TEORICO . PRACfICO
MANUEL COVEÑAS NAQUICHE
INDICE
l. 2.
3. 4. 5. 6. 7.
8. 9.
Numeración ....................................................................................... ,................. Teoría de Conjuntos . •• . ... _.......... __ ..... __ .........__ ...... __.... __ ._ .. . Series ... _.........,............................ _............. _................................. _........................ . Teoria de Exponentes .........
n
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Sucesiones y Progresiones ..................................... . Ecuaciones Exponenciales ... ___ .......... __
Operadores Matemáticos ...... __ ..... __ ....... _____ .... ____ ... . Cripto Aritmético ..... ............................................................................................. Trazos y Figuras .. ................... .......................................................... ,..
10. Angulos ............................................................................................................ 11 . Cuatro Operaciones ........................................................................................... .. 12. Planteo de Ecuac;ones ........................................................................ 13. Problemas sobre Edades ................................................................................ 14. Probtemas sobre Flelojes ................................................ 15. Cinemálica ...................................................................................................... . 16. Surnatonas ............................................................ ............................................. . 17. Conteo de Figuras ................................................................................. : ............. .. 18. Prot:rlemas sobre Cortes. Estacas y Pastillas ..................................................... .. 19. Razones y Proporciones ........................... ....................................... ................... .. 20. Promedios ........................................................ .................................................... . 21. 22. 23. Fracciones ........................... ............................................................................... .. 24. Porcentajes ......................................................................................................... .. 25. Productos Notables ................................................................... .... .. ..... ...... ........ .. 26. Valor Numérico ............................................................ ....................................... .. 27. ProblelTlas sobre Relaciones Familiares .. ........................................................... .. 28. Test de Cuadro de Des;C¡ones .............................................................................. 29. Ejes Coordenados ............................................................................................... .. 30. Razonamiento lógico Matemático ....................................................................... 3l. Problemas sobre Rumbos o Direcciones .............................................................. 32. Regla de Tres .••....•...........•.......•.. ....•......•.....•... ..••................•••............•....•............ 33. Problemas sobre Orden de Información ............................................................. .. 34. Factorial de un Numero Natural ..... ..................................................................... .. 35. Análisis Combinatorio .......................................................................................... 36. Probabilidad ..................................................................................•....................... 37. P«Xiudoria ............................. .............................................................................. .. 3B. Relaciones y Funciones .......... ................... ............ .. ............................................. 39. Desigualdades e Inecuaciones ..........................................................._................ . 40. Valor Absoluto ...................................... .............................. ................................. . 41. Escalas y Gráficos ................................................................................................
~=::~=~~~~.~~~:::~:::::::::::::~:~:::::.::::::~::::~::::::::::::::::::~::::::::::::~:::::::::::::::::::
Yl
37
69 99 103 129 }43
161 179 >87
_a05 .... .231 251 267 287
301 323
~
:sª89 395
427 4ff7 479 487
490
4!i9 ~15
64Z BS7 SSl
'!i!ll f¡97 611 621 625 643 663 669
42. 43. 44. 45. 46.
Logarilmos ................................................. .......................................................... Evaluación o Descartes de Datos ..... Relaciones Métricas ...
....... ,..... ,....,.... " ................................. ..
Areas y PerílT\elros .................................................................... ......................... . Exámenes Tipo Admisión ........ ...... .... ....... ..... .... ........................... ...... . Examen 1 ... ........................................................................................................... Examen 2 ....................... ............. " ...... ,...... ,.......... ,....... ,.".,
Examen 3 ................................................ .. Examen 4 .. __ ................................................ .. Examen 5 .......................................... .............. ... . Examen 6 ............ ...................... ......... .. ........................... ........................ Examen 7 ..............................................................................,................... ,.... , ...... Examen 6 ..... ,...., ...........................................................................__ ..................... . Examen 9 .............................. ...............................
Examen 1O... ,.... " .... ,................. ,............... " .... ...... ,...................................... ,.... .. 47. Psicotécntco ................. .
681 691
703 713 747 747 751 755
759 763 767 771 775 779
783 787
NUMERACION
1
• Numeración: En vista de que la serie de los números naturales es ilimitada aparece como un prob lema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente: si a cada número se le da un nombre distinto aparece que para nombrar, por ejemp lo los mil primeros números habra que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta casi imposible pero, además. ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos números que vienen a continuación de mil? Además al hombre no sólo le es necesario nombrar los números, sino Que debe representarlos por símbolos adecuados. Pero, sin duda. el problema de encontrar un signo para representar cada número nos parece todavfa más dificil que el de encontrarle un nombre.
la teoria de la númeración enseña el modo de resolver estos dos problemas. Un sistema de númeración es un conjunto de reglas que nos perm ite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y 5;gn05 o cifras.
.. Base del sistema: Al número fijo de unidades de un orden que se toman para fonnar una unidad del orden superior, se le llama base del sistema. En el sistema usual la base n : Base del s;stema es diez, y lo explicamos en esta abcd(o) O n : { Es un número entero lección. luego explicaremos el sistema binario, cuya base es dos.
Observaciones:
positivo mayor que 1
1} abe jn)
C>
Se debe cumplir que: ¡a b< < nn
c
-
abcd(n} = efg(m)
~
~
4 cifras
3 cifras
.. ( n< ~J
C> :.( n > a ; bYC )
Ii 3} -aoc(.) - -e!9ímj I
Si :
a
~
.. El Sistema Decimal: la palabra decimal viene del latín decem Que significa diez. nuestro sistema de escribir numerales para representar números se basa en agrupar de diez en diez y por eso se llama sistema decimal. Oecimos Que la base del sistema es diez o que es un sistema de base diez.Usando diez como base y la idea de valor posicional. no necesitamos más símbolos que los dígitos in.doarábigos para escribirnurnerales para cualquier numero cardinaL Por eso.llamamos numerales indoarábigo$ a los
que usamos. A fin d~e repasar el sistema para escribir numerales, estudie el siguiente cuadro.
Base Diez
Dígitos Decimales: 0,1 , 2,3, 4,5,6, 7, 8, 9
Analisis de
un numeral
Indoarábigo (En base diez}
Representación Literal de los números:
'} ab: Cualquier número de 2 cilras o digijos. (10, 11 , 12, ......, 98, 99} Nota:
El menor número de Jos cifras es ellO SI el mayor número de 2 cifras eS el 99.
")
abc : Cualquier número de 3 cifras o dígitos. (100. 101 . 102.. ........ 998, 999)
Nota:
... )
El me"or número de 3 cifras es el 100 JI el mayor número de 3 cifras es el 999. 3abc: Cualquier número de 4 cifras Que empieza con la cifra 3.
1/1 Número Capicua: Es aquel
número cuyos dígitos equidistantes de los extremos son iguales. es decir se leen igual por "ambos lados", veamos algunos ejemplos:
')
aba :
101, 111. 121. 131 •............... ................ ... .... . 202: 212, 222, 232, ..................................... ..
")
abba
: 1001, 1111. 1221 . 1331 . ....... ............... .. ; 2002, 2112. 2222, 2332, ..................................... ..
y Relativo de las Cifras:
>F Valor Absoluto
1)
Valor Absolulo de una Cifra.- Es elvaior que loma unacijra por la formaD fig..-a
'1)
Valor Rela1ivo de una Cifra.- Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa en el número.
I
EjemPlo(j):
ValorAbsoluto=3
Ejemplo
®: r Valor Absoluto = 5
8326
65184
l. Valor Relalivo = 300
L
Valor Relati~o = 5 000
• El Sistema Binario
En el sistema binario, agrupamos de dos en dos. Hoy en dia, las modernas computadoras electrónicas que utilizan el sistema binario (en base dos) y, en cierto modo también el sistema octal, han venido revolucionando la ciencia. Pueden completar en pocos minutos cálculos Que a un hombre le tomaría años. El diagrama siguiente ayudará a comprender el sistema binario.
Base bos
Dígitos Binarios: O, 1
~ ~" 1
Valores Posicionales
.
Base Diez 64 + 32 + O + 8 + 4 + O + 1 = 109
Nota:
El, el sistema de 11úmeració/J decimal o de base diez se utilizan los dígitos de O a 9 para escribir los numera/es coftesponJientes a cualquier número cardinal. En el sistema binario o de base Jos, se necesUan únicamente Jos dígitos, O y J para escribir el numeral correslwluJielJte a cualquier número cardillal.
El simbolo 11 (2) se lee de la siguiente manera: "Uno uno en base dos" lo cual signffica un grupo de dos y uno más. (1'12.;1(2)' t') El símbolo 101(2t se lee de la siguiente manera: "Uno cero uno en base dos" lo cual significa un grupo cuatro cerO grupo de dos y uno más.
(10" 2) ; 1(2)' t 0(2)' t , ; 1(4) + 0(2) + 1) Observaciones: t)
En todo sistema de numeración se utiliza la cifra O.
11)
La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es el valor de la base menos uno.
Ejemplo:
324 15. abed In)
111)
La mayor cifra disponible es el 4, porque la base es 5. La mayor cifra disponible puede ser Ó d, tomando el valor de (n - 1).
~ cualquiera de las cifras a, b, c,
En los sistemas de numeración mayores que el de base 10, por convención
se utilizan: Principales sistemas de numeración: Sistema
Base
2 3 4
5
1I 11
6 7
8 9 10 11
12
11
n
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Eplal Oclal Nonario Decimal Un decimal Duodecimal
Cifras Di sponibles
O. 1 0.1,2 O, " 2,3 0,',2,3,4 O. 1, 2, 3. 4, 5 O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 O. " 2, 3, 4, 5, 6, 7 0,1,2,3,4,5,6,7,6 O. 1, 2, 3, 4, 5,6,7. S, 9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 0,1,2,3, 4, 5,6,7,8.9,10,11
.. Descomposición Polinómica de un Número: Sea ,el número:
N
=
abcd ..... .............. xyz(n) "m"cifras
Descomponiendo polinómicamente se obtiene: ( N = a.nm ., + b.nm . 2 + e.nm • 3 + d·nm • 4 +
= • Descomponer polinómicamente un número es expresarlo como la suma de los Valores Relativos de cada una de sus cifras de dicho número.
Ejemplo (!):
4735 = 4 000 + 700 + 30+5 Q QQ.;) 3
2
1
4735 = 4xl0 + 7x10 + 3xl0 + 5 T J T
1IJ
T
J
1
EJemplo®:
872(9) ~ 8_9 + 7-9 + 2
Ejerr-p
5463(12) = 5-12 + 4-12 + 6-12 + 3
EJemplo@:
abcde n = a·n + b·n + e·n + d·n + e
Nota:
2
3
--
4
2
3
2
Como se podrá observar en la descQmposjcjón /X'linQm;ca de un numero, el exponente Je la base e/e cada térmilJo es igual al número de CEras que quedan a la derecha de la cifra considerada.
Ejemplo:
.. Descomposición en Bloques: Llamaremos "bloque" a un grupo de cifras, como lo veremos a continuación: Sea; el número:
abed; descomponiendolo polinómicamente se obtiene:
abcd = a _103 + b-10' + c-10 + d
abcd = ab -1Q' + cd
LB/oque;r ... Descomponer polinómicamente por bloques los siguientes números:
~~
i.
= ab ·l0' + a b = ab ·1DO + a b => :.¡abab = 101 ·ab ¡
ii) =
ab x l0 000 + ab x100 + ab :) . . lababab =- 10 101 x ab
iii) abeabe = abe x l03 ~~
t
I
abe
;;:. abcx l 000 + abe
:.Iabcabc
=:::)
= 1 001 abe I
.. Conversión de Sistemas:
[primer Caso: I"de un sistema de base "n" al sistema de base
10(base decimal)"
-b: Método a Emplearse: Descomposición Polinómica.
EiempIO (j) : Convertir: 546(7) a base 10 Resolución: 2
546(7 ) = 5x7 + 4x7 ' + 6 => 546(7) = 5x49 + 28 + 6
= 279
:;;) ·-· I S46 = 279 1 m
Eiemplo @ : Convertir: 2013(4. a base 10 Resolución: 20 13(4)
= 2x4 3 + Ox4 2 + l x4 ' ....
3
2013(4) = 2x64 + O + 4 + 3 = 135 => :. 12013(4) = 1351
**
Método de Rulfin;: Ejemplo 1 : Convertir:
2013(4. a base 10
546(7) a base 10
Resolución:
Resolución :
5
(7)
Ejemplo 2 : Convertir.
+~ 35
5~ 39 :. 1546 (7) =
~
273
1279 1
~I
oDO +
2
G)
"
~2
6
+
+
32
132
33
1t 351
". 1201 3(4, = 1135 11
ISegundo caso, ¡"del sistema de base 10 (sistema decimal) a un sistema de base "n°. *
Método emplearse: Divisiones sucesivas
Ejemplo 1 : Convertir: 583 a base 2 Resolución:
583
18
I Ge...../izando: I
I Ejemplo 2 : Convertir 672 al sistema cuaternario. Resolución: 672 1 4 27 ita 4 32 -8 42- 4
® ®
-2 101 4
•. 672: ®2200(4)
\J\.,
ITercer caso' I "Del sistema de base "n° al sistema de base "k' ; n ~ k ~ 10". * Método a emplearse: En pomer lugar. el número de base (n); se convierte a base Diez.
En segundo lugar, el número obtenido se convierte a base "k" .
Ejemplo : Convertir: 235 m a base 3. Resolución: En primer lugar convertimos el número 235", a base diez (sitema decimal)
235", = 2 x 7' + 3 x 7' + 5 .. ... 1 235(~ = 1241 Luego los números as! encontrado: o sea 124 lo oonver1imos al sistema de base 3 ; mediante dvisionessucesivas.
•
Conversión de Sistemas en los Numeras Menores que la Unidad.
Primer caso : 1 "Del sistema de base "n" al sistema de base 1O"
EjemploC!): Convertir: O,abcde(n) al sistema de base 10.
.. ResoIuClon:
~_.
a
bcd
n
n
O,abcde(Jl) = - + 2 + j
e
+ , . + "5
n n Ejemplo(j): Convertir: 0, 123,., a base 10. Resolución:
0.123(4)
I Segundo caso: I
1
2
3
= 4 + 42 + 4 3
; efectuamos la suma de fracciones:
"Del sistema de base 10 (siterna decimal), al sistema de base n".
Ejemplo(J) Convertir: 0,390 625 al sistema de base 4 • Resolución:
I Operaciones: I 0,390625 x 4
~
1 ,5625
x4
,25 1,00
x 4" x4
0,390 625 ..
625x 4
390
~
----y--'
J..
0,25 x 4 = 1,00 T .L.
0,00 x 4 = O
-
Nota: Solo se multiplican las partes decimales.
0,121(4)
0: Convertir.
1,5625
0,562 5 x 4 = 2,25 T
..
0 ,390625 = 0,121(4)
Ejemplo
~
~
(Estas cifras deben ser menores quela base)
0,251 2 al sistema de base 5.
Resolución:
IOperacIones: I
(::'¡~ :: • 251
1 4
,00
2x 5
x 5 x 5
c---'-.
O,2512~O,I112(5'
0,251 2 x 5 = 1,256 0,256 x 5 = 1,28 0,28 x 5 = 1.4 0,4 x 5 = 2,00 0,000 x 5 = O
O ".1 0,251 2 = 0,1112(5'
ICasos EspeciaJeit de Conversión: Dado el número en base tln" se le separa en grupos de "1<" cifras a partir de la derecha. El número que se forma en cada grupo se convierte al sistema decimal (base diez), donde se obtienen las cnras del número en base n'.
Ejemplo(J): Expresar: 1101110,,) al sistema de base 4.
Resolución:
tiJ;
®:
La base 4 < > donde: k ; este valor de 2, nos indica que debemos separar en grupos de a 2 de derecha a izquierda, veamos:
base (4):
1232 .00 1101110121 ; 1232(4)
Ejemplo
0: Expresar.
1101011(21 al sistema de base 8.
Resolución:
®:
La base 8 < > {iJ: donde: K = este valor de 3: nos indica que debemos separar en grUrJS de a 3 de derecha a izquierda, veamos: I
ha." (2):
1T
1 101 011
~.
·
11
base (8):
1I
153
022 011(2) ;2 + 1·2 + 1 101(2); 1·2 + 0·2 + 1
;0 ;riJJ
1(2);1D~
..
11101011(2); 153(8)
Segundo caso: " Cel sistema de base n'" al sistema de base otn" ", k
Oado el número en base n de cada cifra se obtiene "k" cifras al convertirse a base "n-.
Ejemplo ([): Convertir. 232(4) al sistema de base 20
Resolución: la base 4 < > 22 , donde: K = 2, este valor de 2. noS indica que cada cifra del número 232. genera 2 cifras en base 2.
base (2):
1011 10 :. 1232t•• = 101110(,. 1
o Ejemplo
1
®: Convertir.
465( •• al sistema de base 2.
Reso(ucJón:
f!J ;
La base 8 < > donde: K = @; este valor de 3. nos indica que cada cilra del número 465, genera 3 cifras en base 2.
base (8):
base (2):
'rL~.~c,:. O 3 2
---
lOO 110101 : . 1465tO) = 100110101 (2) 1
Ó 6 = 110(,.
1 1
(prOblemas Resueltos) Prob/ema(j): Hallar el valor de "n°. si: A) 6
6)7
123(0. = 231(5)
C) 8
D}1 O
Resolución:
Descomponemos polinómicamente: 123(0. = 231(5. Obteníendo: 1·n2 + 2·n + 3 :: 2.5 2 + 3·5 + 1
E) 9
n2 + 2n + 3 = 66 n2 + 2n ~ 63 ~ O ; factorizando se obtíene:
~_ t.~ n
Donde:
X
+9
(n . 7)(n + 9) : O ; igualamos cada factor a cero
---r ---c
'i'
Iii) Nota:
n+
9: O ".
.'.
1n = 0911
De los Jos valores que loma nn": osea; n ;:; 7 Y n :;; ·9, sólo lomaremos el valor posifovo. pues la base de un cierto sistema
nunca puede ser negativo.
: . I El valor de "n es: 7 I Rpta. B Jl
Problema@:Hallar el máximo valor de: "a + n", si: aOa(l'I)
Al7
01 5
C)4
Bl8
= (2a)a(2n) E) 6
Resolución:
Descomponemos polinómicamente: Obleniendo:
aOalol = (2a)a(20)
a·n' + O·n + 11..= (2a)·(2n) + "'
~n2 = 4'a¡.
:·In = 41 Lu~o. si "n" toma el valor de 4, el máximo valor que puede tomar "a" es 3 y el mínimo valor que puede tomar . . atl es 1. r ·-a-+-n-'·-=-3-+-4-=-7'1 Rpta. A
.. I
. T
T
Problema@: ¿Cuántos valores puedes
T
T
.
tomar "b· para que se cumpla:
aoab(6) = bb(2b)
A) O
B) 1
Cl2
013
Resolución:
Descomponemos polinómicamente:
aOab(6) = bb(2b)
Obteniendo: a·6' + 0·6' + a·6 + b = b·10' + b·10 + (2b)
....E14
216a + 6a + b = 100b + 10b + 2b
ma=lttb Donde:
2a = lb
Como se podrá observar "b" puede tomar los valores de 2 y 4 pues ~ no se
toma. porque lo máximo que puede tomar
y 4; osea "b" toma 2 valores.
Rpta.
e
problema@,' Hallar: "a + b + c" si: cee (8) = ab1 6) 12
A) 11
C) 13
E) más de 14
D)14
ResoJucion: Descomponemos polin6micamente el númerO del primer miembro:
c-a
2
-t
-
e-S + e ;;;; abl
64c+6c+c= abl 730 = abl ; ahora buscamos un número que multiplicado por 73 O termine en 1. siendo este el 7.
7
73(7) = abl
511 = abl
Tq
'!Ir
I
; por comparación de términos: la = 51 Y b = 1
"a + b + c' = 5 + 1 + 7 = 13
T
W
T--.J
Rpta.
T
I
e
®:
Problema En que sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226.
1\) 12
6)11
C) 13
O) 14
E)16
Resolución: Del enunciado, planteamos la ecuación siguiente:
370
= 226("1 ; descomponemos polinómicamente el número del segundo
=c::., miembro:
370 = 2.n 2
-1-
2 ·n + 6
364 : 2(n' + n)
182 ; n(n + 11
""
----E:.
:. 1n : 13 1 Rpta. C
13(14): n(n + 1) => .,....
T
---r-
Problema@: El menor número de 4 cifras de base "n" se escribe 2ab en el sistema decimal. Hallar: "a + b + n· B) 12
A)6
C) t3
O) 14
E) 15
Resolución: Del enunciado. planteamos la siguiente ecuación:
Recuerda que:
1000(0); 2ab
1) El menor número de 3 cifras en base 3 es: 100(3)
1xn3 + Oxn2 + Oxn + O = 2ab n3 = 2ab ; dando valores a "n~ , se cumple
- El mayor número de 3 cifras
diferentes en base 3 es: 210(3)
para: 1n ; 61; veamos: '-----=-~~----~ 6
3
;
2ab => 216; 2ab : por comparación de lénnlnos. a; 1 Y b; 6
.,-
Tr I
:. l"a+b+n"-1 +6+6;13 1 Rpta.C
Problema(f) : En que sistema de numeración se realizó: 41 - 35 A) Duodecimal B) Senarío
:=
5
Cl Undecimal O) Nonario
E) NA
Resolución:
Sea: "x" la base del sistema empleado. 41{x) -
32(.. 1
= 5()!) ; por descomposición polinómica, obtenemos:
(4. + 1) - (3. + 2) ; 5
,..,
4x+ 1 - 3x-2;5 =>
...
1x : 61 (Sislema Senario) Rpta. B
Problema@:Hallar: "x + y" sí: xyy (9)
A)9"
B)8
;
(y + 1)(y + 1). (7)
C)7
O) 6
Resolución: Descomponemos polinómicamente: xyy (9) Obteniendo:
-
(y + 1)(y + l)x (7)
x(9)' + y(9) + Y = (y + 1).7" + (y + 1)-7 + x 81x + lOy
= 49(y + 1) + 7(y+1) + x
E)5
Transponemos términos:
81x - x = 56(y + 1) - 10y
80x
""E.-...r = 46y + 56 ; sacamos mitad a cada termino
40x
= 23y + 28 ; por tanteo, "y" toma valor de 4 Q
4
40x = 23(4) + 28
=> :. ~
40x=120
:.1T"x + y" = T+ T = 71. Rpta. e 3
4
T
prOblema G): Si:
1010 (101,) = 1010
A) 9
8)4
C)3
E)7
D)5
Hallar el valor de "x". Resolución:
- En primer lugar. descomponemos polinómicamenle la expresión: 101. 2
101,,=1 .X +O'X+1
=>
2
1101><=x +11
Reemplazamos el valor hallado en la expresión inicial: 1010 (x 2 • 1) = 1010
Descomponemos polin6micamente la expresión del primer miembro, obteniendo: 2 2 2 1-(x + 1)3 + 0·(x + 1)2 + 1(x + 1) + O = 1010
(x:¿ + 1):.l + (x:¿ + 1)
= 1010; factoñzamos en el primer miembro: a
(x" + 1)[(x" + 1)2 + 1) = 10[101) -C I
TT
Por comparación: Problema
x? + 1 =
@ : Si se cumple:
10 =>
l =9
=>
.',
Ix =31
Rpta.
e
xxx (11) + XX "1) + X ",) = abB
Calcular: "a + b - x"
A) 10
B)8
C)7
D)3
E)4
ResolUción:
Descomponiendo porinómicamente cada lérmino. obtenemos: [x(II)'. x(ll) + xl + [x(ll) + xl + x = ab8
133. + 12. + • = ab6 146x = abe; 146 debe multiplicarse por 3 para Que el producto Q termine en 8. 3 146(3) = ab6 438
TU .'.
= ab6 TTI
rt
: por comparación: 1a
= 41 Y1b= 31
·-a-+-:b- -- --, x":-=- 4 - . -3- -- 3- -_ 4 ' Rpta. E t
Problema @ : Hallar el término 50 am. en la siguiente serie aritmética: 123(n) , 128(0) • 132(n) •....................... A) 396(n)
B) 319(n)
D) 389(0)
E) 315(0)
Resolución: Como se trata de una serie aritmética , la razón es constante, veamos:
12~~:~.)l~32(n) •... ....................
r Donde:
Ir= 128,o, - 123,n,1
r ......... (1)
5 = n-6 .-. t n = 11 t
Reemplazamos el valor de "n~ en la expresión inicial: 123(11)
e5tosnúmerosfos
1
128(H)' 132(11) ,................. ( convertimosabase10
---r
~ ~
-r=
)
I
(111' + 211 + 3); (Hl' • 2-11 .8) ; (111 2 + 3·11 + 2); .............. .
?
I
I
f
146 ; 151 ; 156 ; ......... .
'----" '----" # de térmínos ~
último - primerO)
=(
razón
T
Obtenemos:
+ 1
-146
50 =
so -==--:,-+1
49 =
T 50 - 146 5
5
I
"".·. T 50 = 39 1[
El número hallado 391, lo convertimos a base "n" osea a base 11 . veamos:
391 ~ 61 3s~
®®3
..
391
= 326,,,. = 326,". T
",---"íJ
Problema
Rpta.
e
T
@: ¿C6mo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números: 545 (b) ; 7a3 (B) y 6b5 (a)
A) 25~61
E) 425(61
Resolución:
Analizando cada uno de los números dados, osea:
545 M ; 7a3 (B) y 6b5 (a)
O O ~~
obtenemos:
O
;- Si
~
J
(de estas t~es relaciones deducimos que: )
la-7Iy lb=61
)
<
545' bf = 545'6f = 5(6)' • 4(6) + 5
Luego:
= 12091 (# menor)
=
7a3 (8f = 773(8f = 7(8)2 + 7(8) + 3 = ~
6b5,af = 665(7f = 6(7)' + 6(7) + 5 = 134
ti (# mayor)
Ahora convertimos el númerO menor (209) al sistema de base (6).
209~ 29
~
® @5 "-' V
r:>
1209 = 545(611
~==-
I
_____--,I
El menor de los números es: 545(6) Rpla. B
Problema@ : ¿En que sistema de numeración se cumple que el mayor número de tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema de numeración?
A) 6
B) 7
C)B
O) 9
E)10
Resolución: Sea; et mayor número de 3 cifras de base
x --+ (x - 1)(x -1)(x - 1) (')
Del enunciado; planteamos la ecuación:
(x - 1)(X - 1)(X - 1) (,) = 57(x - 1) Descomponiendo polinómicamente se obtiene:
(x -1) x' + (x - l)x + (x - 1) = 57 (x - 1),
faetorizamos (x - 1) :
(x - 1)[.' + x + 1) = 57 (x - 1) )(2 + X + 1 - 57 = O ](~ +x-56=O
xx
x
8 -7
Igulamos a cero cada factor:
x+8=0 .... x=-8 )(-7=O~
x=7
Tomamos el valor positivo 1x =71
Rpla. B
Resolución: Sea el número de 2 cifras: ab Número que resulta de invertir Sus cifras: ba Del enunciado, planteam os la ecuación: ba - 5 = 2ab ; transponemos términos
~
1llt
-~
'; 5. descomponiendo polinómicamente, se obtiene:
(10b + a) - 2(10. + b) = 5 lOb + a - 20a- 2b = 5
; por tanteo, "b" 10ma el valor de 3 y "a" toma el valor de 1.
8b - 19a = 5 {)
{)
3
1
8(3) - 19(1) = 5 (cumple)
. . El producto de las cifras del número ab
= 31: es:
_=~=3
Problema
~.B
@ : Se tiene que
A) n + 1
2
xOxOx (n) '; xxx 1m) : la razón entre m y n es:
B) n - 1
C) n
Dl 8
El 1
Resolución : En I~ expresión: xOxOx (n) = xxx (m) ; descomponiendo polinómicamente:
x_n4 + 0_n3 +x,-t! +O·n +X,; x·m2 + x·m +x xon4 + )( on 2 '; x·m 2 + x·m; factorizamos "'x" en ambos miembros x(n4 + n 2) '; x(m 2 + m) ; simplificamos las "x". 4
n + n2 = m2 + m; por comparación de términos
ICD
~ n" = m'& =>
!n> = m 1 I I@u I
Luego. hallamos la razón entre m y n 2 osea: Rpla. E
IPROBLEMAS PROPUESTOS I Problema [}: Hallar el valor de ~n·: si:
Problema ~allaf cuántos vakl res de "a" satisfacen: a (2a)a = 11 . aa
401 In) = 203(n~2)
A)5
B)6
e)7
All 0)8
e)3
B)2
E) 5
Ol4
E)9
Problema@:Hallarel valnr de ~n· ; ~i:
Problema
@ : Un numero de dos cifras de
baso 7 31 convortirco a baso " EO ropresenta por las dos cifras pero dispuestas en orden in-
verso. DICho número es:
A)8
Bl9
ella
E) 12
O) 11
problema@: l-lallar el valOf de "a + b "; si: atb(9)
A)5
Bl6
=
Bl12
e)7
E)9
0)8
C)2.+1
Bl··3 E) a+ 1
@:
Al 237,
B) 16(10)" E) lOO"
PI 124"
el 11
B) 18
Problema
el26
Problema @:Hallar: en + )1"; si: 123[n} = 17)(
B) 12 El Más de 14
Al 11 O) 14
A)3 Dl 12
El 13
0)28
El42
0: Hallar: "a + b"; si:
B)7
el6
Dl5
El4
prOblema@: Hallar: ·x +)1"; si: xy",) = y"m
Al4
B)5
el6
e) 13
0)7
e) Cualquier entero E) Mayor o igual qu e 4
Bl4 Ol Moyor que 4
Problema @: Encp.;e sistemadenu meración se cumple que: 7 x 7 = 61 A) 12
Bl9
elS
0)7
E)6
@:
ab'B) + ba(9) = 1abm
Al8
e) 143"
(12(.~2 = 144,.)
Problema @:Hallar"m + n" sabiendo que es lo menor posible y que: 66(m) = 88(nl
Al 39
El 9
Problema @:Hallarelvalorde·x" en:
aaaa(5) = )(yS
Bl 10
Olla
Problema ¿Cual de los siguientes numerales representa la mayor cantidad?
Problema@:Hallar: "a + x + y"; si:
Al9
epI
bba(6)
Problcm!!@:S;:"a" es menor que 3. como se expresa a33(9) en el sistema de base 3. (Dar como respuesta la suma de sus cifras). A) •• 2 O) 2•• 2
Al13
El8
Problema Cuánto es la séptima parte de la diferencia de las cifras de un numero de 2 cifras que es el cuadrado de la suma de sus cifras.
Al2
B)l
el217
O) 117
E) N .A.
Problema 16: Si: )(53(1) = 1x1 x¡SJ; hallar el valor de ·x",
Al2
Bl 3
Problema
el o
@ : Calcular: -(a + n)"; si: aaa(l2)
B) 13 Problema
Ell
01 4
Al 9
Bl 8
Problema
@; si: iiTi = (a - 1) (a - 2) (a - 3) '"
Al9
Bll0
Problema
e) 117
01 207
Problema
el sistema de base ocho. ¿Cómo se escribirá en el sistema ternario?
B) 1012 12,31
O) 10111 2,3)
E) 210 11 2(3)
Problema
C) 210111'31
7a3 e ; 545 b Al 252, B) 352, e) 333,
B) 174.., El 153(0)
A) 4
Problema
e)7
;
6b5 • O) 418, E)12Bg
0) 8
El 12
@:
Hallar n-: si: M
4 2(0»)( 32(0)
=
2 004(nl
A)6
pqr = 210315):; 1a7(8)
B) 6
359 El 363
C) 135..,
Problema @:Calcular: ·p + q + r-; si se verifi-
ca.:
O)
problema@: ¿ComoseeSCribe en base 9 el menor de los siguientes números?
9 el número: x (x - 3) (x + 2)'6)
O) 186.)
+ 12b{Cl + 15a(b) + 14C(9)
Bl 360 C) 362
@ : Escriba en el sistema de base
Al 147.,
Ele
0) 3
@ : Calcular en base decimal.
1 35{al
Al 361
. M20011 2",
el 6
B) 5
E) 501
@ : El n úmero 764 esta escrito en
Ele
01 7
aaaO(1l) = abOab(51
A) 4
Jf¡ 57
el l l
: Calcular: "a + b"; si;
Problema
Entonces: n (n - 1) (n · 2) (n .. 1); en base diez se escribe como:
A)18
si se cumple:
"XM
__ looxi'f4f¡!) =_ xOO_+ 10x
Ell a
011 2
El 5
01 6
@ : Calcular
= (02) nlOta)
ee
el 7
B) 7
el8
Problema ~ : Si: a5
0) 5 (9)
ac (9)
Problema @ : lndlCar la suma de "(a + b)"; si:
E) 9
+ Hallar: Ma x b x CM
bbc,,)
(20) O (211)(5) = aba,, )
abe (9)
A)3
B) 4
Problema
el 5
0)7
Ele
@ : El me nor n úmero de cuatro
Al 60
B) 72
C) 48
01 30
E)42
cifras del sistema duodecimal se expresa com o
Problema@: En que sistema de numerad6n
133 1 en un sistema c uya base es: 13(nr ¿Cálcular el valor de "n"7
se cumple que e l m eno r, n úm ero de 3 cifras es igua l a 6 veces la base?
A) 6
B) 7
@:
el 8
0) 9
E) 11
Problema El mayor número de tres crtras diferentes de la base 6 se escribe como 3abc en la base 4. Hallar: "8 + b + c·.
B)4
A) 8 0) 6
e)5
E) Faltan datos
@:
Problema Un número escrito en 2 bases Que se diferencian en 2 unidades está repre-
sentado por 123 y 172. Hallar dicho número en el sislema decimal.
Al146
Bl120
Problema
C) 138
01140
El 102
@: Si: 34(11) ;;; 5O(n . 2)' A
equivale
55(1'1)"
Ál 40
B) 38
cuánto
En el sistema decimal.
e) 42
0150
El N.A.
@:
B)7
C)8
0)9
A) 7433 , O)
Problema Si: m (m + 2) (m - 3)60 = xYYrr¡; Dar el valor de: m .. )( + y
Al6
Problema (4t¡: Hallar el mayor número de 4 cifras tal qu;;;1a suma de sus cifras sea igual a 17. Dar como respuesta el número expresado en base 8.
El15
Problema@:Respecto a un número se cumple que: escrito en una base cualquiera está formada por 3 cifras máximas y escrita en una base que es el doble de la anterior se escribe con 2 cifras también máximas. Hallar el número en base 9.
Problema@:EI número 102 se escribe como 204 en base (k + 1). Hallar el valor de "k·. A)5
B)6
e)7
0)8
El9
e) 36710(8,
BI47211(8, E) 16313(6'
2311~",
,
BI54(9, 1')70(8'
ProblelJ1a@: Dado el número "N- de 10 ci· fras:
Problema @:Calculeel valor de: "x + n". Si:
all0ll0ll0",; Hallar "N" en base 8 . 3)(Y(I1)
A) 10
B) 12
= 304(9)
e)14
0)16
El18
F
Problem~: Si a~b - (%) a (% Hallar el máximo valor de -a".
A)5
B)6
Problema
e)7
D)8
B) , 666,., E)7 616(6)
A) 6 166", O) 6 616(6)
@:
Problema Hallar un número de 3 cifras, cuya cifra de las unidades es 8, si este número se le suprime et número 8 el número resultante es los 4/41 del número original. Da, como respuesta la suma de ofras del número original.
E)9
6Bl : Hallar el valOr de "a" si el nú-
mero ~ es el producto de cuatro números consecutivos.
e) 6661(B,
A)10
B)11
Problema
e) 12
•D) 13
E) 14
@ : Hallar el valor de ~S"
s= 1010(2)" 1010(41 + 1010(61 + .. ,-.. + 1010(16) A)l
B)2
Problema
e)3
D)4
E) 5
@¡ : Hallar: (b - a); Si: ") 1OO~2?,., = 2072."
A) 4
Bl6
el8
Dl3
El5
Al 5 220
B) 10440
016960
El 8 352
e)6860
Problema@: Calcular: 3m + n~; si se sabe que los siguientes números estáncorredamente
escritos:
ProbIema@:S': 1010(101 J::: 1010; Hanarel valor de "n"
Al9
B)4
ppo(l1}
(n)
e)3
D)5
E)7
A) 12
B)13
e)14
0115
E)16
Problema ~: Si: ab(1) = ba(Il)" Determinar el valor de: "a + b"; sabiendo que "n~ está entre 20y30.
A) 3
5) 324 E) 432
A) 360
0)405
e) 486
Problema @:Si;
8)4
Problema
0)6
C)5
E)7
@: El siguiente resultado: 36b ...
216a + 37 se ha obtenido después de descom~ poner el número.
A) a (b - 1) (b)2'6)
B) a(b) (b + 1)(6l
C)aO(b+ 1)1 ,,,
O) a (b+ 1)01,6,
E) b (a)(a + 1)~l
Problema
(a - 4) (a) (a - 4),,, = xyyz,,,
Hallar:·x + y + z·
A)6
"í e)4
0)7
E) 8
Problema @:Si: 1 331 (o) = 260m); convertir: 43(fI) a base 10. A) 22 O) 25
@ :Si se cumple que:
B)5
e) 24
B)23 E) 26
abab(n) = 221.
Hallar 91 valor da: (33 + b + 20)
C/a"" de Respuestas
~
A) 17
8) 13
e)18
0115
@:
Problema En que sistema de numera· ción se cumple que: El mayor número de tres cifras excede en 436 untdades al menor número de tres cifras significativas (cifra significativa es diferente de cero).
A)4
B)5
C)8
0)11
E) 14
Problema @: Determinar cuántos números en la base cfiez cumplen lo siguiente: a (2b)c'12l = (3a)bc'8l
A) 5
918
e) 10
DI?
E)16
A)17
8) 18
e)19
12.C 13.0 14. e
= 2553(m) O) 20
E) 21
@:
Problema Al número abe se le restó el núncro roa. y en el resuftado se observ6 Que la dfra de unidades era el doble que la cifra de cenlenas. Si: Ma + b + c" es lo máximo posible. Hallar: "a . b . e·.
l.A 2.0 3.C 4.A S.E 6.C 7.8 8.0 9.0 10.8 11. O
Problema @:Hallar: Mm + n + xM; Si: 120x'01 = 64x
1
E) 21 15.8
29.6
43.8
16. O
30.8
44.0
17.C 18.6 19.A 20.C 21. A 22.0 23.C 24.0 25. A 26.8 27. A 28. A
31.0 32. A 33. A
45. B 46. A 47.C 48.0 49.C SO.C 51.8 S2.C 53.0 54.C 55. 8
34. E
35.8 36.C 37.B 38.B
39. A 40.C 41. O
42.E
g
Se multiplica ab(9Jpor un segundo factor, si al primer factor se le disminuye en la suma de sus cifras, el producto se reduce en su mitad. Hallar:
~ ~a(t5J . ab(14J + ba(t3) - ab(12J + ba(lI) - ab o.. bo
,.,..., - .¡ t.
.et
~ Razone~
Un número se escribe coma: aaba y cbaa en los sistemas de base 5 y 6 respectivamente, expresarlos
en el Sistema Decimal y dar como respuestas la suma de sus cifras.
IRespuesta:
12
I t:.UHIA ut:.
CONJUNTOS
I
IDEA DE CONJUNTO
I
Todas tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección. agrupación, asociación, reunión , unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstracias. Los integrantes puedensernúmeros, letras, dias de la semana, alumnos, paises, astros. continentes. etc. a estos integrantes
I
NOTACIONES EN UN CONJUNTO
I
AlosconjunlOS Se les denotará con letras mayúsculas A, B. C.... y a sus elementos con letras minúsculas; a, b, e, d •.. .
1Q
Ejemplo:
==-
P={m, n, r, sl
I Elemento del Conjunto "po' I
en general, se les conoce como "Elementos del conjunto",
2
g
El símbolo empleado para expresar que un elemento pertenece a un conjunto
Ejemplos:
"'S ~F
a)
El conjunto formado por los primeros
b)
El conjunto formado por profesores de
e)
un colegio El conjunto formado por los actuales
veinte números naturales
Ejemplo:
P = (m, n, r, s,}
@ I(El elemenlo'n~ pertenece al conjunto "P1 I
presiden1es de los países de América. Latina
d)
El conjUnlo formado por la carpelas de un salón de clase
Sin embargo. el concepto que tenemos es un ~CoocepIO
Intuitivo", el cual no es correcto
pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elemenlos locualconlradice la idea que teníamos. Ejemplos:
a) bJ e) d)
E\ conjunto c::onstituido r.-or las plantas que dan flores. El conjunto de ciudades de la SIerra peruana Elconjuntode números naturales menores que 5 y mayores que 4 El c::onjunto de personas mayoreo; que 400 años de edad
~
El simbolo utilizado para expresar que un elemento "no pe rtenece"a un conjun-
to es: ,{ Ejemplo:
P = {m. . n, r, sl, Q¡t P
I
(El eremenlo "q"
4°
no pertenece al conjunto"P1
I
Cuando un conjunto "R" está constituido por varios elementos como por ejempl o: a, b, e, d, e. f, los escribiremos entre LLAVES
R = (a, b, e, d, e, f)
IDETERMItIACION DE CONJUNTOS I ~rExteI'Si6n: )
Un conjuntos "A'" está determinado por exten· sión cuando se mencionan uno por uno todos los elementos o cuando. si son numerosos, se meooonan los primeros de ellos (y se colocan puntos suspensivOs)
A = (lunes, Martes, Miércoles. Jueves, viemes, Sábado. Domingo)
2.
B= (O, 1,3,5,7, ... )
Sin embargo, no todos pueden ser delerminados de sobre lodo cuando el número que constituyen el conjunl o es
es un día de la semana)
Se lee: "El conjunto A esta formado por todos los
elementos ')''' que satisfacen la condición de ser un día de la semana",
Ejemplos:
1.
A = (xf'x"
los conjuntos
esta manera, de elementos muy elevado.
Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjuntos de estrellas del universo.
Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos queticncn muchos elementos. A esta otra forma de determinar un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.
Otra posible respuesta seria: "A eS el conjunto constituido por todos los elementos"x" tal que x esun diade la semana" EJemplo
2
Por extensión:
B = (1. 3, 5,7 .... )
PoroomprensiOn: (Una posIlIe respuesta seria)
Se lee :
"a es un conjunto formadoporlosefementos "1(" tal que '"x" es un nUmero ;ropaf y "X- pertenece al conjunto de los números naturales", EJemplo 3 Determinar el conjunto de las cinco vocales
( Por Comprensión : ) Por extensión: Un conjunto A está detenninado porcomprensión cuando se enuncia una ley o una funcIÓn que permite conocer Qué elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto A. Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejem-
A = {a, e, i, 0, u}
Por comprensión: A = {x/ · x" es una vocal}
1Esta barra indicada s'ignifica "tal que" l Ejemplo 4 Determinar el conjunto de los números pares naturales menores que 15
plos: Por extensión:
Ejemplo 1 Por extensión : A = {lunes. Martes, Miércoles. Jueves, Vier· nes, Sábado, Domingo}
Por comprensión: (Una pasilIe feSPUes1a seria)
B = (2, 4, 6,8, lO, 12, 14) Por COmprensión: B = {x/Y es LtI lUneto par natural menor que 15} Se lee:
"B~
es el conjunfo formado por Jos Y, tal que
"xl> es un número par natural menor que 15. CLASES DE CONJUNTOS POR EL NUMERO DE ELEMENTOS ( Conjunlo Unitario: ) Es aquel oo....uoto que tiene un sólo elemento . Ejemplo!J:
1.
El conjunto del adual presidente de Argentina
2. 3.
0= {x/3
4.
R = IY E N J3< y< Sl
5.
G;IOl
( ConJunto
O'
Indica ausencia de cantidad (es
un número, más no un conjunto) (tfJ); R epresenta a un conjunto de un sólo elemento. el ekf11'-nto "tfJ lO
!ConJunto Universal: (o UnIverso) J Esclconjoou l o Que contiene. comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos , se le simboliza por la le- ' - - - - - - - - - - - - ' tra U ,gráfica.mentese le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (unorualquiera) se coloca la letra U.
s.
v~
Es aquel conjunt') que no tiene elementos. Se le representa por la letra 4> "se lee FI". También se le representa por un conjunto que no tiene elementos dentro de las llaves. AsI por ejemplo:
0: 11
consideramos como un conjunto uni· versal al sistema universitano de nuestro país, entonces cada universidad x, será elemento de dicho universo. El conjunto de libros de una Biblioteca determinada. puede ser otro ejem· plo, sus elementos serán cada uno de los libros de los que consta. El marco de referercia es relativo. de modo que podemos referir como conjunto universal por ejempo al Conjunto de Bibtiotecas de la ciudad
( Conjunto Finito: )
Simbólicamente se define como:
1; {)(Ix" xl Ejemplo: A = {Es el conjunb de mujeres que ti enen 3 piernas} Comosehabrádadocuenla no ex,:ste flfnguna mujer que posee 3 piemas, por tanto, este conjunto carece de elementos y oeclmo5 que es un conjunto vacfo.
NOTA: lO}; Representa. a un conJ~'1.tO de un sólo el.(!m.(!nlo. el nlÍmero cero.
Es aquel royos elementos se pueden contar en forma usual desde el primero hasta el último. El numero de sus elementos se llama cardinal de conjunto.
EjemplO$:
1. 2.
{El número de carpetas del salón} {24 675 gramos de Brena}
3.
{Hojas d e un árbol}
4.
{Números enteros entre 1 y 20}
( Conjunto
InfinIto: )
s. contarnos no se llega nunca a un úttimo elemento del coníu nto se ltama intW1ito o indefinido.
Ejemplos:
(1) (2)
{Punto de una recta} (Es infinitO) {Números enteros mayores que 100) (Es infinito)
NOTA: Lospunl ossu.spensiv~ ooooo en tre dos elementos se leen ~y asi sucesioomentehasto-oEsospuntos como lerminación, se lee "'y asi suct!siuamenle"
C _ (b, d, a. e);
En es1e caso se observan las siguientes inclusiones:
Be A;C e A;A e c En cambio los conjuntos C y D son incomparables, porque ni ~C" incluye a ND", ni "O" incluye a ·C", es decir:
Ejemplos:
D¡fC ;.C$Z'D fin~o
(1,2,3, ... 100)
es
(1 ,3. 5. 7. oo.)
es ¡nl¡nito
Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos inclusiones e e A y A e C, eslo quiere decir, sencillamente. que A::: C o
IRELACIONES ENTRE CONJUNTOS I ( Inclusión: ) Se dice que "AHestá incluido en el conjunto "B", cuando todo elemento de A, pertene· Ce a -S"oLa inclusión Se simboliza por " e "o AcB
7I.EA
-H
-+
xe B
También se puede decir que A es del conjunto B. Se puede denotar por B :> A, que se lee "8- incluye, contiene o es un subconjunto del conjunto A. Ejemplo de subco!iunto o inclusión es el Siguiente: subco~unto
Si:
D - (a. e, e)
( Conjuntos 19u1Jles:) Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elemen[Qso Su forma simbólica es:
A _ B. Nótese Que decimos los mismos elementos que no es igual a decir el mismo número de elementos. De la definición podemos ¡nfem que: A :::
A (Todo conjunto es igual a si mismo). Ejemplo 1
Si:
P = (Perros)
A - (1, 3, 7, 9, a, b) B - (a, b, 9, 3, 1, 7)
M = (Mamíferos) Entonces se tiene:
P e M ("P" está incluido en HM")
e
Se lee:
~Esta
incluido en"o
Su negativa es: ~ :>
Se lee: "Incluye a"o Su negativa es; ~
Sean, por ejemplO, los conjuntos:
A = (a, b, c, d);
B = (a, d)
Entonces: A ::: B pues son los mismos elementos aunque estén en diferente orden oRecuerde, no importa el norrbre dado al conjunto sino los elementos que lo 1orman.
Ejemplo 2
Si:
C = (a, e, i, o, u) D _ (a, e, o, 4, i)
Entonces C .,. O porque a pesar de que cada conjunto tiene 5 elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento diferente para que ya no sean igualeso
Esto es; número de elementos de A; es n = 3, de donde:
( eonfunlos DIferentes=-)
rl-2-'-=-S-S-ubc - O-n-ju-n-to - s' l
Dos conjuntos son diferentes si sus elementos no son iguales.
I
Ejemplo: A ={m, n, p, q}
REPRESENTACiÓN GRÁFIC'-A- D - E' CONJUNTOS
Se pueden i....uir muchos sistemas auxiliares para visualizar las relaciones. Enre con-
B = {r, s, m, p}
juntos; k>s más conocidos son los Diagramas
_. lA'#. B (~ : significa no igualo diferente) I
UneaJes y
I
[Con/unt08 Disjuntos: ) Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ning(rn elemento en común: es decir, todos sus etementos de un conjunto son diferentes a los etementos del otro conjunto.
tos de Venn-Euler
DIAGRAMAS UNEALES
I
Son segmentos de rectas que ilustren las relaciones entre conjuntos.
I
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
I
Consiste en graficar mediante círculos. etipses, rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que s e labora. Generaln lenle los puntos interiores a un rectángulo representa al con· junto del sistema .
Ejemplo: A = {O, 1, 2, 3, 4, 5} B = [9,S,7,S,lO}
f~OP~iéi)
Ejemplo:
Se llama
a~;
al oonjunto fonnado por
todos los subconjuntos que es posible formar
de lWl conjunto dado. Se sirrboJiza por P. La notación P(A), se Jea potencUi del conjunto A. El romero de subconjuntos que es posible
S i el conjunto universal lo tounan las letras del alfabeto y además se tienen los siguientes conjuntos: A = (a, b , e, d) B = (e, a, di = (a, dI
formar con k>selementos de un conjunto 8S2";
siendo -n" el nUmero de elementos integ rantes
e
del conjuoto.
Representar las relaciones entre dichos gráficamente .
co~unt os
EJemplo: Si se tiene:
Resolución:
A = (a, b, e),
Observamos que: e e B; además Be A: y como U es el coniunto universal (Todas las letras del alfabeto)
hallar la potencia del conjunto A
Resolución:
La representacoo lineal será:
Se tiene:
.
P[A) = [[a}; lb}; (e); (a,b), (a,e); {b,e}; (a,b,e} ;,)
ISubconjunl os o partes del conjunto Al
~c r,
Elconjunto Deslamás
Q
aoojolk aquel enelque Queda incluido, y asi sucesivamenlf!'.
~
--~
La representación de los diagramas de Venn Eu&er,
u
r7'\\
I A v BI
<:>
A~B
u x
Ejemplo:
m
Ob5ervarque el conjtJ nto"O~ está en el interior del conjunto que lo incluye del mismo mooo "8" respecto a '"N. El conjunto uriversal está representado p:>r el rectángulo en nuesUo ejern-plo. Esta formado por las letras del alfabeto. D c B c AcU.
I
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
I
Las operacKmes entre conjuntos son disposicionesespeclfeasdecooonarconj ..... tospara 10000000r otros, de semejarte estructura . Dichas operaciones son la unión, la intersecd6n, la aterencia, la cof11>lementaci6n. el conjunlo producto o conjunto cartesiano y la diferencia siméfrica.
Sean los conjuntos: A = {a, b, e, d. el y el conjunlo B = {t, b, d}; el universo las lelras del aHabeto. Hallar. A u B.
Resolución: Como tos elementos de Ay B pueóen pertenecersófa a · A"', sókl a "B'" o simultáneamente a ambos, entonces:
Av B ; la, b, e, d, e, 1} Su representación gráfica en el diagrama de Vem-Euler es toda la superficie achurada_
G[) e
( ÚnI6<1 o Reunlón-. )
Av S;I"'x E Avx E SI es decir:
)( e A u B $:> ~ :
){
e A vxe B
significa: "Si y solo si"
Gráficamente. la unión de conjuntos se represenla, en un dagrama de Venn-Euler. achurando la zona donde se encuentran los dversos elementos que pertenecen a los conjuntos: qLK> pertenecen a la unión.
f
m n
d
•
Unión o Reunión de los conjuntos A y B es el conjunlo de elementos ")(' que pertenecen a "A-, a "S- o a ambos, se simboliza por A v B; y se lee: "A" unión "'B·.
Por Comprensión:
b
8
u
p, q, r, .......
Z
IA v B ; la,b,c,d,e,n I I
Propiedades de la unión de conjuntos Dados los conjuntos: A~
la, b, el
S; la, b, e, d, eJ C~la ,
mI
Se cumple que:
I
l.
Por compresión:
IAuB = BuAI
A n B : (xlx e A Ax e BJ
(Propiedad conmutativa)
Es decir:
Ejemplo
XE (A n B)(::)(xE A ,., XE B}
A u B = (a, b, e, d, el BuA = (a, b, e, d, el 2.
IA C(A U Bl A B e (A u Bl
I
Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.
Si:
Ejemplo:
B= {I,3,5, 7,9, lO, 12, 14}
(a, b, e)c (a. b, e, d, el la, b, e, d, e)c la, b, e, d, e) 3.
ISi: Ae B =O A u
A: {2, 4 . 6.1.~. ~.~} = 17,9,10, 14J
G;ll:;ZIc;:::II
A n B:
1
Gráficamente:
B=BI
u
I=> se lee: ~mp/ica'1 Ejemplo: (a, b,el e la, b, e,d, el
la. b, el u la, b, e, d, el = la, b, e, d, el 4.
1(Au B} u e = A u
(B u C)
1,. n B: (7, 9,~
I
Ejemplo; (a, b, e , a, b, e, d, e ) u la, m} = la, b, e} u (a, b, e, d, e, a , m) De cIoncle:
la, b, e, d, el u la, m} = (a, b, e, d, e, mJ ~~~v~~~~a,~ = ~~~da,~
¡IntersecciÓn: J Intersección de los conjuntos A yB es el CClrlunlo de elementos ..](' que pertenecen a "A"ya"B". Estáformado por elementos comunes a k>s COrluriOS Que forman la i1terseoción. Se simboliza por A n S, y se lee: "A" intersección "8".
Problema: En el colegio 'San Miguel" de Piura. se ha
evaluado a mil alumnos en las astgnaturas de lenguaie, Biologia y matemáticas y, se ha obtenido el siguiente resultado. a) b) e) d)
680 alumnos aprobaron lenguaje. 320 alumnos aprobaron biologra. 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje. 50 alumnos aprobaron lenguaje
y biolo·
gía: pero no matemáticas. el
1)
170 alumnos aprobaron biología, y matemáticas, pero no lenguaje. 40 alumnos aprobaron biologia,lenguaje y Matemáticas
¿Cuántos alumnos aprobaJon sólo matemáti·
cas?
Tenemos ya 40 que aprobaron Lenguaje. Biología y Matemática pero, como la condición es que no aprobaron matemática estos 50 alumnos pertenecen s610 a la intersección de Iosque aprobaron lenguaje y Biología.
ResolucIón: Para resolver este lipo de problemas es conveniente errpezar su desarrollo a partir del último dato (O sea: la intersección de los 3 conjuntos). Veamos :
f}
-40 alul1YlOS aprobaron Biologfa. lenguaje y Mate~ttca". esto quiere decir que 40 alumnos son elementos comunes (están en la intersección) de los 3 conjuntos.
u
e)
u Donde:
"400 aprobaron sólo Lengua}e"; estos alullTlos son elementos Que pertenecen al conjunto exclusivo de Lenguaje, es decir no son elementos comunes a los conjuntos -aprobaron Biología·ylo "aprobaron Matemáttca".
L = alumnos que estudian Lenguaje. B = Alumnos que estudian Biología = AllIfJYlos Que astucian Matemática
e
e)
"170alumnos aprobaron Biología y Matemática pero no lenguaje" o sea que. estos 170 alurmos son elementos comunes (esta n en la intersección) de los alunTlosque aprobaron Biología y Matemática
u b)
"320 aprobaron Biologla"
u d)
..SO aprobaron Lenguaje y Biología pero no Matemática-; el razonamiento es s;" milar al anterior.
u
:.lz=901
de la gráfica tenemos: 5O+4O+170+x= 320
(Aprobaron sólo Matemáticas) Propiedades de la Intersección de Conjuntos
26O+x= 320
1x= 60 1 (Aprobaron sólo B/ologla)
a)
~
~
1.1 A"B=B"AI (Propiedad Conmutativa)
"680 aprobaron Lenguaje-
2.
I(A" B) CAl
3·I {A"B)CB I 4· IA C B=>A " B = AI 5. HA" B) "
u
e = A"
{B
"C) I
(Propiedad Asociativa)
De la gráfica, lenemos:
6.
(Prop;edad distributiva respecto a la umón)
4OO+50+40+y = 680
490 + y= 680
· · E~
lA " (B u e) = (A" B) u {A" C)I
7. lA u (B"
C) = (A u B) ,, {A u e)1
(Propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección)
(Aprobaron sófo Lenguaje y Matemática)
Como hay 1 000 alumnos podemos obtener cuantos alumnos aprobaron sólo Matemática procediendo de la siguiente manera; Dl1erencia entre los conjuntos "N' Y "8", es el conjunto de los elementos "x" que pertenecen a "A~ pero no a "8", se simbotiza ~r NA - S-,
Por compresión:
A-B ={xlxE Ay,xE Bl Es decir:
u
x e (A-B)pXE A AXt!
B
Del dagrama tenemos:
Ejemplo 1
400+50+60+190+ 4O+170+z= 1000
Sean los conjunlos: A= (1, 2, 3, 4, 5, 61: B= (4,
910+z=1000
'06,7, B, 9} Y conjunto universal, el conjunto
de
L{ls
números naturales.
u = {Números naturates}
Hallar:
a) A- B '3ralicándolo
b) B-A
c)U -(A v B)
Observar el diagrama:
en el diagrama de Venn-Euler
A
Resolución:
10
De la definición de diferencia de conjuntos, tenemos:
11
A - B={1.2.3. ~ - ~ 7. 8 . 9)
U
a)
IA- B=[1.2. 3)
I
~~7
15 3 6
B 8
9
12,13,•• ,06
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos:
En el diagrama, la parte achurada. representa: "~A - S"
1.
A - B=B- A ~ A = B
2.
Si: A c B = A- B = (3
3.
A - 0 = A, "i A ("i: significa "para 1000")
4.
A -B = (A u B) - B = A - (An B)
5.
(A - B) n B=0
A-B = {l. 2. 3} b)
Si el conjunto universal, eslá formado por los números naturales. la diferenda será: B-A=~
I
7. 8.9)-(1.2.3, 4. ~.6J
B - A = (7.8. 9)
I
( c omplerm;nlacI6n:) Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a U (Conjunto universal), es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a "8". Se llama también complemento de B en U. o simplemente conjunto dilerencia U - B.
En el diagrama, la parte achurada representa: • B - A"
A' U
B - A=(7. 8, 9)
e)
U - (A v S), serán los elementos que pertenecen al U (universo) pero no al conjunto A v B.
Notación:
CuB,
Por Comprensión:
CuB= B' = (xix
E
U VX . B)
Definición2:Complementodeunsubconjunto cualquiera "8" respecto a un conjunto· A"es el conjunto de elementos de "Aro que no pertenecen a "8". Se le nama complemento de B en A, o simplemente conjunto diferencia A-B.
Por comprensión: C.S=S'={x/XE Ay . . S}
Propiedades del complemento de un Conjunto: Para conjuntos A y B contenido en \J se cumple:
1.
1l'(Il'A) = A
2.
Ac S
S e \fA
=>
•
3.
A-S=A n\fS
4.
'if(A u S) = \fA n \fS (Ley de MO'llan)
5.
\f(A ro S) = \fA u \f S (ley de Mocgan)
6.
Au 'ifA=U
7.
An 'ifA=,
8.
'ifU=,
9.
'if(>= u
( DIFERENCIA S/METRICA
1
Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es
Ejemplo t: Si el conjurto universal está formado por los habitames de nuestro país. y si ~A" es el conjunto de habitantes de nuestra ciudad, entonces 'A representa los habitantes de nuestro pals que 110 son de nuestra ciudad.
el conjunto de elementos de uA" y de "8", excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es. que pertenecen a "A" o a "8"_ Notación: A I'l B, se lee "A" delta "B" ó "A" diferencia simétrica "8"
A6S=(A-S)u(S-A) A6 S = (Au S) - (A ro S)
Ejemplo 2:
u = {1,3,5,7,9,11} A = (3,5,7) S = (5,7,9)
Ó
Por comprensión
A LlS= {x/(X E A AX E S)V(XE SA" A))
Hallar:
Ejemplo:
A) A'
S) S'
O}(A roS)'
E)(S - A}'
Resolución: Tenemos que:
A}
A'={l,9,ll}
S)
S' = {l,3,ll}
C)
(AuSl'={l,11)
O)
(A n Sr = (1,3,9,11) {B-A)'={ 1,3,5,7,11}
E)
1
C}(A U S)'
Sean:
A = {a,b,c,d,e,f,g} y
S = {c,d,g,h,i} Hallar:
A~
S
Resolución:
Por definición:
A ~ S = (A - B) u (S - A)
= {a,b,e,!} U (h,i)
.. lA LI S = {a,b.e,l,h,ij I
o también:
A"
e = (A - B) v (B - A)
A .ó. B = Area sombreada
A,.. B = (A v B) - (A r. B) = (a,b,c,d,e,f,g,h,i)' {c,d,g}
Propiedades de la Oiferecla Simétrica
lA
u
1_
A.ó. B = B I'! A (Propiedad Conmu1afiva)
2_
(AA B) A e= A
3,
AAA=0
4.
AI'!0=A
5.
(A" B) n C = (A nC)" (e n C) (Propiedad Distributiva de la intersec-
ción respecto a la diferencia simétrica) A
6_
A ti. B = Area sombreada
De la detinicióo de diferencia simétrica:
AAB=(A - B)v(B-A) =(A n B') u (A' n 8) A" 8 = (A v 8) - (A n 8) = (A v 8) n (An 8') 7_
8.
AI'!B=0 .;:::. A=B (AAB)u(8Ae) = (A v B v C) - (An 8nC)
p-R-O-e-l-e-M-AS-R-ES -U - E-l-T-O--, S 1
'1
Problema G)
Determinar el conjunto
~B"
8={X/x'-Sx+6=O} Resolución:
i)
x - 3= O
ii)
x-2=O
Luego, el conjunto "B" queda determinado: 1 B = {xix = 2;, = 3}
Factorizamos la expresión:
PrOblemaCV
x2 ·5x+6 = 0
'*-3 x
Luego:
-2
(x-3)(x-2)=0
Expresar por extensión el siguiente conjunto: B={xlx e N; 18< x< 27) Resolución:
I A_ (xe NI"" impar, 2
Segun la expresión:
18 < x < 27. los valores que toma ·x" son: problema@
x = (19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26)
A = (3,(5)};
Si: LuegO:
I
r---------------~
B={19, 2O,21,22,23,24,25,26)I
prot>¡ema(i)
Determinar por extensión, el siguiente conjunto: A "" {2x + 1/x e N, 3 :5:
x < 61
Resolución:
decir cuál de las siguientes afirmaciones eS verdadera. AH3, 5) cA
B)(5} c A
0){(5)} e A
E) {({5}}) e A
Resolucl6n: Del conjunto: A = (3, (5)}. calcuramos los subconjuntos de dicho conjunto '"Ah
A = ((3); [(5)) ; (3;(S }} ,~)
SegUn la expresión: 3 s: x < 6; los valores Que
4!@d) '
toma Y son:
Ix = (3.4,5)1 Luego, reemplazamos cada valor de "X' en la expresión:
--> --> -->
I
Rpta. O
Problema (!) Cel sigr;iente diagrama de Venn-Eulel. Determinar el cardinal del siguiente conjunto.
A ~ (2x+l)
Para: x:; 3 Para: x :; 4 Para: x = 5-
G)Se A
(A · 6) . le . E¡
----
2 (3). 1 = 7 2(4). , = 9 2(5) .1 =1 1
- - - ---,
A = (7,9, 11} 1
probl'ema @
u
Determinar porcof1lXensi6n el siguiente conjunto: A = (3. 5,7,9. 11}
Resolución: Determinar un conjunlo por comprensión implica definir dicho conjunlo mediante una fórmula que proyec1e las propiedades comunes que caracterizan dicho conjunto.
Luego:
A)2
B} 3
C)4
0)5
Resolución: En primer lugar, calculamos: "'A - 8" A
~~_~~~
A· B = (a, b. c. m)
E) 6
2" + 2Y "" 2 3 + 25 (Unica posibilidad)
En segundo lugar, calculamos: "C - Bto
Donde:
B
1.=3 ;
Pero: I nIAIB~ I =In{iA}
I+
n(B) .ln(AjB} I
6=x+y-n(A ....... S)
6=3+5·n(A " B)
I
C·B = lm.p.q.w}
I
In(A " B) = 2 I
Entonces: Luego:
Ahora, cak::u1amos:
In{p(A " Bn = 2" = 2' = 41 Rpta. B
(A· B) . (C . B)
tJ (a, b, e,!!,) • {'!l, p. q, w} = la. b, e} Cl
Problema
(!)
prOblemaQ)
En un colegto 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero. 3gelsegundoy48~tercerexamen . Aprobaron 1OIostresexámenes. 21 no aprobaron 8JCamen alguno, 9 aprobaron los dos plimefOs, pero no el lercero; 19 no aprobaron los dos primeros exámenesperosfeltercero. Calcúlese cuAntos alumnos aprobaron por lo menos 2 exAmenes.
Para dos conjuntos A y B se cumole que:
Resolución:
Numerocardinalesolnúmero de elemenlos del conjunto
El numero cardinal es
31 Rpta. B
Disponemos los dalas del problema en un
n(AuB)=B además:
n(P(A)) + n{P(B)) = 40.
Determinar:
A)3
diagrama de Venn-Euler. tomando oomo oonjunto la. cantidad de alumnos que llevan el primer, el segundo y el tercer curso y como corlunto universal los 100 alumnos del colegio.
R)4
n(P(A ,.., B)) C)5
D)B
E)8
Resolución:
Consideremos:
2"E~
(39)
n(A) :: )( entonces: n{P(A)} :: 2lf
n(B) = y enlonces: n(P(B)) = 2'
Reef11)lazamos estos valores en la expresión: n{P(A)) + n (P(B)) = 40
~Ex.
(48)
Del diagrama tenemos que: x+y+1O+9::4Q
-)(+43=30 ...... (1 )
w+z+ 10+9=39
... ... (2)
y+z+10+19=48
...... (3)
Se ptde; calcular. 9 + Y + z + 10 :c ?
De (3):
Luego:
El número de días que la persona come tocino duranle er mes de Abril es de 13 mañanas.
y huevos
Rpta .
.-_ I=y=+=z==='9:.
1 _ _ _•
19+ '1+ z+ 10 = 9 + 19+ 10 = 38 _ Rpta.
Alumnos que ap'obaron por los menos dos
cursos. NOTA: 1..08 JO alumnos qUi!aprobaron 3 cursos, ackmós de aprobar 'os .1 cursos quiere decir QU€ aprobaron 2 curoos. Si en el problema nos pregunta ran . ¿Cuántos aprobaron sólo 2 curo SOS mtonces lo que nos piden será:
Problema
®
De un grupo de 105 deportistas. se observó que: A)
15son311e13S. que practican eltútbol yla nalación.
B)
52 son atletas.
C)
55 son nadadores.
O)
TodOS I OSfu!boljstassona!'(~tas y
12son deportistas que sólo practican el atletis-
mo. E)
15 depomslrts no ~raClK:an ninguno de los depo rtes mencionaooo
¿ Cuántos deportistas sen atletas y nadado-
res.
problema @ Una persona come huevos o losino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si con 10 locino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?
per~
no flJlbolfmas?
Resolución: Sean:
A = {Con¡unl{l de Atletas} F = {Con!untc de FLtbolislas} N = (CQnOl, n'? de t-.~dado",s}
Resolución: LlQvando nuostros dalos a un diagrama tQr-Krmos:
Tocino (25)
Huel'OS(18)
ffiu Luego:
(25 -
x) +X + (18 - xl =~
(1 do di. quQ tkIn9
AbrW)J
(No practican ningun deporte)
Del diagrama: i)
12+'1+15+)( = 52
ly=2S
o
·1
;;1
52+(4O-xl+15=105
b+q=24 c+ r = 48
52 + (40 -xl = 90
e + p = 18
92-x=90 x= 2
Problema
1: m.a .m. 2a + 2b + 2c + 2p ... 2q + 2r = 168
I
Apta.
2(3 .. b .. e .. p ... q .. r) :: 168
@
a+b+c+p+q+r::
De 1BOalumnos de una Academia Pre-Universitana que gustan de Ioscursos "Razonamiento Matemático", "Algebl'a", o -Aritmébca" se supo Que:
841
Pero:
.
a+b+c+p+q+r+x::180
L. 84+x=180
Al
34 gustan de "Razonamiento Matemático" pero no de "Algebra"
e)
28 gustan do "Razonamiento Matemático" pero no de "Aritmética"
Problema
16 gustan de "Algebra" pero no de "Ra-
En un avión transcontinental viajan 9 muchachos. 5 niños latinoamericanos. 9 hombres. 7 muchachos extranjeros. 14 latinoamericanos. S latinoamericanos hombres. 7 mujeres extranjeras. Determinar el número de personas que viajan en el avión.
e)
zonamiento Matemático"
O)
24 gustan do MAJgobra" pero no de "Arit-
E)
4B gustan de "Aritmética pero no de "Razonamiento Matemático·
FJ
18 gustan de "Aritmétk;a" pero no de "Algebra"
mética"
¿A t:uállllr.i jÚ\'vllw ~ ym>lClI1 IIA> 3 cur~
mencionados?
(Les gusta los 3 cursosl
®
Resolución: Realizando un ól8grama con los datos. se tiene:
Resolución: Llevando nuestros datos. tenemos:
El número de personas que \Jiajan en el avión:
I 3 .. 6 + 3 + 5 + 2 + 7 .. 7.:= 33' Del diagrama:
Problema a+p=34 a+q=28 b+r=16
Rpta.
~
De un grl4X> de postulantes a Universidades, se sabe que:
Además sabemos que:
A)
El 46% pos.ulan a la "UNI"
Bl
El 4~.k postulan a "San Marcos"
C)
El 58% pos.ulan a ·Ca.ólica"
O)
El B% postulan a las tres universidades
E)
El 5% no postulan a ninguna de estas 3
a+b+ c +p+q + r+ 80/0)( = 95% x [(a + b + e) + (p + q
.,)J = 87% x
.. ,(O)
Ahora , reemplazamos (~) y (O) en (a):
universidades
(1290 - 8% x) + 87% x = 122%x Si 1 290estudiantespostularon apor lo menos a 2 universidades, diga ¿Cuántos¡x>stutanles hubieron en total?
1290 = 43%x 1290 =
Resolución:
.~x
Ix=3oool
ReaiZando un áagama con los dalos, se tiene:
Rpta,
(# de postulantes en total)
UNI(46%x)
San Marcos (42'1'. x)
Problema
@
En una fiesta donde hablan 120 personas. 30
Sea: # de postulantes: x
<:
> 100% )( de este
1~(,. el 5% no postulan a ninguna de estas 3
universidades. esto quiere decir que los que
eran hombres que no les gustaba la música "criolla-, 50 eran mujeres que gustaban de esta música . Si el número de hombres que gustaban de la música "criolla" es la tercera p arte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos le gus1a la mústca -criolla"?
Resolución: Realzando un ciagrama coo los datos, se tiene:
poStulan so.... el 95% x.
M
H
Del diagrama:
a + b+ p+ 8% x::::; 46% x a + e + q + SOlo x =
4~k
x
b +c +r + 8% )( =58%x E M.A.M: (a + b+ e) + (a + b + e) + (p + q + r) + 24% x= 146% x (a + b+ e) +[(a+b + el +(p+ q .r)J = '22% x ... (a) Sabemos que: 1290 estudiantes postularo n a por lo menos a 2 universidades. Del enuncia-
do, obtenemos:
Como el nú mero total de personas es 120, tenemos: X
30+)(+ '3 +50 = 120 4 '3)( :: 40
,', 1.=30 1 Por lo Tanto gustan de la música criolla:
(a+b+c) = 1290-8% x
., , (~)
Ii
+ 50 "" 60 personas
l
@
Problema
( i - i)+ i+( ~~
LuegO:
Al realizarse una encuesta entre los alumnos del QUinto año de un colegio, se sabe que:
2x + !+~+35= x 12
6 6 ---..-... x
'200 los alumnos postulan a la KUNI'"
S)
12 de
11
7
los alumnos postulan a
12x + 35 =x
"San
11 x-t-420 :;:. 12x
Marcos"
e)
1
6" de
.". I x ~ 420 I
los alumnos postuan a las dos
(' total de a1urrnos
universidades
O)
5x
2"+""12+ 35 = x
1
A)
- i )+35 = X
35 alumnos aún no deciden dondE! donde postular.
¿Cuántos alumnos hay en el Quinto año de dicho colegio?
Problema
@
Rpla.
de Quinto año)
Hallar: b +e - a, sabiendo Que los conjuntos: A, B Y son conjunto iguales
e
A ~ (a+2;3-a)
Resolución:
B ~ (a-l ; 6·
San Marcos ...--~----~
A) 2
(;; -t) U
e)4
D) 5
cum~irse
Sea: "x" = # de alumnos del quinto año de dicho colegio:
A ~ (W;~} S~(~;~
f 7x
W
i)
8+2=6-a ~
2a=4
~
1 a=2 1
ii)
3-a=a-1
~
4 =2a
~
I a=21
De los conjuntos 6 y C, obtenemos:
A las dos universidades: ~
B = (ª-:J; 6- al Entonces: Sólo poslulan a la UN1:
E)6
Para que dtchos conjuntos sean iguales; debe que:
CA un no deciden postular)
Postulan a SeUl Marcos:
B) 3
Resolución:
35
Poslulan a la UN!:
a)
e = (1 : b + e)
7x
1'2'"
x
e = I!; b + el
x
"2 - "6 7x
Sólo postulan a la San Marcos: 12 -
i)
a-1=1
ii)
6-a=b+c
x
6'
4 = b+c
luego:
Problema
b+c - a = 4 - 2 = 2
Rpta A
Problema@ Se- hizo ona encoe-sta a 832 personas sobre pre1erencias respecto a 2 revistas A y B, observándose que: ab teen la revista A aOb leen la revista B ba
leen la
r~ista
0
Se reunen en un club, 80 socios de los coales 25 juegan a'''cachito'', 45 juegan al"dominó~ y 20 juegan sólo "ajedrez", Entonces los que juegan "cachito" y "dominó" son: A)5
B) 10
O) 20
E) Falta más información
C) 15
Resolución:
AyB
Sí todos leen por 10 menos una de las 2 revistas. Hallar; '"a + b"
C) 12
B)13
Alll
0)15
Ell7
Resolución:
Del diagrama: A(ab)
m + n + a+b+20+x=BO
B aOb)
I m+n+a+b+x=60 I
...(ll
Ademas :
i) Aldecirque todos leenporlo menos unade/as 2 revistas quiere decir que mínimo leen 1 fe\lista, aunque también algunos leen 2 reMs-
n + b + x == 45
ii)
LM.A,M..m ... n + a ... b + x .+ )(:; 70
taso
6O+x= 70 De' gráfico; obtenemos:
• ab:P9
+iii. +.3m;; ¡;¡; t
RptaB
832
Por descomposición polinomica. se tiene:
(lOa + b) + (l00a + b) • (I Ob +. , ; 832
prQblema @
Si: A = {1 , 2, {4, 3}, a}, determinar cuántas expresiones son correctaS: 1.
s portanteo; a
{{4,
311 a: A
111. {4.3) C A
5
11. {{l ,2]} E A IV. ({l, Sil e A
V. "EA
=B Y b =5
A) 1
luego: Rpla. B
B) 2
Resolución:
C) 3
0)4
E)Q
Analizamos cada uno de las expresiones da-
das, veamos: 1.
{{4, 3)) si es subconjunto de A la pertenencia e se usa enlfe un elemento y un ronjunto
11. 111.
{4. 3} es un elemento de A Y no un subconjunto
IV.
({l. an es un subconjunto de elemento de A
V.
" no está como elemento de A
Ay no un
a+ 3 =5
ii}
a+3+c+5=11 2+8+c=11
¡ji)
b + 3 + 1 + e = 16
iv)
I
.....
I-dl
->
1c= I 1
.....
1b';'4 1
.....
1':=7:1
b + 3 + e + a ;:;; 16
x+a+3+b= 16 x + 2 + 3 + 4 :=. 16
1 ~ de las expresiones es correcta
.,
i)
luego, las personas que s610 visitaron Francia 500:7
Rpta. C
Rpta. E
probfema @ De 3Opersonasqueviajanrumbo a Europa. 16 dijeron que visilarian Francia. 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los escuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitarán también Inglaterra. 5 sólo van a Suiza y a sólo a Inglaterra. ¿Cuántos visitarán sólo Francia? A) 3
8)5
C)7
0)9
PROBLEMAS CON REGIONES SOMBREADAS Problema
Sean k:ls conjuntos:
A = (0, 1, 2,3,4, S, 6, 7) B= [O. 2, 4, 6. S. tO)
E).
Resolucl6n:
CD
Hallac"A · B" y "S· A"
ToIalde personas queviajan rumbo a Europa = 30 Por diagrama de Venn. obtenemos:
Resolución: Aplicando la definición; cak::ulamos:
-
A · B =@ I,@3,@S,@7) . ~~
«J.@'@@ S, 10J .'.
8.aa(11)
• 5 de los encuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitaran también Inglale rra. esto nos da a entender que 3 visitarán Francia. Suiza e Inglaterra. lo cual el 3 lo colocamos en el centro del diagrama. Del enunciado, obtenemos:
1
A·B = (1 , 3,S, 7J1
Gráficamente tenemos:
u
Apltcando la delinición. calculamos:
B - A = 1(Q¡~@(&M
Problema G)
)-
Dados los conjuntos:
l@ 1,~ 3,@lS,(7)
A:12,4, 6,a,10)
B=la, b,e, d, e, fl
-- 1 B-A=18,10) 1 Hallar: Gráficamente tenemos:
Resolución:
Gráficamente tenemos: B
:. O"e (8)
u
6
10
d. f
U
problema @
IA- B =12, 4, 6, 8,10) 1
Dados los conjuntos: A = la, b, e, d, e, 1, g, h}
¿ Recuerda ladefinidón dI; COfluntos disjuntos?
B = [e, e, 1, g}
prOblema @
Hallar: -A· BOl Y -8 - A-
Achurar en el diagrama de Venn·Euler cada una de las siguientes operac;ones:
ResolucIón;
lli)B
Gráficamente calculamos "A . B" ~-;:-........
A
1:fu u Gráficameme calculamos "B . A"
e
al
A vBu
b)
A-lB v C)
el
[A ,-; C) v (B ,-; CJ
Resolución:
B-A =(l pues no hay ele·
mentos de"B"que no esten en · A-
[B- A)
u
A v B vC
rAJB Uu rAJB Uu
Región sombreada = (a, b. e, d]
(A u B) 11 e = (a, b, el, e, 1, g),; (e, d. e, g) •
= (a, b. I) v {e} .. leA v B) A C = (a. b, e, (fa/so), no se parece a
a : b
.
lO
B
_d
e
e
¿Cuál de la siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región achurada?
rAJB Uu
IRegión sombreada = (a, b, e, d)l
= (a, b, d, g) v (e , d, e, g) ..
[ (A'; Bl vC = (a, b. e, d, e, g) 1
(Falso), no se parece a la expresi6n "a ~
~ , a
.
Para su mejor enlendimiento acada una de las regiones le designamos una \elra minúscula o
un número: y el'fl)ezamos a reemplazar en cada una de las relaciones dadas. veamos:
q@ b
b
,
d
g
•
u
I Región sombreada = {a. b. e, el} [
.
.
A
N
...(n)
= (A - Nl v (N - A)
.. -d
= {a} v lb. e. d}
e
e
e
:
A"NvC)=~~tm,,~~el,~t~ , ' . .
B
g
B
.
C)
N.A.
:
... (n)
= (( a. g) v lb, dll v {c. d • •. g}
(Av B)" C (A IIB)ve AII(B v C) (A 11 B) - (A n B n C)
•
u
(A "B) v C = I(A - B) v lB - A)] v C
Resolucl6n:
A)
9
1)1
la expresión "a
q@
B)
Problema G)
O) E)
e
= (M - C) v (C- M)
(AnB)v(B n C)
Bl e)
¡
M
A-(B v C)
A)
... (ex)
u
AA (B vC) = (a, b. e. d)
BI
·'. I A A (8 v CI = Aeg;ón sombreada I
(e - SI v (e - Al = (b. e) u [b, e}
4
{b. e, e} I diferente al área achurada
NOTA :Como ya hemos encontrado la relación correcta,siendo esta la "'c", ya
110
C)
es necesario conti-
=[a. g} ,, [a, f) v (b. c, d. e}
nuar con las relacWnes D y E. Rpta.
=[a) u (b.e,d,e)
e
1(a. b. e, d , e)ldHeren,e a' area achurada
Problema @ O) ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región, achurada?
Al
DI
(A-8) vIC - (AuB)) (e - 8) v (e - A) (A- C),,(B - C) vC «A" BI - C) v (C - (A vB))
E)
N;nguna
B)
C)
[(A - C}) N.B - C)} u C
(lA " Bl - C) v (e , (Av 8)}
= (la, di - (b. c, d , e)) v {(b,c, d, e ) - (a:<:, d,
e: f.g)}
=Ia}v(b)
~ luego: I(A "B)- e) v IG - (A v BII = ja.b) =
(A)
'\5
Rpta.
¿Cuál de las siguaantes relaciones expresa mejor la siguiente región achu rada?
Al igual que el problema. anterior a cada región le designamos una letra mln.;.scula, veamos"
~ C
.
,B
e
b ."
e u
I RegKln Sombreada = (a. b) I Al
lA - 81v1C- lA v B)} =
o
Problema (j) U
Resolución:
g:
=:!ct.
Ig. c} v {(b. c. d. e) - la. c. d. e. f. gil
=(g. c}ulb)
~ (g. c. b) I M erente al área achurada
A)
(A n09 n [Bc v C)
B)
(A n Oj n (B neCj
G)
(A v C"] n (BC "C)
O)
(A u B"] u (C " OCI
El
IAnB9,,(Cvo"]
Resolución:
(a, b, e, d, e, 1, g, i, j)
I[A " OCl = (a, b, c, d, e, 1, g, i, j) I
... (a)
[B" v C) = {a, b, c, d] U (e, 1, g, h)
I[B" v
C)
= (a, b, c, d, e, 1, g, h)
I
. .(~)
Ahora intcrsectamos (o:) y @):
I Región achurada = Ca, b, c. d, e, f, g} De la primera relación (A), obtenemos: A ,, [)C =
[A " OCl" [Sc u C] = (a, b, e, d, e, 1, g)
.. lA" OC) "
[B"
u C) = Regí'" sombreada
n
{a, b,(:, d, El, ',9, h, i, j}
I
Rpla. A
I PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1.·Detenninarelconjunlosolución del siguiente conjunto: A~{
A)
I } xeO/x,-5 t"'+6~0
A = { - ;.~}
C)
A=G - ~}
E)
A~{1.·n
S) O)
sión, un subconjunto de "A". cuyos elementos sean los números; 10,22. 42.70.
A)
(4,,2+ 6/n
S)
(4,,2 + 6/n E N, 1 < n < 4)
A~G;}
C)
(2,,2 + Sin E N, 1 < n < 4)
A={',·H
O)
(2,,2+81n. N, 1 < n < 6)
E)
Ninguna anterior
~5
/ x e N. 2 5 x 5
B}
,}
A = (36, 45, 54, 63, 72)
A)
A=
(xix = 3"{2" + n), donde: OSn S 4.n E: A}
S)
A=
(xix = 2"(32 + n), donde: O s nS4,n E R)
C)
A=
(xix
A=
(xix
{
I.I.I.I .
A)
TI' 13' Is' TI"
rr
{
,.
l .
l .
l .
l. ' }
B)
9' 13' 15' 17' 19' 21 l.
1. 1 .
1.
l .
1.
I}
O)
1, 1,
1.
1, 1}
E)
C) { 9' TI' 13' 15' ""ir 19' 2f 1, 1 ,
N, 1 < n <3)
Problema 4.- Determinar por comprensión el siguiente conjunto:
Problema 2,- Determinar por extensión el si-9tiente eotl unto:
p "" { 2x
E
'1 TI 13' 15' 17- W 21
D)
{
E}
Ninguna anterior
Problema 3.- 0adoelconjunlo A={7 , 10. 15, 22, 31, 42, 55, 70). Oelenninar por compren·
=
3"(2" • n), donde: 05nS4,nE: A}
=
2'(4' . n), donde: O:snS4, nE: R) Ninguna anteñor
Problema 5.- Sea el conjunto:
A = (m, n,(p), (q,r))
y dadas las siguientes proposiciones.
A ={xe
1. 11.
S = (xe NIx $ 3x - 2 <20)
El conjunto A, tiene 5 elementos
111.
El conjunto A, tiene 4 elementos El conj...,to P(A), tiene 16 elementos
IV.
El conjunto A, t)ene 16 subconjuntos
C) O)
Sólo I es lalsa Sólo 111 es falsa
E)
Todas son lalsas
b)
x' - 9 = O)
C={xlxe RI\ x2 +25 =O}
Ernonces:
(B u C)
1""\
A, será igual a:
A) (3,5)
B) (3)
O) (5)
E) "Jlnguna
O) 16 elementos
a)
A=(xIx E N AX'.2x- 15=0) A
B) 6 elementos
Problema ti.· en un salón de clase hay 90 alumnos: 32 postulan a fa UNJ, 43 postulan a San Marcos, 29 a Villarreal. 8 postulan a la UNI y San Marcos, 10 a San Marcos, VVillarreal V 6ala Vilfaffeal y UNI y 4 alurmos postulan a la s tres universidades, Determinar:
Problema 6.· Se tiene los conjuntos:
B = (xix E Z·
A) 4 elementos C) 10 elementos
E) 12 elementos
S<>n verdaderas sólo 11 Y IV Son falsas sók) I y 111
B)
17}
Entonces: CA u S] - (A 1""\ B), tiene:
Marcar la ahemativa correcta:
A)
NI3 ~ x<
C){-3, 5)
•
¿Cuántos postlÁan solamente a San Marcos? ¿Cuántos postulan a UNI o San Marcos pero no a Villarreal?
A) 22 Y 59
S)29y55
0)17yl0
E) N.A.
C)29y59
Problema 10.· El departamento de estadística de la UNI, realiza una encuesta entre los eS1u· diantes, obtenlt::ndo los siguientes resultados:
Problema 7.· Se tiene los conjuntos:
a)
E175C1Jt~
91
b)
El 65% fuman "Nevado"
e)
Et5O'fofuman "prer lier" o ~evado", pero no ambos 300 estudiantes no fuman ninguna de estas marcas de cigarrillos
A= {2, 5, 7,
B = (1 , 2, 3, 4, 5, 7, 9)
d)
C={2,3, 6, 8, 9)
y el <:anjlJ1l0 universal:
¿Cuántos estu¡jantes 1ueron encuestados?
u = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) EnlOflCes: (A' A B)
1""\
A){1,3,5]
(B' A C) - (A 1""\ C')' será igual a: 8)0
fuman ·Premler"
e] (2, 6, 6)
A) 2 000 0)6000
B) 3000
e) 4000
E) N.A.
Problema 11.· En una fIeSta donde habfan 100 personas, 30 eran hombres que no gus~
O] (1 , 2, 4, 6) E) Ninguna
bao música "salsa-, 60 eran mujeres que gustaban de esta músk:a, Si el número de hom-
Problema 8.· Se tiene los conjuntos:
bresque gusta de la mUsica ·salsa" eslacuarta parte de las I)'lujeres que no gustan de esta
música. ¿A cuantos les gusta la música "salsa"?
Al 70 0164
BI62 El N_A.
C)68
Problema 12.- ¿ Cierto numero de medallas de oro, deplatay decobre son repartM:lasenlre 100 atlelas en un festival deportivo, se sabe que 45 personas reciben medallas de oro, 45 personas reciben medallas de plata. 60 personas reciben medallas cobre, 15 personas reciben tantas medallas de oro como de plala. 25 personas reciben medallas de plata y cobre, 20 personas reciben medallas de oro y de cobre y 5 personas rociben medallas de oro, plata y cobre. Se p1de: ¿Cuántas personas no reciben medallas?
AI4
BI3
016
EI7
BI el
(AAelvB (AvBvel n(A'vB've')
DI El
(A Ae) - (Bv C) (A v B v C) n (A v B v C)C
Problema 15.- En lasfguienle figura , la reglón sombreada está representada por:
C)5
wCI
~_ _ _ __ _
Problems 13.- ¿Cuál de las siguientes relaciooes,expresa mejor la siguiente región
D
achurada?
e
A)
(e - BI v (A n DI
BI C) O)
e' v (B' n Al (O-C) v [e-IA nB)) (D-C) v (B-AI
EIO-(e-(B-AI] Problema 16.- En el siguiente gráfico. la re· gión sombreada representa:
Al B)
(AvBIC v (AnBIC e n(AvB)
C)
e n(Ac n Be¡ v (A n BI
O)
e n (AvB)c
El
e n (AvBlv(An B)
Problema 14.- ¿Cual de las stguientes relaciones. expresa mejor la siguiente región achurada?
A)
(A v B v C) - (Av B n el
Al 81
(A n C) - B (A v B) - (AA 8)) - e
el
(A n B " C)-C
DI
(A n BI-18-C)
El
Ninguna
Problema 17.- la región sombreada está representada. por.
A) B) C) O) E)
r!::
(Av B)- (evO) (A v B) v (e - O)e (A v B)ó (e v o) (A v B) v (enO) (A v B) n(evO)
C)6
A)2
B)3
0)7
E) Ninguna
C)4
Problema 21.- En una encuesta realizado en un grupo de 100 estudiantes de un Instituto de idiomas, se obtuvo el siguiente resultado: tudiaban español 28; alemán 30; francés 42; español y alemán 8; español y frances 10; aleman V fral1(;és 5; los tres iciomas 3. ¿Cuánlos estudiantes tOf1"\a.n el fraocés como único idioma de estudios?
es-
•• •
B) 4
pert6dk;os ¿Cuántas personas leen el Popular e Idolo. pero no Expreso?
Problema 18.· ¿Cuántos puntos hay en el triángu50 V cuadrado pero no en el círculo?
A)2
2 personas no leen ninguno de estos
g)
A) 15
B)20
0)35
E)NA
e ) 3Q
Problerrut 22.- Al simplif;car:
0)8
(B n A')v(Av
E) 12
B)" ~
(B' nA)
Se obliene: Problema 19.- ¿Qué representa la región sorrbreada?
A) A' U B'
B)(A U B')
D) (A n B')'
E) Ninguna
Problema 23.- Sean A, B V que: A c: B c:
e
A) (A n B) e)(A n B) - (An C) EJAye
e corjuntos tales
e simpUficar la siguiente expresión:
B) A, (B n C)
(A' n B/v (A n B) v(B n e) v (e n B')
O)(A v B)-e
Problema 20.- De un grupo de 59 personas. se observa lo siguiente: a)
G)A'nB
8 personas leen sólo elllPopular"
AJA 0)0
B) B E) Ninguna
e) e
Problema 24.- El registro central de la "Universidad Nacional del Callao" proporciona los siguientes datos: respecto a un grupo de 200 estudiantes del primer ciclo:
b)
16 personas leen sólo el "Idolo-
e)
20 personas leen sóto el "expreso"
d)
7 personas leen "'El Popular e Idolo"
")
e)
8 personas leen "'8 Popular y Expreso·
-) 115 están inscritos en Matemátic:a I
f)
4 personas leen "'El ldolo V Expreso"
105 están inscritos en Básica I
-) 75 están inscritos en Fisk:a I
') 65 eslán inscritos en Básica I YMalemá!ica I
.) 35 están Inscritos en Física I "1 Básica I
el
-) 30 estan inscritos en Matemáticas I V Físi·
01
(y - xl u (z - yl
(x u y u zl - y
cal -} 20 están inscritos en los tres cursos
E)
Teda lo anteriores falso
Determinarel número que están inscritos exactamente en dos de los tres cursos.
AlBO
Bl70 EIN .A
0115
C)95
Problema 25.- Cierta Col"ll'añía solicitó jóve-
nes que hubieran seguido cursos en Ingenieria Civil, Mecánica O Industrtal para realizar trabaios relacionados con estas especialidades. El criterio utiliZado para la selecaón fue de que hltlieran llevado más de un curso en dichas especialidades . Treinta de los postulantes habían llevado cursos de Ingenie. ría Civil, 35 en Ingeniería Industrial, 50 en Ingenieria Mecánica y 3 fueron aceptados por haber llevado cursos en todas las carreras, mientras Que 26 tueron desertados porque sók> siguieron Ingeniería Mecána. 10 por sólo seguir Ingenierla Industrial y 14 por sólo seguir Ingeniería Civil. ¿Cuántos se presenta· ron? ¿Cuántos 1ueron seleccionados?
Al 81 Y31
SI 61 y29
O} BO y 40
E) Ninguna anterior
Problema 28.- La diferencia simétrica entre los COrluntOS P ya esta representada sólo por uno de los siguientes diagramas de Venn. ¿cuál? A)
e)
El
el 79 Y 31
Problema 26.- La parte achurada representa :
tW tW tW S)
O)tm
PCill
Problema 29.· ¿ Cuál de los diagramas del problema anterior representa:
(p . O) u(O - P) u P?
AlA
SlB
ele
OlO
ElE
Problema 30.- ¿Cuál de los diagramas del problema 28, corresponde a:
Al SI C)
O) El
(x u y u z)-1x u z) xu yv z · xn z x nz y n (x u x) Otra relación
Problema 21.· La parte achurada de la ligura representa:
A)
xn yn z
Bl
(x n v) u (znv)
(P n O)u (p. O) v (O n PI A)A
BIS
C)e
010
ElE
Problema 31.- La parte "Acnurada" de la figura, representa:
Al P n O el 0 - P El (P - 01 n O
S) P - O DI (P v 01 n P
r-----, o p
p
R
R (IV)
(111)
Problema 32.- la parte -Achurada" de la
figura, representa:
Problema34.- La parte "Achurada" ele ruáJ de estos diagtamas representa:
p
(O,., R) - (p ,., O ,., Rl B)II E) Ninguno
A)I
O)IV
C)III
Problema 35.- La parte "Achurada" de cuál de estos diagramas representa:
(R - (P vOlv IP - (R vOll A,r,.,O Bl P-o C)O- P O) (P - 01 v(O- P) E)(P - 01 ,., (O - P) Problema 33.- la pane "Achurada" de la flQUra. representa:
Bl P-O AlP "' O C)O-P O) (P - 01 v (O - PI E)(P - 01 ,., (O - P) p
@ O
1-
R (1)
O
-
C)III
ProbleIf1ll36. .. En un grupo de 230 estudiantes el minero de los que sOlo rindieron el segundo examen es un tercio de los que rindieron sólo el primer examen. El número de los que riodia. ron sólo el primer examen es el doble de los rindieron ambos exámenes e igual a la mitad de tos que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos alumnos rindieron solamente un examen?
S) 140 E) 90
0160
Cl210
Problema 37.- Dado tos siguientes conjuntos iguales:
A = {a + 1; a + 2} B={8-a;7-a) C=(4;b+2}
-
1-
-
P-
B)II EJ Ninguno
Al 120
los cuatro diagramas siguientes se refieren a laspreguntas 34 y 35
p'- 1-
A) I DI IV
0=(c+1;b+1}
~
(11)
R
Calcular: -a + b + c· A)7
B)8
C)O
0)10
E)ll
ProlJlems38.- En un grupo de l00es1udiantes ; 49 no llevan el curso de Algebra y 53 no siguen elcurso de Arimélica: si 27 alumnos. no siguen Arilmelica ni Algebra. cuántos alumnos llevan exaC1amente uno de tales cursos.
Al 24
8l3O
el 36
El 26
Dl48
E) Ninguna D)
/\
B
A
1/
5
Problema 42.-5i: A= (1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7], e ={5; 6; 7; e; 9J Ae = (4; 5). Entonces: cuáles son los elementos que deben estar achurada en el diagrama.
Problema 39.- Dado el conjunto: A - (O; 1; 2; (1); (1; 2); (3); (O; 3))
A)4,5,6
y dadas las proposiciones:
B
B) 4, 5, 6,7 1) 2 e A 11) (1l cA
IIIl (O) e A IV) (3) c A
VII)
(0:3J e A O cA (3)) cA
VIII)
0< A
V)
VI)
C)4,6,7 O) 1,2,3
E) 6, 7
El nlÍmero de proposiciones verdaderas es: A)6
S) 5
D)2
C)4
E)7
Prob/ema43.-5i: p={e; 9; tOJ, Q=(1; 3; 4; 5;
Problema 40.- ¿Cuántas personas habrá en un grupo de estudiantes de los cuales, 18 estudian aritmética, 19 algebra y 17 geomelña; además 3 estudian aritmética V algebra. 6 estudiaban aritmética y geometria, 7 estudian a~ra y geometria pero no arttmética. 42 estudian 105 3 cursos y 12 estudian olros
cursos? A) 38
e; 9} y R = (2; 4; 5; 6; 7; e).Entonces: cuáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del c:iagrama.
R
All;2;3 B) 4;5 C) 4; 5;9
O) 1: 3;8 8)39
C)50
D) 56
El 58
PrOblema4t.- Traducira un Diagrama UneaJ. el siguiente Diagrama de Venn Euler.
El 4; 6; 7; 9
L-_--'p
Problema 44.- ¿Cuál de lassiguienles expresiones representa a la parte sombreada.
e
A
Al B 5 Bl/\ 1/ A e
i e
I s
C)
e
/\
B
A
I s
Al [(A • C) n Bl n [(e - Al n Bl el (A f"\ B) v{BnC) e)(A· el v{e· Al Ol{AIIC)f"\B El e· {A n el
Problema 45.- Si el conjunto A tiene cuatro elementos y el conjunto B tiene tres elementos. ¿Cuál de los siguientes enunciados p~ dria ser verdadero?
C)1;3;2
O} 1; 2; 3; 4; 5 E} 3; 4; 5
Problema46.- ¿Cuál es el mlnimo numero de elementos. que puede tener (A .. B) .. C; Si: n (A) =4; n (B) = 3 Y n (C) = 2?
8) 3
C)4
A) 3; 4; 5
8}1 : 2;3;4
A) A v S, tiene 8 elementos. S) s v e, tiene un elemento, e) A u B, tiene 5 elementos. O) B u A, tiene 6 elementos. E) A v 8. liene 2 elementos.
A)2
elemenlosquedebenestarenlaparteachurada del diagrama?
0)6
E}9
Problema 50.- Dado los conjuntos A y 8 se tiene que: A e 8; 3n (A) = 2n (B) y n (A u 8) = 18. ¿Cuántos elementos tiene B?
Al6
8)S
C) 12
O}18
El 16
Problems 47... 0el siguiente diagrama:
I CLAVE OE RESPUESTAS I
Hallar: "(PuA) " O"
2
p
3
6
5
I
o 4
1.B
14. e
27. 8
40.
7
2.e
15. D
2S.E
3. 8
15. B 17. e
1()1-----:9-r--¡S
R
4. A 5. e
A) (1 ; 3 ; 4 : 5)
18. A
2~.P
30.0 31 . 8
43.C 44.0 45. 0 46, 8
6.8
19 E
32. A
78
20.e
3:' O
S, E
21 , e
9.8
22. A
10. O
23. C
0){2; 3; 5 ; 9; 11}
11. 8
24, 8
34. B 35. 0 36. 0 37.0
E)(1;3; 4;5; 6; 7;8; 9; 10)
12. e
25. A
38.0
13. e
26. A
39. e
B) (3: 5; 9)
C) {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9}
Problema 48. .. Dado el conjunto A y B, se tien
A)118)4
e)8
O}16
E)13
Problema 49."Si: A ={1; 2; 3; 4}: B={3; 4; 5; 6: 7) " e = (4; 5). Entonces: cuáles son los
e
41 . O 42. e
47,A 46.0 49, 0 50 O
KaZone Si P A tiene 16 elementos y P B tiene 32 eleme ntos determinar cuántos elementos tiene P 1A v B ) si se sabe que AnE tiene 3 e lementos
Respuesta .
164
II
iªi Razone ¿Cómo adivinar el día y el me.,. de nat'imienlof
Pmpúngalea un compañero(a'quee~criba en una Iltljo de papel d día Jel mes €lllJue nació y haga los operaciunes ...iguiellles: Que du.pliQue el número escrito, que multiplique por 10 lo obtenido. que le sume 73 al producto,
que multiplique por 510 sumo, y que 01 lotal le ailoda é'I número de orden del mes en que nació.
I
EltellaJ le dice a usted. el resultado final de todos los operaciones y usted le di('1.! fa (echa en que nació, ¡Como puede usted hacer esto? Ejemplo: Si Sarita nació el 16 de nO!Jiembre. es decir, el dw 16 del mes 11. Efta hace losiguiellte.' Ifix2= 32x 10= 320 + 73 = 39Jx5 = /965 + 11 =
32 320 3'.13 1965 / 976
Saritale dice a ustl!d el número 1976 Usted hace lo siguiente: / 976 - 365 =
(~
~
Conclusión: Para saberla focha que se busca hay que restarle 365 al resultado fifUll
~ ........ [!""""; . J ~
16 de Noviembre
SERIES SERIE:
3
Es una expresión matemática en la que sus terminas van escritos sucesivamente los mismos que se forman a través de Reglas Válidas matemáticamente. Todos /os términos de una Serie dependen de una conslante llamada razón que podrá determinarse por diferencia, por cociente o por cualquier ley que se desee establecer, los procedimienlos aqu; ha utilizarse no son únicos. hay muchas formas de establecer relaciones sencilfas entre las operaciones matemáticas.
crasificación de las Señes: 1} 2}
De Acuerdo a la razoo de sus términos De Acuerdo a su fórmula de recurrencia.
1.
De Af;uerdo a la Razón de sus términos.- pueden ser:
A)
series ArHméticas.- Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por diferencia. Ejemplo 1: Razón
Razón
Ejemplo2:
Cuando la razón es constante, la serie recibe el nombre de Pro-
gresiónAritmética. B)
series Geométñcas.- Cuando la Razón entre sus ténninos consecutivos se haUa por cociente. Ejemplo 1:
.
3 • 6 . 18 . 72 . 360 • ~~~~ ><2 x3 x4 x5
4>
Ejemplo2:
Razón
(Cuando la razónesconstan-
te, la serie, recibe el nombre de Progresión Geométrica)
Ejemplo3:
~~\,,;'.A,;..64 x-t
~
.1
,.;16
-... "'-""'-" )(4
)( 4
_
Q
Razón
Q
Razón
Hay
Observación 1: claseB anteriores.
ca.sos
en que
se
plantean ejercicios combinando las dos
....
1 . 3 . 12 . 60 . 360 ~~~~
Ejemplo:
'W~~,6 L;> -1-1
-1-1
c;>
+1
Razón Geométrica Razón Aritmética
Observación 2: Se pueden plantear series literales en [unción del ol{abetocastellano. Ejemplo t: Que lelra sigue en: A ; E ; I
;M •...
Resolución: Para resolver esta dase de ejercicios también se busca una razón de distancia. entre letra y letra. siempre encontrará Ud. una relación de simetría. así como nuestro caso observece y convenzase.
. .
® : .B : e: D. : © : .F : G, : H.:
J
®, ...
luego: sin temor a errar podemos decir que nuestra razón de distancia es tres letras.
..
I
Ila letra que sigue en la serie: A; E; 1; M; ... es la P.
_
Ejemplo 2: Que letra sigue en: B :
D · G· K; ...
Resolucl6n: Si recurrimos al abecedario:
@;e;@ ;' E;, 11 Lelra 1
F
;.@:,H
12 Lelras 1
..
; 1;
,
J I·0·• ,L;
M; N
,
: Ñ,;@; ...
I 4Lelras I
13 Lelrasl
11
lla letra que sigue en la serie: A; E: 1; M;... es la o. I
Nota: Estir7UUJo.a1umno rwvayttsapensarque estas Siln las únicas relaciones quepueden establecerse entre letras, hay muchísimas más le recomiendo que al resolver estos ejercicios, escriba en sus hojas de práctica el abecedario y le facilitará la resolución.
-
Recomendaciones: Si en la serie no se encuentra la letra CH . es porQUe no se va a considerar la letra Llo viceversa; pero si en la serie se encuentra la letra CH, es porque se va a considerar la lL o viceversa. Ejemplo: ¿Qué lelfa s1gue en la serie? A ; B; eH; F : J ; ... Resolución: Reemplazando cada letra por sU número correspondiente se tiene: 1 . 2 . 4 . 7 . 11 . 15 ~~~~~ .2 .2 +4 +3 +3
Ile conesponde la letra M
A=l;
F=7: G=8; C=3; H=9: CH=4; 1= 10; D=5; J=l1: E=6; K=12;
B=2;
L=13: P=19: V=25: ll= t4; Q=2O; W=26; M=15; R=21; X=27; N=l6; 5-22. Ñ=17; T=23; Z =29; 0=18: U=24;
y=za:
2.
De acuerdo a su fórmula de recurrencia:
1.
Señes Polinómicas: Que a su vez pueden ser:
al
Series Lineales: Aquellas que son de la forma:
.n = ,.n.., I
Q
1
rlS-o-=-(-a ,¡-a,,-=-,-.n-+-a-,;-n-e-IN-I'I
Lectura: an = Término a encontrarse 8 0 " Término anterior al primero r = razón { n = cantidad de ténninos o lugar del término pedido_ Para encon1rar ao' se usa la fórmula:
1·0=3-'1
; siendo: a = primertérmino
Ejemplo 1: il
ii)
a" = 2n + 3
y
Q
So = (5; 7; 9; 11 ; 13 ; ....... )
(n = 1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; .....
a o =3"-1
Y
Q
H
8 0 =(2 ; 5 ; 8 ; 11;14; ... ___ _1
(n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; m.)
I
Ejemplo 2_- Encontrar el término que ocupa erlugar 120 en la serie:
2;5 ; 8;11;_..... . Re5Dlución
2 - 5 ' 8 - 11
- En primer lugar, calculamos la razón:
1,-5-2-8-5-11-8
3
I~~
- En segundo lugar; hallamos el término anterior al primero (aJ a(l = a-r
c:>
ao =2-3=-1
I
Luego. si aplicamos la fórmula: ~
ron + aol. a cada término de la serie.
comprobamos que cumple con estos valores observe:
3,=3.1+(-1)=2 .. = 3_2.+ (-1) = 5
..,=3_3+(-1)=8 3.=3.4+(-1)=1 1
I (lu~resl I
a120 = 359. es el término que ocupa el lugar 120_
b)
SeriesCuadraticos: Aquellos que son de la forma:
I .. = An' + Sn + C I
Ir S-n-; -{aj-an- =- -An2-:-+- s-n-+-C- ;-n-e- N') I
Q
Ejempros: i~
ii)
.. = 3n' + 2n + 1
Y (n
Q
Sn; (6; 17; 34; 57; ... )
-1,2,3,4, ... ) 1
.n=2n2-3n+4
Q
Sn=(3;6; 13;24; ... )
"4]n-1,2,3,4, ... 11
11.
Series Potenciales: aquellos cp..!e son de la forma:
ISn; {1; 2';3"; 4'; .................................................1. 1.. = Kan 1Q I Sn;{Ka; Ka ;Ka'................................................. ) 1
') B "1
111.
IV.
2
Series Exponenciales: aquellos que son de la forma:
Q Sn_(.,; a2 ;a3 , ................ ...... .. . ........ ............. ...... ..
") I .. - Kanl
Q
ISn-{Ka;Ka'; Ka', ...... ·.. ·.......... ·........ ·.... ·........ ·... · ~1
Series Logarítmicas: aquellos que son de La forma: an = Klogn
I
Q
I
11
Sn = (Klog1 + Klog2 + Klog3 + ......................
Series Trascendentes: aquellos que son de la forma: ')
1 . . =Senn"
c;>
") 1.. =Cos n' I Q C.
11
I
") rx?l I V.
Q
ISn = {Sen1 ° + Sen2° + Sen3° +h...... hh........}I ISn;(Cos1"+ Cos2"+Cos3'+ ...................11
Series No Lineafes: Son aquellas enque la razón no es constante. para resolverestos eiercici05 se tiene que encontrar primero una Ley de Formación o Fórmula de Recurrencia que cumpla por lo menoseon los dos primeros términos de la serie, luego los términos restantes estarán en función de una constante "K" y el número de términos "n". Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo': Qué número sigue en la serie: 1; 3; 5; 43; ... Resolución: Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 1,3 A eslos 2 primeros términos, podemos considerarlos como una Serie Lineal , romo se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: = 2n
la.,
-1 ·1
I
Ahora comprobemos si todos los términos, de fa serie cumplen con dicha fórmula, veamos; ',=2(1)-1=1 a, = 2 (2) - 1 = 3 " =2 (4) -1
• Como se podrá observar eltercertélTT'li-
no® =® ' - - - - - - - - - - - ' no, debió de habemos salid043, y
a, =2 (3) - 1 =5
Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le v¡lmos ¡I agregar un télTT'lino que sea igual a cero (se anule) para los términos primeros de la serie, es decir, para: 1, 3y 5. Este será de la forma: K (n - 1) (n- 2) (n - 3), preguntémonos ¿Por
I Bn" (2n - 1) + K (n - 1) (n - 2) (n - 3) I
Ahora si encontramos el valor de "K"; sabiendo que:
8 4 = 43.
tendremos que:
'. = (2 (4) -1) + K (4- 1)(4 -2)(4- 3) 43 = 7 + K (3)(2)(1)
36=K(6) 1 K=61
Volvamos a comprobar con la Ley do Formaci6n:
'.= (2n -1)+ K(n-l) (n - 2) (n - 3) que el
término del lugar 4 es 43. veamos: •• = (2 x 4 - 1).6 (4- 1)(4-2)(4- 3)
" = 7.6 (3)(2)(1)
Q
'1.-,-=43'1
Ahora bien, como en el ejercicio nos piden el quinto término. se tendrá:
a. = (2n -1) + K (n -1)(n- 2)(n - 3) a, =(2 x 5-1) + 6 (5 - 1) (5 -2)(5 - 3)
., =9 + 6 (4)(3) (2)
Q
'1.-,-=1-53' 1
I El término que sigue en la serie es: 2971
Apta.
Recomendación: Estimado alumno. tu puedes proceder de igual forma cuando te pidan, términos que ocupen lugares mucho más altos, como por decir, Hallar el término de lugar 130. En la fónnula de RecUlTenda:
I al"l
= (2n - 1) + K (n • 1) (o - 2) (n - 3)
I
-O Calculamos:
a,,,, = (2 x 130 - 1) • 6 (130 - 1)(130 - 2)(130 - 3)
a'30 = (259) + 6(129) (128) (127)
.. I a'30 = 12582 4031
(término de lugar 130)
Ahora preguntémonos: ¿ K(n -1) (n - 2) (n- 3) puede cambiar?
Por supuesto que si, esto dependerá de lo sene que nos planteen. Ejemplo 2: Qué número sigue en la siguiente serie: 2; 4; 6; 8; 10; 252; ...
Resolución: Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 2; 4. A estos 2 primeros términos, podemos considerartos como una serie, lineal, como se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: ~ ~ Ahora comprobemos si todos los términos. de la serie cumplen con dicha fórmula, veamos:
0,=2(1)=2 a" = 2 (2)=4 0,=2(3)=6 •• =2(4)=6 •• =2(5)= 10 .. =2(6)=@) •
Como se podrá observar el 'quinto término,debi6dehabemossalido252,
yno@
Como hemos afirmado anleriormente. a la fórmula que cumple con los primeros términos le vamos agregar un término que sea igual a Cero (se anule) para lostérmi"os primeros de la serie, es decir, para: 2; 4; 6; 8; 10, ... Este será de la forma: K (n -1) (n2) (n - 3) (n - 4) (n - 5), preguntemos ¿porqué? Porque Si: n = 1: n = 2: " = 3: " = 4; n = 5; este se anuta y sí funcionará cuando: " = 6;n=7; ..•
luego; la l ey de Formación será: 1 .. = 2n + K (n -1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 5) Ahora si encontraremos el valor de '1<", sabiendo que: ~ = 252, tendremos que:
.. =2(6) + K (6-1) (6 - 2) (6- 3) (6 - 4) (6 -5)
U 252= 12 + K (5) (4)(3)(2) ( t)
Q
Volvamos a comprobar con la l ey de Formación :
a,,~ K (n -1) (n -2) (n - 3) (n -4)(n - 5): que el término de lugar 6 (aJ es 252, veamos:
.. = :1 (6) + 2 (6 -1) (6 - 2) (6 - 3) (6 - 4) (6 - 5) .. = 12 + 2 (5}(4) (3}(2)(1) Q .. I =-2-5"C1 21
r.'-.
1
Ahora bien. como en el ejercicio nos piden el sétimo término (~). se tendrá:
8,,~ + K (o - 1) (o -2)(0 - 3) (o -4) (o - 5)
U
U
'" = 2 (7) + 2 (7 - 1) (7 - 2)(7 - 3) (7 - 4) (7 - 5,..:-)_ _---, a,= 14+2 (6)(5)(4)(3)(2)
c::>
..
I a,= 1454 1
I El término que sigue en la serie es: 1 4541
Rpta.
Ejemplo 3: Hallar el ténnino 80 de la serie: 4; 7; 16; :31; 52; ...
Resolución:
Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 4; 7. A estos 2 primeros ténninos, podemos considerarlos como una serie lineal, como se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: I an::::~
!
Ahora comprobemos; si todos los ténninos, de la serie cumplen con dicha fórmula; veamos: a,=3(1)+1=41 • ,=3(2)+1 =7
Como se podrá observar ellercerté~no • debiéJ. de habernos salido 16 y no~
a,= 3(3)+ 1 =@
Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le vamos a agregar un término que sea igual a cero (se anule). para los términos primeros de la serie, esdedr, para4;7y este será de la1orma: K (n -1) (n - 2); preguntémonos ¿Porqué? Porque si: n:::: 1; n:::: 2; este se anula; y si funcionará cuando n =3; n = 4; ... Luego la Ley de Formacióo será:
I
0n =!(3ñ"+"ij+
K (o - 1) (o - 2)
I
Ahora si encontramos el valor de -K"; sabiendo que: iI:3 = 16; tendremos que: a, = (3(3) + 1) + K(3 - 1)(3 - 2)
U 16 = 1O+K(2)(1)
c::>
:.
IK=3 1
Como ya determinamos el valor de ",,", la fórmula de recurrencia será: 18,, =(30 + 1)+3(0-1)(0-2) Si:"=1 Si: 0=2 Si: o = 3 Si: o ~4 Si: 0= 5
c::> c::> c::> c::> c::>
IYPodemOSCOmprobo~a:
0,=(3(1)+1)+3(1-1)(1-2)=4
a,= (3 (2) + 1) +3(2 -1) (2 - 2) =7 a, =(3 (3) + 1) + 3 (3-1) (3 - 2) = 16
a.= (3 (4) + 1) + 3(4-1)(4 - 2) =31 Os= (3 (5) + 1) + 3 (5-1) (5 - 2) = 52
Como. puede ver. cumple con todos los valores de la serie dada; por lo tanto para:
I n=80 I
Q
aoo = (3(80) + 1) + 3 (80 -1)(80 -2) = h8 7-271
El ténnino de fugar 80 eS: 187271
Rpta.
Series Potenciales: Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie. 1; 4; 9; 16: 25; 36; ..• Resolución: Cada uno de los lérminos se pueden escribir así: 12; 22; 32; 42; 52; 62; ...
Luego, el número que sigue es: 1 7" = 491
Rpla_
Ejemplo 2: Hallar el nlimero que sigue en la serie : 2: 8: 18: 32: 50: 72; ... Resoluaón: Cada uno de los términos se pueden escribir así: 2
2
2
2
2
2 x 1 . 2 x 2 . 2x 3 . 2 x 4 . 2 x 52' 2 x 6 • ............. ~ '~~~~ Luego. el número que sigue es:
12 x 7'2 = 981
Rpta.
Ejemplo 3: Hallar el número que sigue en la serie: 2; 11: 26; 47; ... Resolución: Cada uno de Jos términos se pueden escrlJir así: ~;,3)(4.1;,3)(?-1: .3)(
16-1,:•..
.3 x 12 . 1:.3)( 2 2 - t:.3)(;32 -1;,3)( 4 2 - t; ...
•
I
luego. el número que sigue es: 3)( fI- - 1 ;; 74
I Rpta.
Ejempl04: Hallar el número Que sigue en la serie: 2: 8: 26; 80; ...
Resolución: Cada uno de los términos se pueden escribir así: 3-1; 9-1; 27-1 ; 81-1;_ ..
"""T-'
~ ~ ~
.3':';~ ; ~;~; ... Luego, el número que sigue es:
1
3" -1 =
2421
Rpla_
Series Exponenciales: Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie: 3; 9; 27; 81; ... Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asf: 3 ' ; 3 2; 33; 34: ...
Luego. el número que stgue es:
135 = 243 I
Rpta.
Ejemplo 2: Hallar el término que sigue en la serie: 4; 8; 16; 32 : 64; ,..
Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asi: 22; 2 3; 24; 2 5; ~; ." Luego. el número que sig ue es: j27 = 1261
Rpta.
Nota: Estas srriesexponern:iales se resuelven como progresionesgenmétricassi la base es constante.
IEJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1: Qué número sigue en la siguiente serie: A) 20
8)26
4: 10; 16; ...
C)28
E) 32
D) 24
Resolución: La Ley de Formación eS: t n (o +3) 1; donde: n = {l, 2, 3, 4,m} Luego, reemplazamos los valores de
"n~
hasta llegar al número que se nos pida. veamos; 18
10
1212:3)1 13(;;3) 1 .. I El número que sigue es: 28 ,
T
?
14 (4 +3)
r
Esiguala28 Rpta.
~----~~~~~----~ Otra forma:
4 ; 10 ; 18 ; .y. ; ....
"-" <>-"
~
......."'-"
.. 6
+8
..2
+x
~
18 + x = y
18+10=y
•.
8+2=)(
.2
.!;=)
e
128~YI
I 10~x I
Ejercicio2:0ué número sigIla en la siguiente se ne: 2; 10; 24; 44; ... A) 60
B) 70
D) 75
C) 72
E) 80
Resolución: La ley de F:irmación es: (3n - l)n , donde: n = {l. 2.3. 4, ... } luego, reemplazamos los valores de "n" hasta llegar al número que se nos pida. veamos:
2 T 1(3(1)- 1).1 1
24
::r: [ (3 (3) • 1).
31
? T 1 (3 (5)· 1).5
.
I
f-- e~'%"
r -______________
~~:E:I:n:ú:m:e:r:o:q:u:e:s:ig:u:e:e:s:;:70::1~______________~RPta.B ..
Otra forma: ~
44+x=y
44+26~y
:.
FO~Y I
Ejercicio 3: ¿Cuál de los números debe ser reemplazado por 225 en la serie:
126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324 A) 258
B)159
C)192
D)23O
E) 291
Resolución: Como se podrá observar. la diferencia por cada dos términos consecutivos es 33: pero hay dos grupos en que la diferencia es 38 y 28. eslo indica que el término 230, debe ser reemplazado por 225. 126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324 ~~~~~~
+33
+33
+38
+28
+33
+33
Verificación:
126 ; 159 ; 192 ; 225 ; 258 ; 291 ; 324 ~~~~~~ +33 +33 +33 +33 +33 +33
El número 225 debe ser reemplazado por 230 para que se obtenga
la razón igual a 33. Ejercicio 4: La siguiente serie esta bien escrita desde el2 sucesivamente hasta el número 13, después de este hay un ténnino mal escrito, ¿Cuál es?
2 ; 6 ; 10 ; 15 ; 13 ; 78 ; A) 77
6)78
C)82
n ; 82 D) 13
; 86 ; 90
E)e6
Resolución: Al sumar los términos extremos nos debe dar un mismo número (constante) veamos:
2
6;rr~J];86
90
1>92
I:~92
Comosepodráobservarelerrorestaen lasumade: 13+ 78=91, quedebeser92.estoquiere decir que en lugar de 78 debe ir 79, Osea: 13 + 79 = 92.
,. I Ellérmino m~1 escrito es el 78. pues debe ser 791
Rpt•. B
Otra forma: 2 .
6 . 10 . 15 . 13 ' 78 . 77 . 82' 86' 90 ~~~~
~~~~' -14 -14 +5 @
8)
+5
+4
+4
Se verifica que las razones en el primer grupo de 5términosson: 4. 4. Sy -2, yen el segundo grupo de 5 términos se puede observar el error ya que las razones son: 4, 4, 5 Y -1 . pues en lugar de -1 debe ser -2 , esto quiere dedrque en lugar del número 78 debe irel número 79,
6
EjercicioS: ¿Oué térrninQfalta en la serie?
2 5 A) 1
14 5
6 5
16
22
5
5
26 5
C)2
8)3
E)6
0)4
Resolución: Es fácil darse cuenta que la razón para los numeradores es 4; veamos: ~
~
~
~
~
2 6 14 18 22 5:5:-:5;S;5 ; -14
ri
~~~~
+40 ...
.r:"1WI
+4
+4
26 s:6 ~
+4
=--
+40
2~' ~ 4-
Rpt•. C
Otra forma:
Si buscamos la ley de fonnación para el ejercicio, se tendrá
12+(n~1~ X 41 ; Dond.:n~(1.2.3.4 •. __ ) Luego: 2+(1
1)x4.2+(2 - 1~ x 4 .2+(3 - 1) x 4 _2+( 4 -- 1) x 4 _2. (5--1~ x 4 .
11
1'1 1,
; , .:, . t;tS igual a 2.
Ejercido 6: En la sigu~nle serie que número sigue:
2~ - 2~ . 2 6 . 2~ 3'
Al
2~
Bl 2
15
6'
9'
15
12
El 2~
D)2!.Q. 20
10
20
Resolución:
En primer lugar transformamos los números mixtos a fracciones; asf:
a 3
16 6
24 9
32 12
4
x4
5
x5
.. Otra forma:
El número que sigue en la serie es:
2~~
I
Apla.C
Ejercicio 7: ¿CUál es el número que sigue en la serie: 18 ; 21
12 ; 24 ; 27 ; 72 ; 30 ; 33 C) 41
B) 39
A) 36
0)33
.
Resoluci6n:
El número que sigue en la serie es:
E) 52
331
Rpta. D
Ejercic;o S: ¿Cuál es el número que completa correctamente la serie? 12 ; 15 ; 21 ; 33 A) 52
B)57
... ... ; 105
C)60
0)72
E)83
Resolución: Si hallamos la diferencia porcada dos términos consecutivos. obselVamos Que la razón Se va duplicando; veamos:
)Xl
15-1 2~3 21-15~6
33 _ 21
~
~ 12..J1
x-33~24 105-x~48
><2
Q Q
x ~ 24 +
33~
57
Q
C07l
..
105-57~48
El númérOQue completa cOrrectamente la serie es el 57.
Rpta. B
Ejercicio 9: Hallar el término 40 en la siguiente serie: 8 : 13 : 18 : 23 : A) 200
B) 197
C)203
E) 82
O) 183
Resolución: Hallamos la Ley de formación para los 4 primeros términos: 8 ; 15 ; 18 ; 23 : ... ~~
L - r=5
Aplicando la lónnula:
Ia" ~ '. + (n . 1) x r II a,,~8+(n-l)x5
{
~ ;¡¡ primer término r = razón é\, = término de lugar "n"
.. I a" ~ 8 + 5 (n - 1)1
(Ley de Formación)
luego:
Si: n= 1 Si: n=2 Si:n=3 Si:n=4
=> => => =>
Si: n = 40 => ..
a,;8+5(1-1);8 ..,;8+5(2-1);13 0.,;8+5(3-1);18 a,; 8+ 5 (4 - 1) =23
8
40
= 8+ 5 (40- 1) =203
1 El término 40 en la serie es el número 203
I
Apla.C
E;ercicio 10: Hallar el término que sigue en la siguiente serie : 5 ; B ; 21 ; 44 ; 77 ; ...
8)130
A) 110
C) 120
E) 160
D)14O
Resolución: 5 ; 8 ; 21
: 44 : 77 ;
Y Q
"=" "=" "=" "=" ~ .... +13 +23 +33 H ,.-... "=' "=' "=" "=" .... 10 . 10 ... 10 -1-1 0
V=77+x Q
~
I Ellermino que sigue en la serie es: 120.
o".
Ejercicio 11: La fónnula Que expresa la relación existenle enlre "x~ é siguienle labia e s :
A)y=2x-3
C)y=2><"-1
8) y= 2><" - 3
Rpta.C
'Y' según los valores de la
D)y=3x'-1
E)y=3x' - 2x+l
Resoluci6n: Para este tipo de ejercicios es recomendable trabajar con las altemativas de la manera siguiente:
A>!V=2X-31 Cuando:x=1 Cuando: x = 2
=> :::::}
y; 2 (1) - 3 = -1 (si cumple) y = 2 (2) - 3 = 1 (no cumple); porque de acuerdo a latablacuandox=2; y=5.
cuando: x = 1 cuando: x=2
=> =>
cuando: x= 3
=> => => =>
cuando: x=4 cuando: x = 5 cuando: x=6
y;2(1)'-3=-1 y=2(2)'-3=5 y=2(3)' -3= 15 Y = 2 (4)' - 3=29 y=2(S)2-3=47 y=2(6)' - 3;69
Como los valores hallados, astan en la tabla esto quiere decir que la res~ puesta correcta es la B.
•
Como ya tenemos la respuesta, no es necesario continuar trabajando con las otras altenativas.
,--------------------------. La fórmula que expresa la relación existente entre ~)(~ é
'Y según los valores de la tabla es: y ... 2x2 - 3.
Rpta. B
Ejerc;c;o 12: ¿Cual es elténnino que sigue en la siguienle serie: 5; 9; 13; 29; •.• A)47
8)56
C)68
E)73
D)71
Resolución: Se lrata de una serie no lineal observe que los tres primeros ténninos estan regidos por la misma ley de formación; veamos:
5 ; 9 ; 13 ; ...
"'C:" I
Aplicamos la f6rmula:rl~-=-a-o-+--'(n---1")"-'r
a" =5 + (n - 1) 4
t:;>
Ia
n
=5 + 4 (n - 1)
I
(ley de Fonnación)
COmprobemos si todos los términos de la serie cumplen con dicha fórmula:
=5 + 4 (1 - 1) = 5
Si: n = 1
=>
a,
Si: 0 =2
=>
a, = 5 + 4 (2 -1) = 9
Si:n=3 Si:n .. 4
=>
., =5 + 4 (3 - 1) = 13
=>
' , : 5 + 4 (4 - 1)
=1m
(No cumplo)
EI17 no cumple con la serie, porque el término de lugarcuar10 es 29, ¿Crees que está mal propuesto el ejercicio?, daro no agregamos un lénninoque anule a los tres primeros términos de dicha serie; esle debe ser de la forma: K (n - 1) (n - 2) (n - 3) Luego. la ley de rormación Quedará asi;
a,,~{C5=+=4=(n=-=1~)}~K~(~n--~I)~(n--~2)~(n-~3~)
'1
Ahora, hallamos el valor de ~K"':
a, = 5 + 4 (4 • 1) + K (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3)
Il 29 = 5 + 12 + K (3)(2)(1)
Q
:.
I K = 21
Como ya deteffilinamos el valor de "t{".1a fórmula de recurrencia seré:
I a, = [5 + 4 (n - 1) + 2 (n - 1) (n • 2) (n -3), Iy podemos comprobarla: Si : n~1
Q
a,~(5+4(1-1)J+2(1-1)(1-2)(1-3)=5
Si: n=2
=>
a,= [5 + 4 (2 -
Si: n =3 Si: n =4
=>
a, = [5 + 4 (3- I)J + 2 (3-1) (3- 2) (3 - 3) = 13
I)J + 2 (2 - 1) (2 -2)(2- 3) = 9
=>
a, = (5 +4 (4- 1)] +2 (4-1) (4 -2) (4 - 3) = 29
Si: n = 5
=>
as = (5 + 4 (5 - 1)] + 2 (5 - 1) (5 - 2) (S - 3) = 71
.. I El término que sigue en la serie es: 71
I
Rpta.D
IEJERCICIOS PROPUESTOS I Ejercicio 1: ¿ Qué número sigue en la serie?
Ejercicio 7: El términosiguienteen la serie es:
9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; ...
0.03 ; 0.08 : 0,15 ; 0.24 ; ...
A)35
B)24
C)46
O) 44
E) 39
A) 0.28 O) 0,43
8)0.35 E) 0,53
C)O,36
Ejercicio2:EI término siguiente en laseriees: Ejercicio 8: ¿Qué número sigue en la serie:
11 ; 14 : 18 : 23 : 29 ; .. A) 32
B) 44
e) 36
0)41
5,.,!,!.~ . .§l..
7'21'7'7' "''
E)35
6) ~
A) 36
Ejercicio 3: ¿Oué número sigue en la señe:
B) 15
e)12
0)21
A) 23
e) 63
O) 72
El 78
Ejercicio 5: ¿Qué número stgue en la serie:
1.32; \.37 : 1,44 ; \,53 ; 1,64 ; ... A) \,65
O) 1,76
8) 1,69 E) 1,81
6) 29
2
C) 16
E) 38
7
2\
o ; 0,3 A)200
2
C)40
0)27
E)31
8)20
; 0.65 ; \.05 ; 1,5 ; ... C)2
D) 2,4
E) 1.8
Ejercicio 11: El ténnino siguiente en la serie es:
A) 29
O)~
8)42
13 ; 14 ; 17 ; 17 ; 21 ; 20 ; 25 , ...
C) \ ,77
Ejercicio6: Eltérmino siguienleen la seriees: 3·.!2. · 8 · 21 · 13· , 2' • 2' • A) 17
D) .!5.
Ejercic;o 10: ¿Qué número sigue en la serie?
; 9 ; 20 : 34 ; 51 : ...... ; 94 6)71
C) 35 21
-45 ; -32 ; -17 ; O : 19 ; ...
E)23
Ejerciclo4: ¿Qué número completa correctamenle la serie?
A) 60
7
Ejercicio 9: Eltérminosiguienteen la serie es:
-15 ; -9 ; -1 ; 9 ; A) 18
7
E)33 2
8)23
C)24
0)31
E) 25
Ejerclc;o 12: ¿Qué número complela corree· tamente la serie?
9 ; \3 ; 25 ; .... ; 169 A) 52
8)61
C)63
0)67
E) 59
Ejercicio 20: El término siguiente en la serie es:
Ejercicio 13: En la siguiente serie:
-3 ; 4 ; -1 ; 7 ; 3 ; 12 ; Hallar: le: + Y A) 24
B) 26
e) 28
x 9,
0,04: 0,12 : 0,36 ; 1,08 : ...
D)31
E) 35
A) 4,32 D) 2,43
cf 3,24
B) 2,34 E) 3.42
.1
4 2 32 - 5 ; 5;2; .... . S e)7
B)4
D)
A) 5
~
E) 13
5 5 Eiercicio 15: En la serie: 2 ; 7 ; 15; 26; 40 : el cuarto léonino después del 40 es: A) 116
B)126 E) 186
D)158
,
C) 1/9
A) 128 D) 1 240
C) 2
D) 3
".. .
E) 6\
S 0-0
·10 . 4 . -4 ' 20 . 2 . 100 . 8 .
i¡l)~~D~'S~;28 24 : 8 : 8 : 24 : ... ~
A) 48
D) 1/81 E) 1/3
O·~2. " 2
~
Ejercicio 23: ¿Qué numerO sigue en la serie?
Ejercicio 17: El tr'Jrmino siguiente en la serie
es:
BJ'1
A)400'
C) 162
8 1 ; 27 ; 9 ; 3 ; 1 , J. 3 ' ..... . B) 1127
'.
Ejercicio 22: ¿Qué número sigue en la serie:
Ejercicio 16: ¿Qué número sigue en la serie:
A) 1
q
Ejercicio 21: En la serie: 120;120 ; 60; 20 ; el terCér término después de 60, es: -,.....
tamente la serie?
A)6
'
~/. r ~¡.. ............
Ejercicio 14: ¿Qué número completa correc·
'O
8) 72
'3. ,~ ~
A
~' ~
C) 98' .3
D) 120
E)216
Ejercicio 24: ¿ Qué número completa correetamen1e la serie? I 5> .... 9
.~
".--'-S
-
7 ; 8 ; 14 - 16 ; 20 ; 24 ; 2S ; __ 29 ~ .... ~ ......... A) 28 B)29 C) 30 DJ31 E) 32 o
;
1:1 : 2:8:64: ... 8 ) 192
Q) 1 024
E) 1 204
Ejercicio 18: ¿Qué numero sigue en la serie: 1 ; 20:200: ...
C) 1 000
A) 40
B) 80
D)loo
E)4~ () . b eO' C OO O 0..0 . f ~
Ejercicio 19: En la siguiente serie:
'Á
128 : 3 : 32 : 15 : 8 : 75 : Hallar. 'y - )('
A) 371 D) 372
B)373 E) 733
x:
C)471
Ejercicio 26: ¿Qué número sigue en ra serie? .~
"l' ;'
V
,
1;3; 3:6: 12: 12:... ~
.. 3.
A) 24
B) 36
........
e) 60
~
111 (.
D) 72
E)144
Ejercicio 27: ¿Qué número faltan en la serie?
...; 18 : 29 : 45 ; 68 : .. ,
:
A) 12y81 0)9y72
8)8y64 E) 10y 100
A: B: e; O; F; F; J;...
e)6yl00
A) H
Ejercicio 28: ¿Qué número sigue en la serie:
B) I
C)J
O) K
E) L
Ejercicio 36: ¿Oué lelra sigue en la serie?
9 ; 15 : 23 ; 34 ; 49 ; ... Y;V:S:P: ...
A) 61
8)59
/ , 69
0)73
E)84 B)M
A) L
EjercIcio 29: El ténnino siguiente en la serie es: ..r-. --..... y ~ 12; 96; 384; 768; 768;... 3J-,
r-v-.r-
A) 438
¡;1348
0)834
E) 384
e) 483
es:
1
3 A) 7/8
B)617
1 .3
X; T:P:M; I; ...
o ;e;s :
e) 518
PI 1
A ; B ; O;G ; K ; ... O , 1 <; 9 -'1 ¡;¡ A)L B)M '" C)N 0)0 EjP "" 2.)< :(. (:>"5);1 tg . ~)· ' Ejercicio 32: ¿Qué letra sigue en la serie?
A; G;G;M; ... C) T
e)L
O) 1
(a + 1); (b + 2); (e + 4); (d + 8); •..
O)K
C)(e+ 17)
Ejercicio 40: El término siguiente en
la serie
A; 8 : C: 8 : 8; O; O; F: G: B: 1; ...
AjH
B) I
e)J
O)K
E)L
1>'; bd: atodb'; ... Ajld
B)h'
e)gd
O) bdt
Ejna
1;5;9: 13; 17;...
E) L
Ejercicio 35: El término siguiente en la serie
es:
E)(1+16)
Ejercic;o 42: Hallar el término 60 de la serie:
A: B: B: e: O; F; G:... e)J
8)(e+15)
E) H
es:
B) I
A)(e + 18)
0)(1+ 15)
es:
Ejercicio 34: El término siguiente en la serie
A)H
E) E
Ejercicio 41: El término siguiente en la serie
,
W; U; A; Ñ:.. {, , )
slJ
0)0
Ejercicio 39: Ellermino siguiente en la serie
EjZ
Ejercicio 33: ¿Qué letra sigue en la serie?
AjK
0 ; 0 ; 0 ; ...
eje
B) B
.:; O)W
E) E
es:
(11 )
1.. :¡~,S
0)0
es:
:1.
B)O
C)e
Ejercicio 38: ¿Oué lelra sigue en la serie?
AJA E)2
Ejercicio 31: ¿Qué letra sigue en la serie:
A)Ñ
B) 8
5. "
; ¡ '5 ; "6 ' ': ... .
E)O
O)K
Ejercicio 37: ¿Qué letra sigue en la serie?
A)A
Ejercicio30: EI término siguiente en la serie
C)N
A) 240
B) 273
e) 237
D) 252
E)327
Ejercic;o 43: Hallar el ténnino 26 de la serie:
-17,·10; -3;4;11; ...
A) 173 D) 158
B) 162 E) 581
e) 185
•
1
2
3
4
5
Y
1
10
25
46
73
A)2><"- 1 D)2. - 1
e)3x2 -2
B)3><"+2 E) 4><" - 3
Ejercicio 44: Hallar el término 45 de la serie:
Ejercicio 51 .- la fórmula que expresa la re[a~
17 ; 22; 27, 32; ... A)372 D) 327
B)273 E)2 37
ción existente entre -x" e y segun los valores de la siguiente labia es-
C)732
x
1
2
3
4
5
Ejercicio 45: Hallar el término 32 de la serie:
Y
O
5
12
21
32
-9; ·1 1, - 13; -15; ...
=x2
A)-59
6)-17
e)·71
0)-57
A)y E) ·47
Ejercicio 46; Hallar el término 123de la serie: - 10; -7; -4; · 1; 2; ... A)263 D)356
B) 358 E) 458
C) 365
es:
A)6 D) 190
4; 5: 54,...
B)4B E) 199
. x
+3x- 4 D) Y = ><' + 2x-3
el 2)(2. 3)( + 1 E) 3x2 -2x-1
Ejercicio 52: La fórmula que expresa la relación existente entre "X~ y "YO segun 105v810res de la siguiente tabla es :
Ejercicio 47: El término siguiente en la serie ~;
8)x 2
1: I~ 1: 1~2 1: 1:8 1
A)x 2 ·Sx+2 C)x L 1x2 +2 E) )(3 . 2x2 + 3
8)x 3 +3)(2+2 D)><' +>-2
e) 198
CLAVE DE RESPUESTAS
Ejercicio 48: Hallarel ténnino siguiente en la siguiente serie:
1. O
11. B
21 . B
31. 0
41. 8
51 . O
O ; 1 ; 2 ; 3; 124; ...
2. e
12. 8
22. 8
32. e
42. e
52. e
3. 0 4. 8
13. C
23. E
33. 8
43. 0
14. 8
24. E
34. 8
44. E
A) 60S
B)604
D)328
E) 1 205
e) 506
5. e
15. 8
25. 0
as. A
.5. e
Ejercicio49: Hallar el término siguiente en la
6. D
16. e
26. C
36. e
46. 0
siguiente serie:
7. 8
17. e
27. E
37. E
47. E
8. E
lB. e
2B. e
3B. e
48. A
9.e
19. 8
29. E
39. 8
49. e
10. C 20. e
30. 0
40.0
50. e
2 ; 4 ; 6 ; 6,5 ; ... A) 13
B) 14
C) 12
D)17
E)21
Ejerdclo50: Oiga Ud. cuál de las siguientes, atlemativas representa a la expresión que da origen a los valores de la tabla.
Dadll/a
s('n('
dc lus "1I"'I'ro.',:
6
4
10
12 14 16 18 20 22 24 26 2X :~O
Hallar la suma de
,(J.~ f('rmillf)~
de I(J
fila 20. 1 R espuesta 1
s~
tiene las
Serie 1 Serie 2 Serie 3 S erie 4 Serie 5
11 020 11
sigllieflte~
1 .3 7 13 21
series:
5 ~
11
15
/7
23
25
19 27 29
Hallarel prnmedio a ritmét ¡code los términos pertenecientes a la serie nn" Respuesta:
I
0
TEORIA DE EXPONENTES Ejemplo:
Lateoriadeexponentes. estudia todas las clases de exponenles que existen y las djferen ~
, 7-
4
3 _ l -2 _ 32 _ 9
tes relaciones que existen entre eltos. mediante
leyes. La operación que da origen al exponente. es la potenciación.
--
PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA:
POTENCIACiÓN :
I Amx s m",, (A x Sr I
Es la Operación que COnsiste en repetir un
número llamado base, tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente denomi-
Ejemplo:
nando al resultado de esta operación polencia .
5' x 2' = (S x 2)' = (10)' = 100
Representación:
COCIENTE DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA:
~ -. 3)(3x3)(3r8'
Ejemplos:
Ejemplo:
•
~
,----------.,
6' ={6J' "3 = (2~2= 4
'" 2)< 2><2 x2x 2 >< 2 "'= 64 16
"
•
-=t'i)
®
Leves Oe Exponentes:
POTENCIA DE POTENCIA:
I (A'")" _ A ."I
Las principales leyes de los exponentes son las siguientes:
@
PRO DUCTO DE BASES IGU ALES:
IAmx An=Aflu"' l Ejemplo: ,
g2 x 3 ' = 32 • = 3 3 = 27
®
COCIENTE DE BASES IGUAL ES:
~
L.C..J
Doode: CA ~ O)
m
Ejemplo:
POTENCIA DE POTENCIA DE POTENCIA:
I UAJJl)")P _ Am " n ~ p
I
Ejemplo:
[(2')')' =23 • 2 . , =;>3' EXPON ENTE NEGATIVO:
PRODUCTO DE RADICALES HOMOGE· NEOS:
DonC!g: (A "" O)
Ejemplo: 1
3
®
1
"' ""2 "' 9
Ejemp'o:
3
EXPONENTENEGAnVOOEUNCOCIENTE:
@
'V4xV2 =3J4 x 2 = V8 = 2
COCIENTEOERAOICALESHOMOGENEOS:
~ =~ Ejemplo: Ejem¡Jo;
3.J16 _ 3[16 _ 3'"8 _ 2
®
V2 - "/"2" - '" -
EXPONENTE CERO O NULO: POTENCIA DE UN RADICAL : Donde: (A "" O)
Ejemplos:
i) ii} iii)
3°=1 3x5°=3x1 =3 (3)< + 5y2)° ~ 1
Ejemplo:
!>
['[,;') ~ 'k s s,po =
RAIZ DE UNA POTENCIA:
RADICAL DE RADICAL:
I ~ ~ A;; I
I ~='=!A
Ejemplo:
Ejemplo:
VVA ", ~=,,'2JA
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS RADICALES.
1)
A = A ~W
i )
i)
~¡;A Ak
;(J
NI
0=
$' VJ ~ A =A q
P " ~
A = A ~~
LEYES DE LOS SIGNOS DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS.
I Muhlpllcaclón I al
(+))( (+);:;; (.)
División a)
(+ 1 = (+) ( +)
I Multiplicación I
División
B)
(')'H=H
B)
~=( - )
C)
(-) , (+) = (-)
C)
=(-) (• 1
D)
H'H=I')
D)
- ~( +)
( - )
( - ) ( -)
[NOTk
( - )
En la nwlfiplicación y en la división de dos colltidades se cumple: q«c a ig ual SigilO resul t a (positilJfJ); y siJ!,IUJJ5 cli(erWlC:
POTENCIACION y RADICACION
I Potenciación I
se obtiene: A) 35/8
1+ 1 = ( ±) ~
¡(+ll'"' = (.)
B)
[(tHIIf'PSI::
C)
11-)1'"' = 1+)
e)
~= (-)
D)
11-11- = (-)
d)
~ CarMJd ( - ) ::: irregnana
,
+5
,, , , " 5 -5 - 5
BI8135
t.)
a)
b)
~=(+I
"1-
r
I
D) an
C)7!1l
1aC1ol'ilamos " 5
A,mxA"
E) 5/8
"
I
, , ,1
· 5 +5
,
·5 -5 "
,I
~
en el numerador y denominador.
/(5' - ,)
M " [ 1:: ]
IArr.· n :::
,,
M~[/(5' -5' +51 r .[125- 2S+Sl-'
Resolución: po( propedad:
I
A)
,
.. 2
M= 5
Radicación
I EJERCICIOS RESUELTOS I
,l '" ,
EjerciciO T: Al Simplificar:
I
'~ 3:
r
5- ,
2
; Por pfOpIedad :
I(~r·(~JI;obten~ ..
EIl
os:
Rpta. B
Ejercicio 2: Reduciendo:
Ejerclc/c 3: Si:
n - m= 1
Reduzca:
"f.for;;;,
T{x) = ~x~r
;oblenemos una EllCptesión
B) V ,
el x'"
de la forma:
b~, si: a, b e
4lindicar: "a .. A)12
0)7
C)6
8) B
O) x"
EIX
f\I
Resolución: E) 13
Aplicando la propiedad:
I,¡q FI VA
:::: A
Resolución: la expresión dada se puede escribir como: La expresión dada se jXJede escribir como:
"',¡;; m o
T(IC) = X n
; por propiedad:
Aplicamos la prOpiedad'
T(x) = x
ol:ltenemos:
~~ == n
2 )< 3 + 2
,
V xl); por propiedad:
lEJ m
_
O
m-o
=A
T(x).;r;;
A
,
Obtenemos:
x
•,.
@@
b
x
"fe",'e/o
4, EfeCloa[r:
I
1<>-'1
A = i!J(4)2.Ji
==)(
~
Como las bases son igualesenecuaci~.los exponentes tambien deben ser tguales.
A)2
De doncJe:
b
36 ="2
D) =ftJ2
•
:--2 /!b= 71
Resolucl6n:
,
49
por dato:
luego :
• ~~
9 1..
;
n- m_1 - m = (1 -o)
3" 2 + 3
2":""2 <17 ' Xb ,
_ X __ o
1'(8/ 9'""
X
;.= ~ ~' "'la.6 1
la expresión dada. se puede escrt>ir como:
l a+b = 6+7=13 1 Rpta. E
Apta. A
El valor obtenido. lo reemplazamos en (u):
Pero:
A+"""1~J
I
P=4 Problema 6; SI :
Rpta _ O
a" = 3: calCular:
Á"·",,, , Al
R=2
AI'iO
Por diferencia de cuadrados:
I
A'I - B:O:
obtenemos:
=(A-t-B) (A - B)
p;[2fi2_1]= l -l
El ~
el 3 43
SI3
Resolución:
r
l a 8xptesiÓ"'l "0", se puede escribir como:
aa 1 ~ tl
= 2' =2
.. ~
O=----V a
-ti
r:--:l
;po r dato:~
Reemplazando en "0--, obtenemos:
Rpta. A
Ejercicio 5: CalcuLar el vafor de · P·
o :W_~=~aa3
la 31 l
pero :
AI,/2
B) 2
C) 2,/2
..
Q =N=~= 3.J3 I Q=3{3 I EjercIdo 7: Si- ~ = V2 Hallar:
D)'
Rpta_
e
e
Resoludon_
'_ e"",T
M_ :;.0.[("=--'b;..:...)
Para este tipo de problema es recomendable analizarlo de arrba hada abajo, veamos;
,
6"
3
6'
[(e'b) ' . ;
27 =(3) =3 = .J3
A)2
El valor obtenido , lo reemplazamos en la expreSiM dada, obleniendo;
P=[22.J2' j"" f"l =[2c2,r,) .J2' ....
I
Aplk:andO la propiedad: (A"")1'l = Aro."
(nl
M= [
93
a
T
b - cJ
-r [ e b - aJ
_ _ _ _-;o=-_ _ _- ,
I~=W'=H-* ' ,I2' I
DI :l2
el 16
SI'
ReSDluclón:
g:3
Por propiedad:,
J
24
M=
24
_a
I;
2793
b
e
27 9 c b a:3
.;.= (~) ;pero ; e
E) 64
obtenemos:
l Uego:
" Rpta. E
Ejercicio 8; Si:
A :;:: .,J2 ' n- faC!O(9S
8q;fesal "B~ en tormlnos de "A" B) AA
A) A
C)
,r¡;
EI1IA
D)A""
AJO;>
B)n"
Resolución:
Resolución:
la expresión "B" por propiedad:
Sabemos qiJ9:
[!!f".'" = A ~ 8 0 4 ..
I ;,
C)
n'"
D)
o·'
Eln
"n" faclores
se puede ese'b;, como;
;1
rn--.-n-:'~·--n~2i= (n- 2) n _ n- 2"
8 ~ 2Tz ; pero ; ~ = ~ "n" faClares
2.r: == ( 2i )42 8
(,/2).[2
A.lOra , re emplazamos (i) 'i (ii) en 'M"
; pero:
Mo [4l~
;por dala: A = ,/2
lB= A Al
Mo[~l °;i;on
Q
Apta. B
IM = n I
Rpta.E
Ejercicio 9: Hanar el valor de:
Ejercicio 11: Hallar el valor reducido para: "E"
x2
AI2
81 4
,,
el I
"
DI 112
El "'
J4a4m. . n
~a4 m+ 50n
-
Resolución:
CrVa
Al' Resolución:
La expresión dada. ~ puede escribir como: 6
R-
a r. -m
E-
- 4m
2 x2
ti
'" 2
xy
-;4
la eKpresiOn dada, se puede escribir como : r. - m
ti
.. ~
(2 m)-' x 2 • ;;;>'"'x>' >'
-0-
E_ a
4m tn ~
.
·a
~. ~
a
o
~
a
20
4 m+ !5n
a
-.-,-
Oamos común denominador a los exponentes del l1umerador:
Rp1a. B
EJercicio 10: Efectuar:
2(n m l ...
E
4 m~ r.
3 n ... 2 m
a ,-r;" ~a_--::'~m~.:7.,o;---~ ~ a
--'-0-
a
--'-0-
"m . 5 ....
,.
3n .. 2m
E- a
'0
, .... j -'6
damos comun denominadol al 81q)OOente de esta última explesiórl. 4m
,.
E-a
!i n
o
,
.....
"'a
"'8
'4
Rpta. A Apta. e
Ejercicio '3: ROOUcIr:
Problema 12: Hallar la raÍZ cuadrada de la expresión -O•
Q;
Al 16
[
B)32
0 , . 25
I °n° sumaroosl
•
-o." o.,]'
0 , 0625 C)8
D)64
E)26
I
ResolucIón:
Sabemos que;
1)
0,5 - 5
i\
25 1 O.25 ~ 1OO "' 4
")
0.125- i'OOQ-
N)
O.O625=- ~ .. 2..
10
-
,-1
125
A)1
BI a
"(a +
Tr radicales I
q q¡;
D) l /a
Resolución:
i1 1)
10 000
16
Ahota, reemplazam os c:tichos valores en "Q"
i) "(a + 1) raDcales Ahora, reemplazamos los valores hallndos en "P"
p
~~
(eJ8r+l~ - ara' arara
.. I p = 1 I
Rpta.A
Problema 15; Hallar el valor reducido da .~1
E~rcicío '4: Calcular el valor reducido de la expre-
Sión
3
~N '
• •
N=
6
Bl.
Al6
- 11
... 6
-11
+ 12
C) 12
-a
El36
O) 24
+3
... 3
. - 2
+3
~A~:
....
+3 . -3
... 3
. -"
ResoIud(Jn:
La expresión dada. se puede escribir como:
la expresión dada. se puede escribir como: 2 1
• .. 3 • +4 • 1
1
e'
12
.1.2_3."
A=
3 · 3+3 · 3+3 · 3+33
3
3'
3
3~
3
3
fracción; 1.2.3,.4
1
1
---+---+--{2x3)1I
3
2
damos común denominador en el denominador de la
2 • ..-:3 • + 4 • 1
:3
- + - + -3 + 4
-+-+ -8 6-
N=
. - 1
•• 3
Al 3
ResoluCión:
11
+3
3
2 ... :3 ... 4•
•• 2
(2)(4)·
· 3 +3 · 3+3
A=
3
(3)0( 4 )'
3
3 +3 · 3
3·+':/ . 3~+3·3·+3·
3'
• • •
2 +3 ... 4
-
1 1 1 a <1 I a 11 11 2 )( 3 2 )( 4 3 ) ( 4
---.---+---
damos eornlJ'I denominador en el denominador de la
2
A=
3.2& .,,) ( 3 - 3 + 3 · 3+33 ... 3
1aC1orizamos en el llI..meradof
• ... 3 • +4•
3·~
---.---+--1
2
iI
x3
1
11
11
2)( 4
1
!I
y derominador de la
~a~n. r---~~-~~~ 34 . 3 . 3·~ 3
11
1< 4
,lo
- V 3'
11
Rpta. A e~a
e"P'eSióO se puede escnbir como:
•
•
2 +3 T 4 1
•
• • • • 2 )( 3 x 4
Ejercicio .6: Halle el \lalor reducido de:
E='lt
4 ... 3 • ... 2 •
'12
All
Bl2
qff
Aesoluclón: Aplicamos la propiedad : en denominador obtenemos:
E
~ il!J(12)3
DI 2 ff
El3 ff
. . ¿.".... . Q=m mm,'
m
m
=m
=m
lo",ml =ml Rpt •. A
E)erckio 19: Red.Jc1r:
Ejercwlo 17: Efectuar.
B) - 16
C) -24
D) · 12
·4
!''-:V 16
(O.l25}' - O A) - 32
..,
1+ 40
-\12
R_
R = (0,5) · e" - 2(O,125)~
,-,
Rp1a. B
E)- 18
A)2
D,1f4
C)1f2
814
E)1
La expresión dada se, puede escribir asI:
,
l.
, 0;2
2lp~4J
i.
R_ .,,2~-,-, · 4,::-_ 2
·2
...p' ,
16
Am . A n m+n -Q - - , -- A
;
obtenemos:
A
-p-, .{p") -- -,l"') -,
R-2
E]erckio 18: Si: m"' = m + 1, calcular el vak»r de: R= 2
m"-"'----, -' (11111)
,,
,
p
,
=2
O = ~(m.') AJl
B)m
C)
m-I
Rpta. A
D)m+l
Ejm-l
Ejercicio 20: Efectuar:
ReSOlfJc#Ón:
Reemplazando el valor dado en -0-. obtenemos que:
E = (~2.Ji A) 4
BJ2V2
RfioIucJón:
,
2')' .1i,[2 j
C) 16
O) 1
E)32
I(Am .AP .AQ)I'I = Amn .Apt'I .AtTol ObteMmos;
pero:
luego:
.. IE =161
Aplicamos la propiedad:
Apta. e
PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 1: hallar el valor de "M ":
C)2'
B)2l
A)2
D) 2'
E) 2'
I
..\f;;
B)
2
~
E))(3 . ~
D)X
EjerciciO 2: CalaJlar.
'i
A). 3
.$.--\JX
Ejerc;c;o 6: calCular:
,
.,
, = (2) · (9) A) 314
B)2/3
q 219
O) 914
E) 912
>)1
B)2
C)4
D) 8
Ejercicio 3: calcular. Ejercicio 7:
aJ~ 4<.2+b')"
A)1
B) - 2
C)-4
0) 4
E)2
Si:
A)a
Ejercicio . : Simplificar:
r
a=a2+b7 B)b
C) at>
D) ab
E)aIb
O) 0,4
E)O.04
Ejerckio 8: SimplifK!at:
A) x
B)
Y
E/erc-Jcio 5: Aeduclr:
C)xy
0)><1\1
E) 1
A)- 5
B)O,2
C) 25
Ejercicio 9; Si: .
Ala
-,
d
A'[W ,(,.:,)4 +( f Entonces el valor de:
a2
.. 8 )
E ) a~
Eferclci? 14.- Simplilicar: M=
,
.
~a ·~. ~ ~ a , ao S) a" .
,
A).
( ~l' A, •
D)
es o
aa ·'
C)a'
I
E) 3 Vra
Ejercicio '5: A) O
B).
e) 2
D) 3
E)4
.=
Ejercicio 10: Si: A)2
•
B)O,OO'
D) ' 000
E) 100000
B=
B) Sólo (ji)
D)i y il
E)i ylil
.J2i2
E)'
6 )27
C) 3 '
- (4)
--
[~)'
+.
D) 3 5
El 37 1
F=(O,')
A)'2
- 1
. (0.3) (0,5)
6)6
C)3
- 2
, (0 . 25)
D) •
2'
E) . /2
= 4•
Ejercicio " : Reducir:
V .2
A)~o (I)
D)
Ejerclc/<) 17: Hallar el valor reóJcido de T':
. 4J ' ;;1)
A) 23
55 = 5
2 2
(4' l-(~J '
C) 0,.
~
)
1'1 -2
r ----:-
EJerc1cro 11: De las siguientes proposiciones cuales no son falsas:
i)
+4
Ejercicio 16: Reducir.
"
A) 0,000'
21'\-2
C).J2
B) 112
J "" (0.1)
Calcular el valor d e:
2
q
r-4;>-' ,-,-\p'"i:lli', "',== '. ," , -41' x-,] " Sólo (ii)
~kvx v., "\IX)- ' .
EjerciCio 12: Reducir.
A) •
6),,"
C) i'
D) ,
EI)(O'
Ejercicio 19: Señale el expOflente de "H~ después de efectuar la multiplicación: A) •
8) 0,3
C) 0,1
D) 0,037 E) 0,012
Ejercklo 13: Si: a = -J7-. Haller et valor de:
lG.,(b.~ .··0 H =~'· . ~.' . ~~ Siendo W· una variable.
B)4x·
C)
3x~
D)
x·
E)3
Elflf"Clclo 20: Redx::ir:
A) 1
8).
8)a
C) ....
D) 1
E}112
A)3
6)9
C)11:l
D) 1/9
E127
C) a" EJ<=IcIo 26: St
Eferr::lcJo 21: Al efectuar:
JX2~
i)
A) 2'"
; rBSlAta : ...
;)
P ~ n.=.!Jñ;
halle el equivalente de:
T = ~ . _'_
-~ 8) n"
; resa.ila :...
EJp i)
Ejercicio 27; Sena1e el exponente de -~ obtenido al reducir:
-,
;r8Sllla :...
~ lLego, después de m_1odas, "'" A)3>c
8)9>1'
C)
ax'
E)"'"
Ejetdclo 22: RedUcir.
R",
D) a'
..
Bln
0)1\"+1
E)n"'-1
•
8) ( ••-)"
e)
C=3
,,
o' 0=4
E/<=/clo "'" _
M. (O,Sr"(2)""
(O,:asf"
C)n"
Ejetclclo 28: Otdenal en fomla decreciente:
~---., .. ..r,;; 4"~ a ----va.. ·• lJ
A) 1
3
A)B,E,O,C,A
B)A,D.B,C, E
C)B, D, C, E,A
D) D.
E. B,C, A
E) D.B.E.C, A
,(.f-'
E¡ete/clo 29: EIocIuar: A) 0,16
B)32
C) 102.
D) 0,64
E)64
S:2"(-21' - 2"(-2)"
A)O 1
D~
8)1
,S E)'6
e).
, ,•
