto
eJ,$z conc.ü)Len
Cot'lB I NADAS
quefu)¡f,an
gtrtpo?.
ut üLindno at
IoNES
¿Cuttttn áon nia anigot?
e) N.A.
a)§r+, b)+:#
c)q#z-L d)w
En utta n¿utwín {uúlian, oL panne d Jun el hijo ndgon WWne que etda toncel Joat. ot¡u. de Lo¿ hiio¿, hac¿
aolu ptu la conpns,. llaneela, uta pon4a $ 18.=, püLo AdúÁido. agtLegd 99 ¿olu. Oiga uÁ2'et el vohon del cudta. d) $ 387\-" e) N.A. c) $ 3,780 a ) $ 3,870 b) $ 378
rv.
FArsAJuroslcloil
"T(/BLEMA
¿olu en Ia. nL[a de un ctad¡o ¿¿ hicienon 90 bille,too v¿n ü€.¡dó¿¿'úniesnenf.e 75 tt otL¿iirundo atf ua pCnüfu de $ 17.= tnfon-Pata ganan 2t
cu cl
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¿Cu.áttto¿
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c) $ 4,200
.rc z ca¡nneloí'^enoi, enfonceL n¿ aobm¡fd.'Lo
mümo que- me {al.t"aba'
niñoa tengo?
b) I12
t¡a attnrca
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138
(.]. Lz /
S-QttoL de 3 en 3 en Lo¿ bar.coa quz
A culttto¿ niño¿?
3.co A Lo¿ d¿ n*ño¿ $ l .oo, , t24 , ¿CuÁnfo¿ e)an aú),L-
$ $ I
iPreste atencl6n:
de uva,a itlzofud. de tn ¿gte. fiqrLQiIL. Si vendo a $ 50.00 Lo¿ slo A.e kg., in/cinr:u ganoné $ loo.tro, en co¡úio di Lo¿ vendo d § s|.oo Lot 315 áe'xj. pe¡deié $ too.oo. si'venüue todo- ts-.uv-d qtle tengo obteniudo deúritinad § 30.00 pot Kilo, etttoneu neeibi¿tÍd en tottL:
d cado niño de tna qu tengo Le erütego Le enÜtego tavtfos cs.twnelo¡ Si -c¡r,rá tiio¿ hai, m¿ ¡atk¡.inn"12 cannnet-oZ, Pe4o ¿i lle erüteg.o a cada u-
eflfndna,s de adul,to¿ etEtohan upeeladonu A Ee hecaudanon
Sol u_cl6n ¡
tJn vendedo\
a) $ 6,300 d) $ 3,600
ut teal¿o Lqt
coneuuuí,?)on 752
eJtadio e¡n de:
a)$zzo b)$262 c)$zzq iqlS242{ .
En
I¡
Supongamos que los 752 espectadores fuesen adultos, entonces recaudarfa-mos: 752x$3.00 = $2,?56. Pero en realldad hemos recaudado $ 1¡824 = (dato), qulere declr que estamos cometlendo. un error de: $ 2,256 - $ t'gZ4 = $ 432. Pero Zde ddnde vlene este error?. Prov'lene de nuestra falsa suposlci6n 'lniclal.
' *'. Al conslderar un nlño cono un ¡¡lgL¡lq estamos conetiendo' en la recauda-cl6n, un error de: $ 3 - lE-§-ppor cada nlño que háya. ¿Está Ud. en tendi endo?
i'
'
*
Ahora podenns decir: Sl por cada nlño cometo un error de $ 2.= ZPor cuán tos cometeré un error de $ 432.00?. La respuesta será: Por 432 + 2 = 216 nlños, que fueron tomados err6neamenté cmo adultos. Entonces sl los espectadores son 752 752 216 = 536 adultos.
-
y los ntños 216, Ios adultos
serán:
\),))) ''40t'tt''
\\)\
)r
))r))l
)
OSCAR ¿ÉVALtO§ G.
CO{PR0IIG
l0tr
nt ños
:
Z
I I e/u, ) +(Sso Adut tos
el6 nlñu'x
nlños + adul tos E lS?
*
x 3 c/u) = $ 216 + $ 1,609. B $ l'8?4
t
eou-ol haq 2E0 g"t¡.t- q gl-cdbe.za¿, Lat d.wicat --' crpeeiea , -'*' que hay atüt ¿Cutlnio¿ hau dc ctd« ur¡ee¡¿i-
sol
6n:
pAonu q gd.toa.
uc I
* si suponemos f a'l samente que todos I os anlmal es son tonces: 90 x Z patas E 190 patas
*
pa I omas
r tendrfamos
no b)
*
c)
TE \7
d¿ cdzd Jwn le üce a Joal.: ,ME FUE ltUY BIEN ), ¿ntne conelot gue h¿ cazddo hac¿n un toiat- áe 86 cabezda A 246,WlaÁ. go d¿ ca.da uno?
-Reg,zuando
a
t¿bi^n,
$ t5., q
49 patos
*
atando _no üabd!.e,
,, ,{.#á^1:"rtr*4
i,i'2#,ff"trftL,1ó;ifr,*. **iui,-'t:teiti,,ñelÁ
cuando ruciba.;, J ¿olu cuando no ¿¿oiba nafu, cuando él tenga que pagút 100
¿otu.
Soluci6n..
*
Cua
suponemos que
-
150 =
$ 150:'
Corüorme
nada
todos]os dlas ha trabajador entonces reclb'lrá $ 525
el erior serfa: saS - 0'525 solesipor cada dfa que conslderemos trabaJado y en realid¡o no 1o ha heihb estamos errando en S 25.00
v
que ha
Lo deJo para
Ud...,
Tlene que obtener
l0 dlas trrbrJrdos.
La teche oowtenida en un moipien/ce uttla cs.paeidad u de. 6,5 Uttot peia 6.é71 Kg, SabLendo que 1 11,Úu d.e Leche puo pua 1,03 Kg, ¿C,ttfnta aguc co1 üene?
*ta. C.wrWtfia._A fu¡anfe ,g dla¿, con ta cond
iffi )
sl
reclbe
300
Solgc I 6n
1frry
.a
Cuando no
" Rectblrá:
PROU IEA,IA
PROBLEI,IA
ql ó) c)
dfas x $ 15 = 300 a favor 15 dfas x $ 10 = 150 en contra
Entonces no hahrá trabaJado: 525 + 29 = 21 dfas los restantes: 35 - el " 14 dlas, sl los trabaJ6
EJercite su entendlmlento con e'l sgte. problema.
ao
ION:
come-
Ouando tomarnos una paloma
37 cqneJos ¡
Nosotros por cada dla que tomemos como que él ha trabaJado-y en-realldad no lo.ha ñecho, estamoi entonces cometlendo un error de $ 25¡-sl por,dfa el erÉor es de 25 soles y el error total es de $ 375' habrán 375 ; 25 = 15 dfas en los curles él-no ha trabaJado y los restantes: 35 - 15 = 20 dfas, que sf los trabaj6. lDe acuerdo?
TrabaJa 20
'
Rpta . :
l
trabaJa, deJa de perclblt $ 15 que le pagarfan-y a0n más' él tlene que prgar $ ¡Q.r, es decir cada dfa que no trabaJa' éI plerde: 5 15 + $ l0 = 25 soles.
en
por cada gato 2 = z patas. para hailar ¿; cuántis-piio 9!e hay?, slmplemente dlvldtmos ! lO0 +' e ; 50 ga tos y como son 90 cabezas entoncG;
PROB LE¡IIA
)q
Cuando é1 no
COMPROBAC
Elta cantidad comparada con la rea'l (dato) nos hace ver gue estamos tiendo un error ¿L áeo --lao-='ióó iit.,
:
i
37§ sol es .
En un
do4
-B , rMb .iAt,
35 dhs x.$ 15 c/dfa = $ 525. Pero en realldad ha reclbldo: $ 150 (dato), qutere declrn gue estamos cometlendo un error de: 525 - 150 r
f?\
pnos¿¿¡rA
.
reciblr:
t6'l
adultos: SrJ f
u. JR, ..,,,I0,
ndo rec I ba
$
150.
Supongamos fa I samente que ha trabaJado I os 35
*
Pero como venos por e] d¡to, el contenldo del recjptente s0'lo-pesa 6.671 Kgs. es declr qub hay una dlferencla de 6.695 - 6.671 Kg - 0.024 Kgs.
'
A qué se debe esta dlferencla? ..... Tlene Ud. raz6n, se debe a que hemos supuesto falsamente que todo el contenldo del rec'lplente es leche, pe o entonces, remedlemos el €rt^0r cilt€'-
ü dfas, entonces tendrfa u--
que
no hublese nada de agua en e'l reclplente y que solamentc hub'leie leche, entonces como la capácldad del rcclplente es de 6.S-lts. y cada lltro de leche pura pesü 1.03 Kgs., toda la Iecne pesarla: 5.5 lts. x 1.03 Kg.lt = 6.695 Kgs.
Suporrgamos que
tl.do. A1 tomar un
'l
itro
de
error de 1,03 Kg-I
Kg
leche en lugar de uno de agua¡ €stamos cometlendo (que es lo que pesa 1 lt. de agua) = 0'03 Kgs.
un
)
42 *
0scAR zEvALLos G.
lltros de leche los hEnos tonado como sl fuesen agua, dlvldlmos: 0.024 Igs. + 0.03 l(gs. = 0.8 lts. tNo le parácei
Para hal'ler cuántos slmplanrente
Qulere declr que en
el reclplente exlsten 0.8 lts.
PROETEilAS PROPUESTOS
Ti'ttrpo:
de agua.
b)
dfas
o
b)
lso
c)
l*
t5
d)
60
(\-'e) 50/
7 ilasr' e) N.A.
c) 6 dfas ü
18 dfas
c) ls
t2
d)
16
fi It/
lh.^.tin hnbaja en uru eanpñfn, en l¡, clol pon dfa de tnabajo Áe Wgan § soo q pt enh. i¡ta.ti,ttenoia a uu Labo¡et 2e ducuenttn § 100 de ¿u tueldo. ¿Cuá.ntoa üt^ ha:btt . üabajado a¿ al 6inal de 40 dfaa; ü adey da a t"a qnprlQ*d
()
It two" de 2,000 ulel?
b)
c)
2s
d)
35
5./
30
Liüptf, Lo¿ etato¿ gtutdw WAan pra. t tnnry^ltlue en un wiwü¡u-üto ot lnt enatu¿ cLleo¿ wgan § 1.50. ¿Culil ¿e¡tf 2a didetercia en.t'r r el núnurc de enanoó gna,ndu a eh,tcod qut viaiaban e-ie¡fo üa en un rr i rrrntr,e,to , ltac-teytdo un total d¿ 38 A pftoporLoLoná.ndole dl eho6u un in-Ltt
$ ?.20
,l 'l.q'J 1r a
) l:l
15
k
au ganalo canptelio de.60 cahezaa e¡ti¡.e. vaua q iesnetot poa It ¿um de {216,ooo, iiua e¡w n¿cui.taha § ?50,000 debe e6eeh)üL uta vent4 cmplanett¡ltiq a tta mi,anal püAonat. Calcult¡ lttte tivenle 6 vaeta, Le¿ob¡anLanS 2,000 g tivende20 t?ine 06, Le 6cita ¡Lan $ 4,000. ¿CuÁ.2 et lt dióenencfu. ent¡e el nhpto dz dnbalu d.e. ri Un ganaduto vcttdi-6
da"
üpo qu
a) l8
de .$ 74 ,50 .
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Conet¡Ao de Aú¡i,ai6n ¿n la ptueba de Razonaniefio.LlatetndLLco que pneswtÁa,, pon b tLuryutd con¡ee.t¡. te Le a,tigna un Wnfo v pot La inco¡tt"d.ctd tiene un pr*aje eL cont)Il de u anatúo det pu.tc. Cüa¡ ha obfewido en ücla puteba 50 puntoa habiendo nuponüdo La total-idad de pnegultt pLatú.eadat. ¿En cuÁnfo¿ te e4wivoc6? En
u¡
üae 100
i a) 4ot/
b) 2s
c)
30
\
\
lI
d)
d)
Futnando tiue " xt' moned&s , Iaa ualu L¿ ll¿cen un total de t'4xtt lcL?a, aiendo ufiaA de elloA de t' Att ULLa A ItÁ ot)t!,a de "6" áol-?Á. ¿C¡i.d-t:Ín s -
exi6tü1.tQA?
b)
15
e)
,Le-
uil eon¡ol horJ 92 patat q 3l etbezd.6 , 6¿ Lo 6nLco que lau 6ut gaLti-noÁ tt e ^ne! oá . ¿cuÍL QA IA, ü|eltene,ia ettf¡e Ql rufute¡a de gallinu A
a)
,# si/
4.,
Err
a) 2
c) t2
b) lo
pua 1.032 Kg. q un ü,ttto de aEn t Kg. Lethe. de un neú¡iznl,z en el euol ¿i óupone quz exilten ry LA. de Lethe, Aot quz puan 17.32 Kgt. En ea¿e de ¿e¡ aAf, culÍntnt lif.¡lo¿ de aguc confien¿.
dÍt. quz.el ottnno Lupo ¿.ta Leccitnu el pno(uon Le ü6 5 valu q üa qutno la.a aab¿ LLenc el alunno qta ll¿grleauLe 3 valu.M etbo de 16 dÍ¡¿ ei ohntu ha ¡teüh¿do 34 valu. iC¡útttot üoÁ el *b¡r¿tno no sury l¡. l-eeú6n!
jot
na. de $ t 1020. s¿ óe ¿ab¿ que po,L etdo. 3 doeena.d de un nvürno flpo, l.p. ob6 e4uiabdn una. nd^an!a.. Oiga tld. b. ü6e¡enúa enf)Le el nhtuto .dz docena& quc c@ttprl6. de enda, fips.
¿i
cada
eone.
43
30 twltutto¿
too
11
COMB I NADAS
Co¡¡a ¿ahenot ut li.&ta de'/'ech¿ Oee,ín ettll. afulteluda o rc
Cada.
a)
IONES
a) Ll
A u;na. $iefia enfun& un total de 350 peJláonaa enbte lt,r,noá cuündo;e $ ,, 550 deh,ido a. qu.L cada niño Wgeba $ 5 q una. ¿CttlÍL eA U ü6e¡encio. unfria niñot A niña^a?
a)
OPERAC
ooooo
d)
50
e)
10
)),\)
,{r,
PORCENTAJ ES
* l,li edad más el *
ellar rn€ dar{ : ll5l
ül rdtd. Sl tuvf ese el 80% más de 19 -qq. .tengo tendré : Lo gue tengo que es 100% más
15%
de
su 80% me dará
de
: 180% de lo que tengp.
PROBLE\iAS SOBRE PORCEMAJES.
tv
Todos los proble+as de porcentaJesi clrse a una expresl6n como la sigulente :
rurnta¡GS
(r) p%
= |{ = f, -
P% de N =
en
R
htÉÜür
la cull
tl ttnflr
itdg
3
lndlca el número de céntéslmas a tonhr. Representa la cantldad /e la cral hay que tmartás. I Es el resultado de lá,operaclón anterlor. Nos
Lo:¡ diversos problemastsurgen cuando en (¡) dos de las cantldades que lnlcervlenen son conoc'ldas y 'la tercera hay que calcularla.
una canudad
5
t
30 X
nos
f nos r I nos
IÚTA
I nd I
nos
de una cantldad cualqulera
30
de una cantldad cuülqulera
fi,u
c¡ que tome¡nos
83.g
-ft 0-
e
tomemos
ca gue
tomernos
lndlca gue
tomemos
lndlca que
tomemos
a
mu 0.09 TUo¡
@ L-gsq.a :
de una
:rtl
unr c¡ntldad cuülquiur
de.
i
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EJERCICIO Ng
2..
SOLuCf 0N !
?eo
' ,8, de um crnrrda¿ cuüt quleru
I
L v' IE
Tfo
de
1800
I
x
1800 324
dad. EJenpl o
¡
P%
:
P?[
de N.
->
R
,tl
de
OlüUu
1800.
=R sR a
Rr t
o rÉstar p0rcentaJes de una misma canil--
a
* 30% det + 10Í úe a = 70,¡i de a * 581" de I'l + L26?/ de I',1 - l0% cle M = * 3!% de' (20,Á de ,ol. + ggu de (20/" de
EJERCICIO N9
.
(59+12ti-10)% de t0
)' ::
ll0%
14
=
17
de (201t
4% de 'M.
de ls)
N
R
Hal I ar e'l
!
Se Dueden sumár
el
{*d,e ^r =
qul era
cantldrd curl qul srt
'Pt
Hallar
en
t.r.a¡¡
de una qant'ldad cutl qul era
de una canüfdad
de N a R Se desconozca (R) y sean conocidos Pl y
Cuando
I.-
EJERCICIO N9
sOLUcl0U
de
i{8-
de
:oiI
tomemos
f nd I ca gu
nos I ndl
!rnos
$r
lndlca que
partes que se. puede tomar
5
nos I nd I áa que tomemos
E3.8
0.08 1
.ff, il,, :Íf"rÍ!,rFii':'rr'as
sc)
tuc f 0N
:
3.-
Hal
lar
el 0.008
Y,
de 0 .2
?
=
*
Exptwl,on Gute¡u!..
.. 46.
OSCAR ZEVALLOS G.
x t0-6 = R en el eapffuLn
Vente llotaü.6n Decimat
¡
0,08
%
de 0.05
:,,,i.t"
a) 0.16
6obne FRAccIO,úEs .
ISÍ
47
PORCENTAJES
5.- Halle :
16
t
I
ipl
o.o 16
% de
/
40,000 c
)
?
d)
0;032
e) N.A.
o. 165
,
[.
I
EJ ERC IC
IO N9 4. -
llallar ei
5.-
í,r
Cuando tr
*o soructd¡l i
la + bl1
de
3R
s0ruct0/\,
N9
5.-
Hallar
7
el 20% del 407', de 16000.
20t del 402 de t 6000 t
:
tY'
=
v.'
20
40 x TiO x
TN
16000
Cuando me den 0.08% de
.: El 20% de lo que tengo ,excedé al 30% de lo que tienes en $ 2, st €fl-tre ambos tenemo s $ 30 . = . i,Cuán to tengo más 'que tú ? a) $ 2?;= b) $ 8.= @ S L4./ d) $ 10.= . e) $ t6 8.- Et 50% del 40% del 30% de 500 es : ' b) 36/ a) 3.60 d) 40 c) 25 e) 32 9.- Compré un reloj en $ 800.00. Lo vendo a Juan ganando el 30%. A su vez Juan lo vende a Carlos ganando el 20f de lo que me pag6, y Carlos lo vende a José perdiendo el 10f de lo que le costo. Si tlarla tiene $ 100.00 y José le'leva ha vender el reloj haciendolé un descuento del ' 5% de lo que a él costo. Diga Ud. si a María le falta o le sobra di
=,R EJERCTCIO
de 200; el 0.08U de 40úOO 6 los
17%
40,000.í ü) Cuando me den L7i, de ?OO./ ' d') Si empre i gual . e) Ninguna de las anteriores.
a)
x
reclbiré más : St me dan el
l" de 3,000.
=
:
t 280
nero
a) simple éllo es verdad? Resuelva ros siguientes ejercicios.
-
lar e'l 0.02% de 0:5 a) t0-2 b) tooo
10.
Hal
2.-
Hallar
a)
3.-
86
53f de 200
b)
a)
0.001 i) o.ooor-' e) t0,o0o
to.6
,\ nav c) 0.25
d)
1060 e) ¡1.t.
l§ zt.
e)
rr.R.
: ] ?'de la mitad de g0 aumentada en 20 ?
o.t,/
b)
67.00 b) No le sobra, ni ie .c) fal ta.
-
Hal'lar :
e)
Etlo8 if de 0.007X del 40f de fi x bl 4t
a) 0.4
o.o3
c) o.oo3 d)
3
I
I
CASO.
-
c) 40 en : P
%
deN
Se conocen: P
%
yR
Cuando
EJERCICI0 Ne
se desconoce;
1.-
P%
Fa'lta $ 67.041/'
Ninguna de 'las anteriores, l
d) 32
?
Hallar r z o. foo z $ a) 0.2 b) 0.00a
4-- ,..ualfar
'
el
c)
Le sobra $
d) Falta 127.04
EJERCICIOS: 1.
y cufnto?.
=
N
de
N=R
e.) 0.6 100 P
.
R
e)
N.A.
)) 4B
))))
)
OSCAR ZEVALLOS G.
de que número cs' 36
t ttF et Núntuw de x r 36 ¡Xa36 .
Dupeiando
rtxr, )Luutfd
))))
?
EJERCICI0ST
IIIEIEC
buteado, Q,ntoncu
i'.
-
12%
a)
.. ¡ 3 16rxrtoo .
2,-
20%
de que número es ?Z
S¿a
Itr)t el ytúne¡0, 22
X=
'rLl
El
?O%
a)
2000
xtt
gl
eb15?
6.-
ruinuw
0,08l.de[ . -T¡¿*-,
Xr
st)lucI0,
Ne"
:
5.'
7,8.-
sr ,losÉ tuvier^á 24% fiienos de ra.eirh¿ qr.re trthe, 38 años. ¿Qué e¿ao tiená iitúárñlni.i". ,
toncu turdrilto:cet de
tu edad,
ai
Joa€.
tt'io¡t¡ i¡g
l00Z
qu¿ tegún
-
u,
c)
0.003
l*,
es 0.02
ir de que nünero b)
c)
lo-2
55% menos
?
0,2
es 4
de
la
oo
b)
50
@ 4oo ./
d)
40
d)
8oo e
?
c) 0.8
6000
3oxto3,,4
O.oo03xl o-?d) 0.3x10-5
edad que
cooo'/
tienes, tendrfas 27 años.
?
QSrcr'
d)
5s
e)45
Sl al venderte ml üutor te hago un descuento del 15Í te lo venderfa $ 1'700,000.00. üCuánto me ha costado?
El
30%
de que número es
tendrte
0,7
30%
en
del 10f de 700.
c) 0.07
dl 70/
El 309 Oál ZO* de los 2/5 de un número es equivalente de 1;000. El nilmero es ; '
:
er t00g cte ettn nLíanal ^;;";-d;"üA"d";ie tiene lEl¡ en_ 769
b)
el
a)'0.1
b)
0.2
c) I
d)
r2o
á¿ariw¿
= ol ¡tnobrun os iqual o is onor. Ettr¡ncet ; ?4eo
e) N. A.
s 2'OO0,OOO.0O¡/ b) $ r',4O0,00O.OO c) $ e'300,000 d) $ +'000,000.00 e) Nlnguna de las anterlores.
16
La totar-idacr-de-un« cnvttdad,
so.s
t
lCuántos tendrás dentro de 10 años
¡) 700 IERCI.IO
d)
¿l
i.6
t
6 x t0-'
de
Si tuvieras el a)
,.
b)
a) z x 1o-1 b)
ertftonct.,6 ,
¿EsrA E^rrEA/OIENIA?.
.
O soo -/
sso
3.- * % del * % de que núrnero
?
5.-
Sel,
b)
s05
a).0.03
r4o
4,-
0. 08% de que número
de que número es 60.
0.08% de que número es 24?
t¡¡I-
XE
t9
PoRCENTAJ ES
9.. {,Cutl es nayor : ? . I. Un número cuyo 207l es 200. 260. II. Un nimero cuyo 130% me da III. Un número cuyo 101 del 20% es 50.' IV.. Un número cuyo 15fl es 240. V. Un número cuyo 0.02% es 0.001. d)Iv c)III a)t b)ll
1
e) 7 x t0-2
al e
24*
)
del 0.01Í
Nl nguna
Anterl or
.
e)v 10- ,luan rrparte su fortuna asl : a Qscar e'l 20%, a CÉsar el 15f y a Fernrn rlo los i30c restántes. Pedro lo hace de la slgu.lente münera : t Le -nny e1 30,,, d Lucy el 25% y a 0limpia los 9000 r'estantes. iiQrriér' t.uvo más dinero y cuánto?
ry(-
r.9r
OSCAR ZEVALLOS G.
51
PORCENTAJE§
50
b) Pedro
d) Tuvieron lo-e)
c) 0scar
mi snn
Cuando
en
:
Se desconoce:
y se conoce
ütwnoa
P%
Ny
:
=
237
P
co
tto
=
1980
.tgro
,h
R
=R
:
EJERCICIO N9 5.
=R
Scl L [tC I
i=_T_100 R EJEMPLO Ns S0IUC10^,
:
2
.
OigutoE qu¿ 881 "x
+
de 240 es
¿Qué Porcentaie
xg de
= =
240 240
Aun¿nfo
14?
->
:
x
r*
Despeiando
:
1
'200
6.-
1,200
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\eo
Sun¡t/,<{
t $t
soles'
1.
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iginol.
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Z
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el
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¿0.008 quá a
que toda ganancia
tt La gananci'a, 1396]l, como conocemo^ et ytngú,0. d,e u.elfa [2376) de coát.ct Ql eolcufult ( ntttn'anfetLLoL, IJ. 'rvu+ aeue¡tdo a \-t+ ñ ry?úo ' ..debenot. g(LYawcta' l-a 8A prteo-Lo d-.Lcho de avwigu/.¡L qu-; poncentaie
a Luego Entance|
ceando
EJ ERC IC IOS
se cal cul a con respecto ;l-piecio de no ser que se indique otra cosa) '
I I
ott
2.50 =
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del 202 del
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x
No debemos
(LCUUJLIIV
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iQué % del
x,
=L2 =12
NOTA :
:
.
pozeentaje d¿ runtevtfo o ú)sminueuín ,se' calettla
:-
se gana 396 Si al vender un ohjeto en 237 6de soles ganancia? üCuál es el tanto Por ciento
solgcloN
ú
x=5.89a
porcentaie de t '200 es L??
.
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14
S0LUC1_0N
#
=
¿ t 0.50
TtT F-JERCICIO N9
x% de l-?-,
3q6
$ 13. otJ . iCuáI es el tanto por ciento de aumento?
Aqwi tanbi6.n
c1N :
14
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Elkgr.
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et poneentaie bucado
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et
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16 ü2
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Í:l
De 290 arumnos' 170 son
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PedrQ va ha "t
I. d)
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b) 46.38%
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un descuento únl co que re€mpl aze a dos descuentos
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§,( eAtí.Ud. pd,wdndc qu¿ el. de¡Lll;ento pe-&ido áald. de loa deteuentnt dadoa ) ?A de+a& :
iguel a la
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ped-ido ¡ 20't + l|i 3 30e¡ eome,ti.endo vn et4ch, ya que Lo¿ ducuenfo|, no ¿e , En nenlLda.d cl. Wurr.eno de ol.2o¿ ¿e te lwce a &o g Ql, aegu;nda a lo que queda duryü de l:,r,,bc./. he,cho u*ierdre? t&otq §+ep, co¡¡o puede vül. 9n el paobtu¡a tw ru6 ücen a qr¡c c«rt_ titl¡d ¿¿ l,e fu*en Loa dg*cuenlnt pedidot, pctt .tat notiva egg.g4g.LJrqt,1 0eA,eugnÍq
| 0igantta que tenwo¿ 100 aol.u. | il. ¡ttr.itnu ducuento ¿onl. de. r 201 de 100 aoLu I EnÍoncet noa queda,td t el 801 de 100 rotu +i, x 100 . s e* +egundo ducuenlo t¡¿¡l cíe t l0? de 80 ¿olu, ^tqt\A '. Efii,oncgy' not c¿uedaú. : et 90t rtc 60 ¿olu " .fln x 80 ' tt
9.
ruso
,nter,or
tanto por crento soo vtronG§?. SB.6Zit, d) 41.62% e) a6.6?r
liiJ;ií,fu:1ij.:iif
goa
a
) .J
P0RCENTfu,ES
S.e UB numero cu.yg el x%,.dg un A¡iñeñe .l0r de su sexta parte es 30 crya mltad de su sextt pirt".[i*ne por -;-' En tonces ,,;; '' zo| úat e
r€Presenta_
a
0.gl del
) Ut
LuegO diAemoa que
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áo¿eA,
72 ¿oÍu,
S¿. fuúa(«lmenf,e tevu(amot I 00 á0&Lá U altoaa n0á qued*n 72 aolu, nüá habndn ducctntado 3
tQué porcentaje
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-
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Wtlc¿ttfi.le nepnuerúan de Lo gue tenl.omo¿ iruiai.almenle
d) 20,6
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i
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b) 79,5"Á : t2*
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N.A.
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cf rculo
un descuento únlco que reemplace a dos descuentos suceslvos del 15% y 18f.
FigElI[A-U:-¿,- Hallar
,,, .
§gLUgI0.fl
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9dganoo que tenerwt 100
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W)@. tnaba.!üL I
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OSCAR ZEVALLOS G.
55
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t I I I
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Fl
pninen duetenrto re¡d,
üen, ¿i inipínhtenle tetÍolpd 100 toLu dQrii, que Ee taá lta duconlado :
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A
oho¡a E6ln
II
.
pRoBLBTtAS
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SOtttCIOlJ
3
69170
i,ÉLtl úLtiua, ettltidod, tuptrdat ainpLunente e{eÉtunoa
'9;10* too =
q lfsg-d. 2 detatettto¿ u¡u ¿6to fut 30.301.
Entury?
Cono
:
suceaiv.ob d.ee
to
conoeütu06,
el lndo del unrlnalo, utilizaiemoa W)ra.
-
,89 t¡ 15*
rct deben lwcut
ttuolvul eate Lípo de ¡tnobLona.a, nwtl úpidamenfe pnde lld. tapn ei It tiguienÍe etpnui.6n : Si ut bgat de ltacu 2 duetentoá Áuceaivol d,e2 dZ y del beo, de*.anot lwc?i uro t6lo e4uivalette a. anbo¿ tol deteuento ettt dad.o pon 2a expneai-6n3
fll
ITU
t La.do
Anet
uo + bl
- oraao 7r"
Josefo va a comprarse una camisa y le hacen 2 descuentos sucesivos 201 y de1 30Í. En lugar de esos dos descuentos pudieron haber'le
S0LUCIc)N
:
solo de
PROBLEHA
:
En etste etao
Reenpla.zand,o
a = 202 b=30eo 6alo.inveiAa.
Lado
N@
= ¡: lzorsol W-
DESCUEAJTO
UiJICO
=
d, comryo ba¡tLo
44eo
anolitiefinunte?....
:
6inal =
l,20ml?
=
400n2
25%.
:
Uti,Uzando el nümo ,azonafiieilto que uL el cqao anf,wion, ¿6Lo que ahotu ebcogeienot, dOt cl,ytilrladU Ut vzz de u!7o., pr,rctierulo e.euoluqwiwl, AAí tendnaw¿ :
^?JL
(
i I Cuando
ta lau vdnínu-6n: Alfurtn inioLal = l0 mLb .
Cuando áucsde
AIfuÁÁ.
fu¿e
o
uNleo
va¡i,a.aL6n
Calcular en que porcentaje varfa el área de un rectángulo cuya al tura se a urnenta en un 50% y cuya base se aumenta
o fule inia,U¿. = 20 ntt6. o Anet iniuhl = 200¡nt62
3
DEscuENr0
¿Po dn
SOLUCÍON
lIrA
:
k
Lue4o ti cotui.dwno¿ al llnea ini¡iú cono eL 1002, iáo* ea vQh quz el dnot. (irul tattf el 4001, q cono 4 pregurrt" te tegiate al poncenfaie de.va¡i.o.c-iin üte á?Jú. : 4001 - l00t . 3001 d¿L ll¡eta o¡iairuL. i9e aeteúo?
en un
hecho uno
Lo,s
Lado6fu1ol = 10+l00Zdel0
¿nioínl = l0 tnt¿. iniubt = 102 = 100 tnL62
EJEMPLO:
del
áe uetáza
C.uattdo
cuento.
Ufvreo =
área de un cuadrado, st
3o.3ot
p'á¡.a.
2ESCUENT0
el
en.que porcentaJe varla
e¡heúo¿ un ruinuo cuolqwi?ra. loanque biu yndnía áQi uru" Lef/u.l eL eoAo, utand,o atin no Luce/,e. canbio olgutw tl Lue4o cJrando Le eonbi,o que el Wúana ind,Lca, etl QÁte ú,?fino holls.ttemoá el dnea " tutevo" A hnlLaharoE que pneentaj e u d,LcÍta ánel del, 6¡en ott-i-
100
Pana
lhllar
PoRcENTUALES,
twtutoa $ 69 .7 0 ,
- é9.70 = 30.30 óoLeA, q rcá W?4unts¡not : qud phcentu je et de Lo que tenÍa inieidbnente?
)
sGRE vARIActoE:ls
o
oo
12
Ld ,LQAW¿std como Ud, ¿abe ettd¡á. dada porl
zE-
Lue$o eoJt:,
al
lgr.en
lq
vaníat ionea indicoto¿
ttápQrto al 6nea oi,i,ginaL.
óivwl = 10nt+§9e5 de I |nt = = 15 m. óinnl- = 20mt25Z de 20m = = 25 ffi.
Anea livwL = 25m x l5m = 37 Smz : 375 m2-200 m2 = '.75 mLtz
Enfoncet U. ü$eneneid. znfne lÁ.a á,neo¿ Luú. A noá We4unfonoá : ¿17 5 m2 que Z u de 200 m2
JJlst fi ooTt
La va¡¿Laú6nz
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¡: .5*
el dnet, lul aunenftdo e.n un 87 .59¿
) ) I ) ) ) ) ) ) Jsr^izehrJos¿. é En qu! porcant¡Jc 'vtrla cl área d¡ !¡n rcctángulo cu¡ndo I rrgo 3c aumenta sn un 201 y 3u rncho 3e dtsmlnuyr en
'
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Etcoglendo como. Uago
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cI lrcr dc un cfrcuro sr su rrdro
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3
v = ¡al|oo+al ]t ,* v = ¡ l-501 lu| - 5ol 1t
!
tienda que descuento Ie pueden hacer sobre el precio de un respuesto y le responden que 201, va a otra tJenda ycompra el mismo respuesto con un descuento del 25% ahorrándose asl : $ 3,500.= áCuánto costaba el respuesto? Una persona pregunta en una
: t Si ittitialnenfe Le ducuenfan ot
SOtUCI0l,l
202 entotuet el p4anfa. el 80* det pecio del neptuto. '1 ?e¡u annd¡ Le d,uantlan el 25*,hl ¿e¡;u de Wgo¡ 751 de d,i.c.la ptee-í.0, vlmo ' et ute co6o Wa. me)toÁ, be4o a4uf utL el olot¡lu etn netpee,to al pecí-o
anfelú.0¡. El alwnno uto¿tÁ. dado pon ta.
(AI
' tottcu
tetdnano¿
u¿Ji* .,:
:;,
i..:,
'
Cono
el tUuttado et
dilnintlto
ne4al,Lvo, rwÁ e)tá en un 75* de2 l!¡e¡' irciaL-
idiAndo
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et 6hu-
d'aL of,Lut2o ha
.SOI-UCIOI,,
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Cono venoá
etl crte cots t¡t.vÜúfritnü qugetpU)nenldn anbot '
ltLíttizttt la. etPtetiin l8l
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Pmio¡nl Pr¡rrol =
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dú PC 5Z del Pc = 3r500 Pc = 3r500 ñ. 5Z
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AHoRRo
307,,.? 't'.\
ü{uEe,ía
z
iEn que porcentaje varfa el lrca dc un rcctángulo si e uno de ius iados se-Ie euncnte en un 5OZ y a otro se Ie dlsml nuye en un
.
= 3,500
70,000-
hace un au¡rEnto del ZO%aI .or.nrrr.l Junio un awrento del 10f sobre e'l total. iQué porcen taJe del sueldo del año anterior estará recibJendo en Agosto?
AI sueldo de un empleado, se le año
y
S0tUeIOlI !
en
el
mes de
), ). )
OSCAR ZEVALLOS G.
60
s0Lu,cION
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t
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Poduno¿ Lhana¡ S
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ll,00A - tg6l . 104 ¿olu, EntoncQ¡, ¿s1¡e habaloioá connaan/j¡td,u di¡ectaneú,e *owtt¡)otto/;u wdc-no. deülL t áL con 1,000 ao&u pLüe 104 ¿olu con atllnto'peÁe¡í lié'lol;u?
400,00 6oLü '
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GomPrt
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el pwblem {
ü tll + Le queloú, el : l00l - l0i . l0l de 1,00a, u d¿cl¡ 700 ¿olu, I s¿ alotu nu¿blue et Ztl d,¿ 700 + *zndi,Ít el l2Sl de 700 u 1'¿ene l rO0O áo¿t.l
l.o
cl 14f del Precfo de Yendl6 un Yt¡tldo cn 41200 solesr Etnando el Yest I do? costo el 5f del Prcclo ¿; vánta. {Cu¡nto
W
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o'literal, el rcsultado,ha de sér el mlsn¡o fln¡lmente.
y ganase el 28f de lo quG r.
t
ü:-r,.;mfün
ut Jutúg + 11200 + 120 . lrgfil, La pe4unta-q t ltszo quel u de |,lll1,¡tuohvlenlo uto úlltttw obtct¡d¡e¡at que u el 132t, Sl-Ud. resuelve el problsmi rslgnándole rl sueldo lnlclal otrc valor nllm¡rlco oSueldo
S'l 'J ua n ga s tara el 30f del dlnero que tlene quedarfa perderfa 156. lCuánto tl ene?
' n, '
det , r0¡ dol PC
11200
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Sl. llg,name ?C
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t00l de ?C
I
Un ¡eñor Yende sus mercaderlas gamndo el 30Í del prGclo de costo. un fmlgo, suyo le_vende_un obJeto con una rebaJa dei 251 del preclo ventl, rttón Por la cutl. reclbe $ 390.00. d Ganó o. prrdl6 y cuinto?
de
gananela Etúot,.u cot' quvlü^otaveú*uilt U,
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63
PORCEI{TAJES
OSCAR ZEYALLOS
62
Entotlr:u
i t d,et paecb coito.
di 12 mts. de longltud cada uno, se soles. En cuánto deberá fijarse el kgr. de rlel,pq ra obtener una ganancia del 201 del preclo de costo, si cáda metro def mismo pesa 40 tgrs y al comprador se-le hace una i"ebaJa del 10f de dl
el pteüo
de
c S/.
2i6ta ¿in lwcu
segundo
*
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t
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deaíel etno cadan¿
4t0,000 bi,ttgnanoa,bT
?alu
harot d,e hacu un duetenlo d.et lf,* de2 ptec)o de. t!W, ulttncu ¿e Lo vettdutQnoá Qtt Ql 901 del pteeio de vetfi.., el snl la d.e e¡ntwtar. a2 pteeio de Co¿to autentndo enLu Z|t,.que u'to que ae quiele gaM)L , EntonceA PC + 20t rc,
+l*
c rc, +l|tdePC 2970 , I l0t de 0e donde ¡ 2700 . PC
r
que {i-ianmot
ln¿
4801000 tzgrt^6. enfotlcet
c/ hg.
3
^ol,el
Wn hi.(ogtuno
.
"OFERTAS S.A." anuncia su rebaja i ncrefbl e : 30% de descuento en el cio de I ista de cualquier objeto. tCuál será el precio de lista de objeto que vale 2,OOd soles ii la empresa recibe un beneficio del 40?¿ del costo al venderl o, haci endol é la rebaja anunciada?
:
s¿ Ql prleüo de .uAtt eA PL, b o|enta eA un de¡eJ,tentt dQl 301 de d,Lclw Weoío, enioncet Áe vend,QJtÁ. ¿n el 7 0t doL Werio de lil tt. En ette ú,LLtno Wecip e¡tandn eontenLdo¿ el pteci.o de coáto ttú,a áu 401 que QA b ga.nanci.a. d¿ tJ, empteba,.
s0tucl0ñ
Pv c
Pc
2970
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PC
2970
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PC,
. t44,ooo
0 ¿40
cddn. uno porl
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PC PC
PC
192r000.00
Ette ú.(l,ho 6e^.ú., coátiltll
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3
ptt"nelot,
Pa¡¡ el tud,í,,0 u oue oie.nl,e l0Z.
el nadio ?n que gaw l0t I
rrr w a Pc
Co¡tp aL otnptadon, 2.e
t20t
o{etúa. te¡d. de sl.4,000.00.
ei
SOLIKTON :
lan {abnícado t|OO niQlu x l2 nt¿. . 12,000 Ita pua 40 hgu. todot puantbt : 12"000 x 40 que lun cotttdb 144,000 ¿olu.
ü
perdido?
cho precio de venta. Se
4 000.00
Un comerclante
y el
han gastado 114,000
*
PC
?Lc +i* xz,rlrlr' PL
3
?C
tiene 3rhdios,de dlferentes calldades, vende el prlmero 21970 soles cada uno, gana4do en uno de ellos eI lOx y el 10f de ruÑffr7d'(s't'carro' el en oitt leraienáo §l el tercer radlo le costo 1,200 soles. iQué porcent¡Je de ganancla debe reclbfr en é1, pfra que al final' pueda declr, quqno ha ganado ni
fñ v
de 1,000 rleles
?L
+ 408
t úúorcu anbo¿ ¡udiot, Le eoafuaán t 3300 + 2700 . '6,000 ¿ole¡. | ?üu al veil,etúot, lu nzeibfulo an tott2 : 2 x 2970. 5940 a Cottlo veno6, ta p&di.do, ¿Culrnto? lr. üóaleiLit - 60 ¿olu. I Ettot 60 6olu pLndi.doa, t¡¿ LLane que ,Le.crl;p?rnh en tt ventt del udi-o que atuta 1,200 ao&ea, u deü1, tetda que gdM)L 60 aolu. t' tb,úInute deci¡e¿ t 60 ¿olu que Z aon de 1,200 ¿olu? Ruolvietdo, vQrLeÍo¿ que. Lon el 5? de 1,2A0 aolu, u ílecin debe ganoa el 5* en ln venfa. de2, aad,io qu du {halnette.
L¿
ete¡ta
1,200
aoLu,
pJr.o.
to
ganon
ni
pat-
Se ha vendldo el 40f de un vino, con una rebaja del 30f de 3u precio de compra. El 35Í de dicho vino se ha de vender ganando e\ 20l del preclo de compra. iQué porcentaje del preclo de compra, deberá gdnarse en la venta del resto, para que a'l fina'l no se pierda nl se gane nada? SOtUCIOil CEAüú96,
3
Wúe voh, ruo cotacenoá el Wee,b de comw, rui tonrpco esú&lad, de vino conptldo i at ,Luüdad, üctwa dafo¿ tw áon ne
Cono Ud,
b
COIIO verlQrtoá
q. Unt/í,ruM,ü.6n:
))))) I
OSCAR ZEYALLOS G.
A¿ vend,al d¿ 401 del vltto, aeh,lando
et ,Ot ac pudQ t t0l de 401 de pC
i
I
h ríí, Ctundo ós venda
ü ,gl
rrc .
dQt
vl¡o,
201
de 351 dc
garundo
)))
,
PROBLEMAS PROPUESTOS
nt?c
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l0f,
170.
ffi, rc
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fln¡lmnt! m
me
hrcen 2 dr¡cu¡nto¡ ¡ucÉlvo¡ d¡|,
d€scontrrán. c'l
$ 1,005.80
d
) $ 1,322
l5f
y
e) N.A.
b) 57,6í c) 7,5,81 d) 56.9f e ) l{.A. Zenalda compra un bolso y le hacen dos de¡cucntos 3ucsslvos del 40f v del 30f del preclo de ventr ahorrandose rs f $ 1, 160.00. lCull crr cl preclo de venta lnlclal dcl bolso? a
xi del ZSI de rc .
x25
cntoncc¡
: th 20t
Juan Carlos le yende a Dantel un obJetor hrc t e'ñaol c 3 descuento¡ 3uct. slvos de 40Í, 2:,0f y lQf respectlv¡mente¡ el descuento {lnl co gue Pusdl. . reempl ezrr a I os 3 anterl ores serll dc :
quo,
,
El'l P0
a) $ !,OO8.5O b) $ 1,000
,
W*W,: !ffir ."!ffi.4,iili,"i ;,ú,t vtn tu,,mt, rc, il:íúhfffi Wo¡W*tt ^ifrfr; fr,,in,t), * 1 W,i, W. Entoncu
I
Sl un obJrto cugtr $ 41280 y
ii, tih rpc. ltrc Ha¿ta
65
PORCEI{TAJES
) 58',7%
r) $ 1,560
6) v
E¿to t ttd,icat eu* con una garuniia,
b) $
3,1§0 c) $ 2,320
d) $ 2,000 s)
N.A.
AI l¡do dc un cuadrado Ie dlsmlnrryo succ¡lvrmcntc'¡u 25f y 28lt cnton-ces su lr v¡rl¡cl6n que experlmentr 3u árc¡ ¡erú:
¡)
Aumenta en
70.84t
b) 78.4f C) Dlsmtnuyo en un 70.84Í
c) D'lsmlnuye en 46f e) Nlnguna de l¡s anterlores.
cartera costaba $ 4'000.00' como no tenf¡ el dlnero suflclcnt¡ lc pedl al anpleado de 1r tlendr que m hlcler¡ un deScuento, el rc¡ptó y me hlz6 un'prlmer descucnto del 20f, pero parr mrla suertc mfa' ¡0n no me rlcanzaba el dlnefo, por lo cu¡l el emple¡do am¡blcmente m hlzo o-tro descuento sobre--el picclo tn que me lo lba a vender luego'del prl" mer descuentoi Io quc rbcuerdo e3 que rl lntregarmc la cartérr me dlJ6: Scñora, en nlngunl otr¡ tlcnd¡ ls hublertrn rebrJado $ I,120, trl com yo lo ñe hecho. De que orden fué el scgundo de¡cucnto que me hlzó? Una
-Dat
a)
20r¡
b)
c)
287,
d) l8r e) 10f de un trltngulo equllttero ¡l 1r mltad
38f
tEn qué porcentaJc v¡rfa el árca de iu ]i¿o se ¡ument¡ en i¡n 50Í.?
a)
50r
b
)
56
,251
c
)
37
.85Í
: A r x2y en que PorcentaJe t ,y, aumenta tn un 30Í b) + 225X c) t 1251 a) + 55r
La exprestón
su I50Í
@
Lr expreslón
: E.
2xzy!
d
)
52
.65f
s
)
Nl nguná
.
varla cuando rrx, aumenta hrsta
d) + 95f
, qu¡'v¡rt¡clón ¡ufr¡
d) Nlnguna.
curndo "x'r dllmlnuyc
htl
66
OSCAR ZEVALLOS G.
ta
o
su
)5% e rry'r aumenta en un
En qud porcentaje se debe au[entar el costo pira fijar el preci o de un artfculo de tal manera que aún haciendo un descuento del 20% de'f preci o fijado se gane el. 40X del costo.
10% ,
a ) Aumenta en ün S% c) Aumenta en sus I tqO e) Ninguna de las añteriores.
b) Di smi nuye en un
i'
5%
Di Smi nuye 7 140
a)
.l Irgg de-gn rectángur o se disminuye en un 201" de su I ongi cuánto tendrá que aumántarse el valoí-d; Ia longitud El
que
a)
el área permar€zco
407¿
b)
c)
soz
Un comerc i ante .compra
tud.
del añcho,
i nvariabl e.?
d)
3s%
37.5%
e
)
---
En
para
zsl,
rt f cul os con un descuento del 307,, del precio I ista y'los veride á un 301. ras que eI pieclo de liita. éCuál es su
de ganancia sobre
a)
66
t%
b)
lo
55
a
que
1o, 5lo
le ñán costado. c) 687, d) 85 I%
e)
8s
de %
lt
Inicialmente en una fresta 75Í eran hombres y el resto mujeres. En el transcurso de la ¡eiiá er li"óii:oñ'6ó iii tan¿o-eñtin"á'-"r' ir.ro n¡me"ó"¿e-'mdl'3i'iu{ llo,Hjili!¿"li8li'"'iCuántas personas habfan inlciaireniá-ln'1. fiesta?
a)'s00
b)
c)
700
600
d)
e) N.A.
380
El admlnlstrador de observa que en-un evento musical, l/3 Il gllg de las entradas se ouedaron sin-váñ¿á.,ii"o-irii.i'iüi-.i'"iá"ilü.¡.n rn 30f el precio de'cada.una.de eilii,'ióáis se venderán. "ncier SuponÍendo -ii-p"i rs der a¿miñr itriáórl' ¿-óüi-s;"¿;;;-il' *iüEIiÉ, _: ;:", ñ"ll3?.es
:l e)
La La EI
A es
recaudaci6n áumentará. b) Disminuirá la recaudación será igual d) Faltan Datos. recaudaci6n. problema carece de-sentidó.
a) Al
5
b) 6
c) 7?
e
)
N.A.
vender u! _o!,jeto se recarga un impuesto
.J 19.99 b) 19.3g aproximadamente. c! l_!.7_a.t"proximadamente. aproximadamente. ái iá.é52-.proxlmadamente. 29.3% aproximadamente
vendi6 un
a)
500
b)
5,500
c)
5,950
d)
6,500
más
e)
el
15g _-
5,800
c)
70%
d)
,,
ss%
e)
75%
Para comprar un reloj .r.iraáo en $ 9,000.00, saco el 30f dé m'is alp rros, luego vendo ese reloj ganando eI 10f del precio en que 'lo cornpréf Con el dlneró de la venta pago eI 50f de una deuda..¿Qr¡é f de lo.que queda én eI banco tengo que sacar para cancelar mi deuda? b ) 42.5% c) 42.75% d) 4?.85% e) 47.L4% a) 42X Una flbricr decide reducir en un 102 el precio de sus productosi si de scl ganÜ un 2Al üen qué porcentaje debe aumentar su producci6n? e) N.A. b) 333f c) 3.33U d) 33.3% a) 30f
Un¡ importadon de maquinarias para construcción carga sobre su mercrde 257 del precio de costo; s i descuenta el 1,2% del i mporte de I a factura a un comprador. éCuáI es eI % de ganancia efectiva?
ria cl
e) N.A. d) L3% c) I0% En una reuni6n el 40% del total de personas son hombres , s'i se reti rün I a mi tad de estos. áCuál es el nuevo porcentaje de hombres? e)15% d)30% b ) 22.5% c) 25/" a) 20% Se ticncn 5 Iitros de alcohol al 80%. t,Cuántos l i tros de agua se ñBCE-
a)
8/,
b)
L2%
trn anentar para rebajarl o al ,25% b) 1l c) I? a) 1o si
a) c) e)
d) 13
cilfndrica el
L3.7% aproximadamente .4% aproximadamente
L7
Ninguna de
radio se aumenta
las anteriores.
e)
el
I0%:
su longitud para que el vo-
b)
L2% aproximadamente.
d
14.?f, aproximadamente.
)
14
Franci sca I e di ce a su hermano Jaime : Entre tú dinero q el mfo hacemos $ftZS pero si hubieras recibido el 30% menos de lo que te corresponde t tendrfas lo mlsmo que yo sl me hubi eran dado ?0% menos de I o que tengo. iCuál es la diferencia entre lo que ti ene cada uno?
a) $ 52s
-
artlculo en $ 7,g40 ganando el 12% del costo del precio de venta. ¿cuánió-"ósió"Ei'-Irilculoz Se
sou
Iumen no varie?
del 20% y otro del za% de] q{terior. iQué- porcentaje sÉ- puede descontar al precio final para ha-llar el precio neto de véndi. e)
b)
ZEn qué porcentaje será necesario disminuir
obra?
d) g.g
60%
En un dep6sito de forma
más eficiente-que B, si B puede hacer una obra en 20 dfas. éEntonces en cuántos dfas poárán ñ.[á. 25%
iuntos Ia
e¡
FORCEIITA'ES
b) $ 600
c)
.$75
d)$85
e)F.0.
obietos A y los vendió ganando el ll%¡con el im-porte de esta venta compró 60 obj etos B y I os vend'ió ganando el I5%7 con el importe de esta última compr6 828 objetos C al precio de 99 soles la docena. lCuánto le costaron los ?A objetos A ? Una P,ersona comPr6 20
a) 4,500
b)
450
i)
s4o
d
)
5,400
e) F.D.
6)
@
' orCr¡, Sf
el preclo de un artfculo
clo orlglnal el
b)20?¿
¡)lof
se rebaJa en un
c) ?5t,
Para volverlo
20%,
nuevo preclo se debe aumentar en
\))\
¿EVALLUS G.
¡l
piG--
:
e) l4f
d)30r
tonel contenlendo una mezcla de alcohol y tgu!, al 801 de ¡lcoholl cn un segundo tonel que está lleno y cuya c¡p¡cld¡d cs l¡ mlt¡d que el ¡nterlór, tenemos tamblén una mezcl¡ dc ¡'lcohol y de agua. pcro lsta vcz ¡1 401 dc ¡lcohol. Ambos toneles los v¡clrnrs en un tcrcc¡r en cl que hay ¡gur en unr crntldrd equlvrlente ¡ lr mltad del total de lt mezcl¡ que hrbfa en el prlmer tonel, dlga Ud., entoncrtr an al tcrcer tE n¡l cuál' er cl porcentdJe de r'lcohol?
Ienemos un
ü)
b) 501
40[
c) 30f
d)
v Fracc¡ones
e) F.D.
ssr
en $ 480.00 ganandose el 207 del preclo de c0g costo ha aumentado en un 12,5%. [n qué prg cfo debc de venderse ahora¡ prrá segulr ganando el ml smo porcentaJe.
Un
artlculo se ha vendldo
to, debldo a lr lnftaclón el
ü) $472,50 b)
$540
c)
$498
d)
e)
s40
N.A.
vende un obJeto en $ 828.00 ganandose en él el 201 del preclo de vcn. 6i) \-/ S. tr, ademús ttel 15f del preclo de costo. Sl ahora el preclo de cotto hr si':vdo en un 30f, en cuantose h¡de vender para rdemás de grnar el 201 preclo preclo
del a)
fO v'
de ventr se gane
t 1,710 b) $ 1,170
9ou4 et o Utz'a2- que llzo¡iii' 9'ñ tol !sP't1" la
u cn"ffie'
el 20Í del de costo. c) $3,245 d) $2,325 e) N.A.
César mc yendló una casa en $ 120,000.00 soles, perdlendo el 25?¿ . I En cuÍnto deberé venderla sl además de ganar lo que César perdl6r deseo g!nür el 20l del preclo en que he de rea I I zar I a venta .?
:l
$ 285 ,714 tprox $ 135 ¡ ooo
e) l{l ñguna de I as
lmadamente
anterlores.
b)
d)
$ 325, 114 aproxlmadamente. $ 2oo,ooo
lr
r) $ 17,100
b) $ 18'100 c) $ 11,700 d) $ 9,000 e) 3 12,150
aC
Col¿lde¡ü¡p,L
' ir
-
'Ti
bt
dondi¡ tf
¿iauierú,u ei ¿nPho t 4, do
t.oo
tf,lÚ;rt
ü3,n qw
tlu,cerLín
Jalme se dedlca a lmportar reloJes pagando su costo,en d6lares, cuündo el dólar estaba a $ 200.00, vendfa -cada rel oJ en $ 8 ,400 .00 grnando el 40f. Como sabemos, hoy cada d6l ar cuesta ?5ll¡rasf ml ¡mo el proveedor o lmt Ilce ha cada reloj en un 20f 20/ r., por DoF lo curl. recrr$do el costo 201 de ,Ja J¡lmt h¡ recargrdo costo de cadr c¡da reloJ Io cual, curl, J¡lmc ¡hor¡ únlcrmcntc A¡na el 30f, de lo quc le cue¡t¡ un rcloJ. E¡toq cts st td. qulcre comprtrlr un rrloJ r ,lalmc, cn rcturlld¡d tcndrf guc pagrr :
¡'o ¿lulüdo
fiü,
u'cL'
t
dcno¡úrufu n,
b&Lu
quo
2t lrnlú¿4 ¿¿ t¡ üvlü-
lnl-rxu.tu tgulu'
!. u al ttclrelrtlou, l¡ü¡l
quc ó3
UtA Potttot, üvld! qus ,t uúdd t¿ ha duultltudr,l, u.el ,5. .lrdlcn ¡ dondct 't d;' I tl- Pa;*u igualu torrdo t do aqt&" el ruüe)L¿ldou, indlu qu '¿ htn patttu,
70
OSCAR ZEVALLOS G.
cl t&a etalea el
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Jt¡lJtQttado¡
FRACC I ONES
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ttw¡aa¿cion¿t l¡p¡wpia.6.- En tat uabÁ e2 ruso¡¡do¡ ea 15 5
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OSCAR ZEVALLOS G.
FRACC IONES
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36 9e
3 xg
=
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50
TI
Ya ¿ab'¿ Ud. quz dl TOO0 ¿e Le cotuidena eomo u.na unidad, ent¡nceÁ ' §¿ ppi eian*o rw¿ ücen: S:4 ilrW¡a 3w ttngo Le awvnto sla 3/4 tutdné: Et- ünuo que teL 9,9,
lp ,conlideLwpt
conNo
eyttuüdn; ohotta
varno¿
a pnaeliu.lc:
urw uni.dad, esntorc.u tendne:
. I *i " i deniünub ?7
Si
que haqa Ud.
25
3
neciba 3/21 d?t üryarn quz fengo,
A+
Hallatt E Ln:
tudné: t . fi
=
O"'ni üne.
#
no.
Si d¿ un uttnque Ee van tot 213 deL U4u!í-do que cowtiene, quedatá: 1 - ZlS . 1/3 de ücho üquad;.
donde:
A
=
SoLuú6n:
Si piendo Lo¿ 219 d¿ni ünoto, mL rluudeiá; 1 - 2/9 7/9 det üne ,Lo. ¿Ha entendido?... Luego ltutoa d¿ tú.ilizd¡ utat =dc,La.¡núonu,-
(7) \"/
8
Antes de reempl azar en
E
,
s
imp'l i f i quemos
al máx'irno :
=TI
o mdt {naeúottea, .obtwt úa dz toi- nu ,a,*aine¡: nddott
el
o2
pnoducfi
de
B= Ejtm$,oa: i
x
d+b a
45
5
m
7x
(a+blm
m
t7
? ¡.
A+B
C.
3
. c ?a
axd
ilz
"Pttodue,to de
c = 1+, = i -
Ahora reemplazamos:
a
xx
#+: t= i*:= L5
meüod, pnodtrcto de e>rfle
fÁ. üvl si6n de dnneu-onet
:
222
E
zxl T = E1 - 4= .3 1 = 4xi 'ñzi
'/o
),)
,)l)
OSCAR ZEVALLOS
FRACC I ONES
77
lolgs&_ar Resol
r
PRO'BIEMAS SOBRE TRACCIOÍ\Jf,S
.
por separado
*i1-+ +-+=il+-H+=s¡+E%JsE 3T y
r
uego reempr azemos
;
W,OBLEMA
Tñ \t/
h
H
E"+'f rá
'grliJ§lrs
'
ft
zq
1nd¿mn tn6 ?4
-?
-
Sql
?S
1,3
ucl6n:
Basándonos en la explicacl6n vertlda respecto a fracclones homogéneas, porle. mos declr, que]as fracclones dadas podemos compararlas, es iue toáai e-11as fyesen homogéneas, pero.... lcómo consegurrró?. És muv-siñiple, vÁar,us:
, 11S + g4g ErE 370x3= -33t _ =fE-rÉ =-Hr--- = --tá = TT l§ 25
dttacet onea de flw"LlotL d. menohs
3 t5 2 S,TTtltff
b
E,
óigüentu
sl
S70
1!
se da el M.c.M. de todos los denominadores que habrá de ser nominador comÚn.
185x6 Tx-5- !i ReempJ aza
ndo rendremos
E= *
Fft1CC
ION DE
Hallt n:
2
T
Ti-
FRACC ION .
de *
_
-Bl(B-_ -32ffi i*a.
Ej emp.l os
l*
M.C .l'l
3-
. ( 5, L7 , '3, 15) E Ass
z
15
5,77' ++ -255
++
T=b ¿'.p
=
rJ*
por el respecuvo numÉrÁaór¡ tüióo ii-poüá--
,
13
T5 +
-25s
-255
+
+x3 S-ls ' -75r ':-Z5r
:
¿f8 x
-T
+
,
d,e
tül dtvlsl6n se multlpHci
mos ordenarlos:
¡t iJ
3
24 x 5 .-'I-^..-
nuevo
2ü tal M.c.M. se divlde entrq cada denomtnador antlguo y el resultado dr 74-
:
24 x §, ^ ?; -,g-'s/- : I14
el
20 !R
g
221
T§I
+ de+
o,'56 E i
l-'t
I + I + x s6 a
zlec'tuan ¿n Lugan d¿ l.a polabna
k) a ó¿ neoz¿io-ü ;ir;;;;í;*
2
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7t 5 5
TT 2
7 2
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de d¿ d¿
30 s
i
ixS0 é
d,e68
x+ (a +
Z0
! ,+.*x68 _30
b) = '2(a !
O:tgnándol e F
,de,
er,,üte
á1-.
tA
coloen
el aigno d,e into¡
canhidad.u que
d
i na 1 nrente
la.
3a.
2a.
lsls?\g
tt tüceta lúg de ¿u üneru a ped¿u q dole adn $ lO0.oo ¿cuit*o t¿ytf¡. Joine?
Jaine L¿ dt.
ta quintn a Ro6a., queün
-v
Sol ucl ón:
repartl .
:
4a.
maaffiM(^
uonslderando b)
a c/u. un # de orden:
tZ
do :
el dlnero'que tenfa como la unldad, entonces
hasta ahora
haDrú
13
tó
OSCAR ZEVALLOS G.
FRACC IONES
79
5+3 I -L+I 3 5 = 15 = 15 y le quedarán: f - ,$ = ,Í
x ++
O. su dfnero, que según
len a 700 so'les. Entonces ,láime tenfa,
§
tzOOl =
el
2x
5'+x
3(2x) + 15(x) = 4,600
Resolviendo: 15{x) + 5(2x)
dato equlva-
= 4 ,600
1@!9]§.
= 4 ,600
46x
pnoaremfñ
De donde:
llanolo ,Lsryfe áu üne¡w de la- aíguLznfe fio"ttÜLa; a. Fennando Le di, La u.iltta panfe, a Cüutr La turcoln Wf.e q a AdQlÁ. Le da. La" ásv¿a. paú.e, quedá,ndoLe aÍn 1 ,800 soLQA. ¿Cudrtfo t-e toe6 a Festttando?
Entonces Juan
+
?
=
5
(r,soo)
=
600 sol es
-
/r«osIEMA Sol uc i ón
Considerando su dinero como
la
-436Y
I,800
áu ünuo uL 4 di-&6. El, ¡ttuLmuo, galta l-a mi,ta.d tiener'Ql azgundo La tütcuLa patrtz mád . 10 ¿o.Le¡; Ql tettce¡ üa gaÁ ta Lo¿ 2/5 d¿ Lo que ggat6. el ü«-ar1fi4"0*_y Ql ular\fo, gMfu Loa 100 ¿o!-e¡tleltavtfet . ¿Ctúytfo tenÍa ivúúc.Lht¿nfe.? Und pe)Aoyto. decLde gaatall
unidad, entonces I e quedarán:
de Lo que
equivalen
Sol
T
\,,
++ Entonces
Manol
o tenÍa:
1,800(12)
=
ff
y a Fernando le correspondió,
1
,800
Sl Ud. fuese la persona de la cual hab'l a et se obtendrfa
7,200 soles'
Digamos
ler
1¿999=:glgl
213 dz Lo que tfu,ne Pedno. Junn t-t-wte- 3tS d¿ Lo qu¿ tiwte f,lanLo a6Lo f-Lue 5/Z de I-o que poÁe.e Juan ¿nf¡e;todod ti¿n¿n 4,600 EoElltonce¿ Jua.n tiene:
Sol uci 6n : Podemos desarrol
lar
de un ,rnodo ligeramente diferente: ,'
,,Reso'l vi,endo:
De
''
t{at..rti
o ,ti ene:
x =
.,.
'..,.
nrmanao Cor'no
2/,3 de .
.':
.
tiene,
2x/,3
' ,,,
, '
:
'
fl
aie
:
s€
+,=
*xrr "
día
4to
.
día
r-# =
=
x=
30x
3420 soles
lñ \-r'
Oivid,ín 3222:,aoLel, estLrte'uuflto, p4áond\ demodo qüe:2a aegunda Wute,6ea
.
,t'du ta,nuaAa, a tuLcw *o -cet4. EL,;mzron iudtS.: ,
.
, ,?:.
'
le preg u nto
15(x) + 10(x) + 30(10) + 2(2x) + 30(4) + 30(100) =
donde:
pnoa¿rm ,
Zdo. d ía 3er . t-1-J #
x Z3 + l+to.l(á*10) + 1oo t + á+10+ #- 4 + 100
riue
.
. día
=-ff-
tÁqluLo A AttfiM.rldo
t-et
yo
a representar los gastos por dfa: que inicia'lmente tenía rrx¡r (es 'lo que, buscamos)
\--l
-
prob'l ema,
Procedamos
A
PROBTEMA
si
se suma lo que gastó diariamente? . o... Es ciet'to, obtendrfa to que tenía i nicialmente.
,800
=
ry
uci6nl
üQué
1
(15 )
= 11500 so'les
x
tiene,
( 15 )
I
le
La aeaunlo
i u.lqr{a ,^ *
de
Ía teL
, ,
SoluqlOn:
:.
entre todos ti eneñ 4,600
,sol€S
, podemos escrlbira:
lSe parece este problema a alguno que Ud. conoce? iCómo piensa reso'lverlo?. Podrfa declr Ud. lCon respecto a qué persona "giran" los repartos? ...--.
BÜI
' ,dcnn 'zrrirro/,
3lT,'liJil-,yj'm; Entonces tendremos:
fa.
pa
J3;.;ff11,:i ;ilü:^,,,fil :3,^fi,^i,Ji p*mera
rte
3a.
ResotvÍendo; (núgalo 0b
es
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4a
Ud. )
* *
t'espuesta
a
,
+
parte
bola eae du
nuevan_e'Ée
flnal al
tfrllillrl
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3222
* * *
1.60
hasta:
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se e,reva hasta:
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Í.nJ
i#ffi,Lfr¡:
fioo¡_: q0 mts. y de aqul
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i"ylrichfurt
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:.ffi , ::'ffi.,fiff ,,,iifu i ;
Qt1e-me
u¿vdtá
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c
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Sean
:
,xr.I os metros de tela inicla'l
Vende Vende
$ de x --.+ de
á á ---tb resto y corno aün le
o-
que t I ene
le queda + de x 'l
*
queda
n: * o.
5
||l,ll,5-
,
éste es el últinro
ZO
120
'mts
.
Al ffnal le quedan.20 metros después de haber vend{do la sexta parte de Io que le quedaba, es declr, estos Z0 mts. equlvalen a los 5'/6 de t0 que Ie quedaba, entonces dlcha canildad es : 20
*
^queiq' úi-i7 S
I
üverf guernos prevf a, I
xg =
24metros
A su vez estos 24 metros le quedaban luego de vender los 4/E de lo que tenfa, es declr estos-24 metros equlúalen a 1/5 de Io que tenla Conclufmos entonces, que lo que tenía era: ,24 x S = lZ0 mitros.
Qué
¡
e
=r, xx 56
quedan 20 metros, podemos igualar:
I
Norma
es:
Este-tlpo le-solucf6n responde a] mrsmo método que uilllzamos para los del capítulo de 4 operactones'ise acuerüai,.
de l"o que tengo,
lo.
,
problemas (20-24)
.
uct6[
Como I o oug t r.e ne Ma rt f n , depende de rhente lo que eli'i tTun.,
t l[i'^
Soluclón Arltmétlca:
il¡ifi.
I
Jc¿
en
5
r
nui:0. A to +uto,-]i' '{-v q Ma¡t(.u üf,;ü;nui*
de utrd pieza de teLa ct LLn cliewt¿ tJ La ,s ex,ta ¿obnÁ.ndoLe aún ?,0 rne"tlto¿ lCuári.ol no-tno¿
I= x=
I
deL nuevo
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§g_]"gSJ6J
I
I::no!,I00 cLjá taLüo¿ d.Qt
4
.Lo qua l-g-Slr|'./g,a 0ilrc;
,16**, ,;;. ; o. uor, cae: mrs. v de ailf cae:
"i
o
d.e
*
f rffio
;, ixff
pqe
§oJu.cl6n I
dd
cae:
el tercer rebose eleva hasta: i', *,1[Io En el cuarto r.oolt re se ereva hasta: En
PR.o8{EMA
SoJ
netuo.á,
las alturas de.Jas cuales
En e,t prlmer rebote se e,leva En er sesundo rebote
ft: l; it:
rr,r E
/ pnostguA
Altura de Ia que cae lnlclalmente = 160 metros
j[i]i*i:
E
.+
pr"obJema?
trná,m de.
hutt
flal'lernos suceslvamente
r *
1
Un eómeÁatarut¿ vonde, l.o¿
,wr Uw-
A,Joséledoyr
?fJr)
lwll}lfi-o
i/
üt
Iao 81400 ,¡ Queda: T de 8,400 4,200 ,21 AMlguel ledoy,f a.4rZOO -| Queda: ¿ - T-5"dg 4,200 E 1,40f, §) APedroledo.yr$a. l,4OA + Queda: l,41 - I.3 g'de I ,40A E * A Norma le doyt de , ZB0 E z00 soles f 2r Per'o Norma t1ene, O* Martf n (f,1) ¡' 240 $ 3 De donde: f,l s 3pg sol es
X E .ü. J
L
-,,
te nd remos
éSerü
persona
I ) ,
)
FRACC IONES
/¿-
parte
+lfl - +
x+
)i,)r) u]
ta'l?...
tEntendi6? iRepáse1o nuevamentel
-
''J '-
\,
{
'
FRACCIONES
OSCAR ZEVALLOS G.
1
83
i l i I
I
* ,{ -tí
Ura ama de caaa galta au ünuo de La aiguienf,e waner'tÁ.: En u,)Lne td. müjd de Lo qu¿ tenea; en dr,utoz k turce¡n. W.te de Í.0 que*l-e q.t@a q 3/S del
ttuÍo en vudunda.
S¿ at-
menfez
,*;iñteí,¡o'
intua4
l
Sol uci 6n
fñ \-/
dinal Le yuedan s00 ¿oLü,
Resuel
*
va Ud. por ecuacfones r-
Le guedan 500 sol€s, luego de gastar 3/8 de un resto, esto impl I ca qye los 500 soles equivaien a ffi dlcho resro. por I o tanto el fes f,g . €Fit :
/
uooxg = :,
Dichos 1,200 soles
800 x
i
!_tl
= 1,200 sol es
t/
mo1tEtr,tA
le quedan luego de gastar la mitad de Io que te-soJ es equi va'l en Entonces tenia:. rráoo x 2 = 2,400 sol es
rn
un pozo d'e agua ¿e vqe-i.d. en 3 hona¡.'. si en co.da hotta- ¿e va k ni.tad, de Lo que h.abÍa zn eaa hoaa. md,t I üt¡o ¿cttÁtttot tj,t¡o¿ tenfa iyu-e.iotnent¿ ¿L pozo?.
Sol uc i6n I
Este'-como_ya d'lje.es un tipo-muy especial de problemas, es por eso que .a anallzarlo detenidamente. iAtenclóir! :
vamos
(1)
3a
*
.
hora
:,
Hayxr'lts. + Hay
Notamos pues
,3
,
se
(21 X^
I
ts
gue
guienteS, Io gue
. -> se van i*1
des pués de I a primera QUEDA de la anter i or .
+
x, Quedan:
hora,
t'HAYt'
;-
l=Restofinal (3)
en cada una de las sl a
entonces
r QU€
este ti po de prob 1 emas s e puede reso I ver trabajando ú nicamente con los restosrrE gresando ordenadamente haI
E,
^3
r
cia el
z
primero.
El único requisito es fijar cl aramente e'l resto ex I s ten te en cada hora. Calculamos
!
En nuestro problema: El agua se le acaba en 3 horas, €S decir que e'l resto final vale cero. Si en cada hora se va la mitad de 1o que hay, más 1 litro, entonces quedará la otra miffilT'enos 1 litro. Asf :
3a.hora: QUEDA: 0=!-1 ?De donde, x3 = 2 I i tros , za.hora: QuEDA: De
Dlgamos que:
2a, hora:
2a. hora: QUEDA:
reemPl azamos
:
-l # --z-¡
donde: .r
(
I I !
I
I I I I
i I
t I
,
Podemos deci
1
'
poF lo tanto como ud. mismo" (a) aíie, ios-t, áoo a l, la mitad de lo que tenfa. nf
)
NOTE'Ud.
x
-7 * Cal cul amos x3 y reempl azamos l
soosoles
slgulente:
en la.co'lum sl conoc'lé¡qmgs el resto flnal',potlrfams calcular x3r gue a su vez reemplazando en (2), nos permitlrfa calcular IZ { a su vcz al reemplazarlo en (1) nos quedarfa xl! es decir, la cantldaá lnlclal de litros. En resumen, lCóno hemos procedido?...... iEs clertol Hemos regresado desde el flnal al comienzo, teniendo en cuen ta .los restos que hay en cada hora. Es declr, la solución serfa:
3a. hora: QUEDA: RFinal
Estos 8q0 soles I._quedaban Iuego de gastar L/3 de Io que I e quedaba guiere dectr que 80-hsqles equivalen á Zt3 de lo que le quedaba; por lo tanto, to gue le quedaba era:
-
'
Pero 'la observaLl6n más lmportante es la na de los restos, que en Ia igualdad (3)
l i tros, resnplazamos:
: {-x, s' la. hora: QUEDA 6 = I2' f xrI = 14 litros
que habfan iniclalmente.
I
I I
'
,)4
u§ cr,,()
)))
F¡,.rCC r r.lN
a la condleltn, $i en cada hora se va 'l a mltad de lo qus en ella hahf a más Li?." 1 t tro, entoncns querf ard 1t¡. otrn r¡t'Lad rnenos l/? lltro, üDe ñDe acuerdo
cuerdo?
'-t*tl*hora:
0Ei¡- t--¡-.*. !.=+
Quecia:
r-r
rr ¡rrrr-
-t¡p
h-F rr¡Er=!
x3 E
¡-.¡tra.
¡ürs.
E¡
§gHsff,n l
tl po quq vemosi para q1t? .Ud.. pueda e! este es el Prlmer Prob.l eF de este rr ipaso a'pasotr, pues'en realldad hay va de hacer tender -de-su soluc{6n, 1o he es cuát ) ül i os que [ueden abrevl arse [rivr-Uü:-"- pániando rl;;
Como
Reprocluc{ remos I o que
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§elsslüs: El resto flnal, como Ud. puede apreclar es 2 so'les¡ sl llamamos x3 r xZ , xl a 1o que t'lene el 3o, 2o y Xer. dfa respectivamente y ernpezando a-resoTver'
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t'¿' i deaeasw? ¿c vae)t u,'ffii[ál-u'ñ-'ait'tna ^eiel¡' a'úd'o vuartriiii¿liñe',rué-ae
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desde
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1/5 del total.
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del En t hora vacia:- á horas + o Luego, en l:hor¡ que trabajen iuntos;, quedará en el átlo le parece?
B vacla en 6
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total
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(no se olvide
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.
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con¡tioiottu del *oblma anXwiot, ¿en cuÁ.itf.o'tiutpc te llenatá. el ett4¡(/tf% ti li ttl¿ve dcl: detagie enpieL a {unciotutt ur,« it¡,ia" o¿6fuf-á de a-O¿q¡n "2¡ p¡tit¡tlttt tbve? Con
b¿
Sol uct
6n;
,1
mediante Uria Si calculamos 1o que arüos juntos 'l 'lenan erl una hora¡ podremos juntos todo el essirpie iegiá ae ti"r,-i"iáuiá" en cuánto tiempo I lenarán iunhue. iNo es ver6á¿f... Pero... éCuánto lienan juntos en una hora?. üi"Jii'r,"ii-.ñüoi-ii.ñ;;á; I; sú'iá ae lá qre cada uño llena en esa hora, poi .
.'A, llen¡'el totrl en 4 hrs r B vrétl el total en 6 hrs.
r
En
I
->
I hora llena f, del totalEn t hora ,ulr. f del total -+ juntos, quedarát i - * = t' a.t tntut En
hora de trabajo
* St el prlmerO
Entonces declmos:
El caño A I I ena el estanque en 6 horas
la lnversa de 1o que
hora)
-2'.1!--toras.,
do
Sol uci 6n:
eparado
en
Ql QÁt,n4ue de2 prcbtan antQaio4 di t)av¿ rlrt.ü4at de lkta¡2b en 6 hona.t, ll vaei.q zn QA¿ tietwo?
A
Itn cafw A llena un utarque en 4 ltonnt, un 6 egundo eaño B Lo l'tace- 8-n 6 ltotu¡ al wúl,mo LLempo ¿En cuá.ttto tiempo Lo tlevw¡Á-n anbod á't enpiezán a {unúovto'rL tt cuando el elta nr¿ue erstd- vaeÍ-o?
s
(Note qúe es 'llenan
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B
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.¿En cittittto.tiettryo te:l2enotúa
lrurlit.
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I timo 1 ,^ i.r
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cada uno
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donde: x = l3O.
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(*)
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en una hora. "'l I enanrf +
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OSCAR ZEVALLOS G.
Se de¡ea áohuL ¿en cu.úttto .ü-wnpo 6e de¡aguand. Ql tctal del agun conteni da en el ettastque, ai ¿e abnen ba 3 l,(nve¡ al nú,smc tiempo?
vuelve a f,t-ena¡ con cLgtla.. Firulnentg 6e ta de 6AeA/L va- mezcla, Ílenandc un ei¿r.rüto dZ t4 rurt en ¿u L,rsatL dssd, en QAe oaáu,r,'^;n;'d;-.eory rtgur-, l|n quí h4?On után et AcÁtr t^;í;Ah;d;
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un ugrqw d ¡az6n d,e -91:t .{.ena ,. llJa ;;^ I:: *^n ri.t¡c¿ ,y:6n,,de:lá-ullr;;"i' de cnnrrürfal c s r6¡6i," Xr;:..1? !?,a f,Lavu dt nu¡nc fcurrpe? 40,
b) 32 213 horas e) Absurdo
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igal pat[und.idad ti'.,c-¡t en of ¿cr,dc'ii eftoa. .i;pL&ütri,g agua quB c,:nte,.t'¡-n. E¿ta.ndt' cubcs .tctol¡,e,:r¿. l.¡-irro¿ 'y abiztttci ct el nu.tlric tiár¡e,, , ,: i;r\os, e! p'ire¡r: cit a¡.Lct ¿i "!e cx¡La" er. t hoaa¿, niizr.r.'..:: ':'-,. .- i( -,.. - tc, h.e.+i.e cn 3 fic:c'¡,-r n:cndl . .!¡pcwtendo qw t-a cd¡tüidc-i, a; .'¡,.' .: .lele pcr, cado- ate.'tl¿trl, e¡ c0r¡6.tür¿-
N.A.
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a) 360 horas 6 horas d) 3600 sesunoos *b) :tl 'il.Á]. "
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p.al,e de ¡'( que tubía'¿n e¡dc ho¡n nd.t ? 2it¡0,5; tt t-tth. cL\c huec.c en ej envoÁe de vinc,t ¿e le uauifa LaA iltu octava¿ ¡*r.f,r,l tle lo cluc /:at,i¡ en 'cada hcta mú.L l lr:ilti. 0iga tld. ¿eú.nto habfan coltdrto un üL¡to de vino U LLnL. aabiendo que en új.ol gd^.t6 6tt icanente tnCc el di¡t?..',r:
t a) 35 soles
d) Faltan datos
b) 45 soles e) Absurdo oo o
oo
c)
t:i: :oies ^.
VI
Promedios
EFTNICTON
.-
Proned'io es una cantidad
tal,
que de varias diferentesrésta es me-
ígr que 1a superior, y mayor que la inferior. 'Hay varios tipos de promed'ios, los cuales tienen mucha aplicación 'en la Estadlstiéa (l4ediana, moda, etc.), pgro es el caso que para nuestro objeto sólo
hemos
de ver los siguientes
:
I€DIA ARITIGTICA..
Si tenenos
rrnrr
cant'idades, cuyos valores son
i4EDIA ARITMETICA
o PRO|{EDI0
,.' .n -
CANT I0ADES
sur4A DE LAS
,
al ,dZd3,.
ARITMETICO de el I os
al +
^2
+ a3
será
,an? la
:
+ ... + an
n
Asl si un alumno ha obtenido I as s'i gui entes notas en un curso : 08. 10, 12,06, 14, su l,lEDIA ARITT'IETICA o PROMEDIO ARITI'IETIC0, aunque usualnrente sólo Ie llamarnos PROI4EDIO será :
/
ñ su'14 DE NoTAS '5 ffi T
08 +
l0 + I? + 06 + 14 =10 5
io ¡ ri tméti co bastante conoci do ¿O, es la t'ledia Aritmética.entre dos canti dades rrarr y I' brr , QU€-Sera ':
Un promed
MEDIA ARITI,IETICA
= M.A.
=
a +b
T
Así,limediaaritméticaentreg y 14 será:
16)
))
))))
OSGAR
Sl I'led
te.ñemos
,,n, cantidades,
ia Geométri
duct-e
ca
,
cuyos va I g¡sg
de el los será -r'ri lgua
dichas iañti¿á¿;;,
¡
I
a
sonr
.l,
la
fz enésln¡, del " Pro--
ra
a
En
particular,
geométrfca
,2,
ndo s e tra ta de 2 canildades ,¡a, Tas será :
S_ua
de el
ZEUALTOS G.
¡rrt
tn
y ,b,,¡ la medla
))) PRO},IED
IOS
97
Finalmente, cuando se trata de ? cantidades, su media aritmética. ca y Arrnóni ca , l{a , Hg, if h respecti vamente, €stán rel aeio-
Geométri
la
nados
por
:
PMBLEIAS RESUELMS, En todos
los
DIO
Asf,
la Media
entre
Geomét r i ca
I y 14 será :
es que se estañ
a la definiciónde
p5 = IftElaÉ"r5ÍiÉit =
[a Media A*gnica de ,varias promed io de.. I i de Si tenemos ,,n,,ls-..nnvársas iiáades :
*
En
la iledia Arm6nica
a
h
.
oro¡
:
- zl .2 años
1.6+30+2ss+15+20
.
t iue un ptomed,í-o de 12 .62 Wúot en uaf,tc etáltenü, ái U pruU?ga vota eteele a IJ. úIfuha ut 2.20, 6e deAea ¿dben,i cu,6lu áon Q*tult ái 1.0" ae4unda U tel.cota o
I f
áon n
(t'l.h . ) de todas el I aE será
rrar y rrbrr será =
Asf Ia l,ledÍaArmónicade
aritmético
Jonge
particular la lrl.
Promedio
la lnversa del
t
Luego
le
PRñE-
AR
acuerdo
Sus i nversas .serán
refirierdo al.
Hdllan el ptomel,ía de Iil etddu de 5 rru;elwclua que Lienevl ,LelpeeL,Lvanel,te 16, 30 . 25, 15 A 20 atio^ ,
= {B x lC= 10.g4
l,f. G .
elios
problemas sobre promedios, cuando en uno ¿e
hablen
: Di gamos que : 'x Sea la lra. nota = La,cuarta será ='x - 2,20 ?da. nota = 08 3ra. nota = l2 S0LUCI0N
Resol v i endo
nota
M.h
-
g
y
2áb áT5
0t A 12 ,Lelpee,tivdmeJtte.'
y ...
tendrerms
.
:
I
P4
.
,t
2.62
=ffi =
x =
I#x-z
' 20+08+12
15.34¡
ésta será
la primera
iCuáI será la última? EL pwnelin de l,o¿ edadet de 5 peÁaono4_ u 48._ Sr (W,l 'de ta elhl u rrwyon de 50 añoá'. , ¿Ctút toltÁ. "tn. nlnina ¿ dnd que unn de Qlh"l pueÁd twtut?
ellas tenga la mfnima edad, es cóndiclón necesarla que, cada una de'Jas.ótras cuatro tenga la máxirin edad posi-
SOLUCI0N: Para que una de
ble, en este casg, 50 años, ya que no pueden ser cantidad. iDe acuerdo?...Entonces tenemos :
mayores que
tal
PROI4ED IOS
99
OSCAR ZEVALLOS G.
98
El +
E2 + E3 + E4
+
szg =
E5
E3
+ ...
* tr
s2 + 29(10)
I
5
Reempl
azanilo
s2
E,+50+50+50+50 t
:
Et = 24O 200
Resolviendo
S^
¿
El =
El = 40 años de
La mfnlma edad que una de el I as puede tener es 40 años.
e, cuando todas I as demás terpan I I as tendrá I a rnlxima edad a ml nima edad posi bl e, €r este caso 10 años, pues rio pueden ser menores gue pos i bl
I
tal
Entonces
edad.
:
El + EZ + ... + E¡t
Pgt = Despejando:
3t
(31)(Psr)
=
Ef + EZ + E3 +
...
+
Egt
1357 Z,T,7,T SOLUCION
análogamente
PRoE|
E
Ett{ lre 5.-
(2, 4r 7r B) = s6s 1357
n,á,1,b
r t tl 28 4? 40
:
's? =
Et
¡cuclies
te
rés ul tado
55 '56' 56'
?
t
de tener I a mi sma máx f nra las ?9 restantes tengan €s decir, en este caso 10 años (por condición del pro-
El +
Pgt
=
(31)(p3l)
=
+ Ezf (31) ü
y 2 de ellas
=
EZ
+ E3 +
...
han
49 56-
Menor val or
El 'F sst
%+5(l)
en tenut?
Ya gue son 31 personis,
t
es
¿i Ql ptonella de edade; $uete de 12 añot. ¿CtúL ¿etú. b''úxiÍa ennn etmún que 2 de e--
,
Despeiando
ca
En Ql Woblan« dntwi-on
lloa SOLUCION
t,Qué s,i gn i f i
:
* El máximo valor que tomará una de las 6 cantidades será cuando las otras 5 tomen el mfnimo valor. iNo le parece? * icuál es dicho mfnimo va'lor? Dicho valor no puede ser menor que las frac
341
41 = 1
!
, E!" problema esren esencia del mismo tipo que los 3 anteriores, só'lo que aquí intervienen fracciones. Razonando
l'l.C.M.
(31)(11)
Fi nal mente
conr» máximo.
ciones dadas, entonces tendrá que ser iguaT-(¡GTó-Eii6-Éfiren'eI mfniro): a la menor de tales fracciones; para hailar entonces tal'valor es necesá. rio ha]Iar la menor de las fracciones dadas inicia'lmente. Entonces :
#
Reempl azando .:
las 2 tenclrá 41 años
¿CuÁL eA el mdt<,tno valon que puede tonwl uta. de 6 cant*da.d.u eutlo ptomedjn QA E i /2,' tabiutdo que n inguna de illqA QA me¡nn que ta. ne)wn de IaA alcgu',ittf.u cat*¡¡úe¿:
3l elvica¿¡ nfuquru de er-bl eA menorl de t0 año¿. ¿Cu.á2 ae¡ttl.t-a.má.Liru. Qnad, que uta de erlal pueda tt nüt Wa^a, que el pttoneila de edadu tu de I I añot?El razonami ento es análogo al problema anterior. Asf: Una de e-Oe un g,LuW de
SOLUCION:
41
= El
+Z
+ E¡t
¿c"Ll et el
nfn"íno que
dade¡ tabiendo yorl de
lru uiswiutf
tomn una de s etnÍi-
eA M.qorl que tÁ. ma--
) ) '
))) t23 I Yr5,.T , iT §qlqqlN :
Razonamiento análogo
" ;::r"i5rXil..iliJlld
* El máximo varor.
tome
U que
al anterior
^u
,§c^n' ¿.Jnr-,-os ul
ptoned-io vatga
I
F
Promedto de 30 al umnos S.
restantes tendrán que to-
a la mayor de ras fracciones dadas- er^r¡*i*l-vilii"ir""i"o"án.tomar * será única¡rente er v¡. lxlr p"oc"d".",os a har rar dicha mavoi
lll.liull Hí:'rÍl;'i;fii;i';;'íl ft
t01
PRO}TEOIOS
:
ei mÍnimo vator, tos
3 2 9 4 ' S,Ib
rl
, L.?
como-nrnguna cantidad puede exceder
I
/)
Peos
#
'ro.
To-
'
TO
ls I 18 '2T'70 , Z0 'l' ,
(ta¡(20)
=
280
= (or')(30) -+
Sao
=
(ll)(30)
=
330
ñ t50
:
sso
,
Hayor fracc ión
Entonces:
Reenrp'l
a za
ndo
tlf,
= rpefO:
sso
= =
sso
=
sso Reempl
azando :
ñ t50
ty' :
8(1
*)
entonces
=
Szo +
610 ltil =
Sgo
t vJ
t-vJ
Pg
r
SZo
(Pzo)(20)
I 10
11
(rr) Ahora
I{.C.M.(2, 4, 5, I0) = ZA
SsO
=
->
Szo a
sro
P30
280 + 330
rr¡
Vr¡
r
610
L?
.? de nota Promedi o '
E1 |
PROBLEMAS PROPUESTOS
TIEMP0; 40' PRoBLE{A A/e 8.
20 alunywd , b rcto. pzoneÁ.,L0 u mümo u)tt,o t_a. rcta fNo*o¡,¿á-paq ll. ¿CuÁl áe^.d. Unofu, W^, Fn"
alunyw¿?
-
Si}LUCION:
" *
el
50 alumnos,necesitamos carcular cuánto su--
prornedio de 20 de
ellos.y luego cle los 30 restantes, enronces con dichos datos podemoi-.ií.riu" rá i*i-¿,]-rir"nil. de 20 v 30 de e'os respectivamentei--ii'-iuñ;;;;'iuego
Í?.,:",13':;S""li:,:,ri:-á" io,-üi:,,,,1i,
(1) sabemosQue:Pn = ,
la
media
arit¡nética de dos números, es igual al cuadrado ,r
Illr.,ll,l:lJ,r:":ffiÍlo"Íiol..o, Como conocemos
E'l doble de
ii ir-r,eaii éáooreiit"a más l. Si uno de los números es 77' e'l otro será: e) Absurdb' g) 1 c) 7 b) 11 a) 144
ffi
promed.io de 20 alumnos
=
pZO
=
-;;
ambos va¡orer-estaremos tenien iu"¿,;i ianar er promer
= +, 14
ü;,ffi
.o"rer:
La suma de 2 números es 100
.trica a)
y
su Media Arm6nica es
32.
La I'ledia
32
b)
132
c)
64
d)
1600
¡--)
co
La media geométrica de 3 números es 60 y su media ."róni.. XáÍiar la mediá aritmética"de los Si uno de eltos
a)
Geom§
de ellos es-:
70
"i-léó.-
b)
35
c) 120
¿)
60
es 720123' otros dos'
e) N' ant'
,
\
\
t, .
'
OSCAR ZEVATLOS G.
PRO]4ED IOS
'¿iuál
és éJ promedio de edades entre S amigos, si-Antonio-tt€ne lq t-Z inos rneaoslque Antonlo, Luts 3-añoc rtrás gue la semi-sua ' iá-iai.e¿ades de nnióntd-y José, ltiguel es eontcmporáneo de Antonlo y Pedro tlen+tl doble de lo de José
ñóIl ¡te
':l
rr.z ¡ños. c) 12.! años d] 12 años e) Ningun¡' a). 11 años ¡[ nlyor El prcmedlo de edad de 4 hermanoi, es.{!,. crNcultr 1r edad-del los gue entre terce.o ecá¿'¿et qG tten"-á¡ !e-i¡ ii §i-ii¡e 'v
a)2'.562
@
17
tos 2 últimos
e-
a) 14.5
nastas Por iuego?
@
b)
c) Lz
1
a)
le
Para
c)
b) 7s
85
.
d)
se
e
) Ni nguna.
tCuál será Ia máxima canttdad Er¡ eI problema anterior. tos que 3 de el los Puedan obtener para que el Prunedlo mi snro?
a)
s4
b)
'j
45 ,.d)
13s
d)
si a)
üCuál es el máxim valor que puede tornar una de 8 cantldades, be que ninguna de ellas es nenor que la semi-suma de la'menor
sl st st' y la m'-
:
1.6.3.2 Sabi endo además
a)
11
il
sue:,'rl#; :. ras I es z+ tz
b)
ZCuál es el máximo
total de 10 tidades
es
c)
4.2s
d)
?
12]2
e)I?
1
T
valor común posible qge,toÍn¡rii,,2 cantidades .de.un o es 1 tt}, sibi'endo que ni nguna de I as 10 Gtrrmenor que I a rnayor de I as s i guiéntEs fracéiones i cuyo
promed i
23t.3
16
c)
14.32
Oi
tS.og
todos.ellos incluídos.Juan y l4arÍa, sumarán dentro de 10 años 48 años? 't
b) 16
G) \/
9,628
c) 15.4
e)
y
el
ilinouna.
si las edades ie
d) 16.4
b) $ 9,825 c) $ tO,¡qZ d)
e)
es-.
15
F.D.
e) $ lO,q¡z
los "y" alumnos de'l aula A cuya nota promedio en Razonamiento l4atem,jtico es "xr', se les junta con una cantidad doble de alumnos que estdban en el Aula B y cuya nota promedio es 3 puntos mayor que"!a de l:s del aula A. Hallamos la nota promedio de todos ellos y volvenros a juntar-los con los alumnos del'aula C cuya nota promedio desconocémos, pero que sln embargo, sabemos son en número 5 veces más que los alumnos del aula A. Si le dicen a Ud. que al hallar'la notapomedio de] nuevo toA
de alumnos se obtiene como nota promedio 2 unidades más que
promedio que se obtuvo al únicamente de loi a]umnos
-la.
yor de las fracciones
!-
a) $
tal
F.D-
el val or de uno de 3 números que t'ienen corn pronedio : "2x", s s€ sabe que eI promedlo de los otrns dos es "yn, ? I c ) lx-y d) 6x-2Y - e) Ninguna.
a^
LV
.,I
b)
14
El promedio de sue'ldo.n rnu compañia que tiene 30 empleados es de : $ 12,484 y el de una compañia qud tiene 60 obreros es S 8,200. iCuál es el promedio de sueldo entre los 90 trabajadores,menci..,nados?
lZ0
l!"1'il;llo'fii ::l'ti,:li:!"i:Hi: :: ls'.Íil"illl"lii,3i.*,3llf que eI promedio de aciertos del' de ellos pueda obtener que uno cl ub sea de 28?
,;irsuna.
El prorñeiio de edad de los 3 hermanos de Juan es 12 años, y e! promectio de 'dioedades de los.5 hermanos de María es 18 años. iCuál será el prome--
Gl--
I
.e)
El promedio de 20 alumnos en algebra es 12, el de otros t§es oiros 27 es 18. 'iCuál será.el promedio en general de todos el'los?
edad de
a)
!)?.625
,!t
lbs
e)
c)2
de
a)
otros dos tienen 16 años"¿ii[¡l
¿rt
b)2:5
a
) 3x-2
b)
,*+
unir las aulas del Au'la C.
c) y(x+4)
A
y B. Ha]]e Ud. el
d)
b(x+4)
e)
x+5
.,1
promedro
vlr Cripto aritmética
BiJo este nonüre,
que traducldo literalmente significa "AritrÉtica 0-se.conoce a un grupo de problemas, la verdad, óue todos e'llos muy in_ tertsantes (espero que luego, pueda Ud. compartir mi opinión). TaIes problemas se carácterlzan, porgue se nos dan operaciones aritnÉti-
cultl",
crs reallzadas entrt ciertos níRneros, los cuales en realidad se desconocen, puesto que han sido reempla¡adas, sus clfrat por.letras o por otros sfmbolos. Hallar ta'les ntÍmeros es el obJeto de nuestro trabajo, a travéz de un aná'lisis en el qug tengamos en cuenta las propiedades de la operación que tenemos en-frente, es que en cada. caso debemos llegar a la soluii6n de'l problema. Pero meJor, empecemos a conocerlos : PR()BTEI\{Á,
,Ug I
SOLUCI0N
:
¡
..
Hallan
Preste atenci Escri banps
: a6A. S¿ s ñ,
+ EEa
= ffit.,
aden6¿
c- a=4
6n
:
c5f
+ (I)
t Al sumar la col umna de I as uni dades exi sten 2 posi bi I I dades de resultado.. ... iCuáles son? Es verdad, l as posi bi t i dades: son gue : c + a=8ó que c+aa
18,
peraci ón .
* '*
pero . . .j I Cr¡fi de el I as escoger? Anal I zemos e I resto de la o-
Notemos que en la colunna de las centenas, tamblén se estan §umando : "A+c" y al pie, vemos que su resultado es 8r esto quiere decir que la posibill+ -dad : c a = 18, queda descartada
¡:
Entonces ahora tendrem.os:.
c -' a = t4 c + a' = I De agui , como.Ud.
que es dato. que es conclusión anterior
sabe, ۖcontra[Ds que
: c=5ya=2
?l\' ,
*
CRIPTO ARITI,IETI
,,
106
Ahora cal cul emos "b". Al sumar I as ci fras de I as decenas en ( D) tenemos b+b = 8, y puesto gue no'lllevamos'l nada de I a suma de I a col umna de I as unidadeS, concl ui remos en que b = 4 ¿De acuerdo?. Po
r I o tan to ,
f i nal
te
men
Podemos comprobarlo
:
te ñd retnos
:ffi.24G
PRC)BLEMA
N9 2.-
S¿ Le tabe
ñl+ñ.* SOL t,C
ION
:
Es c
ri
bi en
5'a+
c = EcZ
do I a suma en forma verti
m
pi enseo::.
{
aduá,s
25
SOLUCI0!
á
cómo erirpez
ar?
Ve
arts !
..
ces observe (D),'el cuarto sumando no dlcción a1 problema, lDe.acuerdo?
existiría, lo cual sería un¡ contrl lntonces: Si c = 5, 3(c) = 3(5) = 15, de dondé "ponanpi" el 5 y "llevanDs" el 1. Hasta aqui iha entendi do? Bi en pros i gamos : Columna de las deienas : observando D, tendrfams que : La suma en esta columna será.: I + b + 0 + 6 = r 5 ;1.: Conde a su'vez quedaría que: 2b = * ¡l rlerno Ud. ve, e] producto 2 x b, acaba en 4, exlsten por lo tanto 2 poslb! l\i'Jades para "b" ¡ es decir gue "b"5e| 6'2 6 7, pero . .. éCuáI escoger?
: Si b = 7, el resultado : 58, serfa : 755, Io cual. contradice ¡ Ia\condición de que 5E sea rrenor que 500 ilh acuerdo?, conclufmos por 1o tarrto: ya que "b" 1 7, entonces "b" tiene Que valer 2. E.ntonces ya hernos hal I ado rrbrr y "c" , I uego 5e; = 25;5 s0 Corrro Ud. ha vistor yi hemos halladolarespuesta al problema; p€ro I o por curi os i dad, hal I emos e1 val or'de I a ci fra "a'l . r.)bse''ve.(D)re: 'l a columna de las centenas: a + a b, ya que de la iñt€- ri or col unrna rrü "'l I evarnos:' nada; como rrbtr = 2 tendre[ps que a+a = 2a 3 2, ,1í' ,lonckt a 1, es la única soluci6n posiblé. :
c
5
E,cc
2s5
tígu*ente sumcr, eada Luttu, üdenevtfe tLepielenfa wta údna üdenute, ademá,t 0 = cetLo. Entoneü5 hal¡nn u, L,t?-
En La
3.
Lo¡t de "A/UOR", tabiendo que debe de.betl el mduo.\ núme-il, poaible de {onnott que. e.um¡t.La con Laa ecnüetonet det- p.rrr-¡ bl.ana :
(D)
por la columna de :las unidades: Ven'os que : c rc+c= 3(c), asuvezesteresultadocomopuedcverrl piedc Ir ' ''l unrna acaba en "c". Entonces "c" es una cifra, tal gue ¡l rultipltcrrpor 3, el resultado acabe en la misna cifrn¡ "c". i,Qué cifrrs cr?lcn -
. ('¡(:r.)S Ct.\rtipfObamoS
105
5;
+
1
,.'
aoc
D A ,.I E + ¡I /1r Jo -) ,i Ail,) R
linr;iezemos
',\arnos
¡¡9
:
que. los 2 on esta condición? Probando con tolos to los'los dioitos encontramos oue con los digitos únicos que cumplen son 0 y 5. Pert ... üCuál áe los 2 escogar? Ñeies¡ri¡ rnen¡e.tenemos que éscoger eI 5,.épor qué no el 0? Sí Ia cifia c = 0 entoñ
*
L?O
cal :
+ rve di cha s uma y
n¡en('t que 500
qLLe os
'#
obse
EM
-
Ptr.BLEMA
*
LC7
CA
OSCAR ZEVALLOS G.
:
Para un nuejor
en
ten
(Il
^.'aL)
:
4, 3, 2, t cada col umna Colmqa 1 : Existen 2 posibilidades : ó E + S < 10 ó E + S, 10 ZFT§ = 10?. Esta última se descarta, puesto que si E + S = 10, enton ces "R" valdría 0, lo cual seria una contradicción ya que por condición I del problema "R".y "0" no pueden tener el mismo valor. Trabajernosr pára empezar con la posibilidad E + S < 10, esto significa Q' de la columna (I) no "llevamos" nada a 1a (2) Aq]_t4!a¿ : Observe (D) . Entonces aquÍ t4 + A acaba en 0, I o cual r l;¡ I i ca que : tl + A = 10, de donde se "ha puesto" el 0 y se "ha I I evado" 1. Columna 3 : Aqui Iasumaserfa: M+A+1, peroyasaber¡.iosii¡ei!-A. 10, entonces : M + A + 1 valdría 11, de donde "pondríarno§ el !. y "l1eva-mos" el otro 1, pero ... note Ud. que en ei lugar donde "pondrÍar¡os" ; l 1', esta ocupado por la letra t4, iQué significa esto? si<¡nifica que = i y como esto últi¡p es cierto reemp'lazamos en 14 + A = 10 y obtendrernos que A = f. iHa entendido? Columna 4 : Com "llevams" l de la columna anterior, aquí la sum¿ sr-FíiI-DT t = 9, de donde obtendríamos gue 0 = 8 Corn hasta ahora no hay ninguna contradicción entre todos los valores que hems hal lado, reempl azando en (I) tendríamos : dimiento número
1.1
DAt'lE
+
MAS AI,IO R
piden eI máximo valor de Al'lOR = 910R, dicho máximo valor será -cuando R sea máximo iNo es verdad? ... y como R ya no puede ser ni 9 ni B el máximo valor que podrá tomar. R será ... iclarol será R = 7. Cono nos
Por
lo tanto la respuestafinal sería :
AÍ'OR
=
9107.
iQué tal? ...éEntendió et procedimiento.ante.rior?. Zsi?, pero no olvide que la solucíón anterior se obtuuo cuando E + S < 10, y ... áQué pasará cuando.E + S > 10 ? En ese caso llegaremos a .una contradicción que ha da invalidar
a lal
na'ihil¡¡-r
:ñ- '¡ '
bsr^h HalIÁ/L
..,vn./0,
G.
)) ry ']lP-Jr^lTl'-TI.", r ) ) ) ) ) ,
a + b + c, ai :
abe x 3 = Zbct oio':':luu,l:-]l.Jro a recar carre, l?|[', yna i,i;,;",10,1,;1,^:ál;;=i,l.r,§:;JI.l,i; #Ll] .lll:!: gl: ;"üer ;yi'i;'ff1:'.i,ll otra et :l producto ci (") ;il;f,:l::1,:i_lT ?fl?Í,"iTiü ( -) en forma í.:ffi.ii no-ri'loiJi.l
+
Il- J. cot ufna U : Nore .|iljcaffiá,;;;=, Y Se "Jleva" Z,--*.-_ (
Reempl azando en oado tendrl amos
el
que
3
c=l
x c, r
l{umeración rje
acaba en
PU€S 3
X7
Ias
1 , entonces _ =
I
ColurRas.
única
posi21, de donde se "pona,, I a
producto
r
um!.q
++ iCuál de ellos escoger? Cualquiera de las dos posibilidades óue clij¡nos va a hacer que eI rcsultado sea el mjsmo. Veános'lo: r--+ 1b3 x 3bl x + C x a = I x 3 -) 3bl cxa=1x3 1b3 + T98¡m I
:
(i) :
+
: 3xb+2 = : 3xb =
Tendrf arrns De donde
y.1 a ún.ica posibiligud que existe De'donde se "po[s,; '5 que y se,, lJeva,, es 1.. <- I Reempl azulgo en I 4¡do tendr.ramos el producto :
*
LJ
:
,
pues 3x5
coip nos piden "a + b + J" cualquiera de escoja¡ms no va a variar el resultado.
Además
I
Fi
n a I men
* :
te
:
donde
:
De
Entonces
-E----
^i9
:
a+b+c=g+5+
s. Es
l=
abc - x -cba podamos:
bi mos
e
I
*
producto verti cal mente
CX de
p11 mera
lo
1b3
en
x
3b1
que
-IEE
Notemos que
el último producto parcial
:
103
x
3";
:
En el cual : 3 x 3 = 9, no se lleva nada, J : 3 x t', tiene que que 10 puesto que no deberns llevaa.nada para que la últina c
x
(D) LA
efectuemos
3
?
abc
ti
y
a= 1y c=
las 2 posibil'idacres
20
HaU_üLa,+b+c, cri
Ahora sólo nos queda hal1ar "b" Reemplazemos
ten dr iamos
59IT6
= 15
I
[n jo cg]urnna (3)
:
Si: c x a = 7 x9, de aquf c p«idrla ser 7 y a = 9 (o en fo¡u¡ invers¡),lr factores serfan entonces : ábc = 9E'7 y Etá. = E. Áhora si Ud. nrultiplic I entre sf 2 núrcros de 3 clfras cada uno que empiecen en 7'y 9 rcspectivi.// rente,'el resultado ... iserá"un nünero de 6 cifrasl ejemplo : 700 x 900.630,000, por Io tanto habrfa una contradicc'ión con el problemat pues el resultado debe de tener sólo 5 cifras, conclufrcnos entoaces en que debems desechar la posibilidad : c x a = 7 x 9 * Sól o nos queda entonces c x a = I x 3, de donde a su vez aún hay otras 2 posi bi I i dades qqe serfan : f-+ cxa=lx3 ó cxa=1x3
I
,c.ol
trare¡ros 2 poslbilldades : c x ! = I x 3 6 c x ¡ = 7 x 9, Pero iCuáI de los 2 escoger? lY en base a qué? Bien, notemos que en (D) los dos factores son de 3 cifras cada uno, y que el resultado es un núne ro de 5 cifras ¿Y esto que tiene que ver? Importa bastante; si no veálo'
ud.
t
En I a
,
ser mnor ó igual que 3, es deéir, §.= I ó 2 ó 3, s'i n emL,;'r':',J "i,'' valer ni I ni 3, puesto qüe ,a. t r¡c'r ya ton¡aron'ii cl-¡i¡:,'.'a i ? letras diferentes representah valores diferentes. !r¡r' 'l O türr,: i \ qué conclusión llegarcs? .o. iClaro,! Ja únlca pos¡b:¡¡Cac i,' puede
concJ''sión
gge ob.'-enerrps, áJ a=* 3 /, observar er producto, en it; ;;;;;..:: nos es que : L c if ¡-, cada-aba uno, al'mulii;iicarse, piuguntamoi : ¿Qué par de números I, resultado acaba
en
3?...
Encon
Finalmente:a+b+c=1+2
:
+3=6
r
i
que
1
CR
OSCAR ZEVALLOS G.
110
Compruebe Ud. I a mul ti
p1 í
caci
ón
ffixcE,a =
Hallan Lo¿ aLd;,nu que
PROBTE;T{A
32r
*
:
el
I
c
*15 3*?
(B)
(c)
ente
Aho
t 3t
(cl
: TTe + Tre + m7E
todos I as ci
fras que fal -
s¿:
x
l{uestro ¡iriner análisis es el siguiente : El resultado es un número de 5 obtenido al mui,tiplicar 2 núr¡eros de 3 cifras cada uno, iguales entre sí, para que esto sea posible, es necesario, que la cifra dá las centenas de dichos núrpms sea necesarianpnte menor que 4, pues si por ejenplo, fuese 4 los númros podrfan TeilTGaiñl que 401 x 401 = tOOgOi, es decir el resultado tendría 6 cifras, lo cual contradice el dato iDe acuerdo? Conclulremos entonces que los únicos valores posibles para T son:
cifras que ha sido
ot (E)
(rl
T=.1ó263. Escribamos el
* 15 3*2 f30
3*2* 2*5
*8*30
(A)
producto dado
En forma verti cal I o gue podamts :
y
:
efectuamos
(B)
(c) (D)
(E)
(F)
415
(A)
3*2
(B)
(c)
:
(D)
1245
(E)
1*8*30
(F)
:
415 3*2 830
r
TUe Tre= EÑTRE el usl 0 :' ce,m q Lot t-efrut ü6e¡-ette,s t*enett valoLu
u
r
:
ra compl etenps el producto
obtene
SOLUCION ':
(81
Efectuando, 3 de (B) Por (A) , va Ud. a ob
Hollan
Ud.
di-$uleylfes.
fila
si gui
¡¡e 7.-
3
2
tener
(D)
PR1ELE!ü
enunr:i ado.
Ahora v?a (A)
'"'
(At
de la my'l tiplicación I a des'i gno con una I etra . Notamos que la primera c'i fra del resultado (F) es 0, corlp Ud. sabe di cha ci fra ' d i rectamente desde gl pri mer ha "bajado" producto (C), lo cual 'i ndica que la prime ra cifra de (C) vale 0. Pero ide donde sa le este 0? Es el resultado de multipli-r car la cifra (2) de (B) por la primera ci fra de (A), es decir: (2) (*) acaba en 0 ; lo cual nos indica quei *= 0 ó * = 5, iCuál tomar?, Necesari arnente * = 5, parano caer en una contradicción áCuál?-con A cada
í:)
duconocen ,LepnQtentado potl adte
r zt 3 tz t5 7* g| 30 SC,IUqION
39843 )t',.'
fiitco^, en el ¿Lgúettte^eptoduelo t1* 3t
111
De donde por simple i:isp€cción puede ' tan.
:
123
I PTO AR ITMET I CA
la cifra de las unidades de1 producto : x T ó T x C. éNo. es verdad? A su vez la suma de ]as cifras de ia columna en gue "U" se entuentra será : U + 0 + U = * T (Vea "0") De donde : ?U = * T, esta última expresión, nos hace reflexionar asÍ: No. conocenns e1 valor de "U", pero si lo multiplicopor 2, el resu'ltado tendrá necesariamente que ser un número par, es decir: i T es PAR I y como T sólo puede ser 6 I ó 2 ó 3, conETITFEi6E-que el ún.ico valor pos'i ble es T = 2, Entonces ahora tendrernos : 2U = * 2, de donde existen 2 posibilidades para "U", ellas son U = 1 ó U = 5 áNo es así? Si sabemos del paso anterior, que "U" es la cifra de las unidades de1 producto C x T,. tendrerros que: Donde Ud. ve que he marcado.".U" úa
C
CxT=Cx2=*1
o
CXT=CX2=rr6
+
+
De donde conc'lufrenps que la primera de las 2 posibilidades es absurda, y pór lo tanto,la que vale es la segunda, de la cual a su vez concluÍremos en que'el único númro que la puede cumpljr es C = 8 iNo Ie parece? Finalmnte tendrfamos :
(A)
(B)-
208
208 664 000 416 1
(
c)
3* 2* 124 5
(E)
l5B*30
(F)
(ol
43264
J
) ) )( ),{f IE IL )L Entonces
:
f0C
+
,\Is t. -
PR?9LE,{{A
TOC
+ ENTRE
=
ZOg+ ?Og+
CRI PTO ARI IIIIET I CA
{ 3264= 436g0
Hattat lna'valone¡ d,e u-cla una
¡)))))
Í.ar teftu¡, tohiend,o que uvt voton ü'6*unte, n;"1; :Lep)L?Aznta ¿i-
;ffi"tr*;fff 0=
d.e
T.rquf,realize
la divisi6n y halle:
Ud.
D
y
le
iCuánto
L
sale?
0
ce,rLo.
PROBLEf'IAS PROPUESTOS
TIEt{P0: 50 l¡lII{UT0S 1.
SOLUCI0N
* *
;
rte de r a Di vi s i ón : elJa puede observar Ud. que U x IG = IG de donde ,,U,r tiene que ser : U = l. No hay otra pos i bÍ I idad. Tomemos
una
pa
IG
sumandos
:E-.
A su vez ar efectuar r a resta corres pondi ente 'rn'í¿ad';¿'itf:h3X: : A0 IG. lr0-Gil_g ti;il que prestarse
*
una
:
'raa
rT-r
a resta
Hallar
-) Conrc: G = z
b)
en
llegresemos nuevamente al paso i ni ci
letras
son ¿iferen--
de ambos -
:
P
+ E + R,
si :
150 < FEI'< 3OO, además 0 = cero, en
:
:
P0['+ Pf'1 P + R = FEñ
aquf podrá
=
Ud.
4
A=2xZ=4 al
todas las
:
a)8 De
si
188
'TI
DA
*
I
tomemos
la
LUZ,
PALIS+SILAP=8*6** sabiendo que cada letra diferente, tiene un valor diferente, además P,A>L>I>S y g2 +12 =A2 +13 +52 a) 72 b) 96 c) 1g d) 45 e) Ninguna.
Dedonde,'o+o 3=2 Ahora
198
si : fE+ W+ fZ=
c) 163 d) 145 e) 136 2.- Hallar la suma de las cifras del resultado y la de las cifras
A0 ..
no se puede,entonces
rá
Hallar-: fIiZ, tes de .cero. a)
En
se
-
b)10
c)7
Hallar la suma de las cifras del do de 'la siguiente suma :
ffIfiI'+
:
d)9 máximo
FIPI
e)rZ
valor que puede tomar e'l rcsultr
= TITÍO-
Donde:0=cero. _+ Como: G
a) 6
A
Aquí
Imtr
13, CA
utn uLG
como: G =
2
U=t
I=3 A=4
a)
b) 23
Determinar
!3 1#
a)
M
rlz
?s
peración
:E¡
u.
c)
12
e)
Ni nguna.
TilId6áx3 = eAcffi c) 2e' d) ?7
e)
22
10
7
e
la
suma de
:
los
8
Hallar la suma de Ias 7 x eE6-t, si se sabe
res ul
tado
en
val ores, que puede tomar rrarr
á5e b)
d)
18
r'{allar la suma de las ci fras del
podrem
ffi::dJl; lfrffr r; liJi,ir::iiilrisí:',TIiiff ill ;:::iii AOIG I IG
b)
en I a si guiente
ffi = 6e3
c) 15 d) L7 e) F. D. ci fras de I res ul tado de mul ti pl i car: que: ffi5a7x5=7ffi51
o-';
) OSCAR ZEVATLOS
115
e) 1l
cl 27 B. - Si se'- sabe que : áEiliE x 36 = . Hallar i a + b - c - d + e ? c)6 b)e a) 5 9.- Hallar la suma de lds cifras del **5 x 1** -F-r5 b) 20
a) 40
a A l=1Úg E b90
el Dl vi dcndo dc: e
del
) Ni nguna
.
ti pl i cador
mul
a) 12 b) ?? c) 18
13*0
***
e
I0. HaIIar (a + b + c)2, si
11. La suma de
L2.
Hal I ar
d)
??s
e)
si gui ente producto
es
a) ?? b) 27 c) 25 d) F.D. e) Ni nguna.
a) 7
b) I?
c)
:
i I
I
13.
Hal I
ar el resul tado
de:
e)
c,) ú
rr
fcrratss.
Hrl I
Adenls
A+a 3=t{
a)
8= representa
e) Ni ng una.
z ES
el
máxi
.
d)
10
e)
nrc val o r po
lls letrrs di feruntcs repnesentan
:
18
a núrneros di-
:
se sabe
*
tl
b)
15. Er le prrrsrnt! rttvlsifoi,
?56
xw=
Sabiendo que cada
d)
s
z, si ,yzx3=
I
c) ?o
lGc
Hall¡r
I
200
b)
) Ni nguna
5
+
---
x
b) 121 c) L44 las cifras del nesultado del *4* x *5
..* 0 : x+y
-S il
r) 15
*2** **7 *** *
en
¡.¡[' srbieñ+ ggc gI di vi dendo. de I a si gui ente di vi si ón sible' hrlle ud. la su¡n¡. dc sus ciiras :
ffir 7wil a) 100
Y*
b**
se sabe que :
TaE
tt .i53
.) e0
d) F.D
4*77*
rÉrÜ
Absurdo.
15
:
:J + A+E
b)
13
?
c) L7
d) 20
e) FD
'
vlli Operadores
Este es un crpltulo de poca dificultad, pero de gran aplicación, su obJeto fundamenta'l a'l utlllzarlo en una prueba de adm'isión' es medir la capaci ¿aá ¿el alumno para captar tel¡clones nuevls, a los que se supone no esta aco§ tumbrado; el princlplo'fund¡mental que se uti'liza en estos problemas, es el dE
v¡lor
numÉr'lco.
1.- oer¡H¡c¡oN
DE opERAcIoi¡ ttATEtATIcA . Es un procedlmiento que se anplea para
transformar
con suiecióI
clertas reElas, unr o varlas cantldades o fünclones¡en otras, ó también +ra efectuar c-on ellas determinados cálculos. 2.
-
a
pa
opgnnmR MATE'IATI@.., Es un sfmbolo determlnado Que sirue"para representar a una determina da operaci6n matemátlca. Asf por Ejemplo :
'
+ f
representt r 1l operacl6n suma. representr a Ia operaclón res¡a: representa.a lr, operación radicaci6n.
las definiciongs Interiores, es que se "crean" nuevrs g peracionei, ion-¿iteiániés neélÁ§ ór oer¡n¡cloñ, arditrarfumente elegtdasl reglas gue se obtlenen comblnandorsegún como queramos' a nuestras operacig nes usuáles báslcas o conocidas (+¡ -¡ 9¡ etc.) y para representar'las pq detnos también utlllzar 'lnuevos" sfmbolos escogldos al azar. llo esta demás declr, que Ias"lnuevas" o[eraclones pueden ser deflnldas parr un!, dos, tres o más c¡ntldades según nuestro deseo. EJemplo de una de estas operaciones serfá :
Teniendo como base
'-i
'
.- Í
+
Nueva oPeraci6n.
. ::ts??l.l,.'o H?ll..lio. ;lllllffi: (operador
)
definida Por 2 :a Y tr' ras P8--
En este caso
,'
OPERADORES =
.
119
gAz=zg I
t
ñ v/.
cuANDo TNTERvIENE uNA o tfls opERAcIoNEs NuEvAs Y ]ÚS PIDETI HALLAR EL VA LoR quE ELLAS"'T0I{AIü pAf,A cETERt4tNADos vALoREs DE SUS YARIABI-ES.
-
t, pRgBtElANsl. SptuCI0N
:
|f4eAe
Nuevaw-rú,e.yapliunol
b/i6n',
a t b .
+3b
2a
tttt
, 4 .2l3l + 3t 4 . 6 +
lld,.
f
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3l4l r,
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Hallar
la vilt¡r' l¡ dtúco que tuarat
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S0tUCI0frl
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:, 1.
42 -
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I I t . Ala,u, n¿ünpl;azando
b2,
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22
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UL E, tetdnwtot
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S0tuCIOlJ t
TqUCn AÁf
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,s*l*4, I tTirÍ,
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: E = ( l+1+*.) ...
tp. nenl-venÍa Ud.?
b
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:
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Reenpt-a.zando ¿n
E
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Slaab - 5a+2b Hallar : E 3 (5 a z)a(g a 3),
EI{A N3 3 .
Z
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*w"^:iuolÍ'*fr*ohoW;0frr"*ffi*r#;:##),if**f n: pn ptúu'. l¿i ,--
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513 .
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E, 14 I 2l E , ll2l
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valottu. SOIUCI0I/
--
l,
neenplazan.
Sl:a r b..a2 - b2 ltallar:E.(4fr/)(5*3) t Ruo;Lvqnbó Wn'úa Wte ll.2l, g potl otnt l5rrl. laf , a I b , a2 -
dedinhlin
Si : a * b * c = , (a + b + c)
Ng 4 .
12
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E=5(Z9l+Z(Zt)
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(S a ZIA(3 a 3t !-rts .-d E= 29,A Zl
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))))
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y m t n E Zn + Hallar : E = (S a 3) * (18 a 16)
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3
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123
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OSCAR ZEVALLCS G.
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ab = (a-b)2
a
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Haliar "0", S0tUCli:lN
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si :
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1
ar
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¡
0upej enoa
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NOS
DE SU APL I CAC IO N PIDEN QUE HALLE-
se sabe que es pogitivo. 8
Del ddfo
Ia
lpt itdndole
I
icuánto obti ene como resul tado fi naI ?
:
RESULTADO
-62 y 8*e=39.
Si:a:*b=az
Ng 12.
PROBLEMA
.Jo
Rpta.
LA DEFINICION Y EL
VARIABLES, QUE PRECISAMENTE SON, LAS QUE
MOS.
E E (lo,a r)§ r 8*f
P" PROBLEMA
CUANDO NOS DAN
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a
Hal I
PRoBLEMAs aB) \./ A CIERTAS
rrg
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g2- g2 =
39
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deóiniei.6n
3
rr
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(a-ZP)U*c
PROBLEMA
Ng
Hallar
: a % b = az + p*q=P2 : E = 2# 8a
SOLUCIOñ'
Sa
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:
m+n
13. Si : m A n
m-n
r¡nr¡
DQI mi,tmo modo qu¿ ¿ohrc,Lovtnma^
el
ytnobLma
:
ApLQueno¿Le I-a. dzdiruLci.6n
3
3
f E =2
rt
¿V al,ang.
? oo. RuolvQnoá
Oe
il 8= 8 =
PROBLEI'IA
¿orr¿e
Ng T4.
':
Teniendo como base
Ud.
b=A.2+,/Ñ 2z B=22+{E{=
d,
E= Nuevanenf¿r'pno cey'rlrno6 a'LeA olv
at
,t--;qrur¿í iienbno '
A'* b = a.2
2t
neenplazüL tenemoa: E=
2 # 8É8
si gui
ente
los dos problemas
a
nteri ores
,
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va
:
=14
Hal I
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8
* 8= | 8=
62 2 2
62=
Rpta. ,r:-=t=--t
0
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=- 0 = 0 -60 -
15
2
-60 PROBLEMA
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3 Y
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SI: a*b: a) 27
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a) +
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c)
b) 16
SI: paq = P+q p-q
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'5n ' 3a + 2b. Xatlar :(3 * 9) - (+ *21
eT3
{m+n = 4 m+n ¡_ 16 ¿cu,aüonea (rl , m a .7n
Hallar
i
x% y%
:
= 16 7n + n
E=
d)
z = (*-1 + y-l + %
e)
32
(lal) A5
c)i
b)i
se sabe que
d) 2L
12
¡¡¡¡r__
?
5
e) -4
z-L)3-1 -1
*lr(0.1)%(0.5)l
c)
-)l
31/
10
d)
tÓ¿s
e)
F. D.
\rr4+n
Suüt tuqend.o !
Lqegbmrn,
,
todas'las solucloncs y comprmdldo cuál
TI El4P0:
@
do¿ dl¡,¿^a¿
)
pregunta ha sldo posltlva, lPodrfa Uü \'.-;¡ ventar, algunos problamas lrferentes a este crpltulo?. lVamosl hága'lo, Ies fácl'l:
(21 -
:,
d4
)
tlpo de problemrs?. Sl su respuliti a'lá anterlor
forma de este
eilcu
to¿ dni¡¿ (t r
=
(2)
)
PROBLB,IAS PROPUESTOS
?
:
¿i D¿
, .
I
m * h.
Aücdrtd'o tÁA rtwpectivd' d.e$iruüonu
oe
),
)
:
c * d = (c + d)2 - (c - d)z
:
c6mo henTa d,e ptoe,ed,ut
LUL,
(2)
)
'|
üHa entendldo tota'lmente
= 4 0..
I
)
)
li*o*: 14
2 :'14.r Z .
tr,.-tn (11 + zl2 llZ
n'''
-.,4 -
t6
+
n'14
zl2
"r*11*,iffllfrt.YrUfu. .,totatnente e.t pob¿ena antuipn cono apri PS0BLEMA
NgJE.
!
.rr
b = 2a +.5b
,ro-;;-;; ,;
Hál]ar: (x+y) ,'i"',''' rr
,r.nrf!!
Rpta. !,x + y
Iez
que tb¡rnlne de
r
a) 51
;;í:ii
c)i
l¡) ?,'
sabemosque:
0 Entonces halle ud.
E
d)
3a
5
resolver.rt. pro¡l.ma, conteste lr
srgurente
--
0
15
e
) Nl nguna .
lrl
O[ IA
u-,CA,.ZL..,LL,j'\
126
RE
Ha
I
(0),,
/ ,fl 45
b)
la
Defininros
Hal I
e
43
@.
:
E
:peraci6n
elrps entonces
2u?
si 1 es imPar
at
si a es Par o cero.
:
b) -10
20
a)
e)
I
Sabiendo que
sabiendo que
atr=+si
1 es par.
si a'es
-tr
,A.
Además
t-
@ .r 1 c, 3
?,
V
5 T-'T zn+
d)
m
e)
5
No
esta
I
Rpta.
a
e) -1
+1
:
Hal I
t:)
b)
d)
imPar.
:
(l)-'
t
:
cl
a)
b) -e+
e+
N.A.
@
Hallar
I I emos
) N..A.
E= a)
-21
+3
b)
se ha definido
c)
o
la
operacion
ar : x2
1
d)
-g
-T3
e)
F.D.
e)
N,A.
o
a+
b
a'-
TT
6
b
Y se ha obtenido en una de sus aplicaciones
@ si: R\a = n*H¡z Hallar
m?
Y
(m
n
-
3)(n +
?)
Entonces ahora, hal I e Ud.
@<>o
:
rf
a)*í' Teniendo
J
LI L \_
L7'
a)+
b)-1i* c)-t* las siguientes operaciones
d) :
-
1
e) Ni nguna
.
Si: HaI I ar
b) -*
a.r b =+; :
E
c)-+
y:x*
= (x # y) * (V A z), si
.d)
2 ttF
5
y = 7¡ z f y = 5; x¡E z = 6 sabemos
que:
x#y = (x+y)(x-y) 11 Además:y az =+ yz+ + a)
4r
b)
341
c) EgI
e
)
Absurdo
:
))
)))))
128
OSCAR ZEVALLOS
))) G.
'!
OPE RADORES 't
c) Además
-18=18
:
*
v v
V
a
x-
l¡
además
:
=0 e)
a)
@
b)16
32
d)6
c)4
se tienen ]as operac'iones
e)e6
:
,Qo i-+ , ,Qo
='2a+b
En ambos casos a siempre es mayor que !. José'le pide a Luis que aplique tales operac'iones a dos números que é1, 1e proporciona, cuando Luis lleva a cabo el pedido de José, se equivoca
y
reemplaza el número menor donde debió de haber puesto el mayor, obteniendo para 1a primera operaci6n 7 de resu'ltado y 24/5 para la segunda.
La pregunta es la siguÍente : iCuá1 es la diferencla entre la suma de 'los resu'ltados verdaderos y'la suma de los resultados falsos obtenidos con ambas operaciones?. ?
h
a) Tr
b) +
c)
5
d)
T
e)
+
F.D.
(15) -' b = ?,' c = 3, e = 4, \--/ Si : V = 0, a = 1, -
aV = 5, aa = 6,
Defi namos I a operaci HaJ'l
a)
ar 'l a tab'l a
ab =
7, ac = B y
ón i(
asi
como s i gue
s uceis
i vamente
.
a tÉ b=3a
:
+Zb
verdadera.
*
V
CT
b
c
e
*
V
a
V
V
c
aa
ae
bb
V
V
ab
aa
a
b
AV
ac
ba
bc
a
a
AV
ac
ba
be
b
o
ab
bV
bc
ca
b
aa
'ac
bV
ae
ca
c
aa
ac
bb
CV
ce
a
bb
be
ca'
CC
CV
e
ac
ba
bc
cb
EV
b)
c
e
ae
bb
2a
a 3a
ab
b
c
e
d)
t(
V
fl
b
c
e
V
b
e
aa
ac
3b
3c
3e
V
ab
ac
ae
a
c
av
bb
ae
ba
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bV
ab
be
ba
ac
CV
eb
be
ca
cc
ev
b
2b
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bb
bc
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b
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c
2c
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cc
*
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a
b
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ac
bv
bb
be,
c
ae
ba
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cv
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bb
be
ca
cc
ev
e
bb
)
EGUACIONES
EXPONENCIALES
sianpte debarc¿
'
de
Ii,
ültilL
de
131
Lnabdlu con ba¿
¿n anúol mienbao¿ onel necelattkl t¡ cilL qo, aea Ia. pno_7
la¿ an q W
-eluacio4e.a, pott !o- tanto: lwcet
e9w.e.nieryf,ü- Wro, que 0. 'E .
p¿edan
7
ellat apaez
t9t. rywblery,t coyt¡*unc-tin ttuolvettutoa, ltd. q qo juntoa, L|enen pott ^qqdeaIa. olioto, expenLetr.íd _e in/owaotín necennii W,a qu¿ Ua. pueaa ^dotdtL¿ en ellnE, itdepuüz*ettete delenvolvelue, q con €xi.to.
rx Ecuaciones exponenciales
,L dg t' x'.¡ gn:
a Loqu
Bneve tLeAMen de Lda wúa inponfantu
O @ O @ O
?rcduelo de bate¡ igu-atet: Coü-etfe d¿ ba,tu iguatu: Exponerüe
{ "t . {
k-
=
S_oI
a-P ='o!+tt'.P
ryffi aA
?otene-ia d,e potwtoLd':
, ffl, YL mLn @I =d
=
' a t*]
n
o o o
a.o
s¿
Sl.:
=
ox =
d.A
.
da.Á.
cando: Potenci a de potenci
Ahora, a bases i qual es , i gual
es
a
,u2x+1
="J:1 .
,u2x+1
=
,u2x+1
= í15)x+3
:
a=
a*o b
Como
.
}x+l = x + 3
x=
)(,
apl i cacidn resuel va Ud:
ens
x=q Sol ucl 0n
x=5 PROBIEII,{A
T¡ \r/
Hdl,tnJL
Ql valot
't
An
Q.n:
2
-__ cierto!
senci 11ci?. . .ies
"ry
\r
E-¡
.25G
5r*1
(3.5)x+3
exponen
bQxn
LL ttelolvüt 2o¿ paobuona,t pe:vtenecieÉu a .uÍe capf'tuLo, puesugelenci-o{t den te¡he de ufi,tidad' Int tiguienfu corueiot:' ' Oeborc¿ de ainrytji.ican q toduült ol r¡úxino La.t expnuionet da-
'
Apl i
ique le pareci6? iBastante
wnn,todo
-+
igualar basesl
Luego
dn
ox= bx+D
*
debemos
Despejando el numera,lor del ler. miembro :
T
bPln =' {xn
l,
*
olvide que
tes
A
\6' 7 Exponenf.e eürc:
uci on:
iNo
*
],orlnf,ff,)'
Expónenf¿ [rucoLovunLo:
l{ . ld\n
Teo¡i-a" d¿ Exponente¡:
ntn
n=a a. o.-n
nega,tLuos
de.
)t)t
USCAR zEVALLOS
))r)t)
)
G.
I
).r,
-J,,
¡cURCIONES EltPONENCI ALES
)
Hxp. fracclonarlo:
j_
fF t/s"
* * *
de
ndo .3,
a_a
edad .. 7
+ 3x-1 + 3ri'.2 +
Sx-
3
+
3x'4 o
363
este problema?
lPorqué no lntenta estab'lecer un plan de soluclón? lDe d6ndc se obtlene como exponente una dlferencfa? lClafol se obtlene de un¡ drv{sl6n de bases lguales, podrfamos regresa¡.
a
Por propf
3x
Ttt Lftt
lC6mo plensa Ud. proceder en
Corno,hay bases l,gua?es, concJ ulmos que:
Des peJa
tt
= es,.ts¡ t
I
ella
Ino le
parece?
y trate
Bren observé
* Escrlbamos nuevamente
de entender:
el
dato:
* Descomponlcndo en coclente de bases I gual es :
..
Qué
se replte en todos los tér
ml nos?
Se repl
te
3x
. Factorl zernos :
=
3x+
+ 3x-3 + 3x-4
3x+
?x + ++ +2X =
363
+ ,h +
ios
3x(t
+
3'
+++
303
3+
#)
=
en
Ahora, sumefios las fracclones
* *
I nd I cadas : DespeJa ndo
bases igru
*
:
Descomognlendo
iil;
en v'., producto
Factorl zando 9x:
* Despejando
^ gx+z 9x = 24A de-,gx , 92 _ 9x = 240 sx¡gz
9x:
- r) gx gx
Ill ns forrnemos , Dases lguales i
Por potencla
Por
1
gua
?
para Iograr
fr =3
27+
9+
3
+
)= =
*
r¡ 240
_
3x(
240
;1
* * *
Des peJ
emos
3x :
Efectuando en
el
363
363
\. 2o ml
enüro:
0btenemos:
De donde
fl nalmente:
tl
(s¿¡x -J
de potencfa:
V.amo.¿ a Wotie¡n el ní¡¡do de ¿otlt t6n qnle¡l¡n, nuolviendo el ¿igul.ente I !-urorlú en el uu2 Ud, dQberÁ ponu lat nfrietw¿ g exptuionel qlrc [altcn en ltt 24aau itd,l.cadcl co¡ putto\ awperalvot, lta'iendo ka ¡uthó¿cdcione nu
dad de bases: na I nre
P?(aBLEM
nte
necÚüt ta^6 ?Jt e¡da en8o.
:
HallalL )t xtt
ons
Sol ucl 6n
*
Descqnpo:hefilos l
5x+4
+
sx+z
* s* =r
6s1 l,s4-xl
E
134
uil ES E XPOllEN CI ALES
135
OSCAR ZEVALLOS G.
El ler.
el
CtrAC I
xn M en
2do. M en
5X, vlene
...
de bases iguales
Sx
5x.5x.54+5X
* Aplicamos ...r.... ..
.
u2x.
Factori
zamos
.
t4 +
r-Zx= szx
.G
.
SZ
+ 5x =
x...X
szx
xn =
651,54
entoncesz
de bases:
2x
=
=
s4
No es to
.) = 651.54
, 3Q = 3AT -
-5T54
zg
.ro,.
En general
:
?
?2"
+
(zz
13
, podemos decj r que: -uuu ao+
éEntendió?
ti po de expres'i ones ,
Suel
eI
entras que al segundo tenci as de potenci as suces i vas .
PROB
uces'i vos "
,
mi
Q.n: n
ualdad a
un
"deshacernos " d exDonente I qual
oes
dl , lev
del
se
"cadena de exponentes
e con e I
nomb
re de po-
LEM^TE
Hol'ld¡ E, ec tacl
por ej empl o, y
= zs6, ffii entras que : (zz), = ,2x3 = 26 = 64
como vemos, entonces
s
está
Véala Ud.:
,i3
.3
mismo: Z¿ que (z¿) ,
^3 nz¿=
A1 pri mer
ta
3
podemos comprobarJ o:
651 .54
x=? iQué tal? .....
de donde:
i ncógni
?7n
x =n
Finalmente 'la respuesta será
52+5X.5X = 651,54
.sz + 52x = 651.
52x(54+s2*.'1
:
amos szx:
Por
.
= ztn!3%
JSL4
Bien, dhora haré una aclaración importante:
dg
bases i gual es :
Des pej
S4.+ Sx
primer miembro :
Se repi te !
.
5x
al
a.'....o...
.. o de bases iguales
,-4-'
lo, I
E
-1
o-4
= ?7'
Solución: El modo de proceder es
il
se está-precedido del s'igno menos, se re tome momentáneameñte's.in áic¡,ó ¡ignore'l cua'l'le será antpuesto ar resultado de ra op""ilion realizadá in
81n + *n
Ahora, j us ti fi que cada paso:
Ud .
l-T
tre
3ñ.xñ + 3ñ.9D
= 81n+xD = ta¡-81n+*n :
^flnn 5 .X -
=
+ gn) 3n(xn l-¡
xr
X
(.¡n - 1)
siguiente:
* Empezamos tornando los dos exponentes que se encuentran ,'más arriba,' * AI ubicarlos, es aconsejable que:si aquél que ha de hacer e'l papel de ba-
xtr+9n
Nos quedará:
el
(3.21)n
*
ambos exponentes
lado el va] or de 'l a operación anterior, se reemp'laza en 'l a expresión i nicialmente dada y se vuelve a operar, tal como he expl icado. -
HaI
Veamos :
-
3ñ.90
+ "---l= 3n . zln - zln
10
)
IA )zt )1.
+t-rQ-.-*
r=,tt'4
-
)ur ,bi ) L )o:
)
.,re4-3'':-irú-.ti.rri=slIT
iQué ta I ? iEntendfó?
§ :,i.,
compruébel
.
-_,,
o resor vfendo Ios dos ejercicfos
- 16+
Ez=
zs:'ñ
Rptas:
E1
E2
Los eJercjcÍos anteriores nos sfrven de base para prob I ema : resolver PR0ELE^{A
=4
ue
:
16
=
Entonces podemos Rempl
azar
y I = 23 i gual ar bases ,
,
al
*
A bases i gual es , exponentes i gual es: D'i
vi di endo ambos
3,42x
slgul'ente
?t
,
,o'*
:
Por potenci a' de potenci a
*
.
24
*
=RY
el
q
Notemos
e4) sg tes
,tl
1
27'r
, rr'*
, ái óe labe ques
._
'*
Et = 168
13-
)
,,--iP ,-r@
Finrlr.nt.t *--
,r-
rc rE
mi
:
embros
entre
e3)o'^
"*
,4x3?x
,r,o'*
4,g?x
3,4?x
4,g?x ¡..42r
;tn
:
tendY'emos:
3.42x
Agrupando bases i gual es
o
1
Hallan ?t valot d,e n xn ?-n: -q- I
Procederemos
a_ s rnrpr 1f rcar er p¡!mer er se6ü;á;l"iafÉ¡rfro¡r: mr embro
,3-4-u:i'=-3í'-il,i,it-T,r.qrf. Por Io tanto ahora tendremos¡
rñt§ (OT *3 = 13r:l::_ Iye,.t o! exponentes de r a pr'pr edad v' il niiméniI
r
*
t6t3
Solucifu3 rel acr6n con
I
/7
3-4 ' Xs
con
el
oDJeto de ver su exac ta
@
Fi
n
al mente
Bueno, hasta aqul hemos'hecho problemas donde lntervlenen "cadenas de exponentes"¡ veamos ahora algunos problemas sobre potenclas de potenc'las, prev'la mente eJercltémonos en su uso. ()bserve Ud. con detenlmlento:
e
3-
ál reemplazar:
@ ambas bases son
iendremos
+€
:
lguales,
entonces ap I lcaremos
o @
c
(s5)5
= t5x5
,'"\
E
(s15,5;i ,u'*u u
(s5¡ ss
=
(aa¡aa
E .lá;t$"*= .u'*'
I
lDe acuerdo?
Ahora aumentemos la cantidad de exponentes
(.a)uuu
= ^tiíí**.al+aa (aaa¡aa = . (ii ili'- rot*'
¡
)
0>uAR ZEVnuL0\, G.
38
ECUACI0i{ES 1,., iNENCIALES + a
a
So'l
uci6n i
Tra nsformemos
Note Ud. que luego de realizar la potencia de potencla, indicada1 donde se multiplican los exDonentes:- a su vez en los productos, gu€ como re-,
tán encerrados en suspensivas, s€ real iza un 'producto pero esta vez de bases igual es, en los cuales como vemos se suman los exponentes. Fi nalmente, podemos es tabl
ecer una dl ferenci
a
\
-aa
'r
Etr
-
E=
i Entend i ó? .. - Ahora
importante:
ad t -uluu '-=a-au*au -uu*uuo a . uauu = uuu*auu mientrasque, (ru I =a Un cri teri o , que pued e Ud. utilizar para reconocer, ante cuál de los ca sús se encue¡tra, es f i¡arse l a a'l tura a l a que está el st gno + ó _a
139
a
E = nnnn*nnn
-a
reemplazar,
L42
=
=
e'l
4
cl
en, es pero que haya comprendido las indicaciones anteriores, ra vamos con e'l las a resol ver algunos probJ emas :
Br
anfetu,o
a
PRTB LE/\IA
So'l
S¿ aabunoá quei
HaLLatt: So]
a.
E
a.
=4
=A
a
a
ea(.cu.(g.¡t
pues aho
EN
a
n,
n
n
n
:
n
*2.nfr
ución I
a-b =il
a-b
uci6n '
La altura del signo (-) nos indica tonces transformemos:
que
se
trata de potenci as s uces i vas , t
enReemp
E = . ái:ü'*=
Ia
za ndc :
¡'.z7lzJz
-h"
auu*u-b
=
i ala [u' J
?2? =
?4
Reempl azando: ?ROBLEI,|A E E
= L4)'/' =t2
o
bZ
=(a + bl Sol uci ón :
PROBIEMA
nn
S¿n
o3 =
o
Hol-krL
E=n n
n +n
n
Tenemos neces i dad de ca] cu
resoJ ver'lo?
*
J
ar I r¡s va I ores de
lluestro método, consistirá en despejar el
y a su vez s usti tu i r'l o en (Z) , 'l-Íguales lne
para poder igualar sus
es
te paso
exponent.es
r¡a
va1
'r
y de rrbri éCómo podríamos
or de rra, de 'l a ecuación (1) rá poder tener bases
nos permr'ti
y obtener una rel aci ón pnrno
.-\
)r*d
r))))
)
CSCAR ZEVALLOS
)))
l)))
.ECUACIONTS
J+r
EXPONENCI AL ES
Veamos : 1
Des peJamos ila
abrba-{b e
rr
F- a +
Xr
rZ
1
**?
y reempl azamos en 1:
(t2 )' .2xa 3a
bF= De donde:
va l
or
podemos reemplazarlo
donde:
Entonces:
a=Zb/g
valdrá:
I
riiratmente: E=a+b =
,
veamos
qRIBLEM
Hattan
lol
embros a1 exponente
en e1 s egundo
bz
[3]J' =
bz
#=
bz
,. v--t'
Zl
mlsma
-
a=lfO) = g.+
:
Hacernos
un carüf o de varla.bl e.
Dl ganros gue
:
_.
t
ml
embro
tT
aParezca
= ,uti+
a
a
Ia
------{¡>
a
a
a
=
9
g Como
to;
v€¡
hemos logrado nuestro obje-
Ahora identi
ficando' tenemos :
Fi nalmente:
ur
[.2'12
forma; Para eso dlgamos que:
a,tTo ? = 4,lT =
*tX = rBlzt = jg
+
'r1
Note que el prlnrer mlembro ya ldqll rld una forma clara, tratemos de g'
@ xx' a
: -rr
Nos quedará:
Pero:
x,? ut ,
t6n
a "3*
por Último, un problema clásico muy lnterer.nanl
uclón_
íAtenc
*
,
r
en (Zt
,3=
m'l
Ll?z
+E z
Este úl fimo
De
el evemos ambos
b2
o
)
t)SCAR ZEVALLOS G.
L42
qR1BIE[,{/S
ECUACIONES EXPONENCIALES
Ha!-kn m
P?(?PUI-SToS
143
* gít*l = zg b) L.25 c) -g-1
zn
tl6m+l
a) 0.25
lf
Tiwnpo: 50 míyutfot
Sl,: a) '2
(0,
+
z¡o+z B
b)
O
256 .
0e ud.. el
volnn
mat¡on
que pued¿
o. lzs
)
Fa'l ta
n
da
tos
o¿umt¡ 4x ?n:
d) -2ñ
2/Z
e
e)
No
fi gura
Sin¡ilidiean:
b)
E=
c) zr/+
4
a)
c)
b)
d)
e)
1_
N.A.
3
-ot -t
-1t
g-8
b) -3 S¿:
Hollau
a)
d) 5
@ Húhh,x,
@
HottarL ,,62,,
-
O s¿:
b)
O
HarturL
-
b) I
x
o2
*
d) -
c) 2/3
213
* ,a+2 + ,a+3 + ,a+4
a) 24
@ nAlt", a)18
),P=
?
I
en:
a) lZ
d) -2-L
?-7
3
b) 52
e) /22
etls
215
5e*1
c)
,u'f
lñr* a)
e) 3
1
c)
780.
e¡: ,a+1 * na = u)-18 úru
7/g
Halhn:
zle
fa
16
2d
-g
e) 7le +
a)
sl
e) -6
@
d)6+3
l20xl* + 7! t 40*
.f
-'
**_
:.
=l
a,
-1 vaLott de x ¿eltd.: Lle
-9
e)
){,
Fa'l
zn:
sa.3b = 25-23 b) -t/64 c) -t/B
3-
4-2
e) -4
e)N.A.
@
LrL:
alb
a) -l/4
80
-L
b)
t/e
Har-Ia
4
-1t
uU"a
S¿:
a)
a' 3
+
aau
=27
b) 3ñ
,rr'+
aaa- zauu
d) 9,8
e)
3-1
tan datos
)l*J
)l)))'i OSCAR ZEVALLOS
CJ
É2
ts b)
ooo*oo*dd
4odrda D4
a)ñ
c)
4
Hallau
b) 2-l
c
(a + bt ,tt: db =
)
d)
32
I
e)
Absurdo
u d'ad-44
E
2'L/2
d)z
Ecuaciones e)
Impos
lbl
e
,o,
o
q,= a¡6
'a)
4
b)z
c)
q3us@ -6
e) Fal tan datoi
EL pudue,to d¿ 3 nlnelu¿ ¿vtlütot covueculivot
gundo, La S¿; enÍ,oncea
a)
@
-16
*
1/z
d)
li
:
Sean I os
números: 19a-1
Procederernos
vos y luego
Entonces:
7/3
b) -3
c) -u3
e) 3rti
'
Fi nal mente
'l@ \/ 00000
(a (a
u ...
u
igunl a 35 vecu of tg
?
inicialmente representando 'l os 3 números consecuti representaremos la condic'ión del probl ema.
a 3ea+1
2e
Hatr.ut:
a)
de ello¿
SOLUCION
{2,
s
áunw.
I I
Puesto que I os enteros consecuti vos
se
d'i f
erenci an en una uni dad .
J
- r)ló (a + 1) = 35(a) - 1) (a + 1) = 35 az -1 =35 a2 =36 a ?t6
:
u
?t ruinuo inrva lroJl que agnegado a Loa cuo,tlto inpaners que Le diguen totnt de 905 ? . SOLUCION : Nuestro procedimiento será el mismo que en el caso antérior. * Seán ]os números : a, a+2, ¡+4, ¿+6, a+8, .puesto que sabemos que los nú
*
¿cudL
dan un
meros pares Según
o impares consecutivos se diferencian en 2 unidades.
'la condici6n
:
= 5a+20 = 5a =
a+a+2+a+4+a+6+a+8
-
d
905 905
885
T E
146
OSCAR ZEVALLOS G.
/ @ W*w:' lm .tt'^h' ,, de que La pnine í;L"¿' i áffi W ff 200.00 náa que La -: turce¡n. Le toen a etda ina?
CUAC I UN ES
* Si la planilla
.
*
Fi nal mente tendremos
t Qo1n son 3 personas que,tienen cada una diferente cantidad¡ ten-drfamo!; que poner 3 i.ncógnitas, pero con detenirñiento el enünciado, notamoi quá eI reparto-se hace'con observando respecto lo gue a
ellas,
x+
(x+200)
+
le toca á otras z
o
o Entonces
o
16,800
I¡cogd ta : Lo que tenía i nicialnrente = Si reci be $ 2.00 tendría : x + 2
^i
*
:
1
,700
1,700
diarios. é'
10 soles
ái.9
e
e4uivo'--
:
:
Jornal 0brero = H + salario 15 obreros será = Jornal Obrera = M -)salarioBobreras.será = Jornal Aprendiz = A + sal ar:io, 12 aprendiz será =
Además:
3H=4M
A
=-
3045 . 60
LZA
(1) (2)
áM
$trr ) + I M + rzf#l Resol vi endo coÍno ecLlación fraccionaria obtenemos : 15(
(3)
=
M = cuánto gana un obrero? $ f.C¿v cuánto un apren diz? d¿ Secnúaniado.
la tnd¿
de. n a¿?..
g¡4
a,
-)
A=i$
¿Cuántt garw cada rúño?
15H
:
5M= 18A-> Sustituyendo:(Z)V(3) en (1) : Tendrernos
¿Y
:
don'*rsor'
trí{i, eqúiva(
x
a'l §a'larió de quién, giran 1os demás salarios ? Salario de una mujer en 1 dfa : "x" +Salario total 20 mujeres = 20x Salario de un hombre en 1 día : "2x" +salario total 30 hombres + 30(2x) Sal ario de un niño en 1 día :"xf 2" + sal ario total 10 niños = 10 (x/2)j
S0LUCION
ZO
15 H + B M + 72
3=x Compruebe Ud. el resultado con el enunciado del problema Ury Á-eñorl coytt)ufa Wa un Lubdjo a 30 lwnbttct, 20 mujute,a, 10 ní-ñoá, W gdnloLe a cdda honbttz oL fubLe de L que Le Wgq q und rrujen q d coda yllia lÁ. ni.tod. de Lo que Le pa.ga a ura mtien, en in dÍa. Slú- duwü dQ. 3T ,000.00.
:
)
ne
Del enunci ado tenemos que
x+2 = 5(x 2) x+2 = 5x 10
S/.51
ION
: '
Si.pierde$2.00tendría : x-z De acuerdo a Ia condición :
dfa¡ ¿u pkruf,UÁ. axielde a
niño ganará
+
,
Digamos que
neúbi6 2 óoLeA, tttv,6 enfoncet 5 vecet !.0 quz hubielu, tenilo lqubiettn pudil,o 2 áolu. ¿CuÁytto t¿nÍ.a, at prunoLpl-o?
:
Un
x + 60x
= 5x = x=20 : + 2 =
í;, atns. SOLUC
Ran6n
-
l-1
L-,309
:
:
sl.
suma repartida
La Segunda persona tendrá! 5,300+200 = SJOO La primera persona tendrá: 5,300+700 = 6,000
SOLUCION
Entonces
n
(x+700) =
$ 51,000,00, en 1 dÍa el salario total + 30 = $ 1,700 dtarios,
a
51,000
:
20
en este caso, latercera, así podremos represéntar las 'Veamos basándonos en lo que le toéa a la teróera pLrsona : : - A la tercera persona Ie toca !'x,, soles. - A la segunda peisona 'le toca ,'x + 200, soles. - A la primera persona le ioca','(x+200)+500 = x+700 soles. Entonces:
:
Z0x+30(Zx)+ 10(,
s0LUcI0N
una-de
mensual asciende
de Ios trabajadores será
modo
.¿Cuáytfo
t47
507.60
$ 16.20
4. 5ü
-
In*
Sl.'ASO.=,'S
nea de Agoato LaA dLt futnrc-Mañana
éCon respecfo
sOLUcION
:
Reempraze 1os puntos suspensivos
por las cantidades pertinentes:
*1LJ
))
!S,
Inc6snitas r-a --¡¡¡ _¡
,
;
i
Ns alumnas Tarde
las alumnqs de .l a mañana Sean Ias a'l urnnas de la tarde
=
IO
Er lC^,lE
l,la ña na
i
¡lxt'
=
Adernás:
Ne a I umna s
'
Sean
)V,
R
En ambos casos:
tota'l café + Costo total azúcar = Gasto Total reallzado + ?0y = 206 ,,i (1) lra. Compra: 10 x \ E 376 ,.i (2) + 10y 20 x Zda. Compra :
x+Trpordato: + Pago Al umnas Tarde
+
y*
k+7
( +
)
... ,.
Costo
¿
*
oso
üQué método enrPl
ear?
en usaremos el
Bi
¡
I
..rrr..
= -?Ü0x-100y = 300 Y = y =
x
aj umnas de
ri
x
X=
*r€
=
ial¿u
.
.1.?,
Ha entend'ido? Blen
BS eJ Ne de a l dq l a mañana, e.l será:. .r J4., .,t y elumnas. total de i;ürru, .
,
Representando
Reso'l vÍ
F'ína
J
enclo
mente
de Pafua
2 patas -+Total patas 4 patas -+-Total patas Ns Total De Cabezas Ns Totat cJe patas
:
*
Dlgamos
=
=
20
f
Iq§ :
prec i o
de 1
kg
s0LUc
= x+y = 2x + 4y
=
PrecÍo de 1 kgr. de azúcar=
y = $ 1.20 en (1) o en (2) y halle
el
qa'ttoz'82'l¿i2o-
\comry Qt de'az1' el dzdea¡ o¿ n6,t d¿
L.sl.st, Si lu-sutu\9
hubi.etú.
de o¡tuz comqÓl
áDe
a
cuerdo
I.0u
:
Ne
de kgr. de azúcar
Ne
de kgr. de arroz
?
Debemos hal I Ca
ar :
"x
=x --+ Precio unJ tario =y ----i- Prgci o un i tari o tp yt'
+
bezas
1ra. compra
i
2da. compra : (Cambio de precios) Restando mlembro
l-,
a mi
$38 $ 38 + $ 1o = $ 48.=
or embro
:
l*' (2 )
Gas
to en Arroz = Gasto tota'l
+ + 48(V) + 38 (v)
- (1) quedará
?
=30,ti40 ",.(1) = 301840 + 2250 . .(2) :
ata
puede saber
hgu
el
No de
Ga
I I I nas
,,xI ilyI
I kgr. de
t9x-tgy=2250...tDeacuerdo?
?
Factorl zando
, de a1úrat
r. de café y de
: precÍodelkgr.decafé
$ 1.20
2(x)
au)
2'06 óp¿"o6 , -p?tL U 20 lrsu, de cad¿' lriArr¿a g&6tq_ un lrgl,¿, de cada uno?
Inc.qn
360
z IE¡.'l ,,.
I 0
,
ly,pQh;ora comry l0 l¿gu, de. cad€. S/ hubierza comynado A t 0 hgu. de-áidoín do 57 6 ao l,u , ¿Cuá,rut0 euuta
:
Uncom ¿g ah.ano z v ';ffi; ,2, ll.-2,
vee?,á
2y=14 Y=l
.
a
l-qu
t4 md¡ Z
¡ i tas
condicÍón : EI Ne De patas es 14 miis 2 veces el Ne de Y 2x + 4y = U +Z(x + y) ?x'+ 4y = '14 + u + 2y
Ia
i!:il1:"?:mn, se? §gL,Uq
u
va'lor de "x"¡ e1 cuá'l será
: É.'1.
4120
-3760
:
Sustituya Ud, ahora e'l valor d,q.:
Ne de
será
cn un cothal lrau ?,t N! de u.oe.zaA .
de Reducción Y tendremos:
Z1Vx + 400 y
1450 x
Finalmente como
Método
azúcar
:
10(x-Y) xrY
= 2250 =225
decir se ha comprado de aztlcar 225 kllos más que-de arroz. S! IL.pregun]-¿óuañiói iiíos-cómprO'¿á ia¿a espec'lei lC6mo .procederfa Ud?" ' ñilié-iis-cáñiiaa¿es réiñeiiivai i compruebb e'l resultado anterlor. Es
il il;;
:
@- ,,
¡r,Lo q un Cabat)-o llevan ubne
¿u.¿
tunb¡ud
puadot Eacoá, El. nugo
T tr¡CAk ZEvnLLUS
-50
G.
E
q,AC IONES 151
ditz al cafull.o : Si r¡o ttnaiÁ. tul Áaco de Lo¿ tryoa nvL etnga tuf-a eL dobLe que It ttqa. ü. caboll¡ Le üce ol ru20 : E¿ e-Lefiio, petu ti qo tonwú. urc de Loa fuqol tweoÜtu cilLgal te i4ulaafnn, ¿C'uÁntot ¿acot tiene cado. uno?
Le
SOLUCI0N
: Incdonitas :
Ne de sacos Ne de sacos
Re presentadas
re spectivas
o
Si
del caballo = ! del mulo = m
las incdgnitas, representarps
ahora con
ellas las
condiciones
Si el'caballo tomasé un saco del mulo, €l caballotendrfa:C+1 y al mulo Ie quedarían :m 1 y se cumpl i ría que : m 1= C + 1 ...(2)
A = = _ B + 2+6 B+8 '= BrE:== 13 + A+6
*
n=7
'
*
I
tnc,flggisgs
:
tiene
6)
3(g _
6)
3B A = .-E-EE
18 15
i
Compruebel o l
¿cui¡tt¡.o¿
tio"Oiu
^tl*t¿"'iñia7.r¡7i1h.
que : t{'e de hornbres en el prirner ejercitc '#u;, Com entre ambos tienen 161000 hombres, ;; ;t;; to es = 16,000 - x Dl gamos
El primero tiene ,'x,, hombres, mueren gg5, le quedan El segundo tiene ',16,000-x,,, se mueren 13g5 le quedan Com a ambos les queda Ia misna cantidad tendremos :
x-885 = 2x = 2x = x: =
Jaine q Jazmln tienen d,Qfe^ninÁnúa cnyúilddu d¿ etwnol¡¿. Janfn Le dite a l¿.ine : Si m¿ üerut uno de t¡u waneLot Í¿nd¡.í.ano¿ i4uaLu cayúi.dade¡ de elLo¿. Jaine Le d,be d Jaanín : il eie¡fo, púo ¿í n¿ üuu 6 de Ind tuqoa ¿CuÁnfoa
x-
16,000 15,000
1SOL
¡. =
: :
: Inc§gqilgs :
Ns de Caramel os, Ja ime
=
A
Ne de Caramelos,Jazmln
=
B
Representando I os hechos que suceden cuando cada uno de
@
Si Jazmín recibe 1 caramelo de Jaime, tendrá y a Jaime le quedarán Por condición se cumplirá que
a
: a
ellos habla B+
Le pon wgo sl.120.= u
1
S0LUCION:
A1 B+ 1= A
Razonemos 1
*
LLarnemos
16,000_x_13g5
1395
15 r500
TTSO
=
to y
8.259
*aü,yily á,ffiy ta u,¿p,inle¡o.
.
#ffi,,, ;lli.ü ^^á la bi.c.i:teta?-
Hattr^ el va.riz de
al valor de la bicicl eta,
gu€ es nuestra incógnita.
:
Por LZ I
rrBrr
gg5
71750
16000
@ trffiffi?,ffiqffi
:
x_
ejerc.i
1385 + 885
Hombres que habían en el primer ejerci
cada. uvw?
].., seEundo
Hbmbres que habían en el segundo ej erc i to SOLUC ION
el sistema?
Ns de hombres eR cada ejerci to
enunciado.
tendtfa el fiiple de Lo¿ que te quolwt.
:^esoJver
zjercifot ar pte¿e,.ttn bafatta autw.ban-r6r00.0 hombne,a, s¿ et pL&i ¿uíne BB's bajg a- 4 *s' úl l,us qle¡" ¡rhbíon is$at --
canL¡lnd. d.e honb¡e^r. ION
+ 6 = 3(8-6) ...(2)
B+z
3(g
ejuoirt
S0LUC
Cómo
(A) y sustituyanns en (ei'-
despejamos'
ooa
* tendremosque:
(1)
SACO S
m = C+2 Sustitufnnsen(t) : m+1 = 2(C-1) C+2+L = 2C-Z
qo
A+6 A
SACOS
... De (2) :
los resu'ltados hallados, con el
n, tendrá
B6
: Sqstituyendoen(Z) :
il'1e entiende hasta aquí? éCómo resolvemos el sistema de 2 ecuaciones que te nemos? De (2) despejaremos (m) y sustituíremos en (1)
Compruebe
de Jazmf
que
De(l)
, Si el mrtl o to¡nasé un saco del cabal t o , €l mulo tendría : m + 1 sacos y al caballo le Quedarían' : C 1 sacos y secumplirfaque : m+1=2 (C-1) ... (1)
+ Si:
6 caramelos
guedarán
Hasta aguí, estamos de acuerdo éNo es verdad?.
De
:
5-C ,r=g+2 y C = 5,
Jaime recibe
y a Jazmfn le y se cumpl i rá
meses l
e pa§arfan :
g pqgarán (240+8)
(
240+g
/L2,
) so] es ,
iDe acuerdo?
esto quiere r-
decÍr gue por 1 n¡es
t
)y
' r.l ')
i
)
)
bs'ln
' -^ por g *
mes
le T;;:r': [ir8l, i ,á'20+s)
sol
es, esto (uiere
z-\
W
viendo
'lrrui.il
+ ?!?!o 1920 +
BJ gB
480
$reo bte
a)5
',L#irrÍ;rtrwá;00ff;".
r,':donde,
.
i=;:
!g1.e7g¡emos.saber
(1) :
.=
ii .... Iii
,,,
....
jff:r'r.t ,'..^,, _:: c : 20 r L.E. =
24 C +.ZO
ü!l;r*nr" I
mul
t!
mayor.
'
8
van
rt
ftu *
b)
-' cl
$r. b) d) 3r o a) e) Absurdo
Á$150/"
(3)
han de en.trar¡ reemptaza_
b) $
r20
c) $ 100
d) $ 80
e
)
Ni nguna
Si me regalisen a so'l es, lo que tendría en tal caso y'lo que me qued'a-de que perdiese b soles, estarfan eh la misma razón que los núnreros rrmrr y ttn", donde n rTa en,,caso
\ .--an+bm '
b
n+m
) an-bm n+m
.
c)
ffiu
yf
#
e)
N.A,
Entre A, B, C y D tienen $ 20,000.=. B tiene e'l doble de 1o que tiene C, A a su vez poseé $ 1,000.= más que B y D tiene e'l triple de la di.ferencia entre Io que tienen A y C. La ñayor cantidad poseída es :
a) $ s,ooo u) $ a,ooo c) $ 6,ooo
y' $ s,ooo,'", T;Í:i.tienen
Entre 5 amigos pos,een $ g00.=. Ricardo tiene,el triple ae 1o que tiene Pedro, Juan el triple de lo que ti.enen juntos..Guillenno y Jqrge, Pedro tiene n yeces lo qúe tiene üorge, Ricardo entsntcs tcndrá :
.) J:to .gu-e-entrarán 7Z ! cua.lfgnÍfica n tos cie ingl és únÍcamente I i bros de cas tel- J- 5"v ano .
j,f,
o)
4*r?
.)
#*
d)
,:.
podrán entr¡r?
al
diferenciando en "x" unidades. Jaime toma 5 "plutonianos" consecutivos el menor de los cuales vale "a + b" y el sumarlos obtiene 8 veces el va lor del que le sigue al primero. iCuánto vále "x" ?
dl
."':-';":'
"uro''(ii-á'r"rii?0"'"ir?!i'i,diri.iji]3§ E',
manera quc
a1 principio? ,,
c+IsI
o o l=12C/S a la pregunta :
para responder .¡hora La iongitud del estante
el
tal
del que es mayor que el
Juan tiene cuadrüple cantidad de soles que Luis, si Juan le diera $ 45 a Luis ambos tendrían 'la misma cantidad. En iotal áCuánto tienen ambos
C
il,j: **ij
2tr,qa*ot-';
I
roayor de 3 números consecutivos de
b)7
a) 3r. + b)
..,,* ", =, 24I c + 2o r : :; :] I;ffi':::. ,..n,.ni",i;;,;:#,lH:::;::,:ff -+
60 niínutos
e) 64 d) fr., Se l'laman números "plutonianos" a aguellos que consecutivamente se
=g
:
= Q)
ar el
PROPUESTOS
icarlos entre sÍ se obtiene 63 veces el valor
menor pero menor que
ra ronsitud
(i)
lrEMP0:
p1
= =
o. ,rriir,.
PROBLEMAS
Hal i
=
L.E. = Longitud del estante. EJ espacio que ocupit I .li.bro de castelJano = EI espacio que ocupa1 tibro .SOLUCION
G.
a
in eafintz to n
'iLtr:fr,hitr"h" S,
i.norerros-:
ru_!: %+
:
Ir
)
r que por
Lo que recfbe en 1 mes en eJ primer rec Í be en mes en er s.ürioo";;$] c?so tiene que ser igual
l
Resol
decr
.Ay^.10,
'
3üü I
F.. darcso'
En una fábrica trabajan 35 niños y 155 adul tos qui enes reci ben 26,?44 soles por semana de 6 días de trabajo. Cal cul ar el jornal de cada uno sqbiendo que el jornal de un adulto es igual a 5 veces el jornal de un ni ño. Dar I a suma de ambos jornal es .
a) $ 32.50
@H señor por
b)
$'35.20 c) $
compra 35 metros
lasuma de
de dri I
$ I,441.65.
32
,
fl
28.40
El prec i o
$ tz.qo.i e) $ "3
mts. de paño y 25,ntJ u* sede un metro de dri I es- 1q, cCor'
ñr.ü.,
,ili ts
SCAR ZEVALLOS G;'
,
154
ta parte del Precio to como un metro de
de un metro de pánó y
uno O.
PEño
y
un f[etro de seda cuesta tan-
tt?l,iúl.os,
zCuál es
el precio
a) $ 28
de
un métro de paño?
b)$26.2s c)$25
a)$5.'s
d)$30
15 soldadores, 18 mecánicosy 4 lavadOres'
ta'lle¡
donde laboran a $'1,81s.40. y ü ;i";iii; .riáliá álñLili"-á.-ilüi de lo que-gana sextuplo óó i"ñ" latraceavapa"tá'áát En un
adertrás un mecáni-
un soldador y'un .tavadór gana gana un mecánico que de.ló la Aoceavi-pirie-áii-quintuplo : rán bi reci trabaio de por días 20' sór ááoorei 15 t-ós $ ,22,620
a)$??,Ooa b)$?6,220 c)$22,260 d)$2'260
(fi\v
representa a
cantidad de
d) $ 340
b) $ 300
e) $ 160
Si por equrvo En un corral hay cierta cantidad de coneios y.gallinas. fñsucedrfa q' diñrersamente, \-7- ;;.;;.;;;iisl a las sallinas que ahora tendrfa, disminufdo en "omo-cóñejós iñiraies
eI cuadruple á"i nüñ.ió'áá 76 me darfá .f-"Orá.ó'ioti¡-0" patas'que'habfan. iCuántos
,
coneios ten
go en realidad? a
)
i,l
I
b)
76 coneios Fal
tan
Datos
e
)
c
38 coneios Ni
)
28 coneios
nguna de I as anteri ores '
de mis pelotitas ten: i:?::^l',lu:,,::1""::il::.0:: ll,l!,09'3 ;fi;;.r=t u-,ni irá- cáñtiááo'áequeel I as? .ñ si te re di *lb una de oso I Es c i erto I o iuan : i Que curi ';i"i 9i q.: ¡ Pero qge qug tendffa. i 11a,-,-fre .a ronar.el dobi-e'de laS as de e' -yO tendrra vo ¿óbi r !g.ii;; ; iá,,d. el i #=r;;L ' ' vend i eü'amos todas : si p"to i d nre iuit l' iüi;;i; [i.n".n ü;:.I Jo rge una' icuánto recl
Jorse
-
1
A:
T::';.i;;i¡]! il;"b"I.m; total b'i
ríamos en
:lesponda Ud.
a) s 6
lr--Q-A-^
-a-
?
por Juan
b) $ ls
Laura le ,Jice a Rocio Rocio
á 2.50 sores cáda
l.rálc
^-li^.r^-aA-
le replica
JÍ
."c
60
)
d) $ 2A
e) N.A,.
"
soles' El númebilletes de l0 y 5 soles se pag6 una deuda de 280 10 so-üiiiái.s-¿á-5'ssles excede'eñ A al númerc de bil'letes de como si los contáramos soles de'lO "á"¿é idñáro. Ies. Si los Uiii"I"i.qrá -iQue dinero'tendríamos? a) $ 280
úÍ'_
b) $ 68
(í})- Se tienen $ 82.= en 2 grupos de npnedas. En uno hay monedas de 1 s^I \'/ y en el segundo hay monedas de 0.5 solgs. Si del segundo se pasan a! primero-12 monedas, tq! 2'tendrlan igual valor. üCuántas monedas I'ablan inicialmente eh el segundo giupo. e4 monedas b) 47 rronedas c ) 35 monedas . {, td 82 monedas e) Ninguna de I as anteriores ) Se divide N,ed 2.parftes tales que, La primera A divida por x, menos'la segunda ¿'¡li¿i¿a por y., resulta Dr Determinar-cuá'l dc, ias -expres iones
Con
fuesen de 5 so'les.e inyersamente.
@
155
ECI'ACIONES
N. .
; b) ,(* -
+ A.=
Ñ
-
N
A=
D)-A =
'-e)'N.inguna
de
c) v(f +
N
D)+ A
=
N
las anteriore:,
* José acaba de regalar tantas veces 5 centavos como soles tenía en eI bolsillo quedanddlé 39.= * Miguel.ha regalado$tantas veces 35 centavos como so'les tenía en su cartera quedandol.é $ t69.= iCuánto tenfan entre ambos inicia'lmente?
a) $ ?60
b) $ 3oo
c) $ 40
d) $ 18p
e)
N.A.
Una persona compra una canasta de peras y otra de ma¡rzanas con ígual número de frutas cada una. La canasta de manzanas le ha costado $ 15 ñenos que la de peras. iCuántas manzanas compró si 5;eras valen tanto cormi 7 manzanas y en conjunto 5 peras y 7 manzanas vaien 7 soles.
a)
55
b)
los
P
75
d) 57
e)
65
Entre 4 hemanos tienen 45 soles,si.al dinero del primero se le añade 2 soles, aI del segundo.se le quita la cant'idad que se aumento a1 primero, se dupl'ica el dinero del tercerr¡ y se hace lr.inverso con el diner.o del cuarto, resultará que todos lrendrlan 'l a misnra ¡antidad. El que más tiene es : .
e) $ 6s
c) $ s0 Si me dieras tendrfas
1
a
uno de los caramelos que tienes tercera Parte de 1 os que Yo ten--
a
) le
b) 2e
c)
3e
o) 4e
e)
ll .A.
señorita duda entrré conprar 360 cuadernos o ¡rrr el ¡rismo precio qs Iápices y 45 lapiceros. Décide comprar el mismc, número de artículos de las 3 clases. iCuántos comprd en total'? Una
a
)
13s
b)
180
c
)
190
d)
200
e) r20
Sobre un estante puedo co1 ocar rra¡! I i bros de H'i stcr la o rrbrr I i hros 'ls Ingl és . Si estando vaci ó ei estante se col ocan ¡rmrr I 'i bros de i ngl é', iCuántos más , d€ Hi s toria pr¡edo col ocar? ,
.\
b-m
lm-h\e
r^ L\L
)e
t5r
))
))))) OSCAR ZEVALLOS
:
G.
ECUAC
I ONES
Se tienen un montón de 40 monedas de 10 qrs. cada un,a y otro de 24 mone das de 15 grs. cada una. De1 prirnero hernos pasado al segundo cierto nl: me¡o de'monedas. y de este otra cantidad al primero.resultando e1 peso-l del primero excediendo en 40 grs. al triple de1 peso del segundo. Siii en total se han trasladado 22 monedas. iCuántas se han pasado del se-., gundo al primero?
a)
\ZZ)v
b) 22
6
c) 11
,J)
16'
e)
o,o
irYZ"r' Yi:^:,?', do Ql c(,mo ^1"7,,I2 con nz'b?zcto a )?;'aytfe.n,¿oi mcLLjcttt i'0' ;; va Áiuo,"ta'ilu6 bi,olL6n de oPLni6n?
10
;"
tiene un rnontón de 89 monedas de 10 centavos y otro de 38 msnedas de 5 centavos. Estas dos clases de monedas pesan respectivamente 10 y Zs grs. iCuántas monedas deben pasar de un montón a otro para que los mon tones, pesen igual sin variar, el nrimero de monÉdas de cada uno de e--a
(A)
Ios?
)
b) B
10
c) 6
d) 4
e)
qir!?: , p€pres.entando ,;;o l.,no, hay dos una be 'el J as ' tendremos s ucede án- ca¿á
vdtan = favOr = Ng de=personas a
Ns de Personuf que
= Ne de Persoñas. en éontÉa
2
i
entregarle $ 8,000 como compensación a1 gerente de la com-; pañía. iCüál era su sueldo mensual en un nuevo trabajo que se ha conse guido. sablendo que supera en un 50% al sue'ldo anterior?'
a) $
1,600
b) $ +,ooo c) $ 3,800
I/
$
+,soo
e) $ 4,800
JB)
votan =
Ne de Personas que
a) En total, ha perdido 400 so'les. b) c) in.total, ha ganado 400 soles. d) e) E'l enunciado es absurdo.
total, ha perd'ido No gana, ni pierde. En
600 soles.
¡;-:ooo x
De
2,000. Además se sabe que e1 número de las que fa1 'l ecen en la ciudad "A" es'igual al número de'l as que na-cen en la ciudad "B" y. las que fal'lecen en esta es igual ai número de I as que .nacen en rrAr¡ . ¿Cuántos mueren al año en I a ci udad "A" , sabi endo que dentro de 10 años su población será la cuarta parte de la que tenga rr Br¡
cada una de'las dos ciudades es de
1
,100
b)
1,200
c)
1,500
o en (1)
d)
1,300
e)
.
:
2(600 =7I
2x)
"
D'e'donde
:
*t
.. ..
Pa
rece?
(1) (2) St.rSt i tr-¡ ir
(600
- 'x)
I - 600 = 2(6oo-2x)
- 4200 = 14 (600 2x) x = 250 + iCómo así? y=400 + #
16(600-x)
1,400
c
:
No I e
elSi§tema?.i.De(2)despejemosllyllpara
zt?{6oo-x)
.(1)
a favor. 2,\ *r
600 i.
?Y - '600 =
y =?
:
que
*
:
(2)
SOLUCIoN
c'L¡e
xf6oo
(mayoría)
- y (mi noría ) de: y-(600-y)
60#r 'iCómo' resol veremos
1o
*
6Q0
.De acuerdo a las condiciones'
'l
(r3Se tienen dos ciudades "A" de 15,000 habitantes y "B" de 10,000 habitan v tes¡ l.a suma de 'l as personas que nacen y 'l as que fal lecen en un año eñ
)
600
=., Ne de pefsonas en contra difereñcja Se ha ganado p r una
.
noría)
- )s (mayoría)' estuv i eron en contrq
y tLsdápEtsonas afrvor = "600
Juan va a'l as carreras con $ 2,000.= y cuando está perdiendo las dos terceras partes de 1o que no perdía, apuesta la mitad de 1o que aún lc queda y, cons'igue tripi icar 'la cantidad apostada. Entonces :
a
(m'i
x
se ha PeYdido'mál'qet::li: di ferenc'ra Se nu-ittái bo Por una
:
al sebrá i camente
600
Como
Marie'l a trabaja en una compañia en )a que por 1 año de labores 'l e prome, a")v tén pa-oar S 4,000 más l televisor a colores', a1 cabo de I meses elll;l se retira, y como pago le entregan el televisor a colores,pero como el valor de djcho artefacto supera a lo que ella tenía ganado, se ve en la: 'necesidad.de
fAv
,uot:tL1:.!.:^loo^^u^lnoliX^^^rl
^\'r11i,o'6un"'á|;;: ^ome.Lidtt iii"'i:;; ,:"::".Tü';,;4;;7.::*i*",^20:"" nItT' ,i:Á1',¡,' i: iiffii' uur o-rl"2-{T4'i;:i;:1t eL potL o"T.o^i:i":lf¡i'0"7'1^ & ^t 2oouÍ" cabo 8 eL
Se
'l
a.
/ou6 {oL'
Sea'el número buscado
: N=
á6
OSCAR ZEVALLOS G.
158
* *
Dividamos a5- entre Invi rtamos á5-,
la
suma de sus
cifras
y di vidams entre I a suma
Por condici6n tendrerrps
Además
'-
r + s6 :(*)(#)
'
E
CUAC I ON ES
r59
e5' Apl
a+b
icándolo tendremos
:
de sus cifras
=ab =
,.v \? = x T .-y+ yz = (
(1)
xy=+
v=+
i
y 2 incógnitas
Ya que tenemos 2 ecuaciones
Des
componemos pol i norni
cament;I10a
+
o
oo
Reempl
azando
(3
t-r¡r
) en (2)
:
(+
ba=
i
En fugdn de ta, f,eú.dz ael Uao ,,a
:
* *
I amemosl
SOLUCION
:
v x
despejamos
5l)
= =
más pequeña medi
rá
longitudes vienen a ser como los perÍmetros, iDe acuerdo? ... Entonces en cada caso podemos obte ner el I ado del cuadrado respecti -
x
4
vo.
,
Area
Ias relac'io
=
(á)z
ancho
Por condic'ión
(í)z
del problema :
ar
Áf =x+y ,=;.y Notemos el triángulo rectángulo ABC ,al I í r €stán nuestras i ncógni tas if,s¡s-
=x =5x
entonóes
Ambas
81
+
81
a parte
81
dato ninguna condición entre el largo y el ancho = v I argo = x es entonces :
cemos alguna propiedad que
:
seá"'la parte más Iarga de una longitud I
t I El camino más largo es : AB- + Bf = x+J Pero Jaimi to sol amente cami na por A0ahorrandosé 1a mitad del lado mayorr€s deci r : x/2, entonces habrá cami nado : Querernos hal I
ar :
Un i¡ozo de aldnbtte de. 5 en¿. ¿e co¡,td. en ? pan-tu de tot nqnut-c. quo- el uli-dJu.d.o qüe ¿e {oana dobland.o una ¡wtte t¡ue.¿ ve-cet el A,ret. dct i,ra.l dta.do clue ae dobtando ta ot¡a puf¿. La Inngi.tul, de Ia. panf,e n6t Illr4d, ea : $onnw
No nos dan como 1
*
Como querernos hal I
d¿ Lod 2 Lado¿ de un nec.tlfirgu.lt, Jd,inional ahoutttdo¿é atí de canÜran 20. nitdd. 6n enÍn¿ el kno nerlol. q el 2.ano naqorL'
del nu.tátEuln.
99!UCI0N
b)(a + b)
10b a = (a + b)(a 9a 9b = (a+b)(a 9(a b)= (a+b)(a 9= a+b ¡a\ = á5" )( -¡t 5a
s
= (a -
:
b
r\r Fi nalmente
resol vamos
yZ
A2
(2)
l5'
+ v?
^2 x? +
x
2
16 *? 0
Resol v j endo obtendrernos
:
*1
t+ r
x?
üCuál de I as
dos
es
I a' 'res pues
= 100-40x + 4x2 ^2 = 3x--40x+100 = 10 cms. = g3vr cms. ta correcta
?
))),)
)r 160
G.
Un gtupo de abelas igruX- a Lo, za.lz cuad,¡a.da de l¡. m,ttad de f.odo et ujambte , te poa6 ¿obtte. ei¿nl,a (Loz dziando a.LnÁt.0. Lo¿ B/9 d¿ fuido et
enjanbtte. S6,b una nevoloteaba en totno a un Lots afnafta rtoh el zur bido d¿ una de aut arwLgat. ¿cu-6.ntaa abela,s $oatian et eijanlbnzt
SOLUCION
* * *
:
LJ arnemos
al
número de abejas
Se han
del probl ema : posado sobre cierta flor ,
Quedan
atrás
'-
tota'l
x
Entonces
Una
revolotea en torr{o a una am'i ga
Si se suman las partes.
:
Para resolver., agrupenps en
un rniembro a
Ahora el eveinos
al
oJadrado
las cantioáillt'i"i"ülánia¿ás
cal
:
;;eH;'róiiió áá oiro - En Filosoffa : Empezaron "Y", la deiar6n 4 y luegoy'vinOSuno "'(1) Quedaronentonces: y-4+1= a ella - En Economía : Empezaron (+ - y) ' I a deia uno y dos vieñen - Y - +Z=+ y+1...(2) Quedaron entonces t + y 2 I a dejan -En psicologfa : Empezarón f' 4 van a ella * 4 - 2 = á+ ? ... (3) Quedaron entonces t t 1
¿
Finatmente igua'l amos
zxx2 m + +4 2 72x+648 B1x = 2x Dc donde
0
:
Resolviendo obtendrernos
=
r *i = 18
iCuál de 'l as
y
dos
*? =
(1), (2) y y-
:
) Zx- -_ 153x +
j,:Íl
:
os que no conti enen radi
:
Lo que a s u vez s e conv'i erte en
=X'
iii,.ió-oi ;i,,ñ; riili'"i-ü;;-;;i ;¡i:'.íl,i:§H f;.'ltffiH'o: que se tnnliilái'i..ón' menes ]os a'lúnnes iDe acuerdo? Entonces : curso
2
/TBx^x '{z= T--¿ /iX?, {z =g
resolviendo Economfa
Cgnpe.tfinalresuc]vencadaeurso].amismacantidadde^alumnos'hallemos.las in'iiiiiréntá. iA qué será isual el
=x 1
=X = x/4 - Al umno s reso'l vi endo Pstcol ogía otros Cursos : x T = T Jos - Qui ere decir que estarán resolviendo --y , - Al umnos resol vi endo Fi I osofía 3x
en base a
1+1=
z
:
Inic'ialmente : Sea el número total de al umnos
SOLUC ION
T
:
G ++ +
ECUACIONES
- Es decir que, alunnos
iQué se obtiene? . . .
Entonces sumando obtendremos
'
€
8'
,
It, -
)
)
OSCAR ZEVALLOS
(3)
3 = + - Y + 1 = +- 2
como Este sistema de doble igualdad puede descomponerse -)
a^aaA
¿uomo
asr I
y?3 = +-y+1 y-3 = f +
649
?
72
es I a correc ta? 2?.. iPorqué
?
dula, laq úe,nfo númeto de afuntwt quz utat¡ nuolviudo ¿ul exá.. m¿nu d_e. FiJoaodía, Ecovwnia g ?ditoLogfa, Lot analu viuen inpnuotEn un
De
esta última
SustituYendo en
(4)
A' su
vez
:
Finalmente:
.
(1)
..
(5)
.. .
5
:
f +5-3 t* 2
en uadenwLhoa t epatadoa,
M nomento de empezan It
ptueba, unoa enpiezan Wn FLbaodfn, ot¡oa -pon EcorwnÍa g Lo- cuntvta pate del total pn Pticotngfa., -?oc.o dupuu ' 4 de eliot dejan La. Fiboto{í.o. pon ld P4ieoLogf-0., urc deia ts. Economf.q, Wa La Fi,ln.to(Ía. q doa dejan la Piittlogfa pott t¡ Ee¡nonfd, con Lo auL nexúta que tetuelven tantoá Filoao(f-a. cono Eeotunú.o. q ttntot Eeo nomí!" como Ptl[co Lo gía. En'el auls. adend¿ hary un vigi,t-attf,z. ¿CuÁ,yttot p?Jttonaa lwl en to¿sl7
Y=t +
:
:
=
=
+-t-5r1 + , -4
üQué he hccho? - 16 x= 24 al tmnos . icuál es? t será ésta la r€sPuasta f i nal ? tNo?
X+8
=
2x
df
T ECUACI O¡IES
OSCAR ZEVALLOS G.
162
Representemos ahora
cie¡fo nfute¡n d,e me,ttor de tela en urua orri "m" . s¿con cÁna. ne.tsto lwbiele cotttdo 'ta.tt rcLet meno6 áe hubie.nan teruido
@
S¿ lwn eomptado
It
müma Áwta "b'r ne,t¡to¿
§Q!=UCION
:
rn6^6
.
ni
cuánto
Ne ha costa
las
Ns de pares de medi.Es bl
¿Cttfrnfot nel¡o¿ áe eonpnanlín?
No co-nocemos cuántos metrcs se han comprado, do.cada uno. EntonQes :
163
-
de pares de medrlas Costo
N" de
mtros
x
|
:
c/metro
metrt vale,"¡" menos, valdría, Se habrían comprado "b" mts. más
Si
cada
Como
ó¡ : Es decir '
= y l(H, l4ts. comprados)(Costo c1nts.) = Gasto Tota'l se ha gastado 'lm" so'les tendrenns :. (x). (V) = m ...(i)
Costo dé Como
comprados =
el
gasto sigue siendo
eI
= =
ci
co.n.Ci
xy
ax +
by'-
ab
\r" m- ax + b * -ab =
0
a*2*ab*
=
0
en
S0LUCION
:¡
if$(il;'
=
lr{rc + x) 24 +
3x
I6_pqrgs de JLnE.li as bi ang.gs
.
nelao<-6n de 2
:
com'en
Ios:
h.gl I
4 Whea de nedi.o¿ negrloa dz teda y algunotpanu de m¿di.at blanea¿ de hi,Lo, EL pnecío de t-u de .se-da u el dob(.e. de b¡ de Wo. Hiz6 un pe.d,tdo q el vendzdott c¡ubi.d ¿t núneno de Wnes de lo¿ 2 eoLonQt con Lo que lt {actun-0. Mneilfí ¿n un 504. ¿Cui.n-tos WeA de neliaa dz hi.Lo labÍan? S0LUCION : Hay 2 cosas en el enunciado que no conócemos : EI Ne de pares de medias b'lancas y su precio por unidad. Entonces : Ne de pares de medias blancas = x * cada Par vale = y Ns de pares de medias negras = Q, + cada Par vale = 2y Estas fueron las cantidades y precios en el pedido original , entonces el cos to de tal pedido será :
....
(1)
tstal
hay'4' clases de problemas, procedamos
t De (1)
en
Ia
y de (?)
b, que
ffi
Entonces de acuerdo
a I
os datos 2
3
a
su vez
:
?
azando en
x
b*x
:
i
(1)
u
des
: a = ib
= =
Mal os
De
(2) :
?x 3x
Reempl
Fepresentar
Prob. Rr¡enos Prob. I',{alos
. ¡ o..
pejaremos rta rr y rr xrr en funci ón de 'r b, para expresfón que representa I a pregunta rjel prob'l ema .
Asf :'De (1)
a
a
Prob.
ar :
b
Una rteluona qwÁ6 adquitún
tota,l?
emas Contestados
?a
no con signo negativo?
a"L
Problemas no Contestados
Noljidg!
+
= aQy)+ xy= 8Y+xY.
$A% Costo Real
(2)
tfr. ptuefu. d,e ufl
U
con nzlperte
Probl
Costo 0r'i ginal
=
?xy
alwtw, Loá ?Iob!-onn¡ fL?SuelhtA A yw n-gaue-tfoa e¡tá.n d 3. CIenttw de t-o¿ WabLo:¡n ¿ confe;M.do¿ ,ú- yulne,Lo de Wblua¿ tuue]áu comeeianente U Lo¿ que fro , oA ran Ln Ín- ;t¿,Í-o.eión de I q 2. iCudl u Írt" ne,tsu,6n de Lo¿ pñfrbÍ.anaa ffHL cor,fast¡-rioa É.n
m
=
criterio he tomado la raíz positiva, y
:
= x _=
'
áCon qué
cada Par val e = y cada Par val e = 2y
m
axz+brn-abx bm
x
8+ 4x
Utilizando la fórmula
-ab
2x)
/4 (?)
azando de .( 1 )
Fi nal mente
Costo Equi vocade
x+b
-+ -+
4
vocado = 4y + x(?y) = 4y +
Equi
y-a
mismo
Desarrol I ando Reempl
Por
= negras = ancas
el costo equivocado será
Entonces
pnecios en el pedido equivocado
cantidades
(2)
reemp? a.zani os
bx b +,x
h =
3
P') -
§c,
.)
2. inu.Js
)
tJ¡
)))
rCUHuI0rrÉS
1
PROBLEMAS PROPUESTOS f
(D
\r
IEI'lP0: 40
Mi
nutos
a lgcual asistieron solamente los 4/5 de un total de 1,000 asoc'iados, se llevo a cabo uná votaciQn en la que se ganó. Dicha votación fué imputada por haberse incurrido en faltas estatuto-En una asamb'lea
tJn eomutci.a.nf.e
i'
"ÍIÍoo: tiZ'ffi 6 a 4 /, d|;T; cc,mpaado 5 / 6 de o3?: J#fi^I Í: clue ::;*ly'1'" iiiÍ:,^:,!r!!"* l,o go,st6 . " lwb¡uía gcutq'd.; 97 tí'iu "';i,;3 *l it6 t ; {y,,:ty, Si. ñubirlr; ec,mptwdo fn nfo *Í6. cori 'l'1i",üj md,s d,e t;';;á" o 4or.t y" "iy',;, i#6 r*$! ff f saato,. fEti" t¿ . ^::! " :tr'ouui,Ínufr pt í,,#;";r-yi;Z;;"Xf 011,"*:¿^:íif7trn";'tiT*ffi% dvtree LaA á",*tl;;a;";"":: d¿^t6 ui'i ff,üi Y:o ÍurÍro ^r;#:i S0LUCI0N :: . iCuántas JULUUIUN ic,,í canti/:.r-. -^ --
r;; ;^";
,*#:
rias'lo cual oblígó q votar'¡uevamente a los
mismo socios sobre el este casd por.el triple de votos por los que inicialmente se habfa ganado. Además 'los que iniqialmente estaban a favor y los que ahora estan:encontra estan en la ñ'isma relación qlte 9 a 11. Si en ambos c€sos. votarón todos los asltentes. Hallar el número de votos, por 1os cuales se ganó inicialmente, si no huho ninguna
mismo tema, pgrdÍeron en
; :;
:t.l;;,
."iill^,..ü;-;;;i,;:i'JÍ'Íii,i:.Í.:iTffll,;,*l:^.,:ntemosras *i i endo I a,,i;. I T;,iÍ:. Í;; ;jj, i;g, : I ruFi,;XS§L.,illiffi:, :: a)sebráicamen iHilÍHil:i
abs
tenc i ón .
a)
ssO
b) 250
e)
.c) 350
100
b
Err
En
la
compra
la prirnera
original gastó : (x)a + cornpra jmaqinaria
neempraZdndo
En
la
.,
>
(1)
se-l es hubi era co,brado:
(54_x)U = Gasto grigrnu,
4x
5
-)
1 kilo
(.D \'/ ,'
yaJe
1 kilo vale
b
Realizado = g/tt Gasto 0rÍginal.
:.ir:-r ?. t, -S---; +¡ 6r54_x)b
b)$76
a) $ 72-
:
kilos café comprados Kilos té comprados Gasto
i nce qpegsonqs entre. hombres y rnujeres comen en un restaurante. Los tombres gastan'36 solesr.lo riismo que las mujere's. El número de sol es que cada troÍnb.re ha gastadoc€xcede en 2 soles al que cada mujer ha gastado; S'i por equivo'cación al cobrarl es, a J os hombres 'se les hubi era cobrado co[n s,i fuesen muieres y a I a s mu jgres corno hornbres , entonces ,.en tota I Qu
',
c)
(?)
segunda compra imagjnaria
-,es
?tZ.
:
l$':,';H;i:ilÍ",ñ3llil,;X:.ffi::i,Jl ), e) y (3), podemos terminar
e) N.A.
d) $s6
Entonces
el
dobl
e del pri mero
c)
1s8
má
s el tri
d)
36
p] e
del segundo es : e
)
75
Un señor tiene 3 sobrinos A, B y C. Cuando se encuentra con A y B, a 'l e da una propi na que es el triple de lo que Ie da a B, y cuando se ¡encuentra con A y C a A Ie da el dob'l e de lo que le da a C. Si un cier to día se encuentra con ellos y reparte 22 (a+b) soles. ZCuánto rec'¡ -:
bió c
:
$78
Dos nGumeros ti enen I as 's i gu i entes propi edades : Si .se añaden a 1 primero uni dades I a razón es I 415, S i se añade al segundo ? unidades su razón
?
df r2I
q -------= #t(*)a+(sa_x)bI
kilos café comprados. : 54 L x -| 1 kilo vale kilbstécomprados I ¡ + lkflovale ' Gastr rearizado = Gasto ,riginaJ + .,5 ¡r ? Reernplazando . $4 x)a + bx = xa + (54-x)b + 5.
'
? .g
G(a+b) d) 4(a+b) e) N.A. / Un cóme'ciante á] finaliiar e] priperrño de negocios encuentra que-hubiéra dupljcado su dinero si'hu6'ie¡e gánado $ 1500 más, 'le sucede'l o -mismo. e'l'sigufente añó y al fina]lzar el tercero, a'l final de] cual se
a) 12(a+b) b) b
.
(3
)
de resol --
11(a+b
da cuénta que tiene un áCuá'l ha
sido su
l"t,500 il /
b)
)
cagital igual a.los 11/4 de su'capital inicial. los 3 años?
ganEncia. en 1,200
c).2,800
d)
F.D.
e)
N.A.
Con $ 16 ,464 se han conrprddo 'l a ta s .de sardinas, en cierto número'de cajones, cada uno de 'l os cua-] es conti ene un número de latas triple del
¡.
**-¡l¡D.ñir
OSCAR ZEVALLOS G.
166
número de caiones. Cada I ata de sard'i nas cuesta un número de sol es dobJ jones . ¿Cuántas son I as I atas de sardinas?
ff 14
b)
c)
436
e del número
d) 42
148
e)
13.-
de ca
41
En,cierto año, oJ .ser Maríarpreguntada por su edad contestó: Si al.án cumpl f I os 16 años I e suman el año en que cump'l i los 20 años y si a éste resultado Ie restan la suma del año en gue nací con el año ' actual obtendrfan 14 años . Ha 1 I ar I a edad que pn áquel momento tenfa la secretaria.
)
20
¿ños b) 26 años /
2?
años
d
)
F. D.
e)
14.
N.A.
dos 500 pantalones, aunque Carl os tenga Carlos más de ellos que César. AI venderlos todos¡ dmboS. rec i ben I a mi sma can ti dad de d i nero . Pero s i Ca rl os hubiera teni do el número de pantalones que tenía César y este los que aquél y los hubiesen vend i do , Carl os ha brfa obteni do 400 sol es y César 900 sol es . iCuántos pantalones tenÍa cg.l da uno en el orden i ndi cado por su nombre? ¡
)
200; 300
/r
3oo;
zoo
c
)
350; 150
d
) ?32; 268
e
) i78; 32?
@
b)
200
c)
e)
?40
F.D.
i
.
363
b)
3e8
c)
226
d)
336
e) l,lo.existe núme
250
nas
d)
1sc
y p'l atanos.
ro
número de manza
a) 3 b) I2 c) 10 d) 5 e) Ninguna * Un grupo de hombres estaban formados en cuadro, de manera que e1 mar co'lo constituían tres fi'las de hombres. Se observó que añadiendo 25hombres se podría formar un cuadrado 1'leno, en el cual el núnero de hombres de cad.a'lado excederia en 22 a la raíz cuadrada de] número de 18
b) 33
c)
45
0
;
a)
c)
Ja'i me gasta tres sumas i gual es de di nero en comprar naran jas, p'l atanos y lnanzanas. Cada naranja cuesta un sol más que un pl atano y dos sol es más que una manzana, hab'i endo comprado un total de 47 frutas. El n úme ro de platanos excedió aJ de naranjas en tantas manzanas como pudo com
a)
Se colocan 3 objetos en un platillo de una balanza, y s€ consigue e) equilibrio con una pesa de 20 kgrs. agregando una pesa de 1 kgrs. a los objetos. El primero pesa B kgrs. Si eI segundo se pone en un platillo; y eI tercqro en otrb, es preciso paha sostengr el equilibrio agregar : 750 gramos.al segundo. iCuántó pesa el tercero : a) 5.125 k9. b) 10.750 kg c)'s.azS rg d) 5.750 ks e) N.A. '3 ci fras tal que e'l dobl e de I as centenas más el --'i HaI I ar un número de pl tri e de Jas decenas más las unidades-sumen 43. La d i ferenc i a entre -. el número que se obtiene al invertir sus cifras y el dado es 99, además I a suma de sus cifras es ?L. Dar como resultado el producto de sus ci'
fras
b) 200
hombres que habia en e1 lado mayor del primitivo. Se desea número de hombres del lado mayor de1 cuadro prirnitivo?.
En 1 ,976, Gabri el obtuvo un i ngreso de 1' 600,000 por I a venta de sus bi cicl etas. En 1,977, vendió 2.5 veces más bicicletas que las que vend'i ó el año 0ñ' terior, debido a que ahora cada bicicleta la vendla en 10,000 soJes fllS' nos, pero de todas maneras obtuvo un ingreso que excede en 1'200,000 al del año anterior. Diga cuántas bicicletas vendió el preiente año?.
a) 80
-
130
prar por nueve soles. ¿Cuál es l.a diferencia entre el
y César tienen entre los
a
Se tienen dos toneles de ron de precios diferentes, e1 primero contierie 100 litros y e1 segundo 4001itros. De ambos toneles sacamos la misma cantidad de litros, y lo que saco de1 primero1o echo en el segundo y 'lo que saco de'l segundo'lo echo en e1 primero, resultando finalmente -que en ambos hay ahora vino de la misma calidad. óDfgase cuántos'li -tros de vino se han pasado de uno a otro tone'l?.
a)
en oue
a
167
ECUACIONES
.
En un sal6n de conferencias estan 600 personas sentadas en bancos de la. misma longitud. Si hubiesen habido 5 bancas menos que ]as que habían ,.' para que nadi e se quede de pie, hubierán'tenido que sentar§e 10-pesonasl ' más en cada banco. iCuántoi báncos hay en real i dad? fi¡li.: -= >Ó' ;
d)
31
e)
hallar
llinguna.
el
)))
¡)))
1,68
OSCAR ZEVALLOS
))
!) G.
t)
ECUACI ONES
"59,
BLEII@ION: Sabemos bi en
que, toda divisÍón tiene ros siguientes térmi nos Di vi dendo (D ) divisor (d)
Coc i ente Resioro-
(q
SOLUC
)
Los cuales al realizarse ra operacfón se distríbuyen de
:
la siguiente
las
lra. :
t4
En base
@.-
es térmi
nos
cumpien con
ra Ley de ra División que es
i'l
Resol v j
endo
¿umcL d,e
d,o¿
La ü,óut¿ne_u SOLUCION
o
oo
:
:
6. Si üvil,tyno¿ tS Ll Qt nosti u ;;.=
d
Qt ma"Ao)L Zn-
: x = Zg4O 16x =
x)
=x
2¡'1
+
72
x)
15
Sea
üvidi¡
nosiduo.
para
AI
FXCESO
584
real izarl a obtendremos
584 32
Coc i
%q
Exacto.
80 64 160 160
196+x=2x
196
x
+4 +4
entend i do ?..
INEXACTA POR DEFECTO
584 +
_,
Z núntütoá enf-¡ze ¿i S¿ «unt¿ytfo
anterior
32
ente
Real
Zn
500
üvido enf,,ze Qt ayúe¡.con I uyúdad U Qt tosto
di vi
Podemos
Si
sión
:
I tZ 32 fl8-264 584
B
.196=W -
(r)
:
256
---)
.
-+ Eesto por Defecto.
(rr)
escribir t ¡m .
comparamos.el número que esta señalado conn cociente por defecto0I)
el cociente Real (I),
podemos decir que: * "Cociente por defecto, es 1a mayor cantidad entera, que es menor que
v
miruLtd. en
ciente
Ha,(lo¿t
REST0 POR DEFECT0
cunboá yuintütoá',
t2)
o..
la div'i sión
Zg44
iHa
(1)
= ..13.L......
N = ..3.?...
Realizaremos la
ilk-
.
+ N+300=
........
256
x = 184 -> 196 ,- x = lz Por lo tanto la diferencia : Z>< 196 = 2(184)
U Lo
g
:
x = 15(tgO
d¿
+
Hallcn
4.
IDIVISION
AÍ.
3N
T DIVISION INEMCTA POR DEFECTO Y POR
De I a cual, podemos ded uc i que r
Resolviendo
t,l =
+
x
hallar : x (tgO la división
Representando
N
:
poá..-ifiicar (r) y así ooo""'ntutill;1;3auzcamos la división
Tenemos que
t'l
e'l s i s tema obtend remos :
' y:
Representemosles algebráicamer
Entre los Z suman 196. El número mayor será = x El número rnenor será = 196
= =
visiones real'tzadas y sus respecti vas concl us iones
M
a es te aspectc real izaremos los siguientes ejercicios La
d'i
+300|_M 72 2
2da.:
m""...(I)
Ítt¿ ú menoLtal
número lnlaYor número l4enor
tA 93
ma
D
ta I
el
Representando
R
A su vez,
Sea
:
(R)
nera:
ION
el
co
ReaI "
: Es el número entero que hay que agregarl e a1 producto del cociente por defecto con el divisor para obtener e.I di vi dendo. Se pue de deci r, tamb'ién, que resto por defecto es la cantidad que LE SOBRA al di-
jf (t
170
OS
videndo con respecto al producto del cociente por defecto Ej empl os de di vi s i ones por Defecto i
*
I 52 t52 nE- -| C. por Defecto
1034
L2
Resto por Defecto
nuaci6n:
L* c. por Defectó.
S0LUCI0N
n
->
Res
to
p'or Defecto
= 12(1196) + 4
EXCESO
--l¡
584
32 fIE----+
Coc i
ente por
288
:2 -|
que
*
(ttt¡
FALTAN
(
:
10
(2da.)
:
D'i
vi
Isua'l ando ( 1)
y
el
coc'i
ente
Real
¡ (lII),
6y+4 = 8y
(I), y podemos decir
es la menor cantidad entera, gue es mayor
I).
:
que
el número que hay que disminuirle, al producto de'l c-6Ei?iiE6-ñ6Flilieso con el ¿lvisdr pará d5IEñEi-il-dT[íáendo'. oicho de otro'modo : es la cantidad que le FNL[N al dlvldendo para ser igua'|, a'l pro RESTO POR EXCESO
7
x=
le
PROBLE¡..fÁ
parece?
(1)
x = By - 10
.(2)
10
=y
x = 6y + 4 = 6(7) + 4
Entonces
Es
ducto del cociente por exceso y eT-di-visor. iNo EJemp'los de D'lvisiones por Exceso :
x Iv -10 I
x = 6y + 4
(2)
:
c
lra . )
B
Note su di ferenci a con I a s i 6n por defecto .
está última expresión con e'l coclente real
4
:
:
Exceso
Resto por Exceso.
:
LE FALTAN 10
Entonces
las divisiones
SOBRAN
I gZ I
Comparamos,
:
Real'i zando
264
escri bi r
Twtgo el-utfa canLLdad de clü.afiQho^ Lo¿ cunlu l,te de ,L¿pq fii ottf¡¿ mit lúloa. 'S¿ t-e¡ do¡ 6 cct¡nnelo¿ a cada trytoo me aobnan 4g püLo ai Lu doA I cüunelot & cala Llno,me (a,Ltan 10. iCurtnfnt luLlod A uÁ.vtfo¿ u¡nnelod tzngo? .
Eñ-ETEFóTaso es decir será un Número de Caramelos =x Número de Hijos =y
la división
32
¡9 3. -
El acto de repartir los caramelos entre los niños, es en si, unadivisión iDe ácuerdo?. En uno de los casos¡ con respecto al total es decir será unaffi ¡!e caramelos qu
-
72
14356
Podemos
PROBLEI{A
TTS 108
= 19(52) + 46
584 +
Es necesario, que entienda Ud. perfectamente, los conceptos aqu'i vertidos¡ si es necesario pongase Ud. a realizar algunas divisiones por exceso y por defecto. l4e he permitido insist'ir en su comprensi6n cabal, puesto que de e'l1a dependen Ia solución de varios problemas, tal como va Ud. a ver a conti-
di vi sor.
^.
:16
Rea'l izemos
777
CUAC I ON ES
I
468
r_DIVISION INEXACTA POR
E
T2
:2s
1034
y el
14356
TI4
-ffi +
CAR ZEVALLOS G.
¡¡9
4.-
46
ExjtteuLeltta. es"yuüdad de. eanyte-furs bipelt"onnlers, cunndo
^¿ ¿ienfu" un a,hmno porL eanpe,ta {a,Ltan 4 ean¡ce,tna, pü0 culln do ai¿ytfr"n 2 a,Lunnoa po,L eanyce,ta" dobnct uvw d¿ QLtÁa. -
^¿ olumno ¿CuÁ.nf,o¿
¿ uc&n?
: El suceso relatado en el enunciado ¿Se puede tomar como una división?...C'l aro que sí, en el primer caso, si nos dicen que fa'l tan 4 carpetas, es 1o mismo que decir que 4 a'lumnos estan parados, es decir, que 4 alumnos sobran, o sea, será una división por defecto. iDe acuerdo?..,. Eñ el segundo caso, sobra una carpeta, es decir no estan ocupados 2 asiento§, iPor qué será? ... porque FALTAN 2 a]umnos, es decir, es una divi S0LUCION
143 56
+
l2
C. por
63 55
Exceso
-) C. por
39
Exceso
ms
=Zt '12
234
TIS
T16
108
IL7
ae B4
:TZ 14356
-T
+
Resto por Exceso
= 12(1197) -
L2
.
sión,en esie caso,por exceso. Entonces, hechas estas aclaraciones tendremol:
+
Resto por Exceso
356 = 39(163)
-
1
= [ Números de Carpetas = C
llúmero de A]
umnos
Represent,rndo I as di vi s i ones
:
))'I72
)))) OSCAR ZEVALLOS G.
lrr.
-
Jc
t
) ) i )
.)r:'
Igualando
(1ra.) A = (c)(1) +
(1)
4
l)
(t) v (2) tenemos: bx-Y=ba+P 6¡ -ba= P + Y b(x-a)=P +Y
L-iJ ^" = x -a
(2da.) (?) pRoBrE,.{A r,,e
el
De donde, pesol vi endo
S0LUCI0N:
Número N
dol
a
úme
si stema hal 1 ará que
:
A
La pri'mera
es
=
A
bancas =
B
de al umnos
ro de
una
d'i v'i s
'i
ón por defecto
.
Expl i que porqué
.
sn
cq
¿Cuá
Total Palomas = ff Ne Total Postes = B ,rn, pal omas división i Si haY Cua ndo 1a primera . defecto Por división Es pal oma s sobran, *
SOLUCION
:
Ne
(1) + A=B(1)+n nr1 uno se debe- y hay n,, postes.- vac i o s -gl-9?,du: En la segunda diviti{? -:i que FALTAN os rrnrt- palOmas, si O\fiCa Para áóirPt etarl rían Parar exceso' (n)(n) = n? pal omas . Esta ts] una divis'ión Por I
+
A=12B+LI .....(1)
banca deben'entrar 15 alumnos, pero en'la última FALTAN 4 alumnos para completar]a, es éste,
sólo entran 11 alumnos, es'dec'ir, un caso de d'ivisión por EXCES0.
Proceda Ud.
a
:
AIS l' -4 t 15
-
Pa,tt-l" ga"ytsrl-
S0LUCION
:
De
tt
(2) A=158 4 para hal 'l ar el val or de A. .- ? I
tjt' ,soLus en
b t -6a dz un cuadno
Se desconocen
han
manda"
.
deten
problemas resu'letos
desea.
pero arnbas maneras a reso'lver mediante
iñ-ái' li
gui
ente Probl
PR0BIEMA rJe
clu Cua
C=bx
lx
y
.....
c l¡ I
(2)
n
nr*n B = -f -T-
iiilillli.'r.l ;iitlTi:T y que m'i smo tipo
rás del
'rir, s'i así
]9 i.r"lE!itl;i'.á*o lo vera
ema'
s.- x
+
C=ba+p
..o..
vez L
(1)
I'p11
pla
.o...
áe
ndo se pi erde so1es, se está i nd i cando que no hemos I I egado preci o de costo entonces:
etar el
Bn nz
= Bn-B = B(n-1)
si ud. observa po ta'l , va a llegar a la con por cual
los
or.á"n-.urolveise
Precio de costo de] cuadro - rrctt - rrbrr Precio de cada bo] eto Cuando se gana "y" soles , se está diciendo que nos estamos excediendo sobre el prec'io de costo, Es decir :
compl
A=
(t) v (2) : n2+n n2+n
:
-y
+
B(1)+n = Bn-n2
^e lnn venüdodo a tnytümí,n 't x't bole-tnd , petLo tolnmztú.¿ tt ^e. cuelt!. cadn &tt d¿ eJlo,s , púüzndo,s ¿ " p'¡ áoLeA.. ¿Cuávtffr bole-to?
A
->
a resolver el sistema,
?ROBIEMA IJ9 6.
ica que estas
¡,
,tV
Representándoi
vol ando , si gni f
Als
Representan-
nls la segunda, en cada
iW,
'nn ",, r:;-'..-:, La,, ,n, 'Palome6 l'aq "d
Lona
:
En
7.- ,rtrir"
=
En url,a- ela¿e ,s¿ colocan 12 d¡AaLptúoa uL ceds" banes- A ^o bnan 11 d¿ ello¿ t QuL pulnen.o.cun de. piei püLo L e. d,uyto^i Le eflcuen nzn 15 zt1" cz.da, banca,, Ln L0, ú,Z-tina de utÁa t6lo l>ts-n 11 . ¿Cttfi,ytto¿ a,Lunnod haq? .
PR)BLEI$ l,/s 5.-
173
)
(2)
a
s'Lucro*
:
;ffi."",
ff*uz
-':"il.lo::':"1: !!ii'roi|.'l}ill'.1i1: : ái-.uu¿raoá'- Entonces li:ó":':ltl§"'li[l?: iili'"i";:;""no
Nuestra'incóenita.principal
OSCAR ZEVALLOS G,
174
Inlcialmgnte
175
PROBLEMAS PROPUESTOS
:
Ne Rosas
Entonces :
por
Col umna
=
Ne Rosas necesarias para
(n)(n) =
Ne Rosas por pl
Flla =
antar en todo
el
'
La Seounda Vez
TIEl,lP0: 25 l4inutos
n
cuadrado
':
n2
Como'le fa'ttan 17 para completarlo, entonces en realldad tendrá
n2-',t7
:
.....(1)
Entonces :
G
a repartlr'los caramelos que tiene entre sus hijos, si'les a cada uno le sobran 11 y si les da 6 en lugar de 8, le han de.so-brar 37 caramelos. Del número que representa e'l número de caramelos que tiene la señora, la. suma de sus cifras es : Una señora va
da
I
a)
6
:
por Colut'nna = Ne Rosas por Fila = (n-1) N9 Rosas necesarias para plantar en tOdO el CUadrado : Ne Rosas
('n-1)(n-1) = (n-1)2 -Como I e sobran 56, I uego de compl etarl o ' entonces en real idad tendrá (n-1)2 + (
ECUAC I ONES
56
1) y Q) nos dan I a canti dad de rosas que ti ene, nz_L7 = (n_1)2 +56 . nz - L7 = .nz - 2n +'1 + 56 2 n = 74
n=
Las Rosas que tiene iCuántas serán?-. .
I
.
(2)
i guaJ andol
Un número de 2
:
37 Rosas.
as obtenemos reempl azando r¡ n, en ( 1) ó en (2)
I
d,)
13
i
e
)
1,1,.
A.
cifras se dividen entre el rni smo número pero i nvert i do ob y de resto Ia suma de las cifras del número que
hace de di vi sor.
aumentamos 200 unidades y )e dividimos entre e'i antiguo dividendo,obtendremos 'la mitad del cociente anterior y de resto 2 unidades más que el sextupio de la suma de cifras de'l nuevo divisor. La diferencia de 'las cifras del primer dividendo es :
Si ál divisor antiguo le
e
b) 4
c) 63
d)
7
La suma de 2 números es 1043, su cociente es 27 posible. La suma de cifras del Dividendo es :
a)
1o
, c) e
$t
d)
6
e)
y e'l resto e)
5
es e1 mayor N.A.
Divido dos números entre sirobteniendo-43 unidades de cociente y 39 unidades menos de residuo. Sumando los 4 términos de esta división proce do a dividirlos entre'la suma del cociente y residuo anterior;obtenjendd un cociente que es excedido por e'l primero en 6 unidades y un residuo -que es igual al producto de las cifras de1 nuevo divisor. La suma de
cifras dél Dividendo inicial es : b) 1s c) 72 a) 14
-0
4
teniéndose 4 de cociente
a) os
c)
tt
d)
?L
16
Acabo de terminar de hacer una división. Procedo a mu'ltiplicar.e'l Dividendo por el residuo, dividiéndolos entre divisor inicial, el nuevo cociente queda multiplicado por e1 residuo que ahora es máximo y que excede al inicial en 20 unidades. La diferencia de cifras de] divisor es:
e'l
a)
2
b) 0
c)
d)
4
5
e)
3
Tengo determ'inada canti tad de cararnelos que voy a repartirlos entre mis hennanos. Si 'l es doy 10 a cada uno me sobran 6, pero si les doy 12 a ca da uno al último sól o podría- darl e 3 cararnel os . ZCuántos hermanos s0; frlos ? .
ils
b)
7
De un grupo de caramelos
c)
d)
4
retiro
5
56
e) 6
y el resto los reparto entre
un grupo
de niños a quienes les doy 11 caramelos a cada uno, menos a1 último a -quien'le doy 15. Si antes de repartirlos retirase 20 caramelos más ahora sólo podría darles 9 caramelos a todos menos al último a quien ahora sólo podría darle 5 caramelos. iCuántos niños hay?
.}t)
Jc, ,\z-.[-Js
I
a)
75
b)
11
c)
§ 6
s
e)
)
F.D.
Eduardo razonaba
lu siguiente manera : si a mis arumnos ros hago tar de 2 en.Z me 9.fal tan 3 carpetas; pero si los hagó ilür" de 4 ensenq 'me fal tarían 14 aJ umnos pai"a que en todas I as carpetas hal I a el mi smo número de el I os . iCuántos s uman el número de carpetas y de a'l umnos ? a)'30 b) 18 c) 52 d) 44
t
do
36
lleno de naranjas con .tas que
__
aI distancia una áe la otra tanto a la primera vez que 1o intenta, 15
o poniendo una menos en cada éenti_
le faltan ren ni Ie falten?. o) ra e)
na¡anjas-que
5
para que
pue
xl
rzo
Problemas sobre reloies a) 257
b) 241
c)
226
d) z}r
e)
242
posibles. GRUPO
A
Veamos:
:
PROBLEMA 1.
-
Hace ZQué
ya 45 horas que un rel oi se adel anta 3' cada 5 hrs . hora señal¡rá el reloi cuando sean en realidad las
8h 50' SOLUCI0N
3
LLdAd áe. ta
¿Qué tllJrf,a.
Ud. en uno" ¿ifinciín ¿eneianfe a lÁ. de,,suuta? ..
Hal-b¡Ía atanfot mivutf,oa lleva adettntado el agne4atÍ-l, a 14,6 8 tt)rA. 50t . ¿No eA vüLdf,d?
Eytff,nceA dinanoA
:
S¿ eyl en
Lue4o
:
?
:
EvtÍnncet a Laa 8 lL 50' ,
:
SlL 45lL
n:elo
i
,
.
U ücha can
od.llrufo. 3'¡ ^e anQkntüÁ. x' ^e
x, = 45hx3'= Zyt 'AOELN'Í!2 H0R'4 MARCA?A = H2RA REAI + tetdnenod :-5r t, ,t ,,
= ?lL 50' = hll 771 = gt'L l7l
+
27'
I/8
OSCAR ZEVALLOS G.
PROBL EIqA
'N9
2.-
Un rel
se adel anta 1 mj nuto cada 15 mi nutos . Si ahora 20' y hace I horas que se adel anta , I a hora
oj
marca 1 as 4h
P
ROBL ET'IAS SOB
*
¡
el wumüado,
Sl, ta entendi.do marLco.
podemod covtocüL La
b.
nota¡t-á. QuLtcovwcemoá
eilcúafi ú adekytf,o Itona neaL. VeÁ2rt Ud.
A podwnoa
que
lrcn-a. que da.to¿
lleva,con tn[.e,s
= 4lL 20' S¿ uL 1.5,
t
á2 adelan'ta¡'d' x'
F¿noln¿nl.e.
PROBLEMA
:
-
=-
=%
x,
l,
á¿ adelanfn
3zt |.4EDIDA
= HORA REAI + A?ELANT? 32'. H?RA REAL = 4l,L 20' , 3tL REAL HORA 481 = H0R4 I{ARCATA
ANG.
Es aquel c uyo
= =
CENTRAL
m
nOC
La circunferencia
del
re'l
MEDIDA DEL ARCO CORP,ESPONDIENTE
^ mAC
oj,
como Ud. sabe, podemos conc1
as que en total ocupan 360o , cada di vi s'ión I e corres ponde : I
reloj marca la hora exacta un dfa a las 6 p.m. Supo-niendo que se adelanta j minutos cada LZ horas a partir de di cha hora . ¿Cuánto ti empo pasará para que rnarque I a
N9 3. -
-
vérti ce esta en el centro de la circunferen ci a y sus I ados son dos rad'ios de e'l 'l a. Ta1 ángulo, es en 'l a fi gura el ángu1 o A6C . Notemos que entre I os I ados de AOC, está comprendido el arco de circunfere,¡cia Í¡, a tal arco se 'l e denomi na "Arco Correspond i ente" al ángul o nOC Podemos dec i r tamb i én que :
3
en 8fix60 = 480'
179
ANGULO CENTRAL.
correcta es:
s0tucl0lJ
RE RELOJES
tiene 60 divisiones u
1'r
,
€trtonces
,
, que a
Un
3600
6
0
¡ifT.
hora exacta nuevamente.
d'i vi s ión representa 1 mi nuto , tambi én : a cada m'i nuto I e corresponden 6o
Pero como sabemos, que cada S0LUCIOI\J o-,Ldn
3
Pana que
del
el
nelo
hottolt Lo A
j
müLque nu¿vamenf.¿ IÁ. ho¡n exae,ta, 8A m¿nerStüL
mirutfüto, volvelt a
A püu, clue e,llo áe.a ytotíbLe
tA, u deein,
Lo!
el
hotu¿t
io
ocupa¡L ru¿vamevlfe. I-a" mi¿ma po 5¿ t¿nd¡t"d. que do,rL uvtf, vuelfa cnmplz
tendnd,n que Ltuvaat¡¡in 12 honn¿ d¿ adelanf,o, t¿vtd¡tÁ, gu¿ adefu.ytfwue : 12h x 60' = 720'
Evltoncü deerutoa
:
Eytfonctü
Ltottt¿ x hono¿
S¿ en 12
ztr
Luego
hemos de concl u'i
áe adelnnta
x = !20'x12h = T tendr¡án q.ue Wan 2880 ltona,a, 6 : 80 + 24 =
I 20 di-a.6
7
201
1 Divis'ión
=
1 m'i nuto
=
60
Para pasar de una hora a otrar 0l horario tiene que recorrer 5 di visiones mientras que el minutero ha tenido que recorrer 60 divil siones¡ Podemos entonces decir que por cada djvisión que recorra e'l ,horario, el minutero tendrá que recorrer L? divisiones y podemos entonces escri bi r que :
.
ESPAC
tendremos en cuenta que
IO
RECORRIDO POR
HORARIO
].
T
vez sea necesari o acl arar , gu€ el Es pac i o recorri do al que referÍmos , €s el arco de 'l a c i rcunferenc'ia del rel oj , barri p0r e'l extremo de cada maneci I I a , durante su movimi ento .
Ta'l nos
do
6n entre el espac i o recorri do por el hora. iEntre el mi nutero y e1 segundero? Bueno, ahora veamos por separado, 1os dos t'i pos de prob'l emas . qtre ¿Y
tipo,
.
2880 hottat.
GRUPO B.
Para solucionar 1os problemas de este
en que
dee-tlt, Ql ne-
3t
Ee. adehvúa¡Á.
s
28
u
r
cuál serf a I a
re1 ac i ..
rio y e'l segundero?
se nos presentan en este grupo
:
Y)
)orrhn
lrroi,o,
r))
))))
lB-
SOBRE RELOJES
ROBLEMAS
t
^, BC = 13.75 üv . PR0BLEI'IA Ns
S)LUCION.
n
ento
:
4.-
irTur;l,ryr,
Ayúe¿ d.e
ann,. ),,Y
forman entre
si,
como ¿abenoá que eÁna.
las agujas de un reloj a
las
ta¿
oO
nuolvaL
hatt6. unsa
^Í:f,fftrr:f f
aelataeionu
:
Como
,á-
no
oo,
r,r,
ycqndo
* il^ff
de
PROBL
t
dd
ee
t
*-
I I
eneno^ c¡u?
t lmano,,s
te
¡
I
*
0
co^o
La¿
sin
hnllüL :
t
cc)mo honn-
de
tiL' tt,l^
= A
de nedenenüa»
t,?,_honari"]"io*
oinuno¿ evutonce¿ que I Zhom¿:
: A Wf¿tL
=
rn
d-cgurt^a. ob¿üLvamoá
^ ^
BC
BC G BC
que
^ = tSüv
EMA N9 5 . -
15
1T
to
-;
6o
saosst
= 82o30t
A
=B|JC
15¡ IÁa manee-t2ln¿ hacut etfne ptoceltnvLerltt?
iQué ángulo forman
th 15' ?
¿i un dngLrlo
entre
si las
2 agujas de un reloi a las
l
3
Haceno{
el
eA_
ó¿ywt a
de tn¿
fr
=
couLeApond,Letf.z
grt^6,{zceo
Hon-a"
de ne[e¡tucín
Hotu,
6inol
Tenemo¿ c¡u.e
U
: thtu. lFleclu¡
ha,UfiL: AOB' = G' :
I futt. E. d.et mivutÍuto = A' =
A WJtfrüL de l^at
E.
d,Qt
Adenú¿
rw¡usúo
3
15
üv.
d¿ La 6r¡u)tt
3
,m,
I "j.:.,i I z-i'.
,,\¡¡
A'B'
S üv,t¿.tbngL.
A
A' 9,
i-.',
.-ii
i¿ , r.4:: ,
..'
!::
'l'
^^ 'M' = AB' -\-7E -\r= 30 üv. - íi üu. tv' 345 aLv. ,o
del ángutn
6otunaio
A6B'=
n
r,r
= TT
.
r:. ur..
<: . /-" =
= Í1, = ll *u.
FinÁbmenf¿ eL va.Lon :F
.A
Lars" 12lL
el
¿Enfettd,í6
Lue4o d,ínenod que
zll
= li, u"ioi-o ne,s
:
.
= 13.75üvxw
3
ma'Tcamoá :
* SóC
E¿paüo ¡ecout_id.o porl mii,utfuco =
Puco de
30'
SOLUCÍO^J
Ahona veqw¿ :
*
82o
entnnc?A
,
__
v1offi,¿ Wh?ffi%ffit?.*¡tr,ffiÍilrf,,: s\d{Lgarl,
aetbanot d¿ ve)t a
6o
va,L¿
-
::i: qi#,,,ffiir.H^{: :; : ::.
¿;iva¿),
a
BC
ilf ; r? riry;e*rl r*i#Í,ff*e: e ^f ra#,* :r;; k*,W".#m ffi r,tffi: w""nu.,-. patúizu¡b¿de La th __+-7.),,,,,,,:,: Si no¿ dan do
üvi,ti.6n
rr0B,
=
6Q)Ld.
ii'
345 to 60 Xm. = iqlv.
r7zo30'
el pwceto? cono. ptele lwbut vi¡to, u battanle tinple. En el aiauientu Wblund conple.te lJd. u Loa bgattet na¡ad¡¿ un pulnd au-
Ha ettevtdilo
'
(
)
i
182
PROBLEIIAS
OSCAR ZE
petaivoá. PR0BLE['|A Ne
I
6.-
üQué ángul o forman
llhrs .
20'
S0IUCIc)N ! T
t
t?
entre sf las agujas de un re'l oj a las
t
Luego,
183
SOBRE RELOJES
de¡nwa
t1o
+ 6o =
: A Wtii
: A'08' = A'B' TonanoÁ .como hona de ne[üt¿no-La ! . . . . Ld, l,tona 6iywL u : l1 luu . 20'| 0i¡anoa que : A pantin d¿ l4a 1l lütt ,
:
A
x = TI
= íi'
r'?" alv.
^^: M'. = ti.-rAB + B'B'
:
20
üv,
0¿
l¡. [igutn.
x
x " = 10 üv. + TT a.Lv.
\ri
= 40
üv. '=
eond,ici.6n mwtü-otwda
AtBt - .... üv. - ít üu.
frt-
:
¿A gué
40'
=
x = #'
3
AtBl ^rn - AB' - ...o,.... h-r¡r ,1 tr
+
7
-/
E. d"Qt lwnalüo = fti
Finalm¿vtf,¿
^'A' B
=
Twtutot quq hilJs,rL
E. d,et niyutf,uto e 6a'
Luego
üvtiionu
de La^d 2 lwtw¿
E. det la¡olig
:ñ
30
^e
4s'3g" h
kA
ewnpl)lÁ. a
hora entne las 3
2h
2 43' 38'' TT
y las 4 ]as manecillas
se superpo
nen?
*
Ho¡n de nedutenúa,
: 3 hJrA.
*
T¿nanot que hfrtIfiL
r ft.
3 añ¡
A' OB'
-\ A'B'
-
,"i .l-..,.W,
280 ,. Tf div
o
Di¡enod que
A'OB'
g
.,(!,?..
,
:
A pü.L<,rL de lÁA 3
E. d,etmiruÍuto=
0¿ La digüu,
entre l as 2 y 'l as 3 i el horarlo y el mi nutero estarán en dlrecciones opuestas? n ¿A qué hora
PRoBL:ro Ne 7 ,
:
¿1^
AC = AB
^
+
BC
V
-/J
x = 15 üv.
s0tUcl0ñ i
*
Hoftd
t
2 MA, (FLzchat áuapetuiva,sl A Tenenoa q,ue holloa 3. AA'.
¿nicj,al o d¿ ,LQ.6U¿nun
!
quz lÁa, mdneei,lla¡ 'l,tacen ,tgt Lo d,¿ 1 80o ldi¡ecaio, quiette d¿ei¡ que QAto"a
a
llx
16"
a bA
21
t¡
3l,L
.L
;, l6t21
"
,n
-/J
= l5
-TT
ft = xüv.
= fr =
E. d,QtlwnanLo
I TT
honn>s:
x
x/ lZüv.
)))
)))))
T84
USCAx ZEVALLOS.G.
¿A qué hora entre 'l as 4 y Jas 5 el minutéro y el horario formarán un ángulo gue sea I a qui nta parte dél ángul
o eI
teri or?
Teneno¿ que
lwl_hh:
lt{/.{,
: La¿ 4 hht. F.L¿cíws ¿ tu peru iv a,,s I TeruLendc en euenfn La condiú|n det prLo blena, t¿neno,s qu¿ : llona de neóuteneta.
,Jor,r'*r'ror*r*lrorl, SOLUCI0¡,
I
) I ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) I t¡
q ¿ Loa agujct úwiesn¿vúe canb n Anat ízalteno¿ L obteniCxeroa n¿\aeionu e$lz ltt etpa enttte elAoa, que 2te4a e¡nbinallrlol ¿
'A
Puto
=
a^\
/5 . o...... .
H'0l'l'
Y
,
Ai
A)
..,..
(Zl
tuox.
O¿ dond,e A ¡.1,
H,. =
600
6?/üv,.=
+
A pan"ti,z de aoui es un pttobr.wna cono Loá
oi n u p eeti,
-
i
Í_o¿
D¿
^*
............
E,spaú-ct dQl E¿¡x"e,to.
BB'
,\
¡¡A
600
Lo c¡uz indies. que -:
A trcuLtih d¿
A =
AB+86'+ hrur + 15 üv + x
A'
n,t:**d
(A)
A
D¿ Írt. [i4una
360o
reetnp.Lazamoy (t I ¿n (21 U obtendn?rno,s que :
=
:
E. Itliru,tuto= Mt
(1)
vuno^,
ll')Ht
0eeino¿ qus
E. Hotwnic
:
..^\ ./\ !'{'0H' + H'7ltlr=
;q;;ü.";-'t
..r
qu¿
'.E,t.f,t,l, ^ =
'15+*'= l1x... (rl
t0 üvt¿tbne{.
;' ;;,ffi"ff"i ^;
"*"
fr1,,a
á
Á
+
:
antesú.otte-s. Rewnptaze wrL
ctóa s
...' h, D¿cinors
dQl
L?
:
..
;
:
Enfo ncü6'
!
a a
o
o.
SA'
35
De lÁ, $tgurla
:
t^
,
10,
= Oitteno,s enfonce.L quz lrt, eoytdLú,6n
"1,0'
eúgida
En un dbterminado momento
.a
a
a
68.
a
a
a
a
Cels
a
gtntpli¡-d. a. ISA
: 4h 1 0,
.'. . . .
del día? el horario de,n reloj estaba entre qt 3_y.ras.4 y er minuteró .¡tr.-ir, r ,y -_ las B' Luego de algún tiemlo ocupaian óosiciones inver-sas. iQué hora maréaban entre lai 3'y iás + ?.. 'l
F
/rS + Sl' Y Y l1x35
,:
Ns 10: -
^ :As
AB'
Et*nncu de (,
PROBLEMA
^SA' A
I
De doyule
de t^oJ" 7
'^
X
::T-
:A
ut p en-
La [íguna fenenot
Re-eyüazaytdl
únylo Üttn.
¡PRESTE ATEIIICIONl :
(
L['AH'
a§iiu¡ ga que ell¡l -
Notenoa eul , peta sabanot q
)
detpejemoE
x'
, { , ÁuaLütuy*no*o en
12
x,
435 435
T4T
.t
tZltZx 35l. + llx 144x +2ü + llx I
43x x
lLllLx
?
l2l 15 15
üv.
35ll
:
+ = ,A8' = l2ll2x-351+
3
12
=
h)L,s .
,
í-
B'A'
* ... l2l
no^ queiond enfon-
OSCAR ZEVALLOS G.
PROBLEMAS SOBRE RELOJES
tr
=j6t = l¿x
36t
=
j!
3''
de.]as 3 sin ser las 4 dé esta oscura noche,. si hubie'-an pasado rnás. faltarfan_para tas 5 horas losrismos minuiós que basaron desde las 3 horas.hace.l5 minutos. iQué hora es? Pasan
25 minutos
30
hA 4 te¡ln ltá
1i{7
a)
T
oi se adel anta 3, habrá ad el antado :
Un ¡rel
mi
I EMP0: 40'
nutos
cada
a)
L, hora. AI cabo de 18 horas
b
)
c) z+,
4?+'
d) 42
hrs
e)
.
Mi
re1
4h
20'a;m c)
oj se adelanta
.xrr minutos
marcando pero, I a hora exacta . tos d ías vol verá ha ocurri r el
b)+d. ,y
a)Jlo.
18h 20'p.m
d)
.
En cada 'ryrr horas no I o hago. arregl
mi
s
snno
c)30xy
uce'so
a
antarse, s í
e) 5h 30'p.tn
e)
ma
rca
¡)
o¡
rá
84 diás
evamen
15
la
te
hrs.
56
'.rtJ
c) e
( l}
\- '
98 ,jías
) Ni nguna
15
hrs.
de I as
56
'
?85 28s
b) 84
#
1+
anteriores
O\-/
d)
84
4
265 T7
b) 48 hrs.
'\
@
.
0
?4
hrs.
d
)
22 hrs.
e) Lz hrs.
) 7h '40'
c
)
d) 7h 20,
e)
N.A.
momento
a
e) 46"30'
las agujas de un reloj a las
c) L2" -
32".
las
10 hrs.?
i5'
d) 38.5o
80o
de
:
?
agujas de un rel
d) 8o
oj
e) 150
forman un ángul o de
b) th 15'23,' c) 9h 6,6,, d)
9h
5'
l?3" ,
en
tre
e) 9h 26'
b)
Cada
\. , \
'52,43,,+ 43,
3?"
c
)
Cada 32' 15"
+
.,
¿tadi cuánto liempo'las agujas de un reloj forman entre sí un ángu'l
sea I a cuarta parte de sr¡ a
d
) )
rJe
?
d) Cada 15' 32" # ir-. e ) 3ru
días.
transcurrido l2O días para que un rel oj margue nuevamente I a hora e xactñ. iCada cuántas horas tendrá que habárse adel antado 5 mi nutos Pa: ra así poder hacerlo? h'S.
c
tad de mi nutos que püsaron desde r as 6 hrs
icada cuánto tiempo las agujas ae un re]o¡ forman ent,re s.i un ángu1c
90ó
Han
-,'?
b)
a) Cada 15' dÍas 18 hrs . 56'
a mi
goo3o,
r/rL
10.5"
a) th
30v
hora exacta?
'
)
las 9 y las
2t
ma
i1u
'l
ángu1o formado por
57', 49:1
iEn qué
áDentro de cuán-
rca I a hora exacta un cierto dfa a las 8 horas. Suponiendo que se adel anta I minutos y medio cada dfa. ¿Luego de cuánto tiempo --
lJn rel
a
?.
d' $*o'
b)
icuál es .l
este nunento eitá
ar
ras
r"eloj?
e1
N.A.
o forman entre sí las agujas de un re'loj a 'ras 1lh I0,
) 60"
llh
18h-20'a.m
si
N.A.
adel
a
B ho
40' . ,b) 5h ZO'
üQué ángul
Un re1 oj se adel anta 2' en 3 hrs. ¿A qué hora empezó 10 hrs. 20' de la noche marca 10 hrs . 32' ?
) 4h 2L' p.^. !
5h
mañana?
a las a
45'p.m b) 4h 20'a.m' c) 3h 55'a.m d) 3h 55,p,rn e)
se
,
42'
3h
Fal tan para I ss áQué hora marca
PROBLEMAS PROPUESTOS
I
187
ta
Cada 45' Cada 45' 36"
2
TI
supl empnto?
b
) Cada 45' 36" #
é
I Ni nguna de I as anteri ores
c
)
Cada 65' .
FJ h
ii
o
¡l 4
l),\)):,) lggi))r)tr)l
6il \'/
O5CAR ¿EVALLOS G.
Martín toma su.desayuno cuando ras maneci'lras entre tas s , lii-é"il;.1';i;r¿;ia entre-las de su reloj se superponen 2 y tas 3 p.m.. cuando __ tas maneci!lás.oe tr.áirj io.ñin:"ntr. sÍ un ángu1o de r80.. icuáI es er interva'ro de [i;ñ-;ntre su desayuno y el almuerzo?.
a)
G)\'/
.
5h
43'32,, o¡
e,i,
z+¡rf )
sh zB, 32,,5 d)
F.D.
E) N.A.
Armando va a'r
cine y-sale de su casa ct¡ando entre.r as 6 y.ras Ia rrp""ponin'lri'rgü¡'oi"oli'reroj y regresa cuando entre7 de ras r0 y 1as 11.de esa noche las-iirJei-irrm.n u,n ángulo rectonoche se
xil
iQué t.iempo anduvo fuerá?
a) 3h 2I'25,' b) 4fi 32'35,,
ár
ui-
7
1T
c) 4h3Z' d) 4h35'32,,#e)
Juan parte de su casa c-uando e'r m'inuterr.está entre ras 1r horario entre ras, JZ y ta r., y l rega a ri-iisi':ü-su'luuei que e,n áeules-r,uí iri;"."*irU."-prii.iJ,_.r.
"*ers
ffiffi?;? a) d)
l?h 23,
55"
t}h s2' 2s L 11
b)
I?h 13, 4?"
e) Ni ngpna d.e
'l
7 TT
c
)\
I?h 55'
as anteriores.
2'3 .
Problemas sobre edades
N.A.
y 12 y ita en iA
1"
er e.r
qué hora
Ette capútu¿o bien podtúa habud¿ inctufdo denLtto det capf.tlto de "Plnn teo de Eatsúonea"; püo debido o. que eüste utLq gn-o.n vahieddd de pzo-7 blanu de utp. tipo, que Lienen battanf,e ü$ui6n, q pon 2-c que podnía
¿u
Lo trúl inpottantQ.: porl4u¿ en ¿u ¿oluei6n esnpLeaemo¿ un método muA ptri.ctico e intutudvtt¿, eA que Le vünoá a deücan ura a,tenú6n ?Ape-ci.qL.
Todo pnobLun de ute üpo u de [áo-iL necanocimíenlo, debido d¿ 2o¿ aigwíeniu poJttü:
ta
a que cora
?en¡ovt¡t.- A La.t atalu cortiuponden la¿ edadu con laa q.Le Ee ttuba-'qu¿ e.a cLe¡,t¡ tonbién, en tugat de edadu, puáite dei cta.o LLpó de unfidddu En lat pe)aonda poEean. T:!,urrW.- E¿ta u utw de ka uru.c.tu,Ltüca.t r¡ú.¿ inpottta.ntu, puoato que ta. aceiín del pnobl"e»n ¿e deta¡¡wlla en Liempoa ü$etantet, el2oá
jffinque
I
pueden
aen
t Ti.wrpo pa,aado: "Hac¿ 10 aiioa"r "hdce. x añoa"r "tenf.aót'r "tuve", Q,tc. :I Tiempo prlüevúe, "LLeney'-', 'itengo", ."tenQmoat', e,tc. fienpo ó¡tfu¿to: "denflo d¿.15 añ.b¿", "denl)to d.e l0 año¿", "tLndh.lla"... Son
deie¡wi.¡udu nelneioneÁ ent¡e 2¡¿ e¡niidadu o edt--
envienen'q que áe unpl,en zn un de,tetmitado LLurpo, o
ettfute
ulent?).
tÁa expnelionu del LtPo:
luploa
de conücionu,
"Den-
uú|. ó3 añ08" ; )'Hace l0 añot;mi e b. edad. que fut tenfaat', Eon e-
tipo de pno$Lural , va Ud. a dptLenden dlLo u.tilizüL e} gtt-lL$zÚco ai-gwienf,e, en el cual ¿e colocdn lot datoa 0 incígrüfnt en el o.Ldei g Lugaa- que ¿e detatlan Polt-l.
h4 d
¡elolve¡L túpidünetLtz eate
2
190
OSCAR ZEVALLOS G.
TT
PROBLEMAS SOB RE EDADES
i91
TTEITPOS
T---1 I
FrrURo
PRESEñTE
Pres ente Zx-15
PERSOAJAS
'o
(r)
x-lutri
Si Pedro ahora tiene,,x,r años hace 15 años hab.á'[enf do: "x -
(q )
15tt años
c)lorcto^,Es Una v¿z LeAdo
¿aniot
Wa
q entwtüdo eada pnbLurra, erfunurot de ü Lo¿ da.to¿ ut el gtú.{ico, en el o¡det auguúdot
ne¡.e
co?.oeoúo¿
o,@,@
,@
?¡ac.tiquuoa ahona, e2
J
uo del gnÁ.[ieo
2x
Resolviendo:
4.IBLEM l-d, ednd
o de Juan eA Ql doble
v:
lÁ. edad de Pedno, püLo ha,ce 15 añ,0¿, e)-d. el
tn{p¿u. Halhn W. ¿una de
Fi nalmente I a res pues ta
¿dadu aefualel.
s
erá
:
Solución:
@o
dro.
y
a qute.n t e lf padne, .Wugunfa.pa,L tnu vecr'Á l:n de m¿ +g t*lo, püLo hnce
del hijo?
Pg
Los tlempos, en este ca-
Hace 15 años
I
Pte.
: (a ) I a ei áobt e de la de Pedro,€D el pre sente (J=2P) y (b) en eT pasado era eI tri pl e condi clones
edad dé Juan es
Seg0n I
lero
edad
actual de Pedro y la colocamos en su casflle
Ia condlcl6n: (a) Juan tlene el doble de rrxx +
pondremos
:
"
2x" .
x
60
2x
- 15) 45
x + 2x =.30 + 60 = ry
años =-¡
¡
gn SU CüSf--
de ¿u lr*jo confe¡ta: tU ¿dad. ¿w¡aban 60. ¿cu^dt % IÁ. ¿d"e
el problema.y_ él los datós los cuales son colócJoos_ en el gráflco en el orden ya Anallzamos
extraemos de
Ahora? qnpecemos a hacer_ cumpt ir las condiciones, _ empeza$o por el tiempo presente.
( B) Ahora introduclremos en eI gráfico las edades iAtenci6nl lltlmamos "x" a la ro respectlvo.
*
sugerldo. Véalo Ud.:
(J=3P ) .
O
3x
30
Sol uclón
--:
@ L¡s
3(x
TROELE/,IA
En eI orden ya sugerldo, reempl azg mos nuestros datos en el gráfi co :
Los nombres de Juan
(b)
3P
- 15 2x - 15
Reemplazando:
an4u,ion:
Sf el hijo tlene hoy,,x,'-
años, según (a), su Dadre tendrá " 3x', años (Z)' Ahoia vayarnos
al
pasado
:
Padre
) ) ) ) )G.)*i :r )
)) 192
oscAR ¿tv ntlos
Si e'l hijo ttene
hoy
,x,,
Hace 10 años
a
ños, hace 10 años , tenfa : "x 10" años
)
pxoBL¿uAs
Procedrmos
*
t' " 3x- 10
Si el
padre tiene hoy ,'3x,, años hace 10 años tuvó:
"x-16tt
"3x-10" añbs.
) t_,
a hacer intcrvqnlr a 'las
del pasado, hagamos cumpllr la condlcJ6n (a) en ese tlempo, a ellas, calculemos las edades dentro de 20 años, para poder asf, hacer cumpllr la condlcl6n (b) en dlcho tiempo.
I
DlgamEs que hace
8 eños, e'l hljo ienfa "x" años, entonces por la habrá tenido: " ....." años (2)
(a), e'l padre Afiora a partlr dc cstas cond{cl6n
edades, lremos representando las dmá-s'
prlmero las del prcaente cmo podanos obscrvar:
y
Res o'! v i endo :
la respuesta será:
Edad
del hlJo = 20
.
futuro, tal
n años
Dentro
x+E+1 2
años
entendienüo?
Entonc por
úl
timo:
P
= ?H
4x+ 4x+
20 20
----- (b) =.?(x + 20) = 2x +.40 =20
2x x =:
t
en base a éstos, los del
='60-..(b) =60 =80 =20
Reempl azando:
PROB
edades
en base
i
Entonces
)
Partamos
y
en, ahora úni camente nos falta hacer cumplir Ja condi c I 6n para I as edades eD e'l pasado: (b). Entonces: B
.Jnrr.3
Ioor/r
EMA
tla.{lan La zciad de un po.dne ta. d.e au hilo aabiendo quz hac¿ 6 ,.ño¿ La edad 11 det patheac .[ue uÁdzupte dí ¿nt i¿áihao i;;.;-ee;,1;o"li-tz I se añoE, Eolanten r-v -v=v'v te ¿uú. el dobLe dz Ii dz tu hijo.
10
'Pero la edad actua'l del hijo será: y la edad actual del padre será: .
u
años.
üDe acuerdo?
+8=10+8=18años
VROBLEMA'IA \rz
Soluclón:
llace
$eefpl aze ud . . ] as . pa'labras , números o expresiones que fal ten en cada caso. Trate de seguÍ:r mi razonamíenio. \
De acuerdo do
a 'l os datos, rea'r I zamos su col ocacl6n en el
.orden ya cohoc I -
rr
nr¿
rr dñoá lA. edad de A
añ.0ó, áolarne.nla áutd. añoá . 6úe:
ut. t' n)t vecel lÁ- edad de )'á" vec4.A Lo, edad de B. La edod
B.
Oenflu d¿ "n + tt
que t¿nfg. B hace
E))
n-6)t
Sol uc I 6n:
L¡ ú'nlca dlfcremlr de cste'preblcmr con los anterlores es que en este c¡so'
Hacg
¡..
años
Ori
t
Pad
re
ái iro¡lar¡ es lltcrtl, io chl no.tmpllca que sea más ¿rttdtl, nl que túmp9. cc sc dtüt rere]ver de otra mant!'ti es nús, como yt ttnemos' ahora.Glerta el piriiniia en áitoi próuiáis,-lós-ieiórveránp¡ máÉ rCpldameñte utlllzando eT Dentro Señalasros I os datos en oorrdlclón (a) y de al I
f
el
ordefl ya sryerldo, Y empezamos a hacer curnpllr la vams al tuturo a hacer cumpl I r la condlcl6n (b)
OSCAR
194
oL
Hace rr n-s rr años nx.
A
x
B
(1)
A=nB
f I nalmente hacemos cunipl i r
A=
ZEVALLOS
Dentro de
" n+s
nx+n- s
nX+n-S+n+S
=
x+n-s
X+n-S+n+S
Pte.
A.=sB (a)
=
t'
G.
PROBLEMAS SOBRE EDADES
tenfa'
I
7+?n
r';
sB
Entonces por Dl
la resPuesta
Y:x=
Y
(6)
,2x (5)
(3)
tenemos:
Di f . de edades en e'l pte . des en el futuro.
2X- Y=63e
t i-v
puesta
el
x x
(rt
v
?x 63
1x
tzl
era de '!os métodos que ya conoce, g'l de susque: x = ..., e y = ..r y ia ?"e5 prob-lema-será: 2x +y = ..,
De donde se
tltucl6n,
ed&--
2x 2x
sistema que a su vez se puede expresar como: y"'
üio a Petno-: Yo tengo Ql dobt-¿ de tt edad que tu t¿nÍ,a^d uando Uo' .14 t¿nÍa b. eáaa qu¿ ti tiwte¡,- püo etando tú, tengoa f-a. ¿dad qu¿ tlo tengo,ael,ua HattÁ)L Ld. Eunlo' de LaA edadu áund, rle nuütnal ¿dade¡ duú. de 63 añ'ot. Lu de anboá.
uti
I I za cual qul
poF eJsnplo, encontrará
ucl6n
este caso los tiempos están dados de manera diferente que los anteriores. El tiempo pasado está señalado pó" " tenfas " , €l prgsente por " tengo" y " tl erespectivos nes " , €l futuro por " tengas " , entendldo asf, reemplazamos en suS
En
ugares
PROEtEMA§ PROPUESTOS
Tízmpo: 50 minufnt'
.
Procedamos
Juan
a reemplazar 'las edades. iAtencl6n!
le dice a Pedro:
ánloncis'
*
diferencia de edades
f . de edades en el pasado =
al
Juan Le
*
(2)...
Aparentemente, no dlsponemos de ecuaclones para continuar resolviencio, pero no olvldemos que: LA DIFERENCIA DE EDADES ENTRE 2 PERS0NAS, SIE!{PRE ES C0i{STANTE. Piense, si no en lo que sucede entre su edad y'la de su padre, por eJemp'lo y estará de acuerdo cog,]a observacl6n anterior.
PR()BTEMA
1
-/ (1)
2x
63
?x
J + P = 63
nx'+ ?n = sx + Zns nx - sx = 2ns 2n x(n - s) = 2n(s - 1)
So.l
§x
.* \'i :'t
tendrás
enes
(b)
la condici6n (b)
hallado es
tl
@
nx+2n
tenciré
tengo
ten f as
años
nx+2n= s(x + 2n)
y este últlmo valor
195
si
Pedro
"Yo tengo e'! doble de
tenfa "x"
(t),
la
Juan t'lene
edad que
"2x" (2)
tu ténfas"i
le dlce a Pedro: "cuando yo tenfa la edad que tu tlenes"i añOS (4). entonces, sl Pedro tlene',y" aáos (3), JUan tenla también "y" * ituan'le dlce'a Pedro: "cuando tu tengas la edad que yo tengo'; entonces' como de (2) Juan tlene: "2x" años, Pedro tendrá: "2x" años (5)-y en este las dos edades súmarán_63 años, pero y!? de e'llas ya va,óránió,i-tterpo iá uzx', entontes lá ói"a-iánáia que valer: '63 -'2x" (5). i¡ué le parece?. éEstá entendlendo?. Luego el gráfico será:
ft\"
f*" 66 añot, Lidda fenfa. ta. téptba patúe d.e ta. ¿dad quz fiene Enloncel lt ¿wa de l¡,t e-i/.¡u de ¿u edad ac.tual u d) 15 b) 4 c) 13 a) 72
ahona.
Juan
Dubu de é0 añoa lla*ün tud¡"d. el uúdnryLe
dz ,su e.dad
d.elu¡L.
llAce-
afio¿ tenf-a.
a)
25
años b) ?O años
c)
85
años
d)
75
años
f1
15 años
5
)l
))))))))
t96
o
OSCAR ZEVALLOS G.
Denütc d¿ é5 año¿ t¿ndat. 6
tod año¿
a)
@
me {al_fan
pa}La"
M ?4
zs
La
ve.c?rs
'l
os cumpl
a) (2m+n) años d) n 2n
@
b
Iff."f,,,*ofl.olrr"
d)
f
15 a,ño¿
CuÁn-
)
WüfrüL _de lroA, t¿nd,t-6.
twtgo:
Ac,tu,.afun¿nf2
N.A.
rt
2n
xeün'-'3p.- ?q" qño¿. i
?t
bui-pÍ-e de
mi edad uw
d,e
t6
/3
d,e,
La
)
menorLt
80 años
b
puLo di contamo¿ 45 añol d /28 de Ld edad que Uo tenga. LA
tA tttAa,
patü-tz d¿ hoA ¿uc¿detú. quz tti t¿ndn6¡
eüd del
e)
15
) 2(m+n) años
e) 3m
añc¿
año¿.
que teytia hace 1 0
a
u cutrLan,,nl + n" año¿ a ¿da.d q.ue teytÍn [,ta.c¿ ,,m n" año¿ .
Cuando b¡n
rr/oe,
''Hace eda.d
eumpbtt 49 año¿?
c) ya
pnudLu,qhs rbsn./
15
eA ae-tuolntentei
) 15 años c) 95 años
d) 75 años
e)
30 años
Hac¿'ta + b + c" añoL ttt edad ua ttq ¡ $n vecu tt r¡,íd. Cutndo fut ¿6Lo tengoa 'rb + ctr vecu mi edad, habnán t¡druat»uido a pa,nfitt de hog "e +
(2m-n) años
b
; d" a"ñoa. Etttoncu qo tenfa
l¿n año¿l:
b) Qué.sdad
feid^o. derflw
de
e)
ñ l2;:2li,tiotoo, Le ¿do-d
C¿ l,l.wúa.
e.dad dz I'kEuel-
nÍ'a,
f: tv
Lc.
zfr
añ.od
ú
b) 20
¿C,ad
de
)
{2p-2q*4r)
años
Cuando
ni,tad dz La zdaA
Lt cpLu d¿
la
d¿ t,4*guel patLc hac
I
Z0 año,s
c)
La
edctd de l,4c,q;rL. ¿QuL eaad tie_ne l.la--
60
d) 80
t¿nÍa l0
tttl
50
üene el
¿i-ili-qui-oi terso.
ño¿.
¿Qu6.
¿dad
tuía
c)
70
e)
d) rio
e)
@
2A
euá-dutple de La ¿d«d de Paulo que t-tene I 5 añot. CwTntc¿ clue t-a pümena tengo- Ql Cobl-e de lÁ" edad del a egundc?
b)
e)
d),go
15
.
c
) Hace lZ años
de 15 año¿ ÍÁ. ¿dad de TzídiLo ¿e¡Á. el dobLe de La edad 'dz Anice-' cada uno di lrcce é añc¿ La er.t«.d de
to. Calaila¡ t-ors ¿dade¡ a-e-fualu de T e6 dilo ¿ ut6" et tn*plz d¿ La edad de du aú.uolu de ombo^. a)6e b)27 c)86
AruLce-to. 0alt^
In
Áuma,
tiwtu tt" twi,tad de Lo quz t¿rúa¿ A tendnfu e,L tnipLz de Lo que ti?.-ner;; ái tuviüLda Lo que tiene¿, tenÍ,aa A tendn6¡, tend"rti-a,s' Lo que Uo te-ttgo que u q ¿oLu túA d¿ Lo que t(L tend,ú¿ . ¿Cu6.nfo tenemo¿ enf¡e Tú.
a
1
d¿
la,s
ed«--
N.A.
anboa?
N.A.
lry padtte ti¿n¿ 44 año¿ de edad LJ ts_zn¿ 3 lwj ot , uno- dz t 6 añ.0á , , ot)to cl¿ 4 añoa t1 ú te¡cuco de l Z año,s-. Hace atá.rutod añ.0,¿ La edad det WCne due ú dobLe de U 6u,ma de f-e6 ¿d.ade,t de áua lwj oa.
b) Hace 6 años e) N.A. '
Jo¿é?
e) N-A.
año.s paLauá-n pcJr,a,
O¿ytt-,zo
*enía t'a" vecQl La edlrd. de Jo.te$a,loUiton ynnd LLegan aL - bt' afi.oÁ, P'e¡o utando loae[a. tenga Ia- "b" üita pante Jote qa lubaÁn L1o.rl6cut-,üido d püttil de lnq nd + bn &-
eálra'ilt"a, tuan cwndo
añ.o,s?
a) 60
a) 60
Jo¿6.
p,Luenf.e. a.ño ¡'a de Lo que tenga
Juan e,s.-ü fnip\-e de ln.¿dad de^Júano., Peno d-znfirc.de 50 aqu€.
F,o,s, e!-ta tencad
P,tule
-Lct
c
?
40
Juay,a.
U
uu-
b) (6p+qr) años e) ( or-qp ) años
@
)' 18 sol és
Ú n
soles
35 sol
es d) 30 soJes e) Fal tan datos
üce a Lu¿,6: La ¿tma' de nuetünA edade,s eA 46 añod A fu e.dad eA el tnipLe de La eds¿ que.tenia,t etu.ndo tlo tenÍa el tniple de La edad qu¿ tuvt¡t¿ euando Uo rae-i. Evúoncea LuA tiene qetualnevute
Jongz Le
a) 12 años b) 34 años é)
48
años
d)
24
años e) Faltan datos
Aettrutnente taut)LoÁ edadu awnan 140 año¿. Yo tengo la edad que nÍ.o,d atando go tenfa La edad que fit tenfsl cuando qo tenla h. füL
p.tte
h. edad que tengo ahona, ¿Qut. edad Oe*? qettnlnente? a) 60 anos b) 20 años c) 40 años d) .10 años e) tlO año d.z
1..
d) 95
e)
N.A.
tienu k ¡tlitdd, m¿rc¿ 5 añ,o¿ d.e ts. ¿dad. qu.e Ao tend¡e utando tú tengat lo quL .!o tenfa, cuatdo ü tenf-a,t La eus¡la ¡nnte dz 2.o que qo tuvie 8e,.,¿i tendriaañol'núl de Lo¿ que tenda6.. ?utp ó¿ t¡o ttriue ahottt T0.
.10
:":'
OSCAR,
198
l0
crñ06
a)
30
rúl
de
1;;;rA- ent¡e
qua tendne {ot tud¡f-ano¿
ambo¿
ruan
110
c) 70
años b) 45 años
pLe wnÁ
t¿ --iqua q tA Lo¿ que c¿frot
-
he.
ZEVALLOS G.
ücl@ qú2 tiene¡ ¡
años d) 55 años e)
Absurdo
",Í##rfn2ffiro',Í3?"i. v¿z Le #h.=-l¿ann a 6uvecü l¡ ,rrc.o ;;lorrrrre
#"*';'"*
?edxo tetga
Qtt-
edad tetgo?
et Lnifle de b
twlnett¿?
58 años d) 64 años a) 44 años b) 85 años c)
")
qtn
tiܿ
X[¡E
aL
Velocidedes
N'A' L
uL-
o*, hona?
a) eo anbs
b) 80 años c)
100
años d) !20 años e) N'A'
tengo, tetrlnÁ't
o quL LLenu -t¡ r.ñó¿ nú¡ de Lot t-o qut tL A Ao
a) 5 años
b) 20 años c)
15 años
En este
capftulo
el
se presentan_en
intervienen las
ver los prlncipales tlpos de problemas
E=Espacio , V=Velocidad y Itlagnltudes que estan relacionadas
A su vez cada una de estas
.
t=V.T
En cualqufera de
tar ooooo
habremos de
l.lovlmlento Rectllfnco con,,vélocldad constanti, en 3 sigulentes magnitudes :
en
el
3
por
J.,
Ias tres expresiones
nuismo s i sterna
de
un'idades
'
T=Tlempo.
escribirse como :
II -VE
que usemos
,
s
l empre l
as 3 deben de ES --
.
erupo(Ft -\, PROBLEIIA Ne 1.-
que
cual
:
magni tudes puede
, V=i
el
:
ltn ttut,Lecoihe 54A t¿¡¡Á. con úe¡áa veloe)lad, otto etn dobLe vel¡ci.dad A u fe¡cuo. con veLocidad Lnipl*. que la deL pünerc. tn*¡e Lot t¡tu tatdan ?2 lwto¿. ¿Ctltl u la aunw d¿ La.t veloci.dadu?
: Espacio recorrido por cada uno = 540 kms. Tren (A ) + su yel oc i dad = vl '+ Ti empoo = 540/vl Tren (B) + su velocidad = ZYt -| Tiempo, = 540 lZU, Tren (C) + su vel oci dad = 3Vt -r Ti empo, = 540/3Vi \'l * ZVt ¡ 3Vi = Queremos hallar ' S0LUCI0N
S.,,
)
)
z¡,i,
)
)
/l.
)
)
))))l
)
OSCAR ZEYAIIOS
Entoncfs
TR
Lrrr-
r
)))t DAUÉS
llrL0t
)
=2?
L=
=22
L=
I?
seg
540
Resolviendo
:
5(5qo) + 3(5a0) + ?(s4o) 11(540)
De
do
[n tc
w5
n,Jr:
:
i?',
;
Dc
,. 3,.
I''ilir ii:_ l.'l-t
;r_r
=Vt+ZVt+3Vt=6Vt=
,
Ud
.
expresar
?
el
6 (q
S krnlhr
?2
x6x
PROBTEIIA +J9
3.-
Vt
Un
t¡en de
un
puenfe de
:
45 krnlhr.
EI
) = ZIO km/hr .
áSe imagi na Ud.
la situación?...Varnos a graficarla
Tren aún
:
El tren
no
razonamiento empl eado?
Un tncn ctuz vct a uyza veLc:eidact
cle 36 b¿n/h.zt obtutvad'án ub¿cid,4'^irenfe lxt)4 ante un ar -ii,r)')tten. dQnc,¡andoae 12 áegundc,á. en hacutro ¿cu,ll" ¿s ú t^a ctei, t¡en? 'a,n3 un mejor entendimi ento graf iquernos I o sucedido:
de
F
120
?40
el tren pa ra pasar e'l puente? n0 + ?40 = 360 mts.
recorrer
iQué espacio ha tenido que
pasar
E
iEn cuánto ti empo ?
+
T
Su velocidad será
- 6 mi nutos .
a a
360ffi60m'
v
.
tongifud áe danonn en w^an w,L U0 nel¡o¿ de Lanqrt un tim¡n'de 6 minufo'. LU t¡en e-,na de :-
120 ne.t^o^ de
La vetoc¿dad
=vt
Vt a S,
{g
V9
:
lruece no ta
r,
PR0BTEIIA pa
el tren joual
ra qUe
recorl-er un espacic
L
',¡_-laSe,'
I r_
l ) I r-.'iC t- erc
las e rnet.or,pá." seoundounidades son di Así :
.-,1..-,9!.= '. j.Juu Si:,t ).
I = -T1<ñ _.90_Q
10
Un au,tfr tlecort,t.e
de 30
lan /
hrl A de
t20 l?itonúrl'L de A a 8, c una, veloaidad ,LQ4tLeAo ¡s¿srthe .la. ni"ona, dirstanoia a 4 0
lu/lLi.. Etti¿onee¡ : al Cl,LuIÁ.rL La veloe-Lda.d med,i.a, de todo el vi.d.je. bl Caluúe [Á. vel-ocirlad prwmeüo dQI vi,a.!e tetal. SOLUCI0N
(1)
n9-se;rr.¡g5o op:-rar, ques J6 ;
x
4.-
ha .ten i -
¿i su procia
= (t'r...)í;.i empo) = 36 km/h .\ iZ,,
L-? LL
¡¡9
:
Además de que representan conceptos
dia se calcula de diferente
difer€ntes, la velocidad nr--
manera que
la
velocidad promedio.
Si un móvil recorre el tra¡m Econ una velocidad V, y el tramo'CDcon ferrli_r-
velocidad
Y
?, t.ndli*. que :
m
Veloc.
tr
S
Hi
entras qut
:
2 Vt
U?
l,ledia = tr.-E
(1)
una
20?
OSCAR ZEVATLOS G.
203
¿YELOCI DADES
m 3 E, es nuestra
lnc6gnlta. c
(2) Entonces en
a)
Vl a VZ =
el
Lrs condiciones son probl
30 km/hr. 40 km/hr.
De acuerdo
a
(1)
+
Vel
lll a tm/ml n Tl - 120 mt/mi n
EvaCU YV = (V*11) mts/min TV = 105 mt/mi n
m¡
. 'f,led I a donde como Ud. Ye
:
(1)
segundo caso,.como
Espacio Espacio Espacio
Total = S:g3gjgje + Espaclo FA Total = 120 km + l2O km. Total =.240 kms.
qué será I_:.l.iA _lgual el ros Erempos parcia'les, que Ti empo
de ,48
=
120 kms *fl¡ñZF =
I?0 kms ET = ñ6Tffi en (Z) :
Fi nal mente reempl azando
=
Veloc. Promedio
?40
=
ffi
Veloc. Promedio =
34
los valores
pgro no
s
4 horas. 3
horts.
1zo
v .., irl
" (2),
entonces L20
Reempl a
V, en (1) 6 (2)
zando
a
CU
=
(V + 1l)105
...
(Z)
:
105(tl + 1l) 77 mts/min
:
metros' m = L?0(77) = 9?40 re Ud? . . . Verl fi quelo con el s i gr¡i ente problema :
PR0BLEMA
ñg
á.-
S0LUCIoN
:
La
iDe acuerdo?
V
V=
ao
?eltu * dlilgu a Hu.anu.go, dude Lim,Uegando en au aul¡nívil en un tienpo dz 30 lutu.t, Si ol-legn?Áo duñentt ¿u velsc,ütd u 4 hnlhn lleaaú. ut 6 lu¡at nenot que a fu. ina. ¿CuÁL u b. d,üttnü¡. totaL ¡zeo¡ül,a?
dlstanclt total recorrJda será el dob'le de'la distancia Lima : E. Representando las condiciones :
Huancayo, que llamaremos
A'l a Vueita
:
i
kms .
kms kms
i
+
o
iHa entendl do
tiempo total? ... claro, Io obtene,q< sumando a su vez]os calculamos de la sfguiente mancra:
Ti empo de
I*.
han coincidido debido es as Í .
i empre
I
=
De
(1)
T.
a que los trarnos recorridos
Representemos Jos movimienio, de
ida y
vuel ta
.
/hr
30 hrs.
y (2) tendremos
30
:
V=
24(V + 4)
v = 16 lH.
Jonae ,7ecorüe la dt stanüa A en 120 minutoa, aL neg,LQaoutneyú(i Eu veloü-dad de mancln en I I metio^ po,L minuic, . tl ,Lecoihe L« mi¡m« di¡tancld, en 105 tninufia. Ha,U-u m.
:
A'l a Vuelta
+
ud. puede ver de (2), tenerms quc .¿spacio total reco*ido, asf como el tienpo toiá: que .rpiáo ca'l cul¡r cl en rrcorrcr todo el trayecto. aA qgé.será lgual.el espacio total? ..._Es c,ierto, si sum¡mos Ios csprcios parciales recorrldos, obtendremos : er Espaiiá ióiai niioirr¿o:
s0lqclON
A
oc. lledla
Vel oc
b) [n el
la Ida Etsm
:
tendremos qua:
ema
o tanto'l a respuesta final será :
Por'l
i
í'(a,i
L
il,l^ ¡9
7.
Jaine 00n
va,
tt.at,
2E
= ,....
iQué dice Ud.?
de un pua.tn l,{ a, o.üo N Ut
tta0¿r,cr').)
ln
?n
h^t
lLr
ttyto,
dUa¡¡o-motn que t !)
v1¿ab- D0^-'u
-
-
'l
)l)))
)
,
OSCAR ZEVALLOS G.
2C4
'Js)
JLc,,,rloH.,Js
ú.-
PROBLEiIAS
^Js
iia nzec¡wido La ,s€ptina paúe de óu utnino, áQ vc obllgado a neduúst ,5u veloúlad ha,sta Loa 2/3 de ella,coL tortvándotn a,sf et ne¡to dll canino, llzgando 3 ho¡a,s mds Cuattcio
tandz.
. .i
.
Entoncu Ql upaúo t¿eotw.do ten6. de :
La Distancia nes
SOLUCION:
Fiñ
= E, es
.l
''
incógnita. Grafiquems Jas condicio-
a
3
Yz'+ r
ttt '-7
iCudl
SOI9CION
"
v1*
1t
I
Bien ahora tratemos de Expresar
: ,lj ¡_l!r t
E
Como'es en el tramo m- en el 'cual camb'i a de ve] oci dad, I o cual hace que se demore 3 horas nrás., entonces analizamos eI movimiento en ese trarno co no si no hub'i era pasado nada (A) y tambi én el movi mi ento en el mi smo tral mo cuando I a s cond'i ci ones vari an (B ) y cornparamos tal es movi mi entos . :
E = longitud
E. = I
E
t/i
125
'T.
T'ldu
C.; (A) El =? -:
"n
.-¡u
rarno
-Álj-,
cuan
m/min
+ fI¿.
.o (?)
Inicial
,
nr
Reemplazando
(2)
T
-
(1)
-Td-
t-
r7?; -
de vel oci dad
gundo
+ T + 3 = *
.,o..oo....(2)
(T + 3) horas. ,f Z = susti tuj
-'
, -r
remos
(1) en (2)
ies ésta tramo
I
= 3E+4E E s (21)(375) E = 7875 mts.
:-.
(3)
?L0
kms
.
_
a respuesta final? No, pues nos preguntan
Er.=*E
+
'E
=
+
(7875)
E = 61300 mts. :
c 5E
*
:
6E
E
=
a
3=-im 4?0(3)
¡¡v = ls IE mln -'Tv,
.il'
:
6E
" E" ,
E
,?s',
.7
io,Pero
ar
4/5
s?'.
,
Como querqmos hal I
:
la Vuelta ! ,
-^-i,..i--r'rr,
I
v? = ? (30) = ?o kms
ncóg
y (3) en. (l)
375 ( 1479
cambi a.
I
:
.
kms
(1)
T, ='Truel ta 2h
kms
do
.....
:
EV =
T"! = T iloras. t T
:
A
6E
t
Entonces
trN,
\.
r Tid. + Tvuel ta en func lón._!e nuestrt
1
Las ccndi ci ones serán : -iramc IÑ-, con la veloc'i dad
v1
lEstá Ud. de acuerdo en que
dQl tegudo ttano.
'TTrt.l = Ttd, + Tvuelt¡ + Tconr.rsacion
nita
\,
:
u tn Longifld
5?
N
t/eálo Ud.
Jaine va de u putn M a otlu N en noti que .deta,r.toü¡ una vebci.dod d¿: 125 ntllfltitl. En N ¿e entaeluvc¡ convüudn¡lc con Pepe funantn 25 mhu.tot, quii,n Le inüca que tegrc.óe potl ottw esnino crya Longi,tttd et Lot 4/5 del Lwrr¡ W. Jü ne 6i Lo ltace iendo e¡ta vez con 50 nt¡lnin nenoL que ¿[
,
Ia Iongitud del se-
206
OSCAR ZEVALLOS G.
PROBLEMAS
I,ELOCI DADES
eI tr¡m fi[ en 20 horas. Si qul si ese hacerl o en ?5 hr . tendrfa qrc -el dlsmlnqfr su velocldad en I km/hr. trarp ffffi mlde : Entonces
Zenalda recorre
PROPUESTOS
TIEl,lP0: 45 mlnutos
a) Un tren de 200 nntros ,de
largo, a
ongl tud, pasa por un puente de 600 metros.de una velocidad de 40 mts /seg. lCuál es el tlempo gue enplea Eñ lograrlo?
el trenr a)30" i'
32
I
I'lartf
c) 20u
b)15''
d) l7.5"
) N.A. fi gura , un tren e
tres puentes tal como puede observar en la lonlitud sá desconoce, los ha pasado¡ pirtiendo del punto A, en !!ya 50 segundos, a uña velocldad de r1800 metroS/minuto. üCuál es Ia longi tud del tren?
r tQQ +--
400-..<-200.+-4§Q
-r-200
mts. b) 1 kms. c) 400 mts. d) 100 mts.
e)
Absurdo
a) 0.4 kms. b) 0.5 mts. c) 800 mts. d) 200 mts. e) N.A. Clarisa, calcul6 que, sl corrfa a 10 km/hr. llegarfa al sltio designa. do para reunlrse con Oscar, una hora después del mdlo dfa¡ sl su velo cldad fuese de 15 km/hr. llegarfa una hora antes del medlodla. iA qué velocldad debe de lr para llegar exactimente al medlodfa?
kms/hr 13 kms/h"
12.5
n nEcorre clerto trecho en 4h 10r . Al
a) z5o H+* b) r2o
e)
N.A.
aumentar su ve] ocidad
La vel oci dad menor es de
:
b) 12 kms/hr c) L) Se necesita conocer el
Hi+ c) s0 *i*
di ?o
h?
e)
6s
H+*
P¡ra llegrr a,JauJa prrtlendo de Lima me demor6 "m" horas. St quisiera denrrar In" horas, tendrfa que aumentar mi velocidad en "x" kms./hr. Si Huqncayo esta a "mx" kl'ldmetros más allá de Jauja, €ntonces la distan-cla entre Lima y Huancryo será : Nota: En todos los problemas las distancias son lfneas rectas.
ffi
24 kms/hr espaclo que recorre.
oo[5
r)
o)
#.)
,H
d)
+#.t'#
ut zooop,l. ei
lr
zoffi ot eo[§ e)
F.D.
.
antes que su velocldad camblase?.
a) 60 ksm. b)
120
kms. c) 60 kms. d) 32 km.s t
e) 80
kms.
I
Rlcardo parte de A a B con una velocfdad de 200 kms/hr y cuando aún 'l e fa] tan recorrer 4 /5 de su cami no dupl i ca s u. vel oc i dad I o que I e permi te I 1 egar a su desti no con ? horas de ant'i cipación. iQué longitud tiene su
caml no?
a) 200 kms.
a) 800 kms. b) 680 kms. c) 420 kms. d) 340 kms. e)
as
horas.
-
velocid¿d?
Fcrnando tlene que de A o B con una velocidad de 40 km/hr, teniendo que llegar a las 6 de la tarde Cuando ha recorrido las dos sextas -partes de su camlno se ve obligado a reducir su ve'locidad en 8 kms/hr llegando asf a su destlno una hora más tarde. áCuánto habla recorrido
Para ir de A a 8, Mllagros camina a raz6n de 70 kms/hr y para regresar de B a A utilJza una velocldad de 30 kms/hr. Hallar el espacio tota'lrecorrido por t'lilagros, sabiendo que en total su viaJe le ha tomado 20
b) 800kms. c) 600kms. d) 400kms. e)
1000krns.
distancia rrxrr entre 2 cjudades en rrTrr horas 1'l egando *yrr horas más tarde . iQué ve'l oc i dad I e hubi era permitido 1legar a hora exacta a su dest I no?
Un auto cubre una N.A.
móvil h'izó el recorrido de A a B a razón de 40 kms/hr y de B a A a raz6n de 20 kms/hr. EI tlempo total emp'leado en ida y vuelta fué de 810 minutos, La velocidad promedio de dicho móviI será : Un
\ /rf
kms e) 1000 kms d) 800 kFs
tros menos. iCuál es su
tren de "x" mts. de longitud se ¿emori 8 segundos en pasar fr:entea un observador. y el +.riple de tiempo en pasar por un puente de 800 mts. de largo. iCuál es la longitud del tren?
@
1600
Un niñr¡ ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera camlnado una hora menos con una veloc{dad mayor en 5 km/hr,habríarecorrido 5 kil6me
<
Un
a) d)
b)
?4 m/ml n demorará 120 ¡nl nutos menos .
a)
200
f;*
t,
Se tienen
a)
?a7
3 r.--
Ll
,.r¿^ km
-
\
á¿t km
f
la
a) T-y
b)
x
T-y
c)
e) xT
y
))l)
208
ll
05 CAR ZEYALLOS I/ETOC I DADES
@
H".ÍIll,Íio;.li::l:l,,lir:;:,,1,,1^l:I.:; Después de una hora asf 6 kms. más por hora quefin de 1 I ega r 30 mi nriá, antes, haciendode antes. La longttud del trayecto es: a)36kms. b) tZk,ns. c) l?Okms
Teodoro'tie fDv óri"iá_¡J,i
et
iiiifi"s'il pTeado en
es
preado .on
er
a) _180 a) 180 kms kms
cambio
E,
150 kms.
gon una
-
oOo-
e)
Absurdó
ll.7
*
mívrle¡ A A B d.e votoúdade¿ VA lu/hn
fá.n
á
tn-nct-a.
a
Grafiquemos
e
el
\/A
S¿
*
En una hora Juan
movimientr¡
r
Y
a
m6vit
A
ElfA
,119 3 .
Ya
I
o
es
A
se acerca a B :',f¡ikms.
En una hora
B
se aleja de A .,V',';kms.
Entonces:
ran
En
La respuesta
vg
Pedno
los
separa es 40
Wfi6 a
taa
kms.
descuenta a Pedro
:80 kms -
en:
20 kms.60 kms. + 140 60 = 2.3 horas, al cabo
de
B.
Es
r s
será en :
hnt/hn.'
: iAtenciónl el enunciado, lo
mismo que
en
rAhora bién, María tardó 7.5 horas en descontar Ia ventaja que Juan Ie Ile vaba, esto quiere decir, que le ha descontado en tota'l : 7.5 h x 20 kms e 1S0 kms
hora A le descuenta e cuántas horas A Ie o-'r:r;..j'j
:
uno.
t horla Marfa recorre 20 kms más que Juan, entonces decir que en I hora Marfa se acerca a Juan 20 kms,ó que'le descuente de la distancia que los separa 20 kms. ifrle entiende?
En una hora
una
e¡tán *pnodot
Jua dinLge a B. I'lanta hace Lo nwt mo e Junn WÁL,LQAe, pALo . úmo LA, vel de Juan en ?A l?nls/hh, Lo encuen ila a 200 'uno. lrry de B. al e cada. b ) Calath,n IJ, d,í¡tancLa IB cl Calcult¡t el tienpo que uil,LLza eldn. uno Wl,a. llegu a.
AI canzd
eso es
Luego en
-
Strt¡t+¿-':
a)rSegún
para que A alcance aB
le
140 kms se1os descontará
vB
SOLUCION
*
los
:
r.,
ti
las cuales ya 1o a'lcanz6. Enton€es : Pedro se movió sólo durante 5 horas, fué alcanzado en 2,3 horas y si partió a]as 11.7 a.m. én este moñento serán : 11.7 + 5 + 2.3 = 19 hrs. es dec'ir son las 7 p.m.. iDe acuerdo? PR0BI
?2
PeÁno
a.¡n._?
La distancia que inicialmente
g, qui6.h, ^e*c.lcanzatd))ra e eAcapa. Hal,L«¡ Lo ái enpiezan anq
d.uiu v ?r1A
E.
a
A Juan eon uno, vehoú.dad de t0 brnllh ?eÁno, 5 hotut despuü que üte urpezí a ,no
lml,
Pedro empieza a moverser a'lejandose de Juan, durante 5 horas, en tal tlempo se alejaiá :5 hrs x 20 kms/hr = 100 kms. Entonces cuando Juah empie za a moverse la distancia total que los separa es : 40 km + 100 km = 140km
Luego
Do,t
za
:
I0LUCI0N
ru uis¡to sgmtú
eru
alcdnzafiÁ, Jua.n
dLstancia de 40
¡
llri'ii :i":iiiüi:,;t*iii;,l:'i§i:i':,:1il F.D.
¿ A qu¿ lwna
va a b¿s.c«t e vulAe ccir'utLc. t,et-rcidad de 20
-tt ¿ oe su camino, el tiempn que habrfa cr..
h) ,1^ñ kms L-- c), -b) 2700 1800 kms d)
¡¡e 2.-
PROBLE¡I{A
anre,iJl';.:'oil?l'lj'nillildJil;:irfiro;i;l-;
qst@ ¡":v¡NtFNro
tramo
e)
ve.tocida su camino.camo¡a oe_váió.iáJio,ÍSnÍlrir:ll
¡o".r_.nt
rs
d)tOgkms
209
epa
--
decir le descont6
150 kms. que
los
separaban.
Pero estos 150 kms. que los separan, son producto de que Juan haya partido con 5 horas de anticipaci6n, es decir los recorrío en ese tiánpo, entonces
su velocidad será
:
150 kms + 5
J
como
.-
la de Haría
"rl
hrs. = 30 kms/hr
es 20 kms/hr mayor, su velocidad será
30 + 29 = 50 kms/hr comprendido? iPor qué no lo verifica?
:
270
b)
OSCAR ZEYATLOS G.
Dlstanql¡-fE
: Corno saberps que Marfa se ha mvldo l.s 'habrf
cl dad de 50 k.ns/hr, entonces
rácorr i do :
'
7 ,5 h x, 50 kms lhr 3 37S knrs Lugar en el cual alcanza a Juan y que queda a zoo
tranro [ts
c)
!
3?5 kms + ,ZOO kms
Juan se demorará en ¿Y en que tlempo
T+
llegar a g : hará
+
575
l,larfa? lt
;.
3Q
kms.
,t
un¡
yql o
kns/hr ¡ le
90LU§L0[
.r/¡
'# dad,
velo
:
lI3
5.-
kllometros/hor¡.
B
oo.L poTaondÁ A q
ffi?ii
on
x:i|"fffi"*,I
Yft"o
^f#,,
";fral¿*,f,*,;fin,a¡e$.t!,va a La de A
y ati
x"ffi"ü¿ry\:y;ü
s0t!!.Lq!.: El problgp,$d^T!y slmpte. El páJ¡rllo se ha estado movtendo du_ rante todo er ilempo que A si iara6 en atéañzir do? Pero icuál fué ese tiempo?' ... n-ie ¿emoró-in-aiI¡ñiir"l-g a B iDe ¡cuér:
fAt..n."
' ffio
2o hrs.
Entonces el.. páJarlto se h¡ estado movlendo durante 20 horas con una velocldad de 100 kms,/hr, quiere esto decir, que er-i¡piiit-iciáriliri-pir ér será :
f =
(20)
1169¡
.
En
d¡l prlrmrc
-
sl'dar.a-a txpresarll cn'kn/hr
d'l
velocrdrd
vprrmero
ut/rn sep,iala,L r,000 bilhnei,¡¡o¿..g
lLegrLQ4
:
60t + 2{'000 mts" * , ' 24'000 mts-I-455 nrtr' r.Z00onts '+ x \45ht 182000 mctros es l¡ ventaJa que ha.sac¡do el prlmero por haber sa]ldo : {h 40 min . 280 mlnutos entes -} su velocld¡d será : -
hjP
6..
El recloclnló Gs el m! imo que par! el . tercer probl etna, sól o guc .aquf drbcrnos tcncr culdrdo con las unldades. Asf : En un¡ úor. ct scgundo se acGrca rl prlmro 24 kms I 24,000 metros, conD h0 dcmrado 7h 35 m r 455 mlnutos en alcanzarle,diremos :
$ rr.
,.ülitlio"iii horrs. parr dcsñd¡; contarle to«ta Ia ventaja, esra ña¡"¡-síoo-¿. ; (;ii;i'iiiometrot. Pero estos (p)(n) kilómetros Ios recorrl6 er pr{mero en los ,,m,, horrs gu¡ tuvó de ventaJ¡r entonces su velocldi¿-ier¡ i " --'
PROELEMA
PROETEüA TTg
de B, ¡ntonccs cl
como.la.velocldad del segundo es por hor! ,p,, kll6mctros meyor.que ra der prrmero, decrmos que Gn I hóra ci seEondo l¿ ¿¿itücñtr primero "d,'_kil6merrós. cóáa-ii ñl
s0LUclON
al
lo
3 57S kms.
horas
UELOilOADES
2,000 ktl6metros.
'
,*988 reños 650
Hii"
,
650 mrs/,ntn
:
*t* " %f;*'inb$tu
'
3e kn/hr
))))
))))
))
213
USCAR ZEVALLOS
21?
'JELOCI
35
Mi
d) 4
c) 7 p.m.
p.m,
e) 9
f.r.nr
a un del i cuente,
¡l
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I
Da
@
.
e\ \.}'
F.D.
que
e
)
l.li
ngun+
)
La
1¿z+
Fernando dernora en 'l I egar
final
de Ud.
valores pedidos en A, B y
a)750
2b2)
d) 2[(a+b)2
)
mP/s
B
2ab]
4;4 !i)(a'ulz tl
u¡
(a'?-
e)
Ninguna de
las anteriores istáncia t2a+b) mts'
b)6e0
a
B.
ia suma de los números
que representan los
C.
c)60e
d)7?9
e)630
"S" horas despuás qué O1impa empezó a moverse, Ana se percata de e'llo y durante "S/2" horas hace'los ca.lculos necesarios para dar con la velo cidad que debe llevar si es que q'u.isiese a'lcanzarla. Deduce así que s[ v_elocidad debe de ser "n" kms/hr" más que la de 0llmpa, si es que dese! aicanzarla "p" hrs. después del npnlento en que acabe iui calculos. Ená tonces I a vel oc i dad de 0'l i mpa en kr,rs /hr es : a
de
:
cie Fernando
B) tl espacio IE C ) El t'i empo que Cono respuesta
6(a+b) hrs'
de I as a nter i ores '
l:i"i'ili:i;; k; :if:;*ii'*::,"L*l§!: ii-¿istaircia IE en kms' es de .¡
b) It?Ornts. c)Zglmts. d) 350mts. e) N.A.
Vel oc i dad
los-
er sesundo..p"*-.i*ü'lri'-ütri'o
Fernando sale del punto A y se dirige a B, Adela hace lo mismo pero 6 horas oespués que Fernandc ya ha salido, pero corno su velocidad es fll0 -yor en 30 kms/hr, logra alcanzarle al cabo de 6 horas y a iBO kms. de'l A
Uno de
horas antes -Br. -Er plr-§ro salió 'a-b" núviles ,"1.n ¿" A hacia t:li'onlll..l'll!ll'1"'1!ll""loirr-
E;i";¿.5
y César parten a'l mismo tiempo y en el mismo séntido, si la velocidad de Jrime es el cuádruple de la de César. Hal'lar la distancia que recori'erá César antes de ser a'lcanzado por Jaime de quien se escapaba, sabiendó que inicialmente los separa una distancia de 840 mts.
Jaime
a)
Dos
c)
b) 2(a+b) hrs.
a) Z(a+b) dlas d) 3(a+b) hrs'
\e 'l I eva 210 mts . rte venta ja. Díga-:e cuántós mts. necesitará correr para alcanzarlo si se sabeque en 1 minuto el gendarme da 2.5 pasos y el de'l icuente da 4 y en un so el gendarme recorre 0.98 mts . y el ciel i cuente 0.60 mts a)165mts. b) tS6Omts. c) tsgrnts. d) 1650mts. e) 440mts. Un gendañne Ders i gue
210 Ims.
dos urrYt 'r'r Yso5 d'istanc'ia que separa a t::^Y:t,,':t::"seou1rJ La distanc'ia ;ái¿ de 2(a-b) kms/hr ' €ñ eset¡tury::.:', j o con una velocidad rnóv l es emp'ieza ? :¿En cuánto tiempo lo ha-:^lii:'e:l;'
las 7 a.m. sal e un auto hacia el Sur corriendo a una veloc idad rle 63 k¡ns/hr. A las 11 a.m. sale en pos Cel prirnero un seqr¡ndo dr¡to que va a una vel oc i dad de 91 krns lhr . üA, qué hora I o a 1 ca nza rá ? b) 6 p.m.
e)
*'::lt:"i:.i:l:ti"o;l.Ti . :,::l *§J-;.:Tll;:'.i ;;[Ti;il]::i:* iá o.r pliñ; móvir [],:T,tl'n:::;l,"ll; Ét¿ de al canzar?
nutos
A
a) B p.m.
d) 100 kms.
a)55kms. b)90kms' c)105kms'
PROBLEMAS PROPUESTOS TI EMP0:
DADE5
b) ?*p/s
c) 3mp/2s d)
Zsl3mp
e
)
?np
a)12a+b rb)6a+2b
encarga{ós'de esPi.ar
-a en
"lPólo"v'distanciados ctíl inea ' iül¡o' junttr sus infor-ente : qlc-
los autos -V v]
/3s
Dos m6viles salen de lt't hacia N. El primero sa] ió 2hr.45 minuto'.s antes que ei segundo, pero Eono estE-último tenía una velocidad mayor en 10
kms/hr que e1 primero logro alcanzarló'luego de 5 hr¡i.30-mi.rutos a "<;ierr¡ r:] kms, de N. Entonces la distancia fifl.es de-:
c)12a+6b d)6a+12b e)l2a-6b
45
' t
st
su
busc
techQ era
il"i!ii3'll"#"3 sobl'e el que llevaba
"i
OSCAR ZEUALLOS
2L4
Era un páJtro, eStoy seguro de eso pues lo vf volar del tc I cho del'auto en que partt6 hacfa el techo del auto guc l6 persegufa y de allf negresar al primero parc fr lueEo h!.-, ' t ta ei otrno y a s I hasti gue ambos se encontr¡rdn. Adernú¡
Fra nz
21,5
TVEL0CI DADES
iEn cuántas horas se acercaron E La respuesta será
t hora ambos autos recorrleron cn total 80 krns . y que I a vel ocl dad del persegul dOr era el ..tri pl e de I a del persegul do. Al comienzo IIanó mi atenctón el objeto que el euto qua 3!. escapaba ItevtDr sobre el techo y pensando gue nOdfa 58r -i un arma secreta me dedl gue a observarl a , y pude comprob¡ni gue ¡mpezó a vol a r desde el rnomento en que el o r¿tor que 5!.r, I ¡ó después. 'le habf a descontado aI primero I a tercera galri t¿ de la ventaja que este le habfa sacado inlcialmente¡ 11 demás pude medlr su veloctdad, la cual era de 100 kms/hr., Bueno i o únl co gue yo pude medi r, fué que desdc quc crnpg: z6 ! vol a r, aquÉl páJaro se poso en total 2l rnl nutos sobre el techo dól duto ;ná; veloz y 24 mlnutos sobre e'l techo --,
en:
pude comprobár que en
Gunther
Ger6
:
:
TEn.
ñg
Z.-
del cual partió.
las lnformaclones yertidas I stbi endo que su f i de1 I ded esta compÍ'obada , Dl ga Ud . : éCuá I es el espac i o total que ha recorri do el páJaro en mencióñ ya sea voltndo o mlentras estaba posado en los !u. tos y desde el momento en que el auto más yeloz empez6 a moverse? a) 750kms. b) 55Olms. c) 504kms. d)364 lims. e) Absurdo.
vA+vg
al
mismo tiempo.
ae
d.Ltr,Lgen¡panLizndo aL ni.¿mo LLem¡co, uno con veloc.Ldade,¿ consfnnte.¿. Si Lo,s ea¡caclue rLecorLrLen hd¿ta ¿ncctnl¡tnse e¡tin e.n La. te,Laciín
conL¡n
ciol
E
=
ro
Ooa ¡níviLea
el otno
1 + 4 q kt.tuna d¿
Lo. naLlon velocidad.
:
Recogiendo todas
uent
cuando parten ROBIE¡UA
kms?
u.t
v¿loúdadp,s
u
Z0
m/deg.
Hal-Lan
SOLUCION:
*
Como
parten-al'mismo tiempo
demoran en encontrarse es
y
el
van uno á'l encuentro del
otro,el
tiempo
que
.
* Si'los espacios recorridos por cada uno estan en la relación 1 -:4, siendg-e1_tiempg igua'l para ambos, entoncps las velocidades tamb'ién estaTáñ-: .e l aci 6n. ' i Demues tre lo Ud. en 'l ¿ * Si llamamos Vra 1a velocidad de1 mayor, que es'la que buscamos,y sabiendo' ¿ I
GRrrPo
o
que ambos sunran 20 mts/seg. Tendremos Vel
I'OVIMIENIO EN SENTIM CONTRARIO
Vel PROBLEIIAS
¡9 1..
Oo¿ n|viLo¡ be encLLQJ.t)&n te¡nnadoa uno_ dLstane-ia de E hi Ldnetxta entne- ti, á¿ pduten átnut.tÁnuntenfte uJLl al Ln -: euenüLo dQl ot a eon vetbeíddde.t ¡ lw /hh, 9l UB ltrnt lht, dospu[-a de atrtnf,o tLutr¡to 5e enconttwuln :
De donde
. .
l4enor l4ayor
20
vz
1
T
vz
v^ ¿ =
:
:
16
mts seg
V
§OLUCIO! :
Graflcando
el
PR0BLEIIA
ñ9
3.-
movimiento :
Fennando Áe-¿ncue-ntna depatado de Pc-druo ¡tott 460 mQilcuá. Enfie Lot doa haq uno, c\uícn lcluz no puedz movetud a 100 me,ttLo,s de Pe.dno. Fonnando panie pnine.nct luúa üla. con uno, veloc,Ldad d¿ 30 mfslmin q Pzdno ytante etando Fozvnn-
do qa tzwía. 2 ninuf.ot coninando. CalcuLan La. veloú-dad que uf,il-Lz6 Pzdno pa.na Llzgat
La S0LUCION E
*
: Preste atención a mi razonami .
Lu.tta
ento
a que separa a Fernando de Pedro es 460 mts . La de Pedro , QUi ere deci r que estará a :
La di stanci 100 mts
460
EnIhora AseacercaaB t VAkms. En t hora B se acerca a A , VB kms. En t hora ambos se acercan entre sl ,
junio con Fe.nnando
ch,Lca.
100
=
ch i
ca está
360 mts.
de Fernando.
* VA
+ Vg kms'
Durante
los 2 minutos,
Que Fernando se mueve sól
o, s€ acerca a el I a
:
)))
))))
)r 2L6
CS
2 min x 39 Elr
=
seg
CAR ZEVALLOS
2I7
VELOCI DADES
6o mts.
-L=
3
SFi-
3
mD'
quiere
decir,
que ahora'la distancia que 360 mts
que
a su vez los recorrerá en
-
60 mts = 300 mts.
*
30
o lo que es 1o mismo :
:
r§
:
3oo mts
*
los separa es de
*t' = tu ml nutos seg
*
',
Este último tiempo es también e1 tiempo que ha de demorar Pedro en 1'legar (pues él y Fernando 11egan Pedro tiene que recorrer'los 100 mts.
a la chica
cidad será de
juntos), entonces, sj en 10 minutos que'le separan de la chica su velo-
*
10 min
=
10
,'''-'\ t't,
I
. 't
ctue ^a"{.e
como
y a lo (tt¡
= IM - 3*
=
S ='+
= 66'8
9, "n
PR0BIEMA
de] que sale de harfa ud. para calcular'la,ve'locidad
lls
s.-
:
kms'
]os
1'67
D?
Zn^ wr,¿l
su! que sle
l\i*o*"w.
de C.
atención a los gráficos
que de donde a su vez deducimos
vc = 66.8 kms + 1'67 rt = +o S
Dod au,tfr^ tLecor&án,un m)o momento con va]-oúdad, eonatnn t¿, un mi¡mo canino @, en conüu)t Lo. S¿ pand.er" ^eylL¿do ,se ütuzüún a. 160' l?ñs ¡te l-od ¿xf¡eno¿ ^,uru1üwÁmen@'de C U 0, 240 M de. D. S¿ ú awtomívil qu¿ ¿ale d¿ C ^al-d^i,& 1 . 67 l,tona¿ aytf?A qu¿ Qt quz aale de O , entfi n:cel ambo¿ ,se. c,tuza¡Ii-a,n en Ql puttfo med/Lo de@ . Ha.{-[-a,¡t Ia, vg,
Loudad del
ffi,
horasque,.liounilli.i,il"".iáli'.'tá-quá.sü-velocidadseráde: iY
H
2 =
que sale.dq pero este último espacio fué iecorrjdo. por e1
:
100 mts
2
;
que vgy a deducir de ellos
:
Ayudemónos nuevamente
de un gráfi
co '
,4.00_-200_160_-__240
-
E1 gráfico (I) muestra el espac'io gue ambosihan recorrido cuando partieron al mismo tiempo, de1 cual podemos deducir gue los espacios recorrfiióT-D6f efque-ele-¡e c, e-e,y por e'l que sale de Il, DErestan en la re'lacl6n de'i
cE = m-
160 ?40
2
3
(1)
gráfico (ll) muestra el sequndo caso en que , s reco rre n e'l m'i smo es pa c j o : ü-D- = m. lqgl_: Ti{ es el espacio que recorre e1 que sa'le de C, en las1.67 horas que salió antes. A partir de S es como si ambos saldrían al mismo tiempo para encontrarse en M, iNo le pá'rece?, entonces como sus velocidades son las "m'ismas, 1os espacios recorridos por cada unoren este rpmento,estarán en Ia misma relaci6n que (1), es decir : EL
antbo
a)
iEsta de acuerdo con
é1?
uando parten simultáneamente' E'l punto E, es aguel en que se encuentran que se encuentran en el segundo caso' E1 punto E, es aque'l en ta q'" !1!t uno ha ulilizado¡para recorrer Los tiempos señalados son.'los Tái áspátios,en cada uno de los casos' gráfico : Entonces : Observando e1 ha sido re * E'l espacio {[ que media entre ambos puntos de encuentro'si su ve]opo" tltq" sale de-M en 4h - 9!-= 1'hr"''entonces
corrido
I
4h = 2h' y como su velg tra sido recorrido por N en 6h .la del primero, tendremos i que cidad es 20 kms/hr menos
E'l mismo
Effi
,
rl)
lllll;\'rr
r,,
2tB
VELOC
CSCAR ZEVALLOS
E, L'2
E, -
(v 2o)2
=
.....
De do'nde
V b)
Para cal cul
ar el espacio MN
=
a) 25 seg. b)
2(v
V= 40
:
I es
S
la
velocidad de
fr) v
M
N
:
E
Espacio Total
2C
habÍa'recorrido : m/seg. El tiempo
seg. c) 35 seg. d) 40 seg. e) 50 seg.
?o)
t 20 = 20 kms ffi es la velocidaC de
?0 =40
219
DADES
tiempo que demoran en encontrarse si cuando Janet ya 400 mts. recién parte Ricardo con una velocidad de 8 pedido es desde que sale Ricardo.
(2)
Igualando (t) y (2) tendremos V=
I
reco
rr r clo po r
MN
(40)4 + 20(4)
ññ
240
+E l'1 trecorrido por
N
Raúl y Julieta están separados por una distancia de 2,400 rnetros; par-ten a1 mismo tiempo uno al encuentro del otro, en ése mismo momento jun to con Ju1ieta parte su perrito "Piuky" en busca de Raú'l, al encontrarl 'l e "Pir¡ky" regresa donde'su dueña y de al'l í nue\,ran)ente va donde Raúl y así hasta que los tres se encuentran. iCuál es e'l espacio recorridopor "Piuky",si su velocidad es de 393 mts/hora, velocidad que es menor en 207 nls/hr que 1a suma de las velocidades de,,,Raú1 y Julieta?.
a) Ri
cardo
al
kms .
1292
otro
mts. b) 908 mts. c)
mts. 9Í
2400
\ZSZ
mts. e)
1572 nrts.
y Erika se d'i rigen con veloc'i dadés un'i formes a encontrarse uno y hasta que I o cons i guen R j cardó recorre 180 kms y Eri i
kms
.
Vel
oci dad será
Si qu'i s i esen encontrarse en el punto m,dOio del camin0 que los separa Ri cardo tendría que sal j r 2.5 horas después que haya salido Erjka, cuya
-o-
a)' 30 !.m!nr
:
b) s0 !msnr
c)' 40I!1 nr
d) B0!rtnr
e)
ZO [rntnY
y Charo se dirigen con velocidacies constantes a encontrarse ntutuamente y cuando dicho encuentro se realiza Gabriel ha recorrido "rn" kms. y Charo "n" kms. Luego de saludarse Charo le dice a Gabriel que si e1'la iiubiera salido "s" horas antes que él se hubiesen encontrado en el punto rnedio. La ve 'locidad que tuvó Charo fué de :
Gabriel PROB T
I
LEMAS E14PO:
P ROPU
ESTOS
30 l''l'inutos
los
extremos de una carretera, un 11 de JulÍo,parten dos ciclisencuentro dei otro con velocidades de 18 kms/hr y 12 krns/hr respec.tivanente.e A que'hora se ecortrarán si salieron 4 horas después que un auto que salió a las 8 a,m. para recorrer los 300 kms. que sepa raban en el comienzo a ambos ciclistas? Desde
.tas uno
a) d)
Julio 12 JUlio
11
10
a.¡r1
.
10 p.m.
b) e)
L2 11
Julio Julio
10 a.m.
c)
11
Julio
B
10 p.m.
y un peatón están separados por una disiancia de : a2- b2 kms. Si parten al mismo tiemoo uno al encuentro del otro, el automóvi Iista a una velocidad de "a" kms/hr. éCuá] será l.r velocidad de1 pea tón en kms, si tardarón en encontrarse (a-b) horas? )
a-b
b)
2a-b
c) -(a-b)
d
)
Zb-a
e) N.A.
Janet y R'i cardo están separados por 540 metros. Janet parte primero al encuentro de Ri ca rdo con una vel oci dad de L7 mts /seg . Cal cul ar el
N.A.
Tito enconirarÍa a Sil via l ireEo camine 450 kms y e1 250 kms. Si Tito quisiese enconLrarla cuando 1o que'e) haya recorrido sea 5/2 de la distancia hasta ese i¡omen to recorrido por elia, entonces tendría que salir 15.56 horas anres que 'ella. Si el movimiento de ambos es siempre en sentido contrario' la ve Caminando con velocidades constantes,
de que
ella
'locidad de Tito es aproxirnadamente
Un automóvi1
a
e)
al
a)
4sH
b)
35H
c
:
)'nr?s l:m§-
d
)'
?o
II!. llr
e)
F.D.
Dos personas A y B parten gtmultáneamente uno al encuentro cje la oti^a, C y D respect'i vamente. A recorre en una hora 15 kilónrede dos puntosle1 otro y el encuentro de ¡rnhos ti ene 1 ugar i0 hora s des tros más que pués de que part'i erón, pero si A hub.iese par+-ido 6 horas después quL' el que saJ e de D, entonces ahora el encuentro se produciría 14 hoi'as
))
) ) ) )
?.20
¡
OSCAR ZEVALLOS G.
después de que partiese este úl timo.
a) 30 krns. b) Ana
y carlos
150
kms.
c) 45 kms.
La
dista*ru
AB-
es
:
d) 450 kms. e)
F.D.
van a buscarse mutuamente
con velocidades constantes y en sentidos contrarios. sj Ana,ñubiáse-r.;ii¿o ,rn,i ñóru, después que car los' se €rr:ontrarÍan lrRr¡ r.|o.ur"o:spués-qre-éste h;bi.ru partido¿deb.ido a que Ana reco rre en una hcra 'm,, i ,ns : riá; ; s i se sabe que cuando parten simul táneamente se encuentran;G-c;;i;, ,,s,' 1 uego de horas de ha-ber parti do 'l a vel oci dad ,ivór-será, en kms/hr.
x¡v Análisis comb¡natorio
Dos dutu\ uu) autos sdten salen a bu Duscarse en SentidO (* *.) media entre elJos una distancia de 497-kms.. con vpJnríd:dac nc,cuando ?tr tt^-tL.- ^rt krns/hr t ,. :_:gl y:]gcidades-gugü-miil"á:';,i 15 kms/hr J, 42
ffi;5Till:-:H'¡, ir,'1,,:Í::':^:;t;-: i1i"?;
;á.il"I'o,i
Íi[;;.'ii'
,.rro"r-.X frrlrol! del Cual s;rliñ p'l nr imar¡n -'r -.:^-^ r:^ i Y3l1,;; al Íi'.,1 ugar del cual sal I:lT:,^:,'1^¡i:Ti-iiu*ñ;;il.".í";;i;¿;3":'tj ió el ,.éúndo :
:::] ::l':,,:l
a) Bh 57 m. b) 7.5g hrs. c)
13h 20m 43s .J) 7h58rna.m.
e)
FACTORIAL DE UN NUMERO,
(:)(L)
Es definido como el producto, de todos 'l os enteros consecLi tivos y positivos comprendidos entre la unidad y el número'dado, incluyendo a ambos. Así :
t§_ =
N.A.
U-A
5: = 1 x 2 x 3.x 4 x 5 = 5 x 4 x 3 x 2 x
1
= 101= 10 x 9 x B x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1
t!_ = nl = 1x ? x 3 x 4 x ... x (n-?) (n-1)(n)
l(n-S) = (n-3): = 1xZx3x4 *
*
Si
empre tenga en cuenta que t0.
1
l.L
r
... x (n-5)(n-a)(n-3)
:
0
Además, podemos escri bi
x
Factori al es Importantes.
:
nl = (n_1)l n Esta úl tima expres ión
el
nos d'i ce
que
:
El Factori al de un número cual qu i era puede escri bl' rse como productc del Factori al de su consecuti vo anterior, por el núrnero
dado.
Ejemplos
:
t ,l
) 1
\
: Á¡tRr- rs
¿22
5: = 4: x 5 '6: r = 5l x 6 = 4i.x 5 x 6 7i = 6: x 7' = 5: x 6 x 7
|
19lx20xZIx22,yasÍ
:T-
En forma I i teral
su
',' t
Luego podemos
(,n
17'.
?, Lue4o Íendnwnot E= 17i87
(n-1)
i
(n-2)
(n-3)i(n-2)(n-1)(n) (n-7):(n-6)
(n-6):
(n-B): (n-7) (n-6)
(n-6)l
-t' : (n-B)(n-7)(n-6) (n-e)
t-r-
=
5 =
8
.
)i s
i
desea puede segu'i
el uso de factoriaIes
r
descomponi endo.
E=
:
srl LUC
'=*Hti ¿C6no ,s,ínp!,idLea,t?
,
I0ñ
:
' ce,tcompuL,\tu¿ZzffiZ;Z
¿tla.(lcltLdo eL va.Lon de cada daeton-inL, e(ec--
ttando Loa pn"octucf.ot ínúLcadod
32iG '\F =ie4+=ru E
l/)^
e
ruta-
llct
,
¡tueA aA ( n- 2l
Da.\a y:c;dcn.
i c¡túen aL
tanpUdiun
a,\ ^
:'
t1
E=
quela
S.irnpX-Ldica,ndo
= i+
8 =
TT
¿Qu6-
Lz
Des compo
x 87 l x 3 x 4: x
:
panec¿? nga
tori al es 351
l*,t',;: t.,."t " '
Ewto,tceL, deL compo n teyd,o co nv ¿yúzyvtQm
pott tit-tino -et áociente ie,aiec*t vo? . . . No, puQ,t aunqtLe ea ectutec.ttt, u dena¿iado Daba.ioao. Se' pued,e hacen nit ná.pidatnenfe, ,si deseom¡tonenoÁ Loa {aefoniaLe.a de fnl ma.ne tla que yttedan dinpli{iea,tte entne aí. )bteive :
r
86x3ó'.x84'.
:
áEnti ende Ud?;
L
x
5'.
Sinüi|iu.ndo na^ quedüLd. :
(n-6):
(n-6
:
:
rL
35'.87'.x3x4'.xl
(n-2)l (n-3)
n1
SOLUCION
2?3
SOLUCIOñ : Ya 4a5e Ud. que tenenoá' clue de,teonponen Loa {o.etoniat-u, ¿No ea ----:atífjb-ono . . . . ¿cuan¡t ., .tt ,mug 'a,i.nple : Nóte que et7 'e,Lt vunata dott utd 87t q en el deywmiywdon 841. ; ti detconpone 84,. ¿Apáneeuá. en diehl de.acompoaici.6n 87 6 87'. ? ... No, rw va. a. apüLecoq peno ai de,aconpone 87t ¿Awece¡Á. 84 6 84i ? ... ¡CLdha| óf , va a eryheueh, enttncea no^ conví¿n¿ duconponüt a 87t, pdtl. que paú.e de 0t pueda dinpüdieotte con 84t ... ¿l'lz. enfien¡te?. Lo müno poclenor haten e-on Lo¿ dem6.t; enl.oncetobtenvela txpne-tün ddda, q le pnegú*o ¿CuáI- ha de deteomponaL ? ¿.35! 6 j6,. ?, ¿ 15t' 6
= (n-1)i n
-?) i
escribir
Ejerc'i temonos en
'|
\
(n-1)l j .' i't i,
.
|
coMB r NAToRIo
:
nl
:
ces i vamente
rs
15:
Ud. de 5 maneras diferentes cada uno de los siguientes fac-
:
(n-6)l
l.E-
* *
32'..
tu-
rk
(x+6) i
* (x+2 ) l
(n-a)l
* (2x-1)
I
:l
(x-2)l
,lo )
) ))
))
OSCAR
@
PERI,IUTACIONES,
ZEVAL
,].'f, lunr?s r s
L OS
e un ., u,.nio
,ffi l*fHffi
slf
elementos a Ja vez,
{ff
c
ffi Fjii';, l':, l:il,,,;.¿31;;.¡X..
ffi
ff
::1,
los elementos del conjunto : A, B, Las d f ferentes ordenac Íones
"Í;.J
i, +Tgm iJ*l
.l*,8:
:B;,J.:,
3,
,
ABC BAC
,
ACB
,
BCA ,
tcrmando
CBA
CAB
-|
En genera'l
1
eme
n
-
_
todos r os
er ementos
El ementos
a r a vez son
_+ (Bt) t
que se tonran.
está dado
__
Es
ta úl ti ma expres i ón , o
veamósl
t
(A)
5x4x3xZx
120
1
pe rrnu
taciones.
;:r'iltlr#FrJñ'i.r.ntos a ra vez, e in¡porta er or--
S,],:,"llo,::Yo"l'ii,]ll,ffi,$:,oi:]::.,Tnl!:.tt,9Í-q,"Un i r'' I qü] ',;:.
i;üffl;il-ffi_ uitoi Ti,[*ii,lTiT :'::
Las variacion.i uu
serán
:
db,
;
erernentos, tomadoi de 2
en
*
* Ert
(n) (n-1) (n-2) (n-3) (n-a)
v3
(8)(7)(6)
5 factores
Z
CO^48 .
i
NAC
IONES
336
Las característi cas de I as vari ac'iones son : Se toman gt^upo s , dc I total de el ementos que se tengdñ , e importa e'l orden que cada el emento ocupe dentro del
Resumen:
gru po
12 Ordenaciones di Ferentes
(7)(6)(5)(4) = 840
20
Vl= 3 t--*
ba
dC, Ca dd, da bc, cb bd, db cd, dc
=
t )T ? Factores '
*
rápi damente,
4 factores
u7 = (s)(4)
-
te hacer I os cal cul o s más
(7) (7-1) (7-z) (7-3)
:
permutacÍones se obtendrán de un conjunto de 5 ele
nos permi
:
tlo :
:,'i' r'
(B )
+
(6)
,
, p5 = 5: =
a. General +
, a. su vez, en forma rnás s impf if i cada puede escribi rse: Total de _r
En genera
Se obtendrán
Fl
La cual
I : El núrnero lranco los r¡n, elementos de permuruq]gl.r . (pI) .que se pueden obtener,to de un conjunto d¿ ;;;,,-Ji.,i;r[;; por la expresjón
:9rintas me ntos ?
número de variaciones que se pueden formar teniendo un total de trnrr elementos y tomandolos en grupos de , Rrr en " R " . Su valor está dado por :
+ e
C
:
ffi
LL¿
V[ , representa e]
:
..,,,
f
Sean
*
)"
*oloRrf
cor,rJ,
yagl4c roNEs, CO\,!BIMCIONES.
* qu
)
.
;
Es e'l número de grupos (no 'importa el orden que un elernento ocupe ) que se pueden I ograÉ-t1-tó*u. todos o parte de 'l os elementos de un total dado. Por Ejemp'l o : Tenemos el conjunto de 4 elementos i d, b, c, d.
)
'.4¿D- ( '
,
(
(
i
{
\
(
i
I
t\
, I rr^-¡otc/dv
r'
(
0SCAR ZEVALL0S
Las combi naciones que se logran tomando
ran
(
i(
los 4 elementos de 2 en 2,
,9s..,\:7
SE
:
ANAL IS
r
I í
,
IS
COMB
+
6
(
(
I
i t
(
'
s
último, puede serle
útil
saber que
:
vI
combi nac iones
cd
Las combinaciones que se logran tomando
abcd + En §€neral
^nr C;i
:
los 4 elementos, a la
PROBLEMAS RESUELTOS
número de combi naciones que se pue-
den- formar con I os n rr eI ementos de un al tomarl o en grupos de rr Rr! en ''R" . Su valor esta dado por : r¡
Esta expresión, a su vez FaltOr
puede escri bi
con
j unto dado , PROBL
General
+
rse como
:
Fla.
-+ R
vez:
1 combinaci6n.
, representa el
EI,IA N9
1.
D ,5 = 5i -= 5 ,v. 4 X 3 X 2 X I b)
Ejemp'l
o (1)
le ha de perm'i tir
:
hacer
SOL¿IClON :
c)
.
:
n
=
6
R=
3
PROBLEMA
Hallar r\¡¡ I'
--F R
¿Qu€
=
ctr
=ry
*c!
Hal I
ar
lqacu
los
tomo de 3 en
rr
nrr en
:
l0 Cl
¿
?
I'h-enbno Utilizando
=zo Dupej emo^ :
*
r
nB
vz, Ql 1 üt. nwenbno ?A un pnoduc to de ?. níunücoá cotttzeu-LLvo.5, zvtfoncls eL Zdo nuienbtto tanbí6-n duscompongdnol Lo en el phoduefo de 2 ní,nüLo,s covtÁe-ci
'4
Como
4 factores Rv7
vÁYq
LLvoa
=70
:
De donde
(4)
N9 2.
el I üt. nn tR
3?
6c
5 x4 x3
n5 10'
=
iCuántas combinac'i ones, Si t-
5x4x3 3x 2
-+
(3)
los calculos en forma ráp'ida
Calcular eI número de combinaciones que pueden o bten er s i se ti enen 6 el ementos , dJ tomarsel es de 3 en 3.
En erste coáo
variar;ones, s'i los tomo de 3 en
,,5 n3 = 5x4x3
3 Factores C:
(2)
ZCuántas
- liC
eS
(c) Expresión que
5 objetos de d'i ferente col or cada uno. éCuántas permutac'iones puedo lograr con ellos?
Tenemos
a)
(C)
T
iDe acuerdo
Final:n¿wte ?
(n-ll=5x4 .-
(n)
(n) (n-l) = 5
: :
' i
{
227
Por
,:.;
.
!
|
(
:t
'.:
ad. bd
I
\
INATORIO
,}
db, oc, bc,
'l
(
^
=
!
x4
¿Eruteytdií?
3?
I
)))) OSCAR ZEVALLOS G.
VI
:
Aicliquunc^ .trt it;iÁtna id.¿l" qu¿ .caea
rles
T ?-,iiL\ ünct D
t.
do
L
cc,nlpat tLg(ü1ct 3 3ú en" LL p,,-0 c() yrL C-:t uüv o^ .
c¡uQ.
nd"e
(t.-1)(n-2) =
.
33b
duc
-
=
lO.
los s'iguientes problemas, es necesario, saber, ante que decir, Si se trata de un prob'lema, de VarjaCiOnes' perrrtutq
Para resolver
caso eStamos, eS
ciones o combinaciones. éCómo lograr'lo? , simplemente recordando sus res-pectivas definiciones. Para mayoi facilidad, 1e presento el siguiente cua-
:
dro resumén
Resol
ver para
r(
n
C:
rr i
¿
3
,^n
5
'3 :
a)lx 5) = 30 a)(x 5l = 6x5 x4=6
:
tf09iFrlAls0 i_ iic IOl,J
(x
336
ruh:iULúA
,s
229
COMBINATORIO
uLü-Lzano^ ¿tL (Z)
v'i =
(n) Aha ¡..ct
ANALISIS
(x
, rl1
.
Pct¡- (,¡, ) :
t;; i¿ -j
))))))
336
J
SCtUtlZ0,V
-?.'
))
Ud,
q0,
Res
Lv a\.0-
c
:
IMPCRTA
ti-en¿ La id¿e ;tt,{LciQ-i;te dltzctanznÁ.e, Ai¿nú_6 n
P
X
VAR IAC IONES -rE-
COMBINACIONES
5
PROBLEMA
S0LUC10N
PRCBLET'IA
N9 5.
s0LU!1Cñ
:
De
:
5
=n
n
=l
2 -l
iDe acuütdo?
El número de vari aciones de rrx'r objetos tomados sei s a se'l's es 720 veces el número de combi nac'iones de esos mi s-mos objetos tomacos de cuatro en cuatro. Hal I ar r¡x" .
Ín conüú6n
DuahttoLtt ndo (
Sinpltdicando queda
r
te.yunot
qua-
:
v; = 7zo c;
:
x) ( x-l ) lx-Z) ( x- 3l lx-al (x-5)
=
7.?a
Luo4o
(xl(\-tl(x-21 lx-3)
W
E,s
N9 6.
DE
ENTRAN TODOS
x X
EL EI4ENTOS E
NTRAN
ALGU NOS
X
x
X
ZCuántos números de
n0
repeti das Pueden forrnarse
con
5,
6.
6 cifras las cifras I 1, 2, 3, 4,
: Lw de,terutdmerute, mi RazovwrLenfo to a) )RDEN DE tos ELE&{ENIOS : En ette caao, el onden en ctuz áe man lna elenevtfo¿ ái inpotuta, ytuQano ets Lo wúAryg , pofr ejenplo : 123456 qus 132456. ¿De acuütdct? pry {onnan 'T b) NUMER0-PE ETEMEI\fIOS : Tenemo^ 6 cx{nal.' com.o n L al mi'smo t'teq tod.od t Lld. puQle. vü1, irutUwienen^ienrye po. Lot inponta Pon Lo tanto : C.omo el¿^i of elanetfa¿ A adená,t inTutvie'.nen oneL mentt^ quz. not dan, elfumot anfe
:
decu
NO IMPCRTA
X
ERMUTAC IONES
3
De donde
CANT I DAD
ORDEN DE LOS ELEMENTOS
PO :
= 6t = 6x5 x4x3xZxl
=
S¿ puelzn [otuno"tt 720 ntimuto¿ ü6üLznf?A.
720
),!
ANALISIS
230
COMB
ácuántas pal abras d'iferentes (sin importar su sentido) formar intercambiandr¡ de lugar las letras de la
N9 7 .
PROBLEMA
SE
pueden I
3
S0LUCT?N
al
abra
?E LOS EIEMEI,JTOS
OROEN
:
¿Que v
t! *ü mirsmo, .po* (de ondznl
üce
on'nod
fnnee¡t b
I
NU[f
23t
O
: a"l ORDEN :
Piesue Ud,. ¿n Lo t'iguienfe EL que Uci. Le de Í-a, mono a ,Su h?,'tm«no , e^ Lo mi¡rno quz'oo- AL .La üe,w ¿', ud. ivw L¿ W¿c¿? . E!- he.cho ?A, qu¿ d¿ todc¿ mene)L.a/s r,tr.LJ LIYL apne.t6n de mano,s, a3to sigwLdiea" qu¿ gn oÁt¿ ca,so Q! )ndeyt yl,o btót+Ue.
no?
:
ue
.
REBL1\,,IA? No,
OE
ELE,I{EñT0S
Lo
be Ud.
Coneluínoá" en
I/, tanfo,
eLtamc,s aytfe
uan
ooo cf jS¿
PROBLEA,IA.
...
Pumu,tae-LongL.
40320 palnbna,s
y
ü[uteyTf(Á.
ellas?
r
'
Laa aLdttoa c1-e infuwienen
trl
NUlr{ER0
0E
¿end.n: l, 2, S, 4, 5, 6, 7,
de.bono.5
S0tUClc)N
:
2.
¡.i
t
"o,nolZ tnpo,tjd.
Pon
:
víz
de 3 en
IÁ,
Lo¿
L;.ürmoá =
ante
u¡'L
8 x 7 = 56
caao de . . o Vrl¡t-ittcionQL.
b
) NUMERO DE ELE,I{ENTOS : n6
L3
Ng 9.
Ne
12.
wineno,s
s0rucÍ0/\/:
E¿tz
Q/5
SOt UCT1N
:
Un Depós
i
1, 3, 5,
a) NU^,íER0 DE
tunb.í6.n un ¡cfi-ctbl-ena aobne vanine-conea.
=
üc¿
PROBLEMA
En
no
30
personas.
produc i eron al sal udarse
.
rtlt-Lúno,s cluL os.tanc
¡
a n-tc.
to de agua ti ene 5 caños de desague que arroian : 10 y 20 litros por rninuto respecijvarnenre. Abri en
*:
E L E¡1{ENTOS
puede desaguar
:
Comc
,
b)
¿Cuántos apretones
de
ma-
depós'i to?
noá üeen qu¿ d¿bunoá abnLz 4 c«. ent¿ndeilo^ , Quz d¿ I-o¿ 5 e(-¿tn¿n---'
OR'EN OE LOS
ELEIIENT'C]S
:
abfi$no^ 4 dc Lc:¿ c«ftcS, áulZrrtlá li.LQ-
todos el I os entre s í?
el
to,s tznenot que co§'en g.\npo6 dz 4 Q-n 4, Pon- Lo .tarrto ¿?odnci ,6üL e,ste un ptLobtana. d¿ ?ennu.tacionu? 1,J0, de rúrigunc, mevLc:,;a, ,d6Lo púwCe áüL de Va'niac-ioneA 0 Combivnci-onos ¿No as o¿í? .. -
Diga Lld. po,Lctué?
6x5 x 4 x 3 = 360 |,lanütaL.
un reuni ón hay
se
c-o
= 20 -'-'¡tos«c.a,s d-LóQ)tLitiQ-s.
ctvto
!-o
ia cacla LLnl A obÍ,endneno^
toto"Í.. ¿Uo¡jpú. ers.te totaL, [í abtuino,t a5oá mLsmo,s eañ06 , pul-o a'nona en ottden .LnvQ,Lso? N0 ¿Pott que? ..,
un Ne 10.
Lld.? . .
iiu,bn et,-t¿
ñ0,5
.
vX
¿Qtté
LLQ.
do indistintament.e cuatro de estos caños. á En cuantos t'i enl-
Cuatro pqrsonas entran en un vagón de ferrocarril en el que hay d as i entos . De cuántas maneras di ferentes pueden senta rse
Lt:zgo co nclu..uno,s clu¿ Q.L o,\dut ¿n e nc mpcnÜ. '¡sa,'tn e.?- n-orulütdo {Úwl.
6r 5r 4 = --31[-
pos d j fer^entes
PROBLEMA
,
F
PROBLEMA
Sutt¡:onguno^ que ttmano^ LaA peaa.5
:
e.[-'¿nevul-o¿
^Q-
¿Pccl,t(« asÍ.c.
dQU€:
3?
?A eo nnuttvt-Lva.
^umcL fnm¿n
qLL?A á0t1. núno¡t0.5 üúelte nÍeA, entonce-E,eA iá',i?r"orl u QL c,t¡d?-n en quz óe tcmen Í-tt¿ ¿lenenfn,s-
lo frutÍo,
Luego
seis pesas diferentes de 1, 2, 5, 10, 20- y 50 kg . áCuántas pesadas d.i íeren'[es pueden obtenerse, tonnndo
dz I , Z, 5 hg. zn QA¿ ottde-n, ^u : 1 + 2 + 5 = t h-g. S¿ l-a,s tomanct¿ e-tl c,z-d.¿it ínven^uma ^uLd. Eo, áu Áuma azguitt-d-.tiudo I hq. iNo QA vatdad? E.sÍn po,TctuQ-
de
un pnob!-una ,sobae ¡tetnufaeione^? . . . ñá; ,sófc ¡tue-d.e ,solc o ^a.,1 de Vonictcione,s o de C
In" ,so.Luci6n de e¿to¿ ptLobl-enat u5 bo¿- -
qLLQ-
ai OR'EN DE LOS ELE&{E,VI-OS
g.
d.eci¿not quz Lo,s n(unalcs donnarlot
tonan q,uuo.5 de 2 en
Ud.
Con
llas
b¿n de Q*fal comptlend.idc:s erttre l0 q lT0 no,s e,stan ü.e,Latdo qtle ruinenot d.z 2 ú$nc.;:,. i,Sigtr,c(iea atgo? Oesde Lue.gct c¡rc 6í,^on puea ahoto .sabe.nol que tle lnt I ú6h-aa
que no6 clan
bl
: At
ELEI'|E1'ÍTL)5
11.
frasl
cifras
cuatfa
aptLe.tnnat cie mlno^.
'
des i gual es mayores que 10 y me nores que 100, se pueden formar con I as B primeras ci no repi ti éndose ni nguna de Las deben ser con tadas a part'i de 1.
,
C,a
= 435
tayúe- dinpLz? PjqBI-!UA Ns
áCuárrto's t'lilmei'os enteros
30x29
T
=
a erúrtan aL mt smo f-tanpo I*s
un caLo de
=
,g
S0LUC10ñ
Íanfo utnno,s ante un caao d¿ Conbiyut--
?on Lo
porLque.
e-Lonea .
Tarnbién obde¡wamo^ c¡uz dienpne
:
8 Lah*s d¿ IÁa que coywta
N9 B.
De Lod 30 elwn¿ytfo¿ que fenefioa ,síem-We. tomah-QJnoa g,Lupoá d¿ 2 en 2, Ua ,sa--
b) NUMER0 DE EIE,I{ENT0S :
no QA
cuando cambinnod de Lt guz 'vaÁi-acío.
lnn
.'
QuQ.
ERO
Pon
Ud.? ilmponfa o
s0ruc10ñ
Pa
PR0BLEMA?
¿EÁ
PROBLEMA
I NATORI
OSCAR ZEVALLOS G.
Luzgo
,
ebtmtoa
ct,ú.e
i
t:L c&5 a
de
contb+¡tnc,ülnc5
:
),
)))))))))))))I
)
)
233
51.'l
O§
5 x,l v.,5 x ^5 ,, +"t.i**áfr. Ci 2
ü 5 Liwnpoa
CAR
ZE:V
ALL OS
6
.
ISIS
T'i?.ÜPITDAD
y
:
"$'í ur!a c'frel'aci$n pu0rlL'e'[ectuRrse de m&nera5 y Hna segun cla L\peracl6n Puede *fectuarse de rrrtrt illürrerds, I us dtls 0p8¡a¿cJones $e podrtn eÍjectuar de o'rn . Il, münerasrt,
ION
Hay Dg ER
büs di ferentes qu*: vl uJnn entre Lilna cueñtas rnüneras puerrle lvlarcela a Huuncayo un rrmn i büs d'i f erentÉ . omni
ir
;
l,lancola @r{L i)L a lna é cmwibru 'g tLeÁtant*, pu!Á ga no pulde
SquJgl0l-i
t
6
I a) Supcrngnrno'Á O,frAi
¡e
íu€.
, pttadz ,püLa" ¡L
o^*"iOr,rrüe? .an:*¡ru1^*,i,*1,H,1:#ff.0 ^, e0fn'(.T ,0 vfLt"ür'ucu¡ üO ¿EL
invLrla|
tLti e,n
de --
# oo conrtt;u
qul,"
not inditca que..potL uda n6;nena q*e uuül,tze p.tn ll, g coñw [ng á ra.natu üló,rretl,tu dt¿ ,h, entang nwnatLl,A da il. g v:oAvu auá" t
i:{.¿,
-Wá! nnn
s- ¡L¿gtLlu,o
5 p,P,
6
[¡
Ai^i
tmét{ ca
de Aritnr€tica
t*t
y 5 de Geograffa?
tr ú; x r'I
d,a.
y 7 de Geognaf
f
LEI'IA
III
'fffr.netLu^.
.J
LUCION
¡ l.)
En ut. M,to
nui
I t !,',l 5 ,l'10 '
mrj üLu a tanonoa que u.coguL x.
e¡Lre- Puenw'
U
t.leotgÜue de
nS uz
4 lnnbne¡'
LAI
i
nwnwclb
i,ot lwnbnu de !
C7l mil¡rlJLa"á **lénU grürpoa eon$o.twad'o¡ pon lwnbnu'Pug eE pon A ót¡ uce, eil§, uno de trtI d;ibs' ;;;;:;'li,^l¿eá unoeóO clialtÁU c.on ¡¡da tc¡ngü ! a C|Z {4
I
¡3 d,E conú/;u
tle I'lodot
Eocogaa
ryáW * It#+
6' formas conri tás m{ xtos de , E mujeres se vü,,.la 7 h.m,res y st l formarse i,;tdü. persnn.rl ¿ó*"'füánt.u n*rro, rn et eoml te nrl r i\) Cuando haya com frffi*,Btit n,uJe res .
b)
¡1.?
B
:'
u.
¿ i i bros
LLaa
Luago
'*oru{rtu
tl de ca¡nlfrü s
qn que óe Áaquen t¡l ltbnu dg Ar,i,frn{, utá, *sgeta.da con uda una, du Lu nanett¿,;L de, ád,MtL tfr¿ l,ibno¿ Entoncu el ,L óln, , zft ap&JeapniJlc¿pit srlwlüed potl et, fro+6ry, 4 duc.to d üLoá quc ,Lepneaeni.e e nQrT&¿r&L udn áu áo"pürid,o iN's Le pan urw
flO, nO n-*
t
áDe cuántfl$ nl¡ri'rBrrrs df f ereilEes üueden esc0rgerr¡e
Cdda
rr r,re
x5 E 30 milrlw&lüóeltnatu
un esttnte huy $ i i l;ros de
'
'de
a t¡¡ en
t¡lrt ,gOim orl,rtlat]
c.ñs'-
B, c, ^0, É, ryy*
'nu9
a,L PitLU
I
Y*y-fo,y:,i"-!'#rf;o o* üeogÜL gtLupo! Y:,!#"Y,;,llon,;::,Xffii?Yy-^l:;íiii,;,lH:,,oof*?easf^no"rcfr s-'t' u'"'o"1,-'¿f 1:;u'n'o';',1,r..'iirotir,T-?+'":i':f du.5 rllt 5-, l¡'Ln'LrfipolL&a'rL i'yfi;*¡"#-,*{r;i" [,i-ial o{twa/ct"d, ¡4'iárnr; ¿ uce"rjc L'; C,nb,inoc^or'i,:it' un en,Ao dol oÜt0) e,L w^c de f¿t10 et).b *(,(')uh,do con $inal leni" !
y Huancayo. y r.egresar
u'at po
10 0f I cl a
. tar rje 5 *,iñiá¡éros y 3 of{c1u1e5?'
f
[[§IHIA*L?¡+rts7,,
fus ds ficdo*
d.s
ta¡ag
de
eae.oggÁ'
Loa de. A¡-Ltn§.ti,a,
t
)-
ci udud hay Itr¿ coll:{eros En el conseJo de ull - püeáe,, ioñtormarse §1 deben te; conri ¿üuüntos I es
Ne 3.
rrü1rr
:
x
I
I
Bien espero que hasta aquf, tenga unu ldea más hlara de los proble. estudiando. Cerc{orese de haber entendJdo totulmente las so 'luciones anteríores. ve&üos ahora uila conclusi6n lnteresantr que da origenriuE'{cs Prob! eRras
r !*#
N.Tot¿[,
"I
'/,
ü"óuLe,ntaa^
Inüs que e§tamos
fi
t I
C0l4'tllNATORi0
Nr dE com¿tse r
'l(
Uo
1 I
r
JSt.,R --JAt-OS
Jo
ANALISIS 2.1
Cu.ando lrnua como
rúntno 2
mu¡
or-?A
235
COMBINATORIO
!
Loa conifet tlwten 6 t-uganers q piden que como míni mo lnaq 2 muiüL?A, áz dn¡tÍn Í,aa aigu*.evtfors po^ib.tLidadeT Comq
PROBLEMAS PROPUESTOS
l*Ua du muj uters A 4 lwmb,zu; que- itctqa 3 mui utu q 3 lonbttu; 4 nujutu g 2 lwnbnet, 5 mulene.t q t hom--'t r--\ bttz. Lc.itul.a {¿ In¿ iuulul.oa ponoiáe,t noi dot¡. ¿" *(].¡[ ,L?ApueAÍ,a 6iila,[-, Aai. t Que
Ars de comifet DióüLuttet.
csz
x cl + ctr x c! +
TI ElrPO
Ha'llar "P" en
ü|elleytiet. A/e
de comif%
üduteytf.?A.
PROBLEMA
x cL + c? r
:
y 5 I 'ibros ch'i cos iDe cuántas maneras pueden colocarse en una estante los libros en grupos de 5, de los cuáles 3 sean grandes y ? .
rrurl
ar
2
d) s
e) 6
d)
e)
N.A.
e)
N.A.
en:
u= a)
hay 20 I i bros grandes
b)
3
Hal I
=y a
Mi n utos
c?l
5x4 7x6x5x4 5x4x3 7 x6x5 5x4x = t)cffi + zwTxir * r*;t+.ry. t x7
En una cai
N9 5.
2A
P= c54
a) ¡¡e de coru(fQt
: lit
O
b)
3?
simPl i
ricar
64
:
a=
1
(x - n 1)l(n x-n
chicos? S0IUC10ñ
3
Et
ruime¡o d,e manuua d,e eacoge¡ Lo¿
libnu
gnandza
? , ,'.! ,
d) +
U
a
nfine¡o de manü1al de %cogüL Loa libno¿ ehico¿ QA C,i , Li como q da una d¿ Lat WirnüÁa nane)tol Wele o¿ocí.a¡¡e enn cnda una de Lot degw.du
ü.
nfunelu de gttupoa combinad-ot,, conteruiendo bni¿ elvítot ¿e^.d. : c2! * c1, .
'
adn uno Z.Ubnctt gnandes a 2 ü-
Puw [ijenovwá o.n algo, al colou,tt Loa libnoa en el o¡.tante, üganoa rlue ai phino'u cot¡ennot aL libto A q bego oL Uhno B, etto da¡-d. un oalen ü$erunte d uando lngarnoa La colocoeiÍn en tenf,ílo inverao ¿lÁe enfi.znde?, Pon b funfn ol colocan un grLupo de 5 U.bnoa en el utdvtte, ello paede hace.nre dz : 5'. nanell.tta üatinfaa. Enlonces $itrnlnenfe twdneno¿ : Ne de nwne¡oa
de manelr-aa ^Js
= c'?! *
csz
= l' 304,000
x
@
HaIIar
:
"x + n" si
:
,n;' = a)
@
b)
19
Halla-
c)
10
vl, si
zLo además
:
CI
d)
e
45
8
1
:
225
sl
11
manuut üóüL¿nfea.
a)
14
0
Hal l
ar
b)
: t'x" si
c)
24
D
10
d) 56
e)
N.A.
L4
d)
e)
13
:
3cI a)
42
b) L2
=
2CIo
c)
15
)))))))))))))) lCuántos ohjertos df ferentes tienen gue haber ptsra binacione''s núnler^c
)))) que
(¡ue se pueden'for,,nu* toniánclolos de 3 en tje c,LrJetos .
3
el
seü dei
dob'l e
'r)
ir)
l{allan
el
c)
3
vaJor de
118I v,¡ n"io6
b)
c) 6
e)
d)
(to)-
,^. qr-
b)
c) 6:
7
e)
ecuentos números diferentes de 4
f
ras I ,
a
)
b)
36
iDe
a)
cifras pueden escr.!hirse Z, 3, +, sin que'iá ,ipiti'n.ingrn. cifra.
cuán
?4
c)
6
d)
B
6il \'7 -
c) ?0
d)
,
gi
oebár"á
a
@'v
) 80640
b
)
40230
a po
c
)
h;;;"p;;; ;ñ' ;;i,r:'lu
rte
escoser
d)
56
4956
c)
4'256
d) 4895
e) 18: x
3l
doras eada uno Podrfa formarse en eiiá cl ub, 'l 'l os s i ernpre ti ene que es'tar c0nl0 capi tana 1a
mi
sma J ugadora cuy0 [lofrl'-
: Marla Lul sa. b)
42
c)
1?o
162
d)
126
e)
60
Decuánta,smanerasdiferentespuedeneleg.lrseuncomltede4personas ha desempeñar son en un ctub de 10 miemiii,r""iiuiáñió quu in.-.argos y ¿ité.ent" signiflcaclón trascendetlcia'
24
a)
s04
b)
c)
5040
d) 4200
420
e)
de
N.A.
personas al 1 f reunj das se desde I a ventana de una casa , que 1 as ga ud. cuántas pergonas Di en total 105 aPretones de rnanos. Juan?
a) ls
b)
lñ\/
e) ?8
Si se tienen 6 Puntos'
'@_
L4
e)
F.D.
y ni ngunq ^rqcla conti ene a ;-olgá- Úd. i üCuántos t¡i ángul os
copl anares que son "ii.nó;
2 de e:l I os al m'isnrc diferentes se Podrán formar con tQd,os ellos?
más de
a)
qt el sistema de base 8. zcuántos números.diferentes pueden escribjrse de 5 cifras, si que ninguna se repita sin que-niñérñJ v ¿e e:lós csnltenga la cirra á
d)
c) 7
12
el'l as f i nure
?
40320
Absurdo.
s de 1 as que en cada -parti. Un cl ub de Vo1 ey t i ene cn tota 1 10 i uSlaclora , pos d'i ferente§ de 6 i uggeqúi iCuiintos jugar 6 de e'l las' do s6io Pueden sabi endo que en toclos e --
a)
@- :1.:l:: :i"l:.'.:'FT:::"pi aportes correspon -. mes de Enero. E'l :::j::-lur^p:erqe,:,s tesorero ha la hoia en ra gue fiss ?:19:ll ;;"H:: -i;;'upá'r;;";u. I:::.:j ffi''f::":",::o:":::::,iv ::;::r F:ü;;i;; 'r i;i.':,,ll;rJ'3i i:;'?IÍl.d:^l::o: 1::- !?,b.q', !e tóüos -i hÍc'ieron, :gri::l:^h:i:'^ nornb re con s u igiultgl da res pect i vo
b)
) 6840
e) Infinitas.
loo
e)
d) t?
60
42
tas maneras pueden formar 5 sol dados en una f i I a? b) 120
.c)
6:
3
con ras cr -.
e)
Lz
Jt.D.
se hün lnscrlto la prueba de "Automovlll§mo't ,."Comlnos delunInkau ' Printer',li8Yifltr{rlTl iU;;tii;i;;ri;s,"íü1"óüaiéi tran'oe-uisput¡r' con la c'lasft ié."iri*io¡ sr'ié i.iti"üü-iuu ud..ucteite una? que
bre es
d) 7i
)))l) e)
2L
En
a
,,o,, pueden diferentes, que terminen obtenerse con Ias 'letras de ra oa'r.orá 'ióurrijitJ;,"'iiiür.en se sin tmportar si tis pat;br;;"tieñán'o"nárlentt¿o.rebf ta ninguña'parabra y 6
b)
360
¡áá' uñi.u iúantai-p;ii6itluades tendrfa
i cuántas parabras
a)
)
d)
d{stintos de c'lnco :;ifrás cada uno, sln que7,nlnguna' de t,ül formar c6n las ci fras 1, ?,, 3, ¿, 5, 6, ;á"r;ñiia,'ié en t. y scaben 2 cgn ecen enrpl mgnera quq [óOái
.ñ'w
^235 uaoo
"zg
4
))) 2520
pueOán
5
^235
'lá3
8!
c
ücuántos números
s)
i
2 ?
d) rCI
r)
3 ,1Lu {. 4 rqr'f
a)
2
b)
) 2?50
a
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de I
6
))
)))
nrÍnrero de
120
b) 20
1.,
c)
6
d) L2
e)
N.A.
para que puedan comurricarse ücuántos cables de conexión son necesarios
't
-'
,39
t,- üAx ZE! nLLt¡¡
d
i rectamen
te dos ofi c i na s cua I qu i era de las 7'que
a) 7
b)
e
c)
iCuántas sumas di ferentes de
I os
números
a) 7?0
2L'
3 s
hay
d) 35
umandos
i 1 , 3, 5, 11, 2L, 4L b) 30 ' c). 45
cada una,
.
en un edi fi ci o?
{r+o
1860
iCuál es SONA S
/ el
;)
d)
laoo
s€ pueden
e)
máximo nümero de maneras en
ya sea de t en 1, de 2 en 2,
b)
.a') 64
46
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79- : -.-.,
que pueden
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3
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e) N.A.
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y 4 mujeres
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10
formar grupos
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e)
e
xtos de
6
el
persona s .
De cuántas maneras pueden formarse tal es grupos de modo que en cada uno de el I os exi sta si empre 2 mujeres.
a)
c)
200
312
d)
220
e)
TtZ
cuatro futbol istas y I nadadores ZCuántos grupos pueden formarse tes cada uno , de tal manera que en cada grupo entre cuando nos un futbol i sta? Con
6
i n tegran
a)
698
b)
86e
/)
8e6
@
zz4
e)
e) N.A.
y 4 5 ¿Crantas palabras puerten formarse,con 3 mayúsculas, consonantes 3 cc hGy- .;;;;i;. contener palabra debe d9?" cada si \7 sí, i"j." áirl""ntes entre ñfi;'iitEránt"r !91!:ltl l^t:+ es '; ffi;i;, ;ffi;;;l,tá-ró."j"t t ,ñá mávúsculá como-máximo,lu !y11 y:l:Ifi:^diflusa-r vocales consonantes ' ili,loli=l¿ri.ill'ál"lá ili.#á,-ñi'ñáó-lái . . res fiios. e) N.A, d ) 21600 c) 30 yl 2L6o ;) 216 t-
de 5 Ias cifras z l;2,3, 4, 5, 6,-7, 8, f iCuánto-s números de.estos.ngprimeras-cifras 2 p"oáii.,i,oi'teñer-si'lai cifras diferentes as 1 as 4. primeras c i fras. enunci adas,l ;¿;;-ñ¿á;n-''i"- sbló-oórpááoi-pó" otros lugares restantes' tres lbs pueaen ocupa" ñó ;;;i il;;
Tenemo!
a) 700
a)
de
De cuántas maneras
orden
1'B
de
b)
40
c) 720
d) Absurdo e)
N'A'
pa1 abras podrán formarse. de r0. - Tenemos I a pal abra SA+GE[.l:rü. ácuántas si'¡o i ugares ? ¡nj S uS ocupen manera que i as Coit So,l an táS
tres letras"x", "y", "z", y de exponentes 5, 6, 7. d i sti ntas puede escri bi rse, teni endo en cuenta de colocación de letras y exponentes.
Ur¡ monomio
pueden se1eccionarqe una consonante y.una vocal cuantas maneras 'l ': caut'i vd : palabra a de letras as
\'/
el cual se dió a la fuga el chÓfer res-ponsable. Investigado por Ias autoridades.Jaime sólo recuerda que las'. 3 primeras cifras de 1a placa del automóvil era¡¡523, no recordando acerca de los 4 dígitos que le faltaban, más gue todos ellos, eran'dife rentes entre sf y a los que ya recordó. ZCuántos núneros..de placas diferentes tendrá que. investigar la policía ?
)
239
COMUINATORIO
fZl)--0" 'l
Jaime ha visto.un atropello en
a
ANALISIS
N.A.
-e)
d) 450
G
N.A.
de me
.P
144
Á 7n /'
c) OZA
d) i3s
e
) tli n,una.
tal
)))))))))))i))r)
)
B4
fl
B4
ALTURA
BS E Area
de un
Rombo
!
n ú (DIAGoNAL I-,.n.IgUjDIAüoNAL o5=-
Areas s&E?Ihrs&das
l4ENo_B)
(c
Para resol ver
iE
que
(A)
conocer" I a. s área s
se destacan
'l
os prob'l enra s pertenec i entes a este capftulo de las figuras gleométrjcas rnás 'importantes,
cle un
AZ = Area de
un
Triángulo
cua'l
quiera :
Triángu1r, Rectángu'l
o:
A3 = Area de un Tri ángu1o Equilátero
AREA AREA
=
BASE
T
E Area
c1
=r¡2
del
CfrcuJ o
PRODUCTO =
DE
CATETOS
: AREA = U!9d-13C? = Sector Cfrcul ar
Area de
BZ = Area
Cn
x ALTURA
CUADRILATEROS.-
A
Donde:R=Radlo
+
iglaltqulJ§.-
81 =
§JBguLq.-
es I l.{ P0 RTAl,l. entre 'l as -.'
:
A,t = Area
(s)
)
de
81 B?
un Cuadrado un
Rectángu1 o
=
(LAD0 ) 2
=
BASE
x
TÍ Pzo t u2 T60,r
ALTURA.
B
83
=
Area
de un Paral
el ogramo
;
Donde rro' es el ángul o centra'l c ángu1o comprendi do entre 'l os radios que I imi tan
a'l sector clrcular'
83
=
BASE
x
ALTURA.
Conoc'idas ya 'las áreas básicas debo decir lo siguiente : Una gran mayoría de los problemas de este capftulo se resue'lven i.ndirectamente, es decir, e'l área que se busca, muchas veces no presenta una forma re gular que puede hal'larse directamente por fórmulas ya conocidas, por lo que el
necesario ca]cularla de manera indirectá.
L.¿
?.4i
OSCAR ZEVALLOS G.
Esta manera indirecta consiste en surnr y/o festar, casi siempre, toda s o algunas de las áreas que intervienen en el prob'lema dado; tampoco'aqúi hay un modo o regla absbluta para determinar tal o cual cosa por hacer, por eso es'importante que Ud. resuelva Ia nnyor cantidad posible áe problemai. A fin de conseguir práctica y suficiencia en Ia solución de tales pro--
le sugiero 5egu'ir 1os siguientes pasos. ANALISIS DE LA FIGURA .. iniclalmente observe que figuras intervienen en eI pro-.blema,Essidecir, cdnoce o-no sus áreas, o'si cada-una de ellas posee los Aaios
blemas,
(I)
Aso,nb. = ACuadrado Acircul
o si lo prefiere (4
)
Reempl
A,= SOMD.
azando s us val ores
(III) (tv¡
.
ración e¡i;re las
iI2 2.-
PROBLEÍA
ION
.-
:
iQue Fi guras i ntervi enen? Como vernos aparecen un cua
P, q A R medi-oa,
= L2(4
,¡2 3.14)
¡2
ánpt ócm QA
LLtL
^onputlÍct^
LJ
m = 2u.
A
:
(1) Intervienen :
Un triángu1o equilátero ABC, de lado 2u; además 3 sectores circulares iguales-entre si cuyos radios valen : zu +''z J u, y cuyo ár:gu 'lo central va1e, 60., ápor qué? (Z) ¿Que.áreas restamos entre si? ... ¿Ud. que dice? ...
Es
cierto,
ár"ea
drado de lado t'zL't y un círcu1o; cuyo radio valdrá
Aso,nb.
4L2
:
La digutrn ln{lan a,t- Attwt t:ombnead«, d«biend,o ctu¿ : ABC? QA un cuadnado U que Á6 = 2L.
En
^ ^somb.
t-ct di.gwza:
nde : AIJC A Equ,údfe.tLo.
pregunta anterior, la respuesta, que será una ope -¡: áreas, débe Ud. de ESCRIBIRLA SIHB0LÍCÁMENTE.
a reemplazar de acuerdo a los datos del problema -los valores respectiVos de Ias áreas en mención. En los casos que aparentemente no se nos hayan dado los datos suficientes será necesario -calcularlos por procedimientos geométricos o en ú'ltimo caso ponerles va lores literales que luego segurámente habran de desaparecer.' \¿ea Ud. i 1
z?.
0o
la
SOLLICIOII
)
ha.{la.¡
bleaclcL dQ-
Procedemos entonces
IJg
+
--
: 0.86 A^^-" SOMD .
RESTAR
continuación algunos casos
SOLUC 1
y/o
una vez contestada
PROBLEMA
(
el anáIisis,
hagase Ia siguiente pregunta : éQUE AREAS DEB0 DE su entre si para quedarme, sóIó con el AREA S0HBREADA? Para contestar d'icha pregunta, ten@--Ud. en cuenta que ta1 vez no haya necesidad de restár o sumar todas las áreas entre'sr', si no sólo algunas de ellas; también es poETETé- que exista la necesidad de hacer argún trazo auxiliar, para que aparezcan áreas'que relaciohadas entre si con las ya existentes, nos perm'itan calcular'el área sombreada. Hecho
MAR
(zt¡z
A^somb. -
necesarios para calcular su área etc.
(II)
o
(3
)
Repres enta
(4
)
Reemp'l aza I as áreas
a mi tad del I ado del c uadrado, o sea, "L".
para quedarnos con
el
Area sombreada debemos de
quii.arie
del triángu1o las áreas de los tres sectores circulares. ndo
sj
mból i
camente
:
I
(2
)
Que
áreas festamos entre
si? ttluy Fácil : Al área del cuadrado 1 e quí tamos el área del círcul o, para que nos quede el Area sombreada. iNo le parece?.
(3) Escribiendo
sírnbolicamente
ndo I os val ores
cje
^Y :
S'imDl i
f icando nos quedará
é
i\Y
w AY
r.(u)2x _?60 I
Y at=
u'{
3
0
60n
a.l
)
)
244
OSCAR ZEVALI.r)S G,
0. i.6
drñryq.H tffi¡a@
u?
24§
AREAS SOIV|BRTADAS
aprdxiln,rdarnente A1
4Esta lid, entencii endo?. PR0BLE¡/A
[/9
s"üLur]g[
;
3,
-
fl&{Aa/L Lt, dn,w a 0rlibi¡sa;¡1o", S,(enc{o ABCü r*r curur!¡ndo,
ti.
bd H L¡-d
E
BEH
ilf s 2m,
J
B b. Rv
(1) fntervienen
uR ctiqdrado de lacio y'd0s sectcres clrculareg ; ADCA y AtsCA de centros t) y B ts» 2i'¡l
H
.
res pecti vai'nente, cuyos racli os en este cflso, son del rnl srno tarrcliio que el Iado del cuadr^ado t es deci r, val drán : "?m", y cu yos ángui os central es val en 9üt"
rr
m2 r
m2
(3, 14
2nl2
- ?)
I . 14 m2 apróxlmadamente.
tot a1 será: Eh. H Ld L¡.t Lr¡rt Lrra
a 2(1.41
ET Li¡I rL;-I
ei'l cacia uno.
ma)
V
.dtb.
m
l=lE¡ltL
(2) ü(Jué áreas rrq$itarnos entre s i ?
tal
conio es tu I a f i gura
no
f**,iraA D.'li¡tdFat b-a-r¡.-l h,b-¡ hrl|m¡t l¡§-t-¡ b-lrel
w
se
vist¡aiiza b1en, pero si 'AT t!^aza-* 'l ( F'i a 'l Í nea punteada ;
rTtos
gura 2 ), el área sornbreada -ir
quedard d'i v1dida en Z partes AI
PRO6t
E¡\,lA
Ns
4,-
llailüL
Q], dtt"Wt, ,sombne&da en
¡!
e. 28 aprdx lrnadamente '
,i
y A? iguales entrÉ'sl, y bastarií ca'i cu lu r" lrnü Ce el l as pürü 1 conocer E'l vü;i or de antba§, ¿ De acuerCo?
tFiero & qué será 1gua1 u na cle cllas? 51'observamós 1l' fi gura 3 . en 1 n cual he §€pa-
ADCA total al sector 'l egamos? \ IEs verdacl ! el área Ai será 1-
rado del
¿A qué conc1 us16n'l
gual u I r d1 ferencla entre el sectsr clrcu'l ar y el tr1ángu1o ADC, Entonces slmbol J zando ten dremos
i
S,OLUC IOf.I
I
Preste
Atenc { 6n
i
voy
ü
resoJ
ver dl rectamente B
(1)
f,t
¿46
OSCAR ZEVALLOS
G.
Pero a su vez: SOLUC
B
!(tl
I
F:
,.(2)
A
E
ION
:
(
Anal izamos detenidamente
la figura y
encontramos que intervienen 3 semiel val or de ningún lado, url'i caniente
ci rcul os y un triángulo. No nos dan el'áréa dgl tri ángu'l o ABC
(2) iQué áreas restamos entre si?. Decimos, 'l uego de observar con atenci ón, que el área sombreada quedará I uego de que al AREA T0TAL I e qu i temos el área del serni cÍrcul o mayor iNo es verdad?.' Pero , a su vez observamos gue el Area Total es i gual a I a suma del área del tri ángu1 o ABC y de los dos semicÍrculos de centros 0Z y 03 respectivamente. Simbol i zamos
Entonces reernpl azando (2) en (1) tend
247 \
AS SOMBREADAS
:
AsomD. ' EAtotRL tulAL
r
Asc
(
ttor.
1)
SC
=
Semi
lo.
ci rcu
B
AtorRu
Pero
Reempl
a
za ndo
(2) en ( 1),
,r
(R
A)z x 90
Ao
ABC
obtendremos
Asomb.
r
=
+ Asco2 +
:
= Ao ABC + Asc + '02
+p2
dremos
nR?
Ahora regresamos
-
Har'tÁh A¿o*bnenda
tab¿ que M tJ II0 ^i l,an aido tnmadod co mo diÁne,OLoa
U
'1
:
= ¡2
5.
Asc^
ar I as áreas neces itamos conocer I os radios; pero no I os tenedatos , eñtonces llamémosles R?, R¡ y Rt respecti vamente y ten-Asorno, . =100m2+J¿
¡e
A^^ tto,
Para cal cul mos como
lR)BLEl'lA
45c03 e)
que
el Anen dQl TniÁ.ngu .Lo ABC = 100 *2,
tendrerro
s
:
Í
ASOMD., r
100
al triángu1o
ABC
+ il¿i a
Or
, 'R3 "RÍ Í_T T Ri+
R3
(3)
Ri
]
r.ut, una rel ac i ón entre I os
rad i os y
'1
))
))))
?48 OS
Donde Ad emá
Es
por propi edades geométr
s por
á
rrgu'r
os
i
cas
co rres pond i en
tes
W=F=Rs
i
ca tetos R?
R1.
Reemplazando
tendremos
R3
e hi potenusa
RÍ = Rl +R3 _) (4)
.
(4) en (3)
y
)
AREAS
SOMBREADAS
?.-
Hal'l
ar la
sombreada
)cBA=iCO2O1
:
decÍr el triánguro coz01 es rectángu1o de
Entonces
CAR ZEVALLOS
) ) ) )
)
249
re] ación entre e'l área
y el
área no
a)3
b)+
l,
l, I
c)
1o
sombreada.
:
e
^_,_ = 100 + 2 SOMD. ?I
A-
iRi+R3+
L 1oo + A^^-. somD. z 7T
RÍ
) Ni nguna anteri or. P
]
Hal I ar
el
área sombreada
:
* ABCD es un cuadrado. * P, Q, ' R, S son puntos medi os .
tRl-Rl]
A-^-,= 100 mz somD
*
.
N, M, T, U son puntos medios.
A'il =
a) 139
20ñ
'b) ^2
c) 3oo *2 EJERCICIOS
e)
mts.
d)
1071
^2
250 ^2
I2g ^2
1-
-t
Si eJ área sombreada
a Soocm2. le (x)
D5C 4,- iCuál es I a rel ación exi stente da : (en ese orden).
equjva
HaHar e'l va1ó, dü
:
a)
5 cms .
c)
?5 cms
.
e)
15 cms
.
b
a)
) 2.5O cn
##b) #
en
tre el área sombreada y I a no sombrea -
a
b
d) 5ñ
cms. 70
-3
_': '
?50
:
OSCAR ZEVALLOS
'
r
.?-
r
AREAS
SOMB READAS
25I PROBLEMAS PROPUESTOS
4.-
Hallar el área
Ti empo: 45 mi nutos
a) *
:!C
Hallarl el área sombreada, AB = 20 cms.
1
:\
i
a) 75.rr2
b)
65 r, cms2
t-)\ -lJ
d)'
725
e)
rl¡
s
rCmS' ?
b)
:
. c)
Hallar el área
sornbreada, sabiendo que el radio del ái.áuiá'ruyo, val e 10,2 mts.. Tome TT = 3.14
+ Za?
d)
T
e)
3a2 + x2
r cms 2
i'linguna anteríor.
sombreada
* *
5
:
a)
600 mts2
b
) 328 r¡ts 2
)
128 mts2
,C
)
c
e) 3
2OO
228 mts
rea da
tro
_
S. g.i eñ¿o
Ád na sidó
q
r. el
«J
2
Hallar el área
a) 9x2 c) (sx/7¡z e) F.D.
mts2
í ame
;iriáiuo en 6partes iguales y las lÍneas __
rectas son respectÍ vamente ralelas entre ii.
a) +
c),2g e) +
b) ,L d)
pa_
DB
DF=PA-=QR=RS=#=TB*DC=3x
HalIar la relación entre el á_ rea sombreugg y el área no som
b
es un cuacjrado. esta divf diclo en 6 partes igua_ les : ABCD
D.
6.-
RAU = tz Halla¡ el área Ao
a)
6
c)
2
e)
No mencionado.
F.D.
d)
1
sombreada.
b) 3qxz
d)
3xz
))))
)
252
7
,-
OS
pA1
:T PC
),)
)
CAR ZEVALLOS
,tA
A
=' g? *2 ABCD
"AD Ha L'l
ar
.is
m=¡E C=
m-
\,
)
SOMB READAS
AS
Asombreada.
ED
= 6 mts.
a)
!2,?ó
b)
a) 4 n2
b)
16
n2
c) 3 n2 e) F, D.
d)
24
n2
D
= 90"
mts2 12.30 mts2
e) Ninguna
c) 6. 15 mts2 d) 5.
05
mts2
anterior.
Si : a = !',
I
ABCD
a2
c) *
=4
m.
pA'=
E'l área sombreada
cuadrado.
DE=EE= a,E El área sombreada es 'i gual a
a)
1 m.
b)
a) 2,3 :
b) 2
+
d)* ,5
iT
^?
?m,
va'le
'
*?
c) 7.11
m?
d) 7.1I
Tr m2
e) Ninguna anteri or.
r d2 vt ñl
2
Hal'l
ar e'l área sombreada, si
Datos : 9
ABCD
:
C
:
0:
= DoC = COg = 450 rr0rr es el centro del círculo
AOD
0B =
x
El á rea
sombreada val
e:
Cuadrado.
punto de intersecci ón de I as diagona'l es.
tro de semi cfrcu'l os de diá metro P0 v Cen
Lado
,,
arT ar:-.
Yt
X2
ÍX2 4
+ d) +
valg
b)
a) 2.8
F.D.
del rra¡r
cuadrado
uZ
b) 0.28 a 2
c) 0.95 e)
:
a
2
d) 0.43 a 2
e)
F.D,
n=3.14
2tr4 (
OS CAR
*
13.
PS b0F
* m :?r
A
Y P-
di ánretro
= 3.14
, 8§
ZEVAL
B
XVI
= 2R
Relaciones rnétricas ent un triángulo rectángulo
AreuAgcD = 9 R2
a)
RZ
,c)
0.44
R2
)
2.35
R2
e
tu
b) 3R2 d) 3.2gR2
I
t4.
D
*
de 1 a
A APQ es rectángulo.
* PR es medi ana. * M,N,S son puntos rDA Dr\r v r^T-3-
Hal
Iar
Ll amamoE Preyecci 6n de un punto A so.bre una ar bai ada desde A a L.,. Veamos :
perDend i cul
]A I
tangencia.
, al
punto A'
que s'i el punto A esta proyecci ón sobre el I a
I
de
recta L i
en es
la el
A.
Proyeccídn
AP
--_
L,
:
A,
a)
F. D.
c) (1q-, e) 15,
*
ABCD
*
DE
es un cuadrado.
= rcA
Ni
b) d)
i
Proyecclón de un segmento
*
de'1os extremos de'l segmento AB sobre Lr'
L'lamamos
nguna de I as anteri ores
.
así al
ñB-
sobre una recta
segment.o
L,
:
FB-t cuyos extremos son las proyecciones
Por lo tanto para hal]ar'la proyección de un segmento cualquiera.'la sobre una recta bastá baiar'las perpendiculares desde sus extremos a : gráfico siguiente e1 en recta, tal como se puede-apreciai A
mts.
i'-l
r = 3.14
I
'tr = 1.41 ,/3 a) c)
I I
= l.l3
7.2 *2 1.8 nz '
I I
b) tz *2 d) F. D
e) Impos i bl e. 0
I I
))
)))))
256
OS
Ejemp'l
os de pro.yecci ones con
I as
B
CAR
ZE VAL
LOS
): G.
))r
)
que nos encontramos contfnuamente son:
III)
IV
)
TEO REMA
TJEI,|PLO
DE
P
I TAGO RAS
Ng
//
catetos
O
c'
hT' ;m
es la proyección de A-0 sobre IF-. es 'l a proyecci ón de Ie sobne m. ¿Y cuá'l es I a proyecci ón cie ¡E- sobre ffiil 'lY cuál es ra proyecc'i ón de m sobre m- ? ¿Y cuál es ra proyección de IE sobre m ? :.
b* SJ EN UN TRIANGULO RECTANGULO tencremos ras siguientes
re'r
el val or !
t
Trízera.
A LA
(urporr*rr:],:,ror:0,,:,ro::ro)2
:
La ol-funa nelo,LLva d La h,ipotewusa en un ü¿Ánguls necfún guLo de,tuurvLvw ¿obne ella do¿ aegme.ntoa de valónu 2m, A 4m, ,Lebpeefii.vanente, H*&Lea ,Lo¿ vafunü de l-oa co-tato¿ A k, olhJttg, menu.onada.,
'l
los catetos : Corno J os segmento a alturar miden 2 m. y 4 tTr. , conc 2m + 4
:
(ALTURA )
cul o de
sd, por
TRAZAMOS LA ALTURA RELATIVA
aciones
cá]
l
'?s,
UL O
iPreste Atención I
SOLUCION:
t
() RE CTAT''IG
E'l c uadrado de 1 a hi potenus d es igual a la suma de'l cuadr*
do de los
[n I os cual es :
GU L
La altura relatlva a 1a hipotenusa es iqual al producto -
de 'l os catetos entre de I a hi potenusa :
\t
)¡)))l
ACIONES METRI CAS EN UN TR I AN
m=
dos sobre 1 a hi potenq h
6
conocemos el va'lor de 1a hi potenusa y na 1a al tura, de acuerdo a I as rel aci
Como
term'i HIPOTEI,IUSAI
tos que sobre el I a de ndremos que
= (6X2)
:
Donde
(l) :
:
(CATET0)2
n, m, va'lores de Jas proyecciones cada cateto sobre la hipótenusa.
de
*
(
)
It
Cada Cateto
al cuadrado
es i _
gual al pfoducto de I a hi pote nusa por la proyección de di: cho cateto sobr.é el I a :
¡ El cuadrado de I a al tura rel a tiva a.la hipotenusa es iguai al producto de los segrnentos que determina en ella :
(cATETo)2
=
b2= a2= (ALTUR
A)2
( H r PoTENUSA) ( PRoY
(ALTURR¡z
¡e
:sol uc t
o¡t
:
@
= (2)(4)
ALTURA
PRODUCTO MI NADOS .
h2= (n)(m)
=
?
.82
mts
.,
,
Llno de Lod cafe,toa de. .wt Ltt t-ánguho n¿elÁngLLLo rnLde. 50, crws U átt prLouecoLín ¿obne La lt tpoteruaa mide 14 errt^. Hallo¡t Ql ot¡o ca.te.to U La. alfura mbne fÁ, !úpoteruaa, " '.
el
gráfi co correspondi e nte, marc ando en Hagamos I as i ncógni tas . IPQ= 50 cms.
(-
DATOS =
3.46m.
= 4,89m.
'l a al tura : como conocemos I os val ores de 'l os segmentos determl o de 'la h'i potenusa por 'l a al tura , podemos uti'l i zarl os para cal cul arl a , de acuerdo a la relación II i
ECCr0N)
c.n c.m
CATET0
Cál cu I
üEMPLI
i
=
nados en
(ll):
(
+.CATETO
= (6)(4) +
J
- h, altura re] at.i vá a ella.
:
= (HtporENUSA)(PRgYECCI0N)
, b, val ores de os catetos . c, valor de la hipotenusa. a
i potenus a val e:
árl os datos y -
:{
l.m-= 14 cms.
DE SEGMEI{TOS DETER
IQH
INCOG
:{
= h
Im= x t
entonces
ffi '= 14 + x
Tratemos de rel aci onar I os datos
'l v-
as
I
(((
((((i{ 'li\
,(r\
I
OSCAR ZEVALLOS G.
258
a) CáIiu'lo de 'la Hipotenusa
RELACIONES METRICAS
la
algo que relacione
porEltusA)
*v
(t+ + x)
( PRoY
\--
Eccr0N )
eI
(t+¡
L4
178.57
podemos cal cul
Porlaaltura:
L4+x
=
-1 .';X=
rea será
val
A = f, =
or de "x" ,
cms ,
57
cms .
bl
Como acaba Ud. de ver, yd conocernos los dos val ores de- I os segmentos determi nados por I a al tura en I a h'i potenusa, es deci r, m = 14 cms . que es dato del probl ema y F'R = x = L64.57 cms . que ha si do cal cul ado por nosotros. Ahora bi en, ' éNos pueden el los servi r para cal cul ar I a al tura?. ... Así es, mediante la relación II, tenemos :
= (Alrun¡¡z = ALTURA2 =
a
(EO(DB.)
(x)
(2x)
[=2x2 A = 2(80) = 160 m2
:
(RlruRn)z
este caso, calcular la raíz cúadrada, puesto qug el
:
a.
L78.57 164.
No es necesario, en
ar eI
segmento determinado en la hi potenus
ados se cumpl i rá
400=x2+4xz 400 = 5x2 80=x2
cms .
decir, del otro
I
:
(ZO)z = (x)2 + (2x)2
(so) (50) /14
+x
A su vez de esta última expresión,
Teorema de Pitágoras
: (cATETo)2 = (so¡z
14+x
b) Cálculo de Ia alturg
?59
: BC = x, entonces : DC = 2x. Como vemos, €l triángulo DCB es rectángulo y entre sus
hipotenusa. (PH'= 14 (Hr
UN TRIAI\¡GULO RECTANGULO
Decimos que
:
al cateto que VaIe 50 cms., su proyeccidncm.), y a Ia hipotenusa que vale : 14 + ¡ ? ... En efecto, los relaciona Ia propiedad (I) : éHay
sobre
EN
Lo¿ Lado¿ igualet de un bu|dngulo i.r6¿cele,s míd¿n 24 tr,í.Árlgu,Lo ló nta. Jol,lÁn La bote.
SOLUCI0N
:
Grafiquerms
*
*
Tenemos que
De
la
hallar Ae.
observación de
Tos que
el triánsulo
* El lado IF-'es,
(14 cms. )(164.57 bms.) 48 cms. aproximadamente.
aLtuna. del
:
lo.
PR0DUCT0 sEGt'tENT.s DETERMINAD.S
ntt. q la
como
tad del I ado Áe.
la figura nota-
AHB es rectánog
Ud. sabe,
la
mi-
el teorema de Pitágoras,en AHB (o si desea en el el triángulo . .-ángul o rectángu tri o BHC
Apf icando
iHa entendido? Piense siempre en relacionar los datos vez de las 4 propiedades enunciadas. N0 L0 OLVI.DE.
e inc6gnitas a tra
1
)
ALGUNAS APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS :
a) El largo de un rectángulo es eI doble del mts . Hal I ar el área del rectángul o. S0LUC ION
-:
Graf i quemos
:
ancho,
s'i I a di agonal
mi de
20
(ro¡2+(ñ)2=(24)2
'' rB
mts
.
BC
I f l'= Q4)2 - (t6)2 Adz
=
4(320)
AC = 166 mts. x
Incog
:
A
=
(Be)
(DB-)
Aplicac'ión de LAS RELACI0NES ANTERIORES A LA CIRCUT'¡FERENCIA. Si un punto C de una circunferencia,es unido con los extremos de un riiáme tro cualquiera : ÁB- de ella, se obtendrá un triángu1o rectángulo AlX, crya hipotenusa es el d'iámetro ARy cuyos catetos son las cuerdas eAy eE. Si además trazamos ter perpendicular a ÁB-, determ'ina sobre e'l'la los sesmen
)))))
)
260
))
)))))
OSCAR ZEVALLOS
RELACIONES METRI CAS EN
G.
iDe acuerdo?
Ae- y OE; y corTto ya esta Ud, imagi nándose, s0 hari cie curnpl i r ahora en e'l triángu1 o ACB, 'l as propiedades an
O \-/
tes menc'i onedas. iPodría Ud. enullciar dichas propieda des en térmjnos rjel djámetro y de .-; I as cue rdas ?
*
TRI ANGULOS RECTANGUL0S C0N0CIDOS
:
Lo s
más i mportantes T,ANEES
Es aquei cuyos áñgu 1 os agudos mi den
I ados
están
seña] ados
en el gráfi co
*
37
oy
53
S
Donde
K,
4k = 4(Z¡ =
3o' y 6g"
serán
: 3k, 4k, 5k. 5k = 5(7) =
?8
k
:
Es áque'l cuyos ángulos agudos va'l en 30o y 60o respecti vamente. N0 OLVIDE que para obtenerlos basta con trazar I a al tura resPecto ' 'l cua'l qui era de sus ados en un tri ángu'l o equilátero de lado : "L":
ON :
o res pecti
vamente
.
= 1, los 'l ados son : = ?, Jos lados sonr
l+K
aa
aaa
aa
aia
=
** Puede Ucl ,
Sus
10
En un Tri ángul o Rectángulo 30oy 60o:
3,4,5
6,8J0
io, I uOo, ,on, ¡0, 40, 50.
notar ademá1, que
'l
os 'la--
4k, 5k, formqn una progre sjón aritmética de razón : r=k. dgs 3k,
CATETO 0PUESTO
A 30o
CATETO OPUESTO
A
60O
CATETO OPUESTO
A
60O
H
=
I POTENUSA
T
H I POT ENUSA
2
(/3.) =
o
oo
( cAT ET O OPUESTO
--
iNo es verdad? N0 L0 0LVIDE
EJEMPLO
¿cuánfo vale. wL cafie-to de wt bt <ÁngLú0 , ái La h,Lpotenüt, vole. 70 ntt, A el ottto cd,tato vole, 42'nÍA?,
SOLUCION
:
de tul tlLidnTu,Lo equi.U.futo
11a,(loa
N9
l,e Corno vemos
!
e-uuo Lado va
1.00 en
50/l mts.
ALTURA
Ha,(lan Ql lndo de wL fuÍnnguho eqwÜá,,tüLo cuua dl,ttt¡tn vd
EJEI,IP LO
L¿ 3{5 mt6, SOLUCI
ercWn
Ia hiyto u prcgnuiún : EI úntco triángulo que ¡t!
@
HoJta¡
L,LifungtLet ulqo^ Lad.ot
e ¡az6i
l.
y catetos
ut6n
-
es ei lRlmeU'la lle acttprr{o a le nota ** da A cl ¡¡:Án r{o I¡ nrnar^peliln ¡r{*nÉ*{¡i antr^ so[uctO¡l
I-O RECTAIIGULO.
35
un val or cual qu i era.
es
.k
ru9
: k = Trlendremos :
21
TRTANGULo
26L
TRIANGULO RECTANGULO
:
Así para
EJE¡I?LO
= 3(7) =
UN
I
y los valores de los lados
s'i reemplazarnos 3K'
)))t)
enusa
ON
:
De
acuerdo
al
ALTURA
gráfi co =
:
LADO
LADg
=2(3/P '6
6mts.
li
OSCAR ZEVALLOS (¡
262
RELACIONES METRI CAS EN
UN
TRI ANGULO RECTANGULO A
*
EJEI,IPLO
,
tiene un LaLíngulo necfÁnguLo, wlo de cuAoá úngu,t-oa aA Qt doblz deL. ot¡0, ái qdarnáA Ql puÍne,üo de üeJto bú6n-guho vole: 127 + S/71fiúá. tloltüL'tu 6,nea. S¿
:
SOLUCION: Calculemos inicialmente los va'lores de sea un triángulo rectángulo conocido:
Si un ángulo mide : x E+ x + El otro medi rá : 2x" Tal
como
lo
los ángulos es posible
En er
J--l
En.l\
= 90" -> X = y :2x =
Zx
que
(uoo)(ñ) = DTAG0NAL (CATETI) (O) = HIPSTENUSA
,
:
30" 60"
C f
suponíamos. Ahora dibuihmos dicho triángu1o cuyas relaciones en-
tre sus'lados perímetro :
si
'las conocemos, y que
además podemos
relacionar utilizando eI
Hallan La üagona,L de- un cuadnado cutjo ,Lado val-¿ De
SUIIA
LADOS
DE
r.
L+ 2L +
I
+
L(3
=
J2 Ahora que ya tenemos
el
valor de1 I ado
podemos cal cul
t)to^ SOLUCION
:
Como
Ql Lado d¿ un
RECTANGULo
ISoscELES
Ios agudos val en 45 ocada uno.
para obtenerl
o,
cuadn«do
diaqonal val
,
,si
.La
( LADO )
3+,tr
*
EJE!,LPL)
S0!UCI0N:
sól
o tenemos
@) = LADS =
que
despejar en
Es
i
DI AGONAL
lT
= zsñmts.
:
Ha,(lan LL dnea d¿ un cuadnado cula, üogonal val¿ 40 mtt.
Sabemos
que: AR EA
CUADRADS
=A=
(LAD0)2
mts
:
si,
por
lo
un c uadrado
Lado
y la
Diagonal (h'i potenusa)
D
I
D
I AGOl'lA.L
AG
ONAL
,tr
tanto sus ánqu
basta trazar I a di agonal en
Ia relación entre el
mts.
DI AGSNIAL
Reempl
azando
I :
ado L. Note que
drá : l0O
üngonaL val¿ 50 mQ-
5q = 25xC-IA LAD6 = -a ñ
ar el área :
10 mf.,s .
.
Ud. puede notar,
z
Es aquel cuyos catetos Son lguales entre
de I
HalLa,?L
¡1e
+ 186
f,6 xf
A=ry = ry 0LVI DE que
54
a la relac'ión anotada, la
L = 18 mts.
; AREA=A= i,trT= rninueuLo
EJEI'L?LO
L ,tr = 54 + I}'E + 6)= 54 + LB,tr
acuerdo
iNo I e parece?
PERIMETROS
l,E = ?7 + g,tr
L=
NO
LADO = L.
N ^
(n t neoru
T
nl)
2
40 m
T
x 40 m
Room2
)))))
)t 254
)))))
OSCAR ZEVALLOS G.
VTAMOS AHOR PR?BLEI\IA
CAS OS
Ha,(lan
r'(e
,
NO TAN DI
al 6n¿a
b¿ qu¿
RECTOS
PR()B
,Sombnuadn e.n La
30
MqwL¿yúe digurtn ,si
^e.
En
LE[,{A ¡9
, U E0 =
15
Bit fltf.,s ,
er árda sombreada?... En efecto, ar t.iángu1o ABC, deberemos restar're ái a"áá i"r-i"iingrro área EBD. ácómo obtendríamos
iPodemos ca] cul
ar
=w
d'i
der
i;
podríanos calcular
el cateto BE, si simple: Como Ud. puede notar el triánério ces én di cho tri á ngu I o : CATET0 OPUESTO
Sabemos que
:
A 60o =
(gAT.0p.
BD
=
15
L lg")(6)
(E)
=
BE
los catetos : ID (in la sobre y'a datos a'los a re'lacionar vanos hipotenusa, V Éon á1'lá también. Es decir 'l
as incógni
En
el
¡
tas.
DAB
:
Veamos
=
CAT. OP. A S---y
A 30o=
x'
intonces :
--
De Acuerdo
(I)
a la proPiedad
BF = ?
,/§
,ñ cms
= x + x + 4/5 +
46 = HIP0TENUSA
:
2=
(tt t porENusA) ( PRoYECCI0N )
(DE)
I AD2 = Gñ + x)(Zx+ 4ñ) I
(m')2 = ($T)
t
5x 6x,6
DB'
DE'= 2x
60O
15
5,8
=
BM = Ñ'D
t
15
=
:
( CATET0)
CATETO 0PUESTO
(/3') BE
m = 15 mts.? ... Es muy es éoró.ido-igó;v'éo;), en ton-
conocemos EBD
:M
SOLUCION: En el triánqul,o rectángu'lo DAB re'lacionemos ':-iásnita) y fE'= 4/5, cón sus respectivas-proyecciones
rectamente I as áreas necesari as ? . . . ABC' si debido a que conocemos sus catetos-rB-y r-cl'pá.á La de.l tri ángu.l o ; ogr_;;i;;ili; no, puesto que so'ramÁnté conocámos'ei-.át"io-ÉE, más no asf-: i:.!álgy]o=EBD, el cateto BD. áCómo
digLüu.;
ilv = 4,R mt¡, = M
Ha,(tan
S0LUCION:
Lrt,
?65
TRIANGULO RECTANGULO
UN
^a.
rftil.
40 trttb
EN
))
))))))
))
RELACIONES METRI CAS
|
(m)2 t
;
(Bfi)(DE)
4,tr )2 = (x)(zx + 4'tr) 48 =2x + 46 x
0=xz +?/l.x
24
.
[-inalmente
= @, ilg ( AREA AEDC = ¡o) +o ) 2 AREA
AEDC
(
AREA
AEDC
=
AREA
\.-
gl
EBD
Rempl
azamos
= Zrtr
:
(66) (8/3)
puede haber
ha 'leído
66_
(q6+2ñ)(4f3+4{T
535.14 m2 aproximadamente.
notado, en rea'lidad,e'l problema es muy simple, 1o que Ud._ es e1 nRzourÍenro sre uróó,'ñázónamien.to gr"-Éráná6 ud. adquiera práctica v experiencia, tendrá que ñácer-i¡reñiÁlmÉñE; i"lsi-o¡viar varios de los pasos que ha visto en la'presente so.lución. Como
,. x=--Zñ r
,
(s/O ( ts)
P
'
?R)BLE\'|A ¡e
mts.
En uvl tnLdngulo ftecfÁngLLLo La h,LpoteruAa vale. 15 mt^,
rll t
.
RELACI
ON ES
MET RI
?67
CAS EN UN TRI A¡IGULO RECTANGULO
OSCAR ZEVALLOS G.
266 a. ella nLde nenerLa d¿ Loa ea,te.tnd.
La al,ttna nelatLva
: ( A) Di buj emos el tri ángul o dado, marcando
6
(b (b
= bz f a2 ?ab a)2 = ?25 2(9A) = b - a = /{f = 3'/5 mts.
mÍA. cllail-an La üle-
SOLUCI0N
en
ét l os datos y
I
as i ncógni tas
.
* ¿Y si quisieramos hallar la u
* *
áCómo ha]
De acuerdo
Como "n ".
I5
hallar :
Tenemos que
"b-a"
Ia
ri
15(n)
62
15 (
15
suma de'l os catetos?
,. .
45
ZQué producto notabl e
amos ?
PROBLEMA ¡19
En La
1$wLufe dt-gtün, u,(eula/L Ql vaLon d¿ La toagenfe. lñ a anba"t ú-nun(utencLars, ¿abiudo que l-a. dirstayt oLa etuUe In¿ e¿ytflto¿ u 20 tnts. U que eL naüo ffa"UatL tñ Le 6 mtr. tl el ¡nüo meno)L 4 mÍA. común
n)
ve, ambos val ores dependen
(tt¡ 62 =(n)(15 n) + 36=
lamos rrnrr? Recuerde
sa
a la propiedad (I)
a2
alz
propiedad
:
3
=20 SOLUCION
xl?=
DATOS
+
:
n= Por I o tanto, ahora : a2 =15(n) + az =15(3)=5x3x3=5x32*
empezar, Bien, ahora éQué Si, es así iCuál? poner de un trián
bz = 15(ts-n)* 62 = 15(12)= 5x3x4x3 = 5x32x1z
66 mts .
.
4
mts.
6
mts.
INCOG.
: MN = ?
lar a ]a tangen-
Antes de
3.tr mts ,
mts
:
te a una cirr:unfe
ción mét¡ica?... disnsqlo? ...No, -
tenemos que
da
*
: b a = 6'tr 3.tr = 3'-5 rnts (s):
Fi nalmente
SOLUCION:
* *
.
Uti I i zamos productos notabl es , €ñ parti cul ar : (b a)2 = 62 + az Zab ¡ donde rtarr y I'b, son NotemOs que
b2+
d2
,
en
En este caso no tenemos a la vista, ningún triángulo rectángulO, áPo-trazar alguno que cumple con los requisitos antes mencionados? ...Po siblemente, pero ... ¿por donde? ... Pensemos, observando 1a figura,Jada ... iYa estai : Pro'longuemos:l radio 0f{ que es perpendicular a E[, hasta que -
dríamos
¿ 2
el desarrollo aparecen : fi gura di remos que : bz + a2 =
observando I a
ab , sdbemos por la prop'iedad (tlt)
que
rt+ ab
Reempl
azando tendremos
:
paralela a paral corte con Ila el a a M¡[ des de 0. MN trazada desde 0r, en el Dunto C, habremos formado el triángulo rectángulo 0ZC0l, en elcual: se
los catetos. L52
=
6
=
90
=
225
))
)))l) OSCAR ZEVALLOS
a 02C01
G.
(
En
=
En el
Ud.
\
=
(HlpOTE¡IUSA) (pnoYEccI0Il)
(m)2
=
(40 ) 2
(1)
:
=
2=
(2 .AII)
(m)
( 1)
(mffir)
(2)
:
_(ÁDL' (40)2
?
(ÁD)
Ahora, en dicho triálgylo es muy simple i car el teorema de PITAGORAS paia calcu
ar
)
(AD)
Oon
S'i di vj d'imos (2) +
20 mts.
jHa entendi do
2
cnrrro
el N t{gn
269
TRI AI\GULO RECTANGULO
UN
?
W = W+ffi=6+4=10mts.
ap1 I
RELACIONES METRI CAS EN
:
0p = I4l[= Ofr-
))))))
)i)r)))
268
2
20ñ x ,tr
rD
0T=Eñ
n
1
(ry),
7iD
= (?o)2- (to)z
(Ft't')z=ooo -1oo
PR7BLEI'IA
¡1e 6
¡.-
Ha,?.IJ,rL
= 20'tr mts.
el- A¡t¿a Sombnzada, tabiendo qu¿ AF' = 10 rnta
o
(W¡z = 300 m2
MN = 106 mts. Revise Ud. atentamente er. razonamiento seguido, pues muchas veces.se va p"ooiámáll lñ"il" sín qúé ü;ü;,_que decir,ud, B|;r.oEiiB?l§8".'i:::: a e incóenitas. N0 Lo Siriflrlt"tnulo rectánsu1o'que i"n,'u-.;ñ"ldáot-á-aliJi
;;-í.
PR2BLE/,'A
\e !.-
S¿ zn t-a digtna
M =
áQ_
¿ab¿ que-
:
40 mtá.
=A:A-a
SOLUCION:
TA=ñ Hallan:M=?
. _:
SOLUCI0N
o1 Pero no conocemos I os radi os de di chos semj círcu'l os ,si n embargo, de I a observaci ón de 'l a f i gura concl u r mos en que:
Las Ilnea form:n .,": rormar ros
he-trazado, losrando asÍ ::l.l::l:r-:l:!:!rjros...las i"iañiüj!-ü;ffi;j;;"rái"r,,5rffil;l;rlil#ltl..il MBÁ v óDÁ ;á;;:¿ri;il:ffi:.uióoI:"31 l?'"'Ili',g'l* f:Iáñgrrói N,yl-:.F :-id-;i;.-;,"iltát., ¡'c=i5"!ü,p.oy"..io, ;::,i1,;,:lil;,,"lno;, o?l¡::: l.l3¿,1i. ""i,. i.&r33i, 3ffi k ?l l.F:_lllli.qr".¡ ."r-:!Liii,Ei ll ¿'"iIffi¡ .'il, i,lr}.X3l oni'que :: J',,,.li"lo..lo::l^:r_lí.I1!i¡ ff: c.r,o Jl:i'lll".::.:'::'l i §.:l ¡i p{ri.;i í;;;;;#;,;1"'ril"riiár3l"lliá.Xi:.: 'aa hipotenusá Slil; ¿qué ::,,:':::^llli:nyl:'-r-;.;;íá,.i".r pñpi;á;;'í;;";irHffi;?'::: El ;;;.;;: ;; ffi::¿;¿;
i'#
iilill: i: BISíi::l:
Radio
del Sc03 = + del
ry Radiodel sc01=*l* =ry-ry
Radjo
SCoZ =
o3
O2
.
il
- /0'
OSCAR ZEVALLOS G.
Ahora reempl azamos
m ffi m m
:
: I¿ Desarrol I ando al i n-
Factori zamos
:
teri or de] corchete:
lTt
RELACIONES METRI CAS EN UN TRIANGULO RECTAI'¡GULO
3.
AiT M
-
2\ -.* 22 TiT HP Ll( T*T ( T#. H'Pz +2 7iH- HP m HFr = zn Lz*T -T T' T.T
Hal I
27t
ar e'l área del tri ángulo ABC, sabiendo:
Ee = 206 mts. m¡ =
B
2ñ
mts.
a) 1006 mts. b) 1206 mts. c) 1506 mts. d) I20 mts.
(1)
e
) Ni nguna Anteri or.
El área
sombreada depende entonces de fH'y EF falta qtiliiar el dato QH'= 10 mis. iCómo puede servirnos?. Trazamos IQ'.v 0F y se forma el tiiángulo recfángulo Áqp recto en A (Haoa Ud. eltrazo), en donde_QT es. altura ielativa a 'la hipdtenusa y determiña en ella los segmentos ffi'y EF.
Pero nos
Luego por relaciones métricas
4.-
a) 3 mts.
:
= m-xH'p102 = m'xH'P-
a /5- metros , I a di stanci a del centro de una os vérti ces de I a cara opuesta mide :
En un cr¡bo de ari sta i gua'l
cara a cualquiera b)
de I
3
4
mts. c)+mts.
Q-n2
(2) en (1)
Entonces finalmente re
=
,100r ?r (t)
Cal
0.5mts. e) 6mts.
cul
ar el Area sombreada
Ia fi
(2)
gura,
sab'i
endo que
de
ABCD es
un cuadrado, inscrito en el semicÍrculo de centro 0 y de ra-d'i o igua'l a 10 rnetros.
:
= 25¡
d)
a) 10(ri 8) mts? b) 10(5n B) mts? c) 5(, B) mts? d) 10(B 5r) mts?
m2
e)
Ni nguna
anterior.
0
6. PROBLEII,IAS PROPUESTOS
TIEMP0: 50 1
Hal I ar
el
a)ts mts. Hallar pecti
a)
el
b)
45
tri ángul o rectángul o cuyos I ados estan en pro valor igual a 5 metros.
mts.
c) 60mts.
d)'65mts.
perÍmetro de un rombo cuyas di agonal es val en
mts. b) 56 mts. c)ttzmts. d) B0mts.
7
Hal I
ÁT
ar el
área del cÍrcul o si
= Di ámetro.
e) Ninguna. 32
y
24
vamente.
108
Se t'iene un tri ángu1o equi I átero PQR de perÍmetro .i.gua) a 60 metros . Se une P con punto medi o de RT. De S sq l¡j-p. rpendi cul ar Sm. Ha.'l I ar elI val or de Ia proyecci ón de E_traza sobre
4. a) 15.6mts. b) 15mts. c) 13mts. d) 9mts.
nutos
perímetro de un
gres i ón ari tméti ca de
2
l4'i
-
e) F. D.
mts . res
DB
f 400 Í
a) 314
mts
b)
mts
.
=
LZ mts.
:
e) Ninguna.
))
)
))))
)
27?
i)r))
OSCAR ZEVALLOS
c)
B.-
d)
F.D.
300
'tr mts 2
G.
e) 800 n mts2
RELACIONES METRI CAS
L2.-
:
) c) 6 mts. e ) 2.46 mts mts
.
e'l ángu la base_meno" IE 9! igual a la altura ffi, Trapec'io de] períretro Hallar-e] r5o' ' lo A = 135' y .i'-árürió a-=: parte de la base menor vale 20 mts.
d)
120(5
6
+
+
ñZ¡
de'la tercera b) 120('á + /g)
tá
i nscri
c) tzo3+fz+6)
mts'
mtse) Faltan Datos'
a) 400
)
ta en él .
mts2
200 mts2
b)
3,tr
rnts
.
b
d)
2
mts
..
c) 300 mts2
>
d) F.D. e) N'i nguna
.
ar el val or de I a tangente común a 2 ci rcunferenci as que entre si son tangentes exterjormente y s us radi os val en 8 y 6 metros respect'i va
20
'
r¡
Hal I
9
men
a)
te
.
10 mts.
b)
700'E
mts
c)
8ñ
mts.
d) 5n mts. -e)
área sombreadar sa-Hal lar bi e ndo que e radi o de cí rcul o mayor val e 30 metros Y I as ci r-
el
14.-
N.A.
-
Hallar el valor da en
la
sabe que:
de] Are
tre sÍ. a) 160 n mts2-
a s ombrea
siguiente figura s'i
se
b)
r mts 2 50(32 9n) mts?
a) 450
bi
d)
e)
i1.- Hallar el área sombreada AB=6 , AC=10 a) (6 ") mtsz b) 2(6 *n ) mts2 c) 4(6 + ,r) mts2 d) 2(6 n) mts2 e) 4(6 ") mts2
450 mts2
(32 9r) mts 2 50(9n - 32) mts2
16
Í
mts2
c) 16oon mts2 d) 250 r mts2 e) 100 r mts2
ABCD es cuadrado. m- = 40 mts.
'c)
I
cuñferenc'i as son
.\
10.
mts'
13.- Hallar el área de1 triángu1o ABC; si I a ci rcunferenci a es
,D = 1,.41 vE = 1.73 6 = ?.?3 2.64
273
En un Trapecio ABCD,
a) 600 mts.
circunferencja cie centrc 0. FB-, es di árnetro = 4 mts. B, es centro círculo mayor Hallar LS ?
a
EN
sabiendo que la'mltáá
la figura Ef, tangente a la En
))))l) UN TRIANGULO RECTANGULO
15.
-
ar el
área sombreada si : ABCD es un cuadrado. Las circunferencias Y el cuadrado son tangentes entre
Hal I
Sí.
¡
El radio (3 +
mayor
2n)
mts
a)
1
b)
(3 + 2A) 4Tmts2F
c)
.
Tr mts2
d) Abs u rdo e)
vale :
2,8
mts
?
mts2
,
I
tangentes
en
,4
16.-
USCAR ZEVALLOS G.
El área sombreada val drá: ?r = 3.14
a) 3.84
p2
b)
64
p2
' c) 3.64
p2
d)
6
P2
e) 7.48
p2
XVfiI Cor¡¡L¡ntos
L7.-
En I a fi gura, hal I ese Sombreada.
el
Area
ABC es equilátero, sus lados se han tomado como diámetros. R = 8 metros.
A
C0ñC€n0 OE UN
a) 8(" + '6) mz b) 8(n + 66) m2 c) (n + 6ñJ m2
*
18.
-
Hal I ar
m-
I
Cada uno de
"
M4tnoa eiutploa de conluntod aon:
a) ¡) cl dl
s'i : EI Trape-
,
además: ñe
a) 5 mts
-
32
cio es isósceles, sus án gulos agudos valen Ia ml tad de los ánqulos obtul sos
19.
Ittl*i.tivamehie un conjunto QA unt agattya-i6n, utt¡ coLecú6n, utw üa de{iwidot, dz eulquiut upeüe, Ud. a?tn ntmetrotl pd.Lsu, Lella.a, e.tc.
to-_dz objo-ta¿ bien
(r + 6tr3) mz e ) 32(r + 'tr) m2 d)
b)
10
e)
Ni
mts
=
ZO m.
@
c) 15 mts d) ?.5
mts
3zo
genual
,LeWQÁula. pon
W)t-d.
Le.tlul maqíaeuLotz
Ej
.,
.
úñ \-./
to6,
inüu¡
e,tc.
te ?Áutihe,cono panut mienbn-o naqútath que Lo tLeque.nfa q como tegundo ¿u elenenloa encwsd,t¿ enfle l,Í-dvu
A= {arbre,drg) I = fl, 3, 5, 7, 131 C . fa¿/ut,otaultÁ bolivi.anoal
oEFrNT,cIo^J oE Paru.
..,
,Lery?Aento¡t un conjunt-o
nianbtto,@de
mts2 c) Bo mts2 d) 50 mts2 e) 400 mts 2
0_
Fneud
Lo¿ n1melwt 1,3,5,7, 13 Loa altttoywu*u fJüLunnoÁ
d¿ utta- igualdad a La. Lef¡a
pecti vamente.
b)
EitutaLn, Nanton q
3ienti(ico¿ Lo¿ 'pa,f,au det- ?acfo Anüno
Loa
NOTACIOA' OE UAI CONJUNTO
En
el
mts2
rw¡¡b¡t¿ d¿ ELEltlENTt).
rA ¿n¿ elenento¿ pott Lelnu nt¡tíuailtt: d, b, c, d, e,
c
área de un cuadri I átero convexo, en eI cual I as d'iagonal es al cortarse forman un ángulo de 30oentre sÍ y valen 20 mts. y 16 mts. res-
a)40
ta.Lu obje,tot neeibe et
*A las eonjuntot ¿e Lel M, N, A, B, X, QfC.
nguna anteri or
Hal I ar
CO¡rJUIJT0:
uN co¿Juffro
con
qu€.
eonlunfo eattnloa t¡.a,tando q cuáLu Áon Áua'elenen-
twtwnoó daá nane^al:
)
)))r )
276
O
OSCAR ZEVALLOS G.
277
CONJ UNTO S
po¡- E*¿yu*úytt
Qu¿
fud.o,s Lo¿ elwrtzrtfod
fo.
3*:^"
. B" C" O.
{x/x u un nlunürc tatuLdl U x<111 fx/x eÁ un nfinuto enf.eho q poai.tivo\ {xlx u el aetuol Pap de la- lgLuto' fx/x u un Paúido ?oll,LLco ?entnno\ ¿ = lx/x ?A ura voaiLl
A
clet coniun-
*in;ul*,,I ^^11.1:x:ttrtr#,i:iL^u . j ., M = {1 , Z, 3, 4,5} = {Ca¡lo¿, Fütnando, COaüL} ^/ ? = {Tie¡¡n, a.the, .(uego} coma,6
E
MetnáA:
A pnopídLto, Poawoá tanbiLn d.efum¿vu)L un conj.un.to e-n donna ghÁ6¿ c4, uÜJ-tzando WJ13. ¿Ilo un dnect plana; á.r- pnuiut*uio ün ,fuá,rt;: -co^o 8'n Q] unl enum?r'La.n Lo¿ olenenko¿ dit cinjuiii, podtd. Lld, ^e v
¡ Si, un üuenlo ttmt' p?),tenzce al coniuntt M ¿e uenLb¿t nEM. ¡ Si un etEnento "n" no peltwtece al conlunlo ll ¿e uclúbz:
nÍM,
E!anflott
üL:
Con nupee.to
A=
{a, b, c, d,
Ca't6Uc0'I
ol
conlunln
A
zoÍ.A,10EA, 30f.A,
¿}
rdel
elennlo anlüt"Lon¡
iÍA,
5EA.
c¿AsEs ?E co¡rJuMros.
B=
{1
lD V1
, 2, 3, 4, S, 6, 7l -r-
MdA a.de-I-a-nfe.
v en_d.
tJd. que en
4;QuLLt que L|en¿.un nÍnuo detenu-nado d¿ elen¿vttoó , ^pod¡tia de-ein iarnt¿|n que¡ QA dquú qu¿ uisndo áe cu¿ntan áua elen¿ntot uno d uno, llega. uyl momenfi en que pldwnot acaba¡t de hacuúo.
E¿
upeúol
o¿ Conjunto Uüvende^L, áe
l,ta d¿ fteprLuS zytfs.n Wtüzando Ltn nectá.ngulo
lil
Coniunfo óittüo:
'} A u {ini,to {a, b, c, d, e., ó, g} B s {x/x u habifanf¿ dzl PüLú} + 8 u 6ini,to
Ei.,
L¿
A=
.
Pon comwre.nai6n. En
ut¿
a¿ fAA
cd.|o¿
en Lugan de
efiilL
¿oluúon
a
,
una LQhl.a., habi,fu.atrn¿yÉe cualqwLzlLa" de l,,l A %ü¿bimo¿:
zmp.t-eanoÁ
to
\o¿ ud. 3 ¿lunploá, de e¿ste tipo de ccniunto's
cada elenettfo', úfam,c¿ La nnonie"-
ct
Pon ei-Sxr'empLc:
xs +
x,
x
ueL
+^l2 = 0,
Fv¡n tLeprLUenfan
cL
cc,nj unfc eytf.cnco6
tttl elenen-
fo
lD \-'l
,1, = B= C
s
\0C. Lld. 2 co n i
Ej,,
,
UNo
OC
,
Fffr1,
PSR
,
= {x/x _ {x/x
io¿ ud. 3 elenploa u cu.bi¡ud
¿:
:
(^ Y
¿olo elemevtlo.
P = {5} R
AP\
pon comp4e-n6i6n: Loa anfeni-otl?A c0nt un
Co toá pueaen
.. -
,
múl-LLpLo d¿ 2}
elanflot de coniuntot in$iní,toá !
A-
APRA,
u Lo opuuto dl {itr,ü0.
2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
uvtto uwi,tn¡,Lo
{Pab.Lo VT}
= {tl??, PPC, F)1EP E = {a, ¿, ¿, o, u)
u
= {x/x
E¿ aquel qu¿ pose.e un
,2, 3, 4, S, 6, 7, g, ,9, t0j U, Z, 3, 4, 5, 6, 7, t, g, 10, 11,..,) {1
O
C
O B {1 ,
fA \-/-;+
Pon exteyui|n:
üo:
aquel, cuud exf¿naifln no QA calculabLe,
Ei.,
{x/x eA ¿oltcidn de x3 + 3xz x + 2 = 0\, Lo cual ¿e Lee: ,t,l ?A ú eoniunfo Lo¿ númuto¿ x, tÁl querx eA una ¿oLuü-6n d¿ In ^de ecuaú6nx3+3xz x+Z = 0 Wígo nota¡ quz l,a. li.nea ohlicua n /t, á¿gn*diea "'f al(u) c¿ue.,, .l ¡l{ =
ALauno¿ ei unpÍ-o¿:
uvtto in$irt
Coni
!
u u
alcald¿ d¿ lho.\ ?netid¿nfe dQl ?utfll
núal
Coniunto vae-lo: E¿
un conluytto qu¿ cdrLece. de eleme.¡tto¿ o cutloá elenento¿ no ¿LíaTdntbiún t¿ L¿ l2¡na C0|,JJU\JTO \JUL0.
ten,
§§Er4
278
OSCAR ZEVALLOS G.
se Le. denota porl el afrnbolo q o tavnbi€n enf¡e el-I^qa. ü decin: A eA vaúo
e
->
io¿ ud. 4 elunploa ,
Ilavu, 6in nado"
r t] 8 = lxlxu
ReU del
C E {x/x
¿oluú6ndexL=gAxuW\
A=0
QA
?uú\
de conjuntot vaoi6¿).
A={a'e'i''o' n, p, e,
¿}} ¡-} l
A aB áond,i-tjurúoa
A no utá, ineluÍdo en B A no uÍ,6. coytf¿vúdo en B
Coniuntn¿ 't.quoLu QA iguol ol conjunxo Qrái onbo¿ tt-¿nwt exae,tayteyúe ünenioá, ?A deein,ai etdd elem¿nfo que pelfenece d. P, bién d Q, e inve^to,mevtf,e. Tal nelnó¡6n' de denotd co-
y = Q.. Ej., P={l ,Zr314} I f?=4. ntzrtott rufnuto u vu,fu¡at¡ = 5}J {x/x A mo3
B=
{x/x u t-efiu" de b" pa,bbnn. nor*}o
=
A = {2, 4, 6, B = {l , ?., 3, Nottynoa que A
6 ACB
B
n0E
M
aquel 9uuoá elementoa áon tndod eoniuntoa A pm,o. no zquivocaiL-Lo¿ de{irúnod porl Lentaa igu,atel Á, B, e-, 'e,tc.
Ei. :
A=
{tr,
s}, {6}, {1, z, 3, ,}}
c = {Voatodonu
d,et puTn}
,
uid, inelwído
5, 6, 7, 8, g, e.n
B,
u
10l}
deet¡ A aA aubconjunfn d¿
ctilell
=
Oeümod. quez Un eonjunto A ett6. inehtfdo en un conjunfo B, ¿i cada ele-menl.o de A ?A tsnbién un elunenfn d¿ B Repnu enfÁ,ndoá e. tdl nekeiín de lÁ, tiguienf¿ man?)n:
A C8
q que
áe. L¿e.'.
tLe
{x/x'u W t1 2 ( x < t3}
N
= {2, = {6,
4,
8, 10,
121
9,
enfonceA:
rl,crusro¡/ ?E coruJururos
A e¿t6, inelwLdo en 8 B ?Á StIBCOruJUfffC- d¿ B
B
¿Qt*en eA dubconjuntn d¿ qu*en?... Eauúbie.ndo ambo¿ conjunfoa po,L ext¿tuiín: .M
{pobln"donu d¿
4,
.
Coniuytfo d,e, conlunto¿ E¿
8}
¿Se eunpbtd. Lo invutao?, no Áe eunpLe I-o invüuo de I-q. ¡tninun I.ae46npueA[,aaelu¡eyú,o¿cl¿Bqu¿nopelfenec¿na-A,udecth, r B* A
A = {a, m, o, t}
@
Q-
tienzn elanentoa comunet, eA dee)n, ¿i rúngún elanettfn de tl ettá, zn N q a Ia- invu6a. ünpoco, áe üc¿ quel M A l/ áon ú,tjutrfaa. B = {m,
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4
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U Aqb_conjurtfo de tt cii, OCB, OCU,e'tc'
,tEL conluyf,o vaeLo
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S¿ Le ¡L¿pnu¿t1ia PorL l,& Le,t¡a L¿ptte&e.nttuü í-:
I
& Lo¿ qu¿ conl,Lgne'
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Ser-i, i-:
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En e¿.:.*Í.r
.+.
'-"1C6 ,{;? i',1í'
L
.ta.rno ,
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Sol.ucl ón I De acuerdo
a 'la deflnicl6n relpecti
A=t B={
r [trf¡ x E^/ r': lj E tl V, ¿
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FD
. .,-;:. il,
S¿ lt, \-
ACwn6,s ,
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potL cómp1eyai1n ¿ inVül6o¡n4nf,¿
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Lot tigui.enftu eonlutr/coáto|wiba Fnn ex,t¿rwi.Úr l-o¿
eumflü,ná. que:
JU(,¡TI OE
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En {otua gn6.{ioa Ae- !-¿ tLepluen'tt't hrub;ruan-entá pot un ryeutÁrysuhoien Qt at-al a¿ mÜLean Lo¿ úemento¿ quq 14 Pelienece.n o Loa corl-
luntól
- ¿3jj.E
debemoá ¿nfzndt;:
I
inu,
elulo,rnenfe,
po L
xlx es lmPar Yx/x es pafs del CE¡{ x/x es un curso D= { 2, 4, 6, 8, 10, EE t 4, -4 )
F={ )=0
va
:
x613)
Pacto Andi no ) de Clenctas B i o'l 69 I ca:;
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1
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OSCAR ZEVALLOS
fr.
S¿ ? r { 1, 2, 3, 4, 5 ) . Ozc.t¿t potr4ue cada unf,. de IÁa aigu*evúet (innaü-onu u o no cotütee,fu.
al {3,2 }E? b) { s, z ltr
cl JC P
dl {1,2,3,4,5
¿1 zc?
283
CONJUNTOS
AfuhLecuL
o
i
@
occ
Ir. velt-dod, o |alsednd d¿ lta @ c=B @ cFE
c+E
Sol uci6n :
Soluc'l6n:
pues el elemento rrd[ de D lq pertenece a C. Úer¿áaerá, pues ti enen 2 e'l ementos di f erentes : " c" -y Fal sá. púei cada el emento de D pertenece a E + D C Es
a) t 3,2 )EP, dlcequeel CONJUNT0 = { 3,2 } perteneceal conjunP, es decir¡ que tal coniunto es e'l'emento dé P, vernos que es fal ' to sor pues P no tiene de elernento a nlngfin coniunto.
rrl^-\
b) { 3, 2 } CP,,¿5 cierto,
los elementos de'l conJunto
pues
s.[.pertenecen a'l conJunto
{ t c={ O={ E={ F={ G'= { A= B=
b)
cl dt e.l
ól
sl
x/x % habi-tanf¿ de b, butd } x/x QA mel del año ] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, t, g, 10, ..o } ' x/x u WQaidznte dz Ettado¿ UtvLdo¿ } xlx + l3/2 = 15 } x/x u lrunano mznorL d¿ 30 añod } x/x eA nlmeno de. cabellot total de Lo¿ labifanfu
) b) c)
b)
c) dt
d) e) f) g)
Conjunto vacío unto fi ni to
unto i nfi ni to
ConJ
a eonjuntoa.
S¿ no6 ne{eltttnoa
Labtu^o: al vaei.o Sol uci6n
b
¿Pott¡1u|.
ru/;0
I
Conjunto uni tari Conj unto uni tari Conj unto fl ni to ConJ unto fi ni to áon igua.Lu o
c)
emento
de Is" tLe-
o
s{
)
A,
t
B
b,
d)
s { c, d } ;
üdenznfu laa
:
O
iPorqué?
^on
cohÁL¿c-
TCS R
CT
r Éu SÉT
Anal izando
f)
pa-
= { a, d
el
gráf ico, llegamos a
s)
h)
R CU. VERDADERo. Sabemos que todo coniunto es a su vez subconjunto de su respectivo coni unto universa'l T dn. VERDADER0. vbmos que T y R son coniuntos disiuntos T Cs. VERDADERo. Todos los elementos de T están en S t{ C S. FALSO. Hay el ementos de M que no están en S M R
C U.
VERDADERQ.-
El motivo es el
mi smo
que para
a)
CT. FALSQ. Ya diiimos gue R y T sqn disiuntos ia definrci6n de conjunto universa'l i¿ü: FÁtso. Contráaice i E i; vÉñonoERg. pues hay e'lementos de s que no pertenecen a T.
Oef,üüninalL d¿ acueido dl d,ÍtgrtL ma" La. ve¡dad o |alsednd de cdda-
üLopoáici6n.
S¿ u = {x/x
}
las sigutentes conclus'iones en cada
caso.
d) e)
cetLo
= { a., b, c } ;
e,
CE
CU
d)
:l
o
ile un cgnjunto. :sl
drr
E
Soluc'i6n.
:
.::
"' ' ''
rr
T{R
MCS M CU
lll
Las palabras vacío y nulo signf ican 'lo mtsmo, pues se refieren to que carece de el ementos . ffi cambio cero se refiere a un número en especia'l , que puede o eJ
R
zl
sl
o. )
Conj
D
0¿ aalüLdo at rt4uienfe üa4tuna, inücaw qu¿ a$ilmacLoners
a) a
que
Signtitta:',8 no incl'uye a A". Falso.
al
i
,üt
. iPorqué?
pues notamos
taa.
Ser,olw, d,e qu¿ tipo d,e conlunto áe bLafa en cada caao. al
Falsa'
P. SO
falsa,
Verdadera
{ 3' 2 }.
c),, Aquf, 3 CP quiere indicar gue,3 subconiunto de r P,-tg]§gr Pues . ''l amente.existe inclusi6n entre conjuntos y 3 es un e'l emento. d) , Cierto, pues T0D0 CONJUNT0 SE C0NTIENE A SI MISMO. '. e)" Fa I so , I a raz6n es I a m'isma gue en c.
O
@ oÉt @ Bl^
al A É-e b) Aq cc
?A # Ywfu¡al
c) CU d) ACB q B CE el A=F dl 8 A O Áon üt j untod
<
26lr
))) CONJUNTCs
OSCAR ZEVALLOS ,fl
it
,xq
10
j,
b) C CA. V.'.'r, 1i': c. Pues t- r,.t conjunto cuyo único elemen':c er vez un cor.,ur,t(, cu¡ ie:hi,:i -É,.incuentra en A ccrno elemen':o. c) D E A. Falso pues C no es elcmento de A. lo que podemos ver t cada elemento de D, se encuentla como elemento de A + DCI d) D CA. Verdadero, por la conclusi6n anterior e) D CE. Falso. Pues D se encuentra en li como elemento * D E E t) D E E. Verdadero, por la conclusión anterior S) D E A. Falso, pues D no es elemento de A, lo correcto es decir qus: DA h) {2,3 } CD. Verdadero, ¡rues cada elementode i 2' 3 } estáccnr¡
pcdeno¿ d¿e¿t que
ir n:
it ,i)
§sIr h^
r.,UE ! 1
e.)
de
e] emento
t-
,t
D
.
"-
!
'r
Oe Ua. algunos ejemplos de cor,,.;untos que tengan de elementos ¿ ss¡.iurtto:
PROBLEMAS PROPUESTOS
Ti empo: 25 mi nutos
r a lcs conJuntos que estén escrltos por extensiónr y une Ios que lo estÉn por corflprensi6n y marqrr, l'a alternetiva correcta.
Ponga una
-,lrj{- qqe nos dan de U, no está hecha .,-; :ri as! fuese, D serfa un ele ::'iil ser clerto qúeentoneás D E ú;- ml entras as I '',
A=í1i B = { x/¡ es futbt¡'l i'rta F,eruano i 2'\ C = x/:: D = o ,i- xir, e, ''¡r^ Y E -= '{ 3. 4'!'i { 5., 'ir '/
rtr-'s
,¡ Se¿
;ue l" c u . gue ocurre lo contrario, es declr, FCE
, 5, i a, b, s l, l, i.e, d. )] ' b, 5 i ;* b, S )] d )i I = { ?, i Z, 3, i c, ct )1)
Vt'
,r,.
L:
a
)
|
.
c) r''flC
at'
-!.¡i
Di L..'.L
ECCEI
C::CEC
C
ETC(;
í1 f/
fD \J
Í=i-l
te
Étf«l'..'"c,1.r,':r. vüLd.ar !,,tLlgd^-ci d.e. cr-da :, :i' i..' ;=.. e.i i^AÍ' ?-f; U. f*^,;,U_6 n V üLdO.d,g/U
!i,
C)
c
:¡ L
pr
En
sl
ll'l
ó)
lqelación de pertenencla (E) se
rnentos
y
conJ un
P.elacf6n de tos .
I
OE
tos
incluslón (C) se
da
da
{2,
entre el e-entre
conJun
os e'lernentos de un conJunto sean a su vez
r 3 es un elemento de A
+ BEA
con
,' ', ., son iguales:
l.Al'0Nüf'
A,
A
,
Cuá I
I
yt
d" Todcs
O
col:.:
4,, Y¡i.ANDtr.
-L
J
3! CD
''tel
, A', 0.; ,N. [, Y' x/\ eE ' : r:.''? de 'i'4.üL0,i
c 0
A
"
,\/x es j ,-:-'^ .j(:
B
uto de ¿ut
!,' , t
lo:
x/x es lr-T-
A
el
^
Cuále: de
t:,
i
es de I os
A= Í 0 )
o'
s'i gur
.son no vacfos:
e:ites ccr. ,,
múltiplo de 7 nenor que 10 ] e; scluci6n par de x2 - 4 = 1,? i €-¡ un cubo perfecto entre 12 y 20 ES
y.
F, F,
E D
D
Lr
D= { .t'/^ i= { 't/x Fi-'r ,;.!
B={(,} C= 0 a) c, A, d) A, B,
que, I
c)'C =
tr.
#l'A, e) A,
B, E. D,
F
D
c
)
Todos menos
A
t[§frP*-*3¡6' I{r§i "(
OSCAR ZEVALLOS G.
l8[ tenemos fD \-/ si enunciadas,
M=
{ F¡ st t, { u¡ v }}. Señale en el orden en que están es son verdaderas o fal'sas de la sigu'ientes proposiciq
Cuál
CONJUNTOS
287
ngs .
(1) r E '(2) r'QM'
(3) (4)
M
a
) VFFVF
b
)
vFrrv
uEt'l
M
{ ü,¡ v } cM c)
VFFFF
e)
Escriba por extensi6n 1os siguientes coniuntos, señalando"luego Ia
A={x/xEN,x<2} B={x/xEN,x2-1=0i g = { x/x es eñteru posltivo Y -1 -< x -< 6 } E = { x/x.es pary x2 - 1 = ?4 I Además ¡ = { x/x es un número natural } d)12 c)e a)6 b)11 al s'igui ente diagra rno, señale la verdad o falsQ-dad de cada 'af i rmac'i6n, €rl el De acuerdo
orden en que aparece.
O D cB y B cA @ sÉc v Bc,u @ By'D, clA, @ Bc A, A7,D
@ B y D no son ho disiuntos a)FFVVV b)FFVVF c)FVFVF d) VFVVV e) VFFVF
es
¿ Cuál
VFVFF
={{{?,3, {5,7i}, 4,6, {s,7,9},{{3,4} d,b},t;;} A = {{2r3,5r7} , 4} B = { 2,3,{ 5,7 },4 } f,'= {{2r3, t5'7}}, {5,7,9}} y cuál es fal sos? . Senál el os Ud . O' t{3,4} ,E,b} C. @ BCP
se define los coniuntos:
@
son verdaderos
O A=B @ cEP
suma
a
@
)
P
@ Py'c
b) FVFVFF
FFFFFV
sea:
M N
las siguientes proposiciones son no verdaderas
á cuá'l es de
o NEP @ o l', 3,)R
@
FFVFFV
@ {a,b}
P
E
P
PDN / y t{a,b,c,d}, arbrc) E P
b) L, 2, 5, 6 e) N.A.
4, 4,
r
McP
@NÉRv
MCR
1, 2,
VFVVFV
perrenecen aP
{{arb} , {a,brc} , drbrc, {{arbrcrd}, o,brc}} = {arbrc, { arbrc i} = {{{arb}, o,brc }} = {a'b, {arbrc}}
R
a) d)
C)
4,6, {s,7,9} d) FFFVVV e)
@
=
P
e)8
P
c) 4, 5,
6
Cuál es .l a suma del número de subconjuntos de 2 y 3 el ernentos que po-drán formarse con los elementos de un conjunto que pos ee 6 e'l ementos ,de los cuales 2 de ellos son conjuntos unitarios y un tercero es un con
junto de 3 elementos.
c) 20
b) 15
a) 30
d)
e)
s5
No tl'ene s
OPERAC
IONES CON
CONJUNTOS
cuyos La unión de 2 o más cojuntos es un nuevo coniunto 'l tenecen a uno u otro coni unto o a ambos a a vez . Se denota
se lee
los conJuntos Ia uni6n derrBrr
rtAr¡
A
y B por:
unldo con
Usando notaci6n
conjuntista
podemos
ent'ido
escribi r :
"A U B"
e'l
ementos per-
288
)')
OSCAR ZEVALLOS G. CONJ
AUB = i x/x
A V x E B )rdonde,,V,,
E
se
sue
x
pertenece a
A
7, 9, 13} § = {2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 19, lS, l6} A U g = {1, Z, 3, 4, i,1,9, 10, 1A, 13, 15, 16}
Podemoi representar
diante los dlagrama,
Aquf:A
-)A
á.'ilIÍl.dt
2 corrjuntos también en forma gráfica,me
es
T0D0
L0
6il
rNTERSEccroN DE coNJUNTos.
(n
)
La lntersecci6n de 2 conjuntos es un nuevo conJunto cuyos elementos son todos aquellos que pertenecen TANTO a A como a B, es declr, a ambos al
mismo tlemporo son comunes
Se denota
y
a
ambos
Ia intersección de los conJuntos
se lee: A lnterseccl6n B.
Usando notaclón
conjuntlsta
podemos
A
y
B
por: "Añ
B"
escrlblr:
AAB = { x/x EA x,E B } donde rr^" se lee "y" Leeiemos: A intersec.'t6n, es e'l conjunto de las x, tal que x pertenece a A.Y x pertenece a B.', Ejemplo: A = t 2i 4, 6, 8, {9, 11, l2}, 15, 14 } B = { 1, 2,3,4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } + A/\ B =l { 2, 4,6, 8, 14 }
yB scn dlsjUñtos _ ,JB
289
.lee t,y/ox
!T'il:i;,"t",1r31 E'_.;":1.;:i*of'3,,f;.,1,,1,,::l Ejemp'lo: si | = {1, z, 3, 5, .l
UNTOS
RAYADO
A
y
B nc son dlsjuntos,
Haci endo ahora I a 'i
ntersección)
representacl6n gráf r ca (En cada caso 'l o rayado es l¿
perotarnpocoiguales _+ AUB
es
T0D0 L0 RAYADO.
U
AvB _)
AquÍ:
es
Note
además
Si:
B
C
A
A y B no son di siuntos, Dero poco son iEual es .
U
-)AnB+O
-+ AUB=A
: I-as más importantes AuB=Bu4
sl McN +
puede
0
que:
Propiedades
O
B=
Bq A -+ AU B
T0D0 L0 RAYADO.
e
An
son dl sjuntos
¡,r
son:
uN=N
ud' compl'obar?os
hac';lendo Jos
@ Auó=A @ AuA=A
BCA .} AN B = B
gráfícos respectivos. más importantes son:
@ Si:M C @ An O =
+ Mn
N
i*ffi
(Ane)ce
O
N=
M
ta[
\iri
'¿90
OSCAR ZEVALLOS G.
rrA
menos
8",
- B = { xlx E A ¡ xt B } B - A = { xlx E Brr xÉ A }
A
üNota Ud.
la
d'iferencia?
Ejemplo: Dados 'los conjuntos:
ráfi camente,
A
,
P a = { 4, 6, 10, 12, {a, b}} a - P = { 1, 16, 2, 15, 14 } g
Se 'le denom1na tamb¡én Complemento Absoluto para dlferenclar'lo del complemento re o diferencia (operaclón anterior) -"...' ,. ,r.. .,-- ,1 . 'i . .t:-tt ' .EIi colnpleme un conjuntoles'l.a'.dlferencia.:que exi.ste entre el conjunto untve el cónjunto. dádo, tembién se diceque es.todo aquel to Q' Ie falta a unto pa¡a se'rr fgual,a:l conjunto universaln
. ,::' Entoñées: A"=ú;A : y Ar = {x/x E UA x V A). iCómo se lee esta expresi6n? Ejemplo: S'i : [= { 1, ?r 3, 4, 5, 6, 7r 8, 9, 10 ) A = { 1, 3, 5, 7, 9 ) ,t. A, = {2, 4, 6, 8, 10)
= { 3, 4r 5, 6, 7r 10, L2, 13, {a, b}} a = { 1, 3, 5, 7r 13, 16, 2, 15, 14 }
Repres entando
A-o=A A A=0
Se'tepresenta por:Al: y se,lee complemento de
P
_)
1
c
2 CONJUNTOS. (-).
y.B, la diferencla A - B, que se lee "A dlferencia es un nuevo conJunto formado por aquellos elementos que pertenecen exc'luslvamente a A, esto es, aquellos que pertenecen a A pero no pertenecen a B. Asf: ó
: Entre as pri nci pal es ten (A-B)CA y (B A)Cs A @ A-B*g SiMC,N + M N=0 Complementó de un conjunto. (')
o
Dados 2 conjuntos A
Brr
291
Propi edades
@ Añ A = A @ SiAy Bsondisiu,¡tos + AnB-O DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
tendremos :
Sr representamos gráfi camente, tendrÍamos
:
U
A y B no son
diijuntos.
AyB diijuntos
A-B
=.
rayado hort zontal
A-B, rayado hori zontal
+ A' es T0D0 L0 RAYAD0
->
B-A, rayado vertica'l
U
-)
Grafi que
B-A = raya,do vertical
Ud
compl emento
.
2 conjuntos no dÍ sj untos v señale medjante un rayado el de su j ntersección, unión v d f f erenc i a , res pect'i '/ame nte .
B
EJERCICIOS RESUELTOS U
A
BCA
A-8
,
rayado hori zonta
B-A=0
{ x/x E g = { x/x E C = { 1, 2,
A=
Hal-I¡n:
10 ]
6) , 15, 16, UB
uc
nc
uB) n (n u B) n (An (8 r\ u B)
B)
c) c)
)) 292
S
OSCAR ZEVALLOS G.
Para estos
ejercicios,
mejor
€s
escribir 'i os conjuntos
OBU por extensi6n.
A= { or b, d, f , U
g
= t drbrcrdrerfrg
:
A={ L, ?t 3, 4, 5, 6, 7,8, ei B={ 1, ?, 3, 4', 5, 6] De acu erdo
a las
C0A
UB
=
ÉB=
A
OA
UB
C=
{
e)
= {. 1,
2,
l"
3, 4,
5,
6, 7r 8,
9
d,
I-
rL, b, c't
Lfs
S¿anr
(r,
A= Ha,U,wzt
o @
s_o'l,g.g
ló!
b,
B=
b, d,
(a
A)N A' B')
(A'
d,
d,4 )
c) = {i,2,3,4,s}
(nue)-(BA c)
ent e
= i6r7,8r9)
ejerclcio,
s)
O
ctul D¿nottfii'L gnd'(Lcanen't'e
(A
B)
ñ
@
T
A-B: es lo raYado verticalmente' B: es 1o raYado hor'! zontalmente'
cuando A
l-tuuA) n ul ' (A' - A) n (B'
!'n' iáán d'l
En
Luego
:
A
'U Br
= {c,
A'r\ B' = {c
e, 'r-
B)'
IJ
(A'U B')-(A'^ B') = {g,a,f}
wQALrtfr¿
(AU
B) '
@ (g - A),t @ A'A BI
lmente cal cul ar por separado Ar y
9' a'! f)
8l
e
B)
= {crerg}.| a
0
son di siuntos que A Y .1, gua I es ' 1 peio támpoco
inicia'lmente calcular por separado
En este caso, es necesar i o i n'lc{ B.'.iHága'l o Udl
B¿
e}
Sol uci ón I
|-+
A'
{a, C¡ e' f)
(A' G A)A (B' - B) ; {c'
:
como Ud. saberque O Y Tendremos (B A) y É\' B.A = {gi 1
{c,e}
1
c
(A'N B')
=
}
ltffi¡i:¡l*'iL lrr?u ;u'rntsi ') (A-B ) f\ B = 0 ementos comu nes óniPodrla Ud . hacer' l.asidemgstrac{ untos?
ó, g i
at
It BU A)f\ U]'
B=
B) = {7,8,9}
sta nte s'i,mpl e, s6l o tenemos c0 nceptos expresaCos en 1 as
la
puede obser var, Como U s o'i ución es b que cu idar Ce apltca conveni entemente I o def i ni c i ones res pect ivas " Ana'l ic e con atencr ón 1a so'l uc ión del srgu
r
(Ar'\
-
Di gamos.
B
A)^ u = { d, b' d' f' I
-A = tC, er g)
B = {b' d, B, = ta, C¡
(A U B)nt (A
l- (nua)n
/1 C =
:
(BU
A'= {C, et
{ 1, 2, 71 8,
uego
l-
@ A= {a,b,
3, 4, 5, '6, 7, B, 9i 3, 4, 5, 6, 7r 8, 9, 15, 16, 17r 18) 3,,4, 5) 3, 4, 5, 6, 7, g, 9I
{ L, ?, 3, 4, 5 l¡ @A U B = { L, ?, 3, 4, 5, 6, 7r 8, 9 n C = { i, 2, 3, 1, 5 i A
'l
{ 1, 2, 3, 4, 5, 15,16r17,18)
def i ni c'i ones respectivas tenemos:
OA U B = i 1, 2, @A U C = { 1, 2, OA ^ C = { L, 2,
o
293
CONJ UNTO S
o'l u c_'i ó_n I
AS'¡
))
)))
))¡))
rayamos
verti calmente
üagnama ftaaü1|
(1,
OSCAR ZEVALLOS G.
I
¿94
*
I uego rayamos
Iniclalmente rayamos: An
hori zonta'lmente (AU B ) '
I
(g
-
A)'
uego rayamos:
')
Primero rayamos verticalmente
(B
29s
CONJUNTCS
(A U B)n
(An c)
=
c
AU
B
AA
C
ITJIITü
ffi
A)
Luego, hori zonta:lmente;su com-
En Ql PrQAenf¿- üagnanta lldllai
A'A
Oc
B'
@ [rrnrr u 0nlt) It, n ^] u (roB))
* Prr mero rayarnos hor i zo n.tal mente A I
r Luego rayamos verti
ca1 men
te B'
*Donde se cruzan ambos rayados será : A' B' En
el aiguienfe Diaqnana de lienn
ÁuB)
o (e n)
(rn
GnB)
SoI ucl 6n :
O
[a u ci
B) u (an c) (Bn c) B) n (An c)
-
(n uB) *0bservando el c
gráflco,
tendremos que:
A UB = {514r61317r8r9r24r31,23i1 6 ,!7 ,I ,2r 10, lL ,25 ,29 ,29\ C = {40, 2 r3r8, 7 ,9, 10,
.'.
o
A^
'i
ni ci aln:ente
BUC
= Luego rayamos Af\
@
Real fcel
A
@
o
mU
(B U c) =
ffi
o Ud .
o o del (nuB) (AUc) Háqa'l
o (A U B) =
mi smo
modo que
}
{40}
[(rnE)u(DnB)]
(B u c)
Rayamos
C
11
[(HnA)
u
(D
n
B)l
Halle{nos lniclalmente sus partes
HnA=
tll,
Dn B =;
{
l [(rnE)u(DnB)] FnE= {rz,r3il (B
(HnA) = {12,13,16} {1,16} {12'13}
- A) - (on G n B)
DnGnB = {16}
Gn B-
A = {q,4,r,lr,r::r;,:l;(D,.
B)
{
5,4, 3 ,31 ,23 ,17}
))))) 296
OSCAR ZEVALLOS G.
'r I'lote qu e primero Hai'!
;
hal j amos I os térml nos t ntegrantes de cada preguntÁ y
luego con elJos reallzarnos ie 0perect6n centraln es gü e i os térmi nos .
))
),)).))l))))))
297
CONJUNTOS
PROBLEII1A(¡
declr, ¡e óue Il:
- Es/;6n,40 olt¡nnoa ?Atll;ü utl di,an a¿¡bat iüw'a¡' S¿ todo¿ w A a Lo átttlo do¿, ¿Ctt'6'ttt'o¿
7A {nr;neü g lsg 30 que ?* ' e¡tl'Ci.an WrL lt fiÜto6 un Lctro
En
e ijd.
C (D^Grrr) (cUr) \v [Buc) nH] [rupJ
u
totiL?
lol uci §-n : Venos que hay
@ [Et] (Gn D)l ñ [Br\ D]
2 conJuntos:
portugués, que tlene,40 alumnos' P = conjunto alumnos qIe estudlan que t'l ene 70 a I umnos ' Dtlllltll irancÉs
r=
AdenrÁs,
ca que
EJERCICIOS RISUILTOS
sl
Pn
,
hay 30 alumnos que estudlan ambos t¿1pis, Repres entando esto úl tlmo F = 30 ái urnor
.
esto slgnifi 3
Antes dE resoJ ver es ta ci ase de probl snas , voy a expl i carl e Io qua re,-pres enta cada u na de I as zonas que están marcadas con sus respecttvas 'l etras en el diagrama adjunto. Supongamos que
.
A, I y C
son
3 actfvldades dlferentes. Sl cada actrvldad ia representamos por un conjunto, entonces en el D'iagramá tendremos la I I¡TERS ECC l0ll de d r chos 3 conjuntos con las respectlvas zo nas que detennr nan
Pero vemos que El total de alumnos que estudlan portugués es 40' *ia dtfbrencla: hay 30 de ellos que a la vez esiu[ian-irancés que únlcamente estudla po! ilu*nos de É ctntld;a la es e0-- 30 10, tuSués. lDlacuerdo?
al r nter-I
G) --
sec"uarse mutuamente.
francés. pero 30 de ellos esAst*ts*o hry 70 alt¡mnos que estudianquiiré ¿eáti que lr dlferencla: esto portugués, tudlan a l{ vez el ió'l'iil'' lo' ilniáoíi,*- cñi óaménte'es tudl a n franc és' el total de alumnos sert: 10 + 30 + 40 = 80 alumnos' Entonces
= AnB , ES üJb = BnC, ,
.,v+b
rr r, I os tr 'rr rr
dec t
rr
a+b = AnC, "
e'l
enrent.que f^ea.Jizan illlllnil¡rBlrllc. illrrilrrllAr¡lrc.
tanto la activ. A como la
B,
lluestra representacl6n
¡r las 3 actlv.al mlsmo tiempó: rr rr b = AflBnC tr y = serán aque'l los que reallzan S0LMEI{TE las actlvldades A y B il il l. r, ,¡
ll
u y. = .,
ll
lt
ll
rr
lt
tt
!l
illlllllB
u
ll
¡l
uAr¡ttil
ll
r
il¡¡ll
¡'
r¡
r
la actlvidad
será:
---9,
cyB Ayc
Total
al umnos
r
A
ililllrc
iLo entiende Ud.? el objetrvo de esta descripcl6n es faml'llarlzarle con moCo en que se Cescriben los problemas que a contlnuacl6n estudlare-
el
mos.
0tra indicaci6n es i" sigulente:
los gráficos que rlustran cada pro blema, se han señalado eñ sus respectivos lugaresrios datos o las coi¡-I. c1 usiones que vamos cbtenlendo, cada ula dqéstas tiene al costado suyo un número encerrado en un clrcu'lo ((t),(2), ... etc.) el cual le indlca el número que le he asignado a'l ra-zonañ'lento que me'llevó a obte-ner dicha cantidad. Espero que así pueda Ud. entender mejor el procedi-
miento seauiio
flnal
En
nosÉc,-(d
to
50 u¡ svün hag ,OO Pc.taonsa de la,¿ [wan-g t0 tw bcben' ¿CuÁ¡ta¿ petuoinat lug que (wan q bcbut, tabiendo-qtl.c loC 2A pü.6ottaa quc ulanette (wanl
uttlu
En
Sgl uc l6ft:
Sé¡ F B
'.
CoñJuntg personas que fuman. " beben.
,i
Ó, dAH ZEV nI.LO>
29?
299
(
(
hallar: Ff\
Nos
piden
De J
os datos
o
Hay 20 personas que solamente
o
B.
:
U=
100
fuman.
Además hay 30 personas que no @ 'beben, entonces, dentro de e-
y 1as que no fuman ni si las Primeras sabe-
.
rr
@7 xrr a Ias que van a fñ v Lllosamemos 3 lugares. tr
serán I aYóue
S0LAMENTE BEBEN.
Si e'l ToTAL de personas (l¡nlverso) es 100, y hay 10 que no furnan ni beben, ZA que SOLAMENTE fuman y 40 que SOLAMENTE beben, esto quiere decir, que'la diferencia: 1u0 (10 + 20 + 40) = 30 personas-serán las qúe fumen y beban al m'i smo t'iempo. it''le entendió?..¿Porqué no Ie da otra lefda a'l Problema?
So'l
'l
O
Hay 50 que no fuman, aquí estarán incluidas las que no fuman ni bedeci r que s i I as prime-beir y 1 as-que S0LAMENTE beben, es to qu i ere ras, de O,sabemos que Son 10, entonces 'l a diferencla: 5C 10=40
vl.O J
total
uegan
de-
'rtnciÍt.
319 putAomaA, 78 iuegan ter"ü, 6l juegan b*squ¿'t Li ¿Curt"nfc a j uegan Ú,ricamenfe ba¡ h-ef?
21 3
S'i al ci ne van 15 ' lñ \'/ Entonces: la o'i ferencia: 3 xrg 16 (6+7 +x)que= unlcamenpresenta a los te van al ci ne Zde acuerdo? '
@ O
Si en total I á di
De.r mismo modo
,Iguarmente
a ra playa únicamente irán:
ar teatro
s6l
l'5
(6+5+»l) = 4-x
o i rán : 18 (7+5+x) = 6-X de' I os
que ,i ntegfal-!u11, uno¡, Ahora bi en e'! total de el ementos, de turi s tas 'QU€ por dato nümero zonas .n..riát.i, át iéual a'l
'
7
es
Ce
?9
uci§n:
a'l go
los datos:
5 van al teatro Y a a Pl aYa rr rr cing u rr t¡ @ 6 rr , cine It a'l teatro
mos que son 20, est,o qu'i eredeci r que habrán 30-20 = 10,que no fuman ni beben Y J as u bicamos fuera de ambos conjun
0e un
' 22 nfime¡c d¿ doa van Po'lL Lo
Marcando
bebeni
tos
qa?^ únleaneYt'te
Sol uc.i6n
I I os es ián I as que sol amente-
fuman
6 van al úne'
un tno; 7 of aL uEn
Entonces:
de 'l as cuai es ?L3 no j uega n nada , entonces 2I3 = 106 nos da e'l número de personas que iueqan
hay 319 personas
ferencia:
319
3 x+6+x+7 +4
-'X
.
Entonces, de acuerdo al di agrama
U
=
y a cs datos 1
319
Dedondealcineúnicamenteirán:3x=3
:
o
Basket
*cslru
x+y+z=106 x+y=78 @
Y+z= Reso'l
vi endo : :+
De
O, v*Tl
= 139. =
139+
Sav';
nútlc!."C". ttr% r¡C. .¿Qud guno de u,
@ +o
y*¡+y*Z
Entonces en
íu' de l;;;-;" dwadonu' 4e7nc'tt1'6 oue: vi.¿¡finA'ttedLLzadn « un gnupo ZoZ- a¿ tutui (wa ia rts'nca' tt , Ql a¡X Áw'a na La ndtet "f En una
c
61
6
Y=33
@ z = 28,
que s6lo iuegan basquet
^fu,
do$ 6e ne Sol uci 6n :
Como queremos
hallar cuántos
,*; 152
uq
B,lC
,:
\i#"h:á¿ttunc,La-
tado
es que ini no fuman ninguna marca, Por eso
)))l)))r))
)));)
300
)lt)
OSCAR ZEVALLOS
G.
cia Jrnente,
ca.Icu,l aremcs cuántos fuman, ya marcasr luego comc conocem's lea.una, dol g tres de las _i .ue la diferencia entre este toia;,"; :l:.1,::jrll? -iqre Ja cantidad rotalg yñ-ioóz';;'fu"madores, da rá 'l a r!:pues ta ri ná f . I e parece?, ¿entiende terior?. Bien, veamos: el ,.io^orilnto
i:
c
¡; i;;*q;;;ffi;ffi;
los datos en e,i gráf.:
O \'7
' ,,
A
y
FF FF
e
I conjunto
Dei mismo modo que
en
?; o"
'la misma
l:'--
maner
Ii;.tli¿;;*l{*:
s
i;i:
hemos
de razonal. para^,8
(tsz +
¡l
de
I as
,r
ll
ll
)
FvvF
d
)
= { 1, ?r 3, 4, 5, 6, 7r 8, 9, 10) A = { 1, ?, 3, 4 } B = { 3, 4, 5, 6 } (A
n B) 'n
(B -
En ei siguiente diagrama,
A) '
c)
t1,2,5,7,8,9,10} {1,?,7,8,9,10}
la parte
rayada
ffi
O
sean
los
mi nu
(23f"
6gt
+ tSí, + l07 + + 15?t + 3t)
21[
+0U
+
tos
conJuntos:
A= B= C
a
a:
c) n B)' d) A - B e) N.A. (A
T:o3[ilil,.ulli"!;..:I,:diolo.
B
60
{1r2r516 r7 r9rlo}
representa
@
sean:
Entonces se ha de cump] i r que: (Marcar: Verdadero
Tr empo :
e) N.A.
FVFF
a) A'U B' b) A'n
lnlclal:
J^,ma rca s := 1007" rr " = Ioo% -
,t,=W
y tendremos que + iáz)"I'é2, áu-á*.i", q{re D'_
)
B',
:i,9.í.Q.ff
Por último de acuerdo a,l razonamlento Itlo f uman ni nguna
toy.
c
FVFV
a) {1,7,9,9,10} b) d) {1,2,7,9, 10} e) O
10
U
Entonces:
A, quE
)
b
Argyc
a representa, ñáriu ya tenemos en éJ, aJ: ;il;. 15% + nf. + ?% = ZT% que f uman A y otras rnarcas go concluimos en gje la. Lue ATferencia: SO,i, Zll" = ?3y,, los fumadores que rni represenEa únicamente ca"ál,te fuman rüñán'A:'" A. iMp enran¡{.iA? ¿i"'Lfr,-ráiái
{ 1, 2, 3, o:.5, 6, 7,9, { 3, 5, 6 i { 1, 2, 4, B, 6, 10 )
B= B-C
Osea:
c
lss datos, €I sa;l, fuma-li-marca A, sf ob
'l
ll
c-
uno de
servamos
O
@ a)
las marcas A y B e $'/, fuman rr rr , fr A$'i Byc )<:;
'r , !! ??il tr , nx e Según
@
AU B= AN B- C=
o
an
Marcando
)))
CONJ UN TOS
{2, 3, 4, S, 6} {1, Zr 41 6, g, l0} {3, S, lr 9, 6, lO}
eI orden en que se tndrcan sr o falsas y marcar la al ternailva lar efrrnaefones son verdaderas correcta
Semalar en
3
o @ o
Fa'lso )
c)' = { 1, 3, 41 5, 6, 7r 9 ) (B'n A') n c' = { 7,9 ) (AU B)' = { 5, 7, e)
(e -
@ U..B=U-A=U a)
o
IJF',F
b)
VFFF
-c
c)vvFF
d)FVVF
-+)VVVF
301
OSCAR ZEVALLOS G.
Sean:
{ x/x es un cuadrrilátero } B = { xlx es un trapecro isósceles C { xlx es un paral el ogramo } D = { xlx es un cuadrado }
A=
Cuál es entonces
conjuntos P
b)B-D=O
y
e)
Qrno vacfos,
c)A'-B'=C'
Analice
Q.
que PC
iCuál de las
sl-
O @ (Pu Q) c(P -
A=0
a
miden
y. que miden nrás de 1.90
ti enen cabel I o rüU'io, u oio!
m.
azul es o rnl
den más de L.70
m.
c)
el
Diagrama Y marque
expres i.6n correcta
.
(BnA)
-
E = DnB
c) (Cn A)n (Dn F) = {z,c,a} d) (cnA)n(DnF) = F
a)
:l r3¿., son ciertas
;¿:'o:.ll;¡ ;.0r.
a) A-B = {drhri'grhlrY'cr}
b)
qcP
Q*0
y
e) no se Puede determi nar;
I
tal
rt
,,
ll
rl
d) ,trmr!qug
N.A.
rel aci ones no puede ser cierta?
de PQrsonas con cabello rubro ¡t
l¡
rl
c)
la reláción correcta?
a) (AAD)-C=B d) A c, (c u D)
el coniunto
b) }
303
CONJUNTOS
3
e)
N.A.
O st: AcB y An B = { 3, z, {2,3}} Entonces podemos asegurar que:
a) A = B b) AU B = {3, ?, {?,3}} c) B a {3, ?l d) A - (a:l¡ = t3, ?, {2,3}} e) A = {3, 2}
@
En
la slgulente gráflci¡'encontrar la expresl6n
a)
AC
[c
correcta:
cosas a
I
a vez?. si
.i
¡)
A,es el conjunto de personas con ojos azules B,es el conJunto de personas con cabello rublo C, es el conjunto de personas de más de un metro setenta Entonces: (A n B) n C será: m.
cle
c) 34
234 alumnos,
I
f\ 6s
c) 66
e) l'l 'A '
3
los conjuntos:
de 1.70
Cuán-
por l o menos al guna
z de Dl arios (cmrerci o, cori e0 De 100 personas que I een por r o rnenos óomercro y correo, 50 leen co40 leeñ 'l v oJo) ' se observá-qüI-i.'áirui ¿cuántas peisonas I een os 3 cii ay OJo y 60 I áeñ-óo*...i o-v Oio
|
a) el conjunto de personas con cabello rublo, oJos azules y
y 35 cl garrl l I os '
Enunclado absurdo
.
meo rlos?
Dados
Puros
rodbs fumán
b) ?4
al ml smo ti emPo? b) 22 a) ?7
e) HC,(AnB)'
O
f urnan
as dos cosas.
De
H=0
d),Hcl (nns)n(cnD)
I
fuman
de I os cual es 86
87 Derecho y se sabe que 92 quleren estudiar Medici na, ambos cursos quieren estud'iar icuántos 120 nlnguni áá'iar z carreras.
[tBu c]utDuFll
nDl -
tos
arnl gos ambas
a) 2s ,ül 2t
b) FCtD-E]
c)
Tengo 100
ls
b)
3s
más
d)
55
e) s0
26 tienen d6l ares, 26 ti enen hotel hay 51 turlstas, d€ los cuales B tl enen dól ares Y f ra ncos nos ca ; mex'i pesos f rancos ,ri ,ói' y zg tl enen camente pesos mexicanos. Y úni enen tl sul zos pero no pelgs mexi cahos , 6 y pesos mexl canos . ¿Cuánares dól amente sol poseen frarrcos suiroi !,-io tiempo? mlsmo al moneda de tos poseen'i;; i éiaiás "e) 4 d) I0 c) e
En un
mlden
c) ?5
b)5
) ))l
304
)
CONJUNTOS
OSCAR ZEVATLOS
t7 /rr-\
En
ciertas
competiciones
tr rr rf
-10tt, 40
rr
,'
,,
rr
,r
iCuántos practi
a) 7
ca
n fútbol
,
vo'l
ey
y
voley
l?0
* 100 *
55 *45rtr¡ * 35
s
,
al
mismo tiempo?
d) 10
impati .'-,, zan por ,'Uni vers i tari
t'
rf
r¡
,
tr
e)
0.,
,,
por la ilu,, y,,A.¡ Íanza,, pof "Al.irñ.uí y ,;¡4;;icipat,, por "Universirario,'y ,,Uúni;;;;i, a Ia con ninguno de ros 3J equipos
per ninsuno de 3: ln ?:.::lu:.:::_lo,rirnpatizan "oli., XJ i'.IñJiÍ! l?,llrl.r"l mente ff , !!.,der : i oeportiro-irninl'"'iá'Jir;;i ;:1" I f l. :-u,
b)
65
n\Ii/J rn un Hoter fue 6e¡1¡slid6.un --
vez
al mis
oll
i i, ll: ;ff';,;:li.ro!,"§i,:,1?-:'-i:::i; de este último equipél
35
g{
zo
d)
4s
i.i.l,io
yl
e) Faltan
datos
b)
?5
asesinato-I_::_::b. ér o ros aseitñár-;;;'i;;'slgurentes:que'ras caracterfstrcas sombrero branco, abrr grls y 90 cada uno un arma áe-iuei;; '''-rs¡¡lE¡¡ somDrerr
10
c)
30
b)
s
c)
4
d)
s
(li) ct un auja de 80 per¡onas.que están preparándose 't"z rnética, Algebra
e) ll.¡..
d)
?0
e) Faltan datos
los cury C, hemos recogido las srgu'ientes concluslones: Sola¡nente 5 de todos ellos manifiestan dom'inar los 3 cursos, Ios que únlcamente dq minan el curso A son el trlple de aquellos que solamente domrnan el cuf so B, además de] curso A; adenás estos últimos son la mltad de los que Los que ünicanrente domlnan el solamente dominan los cursos B y C. curso C son a su vez el trlple de aque'llos que domlnan los cursos A y B¡ en carülo, los que domrnan los cursos A y C son la mltad de los que ún! sos A, B
C. a)
C.
Tanblén se sabe que aquellos que 0nlcamente saben el doble de aquellos que únlcamente dom¡nan los cursos A y lCu6ntos'domlnan los cursos A y C únlcamente?
camente saben
l5
el
b)
20
c)
25
oo
6
45
De 275 alumnos entrevistados acerca de sus conocimrentos sobre
curso B son
comunes de
a)
d)
entrevistan a 106 jóvenes para saber qué tipo de mu¡er es el que prq fieren, el resultado es el slguiente: 46 de eilos las prefleren altasl por'lo menos; igual número las prefieren por lo menos de ojos oardosr y 66 prefieren que ellas sean delg:d;s aunque sea; súio I de el'los las prefiere altas, delgadas y de ojos pa,rdos, mientras que el número de j6 venes gue las prefleren altas y d.elgadas pero no de ojos pardos es por una parte el triple de los que las prefleren altas y de ojos pardos únlmentery por otra, es la mitad de los que 'las prefleren 0nlcamente de o-j Jos pardos y delgadas. lA cuántos de e'llos les gustan únlcamentelas
a)
Únicamente
pnrnn mo -tt i empc. mo
)
c) 50
sclamenre
y ha-y ?.7a personas que no srmpatizan
a
40
mujeres,delgadas?
"AJ ianza,t
"l"iuni ci pal
b)
35
Se
entrevlstado a 300 personas
,
y las que sólo saben Ios otros dos cursos,_su¡lan 20 personas;en
que únlcamente saben Geometrfa y.las gue s6lo saben los otroi-t cui.cs, suman 10 y entre las que únfcamente saben Aritmétlca y entre las que s6lo saben Algebra y Geometría hacen un total de 30. -sabemos a demás que s6lo hay 5 personas que dominan los 3 cursos y además que sul man 19 las que'saben-Algebra y Geometrfq; 11 las que saben Aritmética y Atgebra;yque son 15 las que saben Aritmética y Geo¡netrfa.
a)
.
119 personas I
t¡:-'i¡¡
Las personas que no saben ninguno de estos 3 cursosr se pasan a una cla se de Qufmica donde ya hay 35 alumnosr entonces el total de alumnos eñ
agerca de sus prefe[:i'l::,?ilo]3',;l'iff',i;,i:;::ii" ü,i;;.i i táii ol Ái iuñiu-i ütni ci par
:'t
Algebra
la clase de Qufmica será:
básket
c) e
hemos
'
vol ey
otros deportes
en
b) I
En una encuesta
básket
It , rr ', ff útbo] ütbol y ,r básket :: t rr r! bás ket :: rr" vo)ey tr tgni s , rr atJetismo
,,
,
15 " :c9rn - 15 "
@
G;
' se disputan trofeos en Jos -srgurentes dep.r-ü; ü;;i de r50 ;::;,:i;::J¿,'ll'l;.31:XÉ';,:iiliismo,'l.nr,, .t..--Dá - 10 aJumnos participan só'lo en fútbol y 1? 15 14
305
v.oebr.irri-;.-;;; lue:
e)
l{.A
.
en los curs's de entre las gue sotamente Arftsaben
d)
30
e)
N.A.
ri.
--9e --
a
t
r¡EJ4A\iI¡:i
307
rales (siempre a partir de nl = 1) en la serie'
(A)
Sea
Ia
n =
1a fórmula de recurrencia : serie a la que da origen será
sn : {.n /
2n
an = ?n + 4,
in
¡--n 4 I -s
:
= 2n +
"n =
Series
i
1 ,2, +++ 6 ,8 ,
NEN
}
(B) Sea la fórmula de recurrencia : La serie a
Sepa, Ud., amable lector, que en un instante, va a empezar-a estu-aunque en foma ele¡mntal, uño de los capftulos de mayor importancia en matemáticas actuales.
la
gug da origen será
de esta serie
, 4 r ... r n ++ l? , , ...r2n+4.
3
t0
:
+4,
Podremos entonces conocer, al gunos de I os eI ementos
xvlll
Ejemplo
buscada
)
n2+2
a= n
3n3-
1
:
diar, las
El estudio de las series y sucesiones ha llegido en la actualidad a un extraordinario desarrollo, y hay quienes afirman que todos los problemas de las matemátlcas o casi todos, e'llos pueden desarrollarse, utilizando, series. é
Interesante?áNo? Va-yamos,
*
pues, a estudiarlas con especial ciudado
y atención
:
Sn = {on/ in= nz + 2 3n3-
t
NEN}
1
Y como en el caso anterior, podemos conocer algunos de,sus elementos reemplazando en la fdrmula de recurrencia, a pártir de n = l.
SERIES.
Denominarems asf, a todo conjunto de números, al cual se Ie puede aslE nar un orden determinado, o dlcho de otra forma, cu¡os elemntos obedecenl a una ley de formaci6n, tambiéit llamada f6rmula de Recurrencia.
*
SUCESION.
Denominare¡ms
una serie.
Ejemplos
(A)
(B)
*
:
asi, a Ia swna ordenada
= {1' 3' 5, 7r.o...t
Jtn = [Sn
1+
3
+5+7+
)
....
... ) + 9 + 16 + ?5 ...
= {1' 4' 9, 16, 25,
{t,, = t + 4 [Sn
FORI{ULA DE RECURRENC
de los términos o elementos de --
+ .}
Es evidente, tamblén que hay fórmulas más compl icadas
d, = ( f SERIE
SERI
+
SUCES ION
E
Tanüién, la llamamos : Ley de Formación y podrfaims decir que ella es una operación (De acuerdo a Ia définición que df en.el capftulo de ope radoresl mediante Ia cual transformamos Ia secuencla de los nú¡neros'natu
* )ñ,
gu€ da
.n = ( log sen n Pero RAZON .
IA. -
+
lugar a la "Serie exponencial o logaritm'i
carj.
SUCES ION
+
i
I
+ sen log n¡(Lx n sen
el estudio de estos úl timrJs ,
e
Scapa
n)
a nuestro objeti
vo
.
-
Se denomína
así a la
comparación de 2 cantidades.' Puede ser
:
) ))
)
),)
))
))
))
) )))')
3CS
OSCAR ZEVALLOS G. (,A
)
.'i
309
; SERI ES
:
Si 'l a razón se hajla por diferencia
a antecedente
de
las 2 cantidades
:
b=r
t r
consecuente
t--»
Raz6n Arf tmétf ca.
I J
(B) SERIES t-ra-
(B)
la razón se halla por cociente, antecedente ---+ q _+ ¡. D
uls
I0trj..Fr
dE
lts
tg.
Ejempl
dos cantidades
os
* Razón Geométri ca
.
x? x3
ni l'el , €r'r el cual , se centra nuestro estudio , no existe un criterio parl clasifÍcarl as, puss dejamos de rado ros cri terios establ_ecidos 9.finicio de di vergenci a, convergenciá,' ántre otros. s'i n eTfargo, podémos ;ntentar cjasificar'l as de acuerdo a los dos si -gu'ientes cri terios :
a la De acuerdo a su
DE ACUEP.DO
Pueden (A
)
s
-S-ER
A LA
er I ES
i
Cuando I a razón
rencta.
1
DE SUS TERI4I
I.'IOS
.
x3
:
-
(tt
CAS .
¡
POR 1.
-
entre s us térni
nos
consecuti vos
SE
hal I a por di fe
-
LA
FOR},IULA
1, 5, --\.J-----'-1-
ES
Que
a su vez
+2 +? +? S
ION
POL INOM
*a
t
En
IA
.
IALES
Pueden
.
ser
:
11
,
nombre de
P,ROGRE
'
x9
-
-
:
EJEI4PLOS
+
= ?n+5 i So={7,9,11
General son de I a forma
14
,
,13,
:
* a- = r . n + do -> n
+Z
a razón es constante, la serie recibe el
AR ITI4ET IC..O.
sn {5 , I ,
de:
x3
* a = 3n+2 n
* 2 r4r6 rgr10 \.-,y-Jl=_¡_y-._ffa cuando
nornbre
x3 x3
RECURRENC
AJ. SERIES LINEALES
10 , 16 ,23
+4 +5 +6 +l
DE
SER I
Ejempl os
'l
el
,3,27
xl
xá
:
AR I TI.IET
3 r 1,1
Fórrnul
un
RAZOIj
rec i be
PROGRES ION G EOHETR I CA :
Razón, de sus Térrnjnos.
a de Recurrencia. poco má s , cada una de el J as
32
es constante, I a seri e ,
Cuando I a razón
¡-r.-aa-ff-¡
De acuerdo
Eién, pero desarro j j ernos,
x5
x4
?-', 4 , B , 16 , +t-t#-f-¡x2 xZ xZ xZ
SFR I ES ,
n'l
(l) (lt;
halla por cocien-
:
..-.-J
co*secuente ct-¿.s i FI§AC
GEOHETRICAS.-
Cuando'la razón de sus términcs consecutivos se
:
-Si
/r\ \r/
))
)))
)
,)
Sn {an/an =
r.ñtdo, ri E N}
)
)
ñü¿&{ffr¿*rf,iü.iiú§
I
.rl0
OSCAR ZEYALLOS G.
311
¡
t
b)
:
SERIES CUADRATICAS
*
en =
EJEI{PI|0S
pueden resul tar, .cambiando el carnpo de I os n úmero s en que se trabaje, para nosotros , como ya se ha d'icho, bastan.los 3 primeros tfpos de series: Bien hasta aqüí ya tiene, Ud. una buena idea. de lo que son I as seri es , varnos ahora a ver:
y otras, iue
(6, 15, ?5, 45, .,.. ) S= n
3n+l+
?n2. +
*'tn = }n'| - 3n+5+
t
sn=
{4, 7 , 14,25, ..,.}
{
t
a
En general son Ia forma
:
¡
.t
'n * a- = Anz + Bn + io + En forma mucho más general
,
I
Sn
= {an/an = An2+
Bn
n
E
ü
N}
a
I
todas I as f6rmul as recurrencia
las series polinomicas, tienen la forma :
* in = Alnk + orn*-' + Arnk-z* .. .
?.-
+ a.
.PROBLEMAS
de
Ak_
ln'*
A*n+Ao
PROB L EI.IA
-
oRDA
ser
(A )
't in = kni* Sn = { K, K.za, k.38, k.4i,
-
SERIES EXPONENCIALES.
..
o
el
.
= {al , ,?,
a3 , ..o...
}
*
Hal I
ar el
Sn
= {ka , ka2, ka?, .oo...
:
número
ES TMSCENDENTES
.
:
Entonces
número Ha
que sigue
en
I I arnos I a razón
Entonces
-
*dn=senn * dn . cos n ,
en
Hallamos I a "razón
SERIES LOGARIT}.IICAS. -
SER I
que s'i gue
}
* a- = k log n n 5.-
térm'i no que s'igue
EJEMPLOS: Sn
dn = Kao*
,
el etc.
Es evidente, gue existen otros tipos de series, por ejemplo las que resul tan de. cornbi nar I as fórmul as de recurrenc ias ,
.EJEI{PLOS:
t in = k sen (A"nk + Alnk-l*,'Arnk-?*... +a*n + ao)
ella
ría¡ que se hal I a por di ferencia, de '2 térmi hos 'consecuti vos, y con elIa y el últinrc término de Ia serie.dadd,.pob.emos.calcu,lar
S0LUCI0tl
4.-
''
orma en que
-
*an=an+ *
:
un §rnlr.- HÁlmn Er rrnmlno-QuE sleui SOLUC I0{l." med i ante el uso del t'i po de razón . -
(Ar)
:
* in = nt -> sn = { 1, 2a , 3o , 4o .-.r '
3.
SER I ES
t.
+
SERIES POTENCIALES.Que pueden
SOBRE
'
número que
Halladros Entonces, i
la
próximh
sigue
la'razón
:
l
tal corp varía I a razón será : 13+4 = L7, y :
? , 3 , 8 , 17 , 30 , -¡r-tr-ErÉ+1 +5 +9 +13
X = 30+L7
=
47
(X)
va
)
)
3L?
OS CAR
¡
* Nallur el número gue slgtle §-qL."!,!
I
ry|'[
'4,9,15,23,34, (X) 4 , g , 15 , 23 , 34 , (x) +5 +5 +g +11 +y
;
:
lñ:rrtFJ tE!.-.|
iEyilhl¡rs,
(l
)
Lay-f t
!
En
(l),
Bl hacer,, 'l o ú1t'lmo
q1 'l
o tendremos
rJ ,t
,.(I),: I t
ar
,
ION
:
Ha,l I
S(JLUC
el
(II)
(l
-t
r il
ir
:ya
)
5-yre
hfd
(II) :
|nnrr
+,3 , +4' t-1-f
*1
(itl) En (tl ) : En (l )
m).,
;
l
z
" 'i
Finalmente:
(II) f Il
I
rl
l-iFal=--J
r, rynIrrrrynr*f¡¡
,+6 +g
h1-.-a_.rr¡\7rJ
+3 rm
+z
,t:l
+40 + (U a
120
'
E#
i
t
'
r
¡l
W[r'
an e'l
nrfmeno
que s'iguen,
¡
:,
- (I)''t;
,
,.r (lI)
t
I t
i:
Dur¡'Eurr t QuB en lugqltdi..l!'3t?: Sucede, '-leiiei -Í'i teral e§ '' - E1.''tl PrE)E¡r ve'r r expl i Cl ta-;' ies casos q. no-ser qIie-.-i^ hÁi. ce
cot'i!rll19:.nl;
:i
e í;; letras cH ni 'üit!*;;ffi[; il alirüiti f ab9.!9 , L L , del il¿.Hi*li' ;- t'iil i;ar I as razones :
(r¡l)
;
t
',
,,
,
'
t
t
'
::tl
0
Ent¡q ,'¡
(\J :
)
'
., Entre
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I
Entre
8ñ
U; (
Rr
-
t.
de contl nuut: 9n Que erra debe 1
Entre'l'1 HaJ'l
t
,,
t,,
r .
I
oi'sl" 1 ó
13
v ="..'27 + m F 40 x E! $9 ,+, Y = 80
¡
FI/ra
,4
9+ms
:
I
En
'¡r¡ry¡nl
De
De
+ z:F Is
23,35,53, g0, (x) 10 , 15 , ?3 , 35 , 53 , B0 ; (X) : +5 +8 , +12 +18 +27 +y r
, i r (II)
4
Fi nal mente,
número gue
l
lt
,
'
'De
:
*
t';J§I nümero que slgue
En'
rffir
+r
-
:
+
7I
151+ y
no son co ns ta ntes , pet'o tampo eo esta muy claro como varíanr po r ta nto pro cedemo s a ha I 'l o ln'l a raz6n de las [auones. En (;li),
+
yF
+--y-."r1
las razones como vemos
se ve más claramente como,Vá:rf an 'l as razo[BS; de acuerdo'a
*
rjt:L-f
+1 +2 +3
(tt¡
'
,Vr
*f#
n *,8, n *'27
U
, td)
r
y b haY 2 l etras ', 'ñ) y 'R hay 2 'l ctras (P ,Q) y U hay 2 letnai (i ,'T) ('n
;
tr
y 1,i ):, debe dé haber .
t. t.
y'
. r ,,
,:
.
.
r
2' f!
1
,'¡ ,1,,
,
etras
I
t
'.. '
I .
J-t
*
t'
Que'1
OSCAR ZEVALLOS
etra conttnuá.eñ la sigui:ente seri e :
:
-, ,
Entre Ary Entre D y Entre H y Entre M y
,
31,5 a
Luego
(E , F , G (T , J, K, (¡t , N-, o,
H Qay 3 letras
4 letras R hay 5 letrab
M hay
:
)
De
(tt¡
LN
(r)
tre
Ry
Luego
iQué
l_
nal mente
F'i
a)
P,
:
(?) habrán 6 letnas (?) = Y
*
Ha
II
ar el
SOLUCION
tal ? iHa entendido?
núrnero
'
que s i gue
:
(I
)
II
)
(
Si la serie dada fuese GeonrÉtri ca . -
(Az )
Tal como di ie. en A1 , ubi camos "l a razón , o l,a forma en que ella varía, dividiendo entre si los términos consecutivos. Luego con lq razén y eI útlinro término de ra,serie dada podemos hal I ar el térmi no que s i gue
*
el
Hallar
SOLUC
ION
número que
Hallamos
:
sigue en
2,6,
:
F?Errd#
la razón
x3 x3
:
,
54 ,
11,
tdn ces
8,2,
número que sigue
la
'1
xT4
Ento nces
mln
(A¡
*
(X)
Hal I ar
S0LUCION
x4
el :
S0LUC
ION
:
número que s i güe
lJa 1
'l
amo
s ; 1
(¡
)
(rr
)
gue
(I)
(II) En (I) F'i nal mente
Luego
+4
:
de
L
Íw
:
i
2a--=f-J, 3 , 6 , 15 , 42 , (X) E-l--rr-l+1 +3 +9 +27 +y *--,r-t:=r--f#
x3 x3
: :
:
z=3 y = 27(z)=27(3) = X = 42 +y X = qZ + 81 X =' !23' !ÜrT-ffi ,,
*
ra zó n
fll
512
se puede ver en los presentes eiemplos':'
como
número que s'i
-
ar el
,:.a?41
Podri amos Combi nar I os casos anteni ores . -
!'l
Hal I
(tOZq)(m)
(ri
, (x)
-u,
el
Hal I ar
SOLUC
ION
n
lxT = z = .11
x=
32
i, á ,# ,
)
*1" .+ \Lz x
xm
a,
: X=
Tal
+4 +4 +4
razón
(r)
162
l-1FJt-Y-t-'1,,,-rE=-
Hallarnos
En
v?- 'x1
x4
x8
1
X=
¡-.t--,-f¡-t-1f-,
x4 x4 X=8x 4 =
Hal 'l amos I a razón
fiT
(x)
t , 2, 8,
B
(II)
x3
: X=54x3 =
el número que s'igue en
En
1g
De
Entonces
:
Ento nces
*
mz
lo tañto i En
a
ES
(a,c)
2letras
D hay
SERI
D, H, M, R, (?)
A,
,.
SOLUCI0N
Por
I
'
-
número
:
Ento nces
.,
,
x3
xz
81
,
1
)
)))))
))
315 O§CAN TESATLOS Q,
)))l
Lz
a) TIE¡tp0: 40 mlnutos CADA CASO, HALLAR EL
NUI.f
EAO
C ¡.ETRA QUE FALTT
0 , 2 , 6 , !2 r X.
)
b)
) ) ),))
)
I
A, Ei J,0,,? b) a) l.i
:
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C
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)
i SERITS
e) -1
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P
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N
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G
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H
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c) J
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D
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c) a)
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b
) 2.35 ex.
,{r
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c)
s,s!,1,+
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+
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10,1g,29,45,6Srx1
o
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) 91
s6
e) 2,42
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1
c),t i
a).8
@- D, I, E, G, F';,E, G,,? a)
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.l
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e)
b) I .
H
, zs, 5 , 1 t +,,x
Lzs
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,,
i
0.02 l{.A.
l¡
.
0 ,0.4, 0.95 , 1.45 ,2.3 ¡ x .c,) z3.s a) 2,35, .bÍ3.5 6, 9 li, 14 ,'r X , 30 , 41.
a)
. ¡
d)
b) 5
,
0,06
0.18
b)
0.162
?r1,,
,
i
0.54
5-3
e)
N.A,
r
d) 0.016? e)
16.2
3
1r2r8r,x.
9S
e)
c
)
16.6
d)
c
)
15630
d) t205.6.25 e)
64
5.4
¡
a)
(}
b)
47
F,ü..
t,
10
??
c) rs
23 , 27
, 3?, X , !
b)
2P
, i6 ,
e
) 2.30S
e)
zs
, 30., 450 ,, 3375 ¡ x a ) 12560 b) 14280 1
96,2,48,6,L2rx. a)
..
" e'l'/ 7L /
.
b) ?4
30
En Ia
serie
: 1 ,'3 , 7 ,
i
15
,
31
. -1 e)i 45
b)
47
e)
c) +
t.
a)
ll .A.
c
)
41
,
€1
tercer término
32
desPuüs de
d) 295
e) N.A..
d)
e)
3e
26
3t
?5:
'¡ OSCAR ZEVALLOS G.
q 4 ,20, - 5/?, x.
a)
.
b)
:?
@ -ls ,
.'
,'-1 ,
-G, -3
'@-'1''a'1'd '?'f '. ) loo',m )u tzo .u
a
:. 2 d) í
" . .) i¡Ll -1
Luego I a fórmula O.- recurrenci
)
d)
-LI/3
1/3
c')
n.
u3 = a4= Finalmente para
d) 280,n
110,e
e)
.L
)
Luego
sf una serie
es o no Lineal, basta fijarse en la razÓn existente'entre sus términos, s'i tal'raión es constante,en --' '€stamos Para reconocer
ante una serie Lj neaTl La fórmu1a genera'l de Recurrencja para estas seri es es tonces
De donde
número de térmi nos
:
=
r
b
*'
S reSpUeStaS, perg tOmaremOS
De I a oU=.rración de I a presente seri
e tenemos
:
.1 = 7 I r = 11 7 = 4l
= ul
r
ao= 7
4
J
ao
ao =
3
n
u1
u3
.a
de la Serie Dada. Se Ié cal cula usando.la raz6n, y eT térmi ro n , primer '--'"""-'I ^
cornecta, la que correíponda Ia serie de menor bra¿o.
a
+a
:
.
COmO
Entonces
-4 a
:
t2so
'ae5oo
Luego
ut25o + azsoo
:
(bz)
SI LAS
7
11 15
etc.
19
3 + 4(3475) 13903
serie :2, 5 ,
SERiES
B
, 1i ,
:
= 3, es constante
recurrencl
de
4n
->
uZ
:7 , L!, 15 , 19 , ...... 75, indica el orden oue ocuoa el , que es Io que queremoi háTIáñ
2
lamDren eS
fórmula
Comprobando
:
Ha'llar el términq número 3475, de la serie
S0LUCI0N
la
=
+
2
(t) : dn ='Término pedido. (i) : r = Razón de la serie (4) ! do
*
t[.t =
dn = ao + nf
,
:
3
Ud.' ve! , ' en este. caso
r=52
.(
LINEALES.-
Corno
"SOLUC
Solución de series mediante el uso de la fórmula de Recu rrenc i a Quando se trata de series pol inomicas, las que como sabemos pueden (b,
'
3
n
+ 4(2) = + 4(S¡ = + 4(4) =
3
ar r-u1Z5O + aZ50O , €r'r la :
cl'-.,
+ +(J)
3
C
Hal I
:
3475
= u34l' =
i
)
=
ul+75
ION
(Br)
n
B0,m
* (B
+
á
e) sls
, i ,24 , k ,',?
' ,
o : -d1. =
Podemos-comp¡ob.qr1
1, c
será
a
'd- n = do"* nf
1
'-az=
' b) 10
: " .u)'€
*
,i
c).5T
s
?10
¿LJ
SER I ES
NC
será
= = = = =
do =
2
ao = -i
:
-1 + 3n
-i+3(1) =
2
-1+3(2) =
5
-1+3(3) =
B
-1+3(4) =
11
=
- 1+3(ieso) = 3750'-
1
=
3749
=
- 1+3(ZSOO¡ = 7500
1
=
7499
37
3
49 +
7
499
=
LL ,?48
SON LII.IEALES..
Reconocemcs estos casos , cuando I a razón no. es ccnstante, errtonces la soluc'ión es diferente ...... pero i ft'iuy j ntet"esante I
:
PR0BLE\,,IA.- HaLIarL SOLUC
*
ION
Ql fL¡mLno 100 d¿
Ía ¿uti¿
:
3 , 5 , 9 , 15 , 23, ....
:
Tomemos I os
2 pri ineros términos de la seri e
:3,5
)))))))));)1r) 3?c
)l)r))
t
)
OSCAR ZEVALLOS r: rr.
*
A ei'i os.z, podem's c0ilsiderar'r os com' una serJe y corno liá.-üü*cu-;dilouur l-Í¡eal, su fdnrntrla de hecurrencla,ierá --...r,vE
*
fntence§-' cornprobando
n.s, de
s_,onJe
sf
curnplen
,n*
2n +
=
))))) f§f n¡ ns
5f ! n É i
i
todos los
tárn:f.;; elii-,-*.,,,¡!af .=
2(1) + 1 = 3
ai= 2(2) + I = s ai 2(g) + I e Z 't PEro e'l tercer térrnino , debió de hubernüs sa.l i cg 9, y no 7, ahona? ,.. Bíen,-sfga üQug hacernos atendiendo l Ahcra toi¡emos
j
téry j nos
i 3, S , g, A'i a fürmu'r a cre ñá.rrrencia-ánteÉtó. t'-íTlino c!üe sÉ¡ rnrr1a. ^ ar.^ n. ( I;,:5"
(an*), vamos ahora a agregarle
:
EI ffirmJn0-arit-,+#ú3:li',ff,.j;1.¡;l:"*o:.3., qre"'** refiuro-tendrá.que ser de i er cerD pfira n r 1 y ;' ;''?: pues
v Perc seamos mii: que
s
f
o, dos pr imeros ra
reempJ azamos
fonna
como lJd,' puede
Entonces tenclremos
un =
tn*
1
ores de
(n-1)(n-Z) y
a
¡
n 1+(n-1)(n-2) !: (I_1)(i_Z¡ = n :r Z -+ (n_ i ) (n_Z¡ :r (?_L) (Z:U = cstrictos, y on Iugar de ; (n_1)(h_2), .k(n-I)(n-Z) comprobarr sé anu'l a para n=
:
va
un
vg
ul.
Conm
r
K, sabemos
0
coloquemos
:
n=
án = Y
po
Cer."ro
s
c
crrlp ro ba r
.l
de
2n
5
aB ='
?(3) +
1
nE
a4
2(a) +
1
+'(3-1)(3-2) E 9 + (4.1)(4-2) H 15
aS É
2(5) +
1
+ (5-1)(5-2) !n 23
!1
pürHde
Wt
ptrr : n E 100 iQuÉ le parece?
tuñtü
.flt0F-[Et{4.-
r cuntpl e cün todos 'los vul qres d'e 'l a sef le dtdr, por 1;
HdtAd)L
al00'2(100) +
I + (100-1)(100-ZI)
i,Ha entendldo? Asegurese que
el tt)Lilitv
que. al4ue
en
rÉ 9903
asl sea.
t r, ?, 3, 4, 19, .,,..,
4 primeros térmi ncs sati sfacen a n
k(n-1) (n-2) (n-3) (n-a) 13
'
= 9,
entonces
:
Luego
)a fórmu'la de Recurrencia será dn =
-7) ycomc cuando
k, 'l a fórvnula de Recurrencia será : +1+ (n-1)(n-Z)
:
.n* + k(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
\-¡
n =';,=u,n=;r:',;'lff]::,::^;:1. harar
2
ya de te rm i namos e l ,ui o.
=
Entonces a la anterlor, fórmu'!a de Recurrencla, adicionemoslé un térm'lno'que se anule para n = 1, n = ?r.n = 3 y n = 4, y que empiece a trabaJar para il = 5; corno ya vlmos este t6rmlno tendrá que ser de Ia forma r
9 3
Come
(2"1)(2-2)
,n* r n , pero no cumple.para
.n = Zn+L + k(n-l)(n-Z)
I
+
n'.3
Iyn=Z
3 +
3
I
Nota¡nos que Jos
+ k (n-l)(n-z)
que para
(1-t)(1."2) É
a? = 2(?) +
ü, = 2n + 1 + k(n-L)(n-?) ar
+
§qL.U!jp{: Sl Ud,, no hubiera vjsto y entendldo todas'l¡d expllcaclones áñteriorás, pensarfu qu esia serie esta n'al puesta'ino?¡ pero ¡ho --r¡ su actitud hacia el'l¡ es d{ferente, ya está td. pensando que es una sarlé .del tipo antérlor, y quiere regolverla
0
t_\6_,
Luego para hal'l
s 2(¡) + 1
nr¿2
nss
!¡
*'
)
321
**
ün
2
as
=
?
i
+ k(? ittl-z)(!-3)(1r-+) + k(5-t)(¿-2)(¿-3)(s-d)
?9a 5 + (k)(4)(3)(2)(1)
a:
?4= Entmsso I a
k:
24k -) k:1(ar*nque
-+
Ver Nota *
,' no s iespre ti áne. que val cr'
1, ni ser enterg)' .i 'r
:
t
\, 322
¡
o
OSCAR ZEVALLOS G.
n
SER
I
323
ES
ra
=n+ (n-1)(n-2)(n-sifn-o¡
el cual : aO = 27.
Por
para
:l
tanto, ya
o
De:o
(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)
k= 2
I + k(g-t)(3-2)
a3
= 2(3) +
a3
= -t_ u3* +
Luego finalmente
a5
=
5+
(5-1 ) (s-2 ) (5-3) (5-4
aartaaF
d-
=
5
Ia fórmula de recurrencia será : los valores de la seriehallar el quinto término :
que como'Ud. puede comprobar cumple con todos dada
k
:
a-n = 4n 1 + 2(n-1 )(n-2)(n-3),
k(3-1):
+ k= De: **
un*
k= 1ffi.É
* I'
un t. K
TnTII-
(s)(4)(s)(2)
'.
podemos hal I ar k.
y
como nos piden
n=5 + u5=4(5) -1+2(5-1
)
t f k(5-1): a5
)(5-2)(5-3)
d-3 = 67
.:
Po demo s
Cua
ndo
izar sin equ I vocarnos : vamos a hallar k, tenemos que: *+ k(n- 1 ) ( n-i)(n-3) .na = an
Es
general
pero, gu€ éste tjd.
entend i endo
tlo pase al si gui ente ejerci I o anteri or (n-4)
.
PROBLE¡,{A.
-
ION
:
Ha,U-att
el tünino
cio,
.
si no ha entend'ido perfectamente todo-
,sigu.tenÍe d¿ La ,se¡ie
:10, 49, 142, 31 3,
586,
b-
a
= a*+ n
n
k(n-1):
SOLUC ->
aclarar que : a-, es el tÉrmino a parti r del cual , que conti ene a " K" efipi eza a funci onar .
No esta demás
térmi no
.
'
e2
te^niw
Luegopara :
el
n=1.1* =4(1)-1-3 n = 2 uZ* = 4(?) - 1 = 7 n = 3 u3* = 4(3) - 1=11 n = 4 u4* = 4(4) - 1=15 ,
*
Tenemos que
Deo
Do curnp'l
e
n=1 n=2 n=.3
, un* = 39n
ul* = 39(1)-29 =i0 u2* = 39(2) -29 =49 u3* = 39(3) -29=BB,ñocumPle
adicionar el térmi no
que empezará
la anterior fórmula de rqcurrencia, tenernos que adi-cionarle un término de la forma_: k(n-l)(n-z)(n-3), pues tiene que anularsepara n = 1, n = ?, n = 3, y empezay' funcionar para n =4, pa que-a
los 2 términos inic'iales:10 ,49
que
un*=4n-1, pues :
Sabemos ya.
Tomamos
su razón es'39, entonces su fórmula de recurrencia será
aigue u : 3, .7, tl , 27 , ...¡... Ahora podemos,directamente decir que, como la razón entre Ios tres Frimeres términos es constante, ellos satisfacen a :
@E¿qfA.. HaIltJL S0LUCION.:
*
+0
i
a funcionar para n = 3,
a a* +l-n-n ( = -¡TTF
2
29
\)
))))
)))))l)r'))))
ri .J..
):;1
ü5C&* trfrtALLoS
§24
i. ,i:
\:'i
)))))
))
r,rt
SERI TS
.': :. ..
*
.
Entonces qitora i a fórnru'la ae rec[¡rrefi0i
I
i.
n36
será
a6
to"* = 3gn rr tgi + Z7(n-l)(n-Zi
j.,
llr
:.. Úompro
*, :i
L'amO
Fara:
:., tt
S
:
n=i
*i a 39(i) ., 29 + 77 (i-I)(,t-Z;
n¡¡
2
í)2'§ 39(?)
l-¡=3
aS + s9(3)
(B
É 10
'l:
:"
:'
**'
nñ144 .t
a'
= 39(4)
-
29 + ?7 (2-1i(2-2) ;:
49
(4-i)(+-e¡ = ?89, no cu;fipls
: ar** =
-
29 + 27 (n-1)(n-?), e'Ígue slendo una férmuie de recurrencia parciai, cie aj'li el asieriscc (**)r DiiQs n0 cunrple para to dos I os vai rlres Luego
;. i,
39n
tntonces ahora tornemos, rie
.¡
:
Ios tres pritneros
4 tÉrminos,: ia serig f¿¡q, '!
cumpien c0n
an*t, uefo a esta
t 1.
'{
)" ) t. I
FrJi"mu'l
(l'
;, ..,
Hal l
ar e'! nürnerO que fal ta
19.[u§j,9-t!
tn
base
Luego
ftnalnente 1a fórmr¡In
de
recurrenc 1a ser'á
al
EJem:
anterior
':.'
;
Corm,vgmos
j
;:
án "
i.
ant*
+ t< (n'1')(n-2)(n:s)
t. t.
a-' n
',1
,
tt
.4.
t: :I
: I t,. t
:'
:.. I
j ú rt
I
a"' *t '4. iÍi
?.. I. J: iti
,
3x32 n 3X42
,
3X52
\ 3
39n-29+27(n-1)(n-?) + 4(n-1)(n-2)(n-3)
quepara: n + 5 ncsCai as = 3e(5) - 2e + 27 (§-r)(s-?) + 4 (5-l)(5-z)(5.3) üS " 586, cumple con la serie, sl no huhiese sido as!, hI , bieramcs ahcra tomado 5 términos de la ,seri¿ y repetido el proceso, hasta Finalmente como nos piden e] sexto térillno, tendremos :
:
t7
'-L'
t'-]L*.'*-§*'*
,:::l :r::;:,:;:;:,:I' 2x42'1
Zxlz-l , 2x!z-1, 2x32-1 ' finalmente': x ' 2x 62'1 ¡t)
2x52-
'
|
L#l
cad¡ sc roguelven tdcnt'iftcanOo scrles quc estas cuenttr Poderns tener on térmi
i
:
27,48,75,x
¡
f:H:
\ti i tt..
52
i
j
'
t
¡
¡'
#
32t
:
en Hal'lar el número qua falta
si,-uso*
t'
en
Luogo
ú
h-f,,S
, 16 , 25 t rtrr
9
3
{i
i;
, 4' ,
y
;_
)'
(§-l) (o-t) (6-3)
:
:-
r(i
985
r4
27 16-1)(6-2)
+
-
,
k(n-i)(r-2(n-3), prcceCai"nns entonces a hal I ar" k :
I'
')..
*
1C,49,i42r313
a de Recurrenci0 que tene$os aumentarle un térniinc que se anule para n = 1, fi o 2, n -'3 gue emLl_ec.g_g§g[Ugll4ig-j]_"-J., pana darnos a* = 3i3 Corno ya sabemos, tai tÉrmino tienri que ser de la fon¡a :
'i
¡tr
,,29
: Esto es mts simPle' Pues que fal ta es Luego e1 número
,:,'
i :'
Eq,r.F.l..P,pJF.$gu1!Eg'
s
§eulgi$
?9.i. ?7 {3-1)(3-2) = i4? 29 + 27
)
3e(6)
t Hallar e1 término slgu{*ntE de :
t:.
t.'
2
F
(B 3
ü
)
no .
fEil.§§-,§-Jgq$'E![9J[L§F-'
Ha1lar el
'
t6rml'no qus slgue sn
$tU§JP.lt :
Ls serte
r Puedc .,,i,',
?r,4t
-:
B
t
16
I t'itrt
e\
r
I '
tscrtbirsa :
Luego el ' tárml no bgrcado
como
es :
'
¡
3i,r
trrrt
--
V. ¡',{5 i ¡.¡ ¡l-a--{*.-,..¿ fr
( t.ft.-
i
J¿6
(
'
r
.
it
. t
,, \
i
.
\
; '
'
i
I OS
(\
'\
CAR ZEVALLOS
.
3?7
SER I ES
'G..
!.
b) y = ?xz 3x + ?
Estas seri es se resuel ven'conto progres iones geométricas si 1a base es cons-tante que es el caso más rimpl €, o por'.i'denti f i cdción dírectá de .sus térmi -nos. Hay casos nnás genera.J es r Qu€. tamb.ién ti enen soJ ución, pero eh este rnomento escapon ,, no aI i nterés d€il I 'ibrü s'i no a I a di recói ón que el autor pretende dar al estudio de Ias series, en este caso, hasta cierto punto, e1e-
a) Y = 3x 2 c) Y = ?xz 3x -
menta
La f6rmuJ a que expres la real ción exi stente entre xrr e valores de Ia s'iguiente tabla es :
:--
-
-!
e
'
probl emas si gui entes
r¡
x
.
PROBLEMAS PROPUESTOS
TIE14P0;
@ @ @ @
ar el
1
d)
zoo
Hal I ar
térmi no 40 de I a
b) re7
c)
el térmi no 35 de I a
a) 143
b)
serie ! 8,
-143
)
,
-1
b)s7
183
3x.
N'i
+
+38
ga Ud. Cuál de
a
L2
20
1 as s i gui entes al I os valores de
.l)71
e)
:
x
1
2
3
4
5
v
I
f
11
40
133
3x?
d) y = x2
4x
., e)
a) *n
F.D
N.A.
@
)
?
3
4
n
100
90
70
40
0
a) t?I
@a
cl
icuáI es el número.gue sigue en
b) 32+;
iQué número
N.A.
b)
=
a) 17 z1
e) 328
e
1
100 lOO pq oZqn ! - m c) ?0 - P'P e) No existe ninguna relación
F.D.
ternati vas representa a I a expresión
la tabla
b) y = x3
nguna de I as anteriores
m
X.
el témrino siguiente en : 10, 27, 54, 91, X. 'b) 118 - c) tt+ a) 183 d) 134 Hallar el'términq siguiente en ! 0, 1, 2,3, !24, ? b) 605 c) Lzos d) 506 a) 604 i 3, 6, 9, 13.5, ? Hallar el término que sigue b) 2l .5 a) 2I c) 18.5 d) 23.5 Di
6
BZ
Hallar
que dá ori'gen
6
2
La
a)
suma
s60
c)
b) LzA
100 5 pq 1oo 5pa 5 p29
*n
) *n
: - L, 0, r, 1, 9 i, d)
42,
sigue a cont'i nuación
\
@
iz
pqio e)
I
c) 7L
c) y = xz
1, - 15, -19, d)
-38
4
18, ?3,
Hallar el'término siguiente en i 5, B,' 21 ,'44,
a)'67
5
La fórmula que expresa la ralción exístente entre pq y *n según los I ores de I a tabl a s i gui ente :
d)
203
serie i -7, c
13
a) y = ?x -e)
¡s l4i.utós t
Hal
4
:
0
@
7x?+L9x2-2ox+B
e) y = 3x3-16x3+30x:16
1
Él autor, de por Si, se sentiiía satisfecho, si ha' I ogiraáo a traves de Ud. amab'l e I ector, pueda sentir que esta empezando a domi i su expos.ición que nar el campo de 'l as seri es numéri cas . Di go empezando, pues , Soy consci ente; de que, a Ud. le falta ipracticarl por eso] le irgiero resol ver todos , 1o§
d) y = x4 ?
?
d)
de los 2 números que cont'inuan en
7,26,63,124,? c ) 558 b) 570
iQué número, sigue en
e)
42
: 8 ,24 , 48',
c) 122
el lugar ocupado
143
B0
,
10
(X)
e
)
168
la siguiente seric es d) 5s7
por
?
(x)
:
e
) 5\?.
:
va
)
))))
328
)
) ) )1
) ))
(
OSCAR ZEVALLOS
a) 1B0o
b)
1730
c
)
1728
HaI I ar
a)300 (@
En
el
b)zss
c)
l ugar de pt, debe de 9
25
50 B6 l,l
301
d
) tsz6
el val or
d)
2s8
de
e
) toaz
Sumatorias
Ai
e) 256 DEFiNIC
ir,
:
ION
:
S'i r! nrr es un número entero meros entonces:
a) 149 b) 136 c) 144 d) 121 e)'l¡s
i
n
positivo y
uZ, d3, d4,
..., on, son
n!I
+ ... + un
aZ + u3
,Lti=ul+
al,
¡-J.
:Expres'ión .en I
a
cual
:
E :
Es una
letra griegatdenominada
:
"Sigma"r que equivale en nuestroidioma a 1a letra "S:' mayúscula. Dicho símbolo a partir de ahora va a.signifi-
car para nosotros
...). i :
ti r
sumatori
a
"
(
suma
de
variaci6n, que indica valores desde : = hr en ese Orden y sin
Ind'i ce de
que
,i,
'i = 1, hasta i omi
"
al guno.
asume
d:t : Se lee : a sub i; indica el valor del el emento cuyo I ugar es i . Por lo tanto
:
n
a: j x= 1 ' ,
sB I eerá
hasta
i
:
Sumatoria (Suma
= n.
Veamos algunos ejemplos
de) de los eler.nentos
, ai,
:
* Sumatoriadelosaidesde :'l = t hasta i = 6
6
+
E .!-
f
ti = a 1+a2+a3+a4+a5+a6
desde
i=
1
¡.ti
". ::,.:,4
("
lá: I:; i.
r(
(
330 [,
lI
-)E
ak desde
[,
Ii
I
k=
15
Ias propiedades, para el casc er caso part icr"rl ar.
15
I
I
ak
at+ae+ag.+., =
.tors
,en cual qui
{' t. s I
los
k=
il
!i
k,
+
k
E
k
14.
n
n
14
desde
1 + 2 + 3 +.4
.E
r
c
k=R
1
. a,, = C r
a, ,;,{
a
i,,
H
¡'
d
I
esde
+E
l
I
16
k=
I
, Donde
k2
32+ 42
+
->
[: :J ri"
' L?t k=5
n
R.
=
+
1
c'tk = c
E
k
1
,,.,Í
A
n
k
:f,
ak
:
1
..{ .t
'.t
k3 = 63 +
n
emos comprobarl
+.
o?
[ ?k - 1= k=?
C.uk = Car+Ca,+ga3+
x
.k
L2
L
,il
52 + caso en que
E
del índi ce de variac'ión.
no depende
3
á1
'i
or que
...
I n it I .:l
+ 9un
i.f
'¡§
1
.,,t
rf
l
n
I
+
=
c(
)
^t
.¡
f
I
k
puede haber' v í stl , .cada, térní no se obtíene reemplazando I os ya Iores gue í" o "ktt, Ios indíces de variact,ón, iiyin asumiendo. Escriba Ud. en forma explicita : 10 ,2? 10 a) r a.i (6-i) e) r i) i2 + 3i j=1 i =q1 i =1,3 L? 5,' 5 ;. ak ,- ( k+l) 2] b/ r) sk ; E i) Lt ir.=5 k=2 k=1 15 15 5 'i, i? g) E (k3- 2k) c) j=5 k) .'f, (ak-a[-] ) k=I k = l,
c'uk
s
.l
fi
Cgno
t
't
E
:
:
d)
10
t
!-t
'¡
3
h
)
a
.h .->E
Fi nal mente
(
1
I
esto?
t
n C
K=
I ¿
a
t
1 I I
10
a)
r k=7
b) r
k'2+' 5k)
k=
C.uk =
,lf
t.
i
Veamos a1 gunos ej empl o S:
i =3
l7
10
Suk
L ¿
12
8
,t k=1
I
iQué
t k=1
c)
a,
K
T
3
1
5k2
5,
ai
d)
t
77
k=8
krl
,:
1
i(
?i'
30
L2
6a.
t =8
':
\.,, L
3
(k2- 1)
=10
I¡
,) !,
9
tI
k
'1 ;t
ti
Ahora, dpl ique
PRCi,I EDADES DE I.AS SII,TATORÍAS t
Ud
.
i d
i
cha propi edad
..t
a
.: l
,! :t
a)
n
La Expresión
't
tk ' representa I a k: 1 k=lhástak n
mi
r,§ d
,
entra
s
que
E ar-', ['= R l(-
s
represqnta
desde
Ek,
desde
pr:im_era I
r
j =5
PR0P r
b)
10'i 2
EDAD (B
)
15
1B
c) r . k=5
r t?a, j'= 3 ¡
¡
-
a primera
'¡¡ _r
)
'¡
.;[ ¡
ii't
t I
:
,* n
k = R hasta
En real i dad I a segunda- expres i ón. es mucho más prrede\er que s'i en I a segunda. reEmpl azamos fl =
16
t a=(n k=R
R+1)a
,T§ +
Ji
¡
t
-r{ ,tE '-ü
,71
)))
)))
))
))
)))))
))
) 333
TORIAS OSCAR ZEVALLOS G.
332
Note
ak
Ud.
, ar),
que rra¡r no
número de
esto
s'i
posee
gnifica
índi ce de variación (como por ejemplo,
qug a rt' es un va1 or constante gue rr
veces 'igua'l al número
de
términos gue hay desde
195
-E k=I 195
si lo tienen
se esta sumando un' k = R hasta k = n.
E¡2 k=8
(2k+rz)
195
E¡2
n
Cuando
k=8
k=E1a= a + a + a +.o. + a (n+l-1) veces
:
;
n
x
k=1 Ejempl
os :
10
na.
k=
(10-1+1)(B) =
E8= k=1
Ek
Ey2
(kz+k+3)=
1-8 18 * ; (3i-2iz)= '' ' 3i E = 10 i = 10
B0
+
k = 10
k = 10
10
30
30
30
30
E
k=
10
18
:1
-2Eiz i=10
15
E ( 10 = (tS-3+1)(10) = 130 k= 3 )
Ahora, apl i que
n
¿Y
a)
a qué será 54
r i-22
E (n) = (n-5+1)(n) = (n)(n+4) k= 5 Ígua1 ? ,... f'
d)
36
'\
25
b) j=18 r
?4
': i =n
a)
2T
e) 'n;',
t
:,, ú-'
c)
j
x
I
32
=10
É:'
53
820
f)
¡
c)'i E = 15
(3k2-2k+2)
5
i=n+? =-í
18
b)' E k = 30
( 5k2+ 3k,
E
:
45
60
45
k=
entes casos 1a prop'iedad, a 1os si gui
Ud .
'i =Lz
,.
Io',
=
I
r¡
Veamos
a.1
gunos eiemplos
30.
X i=l
:
30
t?
il:I
..1I
=
E . arI i = 13
+
d:
I=I
PRoPTEDAD (C) n
(ao+b¡)
E
k=R
=
nn k:Rak+k:Rbk
30 E
i= 1 Si
hacemos
R
tendremos
k
i
ai
T7
E ..1
=
+E . i
d:
1=I
:
(ao+b¡)
1
=E
k=
n
a, 1
K
I
k= 1
bk
1
E
1=r ¡l
84
E k= 1
=
ai 18
54
54
n
30
j=
1
I - .^+
:-.{
=
(
E
k=
30
84
44
(tz+k)
1
E
1
kz+k )
+
(
E
k
45
k2+ k)
(i+6)
"(
{(
f
r
,'
t
,(
(\(
OSCAR ZEVALLOS G.
334
100 ' E
k= I
EK
I
kE
k=
9
25
E
k= 1
¡3
E
k
1
=38
t
335
SI,MATOR IAS
*n
tr00
37
I ,(
x k= 1
(k-l)h.=
k4-
nr+
-
0r+
Ahora, apI ique di cha. propi edad
a
lgt
siguientes
'k3
+
k=1
30
¡3
x
k
n
* E ¡s i=1 Zn, *xk4 i=1
t(i-l)
ti ,'l L =I
10
52
Descomponga Ud.
eh
Ia suma de ? sumatorias
103
b)
TK k=1
a)
cuaiesquiera, 'los casos sgtes.
2Ls
108
x Yz k=1
c)
33
(k3 + 3)
E
k=
E k2- (k_l)2
:
dk-1) ;
(E)
donde
ak =
3k
:
va
s
i mpl 'i f i
car todo nuestro traba
jo
si :
ones, Qu€ no s
.PROBLEIv{A ¡1e
n
k:n[tr
5
do Perf ectamente , todas Jas Propiedades anteriores?
util izarlas
tante que asÍ 'seE, Pues ahora vamos a
Ahora veamos I a propi edad que
t(t-t)]=un t(n-t)
va
na
l.
Perm'i
ti r
Oeno¡tna¡L
S0LUCI0N: Preste Atención
cal cu l ar
l¿=
b =
a* es e1 término que continua luego de a¡-r, iNo es verrdad?, por'lo tanto Ia diferencia entre el'los t ak - a1l_i) iQu§ r:epresenta? ..., así es, representa Ia raz6n aritmét'ica entre 2 términos consecutivos, q,ue como sabemos puede o no ser constante; por lo tanto, 'la expresión (E), está representado la su
Sabemos que
l+z+3+ oo-
Hagamos.
sultado está dado por la diferencia entre e] úItimo término (a-) V-.]--término. anterior al orimero u(n_t). il4e entiende Ud.?. ' Ahora Veamos algunos ejemplos de (E) : (ak-a( t-rf
k=
= un tr-r) = dn
:
Luego
del
Corchete
k
(ar<-t(r.-r))
k= 32
tsg-t(gz-t)= as8
k2-(k-r¡z
I
k=
1
¿gz
n
el i nteri or
nz
x
k=1
r (2k
k=1
(1-1)2
=
nz
=nz
1)
n
n
? I k=i
[
K
k
u31
2 [ k = k=1
1= 1
t----v
n
= nz
ao
k=1
+
Propiedad (B) lr
n .L
n
Propiedad (C) 58
= un
¡S
ao
(ar-u(r-t)) = u16-t(S-t)= t16-'a4
f.
= (r-t)z
ReemPl azemos
Desarrol I ando
+n=ry
1
1(uk-u(k-1))
nz
+n
n2
Es impor
de expr§
Veamos
Yz
t(t-r)
Nos quedará
16
T
.
dk '=
.
:
k
v
t
:
.,.
la demostración
gunas sumas importantes
a1
;
quL
en
n
n T
(t<-t)s
1
ZHa comprend'i
PROPTEDAD
casos
?s
gz
:
))
)))))
3s6
))
OSCAR ZEVALLOS G.
donde
De
' re'r'(I)
d'Qué
te
parece?.
Comoacabadever,.,.,,,..ffiermitirha.l]arlasumade ¿l;.iiffi;.;,i.;ii.H a,parr.ir á. r = i'ñi,lu ! =';. É;'po,iÁi., ha.r.rar una ¿e r = ñ r¡a,i;.'I'=,;:,1;30;?1.ül:".1:,;iH de^ros ;;,";;,;;;;iuí.i-á ;;di; siga e'l ,itro rétáa5-áni! rior só10 qu.-ur,o"u"án
337
SUMATORI AS
50
De donde
E
:
=12 50
tugar de k = I torutl'l ñ:' tanto, r.u,ños orguror'.iérilos ¿e'aplicación de la expresión:
(r) , "'.nttas
(50)(51)
F b
k=12 50
ique
el Proce
RPta.
: 3r4ll
2k
Rpta.
: 1'032
(3k-1)
Rpta.
: 660
áEntendi6? . . .
E
1C
Ik=
1 + 2 + 3 +... +
k=1.
= 10f10+t) =
10
k=L? 5:
Ik=
1
1+
?+3+
,i.
+
B0 (80 +
B0
7
1
000
K = I + z + 3 + ... l,
x
k=1 200
i
,
.
+1000
=
t)
10,00(¡001L
=
k=L
3240
SOLUC
ION
:
apl icaciQn de
En
Despejando.
iDígal o
Ud.
* 43r Gk-z) k=
éDíga1
o
30
= ZI k=1
=
= ....
iDiga'l o
¿Y c6mo hs,,?-LarlÍ,ano¿
t
?
(l)
Ud,
Ud.
.
l2l¿+31
propiedad (D) podemos escribir
B0 80 ? E k+ E k=l k=l
=
(2k+3)
3
E-rd
2x30x31 +
T
c '\ - 2 ' \'r¡"\"i x (2k+S) =2x0CI81*80(3) = zo
?
_*
_
3ox2=
990
?
E
kFZ0
Ahora calcule Ud.
a) E
=
18
+ 19 +
(2k+3) =
¡........
ias siguientes sumas
?A
+ 2L +
...
+
:
84
o se cumpre
Ek
k=
E
10
k 2?
50 +
80
:
12
partirdek=1. pi edades .,,ri3iir53i'llT';r:á:?lr,;;, jt,ui:jl,;iiti::i, al guna de I as ppo=lizandc dicha p¡opié¿ua poaámos'escribÍr . . , En efecto uti : 50 11 x k= E k k=1 k=1
nalmente
b)
xl¿?
só.r
F'i
33
50 :
h= :lbemos qye ra expresión
ExPI
80
1
s.LucI,N
la
80 E (2k+g) =20
:
1B
t,k= k=1 30 * 30 E QX+2¡ = ; Zk + 30 I2 k=l k=1 k=1
r h= 20
:
80 19 80 t (Zk+s) = E (2k+s) + E k= ?0 k= 1 k= 1
= 500,500
k=
L
o
80
Caleila¡L
3.-
?ROBLEMA ¡.19
BO
ft'=
dim'i ento
I2
a
c)
E
k
I
'los cuadrados de I os números ha ocurri-do hal lar la suma de + +"' + 10?. ¿Si?, pues bién, ahora + 32 22 zLz o n.irralesrPoFeiemp'l permi cul ar d i cha suma d'i reqtamen ta cal que nos ,u*os a dámostrar una fórmul a
A1
guna vez se
le
te.
w)BLEl,Ák' lJe
4,-
Dano,sttuJt que '.
:
n
E
t¿=
.hz 1
=
12+
2?+... + nz =
(11(,(
i
\l\
.
¡
.i
ION
:
En
el probl ema (1), corno
que querfarnos
"
hallar
drerps que tor¡aru ak = ¡3 ¡ Sabemos
que
Y€OffiOS
-ar
I
Haganros t ak .= ¡3 Luego r ak_1= (k-1)
.L
rc het
el i ntefi or
del
rb Tr,,,
lk3-(k
1)31
Ik
T
k
Nos quedará
3-
3
¡
1
l =5
d)
k
(A)
=
e)
n3 (t_t)s
+ 3k2 3k'+ 1l
sr,
3k
+
n
k
=5
A
qué.
.30
será igual
1
En
y2
:
Propiedad
n3
n3
1
L
k= I k=
k2=
el
n k : u(ot*
(D)
t:<2
I2
2n
=
t
r t.) L l\. k =.1
b) c)
k=
1
kz
r
lO2
+3nz +'n
(l
+
6
I
¡
:
2(10)3 + 3(10)2 +
= lz+ 22+ 32+ ...
+ ?Oz = 2(20)3 + 3(20)2 +
zHa
entendido?
10_
=
20
"
=
r
b=5
lt¿2+2b+11
124 = r (kz+2k+1.) '- r k= k= 1
2k+1)
k
+I
= 2,870
1 1
+
+
Para
HaITar
[k
Para
haliar
¡k2 tomimos
tomamos
Si querenps ha'l lar
1
,
y a(ti-t).= (k-1)2
ak = rz
r ik = kl y ak-l = (k-j):
1
=
ó
q
ueremo s
hailar .
, . :iÉ/¡li:i
en propiedad (E)'
en propiedad (E).
:
rk3 tomamos , ak = k2
r
4
AnteS de continuar, r€paseilos lO estudiado hasta qquí. Herps visto la utilidad deusár.la simbologfa de las- sumatorias, y h949¡ comprendido sus propiedr.des y l'as.aplicacionei de ellas. Notenns,que algo en particulár interes¡nte ias demóstraCiohes que henos hécho en los probl.emas (*) V (A), detengánnson -en el'los un romento y observemos 1o siguiente : nos
+
Y'ak-I = (k-1)4 iHo Ie
k
15
k=
4
r k 2 r k II k=1 k=1 kr ++ * 30-?0
+
t5O
)
:
424
!2
k=
(lz+2k+1 1
764.
385
-
20
k=
2n3
aplicaciones
32+... +
(k2+2k+1)
!e-5
n
12
segundo rniembro, aplicamos las propiedades necesarias
E (k2+2k+1) = 650 k=5
n
Fi na I mente
L2+ ?2+
:
Corno
1,2
n
=
=
i+
n
1r2
Yz
Hd^Lbh eL valon de
Despejando
r
x
k=10
L2I22L2 I (k2+2k+t) = r k- +'k=1 ? x k=5 k=l
n
3r k=
10
(D)
parece?
puede ver, tanto Ia expres'ión (I) (prob. Ns 1) y la exp.re-sión II (prob. ¡e 4), 'perrni tgn cal cul ar sunnas un tanto "frmp1 i cadas ", Veamos : S0tUCIclN
n3
+
a)
:
^Js
1)
+'I1 k=
kz
5.-
PS0BLEIIA
n3
n
k=:1.
l.luy bien, ahora veamos algunas
le
l
1
3E Reempl azando
¿l{o
L7¿
uo
+
(
E
y
dn
-Por Propiedad
T7
tEn-
1
n
n
Por propiedad (C)
=
n
x
e
,
3
k Co
ak =..k2, puesto Lk2
339
'¿
k
t(r-t)
I
SU}fiTORIAS
DSCAR ZEVALLOS G.
hemos tomado
I
I
I
:
k= luk
Reempl azemos
Desarrol I ando
i
I
cá* ahora desearnos cal cular
Ek;
'n
'
Ud. sabe,
'
,
338 S0LUC
(
\
: .
i: '.rrl--.;'- .,¡i.-:" .;,,.í,t't'i.:".:
rk+,tomarms
:
..
.i
,
ák = ¡s v ak_1 I
'='1k-t¡s
Parece?
))
))))
340
)i
OSCAR ZEVALLOS
:Si quisieramos ha.llar ¡kto tornarÍamos si quisieramos na¡a" ;;,; ;::::]:::: .:
*,il:,r?H.':, PR,i3,LEllA
l,2
:
6.-
tiacemos
= k,, v uk-1 =
cubo,s
hallar : propiedad (E) :
," *^-t
de
la
S
k-1 ) q= kq-4k3+ 6k2_4k+1
l
-_t-3 =
n
o'
I,
n
Reempl
a
edades
las expresiones (II) y (III) las hemos demostrado a parn, pero es muy lógico preguntarse; iY no podrfa de¡nostrarse en forma más general, es decir, a partir de un k = R, cuálquiera? ... En efecto,'sí se puede hacer, ta1 vez, lo único problemático en tal caso. sea que 1as expres'iones que intervengan son más extensas y por 1o tanto un poco más díficiles de recordar, por eso me permito sugerirle que cuando tenga que ha1lar sumas de cuadrados o de cubos o de otras potencias, que no empiecen en k = 1, s'i no en otro valor de k, utilize simplemente la propiedad (D). NS-]§
tir
+
i (k'*- ka+ 4k3_ 6k2+ 4k 1) = k= i
n
za ndo
Despejando
Fi na I mente
4k
n¿+
=nq
1)
n
I k= n
: 4 I k3 k=1
6(2n3+3n2+n)
6
*'*Tn(.n2+n)
n=n+
n
4
I ¡3= n4+Zn3 +3n2+n k= n T
k=
¡3 =
n.a
+ 2nl +
¡3
x tr
i kq (k-t)+ = nr+ (t_t¡+ k=1
4
¡3
16
c)
=an-ao
(+t¡-6 k2+
¡3 = lrorro--rl]'=3025
I
:
L
(tlt)
15
Como
i Por propr
=1
áun«
n
n r
expresi6n
1
i , tlt"k-u(t-t)
impf i f Í ca ndo queda
T
.s
Sabemos que (
10
r)
, uk = k4
y r uk_i = (i<_i¡+
y la
zruo?
;. ;;,í :5:i., ;;;j;;;.,
.ex*?ai6n A!7 no1 tce¡aútn calcutan dz 'toi iAr*ro na.twaÍ-eá. 13+ 23+ 33+
Note la relación entre la expresión (l) Y podemos hacer al gunos ap1 icac'iones :
(t-r)rr
,,a,1"!-a,,t,ui4a
Deseamos
Recordemos.ra
:-
;.;.;#;{*il;{,,*;il .Lct
SOLUCI0¡]
a
341
SUMATORIAS
2n2
Zn +
n
Ud. puede notar
de k =
t
hasta k =
olvide. Sin embargo, aún no podemos calcular todo tipo de sumas. Como sabemos una serie lineal es aquella en la cual sus elementos se diferencian en una cantidad constante cualquiera, además dicha serie debe obedecer a una fórmu'l a de recurrencia , que ya sabemos como se hal la, il'lo es así?... Lo anterior es a propcisito de que ahora vamos a poder calcular la suma de los elernentos de una serie lineal, a partir de su fórmula de recurrencia. Veamos: Tomemos una serie'lineal cua'lquiera cuya fórmu'la de recürrencia sea : ün=fi *u0, comosabemos, enella nempiezáatomarvaloresa partirde : n = L hasta lt = Í1, o sea,cumple las funciones de índice de variación, por eso en lugar de ñ, para uniformizar nuestra notación, hemos de uti'lizar "k", en-tonces ahora-: an = rn * uO : será an = rk + aU, donde k varfa desde : k = 1 hata k = n. Si l'lamamos Sak , o la suma de los elementos de la serie, desde k = t hasta k = n, tendremos :
nnnn tuo=nlrt, = *lr(rk+as) = *lr"o * o'lruo
n2
4
Fi nal mente
sak
?2
rl
n
k=1
k
i
ao
1
(llt) \
-,
I
AK
+
nao
(IV)
,.12
OSCAR ZEYALLOS G.
en'la.ral
SI'I{ATORIAS
hallar Ia swna de los e'lementos de una serie lineal cualquiera basta saber: La Raz6n aritmética de la serie [r), eI'nú¡nerr de términos que intervienen (n) y aO, el térrnino anterior al pri Exprasidn
merro.
Veamos grios
r) Hallar
3 + 6 + 9 + I? 80 térrni
:
Corp
rzando en (tV
¡
.
=.
la
f6rmula de recurrencia será
k=2
nos
80 térmi
Luego
Si desea, comprobernos : k = 1
+ ...
* lb conocelns el
: r = 6 - 3'= 9 a0=3 3=0
Yamcs
n Reempl
*
ejemplos :
E=
:
343
vetms que para
nos
puede
6 = 3r€s cons'tante
Yer,
€s
una
Reempl
azando
tendrems
'
l¡¡r tend¡rerps
Por útl
+
primero valdrá
E
raz6n constante .de val or a0 =
:
15
'4-0 '6 =
14
'8
dl
fórmul a ,
-,
40
¡ k+ r k=1 k=1
160
+ 40( 160)
=
18
,700
ION
:
Anal i'zando
minos de
:
tsEEE
comprobado,
d,e recurrenc i a,
40
el dato; observarnos que no conocemos e'l número de tér la suma, pero si sabemos que es una serir: I'i neal , iquéhacemos ? . .. CalcuJarernos la fórmula de recurrencia y con ella y el valor del úttimo térmi no de I a suma podemos cal cul ar el número de térm'i nos , QUC es necesari o para hal I ar el val or fi nal . Entonces
723
u1 =
1
-I
a fórmul a,
de I a seri e cuya
surna
basta simpl emente cal cul
se
Ycr en el'siguiente ejemplo
:
cl lla,tt)Lt¿rut: E =
175+190.+205+220
r =
ar I a
va
Luego
+ .,...+760
I
a
0.01
0.05 -. 0.01 =
fórmul
0.04
-+
a de recurrenc'ia será
Ahora caiculamos "n": para
k=
n
.0 = 0.0i 0.04 = -0.03
'
ak = 0.04
k
un =0.0a(n)
0.03
-
0.03 =
l.2l
0.04n= \,24 S0LUCION
,
Sior?,
elementos de
la serie,
calculemos
il = L75 I.o = 190-175 = fSJ.
175 ':j:'
es
S = 0.Al + 0.05 + 0.09 +.oo + l.2l
HoiiÁ)z
SOLUC
ceserios es ntcesário acoltarse siempre de
¿m
=15
E
de
los,
+
lo único que hay que hacer es cal cul ar os val ores ne para reemplazar en la expresión (IV), pero, si: nos fijamos bien,no
Cm hrbrá
e1
40
+ 30 (14.9)
=
e'l últino de
etc.
f = 175+199+205+....+lSO = E (t5k+160) k=1
:
Sak
175
:
.E
§= "ak
160 =
Entonces :
.
serie lineal
al
15(1)+
á.t =15k+160) L*tS(n)+160=760* n = Para : k - n + an - ls(n)t 1601
15.4 + 16 + 16.6 + 1,7.2 + 17 8
15.4 = 0.6 El térmi no anteri or EI número de térmi nos es n = 30
a1
número de términos, pel.ro conocenps
30 títuttirua
r = 16
160
, aZ=15(2)+160 = 190,
-
Sak = 9720
Como
15 k +
decir el valor coirespondiente a k ='n,
sak=3(8oXB1) +80(o)
E=
ak
Ia
fórmu'la de recurren-
- t5 =
i.i = 3i
Finalmnte: 160
31
Sak=0.01+0.05+0.09+ +I.2i =, r t, N
(0.04k-0.ü3) I
)
))))
)
))
))) SU},TATOR
344
345
IAS
OSCAR ZEVALLOS
ll
'11
0.03
dl:
mostrarl
l + n2- 3n ñr=nz-n+3
+n ? =k:
.Sa'l
100
x n=I .(n?-n*l)
n=1
os cal cul os
i
ReernPl azando
1
¡
sa'l
arios --
gl
i
n términOS :: + + + S-r rr\ -200 ?AZ, 204
=
198
...
+ ak = 2k + 198.
+?
Remplazemos
(I)
en
tldtfu'tL
U áww *t4uiette
-r
La forma de SOLUCION': ¡)VLvl\r¿r',rt '
(zP,+I98) = 7130
*
¿
n
2k +
T 't
i
r
k=
+
198=7130 1
*
ri(n
+
n(n
+ 199)
e..ciacl¡: n(r f uese ,l i nea'l
i:iirto
(¡re sirve.'amos
suma
x 4 x 5 + ,¡i + 16 ,( 17 x 18, -
\
Ie Parece? ¡.. lserá co[l-gfgn contrariól Noteud.la proble los de rü,i,id;H; en la simpiiilcáói6n
iNo es interesante - 1^
1a sr¡ma' conc'lulmos que cada unÓ hasta n = 16' iDe aáás¿á ñ'= de 1a suma elementos los iécu"íánéiá-¿e áÍ iióaucto fnd'rcado tendre--
ie ¿" l.'?Üil1=''in)tnli'iiil;zÍl
de ellos es cuerdo?, ", :
decir,'íi"iOf*ülá'ae
t
dn=n3+3n2+2n
Y ahora apl i quernos I as sumatori
as
+...
+
E = 1X 2 X 3 + 2 X 3 X 4
o a
16
16x17x
18
= E n.
(n3+3n2+2n)
=
199)
Desarrol I ando 31
-Ert-E
t
la
S
Observando detenidamente cada.término
mos
1e8 )
n = -'r
300
" !li!I';,=:.i.iii.,iriiniá)"'i'i:-á.liiioiiiñi
n
+ 198n n(n +
+ . 5050
mai-soure sunns de números' Veamos :
x
k
+++
:
3
:
n =
3 1
l*--
f= 1x2v.3+2x.3x.4+ = 2A0 2
=
100 -i nz -'E100n + 100I n= n=1 n=1
q j33r600.' ''an = t
arios
a L
?00 -) dn
+2
Sun=338,350
,-,, Fór'mula de recurrencia de la serie 'l inea'l que forman los
i1LU=
100 = E an =
Real i zando l
o?
será:
.
;t+
I'
Luego I a suma
32D. .4e D. .... ¡9 Días.
').
2C0 + 20'¿. + 204 + 206 + . .....* :,Efá
+
dn = 2n
srn
I
la-serie, podemos ver que esta serie tie .. p#cOr*üi.-áá-r..urrencía a la expresión : y a = ?n +,1 + (n-1)(n-2) , iPodlla Ud. comprobarlo de-n
13
:ti
de Lot \||'Pr'helwt tL¡nirua de Ld 'swL¿ 3 , 5 , q , 15 , 23,, "'
A travez del estudio de
SOLUCION :
- ,.ú., !.:,: Jwtt cotrai,jtt,t Lltt-;r;;;rr., .. cu.6l Luego d¿ u-Q)1f,0 nCunürc d¿ d,ídt neaih¿ : S ¡' , 7 0- ,so.t-cs. S.c l,¿ ¡:tt (n en üg, neúbü 200 tolel U etdt, df,a" quL ttarusattu'rÍ.ct n¿cLbií Z \(:!-Q,s má¡ que ql anf,enLo,L. ¿Cuánto¿ dfnt ü,aba!6? S0l-UCI0N : A f,ravez travez oe de lii iec[ura lecl;ura 0el del prODlema, bl ema, ñotamOS ñotanros que 'lIOS os SaIa¡iOS sal arios tEci l¡i dos for¡nan ur¡a serie 'l i nea'l ; de razón Z.cuyo prinrer el emento conocernos, más no, e'l últlrnr¡ término n'i eI número de e] lós i, ei justamente -r.al valor ei qire debellc¡s calcular. ' '- i aircr",os " !t " ,..l núrler.o de df as trabajados y tendremos :
ir,
átilg'
31
, = 0.04 )t K - x aK I =.1 k=1
S
\
b.
HaItu)L
iPodrf amos ha] I ar
:
-
'l
a
suma de
:1616 E = E n3 + 3 n=1 n= 1 E
16
n2
+,2 E n .!. n=
1
(A)
l'r
346
347
OSCáR ZEVáLLSS C.
Ahora s6l
es a¡esttfn dc cal culos
o
Entonces'la fórmula de recurrencia
t6
n3=
E
n=1
3
=
d-
1E,496
r
¡¡2
E.
n= 1
¡l
r{8E
2En n= I en
(A )
'=
181496 + 4r48g
5n2
-
18n2+
34n
+ Iln
6)
18
Para que entienda Ud. ¡ñejor, calcularé por separado
?31256
de ta. Ugui-e&te
twLe
isi nteti za¡rÉ en este prcbl ema rodo I o aprendi do en seri es y sllmitorias hasta ahora ! Para hallar la suna dé los términos de la serie daCares menester calcular su fdrmul a de recurrenci a , entonces i Tomemos I os
2 primeros térmi nos I
anterior al primero ,
?,
aO
=I
-1 - I =0
l,
20
x 18 =
n=1
20(18)
.=
' ?0E
tl* = I
n=I
"z*=2
t3* = 3 t4* = 4,
1Bn2+ 34n
=7,t4Q
- i8)
:
= 132,300
- 51,660 + 7,140 - 360
1+ 2 + 3 + 2? + .... + .. = 871420 N0 cUllPLE"
Tenemos entonces que agregar a la fóymula de recurrencia parcial (an*), Ji encontrada, una expresi6n que.se anule para ñ = I, 2, 3 y que empiece a funcionar pafq n = 4. .como u¿. sabe diiña expresíón'tieie'que ser der tipo : k(n-l)(n-2)(n-3), en ra cuár ei viloi áe-i;;"¡'ilju.i-i ,
=*
(3n3-
51,660
360'
Finalmente reemplazando tendrernos
n
:
,, [aGqFI ,t'or'* eo ]
-.1 ,q? n =34iÚ+lll ¿ t ) =*x(20)(21) n=l
:
a-* = (t)n+0= n Cornprobemos : para : n = n=2 n=3 n=4 1
=
¿
l,
fórmula de recurrencia será
,, !0,n1 = rs iarg:{ 20
18
=-3 Qo)(lr) = 132,300
rn?rn,= 3H+]' 3
:
la
3(¡a
20 20 20 20 ?0 20 x a.= r (3n3-18¡z+34n-18)=3,¡ n3-18 ¡ n2+34 x n- r n=1" n=l n=1 n=l : n=l n=l
+ Zlz
lot 20 puinesut i0tninot i l, 2, 3, 22r.......
Luego
n+
=
ya conocemos'!a f6rmu1a de recurrencÍa de la serie dada, y queremos suma de los 20 primeros tér,linos de e'lla, es decir desde n = I hasta n = 20, nos queda solamente aplicar1as sumatorias :
E=
términó-
.an
hallar Ia
E
El
n + 3(n-1)(n-2)(n-s¡
Cono
Rempl aza ndo
*
on=
on= 3n3
16
sorucióll
uni + k(n-1)(n-2)(n-3)
.n
t6
final será :
=
3....¿S€acr.mda?
Bien, este fue
el
ú'ltimo ejercicio resuelto, espero que 1o haya entendi
do.
Como puede haber visto, ahora podemos calcular la suma de los elementos las series lineales-o no, unicanente recurriendo a su fórmula de recurrencia y a 1a aplicación de las prop'iedades de'las sumaiorias, por cierto nuy iq
de
portantes. Revise con cu'idado nuevamente todo quel1o que considere importante,
lo aqui estudiado, marcando tcdo a-y apliquelo a 1os siguientes problemas.
,l )rJr,,r,JnrJ'..1')
)))))
)
OSCAR ZEVALLOS
J?4E
G.
'1
I
I
v
(-i],
He
el valor
a
)
ar
@ a)
@
E
,720
)
b) 178,75
5
l'lallar la
ar 'l a de ?, 3 y
de
suma
3523
Hal I
a
7-
+
- i.'
11
b
)
los
ffi,li'lll'.?.:i%tll i=ni;iá'ii;d'i:l'";t b)
237
c)
537
b)'
103
c)
43
¿)
67
e)
Ninsuna'
110 d
)
e)
4,870
F.D.
33
a)
I IZ!
e)
c)
38
c
) 157.85
primeros
e)
e
)
múl
40
I'linguna
I'l
@-
Ha'llar :..
'a)
Q.:
's.1.
+
83
e)
l'l'A;
s2
169+196+225+ "'+576 + 9?6i +. 52 = 729i+ 1000 + l'331 "'
'sl=
:l'
.A.
d) a).135,200 b) '145'260 c) 187'500
"i
F'D'
95s5
ti
p'i os
de
175.8
- Hallar :
13.
d) 9533
e
primero:; núneros que sean,
b
) 9233
de'l os
40
primeros
múl
no Ce 5.
e)
@-
N.A,
Hal l
ar
ti pl os de 2 y de 3 a 'l a vez pero
6,000 c) 60,000 Pablo repartió $ 3 r?85 , entre sus am'igos ; b)
cada uno de I os
sigu'ientes le
daba
d) a'l
$ 5.=.
8,700
Err en
'rr
d
24
.
) 4.306
e) l,l ,4.
a a
t ...
+ n.'
qui era nrr es un número Par cual
Y
va ql¡e le marque I a al ternat'i
presente.
e) Imposjb'l e.
primero 'l e djó $ ?0.= y ar : iCuántos amigos
rr
22 + 42 + 62 + 92 Donde
a) 600
+ ??.x
ra
a 1a vez mu1 tiplos
c) 43,440 d) ?8,440
) 34 ,440
.,
^,
4' x'6 + 1 x 3 + 2 x 4 + 3 x §'+ tb) 4,'22! b)'5,301 a) 4,301
7.
) 34,400
tenía
e)
d) 168
c) e633
eB77
de los
s uma
Hal I ar I á suma
a
Hal I
?
a) 3e
(tOrl
.'
Ei-
a) 136.
a
9 b ) -3 ,270
3 5
;i
:
-3,7?l d) -4,251 = 0.008 + 0.013 + 0.018 + ,..'+ 0.1,58 2.'373 b) 0.2573 c) 0.0?5J3 d) 0.2503 + 253 + ... + 317 = 24g {,251 t b) 3725 4?85 c) egos d ) 9e55 1,5, 2 + .,. + 15.5 24
a) -'r
a)
-
e) 4'261
que :er'
rrPrr
P
@
sigu'i ente suma
6'241 ot¿qr
entre llos '25 sobrinos cara: repartido un total 9. rr?99,lltamelos interior' icuántos
a) 77 "
= 2 + 4 + 6 + B + 10 + ... b) 4,970 c) ?,485
4,790
Hal'l
la
de
d) ol
?64 c) 1'264
b) 1'624
a)'1,6g0
TIEI1PO: 60 Minutos !'lal j ar
)Y) ',
I
PROBLEMAS PROPUESTOS
) ) )) ) ) ) ) ) )
)
b) 41
c)
40
d)
F.D,
e)
N,A.
En una Autopista se colocan 51 marcadores de ki'lónetros, cada uno de -los cuales se distancia 3 kilómetros entre sí. La cantidad total de ki 1ómetros que ellos marcan esta dada por la cifra 4,233. Ha'lle Ud, eI I-
producto de
io
que marcaba
ei
primero
y eI últirp
marcadbr.
@
Hallar
rrsrr en
72
S
DonCe
rrnr¡
:
es
+ 32 +
un número
5'2
+
7?-
+
..,
+ n;
'imPar cual qu i era '
D
j c t'rtl dt-'
nt ra't
rf
flÉY'
0Í
350
üna 'f6rmul a para obtener la surna de ros impa res .. Marqi,re I a al ternati va'
:
a) 4n1
@-
n, ''b)
ar l'a
Hal I
s
d#
c)
d)ry
uma si gui ente, .aPiendo que
i) 58,UOq
,c)
b).58,450
cuadrados de
+#
19 + 57
.
los
correcta.
\R, il/, -0. i.'
los primeros
núme
:
e)Ninguta.
consta de ?0 términos
E=1+i
zemo s
¿A qué es 'igual , esto ? La expresión que queda en aJ
I
mente ten'iamos.
Entonces reernPl azemos d) F. D.
I
corchete es 'i gua'l a l a
que i ni ci
+ .......
38,540
Factori
el
:
351
S .lA', -AIt-
:
1
z [rl
e) N.A.
-
Resol vi endo
I'P'r en : fí;)\-/ Hallar P = 0+? +6+
LZ + 20
*..
I ,560 SOLUC
a
a) 223;20 b) 23i320 .@-
Ha'l I
I'l'rr en
ar
ll=
/
c
)
24
es
De donde
,320
d
) 2!,,320
e
)
Ni nguna
ION
(B) :
:
En este caso
util
) 40,400
DE
-
donde
2+5
+
24 + 61 +
....
+ 7997.
d)
b)
F.D
a= e),N.A.
I NF I N I TOS TEF[,4I TÚS
.
WírnQlL
tÜnívw d¿ It'
:
-
Tenemos
(A
r =i 1
gyl z E
=
1+lr.+.+.lr+
):
Inicialmente:
1
r
10 -+
..o
co
a=1
aaa
+1
Entonce s
=t+ i= i , 1
ut'il i zando (B)
gue es constante.
,
tcndr:íamos
E=1+L.+.+.#-
@
.1 rz
@
Ilote quq a parti r del 2e, térrni no smpi eza a aparecer L/2 como factor de s i mi s¡:ro y de cadq uno de l os términos que le si-guen, iNo es verdad? . . . Ya que se re-pi te en üodos el'l os , podemos extraerl o co mo factbr común, pero .. . áCon qué objetivo? ... El objeto de di cha factori zal cjón es que al realizarla, quedará dentro de un paréntesis una expres'i ón ba s -ta nte rel aci onada con I a. i ni ci al mente dada . Ve.amos : I0LUC ION
:
:
t-á.
E = 1+ L.
-
Hd,UÁ,rL t' Ett.
:
^wLe.
S'i apl'icamos al probl ema dado tendremos
:
PROB LEII{A ¡.19 7 .
.
un núnuto in$íni,to de t2¡níYw¿ de uno. aetuLe G¿omL,t¡ica d¿ nazdn eovutnvú2, poaifi-vcL tJ mLvwn cluL In urúda-d' uit dads" po)''' ls*ex7nusi6n .:
:
Si bi en es ci erto que hay varios t'i pos de estas sumas , mB i nteresa ahora de los el ementos ' de mostrale un caso especial de ellas, me refiero 'es a Ia suma constante t y menor que la unidad. seri es geométri cas , en I as cual es I a raz6n Veamos,
or Ped'ido
" LA áwna. de
¡.: SI..h,1A
val
la sigu'iente afirmación
izaremos
)L= a
el
¡e 2.S0LUCION : (A) :
?R7BLE!,ÁA
como
HcLUarL'tEtt ¿n ¿QYé habremos de
no?
Vemos que
factor en todos I os que
1
e
E=2
a
:
:
=1=Z 1
z
.
-
+ ir+¿, r'énnj-¿Y a partir de que ... factorizar? te i/3 se reP'i término segundo parti r del E.= 2 + +
cont'i nuan, entonces
++-+-;r.#.
a
))352 )
) ) ) ) )J
)
OSCAR
:.il
)) ZEVALLOS
)
)))
)
,)
) ),)
)
353
G. SIJ}4ATORIAS
l.3'
zemos
.Factori
[. = 2 + 3I S
es i gua'l ? La expres i ón que queda en el. 'corchete , ro es exac tamente i ua] a la inicial i sjnembaF90,observebien,Ynotaráqúese.diffi una un i dad, es decir, es igual a E 1,'l uego Reemplaiando,tendremos l ¿A qué
E= o
Resolvjendo
:
3E
?
++[r
=6+E-
1
§0LU.cION
: E = 2,5
:,(B) :
Tenemos Ini ci al mente
iEntendió?
G
a
'
7S
- 1]
=5
"'.
8S
: (Q)': Hay que tener un poco de cujdado,parraapl.icar (B) icuál esel . . .pri.mer término de a serie Geométrl'ca a'e razón ionstante , positiva y menor que SOLUCION
'r
la
unidad?. iEsZ?
No.
No'es
j:l!! !.rali: iÍTi.:^:isl ulen, pero entonces : terrnin6. Vealo
Ud.
2, puii.si ási iüÁiá,--
a = I/3 r = I/3
:
,'
q + -- =g I l-f q=¿ @¿
Entonces I
1
B'
1
#
S = 2+0.25 S = 2,25 E#
0.25
tt po de probl e[as . Asegurese de Queno, hasta_ leuí este gui entei probt emas proPUestos ' s'i 1 uego de real i zar l;;
1
¿A
]r+ lr+;rr
1
z,
B
Luego
' s*
+
I.
1B:
ei
que ser Z/3, lq razón es..1/3 áNo re parece? ^ya.qug icómo resolvemos? ,..Ap]i.quemos (B) a paitir aát ze _-
it+ -r+r+.... s
\
SU{ATORIAS
FROBLEMAS PROFUESTOS TI EMP0
En cada caso
1.-
) 1.05 (B) E = 1
a)+
30
Mi
j, - rL* #* ,'
*3*
233
l.P
b)
:
d) 1;25
e)'
7.-' Se tfene un triángulo equiláterc cuyo lado vale 10/5mts. Se toman ' los puntos nedios de sus lades y al uniiseles se forma un triángulo.,
N.A.
este'trlángulo.a su vez se to¡nn lss puntos medios de sus Iadoi y Ies une¡ y asl repetlms la operacÍ6n infinltas veces. Calcular 'la ma de tsdas, Ias ár"eas asi fonnadas.
d) 3
e) N.A.
a) 75ll
2,-
x rll
c)
b) 0.0475
= 3+
S
=
*.# b) 4.5
a) 4
3.- E
3 5
.lrf
mts2-
b) 556'mts2 g) ?5ñ
llcdi ante transfomnciones
r-b-
d) x -
c)
+&. c)
1
0.9025 d) 0.9502 4
e)
9,
0 9525
5
A=5 a): 6
) 2.75
c)
0.43
d)
Imposible
+ ........ d)
e)
N.A.
@
43.3
e)
N;A.
d) 0;62
e)
N.A.
+trrfr.ffi. egr-f@ 128
b) 5.2
N.A.
d)o
e)
ft.A.
d)
e) 5*
)
b)
3
c)q*
Transforuandg hal
I
s
c) 6.2
75 mts2
or de rr E'¡ en
:
q)
-
e rrAi en :
A; r++.*. b)*
a)+
e) 3+
5
10-4 + 0.00027
a) 4.3
va'l
e)
d
c¡
10- Hallar trE* en c
4.- E =#-
el
*-É-........
a)
(0.95¡r+*
2+?-b.
) 3.75
hal I e
E = !,+Z
e) FD
I
,
a)
3
i
c)
:
E
a
,
mts2
?'
(D) S = (0.95)(0.95)(0.05)+(0.0S)(0.95)s+(0.0S) a) 0.95
el lnstante anterior aI rebote. recorri6 I a bol a hasta que queda teori camente en reposo. b) 500 ñts. c)gS0mts. d)400mts. e) 600rnts. a ) . 100 tuts . '
B.a)
dqia caer una bola desde una altura de 200 metfos. En cada rehote se el eva hasta aI canzar I a terce¡'a parte de I a al tura desde tr a cual Se.
Qué r{lstancia. aproxi¡nadamente
:
€
b)
'
cqyd en
sumas indicadas,
.:...¡.¡ó G
-l:25
b)
Q.
nutos
halle,Ios valores de las
(A) E = 1 - +a
:
3§5
b)
=
i+*-+-H.-#o.....
4t
c)i
d)z+
e)
N.A.
leñ
5e 5u
)
A¡IALOGI.AS
Y
357
DISTRIBUCIONES NUMERI CAS
ANALOGTAS
SIIIPLFS
:
Se caractdrizan por.poseer únicarente 2 fi.las, las prlttera de las cuales actúa como dato, mientras que en 1a segunda está e1 rndio buscg do.
XH
En
este caso las Re]aciones 0peracionales a las que
me
rtfierg'
y
válidas en este caso, son las operaciones de suma' resta, multlpllca-ci6n y di.vislón, ya sean ellas iolas o combinadas entr'e sf, entré los' extremos y'que nos deben dar como resultado a sus respectivos medios.' N0 snN vRLlols Et{ EsTE cAso LAs posIBLES RELAcIoNES EXISTENTES ENTRE --
s §e dEstrBhr¿{}iomes
,..-
LAS CIF.RAS DE tOS EXTREI-|0S, medl os.
éq \R¡ U
y gue den
como resu'ltado
a sus respectivos
METODO DE SOLUCION.DE UNA ANALOGIA :
existe un METODO RSSOLUTb para resolver una analolas distribuciones). puesto que las relaclo-ñes e,xistentes entr€ sus extremos sDn muchos y'de diferentes tlpos. En rea't.idad no
gfa (]o
(1,) a,'tnLbei¿s *A
0ü.rEr0,
Di
Uf{A
** Éi.,^ r r^ ' r;dp' oul_gg_ ¡ , rápidei ou pe rsonas T:.1lil;ril§irff 1ur. ilr-[JrsáHJ.[iiu**Éi"^ ent,re \!,,,,r ;;;u se qs[ermlnados dete rmi ados ; ,1;;^.
averi YX:"'T:l:gil.-l,lririca, ;'.i'JInl':ffi Íe rr gua'-i \J
,iu,loll,"f#:l
r
y
encuentra que entre I qs extremos torqados como datos se cumpl e otra 9. peración AZ y que también nos da como resultado su medio respectivo , luego aplica tal operaci6n Aá, a la fila donde se encuentra e'l medio -' bus cado , obten.i éndo para él , un res ul tado R2 (nZ* R1) , entonceis su rge la ciuda . . . d,Cuál de los dos resul tados, debe ser tomado como respues-
.
'
ñ ü*.0, qlá,, núneroS que s *ióñár&'^;i-ig*r_anár v ^¡ '!:?'fáHi.í J!fu del térmjná #ii¡.is:'§I,.Íer,_anár "ri.,nrnar,r 'q -oulqueda osa,, debe osa debe *iio n
¡ '.---'
'¿
encon rracra ,veI '.encontracla.y 'vez
o
Esrnucrún¿_ot :STRUCf Ún¿ nF ytiA r rr-' r! ñ r, ANALoc ^, ^A - .
IA
D
que §lE¡,lpnr
sr
óEic'N,cE.
:
ta
Is
Fi Ia
Iis
Fi la
mismo sucede. con
cta ? . Aunque no es un criterio ESTRICTAMENTE MATEMATIC0, si no más blén un CRITERI0 DE C0STUi'IBRE * ( 1) escogeremos como respuesta a aguel me-dio que sea resul tado I a 0PERACION t4AS SIMPLE ENTRE LOS EXTREM0S ¡ rll€-jor di cho; a aquel I a rel ación que: * Coñtengd eI menor númeró posible de Ias operaciones ya rrrenciong co rrE
iIIe fi ta
qrr ilf,i[ffitri,j,..,ffi;5ii
...En . .
ext
.a,!i
jlnre
se busc
.§,,;j
Veanps ahora algunos eJemplos
ele¡nxi u:
ct-¡srs oi ¡¡rfl.oe¡ls ., ri ñi,jl J:l':,"',"ii:{, su es.tructu Sil"lpLES __.ji
Lzif,E:.
y
C
i'i:iríi;hiít ri;r, "*,ri:, jíl;,§"rff,lfr
s.;
@.-
ildrtfiL"*"
.
'ol 16
:
ts
.(zsl "n,:. ..;....'38 ts 35
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cl .2? ..,
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el
!3
iratandol : lCómo empezar? Qbservemos loÉ e.Ienrentos, de"la Iá.Flta, de descubrir enttE ellos alguna relaci6n.que nos puide''dir" como resultado su respectlvo med'io.' Empecemos a probar ! -
SOLUCI0N
¿/ r
I
J.,
1-
a¡aA,.q¡LsA
lt¡a
F.¡
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!a
1-
Lr
O§CAR
ZEVALTOi G.
' :l.:ffff¡,: i*,miffi.ilLi+Iiit;ff#i,,tnEil,3.l'Í30Í3,n:lii no se cunplc
AIIALOGIAS
t
ASf
Y DISTRIBUCIOHES
Io hacemos hasta gue : ilEDIO,,
76, nespuesta que
Itr[Iffi¿rtj,]:.psH;,23:.11",!oll.rg:,!ol_!! :,lili- i.l,re''¿i :;iffii;'i.' irlgirtrilT'rffil*:'.'i,Íist UTFERETGIA 0E EnREos . ilEDrO, 3-r**.1¡ por' io nndro respec*vo
tiñtó ;'
rlo a l¡ IIa. Flla Flte :! Ilr.Ffla : 35 - 18 - r,.de
*; ,By,*
qle asunlmos
¿;ffi_r;-üíi:"I' ¿iliáI,Iítll
dondc x 1 17, que cs er varor der nedro ,* buscr_ tEstá cüto ii-aii"il.iiii,rüil :.rs$ll!rtt!:.Pero ..- tllc se cmpllrán ;irü reiiéróñ.ii :.:=ü:il#',
do.
[r,.ii
:lt!I::.{rl.?Bi EJSIPLP
$t'C
segulnos buscando, podenos'encontrar que :
.. 23, es dectr : EXT. + + %g ces Io ¡pllcanos r la IIr. Flla : 15 +
lla. Flla : 35 + rtr* r.39,
que eparecc cono
= fiEDI0, enton--
alternrilva
...
üQué drce ud.? Es ñ'*i.iona¿o en esto caso es me¡-sir,rp[É"iü. hayarms encontradol
íp3
C
a) s0LucI00{
:
?r
el nfinero
ll
lnlclalmente gue
c)le
76
lro olvrdc que a,ezmos
Obscrvemos
que fal ta , en
r
:
6(g)s 38(x)+
d)3s
buscar ros crrterros nns srmpres i
o
vGz
noteops gue:
I!. Fl la :3(G-3) IIe. Flla :. 3(3S - 4)
'
'
Hallar
el n&neru que falta
tz
,
:.
ls t ,f I
AS
)
:
2(tO+
28).76+2
(gXf. + EXT.) =¡4E¡IO, por lo tanto:
en
:
A
TIEtlP0 : 15 l{l nutos .
cada caso hállese el nOmero que fal
?.-
887
( ra6a )
sl6(
381 ) 422
ggg4( 12109
')
3225
3256( ) 4231
a)
/'l :l
te
:
94
e38
:l
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c)
2za6
398
'74A7
7387 477
vf
7
e) 6825
13
b) 10 e) 32
c) 74ffi
:
Ie. Flla : 6 + 3 E 9 -> EXT + EXT = I,1EDI6, por lo tanto ! IIa. FlIa 38 + 4 = x = 42 ¡ 9u€ serf a el medlo buscado, pel-o di cha sol uCI6n t{O FIGURA cilno alternativa, lgué testán equrvocadas las '¿Ió"-ii'ü.r.. al tcrne tf yrs ? . . . t{o, necesarlamenia; slgnlflca? es que segura_ !ó-;;á mente cs otm lr relacl6n entre i;a cxtremos. srganros buscando : Esta
.
ANALOGIAS PROPUESTAS
l.e)s
:
'll;
.
prtctlca en los slgulentes
En
Hal I ar
corno alterrntütva
2(66 + 37) = x o 206, que es la alternatlva (b). lH¡ entendldo todas las expllcaclones antenlores? ... ¿Sl? ... póngalas
::e::f ig,;.::JTlo:^I éry 9?!rtgr{n lDe acuer tiá; Íird..t',"1:,,11:^§: * iiiriüü li-iq"iíffinl§rfiii ud. ie-eiti_;ünilnio' ; Tl.il";¿#r problemas dE Íll,::;..seggasl}g ; r' : ?:I'Í:' :. I:v,,:.'1 *^.::il:l!: ;;:.Loiüii § !,fi [.'fi tl= oJ :; sl asf suce; ya sabe dlese ud. cono prbceáár. N0 0LVIDE. E''EI|PLO N"
sl flgura
c) 400 d) rzo e) '¿5 ,yf 206 §qLUCIq{ : §e cunpllrá el crlterlo de : SuitA DE EXTRE!4OS ¡ frtEDIOS ... pruá belo. .lSe ctrnpllrá el crlterlo de : DlF. DE EXTRE!4OS = flEDI0$ ... iQuÉ dlce Ud.?¿0 tal vez se cunpla : PR0DUCTo o DMSIoI{ DE EXTREMoS = itEDIoS? ...ooperaclones En veÉ¡d no se cunple nlnguno-de ellos, por Io gue ahora'buscrros y& no dlrectas", sl no más blen rctxnblnadaj,', es.tsf que gncont-ra
I¡. Flla: II¡. Flla :
: (c).
bueno. tcuár defln!!rvr?... vcr{ad, de rcuerdo rI?s-lg_I3:puesta, cRrrEñió-óE-coii¡nünr
Peror-
la :
por lo tanto : En
cornecta, puesto que ya hemos probado crlterlqs más rt sto que no ctmpl en Por I o tanto I a respuelra es. la
como
a
Ia. Fll¡ :
3rp
¿r
Sl rcstanc l
Sl
NIfiERTCAS
= 9 -) 3(EXT - EXT) - l,fEDIOrpoF lo tanto : E l02r que tampoco floure entnc lae rrtannrlfu¡c
3.{.-
g2
(
3e(
2?6 ( 325.42(
5.- g4 ( 36(
11 s7 108
12
118
a) 23?.25
215.94
d) 100.48
7
a) 0 .09 d) 99
0.04
b) 472 e) ?16.49,
/fl(' e)
9oo 32
c) 2s
P c)
109.48
)
)
))))) 160
oscAR zEvALLos c,
F
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271
17
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-
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04 ( 0.16 ( 0.
o.og 0.14
16'
0.9.
'15.
-
256 10s
72 115
b) 30 e) 8s
t
75
c)4
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AMALOGIA§ COMPLEJAS
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c)
182
0.5 0.23
'
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(
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1
a) 0.58 Ff d) 0.37 iei
c)
3':fllas, en la tercera de las cuales te
t.t ,i
En este casó no se admiten operaciones
?24
!ú es:rcoo 17.3 'e)
a)
143
-
§PLUü0fl §&$ggü.T
* :
cl
entrc las clfras de los er
Ei criterio pa,ra resolverlas, es,e'l mismo, buscanps entrc los extretms las operacio!¡e§ *n&s slmFles"..Qué nps_ den cp¡m..rtsultado sus rcdlbs -, .ñe6pactivg§, p€ñ0 mJor .nams unos eJgnplos ;
I
c) t;?
¡rE
:
Ns 1 .-
tfctLflL Qt núiío¡o
e.l 12
e) d)
4?
.
'
qLLe. 6al/¿d
bl t3
,n"s 5 I eO I 3 tS ' 8'II x II
cl 45
: Empecesgl busc¡¡.Operaciones Operaciones Empecems B a buscar
nn res.ultados los miios : primera fi'la venos que : (15
¡
entre
,5 t2 5
/'üí 3e
el
8
losextnemos, 'Qué nos losextrcmos,'quc nos den C0-
'
,-,
- 5)4,- 60, es decir la relaci6n e {EXT. . EXT.}{ t€0I0, ise ctmplirá pana la IIEFila. ? ... Veamos : ¡¡l .tila ; (tZ : ¡)C'nor il6, pem debimos de haber obtenldo 45, por lo -En
la
qtc, es la re'lacién crrrccta. otrüs cri te ri os y encontramos que i
Eanto cúnclufms
b) 40
8useff?tss
t
rgg, ¡l
eflcuen
fonra oinÍ'logt, párü la tercerá fila. Atendiendi a las nelacl,qres operaclonales entrre los-extrtms y sus dios respectivos, godems teaer 2 tlpos de análogfas CompleJas :
€), 0,4
a)-50 b) 1t6 -di'-88 ei id-
d)
de
La relacián operacional exlstente entre los extrcms y mdios dr lai ftlü;'üEbe ser ta ilISilA para ambas, y hemos G uttllz¡rla cn
181
a) 0.9 d) 40
4
¡
que constan medio buscado. tra el-Aquellas
üÉ,{f|LO
0. 002
361
NUT,flERI CAS
(r)
\
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[S Y DNSTAI BI,IC IONES
des prfueras
d) 25
13
,1.6
a) d)
a) 10
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( 5.g
,,0.0E (
u) e) 30
d) 183
I
.-
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a)
I7 l.,l
d)
a) tz d) se
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14
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a) ts
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(s
16 1tr
;.
;50 ).35
23
5
't
85
AJ{AI"OGI
.,
87
la'-I3 flla :. (15 + E)3 , 60 + (ExT. + Eñ.iS - mEDI0, por lo tanto En lo IIá Fll¡ : (12 + 3)3 = 45 ,.como ve cumple para las dos primras n
En
flla§, por Io tanto la aplicanrps a la tercera : En la.Itlr Flla : ( 5 + 8)3 ='x = 39, que es la
rcspuestr
y se encuentra
en I a al.ternati va ( d) . EtEt4?Lo
ils 2 0-
Hallsh x et¡
3
34
3 5
t
dl32 Sq,UCI0lt
*
:
Etnpeeetms, com
bl20
6
28
3
x
2
cl15 'dlt6
/ro
ya sabe Ud. traiando de relaclonar los extrcmos -
para obtener sus respectivos medios:
l¿ Ig EiIa : 4(6 +.5) - 2 = 34, es decir la relaci6n es : + EXT.) .2 = ttlEDIg. Si tel es la relaci6n correcta, tanüién tiene gue cu¡nplir para la III tila : En 4(EXT.
'
.a-':;z'-
162
(
'
t
I
I
r
OSCAR ZEUATLOS .G.
IISFiIa : 4(5+3)'- 2=30,ydebims
de heber obtenido Zg,
por
AflALOGIN Y OISTRIBUCIONES
15
lo
31
tanto, di chq rel aci 6n es f n correctá. Busguemos otra relación,observe : En la I3 Flla i 2(3.x.6 - 1) = il', €r dcclr, la.rclrci6n es : z(Ürnoouqo exrnemi - l) = uEDIo, áCunplt¡{ prrr lr trIe Fila? ... t¡! rila : 2(5 ¡ 3 - l) . 2g, isl crsplE: , por lo tanto : ¡fl3fil": :2(8x2.1) - x- X!, csdecirla.rcspuesta buscaú¡scrÍ ' Ia alternativa (e). LJEIIPL7
lrs, 3 r-
óalfa
en
:3
26
5 7
'32
x
; En es te la. Fi la
IIá. Fila En la IIIa. Fila
En la,
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2t5
8.-
: z[ZtSl + 71 = 26 , i z[ZtS) + 6J = 32 , : ?lz(t)* 5J= x
2 ( 5 )g 6(Za)a 7( )10
I r§
9
27 31
SIAITCIAS ProRESTAS
10. -
:
11.- i
B
TIEHP0: 20 tlinutos
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rtisIi, -( ? i) 3 7
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a) 60 d) 39 .?
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a) 116 d)
a) 360 d) 72
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b) 3.6 e) 5
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:
qu,p. 6aLf.a UL
I
3,'
PROPI..ES"TAS
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) 2t5 I 204
' HaI I
+ 1 + 4) + 3(t + ? + 5) = 40 , corrp nobenros : 2(t + 2 + ?) + 3(Z + 1 + 5) = 34, íC.UMPLE:, por lo tanto 2(S+0+5) + 3(Z + 0 + 4) =
ar
el
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TIEMPO: 20 Mi nutos
fal ta en cada caso
:
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€.JEl',lP
bombi naci
' .:' ,, ' HdtteA, Qt núne¡w
¡¡9 5 or t
SCLUCI0N i a
.
Ia Fila : 126+236 =362+ 3+6+2=11 IIg Fila : 105+2OB =313.> 3+I+3= lrporlo III1 .Fila : ', 3lZ + 104 = {16 + 4';''1"í 6 É IL .v€, esta .anal ogf a hd s f do una como el que viendo : ,es.U.anrcs
319
tendrernos
-?0
--__ ¡íl Fj'l
r
Como
: (8 + 7 + 5) - (g + 4 + z) = B, comprobemos : : (5 + 3 t 6) (t + 1 + i) = 11, ¡CUlr,lpLE: , por Io tanto : (2 + 3 + 5) (5 + 3) = ?, Qu€ es Ia respuesta. 3 ,-
.:' NoterES que
)
NUME RI CAS
i
87s
;1
BUCIONES
:
s36 235 sol-uciorv:
3?
: (1+ ? + 3) + (4+5+ : (2 + 4 + 5) + (o + 7 + :(2+C+4)+ (s i 1 +
FÍla
e
Halk",L e,t" nún Uto q,rn {al¡" t?3 2t 4'56 245 204
.-+r
es
)))
Y DISTRI
AI.IALOGIAS
SOLUCI9N
I té rmi no es resultado de o_ s (aínitos) Ae lás medio -op*i. respecti vos extremos, una con Ja IIa. Ff la y do. Ej emp'l os : cu a'!
)))r)))
Haltwt Ql
núm ü10
126
105
312
n 7
qu¿ óalfa
r
Qu€
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el medio buscado.
( sZ (
24
: 15. (
356 '.L29 108
a) 33 d) .3?
b) 16 e) 2s
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b') 35 e.) 11
15
¡ A L.
8536 239 8560
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a) iCr0 d) ?.6
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24 7?,
2T
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12
121) 4?
16 52
??sl 4q )
7) iü)
206
316
b) L7
1
EJERCITACI0N CONSTANTE. :
DISTRIBUCIONES NUMERICA§ ;
* *
:
ya dije, se diferencian de las Analogías en
c)
18
c)
108
) (
e)
53
603
\23
EJE\IPLO
HalLo¿t Ql núnuto que
,\J3
234
8.5)
200 3
(
,)
2005
ztL 64 -l 8(
1
36
e) 49,
,/
a) 65 d) 25
b) 56 e) 7?
c)
39
a) 225 d) 872
b) 433
c)
520
e)
a) 13
b) 15
d) 55
e) 2L
a) 9.5 d) 9
e) 22
a) 1 d) 49
e) 85
Note que
T2
33 22
b) 81
b) 37
:
{alfa uL :
952
c)1
Tambi
c) I c) 48
11
fi nal _rgs' pecto a I as' Anal ogí - álotacia ón -esas Complejas: Cuando Ie den a Ud. unt Ana]ogf Compl ej a N0 LE VAt't A DECI R si de ler. , Zdo. 0RDEN, áQué hará para Ud. res ol verl a ? . ., . S i mpl emente trate de utilizar los criterios más simples .ia sea con I os extr emos en si . o con I as ci fras de ellos, hasta'que en--
:
i
iTENCI0N
6
x
1
1l
!:
9+6+ 1 = 16, comprobenns en la IIa. IIa.Q9LUMNA: 5+7 + 4 = 16 , ¡ CUI'IPLE: , por 1o tanto : IIIa.C0LUMNA : 2 +x+ 11= 16 De don de : x=¿ Ia.C0LUMNA:
én podríarms haber di cho que
84 3,
(
:
Aqui no intervienen paréntesis que contengan a lós red,ios. Las Re]aciones Operacionales no necesarianenle'tienen que ser entre los 'extremos dé una fila, pueden ser entre los,elenentos de las colurhnas, de 1as diagonales, etc., es dec'ir, son más arbitrarias. Vearos,algunos ejemp'los de distribuciones
0
como
la
SOLUCI0N:
2T
23
r.
16
c)
367
la relación adecuada. En re¡Iidad, Ia rápidez que Ud. tenga en re-solverlos depende de la experiencia que tenga en állas v esta depeñde a su vez_de Ia PRACTICA que Ud. haya adquirido, por eso, una vez que haya nesuelto los ejerclcios anteriores, busque más ejercicios en otras fuentes o INVET{ TEL0S UD. MIS!4O, pero no olvide gue 1a HABILIDAD sólo se ADQUIERE a travez l
32
36
sql
DISTRIBUCIONES NUMERICAS
cuentre
de
a) 37 d) 27
23
+3á
-
c)
c) 9
15
l¿s
15.
3
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EJEM?Lo
:
Ia. Fila : 9+5+1= 16,comprobemosenlaIIIa.' IIIa. Fila : L.+ 4 +11 = 16, ¡CUMPLE: , por lo tanto. IIa. Fila : 6+7 +x=16 De donde : x = 3¡¡e 2.- Halla¡t el núnetto que. {alfa uL : 3
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En cada caso
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-
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.
lfonos llegado ahora, aI tipo de problemas en las cuales algunas de las peÉmas Que "plantean" este tipo de prbblenras encierran en elIos Ias rela'clones más aróitrarias y complicadas que se 1es pueda': ocurrir, logrando asf ''!cttar" prob'lemas intertsante", logrando en ú'l tima instancia causar nás' con-
:
a) 33 d) 51
b) 18 e) 26
c)
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a) 15 d) 41
b)
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c)
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a) 32 d) 22
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c)
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a) d)
a) 243 d) 81
80
b) 282
fusión qt¡e aprehensi6n por parte de los alurnos., A mi ¡mds de ver, si nos remitimos al origen de esüós problemas, ell,os no buscan, "corplicar ¡l alumro", si no avcriguar su rápidez y habilidad ELE ttrt{TALES para captar cier.tas relaciones entre ciertos núrBros, además si sehace un anáIisis rinucioso de los erámnes de Admisión en nuestró pafs, se :llegarf ¡ la conclusl6n que en las di3tribuciones nurÉricas y gráficas que en el.los haya,, Simpre'FRIl.lAll LOS CRITERIOS ELEMENTALES DE SOLUCION, por' lo t¿nto, es. es le idea qr¡e Ud. amable iectsr, debe tener en cuenta al r¡omento & rcsolvcrlos. Ueum ahorr algunos ejenplos de DISTRIBUCiOI{ES :GRAEICAS: üÉlfPLC^
10
SO,t
72
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2
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L2s
x
2s4
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27
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b) e)
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a) 78 d) 18
b) e) b) e)
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* * c) 2s
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HHHE
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Las I etras soúr al tcrnadas
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I
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los nfuelros:
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c) 181
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b) 23 e) 58
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0bse.r**u-]u: figuras, érrstas? c . . üci fras? . . . E;üi;Ifu;'óu!.:*r'
tnitanoo a la vgz de .i r cicnes_*is sus tlármntos ... isumas?
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todos los ejemples anteriores tienen por objeto ofrecerle una idea a-cercr dc "com prpde ser una Dist¡ibucidn Gráfica", repíselos nuevarrnte, ex trrycndo dc ellos lq mayo¡ cantidad de conc.lu§iónes.que pueda, asf enriquec6 rI su expericncia, la cual pondrá a pr l'iguientes :
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37:r
DESCARTES OE DATOS
resuel ve el s i stema de ecuac'iones (1) y (I ) iPodrá hal I ar I os val or ¿' de A y B ? o. o Evidentemente que si , pues es un sistema de Z ecuac'i crres con ? i ncdgni tas. t Como puede Ud; ver, hasta ahora, únicamente con el dato (I), s i poiernc s
si
xx!
resol ver
(II)
resolver el problema. Utilizando los datos que se ie proporcionan, más sus conocimientos de matemáticas y experiencia de la vida diaria, debe decidir, si la Suficiencia, a la que me refiero se manifiesta de una de las siguientes maneras i , * Si cada dato por sí solo, independientemente el uno de1 otro, nos permité reso l ver eI probl ema. * Si ambos datos se complementan entre sí, de tá1 manera, que necesariamen: te con ambos puede reso'l verse e1 probl ema. ; * Si ambos datos utilizados al mismo tiempo, no nos penniten reso1ver el problema, es decir, si se necesltan más datos adicionales. Veamos a I gunos eiempl os :
¡9
I.-
1o.s ángu,b,s
b¿ qu¿ ea
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AAB
^uplunu4,ta)T.Lo^, menorL^on tt adená,s;
hollan A,
^i
(t I ta naz6n de A a B eA Z/3 (nl La üóüLenu,a etúne. üe-lto¿ d.ngu,bt u 360 b) I q'IT junfoa c ) Cada uvto porL «). I potl ¿í d6lo ¿) II pon ai ,s6l-o ¿l Fal-tan 0afo¿. SpLS I0N
:
i
Pres üe Atenci ón
-i¡^abajeinos ahora con
)
á
¿
*
dato
(I
BA=
I),
:
36"
Finalmente tenemos que, cada dato por
ella
de
ángu
eI dato (I), el cual puede escribi rse
so-
resolver, esto eS i.ambiéti ial
Finalmente 1a que meicrexpresa lo sucedido en nuestro análisis es
la ai--
ternativa (d). PROB LEI'ÁA N9 2 .
-
óroec-L6n ? S¿ : La Raz6n etttn¿ eI rugmü1-a,Con A Ql dwu:niru"don L,5 3,/ 5 S¿ du¡tlieornoá' ú twmqadon A cLumLvLtamo^ 13 LL e¿vic minadott Lc. druecLín )LQaulfanf¿ as 7 18 .
¡,Cu-át ?A
I) (TTl
(
al S6Ie I ü7A77iuttfct,s SOLUCIOli
á¿ ¿6Lo
si sólo, nos permite obtener la
neCesitamos de Anhos Datos para
*
:
Sea
'l
to
b
C) T 6
) S6Lo 11
d
TT
Fal-tnn dcf.o^ .
a fracción desr:onocida
:
a/b
escribir r * = + (l) 3 y b = 5' pues podría Lo cual necesarja¡rente indica que : yb= 20 iMeentie""Ce? "" Es a.=L? 10ó Uieñ-i".qr"u=6yb= éii tráV müéttos valoies para a y b que podrían cumplii con la realción por 1o tanto este dato por si s6lo es INSUFICIENTE' * Del dato (II) : con
et dato (I)
podenros
2a7 E+F
+=i
€l cual se puede esci i b'i r
lucióndeIprob1ema,entffireSpuestafina1?.'.\reatt.JS La respuesta (a) indica que solamente con (I) puede resolverse e1 problema, eslo no es tOtalmente cierrio como hemos viito; lo mismo sucede con l¡ a'lternativa (b). La alternativa (c) indica que : I y II juntos, es decir según so.
áa-.
I
* Del enunc i ado y en base a nuestros conocimi entos de la definición i,¡s supl ementarios podemos escri bi r : :
el
Y nuévamente 1e pregunto : Si resue'lve el s'istema formado por'las ecu;tciones (1) y (II) iPodrá hallar los valores de A y de B ? .-. Su respries que si ia iamUi6á ás'poiitiru en este caso, esto nos lleva a conc'luir enproblcna. lnicamente tuviesemos eI dato (II) también podríamos resolver el
Esta prueba consta de problemas en los cuales no tiene Ud. gue reali-zar operaciones en busca de una respuesta, sólo Debe Decidir, si los datos (signados con números romaoos) que se le proporcionan son suficientes para
LEIIA
Probl ema.
Ahora uti I i zaremos
Descarte de datos
I,ROB
el
8
(II)
Esta .rel ación por Si sol a eS una ecuación con ? i ncógni tas , y ella por Sj Sola nos permite obtener la respuesta al probl ema.
:
*
Entonces, hasta ahOra, tenemos que nos permi ten resol ver el probl ema .
n'i
nguno de I os dos datos
tampoco
por s'i sólos
)
í:n r, ?
-'Li
O5CAR ZEYALLCS G.
;ií;r:
irj r§'fu iff :iiry:ir*ii,'¡i*!r,i?. -p;;üí#;
reso'r ve
i'Ril3
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llt j . _
ríalt-c.z c¡uQ- :
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iii. (Ti
D¿nuzo d.e
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PROBLEMAS PROPUESTOS
i.;írj,.Hff ; ;¡;
C mo,t1olt-
añc¿ Ld
de- Z l,rerznanc,á A A
g ai,se
de l-as zCactu d.e anbo¿ ?A-q, b. áumq, de lL6 eCncte¿-i¿W
¿abe
/-,una.
isanr,,
c) I A ÍI
7T
T7
in$o,tnae-c6 n .
Hallar cada uno de los ángulos agudos de un triángulc rectángulo, (I ) La Re1 aci6n entre el l os es L15 ( I I ) EI ánguIo supl ementari o de'l dobl e del ángul o mayor es 30o .
b)SoloII e)FaltanDatos.
a)SoloI d)I6II
j4,
S0 año¿
e) sdb I
i)
r .i
¿ctad d.Qt
3
:lr'lilii
DESCARTES DE DATOS
si
:
c)AmbosJuntos
\
triángulo isósceles PQR. Se traza de R una perpendicular HM so Pq. Se desea conocer e'l áre r del tri ánguTo : (t) F0 = 6metros. (tt¡ ffi = 2 metros. a)IyII b)SoloII c)FaltanDatos. \ d)Solol .)tóII iCuá'l es la longitud de la diagona'l de un cubo si : ( t ) E'l volumen del cubo es 64 m3 (II) La longitud de la diagonal de una de las caras es 4{I. b) .SoloI a) Sololl c) Ambosjuntosly II d ) Fa'l tan Datos I ó I I por s'í sol os . .e) Sea un
bre
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ülll:l:'..,,i;:;,i3,.;ff;iffi;.;o§i.o:;;l;.:, uu S Sobf e edad- ailbOS da tOS ,. ' r
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I*t,,1,.;r"i3, I NSUF I I'ENTE :
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No obtenemos nada pues ambos expresan
direrencra de edades,
Qu€
sabemos
es
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sa-
i I 1
la
co ns
misma rela
tante
ar 'l a a'l tura del Mi ni steri o de Educaci 6n : una foto frontal de é1, en la que el edificio se ve
Se desea ca] cul
]ll::::'.^^ I-lll,, : 14por. joy + x = 20, es dec i r, una z incósnitas, ,
*'
13
f :
(ll¡
x+
método Que conccs
,
nos
!-3(x-3)=y-x=v+1 , i5-(x+15) ., w + -v< J-, ^ -Y-x= Y-x cc:ropuedever,noob tenemos ninguna nueva nueva relación que :.r er problena. nos permita reso'rEnionces : con cada r";;;: ::":::,
I
t
Tenemos
to.
La longitud de real i dad.
la
base de
la parte frontal
b) I y II juntos 'e) I Falta Información áCuál es el perfmetro del Triángg1o AEG? ( 1) ABCD, BEFC, CFGH _r_cuidrados de 1 crns . (2) IE=m=2 cms.trtt EE a) (1) por si sola b) (2) por si so] a c) Ambas juntas (1) y (Z¡ d'I'Cada una por si sola (1) ó
a) d)
So]
(2)
e
o II
So'lo
es de 80 metros,
di cional
a
.
iCuánto mi de 'l a superf i ci e sombreada del rectángul ( 1 ) Perímetro del rectángul o : 60 cms .
(2) 7E =
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= Ee =
10
cms.
.
en
c) I ó II por separado
.
) Se requi ere i nformaci 6n
compl e
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la
(
i (
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DESCARTES DE DATOS
a),(1) por si sola / ..,bi Q) por si iota c) Ambas juntas (1) y
) 9q9a u.na por s i sola (2)
d
a) Sólo I y II d) Solo II y III
(2) (1).
@-
.
e)
Se requiere información adÍcio
lul'
xs:
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(2)
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(ftgura)
'(1) 'm = ¡E=
It
Ze = t,e = L/2 t.ts ; trf,
t
TB'
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a) '(t) por si sota b) (2) por si sola
cl
áEs triángu1
o rectángul o
el
Se-
nal
Tres hermanos A, B y C juegan algunos part'idos de naipes. ( I ) Cuando uno pierde tiene que triplicar el dinero de los otros ( t t I 'Al f inal cada uno se queda con $ 60. = ,
Z.
b) Faltan
Datos
das
c) Sólo I y el
orden en que p'ierden I as parti -das.
.
lñ\-/ nullar Ia suma de las cjfras de un número en base 10 si se sabe que : ( I ) En base 7 se representa por'las mismas 3 cifras que Ie repiesenta en base 9 pero escritas en orden inverso. (II) La cifra intermdia en a¡¡óas bases es 0. 6tl) Una de las cifras es mú1tip1o de 3. a) Solo I y II b) Necesarjamente I, c) I ó iI II, III juntos. d ) Fal tan Datos . e) I y II ó I y III. Todos los cuddriláteros son superfic'ies con ángu'l os . iserá esta su'¡ierf
tri ángul o ABC ?
a) (1) por si sola b) (2) Dor si sota c) Ambas juntas (1)'v e) d ) Cgda una por s.i sol a ( 1) ó e)
) El largo de un rectángulo es igual a1 diámetro de un círculo. (III El círculo y el rectáñgulo tieñen igual área. 0II) El radio del círculo ei 2. a) só'lo r y rr u) sólo rr y rrr c) s6lo r y rrr d) Necesariamente I, e) I ó II ó III II, III
parti
información adÍcÍo
(1) ) 1 = 45" (2) m- es bisectriz.
ancho de un rectángu1o?
(I
d) Sólo II y el orden e) I y II y el # de en que pi erden I as parti das j ugadas .
.
nal.
la razón entre el largo y el
a) I y II juntos
juntas (1)
e) Se_ requiere
b) Solo I y III c) Los 3 juntos I, II, III ) Ni nguna de I as antert ores .
e
iCuánto tenían inicialmente?
y (Z) d) gala una por si sola (1) (2) Anrbas
aCuaf es
J83
cie un cuádrilatero? ( I ) Esta superficie carece de grosor. ( I I ) Esta superfi cie carece de ángul os .
(Z)
requiere información adicio .
a) I sólo b) II por si sólo d) I ó II por si sólo e) Faltan Datos. I ) El árbo] A crecet* t!,!I: 10 ems.r|ol-lño_gurante n^F ,..t os 30 prÍmeros años r.,i da y e.t-árbo.r de g .ré.. zo .,i.'ñ^"rJ,' Iilj'oJ;;r;: i;],:;oi.i;:;.ro:_ IJl.ol ños de ;[irbor vida. (iI) ¿e-40 a¡os et árbol A ha crecido 50 cms. menos que eI ár__ UUI D. flrrÉ|" (I I I ) Luego Ae sus 30 primeros años =u'll';U'lH,5'03'?3J el árbol A crece en :^d._clecimiento
c) I y II
juntos.
(
.
ssucgde ucede I
-árOoí-8
Ioo' mi mismo smo aaIl irr.,^l D.
(¡ Ju
Ye¿
+r'ffi: i:
Julio y Eduardo hacen un viaje de 300 kms en moto, al tenándose cada uno en el manejo . Se desea saber I a vel oc'i dad de Jul io sabiendo que cada uno de ellos maneja B horas y las velocidades a I as que l4anejaban eran :constantes. (l ) Ju]io manejo'+g krns. más que Eduardo ( I I ) Jul io Manejd 0 kms/hr más que Gui I I ermo '
Y
a)Sólol d) I y II
b)SóloII e) Fal tan' Datos.
c)I ó II
)
3e,4
OSCAR ZEVALLOS G.
@-
Hallar eJ área de un rectángulo si : ( l ) ta diferencia de los cuadrados (I
i;
il;,Jlj::
a) Sól o I' d) Ambos juntos
II
son represenra¿oi-;;,^ de sqs lados es 24. z números enteros y J os
I y,
b)
i 6 II
. e) Ni nguna de I as ante
c)
Fa'l
ta
máx Ímos
más información
rl0res.
Rauor?amiento !ógico
En
) d) a
clima frío y
húmedo
prosperan particularmente
los tubéréulos corro pa-
cen los pastos, la avena y la cebaprosperen e1 Trigo, el 01ivo y e1 an los dátiles y e1 arroz. a'lmente de pan, con aceite en vez s comían uvas. áBajo que clima vi-
b) VivÍan cerca a
Tropi cal
Roma.
e) Frió y
Temp'l ado
i
.c) Sub.-tropical
Húmedo.
Algo sobrenatural me sucedió ayer, 1e contaba crisóstomo a candelaria. A las 6 de la mañana salf de mi casa, dirigiéndome al trabajo que queda enfrente de mi casa, cuando ya había dado ios primeros 1OO pasos, una fuerza desconocida me hizo virar a la derecha y caminar E0 iasos, en este punto nuevamente me hizo virar a la derecha y caminar 100 pasos -más; yo no podfa resistirme a pesar de que tenazmánte trataba db no caminar, hasta_que después de caminar los i00 pasos anteriores, me obtigó a voltear a.1a-izquierda y ca:'inar 25 pasos más, siempre en ifnea recia recién al final de ello, y producto de''la tensién a lá que estaba siendo sometido, car desmayá¿ó y iá-iuáriá vá ñá iúáá óu'iigJ"*"-á-niau,'isi estuve hasta que tú me encontraste. Dime, éA qué distanc'ia estoy de mi casa? Si fuese Ud. Cande'lar'ia, le respondfa que: a)..a 125 pasos d) a 75 pasos Si , _ n'i ngún animal
furiosos. a
)
A'l
b) a 100 pasos e) a 25 pasos furioso ataca a'l
Entonces
:
gunos gatos no son furiosos.
hombre
c) a 50 pasos y
todos I os gatos
son
3E,t
RAZONAI'{I ENTO LOGI CO
386
OS
CAR ZEVALI-bS
G.
Ztlila es flreiror
t
pancho es mayor que Lucho, Añ\ceto es menor que Anton'io, 6ñ tZ ;;;"hniceto y urdñó ¡; mái vidio que Anionio' [ntonces . b ) Anton'io es el menol'de todosa ) Lucho es el menor de todos . d) An+'on1g es menor que An i ce io . de todos: rnenor la yf 7á\lá ár :
Igunos Gatos no atacan al hornbre. ll-ingun gato ataca al hornbre. Ningun gato deja de atacar al hombre e) Ni nguna de I as anteriores . b)
Si
y
A
á) Ninguna de las anteriores'
.
Todos I o's no fumadores son ahorradores l{i ngún vegetariano es fumador, entonces
I 1o es 1 i gero , €l a-' Si el verde es pesalio, e1 roio e! 1i gero'. S i el amari o el amarillo l-i es eI verde Pesado o Pero otra' ni zul no es ,ou'cósa'
:
gero. Poflota¡to':t \ otra a I ni cosa ' a ) El Azut rio es ni ligeros' bi El amarillo y el roio s9nazul es nP f\ 0 el roio es ligero o el
) Todos I os no fumadores son vegetari anos . ) Ni ngún vegetari ano es ahorrador . c ) Al gunos vegetari anos son gastadores . fT Todos los vegetarianos son ahorradores. 'e ) Todos I os no f umadores son no ahorradores . Si todos los plantígrados son lentos. a b
@
Y Todos
los osos son plantígrados, entonces
i El verde Puede ser e ). Fal tan Dato s .
'¿
:
b) I'lingún oso es no lento. ) Ni ngún oso es I ento c) Todos los osos son no lentos dl l'.lo todos l os osos son pl antígrados e ) Ni nguna de as anteriores. lbzart, murió antes de nacer Chopin, Beethoven, escribió la 7ma. sinfonía después de morir Mozart. Por lo tanto : a) La sinfonía fué'escrita antes de nacer Chopin. b) Beethoven no escribió 'la 7ma. sino la 9na. sinfonÍa. c) La sinfonía fué escrita después de nacer Chopin. .d) Según la historia Chopin y l4ozart fueron contemporáneos. e) Ninguna de las anteriores es correcta. Si dices 1o que es justo los hombres te odiarán; si dices )o que es in justo, los dioses te odiarán. Pero debes decir lo justr: o lo jnjusto.a
.
1
Lueoo
:
o I os hombres te od i ará n . te od i arán Siempre, alguién te od'i ará.
a) Sól
c) Los hombres no e)
.
b) Sól o I os dioses te odiarán. d) Los dioses no odian.
1
i gero
ni
pesado.
Pesado '
monito con¡erá 2 5 ¡nonitos comen 5 plátanos; en 5 minutos' Luego 1 tanos en :
a)
5'
b
c)
) 2.5',
5 rrpni tos comen 10 manzanas tos se comerán 12 moni tos a
a) 15'
b)
d)
.5'
30
m'i
nutos.
24 nlan zana s
,l
50'
7
10'
e) Lcs
45'
e)
plÍ-
ITh?nitr-,ls
no comen Pl,r tanos. rni nucuántos en nar Determj
.
30'
d
)
N.A.
de el I os ' iCuá n'uo s ciebo tr: En una caia de bombones hay hasta 3 sabores que tengo 3 bombones Cel nlisrc de mar como mínirno Para te¡,er I a ceriece sa
bor?
a)
b)
3
e) ilo se Puede
c) 4
6
En una caia hay 10 Pares
de
saDer.
guantes de col
or
mai^rón
iCuántos guantes se debe sacar neqro. un Par de ia "de que hernos cons eg ui cio necesari amente como ml
n I rno
.y 10
Pa
res de co lo
para tener l a guantes
del
r^
cet't-e -
mi s;r,o
Fernando es üos veces tan v'i ejo como Adel a será cuando César sea tan viejo como Fernando es ahora. ZCuál es el más joven?
col or
a) Adela b) Fernando c) César d) César y Adela t'i e- e) N'i nguna de I as anteriores. nen la misma edad. A es el niño más alto en un curso. En el mi smo curso B es más alto y más baJo que D. De estas afirmaciones se desprende que B, C y D son más bajos que A. (II A es más alto que D y más bajo que C. (rrr D es el más bajo de todos.
otra guarlü3s ne guantes blancos Yguantes un ni ño cont'i ne dos caias, _ una conti negros. los con ve úl a,rcos y I os - revuel ñ.nroi. io,nu lg gu_aniéstoma en que los caia la de guantes 10 azar al óáiprár ¿e-ió¡Oinártos, caia de l9t guantes bl anccs. Si I a caia ;;;t¡nó y 1os pone en 1aene guantes negros. áCuántos guande I os guantes bl ar¡cos conti ja? ahora 4 ca otra I a en tes b'l añcos hay
:
C
(r
Sólo son verdaderas
a) I y II
b)lly
:
Iil
c)l,lly
IIId)lylll
e)l'{.A.
a) 7
que
.
3 / \4
c) i1
d) 2L
e)
Ut
e ) Ni nguna . d) 'r4 10 "4 Nancy y;l:;t'onio' El matrinc' E'l natrimnio Silva tiene 3 hijos : Jorge' i'a.lo y 'r^lal ter' El m'i-Éui*.n. n.io A.l varez tiene cuaiio"tri¡oi' t-násá, y Estéla. Un-hijo de la fami-tr.imonio Castro rien"'¿ás"friiás-: Eleñalai hijas de la familia Alvarez ' 1ía s'ilva, Antoniorse;;;""¿;;-';a-¿á
a)
4
b)
6
,?8r
1n
)_
OSCAR ZEVALLOS G.
n
41
e;andro
a, hija
t,
y juana.
^lil.,
I
q)
T.:tdtarabuela
Lj-.^ r ü-ri iIñii;, J:ll:;,n;i:"Í;.1i"",,]:i !J:.t+a-
;/B'i
va
flJiS:
(zt /'rt \.)/
ínt \Yl ,:l
egc es. pa,.ientÉ
jel
a) Pecro
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ileva,
:
,l
I I
Bien.
c) juan
a) b)
.{
,l
I'::'i;Tfl";E',i :!;i:. ];í l';; ., i::ilütll,i; ,-'j::t: las rnañanas nqriij sube D) gui
rá
já un ,n
arrano
oi.i.i'nJ;;i';üXirSirjlti.
áQuíén es
el
a) Jutio
nffi.',H,^;i;'.:ii'¿ I
i..
4,{
muardo
c
)
_
áQuién es
I'lartÍn
d) F.D.
rt"oi
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)
lJ.A
respondían
I
I
trt:+1i,:,uiUi{::i'siji,¿:il,,; esentados-por imáge;ei co.mptetamen_ nte et cuat ,. .""JJiilitun rus gen -oustosos
a
I 1
.,
I I .l 1
I
I
i 1
l I
.t
g
-*,1
l:¡i-Il:,jE;i.
ra
-
Dios de 'l a Verdad
D'ios de I a
Di
pl omaci
-
a-
D'ios
de J a Menti ra . 'l
Dios de a Verdad . Dios de 1a Dip'l omacia. D'ios
de I a Verdad.
,
a
el
los'puestos de defensa. defensa derecho?.
c) Dom'i ngo
d
)
Enri
que
e
)
Federi co
J
tti"j;iidi:.ruT:J*i.jii'i"ii:ilii t:"?.';"r:ff:':i !li: g::l;,;-#;;;"""Y; ffiiii, ";33T;.?,'i¡i,i: ra fama ¿el oreJüió, ,unr.Jlg,ilruba ir!ri.l.,ir" tos ,
plomacia
a) Andrés b) Carlos
.
En tismpos remcto
rerenciá ¿e
D'i
* * i zqu i erdo . * AroBoris no le gustan
Arquitecto?,
/
la
de I a l'lenti
diferencia del alero derecho que es soltero. Boris, Domingo y Federico son]os únicos solteros de1 equipo, uno de el I os es e'l defensa derecho. Domí ñgo , Carlos y el defensa i zqu i erdo invitaron a un almuerzo a'l ale
a desayunar con ra s cretaria de Eduar hi ó descendei a su secretaria hasta
Dios
Los jugadores de un equipo de fulbito se l'laman Andrés, Boris, Carlos Domingo, Enrique y Federico. * A Andñes no Ie gqsta eI puesto de defensa izquierdo. * La he¡mana de Boris está de novia con el alero izquierdo. * Car'los y e1 centro delantero viven en eI mismo edificio. * y Enrique le ganai"on 200 soles, a1 arquero jugando cartas. * Domingo La esposa del arquero es hermana del centro de'lantero. * Domingo, Carlos y e1 defensa izquierdo, jugaron antes en un equipo. * El defensa izquierdo y e'l centro de'lantero tienen 2 hijos cada uno,
1
t ; s*i,ilr$iilij;j*r
¡, ru }
'ilr¡ fr t,ot Dt i tevar ¡u ..ni|,olíilr:^:l ia planta baja.
Dios de
c
t;l':;,...0i;;3;,1.p;,i:-¡01 3 nroresional
il*lili{i*ii*;,
está a tu
e'l centro:
d)
i jI e) p.o.
se
vló
?
) D'ios de la Mentira Dios de la Verdad Dios de la D'i plomacia - Dios de la l,lent'í ra E ) Fa] ta más i nfonnaci6n.
i
d) Luis
éQuién
Resol
'l Di os de a di p1 omac'i a , contestó : Por últímo, preguntó al Dios de la derecha : iQuién está a tu lado? E'l Dios de 'l a Mentira fué la respuesta. Ahora todo esta claro dijo el hombre : D'i ga Ud. e'l orden en que fueron interrogados los d'ioses.:
I
Ped¡^0, DiEgo,
:
al que
El
í Abogado
ado
E'l Dios de I a Verdad respondió aqué'l Entonces preguntó al Djos que estaba en áQuién eres tú?
áQué viene-
I
DÍegc
identi f icar a cada uno de los d'ioses. Entro'al templ o y preguntó al Dios de I a i zqu'i erda
'l
rl
ábogaclo. El Ingeniero rt'uj ar,rigó'¡;"Luis yi vs der ¡lédÍco. Ingen i ero
e5; :
I
,f,
sabueta
orcjen son
se sabe que^.percro y.el Juan se I,l:ü? mut ütán contador-nc se ;;;";i' rnédÍco. Di
Pero un dfa se encontró a un hombre que parecia un simplón, e ocurr jó hacer I o que no 'l'ograban I os sablos más grandes .
f
,tl
Están en una sal a de Sesiones : Un Ingenfero, Un Contador, Un Los nó*¡;;;-;;1.'nJ 'ui":ii";i,oo :;,,;l (1)
CO
¡
i;iti):¡j
I'ladre Adopt.í
t
RAZONAI'II ENTO LOGI
,{
:T:. :Xiffj,,ij§;¡i T:ir ::,
b) Tatarabuela
ei
),
-,
La ramá del Señor Jor si'lva' hermeno de Nancy y a ser de Éu.iiü.ál""rge AntonÍo;
di A.5uela
,{
rraro",a.,
oa
)
:ll
i
@v
Luis, l.tiguel y Alberto tiene diferentes aficiones y gustos: en fútbol (Universitario, Alianza Lima, Deportivo Municipal). ' Literatura (Novela, Poesfa, Periodismo); Licores (Gin , Pisco, Cerveza)
y cigarrillos
(Duca'l
, Llinston y Norton)
Se sabé que : (1) Migue'l no simpatiza con la U. (2) Al soc'io del MunicÍpa1 le gusta el pisco. ( 3 ) E'l que f uma Ouca] es periodi sta . (4) E'l de la .'U'1 toma cerveza. (5). El hincha de] Alianza trabaja en "La Crónica",
(6) Luis
d'i
sfruta cuando juega "Municipal o lee a
Neruda"
OSCAR ZEVALLOS G..
t f' -t.
4j\'1
.
:)-
(7 tl
3.¡'LL
RADI{ANIEIÜTO LOGTCO
) AI berto fuma tli nston .
(8) Uno de ellos
tbpey
fuma Norton. Sptke
iciones de l4iguel .
lulenciones 3 af
) "U" , pi sco, Ducal . c ) Gi n, Pi sco, Cerveza . -anteriores. e ) Ni nguna de I as
) Aí i anza , Peri od i smo , d ) Ducal., PoesÍa, Gi n
a
b
Cerveza
Butch .
fQutén fqé
Un estudi ante,. U1 obrero,. ly :yn empl eado comenta'n que cada u{¡o de, e'l I o§
fuma una marca
-
: Yo no Se nada del asesinato. l{urrsa yi a Butch antas. Splke es el culPabie, Í6'iov'inocente. Butch es el culpable. Lefty- mintt6 cus;;ido dlJo gue habf a sido. Yo. culpable' Dcpey -: Yo no se nada del asesinato. Red eS elhace aiios. responderá por Bi, el me conoce desde
distinta de cigarrillo . 2
a) Lefty
eI culPable? b)
Red
c
) Dopey
,
Yo f unno Ducal , I e di ce Pédr:o a Juan . Javi er comenta , : " E:l ci garri I I o que no da dolor de cabeza c'uando se'
el Nortón". : "Yo siempre I e invito c'igarr:il.los a mi secrretaria p.arece una arti sta áe ci ne , ! sol amente t á ta, que -Arilona gusta furnar I'lorton o * iCónro se I I ama eI oOr.éro? estudia es
El _ EmpI eado dice el I a es tan bon i
) Javi er o Pedro e) Pedro o Ju&n,
'b
a) Javi er d) Juan
c)
Pedro
Los señores-DaItón, Hegel, Frobenins, Fasulo y I'farx. 5 viejos aficiona dos a Ia crfa de hormigas estaban angustiados por las.depiedaciones I que ejecutaban los osos hormigueros que poseían'5 solteronas. Con la esperanza de controlar a los osos se casaron con eIlas..
iQuién era
eI
a) Dalton.
dueño
b)
de'la
Hegel
eI oso de la Sra. Fasulo'? c) Frobenins d) Fasulo e) N.A.
hormiga muerta por
,11,
Bennri
Torelli,
amable:ranfitrrlóh del más selecto"night club, de Hamtratiros.por una banda de gansters pórciue se atraso en
mek, fué muerto,a
el
pago de'la suma que les daba en concepto de protección. Después de su considerable esfuerzo'por parte de la policfa,
esta 'lo-gró llevan ante e'l fisca'l del distrito a cinco hombres. E'l Fiscal les pregunt6 que era 1o que podfan dec'larar en su defensa. Cada uno de -los hombres hizo tres declaraciones, dos verdaderas y una falsa. Sus dec'laraciones fueron : Lefty : Yo no mate a Torel I i ; nunca tuve un revdl ver de mi propi edad Spike lo mató. Red : Yo no mate a Torel I i . Nunca tuve un revól ver de mi propi B--
dad. Los
.
otros tipos estan tratando de sacarse
el fardo de encima.
-0
d
)
Spi
ke
e)
Butch.
)
)))
392 OSCAR ZEVALLOS G.
PRUEBA DE TIEMPO:
RAPIDEZ
te-ruiirrp..,
?.-
¿Qué
PRUEBA DE
9.-
II I
RAPIDIZ
de
Razonami
100 sores?.
b) $ 35.=
c) $ 45,= d) $ ?g.= parte es el Area sombreada del Area total.
))
#1
Tengo ¡¡arr soles
ento
10 I'li n utos
)'- si ry dasrss«¡res tequedarán zosolesmásdelos Ra¡'aer. ¿cuáÁto a) J 50'=
)) y
cuando rec'¡ ba ,s, soles podre conpramt us-3u I ibrcs co. Luego cada I i bro cuesta :
l4átemátl
30 soles Qr¡e posee
10.- i{al'lar e'l valor nu¡rérico de Pr.sablendo que A s
e) $ 40.-
P
= t-{:{-[(-A) + zB]
aj -12 11.
-
b) -16
I yB'
6
- [-,(-A)]lll
,g)
16
d)
e)
28
24
objeto al venCerse en 246.75 soles ocasiona una perdida de 327.35 soiÉn cuánto hEy que venderlo si se quiere recuperar Io que se pierde? Un 'l
es"'
b) $ 901.45 c) $ 809.32 'e) Ninguna de las anterlores. contes debo de darle a una varllla para tener rrtúrr parte lgualcs? b) H-l d) FpgnOe de e) il.A. c) H+l I a lon§l-'
a) $ 574. 10 d) $ 229,35 12.
-
a)
]l^0 1 5c1 ,, de Io que tendrías despuÉs de recr hi Rr1 'l q,dlulil la soles,.le ra i.r.árr-.or,.*o te lP-:ol:: e qui Aa.f.:]pi.50 o taras si &? cas tu de 60 ,oi.s. rá :.:Il_parre i; ,, fflT[r!..l':^Í:r:3r':]:i;;:r", 'iiiu'j'á! rt -t a) $ 1oo b) $ 40 c) $ so d)$38 e) $Ds rr,- Si .t.r.¡ recibe ZA soles por 3
un
a) $ 40
5.
-
trabajo.
b) $ zo d) La misma cantidad e) f:altan Una persona cobr por
to.*.irío'lñ'I j.lrlli
corta
Su hermano pedro
c) sÍ
Datos.
r un árbol
€
en 'Z partes
.
ztt
tud.
13.-
Después de haber camprado 32 llbros del mlsmo preclo rp sobr¡n 6.50 soles me faltarfan entsnces 12.50 para compranne dos llbros del mls¡p tlpo aq
y
terlor.
recibfrá :
,..i'ii ffir:l
lCuántos
a) $
l:iri::,
lOe qué stma dlsponfa antes de
Ia primra
b) $ 315,50 c) $ 310.s0 d) $
30{
19
14.- En 30 dfas, 64 obreros han hecho 230,400 cajas. cada obrero o¡ dfa?
a) 120
,iCuánto cobrará 15.
b) 110
c) 32
compra? e)
¿Cuántas
d) L4Z
-
$ 608
cajas, fabrlc¡
e) Ni nguna
- Si el perímetrno de un¡cuadrado es 8x, I a mi tad de su ár.ea será : b) 16x2 a ) 32x2 d ) 2x2 c) x2 e) qxZ
,
':!¡ 1
,{I
16.- Juan tiene l0 cénttmos. Sl tuvlera 3 céntlmos npnosr tendrfa, la mltrd de lo que tlene ilorge. üCuántos céntlnrs más que Juan tlene Jorge?
;
a) 7 céntimos d) 4 céntimos
I I ;
':! I I
;"
..it;l
':ii 'I
il I t
..\ i I
I I
17.-
Descomponer
b) 2 céntims c) 13 cénttmos. e) Nlnguna de las anterlores,
el númrc 80 en 2 sunandos tal
que uno üe
ellos sea el trlpie
otro. Entonces el doble de su dlferencla será : *é) b) 40 a) 80 c) 60 d) 35
del
72
f
394
OSCAR ZEYALLOS G. PRUEBA
18.- si en, x' (a+b) dht r a I b son dos núnercs postgvos que rmentan valor, entonces ,rx', : a). Se mantlene
constante.
b)
c) Aumnta.su valor.. e) Ninguna de las anteriorcs 19'.-
si
a) 20
'-
30o
b) 60"
el
.
c)
PRI.EBA
45o
¿:Hr::1,':í':Silí:ilrltr{d:itil;"":!"d)
37o
c) 38
d)
64
?.-
ÍEZ II
2
4acms
nec ?
3.-
32.
b) 2100
375
c) 800
d)
e)
5oo
6 coli'llas se puede hacer un cigarro, si Jorge tiene 47 coli-lCuántas le sobrarcn después de haber fumado e'l máximo número decigarrcs poslbles? Con cada
llas.
b)
1
c)
?
d)
3
4
e)
y c = ;(F
K = C + ?73
32) F.
a)9K =2297- 5F b)5F 9K = -??st c)K d) F = + (F + 381) e) Ninsuna de Jas anter'iores.
í(F+3oo)
resta, I o que al minuendo se le aumenta, se Ie quita al sustraendo; esa cantidad es 15 uni dades. Entonces I a di ferenci a i ni ci al :
En una
a) c)
e)
6.-
5
r
gue expresi ón rel aci ona correctanente a K y
-
750
mtr.os dI Este, luego 10 rEtros al norte y finalmen te l0 netros al Este. éCuál es 'la ¡¡enor distancia entre el punto final.e iniclal en lcs cuales se encontr6? a) 10/lmts. b) rOlfnts. c) 6mts. d) 30 mts. .e) 28 mts.
4.- Si :
5.
de
Un cazador camina 10
a) 0
MPT
Una pintura de 40 cms. de ancho por 55 cms. de largo tiene un marco 2.5 cns. de ancho. lCuál es el árca del marco en cms2?
a)
elrringuna.
e)
DE
TIBIPO; 15 lllnutos
doble der seoun¡{a án.,,.
de
b) 384
395
su valor
iCuáI es el máxi mo núrero de vasos gue pueden ocarse sobre una mesa tángular de 48 x 32 cms. ,si cañ-r.jó tieñ-ünicolcircunferencia
a) 96
2
de
l.-
,ez-es.-jé;má¡ eue-er_terée ánsuro.
:
#
ái Áü*ntiy álsi,l"ri" su varor
un.ángulo de un triángulo es
gulo del triángulo es
Dlsnrlnraye
EE RAPIDFZ
No varia. Aumenta en N.A.
I
uni dades.
b) Di smi nuye en 15 uni dades. d) Aumenta en 32 uni dades.
alteraci6n sufre el producto cuando triplicamos el multiplicando y el doble a1 mu'l tiplicador. a) Se triplica b) Se duplica c) Depende de 'los valores ZQué
aumentaros has(a
d) 7,-
Se queda cado por
multipli e) No se puede deter 6. ninar.
Dentro de L0 años tendre 3 veces la tos años tenfa hace 5 años?
a) b) c) d) e)
20
años
edad que
de ambos.
tenía hace 10 años. iCuán-
La tercera parte de lo que tendre dentro de 25 años. La mitad de lo que tendré dentro de 5 años. La tercera parte de lo que tendré dentro de S.años. thpende del año de nacimiento.
))))l))
))))ii P
OSCAR ¿EYALLOS G.
395
3x(x + y)
P.UEBA
16 .
'
216
DE
RAP
I DEZ
'
#? ancho se han suPetp"t tt'
de l,argo Por 2 cms. 3 rectángul os de 7 cms.gura resul tante . üCuá1 es fi I a como se i ndi ca en de
-
:.. j97
el área de di cha f t 9u-
ra? x
a) ?4 cms? b) No se Puede determinar.
65 es i gual
c)(-2)(3)
b) (2)(3)
d)?16
e)36
c) 32 cms2 d) 42 cms2
o
tl
si se sacan 80 ltros , en este fipnnnto 100
Acef te que con ti ene e'l tanque vale $ 5,600.=, estanque tuviese so] amente $ ?r40C,-, S'l I i tres de Acei te entonces el costo total de dicho
el
vele
a) $ 8,000 b) $ 2,400 I0,- l4arfa, por'lo
menos
más 15 kms. cada
'l
1
fqutdo serfa
e) 34 cms2
:
c)$3,200 d)$4,200 e)$4,0C0
camlna 7 kms. cada
dfa. lA Io más cuántos
f
17.
'l E'l 'l a y José ambos a o kms. diarios puede caminar Jo--
dfa.
-
sé?
t ill.rnl?.-:]*.,1s::1":,'.olll3'll3'ltltli',il ür il'q'ib:r. :H:.::i f;:f:':,::1.:l':lil' ¡l§ I'l' .itl' li :lrll Il:!;! :: ::':: Ii*¿?i.:il:;t" il",qr'[ :l;1.::'1:'1:,:ti.iH'"lloilñ -e{;-li rado de e§te úrtirm lili;.il'.'1,.gá;i ll,li.,lil':l'i§H:
En 1 a ri eura se- t i enen.
CI
v a1
a) I
kms.
b)
c) 7 kms.
ZZ kms.
Ll,.- iCuánto
se debe restar de del núrero que 5e resta?
12.-
a)
10
sl
48 mJembros
a) 4(a+b) Yardas' b) z,ffi cms''
, para que s u resul tado sea I gual a I os ?/ 5
c)
75
d) 55
57
e)
b)
+i
c)
d)
¿&
48
7T
e
)
c)
85
e
u)
cl 15,-
l#=Q
ot
de caday grande hay. I cai as meqr anas dentro' hay 8n total cásl--¿auántas-cáJás 1l as se ponen Alg caia!-"crri
§[ =]
.)
'l'=
+
*
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+
A
b) 4i
-r
c)
try}
d) |tr'*3A+s) É)
a
b
)
;f ;i ;i
?0.-
suma -
no son honestos' hombres ñt hombres, gunos fróm¡res son deshonestos ' son honestos ' iiÁi üü;ó; üúnos hombres so! !oi::11: ^.¡n A1
T;¿;;- i oi-ñórures ,!Pl-l::lonestos ' Ñi;étin ño*bte es dehone§to' 3
4 sl:Aeslcsl, de"l y 'Bi'os t de*'entonces: 3
b)
") H;,in3;:d.
og
oA
unt
€--
de
?
Az+3A+3
es I os hombrcs son hone¡tos' Lü neEac.ión de 1 a prcposi ci ón "Todos a)) Los
Fi-l
suma de 2 números es 7/17 y su producto es,35/44. lCuál es'la de'las lnversas de 1as'inversas de sus inversas?
tr
19.'
l
La
o)
.i +
expresiones es su equiva'lente:
Ft=Q
or '
I8.' si en una caja
b) 250 monedas de oro. d) 625 monedas de oro.
.l
) Ni nguna anteri
Nt nguna.
a
14.- Si : x = 2¡ iCuál de las sigu'ientes
12Tá[6') Yardas.
d) 4'fa6 Yardas.
En un pueblo, por cada 3 peras que Ud. tenga 'l e pueden dar 5 monos, pero aCemás por cada 2 monos le pueden dar 10 monedas de oro. Si tl ene Ud. 150 peras le podrán dar
a) tZS monedas de oro. c) 1250 monedas de oro. e) tSo monos.
z
14kms.
de una asambJea votan a favor de una moclón y L? yotan en c0n t ra y no hay abstenciones. üQué f racci ón voto a favor de I a rnción ?
a) *#
13.-
b)
105
d) 15kms. e)
«irá
:
398
OSCAR ZEYALLOS G.
Pnf.EBA
IE
R,APIIEZ
#
3
8.-
TIEiP0: 20 itinutos
Con 1'0001000 de soles se pueden hacer
tes tiene cada
fajo. a) $ tOC cada
l.-
.esposos
Rárirez tfunen 7 hljas y
-Los ¿Cuántas peñsonas
a)9
cada hlja tlehe un hemnno. com mfnlmo hay en la famllia Ramf¡ez?
b)12
2.- SlrplIflcar
c)16'
d)to
9.-
e)15
399
PRUEBA DE RAPI DEZ #
iCuánto vale cada billete?
como billebilletes hay en
tantos fajos iguales
va'le tanto como
b) $ 1,000 c) $ ZOO
d) $ 2,000 e)
N'insuna
En un Teatr:o hay 1,380 personas. Por cada 3 niños hay 30 hombres y
mujeres.
36
éCuántos hombrcs hay?
b) 600
a) 500
:
faio. Si cada billete
d) 700
c) 800
e)
N'inguna
10.= La base de un rectángulo es el doble
de su a'ltura. Si su diagonal m'ide mts. HalIar e1-períretro. a) 300 mts. b) 150 mts. c) 400 mts. d) 4006 mts.e) 600 mts. 11.- Si el dfa de ayer fuese igual aI de mañana, faltarían 2 días para ser 1015
a) 3.
-
2.x
b)
1
c) o
d) 3x
e)
Ninguna
Con una I ente que aunenta 10 veces el tamaño de los objetos, se va servar un ángulo de l0o . ü cuánto: mdl rá el ángul o al óoié rvarse a
,
vez de I a lente?
.
a) Itbg!"{ t99l b) ite¿ira 1,ooo" c) liledirá 50' Ai Oepen¿e-áé-quien mire. e) t{o variará su medida orlginal.
4.-
un_nlño pesa 0.9 kgrs. más nueve dácinos de su
nlño será
a) l0 kgrs.- b) 0.9 kgrs. c)
5.-
una Tortuga avanza en
trocede
peso.
:
l.t kgrs.
Luego
a ob
trá:
Domingo. iQué día es
a) Lunes
L2.eI
peso del
d) 1.8 kgrs. e) 9 kgrs.
¿Cuántos
13.-
lfnea recta.
7.-
c)
13
kilos
de café de
lg soles el kilo, y quierc ..
ven
Dig?.g como debe dé vender eI kllo de café tostado para obtener la misma cantidad de soles que le ha costado, si se sabe que'éi-ciie ál toitirio--pierde ll5 de sú peso. a'
b) $ le
c)$21
d)
$
22.5 e) $ 2!.5
I'lingúna.
nan I as matemáti cas aceptan .
ga Ud. iganan 6 pi erden? Ganan
$ 31.70.=
y
Z
Cuánto?
b) Pi erden
un
$ 31.70 e) Ganan $
3.
,orul
c) ruo ganan ni
pi erden
=
concéntricas. En'la mayor se traza una la cual es tangente a la menor. iCuál es el área comprendida entre ambas c'ircunferencias?.
Se tienen dos circunferencias
cuerda de 10 mts. de longitud,
a)
15.-
e)
tiene 2l0 limones1os cuales piensa vender a 7 por 5 soles. Florencia tiene la misma cant'idad de]imones los cuales piensa vender a 3 por 2 soles. Un comisionista les propone que le den ambas todos sus lirpnes para que el 'los venda a 3 por 2.50 soles, cosa gue asf ellas no trabaj n y únicamente Ie pagarían el 10%'de Ia venta. Como ellas no
a)
..
d) 10
11
Juana
Di
14.-
tostado.
-a)$20
b)
L2
d) Pierden $ 3. =
un comerciante cmpra 20
derlo
a su paciente una tableta cada 45' ZCuántas table-tas necesita para un trabajo de t horas, si debe dar'le una tab'leta a'l com'ienzo del trabajo hasta el final?
dcmi
b) 8 hrs.
c) 7 hrs. .. d) gh 20, e) Ninguna. trlángulos hay en la figura :
a)8 b) r? c) 14 d) 16 e) Ninguna
b) l4iércoles c) Jueves d) tlartes e) Viernes.
(
cual partl6?
6.-
hoy?
Una enferrrcra da
a)
una hora avanzó 4 kms. y re-'áel I km.. lEn cuánto ilemo sesl-en dtstanclará 25 kmi.-del luntó
a) 5 hrs.
.
100r
m2 b) 100 m2
Un número de 3 1aS centenas a
c)
50 n
m2 d) 25r n2 e) F.D.
de las decenas a 2 y por cifra de a 1a primera de ellas por 7 y a'la segunda
cifras tiene por cifras
5.
Cambiando
por 8, el ni¡nero habrá aumentado en:
a)
)
Absurdo
b
530
e
un i dades
i6.- Al comprar 4 artÍcu'los
)
Fal
tan
Datos
.
c) 430 uni dades .
) Ni nguna de I as anteri ores.
se paga por cada uno un número enterq de soles,di fer€ntes en cada caso. Si el artfculo de menor precÍo costti 3 soles y en total se pagd 19 soles. iCuánto costó'el artículo de mayor precio?
I
)l)))
400
3g
OSCAR ZEVALLOS
a)
s
b)t¡
út
d)rs
)))))))))))))))t)
6. EXAI,IEI{ FINAL
e)Í{osrpltft
401
saber.
EXAITIEN
th
TIEltlPO:
ql f10 tibras. d) 2t librai,18.
-
b) 410 soles
1.-
;i ililsil=;e
Un hombre puede sembrar
.tas
sotes
,,x,,
un campo en . ble dgl Hempo qug emtlei r.-- el pa¿rr. iEn
trabajando
Anterf)270
juntos?
ll,ixH' rlJ#on
i Jo,
\
a)
+
d){ i9.
mi
ho
n
utos
ras.
b) e
+
mf nu
t"Í
tos
) Ni nguna de l as
do
3fiffiIl,;l ---
Anlbal enclerq¡ a.un grupo de i5 pulgas en una caJa y cerradr-- cuadradr cuya árca de m¡ de süs taras valb ¡leoo mz. .Una vez dentrc las pulgqs planean escaparser es asf que la pulga JEFE or{ena-a la pulga }IEDID0RA que averlgue las dlmensldnes, áieai y vclumn del reclnto en gue se hallan. sln coneter nlngún.errror !a pulg¡ iGel camlno, iOh buen¡ suertcl sé Gn-. ulen mantertfa relaclonés urmft§lü, tlg I
a
Eura
) 1oo,f mts, c) 200 mts. d) 160 mts.
a)
b) c) d) e)
b) 5 mts. e) O;g mts. e) Absurdo pues las pulgas no hablan.
a) 3 mts. d) 30 mfs.
2.e.
Hal'l
ar
(mo
- nT
un
ladrlllo
slones sean
c!¡esta.$
el
cuadrr
slblandO que xo
!
3.
4go
-
En
de
13zo
N
49"
Irss.
costarcn
l0 ladrlllos
cuyas dlmen
ple de {cuánto las dlr¡enslones del ladrlllo antárlor?
b) 288 sol es. e) ?,144 soles.
a) 214,40 soles. d) 2 ,880 s o'l es .
.
Si : a // b // c y d//
COQUETA,
ne un pulqulrl?
b
-
v8 a buscar a
mtro.
a) Z\OE mts.
2C.
.
Ia iulga !,|EDID0M, y dislmulando su frlt¡ -rme acerca de lo que le enc¡r96. tonE e olvida de muchoi de los drtós-rccol área de las paredes vartlcrles I parte del volumn de Ia caltr Jun-: nno-os y las pulgas utlllzarr las mluna¡ I com el mlsmó slstema de numr¡cldn i tud ll amada "pulqul al.'r, dl ferente a
.
de
160. 5cmts
nstantes
¡
ga
anteri ores
I NAL
30 minutos'
horas'
11 ]arsi.gui ente f i gura que ha sido formada partf de sus puntós *.diór.'-ñ;íiltrr -0, cuadrados -illrra Cal cut e Ucr. luperponiendo si se sabe que' la aiagonat ..1 fI
e)
F
-
c) 134 soles.
una rotacldn de una rueda de esmerilirr s€ mueven 2N x 10'6 kgrs. , Determinar el númert de rotacloñei-neéáiáitái paiá remóver x 1O'3 kg rs . del ml smo mtal . metal
rrtac! ones . c ) 500 N rot¡cl ones . ) Nl1 ,000 ) ngun¡ d. I ¡s anterl óres . 4,- sl se compran I f bnOs 'a prec'l os que varf an entre 10 y l5 sol r§ y se vrlÍlden a pr€clos que varlan entre 30 y 42.50, ¿Cuá'l es la mfnlma süñ0¡cla que se puede obtener al vender .40 'l I bros?
tl
940
9oo F. D,
5,000 notaci
a) 60 so] es. d) 950 sol es
E¡ra
-,81
ones
500 rotaci ones
. .
b) e)
.
-t
800 so'les. c) 600 soJes. Nl nguna de I as anterlolres.
3 por 5 de una cantldad es drá entonces al :
48 equl val
a)
b e
7s%
b
)
707,
48.
c)
4?%
Sl
'l
o expnesarms en tanto, por
d) 60r
e)
cl ento
Nlnguna.
ilj
403
402
OSCAR ZEVALLOS G.
/
EXAI'IEN FINAL
$§
son' en número al doble de lrlargarita le dice a Margarito: Mis hermanos
11.-
6.-
y
Pedro
a
a
)' 380
b)
=a
Hallar la
-
c) il4 mesas.
385
c) 204
d)
LzI6
!x ,con a y b constantes y además
+
suma
x
-1
-5
3
5
v
I
5
?t
?
de los valores que
b)+
a)*
10.
33 mesas. 17 nesas.
12.- Hallar 'la suma de :
#.
pi rámi de?
8.- Si : Y
9.-
b) é)
Se ha formado una pirámide de base cuadrada, utillzando en su construici6n, esferas de acero de Iaslmismas caracterfstlcas y cnyos radios miden 10 cms., colocándolas unas. sobre otras y unas al-tostádo de otras. Si en "el lado de la base hqy l0 esferas. ¿Cuántas en total contiene I
l4argarito'tecontesta:Situviera5hermanosmás'ellosserflntantos como Uds. ¿ÓJ¡ntos hemnnos tiene I'largarita? e) Ninsuna' d) 6 c) 3 b) 2 a) 7
Juan juntos?.
a) 22 mesas. d) 1l nBsas.
7.-
Uds.
Juan hace 2 msas cuando Pedro hace 6, y Carlos haqa l0 rrcsas. Si ya llevan hechas g9 mesas. áCuántas rEsas |¡¿ hécho Carlos más que
faltan
c)13
e)
o)
:
a cub
I
i tos
cub i
tos
d)8
e)
b)
16 cubi
t_os
de I
e)
t) ;*
Ninguna de
las anteriores'
c) 64 cubi tos . as anteri ores .
record? b)
a) 70%
+
rr
(- .,e)"-tÍin§üna
'-fP
superar su
:
ti ene una bal anza de brazos i gual és , en uno de Ios cuales se coloca a su vez un cubo hecho de acero y cuya arista mi de I cms. áCuántos cubi tos de 2 cms. de ari sta se col ocaron en el otro, sabiendo además que es tan hechos del mi smo acero que el primero? Dens i dad del ace ro o a d)
+ t}o
13.-ElrccorddeJaimenloscompeonatosesde]80%sobresustiros.Cier. ta vez en una .óliii"iiiniiá ióüí"-ao ii"ói ár va ha disparado 60 tiros el mando 10 de ellos. iüe;";¿dtaje áe los que faltan t.irar, debe acertar como mínimo para
14.
-
El
fas I e
Hernan
di ce
:
c)
72%
a Hernan
le Pregunta
resPonde Hernan le dice
EI
EI
ías
a)
la
¿QuÉ
a a
He
rn an
tres
hermanos
edades ti enen ? Ei producto de sus edades es 36 s us edades es i gual a tu edad ' Fal ta un dato. 'l
Mi hermano
mayo
r
us
a
cabel I o
y la
sLma
argo
ES:
c)
b) ?0
19
go
Ten
:
a
edad de
68%
: :
fas contesta
Entonces
d) B
2L
e)
t?
15.-JuanlediCeaJorge:Si'ladiferenciaentreloquetenemoseslaqui¡ y el total del dinero que entre ambos tene-' ii-ó"rt" ¿e to que'iiánát, nit'ülJol-ri7o-aá io que'tángo' ücuánto tienes? Jorge
le
resPonderá ?
:
a) Tengo los U3 de Io 9u9.tú tienes' b) Tengo I o rni snP que tÚ tl enes ' , con tus datos ;i i,lo Éuedo determi narl o que t ienes ' ¡i Tengo ' I os 6 /5 de I o que tú tienes' tú 1o 510 de los Tenlo, ;i
Se
a) I
- + - ¡, -....""'
a) Indeterminaoo o) 33 1385
Cierta vez estando de vacaciones con mi padre, me dispuse a hacer algunas co{npras y teniendo ya poco dinero le pregunte si me podÍa ayudar -con un prestaflP, mi padre accedió dándome una cantidad igual a la que yo tenfa, luego de asegurarrne que cada vez que yo hiciesé un gasto el me duplicarfa e'l dinero que me quedase. Asf fuf a una tienda y compre por un va'lor de $ 1,200, a mi regreso, ml padre tal como me lo había prometido, me entrego tanto dinero como el que [E había quedado, luego de esto fuÍ a otra tienda donde nuevamente gaste $ 1,200, y volví donde mi padre a duplicar nuevamente mi dinero , y me fuf a comprar un regalo para mi madre. Encontre lo que buscaba a un precio de $ 1,400 pero a la hora de pagar fue grande mi sorpresa ... y mi verguenza, al descubrir que s6'lo teníaen mi bolsillo : ... ¡ $ 1,200 : éCuánto dinero adicional al que tuve inicialmente antes de recurrir a mi, padre por /r'imera vez, debf haber tenido para que luego de que me su cediese, eÍactamente Io mismo que les he contado,'no m ialte ni.me sol bre para comprarle el regalo a mi madre. b) $ so d) F. D',. a)$20 c) $ 2s e) Absurdo.
¡¡
,b
16.
-
.
roia Y- rosa el .tiemPo dobla en edad' Mi I mi llones de años hace . que tenía la ciudad .Una c'i udad
que
dos quintos exactamente
el tiemPo tendrá cuando haYan transcui'ri do mil mittones de años más ift.il es la edad actual de la ciudad? de tos que
))
)
OSCAR ZEVALLOS G.
4i\e,
EXA¡4EN FINAL 1
a
)
c)
e) 17
7A mí I I ones de ai'ics 700,0CC añcs. NÍnguna cie 'l as antericres,
2!,'
C6sar compna cierto número de manzanas a 3 por 10 soles y al venderlas a 5 pcr 13 soles ha perdidc 440 soles. Se hace un préstamo de di nero y csnpra un ntirero de manzanas i gual y al misnp precio de los que compr6ini cl airnEnte. LA có¡:o debe rá de ven de r1 as , s i q ui e re necuperar'lo que ha perdido, Pa gar su deuda -v además ganar 360 sol es ?
.-
s) B sóles cade ¡ilanzdna -? por 14 solas. e) Hlnguna de las anterlores.
.e) 18.
b) 7 '000 mi j I ones de años . d) Fa] tan datos .
-
Hall
ar el
área de
la siguiente figura
a) 12§ mm 2 b) 1136 rrn 2
b) 3 por 11 soles. d) 5 por 14 soles.
c)
1200
m
d)
1400
mm 2
n dr a Angel una ventaja de 157 mtros en una carrera de 2,000 fi18perdiendo por 100 metros. I Cuántos rietros deb'l 6 de haber'l e dado corm ventaja para 1 I egar anüos al 'l rni srno ti enrpo a a nreta?
2
l 90 flrll.
I
i¿¡artf
trosr
e) Ninguna
todos los ountos marcados En la figura mstrada '"[;;;o";i1ñ; AcEG'esü;éuaoiabó-áeladorrTrr
??.-
a) 60metros. b) 57 nptros. c)133rnetros. d) Fal ta saber 'l as v€- e ) Ni nguna de I as anteri ores .
sotl. puntos ¡nedl os ' áomuneada vale :
a)É
En'!
a figura adjunta, se ob-
tZ b)r
Í ndi
cado.
.fz c)Í
serya una lámpara que se ha col gado Cel techo, del rpdo de'! techo
¿A qué dl stancf aquedará?
Si se aumenta el
tal
peso de
la-
d) É.
manera que ha $,i que e'l segrnento de cuerdl coñlpnendido entre A y B quede total n:ente extendi do. I ár,rpara
.
B
A
I oci dades de ambos.
1,9.-
:
de
Consi dere despreci
able
grosGr de 'l a cuerda.
a) R(2 + ,) d) Absurdo
rnts.
el -b)
2R(n + 1) mts. c) n(n 'l Ni n guna de as anteri ores .
) 2C.- En la figura adjgnta ; [§= rrPrt punto neáio de ED v
a) 4
.12 e) 6{
e
+ 1) mts.
?3.
c)
B mts.
d)
14 mts.
tri áneur o ABq Llod::,^r ::,.*1til.'ot3::' fi3ir:l':t'itlil'i:'ijüj que 2' li"''g ón ;i"l':" n:l!#,!¡illnrlihil!"wil"$l* .li:l" il,:' ril:[l'"hiü:Ui:,:#i:llffi',;fit ü:[ir,l sus , ánsu,,?i qug m2 . ióz iáv¡ -el il;gTa,t1:ci saui'énáo l[,' *: ii:t, ,que-iáé'át área del trt rngu ió-Í fi;ilio iüc'ñi
En er
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I
?0 mts. y DL= I mts. HallqlpE, si rrErr es pun !o nBdio áe m, además FE y Df, soñ paral el ai
.y 4 , .,Y
mts.
b) 6 mts.
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e) No se puede.
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..' I
,(
406
24.
OSCAR ZEVALLOS G.
-
En I a si gui ente
IIanos.
a
fi gura
cal cul
ar I a s üma de los
ángulos interiores
27 .
-
) ?,700" ,,
' b) l'8ooo c ) 3,600 o d ) 2, 16o" e)
F.D.
25.-' un tubo.de acero de I
m,. de largo tiene una secci6n transversal colD se muestra en la figura sgte. calcular Ia difercncia entre las áreái de superficie exteríor e interior ¿ér:tu¡ó,-¿á;p;ili;rü et grosor --ae sus tapas' mas no asf er gnosor del tubo qúe es'unifome v aé uná longl tud de 5 mm.
a) b
)
1,500
mm2
pes as de 2 kgrs. y 4 kgrs., Una bal anza de brazos esta equi I i brada.' por 'l respeCtivamente. Tal como Se observa en a figura. El punto de apoyo Se despl aza dos un i dades haci a e'l peso mayor. Luego para equ'i 1i brar 1a bal anza es preci s.o agregar :
a) T2
kgrs. al peso
b)
kgrs. al peso menor.
"q
2
d)
0.32 mts2
e)
N. A.
a'l
pe s
o
r,
d) L2
kgrs. al peso
e)
kgrs. al peso menor.
4
dre de
0.32 m2
.
k
mayo
menor.
28.- E] Sr. Da'lton tlene 2 hjjos únicamente. Sus hiios a su vez son padres de Feuerbachy de Hege'l y Aleiandra respectivamente. iQuén es eI único sobrino del padre de1 primo hermano del hijo del pa--
3,200 m2
c)
grs
mayor.
c) 16
Feuerbach?
a) El sr. Datlon. d
29 ,
-
)
Al ej andra
b) Feuerbach e) Ni nguna de I as ante
Un s i s tema de ruedas den tadas t'i ene
A
?6.- §n la liguiente fiqura tas medrdas estan das en
407
EXAMEN FI NAL
B
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Hegel ores .
guiente
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stri
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da__ se
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sabe además que 13 quetzasr pesan g. 1 .,,r0
F
3i!:"ü0. icuántos,,.J dens" pesa la rnesa mos trada
a)
I
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1764
F
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a l a rueda I ,l e apl'i camos una f uerza en el senti Co que se i ndi ca por la fl echa F, iCuál de I as s i gu'i entes afi rmaci ones es correcta ? :
51
b)
176.4
c) 5292
a) b)
mismo sentítdo que las.manecil.las del l^e-lojA, C, G, H, giran en el mismo sentido. B; D, F, H, gi ran en el mi smo senti dó' que I as maneci I I as del re1 oj. A, C, I, gi ran en el mi smo sentido, contr'ario al de I as agujas del rel oj.
A, C, E, G, I, giran en el
.
d) 529.2
c)
e)
e) Ni nguna de I as anteri ores
N.A.
d)
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cho Y al
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P
to semei ante al
:r.
Ya
ti
enen '?
a
Las sílabas de
Ia palabra buscada llamada T0D0, se encuentran en el ver so formando otras palabras, Ul{0, PRII4A ó PRII4ERA se refieren a la grimera sf_LClC (2'letras) de Ia pal abra buscada, DOS 6 SEGUNDA, a I a sáffi?E-síTáIa-v'así sucesivamnte Analize el verso y ha]]e e] significado de T0D0 y maique la alternativa en que se encuentre
: Pa
ra no te rmi n aE
con un
hueso
Terci a cuatro
ffiftffi,o'l que era PRIMA
iat
muy
CUATRO
lo ajeno le l'l aman
tampoco hurtes
pues a eso TRES
n'i
DOS
provoques un tumuJ to que eso n0 es mas que uR
TO DO
a) a1
Un
b)
Lr0s
PR0BLEMA
c) BARULLO d) ,ALBOROT0 e)
ABSURD0
a)
juego de dados llamado "ingenieros!', se juega con 5 dados y con las "salQr", 1uego de ser tirados aT misnrc tiempo, sB hacen
cant'i dades que
las siguientes eJ operaciones vysr qu : Se sr¡man 2 de ellos, ál resu'l tado se'le resta otra cuáiquiera, al nuevo resultx[o se 'l e multiplica por una de lal?óT que quedan y a1 'resutiaaó se le dívide entiilTl-íTEima cantidad que queda¡ tás operáciones '.-. ha': - I se
cen neEEáñamente en el orden indicado (+', - , r , *'l.-.cierto cía en una sola partida,-Lincoln, Rockefeller'y ltdstrirrgton estan 'disputándose.un automóvil, al iirar Linéoln, l.os dados-miicán: i.s; 6¡ q,
34.
3J.
-
e) Ni nguno
de I
os. anteri
g
res
.
entre eI tota] de ladrillos que habrá que aumentarle a cada torre para converti r'l as ' en torres completas de I argo, sl
á
Cuál es I a di ferencj
,,
a
35.-
- a) 18
15
5
b) 36 c) 84 d) s5 e) 42
33
11
81
27
en
, c) Rockefe'l ler
b) 'Lincoln
a) Was h'i ngton d) Hay tri p1 e empate
stri
1
ponda.
'
sá'lido
d)
41
e)
53
36,
-
a) b)
c)
144 493 250 225 81
5?
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d)
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a) 345
51
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b) ?8?
33
4062
b) 18s
c) 390
213
813
c) s84
d) 65L
600
1209
d) 32s
e) 385
r23
8004
e) t26
37.-
Ni nguna
buci ón quc no cumpl
di os si gui entes casos ' hay unacuatro casos. otros cumpi;-páia_los se si que 1 a rel aci ón p;¿;rñ;;-1 ;- di stri buci ón i ncorrecta Ubi que entonces en cada
En cada uno de
3, 1; al tirar Rockefeller Ie "salen,' : 6,5, 1. 6. Z , y'a Uasniñgion' le "salen" i 2,1, 5, 41 4. iQuién se Ilevará el autornóvi1, si gana el que saca mayor puntaje,, s.iguiendo 1a regla de juego' "IngenieÉos" Nota ; Cada -personaje pqed_e tomar Ias cantidades que.1e han e,l ordeh que más 'le convenga.
c)
19
a) 243
o
con
que no corl€s5
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.-b) 585 , c) 126d) 86 e) 2U 40.
411
OSCAR ZEVALLOS G.
410
- a) 466
393
320
293
b)
158
196
234
65
63
c)
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48
45
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CI-A\E DE RESPIESTAS
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)ector, a fin
e'l desarrol'l o delos cias :
de que pueda Ud. conseguir un mejor rendimiento en Problemas Propuestos, siga Ud.'l as s'iguientes sugeren:-
*
Tome cada grupo de- Problemas Propuestos como un Exainen,
*
Un buen modo de
at-
- a) 459 d) 56s e) 385
39.
resolviéndolos en -
forma global, ciñándose al tiempo indicado, y únicamente, cuando haya enten dido en forma detenida y entendido perfectarente la parteteóricao introduE toria de cada capítulo.
-
resolver un Examen, es el sigúiente : Tenga en cuenta eI t'ienrpo del cual disponel. Dedique tiempo muy corto y prudencial a Ieer rápidannnte todos los proble
-
Empiece luego
-
los que consta el Examen, marcando al mismo tiempo aquel'los que considere de fácil solución, o cuya solución conozca.
mas de
-:
a resolver, empezando por los problemas que considere más simples. No dedique demasiado tiempo a un sólo prob'lema, mejor es que pa se a otros.
Las solucÍones hága1as en'forma ordenada, de
revisarlas
y
comprobarlas rápidamente.
No compruebe sus respuestas con1a clave de
tal
manera que luego pueda -
ellas hasta
que no haya con--
cluído el Examen. Marque Ias alternativas en una hoja aparte. * Luego de conc'luido el tiempo que se le indica, compare sus respuestas con e'l solucjonario y para averiguar su eficiencia proceda de la sigu'iente mane PUNTAJE FINAL
= N9 DE PREGUNTAS BUENAS
EFICIENCIAENPORCENTAJE
N9 DE
PREGUNTAS INCORRECTAS
=t
],
a partir de un 60% de eficiencia de los presti gÍados centros Pre-Universitarios del País. En un esfuerzo editorial bastante grande, dadas las actuales circunstancias, hemos asumido con mucha satisfacción y confianza la divuigación de 1a presente obra que sabemos con toda seguridad tendrá trascendencia en el estudiantado Peruano. Un rendimiento aceptable, es
LOS EDITORES
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cL-A\E DE RESPTESTAS
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PROBLEMAS VARIAD0S. Pág;
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2... B 7D
25...
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3... 5... 4D 8C 9D 10... 13 TzD 148 15... SUMAToRIAS : PRoBLEMAS : Pá9.(35?-354 ) 2A 5... 3A 4C 7B 8B 9B 10... c rzc 15.., A 13E 144 L7C 184 190 SUI-,IA DE I¡lf I ITOS TERMI NOS : Prob. Pá9. ( 358-359 ) Cc Dc Bd 6D 5C 4C 3C 9D 8D 10D D
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5... B 3.. . B 4A 8... 9C 10... B 13... B 15... 14D ?0... 18.. . B 19C CONJUNTOS .- PARTE A : Pá9. (?89-29L ) ?D 5. .. c 3... B 4,., 8D 7D 9D 10.:. C0NJUNT0S .- PARTE B : pá9. (304-309 ) 2... 3B 4E 5.., E 7... 8D 9A 10... 12... 13 15... 144 18 20.., 17,.. 19D SERI ES : pR0BLEMAS PRoPUEST0S . -pá9. ( 320 -3?2 ) 2... 3C 5B 4A 7... BD 9E 108 12.., c 13 A 14... B 15,.. E , t7. . .',C 20... A 18D 1.9... D 2D 7B L2D T7B
SERI
5... 10.
( ZZZ-ZZ4 ) 3... 4E 8D 9D C0MBINATORIO.- pág. ( Z3g-243 ) 3... A 4... A 8E 9... 13 c 14... c 18A 19. .. A 23A 24... A 288 29. .. c
VEL0C_IDADES: PARTE C-.-
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INDICE MATER¡A CAPITULO NO. I
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Phn dC ¡OlUClón . r ¡ r . . . ¡ . . . . . ..! . . . . . .
Glucr¡rra¡olvlrolProbl¡m¡... r,.. ¡. r... ¡t Ent¡ndcrctprobl¡rn¡ .... r. r. ! r..... r r.. lmrglnarunp!¡ndc¡oluclón .. s........... i Rarllsar d ptrn qu¡ llovrr{ ¡ l¡ goluc!ón . . . . . . t . R¡p¡¡rnüo ¡t problcme . . . i
CAPITU LO No. 2
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4OPERAC¡ONES FUNDATiENTALES
CAPITU LO No.
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OPERAC¡ONES COMBi tt,tiDAS.... r. r.. t..... y Dlfor¡ncla ! - Sum¡ y Dlf ¡ronol¡yCocl¡ntt... Coclcnto. Sum¡ r. ! ¡.. - Dlf¡roncle Unltrrl¡ y DllorencS¡total . !. t. .....
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CAPITULO : PORCENTAJES . . . . . . . . . . D¡flnlelón {Ttnto por Clonto Proble mr¡ ¡obrc Porcant{cr!
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lCr¡o. llC¡¡o. lllCato.
..,.t... l.- Problrm¡¡ ¡obrc Dc¡cu¡nto¡ succ¡lvo¡ . . .
utJ.- Problomr¡ ¡obrc V¡rlrclon¡¡ porcontu¡lot Problom¡¡ X/arlrdo¡
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-, I l.- Problcm¡¡ ¡obrc V¡rlaclon¡¡ porc¡ntu¡le¡ - Probloma¡ Vrrtrdo¡
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CAPITULO No. S !
FRACC|oNES...... D.f¡n¡c!ón. Cl¡¡lllcrclón - CrDaÍac¡oña¡ h3 Fracc¡cna¡ - Frrcclón d. con Fr¡cclón - PnDb!.m.¡Rarualto¡&br.Fncclon.¡.... - Probl.m.r Progu.ttor CAPITULO NO,3 PROMEDIOS 0
Dcflnlclón.McdlaArltmétlca ........ .... - Mcdh.Gaomátrlc¡. Mcdl¡Armónlca . . . . . .
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Pro§lcmas Rasuclto¡
CAPITULO No. E : OPERADORES. . . . . . ..,. .. . . . . - Doflnlclón dc ODcraclón Matomátlca. .
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GR¡PTO ARITMET|CA
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CAPITULO NO. 7
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Probtomas Propucetot
CAPITULO No. 9 : ECUACIONES EXPONENCIALES . . . . . . ., . . . . . Brcve Rcsurnrn dc lr¡ rrl¡ lmportrnt¡¡ t¡ya¡ dq la tGo.
rla detxpongnt0¡ . . . . . . ., . . . . . . . . . . r . (
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CAPITULO No. IO: ECUACIONES . . . ?
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CAPITULO NO. T4 : ANALISIS COMBINATORIO Factorlal dc un númcro
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CAPITULO No. t 5, :
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CAPITULO No. f 3: VELOCIDADES ... ..... r r.... ¿...-. .... ... 7 Problcma¡ Re¡ucltog rcbr¡ h¡ urloolcl¡úr¡ . . r . . . Movlmlgntocnelml¡mo$ntido.. !.. t .... -. . i....'. - Movtmtsntocn¡cntiddcontrrrlo..
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CAP,ITULO No. 2t
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AREASSOMBREADAS . .. . . . . . . Trlángulol, Cuadrllátrrof, Cfrculo¡ . . Problgmr¡Rg¡uclto¡.. . .. . ElerclClós . . . . . . . .., . . . .. Problcma¡ Propua¡to¡ ., . . . . . . . CAPITULO No.t6
ProbF¡nr¡ ?roPu¡¡to' At
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RELACIONES METRIGAS EN UN TRIANGULO
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Proyecclón de un Punto 3obre unl R¡ct¡ . . o . . . . . ........... ,,..¡., - TgoramadcPitágort¡ Aplicaclón dc lr¡ Rthclo n¡¡ Antcrlort¡ r lr Clrcuof r. fenCla ...... ... r..... .. ......
Triángulo¡ Rrctángulo¡ Conocltlo¡: Pltr¡órlco ., ¡ Dc 30' y 60'. Trldngulo R¡ctf n¡ulo l¡ó¡c¡lt¡ . .
... ..
CAPITULO No. I7 : CONJUNTOS..¡t............. . . . . . . . Concepto.Not¡clón.Dcfinición . . . .. . . .. . . . . . Cla¡osdeConfuntos . . . o 1..... lnctu¡ióndcConluntó3 ....'... R¡prc¡¡ntaclón Grfflcr dc l¡ lnelu¡lÓn . . . . . . . . : Elrrclcto.sB-Gguctto¡ ....,. i.
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