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Tema: Razonamiento Lógico II
Cortes, Estacas y Pastillas
' unitaria distancia postes
Se trata de resolver problemas, donde debemos obtener el número de cortes que se pueden hacer a una soga, alambre, madera, etc; O también obtener el número de postes, estacas o árboles que se puedan plantar en una cierta longitud o perímetro.
cerradas !aros, terrenos, triangulares, cuadrangulares, rectangulares, circulares, etc.$. %( de cortes
'u
%( de pastillas
total
&t -t
&t &iempo total en que debe tomar las pastillas el paciente. )
'& 'u
%( partes iguales
'ongitud
',
)
5caso 5 tot
"on#e:
*artes iguales
+onde '&
Si 234 es un evento de un espacio muestral !$ , la probabilidad de ocurrencia de 3 se denota por *!3$ 0 está dada por
'&
*r obabilidad
%úmero de estacas, postes o árboles %( de estacas
'u
*ara obtener el número de pastillas
de
%( cortes
"E%I!ICI&! MATEM'TICA "E LA PRO(A(ILI"A")
'&
%( de estacas
Figuras abiertas o sea que tengan los extremos separados pueden ser !sogas, maderas, alambres, pie"as metálicas, avenidas, pasa#es, etc.$
'&
o entre
SEG!"O CASO: Figuras
PRIMER CASO:
%úmero cortes
observaciones de situaciones de las cuales no estamos absolutamente seguros de lo que va ha suceder, pero que expresan ciertas características de predicci/n. 'a aplicaci/n del cálculo de probabilidades es diversa.
'ongitud
-t
-ntervalo
de
tiempo entre cada pastilla o el tiempo que va a tomar cada pastilla.
1ntonces n!3$ *!3$ n! $
; 6 *!
E*em+los a+licación
#e
) 1ncontrar
la probabilidad que al lan"ar un dado se obtenga un valor par.
Resol-ción
Pro$a$ili#a#es 'a probabilidad de un suceso se deine como la relaci/n entre el número de casos avorables 0 el número de casos posibles. 1l estudio de probabilidades nos permite hacer
*!3 $
)@9
: *!3$ = 76,< 7<6A
Rpta.
.)
B?uál es la probabilidad de obtener un 2as4 al extraer una carta de una bara#a de <9 cartasC
Resol-ción: ?omo la bara#a tiene ases. *robabilidad de obtener ) 2as4 @<9 7)@): Rpta.
Pro+ie#a#es) Si /A0 es -n e1ento #e2ini#o en , entonces: 1.
6 *!3$ ) D Si *!3$ 76 3 7 3 es un evento imposible Si *!3$7) 37 3 es un evento seguro
.) E1entos: E1ento
seg-ro) 1s el que de todas maneras debe ocurrir.
E1ento
im+osi$le) 1s
1xperimento aleatorio lan"ar un dado. 7 8 ) ; <;=>
9; :;;
?asos avorables 37 89 ; ; = > n!$ 7 = n!3$ 7 :
el que no va a ocurrir.
E1entos
com+lement arios) si uno ocurre 0 otro no.
el
) 9
E1entos
espacio muestral , entonces
m-t-amente e3cl-yentes Si la ocurrencia de uno de ellos, anula ocurrencia de los demás.
E1entos
*!3$ 7 )H *!3I$
7) Si 3 0 E son sucesos independientes, entonces
in#e+en#iente s) ?uando no tienen ninguna relaci/n entre sí ; si la ocurrencia de uno de ellos no inlu0e en la ocurrencia del otro.
*!3E$ 7 *!3$ x *!E$ 30E
)
*robabilidad condicional *!3 @E$
*!E 3$ *!3$
4) 3 0 E son sucesos mutuamente exclu0entes, es decir que 3 E7
3
*!3 E$ 7 *!3$ *!E$ 3 / E 5. Si 3 0 E son sucesos no exclu0entes, es decir 3 E
3
*!E@3$ *robabilidad de E que ocurra el evento E, dado que el evento 3 ha ocurrido.
8) Si los eventos 3 0 E son dependientes, entonces la ocurrencia simultánea de los eventos es *!3E $ 7 *!3$ . E *!E$
3
Cortes 9 Estacas 9 Pastillas Carlos 1. compra 5 varillas de acero de 8 metros de longitud cada una. De las dos primeras desea obtener trozos de 32 cm de longitud y de los tres últimos trozos de 25 cm de longitud. el E Hallar número total de cortes que debe realizar. a) ! b) !" c) 5 d) 3! e) #2
nc &
8%% cm 32 cm
deinido
en
el
Resolución
* de cortes (% 2 'iempo que tarda &
! min 2! s Rpta.
2
'res últimas$
8%% cm 25 cm
! Rpta.
6) Sea 234 un suceso
e) ! min " s
Dos primeras varillas$
* de cortes
E*ercicios "esarrolla#os
c) ! min 2 s d) ! min 2! s
Resolución
nc &
*!3E$ 7 *!3$ *!E$ G *!3E$ 3 /E
de longitud que quiere cortar en trozos de 2 metrossi necesita " segundos para acer cada corte. /Cu0nto tarda en cortar toda la pieza1 a) ! min 8 s b) ! min 3% s
+n 2. comerciante tiene una pieza de pa,o de (% metros
3
3. +n relo da ! campanadas en 5 segundos. /4n cu0nto tiempo dar0 2 campanadas1 a) !% segundos b) !5 segundos c) segundos d) segundos e) minuto Resolución
55 5%
! camp. intervalos segundos
3 5
2 camp.
intervalos donde$
c)
?dem0s$
> circun9erencia
"5% d) #5% e) 8!%
=
!5*
pta.
d) 3"
> total
!%%
55 segundos R
!%% 2
!%%
!%%
"%% m 2%% cm
e) 8%
* estacas
Resolución
* pastillas
* pastillas
8%% Rpta.
tie interva
52! 8
* pastillas 32 Rpta. e desea 5. cercar un terreno de 9orma cuadrada cuya diagonal mide !%% 2 metros. Determinar el número de estacas necesarias para cercar dico terreno. i cada estaca se coloca a 2%% cm. una de la otra. a) 8%% b) #%%
6. :or los cumplea,os de ;ariela su mam0 le regal< una torta circular de un 0rea de !8! cm. i ella desea partir cada 2 cm . /Cu0ntos pedazos obtendr01 a) 2% b) ( c) 8 d) 22
> total
olo$ ?@A?C&"%
222)
!!
2
* cortes !! 2 !%%
2
e) 23
B 4stacas& "% 3 2
B 4stacas&
=ecuerde$ * de cortes *
!5*
* estacas
!8!
= 22
Resolución
4. 6azm7n toma 2 pastillas cada 8 oras. /Cu0ntas pastillas tomar0 en 5 d7as1 a) 32 b) !% c) !8
2
2 Rpta.
* de pedazos$ 22 Rpta.
8. +n mdico le receta a un paciente analgsicos que debe tomar durante 8 d7as cada " oras. i cada pastilla cuesta . E5% y en la 9armacia paga con un billete de . %%E%%. /Cu0nto de vuelto recibe1 a) . 5%E5% b) . 33E%% c)@ . !(E5% d) . 52E%% * % e) 3 . 5E5%
7. /Cu0ntas estacas se necesitaran para cercar los lados ?@ y ?C de un terreno que tiene la 9orma de la siguiente 9igurasi estas se estacan cada 3m1 a) 3" b) 2(
2% 3
Resolución
c) 32
C8d
?
d) 3%
".
".
".
e) 2
8 2!
".
".
* pastillas
Resolución
'.'. '.+.
Resolución =ecuerda$
* cortes
> total > unitari
@33 E5
!% "%* ? 2%
!(E5
* % 3
2% 3 F C
3F 2%
.
Guelto$
d) %
%% !(E5 . 5%E5 Rpta.
d) 5 e) " Resolución
?nalizamos el problema por partesE obtenemos$ :ara una soga de "m.
* cortes necesari # Rpta
I
"m :ara una soga de 2m.
35 35 35 %5 Por fórmula: ro. estacas
%5 #
"m
"m 2m
corte
* de cortes 5 m
:ara una soga de 8m. * Corte
1
6 2* Corte
"m 8m
Del an0lisis que emos realizadoE obtenemos que$
* de partes iguales para nuestro problema$
5 m
Nº de co rtes
!2
m 5
5 Rpta. m /Cu0ntos 13.
>ongi >ongitu
25 5
0rboles 3 pueden "m 5 m m colocarse a lo 4 5 largo de una avenida que órmula: tiene E5Fm de longitudE $% #e cortes necesari los 0rboles se colocan cada 5 metros1 Está fórmula se Nota: a) "8 cumple para " figuras b) #( cerradas ". >uego$ c) (% d) %% 30 m e) % # de cortes " cortes Rpta.5 m Resolución e realiza
"m
planca de aluminio de 25m de largo por E5m de ancoE diario corta 5m de largo por E5m de anco. /4n cu0ntos d7as abr0 cortado 7ntegramente la planca1
11./Cu0ntos cortes deben o se realiza darse a un aro Resolución ningún de 3% corte metros de longitud para tener pedazos de *Corte 2*Corte 3*Corte !*Corte 5m 5m 5m 5m 5 metros de5m longitud1 E5m a) " b) # 25m c) ( e realiza :or 9
Rpta.
10./Cu0ntos cortes deben darse a una soga de !8 metros de largo para tener pedazos de " metros de largo1 a) " b) # c) (
!8 m "m
* de cortes necesari :ara nuestro problema$
* Corte
igura cerrada >ongitud total
5
* de partes
Resolución
e desea 9. cercar un terreno en 9orma de tri0ngulo equil0tero de lado 35m. Hallar cu0ntos se necesita si la longitud de estaca a estaca es de #m. a) % b) " c) 5
>ong. 'otal >ong. +nitario
e) 2
I 5 2 cortes
12.+n oalatero tiene una
1
4
?ntes de pasar a resolver el problemaE veamos algunos$
3m
3m
plantarlas a lo largo de un terrenoE las estacas se plantan cada 5 metrosE el largo del terreno es de " B "%% de 0rboles metros1 3 3
De la 9igura$
tomarlas
Resolución
:er7metro & ! 8 & #2 metros >ongitud unitaria & ( metros e deduce que$
8 m apenas
empez< su reposo asta que culmin<1
8 m
8 m
Resolución
8 m
"m
3m
B detipo 0rboles :ara este de problemaE ( no ! 3 interesa 3mnos saber la altura del 0rbol.
3m (m
* &
de
estacas
) #e *r+oles
* de estacas
!on !
* de estacas
>uegoE para el problemaE tenemos que$
E
* de 0rboles Convertimos los KFmK a KmK
* de 0rboles
E5
% Rpta. 14./Cu0ntas estacas de 2 metros de alturaE se necesitan si se trataE de
>ongi >on
"%% 5
* de estacas ! Rpta.
15./Cu0ntas estacas se necesitan para cerrar un terreno en 9orma de cuadrado cuyo lado es de 8 metrosE si las estacas se colocan cada ( metros1 Resolución
$% #e pastillas&
perimetro
2nter(alo pa
se 3
longitud unitaria * de pastillas
Por fórmula:
Jeneralizamos $
:ara este tipo de problemasE se aplicar0 la siguiente 9
>a 9ongitud 'otal o :er7metro. ustituyendo los datos mencionados
Recuer#a ,ue:
semana # d7as semana # 2! or * de pastillas
* de pastillas 5#
72 4stacas
* de & & 98 Rpta. 16. /Cu0ntas pastillas tomar0 un en9ermo durante una semana que est0 en camaE si toma una cada 3 oras y empez< a
# 2! 3
Rpta.
>a 12. campana de mi pueblo anuncia la ora tal que en tres campanadas transcurren ! segundos. /Cu0nto tiempo m0s tarda en anunciar las ( de la noce
5
que anunciar seis de tarde1 a) " s b) 2 s c) 3 s d) 5 s e) 8 s
en las la
2- 3- 5
* 2* 5 n@) !
?
n?
:robabilidad$ n?) 3 2 n) "
Como$ * de intervalos *
L ? las " a.m. 3 ) !s " )
% s L ? las ( p.m. !s
2
c)
" s L di9erencia$
" %
>a
1. ?l lanzar un dado. /Cu0l es la probabilidad de obtener un número primo1 2
b)
3
! e) 5
c) d) "
Resolución Casos
totales$
- 2- 3- !- 5- "
n) "
e) !
4laboramos diagrama$
C C
5 ! 3
C C !
2
piden$
:er. ) Dado ! 3
n ) 3" 4ventos$ ?$
* 2* * primo
n?) 2
2
- 2- 3- !- 5- "
C-
:B 3) y :cara)
:robabilidad
!
5
Rpta. ! 5. e lanza 2 dados legales simult0neame nte. /Cu0l es la probabilidad de obtener 8 puntos < la di9erencia de ambos dados sea 31
os
a)
3"
3 ( c) 2 d) ( 3 e) 3"
b)
"
4. ?l lanzar una moneda y un dadoE /cu0l es la probabilidad de obtener en número mayor
3 " 2
4spacio muestral$
un
"
2
3
Resolución
2do. Dado
3 23
Resolución
3. ?l lanzar 2 monedas untasE /cu0l es la probabilidad de obtener en ambasE sello1 a) ! b) 3 c) 25 d) 3! e) 2
Resolución
Pro$a$ili#a#es
@)
! 3"
y
Rpta.
"s R
pta.
a)
! d) (
:?
3 2 3
b)
@) !
:? @) 2 3"
Rpta. 2. i se lanzan dos dados simult0neament e. /cu0l es la probabilidad de obtener una suma igual a un número primo o que la suma sea 51 a)
que 3 McaraN1 a) b) c) ! d) e) 3!
@$
n?) 3
Resolución
3 ) ( )
Casos 9avorables$
"
Resolución o o
5 !
o o
3
o
2
o
2
3
!
5
"
2
6
:( ?)
? = p0gina que te
5%O
=
Rpta.
? = %E2%E3%E.......E
?P = pagina que n
n ) 3" ? $ 8 puntos
n
@ $ Di9erencia 3
n
n? @) % :? @)& 5 " 3" 3" Rpta. 3"
Resolución: 4perimento aleatorio$ lanzar un dado 4spacio muestral$
E2E3E!E5E"
n( )
=
"
? = E3E5 :( ?)
=
3
=
n( ? ) n( )
1
a) 2
b) 4 c)
1
1
d) 3 e) 5 Resolución: CCC-CC-CCDe donde$ n( ) = 8
? = CCCE
:( ?)
=
2= ! 8
Rpta. 8.?l abrir un 9olleto de %% p0ginasE calcular la probabilidad que al observar sta p0gina no termine en cero. a)
9 5
d) 9 n.a.4
Casos 9avorables$
n( ? )
1
=
6. 4ncontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar. a) 2%O b) !%O c) 5%O d) 3%O e) n.a.
=
7.?l lanzar tres monedas al aire. /Cu0l es la probabilidad de que las tres sean iguales1
b) c)
9 6
=
=
: ( ?P)
= - : (
1 ( ?P) :
=
6 Rpta.
11 50
De donde$
n ( ) = %%
5
b) 5 c) 36
4
5
11
" 5 ! 3 2
e)
C ! :robabilidad = 10 8 C! 9
Rpta.
do
2 3 ! 5 " 2 dado 11 40) n(
8 #
=
3" - n ( ? )
: ( 8 puntos) 5 3"
Resolución
:robabilidad =
e)
Resolución
b) 11 c) 102
d) 100 n.a.
%2
5
d) 26 n.a.
10
9.+na casa est0 con9ormado er por ni,os y dado # ni,asE si se escoge ! estudiantes al azar ./Cual es la probabilidad que todos sean ni,os1 a)
a)
9
:robabilidad =
E 2E 3 E ! .
?)
: ( ? P) = - % %%
e)
Resolución
3 = %E5 "
4ntonces$
10. e lanzan dos dados al aire simult0neament e. /Cu0l es la probabilidad de obtener 8 puntos1
=
5
=
Rpta.
11.:ara una ri9a se venden 2% cupones- ;ario compra dos cuponesE si se o9recen dos premios. /Cu0l es la probabilidad de que obtenga solo uno de los premios1 a)
9 5
9 4
b) 9 10 c)
9
7
d) e) n.a. Resolución
13.4n una urna se tiene ! bolas de color rooE " bolas de color verde y 8 bolas de color azul. /Cu0l es la probabilidad de que al etraer una bola sea de color verde o azul1
% C2 :robabilidad = 2% C2
:robabilidad = ( %
Rpta.
12.e tiene una caa con 3 bolas roasE 5 bolas blancas y ! bolas verdes. Determinar cu0l es la probabilidad de que se etraiga una bola roa < blanca. a) 2 3
d)
1 3
a)
d) 7 n.a.
=
P ( 1 !la"ca ) =
Gerde < azul
n( ? )
3 2 =
5 12
: ( roa < blanc : ( roa) + : ( blan 3+ 5 = 8 = 2 2 2 Rpta.
número sea mayor a ! se tendr0.
=
2 2 2 2 2
=
" :!%
=
"Q = 5 !Q2Q
:( ?)
=
n( ? ) n( )
:( ?)
=
n ( 5? )
e)
=
" + 8 = !
: ( verde < azul )
: ( verde < azul) # (
Rpta.
:iden$
2 3
n( )
7
9
T
>uego$ P ( A ) donde ? es sacar una bola cuyo
permutaci
'otal de bolas$ n( ) = ! + " + 8 =
F
:ara cada moneda se tiene dos probabilidades.
n( ? )
9
=
C?R:=R@?@>4
? = obtener ! caras
Resolución 4
7
H '
" ! ! ! !C?R:RS@>4 !! # ! ! ! ! ! !8 2 ....... ! 5 ....... 2% !!2 ! !3
=
5 "!
5 "!
Rpta.
Resolución
: ( roo )
e)
Resolución
b) 7 c) 2
7 9
b) 5 9 c) e)
d) 15 13 n.a.
14.e arroan " monedas. /Cu0l es la probabilidad de obtener ! caras y dos sellos1 a) 15 b) 15 64 c) 16
=
=
15.4n una caa ay 2% bolas numeradas del al 2%E se etrae al azar una bola /Cu0l es la probabilidad que el numero de la bola etra7da sea mayor a !1 a) 5O b) 3%O c) 2%O d) 3"O e) 2!O
Resolución 15
Del31enunciado.
:( ? )
=
:( ? )
=
3%O
casos9aborab casosdes9abora %E3 = Rpta.
16.Rco amigos uegan al gol9E 5
personas
3( 2 )
=
=
:( ? )
=
:( ? )
=
:C ( " )
"6
>uego$ ea ?$ :robabilidad de que gane un oven.
:( ? )
4l total de 9ormas de sentarse " personas alrededor de un centro est0 dada por.
casos9aborabl casosposible
5
5 5 + " =
5
Rpta. 17.eis personas se sientan al azarE alrededor de una 9ogata /Cu0l es la probabilidad que 3 personas ocupen lugares continuos1 a) %E3 b) %E! c) %E# d) %E( e) %E" Resolución
=
5Q = 2%9o
:ero deseando que se cumpla el evento ?$ 3 personas ocupan lugares continuos. e consider< que las 3 personas 9orman un solo elementoE lo que indicar7a que ay ! elementos a permutar circularmente.
:C ( ! )
=
3Q = "9ormas
:ero cada una de estas 9ormas cambiara según se altere la 9orma como las tres personas se sientanE y esto ser0$
:3
=
3Q = "9ormas
Habr0 entonces
" T" = 3"9ormas di9erentesE para que se cumpla el evento M?N >uego$
:( ? )
=
3" = 2% %E3
:
=
Rpta.
:=
C 32" TC 2" 2 52 C5
=
"25 !((8
"25 !((8
Rpta. 19. e escogen al azar 3 reloes de 5E de los cuales " son de9ectuososE se,ale la probabilidad de que se aya escogido 2 reloes de9ectuosos. 14 a) 40 #( b) 2#( c) 3#!3 d) #!3 e) 3%#
una 18.De baraa de 52 cartas se etraen al azar 5 cartas. Determine la probabilidad de que 3 de ellas sean negras y las otras no. a) 13 b) 1625 40 c) 499 d)
25
e) 111
60
117
Resolución De los 5 reloes se deben escoger 3E el número de 9ormas de escoger ser0$
Resolución De las cartas$ 2" son negras 2" son roas >uegoE elegir 5 cartas de 52 se tendr7a.
5 T! T3 = = C 5 3 T2 T3
52
C 2 ormas di9erentes aora. 4scoger 3 cartas negras$ 4scoger 3 cartas roas$ 4l total de 9ormas ser0$ Donde$
26
C 3
:ero de estas 9ormas encontremos aquellos en que aya 2 de9ectuosos.
26
C 2
26
C3
!!2!!3 2D4H4C'+RR 4 46 SJ4 D4 "
26
TC
2
3reloes !!2!!3 +R R 4 D4H4C'+RR D4 (
8
blancaE celeste y amarilla respectivame nte se tendr0. 4l total de 9ormas ser0$
C "2 TC (
=
T" T5 T TT2 T T T
:( @ )
:( @ )
=
=
Hormasdeetr Hormasde
5 = %E5 :roba s %
(
inalmente$
: = 35 = 2# T !55 ( :
2# = (
Rpta. 20.+na caa contieneE 5 bolas blancasE 3 bolas celestesE 2 amarillas- se etrae aleatoriament e una bola. Determine la probabilidad de que sea blanca o amarilla. a) E2 b) %E( c) E d) %E# e) E%
?dem0s$ 4$ etraer una bola blanca o una amarilla no ambas) E
=
B TA
:ero solo se puede etraer una bola blanca o una amarilla no ambas) on mutuamente ecluyentesE luego$
:( 4 )
:( @T? )
=
=
e,alamos como @E C y ? los eventos de etraer una bola
+
Hallando$
:( ? )
=
2 = %E2 %
=eemplazando$
:( :TC )
=
%E5 + %E2 =
( :robabilidaddeque inalmente$
Resolución
:( @ )
%E5 + %E# = Rpta.
E2