IDEPUNP /CICLO REGULAR / SETIEMBRE – DICIEMBRE 2012
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SEMANA Nº 07 TEMA: REGLA DE TRES Coordinador: Coordina dor: Mg. Luis V. Mejía Alemán
REGLA DE TRES Es una operac!n "ue #ene por o$%e#o& 'a'os 'os o ()s pare pares s 'e can# can#' 'a' a'e es prop propo orc rcona* ona*es es sen sen'o 'o una una 'esconoc'a o nc!+n#a& ,a**ar e* -a*or 'e es#a .*#(a La re+*a 'e Tres pue'e ser S(p*e Co(pues#a Es s(p*e s(p*e cuan'o cuan'o n#ern#er-en enen en 'os pares pares 'e can#' can#'a'e a'es s proporcona*es Es co(pues#a& cuan'o n#er-enen #res o ()s pares 'e can#'a'es proporcona*es
REGLA DE TRES SIMPLE En *a Re+*a Re+*a 'e Tres Tres s(p*e s(p*e n#er-en n#er-enen en #res #res can#' can#'a'e a'es s conoc conoc'as 'as o 'a#os 'a#os una 'esconoc 'esconoc'a 'a o nc!+n nc!+n#a #a Es#a Es#a re+*a pue'e ser Drec#a o In-ersa& se+.n *as can#'a'es "ue n#er-enen sean 'rec#a o n-ersa(e sa(en n#e proporcona*es
SUPUESTO Y PREGUNTA En #o'a re+*a 'e Tres ,a 'os *as 'e #3r(nos o n.(eros E* supu supues es#o #o or(a' or(a'o o por por *os *os #3r( #3r(n nos os cono conoc c'o 'os s 'e* 'e* pro$ pro$*e *e(a& (a& -a +ene +enera ra*( *(en en#e #e en *a par# par#e e supe super ror or La pre+un pre+un#a #a or(a'a or(a'a por *os #3r(nos #3r(nos "ue con#ene con#enen n a *a nc!+n#a 'e* pro$*e(a -a en *a par#e neror
En un ';a 'e #ra$a%o 'e < ,oras& un o$rero ,a ,ec,o 70 ca%as =Cu)n#as ,oras #ar'ar) en ,acer 20 'e *as (s(as ca%as> En pr(er *u+ar& es una proporcona*'a' Drec#a& por"ue cuan'o M)s #e(po #ene(os& M)s ca%as po're(os ,acer Te(po < ,oras ?
Ca%as 70 ca%as 20 ca%as
Mu*#p*can'o en cru@ <20 705 5 Es 'ecr& #ar'ar;a ,oras
Doce pn#ores& 'e *as (s(as con'cones& #ar'an 20 ';as en pn#ar una --en'a& =cu)n#o #ar'ar)n en ,acer*o 'e@ 'e esos pn#ores> En pr(er *u+ar& es una proporcona*'a' In-ersa& por"ue cuan'o M)s pn#ores sean& Menos ';as #ar'ar)n en pn#ar *a casa N 'e Pn#ores 12 pn#ores 10 pn#ores
N 'e ';as 20 ';as 5
Mu*#p*can'o en para*e*o 1220 105 5 28 Es 'ecr& #ar'ar;an 28 ';as
MÉTODO DE RESOLUCIÓN PRÁCTICO REGLAS: 14
24
74
Se e5a(na e5a(na s s *a Re+*a Re+*a 'e 'e Tres Tres es 'rec 'rec#a #a o n-ersa n-ersa S S *as can#'a'es proporcona*es -an 'e ()s a ()s o 'e (enos a (enos& *a Re+*a es Drec#a6 s -an 'e ()s a (enos o 'e (enos a ()s *a Re+*a es In-ersa S *a Re+*a Re+*a 'e 'e Tres Tres es Drec Drec#a6 #a6 se (u*# (u*#p* p*can can *os *os 'a#os 'a#os en aspa se '-'e en#re e* o#ro 'a#o6 es#e cocen#e es e* -a*or 'e *a nc!+n#a S *a Re+*a Re+*a 'e Tres Tres es es In-ersa In-ersa66 se (u*#p* (u*#p*ca can n *os 'a#os 'a#os 'e* 'e* supu supues es#o #o se '- '-'e 'e en#r en#re e e* o#ro o#ro 'a#o 'a#o 'e *a pre+un#a6 es#e cocen#e es e* -a*or 'e *a nc!+n#a
84
Para ,acer < (e#ros 'e una #e*a se neces#an 70 + 'e *ana& =cu)n#os +& 'e* (s(o #po 'e *ana "ue *a an#eror& se neces#ar)n para #e%er una #e*a "ue ('a 10 (e#ros> En pr(er pr(er *u+ar *u+ar&& =es una propor proporco cona* na*'a 'a' ' Drec#a Drec#a o In-ersa>& =por "u3> Me#ros 'e Te*a
+ 'e *ana
Drec#a x
b ⋅c =
a Re+*a 'e Tres S(p*e
a
→
b
c
→
x In-ersa x
a ⋅b =
c
5 Es 'ecr& se neces#ar)n 5
+ 'e #e*a
REGLA DE TRES COMPUESTA En *a re+*a 'e Tres Co(pues#a n#er-enen #res o ()s 'e can# can#' 'a' a'es es prop propor orc con ona* a*es es&& sen sen'o 'o una una can# can#' 'a' a' 'esconoc'a o nc!+n#a
MÉTODO DE RESOLUCIÓN PRÁCTICO EJEMPLOS:
E(p*eare(os para reso*-er pro$*e(as 'e Re+*a 'e Tres Co(pues#a& cuan'o sea pos$*e& e* **a(a'o 9M3#o'o 'e *as Raas:
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PROBLEMAS PROPUESTOS
Para es#e (3#o'o& 'e$e(os #ener en cuen#a "u3 se en#en'e por Causa& Crcuns#anca Eec#o
1) CAUSA O ACCIÓN: Es #o'o a"ue**o "ue rea*@a o
1
e%erc#a una o$ra& pu'en'o ser eec#ua'a por e* ,o($re& an(a* o una ()"una =Fu3n ,ace *a acc!n>
2) CIRCUNSTANCIA: Es e* #e(po& e* (o'o& *a or(a& co(o se pro'uce o co(o se a$rca a*+o =Ba%o "u3 con'cones>
a4 7 '4 2 2
3) EFECTO: Es #o'o *o ,ec,o& *o pro'uc'o& *o consu('o& *a +as#a'o& *o rea*@a'o& *o a$rca'o =Fu3 se ,a ,ec,o>
CAUSA
Go($res
CIRCUNSTANCIA
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EFECTO
Carac#er;s#cas Rap'e@& ,r /';a& racones /';a
Tra$a%o Rea*@a'o& con su respec#-a '2cu*#a'
ESQUEMA:
b
c
d
e
f
x
g
E* pro'uc#o 'e *as can#'a'es en una 'e *as raas es +ua* a* "ue se o$#ene en *a o#ra raa O #a($3n& para 'espe%ar " x " & *as can#'a'es 'e *a raa "ue con#ene a " x " -an en e* 'eno(na'or & *as can#'a'es 'e *a raa "ue no con#enen a " x " -an en e* nu(era'or Es 'ecr
x =
e ×f × d
EJEMPLO
K
=
15g 12g20
→
x
$4 1H e4 27
c4 1
$4 2 , e4 8 ,
c4 7 ,
Se 'esea pn#ar una superce 'e *a or(a "ue se (ues#ra en e* +r)co6 e(pe@an'o por *a par#e superor& a-an@an'o para*e*a(en#e a *a ,or@on#a* Se sa$e "ue 10 ,o($res 'uran#e ';as #ra$a%an'o ,/' *o+ran pn#ar *a #o#a*'a' 'e *a superce a**e *a 's#anca h & sen'o 3s#a e* *;(#e 'e *a @ona "ue pu'eron pn#ar 12 ,o($res 'uran#e 8 ';as a ra@!n 'e ,/'
Se ,a ca*cu*a'o "ue K0 (e#ros 'e una @an%a pue'en ser e5ca-a'as en 10 ';as S K o$reros ,ceron 70 (e#ros pos#eror(en#e con au'an#es conc*uen *a o$ra en e* p*a@o %a'o6 *os ';as #ra$a%a'os por *os au'an#es son a4 8 '4 K
x
c4 82 (n
a4 20 ( $4 22 ( c4 28 ( '4 2 ( e4 2H (
a ×b ×c g×
Nue-e +ros& 'e +ua*es carac#er;s#cas& a$er#os 'uran#e 10 ,oras 'aras ,an -er#'o una can#'a' 'e a+ua por un -a*or 'e 20 =Cu)n#o ser) e* preco 'e a+ua -er#'a por 1 +ros& s(*ares a *os an#erores& a$er#os 'uran#e 12 ,oras 'aras 'uran#e *os (s(os ';as>
$4 72 (n e4 2 (n
Be#sa$e# J oce , an , ec,o un # ra$a%o % un#as Tra$a%an'o so*as& se ,a$r;an 'e(ora'o 2 H ,oras ()s respec#-a(en#e4 'e *o "ue se 'e(oraron %un#as =Cu)n#o 'ur! e* #ra$a%o> a4 , '4 2 ,
a
c4 8
La rap'e@ 'e Juan es e* 'o$*e 'e *a 'e Ju*o& pero a *a -e@ es *a #ercera par#e 'e *a 'e M+ue* S Ju*o M+ue* ,acen una o$ra en 2K ';as& =en cu)n#os ';as ,ar)n *a (s(a o$ra *os 7 %un#os> a4 20 '4 21
8
$4 e4 1
Una persona para pn#ar *as caras 'e un cu$o& #ar'a 70 (nu#os =Cu)n#o #ar'ar) o#ra persona& cua rap'e@ es e* #rp*e 'e *a an#eror& en pn#ar o#ro cu$o cuo -o*u(en es H -eces e* -o*u(en 'e* cu$o an#eror> a4 28 (n '4 80 (n
PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN: La 's#r$uc!n a'ecua'a 'e *os 'a#os *a nc!+n#a se ,ace 'e *a s+uen#e (anera
Cua#ro a(+os pue'en # er(nar una o$ra e n 1H ';as S 'espu3s 'e #res ';as **e+a un a(+o ()s& =cu)n#os ';as an#es #er(nar)n *a o$ra>
= 40
9g 10
H
c4
Una cua'r**a 'e 7 o$reros pue'en #er(nar una o$ra en 2K ';as S a* ca$o 'e ';as 'e #ra$a%o se *es ncorpora un cer#o n.(ero 'e o$reros 'e o#ra cua'r**a 'e (o'o "ue en 1 ';as ()s se #er(na *a o$ra& =cu)* es e* n.(ero 'e o$reros 'e *a se+un'a cua'r**a "ue se ncorpor! a *a o$ra> a4 10 '4 17
Es 'ecr& "ue e* preco ser) 'e 80
$4 e4 H
$4 18 e4 1
c4 12
Un capa#a@ con#ra#a una o$ra "ue 'e$e #er(nar en 70 ';as a* ncar *a o$ra con 10 o$reros #ra$a%an'o ,oras 'aras& #ranscurr'os 20 ';as ,an rea*@a'o e* 0 'e *a o$ra =Cu)n#os o$reros a'cona*es se re"ueren s 'ec'e au(en#ar *a %orna'a a H ,oras 'aras para #er(nar en e* p*a@o sea*a'o> a4 10
$4 1
c4
3
IDEPUNP /CICLO REGULAR / SETIEMBRE – DICIEMBRE 2012 '4 H <
'4 1H
Se ,a es#(a'o "ue 8 o$reros pue'en conc*ur una o$ra en 7 ';as Pasa'o 12 ';as& se acc'en#aron 'e e**os no pu'eron con#nuar *a$oran'o Oc,o ';as ()s #ar'e& se #u-o "ue con#ra#ar o#ros o$reros as; en#re+ar *a o$ra en *a ec,a es#a$*ec'a =Cu)n#os o$reros se con#ra#aron& sa$en'o "ue son 'e *a (s(a ecenca "ue *os acc'en#a'os> a4 '4 <
10
e4 20
$4 K e4 10
c4 H
1H
$4 10 (n e4 1H0 (n
a4
a4 '4 < 12
c4 2
$4 H00 e4 0
c4 K0
$4 e4 2
c4 8
Para a*(en#ar a *os 80 ca$a**os "ue #en+o neces#o 2 + 'e pas#o =Cu)n#os ca$a**os 'e$er;a #ener para a*(en#ar*os con 1 +& s *a rac!n por ca$a**o no -ar;a> a4 7 '4 20
1K
$4 2H e4 77
Un so*'a'o ca-a una #rnc,era n'-'ua* en 10 (nu#os nor(a*(en#e& pero $a%o ue+o ene(+o& re'uce e* -o*u(en 'e 3s#a a* 0 ca-a e* 'o$*e 'e r)p'o =Fu3 #e(po se 'e(ora en ca-ar& $a%o ue+o ene(+o& su #rnc,era co(p*e#a> a4 7 '4
1
c4 1 ';as
En un cuar#e* se ca*cu*! "ue *os a*(en#os a*can@a$an para ';as& pero a* #3r(no 'e 20 ';as se re#raron 200 so*'a'os& por *o "ue *os a*(en#os 'uraron para 1 ';as ()s 'e *o pre-s#o =Cu)n#os eran *os so*'a'os nca*(en#e> a4 00 '4 0
1
$4 18 ';as e4 20 ';as
EL proesor 'e ar#(3#ca& acerca 'e un se(naro "ue 'e$;a 'c#ar& ra@ona$a 'e *a s+uen#e (anera 9La reso*uc!n 'e ca'a pro$*e(a 'e(ora un (s(o #e(po6 s resue*-o 7 pro$*e(as (e a*#ar;an (nu#os& pero s resue*-o so*a(en#e 72 pro$*e(as (e so$rar;an 2 (nu#os: =En 1 ,ora& cu)n#os pro$*e(as pue'e reso*-er> a4 70 '4 72
18
c4 H
Un $urro ,a #ranspor#a'o 72 sacos 'e papas en H ';as& #ra$a%an'o H ,oras 'aras =En cu)n#os ';as #ranspor#ar) 0 sacos 'e 'o$*e peso "ue *os an#erores& re'ucen'o *a 's#anca 'e 100 a H0 ( #ra$a%an'o 2 ,oras ()s 'ara(en#e> a4 12 ';as '4 1H ';as
17
$4 K e4 10
$4 28 e4 8
c4 0
Un con#ra#s#a 'ce "ue pue'e #er(nar un #ra(o 'e au#ops#a en 7 ';as s *e proporconan cer#o #po 'e ()"unas& pero "ue con #res ()"unas a'cona*es 'e 'c,o #po pue'e ,acer e* #ra$a%o en 2 ';as S e* ren'(en#o 'e *as ()"unas es e* (s(o& =cu)n#os ';as e(p*ear) una ()"una en ,acer e* #ra$a%o> a4 12
$4 18
c4 1
c4 < (n
a
( x + 1)
$4 ax
c4
'4
a
ax 2 x − 1
x
c4 10 (n
Funce a*$a*es #ra$a%an'o 12 ,/'& 'uran#e 1 ';as& pue'en ,acer una @an%a 'e 8 ( 'e *ar+o& 2 ( 'e anc,o 1 ( 'e proun''a' S 20 a*$a*es #ra$a%an'o x ,oras 'aras& 'uran#e 1H ';as& pue'en ,acer una @an%a 'e 7 ( 'e *ar+o& 1 'e anc,o 2 ( 'e proun''a'& ,a**ar x
$4 K (n e4 (n
1< Sa*-a'or es x -eces ()s r)p'o "ue Juan S %un#os 'e(oran 9 a : ,oras para ,acer una o$ra& =cu)n#as ,oras ,a$r;a 'e(ora'o Sa*-a'or #ra$a%an'o so*o>
20 11
H +a#os ca@an H ra#ones en H (nu#os =En "u3 #e(po 28 +a#os ca@an 1H ra#ones> a4 (n '4 11 (n
S una #u$er;a 'e 12 c( 'e ra'o arro%a 70 L/(n 'e a+ua& =en "u3 #e(po **enar) un 'ep!s#o 'e < (7 o#ra #u$er;a 'e 1 c( 'e ra'o> a4 180 (n '4 1K0 (n
e4 20
e4
a+x
Para ,acer 00 ( 'e una o$ra& 70 o$reros ,an #ra$a%a'o 12 ';as a ra@!n 'e 10 ,oras 'aras =Cu)n#os ';as& 'e ,oras& neces#an 7 o$reros 'e +ua* ren'(en#o para ,acer <00 ( 'e *a (s(a o$ra> a4 20 '4 2
$4 22 e4 2
c4 28
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IDEPUNP /CICLO REGULAR / SETIEMBRE – DICIEMBRE 2012
HOJA DE CLAVES CICLO REGULAR SETIEMBRE – DICIEMBRE 0! CURSO: RA"ONAMIENTO MATEMÁTICO SEMANA: 07 – REGLA DE TRES PREGUNTA
CLAVE
TIEMPO #MIN
%$DIFICULTAD
0! 0 0& 0' 0( 0) 07 0* 0+ !0 !! ! !& !' !( !) !7 !* !+ 0
A D D E C A B C D B A C A B B B D E A D
& & ' & & & & ' & & & & &
M M F D M F F M F M M F D M M F F M M M
