Fase 4: Ciclo de la tarea 2 Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Jhonathan De Jesús Serna Donado Código: 1042433489 No. De Grupo: 208046_3
Nombre Tutor/a Vivian Yaneth Álvarez
Universidad Nacional abierta y a Distancia Algebra Lineal E-Learning Fecha 16 Abril 2018
Actividades a desarrollar
1. Resuelva este punto fundamentado en la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y en los métodos de reducción de Gauss-Jordan y eliminación gaussiana, referencie la fuente de dónde toma la información: a. Defina qué es un sistema de ecuaciones lineales: Respuesta: El sistema de ecuaciones lineales son un conjunto de
ecuaciones, siendo de primer grado definidas sobre un anillo conmutativo
-
Con solución única. Respuesta: El sistema de ecuaciones lineales cuando tiene una única
solución el sistema es compatible determinado.
-
Con un número infinito de soluciones. Respuesta: El sistema de ecuaciones lineales cuando tiene un numero de
infinitas soluciones el sistema es compatible Indeterminado.
-
Sin solución. Respuesta: El sistema de ecuaciones lineales cuando no tiene solución el
sistema es Incompatible. - Consistente. Respuesta: Si un sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una
solución, se dice que es
consistente.
- Inconsistente. Respuesta: Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución, se dice
que es inconsistente.
b. Mencione cual es la diferencia entre los métodos de reducción de GaussJordan y eliminación gaussiana.
Respuesta: La diferencia es que en la eliminación Gaussiana, se hacen ceros debajo
de la diagonal principal, y entonces queda la última incógnita que se despeja inmediatamente, después se va a la penúltima ecuación que ha quedado y se despeja la penúltima incógnita y así sucesivamente. El método de Gauss-Jordan continua haciendo operaciones de suma de filas haciendo que por encima de la diagonal principal también haya ceros con lo cual queda una matriz diagonal y las incógnitas se despejan sin más que que hacer una división. Yo prefiero el método primero, es muy pesado ir escribiendo la matriz tantas veces y en esta página aun más.
c. Si es posible, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, de 3 incógnitas por 3 ecuaciones, por eliminación gaussiana y diga los valores que toma cada variable. Compruebe sus resultados reemplazando dichos valores en las ecuaciones iniciales y por medio del software Geogebra*. Respuesta:
− +3 + =0 =1 − =−3
1⋮0 [−101 −101 0⋮−3 3⋮1 ] −1[ 0 01 1⋮0 −1 0 1⋮0 ]3+1→3[ ] 3⋮1 0 1 3⋮1 1 −1 0⋮−3 −1 0 01⋮0−1 1⋮−3 3+2→3[ 00 10 4⋮−2 3⋮1 ] − +3+=1 =0
4 =−2 =− 24 =− 12 +3− 12=1 =1+ 32 = 52 − +− 12=0 =− 12 −512 = 21 −2
d. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.
Un nuevo comerciante de teléfonos celulares decide vender únicamente 3 referencias americanas, una gama baja (A), una gama media (B) y otra de gama alta (C). En los meses de octubre, noviembre y diciembre se venden 2, 6 y 5 celulares respectivamente de la gama baja; 1, 1 y 2 celulares respectivamente de la gama media; y 4, 5 y 3 celulares de gama alta para cada uno de dichos meses. Si las ventas de octubre totalizaron 3.050 USD, las de noviembre 4.750 USD y las de diciembre 3.900 USD, ¿cuál es el precio unitario en dólares de los celulares de cada gama? *Nota: En el entorno de aprendizaje práctico se encuentran los manuales, guías,
tutoriales y el link del programa libre Geogebra. Anexar al desarrollo del punto, los pantallazos de las verificaciones. Respuesta:
Octubre
Noviembre
Diciembre
Gama baja (a)
2
6
5
Gama media (b)
1
1
2
Gama Alta (c)
4
5
3
Del problema: 2a + b + 4c = 3050 6a + b + 5c = 4750 5a + 2b +3c = 3900 Se escribe el sistema de ecuaciones en forma de matrices y se resuelve por el método de eliminación de Gauss-Jordan 2 1 4 3050
6 1 5 4750 5 2 3 3900
1- línea se divide en 2 1 0,5 2 1525 6 1
5 4750
5 2
3
3900
De 2 líneas se sustrae 1 línea, se multiplica por 6; de 3 línea se sustrae 1 línea, y multiplica por 5 1 0,5 2 1525 0
-2
-7 -4400
0 -0,5
-7 -3725
2- línea se divide en -2 1
0,5 2 1525
0
1 3,5 2200
0
-0,5 -7 -3725
De 1 línea se sustrae 2 línea, se multiplica por 0.5; a 3 línea se suma 2 línea, se multiplica por 0.5 1 0 0,25 425
0 1 3, 5
2200
0 0 -5,25 -2625
3- línea se divide en -5.25 1 0 0,25 425 0 1 3,5 2200 0 0
1
500
de 1 línea se sustrae 3 línea, se multiplica por 0.25; de 2 línea se sustrae 3 línea, se multiplica por 3.5 1 0 0 300 0 1
0 450
0 0
1 500
a = 300 b = 450 c = 500 RESPUESTA:
Gama baja (a) Gama media (b)
⇒ ⇒
300 dolares 450 dolares
Gama Alta (c)
⇒
500 dolares
2. Con base en los conceptos estudiados sobre rectas en R3, responda: a. En una ecuación de recta dada, se han de identificar fácilmente un punto conocido y un vector director, así, si se dan las coordenadas de un punto P de una recta y se conoce la ecuación paramétrica de una segunda recta, sabiendo que las dos rectas son paralelas, ¿que comparten en común dichas rectas? b. Dado el punto
=1,5,−1 −36 = −45 = −49
, que pertenece a la recta L1 y la ecuación
paramétrica de la recta L2:
Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L1, sabiendo que L1 y L2, son paralelas. 3. Con base en los conceptos estudiados sobre rectas en R3, responda: a. Dados dos puntos cualquiera en el plano, se requiere el hallar un vector a partir de estos puntos para poder así determinar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas. ¿Qué nombre recibe el vector hallado a partir de los puntos dados? Relacione con claridad una fuente de consulta comprobable que argumente la respuesta. b. Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos D y G:
= 2,−3,4 = 1,5,−1 4. Desarrollar los siguientes ejercicios propuestos: a. Dados los siguientes planos:
Determinar el valor de a) Paralelos.
{ 2 –+42+– 63 –+15 == 00 para que sean:
b) Perpendiculares. Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
b. Sean las siguientes expresiones:
= 3
=0 =3 =
Recta Constante
Punto en el espacio
=0 =3 =0
Punto en el espacio
=0 =0
Punto en el origen
= = =0
Punto en el espacio
= =
Línea en el espacio
a) Describa a qué corresponden (plano, recta, etc.) y represente gráficamente cada una de ellas en el plano x,y,z. b) Compruebe sus resultados gráficamente mediante el uso de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
