Universidade Federal de Campina Grande - UFCG ´lculo Diferencial e Integral III Ca ˆ nio da Silva Medeiros Professor: Luiz Anto ˜o Segunda Avaliac ¸a 1. Descreva o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao f, onde f (x, y) = 4 − x2 − y 2 . Desenhe pelo menos trˆes curvas de n´ıvel no dom´ınio da fun¸c˜ao e esbo¸ce a superf´ıcie. 2. Considerando que a equa¸c˜ao x2 + y 2 + xy − 7 = 0 define y como uma fun¸c˜ao de x, encontre o ∂y valor de ∂x no ponto P (1, 1). 3. Encontre os limites, caso existam: xsen(y) (x,y)→(0,0) x2 + 1 x2 − xy b2) lim √ √ (x,y)→(0,0) x− y a2)
lim
4. Encontre uma equa¸c˜ao para o plano que seja tangente `a supref´ıcie z = ex
2 +y 2
no ponto P (0, 0, 1).
5. A derivada de f (x, y,√ z) em um ponto P ´e maior na dire¸c˜ao de v = i + j − k. Nessa dire¸c˜ao, o valor da derivada ´e 2 3. a) Qual ´e o gradiente de f em P ? b) Qual ´e a derivada de f em P na dire¸c˜ao de i + j? 6. Resolva apenas uma das quest˜oes abaixo: 7. Seja f : R2 → R uma fun¸c˜ao com derivadas parciais cont´ınuas e suponha que a equa¸c˜ao f ( xy , xz ) = 0 define z como uma fun¸c˜ao diferenci´avel de x e y, ou seja, z = g(x, y). Mostre que x
∂g ∂g +y =g ∂x ∂y
nos pontos nos quais D2 f ( xy , g(x,y) ) 6= 0, em que D2 f indica a derivada parcial de f em rela¸c˜ao x `a segunda vari´avel. 8. Prove pela defini¸c˜ao que 9. Seja f (x, y) =
½
lim
(x,y)→(2,−1)
x2 y + x2 sen( x1 ) 0
x3 + y = 7 se x 6= 0 e u = (a, b) um vetor unit´ario (a2 + b2 = 1). se x = 0
a) Mostre que f ´e diferenci´avel em todos os pontos. b) A derivada parcial
∂f ∂x
´e cont´ınua nos pontos em que x = 0?
10. Encontre os valores m´ınimos e m´aximos de x2 + y 2 sujeitos `a restri¸c˜ao x2 − 2x + y 2 − 4y = 0. Fa¸ca um esbo¸co geom´etrico para justificar a solu¸c˜ao do problema. 11. Encontre o ponto cr´ıtico de f (x, y) = xy + 2x − ln(x2 y) no primeiro quadrante aberto (x > 0, y > 0) e mostre que f assume um valor m´ınimo l´a. 12. Esboce a regi˜ao de integra¸c˜ao, inverta a ordem da integral e calcule a integral. Z πZ π sen(y) dydx y x 0
13. Expresse por uma integral dupla o volume do s´olido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parab´olico z = 4 − y 2 . 14. Encontre o centr´oide da regi˜ao entre o eixo x e o arco y = sen(x), 0 ≤ x ≤ π. 15. Expresse atrav´es de integrais duplas o raio de rota¸c˜ao em rela¸c˜ao `a reta y = 2 de uma placa fina limitada pelo eixo x, pelas retas x = ±1 e pea par´abola y = x2 se a densidade de massa em cada ponto da placa varia como o quadrado da distˆancia do ponto a origem. 16. Se f (x, y) = 100(y + 1) representar a densidade populacional da regi˜ao plana na Terra limitada pelas curvas x = y 2 e x = 2y − y 2 , onde x e y s˜ao medidos em milhas, encontre o n´ umero de pessoas que habitam nessa regi˜ao. 17. Encontre os valores extremos de f (x, y) = xy sobre o disco x2 + y 2 ≤ 1. Fa¸ca um esbo¸co geom´etrico para justificar a solu¸c˜ao do problema. 18. Encontre e classifique os extremos relativos de f (x, y) = x3 + y 3 + 3x2 − 3y 2 . 19. Esboce a regi˜ao de integra¸c˜ao, inverta a ordem da integral e calcule a integral. Z 8Z 2 1 dydx 4 √ 3x 1 + y 0 20. Encontre o volume do s´olido cortado da coluna quadrada |x| + |y| ≤ 1 pelos planos z = 0 e 3x + z = 3. Fa¸ca um esbo¸co do s´olido. 21. Complete os termos da integral Z
0
1
Z
√
y
dxdy +
Z Z 1
dxdy
y−2
de modo que esta forne¸ca a ´area da regi˜ao R limitada pela par´abola y = x2 e pela reta y −x = 2. 22. Expresse, usando integrais duplas, o raio de rota¸c˜ao em rela¸c˜ao ao eixo y de uma placa fina limitada pela reta y = x e pela par´abola y = x2 se a densidade de massa em cada ponto da placa varia como a distˆancia do ponto `a reta y = x.
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã Aluno(a):___________________________ Data: 04/09/2006 Período: 2006.1
Segunda Avaliação 1. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T (x, y, z) = 200e−x T é medido em o C e x, y, z em metros.
2 −3y 2 −9z 2
, onde
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P (2, −1, 2) em direção ao ponto (3, −3, 3). (b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ? Justifique. (c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P . 2. Você está encarregado de construir um radiotelescópio em Plutão (recentemente redefinido como Dwarf Planet pela International Astronomical Union). Para minimizar a interferência, você deseja colocá-lo onde o campo magnético do astro é mais fraco. Suporemos que plutão seja esférico e consideraremos seu raio igual a 6 unidades. Com base em um sistema de coordenadas cuja origem está no centro do astro, a intensidade do campo magnético é dado por M (x, y, z) = 6x − y 2 + xz + 60. Onde você deve colocar o radiotelescópio? 3. Determine, através de uma integral dupla, o volume de uma bola de raio a. 4. Uma placa circular plana tem o formato da região x2 + y 2 ≤ 1. A placa, incluindo a fronteira, é aquecida de tal modo que a temperatura no ponto (x, y) é T (x, y) = x2 + y 2 − x. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da placa. 5. Uma piscina possui superfície delimitada pelos gráficos das equações 8y = x3 , y−x = 4 e 4x + y = 9. Determine a capacidade desta piscina, sabendo que a profundidade em um ponto (x, y) de sua superfície é dada por P (x, y) = xy + 1.
1
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III
Turno: Manhã
Prof.:___________________________
Data: 16/09/2006
Aluno(a):___________________________ Período: 2006.1
Reposição da Segunda Avaliação Resolva apenas 06 questões x2 y2 z2 1. (a) Mostre que a equação do plano tangente ao hiperbolóide de uma folha 2 + 2 − 2 = 1 a b c y0 y z0 z x0 x no ponto P (x0 , y0 , z0 ) é 2 + 2 − 2 = 1. a b c (b) Determine a equação do plano tangente à superfície 36x2 + 9y 2 − 16z 2 = 144 em P (2, 4, 3). ( x2 + y 2 se(x, y) 6= (0, 0) 2. (a) Justifique por que a função f (x, y) = não tem mínimo relativo 1 se(x, y) = (0, 0) nem absoluto em (0,0). ( x2 + y 2 se x2 + y 2 < 1 (b) Justifique por que a função f (x, y) = não tem máximo nem 1 − x2 − y 2 se x2 + y 2 ≥ 1 mínimo relativos em ponto algum da círcunferência x2 + y 2 = 1. 3. Determine um vetor tangente às superfícies x2 + y 2 + z 2 = 6 e x2 + xy + y 2 + z = 8 no ponto P (1, 2, 1). Justifique sua resposta. 4. Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x + 2y + 3z = 6 5. (a) Se f (x, y) possui um ponto de mínimo local em P (a, b), podemos afirmar que f (a, b) ≤ f (x, y) para todo (x, y) ∈ D(f )? Por que?
(b) Se (a, b) é um ponto crítico de f , então se tem necessariamente fx (a, b) = fy (a, b) = 0? Justifique seu ponto de vista. 6. Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais (relativos) e os pontos de sela da função f (x, y) = x2 + y 2 + x2 y + 4. 7. Calcule: (a) (c)
R∞R∞ 0
RR
0
e−(4x
2 +4y 2 )
dx dy
(b)
RπRπ 0
x
sen y y
dy dx
x2 (x2 + y 2 )3 dA, onde R limitada pelo limitada por y = R
√
1 − x2 e y = 0.
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ – Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 2ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010
Questão 1: (2,0 pts) Se a soma de três números x, y e z é 18, quais devem ser esses números para o produto de x3 por y2 e por z (x3y2z) ser o maior possível? Questão 2: (2,0 pts) Encontre a abcissa do centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela parábola y2 = 2x e pela reta x + y = 4, considerando uma densidade planar de massa constante.
Questão 3: (2,0 pts) Encontre a área da região comum aos interiores das cardióides: r = 1 + cos θ e r = 1 − cos θ ; 0 ≤ θ ≤ 2π .
Questão 4: (2,0 pts) Encontre uma nova formulação (limites de integração iterada) para duas das seguintes integrais, transformando a sua formulação original para outra formulação diferente dentre coordenadas esféricas, cilíndricas ou cartesianas, conforme seja o caso (não é para resolver a integral!). a)
2
∫ ∫
4− x 2
−2 − 4− x 2
∫
8− x 2 − y 2 x2 + y2
2
( x + y + z )dzdydx 2
2
2
b)
2 x− x 2
∫ ∫ 0
0
π
4− x 2 − y 2
∫ dzdydx 2
− 4− x − y
c)
2
2 2 3 4− r
∫ ∫ ∫ r (senθ cosθ )z 3
0 1
2
dzdrdθ
1
Questão 5: (2,0 pts) Resolver dois dos seguintes itens: a) Volume da região limita abaixo pelo plano xy ( z = 0) , dos lados pela esfera ρ = 2 e acima pelo cone ϕ = π
3
;
b) Volume da região limitada acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 e abaixo pelo parabolóide z = x 2 + y 2 ; 1 1 1
c) Mude a ordem de integração, de maneira apropriada, para calcular a integral
∫ ∫ ∫12 xze 0 0x
zy 2
dydxdz .
2
Questão 6 (2,0 pts) Considere x = u 2 − v 2 e y = 2uv para calcular as matrizes Jacobianas −1
∂ ( x, y ) ∂ (u , v ) e . ∂ (u , v) ∂ ( x, y )
∂ ( x, y ) ∂ (u , v) = Verifique que . Expresse e também calcule a integral ∫∫ xydxdy , através de uma integral R ∂ ( x, y ) ∂ (u, v ) iterada nas variáveis u e v, onde, R é a região de fronteira y = 2 1 − x , x = 0 e y = 0 .
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ –
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 2ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010
Questão 1: (2,0 pts) Se a soma de três números x, y e z é 24, quais devem ser esses números para o produto de x2 por y3 e por z (x2y3z) ser o maior possível? Questão 2: (2,0 pts) Encontre a ordenada do centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela parábola x2 = 2y e pela reta x + y = 4, considerando uma densidade planar de massa constante.
Questão 3: (2,0 pts) Encontre a área da região comum aos interiores das cardióides: r = 1+ senθ e r = 1 − senθ ; 0 ≤ θ ≤ 2π .
Questão 4: (2,0 pts) Encontre uma nova formulação (limites de integração iterada) para duas das seguintes integrais, transformando a sua formulação original para outra formulação diferente dentre coordenadas esféricas, cilíndricas ou cartesianas, conforme seja o caso (não é para resolver a integral!). a)
2
∫∫
0 0
4− x2
∫
4− x 2 − y 2
0
1
2
x dzdydx
b)
π π 2 senϕ
2 2 1− x 2 ( x + y )
∫ ∫
2 ∫ 21xy dzdydx
c)
0 − 1− x 2 − ( x 2 + y 2 )
∫∫ ∫ρ 0 0
2
senϕ dρ dϕ dθ
0
Questão 5: (2,0 pts) Resolver dois dos seguintes itens: a) Volume da região limitada pelos parabolóides z = 8 − x 2 − y 2 e z = x 2 + y 2 b) Volume da região entre a esfera ρ = cos ϕ e o hemisfério ρ = 2 , z ≥ 0 ; 4 1 2
c) Mude a ordem de integração, de maneira apropriada, para calcular a integral
4 cos( x 2 ) ∫0 ∫0 2∫y 2 z dxdydz .
Questão 6 (2,0 pts) Considere u = x + y e v = x − y para calcular as matrizes Jacobianas −1
∂ ( x, y ) ∂ (u , v) e . ∂ (u , v) ∂ ( x, y )
2 2 ∂ ( x, y ) ∂ (u , v) = Verifique que . Expresse e também calcule a integral ∫∫ ( x − y )e x − y dxdy , através de uma R ∂ ( x, y ) ∂ (u, v) integral iterada nas variáveis u e v, onde R é a região retangular envolvida pelas retas x + y = 0 , x + y = 1 , x − y =1 e x − y = 4.
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ –
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologia – CCT Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor: _______Jaime Alves Barbosa Sobrinho_____________ Período: 2010.1 Aluno(a): ______________________________________________________ Nota: ________________________ 2ª Prova (A) – 13 de maio de 2010 1) (2,0 pts) Encontre os valores extremos de f ( x, y , z ) = x ( y + z ) sobre a curva de interseção do cilindro circular reto x 2 + y 2 = 1 e do cilindro hiperbólico xz = 1 . 2) (2,0 pts) Encontre o momento polar de inércia em relação a origem de uma placa fina que cobre a região que está dentro da cardióide r = 1− cosθ e fora da circunferência r = 1 , considerando que a função densidade da placa é δ (r ,θ ) = 1 2' . r 3) (2,0 pts) Identifique os limites das integrais iteradas, para determinar o volume da região limitada abaixo pela esfera ρ = 2 cos ϕ e acima pelo cone z = x 2 + y 2 (não é necessário calcular o volume). a) Em coordenadas cartesianas;
b) Em coordenadas cilíndricas ou esféricas (escolher uma apenas).
4) (2,0 pts) Mude a ordem de integração para calcular duas das seguintes integrais: a)
2
x 1
∫∫∫ 0
0
5
x
e y dydzdx ;
b)
2
2π
π
∫ ∫ ∫ 0
4
0
sec ϕ
0
ρ 4 cosϕ senϕ dρ dϕ dθ ;
c)
2 2π
3 4− r 2
0
− 4− r 2
∫ ∫π ∫ r
zr dz dθ dr .
5) (2,0 pts) Considere a mudança de variável apresentada abaixo e use o teorema de mudança de variável, em integrais duplas, para calcular a integral
∫∫ e S
y+ x2 − x
dxdy .
( x, y ) = (u , v − u 2 ) c (u , v) = ( x, y + x 2 )
– Boa Prova –
OBS: Na correção serão considerados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados!
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologia – CCT Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã Professor: ________Jaime Alves Barbosa Sobrinho____________ Período: 2010.1 Aluno(a): ______________________________________________________ Nota: ________________________ 2ª Prova (B) – 13 de maio de 2010 1) (2,0 pts) Encontre os valores extremos de f ( x, y , z ) = y ( x + z ) sobre a curva de interseção do cilindro circular reto x 2 + y 2 = 1 e do cilindro hiperbólico yz = 1 . 2) (2,0 pts) Encontre o momento polar de inércia em relação a origem de uma placa fina que cobre a região que está dentro da cardióide r = 1− senθ e fora da circunferência r = 1 , considerando que a função densidade da placa é δ (r ,θ ) = 1 2' . r 3) (2,0 pts) Identifique os limites das integrais iteradas, para determinar o volume da região limitada acima pela esfera ρ = 2 cos ϕ e abaixo pelo cone z = x 2 + y 2 (não é necessário calcular o volume).
a) Em coordenadas cartesianas;
b) Em coordenadas cilíndricas ou esféricas (escolher uma apenas).
4) (2,0 pts) Mude a ordem de integração para calcular duas das seguintes integrais: a)
2
2 1
0
z
∫∫∫
π
5
x
e y dydxdz ;
b)
2
2π
sec ϕ
0
0
∫ ∫ ∫ 0
4
ρ 4 cos ϕ senϕ dρ dθ dϕ ;
c)
2π
θ
∫ ∫ ∫ 0
0
π
3 4− r 2
− 4− r 2
zr dzdrdθ .
5) (2,0 pts) Considere a mudança de variável apresentada abaixo e use o teorema de mudança de variável, em integrais duplas, para calcular a integral
∫∫ e S
y+ x2 + x
dxdy .
( x, y ) = (u , v − u 2 ) c
(u , v) = ( x, y + x 2 )
– Boa Prova – OBS: Na correção serão considerados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados!
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ Reposição da 2ª Prova – 07 de Junho de 2010
Questão 1: (2,0 pts) Determine os pontos críticos da função z = x 5 + y 4 − 5 x − 32 y − 3 e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
Questão 2: (2,0 pts) Se a soma de três números x, y e z é 12, quais devem ser esses números para o produto de x por y2 e por z3 (xy2z3) ser o maior possível?
Questão 3: (2,0 pts) Inverta a ordem de integração e calcule a integral
2
4
0
y2
∫∫
y cos x 2 dxdy .
Questão 4: (2,0 pts) Ache a primeira coordenada do centro de massa da lâmina que tem a forma da região delimitada pelos gráficos das equações dadas e a densidade de massa por área indicada. y = x , x = 9 , y = 0 e δ ( x, y ) = x + y .
Questão 5: (2,0 pts) Use coordenadas polares para calcular a integral dupla:
∫∫
1 2 2 R 1+ x + y
dA
Onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por y = 0, y = x e x 2 + y 2 = 4 .
Questão 6 (2,0 pts) Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2 2 − sen 2θ . OBS: Serão pontuados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)
