12. VALVULAS DE CONTROL 12.1. INTRODUCCION Los componentes de un lazo de control por retroalimentación son además del proceso, el sensor/transmisor de la variable de proceso, el controlador y el elemento de control final. Este último es un dispositivo construido para que ejecute la acción ordenada por el controlador y, según algunas características del proceso como el estado de los materiales que se manejan, se utilizan diferentes mecanismos como un motor eléctrico o una válvula automática de control. A continuación se describe la dinámica de una válvula de control, las consideraciones usuales y las características que la especifican
12.2 DESCRIPCION DE DE UNA VALVULA VALVULA DE CONTROL CONTROL La Figura 12.1 muestra un esquema simplificado de una válvula de control neumática donde se aprecia que es un mecanismo formado, esencialmente, de un bloque de masa W en lb, un resorte de constante de elasticidad de Hooke, K en lbf /pie, y un mecanismo de amortiguación viscoso desarrollado entre la masa que se mueve y el fluido que atraviesa la válvula.
Figura 12.1. Válvula de control neumática
Esquemáticamente, una válvula de control se describe como un mecanismo compuesto de dos partes denominadas, el actuador y el cuerpo de la válvula. El
262
actuador es la parte superior o carcasa que encierra al diafragma y el resorte adjunto, con el diafragma conectado al vástago. El cuerpo de la válvula o asiento es el bloque a través del cual se mueve el líquido desde la entrada hasta la salida con un flujo que depende del tamaño de la abertura permitido por el vástago y su plomada. Se deduce de la Figura 12.1, que cuando se produce un cambio en la presión sobre el área diafragmática, el vástago se desliza junto con la plomada ensamblada en su extremo y se efectúa un cambio en el tamaño de la abertura a través de la cual se permite el paso de un fluido desde la entrada hasta la salida de la válvula. Es decir, la magnitud del flujo del fluido a través de la válvula depende de la fracción de la abertura total disponible.
12.3 Acción de una Válvula de Control Control (Posición de Falla) Al especificar una válvula de control, la primera pregunta que debe hacerse el energía? . Esta pregunta ingeniero es ¿Qué debe hacerse con la válvula si falla la energía?. se relaciona con la Posición la Posición de Falla o con la Acción de la Válvula . La principal consideración al responder esta pregunta es, o debería ser, la seguridad. Es decir, decidir si ante una falla de energía la posición más segura de la válvula es que se coloque en una situación completamente cerrada o completamente abierta. Cuando la posición más segura de la válvula es la completamente cerrada, el ingeniero debe especificar una válvula de Falla Cerrada (Fail-Closed, FC). En este tipo de válvula, el mecanismo requiere que se le suministre energía para que abra, razón por la cual también se le llama Válvula de Aire para Abrir (Air-toOpen, AO). AO). La Figura 12.2a muestra un esquema de una válvula de falla cerrada
(a)
(b)
Figura 12.2. Válvulas de (a) Falla Cerrada y (b) Falla Abierta
263
La Figura 12.2b muestra una válvula de Falla Abierta (Fail-Open, FO), es decir, para cuando lo mas seguro es que la válvula, ante una falla energética, se encuentre completamente abierta. En este tipo de válvula, el mecanismo requiere que se le suministre energía para que cierre, razón por la cual también se le llama Válvula de Aire para Cerrar (Air-to-close, AC)
12.4 Capacidad de una Válvula de Control El tamaño de una válvula de control se especifica por la capacidad del flujo de fluido que permite a través de la abertura del asiento en el cuerpo de la válvula. Como quiera que una válvula de control es, simplemente, un orificio con área de flujo variable, los principios básicos que regulan el flujo a través de un orificio facilitan las fórmulas para calcular el flujo de fluido a través de una válvula de control. Estas ecuaciones han sido deducidas según que el fluido se encuentre en fase líquida o vapor y se conocen procedimientos para el cálculo del flujo cuando se tiene una mezcla bifásica de líquido y vapor
Capacidad de una Válvula de Control: Flujo de Líquido El flujo de una corriente líquida a través de una válvula de control se calcula con la siguiente ecuación
f = C v
∆ p s G f
(12.1)
Siendo f , el flujo de líquido, en U.S. gpm, ∆ p s , la caída de presión a través de la válvula en psi, G f , la gravedad específica del líquido a las condiciones del flujo y C v, el factor de capacidad o coeficiente de la válvula La ecuación (12.1) se puede transformar en la forma de la ecuación (12.2) para el cálculo del flujo másico a través de la válvula en lb/h, mediante las conversiones correspondientes, así:
w = 500C v G f ∆ P s
(12.2)
264
Capacidad de una Válvula de Control: Flujo de Fluido Compresible Los fabricantes de válvulas de control facilitan las ecuaciones que aplican para calcular la capacidad cuando se trata del flujo de un fluido compresible. Aunque estas ecuaciones parezcan algo diferentes a la aplicada para un fluido incompresible, es importante observar que ellas se derivan de la ecuación para líquidos. Simplemente, incluyen las conversiones de unidades y las correcciones para la densidad con relación a la temperatura y presión. Es importante observar que el coeficiente de la válvula es el mismo ya sea que utilice para un servicio líquido o gaseoso. A continuación se presentan las ecuaciones propuestas en los catálogos de la “Masoneilan” y “Fischer Controls”, dos empresas constructoras de válvulas de control.
Fórmulas de la Masoneilan El catálogo de válvulas de control de la “Masoneilan” facilita la siguiente fórmula para calcular el flujo volumétrico de un gas o de vapor de agua en pie3/h, a condiciones estándares de 1 atmósfera y 60ºF
f s = 836C v C f
p1 GT
( y − 0.148 y 3 )
(12.3)
Para calcular el flujo másico de gas o vapor, en lb/h
w = 2.8C v C f p1 G
520 T
( y − 0.148 y 3 )
(12.4)
Para calcular el flujo másico de vapor de agua
w = 1.83C v C f
p1 (1 + 0.0007T SH )
3 ( y − 0.148 y )
Siendo, f s = flujo volumétrico de gas, sfch (= pie3/h, a 14.7 psia y 60 ºF)
(12.5)
265
G = gravedad específica del gas con respecto al aire ( Se calcula dividiendo el peso molecular del gas por 29, el peso molecular promedio del aire) T = temperatura del fluido a la entrada de la válvula, ºR C f = factor de flujo crítico. El valor numérico de este factor se encuentra en el intervalo entre 0.6 y 0.95. p1 = presión a la entrada de la válvula, psia w = flujo másico del gas, lb/h T SH = grados de sobrecalentamiento, ºF
El término “y” expresa los efectos de la compresibilidad sobre el fluido, tiene un valor máximo de 1.5, y se define por la ecuación
y =
Siendo,
1.63
∆ p v
C f
p1
(12.6)
∆ p v = p1 − p 2 , la caída de presión a través de la válvula, psi p 2 = presión a la salida de la válvula, psia
Cuando la relación entre la caída de presión a través de la válvula y la presión de entrada es de un valor pequeño, el flujo de gas es, aproximadamente, incompresible y proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión. Las ecuaciones (12.3) a (12.5) muestran lo anterior, porque cuando “y” es de un valor pequeño, la función y − 0.148 y 3 ≈ y
Fluido Incompesible: Flujo Chocado El flujo chocado es un flujo límite máximo. Se observa cuando, manteniendo constante la presión de entrada a la válvula se disminuye la presión de salida para aumentar el flujo, es decir, cuando la relación entre la caída de presión a través de la válvula y la presión de entrada aumenta. El flujo chocado ocurre como resultado de la vaporización de una corriente líquida cuando la presión dentro de la válvula disminuye por debajo del valor de la presión de vapor del líquido. En la condición de flujo chocado se observa o cavitación o vaporización espontánea. Si la presión de salida es mayor que la presión de vapor del líquido, se produce cavitación. Si la presión de salida es menor o igual que la presión de vapor del líquido, ocurre vaporización. La relación entre el flujo y la caída de presión en una válvula típica es la mostrada en la Figura 12.3
266
Figura 12.3 Perfil del Flujo con respecto a la caída de presión
Esta condición de máxima velocidad se conoce como de Flujo Crítico y en tal circunstancia el flujo es independiente de la presión de salida y de la caída de presión a través de la válvula. Las ecuaciones (12.3) a (12.5) también muestran lo anterior, porque cuando el valor de “y” se aproxima a su máximo de 1.5, la función y − 0.148 y 3 ≈ 1.0 . Cuando esto sucede, el flujo es proporcional a la presión de entrada.
Factor de Flujo Crítico El factor de flujo crítico, C f , es un factor empírico que tiene en cuenta el perfil de la presión en la válvula cuando el flujo es crítico. Obsérvese que este factor se cancela en las ecuaciones (12.3) a (12.5) cuando la relación de la caída de presión a la presión de entrada a la válvula es de un valor pequeño, es decir, cuando el término 0.148 y 3 es despreciable. El factor, C f , depende del tipo de válvula y, en algo, de la dirección del flujo, debido a que los patrones de flujo en la válvula afectan el perfile de la presión y por lo tanto a la densidad del gas. “Masoneilan” facilita en su catálogo sobre válvulas de control los valores de los factores de flujo críticos para sus diferentes tipos de válvulas
Fórmulas de la Fisher Controls La fábrica “Fisher Controls” introduce dos nuevos coeficientes en sus ecuaciones para calcular la capacidad de una válvula para un servicio con fluido compresible: C g y C 1. El primero determina la capacidad de flujo de gas de la válvula mientras que el segundo es, funcionalmente, el mismo factor C f incluido
267
en la fórmula de la Masoneilan. El factor C 1 se define como C g / C v y su valor depende del tipo de válvula en un intervalo entre 33 y 38. La fórmula de la “Fisher” para calcular el flujo volumétrico de gas a través de la válvula es:
f s = C g
59.64 ∆ p v 520 p1 sin GT C 1 p1
(12.7) rad
Todos los símbolos son los mismos de las fórmulas de la Masoneilan y el argumento de la función seno debe limitarse a π / 2 radianes, valor para el cual el flujo es crítico. Para utilizar el argumento de la función seno en grados en vez de radianes, se reemplaza el valor 59.64 radianes por su equivalente de 341.7º en la ecuación (12.7). Al aplicar este cambio, el argumento de la función seno se limita a 90 º
Capacidad de una Válvula de Control: Método HYSYS Para la estimación de la capacidad de una válvula de control HYSYS incluye tres métodos diferentes denominados Cv, Cg o k (la ecuación de resistencia típica). Si se selecciona el método Cv o Cg se pueden especificar dos de los siguientes parámetros, para definir completamente a la válvula: C1. K m, Cv y Cg. Si se especifica C1 no pueden especificarse el K m y viceversa. Si es deseado, un solo parámetro de la válvula puede especificarse y HYSYS calcula los otros parámetros a partir de las condiciones de la corriente y de la válvula estimadas previamente. HYSYS dispone del recurso para que el usuario indique si desea que se calcule la capacidad de la válvula. El valor por defecto de C1 es 25. Los métodos Cv y Cg calculan el flujo a través de una válvula utilizando la siguiente ecuación:
f (lb / h) = 1.06C g
ρ (lb / pie
3
59.64 ∆ p v cpfac (12.8) p C 1 1 rad
) P 1 sin
268
Siendo,
cpfac =
0.4839
2 γ 1 +
1 − γ =
γ γ −1
C p C v
K m = 0.001434C 1 C 1 =
C g C v
(12.9)
(12.10) (12.11) (12.12)
HYSYS calcula la capacidad de la válvula para cuando la válvula esté completamente abierta. Si la válvula se encuentra 100 % abierta, entonces, el valor es mas pequeño que si la válvula se encuentra 50 % abierta a las mismas condiciones. Si se selecciona el método k, se puede o especificarlo o calcularlo a partir de las condiciones de la corriente y de la válvula. HYSYS dispone del recurso para que el usuario le indique si desea que se calcule la capacidad de la válvula. El método k calcula el flujo a través de la válvula utilizando la siguiente ecuación:
f = k Densidad )( Abertura de Válvula)( P 1 P 2 )
(12.13)
El término “Abertura de Válvula” depende del tipo de válvula y del porcentaje que esté abierta.
12.5 Coeficiente de una Válvula, Cv: Tamaño de una Válvula Para regular un flujo, la capacidad de una válvula de control varía desde cero, cuando la abertura está cerrada, a un máximo cuando está completamente abierta, es decir, cuando la fracción de abertura de la válvula es uno o 100 %. La capacidad de flujo de una válvula de control se determina por su “ Factor de Capacidad o Coeficiente de la Válvula, C v, que es una constante específica de una válvula que depende de sus características, principalmente, tipo y tamaño. Por definición, el coeficiente de una válvula es el flujo en U.S. galones por minuto (gpm) de agua que fluyen a través de la válvula con una caída de presión
269
de 1 psi. Por ejemplo, una válvula con coeficiente de 30, permite el flujo de 30 gpm de agua con una caída de presión de 1 psi. Las fórmulas presentadas en la sección anterior son útiles para estimar el flujo a través de una válvula de control y son utilizadas por los ingenieros y fabricantes para especificar el tamaño de las válvulas de control. Si se requiere para un servicio líquido, se debe conocer el flujo a través de la válvula, la caída de presión y la gravedad específica del líquido. Si se requiere en el servicio para un fluido compresible se necesita, además, la presión y la temperatura de entrada y el peso molecular del fluido. Con esta información, el ingeniero debe aplicar la fórmula apropiada facilitada para el fabricante para calcular el coeficiente de la válvula. Conocido el coeficiente de la válvula, el ingeniero selecciona una válvula que sea lo suficientemente grande para el servicio, utilizando como fuente el catálogo de válvulas de control del fabricante. Generalmente, el valor calculado del coeficiente de la válvula se encuentra entre dos tamaños diferentes, en tal caso debe seleccionarse la más grande. Al estimar el tamaño de la válvula para un nuevo servicio, se calcula para el flujo a través de la válvula en condiciones de diseño estacionarias y para la caída de presión que corresponde a dicho flujo y que se denomina Flujo Nominal ( f ) Entonces la fórmula para estimar el tamaño de una válvula para un servicio líquido es:
C v = f
G f
(12.14)
∆ p v
Siendo ∆ p v , la caída de presión a través de la válvula, en psi, cuando el flujo es el nominal, en gpm. El coeficiente de la válvula debe ser mayor que el calculado con la ecuación (12.14), porque si el objetivo de la válvula es regular el flujo debe tener la capacidad suficiente para cuando el flujo aumente con respecto al flujo nominal. Se define, entonces, el denominado Factor de Sobrecapacidad de la Válvula, como la relación entre el coeficiente de la válvula completamente abierta al coeficiente de la válvula a flujo nominal, es decir,
Factor de Sobrecapacidad de la Válvula =
C v. max C v
(12.15)
270
Los factores de sobrecapacidad típicos son 1.5 (para 50 % de sobrecapacidad) y 2.0 (para 100 % de sobrecapacidad) Algunas veces, el ingeniero de control debe escoger la caída de presión a través de la válvula a flujo nominal; una decisión que a menudo hace en colaboración con el ingeniero de proceso. La caída de presión a través de la válvula corresponde a la pérdida de energía en el proceso y debe ser tan baja como sea posible, pero rara vez menor que 5 psi. Caídas de presión mayores se requieren cuando la caída de presión en la línea y equipos en serie con la válvula es alta.
Flujo Bifásico: Cv La “Masoneilan” incluye en su catálogo las siguientes fórmulas para calcular el Cv de una válvula para servicio bifásico: Para corriente de entrada compuesta de líquido y gas no condensable
C v =
w 44.8 ∆ pv ( w1 + w2 )
(12.16)
Para corriente de entra compuesta de líquido y su vapor
C v =
Siendo,
(12.17)
63.3 ∆ pv w1
w, flujo en lb/h ∆ pv, caída de presión en psi w1 , peso específico corriente de entrada, lb/pie 3 w2 , peso específico corriente de salida, lb/pie 3
wi =
Siendo,
w
1 vi
=
1 x g (v gi − v f ) + v f
vi, el volumen específico pie3/ lb xg, fracción en peso del gas o vapor
(12.18)
271
v gi , peso específico del gas o vapor, pie 3/lb v f , peso específico del líquido, pie3/lb
12.6 Tipos de Válvulas de Control (Características de Flujo) El coeficiente de una válvula de control depende de la abertura o posición, x, de la válvula. Varía desde cero cuando la válvula está cerrada a un valor máximo, Cv, max, cuando la válvula está completamente abierta, es decir, cuando la fracción que indica la posición de la válvula es uno. Esta variación en el Cv es lo que le permite a la válvula regular, continuamente, el flujo. La función matemática que relaciona el coeficiente de la válvula con la posición de ella se conoce como la Curva característica de la válvula. Los fabricantes de válvulas pueden darle la forma a la Curva característica de una válvula mediante el arreglo de la forma como cambia el área del orificio de la válvula con la posición de la válvula. Los tres tipos de válvulas mas comúnmente utilizadas son las denominadas de Abertura Rápida, Lineal e Igual Porcentaje
Válvula de Tipo Abertura Rápida La válvula de abertura rápida no es útil para la regulación de flujos porque la mayor parte de la variación del coeficiente de la válvula se realiza en el tercio inferior del desplazamiento de la válvula. Se desarrolla muy poca variación en el coeficiente de la válvula en un tramo considerable del recorrido de la válvula. Las válvulas de abertura rápida son apropiadas para válvulas de alivio y para sistemas de control de dos posiciones. Las válvulas de alivio deben permitir un flujo muy grande, tan rápido como sea posible para prevenir sobre presiones en recipientes de procesos y otros equipos. Los sistemas de control de dos posiciones trabajan o cerradas funcionan para facilitar flujo completo o impedir totalmente el flujo. No regulan el flujo para valores entre los dos extremos. La Figura 12.4 muestra las curvas características de tres tipos de válvulas muy comunes denominadas de Abertura Rápida, Lineal e Igual Porcentaje. Las dos últimas son los tipos de válvulas, utilizados mas comúnmente para regular flujo de fluidos
Válvula de Tipo Lineal Una válvula es de tipo lineal si la relación entre el factor de capacidad y la posición o abertura es lineal. Por lo tanto, la función para una válvula de características lineales es:
272
C v = C v,max x
(12.19)
Figura 12.4. Curvas características de una válvula de control
La válvula de característica lineal produce un coeficiente proporcional a la posición de la válvula. A una abertura, por ejemplo, del 50 % el flujo a través de la válvula es el 50 % de su flujo máximo. Las válvulas de características lineales se utilizan en procesos lineales y en casos en los cuales la caída de presión a través de la válvula no cambia con la variación en el flujo.
Válvula de Tipo Igual Porcentaje Una válvula de igual porcentaje tiene la propiedad de que iguales incrementos en la abertura de la válvula producen iguales aumentos relativos o en porcentajes en el coeficiente de la válvula. Es decir, cuando la abertura de la válvula aumenta, por ejemplo, en 1 % desde el 20 % hasta el 21 %, el flujo aumenta en la misma fracción que cuando la válvula aumenta su abertura en 1 % desde 60 % hasta 61 %, pero el flujo tiene un mayor valor a una abertura del 60 % con respecto al flujo a una abertura del 20 %. La característica descrita anteriormente se establece mediante una relación entre el factor de capacidad y la abertura de la válvula con la siguiente expresión
273
C v ( x) = C v,maxα x−1
(12.20)
Donde α, es el parámetro denominado “Rangeability” al que puede asignársele valores de 25, 50 o 100, siendo 50 el mas común. La característica de tipo igual porcentaje no se ajusta a la ecuación (12.20) en la región inferior próxima a la posición cerrada, porque la función exponencial no puede predecir un flujo de cero para una posición cero en la válvula. En efecto, predice un coeficiente C v ,max / α a una posición cerrada de la válvula, es decir, para x = 0. Por lo anterior, la curva característica actual se desvía de la función exponencial en el 5 % del tramo inferior. Para alcanzar un control con un desempeño uniforme, el lazo de control debe tener una ganancia constante. Una válvula de tipo lineal es la única que puede aparecer con solo una ganancia constante. Sin embargo, la mayoría de los procesos químicos son no lineales y pueden mostrar una disminución en la ganancia cuando aumenta la carga sobre ellos. Para tales procesos, es muy útil una válvula de igual porcentaje porque ésta puede aumentar el valor de su ganancia cuando se aumenta su abertura, (Figura 12.4). Hasta cuando se considere el controlador, es el producto de las ganancias de la válvula, el proceso y el sensor/transmisor el que debe mantenerse constante. La selección del tipo de válvula correcto para un proceso requiere de un análisis detallado de las características o personalidad del proceso. Sin embargo, varias reglas de dedo gordo basadas en la experiencia, ayudan a tomar tal decisión. En resumen, se puede decir que la válvulas lineales se utilizan en procesos lineales cuando la caída de presión a través de ellas no cambia con el flujo. Las válvulas de igual porcentaje son, probablemente, las más comunes. Ellas se utilizan, generalmente, cuando la caída de presión a través de la válvula varía con el flujo y con procesos en los cuales la ganancia disminuye cuando el flujo a través de la válvula aumenta
“Rangeability” La “Rangeability” es una especificación estrechamente asociada con el tipo de válvula y se define como la relación entre el flujo máximo controlable y el flujo mínimo controlable. Es, por lo tanto, una medida de la amplitud de los flujos de operación que la válvula puede controlar. Debido a que el flujo debe estar siempre dentro de los límites de control, estos flujos no pueden determinarse cuando la válvula se encuentra en los extremos de su recorrido. Una forma, muy
274
común, para definir el flujo máximo y mínimo es en las posiciones del 95 % y 5 % abiertas, es decir que:
Rangeabili ty =
Flujo a 95% Abierta Flujo a 5% Abierta
(12.21)
Otra definición utiliza las posiciones del 90% y 10% abiertas. Si la caída de presión a través de la válvula es independiente del flujo, el flujo a través de la válvula es proporcional a su coeficiente Cv. Entonces, se puede calcular la rangeability de la válvula, de acuerdo al tipo de válvula en cuanto a sus características de flujo Para una válvula lineal, se tiene que la rangeability es de 19. Esto se deduce aplicando la ecuación (12.16) para valores de x del 95 % y del 5% y relacionándolas de acuerdo a la definición (12.21) Para una válvula de igual porcentaje, el valor de la rangeability depende del valor del parámetro α. Para un valor de α de 25 la rangeability es de 18; para un valor de α de 50 la rangeability es de 34; y para un valor de α de 100 la rangeability es de 63. Estos valores se obtienen aplicando la ecuación (12.20) y la definición de rangeability dada por la ecuación (12.21) Para una válvula de abertura rápida se estima que la rangeability es, aproximadamente, de 3. Esta valor bajo para la rangeability es una razón que explica la poca utilidad de las válvulas de abertura rápida para la regulación de un flujo
12.7 Características de una Válvula Instalada Cuando la caída de presión en la línea y en el equipo en serie con una válvula es significativo comparado con la caída de presión a través de la válvula, la caída de presión a través de la válvula varía con el flujo a través de ella. Esta variación en la caída de presión ocasiona que la variación del flujo con la posición de la válvula sea diferente de la variación del coeficiente de la válvula dado por las características de flujo inherentes de ella. Para el desarrollo de un modelo para las características de flujo de una válvula instalada, considere un sistema como el mostrado en la Figura 12.5, en el cual la válvula se encuentra conectada en serie con un intercambiador de calor, representando una serie de resistencias al flujo.
275
Figura 12.5 Sistema en serie de Válvula e Intercambiador de Calor
Se introducen dos consideraciones básicas en el modelo, a saber.
• La caída de presión en la línea y en el intercambiador en serie con la válvula, ∆ p L , varía con el cuadrado del flujo.
• La caída de presión total en el sistema, ∆ p o , es independiente del flujo. Esta caída de presión total suministra el diferencial de presión disponible a través de la válvula más el de la línea y el intercambiador. La primera de las consideraciones es válida cuando el flujo es turbulento, que es el régimen de flujo más común en los equipos de los procesos químicos. Se puede determinar la caída de presión total, estimando la caída de presión a través de la válvula cuando se encuentra completamente cerrada, porque entonces el flujo y, consecuentemente, la caída de presión por la fricción en la línea y en el intercambiador es cero. Considérese que la caída de presión a través de la línea, accesorios e intercambiador en serie con la válvula, en psi, se calcula con la ecuación:
∆ p L = k L G f f 2
(12.22)
Siendo, f , el flujo a través de la válvula y la línea, en gpm k L, el coeficiente de fricción constante para la línea accesorios, e intercambiador, en psi/(gpm)2 G f , la gravedad específica del líquido
La caída de presión a través de la válvula se calcula con la ecuación (12.1)
∆ pv = G f
f 2 C v2
(12.23)
276
La caída de presión total es la suma de las dos caídas de presión:
1 ∆ p o = ∆ p v + ∆ p L = 2 + k L G f f 2 C v
(12.24)
Resolviendo la ecuación anterior para el flujo
f =
C v
∆ p o
1 + k L C v2
G f
(12.25)
La fórmula (12.25) es el modelo matemático para las características de flujo instalada de una válvula en un servicio líquido. Se observa que si la caída de presión en la línea es despreciable, entonces k L = 0, ∆ p o = ∆ pv y la ecuación (12.25) es la misma (12.1). En este caso, las características de flujo de la válvula instalada son las mismas inherentes porque la caída de presión a través de la válvula es constante. El coeficiente de fricción se calcula con la caída de presión a través de la línea en condiciones de flujo nominal, es decir
k L =
∆ p L G f f
(12.26)
2
Para obtener las características de flujo instaladas de una válvula como una fracción del flujo máximo, primero se obtiene el flujo máximo a través de la válvula aplicando la ecuación (12.25)
f max =
C v ,max
∆ po
1 + k L C v2,max
G f
Y, finalmente, se divide la ecuación (12.25) por la ecuación (12.27)
(12.27)
277
f f max
=
C v
1 + k L C v2,max
C v ,max
1 + k L C v2
(12.28)
Se observa que el flujo máximo a través de la válvula, f max, es independiente de las características inherentes de la válvula, mientras que las características de flujo de la válvula instalada y normalizadas son independientes de la caída de presión total a través del sistema, ∆ po . En efecto, para una válvula con una capacidad dada, las características de flujo instalada y normalizada y, consecuentemente, su rangeability dependen solamente del coeficiente de fricción en la línea, k L, y de las características inherentes de la válvula
12.8 DINAMICA DE UNA VALVULA DE CONTROL En la sección 5.5 se demuestra que la dinámica de una válvula de control es de segundo orden con la presión que se ejerce sobre el diafragma de la válvula como variable de entrada y el desplazamiento del vástago y sus accesorios como variable de salida. La constante de tiempo, el coeficiente de amortiguamiento y la ganancia de la válvula son parámetros que dependen de la masa del sistema vástago y accesorios, el área del diafragma de la válvula, la constante de Hooke del resorte y el coeficiente de amortiguamiento viscoso. Algunas características de las válvulas son facilitadas por los fabricantes en el sentido de especificar las simplificaciones que hagan que las dinámicas de sus válvulas sean de primer orden o de solo ganancia
Ganancia de una Válvula de Control Es decir, que si la variable de entrada a la válvula es la señal de salida del controlador en porcentaje de salida del controlador (% CO) y la variable de salida de la válvula es el flujo de salida de ella, entonces la ganancia de la válvula se define como
K v =
df gpm , dm %CO
(12.29)
Utilizando la regla de derivación en cadena, se puede mostrar a la ganancia de la válvula como el producto de tres términos que relacionan la dependencia de la
278
posición de la válvula con la salida del controlador, la dependencia del Cv con la posición de la válvula y la dependencia del flujo con el valor de Cv.
df dx dC v , dm dx dC v
K v =
(12.30)
La dependencia de la posición de la válvula es, simplemente, la conversión de la salida del controlador en porcentaje a la fracción correspondiente a la posición de la válvula, pero el signo depende de si la válvula es de falla cerrada o de falla abierta.
dx dm
=±
1 fracción de x %CO
100
(12.31)
El signo positivo se utiliza cuando la válvula es de falla cerrada y el signo negativo se asigna cuando la válvula es de falla abierta La dependencia del Cv con la posición de la válvula depende de las características inherentes de flujo, así:
Válvula Lineal:
dC v dx
Válvula de Igual Porcentaje:
= C v. max dC v dx
= (ln α )C v. maxα x−1 = (ln α )C v
(12.32) (12.33)
Donde la función exponencial se ha linearizado. Finalmente, la dependencia del flujo con el Cv es función de las características de flujo instalada de la válvula de control. Se considera a continuación el caso sencillo cuando la caída de presión a través de la válvula es constante y, posteriormente, el caso cuando la caída de presión es variable.
Caída de Presión Constante a través de la Válvula Cuando la caída de presión en la línea en serie con la válvula es despreciable, las presiones de entrada y salida y la caída de presión a través de la válvula son
279
constantes. Para un servicio líquido, la dependencia del flujo con el coeficiente de la válvula Cv es
df
=
dC v
∆ p v
(12.34)
G f
Entonces, la ganancia para una válvula es dada por:
K v = ±
Válvula lineal:
1 100
C v ,max
∆ p v G f
=±
f max gpm , 100 %CO
(12.35)
Siendo f max, el flujo a través de la válvula para cuando está completamente abierta. Se observa que la ganancia de una válvula lineal es constante cuando la caída de presión a través de la válvula es constante. Se puede demostrar, también, que para una válvula lineal la ganancia para un servicio líquido o gaseoso en unidades de masa es
K v = ±
wmax
,
lb / h
(12.36)
100 %CO
Válvula de Igual Porcentaje:
K v = ±
1 100
(ln α )C v
∆ p v G f
=±
ln α 100
f ,
gpm %CO
(12.37)
Se observa en la ecuación (12.34) que la ganancia para una válvula de igual porcentaje es proporcional al flujo cuando la caída de presión es constante. La ganancia para un servicio líquido o gaseoso en unidades de masa es
K v ±
ln α 100
w,
lb / h %CO
(12.38)
280
Cuando las presiones de entrada y salida en la válvula no varían con el flujo.
Caída de Presión Variable a través de la Válvula Para una caída de presión variable a través de la válvula, la derivada del flujo con respecto al coeficiente de la válvula se deduce de la ecuación (12.22) siendo, por lo tanto:
df dC v df dC v
2
=
2
1 + k L C v − C v (1 + k L C v ) −1 / 2 k L C v
∆ p o
2
G f
1 + k L C v
∆ po
2
= (1 + k L C v ) −3 / 2
(12.39)
G f
Entonces, la ganancia para una válvula con caída de presión variable según la característica de flujo es:
Válvula Lineal:
df dC v
=±
C v ,max 100
2
(1 + k L C v ) −3 / 2
∆ po
(12.40)
G f
Se observa, fácilmente, que la ganancia de una válvula lineal disminuye cuando la válvula se abre a causa del aumento en el coeficiente de la válvula a las condiciones del flujo Válvula de Igual Porcentaje:
K v = ±
ln α
K v = ±
ln α
∆ p o
C v 2 v
100 (1 + k C ) 3 / 2 L f
100 (1 + k C v2 ) L
G f
(12.41)
Se observa que la ganancia es menos variable con la abertura de la válvula, porque el término flujo en el numerador tiende a cancelar algo del efecto del término coeficiente de la válvula en el denominador, al menos hasta que la válvula esté próxima a una posición completamente abierta
