Razonamiento Logico c

RAZONAMIENTO LÓGICO

Razonamiento lógico organizativo

Comparación cuantitativ cuantitativa a Para cada ejercicio se dan dos cantidades: una en la columna A y otra en la columna B. B. Se trata de calcular y comparar ambas cantidades, y luego escribir la clave. A B

Si la cantidad canti dad A es mayor que B. Si la cantidad canti dad B es mayor que A.

Si ambas cantidades son iguales. D Si no se pueden comparar. C

Enunciado Columna A Un grupo de alumnos vieron dos tipos ¿Cuántos vieron de películas: acción y terror. solamente películas de terror? A T 15

17

20

20

Columna B ¿Cuántos vieron películas de acción y terror?

Clave

A 17

Columna A: Los que vieron solamente sola mente películas de terror ter ror son 20 alumnos. Columna B: Los que vieron películas de acción y terror son 17 alumnos. A . La cantidad de la columna A es mayor que que la de la columna B. La clave es _____ es _____

1.

Enunciado Preferencia por los productos A, B y C. A(20)

Columna A Prefieren solo A.

Columna B Prefieren solo B.

Cantida Cant idadd de de niñas niñas aleg alegres res..

Cantidad Cant idad de niño niñoss triste tristes.s.

Clave

B(23)

7 2

5

6 12 C

2.

Complete la tabla. Niños Niñas Alegres 12 Tristes Total 43

3.

Dada la sucesión: 3; 7; 15; 31; 63; m

Total 43 73 m–1 9

m + 17 ©

16


Suficiencia de datos En cada problema se ofrecen datos para resolverlo. Se trata de identificar la información necesaria para solucionarlo y luego, escribir la clave. A B

El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

Enunciado Encuentre las letras que faltan en la sucesión. C

I

F

L

Es necesario utilizar los datos I y II conjuntamente. D Cada uno de los l os datos, por separado, es es suficiente. C

D at o I Dato II Ambas letras son La regla de consonantes. formación es sumar 3.

Ñ

Clave B

Dato I: Con este dato no se pueden determinar las letras que faltan. Dato II: Como la constante es +3, entonces se puede hallar las letras que faltan. C

F +3

I

L

+3

+3

Ñ +3

B . El dato II es suficiente para resolver el problema y el dato I no lo es. La clave es _____ es _____

Enunciado Halle el valor de m e enn la sucesión:

1.

1

3

x

13

y

3D

6E

x

16H

1 1 1 1 ? 2 4 8 16 José, Manuel, Pablo y Roberto par participan ticipan en una carrera de autos. ¿Quién llega en primer lugar? 1

4.

1o 2o 3o 4o 5.

¿Cuántos alumnos prefieren solo gelatina? U(50)

Gelatina

Flan

x = 8 8G G

La regla de formación es constante.

La jarra contiene limonada.

La capacidad de una jarraa llena es de jarr 64 cm3.

y

¿Cuántos cm3 h haay en la sexta jarra?

3.

Dato II y = 21

Clave

m

En la siguiente sucesión, halle y .

2.

Dato I x = 7

Roberto llegó antes Pablo ocupó el que José, pero segundo lugar lugar.. después que Manuel. 22 alumnos 8 alumnos prefieren prefieren gelatina. flan y gelatina a la vez.

20 ©

17


Suficiencia de datos En cada problema se ofrecen datos para resolverlo. Se trata de identificar la información necesaria para solucionarlo y luego, escribir la clave. A B

El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

Enunciado Encuentre las letras que faltan en la sucesión. C

I

F

L

Es necesario utilizar los datos I y II conjuntamente. D Cada uno de los l os datos, por separado, es es suficiente. C

D at o I Dato II Ambas letras son La regla de consonantes. formación es sumar 3.

Ñ

Clave B

Dato I: Con este dato no se pueden determinar las letras que faltan. Dato II: Como la constante es +3, entonces se puede hallar las letras que faltan. C

F +3

I

L

+3

+3

Ñ +3

B . El dato II es suficiente para resolver el problema y el dato I no lo es. La clave es _____ es _____

Enunciado Halle el valor de m e enn la sucesión:

1.

1

3

x

13

y

3D

6E

x

16H

1 1 1 1 ? 2 4 8 16 José, Manuel, Pablo y Roberto par participan ticipan en una carrera de autos. ¿Quién llega en primer lugar? 1

4.

1o 2o 3o 4o 5.

¿Cuántos alumnos prefieren solo gelatina? U(50)

Gelatina

Flan

x = 8 8G G

La regla de formación es constante.

La jarra contiene limonada.

La capacidad de una jarraa llena es de jarr 64 cm3.

y

¿Cuántos cm3 h haay en la sexta jarra?

3.

Dato II y = 21

Clave

m

En la siguiente sucesión, halle y .

2.

Dato I x = 7

Roberto llegó antes Pablo ocupó el que José, pero segundo lugar lugar.. después que Manuel. 22 alumnos 8 alumnos prefieren prefieren gelatina. flan y gelatina a la vez.

20 ©

17


Ingenio y pensamiento lateral El término pensamiento lateral fue concebido para describir un tipo de pensamiento distinto del convencional. Estamos Estamos acostumbrados a pensar en una sola dirección y a dar por obvio aquello que no lo es. El pensamiento lateral es una potencialidad potencial idad que todos poseemos y que se desarrolla mediante el en trenamiento: solo exige un cambio de actitud mental y un enfoque abierto a la solución de problemas. Así, pues, para resolver reso lver estos problemas debe: • Leer atentamente el enunciado. • Usar ideas muy creativas. • Comprobar que la solución cumpla con las condiciones del enunciado. Los problemas que se muestran a continuación tienen la finalidad de desarrollar el pensamie pensamiento nto lateral. Ejemplo 1

Observe la siguiente figura.

2m

¿Cree que el perro podría alcanzar un sabroso hueso situado a 4 m de él? Solución

Observe ve la figura: si la longitud es de 2 • Obser

m, a primera vista se puede decir que el perro no alcanza el hueso, ya que la distancia de 4 m es mayor que la de 2 m. • Pero, según el enunciado, los 4 m se deben considerar a partir del lugar donde se encuentra el perro, distancia que sí es posible si el animal está en un extremo y el hueso en otro. Por tanto, en ese caso el perro sí podría alcanzar el hueso.

¿Cuántos postes se colocarán alrededor de un parque triangular que tendrá un poste en cada vértice y 20 postes en cada lado?

Ejemplo 2

Solución

• Diseñe un esquema gráfico.

…

20 postes …

20 postes

… 20 postes

Se colocarán 57 postes en total. Ejemplo 3 En la biblioteca bi blioteca personal persona l de un profesor profesor,, hay una colección de ocho tomos de Matemática, distribuidos en orden del I al VIII. Un día, revisándola, descubre que una polilla se ha comido desde la primera página del primer tomo hasta la última del tomo final. Si cada tomo tiene 200 páginas, ¿por cuántas páginas en total ha pasado la polilla? Solución

obser vación del gráfico, la primera página pági na del • De la observación tomo I se encuentra al extremo derecho de dicho tomo, y la última página del tomo VIII se encuentra al extremo izquierdo del mismo.

6 tomos • Calcule:

©

1 + 6 · 200 + 1 = 1 202 La polilla ha pasado por 1 202 páginas.

4m 2m

2m 21


Pensamiento lateral Realizando solo 3 cortes, ¿cómo haría para dividir una torta en 8 porciones de igual tamaño?

2

1

corta la torta haciendo 3 cortes convencionales, solo se obtienen 6 porciones iguales. • Para obtener las 8 porciones de igual tamaño, realizando solo 3 cor tes, debe realizar dos cortes como los anteriores y uno de forma horizontal.

3

• Si

1

2

A esta forma de pensar diferente a la convencional se la llama pensamiento lateral.

3 Analice y resuelva las siguientes situaciones. 1.

2.

Distribuya estas 10 monedas de manera que forme 5 filas de 3 monedas cada una.

3.

Distribuya las siguientes bolas en 4 cajas, de manera que cada caja tenga un número impar de bolas diferente.

4.

Divida la figura en 4 par partes tes de la misma forma y el mismo tamaño, de manera que en cada par te aparezca un perro grande y uno pequeño.

Trace dos cuadrados de manera que cada animal quede separado en regiones individuales.

©

22


Resuelva los problemas. 1.

Un perro está atado por el cuello a una cuerda de 2 metros de largo. Sin embargo, consigue alcanzar un hueso que se encontraba a 5 me tros de él. ¿Cómo es posible?

5.

Si tengo una caja de galletas con 5 cajas de caramelos dentro y 2 cajas de chupete dentro de cada una de las de caramelo, ¿cuántas cajas hay en total?

Respuesta: 6.

2.

Considerando que 2 es igual a 1, ¿cuál es el mínimo valor de 2 + 2?

¿Cuántos árboles hay en un parque triangular que tiene un árbol en cada vértice y 100 árboles en cada lado? Respuesta: 7.

Respuesta: 3.

Un leñador cobra $ 40 por cortar un tronco en 3 partes iguales. ¿Cuánto cobrará este leñador por cortarlo en 9 partes iguales?

Mediante una sola suma y utilizando 3 veces un mismo dígito, obtengan 60.

Respuesta: 8.

Respuesta: 4.

Si el reloj de una torre da 3 campanadas en un tiempo de 2 segundos, ¿en cuánto tiempo dará 6 campanadas? Primera campanada

Segunda campanada 1 seg

©

Tercera campanada 1 seg

Algunas claves secretas funcionan desplazando o corriendo letras del alfabeto, o relacionando cada letra con un conjunto de números que va en orden correlativo. La figura muestra la relación letra-número.

1 2 3 4 5 A B C D E

6 7 8 9 10 11 … F G H I J K …

Por ejemplo, la clave 5-20-21-22-4-9-1 13-22-3-816 codifica el mensaje ESTUDIA MUCHO. ¿Qué clave codificará el mensaje CON EMPEÑO Y ESFUERZO?

Respuesta: 23


Lea la conversación entre Anita y un vendedor: Anita: ¿Cuánto cuesta 1? Vendedor: Cuesta $ 10 Anita: ¿Y 22? Vendedor: Cuestan $ 20 Anita: Me llevaré 4 444 ¿Cuánto le cobrará el vendedor? 9.

13.

14.

Esta mañana, mientras desayunaba, se me cayó una migaja de pan en el café, y aunque la taza estaba llena, la migaja no se mojó. Explique a qué se debió esto.

Observe las cuatro equivalencias. 7

7 Vale 30 8

Vale 28

3

Vale 20

¿Cuánto vale

3 2

Vale 16

?

Respuesta: 15.

¿Cuántos cubos ve en la siguiente figura?

Respuesta: 10.

El año 2 025 puede escribirse como la suma de 2 números enteros consecutivos: 1 012 + 1 013. De hecho, muchos años de este milenio pueden representarse como la suma de 2 números enteros consecutivos salvo...

11.

Escriba la palabra TALENTO en los 6 casilleros.

12.

Cuando Adriana se dirigía hacia la montaña, se cruzó con una familia conformada por una pareja de esposos, sus 7 hijas y sus respectivos enamorados. Además, cada enamorado llevaba a un hermano. ¿Cuántas personas iban a la montaña?

Respuesta: 16.

En cada celda escriba un solo símbolo de modo que se lea DARDOS.

17.

Se encienden 9 velas al mismo tiempo. Si cada vela encendida dura 3 horas, ¿para cuántas horas tendremos iluminación con el total de velas encendidas?

Respuesta: ©

24

RAZONAMIENTO LÓGICO 18.

Si ha entrado 4 veces a un lugar, ¿cuántas veces ha tenido que salir? a. 5 b. 4 c. 3 d. 6

19.

Hay 2 gatos delante de un gato, 2 gatos detrás de un gato, y un gato en el medio. ¿Cuál es el menor número de gatos que hay? a. 3 b. 2 c. 5 d. 4

20.

Un pintor cobra $ 25 por escribir VALORA MI CASA. ¿Cuántos dólares cobrará por escribir A VOLAR CAMISA? a. 12 b. 25 c. 50 d. 6

21.

Si COMIDA PARA DOS equivale a $ 50 y VIVÍ equivale a $ 8, ¿a cuánto equivaldrá ÓSCAR DA POCA SODA A MI PRIMO DAVID? a. $ 104 b. $ 58 c. $ 54 d. $108

22.

En una sala hay perros. Si cada perro mira a 3 perros, ¿cuántos perros hay? a. 5 b. 4 c. 6 d. 8

23.

Yo tengo 5 hijos varones. Cada uno de ellos tiene una hermana. ¿Cuántos hijos como mínimo tengo en total? a. 9 b. 7 c. 8 d. 6

24.

En una empresa, el gerente general transmite una orden a 2 empleados a las 9:00 a. m. en 10 minutos. Si cada empleado transmite la orden a otros 2 en 10 minutos, ¿cuántas personas saben de la orden hasta las 9:30 a. m. incluyendo al gerente general? a. 14 b. 6 c. 15 d. 12

25.

Hay 3 cuadernos: A, B y C; dos de ellos son azules y uno es blanco. Si A y B son de diferen tes colores, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es totalmente cierta? a. A es blanco. c. C es blanco. b. B es azul. d. C es azul.

26.

Al entrar una noche de mucho viento en un refugio, Wilmer tiene un solo palito de fósforo en su caja. Hay, sobre la mesa, una vela, y en la pared, una antorcha. ¿Qué encendería primero? a. La vela. c. La caja de fósforo. b. El palito de fósforo. d. La antorcha. 28. Si 7 personas toman 7 tazas de café en 7 minu tos, ¿en cuánto tiempo tomará 3 tazas de café una persona? a. 7 min b. 3 min c. 21 min d. 1 min 29. El libro de Matemática tiene 446 páginas. Si mi hermanito le arranca 6 hojas, ¿cuántas hojas le quedan al libro? a. 218 b. 217 c. 220 d. 216 30. ¿Cuántos postes hay en un campo de forma hexagonal que tiene un poste en cada vértice y 6 postes en cada lado? a. 36 b. 30 c. 24 d. 18 31. Roxana recibe una carta de su hermano en la que dice: «He regresado a pie de la mina, donde tuve la mala suerte de fracturarme un miembro». ¿Cuál de sus miembros ha sido el fracturado? a. Pierna derecha. c. Uno de sus brazos. b. Brazo izquierdo. d. Pierna izquierda. 32. Se muestran 4 vistas del mismo dado. ¿Qué símbolo falta en la cuarta vista? 27.

a. 33.

b.

c.

d.

El siguiente cubo, antes de ser dividido, fue pintado por sus 6 caras. Considerando ahora los cubos pequeños, ¿cuántos tienen solo una cara pintada?

En el siguiente esquema, distribuya los números de 1 a 9, de manera que cada lado sume 20. a. 4

©

b. 6 c. 24 d. 30 34. Un herrero da 1 golpe con su martillo cada 6 segundos. ¿En cuánto tiempo dará 37 martillazos? a. 3 min 36 s c. 3 min 7 s b. 3 min 42 s d. 6 min 17 s 25



Comparación cuantitativa Para cada enunciado se dan dos cantidades: una en la columna A y la otra en la columna B. Se trata de determinar la relación entre ambas cantidades y luego escribir la clave correspondiente. Estas son las claves. Léalas con atención.

Si la cantidad A es mayor que la de B. B Si la cantidad B es mayor que la de A. C Si ambas cantidades son iguales. D Si falta información para poder determinar. A

Enunciado x y = (x + y)3 – xy

Columna A 2 6

Columna B 7 1

Clave B

• Resuelva

el operador de cada columna. 2 6 = (2 + 6)3 – 2 . 6 7 1 = (7 + 1)3 – 7 . 1 = 83 – 12 = 83 – 7 2 6 = 512 – 12 = 500 7 1 = 512 – 7 = 505 Observe que la cantidad de la columna B es mayor que la de la columna A. B La clave es _____. Analice y resuelva. Enunciado

Columna A

1.

25

m = m3 + m2

Columna B

Clave

16

2.

a = 10, b = 8 y c = 1

a – (b – c)

b–c+a

x=2ey=3

yx + y

xy + 4

x = 3x + 2

3

2

y = y2 – 5

5

5

(3 1)

(2 1)

[(1 1) 2]

[2 (1 2)]

3.

4.

5.

1 2 3 26

1 8 7 6

2 7 6 5

3 6 5 4

©


Suficiencia de datos En cada problema se ofrecen dos datos. Se trata de identificar la información necesaria para solucionarlo y luego escribir la clave. A

El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C Es necesario utilizar los datos I y II conjuntamente. D Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. Enunciado Sergio tiene el quíntuple de la edad de Micaela. ¿Qué edad tiene Sergio?

Dato I Micaela tiene 10 años.

Dato II Sergio es mayor que Micaela.

Clave A

• Plantee el enunciado con los datos.

Dato I: Si Micaela tiene 10 años, entonces Sergio tiene 5(10) = 50 años. Dato II: Con este dato no se puede determinar la edad de Sergio. A . El dato I es suficiente para resolver el problema y el dato II no lo es. La clave es _____ Analice y resuelva. Enunciado

Dato I a C b = 3a – 2b

Dato II a I b = a5 – b2

1.

Calcule 3 I 2.

2.

Halle 9 + 12 .

x = x + x __ 2

y = y – y __ 3

3.

Calcule 24 .

3m = 8m – 7

4a

4.

Dentro de 5 años la suma de las edades de Marcia y Lucía será 73 años. ¿Qué edad tiene Marcia?

Lucía tiene 30 años.

Marcia es tres años mayor que Lucía.

5.

Se vaciaron 86 litros de leche en botellas de 2 ℓ y 3 ℓ. ¿Cuántas botellas de 3 ℓ se usaron?

Se usaron 34 botellas.

Las botellas de 2 ℓ se vendieron a $ 45.

6.

Juan y tres amigos fueron a un restaurante. Si en total pagaron $ 80 considerando la propina del mozo, ¿cuánto pagó cada uno?

La propina del mozo fue $ 10.

La cuenta se repartió por igual.

©

Clave

= 3a + 11

27



Ordenamiento de números Ubique en los círculos los números de 1 a 6, de tal manera que la suma en cada lado de la figura sea 11. Para resolver este tipo de problemas, se debe buscar regularidades entre el conjunto de números dados e ir asignando su ubicación en la figura según las características pedidas.

• Coloque linealmente y

1

2

3

4

5

en orden los números, y busque alguna regularidad entre ellos. 6

1 + 6 + 4 = 11 2 + 5 + 4 = 11 4

suman 7 • Observe que

4 es número común en ambas sumas; entonces 4 irá en uno de los vértices. • Complete uno de los lados con 6 y 1, y el otro lado con 2 y 5. • En el tercer lado falta 3, que completa la suma de 11: 6 + 3 + 2 = 11 Complete con los números que faltan. 1. Ubique los números de 6 a 13, de modo que la suma en cada lado sea 29.

1 6

3.

5 3

2

Escriba los números de 5 a 13, de manera que la suma en cada línea sea 47.

10 13 12 2.

Ordene los números de 6 a 11, de manera que la suma en cada línea sea 26.

4.

Ubique los números de 2 a 14, de modo que la suma de cada línea sea 24.

9 8 ©

28


Ubique los números de 2 a 10 en las casillas del cuadrado, de modo que la suma horizontal, vertical y diagonal sea la misma. • Agregue

casilleros auxiliares en cada lado del cuadrado. • Ubique los números ordenados en forma ascendente como indican las fechas. • Ubique dentro del cuadrado los números de los casilleros auxiliares según el sentido de las flechas.

4 3 2

2

7 6

5

10 9

3

8

7

10

6

2

5

4

9

6 5

10 9

8

4 3

7

Esta figura se conoce como cuadrado mágico. En él, la suma de los números dispuestos en columnas, filas y diagonalesm, es la misma.

8 • Verifica que la

suma en cada fila, columna y diagonal sea 18.

Complete de modo que sea un cuadrado mágico. Halle la suma. 1.

Escriba los números de 5 a 13.

Complete los cuadrados mágicos y marque las alternativas correctas. 3.

Calcule la suma de los números que faltan. 40

5

5

80 70

60

2.

©

Ubique los números del conjunto A = { x es múltiplo de 5 y 0 < x < 50 }.

4.

100

a. b. c. d.

350 280 210 250

a. b. c. d.

220 250 265 275

Si x + y + z = 165, calcule la suma de los números que faltan. 40

x

60

m

y

n

50

z

70

29


Razonamiento visual espacial

Discriminación visual ¿Qué figura no tiene relación con las demás?

A

B

C

D

En estas situaciones se presenta un conjunto de figuras con una característica común. Debemos encontrar la figura que no tiene dicha característica.

• Observe

que las figuras A, B y C se pueden convertir en la misma figura realizando un giro. Mientras que la figura D no cumple con esta característica. D La figura que no guarda relación con las demás es ________ .

Indique la figura que no guarda relación con las demás y marque la alternativa correcta. 1.

5.

A

B

C

D

2.

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

6.

A

B

C

D

3.

7.

A

B

C

D

4.

©

A

8.

A

B

C

D

31



Tablas de proporcionalidad Obtenemos los valores de la tabla multiplicando o dividiendo por 3. La razón es de 1 a 3.

Un artesano elabora 12 vasijas en cuatro horas. ¿En cuántas horas elabora 18 y 72 vasijas iguales? • Calcule cuántas vasijas elabora en 1 hora: 12 : 4 = 3 En 1 hora elabora 3 vasijas, entonces la razón de proporcionalidad es 1 a 3. • Realice una tabla de proporcionalidad y calcule. Horas

4

1

6

24

Vasijas

12

3

18

72

: 3

x 3

6 horas Para elaborar 18 vasijas se demora _______________ 24 horas y para 72 vasijas, ________________ .

Complete las tablas de proporcionalidad y marque las alternativas correctas. 1.

4.

Luisa paga $ 0,50 por 10 fotocopias. ¿Cuántas fotocopias sacó si pagó $17,5? Copias

2.

17,5 b. 350

c. 200

5.

d. 290

La razón entre los minutos de caminata que realiza Juan y las calorías que quema es 1/16. Si ya ha caminado 8,5 min y debe quemar 720 calorías, ¿cuántos minutos de caminata todavía debe realizar? Minutos Calorías a. 45

3.

b. 46,5

c. 13,5

d. 36,5

b. 20

c. 15

d. 12

c. 98

d. 119

Una frutería compra diariamente peras y mandarinas, y la razón entre los kilos que compra de estas frutas es de 5 a 7. Si hoy se compraron 85 kg de peras y ya se vendieron 30 kg de mandarinas, ¿cuántos kilos de mandarinas quedan en la frutería? a. 109

b. 89

Complete la tabla y halle p – q. Distancia (km)

240

Tiempo (h)

3

a. 640 32

La razón entre los tiros encestados y los tiros realizados por un jugador de básquet es de 3 a 4. Si lanzó 20 tiros, ¿cuántos tiros encestó? a. 10

10

Costo $ a. 450

Resuelva y marque las alternativas correctas.

b. 820

6 c. 240

p

q

8

5 d. 400

6.

El dinero que tienen Pablo y Ricardo está en la relación de 5 a 9. Si Ricardo tiene $ 270, ¿cuánto tiene Pablo? a. $ 150

b. $ 120

c. $ 130

d. $ 240

©


Proporcionalidad directa Jugando fútbol, Eduardo gasta 120 calorías en 10 minutos. Al mismo ritmo, ¿cuántas calorías gasta, si juega 80 minutos? • Elabore una tabla de proporcionalidad que relacione

las magnitudes tiempo y calorías. Tiempo (min)

10

80

Calorías

120

x

A más minutos de juego gasta más calorías; se trata de una proporcionalidad directa.

• En una proporción directa, los productos en aspa son iguales.

10 = 80 120 x

10 · x = 80 · 120

x = 80 · 120 = 960 10

960 Gasta _________ calorías.

Analice, resuelva y marque las alternativas correctas. 1.

3.

¿Qué tarjetas representan una proporción directa? Cantidad de huevos necesarios para hacer una torta y el número de tortas.

a. b. c. d.

Problemas bien resueltos y puntaje obtenido. 4.

Velocidad de un auto y el tiempo que tarda en ir de un lugar a otro. 2.

Cantidad de postres y gramos de azúcar utilizados en su preparación.

c. 2 145

d. 1 260

Roxana utiliza 3 kg de coco en hacer 150 dulces. ¿Cuántos kilogramos de coco necesita para hacer 225 dulces iguales? a. 2,5 b. 4 c. 4,5 d. 5

6.

Por llamadas telefónicas al extranjero, Ana paga $ 0,60 por minuto. ¿Cuánto pagó si hizo una llamada de hora y media?

Costo $ c. $ 36 d. $ 70

b. 1 206

5.

Martha paga $ 27 por 6 kg de pollo. ¿Cuánto más pagará si desea comprar 14 kg?

a. $ 20 b. $ 63

960 380 360 340

Una máquina fabrica 3 080 pelotas en 22 horas. ¿Cuántas pelotas menos fabrica en 13 horas? a. 1 820

Pollo (kg)

©

18 cajas contienen 432 latas de gaseosa. ¿Cuántas latas hay en 40 cajas?

a. $ 90

b. $ 60

c. $ 54

d. $ 30 33



Proporcionalidad inversa Viajando a 120 km/h, Rafael tarda 5 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo le tomaría llegar si viajara a 80 km/h? • Elabore una tabla de proporcionalidad que relacione las magnitudes velocidad y tiempo. A más velocidad menos tiempo para ir de una Velocidad (km/h) 120 40 80 ciudad a otra; por lo Tiempo (h) 5 15 x tanto, se trata de una proporcionalidad inversa. • En una proporción inversa, los productos de las magnitudes

correspondientes son iguales. 120 · 5 = 80 · x x = 120 · 5 = 7,5 80 7,5 A Rafael le tomaría llegar ________ horas. Analice, resuelva y marque las alternativas correctas. 1.

2.

3.

¿Qué tarjetas representan una proporción inversa? Ganadores de un bingo y dinero que le corresponde a cada uno.

Número de alumnos y cantidad de uniformes que se deben comprar.

Número de obreros y días que emplean en hacer una obra.

Velocidad de un motociclista y tiempo empleado.

a. b. c. d. 4.

2 pintores pintan una casa en 50 horas. ¿Cuán tas horas demorarán 5 pintores en hacer el mismo trabajo?

Horas a. 22 34

b. 18

c. 20

d. 24

15 12 8 9

Un ciclista que recorre un camino a 18 km/h demora 2 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer el mismo trayecto a una velocidad de 24 km/h? a. 1 h

5.

Pintores

Tres campesinos tardan 10 días en cosechar una chacra. ¿Cuántos campesinos más deben trabajar para cosechar el campo en 2 días?

b. 1,5 h

c. 2,5 h

d. 1,75 h

Se contrató a 8 obreros para construir una casa en 120 días. Como se quiere terminar en menos tiempo, se contratan 24 obreros más. ¿En cuán tos días se acabará la obra? a. b. c. d.

20 50 40 30

©


Porcentajes De una cosecha de 2 000 kg de papas se desechó el 20%. Si se vendió el 70% de lo que quedó, ¿cuántos kilogramos de papa quedaron sin vender? Se puede resolver el problema de dos formas: 1a forma • Halle cuántos kilos se dañaron. 20% de 2 000 0,20 · 2 000 = 400 kg Quedó: 2 000 – 400 = 1 600 kg • Encuentre cuántos kilos de papa se vendieron. 70% de 1 600 = 0,7 · 1 600 = 1 120 Quedó: 1 600 – 1 120 = 480

2a forma • Se desechó el 20%, entonces quedó el 80%. Halle qué porcentaje se vendió. 70% del 80% 0,7 · 80% = 56% Quedó sin vender: 80% – 56% = 24% • Encuentre cuántos kilos de papas quedaron. 24% de 2 000 = 0,24 · 2 000 = 480

480 Quedaron __________ kg de papa sin vender.

Resuelva y marque las alternativas correctas. Pedro tiene 50 problemas por resolver. Si 1. resolvió el 30%, ¿cuántos problemas le faltan? a. 15 2.

4.

©

c. 25

d. 35

Rosa tiene un brazalete que pesa 54 g. El 75% es de oro puro. ¿Cuántos gramos de oro hay en el brazalete? a. 30,5

3.

b. 20

b. 40

c. 40,5

c. $ 15 000

b. $ 50 000

d. $ 35 000

6.

d. 13,5

Raúl compró un terreno de 240 m2 de área. Pedro compró otro terreno 25% más grande que el de Raúl. Si pagó $ 250 por metro cuadrado, ¿cuánto le costó su terreno? a. $ 75 000

5.

Adela ganó cierta cantidad de dinero. De esa cantidad, le entregó el 40% a sus padres y se quedó con $ 900. ¿Cuánto ganó Adela?

Javier realiza dos préstamos. Uno de $ 2 000 por el que pagará 9% de interés, y otro de $ 2 500 a un interés del 10%. ¿Cuánto pagará en total? a. $ 4 900

c. $ 4 930

b. $ 4 500

d. $ 4 390

Deposité $ 4 000 en un banco. Después de cierto tiempo me devolvieron $ 4 500. ¿Qué porcentaje de intereses me pagaron? a. 11,5%

7.

c. 14,5%

d. 12,5%

Karen llevó 1 000 huevos al mercado. Si se le rompieron el 10% y vendió el 80% del resto, ¿cuántos le quedaron sin vender? a. 280

8.

b. 11%

b. 180

c. 350

d. 720

Hoy se vendieron dos refrigeradoras. En la primera se ganó el 20% del costo y en la segunda se ganó el 25%. Si costaron $ 1 500 cada una, ¿cuánto se ganó en total?

a. $ 1 200

c. $ 1 500

a. $ 675

c. $ 275

b. $ 1 000

d. $ 1 100

b. $ 500

d. $ 625 35



Comparación cuantitativa Para cada ejercicio se dan dos cantidades: una en la columna A y la otra en la columna B. Se trata de calcular y comparar ambas cantidades. Luego, se debe escribir la clave. A Si la cantidad A es mayor que la de B.

Estas son las claves. Léalas con atención.

B Si la cantidad B es mayor que la de A. C Si ambas cantidades son iguales. D Si falta información para poder determinarla.

Enunciado 1.

Columna A

Columna B

Clave

2m + x = 10

m–x=4

B

4x – 9

x+6

x+y

m+n

3z + x = 25

2z – x = 1

15% de 200

12% de 250

Calcule el valor de x. 4 67 x 2

23 89 6 45

2.

Resuelva. 3

14

9

7 3.

2

6

5 x

3

Complete el cuadrado mágico. x

y

16

19 15

n

14 m 18 4.

Halle el valor de z. 4

(23)

5

11

(25)

2

8

(x)

2

5.

Calcule. 6.

Si 5 costureras hacen un trabajo en 12 días:

¿Cuántas costureras ¿Cuántas costureras se necesitan para hacer se necesitan para hacer el trabajo en 4 días? el trabajo en 6 días? ©

36


Suficiencia de datos En cada problema se dan dos datos para resolverlo. Se trata de identificar los datos que son necesarios para solucionarlo y luego escribir la clave. A El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C Es necesario utilizar los datos I y II conjuntamente. D Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.

Enunciado 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Dato I

Dato II

p = 24,5

m – 4n = 14

¿Cuántos galones de combustible consumirá una moto en 95 km de recorrido?

En un recorrido de 380 km la moto consume 6 galones.

En un recorrido de 285 km la moto consume 9 galones.

Si todos tienen el mismo ritmo de trabajo, ¿en cuánto tiempo terminarán una obra 7 albañiles?

Los albañiles trabajaron domingos y feriados.

Dos albañiles hacen un trabajo en 28 días.

x = 72

m = 156

z = 46

y = 22

Rosa pidió prestado dinero al banco y pagó 52% de interés. ¿Cuánto pagó en total?

Pagó la deuda en 6 meses.

El banco le prestó $ 1 200.

El 90% de los alumnos de un salón aprobaron el examen. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen?

El salón tiene 40 alumnos.

En el salón hay 15 varones.

César gastó el 30% de su propina y regaló el 5%. ¿Cuánto dinero le quedó?

Gastó $ 24

Regaló $ 4

Clave

Halle el valor de m + n. Lapiceros

5

m

12

Costo ($)

17,5

p

n

Calcule m + n. m 13 = x n Halle el valor de x. 23

(9)

y

z

(18)

35

15

(x)

24

©

37



Trazado de figuras ¿Se pueden dibujar de un solo trazo las siguientes figuras? Para saber si una figura se puede dibujar de un solo trazo, —sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por el mismo lugar—, se debe identificar el número de vértices pares e impares que tiene. Vértice par Punto en el cual concurre un número par de líneas.

Vértice impar Punto en el cual concurre un número impar de líneas. Concurren 5 líneas

Concurren 4 líneas • La figura puede ser dibujada de un solo trazo en dos casos:

Caso 1: Cuando solo tiene vértices pares: Se comienza en cualquier vértice y se termina en el mismo vértice.

Caso 2: Cuando tiene como máximo dos vértices impares: Se comienza en un vértice impar y se termina en el otro vértice impar.

Dibuje las figuras de un solo trazo. 1.

2.

¿Qué figuras no se pueden dibujar de un solo trazo? a. I 4. I II b.II c. I y II d. Ninguna 5.

38

Coloree la figura que se puede dibujar de un solo trazo.

3.

I

II

a. I b.II c. I y II d. Ninguna

©



Conteo de figuras • ¿Cuántos

triángulos hay? a b

c

d

Tienen que contar el total, es decir, el mayor número de triángulos.

e

Observe y cuente los triángulos. Triángulos formados por… Una región (1 letra)

Letras que forman el triángulo b, c, d, e

Total 4

Dos regiones (2 letras)

a-b, a-c, d-e

3

Tres regiones (3 letras)

b-d-e, d-e-c

2

Cuatro regiones (4 letras)

–––––

0

Cinco regiones (5 letras)

a-b-c-d-e

1

Asigne una letra a cada región.

Hay 4 + 3 + 2 + 0 + 1 = 10 triángulos. ¿Cuántos triángulos hay?

¿Cuántos cuadriláteros hay? 5.

1.

b a

c

d

e

b

a a. 10 c. 16

f

b. 14 d. 17

a. 10 c. 8

c d f

a b e

a

b. 7 d. 9

a

c

d

e

b. 14 d. 17

e

a b c d h f g

i

a. 10 c. 15

b. 11 d. 13

a

d f

k

c i

b. 18 d. 20

a. 9 c. 11

b. 10 d. 12

a. 15 c. 18

b. 12 d. 29

a. 27 c. 31

b. 29 d. 25

b

e

8.

4.

©

b

e f

a c

a. 13 c. 15

a. 16 c. 13

b d

c

7.

3.

d e f

g

h 6.

2.

c

e

g h

f

d j

b l

39



Rompecabezas ¿Qué pieza no pertenece a la figura?

A

B

C

D

• Imagine que gira las piezas y las va encajando en la fgura. • Observe que la pieza C no corresponde al giro de las demás piezas. C La pieza que no encaja correctamente en la figura es la ______.

Identifique las piezas que no pertenecen a estas figuras. 1.

A

B

C

D

A

B

C

D

2.

3.

Señale los círculos que completan las figuras.

A

C 40

B

D

A

C

B

D

©



Perímetros y áreas Un patio rectangular de 12 m de largo y 8 m de ancho tiene en el centro una piscina de 3 m de radio. Calcule cuánto mide el contorno de la piscina y cuál es el área de la superficie sembrada con césped. • Halle el contorno de la piscina circular. L = 2pr = 2 × 3,14 × 3 = 18,84 m • Para obtener el área de la superficie sembrada decésped, al área del patio reste el área de la superficie que ocupa la piscina. A = largo × ancho = 12 × 8 = 96 m2 Acésped = 96 – 28,26 = 67,74 2 2 A = p × r = 3,14 × 32 = 28,26 m •

•

El contorno de la piscina mide

y la superficie sembrada con césped, 67,74 m2

18,84 m

Calcule el perímetro de las áreas coloreadas. 1. m c 4

7 cm

Resuelva los problemas.

a. 26,56 cm b.36,20 cm c. 56,03 cm d.40, 56 cm

5.

El diámetro de cada rueda de una bicicleta mide 40 cm. Si la bicicleta se desplaza a lo largo de 3 768 m, ¿cuántas vueltas darán sus ruedas? a. 20 b. 50 c. 30 d. 40

6.

Ricardo desea comprar la parte de un terreno que no está cultivada. ¿Cuánto debe pagar si el metro cuadrado cuesta $ 120? 60 m a. $ 136 000 b.$ 175 000 m c. $ 135 000 0 4 m d.$ 168 000

2.

3 cm

a. 21,46 cm b.30,65 cm c. 19,26 cm d. 28,26 cm

1,5 cm

3.

Halle el área de la región coloreada.

10 m

a. 90 m b.76 m2 c. 68 m2 d.72 m2

0 1

2

5m 4m 7m

6m

4.

©

.

5m

3m

a. 69 m2 b. 58,36 m2 c. 61,23 m2 d.62,24 m2

7.

Se van a poner vidrios a las ventanas de una casa. Las ventanas cuadradas tienen 90 cm de lado y las rectangulares miden 1,20 m por 0,80 m. Si el me tro cuadrado del vidrio elegido cuesta $ 60, ¿cuán to se gastará en la compra de los vidrios? a. $ 120 b.$ 327,6 c. $ 200 d.$ 108,4 41


Manuel se ha encargado de preparar 60 envases iguales para repartir canguil en la fiesta de su hermano. La forma del envase es la de un prisma de base cuadrada de 8 cm de lado y 18 cm de altura. ¿Qué cantidad de cartulina usará para hacerlos? • Represente el desarrollo del envase y ubique los datos. 8 cm cara cara cara cara lateral lateral lateral lateral

18 cm 8 cm

18 cm

8 cm base

8 cm

• Para hallar lo que Manuel necesita por envase, calcule el área de las 4 caras y una base.

ATotal = 4A + A = 4 (8 × 18) + 82 = 576 + 64 A = 640 Para 60 envases iguales usará: 60 × 640 = 38 400 cm2 de cartulina. Dibuje el desarrollo de los siguientes sólidos. 8.

11.

Se desea pintar un edificio cuya altura mide 20 m y el lado de la base cuadrada, 10 m. Si un galón de pintura alcanza para 20 m2 de superficie, ¿cuántos galones se necesitan para pintar las paredes del edificio si todo el frente es de vidrio? a. 30 b. 50 c. 10 d. 15

12.

Una lata de atún tiene 3 cm de altura y 8 cm de diámetro. ¿Cuántos centímetros cuadrados de hojalata se necesitaron para fabricarla? a. 180 8 cm b.175,84 3 cm c. 190,36 d. 200,5

13.

Con un cartón rectangular de 20 cm de ancho por 30 cm de largo, Claudia armó una caja, sin tapa. Para ello, recor tó de cada esquina un cuadrado de 6 cm de lado. Si forró con papel toda la caja, ¿cuánto papel utilizó? a. 640 cm2 b.564 cm2 c. 170 cm2 d.456 cm2

9.

Resuelva los problemas y marque las alternativas correctas. 10. En una caja piramidal, la altura de una cara triangular mide 11 cm. Si la base de la pirámide es un cuadrado de 5 cm de lado, ¿qué cantidad de papel se necesitará para forrar la caja? Dibuje su desarrollo. a. 30 cm2 b.158 cm2 c. 200 cm2 d. 135 cm2 42

©



Áreas de figuras irregulares Calcule el área de la región coloreada. • Traslade las regiones coloreadas hasta encontrar una región cuya área sea conocida, es decir, fácil de calcular. 4 cm

2 cm

4 cm

4 cm

• Calcule

el área de la nueva región coloreada. A =b×h=2×4 A =8 o

A = A /2 = l2/2 = 16/2 = 8

El área de la región coloreada es ______ cm2. 8 Traslade las regiones y calcule las áreas coloreadas. 1.

16 cm

4.

m c 6 1

Si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el área de la A región coloreada? a. 8 cm2 c. 6 cm2 b. 9 cm2 d. 4 cm2

a. 200 cm2 b. 256 cm2 c. 128 cm2 d. 120 cm2 2.

8 cm

B

C 2 cm D

5.

Si el perímetro del cuadrado mide 32 cm, calcule el área de la región coloreada. a. 18 cm2 b.14 cm2 c. 16 cm2 d.20 cm2

6.

El radio del círculo mide 6 cm. Si ABCD es un cuadrado, ¿cuál es el área de la región coloreada?

m c 8

a. 32 cm2 b. 16 cm2 c. 48 cm2 d. 8 cm2 3.

12 cm

B m c 2 1

©

a. 48 cm2 b. 180 cm2 c. 72 cm2 d. 18 cm2

A

C

a. 18 cm2 b.13 cm2 c. 20 cm2 d.15 cm2

D 43


Caras ocultas ¿Cuántas caras ocultas hay en la construcción? Las caras ocultas son las que no se ven desde las diferentes posiciones de un observador.

• La

base de la construcción descansa sobre 5 caras ocultas:

1 +1 +1 +1 +1 =5 2+2=4

• Al juntarse dos cubos, se

ocultan dos caras:

• Sume

las caras ocultas:

17 caras ocultas. En la construcción hay _____

Resuelva y marque la alternativa correcta. ¿Cuántas caras ocultas tiene la figura? 1.

1.

a. 21 b.20 c. 22 d.23 2.

¿Cuántas caras visibles tiene la figura?

a. 21 b.24 c. 25 d.26

¿Cuál es el resultado de la resta entre el total de caras visibles y el total de caras ocultas de esta construcción? a. 18 b.10 c. 12 d.9

3.

¿Qué construcciones tienen la misma cantidad de caras ocultas?

¿Cuántas caras ocultas tiene la construcción? a. 16 b.17 c. 18 d.19

¿Cuántas caras ocultas tienen los cubos del primer nivel?

8

2.

a. 34 b.35 c. 36 d.37 3.

2+2+2+2= 5 + 4 + 8 = 17

a.

c.

27

30 4.

44

¿Cuántas caras visibles tienen los cubos del primer nivel? a. 17 b.19 c. 18 d.20

b. 26

d. 26 ©



Secuencia de cubos Dadas las secuencias, ¿qué cubo sigue?

La secuencia puede darse por el giro del cubo sobre su base: de izquierda a derecha o viceversa, o por un giro en sentido horario o antihorario.

...

...

a.

b.

c.

d.

• Observe que la figura que está en la cara supe-

rior es la misma. El cubo ha girado sobre su base de derecha a izquierda ( ). b Sigue el cubo ______.

a.

b.

c.

d.

• Observe

que la cara frontal del cubo gira en sentido horario ( ). Sigue el cubo _______. d

Identifique el cubo que sigue en cada secuencia. 1.

3.

...

...

a.

b.

c.

a.

d.

2.

b.

c.

4.

...

©

d.

a.

b.

c.

d.

...

a.

b.

c.

d.

45


Desarrollo de cubos Observe las tres vistas del mismo cubo y trace su desarrollo.

a. Dibuje las tres caras según la vista a.

b. c. Elija la vista c. que tiene figuras iguales a la vista a.

Por último, dibuje las caras que faltan según la vista b.

De acuerdo a las tres vistas de un mismo cubo, señale su desarrollo. 1.

3.

a.

c.

a.

c.

b.

d.

b.

d.

2.

4.

a.

c.

a.

c.

b.

d.

b.

d. ©

46



Juegos de ingenio Se trata de hacer la menor cantidad de movimientos.

¿Cuántos fósforos debe retirar Renata para que queden dos cuadrados? Retire dos fósforos. •

• Quedan dos cuadrados: uno pequeño y otro grande.

Resuelva los problemas. 1.

Retire tres fósforos de manera que forme tres cuadrados iguales.

2.

Quite un fósforo de tal manera que queden tres cuadrados iguales.

3.

¿Cuántos fósforos debe retirar para obtener 4 cuadrados iguales?

4.

Mueva 2 fósforos de manera que obtenga 5 cuadrados iguales.

¿Cuántos fósforos debe mover para obtener 3 cuadrados iguales?

5.

Mueva 5 fósforos para obtener dos cuadrados.

©

47



Comparación cuantitativa Para cada ejercicio se dan dos cantidades: una en la columna A y la otra en la columna B. Se trata de calcular y comparar ambas cantidades. Luego, se escribe la clave. A

Estas son las claves. Léalas con atención.

Si la cantidad A es mayor que la de B. B Si la cantidad B es mayor que la de A. C Si ambas cantidades son iguales. D Si falta información para poder determinar.

Analice y resuelva. Enunciado

Columna A

Columna B

1.

Observe la figura.

Número de vértices pares. Número de vértices impares.

2.

Observe la figura.

Número de triángulos.

Número de trapecios.

3.

Calcule el área.

Región coloreada.

Región no coloreada.

Número de caras ocultas.

Clave

4u 2u

2u

4.

Observe y calcule.

Número de caras visibles.

5.

Observe y halle la cantidad de fósforos que deben moverse.

Para obtener:

Para obtener:

©

48


Suficiencia de datos En cada problema se plantean dos datos para resolverlo. Se trata de identificar la información necesaria para solucionarlo. Luego, se escribe la clave. A

El dato I es necesario y el dato II no lo es. B El dato II es necesario y el dato I no lo es. C Es necesario utilizar los datos I y II. D Cada dato, por separado, es suficiente. Identifique los datos y resuelva. Enunciado 1.

Calcule el área de la región coloreada.

Columna A

Columna B

l = 4 cm

r = 3 cm

Largo: 20 cm

Ancho: 12 cm

h=6m

r=3m

ABC es un triángulo equilátero.

ABC es un triángulo escaleno.

El área de la figura es 60 u2.

La base mide igual que la altura.

Clave

r l

2.

Calcule el área de la región coloreada.

3.

Calcule el área del cilindro si el área del rectángulo es 48π m2. r h

4.

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

B 2 cm A

5.

Calcule el perímetro de la figura.

C

10 u ©

49

Razonamiento Logico c

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