¿Qué es una magnitud escalar? Es una magnitud que solo se describe con la cantidad mediante un número y una unidad, Ejemplo de magnitudes escalares son la temperatura, la energía, etc., Estas magnitudes se diferencian de las cantidades vectoriales porque estas ultimas además de la cantidad requieren que se de la dirección y el sentido. ¿Qué es una magnitud vectorial? Es una magnitud que se describe con tres características cantidad, dirección y sentido. En algunos textos la cantidad también se le llama magnitud o intensidad. Ejemplo de magnitudes vectoriales son la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc. Su representación se realiza mediante una flecha que muestra las tres características.
La anterior grafica representa una cantidad vectorial cualquiera donde se pueden observar las tres características. r = cantidad q = dirección el sentido lo indica la flecha
Vectores en R2 y R3 Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R 2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3). En R2: 1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2,
entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). 2. el producto escalar se define por: sea α Є R
y a un vector en R2 ,
entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2). Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
(a1 + b1, a2 + b2) a
b
Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.
α a a
Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a. En R3: 1. la suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces a
+ b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). 2. el producto escalar se define por: sea α Є R
y a un vector en R3 ,
entonces αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3). Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó
, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es: a ∙ b = = (a1 ∙ b1 + a2 ∙ b2 + a3 ∙ b3 + … + an ∙ bn). Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero. Ejemplo (para discusión): Halla el producto interno de: 1. a = (1, 1) y b = (1, -1) en R2
2. a = (3, 5) y b = ( 6, 10) en R2 3. a = (2, -3, 6) y b = ( 8, 2, -3) en R3 4. a = (1, -2, -3) y b = (2, -5, 4) en R3
Definición: Sea a = (a1, a2, a3, …, an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = . Esto es:
a = a = a ⋅ a = a12 + a 22 + a32 + ... + a n2 Ejemplos (para discusión): Calcula la norma de: 1. a = (2, 2) en R2 2. a = (1, 3, -2) en R3
Notas: 1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal
coinciden, se dice que el vector no tiene dirección. 2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que:
║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║. 3. Ejemplo para discusión: Sean a = (1, 5) y b = (3, 1). Compara ║a + b║ y
║a║ + ║b║. Definición: Sean a y b vectores en Rn, donde a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). La distancia entre a y b representada por d(a, b) está definida por:
d (a, b) = (a1 − b1 ) 2 + (a 2 − b2 ) 2 + (a3 − b3 ) 2 + ... + (a n − bn ) 2
Ejemplos (para discusión): Halla la distancia de: 1. a = (1, 7) y b = (6, -5) en R2 2. a = (3, -5, 4) y b = (6, 2, -1) en R3
Ejercicios: 1. Halla el producto interno a ∙ b de:
a) a = (3, -5, 2) y b = (4, 1, -2) b) a = (1, -8, 0, 5) y b = (3, 6, 4, 0)
c) a = (3, -1) y b = (2, 4) 2. Halla el valor de k para que los vectores a = (1, k, -3) y b = (2, -5, 4) sean
vectores ortogonales. 3. Halla la norma de los siguientes vectores: a) (2, -7) b) (3, -12, -4) 4. Determina el valor de k tal que ║a║ = √39 si a = (1, k, -2, 5). 5. Un vector unitario a es un vector cuya norma (longitud o magnitud) es 1.
1 3 , 2 2 es un vector unitario. Verifica si el vector 6. Halla la distancia entre:
a. (1, 5) y (1, 1) en R2 b. (3, 4, 5) y (2, 3, 5) en R3 c. (-2, -1, 2) y (-5, 1, 2) en R3 7. Halla el valor de k tal que d(a, b) = 6 si a = (2, k, 1, -4) y b = (3, -1, 6, -3). 8. Demuestra que ║a║2 = siendo a un vector en Rn. 9. Demuestra que = , donde a y b son vectores en Rn.
