✎ Pruebas unilaterales y bilaterales Prueba unilateral Prueba de hipótesis con muestra grande n≥30, acerca de una media de la población para una prueba unilateral de la forma: H0:μ≥μ0 H1:μ<μ0 Estadístico de prueba:σconocida. Z=x-μ0σn Estadístico de prueba: σ desconocida z= x-μ0sn Una prueba de una cola o unilateral para la media poblacional tiene una de las dos formas siguientes. Prueba de la cola Prueba de la cola inferior (o izquierda) superior (o derecha) H0:μ≥μ0
H0:μ≤μ0
H1:μ<μ0
H1:μ>μo
Pruebas unilaterales sobre la media de una población. La forma general de una prueba, es la siguiente: Prueba de hipótesis con muestra grande n≥30, acerca de una media de la población para una prueba de la forma: H0:μ≥μ0 H1:μ<μ0 Estadístico de prueba:σconocida z= x-μ0σn Estadístico de prueba: σ desconocida z=x-μ0sn Regla de rechazo a un nivel de significancia ∝
Rechazar H0 si z<-z∝
rechazar H0 Una segunda prueba unilateral rechaza la hipótesis nula cuando el estadístico se encuentra en el extremo o cola superior de la distribución muestral. Prueba de hipótesis para una prueba grande n≥30, acerca de un promedio de población para una prueba unilateral de la forma: H0: μ≤ μ0 H1: μ>H0 Estadístico de prueba: σ conocida z=x-μ0σn Estadístico de prueba: σ desconocida z=x-μ0sn Regla de rechazo a un nivel de significancia ∝ Rechazar H0 si z>z0
∝ Rechazar H0
✔ Ejemplo:
La comisión Federal de Comercio lleva a cabo estudios periódicos para probar las afirmaciones que hacen los fabricantes acerca de sus productos. Por ejemplo, la etiqueta de una lata grande de café Cumbre dice que ese envase contiene, cuando menos, tres libras de café Cumbre dice que ese envase contiene, cuando menos, tres libras de café. Supongamos que deseamos comprobar esta aseveración mediante la prueba de hipótesis.
De Café Cumbre se selecciona las siguientes hipótesis nula y alternativa: H0: μ≥3 H1:μ<3 Con la prueba grande n≥30 Desviación estándar de la población σ=.18 Nivel de significancia ∝=.01 n=36 x=2.92 Estadístico de prueba: z= x-μσn z= 2.92-3.1836=-.08.03= -2.66 Con el nivel de significancia ∝=.01 se tiene una prueba de -2.33 que será nuestro punto crítico (notificar con la tabla de Valores críticos de Z en las pruebas de hipótesis) H1 hipotesis alternativa
H0Hipotesis Nula
-2.66 De acuerdo a las reglas que se mencionaron antes, se rechaza la hipótesis nula, ya que entra en la zona de rechazo, en donde se acepta la hipótesis nula. Por lo que nuestra conclusión queda así:
Se rechaza la hipótesis nula ya que no cumplen con la afirmación de que cada envase contiene cuando menos 3 libras de café y los fabricantes no cumplen con sus afirmaciones y con el contenido que dicen sus etiquetas.
✍ Ejercicio: De acuerdo con la Asociación Nacional de Vendedores de Automóviles, la media del precio de los automóviles usados es de $10,192 dólares. Un gerente de una agenda de automóviles usados en la cuidad de Kansas reviso en su establecimiento una muestra de 100 ventas. El precio de la media de la muestra fue de $9300 dólares y la desviación estándar de la muestra fue de $4500 dólares. Si μ representa la media del precio de la población de automóviles usados en esa agencia, pruebe la hipótesis: H0:μ≥10,192 H1:μ<10,192 Con un nivel de significancia .05. Hipótesis nula y alternativa: Con la prueba grande n≥30 Desviación estándar de la muestra s=4500 n=100 x=9300 Estadístico de prueba: z= x-μσn z= 9300-101924500100=-892450= -1.98 Con el nivel de significancia ∝=.05 se tiene una prueba de -1.645 que será nuestro punto crítico (notificar con la tabla de Valores críticos de Z en las pruebas de hipótesis)
-1.98 Conclusión:
Se rechaza que el promedio del precio de los automóviles sea mayor que $10,192 dólares, el gerente que realizo la prueba debe de estar seguro que la afirmación nula que se hiso es aberrante y que puede considerar o aceptar que el precio de los automóviles usados es menor que $10192 dólares.
Prueba bilateral La pruebas bilaterales difieren de las unilaterales en que la región de rechazo esta simultáneamente en las colas o extremos inferior o superior, de la distribución muestral. Debe rechazar H0 para valores del estadístico que caigan en la cola inferior o en la cola superior de la distribución de la muestra. A esto se le llama prueba bilateral de hipótesis. Pruebas bilaterales sobre la media de una población. La forma general de la prueba bilateral de hipótesis respecto a una media de población es la siguiente: Sea μ0 el valor de la media en las hipótesis. Prueba de hipótesis con muestra grande n≥30 respecto a una media de población para una prueba bilateral de la forma: H0:μ= μ0 H1:μ≠μ0 Estadístico de prueba: σ conocida z= x-μ0σn Estadístico de prueba: σ desconocida z= x-μ0sn Regla de rechazo a un nivel de significancia α Rechazar H0 si z<-zα2 o si z>zα2
La prueba de hipótesis por intervalos Para llevar a cabo la prueba de hipótesis, en el caso de la media de población, la prueba bilateral de hipótesis tiene la forma H0:μ= μ0
H1:μ≠μ0 En donde μ0 es el valor supuesto de la media de población. Al aplicar la regla de rechazo originada con la ecuación vemos que la región donde no rechaza H0 comprende todos los valores de la media x que están entre los errores estándar -zα2 y+zα2 de μ0. En consecuencia, la región de no rechazo para la media de la muestra x en una prueba bilateral de hipótesis con nivel de significancia α se expresa por μ0±zα2σn Cuando se conoce σ μ0±zα2sn Cuando σ se desconoce.
H1
H0
H1
✔ Ejemplo: La Asociación Americana de Golf ha establecido reglas que deben cumplir los fabricantes de equipos de golf para que sus productos se acepten en los eventos de USGA. Una de las reglas, para la fabricación de las pelotas de golf, dice: “una marca de pelota de golf, al probarse en l aparato aprobado por la USGA en el campo de la USGA… no debe de llagar a una distancia promedio mayor , en el aire y en el rodamiento, que sea de 280 yardas”. Suponga que Sperflight, Inc., acaba de desarrollar un método da fabricación con alta tecnología que puede producir pelotas de golf para alcanzar una distancia promedio de 280 yardas. Dio como resultado la siguiente prueba bilateral. H0 : μ=280 H1:μ≠280 Apara probar esta hipótesis: Con un nivel de significación α=.05, Se muestrearon n=36 pelotas Se determino una media de la muestra para la distancia x=278.5 yardas Desviación estándar de la muestra s=12 yardas
Sustituyendo estos resultados con zα2 ---- 1.96 x±zα2sn =278.5±1.96 1236 =278.5 ±3.92 274.58 a 282.42 275,283
278.5 H1
H0
H1
Se acepta con un 95% de confianza, la medida de la distancia para la población de pelotas de golf está entre 275 y 283 yardas. La conclusión de la prueba es que no se puede rechazar la hipótesis nula Ho :μ=280
✍ Ejercicio: LA oficina de Análisis Económico, del departamento de Comercio en Estados Unidos, informo que la media del ingreso anual de un residente de Carolina del Norte es de $18,688 dólares. Un investigador de Carolina del Sur desea probar: H0 : μ=18688 H1:μ≠18688 Apara probar esta hipótesis: Con un nivel de significación α=.05, Se muestrearon n=400 residentes Se determino una media del ingreso anual x=16860 dólares Desviación estándar de σ=14624 dólares Sustituyendo estos resultados con zα2 ---- 1.96 x±zα2sn
=16860±1.96 14624400 =16860 ±1433.152 15,427 a 18294 15427,18294
16860 H1
H0
H1
Anexo: Tabla de Valores críticos de Z en las pruebas de hipótesis.
Nivel de significancia
5%
1%
Tipo de prueba Unilateral +1.645 -1.645 +2.33 -2.33
Bilateral ± 1.96
±2.58
