Razonamiento Matematico Daul Andres Paiva Yanayaco

1

IDEPUNP / CICLO REGULAR / ENERO - MARZO 2010

SEMANA Nº 01 TEMA: SUCESIONES

Coordinador: Lic. Daúl Andrés Paiva Yanayaco .

Sucesión Se llama sucesión a la secuencia e !"#min$s num"#ic$s% li!e#ales $ &#'(ic$s) $#ena$s e acue#$ a una le* e ($#mación $ c#i!e#i$s ló&ic$s+

t ; t ; t ; . .. ; t 1 2 3 n

Sucesión Geométrica

Tipo de Sucesiones

Cuan$ caa !"#min$ se se $4!iene mul!ilican$ mul!ilican$ $ iiien$ el an!e#i$# $# un al$# c$ns!an!e $ a#ia4le llamaa #a3ón &e$m"!#ica+

Pueen se#, Num"#icas   Li!e#ales  Al(a - Num"#icas G#'(icas 

Eeml$,

2 ; 4 ; 12 ; 48 48 ; ... ...

Sucesión Numérica C$nun!$ C$nun!$ $#ena$ $#ena$ e n.me#$s n.me#$s en el ue caa un$ un$ e ell$s !iene un $#en esi&na$) es eci# ue a caa un$ e l$s !"#min !"#min$s $s e la sucesi sucesión ón le c$##es c$##es$n $ne e un n.me#$ n.me#$ $#inal) aem's $# su le* e ($#mación+ N.me#$ O#inal

1

º

2

↓

↓

t1

"#min$s e la Sucesión

º

t2

3

º

4

º

...

n

↓

↓

...

↓

...

tn

t3

t4

º



Caso Particular

Progresión Geométrica Es auella en la cual la #a3ón &e$m"!#ica ( q ) se $4!iene c$m$ c$m$ la ii iisi sión ón e $s $s !"#m !"#min in$s $s c$ns c$nsec ecu! u!i i$s $s * &ene#almen!e se e6#esa c$m$ un !"#min$ cualuie#a ue al mul!i mul!ilic lica#s a#se e $# la #a3ón #a3ón c$ns!a c$ns!an!e n!e n$s #esul! #esul!a a el si&uien!e+

Sucesiones Numéricas Importantes Sucesión Lineal



Aritmética

El !"#min !"#min$ $ en"si en"sim$ m$ $ &ene#a &ene#all se calcul calcula a meian meian!e !e la e6#esión,

tn

Es auell auella a sucesi sucesión ón en la cual cual la i(e#e i(e#enci ncia a en!#e en!#e $s !"#min !"#min$s $s c$nsec c$nsecu!i u!i$s $s es siem# siem#e e c$ns! c$ns!an! an!e% e% a es!a es!a c$ns!an!e se le llama #a3ón i(e#encial+ am4i"n am4i"n es llamaa Progresión Progresión aritmética aritmética $ sucesi sucesión ón aritmé aritmétic tica a de 1er orden+

t qn

= 1×

1

−

D$ne,

t 1 , P#ime# !"#min$ t n , "#min$ En"sim$ $ &ene#al

q

, Ra3ón Ra3ón Ge$m"!#ica Ge$m"!#ica

n , N.me#$ e "#min$s Sucesión Combinada

Su !"#min !"#min$ $ &ene#a &ene#all $ en"sim en"sim$ $ se calcul calcula a meian meian!e !e la (ó#mula,

tn

t

= 1 +

( n − 1) r

Cuan$ e6is!en #a3ón a#i!m"!ica * #a3ón &e$m"!#ica+ Eeml$, 1; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; ...

D$ne

Sucesión Alternada

t 1 , P#ime# !"#min$ t n , "#min$ En"sim$ $ &ene#al

S$n auellas ue al!e#nan una #a3ón caa $s n.me#$s+

r

Ejemplo:

, Ra3ón A#i!m"!ica A#i!m"!ica

n , N.me#$ e "#min$s

2;6;5;12;8;36;11;144; ...

Ejemplo:

Sucesión Literal

5alla# el !"#min$ cua#en!a en la si&uien!e sucesión

−3 ; 7 ; 17 ; 27 ; ...



Sucesión Cuadrática

S$n auell auellas as sucesi sucesi$ne $nes s en el cual cual la #a3ón #a3ón c$ns! c$ns!an! an!e e aa#ec aa#ece e en se&un se&una a ins!an ins!ancia cia $ se&un se&un$ $ $#en $#en * su !"#m !"#min in$ $ en"s en"sim im$ $ !ien !iene e la ($#m ($#ma a e un $li $lin$ n$mi mi$ $ e se&u se&un n$ $ &#a &#a$+ $+ am4i" m4i"n n se le en$ en$mi mina na suce sucesi sión ón a#i!m"!ica e 2do $#en+

tn

=

an

2

+

bn + c

C$nun!$ $#ena$ e le!#as e acue#$ a un e!e#mina$ c#i! c#i!e# e#i$ i$%% es!$ es!$s s c#i! c#i!e# e#i$ i$s s s$n s$n ie ie#s #s$s $s e#$ e#$ l$s l$s m's m's emlea$s s$n,



Lu&a# ue $cuan las le!#as en el al(a4e!$+ 7Sin c$nsie#a c$nsie#a## la CH ni la la LL ) a n$ se# ue se i&a l$ c$n!#a#i$8+



Iniciales e ala4#as c$n$cias+



9$#mación e ala4#as+

2


Ejemplo: :;u" le!#a si&ue<

A ; D ; H ; K ; U ; ...

Sucesión Alfa – Numéricas

t n =

9$#maa $# le!#as * n.me#$s+

Ejemplo:

( Término General )

2

A1; B 3; C 5; D 7; ...

Sucesiones speciales •

n ( n + 1)

•

!e los N"meros Primos

!e los N"meros Cuadrados

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ... 1

!e

•

;

4

⇓

;

9

⇓

2

1

2

;

16

⇓

2

3

#ibonacci

tn

=

;

...

⇓ 2

4

n2

2

;

...

( Término general )

1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; ... 7La suma e $s !"#min$s c$nsecu!i$s a el si&uien!e !"#min$% emie3a c$n $s !"#min$s i&uales+8 •

•

!e los N"meros Pentagonales

!e #erenberg $Tribonacci% 1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 13 ; 24 ; ...

7La suma e !#es !"#min$s c$nsecu!i$s a el si&uien!e !"#min$8

!e Lucas

•

•

1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; ...

!e los N"meros 'e(agonales

7La suma e $s !"#min$s c$nsecu!i$s a el si&uien!e !"#min$8

&scilante

•

1 ; − 1 ; 1 ; − 1 ; 1 ; − 1 ; ...

Sucesión Notables •

!e los N"meros Naturales 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...

•

1 ; 6

t n

=

tn

=

5; 7;

9;

...

;

15

28

;

...

n ( 2n − 1) ( Término General )

PROBEMAS PROPUESTOS n

1+

:Cu'l es el l=mi!e e la sucesión si&uien!e<

!e los N"meros Impares 1; 3 ;

7

11 13 15 ; ; ; ... 10 13 16 19 22

t n = 2n − 1 2+

•

;

!e los N"meros Triangulares

9

;

a8 2 / 3 8 3 / 10

48 1 / 5 e8 4 / 5

5alla# el al$# e x e

y +

3;

−

a8 - 6; 1 8 39; 60 >+

;

5alla# x +

−

3;

−

2;

−

4;

−

c8 2 / 5

1;

48 – 6; 10 e8 39; 99

−

5; 3; x; y c8 0; 60


3

8 JU

3 11 ; ; 24; 123; 742; x 2 2 a8 5 189 8 7 199 ?+

48 5 199 e8 6 189

1?+ :Cu'l es el l=mi!e e la si&uien!e sucesión<

6; 12; 10; 20; 18; 36; x

@+

48 30 e8 80

48 216 e8 226

c8 108

a8 241 8 286

−

a8 56 8 66

a8 6 157 8 6 177

48 5 167 e8 6 167

1B+ :;u" le!#a si&ue<

M ; V ; T ; M ; ...

1; 1; 2; 8; 53; 578; x 48 9 603 e8 6 005

a8 " 8 J c8 7 606

5alla# el al$# el !"#min$ e lu&a# 20° e la si&uien!e sucesión,

4; 11; 18; 25; 32; ... a8 130 8 173

48 140 e8 137

c8 125

10; 12; 16; 22; 30; 40; ... 48 1 270 e8 1 206

1; 3; 13; 29; 51; 79; ... 48 607 e8 603

8;

−

−

7;

a8 12 8 30

−

10; 6;

119; x c8 16

1+ 5alla# el al$# e x +

a8 -2 850 8 4 976 20+ 5alla#

−

1003; x

48 -16 180 e8 -14 120

c8 -14 200

t 20 + 0; 7; 26; 63; 124; 215; ...

21+ 5alla#

48 7 899 e8 7 999

c8 8 001

t 11 +

c8 674

11+ De!e#mina# el al$# e x +

−

48 36 e8 23

a8 7 989 8 7 998

−

c8 Z

1+ 5alla# la suma e ci(#as el al$# e x +

c8 1 070

10+ 5alla# el al$# el !"#min$ 15° +

a8 601 8 675

48 # e8 K

7; 20; 49; 36;

En la si&uien!e sucesión% alla# el al$# el !"#min$ e lu&a# 36° +

a8 1 720 8 1 280

c8 6 716

c8 76

5alla# el al$# e x +

a8 7 506 8 5 607

c8 342

11; 19; 53; 207; 1029; x

2; 6; 20; 40; ... 48 36 e8 80

48 0 e8 842

1+ 5alla# el al$# e x +

:;u" n.me#$ c$n!in.a<

4;

+

c8 1,5

17; 85; 81; 243; 241; ...

−

+

48 3 e8 2 / 3

1@+ 5alla# el n.me#$ ue si&ue+

5alla# x +

a8 206 8 196

B+

a8 2 8 4 / 3

c8 18

64; 32; 96; 48; 144; 72; x

+

3 7 11 15 19 ; ; ; ; ; ... 5 7 9 11 13

c8 5 283

5alla# x +

a8 34 8 72

e8 KU

3; 7; 29; 81; 175; 323; ... a8 2 392 8 2 229

48 2 293 e8 2 339

c8 2 239

1; 1; 3; 15; 105; x 22+ 5alla# a8 145 8 645

48 945 e8 985

c8 960

4; 7; 22; 55; 112; 199; ...

12+ Iniue la le!#a ue c$n!in.a+

a8 3 322 8 3 232

R; T ; W ; A; F ; ...

2>+ 5alla# a8 J 8 Ñ

48 L e8 Z

c8 3 332

t 25 + 2; 4; 6; 26; 82; ...

ABC ; CEG; EHK ; GKÑ ; INR; ...

a8 36 852 8 36 482 2?+ 5alla#

48 K!

48 3 222 e8 3 233

c8 M

1>+ 5alla# el c$nun!$ e le!#as ue si&uen+

a8 KPU

t 15 +

c8 LPU

t 20 +

48 36 662 e8 53 492

c8 26 482

4


4; − 1; 2; 14; 44; 101; ...

−

a8 8 744 8 8 777

48 8 474 e8 7 874

c8 9 774

to

mo

2@+ Inica# la suma el 5 n.me#$ $entagona% * e l & n.me#$ 13'agona% + a8 423 48 303 c8 283 8 238 e8 425

a8 7; 10 8 9; 20 >2+ 5alla# el al$# e x + 23

31

43

8

15

26

2+ 5alla# la (#acción ue c$n!in.a+

2 4 7 12 19 30 43 ; ; ; ; ; ; ; ... 3 4 5 7 10 15 23 a8 5 / 2 8 58 / 25

48 7 / 3 e8 5 / 3

a8 25 8 66

c8 60 / 37

) R; E; C; N ; A; ... • ) A; R; B; I ; ...

x c8 56

>>+ Se !iene la sucesión

En el lu&a# e la in!e##$&an!e e4e e i# a8 9 8 -3

•

48 6 e8 22

c8 7

>?+ :;u" le!#a si&ue<

)  ; I ; C ;  ; I ; ...

a8 #( )( * 8 ,( L( P

48 48 e8 34

52

2; 3; 4; 6; 6; ?; 8; 12; 10

2B+ Iniue la le!#a ue si&ue en caa una e las si&uien!es sucesi$nes li!e#ales+

•

c8 7; 28

48 @) 1? e8 8; 23

E ; F ; M ; A; M ; ! ; ...

48 Z( +( ) e8 P( Z( #

c8 ,( L( L a8 J 8 4

48 L e8 +

c8 Z

2+ De la sucesión aa% el !"#min$ e lu&a# ?BF !iene la ($#ma

A

B

x C

>@+ :;u" le!#a si&ue<

% alla# el al$# e 7HC-A8+

U ; U ; D; T ; C ; " ; T ; ... 4

11

22

4 x 7 ; 13 x10 ; 28 a8 23 8 213

x15 ; 4937 x22 ; 7656 x31 ; ...

48 43 e8 16

c8 53

a8 ! 8 

2+ Se !iene la si&uien!e secuencia e cua#a$s+

En el lu&a# 20° se !iene el cua#a$

5alla# el al$# e -. /  ' - / + a8 563 8 413

48 668 e8 411

c8 538

>0+ :Cu'l es la (#acción ue si&ue<

12 4 a8 9 / 16 8 18 / 9

;

4

31 16 ; ; ... 21 13 5 9 ;

5

;

48 - 9 / 16 e8 9 / 61

c8 17 / 9

>1+ :Cu'les s$n l$s n.me#$s ue (al!an<

HOJA DE CLAVES

CICLO REGULAR ENERO - MARZO 2010 CURSO: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

48 Ñ e8 

c8 )

5


TEMA: SUCESIONES SEMANA: 01 PREGUNTA 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

CLAVE

TIEMPO (MIN.)

DIFICULTAD

A D

2

F

2

F

B A

3

M

3

M

B D A

2

F

3

M

2

F

E B

2

F

3

M

A B

3

M

2

F

B E

3

M

2

F

A A E D C E E B A D A

2

F

2

F

3

M

2

F

3

M

2

F

3

M

3

M

2

F

3

M

3

M

B E

3

M

2

F

D C

3

M

2

F

E E

3

M

2

F

C E A A A

3

M

2

F

3

M

2

F

3

M

Razonamiento Matematico Daul Andres Paiva Yanayaco

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