UNIVERSIDAD SANTO TOMAS PRIMER CLAUSTRO UNIVERSITARIO DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ASIGNATURA: Estática REA: Ciencias Básicas de Ingeniería Mecánica SEMESTRE: 3
C DIGO: 10106 CR DITOS ITOS:: 3
PROYECTO 3 TEMA: MOMENTO DE INERCIA Y VIGAS
Elaborado por: - Carlos Rubiano; - Cristiam Vanegas
Fecha de elaboración: Junio 07 de junio de 2013 RESUMEN
Las deflexiones en vigas es muy importante analizarlas ya que no son muy visibles pero un minimo valor puede determinar la falla de muchos elementos , lo cual es un gran problema , pero como ingenieros debemos aprender a determinar esta deflexión calcular el margen de erro y poder hallar una solución rápida como reforzar los elementos o cambiar de material , en este proyecto se utilizaron dos diferentes perfiles para poder determinar una deflexión y poder hallar la margen de error y poder hallar algunas soluciones según los ejes en los que se ubiquen ciertos elementos o perfiles.
Palabras clave: perfiles, vigas, momento de inercia, deflexión , modulo elástico , carga.
1. INTRODUCCION
La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte. 2. OBJETIVOS 2.1.
-
2.2.
Objetivo General
Obtener una medida del error que se tiene cuando representamos el comportamiento mecánico de una viga (en este caso la deflexión) por medio de modelos teóricos que involucran el momento de inercia de la sección transversal.
Objetivos Específicos
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-
Hallar la deflexión ν que va a tener un punto de la viga ubicado a una distancia x . Caracterizar el error en la obtención de la deflexión (para diferentes magnitudes de carga P) a partir de resultados experimentales. Determinar el modulo elástico del material.
3. MARCO TEORICO INERCIA:
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”.
MOMENTO
Un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un eje o punto El momento es constante, se puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza.
MOMENTO DE INERCIA:
El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al eje. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia, dependiendo de dónde se considere el eje de
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MOMENTO DE INERCIA: LA ROTACION EN LA INERCIA
Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro’’.
El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.
MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas. LA VIGA
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamientos. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.
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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/Beam_bending.png
DEFELXION DE UNA VIGA
Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta flexión y(x) está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto o rden, relativamente sencilla. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría.
Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría.
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FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la flexión (o flecha) y(x)m medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M (x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación
()
()
Además, el momento flexionante M (x) es proporcional a la curvatura, κ, de la curva elástica, ()
()
donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta, respecto de un eje llamado eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión.
DEFORMACION EN VIGAS
La deformación de una viga se suele expresar en función de la flecha desde la posición no deformada. Se mide desde la superficie neutra de la viga deformada hasta la posición original de dicha superficie. La figura adoptada por la superficie neutra deformada se conoce como curva elástica de la viga. La Fig.1 representa la viga en su estado primitivo sin deformar y la Fig. 2, la viga en la posición deformada que adopta bajo la acción de las cargas Se dice que el desplazamiento y es la flecha de la viga. Generalmente, será necesario determinar la flecha y para cada valor de x a lo largo de la viga. La relación se puede escribir en forma de ecuación, que se llama ecuación de la curva deformada (o elástica) de la viga. 3 .materiales Perfiles en aluminio . 1. Tubular cuadrado 2. Perfil en [z]
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4. ANALISIS DE DATOS
Limite elástico del aluminio :63 GPa
Perfil tubular cuadrado
Las dimensiones del perfil tubular cuadrado , con las cuales hallaremos el momento de inercia son las siguientes
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Se hacen las subdivisiones de áreas y se empieza a analizar los momentos de inercia , en este caso se utiliza el momento de inercia IX o IY xq si es simétrico será igual pero por la dirección de la carga se utilizara el IX.
Y
X
DIVISION
AREA
Xi
Yi
Δx
Δy
1 2 3
23,4 25,4 23,4
0,5 12,7 24,9
12,7 0,5 12,7
12,2 0 -12,2
0 12,2 0
̅ 1067,74 2,11 1067,74
̅ 1,95 1365,58 1,95
̅ 0 0 0
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FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 4
25,4
12,7
24,9
0
-12,2
2,11
1365,58
0
AREA: 1. 2. 3. 4.
() () () () () () () () ∑ ∑
()() ()() ()() ()()
∑ ∑
()() ()() ()() ()()
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
̅
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9. ̅ 10. ̅ 11. ̅ 12. ̅
()() ()() ()() ()()
̅ 13. ̅ 14. ̅ 15. ̅ 16. ̅
()() ()() ()() ()()
1067,74 3782,64 1067,74 3782,64
3484,80 1365,58 3484,80 1365,58
0 0 0 0
9700,76
9700,76
0
̅ () 1. 2. 3. 4.
() () () () ̅ ()
5. () 6. ()
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FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7. () 8. ()
̅ ( ) 9. 10. 11. 12.
( ) ( ) ( ) ( )
Para poder hallar la deflexión en la viga utilizamos la siguiente formula
( )
( )( )( ) ()( )( )
(() () ())
( )
En la parte practica la defelxion de la viga es: 6,860 mm | |
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()
| | | |
()
Perfil (Z)
Las medidas del perfil en Z son las siguientes con las cuales se hallaran los momentos de inercia principales .
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En este perfil se hacen subdivisiones de áreas para poder calcular los momentos de inercia , se toman cuatro áreas que son propias de las dimensiones del perfil y una adicional es la del agujero que se encuentra dentro del perfil .
3 2
4 5
Division
Area
xi
yi
Δx
Δy
Ixi
Iyi
Ixy
IX
IY
IXY
1
25
12,5
0,5
0,43
8,98
2,08
1302,08
0
2018,09
1306,7
96,535
2
20
10,5
11
2,43
-1,51
666,6
1,66
0
711,602
119,758
-73,386
3
160
15
11
-2,07
-1,51
5333
853,33
0
5697,816
1538,91
500,112
4
20
19,5
11
-6,57
666,6
1,66
0
711,602
864,95
198,14
5
25
17,5
21,5
-4,57
-1,51 12,01
2,08
1302,08
0
3608,08
1824,2
1372,14
5654,518
2093,541
Sumatorias 12747,19
∑
∑
∑ ∑
()() ()() ()() ()() ()()
()() ()() ()() ()() ()()
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FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA En este caso se utiliza el circulo de mohr para determinar los momentos de inercia principales, puesto que en este perfil la carga no fue aplicada directamente sino que se tuvo que inclinar y aplicar la carga lo que nos conlleva a momentos de inercia con ejes inclinados Y
V
U
65 ° X
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La siguiente imagen es para verificar si dan cercanos los momentos de inercia que se hallaron anteriormente
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Para poder hallar la deflexión en la viga utilizamos la siguiente formula
( )
( )( )( ) ()( )( )
(() () ())
( )
En la parte practica la defelxion de la viga es: 7,502 mm | |
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()
| | | |
()
5. CONCLUSIONES
Se puede observar una ran margen de error , se vio mas en el perfil en [z], pero se concluyo que era por dos cosas , la primera porque los ejes estaban inclinados lo cual hacia mas difícil la aplicación de una carga puntual. Mientras la maquina universal de ensayos se calibraba las primeras medidas de deflexión daban muy disersas ya después si daban y se linealizaba la grafica. Es importante conocer los márgenes de errores que se pueden presentar en una viga , lo cual tiene varias aplicaciones puesto que todas las vías son de diferente material y todo cambiara según el material Los perfiles son muy utilizados en cualquier estructura y es importante calcular los momentos de inercia ya que nos permite determinar una deflexión en una viga , y con esto podemps determinar si podemos reforzar o cambiar de material .
6. REFERENCIAS
[1]. http://wiki.ead.pucv.cl/index.php/Momento_de_Inercia. [2]. http://es.scribd.com/doc/20371333/deformacion-de-vigas-metodo-de-la-doble-integracion [3] http://www.wikihow.com/Build-a-Spaghetti-Bridge [4] http://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/bridge/basics.html
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FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA [5] Hibbeler, R. (2004) Mecánica vectorial para ingenieros. Estática (10ª Ed.). México: Prentice Hall. [6]Ayudas de programación : MD SOLID 3.5
