Provas do 1º Estágio de Cálculo III - UFCG

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG ´lculo Diferencial e Integral III Ca ˆ nio da Silva Medeiros Professor: Luiz Anto

A

Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009 õ Primeira Avaliac ¸a p 1 (1.5 Pts) Descreva o dom´ınio e a imagem da fun¸cão f, onde f (x, y) = 16 − x2 − y 2 . Desenhe pelo menos três curvas de n´ıvel no dom´ınio da fun¸cão e esbo¸ce a superf´ıcie. 2 (1.0 Pts) Considerando que a equa¸cão x3 −2y 2 +xy = 0 define y como uma fun¸cão de x, encontre ∂y no ponto P (1, 1). o valor de ∂x 3 (1.5 Pts) Encontre os limites, caso existam: ey sen(x) (x,y)→(0,0) x x4 b) lim (x,y)→(0,0) x4 + y 2 a)

lim

4 (1.5 Pts) Encontre uma equa¸cão para o plano que seja tangente à supref´ıcie z = ln(x2 + y 2 ) no ponto P (1, 0, 0). √ 5 (1.5 Pts) A derivada de f (x, y) em P0 (1, 2) na dire¸cão de i + j é 2 2 e na dire¸cão de −2j é −3. Qual é a derivada de f na dire¸cão de −i − 2j? 6 (1.5 Pts) Resolva apenas uma das questões abaixo: 6.1) Seja f : R2 → R uma fun¸cão com derivadas parciais cont´ınuas e suponha que a equa¸cão f ( xy , xz ) = 0 define z como uma fun¸cão diferenciável de x e y, ou seja, z = g(x, y). Mostre que ∂g ∂g +y =g x ∂x ∂y nos pontos nos quais D2 f ( xy , g(x,y) ) 6= 0, em que D2 f indica a derivada parcial de f em x rela¸cão à segunda variável. 6.2) Prove pela defini¸cão que

7 (1.5 Pts) Sejam f (x, y) =

(

lim

(x,y)→(1,−1)

xy 2 ) x2 +y 2

0

x3 + y = 0

se (x, y) 6= (0, 0) e u = (a, b) um vetor unitário (a2 + b2 = se (x, y) = (0, 0)

1). a) Mostre que a derivada direcional de f na dire¸cão u existe na origem. b) Mostre que f é cont´ınua, apesar de não ser diferenciável. c) As derivadas parciais de f são cont´ınuas na origem?

B


Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009 õ Primeira Avaliac ¸a 1 (1.5 Pts) Descreva o dom´ınio e a imagem da fun¸cão f, onde f (x, y) = 4 − x2 − y 2 . Desenhe pelo menos três curvas de n´ıvel no dom´ınio da fun¸cão e esbo¸ce a superf´ıcie. 2 (1.0 Pts) Considerando que a equa¸cão x2 + y 2 + xy − 7 = 0 define y como uma fun¸cão de x, ∂y no ponto P (1, 1). encontre o valor de ∂x 3 (1.5 Pts) Encontre os limites, caso existam: xsen(y) (x,y)→(0,0) x2 + 1 x2 − xy b) lim √ √ (x,y)→(0,0) x− y a)

lim

2 +y 2

4 (1.5 Pts) Encontre uma equa¸cão para o plano que seja tangente à supref´ıcie z = ex P (0, 0, 1).

no ponto

5 (1.5 Pts) A derivada de f (x, y, √ z) em um ponto P é maior na dire¸cão de v = i + j − k. Nessa dire¸cão, o valor da derivada é 2 3. a) Qual é o gradiente de f em P ? b) Qual é a derivada de f em P na dire¸cão de i + j? 6 (1.5 Pts) Resolva apenas uma das questões abaixo: 6.1) Seja f : R2 → R uma fun¸cão com derivadas parciais cont´ınuas e suponha que a equa¸cão f ( xy , xz ) = 0 define z como uma fun¸cão diferenciável de x e y, ou seja, z = g(x, y). Mostre que ∂g ∂g +y =g x ∂x ∂y ) 6= 0, em que D2 f indica a derivada parcial de f em nos pontos nos quais D2 f ( xy , g(x,y) x rela¸cão à segunda variável. 6.2) Prove pela defini¸cão que 7 (1.5 Pts) Seja f (x, y) =

½

lim

(x,y)→(2,−1)

x3 + y = 7

x2 y + x2 sen( x1 ) 0

se x 6= 0 e u = (a, b) um vetor unitário (a2 + b2 = se x = 0

1). a) Mostre que f é diferenciável em todos os pontos. b) A derivada parcial

∂f ∂x

é cont´ınua nos pontos em que x = 0?

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III - Período: 2006.1 1o Estágio - Elétrica - 07/08/2006 Professor:________________________________________ Aluno:_________________________________________ Escolha 2 questões do Grupo I e 3 questões do Grupo II Grupo I 1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de xy + y 2 x − 2z = 0 no ponto (1, 1, 1) que seja paralela ao plano yz.

2. Descreva as curvas de nível das funções abaixo, e determine se seus domínios são abertos ou fechados. (a) f (x, y) = x2 − 4y 2 ; (b) f (x, y) = y + x2 − 3x. 3. Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V . Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à V razão de 20 ohms/min. Use o fato de que I = , e uma regra da cadeia, para achar a taxa à R qual a corrente I (em ampères) varia. Grupo II 1. Seja W = 5x2 − xy + 2y, e ∆x e ∆y incrementos de x e y, respectivamente. (a) Determine ∆W ; (b) Mostre, através da definição de diferenciabilidade, que W é uma função diferenciável; (c) Sem usar a deinição, como podemos justificar a diferenciabilidade de W . 2. Calcule os seguintes limites, se existirem. Caso não exista, justifique. √ 2x − y − 2 a) lim (x,y)→(0,0) 2x − y − 4 b)

x2 + xy + z 2 (x,y,z)→(0,0,0) yx + yz − 2x2 lim

arctg xy (x,y)→(0,0) xy  xy  2 x + y2 3. Seja f (x, y) =  0 c)

lim

(Sugestão: Use o fato de que 1 −

x2 y 2 arctg xy < < 1) 3 xy

, se (x, y) 6= (0, 0) , se (x, y) = (0, 0)

a) Determine fx (0, 0) e fy (0, 0); b) A função f é diferenciável na origem? Por que? 4. Três resistores R1 , R2 e R3 estão associados em paralelo. Denotemos por R a resistência total. Se as medidas de R1 , R2 e R3 são 100, 200 e 600 ohms, respectivamente, com erro máximo de ±1% em cada medida, aproxime, usando diferenciais, o erro máximo no valor calculado de R. ∂R .) (OBS: Para as derivadas de R com relação a Ri , use a notação ∂Ri

2

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã Prof.:___________________________ Data: 12/08/2006 Aluno(a):___________________________ Período: 2006.1

Reposição da Primeira Avaliação 3x2 y = 0 através da definição de limite. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 √ x+y+1 . 2. Considere a função f (x, y) = x2 − 1

1. Mostre que

lim

a) Determine e faça um esbôço do seu domínio. b) Determine se domínio de f é aberto ou fechado. Justifique. c) Mostre que

lim

(x,y)→(−1,0)

f (x, y) não existe.

3. Considerando-se as funções abaixo, descreva e faça um esboço da superfície de nível que contém o ponto P dado. f (x, y, z) = z − x2 − y 2 e P (1, 1, 2);

g(x, y, z) = 2x2 − y 2 + z em P (1, 1, −1). 4. Utilize diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10cm de altura e 2cm de raio, sabendo que o metal das tampas de cima e de baixo tem 0, 1cm de espessura e o da lateral tem espessura de 0, 05cm. 5. Considere a função f (x, y) =

(

xy x2 + y 2 0

, xy 6= 0

.

, xy = 0

Mostre que f possui derivadas parciais nulas em (0, 0), e que f não é diferenciável em (0, 0). 6. Defina função diferenciável. Depois disso, mostre que se f é diferenciável em (x0 , y0 ), então ela é contínua em (x0 , y0 ). 7. Suponha que substituamos coordenadas polares x = r cos θ e y = r sen θ em uma função diferenciável w = f (x, y). a) Mostre que

1 ∂w ∂w = fx cos θ + fy sen θ e = −fx sen θ + fy cos θ. ∂r r ∂θ

∂w ∂w b) Resolva as equações no ítem a) para expressar fx e fy em termos de e . ∂r ∂θ 2 2 ∂w 1 ∂w 2 2 c) Mostre que (fx ) + (fy ) = + 2 . ∂r r ∂θ 1

R


Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009 õ da Primeira Avaliac õ Reposic ¸a ¸a 2 −y 2

1. (1.5 Ptos) Descreva o dom´ınio da fun¸cão f (x, y) = e−x n´ıvel no dom´ınio da fun¸cão e esbo¸ce a superf´ıcie.

. Desenhe pelo menos três curvas de

2. (1.5 Ptos) Calcule os limites abaixo, caso existam. x4 + x2 y 2 + y 4 (x,y)→(0,0) x2 − xy + y 2 xysen(y) b) lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x3 y 3 − 1 c) lim (x,y)→(0,0) xy − 1

a)

lim

3. (1.5 Ptos) Uma fun¸cão f (x, y) é homogênea de grau n, sendo n um n´ umero natural diferente de zero, se f (tx, ty) = tn f (x, y) para todos t, x e y. Mostre que para uma tal fun¸cão x

∂f ∂f (x, y) + y (x, y) = nf (x, y) ∂x ∂y

4. (1.0 Pto) Encontre a derivada de f (x, y, z) = xyz na dire¸cão do vetor velocidade da hélice r(t) = cos(3t)i + sen(3t)j + 3tk em t = π3 . 5. (1.5 Ptos) Considere a fun¸cão f (x, y) = xΦ( xy ) onde Φ(u) é uma fun¸cão dirivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes do gráfico passam pela origem. 2

6. (1.5 Ptos) Seja f (x, y) = x2xy+y2 . Considerando ε > 0, mostre que existe um δ > 0 tal que, para todo par (x, y) de n´ umeros reais p se 0 < x2 + y 2 < δ ⇒ |f (x, y) − 0| < ε Interprete o resultado. ´ poss´ıvel extender a fun¸cão f (x, y) = 7. (1.5 Ptos) E renciável na origem? Justifique.

x3 x2 +y 2

à origem de maneira a tornar f dife-

BOA SORTE !

Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ Reposição da 1ª Prova – 07 de Junho de 2010

Questão 1: (2,0 pts) Considere a função z = x − y 2 . Determine: a) Determine D( f ) e Im( f ); b) Representar geometricamente as curvas de níveis 0, 1, 2 e o gráfico de f.

Questão 2: (1,0 pt) Justifique se os seguinte limite existe e caso positivo determine o seu valor: 2x 2 y lim ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 4 + y 2

Questão 3: (1,0 pt) Justifique se existe algum número L ∈ IR para o qual a função f ( x, y ) , a seguir, seja contínua no ponto (2,0). Caso positivo determine esse valor L.  2 x − y −2  2 x − y −4 ; 0 < 2 x − y ≠ 4 f ( x , y ) = e  L ; ( x, y ) = (2,0)

Questão 4: (1,0 pt) Considere z = e x + x ln y + y ln x . Sem calcular as derivadas de 2ª ordem, justifique se as derivadas mistas

∂2z ∂x∂y

e

∂2z ∂y∂x

coincidem. Comprove a sua resposta calculando as derivadas.

∂w ∂w e , onde ∂u ∂v w = f (u , v ) , u = g ( x, y ) e v = h( x, y ) . Utilize-a para justificar que se w = f ( x 2 − y 2 , y 2 − x 2 ) , então ∂w ∂w y +x = 0. ∂x ∂y ∂z ∂z Questão 6 (1,5 pts) Calcule as derivadas e , para a função definida implicitamente por ∂x ∂y sen ( x + y ) + sen ( y + z ) + sen ( x + z ) = 0 , em P (π , π , π ) .

Questão 5 (2,0 pts) Desenhe um diagrama e escreva a fórmula da regra da cadeia para calcular

Questão 7: (2,0 pts) Calcule a taxa de variação (velocidade de crescimento) da

temperatura T ( x, y ) = 40 − 2 x y + xy , quando se caminha (varia) na direção do vetor v = (2,3), uma unidade de comprimento. 2

2

a) a partir do ponto P(1, 3); b) a partir do ponto P(1, 3), em que direção (e sentido) a temperatura mais cresce (ou decresce) e qual essa velocidade (taxa) de crescimento (ou decrescimento); c) a partir do ponto P(1, 3), determine direções (e sentido) em que a velocidade de decrescimento da temperatura seja -4. d) Em P(1, 3), existe direção (e sentido) em que a velocidade de crescimento é 6?

Questão 8: (1,5 pt) Encontre a equação para o plano tangente e a reta normal, no ponto P0(2,-3,18), da superfície do IR3 determinada pela equação F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − 2 xy − x + 3 y − z = −4 .

OBS: Serão pontuados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)

– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ – Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 1ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010

Questão 1: (1,5 pts) Considere a função z = f ( x, y ) = y − x 3 . Determine: a) Determine D( f ) e Im( f ); b) Se a função f representa o potencial elétrico (tensão elétrica), determine as curvas equipotenciais (curvas de níveis) para os potenciais 0, 1, 2. c) Faça um esboço (idéia) do gráfico de f, considerando as curvas equipotenciais encontrada.

Questão 2: (1,0 pt) Justifique se os seguinte limite existe e caso positivo determine o seu valor: 2x3 y ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 6 + y 2 Questão 3: (1,5 pt) Identifique o domínio da função f ( x, y ) , a seguir, e justifique se f é contínua em todo esse domínio. 1   3 x− y −4  2    f ( x, y ) =   3 x − y −2  ; 0 < 3 x − y ≠ 4 2 ; ( x, y ) = (2,2)  ∂w ∂w Questão 4 (2,0 pts) Desenhe um diagrama e escreva a fórmula da regra da cadeia para calcular e , onde ∂x ∂y w = f (u , v) , u = g ( x, y ) e v = h( x, y ) . Utilize-a para justificar que se w = f ( x 3 − y 3 , y 3 − x 3 ) , então ∂w ∂w + x2 = 0. y2 ∂x ∂y ∂z ∂z Questão 5 (1,0 pts) Calcule as derivadas e , para a função definida implicitamente por ∂x ∂y xe z + ze y + 2 ln x − 3 ln 2 = 2 , em P (1, ln 3, ln 2) . lim

Questão 6: (2,0 pts) Calcule a taxa de variação (velocidade de crescimento) da tensão elétrica (potencial elétrico) V ( x, y, z ) = ln xy + ln yz + ln xz , quando se caminha na direção do vetor v = (0,4,3), uma unidade de comprimento. a) a partir do ponto P(1, 1, 1); b) a partir do ponto P(1, 1, 1), em que direção (e sentido) a tensão elétrica mais cresce (ou decresce) e qual essa velocidade (taxa) de crescimento (ou decrescimento); c) a partir do ponto P(1, 1, 1), determine direções (e sentido) em que a velocidade de decrescimento da tensão elétrica seja -3. d) Em P(1, 1, 1), existe direção (e sentido) em que a velocidade de crescimento da tensão elétrica é 4?

Questão 7: (1,5 pt) Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os como extremos locais (máximos ou mínimos locais) ou pontos de sela.

z = x 5 + y 4 − 5 x − 32 y − 3

Questão 8: (1,5 pt) Determine a equação do plano tangente a superfície do gráfico de z = x 2 + y 2 e paralelo ao plano z = 2 x + y .

OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!

Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 1ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010

Questão 1: (1,5 pts) Considere a função z = f ( x, y ) = x − y 3 . Determine: a) Determine D( f ) e Im( f ); b) Se a função f representa o potencial elétrico (tensão elétrica), determine as curvas equipotenciais (curvas de níveis) para os potenciais 0, 1, 2. c) Faça um esboço (idéia) do gráfico de f, considerando as curvas equipotenciais encontrada.

Questão 2: (1,0 pt) Justifique se os seguinte limite existe e caso positivo determine o seu valor: 2 xy 3 ( x , y )→( 0 , 0 ) x 2 + y 6 Questão 3: (1,5 pt) Identifique o domínio da função f ( x, y ) , a seguir, e justifique se f é contínua em todo esse domínio. 1   2 x− y −2  2   f ( x, y ) =   2 x − y −4  ; 0 < 2 x − y ≠ 4 2 ; ( x, y ) = (2,0)  lim

∂w ∂w e , onde ∂x ∂y w = f (u , v) , u = g ( x, y ) e v = h( x, y ) . Utilize-a para justificar que se w = f ( x 2 − y 2 , y 2 − x 2 ) , então ∂w ∂w +x = 0. y ∂x ∂y ∂z ∂z Questão 5 (1,0 pts) Calcule as derivadas e , para a função definida implicitamente por ∂x ∂y xe y + ye z + 2 ln x − 2 = 3 ln 2 , em P(1, ln 2, ln 3) .

Questão 4 (2,0 pts) Desenhe um diagrama e escreva a fórmula da regra da cadeia para calcular

Questão 6: (2,0 pts) Calcule a taxa de variação (velocidade de crescimento) da tensão elétrica (potencial elétrico) V ( x, y, z ) = ln xy + ln yz + ln xz , quando se caminha na direção do vetor v = (3,0,4), uma unidade de comprimento. a) a partir do ponto P(1, 1, 1); b) a partir do ponto P(1, 1, 1), em que direção (e sentido) a tensão elétrica mais cresce (ou decresce) e qual essa velocidade (taxa) de crescimento (ou decrescimento); c) a partir do ponto P(1, 1, 1), determine direções (e sentido) em que a velocidade de crescimento da tensão elétrica seja 3. d) Em P(1, 1, 1), existe direção (e sentido) em que a velocidade de decrescimento da tensão elétrica é -4?

Questão 7: (1,5 pt) Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os como extremos locais (máximos ou mínimos locais) ou pontos de sela. z = y 5 + x 4 − 5 y − 32 x − 3 Questão 8: (1,5 pt) Determine a equação do plano tangente a superfície do gráfico de z = x 2 + y 2 e paralelo ao plano z = x + 2 y .

OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!

Provas do 1º Estágio de Cálculo III - UFCG

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