Proyecto semestral: Teoría Teoría de Control Control I. Profesor: Dr. Dr. Ignacio Ignacio Chang.
DISEÑO DE UN CONTROLADOR DE TEMPERATURA PARA UN DEPÓSITO. Luis Alberdas1, Ví!"r Ca#$"s 1, %uber!" MLea& 1, 'e&ar" Le(a&"1, M)&ia Mira&da *.1 1
Licenciatura en Ingeniería Electromecánica – Sede Central – Universidad Tecnológica de Panamá
Pr"ble#a+ Sea un depósito de base cuadrada con lados de !" m de longitud interior como el de la #igura $! %ic&o depósito se alimenta con un caudal ' 1 de un lí'uido a temperatura constante T1 ( tiene una salida in)erior* por la 'ue )lu(e un caudal ' s a la temperatura T* 'ue se supondrá &omog+nea para todo el lí'uido del depósito! El depósito tiene un calentador de tipo resistivo ( presenta unas p+rdidas calorí)icas 'ue se supondrán proporcionales a la di)erencia de temperatura T,T e ( a la super)icie lateral! La base está su)icientemente aislada ( se suponen despreciables las p+rdidas por la super)icie del lí'uido! Se desea controlar la temperatura -'u+ re'uiero para lograrlo. !
Suposiciones! 1! Las p+rdidas p+rdidas calorí)icas calorí)icas del del calentador calentador son proporcion proporcionales ales a la trans)erenci trans)erenciaa de calor debido a la di)erencia de temperaturas del e/terior con el depósito a trav+s de las paredes laterales! $! Se desprecia desprecia la trans)erencia trans)erencia de de calor a trav+s de la base base ( la super)i super)icie cie del lí'uido! 0! La temperatura temperatura de salida salida T* T* es &omog+ne &omog+neaa para todo el lí'uido lí'uido del depósit depósito! o! %atos! %ato
alor
Te 2t 2 temperatura e/terior3 T1 2t 2 temperatura de entrada del lí'uido3 8 2resistencia del calentador3 ; 2densidad del lí'uido3 Cp 2Calor especí)ico3 = 2cte 2cte!! de tdc tdc a las las par pared edes es del del dep depós ósit ito3 o3 B b 2á 2área de la base3 BL 2área de las paredes del depósito3
$4C 07C *$9 : 1 g
alor en unidades del sistema internacional $50*1" 6 00*1" 6 *$9 : 1 =g?*> @<=g 6 $?1*?A" @
Tabla 1. Constantes dadas para la resolución del problema* en unidades del sistema internacional!
Punto de e'uilibrio! %ato
alor
2oltae en la resistencia3 D1 2Caudal de entrada3 & 2ivel de lí'uido en el depósito3
1 *" l m
Tabla . alores alores especí)icos para el punto de e'uilibrio del sistema!
alor en unidades del sistema internacional 1 *" m0 m
Blberdas* L!* Campos* !* FcLean* G!* LeHcano* !* Firanda* F!J %iseKo de un Controlador de Temperatura para un %epósito!
%e acuerdo a la recomendación brindada por el pro)esor* las ecuaciones del sistema deben serJ 1! Ecuación de continuidad del caudal! $! Ecuación de continuidad de la presión 2ernoulli3! 0! Ecuación de conservación de la energía! M estas deben ser linealiHadas en torno al punto de e'uilibrio* es por ello 'ue primero se procederá a desarrollar cada una de las ecuaciones solicitadas! 1! Ecuación de continuidad del caudal! dh ( t ) =Q1 ( t )− Qs ( t ) 213 A b dt $! Ecuación de continuidad de la presión 2ernoulli3! Q s ( t ) =k 1 √ h ( t ) 2$3 0! Ecuación de conservación de energía! 2 V ( t ) dT ( t ) dh ( t ) =Qs ρ c p ρT ( t ) +k T (t )−T e A L + ρ c p Ab h ( t ) + ρc p Ab T ( t ) Q 1 ( t ) ρ c p T 1 + R dt dt
[
]
203 LinealiHación en torno al punto de e'uilibrio!
- Cálculo de la temperatura de salida en el punto de e'uilibrio! Para el punto de e'uilibrio* se tiene 'ue el caudal de salida será igual 'ue el de entrada de la ecuación de continuidad de caudal 213! 3
m Q 1=Qs = 0,0005 s
Sustitu(endo en la ecuación 2$3* se encuentra el valor de = 1* asíJ Qs k 1= √ h 3
k 1=
m 0,0005 s
( 0,8 )
0,5
=5,5902 x 10−4
B&ora al reemplaHar los datos conocidos en la ecuación de conservación de energía 203* se tiene lo siguiente! 2
V Q 1 ρ c p T 1 + =Qs ρ c p ρT + k [T −T e ] A L R 3
m ( 0,0005 s
2
( 100 V ) J )( 1000 3 )( 4186,8 )( 303,15 K )+ kg K 0,24 Ω m kg
m =(0,0005 s
3
)( 1000
kg m
)( 4186,8 3
(
J ) T + 26 kg K
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(
634614,21W + 41666,667 W = 2093,4
2512,08
)
W + 418,68 W T −122736,042 W K K
W T = 799016,92 K T pe =318,15 K = 45 °C
- LinealiHación de las ecuaciones 1,0!
0,25 ´h=Q 1− Qs 213 −4
Qs= 6
125 x 10 Q 1+
5,5902 x 10 2 ( √ 0,8 )
−4
h=3,1250 x 10
h
2$3
2500 6250 46875 1250 31250 25000000 dT 6 + 468 V =187,5 x 10 Qs + T + h+ T − h+ 3 3 2 3 3 3 dt
30000 Q1+ 0,2 V = 45000 Qs + 0,5 T + 5,625 h + 0,1 T −2,5 h + 200 ´ T + 11250 h´
Bl aplicar trans)ormada de Laplace a la e/presión anterior se obtieneJ 30000 Q1 ( s ) + 0,2 V ( s )=45000 Q s ( s ) + 0,6 T ( s ) + 3,125 H ( s ) + 200 sT ( s ) + 11250 sH ( s ) 30000 Q1 ( s ) + 0,2 V ( s )=45000 Qs ( s ) + ( 0,6 + 200 s ) T ( s ) +( 3,125 + 11250 s ) H ( s )
Se aplica trans)ormada de Laplace a las ecuaciones linealiHadas de continuidad 1 ( $! 0,25 s H ( s )= Q 1 ( s )−Q s ( s ) −4
Q s ( s )=3,1250 x 10 H ( s ) Una veH se tienen las ecuaciones se procede a elaborar el diagrama de blo'ues* obteniendo lo siguienteJ
Blberdas* L!* Campos* !* FcLean* G!* LeHcano* !* Firanda* F!J %iseKo de un Controlador de Temperatura para un %epósito! -iura 1. %iagrama de blo'ues con todas las variables del sistema!
Como se solicita la )unción de trans)erencia de T2s3
-iura . %iagrama de blo'ues con las variables de inter+s para el sistema en cuestión el caudal de entrada ( la temperatura de salida!
%e este diagrama de blo'ues se obtiene la )unción de trans)erencia!
T ( s ) + = 15000 s 31,28 Q1 ( s ) ( 0,6 + 200 s )( s + 0,00125 ) %el problema se solicita &acer un diagrama de blo'ues de un sistema de control realimentado negativamente suponiendo 'ue T
-iura /. %iagrama de blo'ues para un sistema con las especi)icaciones solicitadas* realimentación negativa* la planta ( el controlador!
Para el diseKo de un controlador* de acuerdo a lo estudiado en clases es necesario* dibuar el lugar de las raíces para así saber 'u+ tipo de control se necesita!
1. Determinar el número de raíces. 75 s + 0,1564 2
−6
s + 0,00424 s + 3,75 x 10
De acuerdo al grado del polinomio es posible determinar el número de raíces. Este sistema tiene 2 raíces.
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2. Inicio y fnal de las trayectorias. Inician en los polos de lazo abierto, con una ganancia de K= y terminan en los ceros de lazo abierto con una ganancia K N. !olos de lazo abierto"K=# $eros de lazo abierto"K N# %1=&,' (1=&,21 %2=&,1' )n cero en el infnito
Tabla /. Polos ( ceros para el sistema!
'. *rayectorias sobre el e+e real.
-iura 0. Fapa de polos ( ceros para la planta del sistema!
. )bicaci-n de los ceros infnitos. $uando el lugar geomtrico de las raíces tiende a infnito "z / 0# lo ace en orma asint-tica "en línea recta#. $3lculo de las asíntotas
¿ asíntotas=¿ Poos−¿ Ce!os=2 −1=1 " m=
" 0=
( 2 m+ 1) # =# P− $
( 2 ( 0 )+ 1 ) # = # 2− 1
$omo es obser4able en el trazado de polos y ceros, la asíntota est3 en 156. $omo no ay lugar entre dos polos y7o ceros, no es necesario el c3lculo del punto de ruptura, las raíces del 89: ser3n el lugar entre el cero y el segundo polo, y la segunda ser3 la asíntota de 15 ;ue 4a desde el polo &,' asta el cero en el infnito, obteniendo el siguiente resultado.
Blberdas* L!* Campos* !* FcLean* G!* LeHcano* !* Firanda* F!J %iseKo de un Controlador de Temperatura para un %epósito!
-iura . L%8 de la planta del sistema!
El sistema re'uiere un controlador 'ue consiga 'ue el sistema cumpla con las siguientes especi)icacionesJ Especi)icación Fá/imo sobre impulso Tiempo de estabiliHación Error de posición
omenclatura Fp Ts e p
alor < >
Tabla 0. Especi)icaciones 'ue debe cumplirse al aKadir el controlador!
En base a estos valores se calculan los 'ue serán los nuevos polos dominantes del sistema! −&#
% p=e
'd
(5
( )=ln (0,05 ) −&#
ln e
'd
−&# = ln ( 0,05) 'd
Con el tiempo de establecimiento* utiliHando el criterio generaliHado se puede encontrar el valor de la atenuación!
# t s= ( # s & & *1 B&ora es posible calcular Od* para así tener los polos dominantes! ' d=
−# =1,0487 ln ( 0,05 )
Los nuevos polos dominantes seránJ P + =−1 , 1,0487 - !
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B&ora se ubican los polos dominantes en el plano del L8!
-iura 2. Ubicación de los polos dominantes en el plano compleo del L%8 de la planta!
Como se puede observar* los polos no pertenecen al lugar de las raíces es por ello 'ue precisa de acción derivativa* no basta con un regulador proporcional* por consiguiente* se austará el L%8* utiliHando el criterio del argumento para 'ue este pase por los polos dominantes* para así* veri)icar si se cumple con la condición del error!
.c ( s ) = K R
s+ c s + d * con cd!
Para el valor del cero* c* se aplicará el segundo criterio 'ue dice 'ue se sitQa el polo c cancelando el segundo polo* siendo esto así* cR,*0! En el caso del polo d* entonces se aplica el criterio del argumento!
-iura 3. Es'uema de polos ( ceros para la aplicación de la condición angular!
Se procede a calcular los argumentos de cada polo ( de cada cero! 180=
∑ / −∑ "
Blberdas* L!* Campos* !* FcLean* G!* LeHcano* !* Firanda* F!J %iseKo de un Controlador de Temperatura para un %epósito! −1
" 1=180− tan − 1 1,0487
/ 1=180− tan
0,9979
− 1 1,0487
/ 2=180− tan
0,997
1,0487 =133,601 ° 0,9987
=133,578 ° =133,552 °
( / + / ) −( " + " ) =180 1
2
1
2
( 133,578+ 133,552 )−( 133,601+ " 2 )=180 " 2=46,471 ° −1
" 2=tan (
1,0487
d
)= 46,471 °
(¿ 46,471 °)= 1,0527 1,0487
d
= tan ¿
d =0,9962 Para calcular el valor de la ganancia se aplicará el criterio del móduloJ
s
(¿ ¿ 2 + 0,00424 s +3,75 x 10−6)( s + 0,9962 ) K R ( 75 s + 0,1564 )( s + 0,003 ) ¿ ¿ ¿ ¿ s
(¿ ¿ 2 + 0,00424 s + 3,75 x 10−6)( s +0,9962 ) ( 75 s + 0,1564 )( s + 0,003 ) ¿ ¿ K R =¿ ¿
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s
(¿ ¿ 2 + 0,00424 s + 3,75 x 10−6)( s +0,9962 ) ( 75 s + 0,1564 )( s + 0,003 ) ¿ ¿ K R =¿ ¿ K R = 0,01398 =0,014 . c ( s ) =0,014
(
s + 0,003 s + 0,9962
)
B&ora* es momento de veri)icar si al aKadir la acción derivativa el sistema cumple con las condiciones re'ueridas!
s
(¿ ¿ 2 + 0,00424 s + 3,75 x 10−6)( s + 0,9962 ) 0,014 ( 75 s + 0,1564 ) ( s + 0,003 ) ¿ ¿ ¿ K p= lim ¿ s 00
e p=
1 1+ k p
=0,36254 =36,254
El sistema evidentemente no cumple con lo solicitado (a 'ue el error es muc&o ma(or* por ende* es necesario un regulador con acción integral* es decir* necesitaremos un controlador PI%* de la )orma a continuación!
. c ( s ) =0,014
( )( s+ a s+b
s + 0,003 s + 0,9962
)
%onde ba* donde a ( b* serán cercanos entre sí ( para encontrar a* se tomará como criterio 'ue a será un se/to del valor de los polos dominantes deseados en cadena cerrada al ee imaginario* para 'ue el L%8 no varíe considerablemente! a=
1 =0,1667 6
En cuanto a b* se toma de )orma 'ue veri)i'ue la especi)icación estática!
e p=0,05 = K p=19
1 1 + K p
Blberdas* L!* Campos* !* FcLean* G!* LeHcano* !* Firanda* F!J %iseKo de un Controlador de Temperatura para un %epósito!
s (¿ ¿ 2 + 0,00424 s + 3,75 x 10−6)( s + 0,9962 )( s + b ) 0,014 ( 75 s + 0,1564 ) ( s + 0,003 ) ( s + 0,1667 )
¿ ¿ ¿ K p= lim ¿ s00
b = 0,01542 %ando por consiguiente la )unción de trans)erencia para el controladorJ
. c ( s ) =0,014
(
s + 0,1667 s + 0,01542
)(
s + 0,003 s + 0,9962
)
El lugar de las raíces para el sistema se puede observar en la )igura al igual 'ue la simulación para el sistema en cuanto al r+gimen transitorio!
-iura 4. Lugar de las raíces para el sistema inclu(endo el controlador!
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-iura 5. Simulación del sistema para la respuesta real en el r+gimen transitorio!
