Universidade Federal de Campina Grande - UFCG ´lculo Diferencial e Integral III Ca ˆ nio da Silva Medeiros Professor: Luiz Anto Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Data: . . . / . . . /2009 ˜o Terceira Avaliac ¸a
1. (1.5) Encontre o momento de in´ercia em rea¸c˜ao ao eixo de uma placa fina densidade ρ(x, y) = 3, limitada abaixo pelo eixo polar e acima pelo cardi´oide r = 1 − cos(θ). 2
2
√ +y ) sobre a regi˜ao 1 ≤ x2 + y 2 ≤ e. 2. (2.0) integre f (x, y) = ln(x 2 2 x +y
3. (2.0) Expresse, como uma integral tripla, o volume da regi˜ao D limitada pelas superf´ıcies z = x2 + 3y 2 e z = 8 − x2 − y 2 . Z Z Z f (r, θ, z)dzrdrdθ sobre o cilindro reto 4. (1.5) Monte a integal iterada para calcular D
cuja base ´e a regi˜ao entre as circunferˆencias r = cos(θ) e r = 2cos(θ) e cujo topo esta no plano z = 3 − y. 5. Encontre os limites de integra¸c˜ao em coordenadas esf´ericas para integral quep calcula o volume do s´olido limitado abaixo pela esfera ρ = 2cos(φ) e acima pelo cone z = x2 + y 2 .
BOA SORTE
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG ´lculo Diferencial e Integral III Ca ´trica Turma de Engenharia Ele ˆ nio da Silva Medeiros Professor: Luiz Anto Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009 ˜o da Terceira Avaliac ˜o Reposic ¸a ¸a
1. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente Z 6Z y xdxdy 0
0
2. Encontre a ´area dentro de uma p´etala da ros´asea r = 12cos(3θ). 3. Encontre os limites de integra¸c˜ao para a integral que calcula o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3). 4. Monte como uma integral tripla o volume do s´olido limitado acima pelo plano z = x, abaixo pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro determinado pela regi˜ao no plano xy dentro da cardi´oide r = 1 + cos(θ) e fora da circunferˆencia r = 1. 5. Encontre o volume da por¸c˜ao da esfera s´olida ρ ≤ a que est´a entre os cones φ =
π 3
eφ=
2π . 3
6. Um cilindro circular reto s´olido ´e limitado pelo cilindro r = a e pelos planos z = 0 e z = h, h > 0. Expresse como integrais triplas o centro de massa e o raio de rota¸c˜ao em rela¸c˜ao ao eixo z do s´olido se a sua densidade em cada ponto varia como a distancia do ponto ao plano z = −1.
BOA SORTE!!
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã Aluno(a):___________________________ Data: 05/10/2006 Professor: Jesualdo Período: 2006.1
Terceira Avaliação 1 ~j 1. Encontre o trabalho realizado pela força F~ = √ x2 + 1 (a) ao longo do segmento de reta que liga (0, 0, 0) a (1, 1, 1). (b) ao longo da curva ~r(t) = t~i + t2~j + t4~k, 0 ≤ t ≤ 1. 2. Encontre a área da calota cortada do hemisfério x2 +y 2 +z 2 = 2, z ≥ 0, pelo cilindro x2 + y 2 = 1. 3. Uma ’gamela’ sólida de densidade constante é limitada abaixo pela superfície z = 4y 2 , acima pelo plano z = 4 e dos lados pelos pelos planos x = 1 e x = −1. Encontre o centro de massa e o momento de inércia com relação ao eixo-z. ZZ y−x cos 4. Calcule dA, onde R é a região trapezoidal com vértices (1, 0), y+x R (2, 0), (0, 2) e (0, 1). √ 5. Encontre o centro de massa de um fio de densidade δ(x, y, z) = 15 y + 2 que está ao longo da curva ~r(t) = (t2 − 1)~j + 2t~k, −1 ≤ t ≤ 1. Depois, esboce a curva junto com o centro de massa. 2 2 2 6. Determine o volume do sólido que p está dentro da esfera x + y + z = 4, acima do plano-xy e abaixo do cone z = x2 + y 2 .
1
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã Aluno(a):___________________________ Data: 21/10/2006 Professor: Jesualdo Período: 2006.1
Reposição da Terceira Avaliação 1. Um gerador de Van de Graaff pode produzir milhões de volts de eletricidade estática e grandes centelhas. Parte do gerador consiste em uma capa metálica esférica com um orifício circular feito na base. A carga total Q gerada é dada por Q = δA, onde A é a área da superfície metálica e δ é a densidade de carga por área na superfície. Suponha que a esfera pode ser representada por x2 + y 2 + z 2 = 1, e que o furo seja 1 obtido pela interseção do cilindro x2 + y 2 = com a esfera, para z < 0. Aproxime 16 −5 2 Q se δ = 1, 2 · 10 Coulombs/m (Q é dada em Coulombs e x, y e z em metros). 2. Calcule a integral
Z
0
1
Z
2−y
e(x−y)/(x+y) dxdy.
y
3. A força que atua em um pomto (x, y) do plano coordenado é dada por F~ (x, y) = (4/k~rk3 ) ~r, com ~r = x~i + y~j. Ache o trabalho realizado por F~ ao longo da metade superior do círculo x2 + y 2 = a2 de (−a, 0) a (a, 0). 4. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio a cortada por π dois planos que se intersectam ao longo de um diâmetro com um ângulo de . 6 5. Para qual valor de c o volume do elipsóide x2 +
1
y2 z2 + 2 = 1 é igual a 8π. 4 c
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 3ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010
Questão 1: (2,0 pts) Mostre que a forma diferencial na integral dada é exata. Depois calcule a integral. ( 2 ,1, 3 )
∫ 2 xzdx − 2 yzdy + ( x
2
− y 2 )dz
( 0,0,0)
a) Escolhendo uma curva que tenha como origem o ponto (0,0,0) e termine no ponto (2,1,3); r r r r b) Achando uma função potencial para o campo F ( x, y, z ) = 2 xzi − 2 yzj + ( x 2 − y 2 )k e aplicando a fórmula ( 2 ,1, 3 )
( 2 ,1, 3 ) r r F ⋅ d r = f ( x , y , z ) = f (2,1,3) − f (0,0,0) . ∫
( 0,0,0)
(0,0,0 )
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para expressar a área da superfície S dada, como uma integral dupla. Então calcule a integral. S: Porção do cone x =
y 2 + z 2 entre os planos x = 2 e x = 6
Questão 3: (2,0 pts) Use o teorema de Green para justificar a seguinte fórmula para calcular a área de uma região planar R que tem como fronteira uma curva C orientada no sentido anti-horário. Área de R =
1 xdy − ydx 2 C∫
r r Use a fórmula acima para calcular a área da região limitada pela astróide r (t ) = (sen 3t )i + (cos 3 t ) j , 0 ≤ t ≤ 2π. r r r r Questão 4: (3,0 pt) Calcule o fluxo exterior de F ( x, y, z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k através da superfície fechada S, fronteira da região delimitada pelo cilindro sólido x 2 + y 2 = 4 e os plano z = 0 e z = 1 . r r a) Resolvendo a integral de superfície ∫∫ F ⋅ n dσ ; S r r r r b) Aplicando o teorema de Gauss ∫∫ F ⋅ n dσ = ∫∫∫∇ ⋅ F dV . S
R
Questão 5: (3,0 pts) Considere f ( x, y, z ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) . Conclua que a circulação do campo vetorial − 12
r F = ∇f , em volta da circunferência x 2 + z 2 = 4 , no plano y = 0 , orientada no sentido anti-horário quando observada por cima do eixo Y, é nula. r r a) Resolvendo a integral de curvilínea ∫ F ⋅ dr ; C r r r r r b) Aplicando o teorema de Stokes ∫ F ⋅ dr = ∫∫ ∇ × F ⋅ n dσ . C
S
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ –
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 3ª Prova (A) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
∫ F ⋅ dr C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = xy i + (x2
+y2)j e C é a curva fechada simples ligando os pontos ( − 1,1) e ( 2,4) pelo gráfico de y = x 2 e voltando pelo gráfico de y − x = 2 , usando: a) A definição de integral curvilínea. b) Usando o Teorema de Green. c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Ache a área da superfície S: parte do gráfico da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 y definida para y ≤ 1 r r r r Questão 3: (2,5 pts) Seja F ( x, y, z ) = ( y 2 cos x)i + (2 ysenx + e 2 z ) j + 2 ye 2 z k . r r a) Mostre que ∫ F ⋅ dr independe do caminho (F é conservativo). C r b) Ache uma função potencial para F . r r c) Se F representa um campo de forças (ou um campo elétrico), ache o trabalho realizado por F (ou diferença de potencial elétrico) ao longo de uma curva unindo os pontos 0,1, 1 a π ,3,2 . 2 2 r Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo de F através de S , onde S é a superfí-
(
) (
)
cie da região delimitada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 0 e z = 1 , e r r r r F ( x, y, z ) = ( x 2 + z 2 )i + ( y 2 − 2 xy ) j + (4 z − 2 yz )k .
Questão 5 (2,0 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo r r r r 2 3 F ( x, y, z ) = x y i + j + zk , ao redor da curva C: Interseção entre o cilindro x 2 + y 2 = 4 e o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16, z ≥ 0 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo Z.
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 3ª Prova (B) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
∫ F ⋅ dr C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = xy i + (x2
+y2)j e C é a curva fechada simples ligando os pontos (− 2,4) e (2,4) pelo gráfico de y = x 2 e voltando pela reta de y = 4 , usando: a) A definição de integral curvilínea. b) Usando o Teorema de Green. c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Ache a área da superfície S: parte do gráfico da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 x definida para x ≤ 1 . r r r r Questão 3: (2,5 pts) Seja F ( x, y, z ) = ( zy + 2 x)i + ( xz + 2 yz ) j + ( xy + y 2 + 3z 2 )k . r r a) Mostre que ∫ F ⋅ dr independe do caminho (F é conservativo). C r b) Ache uma função potencial para F . r r c) Se F representa um campo de forças (ou um campo elétrico), ache o trabalho realizado por F (ou diferença de potencial elétrico) ao longo de uma curva unindo os pontos (0,1,−1) a (− 1,3,2) . r Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo de F através de S , onde S é a superfície da região delimitada pelo cone x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 0 e x = 1 , e r r r r F ( x, y, z ) = ( x 2 + z 2 )i + ( y 2 − 2 xy ) j + (4 z − 2 yz )k .
Questão 5 (2,0 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo r r r r 2 3 F ( x, y, z ) = x z i + yj + k , ao redor da curva C: Interseção entre o cilindro x 2 + z 2 = 4 e o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16, y ≥ 0 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo Y.
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ Reposição da 3ª Prova – 07 de Junho de 2010
Questão 1: (2,0 pts) Seja T o sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo plano z + y = 2 e pelo cilindro x = 4 − y 2 . Esboce o sólido e depois usando integrais triplas encontre o seu volume.
Questão 2: (2,0 pts) Descreva a seguinte integral como integral iterada nas coordenadas cartesianas e também nas cilíndricas ou esféricas.
∫∫∫ ( xyz)dV R
; R = {( x, y, z ) ∈ IR 3 : 0 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1, y ≤ x}.
Questão 3: (2,0 pts) Calcule a integral a seguir, transformando-a para coordenadas esféricas. 2
∫ ∫
4− x 2
−2 − 4− x 2
∫
8− x 2 − y 2 x2 + y2
( x 2 + y 2 + z 2 )dzdydx
Questão 4: (2,0 pts) Identifique as superfícies determinadas pelas seguintes equações: a) r = tg θ secθ , em coordenadas cilíndricas; b) ρ = 6 sen φ cosθ , em coordenadas esféricas.
−1
∂ ( x, y ) ∂ (u , v) ∂ ( x, y ) ∂ (u , v) = Questão 5 (2,0 pts) Calcule as Jacobianas ; e verifique que . Expresse, e ∂ ( x, y ) ∂ (u , v ) ∂ ( x, y ) ∂ (u, v ) calcule também, a integral ∫∫ xydxdy através de uma integral iterada nas variáveis u e v, onde, R
x = u 2 − v 2 , y = 2uv , e R é a região de fronteira y = 2 1 − x , x = 0 e y = 0 . Questão 6 (2,0 pts) Se C é um fio, distribuído em um sistema de coordenadas cartesianas, que apresenta uma densidade (linear) de massa dada por δ ( x, y, z ) = xyz . Então calcule a massa total, mt, contida em C , e o seu momento de inércia em relação ao eixo z determinando também o seu raio de rotação associado, considerando que C seja a curva com parametrização: x (t ) = cos t , y (t ) = sen t , z (t ) = 1 ; 0 ≤ t ≤ π .
OBS: Serão pontuados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 3ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010
Questão 1: (2,0 pts) Mostre que a forma diferencial na integral dada é exata. Depois calcule a integral. (1, 2 , 3)
∫ 2 xydx + ( x
2
− z 2 )dy − 2 yzdz
( 0,0,0)
a) Escolhendo uma curva que tenha como origem o ponto (0,0,0) e termine no ponto (1,2,3); r r r r b) Achando uma função potencial para o campo F ( x, y, z ) = 2 xyi + ( x 2 − z 2 ) j − 2 yzk e aplicando a fórmula (1, 2 , 3)
(1, 2 , 3) r r ∫ F ⋅ dr = f ( x, y, z) = f (1,2,3) − f (0,0,0) .
( 0,0,0)
(0,0,0 )
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para expressar a área da superfície S dada, como uma integral dupla. Então calcule a integral. S: Porção do cone y = x 2 + z 2 entre os planos y = 2 e y = 6 Questão 3: (2,0 pts) Use o teorema de Green para justificar a seguinte fórmula para calcular a área de uma região planar R que tem como fronteira uma curva C orientada no sentido anti-horário. Área de R =
1 xdy − ydx 2 C∫
r r Use a fórmula acima para calcular a área da região limitada pela astróide r (t ) = (cos 3 t )i + (sen 3t ) j , 0 ≤ t ≤ 2π. r r r r Questão 4: (3,0 pt) Calcule o fluxo exterior de F ( x, y, z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k através da superfície fechada S, fronteira da região delimitada pelo cilindro sólido x 2 + z 2 = 4 e os plano y = 0 e y = 1 . r r a) Resolvendo a integral de superfície ∫∫ F ⋅ n dσ ; S r r r r b) Aplicando o teorema de Gauss ∫∫ F ⋅ n dσ = ∫∫∫∇ ⋅ F dV . S
R
Questão 5: (3,0 pts) Considere f ( x, y, z ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) . Conclua que a circulação do campo vetorial − 12
r F = ∇f , em volta da circunferência x 2 + y 2 = 4 , no plano z = 0 , orientada no sentido anti-horário quando observada por cima do eixo Z, é nula. r r a) Resolvendo a integral de curvilínea ∫ F ⋅ dr ; C r r r r r b) Aplicando o teorema de Stokes ∫ F ⋅ dr = ∫∫ ∇ × F ⋅ n dσ . C
S
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ –
